Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de ChileGuía ejercicios resueltos Sumatoria y Binomio de Newton Solución: a) Como k no depende de j, 2k es constante a la sumatoria. b) c) d) Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile e) f) g) h) Las demás se resuelven de la misma forma. Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile Solución: a) b) Como es una sumatoria telescópica se salva el primero y el último. c) La sumatoria geométrica debería comenzar desde cero, pues conocemos la siguiente formula. Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile Para empezar desde cero basta restarle uno a los límites de la sumatoria y a la vez sumar uno en la variable dentro de la sumatoria. Solución: De esta sección solo realizare el primero, dada la simplicidad de los ejercicios. Dado los valores del enunciado para . Solución: a) Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile b) c) d) Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile e) La sumatoria geométrica debería comenzar desde cero, pues conocemos la siguiente formula. Para empezar desde cero basta restarle uno a los límites de la sumatoria y a la vez sumar uno en la variable dentro de la sumatoria. f) g) La sumatoria geométrica debería comenzar desde cero, pues conocemos la siguiente formula. Para empezar desde cero basta restarle uno a los límites de la sumatoria y a la vez sumar uno en la variable dentro de la sumatoria. Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile h) i) La sumatoria geométrica debería comenzar desde cero, pues conocemos la siguiente formula. Para empezar desde cero basta restarle uno a los límites de la sumatoria y a la vez sumar uno en la variable dentro de la sumatoria. j) k) J Para la sumatoria que esta más a la derecha el 2 elevado a la i, es independiente de j. Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile Solución: Solución: 6) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma: ( ) ( ) ( ) ( ) nk s k s k s k s + + + + + + + + K 3 2 116 ) 12 * 10 4 ( ) 10 ( 4 12 56 5 20 2 = + − = + − = ∧ = ⇒ = + = + s s s k k s k s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 620 2 ) 1 10 ( 10 12 40 2 ) 1 10 ( 10 12 ) 4 ( 10 10 3 2 10 1 10 1 = + + − = + + + − = + = + + + + + + + + ∑ ∑ = = i i ik s ik s k s k s k s k s K Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile 7) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma: ( ) ( ) ( ) ( ) nk s k s k s k s + + + + + + + + K 3 2 34 4 = + = + nk s k s ( ) 247 1 = + ∑ = n i ik s Calculemos la sumatoria: ( ) ( ) ( ) 494 2 494 2 247 2 247 2 1 2 2 1 = + + = + + = + + = + + = + ∑ = k kn s n kn kn sn n n k sn n n k sn ik s n i Ahora, sumemos las dos ecuaciones del enunciado. 38 2 34 4 = + + = + = + k nk s nk s k s Reemplazando, ( ) 13 494 38 = ⇒ = n n 8) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma: ( ) ( ) ( ) ( ) nk s k s k s k s + + + + + + + + K 3 2 ( ) ( ) 2700 200 100 51 50 1 = + = + ∑ ∑ = = i i ik s ik s Calculemos la sumatoria: ( ) ( ) 200 1275 50 200 2 1 50 50 50 50 1 = + = + + = + ∑ = k s k s ik s i Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2900 5050 100 2900 2 1 100 100 100 2900 2700 100 1 200 50 1 100 1 100 51 = + = + + = + = + − + = + ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = k s k s ik s ik s ik s ik s i i i i 43 42 1 Tomado las dos ecuaciones; 200 1275 50 = + k s (1) 2900 5050 100 = + k s (2) 2*(1) - (2) ( ) 400 2900 1275 * 2 5050 − = − k ( ) 5 , 21 1 2500 2500 = ⇒ = = s k k 9) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma: ( ) ( ) ( ) ( ) nk s k s k s k s + + + + + + + + K 3 2 ( ) ( ) 3 360000 360000 40 31 40 1 = + = + ∑ ∑ = = i i ik s ik s Calculemos la sumatoria: ( ) ( ) 360000 820 40 360000 2 1 40 40 40 40 1 = + = + + = + ∑ = k s k s ik s i ( ) ( ) ( ) ( ) 240000 465 30 120000 2 1 30 30 30 360000 120000 30 1 360000 40 1 40 31 − = − − = + + − = + − + = + ∑ ∑ ∑ = = = k s k s ik s ik s ik s i i i 43 42 1 Tomado las dos ecuaciones; 360000 820 40 = + k s (3) 240000 465 30 = + k s (4) Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile 3*(3) –4* (4) ( ) 240000 * 4 360000 * 3 465 * 4 3 * 820 − = − k ( ) 4900 200 120000 600 = ⇒ = = s k k 10) Las progresiones geométricas son de la siguiente forma: ( ) ( ) ( ) ( ) − − = = + + + + + = ∑ r r a r a ar ar ar a n n i i n 1 1 1 0 2 K 4 729 54 6 3 = = ar ar Resolviendo: ( ) 16 2 3 4 729 54 4 729 54 54 3 6 3 3 = ⇒ = = = = − − a r r r r r a ∑ ∑ = = | ¹ | \ | = n i i n i i r a 0 0 2 3 16 Solución: Considere que, Para r<1. Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile Ahora, debemos calcular: Solución: 10) Las progresiones geométricas son de la siguiente forma: ( ) ( ) ( ) ( ) − − = = + + + + + = ∑ r r a r a ar ar ar a n n i i n 1 1 1 0 2 K 320 40 6 3 = − = ar ar Resolviendo: ( ) 5 2 8 320 40 320 40 40 3 3 6 3 3 = ⇒ − = − = = − = − − = − − a r r r r r r a El décimo termino es igual a ( ) 2560 2 * 5 9 9 − = − = ar Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 2 1 3 5 2 1 2 1 5 2 5 + + = = − − = − − − − = − = ∑ ∑ n n n i i n i i r a Solución: Usando que, Simplificar y calcular. Resolveremos los más difíciles, pues en los demás se puede utilizar la calculadora facilmente. Pero sabemos que, Ahora, restemos a la ultima ecuación los terminos que no estan en la primera sumatoria. Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile Resover (ultimo), Si consideramos, a=2 y b=1 La unica diferecia con nuestra primera ecuación, es que una parte desde 1 y la otra desde cero. Consideremos la ultima ecuación y separemos el primer termino. Solución: a) Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile b) c) d) Solución: a) b) Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile c) Solución: Usando que, Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile a) b) c) d) Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile Solución: a) ( ) k x k k k k x x k k x k x k k k x x k x k x k k x x + − ∑ = | | ¹ | \ | = | ¹ | \ | + − − ∑ = | | ¹ | \ | = | ¹ | \ | + − | ¹ | \ | ∑ = | | ¹ | \ | = | ¹ | \ | + 7 7 3 2 7 0 7 7 2 2 3 7 3 7 2 2 7 0 7 7 2 2 3 7 3 2 2 7 0 7 7 2 2 3 Como nos piden encontrar el coeficiente que acompaña al 11 x , basta igualar el exponente del k x + 7 a 11. 4 11 7 = = + k k Entonces, para 4 = k encontraremos el coeficiente que acompaña a 11 x . 3 3 4 2 4 7 11 3 3 4 2 4 7 4 7 4 7 3 4 2 4 7 | | ¹ | \ | = | | ¹ | \ | = + − | | ¹ | \ | Coef x x Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile b) 3 2 54 27 2 27 0 27 27 2 2 3 2 54 3 27 2 27 0 27 27 2 2 3 27 2 2 3 1 27 0 27 27 2 2 3 k k x k k k x x k x k x k k k x x k x k x k k x x + + − − ∑ = | | ¹ | \ | = | | ¹ | \ | + + − − ∑ = | | ¹ | \ | = | | ¹ | \ | + − | ¹ | \ | − | | | ¹ | \ | ∑ = | | ¹ | \ | = | | ¹ | \ | + 3 7 54 27 2 27 0 27 27 2 2 3 k x k k k x x + − − ∑ = | | ¹ | \ | = | | ¹ | \ | + Como nos piden encontrar el coeficiente que acompaña al 2 x , basta igualar el exponente de 3 7 54 k x + − a 2. 24 2 3 7 54 = = + − k k Entonces, para 24 = k encontraremos el coeficiente que acompaña a 2 x . 3 2 24 27 3 24 * 7 54 24 27 2 24 27 | | ¹ | \ | = + − − | | ¹ | \ | Coef x c) Es análogo a los dos anteriores. d) ( ) ( ) k x k r k k r r x k r k x r k k r r x 2 1 4 0 4 4 2 1 4 1 2 4 0 4 4 2 1 − ∑ = | | ¹ | \ | = | ¹ | \ | − − | ¹ | \ | − ∑ = | | ¹ | \ | = | ¹ | \ | − Como nos piden encontrar el coeficiente que acompaña al r x 2 , basta igualar el exponente de k x 2 a 2r. Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile r k r k = =2 2 Entonces, para r k = encontraremos el coeficiente que acompaña a r x 2 . ( ) ( ) r r r Coef r x r r r 1 4 2 1 4 − | | ¹ | \ | = − | | ¹ | \ | 19. Encuentre los términos centrales en el desarrollo de a) 10 6 3 | ¹ | \ | − a a ( ) ( ) ( ) k a k k k k a a k k a k a k k k a a k a k a k k a a 2 10 10 3 6 10 0 10 10 6 3 10 3 10 6 10 0 10 10 6 3 10 3 6 10 0 10 10 6 3 − − − ∑ = | | ¹ | \ | = | ¹ | \ | − − − − − ∑ = | | ¹ | \ | = | ¹ | \ | − − | ¹ | \ | − ∑ = | | ¹ | \ | = | ¹ | \ | − Como nos piden encontrar el termino central del desarrollo del binomio 10 6 3 | ¹ | \ | − a a , basta tomar el 5 = k , pues la sumatoria va desde 0 a 10 siendo el termino central el 5 = k . Entonces, el término central es igual a: ( ) ( ) ( ) ( ) 5 18 5 10 5 18 5 10 5 3 5 6 5 10 10 * 2 10 5 10 3 5 6 5 10 | | ¹ | \ | − = − | | ¹ | \ | = − | | ¹ | \ | = − − − | | ¹ | \ | a b) 5 2 5 5 4 | ¹ | \ | − x x Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile k x k k k k x x k x k k x k k k x x k x k x k k x x 2 5 5 5 4 2 5 5 0 5 5 2 5 5 4 5 5 5 4 2 5 5 0 5 5 2 5 5 4 5 5 4 2 5 5 0 5 5 2 5 5 4 − − | ¹ | \ | | ¹ | \ | − ∑ = | | ¹ | \ | = | ¹ | \ | − − − | ¹ | \ | − | ¹ | \ | − ∑ = | | ¹ | \ | = | ¹ | \ | − − | ¹ | \ | | ¹ | \ | − ∑ = | | ¹ | \ | = | ¹ | \ | − Como nos piden encontrar el termino central del desarrollo del binomio 5 2 5 5 4 | ¹ | \ | − x x , basta tomar el 2 = k y el 3 = k , pues la sumatoria va desde 0 a 5 existiendo dos términos centrales, debido a que son 6 términos los del desarrollo. Entonces, el término central es igual a: c) ( ) 24 x b x a − + − , con b a < < 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k x b k x a k k x b x a k x b k x a k k x b x a − − − ∑ = | | ¹ | \ | = − + − − − − ∑ = | | ¹ | \ | = − + − 24 24 0 24 24 24 24 0 24 24 Como nos piden encontrar el termino central del desarrollo del binomio ( ) 24 x b x a − + − , basta tomar el 12 = k , pues la sumatoria va desde 0 a 24 siendo el termino central el 12 = k . Entonces, el término central es igual a: 1 10 3 5 5 2 4 2 5 1 2 5 4 3 2 5 3 5 3 5 4 2 2 5 2 5 3 * 2 5 3 5 5 4 3 2 5 3 5 2 * 2 5 2 5 5 4 2 2 5 2 5 min − | | ¹ | \ | − | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | = − | ¹ | \ | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | − | ¹ | \ | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | = − − | ¹ | \ | | ¹ | \ | − | | ¹ | \ | + − − | ¹ | \ | | ¹ | \ | − | | ¹ | \ | = x x x x x x o Ter Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 12 24 12 24 12 12 24 min x b x a x b x a o Ter − − | | ¹ | \ | = − − − | | ¹ | \ | = 20. Encontrar el término independiente de x en el desarrollo. a) 9 3 1 2 2 3 | | ¹ | \ | − x x k x k k k k x x k x k k k x k k x x k k x k x k x x 3 18 9 0 9 2 3 3 1 9 9 3 1 2 2 3 2 18 9 0 9 2 3 3 1 9 9 3 1 2 2 3 9 0 9 2 2 3 3 1 9 9 3 1 2 2 3 − ∑ = − | ¹ | \ | | ¹ | \ | − | | ¹ | \ | = | | ¹ | \ | − − ∑ = − | ¹ | \ | − | ¹ | \ | − | | ¹ | \ | = | | ¹ | \ | − ∑ = − | | ¹ | \ | | ¹ | \ | − | | ¹ | \ | = | | ¹ | \ | − Como nos piden encontrar el termino independiente de x del binomio 9 3 1 2 2 3 | | ¹ | \ | − x x , basta igualar a cero el exponente de k x 3 18− , pues el termino independiente de x esta elevado a la cero. 6 0 3 18 = = − k k Entonces, el término independiente es: 3 3 6 6 9 6 6 1 6 9 2 3 3 1 6 9 6 * 3 18 2 3 3 1 6 9 depen) Termino(in | ¹ | \ | | | ¹ | \ | = | ¹ | \ | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | = − | ¹ | \ | | ¹ | \ | − | | ¹ | \ | = − x Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile a) n x x 3 2 1 | | ¹ | \ | − ( ) ( ) ( ) ∑ = − − | | ¹ | \ | = | | ¹ | \ | − ∑ = − − − | | ¹ | \ | = | | ¹ | \ | − ∑ = − | | ¹ | \ | − | | ¹ | \ | = | | ¹ | \ | − n k k n x k k n n x x n k k n x k x k k n n x x n k k n x k x k n n x x 3 0 3 3 1 3 3 2 1 3 0 3 2 1 3 3 2 1 3 0 3 2 1 3 3 2 1 Como nos piden encontrar el termino independiente de x del binomio n x x 3 2 1 | | ¹ | \ | − , basta igualar a cero el exponente de k n x 3 3 − , pues el termino independiente de x esta elevado a la cero. n k k n = = − 0 3 3 Entonces, el término independiente es: ( ) ( ) n n n n n n x n n 1 3 1 3 depen) Termino(in 3 3 − | | ¹ | \ | = − | | ¹ | \ | = − 21. Calcular el valor numérico del término independiente de x. n x x x 3 2 1 2 65 3 | | ¹ | \ | − | ¹ | \ | + Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ = − − | | ¹ | \ | + ∑ = + − − | | ¹ | \ | = | | ¹ | \ | − | ¹ | \ | + ∑ = − − − | | ¹ | \ | | ¹ | \ | + = | | ¹ | \ | − | ¹ | \ | + ∑ = − | | ¹ | \ | − | | ¹ | \ | | ¹ | \ | + = | | ¹ | \ | − | ¹ | \ | + n k k n x k k n n k k n x k k n n x x x n k k n x k x k k n x n x x x n k k n x k x k n x n x x x 3 0 3 3 1 2 3 3 0 65 3 3 1 3 3 3 2 1 2 65 3 3 0 3 2 1 3 2 65 3 3 2 1 2 65 3 3 0 3 2 1 3 2 65 3 3 2 1 2 65 3 Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile Como nos piden encontrar el termino independiente de x del binomio n x x x 3 2 1 2 65 3 | | ¹ | \ | − | ¹ | \ | + , basta igualar a cero el exponente de 65 3 3 + − k n x y el de k n x 3 3 − , pues por cada sumatoria podría existir un termino independiente de x. Para la primera sumatoria: 3 65 0 65 3 3 + = = + − n k k n Como el k no es un número entero positivo, implica que ese término no existe. Para la segunda sumatoria: n k k n = = − 0 3 3 Entonces, el término independiente es: ( ) ( ) n n n n n n x n n 1 2 3 1 2 3 depen) Termino(in 3 3 − | | ¹ | \ | = − | | ¹ | \ | = − Es decir, la primera sumatoria no aporta nada. 22. Calcular el coeficiente de 2 − x en el desarrollo de x: 28 2 1 2 2 | | ¹ | \ | − x x x ( ) ( ) ( ) ∑ = − − | | ¹ | \ | = | | ¹ | \ | − ∑ = − − | | ¹ | \ | = | | ¹ | \ | − ∑ = − − − | | ¹ | \ | = | | ¹ | \ | − ∑ = − | ¹ | \ | | | ¹ | \ | − | | ¹ | \ | = | | ¹ | \ | − 28 0 4 58 1 28 28 2 1 2 2 28 0 4 56 1 28 2 28 2 1 2 2 28 0 2 56 2 1 28 2 28 2 1 2 2 28 0 28 2 2 1 28 2 28 2 1 2 2 k k x k k x x x k k x k k x x x x k k x k x k k x x x x k k x k x k x x x x Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile Como nos piden encontrar el coeficiente de 2 − x del binomio 28 2 1 2 2 | | ¹ | \ | − x x x , basta igualar a -2 el exponente de k x 4 58− , lo que permitirá conocer el k necesario para encontrar el coeficiente 15 2 4 58 = − = − k k Entonces, el coeficiente de 2 − x ( ) | | ¹ | \ | − = | | ¹ | \ | − = − | | ¹ | \ | = − − 15 28 15 28 1 15 28 min 2 15 * 4 58 15 Coef x x o Ter 23. Determinar el valor de a para los coeficientes de 7 x y 6 x en el desarrollo de: ( ) ( ) 3 2 5 a x a x − + sean iguales. Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ = − | | ¹ | \ | − ∑ = − + | | ¹ | \ | + ∑ = − + | | ¹ | \ | − ∑ = − + | | ¹ | \ | = ∑ = − | | ¹ | \ | − ∑ = − | | ¹ | \ | + ∑ = − | | ¹ | \ | − ∑ = − | | ¹ | \ | = ∑ = − | | ¹ | \ | − + − = − + ∑ = − | | ¹ | \ | − = − + 5 0 8 5 8 5 0 7 1 5 12 5 0 6 2 5 6 5 0 5 3 5 5 0 5 5 8 5 0 5 5 12 5 0 5 5 6 5 0 5 5 5 0 5 5 3 8 2 12 2 6 3 3 2 5 5 0 5 5 3 2 3 2 5 3 2 2 3 k k a k x k k k a k x k k k a k x k k k a k x k k k a k x k a k k a k x k x a k k a k x k ax k k a k x k x k k a k x k a x a ax x a x a x k k a k x k a x a x a x - Tenemos cuatro sumatoria que nos aportaran coeficientes para 7 x y 6 x . - Como nos piden encontrar el coeficiente de 6 x del binomio ( ) ( ) 3 2 5 a x a x − + , basta igualar a 6 el exponente de 3 + k x , 2 + k x , 1 + k x y k x , lo que permitirá conocer el k necesario para encontrar el coeficiente de cada sumaria: Primera sumatoria: Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile 3 6 3 = = + k k 2 3 5 3 5 3 5 1 a a Coef | | ¹ | \ | = − | | ¹ | \ | = Segunda sumaria 4 6 2 = = + k k 2 4 5 6 4 6 4 5 6 2 a a Coef | | ¹ | \ | − = − | | ¹ | \ | − = Tercera sumaria 5 6 1 = = + k k 2 5 5 12 5 7 5 5 12 3 a a Coef | | ¹ | \ | = − | | ¹ | \ | = Cuarta sumaria 6 = k No aporta nada, debido a que el mayor valor que puede tomar k es 5. 2 8 2 12 2 30 2 10 2 5 5 12 2 4 5 6 2 3 5 3 2 1 6 6 6 6 a Coef a a a Coef a a a Coef Coef Coef Coef Coef − = + − = | | ¹ | \ | + | | ¹ | \ | − | | ¹ | \ | = + + = - Como nos piden encontrar el coeficiente de 7 x del binomio ( ) ( ) 3 2 5 a x a x − + , basta igualar a 7 el exponente de 3 + k x , 2 + k x , 1 + k x y k x , lo que permitirá conocer el k necesario para encontrar el coeficiente de cada sumaria: Primera sumatoria: 4 7 3 = = + k k a a Coef | | ¹ | \ | = − | | ¹ | \ | = 4 5 4 5 4 5 1 Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile Segunda sumaria 5 7 2 = = + k k a a Coef | | ¹ | \ | − = − | | ¹ | \ | − = 5 5 6 5 6 5 5 6 2 Tercera sumaria 6 7 1 = = + k k No aporta nada, debido a que el mayor valor que toma k es 5. Cuarta sumaria 7 = k No aporta nada, debido a que el mayor valor que toma k es 5. a Coef a a Coef a a Coef Coef Coef Coef − = − = | | ¹ | \ | − | | ¹ | \ | = + + = 7 7 7 7 6 5 5 5 6 4 5 2 1 Ahora, igualando el 7 Coef a 6 Coef . ( ) 0 1 8 8 2 7 6 = − − = − = a a a a Coef Coef Es decir, para 8 1 0 2 1 = ∧ = a a los coeficientes de 7 x y 6 x son iguales. Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile 24. Hallar el coeficiente de 7 x en el desarrollo de: ( ) n x x 3 2 1 − − Desarrollo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i k i k n k k n i k i k n k k n k k n k k n n k k n k n x i k x k n x x x i k x k n x x x x k n x x x x k n x x ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = − | | ¹ | \ | − | | ¹ | \ | = + − | | ¹ | \ | − | | ¹ | \ | = + − + − | | ¹ | \ | = + − + − | | ¹ | \ | = + − 0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Para la sumatoria que depende de i, los términos que dependen de k son constantes. Como nos piden encontrar el coeficiente de 7 x del polinomio ( ) n x x 3 2 1 − − , basta igualar a 7 el exponente de i k x + 2 , de esa manera conoceremos los posibles valores que pueden tomar k e i. 7 2 = + i k Con las siguientes restricciones, n k i ≤ ≤ ≤ 0 Ahora, ⇒⇐ = ⇒ = 7 0 i k Debido a que k i ≤ ⇒⇐ = ⇒ = 5 1 i k Debido a que k i ≤ ⇒⇐ = ⇒ = 3 2 i k Debido a que k i ≤ 1 3 = ⇒ = i k Este caso cumple con n k i ≤ ≤ ≤ 0 ⇒⇐ − = ⇒ = 1 4 i k Debido a que n k i ≤ ≤ ≤ 0 Luego, la única solución es con 1 3 = ⇒ = i k ( ) ( ) ( ) ∑∑ = + = − | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | = + − n k i k k i k n x i k k n x x 0 2 0 2 1 1 1 Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile ( ) | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | − = − | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | = 1 3 3 1 1 3 3 3 n coef n coef 25. i) ∑ = | | ¹ | \ | ⋅ 144 0 144 k k k Desarrollo: ( ) 423 423 0 423 423 0 423 423 0 423 0 2 423 1 1 423 1 1 423 423 = | | ¹ | \ | + = | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | = | | ¹ | \ | ∑ ∑ ∑ ∑ = = − = = k k k k k k k k k k ii) ( ) ∑ = | | ¹ | \ | − 1012 0 1012 1 k k k Desarrollo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1012 1 1 1 1012 1 1 1 1012 1012 1 1012 0 1012 1012 0 1012 1012 0 1012 0 = | | ¹ | \ | − − = | | ¹ | \ | − − | | ¹ | \ | = | | ¹ | \ | − ∑ ∑ ∑ ∑ = = − = = k k k k k k k k k k k k k iii) ∑ = | | ¹ | \ | ⋅ 144 0 144 k k k Desarrollo: Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = + − ⋅ − = − + − ⋅ − = − ⋅ − = − ⋅ ⋅ = | | ¹ | \ | ⋅ 144 1 144 1 144 1 144 1 144 1 1 143 ! 1 ! 144 1 1 144 ! 1 ! 144 144 ! 1 ! 144 144 ! ! 144 144 k k k k k k k k k k k k k k k k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = | | ¹ | \ | − = − − ⋅ − = − − ⋅ − ⋅ = − − ⋅ − = 144 1 144 1 144 1 144 1 1 143 144 1 143 ! 1 ! 143 144 1 143 ! 1 144 ! 143 1 143 ! 1 ! 144 k k k k k k k k k k k ( ) 143 143 143 143 0 143 0 2 144 1 1 144 1 1 143 144 143 144 143 143 142 143 2 143 1 143 0 143 144 ⋅ = + ⋅ = ⋅ ⋅ | | ¹ | \ | = | | ¹ | \ | = | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | + | | ¹ | \ | + + | | ¹ | \ | + | | ¹ | \ | + | | ¹ | \ | ⋅ = − = = ∑ ∑ k k k k k k K iv) ( )( ) ∑ = | | ¹ | \ | ⋅ + + 1998 0 1998 2 1 1 k k k k Desarrollo: Multiplicaremos por 1, para reordenar la combinatoria. Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = = | | ¹ | \ | + ⋅ = + − ⋅ + ⋅ = + − − ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + + = ⋅ ⋅ | | ¹ | \ | ⋅ + + = | | ¹ | \ | ⋅ + + 1998 0 1998 0 1998 0 1998 0 1998 0 1998 0 1998 0 2 2000 2000 1999 1 ! 2 2000 ! 2 ! 2000 2000 1999 1 ! 2 2 1998 ! 2 ! 2000 2000 1999 1 2000 1999 1 ! 1998 ! 2 ! 2000 2000 1999 2000 1999 ! 1998 ! ! 1998 2 1 1 2000 1999 2000 1999 1998 2 1 1 1998 2 1 1 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k | | ¹ | \ | + | | ¹ | \ | + + | | ¹ | \ | + | | ¹ | \ | + | | ¹ | \ | + | | ¹ | \ | ⋅ = 2000 2000 1999 2000 5 2000 4 2000 3 2000 2 2000 2000 1999 1 K Ahora, sumemos cero dentro del paréntesis. | | ¹ | \ | − | | ¹ | \ | − | | ¹ | \ | ⋅ = | | ¹ | \ | − | | ¹ | \ | − | | ¹ | \ | + | | ¹ | \ | + + | | ¹ | \ | + | | ¹ | \ | + | | ¹ | \ | ⋅ = | | ¹ | \ | − | | ¹ | \ | + | | ¹ | \ | − | | ¹ | \ | + | | ¹ | \ | + + | | ¹ | \ | + | | ¹ | \ | ⋅ = ∑ = = = 1 2000 0 2000 2000 2000 1999 1 1 2000 0 2000 2000 2000 1999 2000 2 2000 1 2000 0 2000 2000 1999 1 1 2000 1 2000 0 2000 0 2000 2000 2000 3 2000 2 2000 2000 1999 1 2000 0 0 0 k k K 4 4 3 4 4 2 1 4 4 8 4 4 7 6 K ( ) [ ] 2001 2 2000 1999 1 1 2000 0 2000 2 2000 1999 1 1 2000 0 2000 1 1 2000 1999 1 1 2000 0 2000 1 1 2000 2000 1999 1 2000 2000 2000 2000 2000 0 − ⋅ = | | ¹ | \ | − | | ¹ | \ | − ⋅ = | | ¹ | \ | − | | ¹ | \ | − + ⋅ = | | ¹ | \ | − | | ¹ | \ | − ⋅ | | ¹ | \ | ⋅ = − = ∑ k k k k Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile 26. Determine: i) 7 a en n n a n k k 6 2 1 + = ∑ = Desarrollo: Partamos con algo conocido, ( ) n n k n n k n k n k + = + = ∑ ∑ = = 2 1 1 2 2 1 Sumemos a toda la ecuación 5n. n n k n n k n n k n n n n k n k n k n k n k n k n k 6 5 2 6 5 2 6 1 5 2 5 5 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 + = + + = + + = + + + = + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = Por enunciado, 19 5 2 6 5 2 7 1 2 1 = + = = + = + ∑ ∑ = = a k a a n n k k n k k n k Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile ii) 7 t en 7 2 3 | | ¹ | \ | + y x x 3 7 7 7 7 7 2 7 3 1 7 7 7 2 3 1 7 7 0 7 2 3 1 7 0 7 7 2 3 x t y x x t k y x k x k t k k t k y x k x k k y x x k = ⇒ − | | ¹ | \ | | | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | = − | | ¹ | \ | | | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | = ∑ = = − | | ¹ | \ | | | | ¹ | \ | ∑ = | | ¹ | \ | = | | ¹ | \ | + iii) 5 t en 20 2 3 2 5 3 4 | | ¹ | \ | + x x 15 1 15 3 2 5 5 4 5 20 5 20 2 3 2 5 5 3 4 5 20 20 2 3 2 5 3 4 20 20 0 20 2 3 2 5 3 4 20 0 20 20 2 3 2 5 3 4 5 5 x t x x t k x k x k t k k t k x k x k k x x k | ¹ | \ | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | = − | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | = − | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | = ∑ = = − | | ¹ | \ | | | ¹ | \ | ∑ = | | ¹ | \ | = | | ¹ | \ | + Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile iv) 5 t en ( ) 12 2 y x− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 2 5 5 12 5 12 2 5 5 12 12 2 12 12 0 12 2 12 0 12 12 2 7 5 x y t x y t k x k y k t k k t k x k y k k y x k | | ¹ | \ | − = − − | | ¹ | \ | = − − | | ¹ | \ | = ∑ = = − − ∑ = | | ¹ | \ | = − Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile e) f) g) h) Las demás se resuelven de la misma forma. Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile Solución: a) b) Como es una sumatoria telescópica se salva el primero y el último. c) La sumatoria geométrica debería comenzar desde cero, pues conocemos la siguiente formula. dada la simplicidad de los ejercicios. Solución: a) . Dado los valores del enunciado para .Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile Para empezar desde cero basta restarle uno a los límites de la sumatoria y a la vez sumar uno en la variable dentro de la sumatoria. Solución: De esta sección solo realizare el primero. Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile b) c) d) . pues conocemos la siguiente formula.Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile e) La sumatoria geométrica debería comenzar desde cero. . Para empezar desde cero basta restarle uno a los límites de la sumatoria y a la vez sumar uno en la variable dentro de la sumatoria. pues conocemos la siguiente formula. Para empezar desde cero basta restarle uno a los límites de la sumatoria y a la vez sumar uno en la variable dentro de la sumatoria. f) g) La sumatoria geométrica debería comenzar desde cero. pues conocemos la siguiente formula. j) k) J Para la sumatoria que esta más a la derecha el 2 elevado a la i. es independiente de j.Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile h) i) La sumatoria geométrica debería comenzar desde cero. . Para empezar desde cero basta restarle uno a los límites de la sumatoria y a la vez sumar uno en la variable dentro de la sumatoria. Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile Solución: Solución: 6) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma: (s + k ) + (s + 2k ) + (s + 3k ) + K + (s + nk ) s + 2k = 20 s + 5k = 56 ⇒ k = 12 ∧ s = −4 (s + 10 s) = (−4 + 10 * 12) = 116 (s + k ) + (s + 2k ) + (s + 3k ) + K + (s + 10k ) = ∑ (s + ik ) = 10(−4) + 12 10(10 + 1) 10 i =1 2 ∑ (s + ik ) = −40 + 12 i =1 10 10(10 + 1) = 620 2 . s+k=4 s + nk = 34 2 s + nk + k = 38 Reemplazando. n(38 ) = 494 ⇒ n = 13 8) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma: (s + k ) + (s + 2k ) + (s + 3k ) + K + (s + nk ) ∑ (s + ik ) = 200 i =1 i = 51 50 ∑ (s + ik ) = 2700 50(50 + 1) = 200 2 100 Calculemos la sumatoria: ∑ (s + ik ) = 50s + k i =1 50 50s + 1275k = 200 . sumemos las dos ecuaciones del enunciado.Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva 7) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma: Universidad de Chile (s + k ) + (s + 2k ) + (s + 3k ) + K + (s + nk ) s+k=4 s + nk = 34 ∑ (s + ik ) = 247 i =1 n Calculemos la sumatoria: ∑ (s + ik ) = sn + k i =1 n n(n + 1) = 247 2 n2 + n = 247 2 2 sn + kn 2 + kn = 494 n(2s + kn + k ) = 494 sn + k Ahora. 40s + 820k = 360000 30 s + 465k = 240000 (3) (4) .5 9) Las progresiones aritméticas son de la siguiente forma: (s + k ) + (s + 2k ) + (s + 3k ) + K + (s + nk ) ∑ (s + ik ) = 360000 i =1 40 i =31 40 ∑ (s + ik ) = 360000 3 Calculemos la sumatoria: 40(40 + 1) = 360000 2 i =1 40s + 820k = 360000 ∑ (s + ik ) = 40s + k 40 40 40 i =31 ∑ (s + ik ) = ∑ (s + ik ) − ∑ (s + ik ) = 120000 i =1 1 24 4 3 360000 i =1 30 30(30 + 1) 360000 − 30 s + k = 120000 2 − 30 s − 465k = −240000 Tomado las dos ecuaciones. 50 s + 1275k = 200 100 s + 5050k = 2900 2*(1) .Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva 100 100 i =1 50 Universidad de Chile i = 51 100 i =1 ∑ (s + ik ) = ∑ (s + ik ) − ∑ (s + ik ) = 2700 i =1 1 24 4 3 =200 ∑ (s + ik ) = 2900 100s + k 100(100 + 1) = 2900 2 100s + 5050k = 2900 Tomado las dos ecuaciones.(2) (1) (2) (5050 − 2 * 1275)k = 2900 − 400 (2500)k = 2500 k = 1 ⇒ s = 21. Para r<1. .Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva 3*(3) –4* (4) Universidad de Chile (820 * 3 − 4 * 465)k = 3 * 360000 − 4 * 240000 (600)k = 120000 k = 200 ⇒ s = 4900 10) Las progresiones geométricas son de la siguiente forma: 1 − r n+1 (a ) + (ar ) + (ar ) + K + (ar ) = a∑ r = a i =0 1−r n 2 n i ar 3 = 54 ar 6 = 729 4 Resolviendo: a = 54r −3 (54r )r −3 6 = 729 4 54r 3 = 729 4 3 r = ⇒ a = 16 2 3 a∑ r = 16∑ i =0 i =0 2 n n i i Solución: Considere que. debemos calcular: Solución: 10) Las progresiones geométricas son de la siguiente forma: 1 − r n+1 (a ) + (ar ) + (ar ) + K + (ar ) = a∑ r = a i =0 1−r n 2 n i ar 3 = −40 ar 6 = 320 Resolviendo: a = −40r −3 (− 40r )r −3 3 6 = 320 − 40r = 320 r 3 = −8 r = −2 ⇒ a = 5 El décimo termino es igual a ar 9 = 5 * (− 2) = −2560 9 .Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile Ahora. Ahora. . Resolveremos los más difíciles. restemos a la ultima ecuación los terminos que no estan en la primera sumatoria. Simplificar y calcular. pues en los demás se puede utilizar la calculadora facilmente. Pero sabemos que.Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile 1 − (− 2)n +1 5 n +1 a∑ r = 5∑ (− 2) = 5 = 1 − (− 2 ) i =0 i =0 1 − −2 3 n n i i ( ) Solución: Usando que. Consideremos la ultima ecuación y separemos el primer termino.Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile Resover (ultimo). a=2 y b=1 La unica diferecia con nuestra primera ecuación. Solución: a) . Si consideramos. es que una parte desde 1 y la otra desde cero. Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva b) Universidad de Chile c) d) Solución: a) b) . Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile c) Solución: Usando que. . Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile a) b) c) d) . 7 4 7 − 4 7 + 4 7 4 3 11 2 3 x = 2 3 x 4 4 7 Coef = 2 4 33 4 .Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile Solución: a) 7 7 k 3x + 2 x 2 = ∑ 7 2 x 2 (3x )7 − k k = 0 k 7 7 3x + 2 x 2 = ∑ 7 2 k x 2k x 7 − k 37 − k k =0 k 7 7 3x + 2 x 2 = ∑ 7 2 k 37 − k x 7 + k k =0 k Como nos piden encontrar el coeficiente que acompaña al x 11 . basta igualar el exponente del x 7+ k a 11. 7 + k = 11 k=4 Entonces. para k = 4 encontraremos el coeficiente que acompaña a x 11 . basta igualar el exponente de x 2k a 2r. para k = 24 encontraremos el coeficiente que acompaña a x 2 . 7k =2 3 7*24 27 27 − 24 − 54 + 3 2 x 24 27 Coef = 23 24 c) Es análogo a los dos anteriores. exponente de x − 54 + k = 24 Entonces. d) k 4r 4r = ∑ − x 2 (1)4r − k k = 0 k 2 4r 4r 4r 2k 1 − x = ∑ (−1)k x k k =0 1− x 2 Como nos piden encontrar el coeficiente que acompaña al x 2r .Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva b) Universidad de Chile 3 2 x+ x2 3 2 x+ x2 27 k 27 − k 27 27 1 = ∑ x 3 2 x − 2 k = 0 k 27 27 27 − k k − 54 + 2k = ∑ 2 x3x k k =0 27 27 − 54 + 2k + k 3 27 2 3 x + = ∑ 227 − k x k 2 x k =0 27 3 2 x+ x2 27 27 27 27 − k − 54 + 7k 3 = ∑ 2 x k k =0 Como nos piden encontrar el coeficiente que acompaña al x 2 . basta igualar el − 54 + 7k 3 a 2. 4r . Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile 2k = 2r k=r Entonces. Entonces. el término central es igual a: 10 10 10 10 (− 6 )5 310 − 5 a10 − 2*10 = (− 6 )5 3 5 = (−18 )5 = − (18 )5 5 5 5 5 b) 5 4x 5 − 5 2x . Encuentre los términos centrales en el desarrollo de 6 10 a) 3a − a 6 10 10 10 − 6 k 10 − k 3a − = ∑ (3a ) k a a k =0 6 10 10 10 − k 10 − k 310 − k 3a − = ∑ (− 6 )k a a k a k =0 6 10 10 10 10 − k a10 − 2k 3a − = ∑ (− 6 )k 3 k a k =0 6 10 Como nos piden encontrar el termino central del desarrollo del binomio 3a − . pues la sumatoria va desde 0 a 10 siendo el termino central el k = 5. a basta tomar el k = 5 . para k = r encontraremos el coeficiente que acompaña a x 2r . 4r (−1)r x 2r r 4r Coef = (−1)r r 19. Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile 5 5 − 5 k 4 x 5 − k = ∑ k = 0 k 2 x 5 5 5 5 − 5 k − k 4 5 − k 5 − k 4x 5 − = ∑ x k 2 x 5 2x 5 k=0 5 5 5 − 5 k 4 5 − k 5 − 2 k 4x 5 − = ∑ x k 2 5 5 2x k=0 4x 5 − 5 2x 5 5 4x 5 Como nos piden encontrar el termino central del desarrollo del binomio − . pues la sumatoria va desde 0 a 24 siendo ) el termino central el k = 12 . el término central es igual a: . debido a que son 6 términos los del desarrollo. Entonces. el término central 5 − 5 2 4 5−2 5−2*2 5 − 5 3 4 5− 3 5−2*3 es igual a: Ter min o = x + x 2 2 5 3 2 5 5 5 2 4 3 5 5 3 4 2 −1 = x − x 2 2 5 3 2 5 5 4 2 5 −1 = 2 5 x − 3 10 x c) ( a − x + b− x )24 . pues la sumatoria va desde 0 a 5 existiendo dos términos centrales. con 0 < a < b ( ( ( 24 24 k ∑ a− x k k =0 24 24 24 k a− x + b− x = ∑ a− x k k =0 a− x + b− x )24 = ) ( ( )( )( b− x b− x )24 − k )24 − k Como nos piden encontrar el termino central del desarrollo del binomio 24 a − x + b− x . basta tomar el k = 12 . 5 2x basta tomar el k = 2 y el k = 3 . Entonces. 18 − 3k = 0 k =6 Entonces.Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile 24 12 Ter min o = a − x 12 24 = (a − x )6 (b − x )6 12 ( ) ( b− x )24 −12 20. el término independiente es: 9 − 1 3 Termino(indepen) = 6 3 2 6 3 9 1 3 = 6 3 2 6 9−6 x 18 − 3*6 9 1 = 6 6 3 . pues el termino independiente de x esta elevado a la cero. Encontrar el término independiente de x en el desarrollo. 2 3x basta igualar a cero el exponente de x18−3k . 3x 2 1 a) − 2 3x 9 9 k 2 9 − k 3x 2 1 9 = ∑ 9 −1 3x − 2 3x k = 0 k 3 x 2 9 k 9−k 3x 2 1 9 = ∑ 9 −1 x − k 3 − x 18 − 2k k 3 2 3x 2 k = 0 9 k 9−k 3x 2 1 9 = ∑ 9 −1 3 x 18 − 3k − k 3 2 2 3x k = 0 9 3x 2 1 Como nos piden encontrar el termino independiente de x del binomio − . el término independiente es: 3n Termino(indepen) = (− 1)n x 3n −3n n 3n = (− 1)n n 21. pues el termino independiente de x esta elevado a la cero. x2 basta igualar a cero el exponente de x 3n −3k . 3n − 3k = 0 k=n Entonces. 3x 65 + 2 x − 1 x 2 Solución: 3n 3x 65 + 2 x − 1 x 2 3x 65 + 2 x − 1 x 2 3x 65 + 2 x − 1 x 2 3n k 3n 3x 65 + 2 ∑ 3n −1 (x )3n − k = k = 0 k x 2 3n 3n = 3x 65 + 2 ∑ (−1)k x − 2k x 3n − k k = 0 k 3n 3n 3n 3n = ∑ 3(−1)k x 3n − 3k + 65 + ∑ 2(−1)k x 3n − 3k k =0 k k =0 k 3n 3n . Calcular el valor numérico del término independiente de x.Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile 1 a) x − x2 1 x− x2 1 x− x2 1 x− x2 3n 3n 3n 3n −1 k 3n − k = ∑ k 2 ( x ) k = 0 x 3n 3n = ∑ (−1)k x − 2k x 3n − k k =0 k 3n 3n = ∑ (−1)k x 3n − 3k k =0 k 3n 3n 3n 1 Como nos piden encontrar el termino independiente de x del binomio x − . la primera sumatoria no aporta nada. 22. Para la primera sumatoria: 3n − 3k + 65 = 0 k=n+ 65 3 Como el k no es un número entero positivo. Calcular el coeficiente de x −2 1 en el desarrollo de x: x 2 x 2 − 2 x 28 1 x2 x2 − 2 x 1 x2 x2 − x2 1 x2 x2 − 2 x 1 x2 x2 − x2 28 k 2 28 28 − 1 x 2 = x ∑ k 2 k = 0 x 28 − k 28 28 28 = x 2 ∑ (− 1 )k x − 2 k x 56 − 2 k k=0 k 28 28 = x 2 ∑ (− 1 )k x 56 − 4 k k=0 k 28 28 = ∑ (− 1 )k x 58 − 4 k k=0 k 28 28 .Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile Como nos piden encontrar el termino independiente de x del binomio 3n 3x 65 + 2 x − 1 . pues por cada sumatoria podría existir un termino independiente de x. implica que ese término no existe. basta igualar a cero el exponente de x 3n −3k +65 y el de x 2 x 3n −3k . el término independiente es: 3n Termino(indepen) = 2(− 1)n x 3n −3n n 3n = 2(− 1)n n Es decir. Para la segunda sumatoria: 3n − 3k = 0 k=n Entonces. basta igualar a 6 el exponente de x k + 3 . x k +1 y x k . x k + 2 . lo que permitirá conocer el k necesario para encontrar el coeficiente de cada sumaria: Primera sumatoria: . . el coeficiente de x −2 28 Ter min o = (− 1)15 x 58−4*15 15 28 = − x −2 15 28 Coef = − 15 23.Como nos piden encontrar el coeficiente de x 6 del binomio (x + a )5 ( x − 2a )3 . Solución: (x + a )5 (x −2a )3 = (x −2a )3 5 5 k 5− k ∑ x a k =0 k (x + a )5 (x −2a )3 = x 3 − 6ax 2 +12a2 x − 8a 3 5 5 k 5− k ∑ x a k = 0 k 5 5 5 5 5 5 5 5 = x 3 ∑ x k a 5 − k − 6ax 2 ∑ x k a 5 − k + 12a 2 x ∑ x k a 5 − k − 8a 3 ∑ x k a 5 − k k =0 k k =0 k k =0 k k =0 k 5 5 5 5 5 5 5 5 = ∑ x k + 3a 5 − k − 6 ∑ x k + 2a 6 − k + 12 ∑ x k + 1a 7 − k − 8 ∑ x k a 8 − k k =0 k k =0 k k =0 k k =0 k .Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile 28 Como nos piden encontrar el coeficiente de x −2 del binomio x 2 x 2 − 1 .Tenemos cuatro sumatoria que nos aportaran coeficientes para x 7 y x 6 . lo que permitirá conocer el k necesario para encontrar el coeficiente 58 − 4k = −2 k = 15 Entonces. Determinar el valor de a para los coeficientes de x 7 y x 6 en el desarrollo de: (x + a )5 (x −2a )3 sean iguales. basta x2 igualar a -2 el exponente de x 58− 4k . x k + 2 .Como nos piden encontrar el coeficiente de x 7 del binomio (x + a )5 ( x − 2a )3 . lo que permitirá conocer el k necesario para encontrar el coeficiente de cada sumaria: Primera sumatoria: k +3=7 k=4 5 5 Coef = a 5 − 4 = a 4 4 1 . basta igualar a 7 el exponente de x k + 3 . x k +1 y x k . Coef6 = Coef + Coef + Coef 1 2 3 5 5 5 Coef6 = a 2 − 6 a 2 + 12 a 2 3 4 5 Coef6 = 10a 2 − 30a 2 + 12a2 Coef6 = −8a 2 . debido a que el mayor valor que puede tomar k es 5.Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile k +3=6 k =3 5 5 Coef = a 5 − 3 = a2 3 1 3 Segunda sumaria k +2=6 k=4 5 5 Coef = −6 a 6 − 4 = −6 a2 4 4 2 Tercera sumaria k +1=6 k=5 5 5 Coef = 12 a 7 − 5 = 12 a 2 5 5 3 Cuarta sumaria k =6 No aporta nada. 8 . igualando el Coef7 a Coef6 . para a1 = 0 ∧ a2 = − 8a 2 = −a 1 los coeficientes de x 7 y x 6 son iguales.Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Segunda sumaria Universidad de Chile k +2=7 k=5 5 5 Coef = −6 a 6 − 5 = −6 a 5 5 2 Tercera sumaria k +1=7 k =6 No aporta nada. debido a que el mayor valor que toma k es 5. Cuarta sumaria k =7 No aporta nada. Coef7 = Coef + Coef + 1 2 5 5 Coef7 = a − 6 a 4 5 Coef7 = 5a − 6a Coef7 = −a Ahora. Coef6 = Coef7 a(8a − 1) = 0 Es decir. debido a que el mayor valor que toma k es 5. (1 − x (1 + x )) = ∑∑ n k (− 1) k i 2 n n k k =0 i =0 k x 2k +i Como nos piden encontrar el coeficiente de x 7 del polinomio (1 − x 2 − x 3 ) . la única solución es con k = 3 ⇒ i = 1 . los términos que dependen de k son constantes. Hallar el coeficiente de x 7 en el desarrollo de: (1 − x 2 − x 3 ) Desarrollo: (1 − x (1 + x )) = ∑ n (− x (1 + x )) 1 k 2 n n 2 k n −k k =0 n (1 − x (1 + x )) = ∑ n (− 1) x (1 + x ) k 2 n k 2k k k =0 n (1 − x (1 + x )) = ∑ n (− 1) x ∑ k x k i 2 n k k 2k i k =0 n i =0 k (1 − x (1 + x )) = ∑ n (− 1) x ∑ k x k i 2 n k 2k i k =0 i =0 Para la sumatoria que depende de i. 0≤i≤k≤n Ahora. k = 0 ⇒ i = 7 ⇒⇐ Debido a que i ≤ k k = 1 ⇒ i = 5 ⇒⇐ Debido a que i ≤ k k = 2 ⇒ i = 3 ⇒⇐ Debido a que i ≤ k k = 3 ⇒ i = 1 Este caso cumple con 0 ≤ i ≤ k ≤ n k = 4 ⇒ i = −1 ⇒⇐ Debido a que 0 ≤ i ≤ k ≤ n Luego.Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile n 24. de esa manera conoceremos los posibles valores que pueden tomar k e i. 2k + i = 7 Con las siguientes restricciones. basta n igualar a 7 el exponente de x 2k +i . Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile n 3 coef = (− 1)3 3 1 n 3 coef = − 3 1 25. i) ∑k ⋅ k =0 144 144 k Desarrollo: 423 423 423 k 423− k ∑ k = ∑ k 1 1 k =0 k =0 423 423 ∑ k = (1 + 1)423 k =0 423 423 ∑ k = 2 423 k =0 423 1012 ii) ∑ (− 1) k k =0 1012 k Desarrollo: 1012 k =0 ∑ (− 1) k 1012 1012 1012 k 1012− k = ∑ k (− 1) 1 k k =0 1012 k =0 ∑ (− 1) k k k =0 1012 = (1 − 1)1012 k 1012 =0 k 1012 ∑ (− 1) iii) ∑k ⋅ k =0 144 144 k Desarrollo: . para reordenar la combinatoria. .Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile 144 144 144! k ⋅ ∑ k = ∑ k ⋅ k!⋅(144 − k ) k =1 k =1 144 144! =∑ ! k =1 (k − 1) ⋅(144 − k ) 144 =∑ =∑ 144 144 144 144! ! k =1 (k − 1) ⋅(144 − k + 1 − 1) 144! ! k =1 (k − 1) ⋅(143 − k + 1) =∑ =∑ 144 144! ! k =1 (k − 1) ⋅(143 − (k − 1)) 143!⋅144 ! k =1 (k − 1) ⋅(143 − (k − 1)) 144 = 144∑ 143! ! k =1 (k − 1) ⋅(143 − (k − 1)) 144 143 = 144∑ k − 1 k =1 143 143 143 143 143 + + +K+ = 144 ⋅ 142 + 143 0 1 2 143 143 = 144∑ k k =0 143 143 k 143−k = 144∑ k ⋅1 ⋅1 k =0 = 144 ⋅ (1 + 1)143 = 144 ⋅ 2143 1998 iv) ∑ (k + 1)(k + 2) ⋅ k =0 1 1998 k Desarrollo: Multiplicaremos por 1. Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile 1998 k =0 ∑ (k + 1)(k + 2) ⋅ 1998 1 1998 1998 1998 1999 ⋅ 2000 1 =∑ ⋅ k k =0 (k + 1)(k + 2 ) k 1999 ⋅ 2000 ⋅ =∑ =∑ = = = 1998! 1999 ⋅ 2000 ! k = 0 (k + 1)(k + 2 ) k!⋅(1998 − k ) 1999 ⋅ 2000 1 2000! 1 ! ! k = 0 (k + 2 ) ⋅(1998 − k ) 1999 ⋅ 2000 1998 1998 1 2000! ∑ (k + 2)!⋅(1998 − k − 2 + 2)! 1999 ⋅ 2000 k =0 1998 1 2000! ∑ (k + 2)!⋅(2000 − (k + 2))! 1999 ⋅ 2000 k =0 1998 2000 1 ∑ k + 2 1999 ⋅ 2000 k =0 = 2000 2000 2000 2000 2000 2000 1 + + + +K+ 1999 + 2000 1999 ⋅ 2000 2 3 4 5 Ahora. sumemos cero dentro del paréntesis. =0 6447448 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 1 = 2 + 3 + K + 2000 + 0 − 0 + 1 − 1 1999 ⋅ 2000 442 43 1 4 =0 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 1 + + +K+ = 1999 + 2000 − 0 − 1 1999 ⋅ 2000 0 1 2 = 2000 2000 2000 2000 1 − − ∑ 1999 ⋅ 2000 k =0 k 0 1 = = = = 2000 2000 k 2000−k 2000 2000 1 1 ⋅ 1 − ∑ 0 − 1 1999 ⋅ 2000 k =0 k 2000 2000 1 2000 (1 + 1) − 0 − 1 1999 ⋅ 2000 2000 2000 2000 1 2 − 0 − 1 1999 ⋅ 2000 1 22000 − 2001 1999 ⋅ 2000 [ ] . ∑ 2k + 5 = n 2 + 6n = ∑ ak k =1 k =1 n n ak = 2k + 5 a7 = 19 . Determine: i) a7 en ∑a k =1 n k = n 2 + 6n Desarrollo: Partamos con algo conocido. ∑k = k =1 n k =1 n n(n + 1) 2 2 ∑ 2k = n +n Sumemos a toda la ecuación 5n.Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile 26. ∑ 2k + 5n = n k =1 n n k =1 n k =1 n 2 + n + 5n ∑ 2k + 5∑ 1 = n2 + 6n ∑ 2k + ∑ 5 = n k =1 n k =1 n 2 + 6n ∑ 2k + 5 = n k =1 2 + 6n Por enunciado. Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile 2x ii) t 7 en 3 x + y 3 2x x+ y 7 7 7 7 1 = ∑ x 3 k k = 0 k 2x y 7−k k 2x y 7−k 7 = ∑ tk k =0 1 7 3 x tk = k 7 7−7 1 7 7 3 2 x t 7 = x ⇒ t7 = x 3 7 y 4x3 2 iii) t 5 en + 5 3x 2 20 k 20 20 4 x 3 2 20 − k 20 = ∑ tk = ∑ k 5 2 3x k =0 k = 0 k 20 − k 20 4 x 3 2 tk = k 5 2 3x 4x3 2 + 5 3x 2 20 5 20 − 5 20 4 x 3 2 t5 = 5 5 3x 2 20 4 5 2 15 1 t 5 = 5 5 3 x 15 . Auxiliar: Ignacio Domingo Trujillo Silva Universidad de Chile iv) t 5 en (2 x − y )12 (2x − y )12 = 12 12 12 ∑ (− y )k (2 x )12 − k = ∑ t k k =0 k k =0 12 t k = (− y )k (2 x )12 − k k 12 t 5 = (− y )5 (2 x )12 − 5 5 12 t 7 = − y 5 (2 x )7 5 .
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