XII CURSO DE INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE ESTRUCTURAS POR EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS A Distancia por InternetGUÍA DE EJEMPLOS Y EJERCICIOS -OCTUBRE 2002- XII CURSO DE INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE ESTRUCTURAS POR EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS GUÍA DE EJEMPLOS Y EJERCICIOS INTRODUCCIÓN Esta Guía de Ejemplos y Ejercicios contiene una colección de ejemplos y ejercicios de cálculo de diversas estructuras por el método de los elementos finitos (MEF). Las tipologías de estructuras corresponden a las estudiadas en los distintos temas del curso. En concreto, se estudian estructuras de los siguientes tipos: Estructuras de barras (Temas 1 a 3) Estructuras que pueden analizarse como sólidos bidimensionales bajo las teorías de tensión y deformación plana (Tema 4). Sólidos con simetría de revolución (Tema 5). Sólidos de tres dimensiones (Tema 6) Vigas (Tema 7) Placas delgadas y gruesas (Temas 8 ). Láminas analizadas con elementos planos (Tema 9). Láminas de revolución (Tema 10). Las estructuras cuyo análisis se propone, incluyen geometrías sencillas de tipo académico y otras mas próximas a problemas usuales de la ingeniería estructural. En el Centro Virtual de Estudio (CVE) de Structuralia (www.structuralia.com) se colocará una carpeta de documentos por cada tema tratado en el curso. En dicha carpeta de documentos se incluyen los detalles geométricos en CAD de todos los ejemplos y ejercicios, así como la definición de las cargas, las condiciones de contorno y los materiales. Asimismo, en dicha carpeta se encuentra la solución detallada de todos los ejemplos propuestos. No se incluye, sin embargo, la solución de los ejercicios que se proponen para ser resueltos por los alumnos del curso. Para la resolución de los ejemplos propuestos se ha utilizado los siguientes módulos de GID: Calsef2001 (Estado Plano, Sólidos de Revolución, Sólidos Tridimensionales, Placas y Láminas de Revolución) y Ramshell (Láminas). Para cualquier duda sobre la solución de los ejemplos y los ejercicios se ruega contactar con los profesores del curso a las direcciones [email protected] , [email protected] . 1 ÍNDICE Tema 1: Sistemas discretos y continuos. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 5 Ejemplo 1-1: Estructura de tres barras alineadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Ejemplo 1-2: Estructuras de cuatro barras alineadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Ejercicio 1-1: Estructura de cinco barras alineada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Ejercicio 1-2: Estructura de barras articuladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Tema 2: Elementos finitos de barra. Conceptos básicos. . . . . . . . . . Ejercicio 2-1: Interpolación paramétrica de una función cúbica. . . . . . . . . . . 9 Ejemplo 2-1: Barra de sección variable sometida a carga concentrada . . . . . . . . 9 10 Tema 3: Elementos de barra más avanzados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Ejemplo 3-1: Interpolación paramétrica de una función cúbica . . . . . . . . . . . . 11 Ejemplo 3-2: Aplicaciones de las cuadraturas de Gauss Legendre . . . . . . . . . . 11 Ejemplo 3-3: Cálculo de un coeficiente de la matriz de rigidez del elemento de barra de Timoshenko . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 11 Ejemplo 3-4: Barra de sección constante bajo carga uniforme y puntual . . . . . 12 Ejercicio 3-1: Análisis de una barra de sección variable con elementos de tres nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Tema 4: Sólidos bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 4-1: Análisis matricial de una viga en voladizo bajo carga puntual . . Ejemplo 4-2: Análisis de una viga en voladizo bajo carga puntual con Calsef y Gid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 4-3: Laja bajo carga normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 4-4: Laja bajo peso propio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 4-5: Análisis de una laja traccionada por carga parabólica con elementos cuadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 4-6: Análisis de una viga en voladizo bajo carga parabólica en el borde con elementos cuadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 4-7: Presa de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 4-8: Viga pared de dos tramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 4-9: Viga con orificio de ventilación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 4-10: Tanque de agua prismático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 4-11: Túnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 4-1: Análisis de una laja traccionada por carga parabólica con elementos triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 4-2: Análisis de una viga en voladizo bajo carga parabólica en el borde con elementos triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 4-3: Estructura de protección de una tubería . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 4-4: Contrafuerte de una presa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 14 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2 Ejercicio 4-5: Análisis de la interacción suelo-estructura en un tanque prismático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Tema 5: Sólidos de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Ejemplo 5-1: Semiespacio elástico bajo carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Ejemplo 5-2: Tanque circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Ejemplo 5-3: Cimentación de un silo circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Ejercicio 5-1: Análisis tensional de una lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Ejercicio 5-2: Tanque cilíndrico bajo presión interior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Tema 6: Sólidos tridimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Ejemplo 6-1: Semiespacio elástico bajo carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Ejemplo 6-2: Análisis de la flexión de una viga con elementos hexaédricos . 35 Ejemplo 6-3: Cabezal de pilotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Ejemplo 6-4: Cimentación de una columna de esquina . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Ejemplo 6-5: Presa bóveda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Ejercicio 6-2: Análisis de la flexión de una viga con elementos tetraédricos . 39 Ejercicio 6-1: Cabezal de pilotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Tema 7: Flexión de vigas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 7-1: Viga de un tramo bajo carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 7-2: Viga en voladizo con carga uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 7-1: Viga continua de dos tramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 41 42 43 Tema 8: Placas delgadas y gruesas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Ejemplo 8-1: Placa empotrada con carga uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Ejemplo 8-2: Placa empotrada con carga puntual en el centro. . . . . . . . . . . . 45 Ejemplo 8-3: Placa delgada con agujero interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Ejemplo 8-4: Placa gruesa circular con agujero interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Ejercicio 8-1: Placa de forma arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Ejercicio 8-2: Placa de forma circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Tema 9: Análisis de laminas con elementos planos. . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 9-1: Lámina cilíndrica bajo carga repartida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 9-2: Escalera empotrada en sus extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 9-3: Puente de carretera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 9-1: Cubierta cilíndrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicio 9-2: Cubierta en forma de paraboloide hiperbólico . . . . . . . . . . . . . 50 50 51 52 53 54 55 55 56 Tema 10: Láminas de revolución y arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 10-1: Tanque cilíndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo 10-2: Losa circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Ejemplo 10-3: Tanque Intze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Ejercicio 10-1: Láminas cilíndricas con cúpula esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4 Obtener la solución en función de la carga P. Datos Area trasnsversal = A Barras 1.TEMA 1 SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS EJEMPLOS Ejemplo 1-1 : Estructuras de tres barras alineadas Calcular los desplazamientos y esfuerzos en la estructura de tres barras de la figura. el área transversal A. 2 y 3 ⇒ Módulo de Young = E 5 . el módulo de Young E y de las dimensiones de las barras. sometida a una carga P en el extremo. Ejemplo 1-2 : Estructura de cuatro barras alineadas Calcular los desplazamientos y esfuerzos en la estructura de tres barras de la figura. sometida a una carga P en el extremo. Datos P = 10000 N L = 100 cm E = 2.1e07 Barras 1 Barras 4 N cm 2 ⇒ A = 40 cm2 ⇒ A = 20 cm 2 Barras 2 y 3 ⇒ A = 10 cm 2 6 . Suponer que el módulo de Young E es igual para todas las barras. Datos P = 20000 N L = 50cm 2 A = 50 cm N Barras 1.1e07 cm 2 7 . 4 y 5 ⇒ E = 2. 3. 2. sometida a una carga P en el extremo.TEMA 1 SISTEMAS DISCRETOS Y CONTINUOS EJERCICIOS Ejercicio 1-1: Estructura de cinco barras alineadas Calcular los desplazamientos y esfuerzos en la estructura de cinco barras de la figura. Datos P = 20000 N L = 50 cm H = 40 cm N cm 2 Barras 1 y 2 ⇒ A = 40 cm 2 E = 2.1e07 Barras 2 y 3 ⇒ A = 50 cm2 Barras 5 y 6 ⇒ A = 100 cm 2 Nota :Considerar que las barras comprimidas son lo suficientemente rígidas para no tener problemas de pandeo. 8 .Ejercicio 1-2: Estructura de barras articuladas Calcular los desplazamientos y esfuerzos en la estructura articulada plana de la figura siguiente sometida a un carga vertical P. 9 . Obtener la solución en función de la fuerza P y de las dimensiones de la barra. CONCEPTOS BÁSICOS EJEMPLOS Ejemplo 2-1 : Barra de sección variable sometida a un carga concentrada Analizar la barra de sección variable de la figura siguiente sometida a una carga horizontal F en un extremo.TEMA 2 ELEMENTOS FINITOS DE BARRA. Considerar tres mallas de uno. dos y tres elementos de barras de dos nodos. CONCEPTOS BÁSICOS EJERCICIOS Ejercicio 2-1: Barra de sección variable sometida a su peso propio. 10 . Considerar tres mallas de uno. Analizar la barra se sección variable de la figura siguiente sometida a su peso propio.TEMA 2 ELEMENTOS FINITOS DE BARRA. Obtener la solución en función de las dimensiones de la barra y del peso específico. dos y tres elementos de barras de dos nodos. f ( x) = x 3 − 2 x 2 + 4 Ejemplo 3-2 : Aplicaciones de las cuadraturas de Gauss-Legendre Dada el siguiente polinomio de cuarto grado. integrarlo numéricamente con cuadraturas de Gauss-Legendre de primero. Dada la siguiente función cúbica interpolarla paramétricamente con un elemento cuadrático de tres nodos y con un elemento cúbico de cuatro nodos. f ( x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 Ejemplo 3-3: Cálculo de un coeficiente de la matriz de rigidez del elemento de barra de tres nodos Calcular el coeficiente K11 de la matriz de rigidez del elemento de barra de tres nodos de la figura siguiente utilizando una formulación isoparamétrica e integración numérica.TEMA 3 ELEMENTOS DE BARRA MÁS AVANZADOS EJEMPLOS Ejemplo 3-1 : Interpolación paramétrica de una función cúbica. segundo y tercer orden. ( e) 11 . Obtener la solución en función de las fuerzas P y b y de las dimensiones de la barra.Ejemplo 3-4: Barra de sección constante bajo carga uniforme y puntual. 12 . deformaciones y tensiones en la barra bajo carga uniformemente repartida b y puntual P en el extremo que se muestra en la siguiente figura utilizando un solo elemento de tres nodos. Calcular los desplazamientos. 13 . Considerar dos mallas de uno y dos elementos de barra de tres nodos.TEMA 3 ELEMENTOS DE BARRA MÁS AVANZADOS EJERCICIOS Ejercicio 3-1: Análisis de una barra de sección variable con elementos de tres nodos. Analizar la barra se sección variable de la figura siguiente sometida a una carga horizontal F en un extremo. Obtener la solución en función de la fuerza F y de las dimensiones de la barra. Datos Material Hormigón E =30000MN/m2 ν =0. 14 . Calcular matricialmente la siguiente estructura de hormigón en estado de tensión plana. Obtener los desplazamientos de los nodos y las tensiones principales de cada elemento. Analizar la estructura del Ejemplo 4-1 utilizando el programa Calsef y Gid.5m Ejemplo 4-2: Análisis de una viga en voladizo bajo carga puntual con Calsef y Gid.20 t =0.TEMA 4 SÓLIDOS BIDIMENSIONALES EJEMPLOS Ejemplo 4-1: Análisis paso a paso por el MEF de una viga en voladizo bajo carga puntual. Ejemplo 4-3 : Laja bajo carga normal Analizar la laja mostrada en la figura sometida a la acción de una carga normal en un borde.10m Borde AC restringido en dirección x Condicione s de contorno Punto B restringido en dirección y MN Carga Borde DE carga P = 10 m 0.30 Espesor = 0.3 2 m 15 .1e5MPa Material ν = 0.00144m Centro lado DE u = MN Solución buscada : Punto B σ x = 61. Comparar los resultados obtenidos con la solución obtenida por refinamiento de malla. Utilizar elementos triangulares de 3 y 6 nodos y cuadriláteros de 4. Datos E = 2. 8 y 9 nodos. 247 y m2 16 .6 m Solución buscada : MN Punto B σ = 0 .10m Borde AC restringido en dirección y Condicione s de Contorno Punto B restringid o en dirección x Centro lado ED Desp .Ejemplo 4-4 : Laja bajo peso propio Analizar la laja mostrada en la figura sometida a la acción de su peso propio. Utilizar elementos triangulares de 3 y 6 nodos y cuadriláteros de 4. 8 y 9 nodos.30 Material kg ? = 7000 m3 Espesor = 0.Y = 2.1e5MPa ? = 0.26e . Comparar los resultados obtenidos con la solución obtenida por refinamiento de ma lla. Datos E = 2. 0m q0 = 100 MN m 17 .Ejemplo 4-5: Análisis de una laja traccionada por carga parabólica con elementos cuadriláteros. Utilizar elementos triangulares de 3 y 6 nodos y cuadriláteros de 4.30 Espesor = 0.10m L = 1. Analizar la laja mostrada en la figura sometida a la acción de una carga parabólica . 8 y 9 nodos. Aplicar condiciones de simetría para simplificar el problema. Datos E = 2.Comparar los resultados obtenidos con la solución obtenida por refinamiento de malla.1e5MPa Material ν = 0. 00055m 18 . Comparar los resultados obtenidos con la solución obtenida por refinamiento de malla. 8 y 9 nodos. Datos E = 2.30 Espesor = 0.10 MN Solución buscada { v A = 0.1e5MPa Material ν = 0.30m L = 1m P = 0. Analizar la viga mostrada en la figura sometida a la acción de una carga parabólica vertical en el borde. Utilizar elementos triangulares de 3 y 6 nodos y cuadriláteros de 4.Ejemplo 4-6: Análisis de una viga en voladizo bajo carga parabólica en el borde con elementos cuadriláteros. En este tipo de presas. ya que las tensiones inducidas por el peso propio equilibran las producidas por la presión hidrostática. suelos aluvionales. Datos E=6x103 t/m2 Material 3B ν=0. todos ellos suelos gruesos y con curvas granulométricas “alargadas” lo que implica variedad de tamaños. Se trata de una presa de gravedad cuyos materiales componentes son: suelos lacustres propios de la zona. El detalle de la siguiente figura forma parte del proyecto del Complejo “Los Caracoles y Punta Negra” de la provincia de San Juan (Argentina).Ejemplo 4-7: Presa de gravedad. y roca producto de excavaciones. Se pide analizar el estado tensional en la presa bajo la hipótesis de deformación plana utilizando elementos triangulares de 6 nodos. es imprescindible estudiar el estado tensional bajo peso propio con la mayor precisión posible.25 γ=2 t /m3 Material 3La y Material 3Lb E=4x103 t/m2 ν=0. teniendo en cuenta que aguas abajo de la presa se construirá un camino.30 γ=2 t /m3 19 . Se ha tratado de representar el perfil lo más cercano posible a la realidad. La columna central sufre un desplazamiento δ debido a un descenso en la cimentación causado por una filtración en unas tuberías cercanas a la misma. La estructura de la figura representa una viga pared de hormigón armado con dos agujeros apoyada sobre tres columnas. Utilizando para el análisis elementos triangulares de tres nodos. Datos E = 3. Analizar la distribución de tensiones que produce el descenso de la columna central.2 t = 0.20 m (Espesor de la pared y las columnas) N m2 20 .0e10 ν = 0.Ejemplo 4-8: Viga pared de dos tramos. Suponer la hipótesis de tensión plana. Datos N E = 3. Utilizar elementos cuadriláteros de cuatro nodos. Suponer la hipótesis de tensión plana. Dicha viga posee un agujero para el paso de un conducto de ventilación. Debido a un cambio del proyecto inicial.25 m N E = 2.008m) 21 . Esto motivó a que se colocara una placa metálica de refuerzo a ambos lados de la viga en la zona del agujero. Analizar el estado tensional en la viga y en la placa metálica de refuerzo. La estructura de la figura representa una viga de hormigón armado simplemente apoyada. la carga de servicio para la cual fue calculada la viga aumentó considerablemente.3 t = 0.016 m (Dos placas de 0.1e11 m 2 Acero ν = 0.0e10 m 2 Hormigón ν = 0.2 t = 0.Ejemplo 4-9: Viga con orificio de ventilación. Ejemplo 4-10: Tanque de agua prismático. La estructura de la figura representa la sección transversal de la pared un tanque de agua de hormigón armado de forma rectangular utilizado como depósito en una planta potabilizadora. Datos N E = 3.0e10 m2 Hormigón ν = 0. Utilizar elementos cuadriláteros de cuatro nodos. Suponer la hipótesis de deformación plana. considerando que la losa de fondo está apoyada elásticamente en el suelo. Analizar el estado tensional de dicha sección transversal del tanque.2 γ = 25000 N m3 N Suelo Coeficient e de balasto = 50 cm3 22 . 16e4 m2 PAB = Variación Lineal 23 . utilizado en la industria aceitera para el transporte de girasol. Utilizar elementos triangulares de tres nodos.2 γ = 25000 N m3 Coeficient e de balasto del terreno = 50 N cm3 N P = 5 . considerando que la losa de fondo está apoyada elásticamente en el suelo.Ejemplo 4-11: Túnel La estructura de la figura representa la sección transversal de un túnel de hormigón armado. Analizar el estado tensional de dicha sección transversal del túnel. Suponer la hipótesis de deformación plana. 4 e4 A m2 N Presión del terreno PBC = 2.0e10 m2 Hormigón ν = 0. Datos N E = 3. desde un silo de almacenamiento hasta el sector de procesamiento. 9 xy m2 24 .30 Espesor = 0.09428m Solución buscada : MN Punto B t = 26 .TEMA 4 SÓLIDOS BIDIMENSIONALES EJERCICIOS Ejercicio 4-1: Ménsula bajo sometida a carga tangencial Analizar la ménsula mostrada en la figura sometida a la acción de una carga tangencial uniformemente distribuida en un borde. 8 y 9 nodos. Datos E = 2. Realizar un análisis de la velocidad de convergencia y compararla con la obtenida en los Ejemplos 4-3 y 4-4. Utilizar elementos triangulares de 3 y 6 nodos y cuadriláteros de 4.Y = −0.10m Borde AC restringid o en dirección x Condicione s de contorno Punto B restringido en dirección y Centro lado DE Desp .1e5MPa Material ν = 0. Comparar los resultados obtenidos con la solución obtenida por refinamiento de malla. Ejemplo 4-2 : Ménsula bajo peso propio Analizar la ménsula mostrada en la figura sometida a la acción de su peso propio.1e5MPa ? = 0.30 Material kg ? = 7000 m3 Espesor = 0.10m Borde AC restringid o en dirección x Condicione s de Contorno Punto B restringid o en dirección y Centro lado ED Desp . Datos E = 2.Y = -0. 8 y 9 nodos. Utilizar elementos triangulares de 3 y 6 nodos y cuadriláteros de 4.4 m Solución buscada : MN Punto B t = − 0 . Comparar los resultados obtenidos con la solución obtenida por refinamiento de malla. 200 xy m2 25 . Realizar un análisis de a l velocidad de convergencia y compararla con la obtenida en los Ejemplos 4-3 y 4-4.123e . 30 Material 2 E = 20 000.28 26 .00 T/m Material 1 E = 1 500 000.50 T/m3 ν= 0.70 T/m3 ν= 0. b)Carga repartida q + carga puntual P + Peso propio.00 m H1 = 0.00 T/m2 γ =? 2. y mallas de elementos cuadriláteros de cuatro nodos progresivamente más finas.30 m H2 = 3.00 T/m2 γ =? 2. Tener en cuenta los siguientes casos de carga. a)Peso propio. Considerar mallas de elementos triangulares de tres nodos.Ejercicio 4-3: Estructura de protección de una tubería Analizar el estado tensional en la estructura de la siguiente figura. Se admite una deformación máxima del radio de la tubería del 1% ¿Se verifica esta condición? Datos Dimensiones: L = 5.00 T q = 5.75 m P = 5.50 m H3 = 0. 00 T/m2 3.00 m ν = 0.00 m 1. Considerar mallas de elementos triangulares de tres nodos. es de 1. Tener en cuenta los siguientes casos de carga.5 m (Espesor del contrafuerte) 27 .50 m E = 3 000 000.40 T/m3 37. a) Carga peso propio b) Carga hidrostática + peso propio El desplazamiento horizontal máximo de la corona del contrafuerte. Suponer la hipótesis de tensión plana. y mallas de elementos cuadrilateros de cuatro nodos progresivamente más finas.50 m γ = 2.Ejercicio 4-4: Contrafuerte de un presa Analizar el estado tensional en el contrafuerte de la figura.5cm ¿Cuál es el coeficiente de seguridad al que se encuentra trabajando el contrafuerte? Datos Dimensiones: H1 = H2 = H3 = H4 = t = 3. aceptable por diseño.25 27. Analizar el estado tensional la sección transversal del tanque del Ejemplo 4-8 pero discretizando el terreno en el cual se apoya la losa de fondo. Suponer la hipótesis de deformación plana.Ejercicio 4-5: Análisis de la interacción suelo-estructura en un tanque prismático. Utilizar elementos cuadriláteros de cuatro nodos.3 γ = 24000 N m3 28 .2 γ = 24000 N m3 N E = 1.0e8 m2 Suelo ν = 0.0e10 m2 Hormigón ν = 0. Datos N E = 3. 20 3Py 3 Solución analítica = σ Y = 2πR 5 donde R = y2 + x2 29 . 8 y 9 nodos.1e11 2 Material m ν = 0. Datos N E = 2. Analizar la distribución de tensiones verticales utilizando mallas progresivamente más finas de elementos triangulares de 3 y 6 nodos y cuadriláteros de 4.TEMA 5 SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN EJEMPLOS Ejemplo 5-1: Semiespacio elástico bajo carga puntual En la figura se muestra el conocido problema de Boussinesq de análisis de un semiespacio elástico bajo carga puntual. Se considerará un dominio cuadrado de revolución de 4mx4m. 0e10 2 Hormigón m ν = 0. Analizar el comportamiento estructural del tanque.Ejemplo 5-2: Tanque circular En la figura se muestra un tanque circular de hormigón armado destinado al almacenamiento de agua en una planta potabilizadora.2 N Terreno Coeficient e de balasto = 500 3 cm 30 . Datos N E = 3. Utilizar elementos cuadriláteros de cuatro nodos. En los casos en que el terreno de cimentación es muy malo. fuertemente compactado.0e10 2 m ν = 0. se adopta como solución el colocar una capa de un suelo mucho mas rígido.0e10 2 m ν = 0. justo por debajo de la placa inferior.5e8 2 m ν = 0.3 N γ = 18000 m3 N Terreno compacto E = 1.25 N Cereal γ = 16000 3 m N γ = 2 40 00 m3 N Hormigón E = 3. Datos N γ = 17500 m3 N Terreno blando E = 1.2 31 . Analizar el estado tensional en las dos capas de suelo.Ejemplo 5-3: Cimentación de un silo circular En la figura se muestra la cimentación de un silo circular utilizado para el almacenamiento de cereales. De esta manera las tensiones en el terreno disminuyen apreciablemente. El desplazamiento máximo vertical de la lente debe ser 0. Utilizar mallas de elementos triangulares de tres nodos.0e4 N/m3 ν = 0.1%R1 ¿Se verifica esta condición? ¿Cuál debería ser la presión P para garantizar dicho valor de operación? Datos Dimensiones: R1 = 2.50e4 N/m2 32 .80 m E = 4 . y mallas de elementos cuadriláteros de cuatro nodos. b) Presión + Peso propio.TEMA 5 SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN EJERCICIOS Ejercicio 5-1: Análisis tensional de una lente Realizar el análisis de la lente mostrada haciendo uso de la teoría de sólidos de revolución. Tener en cuenta los siguientes casos de carga: a) Peso propio.50e7 N/m2 γ = 2.5 m R2 = 0. siendo las mismas progresivamente más finas.20 P = 1. 33 . haciendo uso de la teoría de sólidos de revolución. Utilizar tres mallas progresivamente más finas de elementos cuadriláteros de 8 nodos. sometido a una presión interior.Ejercicio 5-2: Tanque cilíndrico bajo presión interior Analizar el estado tensional del tanque de la figura. TEMA 6 SÓLIDOS TRIDIMENSIONALES EJEMPLOS Ejemplo 6-1: Semiespacio elástico bajo carga puntual En la figura se muestra el conocido problema de Boussinesq de análisis de un semiespacio elástico bajo carga puntual.1e11 2 Material m ν = 0 . Se considerará un dominio cilíndrico de revolución de 4x4m. 20 34 . Se utilizarán mallas progresivamente más finas de elementos hexaédricos de 8 nodos y 20 nodos. Datos N E = 2. Utilizar elementos hexaédricos de 8 y 20 nodos. Datos N E = 2. Analizar la viga en voladizo mostrada en la figura sometida a la acción de un momento en el extremo. Comparar los resultados obtenidos con la solución de la teoría de vigas de EulerBernoulli.Ejemplo 6-2: Análisis de la flexión de una viga con elementos hexaédricos. 20 P = 10000N 35 .1e11 2 Material m ν = 0. Utilizar tetraedros de cuatro nodos. Suponer que el cabezal está arriostrado transversalmente. Datos N E = 3.2 36 .Ejemplo 6-3: Cabezal de pilotes En la figura se muestra una cimentación con pilotes de hormigón armado. Analizar el estado tensional en el cabezal y en los pilotes.0e10 2 Hormigón m ν = 0. Utilizar hexaedros de ocho nodos. Determinar si la losa sufre un levantamiento.Ejemplo 6-4: Cimentación de una columna de esquina En la figura se muestra una columna de esquina con su cimentación. Datos N E = 3.2 N Suelo Coeficient e de balasto = 50 3 cm 37 . Analizar el estado tensional en la columna y en la losa suponiendo que la misma se apoya elásticamente en el terreno. Este hecho produce una flexión en la columna y el levantamiento de la losa de base.0e10 2 Hormigón m ν = 0. Este tipo de cimentación se caracteriza por reaccionar excéntricamente con respecto a la carga de la columna. Nota: En la Carpeta de Documentos del Centro Virtual de Estudios (apartado Aulas) se encuentran los correspondientes archivos gid con la definición de la geometría de la presa. Analizar el estado tensional en la presa y en el terreno de cimentación. 38 . Utilizar tetraedros cuadráticos de diez nodos.Ejemplo 6-5: Presa bóveda En la figura se muestra una presa bóveda. Datos N E = 2. Utilizar elementos tetraédricos de 4 y 10 nodos.1e11 2 Material m ν = 0 .TEMA 6 SÓLIDOS TRIDIMENSIONALES EJERCICIOS Ejercicio 6-1: Análisis de la flexión de una viga con elementos tetraédricos. 20 P = 10000N 39 . Comparar los resultados obtenidos con la solución obtenida con la teoría de vigas. Analizar la viga en voladizo mostrada en la figura sometida a la acción de una cupla en el extremo. Utilizar 2 mallas de tetraédricos lineales (4 nodos) y 2 mallas de elementos tetraédricos cuadráticos (10 nodos) progresivamente más finas.Ejercicio 6-2: Cabezal de pilotes Analizar el estado tensional de la cimentación con pilotes que se muestra en la figura.0e10 m2 Hormigón ν = 0. Datos N E = 3.2 γ = 2.4e4 N m3 40 . Utilizar dos elementos de viga de Euler-Bernoulli de dos nodos del mismo tamaño y aplicar condiciones de simetría. Obtener la solución en función de la carga P. La solución exacta de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli es la siguiente: PL3 wMAX = − 6 EI PL2 θ MAX = 4EI 41 . Comparar la solución obtenida con la exacta de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli. Calcular la flecha en el centro. la longitud L. el giro y las reacciones en los apoyos en la viga simplemente apoyada de la figura.TEMA 7 FLEXIÓN DE VIGAS EJEMPLOS Ejemplo 7-1 : Viga de un tramo bajo carga puntual. el módulo de Young E y la inercia I. el módulo de Young E y la inercia I. La solución exacta de la teoría de vigas de Euler-Bernoulli es la siguiente: qL4 f2 = − 8EI qL3 θ2 = − 6 EI 42 . Utilizar dos elementos de viga de Euler-Bernoulli de dos nodos del mismo tamaño y aplicar condiciones de simetría. Calcular la flecha en el centro. Obtener la solución en función de la carga q. Comparar la solución obtenida con la exacta de la teoría de viga de Euler-Bernoulli. la longitud L.Ejemplo 7-2 : Viga en voladizo con carga uniforme. el giro y las reacciones en los apoyos en la viga en voladizo de la figura. 0e06 N cm 2 43 N m . Datos q = 10000 L =5m b = 20 cm h = 50 cm E = 3. sometida a una carga uniformemente repartida. Utilizar un elemento de viga de Euler-Bernoulli de dos nodos en cada tramo. Comparar la solución con la exacta de la teoría de vigas.TEMA 7 FLEXIÓN DE VIGAS EJERCICIOS Ejercicio 7-1: Viga continua de dos tramos Calcular el diagrama de momentos flectores y las reacciones en los apoyos en la viga continua de dos tramos de la figura. Utilizar para el análisis elementos de placa triangulares DKT.2 t = 0. Datos N E = 3.00126 L4 q (1 . sometida a la acción de un carga uniformemente distribuida q . triangulares de Reissner Mindlin de 6 nodos con integración reducida y cuadriláteros CLLL . Comparar el resultado obtenido para la flecha en el centro de la placa con la solución exacta.10m (espesor) N Carga { q = 1.0e10 m2 Hormigón ? = 0.? 2 ) Solución exacta { w MAX = E t3 44 .TEMA 8 PLACAS DELGADAS Y GRUESAS EJEMPLOS Ejemplo 8-1: Placa empotrada con carga uniforme Analizar el estado tensional de la placa cuadrada con sus cuatro lados empotrados de la figura.0e4 2 m 0. 075 P (1 3 Et 2 ) 45 . Datos N E = 3. sometida a la acción de una carga puntual P actuando en el centro de la misma. Comparar el resultado obtenido para la flecha en el centro de la placa con la solución exacta.Ejemplo 8-2: Placa empotrada con carga puntual en el centro Analizar el estado tensional de una placa cuadrada con sus cuatro lados empotrados.10m (espesor) Carga { P = 1. triangulares de Reissner Mindlin de 6 nodos con integración reducida y cuadriláteros CLLL . Utilizar para el análisis elementos de placa triangulares DKT.0e10 m 2 Hormigón ? = 0.0e4 N Solución exacta -? { w MAX = − 1.2 t = 0. .1e11 m2 Acero ν = 0 . Utilizar elementos de placa triangulares DKT.3 γ = 7. Datos N E = 2. Analizar el comportamiento estructural de la placa utilizando la teoría de placas delgadas.Ejemplo 8-3: Placa delgada con agujero interior En la figura se muestra una placa de acero apoyada sobre cuatro columnas.80e4 N m3 46 . Datos N E = 3.Ejemplo 8-4: Placa gruesa circular con agujero interior En la figura se muestra una placa de hormigón armado apoyada sobre cuatro columna sometida a su peso propio y a una sobrecarga uniforme.2 γ = 2.4e4 N m3 47 .0e10 m2 Hormigón ν = 0. Utilizar elementos de placa triangulares de Reissner Mindlin de 6 nodos con integración reducida. Analizar el comportamiento estructural de la placa utilizando la teoría de placas gruesas de Reissner-Mindlin. TEMA 8 PLACAS DELGADAS Y GRUESAS EJERCICIOS Ejercicio 8-1: Placa de forma de arbitraria. Carga uniforme + Peso Propio Por motivos constructivos la flecha máxima no debe superar los 5 cm ¿Cuál debería ser el espesor mínimo del forjado para garantizar dicho valor? Datos Dimensione s : { L = 9.50T/m 48 . 1-) 2-) Peso propio.30 Espesor = 0.00m E = 2.00T/m 2 Carga : 2 Q2 = − 1. para los siguientes casos de carga. Analizar el comportamiento estructural de la placa de la figura.15m Q1 = −3.5e06T/m 2 Hormigón : ν = 0. Considerar tres mallas de elementos triangulares de placa DKT (3 nodos) progresivamente más finos. 15 m 49 .00 T/m2 γ = 2.0 m Q1 = -3. 1-) Peso propio. 2-) Carga uniforme + Peso propio Por motivos visuales la flecha máxima no debe superar los 5 cm ¿Cuál debería ser el espesor mínimo del forjado para garantizar dicho valor? Datos Dimensiones: R1 = 25. para los siguientes casos de carga.00 T/m3 ν = 0.30 t = 0.5 T/m2 E = 2 500 000. Considerar tres mallas de elementos cuadriláteros de placa CLLL (4 nodos) progresivamente más finos.Ejercicio 8-2: Placa de forma circular Analizar el comportamiento estructural de la placa de la figura.0 m R2 = 7.0 T/m2 Q2 = -1. TEMA 9 : ANÁLISIS DE LÁMINAS CON ELEMENTOS PLANOS EJEMPLOS Ejemplo 9-1: Lámina cilíndrica bajo carga repartida En la figura se muestra una lámina cilíndrica sometida a una carga q repartida uniformemente distribuida en planta.32e8 2 Material m ν = 0. Analizar el estado tensional de la lamina utilizando elementos de lámina plana triangulares de Reissner Mindlin de seis nodos con integración reducida.0m Espesor = 0.25m q = 90 KN m2 50 .2 R = 25.0m L = 50. Datos KN E = 4. 2 γ = 2.0e10 m2 Hormigón ν = 0. Analizar el comportamiento estructural de la escalera sometida a la acción de su peso propio y a una sobrecarga p = 10000N/m2 uniformemente distribuida en planta.4e4 N m3 N Sobrecarga p = 10000 2 (Uniformem ente distribuída en planta) m 51 . Este tipo de diseño se utiliza cuando se desea obtener un espacio libre de columnas. Utilizar elementos de lámina plana triangulares de Reissner Mindlin de seis nodos con integración reducida. Datos N E = 3.Ejemplo 9-2: Escalera empotrada en sus extremos En la figura se muestra una escalera empotrada solo en el escalón inicial y el final. 00 t/m2 γ =? 2.0 t/m2 15.00 t/m3 ν =0.0 t E = 2 500 000.05% L ¿cual es el valor máximo de P? Datos h= L= q= P= 8.Ejemplo 9-3: Puente de carretera En la figura se muestra la sección transversal de un puente de carretera simplemente apoyado.0 m 10.30 t = 0. analizar el comportamiento estructural del puente para los siguientes casos de carga: 1-) Peso propio + carga uniforme 2-) Carga puntual + carga uniforme + peso propio El desplazamiento máximo aceptable por diseño es de 0. Utilizando elemento triangulares de Reissner Mindlin de 6 nodos con integración reducida.20 m 52 .0 m 3. 00 t E = 1 800 000. 1-) Peso propio. para los siguientes casos de carga.20 53 .00 m Espesor = 0. Analizar el comportamiento estructural de la cubierta utilizando tres mallas de elementos triangulares de Reissner Mindlin de seis nodos con integración reducida.TEMA 9 : ANÁLISIS DE LÁMINAS CON ELEMENTOS PLANOS EJERCICIOS Ejercicio 9-1: Cubierta cilíndrica En la figura se muestra estructura de una cubierta de sección cilíndrica.25 m P =14. 2-) Carga puntual + Peso propio El desplazamiento máximo aceptable por diseño es de 10cm ¿cuál es el valor máximo de P? Datos L = 50. progresivamente más finas.00 m R = 25.00 t/m3 ν = 0.00 t/m2 γ = 2. 0 m Espesor = 0.4 t/m3 ν = 0. 2-)Carga puntual + Peso propio El desplazamiento máximo aceptable por diseño es de 0. Analizar el comportamiento estructural de la cubierta utilizando tres mallas de elementos triangulares de Reissner Mindlin de seis nodos con integración reducida. para los siguientes casos de carga. 1-) Peso propio.40 in ¿Cuál es el valor máximo de P? Datos L = 15.Ejercicio 9-2: Cubierta en forma de paraboloide hiperbólico En la figura se muestra estructura de una cubierta de en forma de paraboloide hiperbólico.2 54 .0e6 t/m2 γ =? 2.25 m P = 1t E = 3.0 m H = 3. progresivamente más finas. 0m t = 0.0m H = 9. Comparar los esfuerzos en la base con la solución analítica para depósitos de este tipo.1e6 m2 Material 1 ν = 6 R = 9. Analizar el comportamiento estructural de la pared del tanque bajo la acción de la presión hidrostática. Datos t E = 2. Considerar que la pared del tanque esta empotrada en la losa de base.15m 55 .TEMA 10 : LÁMINAS DE REVOLUCIÓN YARCOS EJEMPLOS Ejemplo 10-1: Tanque cilíndrico En la figura se muestra un tanque cilíndrico para depósito de agua. Utilizar para el análisis diferentes mallas de elementos troncocónicos de dos nodos. Comparar la solución obtenida con la analítica para placas de revolución. Utilizar para el análisis diferentes mallas de elementos de placa de revolución de dos nodos.4e4 N m3 56 .2 γ = 2.0e10 m2 Hormigón ν = 0.Ejemplo 10-2: Losa circular En la figura se muestra una losa circular simplemente apoyada en el contorno. Datos N E = 3. Analizar el comportamiento estructural de la losa bajo la acción de su peso propio y de una sobrecarga uniforme p. Datos N E = 3.0e10 m2 Hormigón ν = 0. Suponer que el tanque se apoya en el cilindro inferior restringiendo solamente el desplazamiento vertical.4e4 N m3 57 . Analizar el comportamiento estructural del tanque para bajo la acción del peso propio y presión hidrostática. conocido como “Tanque Intze”.2 γ = 2.Ejemplo 10-3: Tanque Intze En la figura se muestra un típico tanque de depósito de agua. 58 . Suponer una variación progresiva del espesor en la cúpula esférica. Utilizar tres mallas progresivamente más finas de elementos troncocónicos de dos nodos. sometido a una presión interior.TEMA 11 : LÁMINAS DE REVOLUCIÓN YARCOS EJERCICIOS Ejercicio 10-1: Lámina cilíndrica con cúpula esférica. Analizar el estado tensional del tanque de la figura.