Guia Derivadas Alexis Rosa

UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELAGUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DE EDUCACIÓN SUPERIOR UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA PFG: HIDROCARBUROS UNIDAD CURRICULAR: ANÁLISIS MATEMÁTICO CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 1 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS APLICACIONES DE LA DERIVADA CONTENIDO CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 2 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Prólogo............................................................................................................ x– x Áreas, Perímetros y Volúmenes................................................................................ x Fórmulas Trigonométricas.................................................................................. x – x Tabla de Derivadas............................................................................................ x – x Selección de definiciones y teoremas............................................................... xx - xx CAPÍTULO 1 1 – 1 Introducción.......................................................................................... xx - xx 1 – 2 Enunciados de ejercicios........................................................................ xx – xx CAPÍTULO 2 2 – 1 Introducción......................................................................................... xx – xx 2 – 2 Enunciados de ejercicios...................................................................... xx – xxx Apéndice Unidades y equivalencias..................................................................................... xxx Ejercicios sugeridos............................................................................................. xxx Bibliografía.......................................................................................................... xxx AL ESTUDIANTE CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 3 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS La presente publicación tiene por objetivo poner a tu disposición una amplia serie de ejercicios, con sus correspondientes resoluciones, relativos a la aplicación del concepto de Derivada a problemas de las distintas disciplinas que involucran las diferentes carreras de Ingeniería de la Universidad Bolivariana de Venezuela. Se parte de la base de que estás familiarizado con los conceptos teóricos correspondientes a Funciones de Variable Real que tu docente del curso ha desarrollado respecto al concepto de Derivada. Al comienzo de la publicación encontrarás un resumen de los conocimientos que deberás tener presentes para resolver los problemas propuestos así como una tabla de derivadas. Con esta Guía se espera que si aún no lo estás, llegues a convencerte de la importancia relevante que el concepto de Derivada tiene en la resolución de problemas relativos a la Ingeniería en sus distintas disciplinas. La publicación está dividida en dos Capítulos. El Capítulo1 se refiere a la derivada como índice matemático que expresa la tasa de Variación instantánea o rapidez de variación instantánea de una función y consta de XXXX ejercicios. El Capítulo 2 está dedicado a problemas de Optimización y consta de xxxx ejercicios. Los enunciados de algunos de estos ejercicios corresponden a conocidos problemas que seguramente encontrarás en distintos textos de Matemática y algunos han sido modificados y/o adaptados para que su aplicación sea de mayor practicidad y cotidianeidad. Previo al Capítulo 1 encontrarás un resumen de fórmulas de perímetros, áreas y volúmenes, un resumen de fórmulas trigonométricas, y una tabla de derivadas. También una selección de definiciones y teoremas que has visto en el curso teórico y que deberás tener presentes para resolver los ejercicios del Capítulo 1. Si este material que ponemos a tu disposición resulta de utilidad en tu formación matemática habremos alcanzado nuestro objetivo. CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 4 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Perímetros, Áreas y Volúmenes Triángulo CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 5 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Rectángulo Hexágono Círculo Sector circular CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 6 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS TRIGONOMETRÍA Unidades de medida de ángulos Grados Radianes Valores de líneas trigonométricas de algunos ángulos especiales. CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 7 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Debido a que un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones, dos entre cada pareja de estos lados. Las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son las siguientes: Seno: razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Coseno: razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa. Tangente: razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente. Cotangente: razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto. Secante: razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo. Cosecante: razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo. CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 8 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Teorema de Pi tágoras: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". Y, "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de uno de los catetos es igual a la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto". sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 Es llamada i denti dad tri gonométri ca fundamental , y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorias del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora). Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos²(x) , se tiene: tan 2 (x) + 1 = sec 2 (x) Calculando la recíproca de la expresión anterior: cot 2 (x) + 1 = csc 2 (x) Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida: CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 9 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Teoremas de la suma y diferencia de ángulos Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente. De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios: Para ángulos complementarios: CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 1 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Para ángulos opuestos: Si n (− x) = − si n(x) Cos (− x) = cos(x) Tan (− x) = − tan(x) Csc (− x) = − csc(x) Sec (− x) = sec(x) Cot (− x) = − cot(x) Identidades del Ángulo Doble Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea sin(x + x) = sin (2x)) en las identidades anteriores, y usando Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando n = 2. Identidades para la Reducción de Exponentes CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 1 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sin²(x). Identidades del Medio Ángulo Reemplazando x/2 por x en las anteriores, es posible resolver cos(x/2) y sin(x/2). Multiplicando tan(x/2) por 2cos(x/2) / (2cos(x/2)) y reemplazando sin(x/2) / cos(x/2) por tan(x/2). El numerador es entonces sin(x) por la identidad del ángulo doble, y el denominador es 2cos²(x/2) - 1 + 1 que es cos(x) + 1 por la identidad del ángulo doble. La segunda identidad se obtiene multiplicando la primera por sin(x) / sin(x) y simplificando mediante la identidad pitagórica. Paso de Producto a Suma Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros. CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 1 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Paso de Suma a Producto Reemplazando x por (a + b) / 2 e y por (a – b) / 2 en las identidades de Producto a suma, se tiene: Teorema del coseno En todo triángulo «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido...» Teorema del seno En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados A, B y C y el seno de sus respectivos ángulos opuestos a, b y c (aun falta agregar algunos teoremas de derivadas) CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 1 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 1 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Capítulo 1 INTRODUCCIÓN En este Capítulo 1 te proponemos ejercicios tratando de que valorices la derivada de una función en un punto como indicador matemático de la rapidez instantánea de variación o tasa instantánea de variación de una función. En distintas disciplinas como Electricidad, Electrónica, Termodinámica, Mecánica, Economía, Biología, etc., resulta de importancia fundamental no sólo saber que determinada magnitud o cantidad varía respecto de otra, sino conocer cuán rápido se produce esa variación. Puedes imaginar numerosos ejemplos de ello que seguramente te son familiares. Pensemos, por ejemplo, en una persona que cae a un río cuyas aguas se encuentran a muy baja temperatura. Es claro que la temperatura corporal será función del tiempo que la persona permanezca en el agua y claro también es que la función será decreciente al CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 1 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS haber pérdida de calor del cuerpo hacia el agua tendiendo el mismo a alcanzar la Temperatura del agua dada la diferencia de masa entre ambos. Sin embargo en este problema resulta vital conocer la rapidez de disminución de la temperatura del cuerpo que por cierto no es lineal. La disminución podría ser más rápida al principio de la caída e ir luego más lento, ocurrir exactamente lo contrario, etc. De toda esa información dependerá que sepamos cuanto tiempo se tiene aún disponible para salvar la vida de la persona, y esa información nos la dará justamente la derivada de la función en cuestión. De hecho muchas cantidades o magnitudes que conoces se definen justamente como derivada de otra. A título de ejemplo: la rapidez instantánea de un móvil se define como la derivada de la función espacio recorrido; la aceleración como derivada de la velocidad; la fuerza electromotriz inducida, en Electrotecnia, como la derivada del flujo del campo magnético, todas ellas respecto de la variable tiempo (t). El ángulo de desplazamiento del eje de una viga, como derivada de la función “elástica de la viga”; la intensidad de corriente eléctrica como la derivada de la carga eléctrica respecto del tiempo; el gasto instantáneo, en Hidráulica, como derivada del volumen respecto del tiempo, etc. Al respecto resulta importante que hayas entendido con claridad el significado de lo que en el curso teórico has llamado “Interpretación geométrica de la derivada” donde has demostrado que la derivada de una función f en un punto x 0 ) ( 0 x dx df representa la pendiente de la recta tangente al gráfico representativo de la función en el punto (x 0 , f x 0 ); y que esta pendiente además indica rapi dez promedi o de variación de la función en el intervalo (x 0 , f x 0 ). Este resultado no es una mera curiosidad geométrica sino que su alcance es relevante. Detengámonos en este punto para ayudarte a recordar. Considera una función f de variable x. En la figura (1) tenemos parte del gráfico representativo de la función y sea x 0 el punto del dominio que hemos elegimos para trabajar. CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 1 B ) (x f y · ) ( 0 x f h x + 0 0 x ) ( ) ( 0 0 x f h x f − + A ) ( 0 h x f + s t P UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Fi gura Nº 1 Recuerda que llamamos “punto” al valor x 0 y no al punto geométrico P. Incrementamos ahora nuestra variable x en un valor h arbitrario y pasamos al nuevo punto x 0 + h. El incremento h puede ser tanto positivo como negativo. En el caso de la figura lo hemos tomado positivo moviéndonos en consecuencia hacia la derecha de x 0 . Veamos que ha ocurrido con la función f. En el punto x 0 el valor funcional es f(x 0 ) y en el punto x 0 + h es f (x 0 + h). La diferencia f (x 0 + h) - f(x 0 ) indica en valor y signo la variación del valor de la función provocado por el incremento h de la variable x A esa diferencia se le llama “incremento de la función en el punto x 0 correspondiente al incremento h” En la figura (1) este incremento es la medida del segmento PB. Consideremos ahora el cociente de ambos incrementos, vale decir: h x f h x f ) ( ) ( 0 0 − + Ec. 1 Si observamos la figura Nº 1 la recta secante s, corta a la curva y = f(x), en los puntos A y B. Su pendiente es: h x f h x f m ) ( ) ( 0 0 − + · CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 1 h UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Si el punto B se va acercando al punto P, hasta confundirse con él, la recta secante s, se transforma en la recta tangente t es decir, Cuando B → P, que es equivalente a decir que h→0, el límite de la recta secante s, es la recta tangente t Por lo tanto cuando h tiende a cero la pendiente de la recta secante se convierte en la pendiente de la recta tangente en x 0 ) ( ) ( ) ( lim tan 0 0 0 x f h x f h x f g m h ′ · − + · → Queda probado que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente en dicho punto. Por otra parte es importante que entiendas que el cociente indicado como Ec. 1 se le denomina “coci ente i ncremental o coci ente de i ncremento en el punto x 0 ”. Es importante que comprendas que este cociente incremental indica la rapi dez promedi o de variación de la función en el intervalo [x 0 , x 0 + h]. Si disminuimos el valor del incremento h iremos obteniendo nuevas tasas promedio de variación de la función, en general diferentes (excepto si la función es del tipo f(x) = Kx en cuyo caso el cociente incremental dará siempre constante e igual a K). Si esa sucesión de valores del cociente incremental tiene límite finito para cuando h tiende a cero 0 habremos obtenido la rapidez i nstantánea de variación de la función en x 0 . Es al valor de ese límite que hemos llamado “deri vada de l a funci ón en el punto x 0 ” Desde el punto de vista gráfico has visto que el cociente incremental es la pendiente de la recta tangente. El paso al límite que has efectuado posteriormente te permite entonces concluir que el número real que has obtenido como derivada de la función f en el punto x 0 no es más que el coeficiente de incremento de la recta tangente al gráfico en el punto P. Debes tener presente entonces que cuando calculas la derivada de una función f en un punto x 0 obtienes el coeficiente de incremento de la recta tangente al gráfico de la CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 1 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS función en el punto (x 0 , f(x 0 )), pero la información que has conseguido no es meramente una información geométrica. Esta información te permite obtener la rapi dez con que está variando la función en el punto considerado. Cuanto mayor sea el valor absoluto de la derivada en el punto, más rápido varía la función en él, y esta información es de vital importancia en una variedad enorme de problemas de distintas disciplinas. Ten presente que a la hora de resolver problemas de la realidad, aplicando modelos funcionales, nuestras funciones f representarán magnitudes o cantidades que varían en función de otras magnitudes o cantidades a las cuales representará nuestra variable x. Por ejemplo si estás estudiando la variación en el tiempo de la energía E dada por un dispositivo de algún tipo, nuestra función f representará la función energía E, nuestra variable x representará al tiempo t y nuestras f(x) representarán los valores de E(t) . Si calculas la derivada en algún instante t 0 , 1 ] 1 ¸ ) ( 0 t dt dE habrás obtenido con qué rapi dez está cediendo energía el dispositivo en ese instante medida, por ejemplo, en horas calorias , si esas son las unidades con que estás trabajando, digamos, en un problema de Termodinámica. Esa derivada que has calculado no es otra cosa que la “potencia” del dispositivo en ese instante. Después de definir derivada en un punto has visto el concepto de función derivada. A esta nueva función, asociada a tu función original, debes concederle toda la importancia que realmente tiene. Supongamos que has representado gráficamente cierta función f representativa de cierta magnitud que interviene en un fenómeno como función de otra magnitud, por ejemplo el tiempo, la sola visualización de la curva te permite obtener variada información sobre lo que está ocurriendo en el fenómeno. Conocerás cuándo la magnitud en cuestión aumenta y entre qué instantes, cuándo disminuye, cuando se producen sus máximos y/o mínimos y cuales son sus valores. CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 1 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Pero puedes obtener aún más información cualitativa si imaginas como van variando las pendientes de las rectas tangentes en los distintos puntos de la curva. Podrás concluir , por ejemplo , si aumenta o disminuye la “rapi dez” con que la función aumentaba o disminuía sus valores , podrás decidir eventualmente que tu función aumenta cada vez más rápido hasta cierto instante a partir del cual si bien sigue aumentando lo hace cada vez más lentamente ( punto de inflexión de la gráfica) o a la inversa. Tendrás entonces un panorama mucho más completo del desarrollo del fenómeno con toda la información adicional que te permite obtener la función derivada. Es claro que si obtuvieras la expresión analítica de la función derivada podrías obtener datos cuantitativos de todo lo anterior, incluso la representación gráfica de la función derivada te permitiría tener una idea rápida y más acabada de cómo transcurre el fenómeno en estudio. Espero que todo lo dicho te haga valorar, en su justa medida, el aprender a interpretar gráficas obteniendo de ellas toda la información que realmente contienen. En muchos fenómenos, incluso, no es posible obtener una expresión analítica de la magnitud a estudiar, recurriéndose entonces a instrumentos adecuados para obtener su representación gráfica, procediéndose luego a la interpretación de la misma. Piensa, por ejemplo, en los electrocardiogramas, sismogramas, poligramas (polígrafo o detector de mentiras), etc. CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 2 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS LA DERIVADA COMO TASA DE VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 2 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Ejerci ci o No. 1 – Quí mi ca La ley de Boyl e para los gases perfectos o ideales establece que a temperatura constante P.V=K donde P es la presión, V el volumen y K una constante. Si la presión está dada por la expresión: P(t) = 30 + 2t con P en cm. de Hg., t en seg. ; y el volumen inicial es de 60 cm 3 , determina la razón de cambio del volumen V con respecto al tiempo t a los 10 segundos. Sol uci ón: Se te pide en este ejercicio que determines la velocidad de cambio del volumen respecto del tiempo en el instante t = 10 seg., o sea, el valor de la derivada dt dV calculada en t= 10. La idea será entonces expresar el volumen V en función del tiempo t. Por un lado la ley de Boyle establece que P.V = K y por otro conocemos como varía la presión con el tiempo: P(t) = 30 + 2.t Basta entonces que despejemos el volumen de la ley de Boyle y luego sustituyamos la presión por su expresión en t. Tendremos entonces: ) ( ) ( t P K t V · Sustituyendo P(t) obtenemos finalmente: CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 2 ¡Diviértete! Si mañana es ayer, entonces hoy está muy lejos del domingo, porque hoy fue cuando ayer fue mañana. ¿Qué día es hoy? UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS t K t V 2 30 ) ( + · (1) Derivemos (1) y hallemos su valor en t = 10 ( ) 2 2 30 2 t K dt dV + − ·  2 50 2 ) 10 ( K dt dV − · (2) El dato de que el volumen inicial es de 60 cm 3 nos permite calcular la constante K. En efecto, para t=0 deberá ser V= 60. Sustituyendo en (1): 30 60 K ·  1800 · K Una vez obtenido el valor de K sustituimos en (2) y nos queda: 3 1.44 2500 3600 10 seg cm = = ) ( dt dV − − El signo negativo indica disminución. En definitiva el gas está disminuyendo su volumen a razón de 1.44 cm 3 por seg. a los 10 seg. de iniciado el proceso de compresión. Ejerci ci o No. 2 -Contami naci ón Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en el mar 100 m 3 de petróleo. Calcula con qué rapidez aumenta el radi o de la mancha cuando ese radio es de 50 m si el espesor disminuye a razón de 10 cm. por hora en el instante en que R = 50 m. Sol uci ón: Debes hallar en este ejercicio la velocidad con que aumenta el radio R a medida que la mancha se expande sobre la superficie del mar, en el instante en que R = 50m. CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 2 Espesor UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Podríamos pensar en hallar la expresión R(t) para derivarla posteriormente. Sin embargo no se te indica como dato del problema la forma en que el espesor h varía con el tiempo por lo que no lograremos encontrar R(t). Debes encarar el ejercicio partiendo de la relación entre el radio R y el espesor h que nos proporciona el volumen de la mancha que sabemos se mantiene constante. Tendremos: h R V . . 2 π · 0 ≥ ∀t (1) Derivemos ambos miembros de la igualdad (1) respecto de (t) debido a que el espesor h y el radio R está variando con respecto al tiempo según el enunciado del problema, los que nos queda: dt dh R dt dR dt dV . . . 2 π · (2) Como se puede observar en (2) se aplica el teorema del producto para derivar, por los que nos queda: , _ ¸ ¸ + · dt dh R h dt dR R dt dV . . . 2 2 π (3) Como V es constante, es decir independiente de t, sabemos que: 0 · dt dV lo que nos permite concluir de (3) que: 0 . . . 2 2 · , _ ¸ ¸ + dt dh R h dt dR R π Despejando dt dR obtenemos dt dh h R dt dR . 2 − · (4) CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 2 R=50 m Espesor h Curiosidades Matemáticas Un caracol decidió subir a un árbol de 154 m de altura. Durante cada día tenía tiempo de subir 5m. pero mientras dormía, por la noche, bajaba 4m ¿Cuándo llegó a la cima del árbol? UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Como tenemos el dato de que la altura de la mancha disminuye a razón de 10 hora cm. Entonces será: hora m dt dR 2 10 − − · De la relación (1) despejamos h, ya que tenemos el volumen y el radio: 2 .R V h π · ; Como V= 100 m 3 y R= 50 m  m h π π 04 , 0 50 . 100 2 · · Sustituyendo finalmente estos valores en la derivada en la ecuación (4), se obtiene: π π . 25 , 6 ) 10 .( ) 04 , 0 ( 2 50 2 · − − · − dt dR hora m La velocidad con que aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50 m, resulta entonces cercana a los 196,25 hora m Ejerci ci o No. 3- Termodinámi ca Una bebida se saca del refrigerador a una temperatura de 10 ºC y se deja en una habitación donde la temperatura es de 25ºC. Según la ley de enfriamiento de Newton (calentamiento sería en este caso el término apropiado) la temperatura T de la bebida variará en el tiempo de acuerdo a la expresión: kt e A t T − − · . 25 ) ( con A y k constantes. a) Sabiendo que al cabo de 20 minutos la temperatura de la bebida es de 15 ºC, calcula las constantes A y k. b) ¿Cuál será la temperatura de la bebida al cabo de una hora? Sol uci ón: a) La expresión de la temperatura en función del tiempo es: kt e A t T − − · . 25 ) ( (1) De las condiciones del problema podemos observar que para un tiempo (t=0) la temperatura de la bebida es 10 ºC, por lo tanto podemos sustituir estos valores en la expresión de enfriamiento de Newton: Para t = 0 T = 10 ºC CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 2 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS 0 . . 25 10 k e A − · A − · 25 10 Despejando A nos queda: A= 15 Luego para un tiempo de 20 minutos la Temperatura es de 15 ºC Sustituyendo en la ecuación (1) nos queda: ) 20 ( 15 25 15 k e − · Arreglando y aplicando logaritmo en ambos lados de la ecuación nos queda: ) 20 ( 15 10 k e − · − ) 15 ( ) 10 ( ) 20 ( k e Ln Ln · k Ln 20 15 10 − · 020 . 0 20 15 10 · − · Ln k b) ¿Cuál será la temperatura de la bebida al cabo de una hora? Al cabo de 1 hora tendremos: t= 60 min. C e T º 20 . 15 25 ) 60 ( 60 . 02 . 0 · − · − La bebida demora entonces aproximadamente 1 hora para aumentar su temperatura de 10 a 20 grados centígrados. Ejerci ci o No. 4 - Geometrí a El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de 4 cm 2 por minuto. Calcula la rapidez de variación de la longitud de sus lados cuando el área es de 200 cm 2 . Se supone que el triángulo se mantiene equilátero en todo instante. Sol uci ón: Si llamamos L al lado del triángulo equilátero, y a su altura h, por trigonometría sabemos cuanto es el valor de h, dado que un triangulo equilátero tiene 60º en cada uno de sus CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 2 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS ángulos, utilizando trigonometría ) ( ) ( º 60 L hipotenusa h sto catetoopue sen · de allí despejamos h, siendo la altura L h 2 3 · , entonces su área A será: 2 4 3 L A · (Ec. 1) Como nos dice el enunciado del problema tanto el área y por ende los lados del triangulo son función del tiempo t, es decir: ) (t A A · y ) (t L L · Se te pide la rapidez de variación de la longitud de los lados por lo que debes calcular dt dL para un área de 200 cm2 Derivando respecto de t la ecuación 1 obtenemos: dt dL L dt dA 2 4 3 · (Ec. 2) De la Ec. 2 debemos despejar dt dL y sustituir dt dA y L por sus valores correspondientes al instante en que A= 200 cm 2 entonces: De la Ec. 1 tenemos 2 4 3 200 L ·  L= 21,5 cm. Tomando en cuenta que el área disminuye a razón de 4 cm 2 /min. Esto significa CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 2 Curiosidades Matemáticas Un candado y su llave cuestan 1050 Bs., si el candado vale 100 Bs. más que la llave, cuanto cuesta el candado? Respuesta: 1025 Bs. UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS que . min 4 2 cm dt dA − · por lo tanto despejando de la ec. 2 dt dL y sustituyendo los valores nos queda: min 21 , 0 3 . 5 , 21 8 cm dt dL − · − · Ejerci ci o No. 5 – Quí mi ca Un globo esférico se llena con gas con un caudal constante Q = 100 m 3 /minuto. Suponiendo que la presión del gas es constante, halla la vel oci dad con que está aumentando el radio R del globo en el instante en que R=0.3 m. Sol uci ón: Siendo el globo esférico de radio R su volumen V será: 3 . . 3 4 R V π · Ec. 1 Como podemos observar en el enunciado el problema tanto el volumen como el radio del globo son función del tiempo mientras se este inflando el globo. Como se pide la velocidad con que varía el radio cuando su valor es de 0,3 m, deberás hallar el valor de la derivada de R respecto al tiempo, para el valor de R indicado. Comenzamos entonces derivando la Ec. 1 tenemos: dt dR R dt dR R dt dV . . 4 . 3 . 3 4 2 2 π π · · (Ec. 2) Tenemos que el caudal de gas con que se llena el gas es: . min 100 3 m dt dV Q · · . Sustituyendo los valores en la Ec. 2 tenemos: . min 9 25 3 . 4 100 4 3 2 2 m R Q dt dR π π π · · · El radio aumenta entonces con una velocidad cercana a 9 m 3 /min. en el instante en que R= 30 m CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 2 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Ejerci ci o No. 5 – Descarga de granos La caja de un camión transportador de granos está siendo llenada con el grano proveniente de un silo a razón de 0.5 m3 / min. El grano forma un cono circular recto cuya altura es constantemente igual a 5/4 del radio de la base. Calcula: a) ¿A qué velocidad está subiendo el vértice del cono cuando la altura es de 1.50 m? b) ¿Cuál es el radio de la base del cono en ese momento y a qué velocidad está variando? Sol uci ón: A medida que se produce la descarga del grano la relación entre el radio de la base y la altura se mantiene constante e igual a 4/5 por lo que los distintos conos son semejantes. El vértice del mismo sube verticalmente mientras que la circunferencia base aumenta su radio horizontalmente. a) En esta parte se te pide que calcules la velocidad con que está subiendo el vértice. Llamando h a la altura del cono deberás calcular dt dh en el instante en que h= 1.5 m CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 2 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS El volumen de grano en un instante t será: h R V . . . 3 1 2 π · (volumen de un cono) Ejerci ci o No.7– Vari aci ón de vol umen Un camión descarga arena formándose un montículo que tiene la forma de cono recto circular. La altura h va variando manteniéndose constantemente igual al radio r e la base. Cuando la altura es de 1m. Ella está aumentando a razón de 25 cm. / minuto. ¿Con qué rapidez está cambiando en ese instante el volumen V de arena? Sol uci ón: Ejerci ci o No. 8 - Termodi námi ca Una bebida se saca del refrigerador a una temperatura de 100 C y se deja en una habitación donde la temperatura es de 250 C. según la ley de enfriamiento de Newton (calentamiento sería en este caso el término apropiado) la temperatura T de la bebida variará en el tiempo de acuerdo a la expresión: kt e A t T − − · . 25 ) ( Con A y k constantes. a) Sabiendo que al cabo de 20 minutos la temperatura de la bebida es de 150 C, calcula las constantes A y k. b) Bosqueja el gráfico de la función T para t ≥ 0 y encuentra la expresión de la rapidez instantánea de calentamiento de la bebida. CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 3 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS c) Encuentra el instante en que esa rapidez es máxi ma y el instante en que ella es la mitad de la máxi ma. d) ¿Cuál será la temperatura de la bebida al cabo de una hora? Sol uci ón: Ejerci ci o No.9 – Propagaci ón de Epi demi a Un estudio realizado durante una epidemia que se propagó entre los animales del rodeo vacuno de nuestro país mostró que el número de animales afectados, t días después de iniciado el brote, respondió a una expresión del tipo: Kt Ae N t n − + · 1 ) ( N y A constantes, A>1, donde N era el número total de animales del rodeo nacional. a) Demuestra que la máxi ma velocidad de propagación de la enfermedad ocurrió cuando se infectó la mitad del rodeo. b) Bosqueja la función n para t ≥0 , y la función velocidad de propagación V. Sol uci ón: Ejerci ci o No.10 – Contaminaci ón Estudios realizados han permitido determinar que el nivel medio diario C de monóxido de carbono CO2 en el aire, en partes por millón (ppm), en una ciudad, está relacionado con la población p expresada en miles de habitantes por la siguiente expresión: 17 2 ) ( 2 + · p p C El aumento de población en esa ciudad en t años se estima que está dado por la relación siguiente: 2 1 , 0 1 , 3 ) ( t t p + · en miles de habitantes. ¿Con qué rapidez crees que estará variando la concentración de CO 2 en esa ciudad dentro de 3 años? CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 3 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Sol uci ón: Ejerci ci o No.11 – Vari aci ón de l a Pobl aci ón Un modelo matemático para estudiar la variación de la población mundial P ha supuesto que la misma está expresada por: P (T) = 5.e 0.0278 t t e t P . 0278 , 0 . 5 ) ( · con P en miles de millones de personas y t en años. En este modelo se han considerado constantes la tasa de natalidad (nacimientos por año) y de mortalidad (defunciones por año). Tomando t= 0 en el año l987: a) Bosqueja P como función de t para t ≥0. b) Calcula la tasa de variación instantánea de la población en el año l987. c) Calcula la población prevista para el año 2005 y la tasa de variación instantánea en ese año. d) ¿En qué tiempo se duplicaría la población existente en 1987 y cuando alcanzaría los 15.000 millones? e) ¿Crees adaptado a la realidad este modelo matemático? Sol uci ón: CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 3 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA 3 UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 2 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS APLICACIONES DE LA DERIVADA CONTENIDO CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 3 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Prólogo............................................................................................................ x– x Áreas, Perímetros y Volúmenes................................................................................ x Fórmulas Trigonométricas.................................................................................. x – x Tabla de Derivadas............................................................................................ x – x Selección de definiciones y teoremas............................................................... xx - xx CAPÍTULO 1 1 – 1 Introducción.......................................................................................... xx - xx 1 – 2 Enunciados de ejercicios........................................................................ xx – xx CAPÍTULO 2 2 – 1 Introducción......................................................................................... xx – xx 2 – 2 Enunciados de ejercicios...................................................................... xx – xxx Apéndice Unidades y equivalencias..................................................................................... xxx Ejercicios sugeridos............................................................................................. xxx Bibliografía.......................................................................................................... xxx AL ESTUDIANTE CAPITULO I PROF.: ING. ALEXIS ROSA La publicación está dividida en dos Capítulos. También una selección de definiciones y teoremas que has visto en el curso teórico y que deberás tener presentes para resolver los ejercicios del Capítulo 1. relativos a la aplicación del concepto de Derivada a problemas de las distintas disciplinas que involucran las diferentes carreras de Ingeniería de la Universidad Bolivariana de Venezuela.: ING. El Capítulo 2 está dedicado a problemas de Optimización y consta de xxxx ejercicios. Si este material que ponemos a tu disposición resulta de utilidad en tu formación matemática habremos alcanzado nuestro objetivo. con sus correspondientes resoluciones. Con esta Guía se espera que si aún no lo estás.UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 4 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS La presente publicación tiene por objetivo poner a tu disposición una amplia serie de ejercicios. llegues a convencerte de la importancia relevante que el concepto de Derivada tiene en la resolución de problemas relativos a la Ingeniería en sus distintas disciplinas. Se parte de la base de que estás familiarizado con los conceptos teóricos correspondientes a Funciones de Variable Real que tu docente del curso ha desarrollado respecto al concepto de Derivada. CAPITULO I PROF. y una tabla de derivadas. ALEXIS ROSA . Al comienzo de la publicación encontrarás un resumen de los conocimientos que deberás tener presentes para resolver los problemas propuestos así como una tabla de derivadas. áreas y volúmenes. Previo al Capítulo 1 encontrarás un resumen de fórmulas de perímetros. un resumen de fórmulas trigonométricas. El Capítulo1 se refiere a la derivada como índice matemático que expresa la tasa de Variación instantánea o rapidez de variación instantánea de una función y consta de XXXX ejercicios. Los enunciados de algunos de estos ejercicios corresponden a conocidos problemas que seguramente encontrarás en distintos textos de Matemática y algunos han sido modificados y/o adaptados para que su aplicación sea de mayor practicidad y cotidianeidad. UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 5 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Perímetros. Áreas y Volúmenes Triángulo CAPITULO I PROF. ALEXIS ROSA .: ING. ALEXIS ROSA .: ING.UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 6 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Rectángulo Hexágono Círculo Sector circular CAPITULO I PROF. ALEXIS ROSA . CAPITULO I PROF.UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 7 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS TRIGONOMETRÍA Unidades de medida de ángulos Grados Radianes Valores de líneas trigonométricas de algunos ángulos especiales.: ING. Secante: razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo. se pueden establecer seis razones. Las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son las siguientes: Seno: razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 8 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Debido a que un triángulo tiene tres lados.: ING. Tangente: razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente. dos entre cada pareja de estos lados. Cosecante: razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo. Cotangente: razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto. ALEXIS ROSA . Coseno: razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa. CAPITULO I PROF. Y. obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora). ALEXIS ROSA . sin 2 ( x ) + cos 2 ( x ) = 1 Es llamada identidad trigonométrica fundamental. el cuadrado de uno de los catetos es igual a la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto". y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más. muy útiles para problemas introductorias del tipo conocido el valor de la función seno. Por ejemplo. se tiene: tan 2 ( x ) + 1 = sec 2 ( x ) Calculando la recíproca de la expresión anterior: cot 2 (x) + 1 = csc 2 (x) Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida: CAPITULO I PROF. el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". si se divide ambos miembros por cos²(x) . "En todo triángulo rectángulo.: ING.UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 9 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Teorema de Pitágoras: "En todo triángulo rectángulo. De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios: Para ángulos complementarios: CAPITULO I PROF. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno. y las restantes de la recíproca correspondiente. ALEXIS ROSA .: ING.UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 1 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Teoremas de la suma y diferencia de ángulos Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. Identidades para la Reducción de Exponentes CAPITULO I PROF. y usando Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno.UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 1 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Para ángulos opuestos: Sin (− x ) = − sin( x ) Cos (− x ) = cos( x ) Tan (− x ) = − tan( x ) Csc (− x ) = − csc( x ) Sec (− x ) = sec( x ) Cot (− x ) = − cot( x ) Identidades del Ángulo Doble Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea sin(x + x) = sin (2x)) en las identidades anteriores. o de coseno solamente). o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando n = 2.: ING. ALEXIS ROSA . y el denominador es 2cos²(x/2) . ALEXIS ROSA . es posible resolver cos(x/2) y sin(x/2). El numerador es entonces sin(x) por la identidad del ángulo doble. Multiplicando tan(x/2) por 2cos(x/2) / (2cos(x/2)) y reemplazando sin(x/2) / cos(x/2) por tan(x/2). Identidades del Medio Ángulo Reemplazando x/2 por x en las anteriores. CAPITULO I PROF. La segunda identidad se obtiene multiplicando la primera por sin(x) / sin(x) y simplificando mediante la identidad pitagórica.1 + 1 que es cos(x) + 1 por la identidad del ángulo doble. Paso de Producto a Suma Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.: ING.UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 1 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sin²(x). ALEXIS ROSA ..: ING. B y C y el seno de sus respectivos ángulos opuestos a. b y c (aun falta agregar algunos teoremas de derivadas) CAPITULO I PROF..UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 1 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Paso de Suma a Producto Reemplazando x por (a + b) / 2 e y por (a – b) / 2 en las identidades de Producto a suma. se tiene: Teorema del coseno En todo triángulo «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido.» Teorema del seno En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados A. UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 1 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS CAPITULO I PROF. ALEXIS ROSA .: ING. por ejemplo. Termodinámica. ALEXIS ROSA . Puedes imaginar numerosos ejemplos de ello que seguramente te son familiares. Pensemos. etc.. Mecánica. Economía. sino conocer cuán rápido se produce esa variación. en una persona que cae a un río cuyas aguas se encuentran a muy baja temperatura.UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 1 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Capítulo 1 INTRODUCCIÓN En este Capítulo 1 te proponemos ejercicios tratando de que valorices la derivada de una función en un punto como indicador matemático de la rapidez instantánea de variación o tasa instantánea de variación de una función. En distintas disciplinas como Electricidad.: ING. Biología. Es claro que la temperatura corporal será función del tiempo que la persona permanezca en el agua y claro también es que la función será decreciente al CAPITULO I PROF. resulta de importancia fundamental no sólo saber que determinada magnitud o cantidad varía respecto de otra. Electrónica. etc. etc. la fuerza electromotriz inducida. ALEXIS ROSA . Este resultado no es una mera curiosidad geométrica sino que su alcance es relevante. De hecho muchas cantidades o magnitudes que conoces se definen justamente como derivada de otra.: ING. f x 0 ). f ( x 0 + h) − ( x 0 t B f ( x0 ) P A CAPITULO I x0 x0 + h PROF. Considera una función f de variable x. todas ellas respecto de la variable tiempo (t). y = f (x) s Detengámonos en este punto para ayudarte a recordar. De toda esa información dependerá que sepamos cuanto tiempo se tiene aún disponible para salvar la vida de la persona.UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 1 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS haber pérdida de calor del cuerpo hacia el agua tendiendo el mismo a alcanzar la Temperatura del agua dada la diferencia de masa entre ambos. en Electrotecnia. A título de ejemplo: la rapidez instantánea de un móvil se define como la derivada de la función espacio recorrido. El ángulo de desplazamiento del eje de una viga. como la derivada del flujo del campo magnético. y que esta pendiente además indica rapidez promedio de variación de la función en el intervalo (x 0 . f x 0 ). y esa información nos la dará justamente la derivada de la función en cuestión. la intensidad de corriente eléctrica como la derivada de la carga eléctrica respecto del tiempo. el gasto instantáneo. en Hidráulica. como derivada de la función “elástica de la viga”. como derivada del volumen respecto del tiempo. La disminución podría ser más rápida al principio de la caída e ir luego más lento. ocurrir exactamente lo contrario. En ( x 0 + h) (1) tenemos parte del gráfico representativo de la función y sea x 0 f la figura el punto del dominio que hemos elegimosf para) trabajar. la aceleración como derivada de la velocidad. Sin embargo en este problema resulta vital conocer la rapidez de disminución de la temperatura del cuerpo que por cierto no es lineal. Al respecto resulta importante que hayas entendido con claridad el significado de lo que en el curso teórico has llamado “Interpretación geométrica de la derivada” donde has demostrado que la derivada de una función f en un punto x 0 df ( x 0 ) representa la pendiente de la recta dx tangente al gráfico representativo de la función en el punto (x 0 . vale decir: f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) h Ec. 1 Si observamos la figura Nº 1 la recta secante s . corta a la curva y = f(x). El incremento h puede ser tanto positivo como negativo. Incrementamos ahora nuestra variable x en un valor h arbitrario y pasamos al nuevo punto x 0 + h. ALEXIS ROSA .UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 1 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS h Figura Nº 1 Recuerda que llamamos “punto” al valor x 0 y no al punto geométrico P. Consideremos ahora el cociente de ambos incrementos. en los puntos A y B. La diferencia f (x 0 + h) . Veamos que ha ocurrido con la función f. En el punto x 0 el valor funcional es f(x 0 ) y en el punto x 0 + h es f (x 0 + h). Su pendiente es: m = f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) h CAPITULO I PROF. En el caso de la figura lo hemos tomado positivo moviéndonos en consecuencia hacia la derecha de x 0 .: ING.f(x 0 ) indica en valor y signo la variación del valor de la función provocado por el incremento h de la variable x A esa diferencia se le llama “incremento de la función en el punto x 0 correspondiente al incremento h” En la figura (1) este incremento es la medida del segmento PB. : ING. ALEXIS ROSA . el límite de la recta secante s. Debes tener presente entonces que cuando calculas la derivada de una función f en un punto x 0 obtienes el coeficiente de incremento de la recta tangente al gráfico de la CAPITULO I PROF. es la recta tangente t Por lo tanto cuando h tiende a cero la pendiente de la recta secante se convierte en la pendiente de la recta tangente en x0 f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) = f ′( x ) h m tan g = lim h →0 Queda probado que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente en dicho punto. Si esa sucesión de valores del cociente incremental tiene límite finito para cuando h tiende a cero 0 habremos obtenido la rapidez instantánea de variación de la función en x 0. El paso al límite que has efectuado posteriormente te permite entonces concluir que el número real que has obtenido como derivada de la función f en el punto x 0 no es más que el coeficiente de incremento de la recta tangente al gráfico en el punto P. x 0 + h]. Cuando B → P. hasta confundirse con él.UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 1 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Si el punto B se va acercando al punto P. Es al valor de ese límite que hemos llamado “derivada de la función en el punto x 0” Desde el punto de vista gráfico has visto que el cociente incremental es la pendiente de la recta tangente. Es importante que comprendas que este cociente incremental indica la rapidez promedio de variación de la función en el intervalo [x 0 . Si disminuimos el valor del incremento h iremos obteniendo nuevas tasas promedio de variación de la función. 1 se le denomina “cociente incremental o cociente de incremento en el punto x 0 ”. en general diferentes (excepto si la función es del tipo f(x) = Kx en cuyo caso el cociente incremental dará siempre constante e igual a K). la recta secante s. se transforma en la recta tangente t es decir. Por otra parte es importante que entiendas que el cociente indicado como Ec. que es equivalente a decir que h→0. en calorias horas .UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 1 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS función en el punto (x 0 .   dt  está cediendo energía el dispositivo en ese instante medida. pero la información que has conseguido no es meramente una información geométrica. ALEXIS ROSA . por ejemplo el tiempo. en un problema de Termodinámica.  dE  (t 0 )  habrás obtenido con qué rapidez Si calculas la derivada en algún instante t 0 . nuestra función f representará la función energía E. si esas son las unidades con que estás trabajando. Después de definir derivada en un punto has visto el concepto de función derivada. Supongamos que has representado gráficamente cierta función f representativa de cierta magnitud que interviene en un fenómeno como función de otra magnitud. f(x 0 )). Por ejemplo si estás estudiando la variación en el tiempo de la energía E dada por un dispositivo de algún tipo. nuestra variable x representará al tiempo t y nuestras f(x) representarán los valores de E(t) . Ten presente que a la hora de resolver problemas de la realidad. A esta nueva función. Conocerás cuándo la magnitud en cuestión aumenta y entre qué instantes. cuando se producen sus máximos y/o mínimos y cuales son sus valores. Esta información te permite obtener la rapidez con que está variando la función en el punto considerado. Cuanto mayor sea el valor absoluto de la derivada en el punto. y esta información es de vital importancia en una variedad enorme de problemas de distintas disciplinas. Esa derivada que has calculado no es otra cosa que la “potencia” del dispositivo en ese instante. por ejemplo. digamos. la sola visualización de la curva te permite obtener variada información sobre lo que está ocurriendo en el fenómeno. debes concederle toda la importancia que realmente tiene. nuestras funciones f representarán magnitudes o cantidades que varían en función de otras magnitudes o cantidades a las cuales representará nuestra variable x. CAPITULO I PROF.: ING. cuándo disminuye. más rápido varía la función en él. asociada a tu función original. aplicando modelos funcionales. : ING. no es posible obtener una expresión analítica de la magnitud a estudiar. Tendrás entonces un panorama mucho más completo del desarrollo del fenómeno con toda la información adicional que te permite obtener la función derivada. en su justa medida.UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 2 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Pero puedes obtener aún más información cualitativa si imaginas como van variando las pendientes de las rectas tangentes en los distintos puntos de la curva. ALEXIS ROSA . por ejemplo . podrás decidir eventualmente que tu función aumenta cada vez más rápido hasta cierto instante a partir del cual si bien sigue aumentando lo hace cada vez más lentamente ( punto de inflexión de la gráfica) o a la inversa. procediéndose luego a la interpretación de la misma. Piensa. en los electrocardiogramas. incluso la representación gráfica de la función derivada te permitiría tener una idea rápida y más acabada de cómo transcurre el fenómeno en estudio. etc. poligramas (polígrafo o detector de mentiras). recurriéndose entonces a instrumentos adecuados para obtener su representación gráfica. si aumenta o disminuye la “rapidez” con que la función aumentaba o disminuía sus valores . En muchos fenómenos. el aprender a interpretar gráficas obteniendo de ellas toda la información que realmente contienen. incluso. Podrás concluir . sismogramas. CAPITULO I PROF. Es claro que si obtuvieras la expresión analítica de la función derivada podrías obtener datos cuantitativos de todo lo anterior. Espero que todo lo dicho te haga valorar. por ejemplo. ALEXIS ROSA .UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 2 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS LA DERIVADA COMO TASA DE VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN CAPITULO I PROF.: ING. . y el volumen inicial es de 60 cm3.t Basta entonces que despejemos el volumen de la ley de Boyle y luego sustituyamos la presión por su expresión en t. t en seg. Por un lado la ley de Boyle establece que P. ¿Qué día es hoy? CAPITULO I PROF. porque hoy fue cuando ayer fue mañana.: ING. Solución: Se te pide en este ejercicio que determines la velocidad de cambio del volumen respecto del tiempo en el instante t = 10 seg. el valor de la derivada dV dt ¡Diviértete! calculada en t= 10. de Hg. 1 – Química La ley de Boyle para los gases perfectos o ideales establece que a temperatura constante P.V=K donde P es la presión. determina la razón de cambio del volumen V con respecto al tiempo t a los 10 segundos. entonces hoy está muy lejos del domingo. La idea será entonces expresar el volumen V en función del tiempo t. Tendremos entonces: V (t ) = K P (t ) Sustituyendo P(t) obtenemos finalmente: Si mañana es ayer.V = K y por otro conocemos como varía la presión con el tiempo: P(t) = 30 + 2. o sea.UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 2 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Ejercicio No. V el volumen y K una constante. Si la presión está dada por la expresión: P(t) = 30 + 2t con P en cm. ALEXIS ROSA .. . UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 2 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS K V (t ) = 30 + 2t (1) Derivemos (1) y hallemos su valor en t = 10 dV 2K =− dt ( 30 + 2t ) 2  dV 2K (10 ) = − 2 dt 50 (2) El dato de que el volumen inicial es de 60 cm3 nos permite calcular la constante K. 3 Espesor Calcula con qué rapidez aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50 m si el espesor disminuye a razón de 10 cm. Ejercicio No. ALEXIS ROSA . En efecto. de iniciado el proceso de compresión. CAPITULO I PROF.: ING. para t=0 deberá ser V= 60. en el instante en que R = 50m. Sustituyendo en (1): 60 = K 30  K = 1800 Una vez obtenido el valor de K sustituimos en (2) y nos queda: dV 3600 cm ( 10 ) = − = −1. a los 10 seg.44 cm3 por seg. 2 -Contaminación Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en el mar 100 m3 de petróleo. Solución: Debes hallar en este ejercicio la velocidad con que aumenta el radio R a medida que la mancha se expande sobre la superficie del mar. por hora en el instante en que R = 50 m. En definitiva el gas está disminuyendo su volumen a razón de 1.44 dt 2500 seg El signo negativo indica disminución. dt dt dt Un caracol (2) decidió subir a Como se puede observar en (2) se aplica el teorema del producto un árbol de para derivar. Sin embargo no se te indica como dato del problema la forma en que el espesor h varía con el tiempo por lo que no lograremos encontrar R(t). . por los que nos queda: 154 m de altura.  (3) Durante dt dt dt   cada Como V es constante. dV dR dh   = π  2 R.h + R 2 . Tendremos: V = π. ALEXIS ROSA . . bajaba dR dR R dh =− . los que nos queda: dV dR dh = π. Despejando obtenemos (4) 4m dt 2h dt dt ¿Cuándo llegó a CAPITULO I la cima del árbol? PROF.R 2 . Debes encarar el ejercicio partiendo de la relación entre el radio R y el espesor h que nos proporciona el volumen de la mancha que sabemos se mantiene constante.  =0 dt dt   la noche. dt pero mientras dR dh   dormía. sabemos que: día tenía tiempo de dV = 0 lo que nos permite concluir de (3) que: subir 5m.: ING.R 2 . es decir independiente de t. .UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 2 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS R=50 m Espesor h Podríamos pensar en hallar la expresión R(t) para derivarla posteriormente. por π  2 R.h + R 2 .h ∀ ≥0 t (1) Curiosidades Matemáticas Derivemos ambos miembros de la igualdad (1) respecto de (t) debido a que el espesor h y el radio R está variando con respecto al tiempo según el enunciado del problema. por lo tanto podemos sustituir estos valores en la expresión de enfriamiento de Newton: Para t = 0 CAPITULO I PROF.e − kt (1) De las condiciones del problema podemos observar que para un tiempo (t=0) la temperatura de la bebida es 10 ºC. Según la ley de enfriamiento de Newton (calentamiento sería en este caso el término apropiado) la temperatura T de la bebida variará en el tiempo de acuerdo a la expresión: T (t ) = 25 − A.: ING. hora De la relación (1) despejamos h.50 π .25 . Como V= 100 m y R= 50 m  π π.UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 2 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Como tenemos el dato de que la altura de la mancha disminuye a razón de 10 Entonces será: dR m = −10 −2 dt hora cm. b) ¿Cuál será la temperatura de la bebida al cabo de una hora? Solución: a) La expresión de la temperatura en función del tiempo es: T (t ) = 25 − A. a) Sabiendo que al cabo de 20 minutos la temperatura de la bebida es de 15 ºC.Termodinámica Una bebida se saca del refrigerador a una temperatura de 10 ºC y se deja en una habitación donde la temperatura es de 25ºC. ya que tenemos el volumen y el radio: h= V 100 0. resulta entonces cercana a los 196.( −10 −2 ) = 6. ALEXIS ROSA T = 10 ºC .e − kt con A y k constantes. 3. se obtiene: m hora π La velocidad con que aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50 m. calcula las constantes A y k.π 0.R dR =− dt 50 .04 3 h= = m 2 2 .04 2( ) Sustituyendo finalmente estos valores en la derivada en la ecuación (4).25 m hora Ejercicio No. Ejercicio No.60 = 20º C La bebida demora entonces aproximadamente 1 hora para aumentar su temperatura de 10 a 20 grados centígrados.020 k= − 20 Ln b) ¿Cuál será la temperatura de la bebida al cabo de una hora? Al cabo de 1 hora tendremos: t= 60 min.0 10 = 25 − A Despejando A nos queda: A= 15 Luego para un tiempo de 20 minutos la Temperatura es de 15 ºC Sustituyendo en la ecuación (1) nos queda: 15 = 25 − 15e k ( 20 ) nos queda: Arreglando y aplicando logaritmo en ambos lados de la ecuación − 10 = −15e k ( 20 ) 10 Ln = −20 k 15 Ln(10) = Ln(15e k ( 20 ) ) 10 15 = 0. por trigonometría sabemos cuanto es el valor de h.e k . Solución: Si llamamos L al lado del triángulo equilátero.e −0. Calcula la rapidez de variación de la longitud de sus lados cuando el área es de 200 cm2. y a su altura h. Se supone que el triángulo se mantiene equilátero en todo instante.: ING.UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 2 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS 10 = 25 − A. T (60) = 25 − 15. ALEXIS ROSA .Geometría El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de 4 cm2 por minuto. 4 . dado que un triangulo equilátero tiene 60º en cada uno de sus CAPITULO I PROF.02. : ING. 2) = 2L dt 4 dt De la Ec. ALEXIS ROSA . siendo 3 2 L (Ec. 2 debemos despejar dL dA y sustituir y L por sus valores dt dt Un candado y su llave cuestan 1050 Bs. Tomando en Esto significa cuenta que el área disminuye a razón de 4 cm2/min. entonces su área A será: 2 de allí despejamos h. CAPITULO I PROF.. cuanto cuesta el candado? correspondientes al instante en que A= 200 cm2 entonces: De la Ec. Respuesta: 1025 Bs. 1) 4 Curiosidades Matemáticas Como nos dice el enunciado del problema tanto el área y por ende los lados del triangulo son función del tiempo t.UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 2 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS catetoopuesto(h) ángulos. utilizando trigonometría sen60º = hipotenusa( L) la altura h = A= 3 L . más que la llave.5 cm. 1 tenemos 200 = 3 2 L  4 L= 21. si el candado vale 100 Bs. es decir: A = A(t ) y L = L(t ) Se te pide la rapidez de variación de la longitud de los lados por lo que debes calcular dL para un área de 200 cm2 dt Derivando respecto de t la ecuación 1 obtenemos: dA 3 dL (Ec. Suponiendo que la presión del gas es constante.π . Como se pide la velocidad con que varía el radio cuando su valor es de 0.3 2 9π min . 1 3 Como podemos observar en el enunciado el problema tanto el volumen como el radio del globo son función del tiempo mientras se este inflando el globo. deberás hallar el valor de la derivada de R respecto al tiempo. 2) dt 3 dt dt Tenemos que el caudal de gas con que se llena el gas es: Q= dV m3 = 100 . Sustituyendo los valores en la Ec.3 m.UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 2 2 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS dL dA cm = −4 que por lo tanto despejando de la ec. dR Q 100 25 m 3 = = = dt 4πR 2 4π .5. 2 y sustituyendo los valores nos dt dt min . Comenzamos entonces derivando la Ec. (Ec.R 2 . queda: dL −8 cm = = −0. halla la velocidad con que está aumentando el radio R del globo en el instante en que R=0. El radio aumenta entonces con una velocidad cercana a 9 m3/min. 2 tenemos: dt min .3 m. 3 min Ejercicio No. para el valor de R indicado.3R 2 . = 4π . ALEXIS ROSA .R 3 Ec. Solución: Siendo el globo esférico de radio R su volumen V será: 4 V = . 1 tenemos: dV 4π dR dR = . en el instante en que R= 30 m CAPITULO I PROF.21 dt 21.: ING. 5 – Química Un globo esférico se llena con gas con un caudal constante Q = 100 m3 /minuto. El grano forma un cono circular recto cuya altura es constantemente igual a 5/4 del radio de la base.: ING.5 m dt PROF. ALEXIS ROSA . El vértice del mismo sube verticalmente mientras que la circunferencia base aumenta su radio horizontalmente. 5 – Descarga de granos La caja de un camión transportador de granos está siendo llenada con el grano proveniente de un silo a razón de 0.5 m3 / min. a) En esta parte se te pide que calcules la velocidad con que está subiendo el vértice. Calcula: a) ¿A qué velocidad está subiendo el vértice del cono cuando la altura es de 1.UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 2 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Ejercicio No. Llamando h a la altura del cono deberás calcular CAPITULO I dh en el instante en que h= 1.50 m? b) ¿Cuál es el radio de la base del cono en ese momento y a qué velocidad está variando? Solución: A medida que se produce la descarga del grano la relación entre el radio de la base y la altura se mantiene constante e igual a 4/5 por lo que los distintos conos son semejantes. Termodinámica Una bebida se saca del refrigerador a una temperatura de 100 C y se deja en una habitación donde la temperatura es de 250 C. 8 . Ella está aumentando a razón de 25 cm.R . según la ley de enfriamiento de Newton (calentamiento sería en este caso el término apropiado) la temperatura T de la bebida variará en el tiempo de acuerdo a la expresión: T (t ) = 25 − A. ALEXIS ROSA . CAPITULO I PROF. ¿Con qué rapidez está cambiando en ese instante el volumen V de arena? Solución: Ejercicio No.e −kt Con A y k constantes. a) Sabiendo que al cabo de 20 minutos la temperatura de la bebida es de 150 C. Cuando la altura es de 1m.h (volumen de un cono) 3 Ejercicio No.UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 3 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS 1 2 El volumen de grano en un instante t será: V = . / minuto. calcula las constantes A y k.: ING. b) Bosqueja el gráfico de la función T para t ≥ 0 y encuentra la expresión de la rapidez instantánea de calentamiento de la bebida. La altura h va variando manteniéndose constantemente igual al radio r e la base.7– Variación de volumen Un camión descarga arena formándose un montículo que tiene la forma de cono recto circular.π . en partes por millón (ppm).10 – Contaminación Estudios realizados han permitido determinar que el nivel medio diario C de monóxido de carbono CO2 en el aire.: ING. a) Demuestra que la máxima velocidad de propagación de la enfermedad ocurrió cuando se infectó la mitad del rodeo. ¿Con qué rapidez crees que estará variando la concentración de CO2 en esa ciudad dentro CAPITULO I PROF. A>1. Solución: Ejercicio No.9 – Propagación de Epidemia Un estudio realizado durante una epidemia que se propagó entre los animales del rodeo vacuno de nuestro país mostró que el número de animales afectados. en una ciudad. donde N era el número total de animales del rodeo nacional. t días después de iniciado el brote. b) Bosqueja la función n para t ≥0 .1 +0. y la función velocidad de propagación V. ALEXIS ROSA .UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 3 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS c) Encuentra el instante en que esa rapidez es máxima y el instante en que ella es la mitad de la máxima. d) ¿Cuál será la temperatura de la bebida al cabo de una hora? Solución: Ejercicio No.1t 2 de 3 años? en miles de habitantes. respondió a una expresión del tipo: n(t ) = N 1 + Ae −Kt N y A constantes. está relacionado con la población p expresada en miles de habitantes por la siguiente expresión: C ( p) = p2 + 17 2 El aumento de población en esa ciudad en t años se estima que está dado por la relación siguiente: p (t ) =3. En este modelo se han considerado constantes la tasa de natalidad (nacimientos por año) y de mortalidad (defunciones por año). ALEXIS ROSA .e 0.e 0. 0278 . Tomando t= 0 en el año l987: a) Bosqueja P como función de t para t ≥0. d) ¿En qué tiempo se duplicaría la población existente en 1987 y cuando alcanzaría los 15.11 – Variación de la Población Un modelo matemático para estudiar la variación de la población mundial P ha supuesto que la misma está expresada por: P (T) = 5. c) Calcula la población prevista para el año 2005 y la tasa de variación instantánea en ese año.000 millones? e) ¿Crees adaptado a la realidad este modelo matemático? Solución: P (t ) =5.t con P en miles de millones de personas y t en CAPITULO I PROF.: ING.0278 t años.UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 3 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS Solución: Ejercicio No. b) Calcula la tasa de variación instantánea de la población en el año l987. : ING. ALEXIS ROSA .UNIVERSIDAD BOLIVARIANA DE VENEZUELA 3 GUÍA DE APLICACIÓN DE DERIVADAS CAPITULO I PROF.