GUÍA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 2X2 Y 3X3.pdf

INSTITUCIÓN EDUCATIVA GABRIELTRUJILLO CORREGIMIENTO DE CAIMALITO, PEREIRA Mi felicidad consiste en que sé apreciar lo que tengo y no deseo con exceso lo que no tengo León Tolstoi SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS DESEMPEÑOS Reconocer y resolver los sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas en situaciones problemáticas. INDICADORES DE LOGROS  Reconoce los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.  Reconoce los sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas.  Construye sistemas de ecuaciones lineales 2 X 2 , 3 X 3 a partir de una situación problema. CONTENIDOS: 1. Sistemas 2x2      Método Gráfico. Método por sustitución. Método por reducción. Método por igualación. Método por determinantes. 2. Sistemas 3x3  Método analítico.  Método por determinantes. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Hemos visto que las ecuaciones lineales de dos incógnitas nos permiten describir las situaciones planteadas en distintos problemas. Hemos observado que cada una de ellas admite infinidad de soluciones y hemos encontrado la recta que representa a todas las soluciones de una ecuación lineal. Hasta ahora hemos trabajado con situaciones en las cuales una sola ecuación permite expresar la condición que presenta el problema. En muchos casos nos enfrentamos a problemas en los que se plantea más de una condición, por lo que es necesario plantear más de una ecuación. Decimos que las ecuaciones que expresan las condiciones de un porque como vimos en el tema anterior. A continuación veremos cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. MÉTODO GRAFICO Este método recibe el nombre de resolución gráfica de sistemas de ecuaciones. pero es imposible pensar en "probar" con todos los números cuya suma sea 12. es decir que estos números cumplen con las dos condiciones que se habían planteado. ¿Cuáles son esos números? En este problema se nos pide que encontremos dos números que cumplan con dos condiciones: • Que su suma sea 12 • Que su diferencia (es decir la resta de estos dos números) sea 6. de lo contrario la diferencia no sería positiva.problema forman un sistema de ecuaciones. y = 3 es solución del problema ya que 9 + 3 = 12 y 9 – 3 = 6. Como lo hemos hecho en otras situaciones. se las denomina sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y suelen expresarse del siguiente modo: Una forma de encontrar la solución de este problema es buscar pares de valores que cumplan una de las condiciones. Al llenar la tabla anterior vemos que la pareja de valores x = 9. Podríamos preguntarnos si es la única pareja de valores que cumplen ambas condiciones. por ejemplo que su suma sea 12. son infinitas las parejas de valores que cumplen una condición de ese estilo. empezaremos con un ejemplo: La suma de dos números es 12 y su diferencia es 6. podemos expresar cada condición por medio de una ecuación: • x + y = 12 •x– y=6 A expresiones como la anterior. Para comenzar es bueno tener en cuenta que el valor de x debe ser mayor que el de y. y posteriormente ver cuál de ellos cumple también con la segunda. METODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2X2 A continuación veremos varios métodos prácticos que nos permiten dar solución a este tipo de problemas. Si llamamos “x” a uno de los números y llamamos “y” al otro. Para resolver el sistema anterior: . Comenzaremos por encontrar la gráfica de soluciones de cada ecuación. Es decir. la suma de las coordenadas de cualquiera de ellos es 12. Como ya sabemos que cada gráfica es una recta. Cada ecuación tiene infinitas soluciones. o lo que es lo mismo. por tanto escribiremos la ecuación de la forma explícita y para encontrarla bastará con elegir dos puntos cualesquiera. es decir que la diferencia de sus coordenadas es igual a 6. Como ya dijimos. Del mismo modo procedemos para encontrar la recta que representa a todas las soluciones de la ecuación x – y = 6. es decir la recta que contiene a todas las soluciones de cada ecuación. si leemos las coordenadas del punto A encontramos los valores de x y de y. Si trazamos en el mismo par de ejes las dos rectas podemos observar que se cruzan en un punto. pero nosotros buscamos una pareja de números que sea solución de ambas. El punto A pertenece a ambas rectas. Entonces los números buscados son 9 y 3. que es la solución al problema planteado. Para verificar este resultado sustituimos la x por 9 y la y por 3 en las dos ecuaciones que forman el sistema: . Así obtenemos la recta siguiente: Todos los puntos de esta recta son solución de la segunda ecuación. podemos tomar los puntos de las parejas que anotamos en la tabla anterior. para la ecuación x + y = 12. cada punto de esta recta es solución de la primera ecuación. En este caso. De este modo encontramos la recta que se muestra en la gráfica a continuación. y por otro la diferencia de sus coordenadas es igual a 6 (línea punteada). por lo que sus coordenadas cumplen las dos condiciones o relaciones planteadas: por un lado la suma de sus coordenadas es igual a 12 (l ínea lisa). 4. En la circunstancia anterior. MÉTODO POR SUSTITUCIÓN Cuando poseemos dos incógnitas pero una de ellas se escribe en términos de la otra. 3. “¡El que bien atiende. . ¿Cuántos años tiene Andrés y Sara? En este caso. Remplazamos el valor hallado en la otra ecuación del sistema. Verificamos los valores encontrados remplazándolos en cada ecuación. para expresar la situación planeada se ha usado un sistema de ecuaciones con dos incógnitas el cuál solucionamos utilizando el método de sustitución. si x es la edad de Andrés e y es la edad de Sara. 3) es el único par de valores que satisface simultáneamente las dos ecuaciones ya que no hay otro punto que pertenezca a ambas rectas. bien aprende. pero la edad de Andrés es e l doble de la de Sara. si además de oír entiende!” Taller 1 1. Pasos para utilizar el método de sustitución para solucionar un sistema de ecuaciones lineales: 1. en definitiva tenemos una sola variable. Las boletas para el basar del colegio tienen un precio de $20000 para adultos y $12000 para jóvenes menores de 12 años. que podemos solucionar mediante operaciones algebraicas elementales. dejando una sola variable. 3.x + y = 12 9 + 3 = 12 x–y=6 9–3=6 Observe que las rectas sólo se cortan en el punto A: podemos afirmar que (9. En una de las ecuaciones. 2. Si sabemos que la suma de las edades de Andrés y Sara es 27. Resuelva por el método de sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. y hallamos el valor correspondiente a la otra incógnita. entonces el problema se limita en encontrar los valores de estas variables con las condiciones: x + y = 27 x = 2y Remplazamos el valor de x = 2y en la primera ecuación y obtenemos una ecuación con una sola incógnita. despejamos una de las variables en términos de la otra. Despejamos numéricamente la incógnita. Completa la información y calcula cuantos adultos y cuantos menores de 12 años asisten de la familia de Juan al bazar. Calcula las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es 74cm y el largo es 2cm menos que el doble del ancho. 2. Sustituimos ese valor o la expresión hallada en la otra ecuación. la cual podemos solucionar así: X + y = 27 (2y) + y = 27 3y = 27 y = 27/3 = 9 De esta forma concluimos que Sara tiene 9 años y que Andrés tiene 18 años. La familia de Juan compra 8 boletas para el bazar y el costo total es de $120000. Lo más fácil es suprimir la y. ¿Cuántas preguntas de cada tipo hay en el examen? Traza la gráfica de las ecuaciones. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método por eliminación: 2. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. Restamos y resolvemos la ecuación: S ustituimos el va lor de y en la segunda ecua ción inicia l. multiplicándolas por los números que convenga.Boletas Adultos Jóvenes Total Precio Cantidad Costo MÉTODO DE REDUCCIÓN Se preparan las dos ecuaciones. Las preguntas tipo A tienen un valor de 5 puntos y las de tipo B. La restamos. En un examen de 100 puntos hay 30 preguntas. y desaparece una de las incógnitas. . para que veamos mejor el proceso. de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones. pero vamos a optar por suprimir la x. S olución: Taller 2 1. 3 puntos. Se resuelve la ecuación resultante. Tipo De Examen A B Total 3. Se recibieron 128 mensajes y se recaudó por ellos $226500. ¿Cuántos mensajes de cada tipo se publicaron? Tipos Costo Cantidad Costo De De Total Mensajes Mensajes A B Total . el periódico escolar publicó mensajes de dos tipos. Valor Cantidad Valor Total De Preguntas Para el día del amor y la amistad. A y B . Los mensajes de tipo B podían tener entre 7 y 15 palabras y su costo era de $2300. Los mensajes de tipo A podían contener hasta 6 palabras y su costo era de $1200. Igualamos las ecuaciones (b) y (c): 25 – y = 2y + 4 3y = 21 Y=7 Años Sustituimos el valor de “Y” en la ecuación (b) y tenemos que: x = 25 – 7 x = 18 Años. Taller 3 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método por igualación: 1. ¿qué edad tiene cada uno? 1. 2. Si entre los dos suman 25 años. los resultados están en la razón 3: 2. Solución De Sistemas De Ecuaciones 2x2 Este determinante se denota con la letra griega delta ().MÉTODO POR IGUALACIÓN Veamos el siguiente ejemplo: Jorge tiene el doble más 4 años que la edad de María. más el segundo sea igual al doble de este último. Despejando en ambas ecuaciones la variable x. Un padre reparte $10000 entre sus dos hijos. Construimos las ecuaciones: 2. Si se divide un ángulo recto en dos ángulos agudos. Encuentra dos números tales que si a cada uno le agregamos siete unidades. Al mayor le da $2000 más que al menor. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno? 4. tenemos: (b) (c) 3. y el doble del primero. y se llama determinante de los coeficientes. . de modo que uno sea el doble del otro más 3º. la razón es 5: 2. MÉTODO POR DETERMINANTES A todo sistema de ecuaciones le podemos asociar una matriz de sus coeficientes. ¿cuál es la medida de cada uno? 3. Encuentra dos números cuya suma sea igual a 30. pero si les restamos cinco unidades. y = -2. el valor de la variable x se puede expresar como: De igual manera analicemos el valor de: El numerador es la solución de un determinante 2x2. cuyos elementos son: Este proceso se conoce con el nombre de Regla de Cramer Teniendo en cuenta: Resolver por determinantes el siguiente sistema lineal 2x2. Calculamos el determinante de los coeficientes: Como   o. Como: El numerador es la solución de un determinante 2x2 cuyos elementos son: Por consiguiente.Ahora hagamos un análisis similar con el numerador de la variable x. Calculamos el valor de x: Calculamos el valor de y: Luego. la solución del sistema es x = 5. ¡Intentémoslo de nuevo! Encontrar la solución del sistema de ecuaciones 2x2 por el método de determinantes: . procedemos a solucionar el sistema lineal. ¿Cuál es la fracción? 5. y la suma del menor y el mayor es 110°. Otro extranjero paga su cuenta de $4330. ¿Cuáles son los valores de los ángulos x e y del siguiente diagrama? Sugerencia: Plantea el sistema de ecuaciones. recibiendo $75 de vuelto. resulta que uno queda con el triple del otro. recibiendo $25 de vuelto. Si se disminuye el numerador en 3 unidades y se aumenta el denominador en 5 unidades. Para pagar una cuenta de $3900. el nuevo valor es igual a 3. El valor de una fracción es 1. en pesos. un extranjero entrega 9 libras esterlinas y 15 dólares. ¿Cuántos libros había originalmente en cada estante? 3. Dos estantes contienen en total 40 libros. y la suma del mediano y el menor es 110. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3X3 Método de Gauss El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente. La suma del ángulo mediano y el ángulo mayor es 135°. El perímetro de un rectángulo es 30cm. . se han cotizado las libras esterlinas y los dólares? 4. 8. Encuentra dos números tales que su suma sea 42 y su diferencia 6.Taller 4 1. 7. Al traspasar 5 libros de un estante a otro. El doble de la base tiene 6cm más que la altura. con 15 libras esterlinas y 9 dólares. Halla los ángulos. La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°. En un triángulo la suma del ángulo menor y el mediano es 100°. ¿A qué cambio. 6. Halla la medida de los ángulos. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? 2. para hacer reducción y eliminar el término en y.Resolución por el método de Gauss 1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1. para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. trasformadas. cambiando el orden de las incógnitas. 6º Encontrar las soluciones. 2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación. en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z. E ' 3 = E 3 − 5E 1 4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª. para eliminar el término en x. E'' 3 = E' 3 − 2E' 2 5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado. z = 1 −y + 4 · 1 = −2 x + 6 − 1 = 1 y = 6 x = −4 Método por determinante . Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación: E ' 2 = E 2 − 3E 1 3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación. Los términos la diagonal con signo secundaria y .0 .2 · 0 · 4 . de formados por las diagonales los elementos de paralelas con su .1 · 2 · (-2) . Los términos la diagonal con signo principal y + están los de formados por las diagonales los elementos de paralelas con su correspondiente vértice opuesto. = 3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 .a12 a21 a 33 .(-15) = = 44 + 4 + 15 = 63 Regla de Sarrus La regla de Sarrus es una utilidad para calcular determinantes de orden 3.3 · (-5) · 1 = = 24 + 20 + 0 .a11 a23 a32.Determinante de orden tres = = a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 – a 13 a22 a31 .están los correspondiente vértice opuesto .(-4) . Ejemplo Taller 5 Resolver analíticamente y por determinante los siguientes sistemas de ecuaciones de 3X3 1 2 3 DIEGO ALONSO CASTAÑO ALZATE Docente .