Guia de Procesos de Poisson

Guía de Ejercicios de Procesos de PoissonRecopilación de Problemas preparado por Denis Sauré 1 1. Problemas de Procesos de Poisson 1. Se tiene una central telef´onica que recibe llamadas de acuerdo a un proceso de Poisson con tasa λ = 5 [llamadas/hora]. Se define con N(t, t ) el n´ umero de llamadas que se han recibido entre t y t . El servicio ha comenzado a operar a las 7:00 de la ma˜ nana y se sabe que N(7, 9)=7. a) Si el operador no ha recibido ninguna llamada desde las 8:45 hrs. ¿cu´al es la probabilidad de que la siguiente llamada ocurra antes de las 9:15 hrs. ?. b) ¿Cu´al es la probabilidad de que el operador est´e ocioso por m´as de 40 minutos (comenzando a las 8:45)?. c) ¿Cu´al es la probabilidad de que a las 10:00 hrs. se hayan recibido 25 llamadas en total?. d) Si el operador trabaja un turno de 8 horas ¿cu´antos llamados recibir´a en promedio ?. ¿cu´al ser´a la varianza ?. e) El operador ha estado muy ocupado durante las primeras 4 horas de su turno y le comenta a su compa˜ nero de trabajo en su hora de colaci´on: “Este ser´a un d´ıa muy ocupado, en la ma˜ nana casi no he podido descansar”. Explique si el operador tiene o no razones para realizar esta afirmaci´on. 2. Suponga que el n´ umero de goles que marca un equipo de f´ utbol puede ser descrito por un proceso de Poisson. Considere los siguientes equipos (procesos independientes) : A : tasa λ A goles/partido B: tasa λ B goles/partido a) Si se enfrentan A y B, ¿Cu´al es la probabilidad de que A gane 2 x 1?. b) Suponga que ha transcurrido el primer tiempo entre A y B, si se sabe que A va ganando 2 x 0, ¿cu´al es la probabilidad de que el primer gol haya sido antes de 15 min. y el segundo antes de 30 min.?. c) Va a comenzar el segundo tiempo (A va ganando 2 x 0), ¿cu´al es la probabilidad de que A marque 3 goles antes de los 30 min. (sin importar lo que pase con B)?. d) Suponga que el partido en su tiempo reglamentario (90 min.) qued´o igualado 3 x 3. Sin embargo, es necesario definir el ganador, para ello se utilizar´a la modalidad “golden goal”, es decir, el primero que marca el gol gana. ¿Cu´al es la probabilidad de que el partido se prolongue por m´as de 45 minutos?. e) Asuma que ahora se cambian las reglas a “two golden goals”, es decir, el primer equipo que marca 2 goles consecutivos gana. ¿Cu´al es la probabilidad de que gane B?. 3. (*) Una empresa de distribuci´on de energ´ıa el´ectrica ha decidido enfrentar el invierno venidero con un Plan de Soluci´on de Fallas Cr´ıticas. De las estad´ısticas recopiladas de los a˜ nos anteriores, se puede concluir que las fallas cr´ıticas tienen dos or´ıgenes posibles: Domiciliario y de Alumbrado P´ ublico. Ambas fallas se presentan seg´ un procesos de Poisson independientes, de tasa λ D [fallas/d´ıa] para fallas domiciliarias y λ A [fallas/d´ıa] para fallas de Alumbrado P´ ublico. Como parte del dise˜ no del plan, se conform´o un equipo de empleados altamente capacitados en la reparaci´on de fallas en redes el´ectricas. Este equipo acude a reparar las fallas reportadas demor´andose un tiempo exponencialmente distribuido de media T[hrs] por cada una, incluyendo en este lapso el tiempo de transporte al lugar de la falla. a) Si durante el primer mes de funcionamiento del Plan se han reportado F fallas, ¿cu´al es el n´ umero esperado de fallas para el segundo mes?. 2 b) ¿Cu´al es la probabilidad de que la primera falla que se registre en un mes sea domiciliaria?. c) El equipo de reparaci´on est´a trabajando en la soluci´on de una falla de Alumbrado P´ ublico. En promedio, ¿Cu´antas fallas de cada tipo ocurrir´an antes de que la reparaci´on en curso sea finaliza- da?. Se est´a estudiando la posibilidad de dejar la reparaci´on de fallas de Alumbrado P´ ublico en manos de una empresa contratista. Los t´erminos del contrato indican que mensualmente se pagar´a como costo fijo un equivalente a R reparaciones a un costo unitario s 1 , mientras que el precio de cada reparaci´on por sobre este m´ınimo ser´a de s 2 , con s 2 > s 1 . d) Como Ingeniero de Estudios de la empresa distribuidora, plantee el problema de optimizaci´on que permita encontrar el valor R ∗ que minimiza los costos mensuales esperados del contrato de reparaci´on de fallas de Alumbrado P´ ublico. 4. El Call Center de una Isapre recibe llamadas correspondientes a reclamos y a consultas, las cuales pueden ser modeladas como procesos de Poisson de tasas λ R y λ C [llamadas/hora], respectivamente. Todos los reclamos son derivados al departamento de atenci´on al cliente para su an´alisis y soluci´on, al igual que una fracci´on p de las consultas. Este departamento demora un tiempo exponencialemente distribuido de tasa µ en procesar cada solicitud, ya sea reclamo o consulta. La fracci´on restante de las consultas corresponde a aquellas que requieren de un estudio m´as especializado, por lo que son derivadas a la Gerencia de Estudios de la compa˜ n´ıa. Esta gerencia demora un tiempo exponencialmente distribuido de tasa 2 · µ en el procesamiento de cada consulta. Suponiendo que todas las unidades de la compa˜ n´ıa trabajan 8 horas diarias de lunes a viernes, responda: a) Si la semana pasada se recibieron R reclamos y C consultas, ¿cu´al es el valor esperado de llamadas que esta semana ser´an derivadas al Departamento de Atenci´on al Cliente?. ¿y a la Gerencia de Estudios?. b) ¿Cu´al es la probabilidad de que la pr´oxima llamada que se reciba corresponda a un reclamo?. El Departamento de Atenci´on al Cliente debe emitir diariamente un reporte del n´ umero de llamadas recibidas en cada hora de operaci´on. Lamentablemente, por un error computacional perdi´o toda la informaci´on de las consultas recibidas en las ´ ultimas 4 horas del d´ıa, pudi´endose rescatar solamente el dato de que en dicho intervalo de tiempo se recibieron Q consultas. Ante esta eventualidad, el Jefe del Departamento le encomienda a Ud. intentar reconstruir esta informaci´on. c) Utilizando sus conocimientos de probabilidades determine cu´al ser´a la distribuci´on de probabilidad que rige al n´ umero de llamadas recibidas en la primera hora de operaci´on “perdida”. Intuitiva- mente, ¿cu´al ser´a la configuraci´on m´as probable para las llamadas recibidas en cada una de las 4 horas de operaci´on sin registros?. d) Si un trabajador del centro de atenci´on recuerda con seguridad que en la ´ ultima hora de operaci´on se recibieron Q/3 llamadas, ¿cambia su respuesta de la parte anterior?. Si su respuesta es afir- mativa encuentre la distribuci´on de probabilidad que rige al n´ umero de llamadas recibidas en la primera hora de operaci´on “perdida” en esta nueva situaci´on. Suponga ahora que el Call Center funciona las 24 horas en forma continua e) ¿C´omo modificar´ıa el modelo de llegadas enunciado, de modo que se ajuste mejor a la nueva realidad?. Razone en funci´on de la variaci´on de la tasa a lo largo del d´ıa. 5. Turistas extranjeros llegan en el verano a un balneario seg´ un un proceso de Poisson de tasa λ[turistas / mes]. Independiente de todo lo dem´as, con probabilidad p A , un turista que llega al balneario proviene de alg´ un un pa´ıs sudamericano y con probabilidad 1 − p A proviene del resto del mundo. Los turistas comienzan a llegar el 1 de enero. 3 a) Si hasta mitad de mes, han llegado m turistas en total. ¿Cu´al es la probabilidad que hasta fin de mes lleguen m´as de n turistas en total (m ≤ n)?. b) Dado que en un mes llegaron 100.000 turistas en total. ¿Cu´al es la probabilidad que n de ellos sean sudamericanos?. c) Es el 20 de enero y desde el 19 de enero no ha llegado ning´ un turista. ¿Cu´al es la probabilidad que el siguiente veraneante que llegue sea sudamericano?. d) En un mes llegaron 100.000 turistas en total. ¿Cu´al es la probabilidad que la mitad de ellos hayan llegado durante la primera mitad del mes?. e) Los turistas sudamericanos dejan en el pa´ıs cantidades de dinero X i que son variables aleatorias iid de media µ. Por su parte, los turistas del resto del mundo dejan en el pa´ıs cantidades de dinero Y i que son variables aleatorias iid de media γ. ¿Cu´al es el valor esperado de la cantidad total de dinero dejada en total por los turistas durante un mes?. 6. Una tienda que vende por cat´alogos ha realizado un estudio de su demanda, el que concluy´o que para un per´ıodo de venta (k) cualquiera el n´ umero de potenciales compradores se distribuye Poisson con una media igual al n´ umero de clientes que compr´o el producto en el per´ıodo anterior (k −1). Adem´as en un per´ıodo (k) cualquiera, la fracci´on de los clientes potenciales que compran el producto es e −p k donde p k es el precio fijado en el per´ıodo (k). Si inicialmente el n´ umero de clientes potenciales se distribuye Poisson con media λ, responda: a) ¿Cu´al es el precio ´optimo y el beneficio esperado m´aximo si se considera un s´olo per´ıodo de venta?. b) Responda lo anterior considerando 2 per´ıodos de venta. c) Ahora se desea resolver el problema para un horizonte de T per´ıodos. Si k es el n´ umero de per´ıodos que faltan hasta el fin del horizonte. Muestre que la soluci´on ´optima satisface: p ∗ k = 1 −U k−1 y el beneficio esperado m´aximo acumulado es: V ∗ k (s k+1 ) = s k+1 · U k donde s k son las ventas den el per´ıodo k y U k se define recursivamente por U 0 = 0 y U k = e U k−1 −1 . 7. Suponga que las personas que poseen cierta p´oliza de seguro sufren accidentes en instantes 0 < t 1 < t 2 < ...., siguiendo un proceso de Poisson de tasa λ. Seg´ un el tipo de accidente, existen distintas cantidades de dinero que debe pagar la compa˜ n´ıa aseguradora al cliente. Para el accidente ocurrido en t n , la compa˜ n´ıa cubre un monto de Y n . a) Escriba la expresi´on para el monto total que deber´a pagar la empresa a los accidentados en un intervalo [0,T] ? ¿Qu´e tipo de proceso es ?. b) Suponga que existen pagos negativos (el cliente debe devolver dinero) cada vez que se detectan accidentes simulados, de manera que Y t puede ser modelada como una variable aleatoria de dis- tribuci´on Normal(µ, σ 2 ). ¿Qu´e cantidad de dinero deber´ıa tener disponible la compa˜ n´ıa para cubrir, en promedio, sus gastos en un per´ıodo [0,t] ?. 8. Entre las distintas actividades que se deben planificar para un evento que durar´a 10 horas, est´a el planificar el tama˜ no del estacionamiento que se va a arrendar para los autos de los visitantes. La llegada de los autom´oviles al evento siguen un proceso Poisson con tasa λ(autos / hora). Los organizadores deben pagar por el ´area total arrendada. Ellos saben que cada auto ocupa un ´area de A (m 2 ) y el costo es de h [$/m 2 ]. Cada auto que no puede estacionarse porque el estacionamiento 4 est´ a lleno es un cliente (visitante) perdido, pues ´este abandona el lugar. Una vez que un visitante llega al evento permanece en ´el hasta la hora de cierre. Los clientes que entran al evento reportan un beneficio de b ($/Cliente). a) Formule el problema para determinar el n´ umero ´optimo de estacionamientos (X) que deben arrendar los organizadores del evento. b) Suponiendo que los organizadores determinan que el n´ umero ´optimo de estacionamientos es X = 500. ¿Cu´al es la probabilidad de que se llene?. c) ¿Cu´al es el n´ umero promedio de autos que entran al estacionamiento?. d) Si el evento comienza a la 10 de la ma˜ nana, ¿Cu´al es la probabilidad de que si Ud. llega al recinto a las 3 de la tarde encuentre estacionamiento?. 9. (*)Un alfarero muy meticuloso en su trabajo y en todo lo que lo rodea, se dedica a fabricar ollas de greda. Un d´ıa en que usted paseaba su vecindario, se encontr´o con este alfarero. ´ El le dijo que seg´ un mediciones que hab´ıa realizado, el n´ umero de ollas que fabrica en un intervalo de largo h [horas] sigue una distribuci´on de Poisson de media λ 1 h, para cualquier valor de h e independiente del n´ umero de ollas que haya fabricado antes o despu´es de ese lapso. Adem´as, ´el debe despachar a Santiago toda su producci´on diaria (de T horas de trabajo) al final del d´ıa. Sabiendo que usted realiza estudios de ingenier´ıa, ´el le consult´o si pod´ıa contestarle algunas preguntas que son las siguientes: a) Conteste cada uno de los siguiente puntos: Se sabe que en un d´ıa se produjo una olla. Condicional a ese evento, calcule la esperanza del tiempo de “espera” de esa olla. Considere que la “espera” de cada olla es el tiempo entre su producci´on y su despacho a Santiago. Si en un d´ıa se produjeron N ollas (y condicional a ese evento), ¿cu´al es el valor esperado del tiempo total de espera de las N ollas?. El “total” se refiere a la suma de los tiempos de espera de cada una de las ollas. ¿Cu´al es la esperanza del tiempo total de espera, de todas las ollas producidas en un d´ıa?. Suponga que ahora, adem´as de despachar al final del d´ıa, el alfarero puede hacerlo en alg´ un instante t durante el d´ıa (0 < t < T). Es decir, se realizar´an dos despachos: uno en el instante t y el otro en T, al final del d´ıa. Escriba ahora, en funci´on de t, la nueva esperanza del tiempo total de espera, de todas las ollas producidas en un d´ıa. ¿Qu´e instante t ∗ elegir´ıa para realizar el nuevo despacho durante el d´ıa, de modo de minimizar el tiempo medio total de espera?. Su conocido alfarero ha decidido asociarse con un vecino, el cual fabricar´a las tapas de las ollas. El tiempo de fabricaci´on de cada tapa se distribuye exponencialmente con tasa λ 2 . Al final del d´ıa (despu´es de T horas de trabajo), se mandan a Santiago las “parejas” ollas - tapas que se lograron producir (en este caso s´olo existe un ´ unico despacho). Si hay m´as ollas que tapas, ´estas se guardan para el d´ıa siguiente y viceversa. b) ¿Cu´al es la probabilidad de que en el primer d´ıa de sociedad se despachen K ollas con sus respectivas tapas?. c) Suponga que al comienzo del d´ıa, en el taller del alfarero no hay ni ollas ni tapas. En promedio, ¿cu´antas ollas (que no lograron ser despachadas con sus respectivas tapas) habr´a disponible al comienzo del d´ıa siguiente?. 10. (*) Considere una posta de atenci´on de urgencias m´edicas donde llegan dos tipos de pacientes: los graves (que deben ser atendidos de inmediato) y los leves (que pueden esperar para ser atendidos). Se sabe que cada uno de estos grupos de pacientes llegan de acuerdo a un proceso de Poisson con tasas 2 y 4 pacientes por hora respectivamente. Adem´as, todos los pacientes graves deben permanecer 5 en observaci´on hasta el d´ıa siguiente, momento en el cual son dados de alta o son trasladados a un hospital. Considere que a las 7:00 a.m. los pacientes graves son evaluados para decidir si son dados de alta o trasladados. Por ello, a las 7:00 todas las camas se desocupan. Los pacientes ingresan las 24 horas al servicio. Los pacientes leves NO ocupan camas. a) La posta desea determinar el n´ umero de camas que debe tener para los pacientes graves, de modo que con probabilidad de por lo menos 0.95 puedan ser atendidos todos los pacientes graves que ingresen y no deban ser derivados a otra posta. Entregue una expresi´on para determinar este n´ umero de camas. b) Se sabe que s´olo un paciente grave ingres´o entre las 7:00 y 8:00. Ese d´ıa el m´edico lleg´o cinco minutos atrasado (es decir a las 7:05, ya que su turno comenzaba a las 7:00). ¿Cu´al es la proba- bilidad que dicho paciente haya muerto debido a que no estaba presente el m´edico? (suponga que un paciente grave muere si no es atendido de inmediato). c) Dado que llegaron 10 pacientes, ¿Cu´al es la probabilidad de que los primeros cinco hayan sido graves y los siguientes cinco leves?. d) Para el ingreso de pacientes leves y graves debe llenarse un formulario y entregarse en una ven- tanilla de atenci´on al paciente. Si la persona que atiende la ventanilla debe ausentarse por unos minutos para ir al ba˜ no. ¿Cu´anto es el m´aximo de tiempo que puede hacerlo de modo que la probabilidad de que llegue un paciente durante su ausencia sea menor que 5 %?. 11. (*) Un conductor se acerca en su autom´ovil a una intersecci´on por una v´ıa secundaria, y enfrenta un disco “Pare”. No hay ning´ un veh´ıculo antes que ´el esperando pasar (por su misma v´ıa). Por la v´ıa principal (la que tiene prioridad) el paso de veh´ıculos a trav´es de la intersecci´on se puede modelar como un proceso Poisson de tasa λ [veh´ıculos/segundo]. El conductor que llega por la v´ıa secundaria detendr´a su veh´ıculo al llegar a la intersecci´on, y obser- var´a cu´anto tiempo falta para que el pr´oximo veh´ıculo atraviese la intersecci´on por la v´ıa principal. Si ese tiempo es igual o mayor que τ segundos ´el considerar´a que es seguro pasar, y atravesar´a la intersecci´on. Por el contrario, si faltan menos de τ segundos para que pase el pr´oximo veh´ıculo por la v´ıa principal, ´el pensar´a que es imprudente pasar, y esperar´a detenido a que ese veh´ıculo pase, y seguir´a esperando hasta que se produzca una “brecha” igual o mayor a τ segundos. Suponga que en la esquina hay buena visibilidad, de manera que el conductor siempre puede determinar con exactitud cu´ anto falta para que pase el pr´oximo veh´ıculo. El objetivo de este problema es encontrar la distribuci´on del tiempo que este conductor deber´a estar detenido en la intersecci´on antes de poder pasar, tiempo que denotaremos W. a) Calcule la probabilidad de pasar de inmediato (i.e. Pr[W = 0]). b) Suponga que nuestro conductor no pudo pasar de inmediato, pues al llegar a la intersecci´on vio que ven´ıa un auto por la v´ıa principal el cual iba a atravesar la intersecci´on en menos de τ segundos. Llamemos X al tiempo que transcurre hasta que dicho auto (el que viene por la v´ıa principal) atraviesa la intersecci´on. Argumente que, con la informaci´on dada, la funci´on de densidad de X viene dada por f X (x) = Cλexp(−λx) ∀x ∈ [0, τ] y f X (x) = 0 ∀x ∈ [0, τ]. Calcule el valor de la constante C y el valor esperado de X. c) El auto que ven´ıa por la v´ıa principal acaba de atravesar la intersecci´on. Llame W 2 al tiempo que transcurrir´a a partir de este instante hasta que nuestro conductor logre pasar. Compare la distribuci´on de W 2 con la distribuci´on (a priori) de W. 6 d) Calcule E[W]. Hint: Calcule la esperanza condicional en el evento que nuestro conductor haya podido pasar de inmediato o se haya visto obligado a esperar. Use sus resultados de las partes (a), (b) y (c). e) Argumente que W se puede expresar como W = N i=1 X i donde N es una variable aleatoria y {X i } i≥1 son variables aleatorias iid que adem´as son independientes de N. Especifique la distribu- ci´on de N y de X i . 12. A una tienda comercial llegan clientes de acuerdo a un proceso Poisson de par´ametro λ [clientes/semana]. La tienda ofrece un ´ unico producto y los clientes llegan sin conocer de antemano cu´al es el precio del producto. Los clientes son heterog´eneos en el sentido que su disposici´on a pagar por el producto es distinta (entendemos por disposici´on a pagar la mayor cantidad de dinero que el cliente estar´ıa dis- puesto a pagar por el producto). Desde el punto de vista de la tienda la disposici´on a pagar d de un cliente cualquiera es una variable aleatoria con funci´on de densidad f(d) continua en [0, ∞) y funci´on de distribuci´on F(d) conocidas. Un cliente compra el producto si su disposici´on a pagar es mayor que el precio al que la tienda vende el producto; en caso contrario se va sin comprar. Suponga que la tienda dispone de inventario infinito. a) Si la tienda vende el producto a un precio P ¿Cu´al es la probabilidad que un cliente cualquiera que entra a la tienda compre el producto?. ¿Cu´al es la ley de probabilidad para el n´ umero de personas que compra el producto y para el n´ umero de personas que se van sin comprar en una semana dada?. ¿Cu´anto vale el ingreso esperado por ventas en una semana cualquiera?. b) ¿Qu´e condiciones debe satisfacer P ∗ , el precio que maximiza el ingreso esperado por ventas en una semana cualquiera?. Suponga ahora que el inventario disponible es de C unidades al comienzo de una semana dada, y no tiene la posibilidad de reabastecerse en caso que se agote el producto. c) ¿Cu´anto vale B(P, C), el ingreso esperado por ventas para esa semana si se vende a un precio P?. 13. (*) Partiendo en t = 0, los buses llegan a un paradero seg´ un un proceso de Poisson de tasa λ. Por su parte, lo pasajeros llegan a esperar al paradero seg´ un un proceso de Poisson de tasa µ. Al llegar el bus, todos los pasajeros que se encuentren esperando se suben instant´aneamente a ´el (i.e. capacidad del bus es infinita), y los pasajeros que llegan posteriormente a esperar se suben al siguiente bus. a) Encuentre la funci´on de probabilidad del n´ umero de pasajeros que entran al m-´esimo bus, dado que el tiempo entre las llegadas del bus m−1 y del bus m-´esimo es t. b) Encuentre la funci´on de probabilidad del n´ umero de pasajeros que se suben al m-´esimo bus. c) Dado que un bus llega a las 10:30 AM y no llegan buses entre las 10:30 y las 11:00 AM, encuentre la funci´on de probabilidad del n´ umero de pasajeros que se suben al siguiente bus. d) Encuentre la funci´on de probabilidad del n´ umero de pasajeros esperando en alg´ un momento cualquiera del tiempo, por ejemplo, 2 : 30 PM. Suponga que el proceso empez´o hace mucho tiempo. e) Encuentre la funci´on de probabilidad del n´ umero de pasajeros que se suben al siguiente bus (que pasa despu´es de las 2:30 PM). f ) Dado que Ud. llega a esperar el bus a las 2:30 PM, encuentre la funci´on de probabilidad del n´ umero de pasajeros que se suben al siguiente bus. 14. (*) Al parque nacional “Santuario de la Naturaleza” llegan diariamente autom´oviles de acuerdo a un proceso de Poisson con tasa λ [autom´oviles/hora]. La entrada al recinto se paga por persona que ingresa y el precio individual de p [$], es decir, si en un autom´ovil vienen tres personas, la entrada total de este auto es de 3 · p [$]. 7 Estad´ısticamente se sabe que el n´ umero de personas en cada autom´ovil, X, son variables aleatorias i.i.d con las siguiente ley de probabilidad: Pr[X = 1] = 0,1 Pr[X = 4] = 0,3 Pr[X = 2] = 0,2 Pr[X = 5] = 0,1 Pr[X = 3] = 0,3 El parque abre sus puertas diariamente desde las 08:00 hasta las 16:00 hrs. Una hora despu´es de cerrar todas las personas abandonan el parque (suponga que nadie se va antes). a) Se sabe que a las 8:15 habr´an llegado 2 personas al parque. ¿Cu´al es la probabilidad de que las primeras 2 personas que llegan al parque vengan juntas?. b) ¿Cu´al es la recaudaci´on diaria promedio del parque?. c) Se est´a pensando hacer un descuento a aquellos autos con m´as de 2 pasajeros (3 o m´as). En este caso se cobrar´ıa el 80 % del precio por persona ¿Cu´al ser´ıa la recaudaci´on promedio diaria en este caso?. d) Se est´a pensando en construir un estacionamiento techado. ¿Cu´al debe ser su tama˜ no M [sitios] de modo que la probabilidad de que alg´ un auto no alcance a estacionarse bajo techo sea menor o igual a 5 %?. Asuma que un conductor siempre se estaciona bajo techo si hay espacio disponible. 15. (*) Considere una sala de cine con capacidad para 200 personas. La entrada a la funci´on es de p [$] por persona. Sin embargo, si el cliente es “socio” del cine se le hace un 20 % de descuento. Asuma que las personas llegan al cine de acuerdo a un proceso de Poisson a comprar las entradas y que cada persona compra s´olo una entrada. Las entradas para la funci´on de las 22:00 horas comienzan a venderse durante el mismo d´ıa desde las 16:00 horas, y la boleter´ıa se cierra a las 22:00. Las tasa de llegada es de 40 personas/hora, y cada una persona posee tarjeta de socio con una proba- bilidad de un 25 %. a) Si usted sabe que se vendieron n entradas ¿Cu´al es la probabilidad de que i entradas se hayan vendido a “socios” del cine?. b) ¿Cu´al es la probabilidad de que se vendan n entradas (n ∈ {0, 1, 2, ...})?. c) ¿Cu´al es la utilidad esperada por funci´on?. d) Suponga que la administraci´on del cine ha decidido no vender m´as de 50 entradas a precio rebajado para cada funci´on. Una vez alcanzado este l´ımite, se rechazar´a a los “socios” del cine (asuma que los clientes a los que se les rechace la entrada rebajada no optar´an por pagar el valor completo, sino que se retirar´an). ¿Cu´al es la probabilidad que se vendan 50 entradas a precio rebajado?. 16. (*) A un Banco llegan clientes de acuerdo a un proceso Poissoniano no homog´eneo, cuya tasa est´a dada por λ(t) = 1 √ 14, 1 −t , 0 < t < 14, 1 El tiempo est´a medido en horas, y el banco opera desde las 9 y hasta las 14 horas. Los clientes, sin embargo, llegan entre las 9 y las 14:06 hrs. a) ¿Cu´al es la probabilidad de que el primer cliente llegue entre las 10:00 y las 11:00 ?. b) Si todos los clientes se demoran exactamente 12 min. dentro del banco, determine el n´ umero esperado de clientes dentro del banco en cualquier instante del d´ıa. 8 c) Calcule el n´ umero promedio de clientes que se retiran indignados pensando seriamente en cam- biarse de banco cada d´ıa (esto ocurre cuando el cliente encuentra que el banco ya cerr´o sus puertas, haciendo gala de mucha puntualidad y poca comprensi´on). ¿A qu´e hora debiese cerrar sus puertas el banco para que este n´ umero disminuya a la mitad?. 17. (*) En un instante cualquiera del d´ıa, usted llega a una parada de buses a la cual llegan buses de acuerdo a un proceso de Poisson de tasa λ. Si usted toma el bus desde el paradero, demora un tiempo fijo R desde que sube al bus hasta llegar a su casa. Si camina desde el paradero a su casa demora un tiempo fijo W. Suponga que su pol´ıtica al llegar a la parada de buses es esperar el bus un tiempo s y si ´este no ha pasado hasta ese instante, entonces decide caminar. a) ¿Cu´al es la distribuci´on del tiempo de pasada del siguiente bus desde que usted llega a la parada de buses?. Dada su pol´ıtica de espera, cu´al es la probabilidad que usted camine a su casa?. b) Si el bus pasa en un instante t ≤ s desde su llegada a la parada de buses, ¿cu´anto tiempo demora usted en llegar a su casa desde su arribo al paradero?.¿Y si el bus pasa en un instante t ≥ s?. c) calcule el tiempo esperado que transcurre desde su llegada al paradero hasta llegar a su casa. d) Muestre que si W < 1 λ +R entonces el tiempo esperado de la parte anterior se minimiza en s=0; si W > 1 λ + R entonces se minimiza en s=∞; y si W = 1 λ + R todos los valores de s entregan el mismo tiempo esperado. e) ¿Qu´e representa en realidad s = 0 y s = ∞?. Entregue una explicaci´on intuitiva de por qu´e esas son las ´ unicas dos pol´ıticas interesantes al considerar minimizar el tiempo esperado. 18. (*) Dos amigos asisten a un partido de f´ utbol para ver al equipo de sus amores. Durante un partido los jugadores de este equipo hacen goles de acuerdo a un proceso de Poisson de tasa λ. Los amigos sin embargo, celebran cada gol durante un tiempo B, lapso de tiempo durante el cual no son capaces de ver lo que sucede en la cancha. Si se supone que tras cada gol, el partido es reasumido instant´aneamente conteste: a) ¿Cu´al es la probabilidad que los amigos vean los 7 primeros goles?. b) Para t ≥ (n−1)B, encuentre Pr[R(t) ≥ n], donde R(t) es el n´ umero de goles vistos por los amigos hasta el instante t. 19. (*) Suponga que clientes llegan a una estaci´on de servicios seg´ un un proceso de Poisson de tasa λ. A su llegada cada cliente es atendido inmediatamente por uno de los innumerables empleados. Los tiempos de servicio se distribuyen seg´ un una distribuci´on G(t). Determine la distribuci´on del n´ umero de clientes en el sistema en el instante t. 20. (*) Suponga que autos entran en una carretera de un solo sentido y de un largo L, de acuerdo a un proceso de Poisson de tasa λ. Cada auto viaja a velocidad constante determinada aleatoriamente, independientemente de los otros autos, mediante una distribuci´on F. Cuando un auto se encuentra con un auto m´as lento, lo sobrepasa sin p´erdida de tiempo. Suponga que un auto entra a la carretera en el instante t. Muestre que cuando t →∞ la velocidad del auto que minimiza el n´ umero de encuentros con otros autos, donde un encuentro con un auto se produce cuando el auto es sobrepasado o sobrepasa a otro, es la esperanza de la distribuci´on del tiempo de viaje. 21. (*) Los votantes en la elecci´on municipal llegan a un determinado local de votaci´on seg´ un un proceso de Poisson de tasa λ. Cada votante, independiente de todo lo dem´as, vota con probabilidad 0.5 por el candidato A y con probabilidad 0.5 por el candidato B. Suponga que la votaci´on comienza en t = 0 y dura indefinidamente. a) Condicional en que votaron 1000 personas durante las primeras 10 horas, ¿cu´al es la probabilidad que el candidato A reciba n de estos votos?. 9 b) Nuevamente condicional en que votaron 1000 personas durante las primeras 10 horas, encuentre la probabilidad que el candidato A reciba n votos en las primeras 4 horas de votaci´on. c) Sea T el instante de la llegada del primer votante por A. Encuentre la funci´on de densidad de A. d) Encuentre la funci´on de probabilidad del n´ umero de votantes por B que llegan antes del primer votante por A. e) Defina el n−´esimo votante como una inversi´on si ´este vota distinto que el (n − 1)−´esimo. Por ejemplo, en la secuencia AABAABB, el tercer, cuarto y sexto votantes son inversiones. Encuentre la densidad de probabilidad del tiempo entre inversiones. Hint: Deduzca la probabilidad que una llegada cualquiera produzca una inversi´on. Con ello de- duzca el proceso de conteo de inversiones y encuentre la densidad de tiempo entre estos eventos. 22. (*) Suponga que autos entran en el kil´ometro 0 a una carretera de una direcci´on infinita seg´ un un proceso de Poisson de tasa λ. El auto i que entra escoge una velocidad constante V i (kms/hrs) a la cual viajar. Suponga que las velocidades V i son variables aleatorias, independientes, positivas y de distribuci´on com´ un F. Encuentre la distribuci´on del n´ umero de autos que se encuentran entre los kil´ometros a y b (a < b) de la carretera en el instante t (medido en horas). Suponga que los autos se adelantan unos a los otros sin p´erdida de tiempo. 23. (*) Suponga que un aparato est´a sujeto a shocks que ocurren de acuerdo a un proceso de Poisson de tasa λ. El i-´esimo shock causa un da˜ no D i , i > 1, los cuales se asumen son iid. e independientes de [N(t), t > 0], donde N(t) es el n´ umero de shocks en [0,t]. El da˜ no provocado por un shock de da˜ no inicial D i decae exponencialmente en el tiempo. Esto es, si el shock provoca un da˜ no inicial D, entonces t unidades de tiempo m´as tarde este da˜ no ser´a D · e −t . Si se supone que los da˜ nos son aditivos: a) Calcule la esperanza de D(t), donde D(t) es el da˜ no que presenta el dispositivo en el instante t. b) Repita el c´alculo mediante el uso de la funci´on generadora de momentos. 24. En esta pregunta asumiremos que tenemos dos procesos de Poisson independientes entre s´ı, A y B, con tasas λ 1 y λ 2 , respectivamente. a) Suponga que observamos los dos procesos en su conjunto, y elegimos un evento. Argumente o muestre que la probabilidad de que ese evento corresponda al proceso A es λ1 λ1+λ2 . b) Calcule el n´ umero de medio de eventos del proceso B entre dos eventos sucesivos del proceso A. c) Consideremos ahora los procesos de conteo asociados, N A (t) y N B (t); ´estos pueden graficarse en el plano (x, y) y observar de este modo la evoluci´on del proceso en dos dimensiones. Calcule la probabilidad que el proceso intersecte la l´ınea x +y = z en el punto (x 0 , y 0 ) tal que x 0 +y 0 = z 25. (*) Utilizando la definici´on de un proceso de conteo y una aproximaci´on “Bernoulli” a un proceso de Poisson, mostraremos que N(t) se distribuye Poisson de media λ · t. Para esto dividiremos el intervalo [0, t] en k intervalos de tama˜ no t/k con k >> 0 y contestaremos las siguientes preguntas. a) Muestre que la probabilidad de que ocurran 2 o m´as eventos en alg´ un subintervalo tiende a 0 si k →∞. b) Muestre que N(t) es binomial de par´ametro k, p = λt k +o( t k ) c) Utilizando la parte anterior concluya que N(t) se distribuye Poisson de media λ · t. 26. (*) Autos llegan a un sem´aforo de acuerdo a un proceso de Poisson de tasa λ. Este sem´aforo cambia de color cada A unidades de tiempo. Si un auto llega al cruce y encuentra el sem´aforo en verde pasar´a in- mediatamente. Si lo encuentra en rojo deber´a esperar hasta el pr´oximo cambio de luz. Suponiendo que la calle es lo suficientemente ancha como para que no se formen colas, y que el tiempo que demora un auto en atravesar el cruce es despreciable, calcule: 10 a) La distribuci´on de probabilidades de X(t), la cantidad de autos que han tenido que esperar para cruzar en alg´ un instante, en t. b) La distribuci´on de probabilidades del n´ umero de autos que est´an esperando para cruzar en el instante t. Suponga que en realidad este sem´aforo est´a instalado en el cruce entre dos calles. Por una de las calles (calle x) llegan autos seg´ un un proceso de Poisson de tasa λ x . Cada unidad de tiempo que un auto espera en esta calle significa un costo de M [$]. Por otro lado, los autos que vienen por la otra calle (calle y) llegan de acuerdo a un proceso de Poisson de tasa λ y . Si un auto que viene por esta ´ ultima v´ıa espera t unidades de tiempo en el sem´aforo, se incurre en un costo t 2 M [$]. Si llamamos A al lapso de tiempo durante el cual el sem´aforo est´a en rojo para la calle x y B al tiempo durante el cual el sem´aforo est´a en rojo para la calle y (A+B = C, con C constante). c) Calcule la esperanza del costo incurrido desde que el sem´aforo de luz roja, cambia a verde y vuelve a ser roja. d) Calcule los tiempos A ∗ y B ∗ que minimizan el costo incurrido por el sistema durante el ciclo C. 27. Considere un ascensor que parte en el z´ocalo de un edificio y sube por ´este. Sea N i el n´ umero de personas que se suben al ascensor en el piso i. Suponga que los N i son independientes y que de distribuyen seg´ un Poisson de tasa λ i . Cada persona que se sube en el piso i, independiente de todo el resto, se bajar´a en el piso j con una probabilidad P ij . Sea O i el n´ umero de personas que se bajan del ascensor en el piso j. a) Calcule la distribuci´on de O j b) ¿Cu´al es la esperanza de O j ?. c) ¿Cu´al es la distribuci´on conjunta de O i y O K ?. 28. (*) Sea [N 1 (t), t > 0] un proceso de Poisson de tasa λ 1 . Las llegadas de este proceso se colocan en ON o en OFF debido a un switch activado y desactivado por las llegadas de un segundo proceso de Poisson independiente de tasa λ 2 [N 2 (t), t > 0]. Sea [N a (t), t > 0] el proceso resultante, o sea N a (t) incluye las llegadas de N 1 (t) cuando N 2 (t) es par. a) Encuentre la distribuci´on del n´ umero de eventos de N 1 (t) registrados durante el N−´esimo per´ıodo en que el switch est´a en ON. b) Dado que la primera llegada del segundo proceso ocurri´o en τ, encuentre la distribuci´on condicional del n´ umero de llegadas de N 1 (t) hasta τ . c) Dado que el n´ umero de llegadas de N 1 (t) hasta la primera llegada de N 2 (t) es n, encuentre la densidad de la primera llegada de N 2 (t). d) Sea X a el tiempo entre arribos del proceso N a (t), calcule E(X a ). 29. Un proceso de Poisson bi-dimensional es aquel cuyos eventos pertenecen a R 2 tal que: Para cualquier regi´on del plano de ´area A el n´ umero de eventos en A se distribuye seg´ un un proceso de Poisson de tasa λ · A. El n´ umero de eventos en regiones disjuntas son independientes. Considere un punto fijo r. Sea X la distancia entre r y el evento m´as cercano (utilizando norma euclidiana). Demuestre que: a) Pr[X > t] = e −λπt 2 b) E[X] = 1 2· √ λ 11 c) Sea R i , la distancia desde un punto arbitrario hasta el i−´esimo evento m´as cercano a ´el, R 0 = 0. Muestre que πR 2 i −πR 2 i−1 (i ≥ 1) son variables aleatorias independientes exponencialmente distribuidas de tasa λ. 30. Suponga que eventos ocurren seg´ un un proceso de Poisson no homog´eneo de tasa λ(t) y que si un evento ocurre en el instante s contribuye con una cantidad aleatoria de distribuci´on F s , s ≥ 0. Muestre que W, la suma de todas las contribuciones hasta el tiempo t es un proceso de Poisson compuesto. Es decir muestre que W tiene la misma distribuci´on que N i=1 X i , donde X i son variables aleatorias iid e independientes de N. 31. a) Considere un proceso de Poisson no homog´eneo [N(t), t ≥ 0], con funci´on media m(t). Dado N(t) = n, muestre que el conjunto de tiempos de llegada (desordenados) tienen la misma distribuci´on que n variables iid con distribuci´on: F(x) = _ m(x) m(t) si x ≤ t 1 si x > t b) Suponga que trabajadores sufren accidentes seg´ un un proceso de Poisson no homog´eneo con funci´on de valor medio m(t). Adem´as suponga que cada trabajador accidentado queda sin trabajar durante un tiempo aleatorio distribuido seg´ un F. Sea X(t) el n´ umero de trabajadores fuera del trabajo en el instante t. Calcule E(X(T)) y V ar(X(t)). 32. A un aeropuerto llegan pasajeros a la zona de embarque seg´ un un proceso de Poisson no homog´eneo de tasa λ(t). Se sabe que los pasajeros pueden ser de dos tipos: sospechosos o con buena presencia. Cada pasajero tiene una probabilidad q s de ser de tipo sospechoso, y una probabilidad q n = 1 −q s de tener buena presencia. La seguridad de la l´ınea a´erea ha dispuesto que una fracci´on de los pasajeros sospechosos y de los que tienen buena presencia tengan que someterse a una revisi´on para detectar eventuales terroristas. La selecci´on de los pasajeros para este control es tal que con probabilidad R s (t) un pasajero de tipo sospechoso que llega en el momento t deber´a someterse a la revisi´on, mientras que si es de tipo buena presencia esta probabilidad es R n (t). La revisi´on de los pasajeros es instant´anea, incurri´endose en un costo C por cada pasajero controlado. Adem´as, se sabe que con seguridad el sistema de control detectar´a a un terrorista intentando abordar el avi´ on, los que ser´an entregados a la justicia. Estudios de la CIA han determinado que una fracci´on B s de los pasajeros que parecen sospechosos son terroristas, mientras que una fracci´on B n de los pasajeros con buena presencia tambi´en son terroristas (B s > B n ). Los pasajeros aceptados en el control y aquellos que no tuvieron que someterse a revisi´on ingresan al sal´on VIP donde deben esperar hasta que salga el vuelo. El avi´on despega en un tiempo T con a lo m´as N pasajeros. La l´ınea a´erea incurre en un costo p por cada unidad de tiempo que un pasajero espera en el sal´on VIP por concepto de bebidas y entretenciones, adem´as de un costo D por cada pasajero que estando en el sal´on VIP para abordar el vuelo no puede hacerlo por falta de espacio, en este caso, los pasajeros tienen todos la misma probabilidad de no poder abordar independiente del orden en que llegaron. Por otra parte, la compa˜ n´ıa sabe que si en el avi´on van k terroristas hay una probabilidad A k que los terroristas secuestren la aeronave, lo que significa un costo en imagen valorado en X con X >> C. a) Encuentre la distribuci´on del proceso de llegadas al sal´on VIP. b) Calcule el costo esperado por concepto de bebidas y entretenciones en el sal´on VIP. Hint: Puede ser de utilidad recordar lo demostrado en la pregunta anterior. 12 c) Encuentre la distribuci´on de probabilidad del n´ umero de terroristas detectados en el control. ¿Cu´al es la distribuci´on de probabilidad de los que est´an esperando en el sal´on VIP en el tiempo T?. d) Encuentre la distribuci´on de probabilidad del n´ umero de terroristas que finalmente abordan a un vuelo. e) Calcule el costo esperado total que deber´a incurrir la l´ınea a´erea en un vuelo. 13 2. Resoluci´on problemas de Procesos de Poisson 3. a) Como los meses son intervalos disjuntos de tiempo estas probabilidades son independientes. La esperanza del n´ umero de fallas ser´a 30 · (λ D +λ A ) en 1 mes. b) Esta es la t´ıpica pregunta tipo “¿Cu´al es la probabilidad que pase A antes de B?”. Si T D es el tiempo en que ocurre la primera falla domiciliaria y T A es el tiempo en que ocurre la primera falla de alumbrado p´ ublico sabemos que T D exp(λ D ) y T A exp(λ A ) P(T D < T A ) = λ D λ D +λ A c) Una manera de verlo es darse cuenta que los 3 procesos involucrados son independientes, y pro- ceder a calcular directamente la esperanza. Otra manera es calcular la esperanzas de las fallas condicionado al tiempo que dure la reparaci´on y luego calcular lo que nos piden. Si T r es el tiempo que dura la reparaci´on en meses: E[N fallas Domiciliarias/T r = t] = λ D · t 24 ⇒E[N fallas Domiciliarias] = _ ∞ 0 λ D · t 24 · 1 T exp − 1 T ·t dt = λ D 24 · _ ∞ 0 1 T · t · exp − 1 T ·t dt = λ D · T 24 ⇒E[N fallas Alumbrado p´ ublico] = λ A · T 24 d) En este caso los costos est´an divididos en 2 tramos: Si N A = N´ umero de fallas de Alumbrado p´ ublico son menores que R se pagar´a s 1 ·R, mientras que si N A > R se pagar´a s 1 ·R+s 2 ·(N A −R). As´ı el problema de minimizaci´on queda: m´ın R _ s 1 · R · P(N A ≤ R) + ∞ k=R+1 [s 1 · R +s 2 · (k −R)] · P(N A = k) _ m´ın R _ s 1 · R + ∞ k=R+1 s 2 · (k −R)] · (λ A · 30) k exp −λ A ·30 k! ) _ 9. a) Sea t 1 = instante en que se produce la olla. Dado que N(T)=1 ⇒t 1 ∼ U[o, t] ⇒E(t 1 |N(T) = 1) = T 2 Entonces: E(T −t 1 |N(T) = 1) = E(T) −E(t 1 |N(T) = 1) = T 2 Generalizando lo anterior, es decir, si se producen N ollas: E( N t=1 T −t 1 |N(T) = N) = N · T −E( N t=1 t 1 |N(T) = N) = NT − NT 2 = NT 2 Recordando que E x (x) = E y (E x (x|y)), entonces: E(Tiempo total de espera) = E N (E(Tiempo total de espera|N(T) = N)) 14 E(Tiempo total de espera) = E N ( NT 2 ) = T 2 · E N (N) = T 2 · λ · T = T 2 · λ 2 Si hay dos despachos, el an´alisis es exactamente igual al anterior, solamente que tenemos dos “d´ıas”, uno de largo s y otro de largo T-s. Ocupando el resultado de la parte anterior tenemos: E(Tiempo total de espera) = s 2 · λ 2 + (T −s) 2 · λ 2 ∂E() ∂s = 0 ⇒s ∗ = T 2 b) Bas´andonos en esta nueva situaci´on tenemos lo siguiente: Si entregamos exactamente k ollas es porque el m´ınimo entre la producci´on de ollas y tapas es k. Entonces: P(m´ın{N 1 (T), N 2 (T)} = k) = P(N 1 (T) = k, N 2 (T) ≥ k) +P(N 2 (T) = k, N 1 (T) > k) Dada la independencia de los procesos se tiene: P() = P(N 1 (T) = k) · P(N 2 (T) ≥ k) +P(N 2 (T) = k) · P(N 1 (T) > k) Donde las expresiones pueden determinarse expl´ıcitamente dada la distribuci´on de los procesos. c) Sea O(T)= N´ umero de ollas sobrantes al final del d´ıa = m´ax{N 1 (T) −N 2 (T), 0}, entonces: E(O(T)) = ∞ k=0 k · P(O(T) = k) donde P(O(T) = k) = ∞ j=0 P(N 1 (T) = j +k) · P(N 2 (T) = j) P(O(T) = k) = ∞ j=0 T 2j+k λ j+k λ j 2 e −T(λ+λ 2 ) (j +k)! · j! S´olo resta remplazar... 10. a) Supongamos que se decide colocar N camas en el hospital. Adem´as consideremos que el d´ıa comienza en t=0 (7:00 am) y termina en t=T (7:00am del d´ıa siguiente). De esta forma, la probabilidad de atender a todos los pacientes graves ser´a: P N [Lleguen a lo m´as N pacientes graves] = N i=0 (λ 1 T) i e −λ1T i! Donde λ 1 es la tasa de llegada de los pacientes graves (2 al d´ıa). Entonces buscamos un N ∗ tal que: N ∗ = inf _ N|N ∈ {0, 1, ...} ∧ N ∗ i=0 (λ 1 T) i e −λ1T i! ≥ 0,95 _ 15 b) El paciente morir´a o no dependiendo del instante en que lleg´o. Si lleg´o antes de t = 5 (desde ahora en adelante trabajaremos en minutos) entonces muere con probabilidad 1 (del enunciado). Si lleg´o despu´es de las t = 5 sobrevive. Ahora Supongamos que el tipo lleg´o en el instante X (0 ≤ X ≤ 60) Entonces: P[Muerto|Llego en X] = 1 X≤t=5 Si embargo debemos descondicionar. Para esto vemos que la distribuci´on condicional de las lle- gadas de Poisson hasta un instante t se distribuyen uniformemente entre 0 y T. Entonces ten- dremos que: P[Muerto] = _ 60 0 1 X≤5 · 1 60 dX = _ 5 0 1 X≤5 · 1 60 dX + _ 60 5 1 X≤5 · 1 60 dX = _ 5 0 1 1 60 dX + _ 60 5 0 · 1 60 dX = 5 60 = 1 12 c) Esto es b´asicamente la probabilidad que lleguen 5 pacientes graves seguidos de 5 pacientes leves. Sin embargo dado que: P[Llegue un paciente grave antes que uno leve] = λ g λ g +λ l donde λ 2 es la tasa de llegada de pacientes leves al consultorio, y considerando la propiedad de p´erdida de memoria de la distribuci´on exponencial, tendremos que la probabilidad que buscamos, P, es: _ λ g λ g +λ l _ 5 · _ λ l λ g +λ l _ 5 d) Por la p´erdida de memoria de la exponencial el mundo “comienza” cuando el tipo inicia su ida al ba˜ no. Por otro lado, debido a la suma de procesos de Poisson, el proceso de llegada de pacientes al consultorio ser´a en s´ı un proceso de Poisson de tasa λ g + λ l , y por lo tanto Y, el tiempo de llegada entre clientes, seguir´a una distribuci´on exponencial de par´ametro λ g + λ l . Entonces el tiempo m´aximo, T ∗ , de demora debe ser tal que : P[Y ≥ T ∗ ] = e −(λg+λ l )·T ∗ = 0,95 Entonces: T ∗ = − ln(0,95) λ g +λ l 11. a) Sea T = el tiempo que falta para que el pr´oximo auto cruce. P[Pasar de inmediato] = P[Primer auto demora m´as que τ] = P[T > τ] = 1 −F(τ) = e −λτ 16 b) Derivaremos esta densidad a partir de la distribuci´on acumulada. Nos piden: P[T < t|T < τ] = P[T < t ∧ T < τ] P[T < τ] Donde P[T < t ∧ T < τ] = _ P[T < t] t < τ 1 t ≥ τ Entonces: P[T < t|T < τ] = _ P[T<t] P[T<τ] t < τ 1 t ≥ τ Por lo tanto: F x = _ 1−e −λt 1−e −λτ t < τ 1 t ≥ τ Entonces: f x = _ λe −λt 1−e −λτ t < τ 0 t ≥ τ Esto implica que C = 1 1−e−λτ c) La distribuci´on de W es la misma que la de W 2 (P´erdida de memoria, procesos independientes). d) E(W) = E[W|T ≥ τ] · P[T ≥ τ] +E[W|T < τ] · P[T < τ] = 0 + (E[X] +E[W]) · P[t < τ] Se puede verificar que: E[X] = C _ τ 0 xλe −λx dx = 1 1 −e−λτ · 1 λ · (1 −e −λτ (λτ + 1)) Entonces: E[W] = 1 λe −λτ · (1 −e −λτ (λτ + 1)) 13. a) Sea N m = N´ umero de personas que se suben al m-´esimo bus. Sea x m = tiempo entre llagada del bus m-1 y el m-´esimo. P(N m = j|x m = t) = e −µt (µt) j j! b) Tenemos que descondicionar el resultado de la parte anterior: P(N m = j) = _ ∞ 0 P(N m = j|x m = t) · f x m (t)∂t donde f x m (t) es la densidad del tiempo entre el bus m-1 y el m-´esimo. Sin embargo sabemos que f xm (t) →exp(λ). Entonces: P(N m = j) = _ ∞ 0 e −µt (µt) j j! · λe −λt ∂t 17 P(N m = j) = λµ j (λ +µ) j+1 _ ∞ 0 (λ +µ) j+1 t j e −(λ+µ)t ∂t j! Dado que lo que queda dentro de la integral es la densidad de probabilidad de una Gamma(j + 1, λ +µ) se tiene que: P(N m = j) = λµ j (λ +µ) j+1 c) Si un bus llega a las 10:30 y no llegan buses entre 10:30 y 11:00, el n´ umero de pasajeros que se subir´a al pr´oximo bus ser´a N 1 +N 2 donde: N 1 = N´ umero de personas que se sube entre 10:00 y 11:00. N 2 = N´ umero de personas que se sube a partir de las 11:00. Entonces: P(N m = n) = n j=0 P(N 1 = j ∧ N 2 = n −j) P(N m = n) = n j=0 P(N 1 = j) · P(N 2 = n −j) P(N m = n) = λ λ +µ e − µ 2 n j=0 µ k 2 k! ( µ λ +µ ) n−k P(N m = n) = λµ n (λ +µ) n+1 e − µ 2 n j=0 [ λ +µ 2 ] k · 1 k! d) El n´ umero de pasajeros esperando en cualquier instante si el proceso comenz´o hace “mucho tiem- po” ⇒ independiente del instante, la distribuci´on de probabilidad de la gente esperando sigue la misma distribuci´on de probabilidad de la parte 2. Sean: N 1 = N´ umero de personas que esta esperando N 2 = N´ umero de personas que se sube a partir del instante escogido. Entonces: P(N 1 = j) = λµ j (λ +µ) j+1 P(N 2 = j) = λµ j (λ +µ) j+1 De esta forma se tiene que: P(N m = n) = n k=0 λµ k (λ +µ) k · λµ n−k (λ +µ) n−k P(N m = n) = (n + 1) λ 2 µ n (λ +µ) n+2 14. Notar que el proceso puede ser visto como una divisi´on de un proceso de Poisson. Sean: N i (t) = n´ umero de autos con i personas que han llegado al parque desde 0 hasta t. N(t) = n´ umero de autos que han llegado al parque desde 0 hasta t. ¯ N(t) = n´ umero de personas que han llegado al parque desde 0 hasta t. 18 a) Nos piden calcular: P(N 2 (1/4) = 1| ¯ N(1/4) = 2) = P(N 2 ( 1 4 ) = 1) ∧ ¯ N( 1 4 ) = 2) P( ¯ N( 1 4 ) = 2) = P(N 2 ( 1 4 ) = 1) ∧ ¯ N( 1 4 ) = 2) P(N 2 ( 1 4 ) = 1) ∧ ¯ N( 1 4 ) = 2) +P(N 1 ( 1 4 ) = 2) ∧ ¯ N( 1 4 ) = 2) pero: P _ N 2 _ 1 4 _ = 1 ∧ ¯ N _ 1 4 _ = 2 _ = P(N 1 (1/4) = 0) · P(N 2 (1/4) = 1) · P(N 3 (1/4) = 0) · P(N 4 (1/4) = 0) · P(N 5 (1/4) = 0) P _ N 1 _ 1 4 _ = 2 ∧ ¯ N _ 1 4 _ = 2 _ = P(N 1 (1/4) = 2) · P(N 2 (1/4) = 0) · P(N 3 (1/4) = 0) · P(N 4 (1/4) = 0) · P(N 5 (1/4) = 0) Entonces: P(N 2 (1/4) = 1| ¯ N(1/4) = 2) = e − λ 1 4 λ 2 4 e − λ 3 4 e − λ 4 4 e − λ 5 4 e − λ 1 4 λ2 4 e − λ 3 4 e − λ 4 4 e − λ 5 4 + ( λ 1 4 ) 2 2 e − λ 1 4 e − λ 3 4 e − λ 4 4 e − λ 5 4 S´olo basta con reemplazar con λ i = λ · P[X = i] b) Sea R = recaudaci´on de un d´ıa. Entonces: E(R) = E(pN 1 (8) + 2pN 2 (8) + 3pN 3 (8) + 4pN 4 (8) + 5pN 5 (8)) = E(pN 1 (8)) +E(2pN 2 (8)) +E(3pN 3 (8)) +E(4pN 4 (8)) +E(5pN 5 (8)) = p8λ 1 + 2p8λ 2 + 3p8λ 3 + 4p8λ 4 + 5p8λ 5 = p8λ[0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,3 + 0,1] = 24,8pλ c) En este caso: E(R) = p8λ[0,1 + 0,2 + 0,8(0,3 + 0,3 + 0,1)] = 20,64pλ d) Para encontrar M, imponemos la siguiente condici´on: P(N(8) > M) ≤ 0,05 ∞ k=M+1 (λ8) k e −λ8 k! ≤ 0,05 o equivalentemente 19 M k=0 (λ8) k e −λ8 k! ≥ 0,95 de donde simplemente se despeja M. 15. El problema tambi´en puede ser visto como una divisi´on de un proceso de Poisson. Sean: N(t) = n´ umero de personas que han llegado a comprar entradas desde 0 hasta t. N n (t) = n´ umero de personas que han llegado a comprar entradas sin ser socios desde 0 hasta t. N m (t) = n´ umero de personas que han llegado a comprar entradas siendo socios desde 0 hasta t. a) P(N m (6) = i|N(6) = n) = P(N m (6) = i ∧ N(6) = n) P(N(6) = n) = P(N m (6) = i)P(N n (6) = n −i) P(N(6) = n) = (0,25λ6) i e −0,25λ6 i! (0,75λ6) n−i e −0,75λ6 (n−i)! (λ6) n e −λ6 n! = _ n i _ 0,25 i 0,75 n−i b) Distinguimos 3 casos: Si n < 200 ⇒ P(vender n) = (λ6) n e −λ6 n! Si n = 200 ⇒ P(vender n) = ∞ k=200 (λ6) k e −λ6 k! Si n > 200 ⇒ P(vender n) = 0 c) Sea u = utilidad de una funci´on. Entonces: E(u) = ∞ k=0 E(u|N(6) = k)P(N(6) = k) pero: Si k ≤ 199 E(u|N(6) = k) = k i=1 _ k i _ 0,25 i 0,75 n−i ((k −i)p +i0,8p) si k ≥ 200 E(u|N(6) = k) = k i=1 _ 200 i _ 0,25 i 0,75 200−i ((200 −i)p +i0,8p) Como P(N(6) = k) = (λ6) k e −λ6 k! , s´olo basta reemplazar. 20 d) Sean: R i = Instante de la llegada i-´esima de un cliente normal. S j = Instante de la llegada j-´esima de un “socio”. Notar que conocemos las funciones de probabilidad de R i ∼ Gamma(i, 0,75λ) y de S j ∼ Gamma(j, 0,25λ). Para que se vendan 50 entradas con descuento deben pasar 2 cosas: Que lleguen al menos 50 personas con tarjeta en las 8 horas que est´a abierta la boleter´ıa Que el cliente N 0 50 que sea socio llegue antes que se cope la capacidad del cine. Esto ocurre si dicho cliente llega antes que el 150-´esimo cliente normal. Entonces debemos calcular: P(S 50 ≤ R 150 ≤ 8) como conocemos las distribuciones de S i y R j , basta con fijar S 50 = S e integrando sobre S. P(S 50 ≤ R ≤ 8) = _ 8 S R 0,75λ 151 R 150 e −0,75λR 150! dR = _ 8 0 _ _ ( S R λ 151 R 150 e −0,75λR 150! dR _ 0,25λ 51 R 50 e −0,25λR 50! dS 16. Recordar que si tenemos un proceso de Poisson no homog´eneo en que la tasa de ocurrencia depende del tiempo λ(t), hacemos un cambio de reloj para ver el proceso como uniforme: u(t 1 , t 2 ) = _ t 2 t1 λ(t)dt ⇒ P(N(t 2 ) −N(t 1 ) = k) = u(t 1 , t 2 ) k e −u(t 1 ,t 2 ) k! Para este problema: u(t 1 , t 2 ) = _ t2 t1 1 √ 14,1 −t dt = −2 _ 14,1 −t| t2 t1 = 2 _ 14,1 −t 1 −2 _ 14,1 −t 2 (0 ≤ t 1 ≤ t 2 ≤ 14,1) a) P(N(9, 10) = 0 ∧ N(10, 11) ≥ 1) = P(N(9, 10) = 0)P(N(10, 11) ≥ 1) = P(N(9, 10) = 0)(1 −P(N(10, 11) = 0)) = u(9, 10) 0 e −u(9,10) (1 −u(10, 11) 0 e −u(10,11) ) 21 pero u(9, 10) = 2( _ (5,1) − _ (4,1)) = 0,467 u(10, 11) = 2( _ (4,1) − _ (3,1)) = 0,528 Entonces: P(N(9, 10) = 0 ∧ N(10, 11) ≥ 1) = e −0,467 (1 −e −0,528 ) b) (12 min=0.6 hr). Los clientes que est´an en el banco en t son los que han llegado entre t −0,2 y t. As´ı: E(N(t −0, 2; t)) = u(t −0,3; t) = 2[ _ 14,1 −(t −0,2) − _ 14,1 −t] c) Los que llegan despu´es de las 14:00 E(N(14; 14,1)) = 2[ _ 0,1 − √ 0] = 2 _ 0,1 Para que disminuya a la mitad: E(N(x; 14,1)) = 1 2 _ 2 _ 0,1 _ 2[ _ 14,1 −x − √ 0] = 0,1 ⇒ x = 14,075 17. a) Dado que el proceso es poissoniano ⇒ Tiempo entre llegadas →exp(λ). Por lo tanto: P s (caminar) = _ ∞ s λe −λt ∂t = e −λs b) Hay que distinguir dos casos: Si el bus pasa en t, con t ≤ s, me demoro t+R en llegar a casa. Si el bus pasa en t, con t > s, me demoro s+W en llegar a casa. c) Para calcular esta esperanza condicionaremos sobre t, el instante de llegada del bus. E(T) = _ ∞ 0 E(T|t) · λe −λt ∂t E(T) = _ s 0 (t +R) · λe −λt ∂t + _ ∞ s (S +W) · λe −λt ∂t Desarrollando deber´ıan llegar a la siguiente expresi´on: E(T) = R + 1 λ +e −λs (W −R − 1 λ ) 22 d) Claramente si: W −R − 1 λ > 0, entonces E(T) se minimiza en s= ∞ W −R − 1 λ < 0, entonces E(T) se minimiza en s=0 W −R − 1 λ = 0, entonces la expresi´on no depende de s. e) Dada la p´erdida de memoria de la exponencial, si espero un s>0 y cada vez que pasa ese tiempo reeval´ uo mi desici´on estar´e siempre frente al mismo problema original por lo que mi s ser´a el mismo ⇒ si s>0, entonces s=∞. 18. a) Para que esto ocurra el tiempo entre cada uno de los 6 ´ ultimos 6 goles debe ser superior a B (notar que la probabilidad de ver el primer gol es 1). Sean x i = tiempo entre el gol (i-1)-´esimo y el i-´esimo. Entonces: P(ver los 7 primeros goles) = P(x 2 > B, x 3 > B, ..., x 6 > B, x 7 > B) = (e −λB ) 6 = e −6λB b) Sea Y i el tiempo trascurrido entre el (i-1)-´esimo gol observado y el i-´esimo gol observado. De esta manera tenemos que: Y 1 →exp(λ) Y i →exp(λ) ∀i = 1 Entonces sea S N el tiempo en que vemos el N-´esimo gol. S n = N i=1 Y i ⇒S N −(N −1)B →Gamma(N, λ) De lo anterior, y sabiendo que P(S N ≤ t) = P(R(T) ≥ N) 1 se concluye que: P(R(T) ≥ N) = _ t−(n−1)B 0 λ N · t N−1 · e −λt ∂t (n −1)! 19. Sea x(t)= N´ umero de clientes en el sistema en el instante t. Sea N(t)= N´ umero de personas que han llegado al sistema hasta t. Notemos que: P(x(t) = j) = ∞ n=j P[x(t) = j|N(t) = n] · e −λt (λt) n n! Un cliente que llega en un instante s (0 ≤ s ≤ t) tiene una probabilidad de estar en el sistema igual a 1 −G(t −s) Condicional a que N(t) = n el instante de llegada de las n personas se distribuyen U(0,t) tenemos que la probabilidad de que una de estas personas se encuentre en el sistema es: p = _ t 0 1 −G(t −s)∂s t independiente del resto. 1 Identidad valida para cualquier proceso de conteo 23 Entonces: P[x(t) = j|N(t) = n] = n! j!(n −j)! p j (1 −p) n−j Remplazando en la expresi´on inicial tenemos que: P(x(t) = j) = ∞ n=j n! j!(n −j)! p j (1 −p) n−j · e −λt (λt) n n! P(x(t) = j) = e −λt·p (λ · t · p) j j! · ∞ n=j e −λt·(1−p) (λ · t · (1 −p)) (n−j) (n −j)! P(x(t) = j) = e −λt·p (λ · t · p) j j! Es decir x(t) →Poisson(λtp) 20. Sea v la velocidad del auto entrando en el tiempo t, por lo que se tiene que el tiempo de viaje a velocidad v ser´a t v = L v donde L es el largo de la carretera. Si definimos G como la distribuci´on del tiempo de viaje, y dado que T ≡ L X es el tiempo de viaje cuando la velocidad es X, se tendr´a que G(x) = 1 −F( L x ), con F la distribuci´on de la velocidad. Consideremos un evento a un auto que entra a la carretera, el que contaremos si se encuentra con el auto entrando en t. Independiente de los dem´as, un evento ocurriendo en un instante s con s < t (auto entrando a la carretera en s) ser´a contado con probabilidad P[s + T > t + t v ]. De la misma manera, un evento ocurriendo en un instante s con s > t ser´a contado con probabilidad P[s +T < t +t v ]. As´ı, se puede escribir la probabilidad que un evento que ocurre en un instante s sea contado como: p(s) = _ _ _ 1 −G(t +t v −s) si s < t, G(t +t v −s) si s > t, 0 en otros casos. De esta manera el n´ umero de encuentros de un auto ingresando en t ser´a un proceso de Poisson filtrado tal que: λ _ ∞ 0 p(s)ds = λ _ t 0 [1 −G(t +t v −s)]ds + _ t+t v t G(t +t v −s)ds = λ _ t+t v t v [1 −G(y)]dy + _ t v 0 G(y)dy Ahora s´olo basta con minimizar esta expresi´on derivando e igualando a 0. d dt v _ λ _ ∞ 0 p(s)ds _ = λ _ [1 −G(t +t v )] −[1 −G(t v )] +G(t v ) _ Donde se tiene que G(t v ) = 1 2 dado que cuando t tiende a infinito G(t + t v ) ≈ 1. De esta manera, el ´optimo tiempo de viaje es el tiempo medio, y por lo tanto la velocidad que minimiza los encuentros es la velocidad media. 21. Divisi´on de procesos de Poisson: N(t) = N´ umero total de votantes que llegan hasta tiempo t N A (t) = N´ umero total de votantes que llegan hasta tiempo t y votan por candidato A 24 N B (t) = N´ umero total de votantes que llegan hasta tiempo t y votan por candidato B p = Probabilidad que un votante elija al candidato A P[N A (t) = n] = ∞ k=0 P[N A (t) = n/ N(t) = k] · P[N(t) = k] = ∞ k=n P[N A (t) = n/ N(t) = k] · P[N(t) = k] = ∞ k=n k! (k −n)!n! p n · (1 −p) k−n e −λt (λt) k k! = + n e −λt (λt) n n! ∞ k=n _ (1 −p)λt _ k−n (k −n)! . ¸¸ . e (1−p)λt = e −λpt (λpt) n n! Poisson(λp) Distribuci´on condicional de los tiempos de llegada: X 1 = Tiempo en que se produce la primera llegada, condicional a que de [0, t] hay una llegada P[X 1 ≤ s/ N(t) = 1) = P[X 1 ≤ s ∧ N(t) = 1] P[N(t) = 1] 0 ≤ s ≤ t = e −λs λse −λ(t−s) e −λt λt = s t Luego, condicional a que hay una llegada en el intervalo [0, t] el tiempo en que esta ocurre sigue una distribuci´on U[0, t]. a) Alternativa 1: P[N A (10) = n/ N(10) = 1000] = P[N A (10) = n ∧ N(10) = 1000] P[N(10) = 1000] = P[N A (10) = n] · P[N B (10) = 1000 −n] P[N(10) = 1000] = e −λ A ·10 (λ A ·10) n n! · e −λ B ·10 (λ B ·10) 1000−n (1000−n)! e −λ·10 (λ·10) 1 000 1000! = 1000! (1000 −n)!n! · _ λ A λ _ n _ λ B λ _ 1000−n = 1000! (1000 −n)!n! · _ 1 2 _ 1000 n ≥ 0 Alternativa 2: 25 Pensar directamente en una binomial. Si la probabilidad que c/u de los 1000 que llegaron, inde- pendiente de los dem´as, vote por el candidato A es p, tenemos que: P[N A (10) = n/ N(10) = 1000] = 1000! (1000 −n)!n! ·p n (1−p) 1000−n = 1000! (1000 −n)!n! · _ 1 2 _ 1000 n ≥ 0 b) Llamemos N 4 A al n´ umero de votantes del candidato A que llegan en las primeras 4 horas de votaci´on. Alternativa 1: P[N 4 A = n/ N(10) = 1000] = P[N A (4) = n ∧ N(6) +N B (4) = 1000 −n] P[N(10) = 1000] = P[N A (4) = n] · P[N (6) = 1000 −n] P[N(10) = 1000] Donde N Poisson de tasa 4 3 λ = (2λ) n ·e −2λ n! · (8λ) 1000−n ·e −8λ (1000−n)! (10λ) 1000 ·e −10λ 1000! = 1000! (1000 −n)!n! · _ 2 8 _ n · _ 8 10 _ 1000 = 1000! (1000 −n)!n! · _ 1 5 _ n · _ 4 5 _ 1000−n Notar que si se consideran 2 procesos independientes N 1 (t) Poisson(λ) y N 2 (t) Poisson( λ q ) se tendr´a que P[N 1 (t) = k] = P[N 2 (qt) = k], por lo que es posible ajustar “el reloj” del proceso N B (4) para sumarlo con N(6). Alternativa 2: La probabilidad que una persona llegue en las primeras 4 horas y vote por el candidato A, dado que lleg´o en las primeras 10 ser´a p = 4 10 · 1 2 = 1 5 . Con esto se tiene que P[N 4 A = n/ N(t) = 1000] = 1000! (1000 −n)!n! _ 1 5 _ n _ 4 5 _ 1000−n c) Los votantes llegan de acuerdo a un proceso de Poisson de tasa λ, por lo que si T es el tiempo en que llega el primer votante se tendr´a: P[T > t] = P[N(t) = 0] = e −λt Por lo que T exp(λ) De la misma manera, el tiempo T A hasta que llega el primer votante tipo A sigue una exponencial de par´ametro λ 2 . d) Llamaremos P[N n B ] a la probabilidad que lleguen n votantes para el candidato B antes del primero para A y T A al instante en que llega el primer votante para el candidado A. Alternativa 1: P[N n B ] = _ 1 2 _ n · _ 1 2 _ = _ 1 2 _ n+1 26 Alternativa 2: P[N n B ] = _ ∞ 0 P[N n B / T A = t] · f T A (t)dt = _ ∞ 0 (λ B t) n e −λ B t n! · λ A e −λ A t dt = _ ∞ 0 _ λ 2 t _ n e − λ 2 t n! · λ 2 e − λ 2 t dt = _ λ 2 _ n+1 λ n+1 _ ∞ 0 t n λ n+1 e −λt n! dt = _ 1 2 _ n+1 e) P[Inversi´on] = P[Inversi´on / Anterior vota A] · P[Anterior vota A] + P[Inversi´on / Anterior vota B] · P[Anterior vota B] = 1 2 · 1 2 + 1 2 · 1 2 = 1 2 Ahora tenemos un proceso de llegadas de votantes Poisson de tasa λ y si contamos el n´ umero de inversiones podemos notar que ser´a el mismo proceso de Poisson “filtrado” por la probabilidad que una llegada sea una inversi´on. De esta manera el tiempo entre 2 inversiones consecutivas seguir´a una distribuci´on exponencial de tasa λ · P[Inversi´on] = λ 2 . 22. Sea N [a,b] (t)= n´ umero de autos en el tramo [a, b] en el instante t. P(N [ab] (t) = k) = ∞ n=k P(N [ab] (t) = k|N(t) = n) · P(N(t) = n) Un auto que entra a la carretera en el instante s y elige una velocidad v i , se encontrar´a en el tramo [a, b] en t siempre y cuando: v i (t −s) ≥ a ∧ v i (t −s) ≤ b ⇒ a (t −s) ≤ v i b (t −s) Luego la probabilidad que un auto llegado en s est´e en [a, b] en t es: P(s, t) = _ b (t−s) a (t−s) F(v i )dv i Luego, un auto que llega en un instante cualquiera estar´a en el intervalo con la siguiente probabilidad: _ t 0 1 t P(s, t)ds = P(t) t Entonces el n´ umero de autos en el intervalo es: P(N [a,b] (t) = k) = (λP(t)) k e −λP(t) k! 27 23. a) D puede ser escrito de la siguiente forma: D(t) = N(t) i=1 D i e −(t−S i ) donde S i denota el tiempo de arribo del i-´esimo shock. De esta forma tendremos que: E[D(t)] = E[ N(t) i=1 D i e −(t−Si) ] = ∞ n=0 E[ N(t) i=1 D i e −(t−S i ) |N(t) = n] · (λt) n · e −λt n! = ∞ n=0 E[ n i=1 D i e −(t−Si) ] · (λt) n · e −λt n! = ∞ n=0 E[D] · e −t · E[ n i=1 e Si ] · (λt) n · e −λt n! Donde se ha utilizado la independencia de los D i y el proceso de conteo. Ahora si se considera que cada uno de los S i se distribuye uniforme entre 0 y t, se tendr´a que: E[D(t)] = ∞ n=0 E[D]e −t nE[e U i ] · (λt) n · e −λt n! = ∞ n=0 E[D]e −t n _ t 0 [ e s ds t ] · (λt) n · e −λt n! = ∞ n=0 E[D]e −t n [e t −1] t · (λt) n · e −λt n! = E[D](1 −e −t ) t ∞ n=0 n · (λt) n · e −λt n! = E[D](1 −e −t ) · λ b) Propuesto! 25. a) P[2 o m´as eventos en alg´ un subintervalo] ≤ k i=1 P[2 o m´as eventos en el subintervalo i-´esimo] Ocupando la definici´on (2) = k · o( t k ) = t · o( t k ) t k ⇒ l´ım k→∞ t · o( t k ) t k = 0 28 b) P[N(t) = n] = P[En n de los k intervalos ocurra 1 evento] = k! (k −n)!n! · _ λ t k +o( t k ) _ n · _ 1 −λ t k −o( t k ) _ k−n De esta manera N(t) Binomial(k, λ t k +o( t k )) c) Primero veamos cu´al es la esperanza de N(t) en el l´ımite: l´ım k→∞ E _ N(t) _ = l´ım k→∞ k · λ t k +o( t k ) = l´ım k→∞ _ λt +t · o( t k ) t k _ = λt Ahora recordemos que Binomial(n, p) Poisson(λ) con n · p = λ en el l´ımite n ∞, p 0. P[N(t) = n] = k · (k −1) · (k −2) · · · (k −n + 1) n! · _ λt k +o( t k ) _ n · _ 1 − λt k −o( t k ) _ k−n = k · (k −1) · (k −2) · · · (k −n + 1) n! · k n · _ λt +t · o( t k ) t k _n · _ 1 − λt k −o( t k ) _ k _ 1 − λt k −o( t k ) _ n = 1 n! k k k −1 k k −2 k · · · k −n + 1 k · _ λt +t · o( t k ) t k _n · _ 1 − λt k −o( t k ) _ k _ 1 − λt k −o( t k ) _ n Tomando el l´ımite k →∞ l´ım k→∞ P[N(t) = n] = 1 n! · 1 · (λt) n · l´ım k→∞ _ 1 − λt k −o( t k ) _ k l´ım k→∞ _ 1 − λt k −o( t k ) _ k = e l´ım k→∞ _ ln(1− λt k −o( t k )) 1 k _ ocupando l’Hˆopital = e −λt De esta manera l´ım k→∞ P[N(t) = n] = (λt) n n! · e −λt 26. a) Nos limitaremos a calcular q(t), la probabilidad que un auto cualquiera haya tenido que esperar. Para esto vemos que esta misma probabilidad condicionada en el instante de llegada toma la siguiente forma (se supone que el sem´aforo parte en verde): P(s) = _ 1 t ∈ [(2n −1) · A, 2n · A] para alg´ un n ∈ {1, ...} 0 t ∈ [2n · A, (2n + 1) · A] para alg´ un n ∈ {0, 1...} De esta forma es directo ver que: q(t) = _ (n−1)·A+t−(2n−1)·A t t ∈ [(2n −1) · A, 2n · A] para alg´ un n ∈ {1, ...} n·A t t ∈ [2n · A, (2n + 1) · A] para alg´ un n ∈ {0, 1...} Entonces podemos afirmar que X(t) sigue un proceso de poisson de tasa (λt · q(t)). 29 b) Mediante la misma l´ogica anterior tendremos que: q(t) = _ t−(2n−1)·A t t ∈ [(2n −1) · A, 2n · A] para alg´ un n ∈ {1, ...} 0 t ∈ [2n · A, (2n + 1) · A] para alg´ un n ∈ {0, 1...} Entonces podemos afirmar que X(t) sigue un proceso de Poisson de tasa (λt · q(t)). c) Claramente el costo del ciclo ser´a el costo del sem´aforo rojo para los de la calle x m´as el costo del sem´aforo rojo para los de la calle y. Entonces: E[Costo calle x] = ∞ n=0 E[Costo calle x|N x (A) = n] · P[N x (A) = n] = ∞ n=0 n A· M 2 · P[N x (A) = n] = λ x A A· M 2 Donde el t´ermino para E[Costo calle x|N x (A) = n] viene del hecho que las llegadas condicionales de Poisson se distribuyen (id´enticas) uniformes en el intervalo que condiciona y que si un au- tom´ovil llega en el instante s, se incurrir´a en un costo de M · (A−s). De la misma forma: E[Costo calle y] = ∞ n=0 E[Costo calle y|N y (B) = n] · P[N y (B) = n] = ∞ n=0 n B 2 · M 3 · P[N y (B) = n] = λ y B B 2 · M 3 Donde el t´ermino para E[Costo calle x|N y (B) = n] viene del hecho que las llegadas condicionales de poisson se distribuyen (id´enticas) uniformes en el intervalo que condiciona y que si un au- tom´ovil llega en el instante s, se incurrir´a en un costo de M · (B −s) 2 . Entonces: E[Costos] = λ x A 2 · M 2 +λ y (C −A) 3 · M 3 d) La idea es derivar e igualar a 0, siempre y cuando el resultado sea coherente (A este entre 0 y C). dE[Costos] dA = λ x A· M −λ y (C −A) 2 · M = 0 ⇒A ∗ 28. a) El proceso combinado {N 1 (t)+N 2 (t); t ≥ 0} es un proceso de poisson de tasa λ 1 +λ 2 y cada llegada pertenece a N 1 (t) indep. con probabilidad λ 1 λ1+λ2 . Entonces para que el n´ umero de llegadas del proceso N 1 (t) sean n tiene que darse que la llegada del primer proceso le “gane” a la del segundo exactamente n veces y que luego “pierda”. Esto es: P[N = n] = ( λ 1 λ 1 +λ 2 ) n · λ 2 λ 1 +λ 2 30 b) Simplemente buscamos la distribuci´on del n´ umero de llegadas de N 1 (t) en [0, τ]: P[N 1 (t) = n] = e −λτ (λτ) n n! c) Sea R = n llegadas en primer periodo ON, y τ = tiempo de t´ermino del primer periodo ON. Entonces buscamos: f τ|R (t|R)dt = P[t ≤ τ ≤ t +dt|R] = P[R|t ≤ τ ≤ t +dt] · P[t ≤ τ ≤ t +dt] P[R] Pero de las partes anteriores y de la distribuci´on exponencial del tiempo entre arribos del segundo proceso se tendr´a que: f τ|R (t|R)dt = (λ 1 t) n e −λ 1 t n! · λ 2 e −λ 2 t ( λ1 λ1+λ2 ) n · λ2 λ1+λ2 dt = e −(λ1+λ2)t · (λ 1 +λ 2 ) n+1 t n n! Es decir se distribuye de acuerdo a una gamma(n + 1, λ 1 +λ 2 ) d) Condicionaremos sobre la primera llegada del proceso combinado N 1 (t) +N 2 (t). E[X a ] = E[X a |N 1 (t)primero] · P[N 1 (t)primero] +E[X a |N 2 (t)primero] · P[N 2 (t)primero] = 1 λ 1 +λ 2 · λ 1 λ 1 +λ 2 + [ 1 λ 1 +λ 2 + 1 λ 2 +E[X a ]] · λ 2 λ 1 +λ 2 = 1 λ 1 · [ λ 2 λ 1 +λ 2 + λ 1 λ 1 +λ 2 + 1] = 2 λ 1 1 1. Problemas de Procesos de Poisson 1. Se tiene una central telef´nica que recibe llamadas de acuerdo a un proceso de Poisson con tasa λ = 5 o [llamadas/hora]. Se define con N (t, t ) el n´mero de llamadas que se han recibido entre t y t . El servicio u ha comenzado a operar a las 7:00 de la ma˜ana y se sabe que N(7, 9)=7. n a) Si el operador no ha recibido ninguna llamada desde las 8:45 hrs. ¿cu´l es la probabilidad de que a la siguiente llamada ocurra antes de las 9:15 hrs. ?. b) ¿Cu´l es la probabilidad de que el operador est´ ocioso por m´s de 40 minutos (comenzando a las a e a 8:45)?. c) ¿Cu´l es la probabilidad de que a las 10:00 hrs. se hayan recibido 25 llamadas en total?. a a a a a d ) Si el operador trabaja un turno de 8 horas ¿cu´ntos llamados recibir´ en promedio ?. ¿cu´l ser´ la varianza ?. e) El operador ha estado muy ocupado durante las primeras 4 horas de su turno y le comenta a su compa˜ero de trabajo en su hora de colaci´n: “Este ser´ un d´ muy ocupado, en la ma˜ana casi n o a ıa n no he podido descansar”. Explique si el operador tiene o no razones para realizar esta afirmaci´n. o 2. Suponga que el n´mero de goles que marca un equipo de f´tbol puede ser descrito por un proceso de u u Poisson. Considere los siguientes equipos (procesos independientes) : A : tasa λA goles/partido B: tasa λB goles/partido a) Si se enfrentan A y B, ¿Cu´l es la probabilidad de que A gane 2 x 1?. a b) Suponga que ha transcurrido el primer tiempo entre A y B, si se sabe que A va ganando 2 x 0, ¿cu´l es la probabilidad de que el primer gol haya sido antes de 15 min. y el segundo antes de 30 a min.?. c) Va a comenzar el segundo tiempo (A va ganando 2 x 0), ¿cu´l es la probabilidad de que A marque a 3 goles antes de los 30 min. (sin importar lo que pase con B)?. d ) Suponga que el partido en su tiempo reglamentario (90 min.) qued´ igualado 3 x 3. Sin embargo, es o necesario definir el ganador, para ello se utilizar´ la modalidad “golden goal”, es decir, el primero a que marca el gol gana. ¿Cu´l es la probabilidad de que el partido se prolongue por m´s de 45 a a minutos?. e) Asuma que ahora se cambian las reglas a “two golden goals”, es decir, el primer equipo que marca 2 goles consecutivos gana. ¿Cu´l es la probabilidad de que gane B?. a 3. (*) Una empresa de distribuci´n de energ´ el´ctrica ha decidido enfrentar el invierno venidero con un o ıa e Plan de Soluci´n de Fallas Cr´ o ıticas. De las estad´ ısticas recopiladas de los a˜os anteriores, se puede concluir que las fallas cr´ n ıticas tienen dos or´ ıgenes posibles: Domiciliario y de Alumbrado P´blico. Ambas fallas se presentan seg´n procesos u u de Poisson independientes, de tasa λD [fallas/d´ para fallas domiciliarias y λA [fallas/d´ para fallas de ıa] ıa] Alumbrado P´blico. u Como parte del dise˜o del plan, se conform´ un equipo de empleados altamente capacitados en la n o reparaci´n de fallas en redes el´ctricas. Este equipo acude a reparar las fallas reportadas demor´ndose o e a un tiempo exponencialmente distribuido de media T[hrs] por cada una, incluyendo en este lapso el tiempo de transporte al lugar de la falla. a u a) Si durante el primer mes de funcionamiento del Plan se han reportado F fallas, ¿cu´l es el n´mero esperado de fallas para el segundo mes?. 2 a b) ¿Cu´l es la probabilidad de que la primera falla que se registre en un mes sea domiciliaria?. c) El equipo de reparaci´n est´ trabajando en la soluci´n de una falla de Alumbrado P´blico. En o a o u promedio, ¿Cu´ntas fallas de cada tipo ocurrir´n antes de que la reparaci´n en curso sea finalizaa a o da?. Se est´ estudiando la posibilidad de dejar la reparaci´n de fallas de Alumbrado P´blico en manos de a o u una empresa contratista. Los t´rminos del contrato indican que mensualmente se pagar´ como costo e a fijo un equivalente a R reparaciones a un costo unitario s1 , mientras que el precio de cada reparaci´n o por sobre este m´ ınimo ser´ de s2 , con s2 > s1 . a d ) Como Ingeniero de Estudios de la empresa distribuidora, plantee el problema de optimizaci´n o que permita encontrar el valor R∗ que minimiza los costos mensuales esperados del contrato de reparaci´n de fallas de Alumbrado P´blico. o u 4. El Call Center de una Isapre recibe llamadas correspondientes a reclamos y a consultas, las cuales pueden ser modeladas como procesos de Poisson de tasas λR y λC [llamadas/hora], respectivamente. Todos los reclamos son derivados al departamento de atenci´n al cliente para su an´lisis y soluci´n, al igual que o a o una fracci´n p de las consultas. Este departamento demora un tiempo exponencialemente distribuido o de tasa µ en procesar cada solicitud, ya sea reclamo o consulta. La fracci´n restante de las consultas o corresponde a aquellas que requieren de un estudio m´s especializado, por lo que son derivadas a la a Gerencia de Estudios de la compa˜´ Esta gerencia demora un tiempo exponencialmente distribuido nıa. de tasa 2 · µ en el procesamiento de cada consulta. Suponiendo que todas las unidades de la compa˜´ nıa trabajan 8 horas diarias de lunes a viernes, responda: a) Si la semana pasada se recibieron R reclamos y C consultas, ¿cu´l es el valor esperado de llamadas a que esta semana ser´n derivadas al Departamento de Atenci´n al Cliente?. ¿y a la Gerencia de a o Estudios?. b) ¿Cu´l es la probabilidad de que la pr´xima llamada que se reciba corresponda a un reclamo?. a o El Departamento de Atenci´n al Cliente debe emitir diariamente un reporte del n´mero de llamadas o u recibidas en cada hora de operaci´n. Lamentablemente, por un error computacional perdi´ toda la o o informaci´n de las consultas recibidas en las ultimas 4 horas del d´ pudi´ndose rescatar solamente el o ´ ıa, e dato de que en dicho intervalo de tiempo se recibieron Q consultas. Ante esta eventualidad, el Jefe del Departamento le encomienda a Ud. intentar reconstruir esta informaci´n. o c) Utilizando sus conocimientos de probabilidades determine cu´l ser´ la distribuci´n de probabilidad a a o que rige al n´mero de llamadas recibidas en la primera hora de operaci´n “perdida”. Intuitivau o mente, ¿cu´l ser´ la configuraci´n m´s probable para las llamadas recibidas en cada una de las 4 a a o a horas de operaci´n sin registros?. o d ) Si un trabajador del centro de atenci´n recuerda con seguridad que en la ultima hora de operaci´n o ´ o se recibieron Q/3 llamadas, ¿cambia su respuesta de la parte anterior?. Si su respuesta es afirmativa encuentre la distribuci´n de probabilidad que rige al n´mero de llamadas recibidas en la o u primera hora de operaci´n “perdida” en esta nueva situaci´n. o o Suponga ahora que el Call Center funciona las 24 horas en forma continua e) ¿C´mo modificar´ el modelo de llegadas enunciado, de modo que se ajuste mejor a la nueva o ıa realidad?. Razone en funci´n de la variaci´n de la tasa a lo largo del d´ o o ıa. u 5. Turistas extranjeros llegan en el verano a un balneario seg´n un proceso de Poisson de tasa λ[turistas / mes]. Independiente de todo lo dem´s, con probabilidad pA , un turista que llega al balneario proviene de a alg´n un pa´ sudamericano y con probabilidad 1 − pA proviene del resto del mundo. Los turistas u ıs comienzan a llegar el 1 de enero. 7. Si k es el n´mero de per´ u ıodos que faltan hasta el fin del horizonte. siguiendo un proceso de Poisson de tasa λ. e b) Suponga que existen pagos negativos (el cliente debe devolver dinero) cada vez que se detectan accidentes simulados. Una tienda que vende por cat´logos ha realizado un estudio de su demanda. en promedio. ıodos de venta. ¿Cu´l es la probabilidad que hasta fin de mes lleguen m´s de n turistas en total (m ≤ n)?.. ¿Cu´l es la probabilidad que la mitad de ellos hayan a llegado durante la primera mitad del mes?. d ) En un mes llegaron 100. de manera que Yt puede ser modelada como una variable aleatoria de distribuci´n Normal(µ. Adem´s a en un per´ ıodo (k) cualquiera. a b) Dado que en un mes llegaron 100. σ 2 ). Por su parte. Muestre que la soluci´n ´ptima satisface: o o p∗ = 1 − Uk−1 k y el beneficio esperado m´ximo acumulado es: a ∗ Vk (sk+1 ) = sk+1 · Uk donde sk son las ventas den el per´ ıodo k y Uk se define recursivamente por U0 = 0 y Uk = eUk−1 −1 . el que concluy´ que para a o un per´ ıodo de venta (k) cualquiera el n´mero de potenciales compradores se distribuye Poisson con u una media igual al n´mero de clientes que compr´ el producto en el per´ u o ıodo anterior (k − 1).T] ? ¿Qu´ tipo de proceso es ?. La n llegada de los autom´viles al evento siguen un proceso Poisson con tasa λ(autos / hora).000 turistas en total. existen distintas u cantidades de dinero que debe pagar la compa˜´ aseguradora al cliente. sus gastos en un per´ ıodo [0. Ellos saben que cada auto ocupa un ´rea a a de A (m2 ) y el costo es de h [$/m2 ]. Suponga que las personas que poseen cierta p´liza de seguro sufren accidentes en instantes 0 < t1 < o t2 < . Seg´n el tipo de accidente. los turistas del resto del mundo dejan en el pa´ cantidades de dinero ıs Yi que son variables aleatorias iid de media γ. Si inicialmente el n´mero de clientes potenciales se distribuye Poisson con media λ. Para el accidente ocurrido en nıa tn ..t] ?.. ¿Cu´l es la probabilidad que n de ellos a sean sudamericanos?. la fracci´n de los clientes potenciales que compran el producto es e−pk o donde pk es el precio fijado en el per´ ıodo (k). ¿Qu´ cantidad de dinero deber´ tener disponible la compa˜´ para o e ıa nıa cubrir. han llegado m turistas en total. responda: u a) ¿Cu´l es el precio ´ptimo y el beneficio esperado m´ximo si se considera un s´lo per´ a o a o ıodo de venta?. nıa a) Escriba la expresi´n para el monto total que deber´ pagar la empresa a los accidentados en un o a intervalo [0. ¿Cu´l es el valor esperado de la cantidad total de a dinero dejada en total por los turistas durante un mes?. Cada auto que no puede estacionarse porque el estacionamiento . est´ el a a planificar el tama˜o del estacionamiento que se va a arrendar para los autos de los visitantes. Entre las distintas actividades que se deben planificar para un evento que durar´ 10 horas. ¿Cu´l es la probabilidad u a que el siguiente veraneante que llegue sea sudamericano?. c) Es el 20 de enero y desde el 19 de enero no ha llegado ning´n turista.. o Los organizadores deben pagar por el ´rea total arrendada.3 a a) Si hasta mitad de mes. e) Los turistas sudamericanos dejan en el pa´ cantidades de dinero Xi que son variables aleatorias ıs iid de media µ. 8. la compa˜´ cubre un monto de Yn .000 turistas en total. b) Responda lo anterior considerando 2 per´ c) Ahora se desea resolver el problema para un horizonte de T per´ ıodos. 6. ıa o e 10. pues ´ste abandona el lugar. c) Suponga que al comienzo del d´ en el taller del alfarero no hay ni ollas ni tapas. e o ıa a) Conteste cada uno de los siguiente puntos: Se sabe que en un d´ se produjo una olla. ¿cu´ntas ollas (que no lograron ser despachadas con sus respectivas tapas) habr´ disponible al a a comienzo del d´ siguiente?. a) Formule el problema para determinar el n´mero ´ptimo de estacionamientos (X) que deben u o arrendar los organizadores del evento. el cual fabricar´ las tapas de las ollas. ingenier´ ´l le consult´ si pod´ contestarle algunas preguntas que son las siguientes: ıa. o total de espera. Su conocido alfarero ha decidido asociarse con un vecino. ¿cu´l es el valor esperado ıa a del tiempo total de espera de las N ollas?. ¿Qu´ instante t∗ elegir´ para realizar el nuevo despacho durante el d´ de modo de minimizar e ıa ıa. ´stas se guardan para el d´ o ´ a e ıa siguiente y viceversa.4 est´ lleno es un cliente (visitante) perdido. se encontr´ con este alfarero. el tiempo medio total de espera?. en funci´n de t. se realizar´n dos despachos: uno en el instante ıa a t y el otro en T . Considere que la “espera” de cada olla es el tiempo entre su producci´n y su despacho a Santiago. al final del d´ Escriba ahora. ¿Cu´l es la esperanza del tiempo total de espera. u instante t durante el d´ (0 < t < T ). (*)Un alfarero muy meticuloso en su trabajo y en todo lo que lo rodea. Se sabe que cada uno de estos grupos de pacientes llegan de acuerdo a un proceso de Poisson con tasas 2 y 4 pacientes por hora respectivamente. Adem´s. El a tiempo de fabricaci´n de cada tapa se distribuye exponencialmente con tasa λ2 .tapas que se lograron producir (en este caso s´lo existe un unico despacho). Condicional a ese evento. Si hay m´s ollas que tapas. llega al recinto n a a las 3 de la tarde encuentre estacionamiento?. todos los pacientes graves deben permanecer a . Es decir. Suponga que ahora. el n´mero de ollas que fabrica en un intervalo de largo h [horas] sigue ıa u una distribuci´n de Poisson de media λ1 h. Un d´ en que usted paseaba su vecindario. El “total” se refiere a la suma de los tiempos de espera de cada una de las ollas. a a u c) ¿Cu´l es el n´mero promedio de autos que entran al estacionamiento?. Adem´s. o Si en un d´ se produjeron N ollas (y condicional a ese evento). Los clientes que entran al evento reportan un e beneficio de b ($/Cliente). de todas las ollas producidas en un d´ a ıa?. Al final del d´ (despu´s o ıa e de T horas de trabajo). se mandan a Santiago las “parejas” ollas . En promedio. (*) Considere una posta de atenci´n de urgencias m´dicas donde llegan dos tipos de pacientes: los graves (que deben ser atendidos de inmediato) y los leves (que pueden esperar para ser atendidos). ´l debe despachar a Santiago toda e a e su producci´n diaria (de T horas de trabajo) al final del d´ Sabiendo que usted realiza estudios de o ıa. d ) Si el evento comienza a la 10 de la ma˜ana. adem´s de despachar al final del d´ el alfarero puede hacerlo en alg´n a ıa. calcule la esperanza del ıa tiempo de “espera” de esa olla. ıa. se dedica a fabricar ollas de ´ greda. 9. ¿Cu´l es la probabilidad de que se llene?. ¿Cu´l es la probabilidad de que si Ud. de todas las ollas producidas en un d´ ıa. la nueva esperanza del tiempo ıa. El le dijo que seg´n ıa o u mediciones que hab´ realizado. b) Suponiendo que los organizadores determinan que el n´mero ´ptimo de estacionamientos es X = u o 500. b) ¿Cu´l es la probabilidad de que en el primer d´ de sociedad se despachen K ollas con sus a ıa respectivas tapas?. Una vez que un visitante a e llega al evento permanece en ´l hasta la hora de cierre. para cualquier valor de h e independiente del n´mero de o u ollas que haya fabricado antes o despu´s de ese lapso. Entregue una expresi´n para determinar este o n´mero de camas. ıa ıa o c) El auto que ven´ por la v´ principal acaba de atravesar la intersecci´n. u b) Se sabe que s´lo un paciente grave ingres´ entre las 7:00 y 8:00. la funci´n de densidad de X o o o viene dada por fX (x) = Cλ exp(−λx) ∀x ∈ [0. ¿Cu´l es la probaa bilidad que dicho paciente haya muerto debido a que no estaba presente el m´dico? (suponga que e un paciente grave muere si no es atendido de inmediato). de manera que el conductor siempre puede determinar con exactitud cu´nto falta para que pase el pr´ximo veh´ a o ıculo. b) Suponga que nuestro conductor no pudo pasar de inmediato. Por ello. Argumente que. Si la persona que atiende la ventanilla debe ausentarse por unos o minutos para ir al ba˜o. a) La posta desea determinar el n´mero de camas que debe tener para los pacientes graves. ya que su turno comenzaba a las 7:00). Los pacientes leves NO ocupan camas.95 puedan ser atendidos todos los pacientes graves que ingresen y no deban ser derivados a otra posta. momento en el cual son dados de alta o son trasladados a un o ıa hospital.m. c) Dado que llegaron 10 pacientes. los pacientes graves son evaluados para decidir si son dados de alta o trasladados. ¿Cu´nto es el m´ximo de tiempo que puede hacerlo de modo que la n a a probabilidad de que llegue un paciente durante su ausencia sea menor que 5 %?. ´l pensar´ que es imprudente pasar. ıa principal (la que tiene prioridad) el paso de veh´ ıculos a trav´s de la intersecci´n se puede modelar como e o un proceso Poisson de tasa λ [veh´ ıculos/segundo]. ¿Cu´l es la probabilidad de que los primeros cinco hayan sido a graves y los siguientes cinco leves?. y enfrenta o o ıa un disco “Pare”. y obsero var´ cu´nto tiempo falta para que el pr´ximo veh´ a a o ıculo atraviese la intersecci´n por la v´ principal. o a) Calcule la probabilidad de pasar de inmediato (i. tiempo que denotaremos W . a las 7:00 todas las camas se desocupan. y atravesar´ la e a a intersecci´n. Suponga que en a la esquina hay buena visibilidad. d ) Para el ingreso de pacientes leves y graves debe llenarse un formulario y entregarse en una ventanilla de atenci´n al paciente. Compare la a distribuci´n de W2 con la distribuci´n (a priori) de W . pues al llegar a la intersecci´n vio que o ven´ un auto por la v´ principal el cual iba a atravesar la intersecci´n en menos de τ segundos. No hay ning´n veh´ u ıculo antes que ´l esperando pasar (por su misma v´ Por la v´ e ıa). 11. τ ]. o ıa Si ese tiempo es igual o mayor que τ segundos ´l considerar´ que es seguro pasar. Por el contrario. si faltan menos de τ segundos para que pase el pr´ximo veh´ o o ıculo por la v´ principal. Considere que a las 7:00 a. Calcule el valor de la constante C y el valor esperado de X.e. de modo u que con probabilidad de por lo menos 0. ıa ıa o Llamemos X al tiempo que transcurre hasta que dicho auto (el que viene por la v´ principal) ıa atraviesa la intersecci´n. con la informaci´n dada. El objetivo de este problema es encontrar la distribuci´n del tiempo que este conductor deber´ estar o a detenido en la intersecci´n antes de poder pasar. y seguir´ esperando hasta que se produzca una “brecha” igual o mayor a τ segundos.5 en observaci´n hasta el d´ siguiente. Ese d´ el m´dico lleg´ cinco o o ıa e o minutos atrasado (es decir a las 7:05. Pr[W = 0]). (*) Un conductor se acerca en su autom´vil a una intersecci´n por una v´ secundaria. Los pacientes ingresan las 24 horas al servicio. Llame W2 al tiempo que transcurrir´ a partir de este instante hasta que nuestro conductor logre pasar. y esperar´ detenido a que ese veh´ ıa e a a ıculo pase. τ ] y fX (x) = 0 ∀x ∈ [0. El conductor que llega por la v´ secundaria detendr´ su veh´ ıa a ıculo al llegar a la intersecci´n. o o . ¿Cu´l es la ley de probabilidad para el n´mero de a u personas que compra el producto y para el n´mero de personas que se van sin comprar en una u semana dada?. si en un autom´vil vienen tres personas. y no tiene la posibilidad de reabastecerse en caso que se agote el producto. Desde el punto de vista de la tienda la disposici´n a pagar d de un o cliente cualquiera es una variable aleatoria con funci´n de densidad f (d) continua en [0. es decir. c) ¿Cu´nto vale B(P. encuentre la funci´n de probabilidad del n´mero de pasajeros que se suben al siguiente bus. a) Si la tienda vende el producto a un precio P ¿Cu´l es la probabilidad que un cliente cualquiera a que entra a la tienda compre el producto?. a) Encuentre la funci´n de probabilidad del n´mero de pasajeros que entran al m-´simo bus.e. Especifique la distribua ci´n de N y de Xi . Al llegar el u bus. a 13. Un cliente compra el producto si su disposici´n a pagar es mayor que o o el precio al que la tienda vende el producto. Use sus resultados de las partes (a). a La tienda ofrece un unico producto y los clientes llegan sin conocer de antemano cu´l es el precio del ´ a producto. el ingreso esperado por ventas para esa semana si se vende a un precio P ?. La entrada al recinto se paga por persona que o ingresa y el precio individual de p [$]. lo pasajeros llegan a esperar al paradero seg´n un proceso de Poisson de tasa µ. encuentre la funci´n de probabilidad del o n´mero de pasajeros que se suben al siguiente bus. capacidad a e del bus es infinita). la entrada total o de este auto es de 3 · p [$]. Hint: Calcule la esperanza condicional en el evento que nuestro conductor haya podido pasar de inmediato o se haya visto obligado a esperar. C). ¿Cu´nto vale el ingreso esperado por ventas en una semana cualquiera?. e f ) Dado que Ud. 2 : 30 PM. y los pasajeros que llegan posteriormente a esperar se suben al siguiente bus. (b) y (c). los buses llegan a un paradero seg´n un proceso de Poisson de tasa λ. o 12. o u e c) Dado que un bus llega a las 10:30 AM y no llegan buses entre las 10:30 y las 11:00 AM. e) Argumente que W se puede expresar como W = i=1 Xi donde N es una variable aleatoria y {Xi }i≥1 son variables aleatorias iid que adem´s son independientes de N . dado o u e que el tiempo entre las llegadas del bus m − 1 y del bus m-´simo es t. en caso contrario se va sin comprar. o u d ) Encuentre la funci´n de probabilidad del n´mero de pasajeros esperando en alg´n momento o u u cualquiera del tiempo. (*) Partiendo en t = 0. e b) Encuentre la funci´n de probabilidad del n´mero de pasajeros que se suben al m-´simo bus. por ejemplo. Suponga ahora que el inventario disponible es de C unidades al comienzo de una semana dada. u o 14. ∞) y funci´n o o de distribuci´n F (d) conocidas. llega a esperar el bus a las 2:30 PM. A una tienda comercial llegan clientes de acuerdo a un proceso Poisson de par´metro λ [clientes/semana]. el precio que maximiza el ingreso esperado por ventas en e una semana cualquiera?. Suponga que el proceso empez´ hace mucho o tiempo. Suponga que la tienda dispone de inventario infinito.6 d ) Calcule E[W ]. Por u su parte. a b) ¿Qu´ condiciones debe satisfacer P ∗ . o u e) Encuentre la funci´n de probabilidad del n´mero de pasajeros que se suben al siguiente bus (que pasa despu´s de las 2:30 PM). (*) Al parque nacional “Santuario de la Naturaleza” llegan diariamente autom´viles de acuerdo a un proceso de Poisson con tasa λ [autom´viles/hora]. todos los pasajeros que se encuentren esperando se suben instant´neamente a ´l (i. Los clientes son heterog´neos en el sentido que su disposici´n a pagar por el producto es e o distinta (entendemos por disposici´n a pagar la mayor cantidad de dinero que el cliente estar´ diso ıa puesto a pagar por el producto). N . d con las siguiente ley de probabilidad: Pr[X = 1] = 0.1 Pr[X = 4] = 0. La entrada a la funci´n es de p [$] por persona. 1 λ(t) = √ 14.7 Estad´ ısticamente se sabe que el n´mero de personas en cada autom´vil. a c) ¿Cu´l es la utilidad esperada por funci´n?.3 Pr[X = 2] = 0. a a 16. a b) Si todos los clientes se demoran exactamente 12 min.3 El parque abre sus puertas diariamente desde las 08:00 hasta las 16:00 hrs. cuya tasa est´ dada e a por 1 . 0 < t < 14. (*) Considere una sala de cine con capacidad para 200 personas. 2. En este a a a caso se cobrar´ el 80 % del precio por persona ¿Cu´l ser´ la recaudaci´n promedio diaria en este ıa a ıa o caso?. X. se rechazar´ a los “socios” del cine (asuma que a los clientes a los que se les rechace la entrada rebajada no optar´n por pagar el valor completo. a o d ) Suponga que la administraci´n del cine ha decidido no vender m´s de 50 entradas a precio rebajado o a para cada funci´n. Asuma que las personas llegan al cine de acuerdo a un proceso de Poisson a comprar las entradas y que cada persona compra s´lo una entrada. ıa ıa Las tasa de llegada es de 40 personas/hora. a o c) Se est´ pensando hacer un descuento a aquellos autos con m´s de 2 pasajeros (3 o m´s). . a a a) Se sabe que a las 8:15 habr´n llegado 2 personas al parque. b) ¿Cu´l es la probabilidad de que se vendan n entradas (n ∈ {0. a sino que se retirar´n). dentro del banco. Asuma que un conductor siempre se estaciona bajo techo si hay espacio disponible. Una vez alcanzado este l´ o ımite.})?. ¿Cu´l es la probabilidad de que las primeras 2 personas que llegan al parque vengan juntas?. llegan entre las 9 y las 14:06 hrs. (*) A un Banco llegan clientes de acuerdo a un proceso Poissoniano no homog´neo. sin a embargo. son variables aleatorias u o i.. si el cliente es “socio” del cine se le hace un 20 % de descuento.1 Pr[X = 3] = 0. y el banco opera desde las 9 y hasta las 14 horas.2 Pr[X = 5] = 0. Los clientes. a) Si usted sabe que se vendieron n entradas ¿Cu´l es la probabilidad de que i entradas se hayan a vendido a “socios” del cine?. y la boleter´ se cierra a las 22:00. y cada una persona posee tarjeta de socio con una probabilidad de un 25 %. determine el n´mero u esperado de clientes dentro del banco en cualquier instante del d´ ıa. Una hora despu´s de cerrar e todas las personas abandonan el parque (suponga que nadie se va antes). ¿Cu´l debe ser su tama˜o M [sitios] a a n de modo que la probabilidad de que alg´n auto no alcance a estacionarse bajo techo sea menor o u igual a 5 %?.i. o 15. 1 − t El tiempo est´ medido en horas. . ¿Cu´l es la probabilidad que se vendan 50 entradas a precio rebajado?. Sin embargo. b) ¿Cu´l es la recaudaci´n diaria promedio del parque?. a) ¿Cu´l es la probabilidad de que el primer cliente llegue entre las 10:00 y las 11:00 ?. Las entradas para la funci´n de las 22:00 horas comienzan o o a venderse durante el mismo d´ desde las 16:00 horas.. 1. d ) Se est´ pensando en construir un estacionamiento techado. 20. entonces decide caminar. u 18. c) calcule el tiempo esperado que transcurre desde su llegada al paradero hasta llegar a su casa. de acuerdo a un proceso de Poisson de tasa λ. Determine la distribuci´n del n´mero u o o u de clientes en el sistema en el instante t. (*) Dos amigos asisten a un partido de f´tbol para ver al equipo de sus amores. Suponga que su pol´ ıtica al llegar a la parada de buses es esperar el bus un tiempo s y si ´ste no ha pasado hasta ese instante. Cuando un auto se encuentra con o un auto m´s lento. u 17. o u A su llegada cada cliente es atendido inmediatamente por uno de los innumerables empleados. 1 d ) Muestre que si W < λ + R entonces el tiempo esperado de la parte anterior se minimiza en s=0. lapso de tiempo durante el cual no son capaces de ver lo que sucede en la cancha. donde R(t) es el n´mero de goles vistos por los amigos u hasta el instante t. a a) Condicional en que votaron 1000 personas durante las primeras 10 horas. lo sobrepasa sin p´rdida de tiempo. Si usted toma el bus desde el paradero. ¿A qu´ hora debiese cerrar sus puertas o e el banco para que este n´mero disminuya a la mitad?. ¿cu´nto tiempo demora a usted en llegar a su casa desde su arribo al paradero?. Los tiempos de servicio se distribuyen seg´n una distribuci´n G(t). o o o u 21. Cada auto viaja a velocidad constante determinada aleatoriamente. y si W = λ + R todos los valores de s entregan el mismo tiempo esperado. a b) Si el bus pasa en un instante t ≤ s desde su llegada a la parada de buses.5 por el a candidato A y con probabilidad 0. Suponga que la votaci´n comienza en t = 0 y o dura indefinidamente. e) ¿Qu´ representa en realidad s = 0 y s = ∞?. 19. Durante un partido los jugadores de este equipo hacen goles de acuerdo a un proceso de Poisson de tasa λ. demora un tiempo fijo R desde que sube al bus hasta llegar a su casa. el partido es reasumido instant´neamente a conteste: a) ¿Cu´l es la probabilidad que los amigos vean los 7 primeros goles?. . acuerdo a un proceso de Poisson de tasa λ. (*) Los votantes en la elecci´n municipal llegan a un determinado local de votaci´n seg´n un proceso de Poisson de tasa λ.5 por el candidato B. 1 1 si W > λ + R entonces se minimiza en s=∞. donde un encuentro con un auto se produce cuando el auto es sobrepasado o sobrepasa a otro. es la esperanza de la distribuci´n del tiempo de viaje. e a) ¿Cu´l es la distribuci´n del tiempo de pasada del siguiente bus desde que usted llega a la parada a o de buses?. independientemente de los otros autos. Suponga que un auto entra a la carretera en a e el instante t.8 u c) Calcule el n´mero promedio de clientes que se retiran indignados pensando seriamente en cambiarse de banco cada d´ (esto ocurre cuando el cliente encuentra que el banco ya cerr´ sus puertas. ıa o haciendo gala de mucha puntualidad y poca comprensi´n). (*) Suponga que autos entran en una carretera de un solo sentido y de un largo L. ¿cu´l es la probabilidad que el candidato A reciba n de estos votos?. vota con probabilidad 0. Los amigos sin embargo. (*) Suponga que clientes llegan a una estaci´n de servicios seg´n un proceso de Poisson de tasa λ. independiente de todo lo dem´s. mediante una distribuci´n F . Si camina desde el paradero a su casa demora un tiempo fijo W . cu´l es la probabilidad que usted camine a su casa?. Si se supone que tras cada gol. Dada su pol´ ıtica de espera. Cada votante. a b) Para t ≥ (n − 1)B. encuentre P r[R(t) ≥ n].¿Y si el bus pasa en un instante t ≥ s?. Entregue una explicaci´n intuitiva de por qu´ esas e o e son las unicas dos pol´ ´ ıticas interesantes al considerar minimizar el tiempo esperado. (*) En un instante cualquiera del d´ usted llega a una parada de buses a la cual llegan buses de ıa. celebran cada gol durante un tiempo B. Muestre que cuando t → ∞ la velocidad del auto que minimiza el n´mero de encuentros u con otros autos. t] en k intervalos de tama˜o t/k con k >> 0 y contestaremos las siguientes preguntas. n a o b) Repita el c´lculo mediante el uso de la funci´n generadora de momentos. Esto es. 24. o d ) Encuentre la funci´n de probabilidad del n´mero de votantes por B que llegan antes del primer o u votante por A. u c) Consideremos ahora los procesos de conteo asociados. independientes. El da˜o provocado por un shock de da˜o u n n inicial Di decae exponencialmente en el tiempo. con ı. Suponga que los autos se o adelantan unos a los otros sin p´rdida de tiempo. n a) Muestre que la probabilidad de que ocurran 2 o m´s eventos en alg´n subintervalo tiende a 0 si a u k → ∞. El auto i que entra escoge una velocidad constante Vi (kms/hrs) a la cual viajar. donde D(t) es el da˜o que presenta el dispositivo en el instante t. i > 1. Suponga que las velocidades Vi son variables aleatorias. y0 ) tal que x0 + y0 = z 25. y elegimos un evento. encuentre la probabilidad que el candidato A reciba n votos en las primeras 4 horas de votaci´n. 26. calcule: . Con ello deo duzca el proceso de conteo de inversiones y encuentre la densidad de tiempo entre estos eventos. cuarto y sexto votantes son inversiones. en la secuencia AABAABB. t > 0]. Encuentre la densidad de probabilidad del tiempo entre inversiones. p = a λt k t + o( k ) c) Utilizando la parte anterior concluya que N (t) se distribuye Poisson de media λ · t. entonces n t unidades de tiempo m´s tarde este da˜o ser´ D · e−t . Encuentre la distribuci´n del n´mero de autos que se encuentran entre los o u o u kil´metros a y b (a < b) de la carretera en el instante t (medido en horas). Hint: Deduzca la probabilidad que una llegada cualquiera produzca una inversi´n. Calcule la o probabilidad que el proceso intersecte la l´ ınea x + y = z en el punto (x0 . Si se supone que los da˜os son aditivos: a n a n a) Calcule la esperanza de D(t). y que el tiempo que demora un auto en atravesar el cruce es despreciable. Por e o e e ejemplo. Suponiendo que a o la calle es lo suficientemente ancha como para que no se formen colas. 22. (*) Autos llegan a un sem´foro de acuerdo a un proceso de Poisson de tasa λ. si el shock provoca un da˜o inicial D. e independientes de e n [N (t). Para esto dividiremos el intervalo [0.t]. Este sem´foro cambia de a a color cada A unidades de tiempo. (*) Utilizando la definici´n de un proceso de conteo y una aproximaci´n “Bernoulli” a un proceso de o o Poisson. Argumente o muestre que la probabilidad de que ese evento corresponda al proceso A es λ1λ1 2 . b) Muestre que N (t) es binomial de par´metro k. (*) Suponga que un aparato est´ sujeto a shocks que ocurren de acuerdo a un proceso de Poisson de a tasa λ. tasas λ1 y λ2 . En esta pregunta asumiremos que tenemos dos procesos de Poisson independientes entre s´ A y B. El i-´simo shock causa un da˜o Di . positivas y de distribuci´n com´n F . o c) Sea T el instante de la llegada del primer votante por A. ´stos pueden graficarse en e el plano (x. Encuentre la funci´n de densidad de A. donde N (t) es el n´mero de shocks en [0. Si lo encuentra en rojo deber´ esperar hasta el pr´ximo cambio de luz. mostraremos que N (t) se distribuye Poisson de media λ · t. e 23.9 b) Nuevamente condicional en que votaron 1000 personas durante las primeras 10 horas. NA (t) y NB (t). (*) Suponga que autos entran en el kil´metro 0 a una carretera de una direcci´n infinita seg´n un o o u proceso de Poisson de tasa λ. y) y observar de este modo la evoluci´n del proceso en dos dimensiones. los cuales se asumen son iid. respectivamente. +λ b) Calcule el n´mero de medio de eventos del proceso B entre dos eventos sucesivos del proceso A. a) Suponga que observamos los dos procesos en su conjunto. el tercer. e) Defina el n−´simo votante como una inversi´n si ´ste vota distinto que el (n − 1)−´simo. Si un auto llega al cruce y encuentra el sem´foro en verde pasar´ ina a mediatamente. en t. Si llamamos A al lapso ıa a de tiempo durante el cual el sem´foro est´ en rojo para la calle x y B al tiempo durante el cual el a a sem´foro est´ en rojo para la calle y (A + B = C. Considere un ascensor que parte en el z´calo de un edificio y sube por ´ste. Un proceso de Poisson bi-dimensional es aquel cuyos eventos pertenecen a R2 tal que: Para cualquier regi´n del plano de ´rea A el n´mero de eventos en A se distribuye seg´n un o a u u proceso de Poisson de tasa λ · A. t > 0]. Suponga que en realidad este sem´foro est´ instalado en el cruce entre dos calles. Sea X la distancia entre r y el evento m´s cercano (utilizando norma a euclidiana). Las llegadas de este proceso se colocan en ON o en OFF debido a un switch activado y desactivado por las llegadas de un segundo proceso de Poisson independiente de tasa λ2 [N2 (t). (*) Sea [N1 (t). la cantidad de autos que han tenido que esperar para cruzar en alg´n instante. los autos que vienen por la otra calle (calle y) llegan de acuerdo a un proceso de Poisson de tasa λy . encuentre la u densidad de la primera llegada de N2 (t). calcule E(Xa ). El n´mero de eventos en regiones disjuntas son independientes. u Considere un punto fijo r. Por otro lado. Si un auto que viene por esta ultima ´ v´ espera t unidades de tiempo en el sem´foro. a o 28. Cada persona que se sube en el piso i. a a c) Calcule la esperanza del costo incurrido desde que el sem´foro de luz roja. Por una de las calles a a (calle x) llegan autos seg´n un proceso de Poisson de tasa λx . a c) ¿Cu´l es la distribuci´n conjunta de Oi y OK ?. d ) Sea Xa el tiempo entre arribos del proceso Na (t). Sea Ni el n´mero de personas o e u que se suben al ascensor en el piso i. cambia a verde y vuelve a a ser roja.10 o a) La distribuci´n de probabilidades de X(t). encuentre la distribuci´n condicional o o del n´mero de llegadas de N1 (t) hasta τ . independiente de todo el resto. t > 0] el proceso resultante. d ) Calcule los tiempos A∗ y B ∗ que minimizan el costo incurrido por el sistema durante el ciclo C. Sea [Na (t). Demuestre que: a) P r[X > t] = e−λπt b) E[X] = 1 √ 2· λ 2 . Suponga que los Ni son independientes y que de distribuyen seg´n u Poisson de tasa λi . Cada unidad de tiempo que un auto u espera en esta calle significa un costo de M [$]. 29. con C constante). u c) Dado que el n´mero de llegadas de N1 (t) hasta la primera llegada de N2 (t) es n. se incurre en un costo t2 M [$]. a) Calcule la distribuci´n de Oj o b) ¿Cu´l es la esperanza de Oj ?. Sea Oi el n´mero de personas que se bajan del ascensor en el piso u j. t > 0] un proceso de Poisson de tasa λ1 . 27. a b) Dado que la primera llegada del segundo proceso ocurri´ en τ . o sea Na (t) incluye las llegadas de N1 (t) cuando N2 (t) es par. se bajar´ en a el piso j con una probabilidad Pij . a) Encuentre la distribuci´n del n´mero de eventos de N1 (t) registrados durante el N −´simo per´ o u e ıodo en que el switch est´ en ON. u b) La distribuci´n de probabilidades del n´mero de autos que est´n esperando para cruzar en el o u a instante t. Suponga que eventos ocurren seg´n un proceso de Poisson no homog´neo de tasa λ(t) y que si un u e evento ocurre en el instante s contribuye con una cantidad aleatoria de distribuci´n Fs . Por otra parte. Sea X(t) el n´mero de trabajadores fuera del u u trabajo en el instante t. a) Encuentre la distribuci´n del proceso de llegadas al sal´n VIP. y una probabilidad qn = 1 − qs de tener buena presencia. mientras que una fracci´n Bn de los pasajeros o con buena presencia tambi´n son terroristas (Bs > Bn ). la compa˜´ sabe que si en el avi´n van k terroristas hay una probabilidad Ak que los nıa o terroristas secuestren la aeronave. s ≥ 0. la suma de todas las contribuciones hasta el tiempo t es un proceso de Poisson compuesto. muestre que el conjunto de tiempos de llegada (desordenados) tienen la misma distribuci´n que o n variables iid con distribuci´n: o F (x) = m(x) m(t) 1 si si x≤t x>t b) Suponga que trabajadores sufren accidentes seg´n un proceso de Poisson no homog´neo con u e funci´n de valor medio m(t). o o b) Calcule el costo esperado por concepto de bebidas y entretenciones en el sal´n VIP. La seguridad de la l´ ınea a´rea ha dispuesto que una fracci´n de los pasajeros sospechosos y de los e o que tienen buena presencia tengan que someterse a una revisi´n para detectar eventuales terroristas. Dado N (t) = e o n. 31. A un aeropuerto llegan pasajeros a la zona de embarque seg´n un proceso de Poisson no homog´neo u e de tasa λ(t). 32. e Los pasajeros aceptados en el control y aquellos que no tuvieron que someterse a revisi´n ingresan al o sal´n VIP donde deben esperar hasta que salga el vuelo. Estudios de la CIA han determinado que una fracci´n Bs o a o de los pasajeros que parecen sospechosos son terroristas. o a e Adem´s. mientras que si es de tipo buena a o presencia esta probabilidad es Rn (t). La revisi´n de los pasajeros es instant´nea. .11 e a e c) Sea Ri . t ≥ 0]. El avi´n despega en un tiempo T con a lo m´s o o a N pasajeros. o Hint: Puede ser de utilidad recordar lo demostrado en la pregunta anterior. a) Considere un proceso de Poisson no homog´neo [N (t). 30. La l´ ınea a´rea incurre en un costo p por cada unidad de tiempo que un pasajero espera e en el sal´n VIP por concepto de bebidas y entretenciones. Cada pasajero tiene una probabilidad qs de ser de tipo sospechoso. en este caso. Muestre o que W . Adem´s suponga que cada trabajador accidentado queda sin trabajar o a durante un tiempo aleatorio distribuido seg´n F . Es N decir muestre que W tiene la misma distribuci´n que i=1 Xi . incurri´ndose en un costo C por cada pasajero controlado. Se sabe que los pasajeros pueden ser de dos tipos: sospechosos o con buena presencia. con funci´n media m(t). se sabe que con seguridad el sistema de control detectar´ a un terrorista intentando abordar el a a avi´n. la distancia desde un punto arbitrario hasta el i−´simo evento m´s cercano a ´l. adem´s de un costo D por cada pasajero o a que estando en el sal´n VIP para abordar el vuelo no puede hacerlo por falta de espacio. Calcule E(X(T )) y V ar(X(t)). o La selecci´n de los pasajeros para este control es tal que con probabilidad Rs (t) un pasajero de tipo o sospechoso que llega en el momento t deber´ someterse a la revisi´n. R0 = 0. donde Xi son variables aleatorias iid e o independientes de N . los que ser´n entregados a la justicia. o los pasajeros tienen todos la misma probabilidad de no poder abordar independiente del orden en que llegaron. Muestre que 2 2 πRi − πRi−1 (i ≥ 1) son variables aleatorias independientes exponencialmente distribuidas de tasa λ. lo que significa un costo en imagen valorado en X con X >> C. o a o d ) Encuentre la distribuci´n de probabilidad del n´mero de terroristas que finalmente abordan a un o u vuelo.12 o u a c) Encuentre la distribuci´n de probabilidad del n´mero de terroristas detectados en el control. e . e) Calcule el costo esperado total que deber´ incurrir la l´ a ınea a´rea en un vuelo. ¿Cu´l es la distribuci´n de probabilidad de los que est´n esperando en el sal´n VIP en el tiempo T ?. y proceder a calcular directamente la esperanza. Resoluci´n problemas de Procesos de Poisson o a) Como los meses son intervalos disjuntos de tiempo estas probabilidades son independientes. Otra manera es calcular la esperanzas de las fallas condicionado al tiempo que dure la reparaci´n y luego calcular lo que nos piden. entonces: E(Tiempo total de espera) = EN (E(Tiempo total de espera|N (T ) = N )) . La esperanza del n´mero de fallas ser´ 30 · (λD + λA ) en 1 mes. u a b) Esta es la t´ ıpica pregunta tipo “¿Cu´l es la probabilidad que pase A antes de B?”. mientras que si NA > R se pagar´ s1 ·R+s2 ·(NA −R).13 2. t] ⇒ E(t1 |N (T ) = 1) = T 2 T 2 E( t=1 T − t1 |N (T ) = N ) = N · T − E( t=1 t1 |N (T ) = N ) = N T − NT NT = 2 2 Recordando que Ex (x) = Ey (Ex (x|y)). Si TD es el a tiempo en que ocurre la primera falla domiciliaria y TA es el tiempo en que ocurre la primera falla de alumbrado p´blico sabemos que TD u exp(λD ) y TA exp(λA ) P (TD < TA ) = λD λD + λA c) Una manera de verlo es darse cuenta que los 3 procesos involucrados son independientes. Dado que N(T)=1 Entonces: E(T − t1 |N (T ) = 1) = E(T ) − E(t1 |N (T ) = 1) = Generalizando lo anterior. u a a As´ el problema de minimizaci´n queda: ı o ∞ m´ s1 · R · P (NA ≤ R) + ın R k=R+1 ∞ [s1 · R + s2 · (k − R)] · P (NA = k) (λA · 30)k exp−λA ·30 ) k! m´ s1 · R + ın R k=R+1 s2 · (k − R)] · 9. 3. Si Tr es el tiempo o que dura la reparaci´n en meses: o E[N fallas Domiciliarias/Tr = t] = λD · ⇒ E[N fallas Domiciliarias] = = ⇒ E[N fallas Alumbrado p´blico] = u t 24 ∞ 1 λD · t 1 λD · exp− T ·t dt = · 24 T 24 0 λD · T 24 λA · T 24 ∞ 0 1 1 · t · exp− T ·t dt T d ) En este caso los costos est´n divididos en 2 tramos: Si NA = N´mero de fallas de Alumbrado a u p´blico son menores que R se pagar´ s1 ·R. a) Sea t1 = instante en que se produce la olla. es decir. si se producen N ollas: N N ⇒ t1 ∼ U [o. } ∧ i=0 (λ1 T )i e−λ1 T ≥ 0. solamente que tenemos dos a “d´ ıas”.. 0}.14 NT T T T2 · λ ) = · EN (N ) = · λ · T = 2 2 2 2 E(Tiempo total de espera) = EN ( Si hay dos despachos. 1. N2 (T ) ≥ k) + P(N2 (T ) = k. Entonces: o P(m´ ın{N1 (T ). Ocupando el resultado de la parte anterior tenemos: E(Tiempo total de espera) ∂E() ∂s = = s2 · λ (T − s)2 · λ + 2 2 T 0 ⇒ s∗ = 2 b) Bas´ndonos en esta nueva situaci´n tenemos lo siguiente: Si entregamos exactamente k ollas es a o porque el m´ ınimo entre la producci´n de ollas y tapas es k. entonces: u ıa a ∞ E(O(T )) = k=0 k · P(O(T ) = k) donde ∞ P(O(T ) = k) P(O(T ) = k) S´lo resta remplazar. el an´lisis es exactamente igual al anterior. uno de largo s y otro de largo T-s. N1 (T ) > k) Dada la independencia de los procesos se tiene: P() = P(N1 (T ) = k) · P(N2 (T ) ≥ k) + P(N2 (T ) = k) · P(N1 (T ) > k) Donde las expresiones pueden determinarse expl´ ıcitamente dada la distribuci´n de los procesos. . Adem´s consideremos que el d´ a ıa comienza en t=0 (7:00 am) y termina en t=T (7:00am del d´ siguiente). N2 (T )} = k) = P(N1 (T ) = k. que: N∗ N ∗ = inf N |N ∈ {0. = j=0 ∞ P(N1 (T ) = j + k) · P(N2 (T ) = j) T 2j+k λj+k λj e−T (λ+λ2 ) 2 (j + k)! · j! = j=0 a) Supongamos que se decide colocar N camas en el hospital.. De esta forma..95 i! .. o c) Sea O(T)= N´mero de ollas sobrantes al final del d´ = m´x{N1 (T ) − N2 (T ). la ıa probabilidad de atender a todos los pacientes graves ser´: a N PN [Lleguen a lo m´s N pacientes graves] = a i=0 (λ1 T )i e−λ1 T i! Donde λ1 es la tasa de llegada de los pacientes graves (2 al d´ Entonces buscamos un N ∗ tal ıa). o 10. 15 a o o b) El paciente morir´ o no dependiendo del instante en que lleg´. e o P. Para esto vemos que la distribuci´n condicional de las lleo gadas de Poisson hasta un instante t se distribuyen uniformemente entre 0 y T. a Sin embargo dado que: P [Llegue un paciente grave antes que uno leve] = λg λg + λl donde λ2 es la tasa de llegada de pacientes leves al consultorio. el tiempo de a ı llegada entre clientes. y considerando la propiedad de p´rdida de memoria de la distribuci´n exponencial. y por lo tanto Y. T ∗ . debido a la suma de procesos de Poisson. Ahora Supongamos que el tipo lleg´ en el instante X o e o (0 ≤ X ≤ 60) Entonces: P [Muerto|Llego en X] = 1X≤t=5 Si embargo debemos descondicionar. o P [Pasar de inmediato] = P [Primer auto demora m´s que τ ] a = P [T > τ ] = 1 − F (τ ) = e−λτ . tendremos que la probabilidad que buscamos. Entonces tendremos que: 60 P [Muerto] = 0 5 1X≤5 · 1X≤5 · 0 5 1 dX 60 60 = = = 1 dX + 60 60 1X≤5 · 5 1 dX 60 1 1 dX + 60 0 5 1 = 60 12 0· 5 1 dX 60 c) Esto es b´sicamente la probabilidad que lleguen 5 pacientes graves seguidos de 5 pacientes leves.95 Entonces: T∗ = − 11. el proceso de llegada de pacientes n al consultorio ser´ en s´ un proceso de Poisson de tasa λg + λl . Entonces el a o a tiempo m´ximo. de demora debe ser tal que : a P [Y ≥ T ∗ ] = e−(λg +λl )·T = 0. seguir´ una distribuci´n exponencial de par´metro λg + λl . es: λg λg + λl 5 · λl λg + λl 5 d ) Por la p´rdida de memoria de la exponencial el mundo “comienza” cuando el tipo inicia su ida al e ba˜o. Si lleg´ antes de t = 5 (desde ahora en adelante trabajaremos en minutos) entonces muere con probabilidad 1 (del enunciado). Por otro lado. ln(0. Si lleg´ despu´s de las t = 5 sobrevive.95) λg + λl ∗ a) Sea T = el tiempo que falta para que el pr´ximo auto cruce. Sin embargo sabemos que e fxm (t) → exp(λ). Sea xm = tiempo entre llagada del u e bus m-1 y el m-´simo. o e Se puede verificar que: τ E[X] = C 0 xλe−λx dx = 1 λe−λτ 1 1 · · (1 − e−λτ (λτ + 1)) 1 − e−λτ λ · (1 − e−λτ (λτ + 1)) Entonces: E[W ] = 13. procesos independientes). Nos piden: P [T < t|T < τ ] = Donde P [T < t ∧ T < τ ] = Entonces: P [T < t|T < τ ] = Por lo tanto: Fx = Entonces: fx = Esto implica que C = d) E(W ) = = E[W |T ≥ τ ] · P [T ≥ τ ] + E[W |T < τ ] · P [T < τ ] 0 + (E[X] + E[W ]) · P [t < τ ] 1 1−e−λτ 1−e−λt 1−e−λτ P [T < t ∧ T < τ ] P [T < τ ] P [T < t] 1 P [T <t] P [T <τ ] t<τ t≥τ t<τ t≥τ 1 1 t<τ t≥τ t<τ t≥τ λe−λt 1−e−λτ 0 c) La distribuci´n de W es la misma que la de W2 (P´rdida de memoria. Entonces: ∞ P (Nm = j) = 0 e−µt (µt)j · λe−λt ∂t j! .16 o b) Derivaremos esta densidad a partir de la distribuci´n acumulada. e e−µt (µt)j P (Nm = j|xm = t) = j! b) Tenemos que descondicionar el resultado de la parte anterior: ∞ P (Nm = j) = 0 P (Nm = j|xm = t) · fxm (t)∂t donde fxm (t) es la densidad del tiempo entre el bus m-1 y el m-´simo. a) Sea Nm = N´mero de personas que se suben al m-´simo bus. u Entonces: λµj P (N1 = j) = (λ + µ)j+1 P (N2 = j) = De esta forma se tiene que: n λµj (λ + µ)j+1 P (Nm = n) P (Nm = n) = k=0 λµk λµn−k · k (λ + µ)n−k (λ + µ) λ2 µn (λ + µ)n+2 = (n + 1) o 14. Notar que el proceso puede ser visto como una divisi´n de un proceso de Poisson. la distribuci´n de probabilidad de la gente esperando sigue la o misma distribuci´n de probabilidad de la parte 2. el n´mero de pasajeros que se u subir´ al pr´ximo bus ser´ N1 + N2 donde: a o a N1 = N´mero de personas que se sube entre 10:00 y 11:00. u Entonces: n P (Nm = n) = j=0 n P (N1 = j ∧ N2 = n − j) P (N1 = j) · P (N2 = n − j) j=0 P (Nm = n) = P (Nm = n) = λ −µ e 2 λ+µ n n j=0 µk 2 µ n−k ) k! λ + µ ( n P (Nm = n) = µ λµ e− 2 (λ + µ)n+1 [ j=0 λ+µ k 1 ] · 2 k! u o d ) El n´mero de pasajeros esperando en cualquier instante si el proceso comenz´ hace “mucho tiempo” ⇒ independiente del instante. u . Sean: o N1 = N´mero de personas que esta esperando u N2 = N´mero de personas que se sube a partir del instante escogido. λ + µ) se tiene que: λµj P (Nm = j) = (λ + µ)j+1 c) Si un bus llega a las 10:30 y no llegan buses entre 10:30 y 11:00. u N (t) = n´mero de autos que han llegado al parque desde 0 hasta t. u ¯ N (t) = n´mero de personas que han llegado al parque desde 0 hasta t. u N2 = N´mero de personas que se sube a partir de las 11:00. Sean: Ni (t) = n´mero de autos con i personas que han llegado al parque desde 0 hasta t.17 λµj (λ + µ)j+1 ∞ 0 P (Nm = j) = (λ + µ)j+1 tj e−(λ+µ)t ∂t j! Dado que lo que queda dentro de la integral es la densidad de probabilidad de una Gamma(j + 1. 1 + 0.2 + 0.8(0.05 ≤ 0.2 + 0. imponemos la siguiente condici´n: o P (N (8) > M ) ∞ k=M +1 ≤ 0.1] 24.8pλ c) En este caso: E(R) = p8λ[0.3 + 0.64pλ d ) Para encontrar M .3 + 0.18 a) Nos piden calcular: ¯ P (N2 ( 1 ) = 1) ∧ N ( 1 ) = 2) 4 4 1 ¯ P (N ( 4 ) = 2) ¯ P (N2 ( 1 ) = 1) ∧ N ( 1 ) = 2) 4 4 1 ¯ ( 1 ) = 2) + P (N1 ( 1 ) = 2) ∧ N ( 1 ) = 2) ¯ P (N2 ( 4 ) = 1) ∧ N 4 4 4 ¯ P (N2 (1/4) = 1|N (1/4) = 2) = = pero: 1 4 1 4 1 4 1 4 P N2 ¯ =1∧N =2 = P (N1 (1/4) = 0) · P (N2 (1/4) = 1) · P (N3 (1/4) = 0) · P (N4 (1/4) = 0) · P (N5 (1/4) = 0) P N1 ¯ =2∧N =2 = P (N1 (1/4) = 2) · P (N2 (1/4) = 0) · P (N3 (1/4) = 0) · P (N4 (1/4) = 0) · P (N5 (1/4) = 0) Entonces: e− e− λ1 4 λ1 4 ¯ P (N2 (1/4) = 1|N (1/4) = 2) = λ2 − λ3 − λ4 4 e 4 4 e λ2 − λ3 − λ4 − λ5 4 e 4 e 4 4 e λ1 2 λ5 λ1 λ3 λ4 λ5 ( ) e− 4 + 42 e− 4 e− 4 e− 4 e− 4 S´lo basta con reemplazar con λi = λ · P [X = i] o b) Sea R = recaudaci´n de un d´ Entonces: o ıa.3 + 0.3 + 0.1 + 0.1)] = 20. E(R) = = = = = E(pN1 (8) + 2pN2 (8) + 3pN3 (8) + 4pN4 (8) + 5pN5 (8)) E(pN1 (8)) + E(2pN2 (8)) + E(3pN3 (8)) + E(4pN4 (8)) + E(5pN5 (8)) p8λ1 + 2p8λ2 + 3p8λ3 + 4p8λ4 + 5p8λ5 p8λ[0.05 (λ8) e k! k −λ8 o equivalentemente . u Nm (t) = n´mero de personas que han llegado a comprar entradas siendo socios desde 0 hasta t.25i 0.19 M k=0 (λ8)k e−λ8 k! ≥ 0.25i 0.8p) si k ≥ 200 k E(u|N (6) = k) = i=1 200 i 0.75n−i Si n = 200 ⇒ P (vender n) = Si n > 200 ⇒ P (vender n) = 0 c) Sea u = utilidad de una funci´n. o .75λ6)n−i e−0.75n−i ((k − i)p + i0.75200−i ((200 − i)p + i0. u a) P (Nm (6) = i|N (6) = n) = = = = b) Distinguimos 3 casos: Si n < 200 ⇒ P (vender n) = (λ6)n e−λ6 n! ∞ (λ6)k e−λ6 k=200 k! P (Nm (6) = i ∧ N (6) = n) P (N (6) = n) P (Nm (6) = i)P (Nn (6) = n − i) P (N (6) = n) (0.75λ6 i! (n−i)! (λ6)n e−λ6 n! n i 0. 15. Sean: e o N (t) = n´mero de personas que han llegado a comprar entradas desde 0 hasta t.25i 0. El problema tambi´n puede ser visto como una divisi´n de un proceso de Poisson.25λ6 (0. u Nn (t) = n´mero de personas que han llegado a comprar entradas sin ser socios desde 0 hasta t. Entonces: o ∞ E(u) = k=0 E(u|N (6) = k)P (N (6) = k) pero: Si k ≤ 199 k E(u|N (6) = k) = i=1 k i 0.95 de donde simplemente se despeja M .8p) Como P (N (6) = k) = (λ6)k e−λ6 . k! s´lo basta reemplazar.25λ6)i e−0. 10) = 0 ∧ N (10. e Notar que conocemos las funciones de probabilidad de Ri ∼ Gamma(i. 11) ≥ 1) = P (N (9. basta con fijar S50 = S e integrando sobre S. 11) = 0)) = u(9.25λ51 R50 e−0.1 − t|t2 t1 2 14.10) (1 − u(10. hacemos un cambio de reloj para ver el proceso como uniforme: t2 u(t1 . 10) = 0)(1 − P (N (10.75λ151 R150 e−0. Recordar que si tenemos un proceso de Poisson no homog´neo en que la tasa de ocurrencia depende e del tiempo λ(t). t2 )k e−u(t1 .75λR dR 150! 0.75λ) y de Sj ∼ Gamma(j.1 − t1 − 2 14. e Entonces debemos calcular: P (S50 ≤ R150 ≤ 8) como conocemos las distribuciones de Si y Rj .t2 ) k! Para este problema: t2 u(t1 . 11)0 e−u(10. t2 ) = t1 √ 1 dt 14.1) = = a) −2 14. Para que se vendan 50 entradas con descuento deben pasar 2 cosas: Que lleguen al menos 50 personas con tarjeta en las 8 horas que est´ abierta la boleter´ a ıa Que el cliente N 0 50 que sea socio llegue antes que se cope la capacidad del cine.75λR dR 150! ( = 0 S R λ151 R150 e−0.1 − t2 P (N (9. t2 ) = t1 λ(t)dt ⇒ P (N (t2 ) − N (t1 ) = k) = u(t1 .1 − t (0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ 14. Esto ocurre si dicho cliente llega antes que el 150-´simo cliente normal.25λR dS 50! 16.11) ) . 10)0 e−u(9.25λ). 0. 8 P (S50 ≤ R ≤ 8) = S 8 R 0.20 d ) Sean: Ri Sj = = Instante de la llegada i-´sima de un cliente normal. 11) ≥ 1) = P (N (9. 10) = 0)P (N (10. e Instante de la llegada j-´sima de un “socio”. 0. 467 (1 − e−0. 10) = 0 ∧ N (10.1) − = 0. 10) = 2( (5.467 u(10.1) − = 0. ∞ E(T ) E(T ) = 0 s E(T |t) · λe−λt ∂t ∞ s = 0 (t + R) · λe−λt ∂t + (S + W ) · λe−λt ∂t Desarrollando deber´ llegar a la siguiente expresi´n: ıan o E(T ) = R + 1 1 + e−λs (W − R − ) λ λ . As´ ı: E(N (t − 0. 2. con t > s. 11) = 2( (4.075 = 17.528 ) a b) (12 min=0.1 2 = 0.1)) (3.21 pero u(9.1 − t] = 2[ c) Los que llegan despu´s de las 14:00 e E(N (14.1 √ 0] E(N (x.2) − 14.1 − 2 0.1 ⇒ x = 14.1)) = = Para que disminuya a la mitad: 2[ 0. t)) = u(t − 0. 14.1 − x − 0] 1 2 0.528 (4. 14. t) 14.6 hr). Por lo tanto: ∞ Ps (caminar) = s λe−λt ∂t = e−λs b) Hay que distinguir dos casos: Si el bus pasa en t. me demoro s+W en llegar a casa.2 y t.1 − (t − 0. con t ≤ s. me demoro t+R en llegar a casa. a) Dado que el proceso es poissoniano ⇒ Tiempo entre llegadas → exp(λ).3.1)) √ 2[ 14. Los clientes que est´n en el banco en t son los que han llegado entre t − 0. Si el bus pasa en t.1)) Entonces: P (N (9. el instante de llegada del bus. c) Para calcular esta esperanza condicionaremos sobre t. 11) ≥ 1) = e−0. entonces la expresi´n no depende de s. . entonces E(T) se minimiza en s=0 = 0. y sabiendo que P (SN ≤ t) = P (R(T ) ≥ N )1 se concluye que: t−(n−1)B P (R(T ) ≥ N ) = 0 λN · tN −1 · e−λt ∂t (n − 1)! 19. a) Para que esto ocurra el tiempo entre cada uno de los 6 ultimos 6 goles debe ser superior a B ´ (notar que la probabilidad de ver el primer gol es 1). 1 Identidad valida para cualquier proceso de conteo . 18. λ) De lo anterior. si espero un s>0 y cada vez que pasa ese tiempo e reeval´o mi desici´n estar´ siempre frente al mismo problema original por lo que mi s ser´ el u o e a mismo ⇒ si s>0.. entonces E(T) se minimiza en s= ∞ < 0. Entonces: e P (ver los 7 primeros goles) = P (x2 > B. Sean xi = tiempo entre el gol (i-1)-´simo y e el i-´simo.. u Sea N(t)= N´mero de personas que han llegado al sistema hasta t. o e) Dada la p´rdida de memoria de la exponencial.t) tenemos que la probabilidad de que una de estas personas se encuentre en el sistema es: t p= 0 1 − G(t − s)∂s t independiente del resto. x6 > B. u Notemos que: ∞ P (x(t) = j) = n=j P [x(t) = j|N (t) = n] · e−λt (λt)n n! Un cliente que llega en un instante s (0 ≤ s ≤ t) tiene una probabilidad de estar en el sistema igual a 1 − G(t − s) Condicional a que N (t) = n el instante de llegada de las n personas se distribuyen U(0.22 d ) Claramente si: W −R− W −R− W −R− 1 λ 1 λ 1 λ > 0. Sea x(t)= N´mero de clientes en el sistema en el instante t. e N Sn = i=1 Yi ⇒ SN − (N − 1)B → Gamma(N. x3 > B. entonces s=∞.. x7 > B) = (e−λB )6 = e−6λB b) Sea Yi el tiempo trascurrido entre el (i-1)-´simo gol observado y el i-´simo gol observado. De esta e e manera tenemos que: Y1 → exp(λ) Yi → exp(λ) ∀i = 1 Entonces sea SN el tiempo en que vemos el N-´simo gol. De la misma manera. Divisi´n de procesos de Poisson: N (t) = N´mero total de votantes que llegan hasta tiempo t u NA (t) = N´mero total de votantes que llegan hasta tiempo t y votan por candidato A u . a v L Si definimos G como la distribuci´n del tiempo de viaje. y por lo tanto la velocidad que minimiza los encuentros es la velocidad media. o 21. el 2 o ´ptimo tiempo de viaje es el tiempo medio. con F la distribuci´n de la velocidad. Independiente de los dem´s. un evento ocurriendo en un instante s con s < t (auto a entrando a la carretera en s) ser´ contado con probabilidad P [s + T > t + tv ]. De esta manera. se tendr´ que G(x) = 1 − F ( L ).   1 − G(t + tv − s) G(t + tv − s) p(s) =  0 ocurre en un instante s sea contado como: si s < t. o o d dtv ∞ λ 0 p(s)ds = λ [1 − G(t + tv )] − [1 − G(tv )] + G(tv ) Donde se tiene que G(tv ) = 1 dado que cuando t tiende a infinito G(t + tv ) ≈ 1. por lo que se tiene que el tiempo de viaje a velocidad v ser´ tv = L donde L es el largo de la carretera. y dado que T ≡ X es el tiempo de viaje o cuando la velocidad es X. el que contaremos si se encuentra con el auto entrando en t. si s > t. en otros casos. a As´ se puede escribir la probabilidad que un evento que ı. a un evento ocurriendo en un instante s con s > t ser´ contado con probabilidad P [s + T < t + tv ].23 Entonces: P [x(t) = j|N (t) = n] = Remplazando en la expresi´n inicial tenemos que: o ∞ n! pj (1 − p)n−j j!(n − j)! P (x(t) = j) P (x(t) = j) P (x(t) = j) Es decir x(t) → P oisson(λtp) = n=j n! e−λt (λt)n pj (1 − p)n−j · j!(n − j)! n! ∞ = = e−λt·p (λ · t · p)j e−λt·(1−p) (λ · t · (1 − p))(n−j) · j! (n − j)! n=j e−λt·p (λ · t · p)j j! 20. a o x Consideremos un evento a un auto que entra a la carretera. Sea v la velocidad del auto entrando en el tiempo t. De esta manera el n´mero de encuentros de un auto ingresando en t ser´ un proceso de Poisson filtrado u a tal que: ∞ t t+tv λ 0 p(s)ds = λ 0 [1 − G(t + tv − s)]ds + t t+tv tv G(t + tv − s)ds = λ tv [1 − G(y)]dy + 0 G(y)dy Ahora s´lo basta con minimizar esta expresi´n derivando e igualando a 0. t]. t] hay una llegada P [X1 ≤ s ∧ N (t) = 1] P [N (t) = 1] e−λs λse−λ(t−s) s = −λt λt e t P [X1 ≤ s/ N (t) = 1) = = 0≤s≤t Luego.24 NB (t) = N´mero total de votantes que llegan hasta tiempo t y votan por candidato B u p = Probabilidad que un votante elija al candidato A ∞ P [NA (t) = n] = k=0 ∞ P [NA (t) = n / N (t) = k] · P [N (t) = k] P [NA (t) = n / N (t) = k] · P [N (t) = k] k=n ∞ = = k=n e−λt (λt)k k! pn · (1 − p)k−n (k − n)!n! k! (λt) n ∞ k=n = + e n −λt (1 − p)λt (k − n)! e(1−p)λt k−n n! e −λpt = (λpt) n! n Poisson(λp) Distribuci´n condicional de los tiempos de llegada: o X1 = Tiempo en que se produce la primera llegada. o a) Alternativa 1: P [NA (10) = n / N (10) = 1000] = = P [NA (10) = n ∧ N (10) = 1000] P [N (10) = 1000] P [NA (10) = n] · P [NB (10) = 1000 − n] P [N (10) = 1000] e−λA ·10 (λA ·10)n e−λB ·10 (λB ·10)1000−n · n! (1000−n)! e−λ·10 (λ·10)1 000 1000! = = = Alternativa 2: 1000! · (1000 − n)!n! 1000! · (1000 − n)!n! λA λ 1 2 n λB λ 1000−n 1000 n≥0 . condicional a que hay una llegada en el intervalo [0. t] el tiempo en que esta ocurre sigue una distribuci´n U[0. condicional a que de [0. por lo que es posible ajustar “el reloj” del proceso a NB (4) para sumarlo con N (6).25 Pensar directamente en una binomial. o Alternativa 1: 4 P [NA = n / N (10) = 1000] = = P [NA (4) = n ∧ N (6) + NB (4) = 1000 − n] P [N (10) = 1000] P [NA (4) = n] · P [N (6) = 1000 − n] P [N (10) = 1000] 4 Poisson de tasa λ 3 (2λ)n ·e−2λ (8λ)1000−n ·e−8λ · (1000−n)! n! (10λ)1000 ·e−10λ 1000! Donde N = = 1000! · (1000 − n)!n! 1000! · (1000 − n)!n! 2 8 1 5 n · n 8 10 4 5 1000 1000−n = · Notar que si se consideran 2 procesos independientes N1 (t) Poisson(λ) y N2 (t) Poisson( λ ) q se tendr´ que P [N1 (t) = k] = P [N2 (qt) = k]. Con esto se tiene que o a 2 5 4 P [NA = n / N (t) = 1000] = 1000! (1000 − n)!n! 1 5 n 4 5 1000−n c) Los votantes llegan de acuerdo a un proceso de Poisson de tasa λ. vote por el candidato A es p. Alternativa 2: La probabilidad que una persona llegue en las primeras 4 horas y vote por el candidato A. Si la probabilidad que c/u de los 1000 que llegaron. el tiempo TA hasta que llega el primer votante tipo A sigue una exponencial de par´metro λ . Alternativa 1: n P [NB ] = 1 2 n · 1 2 = 1 2 n+1 . por lo que si T es el tiempo en que llega el primer votante se tendr´: a P [T > t] = P [N (t) = 0] = e−λt Por lo que T exp(λ) De la misma manera. dado 4 que lleg´ en las primeras 10 ser´ p = 10 · 1 = 1 . a 2 n d ) Llamaremos P [NB ] a la probabilidad que lleguen n votantes para el candidato B antes del primero para A y TA al instante en que llega el primer votante para el candidado A. tenemos que: a P [NA (10) = n / N (10) = 1000] = 1000! 1000! 1 ·pn (1−p)1000−n = · (1000 − n)!n! (1000 − n)!n! 2 1000 n≥0 4 u b) Llamemos NA al n´mero de votantes del candidato A que llegan en las primeras 4 horas de votaci´n. independiente de los dem´s. se encontrar´ en el tramo a [a. b] en t siempre y cuando: vi (t − s) ≥ a ∧ vi (t − s) ≤ b ⇒ a b ≤ vi (t − s) (t − s) Luego la probabilidad que un auto llegado en s est´ en [a. u ∞ P (N[ab] (t) = k) = n=k P (N[ab] (t) = k|N (t) = n) · P (N (t) = n) Un auto que entra a la carretera en el instante s y elige una velocidad vi .b] (t)= n´mero de autos en el tramo [a. Sea N[a. b] en t es: e P (s.26 Alternativa 2: n P [NB ] = ∞ 0 ∞ n P [NB / TA = t] · fTA (t)dt = 0 ∞ (λB t)n e−λB t · λA e−λA t dt n! λ n −λt e 2 2t = 0 n! t λ · λ −λt e 2 dt 2 e n! dt = 1 2 n+1 = e) P [Inversi´n] = o = λ n+1 2 λn+1 ∞ n n+1 −λt 0 P [Inversi´n / Anterior vota A] · P [Anterior vota A] + o P [Inversi´n / Anterior vota B] · P [Anterior vota B] o 1 1 1 1 1 · + · = 2 2 2 2 2 Ahora tenemos un proceso de llegadas de votantes Poisson de tasa λ y si contamos el n´mero de u inversiones podemos notar que ser´ el mismo proceso de Poisson “filtrado” por la probabilidad a que una llegada sea una inversi´n. b] en el instante t. t) = b (t−s) a (t−s) F (vi )dvi Luego. un auto que llega en un instante cualquiera estar´ en el intervalo con la siguiente probabilidad: a t 0 P (t) 1 P (s. De esta manera el tiempo entre 2 inversiones consecutivas o seguir´ una distribuci´n exponencial de tasa λ · P [Inversi´n] = λ . a o o 2 22. t)ds = t t Entonces el n´mero de autos en el intervalo es: u P (N[a.b] (t) = k) = (λP (t))k e−λP (t) k! . 27 23. se tendr´ que: a ∞ E[D(t)] = n=0 ∞ E[D]e−t nE[eUi ] · E[D]e−t n n=0 ∞ 0 t (λt)n · e−λt n! = = n=0 [ es ds (λt)n · e−λt ]· t n! E[D]e−t n [et − 1] (λt)n · e−λt · t n! ∞ = = (λt)n · e−λt E[D](1 − e−t ) n· t n! n=0 E[D](1 − e−t ) · λ b) Propuesto! 25. De esta forma tendremos que: e N (t) E[D(t)] = E[ i=1 ∞ Di e−(t−Si ) ] N (t) = n=0 ∞ E[ i=1 n Di e−(t−Si ) |N (t) = n] · Di e−(t−Si ) ] · i=1 n (λt)n · e−λt n! = n=0 ∞ E[ (λt)n · e−λt n! (λt)n · e−λt n! = n=0 E[D] · e−t · E[ i=1 e Si ] · Donde se ha utilizado la independencia de los Di y el proceso de conteo. a) k P [2 o m´s eventos en alg´n subintervalo] a u Ocupando la definici´n (2) o ≤ i=1 P [2 o m´s eventos en el subintervalo i-´simo] a e t k · o( ) k o( t ) t · tk k = = ⇒ k→∞ l´ t · ım t o( k ) t k =0 . Ahora si se considera que cada uno de los Si se distribuye uniforme entre 0 y t. a) D puede ser escrito de la siguiente forma: N (t) D(t) = i=1 Di e−(t−Si ) donde Si denota el tiempo de arribo del i-´simo shock. k−n k · (k − 1) · (k − 2) · · · (k − n + 1) · n! λt t − o( ) k k λt k λt k = = Tomando el l´ ımite k→∞ o( t ) k · (k − 1) · (k − 2) · · · (k − n + 1) · λt + t · tk n! · k n k o( t ) 1 kk−1k−2 k−n+1 ··· · λt + t · tk n! k k k k k k→∞ 1 λt t · 1 · (λt)n · l´ ım 1 − − o( ) k→∞ n! k k e l´ k→∞ ım ln(1− λt −o( t )) k k 1 k · 1− 1− 1− 1− λt k λt k t − o( k ) t − o( k ) k n k n n · t − o( k ) t − o( k ) k l´ P [N (t) = n] = ım λt t − o( ) k k k k→∞ l´ ım 1− = ocupando l’Hˆpital = o De esta manera k→∞ e−λt (λt)n −λt ·e n! l´ P [N (t) = n] = ım 26. (2n + 1) · A] para alg´n n ∈ {0..} u De esta forma es directo ver que: q(t) = (n−1)·A+t−(2n−1)·A t n·A t t ∈ [(2n − 1) · A. 2n · A] para alg´n n ∈ {1. a) Nos limitaremos a calcular q(t).} u t ∈ [2n · A. la probabilidad que un auto cualquiera haya tenido que esperar. (2n + 1) · A] para alg´n n ∈ {0.. . 1. 1..} u Entonces podemos afirmar que X(t) sigue un proceso de poisson de tasa (λt · q(t))..28 b) P [N (t) = n] = = De esta manera N (t) P [En n de los k intervalos ocurra 1 evento] k! t t · λ + o( ) (k − n)!n! k k t t Binomial(k.} u t ∈ [2n · A. Para esto vemos que esta misma probabilidad condicionada en el instante de llegada toma la siguiente forma (se supone que el sem´foro parte en verde): a P (s) = 1 0 t ∈ [(2n − 1) · A. 2n · A] para alg´n n ∈ {1. p · 1− n Ahora recordemos que Binomial(n. .. . λ + o( )) k k n · 1−λ t t − o( ) k k k−n c) Primero veamos cu´l es la esperanza de N (t) en el l´ a ımite: l´ E N (t) = l´ k · λ ım ım k→∞ k→∞ o( t ) t t + o( ) = l´ ım λt + t · tk = λt k→∞ k k k ∞... p) P [N (t) = n] = Poisson(λ) con n · p = λ en el l´ ımite n λt t + o( ) k k n 0.. E[Costos] = λx dE[Costos] = λx A · M − λy (C − A)2 · M = 0 ⇒ A∗ dA 28. se incurrir´ en un costo de M · (B − s)2 .. t ≥ 0} es un proceso de poisson de tasa λ1 +λ2 y cada llegada pertenece a N1 (t) indep. 2n · A] para alg´n n ∈ {1.} u t ∈ [2n · A.. Entonces: a ∞ E[Costo calle x] = n=0 ∞ E[Costo calle x|Nx (A) = n] · P [Nx (A) = n] n n=0 = A·M · P [Nx (A) = n] 2 = λx A A·M 2 Donde el t´rmino para E[Costo calle x|Nx (A) = n] viene del hecho que las llegadas condicionales e de Poisson se distribuyen (id´nticas) uniformes en el intervalo que condiciona y que si un aue tom´vil llega en el instante s. 1. siempre y cuando el resultado sea coherente (A este entre 0 y C)... c) Claramente el costo del ciclo ser´ el costo del sem´foro rojo para los de la calle x m´s el costo del a a a sem´foro rojo para los de la calle y. o a Entonces: A2 · M (C − A)3 · M + λy 2 3 d ) La idea es derivar e igualar a 0. con probabilidad λ1λ1 2 . a) El proceso combinado {N1 (t)+N2 (t). . o a De la misma forma: ∞ E[Costo calle y] = n=0 ∞ E[Costo calle y|Ny (B) = n] · P [Ny (B) = n] n n=0 = = B2 · M · P [Ny (B) = n] 3 λy B B2 · M 3 Donde el t´rmino para E[Costo calle x|Ny (B) = n] viene del hecho que las llegadas condicionales e de poisson se distribuyen (id´nticas) uniformes en el intervalo que condiciona y que si un aue tom´vil llega en el instante s.} u Entonces podemos afirmar que X(t) sigue un proceso de Poisson de tasa (λt · q(t)).29 o b) Mediante la misma l´gica anterior tendremos que: q(t) = t−(2n−1)·A t 0 t ∈ [(2n − 1) · A. (2n + 1) · A] para alg´n n ∈ {0. Entonces para que el n´mero de llegadas del u +λ proceso N1 (t) sean n tiene que darse que la llegada del primer proceso le “gane” a la del segundo exactamente n veces y que luego “pierda”. Esto es: P [N = n] = ( λ2 λ1 )n · λ1 + λ2 λ1 + λ2 . se incurrir´ en un costo de M · (A − s). y τ = tiempo de t´rmino del primer periodo ON. E[Xa ] = = = = E[Xa |N1 (t)primero] · P [N1 (t)primero] + E[Xa |N2 (t)primero] · P [N2 (t)primero] 1 λ1 1 1 λ2 · +[ + + E[Xa ]] · λ1 + λ2 λ1 + λ2 λ1 + λ2 λ2 λ1 + λ2 1 λ2 λ1 ·[ + + 1] λ1 λ1 + λ2 λ1 + λ2 2 λ1 . λ1 + λ2 ) d ) Condicionaremos sobre la primera llegada del proceso combinado N1 (t) + N2 (t). e Entonces buscamos: fτ |R (t|R)dt = P [t ≤ τ ≤ t + dt|R] = P [R|t ≤ τ ≤ t + dt] · P [t ≤ τ ≤ t + dt] P [R] Pero de las partes anteriores y de la distribuci´n exponencial del tiempo entre arribos del segundo o proceso se tendr´ que: a fτ |R (t|R)dt = = (λ1 t)n e−λ1 t n! ( λ1λ1 2 )n +λ −(λ1 +λ2 )t · λ2 e−λ2 t · λ2 λ1 +λ2 dt e · (λ1 + λ2 )n+1 tn n! Es decir se distribuye de acuerdo a una gamma(n + 1.30 o u b) Simplemente buscamos la distribuci´n del n´mero de llegadas de N1 (t) en [0. τ ]: P [N1 (t) = n] = e−λτ (λτ )n n! c) Sea R = n llegadas en primer periodo ON. 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