Guia de Material Basico Para Trabajar Con Potencias2

GUIA DE MATERIAL BASICO PARA TRABAJAR CONPOTENCIAS. POTENCIAS: CONTENIDOS Y EJERCICIOS 1 POTENCIAS. Definición: Potencia: es un producto de factores iguales an = a · a · a · a.................... 24 = Ejemplo: 2·2·2·2 Desarrollo = a1 = a 16 Valor a0 = 1 1n = 1 Completar el siguiente cuadro.Potencia Base 32 3 Exponente 2 Desarrollo 3·3 Valor 9 43 55 77 110 210 42 24 93 Ejercicios: 1) Calcula el cubo de 5 = _____ 2) Calcula el cuadrado de 10 = _____ 3) Si a la cuarta potencia de 2 le agregas el cuadrado de 4 obtienes _____ 4) El cuociente entre la 3ª potencia de 10 y la 2ª potencia de 10 es _____ 5) El producto entre el cubo de 10 y la 5ª potencia de 2 es _____ Si elevas un número a la 2ª potencia, se dice que está elevado al cuadrado. 2 Ejemplo: 52 se dice 5 al cuadrado; 82 se dice 8 al cuadrado etc Si elevas un número a la 3ª potencia, se dice que está elevado al cubo. Ejemplo: 23 se dice 2 al cubo; 93 se dice 9 al cubo y así para todos los casos. Ejercicios: Encuentra el producto.1) 103 · 102 · 104 = 2) 2 · 22 · 23 = 3) 30 · 3 · 33 = Resumiendo: cada vez que tengas que multiplicar potencias de igual base, mantener la base y elevarla a la suma de los exponentes. a n · a m = an + m Ejercicios: 1) 81 · 80 · 82 · 83 = 2) 104 · 101 · 105 · 103 = 3) 22 · 23 · 24 = 4) 50 · 51 · 52 · 53 = 5) 101 · 102 · 103 = Encuentra los cuocientes: a) 24 : 23 = b) 34 : 32 = c) ( 105 : 103 ) : 102 = Para dividir potencias de igual base , se eleva la base a la diferencia de los exponentes. a n : a m = an - m Ejercicios: 1) Escribir en forma de potencia 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3 se conserva la base y se suman los exponentes. Responde 1) 23 y 32 2) 53 y 35 3) 24 y 42 ¿Cuál es la diferencia entre ( 16 + 4 )2 y 162? Recuerda que para multiplicar potencias de igual base.23 = 2) 26 + 43 = 3) 30 + 41 + 23 + 52 = 4) 51 – 22 + 32 – 23 = Calcula y compara: Aquí.1) 24 · 23 = 4 .2) “ “ “ 5·5·5 = 3) “ “ “ 2·2·2·2 = 4) “ “ “ 5) “ “ “ 10· 10 · 10·10·10 · 10 = 4 = Desarrollar las potencias: 1) 64 = 2) 73 = 3) 24 = 4) 52 = Calcular: 1) 32 .Calcular sólo expresando el resultado como potencia. 24 + 53 : 52 + 25 = 3) 26 : 24 + ( 23 + 32 .42 · 21 = Más ejercicios del Colegio: Ejemplo: 1) ( 108 : 106 ) : 100 = 108 – 6 : 100 = 102 – 0 = 102 = 100 En la misma forma realiza los siguientes ejercicios: 2) ( 45 : 43 ) · 46 = 5 .2) 33 · 34 = 3) 52 · 53 = 4) 34 · 33 · 32 · 31 · 30 = 5) 25 · 21 · 24 · 22 · 23 = Recuerda que para dividir potencias de igual base.Calcular: 1) 55 : 53 = 2) 528 : 525 = 3) 211 : 29 = 4) 1012 : 108 = Recuerda la ley de precedencia: primero se resuelven los paréntesis.Calcular: 1) 22 + 30 · 41 + ( 52 . se eleva la base a la diferencia de los exponentes. luego las multiplicaciones y divisiones y en seguida las sumas y las restas.32 ) = 2) 42 .42 ) = 4) 20 · 23 · 22 . 000.000.600.000 = 5) 128.000 = 4) 3.500.000 = 48 · 103 Ejemplo: 2.000.000 = 9) 17.000 = 48 · 1.000.000 = Descubre el Número: Ejemplo: 1) 36 · 103 = 36 · 1.000.3) ( 26 · 28 ) : 25 = 4) ( 47 · 42 ) : 45 = Usa potencias de 10 para abreviar las cantidades: 48.000 2) 2 · 104 = 20.500 = 2) 64.000 = 25 · 105 Ejercicios: 1) 7.000 = 3) 28.000 = 6) 700 = 7) 80 = 8) 9.000 = 36.000 = 10) 680.000 = 25 · 100.000 6 . Ejercicios: 3) 10 · 105 = 4) 7 · 103 = 5) 2 · 7 · 102 · 103 = 6) 3 · 5 · 104 · 105 = 7) 2 · 3 · 4 · 103 · 102 = 8) 102 · 103 · 104 · 105 = 9) 12 · 104 = 10) 3 · 4 · 2 · 103 = 11) 7 · 3 · 102 · 103 · 103 = 12) 4 · 2 · 3 · 104 · 103 107 = 13) 5 · 52 · 10 · 103 = 14) 22 · 23 · 100 · 104 = 15) 40 · 4 · 42 · 103 · 100 · 105 = Ejercicios de varias clases ( repaso ) Abrevia usando potencias de 10: 1) 28.000 = 7 . 007.000 = 8 .438.098 = 2) 247.400.000.000 = Descubre el número: 1) 28 · 107 = 2) 3 · 2 · 10 · 102 = 3) 4 · 3 · 103 · 104 · 100 = 4) 5 · 2 · 100 · 103 · 105 = Notación ampliada usando potencias de 10.807 = 4 · 103 + 8 · 102 + 7 · 100 Ejercicios: 1) 30.205 = 4) 48.2) 3.100 = 6) 27.000.000 = 3) 18 · 250.002 = 5) 3.000 = 4) 380.000. Ejemplo: 4.012 = 3) 3. a) 64 b) 24 9) Encuentra por extensión el conjunto pedido. 1) Escribe una potencia cuyo exponente sea 4 y su base el primer número compuesto. 1 ≤ x números primos < 2 } A = { 9 . A = { x / x ∈ N.PRUEBA . 2) Encuentra la suma entre la 3ª potencia de 2 y la 2ª potencia de 5. 4)¿Qué número representa esta notación ampliada? 100 + 8 · 103 + 5 · 105 = 5) Escribe usando Notación ampliada el número: 6.00.420 = 6) Qué número representa cada notación siguiente? a) 4 · 103 = b) 28 · 105 = 7) ¿Qué número representa cada factorización prima? a) 22 · 32 = b) 52 · 23 = 8) Encuentra la factorización prima de cada número. 3) Escribe como potencia el cuociente que obtengas al dividir 25 y 23. Solucionario. 10 . .2. 24 = Ejemplo: 2·2·2·2 Desarrollo = a1 = a 16 Valor a0 = 1 1n = 1 Completar el siguiente cuadro.5 3.Potencia Base Exponente Desarrollo Valor 32 3 2 3·3 9 43 4 3 4 .000 Si elevas un número a la 2ª potencia. 1 ..5.7.7 823.024 42 4 2 24 2 4 2..000 5)El producto entre el cubo de 10 y la 5ª potencia de 2 es 103 · 25 = 1.000 .- ( básicas ).5. Definición: Potencia: es un producto de factores iguales an = a · a · a · a. 32 = 32..543 110 1 10 1 .9 729 4. 16 93 9 3 9. 4 . 1 ..2. 1 .2..2. 10 = 100 3) Si a la cuarta potencia de 2 le agregas el cuadrado de 4 obtienes 24 + 42 = 16 + 16 = 32 4 )El cuociente entre la 3ª potencia de 10 y la 2ª potencia de 10 es 103 .2.. 1 . 1 .5... se dice que está elevado al cuadrado..2. 1 . 11 ...2 1. 1 . 102 = 1.7..2.1 1 210 2 10 2..2.4 64 55 5 5 5..7.000 · · 32 = 32. 1 .7.125 77 7 7 7.POTENCIAS.2..7.4 16 Ejercicios: 1) Calcula el cubo de 5 = 53 = 125 2) Calcula el cuadrado de 10 = 102 = 10 ...2.2.9.. 10 . 3 .3 5 3 2 2 c) ( 10 : 10 ) : 10 = 10 .2. 10 : 10 = 102 = 1 10 . 3 .Ejemplo: 52 se dice 5 al cuadrado. 10 . 2 = 21 = 2 b) 34 : 32 = 3 . 2 . 3 . 10 . Ejercicios: Encuentra el producto. 2 .1) 103 · 102 · 104 = 1. 2 . 82 se dice 8 al cuadrado etc Si elevas un número a la 3ª potencia. 93 se dice 9 al cubo y así para todos los casos.000 = 1.000 · 100 · 10. 2 . 3 .000 = 109 2) 2 · 22 · 23 = 2 . 2 . 10 102 Para dividir potencias de igual base . 2 . 10 .000. Ejemplo: 23 se dice 2 al cubo. 3 . se eleva la base a la diferencia de los exponentes. 3 = 34 Resumiendo: cada vez que tengas que multiplicar potencias de igual base. a n : a m = an .m Ejercicios: 1) Escribir en forma de potencia 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 35 2) “ “ “ 5·5·5 = 53 12 .000. se dice que está elevado al cubo. 2 = 64 = 26 3) 30 · 3 · 33 = 1 . 3 = 32 = 9 2. mantener la base y elevarla a la suma de los exponentes.2 3. a n · a m = an + m Ejercicios: 1) 81 · 80 · 82 · 83 = 86 2) 104 · 101 · 105 · 103 = 1013 3) 22 · 23 · 24 = 29 4) 50 · 51 · 52 · 53 = 56 5) 101 · 102 · 103 = 106 Encuentra los cuocientes: a) 24 : 23 = 2 . Calcular sólo expresando el resultado como potencia.23 = 9 – 8 = 1 2) 26 + 43 = 64 + 64 = 128 3) 30 + 41 + 23 + 52 = 1 + 4 + 8 + 25 = 38 4) 51 – 22 + 32 – 23 = 5–4+9–8 = 2 Calcula y compara: Aquí. Responde 1) 23 y 32 8 y 9 2) 53 y 35 125 y 241 3) 24 y 42 16 y 16 ¿Cuál es la diferencia entre ( 16 + 4 )2 y 162? 202 y 162 400 y 256 Recuerda que para multiplicar potencias de igual base.3) “ “ “ 4) “ “ “ 5) “ “ “ 2·2·2·2 = 24 10· 10 · 10·10·10 · 10 = 106 4 = 41 Desarrollar las potencias: 1) 64 = 6 · 6 · 6 · 6 2) 73 = 7·7·7 3) 24 = 2·2·2·2 4) 52 = 5·5 Calcular: 1) 32 .1) 24 · 23 = 27 2) 33 · 34 = 37 13 . se conserva la base y se suman los exponentes. luego las multiplicaciones y divisiones y en seguida las sumas y las restas.4 2 ) = 5 8 + 9 .3) 52 · 53 = 55 4) 34 · 33 · 32 · 31 · 30 = 310 5) 25 · 21 · 24 · 22 · 23 = 215 Recuerda que para dividir potencias de igual base.42 · 21 = 0 .32 ) = 24 4 + 1 · 4 + ( 25 .- 37 23 + 32 .9 ) 4 + 4 + 16 2) 42 .16 · 2 32 Ejemplo: 1) ( 108 : 106 ) : 100 = 108 – 6 : 100 = 102 – 0 = 102 = 100 En la misma forma realiza los siguientes ejercicios: 2) ( 45 : 43 ) · 46 = 45 – 3 · 46 = 42 · 46 = 42 + 6 = 48 3) ( 26 · 28 ) : 25 = 26 + 8 : 25 = 214 – 5 = 14 . se eleva la base a la diferencia de los exponentes.Calcular: 1) 55 : 53 = 52 2) 528 : 525 = 53 3) 211 : 29 = 22 4) 1012 : 108 = 104 Recuerda la ley de precedencia: primero se resuelven los paréntesis.Calcular: 1) 22 + 30 · 41 + ( 52 .24 + 53 : 52 + 25 = 16 .16 + 5 + 32 3) 26 : 24 + ( 4 + ( 4 + 4) 20 · 23 · 22 1 · 8 · 4 32 Más ejercicios .16) 1 . 000.00 15 .000 = 48 · 1.000.000.000 = 9) 17.000 = 7.000 = 9 · 1.000 = 17 · 106 10) 680.000 Ejercicios: 3) 10 · 105 = 106 = 1.000.4) ( 47 · 42 ) : 45 = 47 + 2 : 45 = 49 – 5 = 44 Usa potencias de 10 para abreviar las cantidades: 48.000 = 28 · 1.000.000.600.000 = 5) 128.000.000 = 9 · 106 17 · 1.000.000 = 28 · 106 36 · 100.000 = 64 · 1.000 = 64 · 103 3) 28.000 = 68 · 10.000.000 2) 2 · 104 = 20.000 = 36 · 105 4) 3.000 = 25 · 100.000 = 128 · 106 7 · 100 = 7 · 102 6) 700 = 8 · 10 = 7) 80 = 8 · 101 8) 9.500 = 2) 64.000 4) 7 · 103 = 7 · 1.000 = 128 · 1.000 = 48 · 103 Ejemplo: 2.000.000 = 36.000.500.000 = 68 · 107 Descubre el Número: Ejemplo: 1) 36 · 103 = 36 · 1.000 = 25 · 105 Ejercicios: 75 · 100 = 75 · 102 1) 7. 400.000 = 120.000.000 = 450 · 104 = 45 · 105 4) 380.000 6) 3 · 5 · 104 · 105 = 15 · 109 = 15 · 1.000.000 12) 4 · 2 · 3 · 104 · 103 107 = 24 · 1014 = 24 · 100.000 = 38 · 10 16 .000.400.000 9) 12 · 104 = 12 · 10.400.000.000 = 15.000 = 6.000 13) 5 · 52 · 10 · 103 = 125 · 104 = 125 · 10.000 2.000.000.000 7) 2 · 3 · 4 · 103 · 102 = 24 · 105 = 24 · 100.000 = 1.000.400.250.000 = 2.000 = 28 · 1.100.000.000.000 = 28 · 103 2) 3.000 = 18 · 25 · 10.000 = 34 · 105 3) 18 · 250.000.000.000 21 · 108 = 21 · 100.000.000.000 = 38 · 10.000.000 14) 22 · 23 · 100 · 104 = 25 · 1 · 104 = 32 · 10000 = 320.000 = 34 · 100.000 10) 3 · 4 · 2 · 103 = 24 · 1.000.000 15) 40 · 4 · 42 · 103 · 100 · 105 = 1 · 43 · 108 = 64 · 100.5) 2 · 7 · 102 · 103 = 14 · 105 = 14 · 100.000 Ejercicios de varias clases ( repaso ) Abrevia usando potencias de 10: 1) 28.000 = 11) 7 · 3 · 102 · 103 · 103 = 24.000 = 8) 102 · 103 · 104 · 105 = 1014 = 100.000.000.000.000.000 = 2.400.000 = 1. 000 = 2 · 107 + 7 · 106 También debes saber que existen las potencias de exponente negativo.000 4) 5 · 2 · 100 · 103 · 105 = 10 · 1 · 108 = 109 = 1.000.002 = 4 · 107 + 8 · 106 + 7 · 103 + 2 · 100 5) 3.000 = 120.000.007.000 = 280.000 3) 4 · 3 · 103 · 104 · 100 = 12 · 107 = 12 · 10.807 = 4 · 103 + 8 · 102 + 7 · 100 Ejercicios: 1) 30.000.000 Notación ampliada usando potencias de 10.098 = 3 · 104 + 9 · 101 + 8 · 100 2) 247. Ejemplo: 4. La más importante es: 10-1 = 1 101 = 1 10 17 .000.012 = 2 · 105 + 4 · 104 + 7 · 103 + 1 · 101 + 2 · 100 no se pone 3) 3.205 = 3 · 106 + 4 · 105 + 3 · 104 + 8 · 10 3 + 2 · 102 + 0 · 101 + 5 · 100 4) 48.100 = 3 · 106 + 1 · 102 6) 27.000.000 2) 3 · 2 · 10 · 102 = 6 · 103 = 6 · 1000 = 6.000. que conocerás más adelante.438.000.000.Descubre el número: 1) 28 · 107 = 28 · 10. 23 + 52 = 8 + 25 = 33 6) Escribe como potencia el cuociente que obtengas al dividir 25 y 23.000 7) ¿Qué número representa cada factorización prima? a) 22 · 32 = 4 y 9 b) 52 · 23 = 25 y 8 Atención! Para efectuar el siguiente ejercicio. tendrías que conocer los NUMEROS PRIMOS. 44 5) Encuentra la suma entre la 3ª potencia de 2 y la 2ª potencia de 5. 4) Escribe una potencia cuyo exponente sea 4 y su base el primer número compuesto.001 5) Escribe usando Notación ampliada el número: 6.000 = 508. a) 64 = 26 | 2 · 32 | 2 · 16 | 2·8 | 2·4 | 2·2 b) 24 = | 12 · 2 | 6·2 | 3·2 23 · 3 18 . 10) Encuentra la factorización prima de cada número.00.PRUEBA .000 = 2.000 b) 28 · 105 = 28 · 100.000 + 500.800.000 = 1 + 8.000 + 5 · 100. 25 : 23 = 25-3 = 22 4)¿Qué número representa esta notación ampliada? 100 + 8 · 103 + 5 · 105 = 1 + 8 · 1.000 = 4.421 = 6 · 105 + 4 · 102 + 2 · 101 + 1 · 100 6) Qué número representa cada notación siguiente? a) 4 · 103 = 4 · 1. Toda potencia de exponente negativo es igual al valor recíproco de la base elevado al exponente positivo.25 )-3 = b) 3-4 = l) 104 : 104 = c) 5-2 = m) 52 : 52 = d) 6-3 = n) 80 = e) 2-2 = ñ) 0º = f) 1 2 -2 = Calcular el valor de los 5 ej. siguientes o) ( -2)4 = g) 2 3 -3 = p) ( -3 )5 h) 3 4 -2 i) 3 5 -3 = q) ( -1 )125 = = r) ( -4 )5 = j) ( 0. POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO. 4 b-n = 1 = 1 bn b n Ejercicios: a) 2-3 = k) ( 0. Ejemplo: El valor recíproco de 4 es 1. es igual a la unidad dividida por la cantidad. Recuerda que el valor recíproco de una cantidad.8 )-2 = s) ( -10 )5 = 19 .Ejercicios de repaso de la materia de 7º año. 1.25)3 l) 104 : 104 = o) ( -2)4 = 1 2 h) 2 k) ( 0.8)2 s) ( -10 )5 .1 = 5 3 3 r) ( -4 )5 = .024 = -3 -2 j) ( 0.100.Solucionario.25 )-3 = 1 = (0.243 = 4 3 2 q) ( -1 )125 = . Siguientes 16 3 2 3 p) ( -3 )5 .- 1 23 1 34 1 52 1 63 1 22 a) 2-3 = b) 3-4 = c) 5-2 = d) 6-3 = e) 2-2 = f) 1 -2 = 2 3 -3 h) 3 4 -2 i) 3 5 2 1 m) 52 : 52 = 1 n) 80 = 1 ñ) 0º = 0 Calcular el valor de los 5 ej.000 20 .8 ) 1 (0. ... Ejemplo n b exponente base con n ∈ N0 Observación: El exponente 1 es el único que no se escribe. 2 = 10) ( 0. Ejercicios: Calcular: 1) 25 = 2) 33 = 3) 54 = 4) ( 0...Correspondiente a 8º (Materia Básica)......Potencias II parte.......3)2 = 5) 106 = 6) 24 + 42 = 7) 52 + 25 = 8) 3 4 9) ¿Es cierto que 43 + 82 = 27?.. POTENCIAS.Definición: POTENCIA es un producto de factores iguales.2 )3 = 21 .. que es el factor que se repite y el exponente que es el número que indica las veces que se repite la base como factor.... En toda potencia debemos distinguir la base............ Ejemplos: a·a·a·a se escribe abreviadamente a4 5·5·· “ 53 “ b · b · b · b · b ..( n veces) se escribe bn se lee “b elevado a n” o “enésima potencia”. Se conserva la base y se suman los exponentes. Ejemplo: Al multiplicar a3 · a2 se obtiene a · a · a · a · a = a5 bm · bn = bm + n En general Ejercicios: 1) c4 · c5 = 2) d9 · d = 3) 23 · 24 = 4) a-5 · a6 = 5) a2 b3c · a b4 c2 = 6) b0 · b2 = 7) ac · b · a1 · 5 = 8) m2x + y · mx – 3y = 9) ax – y · ay – x 11) bm – n · bn = 12) a-2 · a3 · a-4 = = 10) x3n + 1 · x6 – 2n = DIVIDIR POTENCIAS DE IGUAL BASE.n bn Ejercicios: 1) 29 : 26 = 2) bx : b = 3) c2n + 2 : c 5) a4 a7 6) c6 = c2 = 4) d3a – 5b : da – 3b = = 22 . Ejemplo: Al dividir bm : bn se obtiene: bm = bm . Se conserva la base y se restan los exponentes. ( el exponente del dividendo menos el exponente del divisor).MULTIPLICAR POTENCIAS DE IGUAL BASE. 5 )3 + ( -0. A) Las que tienen exponente par. I Las potencias de números positivos son positivas. son siempre negativas.25 )2 = 4) Si x = -1.25 )2 = 3) ( -4 )3 · ( -0. Ejemplo: ( + 5 )2 = ( + 5 ) · ( + 5 ) = + 25 ( + 5 )3 = ( + 5 ) · ( + 5 ) · ( + 5 ) = 125 II En las potencias de números negativos. son siempre positivas.SIGNOS DE UNA POTENCIA. calcula el valor de la expresión 10x5 + 9x4 + 8x3 + 7x2 + 6x + 5 = 5) Lo mismo si x = -3 23 . Ejemplos: ( -7 )2 = ( -7 ) · ( -7 ) = + 49 ( -3 )4 = ( -3 ) · ( -3 ) · ( -3 ) · ( -3 ) = + 81 B) Las que tienen exponente impar. Ejemplos: ( -2 )5 = ( -2 ) · ( -2 ) · ( -2 ) · ( -2 ) · ( -2 ) = -32 ( -4 )3 = ( -4 ) · ( -4 ) · ( -4 ) = -64 Ejercicios: Calcular 1) ( -2 )1 + ( -2 )2 + (-2 )3 + ( -2 )4 + ( -2 )5 = 2) ( -0. pueden presentarse dos casos. Toda potencia de exponente 0.125 )5 = 4) 64 · 1 4 · 1 4 = 3 4 2 5) ( x + y ) · ( x – y )2 = 6) ( 2 a )3 · b 4ª 3 24 . vale 1. b0 = 1 Ejercicios: 1) 40 + 50 + 280 = 2) an-1 · b3-n · a1-n · bn-3 = 3) ( a + b )0 = 4) 3( x + 2y )2 – 5(7x + 4y )3 + 28 0 = MULTIPLICAR POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE .POTENCIAS DE EXPONENTE CERO. an · bn = ( ab )n Ejercicios: 1) 23 · 53 = 2) 48 · ( 0. Se multiplican las bases y se conserva el exponente.25 )8 = 3) 85 · ( 0. Se eleva cada factor al exponente común y recíprocamente. 442. DIVIDIR POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE.ELEVAR A POTENCIA UN PRODUCTO.5 ) : ( 2½ )2 = 5) ( ¾ )2 : ( ¼ )2 = 25 . 362. Se dividen las bases y se conserva el exponente. an = bn a b n Ejercicios: 1) 484 : 164 = 2) 506 : 256 = 3) 4003 : ( 66 2 )3 = 3 2 4) ( 12. ( a·b )n = an · bn Ejercicios: 1) ( 2·a )3 = 2) 8( a – b ) 2 = 3) ( 5x )3 · ( 2ab )3 = ( 100 bx )5 4) 222 = ( 11 · 2 )2 = 121 · 4 = 484 Calcula del mismo modo 242. 125 )2 = 6) 6x 8y 3 -4y · 3x 4 = POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO. 4 b-n = 1 = 1 bn b n 26 .5 )2 = 5) ( 0.ELEVAR A POTENCIA UN CUOCIENTE. Ejemplo: El valor recíproco de 4 es 1.25 )3 + ( 0. Se eleva cada uno de sus términos al exponente común. Toda potencia de exponente negativo es igual al valor recíproco de la base elevado al exponente positivo.5 )6 + ( 0. es igual a la unidad dividida por la cantidad. a b n = an bn Ejercicios: 1) 2) 5 6 3 = 12 4 = 3 3) ( -0. Recuerda que el valor recíproco de una cantidad.75 )4 = 4) ( -2. 75 )-3 · ( 11 )3 = 3 6) 1 : ( 0.5 )-4 + ( 0.Ejercicios: 1) 2-3 = 2) ( 0.75 )-3 : ( 11 )3 = 3 27 .125 )-3 = 5) ( 0.5 )-4 + ( 0.0375 )-3 = 8) ( 0.4 )-2 = 3) 2-6 + 4-3 + 8-2 = 4) ( 0.375 )-2 = 7) ( 0.25 )-3 + ( 0. .3)2 = 625 6) 24 + 42 = 16 16 1) 25 = 7) 52 + 25 = 25 32 9) ¿Es cierto que 43 + 82 = 27? Si porque 27 64 + 64 = 128 27 5) 106 = 1. Ejemplos: a·a·a·a se escribe abreviadamente a4 5·5·· “ 53 “ b · b · b · b · b .Correspondiente a 8º (Materia Básica).Potencias II parte..Definición: POTENCIA es un producto de factores iguales. que es el factor que se repite y el exponente que es el número que indica las veces que se repite la base como factor. POTENCIAS..000 0.....09 8) 3 4 = 128 2 = 32 = 9 42 16 10) ( 0.. Ejemplo b n exponente base con n ∈ N0 Observación: El exponente 1 es el único que no se escribe. Ejercicios: Calcular: 3) 54 = 32 2) 33 = 32 4) ( 0.....000.008 28 .( n veces) se escribe bn se lee “b elevado a n” o “enésima potencia”.2 )3 = 0.. En toda potencia debemos distinguir la base. es indispensable conocer las operaciones con Números Negativos ( Conjunto Z ) Ejemplo: Al multiplicar a3 · a2 se obtiene a · a · a · a · a = a5 En general bm · bn = bm + n Ejercicios: 1) c4 · c5 = c9 2) d9 · d = d10 3) 23 · 24 = 27 4) a-5 · a6 = a1 = a 5) a2 b3c · a b4 c2 = a3b7c3 6) b0 · b2 = b2 7) ac · b · a1 · 5 = acb + 5 8) m2x + y · mx – 3y = m3x – 2y 9) ax – y · ay – x = a0 = 1 10) x3n + 1 · x6 – 2n = xn + 7 11) bm – n · bn = 12) a-2 · a3 · a-4 = a-3 bm DIVIDIR POTENCIAS DE IGUAL BASE. Se conserva la base y se restan los exponentes.n bn Ejercicios: 1) 29 : 26 = 23 2) bx : b = 4) d3a – 5b : da – 3b = d2a – 2b 5) a4 a7 = a-3 bx .1 3) c2n + 2 : c = c2n + 1 6) c6 = c4 29 .MULTIPLICAR POTENCIAS DE IGUAL BASE. Ejemplo: Al dividir bm : bn se obtiene: bm = bm . Se conserva la base y se suman los exponentes. ( para continuar los ejercicios.( el exponente del dividendo menos el exponente del divisor). 25 )2 = .6 +5= -3 5) Repetir lo mismo si x = -3 30 .10 + 9 .25 )2 = -64 · +0. C) Las que tienen exponente par.0625 3) ( -4 )3 · ( -0.0625 = -0.0. son siempre positivas. Ejemplo: ( + 5 )2 = ( + 5 ) · ( + 5 ) = + 25 ( + 5 )3 = ( + 5 ) · ( + 5 ) · ( + 5 ) = 125 II En las potencias de números negativos. son siempre negativas. pueden presentarse dos casos.0625 = -4 4) Si x = -1. Ejemplos: ( -7 )2 = ( -7 ) · ( -7 ) = + 49 ( -3 )4 = ( -3 ) · ( -3 ) · ( -3 ) · ( -3 ) = + 81 D) Las que tienen exponente impar.5 )3 + ( -0. I Las potencias de números positivos son positivas. Ejemplos: ( -2 )5 = ( -2 ) · ( -2 ) · ( -2 ) · ( -2 ) · ( -2 ) = -32 ( -4 )3 = ( -4 ) · ( -4 ) · ( -4 ) = -64 Ejercicios: Calcular 1) ( -2 )1 + ( -2 )2 + (-2 )3 + ( -2 )4 + ( -2 )5 = -2 + 4 + -8 + 16 + -32 = -22 2) ( -0. calcula el valor de la expresión 10x5 + 9x4 + 8x3 + 7x2 + 6x + 5 = 10(-1)5 + 9(-1)4 + 8(-1)3 + 7(-1)2 + 6(-1) + 5 5) Lo mismo si x = -3 10 · -1 + 9 · 1 + 8 · -1 + 7 · 1 + 6 · -1 + 5 .125 + 0.SIGNOS DE UNA POTENCIA.8 + 7 . b0 = 1 Ejercicios: 1) 40 + 50 + 280 = 1 + 1 + 1 = 3 2) an-1 · b3-n · a1-n · bn-3 = aº · bº = 1 · 1 = 1 3) ( a + b )0 = 1 4) 3( x + 2y )2 – 5(7x + 4y )3 + 28 0 = 1 MULTIPLICAR POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE.000 2) 48 · ( 0.Toda potencia de exponente 0.125)5 = ( 1 ) 1 2 4) 64 · 1 4 · 1 4 = 6 · 1 · 1 4 = 1 3 4 1 3 4 2 1 2 5) ( x + y )2 · ( x – y )2 = [ (x + y)(x – y)]2 6) ( 2 a )3 · b 4a 3 = 2a · b 4ª 2 3 = b 2 4 = 1 16 = [ x2 . an · bn = ( ab )n Ejercicios: 1) 23 · 53 = ( 2 · 5 )3 = 103 = 1. Se multiplican las bases y se conserva el exponente.125 )5 = ( 8 · 0.y2 ]2 3 31 .POTENCIAS DE EXPONENTE CERO.25 )8 = ( 1 )8 = 1 3) 85 · ( 0. vale 1.25 )8 = ( 4 · 0. 362. Se eleva cada factor al exponente común y recíprocamente.25 )2 = 3 200 = 3 = 63 = 216 25 ( 3 )2 = 9 32 . Se dividen las bases y se conserva el exponente. = 576 = 1.5 : 2.5 )2 = 52 ( 0.936 442.5 )2 : ( 2½ )2 = 5) ( ¾ )2 : ( ¼ )2 = = 400 · 1 ( 12.296 = 1. an = bn n a b Ejercicios: 1) 484 : 164 = (48 : 16)4 = 34 = 81 2) 506 : 256 = (50 : 25)6 = 26 0 64 4) 4003 : ( 66 2 )3 = 3 400 : 200 3 3 4) ( 12. ( a·b )n = an · bn Ejercicios: 1) ( 2·a )3 = 2) 8( a – b ) 23 · a3 = 8a3 2 = 82 · (a – b)2 3) ( 5x )3 · ( 2ab )3 = ( 100 bx )5 4) 222 55 · x3 · 23 ·a3 · b3 1005 · b5 ·x5 = ( 11 · 2 )2 = 121 · 4 = 484 Calcula del mismo modo 242 = ( 12 · 2 )2 = 144 · 4 362 = ( 12 · 3 )2 = 144 · 9 442 = ( 22 · 2 )2 = 484 · 4 242.ELEVAR A POTENCIA UN PRODUCTO.75 : 0. DIVIDIR POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE. a b n = an bn Ejercicios: 1) 5 6 3 53 63 = 12 54 3 34 3 4 3) ( -0.0002 63 · x5 · -44 · y4 83 · y3 ·34 · x4 POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO. Toda potencia de exponente negativo es igual al valor recíproco de la base elevado al exponente positivo. es igual a la unidad dividida por la cantidad.000 6) 6x 8y 3 -4y · 3x 4 = 56 + 253 + 1252 106 1003 1. Ejemplo: El valor recíproco de 4 es 1. Recuerda que el valor recíproco de una cantidad. Se eleva cada uno de sus términos al exponente común.5 )6 + ( 0.25 )3 + ( 0.25 10 2 3) 4 = 4 2 = = -34 44 -52 22 5) ( 0.ELEVAR A POTENCIA UN CUOCIENTE.75 100 4 5 4) ( -2.5 )2 = .125 )2 = 5 6 25 3 125 2 = 10 100 1. 4 b-n = 1 = 1 bn b n 33 .75 ) = . .111111111.75)3 4 3 3 = 1 · 43 = 64 = 64 3 3 3 (0..16 1 82 = 1 64 + 1 + 1 = 0.75) · 3 (0.75 )-3 · ( 11 )3 3 6) 1 : ( 0.0625 0.0375)3 34 .75 · 3) (2.375 )-2 = 7) ( 0.25)3 (0...Ejercicios: 1) 2-3 1 23 = 1 + 1 2) ( 0.4 )-2 = (0.25 = 22..25 0..375) 0.25)3 1 = 1 = 2 (0.0375 )-3 = = 1 · (0.140625 7.5 )-4 + ( 0.125 )-3 = 1 + 1 + 1 (0.015625 · 3 = 64 64 0..5)4 (0.046875 4) ( 0.5)4 (0.25 )-3 + ( 0..125)3 5 ( 0.4)2 3) 2 -6 + 4 -3 + 8 -2 1 26 = + 1 43 = + 1 + 1 = 16 + 6. 1 .5 )-4 + ( 0. (0...