UNEFAGOBIERNO BOLIVARIANO DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA UNEFAB NÚCLEO CARABOBO-EXTENSIÓN GUACARA ASIGNATURA: Probabilidades y Estadística PROF: Ing. Alexander Zavala GUÍA DE LECTURA N° 3. (Unidad N° 5) DISTRIBUCIONES MUESTRALES Y EL T.L.C. 1. Definiciones Con mucha frecuencia se utilizan ciertas funciones de las VA observadas en una muestra para estimar o para tomar decisiones con respecto a parámetros poblacionales desconocidos. Por ejemplo, supóngase que se desea estimar la media de una población μ. Si obtenemos una muestra aleatoria de n observaciones y 1 , y 2 ,..., y n resulta adecuado estimar μ a través de la media de muestra ∑ · · n i i y n y 1 1 La bondad de la estimación depende del comportamiento de las variables aleatorias y 1 , y 2 ,..., y n y el efecto de este comportamiento sobre ∑ · · n i i y n y 1 1 . La VA Y es una función de las VA Y 1 , Y 2 ,..., Y n y el tamaño n de la muestra. Por lo tanto, la VA Y representa un estadístico. DEFINICIÓN 1: Un estadístico es una función de las variables aleatorias que se pueden observar en una muestra y de las constantes conocidas. Los estadísticos se utilizan para hacer inferencias (estimaciones o decisiones) con respecto a parámetros poblacionales desconocidos. Probabilidades y Estadística. 4° Semestre. CBI 1 UNEFA 2. Distribuciones muestrales relacionadas con la distribución normal. Muchos fenómenos observados en la realidad tienen distribuciones de frecuencias relativas que se pueden representar en forma adecuada mediante el modelo de un distribución de probabilidad normal. Las VA observadas en una muestra aleatoria, Y 1 , Y 2 ,..., Y n son independientes y tienen una función de densidad normal común. En tales casos, el siguiente teorema establece la distribución muestral del estadístico ( ) n Y Y Y n Y + + + · ... 1 2 1 TEOREMA 1. Sea Y 1 , Y 2 ,..., Y n una muestra aleatoria de tamaño n de una distribución normal con media μ y varianza σ 2 . Entonces ∑ · · n i i Y n Y 1 1 tiene una distribución normal con media μ y varianza σ 2 /n. La varianza de cada una de las VA Y 1 , Y 2 ,..., Y n es σ 2 y que la varianza de la distribución muestral de la VA Y es σ 2 /n. Es decir, n Y 2 2 σ σ · de donde se deduce que , _ ¸ ¸ − · − · − · σ µ σ µ σ µ Y n n Y Y Z Y tiene una distribución normal estándar. EJEMPLO 1: Una máquina embotelladora puede regularse de tal manera que llene un promedio de μ onzas por botella. Se ha observado que la cantidad de contenido que suministra la máquina presenta una distribución normal con σ=1 onzas. De la producción de la máquina en cierto día, se obtiene, una muestra aleatoria de n=9 botellas llenas y se miden las onzas del contenido de cada una. Determine la probabilidad de que la media muestral se encuentre a lo más de 0.3 onzas de la media real μ. EJEMPLO 2: Refiérase al EJEMPLO 1, ¿cuántas observaciones deben incluirse en la muestra si se desea que Y está a lo más a 0.3 onzas de μ con una probabilidad de 0.95? Probabilidades y Estadística. 4° Semestre. CBI 2 UNEFA A continuación se presentan otros estadísticos que son funciones de los cuadrados de las observaciones en una muestra aleatoria procedente de una población normal. El teorema 2 establece la distribución muestral de la suma de los cuadrados de variables aleatorias normales estándar e independientes. TEOREMA 2. Sean Y 1 , Y 2 ,..., Y n definidas tal como en el teorema 1. Entonces ( ) σ µ / − · i i Y Z son VA normales estándar e independientes, i=1,2,...,n, y 2 2 ∑ ∑ , _ ¸ ¸ − · σ µ i i Y Z Tiene una distribución 2 χ (ji-cuadrado) con n grados de libertad. EJEMPLO 3: Si Z 1 , Z 2 ,..., Z 6 denota una muestra aleatoria de un distribución normal estándar, encuentre un número b tal que 95 . 0 6 1 2 · , _ ¸ ¸ ≤ ∑ · i i b Z P La distribución 2 χ desempeña un papel importante cuando se desea hacer una inferencia con respecto a la varianza σ 2 de la población basada en una muestra aleatoria Y 1 , Y 2 ,..., Y n tomada de una población normal Un buen estimador de σ 2 es la varianza muestral ( ) ∑ · − − · n i i Y Y n S 1 2 2 1 1 Probabilidades y Estadística. 4° Semestre. CBI 3 u f(u) 0 α 2 α χ Distribución ji-cuadrado ( ) α χ χ α · > 2 2 P UNEFA El siguiente teorema nos da la distribución de probabilidad para una función del estadístico S 2 . TEOREMA 3. Sea Y 1 , Y 2 ,..., Y n una muestra aleatoria de tamaño n de una distribución normal con media μ y varianza σ 2 . Entonces ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 1 σ σ S n Y Y n i i − · − ∑ · tiene una distribución 2 ℵ con (n-1) grados de libertad. Y y S 2 son también VA independientes. EJEMPLO 4: En el ejemplo 1, se supone que las onzas del contenido que vacía la máquina embotelladora tiene una distribución normal con σ 2 = 1. Supóngase que se desea obtener una muestra aleatoria de 10 botellas y medir el contenido en cada una. Si se utilizan estas 10 observaciones para calcular S 2 , podría ser útil especificar un intervalo de valores que incluyeran a S 2 con una alta probabilidad. Encuentre los números b 1 y b 2 tales que ( ) 90 . 0 2 2 1 · ≤ ≤ b S b P El Teorema 1 proporciona la base del desarrollo de procedimientos para hacer inferencias con respecto a la media μ de una población normal con una varianza conocida σ 2 . En este caso dicho Teorema nos dice que ( ) σ µ / − Y n tiene una distribución normal estándar. Cuando se desconoce σ se le puede estimar mediante 2 S S · y la expresión , _ ¸ ¸ − S Y n µ nos dará la base para el desarrollo de métodos de inferencias con respecto a μ. En consecuencia, la distribución de probabilidad ( ) S Y n / µ − está dada por una función de densidad de probabilidad conocida como distribución t de student con n-1 grados de libertad. Probabilidades y Estadística. 4° Semestre. CBI 4 UNEFA DEFINICIÓN 2: Sea Z una VA normal estándar y sea 2 χ una VA ji- cuadrada con ν grados de libertad. Entonces si Z y 2 χ son independientes, ν χ / 2 Z T · se dice que tiene una distribución t de student con ν grados de libertad. Si Y 1 , Y 2 ,..., Y n es una muestra aleatoria de una población normal con media μ y varianza σ 2 , entonces ( ) σ µ − · Y n Z tiene una distribución normal estándar. ( ) 2 2 2 1 σ χ S n − · tiene una distribución 2 χ con 1 − ·n ν grados de libertad y que Z y 2 χ son independientes, por lo tanto ( ) ( ) ( ) , _ ¸ ¸ − · − − − · ℵ · S Y n n S n Y n Z T µ σ σ µ ν 1 1 2 2 2 tiene una distribución t con (n-1) grados de libertad. Como la función de densidad normal estándar, la función t es simétrica con respecto a cero. Además, para 1 > ν , E(T)=0 y para 2 · ν , ( ) 2 ) ( − · ν ν T V . Así vemos que una VA con una distribución t tiene el mismo valor esperado que una VA normal estándar. Sin embargo, una VA normal estándar siempre tiene una varianza de 1, mientras que la varianza de una VA con una distribución t siempre es mayor que 1. Probabilidades y Estadística. 4° Semestre. CBI 5 Normal estándar t UNEFA EJEMPLO 5: La resistencia a la tensión para cierto tipo de alambre se distribuye normalmente con una media desconocida μ y varianza desconocida σ 2 . Se seleccionan al azar 6 segmentos de alambre de un rollo grande y se midió Y i , la resistencia a la tensión para el segmento i, en donde i=1,2,..., 6. La media de la población μ y la varianza σ 2 se pueden estimar por Y y S 2 , respectivamente. Ya que n Y 2 2 σ σ · , 2 Y σ puede ser estimada por n S 2 . Encuentre la probabilidad aproximada de que Y esté a lo más a n 25 de la verdadera media poblacional μ. Supóngase que se desea comparar las varianzas de 2 poblaciones normales basadas en la información contenidas en muestras aleatorias independientes de las dos poblaciones. Supóngase que una muestra aleatoria contiene n 1 variables aleatorias distribuidas normalmente con una varianza 2 1 σ y que la otra muestra aleatoria contiene n 2 variables aleatorias distribuidas normalmente con una varianza 2 2 σ . Si calculamos 2 1 S de las observaciones de la muestra 1, entonces 2 1 S es una estimación de 2 1 σ . De manera similar para la muestra 2. Así intuitivamente se podría pensar en utilizar 2 2 2 1 S S para hacer inferencias con respecto a las magnitudes relativas de 2 1 σ y 2 2 σ . Si dividimos cada 2 i S por 2 i σ , entonces la razón siguiente , _ ¸ ¸ , _ ¸ ¸ · 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 S S S S σ σ σ σ tiene una DISTRIBUCIÓN F con (n 1 -1) y (n 2 -2) grados de libertad. DEFINICIÓN 3: Sean 2 1 χ y 2 2 χ variables aleatorias ji-cuadrada con 1 ν y 2 ν grados de libertad, respectivamente. Entonces si 2 1 χ y 2 2 χ son independientes, 2 2 2 1 2 1 ν χ ν χ · F se dice que tiene una DISTRIBUCIÓN F con 1 ν grados de libertad del numerador y 2 ν grados de libertad del denominador. Probabilidades y Estadística. 4° Semestre. CBI 6 UNEFA La función de densidad para variables aleatorias con la distribución F es un miembro de la familia de las distribuciones beta. EJEMPLO 6: Si se toman dos muestras independientes de tamaño n 1 =6 y n 2 =10 de dos poblaciones normales con la misma varianza poblacional, encuentre el número b tal que 95 . 0 2 2 2 1 · , _ ¸ ¸ ≤ · b S S P 3. El Teorema del Límite Central. Considere la VA Y i definida como la suma de n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas y 1 , y 2 ,..., y n . Esto es, Y i =y 1 +y 2 +...+y n . El TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL establece que, cuando n es grande ( ) ∞ → n , la distribución de Yi tiende hacia la normalidad independientemente de las distribuciones originales de y 1 , y 2 ,..., y n . TEOREMA 4. El Teorema del Límite Central: Sean Y 1 , Y 2 ,..., Y n variables aleatorias independientes y distribuidas idénticamente con ( ) µ · i Y E y ( ) ∞ < · 2 σ i Y V . Definimos , _ ¸ ¸ − · σ µ Y n U n en donde ∑ · · n i i Y n Y 1 1 Probabilidades y Estadística. 4° Semestre. CBI 7 u f(u) 0 α α F Distribución F UNEFA Entonces la función de distribución n U converge a una función de distribución normal estándar cuando ( ) ∞ → n . EJEMPLO 7: Los resultados de las pruebas finales de todos los alumnos del último año de bachillerato de cierto estado tiene una media de 60 y una varianza de 64. se obtuvo una muestra de 100 alumnos y tuvo una media de 58. Calcule la probabilidad de que la media muestral sea a lo más 58. EJEMPLO 8: Los tiempos de espera para los clientes que pasan por una caja registradora a la salida de una tienda son variables aleatorias independientes con una media de 1.5 min. y una varianza de 1. Aproxime la probabilidad de que se pueda atender a 100 clientes en menos de 2 horas. 4. Aproximación Normal de la Distribución Binomial. El Teorema del Límite Central se puede utilizar también para aproximar las probabilidades de algunas variables aleatorias discretas cuando es difícil calcular las probabilidades exactas para valores grandes del tamaño n de la muestra. Un ejemplo útil trata de la distribución binomial. Suponga que Y tiene una distribución binomial con n pruebas y con probabilidad de éxito denotada por p. Si se desea calcular ( ) b Y P ≤ , entonces se puede utilizar la función de probabilidad binomial para calcular la probabilidad para cada entero no negativo menor o igual a b y sumar estas probabilidades. Se puede considerar a Y, el número de éxitos en n pruebas, como una suma de una muestra formada por ceros y unos, es decir, ∑ · · n i i X Y 1 en donde ¹ ' ¹ · fracaso éxito X i , 0 , 1 y X i , i=1,2,...,n son independientes. Por consiguiente, cuando n es grande, la proporción de éxitos en la muestra, X X n n Y n i i · · ∑ ·1 1 tendrá aproximadamente una distribución muestral normal con media ( ) p X E i · y una varianza igual a ( ) n pq X V i · . Probabilidades y Estadística. 4° Semestre. CBI 8 UNEFA EJEMPLO 9: El candidato A considera que puede ganar una elección en una ciudad si obtiene al menos 55% de los votos. Además, supone que alrededor del 50% de los votantes están a su favor. Si n=100 votantes, ¿cuál es la probabilidad de que el candidato A reciba al menos 55% de los votos? La aproximación normal de las probabilidades binomiales funciona bien aun cuando n no sea muy grande, en tanto que p no esté demasiado cerca de cero o de uno. Una regla empírica útil es que la aproximación normal de la distribución binomial es apropiada cuando n pq p 2 t esté dentro del intervalo (0,1). EJEMPLO 10: Supóngase que Y tiene una distribución binomial con n=25 y p=0.4. Encuentre las probabilidades exactas de que 8 ≤ Y y 8 · Y , y compare estos resultados con los valores correspondientes encontrados por la aproximación normal. Probabilidades y Estadística. 4° Semestre. CBI 9