GUÍA DE DISCUSIÓN Nº 2 GUÍA DE DISCUSIÓN Nº 2ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN I. VARIABLES SEPARABLES: - En los problemas del 1 al 20 resuelva la ED por separación de variables. 1) ( ) 2 1 dy x dx · + 10) ( ) 70 dQ k Q dt · − 2) 2 0 dx x dy − · 11) 2 t dN N Nte dt + + · 3) 2 x dy e x dx · 12) 3 3 2 cos 3 0 sen x dx y xdy + · 4) 2 0 dy xy dx + · 13) sec x dy xcot ydx · 5) 1 y dy dx x + · 14) 1 2 2 dy x dx y y − · 6) 2 x y x y dy e y e e dx − − − · + 15) 2 2 3 3 xy y x dy dx xy y x + − − · − + − 7) ( ) 2 2 2 2 2 1 x y x y dy y dx + + + · 16) ( ) ( ) sec dy y sen x y sen x y dx + − · + 8) ( ) 2 2 1 x y dy y dx · + 17) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 4 4 y x dy y dx − · + 9) 2 2 3 4 5 y dy dx x + ¸ _ · ÷ + ¸ , 18) ( ) dy x x y y dx + · + UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS Materia: Matemática IV Ciclo: II/2013 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden MATEMATICA-IV. Ciclo II-2013 - En los problemas del 19 al 22 resuelva la ED, sujeta a la condición inicial respectiva. 19) ( ) ( ) ( ) 4 2 1 1 4 0 , 1 0 x dy x y dx + + + · · 20) ( ) , 1 3 dy ty y y dt + · · 21) ( ) 2 2 1 , 2 2 1 y dy y dx x − · · − 22) ( ) 5 2 1 , 0 2 y y y ′ + · · - Determine una solución de la ED que pase por los puntos indicados. 23) 2 dy x y y dx · − a) ( ) 0,1 b) ( ) 0, 0 c) ( ) 1 1 , 2 2 - Con frecuencia, un cambio radical en la solución de una ecuación diferencial corresponde a un cambio muy pequeño en la condición inicial o en la ecuación misma. En los problemas 24 y 25 compare las soluciones de los problemas de valor inicial respectivos. 24) ( ) ( ) 2 1 , 0 1.01 dy y y dx · − · 25) ( ) ( ) 2 1 0.01 , 0 1 dy y y dx · − − · II. ECUACIONES LINEALES. - En los problemas del 1 al 25 halle la solución general de la ED dada, especifique un intervalo en el cual este definida la solución. 1) 2 0 dy y dx + · 3) x dy y e dx · + 2) 2 3 dy x y dx + · 4) 3 2 ´ x xy y · + 2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden MATEMATICA-IV. Ciclo II-2013 5) 2 ´ 2 5 y y x · + + 16) dy y senh x dx − · 6) dx x y dy · + 17) ( ) 2 y ydx ye x dy · − 7) ( ) ( ) 2 3 1 0 x dy xy x x dx + + + + · 18) 2 4 2 dP tP P t dt + · + − 8) ( ) 3 2 1 3 dy x x y dx − · 19) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 dy x y x dx − + · + 9) 2 dy y cot x cos x dx + · 20) ( ) 3 2 y dx e x dy · − 10) ( ) 2 1 ´ x y xy x x + − · + 21) ( ) 2 2 x x y x x y e ′ + + · 11) ( ) ´ 1 2 x xy x y e sen x − + + · 22) ( ) 6 4 0 ydx x y dy − + · 12) ( ) ( ) 1 2 0 cos x dy y sen x tan x dx − + − · 23) ( ) cos 1 dy x sen x y dx + · 13) dx y x dy + · 24) sec cos dr r d θ θ θ + · 14) ( ) ( ) 1 2 2 x dy x x y xe dx − + + + · 25) ( ) 3 3 1 x dy x x y e dx − + + · 15) ´ 2 1 x xy y e n x + · + - En los problemas 26 al 30 resuelva la ED sujeta a la condición inicial indicada. 26) ( ) ( ) 3 2 ´ 2 , 0 2 x x y y x e e y · + − · 29) ( ) 2 2 , 1 5 dx y x y y dy − · · 27) ( ) ( ) 2 2 0 , 1 0 x xdy xy y e dx y − + + − · · 30) ( ) ´ , 1 2 x xy y e y + · · 28) ( ) 4 5 , 0 7 dQ x Q Q dx · ·− 3 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden MATEMATICA-IV. Ciclo II-2013 - Determine una solución continua que satisfaga la ecuación general dada en los problemas 31 al 34 y la condición inicial indicada. Trazar la curva solución. 31) ( ) ( ) ( ) 1 , 0 1 , , 0 1 1, 1 x dy y f x f x y dx x ≤ ≤ ¹ ¹ + · · · ' ¹ − > ¹ 32) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , 0 1 1 2 , , 0 0 , 1 x x dy x xy f x f x y dx x x ≤ < ¹ ¹ + + · · · ' ¹ − ≥ ¹ 33) ( ) ( ) ( ) 1 , 0 3 2 , ; 0 0 0 , 3 x dy y f x f x y x dx ≤ ≤ ¹ + · · · ' > ¹ 34) ( ) ( ) ( ) , 0 1 2 , ; 0 2 0 , 1 x x dy xy f x f x y x dx ≤ < ¹ + · · · ' ≥ ¹ ; III. ECUACIONES EXACTAS - En los problemas del 1 al 11 determine si la ecuación respectiva es exacta. Si lo es, resuélvala. 1) ( ) ( ) 2 6 0 x y dx x y dy + − + · 2) ( ) ( ) cos cos 0 sen y y sen x dx x x y y dy − + + − · 3) ( ) 3 2 1 2 3 4 3 3 0 dy y y cos x x y sen x x dx x − + + − + · 5) ( ) 3 3 2 3 0 x y dx xy dy + + · 6) 2 2 2 0 x x dx dy y y − · 7) ( ) ( ) 2 3 3 2 0 y y x y e dx x xe y dy + + + − · 4 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden MATEMATICA-IV. Ciclo II-2013 8) ( ) 2 2 2 0 y dy e xy cosh x xy senh x y cos h x dx + + + · 9) ( ) 5 2 2 0 dy y x y dx − − · 10) ( ) ( ) 3 3 3 3 2 5 0 x cos x sen x dx y dy + − + + · 11) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 x y x y y sen x cos x y y e dx x sen x xye dy − + · − − - En los problemas 12 a 14 resuelva cada ecuación diferencial sujeta a la condición inicial indicada. 12) ( ) ( ) ( ) 2 0 , 0 1 x y e y dx x ye dy y + + + + · · 13) ( ) ' 2 2 5 4 3 0 , 1 1 2 y x x y y y y ¸ _ − + · · ÷ ¸ , 14) ( ) ( ) ' 2 1 2 , 0 1 1 cos x xy y y y sen x y y ¸ _ + − · + · ÷ + ¸ , - En los problemas 15 al 18 determine el valor de K para que la ecuación diferencial correspondiente sea exacta. 15) ( ) ( ) 4 3 2 20 0 x y sen xy ky dx xy x sen xy dy − + − + · 16) ( ) ( ) 3 2 2 6 0 xy cos y dx kx y x sen y dy + + − · 17) ( ) ( ) 3 4 2 2 3 2 3 20 0 y kxy x dx xy x y dy + − + + · 18) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 0 x x xy ye dx x y ke dy + + + − · - Determine una función ( ) , N x y tal que la siguiente ecuación diferencial sea exacta: 19) ( ) 1 1 2 2 2 , 0 x y x dx N x y dy x y − ¸ _ + + · ÷ + ¸ , 5 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden MATEMATICA-IV. Ciclo II-2013 - A veces es posible transformar una ecuación diferencial no exacta, en una exacta multiplicándola por un factor integrante ( ) , x y µ . En los problemas del 21 al 23 resuelva la ecuación respectiva comprobando que la función indicada ( ) , x y µ sea un factor integrante. 20) ( ) ( ) 2 2 2 1 0 , , y dx x xy dy x y x y µ − + + · · 21) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 , , x y x y dx x y dy x y e µ + + + + · · 22) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 , , x xy y dx y xy x dy x y x y µ − + − + + − · · + IV. SOLUCIONES POR SUSTITUCION (ED HOMOGENEAS Y BERNOULLI). - Resuelva cada una de las ecuaciones en los problemas 1 al 4, con la sustitución apropiada. 1) ( ) 0 x y dx xdy + + · 3) 3 3 x y dy dx x y + · + 2) ( ) 2 ydx x y dy · + 4) 2 2 dy x y x y dx − · + - Resuelva la ecuación homogénea, en el problema 5 y 6, sujeta a la condición inicial respectiva. 5) ( ) ( ) 2 2 2 , 1 1 dx x y xy y dy + · − · 6) ( ) ( ) 1 1 1 0 , 1 ydx x n x n y dy y e + − − · · - Resuelva del 7 a 10 la respectiva ecuación de Bernoulli empleando la sustitución adecuada. 7) 2 x dy y e y dx − · 8) ( ) 2 1 dy x x y xy dx − + · 6 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden MATEMATICA-IV. Ciclo II-2013 9) ( ) ( ) 2 3 3 1 2 1 dy x xy y dx + · − 10) 3 1 2 2 1 dy y y dx + · → condición inicial: ( ) 0 4 y · Reducción para separación de variables, una ecuación diferencial de la forma ( ) dy f ax by c dx · + + siempre se puede reducir a una ecuación con variables separables mediante la sustitución , 0 u ax by c b · + + ≠ 11) ( 3) dy sen x y dx · + − 12) 2 2 3 dy y x dx · + − + 13) 5 1 y x dy e dx − + · + Sugerencia para los problemas 11) y 12). Las ecuaciones del tipo 1 1 1 2 2 2 a x b y c dy f dx a x b y c ¸ _ + + · ÷ ÷ + + ¸ , pueden reducirse a ecuaciones homogéneas, si trasladamos el origen de coordenadas al punto de intersección 1 1 ( , ) x y de las rectas 1 1 1 0 a x b y c + + · y 2 2 2 0 a x b y c + + · , esto siempre que 1 1 2 2 0 a b a b ≠ . Para hacer dicha reducción se utiliza las sustituciones 1 1 y X x x Y y y · − · − . 14) 1 3 dy x y dx x y − + · + − 15) ( ) ( ) 3 3 2 3 2 0 x y dy x y dx − + − + + · 16) 2 5 3 3 dy x y x dx y x + · − sugerencia: hacer 3 t x · 17) 3 5 2 2 1 dy y xy dx xy − · + sugerencia: hacer 2 t y − · 7 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden MATEMATICA-IV. Ciclo II-2013 V. EJERCICIOS VARIOS. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales 1) 2 1 2y dx dy y sen x + · 2) ( ) 2 2 0 y yx dx x dy + + · 3) 2 2 2 2 2 1 1 0 y y x dx ye dy x x x y x y ¸ _ ¸ _ + − + + · ÷ ÷ + + ¸ , ¸ , 4) ( ) ( ) 2 5 3 3 x x dy x xy y dx + · + + 5) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 2 1 1 y dy x y x dx − · + + 6) 2 2 dy t y ty dt + · 7) 1 dy y x dx x y − − · + 8) ( ) 1 1 y Ln x dx Ln x dy x ¸ _ + + · − ÷ ¸ , VI. EJERCICIOS DE APLICACIÓN (ED DE PRIMER ORDEN). 1) Un termómetro se saca de una habitación, en donde la temperatura del aire es de 10 F o , al exterior, en donde la temperatura es de 10 F o . Después de ½ minutos el termómetro marca 50 F o . ¿Cuánto marca el termómetro cuando 1 t · minutos? ¿Cuánto tiempo demorara el termómetro en alcanzar los 15 F o ? 2) Cuando un objeto absorbe calor del medio que lo rodea se obtiene también la formula ) ( A T k dt dT − · . Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial es de 20 C o , se deja caer en un recipiente con agua hirviendo. Calcule el tiempo que dicha barra demorara en alcanzar los 90 C o si se sabe que su temperatura aumento 2º en 1 segundo. ¿Cuánto demorara la barra en alcanzar los 98 C o ? 3) La temperatura de un motor en el momento en que se apaga es de 200 C o . La temperatura del aire que le rodea es de 30 C o . Después de 10 minutos, la temperatura de la superficie del motor es 180 C o . ¿Cuánto tiempo tomara que la temperatura de la superficie del motor baje a 40 C o ? 8 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden MATEMATICA-IV. Ciclo II-2013 4) Algunos experimentos han demostrado que cierta componente se enfría en el aire de acuerdo con la ley de enfriamiento con constante de proporcionalidad de 0.2. Al final de la primera etapa de procesamiento, la temperatura de la componente es 120 C o . La componente se deja durante 10 minutos en un cuarto grande y después pasa a la siguiente etapa de procesado. En ese momento se supone que la temperatura de la superficie es 60 C o . ¿Cuál debe ser la temperatura del cuarto para que se lleve a cabo el enfriamiento deseado? 5) Debe colocarse un objeto a 100 C o en un cuarto a 40 C o . ¿Cuál debe ser la constante de proporcionalidad en la ecuación de la ley de enfriamiento para que el objeto esté a 60 C o después de 10 minutos? 6) Un tanque contiene 200 litros de un líquido en el cual se disuelven 30 gramos (g) de sal. Una salmuera que contiene un 1 g de sal por litro se bombea al tanque con una intensidad de 4 litros por minuto. La solución adecuadamente mezclada se bombea hacia fuera con la misma rapidez. Encuentre el número de gramos de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera. 7) Resuelva el problema 6 suponiendo que se bombea agua pura al tanque. 8) Un gran deposito esta lleno con 500 gal de agua pura. Una salmuera que contiene 2 lb de sal por galón se bombea al tanque a razón de 5 galones por minuto; la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia fuera con la misma rapidez. Encuentre el número de libras de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera. 9) Resuelva nuevamente el problema anterior suponiendo que la solución se extrae con una rapidez mayor de 10 gal/min. ¿Cuánto demorara el tanque en vaciarse?. 10) Se bombea cerveza con un contenido de 6% de alcohol por galón a un tanque que inicialmente contiene 400 gal de cerveza con 3% de alcohol. La cerveza se bombea hacia el interior con una rapidez de 3 gal/min, en tanto que el líquido mezclado se extrae con una rapidez de 4 gal/min. Obtenga el número de galones de alcohol que hay en el tanque en un instante cualquiera. ¿Cuál es el porcentaje de alcohol que hay en el tanque después de 60 min? ¿Cuánto demorara el tanque en vaciarse?. 11) A un circuito en serie, en el cual la inductancia es de 0.1 H y la resistencia es de 50Ω , se le aplica una tensión de 30 V. Evalúe la corriente ( ) i t si ( ) 0 0 i · . Determine también la corriente cuanto t →∞ . 9 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden MATEMATICA-IV. Ciclo II-2013 12) A un circuito en serie, en el cual la resistencia es de 200Ω y la capacitancia es de 4 10 F − , se le aplica una tensión de 100V . Calcule la carga ( ) q t en el capacitor si ( ) 0 0 q · y obtenga la corriente ( ) i t . 13) A un circuito en serie, en el cual la resistencia es 1000Ω y la capacitancia de 6 5 10 x F − , se le aplica una tensión de 200V . Encuentre la carga ( ) q t en el capacitor si ( ) 0 0.4 i · . Determine la carga y la corriente para 0.005 t s · ; y la carga, cuando t →∞ . 14) Un tanque está parcialmente lleno con 100 galones de salmuera, con 10 lb de sal disuelta. Le entra salmuera con 0.5 lb de sal de galón a razón de 6 gal/min. El contenido del tanque está bien mezclado y de el sale a razón de 4 gal/min de solución. Calcule la cantidad de libras de sal que hay en el tanque a los 30 minutos. 15) Se aplica una fuerza electromotriz: ( ) 120 , 0 20 0 , 20 t E t t ≤ ≤ ¹ · ' > ¹ a un circuito en serie LR, en donde la inductancia es de 20 henrios y la resistencia es de 2 ohms. Determine la corriente, ( ) i t , si ( ) 0 0 i · . RESPUESTAS DE LA GUÍA 2 I. VARIABLES SEPARABLES: 1) ( ) 3 1 1 3 y x c · + + 2) 1 y c x − · + 3) 2 2 x x y xe e c − − · − − + 4) 2 Ln y x c · − + ó 2 1 x y c e − · 5) 1 Ln y Ln x c + · + ó 1 1 y c x + · 6) 3 1 3 y y x x ye e e e c − − − + + · 7) 1 1 tan y x c y − − + · + 8) 2 1 1 1 2 y y Ln y c x − + + · − + 9) 2 1 2 3 4 5 c y x · + + + 10 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden MATEMATICA-IV. Ciclo II-2013 10) 1 70 ; 70 k t Ln Q kt c Q c e − · + − · 11) 2 2 t t Ln N te e t c + + · − − + 12) 2 2 1 sec 3 6 y x c · − + 13) cos Ln sen y x sen x x c · + + 14) 2 2 1 1 y x c + · + + 15) ( ) ( ) 2 1 5 1 3 x y y c e x − − · − 16) 1 csc 2 cot 2 2 Ln y y sen x c − · + 17) 2 1 4 2 x y sen c − + · + 18) ( ) 1 1 1 y c x + · + 19) 1 1 2 ; tan 2 tan 4 4 c y x π π − − · + · 20) ( ) 2 2 1 2 1 3 ; 3 t c e y e − − − · · 21) 0 ; c y x · · 22) 2 1 1 4 ; 2 2 x c y e − · − · + 23) 1 1 y cx · − a) 1 y · b) 0 y · c) 1 1 2 y x · + 24) 101 ; 100 100 x y c x − · · − − 25) 10 11 5 10 9 y Ln x y − · − II. ECUACIONES LINEALES 11 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden MATEMATICA-IV. Ciclo II-2013 1) 2 ; x y ce R − · 2) ( ) 2 3 ; 0 2 y cx − · + + ∞ 3) ; x x y xe ce R · + 4) 2 2 1 1 ; 2 2 x y x ce R − · − + 5) 2 2 1 1 11 ; 2 2 4 x y x x ce R · − − − + 6) 1 ; y x y ce y R · − − + ∈ 7) ( ) ( ) 1 2 2 2 1 1 1 ; 3 y x c x R − · − + + + 8) ( ) 3 ; 1 1 c y x · + ∞ − 9) ( ) ( ) csc ; 0, y sen x c x π · + 10) ( ) 2 3 ; 1, 1 1 x x ce y x x x + · − − + − ∞ + + 11) ( ) 1 cos 2 ; 0, 2 x xe y x c · − + ∞ 12) ( ) ( ) 2 1 cos ln sec cos ; 0 , 2 y x x x c π − · + + 13) ( ) 1 5 ; , x y x e − · − + −∞ +∞ 14) ( ) ( ) 2 1 ; 1 x x e y x c + · + − + ∞ 15) ( ) 2 2 2 1 ln ; 0 2 4 x x x x y xe e x x c · − + − + +∞ 16) 1 1 ; 2 4 x x x y xe e ce R − · + + 17) ( ) 2 2 2 2 ; : 0 y y c x e e y y y y · − + + +∞ 18) 2 2 ; t t p ce t R − · + ∈ 19) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ; 1,1 x y x x c x − · + + + − 20) 2 ; y y x e ce y R − · + ∈ 12 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden MATEMATICA-IV. Ciclo II-2013 21) 2 2 , 0 2 x x e ce y x x x − · + > 22) 6 4 2 , 0 x y cy y · + > 23) cos , 2 2 y senx c x x π π · + − < < 24) ( ) sec tan cos , 2 2 r c π π θ θ θ θ θ + · − + − < < 25) 3 3 , 0 x x ce y e x x − − · + > 26) 2 2 3 3 2 3 ; 3 2 x x x x x e c y xe e e · · − − + 27) 2 49 49 ; 2 ; 0 5 5 c x y y y · − · − > 28) 5 7 ; 7 x c Q e · − · − 29) 2 1 ; ; 0 x x e c y e x x − − · − · − > 30) 2 2 ; ; 0 x e e c e y x x x − · − · + > 31) 1 1 , 0 1 2 1 , 1 x x y e x − ≤ ≤ ¹ · ' − > ¹ 13 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden MATEMATICA-IV. Ciclo II-2013 32) ( ) ( ) 2 2 1 1 ; 0 1 2 2 1 3 1 ; 1 2 2 1 x x y x x ¹ − ≤ < ¹ + ¹ ¹ · ' ¹ ¹ − ≥ + ¹ ¹ 33) ( ) ( ) 2 2 6 1 1 , 0 3 2 1 , 3 1 2 x x e x y e x e − − ¹ − ¹ ≤ ≤ ¹ · ' ¹ > − ¹ ¹ 34) 2 2 1 3 , 0 1 2 2 , 1 1 3 2 2 x x e x y x e e − − ¹ + ¹ ≤ < ¹ ¹ · ' ¹ ≥ ¸ _ ¹ + ÷ ¹ ¸ , ¹ III. ECUACIONES EXACTAS 1) No exacta 2) 2 1 cos 2 x sen y y x y c + − · 3) No exacta 4) ln ln y y x x x c − + + · 14 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden MATEMATICA-IV. Ciclo II-2013 5) 4 3 4 x xy c + · 6) 2 x cy · 7) 3 2 y x y xe y c + − · 8) 2 cosh y e xy x c + · 9) 2 5 2 2 xy y c − + · 10) 2 3 3 5 x sen x x y y c − + + · 11) 2 2 2 x y ysen x xy e c − + · 12) 3, 2 3 x y y c e xy y ye e · + + + − · 13) 2 4 2 5 3 5 ; 4 4 4 2 x c y y · − − · − 14) 2 1 1 ; cos tan 1 4 4 c xy y x y π π − · − − − − · − − 15) 5 k · − 16) 9 k · 17) 10 k · 18) 1 k · 19) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 1 , 2 N x y y x x y − − · + + 20) y Ln y c x + · 21) 2 x x xye y e c + · 22) ( ) 2 2 x y c x y + · + IV. SOLUCIONES POR SUSTITUCION (ED HOMOGENEAS Y BERNOULLI). 1) 2 1 2 x xy c + · 2) 2 1 2 x y c y + · 3) ( ) ( ) 2 1 y x c y x − · + 4) 2 2 2 1 y y x c x + + · 15 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden MATEMATICA-IV. Ciclo II-2013 5) 4 2 2 2x y x · + 6) x yLn e y · − 7) 1 1 2 x x y e ce − − · − + 8) 1 1 1 x c y e x x − − · − + + 9) ( ) 3 2 1 1 y c x − · + + 10) 3 3 2 2 7 ; 1 7 x c y e − · · + V. EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1) ( ) 1 36.67º , 3.06 T F t min · · 2) 82.1 , 145.7 t s t s · · 3) 226.4 t min · 5) 0.1099 k ≅ − 6) ( ) 50 200 170 t A t e − · − 7) ( ) 50 30 t A t e − · 8) 100 1000 1000 t A e − · − 9) 100 t min · 12) ( ) ( ) 50 50 1 1 1 ; 100 100 2 t t q t e i t e − − · − · 14) 64.38 lb 15) ( ) ( ) 10 2 10 60 1 , 0 20 , 20 60 1 t t e t i t t e e − − ¹ ¸ _ − ÷ ¹ ≤ ≤ ¸ , ¹ ¹ · ' ¹ > − ¹ ¹ ¹ 16
Report "Guía de Lab. II. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden"