GUÍA DE MATEMÁTICA Noción de VariableA menudo nos encontramos con situaciones donde se utilizan números. Por ejemplo, supongamos que Bernardita va a sacar fotocopias. Una fotocopia vale $25 y ella necesita sacar 20. ¿Cuánto va a pagar? • ¿Qué les dice el término variable? • ¿Qué variables observan en la situación anterior? Si registramos los datos en una tabla, obtenemos: Nº de fotocopias Cantidad a pagar • • 1 25 2 50 3 75 4 100 5 125 6 150 7 175 8 200 9 225 10 250 ¿Cuáles son las variables? ¿Qué relación pueden observar entre ellas? Se puede decir que la cantidad a pagar depende del número de fotocopias que sacará Bernardita. El número de fotocopias es la variable independiente, esta será x; la cantidad a pagar es la variable dependiente, su valor depende de x, será y. Actividades 1.- Grafica la situación anterior. 2.- Suponga que va a la playa con su familia, de vacaciones, y arriendan una cabaña. Si el arriendo diario es de $8.000: a) ¿Cuánto deberán pagar por 15 días de arriendo? b) ¿Cuáles serían las variables dependiente e independiente en esta situación? 3.- Inventa una situación similar a las anteriores: a) Identifique las variables dependiente e independiente. b) Grafíquela. Función : ¿Qué es una función? Una función es como una máquina: tiene una entrada y una salida. Y lo que sale está relacionado de alguna manera con lo que entra. Primero, es útil darle un nombre a una función. El nombre más común es "f", pero puedes ponerle otros como "g" ... Y también está bien darle nombre a lo que se va adentro de la función, se pone entre paréntesis () después del nombre de la función: Así que f(x) te dice que la función se llama "f", y "x" se pone dentro Y normalmente verás lo que la función hace a la entrada: f(x) = x2 nos dice que la función "f" toma "x" y lo eleva al cuadrado. completa la siguiente tabla: KWH CONSUMO 0 10 20 30 50 60 80 100 b) Haz un gráfico cartesiano. Nota: a veces las funciones no tienen nombre. Veamos un ejemplo de cómo podemos utilizar las funciones en nuestra vida diaria: Felipe quiere tener un celular y compara las tres posibilidades que le ofrece una compañía: Tarifas Tarifa 100 Tarifa 200 Tarifa 300 Cargo fijo $15. Completa en tu cuaderno las siguientes tablas con los valores que debería pagar. ¿cuál plan le convendría? Si Felipe hablara entre 300 y 400 minutos.500 101 15.000 102 26.Una empresa de electricidad cobra a sus clientes un cargo fijo de $499.000 Minutos incluidos en el plan 100 200 300 Valor minuto adicional $155 $125 $110 Felipe quiere saber cuál de los tres planes le es más conveniente. que ilustre el monto de la cuenta según el número de kilowatt hora de consumo. De hecho podemos escribir f(4) = 16.655 102 15.490 400 Plan tarifa 300 MINUTOS COSTO ($) 100 26. ¿cuál plan le convendría? Si tú contrataras un plan. ¿cuál de los presentados te convendría? Actividades 1. una entrada de 4 da una salida de 16. ¿cuál plan sería más conveniente? Si Felipe habla menos de 60 minutos.990 101 18.250 200 31. según los minutos utilizados en cada plan: Plan tarifa 100 MINUTOS COSTO ($) 100 15.500 400 62.000 Plan tarifa 200 MINUTOS COSTO ($) 100 18.000 150 200 250 300 400 En tu cuaderno.750 300 46.810 150 23. a) Según lo anterior. haz un gráfico de los tres planes en un mismo sistema cartesiano y responde las siguientes preguntas: a) b) c) d) e) Si Felipe hablara 100 minutos.000 101 26. .3 por cada kilowatt hora (kwh) de consumo. y puede que veas algo como y = x2 En matemáticas..990 150 200 250 300 31.990 102 18.Así que con la función "f(x) = x2".000 250 38. ¿cuál plan le convendría? Si Felipe hablara entre 200 y 300 minutos.990 $26.500 $18.1f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x). por arriendo de equipos $581 más $61. una función. GUÍA DE MATEMÁTICA FUNCIONES .. a) Según lo anterior.Un estacionamiento en el centro de la ciudad cobra $500 por la primera hora más $300 por cada media hora o fracción.2. completa la siguiente tabla: MINUTOS CUENTA($) 50 60 80 90 100 120 150 179 b) Haz un gráfico de la función que ilustra el monto a cancelar según el número de minutos de estacionamiento. . 2 fig.8 kg. ¿qué longitud tendría su sombra? b) Si hubiese a esa hora y lugar un edificio con una altura de 15 m. 5. dando diversos valores de x (por lo menos seis). 3 fig.En la tabla están registrados los datos. ALTURA DEL OBJETO (M) Longitud de la sombra (m) 2 2. 2.Si se conoce la longitud “x” del lado de un cuadrado: a) b) c) d) Escribe una función que determine su perímetro.. e) ¿Qué tipo de función representa este gráfico? f) Escribe una ecuación que represente la relación existente entre la altura del objeto y la longitud de la sombra. Haz una tabla de valores. b) Grafique la función anterior. que informan la longitud de la sombra que proyectan dos árboles distintos. 2 kg. Se tiene un recipiente con una capacidad de 20 litros que pesa. 4 fig. Completa la tabla con los datos entregados: CANTIDAD DE ALCOHOL (LITROS) Peso del recipiente con alcohol (kg) 1 3 5 8 10 20 Según estos datos: a) Represente los datos de la tabla en un sistema cartesiano.. desarrolla las siguientes actividades: a) Si hubiese a esa hora y lugar un árbol con una altura de 1 m. ¿Qué tipo de función es? 4. ¿Qué altura tendría el objeto? d) Representa los datos de la tabla en un sistema cartesiano. tomados a la misma hora y en el mismo sector. b) ¿Qué tipo de función representa este gráfico? c) Escriba una ecuación que represente la relación existente entre la cantidad de alcohol y el peso del recipiente con alcohol.1. ¿qué longitud tendría su sombra? c) Si la sombra tuviera una longitud de 60 m. Grafica la función anterior.75 4 5 8 10 Según estos datos.Observa las siguientes figuras. formadas con palitos de fósforos.. vacío.¿A cuál de las funciones corresponden los siguientes gráficos? Prueba de Matemática-Segundo medio Funciones . c) ¿Qué tipo de función es? 3. un poste de luz y un edificio.5 3 3. fig.. 5 a) Determine una función que entregue la cantidad de fósforos que se necesitan para la figura “n”.1 fig.En un laboratorio informan que un litro de alcohol pesa 0. 400. Completa la tabla con los datos entregados: NÚMERO DE VECES QUE VA AL CINE Dinero que paga 0 1 3 5 8 Según estos datos: a) ¿Cuáles serían las variables dependiente e independiente de esta situación? b) Represente los datos de la tabla en un sistema cartesiano.Una empresa vende artículos para cumpleaños y presenta las siguientes listas de precios: GLOBOS CANTIDAD DE GLOBOS 1 . Completa la tabla: Nº DE KW Cobro mensual 0 1 2 3 4 5 Según estos datos: a) Represente los datos de la tabla en un sistema cartesiano.50 51 .Nombre: ____________________________ Curso: 2º medio A Fecha: ________ Ptje: _____ Puntaje total: 34 puntos. b) ¿Qué tipo de función representa este gráfico? c) Escriba una ecuación que represente el cobro mensual según la cantidad de kw consumido. y un valor de $120 por cada kw consumido.100 101 .100 101 .. PRECI O UNITA RIO $250 $220 $190 $150 (5 puntos) 4.300 301 .La factura de electricidad incluye un monto fijo de $2..500 501 – 1. (5 puntos) 3.000 GORROS PRECIO UNITAR IO $100 $ 90 $ 80 $ 60 CANTIDAD DE GORROS 1 . (6 puntos) 2. que se cobra haya o no consumo.Grafica las siguientes funciones y nómbralas según corresponda: a) f(x) = x −2 3 b) f(x) = Іx + 1І c) f(x) = x2 + 1 (3 puntos c/u) .. 1.Supongamos que a Gloria le encanta ir al cine y asiste regularmente y la entrada tiene un valor de $2.25 26 .500.200 Haz el gráfico que represente cada situación y luego calcula cuánto se debe pagar por: 150 globos y 34 gorros. c) ¿Qué tipo de función representa este gráfico? d) Escriba una ecuación que represente la relación existente entre la cantidad de veces que va al cine y el dinero que paga.. Prueba de Matemática – Segundo Medio Nombre: ___________________________ Curso: 2º medio A Fecha: ______ Puntaje: _____ Puntaje total: 25 puntos 1. encontrar cada valor: 2 ..Determine dominio y recorrido de las siguientes funciones reales: a) f ( x ) = (3 pts c/u) 2x − 3 6 3x + 1 x−2 2x 5 2x − 9 b) f ( x ) = c) f ( x ) = d) f ( x ) = e) f ( x ) = 5 x − 1 2. encontrar cada valor: a) f (−2) = b) f (0) = B) Para f ( x) = a) f (0) = b) f (5) = 3x + 1 ..Encuentra la función inversa de: a) f ( x ) = 1 − 2 x b) f ( x ) = c) f ( x ) = (2 pts c/u) 3x − 1 x x+3 (2 pts c/u) 3.A) Para f ( x) = x − 1 . la señora Gómez manda a Claudio y le dice “anda y compra mil pesos de jamón”. i) Confecciona una tabla de valores para las variables x e y. Una fotocopia vale $25 y ella necesita sacar 20. completa la siguiente tabla: KWH CONSUMO 0 10 20 30 50 60 80 100 . b) Claudio compra 350 g de jamón. Actividades 1. b) Si don Servando produce 17 quintales de trigo. por arriendo de equipos $581 más $61. El número de fotocopias es la variable independiente. ¿cuánto le pagarán? c) A don Arturo le pagaron $239. Si el arriendo diario es de $8. su valor depende de x. Por ejemplo. supongamos que Bernardita va a sacar fotocopias.-Una empresa de electricidad cobra a sus clientes un cargo fijo de $499. a) Escribe una ecuación que relacione la cantidad de quintales de trigo vendidos con el monto a pagar. la cantidad a pagar es la variable dependiente. será y. y arriendan una cabaña.Suponga que va a la playa con su familia. ii) Representa la tabla gráficamente iii) Determina la fórmula para la función.Cierto agricultor vende su trigo a un molino de la zona.000: a) ¿Cuánto deberán pagar por 15 días de arriendo? b) ¿Cuáles serían las variables dependiente e independiente en esta situación? 3. ¿Cuánto va a pagar? • ¿Qué les dice el término variable? • ¿Qué variables observan en la situación anterior? Si registramos los datos en una tabla. 2. obtenemos: Nº de fotocopias Cantidad a pagar • • 1 25 2 50 3 75 4 100 5 125 6 150 7 175 8 200 9 225 10 250 ¿Cuáles son las variables? ¿Qué relación pueden observar entre ellas? Se puede decir que la cantidad a pagar depende del número de fotocopias que sacará Bernardita. a) Según lo anterior... ¿Qué cantidad comprará? 4. de vacaciones. esta será x. ¿Cuánto debe pagar? c) Otro día. que paga $10.3 por cada kilowatt hora (kwh) de consumo. El sabe que 250 gramos de jamón cuestan $1500. a) Supón que x representa cuántos gramos de jamón comprará Claudio y que y representa el precio que debe pagar.La señora Gómez manda a su hijo Claudio a comprar jamón al almacén.GUÍA DE MATEMÁTICA Noción de Variable A menudo nos encontramos con situaciones donde se utilizan números..Grafica la situación anterior.400 el quintal.200.. ¿Cuántos quintales vendió? 5. ¿Cuántos clientes debe atender. Completa la tabla con los datos entregados: CANTIDAD DE ALCOHOL (LITROS) Peso del recipiente con alcohol (kg) 1 3 5 8 10 20 Según estos datos: d) Represente los datos de la tabla en un sistema cartesiano.En un laboratorio informan que un litro de alcohol pesa 0. 6. Le pagan 8 mil pesos al día más lo que reciba por propinas..b) Haz un gráfico cartesiano. que ilustre el monto de la cuenta según el número de kilowatt hora de consumo. Señala claramente cuáles son las variables involucradas..Alejandro trabaja en un restaurant. 2 kg. vacío. c) Hoy Alejandro atendió a 18 clientes. ¿Cuánto dinero ganó? d) Alejandro necesita 15 mil pesos. Supongamos que cada cliente le deja $300 en propinas. Se tiene un recipiente con una capacidad de 20 litros que pesa. para pagar una cuenta. 7. b) Determina la función afín. . a) Confecciona un gráfico para esta situación.8 kg. e) ¿Qué tipo de función representa este gráfico? f) Escriba una ecuación que represente la relación existente entre la cantidad de alcohol y el peso del recipiente con alcohol. 288 10 0. Función lineal y afín.100 kg.5 100 2.. ¿puede haber consumido menos de 20 m3 de gas? Justifica.GUÍA DE MATEMÁTICA Proporcionalidad directa. PROFUNDIDAD (METROS) Presión (atmósferas) 2 0. ¿cuántas cajas contiene? . Con la información anterior: a) Completa la siguiente tabla: CONSUMO (M3) Valor a pagar($) 3 6 9 12 15 18 b) Determina la expresión algebraica de la función que relaciona las variables consumo (C) Y valor a pagar (V).. a) ¿Cuánto es la masa total del container si contiene 25 cajas? b) ¿Cuánto es la masa total del container si contiene 43 cajas? c) Determina la expresión algebraica de la función que relaciona el peso total del container con la cantidad de cajas..033 m? d) Representa gráficamente la función.5 200 3 La tabla presentada. c) Si una persona pagó por el consumo del mes $55.El costo fijo en la factura del gas es de $1. 2. c) ¿Qué presión ejercerá el agua a una profundidad de 11.192 3 0.96 a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad para esta situación? b) Escribe la función que relaciona ambas variables.La siguiente tabla relaciona la presión del agua en el mar con la profundidad. 4. PINTURA (CC) Superficie (m2) 40 1 60 1.000.Un container vacío pesa 100 kg.. más $2. d) Si la masa total del container es 1. 1. ¿corresponde a una función lineal? Si es así.En una tienda de construcción tienen la siguiente tabla para calcular la cantidad de pintura que se necesita para cubrir una determinada superficie de muralla.100 mensuales. ¿cuál es la función que relaciona ambas variables? 3.400 por metro cúbico de consumo. y se utilizará para transportar cajas de 20 kg cada una. . 7. c/u) 1. (3 pts) Item selección múltiple: Marca la alternativa que consideres correcta..D: b) El índice de masa corporal (IMC) depende de la estatura de una persona.I: V. ¿cuánto es lo que gana en los dos días? b) ¿Cuánto gana Lucía si un día vende 5.En la siguiente función el valor de la constante k. 2. V.Dadas las siguientes situaciones.I: V. son respectivamente: A) 1 Y -1 B) x y 1 C) –x y 1 D) -1 y 1 E) ninguna de las anteriores.La pendiente y el coeficiente de posición de la función y = -x + 1.f(x) = x + 7 7 . si f(-1) = -5 A) -5 B) -3 C) 3 D) -2 E) 2 3. (1 pto c/u) a) La cuenta del agua varía según el consumo que se haya tenido durante el mes.En Chile hay muchos trabajadores a los que se les paga por comisión. en función de la cantidad de productos que venda.. d) Construye el gráfico de la función determinada en el ejercicio anterior... (9 pts) 3..Grafica la función f(x) = -3x + 2 y clasifícala. 10 ó 20 viajes al mes. d) Calcula el gasto mensual que realiza un escolar si hace 4.. 10. para que se cumpla con la condición es: f(x) = 3x + k. 9 ó 11 productos? Construye una tabla de valores. e) Determina la función que relaciona el precio mensual que paga un escolar con la cantidad de viajes que hace en un mes. (2 pts.5 puntos. Si el valor actual del pasaje adulto es de $380 y el valor del pasaje escolar es $130: a) ¿Cuánto paga mensualmente un adulto que realiza dos viajes diarios y viaja 20 días al mes? b) Calcula el gasto de un adulto que realiza 2.f(x) = 3x + 7 x 0 1 B. determina en cada caso la variable independiente y la dependiente..000 diarios y por cada producto que venda le pagan $340. tu puntaje corresponderá a 0.D: 2. Eso significa que tienen un sueldo base fijo.Transantiago es el sistema de transporte que hace más de dos años que está funcionando en Santiago. 16 y 20 viajes al mes.f(x) = 3x + 4 f(x) 7 4 3 C. 6.La siguiente tabla muestra algunos valores de cierta función.PRUEBA DE MATEMÁTICA Nombre: ____________________Curso: 1º medio A Fecha: _______Ptje: ____ Puntaje total: 32 puntos Item desarrollo 1. Construye una tabla de valores. c) Determina la función que modela y entrega el sueldo de Lucía. A ella le pagan como base $3. Lucía es promotora en un supermercado.. y aparte de ello les pagan una cantidad por cada parte del trabajo realizado. Construye una tabla.. a) Suponiendo que un día lunes vende 5 productos y un día martes vende 7 productos. c) Determina la función que relaciona el valor mensual que paga una persona adulta con la cantidad de viajes que hace en un mes. que pueden ser modeladas por alguna función. V. determínala: A. (8 pts) 4. Si solo marcas la alternativa. escribiendo al lado el desarrollo que la justifique. La función que modela esta situación es: A.En la biblioteca.f(g(x)) = -15x + 6 B..f(x) = 30x + 530 D.f(x) = -3x + 7 4.f(x) = 530 + 30 B.f(g(x)) = -15x + 2 D. entonces f(g(x)) es: A.f(x) = 530x + 530 · 30 .... -f(x) = x + 30 + 530 E.. cobran $530 de base y $30 por cada hora adicional de retraso..f(g(x)) = 15x – 6 C...f(g(x)) = 3x – 5x + 3 5.f(x) = 3 x+3 7 E.D...Si f(x) = 3x y g(x) = -5x + 2.f(x) = x + 530 · 30 C.f(g(x)) = -15x – 10 E.... por atraso. . 1.PRUEBA FORMATIVA DE MATEMÁTICA Nombre: ____________________Curso: 1º medio A Fecha: _______Ptje: ____ Item desarrollo 1. escribiendo al lado el desarrollo que la justifique. 60.5 B. b) El aprendizaje de un niño depende del nivel de escolaridad de la madre.f(x) = 280 + x B.-3 E. anualmente.. para que se cumpla con la condición es: f(x) = x + 4 y clasifícala. ¿cuál de las siguientes funciones representa la situación? A.. a) El consumo de una estufa a gas depende del nivel de potencia con el que se esté usando....ninguna de las anteriores 2..f(x) = -3x + 7 .f(x) = 3x + 7 x 0 1 B.En la siguiente función el valor de la constante k. tu puntaje corresponderá a 0. 70.La siguiente tabla muestra algunos valores de cierta función. determínala: A..f(x) = 280x C.Grafica la función f(x) = Item selección múltiple: Marca la alternativa que consideres correcta.f(x) = 280x + 280 D.f(x) = kx + 280 3. Chile es el segundo mayor consumidor de pan en el mundo.. c) Determina la función que relaciona el consumo de pan con el precio pagado por cada persona. Si el kilogramo de pan cuesta $920: a) ¿cuánto es el total anual que gasta una persona por consumo de pan? b) Calcula lo que gasta una persona si consume 50.3 D..5 puntos.Dadas las siguientes situaciones.f(x) = x + 7 7 3 D.f(x) = 280 E.... Si el kilogramo de manzanas cuesta $280....La señora Elsa va a comprar a la feria y paga por el precio de las manzanas un monto que es directamente proporcional a los kilogramos que lleva.. 2 k x + 5. 3.. con 98 kilogramos per cápita anuales. 80 ó 90 kilogramos de pan anualmente.-5 C.. si f(3) = 0 3 A.f(x) = x + 3 7 E..De acuerdo a diversos estudios. Si solo marcas la alternativa. Construye una tabla con dichos valores. determina en cada caso la variable independiente y la dependiente. d) Grafica la función del ejercicio anterior.f(x) = 3x + 4 f(x) 7 4 3 C. que pueden ser modeladas por alguna función. 2..