1GUIA DE LABORATORIO N RO 1 TEMA: LOGICA PROPOSICIONAL 1. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones : a) La Facultad de Medicina de la Universidad San Martin de Porras, esta en Lima y Chiclayo. b) Si Julia estudia Medicina, entonces Julia estudia Fisiología . 2. El valor de verdad de las siguientes proposiciones , es: a) (3 < 8) Λ � 0 2 = 0 � …………………. b) √− 4 ∈ ℛ → (− 1) 2 = 1 …………… 3. Negar las siguientes proposiciones: a) Si Carlos estudia medicina o trabaja, entonces no viaja. b) Si Carlos aprobó los exámenes de admisión, ingreso a la universidad pero Carlos no ingreso o no aprobó los exámenes de admisión. 4. Si la proposición ( ��� Λ ��� ) → (��� → ���)es falsa. Señale el valor de verdad de las siguientes proposiciones. a) ~ [(��� Λ ���) ∨ (��� ∨∼ ���)] ↔(��� ∨ ∼ ���) b) ∼ [∼ (��� ∨ ���) ∨ (��� ∨ ���)] → (��� → ���) 5. Determinar mediante tablas de verdad cuales de las siguientes proposiciones son tautologías, contradicción o contingencia. a) ~ [(��� Λ ���) ∨ (��� ∨ ∼ ���)] ↔(��� ∨ ∼ ���) b) [(~��� Λ ���) → ~��� ] ↔ [��� ∧ ∼ (��� ∨ ∼ ���)] 6. Simplificar las siguientes proposiciones : a) ~ [∼ (��� Λ ���) → ~���] ∨ ��� b) [(��� Λ ���) ∨ (��� ∧ ∼ ���)] ∨ (∼ ��� ∧ ∼ ���) 7. Determinar si los siguientes esquemas son lógicamente equivalentes a) ∼ ��� ∧ ��� ≡∼ (��� ∨ ���) b) ∼ ��� ∨ ��� ≡ (∼ ��� ∧ ���) ≡ ∼ ��� ↔ (��� → ~ ��� ) 8. Determinar el esquema mas simple de la proposición : [(��� ∧ ���) ∨ (��� ∧ ∼ ���)] ∨ (∼ ��� ∧ ∼ ���) 2 GUIA DE ESTUDIO N RO 1 TEMA: LOGICA PROPOSICIONAL 1. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) El estudiante de medicina tiene que estudiar mucho o el estudiante de Ingeniería estudia poco. b) No es cierto que el razonamiento es importante para la medicina y la Anatomía es importante para el estudiante de medicina. 2. Negar las siguientes proposiciones: a) Dos no es un número primo b) Si Anita estudia medicina no trabaja entonces no viaja. c) Si Daniela aprobó los exámenes de admisión, ingreso al residentado pero Daniela no ingreso o no aprobó los exámenes de admisión. 3. El valor de verdad de las siguientes proposiciones , es: a) [(−1) 2 ] > 1 ∨ (2 3 = 8) ………………………………… b) (12 > 7) ↔(3 < 4) ……………………………………. 4. Si “s” es una proposición falsa y “t” es verdadera. ¿Cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas? a) ��� ∧ (��� ∧ ���) b) (��� ∧ ���) ↔ ��� c) ��� → (��� ∨ ���) d) ��� ↔(��� ∧ ���) 5. Si la proposición ( ��� Λ ��� ) → (��� → ���)es falsa. Señale el valor de verdad de las siguientes proposiciones. a) ~(��� ∨ ���) → (��� ↔~ ���) b) [(��� ∨ ~���) → (��� ∧ ∼ ���)] → ∼ ��� 6. Si la proposición ( ∼ ��� → ��� ) ∨ ( ��� → ∼ ���) es falsa. Señale el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) ∼ [(��� ∨ ���) ∧ ∼ ���] → ~(��� → ���) b) [(��� ∧ ∼ ���) ∧ (∼ ��� ↔ ~���)] → ( ��� ∨ ∼ ���) c) [(��� → ���) ∧ ���] ↔[(~��� ∨ ���) ∧ ���] 7. Determinar mediante tablas de verdad cuales de las siguientes proposiciones son tautologías, contradicción o contingencia. a) ∼ (��� → ���) ↔~[( ~���) → (~���)] b) [(��� Λ ~ ���) ∧ ( ∼ ��� ↔ ���)] → (��� ∨ ∼ ���) 8. Simplificar las siguientes proposiciones : a) (∼ ��� ∨ ∼ ���) ∧ [∼ ��� ∧ (��� → ���)] b) (~ ��� → ~���) → [ ~��� ∧ (��� → ���)] 9. Determinar si los siguientes esquemas son lógicamente equivalentes a) ��� ∧ ~��� ≡ ~ [(��� ∨ ��� ) ↔ ���] b) ∼ (��� → ���) ≡ ~��� ↔ ��� ≡ ��� ↔ ~��� ≡ ~ (~��� ↔~���) 10. Determinar el esquema mas simple de la proposición : a) [(��� → ���) ∨ ∼ ��� ] ∧ (∼ ��� → ���) b) (~��� ∨ ∼ ���) ∧ [∼ ��� ∧ (��� → ���)] 3 GUIA DE LABORATORIO Nº 02 TEMA: C0NJUNTOS 01. Determinar por extensión los siguientes conjuntos: { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ ≤ < ∈ − = = + − ∈ = 5 n 2 - , / x 3 - n 9 n B 0 1 5 6x Q/ x A 2 2 Z x 02. Determinar por compresión los siguientes conjuntos , { } 128 19 , 64 17 , 32 15 , 16 13 , 8 11 B 26 , 22 , 18 , 14 , 10 A ) ` ¹ ¹ ´ ¦ = = 03. Sean los conjuntos U = ´-1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ` { } { } { } B x A / x U x M Si, 4 , 3 , 2 B ; 1 , 0 , 1 - A ∈ ⇒ ∉ ∈ = = = Hallar M′. 04. Si B = { a } ; C = { φ , b } ; A = P(B) ∪ C. Hallar: a. A – ( B ∪ C ) b. ( A ∪ B ) ∩ C c. P ( A – ( B ∪ C ) ) 05.Utilizando las propiedades conjuntistas, simplificar las expresiones: ( ) | | ( ) | | ( ) | | ( ) | | A C B C - B A r simplifica , Φ A C B A Si b. C B A C B A r simplifica B, A Si a. − ∪ ∩ ∪ = ∩ ∧ ⊂ ∪ − ∩ − ∪ ⊂ 06. Sombrea de acuerdo a la operación indicada: 07. En el Hospital E. Rebagliati se encuentra hospitalizados 120 personas, que sufren las siguientes enfermedades:. 45 sufren de diabetes., 46 sufren del corazón., 38 sufren de hepatitis., 7 sufren de diabetes y del corazón., 8 sufren del corazón y hepatitis., 10 sufren hepatitis y diabetes y 12 no se les detectó ninguna enfermedad. ¿Cuántos pacientes tienen las 3 enfermedades? A B C D { [B’∪ (A ∪ C)’] ∩ [ C’∪D’] }’ 4 GUIA DE ESTUDIO Nº 02 TEMA:CONJUNTOS 01.Determinar por extensión los siguientes conjuntos: { } { } 4 3 / x N ) 3 (x C N x 6, x /1 pares" ros Núme " ) 2 (3x B 5 x 1 N / x 2 1 A 2 x − − ∈ − = ∈ ≤ ≤ ∈ − = ) ` ¹ ¹ ´ ¦ < ≤ ∧ ∈ = x 02. Determinar por compresión los siguientes conjuntos , { } ........ 9......... , 5 , 1 , 3 - , 7 - C 12 23 , 10 20 , 8 17 , 6 14 , 4 11 B 32 1 , 16 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 , 1 A = ) ` ¹ ¹ ´ ¦ = ) ` ¹ ¹ ´ ¦ = 03. Siendo E = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4} y los subconjuntos de E: A = { x / x + 3 = 3 ⇒ x ≠ 0 } B = { x / x ≠ 1 ∨ x < 2 } C = { x / x + 3 = 3 ∧ 2x – 1 = 3 } Determinar: a. ( A ∪ B ) – ( A ∩ B ) b. [ ( A ∩ B ) – (B – C ) ]′ 04. Utilizando las propiedades conjuntistas,simplificar las expresiones: ( ) | | ( ) | | ′ ′ ∩ − ∪ ∪ ′ ∩ − = ∩ ∪ ∧ ⊂ ) B (A C A C B A r simplifica , Φ C B) (A B A Si a. b.. ( ) ( ) | | { } A B A B B A ∪ ′ ∩ ∩ ∪ ∩ ′ 05. Dado los conjuntos: U = { x∈ Z / -3 ≤ x ≤ 3 } A = { x ∈ U / ( x 2 – 4 ) ( x 2 – 9) = 0 } B = ´x ∈ U / ( 1 – x ) ∈ A } C = ´x ∈ U / ( x + 1) ∉ A } Calcular: a. [ ( A –C ) ∪ B ] ′ b. [ ( A ∪ B ) - C ] ′∩ A c. [ ( A ∆ C ) ∩B ] ′ 06. Responda en cada caso: a. En el siguiente gráfico. b..Que expresión representa la región sombreada en la figura. A B C A B C Sombrear la región que representa a M = { x ∈ U / x ∉[ (A – C) ∪ (B ∪ C )′ ] } 5 07. En un hospital con 420 médicos; 240 obtuvieron un aumento, 115 obtuvieron un ascenso y 60 obtuvieron ambas cosas. a. ¿Cuánto médicos ascendieron o obtuvieron un aumento? b. ¿Cuántos médicos ni ascendieron ni obtuvieron un aumento? 08. El 65% de la población de una ciudad no ve el canal A de T.V. y el 50% no ve el canal B. Si el 55% ve el canal A o el canal B pero no los dos canales. ¿Qué porcentaje de la población ve ambos canales?. 09. En una batalla intervienen 100 soldados de los cuales: - 42 fueron heridos en la cabeza - 43 fueron heridos en el brazo - 32 fueron heridos en la pierna - 8 fueron heridos en la pierna y el brazo - 5 fueron heridos en la cabeza y el brazo - 6 fueron heridos en la pierna y la cabeza. Si todos fueron heridos ¿Cuántos fueron heridos en la cabeza, la pierna y el brazo? 10. En un instituto de investigación científica trabajan 67 médicos. De estos 47 investigan el cáncer, 35 investigan el sida y 23 ambas enfermedades. ¿Cuántos médicos en el instituto no estudian el cáncer ni el sida? 11. En el pabellón A de un hospital hay 40 pacientes, algunos que estudian o trabajan y otros que ni estudian ni trabajan. Se tiene que presentar un informe acerca de los pacientes sabiendo que:15 pacientes no estudian ni trabajan,10 pacientes estudian, 3 pacientes estudian y trabajan. ¿Cuántos trabajan? ¿Cuántos solo trabajan? ¿Cuántos solo estudian?. 12. De una encuesta a 270 personas para establecer preferencias de lectura de las revistas A, B, y C, se obtienen los siguientes resultados: Todos leen alguna de las tres revistas; todos menos 80 leen la revista A; 30 leen A y B pero no C; 12 leen B y C pero no A; 20 leen sólo C. El número de los que leen A y C es el doble del número de los que leen las 3 revistas. El número de los que leen sólo B es el mismo que el total de los que leen A y C. ¿ Cuántos leen sólo la revista A? 6 GUIA DE LABORATORIO N ro 3 … TEMA:ANALISIS COMBINATORIO 01. Cuántos números diferentes de 5 cifras pueden formarse con los dígitos: 1 , 2 , 3 , ......8 , 9 en los cuales no se repite ningún número. 02. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 3 hombres de entre un grupo de 15 hombres de manera que: a. Uno de ellos debe figurar en cada grupo. b. Dos de ellos no debe figurar en cada grupo. c. Uno de ellos debe figurar y otros dos no deben figurar en cada grupo. 03. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar en una fila de 5 butacas , 3 hombres y dos mujeres de modo que las mujeres no estén juntas? 04. Hallar el valor de x si : 450 C . P x 2 x 2 = 05. Se ordenan 6 libros en un estante donde 2 de ellos son de Biología. ¿De cuántas formas diferentes se podrán ordenar los libros si los que no son de Biología deben estar juntos? 06. De la palabra EUCALIPTO se escogen 2 consonante y 3 vocales diferentes. ¿Cuántas palabras de 5 letras pueden formarse sin que las palabras tengan necesariamente significado? 07. ¿De cuántas maneras pueden agruparse 6 médicos, 4 químicos y 3 biólogos de manera que en cada grupo hay 3 médicos , 2 químicos y un biólogo? 08 De un equipo de 12 personas; 5 de ellos son médicos. ¿Cuántos grupos de 4 miembros, se pueden formar de manera que en cada grupo esté integrado por lo menos por un médico? 7 GUIA DE ESTUDIO N ro 3 TEMA: ANALISIS COMBINATORIO 01..En un Congreso Legislativo hay 20 demócratas y 10 republicanos. Se va elegir un grupo de 5 congresistas. ¿De cuántas maneras puede hacerse? a. ¿De cuántas puede hacerse, si tiene que haber 3 demócratas y 2 republicanos. b. ¿De cuántas maneras si todos han de ser del mismo partido. 02.En una clínica hay 10 médicos y 12 enfermeras, ¿Cuántos grupos de trabajo conformado por 6 médicos y 5 enfermeras pueden formarse? 03.Un equipo de investigación costa de 14 integrantes; de ellos 8 son médicos ¿Cuántos grupos de 6 miembros se puede formar de manera que se considere a lo más 4 médicos? 04.¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los dígitos 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ? de manera que no se repita los números. 05.Con 6 enfermeras y 5 médicos se van a formar comités de 4 miembros. ¿Cuántos comités se pueden formar si dicho comité debe estar integrado por lo menos por 2 médicos. 06.Para formar una junta directiva de tres miembros se presentan 6 candidatos , de los cuales se seleccionan 4 al azar ; si de éstos , solo tres ocuparán los cargos de presidente , secretario y tesorero , ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar la junta directiva?. 07.De un grupo de 9 personas se quiere escoger un grupo de 7 para abordar un bote con 6 remos y un timón . ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar sabiendo que de las 9 personas sólo 3 pueden llevar el timón? 08. Calcular x + n , si: 45 C donde 210 V x 8 2 - n 3 = = 09. El número de combinaciones de x objetos tomados de 3 en 3 está en relación a 1 con el número de combinaciones de los mismos objetos tomados de 2 en 2 . Calcular el número de objetos. 10.¿Cuántas señales diferentes pueden hacerse izando 6 banderas de colores diferentes una sobre otra , si se puede izar cualquier número a la vez? 11.En una clínica trabajan 18 enfermeras: a. ¿Cuántas guardias diferentes de 3 enfermeras pueden formarse? b.¿En cuántas guardias de las formadas en (a)estará una enfermera determinada? 8 GUIA DE LABORATORIO N RO 4 TEMA: PROBABILIDADES 01.Si se lanza una moneda 3 veces, calcular la probabilidad de que: a. Ocurran dos caras. b. Ocurran al menos dos caras. . 02.Consideramos el experimento de “el lanzamiento de dos dados“. Calcular la probabilidad de: a. Obtener una suma de 7 b. Obtener una suma de 6 03. En una ánfora hay 25 bolas blancas; 30 bolas rojas y 40 bolas negras. Expresar porcentualmente las probabilidades de extracción de cada uno de los colores en un solo intento. 04.Andrés , Beto y Carlos ejecutan un penal , las probabilidades que tienen para hacer un gol son 1/3 , 1/2 , y 1/4 respectivamente . ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos haga un gol? 05.Se elige un comité de 6 personas de un grupo de 7 médicos y enfermeras. Calcular la probabilidad de que en dicho comité haya una enfermera por lo menos.. 06. Se escogen al azar 3 relojes de 15 , de los cuales 6 son defectuosos . ¿Cuál es la probabilidad de que haya escogido 2 relojes defectuosos?. 07. De 150 pacientes examinados en una clínica, se encontró que 90 tenían enfermedades cardiacas, 50 tenían diabetes y 30 tenían ambos padecimientos. ¿Qué porcentaje de los pacientes tenían uno u otro de los padecimientos? 08. La probabilidad de que llueve en Chosica el 12 de octubre es 0.10; de que haya trueno es 0.05 y de que llueve y truene 0.03 ¿Cuál es la probabilidad de que llueve o truene ese día? 9 GUIA DE ESTUDIO N RO 4 - A TEMA: PROBABILIDADES 01.En cierta comunidad el 70% de las personas fuman ,40 % tienen cáncer pulmonar. y 25% fuman y tienen cáncer pulmonar . Si F y C denotan los eventos de fumar y tener cáncer pulmonar (Completando la tabla adjunta) . F F c C C c Determinar la probabilidad de un individuo escogido al azar: a. No fume pero tenga cáncer pulmonar. b. Fume pero no tenga cáncer pulmonar c. No fume ni tenga cáncer pulmonar d. Fume o no tenga cáncer pulmonar e. No fume o no tenga cáncer pulmonar. 02. En una gran población de moscas de fruta. 38% de ellos sufre una mutación en las alas. 40 % una mutación en los ojos y el 15 % ambas mutaciones. Se escoge una entre todos. ¿Cual es la probabilidad de que al menos tenga una de las mutaciones? 03. Hallar la probabilidad de sacar un corazón o una espada en una simple extracción de un mazo de casinos de 52 cartas? 04. Un experimento aleatorio consiste en disponer los dígitos 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 uno a continuación de otro. Calcular la probabilidad de: a. Que el 3 aparezca junto al 4 y en ese orden. b. El número formado sea par. c. El número formado sea mayor que 6 x 10 7 . 05. Una caja contiene 100 tubos fluorescentes. La probabilidad de que haya al menos un tubo defectuoso es 0.05 y de que haya al menos 2 tubos defectuosos es 0.01. ¿Cuál es la probabilidad de que la caja contenga: a. Ningún tubo defectuoso? b. Exactamente 1 tubo defectuoso. c. A lo más un tubo defectuoso. 06. Sean A y B dos eventos que no son mutuamente excluyentes tales que: P(A) = 0.20 ; P(B) = 0.30 y P(A ∩ B) = 0.10 . Calcular P(A′∩B′) 07. En un salón de clase el 30 % de los alumnos son hombres y el 10 % de los hombres son de provincia mientras que el 80 % de mujeres son de Lima. Si del salón de clase se selecciona uno al azar ¿Cuál es la probabilidad de que sea de Lima? 08. Suponga que en un sorteo la probabilidad de ganar el primer premio es 2/5, la de ganar el segundo premio es de 3/8. Si la probabilidad de ganar al menos uno de los 2 premios es 3/4.¿ Cual es la probabilidad de ganar solo uno de los dos premios?. 10 GUIA DE LABORATORIO N RO 4 - B TEMA: PROBABILIDADES 01. Cierta Universidad en formación en su primer año de funcionamiento tiene 3 Facultades: Medicina, Ingeniería y Administración. La clasificación de los alumnos por sexo es como sigue: Fac. Med. Adm. Ing. Total Hom. 250 350 200 800 Muj. 100 50 50 200 Total 350 400 250 1000 Se selecciona aleatoriamente del grupo, Si se sabe que el estudiante es hombre a. ¿Cuál es la probabilidad de que esté en medicina? b. ¿Cuál es la probabilidad de que esté en administración? c. Si el estudiante es mujer. ¿Cuál es la probabilidad 02. Se tiene dos cajas. En la caja 1 hay 5 sobres sellados; tres de ellos contienen billetes de S/. 100.00 y dos de ellos billetes de S/. 50.00. En la caja 2 hay 10 sobres sellados; 7 de ellos contienen billetes de S/. 100.00 y 3 billetes de S/. 50.00. Si se selecciona una caja de al azar y de ello se toma un sobre ¿Cuál es la probabilidad de que contenga un billete de S/.50.00? 03. Dado: P(A) =0.5,P( A U B) = 0.7. y PA/B) = 0.5 . Hallar P(B) 11 04. Este problema se refiere a la miopía entre hermanos en familias con dos hijos. Sea S 1 el evento de que el hermano mayor sea miope, y S 2 representa el evento de que el hermano menor sea miope. Si se sabe que P(S 1 ) = 0.4, P(S 2 ) = 0.2 y P(S 1 S 2 ) = 0.1 Se pide: a. Calcular P(S 1 U S 2 ); b.¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los hermanos sea miope?; c. Calcular P(S 1 |S 2 ) y P(S 2 |S 1 ). 05. Esta pregunta trata sobre la relación entre el sobrepeso y la presión sanguínea (BP) en los hombres. La siguiente tabla muestra las probabilidades correspondientes a las diferentes combinaciones de estas variables. BPNormal BP Alta Peso Normal 0.6 0.1 Sobrepeso 0.2 0.1 a) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo seleccionado al azar tenga sobrepeso o presión alta b) Calcular la probabilidad condicional de que un individuo tenga presión sanguínea alta dado que se sabe que tiene sobrepeso- 06. En un sistema de alarma , la probabilidad que se produzca un peligro es de 0.10. Si éste se produce, la probabilidad que la alarma funcione es de 0.95. La probabilidad que funcione la alarma sin haber habido peligro es de 0.03. Determinar la probabilidad que haya un peligro y la alarma no funcione.. 12 GUIA DE ESTUDIO N RO 4 - B TEMA: PROBABILIDAD 01. Las preguntas 02 AL 06 están relacionadas con el uso del siguiente tabla donde se relaciona categoría de trabajo y grupos de edades: ----------------------------------------------------------------------------------------------------- GRUPOS DE EDADES A1 A2 A3 A4 CATEGORIA TRABAJO < 25 26-30 31-35 >35 TOTAL ------------------------------------------------------------------------------------------------------ B1 MEDICOS 0 5 25 75 B2 SERVICIOS DE LABORATORIO CLINICO 20 30 35 35 B3 SERVICIOS DE DIETAS 3 6 6 10 B4 SERVICIOS DE REGISTROS MEDICOS 7 15 8 12 B5 SERVICIOS DE ENFERMERIA 200 375 442 203 B6 FARMACIA 1 12 8 3 B7 TECNOLOGIA RADIOLOGICA 4 10 19 12 B8 SERVICIOS TERAPEUTICOS 5 25 15 10 B9 OTROS SERVICIOS 20 35 50 25 ------------------------------------------------------------------------------------------------------ TOTAL 260 513 608 385 Calcular: 02.. La probabilidad de que una persona escogido al azar pertenezca al servicio de dietas: 03. La probabilidad de que una persona escogido al azar sea medico o tenga edad entre 26 a 30 años: 04. La probabilidad de que una persona tenga edad mayor de 35 años dado que pertenece al servicio de laboratorio clínico: 13 05. La probabilidad de que una persona tenga categoría de trabajo de farmacia y edad menor de 25 años: 06. La probabilidad de que una persona tenga categoría de trabajo de medico o de tecnología radiológica. 07. En una elección el 55 % de los votantes están registrados como independientes y el 45% están registrados como gobiernistas. Existen dos candidatos a la alcaldía un independiente y un gobiernista. En l a elección, 80% de los independientes y 10% de los gobiernistas votaron por el independiente; el 20% de los independientes y el 90% de los gobiernistas votaron por el gobiernista. Si se selecciona un votante al azar ¿Cuál es la probabilidad que haya votado por el gobiernista 08. En una clínica se ha determinado de que el 40% de los trabajadores fuman cigarrillos, el 55% son mujeres y el 75% son mujeres o fuman cigarrillos. Se elige un trabajador al azar, se pide: a. ¿Cuál es la probabilidad de que fume cigarrillos y sea varón? b. ¿Cuál es la probabilidad de que fume cigarrillos dado que es varón? 09. Se realizó un estudio para examinar si las personas con un IQ alto tienden a casarse entre ellos,y si esto está relacionado también con el sexo; para lo cual se obtuvieron datos de 1000 parejas. Sea M el evento que denota que el miembro masculino de la pareja tiene un IQ alto y F el evento que denota el hecho de que el miembro femenino de la pareja tenga un IQ alto. Los resultados obtenidos fueron los siguientes: P(F∩M) = 0.05 , P(M) = 0.20 Y P(F) = 0.10 a) ¿Cuál es la probabilidad de que la esposa tenga un IQ alto, dado que su esposo también lo tenga? b) Si al menos uno de los miembros de la pareja tiene un IQ alto. ¿Cuál es la probabilidad de que la esposa lo tenga? c) ¿Cuál es la probabilidad de que solamente la esposa tenga un IQ alto? 10. Sean los eventos A y B dados en Ω con P(A), P(B) > 0. Se tiene los siguientes resultados P(A/B)=0.8, P(A∩B)=0.2 y P(A’)=0.80, por consiguiente, se pide calcular los valores de las probabilidades de P(B’) y P(B/A’). Los problemas 13 al 16 están en relación al siguiente enunciado: En la siguiente tabla se presenta los resultados de un estudio histológico para medir la variabilidad de la evaluación de manchas cervicales a través de la presencia o ausencia de un determinado tipo de célula anormal. Cada slide fue revisado por un particular graduador y se volvió a revisar después de 6 meses por el mismo graduador. 14 Primera Segunda revisión Revisión Presencia Ausencia Total ----------------------------------------------------------------------- Presencia 1763 489 2252 Ausencia 403 670 1073 ---------------------------------------------------------------------- Total 2166 1159 3325 a. ¿Cuál es la probabilidad que células anormales estén ausentes en ambas revisiones? b. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar ausencia en la segunda revisión dado que las células anormales estaban presentes en la primera revisión? c. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar presencia en la segunda revisión dado que células anormales estaban ausentes en la primera revisión?. 15 GUIA DE LABORATORIO N RO 5 TEMA:INTERVALOS Y ECUACIONES 01. Se tiene los siguientes intervalos: A = < -2 , 2] ; B = [ -3 , 0 >; c = [-4 , 3] Siendo el conjunto universal E = [-5 , 4> ; Hallar: a. (E ∩ A ) ∪ (E ∩ B) b. A′ ∩ ( C′∩ B′ ) c. (A′- B′)′ 02. Dado los intervalos: A = < -2 , 2> ; B = [ 0 , 5> ; C = [2 , 7]; Hallar: a. ( A ∪ C ) – B b. ( A′∩ B ) ∪ C { } { } S M : Hallar 0 x 6 R/x x S 5] , [0 x 3] , 6 [ R/x x M Si 03. ′ ∩ > ∨ − < ∈ = ∈ → − ∈ ∈ = 04. Sean los conjuntos: ) ` ¹ ¹ ´ ¦ ( ¸ ( ¸ ∈ ∈ = 4 1 , 16 1 x 1 / R x A 2 , ) ` ¹ ¹ ´ ¦ ( ¸ ( ¸ ∈ + ∈ = 3 , 5 3 4 x 3 / R x B Hallar: ( ) ( ) ′ ∩ − ∪ B A B A 05.Resolver: ) 2 ( 7 ) 1 5 ( 2 ) 4 ( 2 − − − = + x x x x { } { } 0 2 R/6x x S 0 1 5 R/6x x M Si 06. 2 2 = − − ∈ = = + − ∈ = x x 07. Calcular el valor de “m” en la ecuación: x 2 + (2m + 5 )x + m = 0; sabiendo que una raíz excede a la otra en tres unidades. Hallar S M∪ 16 GUIA DE ESTUDIO N ro 5 TEMA: INTERVALOS Y ECUACIONES 01. Se tiene los intervalos siguientes: A = < -5 , 2]; B = [ -6 , 0 > ; C = [-1 , 3] Siendo el conjunto universal E = [-10 , 4> ; Hallar: a. (E ∩ A ) ∪ (E ∩ B) b. ( A - C)′ – ( B′ - C) c. ( B′ – A)′ ∩ (C - A′)′ d. ( C – B)′ ∪ (A′∩B′)′ 02. Si se dan los conjuntos: A = < -2 , 7> - { 1 }; B = < - ∞,-2 > ; C = [6 , +∞> Afirmamos que: I. ( A∪ B ) ∩ C = < - ∞ , 6 ] II. (C – A) = [ 7 , +∞> III. ( A ∩ C ) ∪ B = < 6 , 7 > ∪ < - ∞ , -2> IV. A′ = < - ∞ , -2 > ∪ [7 , +∞> ¿Cuáles son verdaderas? 03. Dado los intervalos: A = < -2 , 2> ; B = [ 0 , 5> ; C = [2 , 7]; Hallar: b. ( A ∪ C ) – B b. ( A′∩ B ) ∪ C c. (A U B)′ - ( B ∩ C ) 04. Sean los conjuntos : A = { x ∈ R / 4 < x 2 < 16 } ; B = { x ∈ R / 5 < x 2 +4 <13 } Hallar: (A ∪ B ) ∩ ( A ∩B′ ) 05. Si 06. Si: A = { x ∈R / x ∈< -5 , 5> ∧ x ∈ [0,8] } B = {x ∈ R / x ∈ [-4 , 6] ∨ x ∈ [4,10] } C = {x∈ R / x ∈[ -5 , 2 ] ⇒x∈ [0 , 8 ] } Hallar (A ∩ B ) ∆ C. 06. Resolver las siguientes ecuaciones por factorización: a. x 2 – 11x + 28 = 0 b. 2x 2 + x – 1 =0 c. x 2 + 4x - 45 = 0 d. 3x 2 – 6x + 3 = 0 e. x 2 – 4x - 21 = 0 f. 3x 2 + x - 10 = 0 17 07. Resolver en R , completando cuadrados. a. x 2 – 6x + 6 = 0 b. 5x 2 + 4x – 1 = 0 c. x 2 + 5x - 5 = 0 d. 2x 2 – 2x – 1 = 0 e. x 2 + 2x - 4 = 0 f. 16x 2 + 24x + 5 = 0 08. Hallar las raíces de : 5x 2 – 3x – 2 = 0 . 09 Resolver la ecuación 1 2 x x 1 1 1 1 1 + = + + ¿ Cuál es la mayor raíz? 10. Resolver la ecuación : b 1 a 1 b x 1 a x 1 + = − + − 11. Si α y β , son las raíces de la ecuación ax 2 + bx + c= 0 ; calcular en función de a , b, y c el valor de las siguientes expresiones: a) 1 1 b) 1 1 c) d) e) 1 1 α β α β α β α β α β + + + + + 2 2 2 2 3 3 3 3 12. Si una de las raíces de la ecuación (2n – 1 ) x 2 + (5n + 1)x –3 = 0 es –3 . Determinar el valor de n y el de la otra raíz. 13. Hallar la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación: (2k + 2)x 2 + (4 – 4k)x + k- 2 = 0 , sabiendo que una de dichas raíces es inversa de la otra. 18 GUIA DE LABORATORIO N RO 6 TEMA: INECUACIONES 01. Resolver las siguientes inecuaciones: 4) (x 2 7 7) (3x 3 1 b) 10 5 - 4x 5 a) − ≤ − ≥ ≥ 02. Resolver: 5x) (8 3 2 x) (2 3 5 2 15 - 2x − > − ≤ 03. Dado los conjuntos : ) B (A : Hallar 3) (x ) 2 (x / R {x B )} 3 (x 2) (x 5) (x / R {x A 2 2 2 ′ ∆ + < + ∈ = − + ≥ − ∈ = 04. Resolver por el método de factorización. 3) 7(x 5) 2)(x (x 2x 2 + ≤ + − − 05. Si: A= {x ∈ R / )} 4 ( 3 1 − − > − x x y B = {x ∈ R / x 2 –7x +12 ≤ 0} Hallar A ∪ B . 06. Resolver las siguientes inecuaciones racionales 0 ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( 1) - (x b. 0 2 - x 1 x a. 2 2 2 2 ≥ + − − + − > + x x x 07. Hallar el conjunto solución de: x 3 - 3x 3 – 13x + 15 > 0 08. Resolver: 0 7x x 40 22x x x 2 2 3 ≥ + − + + − 19 GUIA DE ESTUDIO N RO 6 TEMA: INECUACIONES 01. Resolver las siguientes inecuaciones: 4 4x 3 3 2x < 2x d) 6 2 3 3 - x 2 x c) ) 2 3 ( 3 3 2 2 2 - x b) 3 < 8 - 4x x + 2 - a) − + + > + + − + ≤ ≤ x x x 02. Hallar el conjunto solución de: 5 14 2x 5 11 4 3x 5 6 2 x c) 1 - 4x < 2 4 3x 2 x - b) 2 x 5 2 3x 1) (x 2 3 a) − > + < + − ≤ + + < + ≤ − 03. Si el triple de un número, disminuido en 6 es mayor que la mitad del número, aumentado en 4 y el cuádruplo del número, aumentado en 8 es menor que el triple del número, aumentado en 15. Hallar el número. 04. El cociente intelectual IQ está dado por IQ = x100 EC EM donde EM = Edad Mental y EC = Edad cronológica. Si 80 ≤ IQ ≤ 140 para un grupo de niños de 12 años de edad . Encontrar el rango de las edades mentales. 05. Resolver por el método de factorización. 1) 2(x - 9x 1) - 4(x c. 0 3 2x - 5x b. 0 6 5x x a. 2 2 2 2 + < < + ≥ − − 06.. Sean los conjuntos: A = {x ∈ R / x 2 – x –2 ≥ 0 y B = {x ∈ R / x 2 –4x -5 ≤ 0} Hallar A -B 07. Resolver las siguientes inecuaciones racionales 1 x 5 1 x 3 d. 1 x x 7 - x 4 x c. 1 x x 3 - x 4 x b. 3 3 x 2 1 x 1 a. > − − + + < + + > + − > + + + 20 08. Hallar el conjunto solución de: a. 1 2 + x x < 1 b. 1 2 2 + + x x > 0 c. 1 1 ≤ − x x d. 4 1 2 1 2 ≥ + − x x e. 3 1 2 + + x x < 0 f. x 1 > 3 09. Hallar el conjunto solución de: a. 2x 3 + 3x 2 – 11x – 6 ≥ 0 b. 2x 4 – 7x 3 – 11x 2 + 22x + 24 < 0 10. Hallar el conjunto solución de : a. ( ) 1 4) (x 3 x 2) 1)(x (x ≥ − − − − b. 1 15 2x x 24 4x 2 < − − − 11. Resolver: a. 1 x 1 x x 1 x x 1 2 2 2 − < − − + b. 2x 3 1 7 3x 1 − ≥ − 0 3) (x 2) 1)(x (x 1) (x 3) (x 3) (x c. 3 4 2 2 2 3 ≥ + − + − − + 21 GUIA DE LABORATORIO N RO 7 TEMA: VALOR ABSOLUTO Y SISTEMA DE ECUACIONES 01. Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: 1 2 3 + x b) 9 3 4 + x a) + = − = x x 02. Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones. 4 2 4 - x b) 1 3 4 - 2x a) 2 + − ≤ + > x x 03. Si A = { x R/ ∈ 2 2x 1 + < + x } y B = { x R/ ∈ 2 x 2 x ≤ + } Hallar A ∩B. 04. Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto. x 3 2x x 1 b. 1 x 4 2x x a. 2 2 − > − + − = + − 22 05. Resolver: 0 3 x 1 x 2 3 x 1 x 2 > + + − + + 06. Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones. 0 28 11x x 0 3 2x x a. 2 2 ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≥ + − > − − 07. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones. 4 2 y 3 x - 3 7 2 2 y 1 x - 3 1 . = − − = − + 08. A un espectáculo asistieron 600 personas, los boletos de adulto cuestan S/. 5 y los de niño S/. 2 . Si la taquilla fue de 2 400 ¿Cuántos niños asistieron al espectáculo? 23 GUIA DE ESTUDIO N RO 7 TEMA: VALOR ABSOLUTO Y SISTEMA DE SCUACIONES. 01. Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: 02. Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones. 1 4 4 5 x e) 3 5 + 2x d) 4 < 3 - 2x 2 + x d) 2 1 x + 1 3x - 6 c) 3 2 3 1 + 2x b) 1 + 2x < 5 - 3x a) 2 2 ≥ − + − > ≤ ≤ x x 03. Hallar la suma algebraica de todas las soluciones de la ecuación: a. x 4 2x 4 2 − = − + b. 4 7 2 x 3 2 x 2 ≤ + . 04 ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? | | | | > ∈< + ⇒ < ∈ + ⇒ ≤ ∈ + ⇒ > 3/8 , 1/4 9 x 3 2 1 - x Si c. 29/3 , 5/3 3 4x 3 2 - 3x Si b. 1 , 1/9 7 2x 1 2 x Si a. 05. Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto. x 6 6 3x x b. 2 x - 1 a.. 2 + ≤ − − = 06. Hallar el conjunto solución de : a. 0 1 x 14 5x x 2 > − − − b. 0 3 2 1 ≤ + − − x x c. 1 4 3 2 5 3 2 2 + + ≤ − − x x x x d. 5 1 2 1 7 2 ≥ − − − x x x e. 0 4 1 7 5 x 3 1 7 5 x 2 = − + + − + + 1 2 1 1 x e) 2 = x - 3 d) 3 2 - x c) 1 2 2 x b) 10 2 - 3x a) 2 2 2 − = − + = + = + = x x 24 07 Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones. 18 25 8x x 5 b. 0 3 5x 2x - 0 1 4x a. 2 2 2 < + − < ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > − + > − 09. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones. 6 17 y 4 x 3 0 y 6 x 4 d. 0 7 5y 6x 9 y - 3x 9 2y - 3x 0 4 3y 4x c. 11 y 2x b. 2 y x a. − = − = + = + + = = = + + = + = + 10. Un almacén de productos químicos tiene dos soluciones ácidas. Uno de ellos contiene 25% de ácido y la otra contiene 15% de ácido. ¿Cuántos galones de de cada tipo deberá mezclar para obtener 200 galones de una mezcla que contenga 18% de ácido? 11. Una mueblería fabrica sofás y divanes. Cada sofá requiere de 8 horas de trabajo y S. 60 de materiales. Un diván requiere de 6 horas de trabajo y S/. 35 de materiales. Si se dispone de 340 horas de mano de obra y S/. 2 250 para materiales cada semana. ¿ Cuántos sofás y divanes se fabricaran en una semana?. 12. Dos clínicas contratan a 53 personas, de ellos 21 son médicos. Si la tercera parte que labora en una de las clínicas y los tres séptimos que laboran en la otra clínica son médicos. ¿Cuántos empleados tienen cada clínica?. 25 GUÍA DE LABORATORIO N RO 8 TEMA: RELACIONES 1.) Dados los conjuntos A = { 0, 1, 2, 4 } y B = { 3 , 5 } ; Hallar : a) A x B b)A x A c) B x A 2.)Dado los conjuntos A = {2, 3, 5}; B={x∈Z /0≤ x ≤ 3}; C={x∈Z /-1 ≤ x ≤ 2}; Establecer la validez de las siguientes afirmaciones. a.) (A x B) ∪ (B x A), tiene 24 pares ordenados. b.) (A ∩ B ) 2 tiene 4 pares ordenados. c.) A 2 ∩ B 2 ∩ C 2 tiene un par ordenado. 3.) Sea A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7, 8} y dada las relaciones: R 1 = { (x , y) / x + y = 5 }; R 2 = { (x , y) / 2x + y > 5 } Hallar n (R 1 ) + n (R 2 ) 4.) Calcular el área de la región representada por la relación definida en R por: R = {(x, y) / 9 ≤ x 2 + y 2 ≤ 16} 26 5.) Sea M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, si R = {(x , y) / 2x – y = 5} y R ⊂ M x M. Si m es la suma de todos los elementos del dominio de R y n es la suma de todos los elementos del rango de R. Halla m. n. 6.) Hallar la inversa de las siguientes relaciones: a.) R 1 ={(x, y)∈R x R / y=x 2 –2x–3} b.) R 2 = {(x, y)∈ R x R / y= 2 x + } 7.) Construir el gráfico de las siguientes relaciones definidas en R, hallar su dominio y rango. a.) R 1 = {(x, y)∈ / x ≤ 2y ∧ y ∈ [-2, 1]} b.) R 2 = {(x, y)∈ / x 2 + y 2 ≤ 9 ∧ x≥0} c.) R 3 = {(x, y)∈ / x 2 +y 2 ≤25 ∧ x 2 >2y+1} d.) R 4 = {(x, y)∈ / x 2 +y 2 >16 ∧ x>y} 8.) Dada las relaciones: R 1 = {(x, y)∈R 2 / 4 ≤ x ,y 3 − ≥ }; y R 2 = { (x, y)∈R 2 /y5x-4y+12 ≥0}. Calcular el área de la región: 2 1 R R ∩ 27 GUIA DE ESTUDIO N RO 8 TEMA: RELACIÓN 1.) Sean los conjuntos A = {x ∈ Z/ -1 ≤ x ≤ 1} y B = { x ∈ N / 1 < x < 3} Hallar: a.) (A x B) ∩ B 2 b.) (A – B) x (A ∩ B). 2.) Sea U = {0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12} y sean las siguientes relaciones definidas en U, según sus correspondientes reglas de correspondencia. a.) R 1 = {(x , y) / y = 3x} b.) R 2 = {(x , y) / y = x 2 } c.) R 3 = {(x , y) / xy = 24} d.) R 4 = {(x , y) / y > 2x} Determinar por extensión cada una de las relaciones indicando dominio y rango. 3.) Dado: A = ´x ∈ N / 4< x + 1 < 8` B = ´x ∈ Z / | x+1 |< 3 ` Tabular las siguiente relaciones definidas en A x B R 1 = ´(x , y) ∈ AxB / x > y + 3`; R 2 = ´(x , y) ∈ AxB / x + y = 6` R 3 = ´(x , y) ∈ AxB / y + 1 ≤ 2x`; R 4 = ´(x , y) ∈ AxB / 2x - 3y > 2` 4.) Si: R 1 = { (x , y) ∈ Z 2 / x = y + 1 } R 2 = {(x ,y) ∈ Z 2 / y 2 + 2 = x + 3}; Hallar R 1 ∩ R 2 . 5). Hallar el dominio; rango y graficar las relaciones siguientes; R 1 = {(x, y)∈R 2 / y = 2x -1, x∈ [-2, 1]} R 2 = { (x , y)∈R x R / y = x 2 } 6) Hallar el dominio; rango y graficar las relaciones siguientes; R 1 = {(x, y)∈ RxR / y 2 - 4y + x – 2 = 0} R 2 ={(x, y)∈RxR/ 0 4 6 4 2 2 = + − + + y x y x } 28 7) Hallar la inversa de las siguientes relaciones: a.) R 1 = { (x , y)∈R x R / y = x 2 –2x – 3} b.) R 2 = { (x , y)∈ R x R / y= 2 x + } 8) Construir el gráfico de las siguientes relaciones definidas en R, hallar su dominio y rango. R 1 = {(x , y)∈ / x ≤ 2y ∧ y ∈ [-2 , 1] } R 2 = {(x , y)∈ / x 2 + y 2 ≤ 9 ∧ x ≥ 0 } R 3 = {(x , y)∈ / x 2 + y 2 ≤ 25 ∧ x 2 > 2y + 1} R 4 = {(x , y)∈ / x 2 + y 2 > 16 ∧ x > y} 29 GUÍA DE LABORATORIO N RO 9 TEMA: FUNCIONES 1.) Hallar “m” y “n “para que: A = {(2, 5), (-1, -3 ), (2, 2m-n ), (-1 , m- n ), (m + n , n) } sea una función encontrar los elementos de f. 2.) Dada las siguientes relaciones: a.) ¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones? b.) Determinar el dominio y rango solo de las funciones. R 1 = {(x, y)∈ R 2 / y = x} R 2 = { (x, y)∈ R 2 / y = x 2 } R 5 = {(x, y)∈ R 2 / y = 1 + x } R 6 = {(x, y)∈ R 2 / y = 5 x + } 3.) Sea f una función real; de variable real, hallar lo que se indica: 3 m , 3 m f(1) - 2) f(m Hallar , 1 x 3) f(x 2 ≠ − + − = + 4.) Sea f una función real de variable real definida por : f(x) = mx + b, talque : 2f(2) + f(4)= 21 y f(-3) – 3f(1) = - 16. Hallar el valor de: 1/2 f(1). 30 5.) Si f(x) = 2 6x 2 x − + a.) Determinar el dominio de la función. b.) Calcular f(-1/2) + f(2/3). . 6.) Hallar el Rango de f(x): a.) 3 x 3 2x x f(x) 2 + − + = b.) f(x) = x 2 x 2 − c.) h(x) = 4 4 2 + x 7.) Trace el gráfico de las siguientes funciones indicando su dominio y rango. ¹ ´ ¦ < > = 5 x si ; 3x - 6 5 x si ; 3 - 2x f(x) ) a. ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ≤ < + ≤ < − ≤ < = 8 x 3 si ; 1 x 3 x 2 - si ; x - 2 x 6 - si ; x - 2 f(x) ) c. 2 31 GUÍA DE ESTUDIO N RO 9 TEMA: FUNCIONES 1.) Dada la función: f = { (1 , a+b), (1, 8), ( 2, 2a – b), ( 2, 1), (a, b)}; Determine su dominio y rango. 2.) Dada las siguientes relaciones: R 3 = {( x, y)∈ R 2 / x = y 2 } R 4 = {( x, y)∈R 2 /x 2 + y 2 = 25 x≥ 0} R 6 = {( x, y)∈ R 2 / y = 5 x + } R 7 = {( x, y)∈ R 2 / x = 5 } a.) ¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones? b.) Determinar el dominio y rango solo de las funciones. 3.) Si f(x-3) = x 2 + 1, hallar f (x +1). 4.) Sea f una función real; de variable real, hallar lo que se indica: 0 m , m f(1) - 1) f(m Hallar , 1 x 1) f(x ) b. 3 m , 3 m f(1) - 2) f(m Hallar , 1 x 3) f(x ) a.. 2 2 ≠ + − = + ≠ − + − = + 5.) Dada la función f(x) = 3 2 5x − ; hallar el elemento del dominio que tiene como imagen 5/6. 6.) Sea f una función real de variable real definida por: f(x) = mx + b , talque: 2f(2) + f(4) = 21 y f(-3) – 3f(1) = - 16. Hallar el valor de: 1/2 f(1). 7.) Si f: R → R, es una función cuadrática tal que f(0)= 1, f(1)= 0, f(3)= 5; Hallar el valor de “k” , donde k = f(6) f(0) f(1) 1) f( + + − . 8.) Si f: R → R, es una función definida por 2 x 2 3x f(x) + − = , Rango de f es [ 1, 5], Hallar el Dominio de f. 32 9.) Hallar el Rango de f(x): b.) f(x) = x 2 x 2 − 10.) Grafique las siguientes funciones y determine su dominio y rango: a.) 2 3 x f(x) + − = b.) g(x) = 2 1 + + − x c.) h(x) = 4 3 + − x d.) 9 x f(x) 2 − = e. x g(x) 2 − = x f.) ) 4 ( h(x) − = x x 11.) Trace el gráfico de las siguientes funciones indicando su dominio y rango. ¹ ´ ¦ < + > = 3 x si ; 1 2x 3 x si ; 3 - x f(x) b. 12.) Hallar el rango de las siguientes funciones: a.) f(x) = 4 2 − − x x b.) f(x) = 4 2 2 − x x c.) h(x) = 9 5 2 2 − + − x x 33 GUÍA DE LABORATORIO N RO 10 TEMA: FUNCION INVERSA: COMPOSICIÓN Y ÁLGEBRA DE FUNCIONES 1.) Hallar La función inversa de: f(x)= 3x – 1, si x ] 2 , 1 [− ∈ , graficar f y f -1 indicando dominio y rango. 2.) Sea la función f(x) = 3x + 2k, hallar el valor de “k” de modo que f(k 2 ) = f -1 (k+2) 3.) Si f(x) = 4x - 3 si x ∈ [-4 , 3>; y g(x) = 3 1 2 − x si x ∈ [ -2 , 6> ; Hallar . a.) f o g b.) g o f 4.) Resolver en cada caso: a.) Si f(x) = 4x + 2 y g(x) = x + n; Hallar el valor de “n” de modo que: f |g (3)| = g |f (n - 1)| b.) Si f(x-2) = 3 2 − x calcular el valor de x de modo que (fof)(2/x) = 5 c.) Si f(x) = x 2 + 2 y g(x) = x +m, determinar el valor de “m” de modo que: (f o g) (3) = g o f (m-1). 5.) Dadas las funciones: f = ´(2 , 6) , (4 , -4) , (6 , 5) , (9 , 1) , (10 , 2) ,(-3 , 3)` g = ´(1 , 4) , (3 , 2) , (5 , 6) , (7 , 9) , (8 , -3) ` Hallar: a.) f +g b.) f . g c.) f o g d.) g o f 34 GUÍA DE ESTUDIO N RO 10 TEMA: FUNCION INVERSA: COMPOSICIÓN Y ÁLGEBRA FUNCIONES 1.) Si se sabe que f(-1)= 4 y f(3)= -2, donde f es una función lineal , hallar la ecuación que defina a la función inversa de f y calcular f -1 (-3). 2.) Sea la función f:[1 , +∞ > → R definida por f(x) = x 2 - 2x + 4 establecedor si f tiene inversa ; realizar el gráfico de f y f -1 . 3.) Sean f y g funciones definidas por: 2 x si , 2x 2 x 2 x si , 5x x f(x) 2 ¦ ¹ ¦ ´ ¦ − ≥ − − − < − = ¹ ´ ¦ ≤ + > = -2 x si , 3x x -2 x si , 4 - 2x g(x) 2 Hallar: a.) f(0) + g(0) b.) f(1).g(-3) c.) fog (-2) d.) gof (-3) 4.) Sean f y g funciones definidas por: f(x + 1) = x 2 + 2 ; g( x-3 ) = 3x – 5 Hallar: a.) f(0) + g(0) b.) f(1) .g(-3) c.) fog(-2) d.) gof(-3) 5.) Hallar el dominio de las siguientes funciones: a.) f(x)= 1 - x 1 x 2 2 + b.) 1 x 1 - x x f(x) 2 − − = c.) 2 x 1 . 1 f(x) + − = x d.) 2 x 1 2x x 1 f(x) + + − + = 6.) | | ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > ∈< > ∈ > ∈ = 8 , 0 x si 2 - 2x 0 , 4 - x si 2x 7 - , 10 - x si x f(x) 2 2 Si y ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ∈< + − ∈< + − ∈< + = 3] , 0 x si 2 x 0] , 4 x si 3 x - 4] - , 8 x si x x - g(x) 2 2 Hallar: f + g y graficar la función (f+g)(x) indicando dominio y rango 35 7. Un médico posee libros de medicina cuyo valor es de $.1500, para efectos tributarios, aquellos se deprecian linealmente hasta llegar a cero en un período de 10 años; es decir el valor de los libros decrecen en una razón constante, de manera que es igual a cero al cabo de 10 años. Exprese el valor de los libros como una función del tiempo y dibuje la gráfica. 8. La temperatura medida en grados Fahrenheit en una función lineal de la temperatura medida en grados Celsius. Utilice el hecho de que 0º Celsius es igual a 32º Fahrenheit y 100º Celsius es igual a 212º Fahrenheit. a.) Escribir una ecuación que representa esta función lineal. b.) Convertir 15º Celsius a Fahrenheit. c.) Convertir 68º Fahrenheit a grados Celsius. 9. Un laboratorio compra una maquinaria nueva por $15 000, si se deprecia linealmente por $. 750 al año y se tiene un valor de desperdicio de $. 2 250. a.) ¿Por cuánto tiempo la maquina estará en uso?. b.) ¿Cuál será el valor de la máquina después de 6años de uso? 10. Una prueba para metabolismo de azúcar en la sangre, llevada a cabo en un intervalo de tiempo, muestra que la cantidad de azúcar en la sangre era una función del tiempo t (medido en horas) y dada por: A(t) = 3.9 + (0.2)t – (0.1)t 2 Encuentre la cantidad de azúcar en la sangre: Al principio de la prueba; una hora después ; dos horas y media después de iniciado. 36 GUIA DE LABORATORIO N RO 11 TEMA: ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 01. Hallar el valor de x: a) 2 ��� 2 + ���−1 = 1 b) 7��� 2���−3 = ��� 3��� c) 3 2���−1 . 9 3���+4 = (27) ���+1 d) 9 ��������� ��� ���� 2 −10���+25� = 13 2��������� ��� √���−1 02. Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas: a. log (3x - 2) = log (x+1) + log 4 b. log 2 (x-1) = 3 + 2 3 (log 2 3+log 2 2) - 2log 2 4 c. log 5 (2x-39 + log 5 (x-3) = 3log 5 24 03. Si log 2 = 0.3010 y log 3 = 0.4771,calcular: a. log 12 25 b. log[√54 . (18)²] c. log 6 √120 04.Hallar x: a) Log a � 3���−1 ���+2 = 0 b) Log 9 (3x-1)² = ½ c) Log x+1 (5x+19)=2 37 d) 16 ������������ 2 = 8��� e) ���������8 ������������ −������������ ��� = ���������2 ��������� 1 10 � 1 ��� � 05. Resolver: a) Log 2 (x² - 4) = Log 2 (4x - 7) b) Log √��� −5 + Log √2��� −3= Log 3 c) Log 4 (2x + 2) – Log 4 (3x + 1) = 1 2 06 .Cuando se somete a un tratamiento de radiación las células cancerosas; la proporción de células sobrevivientes al tratamiento esta dado por P(r)=e -kr donde r=es el nivel de radiación y k una constante. Se ha encontrado que 40% de las células cancerosas sobreviven cuando r=500 Roengten. ¿Cuál debe ser el nivel de radiación para que solo sobreviva el 1%? 07. Suponga que el número de casos de SIDA diagnosticadas crece exponencialmente. En el Perú había 85 casos en 1990 y 330 casos en el año 2000. Exprese este número en la forma: P(t)=ae bt , donde a y b son constantes y t es el tiempo medido en años a partir de 1990 ¿Cuántos casos de SIDA habrá en el año 2010 y en el año 2015? 38 GUIA DE ESTUDIO N RO 11 TEMA: FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 01. Hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones: a. 3 5���−2 = � 1 27 � ���+2 c. � 1 27 ���−1 = (243) ���+2 ��� 2 −1 b. 2 3���−4 = 8 ��� 2 +1 2 d . �(125) 5���−1 3 = � 1 5 � ���−1 2 02. Verifique las proposiciones siguientes y escribir en forma logarítmica con la base apropiada. a.(27) −4/3 = 1 81 b. � 8 27 � −1/3 = 3 2 c. 2 −2 = 1 2 d. (16) 3/4 = 8 e. � 8 125 � 2/3 = 4 25 03. Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas: a). log x = log 3 + 2 log 2 - 3 4 log 16 b). log 7 (x-2) + log 7 (x-5) = 2log 7 2 c). log 3 ��� ���������3 - log 3 ��� 3 - 10 = 0 04 SiLog b N=h, …..y….Log b a=k. Hallar en términos de h y k, la expresión: Log ab² N 05. De las expresiones que se da, hallar el valor de x: a. Log 2 � 1 128 � = 3��� −2 b. ��������� √3 � 1 27 � ���−1 = x + 4 c. Log 2 √2��� 2 +��� −3 = 0 d .Log 0.5 � 1 64 ��� = 2��� +3 e.Log 0. 2 � 1 125 � = ��� 2 −1 06. Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas a. Log x + Log(2x-5) = 2Logx b. Log (x² + 1) – 2 Logx =Log 2 – Log x c. 2 Log (x - 1) + Log (2x + 4) = Log (x - 1) 07. Si Log 2 = 0.3010 y Log 3 = 0.4771, Hallar: a. Log 480 b. Log 75; c. Log 1500; d. Log�(2.7) 3 (0.81) 4 5 : (90) 5 4 � 08-. Resolver el sistema de ecuaciones: a) log 3 x – log 9 y = 0 b) log 2 (x + y) – log 3 (x-y)=1 x² - 3y² + 44 = 0 x² - y² = 2 c) log 2 x + log 4 y + log 4 z = 2 log 3 y + log 9 z + log 9 x = 2 log 4 z + log 16 y + log 16 x = 2 09. Los siguientes datos los recolectó un investigador durante los primeros 10 minutos de un experimento destinado a estudiar el crecimiento de bacterias. Minutos 0 10 Número de bacterias 5000 8000 Suponiendo que el numero de bacterias crece exponencialmente ¿Cuántas Bacterias habrá después de 30 minutos? 10. Los biólogos han determinado que en condiciones ideales, el número de bacterias en un cultivo crece exponencialmente. Suponga que al comienzo se encuentra 2000 bacterias en cierto cultivo y 20 minutos más tarde, hay 6000. ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de una hora? 39 40 41 42 43 GUIA DE ESTUDIO N RO 1 TEMA: LOGICA PROPOSICIONAL 1. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) El estudiante de medicina tiene que estudiar mucho o el estudiante de Ingeniería estudia poco. b) No es cierto que el razonamiento es importante para la medicina y la Anatomía es importante para el estudiante de medicina. 2. Negar las siguientes proposiciones: a) Dos no es un número primo b) Si Anita estudia medicina no trabaja entonces no viaja. c) Si Daniela aprobó los exámenes de admisión, ingreso al residentado pero Daniela no ingreso o no aprobó los exámenes de admisión. 3. El valor de verdad de las siguientes proposiciones , es: a) [(−1)2 ] > 1 ∨ (23 = 8) ………………………………… b) (12 > 7) ↔ (3 < 4) ……………………………………. 4. Si “s” es una proposición falsa y “t” es verdadera. ¿Cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas? a) 𝑝 ∧ (𝑠 ∧ 𝑡) b) (𝑝 ∧ 𝑠) ↔ 𝑡 c) 𝑝 → (𝑡 ∨ 𝑠) d) 𝑠 ↔ (𝑝 ∧ 𝑡) 5. Si la proposición ( 𝑝 Λ 𝑞 ) → (𝑝 → 𝑟)es falsa. Señale el valor de verdad de las siguientes proposiciones. a) ~(𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑝 ↔ ~ 𝑟) b) [(𝑝 ∨ ~𝑞) → (𝑞 ∧ ∼ 𝑟)] → ∼ 𝑝 7. Determinar mediante tablas de verdad cuales de las siguientes proposiciones son tautologías, contradicción o contingencia. a) ∼ (𝑝 → 𝑞) ↔ ~[( ~𝑞) → (~𝑝)] b) [(𝑝 Λ ~ 𝑞) ∧ ( ∼ 𝑝 ↔ 𝑟)] → (𝑝 ∨ ∼ 𝑞) 8. Simplificar las siguientes proposiciones : a) (∼ 𝑝 ∨ ∼ 𝑞) ∧ [∼ 𝑝 ∧ (𝑞 → 𝑝)] b) (~ 𝑝 → ~𝑞) → [ ~𝑝 ∧ (𝑞 → 𝑝)] 6. Si la proposición ( ∼ 𝑝 → 𝑞 ) ∨ ( 𝑠 → ∼ 𝑟) es falsa. Señale el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) ∼ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ∼ 𝑞] → ~(𝑝 → 𝑞) b) [(𝑝 ∧ ∼ 𝑞) ∧ (∼ 𝑝 ↔ ~𝑞)] → ( 𝑝 ∨ ∼ 𝑟) c) [(𝑟 → 𝑞) ∧ 𝑞] ↔ [(~𝑞 ∨ 𝑟) ∧ 𝑠] 10. Determinar el esquema mas simple de la proposición : a) [(𝑝 → 𝑞) ∨ ∼ 𝑝 ] ∧ (∼ 𝑞 → 𝑝) b) (~𝑝 ∨ ∼ 𝑞) ∧ [∼ 𝑝 ∧ (𝑞 → 𝑝)] 9. Determinar si los siguientes esquemas son lógicamente equivalentes a) 𝑝 ∧ ~𝑝 ≡ ~ [(𝑝 ∨ 𝑝 ) ↔ 𝑝] b) ∼ (𝑝 → 𝑞) ≡ ~𝑝 ↔ 𝑞 ≡ 𝑝 ↔ ~𝑞 ≡ ~ (~𝑝 ↔ ~𝑞) 2 GUIA DE LABORATORIO Nº 02 TEMA: C0NJUNTOS 01. Determinar por extensión los siguientes conjuntos: A = x ∈ Q/ 6x 2 − 5 x + 1 = 0 05.Utilizando las propiedades conjuntistas, simplificar las expresiones: { } a. Si A ⊂ B, simplificar [(A ∪ B) − C] ∩ [(A − B) ∪ C] n2 − 9 B= / x ∈ Z , - 2 < n ≤ 5 n -3 b. Si A ⊂ B ∧ C ∩ A = Φ , simplificar [A ∪ (B - C)] ∩ [B ∪ (C − A )] 02. Determinar por compresión los siguientes conjuntos , A = { , 14 , 18 , 22 , 26 } 10 06. Sombrea de acuerdo a la operación indicada: 11 13 15 17 19 B= , , , , 8 16 32 64 128 { [B’∪ (A ∪ C)’] ∩ [ C’∪D’] }’ A B C D 03. Sean los conjuntos U = -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 A = {- 1 , 0 , 1} ; B = { 2 , 3 , 4} Si, M = {x ∈ U / x ∉ A ⇒ x ∈ B} Hallar M′. 07. En el Hospital E. Rebagliati se encuentra hospitalizados 120 personas, que sufren las siguientes enfermedades:. 45 sufren de diabetes., 46 sufren del corazón., 38 04. Si B = { a } ; C={φ,b}; sufren de hepatitis., 7 sufren de diabetes y del corazón., 8 sufren del corazón y hepatitis., 10 sufren A = P(B) ∪ C. Hallar: a. A–(B∪C) (A∪B)∩C hepatitis y diabetes y 12 no se les detectó ninguna enfermedad. b. ¿Cuántos pacientes tienen las 3 enfermedades? c. P ( A – ( B ∪ C ) ) 3 GUIA DE ESTUDIO Nº 02 TEMA:CONJUNTOS 01.Determinar por extensión los siguientes conjuntos: 1 A = x / x ∈ N ∧ 1 ≤ x < 5 2 C = (x − 3) ∈ N / x 2 − 3 x − 4 B = {(3x − 2) ∈ " Núme ros pares" /1 ≤ x ≤ 6, x ∈ N} { } 02. Determinar por compresión los siguientes conjuntos , 1 1 1 1 1 A = 1 , , , , , 2 4 8 16 32 11 14 17 20 23 B= , , , , 6 8 10 12 4 C = {- 7 , - 3 , 1 , 5 , 9.................} 03. Siendo E = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4} y los subconjuntos de E: A={x/x +3=3 ⇒x≠0} Determinar: a. ( A ∪ B ) – ( A ∩ B ) B={x/x≠1 ∨ x<2 } b. [ ( A ∩ B ) – (B – C ) ]′ C = { x / x + 3 = 3 ∧ 2x – 1 = 3 } 04. Utilizando las propiedades conjuntistas,simplificar las expresiones: a. Si A ⊂ B ∧ (A ∪ B) ∩ C = Φ , simplificar [A − (B ∩ C)]′ ∪ [(A ∪ C) − (A ∩ B)′]′ b.. { [ (A ′ ∩ B) ∪ (B ∩ A ) ] ∩ B′} ∪ A A = { x ∈ U / ( x 2 – 4 ) ( x 2 – 9) = 0 } C = x ∈ U / ( x + 1) ∉ A } [ ( A ∆ C ) ∩B ] ′ 05. Dado los conjuntos: U = { x∈ Z / -3 ≤ x ≤ 3 } B = x ∈ U / ( 1 – x ) ∈ A } Calcular: a. [ ( A –C ) ∪ B ] ′ b. 06. Responda en cada caso: a. A C En el siguiente gráfico. B Sombrear la región que representa a M = { x ∈ U / x ∉[ (A – C) ∪ (B ∪ C )′ ] [ ( A ∪ B ) - C ] ′∩ A c. } b..Que expresión representa la región sombreada en la figura. A C B 4 la pierna y el brazo? 09. 30 leen A y B pero no C.6 fueron heridos en la pierna y la cabeza. y C. ¿Cuántos médicos ni ascendieron ni obtuvieron un aumento? 08.10 pacientes estudian. De estos 47 investigan el cáncer. ¿Cuánto médicos ascendieron o obtuvieron un aumento? b. En un hospital con 420 médicos. Se tiene que presentar un informe acerca de los pacientes sabiendo que:15 pacientes no estudian ni trabajan. En el pabellón A de un hospital hay 40 pacientes. El número de los que leen sólo B es el mismo que el total de los que leen A y C. ¿ Cuántos leen sólo la revista A? 12. 115 un ascenso y 60 obtuvieron ambas cosas. De una encuesta a 270 personas para establecer preferencias de lectura de las revistas A.42 fueron heridos en la cabeza . B. obtuvieron El 65% de la población de una ciudad no ve el canal A de T.V. 20 leen sólo C. algunos que estudian o trabajan y otros que ni estudian ni trabajan. Si todos fueron heridos ¿Cuántos fueron heridos en la cabeza.43 fueron heridos en el brazo . se obtienen los siguientes resultados: Todos leen alguna de las tres revistas. 10. a.8 fueron heridos en la pierna y el brazo . Si el 55% ve el canal A o el canal B pero no los dos canales. y el 50% no ve el canal B.07. ¿Cuántos trabajan? ¿Cuántos solo trabajan? ¿Cuántos solo estudian?. En una batalla intervienen 100 soldados de los cuales: . ¿Cuántos médicos en el instituto no estudian el cáncer ni el sida? 11. 35 investigan el sida y 23 ambas enfermedades. 5 . El número de los que leen A y C es el doble del número de los que leen las 3 revistas. 12 leen B y C pero no A. En un instituto de investigación científica trabajan 67 médicos.32 fueron heridos en la pierna . 240 obtuvieron un aumento. 3 pacientes estudian y trabajan. ¿Qué porcentaje de la población ve ambos canales?.5 fueron heridos en la cabeza y el brazo . todos menos 80 leen la revista A. ¿Cuántas palabras de 5 letras pueden formarse sin que las palabras tengan necesariamente significado? b. Uno de ellos debe figurar en cada grupo. Dos de ellos no debe figurar en cada grupo.. 06. 3 . Uno de ellos debe figurar y otros dos no deben figurar en cada grupo. ¿De cuántas maneras pueden agruparse 6 médicos.8 . ¿Cuántos grupos de 4 miembros. 3 hombres y dos mujeres de modo que las mujeres no estén juntas? 04. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar en una fila de 5 butacas . Cuántos números diferentes de 5 cifras pueden formarse con los dígitos: 1 . .. se pueden formar de manera que en cada grupo esté integrado por lo menos por un médico? 6 . 9 en los cuales no se repite ningún número. ¿De cuántas formas diferentes se podrán ordenar los libros si los que no son de Biología deben estar juntos? 02. C 2 = 450 08 De un equipo de 12 personas.GUIA DE LABORATORIO N ro 3 … TEMA:ANALISIS COMBINATORIO 01. De la palabra EUCALIPTO se escogen 2 consonante y 3 vocales diferentes. 07.. 05. Hallar el valor de x si : x P2x . Se ordenan 6 libros en un estante donde 2 de ellos son de Biología.. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 3 hombres de entre un grupo de 15 hombres de manera que: a. 4 químicos y 3 biólogos de manera que en cada grupo hay 3 médicos . 2 . 5 de ellos son médicos. 2 químicos y un biólogo? 03.. c. ¿De cuántas maneras puede hacerse? a. ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar la junta directiva?. si tiene que haber 3 demócratas y 2 republicanos. de los cuales se seleccionan 4 al azar . ¿De cuántas maneras si todos han de ser del mismo partido. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar sabiendo que de las 9 personas sólo 3 pueden llevar el timón? 08.GUIA DE ESTUDIO N ro 3 TEMA: ANALISIS COMBINATORIO 01. 10.En una clínica trabajan 18 enfermeras: a. de ellos 8 son médicos ¿Cuántos grupos de 6 miembros se puede formar de manera que se considere a lo más 4 médicos? 04. secretario y tesorero .¿Cuántas señales diferentes pueden hacerse izando 6 banderas de colores diferentes una sobre otra . Calcular el número de objetos. 3 . 07. 1 .¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los dígitos 0 . 02. si de éstos . si se puede izar cualquier número a la vez? 11. El número de combinaciones de x objetos tomados de 3 en 3 está en relación a 1 con el número de combinaciones de los mismos objetos tomados de 2 en 2 . Calcular x + n . b.. si: n V3 -2 = 210 donde x C 8 = 45 09. 2 . 4 . solo tres ocuparán los cargos de presidente . ¿Cuántos grupos de trabajo conformado por 6 médicos y 5 enfermeras pueden formarse? 03. ¿Cuántas guardias diferentes de 3 enfermeras pueden formarse? b.¿En cuántas guardias de las formadas en (a)estará una enfermera determinada? 7 . ¿Cuántos comités se pueden formar si dicho comité debe estar integrado por lo menos por 2 médicos. Se va elegir un grupo de 5 congresistas.Un equipo de investigación costa de 14 integrantes.En una clínica hay 10 médicos y 12 enfermeras.De un grupo de 9 personas se quiere escoger un grupo de 7 para abordar un bote con 6 remos y un timón . ¿De cuántas puede hacerse. 05. 5 ? de manera que no se repita los números. 06.Con 6 enfermeras y 5 médicos se van a formar comités de 4 miembros.En un Congreso Legislativo hay 20 demócratas y 10 republicanos.Para formar una junta directiva de tres miembros se presentan 6 candidatos . Ocurran dos caras. de que haya trueno es 0. Obtener una suma de 6 03. ¿Qué porcentaje de los pacientes tenían uno u otro de los padecimientos? 04.Si se lanza una moneda 3 veces.03 ¿Cuál es la probabilidad de que llueve o truene ese día? 8 .Andrés .10. De 150 pacientes examinados en una clínica.Se elige un comité de 6 personas de un grupo de 7 médicos y enfermeras. Beto y Carlos ejecutan un penal . y 1/4 respectivamente . se encontró que 90 tenían enfermedades cardiacas.05 y de que llueve y truene 0. 05. . 30 bolas rojas y 40 bolas negras. b. de los cuales 6 son defectuosos . Ocurran al menos dos caras.GUIA DE LABORATORIO N RO 4 TEMA: PROBABILIDADES 01. 02. las probabilidades que tienen para hacer un gol son 1/3 . b. La probabilidad de que llueve en Chosica el 12 de octubre es 0. ¿Cuál es la probabilidad de que haya escogido 2 relojes defectuosos?. 1/2 . 07. calcular la probabilidad de que: a.. 50 tenían diabetes y 30 tenían ambos padecimientos. Obtener una suma de 7 06.Consideramos el experimento de “el lanzamiento de dos dados“. Calcular la probabilidad de: a. En una ánfora hay 25 bolas blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos haga un gol? 08. Calcular la probabilidad de que en dicho comité haya una enfermera por lo menos. Expresar porcentualmente las probabilidades de extracción de cada uno de los colores en un solo intento. Se escogen al azar 3 relojes de 15 . 20 .30 y P(A ∩ B) = 0. la de ganar el segundo premio es de 3/8. Calcular P(A′∩B′) 07. ¿Cuál es la probabilidad de que la caja contenga: a. c. b. 02. Fume pero no tenga cáncer pulmonar No fume ni tenga cáncer pulmonar Fume o no tenga cáncer pulmonar No fume o no tenga cáncer pulmonar. 9 . d. Exactamente 1 tubo defectuoso.40 % tienen cáncer pulmonar. c. y 25% fuman y tienen cáncer pulmonar .01. Un experimento aleatorio consiste en disponer los dígitos 2 . 40 % una mutación en los ojos y el 15 % ambas mutaciones. Hallar la probabilidad de sacar un corazón o una espada en una simple extracción de un mazo de casinos de 52 cartas? 04.A TEMA: PROBABILIDADES 01. En un salón de clase el 30 % de los alumnos son hombres y el 10 % de los hombres son de provincia mientras que el 80 % de mujeres son de Lima.En cierta comunidad el 70% de las personas fuman .9 05. 38% de ellos sufre una mutación en las alas. e. 3 . Sean A y B dos eventos que no son mutuamente excluyentes tales que: P(A) = 0. Suponga que en un sorteo la probabilidad de ganar el primer premio es 2/5. Si la probabilidad de ganar al menos uno de los 2 premios es 3/4.GUIA DE ESTUDIO N RO 4 . Ningún tubo defectuoso? b.6. A lo más un tubo defectuoso. c. Se escoge una entre todos. F C C c F c Determinar la probabilidad de un individuo escogido al azar: a. b. Una caja contiene 100 tubos fluorescentes. Que el 3 aparezca junto al 4 y en ese orden. La probabilidad de que haya al menos un tubo defectuoso es 0. 4 uno a continuación de otro. ¿Cual es la probabilidad de que al menos tenga una de las mutaciones? 03. En una gran población de moscas de fruta.8.05 y de que haya al menos 2 tubos defectuosos es 0. Si del salón de clase se selecciona uno al azar ¿Cuál es la probabilidad de que sea de Lima? 08. Si F y C denotan los eventos de fumar y tener cáncer pulmonar (Completando la tabla adjunta) . P(B) = 0. Calcular la probabilidad de: a. 06. El número formado sea mayor que 6 x 10 7 .5. No fume pero tenga cáncer pulmonar. El número formado sea par.7.10 .¿ Cual es la probabilidad de ganar solo uno de los dos premios?. . Si se selecciona una caja de al azar y de ello se toma un sobre ¿Cuál es la probabilidad de que contenga un billete de S/. Hallar P(B) c. Si el estudiante es mujer. 250 350 200 800 Muj. Se tiene dos cajas. Adm. Si se sabe que el estudiante es hombre a.B TEMA: PROBABILIDADES 01. En la caja 1 hay 5 sobres sellados. ¿Cuál es la probabilidad de que esté en administración? Dado: P(A) =0. tres de ellos contienen billetes de S/. Ingeniería y Administración.7.5. Total 100 350 50 400 50 200 250 1000 Se selecciona aleatoriamente del grupo. b. ¿Cuál es la probabilidad 10 . La clasificación de los alumnos por sexo es como sigue: 02. Ing.P( A U B) = 0.GUIA DE LABORATORIO N RO 4 .00 y dos de ellos billetes de S/. y PA/B) = 0.00? Fac.00. Cierta Universidad en formación en su primer año de funcionamiento tiene 3 Facultades: Medicina. En la caja 2 hay 10 sobres sellados. 7 de ellos contienen billetes de S/. 100. Total Hom.00 y 3 billetes de S/. ¿Cuál es la probabilidad de que esté en medicina? 03. 50.00.5 . 50. Med. 100.50. la probabilidad que la alarma funcione es de 0. Sea S 1 el evento de que el hermano mayor sea miope. 05. la probabilidad que se produzca un peligro es de 0. Si éste se produce.2 0. Calcular P(S 1 |S 2 ) y P(S 2 |S 1 ). La probabilidad que funcione la alarma sin haber habido peligro es de 0.¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los hermanos sea miope?. Calcular P(S 1 U S 2 ).1 Se pide: a. La siguiente tabla muestra las probabilidades correspondientes a las 06.1 b. diferentes combinaciones de estas variables.6 0. En un sistema de alarma . Este problema se refiere a la miopía entre hermanos en familias con dos hijos. 11 .1 Sobrepeso 0. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo seleccionado al azar tenga sobrepeso o presión alta b) Calcular la probabilidad condicional de que un individuo tenga presión sanguínea alta dado que se sabe que tiene sobrepeso- c.10.4. P(S 2 ) = 0. y S 2 representa el evento de que el hermano menor sea miope..03. Esta pregunta trata sobre la relación entre el sobrepeso y la presión sanguínea (BP) en los hombres. Determinar la probabilidad que haya un peligro y la alarma no funcione.04.95. BPNormal BP Alta Peso Normal 0. Si se sabe que P(S 1 ) = 0.2 y P(S 1 S 2 ) = 0. La probabilidad de que una persona escogido al azar pertenezca al servicio de dietas: 03.GUIA DE ESTUDIO N RO 4 .. Las preguntas 02 AL 06 están relacionadas con el uso del siguiente tabla donde se relaciona categoría de trabajo y grupos de edades: ----------------------------------------------------------------------------------------------------GRUPOS DE EDADES A1 A2 A3 A4 CATEGORIA TRABAJO < 25 26-30 31-35 >35 TOTAL -----------------------------------------------------------------------------------------------------B1 MEDICOS 0 5 25 75 B2 SERVICIOS DE LABORATORIO CLINICO B3 SERVICIOS DE DIETAS B4 SERVICIOS DE REGISTROS MEDICOS B5 SERVICIOS DE ENFERMERIA B6 FARMACIA B7 TECNOLOGIA RADIOLOGICA B8 SERVICIOS TERAPEUTICOS 20 30 35 35 3 6 6 10 7 15 8 12 200 1 375 12 442 8 203 3 4 10 19 12 5 25 15 10 B9 OTROS SERVICIOS 20 35 50 25 -----------------------------------------------------------------------------------------------------TOTAL 260 513 608 385 Calcular: 02. La probabilidad de que una persona escogido al azar sea medico o tenga edad entre 26 a 30 años: 04. La probabilidad de que una persona tenga edad mayor de 35 años dado que pertenece al servicio de laboratorio clínico: 12 .B TEMA: PROBABILIDAD 01. Se realizó un estudio para examinar si las personas con un IQ alto tienden a casarse entre ellos. ¿Cuál es la probabilidad de que la esposa tenga un IQ alto. Cada slide fue revisado por un particular graduador y se volvió a revisar después de 6 meses por el mismo graduador. P(M) = 0. Los resultados obtenidos fueron los siguientes: P(F∩M) = 0. ¿Cuál es la probabilidad de que fume cigarrillos dado que es varón? 09. para lo cual se obtuvieron datos de 1000 parejas. Se elige un trabajador al azar. el 55% son mujeres y el 75% son mujeres o fuman cigarrillos.05. Existen dos candidatos a la alcaldía un independiente y un gobiernista. 80% de los independientes y 10% de los gobiernistas votaron por el independiente.20 a) Y P(F) = 0. En una clínica se ha determinado de que el 40% de los trabajadores fuman cigarrillos. por consiguiente. Si se selecciona un votante al azar ¿Cuál es la probabilidad que haya votado por el gobiernista 08.8.05 . dado que su esposo también lo tenga? b) Si al menos uno de los miembros de la pareja tiene un IQ alto. 07. P(B) > 0. se pide calcular los valores de las probabilidades de P(B’) y P(B/A’). P(A∩B)=0. ¿Cuál es la probabilidad de que la esposa lo tenga? c) ¿Cuál es la probabilidad de que solamente la esposa tenga un IQ alto? Sean los eventos A y B dados en Ω con P(A). La probabilidad de que una persona tenga categoría de trabajo de medico o de tecnología radiológica.10 10.y si esto está relacionado también con el sexo.80.2 y P(A’)=0. En una elección el 55 % de los votantes están registrados como independientes y el 45% están registrados como gobiernistas. Sea M el evento que denota que el miembro masculino de la pareja tiene un IQ alto y F el evento que denota el hecho de que el miembro femenino de la pareja tenga un IQ alto. el 20% de los independientes y el 90% de los gobiernistas votaron por el gobiernista. La probabilidad de que una persona tenga categoría de trabajo de farmacia y edad menor de 25 años: 06. ¿Cuál es la probabilidad de que fume cigarrillos y sea varón? b. se pide: a. 13 . Los problemas 13 al 16 están en relación al siguiente enunciado: En la siguiente tabla se presenta los resultados de un estudio histológico para medir la variabilidad de la evaluación de manchas cervicales a través de la presencia o ausencia de un determinado tipo de célula anormal. En l a elección. Se tiene los siguientes resultados P(A/B)=0. 1763 403 2166 489 670 1159 2252 1073 3325 ---------------------------------------------------------------------- ¿Cuál es la probabilidad que células anormales estén ausentes en ambas revisiones? ¿Cuál es la probabilidad de encontrar ausencia en la segunda revisión dado que las células anormales estaban presentes en la primera revisión? ¿Cuál es la probabilidad de encontrar presencia en la segunda revisión dado que células anormales estaban ausentes en la primera revisión?.Primera Revisión Presencia Segunda revisión Ausencia Total ----------------------------------------------------------------------Presencia Ausencia Total a. 14 . b. c. B = [ -3 . Se tiene los siguientes intervalos: A = < -2 . 0 >. 2> . 2] .B′)′ 06. Hallar: a.Resolver: ( x + 4) 2 = 2 x(5 x − 1) − 7( x − 2) c. (E ∩ A ) ∪ (E ∩ B) 04. 3] → x ∈ [0 . c = [-4 . Dado los intervalos: A = < -2 . ( A′∩ B ) ∪ C 07. 15 . 5> . 5] } S = {x ∈ R/x < −6 ∨ x > 0 } Hallar : M ∩ S′ a la otra en tres unidades. B = [ 0 . 1 1 1 A = x ∈ R / 2 ∈ . Calcular el valor de “m” en la ecuación: x 2 + (2m + 5 )x + m = 0. ( A ∪ C ) – B 2 { S = {x ∈ R/6x Hallar } − x−2 = 0} M ∪S b.GUIA DE LABORATORIO N RO 5 TEMA:INTERVALOS Y ECUACIONES 01. Sean los conjuntos: . (A′. sabiendo que una raíz excede 03. Si M = {x ∈ R/x ∈ [−6 . A′ ∩ ( C′∩ B′ ) 05. x 16 4 3 3 ∈ . 7]. 3 B = x ∈ R / x + 4 5 Hallar: (A ∪ B) − (A ∩ B) ′ b. C = [2 . 4> . Hallar: a. 3] Siendo el conjunto universal E = [-5 . Si M = x ∈ R/6x 2 − 5 x + 1 = 0 02. ∞ . 7 > ∪ < .45 = 0 d. +∞> Afirmamos que: I. Si se dan los conjuntos: A = < -2 . ( A∪ B ) ∩ C = < .-2 > . 8 ] } Hallar (A ∩ B ) ∆ C. Dado los intervalos: A = < -2 . . x 2 + 4x .∞. 6] ∨ x ∈ [4. 3x 2 + x . 7]. 6 ] II. 2 ] ⇒x∈ [0 . ( C – B)′ ∪ (A′∩B′)′ 02. -2 > ∪ [7 . A′ = < . ( A′∩ B ) ∪ C c. 5> . 3x 2 – 6x + 3 = 0 e.8] } B = {x ∈ R / x ∈ [-4 .GUIA DE ESTUDIO N ro 5 TEMA: INTERVALOS Y ECUACIONES 01. 0 > Siendo el conjunto universal a.A′)′ d. 06. Si 06.( B ∩ C ) 04. (C – A) = [ 7 .10] } C = {x∈ R / x ∈[ -5 .∞ . +∞> III. x 2 – 4x . B = < . B = [ 0 . 2]. Sean los conjuntos : A = { x ∈ R / 4 < x 2 < 16 } .C)′ – ( B′ . Hallar: (E ∩ A ) ∪ (E ∩ B) b. 2x 2 + x – 1 =0 c. B = { x ∈ R / 5 < x 2 +4 <13 } Hallar: (A ∪ B ) ∩ ( A ∩B′ ) 05. +∞> ¿Cuáles son verdaderas? 03.∞ .{ 1 }. 2> . Se tiene los intervalos siguientes: A = < -5 .10 = 0 16 . C = [2 . Hallar: b. (A U B)′ . 3] E = [-10 . 5> ∧ x ∈ [0. C = [-1 . Si: A = { x ∈R / x ∈< -5 . ( A .21 = 0 f. 4> . 7> . B = [ -6 . C = [6 . ( B′ – A)′ ∩ (C . x 2 – 11x + 28 = 0 b. Resolver las siguientes ecuaciones por factorización: a. -2> IV. ( A ∩ C ) ∪ B = < 6 . (A∪C)–B b.C) c. sabiendo que una de dichas raíces es inversa de la otra. Resolver en R . b. 13. x 2 – 6x + 6 = 0 5x 2 + 4x – 1 = 0 x 2 + 5x . 17 . c. calcular en función de a . Hallar las raíces de : . 09 Resolver la ecuación 1 1+ 1 1+ 1 x = x +1 2 ¿ Cuál es la mayor raíz? 10. b. Hallar la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación: (2k + 2)x 2 + (4 – 4k)x + k. Resolver la ecuación : 1 1 1 1 + = + x−a x−b a b 11. Si una de las raíces de la ecuación (2n – 1 ) x 2 + (5n + 1)x –3 = 0 es –3 . y c el valor de las siguientes expresiones: a) 1 α + 1 β b) 1 α 2 + 1 β 2 c) α 2 + β 2 d) α 3 + β 3 e) 1 α 3 + 1 β3 12. Determinar el valor de n y el de la otra raíz. d. f.4 = 0 16x 2 + 24x + 5 = 0 5x 2 – 3x – 2 = 0 08. son las raíces de la ecuación ax 2 + bx + c= 0 .5 = 0 2x 2 – 2x – 1 = 0 x 2 + 2x .07.2 = 0 . Si α y β . e. completando cuadrados. a. GUIA DE LABORATORIO N RO 6 TEMA: INECUACIONES 01. (x . 2x − (x − 2)(x + 5) ≤ 7(x + 3) 2 08. Resolver las siguientes inecuaciones: a) 5 ≥ 4x .3x 3 – 13x + 15 > 0 04. Resolver por el método de factorización.1) 2 − ( x + 2) 2 ≥0 ( x − 2) 2 − ( x + 1) 2 03. Hallar el conjunto solución de: x 3 . Resolver las siguientes inecuaciones racionales x +1 >0 x-2 b. b) 7 1 (3x − 7) ≤ (x − 4) 3 2 02. a. Resolver: 2x .5 ≥ 10 05. Si: A= {x ∈ R / 3 x −1 > −( x − 4)} y B = {x ∈ R / x 2 –7x +12 ≤ 0} Hallar A ∪ B . Dado los conjuntos : A = {x ∈ R / (x − 5) 2 ≥ (x + 2) (x − 3)} B = {x ∈ R / (x + 2) 2 < (x + 3) 2 Hallar : (A ∆ B)′ 07. Resolver: − x 3 + x 2 + 22x − 40 ≥0 x 2 + 7x 18 .15 5 2 ≤ (2 − x) > (8 − 5x) 2 3 3 06. Hallar el conjunto solución de: a) 3 x (x − 1) ≤ 3x + 2 < 5 + 2 2 x 6 3x 11 14 c) + < + > 2x − 2 5 4 5 5 b) . 04. aumentado en 8 es menor que el triple del número. Hallar el número.2 2x + 3 ≤ − (3 x + 2) 2 3 2x 3 − 4x d) 2x < + 3 4 3x − 4 < 4x .1 2 02. 5x . Resolver las siguientes inecuaciones: a) .2(x + 1) 2 06. Resolver por el método de factorización. + > −3 > x +1 x + 3 x . Si 80 ≤ IQ ≤ 140 para un grupo de niños de 12 años de edad .1) 2 < 9x . x 2 − 5x − 6 ≥ 0 b. − > x . El cociente intelectual IQ está dado por IQ = EM x100 donde EC EM = Edad Mental y EC = Edad cronológica.2 + x ≤ 4x .. b. 4(x . disminuido en 6 es mayor que la mitad del número. Sean los conjuntos: A = {x ∈ R / x 2 – x –2 ≥ 0 Hallar A -B 07.7 x +1 x +1 x −1 y B = {x ∈ R / x 2 –4x -5 ≤ 0} 19 .2x 2 + 3 < 0 c.x + 2 ≤ 03. Resolver las siguientes inecuaciones racionales 1 2 x+4 x a.8 < 3 c) x x -3 x + 2 + > 2 3 6 b) x . aumentado en 15.3 x +1 x+4 x 3 5 c. 05. aumentado en 4 y el cuádruplo del número. Encontrar el rango de las edades mentales. a. < d.GUIA DE ESTUDIO N RO 6 TEMA: INECUACIONES 01. Si el triple de un número. d. a. Hallar el conjunto solución de: a. 1 1 ≥ 3x − 7 3 − 2x c. x+2 >0 x2 +1 x +1 <0 x2 + 3 c. f. 1 1 1 − 2 < 2 x + x x − x x −1 2 b. 4x − 24 <1 x − 2x − 15 2 11. x ≤1 x −1 1 >3 x 09. 2x 4 – 7x 3 – 11x 2 + 22x + 24 < 0 10. (x − 1)(x − 2) ≥1 (x − 3)(x − 4) Resolver: b. (x + 3) 3 (x − 3) 2 (x 2 − 1) ≥0 (x 2 + 1)(x − 2) 4 (x + 3) 3 20 . x <1 2x + 1 1 ≥4 x − 2x + 1 2 b. Hallar el conjunto solución de: a. 2x 3 + 3x 2 – 11x – 6 ≥ 0 b.08. Hallar el conjunto solución de : a. e. a. x 2 − 2x + 4 = x − 1 a) 2x . 1 + x 2 − 2x > 3 − x 21 . Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto. Si A = { x ∈ R/ x + 1 < 2x + 2 } y B = { x ∈ R/ x +2 ≤ x } 2 a) x + 4 = 3 x − 9 Hallar A ∩ B. b) x + 3 = 2 x + 1 02. Hallar el conjunto solución de siguientes ecuaciones: las 03.4 > 3 x + 1 b) x 2 . Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones.4 ≤ −2 x + 4 b.GUIA DE LABORATORIO NRO 7 TEMA: VALOR ABSOLUTO Y SISTEMA DE ECUACIONES 01. 04. 5 y los de niño S/. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones. A un espectáculo asistieron 600 personas. 1 1 + =2 3. 08.x y − 2 7 3 − =4 3. Resolver: 07. x − 2x − 3 > 0 2 x − 11x + 28 ≥ 0 2 22 .x y − 2 06. Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones.05. 2 . Si la taquilla fue de 2 400 ¿Cuántos niños asistieron al espectáculo? a. x +1 x +1 −2 >0 x+3 x+3 2 . los boletos de adulto cuestan S/. 1 < 2 ⇒ 3 ∈< 1/4 . 2 2 4 2 04 ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? a. x 2 − 3x − 6 ≤ 6 + x 06. x −1 − 2 x+3 ≤0 7x − 1 − 2x 2 x −1 c. ≥5 e.GUIA DE ESTUDIO N RO 7 TEMA: VALOR ABSOLUTO Y SISTEMA DE SCUACIONES . 29/3] Si x . 23 . Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto. 1] 2x + 7 b. x x 7 +3 ≤ . 05. x 2 − 4 = −2x + 4 b. Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones. 3x 2 − 5 x − 2 ≤ 3x 2 + 4 x + 1 x +5 x +5 +1 − 3 +1 − 4 = 0 7 7 2 d.3 b) 2x + 1 2 ≤ 3 3 c) e) 6 . 3/8 > x+9 c. 1 . Hallar la suma algebraica de todas las soluciones de la ecuación: a. Hallar el conjunto solución de : a. a) 3x .x = 2 b. Si x > 2 ⇒ 1 ∈ [1/9 .3x 1 ≤ 1+ x 2 x 2 − 5x + 4 ≥1 x2 − 4 d) 2x + 5 > 3 03. a. Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: a) 3x . Si 3x .x = 2 b) x 2 + 2 = 2 x + 1 e) x 2 + 1 − 1 = 2 x − 1 c) x 2 . x 2 − 5x − 14 >0 x −1 b..2 ≤ 3 ⇒ 4x + 3 ∈ [5/3 .2 = 3 02.2 = 10 d) 3 .5 < 2x + 1 d) x+2 <4 2x . 01. 2 4x − 1 > 0 . a. 5 < x 2 − 8x + 25 < 18 09. + =0 x y 3 4 17 − =− x y 6 b. de ellos 21 son médicos. Dos clínicas contratan a 53 personas. a. Si la tercera parte que labora en una de las clínicas y los tres séptimos que laboran en la otra clínica son médicos.2x 2 + 5x − 3 > 0 b. 35 de materiales. ¿ Cuántos sofás y divanes se fabricaran en una semana?. ¿Cuántos empleados tienen cada clínica?. Un almacén de productos químicos tiene dos soluciones ácidas. Un diván requiere de 6 horas de trabajo y S/.07 Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones. ¿Cuántos galones de de cada tipo deberá mezclar para obtener 200 galones de una mezcla que contenga 18% de ácido? 11. 24 . 2x + y = 11 3x . Una mueblería fabrica sofás y divanes.y = 9 c. Cada sofá requiere de 8 horas de trabajo y S. 2 250 para materiales cada semana.2y = 9 4 6 d. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones. x+y =2 3x . Si se dispone de 340 horas de mano de obra y S/. 4x + 3y + 4 = 0 6x + 5y + 7 = 0 10. 12. Uno de ellos contiene 25% de ácido y la otra contiene 15% de ácido. 60 de materiales. 1.) (A x B) ∪ (B x A). 7. 3. 5}.GUÍA DE LABORATORIO N RO 8 TEMA: RELACIONES 1. 3 .) (A ∩ B ) 2 tiene 4 pares ordenados. 4 } y B = { 3 . 5 } .) Calcular el área de la región representada por la relación siguientes afirmaciones. tiene 24 pares ordenados. 8} y dada las relaciones: = { (x .) A 2 ∩ B 2 ∩ C 2 tiene un par ordenado. = { (x . definida en R por: R = {(x.)Dado los conjuntos A = {2. B={x∈Z /0≤ x ≤ 3}. 6 . y) / 9 ≤ x 2 + y 2 ≤ 16} b. 2 . 25 . 2. Hallar : a) A x B A b)A x A c) B x R R 1 3.) Dados los conjuntos A = { 0. y) / x + y = 5 }. y) / 2x + y > 5 } 2 Hallar n (R 1 ) + n (R 2 ) 2. c. C={x∈Z /-1 ≤ x ≤ 2}. Establecer la validez de las 4. 5 .) Sea A = {1 . a. 4 . ) R 4 = {(x. 5.5. y)∈R 2 /y5x-4y+12 ≥ 0}.) Construir el gráfico de las siguientes relaciones definidas en R. y)∈ / x 2 +y 2 >16 ∧ x>y} 6. Halla m.) R 3 = {(x. 1]} b. 4. hallar su dominio y rango. y)∈R x R / y=x 2 –2x–3} b.) Sea M = {1. Calcular el área de la región: R 1 ∩ R 2 26 . y)∈R 2 / x ≤ 4 . si R = {(x . 2. 7.) Hallar la inversa de las siguientes relaciones: a. 3.) R 1 = {(x. y)∈ / x 2 +y 2 ≤25 ∧ x 2 >2y+1} d. 8. 9}. y R 2 = { (x. 6.y ≥ −3 }. Si m es la suma de todos los elementos del dominio de R y n es la suma de todos los elementos del rango de R.) R 1 ={(x.) R 2 = {(x. 7. y)∈ / x 2 + y 2 ≤ 9 ∧ x≥0} c. y) / 2x – y = 5} y R ⊂ M x M.) R 2 = {(x. n. y)∈ R x R / y= x + 2 } 8. y)∈ / x ≤ 2y ∧ y ∈ [-2.) Dada las relaciones: R 1 = {(x. a. 6 . y) ∈ AxB / x + y = 6 R 4 = (x . y)∈R x R / y = x 2 } R2 = (x . según sus correspondientes reglas de correspondencia. 8 .y) ∈ Z 2 / y 2 + 2 = x + 3}.) Si: R 1 = { (x . 1]} R 2 = { (x .) Sea U = {0 . rango y graficar las relaciones siguientes. 4 . Dado: A = x ∈ N / 4< x + 1 < 8 B = x ∈ Z / x+1 < 3 3. y) / y = x 2 } c. y)∈R 2 / y = 2x -1.) (A – B) x (A ∩ B). 2. y) ∈ Z 2 / x = y + 1 } R 2 = {(x . R 1 = {(x.) Tabular las siguiente relaciones definidas en A x B R 1 = (x . Hallar R 1 ∩ R 2 . a.) R 1 = {(x . 2 . y)∈RxR/ x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + 4 = 0 } 27 . R 3 = (x .) Sean los conjuntos A = {x ∈ Z/ -1 ≤ x ≤ 1} y B = { x ∈ N / 1 < x < 3} Hallar: a. R 1 = {(x.4y + x – 2 = 0} R 2 ={(x. rango y graficar las relaciones siguientes.3y > 2 6) Hallar el dominio.) R 2 = {(x . Hallar el dominio. 10 . 12} y sean las siguientes relaciones definidas en U. x∈ [-2. y) / y > 2x} Determinar por extensión cada una de las relaciones indicando dominio y rango. y) ∈ AxB / y + 1 ≤ 2x. y) / y = 3x} b.GUIA DE ESTUDIO N RO 8 TEMA: RELACIÓN 1. 5). y)∈ RxR / y 2 .) R 3 = {(x .) (A x B) ∩ B 2 b.) R 4 = {(x . y) / xy = 24} d. 4. y) ∈ AxB / x > y + 3. y) ∈ AxB / 2x . ) R 1 = { (x . y)∈ R x R / y= x+2} 8) Construir el gráfico de las siguientes relaciones definidas en R. y)∈ / x 2 + y 2 ≤9∧ x≥0} R 3 = {(x . y)∈ / x ≤ 2y ∧ y ∈ [-2 . hallar su dominio y rango. y)∈ / x 2 + y 2 ≤ 25 ∧ x 2 > 2y + 1} R 4 = {(x . y)∈ / x 2 + y 2 > 16 ∧ x > y} 28 .7) Hallar la inversa de las siguientes relaciones: a. y)∈R x R / y = x 2 –2x – 3} b.) R 2 = { (x . R 1 = {(x . 1] } R 2 = {(x . 5).) Dada las siguientes relaciones: a. Hallar el valor de: 1/2 f(1). (2.) Sea f una función real. Hallar f(m + 2) . y)∈ R 2 / y = x + 1 } R 6 = {(x. (-1. m.16.) Sea f una función real de variable real definida por : f(x) = mx + b. y)∈ R 2 / y= x+5} 29 . R 5 = {(x. y)∈ R 2 / y = x} 4. hallar lo que se indica: f(x + 3) = x 2 − 1 .) Determinar el dominio y rango solo de las funciones. -3 ). 2m-n ).n ). R 1 = {(x. (m + n . n) } sea una función encontrar los elementos de f. talque : 2f(2) + f(4)= 21 y R 2 = { (x. (-1 .GUÍA DE LABORATORIO N RO 9 TEMA: FUNCIONES 1. de variable real. y)∈ R 2 / y = x 2 } f(-3) – 3f(1) = .f(1) . 3.) ¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones? b.) Hallar “m” y “n “para que: A = {(2. m≠3 m−3 2. ) f(x) = x 2 + 2x − 3 x+3 2 .6 < x ≤ −2 c.) f(x) = x2 2−x c.) Trace el gráfico de las siguientes funciones indicando su dominio y rango.) Determinar el dominio de la función.x 2 .2 < x ≤ 3 x + 1 .) Si f(x) = x + 2 − 6x 2 7.5. si x < 5 6. si x > 5 a.) Hallar el Rango de f(x): a. si . 2x .3 . ) f(x) = 6 . a.3x .) Calcular f(-1/2) + f(2/3). si 3 < x ≤ 8 b.x . ) f(x) = . .) h(x) = 4 x +4 2 30 . b. si . ) f(x + 1) = x 2 − 1 .) Dada la función: f = { (1 .) Determinar el dominio y rango solo de las funciones.) Dada las siguientes relaciones: R 3 = {( x. y)∈R 2 /x 2 + y 2 = 25 x≥ 0} R 6 = {( x.) Sea f una función real de variable real definida por: f(x) = mx + b . 4. f(1)= 0.) Si f: R → R. . x+2 8. 5]. es una función cuadrática tal que f(0)= 1. ) f(x + 3) = x 2 − 1 b. hallar el elemento del dominio que tiene 3 6. b)}.16. m≠3 m−3 f(m + 1) . f(3)= 5..) Dada la función f(x) = como imagen 5/6. ( 2. talque: 2f(2) + f(4) = 21 y f(-3) – 3f(1) = . 2. Si f: R → R. Hallar Hallar f(m + 2) . donde k = 7. ( 2. (a. 2a – b). 8). a+b).f(1) . y)∈ R 2 / x = y 2 } R 4 = {( x.) Si f(x-3) = x 2 + 1. (1. Hallar el valor de: 1/2 f(1). f(0) + f(6) 3x − 2 . y)∈ R 2 / x = 5 } a. es una función definida por f(x) = Rango de f es [ 1.f(1) . m ≠0 m 5. hallar lo que se indica: a. 3. hallar f (x +1).GUÍA DE ESTUDIO N RO 9 TEMA: FUNCIONES 1. de variable real. y)∈ R 2 / y = x+5} R 7 = {( x. Determine su dominio y rango.) f(−1) + f(1) . Hallar el Dominio de f.) Sea f una función real.) ¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones? b. Hallar el valor de “k” . 5x − 2 . 1). 31 . ) f(x) = x − 3 + 2 c.) h(x) = g(x) = x 2 − x x( x − 4) 11. b.) g(x) = − x + 1 + 2 x − 3 + 4 d.) Hallar el rango de las siguientes funciones: a.) Grafique las siguientes funciones y determine su dominio y rango: a.) f(x) = x2 2−x 10.) f(x) = x2 x2 − 4 2 c.3 .) h(x) = e.) f(x) = x 2 − 9 f. si x > 3 f(x) = 2x + 1 .) f(x) = −x x −4 2 b. x .) h(x) = − 2 x + 5 x − 9 32 .9.) Hallar el Rango de f(x): b. si x < 3 12. b.) Trace el gráfico de las siguientes funciones indicando su dominio y rango. graficar f y f -1 indicando dominio y rango. 3) g = (1 .) Sea la función f(x) = 3x + 2k. 2) . 6> . (10 .) f +g c. 6) .) f .) Si f(x) = x 2 + 2 y g(x) = x +m.3 si x ∈ [-4 . (6 . 4) .) f o g 5.) Resolver en cada caso: a. y g(x) = Hallar .) f o g b. si x ∈ [−1.) Si f(x) = 4x + 2 y g(x) = x + n.) g o f a. (3 .GUÍA DE LABORATORIO N RO 10 TEMA: FUNCION INVERSA: COMPOSICIÓN Y ÁLGEBRA DE FUNCIONES 1.) g o f 2x − 1 3 si x ∈ [ -2 . 1) . g d. (7 .) Si f(x-2) = 2 calcular el valor x−3 de x de modo que (fof)(2/x) = 5 2.) Dadas las funciones: f = (2 . -3) Hallar: b. 33 . 3. 9) . 5) . 3>. -4) . determinar el valor de “m” de modo que: (f o g) (3) = g o f (m-1). (4 .1)] b. (5 . 6) .(-3 . (8 . a.) Hallar La función inversa de: f(x)= 3x – 1.2] . (9 . hallar el valor de “k” de modo que f(k 2 ) = f -1 (k+2) c. Hallar el valor de “n” de modo que: f [g (3)] = g [f (n . 4.) Si f(x) = 4x . 2) . .) Hallar el dominio de las siguientes funciones: 2 a.) f(0) + g(0) b.) f(1).2 si x ∈< 0 .7 > Si f(x) = 2x si x ∈ [. si x > -2 g(x) = 2 x + 3x .x + 3 si x ∈< −4 . Sea la función f:[1 . hallar la ecuación que defina a la función inversa de f y calcular f -1 (-3).) Si se sabe que f(-1)= 4 y f(3)= -2.10 .4] g(x) = .) f(x) = 1 + x − 6.) x 2 si x ∈ [. 0 > 2x 2 .) si f tiene inversa .GUÍA DE ESTUDIO N RO 10 TEMA: FUNCION INVERSA: COMPOSICIÓN Y ÁLGEBRA FUNCIONES 1. 0] x 2 + 2 si x ∈< 0 .) fog(-2) d.) f(0) + g(0) c. si x ≤ -2 Hallar: a. .) gof (-3) 4.) f(x) = c. realizar el gráfico de f y f -1 .2x + 4 establecedor 2. 3.4 .g(-3) c.4 . si x < −2 x − 5x f(x) = x − 2 − 2x . si x ≥ −2 2x .g(-3) d. +∞ > → R definida por f(x) = x 2 . 3] (f+g)(x) indicando dominio y rango graficar la función 34 . 8 > Hallar: f + g y y .) f(x) = x − x 2 −1 x -1 x −1 . g( x-3 ) = 3x – 5 Hallar: a.) fog (-2) b. donde f es una función lineal .) Sean f y g funciones definidas por: f(x + 1) = x 2 + 2 .) gof(-3) 5.) Sean f y g funciones definidas por: 2 .) f(x)= x + 1 x -1 2 b. 1 x+2 2x + 1 x+2 d.) f(1) .x 2 + x si x ∈< −8 . La temperatura medida en grados Fahrenheit en una función lineal de la temperatura medida en grados Celsius. a. aquellos se deprecian linealmente hasta llegar a cero en un período de 10 años. a. b. 750 al año y se tiene un valor de desperdicio de $.7. Una prueba para metabolismo de azúcar en la sangre.2)t – (0. es decir el valor de los libros decrecen en una razón constante. Un médico posee libros de medicina cuyo valor es de $.) Convertir 68º Fahrenheit a grados Celsius.) Escribir una ecuación que representa esta función lineal. b.1500.) ¿Por cuánto tiempo la maquina estará en uso?. c. 9. de manera que es igual a cero al cabo de 10 años. una hora después . llevada a cabo en un intervalo de tiempo. para efectos tributarios.9 + Encuentre la cantidad de azúcar en la sangre: Al principio de la prueba. si se deprecia linealmente por $. muestra que la cantidad de azúcar en la sangre era una función del tiempo t (medido en horas) y dada por: (0. Un laboratorio compra una maquinaria nueva por $15 000. 8.) ¿Cuál será el valor de la máquina después de 6años de uso? 10. Utilice el hecho de que 0º Celsius es igual a 32º Fahrenheit y 100º Celsius es igual a 212º Fahrenheit. Exprese el valor de los libros como una función del tiempo y dibuje la gráfica.) Convertir 15º Celsius a Fahrenheit.1)t 2 A(t) = 3. 35 . dos horas y media después de iniciado. 2 250. log 6 √120 02. log 25 b.3010 y log 3 = 0. Hallar el valor de x: 2 a) 2𝑥 + 𝑥−1 = 1 b) 7𝑒 2𝑥−3 = 𝑒 3𝑥 32𝑥−1 . Si log 2 = 0. log (3x .2log 2 4 2 b) Log 9 (3x-1)² = ½ c.calcular: 12 a.4771. log 2 (x-1) = 3 + (log 2 3+log 2 2) 3 .2) = log (x+1) + log 4 04. (18)²] c) d) 9𝑙𝑜𝑔𝑥 �𝑥 = 132𝑙𝑜𝑔𝑥 √𝑥−1 c. Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas: a. 93𝑥+4 = (27)𝑥+1 2 −10𝑥+25� 03. log 5 (2x-39 + log 5 (x-3) = 3log 5 24 c) Log x+1 (5x+19)=2 36 .GUIA DE LABORATORIO N RO 11 TEMA: ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 01. log[√54 .Hallar x: a) Log a � 3𝑥−1 𝑥+2 =0 b. En el Perú había 85 casos en 1990 y 330 casos en el año 2000. Suponga que el número de casos de SIDA diagnosticadas crece exponencialmente. la proporción de células sobrevivientes al tratamiento esta dado por P(r)=e -kr donde r=es el nivel de radiación y k una constante. ¿Cuál debe ser el nivel de radiación para que solo sobreviva el 1%? 05. Se ha encontrado que 40% de las células cancerosas sobreviven cuando r=500 Roengten. Exprese este número en la forma: P(t)=ae bt . Resolver: a) Log 2 (x² .7) b) Log √𝑥 − 5 + Log √2𝑥 − 3= Log 3 07.d) 16 𝐿𝑜𝑔𝑥 2 = 8𝑥 e) 𝐿𝑜𝑔8 𝐿𝑜𝑔𝑥 − 𝐿𝑜𝑔𝑥 = 𝐿𝑜𝑔2 𝑥 𝐿𝑜𝑔 1 1 �𝑥� 10 06 .4) = Log 2 (4x . donde a y b son constantes y t es el tiempo medido en años a partir de 1990 ¿Cuántos casos de SIDA habrá en el año 2010 y en el año 2015? c) Log 4 (2x + 2) – Log 4 (3x + 1) = 1 2 37 .Cuando se somete a un tratamiento de radiación las células cancerosas. 10 = 0 = 3𝑥 − 2 4 c. …. hallar el valor de x: d . el número de bacterias en un cultivo crece exponencialmente.y² = 2 c) log 2 x + log 4 y + log 4 z = 2 log 3 y + log 9 z + log 9 x = 2 log 4 z + log 16 y + log 16 x = 2 09. Log 2 √2𝑥 2 + 𝑥 − 3 = 0 07.4771. Log x + Log(2x-5) = 2Logx b. Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas: 3 a). b.(27)−4/3 = b. � � 8 −1/3 27 03. d. log 3𝑥 𝑙𝑜𝑔3 . Hallar en términos de h y k.7) : (90) � 5 4 c.3y² + 44 = 0 x² . hay 6000. log x = log 3 + 2 log 2 . Resolver el sistema de ecuaciones: a) log 3 x – log 9 y = 0 b) log 2 (x + y) – log 3 (x-y)=1 x² . Los siguientes datos los recolectó un investigador durante los primeros 10 minutos de un experimento destinado a estudiar el crecimiento de bacterias. De las expresiones que se da. (16)3/4 = 8 e. Minutos Número bacterias Suponiendo que el numero de bacterias crece exponencialmente ¿Cuántas Bacterias habrá después de 30 minutos? 10. Log�(2. Verifique las proposiciones siguientes y escribir en forma logarítmica con la base apropiada.Log 0. la expresión: Log ab² N a. 2 Log (x . 23𝑥−4 = 8 1 81 𝑥2 +1 2 35𝑥−2 = � � 1 𝑥+2 27 c. Log 2 � 1 � 128 𝑥 c).Log 0.1) + Log (2x + 4) = Log (x .. Log 1500. Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas a. Hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones: a.log 3 𝑥 3 .GUIA DE ESTUDIO N RO 11 TEMA: FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 01.3010 y Log 3 = 0.Log b a=k. ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de una hora? de 0 5000 10 8000 38 .5 � 1 64 06.y….81)5 4 = 2𝑥 + 3 b. a. 2−2 = d.2 � 1 � 125 1 𝑥−1 = 27 = 𝑥 2 − 1 x+4 c.1) 3 (0. = 3 2 𝑥−1 � 3 02. 08-.log 16 b). d. 𝐿𝑜𝑔√3 � � e. � 1 2 �(125)5𝑥−1 = � � 1 5 1 27 = (243)𝑥2−1 𝑥+2 𝑥−1 2 8 2/3 � 125 = 4 25 05. Log 480 b. log 7 (x-2) + log 7 (x-5) = 2log 7 2 04 SiLog b N=h. Hallar: a. Los biólogos han determinado que en condiciones ideales. Si Log 2 = 0. Log (x² + 1) – 2 Logx =Log 2 – Log x c. Log 75. Suponga que al comienzo se encuentra 2000 bacterias en cierto cultivo y 20 minutos más tarde. 39 . 40 . 41 . 42 . 43 .