UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILEFACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERIA ´ CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS BASICAS PARA INGENIER´IA. GU´IA N◦ 1 BAIN053 ´ ´ METODOS NUMERICOS PARA INGENIER´IA I. Selecci´ on M´ ultiple 1. La propiedad distributiva de la multiplicaci´on con respecto de la suma establece que x · (y + z) = x · y + x · z, ∀x, y, z ∈ R Considere x = 0.4278, y = 0.9155 y z = 0.3349. Al realizar el lado izquierdo de la operaci´ on anterior usando aritm´etica de punto flotante con cuatro d´ıgitos y redondeo se tiene: (a) 0.5348. (b) 0.5350. (c) 0.5351. (d) 0.5349. 2. Considerando aritm´etica de punto flotante de 4 d´ıgitos con redondeo, el resultado de la operaci´ on 4.82 · 102 ÷ (8.81 · 108 × 4.06 · 10−2 ) es: (a) 0.1346 · 10−4 . (b) 0.1347 · 10−4 . (c) 0.1348 · 10−4 . (d) 0.2221 · 10−8 . 3. Considerando aritm´etica de punto flotante de 5 d´ıgitos con redondeo, si x1 = 0.23371258 × 10−4 , x2 = 0.33678429 × 102 y x3 = −0.33654811 × 102 , se tiene que: (a) x1 · x2 + x1 · x3 = 0.54000 × 10−6 . (b) x1 · x2 + x1 · x3 = 0.53753 × 10−6 . (c) x1 · x2 + x1 · x3 = 0.56000 × 10−6 . (d) x1 · x2 + x1 · x3 = 0.55198 × 10−6 . 4. Considerando aritm´etica de punto flotante de 4 d´ıgitos con redondeo, el resultado de la operaci´ on 4.82 · 102 ÷ (8.81 · 108 × 4.06 · 10−2 ) es (a) 0.1346 · 10−4 . (b) 0.1347 · 10−4 . (c) 0.1348 · 10−4 . (d) 0.2221 · 10−8 . 5. Considerando aritm´etica de punto flotante de 8 d´ıgitos con redondeo, si x1 = 0.23371258 · 10−4 , x2 = 0.33678429 · 102 y x3 = −0.33677811 · 102 , se tiene que: (a) x1 + (x2 + x3 ) = 0.64137125 · 10−3 . (b) (x1 + x2 ) + x3 = 0.64100000 · 10−3 . (c) x1 + x2 + x3 = 0.641371258 · 10−3 . (d) Todas las anteriores. 5 por x ¯ = 0.56, es incorrecto afirmar que: 9 1 1 (a) El error absoluto es |E(¯ x)| = . (c) El error relativo es |ER (¯ x)| = . 225 125 6. Si se aproxima x = (b) El porcentaje de error es 0.8%. (d) x ¯ aproxima a x con 3 d´ıgitos significativos. 7. Considere la funci´ on f (x1 , x2 ) = sen(x1 · x2 ). El error |E(f (¯ x1 , x ¯2 ))| asociado a x ¯1 = 3.14 y x ¯2 = 2.65, aproximaciones de x1 ∈ [3.0, 3.2] y x2 ∈ [2.6, 2.7], respectivamenente, est´a acotado superiormente por: (a) 2.7|x1 − x ¯1 | + 3.2|x2 − x ¯2 |. (b) 3.2|x1 − x ¯1 | + 2.7|x2 − x ¯2 |. (c) 3.0|x1 − x ¯1 | + 2.6|x2 − x ¯2 |. (d) 2.6|x1 − x ¯1 | + 3.0|x2 − x ¯2 |. 1 |ER (¯ x1 )| = 1. (b) 4.668 · 10−4 y |ER (¯ x2 )| = 5.945. x ¯1 = 37.334 · 10−3 .1.02633. (d) 2. una funci´ on que aproxima la soluci´on anal´ıtica de la ecuaci´on diferencial. si V se mide con un error del 2%? (a) (b) (c) (d) (a) (b) (c) (d) I I I I debe debe debe debe medirse medirse medirse medirse con con con con un un un un 4% 6% 6% 4% m´ aximo de error. m´ınimo de error. se tiene .005. ¿con qu´e precisi´on porcentual deber´a medirse I para que el error en el c´ I R no exceda un 6%. Con respecto a la soluci´on num´erica del mismo. se puede afirmar que: (a) (b) (c) (d) Es Es Es Es un conjunto de puntos {yk } que coincide con la soluci´on anal´ıtica en t = h · k. x ¯2 ))| es aproximadamente: (a) 1. dt cuya soluci´ on exacta es y = y(t).184.8. un conjunto de puntos {yk } que aproxima la soluci´on anal´ıtica en t = h · k. m´ aximo de error. la alternativa FALSA es |E(¯ x1 )| = 6.02500. si a se mide con un error del 2%? (a) (b) (c) (d) h h h h debe debe debe debe medirse medirse medirse medirse con con con con un un un un 5% 5% 3% 3% m´ aximo de error. La m´ınima cota superior de error para |E(f (¯ x1 . k ∈ N.064 · 10−2 . y(0) = 1. Si x ¯1 = 0. Considere el PVI dy = t2 − t. x ¯1 = 37. x2 ) = . Considere la funci´ on f (x1 . Considere el PVI y 0 = x2 − 3y y(0) = 1 25 −3x cuya soluci´ on anal´ıtica es y(x) = 27 e + 13 (x2 − cuarto orden para 0 < x < 0. una funci´ on que coincide con la soluci´on anal´ıtica de la ecuaci´on diferencial. m´ aximo de error.97366596 38 ± 1444 − 4 x= ⇒ 2 x2 = 0. 10. cuyos errores satisfacen |E(¯ x1 )| ≤ 0. obtenida por alg´ un m´etodo num´erico con tama˜ no de paso h.167 son aproximaciones de x1 y x2 . Si se tiene que R = . 12. El volumen de una pir´ amide triangular V de altura h y de arista de la base a es: √ 2 3a h . V alculo de 9. Considerando la ecuaci´ on cuadr´ atica x2 − 38x + 1 = 0. m´ınimo de error.026334039 Utilizando aritm´etica con cuatro d´ıgitos significativos y redondeo. m´ınimo de error. V = 12 ¿Con qu´e precisi´ on porcentual deber´a medirse h para que el error en el c´alculo de V no exceda un 7%. 1 11.246. (c) 9.334 · 10−3 y |E(¯ x2 )| = 1.025 y |E(¯ x2 )| ≤ 0.98 y x ¯2 = 0.97 y x ¯2 = 0. 13. se tiene que √ x1 = 37.4. x1 · x2 respectivamente. k ∈ N.592. con h = 0.333 y x ¯2 = 0. m´ınimo de error. . . 1) − y1 . y(0. . . (a) .2 · 10−5 . ≈ 3. y(0.1) . . . . y(0.1) − y1 . . (b) .1 · 10−5 . ≈ 2. . y(0.1) . Considere el PVI y0 y(0) 2 3x + 29 ). Al utilizar el m´etodo de Runge-Kutta de que: . 14. . . 1) − y1 . y(0. . . 2 · 10−5 . ≈ 1. (c) . y(0.1) . . . . y(0.1) − y1 . . (d) . ≈ 6.6 · 10−5 . . 1) . y(0. con h = 1.006%.006. (b) |EA (y1 )| ≈ 0. (d) |ER% (y1 )| ≈ 0. para y(1) se tiene que: (a) |EA (y1 )| ≈ 0. = x+y = 1 cuya soluci´ on anal´ıtica es y(x) = 2ex − x − 1.6.6%. (c) |ER% (y1 )| ≈ 0. Al utilizar el m´etodo de Runge-Kutta de cuarto orden. 2 . (i) es el m´etodo de Euler y (ii) es el m´etodo de Heun.. dt Si y = y(t) es la soluci´ on anal´ıtica de ´este PVI y se tiene que la soluci´on num´erica del mismo. zn+1 = zn + h[25 cos(4tn ) − 6zn − 10xn ] (ii) x0 = 0. 2. . (c) = = +h byk + kzk − g(tk ) z zk+1 0 zk − 0 m ! yk y0 x0 yk+1 yk . . en primer lugar.. (d) |y(t0 + 2h) − Y2 |. El error absoluto asociado a la tercera iteraci´ on es: (a) |y(t0 + 3h) − Y3 |. = (d) = +h byk + kzk − g(tk ) z0 0 zk+1 zk − m 16. es el conjunto de puntos {Yk }∞ k=0 . ( xn+1 = xn + hzn (i) x0 = 0.5. . = = +h bzk + kyk − g(tk ) zk+1 z zk 0 − 0 m ! zk y0 yk+1 x0 yk . con X = = dx x0 z X(0) = 0 dt Indique cuales son las iteraciones asociadas al m´etodo de Euler con paso h. . Considere una masa m sujeta al extremo de un resorte de constante k sumergida en un fluido viscoso de resistividad b. Para resolver este problema mediante un m´etodo num´erico. (c) |y(t0 + 3h) − Y2 |. obtenida por alg´ un m´etodo utilizando tama˜ no de paso h. x0 (0) = 0 Dado los siguientes esquemas num´ericos. y(t0 ) = y0 .15. ! yk yk+1 y0 yk x0 (a) . La EDO que modela el desplazamiento x de la masa desde su posici´on de equilibrio como funci´ on del tiempo t es la del oscilador arm´onico amortiguado forzado: m d2 x dx +b + kx = g(t). Para el PVI dy = y + t. 1. (b) |y(t0 + 2h) − Y3 |.2 + 2x = 5 cos(4t). k1 = zn m1 = 25 cos(4tn ) − 6zn − 10xn k2 = zn + hm1 m2 = 25 cos(4tn+1 ) − 6(zn + hm1 ) − 10(xn + hk1 ) ¿Cu´ al de las siguientes alternativas es incorrecta? (a) (b) (c) (d) (i) es un m´etodo de serie de Taylor de orden 1. con n = 0. dt2 dt x(0) = 0. z0 = 0 y h xn+1 = xn + [k1 + k2 ] 2 h zn+1 = zn + [m1 + m2 ] 2 . .2 dx d2 x + 1.5. (i) y (ii) son m´etodos de Runge-Kutta de orden 1 y orden 2. 1. (ii) es un m´etodo de serie de Taylor de orden 2. k = 0. 0. se transforma la ecuaci´ on diferencial de segundo orden en un sistema de EDO de primer orden equivalente: 0 x X = f (t. dx (0) = 0 dt Las condiciones iniciales corresponden a haber soltado desde el reposo la masa desplazada una distancia x0 desde su posici´ on de equilibrio. 2 dt dt x(0) = x0 . . . 3 . respectivamente. (b) = = +h bzk + kyk − g(tk ) z0 zk+1 0 zk − m ! zk y0 yk+1 x0 yk . . El siguiente PVI modela un sistema vibratorio amortiguado. z0 = 0 y . 17.5. X) y . zk+1 = zk + 0. u˙ 1 = 1 − . se construye a partir de y0 = z0 = 1 y yk+1 = yk + 0. 2. siempre es cierto que: (a) K(A)∞ ≤ 104 . 1. 2. Ax = b. Se sabe que la soluci´ on del sistema lineal. est´a dado por x ¯ = (101.1.2200. h2 .2 error relativo. 1. y(1.0.5 · 10−1 . u˙ 1 = 1 − h. (c) K(A)∞ < 104 . . . 1.2821. . zk+1 = zk + 0. k = 0. 2. . es incorrecto se˜ nalar que: (a) (b) (c) (d) Para aproximar y(1. 1. u˙ 1 = 1 − h. .0. 1. (b) K(A)∞ ≥ 104 .0)t . . . y2 = 2. x.2200. De igual modo se sabe que la soluci´on del sistema lineal perturbado A¯ x = ¯b. 2 2 (d) u1 = h. de la soluci´ on del sistema perturbado x ¯ con respecto a la soluci´on del sistema original.1(yk − zk + exk ) (d) . Considere el PVI 00 u + u = 0. Al utilizar el m´etodo de Heun. .7 0. . u˙ 1 = 1 − (b) u1 = h.18. el problema se traduce en el sistema de ecuaciones y0 = z z 0 = y − z + ex y(0) = 1 z(0) = 1 cuya soluci´ on num´erica. Considere el PVI y0 y(1) = 2x − 3y + 1 = 5 2 38 1 no de cuya soluci´ on anal´ıtica es y(x) = + x + e−3(x−1) .05zk (a) . |EA (y2 )| ≈ 2. zk+1 = zk + 0. . Con respecto al PVI de orden 2: 00 y + y 0 − y = ex y(0) = 1 0 y (0) = 0 Introduciendo la variable auxiliar z = y 0 .0.05zk yk+1 = yk + 0. kxk1 kx − x ¯k∞ (d) ≤ 0. el 1. kxk∞ (a) (c) 4 .25. 21. t ∈ [0.0)t donde b = (1.01. seg´ un el m´etodo de Euler con h = 0. con tama˜ 9 3 9 paso h = 0. kxk∞ kx − x ¯k1 ≤ 0.002.0)t con ¯b = (1.1zk 20.053216232. son suficientes 2 iteraciones.2821.0. k = 0. . 1.1zk (b) .1(yk − zk + exk ) yk+1 = yk + 0.0.05(yk − zk + exk ) (c) . Considere el sistema = .302734375. 2 19.51 x2 2.0. u(0) = 0 0 u (0) = 1. 1. 2. satisface: kx − x ¯k1 ≤ 0. 2 (c) u1 = h2 h2 . . Entonces. .05(yk − zk + exk ) yk+1 = yk + 0. (d) K(A)∞ > 104 . 1. k = 0. . 17 5 x1 22 22.0. π] Al aplicar el m´etodo de Euler (Heun) mejorado a la soluci´on de este problema con tama˜ no de paso h > 0 se obtienen las siguientes aproximaciones u1 a u(h) y u˙ 1 a u0 (h): (a) u1 = h2 . 1.0)t . k = 0. kxk1 kx − x ¯ k∞ (b) ≤ 0. Si un t´ermino del lado izquierdo se perturba 0. zk+1 = zk + 0. .5) ≈ 2.5) con un error absoluto menor a 10−1 . 1. est´a dada por x = (1. 1. 1. de orden 3. . (c) ||δx||∞ ≤ 0.35 = 1. Considere las matrices 1/100 0 A= 0 0 (c) Solo (iii). cuya soluci´ on exacta tiene componentes x1 = − 1411 191 Si los datos anteriores no se han medido con precisi´on y se ha obtenido el sistema 100x1 + 12x2 = 2. 1. kxk∞ 0. Dado el sistema Ax = b. (d) Ninguna de las anteriores.5)t . Ninguna de las anteriores.7 0.2 0. es aproximadamente 1210. 28. kxk∞ (d) kx − x ¯k∞ ≤ 1.7 y 0. 1) . Si b cambia a ¯b = (1. 100 −1 0 π A−1 100 0 0 −1 = 0 −1/100 0 0 0 0 1/100 0 t 0 0 1/100π 1/π Al resolver el sistema Ax = b con b = (1.23.05||x||∞ . de la soluci´ on del sistema perturbado x ¯ con respecto a la soluci´on del sistema original x. donde A = y b = (2. 0 −1 −1 0 0 0 0 0 . indique cu´ al de las siguientes alternativas es necesariamente cierta: (a) ||δx||∞ ≤ 0. es 749. 27.2 y 0.2 26. 3. 5 .51 x2 2. Considere el sistema lineal (1) 99.6 y 0. (iii) El n´ umero de condicionamiento de la matriz asociada al sistema (2).35x2 7.6863. Indique cu´al de las siguientes afirmaciones es m´ as precisa: El error relativo de la soluci´ on ser´a menor o igual a 10−3 . en la soluci´on se comete un error relativo en norma 1 estrictamente mayor a 10−2 . El error relativo de la soluci´ on ser´a menor o igual a 10−1 . 3)t .0000.25. kxk∞ (c) kx − x ¯k∞ ≤ 1. (b) Est´ a entre 0. (c) b − ¯b 1 = 4 × 10−6 .87x1 + 12. (ii) y (iii). (d) ||δx||∞ > 0. en norma 1 y en norma infinito. en norma infinito.2000. Entonces: (a) b − ¯b 1 ≤ 4 × 10−6 .2 el error relativo. Considere el sistema = .75.3 error relativo de la soluci´ on x usando norma infinito (a) Est´ a entre 0. 1.8.02. kxk∞ (b) kx − x ¯ k∞ ≤ 2. Se debe resolver un sistema de ecuaciones cuya matriz tiene n´ umero de condicionamiento 10 y en el que el lado derecho de la ecuaci´ on tiene un error relativo inferior a 10−2 .001||x||∞ .05||x||∞ .65.6378. satisface: (a) (b) (c) (d) (a) kx − x ¯ k∞ ≤ 2.6. (a) Solo (i). Si ||δb||∞ ≤ 0. entonces el 0. (b) (i) y (ii).231x1 + 0. Si un t´ermino del lado derecho se perturba 0. 17 5 x1 22 25.9936x2 = 2.6876.001||b||∞ y K∞ (A) = 50. (c) Est´a entre 0. (d) (i). (b) ||δx||∞ ≥ 50||x||∞ . El error relativo de la soluci´ on ser´a menor o igual a 10−2 . (d) b − ¯b 1 < 4 × 10−6 .3 (2) 7x1 + x2 = 1. Suponga que no hay errores en los coeficientes de la matriz ni errores de redondeo. (ii) El n´ umero de condicionamiento de la matriz asociada al sistema (1). (b) b − ¯b 1 > 4 × 10−6 .1 ¿Cu´ al(es) de la(s) siguiente(s) afirmacion(es) es(son) verdadera(s)? (i) kx − x ¯k∞ ≤ 3. 24.12 1825 1634 y x2 = . 1.5 0. debido a un error en el t´ermino del lado derecho. Se resuelven dos sistemas de ecuaciones Ax = b y A(x + δx) = b + δb. para estimar la velocidad y la aceleraci´on del cuerpo despu´es de 2 segundos. por medio de la ecuaci´on diferencial siguiente: dv cd = g − v2 dt m donde v es la velocidad [m/s]. k = (a) Utilice el m´etodo de Euler con h = 1. Resuelva para la velocidad y distancia que recorre un objeto de 90 [kg] con coeficiente de arrastre de 0.5 [m/s2 ].5 y(0) = 1. t es el tiempo [s]. g es la aceleraci´on de la gravedad 10 [m/s2 ].29 × 10−5 [s−1 ] es la velocidad angular de la tierra. cd es el coeficiente de arrastre de segundo orden [kg/m].225 [kg/m]. b = 4 [N/(m/s)] y f (t) = −10e−2t [N ]. Considere el sistema mec´ anico de la figura: donde: m: Masa del cuerpo. y m es la masa [kg]. Si se supone que el arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad. (b) Si la soluci´ on anal´ıtica de la ecuaci´on diferencial es: ! ! √ √ √ √ −6+ 21 −6− 21 1367 21 + 63 1367 21 − 63 60 −2t t 15 − e + e e 15 t v(t) = 37 1036 1036 determine el error relativo de la estimaci´on de la velocidad y aceleraci´on en t = 2 [s].5 [m/s] y la aceleraci´on de 0. Considere m = 5 [kg]. 2. Si la altura inicial es de 1 [km]. la velocidad es de 1. Suponiendo que para 3 t = 0 [s]. calcule una aproximaci´on para x(t) e y(t). y(0) ˙ = 0. se puede modelar la velocidad de un objeto que cae. k = g/l con g = 9. La ecuaci´ on diferencial asociada al sistema es: m dv(t) d2 v(t) +b + kv(t) = f 0 (t). k: Constante del resorte. v(t): velocidad del cuerpo. Aplicando el m´etodo de Euler con h = 50. b: Coeficiente del roce viscoso. ω = 7. Problemas 1. (a) Plantee el m´etodo de Heun para la velocidad y distancia del objeto. El movimiento de un p´endulo de Foucault sin fricci´on es descrito por el sistema de ecuaciones diferenciales x ¨ − 2ω sen(Ψ)y˙ + k 2 x = 0 y¨ + 2ω cos(Ψ)x˙ + k 2 y = 0 x(0) ˙ = 0. 3. x(0) = 1.0. considerando l = 20 [m] y Ψ = π/4 [rad].8 [m/s2 ] y l es la longitud del p´endulo. 2 dt dt 1 [N/m]. 6 .5 donde Ψ es la latitud delplugar donde el p´endulo est´a localizado. con t entre 0 y 200 segundos. como un paracaidista. (b) Realice dos iteraciones del esquema planteado con h = 1.II. f (t): Fuerza aplicada. El PVI que rige su ca´ıda es el siguiente: my 00 + (b − cy)y 0 + mK = 0. Si un p´endulo de masa m se suspende con una cuerda de longitud L y se le aplica una fuerza peri´ odica externa f (t). con b = 1. Al cabo de 12 [s] el meteorito se desintegra. .2300 × 107 [s−1 ] y c = 2. la ecuaci´ on que rige el ´angulo x(t) que forma la cuerda con la vertical en el instante t. 1. Un meteorito de masa m = 1. b) Obtenga una aproximaci´ on para la altura y la velocidad del meteorito en el instante en que se desintegra. k = 1. y 0 (0) = −0. 1 = yk + (K1 + K2 ) .3450 × 109 [kg] que cae verticalmente sobre la tierra. yk + K1 ) xk+1 yk+1 = xk + h.5700×103 [m/s]. k = 0. y(x)) y0 Utilizando el m´etodo de Euler-Richardson con tama˜ no de paso h = 1 y considerando g = 10 [m/s2 ]. .9800 × 1014 [m3 kg/s2 ] es la constante de gravitaci´ on terrestre. a > 0 es la constante de rozamiento y el origen del sistema se encuentra en la posici´ on de equilibrio. se deduce de la segunda ley de Newton obteni´endose x00 + a 0 g x + sen(x) = f (t). . basado en RK-2. 2. yk+1 = yk + hK2 . k = 0.5700 × 103 . considere h = 6 [s]. . K = 3.3710 × 106 [m] es el radio de la tierra y (b − cy) es la resistencia del aire. .4.1 [N/(m/s)2 ]. donde y es la altura del meteorito sobre la superficie de la tierra..2650 × 102 [m−1 ]. teniendo como condiciones iniciales x(0) = 0 y x0 (0) = 5. . Para estudiar el efecto de una fuerza externa f (t) = cos(2t) [N ] cuando m = 1 [kg]. Se propone utilizar un m´etodo de Runge-Kutta de orden 2 descrito a continuaci´on: K1 = hf (xk . .. para resolver el PVI y 0 (x) = y(x0 ) = f (x. m L donde g es la aceleraci´ on de gravedad. 2. Se propone utilizar el m´etodo de Euler-Richardson descrito a continuaci´on: K1 = K2 = xk+1 = f (xk . (y + R)2 y(0) = 5. para aproximar la soluci´on del PVI asociado al problema del meteorito. yk ) h h f xk + . 2. y(x)) y0 a) Plantee el esquema num´erico. 1. yk ) K2 = hf (xk + h. yk + K1 2 2 xk + h. . L = 1 [m] y a = 0. 5. 2. k = 1. 2 para aproximar la soluci´ on del PVI 0 y (x) = y(x0 ) = f (x. 7 . obtenga una aproximaci´ on para el ´angulo y la velocidad del p´endulo en el instante t = 2 [s]..4300×104 [m] de altura sobre su superficie y a una velocidad de descenso de 0. ingresa a la atm´ osfera terrestre a 5..4300 × 104 . R = 6. considere h = 1s. . y(x)) y0 Si m = 36 [kg]. x0 : desplazamiento inicial. yk ) k1 h = hf xk + . yk + 2 2 = hf (xk + h. k: la constante del resorte. . 1 = yk + (K1 + 4K2 + K3 ) . k = 37 [kg/s2 ]. b) Obtenga una aproximaci´ on para el desplazamiento y la velocidad del resorte despu´es de 2 segundos de iniciado el movimiento. v0 : la velocidad inicial. x0 = 70 [cm] y v0 = 10 [cm/s] : a) Plantee el esquema num´erico. 2. basado en RK-3. Considere el m´etodo de Runge-Kutta de orden 3 descrito a continuaci´on: K1 K2 K3 xk+1 yk+1 = hf (xk . b = 12 [kg/s].. 1 x(t) = 70e− 6 t cos(t) + 8 . En el estudio de un resorte vibratorio con amortiguaci´on se llega a un problema de valor inicial de la forma: mx00 (t) + bx0 (t) + kx(t) = 0.6. 1. f (x.. b: la constante de amortiguaci´ on. 2. c) Sabiendo que la soluci´ on anal´ıtica de la ecuaci´on diferencial anterior es 65 − 1 t e 6 sen(t). x0 (0) = v0 siendo x(t) el desplazamiento medido a partir de la posici´on de equilibrio en un instante t y donde las siguientes par´ ametros denotan: m: la masa sujeta al sistema. x(0) = x0 . yk − k1 + 2k2 ) = xk + h. k = 0. 3 determine el error relativo que se comete al estimar el desplazamiento y la velocidad del resorte despu´es de 2 segundos de iniciado el movimiento al considerar h = 1 [s]. 6 para aproximar la soluci´ on del PVI 0 y (x) = y(x0 ) = k = 0. 1... para aproximar la soluci´on del PVI asociado al problema del resorte.