Guia de Estadística General

Guía Práctica de Estadística GeneralEstadística General Área de Estadística Lima – Perú 2015 | 1 Guía Práctica de Estadística General GUÍA DE PRÁCTICAS DE ESTADÍSTICA GENERAL © Derechos Reservados 2015 © Área de Matemática y Estadística Primera Edición 2011 Segunda Edición 2013 Tercera Edición 2014 Cuarta Edición 2015 Diseño, Diagramación e Impresión Universidad Científica del Sur Cantuarias 385. Miraflores. Lima-Perú 610-6400 Tiraje 1500 ejemplares IMPRESO EN PERÚ PRINTED PERU | 2 Guía Práctica de Estadística General Autoridades Ing. José Dextre Chacón Presidente del Directorio MBA Rolando Vallejo Gerente General Dr. José Amiel Pérez Rector Dra. Josefina Takahashi Vicerrectora Académica M Sc. Alejandro Fukusaki Coordinador General de Ciencias Básicas Coordinadora de Área Estadística Lic. Sarita Bocanegra Gonzales Comité Editorial Ing. José Dávila jdavilat@científica.edu.pe Lic. Michaels Mejía mmejia@científica.edu.pe | 3 Guía Práctica de Estadística General | 4 CONTENIDO Capítulo 1: Conceptos y Presentación de datos 5 Capítulo 2: Medidas de Tendencia Central y de Dispersión 20 Capítulo 3: Cálculo de Probabilidades 31 Capítulo 4: Distribuciones de Probabilidad 43 Capítulo 5: Estimación de Parámetros 58 Capítulo 6: Pruebas de Hipótesis 68 Capítulo 7: Regresión y Correlación Lineal Simple 91 Capítulo 8: Tablas de Contingencia y Pruebas Chi – Cuadrado 103 Guía Práctica de Estadística General | 5 Guía Práctica de Estadística General | 6 Guía Práctica de Estadística General | 7 CONCEPTOS ESTADÍSTICOS Población.Es la totalidad de individuos o de elementos (empresas, personas, objetos etc.) que cumplen o satisfacen la o las características en estudio. Por el número de elementos que la componen la población se clasifica en finita e infinita. La población es finita si tiene un número determinado de elementos en caso contrario es infinita. En la práctica una población finita con un gran número de elementos se considera como una población infinita; por otro lado el tamaño de una población va a depender de objetivo trazado por el investigador. Muestra.Está constituida por una parte de los individuos o elementos que componen la población, seleccionada de acuerdo a cierta técnica con el fin de obtener información acerca de la población, de la cual proviene. La muestra debe ser seleccionada de manera que sea representativa, es decir tenga características similares a las de su población. Parámetro.Es una medida descriptiva que resume una característica de la población, es decir constituye el valor real, verdadero; su cálculo implica utilizar toda la información contenida en la población; entre los más conocidos tenemos: La media poblacional ( μ ) La varianza poblacional ( σ2 ) La proporción poblacional ( P ) etc. Estadístico.- Es una medida que describe una característica de la muestra, se calcula a partir de los datos observados en la muestra; es decir constituyen los estimadores de cada uno de sus respectivos parámetros; entre estos tenemos: La media muestral ( X ) La varianza muestral ( S2 ) La proporción muestral ( pˆ ) Variable.- Es una característica definida en la población de acuerdo a cierto interés en una investigación estadística, que puede tomar dos o más valores (cualidades o números). Puede ser una característica medible (peso, precio, ingresos, temperatura etc) o una cualidad no medible (estado civil, calidad, color, sexo etc). Se representa con las letras X, Y, Z. CLASIFICACIÓN DE LAS VARIABLES SEGÚN LA NATURALEZA DE LA VARIABLE a) VARIABLES CUALITATIVAS O CATEGÓRICAS Son aquellas cuyos valores expresan cualidades o atributos; estas a su vez pueden ser: VARIABLES NOMINALES.- Son aquellas en donde no existe un orden preestablecido entre las categorías de las variable. Ejemplos: Guía Práctica de Estadística General VARIABLE Color Estado Civil Distrito Sexo Calidad | 8 CATEGORÏAS Azul, rojo, blanco, verde, negro, amarillo etc. Soltero, casado, conviviente, viudo, divorciado. Lima, La Victoria, Breña, Miraflores, San Isidro, Lince etc Masculino, femenino Buena, mala. VARIABLES ORDINALES.- Son aquellas en donde existe un orden preestablecido entre las categorías de la variable. Ejemplos: VARIABLE Grado de Instrucción Orden de Mérito Nivel Socioeconómico CATEGORÏAS Primaria, Secundaria, Superior Primero, Segundo, Tercero etc. Bajo, Medio, Alto etc. También podemos considerar como variables ordinales por ejemplo grado de satisfacción de un servicio (1 = Muy insatisfecho; 2 = Insatisfecho; 3 = Ni satisfecho ni insatisfecho; 4 = Satisfecho; 5 = Muy satisfecho) o también el grado de depresión, etc. b) VARIABLES CUANTITATIVAS Son aquellas que se obtienen como resultado de mediciones o conteos; estas a su vez se clasifican en: VARIABLES DISCRETAS Son aquellas cuyos valores resultan como consecuencia de conteos, y por lo tanto solo pueden asumir valores enteros positivos, incluido el cero. Ejemplos Número de empresas, número de hospitales, número de trabajadores, número de comprobantes de pago, número de máquinas, número de conservas etc. VARIABLES CONTINUAS Son aquellas cuyos valores se obtienen por medición, pueden asumir valores decimales. Ejemplos: Los sueldos, el precio, la temperatura, el volumen, el tiempo, el peso, la estatura, la presión etc. SEGÚN EL ROL QUE TIENEN EN LA INVESTIGACIÓN a) VARIABLE DEPENDIENTE La variable dependiente es aquella determinada por el investigador para estudiarla en función de otras variables denominadas independientes. Generalmente se simboliza esta variable con la letra Y. b) VARIABLE INDEPENDIENTE La variable independiente es aquella que es controlada en un experimento por el investigador. Generalmente se simboliza esta variable con la letra X. Guía Práctica de Estadística General | 9 En la mayoría de los experimentos el investigador está interesado en determinar el efecto que tiene la variable X, sobre la variable Y; para esto el investigador controla los niveles de la variable X y mide el efecto sobre la otra variable. Ejemplo: La variación en los precios de un determinado artículo, motiva cambios en las ventas. En este ejemplo las variables son: Precio = X Venta = Y - El costo de producción de un artículo, determina su precio de venta. En este caso las variables son: Costo de producción = X Precio de venta = Y Podemos notar que el rol que asuma una determinada variable como dependiente o independiente en una investigación, va a depender con qué variable se asocie. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Determinar, en cada caso el tipo de variable, de acuerdo a su naturaleza: a. Tiempo que demora un paciente para ser atendido en un Centro Médico. b. Carreras que quieren seguir las alumnas y los alumnos de un centro educativo al terminar la Educación Secundaria. c. Intención de voto para las elecciones presidenciales. d. Horas que dedican a ver televisión los estudiantes de Primaria en Arequipa. e. Número de aparatos de radio que hay en los hogares de Ayacucho. f. Grado de instrucción de los trabajadores de una Empresa. g. Número de televisores LCD vendidos durante el mes de diciembre del año pasado. h. Temperaturas registradas cada hora en un observatorio. i. Número de pacientes atendidos por emergencia durante el mes pasado. 2. Clasificar cada una de las afirmaciones siguientes ya sea como inferencias o métodos descriptivos. a. El año pasado en la UCS el puntaje promedio del examen de admisión fue 85. b. El Dr. García, un ecólogo, informó que en cierto río del oriente peruano, la carne de los peces contienen un promedio de 300 unidades de mercurio. c. La compañía “RM” predijo quién sería el ganador en una elección presidencial después de conocer los resultados de las votaciones de 25 mesas de sufragio de las 2 800 mesas que hubo en total. TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS DE DATOS PARA VARIABLES CUANTITATIVAS a) Tabla de frecuencias para Datos No Agrupados.- Es apropiada para datos cuyos valores distintos no son muy numerosos. Ejemplo: Los siguientes datos corresponden a las edades de 50 estudiantes: Guía Práctica de Estadística General 20 23 19 21 21 22 19 22 20 22 21 18 23 21 19 20 20 20 18 21 21 24 18 22 19 23 20 19 22 20 22 20 18 21 | 10 20 18 19 19 19 23 20 20 20 20 21 22 19 21 24 21 a) Presentar dichos datos en una tabla de frecuencias b) Presentar los datos gráficamente a través de un Histograma c) Presentar los datos gráficamente en un Polígono de Frecuencias Solución: En este caso notamos que la variable edad, apenas está tomando solamente siete valores distintos que van desde 18 hasta 24 Variable: Xi Frecuencias Absolutas: fi Frecuencias Absolutas Acumuladas: Fi Frecuencias Relativas: hi Frecuencias Relativas Acumuladas: Hi La siguiente tabla y el gráfico han sido obtenidos, usando el software MINITAB Tabla de frecuencias para la variable edad: Edad 18 19 20 21 22 23 24 Total fi 5 9 13 10 7 4 2 50 Fi 5 14 27 37 44 48 50 Porcentaje 10.00 18.00 26.00 20.00 14.00 8.00 4.00 100.00 % Acumulado 10.00 28.00 54.00 74.00 88.00 96.00 100.00 Comentario: Se observa que el 26% de los estudiantes tienen 20años de edad mientras que solo un 4% tienen 24 años. También podemos ver que un 46% tienen entre 20 y 21 años. Guía Práctica de Estadística General | 11 b) Histograma de Frecuencias Distribución de los estudiantes según edad 25 Porcentaje 20 15 10 5 0 18 19 20 21 Edad (años ) 22 23 24 c) Polígono de Frecuencias obtenido con SPSS d) Tabla de frecuencias para Datos Agrupados.- Es apropiada cuando los valores distintos que toma la variable es muy numeroso. Se siguen los siguientes pasos: 1) Calcular el rango de la variable: R = Valor máximo – Valor mínimo 2) Elegir el número de intervalos de clases: K se sugiere entre 5 y 10 inclusive 3) Calcular la amplitud de los intervalos de clases: C C= R cuyo cociente en lo posible deberá ser exacto, caso contrario deberá K trabajarse con los llamados “excesos” Guía Práctica de Estadística General | 12 Ejemplo 1: Los siguientes datos representan el contenido de yodo en la sangre de 40 pacientes adultos en µg/100cc. 8.6 9.2 4.6 5.9 9.5 6.5 3.8 6.5 7.3 7.0 7.4 5.5 8.1 10.5 5.6 5.9 6.8 5.1 7.3 7.7 4.4 5.5 5.9 10.2 5.5 7.0 6.5 4.5 7.3 7.5 3.5 5.1 5.8 5.6 4.3 5.8 5.7 7.9 5.3 5.8 Presente los datos en una tabla de frecuencias Solución Rango: R R = 10.5 – 3.5 = 7.0 K = 1 + 3.32 log 40 = 6.32 K = 5 ó 6 ó Si k = 5 C = 7.0 = 1.4 5 Si C = 7.0 = 1.0 7 k=7 7 Observamos que para ambos valores de K; hemos obtenido un cociente exacto Eligiendo K = 5 obtenemos la siguiente tabla de frecuencias según el Programa SPSS Yodo (µg/100cc) Xi fi Fi hi Hi 3.5 - 4.9 4.9 - 6.3 6.3 - 7.7 7.7 - 9.1 9.1 - 10.5 TOTAL 4.2 5.6 7.0 8.4 9.8 6 15 12 3 4 40 6 21 33 36 40 0.150 0.375 0.300 0.075 0.100 1.000 0.150 0.525 0.825 0.900 1.000 Se observa que el 37.5% de los pacientes tienen un nivel de yodo en la sangre que varía entre 4.9 y 6.3 microgramos por 100 cc. También podemos decir que poco más del 50% han tenido entre 3.5 y 6.3 microgramos de yodo en la sangre. Guía Práctica de Estadística General | 13 Ejemplo 2: Como control de la ética publicitaria, se requiere que el rendimiento en millas/ galón, de gasolina esté basado en un buen número de pruebas efectuadas en diversas condiciones. Al tomar una muestra de 50 automóviles se registraron las siguientes observaciones en millas por galón 35.6 32.0 29.5 30.3 27.9 33.7 28.5 31.2 28.7 32.7 33.5 29.3 31.8 22.5 34.2 32.7 26.5 26.4 31.0 31.6 28.0 27.5 29.8 34.2 31.2 28.7 30.0 28.7 33.2 30.5 27.9 23.0 30.1 30.5 31.3 24.9 26.8 29.9 28.7 30.4 31.3 30.5 30.6 35.1 28.6 30.1 30.3 29.6 31.4 32.4 Presente los datos en una tabla de frecuencias Solución: Rango: R R = 35.6 – 22.5 = 13.1 K = 1 + 3.32 log 50 = 6.64 Si k = 6 K = 6 ó 7 C = 13.1 = 2.1833………… 6 Exceso E = (6 x 2.2) – 13.1 = 13.2 – 13.1 = 0.1 2.2 u 8 Guía Práctica de Estadística General Si k=7 Exceso Si C = 13.1 = 1.8714………… 7 E = (7 x 1.9) – 13.1 = 13.3 – 13.1 = 0.2 k=8 C = 13.1 = 1.6375 8 | 14 1.9 1.7 Exceso E = (8 x 1.7) – 13.1 = 13.6 – 13.1 = 0.5 Eligiendo K=6 por tener el menor exceso Las frecuencias han sido obtenidas según el Programa SPSS Rendimiento (millas/galón) 22.5 - 24.7 24.7 - 26.9 26.9 - 29.1 29.1 - 31.3 31.3 - 33.5 33.5 - 35.7 T O T A L Xi fi Fi hi Hi 23.6 25.8 28.0 30.2 32.4 34.6 2 4 10 20 9 5 50 2 6 16 36 45 50 0.04 0.08 0.20 0.40 0.18 0.10 1.00 0.04 0.12 0.32 0.72 0.90 1.00 Se observa que el 60% de los automóviles tienen un rendimiento entre aproximadamente 27 y 31.3 millas por galón de gasolina. Ejemplo 3 Los siguientes son los puntajes logrados en un examen de cierta asignatura por 50 estudiantes: 61 67 56 47 50 48 54 65 65 64 67 56 70 56 68 57 45 60 60 58 60 61 63 55 80 62 56 51 65 62 53 43 60 57 61 79 65 75 62 72 64 53 69 48 54 58 70 Presentar los datos en una tabla de frecuencias Solución R = 80 – 43 = 37 K = 1 + 3.32 log 50 = 6.64 Si k=6 7 C = 37 = 6.1666………… K = 6 ó 7 7 u 8 65 59 44 Guía Práctica de Estadística General | 15 6 Exceso Si E = (6 x 7) – 37 = 42 - 37 = 5 C = 37 = 5.2857……….. 7 k=7 6 Exceso E = (7 x 6) – 37 = 42 - 37 = 5 Si k=8 Exceso Eligiendo C = 37 = 4.625 8 5 E = (8 x 5) – 37 = 40 - 37 = 3 K = 8 por tener el menor exceso Puntaje Xi fi Fi hi Hi 42 – 46 44 3 3 0.06 0.06 47 – 51 49 5 8 0.1 0.16 52 – 56 54 9 17 0.18 0.34 57 – 61 59 12 29 0.24 0.58 62 – 66 64 11 40 0.22 0.8 67 – 71 69 6 46 0.12 0.92 72 – 76 74 2 48 0.04 0.96 77 - 81 79 2 50 0.04 1 Total 50 1 Poco menos de la mitad de los estudiantes (46%) han obtenido entre 57 y 66 puntos. TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS DE DATOS PARA VARIABLES CUALITATIVAS O CATEGÓRICAS Ejemplo 1.- Se realizó un estudio para determinar la cantidad de personas que obtienen un empleo. La siguiente tabla incluye datos de 400 sujetos seleccionados al azar: Fuentes de empleo Nº de sujetos Porcentaje Anuncios clasificados 56 14 Empresas de búsqueda de ejecutivos 44 11 Contactos profesionales Correo masivo 280 20 70 5 Total 400 100 Guía Práctica de Estadística General | 16 Gráfico de Barras Simples ( EXCEL ) Gráfico de Sectores Circulares ( EXCEL ) Diagrama de Pareto ( MINITAB ) 100 100 80 80 60 60 40 40 20 20 Fuentes de Empleo 0 Co Porcentaje Porcentaje % acumulado os ct a nt of pr . A 70 70.0 70.0 s cio n nu if. as l c Em 14 14.0 84.0 es pr as de sq bú eo rr o C 11 11.0 95.0 m a vo si 5 5.0 100.0 0 Porcentaje Porcentaje Fuentes de Empleo Guía Práctica de Estadística General | 17 Ejemplo 2.- La siguiente información se refiere al número de estudiantes matriculados en tres especialidades de Administración de Empresas, durante los años 2,000 y 2,005 Especialidad Finanzas Marketing Contabilidad 2000 160 140 100 2005 250 200 150 Gráfico de Barras Dobles EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Al contar el número de materias reprobadas por los alumnos de cierta Universidad, se han obtenido los siguientes datos: 1, 1, 2, 3, 2, 6, 0, 0, 1, 0, 4, 5, 0, 0, 0, 3, 2, 1, 3, 1, 1, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 5, 4, 2. Construya una tabla de frecuencias y el histograma correspondiente. 2.- En un colegio “X” se piensa en la posibilidad de cambiar el timbre por unos acordes de música rock. Se ha preguntado a 20 alumnos cual es su opinión acerca de estos acordes, según la escala: No me gusta nada ( 1 ), Me gusta poco ( 2 ), Me es indiferente ( 3 ), Me gusta bastante ( 4 ) Me gusta muchísimo ( 5 ). Estos han opinado la siguiente manera (codificada): 5, 4, 1, 2, 2, 4, 2, 5, 3 , 5, 3, 5, 1, 1, 3, 1, 2, 5, 3, 3 Construir la tabla de distribución de frecuencias adecuada para responder las siguientes preguntas: a. ¿A qué porcentaje de alumnos les gusta poco estos acordes? b. ¿A cuántos alumnos les gusta bastante los acordes? c. ¿Cuál es la proporción de alumnos a los que les es indiferente los acordes? d. ¿Cuál es la proporción de alumnos a los que les gusta poco o no les gusta nada los acordes? Guía Práctica de Estadística General | 18 e. ¿Cuál es la proporción de alumnos a los que a lo más les gusta bastante los acordes?. 3.- El gerente de una tienda comercial está interesado en el número de veces que 52 clientes han ido a comprar en su almacén durante un período de dos semanas. Los datos que se registraron fueron: 5 1 4 10 3 14 7 8 3 1 6 9 1 2 5 2 4 4 9 12 4 4 11 5 5 5 3 7 6 6 12 6 4 3 4 4 2 5 7 5 6 3 14 6 6 6 1 5 1 8 1 a) Organice los datos en un cuadro de distribución de frecuencias b) Presente los datos en una gráfica apropiada. 4.- Los siguientes datos proporcionan los ingresos anuales en miles de dólares de 50 personas: 7.9 30.0 42.0 18.0 12.0 10.3 25.5 41.9 24.9 8.3 45.7 50.0 35.0 20.0 9.5 17.1 11.7 28.0 43.0 25.5 55.3 28.5 56.0 43.5 27.0 36.4 38.0 31.6 58.4 39.5 6.7 59.0 57.0 5.0 48.0 41.5 29.6 9.0 30.5 13.5 38.5 5.0 25.0 12.0 26.0 6.9 40.0 9.2 16.5 7.0 a) Presentar dichos datos en una tabla de distribución de frecuencias, usando 6 intervalos de clase. b) Estime la proporción de ingresos que están entre 12,500 dólares y 52,500 dólares. c) Estimar la proporción de ingresos que están debajo de 50,000 dólares. 5.- Los siguientes datos son calificaciones en la prueba de Miller de personalidad de 82 estudiantes. 22 22 20 27 30 23 29 21 26 31 21 23 25 29 18 22 31 30 28 16 28 33 25 23 31 23 18 24 26 25 17 22 25 28 19 24 20 23 26 21 31 25 24 33 29 20 27 21 25 28 24 23 25 30 27 23 26 22 24 17 33 26 24 19 18 33 25 28 31 29 27 28 24 26 24 22 26 24 18 21 29 22 a) Organice los datos en un cuadro de distribución de frecuencias b) Presente los datos en una gráfica apropiada. 6.- Cierto investigador especialista en salud pública afirma que el nivel de plomo en sangre en niños en edad escolar de una cierta región, se ha incrementado. Para verificar este supuesto se toma una muestra de 120 niños en edad escolar, obteniendo los siguientes resultados: 27.88 34.26 28.24 6.56 28.42 38.97 4.67 49.24 45.81 7.22 6.07 6.82 6.55 5.24 9.77 35.49 6.4 15.4 5.35 33.43 6.14 3.73 28.34 27.38 3.73 31.93 33.43 11.33 26.88 28.34 14.85 5.44 31.93 10.79 28.84 9.28 14.85 26.88 3.27 4.36 26.88 6.32 4.88 35.6 38.35 33.09 47 9.17 Guía Práctica de Estadística General 34.26 28.84 26.53 7.92 27.96 6.28 38.62 27.38 34.47 5.91 33.1 12.04 34.26 4.24 27.6 28.42 33.09 13.38 37.47 38.41 4.67 5.04 34.98 6.56 36.56 8.85 29.33 4.88 4.68 25.21 4.68 35 9.17 25.17 4.82 51.24 5.84 34.72 33.83 35.09 28.42 30.83 a) Construya una tabla de frecuencias b) Obtenga un histograma y polígono de frecuencias. 6.55 7.22 36.23 34.26 28.84 4.79 4.4 45.16 33.09 34.99 34.13 5.44 | 19 10.79 5.91 6.67 4.82 6.28 7.17 33.09 34.94 36.71 17.96 4.88 29.29 28.42 5.04 33.83 7.92 8.7 32.29 7.- Se hizo un estudio sobre el cangrejo Xantido referente al número de huevos puestos por individuo Las siguientes son las observaciones obtenidas para 45 cangrejos. 1959 2412 5099 8973 4534 7624 6627 849 7020 1548 4484 3894 6725 4801 5633 5847 6964 737 4148 9166 7428 5321 6588 4327 2802 6837 6472 5749 2462 8639 8372 1801 4000 7417 8225 4632 3378 6082 6142 7343 4189 10241 962 12130 9359 Presentar en una tabla de frecuencias usando 6 intervalos de clase cerrados. 8.- En marzo de 1995 la inversión extranjera en el Perú y de acuerdo sigue: España 46% Países Bajos EE.UU. 16% Panamá Reino Unido 8% Chile Otros 15% al país de origen fue como 6% 5% 4% Representar gráficamente dicha información. 9.- Una tienda comercial, ubicada en Lima Metropolitana, vende ropa de moda para damas y caballeros además de una amplia gama de productos domésticos. A continuación se presentan las ventas netas observadas durante los años del 2002 al 2006. Represente gráficamente dicha información. Año 2002 2003 2004 2005 2006 Ventas netas (millones de S/.) 500.0 519.2 535.8 560.9 544.1 10.- Se ha hecho una encuesta para saber con qué regularidad se lee el periódico en Lima, y los resultados fueron estos: RESPUESTAS Todos los días Una vez por semana Una vez al mes % 37.5 29 10.5 Guía Práctica de Estadística General Alguna vez al año Nunca No contesta 12 0.4 a. ¿Qué tanto por ciento de personas respondieron “nunca”? b. Si las personas que no contestaron fueron 6, ¿cuántas personas fueron encuestadas? c. Las personas encuestadas, ¿son muestra o población? | 20 Guía Práctica de Estadística General | 21 Guía Práctica de Estadística General | 22 Ejercicios de Desarrollo 1.- Los salarios en una Empresa son en promedio S/. 380 semanales, con posterioridad se incorpora a la Empresa un grupo de trabajadores igual al 25 % de los que estaban anteriormente. El nuevo grupo ingresa a la Empresa con un salario medio igual al 60 % de los antiguos. Dos meses más tarde, la Empresa concede un aumento de salarios de S/. 50. Hallar el salario promedio del total de trabajadores. Solución: n1 : N º de trabajador es antiguos  x1 : Salario promedio de antiguos 0.25n1  n2 : N º de trabajador es nuevos  x 2 : Salario promedio de los nuevos X p  Salario promedio de todos los trabajador es Sabemos que Xp  x1  380 x 2  0.6(380)  228 n1 (380)  0.25 n1 (228)  349.6 1.25n1  349.6  50  399.6 2.- En una Compañía que maneja cuatro productos; los márgenes de utilidad y las totales de ventas observados durante el año pasado aparecen en la siguiente tabla. Producto A B C D Margen de utilidad 4.2 % 5.5 % 7.4 % 10.1 % Venta total $ 30,000 $ 20,000 $ 5,000 $ 3,000 Calcule el margen de utilidad promedio. Solución: Considerando que las ventas totales no son las mismas para cada producto, utilizaremos un promedio ponderado Xp  0.042 (30,000)  0.055 (20,000)  ................................... 0.101 (3,000)  0.0523 30,000  20,000  ........................  3,000 Por lo que el margen de utilidad promedio será del 5.23 % 3.- Una fábrica tiene 3 máquinas. La máquina B produce la mitad de lo que produce la máquina A y la producción de la máquina C es inferior en un 20 % de lo que produce la máquina B. Los costos de producción por unidad son: 3, 4 y 5 soles para las máquinas A, B y C respectivamente. Se desea ganar el 20 % por unidad. Calcule el precio medio de venta. Guía Práctica de Estadística General | 23 Solución: Máquinas A B C PV  Costo por unidad S/. 3 4 5 Cantidad producida 2x x 0.8x Precio de venta 3.6 4.8 6.0 3.6 (2 x)  4.8 x  6 (0.8 x)  4.42 soles 2 x  x  0.8 x 4.- El ingreso per cápita mensual de un país es $315. El sector público que constituye un 55% de la población percibe 18% del ingreso total. Calcule el ingreso medio por habitante del sector público y no público. Solución: Consideremos: Ingreso percápita : X p  n1 x1  n2 x 2  $315 n Sector Público : n1  0.55 n x1  x 1 n1 x  1   Ingreso total  315 n Sector no Público : n2  0.45 n  n1 x1 Ingreso total del Sector Público   x1  0.18 (315 n)  56.7 n . luego x1  x 1 n1  56.7 n  103.09 dólares ( Ingreso promedio del Sector Público ) 0.55n Ahora hallaremos el ingreso promedio del Sector no Público 315  n1 x1  n2 x 2 56.7 n  0.45 n ( x 2 )  n n  315  56.7  0.45 x 2  x 2  574 dólares 5.- Un grupo de 200 estudiantes, cuya estatura media es de 60.96 pulgadas se divide en dos grupos, uno con estatura media de 63.4 pulgadas y otro con una estatura de 57.3 pulgadas. ¿Cuántos estudiantes hay en cada grupo?. Solución: Sea n1 = Nº de hombres y n2 = Nº de mujeres Guía Práctica de Estadística General Sabemos que además n1  n2  200 X p  60.96 60.96  luego  | 24 n1  200  n2 X 1  63.4 X 2  57.3 ( 200  n2 ) 63.4  57.3 n2 200  n2  80 n1  120 6.- El coeficiente de variación de los ingresos mensuales de 100 empleados de una compañía es 0.6. Después de un aumento general de S/. 90 mensuales para cada uno de los trabajadores de la compañía, el coeficiente de variación es ahora de 0.55. Determinar la cantidad de dinero que necesitará mensualmente la compañía para pagar los sueldos después de hacer efectivos los aumentos. Solución: Sea X: Sueldos antes del aumento Antes C.V  Después S  0.6 X C.V  S  0.55 X  90 luego S  0.6 X S  0.55 ( X  90) Igualando las desviaciones estándar S 0.6 X  0.55 ( X  90) 0.6 X  0.55 X  49.5  0.05 X  49.5  X  990 ( Sueldo promedio anterior ) entonces X  90  1080 ( Sueldo promedio actual ) Luego : Dinero total para pagar los sueldos será 100(1080)  108,000 soles 7.- Una estación de servicio automotriz gasta $500 en la compra de latas de aceite que cuestan $10 la docena; $500 en latas que cuestan $12.5 la docena; otros $500 en latas que cuestan $20 la docena y $500 en otras que cuestan $25 la docena. a) Determinar el costo promedio por docena de las latas de aceite. b) En promedio ¿Cuántas docenas de latas de aceite compró? Guía Práctica de Estadística General | 25 Solución: a) Hallaremos el costo promedio por docena Monto Costo por docena 500 10 500 12.5 500 20 500 25 Total = 2000 X  b) Docenas compradas 50 40 25 20 135 2000 dólares  14.8 dólares / docena 135 docenas Pr omedio de docenas compradas : 135  33.75 docenas 4 8.- Una muestra de 70 datos da una media de 120 y una desviación estándar de 6; otra muestra de 30 datos da una media de 125 y una desviación estándar de 5. Se reúnen las dos muestras formando una sola muestra de 100 datos. Calcule el coeficiente de variación de esta muestra de 100 datos. Solución: Se tiene que: Hallaremos : C.V .  en este caso Sabemos que : X  n1  70 n2  30 X 1  120 X 2  125 S1  6 S2  5 S X n1 X 1  n2 X 2 70 (120 )  30 (125 )  121.5 = 70  30 n1  n2 S2  X  X   2 2 n 1 n en este caso por tratarse de dos grupos : S2   X  X X    X   2 2 1 2 2 1 n 1 2 n Guía Práctica de Estadística General S12  S 22   X 12   X  2 1 n1  n1  1 X Luego  X  36  2 2 2  n2  25  1479959  12150  Por lo tan to C.V  2 70 69  X 22  3750  X  X 2 1  1010484 2 2 n 2 S2   X 12  8400 | 26 99 30 29 2 2  469475 2 100  37.72  S  6.14 6.14 x 100%  5.05% 121.5 EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Una firma comercial afirma que el salario promedio mensual pagado a su personal es de $640, esto sugiere que dicha firma paga bien. Sin embargo, un análisis posterior indicó que se trata de una pequeña empresa, que emplea 4 jóvenes con haberes mensuales de $300 c/u y el gerente general con un haber de $2000 mensuales. ¿Ud. puede seguir afirmando que la firma paga bien? 2.- En cierto hospital se encuentran en observación en el Departamento de Urología: 5 adultos de 51 kg de peso; 8 de 53; 10 de 62; 7 de 64; 3 de 70; 8 de 72; 15 de 75 y 2 de 79 kg de peso. Hallar la mediana y la moda. Interprete. 3.- Las temperaturas medias de 40 días del año, registradas en la localidad de Monteagudo sido: (en grados centígrados): -9 -8 -5 -2 2 1 6 7 9 12 13 17 15 18 17 14 17 23 22 25 25 28 26 29 35 38 37 36 29 25 24 18 16 8 7 3 -3 a) Construya la tabla de frecuencias clasificando la temperatura en cinco clases. b) Calcule la media aritmética c) ¿Cuántos días han registrado temperaturas entre X  8º C y X  8º C d) ¿Cuál es el porcentaje de días con temperaturas entre  3º C y 33º C ? e) ¿Cuál es la proporción de días con temperaturas mayores a 26ºC ?. han 16 31 -1 4.- Una población industrial tiene 4 fábricas: M, N, O y P. Los 50 obreros de la fábrica M ganan, en promedio $24 por día; los 35 obreros de N, $38 por día, los 25 obreros de O, $43 por día y los 72 empleados de P, $36 por día. Hallar el ingreso promedio por día de esa población industrial. Rpta. 34.05 Guía Práctica de Estadística General | 27 5.- Ciertos inspectores de salubridad examinan toneladas de mariscos. El inspector A examinó 30 toneladas de las cuales 10 no sirven. El inspector B examinó 50 de las cuales 40 están en perfectas condiciones. El inspector C examina 80 de las cuales el 25% no sirve. ¿Qué porcentaje de los mariscos están en buenas condiciones?. Rpta. 75% 6.- Para evaluar como influye el consumo de alcohol en el deterioro de la inteligencia, se realizó una investigación en la ciudad de Trujillo sobre un cierto número de personas de entre 25 y 55 años. Se tomó entre otras técnicas el test de Wais que mide el CI; los resultados obtenidos se muestran en la tabla. ¿Se puede calcular la mediana? ¿y la moda? de ser así hallar el valor de dichos estadígrafos e interpretar los resultados obtenidos. Rpta. Me = 121.5 C. Intelectual Hi 100-110 110-120 120-130 130-140 140-150 0.14 0.44 0.85 0.97 1.00 7.- Seis mecanógrafas escriben a las siguientes velocidades 45, 37, 30, 38, 35 y 42 palabras por minuto. Si cada una de ellas escribe un mismo texto calcular la velocidad media. Rpta. 37.2 palab/min 8.- Las notas de 50 alumnos se clasificaron en una tabla de frecuencias con siete intervalos de clase de igual amplitud. Se pide calcular la mediana y la moda sabiendo además que: x5 = 75; f2 = f5 = 7; F1 = 6; f7 = 4; F3 = 22; F5 = 41 y x = 62.6. 9.- Hallar e interpretar la moda de la distribución siguiente: Intervalo de clase Frecuencia absoluta 34 -36 2 10.- Dado los siguientes datos: 20, Hallar: Me, Mo, Q3, y P85 36 - 38 5 9, 25, 38 - 40 30 40 - 42 40 42 - 44 20 4, 13, 15, 20, 27, 22, 44 – 46 3 18, 30, 7, 10 . 11.- De las mediciones biométricas efectuadas con cierto número de estudiantes se han extraído los siguientes datos: Los varones de 17 años tienen un peso medio de 60.8 kg. con una desviación estándar de 6.69 kg. Los varones de 10 años tienen un peso medio de 30.5 kg y una desviación estándar de 5.37 kg A partir de los datos anteriores se puede afirmar que el peso es más variable a los 10 años que a los 17 años. Rpta. Efectivamente el peso es más variable a los 10 años 12.- Se tiene la siguiente información sobre una distribución de frecuencias de los pesos en kg de 50 elementos de un determinado material. La amplitud de los intervalos de clase es igual a 20: [Li-1 - Li> xi fi Fi xifi 850 1710 27 2730 9 - 260 1500 50 a. Realiza el histograma de frecuencias absolutas y el polígono de frecuencias. b. Determinar la media y la mediana. Guía Práctica de Estadística General | 28 c. Hallar el número de datos que se estima pertenezcan al intervalo [200, mediana]. d. Hallar el primer cuartil y el 85avo percentil. Interpretar los resultados obtenidos. 13.- Suponga que la siguiente tabla de distribución representa los salarios diarios de los trabajadores de construcción civil de Lima: Salarios diarios (en S/.) De 24 a 36 De 36 a 42 De 42 a 60 De 60 a 72 De 72 a 84 De 84 a 96 Total Frecuencia 360 420 510 660 570 480 3000 a. El sindicato de construcción civil solicita que en el nuevo pacto colectivo se establezca un salario diario mínimo de S/. 42. ¿Qué porcentaje de trabajadores se beneficiarán con este pacto? b. Los trabajadores que reciben más de 90 soles diarios, se supone son muy calificados (maestros de obra). ¿Cuál es ese porcentaje? c. Estime el número de trabajadores que ganan entre 45 y 81 soles diarios. 14.- En la tabla siguiente se tiene los datos del número de seguidores de diferentes religiones en el mundo, según una estimación de www.adherents.com a. Elaborar la distribución de frecuencias relativas b. ¿Se puede calcular la media, la mediana o la moda de estos datos? Si es así, obtenerlos y explicar el significado de tus cálculos. Religión Cristianismo Islam Hinduismo Ateos-agnósticos-sin religión Budismo Confucionismo / Maoísmo Animismo y religiones tradicionales africanas Otras Total Millones de personas 2000 1300 900 850 360 225 245 93 5880 15.- Dada la siguiente distribución respecto a edades de un grupo de personas: 18, 39, 33, 28, 29, 40, 21, 26, 23, 48, 22, 43, 24, 46, 19, 27, 38, 12, 36, 32. Calcular e interpretar: Q1, y P87. Guía Práctica de Estadística General | 29 16.- El Ministerio de Educación realiza un estudio para determinar el monto de las subvenciones anuales entregadas a colegios de Arequipa. Para ello selecciona una muestra de 40 de ellos; los montos por subvención son los que a continuación de se detallan (expresados en millones de soles): Subvención (millones de soles) 6–7 7–8 8–9 9 – 10 10 – 11 11 – 12 12 – 13 13 – 14 14 – 15 Nº colegios 1 5 3 4 5 7 5 7 3 Calcular e interpretar: a. b. c. La subvención mínima del 25% de los colegios con mayor subvención. La subvención máxima del 40% de los colegios con menor subvención El numero de colegios del intervalo [P40, P85]. 17.- Cierta fábrica tiene un departamento de producción y otro de ventas. Las tablas que se muestran a continuación muestran los salarios percibidos hasta fines de mayo de este año (expresado en miles de soles): Dpto. producción Nº Intervalos trabajadores 1 – 1.5 12 1.5 – 2 28 2 – 2.5 32 2.5 – 3 24 3 – 3.5 12 Dpto. ventas Intervalos 6-8 8 – 10 10 – 12 12 – 14 14 – 16 Nº trabajadores 4 6 12 15 3 a. Hallar la desviación típica correspondiente a cada departamento. b. Determinar cual de los departamentos presenta mayor dispersión relativa. 18.- Dos países son igual de ricos, porque tienen la misma renta per cápita (o renta media), de 8.000 dólares al año. Pero en el país A la desviación típica es de 1.000 dólares y en el país B es de 4.000 dólares. ¿Qué podemos decir sobre la distribución de la riqueza de ambos países gracias a este dato? Guía Práctica de Estadística General | 30 19.- Los pesos de los jugadores de un equipo de fútbol son los siguientes: 76 78 82 71 68 71 75 72 81 75 a. Calcula el peso medio del equipo. b. ¿Cuál es la mediana? 20.- Determinar la varianza del conjunto de observaciones x1, x2, x3, x4, x5, a los cuales se les ha restado 4, obteniéndose el siguiente conjunto: 3, 0, 2, 4, 1. 21.- Se ha realizado un estudio a través de una prueba que mide el CI (coeficiente de inteligencia) de 90 personas. Los resultados se recogen en la tabla siguiente: C. Intelectual Nº de estudiantes 100-110 110-120 120-130 130-140 140-150 10 26 40 12 2 a) ¿Qué porcentaje de personas tuvieron a lo más un CI de 118?. Rpta. 34.4% aprox b) ¿Cuál es el CI mínimo que se requiere tener para pertenecer al quinto superior? Rpta. 129 22.- Un comerciante vende cinco tipos de limpiadores para desagües. En la tabla se muestra cada tipo junto con la utilidad por lata y el número de latas vendidas. Limpiador A B C D E Utilidad por lata $ 2.00 3.50 5.00 7.50 6.00 Volumen de ventas en latas 3 7 15 12 15 Calcular la utilidad promedio por lata. 23.- En una clase hay 70 estudiantes varones con una edad promedio de 21.8 años y 30 mujeres las cuales en promedio son 15% más jóvenes. Calcular la edad promedio de los estudiantes. Rpta. 20.82 24.- Los siguientes datos son los haberes básicos en dólares del mes de agosto de 20 empleados de un Ministerio. 210 180 200 230 220 210 150 160 190 140 100 180 160 120 150 200 170 190. 190 150 Para el mes de setiembre se decreta un aumento del 10% sobre los haberes del mes de agosto y un descuento del 2% de los haberes del mes de setiembre pro fondos de compensación social. Se pide calcular la media y la desviación estándar de los nuevos haberes. Rpta. 188.65 y 35.51 Guía Práctica de Estadística General | 31 25.- El cuadro siguiente presenta la distribución (en porcentajes) de volúmenes de ventas anuales en las empresas de cerámicas de la provincia de Lima durante el año pasado: Ventas (dólares) Menos de 2500 2500 – 5000 5000 – 10000 10000 – 20000 20000 – 40000 40000 – 100000 100000 – 250000 250000 – 500000 500000 ó más Empresas (%) 19,8 13,2 13,0 17,7 11,0 14,4 8,5 1,8 0,6 a) Calcule el volumen de venta promedio anual de las empresas b) Determine el volumen de ventas mínimo observado por el 25% de las empresas que registraron mayores ventas. 26.- Se pretende lanzar un producto del hogar al mercado para ser vendido en las grandes tiendas de Lima. Se hizo una encuesta en la salida de dichas tiendas a 200 personas y se le preguntó por el precio que estarían dispuestos a pagar por el producto. Los resultados fueron los siguientes: Precio (soles) 1400 - 1800 1800 - 2200 2200 - 2600 2600 - 3000 3000 - 3400 Total Nº de personas 40 45 44 39 32 200 a) Determine el precio promedio que una persona está dispuesto a pagar por el producto. b) El precio mínimo en que conviene lanzar el producto al mercado es de S/. 2180 y solo se lanzará si por lo menos la mitad de los encuestados están dispuestos a pagar dicho precio. ¿Qué decisión se toma según la información anterior?. 27.- Los precios de una artículo, el mes pasado tenía una media de S/. 45.8 y una desviación estándar de 8.2. En el presente mes hubo un aumento en los precios equivalente a un 3 % de los precios del mes pasado. Calcule los nuevos valores de la media y la desviación estándar. Guía Práctica de Estadística General | 32 Guía Práctica de Estadística General | 33 Guía Práctica de Estadística General | 34 OPERACIONES CON EVENTOS Y PROBABILIDADES 1.- En una compañía hay 6 varones y 4 damas que aspiran a ser miembros de un comité. Si se debe escoger dos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Los dos sean hombres b) Sean un hombre y una mujer o dos mujeres. Solución: a) Sea el evento A = {Los dos sean hombres} 6   2 1 P ( A)     3 10    2  b) Sean los eventos: B = {Sean un hombre y una mujer} P( B  C )  P( B )  P( C ) C = {Sean dos mujeres} luego hallaremos:  6  4      1 1  P( B  C )     10    2   4    2   24  6  2 45 3 2.- Un lote contiene 100 artículos de los cuales 20 son defectuosos. Se inspecciona del siguiente modo. Se sacan 5 artículos del lote: si los 5 son buenos se acepta el lote; en otro caso se rechaza. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar el lote?. Solución: Sea X: Nº de artículos defectuosos en la muestra de tamaño 5 P(Rechazar el lote) = P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 ) + P ( X = 4 ) + P ( X = 5 ) = 1 – P ( X = 0 ) = 1 – P ( Aceptar el lote ) en donde  80    5 P ( Aceptar )     0.32 100    5   P( Re chazar )  1  0.32  0.68 Guía Práctica de Estadística General | 35 3.- Un recién graduado solicita empleo en la compañía A y en la B. Se estima que la probabilidad de ser contratado por A es 0.7 y de ser contratado por B es 0.5. En tanto que la probabilidad de que se rechace por lo menos una de sus solicitudes es de 0.6. ¿Cuál es la probabilidad de ser contratado al menos por una de las compañías? Solución Sean los eventos: A  {El recien graduado sea contratado por la compañía A}  P( A )  0.7 B  {El recien graduado sea contratado por la comañía B }  P( B )  0.5 A'  B'  {Sea rechazado en al menos una de las compañías}  P( A'  B' )  0.6 Hallaremos P( A  B)  P( Sea contratado en al menos una de las compañias ) P( A  B )  P( A )  P( B )  P( A  B ) Por otro lado P( A' B' )  P( A  B )'  1  P( A  B )  0.6  P( A  B )  0.4 Luego P( A  B )  0.7  0.5  0.4  0.8 4.- Suponga que en un sorteo la probabilidad de ganar el primer premio es 2/5 y la de ganar el segundo premio es 3/8. Si la probabilidad de ganar al menos uno de los dos premios es 3/4. Calcular la probabilidad de ganar: a) Sólo uno de los dos premios b) Ninguno de los dos premios Solución Sean los eventos: A  Ganar el primer premio  2 5 3 B  Ganar el segundo premio   P( B )  8 A  B  Ganar al menos uno de los dos premio   P( A  B )  3 / 4 P( A  B )  P( A )  P( B )  P( A  B ) 3 / 4  2 / 5  3 / 8  P( A  B )  P( A  B )  1 / 40 15 40  P( A )  1 40 14 40 Guía Práctica de Estadística General Luego P( A B'  B A' )  | 36 15  14 29   0.725 40 40 b) P( A'  B' )  P( A  B )'  1  P( A  B )  1  3 / 4  1/ 4  0.25 5.- Un banco de sangre dispone de 10 unidades de sangre tipo A. De ellas cuatro están contaminadas con suero de hepatitis. Se seleccionan aleatoriamente 3 de estas unidades para utilizarlas con tres pacientes diferentes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres pacientes estén expuestos a contraer hepatitis por esta razón? b) ¿Que al menos dos de ellos no estén expuestos a contraer hepatitis? Solución: a) P ( X = 3 ) en donde X: Nº de pacientes expuestos a contraer hepatitis  4   3 4 P ( X  3)      0.033 120 10    3  b) P ( X  2 )  P  X  2 )   P ( X  3 ) P( X 2)  6  4      2  1   60 120 10    3  Luego P ( X  2 )  60  20  0.667 120 X : N º de pacientes no exp uestos a contraer 6   3 20 P ( X  3)     10  120   3  Guía Práctica de Estadística General | 37 PROBABILIDAD CONDICIONAL Se trata de dos eventos A y B definidos en un mismo espacio muestral, en donde uno de ellos (evento B) ya ocurrió, es decir se conoce su resultado. P( A / B )  P( A  B ) P( B ) Ejemplo 1.- Una cierta compañía compra insumos de tres proveedores A, B y C. Proveedor A abastece con 40% de los insumos, de los cuales el 8% son defectuosos. Proveedor B abastece con el 35% de los cuales el 9% son defectuosos. Proveedor C abastece con el 25% de los cuales el 10% son defectuosos. Si se elige un insumo al azar: a) ¿Cuál es la probabilidad de que este sea defectuoso? b) Si el insumo salió defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido adquirido del proveedor A? Solución: Proveedor Calidad Total Defectuoso No Defectuoso A 0.032 0.368 0.40 B 0.0315 0.3185 0.35 C 0.025 0.225 0.25 Total 0.0885 0.9115 1.00 a) Según la tabla: P (Defectuoso) = 0.0885 b) P( A / D )  P( A  D ) 0.032   0.36 P( D ) 0.0885 Guía Práctica de Estadística General | 38 OTRO MÉTODO: DIAGRAMA DEL ÁRBOL D P(D/A) = 0.08 A P(D’/A) = 0.92 P(A) = 0.40 D’ P(B)=0.35 P(D/B) = 0.09 B D P(D’/B) = 0.91 P(C) = 0.25 D’ C P(D/C) = 0.10 D P(D’/C) = 0.9 D’ a) Ahora hallaremos la probabilidad de obtener un artículo defectuoso P( D)  P( A ) P( D / A )  P( B ) P( D / B )  P(C ) P( D / C ) P( D)  (0.40 x 0.08 )  (0.35 x 0.09 )  (0.25 x 0.10 )  0.0885 b) Ahora hallaremos la probabilidad que un artículo sea proveniente del proveedor A, sabiendo que el artículo seleccionado salió defectuoso. P( A / D )  P( A  D ) P( A ) P( D / A ) 0.40 x 0.08    0.36 P ( D) P( D ) 0.0885 Ejemplo 2.- Una cierta prueba médica tiene una efectividad de 99% para descubrir la presencia o no de una enfermedad (resultado positivo cuando realmente lo tiene o negativo cuando realmente no lo tiene). Se aplica masivamente la prueba a una población en la cual hay 1% de individuos con la enfermedad; se desea saber qué porcentaje de los individuos con resultados positivos tendrán efectivamente la enfermedad. Solución: Sean los eventos Guía Práctica de Estadística General | 39 P  { Re sultado sea posiivo } E  { Persona tenga la enfermedad }  P( E )  0.01 E Se pide hallar P   P P E  P P Se sabe que : P    0.99  P E  E   P' P  E '  P ' P    0.99  P E '   E'  P  E  P   0.99 x 0.01  0.0099  P E '  P '  0.99 x 0.99  0.9801 Total Tiene la enfermedad: E No tiene la enfermedad: E’ Resultado Positivo: P 0.0099 0.0099 0.0198 Resultado Negativo: P’ 0.0001 0.9801 0.9802 0.01 0.99 1.000 Total Luego P E  P  0.0099 E P     0.5 P P  0.0198 P MÉTODO DEL DIAGRAMA DEL ÁRBOL: P P ( P/E ) = 0.99 P ( P’/E ) = 0.01 E P ( E ) = 0.01 P’ P P ( E’) = 0.99 P ( P/E’ ) = 0.01 E’ P ( P’/E’) = 0.99 P’ Guía Práctica de Estadística General | 40 Ahora hallaremos la probabilidad que un resultado sea positivo, sabiendo que realmente tiene la enfermedad. P (E / P )  P (E  P ) P (E ) P (P / E ) 0.01 x 0.99    0.50 P(P) P (P ) 0.0198 EVENTOS INDEPENDIENTES Son eventos en donde el resultado de uno de ellos en nada afecta al resultado del siguiente evento o que en nada se ve afectado por el resultado del evento que le antecedió. Ejemplo 1.- La proporción general de artículos defectuosos en un proceso continuo es 0.10. Cuál es la probabilidad de que elegidos dos al azar: a) Ninguno sea defectuoso b) Cuando menos uno no tenga defectos Solución A  El B  El A'  El B'  El Sean los eventos: artículo A tenga defectos   P( A )  0.10 artículo B tenga defectos   P( B )  0.10 artículo A no tenga defectos   P( A' )  0.90 artículo B no tenga defectos   P( B' )  0.90 a) Hallaremos la probabilidad que ninguno sea defectuoso P( A'  B' )  P( A' ) x P( B' )  0.90 x 0.90  0.81 Por ser eventos independientes b) Ahora hallaremos la probabilidad de que cuando menos uno no tenga defectos P( A'  B' )  P( A  B )'  1  P( A  B )  1  ( 0.10 ) x ( 0.10 )  1  0.01  0.99 OtroMétodo : Esto implica que por lo menos uno de los dos artículos no tenga defectos  P( A'  B )  P( A  B' )  P( A'  B' )  ( 0.09 ) ( 0.10 )  ( 0.10 x 0.90 )  ( 0.90 ) ( 0.90 )  0.99 Ejemplo 2.- La probabilidad de que se alivie un resfriado con el antibiótico A es de 0.7 y con el antibiótico B es de 0.8. Se tienen dos pacientes resfriados, uno toma el antibiótico A y el otro el B. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Ambos se curen Guía Práctica de Estadística General | 41 b) Uno se cure y el otro no se cure Solución A  El B  El A '  El B '  El Sean los eventos: paciente A se cure con el antibiótico A   P( A )  0.70 paciente B se cure con el antibiótico B   P( B )  0.80 paciente A no se cure con el antibiótico A   P( A' )  0.30 paciente B no se cure con el antibiótico B   P( B' )  0.20 a) Hallaremos la probabilidad de que ambos pacientes se curen P ( A  B )  P ( A ) x P ( B )  0.7 x 0.8  0.56 b) Ahora hallaremos la probabilidad de que uno se cure y el otro no se cure P( A  B ' )  P( A'  B )  P ( A ) x P ( B' )  P ( A' ) x P ( B )  ( 0.7 x 0.2 )  ( 0.3 x 0.8 )  0.14  0.24  0.38 EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- En un grupo de alumnos de la especialidad de contabilidad se ha determinado de que el 40 % tienen dificultades en el curso de análisis matemático (M), 20% tienen dificultades en el curso de estadística aplicada (E) y el 5% tienen dificultades en ambos cursos (M y E). De este grupo de alumnos de contabilidad seleccionamos uno al azar se pide contestar preguntas a) Calcular la probabilidad de que tenga dificultad en el curso de análisis matemático o estadística aplicada. b) Calcular la probabilidad de que el alumno tenga dificultad en el curso de estadística dado que tiene dificultad en el curso de análisis matemático. c) Calcular la probabilidad de que el alumno de contabilidad no tenga dificultad en el curso de análisis matemático ni en el curso de estadística aplicada. 2.- A continuación se presenta una tabla en el cual se han clasificado a 100 alumnos según hábito de fumar y rendimiento en el curso de matemática: Hábito de fumar Rendimiento en matemáticas Malo Bueno Total Si 25 5 30 No 15 55 70 Total 40 60 100 De este grupo seleccionamos un estudiante al azar, se pide contestar las preguntas: Guía Práctica de Estadística General | 42 a) Calcular la probabilidad de que tenga un rendimiento malo en matemáticas dado de que fuma cigarrillos. b) Calcular la probabilidad de que no fume cigarrillos si se sabe que tiene un buen rendimiento en matemáticas. 3.- La UCS recientemente lanzó una campaña publicitaria para el examen de admisión 2012, instalando cuatro anuncios panorámicos en la panamericana norte. Se sabe por experiencia que la probabilidad de que el primer anuncio sea visto por un conductor es de 0.75. La probabilidad de que el segundo sea visto es de 0.82, la probabilidad para el tercero es de 0.87 y la del cuarto es de 0.90. Suponiendo que el evento de que un conductor vea uno cualquiera de los anuncios publicitarios es independiente de si ha visto o no los demás. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Los cuatro anuncios sean vistos por un conductor? b) El primero y el cuarto sean vistos, sin que el segundo y el tercero sean notados? c) Exactamente uno de los anuncios sea visto? d) Ninguno de los anuncios sea visto? e) El tercero y cuarto anuncios no sean vistos? 4.- Se estima que el 30% de los habitantes de EE.UU son obesos y que el 3% sufre de diabetes. El 2% son obesos y sufren de diabetes. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar. a) Sea obesa o sufra de diabetes? Rpta. 0.31 b) Sea obesa pero no sufra de diabetes?. Rpta 0.28 5.- De todos los pacientes con cáncer, el 52% son mujeres. El 40% de todos los pacientes sobrevive al menos 5 años desde el momento del diagnóstico. No obstante, esta tasa de sobrevivencia es válida solamente para el 35% de las mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente con cáncer seleccionado aleatoriamente sea mujer y sobreviva al menos 5 años?. Rpta. 0.182 6.- Una empresa constructora del programa MI VIVIENDA descubrió que sólo el 20% de todos los trabajos se terminaban a tiempo; mientras que el 30% sufrían sobrecostos. Además, los sobrecostos se presentaban el 75% de las veces en las que se terminaban el trabajo a tiempo. El propietario de la empresa desea conocer la probabilidad de que un trabajo: a) Tenga sobrecostos y se termine a tiempo Rpta. 0.15 b) Tenga sobrecostos o se termine a tiempo. Rpta. 0.35 c) Se termine a tiempo, dado que no tiene sobrecostos. Rpta. 0.0714 7.- La distribución de los tipos de sangre en EE.UU entre los individuos de raza blanca es aproximadamente la siguiente: A: 40% B = 11% AB = 4% O = 45% Tras un accidente automovilístico, un individuo de raza blanca es conducido a una clínica de emergencia. Se le hace un análisis de sangre para establecer el grupo al que pertenece. ¿Cuál es la probabilidad de que sea del tipo A o del B? Rpta. 0.51 8.- En un estudio sobre alcohólicos se informa que el 40% de los mismos tiene padre alcohólico y que el 6% tiene madre alcohólica. El 42% tiene al menos uno de los padres alcohólicos. ¿Cuál es la probabilidad de que elegido uno al azar: a) Tenga ambos padres alcohólicos. Rpta. 0.04 b) Tenga un padre alcohólico, pero no una madre alcohólica. Rpta. 0.36 Guía Práctica de Estadística General c) Tenga una madre alcohólica, si el padre no lo es. | 43 Rpta. 0.033 9.- De 1000 jóvenes de 18 años, 600 tienen empleo y 800 son bachilleres. De los 800 bachilleres, 500 tienen trabajo. ¿Cuál es la probabilidad de que un joven de 18 años tomado aleatoriamente sea: a) Un bachiller empleado b) Empleado pero no bachiller c) Desempleado o un bachiller d) Desempleado o no bachiller 10.- El Sr. Conti, propietario de un restaurante, ha mejorado la infraestructura para una buena presentación. Observa que el 25% de todos los autos que pasan por allí, se detienen para consumir algún alimento. a) ¿Cuál es la probabilidad de que los próximos cuatro carros se detengan? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer auto pare, que el segundo y tercero no lo hagan y el cuarto pare? 11.- LLusol compra tres acciones diferentes. La probabilidad de que la primera aumente su valor es 1/3, la probabilidad de que la segunda aumente es de 3/4 y la probabilidad de que la tercera aumente su valor es de 1/10. Determine la probabilidad de que: a) Todas aumenten de valor b) Una aumente su valor 12.- Con base en su experiencia un médico ha recabado la siguiente información, relativa a las enfermedades de sus pacientes: 5 % creen tener cáncer y lo tienen; 45 % creen tener cáncer y no lo tienen; 10 % no creen tener pero sí lo tienen; y finalmente 40 % creen no tenerlo, lo cual es cierto. De entre los pacientes del doctor se seleccionó uno al azar a) Cuál es la probabilidad que el paciente tenga cáncer?. Rpta. 0.15 b) Cuál es la probabilidad de que el paciente tenga cáncer, si cree no tenerlo?. Rpta. 0.2 13.- Se estima que el 15 % de la población adulta padece de hipertensión, además se sabe que el 75% de todos los adultos creen no tener este problema. Se estima también que el 6 % de la población tiene hipertensión pero no es consciente de padecer dicha enfermedad. a) Si un paciente adulto cree que no tener hipertensión. ¿ Cuál es la probabilidad de que la enfermedad, de hecho exista?. Rpta. 0.08 b) Si la enfermedad existe. ¿Cuál es la probabilidad de que el paciente lo sospeche?. Rpta. 0.60 14.- Sólo el 60% de los estudiantes de la clase de matemática del Profesor X pasaron la primera prueba. De quienes pasaron el 80% estudiaron, el 20% de quienes no pasaron si estudiaron. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pase o estudie? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante pase pero no estudie? 15.- El 5% de las unidades producidas en una fábrica se encuentran defectuosas cuando el proceso de fabricación se encuentra bajo control. Si el proceso se encuentra fuera de control, se produce un 30% de unidades defectuosas. La probabilidad marginal de que el proceso se encuentre bajo control es de 0.92. Si se escoge aleatoriamente una unidad y se encuentra que es defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que el proceso se encuentre bajo control? 16.- Una planta armadora recibe microcircuitos provenientes de tres distintos fabricantes B1, B2 y B3. El 50% del total se compra a B1, mientras que a B2 y B3 se les compra un 25% a cada uno. El porcentaje de circuitos defectuosos para B1, B2 y B3 es 5, 10 y 12% respectivamente. Si un circuito está defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido vendido por el proveedor B2 ? Guía Práctica de Estadística General | 44 17.- Se estima que la probabilidad de que una Cía. B tenga éxito al comercializar un producto es de 0.95 si su competidora la compañía A no interviene en el mercado; y es de 0.15 si la compañía A interviene en el mercado. Si se estima que A intervendría en el mercado con probabilidad de 0.7 a) ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía B tenga éxito?. Rpta. 0.39 b) Si la Cía. B no tuviera éxito ¿En cuánto se estima la probabilidad de que A intervenga en el mercado?. Rpta. 0.975 18.- Contratistas S.A. está negociando dos contratos. La Gerencia piensa que la probabilidad de ganar el primer contrato es de 60% y que el ganador tendrá ventaja definitiva en la negociación del segundo contrato. La Gerencia cree que si Contratistas S.A gana el primer contrato va a tener un 70% de probabilidad de ganar el segundo contrato, en caso contrario disminuirá a 0.10. a) ¿Cuál es la probabilidad de que Contratistas S.A. pierda ambos contratos?. Rpta. 0.36 b) ¿Cuál es la probabilidad que gane el segundo contrato?. Rpta. 0.46 19.- Una Compañía tiene 1000 repuestos para cierto ensamblado. El 20% de las partes son defectuosas; además el 40% se compraron a proveedores de fuera y el resto fue fabricado por la misma compañía. De los comprados fuera de la compañía el 80% son buenos. Si se elige un repuesto al azar entre esta existencia. ¿Cuál es la probabilidad de que : a) Sea fabricado por la Compañía y esté buena. Rpta. 0.48 b) Sea defectuosa o comprada. Rpta. 0.52 c) No sea fabricada por la Compañía ni sea buena. Rpta. 0.08 d) Sea comprada, siendo defectuosa. Rpta. 0.4 20.- En un cajón hay 80 artículos buenos y 20 malos; en un 2ª cajón el 30% son malos y en un tercer cajón el 25% son malos. Se sabe que el número de artículos del tercer cajón es el triple de los que hay en el segundo y que en total hay 260 artículos. Se mezclan los artículos de las cajas. a) Si se extrae al azar un artículo. Calcule la probabilidad de que sea malo si se sabe que pertenece al 2ª cajón. Rpta. 0.3 b) Si se extraen al azar dos artículos. Calcule la probabilidad de que el primero y el segundo sean malos. Rpta. 0.056 21.- Se ha determinado que el porcentaje de televidentes que ven los programas A, B y C son respectivamente 0.4. 0.5 y 0.3. Cada televidente ve los programas independientemente uno del otro. Si se elige al azar a uno de tales televidentes. ¿Qué probabilidad hay de que vea: a) Dos de los tres programas. Rpta. 0.29 b) Al menos uno de los tres programas. Rpta. 0.79 22.- En cierta región la probabilidad de que llueva en cualquier día del año es 0.1. Suponiendo la independencia de un día con otro. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera lluvia ocurra después de 14 días sin lluvia?. Rpta. 0.023 Guía Práctica de Estadística General | 45 Guía Práctica de Estadística General | 46 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Estudia a eventos independientes que se repiten varias veces y cuyos resultados tienen solo dos alternativas; así por ejemplo: masculino-femenino, sano-enfermo, bueno-defectuoso, aprobadodesaprobado, compra-no compra etc. n P X  x     p q  x x x  0, 1, 2, 3,..........................., n nx Ejemplo 1.- Un fabricante envía sus productos en lotes de 20 unidades a sus clientes. El sabe que la probabilidad de que cualquier artículo esté defectuoso es de 0.05. Cual es la probabilidad de que determinado lote: a) No contenga artículos defectuosos b) ¿Cuál es el número de artículos defectuosos que se espera encontrar en un lote?. Solución: a) Hallaremos P ( X = 0 ) n P X  x     p q  x x en donde X: Nº de artículos defectuosos en un lote x  0, 1, 2, 3,.................................n nx  20  P( X  0)    (0.05) (0.95)  0.36 0  0 20 b) Ahora hallaremos el Nº promedio de artículos defectuosos por lote E( X )  n p E ( X )  20 ( 0.05 )  1 artículo defectuoso por lote Ejemplo 2.- El 20% de todas las mujeres que reciben a un vendedor de aspiradoras en sus hogares terminan por comprar una. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 6 mujeres que admiten la demostración del vendedor en sus casas: a) Exactamente dos compren una aspiradora b) Al menos una acabe por comprar la aspiradora c) A lo más una no compre una aspiradora Guía Práctica de Estadística General | 47 Solución: a) Exactament e dos compren una aspiradora luego hallaremos P( X  2 ) en donde X : N º de mujeres que compran 6 P( X  2 )    (0.2) 2 (0.8) 4  0.24576  2 b) P( X  1)  P( X  1 )  P( X  2 )  P( X  3 )  P( X  4 )  P( X  5 )  P( X  6 ) luego P( X  1 )  1  P( X  0 ) en donde X : N º de mujeres que compran 6 P( X  0 )    (0.2) 0 (0.8) 6  0.26214 0 Por lo tan to P( X  1)  1  0.26214  0.738 c) Ahora hallaremos la probabilidad que a lo más una no compre P( X  1)  P( X  0 )  P( X  1 ) X : N º de amas de casa que no compran la aspiradora  6 P( X  0 )    ( 0.8 ) 0 ( 0.2 ) 6  0.000064  0  6 P( X  1)    ( 0.8 )1 ( 0.2 ) 5  0.001536 1  Luego P ( X  1)  0.0016 Ejemplo 3.- En una empresa donde los empleados son 80% hombres y 20% mujeres; están aptos para jubilarse el 10% de las mujeres y el 15% de los hombres. De 5 solicitudes para jubilarse ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos estén aptos para jubilarse? Solución: Sea X : N º de empleados aptos para jubilarse P( X  2)  1  P( X  0)  P( X  1) 5 P( X  0)    ( p) (q) en donde p : probabilidad que una persona esté apto para jubilarse  0 luego p  0.15 (0.8)  0.1 (0.2)  0.14 0 En con sec uencia 5 5 P( X  0)    (0.14 ) (0.86)  0.4704 0 5 P( X  1)    (0.14) (0.86)  0.3829 1  0 1 Por lo tan to 5 4 P( X  2)  1  0.8533  0.1467 Guía Práctica de Estadística General | 48 Ejemplo 4.- El jefe de la sección de recaudación de cierto municipio observa que, de todas las multas de aparcamiento que se ponen, se pagan el 78%. La multa es de $2. En la semana mas reciente, se han puesto 620 multas. a) Halle la media y la desviación estándar del número de multas que se pagan. b) Halle la cantidad de dinero que se obtiene por el pago de estas multas; así como también su desviación estándar. Solución: a) Sea X: Nº de multas impuestas E( X ) = n p = 0.78 ( 620) = 483.6 multas o sea aproximadamente 484 multas serán pagadas V( X ) = n p q = 620 x 0.78 x 0.22 = 106.392 luego σ = 10.315 multas b) Recaudación por el pago de multas = 483.6 x 2 = 967.2 dólares La desviación estándar será: 10.315 ( 2 ) = 20.63 Ejemplo 5.- La probabilidad de cura de una enfermedad normalmente mortal con cierto medicamente, se estima en 0.30. Si cinco enfermos se tratan con este medicamento. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro se curen? Solución: a) Hallaremos P( X ≥ 4 ) en donde X: Nº de pacientes que se curan n PX  x     p x q n  x  x x  0, 1, 2, 3,.................................n P ( X  4 )  P( X  4 )  P ( X  5 ) 5 P( X  4 )    ( 0.3 ) 4 ( 0.7 )1  0.02835  4  5 P ( X  5 )    (0.3 ) 5 ( 0.7 ) 0  0.00243  5 Luego P ( X  4 )  0.02835  0.00243  0.03078 Ejemplo 6.- Se somete a un estudiante a un examen del tipo verdadero – falso que contiene 10 preguntas; para que apruebe debe responder correctamente a 8 preguntas o más. Si el estudiante está adivinando. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe el examen?. Guía Práctica de Estadística General | 49 Solución: Sea X: Nº de preguntas contestadas correctamente P ( X  8 )  P ( X  8 )  P ( X  9 )  P ( X  10 ) 10  8 2 P( X  8 )   8   (0.5) (0.5)    0.043945 10  9 1 P( X  9 )   9   (0.5) (0.5)  0.009765   10  10 0 P ( X  10)   10   (0.5) (0.5)  0.000976   Por lo tan to P( X  8 )  0.0547 DISTRIBUCIÓN DE POISSON Estudia a los eventos independientes que suceden con muy poca frecuencia y que ocurren en un determinado espacio, volumen o tiempo. e  P X  x   x!  x x  0, 1, 2, 3,.................... Ejemplo 1.- El promedio de llamadas telefónicas en una hora es de 3. ¿Cuál es la probabilidad de recibir: a) Exactamente 2 llamadas en una hora b) Dos o más llamadas en 90 minutos Solución: a) Hallaremos P ( X = 2) X: Nº de llamadas en una hora Según la distribuci ón de Poisson Luego P(X  2)  e   x P X  x   x! e 3 32  0.224 2! b) Enseguida hallaremos la probabilidad de que ocurran dos o más llamadas en 90 minutos Guía Práctica de Estadística General P ( X  2 )  1  {P ( X  0 )  P ( X  1)} P(X  0)  e  4.5 (4.5 ) 0  e  4.5 0! P ( X  1)  e  4.5 ( 4.5 )1  4.5e  4.5 1! | 50 X : N º de llamadas en 90 min utos P ( X  2 )  1  5.5e  4.5  1  0.0611  0.9389 Luego Ejemplo 2.- Una fábrica envía al depósito 500 artículos. La probabilidad de deterioro de un artículo en el camino es de 0.002. Hallar la probabilidad de que en el camino se deterioren: a) Menos de tres artículos b) Por lo menos un artículo Solución: a) Dado que np ≤ 1 usaremos la aproximación de la Binomial a la de Poisson en donde λ = np En este caso λ = np = 500(0.002) = 1 P ( X  3 )  P ( X  0 )  P ( X  1)  P ( X  2 ) P (X  0)  e 1 10  e 1 0! P ( X  1)  e 111  e 1 1! P (X  2)  e 112 e  2! 2 Luego 1 P ( X  3 )  2.5 e 1  0.92 b) P ( X  1)  1  P ( X  0 )  1  e 1  1  0.36788  0.63212 Ejemplo 3.- Un líquido contiene cierta bacteria con un promedio de 3 bacterias por centímetro cúbico. Calcular la probabilidad de que: a) No contenga bacteria alguna una muestra de 1/3 de cc. b) Contenga por lo menos una bacteria una muestra de 2 cc. Solución: a) Hallaremos P ( X = 0 ) X: Nº de bacterias en 1/3 de cc. e  x x!  : Pr omedio de bacterias en 1 / 3 de cc.    1 Según la distribuci ón de Poisson en donde P X  x   Guía Práctica de Estadística General | 51 e 1 10 P(X  0)   e 1  0.368 0! Luego b) P ( X  1 )  1  P ( X  0 ) X : N º de bacterias en una muestra de 2 cc e 6 6 0 P (X  0)   e 6 0! luego 1  e 6  0.9975 Ejemplo 4.- Una vacuna produce inmunidad contra la polio en un 99.99%. Suponiendo que la vacuna ha sido administrada a 10,000 niños. a) ¿Cuál es el número esperado de niños que no han sido inmunizados?. b) ¿Cuál es la probabilidad que menos de 2 niños no sean inmunes? Solución: a) Dado que np ≤ 1 usaremos la aproximación de la Binomial a la de Poisson en donde λ = np En este caso λ = np = 10,000 (0.0001) = 1 niño b) P ( X  2 )  P ( X  0 )  P ( X  1 ) e 1 10 P(X  0)   e 1 0! e 111 P ( X  1)   e 1 1! Luego P ( X  2 )  2 e 1  0.7358 DISTRIBUCIÓN NORMAL Es una distribución de probabilidad que se diferencia de las anteriores por ser de variable aleatoria continua. Es una de las más importantes ya que la mayoría de los trabajos de investigación están basados en muestras aleatorias provenientes de poblaciones que se distribuyen normalmente . Ejemplo1.- Una máquina expendedora de refrescos se regula de manera que descargue un promedio de 196 gr. por vaso. La cantidad descargada tiene aproximadamente distribución normal con una desviación estándar de 14 gramos. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un vaso con más de 218.4 gramos?. Guía Práctica de Estadística General | 52 Solución: Consideremos a X: Cantidad descargada por la máquina vendedora de refrescos, la cual se distribuye normalmente con µ = 196 gr y σ = 14 gr. Hallaremos P ( X  218.4 ) Z  X   es tan darizando el valor de X  Z mediante la fórmula : 218.4  196  1.6 14 P ( Z  1.6 )  0.0548 Interpreta ción.  El 5.48% de los vasos tendrán una cantidad mayor de 218.4 gr b) Si los vasos pueden contener solo 224 gramos sin que haya derrame. ¿En cuántos vasos de 200 vendidos es probable que el líquido se derrame?. Solución: P ( X  224 )  por lo tan to Z 224  196 2 14 luego P( Z  2)  0.0228 200 ( 0.0228 )  4.56 es decir se derramarán aproximada mente 5 vasos Ejemplo 2.- La puntuación media en un examen final de una asignatura fue de 72 y la varianza 81. El 10% superior de los alumnos reciben calificación A. ¿Cuál es la puntuación mínima que un estudiante debe tener para recibir un calificación A?. Solución: Z  X    1.28  X  72 9  X  83.5 Guía Práctica de Estadística General | 53 Ejemplo 3.- Una variable aleatoria tiene una distribución normal con σ = 21.5. Hallar su media si la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor que 120.5 es de 0.8849 Solución: Se sabe que P( X  120.5)  0.8849 Z  X    1.2  120.5   21.5    94.7 Ejemplo 4.- Suponga que las puntuaciones obtenidas en un examen de un curso tienen distribución normal con µ = 80. Si el 95% de los examinados obtienen puntajes entre 60.4 y 99.6 a) Calcule el valor de la desviación estándar Z X    1.96  99.6  80     10 b) ¿Qué porcentaje de los examinados obtuvieron entre 55 y 98 puntos Z1  55  80   2 .5 10 Z2  98  80  1.8 10 Guía Práctica de Estadística General P (2.5  Z  1.8 )  0.4938  0.4641  0.9579 | 54  95.79 % Ejemplo 5.- Los puntajes del coeficiente de inteligencia tomados a un grupo de personas adultas, en un proceso de selección de personal están distribuidos normalmente con una media de 105 y una desviación estándar de 12. a) Si el puntaje mínimo para aprobar es 90. ¿Cuál es el porcentaje de no aprobados?. b) Si han aprobado el 80% de las personas. ¿Cuál es el puntaje mínimo aprobatorio?. Solución: a) Consideremos a X: Puntaje del coeficiente de inteligencia, la cual se distribuye normalmente con µ = 105 y σ = 12 Hallaremos P ( X  90 ) Z  es tan darizando el valor de X X    Z mediante la fórmula : 90  105   1.25 12 P ( Z  1.25 )  0.1056 o sea 10.56% b) Ahora hallaremos el puntaje mínimo aprobatorio 80%  0.84  X  105 12  X  94.92 o sea aproximada mente 95 puntos Guía Práctica de Estadística General | 55 Ejemplo 6.- En una distribución normal hay 47 % de valores inferiores a 47 y 28% superiores a 70. Calcular la proporción de valores entre 57 y 86. Solución  0.08  47   0.58     0.08  47 Luego Ahora Z1     0.58  70   0.08  47   0.58  70 Re solviendo ecuaciones (1) y 70   (2) 57  49.79  0.21 34.85 (1) (2) obtenemos   49.79 Z2    34.85 86  49.79  1.04 34.85 P ( 0.21  Z  1.04 )  P ( 0  Z  1.04 )  P ( 0  Z  0.21 )  0.3508  0.0832  0.2676  26.76 % Guía Práctica de Estadística General | 56 EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Para estudiar la regulación hormonal de una línea metabólica se inyectan ratas albinas con un fármaco que inhibe la síntesis de proteínas del organismo. En general 4 de cada 20 ratas mueren a causa del fármaco antes de que el experimento haya concluido. Si se trata a 10 animales con el fármaco. ¿Cuál es la probabilidad: a) Que exactamente 3 no lleguen vivas al final del experimento. Rpta. 0.2013 b) Que al menos 8 lleguen vivas al final del experimento. Rpta. 0.6778 2.- Se determina que un 25% de los niños expuestos a un determinado agente infeccioso contraerán la enfermedad producida por dicho agente. Entre un grupo de 4 niños igualmente expuestos al agente infeccioso. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Exactamente 2 niños se enfermen. Rpta. 0.211 b) Por lo menos un niño se enferme. Rpta. 0.684 3.- En cierto país en desarrollo el 30% de los niños están desnutridos; en una muestra aleatoria de 25 niños de esa área. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de niños desnutridos sea: a) Menos de cinco. Rpta. 0.0905 b) Menos de 7; pero más de 4? Rpta. 0.2502 4.- La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad sanguínea es 0.4. Si se sabe que 15 personas contraen esta enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad: a) Que sobrevivan de 4 a 7 b) No sobrevivan exactamente 5 5.- Un prominente médico afirma que 70% de las personas con cáncer de pulmón son fumadores empedernidos. Si su afirmación es correcta: Encuentre la probabilidad de que de 10 de tales pacientes admitidos recientemente en un hospital, menos de 3 sean fumadores empedernidos 6.- Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción desfavorable por una inyección de cierto suero es de 0.001. Determinar la probabilidad de que de 200 personas: a) Exactamente 3 sufran la reacción. Rpta. 0.0011 b) Dos o más sufran la reacción. Rpta. 0.0175 7.- De la población de valores de Z seleccionamos uno al azar, se pide: I. Determinar las probabilidades siguientes: a. P ( Z > 1.37 ) b. P ( Z < - 0.84 ) c. P ( Z ≥ - 2.05 ) d. P ( 1.64 < Z < 1.96 ) e. P ( - 0.84 < Z < 0.84 ) f. P ( -1.24 < Z < 1.63 ) g. P ( - 1 < Z < 2) II. Calcular el valor de Zo en las siguientes expresiones: a. P ( Z > zo ) = 0.025 b. P ( Z < zo ) = 0.15 c. P ( Z ≥ zo ) = 0.85 d. P ( Z < zo ) = 0.10 e. P ( - zo < Z < zo ) = 0.8 Guía Práctica de Estadística General | 57 f. P ( - zo < Z < zo ) = 0.98 8.- Supóngase que se sabe que los pesos de 300 individuos están distribuidos en forma normal con media de 68 Kg. y una desviación estándar de 11.5 Kg. a.- Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar pese 70 Kg. O menos? b.- Cuántas personas se espera encontrar que pesen 70 Kg o menos? 9.- Las notas de un examen del curso de bioestadística se distribuye normalmente con una media de 13.5 y una desviación estándar de 4.3 a.- Cuál es el porcentaje de estudiantes cuyas notas están entre 11 y 15? b.- Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar no tenga una nota mayor de 10? c.- Determinar el valor de la nota debajo el cual se ubica el 15% inferior de los alumnos. 10.- Supóngase que se sabe que los niveles de glucosa en sangre extraída a 150 niños en ayunas están distribuidos normalmente con una media de 66 y una varianza de 42. a.- Cuál es la probabilidad de un niño seleccionado al azar presente un nivel de glucosa en sangre mayor o igual a 71? b.- Cuántos niños presentan un nivel de glucosa en sangre menor o igual a 61? c.- Determinar la mediana y la moda de la distribución. 11.- Los puntajes del Coeficientes de Inteligencia tomados a un grupo de personas adultas, en un proceso de selección de personal están distribuidos normalmente con una media de 105 y una desviación estándar de 12. a.- Si el puntaje mínimo para aprobar es 90, ¿Cuál es el porcentaje de no aprobados? b.- Si han aprobado el 75% de las personas, ¿Cuál es el puntaje mínimo aprobatorio? 12.- Supóngase que la estancia promedio de internación en un hospital es de 5.5 días, con una desviación estándar de 1.8 días. Si se supone que la duración de la internación se distribuye normalmente, encuentre la probabilidad de que un paciente seleccionado al azar de dicho grupo tenga una duración de internación: a.- De más de 6 días b.- Entre 4 y 7 días. c.- De menos de 3 días. 13.- El nivel de colesterol en los trabajadores administrativos tiene distribución normal. Por otro lado se sabe que el 5% superior de los trabajadores su colesterol está por encima de 280 y que el 10% inferior de los trabajadores su colesterol está por debajo de 170. Se pide determinar los valores de la media y varianza de la distribución normal. Si de esta población seleccionamos un trabajador al azar, cuál es la probabilidad de que su colesterol sea mayor a 250. 14.- Calcular k si P ( X ≤ k ) = 0.6141 y X sigue una N(15,4). 15.- De una variable normal N(µ; σ) se sabe que P (X ≤ 7 ) = 0.9772 y P (X ≤ 6.5) = 0.8413. Calcular: a) µ y σ. b) P ( 5.65 ≤ X ≤ 6.25 ) c) El numero k tal que P ( X > k ) = 0.3 16.- La presión arterial sistólica de los cobayos tiene distribución normal con una media de 95 y una desviación estándar de 9. Si de esta población seleccionamos un cobayo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que: a. Su presión arterial sistólica sea menor a 75? b. Su presión arterial sistólica esté comprendida entre 75 y 120? Guía Práctica de Estadística General | 58 c. Si el número de cobayos es de 1000, ¿Cuántos cobayos se espera que su presión arterial sistólica sea mayor a 120? d. A qué valor de presión arterial sistólica se localiza el 25% inferior de la población de cobayos? 17.- Las calificaciones de una prueba final de una cierta signatura tienen distribución normal con media de 12. Si el 95.44% de los examinados obtuvieron calificaciones entre 8 y 16. a) Calcule la desviación estándar. Rpta. 2 b) Si la nota aprobatoria es 11. ¿Qué porcentaje de alumnos aprobaron el curso? Rpta. 69.15% c) ¿Qué nota como mínimo deberá tener un alumno para estar ubicado en el quinto superior?. Rpta. 13.7 18.-. El número promedio de personas que comen en un restaurante es aproximadamente normal, con una media de 250 y una desviación estándar de 20 por día. a) Si el consumo promedio por cliente es de $4 ¿Cuál es el consumo diario esperado? Rpta. $1000 b) ¿Cuál es la probabilidad de que el consumo exceda a $1,100? Rpta. 0.1056 19.- Suponga que la demanda mensual de un bien de consumo se distribuye normalmente con una media de 650 kg y una desviación estándar de 100 kg. a) ¿Qué probabilidad hay de que la demanda no supere los 500 kg? Rpta. 0.0668 b) ¿Qué cantidad del bien debe haber mensualmente a fin de satisfacer la demanda en un 89.8 %? Rpta. 777 kg 20.- Trescientas estudiantes tienen talla media de 65 pulgadas y desviación estándar de 2 pulgadas. Las 300 tallas presentan distribución normal y se miden a la pulgada más cercana. a) ¿Cuántas estudiantes tienen talla de 64 pulgadas o menos?. b) ¿Debajo de qué talla están el 30% de las estudiantes?. c) ¿Cuántas de las estudiantes tienen talla que difiere de la media por más de una desviación estándar?. 21.- En base a pruebas y la experiencia, un fabricante de lavadoras mecánicas modelo 101XE, decide que la vida media con uso familiar normal es de 5.8 años, con desviación estándar de 2 años. Si la vida de este modelo presenta distribución normal: a) ¿Qué garantía debe ofrecer si está dispuesto a reparar únicamente al 1% de las lavadoras vendidas?. b) Si da una garantía de dos años ¿Qué porcentaje de las máquinas necesitarán reparación antes que expire el período de garantía?. 22.- Una máquina automática que expende café llena los vasos con 6 onzas de café, con desviación estándar de 0.40 onzas. Si se usan vasos de 7 onzas ¿Qué porcentaje de ellas se derramarán? 23.- Suponga que el ingreso familiar mensual en una comunidad tiene distribución normal con media de $400 y desviación estándar $50. a) Si el 10% de las familias debe pagar un impuesto. ¿A partir de qué ingreso familiar se debe pagar el impuesto? Rpta. $464 b) Si el ahorro familiar está dado por la relación Y = X - 50 4 ¿Cuál es la probabilidad de que el ahorro sea superior a $75? Rpta. 0.0228 24.- Si el 20% de los residentes en una ciudad prefiere un teléfono blanco que cualquier otro color disponible. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los siguientes 1000 teléfonos que se instalen en esa ciudad: Guía Práctica de Estadística General a) Más de 185 sean blancos. Rpta 0.8749 b) Al menos 210 pero no más de 225 sean blancos. | 59 Rpta. 0.2049 25.- Si el 40% de los clientes de una estación de servicio utilizan tarjetas de crédito. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 400 clientes; más de 250 paguen en efectivo?. Rpta. 0.1423 Guía Práctica de Estadística General | 60 Guía Práctica de Estadística General | 61 Guía Práctica de Estadística General | 62 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL CASO: Cuando la muestra proviene de una población normal con σ2 conocida Ejemplo 1.- Un director de producción sabe que la cantidad de impurezas contenida en los envases de cierta sustancia química sigue una distribución normal con una desviación estándar de 3.8 gr. Se extrae una muestra aleatoria de 9 envases cuyos contenidos de impurezas son los siguientes: 18.2 16.6 13.7 12.3 15.9 18 17.4 16.2 y 21.8 Determinar un intervalo de confianza del 95% para a media Solución: Dado que σ es conocida utilizaremos la variable Z para dicha estimación X  Z luego  2 n    X  Z  2 n los límites de confianza estarán dados  3.8  16.67  1.96    16.67  2.48  9  por X  Z / 2  x 14.2    19.2 Con un 95% de confiabilidad podemos afirmar que la cantidad promedio de impurezas en los envases está entre 14.2 y 19.2 También podemos afirmar con un 95% de confiabilidad de que la cantidad media de impurezas contenida en los envases es de 16.67 con un margen de error de 2.48 Ejemplo 2.- Supongamos que un investigador está interesado en estimar el nivel medio de alguna enzima en cierta población, toma una muestra de 10 individuos, determina el nivel de la enzima de cada uno y obtiene una media igual a 22. Suponga además que la variable de interés está distribuida normalmente con varianza de 45. Encuentre un intervalo de confianza del 98% para la media poblacional. Solución: Dado que σ es conocida utilizaremos la variable Z para dicha estimación X  Z  2 n    X  Z  2 n Guía Práctica de Estadística General por X  Z  luego los límites de confianza estarán dados  6.7082  22  2.33    22  4.94  10  | 63  /2 x 17.06    26.94  La cantidad promedio de dicha enzima estaría entre 17 y 27 aproximadamente CASO: Cuando la muestra proviene de una población normal con σ2 desconocida Ejemplo 1.- En el departamento de personal de una compañía grande se requiere estimar los gastos familiares en odontología de sus empleados para determinar la factibilidad de proporcionarles un plan de seguro dental. Una muestra aleatoria de 10 empleados reveló los siguientes gastos (en dólares) durante el año anterior: 110 362 246 85 510 208 173 425 316 179 Establezca un intervalo de confianza del 90% para el gasto promedio familiar en odontología Solución: En este caso como la varianza σ2 es desconocida utilizaremos la variable T de Student: X  t s 2 n    X  t s 2 n Cálculos n  10 se tiene que Para luego X  261.4 S  138.8 los límites de confianza estarán dados  138.8  261.4  1.383    261.4  60.7  10   por X  t / 2 S x 200.7    322.1 El gasto promedio familiar en odontología en dicha empresa es de 261.4 dólares con un margen de error de 80.46 dólares y con un 90% de confiabilidad. Ejemplo 2.- Una compañía emplea 200 agentes de ventas; en una muestra aleatoria de 25 los auditores encontraron un gasto promedio de $220 con una desviación estándar de $20 en sus cuentas de gasto de representación en una semana. Establezca un intervalo de confianza del 98% para el gasto promedio semanal. Solución: Los límites de confianza estarán dados por  20  200  25 220  2.4922    220  9.35 200  25  X  t / 2 S x  210.7    229.3 Guía Práctica de Estadística General | 64 Ejemplo 3.- Se desea determinar el peso total de una partida de 10,000 naranjas. Como solo se tiene una balanza pequeña y además no se dispone de tiempo; se selecciona una muestra aleatoria de 16 naranjas, la cual da una media de 175 gramos y una desviación estándar de 25 gr. Determinar un intervalo de confianza del 98% para el peso total de la partida de naranjas. Solución: El peso total estimado estará dado por: N X  10,000 (175 )  1750000 gr o sea 1,750 kg. Ahora estimaremos un intervalo de confianza para el peso total de las naranjas; para lo cual primeramente estimaremos un intervalo de confianza para el peso promedio por naranja. Los límites de confianza estarán dados por X  t / 2 S x  25  10,000  16 175  2.6025    175  16.2526 10,000  16  158.7474    191.2526  10,000 (158.7474 )  N  10,000 (191.2526 ) Luego 1587474  N   1912526 o sea 1587.5  N   1912.5 Es decir el peso total de las naranjas estaría entre 1,587.5 y 1,912.5 kg Ejemplo 4.- Un sondeo efectuado en 400 familias de cierta clase social de una ciudad encontró un gasto mensual promedio de S/.74 en productos de tocador con desviación estándar de S/. 40. Con qué nivel de confianza se puede afirmar que el gasto promedio mensual en artículos de tocador está entre 71 y 77. Solución: En este caso utilizaremos la variable Z por ser una muestra muy grande Sabemos que el m arg en de error : e En este caso Z / 2 40 400  3 Z  / 2 ˆ x   e está dado  Z / 2 Z / 2 ( 2 )   3 Z / 2  x por S n   e Z  / 2   1.5 Guía Práctica de Estadística General Luego el nivel de confianza estará dado por : | 65 P (  1.5  Z  1.5 )  0.8664 Ejemplo 5.- Se quiere hacer una encuesta para estimar el tiempo promedio por semana que los niños ven televisión. Por estudios anteriores se sabe que la desviación estándar de dicho tiempo es de 3 horas. Con el nivel de confianza del 95%. a) ¿Qué tamaño de muestra se debe elegir, de tal manera que el error de estimación no sea superior a media hora?. Solución Z    1.96 x 3  n    /2      138.3  0.5   e  2 2  n  139 niños b) ¿Qué costo se debe presupuestar para hacer la encuesta, si esta tiene un costo fijo de $5,000 más un costo variable de $2 por cada entrevista?. Solución 5,000 + 2 ( 139 ) = $5,278 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL Ejemplo 1.- En cierta ciudad, se entrevistó a una muestra de 500 bebedores de cerveza, hallándose que 114 de ellos preferían la marca X a la de Y. Hállese el intervalo de confianza del 98% para la fracción de bebedores de cerveza de esa ciudad que prefieren la marca X. Solución: Guía Práctica de Estadística General Sea pˆ  proporción muestral pˆ  luego pˆ  Z  pˆ  Z  x N º de bebedores de cerveza que prefieren la marca X  n Tamaño de muestra 114  0.228 500 pˆ (1  pˆ )  p  pˆ  Z  2 n 2 2  pˆ  | 66 pˆ (1  pˆ ) n 0.228  0.044   0.228  2.33 pˆ (1  pˆ ) n 0.228 x 0.772 500 0.18 4  p  0.272 Ejemplo 2.- De una lista de opinión pública, se invita a 100 personas de un total de 1,000 a expresar su preferencia por los productos A y B; 30 personas prefirieron A, de esto se concluye que entre 210 y 390 de la población prefieren el producto A. ¿Qué nivel de significación se usa en este informe?. Solución: n  100 Se tiene que : pˆ  Z  2 pˆ (1  pˆ ) n N  1,000 N n n  Z  / 2 ( 0.046 ) ( 0.94868 )   0.09 Z / 2   0.30 x0.70 100 pˆ  30  0.30 100 1,000  100   0.09 1,000 Z  / 2 ( 0.0435 )   0.09  Z  / 2   2.07 Luego   1  P (  2.07  Z  2.07 )  0.038 Ejemplo 3.- La oficina de Planificación Familiar de cierto distrito desea determinar la proporción de familias con un ingreso mensual inferior a S/. 800. Estudios previos han indicado que esta proporción era del 20%. ¿Qué tamaño muestral se requiere para asegurar con una confianza del 95% que el error en la estimación de esta proporción no sobrepase a 0.03?. Solución: n Z 2 / 2 p q e2  n  (1.96 ) 2 ( 0.2 ) ( 0.8 )  683 ( 0.03 ) 2 familias Guía Práctica de Estadística General | 67 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Una encuesta efectuada a una muestra aleatoria de 150 familias en cierta comunidad urbana reveló que, en el 87 por ciento de los casos, por lo menos uno de los miembros de la familia tenía alguna forma de seguro relacionado con la salud. Construir un intervalo de confianza del 99 por ciento para la proporción real ( P ) de familias en la comunidad con las características de interés. 2. Una muestra de 100 hombres adultos aparentemente sanos, de 25 años de edad, muestran una presión sistólica sanguínea media de 125. Si se supone que la desviación estándar de la población es de 15, calcular el intervalo de confianza del 90 por ciento para  . 3. En un estudio diseñado para establecer la relación entre un medicamento y cierta anomalía en los embriones de pollo, se inyectaron con el medicamento 50 huevos fecundados al cuarto día de incubación. En el vigésimo día de incubación se examinaron los embriones y se observó la presencia de la anomalía en 12 de ellos. Encontrar un intervalo de confianza del 90 por ciento para P. 4. En una determinada región se tomó una muestra aleatoria de 125 individuos, de los cuales 12 padecían afecciones pulmonares. a) Estímese la proporción de individuos con afecciones pulmonares en dicha región; con un 95% de confiabilidad. b) Si queremos estimar dicha proporción con un error máximo del 4%, con una confianza del 95%, ¿qué tamaño de muestra debemos tomar? 5. En una muestra de 60 pacientes la cantidad mínima requerida para que un anestésico surta efecto en una intervención quirúrgica fue por término medio de 50 mg, con una desviación típica de 10,2 mg, Obtener un intervalo de confianza para la media al 95%, suponiendo que la muestra fue extraída mediante muestreo aleatorio simple sobre una población normal. 6. Se ha proyectado una encuesta para determinar los gastos médicos anuales promedio por familia de los empleados de una gran compañía. La administración de la compañía desea tener una confianza del 95% de que el promedio de la muestra esté correcto en una escala de ± $50 de los gastos reales promedio por familia. Un estudio piloto señala que la desviación estándar se puede estimar como $400. ¿Qué tamaño de muestra se necesita? 7.- Un psicólogo advierte que el tiempo medio de reacción de 36 ratas a un choque eléctrico de 18 voltios es de 0.45 segundos, con desviación estándar de 0.06 segundos. Encuentre un intervalo de confianza del 90% para el tiempo medio de reacción de todas las ratas de la misma cepa a un choque de 18 voltios?. 8.- Un estudio de 50 hogares de cuatro personas cada uno, tomados aleatoriamente, que viven en cierta ciudad, mostró un gasto promedio de 76 dólares por semana en alimentos, con desviación estándar de 3 dólares. Encuentre el gasto semanal promedio en alimentos en todos los hogares de cuatro personas en dicha ciudad, con una confianza de un 96%. 9.- Si un gerente de control de calidad quisiera estimar la vida promedio de un producto en una escala ± 20 horas con una confianza del 95% y también supone que la desviación estándar del proceso permanece en 100 horas ¿qué tamaño de muestra se necesita? Guía Práctica de Estadística General | 68 10.- Si una cadena de supermercados quisiera estimar el importe promedio de ventas en una escala de ± $100 con una confianza del 99% y si se supone que la desviación estándar de la población es $200 ¿qué tamaño de muestra se necesita? 11.- Si una compañía de gas quisiera estimar el tiempo de espera promedio en días, dentro de ±5 días con una confianza del 95% y si se supone que la desviación estándar de la población es de 20 días ¿qué tamaño de muestra se necesita? 12.- Un analista político quisiera estimar la proporción de votantes que elegirán al candidato demócrata en una campaña presidencial. El analista quisiera tener una confianza del 90% de que su predicción esté correcta en una escala de ±0.04 de la proporción real. ¿Qué tamaño de muestra se necesita? 13.- El gerente de un banco quiere tener una confianza del 90% de estar en lo correcto en una escala de ± 0.05 de la proporción real de depositantes, que tienen al mismo tiempo cuentas de ahorro y de cheques. ¿Qué tamaño de muestra se necesita? 14.- ¿Qué tamaño de muestra se necesitará si una compañía de autobuses quisiera realizar una encuesta, en la que desearía tener una confianza del 95% de estar en lo correcto en una escala de ± 0.02 de la proporción real de viajeros que utilizarían el servicio de autobús?. En base a la experiencia con otras rutas, se supone que la proporción real es de aproximadamente 0.40. 15.- Una investigadora de una empresa cafetalera sabe que el consumo mensual de café por casa está normalmente distribuida con una media desconocida y una desviación estándar de 0.3 kg. Si se toma una muestra aleatoria de 36 casas y se registra su consumo de café durante un mes. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra difiera de la verdadera media en menos de 100 gramos?. Rpta. 0.9544 16.- Una muestra aleatoria de 49 personas que habitan en apartamentos de dos piezas en cierta ciudad, mostró que pagaban un alquiler mensual promedio de $129.5 con desviación estándar de $18.75 Construya un intervalo de confianza del 99% para el alquiler promedio mensual pagado por apartamentos de dos piezas en dicha ciudad. Rpta [122.3 ; 136.7] 17. Un analista de investigación de mercados escoge una muestra aleatoria de 100 clientes de un conjunto de 500 clientes de una gran tienda que declaran sus ingresos mayores a $800. El encuentra que los clientes de la muestra gastaron en la tienda un promedio de $2,500 por año. Si con este valor de la muestra se estima que el gasto promedio de la población varía entre 2,446 a 2554. ¿Qué nivel de confianza se utilizó?. Suponga que la desviación estándar de la población es de $300. Rpta. 0.9556 18.- Se tiene establecido que las facturas de los clientes tienen una desviación estándar de S/. 45. Si se toma una muestra de 225 facturas. ¿Cuál es la probabilidad de que el valor medio de la muestra se desvíe de la media de todas las 2,000 facturas por S/: 7.5 soles o más? Rpta. 0.008 19.- Para determinar el rendimiento anual de ciertos valores, un grupo de inversionistas tomó una muestra aleatoria de 49 de tales valores encontrando una media de 8.71% y una desviación estándar de 2.1%. a) Estime el verdadero rendimiento anual promedio de tales valores mediante un intervalo de confianza del 96%. Rpta. [8.1% ; 9.3%] Guía Práctica de Estadística General | 69 b) Calcule el nivel de significancia si el rendimiento anual promedio de todos los valores se estima entre 7.96% y 9.46%. Rpta. 0.0124 20. El Gerente de ventas de la tienda “CREDITOS” quiere determinar el porcentaje de clientes morosos por más de $100. Una muestra aleatoria de 200 de tales clientes de la tienda reveló que 50 de ellos eran morosos. a) Halle un intervalo de confianza del 98% para la proporción de clientes morosos por más de $100?. b) Si la estimación de la proporción de clientes morosos está en el intervalo [0.183 ; 0.317]. ¿Con qué grado de confianza se realizó esta investigación?. Rpta. 0.9714 21.- El consumo regular de cereales preendulzados contribuye a la caída de los dientes, enfermedades del corazón y otros procesos degenerativos. En una muestra aleatoria de 20 porciones sencillas de un cereal el contenido promedio de azúcar fue de 11.3 gr con desviación estándar de 2.45 gr. Suponiendo que los contenidos de azúcar están distribuidos normalmente. Determine un intervalo de confianza del 95% para el contenido promedio de azúcar en porciones sencillas de dicho cereal. Rpta 10.15 < µ < 12.45 22.- Algunos investigadores creen que la vitamina C puede ser útil para reducir el colesterol en las paredes internas de las arterias. Se observa el nivel de colesterol de 50 personas (con niveles de colesterol mayores que lo normal) antes y después de un tratamiento de un mes bajo un régimen de 500 mg de vitamina C por día, obteniéndose una media de 64.3 mg/100ml y desviación estándar de 18.9 mg en la disminución del nivel de colesterol. Estime la disminución promedio por persona del nivel de colesterol, usando un intervalo de confianza del 90%. Rpta 59.8 < µ < 68.8 23.- Se determinaron los niveles del PH de la saliva en una muestra aleatoria de niños de escuela primaria, los cuales presentaban una alta incidencia de caries. Los resultados fueron los siguientes: 7.36 7.04 7.19 7.41 7.10 7.15 7.36 7.57 7.64 7.00 7.25 7.19 Halle un intervalo de confianza para la media con un 98% de confiabilidad. 24.- Ciertos investigadores se interesan por la calidad del aire; uno de estos indicadores es el número de microorganismos de partículas de suspensión por m3. Para controlar la situación se hace una lectura cada 6 días extrayendo 1m3 de aire a través de un filtro y determinando el número de µg de partículas concentradas en él. Los datos observados para un período de 30 días fueron: 58 70 57 61 59. Supóngase que por experiencias anteriores se sabe que la variable número de microorganismos de partículas está distribuida normalmente con varianza de 9. Halle un intervalo de confianza para la media con α = 0.01 Rpta 58 < µ < 64 aproximadamente 25.- Se desea estimar el promedio de pH de las lluvias en un área que experimenta una gran contaminación por parte de la descarga del humo de una planta de energía eléctrica. Si se sabe que la desviación estándar tiene un valor de 0.5 pH y se desea que la estimación difiera a lo más en 0.1 de la media verdadera con una probabilidad de 0.95. ¿Cuántas lluvias deben incluirse aproximadamente en la muestra (una lectura de pH por lluvia). Rpta. n = 100 aprox. 26.- Se pretende estimar el número promedio de latidos por minuto para cierta población. Se encontró que el número promedio de latidos por minuto para 49 personas era de 90. Considere que esos 49 pacientes constituyen una muestra aleatoria y que la población sigue una distribución normal, con una desviación estándar de 10. Use α = 0.02 Rpta 87 < µ < 93 Guía Práctica de Estadística General | 70 27.- Entre 100 peces capturados en cierto lago 18 no eran comestibles debido a la contaminación del medio ambiente. ¿Con qué confianza se puede asegurar que el error de estimación es a lo mucho de 0.065?. Rpta. 0.909 28.- Un equipo de investigación médica está seguro sobre un suero que han desarrollado, el cual curará cerca del 75% de los pacientes que sufren de ciertas enfermedades. ¿Qué tamaño debe ser la muestra para que el grupo pueda estar seguro en un 98% que la proporción muestral de los que se curan esté dentro de más menos 0.04 de la proporción de todos los casos que el suero curará?.Rpta. n = 637 29.- En una muestra al azar de 127 niños de guarderías infantiles se han diagnosticado 7 niños con sintomatología autista y 12 niños con enuresis nocturna. Utilizando α = 0.05. a) Determine un intervalo de confianza para la proporción de niños autistas que hay en la población, origen de la muestra. Rpta. 0.015 < p < 0.095 b) Determine un intervalo de confianza para la proporción de niños con enuresis nocturna que hay en la población, origen de la muestra. Rpta. 0.043 < p < 0.145 Guía Práctica de Estadística General | 71 Guía Práctica de Estadística General | 72 PRUEBAS DE HIPÓTESIS ACERCA DE UNA SOLA MEDIA 1° Caso: Cuando la muestra proviene de una población normal con varianza σ2 conocida La estatura media de los alumnos de cierta universidad es de 1.68 m con desviación estándar de 5 cm. ¿Hay razón para creer que se ha producido un cambio en la estatura promedio si una muestra de 25 estudiantes dio una estatura promedio de 1.70 m? Use α = 0.05 Solución 1) Hipótesis H 0 :   1.68 m H 1 :   1.68 m 2) Nivel de significación :   0.05 3) Variable estadístic a : Z  X    Z  n 4) Re gla de decisión : Re chazaremos H 0 si 1.70  1.68  2 0.05 25 Z   Vt o Z  Vt en donde Vt  1.96 ( Valor hallado en la tabla normal es tan darizada ) Por lo tan to la decisión será rechazar la hipótesis H 0 5) Conclusión : La estatura promedio ha cambiado. 2° Caso: Cuando la muestra proviene de una población normal con varianza σ2 desconocida Ejemplo 1.- Una máquina vendedora de refrescos se ajusta para servir 6 onzas por vaso. La máquina se pone en funcionamiento y se analiza una muestra de 9 vasos obteniendo un llenado medio de 6.4 onzas con desviación estándar de 0.5 onzas. A un nivel de significancia de 0.05. ¿Esto evidencia de que la máquina está llenado demasiado los vasos?. Solución Sea X la variable aleatoria que denota la cantidad servida por la máquina. Se supone que la variable X se distribuye normalmente con media µ y varianza σ2 desconocida. 1) Hipótesis H 0 :   6 onzas H 1 :   6 onzas 2) Nivel de significación :   0.05 Guía Práctica de Estadística General T  3) Variable estadístic a : X  S n  | 73 6.4  6  2.4 0.5 9 T  4) Re gla de decisión : Re chazaremos H 0 si T  Vt en donde Vt  1.8595 (Valor hallado en la tabla t de Student ) con n  1 grados de libertad Por lo tan to rechazarem os la hipótesis H 0 5) Conclusión : Efectivamente, la máquina está llenando demasiado los vasos Ejemplo 2.- En su calidad de comprador comercial para una marca privada de un supermercado, suponga que se toma una muestra aleatoria de 12 sobres de café de una empacadora. Se encuentra que el peso promedio de café de cada sobre es de 15.97 gramos con desviación estándar de 0.15 gr. Los empacadores afirman que el peso neto promedio mínimo de café es de 16 gr por sobre. ¿Puede rechazarse esta afirmación con un nivel de significación del 5%?. Solución 1) Hipótesis H 0 :   16 onzas H 1 :   1 6 onzas 2) Nivel de significación :   0.05 3) Variable estadístic a : T  X  S n  T  15.97  16   0.69 0.15 12 4) Re gla de decisión : Re chazaremos H 0 si T  Vt en donde Vt  1.7959 (Valor hallado en la tabla t de Student ) con n  1 grados de libertad Por lo tan to la decisión será no rechazar la hipótesis H 0 5) Conclusión : No puede rechazarse tal afirmación. Ejemplo 3.- Cuando funciona correctamente; un proceso produce frascos de mermelada, cuyo contenido pesa en promedio 200 gramos. Una muestra aleatoria de 9 frascos de una remesa presentó los siguientes pesos (en gramos) para el contenido: 214 197 197 206 208 201 197 203 209 Contrastar la hipótesis nula, de que el proceso está funcionando correctamente, al nivel del 5%. Solución 1) Hipótesis H 0 :   200 gramos H 1 :   200 gramos 2) Nivel de significación :   0.05 Guía Práctica de Estadística General 3) Variable estadístic a : T  X  S n  | 74 T  4) Re gla de decisión : Re chazaremos H 0 si T   Vt 203.56  200  1.74 6.13 9 o T  Vt en donde Vt  2.306 ( Valor hallado en la tabla t de Student ) con n  1 grados de libertad Por lo tan to la decisión será no rechazar la hipótesis H 0 5) Conclusión : El proceso está bajo control Ejemplo 4.- En el pasado una planta química ha producido un promedio de 1,100 kg/día de un compuesto. Los archivos del año pasado en base a 260 días de operación muestran lo siguiente: X  1,060 kg / día S  340 kg Se desea saber si el promedio de producción diaria ha bajado significativamente durante el año pasado. Use α = 0.05 Solución: Utilizaremos la variable Z por ser la muestra muy grande 1) Hipótesis H 0 :   1,100 kg H 1 :   1,100 kg 2) Nivel de significación :   0.05 3) Variable estadístic a : Z  X  ˆ n 4) Re gla de decisión : Re chazaremos H 0  si Z  1,060  1,100   1.897 340 260 Z   Vt en donde Vt   1.645 ( Valor hallado en la tabla normal es tan darizada ) Por lo tan to la decisión será rechazar la hipótesis H 0 5) Conclusión : La producción bajó significativamente Ejemplo 5.- Se ha valorado el tiocianato en el plasma de los individuos de una muestra formada por 38 fumadores y se ha observado una media de 1.1 mg/l y una desviación estándar de 0.4 mg. El tiocianato en el plasma de la población adulta presenta una media de 0.9 mg/l. ¿El consumo de tabaco está relacionado con el nivel de tiocianato en el plasma?. Use α = 0.05 Solución: Guía Práctica de Estadística General | 75 Sea X la variable aleatoria que denota la cantidad de tiocianato en el plasma. Se supone que la variable X se distribuye normalmente con media µ y varianza σ2 desconocida. H 0 :   0.9 mg 1) Hipótesis H 1 :   0.9 mg 2) Nivel de significación :   0.05 3) Variable estadístic a : T  X  S n  T  1.1  0.9  3.08 0.4 38 4) Re gla de decisión : Re chazaremos H 0 si T  Vt en donde Vt  1.6871 (Valor hallado en la tabla t de Student ) con n  1 grados de libertad Por lo tan to la decisión será rechazar la hipótesis H 0 5) Conclusión : El consu mo d e taba co s i está relacionado con e l n ivel de t iocianato en el plasma Ejemplo 6.- Las especificaciones de determinado medicamento exigen 30% de aspirina en cada comprimido. Se toman aleatoriamente y analizan 16 comprimidos; la concentración media de aspirina es 30.4% con desviación estándar de 0.8%. ¿El fármaco cumple las especificaciones a nivel de significación de 0.01?. Solución: 1) Hipótesis H 0 :   30 H 1 :   30 2) Nivel de significación :   0.01 3) Variable estadístic a : T  X  S n  T  30.4  30  2 0.8 16 4) Re gla de decisión : Re chazaremos H si T   V o T  V 0 t t en donde V  2.9467 (Valor hallado en la tabla t de Student ) con n  1 grados de libertad t Por lo tan to la decisión será no rechazar la hipótesis H 0 5) Conclusión : El fármaco cumple las especificaciones Guía Práctica de Estadística General | 76 PRUEBAS DE HIPÓTESIS ACERCA DE UNA SOLA PROPORCIÓN Ejemplo 1.- Una industria lechera está estudiando la posibilidad de cambiar sus botellas para la leche por envases de plástico; pero el cambio no se hará a no ser que por lo menos 70% de sus clientes lo prefieran. Cuando se ha hecho una encuesta a 200 de sus clientes, 120 de ellos están a favor del cambio. ¿Hará el cambio de envases a un nivel de significación 0.05? Solución: 1) Hipótesis H 0 : p  0.7 H 1 : p  0.7 2) Nivel de significación :   0.05 3) Variable estadístic a : Z  pˆ  p pq n 4) Re gla de decisión : Re chazaremos H 0  si Z  0.6  0.7 0.7 x0.3 200   3.08 Z   Vt en donde Vt   1.645 ( Valor hallado en la tabla normal es tan darizada ) Por lo tan to la decisión será rechazar la hipótesis H 0 5) Conclusión : No se hará el cambio de envases Ejemplo 2.- Un fabricante de lavadoras automáticas produce un modelo particular en tres colores A, B y C. De las primeras 1,000 lavadoras vendidas, se nota que 400 eran del color A. ¿Concluiría que los clientes tienen una preferencia por el color A?. Use α = 0.01 Solución: 1) Hipótesis H 0 : p  0.33 H 1 : p  0.33 2) Nivel de significación :   0.01 Guía Práctica de Estadística General 3) Variable estadístic a : Z  pˆ  p  pq n 4) Re gla de decisión : Re chazaremos H 0 si | 77 0.4  0.33 Z   0.33 x 0.67 1,000 4.707 Z  Vt en donde Vt  2.33 ( Valor hallado en la tabla normal es tan darizada ) Por lo tan to la decisión será rechazar la hipótesis H 0 5) Conclusión : Los clientes efectivamente tienen mayor preferenci a por el color A Ejemplo 3.- De una lista de 2,000 clientes de un banco comercial se seleccionó una muestra aleatoria para obtener opinión acerca del servicio. En la muestra se halló que 215 no tenían quejas del servicio, 25 tenían quejas y 10 no opinan al respecto. Tradicionalmente el 5% tenían quejas del servicio, sin embargo se cree que ahora este porcentaje aumentó. ¿Cuál es la situación actual si se quiere una probabilidad de 0.008 de cometer error de tipo I?. Solución: 1) Hipótesis H 0 : p  0.05 H 1 : p  0.05 2) Nivel de significación :   0.008 3) Variable estadístic a :  Z  Z  pˆ  p pq  N  n    n  N  0.10  0.05 0.05 x 0.95  2,000  250    250  2,000   4) Re gla de decisión : Re chazaremos H 0 en donde pˆ  3.88 si Z  Vt en donde Vt  2.41 ( Valor hallado en la tabla normal es tan darizada ) 25  0.10 250 Guía Práctica de Estadística General | 78 Por lo tan to la decisión será rechazar la hipótesis H 0 5) Conclusión : El porcentaje de quejas a aumentado Ejemplo 4.- Una compañía farmacéutica afirma que un fármaco que elabora alivia los síntomas del resfriado común durante un período de 10 horas en el 90% de quienes lo ingieren. En una muestra aleatoria de 400 personas que ingirieron el fármaco, 350 aliviaron durante 10 horas. Al nivel de significación de 0.05 la afirmación del fabricante es exacta?. Solución: 1) Hipótesis H 0 : p  0.9 H 1 : p  0.9 2) Nivel de significación :   0.05 3) Variable estadístic a : Z  pˆ  p pq n 4) Re gla de decisión : Re chazaremos H 0  si Z  0.875  0.9 0.9 x 0.1 400   1.67 Z   Vt en donde Vt   1.645 ( Valor hallado en la tabla normal es tan darizada ) Por lo tan to la decisión será rechazar la hipótesis H 0 5) Conclusión : La afirmación es falsa OTRA FORMA: Usando la aproximación de la Binomial a la Normal Z  X np n pq  350  360 400 x 0.9 x 0.1   1.67 Guía Práctica de Estadística General | 79 EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- El jefe de la Biblioteca Especializada de la Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica de la UNAC manifiesta que el número promedio de lectores por día es de 350. Para confirmar o no este supuesto se controla la cantidad de lectores que utilizaron la biblioteca durante 30 días. Se considera el nivel de significancia de 0.05 Datos: Día Usuarios Día Usuarios Día Usuario 1 356 11 305 21 429 2 427 12 413 22 376 3 387 13 391 23 328 4 510 14 380 24 411 5 288 15 382 25 397 6 290 16 389 26 365 7 320 17 405 27 405 8 350 18 293 28 369 9 403 19 276 29 429 10 329 20 417 30 364 2.- Los siguientes valores son las presiones sistólicas sanguíneas (en mm de Hg) de 12 pacientes que experimentan terapia con drogas debido a que padecen de hipertensión. 183, 152, 178, 157, 194, 163, 144, 114, 178, 152, 118, 158 Guía Práctica de Estadística General | 80 ¿Puede concluirse a base de estos datos que la media de la población es menor que 165?. Utilice  = 0,05. 3.- Caso: Nivel de hemoglobina de la gestante INTRODUCCIÓN El nivel bajo de hemoglobina en gestantes durante el embarazo es previsible por las modificaciones fisiológicas que suceden en el sistema circulatorio materno al final del embarazo, modificaciones a las que se tiene que adaptar el cuerpo de la gestante. El nivel bajo de hemoglobina en la sangre de la gestante puede conllevar a muchas patologías durante el embarazo, parto y puerperio, entre ellas el parto pretérmino. En el Hospital Santa Rosa se observa que la mayoría de las gestantes que acuden en el tercer trimestre presentan un nivel de hemoglobina por debajo de lo normal, así como también se reportan con frecuencia casos de amenaza de parto pretérmino; por lo cual se desea realizar un estudio para evaluar la relación que existe entre el nivel de hemoglobina y el parto pretérmino. ANTECEDENTES: La Encuesta Demográfica de Salud Familiar 2000 (ENDES 2000) reporta un 38.6% de la prevalencia de anemia (hemoglobina < 11g/dl.) en la mujer gestante . La OMS considera a la anemia como un factor que aumenta el riesgo de parto pretérmino en la gestante. Por ello el Ministerio de Salud en coordinación con el Centro Latinoamericano de Perinatologìa (CLAP), establecen pautas para el control pre natal, una de ellas es la suplementación de hierro a todas las gestantes que acuden al control, pero esto aún no se logra inclusive en un hospital de referencia. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA: El Jefe del Servicio de Gineco-Obstetricia del Hospital Santa Rosa desea saber si el nivel de hemoglobina en promedio, de las gestantes en el tercer trimestre con diagnóstico de parto pretérmino es menor a 11 mg / dl; para lo cual toma una muestra al azar de 30 gestantes con dicho de diagnóstico, con un nivel de significancia del 5%. BASE DE DATOS: Nivel de Hemoglobina en el 3er. Trimestre 10.9 11.2 9.8 11.6 9.9 10.0 11.2 10.2 10.8 9.5 10.0 10.9 11.5 10.4 10.9 10.3 11.7 11.2 9.8 10.4 11.4 11.3 10.5 10.2 11.1 10.6 9.9 8.9 10.8 9.5 4.- Un fabricante de cereales afirma que el peso promedio de cada caja de cereal es de 500 gramos. ¿Los datos que a continuación se le dan apoyan la afirmación del fabricante? Pruebe con  = .10. 506, 508, 499, 503, 504, 514, 505, 493, 496, 506, 510, 497, 512, 502, 509, 496 5.- Los siguientes datos corresponden a los pesos en Kg de 15 hombres escogidos al azar: 72, 68, 63, 75, 84, 91, 66, 75, 86, 90, 62, 87, 77, 70, 69. Guía Práctica de Estadística General | 81 Pruebe la Ho :   74 con un nivel de significancia de 0.05. 6.-Los húmeros de animales de la misma especie tienden a tener aproximadamente las mismas razones longitud/anchura. Cuando se descubren húmeros fósiles, los arqueólogos con frecuencia pueden determinar la especie a la que pertenece el animal examinando las razones longitud/anchura de los huesos. Se sabe que la especie A tiene una razón media de 8,5. Suponga que se desenterraron 41 húmeros fósiles en una excavación del África Oriental, donde se cree que habitó la especie A. Se midieron las razones longitud/anchura de los huesos y se presentan en la siguiente tabla: 10,73 8,89 9,07 9,2 10,33 9,98 9,84 9,59 8,48 8,71 9,57 9,29 9,94 8,07 8,37 6,85 8,52 8,87 6,23 9,41 6,66 9,35 8,86 9,93 8,91 11,77 10,48 10,39 9,39 9,17 9,89 8,17 8,93 8,8 10,02 8,38 11,67 8,3 9,17 12,0 9.38 Queremos probar si los huesos desenterrados pertenecen a la especie A con un nivel de significación de un 5%. 7.- Las especificaciones de construcción en cierta ciudad requieren que las tuberías de desagüe empleadas en áreas residenciales tengan una resistencia media a la ruptura de más de 2.500 libras por pie lineal. Un fabricante que quisiera proveer a la ciudad de tubos para desagüe ha presentado una licitación junto con la siguiente información adicional: un contratista independiente seleccionó al azar siete secciones de los tubos del fabricante y determinó su resistencia a la ruptura. Los resultados (libras por pie lineal) son los siguientes: 2610 2750 2420 2510 2540 2490 2680 ¿Hay suficientes pruebas para llegar a la conclusión de que los tubos de desagüe del fabricante cumplen con las especificaciones requeridas? Utilice un nivel de significación de un 10%. 8.- Un fabricante de cigarrillos afirma que sus cigarrillos no contienen más de 25 mg. de nicotina. Una muestra de 16 cigarrillos tiene una media de 26.4 y una desviación estándar igual a 2. ¿Proporcionan estos datos suficiente evidencia para no estar de acuerdo con la afirmación del fabricante?. Use α = 0.05 9.- Al investigar prácticas comerciales pretendidamente desleales, una comisión estatal toma una muestra aleatoria de 49 barras de chocolate de “9 onzas” de un gran despacho. La media de los pesos muestrales fue de 8.94 onz y la desviación estándar 0.12. Mostrar que a un nivel de significación de 0.05, la comisión tiene fundamentos para proceder contra el fabricante. 10.- Se encuentra que el número promedio de empleados para una muestra de 50 empresas de una industria específica es de 420.4 con una desviación estándar de 55.7 Existe un total de 380 empresas en ese ramo industrial. Antes de recolectar los datos, se planteó la hipótesis de que el número promedio de empleados por empresa en esa industria no era superior a 408. Pruebe esa hipótesis con un nivel de significación de 0.05. 11.- Al gerente del departamento de crédito de una compañía petrolera le gustaría determinar si el saldo promedio mensual en contra de los tarjetahabientes es igual a $75. Un auditor selecciona una muestra aleatoria de 100 cuentas y encuentra que la deuda promedio es de $83.4 con desviación estándar de la muestra de $23.65. Utilizando el nivel de significación de 0.05 ¿Debería Guía Práctica de Estadística General | 82 el auditor llegar a la conclusión de que existe evidencia de que el saldo promedio es diferente de $75?. 12.- Las cajas de un cereal producidas en una fábrica deben tener un contenido de 16 onzas. Un inspector tomó una muestra que arrojó los siguientes pesos en onzas: 15.7 15.7 16.3 15.8 16.1 15.9 16.2 15.9 15.8 15.6 Indicar si es razonable que el inspector, usando un nivel de significación del 5 % ordene se multe al fabricante. 13.- En una oficina gubernamental se investiga a un empacador de pescado congelado. Los empaquetes que utiliza indican que contiene 12 onzas de pescado, en tanto que se han recibido quejas de que ello no es cierto. La oficina adquiere 100 paquetes de pescado procesado por esta compañía y encuentra que: 100 X i 1 i  1,150 100 X i 1 2 i  13,249.75 Con base a esta muestra y con  = 0.01. ¿Cuál es su conclusión?. 14.- Ante un reclamo sobre el tiempo de realización de una tarea, los empleados de una compañía sostienen que en promedio ellos completan la tarea en a lo más 13 minutos. Si Ud. Es el gerente de la compañía. ¿Qué conclusión obtiene si para una muestra de 400 tareas se obtiene un promedio de tiempo de terminación de 14 minutos. Se sabe que por información de trabajos similares, que los tiempos de ejecución de la tarea tiene una distribución normal, con desviación estándar de 10 min. Use  = 0.05 15.- Un vendedor de seguros de vida dice que en promedio un trabajador en la ciudad de Lima Metropolitana tiene no más de S/. 25,000 de seguro de vida personal. Para probar esto, muestrea aleatoriamente 100 trabajadores en L.M. y encuentra que esta muestra de trabajadores promedia S/. 26,650 de seguro de vida personal y que la desviación estándar es S/. 12,000. Determine si la prueba muestra suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula planteada por el vendedor. Use  = 0.05 16.- Al estudiar si conviene o no una sucursal en la ciudad de Tarapoto, la gerencia de una gran tienda comercial de Lima, establece el siguiente criterio para tomar una decisión. Abrir la sucursal solo si el ingreso promedio familiar mensual en dicha ciudad es no menos de $500 y no abrirla en caso contrario. Si una muestra aleatoria de 100 ingresos familiares de esa ciudad ha dado una media de $480. ¿Cuál es la decisión a tomar al nivel de significación del 5 % 17.- Los sacos de café que recibe un exportador de cierto proveedor deben tener un peso promedio de 100 kilos. Un inspector tomó una muestra de 50 sacos de un lote de 500 sacos de café encontrando una media de 99 kilos y una desviación estándar de 3 kilos. Con  = 0.01 ¿Es razonable que el exportador rechace el lote de sacos de café?. 18.- Un investigador está realizando una prueba para determinar si una nueva medicina tiene el efecto colateral de elevar la temperatura del cuerpo. Se entiende que la temperatura del cuerpo humano se distribuye normalmente con una media de 98.6 ºF. Se administra la nueva medicina a 9 pacientes, se toman las temperaturas y se obtiene una media de 99 ºF y una desviación estándar de 0.36 ºF. ¿Debería permitirse a la compañía poner a la venta la nueva medicina, si el nivel de significación se especifica en 0.01? Guía Práctica de Estadística General | 83 19.- Cinco hipertensos reciben un nuevo fármaco que disminuye la presión arterial en: 14 25 13 18 20 puntos respectivamente. ¿El nuevo fármaco disminuye la presión arterial en por lo menos 20 puntos? 20.- Se conoce que el valor medio de protombina en la población normal es de aproximadamente 20 mg/100ml de plasma. Una muestra de 625 pacientes con deficiencia de vitamina K presenta un nivel medio de protombina de 18.50 mg/100ml. La desviación estándar de la muestra es 4 mg. ¿Tienen los pacientes con deficiencia de vitamina K un nivel significativamente más bajo de protombina que la población general?. 21.- Se llevó a cabo un estudio sobre nutrición en un país en desarrollo. Una muestra de 500 campesinos adultos reportó un consumo diario de 1985 calorías con una desviación estándar de 210. ¿Puede concluirse a partir de estos datos que la media de la población es menor que 2,000?. Use α = 0.05 22.- Antes el número medio de ataques de angina de pecho por semana entre los pacientes era de 1.03. Se está probando un nuevo medicamento y se espera que reduzca esta cifra. Los datos se obtienen mediante la observación de una muestra de 20 pacientes que están utilizando el nuevo fármaco. 1 0 3 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 2 2 0 0 1 0 ¿Puede rechazarse la hipótesis de investigación al nivel 0.01? 23.- Un productor de cápsulas de uña de gato envía al mercado en promedio 1,000 por semana. La demanda tiene distribución normal; sin embargo en un estudio reciente, una muestra de 36 semanas dio una demanda promedio de 850 cápsulas y una desviación estándar de 360 cápsulas. En el nivel de significación de 0.05. ¿Es posible concluir que la media de la demanda semanal está bajando?. 24.- El gerente de un laboratorio farmacéutico quiere determinar si cierto somnífero aumenta las horas de sueño en las personas. Para este fin, selecciona una muestra aleatoria de 10 pacientes y registra el número de horas de sueño ganadas al aplicar el somnífero a cada paciente; los resultados fueron: Paciente: 1 Nº de horas: 1.2 2 -1.3 3 1.7 4 0.9 5 2.4 6 0.8 7 -1.0 8 1.8 9 2.0 10 2.1 Suponiendo que las horas de sueño ganadas con el somnífero en cada paciente es una variable aleatoria con distribución normal. Al nivel de significancia del 5%. ¿Hay prueba de que el somnífero aumenta las horas de sueño?. 25.- Se sospecha que una nueva medicina es eficaz en menos del 90% para curar cierta enfermedad, pero el laboratorio que la fabrica cree que es efectiva por lo menos en un 90%. En una muestra de 400 personas que tenían la enfermedad, 320 se curaron con la aplicación de la medicina. ¿Se ha de concluir que la medicina es eficaz por lo menos en un 90%? Use α = 0.05 26.- Un fabricante de televisores afirma que su póliza de garantía que en el pasado no más de 10% de sus aparatos de televisión necesitaron reparación durante sus primeros dos años de operación. Con el fin de probar la validez de esta afirmación, una agencia de pruebas del Guía Práctica de Estadística General | 84 gobierno selecciona una muestra de 100 aparatos de televisión y encuentra que 14 de ellos requirieron alguna reparación dentro de los dos primeros años de operación. Utilizando un nivel de significación de 0.01 ¿Es válida la afirmación del fabricante o existe evidencia de que ésta no es válida?. 27.- Una cadena de tiendas de ropa está considerando la propuesta de un fabricante sobre la venta de un gran lote de camisas, a precios de liquidación. El fabricante afirma que no más del 2 % de las camisas tienen defectos de fabricación. Los representantes de la cadena inspeccionan una muestra de 400 camisas del lote y encuentran 15 camisas con defectos de fabricación. Deberá la cadena rechazar la propuesta del fabricante, si ha decidido comprar el lote, a condición de que lo afirmado por el fabricante sea cierto con una probabilidad de 1 en 10? PRUEBAS DE HIPÓTESIS ACERCA DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS POBLACIONALES CASO: Muestras independientes provenientes de dos poblaciones normales con varianzas desconocidas e iguales Ejemplo 1.- Un fabricante de cigarrillos anuncia que el contenido de alquitrán de los cigarrillos marca B es menor que los de la marca A. Para probarlo se anotan los contenidos de alquitrán: Marca A ( mg ) : Marca B ( mg ) : 12 8 9 10 13 7 11 14 Utilice α = 0.05 para determinar si el anuncio es válido. Solución 1) Hipótesis H0 :  A  B H1 :  B   A 2) Nivel de significación :   0.05 3) Variable estadístic a : Cálculos :  T  T  X A  11.8 X B  XA   A  B  ( n A  1 ) S A2  ( n B  1 ) S B2  1 1   n A  nB  2 nB  nA X B  8.33 8.33  11.8 4 ( 3.7 )  2 ( 2.33 )  1 1     5 3 2 3   5   2.64 S A2  3.7    S B2  2.33 Guía Práctica de Estadística General 4) Re gla de decisión : Re chazaremos H 0 si | 85 T   Vt en donde Vt   1.9132 ( Valor hallado en la tabla t de Student con 6 grados de libertad ) Por lo tan to la decisión será rechazar la hipótesis H 0 5) Conclusión : El anuncio es válido Ejemplo 2.- Se aplicó un mismo test a dos grupos de personas con el objeto de analizar si existe o no diferencia entre las puntuaciones medias; elija α = 0.05 Grupo I: Grupo II: 26 38 24 26 18 24 17 24 18 30 20 22 18 Solución 1) Hipótesis H 0 : 1   2 H 1 : 1   2 2) Nivel de significación :   0.05 3) Variable estadístic a : Cálculos :  T  T   X1  X2   1  2  ( n1  1) S12  ( n2  1) S 22  1 1   n1  n2  2 n2  n1 X 1  20.14 X 2  27.33 20.14  27.33 6 (12.143 )  5 ( 34.667 )  1 1     7 6 2 6   7 4) Re gla de decisión : Re chazaremos H 0    S12  12.143 S 22  34.667   2.73 si T   Vt o T  Vt en donde Vt  2.201 ( Valor hallado en la tabla t de Student con 11 grados de libertad ) Guía Práctica de Estadística General | 86 Por lo tan to la decisión será rechazar la hipótesis H 0 5) Conclusión : Sí existe diferencia significativa entre las puntaciones observadas en ambos grupos Ejemplo 3.- En una serie de experimentos para la determinación de estaño en productos alimenticios, las muestras se llevaron al punto de ebullición con HCl a reflujo durante diferentes tiempos. Los resultados fueron: Tiempo de reflujo (min) 30 70 Estaño encontrado (mg/kg) 55 57 59 56 57 55 58 59 56 59 59 59 ¿Es diferente la cantidad media de estaño encontrada para los dos tiempos de ebullición?. Use α = 0.05 Solución 1) Hipótesis H 0 : 1   2 H 1 : 1   2 2) Nivel de significación :   0.05 3) Variable estadístic a : Cálculos : T   X1  X2   1  2  ( n1  1) S  ( n2  1) S  1 1     n1  n2  2 n n 2   1 X 1  57 2 1 2 2 X 2  57.83 S12  2.8 S 22  2.57 Como n1  n2 entonces se tiene que  T  57  57.8 2.8  2.57 6   0.845 4) Re gla de decisión : Re chazaremos H 0 si T   Vt o T  Vt en donde Vt  2.2281 ( Valor hallado en la tabla t de Student con 10 grados de libertad ) Guía Práctica de Estadística General | 87 Por lo tan to la decisión será no rechazar la hipótesis H 0 5) Conclusión : El tiempo de ebullición no inf luye en la cantidad de estaño encontrada . Es decir no hay pruebas de que el período de ebullición afecte la tasa de recuperaci ón. CASO: Muestras dependientes o datos apareados Ejemplo 1.- Un fabricante de productos alimenticios hace una prueba previa con cierto tipo de salsa envasada, que puede preparar en una forma más espesa ( A ) o en otra forma menos espesa ( B ). Para medir la preferencia por uno y otro tipo de salsa, utiliza una muestra de diez amas de casa, quienes manifiestan sus preferencias por dichos tipos de salsa, con los siguientes resultados en puntajes Salsa A ( ptos ): Salsa B ( ptos ): 3 2 1 4 5 4 2 7 0 3 4 4 3 6 3 5 2 5 5 8 Al nivel de significación del 5% ¿Se puede concluir que el tipo de salsa menos espesa ( B ) tiene mayores oportunidades de funcionar en el mercado, que el tipo más espeso ( A )?. Solución 1) Hipótesis H0 :  A  B H1 :  A   B 2) Nivel de significación :   0.05 n T  3) Variable estadístic a : d en donde Sd d  d i 1 i n n  n    di   d i2   i 1  2 n S d2  i 1 Salsa A ( ptos ): Salsa B ( ptos ): Diferencias: n n 1 3 2 1 1 4 -3 5 4 1 2 7 -5 0 3 -3 4 4 0 3 6 -3 3 5 -2 2 5 -3 5 8 -3 Guía Práctica de Estadística General | 88 Cálculos 10 d i 1 i S d2  i 1 76   20 T  Luego 10 d   20 2 i  76 2 9 d 10  4  Sd  d   20  2 10 Sd  2 2   3.16 2 10 n 4) Re gla de decisión : Re chazaremos H 0 si T   Vt en donde Vt   1.8331 ( Valor hallado en la tabla t de Student con 9 grados de libertad ) Por lo tan to la decisión será rechazar la hipótesis H 0 5) Conclusión : La salsa B tiene mayor oportunida d de venta Ejemplo 2.- Se desea analizar el efecto de una droga sobre la presión de la sangre para lo cual se utiliza una muestra de 10 personas, obteniendo los siguientes datos (presión codificada). Utilice α = 0.05 Antes de la droga Después de la droga 14 10 15 12 12 12 9 7 14 15 12 10 10 7 9 8 13 11 Solución 1) Hipótesis H0 :  A  D H1 :  A   D 2) Nivel de significación :   0.05 n 3) Variable estadístic a : T  d en donde Sd n  n    di   d i2   i 1  2 n S d2  i 1 n 1 n d  d i 1 n i 12 11 Guía Práctica de Estadística General Antes: Después: Diferencias: 14 10 4 15 12 3 12 12 0 9 7 2 14 15 -1 12 10 2 | 89 10 7 3 9 8 1 13 11 2 12 11 1 Cálculos 10 d i 1 i 10 d  17 i 1 49   17  2 i  49 2 S d2  Luego 9 T  10  2.233 d  Sd n  1.7 1.494 d  17  1.7 10 S d  1.494  3.6 10 4) Re gla de decisión : Re chazaremos H 0 si T  Vt en donde Vt  1.8331 ( Valor hallado en la tabla t de Student con 9 grados de libertad ) Por lo tan to la decisión será rechazar la hipótesis H 0 5) Conclusión : La droga sí tuvo efecto significativo para reducir la presión sanguínea Guía Práctica de Estadística General | 90 EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- En un estudio sobre cáncer pulmonar se dispone del contenido de nicotina de varios cigarrillos tomados de dos marcas diferentes: Marca X : 17; 20; 20; 23 Marca Y : 18; 20; 21; 22; 24 Utilizando el nivel de significación de 0,05, ¿puede concluirse que el contenido nicotínico de ambas marcas de cigarrillos no es el mismo? 2.- Dos empresas dedicadas a servir comidas rápidas a domicilio han alcanzado una notable popularidad en cierta ciudad. Se pide a siete clientes habituales de cada empresa que informen sobre los tiempos (en minutos) que ha tardado su pedido, obteniéndose los siguientes resultados: Empresa A: 15 23 30 22 22 29 25 Empresa B: 12 21 25 22 15 21 15 Con esta información y con un nivel de significación del 1%. ¿Se puede considerar que los tiempos de entrega de los pedidos son iguales en ambas empresas? 3.- Se desea comparar la calidad de dos nuevas clases de trigo. Para ello se toman 10 fincas al azar, plantando en cada una de ellas y en dos partes distintas ambas clases. Los datos sobre la producción en las 10 fincas son los siguientes: Clase A: 57 49 60 55 57 48 50 61 52 56 Clase B: 55 48 58 56 54 48 52 56 50 58 ¿Podemos aceptar que la producción es la misma para ambas clases de trigo con un 95% de confianza, suponiendo que las distribuciones son normales? 4.- Los datos que siguen corresponden a 10 hombres entre 45 y 55 años. Se trata de lecturas del colesterol tomadas tras 12 horas de ayuno y repetidas una hora después de comer. Sujeto Ayuno Después 1 180 185 2 210 225 3 195 200 4 220 225 5 210 200 6 190 180 7 225 235 8 260 265 9 200 195 10 210 220 ¿Hubo un incremento significativo del colesterol después de la comida? 5.- Se dividieron 30 pacientes de epilepsia en dos muestras aleatorias iguales. Al grupo A se les dio un tratamiento que incluía dosis diarias de vitamina D. Al grupo B se le dio el mismo tratamiento excepto que no recibió vitamina D sino un placebo en su lugar. Las medias del número de ataques experimentados durante el tratamiento por los dos grupos fueron: X A  15 X B  24 S A2  8 S B2  12 ¿Hay suficiente evidencia que indique que la vitamina D reduce el número de ataques epilépticos? Use α = 0.05 Rpta. La vitamina D si reduce el Nº de ataques epilépticos Guía Práctica de Estadística General | 91 6.- Los siguientes datos fueron recabados en un experimento que fue diseñado para verificar si existe una diferencia sistemática en los pesos en gramos obtenidos con dos diferentes balanzas: Balanza I: 11.23 14.36 8.33 10.50 23.42 9.15 13.47 6.47 12.40 19.38 Balanza II: 11.27 14.41 8.35 10.52 23.41 9.17 13.52 6.46 12.45 19.35 Existe diferencia significativa entre los pesos obtenidos con las dos balanzas? Use  = 0.05 7.- Se lleva a cabo un estudio para comparar el tiempo que tardan hombres y mujeres para realizar determinada tarea. Una muestra aleatoria de 9 hombres y 8 mujeres han dado los siguientes tiempos en minutos: Hombres: 12 28 10 25 24 19 22 33 17 Mujeres: 16 20 16 20 16 17 15 21 Se puede concluir que los hombres emplean mayor tiempo que las mujeres para hacer la tarea? Use  = 0.05 8.- Se desea determinar el contenido de grasa en la carne para poder fijar su precio de venta al consumidor. Una compañía empacadora de carne está considerando el uso de dos métodos diferentes para determinar el porcentaje de grasa. Ambos métodos fueron usados para evaluar el contenido de grasa en doce diferentes muestras de carne. Los resultados se muestran en la siguiente tabla: Método A: Método B: 24.1 23.7 28.1 27.4 26 25.9 28.6 28.2 23.2 23.5 28.1 28.4 24.2 24.6 25.7 25.4 22.8 22.5 24 25 25 24 28.0 27.2 ¿Sugieren estos datos que los dos métodos difieren en su medición del contenido de grasa en la carne? Use  = 0.05 9.- Un gerente de publicidad de una compañía de cereales para el desayuno desea determinar si un nuevo envase podría aumentar las ventas del producto. Para probar la factibilidad de la nueva forma del envase se seleccionó una muestra de 40 tiendas similares y se asignaron en forma aleatoria, 20 de ellas como mercado de prueba de la nueva forma del envase, en tanto que las otras 20 continuarían recibiendo el envase antiguo. Las ventas semanales durante el tiempo del estudio fueron las siguientes: Nuevo Antiguo Media = 130 cajas Media = 117 cajas Desv. Estándar = 10 cajas Desv. Estándar = 12 cajas Con α = 0.05. ¿La nueva forma del envase dio como resultado mayores ventas? 10.- Un investigador cree tener razón para creer que cierto medicamento aumentará el contenido de hemoglobina en gr/100 ml para ello mide el contenido de hemoglobina de 8 sujetos antes y después de la administración del medicamento. Antes Después 10 12 9 11 11 13 12 14 8 9 7 10 12 12 10 14 Analice los datos y determine el efecto del medicamento. Utilice α = 0.01 Rpta. El medicamento sí es efectivo Guía Práctica de Estadística General | 92 11.- Los siguientes datos son porcentajes de grasa encontrados en dos tipos de carne: Carne A: 30 26 30 19 25 37 Carne B: 40 34 28 29 26 36 ¿Tiene las carnes diferente contenido de grasa?. Use  = 0.05 27 28 38 37 26 35 31 42 12.- Un psicólogo desea verificar que cierto fármaco aumenta el tiempo de reacción a un estímulo dado. Para una muestra de 4 individuos se obtuvieron los siguientes tiempos de reacción en décimos de segundo, antes y después de inyectarse el fármaco: Individuo 1 2 3 4 Tiempo de reacción Antes Después 7 13 2 3 12 18 12 13 Con un nivel de significación del 5 % realice una prueba para determinar si el fármaco aumenta significativamente el tiempo de reacción. 13.- Se desea comparar dos dietas. Se seleccionaron 80 individuos al azar en una población de músicos excedidos de peso; 45 integrantes de este grupo recibieron la dieta A, los otros 35 la dieta B. Las pérdidas de peso en libras durante un período de una semana resultaron ser los siguientes: Dietas Media muestral ( lbs ) Varianza muestral Dieta A 10.3 7.0 Dieta B 7.3 3.25 Usando α = 0.01. ¿Cuál dieta fue mejor en la reducción de peso? 14.- Se administran dos nuevos medicamentos a pacientes con un padecimiento cardíaco. El primer medicamento bajó la presión sanguínea de 16 pacientes en un promedio de 11 puntos con una desviación estándar de 6. El segundo medicamento bajó la presión sanguínea de otros 20 pacientes en un promedio de 12 puntos con una desviación estándar de 8. ¿Existe diferencia significativa entre los efectos de ambos medicamentos? Use α = 0.05 Rpta. No existe diferencia significativa 15.- Veinticuatro animales de laboratorio con deficiencia de vitamina D, se dividieron en dos grupos iguales: El grupo I recibió un tratamiento consistente en una dieta que proporcionaba la vitamina D. El grupo II no fue tratado. Al término del período experimental se hicieron las determinaciones del calcio en el suero, obteniéndose los siguientes resultados: GRUPO TRATADO GRUPO NO TRATADO X 1  11.1mg / 100ml X 2  7.8mg / 100ml S1  1.5 mg S 2  2.0 mg Suponiendo que las poblaciones son normales. ¿Existe diferencia significativa?. Rpta. Sí 16.- El tiempo de recuperación fue observado para pacientes al azar y sometidos a dos tipos distintos de procedimientos quirúrgicos. Los datos son los siguientes: Guía Práctica de Estadística General PROCEDIMIENTO I n1  21 PROCEDIMIENTO II n2  23 X 1  7.3 X 2  8.9 S  1.23 S 22  1.49 2 1 | 93 Presentan los datos suficiente evidencia para concluir que hay diferencia entre los tiempos medios de recuperación de los dos procedimientos quirúrgicos?. Use α = 0.05 17.- Once estudiantes de medicina midieron la presión sanguínea del mismo paciente y repitieron la medición al día siguiente. A continuación se listan las lecturas sistólicas en mmHg. Día 1: 138 Día 2: 116 130 120 135 125 140 110 120 120 125 135 120 124 130 118 Con α = 0.05 ¿Existe diferencia significativa entre ambas mediciones? 130 120 144 130 143 140 Guía Práctica de Estadística General | 94 Guía Práctica de Estadística General | 95 Guía Práctica de Estadística General | 96 Ejemplo 1.- El costo de fabricar un lote de cierto producto depende del tamaño del lote, como se aprecia en el siguiente conjunto de datos: Costo ($10): 5020 30 70 140 270 530 1010 2500 Tamaño del lote (100 unidades): 500 1 5 10 25 50 100 250 a) Grafique un diagrama de dispersión b) Determine la ecuación de regresión lineal. Interprete el coeficiente de regresión lineal. c) Grafique sobre el diagrama de dispersión, la línea de regresión. d) Estime el costo para un lote cuyo tamaño es de 500 unidades e) Calcule el error estándar de estimación f) Calcule e interprete el coeficiente de correlación. g) Interprete el coeficiente de determinación. Solución a) Diagrama de Dispersión Gráfica de dispersión de Y vs. X Costo ( 10 dólares ): Y 5000 4000 3000 2000 1000 0 0 100 200 300 400 Tamaño del lote ( 100 unidades): X 500 Guía Práctica de Estadística General | 97 b) Determinación de la Ecuación de regresión lineal: Yˆ  a  b X a 2 i i i Yi 2 2 i n  X i Yi  i i  X Y n  X   X  donde :  X  941 Y b en  X Y   X  X n  X   X  Luego 2 i i a  b  i i 2 i i  9570 325751 ( 9570 )  941 ( 3271030 ) 8 ( 325751 )   941 2 X Y i i  3271030 X  22.8987 8 ( 3271030 )  ( 941) ( 9570 )  9.975 8 ( 325751 )  ( 941 ) 2 Por lo tan to la ecuación de regresión lineal será : Yˆ  22.8987  9.975 X Interpretación: Al aumentar el tamaño del lote en 100 unidades, el costo aumentará en 9.975 decenas de dólar o sea aproximadamente en 100 dólares. c) Gráfica de la línea de regresión lineal 2 i  325751 Guía Práctica de Estadística General | 98 Gráfica de línea ajustada Y = 22,90 + 9,975 X S R-cuad. R-cuad.(ajustado) 5000 12,0374 100,0% 100,0% Costo ( Y ) 4000 3000 2000 1000 0 0 100 200 300 400 Tamaño del lote ( X ) 500 Yˆ  22.8987  9.975 ( 5 )  72.8 d) Costo estimado para un lote de 500 unidades: Es decir el costo estimado sería de 728 dólares. e) Cálculo del Error Estándar de Estimación: Sy/x Sy/x  Sy/x  Y 2 a Y b  XY n2 32849700  22.8987 ( 9570 )  9.975 ( 3271030 )  12.0374 decenas de dólares 8  2 f) Cálculo del Coeficiente de Correlación: r r  n  X n XY   X 2 i  Y  X   n  Y 2 i 2   Y   2 Guía Práctica de Estadística General r  | 99 8 ( 3271030 )  ( 941) ( 9570 ) 8 ( 325751)  ( 941) 8 ( 32849700 )  ( 9570 )  2 2  1.00 Interpretación: Existe una correlación lineal positiva perfecta; a medida que el tamaño del lote se incrementa, el costo también crecerá. g) Cálculo del Coeficiente de Determinación: r2 = 1 Interpretación: Las variaciones que se observa en el costo, se debe únicamente a la variación del tamaño del lote. Ejemplo 2.- Se llevó a cabo un experimento para estudiar el efecto de cierto medicamento para disminuir la frecuencia cardíaca en adultos. La variable independiente es la dosis en miligramos del medicamento y la variable dependiente es la diferencia entre la frecuencia cardíaca más baja después de la administración del medicamento y un control antes de administrarlo. Se reunieron los siguientes datos: Dosis Disminución de la frecuencia (mg) cardíaca (latidos/min) 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25 3.50 10 08 12 12 14 12 16 18 17 20 18 20 21 a) Grafique un diagrama de dispersión b) Determine la ecuación de regresión lineal. Interprete el coeficiente de regresión lineal. c) Grafique sobre el diagrama de dispersión, la línea de regresión. d) Estime la disminución de la frecuencia cardíaca para una dosis de 2 mg e) Calcule el error estándar de estimación f) Calcule e interprete el coeficiente de correlación. g) Calcule e interprete el coeficiente de determinación Guía Práctica de Estadística General | 100 Solución: Y: Disminución de la frecuencia cardíaca (lat/min) a) Diagrama de Dispersión Gráfica de dispersión de Y vs. X 22 20 18 16 14 12 10 8 0.5 1.0 1.5 2.0 X: Dosis ( mg ) 2.5 3.0 3.5 b) Determinación de la Ecuación de regresión lineal: Yˆ  a  b X a b  X Y   X  X n  X   X  2 i i en donde : X X a  b  i Yi i n  X i Yi  2 i i 2 2 i n Luego i  X Y   X  i i 2 i  26 Y i X Y  198 63.375 (198 )  26 ( 442.5 ) 13 ( 63.375 )   26 2 i i  442.5 X  7.055 13 ( 442.5)  ( 26) (198 )  4.088 13 ( 63.375 )  ( 26 ) 2 Por lo tan to la ecuación de regresión lineal será : Yˆ  7.055  4.088 X 2 i  63.375 Guía Práctica de Estadística General | 101 Interpretación: Al aumentar la dosis del medicamento en 1 mg.la reducción de los latidos del corazón, se incrementan en 4 lat/min aproximadamente; es decir por cada mg de la dosis, los latidos del corazón se reducen en 4 aproximadamente. c) Gráfica de la línea de regresión lineal Gráfica de línea ajustada Reducción de la frecuencia cardíaca: Y Y = 7.055 + 4.088 X 22 S R-cuad. R-cuad.(ajustado) 20 1.35579 90.4% 89.5% 18 16 14 12 10 8 0.5 1.0 1.5 2.0 Dosis: X 2.5 3.0 3.5 d) Disminución estimada de la frecuencia cardíaca para una dosis de 2 mg: Yˆ  7.055  4.088 ( 2 )  15 Es decir para una dosis de 2 mg de dicho medicamento, se espera que la frecuencia cardíaca disminuya en 15 lat/min aproximadamente. e)Cálculo del Error Estándar de Estimación: Sy/x Sy/x  Sy/x  Y 2 a Y b  XY n2 3226  7.055 (198 )  4.088 ( 442.5 )  1.3558 latidos 13  2 f) Cálculo del Coeficiente de Correlación: r r  n  X n XY   X 2 i  Y  X   n  Y 2 i 2   Y   2 Guía Práctica de Estadística General r  13 ( 442.5 )  ( 26 ) (198 ) 13 ( 63.375 )  ( 26 ) 13 ( 3226 )  (198 )  2 2 | 102  0.9507 Interpretación: Existe una correlación lineal positiva entre la dosis del medicamento y la reducción de la frecuencia cardíaca; a medida que se aumenta la dosis del medicamento entonces la reducción de la frecuencia también aumentará. g) Cálculo del Coeficiente de Determinación: r2 = 0.904 Interpretación: El 90.4% de las variaciones que se observa en la reducción de la frecuencia cardíaca, se debe a la variación de la dosis del medicamento; el 9.6% restante se debe a la influencia o efecto de alguna otra variable no tomada en cuenta en el presente estudio. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Una muestra aleatoria de cinco familias da la siguiente información en relación al ingreso familiar mensual y los gastos mensuales en gastos en seguros de salud. FAMILIA Ingreso mensual Ávila Benavides Calderón Díaz Ercilla 3500 2800 4700 2100 3150 Gastos en seguros de salud 320 280 410 120 340 a. Grafique un diagrama de dispersión b. Determine la ecuación de regresión lineal. Interprete el coeficiente de regresión lineal. Grafique sobre el diagrama de dispersión, la línea de regresión. c. Pruebe otros modelos de regresión y elija el mejor a base del coeficiente de determinación. d. Estímese el gasto anual en prevención de la salud de una familia cuyo ingreso mensual es 2500 soles. e. Calcule el error estándar de la estimación del modelo f. Calcule e interprete el coeficiente de determinación 2.- Con la siguiente información: Horas-hombre por mes de instrucción 200 500 450 800 900 150 300 600 Accidentes por millón de Horas-hombre 7.0 6.4 5.2 4.0 3.1 8.0 6.5 4.4 a) Grafique el diagrama de dispersión Guía Práctica de Estadística General | 103 b) Determine una ecuación que describa la relación entre la frecuencia de accidentes y el nivel de educación preventiva. Grafique esta ecuación. c) Interprete los valores de los coeficientes de regresión. d) Calcule el error estándar de la estimación del modelo. e) Calcule e interprete el coeficiente de correlación. f) Calcule e interprete el coeficiente de determinación. g) Estime el número de accidentes si el número de horas de instrucción fuese 340. 3.- El editor en jefe de un importante periódico metropolitano ha intentado convencer al dueño del periódico para que mejore las condiciones de trabajo en el taller de prensas. Está convencido de que, cuando trabajan las prensas, el grado de ruido crea niveles no saludables de tensión y ansiedad. Recientemente hizo que un psicólogo realizara una prueba durante la cual los prensistas se situaron en cuartos con niveles variables de ruido y luego se le hizo otra prueba para medir niveles de humor y ansiedad. La siguiente tabla muestra el índice de su grado de ansiedad o nerviosismo y el nivel de ruido al que se vieron expuestos. (1,0 es bajo y 10,0 es alto). Nivel de ruido Grado de ansiedad 4 39 3 38 1 16 2 18 6 41 7 45 2 25 3 38 a) Represente gráficamente estos datos. b) Desarrolle una ecuación de estimación que describa los datos. c) Pronostique el grado de ansiedad que podríamos esperar cuando el nivel de ruido es 5. d) Calcule e interprete el coeficiente de correlación e) Calcule e interprete el coeficiente de determinación f) Calcule el error estándar de la estimación 4.- El Gerente de una Clínica dispone de la siguiente información: Año Cirugías 2001 120 2002 143 2003 150 2004 170 2005 162 2006 158 a) Grafique y determine la ecuación de la tendencia. b) Proyecte las cirugías al corazón para el año 2007 5.- Se ha medido la variación de creatinina en pacientes tratados con Captopril (droga antihipertensión) tras la suspensión del tratamiento con diálisis, resultando la siguiente tabla: Días tras la diálisis: X 1 Creatinina (mg/dl): Y 5 10 15 20 25 35 5.7 5.2 4.8 4.5 4.2 4 3.8 a.- Calcule el modelo de regresión lineal b.- Interprete la variación de creatinina, en función de los días transcurridos tras la diálisis. c.- Si un individuo presenta 8 días tras la suspensión del tratamiento con diálisis, que sucede con la creatinina (mg/dl). 6.- En un grupo de 8 pacientes se registran las medidas antropométricas peso (kg) y edad (años) obteniendo el modelo de regresión: Yˆ  20.61  2.83 X Guía Práctica de Estadística General | 104 a.- Interprete la recta de regresión lineal b.- ¿Cómo cree Ud. que será el diagrama de dispersión? 7.- Una cadena de restaurantes de comida rápida decide llevar a cabo un experimento para medir la influencia del gasto en publicidad sobre las ventas. En 8 regiones del país, se realizaron diferentes variaciones relativas en el gasto de publicidad, comparado con el año anterior y se observaron las variaciones en los niveles de ventas resultantes. La tabla muestra los resultados: Incremento del gasto en publicidad ( % ) 0 Incremento en las ventas ( % ) 2.4 4 7.2 14 10.3 10 9.1 9 8 10.2 6 4.1 1 7.6 3.5 a) Calcule el coeficiente de correlación lineal. b) Estimar la ecuación regresión lineal del incremento en las ventas sobre el incremento del gasto en publicidad c) Calcule el error estándar de estimación. d) Estime el incremento en las ventas, si el gasto en publicidad es del 10%. 8.- Los siguientes datos se refieren al número de horas de estudio invertidas por los estudiantes fuera de clase durante un período de tres semanas para cierto curso, junto con las calificaciones que obtuvieron en un examen aplicado al final de ese período. Calificaciones 64 Horas de estudio 20 a) b) c) d) 61 16 84 34 70 23 88 27 92 32 72 18 77 22 Calcule el coeficiente de correlación lineal. Estimar la ecuación regresión lineal Calcule el error estándar de estimación. Estime la calificación para un estudiante que estudió 24 horas durante dicho período de tiempo. 9.- Un editor tomó una muestra de 7 libros anotando el precio y el número de páginas respectivo, obteniendo los siguientes datos. Número de páginas 630 Precio ( $10 ) 10 a) b) c) d) 550 8 400 7 250 4 370 6 320 6 610 9 Calcule el coeficiente de correlación lineal. Estimar la ecuación regresión lineal Calcule el error estándar de estimación. Estimar el precio de un libro de 300 páginas. Si a este libro se le incrementa 20 páginas en una segunda edición. ¿En cuánto se incrementará su precio?. 10.- Un investigador de una fábrica de refrescos ha tomado al azar 8 semanas del año observando en cada semana la temperatura media (ºC ) y la cantidad de refrescos (miles) pedidos durante cada uno de dichos períodos. La información es la siguiente: Temperatura 10 Pedidos 21 28 65 12 19 31 72 a) Calcule el coeficiente de correlación lineal. b) Halle la ecuación regresión lineal 30 75 19 36 24 67 15 24 Guía Práctica de Estadística General | 105 c) Calcule el error estándar de estimación. d) Estimar el pedido de refrescos para una semana cuya temperatura media es de 20ºC. 11.- Se efectúa un experimento médico para determinar el efecto de la droga efedrina en las pulsaciones del corazón. Un paciente recibe diversas dosis diarias de la droga durante seis días. La tabla que sigue resume los resultados del experimento. Dosis diaria total de efedrina (granos) 3 2 1 3 5 4 Nº de pulsaciones por minuto 70 60 50 80 100 90 Nota. 1 grano = 0.06 gramos a. Grafique un diagrama de dispersión b. Determine la ecuación de regresión lineal. Interprete los coeficientes de regresión lineal. Grafique sobre el diagrama de dispersión, la línea de regresión. c. Estímese el número de pulsaciones para una dosis diaria de 4 granos de efedrina. d. Calcule el error estándar de la estimación del modelo e. Calcule e interprete el coeficiente de correlación. f. Calcule e interprete el coeficiente de determinación 12.- La siguiente tabla ilustra los valores del consumo de metil mercurio y la cantidad total de mercurio en la sangre de 12 individuos expuestos a la primera sustancia por haber consumido peces contaminados. Consumo de metil mercurio (µgHg/día) 180 200 230 410 600 550 275 580 105 250 460 650 Mercurio en la sangre ( ng/g ) 90 120 125 290 310 290 170 375 70 105 205 480 a) Calcule el coeficiente de correlación lineal. b) Estimar la ecuación regresión lineal de la cantidad de mercurio en la sangre sobre el consumo de metil mercurio c) Calcule el error estándar de estimación. Guía Práctica de Estadística General | 106 d) Estime la cantidad de mercurio en la sangre, considerando una ingesta de 300 µg de mercurio. 13.- Se quiere determinar la relación entre la experiencia en ventas y el volumen de ventas para cada vendedor basado en un grupo de 10 vendedores de una compañía de seguros. Los años de experiencia en ventas y los volúmenes de ventas son: Experiencia en ventas Volumen de ventas (años) ($10,000) 1 3 2 2 3 5 4 4 5 6 6 8 7 9 8 9 9 12 10 10 a) b) c) d) Halle la ecuación de regresión lineal. Interprete el coeficiente de regresión Estime las ventas para un vendedor con 5 años de experiencia Calcule e interprete el coeficiente de correlación Interprete el coeficiente de determinación 14.- En una muestra de 8 pacientes se miden las cantidades antropométricas peso y edad obteniéndose los siguientes resultados Edad (años) Peso (kg) a) b) c) d) 12 56 8 42 10 51 11 54 7 40 7 39 10 49 14 58 Calcule e interprete el coeficiente de correlación Halle la ecuación de regresión lineal Estime el peso para un paciente de 10 años de edad Determine e interprete el coeficiente de determinación 15.- Consideremos los siguientes datos respecto al precio de venta ($1,000) de una muestra de viviendas y sus áreas (100 pies2) correspondientes a cada una de ellas, en cierta ciudad. Precio de venta: Área de la vivienda: a) b) c) d) e) 41 13 32 10 24 08 44 14 42 14 36 12 35 10 Hallar la ecuación de regresión lineal Interprete el coeficiente de regresión lineal Estime el precio de venta para una vivienda cuya área es de 1,000 pies2 Calcule e interprete el coeficiente de correlación lineal Interprete el coeficiente de determinación 40 12 29 10 26 08 Guía Práctica de Estadística General | 107 Guía Práctica de Estadística General | 108 PRUEBA DE INDEPENDENCIA Tiene por objeto probar si dos variables cualitativas o categóricas no están relacionadas o asociadas; también una de ellas podría ser cuantitativa.    r c 2 i 1 O j 1 ij E ij  2 E ij Ejemplo 1.- En una empresa se desea estudiar si existe una relación entre el nivel de las remuneraciones y los años de experiencia del personal de su planta de profesionales. Con este objeto, se clasifican las remuneraciones según su monto, en tres categorías: bajo, medio y alto; asimismo los años de experiencia de acuerdo a su número en cuatro categorías: A, B, C y D. Al nivel de 0.05. ¿Hay alguna relación entre los años de experiencia y las remuneraciones que perciben los 100 empleados de la empresa?. AÑOS DE EXPERIENCIA REMUNERACIONES Total A B C D Bajo 4 9.88 11 9.88 9 9.12 14 9.12 38 Medio 12 8.58 9 8.58 8 7.92 4 7.92 33 Alto 10 7.54 6 7.54 7 6.96 6 6.96 29 Total 26 26 24 24 100 Solución: H 0 : No existe relación entre las remuneraci ones y los años de exp eriencia H 1 : Si existe relación entre las remuneraci ones y los años de exp eriencia Nivel de significancia   0.05 2  (4  9.88) 2 (12  8.58) 2 (6  6.96) 2   ....................................  10.814 9.88 8.58 6.96 Re gla de decisión : Re chazar H 0 si  2  Vt ( Valor hallado en la tabla  2 con 6 g..l en este caso Vt  12.592. Por lo tan to no rechazarem os H 0 Conclusión : No existe relación entre las remuneraci ones y los años de exp eriencia . Ejemplo 2.- Se tiene la siguiente información obtenida de una muestra de 5,000 fallecidos. DIAGNÓSTICO Muerte por cáncer de pulmón Muerte por otras causas Fumadores 348 No Fumadores 82 Total 430 301 129 3,152 1,418 4,570 Total 3199 3,500 1371 1,500 5,000 Guía Práctica de Estadística General | 109 Se desea probar la hipótesis de que el fumar y la muerte por cáncer pulmonar son independientes con α = 0.01 Solución H 0 : No existe relación entre el hábito de fumar y la muerte por cáncer pulmonar H 1 : Si existe relación entre el hábito de fumar y la muerte por cáncer pulmonar Nivel de significancia   0.01 2  ( 82  129 ) 2 (348  301) 2 (3,152  3,199) 2 (1,418  1,371) 2     26.764 301 3,199 129 1,371 Re gla de decisión : Re chazar H 0 si  2  Vt ( Valor hallado en la tabla  2 con 1 g..l En este caso Vt  6.635 Por lo tan to rechazarem os H 0 Conclusión : Ambos factores están relacionad os. PRUEBA DE HOMOGENEIDAD Ejemplo 1.- El Director de compras de una fábrica grande debe decidir por la compra de una de las cuatro marcas que hay en el mercado. Para probar si existe diferencia significativa en la calidad de las máquinas, obtiene una muestra de la producción de 150 artículos para cada una de ellas y observa el número de defectuosos. Los resultados se dan en la siguiente tabla: M A Q U CALIDAD A B Defectuosos 21 16.5 12 16.5 Buenos 129 133.5 138 133.5 Total 150 150 I N A S C D 15 16.5 18 16.5 135 133.5 132 133.5 150 150 Total 66 534 600 Solución H 0 : p A  p B  pC  p D ( La proporción de defectuosos son las mismas en cada una de las máquinas ) H 1 : Al menos en una de las máquinas la proporción de defectuosos no es la misma . Nivel de significancia   0.05 2  ( 21  16.5 ) 2 (129  133.5 ) 2 (132  133.5 ) 2   ....................................  3.064 16.5 133.5 133.5 Re gla de decisión : Re chazar H 0 si  2  Vt ( Valor hallado en la tabla  2 con 3 g..l en este caso Vt  7.815. Por lo tan to no rechazarem os H 0 Conclusión : La proporción de defectuosos sí es la misma . Guía Práctica de Estadística General | 110 Ejemplo 2.- Se sostiene que una droga determinada es efectiva para la curación del catarro común. En un experimento con 164 personas con catarro, a la mitad de ellas se le suministró la droga y a la otra mitad se le suministró píldoras azucaradas. Las reacciones de los pacientes aparecen anotadas en la siguiente tabla: REACCIONES Mejorados Empeorados Efecto Nulo Total Droga 52 48 10 11 20 23 82 Azúcar 44 48 12 11 26 23 82 Total 96 22 46 164 Solución H 0 : La droga y las píldoras tienen igual efecto H 1 : La droga y las píldoras no tienen igual efecto. Nivel de significancia   0.05 2  ( 52  48 ) 2 (10  11 ) 2 ( 26  23 ) 2   ....................................  1.631 48 11 23 Re gla de decisión : Re chazar H 0 si  2  Vt ( Valor hallado en la tabla  2 con 2 g..l en este caso Vt  5.991 Por lo tan to no rechazarem os H 0 Conclusión : La droga y las píldoras azucaradas producen reacciones similares . Guía Práctica de Estadística General | 111 EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Una encuesta realizada en 378 hospitales por el Colegio de Cirujanos Americanos produjo los datos de la tabla siguiente: Tipo de tumor Total Benigno Maligno Usan anticonceptivos 138 49 187 No usan 39 41 80 No conocen su uso 35 76 111 Total 212 166 378 Proporcionan los datos evidencia suficiente para indicar una dependencia entre el tipo de tumor y el uso de anticonceptivos orales?. Use α = 0.05 Rpta. Sí 2.- Sobre una muestra de 500 niños de cierta escuela primaria se hizo un estudio acerca de su estado de nutrición y el desempeño académico, obteniéndose los siguientes resultados: Desempeño Académico Estado de Nutrición Total Pobre Bueno Malo 105 15 120 Satisfactorio 80 300 380 Total 185 315 500 Existe relación entre el desempeño académico y el estado de nutrición. Use α = 0.01 Rpta. Sí 3.- Se llevó a cabo una encuesta con respecto a la preferencia del consumidor para determinar si existía alguna predilección entre las tres marcas competitivas (A, B y C ) dependiendo de la región geográfica en la que habita el consumidor. La información obtenida es la siguiente: Región I Región II Región III Total Marca A 40 52 25 117 Marca B 52 70 35 157 Marca C 68 78 60 206 Total 160 200 120 480 Con esta información ¿La preferencia por una determinada marca depende de la región geográfica? Rpta. No 4.- Los puntajes obtenidos en una muestra de 218 estudiantes en el examen de ingreso a una universidad, así como los promedios finales durante el primer semestre de la universidad fueron clasificados en cuatro categorías: A, B, C y D. Estos aparecen en la siguiente tabla: Promedios del Puntajes de Ingreso Primer Semestre A B C D Total 20 10 17 8 55 A 17 16 18 7 58 B 19 4 15 12 50 C 12 8 12 23 55 D 68 38 62 50 218 Total Guía Práctica de Estadística General | 112 Se puede decir que los puntajes obtenidos en ambos exámenes son independientes? Use α = 0.05 5.- Se tomó una muestra de 400, 500 y 400 compradores de las ciudades de Piura, Trujillo y Chiclayo respectivamente con la finalidad de determinar si la proporción verdadera de compradores que se inclinan por el producto A en lugar del B, es la misma en las tres ciudades. Use α = 0.05 Producto A Producto B Total Piura 232 168 400 Trujillo 260 240 500 Chiclayo 197 203 400 Total 689 611 1300 6.- Se examinó una muestra de 2,000 registros médicos los cuales dieron los siguientes resultados: Muerte por cáncer Muerte por otras causas del intestino Fumadores 22 1,178 No Fumadores 26 774 Total 48 1,952 Total 1,200 800 2,000 Probar la hipótesis que las dos clasificaciones son independientes con α = 0.05 7.- Cierta compañía desea determinar si el ausentismo se relaciona con la edad. Se toma una muestra de 200 empleados al azar y se clasifica según su edad y causa de ausentismo: CAUSA EDAD Menos de 30 30 - 50 Más de 50 Enfermedad 40 28 52 Otras 20 36 24 ¿Está la edad relacionada con el ausentismo? Use α = 0.01 8.- Una fábrica de automóviles quiere averiguar si el sexo de sus posibles clientes no tiene relación con la preferencia del modelo. Se toma una muestra aleatoria de 2,000 posibles clientes y se clasifican así: SEXO MODELO I II III Masculino 350 270 380 Contrastar la hipótesis de que el sexo no tiene relación con la preferencia hacia un Femenino 340 400 260 determinado modelo para un α = 0.01 9.- Se desea determinar si existe algún tipo de relación entre la concentración de procaína usada en operaciones del molar mandibular y el porcentaje de casos satisfactorios (efectividad clínica de la anestesia). Se tuvo la siguiente información: Solución de procaína Casos satisfactorios Casos no satisfactorios 1.0 % 07 18 Más de 1.0 % 63 12 Use α = 0.05 Guía Práctica de Estadística General | 113 10.- Un investigador estudia el nivel de efectividad de tres remedios R1, R2 y R3 para aliviar cierta enfermedad. Para esto escogió tres muestras aleatorias de tamaños 50, 70 y 60 pacientes con la enfermedad, suministrando a la primera el remedio R1, a la segunda muestra el remedio R2 y a la tercera el remedio R3; y midiendo la efectividad de los remedios en tres niveles: Sin alivio, cierto alivio y alivio total. Los resultados del experimento se dan en la tabla que sigue: Efectividad Remedios para la alergia R1 R2 R3 Sin alivio 10 20 15 Cierto alivio 30 20 20 Alivio total 10 30 25 ¿Puede inferir que los tres remedios para la alergia son igualmente efectivos?. 11.- El ingeniero quiere saber si hay diferencias en la calidad de los productos procesados en los tres turnos operativos de una fábrica. Para esto se tomó una muestra aleatoria de tamaño 100 de cada turno del día anterior y las clasificó según el turno de su producción: mañana, tarde y noche; y según su calidad: defectuoso o no defectuoso. Los resultados se dan en la siguiente tabla: Calidad Turnos de producción Mañana Tarde Noche Defectuosos 3 12 15 No defectuosos 97 88 85 Pruebe al nivel de significación del 5% la hipótesis de la igualdad de las tres proporciones reales de producción defectuosa.