Universidad de la Frontera5 Departamento de Matemática y Estadística Algebra y Trigonometría Guía de Ejercicios - Geometría Analítica Profesor: José Labrin A) Resuelva los siguientes problemas relativos a puntos y rectas en el plano 1 Considera el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A (6, 1), B (3, 5), C (−1, −2) y D (2, −4). Encuentre el perímetro del cuadrilátero. 2 La abscisa de un punto A es −6 y su distancia al punto B (1, 3) es punto A. √ 74. Indique las coordenadas del 3 Determinar analíticamente si los puntos A (12, 1), B (−3, −2) y C (2, −1) son colineales. 4 Halle el punto P del eje x que equidista de Q(5, 2) y R(4, −1). 5 Determine los puntos que trisectan el segmento que une A(2, 5) con B(8, 1). 6 Sea el triángulo de vértices A (2, 6), B (−3, 2) y C (0, 2). Encuentre el área y el perímetro del triángulo y determina las coordenadas de los puntos medios E de CA, F de BA y G de BC . 7 La recta de ecuación y +4 = m (x + 8), pasa por el punto de intersección de las rectas L1 : 2x+3y +5 = 0 y L2 : 5x − 2y − 16 = 0. Calcule el valor de m. 8 Los puntos extremos de un segmento son P1 (2, 4) y P2 (8, −4). Halle el punto P (x, y) que divide a este segmento en dos partes tales que P1 P : P P2 = 2. 9 Halle los puntos de trisección y el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos (−2, 3) y (6, −3). 10 Si los vértices de un triángulo so A(−2, 1), B(4, 7) y C(6, −3), encontrar el área del triángulo. 11 Hallar los puntos de la recta x − y = 1 que están a dos unidades del punto (3, 0). 12 Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas x − 3y + 2 = 0 y 5x + 6y − 4 = 0 y que es paralela a 4x + y + 7 = 0. 13 Hallar el valor de k para que la recta kx + (k − 1) y − 18 = 0 sea paralela a la recta 4x + 3y + 7 = 0 1 25 Pasa por el punto (1. −2) a la recta kx + 3y + 3 = 0 sea 2. 22 Pasa por el punto (1. GUÍA DE EJERCICIOS . 5 2 29 La recta 4x + 5y + k = 0 forme con los ejes coordenados un triángulo de área . 4). 4) y es paralela a la recta 2x − 5y = −7. 26 Tiene interceptos sobre los ejes x e y en 2 y −3 respectivamente. 24 Pasa por el punto (1.2 CAPÍTULO 5. D) Resuelva los siguientes problemas relativos a circunferencias. 21 Pasa por los puntos (3. −3) y es perpendicular a la recta 2y − 3x − 4 = 0. 19 Demuestre que el área del triángulo formado por el eje y . 27 Es simetral del segmento cuyos extremos son A(−1. 5) ¾Cuál es la ecuación de la cónica? . −4) y es paralela al eje x. 30 La distancia del punto (2. 17 Hallar la distancia del origen a la recta 2x − 3y + 9 = 0 18 Halle dos puntos de la recta x = y − 5 cuya distancia a la recta 3x + 4y = −6 sea 3. y las rectas no paralelas L1 : y = m1 x + b1 y L2 : y = m2 x + b2 está dada por: A = (b2 − b1 )2 2|m2 − m1 | B) En cada uno de los siguientes casos. −3). −5) y radio de longitud 7. hallar la ecuación de la recta que satisfaga las condiciones 20 La pendiente es 4 y pasa por el punto (2. 16 Hallar el valor de k para que la distancia del origen a la recta x + ky − 7 = 0 sea 2. −7) y es paralela al eje y . 19) y (−5. 3) y B(2. 23 Pasa por el punto (−3. C) Determine el valor de k para que: 28 La recta kx + (k + 1)y + 3 = 0 sea perpendicular a la recta 2x − 7y + 2 = 0. 32 Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A (2. 31 Determine la ecuación de la circunferencia con centro (−3. 3) y B (−4.GEOMETRÍA ANALÍTICA 14 Hallar el valor de k para que la recta kx+(k + 1) y +3 = 0 sea perpendicular a la recta 2x−7y +2 = 0 15 Hallar los valores de a y b para que las ecuaciones ax + (2 − b) y − 23 = 0 y (a − 1) x + by + 15 = 0 representen rectas que pasen por el punto (2. −3). −3). 3) y C (−6. Hallar la ecuación de la recta que contiene a la cuerda. 1). en el punto P (−5. −5). B(2. 8) y (0. −8) y B(7. 0) y B (0. C(2. donde x = 4. 36 Determine la ecuación de la circunferencia de radio 5. 41 Encontrar la ecuación de la recta que es tangente a la circunferencia de ecuación (x − 3)2 +(y − 12)2 = 100. y que pasa por los puntos A (3. 4).3 33 El centro de una circunferencia es el punto (1. 45 Halle la máxima y la mínima distancia del punto (10. 40 La ecuación de una circunferencia es x2 +y 2 = 50. 49 Muestre que cualquier recta que pase por el punto (−1. con centro en el primer cuadrante. 38 Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: A (2. 43 Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas L1 : 3x − 2y − 24 = 0 y L2 : 2x + 7y + 9 = 0. −4). radio y grá ca. (8. . −4). 1) son interiores o exteriores a la circunferencia. 35 Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en la recta y = x tangente al eje Y en el punto P (0. 46 Determinar el valor de k en los reales. 7) a la circunferencia x2 + y 2 − 4x − 2y − 20 = 0. (7. B (−4. 42 Encontrar la intersección de la recta 8x + 6y − 20 = 0 con la circunferencia de ecuación x2 + y 2 − 2x − 4y − 20 = 0. 37 Encuentre el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es 4x2 + 4y 2 − 12x + 40y + 77 = 0. 48 Muestre que las circunferencias C1 : x2 + y 2 + 4x + 6y − 23 = 0 y C2 : x2 + y 2 − 8x − 10y + 25 = 0 son tangentes. 44 Los puntos (1. encuentra su centro. Determinar si los puntos A(−1. 6). determine la ecuación de la circunferencia inscrita en el cuadrado. 39 La ecuación de una circunferencia es (x − 3)2 + (y + 4)2 = 36. 7) son los vértices de un cuadrado. 1). 34 Escriba la ecuación de la recta tangente a la circunferencia de ecuación x2 + y 2 = 80 que la toca en el punto del primer cuadrante. 5) no puede ser tangente a la circunferencia x2 + y 2 + 4x − 6y + 6 = 0. tal que la recta 2x + 3y + k = 0 sea tangente a la circunferencia x2 + y 2 + 6x + 4y = 0 47 Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(3. El punto medio de una cuerda de esta circunferencia es M (−2. 6) y es tangente a la recta de ecuación x − y − 1 = 0 Hallar su ecuación. 1). 5). 5). 0). 4) y P2 (5. −2) y su foco es el punto (5. G) Resuelva los siguientes problemas relativos a hipérbolas. . 9 .GEOMETRÍA ANALÍTICA E) Calcule los elementos principales de las siguientes parábolas: 50 x2 + 2x + 6y − 17 = 0 51 4y 2 − 48x − 20y − 71 = 0 52 y 2 + 6y + 4x − 3 = 0 53 9x2 + 24x + 72y + 16 = 0 54 y 2 − 2y − 2x = 0 F) Resuelva los siguientes problemas relativos a parábolas. 56 Una parábola con vértice en el origen y cuyo eje coincide con el eje x. directriz. 1 61 Encuentre la intersección de la parábola y − x2 − 1 = 0 con la circunferencia x2 + y 2 − 8y + 7 = 0. 4). 11). longitud del lado recto y su grá ca.4 CAPÍTULO 5. 0) y (−4. 62 Encuentre la ecuación de la parábola vertical. 58 Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y los puntos extremos del lado recto de la parábola x2 − 4y = 0. GUÍA DE EJERCICIOS . Encuentre la longitud del lado del triángulo. 0) y tiene sus focos en los puntos (3. 0) y (−3. −3). Hallar la ecuación de la cónica. Encuentra además vértices. la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto. y) tal que la pendiente P P1 sea igual a la pendiente de P P2 más uno. − 45 . 59 Encontrar la ecuación de la parábola cuyo vértice está en (5. 63 Un triángulo equilátero está inscrito en la parábola de ecuación y 2 = 4px con vértice en el origen. 64 Dados los puntos P1 (2. las coordenadas del foco. 3 4. Gra que. 3) y (7. −4). 60 Encontrar la ecuación de la parábola con eje paralelo al eje x y que pasa por los puntos y (0. 57 Encontrar la ecuación de la parábola cuyos extremos del lado recto son los puntos (1. demuestra que la ecuación del lugar geométrico de los puntos P (x. focos. es una parábola. 55 Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y directriz de ecuación y − 5 = 0. 0). 65 Determine la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (4. pasa por el punto de coordenadas (−2. 3) con p > 0. que se abre hacia abajo y cuyo vértice es el centro de la circunferencia x2 + y 2 − 14y + 40 = 0 tal que la distancia del vértice a la directriz es 6 unidades. 10. 0). 0) tal que la suma de las distancias de los puntos de ella a los focos sea 12. . 2 H) Encuentre los elementos principales de las siguientes elipses: 78 25x2 + 16y 2 − 400 = 0 80 9x2 + 4y 2 − 18x − 24y + 9 = 0 79 8x2 + 4y 2 − 24x − 4y − 13 = 0 81 6x2 + 9y 2 − 24x − 54y + 51 = 0 I) Halla las ecuaciones de las elipses centradas en el origen y determinadas de los modos siguientes: 82 Focos (−2. Excentricidad. Si uno de sus focos 1 es el punto F1 (0. 0). 72 Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por los focos y la intersección superior con el eje Y de la elipse 36x2 + 100y 2 = 3600. 69 Hallar la ecuación de la elipse de centro (1. 5. 5)y (4. 5 5 70 Determine el(los) valor(es) de m tales que la ecuación 71 Un punto P (x. Determine: la ecuación. que se abre hacia abajo y pasa por el punto de coordenadas (4. la longitud del eje mayor y del menor. 0) y F 0 (3. 0) y cuya constante es 10. 76 Halla la ecuación de la elipse de focos F1 (4. 1) y tiene sus focos en (4. y) se mueve de tal forma que el producto de las pendientes de las dos rectas que unen P con dos puntos jos (1. 0) y (?4. 67 Encontrar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos F1 (−5. el otro foco. 0). Demuestre que dicho lugar geométrico es una elipse. −2) y (5. 3). 0) y cuya excentricidad es igual a 0. igual a 10. −1) y la distancia entre los vértices es 10. cada una 1 de las cuales tiene excentricidad . . 1 2 85 Eje mayor sobre el eje y e igual a 2. uno de los focos es (6. m m+7 12 12 en la que la recta y = x la intersecta en los puntos de abcisas x = yx=− . Longitud del eje mayor. la longitud de los 2 lados rectos. 73 Encontrar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos (4. indicando su centro. 74 Dada la elipse 4x2 + 9y 2 − 32x + 54y + 109 = 0 encuentre la ecuación de la circunferencia que tiene como centro el mismo de la elipse y como radio la mitad de la longitud del eje menor. representa una familia de elipses. 2) y que pase por el punto (4. F2 (?4. 77 Si k > 0 demuestre que la ecuación 3x2 + 4y 2 = k. Pasa por el punto (3. 0).5 66 Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor está sobre el eje Y . 75 Encuentre la ecuación de la parábola que tiene como vértice el centro de la elipse 3x2 + 2y 2 + 24x − 32y + 170 = 0. 6) y2 x2 + = 1 corresponda a una elipse. 83 F (?3. 0) y F2 (5. 68 Halla la ecuación de la elipse que pasa por el punto (3. (2. 84 Eje mayor sobre el eje x. 2). 6) es constante e igual a −2. 0). 3) y su excentricidad es . 5) tienen pendientes cuyo producto es igual a 3. Gra que. 6) y F (3. 92 Una hipérbola tiene sus focos en los puntos F1 (5. Determine su ecuación. x+2y −3 = 0 y la distancia entre los vértices es 2. tal que las rectas que determina con los puntos jos A (−2. 96 Del punto P (x. 93 Demuestre que la diferencia entre las distancias del punto 144 a los focos.6 CAPÍTULO 5. 88 Encontrar la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas tiene ecuación x−2y +1 = 0. 0) y P3 (−2. y). 91 Halla la ecuación de la hipérbola de focos F1 (5. −2) es siempre igual a 30. 97 De los puntos P (x. 0) y su constante es k = 6. √ ! 3 5 de la hipérbola 9x2 −16y 2 = 6. −4) y la distancia entre sus vértices es 6 unidades. 95 Del punto P (x.GEOMETRÍA ANALÍTICA J) Resuelva los siguientes problemas relativos a hipérbolas. 0) es igual a la mitad de su distancia a la recta x − 16 = 0. 2) sea igual a 8. 89 Determine los puntos de intersección de las curvas: y 2 − 4x2 = 16 e y − x = 4. 2) y (−2. 105 Una puerta en forma de arco parabólico tiene 12 pies de altura en el centro y 5 pies de ancho en la base. Una caja rectangular de 9 pies de alto debe ser deslizada a través de la puerta ¾Cuál es el máximo ancho posible que puede tener la caja? . P2 (3. 1) y B (4. y) cuya distancia al punto jo Q (4. de los focos y del centro. es igual a la longitud de su eje transverso. y) cuya suma de distancia a los puntos jos (4. 0). F2 (?5. 0) y cuya constante es 6. 0) y F2 (?5. 86 Encontrar la ecuación de la hipérbola cuyos focos son F (3. 2 K) Halle la ecuación de la grá ca que describen los puntos que satisfacen la o las condiciones dadas e identi car la curva: 94 Del punto que se mueve de tal manera que la suma de los cuadrados de las distancias de dicho punto a los tres puntos P1 (0. L) Encuentre los elementos principales de las siguientes hipérbolas: 98 36x2 − 100y 2 − 3600 = 0 99 36y 2 − 4x2 − 144 = 0 100 16(x − 5)2 − 9(y + 1)2 − 144 = 0 101 9(x − 2)2 − 4(y + 3)2 − 36 = 0 102 5x2 − 4y 2 + 20x + 8y − 4 = 0 103 4(x − 2)2 − 9(y + 3)2 − 36 = 0 104 4x2 − 5y 2 − 16x + 10y + 31 = 0 M) Resuelva los siguientes problemas. Halla sus elementos característicos y su ecuación reducida. GUÍA DE EJERCICIOS . 87 Dada la ecuación de la hipérbola 8x2 − 4y 2 − 24x − 4y − 15 = 0 encuentre las coordenada de los vértices. 3). 90 Una hipérbola tiene un foco en el punto (3. 2) y las ecuaciones de sus asíntotas son y = 2x − 10 e y = −2x + 2. 111 Suponiendo que el agua al salir del extremo de un tubo horizontal que se encuentra a 7. Hallar la máxima y la mínima distancia de la tierra al Sol.Geometría Analítica A) 1 Perímetro = 30 unidades 2 A(−6. 0) . más allá de una recta vertical que pasa por el extremo del tubo. ¾A qué distancia de esta vertical llegará el agua al suelo?. donde una unidad de longitud de los ejes represente 93 millones de millas.5 m arriba del suelo describe una curva parabólica. N) Identi que el tipo de curva correspondiente a cada una de las siguientes ecuaciones. estando el vértice en el extremo del tubo. siendo su máxima altura de 45 m.4 m por debajo del nivel del tubo el agua se ha curvado hacia afuera 3 m.7 106 La cara inferior de un arco de un puente de cruce tiene forma de media elipse. Guia de Ejercicios N 3 . con el Sol en uno de sus focos. Haga un esquema de la grá ca de esa trayectoria. 108 La órbita de la tierra es una elipse. 8) o A(−6. 110 Un arco parabólico tiene una altura de 25 m y 40 m de ancho. Encontrar la altura de los soportes situados a 25 m del centro del arco.625 de excentricidad. Hallar la longitud del lazo que atado en las estacas se pueda trazar una elipse de 0. 112 Un jardinero desea trazar una elipse ayudado con un lazo y dos estacas. 107 Suponga que la rama superior de la hipérbola 12y 2 + 72y − 4x2 + 81 = 0 es la trayectoria de un cometa con el Sol en el foco. Determine el máximo acercamiento del cometa al Sol. y la altura en el centro es de 20 pies. 109 Un arco tiene forma de semi-elipse con ancho de 150 m. −2) 3 Son colineales pues AC + BC = AB 4 P (6. Las estacas las coloca en los focos de la elipse separadas 7 metros. Si en un punto a 2. Puedes suponer que el punto de la rama más cerca del Sol es el vértice. La longitud del eje mayor es de 50 pies. Calcule la altura libre del puente a 10 pies de una de sus bases. la longitud del eje mayor es 287 millones de kilómetros y la excentricidad es de 1/62. ¾Qué altura tiene el arco a 8 m del centro?. indique sus elementos principales. 113 x2 + y 2 − 10x + 8y = 0 121 x2 + 3y 2 − 4x + 6y + 1 = 0 114 x2 + 4y 2 − 6x + 5 = 0 122 3(x − 1)2 = 6 + 2(y + 1)2 115 y 2 = x2 − 8x + 7 123 9x2 + 9y 2 − 36x + 6y + 34 = 0 116 16x2 − y = 0 117 5x + 4y =2 124 x = −2y 2 0 125 2x(x − y) = y(3 − y − 2x) 118 x2 − y 2 − 4x + 3 = 0 119 x = 4 − y 2 126 x(2 + 3y) = y(4 + 3x) 120 9(x + 3)2 = 36 − 4(y + 1)2 127 y = x2 + 2x ◦ Soluciones. −3). −2) y (−2. . 73 5 P 4. √ 5 −9 2 . 1 . F − 21 . 32 . −2 . directriz: x = −1 . 3). −8) es interior y B(7. 2 14 k = − 75 1 7 m = 10 15 a = 4 y b = 7 8 P 6. 0) y Q 6.GEOMETRÍA ANALÍTICA 12 12x + 3y = 2 √ 6 Área = 6u2 . −1 .r= 2 2 2 53 F − 43 . 7 21 −15x + 8y = 107 22 x = 1 23 y = −4 24 2x − 5y = −18 25 −2x − 3y = 7 26 −3x + 2y = −6 27 −2x + 4y = −1 C) 28 30 −7 5 −9 4 29 10 D) 31 x2 + y 2 + 6x + 10y − 15 = 0 40 x − 2y + 10 = 0 32 x2 + y 2 + 2x − 8y + 7 = 0 41 4x + 3y + 2 = 0 33 x2 + y 2 − 8x − 6y + 7 = 0 42 (4. directriz: y = 2 54 F (0. 1) es exterior 9 2 51 F 1. directriz: y = √ 39 2 52 F (2. 1). directriz: x = 4 47 x2 +y 2 −5x+9y +26 = 0. −5 y r = 8 45 dmax = 39 A(−1. − 43 √ 45 9 Los puntos de trisección son: 32 .13 k = 4 tos Medios: E (1. 4). −7 B) 20 y = 4x − 11 24 − 11 7 . 52 . 11 3 √ 17 10 36 u2 11 (3. V (−1. Perímetro = 41 + 2 5 + 3.8 CAPÍTULO 5. V (3. 52 . −3). 6) 34 x + 2y = 20 43 x2 + y 2 − 12x + 6y + 20 = 0 35 x2 + y 2 − 10x − 10y + 25 = 0 36 x2 + 44 x2 + y 2 − 8x − 8y + y2 − 6x − 10y + 9 = 0 √ 37 C 32 . 0 . 2) y (1. GUÍA DE EJERCICIOS . 0) √2 13 6 18 − 41 7 . 4 y G − 32 . directriz: x = −5 73 y dmin = =0 √ √ 80 − 7 46 k = 25.Pun. V −2. 1 y 10 3 . V − 12 . 16 k = 2 El punto medio es (2. V − 43 . k = −1 38 E) 50 F −1. 3 5 H) 78 Vértices: (0. (−2. −5). 112 11.24. e = . 1). directriz: x = 2. 2 metros. 1 millones de kilómetros respectivamente. 5). Leje mayor = 12. 6) y (2. 107 138. 2) 72 x2 7 + y+ 3 2 = 625 9 73 25x2 + 16y 2 − 200x − 64y + 64 = 0 74 x2 + y 2 − 8x + 6y + 21 = 0 75 x2 + 8x + 8y − 48 = 0 76 9x2 + 25y 2 − 225 = 0 G) 105 106 16 pies. LLR = 8 57 x2 − 8x − 6y + 25 = 0 58 x2 + y 2 − 5y = 0 59 x2 − 10x + 8y + 41 = 0 60 y 2 + 16x − 14y = −33 61 (0. 28 metros. F (−2. −3). 108 145. (0. 3). 110 21 metros. 0). . 111 5. (0. F 0. 0). . LLR = 9. . Focos: (0. Centro: (0. 7 metros. V 16 55 73 0. 109 42. F2 = (0.9 F) 55 x2 + 20y = 0 56 y 2 + 8x = 0. Leje menor = 6 3 67 11x2 + 36y 2 − 396 = 0 68 x2 + 9y 2 − 18 = 0 69 4x2 + 9y 2 − 8x − 36y − 140 = 0 70 m = 9 71 C(3.24. 5 millones de millas.8 y 141.d:y= 3 12 12 65 7x2 + 16y 2 − 112 = 0 √ 66 ecuación: 4x2 + 3y 2 − 108 = 0. 6) 62 x2 + 24y − 168 = 0 √ 63 4 3p 64 El lugar geométrico tiene ecuación x2 + 3y − 16 = 0. −3). . (5. Centro: (2. 3 . 3 I) 82 y2 x2 + =1 25 21 84 x2 16y 2 + =1 25 225 83 y2 x2 + =1 36 27 85 4x2 + y2 = 1 3 J) 86 9x2 − 16y 2 − 54x + 32y + 209 = 0 87 Vértices: √ √ 7 1 3 3 3 1 1 1 1 1 . − . Focos: 0. e = . −1).GEOMETRÍA ANALÍTICA 79 Vértices: √ √ √ 2 3 1 3 1 3 3 3 5 3 1 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 2 8 20 . 3 − 5 . 0). −1). e = . −3). Asíntotas: 10 3 3 y = − x. 40 . + 2 3. 0). y = x 3 3 100 Vértices: (8. −1). (0. Centro: (5. Centro: (2. e = 4 4 23 17 x− . GUÍA DE EJERCICIOS . 3 √ √ √ 3 81 Vértices: (−1. 0 . y = x − 6. 0.− . . (10. Focos: (10. 6). Asíntotas: y = ± x. Centro: . c = 5. + 2 2 .− . −2). . 2).e= . 3). 0). y =− x+ 3 3 3 3 √ √ 5 . Centro: (0. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 √ √ 80 Vértices: (1. b = 4. (0. −3 . y = x 5 5 √ √ √ 40 99 Vértices: (0.− . −1). 89 (0. 2 + 13. Focos: . 0). Centro: (0. 2 + 3. 3 + 5 . 2 2 . Focos: 1. − 40 . (4. −3). 0 . Focos: 2 − 3. −3). Asíntotas: y = 3 101 Vértices: (0. 0). (1. −1). excentricidad= . Ecuación: 16x2 − 9y 2 − 144 = 0 K) 94 Circunferencia: 3x2 + 3y 2 − 2x − 2y − 4 = 0 96 Hipérbola: 3x2 − 4y 2 − 192 = 0 95 Hipérbola: 3x2 − y 2 − 6x + 6y = 29 97 Elipse: 7x2 + 16y 2 − 14x − 64y − 41 = 0 √ √ √ 2 34 L) 98 Vértices: (−10. −2 2 . 3 . . e = . −3 . Focos: 2 − 13. (2. Focos: −2 34. 4) y 3 3 88 − x2 + y 2 + x − 2y − 90 1 =0 4 (y + 4)2 (x − 3)2 − =1 36 9 91 16x2 − 9y 2 = 144 5 3 4 3 92 a = 3. − . 2 34. Asíntotas: y = 2 1 1 − x. Centro: . Asíntotas: 3 3 y = − x. Centro: (1.10 CAPÍTULO 5. − . 1. Focos: − 2 3. 3). 3). 3). − . e = √ 5 . 11 √ 5 √ 102 Vértices: (−4. 2 √ √ 103 Vértices: (−1. 1 millones de kilómetros respectivamente. Asíntotas: y = − − 5 + 1. 109 42. 111 5. Centro: (−2. 1). −2). −1). Asíntotas: y = − 5 5 √ √ 4 5 2 5 x− + 1. 2 + 13. 1). 107 138. Asíntotas: 2 2 5 13 y =− x− . 1). 1). −3 . Focos: (2. (5. 1). 28 metros. Focos: (−5. 4). 110 21 metros. 1). 2 metros. (0. 3). −3). Centro: (2. 5 millones de millas. . 104 Vértices: (2. Focos: 2 − 13. −3). −3 . 112 11. 7 metros. (1. y= 5 5 M) 105 106 16 pies. −3). (2. y = x− . Centro: (2. 2 √ 5 √ y= + 5 + 1. 108 145. (2. 3 3 3 3 √ √ 4 5 2 5 x+ +1.8 y 141.