UNIVERSIDAD DON BOSCO GUÍA DE EJERCICIOS 4Consagrar la vida a la verdad CICLO I/2018 DEPARTAMENTO DE C.C.B.B. UNIDAD 2: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS ESTADÍSTICA I (Ingeniería) UNIDAD 3: VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 1. Un dado se lanza al aire en cinco ocasiones. Encontrar la probabilidad que hasta el último lanzamiento se obtenga un número mayor que 4. 2. La probabilidad de que una computadora que corre cierto sistema operativo se descomponga en un determinado día es de 0.1. Determine la probabilidad de que la máquina se descomponga por primera vez en el undécimo día, después de la instalación del sistema operativo. 3. Un semáforo localizado en cierta intersección está en verde 50% de las veces, en amarillo 10% y en rojo 40%. Un automóvil pasa por esta intersección una vez al día. Sea x el número de días que ha transcurrido, incluyendo la primera vez que el automóvil se topa con una luz roja. Suponga que cada día representa un experimento independiente. Determinar: a) P( x 3 ) b) P( x 3 ) c) x d) x 4. Si el 15% de los automovilistas manejan a excesiva velocidad, ¿cuál es la probabilidad que al pararse a la orilla de una carretera, el primer vehículo que vaya a excesiva velocidad sea el noveno que pase? R/ 0.0409 5. En una casa particular la probabilidad de obtener llamada es de 75%, ¿cuál es la probabilidad de obtener una llamada en menos de tres intentos? 6. Quince automóviles son llevados a una concesionaria para validar su garantía. Suponga que cinco presentan graves problemas de motor, mientras que diez tienen problemas sin importancia. Se eligen aleatoriamente seis automóviles para componerlos, ¿cuál es la probabilidad de que dos tengan graves problemas? 7. Un lote contiene 20 rotuladores, pero solo escriben 12. Si se seleccionan 10 rotuladores. a. ¿Cuál es la probabilidad de que 7 de ellos escriban? b. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar la misma cantidad de rotuladores que escriben y que no escriben? 8. En la página de un libro se encuentran escritos los nombres de 25 mujeres y 30 hombres. Se seleccionan al azar siete nombres, para integrar un tribunal de conciencia, encontrar la probabilidad que el tribunal quede integrado por: a) solamente hombres b) 4 hombres y 3 mujeres c) 5 mujeres y 2 hombres 9. En un lote de diez microcircuitos, tres están defectuosos. Se elige aleatoriamente cuatro microcircuitos para ser probados. Sea x el número de circuitos probados que son defectuosos. Determinar: a) P( x 2 ) b) x c) x 1/5 Estadística I Guía 4 Ciclo I-2018 10. Una caja contiene 25 camarones para exportación. Si siete de estos se encuentran con impurezas fácilmente detectables. ¿Cuál es la probabilidad que un inspector de aduanas que seleccione tres camarones rechaze la caja debido a impurezas? R/ 0.6452 11. Cierta marca de automóvil viene equipada con un motor en uno de cuatro tamaños (en litros): 2.8, 3.0, 3.3 o 3.8. El 10% de los clientes ordena el motor de 2.8 litros, 40% de 3.0, 30% de 3.3 y 20% de 3.8. Se selecciona una muestra aleatoria de 20 órdenes para auditoría: a) ¿Cuál es la probabilidad que el número de órdenes de los motores 2.8, 3.0, 3.3 y 3.8 litros sean 3, 7, 6 y 4, respectivamente? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de diez órdenes de los motores de 3.0 litros? R/ 0.0089 12. El 23% de las personas que asisten a cierto partido de fútbol viven a menos de 10 kilómetros del estadio, el 59 % de ellas viven a entre 10 y 50 kilómetros del estadio, y el 18 % vive a más de 50 kilómetros. Se seleccionan al azar 20 personas entre los asistentes al partido (que son miles). Calcular la probabilidad de que siete de los seleccionados vivan a menos de 10 kilómetros, ocho vivan entre 10 y 50 kilómetros, y cinco vivan a más de 50 kilómetros del estadio. 13. En una reunión de negocios, el 30% de los asistentes son latinos, el 25% europeos, el 10% estadounidenses y el resto asiáticos. En un pequeño grupo se han reunido cinco invitados: a. ¿Cuál es la probabilidad de que hayan 2 latinos y 3 asiáticos? b. ¿Cuál es la probabilidad de que hayan 2 asiáticos, 1 latino, 1 europeo y 1 estadounidense? 14. Doce ratas se colocan en un laberinto que tiene cuatro salidas. Encontrar la probabilidad que por cada una de las salidas salgan tres ratas. 15. Si se sabe que de las madres salvadoreñas, el 55% son casadas, el 36% solteras y el 9% divorciadas. Encontrar la probabilidad que de entre 75 madres que visitan un mercado, 50 sean casadas, 23 solteras y 2 divorciadas. 16. Demuestre que las siguientes funciones son funciones de densidad de probabilidad para algún valor de k; determine el valor de k. a) 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑥 < 4 b) 𝑓(𝑥) = 𝑘(1 + 2𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑥 < 2 R/ a) 3/64 b) 1/6 17. Considere la función de densidad x , 0 x 4 f(x) c 0, en otro caso a) Encontrar c. b) Obtener F(x) y utilizarla para calcular P(0.59 < x < 2.16) 2/5 Estadística I Guía 4 Ciclo I-2018 18. Si la función de densidad de la variable aleatoria x es x2 2 , 0 x 1 13 13 f ( x ) kx , 1 x 20 3 0 , en otro caso Encontrar: a) E(x) b) F(x) c) P(x 2.5) 19. La función de densidad de la longitud de una bisagra para puertas es f(x) = 1.25 para 74.6 < x < 75.4 milímetros. Calcule lo siguiente: a) P (x < 74.8) b) P(x < 74.8 U x > 75.2) c) Si las especificaciones para este proceso son una longitud entre 74.7 y 75.3 milímetros, ¿cuál es la proporción de bisagras que cumple con las especificaciones? 20. La función de distribución acumulada de la variable x es 0, x 0 F ( x ) 0.2 x , 0 x 5 1, 5 x Calcular: a) P (x < 1.8) b) P( x > -1.5) c) P (x < -2) d) P (-1 < x < 1) 21. Una varilla de metal de 1.50 m de longitud es sometida a tensión hasta su rompimiento. Si la variable aleatoria x es uniforme: a) ¿Cuál es la probabilidad de que la varilla se rompa entre un punto que esté de 0.50 m a 1.00 m? b) ¿Cuál es la probabilidad que se rompa a menos de 0.75 m? R/ a) 1/3 b) 1/2 22. El espesor del borde de un componente de una aeronave está distribuido de manera uniforme entre 0.95 y 1.05 milímetros. a) Obtenga la función de distribución acumulada del espesor del borde. b) Calcule la proporción de bordes cuyo espesor es mayor que 1.02 milímetros. c) ¿Qué espesor está excedido por el 90% de los bordes? d) Calcule la media y la varianza del espesor del borde. 23. Si la variable aleatoria x es uniforme en el intervalo [-b, b], b > 0. Encontrar el valor de b para que lo siguiente sea satisfactorio. a) P(x > 2) = 1/5 b) P(x > 1) = 1/4 c) P(|x| < 2) = 0.5 d) P(|x| > 2) = 0.5 3/5 Estadística I Guía 4 Ciclo I-2018 24. El espesor de la capa de sustancia foto protectora que se aplica a las obleas en el proceso de fabricación de semiconductores en cierta área de la oblea, tiene una distribución uniforme entre 0.2050 y 0.2150 micrómetros. a) Calcule la proporción de obleas en las que el espesor de la sustancia es mayor que 0.2125 micrómetros. b) Obtenga la función de distribución acumulada del espesor de la sustancia foto protectora. c) ¿Qué espesor exceden el 10% de las obleas? d) Calcule la media y la varianza del espesor de la sustancia foto protectora. 25. La temperatura diaria durante el mes de enero en un área rural ha variado uniformemente entre 10 ºC y 45 ºC, según registros de años anteriores. a) ¿Qué porcentaje de días, del mes de enero, alcanzarán como máximo una temperatura de 18 ºC? b) ¿Cuál es la probabilidad que en cualquier día de enero la temperatura no baje de 25 ºC? R/ a) 23% (aprox) b) 0.57 26. Las ventas diarias de combustible en una ciudad siguen un comportamiento uniforme con un mínimo de 40,000 galones y una media diaria de 65,000 galones. a) Determinar las ventas máximas diarias b) Determinar la desviación estándar de las ventas diarias c) ¿Cuál es la probabilidad que en un día cualquiera se vendan más de 55,000 galones si se sabe que se han vendido menos de 75,500 galones? 27. Un punto es elegido al azar en la línea del segmento [1,3], ¿cuál es la probabilidad que el punto esté entre 2 y 2.5? 28. Suponga que x tiene una distribución exponencial con λ = 2. Calcule lo siguiente: a) P(x ≤ 0) b) P(x ≥ 2) c) P(x ≤ 1) d) P(1 < x < 2) e) Encuentre el valor de k tal que P(x < k) = 0.05 29. El tiempo que transcurre entre las llamadas a una empresa de artículos para plomería tiene una distribución exponencial con un tiempo promedio entre llamadas de 15 minutos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya llamadas en un lapso de 30 minutos? b) ¿Cuál es la probabilidad de recibir al menos una llamada en un intervalo de 10 minutos? c) ¿Cuál es la probabilidad de recibir la primera llamada entre cinco y diez minutos después de haber abierto la empresa? d) Calcule la dimensión de un intervalo de tiempo, de modo tal que la probabilidad de recibir al menos una llamada en ese lapso sea 0.90. 30. Una masa radioactiva emite partículas de acuerdo a un proceso de Poisson a una media de razón de 15 partículas por minuto. En algún punto inicia un reloj: a) ¿Cuál es la media del tiempo (en segundos) de espera hasta que se emite la siguiente partícula? b) ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran por lo menos cinco segundos antes de la siguiente emisión? 4/5 Estadística I Guía 4 Ciclo I-2018 31. Para decidir cuántos representantes para servicio al cliente contratar, y para planear sus horarios, es importante que una empresa de venta de teléfonos celulares estudie los tiempos de reparación de los mismos. Un estudio reveló que los tiempos de reparación tienen una distribución aproximadamente exponencial con un promedio de 35 minutos. a) Hallar la probabilidad de que un tiempo de reparación sea menor a 15 minutos b) El costo de reparaciones es de $50 por cada media hora, ¿cuál es la probabilidad de que una reparación cueste $150? 32. Un operador de estación de bombeo de ANDA ha tomado la demanda promedio en un determinado día, la cual es de 120 pies cúbico por segundo; se sabe que sigue un comportamiento exponencial. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un día seleccionado al azar la demanda sea entre 75 y 175 pies cúbico por segundo? b) Si la demanda es mayor a 250 pies cúbico por segundo deberá́ accionar una bomba emergente, ¿cuál es la probabilidad de accionar la bomba emergente? 33. La distancia que hay entre dos grietas grandes en una autopista tiene una distribución exponencial con media de cinco millas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya grietas grandes en un tramo de 10 millas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya dos grietas en un tramo de 10 millas? c) ¿Cuál es la desviación estándar de la distancia entre grietas? 5/5 Estadística I Guía 4 Ciclo I-2018