COLEGIO ADVENTISTA MARANATADEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA DOCENTE: HERNÁN ALEXIS AROS NÚÑEZ POTENCIAS, RAÍCES , ECUACIONES IRRACIONALES y LOGARITMOS 2º MEDIOS 1. Calcula el valor exacto de cada expresión: a) 25 + 33 = (0,2)2 – (0,5)2 = b) 34 – 42 = c) (-3)2 – (-3)4 = f) (-3)1 + (-2)2 + (-2)3 + (-2)4 – (-2)5 = (4+5·6)0 = 1 d) (-8)3 – (-8)2 = e) g) 3·23 - (2-5)2 + 50 – h) 30 + 3-1 – 3-2 + 3-3 = i) (0,1)-1 + (0,01)-1 + (0,001)- j) 100 + 101 + 102 + 103 + 104 = k) (0,5)2 – (0,2)2 + 2-2 + 3-1 = = l) (-3)2 + 22 – 40 + 5·(3 – 5)0 = (0,333...)-2 = ll) (0,25)-2 + (0,5)-3 – m) (0,00001)0 + (0,0001)2 = (0,25)-3 = n) (0,666...)-2 + (0,444...)-3 + (3 2 ) 2 ·(2 3 ) 2 ·3·2 2 ·3 7 ñ) ( 2·3 2 ) 5 ·(3 5 ·2 2 ) 2 ·2 7 ·3 3 o) 2·5 2 ·3·2 3 ·5 2 ·2 3 (3·5) 4 ·5·2 4 2. Aplica las propiedades de las potencias con exponentes enteros para simplificar. a) 53 · 54 = b) a7 · a4 · a8 = 3m-5 5n 86m+10 a b ·a b = c) xa+3b · x5a-4b = d) n+2 e) xn+2m · (x3n-m + xn+m – 3x4n+2m) = 4b+2c = h) a a 32 x 4 y 3 8x 3 y 3 3n 1 n2 b n4 c 4n b 2 n 1 c 2 n i) 4 2 125a 4 b 6 c 2 50a 3 b 2 c f) 65x : 63x = j) ( x 2 n 3 y n 2 ) 3 x n 8 y 3 n 7 g) x5a+7b-4c : x4a- k) Racionalizar a) 3 5 2 b) 5 + 18 2 c) 2 3 2 d) 2 3 2 e) 10 3 5 d) a5x – 8 h) 43x – 1 l) . x a b l) a x a a b x b a xb x pq ll) p q x pq x pq x pq pq m) (3a4b2c3)2·(2a- 2 b5c)3= n) (4a-2b-1)-3·(3a-1b2)2 = x 1 y 1 y 1 x 1 3 2 (ab) b a q) p 2q3 p 2 5 p·q q q p s) a 1 b 1 b a o) a 2 b 3 a 5b 7 p) ñ) t) p 2 q 3 r 5 ( pq ) 3 3 (aq ) ( pr ) pq p a b q b p 2 a q 2b p b ( pq ) a b v) (2x + 3y)-2 = 2 an : am r) u) a m n (a m ) n b m a 2n ( ab ) n ( ab 2 ) m a w) (2x-33y-2z-5)-1 = 4 y 2 3 x 2 x) ( xy ) 7 3) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: a) a2x + 1 = a3x + 2 =1 b) ax – 2 = a3x + 1 e) ax : a2 = a2x = (64)3 f) bx – 2 · b3x = b– x i) 33x = 2187 1 1 625 5 c) b2x – 5 = b g) (b2) x = b3x + 2 j) 25x – 7 = 512 k) –81 = (-3)3x – 5 2 x 3 4.Calcula el valor de las siguientes expresiones: 4 16 a) e) 3 8 27 125 25 36 b) f) 3 c) a 3 b3 g) 3 144 25 a 2 b2 d) a 6 b3 c6 d 3 5.Reducir a una sola raíz a) e) 625 1 3 6 16 b) 3 729 c) f) 2 2 2 g) 4 a d) x x x h) 1 2 49 3 3 3 4.... Ecuación Irracional es una igualdad en la que intervienen raíces y cuya incógnita forma parte de una o más cantidades subradicales. Comprobemos en la ecuación original: 2·27 5 7 54 5 7 49 7 7=7 Por lo tanto x = 27 satisface la ecuación. es decir. Ejemplo 1 : 2x 5 7 2x 5 2 /( )2 49 2 x 5 49 2x = 54 x = 27 Nota: Toda ecuación irracional debe comprobarse porque al elevar la ecuación a una potencia par. es su raíz o solución.f) 3 3 2 2 3 g) 15 5 15 5 h) 12 2 12 2 i) 2 3 2 6 ECUACIONES IRRACIONALES. por lo que en algunos casos su solución no satisface la ecuación original. . la ecuación se transforma en otra. Ejemplos: 2 x 57 3 2 x 4 3x 2 5 x 3 Para resolver una ecuación irracional debemos elevar cada miembro de ella una o más veces a las potencias que correspondan para eliminar sucesivamente las raíces que contienen a la incógnita. EJERCICIOS PROPUESTOS: A..por lo tanto 16 16 16 es su raíz o solución.Ejemplo 2 : Resolver x 2 6 aquí conviene aislar las raíces: x5 x5 6 x5 x2 6 2 x2 2 x 5 36 12 x 2 x 2 12 x 2 36 x 2 x 5 12 x2 2 33 /( )2 2 144(x+2) = 1089 144x+288 = 1089 x = 89 16 Comprobemos usando este valor en la ecuación original: 89 89 89 5 2 6 y obtenemos 6=6.Resolver las siguientes ecuaciones irracionales: a) c) x5 3 b) 2 x7 2 3x 4 2 d) e) x 1 1 f) g) 14 3 2 x 1 1 2 i) 3 3 x 3 6 x 2 5x 8 x 2 3 4 5 h) i) 3x 4 x 1 323 3 x 2 3 x 3 3x 2 x 1 1 1 2 3 3 2 2 x x . B. Calcule la medida de la diagonal de una de sus caras y la medida de la diagonal del cubo. k) Calcule el área de un triángulo equilátero cuyo lado tiene la misma medida que el lado de un cuadrado en que su diagonal mide 7 2 m.Plantea la ecuación y resuelve los siguientes problemas: a) El área de u triángulo equilátero es 9 3 m2.008 x 19) log 2 x 1 2 23)logx 81 =2 27) log x 1 8 3 9 1 3 20) log 2 x 12 24) logx 243 = 5 28) log x 1 4 2 . g) El volumen de un cono recto mide 245 cm3. i) El área de un cuadrado es 8 m 2. Calcule su área. Calcule la medida del área del cuadrado que tiene por lado la diagonal del cuadrado.. f) Las medidas de los lados de un triángulo son 26 m . j) Determine la medida del área del cubo que tiene como arista la diagonal de un cubo cuyo volumen mide 729 m 3. respectivamente. Calcule la medida de su radio. resulta 5. ¿Cuál es le número? d) El volumen de una esfera mide 36 m3. c) Si la raíz cuadrada de un número se aumenta en dos. LOGARITMOS I. ¿Cuánto mide su radio basal si la medida de su altura es 15 cm? h) El área de un triángulo equilátero es 100 3 m2.CALCULA EL VALOR DE X EN LAS SIGUIENTES EXPRESIONES: 1) log2 x =3 2) log6 x =3 3) log2 x =4 5) log5 x = 0 6) log 34 x 2 7) log 12 x 1 9) log0. Indique la medida del área del cuadrado que tiene por lado la altura del triángulo. 24 m y 10 m.. b) El volumen de u cubo mide 1728 m 3.2 x 3 17) log 9 x 1 12 16 21) logx 27 = 3 25) log x 1 9 2 9 18) 3 2 log1 11 x 12 25 22)logx 16 = 4 26) log x 16 25 2 4) log4 x= 1 8) log 52 x 3 x 1 2 11) log 13 x 4 12) log 4 15) logp x =-3 16) log 0.3 x =-2 10) log 1 13) log 15 x 2 14) log 0. Determine el perímetro y la medida de su altura. respectivamente. e) Determine el perímetro de un rombo cuyas diagonales tienen como medida 6 m y 8 m. 0001= r) log20 + log 10 2 1 = s) log10-4+log 100 = . 34 29) logx 16 = -4 30) log x 1 3 33) log x 125 34) log x 2 37) logx 625=4 1 8 31) log x 4 9 2 32) log x 1 3 1 2 35) log x 3 13 36) log x 38) logx 128 =-7 39)logx 0. RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS: a) logb b + loga a = b) logc1 +logbbn +logddn = d) logb bc log b (bc) e) 3 logp p4 = g) loga(ac) +logp p3 + logb b – loga C = c)logb1 · logaa = f)loga a3 +logb b5 = h) log b 3 b log c 4 c i)log 10= j) log 100= k) log 1000= l) log 10000= m) log 10 8 = n) log 0.01= o) log 0.001= q) log1+log10 +log100 + log1000= p) log 0.01 0.625 x II.008=-3 40) logx 343 =-3 41) log2 32 = x 42)log3 81 =x 43)log4 16 =x 44) log5 25 = x 1 x 45) log 3 81 46) log 2 18 x 47) log 1 50) log 14 64 x 51) log 12 16 x 49) log 3 5 x 125 27 53) log1 11 6 5 x 1 4 3 1 9 x x 55) log 2 x 59) log 641 2 x 2 3 57) log 12 4 x 58) log 3 64 27 61) log5 x=-2 62)logx 27=-3 63) log 2 66)log0.0625= 2 75) log 52 15.1 = x 67) log x 2 70) log 4 x 71) log16 65) log x 69) log 1 9 4 8 4 23 x 64 5 6 73) log x 4 25 74) log 49 36 3 2 x 12 1 32 1 32 1 2 23 48) log 2 5 54) log 27 25 1 4 52) log 9 4 x 3 2 8 125 x 56) log 27 9 x 60) log 1251 625 x 64) log 1 x 4 1 3 1 128 x 68)log0.1= ñ) log 0.0625 x=0.APLICANDO LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS.25 72) log 814 4..5 x x 75)logx0. APLICANDO LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS.III. REDUCE A LA MÍNIMA EXPRESIÓN LOGARÍTMICA LOS SIGUIENTES DESARROLLOS. a) log (2ab)= b) log f) log ab g) log log 3a = 4 c) log x 2y 2a 2 3 e) log d) log (a5 b4)= h) log(2a b ) i) log 3a 3 b c 2 ab j) 5a 2b 4 c = 2 xy 2 k) log(abc) = ñ) log 3 a b c d a c l) log 2 4 m) log 7 ab3 5c 2 p) log o) log (a2 – b2 )= 3 a2 5 3 b n) log 2ab x2 y q) log (a2)3 = IV. a) log a +log b + log c = b) log x – log y = d) 1 1 log x log y 2 2 e) log a – log x – log y = f)log p + log q – log r – log s= g) log 2 + log 3 +log 4 = h) log j) log a + log 2a + log 6a = k) m) 3 5 log a log b 2 2 c) 2 logx + 3 log y n) o) log 2 2 log a log b 1 1 log16 log 2 4 1 1 log a log b 4 5 2 1 log x log y 3 3 1 log c 2 p) l) ñ) log a p q log a log b n n r) log (a.. DESARROLLA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES..b) + log (a + b ) + log (a2 +b2 )= i) log a2 + log b – log a= 1 1 1 log a log b log c 3 2 2 1 log b 2 log c 2 q) log (a+b) + log (a-b)= .APLICANDO LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS. 6 = y) log 2.69897 d) log 27 log 7 = 0. SÓLO SABIENDO QUE: 1) log 2 = 0.003= m) log 41.728 = i) log 0. (5 decimales) a) log 35 b) log 845= c)log 12.04= f) log 51.38021 log 48 = 1.84510 e) log 15= f) log 14= g) log 49= h) log 20= i) log 150= j) log 35= k) log 42= l) log 21= m) log 75= n)log 48 = ñ) log 45= o) log 105= r) log 4 3 s) log 3 5 t) log 7 x) log 0. CALCULA EL VALOR DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES.38= d) log 1.12= k) log 1001 = l) log 5.30103 a) log 4 = log 3 = 0.05= n) log 9909 = .77815 a) log 2= g) log 9 = b) log 4 = c) log 3 = d) log 8 = e) log 3 8 f) log 2 3 h) log 96= i) log 144= j) log 384 3) log 6 = 0.4= 2) log 16 = 1.03= j) log 834.37= e) log 0.20412 log 24= 1.8 = p) log 196= q) log 2 u) log 14 v) log 2 w) log 3.49= g) log 9500= h) log 36.5 = 3 z) log 1.V..60206 (algunos resultados te servirán para calcular otros logaritmos) a) log 2 = b) log 3 = c) log 2 4 log 3 9 d) log 4 24 log 3 e) log 8 + log 9= 2 f) log 18 – log 16 = VI.77815 log= 0.47712 b)log 32 = c) log 6 log 5 = 0.Calcula los siguientes logaritmos. Utiliza una calculadora científica..APLICANDO LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS.68124 log 6= 0. 4) = log 100 + log (2x + 1) 2 12) log 2x ..log2 (x + 1) = 2 13) 23x-1 = 3x+2 10) 2log (3x .log (x + 2) 6) log (x 2 + 15) = log (x + 3) + log x 7) 2log (x + 5) = log (x + 7) 8) log x 1 log( x 1) log x 4 9) log(7 x 2 ) 2 log( x 4) 11) log2 (x2 .1) . DETERMINAR EL VALOR DE LOS SIGUIENTES LOGARITMOS. a) log5 12 = b) log2 8 = c) log3 35 = d) log4 81 = e) log4 126 = ECUACIONES LOGARÍTMICAS Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones: 1) log 4x = 3log 2 + 4log 3 2) log (2x-4) = 2 3) 4log (3 .VII.APLICANDO LA PROPIEDAD CAMBIO DE BASE Y CON LA AYUDA DE UNA CALCULADORA CIENTÍFICA.log (x -a) .3log x = 2 14) 52x-3 = 22-4x 15) log (x .2x) = -1 4) log (x + 1) + log x = log (x + 9) 5) log (x + 3) = log 2 .log (x + a) = log x .a) .
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