PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALESGUÍA DE PRÁCTICAS BIOESTADÍSTICA Una propuesta con el modelo por competencias 3B-2 Autores: Mg. Carlos Francisco Albornoz Jiménez Lic. Agustina Ramírez Torres GUÍA DE PRÁCTICAS 4 PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES GUÍA DE PRÁCTICAS BIOESTADÍSTICA AUTORES: Mg. Carlos Francisco Albornoz Jiménez Lic. Agustina Ramírez Torres DERECHO DE EDICIÓN: Universidad Privada Norbert Wiener S.A. Jr. Eugenio Larrabure y Unanue 110 Urb. Santa Beatriz - Lima Teléfono: 706-5555 Tiraje: 1500 ejemplares Hecho en el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2012-03432 Impreso en Cynagraf E.I.R.L. Jr. Gral. Varela N° 1500 - Breña Telef.: 719 - 0444 Web: www.cynagraf.com email:
[email protected] Lima - Perú ÍNDICE GENERAL Introducción ................................................................................................................................ 07 Práctica N°1 Variables .................................................................................................................. 09 Práctica N° 2 Población y muestra ............................................................................................... 12 Práctica N° 3 Muestreo ............................................................................................................... 15 Práctica N°4 Creación de una base de datos en SPSS ................................................................ 18 Práctica N°5 Cuadros y gráfcos ................................................................................................... 22 Práctica N°6 Medidas de tendencia central ............................................................................... 26 Práctica N°7 Medidas de dispersión ............................................................................................ 31 Práctica N°8 Intervalos de confanza ......................................................................................... 35 Práctica N°9 Pruebas para comparar proporciones .................................................................. 38 Práctica N°10 Pruebas para comparar dos medias o promedios .............................................. 42 Práctica N° 11 Análisis de varianza (ANOVA o ANVA) ................................................................. 45 Práctica N° 12 Pruebas de comparaciones múltiples ................................................................. 49 Práctica N° 13 Regresión y correlación lineal .............................................................................. 51 Bibliografa ................................................................................................................................. 55 7 BIOESTADÍSTICA PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES INTRODUCCIÓN Sólo cuando nos adentramos en un mundo más específco como es el campo de la investigación de las Ciencias, ya sean éstas: Medicina, Biología, Psicología, Ingeniería, Economía, Administración, Farmacia, Sociales, etc., empezamos a percibir que la Estadística no sólo es algo más, sino que se convierte en el único método que, hoy por hoy, permite dar luz y obtener resultados óptimos, y por tanto benefciosos, en cualquier tipo de estudio, cuyos movimientos y relaciones, por su variabilidad intrínseca, no puedan ser abordadas desde la perspectiva de las leyes deterministas. Podríamos, desde un punto de vista más amplio, defnir la estadística como la ciencia que estudia cómo debe emplearse la información y cómo dar una guía de acción en situaciones prácticas que entrañan incertidumbre. Los Autores 9 BIOESTADÍSTICA PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES PRÁCTICA Nº 1 VARIABLES 1.1. MARCO TEÓRICO Variables estadísticas.- Son características de estudio que varían de un individuo a otro en una población, ejemplo: sexo, grupo sanguíneo, edad, grado de desnutrición, talla, obesidad, peso, cantidad de hijos por familia, presión, temperatura, etc. Las variables por su naturaleza de recolección de datos se clasifcan en: cualitativas y cuantitativas; las cualitativas se dividen en nominales y ordinales, y las cuantitativas en continuas y discretas. 1.2. LOGROS DE APRENDIZAJE Clasifca y determina la escala de medición de variables, elaborando una matriz de consistencia de las variables de estudio. Reconoce la importancia de las variables en el proceso de la elaboración de un informe o proyecto de investigación. 1.3. MATERIAL Y EQUIPOS Pizarra acrílica, plumones y multimedia. 1.4. PROCEDIMIENTO El profesor verifcará la clasifcación de variables mediante la matriz de clasifcación y codifcación de variables presentado en la tabla Nº1 y Nº2. Al fnal de la práctica cada equipo presentará la matriz desarrollada completamente. 1.5. RESULTADOS Los alumnos, como producto de la práctica, presentarán la matriz de clasifcación de variables, debatiendo en equipo y justifcando sus respuestas. GUÍA DE PRÁCTICAS 10 PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES TABLA Nº1: MATRIZ DE CLASIFICACIÓN DE VARIABLES Clasifcar las variables con su justifcación respectiva Nº Variable Justifcación 1 Edad de gestantes 2 Talla del recién nacido 3 Temperatura corporal 4 Glucosa en sangre 5 Distrito donde vive 6 Nivel de temperatura 7 Nivel nutricional 8 Presencia de febre 9 Tipo de enfermedad 10 Grupo sanguíneo TABLA Nº2: MATRIZ DE CODIFICACIÓN DE VARIABLES Clasifcar las variables indicando la escala de medición y su codifcación respectiva Nº Variable Tipo Subtipo Medición Codifcación 1 Edad de gestantes 2 Talla del recién nacido 3 Temperatura corporal 4 Glucosa en sangre 5 Distrito donde vive 6 Nivel de temperatura 7 Nivel nutricional 8 Presencia de febre 9 Tipo de enfermedad 10 Grupo sanguíneo 1.6. CUESTIONARIO A. Clasifque las siguientes variables según la tabla Nº2 11 BIOESTADÍSTICA PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES (a) The age in years of the youngest member of each household (b) The color of a person’s hair (c) The color of a karate belt (d) The price of a suburban bus fare (e) The years in which national elections were held (f) The postcode of households (g) People’s attitude to smoking (h) Academic performance measured by number of marks (i) Academic performance measured as fail or pass (j) Place of birth, listed by country (k) Infant mortality rate (deaths per thousand) (l) Political party of the current Member of Parliament or Congress for your area (m) Proximity to the sea (coastal or non-coastal) (n) Proximity to the sea (kilometers from the nearest coastline) (o) Relative wealth (listed as ‘Poor’ through to ‘Wealthy’) (p) The number on the back of a football player 1.7. FUENTES DE INFORMACIÓN • WAYNE D. Bioestadística: Base para el análisis de las ciencias de la salud. 4ª ed. México D.F: Limusa S.A; 2002. • Ávila RB. Estadística Elemental. Lima: Estudios y ediciones R.A; 2010. GUÍA DE PRÁCTICAS 12 PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES PRÁCTICA Nº 2 POBLACIÓN Y MUESTRA 2.1 MARCO TEÓRICO Población o universo.- es el conjunto fnito o infnito de datos que corresponde a las mismas características (variables) de estudio. Cuando la población de estudio es muy extensa es necesario considerar una muestra representativa y adecuada de individuos que conformarán el estudio de investigación según los objetivos. Muestra.- es una parte de la población de estudio que se realiza el análisis de todas las características a investigar. Para hacer la selección adecuada de cada uno de los integrantes de la muestra, se utiliza la teoría de técnicas de muestreo y para determinar cuántos llegarán a formar el estudio será mediante la técnica del cálculo de tamaño de muestra. El estudiante de Ciencias de la Salud para defnir, identifcar, analizar y hacer aplicaciones de cada uno de los ejercicios propuestos debe conocer con claridad y precisión: • Los conceptos o defniciones y diferencias básicas entre población y muestra; variable y escala de medición. • Debe saber cuándo y por qué se debe calcular el tamaño de muestra. • Los procedimientos para el cálculo del tamaño de muestra. 2.2 LOGROS DE APRENDIZAJE Diferencia con precisión el concepto de población, muestra. Selecciona los criterios adecuados para el cálculo del tamaño de muestra. 2.3 MATERIALES Y EQUIPOS Pizarra acrílica, plumones y multimedia. 2.4 PROCEDIMIENTO Se resolverá uno de los casos presentados según el cuestionario con los alumnos explicando todo el proceso de reconocimiento de población, muestra, unidad de estudio, variable, tipo de variable y escala de medición. Los cálculos para el tamaño de muestra se realizarán mediante un programa diseñado en una hoja de cálculo en Excel, en la que se ingresarán los datos requeridos. 13 BIOESTADÍSTICA PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES 2.5 RESULTADOS Los alumnos realizaran el mismo proceso anterior a través de la resolución de problemas planteados en el cuestionario de preguntas. 2.6 CUESTIONARIO En cada uno de los siguientes casos, identifque: Población y tipo, Unidad de estudio, variable, tipo de variable, escala de medición y calcule el tamaño de muestra. Justifque sus respuestas. 1. Una nutricionista desea determinar la efcacia de pérdida de peso promedio de un nuevo régimen de dieta controlada y ejercicios con una dieta habitual. Para ello, se le proporciona a usted el peso perdido en kg. de pacientes que siguieron la dieta habitual después de tres meses: 3.0, 2.7, 4.0, 5.2, 3.4, 1.3, 2.9 ¿Cuántos pacientes deben seleccionarse si se espera una diferencia de 1kg? 2. Un alcalde desea estimar el porcentaje de empleados en una ciudad que tiene una fuerza de trabajo (personas que legalmente pueden trabajar) de 35,250 personas. Por un estudio realizado en la gestión anterior se determinó que el porcentaje de empleados fue del 75%. ¿Qué tamaño de muestra será necesario para estimar la proporción de empleo? 3. La Directora del Programa de Estudios Generales desea conocer si el porcentaje de aprobación del curso de Matemática Básica es diferente al porcentaje de aprobación de Bioestadística en el programa de Estudios Generales de la Universidad Wiener. Calcule el tamaño de muestra en cada curso, si se sabe que el porcentaje anterior en Matemática Básica fue de 64% y en Bioestadística 81%. 4. El Director comercial de Boticas Fasa, desea precisar con mucho cuidado su política de créditos en clientes que compran con la tarjeta de Boticas Fasa, por tanto desea estimar la proporción de créditos que se encuentran al día en sus pagos. ¿A cuántos clientes deben considerar en el estudio? 5. Un congresista desea realizar un programa de ayuda nutricional a través de una ONG, motivo por el cual desea realizar un estudio para conocer el contenido de proteínas en los alimentos que reciben los ancianos en los albergues de Lima. El congresista, consulta a una nutricionista para evaluar el contenido de proteínas de cada una de las comidas, el cual resultó tener una desviación estándar de 2.5g ¿Cuántas personas adultas mayores se deben incluir en el estudio? 6. El Ministerio de Salud planea un estudio con el interés de conocer el promedio de horas semanales trabajadas por las mujeres que tienen problemas de estrés. La muestra será extraída de una población de 20000 mujeres que fguran en los registros del Seguro Social y de las cuales se conoce a través de un estudio piloto que la desviación estándar es de 3.1 horas. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra? 7. Una obstetra desea determinar la proporción de mujeres atendidas en la Maternidad de Lima, que conocen y utilizan los métodos anticonceptivos GUÍA DE PRÁCTICAS 14 PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES ¿Cuántas madres deben conformar la muestra? 8. Un médico clínico, desea determinar la proporción de niños menores de 5 años con anemia del distrito de Ate y Ventanilla, sabiendo que la anemia infantil es de 43% y 57% ¿De qué tamaño debe de ser la muestra? 9. Un alcalde le pide a usted determinar el ingreso familiar mensual para las familias de Lima Metropolitana. Según estudios similares la desviación estándar del sueldo familiar se estima en S/.300. ¿Qué tamaño de muestra se requiere? 10. Un químico farmacéutico desea determinar la capacidad promedio de frascos de un medicamento en mm 3 de un lote de 8000 frascos recientemente adquiridos. A través de una muestra piloto de 5 frascos se encontró que la desviación estándar es de 0,2 mm 3 . ¿De qué tamaño debe de ser la muestra? 11. Una enfermera desea determinar el nivel de satisfacción de los pacientes sobre la atención recibida en la unidad de hemodiálisis del Hospital Nacional Guillermo Almenara. Se tiene conocimiento por investigaciones previas que el 18% están insatisfechos con este servicio. ¿A cuántas pacientes se debe encuestar? 2.7 FUENTES DE INFORMACIÓN • Box GEP, Hunter JS. Estadística para investigadores: Diseño, innovación y descubrimiento. 2ª ed. Barcelona: Reverte; 2008. • Fuentelsaz C. Calculo del Tamaño de la Muestra. Matronas Profesión Barcelona. 2004; vol. 5, nº18 [acceso marzo 2010] Disponible en: http:// www.metodologiasytecnicas.ecaths.com/archivos/metodologiasytecnicas/ calculo_muestra.pdf 15 BIOESTADÍSTICA PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES PRÁCTICA Nº 3 MUESTREO MUESTREOS PROBABILÍSTICOS EN SPSS 3.1 MARCO TEÓRICO Muestreo.- Es el proceso de selección de los n individuos o elementos de una muestra de una determinada población de estudio, utilizando diversa técnicas para que la muestra sea representativa en similitudes y diferencias. Por tanto, una vez determinada el tamaño de la muestra de estudio, es necesario hacer la selección de cada uno de los individuos utilizando un muestreo probabilístico o no probabilístico según el diseño de la investigación. Tipos de muestreo.- Si la selección de la muestra es al azar es un muestreo probabilístico como: muestreo aleatorio simple, muestreo sistemático, muestreo estratifcado o muestreo por conglomerados, se puede realizar de forma manual o mediante software. Si la selección de la muestra determina el investigador considerando los criterios de inclusión y exclusión es un muestreo no probabilístico como: muestreo accidental, por conveniencia, por cuotas y bola de nieve. El procedimiento de muestreo probabilístico utilizando software es necesario tener el marco muestral en una base de datos como se desarrollará esta práctica. 3.2 LOGROS DE APRENDIZAJE Realiza muestreos probabilísticos con SPSS con el archivo Datos de Empleados. sav, que se encuentra en la base de datos del software. 3.3 MATERIALES Y EQUIPOS Proyector de multimedia y computadoras con software SPSS. 3.4 PROCEDIMIENTO Se indicará el procedimiento de selección de las unidades de estudio mediante un muestreo aleatorio simple y estratifcado utilizando el SPSS. a) Muestreo Aleatorio Simple 1. Abrir el archivo Datos de empleados.sav, Archivo Abrir Datos - Datos de empleados. 2. Seleccione una muestra aleatoria simple de 112 empleados Para obtener una muestra aleatoria simple se debe seleccionar en la barra de menú: GUÍA DE PRÁCTICAS 16 PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES ____________________________________________________________________ DATOS -> SELECCIONAR CASOS MUESTRA ALEATORIA DE CASOS: Ejemplo Exactamente: 112 casos de los primeros: 474 COPIAR CASOS SELECCIONADOS A UN NUEVO CONJUNTO DE DATOS NOMBRE DE CONJUNTO DE DATOS: Muestra1 CONTINUAR ACEPTAR ____________________________________________________________________ b) Muestreo Aleatorio Estratifcado La aplicación de esta técnica de muestreo consiste en dividir la población en sub- poblaciones homogéneos llamados estratos, luego determinar los estratos de la muestra en forma proporcional al tamaño de cada estrato de la población. 1. Solicitar una tabla de frecuencias de la variable categoría laboral (catlab) Categoría Laboral Categoría Laboral Frecuencia Porcentaje Porcentaje válido Porcentaje acumulado Administrativo 363 76.6 76.6 76.6 Seguridad 27 5.7 5.7 82.3 Directivo 84 17.7 17.7 100.0 Total 474 100.0 100.0 2. Encontrar el tamaño de la sub-muestra por cada categoría laboral (estrato) Categoría Laboral Frecuencia Proporción ni = (Ni / N)*n Administrativo 363 0.766 85.8 86 Seguridad 27 0.57 6.4 6 Directivo 84 0.177 19.8 20 Total 474 1 112 112 Para obtener una muestra aleatoria estratifcada se debe seleccionar en la barra de menú: ____________________________________________________________________ ANALIZAR -> MUESTRAS COMPLEJAS -> SELECCIONAR UNA MUESTRA DISEÑAR UNA MUESTRA Guardar en: Plan de muestra -> Empleados ESTRATIFICAR POR -> Categoría Laboral MUESTREO ALEATORIO SIMPLE -> SIN REPOSICIÓN 17 BIOESTADÍSTICA PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES VALORES DESIGUALES PARA LOS ESTRATOS -> DEFINIR Administrativo: 86 Seguridad : 6 Directivo : 20 CONTINUAR TAMAÑO MUESTRAL -> SIGUIENTE VALOR PERSONALIZADO: 112 NUEVO CONJUNTO DE DATOS: Muestra2 FINALIZAR ____________________________________________________________________ 3.5 RESULTADOS Cada equipo de trabajo presentará el archivo de la muestra seleccionada aplicando un muestreo aleatorio simple y estratifcado. 3.6 CUESTIONARIO 1. Realizar la selección de una muestra de 80 empleados aplicando un muestreo aleatorio simple y muestreo estratifcado. 2. Aplicar el muestreo que corresponda a su trabajo de investigación por cada equipo de trabajo. 3.7 FUENTES DE INFORMACIÓN • Quesada N. Estadística con SPSS 16. 1ª ed. Lima: Macro E.I.R.L; 2008. • Dawson B, Robert G. Bioestadística Médica. 4ª ed. México D. F: Manual Moderno; 2005. • Martínez C. Estadística y muestreo. 12ª ed. Bogotá: ECOE Ediciones; 2005. GUÍA DE PRÁCTICAS 18 PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES PRÁCTICA Nº 4 CREACIÓN DE UNA BASE DE DATOS EN SPSS 4.1 MARCO TEÓRICO Una vez recolectados los datos mediante encuestas, hojas de registros, test, etc. Es necesario realizar el procesamiento de la información recolectada, la misma que puede hacerse de forma manual o con el uso de un software (Excel, Stata, Statgraphics, Minitab, Epi Info, SPSS y otros). La importancia del software para el procesamiento de datos es la velocidad en la obtención de resultados. Al usar algún software para el procesamiento de datos es necesario crear una base datos, como se realizará en esta práctica. 4.2 LOGROS DE APRENDIZAJE Crea una base de datos en el SPSS con la información recolectada a través de la encuesta proporcionada en clases. 4.3 MATERIALES Y EQUIPOS Proyector de multimedia y computadoras con SPSS. 4.4 PROCEDIMIENTO Se indicará el procedimiento para la creación de una variable cualitativa y una variable cuantitativa en el SPSS, así como el procedimiento para el ingreso de los datos que a continuación se detalla: 1. Seleccionar: Inicio ®Programas ®IBM Statistics SPSS ®IBM Statistic19 Aparecerá la ventana del editor de datos con dos pestañas en la parte inferior: Fig. 1: ventana del editor de datos 19 BIOESTADÍSTICA PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES Una de ellas es para el ingreso de datos (Vista de Datos) y la otra pestaña es para ingresar la información de las variables (Vista de Variables). 2. Seleccionamos la ventana vista de variables como aparece en la fgura: Figura 2: Vista de Variables 3. La primera variable debe ser ingresada en la columna nombre y la fila 1 escribiendo el nombre de la variable sexo en la casilla correspondiente. 4. Luego defnir el tipo de variable en la columna tipo. Aquí, se especifca el tipo de dato de la variable recogida en la encuesta que por defecto aparece como numérica, pero puede cambiarse según el tipo de dato, el ancho y el número de decimales con la opción que aparece: Figura Nº3: Cuadro para defnir el tipo de variable En la columna TIPO aparecen los diferentes tipos de variables disponibles, es posible cambiar según el tipo de datos. Si la variable es numérica, especifcar el ANCHO y NÚMERO DE DECIMALES, usar según el tipo de datos recogidos. La variable sexo no es numérica, seleccionar Cadena. GUÍA DE PRÁCTICAS 20 PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES 4. Luego, en ETIQUETA se debe colocar el nombre que explique a la variable, en nuestro ejemplo escribimos sexo de los alumnos encuestados. 5. Además especifca el código numérico de la variable cualitativa por cada una de las modalidades que se tenga, como muestra el recuadro al hacer clic en la parte derecha de la casilla de la variable ubicada en la misma fla. Luego, en valor escribir 1 y en Etiqueta de valor escribir Hombre; hacer clic en añadir, luego escribir 2; en Etiqueta de valor escribir Mujer, añadir y una vez fnalizado el ingreso de todas las modalidades de la variable, pulsar Aceptar. Fig 4: Ingreso de variables en vista de variables y defnición de las etiquetas de valor También podemos etiquetar aquellos datos no especifcados caso contrario serán tomados en SPSS como perdidos o ausentes, el ancho de columna, alineación y la escala de medición que se refere al tipo de variable: Nominal para variables cualitativas nominales. Ordinal para variables cualitativas ordinales y Escala para variables cuantitativas (discretas y continuas). Por Ej. la variable sexo su escala de medición es Nominal. Para no perder el trabajo realizado, debemos guardar el archivo como [Apellidos y Nombre]. P4.sav. En la barra de menú seleccionar la opción archivo y guardar como. Una vez ingresado las variables de la encuesta, una a una correctamente, pulsar en Vista de datos; ahora, podemos observar que en cada columna aparece las variables que fueron ingresadas, se debe ingresar por cada fla los datos recogidos por cada encuestado siguiendo la enumeración de la encuesta, es decir, la fla 1 será para la encuesta Nº1, la fla 2 para la encuesta Nº2 y así sucesivamente, hasta ingresar todas las encuestas. ¡No olvide guardar su archivo como [Apellidos y Nombre]. P4.sav! 21 BIOESTADÍSTICA PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES 4.5 RESULTADOS Los alumnos presentarán el archivo de SPSS con la base de datos completa y lo enviarán al correo del profesor. 4.6 CUESTIONARIO Crear una base de datos en el SPSS con los datos del archivo Pacientes geriátricos. xls. 4.7 FUENTES DE INFORMACIÓN • Quesada N. Estadística con SPSS 16. 1ª ed. Lima: Macro E.I.R.L; 2008. GUÍA DE PRÁCTICAS 22 PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES PRÁCTICA Nº 5 CUADROS Y GRÁFICOS 5.1 MARCO TEÓRICO En cualquier actividad donde se necesite realizar análisis estadístico, sea esta académica, empresarial, gubernamental o de investigación científca; se requiere de datos y la forma de obtenerla es a través de registros, censos, muestras y experimentos. Los datos obtenidos bajo diferentes maneras de las señaladas anteriormente pueden ser presentados en forma ordenada mediante cuadros, gráfcos y estadísticos. Un cuadro estadístico o también conocido como tabla, es un método estadístico para ordenar y presentar datos. En general, se tiene los siguientes tipos de cuadros estadísticos: cuadros de referencia y cuadros de distribución de frecuencias (cuadros descriptivos) y cuadros analíticos (cuadros de inferencia). Los datos provenientes de una muestra o una población de variables cualitativas o cuantitativas pueden ser resumidos en categorías o clases, reduciendo los datos originales a una forma más manipulable como son los cuadros de distribución de frecuencias; estas estructuras son la base para la presentación en forma de gráfcos. Otra forma de presentar los datos, con la fnalidad de poder mostrar en forma visual las características y comparaciones que se desea resaltar son las gráfcas. Las gráfcas más usuales son las circulares, los pictogramas, gráfcas de barras, histograma de frecuencias, gráfcas lineales, entre otras. Los gráfcos deben ser seleccionados considerando el tipo de variable. TABLAS DE FRECUENCIAS Presenta los datos en una tabla organizada considerando si la variable es cualitativa, por intervalos o clases si la variable es cuantitativa, indicando sus cantidades y porcentajes respectivos. GRÁFICOS La representación gráfca será de acuerdo al tipo de la variable: Variables cualitativas: gráfco de barras o sectores. Variables cuantitativas discretas: gráfco de barras. Variables cuantitativas continuas: histograma de frecuencias, líneas, polígono de frecuencias, ojivas, cajas y bigotes. 23 BIOESTADÍSTICA PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES 5.2 LOGROS DE APRENDIZAJE Diferencia con precisión los conceptos de frecuencia, clases de frecuencias y a la vez elabora cuadros, gráfcos y tablas de frecuencias mediante el software estadístico SPSS para realizar el análisis de resultados de los datos de la muestra o población. Interpreta adecuadamente los resultados presentados en tablas y gráfcos. 5.3 MATERIALES Y EQUIPOS Proyector de multimedia y ordenador con entorno Windows, software estadístico: Word, Excel y SPSS para cada alumno. 5.4 PROCEDIMIENTO Se mostrará la presentación adecuada de tablas y gráfcos mediante SPSS. Asimismo, hará comprender al alumno la interpretación de las tablas y gráfcos con su respectivo análisis debidamente ordenado en Word. Para lo cual hará uso de su archivo: [Apellidos y Nombre]. P5.sav. Para obtener la tabla de frecuencias y el gráfco se debe seleccionar en la barra de menú: ____________________________________________________________________ ANALIZAR -> ESTADISTICOS DESCRIPTIVOS -> FRECUENCIAS VARIABLES: Especialidad MOSTRAR TABLAS DE FRECUENCIAS GRÁFICOS: TIPO DE GRÁFICO: GRÁFICO DE BARRAS VALORES DEL GRÁFICO: FRECUENCIAS CONTINUAR ACEPTAR ____________________________________________________________________ Primero se seleccionan las variables que se van a analizar y luego se pasa al recuadro de la derecha pulsando el botón . Si seleccionamos la variable especialidad y luego pulsamos en gráfcos y aceptamos, aparecerá la tabla de frecuencias y el gráfco de barras en la ventana de resultados. GUÍA DE PRÁCTICAS 24 PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES Fig.5: cuadros de diálogos con la opción Analizar->Estadísticos descriptivos-> Frecuencias Una vez que se obtenga la tabla de frecuencias, se debe enumerar y colocar el título correspondiente y también la fuente que hizo la recolección de datos. Elaboración y análisis del histograma: Para la elaboración hay que seguir el siguiente procedimiento: En la barra de menú seleccionar: ________________________________________________________________ ANALIZAR -> ESTADISTICOS DESCRIPTIVOS -> FRECUENCIAS VARIABLES: Edad MOSTRAR TABLAS DE FRECUENCIAS GRÁFICOS: TIPO DE GRÁFICO: HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS CONTINUAR ACEPTAR ________________________________________________________________ 5.5 RESULTADOS Cada equipo de trabajo presentará los gráfcos y cuadros estadísticos y respectivo análisis en Word, en un archivo [Apellidos y Nombre]. P5.doc 25 BIOESTADÍSTICA PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES 5.6 CUESTIONARIO 1. Con la base de datos en SPSS del archivo Pacientes geriátricos.xls, y grabar como: [Geriátricos].P5.sav, 2. Elaborar gráfcos para las variables: Sexo, Diagnóstico Médico y Lugar de destino. Presentar los respectivos gráfcos utilizando SPSS e interpretar sus resultados. 3. Con los datos del archivo [Geriátricos].P5.sav, con la variable edad realizar la tabla de frecuencias agrupadas en intervalos: Jóvenes (hasta 25), Adulto (26 a 59) y Adulto mayor (más de 60). Elaborar el gráfco e Interpretar sus resultados. 4. Con los datos del archivo: [Geriátricos].P5.sav, con las variables peso y talla a) Elaborar las tablas de distribución de frecuencias agrupadas en intervalos de igual amplitud en SPSS (utilizando el método de Sturges). b) Elaborar los gráfcos de las variables peso y talla. 5. Elaborar una tabla de contingencia de las variables sexo y diagnóstico médico y el gráfco de barras agrupadas. 5.7 FUENTES DE INFORMACIÓN • Ávila RB. Estadística Elemental. Lima: Estudios y ediciones R.A; 2010. • Quesada N. Estadística con SPSS 16. Lima: Macro E.I.R.L; 2008. • Córdova M. Estadística Descriptiva e Inferencial. Aplicaciones. 5ª ed. Lima: Moshera; 2003. GUÍA DE PRÁCTICAS 26 PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES PRÁCTICA Nº 6 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y POSICIÓN 6.1 MARCO TEÓRICO Medidas de tendencia central.- Son los valores que son obtenidos por procedimientos matemáticos o por observación, y que tienden a ubicarse en la parte central de las observaciones que están ordenadas en forma creciente. Para obtener los valores de las medidas de tendencia central, el estudiante debe conocer y diferenciar las defniciones o conceptos básicos de: media, mediana, moda, cuartiles y percentiles. 1. Las medidas de tendencia central más usuales son: a) Media o promedio.- Es un valor central que representa el centro a un conjunto de datos en una muestra o población. Se defne mediante la suma de todos los datos y se divide entre el tamaño de la muestra. ∑ = = n i i n x X 1 Ejm. Se tiene las notas de 5 alumnos del curso de matemática 12 17 13 15 10 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Interpretación.- La nota promedio de los 5 alumnos es 13.4 b) Mediana (Me).- Es un valor que indica el centro de un conjunto de datos ordenados, donde el 50% de los datos son menores a dicho valor y el otro 50% serán mayores. Del ejemplo anterior (cuando “n” es impar, n = 5) Pasos: 1º Ordenar los datos de menor a mayor 10 12 13 15 17 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 50% Me 50% 27 BIOESTADÍSTICA PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES 2º Ubicar el valor mediano: en el ejm. es x 3 = Me = 13 Interpretación.- El 50% (mitad) de las notas de los 5 alumnos son menores a 13 y el otro 50% mayor tiene notas mayores a 13. Ejm.: Edades de 6 alumnos en años cumplidos (cuando “n” es par, n=6). 18 20 20 21 23 25 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 X 6 50% menor o igual a Me 50% mayor a Me = (20+21)/2 = 20.5 Interpretación.- El 50% (mitad) de los 6 alumnos, tienen menos de 20.5 años y el otro, 50% tiene más de 20.5 años. c) Moda (Mo).- Es el dato que más veces se repite. Ejm.: Tenemos las edades de 5 fnalistas a Miss Perú en años cumplidos: 18 19 21 22 21 20 El dato que más veces se repite es 21, entonces: Mo = 21 Interpretación.- En las 5 fnalistas a Miss Perú, la edad más frecuente es 21 años. 2. Las medidas de posición más usuales son: Son valores ordenados que indican la ubicación de cualquier porcentaje según el número de divisiones que se realice al histograma, como: cuartiles, quintiles, deciles, percentiles, etc. a) Cuartiles (Q i ).- Son valores que dividen al conjunto de datos en 4 partes iguales y cada una de ellas representa el 25% de los datos. 25% 25% 25% 25% Q 1 Q 2 Q 3 Interpretación Q 1 : Es un valor que indica que el 25% de los datos son menores al valor encontrado y el 75% son mayores Q 2 : Es un valor que indica que el 50% de los datos son menores al valor encontrado y el 50% son mayores Q 3 : Es un valor que indica que el 75% de los datos son menores al valor encontrado y el 25% son mayores GUÍA DE PRÁCTICAS 28 PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES b) Deciles (D i ).- Son valores que dividen al conjunto de datos en 10 partes iguales y cada una de ellas representa el 10% de los datos. 10% 10% ..……. 10% D 1 D 2 …… D 9 Interpretación D 1 : es un valor que indica que el 10% de los datos son menores al valor encontrado y el 90% son mayores D 3 es un valor que indica que el 30% de los datos son menores al valor encontrado y el 70% son mayores c) Percentiles (P i ).- Son valores que dividen al conjunto de datos en 100 partes iguales y cada una de ellas representa el 1% de los datos. 1% 1% ..……. 1% P 1 P 2 …… P 99 Interpretación P 10 : es un valor que indica que el 10% de los datos son menores al valor encontrado y el 90% son mayores P 20 es un valor que indica que el 20% de los datos son menores al valor encontrado y el 80% son mayores P 90 es un valor que indica que el 90% de los datos son menores al valor encontrado y el 10% son mayores 6.2 LOGROS DE APRENDIZAJE Diferencia con precisión los conceptos de las medidas de tendencia central. Calcula las medidas de tendencia central en datos agrupados y no agrupados. 6.3 MATERIALES Y EQUIPOS Proyector de multimedia y ordenador con entorno Windows, software estadístico: Word, Excel y SPSS para cada alumno. 6.4 PROCEDIMIENTO El profesor resolverá un ejemplo en SPSS y orientará al alumno en la solución del resto ejercicios en forma grupal de la base de datos [Apellidos y Nombre]. P6.sav. 29 BIOESTADÍSTICA PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES En el SPSS se debe seguir la siguiente ruta: ________________________________________________________________ ANALIZAR -> ESTADISTICOS DESCRIPTIVOS -> FRECUENCIAS VARIABLES: Edad ESTADÍSTICOS: Medidas de tendencia central: media, mediana, moda Posición: Cuartiles, percentiles Medidas de dispersión: Rango, min, max, desviación típica, varianza De forma: Asimetría, curtosis CONTINUAR ACEPTAR ________________________________________________________________ 6.5 RESULTADOS Cada equipo de trabajo presentará las medidas de tendencia central, en un archivo [Apellidos y Nombre]. P6.doc 6.6 CUESTIONARIO En los siguientes problemas calcular e interpretar: a. Promedio b. Mediana c. Moda 1. Un equipo de investigadores desea conocer las diferencias de los residuos obtenidos a través de la sonda aplicada a pacientes en un centro de salud. Los datos que se dan a continuación son el pH del aspirado gástrico de 40 medicamentos. 3.30 2.30 2.05 3.59 3.31 2.30 3.59 2.31 3.59 3.30 2.56 2.07 3.31 2.07 3.59 3.90 2.05 2.30 2.05 3.59 2.45 3.81 3.59 2.11 2.30 2.44 3.10 3.31 3.75 2.81 2.21 2.07 2.62 2.20 3.01 3.43 2.28 2.18 3.46 3.58 2. Un equipo de médicos y farmacéuticos desea investigar los cambios de las características fsicoquímicas de los medicamentos que se administran por sondas nasoentericas. Los datos que se dan a continuación corresponde al pH de la solución acuosa + Net, de 32 medicamentos. GUÍA DE PRÁCTICAS 30 PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES 6.7 5.9 8.4 8.6 5.8 7.1 7.9 7.9 6.9 5.8 8.1 6.7 5.5 7.7 8.3 7.8 8.1 5.0 5.9 5.8 6.8 7.6 6.5 5.7 8.4 6.2 5.0 6.2 6.9 5.0 8.1 7.1 3. El especialista de un laboratorio de fármacos, sostiene que el valor promedio para la suspensión de medicamentos es de 26,50 mosm/kg. luego de 12 minutos de la osmolaridad de los medicamentos para la suspensiones medicamentosas con infusión de Osmolite HN (5cc). Los datos se dan a continuación corresponden a una muestra tomada al azar. 125 63 108 112 110 86 40 53 130 80 53 69 53 69 40 59 59 112 80 63 6.7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS • Glantz SA. Bioestadística. 6ª ed. México: McGraw Hill Interamericana; 2006. • Ávila RB. Estadística Elemental. Lima: Estudios y ediciones R.A; 2010. 31 BIOESTADÍSTICA PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES PRÁCTICA Nº 7 MEDIDAS DE DISPERSIÓN Y FORMA 7.1 MARCO TEÓRICO 1. Medidas de dispersión.- Son valores que nos permiten conocer sobre la variabilidad de las observaciones, entre las más importantes tenemos: El rango, la varianza, desviación estándar y el coefciente de variación. a) Rango.- Indica entre que valores se encuentra el conjunto de datos. Es la diferencia entre el valor de las observaciones mayor y el menor. R = X Dato máximo –X Dato mínimo b) Varianza (S 2 ).- Indica la variabilidad u homogeneidad de los datos. Es la media de los cuadrados de las diferencias entre cada valor de la variable y la media aritmética de la distribución. n X X S n i i ∑ = − = 1 2 2 ) ( c) Desviación Estándar (s).- Indica la dispersión o distanciamiento de los datos respecto al centro. Es la raíz cuadrada de la varianza. 2 S S = d) Coefciente de variación.- Cuando se quiere comparar el grado de dispersión de dos distribuciones que no vienen dadas en las mismas unidades o que las medias no son iguales, se utiliza el coefciente de variación de Pearson que se defne como el cociente entre la desviación típica y el valor absoluto de la media aritmética. 2. Medidas de forma.- Son valores que indican el comportamiento o distribución de los datos. Entre ellas tenemos algunos indicadores: a) Asimetría.- Indica la distribución del conjunto de datos en forma horizontal, es decir a través del eje X. Compara la forma que tiene los datos a través del histograma con la distribución normal. Diremos que una distribución es simétrica cuando su mediana, su moda y su media aritmética coinciden. Diremos que los datos tienen distribución asimétrica a la derecha si las frecuencias (absolutas o relativas) descienden más lentamente por la derecha que por la izquierda. GUÍA DE PRÁCTICAS 32 PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES Si las frecuencias descienden más lentamente por la izquierda que por la derecha, diremos que la distribución es asimétrica a la izquierda. Existen varias medidas de la asimetría de una distribución de frecuencias. Una de ellas es el Coefciente de Asimetría de Pearson: Su valor es cero cuando la distribución es simétrica, positivo cuando existe asimetría a la derecha y negativo cuando existe asimetría a la izquierda. b) Curtosis.- Indica la distribución del conjunto de datos en forma vertical, es decir, a través del eje Y. Miden la mayor o menor cantidad de datos que se agrupan en torno a la moda. Se defnen 3 tipos de distribuciones, según su grado de curtosis: • Distribución mesocúrtica: presenta un grado de concentración medio, alrededor de los valores centrales de la variable (el mismo que presenta una distribución normal). • Distribución leptocúrtica: presenta un elevado grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable. • Distribución platicúrtica: presenta un reducido grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable. 7.2 LOGROS DE APRENDIZAJE Identifca, defne y diferencia con precisión los conceptos de las medidas de dispersión. Calcula las medidas de dispersión en datos agrupados y no agrupados. 33 BIOESTADÍSTICA PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES 7.3 MATERIALES Y EQUIPOS Proyector de multimedia y ordenador con entorno Windows, software: Word, Excel y SPSS para cada alumno. 7.4 PROCEDIMIENTO Se resolverá un ejemplo en SPSS y orientará al alumno en la solución de los siguientes ejercicios en forma grupal de la base de datos [Apellidos y Nombre]. P7.sav. En el SPSS se debe seguir la siguiente ruta: ________________________________________________________________ ANALIZAR -> ESTADISTICOS DESCRIPTIVOS -> FRECUENCIAS VARIABLES: Edad ESTADÍSTICOS: Medidas de tendencia central: media, mediana, moda Posición: Cuartiles, percentiles Medidas de dispersión: Rango, min, max, desviación típica, varianza De forma: Asimetría, curtosis CONTINUAR ACEPTAR __________________________________________________________________ 7.5 RESULTADOS Cada equipo de trabajo presentará las medidas de tendencia central, en un archivo [Apellidos y Nombre]. P7.doc 7.6 CUESTIONARIO En los siguientes problemas hallar e interpretar: Desviación estándar, varianza, coefciente de variación, asimetría y curtosis. 1. En un hospital de la ciudad de Arequipa se registra el siguiente número de intervenciones quirúrgicas mensuales durante los años 2000 - 2005. 151 143 156 160 152 156 160 149 151 160 158 156 154 152 159 157 155 153 153 151 142 152 161 142 155 152 143 144 162 148 149 144 150 148 152 149 162 158 154 150 146 147 160 159 158 155 154 153 152 149 147 145 148 152 147 146 148 150 147 146 150 148 147 152 162 153 152 156 160 152 149 144 GUÍA DE PRÁCTICAS 34 PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES 2. Una empresa comercializadora de productos farmacéuticos del distrito de Lince, realiza un pequeño sondeo de opinión sobre el gasto semanal promedio en medicamentos por familia en soles, obteniendo los siguientes resultados: 27 25 20 44 42 25 45 25 25 10 25 30 10 10 18 35 18 31 15 28 20 28 26 30 23 22 15 20 29 16 28 23 28 16 26 26 42 33 21 21 38 42 21 42 12 39 39 12 21 14 37 24 39 10 39 20 40 43 10 19 17 45 14 34 12 34 7.7 REFERENCIAS BIBILOGRÁFICAS • Avila RB. Estadística Elemental. Lima - Perú: Estudios y ediciones R.A; 2010. • Glantz SA. Bioestadística. 6ª ed. México: McGraw Hill Interamericana; 2006. 35 BIOESTADÍSTICA PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES PRÁCTICA Nº 8 INFERENCIA ESTADÍSTICA: INTERVALOS DE CONFIANZA 8.1 MARCO TEÓRICO Inferencia Estadística.- Es el método estadístico que tiene por objetivo inferir y estimar un parámetro poblacional a partir de las estadísticas muestrales. La estimación de los parámetros es: por intervalos de confanza o mediante prueba de hipótesis. Para determinar o hallar estas medidas, el estudiante debe conocer y diferenciar las defniciones o conceptos básicos de promedio, probabilidades, distribución Z, pruebas estadísticas e intervalos de confanza. Intervalo de confanza.- Es la estimación de los parámetros mediante un rango de valores a un determinado nivel de confanza. Cálculo del intervalo de confanza al 95%: a. Para una proporción poblacional: P( ) = 0.95 Donde: pˆ = Proporción de individuos. n = número de datos. Z 0.95 = 1.96 b. Para una media poblacional: Donde: x = promedio s = Desviación estándar Z 0.95 = 1.96 n = Número de datos (tamaño de la muestra). GUÍA DE PRÁCTICAS 36 PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES 8.2 LOGROS DE APRENDIZAJE Diferencia con precisión los conceptos de estimaciones puntuales, estimaciones por intervalos de confanza, utilizando distribuciones de probabilidad. 8.3 MATERIAL Y EQUIPOS Proyector de multimedia y ordenador con entorno Windows, software estadístico: Word, Excel y SPSS para cada alumno. 8.4 PROCEDIMIENTO Los alumnos desarrollaran las prácticas con asesoramiento del docente, logrando la participación activa en equipo mediante la resolución de los ejercicios del cuestionario. Ejemplo: Se quiere determinar el peso promedio de niños al momento de nacimiento de cierta población es igual a la media nacional de 3200 gr. Se tomó una muestra de 50 recién nacidos de la población en estudio, se obtuvo un promedio de 2850 gr y una desviación estándar de 400 gr. Construyendo el intervalo de confanza se tiene: Luego, el peso de nacimiento varía entre 2739,12 y 2960.87 gr. con un nivel de confanza de 95%. Como el intervalo no incluye el valor =3200 gramos planteado en la hipótesis, entonces, ésta es rechazada con confanza 95% o una probabilidad de error menor a 0.05 (p≤0,05). 8.5 RESULTADOS Cada equipo de trabajo presentará los intervalos de confanza para las variables de la base de datos [Apellidos y Nombre]. P4.sav, con su respectivo análisis en Word, en un archivo [Apellidos y Nombre]. P8.doc 8.6 CUESTIONARIO 1. La cantidad mínima requerida para que un anestésico surta efecto en una intervención quirúrgica en promedio es de 50 mg, con una desviación estándar de 10.2 mg, en una muestra aleatoria simple de 60 pacientes sobre una población normal. Obtener un intervalo de confanza para la media al 99%. 37 BIOESTADÍSTICA PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES 2. Se desea realizar una estimación de intervalo de la estatura de los niños varones de 10 años de una ciudad con una confanza del 95%, para lo cual se toma una muestra al azar de 101 niños, obteniéndose los siguientes resultados: x = 139 cm y s 2 = 29.16 cm 2 3. Un cardiólogo desea encontrar los límites de confanza para el promedio de presión sistólica al 90%, para lo cual toma una muestra de 50 individuos obteniendo los siguientes resultados: x = 13 y s = 3. Se supone que la presión sistólica tiene una distribución normal. 4. En una muestra de 25 bebés varones de 12 semanas de vida, se obtuvo un peso medio de 5900 gr., y una desviación típica de 94 gr. Obtener un intervalo de confanza al 95% para el peso promedio. 5. En una clínica de servicio de odontología, de una muestra aleatoria de 220 historiales clínicos se encuentra que 42 visitas dieron lugar a una extracción inmediata. Calcular un intervalo de confanza del 95% para la proporción de visitas que dieron lugar a extracción inmediata. 6. Sólo una parte de los pacientes que sufren un determinado síndrome neurológico consiguen una curación completa. Si de 64 pacientes observados se han curado 41, estimar un intervalo de confanza del 90% de la proporción de los que sanan. 7. Un investigador está interesado en estimar la proporción de muertes debidas al cáncer de estómago en relación con el número de defunciones por cualquier tipo de neoplasia. En una muestra de 67 pacientes se encontró que 25 fallecieron por cáncer estomacal, calcular un intervalo de confanza del 90%. 8. En un determinado servicio de odontología se sabe que el 22% de las visitas llevan consigo una extracción dentaria inmediata. En cierto año, de 2.366 visitas, 498 dieron lugar a una extracción inmediata. A través de un intervalo de confanza del 95% establecer si se entra en contradicción las cifras de ese año y el porcentaje establecido de siempre. 8.7 FUENTES DE INFORMACIÓN • Rius F. y Baron F. Bioestadística. 1ª ed. Madrid: Thomson; 2005. • Dawson B, Robert G. Bioestadística Médica. 4ª ed. México D. F; 2005. GUÍA DE PRÁCTICAS 38 PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES PRÁCTICA Nº 9 PRUEBAS PARA COMPARAR PROPORCIONES 9.1 MARCO TEÓRICO Inferencia es el método estadístico que tiene por objetivo inferir o estimar un parámetro poblacional a partir de las estadísticas muestrales . HIPÓTESIS es una aseveración o suposición que se hace acerca de algo que se quiere demostrar. Para determinar o hallar estas medidas, el estudiante debe conocer y diferenciar las defniciones o conceptos básicos de Estadística Descriptiva, probabilidades, intervalos de confanza, el valor de p, promedios y pruebas de hipótesis. PARA DOS GRUPOS PARA TRES GRUPOS 2 grupos Muestras independientes Frecuencias pequeñas: Prueba exacta de Fisher McNemar Chi Cuadrado Corrección de Yates Muestras pareadas 3 o más grupos Muestras independientes McNemar Chi Cuadrado Muestras pareadas 39 BIOESTADÍSTICA PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES 9.2 LOGROS DE APRENDIZAJE Selecciona la prueba apropiada para comparar proporciones y promedios de acuerdo a la naturaleza de los datos, indicando si se trata de muestras o poblaciones utilizando calculadora y tablas estadísticas o un software estadístico. 9.3 MATERIALES Y EQUIPOS Proyector de multimedia y ordenador con entorno Windows, software estadístico: Word, Excel y SPSS para cada alumno. 9.4 PROCEDIMIENTO El profesor incentivará la participación activa de los alumnos, mediante la formulación de hipótesis, reconocimiento de la prueba estadística según el tipo de variable; luego, se procesará los datos en SPSS para obtener los resultados y su respectivo análisis. En el SPSS se debe seguir la siguiente ruta: _________________________________________________________________ ANALIZAR -> ESTADÍSTICOS DESCRIPTIVOS -> TABLAS DE CONTINGENCIA FILAS: uso de casco COLUMNAS: Lesión de cabeza Estadísticos: chi cuadrado CONTINUAR ACEPTAR _________________________________________________________________ 9.5 RESULTADOS Cada equipo de trabajo presentará los resultados de la base de datos: Infección urinaria.zip, con su respectivo análisis en Word, en un archivo [Apellidos y Nombre]. P9.doc 9.6 CUESTIONARIO 1. Se realizó un estudio para evaluar la efcacia del uso de los cascos de seguridad para ciclistas, para prevenir lesiones en la cabeza en caso de accidentes, para lo cual se seleccionó una muestra aleatoria de 793 individuos que sufrieron un accidente en bicicleta durante un periodo de un año (Pagano, 2001). Los resultados se muestran en la siguiente tabla: GUÍA DE PRÁCTICAS 40 PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES Uso de casco Lesión en la cabeza Si No Si 17 130 No 218 428 Puede usted indicar si el uso de casco fue efectivo para prevenir lesiones en la cabeza para los ciclistas. 3. Se realizó un estudio para verifcar la exactitud de los certifcados de defunción. En dos hospitales se compararon los resultados de 575 autopsias con las causas de muerte anotadas en los certifcados. Uno de los hospitales que participó en el estudio era comunitario (hospital A) y el otro era un hospital universitario, (hospital B). Los datos aparecen en la siguiente tabla (Pagano, 2001): Puede usted indicar si las prácticas para llenar los certifcados son similares en los dos hospitales Hospital Estado del certifcado de defunción Exactitud confrmada Inexacto sin cambio Incorrecto modifcado A 157 18 54 B 268 44 34 4. Se realizó un estudio para conocer si el consumo de triptófano natural estaba relacionado con la aparición de una extraña enfermedad conocida como SEM (Síndrome de Eosinóflo-Mialgia) en México, los resultados se muestran en la siguiente tabla (Norman y Streiner,1998): Consumo de triptófano SEM SI NO SI 28 9 NO 543 211 ¿Puede usted concluir que el consumo de triptófano está relacionado con la aparición del SEM? 6. En una investigación poblacional se obtuvieron 38152 datos que fueron clasifcados según si sufrieron un infarto o no, y dentro de éstos fueron desagrupados de acuerdo a si tenían un valor de glucosa alto (mayor a 1,1). Se trata de establecer si un valor alto de glucosa tiene incidencia en sufrir infartos. Los datos mostrados son fcticios (Azzimonti, 2001). Los resultados se muestran en la tabla siguiente: 41 BIOESTADÍSTICA PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES Glucosa alta Infarto SI NO SI 161 2475 NO 748 34020 ¿Puede usted concluir que el infarto tiene relación con la presencia de glucosa alta en los pacientes? 9.7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS • Pagano M. Gauvreau K. Fundamentos de Bioestadística. 2 da ed. México D.F: Thompson Editores S.A; 2001 • Box G, Hunter JS. Estadística para investigadores: Diseño, innovación y descubrimiento. 2ª ed. Barcelona: Reverte; 2008. GUÍA DE PRÁCTICAS 42 PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES PRÁCTICA Nº 10 PRUEBAS PARA COMPARAR PROMEDIOS 10.1 MARCO TEÓRICO Prueba t de Student Es una prueba estadística paramétrica, la cual tiene entre sus principales requerimientos, la verifcación de la normalidad. Es decir, para aplicar la prueba paramétrica las variables que se analizarán tienen que tener distribución normal. Vamos a analizar tres situaciones que pueden resolverse utilizando la prueba t de Student para la comparación de medias. 1 Una muestra simple. 2 Dos muestras pareadas o relacionadas. 3 Dos muestras independientes. 10.2 LOGROS DE APRENDIZAJE Selecciona la prueba apropiada para comparar promedios de acuerdo a la naturaleza de los datos, indicando si se trata de muestras utilizando un software estadístico. Variable cuantitaiva 2 grupos Muestras independientes ¿Distribución normal? (“paramétrica”) Si Si “t” de Student pareada “t” de Student No No Prueba de Wilcoxon U de Man- Whitney ¿Distribución normal? (“paramétrica”) Muestras pareadas 43 BIOESTADÍSTICA PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES 10.3 MATERIAL Y EQUIPOS Proyector de multimedia y ordenador con entorno Windows, software estadístico: Word, Excel y SPSS para cada alumno. 10.4 PROCEDIMIENTO El profesor incentivará la participación activa de los alumnos, mediante la formulación de hipótesis, reconocimiento de la prueba estadística según el tipo de variable; luego se procesará los datos en SPSS para obtener los resultados y su respectivo análisis. En el SPSS se debe seguir la siguiente ruta: _________________________________________________________________ ANALIZAR -> COMPARAR MEDIAS -> PRUEBA T PARA MUESTRAS INDEPENDIENTES VARIABLES A CONTRASTAR: Presión VARIABLE DE AGRUPACIÓN: Fármacos DEFINIR GRUPOS: Grupo: 1 Grupo: 2 CONTINUAR ACEPTAR _________________________________________________________________ 10.5 RESULTADOS Cada equipo de trabajo presentará los resultados de la base de datos: Hipertensos. zip, con su respectivo análisis en Word en un archivo: [Apellidos y Nombre]. P10. doc 10.6 CUESTIONARIO 1. La tabla siguiente muestra los efectos de un placebo y de la hidroclorotiacida sobre la presión sanguínea sistólica de 11 pacientes por fármaco. Placebo 211 210 210 203 196 190 191 177 173 170 163 H-cloro 181 172 196 191 167 161 178 160 149 119 156 Según estos datos experimentales, ¿podemos afrmar que existe diferencia en la presión sistólica media durante la utilización de estos dos fármacos? 2. Se quiere probar que la disminución en el consumo de carne(a 90 gr/semana), infuye directamente en la concentración de ácido úrico en la sangre; para ello se toma una muestra aleatoria de 12 personas, a las cuales se les registra GUÍA DE PRÁCTICAS 44 PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES su contenido de ácido úrico en mg/dl al inicio y luego de tres meses, cuyos resultados son los siguientes: Inicio 8.72 8.72 8.54 8.50 10.3 9.63 6.93 9.40 6.50 8.50 9.30 9.35 3 meses 6.70 5.63 6.84 6.25 7.25 7.23 5.40 6.20 5.24 5.96 6.45 6.28 3. En un programa de control de enfermedades crónicas, la hipertensión está incluída como la primera patología a controlar. 15 pacientes hipertensos son sometidos al programa y controlados en su tensión asistólica antes y después de 6 meses de tratamiento. Con los siguientes datos ¿Es efectivo el tratamiento? Inic. 180 200 160 170 180 190 190 180 190 160 170 190 200 210 220 Fin. 140 170 160 140 130 150 140 150 190 170 120 160 170 160 150 4. Se quiere conocer si la dieta vegetariana es efectiva en la disminución de peso, para lo cual se toma una muestra aleatoria de 12 mujeres de 30 a 40 años; a las cuales se les suministra la dieta durante 3 meses con los siguientes resultados de pesos al inicio y fnal del tratamiento. Probar si la dieta vegetariana es efectiva Inicio 54 62 58 51 53 64 72 64 56 65 54 53 3 meses 52 56 54 49 48 54 64 58 52 58 49 49 5. Se desea estudiar la infuencia de la hipertensión en los padres sobre la presión sanguínea de los hijos. Para ello se seleccionan dos grupos de niños, unos con padres de presión sanguínea normal (grupo 1) y otros con uno de sus padres hipertensos (grupo 2), obteniéndose las siguientes presiones sistólicas: Grupo 1 104 88 100 98 102 92 96 100 96 96 Grupo 2 100 102 96 106 110 110 120 112 90 98 10.7 FUENTES DE INFORMACIÓN • Glantz SA. Bioestadística. 6ª ed. México: McGraw Hill Interamericana; 2006 • Box GEP, Hunter JS. Estadística para investigadores: Diseño, innovación y descubrimiento. 2ª ed. Barcelona: Reverte; 2008 45 BIOESTADÍSTICA PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES PRÁCTICA Nº 11 ANÁLISIS DE VARIANZA (ANOVA Ó ANVA) 11.1 MARCO TEÓRICO Las pruebas de comparación de medias o promedios permite establecer si existen diferencias estadísticamente signifcativas en la comparación de dos muestras de variables cuantitativas, sin embargo cuando se tratan de establecer diferencias de tres o más muestras se utilizará en estos casos el análisis de varianza (ANOVA o ANVA) para poder emitir conclusiones que validen la investigación en estos casos. Como por ejemplo, cuando se desea comparar si el promedio del tiempo trabajo de parto es diferente bajo tres condiciones. 11.2 LOGROS DE APRENDIZAJE Selecciona la prueba apropiada para comparar promedios de acuerdo a la naturaleza de los datos, indicando si se trata de muestras pareadas o independientes. 11.3 MATERIAL Y EQUIPOS Proyector de multimedia y ordenador con entorno Windows, software estadístico: Word, Excel y SPSS para cada alumno. 3 o más grupos Muestras independientes ¿Distribución normal? (“paramétrica”) Si Si ANOVA para medidas repetidas ANOVA No No Friedman Kruskal-Wallis ¿Distribución normal? (“paramétrica”) Muestras pareadas GUÍA DE PRÁCTICAS 46 PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES 11.4 PROCEDIMIENTO Se incentivará la participación activa de los alumnos en equipo, mediante la formulación de hipótesis, reconocimiento de la prueba estadística para analizar tres o más promedios de grupos independientes. En el SPSS se debe seguir la siguiente ruta: _________________________________________________________________ ANALIZAR -> COMPARAR MEDIAS -> ANOVA DE UN FACTOR DEPENDIENTES: Puntuación de la califcación FACTOR: Marca del preservativo OPCIONES: Homogeneidad de la varianza CONTINUAR ACEPTAR _________________________________________________________________ 11.5 RESULTADOS Los alumnos resolverán los problemas del cuestionario por equipos de trabajo presentando sus resultados y su respectivo análisis. Presentarán los resultados de sus análisis en un archivo: [Apellidos y Nombre]. P11.doc. 11.6 CUESTIONARIO 1. Para promover la campaña “sexo seguro para pecadores” se decide investigar cuál es el preservativo más efcaz. Para esto se selecciona cuatro marcas de preservativos: Ramsés (R), Jeque (J), Troyano (T) y una marca desconocida (D).Se selecciona aleatoriamente a un grupo de voluntarios y se les solicita califcar a los preservativos en una escala de 0 a 10 (para lo cual se les entregó en sobre marrón). Los resultados se muestran en la siguiente tabla (Norman y Streiner (1998): Donde 0 es desastre y 10 es el éxtasis total. Marca de preservativo Puntuación de la califcación RAMSÉS 4 4 5 5 6 3 4 4 3 4 JEQUE 5 5 6 6 7 6 4 5 6 3 TROYANO 7 8 7 9 6 3 2 2 2 3 DESCONOCIDO 2 1 2 3 3 4 5 4 4 3 2. Se desea conocer si el contenido de glóbulos blancos es diferente en cada tipo de sangre, para esto se seleccionaron aleatoriamente a 11 personas por cada tipo de sangre. Los resultados se muestran en la siguiente tabla: Kuzma y Bohnenblust (2001) en Chernick y Friiz(2003) 47 BIOESTADÍSTICA PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES Tipo de sangre Cantidad de glóbulos blancos por campo A 5000 5500 6000 6500 8000 7700 10000 6100 7200 5500 9000 B 7000 7500 8500 5000 6100 7200 9900 6400 7300 5800 8950 AB 7200 7770 8600 6000 5950 7540 11000 6200 7000 6100 7800 O 5550 6570 7620 5900 7100 6980 8750 7700 8100 4900 5800 ¿Puede usted indicar si existe diferencia en el contenido de glóbulos blancos en cada tipo de sangre? 3. Se desea conocer si el grado de ansiedad promedio es el mismo, en tres enfermedades distintas. Para ello, se tomaron tres muestras de 10, 12 y 8 personas, respectivamente, con esas enfermedades, pasándoles a cada una de ellas un test que mide el grado de ansiedad del individuo. Los resultados se dan en la tabla adjunta. ¿Qué puede concluirse de los datos? Enfermedad Grado de ansiedad Tuberculosis 4 6 5 5 6 3 3 2 6 5 Hepatitis 2 1 5 5 4 6 4 4 4 3 3 2 Cáncer 7 5 8 7 9 3 5 5 4. En una experiencia para comparar la eficacia de diversas técnicas en el tratamiento del dolor producido por una intervención quirúrgica superfcial, 28 pacientes se agruparon al azar en 4 grupos de 7, tratando al primero con placebo, y a los siguientes con dos tipos de analgésicos (A y B) y acupuntura. Los datos se dan en la siguiente tabla: ¿Qué conclusiones pueden obtenerse de esta experiencia? Tratamiento Minutos para la remisión del dolor Placebo 35 22 5 14 38 42 65 Analgésico A 85 80 46 61 99 114 110 Analgésico B 100 107 142 88 63 94 70 Acupuntura 86 125 103 99 154 75 160 5. Se está llevando a cabo un estudio para comprobar el efecto de tres dietas diferentes en el nivel de colesterina de pacientes con hipercolesterolemia. Para ello, se han seleccionado al azar 3 grupos de pacientes, de tamaños 12, 8 y 10. Los niveles de colesterina medidos después de 2 semanas de dieta se representan a continuación: Analice los resultados obtenidos. Dieta Nivel de colesterina A 2.9 3.35 3.25 3.0 3.3 3.1 3.25 3.25 3.1 3.05 3.25 3.0 B 3.15 2.95 2.8 3.1 2.75 2.6 2.8 3.05 C 3.0 2.6 2.65 2.2 2.55 2.3 2.35 2.6 2.35 2.6 GUÍA DE PRÁCTICAS 48 PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES 11.7 FUENTES DE INFORMACIÓN • Glantz SA. Bioestadística. 6ª ed. México: McGraw Hill Interamericana; 2006 • Box GEP, Hunter JS. Estadística para investigadores: Diseño, innovación y descubrimiento. 2ª ed. Barcelona: Reverte; 2008 49 BIOESTADÍSTICA PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES PRÁCTICA Nº 12 PRUEBAS DE COMPARACIONES MÚLTIPLES 12.1 MARCO TEÓRICO Cuando se rechaza la hipótesis nula en la prueba de ANOVA, es importante determinar entre qué grupos se encuentra la diferencia detectada. Para lograr esto se puede recurrir a realizar una comparación por pares de grupos, conocida como prueba de comparaciones múltiples. Existen pruebas de comparaciones múltiples para varianzas homogéneas y varianzas no homogéneas, que permiten detectar entre qué grupos se encuentran las diferencias detectadas por el ANOVA. 12.2 LOGROS DE APRENDIZAJE Selecciona la prueba apropiada para comparar promedios de dos en dos considerando la homogeneidad de las varianzas. 12.3 MATERIAL Y EQUIPOS Proyector de multimedia y ordenador con entorno Windows, software estadístico: Word, Excel y SPSS para cada alumno. 12.4 PROCEDIMIENTO En los ejercicios de la práctica Nº 11 donde se rechazó la hipótesis nula, se realizará la prueba de comparaciones múltiples adecuadas. En el SPSS se debe seguir la siguiente ruta: _________________________________________________________________ ANALIZAR -> COMPARAR MEDIAS -> ANOVA DE UN FACTOR DEPENDIENTES: Niveles de glicemia FACTOR: Tipos de acidosis OPCIONES: Homogeneidad de varianzas POST HOC: Tuckey CONTINUAR ACEPTAR _________________________________________________________________ GUÍA DE PRÁCTICAS 50 PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES 12.5 RESULTADOS Los alumnos resolverán los problemas del cuestionario por equipos de trabajo presentando sus resultados y su respectivo análisis. Presentarán los resultados de sus análisis en un archivo. [Apellidos y Nombre]. P12.doc 12.6 CUESTIONARIO 1. Resolver los ejercicios en los que rechazó la hipótesis nula en la práctica 11. 12.7 FUENTES DE INFORMACIÓN • Glantz SA. Bioestadística. 6ª ed. México: McGraw Hill Interamericana; 2006 • Box GEP, Hunter JS. Estadística para investigadores: Diseño, innovación y descubrimiento. 2ª ed. Barcelona: Reverte; 2008 51 BIOESTADÍSTICA PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES PRÁCTICA Nº 13 REGRESIÓN Y CORRELACION LINEAL 13.1 MARCO TEÓRICO La regresión lineal establece una función lineal de relación entre dos variables, una de ellas se denomina variable dependiente y otra es la variable independiente. La correlación lineal mide el grado de relación entre las variables dependiente e independiente. Para determinar o hallar estas medidas, el estudiante debe conocer y diferenciar las defniciones o conceptos básicos de: probabilidades, regresión y correlación. 13.2 LOGROS DE APRENDIZAJE Diferencia con precisión los conceptos de: Estadística bidimensional, regresión, función de regresión, correlación. Capacita al estudiante para desarrollar y proponer casos prácticos. 13.3 MATERIAL Y EQUIPOS Proyector de multimedia y ordenador con entorno Windows, software estadístico: Word, Excel y SPSS para cada alumno. 13.4 PROCEDIMIENTO El profesor incentivará la participación activa de los alumnos en equipo, mediante la formulación de hipótesis, reconocimiento de las variables dependiente e independiente; luego se procesará los datos en SPSS para obtener la recta de regresión y su respectiva interpretación de resultados. 2 variables cuantitativas Distribución normal Regresión lineal Correlación de Pearson Distribución no normal Rho de Spearman GUÍA DE PRÁCTICAS 52 PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES En el SPSS se debe seguir la siguiente ruta: _________________________________________________________________ ANALIZAR --> REGRESIÓN --> LINEAL DEPENDIENTES: Peso INDEPENDIENTE: Talla ESTADÍSTICOS: Estimaciones Ajuste del modelo CONTINUAR ACEPTAR _________________________________________________________________ 13.5 RESULTADOS Los alumnos resolverán los problemas del cuestionario por equipos de trabajo presentando sus resultados y su respectivo análisis. Presentarán los resultados de sus análisis en un archivo. [Apellidos y Nombre]. P13.doc 13.6 CUESTIONARIO 1. Se realiza un estudio para establecer una ecuación mediante la cual se pueda utilizar la concentración de estrona en saliva (X) para predecir la concentración del esteroide en plasma libre (Y). Se extrajeron los siguientes datos de 14 varones sanos: X 1.4 7.5 8.5 9 9 11.0 13 14 14,5 16 17 18 20 23 Y 30 25 31.5 27.5 39.5 38 43 49 55 48.5 51 64.5 63 68 Determinar la variación de la concentración de estrona en plasma por unidad de estrona en saliva. 2. Los investigadores están estudiando la correlación entre obesidad y la respuesta individual al dolor. La obesidad se mide como porcentaje sobre el peso ideal (X). La respuesta al dolor se mide utilizando el umbral de refejo nociceptivo de fexión (Y), que es una medida de sensación de punzada. Se obtienen los siguientes datos: X 89 90 75 30 51 75 62 45 90 20 Y 2 3 4 4,5 5,5 7 9 13 15 14 a. Hallar e interpretar el modelo de regresión b. ¿Qué porcentaje de sobrepeso podemos esperar para un umbral de refejo de 10? 53 BIOESTADÍSTICA PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES c. ¿Qué porcentaje de la varianza del peso es explicada mediante un modelo de regresión lineal por la variación del umbral de refejo? 4. Se lleva a cabo un estudio, por medio de detectores radioactivos, de la capacidad corporal para absorber hierro y plomo. Participan en el estudio 10 sujetos. A cada uno se le da una dosis oral idéntica de hierro y plomo. Después de 12 días se mide la cantidad de cada componente retenida en el sistema corporal y, a partir de ésta, se determina el porcentaje absorbido por el cuerpo. Se obtuvieron los siguientes datos: X: Porcentaje de hierro 17 22 35 43 80 85 91 92 96 100 Y: Porcentaje de plomo 8 17 18 25 58 59 41 30 43 58 a. Comprobar la idoneidad del modelo lineal de regresión. b. Obtener la recta de regresión, sustentar si el modelo lineal es adecuado. c. Predecir el porcentaje de hierro absorbido por un individuo cuyo sistema corporal absorbe el 15% del plomo ingerido. 5. Para estudiar el efecto de las aguas residuales de las alcantarillas que afuyen a un lago, se toman medidas de la concentración de nitrato en el agua. Para monitorizar la variable se ha utilizado un antiguo método manual. Se idea un nuevo método automático. Si se pone de manifesto una alta correlación positiva entre las medidas tomadas empleando los dos métodos, entonces se hará uso habitual del método automático. Los datos obtenidos son los siguientes: X : Manual 25 40 120 75 150 300 270 400 450 575 Y : Automático 30 80 150 80 200 350 240 320 470 583 a. Comprobar la idoneidad del modelo lineal de regresión. Si el modelo es apropiado, hallar la recta de regresión de Y sobre X y utilizarla para predecir la lectura que se obtendría empleando la técnica automática con una muestra de agua cuya lectura manual es de 100. b. Indicar el grado de relación que hay entre el método manual y automático c. Hallar el coefciente de determinación. Justifque a partir de todo lo anterior porqué se denomina R 2 como grado de bondad del ajuste lineal. 6. Se ha medido el aclaramiento de creatinina en pacientes tratados con Captopril tras la suspensión del tratamiento con diálisis, resultando la siguiente tabla: Días tras la diálisis 1 5 10 15 20 25 35 Creatinina (mg/dl) 5.7 5.2 4.8 4.5 4.2 4 3.8 a. Hallar la ecuación de regresión lineal que mejor exprese la variación de la creatinina, en función de los días transcurridos tras la diálisis, así como el grado de bondad de ajuste y la varianza residual. b. ¿En qué porcentaje la variación de la creatinina es explicada por el tiempo transcurrido desde la diálisis? GUÍA DE PRÁCTICAS 54 PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES c. Si un individuo presenta 4.1 mg/dl de creatinina, ¿cuánto tiempo es de esperar que haya transcurrido desde la suspensión de la diálisis? 13.7 FUENTES DE INFORMACIÓN • Glantz SA. Bioestadística. 6ª ed. México: McGraw Hill Interamericana; 2006. • Box GEP, Hunter JS. Estadística para investigadores: Diseño, innovación y descubrimiento. 2ª ed. Barcelona: Reverte; 2008 55 BIOESTADÍSTICA PROGRAMA ACADÉMICO DE ESTUDIOS GENERALES BIBLIOGRAFÍA 1. Box GEP, Hunter JS. Estadística para investigadores: Diseño, innovación y descubrimiento. 2ª ed. Barcelona: Reverte; 2008. 2. Córdova M. Estadística Descriptiva e Inferencial. Aplicaciones. 5ª ed. Lima: Moshera S. l. R; 2003. 3. Dawson B, Robert G. Bioestadística Médica. 4ª ed. México D. F: Manual Moderno; 2005. 4. Ávila RB. Estadística Elemental. Lima: Estudios y ediciones R.A; 2010. 5. Hernández R; Fernández C, Baptista P. Metodología de la Investigación. 5ª ed. México D.F: Mc Graw-Hill; 2010. 6. Glantz SA. Bioestadística. 6ª ed. México: McGraw Hill Interamericana; 2006. 7. Martínez C. Estadística y muestreo. 12ª ed. Bogotá: ECOE Ediciones; 2005. 8. Rius F. y Baron F. Bioestadística. 1ª ed. Madrid: Thomson. 2005. 9. Macchi R. Introducción a la Estadística en Ciencias de La Salud. Buenos Aires: Panamericana; 2001. 10. Pagano M. Gauvreau K. Fundamentos de Bioestadística. 2 da ed. México: Thompson; 2001. 11. Pérez C. Técnicas Estadísticas con SPSS. Madrid: Prentice Hall; 2001. 12. Quesada N. Estadística con SPSS 16. 1ª ed. Lima: Macro E.I.R.L; 2008. 13. Quispe U. Fundamentos de Estadística. 2ª ed. Lima: San Marcos; 2005. 14. Wayne D. Bioestadística: Base para el análisis de las ciencias de la salud. 4ª ed. México D.F: Limusa S.A; 2002. 15. Wonnacott H y Wonnacott R. Introducción a la Estadística. 2ª ed. México D.F: Limusa; 2002.