SAMUEL A. CASTILLO R.MAT 205 PÁG. 1 UNIVERSIDAD DE PANAMÁ CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE SAN MIGUELITO FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Y CONTABILIDAD LICENCIATURA EN CONTABILIDAD UNIDAD DE AUTOINSTRUCCIÓN MATEMÁTICA FINANCIERA MAT 205 DIRIGIDO A ESTUDIANTES DE II AÑO DE LA ASIGNATURA MAT 205, MATEMÁTICA FINANCIERA DE LA CARRERA LICENCIATURA EN CONTABILIDAD. FACILITADOR: SAMUEL A. CASTILLO R. SEPTIEMBRE DEL 2007. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 2 Introducción Indicaciones generales Objetivos: Generales. Índice de tareas Contenido de las tareas Bibliografía. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 3 La unidad de auto instrucción es una estrategia que esta basada en el estudio individual, esta metodología permite al discente aprender a su propio ritmo y de acuerdo a su disponibilidad de tiempo; aunque le exige responsabilidad, madurez y motivación para hacer una verdadera internalización de sus aprendizajes. El fundamento es descubrir alternativas que permitan introducir innovaciones que se traduzcan en oportunidades que contribuyan a una enseñanza basada en el aprendizaje significativo, que sea centrada en el alumno, abierto y activo, con logros por y para el individuo. De esta manera las unidades de auto instrucción es una herramienta de gran utilidad para el sistema de enseñanza superior, en particular en el estudio de la matemática financiera. La matemática financiera permite a los contadores enfrentarse a problemas matemáticos aplicados a las finanzas y a las inversiones a pesar de no poseer tiempo ni deseos de convertirse en matemáticos profesionales. Es por eso, que te presentamos el módulo de autoinstrucción “anualidades”, que tiene por finalidad proveerte fórmulas sencillas para hallar soluciones más rápidas a este tipo de situaciones. En el mismo se desarrollan los temas de anualidades anticipadas, diferidas y generales. Los temas se te presentan por medio de por doce (12) tareas que contemplan la presentación de ejemplos y al final resolverás una práctica. Las respuestas de la práctica se mostrarán en la reinformación. Bienvenidos a esta modalidad de estudio, deseándote muchos éxitos. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 4 La unidad de auto instrucción que se te presenta ha sido elaborada con la finalidad de facilitarte el aprendizaje de los conceptos de matemática financiera, y que puedas aplicarlos a situaciones del mundo de la Banca y las Finanzas. La unidad esta conformada por doce (12) tareas, en donde cada una te indica los objetivos que de pretende alcanzar. El contenido se presenta de tal forma que la información sea de fácil comprensión y desarrollo. El grado de comprensión obtenido de la información se verifica a través de las respuestas a las prácticas presentadas al final de cada tarea. La reinformación constituye las respuestas correctas a los ítems de la práctica. Para lograr los objetivos debes realizar las siguientes etapas: ► ► ► ► ► ► ► Lea el título de la tarea y los objetivos, los cuales definirán el saber que usted debe adquirir. Lea el contenido representa la información de cada tarea. Trabaje la información. Trate de hacer esquemas que le permitan comprender el tema tratado. Concluido el análisis de la información resuelva las prácticas propuestas. Verifique sus respuestas. Si los resultados son correctos, puede continuar con la siguiente tarea. Si los resultados de la práctica no satisfizo, determine las causas del error y corrige antes de seguir con la próxima tarea. Si has comprendido las instrucciones, sigue adelante y verás cómo logras con éxito aprobar los temas de esta unidad de matemática financiera. En caso contrario me puedes ubicar en la Biblioteca Dr. Reyes S. Mark, los días miércoles de 5:30 p.m. a 7:00 p.m., que con gusto te estaré esperando para atender todas tus dudas. ¡ÉXITOS! SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 5 1. Proporcionar al estudiante los conocimientos básicos en la matemática financiera. 2. Reconocer la matemática como una herramienta útil en el campo de las finanzas. 3. Analizar fenómenos financieros mediante el razonamiento matemático. 4. Analizar problemas financieros y posibles alternativas de solución. 5. Conocer los elementos o variables que intervienen en Anualidades. 6. Construir el modelo matemático para los distintos casos de Anualidades. 7. Encontrar el valor futuro o presente de anualidades. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 6 Tarea # 1: ANUALIDADES. Tarea # 2: MONTO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA. Tarea # 3: VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA. Tarea # 4: ANUALIDADES ANTICIPADAS. (Rentas y pagos) Tarea # 5: ANUALIDADES ANTICIPADAS. (Forma general) Tarea # 6: ANUALIDAD DIFERIDA. Tarea # 7: VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD DIFERIDAS. Tarea # 8: PERPETUIDADES. Tarea # 9: ANUALIDADES GENERALES. Tarea # 10: VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD GENERAL. Tarea # 11: VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD GENERAL. Tarea # 12: PAGOS PERIÓDICOS DE UNA ANUALIDAD GENERAL. OBJETIVO DE PROCESODefinir el concepto de anualidad. 1. Clasificar los diversos tipos de anualidades. 2. Reconocer los elementos de una anualidad. CONTENIDO: 1. Anualidades - definición - clasificación - elementos SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 7 OBJETIVO DE PROCESO: 1. Definir el concepto de anualidad 2. Clasificar los diversos tipos de anualidades. 3. Caracterizar los elementos fundamentales de cada tipo de anualidad. CONTENIDO: 1. Anualidades - definición - clasificación - elementos El estudio de la matemática financiera se reduce al conjunto de técnicas y procedimientos que permiten conocer como el dinero pierde o cambia de valor en el transcurso del tiempo. Es posible aumentar el beneficio obtenido en las operaciones financieras de empresas inversionistas si se utilizan dichos métodos con el objeto de calcular los precios y rendimiento de las mismas. En dichas organizaciones son muchos los contadores y funcionarios que deben enfrentarse en la práctica a problemas matemáticos aplicados a las finanzas y a las inversiones a pesar de no poseer tiempo ni deseos de convertirse en matemáticos profesionales. Un contador o un funcionario de un banco que se vea obligado a determinar el rendimiento de una obligación redimible se interesa en realizar esta tarea con la mayor rapidez y exactitud posible, prescindiendo de usar logaritmos o la fórmula del binomio si acaso existiera un método más sencillo. Precisamente, la matemática financiera se dedica a proveer fórmulas sencillas para hallar soluciones más rápidas a este tipo de situaciones y uno de los temas que se desarrollan es el de anualidades. DEFINICIÓN Una anualidad es una serie de pagos periódicos que cumple con las siguientes condiciones: 1. 2. 3. 4. Todos los pagos son de igual valor. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo. Todos los pagos son llevados al principio o al final de la serie a la misma tasa. El número de pagos debe ser igual al número de periodos. Son ejemplos de anualidades: Los pagos mensuales por renta. El cobro quincenal o semanal de sueldos. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 8 Los abonos mensuales a una cuenta de crédito. Los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida CLASES DE ANUALIDADES A) La variación de los elementos que intervienen en las anualidades hace que existan diferentes tipos de ellas. Se clasifican por: Criterios Tipos de anualidades A) Tiempo 1. Ciertas 2. Contingentes B) Intereses 1. Simples 2. Generales C) Pagos 1. Vencidas 2. Anticipadas D) Iniciación 1. Inmediatas 2. Diferidas. A) De acuerdo a las fechas de iniciación y de terminación de las anualidades son: 1) ANUALIDADES CIERTAS. Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Ejemplo: al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha en que se debe hacer el primer pago, como la fecha para efectuar el último pago. 2) ANUALIDAD CONTINGENTE. La fecha del primer pago, la fecha del último pago, o ambas no se fijan de antemano. Ejemplo: Una renta vitalicia que se obliga a un cónyuge tras la muerte del otro. El inicio de la renta se da al morir el cónyuge, que no se sabe exactamente cuando. B) De acuerdo a los intereses, o mejor dicho, a su período de capitalización, las anualidades se clasifican en: 1) SIMPLES. Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización de los intereses. Ejemplo: el pago de una renta mensual con intereses al 18% capitalizable mensualmente. 2) GENERALES. Son aquellas que el periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 9 Ejemplo: el pago de una renta semestral con intereses al 30% anual capitalizable trimestralmente. C) De acuerdo con los pagos las anualidades son: 1) VENCIDAS. Las anualidades vencidas u ordinarias son aquellas en que los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo. 2) ANTICIPADAS. Los pagos se efectúan al principio de cada periodo. D) De acuerdo al momento en que se inician: 1) INMEDIATAS. Es el caso más común. La realización de los cobros o pagos tiene lugar en al periodo inmediatamente siguiente a la formalización del trato. Ejemplo: se compra un artículo a crédito hoy, que se va a pagar con mensualidades, la primera de las cuales habrá de realizarse en ese momento o un mes después de adquirida la mercancía (puede ser así, anticipada o vencida). 2) DIFERIDAS. La realización de los cobros o pagos se hace tiempo después de la formalización del trato (se pospone). Ejemplo: Se adquiere hoy un articulo a crédito para pagar con abonos mensuales; el primer pago habrá de hacerse 6 meses después de adquirida a la mercancía. ELEMENTOS DE UNA ANUALIDAD PLAZO DE UNA ANUALIDAD se define como el intervalo que va desde la fecha del primer abono hasta el término del período de pago anterior a la fecha del último pago. Identificaremos la letra “n” como el número de pagos de una anualidad. n = Número de pagos VALORES DE UNA ANUALIDAD El valor final: Todos los pagos son traslados al final de la anualidad, que identificaremos con la letra “S”. S = valor final o monto. El valor presente: significa el presente de una anualidad en n periodos a la tasa i. Se representa por la “A” A = valor presente o futuro. TASA DE INTERÉS es la razón del interés devengado al capital, en la unidad de tiempo. Esta representada por “i” y esta dada en porcentaje. Aunque en la práctica se utiliza su valor equivalente en decimal. i = tasa de interés. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 10 TIEMPO es el periodo de días, meses, bimestres, trimestres, semestres, años, etc. Que dura una transacción financiera, lo representaremos con la letra “N”. N = tiempo. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 11 SÍNTESIS DE LA PRIMERA TAREA. Ahora vamos a resolver la práctica #1. Ahora vamos a resolver la práctica #1. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 12 PRÁCTICA # 1 I PARTE. COMPLETAR. Lee las siguientes preguntas y responde de acuerdo a lo aprendido. 1. ¿Qué es una anualidad? _________________________________________________________ _________________________________________________________ 2. ¿Cuáles son las condiciones de los pagos de una anualidad? _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ 3. Clasifica las anualidades: Tiempo: Interés Pago Iniciación _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ 4. Menciona los elementos de una anualidad: _____________________________________________________ _____________________________________________________ Verifica tus respuestas en la siguiente hoja SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 13 REINFORMACIÓN 1. Una anualidad es una serie de pagos periódicos. 2. Todos los pagos son de igual valor. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo. Todos los pagos son llevados al principio o al final de la serie a la misma tasa. El número de pagos debe ser igual al número de periodos Tiempo Intereses Pagos Iniciación 1. Ciertas 2. Contingentes 1. Simples 2. Generales 1. Vencidas 2. Anticipadas 1. Inmediatas 2. Diferidas. TUS RESPUESTAS SON CORRECTAS PUEDES PASAR A LA PRÓXIMA TAREA. 3. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 14 OBJETIVO DE PROCESO: 3. Calcular el monto de una anualidad anticipada. CONTENIDO: 1. Anualidades anticipadas - monto MONTO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA. Una anualidad anticipada es una anualidad cuyo pago periódico vence al principio del intervalo de pago. El pago de la renta de una casa es un ejemplo de una anualidad anticipada. El plazo de la anualidad anticipada redefine como el intervalo que va desde la fecha del primer pago hasta el término del período de pago anterior a la fecha del último pago. DIFERENCIA ENTRE EL MONTO DE UNA ANUALIDAD ORDINARIA Y LA ANUALIDAD ANTICIPADA. Para establecer la diferencia entre las anualidades ordinarias y anticipadas veamos los siguientes ejemplos: Ejemplo # 1: Consideremos una anualidad ordinaria de 500 anuales, durante 8 años al 5%. 500 500 500 500 500 500 500 500 Períodos de interés 0 1 2 3 4 5 6 7 8 El monto S de la anualidad es la suma de los montos compuestos de los distintos pagos, cada uno acumulado hasta el término del plazo. El primer pago gana intereses por siete años, el segundo por seis años, el tercero por cinco, el cuarto por cuatro, el quinto por tres, el sexto por dos, el séptimo por uno y el octavo no gana interés pues es la fecha de vencimiento; esto es: S = 500(1 + 0.05)7 + 500(1 + 0.05)6 + 500(1 + 0.05)5 + 500(1 + 0.05)4 + 500(1 + 0.05)3 + 500(1 + 0.05)2 + 500(1 + 0.05) + 500 S = 500 (1.05)7 + 500 (1.05)6 + 500 (1.05)5 + 500 (1.05)4 + 500 (1.05)3 + 500 (1.05)2 +500(1.05) + 500 S = 500[(1.05)7 + (1.05)6 + (1.05)5 + (1.05)4 + (1.05)3 + (1.05)2 + (1.05) + 1] S = 500(9.5491) S = 4774.55 SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 15 Ejemplo # 2: Consideremos una anualidad anticipada en donde el alquiler anual por un bien es 500 adelantados. Cuál será el monto anual equivalente pagada por adelantado al 5% durante 8 años. 500 500 500 500 500 500 500 500 Períodos de interés 0 1 2 3 4 5 6 7 8 El monto S de la anualidad anticipada es la suma de los montos compuestos de los distintos pagos, cada uno acumulado hasta el término del plazo. El primer pago gana intereses por 7 años, el segundo por seis años, el tercero por cinco, el cuarto por cuatro, el quinto por tres, el sexto por dos, el séptimo por uno y el octavo no gana interés pues es la fecha de vencimiento; esto es: S = 500 (1 + 0.05)7 + 500 (1 + 0.05)6 + 500 (1 + 0.05)5 + 500 (1 + 0.05)4 + 500 (1 + 0.05)3 +500(1 + 0.05)2 + 500(1 + 0.05) los últimos 500 del octavo año no se pagan, pues fue adelantado en el primer pago) S = 500 (1.05)7 + 500 (1.05)6 + 500 (1.05)5 + 500 (1.05)4 + 500 (1.05)3 + 500 (1.05)2 +500(1.05) S = 500[(1.05)7 + (1.05)6 + (1.05)5 + (1.05)4 + (1.05)3 + (1.05)2 + (1.05)] S = 500(8.5491) S = 4274.55 La matemática financiera, simplifica estos cálculos por medio de fórmulas, las que te serán de gran utilidad. FÓRMULAS DE ANUALIDADES. R = es el pago periódico de una anualidad i = la tasa de interés por período de interés. n = el número de intervalos de pago S = el monto de la anualidad anticipada. ( (1 + S = R i N n i n ) − 1) − 1 Esta fórmula es equivalente a encontrar la anualidad ordinaria y a esta restarle un pago (R). ( (1 + S = R i N n i n ) − 1) −R SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 16 Ejemplos resueltos: Ejemplo # 1: Consideremos una anualidad anticipada en donde el alquiler anual por un bien es 500 adelantados. Cuál será el monto anual equivalente pagada por adelantado al 5% durante 8 años. (Empleando la fórmula). ( (1 + S = R i N n i n ) − 1) − 1 − 1 = 4274.55 (1 + S = 500 0.05 8 1 0.05 1 ) − 1) OBSERVACIONES: n = al número de pagos en un año, mientras que N es el número de pagos que dura toda la transacción. Además i n equivale a la tasa de interés efectiva. El mismo ejemplo lo puedes resolver utilizando la fórmula de anualidad ordinaria y le restas un pago. (1 + S = R i N n i n ) (1 + − 1 − R = 500 0.05 8 1 0.05 1 ) − 1 − 500 =4274.55. Ejemplo # 2. Una persona arrienda una casa en $50000 pagaderos por mes anticipado. Sí tan pronto como recibe el arriendo lo invierte en un fondo que le paga el 2% efectivo mensual. ¿Cuál será el monto de sus ahorros al final del año? SOLUCIÓN: pago pago pago pago pago pago pago pago pago pago pago pago pago 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Es decir se realizan 13 pagos. Anticipo Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes4 Mes 5 Mes 6 Mes 7 Mes 8 Mes 9 Mes 10 Mes 11 Mes 12 ( (1 + S = R i N n i n ) − 1) ( (1 + 0.02 ) 13 − 1) − 1 = 684016.58 − 1 = 50000 0.02 SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 17 Ejemplo # 3. Mario desea que el beneficio de un seguro de 150000 sea invertido al 3%, y que dicha cantidad su viuda reciba 7500 anuales, haciéndose el primer pago inmediatamente, y durante todo el tiempo que viva. En la fecha de pago siguiente a la muerte de su esposa, el sobrante será dado al colegio Artes y Oficio. Si su esposa muere 7 años 9 meses más tarde. ¿Cuánto recibirá el colegio? SOLUCIÓN. Como el seguro genera un interés del 3%, se calculará el monto por 8 años ya que sería la próxima fecha de pago desde el momento desde la muerte de la viuda. (Interés compuesto) M = C (1 + ni ) N =150000(1 + 0.03 8 1 ) = 150000(1.03) 8 = 190015.51 Paralelamente a esto la viuda recibe7500 anual inmediatamente y por los 7 años 9 meses, y le correspondería el próximo pago al año 8, más el primer pago, serían 9 pagos. El monto de esta anualidad es: ( (1 + S = R i N n i n ) − 1) ( (1 + − 1 = 7500 0.03 9 0.03 1 ) − 1) − 1 = 68693.30 (Dinero que recibe) Entonces al colegio le corresponderá: 190015.51 – 68693.30 = 121322.21 SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 18 SÍNTESIS DE LA SEGUNDA TAREA. RECUERDA LOS ELEMENTOS MÁS IMPORTANTE DE ESTA TAREA. R = es el pago periódico de una anualidad i = la tasa de interés por período de interés. n = el número de intervalos de pago S = el monto de la anualidad anticipada. Importante: n = al número de pagos en un año, mientras que N es el número de pagos que dura toda la transacción. Corresponde a la tasa de interés efectiva. Pasa a la práctica # 2 SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 19 PRÁCTICA # 2 I PARTE. Ensayo. Resuelve los problemas que se te plantean a continuación. 1. Una corporación reserva 10000 al principio de cada año para crear un fondo en caso de futuras expansiones. Si el fondo gana 3%, ¿Cuál será su monto al término del 10º año? 2. Los 15 de cada mes, Juan invierte 100 balboas en un fondo que paga al 3% convertible mensualmente. ¿Cuánto habrá en el fondo justamente antes del décimo pago? 3. Una compañía deposita al principio de cada año 20000 balboas en una cuenta de ahorros que abona el 7% de interés. ¿A cuánto ascenderán los depósitos al cabo de cinco (5) años? VERIFICA TUS RESPUESTAS EN LA SIGUIENTE HOJA SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 20 REINFORMACIÓN 1. Solución 118077.96 2. Solución 911.32 3. Solución 123065.81 TUS RESPUESTAS SON CORRECTAS, PUEDES PASAR A LA PRÓXIMA TAREA. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 21 1. Anualidades anticipadas 1. Estimar el valor presente de una Si en una anualidad anticipada pagadera durante “n” períodos se suprime el primer pago “A”, se tiene Valor presente anualidad−-anticipada. N una anualidad vencida y su valor presente esta dado por CONTENIDO: OBJETIVO DE PROCESO: i n agregamos el primer pago que se había suprimido, se obtiene el valor presente de una anualidad anticipada “A”, pagadera durante N períodos. 1 − (1 + A = R i n ) ; y si a este valor le El valor presente de una anualidad ordinaria anticipada es igual al valor presente de una anualidad, más un pago efectivo. Considerando lo anterior tenemos Por lo tanto la fórmula que emplearemos para calcular el valor presente de una anualidad anticipada es 1 − (1 + A = R + R i n i −N n ) 1 − (1 + = R 1 + i n i −N n ) 1 − (1 + A = R 1 + i n i −N n ) . Ejemplo # 1: Una deuda con interés al 4% convertible trimestralmente va a ser liquidada mediante 8 pagos trimestrales iguales, el primero con vencimiento el día de hoy. Hallar los pagos trimestrales. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 22 Solución: Se quiere calcular cual es el valor del pago periódico “R”, por lo tanto de la fórmula de valor presente despejaremos R. i 1 − (1 + n ) − N A = R 1 + i n 1 − (1 + 0.404 ) −7 5000 = R1 + 0.04 4 5000 = R (7.7282) 5000 =R 7.7282 646.98 = R Recuerda: i =0.04 se divide entre n = 4, porque hay 4 trimestres en el año. Ejemplo # 2: Un televisor es comprado con 50 balboas de cuota inicial y 50 mensuales durante 14 meses. Si se cargan intereses de 21% convertible mensualmente, ¿Cuál es el valor de contado del televisor? Solución: 1 − (1 + A = R 1 + i n i −N n ) .21 1 − (1 + 012 ) −14 = 501 + = 666.10 0.21 12 Ejemplo # 3: En lugar de estar pagando 125 balboas de renta de cada mes, por los próximos ocho (8) años, Pedro decide comprar una casa. ¿Cuál es el valor en efectivo de los 8 años de renta al 5% convertible mensualmente? i 1 − (1 + n ) − N A = R 1 + i n .05 1 − (1 + 012 ) −9 A = 1251 + 0.05 12 A = 9914.82 Debe tenerse en cuenta de que la renta es al principio de cada mes y por eso es una anualidad anticipada. A los 8 años (8 pagos) se le agrega el pago inicial. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 23 SÍNTESIS DE LA TERCERA TAREA. CONCEPTOS IMPORTANTES El valor presente de una anualidad ordinaria anticipada es igual al valor presente de una anualidad, más un pago efectivo. Debe tenerse en cuenta de que la renta es al principio de cada período de pago. es la fórmula para calcular el valor presente. La tasa de interés se divide entre el número de periodo de pagos que se realiza en un año. Resuelve la práctica # 3 SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 24 PRÁCTICA # 3 A CONTINUACIÓN TE PRESENTAMOS TRES (3) PROBLEMAS, RESUÉLVELOS LO MÁS CLARO POSIBLE. 1. Una compañía alquila un terreno en 400 balboas mensuales y propone al propietario pagar el alquiler anual a principio de cada año, con la tasa del 12% convertible mensualmente. Hallar el valor del alquiler anual. 2. La prima anual por adelantado de una póliza de seguro temporal a 10 años es 178.40. ¿Cuál es el equivalente de contado al 3 1 %? 2 3. La renta de un edificio es 1500 balboas anuales por adelantado. ¿Cuál es la renta mensual por adelantado equivalente al 6% convertible mensualmente? Verifica tus respuestas en la próxima hoja. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 25 REINFORMACIÓN 1. Solución 45470.51 2. Solución 1535.61 3. Solución 128.46 Lo has logrado, ahora pasa a la tarea # 4 SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 26 OBJETIVO DE PROCESO: 1. Encontrar el valor de la renta en una anualidad anticipada. CONTENIDO: 1. Anualidades anticipadas - Renta Las anualidades según los pagos se cladifican en vencidas y anticipadas, en esta sección te mostraremos como calcular los pagos o renta en una anualidad anticipada, empezaremos por señalar la diferencia entre las dos anualidades. DIFERENCIA ENTRE UNA ANUALIDAD VENCIDA DE UNA ANTICIPADA. ANUALIDAD VENCIDA: Es aquella en la cual los pagos se hacen al final de cada periodo, por ejemplo el pago de salarios a los empleados, ya que primero se realiza el trabajo y luego se realiza el pago. Pago Pago Pago En este tipo de anualidad no se tiene pago inicial, y se realiza un último pago al final del plazo. Es decir una anualidad ordinaria es aquella en la cual los pagos son efectuados al final de cada intervalo de pago, es decir, que el primer pago se hace al final del primer intervalo de pago, el segundo al final del segundo y así sucesivamente. ANUALIDAD ANTICIPADA: En esta los pagos se hacen al principio del periodo, por ejemplo el pago mensual del arriendo de una casa, ya que primero se paga y luego se habita el inmueble. Pago Pago Pago En este tipo de anualidad se tiene un pago inicial, y no se realiza pago al final del plazo. En la anualidad anticipada los pagos se hacen al principio del periodo. Se conoce como intervalo o periodo de pago, al tiempo que transcurre entre un pago y otro, y se denomina plazo de una anualidad al tiempo que pasa entre el inicio del primer periodo de pago y el periodo final de pago. Renta es el nombre que se da al pago periódico que se hace. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 27 CALCULAR LOS PAGOS O RENTA DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA Para encontrar el plazo o renta “R”, sólo es necesario despejar el valor correspondiente, ya sea de valor presente o del valor futuro. R= ( (1 + i N n i n ) S − 1) − 1 R= 1 − (1 + 1 + i n A i −N n ) Esto te lo ilustraremos con los siguientes ejemplos: Ejemplo # 1: Cuanto tendrá que depositar mensualmente durante un año empezando hoy para juntar $609.84 si se considera una taza interés de 3% capitalizable mensualmente. Solución: aquí se considera N = 13 por el pago inicial, más los 12 meses del año. Se utiliza “S” porque la cantidad dada es al finalizar el año. R= ( (1 + i n ) i n S N − 1) − 1 = ( (1 + 609.84 0.03 13 12 0.03 12 ) − 1) =50 − 1 (PAGOS DE 50) Ejemplo # 2. Cuanto se requeriría depositar semanalmente empezando hoy para juntar un monto de $462,2791 si se considera una taza del 40% capitalizable semanalmente y si los depósitos se van a hacer durante 6 semanas. Solución: seis (6) semanas más el pago inicial. N = 7 La tasase interés se divide entre 52, por ser la cantidad de semanas del año. Se utiliza la del monto, porque la cantidad que se da es al finalizar las seis semanas. R= ( (1 + i n ) i n S N − 1) − 1 = ( (1 + 462.28 0.03 7 52 0.03 52 ) − 1) =75 − 1 (PAGOS DE 75) SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 28 Ejemplo # 3. Un comerciante vende equipo de sonidos por un precio de 175 al contado. Promueve su venta a plazos, en 18 meses, con un recargo del 24% convertible mensualmente. Hallar la cuota periódica o renta. Se entrega el equipo contar pago de la primera cuota. Solución: = Utilizaremos “A” porque el valor que dan es al contado, por lo tanto representa el valor presente. N = 17 (el valor presente incluye el primer pago, y en el presente no genera interés) R= 1 − (1 + 1 + i n A i n ) −N = .24 1 − (1 + 012 ) −17 = 11.44 1 + 0.24 12 175000 SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 29 SÍNTESIS DE LA CUARTA TAREA LA DIFERENCIA ENTRE UNA ANUALIDAD VENCIDA Y UNA ANTICIPADA ES: ANUALIDAD VENCIDA: Es aquella en la cual los pagos se hacen al final de cada periodo, ANUALIDAD ANTICIPADA: En esta los pagos se hacen al principio del periodo. Para saber cuál es el pago que debo hacer, despejo “R” de las fórmulas de valor presente y valor futuro. Resuelva la práctica # 4 SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 30 PRÁCTICA # 4 Resuelve los problemas que se te presentan a continuación: 1. Juan invierte “R” balboas en un fondo que paga al 3% convertible mensualmente. Si Justamente antes del décimo pago se tiene ahorrado 911.32. ¿De cuánto era el ahorro mensual? 2. José decide comprar un auto en 9914.82. Para esto acuerda pagar por ocho (8) años una letra al 5% de interés convertible mensualmente. ¿cuál es el valor de la letra? 3. El valor de contado de un coche usado es de 1750. B desea pagarlo en 15 abonos mensuales, venciendo el primero el día de la compra. Si se le carga el 18% se interés convertible mensualmente, hallar el importe del pago mensual. VERIFICA TUS RESULTADOS EN LA SIGUIENTE HOJA. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 31 REINFORMACIÓN 1. Solución 100 2. Solución 125 3. Solución 129.21 Lo has logrado, ahora pasa a la tarea # 5 SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 32 OBJETIVO DE PROCESO: 1. Reconocer los factores que intervienen en el cálculo de anualidades anticipadas. 2. Calcular el valor presente y futuro de una anualidad anticipada. 3. Encontrar el valor de la renta en una anualidad anticipada. CONTENIDO: 1. Anualidades anticipadas - Elementos Renta - Valor presente - Valor futuro En los negocios es frecuente que los pagos se efectúen al comienzo de cada periodo; tal es el caso de la renta de terrenos, edificios y oficinas, cuyo alquiler se paga al principio del periodo. En las ventas a plazos se suele estipular una serie de pagos al comienzo de los periodos convenidos en el contrato venta. En estos casos se usa la expresión “El pago vence a principio de periodo” Una anualidad anticipada es una sucesión de pagos o rentas que se efectúan o vencen al principio del periodo de pago. ELEMENTOS: Los elementos que intervienen en una anualidad anticipada están: S = monto de la anualidad. A = valor presente de la anualidad N = número de periodos de pago i = tasa nominal anual. n = número de capitalizaciones en el año Para el cálculo de anualidades anticipadas se utilizan las mismas fórmulas de anualidades ciertas ordinarias, la diferencia se encuentra en la interpretación del factor pago. VALOR FUTURO O MONTO. El monto S de la anualidad anticipada es la suma de los montos compuestos de los distintos pagos, cada uno acumulado hasta el término del plazo. Como el primer pago es anticipado se debe considerar que el periodo entre el último pago y el vencimiento del plazo genera el interés, pero el SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 33 último pago no se realiza. Esto es equivalente a encontrar la anualidad cierta ordinaria y a esta restarle un pago (R). De esto se desprende la fórmula: ( (1 + S = R i N n i n ) − 1) − 1 VALOR PRESENTE. El valor presente de una anualidad ordinaria anticipada por el contrario al valor futuro es igual al valor presente de una anualidad, más un pago efectivo, porque lo que se realiza es traer la fecha de vencimiento a una anterior a esta, lo que incluye el pago anticipado. La fórmula que emplearemos para el valor presente es: 1 − (1 + A = R 1 + i n i −N n ) CALCULAR LOS ELEMENTOS DE UNA ANUALIDAD. Para encontrar el plazo o renta, sólo es necesario despejar el valor correspondiente, R= futuro; y para los valores presente y futuro se emplean las fórmulas tal cual como están formuladas. Esto te lo ilustraremos con los siguientes ejemplos: Ejemplo # 1: Una compañía deposita al principio de cada año 20000 balboas en una cuenta de ahorros que abona el 7% de interés. ¿A cuánto ascenderán los depósitos al cabo de cinco (5) años? Solución: ( (1 + i N n i n ) S − 1) − 1 R= 1 − (1 + 1 + i n A i −N n ) ya sea de valor presente o del valor ( (1 + S = R i N n i n ) − 1) ( (1 + − 1 = 20000 = 123065.81 0.07 5 1 0.07 1 ) − 1) − 1 Ejemplo # 2. El dueño de una propiedad avaluada en 400000 balboas recibe la siguiente oferta: 20 pagos mensuales de 22000 cada uno, efectuando el primer pago de inmediato, a una tasa de interés de 12% nominal. ¿La conviene esta oferta? Solución: 1 − (1 + A = R 1 + i n i −N n ) .12 1 − (1 + 012 ) −19 = 220001 + =400972.19 0.12 n12 (Puede aceptar la oferta) SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 34 Ejemplo # 3. La renta mensual de un edificio es 400 balboas, al 6% convertible mensualmente, pagaderos por adelantado. ¿Cuál es el monto al final de 4 años? Solución: ( (1 + S = R i N n i n ) − 1) ( (1 + − 1 = 400 0.06 47 12 0.06 12 ) − 1) − 1 =20733.47 Ejemplo # 4: Una deuda de 5000 balboas, se cancelo por pagos trimestrales iguales de 646.98, realizando el primero de ellos hoy. ¿En qué plazo fue cancelada la deuda si la tasa de interés era del 4% con capitalización trimestral? Solución: i 1 − (1 + n ) − N 1 + A = R i n 1 − (1 + 0.404 ) − N 5000 = 646.981 + 0.04 4 −N 5000 1 − (1.01) =1+ 646.98 1.01 1 − (1.01) − N 7.7282 − 1 = 1.01 6.7282(0.01) = 1 − (1.01) − N 0.067282 − 1 = −(1.01) − N − 0.9327 = −(1.01) − N 1.01− N = 0.9327 Log (1.01− N ) = Log 0.9327 − NLog1.01 = Log 0.9327 Log 0.9327 −N= Log1.01 − N = −7 N =7 Este número representa trimestres, más el pago que se hace anticipado, serían 8 trimestres. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 35 Ejemplo # 5. Juan invierte mensualmente cierta cantidad de dinero en un fondo que paga al 3% convertible mensualmente. Si Justamente antes del décimo pago se tiene ahorrado 911.32. ¿De cuánto era el ahorro mensual? Solución: ( (1 + S = R i N n i n ) − 1) − 1 .03 ( (1 + 012 ) 10 − 1) 911.32 = R − 1 0.03 12 10 ( (1.0025) − 1) 911.32 = R − 1 0.0025 911.32 = R (9.1132) 911.32 =R 9.1132 100 = R SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 36 SÍNTESIS DE LA QUINTA TAREA. ANUALIDADES ANTICIPADAS MONTO O VALOR FUTURO El monto S de la anualidad anticipada es la suma de los montos compuestos de los distintos pagos, cada uno acumulado hasta el término del plazo. Lo que se busca es hallar el valor después de cierto tiempo, como dice su definición en el futuro. VALOR PRESENTE. El valor presente de una anualidad ordinaria anticipada por el contrario al valor futuro es igual al valor presente de una anualidad, más un pago efectivo. Lo que se realiza es traer la fecha de vencimiento a una anterior a esta, lo que incluye el pago anticipado. TÉRMINOS Y FÓRMULAS EMPLEADAS FÓRMULAS NOMBRE FÓRMULAS S monto o valor futuro ( (1 + S = R i N n i n ) − 1) − 1 A Valor presente 1 − (1 + A = R 1 + i n i −N n ) VARIABLE R N n i CON ESTA INFORMACIÓN PUEDES PASAR A LA VARIABLES EMPLEADAS NOMBRE Renta o pago periodico Número de periodos Periodos de pago en un año Tasa de interés SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 37 PRÁCTICA # 5 VAMOS A VERIFICAR NUESTROS APRENDIZAJES. RESUELVE LOS PROBLEMAS QUE SE TE PRESENTAN: 1. Una compañía deposita a principio de cada año 20000, en una cuenta de ahorro que abona el 7% de interés. ¿A cuánto ascenderán los depósitos al cabo de cinco (5) años? 2. José decide comprar un auto en 9914.82. Para esto acuerda pagar por ocho (8) años una letra al 5% de interés convertible mensualmente. ¿cuál es el valor de la letra? 3. Una empresa reserva 10000 al inicio de cada año con la finalidad de obtener un fondo de 118077.96 balboas para una expansión en los próximos años. Si el fondo gana el 3%. ¿Cuánto tiempo se necesitará para hacer la expansión? 4. Una compañía deposita al principio de cada año 20000 balboas en una cuenta de ahorros que abona el 7% de interés. ¿A cuánto ascenderán los depósitos al cabo de cinco (5) años? 5. Calcular el valor de contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo, con pagos de 3000 balboas mensuales por mes anticipado, si la tasa de interés es del 12% convertible mensualmente. Verifica tus respuestas en la hoja siguiente. VERIFICA TUS RESULTAD OS SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 38 1. 2. 3. 4. 5. S= 123065.82 R = 125.00 N =10 años S =123065.82 A = 252464.64 Puedes pasar a la siguiente tarea. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 39 OBJETIVO DE PROCESO: 1. Identificar una anualidad diferida. CONTENIDO: 1. Anualidad diferida - concepto ANUALIDADES Como se vio en la tarea # 1, las anualidades es un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo, que cumplen ciertas condiciones; estas no siempre se refiere a periodos anuales de pago. En el caso particular del inicio de los pagos se estableció que pueden ser: 1. Inmediatas 2. Diferidas. En esta tarea trataremos las ANUALIDADES DIFERIDAS, que son aquellas en donde la realización de los cobros o pagos se hace tiempo después de la formalización del trato (se pospone). Ejemplo: Se adquiere hoy un artículo a crédito para pagar con abonos mensuales; el primer pago habrá de hacerse 6 meses después de adquirida a la mercancía. En los negocios, es frecuente que algunas circunstancias obliguen a que el primer periodo de pago comience en una fecha futura, hasta después de transcurrido cierto tiempo desdeel momento inicial o convenio. Es decir, la anualidad no coincide con la fecha del primer pago. En estos casos, se dice que es una anualidad diferida. Una anualidad diferida es aquella cuyo plazo comienza después de transcurrido un intervalo. Intervalo de aplazamiento: Es el tiempo transcurrido entre la fecha inicia, o fecha de valoración de la anualidad y el primer pago. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 40 Para medir el intervalo de aplazamiento, se utiliza como unidad el tiempo que corresponde a un periodo de pago. Asi por ejemplo, si dentro de 2 años se efectuara el primer pago de una anualidad vencida de A balboas por semestre cuyo plazo es de tres (3) años se tendría: k pago pago pago pago pago pago pago 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tiempo diferido = 3 períodos semestrales Tiempo plazo de la anualidad = 7 períodos Tiempo total = tiempo diferido más tiempo de la anualidad. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 41 SÍNTESIS DE LA SEXTA TAREA ANUALIDADES DIFERIDAS Intervalo de aplazamiento: Es el tiempo transcurrido entre la fecha inicia, o fecha de valoración de la anualidad y el primer pago. Para medir el intervalo de aplazamiento, se utiliza como unidad el tiempo que corresponde a un periodo de pago. Pasa a la siguiente hoja y contesta la práctica # 6 SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 42 PRÁCTICA # 6 I PARTE. COMPLETAR. Lee las siguientes preguntas y responde de acuerdo a lo aprendido. 1. ¿Qué es una anualidad diferida? _________________________________________________________ _________________________________________________________ 2. ¿Qué es un intervalo de aplazamiento? _________________________________________________________ _________________________________________________________ 3. Marca con una “X” bajo que característica se clasifica una anualidades diferida. Tiempo Interés Pago Iniciación 4. Cómo se mide el intervalo de aplazamiento: _____________________________________________________ _____________________________________________________ ANUALIDAD DIFERIDA Verifica tus respuestas en la siguiente hoja SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 43 REINFORMACIÓN Una anualidad diferida es aquella cuyo plazo comienza después de transcurrido un intervalo Es el tiempo transcurrido entre la fecha inicia, o fecha de valoración de la anualidad y el primer pago. Iniciación de los pagos. Se utiliza como unidad el tiempo que corresponde a un periodo de pago. TUS RESPUESTAS SON CORRECTAS PUEDES PASAR A LA PRÓXIMA TAREA. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 44 OBJETIVO DE PROCESO: 1. Hallar el valor presente de una anualidad diferida. CONTENIDO: 1. Anualidades diferidas - Valor presente Por lo general, las anualidades diferidas se analizan como ordinarias o vencidas; de manera que al hablar de una anualidad diferida, se supone que es vencida. Calculo del valor presente: Una anualidad vencida diferida k periodos, de A periodos pagaderos durante N periodos, a la tasa i por periodo es: Ad = 1 − (1 + R i n i −N n ) ( 1 + i −k n ) Ejemplo #1. Una compañía frutera sembró cítricos que empezarán producir dentro de 5 años. La producción anual se estima en unos 400000 y ese rendimiento se mantendrá por espacio de 20 años. Hallar con la tasa de del 6% el valor presente de la producción. Solución: 5 pagos Primer pago 20 pagos 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 i 1 − (1 + n ) − N i ( 1 + n ) − k Ad = R i n 1 − (1 + 0.106 ) −20 ( 1 + Ad = 400000 0.06 1 0.06 −5 1 ) Ad = 3428396.95 45 EJEMPLO # 2. Un granjero compro un tractor el 1º de marzo, comprendiendo que haría pagos mensuales de 200 durante 24 meses, el primero con vencimiento el 1º de octubre. Si el interés es al 12% convertible mensualmente, hallar el valor de contado equivalente? SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 24 meses 6 meses 0 Primer pago 24 pagos 1 − (1 + ni ) − N i ( 1 + n ) − k Ad = R i n .12 1 − (1 + 012 ) −24 .12 (1 + 012 ) −6 Ad = 200 0.12 12 Ad = 4202.45 EJEMPLO # 3. El primero de junio de 1958 se compra un negocio con 10 000 de cuota inicial y 10 pagos trimestrales cada uno, el primero con vencimiento el primero de junio de 1961. ¿Cuál es el valor de contado del negocio suponiendo interesés al 6% convertible trimestralmente? 10 periodos de pagos K = 11 periodos de pagos 1 − (1 + Ad = R i n i −N n ) ( 1 + i −k n ) 1 − (1 + 0.406 ) −10 (1 + 0.406 ) −11 =19572..55 = 2500 0.06 4 El valor de contado sería: 19572.55 + 10000 = 29572.55. 46 EJEMPLO # 4. En esta fecha, Juan adquiere un préstamo de 25000 para adquirir un plantío de frutas cíotricas. Piensa liquuidar el préstamo con interesés del 5 1 en 10 pagos anuales 2 iguales, haciendo el primero en ocho (8) años. Hallar el pago anual. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 1 − (1 + Ad = R i n i −N n ) ( 1 + i −k n ) 1 − (1 + 0.055 ) −10 1 ( 1 + 25000 = R 0.055 1 25000 0.55 − 7 1 ) 1 − (1 + 0.055 ) −10 1 ( 1 + = R 0.055 1 =R 0.55 − 7 1 ) 25000(0.055) (1 − (1 + 0.055) −10 )(0.055) −7 4824.73 = R SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 47 SÍNTESIS DE LA SÉPTIMA TAREA CONCEPTOS IMPORTANTES las anualidades diferidas se analizan como ordinarias o vencidas; de manera que al hablar de una anualidad diferida, se supone que es vencida. es la fórmula para calcular el valor presente de una anualidad diferida. Resuelve la práctica # 7 SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 48 PRÁCTICA # 7 I PARTE. Aplica los conocimientos adquiridos, y resuelve los siguientes problemas. 1. Calcular el valor actual de una renta de 5000 semestrales, di el primer pago debe recibirse dentro de 2 años, y el último dentro de 6 años, si la tasa de interés es del 8% convertible semestralmente. 2. Una huerta avaluada en 15000 es vendida con 5000 de cuota inicial. El comprador acuerda pagar el saldo con intereses al 5% convertible semestralmente, mediante, 10 pagos semestrales iguales de “R”. El primero con vencimiento dentro de 4 años. Hallar “R”·. 3. Alguien desea establecer un fondo, de tal manera que un hospital que estará terminando dentro de cinco (5) años reciba para su funcionamiento una renta anual 25000000 durante 20 años. Hallar el fondo, si gana el 8% de interés. Verifica tus respuestas en la hoja siguiente. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 49 REINFORMACIÓN ESTAS SON LAS RESPUESTAS DE LA PRÁCTICA # 7 1. 33049.91 2. 1358.18 3. 184066.23 TUS RESPUESTAS SON CORRECTAS, PUEDES PASAR A LA TAREA #8. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 50 OBJETIVO DE PROCESO: 1. Calcular el valor de los pagos de una anualidad perpetua. CONTENIDO: 1. Anualidades perpetuas - Definición - Pago Una perpetuidad es una anualidad cuyo pago se inicia en una fecha fija y contuinua para siempre. Con la suposición que una compañía nunca quebrará, los dividendos sobre sus acciones preferentes pueden considerarse como una perpetuidad. En este caso especial de perpetuidad no se puede hablar de monto, sin embargo tien un valor presente definido. Consideremos una perpetuidad de R pagaderos al final de cada período de interés, sobre la base de un interés i por período. El valor presente de la perpetuidad es simplemente la cantidad A que en un período de interés produce R de interéses, esto es Ai = R es decir que A lo obtenemos: A= R i n Para tener una mejor idea de cómo calcular los pagos, veamos losa siguientes ejemplos: Ejemplo # 1. La compañía “sin fin” espera pagar 2.50 cada seis meses, indefinidamente, como dividendos sobre sus acciones. Suponiendo un rendimiento de 6% convertible semestralmente, ¿Cuánto debería estar dispuesto a pagar “B” por cada acción? Solución: Queremos saber cual es el valor presente “A”, A= R i n A= 2.50 0.06 2 A = 83.33 SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 51 En el ejemplo presentado hay que destacar que el pago coincide con el período de interés. En algunas ocasiones el pago y el período de interés no coinciden, en estos casos primero buscamos la tada de intrés quivalente (interes simple) por período de pago y después utilizamos la fórmula poara el cálculo de del valor presente. Ejemplo # 2. La compañía “sin fin” espera pagar 2.50 cada seis meses, indefinidamente, como dividendos sobre sus acciones. Suponiendo un rendimiento de 5% convertible trimestralmente, ¿Cuánto debería estar dispuesto a pagar “B” por cada acción? Solución: Como los pagos son semestrales y los períodos de interés son trimestrales, calcularemos una tasa efectiva de interés equiivalente a la tasa de interes trimestral. % Semestral (1 + 1+ 1+ 1+ i 2 i 2 i 2 i 2 Trimestral = = = = = = (1 + i 4 4 i 4 )2 (1 + (1 + ) ) )4 0.05 4 )2 (1 + 0.0125)2 ((1.0125)2 – 1)(2) 0.025156 i i Calculando A= R i n A= 2.50 0.25156 A = 99.38 SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 52 Ejemplo # 3. La compañía “sin fin” espera pagar 2.50 cada seis meses, indefinidamente, como dividendos sobre sus acciones. Suponiendo un rendimiento de 5% convertible efectiva, ¿Cuánto debería estar dispuesto a pagar “B” por cada acción? Solución: Los pagos son semestrales y los períodos de interés son anuales, calcularemos una tasa efectiva de interés equiivalente a la tasa de interes anual. % Semestral (1 + 1+ 1+ i 2 i 2 i 2 i 2 anual (efectiva) = = = = = = 1 + 0.05 )2 1.05 1.024695 1.024695 - 1 (0.24695)(2) 0.04939 i i Calculando A= R i n A= 2.50 0.024695 A = 101.24 SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 53 Perpetuidad es una anualidad cuyo pago se inicia en una No sepuede hallar el monto de una perpetuidad, porque En una perpetuidad el valor presente esta dado por en Puedes pasar a la siguiente tarea. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 54 PRÁCTICA # 8 I PARTE. Resuelve Los problemas que se te plantean a continuación: 1. Hallar el valor presente de una perpetuidad de 780 pagaderos al final de cada año, suponiendo un interés del 6% efectivo. 2. Hallar el pago quincenal de una perpetuidad cuyo valor presente es 36000 suponiendo un interés de 4% convertible semestralmente. 3. Suponiendo que una granja produzca 5000 anuales indefinidamente, ¿Cuál es su valor real sobre la base de 5%? Compara tus respuestas en la siguiente hoja. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 55 REINFORMACIÓN 1. Sol. 13000 2. Sol. 720 3. Sol Te felicito tus respuestas son correctas, puedes pasar a la tarea # 9. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 56 OBJETIVO DE PROCESO: 1. Definir el concepto de anualidad general. 2. Convertir una anualidad general en una anualidad simple. CONTENIDO: 1. Anualidades general - Concepto - pagos anuales equivalentes. En las tareas anteriores, se han tratado diferentes tipos de anualidades y se han presentado prácticas para calcular el monto y valor presente según el tipo de anualidad. La práctica comercial y financiera implican anualidades que tienen un período de capitalización igual al periodo de pago, es decir son anualidades ciertas, pero en los casos que no hay coincidencia entre el período de pago y el de capitalización, se dice que entonces existe una anualidad general. Una anualidad general es aquella cuyos periodos de pago y capitalización no son iguales. Para trabajar este tipo de anualidad es importante tener en cuenta que se deben realizar algunos cambios: 1. Cambiar la tasa de interés por una equivalente. 2. Reemplazar los pagos dados, por pagos equivalentes. Esta segunda opción es la que emplearemos para resolver los problemas de valor presente y valor futuro. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 57 CONVERSIÓN DE UNA ANUALIDAD GENERAL EN UNA ANUALIDAD GENERAL. Consiste en hacer ajustes en la forma de capitalizar, de forma tal que los pagos sean equivalentes. Emplearemos la fórmula (1 + X i K n i n ) − 1 =R EJEMPLO # 1. Si el interés es del 6% convertible trimestralmente, reemplazar un pago de 2000 al final de cada año por pagos equivalentes al final de cada trimestre. Solución: 0.06 4 1 + − 1 4 x = 2000 (n a .06 4 x( 4.090903 ) = 2000 2000 x = 4.090903 x = 488.89 = 4 porque 4 trimestres en el año) Por lo tanto el pago es de 488.89 EJEMPLO #2. Con intereses al 6% convertible semestralmente, sustituir pagos de 1000 al final de cada mes por pagos equivalentes al final de cada 6 meses. Solución: 0.06 1 + − 1 2 x = 1000 0.06 2 1 6 (n = 1 6 , el periodo originas es semestral) x( 0.164621) = 1000 1000 0.164621 x = 6074.57 x = El nuevo pago equivalente es 6074.57 SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 58 EJEMPLO # 3. Con intereses al 4% convertible trimestralmente, ¿Qué pago hecho al final de cada trimestre s equivalente al final de cada 6 medio año? Solución: 0.04 2 1 + − 1 4 x 0.04 = 500 4 x( 2.01) = 1000 x = x= (n = 2, hay dos trimestres en medio año.) 500 2.01 248.76 El nuevo pago equivalente es 248.76 SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 59 SÍNTESIS DE LA NOVENA TAREA. RECUERDA LOS ELEMENTOS MÁS IMPORTANTE DE ESTA TAREA. Una anualidad general es aquella cuyos períodos de pago y de capitalización no son iguales. Para hallar el monto y valor presente de una anualidad general se debe buscar que: Las tasas de interés sean equivalentes Los pagos sean equivalentes a los pagos dados. Estos cambios se hacen para transformar la anualidad general en una ordinaria y entonces buscar el factor necesario. Pasa a la práctica # 9 SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 60 PRÁCTICA # 9 I PARTE. Responde las interrogantes que se te presentan continuación. 1. ¿Qué es una anualidad general? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 2. Con intereses al 5% efectivo, ¿Qué pago hecho al final de cada año es equivalente a 250 al final de cada trimestre? 3. Con la tasa del 8% convertible semestralmente, sustituir pagos de 1000 al final de cada mes por pagos semestrales. 4. Sustituir por pagos trimestrales, a un interés del 12% convertible trimestralmente, una renta de 10000 por semestre. Verifica tus respuestas en la hoja siguiente. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 61 REINFORMACIÓN. 1. Una anualidad general es aquella cuyos períodos de pago y de capitalización no son iguales 2. SOL. 1018.56 3. SOL. 6099.24 4. SOL. 4926.11 TUS RESPUESTAS SON CORRECTAS PUEDES PASAR A LA PRÓXIMA TAREA. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 62 OBJETIVO DE PROCESO: 1. Calcular el valor presente de una anualidad general. CONTENIDO: 1. Anualidades generales - Valor presente En la tarea # 9 al convertir los pagos de una anualidad general en otra simple equivalente, lo cual permite aplicar todo lo estudiado sobre anualidades simples sin restricción a los casos de las generales. Por lo tanto el valor presente se puede encontrar sin necesidad de recurrir a fórmulas distintas a las tratadas en las tareas anteriores. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD GENERAL. Para hallar el valor presente, primero transformamos el pago de la anualidad general en otro equivalente de una anualidad simple, y aplicamos la fórmula de valor presente de anualidades simples: Veamos este procedimiento con algunos ejemplos: 1 − (1 + A = R i n i −N n ) EJEMPLO # 1. Hallar EL valor presente de una anualidad de 10000 anual por cinco (5) años, a una tasa del 8% convertible trimestralmente. Solución: Transformar el pago de 10000 anuales a “X” trimestral Para calcular el pago K es la equivalencia en el tiempo, si n es el período de pago en el año (4 trimestre) entonces para transformar de trimestres a años, k = 4. N es la cantidad total de períodos de pagos. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 63 EJEMPLO # 2. El comprador de una granja pagará 10000 de inmediato y 1000 al final de cada seis (6) meses durante 10 años. Si el importe es del 5% convertible trimestralmente. ¿Cuál es el valor en efectivo? Solución: Transformar el pago de 1000 semestral a “X” trimestral Para calcular el pago K es la equivalencia en el tiempo, si n es el período de pago en el año (4 trimestre) entonces para transformar de trimestres a semestres, k = 2. N es la cantidad total de periodos de pago. EJEMPLO # 3. Hallar el valor presente de 28 cuotas de 5000 que se recibirán cada final de mes, a la tasa efectiva del 6% anual. Solución: Transformar el pago de 1000 semestral a “X” trimestral Para calcular el pago 0.06 es tasa efectiva ya esta dividido por el período de pagos en el año. Si n es el período de pago 1 en el año entonces para transformar de años meses, k = 12 . N es la cantidad total de periodos de pago. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 64 SÍNTESIS DE LA TAREA # 10. 1. El valor presente de una anualidad general, al momento de transformar los pagos por sus equivalentes se convierte en una anualidades simple. 2. Para encontrar el valor presente: se tranforma el pago. Por otro equivalente se utilizan las fórmulas de anualidades simples. Verifica tus conocimientos resolviendo la práctica # 10 SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 65 PRÁCTICA # 10 Resuelve los problemas que te presento a continuación: 1. Una casa puede ser comprada con 5000 de cuota inicial y 100 al final de cada mes por los próximos 10 años. Con intereses al 6% convertible trimestralmente. ¿Cuál es el valor de contado>? 2. Un contrato estipula el pago de 5 al final de cada semana durante 50 semanas. Hallar el equivalente en efectivo del contrato suponiendo intereses al 7 1 % , convertible mensualmente. 2 3. En un club de ventas ofrece un artículo para pagarlo en 20 cuotas de 300 cada .una por quincenas. Si la tasa efectiva es del 2% mensual. Hallar el valor de contado. Ahora vamos a verificar las respuestas. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 66 REINFORMACIÓN 1. Solución 14019.48 2. Solución 240.33 3. Solución 5947.84 SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 67 OBJETIVO DE PROCESO: 1. Calcular el valor presente de una anualidad general. CONTENIDO: 1. Anualidades generales - Valor futuro o monto El valor futuro se encuentra sin necesidad de recurrir a fórmulas distintas a las tratadas en las tareas anteriores. De igual forma que la tarea anterior, primero transformaremos los pagos por otros equivalentes, y después emplearemos la fórmula usada para valor futuro. Para transformar el pago en otro equivalente (1 + X i K n i n ) − 1 =R que usamos en la tarea # 10. VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD GENERAL. Para hallar el valor presente, primero transformamos el pago de la anualidad general en otro equivalente de una anualidad simple, y aplicamos la fórmula de valor presente de anualidades simples: Veamos este procedimiento con algunos ejemplos: (1 + S = R i N n i n ) − 1 EJEMPLO # 1. Hallar EL valor presente de una anualidad de 10000 anual por cinco (5) años, a una tasa del 8% convertible trimestralmente. Solución: Transformar el pago de 10000 anuales a “X” trimestral Para calcular el MONTO K es la equivalencia en el tiempo, si n es el período de pago en el año (4 trimestre) entonces para transformar de trimestres a años, k = 4. N es la cantidad total de períodos de pagos. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 68 EJEMPLO # 2. María deposita 150 al final de cada mes, en un banco que paga 4% convertible semestralmente. ¿Cuánto tendrá en su cuenta después de cinco (5) años? Solución: Transformar el pago de 150 mensual a “X” semestral Para calcular el monto K es la equivalencia en el tiempo, si n es el período de pago en el año (2 semestres) entonces para transformar de meses a semestres, k = 1 6 . N es la cantidad total de periodos de pago. EJEMPLO # 3. Hallar el monto de una anualidad de 1500 por seis (6) años con intereses al 6% convertible semestralmente. Solución: Transformar el pago de 1500 anual a “X” semestral Para calcular el pago 0.06 es tasa efectiva ya esta dividido por el período de pagos en el año. Si n es el período de pago 1 en el año entonces para transformar de años meses, k = 12 . N es la cantidad total de periodos de pago. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 69 SÍNTESIS DE LA TAREA # 11 . El monto de una anualidad general, al momento de transformar los pagos por sus equivalentes se convierte en una anualidades simple. 2. Para encontrar el valoe futuro: se tranforma el pago. Por otro equivalente i N se utilizan lasfórmulas de 11 1 + n − anualidades simples. A= X ( ) i n SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 70 PRÁCTICA # 11 Encuentra el valor futuro de las siguientes anualidades. 1. Hallar el monto de 1000 trimestrales, por cinco (5) años al 6% convertible semestralmente. 2. Hallar el monto de 100 al final de cada mes durante cuarenta (40) meses suponiendo intereses de 5% efectivo. 3. La compañía de luz deposita 10000 al final de cada año a un fondo que gana interés al 4% convertible trimestralmente. ¿Cuánto habrá en el fondo al término de 4 años? Lo has logrado, ahora pasa a la tarea # 11 SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 71 REINFORMACIÓN 1.- 23098.15 2. - 4334.82 3. - 150777.65. Te felicito tus respuestas han sido correctas, pasa ahora a la tarea #12 SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 72 OBJETIVO DE PROCESO: 1. Calcular el pago anualidad general. de una CONTENIDO: 1. Anualidades Generales - Pagos o renta Cuando se requiere el pago periódico “R” de una anualidad general se aplica el mismo método de convertir los pagos de la anualidad y se despeja el valor de la renta "R”. Ejemplo # 1. Un inversionista compra una propiedad en 650000 a 15 años de plazo, con un pago iniciadle 150000 y el saldo con cuotas trimestrales al 4% de interés efectivo anual. Hallar los pagos realizados al final de cada trimestre. Transformar el pago “R” anual a “X” trimestral Para calcular el pago Ejemplo # 2.La compañía “X” desea acumular 10000 en un fondo al término de 12 años. Que depósitos “R” al final de cada mes, debe hacerse, si el fondo paga el 4% convertible semestralmente Transformar el pago “R” semestral a “X” mensual Para calcular el pago SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 73 SÍNTESIS DE LA TAREA # 12 Las obligaciones financieras en ocasiones son cumplidas mediante pagos dentro del período de la obligación, o en la fecha de vencimiento. Parra hallar cuanto es el pago periódico de una anualidad general: Se convierte el pago periódico de la anualidad por otro equivalente. Se despeja R que representa el pago o renta. Resuelve la práctica # 12 SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 74 SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 75 PRÁCTICA # 12 Aplica lo aprendido y resuelve los problemas que te presento a continuación: 1. Un automóvil cuyo valor de contado es 3500 es vendido en 1000 de cuota inicial y con pagos iguales “R” al final de cada mes por los próximos 15 meses. Hallar “R” si el interés del 8% efectivo. 2. Qué cantidad tendría que ser invertida al final de cada año por los próximos 8 años, al 4% convertible semestralmente, para tener 5000 al final del plazo? VERIFICA TUS RESULTADOS EN LA SIGUIENTE HOJA. SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 76 SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 77 REINFORMACIÓN 1. Solución 175.37 2. Solución 541.86 SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 78 SAMUEL A. CASTILLO R. MAT 205 PÁG. 79 BIBLIOGRAFÍA GENERAL 1. Ayres, Frank. Matemáticas Financieras. Editorial Mc Graw-Hill. 2. Baca Currea, Guillermo Matemática Financiera y los Sistemas. Editorial Comex. 3. Haenssler Jr., Ernest y Paul S. Richard matemática para la administración y la economía. 4. Haussler, Richard P. Matemática para administración y Economía. 5. Uncoyan Portus, Govinden Matemáticas Financieras. Editorial Mc Graw-Hill
Report "Guía de Austoinstrucción de a Financier A 2"