Guía de EjerciciosMTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática GUÍA DE EJERCICIOS MATEMÁTICA – MTIN01 Material realizado por: David Contreras Cristina Fuenzalida CIENCIAS BÁSICAS 1 ÁREAS TRANSVERSALES VICERRECTRÍA ACADÉMICA DE PREGRADO Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Contenido Unidad 1: Resolución de problemas y análisis de la información ............................................................................5 Conocimientos previos .........................................................................................................................................5 Ejercicios genéricos: .........................................................................................................................................5 Aprendizaje 1.1 Resuelve situaciones problemáticas mediante estrategias aritmético algebraicas, comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores. ...................... 10 Ejercicio resuelto 1: ....................................................................................................................................... 11 Ejercicio resuelto 2: ....................................................................................................................................... 14 Ejercicios propuestos: Genéricos. ................................................................................................................. 16 Aprendizaje 1.2 Analiza información entregada en tablas y gráficos, comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores......................................................................................... 23 Ejercicio resuelto 1: ....................................................................................................................................... 24 Ejercicio resuelto 2: ....................................................................................................................................... 27 Ejercicios propuestos: Genéricos .................................................................................................................. 30 Ejercicios propuestos para la unidad ................................................................................................................. 34 Mecánica ....................................................................................................................................................... 34 Construcción .................................................................................................................................................. 35 Procesos Industriales ..................................................................................................................................... 36 Unidad 2: Proporcionalidad y porcentajes ............................................................................................................ 37 Aprendizaje 2.1 Resuelve problemas que involucren razones, proporciones y porcentajes estructurando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores. ................................................................................................................................................... 37 Ejercicio resuelto 1 ........................................................................................................................................ 38 Ejercicio resuelto 2 ........................................................................................................................................ 39 Ejercicio resuelto 3 ........................................................................................................................................ 40 Ejercicio resuelto 4 ........................................................................................................................................ 41 Ejercicio resuelto 5 ........................................................................................................................................ 43 Ejercicio resuelto 6 ........................................................................................................................................ 44 Ejercicios propuestos: Genéricos. ................................................................................................................. 48 2 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicios propuestos para la unidad ................................................................................................................. 58 Mecánica ....................................................................................................................................................... 58 Construcción .................................................................................................................................................. 59 Procesos Industriales ..................................................................................................................................... 60 Unidad 3: Álgebra .................................................................................................................................................. 61 Aprendizaje 3.1 Desarrolla operatoria algebraica utilizando estrategia de valorización, reducción de términos semejantes, factorización y simplificación, explicando los pasos aplicados. .................................................... 61 Ejercicio resuelto 1: ....................................................................................................................................... 62 Ejercicio resuelto 2: ....................................................................................................................................... 63 Ejercicios propuestos: Genéricos. ................................................................................................................. 64 Aprendizaje 3.2 Resuelve problemas que involucren el planteamiento y resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones mediante la utilización de procedimientos algebraicos y representación gráfica, explicando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores. .............. 68 Ejercicio resuelto 1: ....................................................................................................................................... 69 Ejercicio resuelto 2: ....................................................................................................................................... 70 Ejercicio resuelto 3: ....................................................................................................................................... 72 Ejercicios propuestos: Genéricos.................................................................................................................. 74 Aprendizaje 3.3 Resuelve problemas que involucren el planteamiento y resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones mediante la utilización de procedimientos algebraicos y representación gráfica, explicando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores. ................................................................................................................................................... 79 Ejercicio resuelto 1: ....................................................................................................................................... 80 Ejercicio resuelto 2: ....................................................................................................................................... 81 Ejercicios propuestos: Genéricos. ................................................................................................................. 83 Ejercicios propuestos para la unidad ................................................................................................................. 87 Mecánica ....................................................................................................................................................... 87 Construcción .................................................................................................................................................. 88 Procesos Industriales ..................................................................................................................................... 89 3 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Unidad 4: Funciones .............................................................................................................................................. 91 Aprendizaje 4.1 Representa funciones en forma tabular, gráfica y analítica describiendo sus características generales, comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores. ....................................... 91 Ejercicio resuelto 1: ....................................................................................................................................... 92 Ejercicios propuestos: Genéricos: ................................................................................................................. 93 Aprendizaje 4.2 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas cuyos modelos correspondan a funciones afines, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas. ................................ 102 Ejercicio resuelto 1: ..................................................................................................................................... 103 Ejercicio resuelto 2: ..................................................................................................................................... 105 Ejercicio resuelto 3: ..................................................................................................................................... 107 Ejercicio resuelto 4: ..................................................................................................................................... 109 Ejercicio resuelto 5: ..................................................................................................................................... 110 Ejercicio resuelto 6: ..................................................................................................................................... 112 Ejercicio resuelto 7: ..................................................................................................................................... 114 Ejercicio resuelto 8: ..................................................................................................................................... 116 Ejercicios propuestos: Genéricos. ............................................................................................................... 118 Ejercicios propuestos para la unidad ............................................................................................................... 122 Mecánica ..................................................................................................................................................... 122 Construcción ................................................................................................................................................ 124 Procesos Industriales ................................................................................................................................... 126 4 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Unidad 1: Resolución de problemas y análisis de la información Conocimientos previos Ejercicios genéricos: 1. Calcula el m.c.m. y el m.c.d. entre los siguientes números. a) 70 y 120 b) 168 y 504 c) 130 y 455 d) 28, 35 y 56 e) 16, 120 y 210 f) 252, 308 y 504 2. Completa la siguiente tabla. Fracción Fracción Número decimal Número decimal irreductible irreductible ̅ ̅̅̅̅ ̅ ̅̅̅̅ 3. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando propiedades de potencias. a) b) c) d) e) f) g) 5 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 4. Realiza las siguientes operaciones sin calculadora, utilizando propiedades de raíces. √ √ (√ √ ) √ a) √ √ √ b) √ √ √ c) d) ( √ )( √ ) e) ( √ ) √ (√ √ ) f) ( √ ) (√ √ )(√ √ ) 5. Racionaliza los siguientes radicales. √ a) √ b) √ c) √ √ d) √ e) √ f) √ 6. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando prioridad de las operaciones. a) b) √( ) ( ( ) ) ̅ ̅ ( ) c) d) ( ) ( ) ( ) (√ ) e) ̅) f) √ (( √ ) ̅ g) h) 7. En la calculadora científica los órdenes de las operaciones se introducen con paréntesis. Así por ejemplo, ( ) ( ) Se ingresa como ( ( ( ) ) ( ) ) 6 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática En cada uno de los siguientes ejercicios, reescribe la expresión para ser ingresada a la calculadora usando el mínimo de paréntesis y anota el resultado. Operación planteada Expresión para ser ingresada a la calculadora usando el Resultado mínimo de paréntesis √ a) ( ) b) c) ( ) d) e) f) 7 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Soluciones: 1. a) b) c) d) e) f) 2. Fracción Fracción Número decimal Número decimal irreductible irreductible ̅ ̅̅̅̅ ̅ ̅ ̅̅̅̅ ̅ 3. a) b) c) d) e) f) g) 4. a) √ b) √ √ c) √ √ d) e) √ f) √ 5. √ √ √ a) b) c) √ e) √ √ d) f) 6. a) √ c) b) d) e) f) g) h) 8 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 7. Operación planteada expresión para ser ingresada a la calculadora Resultado usando el mínimo de paréntesis √ (√ ) ( ) a) ( ) b) (( ) ) (( ( )) ) ( ) ( ) ( ) c) d) ( ( ) ) ( ) ( ( )) e) f) ( ( )) 9 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Aprendizaje 1.1 Resuelve situaciones problemáticas mediante estrategias aritmético algebraicas, comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores. Criterios de evaluación: 1.1.1 Identifica los datos de un problema, verificando coherencia y falta de información. 1.1.2 Propone una estrategia para resolver un problema verificando pertinencia y validez. 1.1.3 Aplica procedimientos matemáticos para la resolución del problema. 1.1.4 Comunica los resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores. Para resolver un problema, recuerda: a) Leer detenidamente el enunciado e identificar: datos, incógnitas y relaciones. b) Trazar una estrategia de resolución. Establecer hipótesis. c) Resolver el problema. d) Comunicar los resultados de manera efectiva y acorde a la situación e interlocutores. 10 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 1: Los alumnos de una sección de la sede, están preparando una salida para celebrar los cumpleaños del mes. de la clase prefiere salir el viernes, prefiere salir el sábado y los 8 restantes, solo pueden salir de lunes a jueves por razones de trabajo. ¿Cuál es el total de alumnos que puede salir viernes o sábado? Solución: Procedimiento N° 1 a) Identificar datos - de la clase prefiere salir el viernes. - de la clase prefiere salir el sábado. - 8 alumnos pueden salir de lunes a jueves. b) Establecer estrategia de resolución Se utilizará ecuaciones de primer grado. c) Resolver problema Sea el número de alumnos de la clase. Entonces, de la clase se escribe y de la clase se escribe . Por lo tanto, la cantidad total de alumnos se calcula: ⏟ ⏟ ⏟ Luego podemos plantear la siguiente ecuación 11 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática A continuación se muestran dos procedimientos para resolverla Procedimiento 1 Procedimiento 2 Finalmente, si 30 es el total de alumnos y 8 pueden salir de lunes a jueves, entonces los 22 restantes salen viernes o sábado d) Comunicar resultados 22 alumnos prefieren salir viernes o sábado Procedimiento N° 2 a) Identificar datos - fracción de alumnos que prefiere salir el viernes: - fracción de alumnos que prefiere salir el sábado: - N° de alumnos que puede salir de lunes a jueves: 8 b) Estrategia de resolución Se utilizará propiedades de fracciones. 12 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática c) Resolver problema Vamos a calcular la fracción que corresponde a los 8 alumnos (⏟ ) Si corresponde a 8 alumnos, entonces de la clase se calcula 8:4, como se representa a continuación 2 2 8 alumnos = 2 2 Luego si 2 alumnos corresponden a , entonces el total de alumnos se calcula d) Comunicar resultados Si 30 es el total de alumnos y 8 pueden salir de lunes a jueves, entonces los 22 restantes salen viernes o sábado. 13 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 2: Calcular la cantidad aproximada de alambre que se necesita para construir un cubo en que el área de una cara es 20 cm2. Solución: a) Identificar datos - Una de sus caras tiene una superficie de 20 cm2, como se muestra en el dibujo 20 cm2 b) Estabelcer estrategia de resolución Al determinar la cantidad de alambre del cubo, se esta haciendo referencia a la arista del cubo. Como la información entregada en el enunciado hace referencia al área de una de las caras, se utilizará la fórmula de área de un cuadrado para calcular la medida de la arista y luego se multiplicará por el total d earistas del cubo. c) Resolver problema Sea la medida de una arista del cubo X X 20 cm2 X X Sabemos que el área de un cuadrado se calcula multiplicando la medida de sus lados, luego / estramos la raíz cuadrada √ √ /√ | | | | 14 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática √ / simplificando la raíz cuadrada √ √ Por lo tanto, la longitud de la arista del cubo es √ . Se sabe además que un cubo tiene 12 aristas, entonces para determinar la cantidad necesaria de alambre para construir el cubo, se debe multiplicar 12 por la longitud de una arista. √ √ Utilizando la calculadora y aproximando a las centésimas, se obtiene: √ d) Comunicar resultados Para la confección del cubo se necesita aproximadamente 53,7 cm de alambre. Observación: Es importante realizar las aproximaciones de los números irracionales solo al finalizar el ejercicio, ya que la aproximación no es una igualdad, por ende, si se van realizando aproximaciones en cada paso, el margen de error aumenta y esto repercute en la precisión de la respuesta. 15 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicios propuestos: Genéricos. 1. Un huevero tiene ante si seis cestas de huevos. Cada una tiene huevos de una clase, de gallina o de pata. El número de huevos de cada cesta es: 6, 12, 14, 15, 23 y 29. El huevero señala una cesta y dice: “Si vendo esta cesta me quedarán el doble de huevos de gallina que de pata” ¿De qué cesta habla? 2. En la biblioteca de un establecimiento de educación superior, los libros pueden ser colocados de 7 en 7, de 5 en 5, de 11 en 11 o de 21 en 21, sin que sobren ni falten libros. ¿Cuántos libros hay si en total son más de 3000 y menos de 4000? 3. En una librería se compraron 432 cuadernos, 288 gomas y 336 lápices para ofrecer una pack de útiles escolares. Si cada pack debe tener el mismo número de artículos de cada tipo y se utilizan todos los artículos ¿Cuál es el mayor número de pack que se pueden hacer? ¿Cuántos artículos de cada tipo tiene un pack? 4. Gastón tiene algunas tablas de 2 por 5 pulgadas y de diferentes largos. Algunas son de 60 pulgadas de largo y otras son de 72. Desea cortarlas a fin de obtener piezas de igual longitud ¿Cuál es la mayor longitud de cada pieza que puede cortar sin desperdiciar ningún pedazo? 5. Una sala de eventos mide 2310 cm de largo y 1176 cm de ancho. Se quiere cubrir todo el piso sólo con baldosas cuadradas ¿Cuál debe ser la medida del lado de cada baldosa si se desea utilizar el menor número posible de baldosas? ¿Cuántas baldosas se necesitan? 6. En una competencia de bicicletas dentro de una pista circular, los competidores comienzan en el mismo lugar y avanzan en la misma dirección. Uno de ellos completa una vuelta cada 40 segundos, mientras que otro lo hace cada 45 segundos. ¿Cuántos minutos pasarán hasta que ambas alcancen de nuevo el punto de salida simultáneamente? 7. En la industria vitivinícola Santa Rita hay dos toneles, uno de vino blanco y otro de vino tinto, cuyas capacidades son 154 y 210 litros de vino respectivamente. Si se quieren que las garrafas para envasar el vino tengan igual capacidad y utilizar el menor número posible de ellas ¿Cuál debe ser la capacidad de las garrafas para desocupar completamente los toneles? 8. En una caja hay el doble de monedas que en otra. Si se extraen 7 monedas de la primera y se depositan en la segunda caja, en ambas queda el mismo número de monedas ¿Cuántas monedas tenía al principio cada caja 9. Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje corregido se calcula de la siguiente manera: “Cada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalen a 1 mala”. ¿Cuál es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo 15 malas y 9 omitidas? 10. Con pequeños cuadrados congruentes dispuestos como se muestra en la figura siguiente, se construye otro cuadrado. ¿Cuántos cuadrados tiene la figura 2013? 16 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 11. Se tienen tres bolsas cerradas que contienen dos frutas cada una. En una hay dos manzanas, en otra hay dos naranjas y en la tercera hay una naranja y una manzana. Las bolsas están marcadas como se indica, pero se sabe que los rótulos están equivocados. ¿Es posible saber el contenido de las tres bolsas, abriendo sólo una y extrayendo una fruta sin mirar la otra? Justifica tu respuesta. 12. El cajero de una compañía se da cuenta, al hacer el arqueo, que falta del total del dinero recaudado ¿Qué parte de lo que queda restituiría lo perdido? 13. Un pueblo decide pavimentar una calle principal. Con los aportes de los habitantes se pudo pagar la mitad de la obra. El Intendente pide ayuda a la nación y a la provincia. El aporte provincial será el triple del nacional, y la mitad del hecho por los vecinos pero aun así faltarán $ 1.650.000 ¿Cuánto cuesta la obra? 14. Un hombre reparte un campo entre sus hijos. Al primero le entrega un cuarto del terreno, al segundo le entrega la tercera parte del terreno y al tercero 20 hectáreas. ¿Cuántas hectáreas tiene el terreno? 15. En la preparación de una ensalada de frutas se ocupa kg de uva a $ 300 el kilogramo, kg de frutilla a $ 450 el kilogramo, kg de manzanas a $ 200 el kilogramo, medio kilo de plátanos a $280 el kilogramo y kg de peras a $ 180 el kilogramo. ¿Cuál es el precio promedio de la mezcla? ¿Cuál es el costo de una porción de 220 g? 16. A Claudia le inyectaron un antibiótico que mata, cada día, de las bacterias que están en su cuerpo, es decir, el segundo día le quedan de las bacterias que tenía inicialmente. Construye una tabla que indique el día y la fracción de bacterias que muere por día. ¿Qué fracción de ellas muere al tercer, al cuarto y al octavo día? ¿Es posible que el antibiótico logre en un determinado número de días matar todas las bacterias? Fundamenta tu respuesta. 17. Un biólogo toma una muestra de cierta colonia de bacterias para analizarlas. Después de una ardua investigación descubre que estas se duplican cada una hora. Si la muestra estaba conformada por bacterias al medido día, ¿Cuántas bacterias habrá a las 3 pm y a las 6 pm? ¿Cuántas bacterias habrá a las 12 pm del día siguiente? 18. El átomo de hidrógeno es el más ligero ya que tiene una masa de g ¿Cuántos de estos átomos hay en 1 kg de hidrógeno? 19. La magnitud de la Fuerza con la que se atraen dos objetos físicos cualesquiera, está dada por la fórmula , donde es la fuerza de atracción entre los cuerpos, y son las masas de los cuerpos en kilógramos, es la distancia en metros entre los centros de las masas y es una constante. Se ha determinado que la masa de la tierra es kg, la masa del Sol es kg y la 17 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática distancia que los separa es m. Si , calcula la magnitud de la Fuerza con la que se atraen la tierra y el sol. 20. En el rectángulo ACEG, AB = 9 cm, BC = 21 cm, CD = 11 cm, DE = 9 cm, EF = 11 cm y GH = 7 cm. ¿Cuánto mide el área sombreada? 21. Las farolas de una ciudad tienen la forma de la imagen. Los cristales de la parte superior tienen 26,7 cm de arista superior, 30,7 cm de arista inferior y 15,4 cm de arista lateral. Los cristales de la parte inferior tienen 30,7 cm de arista superior, 21 cm de arista inferior y 37,2 cm de arista lateral. ¿Qué cantidad de cristal tiene cada farola? 22. En la imagen se muestra una pista de carrera para automóviles. a) ¿Cuántos metros se necesitan para delimitar con una banda roja los bordes de la pista? b) ¿Cuánta superficie ocupa el pasto que está al centro de la pista? c) ¿Cuánta superficie tiene la pista? 23. Un perro está atado a una esquina de una caseta cuadrada de 4,2 cm de lado con una cuerda de 7,7 m de longitud. Calcular el área de la región en la que puede moverse. 24. ¿Cuánto mide la arista de un cubo cuya área total es 24 m2? 18 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 25. Una lata de conservas cilíndrica tiene 8,3 cm de altura y 6,5 cm de radio de la base. ¿Cuál es su capacidad? ¿Qué cantidad de material se necesita para su construcción? ¿Qué cantidad de papel se necesita para la etiqueta? 26. El cubo de arista 1,2 m ha sido perforado por un agujero hecho a partir de un cuadrado de lado 0,12 m. Calcula el volumen del cubo con el agujero. 27. Alex tiene un acuario con forma de prisma de base rectangular que contiene agua hasta una profundidad de 50 cm. Sus dimensiones basales son 60 cm de largo y 40 cm de ancho. a) ¿Cuántos litros de agua contiene el acuario? b) Alex notó que cuando hundió una piedra en el acuario el nivel del agua se elevó 4 cm ¿Cuál es el volumen de la piedra? 28. Se echan 7 cm3 de agua en un recipiente cilíndrico de 1,3 cm de radio. ¿Qué altura alcanzará el agua? 29. Una piscina tiene forma de prisma recto cuya base es un trapecio rectángulo, como se muestra en el dibujo. Si su rango de profundidad va de 0,8 m a 2,2 m ¿Cuántos litros de agua, como máximo, puede contener? 30. Con cilíndricos de 47 cm de altura y 16 cm de radio se llena de agua una piscina con forma de paralelepípedo rectangular de 3 m de largo, 2 m de ancho y 1,5 m de alto. ¿Cuántos cilindros es necesario vaciar en la piscina para llenarla? 31. ¿Cuántas copas se pueden llenar con 6 litros de refresco, si el recipiente cónico de cada copa tiene una altura interior de 6,5 cm y un radio interior de 3,6 cm? 32. Se introduce una bola de plomo, de 1 cm de radio, en un recipiente cilíndrico de 3,1 cm de altura y 1,5 cm de radio. Calcula el volumen de agua necesario para llenar el recipiente. 33. Se desea construir un depósito como el de la figura de 10 m de largo, 8 m de ancho y 4 m de alto, con un grosor de las paredes de 25 cm, y estas se van a hacer de mortero. ¿Qué volumen de mortero se necesita para construirlo? ¿Cuál es la máxima capacidad en litros que puede contener el depósito? 19 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 34. Durante una tormenta se registraron unas precipitaciones de 80 litros por metro cuadrado. ¿Qué altura alcanzaría el agua en un recipiente cúbico de 15 cm de arista? Soluciones: 1. De la cesta con 12 huevos. 2. 3465 libros. 3. Se pueden hacer como máximo 48 pack de útiles escolares, donde cada uno contiene 9 cuadernos, 6 gomas y 7 lápices. 4. Cada pieza es de 12 pulgadas. 5. La baldosa cuadrada tiene 42 cm de ancho y se necesitan 1540 baldosas. 6. 6 minutos. 7. Las garrafas deben ser de 14 litros cada una. 8. Una caja tenía 14 monedas y la otra 28. 9. 10 puntos. 10. 8056 cuadrados 11. Si las bolsas están mal etiquetadas se tiene lo siguiente: Dos naranjas o Dos manzanas o Dos manzanas o Posible contenido de la bolsa una manzanas y una manzana y dos naranjas. una naranja una naranja Si se debe abrir una bolsa esta es la marcada con MN, pues contiene dos frutas del mismo tipo, luego al extraer una fruta: Si es naranja la única posibilidad para la bolsa MM es tener una manzana y una naranja y en la 20 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática bolsa NN dos manzanas Si es manzana la única posibilidad para la bolsa NN es tener una manzana y una naranja y en la bolsa MM dos naranjas. Por lo tanto, es posible saber el contenido de cada bolsa solo si extraemos una fruta de la bolsa MN. 12. 13. $9.900.000 14. 48 hectáreas. 15. La mezcla cuesta $685 pesos y 220 g cuestan $67. 16. Al tercer día muere ( ) de bacterias, al cuarto día ( ) y al octavo día ( ) . Sin embargo, no es posible matar todas las bacterias, pues por poco que quede, cada día mata , de las bacterias. 17. A las 3 pm habrá bacterias, a las 6 pm habrá bacterias y a las 12 pm del día siguiente habrá bacterias. 18. átomos 19. ̅ N 20. 310 cm2 21. 5566,6 cm2 2 2 22. a) 409,87 m b) 1144,63 m c) 1024,67 m 23. 158,94 cm2 24. 2 cm 3 2 25. La lata cilíndrica tiene una capacidad de 101,68 cm y para construirla se necesitan 604,44 cm de 2 material y 338,98 cm de papel. 26. 1,7 m2 3 27. a) 120 litros b) 9.600 cm 28. 1,32 cm 21 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 29. 1.530.000 litros 30. 238 cilindros 31. 68 copas 32. 17,72 cm3 33. Se necesitan 3200 m3 de mortero y la piscina tiene una capacidad de 2.798.437,5 litros 34. 8 cm 22 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Aprendizaje 1.2 Analiza información entregada en tablas y gráficos, comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores. Criterios de evaluación: 1.2.1 Recoge información en diversos tipos de gráficos realizando cálculos que permitan dar respuesta a una situación. 1.2.2 Recoge información de tablas realizando cálculos que permitan dar respuesta a una situación. Para resolver un problema, recuerda: a) Leer detenidamente el enunciado e identificar: datos, incógnitas y relaciones. b) Trazar una estrategia de resolución. Establecer hipótesis. c) Resolver el problema. d) Comunicar los resultados de manera efectiva y acorde a la situación e interlocutores. 23 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 1: En una encuesta hecha a la población del gran Santiago se registró las horas en promedio diarias en usos de tecnologías de la información y medios de comunicación de masas como actividad principal por sexo. (Fuente: INE, Instituto Nacional de Estadísticas de Chile) 3 2,5 Promedio de horas diarias 2 1,5 Hombres 1 Mujeres 0,5 0 Leer Escuchar música o Ver TV Navegar por radio Internet Actividades principales a. ¿Cuántas personas fueron entrevistadas? b. ¿Cuántos minutos más dedican los hombres que las mujeres en Navegar por Internet? c. ¿Cuál es el promedio de horas que dedican los santiaguinos en ver televisión? d. ¿Qué fracción del día ocupan las mujeres en Leer? 24 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Solución: a) Identificar datos - El gráfico muestra las horas en promedio diarias en usos de tecnologías de la información y medios de comunicación de masas como actividad principal por sexo. b) Establecer estrategia de resolución La información del gráfico se organiza en una tabla y con esos datos contestamos las preguntas. c) Resolver problema Primero construimos la tabla con los datos del gráfico, como se muestra a continuación 3 Promedio de horas diarias 2,5 2 1,5 1 0,5 Hombres 0 Mujeres Escuchar Navegar por Leer música o Ver TV Internet radio Hombres 1,5 1,6 2,8 2,3 Mujeres 1,5 1,5 2,6 2 Actividades principales Ahora contestamos las preguntas. a. ¿Cuántas personas fueron entrevistadas? Esta información no la entrega el gráfico. b. ¿Cuántos minutos más dedican los hombres que las mujeres en Navegar por Internet? ⏟ ⏟ ⏟ 25 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Como el tiempo está en horas, es necesario transformar la diferencia a minutos. Para ello debemos recordar que una hora equivale a 60 minutos, por lo tanto, hay que multiplicar el tiempo en horas por 60 para obtener los minutos, como se muestra a continuación ⏟ ⏟ c. ¿Cuál es el promedio de horas que dedican los santiaguinos en ver televisión? La frase “los santiaguinos” no hace distinción de sexo, luego es necesario calcular el promedio de horas diarias que utilizan hombres y mujeres en ver televisión. d. ¿Qué fracción del día ocupan las mujeres en Leer? Para determinar la fracción del día debemos comparar mediante una división las horas que en promedio una mujer dedica en un día a leer y el total de horas que tiene un día. Para transformar el decimal a fracción utilizamos la calculadora científica. Según la calculadora se utiliza distintas teclas, a continuación vamos a mostrar dos calculadoras diferentes. Caso 1: Se digita 0,0625, se apreta la tecla 𝑎𝑏 𝑐 y aparece la fracción Caso 2: Se digita 0,0625, se apreta la tecla 𝑆⟺𝐷 y aparece la fracción d) Comunicar resultados a. El gráfico no entrega información respecto a la cantidad de encuestados. b. Los hombres dedican, en promedio, 18 minutos más que las mujeres en navegar por internet. c. Los santiaguinos dedican, en promedio, 2,7 horas diarias en ver televisión d. Las mujeres ocupan parte del día en leer. 26 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 2: En un estudio de la Seguridad e Higiene en el Trabajo se contrastó la incidencia del tabaquismo en la gravedad de los accidentes laborales. Considerando una gradación de Muy fumador hasta No fumador como media del tabaquismo, y una gradación de Muy grave a Leve en el tipo de accidente. Se extrajo una muestra de individuos que habían sufrido un accidente laboral. Los resultados se presentan en la siguiente tabla de doble entrada: Muy Grave Grave Lesiones medias Leve Muy fumador 20 10 10 30 Fumador 30 40 20 50 Fumador Esporádico 10 60 80 60 No fumador 5 20 30 50 a. ¿Cuántos individuos han sufrido un accidente laboral? b. ¿Qué fracción de los individuos son no fumadores? c. ¿Qué fracción de los fumadores tienen accidentes graves? d. ¿Qué fracción de los individuos que sufren accidentes graves son muy fumadores? e. ¿Qué fracción de los individuos muy fumadores sufre accidentes graves? Solución: a) Identificar datos La información de la tabla contrasta la incidencia del tabaquismo en la gravedad de los accidentes laborales. b) Establecer estrategia de resolución Se calculan los totales por columnas y filas y con estos datos contestamos las preguntas. 27 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática c) Resolver problema Primero calculamos los totales por fila y columna, como se muestra a continuación: Lesiones Muy Grave Grave Leve Total medias Muy fumador 20 10 10 30 70 Fumador 30 40 20 50 140 Fumador 10 60 80 60 210 Esporádico No fumador 5 20 30 50 105 Total 65 130 140 190 525 Ahora contestamos las preguntas a. ¿Cuántos individuos han sufrido un accidente laboral? 525 individuos b. ¿Qué fracción de los individuos son no fumadores? ⏞ ⏟ Para simplificar una fracción con calculadora se utilizan distintos procedimientos según el modelo de la calculadora. Por ejemplo, utilizando la calculadora Casio fx-82xx se realiza lo siguiente: 105 𝑎𝑏 𝑐 525 1/5 c. ¿Qué fracción de los fumadores tiene accidentes graves? 28 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática ⏞ ⏟ d. ¿Qué fracción de los individuos que sufren accidentes graves son muy fumadores? ⏞ ⏟ e. ¿Qué fracción de los individuos muy fumadores sufre accidentes graves? ⏞ ⏟ d) Comunicar resultados En total hay 525 individuos que han sufrido accidentes laborales de los cuales un quinto no fuma. De los fumadores, dos séptimos han tenido accidentes graves mientras que de los muy fumadores sólo un séptimo. Respecto de los individuos que sufren accidentes graves, un treceavo son muy fumadores. 29 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicios propuestos: Genéricos 1. La Aerolínea Chile registra sus vuelos, desde el aeropuerto Arturo Merino Benítez ubicado en la Región Metropolitana, durante un día lunes de temporada alta. A continuación hay un gráfico que muestra la capacidad de cada avión (cantidad de personas) versus la cantidad de vuelos que hubo. Arica Antofagasta Temuco Punta Arenas La Serena En base a los datos entregados en el gráfico: a) ¿Cuántos vuelos se realizaron el día lunes? b) ¿Cuántos pasajeros volaron a Punta Arenas? c) ¿Cuántos pasajeros volaron a Arica? d) ¿Cuántos pasajeros volaron el día lunes? e) ¿Cuáles son las dos ciudades más visitadas? 2. La siguiente gráfica representa una excursión en autobús de un grupo de estudiantes, reflejando el tiempo (en horas) y la distancia recorrida (en kilómetros). a) ¿A cuántos kilómetros estaba el lugar que visitaron? b) ¿Cuál es la distancia total recorrida por el autobús durante la excursión? c) ¿Durante cuánto tiempo el autobús no se desplazó? 30 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática d) Después de cuatro horas de iniciada la excursión ¿Cuántos km recorrió el autobús hasta la próxima detención? e) Luego de transcurrido siete horas de iniciada la excursión ¿A qué distancia se encuentra el autobús de su punto de partida? 3. Se sabe que la concentración en sangre de un cierto tipo de anestesia viene dada por la gráfica siguiente: a) ¿Cuál es la dosis inicial? b) ¿Qué concentración hay, aproximadamente, al cabo de los 10 minutos? c) ¿Cuánto tiempo, aproximadamente, ha transcurrido cuando hay 30 mg menos de la dosis inicial? d) ¿Cuánto tiempo, aproximadamente, ha transcurrido cuando quedan sólo 10 mg de concentración en sangre de anestesia? e) ¿Cuánto tiempo dura, aproximadamente, la concentración en sangre de la anestesia? 4. Dos atletas participan en una carrera de 1000 metros. El gráfico describe en forma aproximada el comportamiento de los atletas en dicha prueba. a) ¿Cuál atleta empezó la carrera más rápido? Justifica tu respuesta b) ¿En qué momento un atleta alcanzó al otro? ¿A qué distancia? ¿Quién fue el atleta alcanzado? c) ¿Quién ganó la carrera? 31 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 5. En la asignatura Física I, están realizando el siguiente experimento en grupos de 5 estudiantes. Cada grupo dispone de una regla, monedas de $10 y un resorte del que cuelga un vaso plástico,. El experimento consiste en determinar cómo se va alargando el resorte al ir agregando monedas de $10 en el vaso. Para ello, los estudiantes realizan el experimento con una cantidad suficiente de monedas como para poder establecer alguna conclusión. Van registrando sus resultados en una tabla y luego los grafican. El experimento concluye con la presentación de los gráficos obtenidos por tres grupos del curso. Los gráficos fueron los siguientes: ¿Son iguales los resortes de estos tres grupos o son distintos? Justifica tu respuesta (Sugerencia: Construye una tabla de valores correspondientes a cada gráfico del experimento realizado por estos estudiantes y compáralas) 6. Se realiza un estudio muestral acerca de si las personas están o no de acuerdo con la medida de desconectar de las máquinas a quienes permanecen en estado vegetal. Según segmento socioeconómico, los resultados se muestran en la siguiente tabla, en número de casos: Segmento socioeconómico Total Alto Medio Bajo Si 51 158 ¿Está de acuerdo? No 48 Total 73 109 91 Completa la tabla y luego el siguiente párrafo: De un total de . . . . . . . . . . personas encuestadas, el . . . . . . . . . . % se manifestó de acuerdo con la medida de desconectar de las máquinas que mantienen con vida a los pacientes en estado vegetal. De estos, el . . . . . . . . % se ubica en un segmento socioeconómico medio, mientras que el . . . . . . . . % en el segmento alto. Es destacable que de los encuestados de este último segmento, el . . . . . . . . . % esté de acuerdo con dicha medida, mientras que en el segmento bajo, solo el . . . . . . . .% lo está. 32 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Soluciones: 1. a) 46 vuelos b) 1.320 pasajeros c) 1.250 pasajeros d) 6.690 pasajeros e) Temuco y Punta Arenas 2. a) 140 km b) 280 km c) 5 horas d) 60 km e) 80 km 3. a) 100 mg b) 45 mg c) 2,5 minutos d) 40 minutos e) 70 minutos 4. a) El atleta A, pues en el mismo tiempo recorrió mayor distancia que el atleta B. b) A los 120 segundos el atleta B alcanza al atleta A. c) El atleta B, porque recorrió los 1000 metros en 160 segundos, mientras que A lo hizo en 180. 5. Al comparar los datos mediante una tabla, se observa que con una misma cantidad de monedas se obtiene el mismo alargamiento, por lo tanto, los resortes son iguales, pero las gráficas difieren en forma, porque están diseñadas a distinta escala. 6. Segmento socioeconómico Total Alto Medio Bajo Si 51 61 46 158 ¿Está de acuerdo? No 22 48 45 115 Total 73 109 91 273 De un total de 273 personas encuestadas, el 57,9 % se manifestó de acuerdo con la medida de desconectar de las máquinas que mantienen con vida a los pacientes en estado vegetal. De estos, el 38,6 % se ubica en un segmento socioeconómico medio, mientras que el 32,3 % en el segmento alto. Es destacable que de los encuestados de este último segmento, el 69,9 % esté de acuerdo con dicha medida, mientras que en el segmento bajo, solo el 50,5 % lo está. 33 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicios propuestos para la unidad Mecánica 1. Claudio llenó el estanque de su vehículo para ir a visitar a su amiga Javiera que vive en una parcela a las afueras de Santiago. Después de recorrer los del trayecto, se da cuenta que ha consumido los de la gasolina que cabe en el estanque. Si al final del recorrido le sobran 6 litros, ¿cuál es la capacidad del estanque del auto de Claudio? 2. Juan desea aflojar una tuerca de una medida que desconoce. Para probar utiliza una llave de pulgada que le queda chica, luego decide utilizar una llave de pulgada que le queda grande, entonces, se da cuenta que la medida justa es la que queda en la mitad de las dos llaves anteriores. ¿De cuántas pulgadas es la llave que debe utilizar Juan? 3. Un tecle de 5,20 m de altura que sostiene una cadena de remolque de 8,10 m de largo unida en sus extremos, se encuentra sobre un foso de 1,80 m de profundidad. Se quiere rescatar un motor que tiene una altura de 70 cm ubicado en el fondo del foso. Si para ello se necesita unir una cadena a la que tiene el tecle que debe quedar doble para que haga el mismo juego que la original ¿Cuál será el largo de la cadena para poder subir el motor a la superficie? 4. Según el INE, el año 2011 las regiones que concentraron mayor cantidad de vehículos fueron la región del Biobío y la Metropolitana con un total de 1.904.208 vehículos. De entre ellos, 1.870.402 eran motorizados y 390.530 de la región del Biobío. Además 22.727 vehículos no motorizados circularon por la región metropolitana. a. Con la información anterior, completa la siguiente tabla. Vehículos motorizados no motorizados Totales VIII del Bío Bío XIII Metropolitana Totales b. ¿Cuántos vehículos motorizados circularon por la región del Biobío el año 2011? 34 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Soluciones: 1. La capacidad del estanque es 50 litros. 2. Debe utilizar una llave de 5/8 de pulgada. 3. 4,27 metros. 4. a) Vehículos motorizados no motorizados Totales VIII del Bío Bío 379.451 11.079 390.530 XIII Metropolitana 1.490.951 22.727 1.513.678 Totales 1.870.402 33.806 1.904.208 b) Circularon 379.451 autos. Construcción 1. Para la reparación de una reja, una barra de fierro se corta en 5 trozos de 25 cm; 62,5 cm; m; 75,5 cm y 1,20 m respectivamente. ¿Qué longitud tenía inicialmente la barra, si en cada corte se pierde aproximadamente cm? 2. Se quiere cerrar un sitio cuadrado de área 120 m2 con tres corridas de alambre púa. a. ¿Cuánto alambre se debe comprar para cercar el terreno? b. Si por un rollo de 50 m se pagan $16.800. ¿Cuánto se debe pagar por el alambre que se necesita? (sólo se vende por royos). 3. Una cancha de acopio de material para hacer estabilizado, tiene un largo de 80 m. y un ancho de 55 m. Si se aumenta el largo en la décima parte ¿En cuántos metros debe aumentarse el ancho para que la superficie de la cancha aumente al doble? Soluciones: 1. 335 cm aproximadamente. 2. a) 132 metros aproximadamente. b) $50.400 3. Se debe aumentar en 45 cm. 35 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Procesos Industriales 1. En la estación TOBALABA del metro, punto de convergencia de las líneas 1 y 4, debido a la alta congestión de público, se determinó ampliar la platabanda de espera cuyas dimensiones son, 70 m de largo por 4,60 m de ancho. Su largo se aumentará en 15 m y para mayor seguridad, la franja amarilla que indica la menor distancia que debe separar el andén del pasajero que espera el tren, de 60 cm quedará ahora ubicada a 70 cm. ¿En cuántos m2 se aumentará el área de la superficie que puede ocupar el pasajero sin riesgos? 2. La política de control de calidad de la fábrica de envases de vidrio “El CRISTAL S.A.”, no les permite fabricar nuevos modelos, si estos no superan al menos 120 pruebas cuya tolerancia máxima de falla es 0,012. Completa la tabla para hallar el indicador de tolerancia para cada tipo de envase. Modelos Pruebas No aprobados Tolerancia falla Glass A 80 1 Glass B 180 2 Glass C 300 3 ¿Qué tipo de modelo crees que será aceptado? Fundamenta. 3. Una empresa importadora de rodamientos, tiene convenio con proveedores de tres países pertenecientes al MERCOSUR. La mitad se los compra a un país A, mientras que a B y C se les compra un cuarto a cada uno. El departamento de control de calidad de la empresa determinó que de un total de 3.000 unidades que llegaron en un embarque, la fracción de rodamientos defectuosos que llegaron de A , B y C es respectivamente. ¿Cuál es la cantidad de unidades defectuosas provenientes de cada uno de los proveedores Soluciones: 1. Aumenta en 51,5 m2. 2. Podrían aceptar Glass B o Glass C, porque tienen tolerancia de falla menor a 0,012. 3. La cantidad de unidades defectuosas son 75, 75 y 90 respectivamente. 36 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Unidad 2: Proporcionalidad y porcentajes Aprendizaje 2.1 Resuelve problemas que involucren razones, proporciones y porcentajes estructurando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores. Criterios de evaluación: 2.1.1 Determina la solución de problemas que involucren la comparación de cantidades por medio de razones, comunicando sus resultados de manera acorde a la situación. 2.1.2 Establece el tipo de proporcionalidad entre variables dadas, para dar respuesta a un problema, justificando su decisión. 2.1.3 Aplica estrategias de proporcionalidad para dar respuesta a un problema contextualizado, explicando su estrategia. 2.1.4 Realiza cálculo de porcentajes mediante estrategias de proporcionalidad, numérica decimal o fraccionaria para resolver situaciones problemáticas, comunicando sus resultados de acuerdo a la situación. Para resolver un problema, recuerda: a) Leer detenidamente el enunciado e identificar: datos, incógnitas y relaciones. b) Trazar una estrategia de resolución. Establecer hipótesis. c) Resolver el problema. d) Comunicar los resultados de manera efectiva y acorde a la situación e interlocutores. 37 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 1 Una persona viaja de Santiago a la Serena en un automóvil a una rapidez constante de 110 km/h durante 4 horas y media sin detenerse. Si el rendimiento de este vehículo en carretera es 19 km/l ¿Cuántos litros de combustible ha consumido en el viaje? Solución: a) Identificar datos - rapidez del vehículo: 110 km/h - Tiempo de viaje: 4,5 horas - Rendimiento del vehículo : 19 km/l b) Establecer estrategia de resolución Interpretar las razones en juego y aplicar sus propiedades. c) Resolver problema La rapidez 110 km/h significa que en una hora el vehículo ha recorrido 110 kilómetros, por lo tanto, la distancia recorrida en 4,5 horas se calcula El rendimiento 19 km/l significa que con un litro de combustible se puede recorrer una distancia de 19 km, luego los litros consumidos en 605 kilómetros se calcula d) Comunicar resultados Se ha consumido aproximadamente 26 litros de combustible. 38 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 2 Una empresa constructora estima que se necesitan 8 obreros para construir una casa en un período de 35 días. Sin embargo, el cliente solicita que no tarden más de 21 días. ¿Cuántos obreros, como mínimo, se requieren? Solución: a) Identificar datos Cantidad de obreros Tiempo en días 8 35 ¿? 21 b) Establecer estrategia de resolución Reconocer el tipo de proporcionalidad entre las dos variables y aplicar sus propiedades. c) Resolver problema Si el tiempo de construcción de la casa disminuye, entonces será necesario más obreros para realizarla, por lo tanto, la cantidad de obreros es inversamente proporcionalida a los días. Luego, para calcular la constante de proporcionalidad se multiplican los valores correspondientes a cada variable. Cantidad de obreros Tiempo en días Constante 8 35 21 Sabemos que la cantidad de obreros debe ser un número natural, es decir, 13 o 14. Entonces, para determinar cuál es la cantidad adecuada se calcula el tiempo en días para cada caso. Cantidad de obreros Tiempo en días 8 35 13 14 d) Comunicar resultados Se necesitan al menos 14 obreros para construir la casa en menos de 21 días. 39 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 3 Diez mecánicos reparan ocho vehículos en doce días. ¿Cuántos mecánicos repararán 9 vehículos en 15 días trabajando la misma cantidad de horas diarias? Solución: a) Identificar datos Cantidad de mecánicos Cantidad de vehículos Tiempo en días 10 8 12 ¿? 9 15 b) Establecer estrategia de resolución Reconocer el tipo de proporcionalidad entre dos variables considerando la tercera constante y aplicar las propiedades según tipo de proporcionslidad. c) Resolver problema Considerando el tiempo constante y que la cantidad de mecánicos es directamente proporcional a la cantidad de vehículos, podemos calcular la cantidad de mecánicos necesarios para reparar un vehículo en 12 días. Cantidad de mecánicos Cantidad de vehículos Tiempo en días 10 8 12 9 12 Del mismo modo, considerando que la cantidad de vehículos constante y el tiempo es inversamente proporcional a la cantidad de mecánicos, podemos calcular la cantidad de mecánicos necesarios para reparar 9 vehículos en 15 días. Cantidad de mecánicos Cantidad de vehículos Tiempo en días 11,25 9 12 9 15 d) Comunicar resultados Se necesitan 9 mecánicos para reparar 9 vehículos en 15 días. 40 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 4 Muchos de los materiales que se utilizan en la construcción de máquinas o estructuras, están sometidos a esfuerzos variables que se repiten con frecuencia. En el gráfico se muestra el ensayo de fatiga de un material. Ensayo de fatiga 600 500 Esfuerzo MPa 400 300 200 100 0 4 8 12 16 20 24 Número de ciclos Según la información entregada en el gráfico ¿Cuál es el esfuerzo al que ha sido sometido el material en el ciclo 931? Solución: a) Identificar datos Número de ciclos Esfuerzo MPa 4 500 8 250 12 ]150,180[ 16 ]100,130[ 20 100 24 ]80,100[ b) Establecer estrategia de resolución Si dos variables son inversamente proporcionales, su representación gráfica corresponde a una hipérbola, esto es, una curva que se acerca progresivamente a los ejes pero nunca los toca. Para verificar que la gráfica representa una relación inversamente proporcional, extraemos algunos datos, los organizamos en una tabla y multiplicamos los valores correspondientes a cada variable. 41 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Número de ciclos Esfuerzo MPa Constante 4 500 8 250 12 ]150,180[ 16 ]100,130[ 20 100 24 ]100,130[ c) Vemos que el producto de los valores correspondientes de cada variable es constante, por lo tanto el esfuerzo es inversamente proporcional al número de ciclos. d) Resolver problema Sabemos que la constante de proporcionalidad es 2000. Luego, si es el esfuerzo aplicado en el ciclo número 93 se tiene que: Número de ciclos Esfuerzo MPa Constante 93 e) Comunicar resultados El esfuerzo en el ciclo 93 es aproximadamente 21,5 MPa 42 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 5 En una encuesta, el 25% de las personas consultadas contestó que la mejor zona para tener residencia es en las periferias de Santiago mientras que el 55% dijo que era entorno al centro de la capital. Si 180 personas contestaron otros sectores de Santiago ¿Cuántas personas contestaron que la mejor zona para tener residencia en Santiago es entorno al centro? Solución: a) Identificar datos - 25% de los encuestados prefieren la perisferia de Santiago. - 55% de los encuestados prefieren entorno al centro de Santigo. - 180 personas contestaron otras zonas de Santiago. - Lo que se solicita es la cantidad de personas que contestó por tener residencia entorno al centro de Santiago. b) Establecer estrategia de resolución Según los datos identificados, la estrategia será mediante cálculo de porcentajes y el uso de proporcionalidad directa. c) Resolver problema El 25% y el 55% de los encuestados corresponden a un 80% del total. Esto implica que el 20% restante se relaciona con las 180 personas que prefieren otras zonas de Santiago. Por ende se establece la siguiente tabla de proporcionalidad, donde “ ” es la cantidad de encuestados que prefiere entorno al centro de Santiago. Encuestados % 180 20 x 55 Como el porcentaje es una proporción directa, se plantea la siguiente ecuación: d) Comunicar resultados 495 personas prefieren tener residencia entorno al centro de Santiago. 43 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 6 Se debe fabricar concreto con cemento, arena y grava en la razón y de agua para 8 zapatas cuyo volumen total es La tabla 1 muestra el coeficiente de aporte de material para concreto y mortero. Si en el proceso de construcción se pierde el 10% de material ¿Qué cantidad de cada material se necesita? Tabla 1 Los materiales al estar en forma granulada presentan vacíos entre Coeficiente de aporte de material para sus partículas, por lo tanto en ese concreto y mortero estado tienen volúmenes aparentes, pero al mezclarse entre (cantidad real de material sin vacíos que si, los vacíos de los materiales más interviene en la mezcla) gruesos son ocupados por las partículas de los más pequeños y Cemento 50% los de estos por el agua, es decir, los vacíos desaparecen, por lo Arena 60% tanto presentan volúmenes reales. Grava 60% Piedra 60% Agua 100% Solución: a) Identificar datos - Los volúmenes aparentes de cemento, arena y grava están en la razón 1:2:2,5. - 15% de la mezcla es agua. - es el volumen de concreto a utilizar. - 10% de material se pierde en el proceso de construcción. b) Establecer estrategia de resolución Calcular el volumen real de la mezcla por según la razón entre los volúmenes aparentes de los materiales que debe contener. Luego, con este volumen se calculan proporcionalmente los volúmenes aparentes necesarios para fabricar un concreto que cubra un volumen real de . Finalmente se calcula la cantidad real de cada material considerando que el 10% de ellos se pierde en el proceso de construcción. c) Resolver problema Si cemento, arena y grava están en la razón 1:2:2,5 significa que por de cemento se necesitan de arena y de grava. Además, la cantidad de material para el concreto está determinada por los porcentajes especificados en la tabla 1. Entonces la cantidad de concreto que se fabrica por se calcula: - Si es la cantidad de cemento en el concreto, podemos organizar los datos en una tabla. 44 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Volumen cemento porcentaje 100% 50% El porcentaje es una relación de proporcionalidad directa, entonces la cantidad de cemento se obtiene: Del mismo modo, se calculan la cantidad de arena y grava. Volumen arena porcentaje Volumen grava porcentaje 100% 100% 60% 60% Además un 15% de la mezcla es agua, luego si es la cantidad de agua de la mezcla, se tiene: Volumen agua porcentaje 100% 15% Por lo tanto, el volumen de concreto que se fabrica por se calcula sumando los volúmenes reales de cada material. ⏟ ⏟ ⏟ ⏟ Si por se debe fabricar un concreto con volumen real de , debemos calcular proporcionalmente el volumen aparente de cada material para que la mezcla tenga . 45 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Volumen Volumen Volumen real Volumen real aparente cemento concreto aparente arena concreto Volumen Volumen Volumen real Volumen real aparente grava concreto aparente agua concreto Se sabe que 10% de material se pierde en el proceso de construcción, entonces cada una de las cantidades anteriores corresponde a lo no desperdiciado, es decir, el 90% del volumen real del material. Por lo tanto, el volumen real de cemento considerando el desperdicio se calcula: Volumen porcentaje 90% 100% Del mismo modo se obtienen los volúmenes para la arena, grava y agua. d) Comunicar resultados Por lo tanto, considerando el material desperdiciado, se necesita de cemento, de arena, de grava y litros de agua para utilizar de concreto. 46 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática e) Verificación Vamos verificar que el volumen aparente del cemento, arena y grava esté en al razón . ⏟ ⏟ ⏟ Debemos recordar que los valores calculados han sido aproximados a la milésima, por lo tanto, al verificar la razón habrá un margen de error. En este caso el error es . También es necesario comprobar el 15% de agua en la mezcla. Para ello sumamos los volúmenes de cemento, arena y grava y calculamos el 15% de ese total. Finalmente, hay que probar que el volumen real de mezcla es Volumen aparente Volumen aparente sin Volumen real Material con desperdicio desperdicio Cemento Arena Grava Agua Total 47 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicios propuestos: Genéricos. 1. Interpreta cada razón según su contexto. a) b) 2. Las siguientes tablas proporcionan los valores aproximados de la energía de ciertos alimentos y el consumo de energía aproximado de algunas actividades, en kilojoules (kj). Calcula el tiempo que toma utilizar la energía de los siguientes alimentos: a) Una hamburguesa, si corriera. b) Una malteada de chocolate, si caminara. c) Un vaso de leche descremada, si practicara ciclismo. Valor energético Consumo de energía Alimento kj Actividad Kj/min Malteada de chocolate 2200 Caminata 25 Huevo frito 460 Ciclismo 35 Hamburguesa 1550 Natación 50 Pastel de fresa 1440 Carrera 80 Vaso de leche descremada 350 3. El consumo de una estufa a mecha es 0,286 Litros/hora. Si el estanque tiene una capacidad de 6,3 litros pero solo tiene las tres cuartas partes con parafina ¿Cuántas horas, aproximadamente, está encendida? 4. Las cantidades de un licor A de 12° GL, de un licor B de 30° GL, de un licor C de 28,5° GL y de un licor D de 35° GL están dadas en la razón de 2:3:4:7 en una preparación de 9 litros. ¿Cuántos litros de cada licor se necesitan? 48 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 5. En una empresa la razón entre hombres y mujeres es 7:2. Si hay 140 hombres más que mujeres ¿Cuántas mujeres tiene la empresa? 6. Esteban, Jorge y Claudia compraron un número de rifa en $900. Jorge puso $300, Esteban $200 y Claudia el resto. Si obtuvieron un premio de $702.000 y se lo repartieron en la razón del dinero que aportó cada uno. ¿Cuánto dinero recibió Claudia? 7. Un granjero tiene cierta cantidad de animales entre vacas y chanchos. La razón entre las vacas y el total de animales es 4:13. Si hay 100 chanchos más que vacas ¿Cuántas vacas hay? 8. En cada una de las tablas que hay a continuación se presentan algunos datos correspondientes a distintas relaciones. Utilizando los valores dados en cada tabla, determina si podría, la relación en cuestión, ser de proporcionalidad directa, de proporcionalidad inversa o no proporcional. Justifica tu respuesta. a) b) c) 3 2 4 9 21 16 12 3 9 6 14 8 24 4 16 3 7 9. Examina cada uno de los siguientes gráficos y luego, determina si describe una relación de proporcionalidad directa, de proporcionalidad inversa o de otro tipo. Justifica tu respuesta. a) b) c) d) e) f) 49 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 10. Los siguientes gráficos muestran la relación entre el consumo de energía y el tiempo de funcionamiento de dos máquinas industriales. a) ¿Cuánto consume la Máquina 1 en una hora? ¿Y en 3 horas? ¿Y en 30 minutos? b) ¿Cuánto consume la Máquina 2 en una hora? ¿Y en 4 horas? c) ¿La relación entre las variables para cada máquina es de proporcionalidad directa, inversa o no proporcional? Justifica tu respuesta. 11. Los siguientes gráficos muestran la relación entre el largo y el peso de dos alambres que los identificaremos como A y B. Utilizando la información que proveen estos gráficos, responde: 50 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática a) ¿Cuál de los dos tipos de alambre es el más pesado? Justifica b) Para cada tipo de alambre, determina el peso de 2,4 m. c) Para cada tipo de alambre, determina el largo de 48 gr. d) ¿A qué alambres corresponden los siguientes pares de valores? El peso de 3,8 m de alambre es 114 gr El peso de 4,2 m de alambre es 168 gr El peso de 5,4 m de alambre es 108 gr 12. Una embotelladora de bebidas dispone de botellas con las siguientes capacidades: 0,25l, 0,5l, 0,75l, 1l, 1,25l, 1,5l, 2l, 2,5l y 3l. En la embotelladora necesitan embotellar 60 litros de bebida, y quieren repartirlos en botellas de un solo tipo. a) Define las variables de la situación y construye una tabla de valores, considerando en ella todos los tipos de botella de que dispone la embotelladora. b) Realiza un gráfico escribiendo en cada eje la variable que se está representando. c) Si se requiere que sean menos de 45 botellas, ¿qué capacidad deben tener las botellas? 13. Don Armando ha heredado una parcela de su abuela. Quiere construir un corral de forma rectangular para sus ovejas. Él dispone de material suficiente para construir 240 metros de cerco y quiere utilizarlo todo, sin que le falte ni sobre material. a) Completa la siguiente tabla con las posibles dimensiones del corral. Largo(m) 110 105 93 70 60 Ancho(m) 20 30 35 40 b) Realiza un gráfico escribiendo en cada eje la variable que se está representando. Determina si describe una relación de proporcionalidad directa, proporcionalidad inversa o no proporcional. Justifica tu respuesta. 51 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 14. Alberto quiere sembrar pasto y para ello ha escogido la variedad Chépica Alemana. La información que este pasto trae para su siembra es que se necesita ¼ kg de semillas por cada 10 m2. a) Completa la siguiente tabla de valores relativa a la relación entre las variables de la situación, escribiendo en la tabla dichas variables. 3 5 20 80 b) ¿La relación entre las variables es de proporcionalidad directa, inversa o no proporcional? Justifica tu respuesta. 15. En La Serena se ofrece una casa en arriendo. La casa tiene una capacidad para 8 personas y tiene un costo de $33.600 por un fin de semana. Un grupo de amigos quiere ir este fin de semana distribuyéndose equitativamente los costos. a) Uno de los integrantes de este grupo quiere saber si dispone del dinero suficiente para ir. Para ello necesita saber cuánto debe pagar en cada uno de los casos posibles (de 1 a 8 personas). Haz una tabla que contenga esta información b) ¿La relación entre las variables es de proporcionalidad directa, inversa o no proporcional? Justifica tu respuesta. 16. Andrea tiene un plan telefónico de $9.000 mensuales. En este plan, cada minuto que habla tiene un valor de $180, que se van restando de los $9.000. Haz una tabla, con cinco casos, que muestre la relación entre los minutos que Andrea pudiese hablar durante el mes y la cantidad de dinero disponible que quedaría en su teléfono. ¿La relación que existe entre las variables de la situación es directamente proporcional, inversamente proporcional o no proporcional? Justifica tu respuesta. 17. Resuelve los siguientes problemas aplicando las propiedades de la proporcionalidad directa o inversa, según corresponda. a) El área de un cuadrado es directamente proporcional al cuadrado de la longitud de su diagonal. Si para un cuadrado cuya diagonal mide 6 cm, el área es 18 cm2, escribe la fórmula que relaciona el área y la longitud de la diagonal del cuadrado. b) Sean , y tres variables tales que es directamente proporcional a e inversamente proporcional a . En una situación dada los valores de las variables son ¿Cuál sería el valor de si la situación cambia a ? c) Ocho obreros etiquetan en 3 horas 50 tarros. ¿Cuántos obreros etiquetarán la misma cantidad de tarros en 4 horas? d) Ocho obreros etiquetan en 3 horas 50 tarros. ¿Cuántos obreros como mínimo se necesitan para etiquetar al menos 40 tarros en el mismo tiempo? e) Se emplean 8 máquinas para realizar un trabajo en 15 días. Si se dispone de tres máquinas menos, ¿Cuántos días se emplearían en hacer el mismo trabajo? 52 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática f) Veinte personas consumen aproximadamente 520 kg. de carne en 10 días. ¿Cuántos kg de carne consumen 16 personas en 8 días en las mismas condiciones? 18. Completa la siguiente tabla con la representación fraccionaria y decimal de los porcentajes dados. Tanto por ciento Fracción irreductible Decimal 12 25 75 33 19. Si la tasa de desempleo en el Gran Santiago fue de 5,2% en diciembre de 2012, lo que equivale a 156.900 personas desocupadas ¿Cuántas personas de Santiago tenían empleo en ese período? 20. Según la información de la noticia que se muestra a continuación ¿Cuántas Pymes más fueron beneficiadas por la Corfo el año 2012 respecto del 2009? 53 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 21. Según la información de la imagen ¿Cuántos buses nuevos tiene el transantiago este año? 22. El precio de un artículo con IVA incluido es $56.990 ¿Cuánto dinero se paga por concepto de IVA (19%)? 23. El precio de un perfume es $21.990. Se puede comprar al contado o en 8 cuotas de $3.126 cada una ¿Cuál es, aproximadamente, el porcentaje de recargo sobre el precio contado al comprar el perfume en 8 cuotas? 24. Si se sabe que una boleta de honorarios retiene el 10% de impuestos ¿Por cuánto dinero se debe emitir una boleta para recibir líquido $480.000? Soluciones: 1. a) Un vehículo, que viaja a rapidez b) En 5 ml de jarabe hay 15 mg de constante, en una hora debe recorrer fármaco. 50 km. 2. a) 19,38 minutos b) 88 minutos c) 10 minutos 3. 16 horas y media, aprox. 4. 1,125 l de un licor A de 12° GL, 1,688 l de un licor B de 30° GL, 2,25 l de un licor C de 28,5° GL y 3,938 l de un licor D de 35° GL 5. 56 mujeres. 6. $ 312.000 recibe Claudia. 7. 80 vacas. 8. a) Las variables son inversamente proporcionales, pues al multiplicar los valores de con su correspondientes en siempre se obtiene 192. b) La relación entre las variable no es proporcional, pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en . c) Las variables son inversamente proporcionales, pues al dividir los valores de con su correspondientes en siempre se obtiene . 9. a) La relación entre las variable no es proporcional, pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en . 54 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática b) La relación entre las variable es de proporcional inversa, pues si multiplicamos los valores los valores de con su correspondientes en , siempre se obtiene 20. c) La relación entre las variable no es proporcional, pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en . d) La relación entre las variable no es proporcional, pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en . e) La relación entre las variable no es proporcional, pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en . f) La relación entre las variable es de proporcional directa, pues al dividir los valores de con su correspondientes en siempre se obtiene 3. 10. a) En una hora consume 30 Kwh, en 3 horas 90 Kwh y en 30 minutos 15 Kwh. b) En una hora consume 30 Kwh y en 4 horas 60 Kwh. c) En la máquina 1, el tiempo es directamente proporcional a la energía consumida, pues al dividir los valores de con su correspondientes en , siempre se obtiene En la máquina 2, el tiempo y la energía consumida no se relacionan proporcionalmente, pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en 11. a) El alambre más pesado es A, pues cada metro pesa 40 g, mientras que en el alambre B cada metro pesa 30 g. b) 96 g de alambre A y 72 g de alambre B tienen cada uno una longitud de 2,4 m. c) 1,2 m de alambre B y 1,6 m de alambre A pesan 48 g cada uno. El peso de 3,8 m de alambre es 114 gr B El peso de 4,2 m de alambre es 168 gr A El peso de 5,4 m de alambre es 108 gr a ninguno 12. a) Capacidad 3 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 2 2,5 botella (litros) Cantidad de 20 240 120 80 60 48 40 30 24 botellas 55 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 300 Cantidad de botellas 200 100 0 1 1,25 2 3 0,5 1,5 2,5 0,25 0,75 1,75 2,25 2,75 capacidad botella (litros) b) c) 2; 2,5 o 3 litros. 13. a) Largo(m) 110 105 100 93 90 85 80 70 60 Ancho(m) 10 15 20 27 30 35 40 50 60 b) 150 ancho (m) 100 50 0 20 40 60 80 100 120 largo (m) La relación entre las variable no es proporcional, pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en . 14. a) Kilógramos de semilla 2 3 5 2 Superficie a sembrar (m ) 10 20 30 80 120 200 b) La relación entre las variable es directamente proporcional, pues al dividir los valores de 2 con su correspondientes en siempre se obtiene 0,25 kg/m 15. a) Número de personas 4 5 6 7 8 Costo por persona 33.600 16800 11200 8400 6720 5600 4800 4200 (pesos) b) La relación entre las variable es inversamente proporcional, pues al multiplicar los valores de con su correspondientes en siempre se obtiene $ 33.600 56 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 16. Tiempo utilizado (minutos) 3 4 Saldo disponible (pesos) 9000 8820 8640 8460 8280 La relación entre el tiempo utilizado y el saldo disponible no es proporcional, pues al dividir o multiplicar los valores de con sus correspondientes en no se obtiene una constante. 17. a) , con : área del cuadrado en cm y :longitud de la diagonal en cm b) 34,43 aprox. c) 6 obreros. d) 7 obreros. e) 24 días. f) 332,8 kg. 18. Tanto por ciento Fracción irreductible Decimal 12 0,12 25 0,25 75 0,75 33 0,33 19. 2.860.408 personas 20. 54.080 Pymes más fueron beneficiadas el año 2012 respecto del 2009 21. 5920 buses nuevos. 22. $ 9.099 23. 13,7 % 24. $ 533.333 57 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicios propuestos para la unidad Mecánica 1. Una persona viaja de Arica a Atacama en una vehículo a una rapidez constante de 118 km/h durante 3 horas y 8 minutos sin detenerse. Si el rendimiento del vehículo en carretera es 17,5 km/l ¿Cuántos litros de combustible ha consumido en el viaje? 2. Cuatro mecánicos tardan normalmente 45 minutos en efectuar la revisión técnica a un vehículo. Si un cliente exige que la revisión no tarde más de 28 minutos ¿Cuántos mecánicos como mínimo se necesitan? 3. Doce mecánicos reparan nueve vehículos en quince días. ¿Cuántos vehículos repararán diez mecánicos en 22 días trabajando la misma cantidad de horas diarias? 4. El ensayo de tracción estudia el comportamiento de un material sometido a un esfuerzo de tracción progresivamente creciente, ejercido por una máquina apropiada, hasta conseguir la rotura. La siguiente gráfica corresponde al ensayo de tracción o estiramiento de un metal. Según la información entregada en el gráfico ¿Cuál es la deformación unitaria del metal si ha sido sometido a un esfuerzo de 331 MPa? 5. En las especificaciones técnicas sobre el consumo de combustible de un cierto modelo de vehículo, se indica que el consumo en ciudad es de 8 km/l y en carretera es un 30% más que en ciudad ¿Cuál es el consumo promedio del vehículo? Soluciones: 1. En el viaje ha consumido 21,12 litros. 2. Se necesitan como mínimo 7 mécanicos. 3. 6 días. 4. La deformación unitaria es de 0,0016 5. El consulo promedio del vehículo es de 9,2 km/l 58 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Construcción 1. En una mezcla de concreto la razón entre los volúmenes aparentes de cemento, arena y grava es . Si el volumen aparente de arena es , calcula el volumen aparente de cemento, grava y de la mezcla. 2. Para pintar un edificio, un grupo de obreros tarda 24 días trabajando 6 horas diarias. Si la jornada de trabajo aumenta a 8 horas diarias ¿Cuántos días tardaría el mismo grupo de obreros en pintar el edificio? 3. Durante 10 días, 4 personas trabajando 8 horas diarias, han reparado 60% de una Iglesia en Chiloé ¿Cuántos días tardan en reparar el resto de la iglesia 6 personas trabajando 6 horas diarias? 4. El ensayo de tracción estudia el comportamiento de un material sometido a un esfuerzo de tracción progresivamente creciente, ejercido por una máquina apropiada, hasta conseguir la rotura. La siguiente gráfica corresponde al ensayo de tracción o estiramiento de un metal. Según la información entregada en el gráfico ¿Cuál es la deformación unitaria del metal si ha sido sometido a un esfuerzo de 467 MPa? 5. Se debe fabricar concreto con cemento, arena y grava en la razón y de agua para 8 columnas cuyo volumen total es La tabla 1 muestra el coeficiente de aporte de material para concreto y mortero. Si en el proceso de construcción se pierde el 10% de material ¿Qué cantidad de cada material se necesita? Soluciones: 1. de cemento, de grava y de mezcla. 2. 18 días se tardarán en pintar el edificio. 3. 6 días tardarán en reparar el rsto de la iglesia los 6 obreros trabajando 6 horas diarias. 4. La deformación unitaria es de 0,0023 sometido a un esfuerzo 467 MPa. 5. de cemento, de arena, de grava y de litros de agua. 59 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Procesos Industriales 1. En un colegio, las zonas de seguridad están ubicadas en el patio del establecimiento. Cada zona de seguridad tiene un área de 10,8 mts2. Si la razón entre el área de seguridad y el total de superficie del patio es de 2:155 ¿Cuánto mide la superficie del patio del colegio? 2. Cuando se expresa la capacidad de una pila (práctica muy común en los acumuladores), se hace por el número máximo de amperios que puede dar en una hora. Así un acumulador de 20 amperios-hora, puede suministrar 20 amperios durante una hora. Luego de esto el acumulador se descarga y debe volver a cargarse. En la siguiente tabla se muestran los valores de un acumulador. Tiempo Amperios 10 1 4 2,5 0,8 12 ¿Cuánto durará el acumulador con 8 amperios? 3. El siguiente gráfico representa las toneladas de residuos sólidos por persona en Punta Arenas. ¿Cuánto será la cantidad de residuos sólidos generados por 500 personas durante un mes? 4. El departamento de certificación de calidad de una empresa consta de 4 trabajadores, los cuales consumen 40 litros de agua purificada en 5 días. Si la dotación del personal aumenta, consumiendo 32 litros en 2 días y se mantienen en consumo por persona ¿Cuántas personas se anexaron al departamento? 5. Una persona destina mensualmente un 0,4% de su sueldo bruto para pagar un seguro de cesantía que equivale a $2.560. ¿Cuál es el sueldo bruto de esta persona? Soluciones: 1. 834 m2 tiene de superficie el patio. 2. 1,25 horas durará el cumulador con 8 amperios. 3. 500 personas durante 30 dias generan 7,5 toneladas de residuos. 4. El departamento de certificación aumenta en 4 personas. 5. El sueldo bruto es de $ 640.000 60 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Unidad 3: Álgebra Aprendizaje 3.1 Desarrolla operatoria algebraica utilizando estrategia de valorización, reducción de términos semejantes, factorización y simplificación, explicando los pasos aplicados. Criterios de evaluación: 3.1.1 Valoriza expresiones algebraicas mediante operatoria en los números reales, en contextos diversos. 3.1.2 Despeja un término literal en función de otros términos presentes en una expresión algebraica. 3.1.3 Reduce expresiones algebraicas mediante propiedades de términos semejantes y eliminación de paréntesis, explicando su estrategia. 3.1.4 Reduce expresiones algebraicas fraccionarias explicando las estrategias de factorización y simplificación utilizadas. Para resolver un problema, recuerda: a) Leer detenidamente el enunciado e identificar: datos, incógnitas y relaciones. b) Trazar una estrategia de resolución. Establecer hipótesis. c) Resolver el problema. d) Comunicar los resultados de manera efectiva y acorde a la situación e interlocutores. 61 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 1: La fórmula para obtener el volumen de un cilindro es: Donde, es una constante, es el radio de la base del cilindro y es la altura del cilindro. Calcular el volumen de un cilindro cuyo diámetro es 3 m y su altura 4 m. Solución: a) Identificar datos - El diámetro es 3 m, por lo tanto si el radio es la mitad = 1,5 m. - La altura es 4 m, es decir = 4 m. - El volumen del cilindro es lo que se requiere. - es una constante. b) Establecer una estrategia de resolución Para calcular el volumen del cilindro hay que remplazar los datos en la fórmula c) Resolver el problema Al remplazar los datos en la fórmula se obtiene: Para calcular 9π se utiliza la calculadora. Primero se ingresa el número nueve, luego se presiona el botón multiplicación, y finalmente, para ingresar el número 𝜋 se m3 presiona el botón shift y EXP. (Éste procedimiento varía según el modelo de la calculadora.) Observación: La calculadora proporciona el número con muchas cifras decimales, por lo tanto al utilizarla hay mayor precisión en los resultados que aproximando este número a 3,14. d) Comunicar los resultados El volumen del cilindro cuyo diámetro es 3 m y altura 4 m es 28,27 m3 aproximadamente. 62 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 2: La fórmula del movimiento uniformemente acelerado viene dada por la ecuación: Donde, es la distancia, la posición inicial, velocidad inicial, la aceleración y el tiempo. Esta ecuación es también conocida como la ecuación de posición. ¿Cuál es la expresión algebraica resultante al despejar la variable ? Solución: a) Identificar datos - El problema no entrega valores numéricos, sólo la ecuación de posición que contiene únicamente expresiones literales. b) Establecer estrategia de resolución Para obtener la expresión algebraica del literal , consideramos esta variable como incógnita y la despejamos utilizando propiedades algebraicas y de las ecuaciones. c) Resolver el problema Se tiene que: d) Comunicar resultados Al despejar el literal “ ” de la ecuación inicial, queda la siguiente ecuación: 63 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicios propuestos: Genéricos. 1. Encuentra el valor numérico de las siguientes fórmulas, aplicando en cada caso solo los valores asignados para las variables respectivas. at 2 ; si = 8 m/seg , = 4 seg , 2 = 3 m/seg ( : distancia que recorre un móvil) a) d vi ·t 2 2 ; si = 0,8 g , = 15 m, = 9,8 m/seg ( : energía potencial) b) a2 3 ; si = 3,2 m ( : área de triángulo equilátero) c) A 4 r1 ·r2 d) R ; si = 4 ohm y = 6 ohm ( : resistencia eléctrica total en paralelo) r1 r2 9 Nm 2 q ·q ; si = 9·10 ; = =4cy = 10 m ( : fuerza atracción entre e) F k· 1 2 2 c2 r dos cargas) 2. Resuelve los siguientes ejercicios mediante propiedades de términos semejantes, eliminación de paréntesis y producto de polinomios. a) – – – b) c) d) e) { } f) { [ ( – ) ]} g) { [ ] } h) [ ] i) j) k) l) m) n) 3. Expresa los siguientes polinomios como productos de polinomios primos aplicando las reglas de factorización. a) b) c) d) 64 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) 4. Aplica las reglas de factorización para simplificar las siguientes fracciones hasta dejarlas irreductibles e indica las restricciones. a) b) c) d) e) f) g) h) 5. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 65 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática k) l) 6. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado con una incógnita. a) b) c) d) e) f) 7. En las siguientes fórmulas, despeje la variable indicada. a) Despeje Interés simple b) Despeje Circunferencia de un círculo c) Despeje Área de un triángulo d) Despeje Ley de Newton de gravitación e) Despeje Ley de Ohm en teoría eléctrica f) Despeje Perímetro de un rectángulo g) Despeje Principal más interés h) Despeje Área de un trapecio i) Despeje Área superficial de una caja rectangular j) Despeje Ecuación de una lente Soluciones: 1. 2 2 √ a) 56 m b) 117,6 gm /s c) d) 2,4 ohm e) N 2. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) 3. a) b) c) d) e) 66 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) 4. a) b) c) d) e) f) g) h) 5. a) b) c) d) e) f) h) Todos los números g) i) reales. j) k) l) 6. √ √ a) b) c) d) e) f) 7. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 67 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Aprendizaje 3.2 Resuelve problemas que involucren el planteamiento y resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones mediante la utilización de procedimientos algebraicos y representación gráfica, explicando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores. Criterios de evaluación: 3.2.1 Determina la solución de un problema propuesto que involucra que involucra una ecuación de primer grado, analizando la pertinencia de la solución y comunicando de acuerdo a la situación e interlocutores. 3.2.2 Determina la solución de un problema propuesto que involucra ecuación de segundo grado, analizando la pertinencia de la solución y comunicando su respuesta de acuerdo a la situación e interlocutores. 3.2.3 Resuelve problemas generales y relativos a la especialidad mediante sistemas de ecuaciones, analizando la pertinencia de las soluciones y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores. Para resolver un problema, recuerda: a) Leer detenidamente el enunciado e identificar: datos, incógnitas y relaciones. b) Trazar una estrategia de resolución. Establecer hipótesis. c) Resolver el problema. d) Comunicar los resultados de manera efectiva y acorde a la situación e interlocutores. 68 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 1: Para construir un muro Arturo tarda 4 días, mientras que Patricio lo realiza en 6 días, trabajando en idénticas condiciones. Si los dos albañiles trabajan juntos en hacer el muro ¿Cuánto tiempo tardan en construirlo? Solución: a) Identificar datos - Arturo tardar 4 días en construir el muro. - Patricio tardar 6 días en construir el muro. b) Establecer estrategia de resolución Primero se calcula la parte del muro que construye cada albañil, trabajando solo, en un día. Luego, se define una incógnita para representar el tiempo en días que demorarían en construir el muro juntos y se escribe algebraicamente la parte del muro que construirían juntos en un día. Finalmente se plantea la ecuación correspondiente a la parte del muro que construyen los albañiles en un día trabajando juntos y se resuelve. c) Resolver el problema Sabemos que Arturo, trabajando solo, construye el muro en 4 días, luego en un día hará del muro. Del mismo modo, si Patricio tarda 6 días en construir el muro, en un día hará del muro. Por lo tanto, los dos juntos construirán en un día ( ) del muro. Si llamamos al tiempo en días que tardarían Arturo y Patricio en construir el muro juntos, entonces en un día harán juntos del muro. Luego, escribimos la ecuación que representa lo que construyen juntos del muro en un día y la resolvemos como se muestra a continuación. d) Comunicar resultados Arturo y Patricio, trabajando juntos, construirán el muro en días. 69 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 2: Un obrero debe delimitar un terreno rectangular con 200 metros de cerca. Calcula las dimensiones del terreno, si su área debe ser de 2176 m2 y hay que utilizar todos los metros de cerca disponibles. Solución: a) Identificar datos - El terreno es rectangular. - Se disponde de 200 metros para cercar terreno. - El área del terreno debe ser 2176 m2. b) Establecer estrategia de resolución Se definen las incógnitas correspondientes a los lados del rectángulo. Luego, considerando el perímetro del rectángulo, se escribe algebraicamente un lado del rectángulo en términos del otro. Con ambos lados del rectángulo, se escribe la expresión algebraica correspondiente a su área y se iguala a 2176 m2, que es el área que exige el problema. Finalmente se resuelve la ecuación de segundo grado planteada. c) Resolver el problema Sea la medida en metros del ancho del rectángulo e la medida en metros del largo del rectángulo, como se muestra en la figura 1. Se dispone de 200 metros para cercar el terreno, entonces 200 m es el perímetro del rectángulo. Luego, se escribe la ecuación correspondiente al perímetro y se despeja una de las dos incógnitas: Con el resultado de la ecuación (1), se escribe el largo y ancho del rectángulo utilizando una sola variable, como se muestra en la figura 2. Se sabe que el área del terreno rectangular debe ser 2176 m2 y el área de un rectángulo se calcula multiplicando las medidas de su largo y ancho, entonces, la ecuación correspondentiente al área del rectángulo de la figura 2 es: ⏟ ⏟ Ahora debemos resolver la ecuación anterior 70 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Al multiplicar las expresiones algebraicas obtenemos una incógnica al cuadrado, por lo tanto se trata de una ecuación de segundo grado. Para resolver esta ecuación, es necesario igualar a cero e identificar los parámetros y de una ecuación cuadrátrica. En este caso , y . Luego, estos números se reemplazan en la fórmula cuadrática √ . √ √ √ √ √ √ Finalmente se reemplaza y en la ecuación (1) para calcular, en cada caso, la medida del largo del rectángulo. Si el ancho mide 68 m, el largo será 32 m, mientras que si el ancho es 32 m, el largo será 68 m. d) Comunicar los resultados Las medidas de los lados del terreno rectangular deben ser 68 y 32 metros. 71 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 3: Un automóvil deja la ciudad A y va a la ciudad B a una rapidez constante de 95 km/h. Al mismo tiempo, otro automóvil deja la ciudad B rumbo a la ciudad A, a una rapidez constante 120 km/h. Si la distancia desde A hasta B es 614 km. ¿En cuánto tiempo se encuentran ambos automóviles? ¿Qué distancia recorre cada automóvil? Solución: a) Identificar datos - La rapidez del automóvil que viaja de A hasta B es 95 km/h. - La rapidez del automóvil que viaja de B hasta A es 120 km/h. - La distancia entre las ciudades A y B es 614 km. 95 km/h 120 km/h A Punto de B encuentro 614 km b) Establecer estrategia de resolución Se define la incógnita distancia en km recorrida por uno de los vehículos. Luego, considerando la distancia entre las ciudades A y B, se escribe algebraicamente la distancia recorrida por el otro vehículo en términos de la incógnita distancia que se ha especificado. Además, se determina otra incógnita para el tiempo en horas que tardan los vehículos en encontrarse. Luego, con los datos velocidad, tiempo y distancia correspondiente a cada vehículo se plantean dos ecuaciones según la fórmula Finalmente se resuelve el sistema de ecuaciones con alguno de los métodos estudiados para determinar el valor de cada incógnita. c) Resolver el problema La rapidez de un automóvil se calcula con la siguiente fórmula: , donde es la distancia recorrida por el automóvil , el tiempo que tarda el automóvil en recorrer esa distancia y la velocidad del automóvil. Despejando la variable de la fórmula anterior se obtiene: Sea la distancia en kilómetros que recorre el automóvil que viaja a 95 km/h hasta llegar al punto de encuentro. Si la distancia entre ambas ciudades es 614 km, el otro automóvil necesariamente recorre kilómetros hasta el punto de encuentro, como se ilustra a continuación. 72 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 95 km/h 120 km/h A Punto de B encuentro 𝑑 𝑑 Respecto al tiempo, ambos vehículos salieron a la misma hora de cada ciudad y al encontrarse tambien coinciden en horario, por lo tanto, ambos han recorrido distintas distancias pero en el mismo intervalo de tiempo. Llamaremos al tiempo en horas que tardan los vehículos en encontrarse. Si reemplazamos los datos de cada automóvil en la fórmula , obtenemos las siguientes ecuaciones: Existen varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones, a continuación mostraremos dos. 1. sustitución 2. reducción Reemplazando la ecuación (1) en (2) se obtiene Si sumamos las ecuaciones (1) y (2) obtenemos la ecuación: Luego resolvemos la ecuación anterior *valor aproxiamdo a la centésima Reemplazando el tiempo h en la ecuación (1), se tiene que km, por lo tanto, el otro vehículo recorre km. Además podemos expresar el tiempo en horas y minutos como se muestra a continuación ⏟ Por lo tanto, horas corresponde a horas y minutos aproximadamente. d) Comunicar los resultados Los automóviles se encuentran en 2 horas y 52 minutos aproximadamente. El vehículo que viaja a 95 km/h recorre 271,7 km y el que viaja a 120 km/h recorre 342,3 km. 73 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicios propuestos: Genéricos. 1. Plantea una ecuación y luego resuélvela para dar respuesta a los siguientes problemas. a) Una molécula de azúcar, tiene el doble de átomos de hidrógeno que de oxígeno y un átomo más de carbón que de oxígeno. Si una molécula de azúcar tiene un total de 45 átomos ¿Cuántos son de oxígeno? ¿Cuántos son de hidrógeno? b) El tiempo de una ingeniera consultora se factura a $35.000 por hora y el de su asistente a $11.000 por hora. Un cliente recibe una cuenta de $773.000 por cierto trabajo. Si la asistente trabajó 5 horas menos que la ingeniera. ¿Cuánto tiempo facturó cada una en el trabajo? c) Los arqueólogos pueden determinar la estatura de un ser humano sin tener un esqueleto completo. Si un arqueólogo encuentra sólo un húmero, puede determinar la estatura del individuo usando una relación lineal simple. Para una mujer, si es la longitud del húmero (en cm), entonces su estatura (en cm) se puede encontrar con la fórmula ; para un hombre, debe usarse la fórmula i. Se encuentra el esqueleto de una mujer que tiene un húmero de 30 cm, ¿Cuál es la estatura a su fallecimiento? ii. Si la estatura de un hombre al morir fue 1,81 m ¿Cuánto mide su húmero a su fallecimiento? d) La altura (en pies) de la base de una nube se puede estimar usando la ecuación , donde es la temperatura del suelo y el punto de rocío. Calcula la temperatura del suelo si el punto de rocío es 65°F y la base de la nube está a 3500 pies. e) A las 10:00 am el jefe de Carlos le pide que quite las hierbas del jardín. Por experiencia, Carlos sabe que esto le tomará 3 horas y media trabajando sólo. Su compañero Gonzalo, cuando realiza el mismo trabajo tarda 6 horas. Como Gonzalo irá a jugar un partido de fútbol con Carlos a las 1:00 pm acepta ayudarle. Suponiendo que no hay ganancia ni pérdida en la eficiencia ¿A qué hora terminarán si trabajan juntos? ¿Lograrán llegar a la hora para jugar el partido de fútbol? f) Alejandra pinta sólo cuatro habitaciones en 10 horas. Si contrata a Martina, para ayudarle, pueden hacer el mismo trabajo en 6 horas. Si deja a Martina sola ¿Cuánto tardará ella en pintar las cuatro habitaciones? g) Un fabricante de té quiere vender una nueva mezcla. Para ello mezclará té negro con aroma a limón que se vende a $5.000 por kg con un poco de té negro con aroma a naranja que se vende a $3.000 por kg para obtener 50 kg de la nueva mezcla, cuyo precio será $4.500 por kg y no debe haber diferencia entre los ingresos por la venta separada o de la mezcla ¿Cuántos kg de cada té se requieren? h) Un hombre deja su hogar manejando a 64 km/h. cuando su automóvil se descompone camina por la misma ruta hacia su casa a 8 km/h. Si el recorrido completo, conducción y caminata, le tomó dos horas un cuarto ¿Cuántos kilómetros caminó hasta su casa? i) La altura sobre el suelo de un cohete de juguete, segundos después de que es lanzado, está dada por ¿Cuándo estará el cohete 180 pies sobre el suelo? j) La temperatura (en °C) a la que el agua hierve está relacionada con la elevación (en metros sobre el 74 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática nivel del mar) por la ecuación . La altura del Monte Everest es aproximadamente 8840 m. Estime la temperatura a la que el agua hierve en la cima de la montaña. (sugerencia: use la fórmula cuadrática con – ) k) En un rectángulo un lado mide 43 cm más que el otro ¿Cuáles pueden ser las medidas de los lados del rectángulo si su área es 328 cm2? 2. Los cubos marcados con la misma letra tienen igual peso. Determina el peso de cada cubo. T R R L C C R E S L E L 10 kg. 20 kg. 30 kg. 40 kg. 50 kg. 100 kg. Para resolver el problema, contesta las siguientes preguntas: a. ¿Qué letra representa el cubo de mayor peso? Justifica tu respuesta. b. Determina el peso del cubo E. Justifica tu respuesta. c. ¿Cuál es la letra que le corresponde a los otros cubos? 3. Dados los pares ordenados , determina: a) Verifica, para cada una de las siguientes ecuaciones, si los pares ordenados anteriores pertenecen a la solución. i. ii. iii. b) A partir de lo anterior ¿Cuál es la solución de los siguientes sistemas? i. { ii. { 4. Resuelva y marque cada sistema como consistente (escriba la solución), inconsistente (sin solución) o dependiente (con número infinito de soluciones). 75 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática { { a) b) { { c) d) { { e) f) { g) 5. En un monedero hay un total de $ 8.500 distribuidos en 33 monedas de dos tipos, unas de $ 100 Y el resto de $ 500. De acuerdo a estos datos Pilar y Mario escribieron dos sistemas de ecuaciones diferentes. Pilar Mario { { Según el contexto de la situación inicial ¿Qué representa e en cada caso? 6. Plantea un sistema de ecuaciones y luego resuélvelo para dar respuesta a los siguientes problemas. a) Un atleta se entrena nadando en un río. Primero nada contra la corriente y demora 30 minutos en recorrer 2000 metros. Luego, nada a favor de la corriente y demora 15 minutos en recorrer la misma distancia. ¿Cuál es la velocidad del nadador respecto del río? ¿y la velocidad del río respecto de la orilla? b) El gerente de Starbucks decide experimentar con una nueva mezcla de café. Mezclará algo de café colombiano grado B que se vende $ 475 el kg con algo de café de Arabia de grado A que se vende en $1200 el kg, para obtener 50 kg de la nueva mezcla. El precio de venta de la nueva mezcla debe ser $790 por kg y no debe haber diferencia en la ganancia por vender la nueva mezcla comparada con vender otros tipos. ¿Cuántas libras de café grado B colombiano y grado A de Arabia y se requiere? c) Dos ciudades están conectadas por una carretera. Un auto sale de la ciudad B a las 1:00 pm y avanza a una rapidez constante de 40 mi/h hacia la ciudad C. treinta minutos después, otro auto sale de la ciudad B y avanza hacia C a una velocidad constante de 55 76 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática mi/h. Si no consideramos las longitudes de los autos ¿A qué hora el segundo auto alcanzará al primero? d) Dos guardias de una empresa tienen radios de comunicación con un alcance máximo de 3 km. Uno de ellos sale de cierto punto a la 1:00 y camina al norte a razón de 6,4 km/h. El otro sale del mismo punto a las 1:15 y camina al sur a 9,6 km/h. ¿Desde qué hora no podrán comunicarse entre sí? e) Una compañía médica produce dos tipos de válvulas para el corazón; la estándar y la de lujo. Para hacer una válvula estándar son necesarios 5 minutos en el torno y 10 en la prensa taladradora, mientras que para la válvula de lujo son necesarios 9 minutos en el torno y 15 en la prensa. Cierto día el torno está disponible 4 horas y la prensa 7. Si utilizan las máquinas en forma continuada ¿Cuántas válvulas de cada tipo se fabrican? f) Tres tubos de ensayo contienen diferentes niveles de líquido. Para que tuvieran el mismo nivel, se hicieron tres transferencias de líquidos, así, del primero se vació en el segundo, de lo que quedó en el segundo se vació al tercero, y lo que quedó en el tercero se vació al primero. Después de lo anterior, cada tubo quedó con 9 ml ¿cuántos ml tenía cada tubo inicialmente? Soluciones: 1. a) 11 átomos de oxígeno y 22 átomos de hidrógeno. b) La ingeniera facturó 18 horas y su asistente 13 horas c) i. 159,2 cm ii. 35,8 cm d) 80,42°F e) Juntos tardarán 2 horas y 12 minutos aprox., por lo tanto lograrán llegar al partido de fútbol. f) 15 horas g) 37,5 kg de té negro con aroma a limón y 12,5 kg de té negro con aroma a naranja. h) 10,43 km i) A los 2,07 segundos y a los 5,43 segundos j) A 96,86°C y 104,86°C k) 6,61 cm y 49,61 cm aprox. 2. T C R L E S 10 kg. 20 kg. 30 kg. 40 kg. 50 kg. 100 kg. 77 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática a) Si observamos la tercera pesa en equilibrio, S es mayor que cada uno de los cubos T, L y E y según la segunda pesa, E tiene mayor peso que R y C por separado, por lo tanto S corresponde al peso mayor, 100 kg. b) Sabemos que y , entonces si observamos la tercera pesa podemos concluir que y de los pesos que quedan por identificar los únicos que suman 60 kg es 50 kg y 10 kg. Según la segunda pesa, E tiene mayor peso que R y C, por lo tanto E no puede ser 10 kg porque no hay pesas que sumen 10 kg, luego y . c) y . 3. a) i. (3,4) (1,1) ii. (1,1) (-2,5) iii. (3,4)(-2,5) b) i. (1,1) ii. (3,4) 4. a) Consistente, b) Consistente, c) Inconsistente d) Consistente, e) Dependiente f) Consistente, g) Dependiente 5. Para Pilar, es la cantidad de monedas de 100 e es la cantidad de monedas de 500, mientras que Mario nombró al dinero total que reúnen las monedas de 500 e al dinero total que reúnen las monedas de 100. 6. a) La velocidad del atleta respecto al río corresponde a 6 km/h y la velocidad de la corriente del río respecto de la orilla es 2 km/h. b) 28,28 kg del café colombiano grado B y 21,72 kg del café de Arabia de grado A c) Se encuentran a las 2:50 pm d) Desde las 1:20 aprox. e) 12 válvulas estándar y 20 válvulas de lujo f) En el primero habían 12 ml, en el segundo 8 ml y en el tercero 7 ml 78 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Aprendizaje 3.3 Resuelve problemas que involucren el planteamiento y resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones mediante la utilización de procedimientos algebraicos y representación gráfica, explicando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores. Criterios de evaluación: 3.3.1 Resuelve problemas mediante inecuaciones de primer grado, expresando la solución de manera gráfica, analítica y en lenguaje natural. 3.3.2 Resuelve problemas mediante sistemas de inecuaciones de primer grado, expresando la solución de manera gráfica y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores. Para resolver un problema, recuerda: a) Leer detenidamente el enunciado e identificar: datos, incógnitas y relaciones. b) Trazar una estrategia de resolución. Establecer hipótesis. c) Resolver el problema. d) Comunicar los resultados de manera efectiva y acorde a la situación e interlocutores. 79 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 1: Un servicio de lavado de automóviles ofrece lavado, aspirado y encerado a un valor de $ 7.000 por vehículo. Si en materia prima y mano de obra se gasta $2.500 por vehículo y además hay costos fijos mensuales de $100.000, ¿Cuál es la menor cantidad de automóviles que hay que lavar para obtener al menos $500.000 de ganancia mensual? Solución: a) Identificar datos - Lavado de un automóvil: $ 7.000 - Costo por vehículo: $ 2.500 - Costo fijo mensual: $ 100.000 - Obtener al menos $ 500.000 de ganancia mensual b) Establecer estrategia de resolución Se define la incógnita número de vehículos lavados mensualmente. Luego, se escribe algebraicamente el ingreso, el costo mensual y la ganancia en términos de la incógnita definida. Finalmente, considerando que la ganancia mensual debe ser al menos $500.000 se escribe la inecuación entre la ganancia mensual escrita algrebraicamente y el mínimo requerido. c) Resolver el problema Sea la cantidad de vehículos lavados mensualmente. La expresión algebraica correspondiente al ingreso mensual por los vehículos lavados es Mientras que el costo mensual queda expresado como Por lo tanto, la ganancia, que corresponde a la diferencia entre el ingreso y el costo, queda expresada de la siguiente manera Además se sabe que la ganancia mensual debe ser al menos $500.000, esto significa que debe ser mayor o igual a $500.000, luego la inecuación que representa esta situación es 80 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ahora debemos resolver la inecuación Como corresponde a cantidad de vehículos, puede tomar solo valores enteros positivos y el cero, luego si la solución de la inecuación indica que debe ser mayor o igual a 133,33… el menor entero que cumple con tal condición es 134. d) Comunicar los resultados Para obtener una ganancia de al menos $500.000 se deben lavar por lo menos 134 vehículos al mes. Ejercicio resuelto 2: Un estudiante para mantener su beca, debe tener un promedio semestral superior a seis. Este semestre, las notas finales correspondiente a cuatro de cinco asignaturas son: 5,2; 6,4; 5,8; 5,5. ¿Qué calificaciones debe obtener en la última asignatura para mantener su beca? Solución: a) Identificar datos - En el semestre hay cinco asignaturas que cursar. - 5,2; 6,4; 5,8; 5,5 son cuatro de las cinco notas finales por asignatura. - El promedio semestral debe ser superior a 6,0. b) Establecer estrategia de resolución Se define la incógnita nota final de la quinta asignatura. Luego, se escribe algebraicamente el promedio de las cinco asignaturas en términos de la incógnita definida. Finalmente, se escriben las inecuaciones considerando las siguientes restricciones, el promedio semestral debe ser mayor a 6,0 y menor o igual a 7,0 y la nota de la asignatura debe pertenecer al intervalo [ ] c) Resolver el problema Sea la nota final de la quinta asignatura. La expresión algebraica para calcular el promedio semestral es Reduciendo términos se obtiene 81 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Como la nota de la quinta asignatura debe ser superior a seis y menor o igual a siete, escribimos el siguiente sistema siguientes inecuaciones: Además la nota de la asignatura debe pertenecer al intervalo [ ], es decir Resolviendo el sistema de inecuaciones se tiene Gráficamente: 0 6,5 11,5 Graficando los intervalos y se tiene 0 1 6,5 7 11,5 d) Comunicar los resultados Para mantener la beca, el alumno debe obtener una calificación superior a 6,5 y menor o igual a 7. De esta forma el intervalo solución es ] ] 82 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicios propuestos: Genéricos. 1. Completa la siguiente tabla Intervalo Desigualdad Recta real En palabras [ ] Número estrictamente inferior a 3. Número mayor o igual a 4 ] [ 2. Resuelve las siguientes inecuaciones. a) b) c) d) e) f) ( ) ( ) g) h) 3. A continuación se muestra el procedimiento y solución que obtuvo Rodrigo al resolver una El conjunto solución de la inecuación son los números inferiores o iguales a 1. inecuación. ¿Cuál es el error que cometió? Justifica tu respuesta. 83 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 4. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones. { { a) b) { { c) d) { e) 5. Resuelve los siguientes problemas utilizando inecuaciones. a) La temperatura (en °C) a la que el agua hierve está relacionada con la elevación (en metros sobre el nivel del mar) por la ecuación para . ¿Cuál es el intervalo para la elevación ? b) Supóngase que los consumidores adquieren unidades de un artículo a un precio de (en miles de pesos) por unidad ¿Cuántas unidades se deben vender para obtener ingresos mayores a un millón de pesos? c) Un almacén que confecciona ropa deportiva vende cierta cantidad de poleras a $18.500 cada una. Si los costos fijos de producirlas son $100.000 a la semana y la mano de obra y material es $12.000 por poleras ¿Cuántas poleras se deben confeccionar para tener utilidades cada semana? d) La compañía A arrienda automóviles por $ 17.500 el día más $ 30 el km. La compañía B cobra $ 15.000 diarios más $38 el km. Se necesita arrendar un auto por 5 días. ¿En qué rango de km hay que permanecer para tener ventaja económica al arrendar uno de la compañía B? e) ¿Para qué valores de el perímetro del rectángulo A es superior al del rectángulo B? 84 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática f) Una industria que confecciona camisetas estampadas emplea un servicio externo de estampado a un costo de $1.965 por camiseta. El dueño de la industria calcula que si ellos hacen ese trabajo, los costos por camiseta se reducen a $ 470, más un costo fijo de operación de $108.000 a la semana. ¿Cuántos estampados debe realizar la industria semanalmente para justificar la inversión en un equipo de estampación? g) Un estudiante tiene que rendir tres pruebas parciales, las notas en dos ellas fueron 4,5 y 5,0 y en tareas tiene un promedio de 4,7. Si las tareas ponderan un 10% y el promedio de las notas parciales un 90% ¿Qué nota como mínimo debe obtener en la última prueba para eximirse? (un estudiante se exime si tiene al menos un 5,0 de promedio) h) El costo de publicar cada ejemplar de un periódico es de $ 400. Los ingresos por ventas son de $ 350 por unidad y los ingresos por concepto de publicidad son el 20% de los ingresos obtenidos por las ventas que sobrepasen los 10.000 ejemplares. ¿Cuántos periódicos se debe vender para obtener utilidades superiores a $ 5.000.000? i) La desigualdad triangular es un teorema de geometría que establece que en todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante. Según lo anterior ¿Para qué valores de se cumple la desigualdad triangular la figura? 𝑥 Soluciones: 1. Intervalo Desigualdad Recta real En palabras Número mayor o [ ] igual a y menor o igual a Número ] [ estrictamente inferior a 3. Númeromayor ] ] estricto que 7 y menor o igual a 12 85 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática ] [ Número positivo Número mayor o [ [ igual a 4 Número mayor o ] [ igual a - 8 y menor o igual a cero ] [ Número negativo Número mayor o [ [ iual a - 20 2. a) b) c) d) e) Todos los números f) g) h) reales 3. No cambió de sentido la desigualdad al dividir por un número negativo 4. a) b) c) d) e) 5. a) b) A lo más 28 unidades. c) Al menos 16 poleras. d) A lo más 312,5 km e) debe ser mayor a 16,2 cm y menor que 50 cm. f) Al menos 73 estampados semanales. g) Una nota igual o superior a 5,5. h) Al menos 13.572 ejemplares. i) 86 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicios propuestos para la unidad Mecánica 1. Para evitar los choques por alcance en caminos que están siendo reparados, donde se utiliza una pista para ambos sentidos, se recomienda ocupar la siguiente fórmula: donde representa la distancia (metros) mínima entre dos vehículos y la velocidad (Km/h) que llevan los móviles. Si dos vehículos están a una distancia de 17,6 m ¿Cuál es la velocidad que deben llevar los vehículos para evitar un choque por alcance? 2. Una de las fórmulas utilizadas en el trabajo con gases es Donde p: presión (MPa) ; v: volumen (litros) ; n: mol (moles) ; r = 0,82 (constante) ; t: temperatura (Kelvin). El CO2 contenido en un recipiente ocupa un volumen de un litro, a una temperatura de 290,15°K y 1,12 MPa de presión. Determine la cantidad de moles presentes de CO2? 3. Rodrigo tarda 4 horas y media en instalar un cierre centralizado con alza vidrios a un vehículo, mientras que Sergio realiza el mismo trabajo en 6 horas. Si ambos mecánicos trabajarán juntos en efectuar la instalación ¿Cuánto tiempo tardarían? 4. En una fábrica de automóviles se comprobó que para velocidades mayores a 10 km/h y menores que 150 km/h el rendimiento de bencina (km/l) está relacionada con la velocidad (km/h) mediante la ecuación . ¿A qué velocidad el rendimiento del automóvil será 16 km/l? 5. Un bus sale de Santiago a 95 km/h. Una hora más tarde, un automóvil sale a 120 km/h del mismo punto y realizando el mismo recorrido que el bus para intentar alcanzarlo. Si ambos vehículos realizan el viaje a una rapidez constante ¿Cuánto tiempo tarda el automóvil en alcanzar al bus? ¿A cuántos kilómetros están de Santiago cuando ambos vehículos se encuentran? 6. El sueldo de un mecánico depende de una parte fija y otra variable. La parte fija es de $320.450 y la parte variable corresponde a las horas extras trabajadas mensualmente. ¿Cuántas horas extras aproximadas debe realizar en un mes para obtener un sueldo entre $650.000 y 800.000, si el valor de la hora extra es de $5.800? Soluciones: 1. 32 kms/hr 2. Los moles presentes de CO2 son 0,05 3. 4. 80 km/h y 100 km/h 5. 3 horas y 48 minutos; 456 km. 6. La cantidad de horas extras está representado por el intervalo: ] [ 87 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Construcción 1. Una de las ecuaciones que se utiliza para estimar el endurecimiento de un metal es: √ Dónde: : Dureza mínima (MPa); : constante del material; : diámetro de la partícula. Si se aplica un tratamiento térmico a la plancha de latón que tiene una dureza mínima 200 MPa (σ0) , en donde el diámetro es de 0,01 mm y su constante es de 6,8 ¿Cuál es el valor de la nueva dureza? 2. La deflexión de una viga viene dado por la siguiente fórmula: Dónde: : peso de la viga; : longitud de la viga ; : constante de la viga ¿Cuál es la expresión al despejar ? 3. Para construir un muro Jaime tarda 5 días, mientras que Luis lo realiza en 3 días trabajando en idénticas condiciones. Si los dos albañiles trabajan juntos en hacer el muro ¿Cuánto tiempo tardan en construirlo? 4. En una obra de construcción se tiene 258 metros de cerca para encerrar un terreno rectangular de 8100 m2. Además el terreno, en uno de sus lados, estará cubierto por una cadena de cerros ¿Cuáles podrían ser sus dimensiones si se debe utilizar todos los metros de cerca disponibles? 5. Se quiere taladrar tres agujeros de igual diámetro sobre una placa rectangular, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el diámetro del agujero y la distancia que los separa? 6. Para calcular el porcentaje de pendiente de un techo de un modelo de casa, se utiliza la siguiente fórmula : Donde corresponde al largo del techo en metros. ¿Cuánto debe ser el largo del techo para tener una pendiente desde 10% a 25%? 88 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Soluciones: 1. R: La nueva dureza de la plancha es de 268 MPa 2. 3. 4. Dos lados de 75 m y uno de 108 m ó dos lados de 54 m y uno de 150 m. 5. d = 2,83 cm y l = 1,17 cm 6. El largo del techo debe estar en el intervalo de: [ ] mts. Procesos Industriales 1. Para obtener la cotización total a pagar de una empresa, se utiliza la siguiente fórmula donde: : Cotización total a pagar; : Cotización adicional diferenciada; : Total de remuneraciones imponibles. Determine la cotización total a pagar de una empresa que ha sufrido un alza en su cotización adicional diferenciada, correspondiente a un 2,55%, a causa de la gran cantidad de accidentes que ha sufrido este último tiempo, si el total de remuneraciones imponibles es de $65.000.000 y la cotización básica es de 0,95%. (Valor fijo establecido por ley 16744 “Constante”). 2. Para obtener la frecuencia de accidentabilidad se utiliza la siguiente expresión: donde: : Frecuencia de accidentabilidad; : Número de accidentes; : Número de trabajadores. En la empresa “American Globe”, los trabajadores se exponen a diversos accidentes por el uso de máquinas y equipos que generan condiciones inseguras, ocasionando incapacidades temporales. Luego de recibir tratamiento médico la empresa permite al trabajador la recuperación de su capacidad de ganancia en un 100%. Calcule el número de accidentes producidos en la empresa considerando que la tasa de accidentabilidad es de 1,6% y la cantidad de trabajadores es de 1500. 3. Cierta etapa de un proceso industrial requiere de una alimentación de agua, que se suministra por medio de un tanque. Éste es alimentado por dos llaves, una lo llena en 10 minutos y otra lo hace en 12 minutos y un desagüe, estando lleno, lo vacía en 45 minutos. Si el tanque está vacío y abierto el desagüe ¿En cuánto tiempo aproximado se llenará con ambas llaves abiertas? 89 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 4. Cierta etapa de un proceso industrial requiere de una alimentación de agua, que se suministra por medio de un tanque que contiene 5000 galones de agua, la cual se drena desde el fondo del tanque. La ley de Torricelli da el volumen de agua que queda en el tanque después de minutos, lo que se calcula con la ecuación: a. ¿En cuánto tiempo el tanque se vacía? b. ¿En cuánto tiempo el tanque disminuye su capacidad total a la mitad? 5. Un ingeniero desea preparar una mezcla de 100 g con dos sustancias diferentes A y B. Para su propósito el 60% de la mezcla debe ser de la sustancia A y el 40% de la sustancia B. Si dispone de 2 mezclas M1 y M2 cuyos contenidos son: M1: 25% de la sustancia A y 75% de la sustancia B. M2: 80% de la sustancia A y 20% de la sustancia B. ¿Cuál es la cantidad aproximada que se requiere de la mezcla M1 para lograr lo que desea preparar el ingeniero? Soluciones: 1. $2.275.000 2. El número de accidentes es de 24 3. 6 minutos y 12 segundos aprox. 4. 40 minutos; 11 minutos y 43 segundos aprox. 5. 36,36 grs. aproximadamente. 90 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Unidad 4: Funciones Aprendizaje 4.1 Representa funciones en forma tabular, gráfica y analítica describiendo sus características generales, comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores. Criterios de evaluación: 4.1.1 Identifica si una expresión analítica, tabular o un gráfico corresponde a una función, analizando dominio, recorrido y aplicando la regla de la recta vertical. 4.1.2 Grafica funciones a partir de una tabla de valores, analizando dominio y recorrido de definición de manera efectiva 4.1.3 Describe las características generales de ciertas funciones dadas, comunicando sus resultados de manera efectiva. Para resolver un problema, recuerda: a) Leer detenidamente el enunciado e identificar: datos, incógnitas y relaciones. b) Trazar una estrategia de resolución. Establecer hipótesis. c) Resolver el problema. d) Comunicar los resultados de manera efectiva y acorde a la situación e interlocutores. 91 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 1: La siguiente tabla corresponde a algunos datos de una función definida sobre el conjunto A={1, 2, 3, 4, 5} x 1 2 3 4 f(x) 5 6 8 3 ¿Puede saber qué valor tomará la función en x=5? Grafique la parte de la función que se representa tabularmente. Solución: a) Identificar datos. Dominio = {1, 2, 3, 4, 5} Recorrido = {3, 5, 6, 8, f(5)} b) Establecer una estrategia de resolución. Primero graficaremos para saber qué podría pasar en x=5. Luego, responderemos la primera pregunta. c) Resolver el problema. Al graficar obtenemos el siguiente gráfico. No es posible determinar qué valor toma la función cuando x=5. Hay que saber que los puntos no deben unirse puesto que el dominio de la función es discreto. d) Comunicar los resultados. No se puede determinar el valor de x=5. El gráfico de la parte tabulada de la función es el mismo que se señala en el paso anterior. 92 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicios propuestos: Genéricos: 1. Indica cuál de las gráficas siguiente representa una función. a) b) c) d) e) f) g) h) i) 2. Traducir cada frase a una igualdad a) 4 es la imagen del 5 por la función b) – 3 es la imagen del 0 por la función c) La imagen de 17 por la función es – 17 d) La imagen de – 31,8 por la función es – 3 e) – 3 es la preimagen de 0 por la función f) Una preimagen de 7,2 por la función es –1 g) Una preimagen de – 5 por la función es – 8 93 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 3. La siguiente tabla de valores corresponde a la función Contesta las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la imagen de 3 por la función ? b) ¿Cuál es la preimagen de 4 por la función ? c) ¿Cuáles son los números que tienen la misma imagen por la función ? d) e) 4. La siguiente gráfica representa la función . Completa la tabla 5. La gráfica representa una función Completa a) b) c) d) e) f) g) h) Indica la(s) preimagen(es) de 1 por la función . 94 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 6. Dada la función , calcula: a) La imagen de 2 b) La imagen de -5 c) La(s) preimagen(es) de cero d) La(s) preimagen(es) de -3 7. Dada la función , calcula: a) b) c) d) 8. Dada la función { , calcula: √ a) b) c) d) 9. Para cada función definida en los reales que está representada en las gráficas indica dominio, recorrido, intervalos de monotonía (crece, decrece, constante). a. b. c. 95 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 10. Indica dominio y recorrido de las siguientes funciones definidas en los reales. a) √ b) c) d) e) √ f) 11. Dadas las funciones gráficamente, analice si son biyectivas. a) b) ] 12. Analice si las funciones dadas son biyectivas. a) [ b) 13. Determine si las siguientes funciones admiten inversa y justifique. En caso afirmativo, defina la función inversa. a) b) c) d) 14. En cada una de las siguientes funciones complete la definición para que sea una función que admite inversa y defina la función inversa. a) √ b) c) 15. Dadas las funciones , determina las siguientes funciones con sus respectivos dominios: a) b) c) d) e) f) 96 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 16. Dadas las funciones , √ y , calcula: a) b) c) d) e) f) 17. Sea , calcula el valor de para que la composición de ambas sea conmutativa, es decir, . 18. Sean , , calcula 19. Identifica cada una de las siguientes funciones y luego grafícalas. a) b) c) | | d) e) f) √ g) h) | | i) j) √ k) [ ] l) m) n) o) p) q) [ ] r) √ 20. En las siguientes funciones, identifica cada una de las funciones componentes y luego grafícala. √ a) {| | b) { 97 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Soluciones: 1. a) Si es función b) Si es función c) No es función d) Si es función e) No es función f) No es función g) Si es función h) Si es función i) No es función 2. a) b) c) d) e) f) g) 3. a) 4 b) 3 c) -4 y 1; 0 y 4 d) 5 e) -1 4. - 0,75 0 0 0,75 5. a) 1 b) 2,5 c) -3 d) 2 e) 1 f) 1 g) 3 h) -2; 1 y 2 6. a) -3 b) 32 c) – 1;3 d) 0;2 7. a) b) c) -6; 6 d) 8. a) 6 b) 6 c) 5 d) 9. a) b) c) ] ] { } { } ] ] ] ] Creciente en Decreciente en Decreciente en ] [ ] ] [ ] ] [ ] [ ] [ ] [ Decreciente en [ ] 10. a) [ [ b) c) { } [ [ { } e) f) d) [ [ [ ] 11. a) Es inyectiva pues valores distintos del dominio tienen distinta imagen, pero no es sobreyectiva porque todos los números reales pertenecientes al intervalo [ no son imagen de ningún valor del dominio. El conjunto de imágenes está incluido en el conjunto de llegada, es decir, [ Por lo tanto a la función no es biyectiva. 98 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática b) No es inyectiva porque valores distintos del dominio tienen la misma imagen, por ejemplo , pero es sobreyectiva porque todos los elementos del intervalo ] son imagen de algún elemento del dominio. Por lo tanto la función no es biyectiva. 12. a) No es inyectiva porque valores distintos del dominio tienen la misma imagen, por ejemplo y si es sobreyectiva porque para todo número real se verifica que su cuadrado es mayor o igual que cero y si se le suman tres unidades resulta El recorrido es el intervalo [ que coincide con el conjunto de llegada. La función no es biyectiva. b) Dado que los valores de distintos del dominio tienen imágenes distintas, la función es inyectiva. Como todo número real es imagen de algún elemento del dominio, la función es sobreyectiva. La función es biyectiva. 13. a) no es biyectiva (no es inyectiva ni sobreyectiva), por lo tanto, no admite inversa. b) es biyectiva, por lo tanto, admite inversa. c) no es biyectiva (no es inyectiva ni sobreyectiva), por lo tanto, no admite inversa. d) es biyectiva, por lo tanto, admite inversa. 14. a) Si se define la función [ / √ la función es biyectiva y admite inversa. La función inversa se define [ b) Si se define la función g [ [/ la función es biyectiva y admite inversa. La función inversa se define [ [ √ c) Si se define la función { } { } / la función es biyectiva y admite inversa. La función inversa se define { } { } 15. a) b) c) ( ) { } d) ( ) { } f) e) 16. a) [ [ b) c) -1 d) [ [ e) 49 f) 17. 18. 7 99 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 19. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 100 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática m) n) o) p) q) r) 20. a) b) 101 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Aprendizaje 4.2 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas cuyos modelos correspondan a funciones afines, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas. Criterios de evaluación: 4.2.1 Identifica los tipos de funciones mediante su representación gráfica y algebraica, distinguiendo sus principales características de modelamiento. 4.2.2 Evalúa funciones para dar respuesta a un problema de modelación, analizando y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación. 4.2.3 Representa gráficamente funciones expresadas por medio de enunciados, tablas y expresiones algebraicas indicando sus elementos característicos. 4.2.4 Realiza operaciones entre funciones para dar respuesta a un problema de modelación. Para resolver un problema, recuerda: a) Leer detenidamente el enunciado e identificar: datos, incógnitas y relaciones. b) Trazar una estrategia de resolución. Establecer hipótesis. c) Resolver el problema. d) Comunicar los resultados de manera efectiva y acorde a la situación e interlocutores. 102 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 1: La posición de un móvil que se mueve a velocidad constante, está dada por la función donde es la posición del móvil (en metros) transcurridos segundos. a. Grafica la trayectoria del móvil. b. ¿Cuál es la posición inicial del móvil? c. ¿Cuál es la posición del móvil a los 13 segundos? d. ¿En qué instante el móvil pasa por la posición 268 m? Solución: a) Identificar datos - : tiempo, en segundos. - : posición del móvil (en metros) transcurridos segundos. b) Establecer estrategia de resolución Dada la expresión analítica de la función , podemos afirmar que es una función afín, con lo que su representación gráfica es una recta. Para graficar una recta basta con determinra dos puntos pertenecientes a ella, por lo tanto, calculamos las imágenes de dos tiempos y distintos, pertenecientes al dominio de la función. Respecto de las preguntas b. y c., la posición del móvil se obtiene calculando la imagen, por la función , del tiempo en cuestión mientras que en la pregunta d., debemos calcular la preimagen de la posición del móvil dada. c) Resolver problema a. La forma analítica de la función indica que es una función afín, por lo tanto su representación gráfica es una recta. Al graficar una recta, es necesario conocer al menos dos puntos de ella. Para tener precisión en el gráfico de una recta, es recomendable calcular las intersecciones con los ejes cartesianos, es decir, y Para Para 103 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Por lo tanto, en el punto la recta intersecta al eje , y en al eje , como se muestra a continuación. b. La posición inicial del móvil es en , luego hay que calcular la imagen de cero para la función , es decir, . c. La posición del móvil en corresponde a la imagen de trece para la función , es decir, . d. La posición 268 significa que entonces hay que calcular la preimagen de 268. d) Comunicación de resultados a. Inicialmente el móvil está a 600 m del origen. b. A los 13 segundos el móvil está a 470 m del origen. c. A los 33,2 segundos el móvil está a 268 m del origen. 104 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 2: Se arroja verticalmente hacia arriba una pelota de tenis imprimiéndole una velocidad de Si después de haber sido lanzada la función que describe la altura es: a. ¿Desde qué altura fue lanzada? b. ¿En qué instante alcanza la altura máxima? Calcula la altura máxima. c. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? Solución a) Identificar Datos - : tiempo, en segundos, transcurrido desde que la pelota comienza su vuelo. - : altura que alcanza la pelota en el instante . b) Establecer estrategia de resolución Dada la expresión analítica de la función , podemos identificar que es una función cuadrática, por lo tanto, su representación gráfica es una parábola. De acuerdo a ella, la altura desde la cual la pelota fue lanzada corresponde a la intersección de la parábola con el eje , por lo tanto, en la pregunta a. debemos calcular la imagen de cero. Respecto de la altura máxima, ésta gráficamente se alcanza en el vértice de la parábola, el que se calcula utilizando la fórmula ( ( )). Por último, el tiempo que tarda en llegar al suelo, se visualiza en la intersección de la parábola con el eje , para lo cual calculamos la preimagen de cero. c) Resolver Problema a. El instante en que la pelota comienza su vuelo es en , luego es la altura desde la que fue lanzada. b. La forma analítica de la función corresponde a una función cuadrática, cuya representación gráfica es una parábola, por lo tanto, la altura máxima será el vértice de la parábola. Dada la función cuadrática , el vértice se calcula utilizando la siguiente fórmula. ( ( )) En la función , y , luego la coordenada del vértice es: Para calcular la coordenada del vértice, se calcula la imagen de 1,03 en la función 105 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática c. La pelota cuando llega al suelo, su altura es cero, esto es , luego La ecuación anterior es de segundo grado, por lo tanto, para resolverla es necesario √ utilizar la fórmula cuadrática . Para la función , y , luego √ √ √ √ El dominio de la función es [ [, y no pertenece a ese intervalo, por lo tanto la pelota tarda 3,29 segundos en llegar al suelo. d) Comunicación de resultados a. La pelota fue lanzada desde 5,4 metros. b. La máxima altura que alcanza la pelota es 6,82 metros y esto ocurre transcurridos 1,03 segundos luego de ser lanzada. c. La pelota tarda 3,29 segundos en llegar al suelo. 106 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 3: La ley de Torricelli, que permite calcular la velocidad de salida de un líquido no viscoso e incompresible a través de un orificio de un recipiente, se describe mediante la función √ , donde es la velocidad del líquido, la aceleración de gravedad y la diferencia de altura entre el nivel del líquido y el orificio (ver figura). a. Si en un recipiente se mantiene un nivel constante de agua de 2,4 m y el orificio está ubicado a 1,5 m de la base ¿Cuál es la velocidad de salida del líquido? b. Si en un recipiente, que se mantiene un nivel constante de agua, la velocidad de salida del líquido es y el orificio está ubicado a 1,2 m de la base ¿Cuál es la altura del nivel de agua? c. Si en un recipiente, que se mantiene un nivel constante de agua de 10,3 m, se requiere que la velocidad de salida del líquido sea ¿A qué altura debe realizarse el orificio? Solución a) Identificar datos - es una constante. - : diferencia de altura entre nivel del líquido y orificio. - : velocidad de salida del líquido. b) Establecer estrategia de resolución Para conocer la velocidad de salida del líquido, es necesario calcular la imagen, por la función de la diferencia entre la altura del nivel del agua y la del orificio. En la pregunta b. si queremos determinar la altura del nivel del agua, primero calculamos la preimagen de la velocidad de salida del líquido y esta diferencia la sumamos con altura del orifico. En la pregunta c. también calculamos la preimagen de la velocidad de salida del líquido, pero ahora a este número le restamos el nivel del agua, analizando si el valor obtenido pertenece al dominio de la función. c) Resolver problema a. Si en un recipiente se mantiene un nivel constante de agua de 2,4 m y el orificio está ubicado a 1,5 m de la base, la diferencia de altura se calcula: 107 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Luego, es la velocidad de salida del líquido. √ b. Si la velocidad de salida del líquido es , entonces , luego √ Llamemos a la altura del nivel de agua. Considerando que el orificio está a una altura de 1,2 metros de la base y que es la diferencia de altura entre el nivel del líquido y el orificio, entonces Reemplazando en la ecuación anterior se tiene que c. Si la velocidad de salida del líquido es , entonces , luego √ Llamemos a la altura del nivel de agua. Considerando que el nivel de agua está a una altura de 10,3 metros de la base y que es la diferencia de altura entre el nivel del líquido y el orificio, entonces Reemplazando en la ecuación anterior se tiene que Como corresponde a una altura, éste número siempre debe ser mayor o igual a cero, por lo tanto, no es posible realizar un orificio a un recipiente con las condiciones anteriores. d) Comunicación de resultados a. La velocidad de salida del líquido es . b. La altura del nivel del agua es . c. No es posible realizar un orificio a un recipiente con las condiciones que se especifican. 108 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 4: Mediante la escala de Ritcher se puede conocer la energía liberada en el hipocentro o foco, que es aquella zona del interior de la tierra donde se inicia la fractura o ruptura de las rocas, la que se propaga mediante ondas sísmicas. La magnitud de un terremoto en la escala de Richter es Donde E es la energía del terremoto en kilowatts-hora. A través de ella a. ¿Cuánta energía libera un terremoto de magnitud 7? b. ¿Cuál es la magnitud de un terremoto que libera kilowatts-hora? Solución: a) Identificar datos - : magnitud del terremoto en escala de Richter. - : energía del terremoto en kilowatts-hora. b) Resolver problema a. Calcular la energía que libera un terremoto de magnitud siete, significa que calcular la preimagen de 7 en la función , es decir b. Calcular la magnitud de un terremoto que libera kilowatts-hora, significa calcular la imagen de en la función , es decir c) Establecer estrategia de resolución Calcular la energía que libera un terremoto dada su magnitud, significa calcular la preimagen de la magnitud por la función , mientras que para calcular la magnitud de un terremoto dada la energía que libera, basta con determinar la preimagen de dicha energía en kilowarrs- hora. 109 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática d) Comunicación de resultados a. Un terremoto de magnitud 7, en la escala de Ritcher, libera kilowatts- hora. b. Un terremoto que libera kilowatts-hora de energía en el hipocentro, tiene una magnitud de 5,3 en la escala de Ritcher. Ejercicio resuelto 5: La vida media de una sustancia radiactiva corresponde al tiempo requerido para que determinada cantidad de material se reduzca a la mitad. Se ha observado que este proceso radiactivo tiene un comportamiento exponencial decreciente de la forma , donde es la cantidad de sustancia radiactiva en el instante Si de 200 g de cierta sustancia radiactiva quedan 50 g al cabo de 100 años ¿Cuántos gramos de sustancia radiactiva quedarán transcurridos 135 años? Solución: a) Identificar datos - son constantes. - : tiempo en años. - : cantidad de sustancia radiactiva en el instante . - Inicialmente hay 200 g de sustancia radiactiva, es decir, - Transcurridos 100 años hay 50 g de sustancia radiactiva, es decir, b) Establecer estrategia de resolución: Para calcular los gramos de sustancia radiactiva que quedarán transcurridos 135 años es necesario primero determinar la función , es decir calcular las constantes y Para ello, con los puntos y planteamos ecuaciones y conocemos los valores de las constantes en cuestión. Finalmente calculamos la imagen de 135 por la función . c) Resolver problema Para calcular los gramos de sustancia radiactiva que quedarán transcurridos 135 años es necesario determinar la función , es decir calcular las constantes y Se sabe que inicialmente hay 200 g de sustancia radiactiva, es decir Por lo tanto, remplazando en la función se tiene 110 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Además , luego Aplicando logaritmo natural a ambos miembros de la igualdad obtenemos Por lo tanto, ( ) Sea , aplicando logaritmo natural a ambos miembros de la igualdad se tiene ( ) ( ) ( ) Luego la función es Finalmente si , d) Comunicación de resultados Luego de 135 años quedará 30,77 g de sustancia radiactiva. 111 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 6: La cuenta mensual del agua potable en período normal (sin sobre consumo) dice: Cargo fijo : $ 472 Valor m³ : $ 353 El Valor por cada m³ incluye: agua potable, alcantarillado y tratamiento aguas servidas. i. ¿Cuál es la función que modela la tarifa mensual del agua potable? ii. ¿Esta función es predictiva en el cobro por consumo de agua potable? Solución: a) Identificar datos Se comienza definiendo las variables a trabajar, en este caso: x : m³ de consumo de agua mensualmente. (Variable independiente). y : costo por consumo mensual de m3 de agua. (Variable dependiente). b) Establece estrategia de resolución Primero identificamos las variables dependiente e independiente. En este caso, llamaremos a los m³ de consumo de agua mensualmente (variable independiente) y al costo por 3 consumo mensual de m de agua (variable dependiente). Luego construimos una tabla de registro y graficamos. A partir del gráfico, identificamos el tipo de función y calculamos sus parámetros. c) Resolver problema Para obtener los cobros por cantidad de Con estos valores se realiza un registro consumo, se realiza una tabla de registro, con gráfico, para determinar el gráfico asociado diferentes parámetros de consumo: al cobro: 112 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática x y 0 1 2 3 10 30 45 73 Como el cobro del agua potable sigue un modelo a fin, una manera de obtener la función que modela el cobro, es utilizando la ecuación de la recta dado dos puntos, para esto se puede acudir al registro de tabla o al registro gráfico, en este caso se tomarán en cuenta los dos primeros datos de la tabla de registro, los cuales representan un punto en el plano cartesiano cada dato. De esta forma: P1 = ( 0 , 472 ) y P2 = ( 1 , 825 ). Reemplazando estos puntos en la fórmula de la ecuación de la recta dado dos puntos: De esta forma, se obtiene la función que modela el cobro del agua potable mensualmente, es recomendable verificar si esta ecuación arroja parámetros coherentes con los datos dados en un comienzo, es decir: Se sabe que con 0 m3 sólo cobrarán el cargo fijo; si se reemplaza en la función modela, la imagen que arroje esta función para la pre imagen 0, debe ser de $ 472, al verificar: Reemplazando otro consumo, 45 m3: d) Comunicación de resultados i) Así se verifica que la función modelada tenga consistencia con los valores de referencia del problema. Por lo tanto la función que modela el cobro del agua potable es: 113 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Es importante mencionar que la función que modela este cobro es una función a fin y no lineal, ya que las funciones lineales pasan por el origen, en este caso no cumple con esa condición, por ende es a fin. ii) Con respecto a si esta función es predictiva con respecto al cobro del agua potable mensualmente y sin sobreconsumo. Cuando se modela una función el principal objetivo es poder saber que sucederá con diferentes valores, es decir , si una persona proyecta gastar 30 m3 , 70 m3 , 21 m3 o cualquier valor que se refiera al consumo de agua, se puede saber cuánto será el costo sólo basta con reemplazar este valor en la función modelada. Además se puede determinar la cantidad de m3 consumidos dado el valor de cobranza. Ambos puntos son importantes ya que el primero hace referencia a que el modelamiento es predictivo y el segundo punto tiene como utilidad la verificación, es decir puede permitir saber si existe algún error en la cuenta. Ejercicio resuelto 7: Una compañía de teléfonos públicos, tiene un valor de $100 por cada 3 minutos o fracción a números de red fija, dentro de la región donde se realice la llamada. ¿Cuál es la función que modela el cobro por llamada de esta compañía? Solución: a) Identificar datos Cobro: $ 100 por cada 3 minutos o fracción b) Establecer estrategia de resolución Primero identificamos las variables dependiente e independiente. En este caso, llamaremos a los segundos que dura la llamada, ya que se cobra $100 por minuto o fracción (variable independiente) y al costo total de la llamada según los segundos utilizados (variable dependiente). Luego construimos una tabla de registro y graficamos. A partir del gráfico, identificamos el tipo de función y calculamos sus parámetros. c) Resolver problema Para obtener los cobros por cantidad de segundos utilizados, se realiza una tabla de registro. x f(x) ]0 – 180] ]180 – 360] 114 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática ]360 – 540] ]540 – 720] ]720 – 900] ]900 – 1080] Con estos valores se realiza el gráfico asociado al cobro Al tener el registro gráfico de los datos, se identifica una función parte entera, de esta forma la función que modela el cobro por las llamadas es: x y ]0 – 180] [ ] ]180 – 360] [ ] ]360 – 540] [ ] ]540 – 720] [ ] ]720 – 900] [ ] 115 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática ]900 – 1080] [ ] d) Comunicación de resultados De esta manera la función que modela el cobro por llamada realizada es: [ ] Ejercicio resuelto 8: Se debe cercar un terreno rectangular de 5000 m2 en el cual uno de sus lados ya está cubierto por una cadena de cerros. a. Escribe una función que permita calcular el perímetro del terreno dada la medida de uno de sus lados. b. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno si el perímetro es 348 m? Solución a) Identificar datos El terreno tiene forma rectangular. La superficie del terreno mide 5.000 m2 Uno de los lados del terreno está cubierto por cerros. b) Establecer estrategia de resolución Primero identificamos las variables dependiente e independiente. En este caso, llamaremos a la medida en metros del ancho del rectángulo (variable independiente) y al perímetro del terreno (variable dependiente). Luego escribimos el largo del rectángulo en términos de y finalmente la expresión algebraica correspondiente perímetro. Entonces conocida la función para determinar las dimensiones del terreno dado su perímetro, debemos calcular la preimagen del perímetro. c) Resolver problema a. Sea la medida en metros del ancho del rectángulo e la medida en metros del largo del rectángulo como se muestra 𝑥 Fig. 1 𝑥 en la figura 1. Se sabe que el terreno debe tener un área de 5000 m2, 𝑦 entonces la ecuación correspondiente al área es 𝑥 Fig. 2 𝑥 116 𝑥 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Por lo tanto, al despejar se obtiene Con el resultado de la ecuación anterior, se escribe el largo y ancho del rectángulo utilizando una sola variable, como se muestra en la figura 2. Por lo tanto, si es el perímetro de la superficie rectangular, el perímetro en función de es b. Si el perímetro es 348 m, significa calcular la preimagen de 348 en la función P Para resolver esta ecuación cuadrática, es necesario identificar los parámetros y . En este caso , y . Luego, estos números se reemplazan en la √ fórmula cuadrática . √ √ √ √ Finalmente se reemplaza y en para calcular, en cada caso, la medida del largo del rectángulo. 117 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Para , Para d) Comunicación de resultados a. El perímetro del terreno en función de la medida de su ancho es b. Si el perímetro es 348, las dimensiones del terreno pueden ser 158,2 m de ancho y 31,61 m de largo o 15,8 m de ancho y 316,46 m de largo. Ejercicios propuestos: Genéricos. 1. Resuelve los siguientes problemas. a) El número de bacterias en cierto cultivo en el tiempo (en horas) está dado por , donde se mide en miles. i. ¿Cuántas bacterias hay inicialmente? ii. Calcula el número de bacterias después de 10 minutos, 30 minutos y 1 hora. b) La relación entre el número de decibles y la intensidad del sonido en watts por metro cuadrado está dada por la función ( ) ¿Cuál es el número de decibeles de un sonido cuya intensidad es 1 watts por metro cuadrado? c) Una aproximación del número de hogares (en millones) con televisión digital, de 2003 a 2007, está dado por la función , con donde representa el año 2003. ¿Cuántos hogares tenían televisión digital el año 2005? d) La economía de una empresa de construcción de barcos se rige por las siguientes funciones de oferta y demanda: Donde es el precio por unidad en euros, son las unidades fabricadas y son las unidades que pide el mercado. Calcula el precio y el número de unidades que se deben fabricar para que la oferta y la demanda coincidan. e) El ingreso mensual en miles de pesos por la venta de unidades de cierto artículo está dado por la función – . i. ¿Cuántos es el ingreso por la venta de 950 unidades? 118 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática ii. ¿Cuántas unidades se deben vender para tener un ingreso de quince millones de pesos? iii. ¿Cuál es el máximo ingreso que se puede obtener? f) El gráfico muestra el costo en pesos de producir cuadernos tapa dura. i. Exprese el costo en función del número de cuadernos. ii. ¿Cuál es el costo de producir 358 cuadernos? iii. ¿Cuántos cuadernos se pueden producir con $ 450.560? g) La imagen muestra la tarifa de un estacionamiento. Exprese el costo en función de los minutos estacionados y grafique dicha función. h) La trayectoria de un proyectil corresponde a una función cuadrática. Si la altura máxima alcanzada por el proyectil es de 120 metros y su alcance horizontal es de 1000 metros ¿Cuál es la distancia horizontal del punto de disparo cuando el proyectil alcanza por primera vez una altura de 80 metros? i) Después de t horas de operación, una empresa ha ensamblado una cantidad de segadoras de pasto de motor, donde , siendo Sea C el costo de fabricación de esas unidades (en dólares) dado por i. Exprese el costo de fabricación como función del número de horas de ensamble. ii. ¿Cuál es el costo de las primeras dos horas de operación? iii. Si el costo de fabricación es dos mil quinientos dólares ¿cuántas horas le demanda esa operación? j) En un cierto lago, el pez róbalo se alimenta del pez pequeño gobio, y el gobio se alimenta de plankton. Supongamos que el tamaño de la población del róbalo es una función 119 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática del número de gobios presentes en el lago, y el número de gobios es una función de la cantidad de plankton en el lago. Si √ y i. Si en el lago se estima que hay 7549 peces gobios ¿cuántos plankton y róbalos hay? ii. Exprese el tamaño de la población del róbalo como una función de la cantidad de plankton. k) Un charco circular de agua se está evaporando y disminuye lentamente su tamaño. Después de minutos, el radio del charco mide pulgadas. Si el área A del charco está dado por la función , i. ¿Cuál es área inicial del charco? ii. Exprese el área del charco en función del tiempo. 120 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Soluciones: 1. a) i. 2000 bacterias; ii. A los 10 minutos hay 2402 bacterias, a los 30 minutos 3464 bacterias y a la hora hay 6000 bacterias. b) 20 decibles c) 55.528.879 hogares tenían televisión digital el año 2005. d) La oferta y la demanda coinciden cuando se fabrican 5 000 barcos a 2 000 euros cada uno. e) i. $ 23.750.000 ii. 142 o 1058 unidades iii. $36.000.000 f) i. ii. $ 36.150 iii. 4502 cuadernos g) [ ] h) 211,32 metros. i) i. ii. 6.040 dólares iii. 40,3 horas j) i. 57 peces róbalos y 1887 peces plankton ii. √ k) i. 5,06 pulgadas ii. ( ) 121 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicios propuestos para la unidad Mecánica 1. Una empresa que se dedica a la pintura de automóviles, estima que el costo por pintar una pieza de un vehículo, en donde “x” representa el número de piezas a pintar está dada por la función: a) ¿Cuánto es el costo de pintar las dos puertas delanteras de un automóvil? b) ¿Cuántas pizas se pintaron, si el costo fue de $40.500? 2. La ley de Torricelli, que permite calcular la velocidad de salida de un líquido no viscoso e incompresible a través de un orificio de un recipiente, se describe mediante la función √ , donde es la velocidad del líquido, la aceleración de gravedad y la diferencia de altura entre el nivel del líquido y el orificio (ver figura) a) Si el recipiente que contiene el agua destilada de un vehículo se mantiene un nivel constante de agua de 1,1 m, el cual tiene una fuga en donde la velocidad de salida del agua es de ¿A qué altura se encuentra el orificio? b) ¿Qué restricción se debe realizar en el dominio, para que la función tenga sentido dentro del contexto? 3. El número de kilómetros que puede recorrer con 4,3 litros de gasolina un determinado modelo de automóvil, con una rapidez de “v” kilómetros por hora, viene dado por la función: a) ¿Cuál será la cantidad de kilómetros que puede recorrer el vehículo con una rapidez de 15 km/h? b) ¿Cuál es la rapidez del automóvil, si recorrió 40 km? 122 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 4. Es posible Medir la concentración de alcohol en la sangre de una persona. Investigaciones sugieren que el riesgo “r” (dado como porcentaje) de tener un accidente automovilístico viene dado por la función: Donde x es la concentración variable de alcohol en la sangre y k una constante. a) Suponga que con una concentración del 0,04 de alcohol en la sangre y un riesgo del 10% de sufrir un accidente. ¿Cuál es el valor de k? b) Utilizando el valor de k obtenido anteriormente, ¿Cuál es el riego de tener un accidente si la concentración de alcohol es de un 0,17? c) ¿Cuál es la concentración de alcohol en la sangre de una persona, para que tenga un riesgo de un 100%? (utilizando el valor de k del ejercicio a) 5. En 1880 el promedio de la temperatura del suelo fue 11,8 °C. Desde entonces, ha subido a un ritmo casí constante, llegando a 13,6 °C en 1970 ¿Cuál es la expresión que modela la temperatura(T) en función del tiempo(t)? (considerar que t = 0 corresponde al año 1880 y ) Soluciones: 1. a) El costo por dos piezas es de $21.900 b) 5 piezas. 2. a) La altura del orificio se encuentra a 1 mt. b) La restricción que debe haber es que la variable “h” sea mayor o igual que cero, ya que corresponde a una altura, además se encuentra dentro del radical de una raíz, “g” no influye, ya que es una constante. 3. a) 22,5 kilómetros b) 40 o 50 kms/hrs 4. a) k = 12,77 b) El riesgo es de un 52,6% c) Una concentración del 0,22 5. La función que modela la temperatura es : 123 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Construcción 1. Una empresa que se dedica al trabajo con cerámicos, paga a sus trabajadores en forma mensual, según la cantidad de metros cuadrados realizados ( x ), utilizando la siguiente función: a) ¿Cuánto obtiene un trabajador que pegó 350 mts2 de cerámicos durante un mes? b) ¿Cuántos metros cuadrados tiene que pegar un trabajador para obtener $722.000? 2. Según la ley de enfriamiento de Newton, si un objeto que se encuentra inicialmente a una temperatura se coloca en una habitación a una temperatura , la temperatura (en del objeto en el instante (en horas) esta dada por la función donde , y son constantes. Un objeto se saca del horno a 350°F y se deja enfriar en una habitación que está a 70°F. Si la temperatura del objeto desciende a 250°F en una hora. ¿Cuál será su temperatura tres horas después de que se sacó del horno? 3. Para evacuar las aguas de las casas en las techumbres se utilizan canaleta. Con una plancha de lata de 30 cms, se requiere obtener una canaleta de sección transversal rectangular, que evacue la mayor cantidad de agua posible, para esto la plancha debe ser doblada, como lo indica la figura. ¿Cuáles deben ser las medidas de la canaleta (altura y base) para que transporte la mayor cantidad de agua posible? 4. El número de vibraciones de una cuerda es directamente proprcional a la raíz cudrada de la tensión de la cuerda. Cuyo modelo se expresa a continuación: √ En donde: t : es la tensión de la cuerda en kg ; V: es la cantidad de vibraciones por seg ; k : constante a) ¿Cuál es el valor de la constante si una cuerda en particular tiene 864 vibraciones por segundo, sometida a 24 kg? b) Expresar el número de vibraciones de esta cuerda en términos de la tensión T c) Determinar el número de vibraciones por segundo, cuando la cuerda esté sometida a 6 kg. 124 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 5. De una pieza rectangular de lata que mide 44 cm de largo y 19 cm de ancho se va a construir una caja sin tapa. Se cortarán 4 cuadrados de x cm de lado, como se muestra en la figura, y luego se doblará sobre las líneas punteadas para formar la caja. Exprese el volumen de esta caja como función de x. Soluciones: 1. a) Por pegar 350 mts2 de ceramica gana $470.000 b) Tiene que pegar 560 mts2 2. La temperatura después de tres horas será de 144,4°F 3. 3. Para evacuar la mayor cantidad de agua la canaleta debe tener 7,5 cms de altura y 15 cms de base. 4. a) √ b) √ v/seg c) 5. 125 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Procesos Industriales 1. La concentración de amoniáco sobre superficies de tungsteno luego de minutos esta dada por la función . a. ¿Cuál es la concetración inicial de amoniáco en la superficie de tungsteno? b. ¿Cuál es la concentración de amoniáco a los 93 minutos? c. ¿Cuánto tiempo tarda en descomponerse totalmente el amoníaco? 2. La contaminación por monóxido de carbono en ciertas zonas del planeta está dada por la función √ donde corresponde a la población en miles de habitantes y al monóxido de carbono en ppm. a. Si una ciudad tiene una población de 9.548.000 habitantes ¿Cuantó es el nivel de contaminación por monóxido de carbono de esa ciudad? b. Si la población de una ciudad emite 6 ppm de monóxido de carbono ¿Cuántos habitantes tiene la ciudad? 3. Estudios demográficos han estimado que dentro de años la población de una ciudad, en miles de habitantes será . a. ¿Cuántos habitantes tenía inicialmente la ciudad? b. ¿En cuánto tiempo la población de la ciudad será 14.890.000 habitantes? c. Considerando la función de contaminación por monóxido de carbono del ejercicio anterior ¿En cuánto tiempo el nivel de monóxido de carbono de esa ciudad llegará a 5,5 ppm? 4. Mediante la escala de Ritcher se puede conocer la energía liberada en el hipocentro o foco, que es aquella zona del interior de la tierra donde se inicia la fractura o ruptura de las rocas, la que se propaga mediante ondas sísmicas. La magnitud M de un terremoto en la escala de Richter es: Donde E es la energía del terremoto en kilowatts-hora. A través de ella ¿Cuánta energía libera un terremoto de magnitud 9? 5. El carbono 14, un isótopo del carbono, es radiactivo y su decrecimiento exponecial se modela mediante la función , donde es la cantidad de sustancia radiactiva en el instante . Su vida media es 5730 años, es decir, tarda 5730 años que una cantidad determinada de carbono 14 decaiga a la mitad. Si originalmente estaban presentes 10 gramos ¿Cuánto quedará después de 2000 años? 126 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Soluciones: 1. a) La concetración inicial de amoniáco es de 0,02 b) La concetración de amoniáco a los 93 minutos es de 0,00469 c) 119,76 minutos tarda en descomponerse totalmente el amoníaco. 2. a) El nivel de contaminación por monóxido de carbono de la ciudad es de 218,54 ppm b) La cantidad de habitantes es de 3200 personas. 3. a) Inicialmente teniá 700 habitantes b) En 2.227,8 años c) Cuando la población tenga 2.050 habitantes. 4. La energia liberada es de 5. Despues de 2000 años quedará 7,85 grs. 127
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