GUÍA DE ACTIVIDADES MATEMÁTICA - MTIN01

March 21, 2018 | Author: arnaldoace | Category: Square Root, Physics & Mathematics, Mathematics, Science, Nature
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Guía de EjerciciosMTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática GUÍA DE EJERCICIOS MATEMÁTICA – MTIN01 Material realizado por: David Contreras Cristina Fuenzalida CIENCIAS BÁSICAS ÁREAS TRANSVERSALES VICERRECTRÍA ACADÉMICA DE PREGRADO 1 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Contenido Unidad 1: Resolución de problemas y análisis de la información ............................................................................5 Conocimientos previos .........................................................................................................................................5 Ejercicios genéricos: .........................................................................................................................................5 Aprendizaje 1.1 Resuelve situaciones problemáticas mediante estrategias aritmético algebraicas, comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores. ...................... 10 Ejercicio resuelto 1: ....................................................................................................................................... 11 Ejercicio resuelto 2: ....................................................................................................................................... 14 Ejercicios propuestos: Genéricos. ................................................................................................................. 16 Aprendizaje 1.2 Analiza información entregada en tablas y gráficos, comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores......................................................................................... 23 Ejercicio resuelto 1: ....................................................................................................................................... 24 Ejercicio resuelto 2: ....................................................................................................................................... 27 Ejercicios propuestos: Genéricos .................................................................................................................. 30 Ejercicios propuestos para la unidad ................................................................................................................. 34 Mecánica ....................................................................................................................................................... 34 Construcción .................................................................................................................................................. 35 Procesos Industriales ..................................................................................................................................... 36 Unidad 2: Proporcionalidad y porcentajes ............................................................................................................ 37 Aprendizaje 2.1 Resuelve problemas que involucren razones, proporciones y porcentajes estructurando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores. ................................................................................................................................................... 37 Ejercicio resuelto 1 ........................................................................................................................................ 38 Ejercicio resuelto 2 ........................................................................................................................................ 39 Ejercicio resuelto 3 ........................................................................................................................................ 40 Ejercicio resuelto 4 ........................................................................................................................................ 41 Ejercicio resuelto 5 ........................................................................................................................................ 43 Ejercicio resuelto 6 ........................................................................................................................................ 44 Ejercicios propuestos: Genéricos. ................................................................................................................. 48 2 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicios propuestos para la unidad ................................................................................................................. 58 Mecánica ....................................................................................................................................................... 58 Construcción .................................................................................................................................................. 59 Procesos Industriales ..................................................................................................................................... 60 Unidad 3: Álgebra .................................................................................................................................................. 61 Aprendizaje 3.1 Desarrolla operatoria algebraica utilizando estrategia de valorización, reducción de términos semejantes, factorización y simplificación, explicando los pasos aplicados. .................................................... 61 Ejercicio resuelto 1: ....................................................................................................................................... 62 Ejercicio resuelto 2: ....................................................................................................................................... 63 Ejercicios propuestos: Genéricos. ................................................................................................................. 64 Aprendizaje 3.2 Resuelve problemas que involucren el planteamiento y resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones mediante la utilización de procedimientos algebraicos y representación gráfica, explicando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores. .............. 68 Ejercicio resuelto 1: ....................................................................................................................................... 69 Ejercicio resuelto 2: ....................................................................................................................................... 70 Ejercicio resuelto 3: ....................................................................................................................................... 72 Ejercicios propuestos: Genéricos.................................................................................................................. 74 Aprendizaje 3.3 Resuelve problemas que involucren el planteamiento y resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones mediante la utilización de procedimientos algebraicos y representación gráfica, explicando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores. ................................................................................................................................................... 79 Ejercicio resuelto 1: ....................................................................................................................................... 80 Ejercicio resuelto 2: ....................................................................................................................................... 81 Ejercicios propuestos: Genéricos. ................................................................................................................. 83 Ejercicios propuestos para la unidad ................................................................................................................. 87 Mecánica ....................................................................................................................................................... 87 Construcción .................................................................................................................................................. 88 Procesos Industriales ..................................................................................................................................... 89 3 ....................................................................................... 126 4 .......................................................................................................................................................................................................Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Unidad 4: Funciones ............................................................................................................................................................................. 102 Ejercicio resuelto 1: .... 91 Aprendizaje 4.......... ............................................................................... 91 Ejercicio resuelto 1: .................................................................................................................................................................................. 92 Ejercicios propuestos: Genéricos: ............................................................................................................................... 116 Ejercicios propuestos: Genéricos......................................................................................................................................................... exponenciales y logarítmicas.................. 103 Ejercicio resuelto 2: ............................................................................................. cuadráticas................................................................ numéricos y gráficos en la resolución de problemas cuyos modelos correspondan a funciones afines...................................................................................................................................................................................................................................................................................... 93 Aprendizaje 4...............2 Aplica métodos algebraicos........... 110 Ejercicio resuelto 6: .............. 105 Ejercicio resuelto 3: ... 122 Mecánica ..................................... 107 Ejercicio resuelto 4: ........... 109 Ejercicio resuelto 5: ..............................................................1 Representa funciones en forma tabular........................................... 118 Ejercicios propuestos para la unidad ................................................................................... 122 Construcción .............................................................. 124 Procesos Industriales ................................ ..................................................... gráfica y analítica describiendo sus características generales............................................ comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores............................................................................................................................................. 112 Ejercicio resuelto 7: ................ .................................................... 114 Ejercicio resuelto 8: ........................................ y el m. a) 70 y 120 d) 28.c. Completa la siguiente tabla.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Unidad 1: Resolución de problemas y análisis de la información Conocimientos previos Ejercicios genéricos: 1. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando propiedades de potencias. Calcula el m. Fracción irreductible Fracción irreductible b) 168 y 504 e) 16.c.d. a) c) e) g) b) d) f) 5 . 35 y 56 2. entre los siguientes números.m. 120 y 210 c) 130 y 455 f) 252. 308 y 504 Número decimal Número decimal ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ 3. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando prioridad de las operaciones. a) √ d) ( √ √ )( √ √ ) b) e) √ ( √ ) √ √ (√ √ √ ) √ c) f) √ (√ ( √ ) √ ) (√ √ √ )(√ √ ) 5. Así por ejemplo. Realiza las siguientes operaciones sin calculadora.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 4. Racionaliza los siguientes radicales. En la calculadora científica los órdenes de las operaciones se introducen con paréntesis. ( Se ingresa como ( ( ( ) ) ( ) ) 6 ( ) ) . utilizando propiedades de raíces. √ a) √ √ b) √ c) √ √ d) √ e) f) √ 6. √( ) a) ̅ ̅ b) ( ( ) ) c) ( ) ( ) ) d) ( ) ( ) (√ ̅ √ ) e) (( ̅) √ f) g) h) 7. reescribe la expresión para ser ingresada a la calculadora usando el mínimo de paréntesis y anota el resultado. Operación planteada Expresión para ser ingresada a la calculadora usando el Resultado mínimo de paréntesis √ a) b) ( ) c) ( ) d) e) f) 7 .Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática En cada uno de los siguientes ejercicios. a) b) c) d) e) f) 2. a) d) 5. a) d) 6. a) d) g) √ √ b) e) c) f) √ b) e) b) e) b) e) h) √ √ √ √ √ c) f) c) f) c) f) √ √ √ √ √ √ 8 .Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Soluciones: 1. a) d) g) 4. Número decimal Fracción irreductible Número decimal Fracción irreductible ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ 3. Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 7. Operación planteada expresión para ser ingresada a la calculadora usando el mínimo de paréntesis Resultado √ a) (√ ) ( ) b) ( ) (( ) ) (( ( )) ) c) ( ) ( ) ( ) d) ( ( ) ) e) ( ) ( ( )) f) ( ( )) 9 . 1.1 Resuelve situaciones problemáticas mediante estrategias aritmético algebraicas.4 Comunica los resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores. 1. incógnitas y relaciones.1. Comunicar los resultados de manera efectiva y acorde a la situación e interlocutores.1. Establecer hipótesis. Para resolver un problema. verificando coherencia y falta de información. Criterios de evaluación: 1. comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Aprendizaje 1.3 Aplica procedimientos matemáticos para la resolución del problema.2 Propone una estrategia para resolver un problema verificando pertinencia y validez. recuerda: a) b) c) d) Leer detenidamente el enunciado e identificar: datos. Resolver el problema. Trazar una estrategia de resolución.1. 10 . 1.1 Identifica los datos de un problema.1. c) Resolver problema Sea el número de alumnos de la clase. Por lo tanto. b) Establecer estrategia de resolución Se utilizará ecuaciones de primer grado. están preparando una salida para celebrar los cumpleaños del mes. de la clase prefiere salir el sábado. solo pueden salir de lunes a jueves por razones de trabajo. Entonces. de la clase se escribe y de la clase se escribe . de la clase prefiere salir el viernes. ¿Cuál es el total de alumnos que puede salir viernes o sábado? Solución: Procedimiento N° 1 a) Identificar datos de la clase prefiere salir el viernes. 8 alumnos pueden salir de lunes a jueves. prefiere salir el sábado y los 8 restantes.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 1: Los alumnos de una sección de la sede. la cantidad total de alumnos se calcula: ⏟ ⏟ ⏟ Luego podemos plantear la siguiente ecuación 11 . 12 .Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática A continuación se muestran dos procedimientos para resolverla Procedimiento 1 Procedimiento 2 Finalmente.fracción de alumnos que prefiere salir el sábado: .N° de alumnos que puede salir de lunes a jueves: 8 b) Estrategia de resolución Se utilizará propiedades de fracciones. entonces los 22 restantes salen viernes o sábado d) Comunicar resultados 22 alumnos prefieren salir viernes o sábado Procedimiento N° 2 a) Identificar datos . si 30 es el total de alumnos y 8 pueden salir de lunes a jueves.fracción de alumnos que prefiere salir el viernes: . entonces los 22 restantes salen viernes o sábado.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática c) Resolver problema Vamos a calcular la fracción que corresponde a los 8 alumnos ( ⏟ ) Si corresponde a 8 alumnos. como se representa a continuación 8 alumnos = 2 Luego si 2 alumnos corresponden a d) Comunicar resultados . entonces 2 2 2 de la clase se calcula 8:4. 13 . entonces el total de alumnos se calcula Si 30 es el total de alumnos y 8 pueden salir de lunes a jueves. como se muestra en el dibujo 20 cm2 b) Estabelcer estrategia de resolución Al determinar la cantidad de alambre del cubo. c) Resolver problema Sea la medida de una arista del cubo X 20 cm2 X X X Sabemos que el área de un cuadrado se calcula multiplicando la medida de sus lados.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 2: Calcular la cantidad aproximada de alambre que se necesita para construir un cubo en que el área de una cara es 20 cm2. se esta haciendo referencia a la arista del cubo. se utilizará la fórmula de área de un cuadrado para calcular la medida de la arista y luego se multiplicará por el total d earistas del cubo. Como la información entregada en el enunciado hace referencia al área de una de las caras.Una de sus caras tiene una superficie de 20 cm2. Solución: a) Identificar datos . luego / estramos la raíz cuadrada √ √ /√ | | | | 14 . ya que la aproximación no es una igualdad. se debe multiplicar 12 por la longitud de una arista. √ √ Utilizando la calculadora y aproximando a las centésimas. / simplificando la raíz cuadrada entonces para determinar la cantidad necesaria de alambre para construir el cubo.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática √ √ √ Por lo tanto. se obtiene: √ d) Comunicar resultados Para la confección del cubo se necesita aproximadamente 53. 15 . Observación: Es importante realizar las aproximaciones de los números irracionales solo al finalizar el ejercicio. la longitud de la arista del cubo es √ . por ende.7 cm de alambre. si se van realizando aproximaciones en cada paso. el margen de error aumenta y esto repercute en la precisión de la respuesta. Se sabe además que un cubo tiene 12 aristas. Se quiere cubrir todo el piso sólo con baldosas cuadradas ¿Cuál debe ser la medida del lado de cada baldosa si se desea utilizar el menor número posible de baldosas? ¿Cuántas baldosas se necesitan? 6. El hueve ro señala una cesta y dice: “Si vendo esta cesta me quedarán el doble de huevos de gallina que de pata” ¿De qué cesta habla? 2. 12. Una prueba tiene 40 preguntas. Una sala de eventos mide 2310 cm de largo y 1176 cm de ancho. los competidores comienzan en el mismo lugar y avanzan en la misma dirección. Algunas son de 60 pulgadas de largo y otras son de 72. se construye otro cuadrado. en ambas queda el mismo número de monedas ¿Cuántas monedas tenía al principio cada caja 9. ¿Cuántos cuadrados tiene la figura 2013? 16 . ¿Cuál es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo 15 malas y 9 omitidas? 10. El número de huevos de cada cesta es: 6. 288 gomas y 336 lápices para ofrecer una pack de útiles escolares. los libros pueden ser colocados de 7 en 7. ¿Cuántos libros hay si en total son más de 3000 y menos de 4000? 3.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicios propuestos: Genéricos. Uno de ellos completa una vuelta cada 40 segundos. En una competencia de bicicletas dentro de una pista circular. cuyas capacidades son 154 y 210 litros de vino respectivamente. de gallina o de pata. En la industria vitivinícola Santa Rita hay dos toneles. En una caja hay el doble de monedas que en otra. 23 y 29. En la biblioteca de un establecimiento de educación superior. 15. Si cada pack debe tener el mismo número de artículos de cada tipo y se utilizan todos los artículos ¿Cuál es el mayor número de pack que se pueden hacer? ¿Cuántos artículos de cada tipo tiene un pack? 4. Si se quieren que las garrafas para envasar el vino tengan igual capacidad y utilizar el menor número posible de ellas ¿Cuál debe ser la capacidad de las garrafas para desocupar completamente los toneles? 8. ¿Cuántos minutos pasarán hasta que ambas alcancen de nuevo el punto de salida simultáneamente? 7. uno de vino blanco y otro de vino tinto. Un huevero tiene ante si seis cestas de huevos. mientras que otro lo hace cada 45 segundos. sin que sobren ni falten libros. de 11 en 11 o de 21 en 21. Cada una tiene huevos de una clase. En una librería se compraron 432 cuadernos. El puntaje corregido se calcula de la siguiente manera: “Cada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalen a 1 mala”. 14. Si se extraen 7 monedas de la primera y se depositan en la segunda caja. Gastón tiene algunas tablas de 2 por 5 pulgadas y de diferentes largos. Desea cortarlas a fin de obtener piezas de igual longitud ¿Cuál es la mayor longitud de cada pieza que puede cortar sin desperdiciar ningún pedazo? 5. de 5 en 5. Con pequeños cuadrados congruentes dispuestos como se muestra en la figura siguiente. 1. Después de una ardua investigación descubre que estas se duplican cada una hora. Construye una tabla que indique el día y la fracción de bacterias que muere por día. En la preparación de una ensalada de frutas se ocupa kg de uva a $ 300 el kilogramo. ¿Cuántas bacterias habrá a las 3 pm y a las 6 pm? ¿Cuántas bacterias habrá a las 12 pm del día siguiente? 18. pero se sabe que los rótulos están equivocados. al cuarto y al octavo día? ¿Es posible que el antibiótico logre en un determinado número de días matar todas las bacterias? Fundamenta tu respuesta.000 ¿Cuánto cuesta la obra? 14. En una hay dos manzanas. Al primero le entrega un cuarto del terreno. donde es la fuerza de atracción entre los cuerpos. Se ha determinado que la masa de la tierra es kg. en otra hay dos naranjas y en la tercera hay una naranja y una manzana. medio kilo de plátanos a $280 el kilogramo y kg de peras a $ 180 el kilogramo. al segundo le entrega la tercera parte del terreno y al tercero 20 hectáreas. está dada por la fórmula . abriendo sólo una y extrayendo una fruta sin mirar la otra? Justifica tu respuesta. 12. Un biólogo toma una muestra de cierta colonia de bacterias para analizarlas. ¿Qué fracción de ellas muere al tercer. y son las masas de los cuerpos en kilógramos. de las bacterias que están en su cuerpo. Las bolsas están marcadas como se indica. kg de manzanas a $ 200 el kilogramo. El Intendente pide ayuda a la nación y a la provincia.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 11. cada día. Se tienen tres bolsas cerradas que contienen dos frutas cada una. 17. El aporte provincial será el triple del nacional. ¿Es posible saber el contenido de las tres bolsas. El átomo de hidrógeno es el más ligero ya que tiene una masa de g ¿Cuántos de estos átomos hay en 1 kg de hidrógeno? 19. y la mitad del hecho por los vecinos pero aun así faltarán $ 1. El cajero de una compañía se da cuenta. ¿Cuántas hectáreas tiene el terreno? 15. que falta del total del dinero recaudado ¿Qué parte de lo que queda restituiría lo perdido? 13. ¿Cuál es el precio promedio de la mezcla? ¿Cuál es el costo de una porción de 220 g? 16. La magnitud de la Fuerza con la que se atraen dos objetos físicos cualesquiera.650. Un pueblo decide pavimentar una calle principal. la masa del Sol es kg y la 17 . el segundo día le quedan de las bacterias que tenía inicialmente. es decir. Un hombre reparte un campo entre sus hijos. Con los aportes de los habitantes se pudo pagar la mitad de la obra. al hacer el arqueo. es la distancia en metros entre los centros de las masas y es una constante. Si la muestra estaba conformada por bacterias al medido día. A Claudia le inyectaron un antibiótico que mata. kg de frutilla a $ 450 el kilogramo. 2 cm de arista lateral. AB = 9 cm. Si . EF = 11 cm y GH = 7 cm. Calcular el área de la región en la que puede moverse.2 cm de lado con una cuerda de 7. ¿Qué cantidad de cristal tiene cada farola? 22. ¿Cuánto mide la arista de un cubo cuya área total es 24 m2? 18 . DE = 9 cm. 24.4 cm de arista lateral. ¿Cuánto mide el área sombreada? 21.7 cm de arista inferior y 15. CD = 11 cm.7 cm de arista superior. En la imagen se muestra una pista de carrera para automóviles.7 cm de arista superior. a) ¿Cuántos metros se necesitan para delimitar con una banda roja los bordes de la pista? b) ¿Cuánta superficie ocupa el pasto que está al centro de la pista? c) ¿Cuánta superficie tiene la pista? 23. 30. 20. Los cristales de la parte inferior tienen 30. Los cristales de la parte superior tienen 26.7 m de longitud. En el rectángulo ACEG. BC = 21 cm. Un perro está atado a una esquina de una caseta cuadrada de 4. Las farolas de una ciudad tienen la forma de la imagen.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática distancia que los separa es m. calcula la magnitud de la Fuerza con la que se atraen la tierra y el sol. 21 cm de arista inferior y 37. Calcula el volumen del cubo con el agujero.1 cm de altura y 1. Con cilíndricos de 47 cm de altura y 16 cm de radio se llena de agua una piscina con forma de paralelepípedo rectangular de 3 m de largo. 2 m de ancho y 1. Se introduce una bola de plomo. como se muestra en el dibujo.2 m ¿Cuántos litros de agua. ¿Qué volumen de mortero se necesita para construirlo? ¿Cuál es la máxima capacidad en litros que puede contener el depósito? 19 . si el recipiente cónico de cada copa tiene una altura interior de 6.6 cm? 32.3 cm de radio. como máximo.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 25.5 cm y un radio interior de 3.3 cm de altura y 6. Se desea construir un depósito como el de la figura de 10 m de largo. a) ¿Cuántos litros de agua contiene el acuario? b) Alex notó que cuando hundió una piedra en el acuario el nivel del agua se elevó 4 cm ¿Cuál es el volumen de la piedra? 28. y estas se van a hacer de mortero.12 m. de 1 cm de radio. El cubo de arista 1.5 m de alto. puede contener? 30. Sus dimensiones basales son 60 cm de largo y 40 cm de ancho. Una lata de conservas cilíndrica tiene 8. Alex tiene un acuario con forma de prisma de base rectangular que contiene agua hasta una profundidad de 50 cm.5 cm de radio de la base. Si su rango de profundidad va de 0. en un recipiente cilíndrico de 3.2 m ha sido perforado por un agujero hecho a partir de un cuadrado de lado 0. ¿Cuántas copas se pueden llenar con 6 litros de refresco. Calcula el volumen de agua necesario para llenar el recipiente. Se echan 7 cm3 de agua en un recipiente cilíndrico de 1.5 cm de radio. ¿Cuántos cilindros es necesario vaciar en la piscina para llenarla? 31. ¿Qué altura alcanzará el agua? 29. ¿Cuál es su capacidad? ¿Qué cantidad de material se necesita para su construcción? ¿Qué cantidad de papel se necesita para la etiqueta? 26.8 m a 2. 33. Una piscina tiene forma de prisma recto cuya base es un trapecio rectángulo. 27. 8 m de ancho y 4 m de alto. con un grosor de las paredes de 25 cm. 3. Una caja tenía 14 monedas y la otra 28. 6 minutos. 3465 libros. Se pueden hacer como máximo 48 pack de útiles escolares. pues contiene dos frutas del mismo tipo. 5. luego al extraer una fruta:  Si es naranja la única posibilidad para la bolsa MM es tener una manzana y una naranja y en la 20 . 10 puntos. 2. 6. Durante una tormenta se registraron unas precipitaciones de 80 litros por metro cuadrado. Si las bolsas están mal etiquetadas se tiene lo siguiente: Posible contenido de la bolsa Dos naranjas o una manzanas y una naranja Dos manzanas o una manzana y una naranja Dos manzanas o dos naranjas.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 34. Cada pieza es de 12 pulgadas. 4. 10. Las garrafas deben ser de 14 litros cada una. Si se debe abrir una bolsa esta es la marcada con MN. 6 gomas y 7 lápices. ¿Qué altura alcanzaría el agua en un recipiente cúbico de 15 cm de arista? Soluciones: 1. 9. 8056 cuadrados 11. 8. La baldosa cuadrada tiene 42 cm de ancho y se necesitan 1540 baldosas. De la cesta con 12 huevos. 7. donde cada uno contiene 9 cuadernos. 87 m b) 1144.7 m2 27.98 cm de papel. 5566.68 cm y para construirla se necesitan 604. 20. no es posible matar todas las bacterias. 19. 15. $9. es posible saber el contenido de cada bolsa solo si extraemos una fruta de la bolsa MN. de las bacterias. 1. cada día mata . 2 cm 25.44 cm de 2 material y 338. 158. 16. 310 cm2 21. 1. a) 409. La lata cilíndrica tiene una capacidad de 101. pues por poco que quede.000 14.63 m 2 bacterias y a las 12 pm del día siguiente átomos ̅ N c) 1024.67 m 2 23.  12. A las 3 pm habrá bacterias. Al tercer día muere ( ) de bacterias.900. a las 6 pm habrá habrá bacterias.600 cm 3 3 2 28. Por lo tanto. a) 120 litros b) 9.32 cm 21 . 26.6 cm2 22.94 cm2 24.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática bolsa NN dos manzanas Si es manzana la única posibilidad para la bolsa NN es tener una manzana y una naranja y en la bolsa MM dos naranjas. Sin embargo. La mezcla cuesta $685 pesos y 220 g cuestan $67. 13. 48 hectáreas. 17. 18. al cuarto día ( ) y al octavo día ( ) . 798.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 29. Se necesitan 3200 m3 de mortero y la piscina tiene una capacidad de 2.000 litros 30. 17.5 litros 34.530. 68 copas 32.72 cm3 33.437. 1. 238 cilindros 31. 8 cm 22 . 2. Criterios de evaluación: 1.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Aprendizaje 1.1 Recoge información en diversos tipos de gráficos realizando cálculos que permitan dar respuesta a una situación.2.2 Analiza información entregada en tablas y gráficos. Comunicar los resultados de manera efectiva y acorde a la situación e interlocutores. Resolver el problema. incógnitas y relaciones. 23 . Trazar una estrategia de resolución. 1. Establecer hipótesis. Para resolver un problema.2 Recoge información de tablas realizando cálculos que permitan dar respuesta a una situación. recuerda: a) b) c) d) Leer detenidamente el enunciado e identificar: datos. comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores. ¿Qué fracción del día ocupan las mujeres en Leer? 24 . Instituto Nacional de Estadísticas de Chile) 3 Promedio de horas diarias 2. ¿Cuántas personas fueron entrevistadas? b.5 Hombres 1 0.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 1: En una encuesta hecha a la población del gran Santiago se registró las horas en promedio diarias en usos de tecnologías de la información y medios de comunicación de masas como actividad principal por sexo. ¿Cuál es el promedio de horas que dedican los santiaguinos en ver televisión? d.5 0 Leer Escuchar música o radio Ver TV Navegar por Internet Mujeres Actividades principales a. (Fuente: INE. ¿Cuántos minutos más dedican los hombres que las mujeres en Navegar por Internet? c.5 2 1. 5 2 1.5 Actividades principales Ahora contestamos las preguntas. b) Establecer estrategia de resolución La información del gráfico se organiza en una tabla y con esos datos contestamos las preguntas.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Solución: a) Identificar datos El gráfico muestra las horas en promedio diarias en usos de tecnologías de la información y medios de comunicación de masas como actividad principal por sexo.8 2.3 2 0. como se muestra a continuación Promedio de horas diarias 3 2.5 Ver TV 2.6 Navegar por Internet 2.5 1. b. a.5 0 Hombres Mujeres 1.6 1. c) Resolver problema Primero construimos la tabla con los datos del gráfico. ¿Cuántos minutos más dedican los hombres que las mujeres en Navegar por Internet? ⏟ ⏟ ⏟ 25 . ¿Cuántas personas fueron entrevistadas? Esta información no la entrega el gráfico.5 1 Hombres Mujeres Leer Escuchar música o radio 1. El gráfico no entrega información respecto a la cantidad de encuestados. Los santiaguinos dedican.0625. 2. Para ello debemos recordar que una hora equivale a 60 minutos. por lo tanto. luego es necesario calcular el promedio de horas diarias que utilizan hombres y mujeres en ver televisión.7 horas diarias en ver televisión d. b. a continuación vamos a mostrar dos calculadoras diferentes. se apreta la tecla ⟺ y aparece la fracción y aparece la fracción d) Comunicar resultados a. hay que multiplicar el tiempo en horas por 60 para obtener los minutos. Para transformar el decimal a fracción utilizamos la calculadora científica. se apreta la tecla Caso 2: Se digita 0. Las mujeres ocupan parte del día en leer. en promedio.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Como el tiempo está en horas. como se muestra a continuación ⏟ ⏟ c. es necesario transformar la diferencia a minutos.0625. ¿Cuál es el promedio de horas que dedican los santiaguinos en ver televisión? La frase “los santiaguinos” no hace distinción de sexo. 18 minutos más que las mujeres en navegar por internet. Caso 1: Se digita 0. d. ¿Qué fracción del día ocupan las mujeres en Leer? Para determinar la fracción del día debemos comparar mediante una división las horas que en promedio una mujer dedica en un día a leer y el total de horas que tiene un día. Según la calculadora se utiliza distintas teclas. en promedio. Los hombres dedican. 26 . c. Los resultados se presentan en la siguiente tabla de doble entrada: Muy Grave Muy fumador Fumador Fumador Esporádico No fumador 20 30 10 5 Grave 10 40 60 20 Lesiones medias 10 20 80 30 Leve 30 50 60 50 a.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 2: En un estudio de la Seguridad e Higiene en el Trabajo se contrastó la incidencia del tabaquismo en la gravedad de los accidentes laborales. b) Establecer estrategia de resolución Se calculan los totales por columnas y filas y con estos datos contestamos las preguntas. ¿Qué fracción de los individuos son no fumadores? c. ¿Qué fracción de los individuos muy fumadores sufre accidentes graves? Solución: a) Identificar datos La información de la tabla contrasta la incidencia del tabaquismo en la gravedad de los accidentes laborales. ¿Qué fracción de los fumadores tienen accidentes graves? d. Se extrajo una muestra de individuos que habían sufrido un accidente laboral. ¿Cuántos individuos han sufrido un accidente laboral? b. 27 . Considerando una gradación de Muy fumador hasta No fumador como media del tabaquismo. ¿Qué fracción de los individuos que sufren accidentes graves son muy fumadores? e. y una gradación de Muy grave a Leve en el tipo de accidente. Por ejemplo. ¿Qué fracción de los individuos son no fumadores? ⏞ ⏟ Para simplificar una fracción con calculadora se utilizan distintos procedimientos según el modelo de la calculadora. utilizando la calculadora Casio fx-82xx se realiza lo siguiente: 105 525 1/5 c. como se muestra a continuación: Lesiones medias 10 20 Muy Grave Grave Leve Total Muy fumador Fumador Fumador Esporádico No fumador Total 20 30 10 40 30 50 70 140 10 60 80 60 210 5 65 20 130 30 140 50 190 105 525 Ahora contestamos las preguntas a.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática c) Resolver problema Primero calculamos los totales por fila y columna. ¿Cuántos individuos han sufrido un accidente laboral? 525 individuos b. ¿Qué fracción de los fumadores tiene accidentes graves? 28 . ¿Qué fracción de los individuos muy fumadores sufre accidentes graves? ⏞ ⏟ d) Comunicar resultados En total hay 525 individuos que han sufrido accidentes laborales de los cuales un quinto no fuma. ¿Qué fracción de los individuos que sufren accidentes graves son muy fumadores? ⏞ ⏟ e. De los fumadores. 29 .Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática ⏞ ⏟ d. Respecto de los individuos que sufren accidentes graves. dos séptimos han tenido accidentes graves mientras que de los muy fumadores sólo un séptimo. un treceavo son muy fumadores. Arica Antofagasta Temuco Punta Arenas La Serena En base a los datos entregados en el gráfico: a) ¿Cuántos vuelos se realizaron el día lunes? b) ¿Cuántos pasajeros volaron a Punta Arenas? c) ¿Cuántos pasajeros volaron a Arica? d) ¿Cuántos pasajeros volaron el día lunes? e) ¿Cuáles son las dos ciudades más visitadas? 2. durante un día lunes de temporada alta. reflejando el tiempo (en horas) y la distancia recorrida (en kilómetros). A continuación hay un gráfico que muestra la capacidad de cada avión (cantidad de personas) versus la cantidad de vuelos que hubo. a) ¿A cuántos kilómetros estaba el lugar que visitaron? b) ¿Cuál es la distancia total recorrida por el autobús durante la excursión? c) ¿Durante cuánto tiempo el autobús no se desplazó? 30 . La siguiente gráfica representa una excursión en autobús de un grupo de estudiantes.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicios propuestos: Genéricos 1. La Aerolínea Chile registra sus vuelos. desde el aeropuerto Arturo Merino Benítez ubicado en la Región Metropolitana. aproximadamente. Se sabe que la concentración en sangre de un cierto tipo de anestesia viene dada por la gráfica siguiente: a) b) c) d) ¿Cuál es la dosis inicial? ¿Qué concentración hay. aproximadamente. ha transcurrido cuando hay 30 mg menos de la dosis inicial? ¿Cuánto tiempo. a) ¿Cuál atleta empezó la carrera más rápido? Justifica tu respuesta b) ¿En qué momento un atleta alcanzó al otro? ¿A qué distancia? ¿Quién fue el atleta alcanzado? c) ¿Quién ganó la carrera? 31 . al cabo de los 10 minutos? ¿Cuánto tiempo.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática d) Después de cuatro horas de iniciada la excursión ¿Cuántos km recorrió el autobús hasta la próxima detención? e) Luego de transcurrido siete horas de iniciada la excursión ¿A qué distancia se encuentra el autobús de su punto de partida? 3. aproximadamente. Dos atletas participan en una carrera de 1000 metros. ha transcurrido cuando quedan sólo 10 mg de concentración en sangre de anestesia? e) ¿Cuánto tiempo dura. El gráfico describe en forma aproximada el comportamiento de los atletas en dicha prueba. la concentración en sangre de la anestesia? 4. aproximadamente. los resultados se muestran en la siguiente tabla. mientras que en el segmento bajo. . Los gráficos fueron los siguientes: ¿Son iguales los resortes de estos tres grupos o son distintos? Justifica tu respuesta (Sugerencia: Construye una tabla de valores correspondientes a cada gráfico del experimento realizado por estos estudiantes y compáralas) 6. . . . . Según segmento socioeconómico. . . el .. . están realizando el siguiente experimento en grupos de 5 estudiantes. en número de casos: Segmento socioeconómico Medio Total Bajo 158 48 73 109 91 Alto ¿Está de acuerdo? Total Si No 51 Completa la tabla y luego el siguiente párrafo: De un total de . Es destacable que de los encuestados de este último segmento. . el . . . . . .% lo está. . 32 . . . . . % se manifestó de acuerdo con la medida de desconectar de las máquinas que mantienen con vida a los pacientes en estado vegetal. el . monedas de $10 y un resorte del que cuelga un vaso plástico. . solo el . . Para ello. . .Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 5. personas encuestadas. . . . . Se realiza un estudio muestral acerca de si las personas están o no de acuerdo con la medida de desconectar de las máquinas a quienes permanecen en estado vegetal. % esté de acuerdo con dicha medida. los estudiantes realizan el experimento con una cantidad suficiente de monedas como para poder establecer alguna conclusión. % en el segmento alto. Van registrando sus resultados en una tabla y luego los grafican. . El experimento concluye con la presentación de los gráficos obtenidos por tres grupos del curso. mientras que el . . . . . El experimento consiste en determinar cómo se va alargando el resorte al ir agregando monedas de $10 en el vaso. Cada grupo dispone de una regla. . De estos. . . . . % se ubica en un segmento socioeconómico medio. . . . . . . En la asignatura Física I. . . . . 5 % lo está. pues en el mismo tiempo recorrió mayor distancia que el atleta B. c) El atleta B. pero las gráficas difieren en forma.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Soluciones: 1. porque están diseñadas a distinta escala.9 % se manifestó de acuerdo con la medida de desconectar de las máquinas que mantienen con vida a los pacientes en estado vegetal. 4. a) 140 km d) 60 km a) 100 mg d) 40 minutos b) 1. el 38.250 pasajeros c) 5 horas c) 2. b) A los 120 segundos el atleta B alcanza al atleta A.5 minutos a) El atleta A. Si No Segmento socioeconómico Alto Medio Bajo 46 51 61 22 73 48 109 45 91 Total 158 115 273 ¿Está de acuerdo? Total De un total de 273 personas encuestadas. De estos. porque recorrió los 1000 metros en 160 segundos. solo el 50.320 pasajeros e) Temuco y Punta Arenas b) 280 km e) 80 km b) 45 mg e) 70 minutos c) 1. a) 46 vuelos d) 6. 5. el 57. Es destacable que de los encuestados de este último segmento. 3.690 pasajeros 2. mientras que el 32. el 69.3 % en el segmento alto. 6. mientras que en el segmento bajo. se observa que con una misma cantidad de monedas se obtiene el mismo alargamiento.9 % esté de acuerdo con dicha medida. 33 . por lo tanto. Al comparar los datos mediante una tabla. mientras que A lo hizo en 180.6 % se ubica en un segmento socioeconómico medio. los resortes son iguales. se da cuenta que ha consumido los de la gasolina que cabe en el estanque. 1.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicios propuestos para la unidad Mecánica 1. Además 22.20 m de altura que sostiene una cadena de remolque de 8. se encuentra sobre un foso de 1. De entre ellos. el año 2011 las regiones que concentraron mayor cantidad de vehículos fueron la región del Biobío y la Metropolitana con un total de 1. completa la siguiente tabla. Si al final del recorrido le sobran 6 litros.80 m de profundidad.208 vehículos. Un tecle de 5. Según el INE.870.530 de la región del Biobío. Después de recorrer los del trayecto.402 eran motorizados y 390.10 m de largo unida en sus extremos. Vehículos motorizados VIII del Bío Bío XIII Metropolitana Totales b. ¿De cuántas pulgadas es la llave que debe utilizar Juan? 3. Con la información anterior. Si para ello se necesita unir una cadena a la que tiene el tecle que debe quedar doble para que haga el mismo juego que la original ¿Cuál será el largo de la cadena para poder subir el motor a la superficie? 4. luego decide utilizar una llave de pulgada que pulgada que le queda grande. Claudio llenó el estanque de su vehículo para ir a visitar a su amiga Javiera que vive en una parcela a las afueras de Santiago. ¿cuál es la capacidad del estanque del auto de Claudio? 2. entonces. Juan desea aflojar una tuerca de una medida que desconoce. se da cuenta que la medida justa es la que queda en la mitad de las dos llaves anteriores.904.727 vehículos no motorizados circularon por la región metropolitana. Para probar utiliza una llave de le queda chica. Se quiere rescatar un motor que tiene una altura de 70 cm ubicado en el fondo del foso. a. ¿Cuántos vehículos motorizados circularon por la región del Biobío el año 2011? no motorizados Totales 34 . ¿Qué longitud tenía inicialmente la barra. m. si en cada corte se pierde aproximadamente cm? 2.27 metros.800. Si se aumenta el largo en la décima parte ¿En cuántos metros debe aumentarse el ancho para que la superficie de la cancha aumente al doble? Soluciones: 1. a.727 33.451 1. 3. a) Vehículos motorizados VIII del Bío Bío XIII Metropolitana Totales 379. Construcción 1.400 35 . La capacidad del estanque es 50 litros.513.208 2. Se debe aumentar en 45 cm.806 Totales 390. Para la reparación de una reja.451 autos.079 22.530 1. 335 cm aproximadamente. 4.904.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Soluciones: 1. 75.5 cm.20 m respectivamente. Se quiere cerrar un sitio cuadrado de área 120 m2 con tres corridas de alambre púa. b) $50. a) 132 metros aproximadamente.5 cm y 1. 3.951 1. 2. Debe utilizar una llave de 5/8 de pulgada. 62. Una cancha de acopio de material para hacer estabilizado. 3. tiene un largo de 80 m. Si por un rollo de 50 m se pagan $16.490. 4.870. una barra de fierro se corta en 5 trozos de 25 cm. ¿Cuánto se debe pagar por el alambre que se necesita? (sólo se vende por royos). ¿Cuánto alambre se debe comprar para cercar el terreno? b. b) Circularon 379.678 1.402 no motorizados 11. y un ancho de 55 m. ¿Cuál es la cantidad de unidades defectuosas provenientes de cada uno de los proveedores Soluciones: 1. Una empresa importadora de rodamientos. se determinó ampliar la platabanda de espera cuyas dimensiones son. La mitad se los compra a un país A. 2. La cantidad de unidades defectuosas son 75. 3. Aumenta en 51. ¿En cuántos m2 se aumentará el área de la superficie que puede ocupar el pasajero sin riesgos? 2.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Procesos Industriales 1. de 60 cm quedará ahora ubicada a 70 cm. Modelos Glass A Glass B Glass C Pruebas 80 180 300 No aprobados 1 2 3 Tolerancia falla ¿Qué tipo de modelo crees que será aceptado? Fundamenta. 75 y 90 respectivamente. En la estación TOBALABA del metro. la fracción de rodamientos defectuosos que llegaron de A . punto de convergencia de las líneas 1 y 4.012.012. B y C es respectivamente. si estos no superan al menos 120 pruebas cuya tolerancia máxima de falla es 0. la franja amarilla que indica la menor distancia que debe separar el andén del pasajero que espera el tren. La política de control de calidad de la fábrica de envases de vidrio “El CRISTAL S. 36 . porque tienen tolerancia de falla menor a 0. tiene convenio con proveedores de tres países pertenecientes al MERCOSUR.5 m2.60 m de ancho. mientras que a B y C se les compra un cuarto a cada uno. 70 m de largo por 4. debido a la alta congestión de público. Podrían aceptar Glass B o Glass C.A. El departamento de control de calidad de la empresa determinó que de un total de 3. 3. Completa la tabla para hallar el indicador de tolerancia para cada tipo de envase. Su largo se aumentará en 15 m y para mayor seguridad.000 unidades que llegaron en un embarque. no les permite fabricar nuevos modelos.”. 1.2 Establece el tipo de proporcionalidad entre variables dadas. 2. Resolver el problema. para dar respuesta a un problema.1. Establecer hipótesis.3 Aplica estrategias de proporcionalidad para dar respuesta a un problema contextualizado. 2. incógnitas y relaciones.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Unidad 2: Proporcionalidad y porcentajes Aprendizaje 2. recuerda: a) b) c) d) Leer detenidamente el enunciado e identificar: datos. explicando su estrategia.1. Comunicar los resultados de manera efectiva y acorde a la situación e interlocutores. Criterios de evaluación: 2. justificando su decisión.1 Determina la solución de problemas que involucren la comparación de cantidades por medio de razones.1 Resuelve problemas que involucren razones. Trazar una estrategia de resolución. proporciones y porcentajes estructurando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores.1. comunicando sus resultados de manera acorde a la situación. comunicando sus resultados de acuerdo a la situación.4 Realiza cálculo de porcentajes mediante estrategias de proporcionalidad. 2. Para resolver un problema. numérica decimal o fraccionaria para resolver situaciones problemáticas. 37 . Si el rendimiento de este vehículo en carretera es 19 km/l ¿Cuántos litros de combustible ha consumido en el viaje? Solución: a) Identificar datos . la distancia recorrida en 4. luego los litros consumidos en 605 kilómetros se calcula d) Comunicar resultados Se ha consumido aproximadamente 26 litros de combustible.Tiempo de viaje: 4.5 horas se calcula El rendimiento 19 km/l significa que con un litro de combustible se puede recorrer una distancia de 19 km. 38 .5 horas .Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 1 Una persona viaja de Santiago a la Serena en un automóvil a una rapidez constante de 110 km/h durante 4 horas y media sin detenerse. c) Resolver problema La rapidez 110 km/h significa que en una hora el vehículo ha recorrido 110 kilómetros.rapidez del vehículo: 110 km/h .Rendimiento del vehículo : 19 km/l b) Establecer estrategia de resolución Interpretar las razones en juego y aplicar sus propiedades. por lo tanto. 39 .Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 2 Una empresa constructora estima que se necesitan 8 obreros para construir una casa en un período de 35 días. Entonces. 13 o 14. se requieren? Solución: a) Identificar datos Cantidad de obreros 8 ¿? Tiempo en días 35 21 b) Establecer estrategia de resolución Reconocer el tipo de proporcionalidad entre las dos variables y aplicar sus propiedades. para determinar cuál es la cantidad adecuada se calcula el tiempo en días para cada caso. Luego. Cantidad de obreros 8 Tiempo en días 35 21 Constante Sabemos que la cantidad de obreros debe ser un número natural. Sin embargo. para calcular la constante de proporcionalidad se multiplican los valores correspondientes a cada variable. es decir. como mínimo. ¿Cuántos obreros. Cantidad de obreros 8 13 14 Tiempo en días 35 d) Comunicar resultados Se necesitan al menos 14 obreros para construir la casa en menos de 21 días. la cantidad de obreros es inversamente proporcionalida a los días. c) Resolver problema Si el tiempo de construcción de la casa disminuye. el cliente solicita que no tarden más de 21 días. por lo tanto. entonces será necesario más obreros para realizarla. 25 Cantidad de vehículos 9 9 Tiempo en días 12 15 d) Comunicar resultados Se necesitan 9 mecánicos para reparar 9 vehículos en 15 días. Cantidad de mecánicos 10 Cantidad de vehículos 8 9 Tiempo en días 12 12 Del mismo modo. c) Resolver problema Considerando el tiempo constante y que la cantidad de mecánicos es directamente proporcional a la cantidad de vehículos. ¿Cuántos mecánicos repararán 9 vehículos en 15 días trabajando la misma cantidad de horas diarias? Solución: a) Identificar datos Cantidad de mecánicos 10 ¿? Cantidad de vehículos 8 9 Tiempo en días 12 15 b) Establecer estrategia de resolución Reconocer el tipo de proporcionalidad entre dos variables considerando la tercera constante y aplicar las propiedades según tipo de proporcionslidad.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 3 Diez mecánicos reparan ocho vehículos en doce días. considerando que la cantidad de vehículos constante y el tiempo es inversamente proporcional a la cantidad de mecánicos. podemos calcular la cantidad de mecánicos necesarios para reparar 9 vehículos en 15 días. podemos calcular la cantidad de mecánicos necesarios para reparar un vehículo en 12 días. 40 . Cantidad de mecánicos 11. están sometidos a esfuerzos variables que se repiten con frecuencia. 41 .130[ 100 ]80. Para verificar que la gráfica representa una relación inversamente proporcional. los organizamos en una tabla y multiplicamos los valores correspondientes a cada variable.180[ ]100. su representación gráfica corresponde a una hipérbola. una curva que se acerca progresivamente a los ejes pero nunca los toca.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 4 Muchos de los materiales que se utilizan en la construcción de máquinas o estructuras. En el gráfico se muestra el ensayo de fatiga de un material.100[ b) Establecer estrategia de resolución Si dos variables son inversamente proporcionales. extraemos algunos datos. Ensayo de fatiga 600 500 Esfuerzo MPa 400 300 200 100 0 4 8 12 16 20 24 Número de ciclos Según la información entregada en el gráfico ¿Cuál es el esfuerzo al que ha sido sometido el material en el ciclo 931? Solución: a) Identificar datos Número de ciclos 4 8 12 16 20 24 Esfuerzo MPa 500 250 ]150. esto es. 180[ ]100. d) Resolver problema Sabemos que la constante de proporcionalidad es 2000. si número 93 se tiene que: Número de ciclos 93 Esfuerzo MPa es el esfuerzo aplicado en el ciclo Constante e) Comunicar resultados El esfuerzo en el ciclo 93 es aproximadamente 21.130[ Constante c) Vemos que el producto de los valores correspondientes de cada variable es constante. Luego.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Número de ciclos 4 8 12 16 20 24 Esfuerzo MPa 500 250 ]150.5 MPa 42 . por lo tanto el esfuerzo es inversamente proporcional al número de ciclos.130[ 100 ]100. la estrategia será mediante cálculo de porcentajes y el uso de proporcionalidad directa. . se plantea la siguiente ecuación: d) Comunicar resultados 495 personas prefieren tener residencia entorno al centro de Santiago. Encuestados 180 x % 20 55 Como el porcentaje es una proporción directa. . Por ende se establece la siguiente tabla de proporcionalidad.180 personas contestaron otras zonas de Santiago. donde “ ” es la cantidad de encuestados que prefiere entorno al centro de Santiago. Si 180 personas contestaron otros sectores de Santiago ¿Cuántas personas contestaron que la mejor zona para tener residencia en Santiago es entorno al centro? Solución: a) Identificar datos .55% de los encuestados prefieren entorno al centro de Santigo. Esto implica que el 20% restante se relaciona con las 180 personas que prefieren otras zonas de Santiago. .Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 5 En una encuesta. c) Resolver problema El 25% y el 55% de los encuestados corresponden a un 80% del total. el 25% de las personas consultadas contestó que la mejor zona para tener residencia es en las periferias de Santiago mientras que el 55% dijo que era entorno al centro de la capital.25% de los encuestados prefieren la perisferia de Santiago. 43 . b) Establecer estrategia de resolución Según los datos identificados.Lo que se solicita es la cantidad de personas que contestó por tener residencia entorno al centro de Santiago. Luego. pero al mezclarse entre si.Los volúmenes aparentes de cemento. arena y grava están en la razón 1:2:2. la cantidad de material para el concreto está determinada por los porcentajes especificados en la tabla 1. c) Resolver problema Si cemento. por lo tanto en ese estado tienen volúmenes aparentes. los vacíos de los materiales más gruesos son ocupados por las partículas de los más pequeños y los de estos por el agua. por lo tanto presentan volúmenes reales. .5 significa que por de cemento se necesitan de arena y de grava. Solución: a) Identificar datos . b) Establecer estrategia de resolución Calcular el volumen real de la mezcla por según la razón entre los volúmenes aparentes de los materiales que debe contener. Finalmente se calcula la cantidad real de cada material considerando que el 10% de ellos se pierde en el proceso de construcción. . podemos organizar los datos en una tabla.5.10% de material se pierde en el proceso de construcción.15% de la mezcla es agua. arena y grava están en la razón 1:2:2. Si en el proceso de construcción se pierde el 10% de material ¿Qué cantidad de cada material se necesita? Tabla 1 Coeficiente de aporte de material para concreto y mortero (cantidad real de material sin vacíos que interviene en la mezcla) Cemento Arena Grava Piedra Agua 50% 60% 60% 60% 100% Los materiales al estar en forma granulada presentan vacíos entre sus partículas.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 6 Se debe fabricar concreto con cemento. 44 . Además. Entonces la cantidad de concreto que se fabrica por se calcula: Si es la cantidad de cemento en el concreto. los vacíos desaparecen. arena y grava en la razón y de agua para 8 zapatas cuyo volumen total es La tabla 1 muestra el coeficiente de aporte de material para concreto y mortero. es el volumen de concreto a utilizar. es decir. con este volumen se calculan proporcionalmente los volúmenes aparentes necesarios para fabricar un concreto que cubra un volumen real de . el volumen de concreto que se fabrica por cada material. ⏟ ⏟ ⏟ se calcula sumando los volúmenes reales de ⏟ Si por se debe fabricar un concreto con volumen real de proporcionalmente el volumen aparente de cada material para que la mezcla tenga . se calculan la cantidad de arena y grava.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Volumen cemento porcentaje 100% 50% El porcentaje es una relación de proporcionalidad directa. entonces la cantidad de cemento se obtiene: Del mismo modo. 45 . se tiene: Volumen agua porcentaje 100% 15% Por lo tanto. Volumen arena porcentaje 100% 60% Volumen grava porcentaje 100% 60% Además un 15% de la mezcla es agua. luego si es la cantidad de agua de la mezcla. debemos calcular . de grava y litros de agua para utilizar de concreto. considerando el material desperdiciado. el volumen real de cemento considerando el desperdicio se calcula: Volumen porcentaje 90% 100% Del mismo modo se obtienen los volúmenes para la arena. es decir.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Volumen real concreto Volumen real concreto Volumen aparente cemento Volumen aparente arena Volumen aparente grava Volumen real concreto Volumen aparente agua Volumen real concreto Se sabe que 10% de material se pierde en el proceso de construcción. se necesita de cemento. entonces cada una de las cantidades anteriores corresponde a lo no desperdiciado. el 90% del volumen real del material. de 46 . Por lo tanto. grava y agua. arena. d) Comunicar resultados Por lo tanto. Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática e) Verificación Vamos verificar que el volumen aparente del cemento. Debemos recordar que los valores calculados han sido aproximados a la milésima. En este caso el error es . por lo tanto. Para ello sumamos los volúmenes de cemento. arena y grava esté en al razón ⏟ ⏟ ⏟ . al verificar la razón habrá un margen de error. hay que probar que el volumen real de mezcla es Volumen aparente con desperdicio Volumen aparente sin desperdicio Volumen real Material Cemento Arena Grava Agua Total 47 . arena y grava y calculamos el 15% de ese total. Finalmente. También es necesario comprobar el 15% de agua en la mezcla. Las cantidades de un licor A de 12° GL. si practicara ciclismo.5° GL y de un licor D de 35° GL están dadas en la razón de 2:3:4:7 en una preparación de 9 litros. ¿Cuántos litros de cada licor se necesitan? 48 . Calcula el tiempo que toma utilizar la energía de los siguientes alimentos: a) Una hamburguesa. si corriera. 1. de un licor C de 28. Si el estanque tiene una capacidad de 6. Valor energético Alimento Malteada de chocolate Huevo frito Hamburguesa Pastel de fresa Vaso de leche descremada kj 2200 460 1550 1440 350 Consumo de energía Actividad Caminata Ciclismo Natación Carrera Kj/min 25 35 50 80 3. está encendida? 4. b) Una malteada de chocolate. Interpreta cada razón según su contexto.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicios propuestos: Genéricos. en kilojoules (kj). de un licor B de 30° GL. Las siguientes tablas proporcionan los valores aproximados de la energía de ciertos alimentos y el consumo de energía aproximado de algunas actividades. a) b) 2. aproximadamente. c) Un vaso de leche descremada. El consumo de una estufa a mecha es 0. si caminara.286 Litros/hora.3 litros pero solo tiene las tres cuartas partes con parafina ¿Cuántas horas. determina si podría. determina si describe una relación de proporcionalidad directa. Utilizando los valores dados en cada tabla. Examina cada uno de los siguientes gráficos y luego. Justifica tu respuesta. la relación en cuestión. Esteban $200 y Claudia el resto. ¿Cuánto dinero recibió Claudia? 7. de proporcionalidad inversa o no proporcional. Jorge puso $300. Esteban.000 y se lo repartieron en la razón del dinero que aportó cada uno.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 5. La razón entre las vacas y el total de animales es 4:13. Justifica tu respuesta. Si hay 140 hombres más que mujeres ¿Cuántas mujeres tiene la empresa? 6. ser de proporcionalidad directa. Un granjero tiene cierta cantidad de animales entre vacas y chanchos. de proporcionalidad inversa o de otro tipo. a) b) c) 3 16 8 12 24 2 3 4 4 9 16 9 6 3 21 14 7 9. a) b) c) d) e) f) 49 . Jorge y Claudia compraron un número de rifa en $900. En cada una de las tablas que hay a continuación se presentan algunos datos correspondientes a distintas relaciones. Si hay 100 chanchos más que vacas ¿Cuántas vacas hay? 8. Si obtuvieron un premio de $702. En una empresa la razón entre hombres y mujeres es 7:2. 11. Utilizando la información que proveen estos gráficos. Los siguientes gráficos muestran la relación entre el consumo de energía y el tiempo de funcionamiento de dos máquinas industriales. responde: 50 . inversa o no proporcional? Justifica tu respuesta. a) ¿Cuánto consume la Máquina 1 en una hora? ¿Y en 3 horas? ¿Y en 30 minutos? b) ¿Cuánto consume la Máquina 2 en una hora? ¿Y en 4 horas? c) ¿La relación entre las variables para cada máquina es de proporcionalidad directa. Los siguientes gráficos muestran la relación entre el largo y el peso de dos alambres que los identificaremos como A y B.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 10. considerando en ella todos los tipos de botella de que dispone la embotelladora. Justifica tu respuesta. Él dispone de material suficiente para construir 240 metros de cerco y quiere utilizarlo todo. a) Define las variables de la situación y construye una tabla de valores. Determina si describe una relación de proporcionalidad directa.2 m de alambre es 168 gr El peso de 5.75l. ¿qué capacidad deben tener las botellas? 13. 1. 1. a) Completa la siguiente tabla con las posibles dimensiones del corral. proporcionalidad inversa o no proporcional. 2.5l.25l.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática a) b) c) d) ¿Cuál de los dos tipos de alambre es el más pesado? Justifica Para cada tipo de alambre. y quieren repartirlos en botellas de un solo tipo. b) Realiza un gráfico escribiendo en cada eje la variable que se está representando. sin que le falte ni sobre material. 2l. 51 . 0.5l y 3l. Largo(m) Ancho(m) 110 105 20 93 30 35 40 70 60 b) Realiza un gráfico escribiendo en cada eje la variable que se está representando. 0. Quiere construir un corral de forma rectangular para sus ovejas. c) Si se requiere que sean menos de 45 botellas.4 m de alambre es 108 gr 12.8 m de alambre es 114 gr El peso de 4.25l. 1l. ¿A qué alambres corresponden los siguientes pares de valores? El peso de 3. Don Armando ha heredado una parcela de su abuela.4 m.5l. determina el largo de 48 gr. determina el peso de 2. Para cada tipo de alambre. En la embotelladora necesitan embotellar 60 litros de bebida. Una embotelladora de bebidas dispone de botellas con las siguientes capacidades: 0. 600 por un fin de semana. cada minuto que habla tiene un valor de $180. que se van restando de los $9. escribiendo en la tabla dichas variables. inversamente proporcional o no proporcional? Justifica tu respuesta. el área es 18 cm2. a) El área de un cuadrado es directamente proporcional al cuadrado de la longitud de su diagonal. inversa o no proporcional? Justifica tu respuesta. En una situación dada los valores de las variables son ¿Cuál sería el valor de si la situación cambia a ? c) Ocho obreros etiquetan en 3 horas 50 tarros. escribe la fórmula que relaciona el área y la longitud de la diagonal del cuadrado. 16. Haz una tabla que contenga esta información b) ¿La relación entre las variables es de proporcionalidad directa. que muestre la relación entre los minutos que Andrea pudiese hablar durante el mes y la cantidad de dinero disponible que quedaría en su teléfono. ¿Cuántos obreros como mínimo se necesitan para etiquetar al menos 40 tarros en el mismo tiempo? e) Se emplean 8 máquinas para realizar un trabajo en 15 días. Haz una tabla. y tres variables tales que es directamente proporcional a e inversamente proporcional a . con cinco casos. La información que este pasto trae para su siembra es que se necesita ¼ kg de semillas por cada 10 m2. Alberto quiere sembrar pasto y para ello ha escogido la variedad Chépica Alemana. Un grupo de amigos quiere ir este fin de semana distribuyéndose equitativamente los costos. según corresponda. En La Serena se ofrece una casa en arriendo. inversa o no proporcional? Justifica tu respuesta. 15.000 mensuales. Andrea tiene un plan telefónico de $9. a) Uno de los integrantes de este grupo quiere saber si dispone del dinero suficiente para ir.000. Para ello necesita saber cuánto debe pagar en cada uno de los casos posibles (de 1 a 8 personas). Si se dispone de tres máquinas menos. En este plan. a) Completa la siguiente tabla de valores relativa a la relación entre las variables de la situación. ¿Cuántos días se emplearían en hacer el mismo trabajo? 52 . b) Sean . 17. Si para un cuadrado cuya diagonal mide 6 cm. ¿Cuántos obreros etiquetarán la misma cantidad de tarros en 4 horas? d) Ocho obreros etiquetan en 3 horas 50 tarros. La casa tiene una capacidad para 8 personas y tiene un costo de $33.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 14. Resuelve los siguientes problemas aplicando las propiedades de la proporcionalidad directa o inversa. 3 20 80 5 b) ¿La relación entre las variables es de proporcionalidad directa. ¿La relación que existe entre las variables de la situación es directamente proporcional. 2% en diciembre de 2012.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Veinte personas consumen aproximadamente 520 kg. ¿Cuántos kg de carne consumen 16 personas en 8 días en las mismas condiciones? 18. Completa la siguiente tabla con la representación fraccionaria y decimal de los porcentajes dados. f) Tanto por ciento 12 25 75 33 Fracción irreductible Decimal 19. Según la información de la noticia que se muestra a continuación ¿Cuántas Pymes más fueron beneficiadas por la Corfo el año 2012 respecto del 2009? 53 . de carne en 10 días.900 personas desocupadas ¿Cuántas personas de Santiago tenían empleo en ese período? 20. lo que equivale a 156. Si la tasa de desempleo en el Gran Santiago fue de 5. 000? Soluciones: 1. 1. $ 312.5° GL y 3. el porcentaje de recargo sobre el precio contado al comprar el perfume en 8 cuotas? 24. 7. 3. que viaja a rapidez constante. pues al multiplicar los valores de correspondientes en siempre se obtiene 192.25 l de un licor C de 28. con su La relación entre las variable no es proporcional.125 l de un licor A de 12° GL. Si se sabe que una boleta de honorarios retiene el 10% de impuestos ¿Por cuánto dinero se debe emitir una boleta para recibir líquido $480. en una hora debe recorrer 50 km.126 cada una ¿Cuál es. pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en . aproximadamente.38 minutos b) 88 minutos b) En 5 ml de jarabe hay 15 mg de fármaco. Según la información de la imagen ¿Cuántos buses nuevos tiene el transantiago este año? 22. 6. a) Las variables son inversamente proporcionales. c) 10 minutos 2.990.990 ¿Cuánto dinero se paga por concepto de IVA (19%)? 23. Se puede comprar al contado o en 8 cuotas de $3. El precio de un perfume es $21. aprox. 1. 54 . pues al dividir los valores de correspondientes en 9. 8. 80 vacas.688 l de un licor B de 30° GL. El precio de un artículo con IVA incluido es $56. b) La relación entre las variable no es proporcional. a) Un vehículo. 2. a) siempre se obtiene . con su 5. 4. c) Las variables son inversamente proporcionales.000 recibe Claudia. 19. a) 16 horas y media. pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en .Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 21.938 l de un licor D de 35° GL 56 mujeres. a) El alambre más pesado es A. el tiempo y la energía consumida no se relacionan proporcionalmente. mientras que en el alambre B cada metro pesa 30 g.6 m de alambre A pesan 48 g cada uno.5 24 3 20 30 55 . pues al dividir los valores de su correspondientes en siempre se obtiene 3.2 m de alambre B y 1.2 m de alambre es 168 gr El peso de 5. c) La relación entre las variable no es proporcional. c) El peso de 3. 1.5 120 0. siempre se obtiene 20.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática b) La relación entre las variable es de proporcional inversa. siempre se obtiene En la máquina 2. b) 96 g de alambre A y 72 g de alambre B tienen cada uno una longitud de 2. e) f) 10. a) c) La relación entre las variable no es proporcional. pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en . La relación entre las variable es de proporcional directa. pues cada metro pesa 40 g. En la máquina 1.8 m de alambre es 114 gr El peso de 4.4 m de alambre es 108 gr 12.5 40 2 B A a ninguno 2. 11. En una hora consume 30 Kwh.75 80 1 60 1.4 m.25 48 1. pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en con b) En una hora consume 30 Kwh y en 4 horas 60 Kwh. pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en . pues si multiplicamos los valores los valores de con su correspondientes en . en 3 horas 90 Kwh y en 30 minutos 15 Kwh. pues al dividir los valores de con su correspondientes en . el tiempo es directamente proporcional a la energía consumida. pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en .25 240 0. a) Capacidad botella (litros) Cantidad de botellas 0. d) La relación entre las variable no es proporcional. a) Número de personas Costo por persona (pesos) 33.25 kg/m 15.5 o 3 litros. a) Kilógramos de semilla Superficie a sembrar (m ) 2 2 10 20 30 80 3 120 5 200 b) La relación entre las variable es directamente proporcional.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Cantidad de botellas 300 200 100 0 0.5 2. a) Largo(m) Ancho(m) b) 150 ancho (m) 100 50 0 20 40 60 80 100 120 largo (m) La relación entre las variable no es proporcional.5 1.75 1 1. 2.25 2. pues al multiplicar los valores de con su correspondientes en siempre se obtiene $ 33.75 2 2.600 16800 11200 4 8400 5 6720 6 5600 7 4800 8 4200 b) La relación entre las variable es inversamente proporcional. 110 10 105 15 100 20 93 27 90 30 85 35 80 40 70 50 60 60 14.25 1.75 3 capacidad botella (litros) b) c) 2.5 0. pues al dividir los valores de 2 con su correspondientes en siempre se obtiene 0.25 0. 13. pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en .600 56 . 24. 20.408 personas 54. 23. a) c) e) f) 6 obreros.12 0. 2.080 Pymes más fueron beneficiadas el año 2012 respecto del 2009 5920 buses nuevos. 21. 332. pues al dividir o multiplicar los valores de con sus correspondientes en no se obtiene una constante. $ 9. 24 días.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 16.25 0.33 19. con : área del cuadrado en cm y :longitud de la diagonal en cm b) 34. d) 7 obreros. 22. 18.75 0.099 13.860.43 aprox. Tanto por ciento 12 25 75 33 Fracción irreductible Decimal 0. . Tiempo utilizado (minutos) Saldo disponible (pesos) 9000 8820 8640 3 8460 4 8280 La relación entre el tiempo utilizado y el saldo disponible no es proporcional.333 57 .7 % $ 533.8 kg. 17. Si un cliente exige que la revisión no tarde más de 28 minutos ¿Cuántos mecánicos como mínimo se necesitan? 3. Si el rendimiento del vehículo en carretera es 17. En las especificaciones técnicas sobre el consumo de combustible de un cierto modelo de vehículo. Una persona viaja de Arica a Atacama en una vehículo a una rapidez constante de 118 km/h durante 3 horas y 8 minutos sin detenerse. ejercido por una máquina apropiada. 6 días. La siguiente gráfica corresponde al ensayo de tracción o estiramiento de un metal. 3. 4.5 km/l ¿Cuántos litros de combustible ha consumido en el viaje? 2. El consulo promedio del vehículo es de 9.2 km/l 58 .Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicios propuestos para la unidad Mecánica 1. Se necesitan como mínimo 7 mécanicos. La deformación unitaria es de 0. hasta conseguir la rotura. En el viaje ha consumido 21. Cuatro mecánicos tardan normalmente 45 minutos en efectuar la revisión técnica a un vehículo.0016 5. ¿Cuántos vehículos repararán diez mecánicos en 22 días trabajando la misma cantidad de horas diarias? 4. Doce mecánicos reparan nueve vehículos en quince días. se indica que el consumo en ciudad es de 8 km/l y en carretera es un 30% más que en ciudad ¿Cuál es el consumo promedio del vehículo? Soluciones: 1. 2.12 litros. El ensayo de tracción estudia el comportamiento de un material sometido a un esfuerzo de tracción progresivamente creciente. Según la información entregada en el gráfico ¿Cuál es la deformación unitaria del metal si ha sido sometido a un esfuerzo de 331 MPa? 5. 4. 5. arena y grava en la razón y de agua para 8 columnas cuyo volumen total es La tabla 1 muestra el coeficiente de aporte de material para concreto y mortero. un grupo de obreros tarda 24 días trabajando 6 horas diarias. calcula el volumen aparente de cemento. Se debe fabricar concreto con cemento. de cemento. de arena. 4 personas trabajando 8 horas diarias. La deformación unitaria es de 0. 59 . 3. 2. Si en el proceso de construcción se pierde el 10% de material ¿Qué cantidad de cada material se necesita? Soluciones: 1. 18 días se tardarán en pintar el edificio. Durante 10 días. han reparado 60% de una Iglesia en Chiloé ¿Cuántos días tardan en reparar el resto de la iglesia 6 personas trabajando 6 horas diarias? 4. grava y de la mezcla. La siguiente gráfica corresponde al ensayo de tracción o estiramiento de un metal. 2. ejercido por una máquina apropiada. de cemento. hasta conseguir la rotura.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Construcción 1. Si el volumen aparente de arena es . El ensayo de tracción estudia el comportamiento de un material sometido a un esfuerzo de tracción progresivamente creciente.0023 sometido a un esfuerzo 467 MPa. Si la jornada de trabajo aumenta a 8 horas diarias ¿Cuántos días tardaría el mismo grupo de obreros en pintar el edificio? 3. Para pintar un edificio. de grava y de litros de agua. arena y grava es . Según la información entregada en el gráfico ¿Cuál es la deformación unitaria del metal si ha sido sometido a un esfuerzo de 467 MPa? 5. 6 días tardarán en reparar el rsto de la iglesia los 6 obreros trabajando 6 horas diarias. de grava y de mezcla. En una mezcla de concreto la razón entre los volúmenes aparentes de cemento. 4% de su sueldo bruto para pagar un seguro de cesantía que equivale a $2. 834 m2 tiene de superficie el patio. Así un acumulador de 20 amperios-hora. las zonas de seguridad están ubicadas en el patio del establecimiento. En un colegio.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Procesos Industriales 1. El departamento de certificación aumenta en 4 personas. 5. Cuando se expresa la capacidad de una pila (práctica muy común en los acumuladores).25 horas durará el cumulador con 8 amperios.5 0. ¿Cuál es el sueldo bruto de esta persona? Soluciones: 1. Si la dotación del personal aumenta. Luego de esto el acumulador se descarga y debe volver a cargarse. El departamento de certificación de calidad de una empresa consta de 4 trabajadores. Una persona destina mensualmente un 0. Cada zona de seguridad tiene un área de 10. 2. El siguiente gráfico representa las toneladas de residuos sólidos por persona en Punta Arenas. los cuales consumen 40 litros de agua purificada en 5 días. El sueldo bruto es de $ 640. puede suministrar 20 amperios durante una hora. 1. 3.8 12 ¿Cuánto durará el acumulador con 8 amperios? 3. consumiendo 32 litros en 2 días y se mantienen en consumo por persona ¿Cuántas personas se anexaron al departamento? 5.8 mts2. 4. Tiempo Amperios 10 1 4 2. se hace por el número máximo de amperios que puede dar en una hora. 500 personas durante 30 dias generan 7.5 toneladas de residuos. En la siguiente tabla se muestran los valores de un acumulador. Si la razón entre el área de seguridad y el total de superficie del patio es de 2:155 ¿Cuánto mide la superficie del patio del colegio? 2. ¿Cuánto será la cantidad de residuos sólidos generados por 500 personas durante un mes? 4.560.000 60 . Criterios de evaluación: 3. Comunicar los resultados de manera efectiva y acorde a la situación e interlocutores. Resolver el problema.1 Valoriza expresiones algebraicas mediante operatoria en los números reales.4 Reduce expresiones algebraicas fraccionarias explicando las estrategias de factorización y simplificación utilizadas. en contextos diversos.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Unidad 3: Álgebra Aprendizaje 3. 61 .1 Desarrolla operatoria algebraica utilizando estrategia de valorización. Establecer hipótesis.1. explicando su estrategia.2 Despeja un término literal en función de otros términos presentes en una expresión algebraica. 3. explicando los pasos aplicados.1. recuerda: a) b) c) d) Leer detenidamente el enunciado e identificar: datos. Para resolver un problema. incógnitas y relaciones.1. factorización y simplificación. 3. Trazar una estrategia de resolución.3 Reduce expresiones algebraicas mediante propiedades de términos semejantes y eliminación de paréntesis. reducción de términos semejantes. 3.1. El diámetro es 3 m. b) Establecer una estrategia de resolución Para calcular el volumen del cilindro hay que remplazar los datos en la fórmula c) Resolver el problema Al remplazar los datos en la fórmula se obtiene: m3 Para calcular 9π se utiliza la calculadora. Calcular el volumen de un cilindro cuyo diámetro es 3 m y su altura 4 m.La altura es 4 m. y finalmente. por lo tanto al utilizarla hay mayor precisión en los resultados que aproximando este número a 3. luego se presiona el botón multiplicación. es una constante. es el radio de la base del cilindro y es la altura del cilindro. 62 . d) Comunicar los resultados El volumen del cilindro cuyo diámetro es 3 m y altura 4 m es 28.El volumen del cilindro es lo que se requiere. es una constante. para ingresar el número se presiona el botón shift y EXP. Primero se ingresa el número nueve. es decir = 4 m. Solución: a) Identificar datos .14. . (Éste procedimiento varía según el modelo de la calculadora.27 m3 aproximadamente.) Observación: La calculadora proporciona el número con muchas cifras decimales. . por lo tanto si el radio es la mitad = 1.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 1: La fórmula para obtener el volumen de un cilindro es: Donde.5 m. Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 2: La fórmula del movimiento uniformemente acelerado viene dada por la ecuación: Donde. Esta ecuación Solución: a) Identificar datos . es la distancia. b) Establecer estrategia de resolución Para obtener la expresión algebraica del literal . queda la siguiente ecuación: 63 .El problema no entrega valores numéricos. ¿Cuál es la expresión algebraica resultante al despejar la variable ? la aceleración y el tiempo. velocidad inicial. consideramos esta variable como incógnita y la despejamos utilizando propiedades algebraicas y de las ecuaciones. la posición inicial. c) Resolver el problema Se tiene que: d) Comunicar resultados Al despejar el literal “ ” de la ecuación inicial. es también conocida como la ecuación de posición. sólo la ecuación de posición que contiene únicamente expresiones literales. Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicios propuestos: Genéricos. 1. Encuentra el valor numérico de las siguientes fórmulas, aplicando en cada caso solo los valores asignados para las variables respectivas. a) b) c) d) d  vi ·t  at 2 2 ; si ; si = 8 m/seg , = 0,8 g , = 4 seg , = 3 m/seg ( : distancia que recorre un móvil) 2 2 = 15 m, = 9,8 m/seg ( : energía potencial) A a2 3 4 ; si = 3,2 m ( : área de triángulo equilátero) R r1 ·r2 r1  r2 ; si = 4 ohm y = 6 ohm ( : resistencia eléctrica total en paralelo) e) q ·q F  k· 1 2 2 r ; si = 9·10 9 Nm 2 ; c2 = =4cy = 10 m ( : fuerza atracción entre dos cargas) 2. Resuelve los siguientes ejercicios mediante propiedades de términos semejantes, eliminación de paréntesis y producto de polinomios. – – – b) d) { { [ ] } } f) h) j) l) n) [ { [ ( – ) ] ]} a) c) e) g) i) k) m) 3. Expresa los siguientes polinomios como productos de polinomios primos aplicando las reglas de factorización. b) d) 64 a) c) Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática e) g) i) k) m) o) q) s) 4. f) h) j) l) n) p) r) t) Aplica las reglas de factorización para simplificar las siguientes fracciones hasta dejarlas irreductibles e indica las restricciones. b) d) f) h) a) c) e) g) 5. a) c) e) g) i) Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita. b) d) f) h) j) 65 Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática k) l) 6. a) c) e) Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado con una incógnita. b) d) f) 7. En las siguientes fórmulas, despeje la variable indicada. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) Despeje Despeje Despeje Despeje Despeje Despeje Despeje Despeje Despeje Despeje Interés simple Circunferencia de un círculo Área de un triángulo Ley de Newton de gravitación Ley de Ohm en teoría eléctrica Perímetro de un rectángulo Principal más interés Área de un trapecio Área superficial de una caja rectangular Ecuación de una lente Soluciones: 1. a) 56 m b) 117,6 gm /s e) b) e) h) k) b) 2 2 c) √ d) 2,4 ohm 2. a) d) g) j) m) 3. a) d) N c) f) i) l) n) c) e) 66 a) c) e) 7. a) d) g) j) b) e) h) √ √ g) j) l) n) h) p) r) s) b) d) f) h) b) e) h) Todos los números reales. a) d) g) j) 6. k) b) d) f) c) f) i) c) f) i) l) 67 . a) c) e) g) 5.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática f) i) k) m) o) q) t) 4. Criterios de evaluación: 3. 68 .2. Trazar una estrategia de resolución.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Aprendizaje 3.1 Determina la solución de un problema propuesto que involucra que involucra una ecuación de primer grado. analizando la pertinencia de la solución y comunicando de acuerdo a la situación e interlocutores.3 Resuelve problemas generales y relativos a la especialidad mediante sistemas de ecuaciones.2. incógnitas y relaciones. explicando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores. Establecer hipótesis. Para resolver un problema. Resolver el problema. 3.2. recuerda: a) b) c) d) Leer detenidamente el enunciado e identificar: datos.2 Resuelve problemas que involucren el planteamiento y resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones mediante la utilización de procedimientos algebraicos y representación gráfica. 3.2 Determina la solución de un problema propuesto que involucra ecuación de segundo grado. Comunicar los resultados de manera efectiva y acorde a la situación e interlocutores. analizando la pertinencia de las soluciones y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores. analizando la pertinencia de la solución y comunicando su respuesta de acuerdo a la situación e interlocutores. escribimos la ecuación que representa lo que construyen juntos del muro en un día y la resolvemos como se muestra a continuación. Si los dos albañiles trabajan juntos en hacer el muro ¿Cuánto tiempo tardan en construirlo? Solución: a) Identificar datos . d) Comunicar resultados Arturo y Patricio.Arturo tardar 4 días en construir el muro. en un día hará del muro. trabajando en idénticas condiciones. mientras que Patricio lo realiza en 6 días. 69 . trabajando solo.Patricio tardar 6 días en construir el muro. Luego. trabajando juntos. los dos juntos construirán en un día ( Si llamamos día harán juntos ) del muro. b) Establecer estrategia de resolución Primero se calcula la parte del muro que construye cada albañil. luego en un día hará del muro. Finalmente se plantea la ecuación correspondiente a la parte del muro que construyen los albañiles en un día trabajando juntos y se resuelve. . Del mismo modo. trabajando solo.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 1: Para construir un muro Arturo tarda 4 días. si Patricio tarda 6 días en construir el muro. Por lo tanto. se define una incógnita para representar el tiempo en días que demorarían en construir el muro juntos y se escribe algebraicamente la parte del muro que construirían juntos en un día. c) Resolver el problema Sabemos que Arturo. construye el muro en 4 días. construirán el muro en días. al tiempo en días que tardarían Arturo y Patricio en construir el muro juntos. entonces en un del muro. en un día. Luego. . Luego. Solución: a) Identificar datos . b) Establecer estrategia de resolución Se definen las incógnitas correspondientes a los lados del rectángulo. como se muestra en la figura 1. Se dispone de 200 metros para cercar el terreno. considerando el perímetro del rectángulo. como se muestra en la figura 2. Calcula las dimensiones del terreno. se escribe algebraicamente un lado del rectángulo en términos del otro. Con ambos lados del rectángulo. si su área debe ser de 2176 m2 y hay que utilizar todos los metros de cerca disponibles. Finalmente se resuelve la ecuación de segundo grado planteada.El terreno es rectangular.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 2: Un obrero debe delimitar un terreno rectangular con 200 metros de cerca.El área del terreno debe ser 2176 m2. se escribe el largo y ancho del rectángulo utilizando una sola variable. entonces 200 m es el perímetro del rectángulo. entonces. Luego. . c) Resolver el problema Sea la medida en metros del ancho del rectángulo e la medida en metros del largo del rectángulo. Se sabe que el área del terreno rectangular debe ser 2176 m2 y el área de un rectángulo se calcula multiplicando las medidas de su largo y ancho. la ecuación correspondentiente al área del rectángulo de la figura 2 es: ⏟ ⏟ Ahora debemos resolver la ecuación anterior 70 . se escribe la ecuación correspondiente al perímetro y se despeja una de las dos incógnitas: Con el resultado de la ecuación (1). que es el área que exige el problema.Se disponde de 200 metros para cercar terreno. se escribe la expresión algebraica correspondiente a su área y se iguala a 2176 m2. d) Comunicar los resultados Las medidas de los lados del terreno rectangular deben ser 68 y 32 metros. estos números se reemplazan en la fórmula cuadrática √ √ √ Finalmente se reemplaza y en la ecuación (1) para calcular. . el largo será 32 m. mientras que si el ancho es 32 m. el largo será 68 m. Si el ancho mide 68 m. por lo tanto se trata de una ecuación de segundo grado. 71 . En este caso √ . √ √ √ y . es necesario igualar a cero e identificar los parámetros y de una ecuación cuadrátrica. la medida del largo del rectángulo. Para resolver esta ecuación.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Al multiplicar las expresiones algebraicas obtenemos una incógnica al cuadrado. en cada caso. Luego. a una rapidez constante 120 km/h.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 3: Un automóvil deja la ciudad A y va a la ciudad B a una rapidez constante de 95 km/h. el automóvil . Si la distancia desde A hasta B es 614 km. donde y es la distancia recorrida por la velocidad del automóvil. se determina otra incógnita para el tiempo en horas que tardan los vehículos en encontrarse. como se ilustra a continuación. Al mismo tiempo. c) Resolver el problema La rapidez de un automóvil se calcula con la siguiente fórmula: . 72 . 95 km/h 120 km/h Punto de encuentro A B 614 km b) Establecer estrategia de resolución Se define la incógnita distancia en km recorrida por uno de los vehículos. se escribe algebraicamente la distancia recorrida por el otro vehículo en términos de la incógnita distancia que se ha especificado. La rapidez del automóvil que viaja de B hasta A es 120 km/h. con los datos velocidad. Luego. el otro automóvil necesariamente recorre kilómetros hasta el punto de encuentro. Luego. Si la distancia entre ambas ciudades es 614 km. tiempo y distancia correspondiente a cada vehículo se plantean dos ecuaciones según la fórmula Finalmente se resuelve el sistema de ecuaciones con alguno de los métodos estudiados para determinar el valor de cada incógnita. Además. otro automóvil deja la ciudad B rumbo a la ciudad A. considerando la distancia entre las ciudades A y B. el tiempo que tarda el automóvil en recorrer esa distancia Despejando la variable de la fórmula anterior se obtiene: Sea la distancia en kilómetros que recorre el automóvil que viaja a 95 km/h hasta llegar al punto de encuentro. La distancia entre las ciudades A y B es 614 km. ¿En cuánto tiempo se encuentran ambos automóviles? ¿Qué distancia recorre cada automóvil? Solución: a) Identificar datos La rapidez del automóvil que viaja de A hasta B es 95 km/h. por lo tanto. obtenemos las siguientes ecuaciones: Existen varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones. ambos han recorrido distintas distancias pero en el mismo intervalo de tiempo. el otro vehículo recorre km.3 km. a continuación mostraremos dos. sustitución 2. por lo tanto. 73 . Si reemplazamos los datos de cada automóvil en la fórmula . Llamaremos al tiempo en horas que tardan los vehículos en encontrarse. se tiene que km. reducción Reemplazando la ecuación (1) en (2) se obtiene Si sumamos las ecuaciones (1) y (2) obtenemos la ecuación: Luego resolvemos la ecuación anterior *valor aproxiamdo a la centésima Reemplazando el tiempo h en la ecuación (1). d) Comunicar los resultados Los automóviles se encuentran en 2 horas y 52 minutos aproximadamente. El vehículo que viaja a 95 km/h recorre 271. 1. horas corresponde a horas y minutos aproximadamente. ambos vehículos salieron a la misma hora de cada ciudad y al encontrarse tambien coinciden en horario. Además podemos expresar el tiempo en horas y minutos como se muestra a continuación ⏟ Por lo tanto.7 km y el que viaja a 120 km/h recorre 342.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 95 km/h 120 km/h Punto de encuentro A B Respecto al tiempo. Carlos sabe que esto le tomará 3 horas y media trabajando sólo.000 por hora. tiene el doble de átomos de hidrógeno que de oxígeno y un átomo más de carbón que de oxígeno. Si la asistente trabajó 5 horas menos que la ingeniera. donde es la temperatura del suelo y el punto de rocío.000 por hora y el de su asistente a $11. a) Una molécula de azúcar. está dada ¿Cuándo estará el cohete 180 pies sobre el suelo? (en °C) a la que el agua hierve está relacionada con la elevación (en metros sobre el 74 La temperatura . 1. cuando realiza el mismo trabajo tarda 6 horas. Un cliente recibe una cuenta de $773. Suponiendo que no hay ganancia ni pérdida en la eficiencia ¿A qué hora terminarán si trabajan juntos? ¿Lograrán llegar a la hora para jugar el partido de fútbol? f) Alejandra pinta sólo cuatro habitaciones en 10 horas.000 por kg para obtener 50 kg de la nueva mezcla. Como Gonzalo irá a jugar un partido de fútbol con Carlos a las 1:00 pm acepta ayudarle. Si una molécula de azúcar tiene un total de 45 átomos ¿Cuántos son de oxígeno? ¿Cuántos son de hidrógeno? b) El tiempo de una ingeniera consultora se factura a $35. Calcula la temperatura del suelo si el punto de rocío es 65°F y la base de la nube está a 3500 pies. debe usarse la fórmula i. Si la estatura de un hombre al morir fue 1. Si un arqueólogo encuentra sólo un húmero. Su compañero Gonzalo. cuando su automóvil se descompone camina por la misma ruta hacia su casa a 8 km/h. pueden hacer el mismo trabajo en 6 horas. Si el recorrido completo.000 por cierto trabajo. entonces su estatura (en cm) se puede encontrar con la fórmula . segundos después de que es lanzado. le tomó dos horas un cuarto ¿Cuántos kilómetros caminó hasta su casa? i) j) La altura por sobre el suelo de un cohete de juguete.81 m ¿Cuánto mide su húmero a su fallecimiento? d) La altura (en pies) de la base de una nube se puede estimar usando la ecuación . para ayudarle. e) A las 10:00 am el jefe de Carlos le pide que quite las hierbas del jardín. para un hombre. Para una mujer. cuyo precio será $4. conducción y caminata. Si contrata a Martina. Para ello mezclará té negro con aroma a limón que se vende a $5.000 por kg con un poco de té negro con aroma a naranja que se vende a $3. Plantea una ecuación y luego resuélvela para dar respuesta a los siguientes problemas.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicios propuestos: Genéricos.500 por kg y no debe haber diferencia entre los ingresos por la venta separada o de la mezcla ¿Cuántos kg de cada té se requieren? h) Un hombre deja su hogar manejando a 64 km/h. Si deja a Martina sola ¿Cuánto tardará ella en pintar las cuatro habitaciones? g) Un fabricante de té quiere vender una nueva mezcla. Se encuentra el esqueleto de una mujer que tiene un húmero de 30 cm. puede determinar la estatura del individuo usando una relación lineal simple. Por experiencia. ¿Cuál es la estatura a su fallecimiento? ii. si es la longitud del húmero (en cm). ¿Cuánto tiempo facturó cada una en el trabajo? c) Los arqueólogos pueden determinar la estatura de un ser humano sin tener un esqueleto completo. T R R L C C R E S L E L 10 kg. 30 kg. Para resolver el problema.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática nivel del mar) por la ecuación . Determina el peso de cada cubo. Determina el peso del cubo E. Estime la temperatura a la que el agua hierve en la cima de la montaña. La altura del Monte Everest es aproximadamente 8840 m. c. b. si los pares ordenados anteriores pertenecen a la solución. b) A partir de lo anterior ¿Cuál es la solución de los siguientes sistemas? i. Resuelva y marque cada sistema como consistente (escriba la solución). para cada una de las siguientes ecuaciones. ¿Cuál es la letra que le corresponde a los otros cubos? 3. Los cubos marcados con la misma letra tienen igual peso. { ii. ii. contesta las siguientes preguntas: a. iii. inconsistente (sin solución) o dependiente (con número infinito de soluciones). (sugerencia: use la fórmula cuadrática con – ) k) En un rectángulo un lado mide 43 cm más que el otro ¿Cuáles pueden ser las medidas de los lados del rectángulo si su área es 328 cm2? 2. 40 kg. 20 kg. determina: a) Verifica. Justifica tu respuesta. i. Dados los pares ordenados . { 4. 75 . ¿Qué letra representa el cubo de mayor peso? Justifica tu respuesta. 50 kg. 100 kg. para obtener 50 kg de la nueva mezcla. nada a favor de la corriente y demora 15 minutos en recorrer la misma distancia. treinta minutos después. Primero nada contra la corriente y demora 30 minutos en recorrer 2000 metros. ¿Cuál es la velocidad del nadador respecto del río? ¿y la velocidad del río respecto de la orilla? b) El gerente de Starbucks decide experimentar con una nueva mezcla de café. ¿Cuántas libras de café grado B colombiano y grado A de Arabia y se requiere? c) Dos ciudades están conectadas por una carretera. e en cada caso? Plantea un sistema de ecuaciones y luego resuélvelo para dar respuesta a los siguientes problemas.Guía de Ejercicios MTIN01 – Matemática Disciplinas Básicas: Matemática a) c) { { b) d) { { e) { f) { g) { 5. Pilar { Mario { Según el contexto de la situación inicial ¿Qué representa 6.500 distribuidos en 33 monedas de dos tipos. unas de $ 100 Y el resto de $ 500. Un auto sale de la ciudad B a las 1:00 pm y avanza a una rapidez constante de 40 mi/h hacia la ciudad C. a) Un atleta se entrena nadando en un río. En un monedero hay un total de $ 8. Luego. De acuerdo a estos datos Pilar y Mario escribieron dos sistemas de ecuaciones diferentes. El precio de venta de la nueva mezcla debe ser $790 por kg y no debe haber diferencia en la ganancia por vender la nueva mezcla comparada con vender otros tipos. Mezclará algo de café colombiano grado B que se vende $ 475 el kg con algo de café de Arabia de grado A que se vende en $1200 el kg. otro auto sale de la ciudad B y avanza hacia C a una velocidad constante de 55 76 . Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática mi/h. Si no consideramos las longitudes de los autos ¿A qué hora el segundo auto alcanzará al primero? d) Dos guardias de una empresa tienen radios de comunicación con un alcance máximo de 3 km. Uno de ellos sale de cierto punto a la 1:00 y camina al norte a razón de 6,4 km/h. El otro sale del mismo punto a las 1:15 y camina al sur a 9,6 km/h. ¿Desde qué hora no podrán comunicarse entre sí? e) Una compañía médica produce dos tipos de válvulas para el corazón; la estándar y la de lujo. Para hacer una válvula estándar son necesarios 5 minutos en el torno y 10 en la prensa taladradora, mientras que para la válvula de lujo son necesarios 9 minutos en el torno y 15 en la prensa. Cierto día el torno está disponible 4 horas y la prensa 7. Si utilizan las máquinas en forma continuada ¿Cuántas válvulas de cada tipo se fabrican? f) Tres tubos de ensayo contienen diferentes niveles de líquido. Para que tuvieran el mismo nivel, se hicieron tres transferencias de líquidos, así, del primero se vació en el segundo, de lo que quedó en el segundo se vació al tercero, y lo que quedó en el tercero se vació al primero. Después de lo anterior, cada tubo quedó con 9 ml ¿cuántos ml tenía cada tubo inicialmente? Soluciones: 1. a) c) i. d) 80,42°F e) f) g) i) j) k) 2. Juntos tardarán 2 horas y 12 minutos aprox., por lo tanto lograrán llegar al partido de fútbol. 15 horas 37,5 kg de té negro con aroma a limón y 12,5 kg de té negro con aroma a naranja. A los 2,07 segundos y a los 5,43 segundos A 96,86°C y 104,86°C 6,61 cm y 49,61 cm aprox. 159,2 cm ii. 35,8 cm 11 átomos de oxígeno y 22 átomos de hidrógeno. b) La ingeniera facturó 18 horas y su asistente 13 horas h) 10,43 km T 10 kg. C 20 kg. R 30 kg. L 40 kg. E 50 kg. S 100 kg. 77 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática a) Si observamos la tercera pesa en equilibrio, S es mayor que cada uno de los cubos T, L y E y según la segunda pesa, E tiene mayor peso que R y C por separado, por lo tanto S corresponde al peso mayor, 100 kg. b) Sabemos que y , entonces si observamos la tercera pesa podemos concluir que y de los pesos que quedan por identificar los únicos que suman 60 kg es 50 kg y 10 kg. Según la segunda pesa, E tiene mayor peso que R y C, por lo tanto E no puede ser 10 kg porque no hay pesas que sumen 10 kg, luego y . c) y . 3. a) i. b) i. 4. a) c) e) g) 5. (1,1) ii. (3,4) Consistente, Inconsistente Dependiente Dependiente b) Consistente, d) Consistente, f) Consistente, (3,4) (1,1) ii. (1,1) (-2,5) iii. (3,4)(-2,5) Para Pilar, es la cantidad de monedas de 100 e es la cantidad de monedas de 500, mientras que Mario nombró al dinero total que reúnen las monedas de 500 e al dinero total que reúnen las monedas de 100. 6. a) La velocidad del atleta respecto al río corresponde a 6 km/h y la velocidad de la corriente del río respecto de la orilla es 2 km/h. b) 28,28 kg del café colombiano grado B y 21,72 kg del café de Arabia de grado A c) Se encuentran a las 2:50 pm d) Desde las 1:20 aprox. e) 12 válvulas estándar y 20 válvulas de lujo f) En el primero habían 12 ml, en el segundo 8 ml y en el tercero 7 ml 78 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Aprendizaje 3.3 Resuelve problemas que involucren el planteamiento y resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones mediante la utilización de procedimientos algebraicos y representación gráfica, explicando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores. Criterios de evaluación: 3.3.1 Resuelve problemas mediante inecuaciones de primer grado, expresando la solución de manera gráfica, analítica y en lenguaje natural. 3.3.2 Resuelve problemas mediante sistemas de inecuaciones de primer grado, expresando la solución de manera gráfica y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores. Para resolver un problema, recuerda: a) b) c) d) Leer detenidamente el enunciado e identificar: datos, incógnitas y relaciones. Trazar una estrategia de resolución. Establecer hipótesis. Resolver el problema. Comunicar los resultados de manera efectiva y acorde a la situación e interlocutores. 79 Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 1: Un servicio de lavado de automóviles ofrece lavado. ¿Cuál es la menor cantidad de automóviles que hay que lavar para obtener al menos $500. La expresión algebraica correspondiente al ingreso mensual por los vehículos lavados es Mientras que el costo mensual queda expresado como Por lo tanto. c) Resolver el problema Sea la cantidad de vehículos lavados mensualmente. que corresponde a la diferencia entre el ingreso y el costo.500 .Lavado de un automóvil: $ 7.000 . considerando que la ganancia mensual debe ser al menos $500. el costo mensual y la ganancia en términos de la incógnita definida.000 por vehículo. luego la inecuación que representa esta situación es 80 . Luego. aspirado y encerado a un valor de $ 7.Guía de Ejercicios MTIN01 .Obtener al menos $ 500. Finalmente. Si en materia prima y mano de obra se gasta $2.000 se escribe la inecuación entre la ganancia mensual escrita algrebraicamente y el mínimo requerido.500 por vehículo y además hay costos fijos mensuales de $100. esto significa que debe ser mayor o igual a $500. queda expresada de la siguiente manera Además se sabe que la ganancia mensual debe ser al menos $500. la ganancia.000.000.000 .000 de ganancia mensual? Solución: a) Identificar datos .000.Costo por vehículo: $ 2.000 de ganancia mensual b) Establecer estrategia de resolución Se define la incógnita número de vehículos lavados mensualmente. se escribe algebraicamente el ingreso.Costo fijo mensual: $ 100. luego si la solución de la inecuación indica que debe ser mayor o igual a 133. las notas finales correspondiente a cuatro de cinco asignaturas son: 5. Este semestre.33… el menor entero que cumple con tal condición es 134.8.0 y menor o igual a 7.En el semestre hay cinco asignaturas que cursar. .El promedio semestral debe ser superior a 6.8.Guía de Ejercicios MTIN01 .5. 6.2.0 y la nota de la asignatura debe pertenecer al intervalo [ ] c) Resolver el problema Sea la nota final de la quinta asignatura. puede tomar solo valores enteros positivos y el cero. se escriben las inecuaciones considerando las siguientes restricciones. debe tener un promedio semestral superior a seis. 5. 6. 5. el promedio semestral debe ser mayor a 6. ¿Qué calificaciones debe obtener en la última asignatura para mantener su beca? Solución: a) Identificar datos . b) Establecer estrategia de resolución Se define la incógnita nota final de la quinta asignatura. La expresión algebraica para calcular el promedio semestral es Reduciendo términos se obtiene 81 . 5. se escribe algebraicamente el promedio de las cinco asignaturas en términos de la incógnita definida. d) Comunicar los resultados Para obtener una ganancia de al menos $500.5.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ahora debemos resolver la inecuación Como corresponde a cantidad de vehículos.5 son cuatro de las cinco notas finales por asignatura.2.000 se deben lavar por lo menos 134 vehículos al mes. 5.4.0. Luego. . Ejercicio resuelto 2: Un estudiante para mantener su beca.4. Finalmente. Guía de Ejercicios MTIN01 .5 y menor o igual a 7. es decir Resolviendo el sistema de inecuaciones se tiene Gráficamente: 0 6. escribimos el siguiente sistema siguientes inecuaciones: Además la nota de la asignatura debe pertenecer al intervalo [ ].5 Graficando los intervalos y se tiene 0 1 6.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Como la nota de la quinta asignatura debe ser superior a seis y menor o igual a siete. el alumno debe obtener una calificación superior a 6.5 d) Comunicar los resultados Para mantener la beca.5 7 11. De esta forma el intervalo solución es ] ] 82 .5 11. 1. ¿Cuál es el error que cometió? Justifica tu respuesta. Completa la siguiente tabla Desigualdad ] Número estrictamente inferior a 3.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicios propuestos: Genéricos. 83 . b) d) f) h) ( ) ( ) 3.Guía de Ejercicios MTIN01 . Recta real En palabras Intervalo [ Número mayor o igual a 4 ] [ 2. a) c) e) g) Resuelve las siguientes inecuaciones. inecuación. A continuación se muestra el procedimiento y solución que obtuvo Rodrigo al resolver una El conjunto solución de la inecuación son los números inferiores o iguales a 1. 000 por poleras ¿Cuántas poleras se deben confeccionar para tener utilidades cada semana? d) La compañía A arrienda automóviles por $ 17. ¿En qué rango de km hay que permanecer para tener ventaja económica al arrendar uno de la compañía B? e) ¿Para qué valores de el perímetro del rectángulo A es superior al del rectángulo B? (en unidades de un artículo a un precio de (en miles de pesos) por unidad ¿Cuántas unidades se deben vender para 84 . Se necesita arrendar un auto por 5 días. La compañía B cobra $ 15. ¿Cuál es el intervalo para la elevación ? b) Supóngase que los consumidores adquieren obtener ingresos mayores a un millón de pesos? c) Un almacén que confecciona ropa deportiva vende cierta cantidad de poleras a $18.500 cada una. a) Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones. Resuelve los siguientes problemas utilizando inecuaciones.500 el día más $ 30 el km. { b) { c) { d) { e) { 5.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 4. a) La temperatura (en °C) a la que el agua hierve está relacionada con la elevación metros sobre el nivel del mar) por la ecuación para . Si los costos fijos de producirlas son $100.000 diarios más $38 el km.Guía de Ejercicios MTIN01 .000 a la semana y la mano de obra y material es $12. Intervalo [ ] Desigualdad Recta real En palabras Número mayor o igual a y menor o igual a Número estrictamente inferior a 3.000 a la semana. El dueño de la industria calcula que si ellos hacen ese trabajo. Si las tareas ponderan un 10% y el promedio de las notas parciales un 90% ¿Qué nota como mínimo debe obtener en la última prueba para eximirse? (un estudiante se exime si tiene al menos un 5. ¿Cuántos estampados debe realizar la industria semanalmente para justificar la inversión en un equipo de estampación? g) Un estudiante tiene que rendir tres pruebas parciales.0 de promedio) h) El costo de publicar cada ejemplar de un periódico es de $ 400.000 ejemplares.5 y 5.965 por camiseta.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática f) Una industria que confecciona camisetas estampadas emplea un servicio externo de estampado a un costo de $1. las notas en dos ellas fueron 4. ¿Cuántos periódicos se debe vender para obtener utilidades superiores a $ 5.7. Númeromayor estricto que 7 y menor o igual a 12 ] [ ] ] 85 . Según lo anterior ¿Para qué valores de se cumple la desigualdad triangular la figura? Soluciones: 1. más un costo fijo de operación de $108. Los ingresos por ventas son de $ 350 por unidad y los ingresos por concepto de publicidad son el 20% de los ingresos obtenidos por las ventas que sobrepasen los 10.000.000? i) La desigualdad triangular es un teorema de geometría que establece que en todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante.0 y en tareas tiene un promedio de 4.Guía de Ejercicios MTIN01 . los costos por camiseta se reducen a $ 470. 572 ejemplares. a) b) A lo más 28 unidades.2 cm y menor que 50 cm. i) 86 . [ Número mayor o iual a . h) Al menos 13.5 km e) f) debe ser mayor a 16. Al menos 73 estampados semanales.20 b) c) d) f) g) h) No cambió de sentido la desigualdad al dividir por un número negativo a) d) b) e) c) 5. 4. ] [ ] [ 2. d) A lo más 312.8 y menor o igual a cero Número negativo [ a) e) Todos los números reales 3. c) Al menos 16 poleras. g) Una nota igual o superior a 5.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática ] [ [ [ Número positivo Número mayor o igual a 4 Número mayor o igual a .5.Guía de Ejercicios MTIN01 . ¿A qué velocidad el rendimiento del automóvil será 16 km/l? Un bus sale de Santiago a 95 km/h. r = 0.15°K y 1.05 3. n: mol (moles) . Soluciones: 1.800? 3. un automóvil sale a 120 km/h del mismo punto y realizando el mismo recorrido que el bus para intentar alcanzarlo. si el valor de la hora extra es de $5.6 m ¿Cuál es la velocidad que deben llevar los vehículos para evitar un choque por alcance? 2. ¿Cuántas horas extras aproximadas debe realizar en un mes para obtener un sueldo entre $650. Los moles presentes de CO2 son 0.Guía de Ejercicios MTIN01 . La cantidad de horas extras está representado por el intervalo: ] [ 87 . 456 km. 6. t: temperatura (Kelvin). El CO2 contenido en un recipiente ocupa un volumen de un litro. donde se utiliza una pista para ambos sentidos. La parte fija es de $320. Una hora más tarde. v: volumen (litros) . 80 km/h y 100 km/h 5.000. Si ambos mecánicos trabajarán juntos en efectuar la instalación ¿Cuánto tiempo tardarían? En una fábrica de automóviles se comprobó que para velocidades mayores a 10 km/h y menores que 150 km/h el rendimiento de bencina (km/l) está relacionada con la velocidad (km/h) mediante la ecuación . Una de las fórmulas utilizadas en el trabajo con gases es Donde p: presión (MPa) .12 MPa de presión.000 y 800. Si ambos vehículos realizan el viaje a una rapidez constante ¿Cuánto tiempo tarda el automóvil en alcanzar al bus? ¿A cuántos kilómetros están de Santiago cuando ambos vehículos se encuentran? El sueldo de un mecánico depende de una parte fija y otra variable. se recomienda ocupar la siguiente fórmula: donde representa la distancia (metros) mínima entre dos vehículos y la velocidad (Km/h) que llevan los móviles. 6. mientras que Sergio realiza el mismo trabajo en 6 horas. 3 horas y 48 minutos. Para evitar los choques por alcance en caminos que están siendo reparados.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicios propuestos para la unidad Mecánica 1. 4. Determine la cantidad de moles presentes de CO2? Rodrigo tarda 4 horas y media en instalar un cierre centralizado con alza vidrios a un vehículo. 32 kms/hr 2. a una temperatura de 290.450 y la parte variable corresponde a las horas extras trabajadas mensualmente. Si dos vehículos están a una distancia de 17.82 (constante) . 4. 5. Además el terreno.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Construcción 1. Para calcular el porcentaje de pendiente de un techo de un modelo de casa. : diámetro de la partícula. En una obra de construcción se tiene 258 metros de cerca para encerrar un terreno rectangular de 8100 m2. Para construir un muro Jaime tarda 5 días. como se muestra en la figura. Si los dos albañiles trabajan juntos en hacer el muro ¿Cuánto tiempo tardan en construirlo? 4. : longitud de la viga . : constante del material. se utiliza la siguiente fórmula : Donde corresponde al largo del techo en metros. Una de las ecuaciones que se utiliza para estimar el endurecimiento de un metal es: √ Dónde: : Dureza mínima (MPa). La deflexión de una viga viene dado por la siguiente fórmula: Dónde: : peso de la viga. Si se aplica un tratamiento térmico a la plancha de latón que tiene una dureza mínima 200 MPa (σ0) .8 ¿Cuál es el valor de la nueva dureza? 2. en donde el diámetro es de 0. ¿Cuánto debe ser el largo del techo para tener una pendiente desde 10% a 25%? 88 . : constante de la viga ¿Cuál es la expresión al despejar ? 3. estará cubierto por una cadena de cerros ¿Cuáles podrían ser sus dimensiones si se debe utilizar todos los metros de cerca disponibles? 5.Guía de Ejercicios MTIN01 . en uno de sus lados. mientras que Luis lo realiza en 3 días trabajando en idénticas condiciones. Se quiere taladrar tres agujeros de igual diámetro sobre una placa rectangular.01 mm y su constante es de 6. ¿Cuál es el diámetro del agujero y la distancia que los separa? 6. que se suministra por medio de un tanque. : Cotización adicional diferenciada.Guía de Ejercicios MTIN01 . los trabajadores se exponen a diversos accidentes por el uso de máquinas y equipos que generan condiciones inseguras. : Total de Determine la cotización total a pagar de una empresa que ha sufrido un alza en su cotización adicional diferenciada. : Número de trabajadores. lo vacía en 45 minutos.17 cm ] mts.000. correspondiente a un 2. Para obtener la frecuencia de accidentabilidad se utiliza la siguiente expresión: donde: : Frecuencia de accidentabilidad. 6.6% y la cantidad de trabajadores es de 1500.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Soluciones: 1. (Valor fijo establecido por ley 16744 “Constante”). si el total de remuneraciones imponibles es de $65. Calcule el número de accidentes producidos en la empresa considerando que la tasa de accidentabilidad es de 1. 5. R: La nueva dureza de la plancha es de 268 MPa 2. estando lleno. Cierta etapa de un proceso industrial requiere de una alimentación de agua. Luego de recibir tratamiento médico la empresa permite al trabajador la recuperación de su capacidad de ganancia en un 100%. 2. d = 2. se utiliza la siguiente fórmula donde: : Cotización total a pagar. una lo llena en 10 minutos y otra lo hace en 12 minutos y un desagüe.000 y la cotización básica es de 0. : Número de accidentes. Dos lados de 75 m y uno de 108 m ó dos lados de 54 m y uno de 150 m. Si el tanque está vacío y abierto el desagüe ¿En cuánto tiempo aproximado se llenará con ambas llaves abiertas? 89 . 4. 3. El largo del techo debe estar en el intervalo de: [ Procesos Industriales 1. 3. a causa de la gran cantidad de accidentes que ha sufrido este último tiempo. ocasionando incapacidades temporales. remuneraciones imponibles.55%.95%. Éste es alimentado por dos llaves. Para obtener la cotización total a pagar de una empresa. En la empresa “American Globe”.83 cm y l = 1. ¿En cuánto tiempo el tanque se vacía? b. Si dispone de 2 mezclas M1 y M2 cuyos contenidos son:  M1: 25% de la sustancia A y 75% de la sustancia B.000 2. 11 minutos y 43 segundos aprox. Cierta etapa de un proceso industrial requiere de una alimentación de agua. El número de accidentes es de 24 3. que se suministra por medio de un tanque que contiene 5000 galones de agua. $2. lo que se calcula con la ecuación: a.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 4. la cual se drena desde el fondo del tanque. 6 minutos y 12 segundos aprox. Un ingeniero desea preparar una mezcla de 100 g con dos sustancias diferentes A y B. 36. 4. 40 minutos. ¿Cuál es la cantidad aproximada que se requiere de la mezcla M1 para lograr lo que desea preparar el ingeniero? Soluciones: 1. ¿En cuánto tiempo el tanque disminuye su capacidad total a la mitad? 5.275. 5.Guía de Ejercicios MTIN01 .  M2: 80% de la sustancia A y 20% de la sustancia B. Para su propósito el 60% de la mezcla debe ser de la sustancia A y el 40% de la sustancia B. La ley de Torricelli da el volumen de agua que queda en el tanque después de minutos. aproximadamente. 90 .36 grs. Trazar una estrategia de resolución.1.3 Describe las características generales de ciertas funciones dadas. comunicando sus resultados de acuerdo a la situación e interlocutores. analizando dominio.1 Identifica si una expresión analítica. Para resolver un problema. recorrido y aplicando la regla de la recta vertical. 4. Comunicar los resultados de manera efectiva y acorde a la situación e interlocutores.2 Grafica funciones a partir de una tabla de valores. analizando dominio y recorrido de definición de manera efectiva 4. Criterios de evaluación: 4.1 Representa funciones en forma tabular.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Unidad 4: Funciones Aprendizaje 4. Establecer hipótesis. comunicando sus resultados de manera efectiva. 91 .1. tabular o un gráfico corresponde a una función. Resolver el problema.Guía de Ejercicios MTIN01 . recuerda: a) b) c) d) Leer detenidamente el enunciado e identificar: datos. incógnitas y relaciones. gráfica y analítica describiendo sus características generales.1. Dominio = {1. responderemos la primera pregunta. 3.Guía de Ejercicios MTIN01 . 4. 5. Al graficar obtenemos el siguiente gráfico. 2. 4. 3.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 1: La siguiente tabla corresponde a algunos datos de una función definida sobre el conjunto A={1. 2. No es posible determinar qué valor toma la función cuando x=5. 6. f(5)} b) Establecer una estrategia de resolución. 92 . d) Comunicar los resultados. Luego. Primero graficaremos para saber qué podría pasar en x=5. 5} x f(x) 1 5 2 6 3 8 4 3   ¿Puede saber qué valor tomará la función en x=5? Grafique la parte de la función que se representa tabularmente. c) Resolver el problema. Solución: a) Identificar datos. 8. No se puede determinar el valor de x=5. El gráfico de la parte tabulada de la función es el mismo que se señala en el paso anterior. Hay que saber que los puntos no deben unirse puesto que el dominio de la función es discreto. 5} Recorrido = {3. Guía de Ejercicios MTIN01 . Traducir cada frase a una igualdad a) 4 es la imagen del 5 por la función b) – 3 es la imagen del 0 por la función c) La imagen de 17 por la función es – 17 d) La imagen de – 31.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicios propuestos: Genéricos: 1.8 por la función es – 3 e) – 3 es la preimagen de 0 por la función f) Una preimagen de 7. Indica cuál de las gráficas siguiente representa una función. a) b) c) d) e) f) g) h) i) 2.2 por la función es –1 g) Una preimagen de – 5 por la función es – 8 93 . Completa la tabla 5. La gráfica representa una función Completa a) b) c) d) e) f) g) h) Indica la(s) preimagen(es) de 1 por la función .Guía de Ejercicios MTIN01 . 94 . La siguiente gráfica representa la función . La siguiente tabla de valores corresponde a la función Contesta las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la imagen de 3 por la función ? b) ¿Cuál es la preimagen de 4 por la función ? c) ¿Cuáles son los números que tienen la misma imagen por la función ? d) e) 4.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 3. Guía de Ejercicios MTIN01 . a. √ a) b) c) d) Para cada función definida en los reales que está representada en las gráficas indica dominio. calcula: . constante). Dada la función a) b) c) d) 7. decrece. calcula: 9. 95 . recorrido. La imagen de 2 La imagen de -5 La(s) preimagen(es) de cero La(s) preimagen(es) de -3 . b. calcula: Dada la función a) b) c) d) 8. intervalos de monotonía (crece.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 6. c. Dada la función { . Indica dominio y recorrido de las siguientes funciones definidas en los reales. En cada una de las siguientes funciones complete la definición para que sea una función que admite inversa y defina la función inversa. a) b) c) admiten inversa y justifique. a) [ b) 13. determina las siguientes funciones con c) f) 96 . Dadas las funciones gráficamente. Analice si las funciones dadas son biyectivas. a) b) ] 12. a) √ b) c) 15. a) d) √ b) e) √ c) f) 11. analice si son biyectivas. Dadas las funciones sus respectivos dominios: a) d) b) e) . Determine si las siguientes funciones afirmativo.Guía de Ejercicios MTIN01 .Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 10. defina la función inversa. En caso d) 14. identifica cada una de las funciones componentes y luego grafícala. 18. a) d) g) j) m) p) √ b) e) h) k) n) q) [ ] | [ | ] c) f) i) l) o) r) √ | √ | 20. . Dadas las funciones a) d) b) e) . calcula: 17. En las siguientes funciones. Sean .Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 16. √ y c) f) .Guía de Ejercicios MTIN01 . calcula el valor de para que la composición de ambas sea . Sea conmutativa. Identifica cada una de las siguientes funciones y luego grafícalas. calcula 19. es decir. . √ {| { a) | b) 97 . ] a) [ [ b) [ e) [ [ [ f) [ ] c) { } { } d) 11.5 f) 1 b) 32 b) b) 6 b) { } { } Creciente en ] [ ] ] [ ] Decreciente en ] [ ] [ ] Decreciente en ] [ ] [ ] ] ] c) g) c) c) c) -3 3 – 1.75 Decreciente en [ 10. 9. [ Por lo tanto a la función no es biyectiva. a) g) 2.3 -6. pero no es sobreyectiva porque todos los números reales pertenecientes al intervalo [ no son imagen de ningún valor del dominio.75 b) 2.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Soluciones: 1. El conjunto de imágenes está incluido en el conjunto de llegada. 7. 8.2 d) d) -1 c) -4 y 1. es decir. a) e) a) a) a) a) ] ] 6 1 1 -3 0. 6 5 c) d) 2 h) -2. a) Es inyectiva pues valores distintos del dominio tienen distinta imagen. a) 4 b) 3 e) 0 0 5. .0. 1 y 2 d) 0.Guía de Ejercicios MTIN01 . 0 y 4 Si es función Si es función b) Si es función e) b) e) No es función h) Si es función c) f) i) c) f) No es función No es función No es función d) Si es función d) 5 4. a) d) g) 3. 98 . 6. La función inversa se define 15. a) c) e) 16. por ejemplo .Matemática Disciplinas Básicas: Matemática b) No es inyectiva porque valores distintos del dominio tienen la misma imagen. por lo tanto. a) c) e) 17. 12. La función inversa se define b) Si se define la función g La función inversa se define c) Si se define la función inversa. por lo tanto. Si se define la función [ [ [ [ { } [/ [ { } / { } b) { } la función es biyectiva y admite inversa. por lo tanto. pero es sobreyectiva porque todos los elementos del intervalo ] son imagen de algún elemento del dominio. no es biyectiva (no es inyectiva ni sobreyectiva). admite inversa. es biyectiva. Por lo tanto la función no es biyectiva. Como todo número real es imagen de algún elemento del dominio. 18. por ejemplo y si es sobreyectiva porque para todo número real se verifica que su cuadrado es mayor o igual que cero y si se le suman tres unidades resulta El recorrido es el intervalo [ que coincide con el conjunto de llegada. a) b) c) d) 14. la función es inyectiva. a) no es biyectiva (no es inyectiva ni sobreyectiva). La función no es biyectiva. la función es sobreyectiva. no admite inversa. La función es biyectiva. √ la función es biyectiva y admite / √ la función es biyectiva y admite inversa.Guía de Ejercicios MTIN01 . es biyectiva. a) No es inyectiva porque valores distintos del dominio tienen la misma imagen. b) Dado que los valores de distintos del dominio tienen imágenes distintas. 7 ( ) { } d) ( ) f) { } [ -1 49 [ b) d) f) [ [ 99 . 13. admite inversa. no admite inversa. por lo tanto. Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 19. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 100 .Guía de Ejercicios MTIN01 . Matemática Disciplinas Básicas: Matemática m) n) o) p) q) r) 20. a) b) 101 .Guía de Ejercicios MTIN01 . Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Aprendizaje 4.2 Aplica métodos algebraicos, numéricos y gráficos en la resolución de problemas cuyos modelos correspondan a funciones afines, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas. Criterios de evaluación: 4.2.1 Identifica los tipos de funciones mediante su representación gráfica y algebraica, distinguiendo sus principales características de modelamiento. 4.2.2 Evalúa funciones para dar respuesta a un problema de modelación, analizando y comunicando sus resultados de acuerdo a la situación. 4.2.3 Representa gráficamente funciones expresadas por medio de enunciados, tablas y expresiones algebraicas indicando sus elementos característicos. 4.2.4 Realiza operaciones entre funciones para dar respuesta a un problema de modelación. Para resolver un problema, recuerda: a) b) c) d) Leer detenidamente el enunciado e identificar: datos, incógnitas y relaciones. Trazar una estrategia de resolución. Establecer hipótesis. Resolver el problema. Comunicar los resultados de manera efectiva y acorde a la situación e interlocutores. 102 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 1: La posición de un móvil que se mueve a velocidad constante, está dada por la función donde es la posición del móvil (en metros) transcurridos segundos. a. Grafica la trayectoria del móvil. b. ¿Cuál es la posición inicial del móvil? c. ¿Cuál es la posición del móvil a los 13 segundos? d. ¿En qué instante el móvil pasa por la posición 268 m? Solución: a) Identificar datos : tiempo, en segundos. : posición del móvil (en metros) transcurridos segundos. b) Establecer estrategia de resolución Dada la expresión analítica de la función , podemos afirmar que es una función afín, con lo que su representación gráfica es una recta. Para graficar una recta basta con determinra dos puntos pertenecientes a ella, por lo tanto, calculamos las imágenes de dos tiempos y distintos, pertenecientes al dominio de la función. Respecto de las preguntas b. y c., la posición del móvil se obtiene calculando la imagen, por la función , del tiempo en cuestión mientras que en la pregunta d., debemos calcular la preimagen de la posición del móvil dada. c) Resolver problema a. La forma analítica de la función indica que es una función afín, por lo tanto su representación gráfica es una recta. Al graficar una recta, es necesario conocer al menos dos puntos de ella. Para tener precisión en el gráfico de una recta, es recomendable calcular las intersecciones con los ejes cartesianos, es decir, y Para Para 103 Guía de Ejercicios MTIN01 - Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Por lo tanto, en el punto muestra a continuación. la recta intersecta al eje , y en al eje , como se b. La posición inicial del móvil es en función , es decir, . , luego hay que calcular la imagen de cero para la c. La posición del móvil en decir, . corresponde a la imagen de trece para la función , es d. La posición 268 significa que entonces hay que calcular la preimagen de 268. d) Comunicación de resultados a. Inicialmente el móvil está a 600 m del origen. b. A los 13 segundos el móvil está a 470 m del origen. c. A los 33,2 segundos el móvil está a 268 m del origen. 104 El instante en que la pelota comienza su vuelo es en que fue lanzada. la altura desde la cual la pelota fue lanzada corresponde a la intersección de la parábola con el eje .03 en la función 105 . el tiempo que tarda en llegar al suelo. para lo cual calculamos la preimagen de cero. cuya representación gráfica es una parábola. transcurrido desde que la pelota comienza su vuelo. Dada la función cuadrática . : altura que alcanza la pelota en el instante . por lo tanto. en segundos. se calcula la imagen de 1. c. en la pregunta a. Por último. b) Establecer estrategia de resolución Dada la expresión analítica de la función . De acuerdo a ella. Respecto de la altura máxima. c) Resolver Problema a. luego la coordenada Para calcular la coordenada del vértice. el vértice se calcula utilizando la siguiente fórmula. ( En la función del vértice es: . por lo tanto. podemos identificar que es una función cuadrática. ¿Desde qué altura fue lanzada? b. debemos calcular la imagen de cero.Guía de Ejercicios MTIN01 . La forma analítica de la función corresponde a una función cuadrática. la altura máxima será el vértice de la parábola. ¿En qué instante alcanza la altura máxima? Calcula la altura máxima. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? Solución a) Identificar Datos : tiempo. ésta gráficamente se alcanza en el vértice de la parábola. el que se calcula utilizando la fórmula ( ( )). su representación gráfica es una parábola. por lo tanto. ( )) y . . luego es la altura desde la b.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 2: Se arroja verticalmente hacia arriba una pelota de tenis imprimiéndole una velocidad de Si después de haber sido lanzada la función que describe la altura es: a. se visualiza en la intersección de la parábola con el eje . √ √ y . d) Comunicación de resultados no pertenece a ese intervalo. 106 . La máxima altura que alcanza la pelota es 6. para resolverla es necesario utilizar la fórmula cuadrática Para la función √ √ √ . La pelota cuando llega al suelo.82 metros y esto ocurre transcurridos 1.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática c.03 segundos luego de ser lanzada. su altura es cero. por lo tanto. por lo tanto la pelota a. b. c. . luego El dominio de la función es [ [. esto es .Guía de Ejercicios MTIN01 .29 segundos en llegar al suelo. y tarda 3. luego La ecuación anterior es de segundo grado. La pelota fue lanzada desde 5.29 segundos en llegar al suelo.4 metros. La pelota tarda 3. 2 m de la base ¿Cuál es la altura del nivel de agua? c. si queremos determinar la altura del nivel del agua.5 m de la base ¿Cuál es la velocidad de salida del líquido? b. la a. donde es la velocidad del líquido.4 m y el orificio está ubicado a 1. Si en un recipiente se mantiene un nivel constante de agua de 2. que permite calcular la velocidad de salida de un líquido no viscoso e incompresible a través de un orificio de un recipiente. Si en un recipiente se mantiene un nivel constante de agua de 2. que se mantiene un nivel constante de agua. la aceleración de gravedad y √ diferencia de altura entre el nivel del líquido y el orificio (ver figura). : velocidad de salida del líquido. que se mantiene un nivel constante de agua de 10. : diferencia de altura entre nivel del líquido y orificio. es necesario calcular la imagen. b) Establecer estrategia de resolución Para conocer la velocidad de salida del líquido. primero calculamos la preimagen de la velocidad de salida del líquido y esta diferencia la sumamos con altura del orifico. también calculamos la preimagen de la velocidad de salida del líquido. se requiere que la velocidad de salida del líquido sea ¿A qué altura debe realizarse el orificio? Solución a) Identificar datos es una constante. se describe mediante la función .Guía de Ejercicios MTIN01 .3 m.5 m de la base. analizando si el valor obtenido pertenece al dominio de la función. la diferencia de altura se calcula: 107 . c) Resolver problema a. por la función de la diferencia entre la altura del nivel del agua y la del orificio.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 3: La ley de Torricelli. pero ahora a este número le restamos el nivel del agua. la velocidad de salida del líquido es y el orificio está ubicado a 1. En la pregunta b.4 m y el orificio está ubicado a 1. En la pregunta c. Si en un recipiente. Si en un recipiente. No es posible realizar un orificio a un recipiente con las condiciones que se especifican. d) Comunicación de resultados a. Si la velocidad de salida del líquido es √ . entonces Reemplazando en la ecuación anterior se tiene que Como corresponde a una altura. no es posible realizar un orificio a un recipiente con las condiciones anteriores.3 metros de la base y que es la diferencia de altura entre el nivel del líquido y el orificio. luego Llamemos a la altura del nivel de agua.Guía de Ejercicios MTIN01 . por lo tanto. Considerando que el orificio está a una altura de 1. c. luego Llamemos a la altura del nivel de agua.2 metros de la base y que es la diferencia de altura entre el nivel del líquido y el orificio. éste número siempre debe ser mayor o igual a cero. Si la velocidad de salida del líquido es √ . es la velocidad de salida del líquido. b.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Luego. √ b. La altura del nivel del agua es . entonces . entonces Reemplazando en la ecuación anterior se tiene que c. entonces . La velocidad de salida del líquido es . Considerando que el nivel de agua está a una altura de 10. 108 . ¿Cuál es la magnitud de un terremoto que libera kilowatts-hora? Solución: a) Identificar datos : magnitud del terremoto en escala de Richter. que es aquella zona del interior de la tierra donde se inicia la fractura o ruptura de las rocas. significa que calcular la preimagen de 7 en la función .Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 4: Mediante la escala de Ritcher se puede conocer la energía liberada en el hipocentro o foco. : energía del terremoto en kilowatts-hora. Calcular la energía que libera un terremoto de magnitud siete. la que se propaga mediante ondas sísmicas. significa calcular la preimagen de la magnitud por la función . es decir b. ¿Cuánta energía libera un terremoto de magnitud 7? b. A través de ella a. 109 . La magnitud de un terremoto en la escala de Richter es Donde E es la energía del terremoto en kilowatts-hora. es decir kilowatts-hora. b) Resolver problema a. Calcular la magnitud de un terremoto que libera la imagen de en la función .Guía de Ejercicios MTIN01 . mientras que para calcular la magnitud de un terremoto dada la energía que libera. basta con determinar la preimagen de dicha energía en kilowarrshora. significa calcular c) Establecer estrategia de resolución Calcular la energía que libera un terremoto dada su magnitud. .Inicialmente hay 200 g de sustancia radiactiva. c) Resolver problema Para calcular los gramos de sustancia radiactiva que quedarán transcurridos 135 años es necesario determinar la función . b. es decir. libera kilowattshora. es decir calcular las constantes y Se sabe que inicialmente hay 200 g de sustancia radiactiva. Un terremoto que libera kilowatts-hora de energía en el hipocentro. Un terremoto de magnitud 7. tiene una magnitud de 5. con los puntos y planteamos ecuaciones y conocemos los valores de las constantes en cuestión. . Ejercicio resuelto 5: La vida media de una sustancia radiactiva corresponde al tiempo requerido para que determinada cantidad de material se reduzca a la mitad. en la escala de Ritcher. Se ha observado que este proceso radiactivo tiene un comportamiento exponencial decreciente de la forma . : cantidad de sustancia radiactiva en el instante . remplazando en la función se tiene 110 . es decir calcular las constantes y Para ello. : tiempo en años. donde es la cantidad de sustancia radiactiva en el instante Si de 200 g de cierta sustancia radiactiva quedan 50 g al cabo de 100 años ¿Cuántos gramos de sustancia radiactiva quedarán transcurridos 135 años? Solución: a) Identificar datos son constantes. es decir. es decir Por lo tanto.3 en la escala de Ritcher. b) Establecer estrategia de resolución: Para calcular los gramos de sustancia radiactiva que quedarán transcurridos 135 años es necesario primero determinar la función .Transcurridos 100 años hay 50 g de sustancia radiactiva.Guía de Ejercicios MTIN01 . Finalmente calculamos la imagen de 135 por la función .Matemática Disciplinas Básicas: Matemática d) Comunicación de resultados a. aplicando logaritmo natural a ambos miembros de la igualdad se tiene ( ) ( ( ) ) Luego la función es Finalmente si .77 g de sustancia radiactiva.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Además . luego Aplicando logaritmo natural a ambos miembros de la igualdad obtenemos Por lo tanto. d) Comunicación de resultados Luego de 135 años quedará 30. 111 .Guía de Ejercicios MTIN01 . ( ) Sea . Luego construimos una tabla de registro y graficamos. llamaremos a los m³ de consumo de agua mensualmente (variable independiente) y al costo por 3 consumo mensual de m de agua (variable dependiente). (Variable independiente). b) Establece estrategia de resolución Primero identificamos las variables dependiente e independiente. En este caso. c) Resolver problema Para obtener los cobros por cantidad de consumo. alcantarillado y tratamiento aguas servidas. (Variable dependiente). ¿Cuál es la función que modela la tarifa mensual del agua potable? ii. ¿Esta función es predictiva en el cobro por consumo de agua potable? Solución: a) Identificar datos Se comienza definiendo las variables a trabajar.Guía de Ejercicios MTIN01 . identificamos el tipo de función y calculamos sus parámetros.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 6: La cuenta mensual del agua potable en período normal (sin sobre consumo) dice:   Cargo fijo : $ 472 Valor m³ : $ 353 El Valor por cada m³ incluye: agua potable. A partir del gráfico. i. y : costo por consumo mensual de m3 de agua. se realiza una tabla de registro. en este caso: x : m³ de consumo de agua mensualmente. con diferentes parámetros de consumo: Con estos valores se realiza un registro gráfico. para determinar el gráfico asociado al cobro: 112 . los cuales representan un punto en el plano cartesiano cada dato. 45 m3: d) Comunicación de resultados i) Así se verifica que la función modelada tenga consistencia con los valores de referencia del problema. es utilizando la ecuación de la recta dado dos puntos.Guía de Ejercicios MTIN01 . es recomendable verificar si esta ecuación arroja parámetros coherentes con los datos dados en un comienzo. De esta forma: P1 = ( 0 .Matemática Disciplinas Básicas: Matemática x 0 1 2 3 10 30 45 73 y Como el cobro del agua potable sigue un modelo a fin. en este caso se tomarán en cuenta los dos primeros datos de la tabla de registro. es decir: Se sabe que con 0 m3 sólo cobrarán el cargo fijo. debe ser de $ 472. 825 ). 472 ) y P2 = ( 1 . una manera de obtener la función que modela el cobro. al verificar: Reemplazando otro consumo. Reemplazando estos puntos en la fórmula de la ecuación de la recta dado dos puntos: De esta forma. la imagen que arroje esta función para la pre imagen 0. Por lo tanto la función que modela el cobro del agua potable es: 113 . para esto se puede acudir al registro de tabla o al registro gráfico. si se reemplaza en la función modela. se obtiene la función que modela el cobro del agua potable mensualmente. Luego construimos una tabla de registro y graficamos. dentro de la región donde se realice la llamada. x ]0 – 180] ]180 – 360] f(x) 114 .Guía de Ejercicios MTIN01 . Cuando se modela una función el principal objetivo es poder saber que sucederá con diferentes valores. ya que las funciones lineales pasan por el origen. Con respecto a si esta función es predictiva con respecto al cobro del agua potable mensualmente y sin sobreconsumo. por ende es a fin. en este caso no cumple con esa condición. es decir puede permitir saber si existe algún error en la cuenta. ya que se cobra $100 por minuto o fracción (variable independiente) y al costo total de la llamada según los segundos utilizados (variable dependiente).Matemática Disciplinas Básicas: Matemática ii) Es importante mencionar que la función que modela este cobro es una función a fin y no lineal. c) Resolver problema Para obtener los cobros por cantidad de segundos utilizados. Ejercicio resuelto 7: Una compañía de teléfonos públicos. En este caso. 70 m3 . se puede saber cuánto será el costo sólo basta con reemplazar este valor en la función modelada. Ambos puntos son importantes ya que el primero hace referencia a que el modelamiento es predictivo y el segundo punto tiene como utilidad la verificación. ¿Cuál es la función que modela el cobro por llamada de esta compañía? Solución: a) Identificar datos Cobro: $ 100 por cada 3 minutos o fracción b) Establecer estrategia de resolución Primero identificamos las variables dependiente e independiente. identificamos el tipo de función y calculamos sus parámetros. se realiza una tabla de registro. si una persona proyecta gastar 30 m3 . tiene un valor de $100 por cada 3 minutos o fracción a números de red fija. es decir . llamaremos a los segundos que dura la llamada. A partir del gráfico. 21 m3 o cualquier valor que se refiera al consumo de agua. Además se puede determinar la cantidad de m3 consumidos dado el valor de cobranza. de esta forma la función que modela el cobro por las llamadas es: x ]0 – 180] ]180 – 360] ]360 – 540] ]540 – 720] ]720 – 900] [ [ [ [ [ y ] ] ] ] ] 115 .Matemática Disciplinas Básicas: Matemática ]360 – 540] ]540 – 720] ]720 – 900] ]900 – 1080] Con estos valores se realiza el gráfico asociado al cobro Al tener el registro gráfico de los datos. se identifica una función parte entera.Guía de Ejercicios MTIN01 . a. Luego escribimos el largo del rectángulo en términos de y finalmente la expresión algebraica correspondiente perímetro. b.000 m2 Uno de los lados del terreno está cubierto por cerros. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno si el perímetro es 348 m? Solución a) Identificar datos El terreno tiene forma rectangular. llamaremos a la medida en metros del ancho del rectángulo (variable independiente) y al perímetro del terreno (variable dependiente). En este caso. c) Resolver problema a. La superficie del terreno mide 5. entonces la ecuación correspondiente al área es 116 Fig. b) Establecer estrategia de resolución Primero identificamos las variables dependiente e independiente. 1 Fig.Guía de Ejercicios MTIN01 . debemos calcular la preimagen del perímetro. Sea la medida en metros del ancho del rectángulo e la medida en metros del largo del rectángulo como se muestra en la figura 1. Escribe una función que permita calcular el perímetro del terreno dada la medida de uno de sus lados. Entonces conocida la función para determinar las dimensiones del terreno dado su perímetro. Se sabe que el terreno debe tener un área de 5000 m2.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática ]900 – 1080] [ ] d) Comunicación de resultados De esta manera la función que modela el cobro por llamada realizada es: [ ] Ejercicio resuelto 8: Se debe cercar un terreno rectangular de 5000 m2 en el cual uno de sus lados ya está cubierto por una cadena de cerros. 2 . en cada caso. es necesario identificar los parámetros En este caso fórmula cuadrática √ √ y . al despejar se obtiene Con el resultado de la ecuación anterior. estos números se reemplazan en la √ √ Finalmente se reemplaza largo del rectángulo. . Por lo tanto. Si el perímetro es 348 m. el perímetro en función de b. si es es el perímetro de la superficie rectangular. . significa calcular la preimagen de 348 en la función P Para resolver esta ecuación cuadrática.Guía de Ejercicios MTIN01 . √ y . Luego.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Por lo tanto. la medida del 117 . como se muestra en la figura 2. y en para calcular. se escribe el largo y ancho del rectángulo utilizando una sola variable. a) El número de bacterias en cierto cultivo en el tiempo (en horas) está dado por . b.Guía de Ejercicios MTIN01 . con donde representa el año 2003. está dado por la función . Resuelve los siguientes problemas.8 m de ancho y 316. Calcula el precio y el número de unidades que se deben fabricar para que la oferta y la demanda coincidan. Si el perímetro es 348. Calcula el número de bacterias después de 10 minutos. ¿Cuántos es el ingreso por la venta de 950 unidades? 118 . las dimensiones del terreno pueden ser 158. ¿Cuántos hogares tenían televisión digital el año 2005? d) La economía de una empresa de construcción de barcos se rige por las siguientes funciones de oferta y demanda: Donde es el precio por unidad en euros.61 m de largo o 15. son las unidades fabricadas y son las unidades que pide el mercado. e) El ingreso mensual en miles de pesos por la venta de unidades de cierto artículo está dado por la función – . ¿Cuántas bacterias hay inicialmente? ii. donde se mide en miles. b) La relación entre el número de decibles y la intensidad del sonido en watts por metro cuadrado está dada por la función ( ) ¿Cuál es el número de decibeles de un sonido cuya intensidad es 1 watts por metro cuadrado? c) Una aproximación del número de hogares (en millones) con televisión digital. 30 minutos y 1 hora.46 m de largo. i. Ejercicios propuestos: Genéricos.2 m de ancho y 31.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Para Para d) Comunicación de resultados a. i. 1. de 2003 a 2007. El perímetro del terreno en función de la medida de su ancho es . Exprese el costo de fabricación como función del número de horas de ensamble. ii. iii. iii. ¿Cuántas unidades se deben vender para tener un ingreso de quince millones de pesos? ¿Cuál es el máximo ingreso que se puede obtener? f) El gráfico muestra el costo en pesos de producir cuadernos tapa dura. ¿Cuál es el costo de producir 358 cuadernos? ¿Cuántos cuadernos se pueden producir con $ 450. el pez róbalo se alimenta del pez pequeño gobio. ¿Cuál es el costo de las primeras dos horas de operación? iii.560? g) La imagen muestra la tarifa de un estacionamiento. y el gobio se alimenta de plankton. i. Si la altura máxima alcanzada por el proyectil es de 120 metros y su alcance horizontal es de 1000 metros ¿Cuál es la distancia horizontal del punto de disparo cuando el proyectil alcanza por primera vez una altura de 80 metros? i) Después de t horas de operación. siendo Sea C el costo de fabricación de esas unidades (en dólares) dado por i. Supongamos que el tamaño de la población del róbalo es una función j) 119 . Exprese el costo en función del número de cuadernos. ii. donde . Exprese el costo en función de los minutos estacionados y grafique dicha función.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática ii. una empresa ha ensamblado una cantidad de segadoras de pasto de motor. Si el costo de fabricación es dos mil quinientos dólares ¿cuántas horas le demanda esa operación? En un cierto lago.Guía de Ejercicios MTIN01 . h) La trayectoria de un proyectil corresponde a una función cuadrática. Exprese el tamaño de la población del róbalo como una función de la cantidad de plankton. Si el área A del charco está dado por la función . Exprese el área del charco en función del tiempo. de gobios presentes en el lago. 120 . y el número de gobios es una función de plankton en el lago. k) Un charco circular de agua se está evaporando y disminuye lentamente su tamaño. Después de minutos. i. ¿Cuál es área inicial del charco? ii.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática del número de la cantidad i. Si √ y Si en el lago se estima que hay 7549 peces gobios ¿cuántos plankton y róbalos hay? ii.Guía de Ejercicios MTIN01 . el radio del charco mide pulgadas. ii. $36. 40. √ 6.32 metros.000 d) La oferta y la demanda coinciden cuando se fabrican 5 000 barcos a 2 000 euros cada uno. ii. $ 23. f) i. 4502 cuadernos h) 211. ii.750. a los 30 minutos 3464 bacterias y a la hora hay 6000 bacterias.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Soluciones: 1.528.040 dólares iii.879 hogares tenían televisión digital el año 2005. b) 20 decibles c) e) i. i) i. A los 10 minutos hay 2402 bacterias.000. k) i. j) i. g) $ 36.150 [ ] iii.06 pulgadas ii.000 ii. 5. ( ) 57 peces róbalos y 1887 peces plankton ii. 2000 bacterias.Guía de Ejercicios MTIN01 .3 horas 121 . 55. 142 o 1058 unidades iii. a) i. para que la función tenga sentido dentro del contexto? 3.3 litros de gasolina un determinado modelo de automóvil. el cual tiene una fuga en donde la velocidad de salida del agua es de ¿A qué altura se encuentra el orificio? b) ¿Qué restricción se debe realizar en el dominio. en donde “x” representa el número de piezas a pintar está dada por la función: a) ¿Cuánto es el costo de pintar las dos puertas delanteras de un automóvil? b) ¿Cuántas pizas se pintaron. estima que el costo por pintar una pieza de un vehículo.500? 2. la aceleración de √ gravedad y la diferencia de altura entre el nivel del líquido y el orificio (ver figura) a) Si el recipiente que contiene el agua destilada de un vehículo se mantiene un nivel constante de agua de 1. si el costo fue de $40. viene dado por la función: a) ¿Cuál será la cantidad de kilómetros que puede recorrer el vehículo con una rapidez de 15 km/h? b) ¿Cuál es la rapidez del automóvil. La ley de Torricelli. se describe mediante la función . que permite calcular la velocidad de salida de un líquido no viscoso e incompresible a través de un orificio de un recipiente. Una empresa que se dedica a la pintura de automóviles. con una rapidez de “v” kilómetros por hora. si recorrió 40 km? 122 .Guía de Ejercicios MTIN01 .Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicios propuestos para la unidad Mecánica 1.1 m. El número de kilómetros que puede recorrer con 4. donde es la velocidad del líquido. Desde entonces. ¿Cuál es el valor de k? b) Utilizando el valor de k obtenido anteriormente. ¿Cuál es el riego de tener un accidente si la concentración de alcohol es de un 0. La función que modela la temperatura es : 123 .77 b) El riesgo es de un 52. Es posible Medir la concentración de alcohol en la sangre de una persona. a) k = 12.6 °C en 1970 ¿Cuál es la expresión que modela la temperatura(T) en función del tiempo(t)? (considerar que t = 0 corresponde al año 1880 y ) Soluciones: 1. ha subido a un ritmo casí constante.22 5. a) La altura del orificio se encuentra a 1 mt. “g” no influye.5 kilómetros b) 40 o 50 kms/hrs 4. ya que corresponde a una altura.8 °C.6% c) Una concentración del 0. ya que es una constante.17? c) ¿Cuál es la concentración de alcohol en la sangre de una persona. a) El costo por dos piezas es de $21.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 4. llegando a 13. En 1880 el promedio de la temperatura del suelo fue 11. 3. a) 22. para que tenga un riesgo de un 100%? (utilizando el valor de k del ejercicio a) 5.900 b) 5 piezas. Investigaciones sugieren que el riesgo “r” (dado como porcentaje) de tener un accidente automovilístico viene dado por la función: Donde x es la concentración variable de alcohol en la sangre y k una constante. b) La restricción que debe haber es que la variable “h” sea mayor o igual que cero.Guía de Ejercicios MTIN01 . además se encuentra dentro del radical de una raíz. a) Suponga que con una concentración del 0. 2.04 de alcohol en la sangre y un riesgo del 10% de sufrir un accidente. k : constante a) ¿Cuál es el valor de la constante si una cuerda en particular tiene 864 vibraciones por segundo. según la cantidad de metros cuadrados realizados ( x ). ¿Cuáles deben ser las medidas de la canaleta (altura y base) para que transporte la mayor cantidad de agua posible? 4. se requiere obtener una canaleta de sección transversal rectangular. Para evacuar las aguas de las casas en las techumbres se utilizan canaleta. cuando la cuerda esté sometida a 6 kg. Según la ley de enfriamiento de Newton. Si la temperatura del objeto desciende a 250°F en una hora.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Construcción 1. Con una plancha de lata de 30 cms.000? 2. ¿Cuál será su temperatura tres horas después de que se sacó del horno? 3. El número de vibraciones de una cuerda es directamente proprcional a la raíz cudrada de la tensión de la cuerda.Guía de Ejercicios MTIN01 . V: es la cantidad de vibraciones por seg . y son constantes. para esto la plancha debe ser doblada. utilizando la siguiente función: a) ¿Cuánto obtiene un trabajador que pegó 350 mts2 de cerámicos durante un mes? b) ¿Cuántos metros cuadrados tiene que pegar un trabajador para obtener $722. sometida a 24 kg? b) Expresar el número de vibraciones de esta cuerda en términos de la tensión T c) Determinar el número de vibraciones por segundo. la temperatura (en del objeto en el instante (en horas) esta dada por la función donde . si un objeto que se encuentra inicialmente a una temperatura se coloca en una habitación a una temperatura . Un objeto se saca del horno a 350°F y se deja enfriar en una habitación que está a 70°F. Cuyo modelo se expresa a continuación: √ En donde: t : es la tensión de la cuerda en kg . Una empresa que se dedica al trabajo con cerámicos. 124 . como lo indica la figura. que evacue la mayor cantidad de agua posible. paga a sus trabajadores en forma mensual. La temperatura después de tres horas será de 144. De una pieza rectangular de lata que mide 44 cm de largo y 19 cm de ancho se va a construir una caja sin tapa. Exprese el volumen de esta caja como función de x. Para evacuar la mayor cantidad de agua la canaleta debe tener 7.5 cms de altura y 15 cms de base. Se cortarán 4 cuadrados de x cm de lado.4°F 3.Guía de Ejercicios MTIN01 .Matemática Disciplinas Básicas: Matemática 5.000 b) Tiene que pegar 560 mts2 2. como se muestra en la figura. a) b) c) 5. 4. a) Por pegar 350 mts2 de ceramica gana $470. Soluciones: 1. y luego se doblará sobre las líneas punteadas para formar la caja. √ √ v/seg 125 . 3. donde es la cantidad de sustancia radiactiva en el instante .000 habitantes? c. Mediante la escala de Ritcher se puede conocer la energía liberada en el hipocentro o foco.548. La magnitud M de un terremoto en la escala de Richter es: Donde E es la energía del terremoto en kilowatts-hora.000 habitantes ¿Cuantó es el nivel de contaminación por monóxido de carbono de esa ciudad? b. Si una ciudad tiene una población de 9. a. ¿Cuál es la concentración de amoniáco a los 93 minutos? c. Su vida media es 5730 años. que es aquella zona del interior de la tierra donde se inicia la fractura o ruptura de las rocas.5 ppm? 4.Guía de Ejercicios MTIN01 . ¿Cuál es la concetración inicial de amoniáco en la superficie de tungsteno? b. A través de ella ¿Cuánta energía libera un terremoto de magnitud 9? 5. La contaminación por monóxido de carbono en ciertas zonas del planeta está dada por la función y √ donde corresponde a la población en miles de habitantes al monóxido de carbono en ppm. es radiactivo y su decrecimiento exponecial se modela mediante la función . tarda 5730 años que una cantidad determinada de carbono 14 decaiga a la mitad. Considerando la función de contaminación por monóxido de carbono del ejercicio anterior ¿En cuánto tiempo el nivel de monóxido de carbono de esa ciudad llegará a 5. Estudios demográficos han estimado que dentro de años la población de una ciudad. a. a. la que se propaga mediante ondas sísmicas.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Procesos Industriales 1. en miles de habitantes será . El carbono 14. es decir. ¿Cuánto tiempo tarda en descomponerse totalmente el amoníaco? 2. ¿En cuánto tiempo la población de la ciudad será 14. La concentración de amoniáco sobre superficies de tungsteno luego de minutos esta dada por la función . Si originalmente estaban presentes 10 gramos ¿Cuánto quedará después de 2000 años? 126 . Si la población de una ciudad emite 6 ppm de monóxido de carbono ¿Cuántos habitantes tiene la ciudad? 3. un isótopo del carbono. ¿Cuántos habitantes tenía inicialmente la ciudad? b.890. 00469 c) 119.Guía de Ejercicios MTIN01 .85 grs.76 minutos tarda en descomponerse totalmente el amoníaco. a) La concetración inicial de amoniáco es de 0. 127 . 2. a) Inicialmente teniá 700 habitantes b) En 2.54 ppm b) La cantidad de habitantes es de 3200 personas. La energia liberada es de 5. a) El nivel de contaminación por monóxido de carbono de la ciudad es de 218.050 habitantes.02 b) La concetración de amoniáco a los 93 minutos es de 0.Matemática Disciplinas Básicas: Matemática Soluciones: 1. 3. Despues de 2000 años quedará 7. 4.8 años c) Cuando la población tenga 2.227.
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