Ensayos de consolidación(2) •Análisis de las curvas asiento-tiempo •Células con medida de presión (Célula Rowe) •Ensayos con carga continua •Resumen Análisis de las curvas asiento tiempo • Método de Casagrande • Método de Taylor • Método de Asaoka • Método de la Hipérbola • ……. • ……. • Método de la inversión generalizada Método de Casagrande Si T<0.2 4 f T δ δ π = Si t 2 =4 t 1 δ 2 = 2 δ 1 δ 2 - δ 1 = δ 1 = ∆L t 1 t 2 =4 t 1 0 100 T 50 = 0.196 = c v t 50 /H 2 Método de Taylor T 90 = 0.848 = c v t 90 /H 2 Valor exacto: 0.2: 4 ( ) 1.13 f T T U T T δ δ π < = = = 90 90 0.9 0.848 0.921 Si U T T = ⇒ = = 0.9 0.9 0.798 2 1.13 Si U U T π ∗ = ⇒ = = = 90 * 90 * 1.155 T T T T = → ¿Qué pasa con c v altos? Lectura inicial ARCILLA LIMOSA ¿Qué pasa con c v altos? ¿Qué pasa con c v altos? Método de Asaoka δ δδ δ(t) 2 2 4 0 v t H c e π β ∆ − = δ δδ δ i δ δδ δ i-1 β ββ β 0 δ 100 δ δδ δ i δ δδ δ i-1 β ββ β 0 Método de Asaoka La aproximación: 2 2 4 2 8 ( ) 1 v c t H t e π δ δ π − ∞ ( = − ( ( ¸ ¸ 2 1 1 2 4 ( ) ; v H t a a t c δ δ δ π ∞ ∂ + = = ∂ Es solución de : Que puede expresarse como: 1 0 1 0 0 ( ) ( ) ; ; (1 ) t a i i t t b e b δ β δ β δ β ∆ − − ∞ = + = = − 1 0 1 ( ( ), ( )) i i v t t a c δ δ β − → → → Método de la hipérbola t/δ t a 1.35a t 90 a 1.35 a 2 a 12 a U=0.9 U=0.6 U=0.1 b T T/U U 60 95 ∆ ∆∆ ∆(T/U) ∆ ∆∆ ∆T Pendiente a = 8.24 10 -3 0.0077 0.286 0.848 T c v =T 10 H 2 / t 10 12.14 a 0.1 c v =T 60 H 2 / t 60 2.02 a 0.6 c v =T 90 H 2 / t 90 1.35 a 0.9 Obtención c v Pendiente secante (T/U) / T o (t/δ) / t U Inverse problem: saturated consolidation test Measurements -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 1 10 100 1000 10000 100000 Time (s) V e r t i c a l d i s p l a c e m e n t ( c m ) … … δ i t i … … δ 2 t 2 δ 1 t 1 δ(t) t(s) x* ∆σ δ(t) Parameters: c v , E m , C α αα α ? Introduction: Saturated consolidation test ∆σ δ(t) Model parameters 0 , 90 2 ( , , ) 2 log( / ) M v m H U t c H HC t t E α σ δ δ ∆ = + + 2 2 2 (2 1) / (4 ) , 2 2 0 8 1 ( , , ) 1 (2 1) v m m c t H v m U t c H e m π π =∞ − + = = − + ∑ 2 90 0.848 v H t c = δ Μ (t i ) = M(δ 0 , E m , c v , C α , t i ) = M i (p) Model δ δδ δ Μ ΜΜ Μ = M (p) ∆σ δ(t) ∆σ δ(t) Parameter estimation (p) δ δδ δ Μ ΜΜ Μ = M (p) δ δδ δ = x* Least squares→minimization of objective function: J = (x* -M(p)) t (x* -M(p)) Introduction: Saturated consolidation test [ ] 0 _ . 2 1 , , , ( ( , ) ) n me i v i m as i J M t E c t C α δ δ = = − ∑ ∆σ δ(t) p ? Saturated consolidation test δ(t) Parameter estimation (p) * * * Saturated consolidation test δ(t) Parameter estimation (p) * * * Saturated consolidation test δ(t) Parameter estimation (p) * * * Saturated consolidation test δ(t) Parameter estimation (p) * * Saturated consolidation test δ(t) Parameter estimation (p) * * Saturated consolidation test δ(t) Parameter estimation (p) * * -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 1 10 100 1000 10000 100000 Time (s) V e r t i c a l d i s p l a c e m e n t ( c m ) Saturated consolidation test x* δ δδ δ = M (p) Methodology for backanalysis MEASUREMENTS INVERSE ANALYSIS PARAMETERS - MODEL DESIGN AND/OR SELECTION - ADOPTION OF AN OBJECTIVE FUNCTION - OPTIMIZATION OF SELECTED FUNCTION Adoption of an objective function : Maximum likelihood formulation x Model p Test x* maximum likelihood approach: We find the set of parameters (p) that maximize the probability of obtaining the observations (x*): ( * ) L f = / x p Methodology for backanalysis: Maximum likelihood formulation ( ) ( ) ( ) 1 ' 1 1 ( ) exp * * 2 (2 ) t m L π − ¦ ¹ = − − − ´ ` ¹ ) x x x x x C x x C If the errors of the measurements are Gaussian: m’ : number of measurements ; n’ : number of parameters C x is the measurements’ covariance matrix, (magnitude of measurement errors) 2 1 1 2 1 m m m σ σ σ σ | | | = | | \ ¹ x C … ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ Methodology for backanalysis: Maximum likelihood formulation Maximizing the likelihood is equivalent to minimize J: 1 ( * ( )) ( * ( )) ln ln 2 ln 2 2ln t x x J x M p C x M p C n m k π π − = − − + + + + − If all measurements have independent error : 1 ( * ( )) ( * ( )) t x J x M p C x M p − = − − [ ] _ . 0 2 2 1 1 ( ( , ) , ) , , n me m a i v s i i i E c J M t t C α δ δ σ = = − ∑ 2 1 1 2 1/ 1/ 0 0 m σ σ − | | | = | | \ ¹ x C ⋱ If a measurement ι has errors, σ 2 ι is high, 1/σ i 2 is low and its contribution to J is small Methodology for backanalysis: Maximum likelihood formulation If all measurements have independent error with the same variance, σ x 2 : C x = σ 2 x I ( * ( )) ( * ( )) t J x M p x M p = − − Least squares! Método de inversión generalizada Método de inversión generalizada Método de inversión generalizada Ensayo tradicional: Ventajas e inconvenientes Ventajas: • Muy utilizado, normalizado • Fácil • Repetitivo (si escalones no muy diferentes en tiempo) • Fácil preparación • Poco trabajo (varios al mismo tiempo) • Versátil Inconvenientes: • Muestras pequeñas (alteración) • No se mide la presión de poros (primaria-secundaria?) • Cargas pequeñas • MUY LENTO Predice velocidades de asiento más LENTAS que las reales: • Suelo no saturado • Drenaje horizontal • Predicción de cv bajos en suelos con cv alto • Fisuras, no homogeneidad, etc. Célula Rowe ∆ ∆∆ ∆V w ∆ ∆∆ ∆u w ∆δ ∆δ ∆δ ∆δ Características: Compacta Buen control de las cargas Posibilidad de deformación controlada Control del drenaje Posibilidad de drenaje radial Medida de presión de poros Medida de volumen de agua Presión de cola Control del parámetro B de Skempton Muestras grandes: Menor alteración Más representativas Ensayos con flujo horizontal Mejor estimación de c v Grado de consolidación: •Asiento en centro muestra •Variación de volumen Célula Rowe usual parecido a convencional Mismas curvas para carga rígida o flexible u w (Z=0, T) T(u w /u w0 =0.5) = 0.379 Célula Rowe Flexible: Rígida: Célula Rowe: Ensayos de permeabilidad Q/A = k ∇h Célula Rowe: Ensayos de permeabilidad Ensayos con carga variable Tipos: • Convencional (carga por escalones hasta u=0) • Velocidad de carga constante (C.R.L.) ∆σ/∆t=cte • Velocidad de asiento constante (C.R.S.) ∆δ/∆t=cte • Gradiente controlado (C.G.) (u 0 =cte) • Con flujo restringido (R.F.C.) • …. Ensayos con carga variable Velocidad de carga constante CRL Aboshi, H., Yoshikuni, H. And Maruyama, S. “Constant Loading Rate Consolidation test”. Soils and foundations, Vol. 10, No 1, p.43-56, 1971. Velocidad de carga constante CRL Equipo necesario Velocidad de carga constante CRL Condicionantes: El ensayo no puede ser muy lento si se pretende encontrar c v (u→0) El ensayo no puede ser muy rápido para que la presión efectiva no sea muy diferente a lo largo de la altura de la muestra ∆σ/∆t entre 10 kPa/h y 1MPa/h según el valor de c v y = 0.365x 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0 0.02 0.04 0.06 0.08 velocidad de carga (MPa/hora) u b e s t a c i o n a r i a ( M P a ) El efecto de la consolidación secundaria varia con la velocidad de carga Velocidad de carga constante CRL Nombre ensayo Duración (horas) Velocidad de carga (MPa/ hora) CRL-1 20 0.07 CRL-2 8 0.025 CRL-3 48 0.025 0 2 4 6 8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ≅' (MPa) C o e f i c i e n t e d e c o n s o l i d a c i ó n c v ( 1 0 - 3 c m 2 / s ) CRL-1 CRL-2 CRL-3 Pc' (0.05MPa) Velocidad de deformación constante CRS Wissa, A. E. Z., Christian, J. T., Davis, E. H. And Heiberg, S. Consolidation at constant rate of strain. Journal of the soil mechanics and foundations division, SM 10, 8447, October, 1971. 2 v t 2 b H c u σ ∆ = ∆ Si t es grande, u b tiende a r E m H 2 /(2 c v ) y : Velocidad de deformación constante CRS: Equipo Velocidad de deformación constante CRS: Condicionantes 0.0004 100-120 0.001 80 - 100 0.004 60 - 80 0.01 40 - 60 0.04 0 - 40 Velocidad (% por minuto) Límite Líquido u b debe ser del orden del 3% al 20% de la tensión efectiva máxima aplicada Velocidad de deformación constante CRS: Comparación con ensayos clásicos Gradiente Controlado C.G. Lowe, J., III, F., Jonas, E. And Obrician, O. “Controlled Gradient Consolidation test”. Journal of the Soil mechanics and foundations division, No. SM 1, paper. 6327, January, 1969. Gradiente Controlado C.G.: Equipo Gradiente Controlado C.G.: Resultados Flujo restringido, R.F.C. Imai, G. “Development of a new consolidation test procedure using seepage force”. Soils and Foundations, Vol 19, Nº3, September, 1979. pp 45-60. Flujo restringido, R.F.C. : Equipo Flujo restringido, R.F.C.: Resultados Resumen y conclusiones Método convencional: •Aparato simple •Automatización no necesaria •Método de ensayo simple y bien conocido •Determinación directa de parámetros •Separación entre consolidación primaria y secundaria •Lentos (2 a 3 semanas) •Puntos separados (difícil obtener p’c) Métodos de carga continua •Rápidos (horas o muy pocos días) •Gráficos continuos •Grandes cargas verticales •Equipo más complejo (automatización necesaria en muchos casos) •La velocidad de carga afecta a los resultados •Ensayos poco normalizados •Difícil separar consolidación primaria y secundaria