Guía Axiomatica y Combinatoria

1Introducci´ on Problema 1.1. Demostrar que PpAΔBq “ PpAq ` PpBq ´ 2PpA X Bq. Problema 1.2. Sean A1 , . . . , An eventos de Ω tales que PpAi q “ 1, @i P t1, . . . , nu. Pruebe que ˜ ¸ n č P Ai “ 1. i“1 Problema 1.3. Sean E1 , . . . , En sucesos. 1. Demuestre la siguiente desigualdad: ˜ ¸ n n ď ÿ Ei ď PpEi q. P i“1 2. Demuestre que: P ˜ n ď i“1 Ei i“1 ¸ `P ˜ n č i“1 Eic ¸ “ 1. 3. Muestre que si PpEi q “ 0 para todo i “ 1, . . . , n, entonces ˜ ¸ n ď P Ei “ 0. i“1 Problema 1.4. Suponga que PpAq “ 1{2 y PpBq “ 2{3. Muestre que 1{6 ď PpA X Bq ď 1{2. Encuentre un ejemplo donde los valores extremos 1{6 y 1{2. Problema 1.5. Demuestre que |PpAq ´ PpBq| ď PpAΔBq. Problema 1.6. Demuestre que PpAΔCq ď PpAΔBq ` PpBΔCq. Problema 1.7. Sean A1 , A2 , A3 sucesos tales que A1 Y A2 Y A3 “ Ω y A1 X A2 “ A1 X A3 “ A2 X A3 . Sabiendo que PpA1 q “ 1{2, PpA2 q “ 1{4 y PpA X B X Cq “ 1{8, encuentre PpA3 q. 2 2. Se lanzan cuatro dados perfectos. La probabilidad de que exactamente dos de ellos queden contiguos. 3. Si la restricci´on es programada de manera aleatoria. Calcule: 1. La probabilidad de que los tres queden contiguos. Problema 2. tiene 2 veh´ıculos con d´ıgitos distintos. calcule la probabilidad de que todos los d´ıas quede un veh´ıculo con restricci´on. Calcule la probabilidad de que al menos un color no salga. Una urna contiene 30 bolas rojas.1 Combinatoria Problema 2. 30 blancas y 30 azules.2 Probabilidades Discretas 2. c) 2 n´ umeros iguales y los otros dos distintos (con la pareja y entre s´ı).2. 2.4. Calcule la probabilidad de obtener: a) 4 n´ umeros iguales.3. ¿De cu´antas maneras se puede progamar la restricci´on vehicular para una semana? Plantee el espacio muestral. tiene 5 veh´ıculos con d´ıgitos distintos. Si Ud. Calcule la probabilidad de: (i) Que las 4 sean rojas o pares. Si Ud. e) 4 n´ umeros distintos. de forma aleatoria. Se extraen 4 cartas al azar con reemplazo. 1. La probabilidad de que ninguno de ellos quede contiguo. b) 3 n´ umeros iguales y uno distinto. 3 . Problema 2. ¿Cu´al es la probabilidad que el d´ıa Lunes queden d´ıgitos consecutivos? ¿Cu´al es la probabilidad que todos los d´ıas queden d´ıgitos consecutivos? 3. La restricci´on vehicular consiste en la designaci´on de 2 d´ıgitos (´ ultimo d´ıgito en la patente) que no pueden circular un d´ıa determinado de la semana (Lunes a Viernes). Problema 2.5. d) 2 n´ umeros iguales y 2 n´ umeros iguales (dos parejas distintas). Tres personas llegan a un cine y se sientan todos en una misma fila de n asientos (todos vac´ıos). (ii) Que las 4 sean rojas. Considere un mazo ingl´es sin comodines. 4. o las 4 sean pares. calcule la probabilidad de que no pueda circular en auto un d´ıa. 1. Se sacan 10 bolas sin reposici´on. Problema 2.1. . Calcule la probabilidad de que la primera ”S” se haya obtenido en la tercera extracci´on. Calcule la probabilidad: 1. Suponga ahora que se sacaron 10 letras (con reposici´on) y se obtuvo ”MISSISSIPI”. Considere el alfabeto espa˜ nol compuesto de 27 letras (sin ch y ll). Suponga que una persona est´a situada a N cuadras al sur y M al oeste de la esquina a la cual quiere llegar. ganando el que obtiene primero una ”P” ´o una ”M”. . con reposici´on) alternadamente. Se extraen 5 cartas sin reemplazo.. Que todas las personas se bajen en pisos diferentes. 1. Elegidas las 10 letras. 2. Determine el n´ umero de formas en que se pueden bajar si: (i) Las personas son distinguibles. o al menos 4 sean pares. mu @ i P t1. Fij´andose que para llegar al destino. 1.6. m2 personas se bajen en el segundo piso. ¿De cu´antas maneras se puede hacer? (i) Sin reposici´on (ii) Con reposici´on 2. 3. ¿Cu´antas palabras se pueden formar con las letras obtenidas. ¿Cu´al es la probabilidad de que usted gane si comienza sacando? 4 . Problema 2. Al sacar letras (con reposici´on) se obtuve al menos una ”S”. calcule la suma de los cuadrados de los coeficientes binomiales sobre N .8. y as´ı respectivamente con mi P t0. ¿Cu´antos caminos inteligentes existen entre ambos puntos? (entendiendo por camino inteligente aquel que s´olo consta de desplazamientos que acercan al destino. Que m1 personas se bajen en el primer piso. unitarios de una cuadra tanto en direcci´on norte como oeste). Se desea escoger grupos de 10 letras al azar. y sin importar lo que haga el resto de los pasajeros. (ii) Que al menos 4 sean rojas. el camino elegido debe pasar por alguna intersecci´on de las que forman la diagonal del cuadril´atero. todas distinguibles. Considere M “ N . Calcule la probabilidad de: (i) Que al menos 4 sean rojas o pares. nu y n ÿ mi “ m i“1 2... usted y su mejor amigo(a) juegan sacando letras (de entre 10. de tal forma que no queden 2 o m´as ”S” juntas? 4. es decir. 3. Suponiendo que las personas se bajan en cualquier piso con igual probabilidad. Problema 2.2.7.. Describa un espacio muestral para este juego. (ii) Las personas son clones. . En el ascensor de un edificio de n pisos hay m personas. Problema 2.. Suponga extracciones al azar en cada urna e independiente entre urnas.. Un librero tiene 5 libros en alem´an.15. ¿Cu´antos posibles arreglos hay de estos libros si los libros deben estar agrupados por lengua? Problema 2. 2.14. Si la restricci´on es programada al azar. 2. Problema 2. ¿De cu´antas formas se pueden escoger de manera que su suma sea divisible por 3? Problema 2. y la tercera contiene 1 bola blanca y 3 negras.12. la segunda 8 bolas blancas y 4 negras. cada una un programa distinto (5 transmiten noticias los jueves.. Problema 2. 1. Sea A un conjunto con n elementos. de manera combinatorial. Se toman tres enteros diferentes del conjunto A “ t1. Si usted tiene 5 veh´ıculos con d´ıgitos distintos. Se extrae una bola de cada urna.. ¿cu´al es la probabilidad que todos los d´ıas queden d´ıgitos consecutivos? 3. 5 . ¿De cu´antas maneras se podr´ıa programar la restricci´on vehicular para una semana? Plantee el espacio muestral. que para m ď k ď n ˆ ˙ ˆ ˙ ˆ ˙ ˆ ˙ n k n n´m ¨ “ ¨ k m m k´m Problema 2. Para n ě 3. ¿Cu´antos posibles arreglos hay de estos libros? 2. Demuestre.11. calcule la probabilidad que todos los d´ıas quede un veh´ıculo con restricci´on. argumento combinatorialmente la siguiente identidad: ˆ ˙ ˆ` ˘˙ n`1 1 n2 . 7 libros en espa˜ nol y 8 libros en franc´es. 1. Cada libro es distinto al resto. La restricci´on vehicular normal consiste en la designaci´on de dos d´ıgitos (´ utlimo d´ıgito en patentes de veh´ıculos) que no pueden circular un d´ıa determinado de la semana. Calcule la probabilidad que la bola elegida de la primera urna sea blanca dado que exactamente 2 bolas blancas fueron extra´ıdas.13.16. 4 los viernes.Problema 2. Problema 2. 3 los s´abados y 2 los domingos). Considere 3 urnas. Demuestre que la cantidad de subconjuntos posibles de A es 2n usando argumentos combinatoriales distintos al principio multiplicativo. La primera urna contiene 2 bolas blancas y 4 negras. “ 4 3 2 Problema 2. . entre las 21:00 y 22:00 horas.9. En el horario mencionado la persona X oye radio. 20u. En una determinada regi´on 7 radio-emisoras transmiten de Jueves a Domingo.10. ¿cu´al es la probabilidad que el d´ıa lunes queden d´ıgitos consecutivos?. Se propone: • seleccionar las k personas y dentro de ellas seleccionar al presidente.19. Como cambia la respuesta anterior si los adultos y ni˜ nos son clones? 3. ii. Indique adem´as un espacio muestral Ω adecuado. Si se suben al azar.. De cuantas maneras se pueden sentar si los ni˜ nos no pueden quedar en las esquinas ni quedar juntos? 2. 5. Calcule la probabilidad de que todos reciban platos distintos. • seleccionar pk ´ 1q personas y escoger al presidente entre los restantes. 4.. (b) Se pueden repetir entradas. Se ofrecen 9 tipos de entradas y la familia decide pedir 4 para compartir. 1.18.Dos de los cuatro d´ıas X graba simult´aneamente tres programas. iii. 951 P A. tales que al menos dos de los cuatro son noticias.¿Cu´antas secuencias de cuatro programas s´olo de noticias puede o´ır X? Justifique. incluido un presidente. • seleccionar al presidente y luego entre los restantes escoger pk ´ 1q personas. en grupos de a 2. en 3 colectivos. calcule la probabilidad de que los ni˜ nos se vayan juntos. No considere casos del tipo 017. De cuantas maneras se pueden pedir si: (a) No se pueden repetir entradas. 173 R A. Cada familiar pide un plato de fondo y el restorantte los asigna al azar de entre los 10 tipos disponibles. Por ej.. Calcule en cada caso el n´ umero de directivas distintas que se pueden formar.17. 146 P A. 6 . ¿Cu´antos grupos de tales grabaciones puede realizar X? Problema 2. Un grupo de n personas debe escoger una directiva de k ď n integrantes. Sea A “ tx P N | x posee 3 cifras y sus d´ıgitos distintos y ordenadosu. Despu´es de cenar la familia se va.i. puede o´ır X? Justifique. Problema 2.¿Cu´antas secuencias de cuatro programas. Una familia de 6 integrantes (4 adultos y 2 ni˜ nos) va a comer a un restorantte y se sientan en una barra uno al lado del otro. ¿cu´al es la cardinalidad de A? Problema 2. 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