Universidad de La FronteraFacultad de Ingenier ´ ıa Ciencias y Administraci ´ on Departamento de Matem ´ atica y Estad ´ ıstica Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra (IME006) Ingenier´ıas Civiles Profesores: Mar´ıa Teresa Alcalde, Ra´ ul Benavides, C´esar Burgue˜ no, Erwin Henr´ıquez, Elizabeth Henr´ıquez, Joan Manuel Molina, Marcia Molina, Alex Sep´ ulveda. 1. L´ogica y Conjuntos 1. Si p es la proposici´on “hoy es mi´ercoles” y q es “ma˜ nana es domingo”. Determine los d´ıas de la semana en que son verdaderas las proposiociones: a) p ∨ q b) p ∧ q c) p ⇒ q d) p ⇔ q e) p ∨ (p ∨ q) 2. Determine el valor de verdad de la siguiente proposici´on: Si 3 4 −4 3 = 7, entonces a b : b a = 1. 3. Si p, q, r son proposiciones y p ≡ V , q ≡ F y r es una proposici´on cualesquiera, obtenga el valor de verdad de: a) (p ∧ q) ∨ r b) p ∧ q ⇒ (p ∨ r) c) (p ∨ q) ⇒ r d) [(p ⇒ r) ⇒ q] ⇒ (r ⇔ q) e) (p ∨ r ∧ r) 4. Estudie el valor de verdad de las siguientes proposiciones, y en caso de ser falsas, de un contraejemplo. a) (∀x ∈ R)(∃! n ∈ N)(x + 3 > n) b) (∃! m ∈ Z)(3 +m = 5) c) (∀ m ∈ Z)(∃! n ∈ Z; n| m) 5. Niegue las proposiciones de la pregunta anterior. 6. Estudie el valor de verdad de las siguientes proposiciones y en caso de ser falsas de un contraejemplo: a) [p ∧ (p ⇒ q)] ⇒ q. b) [p ⇒ (q ∨ r)] ⇔ [(p ∧ r) ⇒ q] c) (p ∧ p) ∨ (q ∨ q) d) [p ∧ (q ∨ r)] 7. Si p, q, r son proposiciones, pruebe sin usar tablas de verdad que la siguiente proposici´on es una tautolog´ıa: (p ∨ q ⇔ p ∧ r) ⇒ [(q ⇒ p) ∧ (p ⇒ r)]) 8. Sea A = {a, {a}, {a, {a}}}. Diga cu´ales de las siguientes afirmaciones son ver- daderas: Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 1 a) a ⊆ A b) a ∈ A c) {a} ∈ A d) {a} ⊆ A e) {{a}} ⊆ A f ) {{a}, a} ⊆ A 9. Sea A = {a, ∅, {b}, {a}, {∅}, {a, ∅}}. Encuentre P(A) 10. Puede dar un ejemplo en que P(A) = ∅ 11. Un hotel recibe 60 visitantes, de los cuales 37 permanecen al menos una semana, 43 gastan al menos $30 diarios, 32 est´an completamente satisfechos del servi- cio, 30 permanecieron al menos una semana y gastaron al menos $30 diarios; 26 permanecieron al menos una semana y quedaron completamente satisfechos; 27 gastaron al menos $30 pesos diarios y quedaron completamente satisfechos y 24 permanecieron al menos una semana, gastaron al menos $30 y quedaron comple- tamente satisfechos. a) ¿Cu´antos visitantes permanecieron al menos una semana, gastaron al menos $30 diarios, pero no quedaron completamente satisfechos? b) ¿Cu´antos visitantes quedaron completamente satisfechos pero no permanecieron menos de una semana y gastaron menos de $30 diarios? c) ¿Cu´antos visitanes permanecieron menos de una semana, gastaron menos de $30 diarios y no quedaron completamente satisfechos? 12. Demuestre que A ∩ (A ∪ B) = A. 13. ¿Para cu´ales S ∈ {N, Z, R, C} son verdaderas las siguientes afirmaciones? a) {x ∈ S| x 2 = 5} = ∅ b) {x ∈ R| x 2 = −1} = ∅ c) {x ∈ S| |x −1| ≤ 1 2 } = {1} 14. D´e un ejemplo de tres conjuntos A, B, C tales que: A ∩ B = ∅, B ∩ C = ∅, A ∩ C = ∅, pero A ∩ B ∩ C = ∅ 15. Dibuje los siguientes subconjuntos del plano a) {(x, y) ∈ R ×R; x 2 +y 2 = 1} b) {(x, y) ∈ R ×R; x ≥ 1} c) {(x, y) ∈ R ×R; x + 1 ≥ 1} d) {(x, y) ∈ R ×R; xy = 1} 16. Sea A = [1, 4] ⊆ R, B = [0, 4] ⊆ R, C = [0, 3] ⊆ R, D = [1, 2] ⊆ R. Dibuje en un diagrama (A ×B) ∩ (C ×D) 17. Determine las posbiles relaciones de inclusi´on entre A y B: a) A = {0, 1, 2, 6}, B = { divisores de 30} b) A = X \ (Y \ T), B = T c) A = E \ S, B = {x ∈ S; x ∈ E \ S} d) A = P(E \ S), B = P(E) \ P(S) 18. Demostrar las itentidades: Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 2 a) X \ (Y \ X) = X b) X \ (X \ Y ) = X ∩ Y c) P(A) = P(B) ⇔ A = B d) P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B) e) P(A) ∪ P(B) = P(A ∪ B) ⇔ [(A ⊂ B) ∨ (B ⊂ A)] 19. Sea X = {1, 2, 3, . . . , 18}. Si X tiene p subconjuntos con un n´ umero par de ele- mentos e i subconjuntos on un n´ umero impar de elementos, compare p e i ¿Puede calcularlos? 20. ¿Verdadero o falso? a) ∀x : x ⊇ ∅ b) ∀x : ∅ ∈ x c) ∅ ⊆ {{}} d) {1} ∈ N e) {1} ⊆ N f ) El ´ unico conjunto que es subconjunto de todos los conjuntos es el vac´ıo. 21. Sea P el conjunto de todos los n´ umeros primos (un primo es un entero que tiene exactamente cuatro divisores). Describa el conjunto P. 22. Muestre que {2x + 5 | x ∈ Z} = {1 + 2y | y ∈ Z} 23. Pruebe las siguientes propiedades: a) A ⊆ A ∪ B; A ∩ B ⊆ A b) B ⊆ A ⇔ A ∪ B = A c) B ⊆ A ⇔ A ∩ B = B d) A, B ⊆ C ⇔ A ∪ B ⊆ C e) A, B ⊇ C ⇔ A ∩ B ⊇ C f ) A ∪ B = A ∩ B ⇔ A = B g) A∪B = (A\ B) ∪(B \ A) ∪(A∩B) h) A ⊆ B ⇔ P(A) ⊆ P(B) 24. ¿Verdadero o falso? (dar una demostraci´on o un contraejemplo) a) Si para todo X se tiene X ∩ B = X ∩ C entonces B = C. b) Si existe un X tal que X ∩ B = X ∩ C, entonces B = C. c) (A ∪ B) ∩ C = A ∪ (B ∩ C). d) Si A ⊆ B y B, C son disjuntos, entonces A ∩ (B ∪ C) = A. e) (A ∪ B) \ A = B \ A. f ) A ⊆ B ⇔ A \ B = ∅. g) A \ (B \ C) = (A \ B) \ C. 25. Dados los conjuntos A y B, se define su diferencia sim´etrica por: A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A). a) Muestre que la operaci´on ∆ es conmutativa. b) ¿Qu´e conjunto es A∆∅?. Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 3 c) ¿Qu´e conjunto es A∆U?. d) Si A ⊆ B diga qu´e conjunto es A∆B. e) Muestre que: A∆B = A ∪ B ∪ (A ∩ B). f ) Muestre que: A = B ⇔ A∆B = ∅. g) Muestre que: A∆B = C ⇔ A∆C = B. 26. Analice la posible relaci´on entre los siguientes pares de conjuntos: a) P(A), P(A) b) P(A \ B), P(A) \ P(B) 2. Relaciones Binarias 1. Sean E, F dos conjuntos y S E,F definido por: S E,F = {A ×B; A ⊂ E, B ⊂ F} Muestre que: a) S E,F ⊂ P(E ×F) b) S E,F = P(E ×F) ⇔ E o F es un singleton 2. Sea A = {a, b, c} a) ¿Cu´antas relaciones se puede establecer de A en A? b) ¿Cu´antas reflexivas? ¿Sim´etricas? c) Construya todas las relaciones de equivalencia posibles sobre A. 3. Sean n ∈ N, xRy ⇔ _ _ _ x = y, n k=0 x k y n−k = 1, x = y a) Demuestre que R es una relaci´on de equivalencia. b) Describa la clase de equivalencia de n = 0, 1, 2. 4. Sea una relaci´on definida en R por xSy ⇔ x 2 = x|y + 1|. Haga el gr´afico. 5. Sea A = {1, 2, 3, 4}. Determine los gr´aficos de las reciones R, S, definidas en A por: a) aRb ⇔ a +b ≤ 4 b) aSb ⇔ a(b + 1) ≤ 6 6. Las relaciones R 1 y R 2 est´an definidas por: Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 4 a) xR 1 y ⇔ −10 ≤ x + 5y ≤ 10 b) xR 2 y ⇔ x 2 +y 2 ≤, x ≥ y Haga un gr´afico de estas relaciones. 7. Discuta la reflexividad, simetr´ıa, antisimetr´ıa y transitividad de las siguientes reaciones en el conjunto{a, b, c}: a) {(a, a), (b, b)} b) {(c, c), (c, b)} c) {(a, a), (b, b), (c, c)} d) {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)} e) {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)} 8. Sobre R ×R, discuta las siguientes relaciones: a) {(a, b) ∈ R ×R; a 2 +b 2 ≥ 0} b) {(a, b) ∈ R ×R; 0 < ab < 1} 9. Averigue si la relacion en Z definida por aRb ⇔ ab ≥ 0 es una relaci´on de equivalencia. 10. En Z definimos: aRb ⇔ a 2 + a = b 2 + b. Demuestre que R es una relaci´on de equivalencia y encuentre las clases de equivalencia de los elementos 0, 1, a. 11. En N×N se define (a, b)R(c, d) ssi a+d = b+c. Demuestre que R es una relaci´on de equivalencia y encuentre la clase del elemento (2, 1). 12. Consideremos P(A), donde A es un conjunto. En P(A) se define una relaci´on como sigue: ARB ssi A ⊂ B. Determine si R es una relaci´on de orden. 13. Sea A = ∅ y R una relaci´on en A. Se dice que R es circular si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (z, x) ∈ R. Demuestre que si R refleja y circular, entonces R es sim´etrica. 14. Considere el conjunto N n = N×N×. . . ×N de n−tuplas con componentes en los naturales se define la relaci´on R 1 sobre N n por: xR 1 y ⇔ _ x 1 ≤ y 1 , x 1 +x 2 ≤ y 1 +y 2 , . . . , n i=1 x i ≤ n i=1 y i _ . a) Demuestre que R 1 es una relaci´on de orden parcial. b) Sea R 2 la relaci´on de orden usual de n−tuplas, es decir, ∀x, y ∈ N n , xR 2 y ⇔ x i ≤ y i , ∀i ∈ {1, 2, 3, . . . , n}. Demuestre que xR 2 y ⇒ xR 1 y. Verifique que la implicaci´on es el otro sentido es falsa. Para ello contruya un contraejemplo. Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 5 3. Funciones 1. Considere las funcionesf : N\{0} →Q definida en cada n ∈ N\{0} por f(n) = 1 2n y g : Q →Q definida en cada q ∈ Q por g(q) = q 2 . a) Determine si f, g, g ◦ f son inyectivas, epiyectivas y biyectivas. b) Determine los conjuntos pre-im´agenes g −1 (Z). 2. Sea f : Z →Z definida por: f(n) = _ ¸ _ ¸ _ n 3 , n es m´ ultiplo de 3 n+2 3 , n es m´ ultiplo de 3 m´as 1 n+1 3 , n es m´ ultiplo de 3 m´as 2 Encuentre el dominio de f, la imagen de f y estudie si f es inyectiva, epiyectiva o biyectiva. 3. Estudie en P(N) si son inyectivas o epiyectivas las funciones f i : P(N) → P(N) definidas por: a) f 1 (X) = X ∩ {2} b) f 2 (X) = X ∪ {2} c) f 3 (X) = X \ {2} 4. Sean A, B ⊆ E y h : P(E) → P(A) ×P(B) definida por h(X) = (X∩A, X ∩B). Estudie las condiciones para que h sea: a) inyectiva b) epiyectiva c) biyectiva. 5. Sea f ab : Z → Z, f ab (n) = an + b, con a, b ∈ Z. Encuentre para qu´e valores de a, b la aplicaci´on f ab es biyectiva. 6. Sea f i : R →R, definidas por: a) f 1 (x) = x + 3 b) f 2 (x) = 1 x Encuentre f n i = f i ◦ f i ◦ f i ◦ . . . ◦ f i , n veces. 7. Sean P f (N) = {A; A ⊆ N, A finito} y s : P f (N) → N; s({a 1 , a 2 , . . . , a n }) = a 1 + a 2 +. . . +a n a) Estudie si s es inyectiva o epiyectiva. b) Calcule s({n, n, +1, . . . , 2n}). c) s −1 ({6}). 8. Dada f : R →R; f(x) = |2x + 3|. a) Estudie si f es inyectiva o epiyectiva b) Cacule f ◦ f 9. Sean A = {0, 1, 2, . . . , 99} y f : A → A definida por f(a) = |a −99|. Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 6 a) Demuestre que f es biyectiva b) Determine f −1 10. Sea f : A → B una funci´on. Considere en A la relaci´on: aRb ⇔ f(a) = f(b). a) Pruebe que R es una relaci´on de equivalencia. b) Para A = {1, 2, 3, . . . , n} y f(n) = _ n + 2, si n es par n + 1, si n es impar Encuentre A/R (el conjunto cuociente de A/R). 11. Sean f, g : Z →Z dos funciones definidas por: f(x) = _ x 2 + 2, x > 0 x + 2, x = 0 g(x) = _ 2x + 5, x > 3 x 3 , x < 3 Determine g(f(x)). 12. Sea E = ∅ un conjunto fijo. Para todo subconjunto A de E (∀A ⊂ E) se define la funci´on caracter´ısticas de A como sigue: Ψ A : E → {0, 1}; tal que: Ψ A (x) = _ 1, si x ∈ A 0, si x / ∈ A a) Describe Ψ E (x) y Ψ ∅ (x), ∀x ∈ E. b) Demuestre que (∀x ∈ E) : Ψ A∩B (x) = Ψ A (x) Ψ B (x). c) Si C, D ⊂ E, entonces C ⊂ D ⇔ (∀x ∈ E); Ψ C (x) ≤ Ψ D (x). 13. Sea A = {−7, −6, −5, . . . , 5} ⊂ Z, f : A →Z, tal que: f(n) = _ ¸ _ ¸ _ 1 2 (n + 7) + 2, −7 ≤ n < −3 1, −3 ≤ n ≤ 0 (n −3) 2 −1 1 ≤ n ≤ 5 Calcule f(3), f(1), f(5). Estudie si f es inyectiva y justifique. Haga las restric- ciones m´ınimas necesarias para que f sea una funci´on biyectiva y determine f −1 . 14. Sean f : A → B y g : C → D, con la condici´on D ⊂ A. Probar que: a) Si f y g son inyectivas, entonces f ◦ g es inyectiva. b) Si f y g son epiyectivas, entonces f ◦ g es epiyectiva. Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 7 c) Si f y g son crecientes, entonces f ◦ g es creciente. 15. Sea f : Z →Z una funci´on con la propiedad siguiente: f(n +m) = f(n) +f(m). para cada par de enteros n y m a) Se define la relaci´on R en Z por: nRm ⇔ f(n) = f(m). Probar que R es una relaci´on de equivalencia. b) Probar que f(0) = 0, recuerde para ello que 0 + 0 = 0. c) Probar que f(−m) = −f(m); ∀m ∈ Z. Indicaci´on: use que m−m = 0. d) Pruebe que f es inyectiva ssi f −1 ({0}) = {0}. 16. Sea f : E → F una funci´on. Se dice que un subconjunto A de E es estable si f −1 (f(A)) = A. Probar que si A y B son subconjuntos estables de E entonces A ∪ B y A ∩ B tambi´en lo son. 17. Sea F = {f : A → B; f es funci´on}, es decir, es el conjunto que contiene a todas las fucniones de A en B. Sea R una relaci´on de orden en B. Se define F la relaci´on R ∗ por: fR ∗ g ⇔ ∀a ∈ A, f(a)Rg(a). Probar que R ∗ es una relaci´on de orden en F. Probar que si A y B tienen al menos dos elementos entonces R ∗ es una relaci´on de orden parcial. 4. Inducci´on y Conteo 1. Calcule las siguientes sumatorias: a) n i=1 (2 + 3i) b) 1 i=8 00i 2. La suma de 3 n´ umeros es Progresi´on Aritm´etica es 27 y la suma de sus cuadrados es 293. Determine tales n´ umeros. 3. Si en una progresi´on aritm´etica, el quinto termino es 15 y el d´ecimo es 30, entonces determine la P.A. 4. Calcule la suma de los 101 primeros t´erminos de la P.G. siguiente: G = { 13 √ 3 , 3 √ 3, . . .}. 5. La suma de tres n´ umeros en P.G. es 26, su producto es 216. Determine tales n´ umeros. Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 8 6. Si los n´ umeros x, y, z est´an en P.G. y son distintos, demuestre que: 1 y−x , 1 2y , 1 y−z est´an en P.A. 7. La suma de tres n´ umeros en P.A. es 30. Si al primero de ellos se le agrega 1, al segundo 5 y al tercero 29 se obtiene una P.G. Determinar ambas progresiones. 8. Considere las progresiones G = {g 1 , g 2 , g 3 , . . .} P.G. y A = {3, a 2 , a 3 , . . .} P.A. tal que: a) g 3 = 12, g 7 = 192 b) 11 i=1 g i = 50 i=1 a i Determine la diferencia de la P.A. 9. Demuestre usando inducci´on las f´ormulas proposicionales siguientes: a) F(n) = n i=1 i2 i−1 = 1 + (n −1)2 n . b) 10 n + 3 · 4 n+2 + 5 es divisible por 9 c) n 3 + 2n es divisible por 3 d) 3 2n+1 + 2 n+2 es divisible por 7 e) 5 2n + (−1) n+1 es divisible por 13 f ) 7 2n + 16n −1 es divisible por 64 g) x 2n −y 2n es divisible por x −y h) x 2n−1 +y 2n−1 es divisible por x +y i ) (1 +x) n ≥ 1 +nx Son verdaderas ∀n ∈ N. 10. Demostrar que si n es un entero, entonces (n+6)(n+13)(n−4) 6 , tambi´en es un n´ umero entero. 11. Demuestre que si n es un entero, entonces n 3 + 11n es divisible por 6. 12. Probar que para todo natural mayor o igual a 1 se tiene: n+1 i=1 1 n +k ≤ 5 6 13. La a k es una sucesi´on de n´ umeros reales tal que satisface: n k=1 = 2n + 3n 2 . De- muestre que es una P.A. y encuenre una expresi´on para a n en t´erminos de n. 14. Sean (a k ) k∈N (b k ) k∈N dos secuencias de numeros reales. Considere los naturales p y n tales que p ≤ n. Probar que: n k=p (a k+1 −a k )b k = a n+1 b n+1 −a p b p − n k=p a k+1 (b k+1 −b k ). 15. Demuestre, sin inducci´on que: Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 9 a) n k=1 _ n k _ · k = n k=1 _ n−1 k−1 _ · n b) n k=0 kC k n = n2 n−1 16. Demuestre que n k=0 C k n k+1 = 2 n−1 n+1 . 17. Sea k ∈ {0, 1, . . . , n −1}. Verifique que kC k n = nC k−1 n−1 . 18. Determine el t´ermino que contiene x 2 y 2 en el desarrollo binomial: _ x y − y 2 2x 2 _ 8 . 19. Pruebe que para n ≥ 1, para cualquier j ≥ 0 se cumple que: n i=1 _ i +j −1 j _ = _ n +j j + 1 _ . 20. Pruebe sin usar inducci´on que para n ≥ 1, 0 ≤ k ≤ n, _ n k _ ≤ n k k! y deduzca que: _ 1 + 1 n _ n ≤ n k=0 1 k! . 21. Demuestreq ue si C es el coeficiente del t´ermino que contiene a x a en el desarrollo binomial _ x 3 − 1 x _ 3n entonces: C = (−1) 9n−a 4 (3n)! ( 9n−a 4 )!( 3n+a 4 )! . 22. Sean p y q dos reales no negativos tales que p +q = 1. Calcular: n k=0 _ n k _ p k q n−k k. Indicaci´on: k 2 = k(k −1) +k. 5. Estructuras Algebraicas 1. En R ×R se define la ley de composici´on siguiente: (a, b) ∗ (c, d) = (ac, bc +d). a) Estudie las propiedades de ∗. b) Calcule (1, 2) 3 , (2, 1) −2 , (2, 4) 4 . Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 10 2. Estudie las siguientes estructuras: a) (R 2 , ∗), (a, b) ∗ (c, d) = (a +c, b +d + 2bd). b) Sea S = {a+b √ 2, a, b ∈ R}. Se define ∀x, y ∈ S: x∗y = (a+b √ 2)(c+d √ 2), x∆y = (a +b √ 2) + (c +d √ 2). c) (N, ∗), a ∗ b = m´ax{a, b}. d) (N, ∗), a ∗ b = m´ax{a, b} −m´ın{a, b}. e) Sea S = {1, 2, 3, 4, 6}. Estudie (S, ∗), donde a ∗ b = m.c.d(a, b). f ) Sea S = {1, 2, 5, 10} y considere (S, +, ∗), donde a+b = m.c.d(a, b) y a∗b = m.c.m(a, b). g) (P(X), ∆, ∩), X = ∅, donde ∆ es la diferencia sim´etrica. h) (P(X), ∪, ∩), X = ∅. 3. a) Demuestre que el conjunto formado por los giros alrededor del origen forman un grupo con la composici´on. Demuestre adem´as que si g α denota el giro en α grados, entonces g α · g β = g α+β b) Demuestre que (M, ·) es un grupo, donde, M = __ a −b b a _ , a 2 +b 2 = 1, a, b ∈ R _ . c) Demuestre que los dos grupos anteriores son isomorfos. 4. Demuestre que: a) H 1 = {0, 2, 4} es un subgrupo de (Z 6 , +). b) H 2 = _ Id, _ 1 2 3 2 1 3 __ es un subgrupo de (S 3 , ·). c) H 3 = {1, 3, 9} es un subgrupo de (Z 13 , ∗, ·). 5. Demuestre que si τ = _ 1 2 3 2 3 1 _ , entonces S = {Id, τ} no es un subgrupo de S 3 , sin embargo, H = {Id, τ, τ −1 } es un subgrupo de S 3 . 6. Dados Z 2 y Z 3 , se define la operaci´on ∗ en Z 2 × Z 3 dada por: (a, b) ∗ (c, d) = (a ⊗ 2 c, b ⊕ 3 d). Estudie las propiedades de ∗. 7. Sea A = Q\ { 1 4 }. Para todo x, y ∈ A se define x ⊗y = x +y −4xy a) Demuestre que ⊗ es una ley de composici´on interna. b) Demuestre que (A, ⊗) es un grupo abeliano. 8. En el conjunto de los n´ umeros naturales, se da la siguiente ley de composici´on interna: x ⊗ y = |x − y|. Pruebe para esta ley de composici´on las siguientes propiedades: Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 11 a) No asociativa b) Conmutativa c) Tiene neutro d) Tiene inversos 9. Sabiendo que A = {a, b, c, d} es un grupo, complete la siguiente tabla de composi- ci´on: ◦ a b c d a c b c d c 10. Consideremos la permutaci´on σ ∈ S 5 , σ = _ 1 2 3 4 5 4 3 5 1 2 _ , a) Determine σ 12345 . b) Determine θ ∈ S 5 , tal que σ −1 ◦ θ ◦ σ −1 = _ 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 _ . 11. En Z 11 : a) Encuentre 1 7 , 1 5 , 1 8 , 2 5 , 3 7 , 5 8 b) Calcule: 3 7 − 1 5 c) Resuelva la ecuaci´on: 3x + 7 = 2 12. Estudie si el n´ umero 1273 1273 + 806 806 , es divisible por 7. 13. Determine la hora que marca un reloj 777 horas despues de que sean las once. 6. N´ umeros complejos 1. Dados z 1 = −3 + 4i y z 2 = 5 +i. Calcule z 1 +z 2 , z 1 · z 2 , z −1 1 , z −1 2 . 2. Expresar en la forma x +yi el n´ umero complejo: (3 + 5i)(2 −i) 3 −1 + 4i . 3. Calcular el m´odulo del complejo: (2 −3i) 4 (1 −i) 3 5 +i . 4. Hallar un complejo z tal que: |z| = 1 |z| = |1 −z|. Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 12 5. Expresar em su forma polar los complejos: − √ 3 +i y 3 + 4i. 6. Calcule _ 1+i √ 3 1−i _ 40 . 7. Hallar un complejo z tal que z −1 + 2(z) −1 = 1 +i. 8. Dados los n´ umeros complejos los complejos z 1 = −2 − 2 √ 3 i y z 2 = − √ 3 + √ 3i, determine: a) z 12 1 b) Las ra´ıces cuartas de z 2 9. Sea dada la ecuaci´on: iz 3 + 27 = 0. Determinar sus soluciones y representarlas gr´aficamente en el plano complejo. 10. En C, resuelva la ecuaci´on x 4 = −8 + 8 √ 3i. 11. a) Calcule todas las soluciones complejas de la ecuaci´on: z n = −1, para n ≥ 2. b) Pruebe que la suma de las soluciones obtenidas en la parte anterior es cero. 12. Calcule las ra´ıces de la ecuaci´on z 2 = −i y expr´eselas de la forma a +bi. 13. Si z + 1 z = 2 cos α, calcule los posibles valores de z ∈ C y muestre que z n + 1 z n = cos na. 14. Dados los n´ umeros complejos: z 1 = e − π 3 i y z 2 = 1 2 + √ 3 2 i. Calcule las ra´ıces c´ ubicas de: z 1 z 2 . 15. Demuestre que z = − √ 2 2 + √ 2 2 i es una r´aiz octava de 1. 16. Pruebe que ∀n ∈ N, (1 −i) n + (1 +i) n ∈ R. 17. Sea z = cos 2π 5 +i sen 2π 5 . Verifique que z 5 −1 = 0 18. Demostrar que cis α = cis (−α) y cis (α −β) = cis (α) cis (β) 19. Demostrar que las ra´ıces c´ ubicas de z = 4(1 + √ 3i) tienen suma nula. 20. Se tiene que (S, ·) es un grupo, donde S 1 = {z ∈ C |z| = 1} y el producto habitual de n´ umeros complejos. Demuestre que el producto en S 1 es una ley de composici´on interna. 7. Polinomios 1. Al dividir el polinomio P(X) por (X −1) el resto es a y al dividirlo por (X −2) es b. Encuentre el resto que resulta al dividirlo por (X −1)(X −2) 2. Determine los valores de k ∈ R para que el polinomio P(X) = 2k 2 X 3 +3kX 2 −2 sea divisible por X −1 y tenga s´olo ra´ıces reales. Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 13 3. Estuedie el polinomio P(X) = 1 2 X 2 − 1 2 X 3 − 1 2 X − 1 2 , es reducible en Q[X] 4. Sabiendo que el plinomio P(X) = X 4 −4X 3 + 10X 2 −12X + 8 posee solamente ra´ıces complejas y que una de ellas tiene m´odulo 2, encuentre todas las ra´ıces del polinomio. 5. Sea P(X) = X 3 +aX 2 +bX +c un polinomio con coeficientes reales. Sea r(X) el resto de la divisi´on de P(X) por X−1. Si r(4) = 0 y X = i es una ra´ız de P(X), calcule a, b, c. 6. Estudie para que valores de a y b, el polinomio P(X) = 3X 2 + bX − b 2 − a es divisible por X + 2, pero al dividirlo por X −1 da resto 1. 7. Al dividir el polinomio P(X) = aX 4 −2X 3 +bX 2 −18X +a por (X −1) el resto es 3 y el cuociente es un polinomio que toma el valor 33 para X = 2. Encuentre el valor de a y b. 8. Factorice en C[X] y en R[X], el polinomio P(X) = X 3 − 14X 2 + 124X − 200 sabiendo que una de sus ra´ıces es 6 −8i. 9. Sea P(X) = X 4 +bX 3 −13X 2 −14X + 24 a) Determinar b ∈ R,de modo que −2 sea una ra´ız de P(X). b) Determinar las ra´ıces restantes. 10. Determinar las constantes reales A, B, C para que se cumpla: AX 2 +BX +C (X −1)(X −2)(X −3) = 2 X −1 − 9 X −2 + 8 X −3 . 11. Exprese como suma de fraciones parciales, la fracci´on racional siguiente: 5X 3 + 16X 2 + 13X + 9 (X + 2) 2 (X 2 −X + 1) . 12. En los reales, descomponga en fracciones parciales la fracci´on racional siguiente: 4X 3 + 10X 2 −X + 5 X 4 +X 3 −X 2 +X −2 . 8. Sistemas de Ecuaciones 1. Estudie los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a) 2x 1 +x 2 +x 4 = 2 3x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 = 4 3x 1 −3x 3 −2x 4 = 3 _ _ _ Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 14 b) 2x +y +w = 2 3x + 3y + 3z + 5w = 3 3x −3z −2w = 3 _ _ _ c) 2x +y +z = 1 4x + 2y + 3z = 1 −2x −y +z = 2 _ _ _ d) 2x 1 +x 2 + 2x 3 + 3x 4 +x 5 + 4x 6 = 1 x 2 +x 3 + 2x 4 + 2x 5 = −1 2x 1 +x 2 + 3x 3 +x 4 + 5x 6 = 1 _ _ _ 2. Estudie si existen, a, b, c ∈ R tales que la ecuaci´on x 3 = a + bx + cx 2 se verifique para todo x ∈ R. 3. Demuestre que no hay n´ umeros reales a y b tales que √ x = a + bx se verifique para todo x ∈ R. 4. En C, estudie el sistema: (1 +i)x +iy = 1 (1 −i)x +y +iz = i _ 5. Estudie las siguientes familias de sistemas para lso diferentes valores de k. a) x 1 + 2x 2 +kx 3 = 1 2x 1 +kx 2 + 8x 3 = 8 kx 1 +x 2 +x 3 = 1 _ _ _ b) kx 1 +x 2 +x 3 = 1 x 1 +kx 2 +x 3 = 1 x 1 +x 2 +kx 3 = 1 _ _ _ 9. Espacios vectoriales 1. Verifique que R es un espacio vectorial sobre Q. 2. Demuestre que: a) Q( √ 2) = {a +b √ 2; a, b ∈ Q}. b) A = {a +b √ 2 +c √ 3; a, b, c ∈ Q}. c) B = {a +bΠ +cΠ 2 +dΠ 3 ; a, b, c, d ∈ Q}. son Q-sub espacios vectoriales de R. 3. Demuestre que: a) Z 3 (α) = {a +bα; a, b ∈ Z 3 , α 2 = 2}. b) C = {a +be +ce 2 ; a, b, c ∈ Q}. son Z 3 -espacios vectoriales. Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 15 4. Si V y W son espacios vectoriales sobre R, demuestre que V ⊕W con las opera- ciones (v, w) + (v ′ , w ′ ) = (v + v ′ , w + w ′ ) y α • (v, w) = (αv, αw) es tambi´en un espacio vectorial sobre R 5. Demuestre que son espacios vectoriales los siguientes conjuntos: a) M 2×2 (R) = __ a b c d _ ; a, b, c, d ∈ R _ con las operaciones siguientes: _ a b c d _ + _ a ′ b ′ c ′ d ′ _ = _ a +a ′ b +b ′ c +c ′ d +d ′ _ y α⊙ _ a b c d _ = _ αa αb αc αd _ b) D 2×2 (R) = __ a 0 0 b _ ; a, b ∈ R _ 6. Estudie si los siguientes conjuntos con las operaciones suma y producto por escalar que se indican son R-espacio vectorial y vea que propiedades se verifican: a) V 1 = {(x, y) ∈ R 2 }, con (x, y)+(x 1 +y 1 ) = (x+x 1 , y+y 1 ) y α(x, y) = (αx, y) b) V 2 = R 3 con las operaciones: v ⊗w = v −w, α ⊙v = −αv c) V 3 = {(x, y) ∈ R 2 }; (x, y) ⊳ (x 1 , y 1 ) = (x +x 1 , 0); α ⋄ (x, y) = (αx, 0) d) V 4 = R 2 con la suma habitual y α ∗ (x, y) = (α 2 x, α 2 y) 7. Averig¨ ue si los siguientes, subconjuntos de R 3 son sub-espacios vectoriales reales (con las mismas operaciones que tiene R 3 ) a) V 1 = {(x, y, z) ∈ R 3 ; x = 0} b) V 2 = {(x, y, z) ∈ R 3 ; x = 0, y = 3} c) V 3 = {(x, y, z) ∈ R 3 ; x = 3λ, y = 2λ, z = λ, λ ∈ R 3 } d) V 3 = {(x, y, z) ∈ R 3 ; x + 5y = 0} e) V 3 = {(x, y, z) ∈ R 3 ; Ax +By +Cz = 0 con A, B, C fijos en R} 8. Averig¨ ue cual de los siguientes sub conjuntos son un sub-espacio vectorial de R 4 : a) {(x, y, x, y) ∈ R 4 } b) {(x, 2x, y, x +y) ∈ R 4 } c) {(x, y, z, t) ∈ R 4 ; 2y = 3t} d) {(x, y, x +y, 1) ∈ R 4 } e) {(x, λ 0 , z, t) ∈ R 4 ; λ 0 fijo en R} 9. Ver si los siguientes conjuntos con las operaciones habituales en el espacio de las funciones reales R-subespacios vectoriales de ´el: a) V 1 = {f : [0, 1] →R; 2f(0) = f(1)} b) V 2 = {f : R →R; f(x) = f(1 −x)} c) V 3 = {f : R →R; f continua, f ≥ 0} Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 16 d) V 4 = {f : R →R; f continua, f(1) = f(0) + 1} e) V 5 = {f : R →R; f(−x) = f(x)} 10. Determinar cuales de los subconjuntos siguientes son subespacios de R 3 : a) {(x, y, z); x + 2y −z = 0} b) {(x, y, z); x + 2y −z = 1} c) {(x, y, z); x 2 +y 2 −z 2 = 0} d) {(x, y, z); x ≥ 0} e) {(x, y, z); x 2 +y 2 +z 2 > 0} f ) ¿Puede usted enunciar una regla general? 11. Sea S un sub-espacio de V . Demuestre que x y ⇔ x −y ∈ S, define una relaci´on de equivalencia en V . Encuentre la clase de 0. 12. Sea V = M 2×2 (R). Vea si son sub espacios vectoriales de V a) _ a b b c _ ; a, b, c ∈ R b) _ a b c d _ ; a, b, c, d ∈ R tales que ad −bc = 0 c) _ a b c d _ ; a, b, c, d ∈ R tales que ad −bc = 1 d) _ a b 0 c _ ; a, b, c ∈ R 13. Considere los vectores u = (1, −3, 2), v = (2, −1, 1) ∈ R a) Escriba como una combinaci´on lineal de u y v los vectores de w 1 = (0, −5, 3), w 2 = (5, −10, 7). b) Diga para qu´e valores de k, l, m el vector (k, l, m) es combinaci´on lineal de los vectores w 1 y w 2 . 14. Escriba u = 3t 2 +t−7 como combinaci´on lineal de v = 2t 2 +3t−4 y w = t 2 −2t−3. Lo mismo para u = 5t 2 + 4t −11. 15. Diga para que valores de α, el vector (1, 3, α + 3) es combinaci´on lineal de los vectores (1, 1, 0), (0, 1, 2), (4, 9, 10), (6, 6, α + 3) 16. Sea V = R 3 . Consideremos los siguientes subconjuntos de R 3 : S = {(1, 0, 1), (0, 1, 1)}, S ′ = {(3, 2, 5), (0, 2, 2), (1, 1, 2)}. Demuestre que < S >=< S ′ >. 17. Encuentre tres conjuntos de generadores de R 2 , R 3 y M 2×2 (R) de cuatro elementos cada conjunto. N´otese cuatro. Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 17 18. Averig¨ ue si son generadores del espacio vectorial respectivo, los conjuntos de vec- tores siguientes: a) {(1, −2, −3)(3, 2, 1)} de R 3 ; b) {(1, 1), (2, 1), (1, 2)} de R 2 ; c) {(1, 1, 2), (1, 1, 1), (1, 0, 0)} de R 3 ; 19. Averig¨ ue si el vector (1, 2, 3) est´a contenido en el sbu espacio generado por los vectores (2, 2, 2), (3, 1, 2). 20. Averig¨ ue si son linealmente independientes sobre R a) {(1, 0), (0, 1), (0, 0)} b) {(2, 1), (1, 3)} c) {(1, 1, −1), (1, 0, 0), (−3, −3, 3)} d) {(1, 1, 2), (1, 1, 1, ), (−1, 1, 1)} 21. Encuentre tres conjuntos l.i. de R 2 , R 3 , R 4 y M 2×2 (R). 22. En C[0, 1] = {f : [0, 1] → R; continuas}, demuestre qye son l.i. los siguientes conjuntos de vectores: a) {f 1 , f 2 , f 3 , ∈ C[0, 1]; f 1 (x) = 1, f 2 (x) = x, f 3 (x) = x 2 } b) {sen (), cos () =} c) {sen (), sen 2() =} d) {e () , e 2() } 23. En C sobre R, estudie la dependencia lineal de los vectores u = (2 + 3i, 5 + 2i) y v = (−4 + 7i, 1 + 12i). 24. Idem al ejercicio anterior pero en C 2 sobre C. 25. Sea V un K-espacio vectorial. Sea {u, v, w} una base de V . Estudie la dependecia lineal del conjuntos {u +v +w, u −2v +w, u +v −w}. 26. Sea V un K-espacio vectorial, {s, u, v, w} una familia l.i. de V . Sea α un escalar cualquiera y consideremos la familia de vectores {x, y, z, t} definida por x = s − u, y = u −v, z = v −w, t = αw −s. a) Estudie para que valores de α la familia es {x, y, z, t} l.i. b) Demuestre que si la familia {x, y, z, t} es l.i., entonces engendra el mismo subespacio que la familia {s,u,v,w}. 27. Encuentre tres bases diferentes de R 2 , R 3 y M 2×2 (R). Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 18 28. Sea V un K-espacio vectorial. Sea {u, v, w} un conjunto linealmente indepen- diente. Estudie la dependencia lineal del conjunto: {u, 2y +v, u + 2v + (α −5)w + (α −5)t, −u +v + (α + 1)(α −5)w + (2α −10)t} 29. Encuentre una base sobre Q de: a) Q( √ 2) = {a +b √ 2; a, b ∈ Q} b) A = {a +b √ 2 +c √ 3; a, b, c ∈ Q} c) B = {a +bΠ +cΠ 2 +dΠ 3 ; a, b, c, d ∈ Q} 30. Encuentre una base sobre Z 3 de: a) Z 3 (α) = {a +bα; a, b ∈ Z 3 , α 2 = 2} b) C = {a +be +ce 2 ; a, b, c ∈ Z 3 } 31. Encuentre una base del sub espacio generado por los vectores: a) {(1, 2), (1, 3), (1, 1), (2, 3)} b) {(1, 1, 2), (1, −1, 1), (3, −1, 4)} 32. Demuestre que: a) {1, i} es una base de C sobre R b) {a +bi, c +di} es una base de C sobre R ssi ad −bc = 0 33. Sean U y W ≤ R 2 [X] tal que U =< 2+X, 1−X 2 >, W = {a+bX+cX 2 ; a+b = 0, 3b −2c = 0}. Determine una base de W, U ∩ W y U +W 34. Estudie la posible igualdad de los siguientes sub-espacios de R 4 : S = {(2x, x, 4x+ 2y, −2x −4y); x, y ∈ R} y S ′ =< (1, 0, 2, 3), (1, 2, 1, −1), (−1, −6, 1, 3) > 35. Encuentre dos bases diferentes de los siguientes sub-espacios vectoriales de R 3 , encuentre si existe un espacio suplementario en cada caso. W = {(x, y, z); x + 3y −z = 0} T = {(3y + 3z + 9u, x + 4y + 2z + 5u, x + 5y + 3z + 8u); x, y, z, u ∈ R} 36. Sea V un K-espacio vectorial . Sea {u 1 , u 2 , . . . , u n } una base de V . Estudie si {u 1 +u 2 , u 2 , u 3 +u 2 , . . . , u n +u 2 } es una base de V . 37. En R 3 , encuentre un espacio suplementario de S = {(x+2y, x+y, 3x+y); x, y ∈ R} 38. En R 4 , considere los siguientes sub-espacios: S 1 =< (2, 2, −1, 2), (1, 1, 1, −2), (0, 0, 2, −4) >, y S 2 =< (2, −1, 1, 1), (−2, 1, 3, 3), (3, −6, 0, 0) > . Encuentre S 1 ∩ S 2 y las dimensiones de S 1 , S 2 y S 1 ∩ S 2 . Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 19 39. Sea V ′ ≤ V . Demuestre que: a) dim(V ′ ) ≤ dim(V ). b) Si dim(V ′ ) = dim(V ) entonces V ′ = V . 40. Demuestre que w = 1 +i, w = 1 −i, general C como R-espacio vectorial. 41. Demuestre que u 1 = 1, u 2 = 1 −t, u 3 = (1 −t) 2 , u 4 = (1 −t) 3 generan el espacio de los polinomio de grado ≤ 3 42. Demuestre que la intersecci´on de dos sub-espacios de V , es un sub-espacio vectorial de V . 43. Muestre en un ejemplo que se puede tener S ⊕T = S ⊕W, y T = W. 44. Sean U y V dos sub-espacios dados por: U =< (1, 2, 0, 1), (0, 1, 1, 0) >, V =< (1, 1, 2, 1)(2, 5, 1, 2) > a) Encuentre una base de U +W b) Encuentre si existe un sub-espacio suplementario de U +V en R 4 . 10. Aplicaciones Lineales 1. Determine cuales de la siguientes aplicaciones son lineales: a) T : R 2 →R 2 definida por T(x, y) = (2x −y, x +y, −x + 3y) b) f : R 3 →R 2 definida por f(x, y, z) = (x + 2y −1, 3y +z) c) g : M 2×1 (R) definida por: g( _ x y _ ) = _ x +y y x x −y _ d) D : R n [X] →R n [X] definida por D(a 0 +a 1 x +... +a n x n ) = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x 2 +... +na n x n−1 2. Si f : R 3 →R 2 es lineal y: f(1, 1, 1) = (1, 1), f(1, 1, 0) = (1, 1) y f(1, 0, 0) = (1, 0). Calcule f(2, 3, 1), f(1, 0, 1) y f(x, y, z) 3. Determine si existe una tranformaci´on lienal f : R 2 →R 2 tal que: a) f(2, 1) = (1, 0); f(0, 1) = (0, 1); f(1, 1) = (3, 2) b) f(2, 1) = (1, 0); f(0, 1) = (0, 1); f(1, 1) = ( 1 2 , 1 2 ) 4. Sea f : R 3 →R 2 ; f(x, y, z) = (x + 2y +z, x −y −z). a) Encuentre la base escalonada y la dimensi´on de N(f) y de Im(f). b) Estudie la inyectividad y epiyectividad de f. c) Obtenga una base de R 3 , completando la base obtenida para N(f). Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 20 d) Obtenga una base de R 2 , completando la obtenida para Im(f). 5. Sea F el operador lineal definido por F : M 2×2 (R) → M 2×2 (R); F(X) = BX donde B = _ 4 1 5 −1 _ ∈ M 2×2 (R). Mismas preguntas que en el ejercicio anterior. 6. Sea f : R 5 →R 5 , definida por: f(x, y, z, u, v) = (x+y+z+u, 2x+2y+z+v, x+y+z+u, 2x−y+z+v, y−z−2u+v) Mismas preguntas que en el ejercicio anterior. 7. Sea f : R 2 [t] → M 2 lineal tal que: f(1 + t 2 ) = _ 1 1 1 1 _ , f(2t 2 ) = _ 4 2 0 0 _ , f(1 +t +t 2 ) = _ 3 1 −1 −1 _ a) Encuentre f(x +yt +zt 2 ). b) Encuentre la base escalonada del n´ ucleo de f y de la imagen de f. 8. Sea f α : R 3 →R 3 ; una transformaci´on lineal tal que: f α (x, y, z) = (x +z, y + 2z, (α −3)z) Estudie la inyectividad y epiyectividad de f α de acuerdo a los distintos valores de α. 9. Observando las imagenes de los elementos de la base, estudie si la aplicaci´on lineal f : R 3 → R 3 dada por f(1, 0, 0) = (1, 1, 0); f(0, 1, 0) = (0, 0, 1); f(0, 0, 1) = (2, 2, −1) es un: a) Monomorfismo b) Epimorfismo c) Automorfismo 10. Misma pregunta que en el ejercicio anterior para f : R 3 →R 3 dada por f(1, 0, 0) = (1, −1, 1); f(0, 1, 0) = (1, 2, −1); f(0, 0, 1) = (−1, 1, 3). 11. Misma pregunta que en el ejercicio anterior para la aplicaci´on lineal f : R 2 [x] → R 2 [x] definida por f(1) = x −x 2 ; f(x) = 1 +x +x 2 ; f(x 2 ) = 2 −x + 5x 2 . 12. Sea f α : K 3 →K 3 , definida por f α (x, y, z) = (x+z, (α+5)y, (α+5)y, (α 2 −25)z) a) Encuentre la base escalonada del n´ ucleo e imagen de f α . b) Estudie la inyectividad y epiyectividad de f α . Seg´ un los diferentes valores de α. 13. Sea f α : K 3 →K 3 , definida por f α (x, y, z) = (x +αz, x +y + (α + 2)z, (α −3)z), seg´ un los diferente valores del escalar α. a) Encuentre la base escalonada del Im(f α ) y N(f α ). b) Estudie en cada caso si es inyectiva o epiyectiva. Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 21 11. Matrices 1. Sea f : R 3 → R 2 . Encuentre la matriz asociada a f seg´ un las bases B = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} de R 3 y C = {(1, 0), (1, 1)} de R 2 , en los siguientes casos: a) f(x, y, z) = (x + 2y, x) b) f(x, y, z) = (3z, x −y) 2. Sea f : R 2 → R 3 . Encuentre la matriz asociada a f seg´ un las bases B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} de R 3 y la base can´onica de R 2 , donde a) f(x, y) = (2x, x +y, x −2y) b) f(x, y) = (x +y, x −y, 2y) 3. Sea F : R 2 [x] →R 2 [x] definida por F(P(x)) = (1−x)P ′ (x). Determinar la matriz de F con respecto a la base can´onica. 4. Determinar el endormorfismo f de R 2 cuya matriz con respecto a la base B = {(2, 1), (1, 2)} es _ 1 2 3 0 _ . 5. Determinar f : R 2 → R 2 cuya matriz respecto a las bases B = {(1, 1), (1, −1)} y C = {(1, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 0)} es: (f; B, C) = _ _ 1 2 2 3 −1 1 _ _ . 6. Sea F un endomorfismo de R 2 cuya matriz con respecto a la base B = {(1, 1), (1, −1)} es (F; B) = _ 7 0 0 2 _ . Determinar la matriz de F con respecto a la base can´onica. 7. Considere C como espacio vectorial sobre R. Determine la matriz de f ∈ End(C) dada por f(z) = z con respecto a la base {1, i} y la base {1 +i, 1 + 2i}. 8. Sea F : R 3 [t] → R la tranformaci´on lineal definida por F(P(t)) = _ 1 0 P(t)dt. Determinar la matriz de F con respecto a las bases B = {1, t, t 2 , t 3 } y C = {1} de R 3 [t] y R respectivamente. 9. Sean f, g : R 2 → R 2 definidas por f(x, y) = (2x, x − y); g(x, y) = (x, 2y − x). Encuentre la matriz de f, g, f +g, f ◦ g, 3f y f 2 con respecto a la base can´onica. 10. Sean F, G : R 2 → R 3 , sabiendo que F(x, y) = (3x, x + y, y) y que la matriz de F + G con respecto a las bases can´onicas de R 2 y R 3 es _ _ 2 1 0 1 3 3 _ _ , determine G(x, y) y la matriz de G con respecto a esas bases. Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 22 11. Sea A una matriz cuadrada de orden 3. a) Si A es sim´etrica, encuentre A −A t b) Si A es triangular superior, encuentre A t y A 2 c) Si A es diagonal encuentre A t 12. Una matriz se dice idempotente si y s´olo si A 2 = A. a) Pruebe que A = _ _ 2 −3 −5 −1 4 5 1 −3 −4 _ _ es idempotente. b) Demuestre que si A es idempotente, enconces B = I n −A es idempotente y AB = BA. 13. Determinar A t , B t , (A+B) t , A t +B t , B+B t , A+A t , A−A t , A· A t , B· B t para las matrices A y B siguientes: a) A = _ 1 −2 3 0 1 4 _ B = _ 4 3 0 −1 5 0 _ b) A = _ 1 −2 0 1 _ B = _ 4 3 −1 5 _ 14. Sea V un K−espacio vectorial y B = {v 1 , v 2 , . . . , v n } una base de V . Se considera f : V → V un endomorfismo definido por f (v k ) = _ 0 si k = 1 v 1 +v 2 +. . . +v k−1 si k ≥ 2 a) Enceuntre (f; B, B). b) Estudie si f es inyectiva o epiyectiva. c) Para n = 2, 3, 4 encuentre (f; B, B). En cada uno de estos tres casos en- cuentre m ∈ N tal que (f; B, B) m = 0. Deduzca el caso general (n ∈ N cualquiera). 15. Sea f : R 3 →R 3 , una transformaci´on lineal tal que: f(x, y, z) = (x + 2y +z, x +z, z) a) Encuentre f −1 . b) Si B = {(−1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, −1, 1)} una base ordenada de R 3 , encuentre (f; B) y (f −1 ; B). 16. Encuentre, si existe, la inversa de los siguientes endomorfismos: a) f(x, y) = 2(x, −y). b) f : M 2×2 → M 2×2 ; f(X) = AX, donde A = _ 1 −1 −2 2 _ . Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 23 c) f : R n [X] →R n [X]; f(p(x)) = p(x) −p(0). 17. Calcule la inversa de la matriz _ _ 4 0 0 0 3 0 0 0 9 _ _ . 18. Demuestre que una matriz triangular superior con elementos distintos de cero en la diagonal principal, tiene por inversa una matriz triangular superior. 19. Sea A = _ cos θ −sen θ sen θ cos θ _ . Encuentre A −1 . 20. Si A es invertible, demuestre que (A −1 ) −1 = A 21. Si AB = 0, B = 0. ¿Es A invertible? 22. Si A 2 = 0. Estudie si A es invertible. 23. Determinar a ∈ R, de manera que la matriz real A = _ _ 1 1 1 2 1 2 1 2 a _ _ sea invertible. 24. Encuentre los valores de a ∈ K, para los cuales la matriz: A = _ _ 1 α −2 α 2 −a 1 2α −4 2α 2 −8 0 α −2 α −2 _ _ es invertible y en los casos que sea invertible, encuentre su inversa. 25. Sea B = _ _ 1 1 1 0 1 1 0 0 1 _ _ a) Encuentre B n b) Demuestre por inducci´on que su resultado es el correcto. 26. Si A es una matriz invertible, demuestre que (A −1 ) t = (A t ) −1 , donde A t es la transpuesta de A y A ∈ M 3×3 (K). 27. Una matriz A se dice ortogonal si A es invertible y A −1 = A t . a) Determine si es posible x, y ∈ R, de manera que la matriz _ √ 2 x y √ 2 _ se ortogonal. b) Demuestr que el producto de dos matrices ortogonales es ortogonal. 28. Sea f : R 2 →R 2 tal que f(1, 0) = (0, 1), f(0, 1) = (1, −1). Encuentre f(x, y), ∀(x, y) ∈ R 2 . Demuestre que f es un isomorfismo y encuentre su inverso. 29. Determine cuales de las siguientes matrices son invertibles, y en caso que lo sean, encuentre sus inversas: Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 24 a) _ 1 1 0 1 _ b) _ 1 1 1 1 _ c) _ 0 1 0 0 _ d) _ 0 1 1 0 _ e) _ _ 0 1 0 0 0 1 1 0 0 _ _ f ) _ _ 1 0 1 1 0 1 1 0 1 _ _ g) _ _ 0 1 0 1 0 1 0 1 0 _ _ h) _ _ 0 0 1 0 1 1 1 1 0 _ _ 30. Si la matriz de un endomorfismo con respcto a la base can´onica es _ 1 1 1 1 _ . De- termine la matriz de este endomorfismo con respecto a la base B = {(1, 1), (1, −1)}. 31. Determine los valores de α para los cuales las siguientes matrices son invertibles y en caso que lo sean encuentre su inversa: a) _ α 1 1 0 _ b) _ 1 α 1 0 _ c) _ 1 α 1 α _ d) _ 1 1 1 α _ e) _ _ 1 α 0 α 1 α 0 α 1 _ _ f ) _ _ α 1 0 1 α 1 0 1 α _ _ g) _ _ 1 1 α 1 1 α 1 α 1 _ _ 32. Calcule la inversa de cada una de las siguientes matrices, cuando ella exista: a) _ 2 −1 3 2 _ b) _ 1 x 0 1 _ c) _ a −b b a _ d) _ _ 2 1 3 −1 0 4 1 3 0 _ _ e) _ _ cos θ 0 −sen θ 0 1 0 sen θ 0 cos θ _ _ 12. Determinantes 1. Calcule el determinante de las siguientes matrices: a) _ _ 1 2 3 4 5 −1 0 2 3 _ _ b) _ _ 1 −1 1 −1 1 1 1 1 1 _ _ c) _ _ _ _ 1 3 1 −1 0 2 4 1 −1 1 2 0 0 3 1 3 _ _ _ _ 2. Pruebe la identidad siguiente: det _ _ 1 a a 2 1 b b 2 1 c c 2 _ _ = (b −a)(c −a)(c −b) Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 25 3. Dadas las matrices: A = _ _ 1 2 −1 3 1 1 −2 0 5 _ _ B = _ _ 3 −1 2 4 0 1 −2 1 5 _ _ constate que det(AB) = det(A) det(B) 4. Si w es una raiz c´ ubica imaginarioa de la unidad, hallar el valor de: det _ _ 1 w w 2 w w 2 1 w 2 1 w _ _ , det _ _ 1 w 3 w 2 w 3 1 w w 2 w 1 _ _ . 5. Calcule el determinante de ada una de las siguientes matrices: A = _ _ _ _ _ a 11 0 0 . . . 0 a 21 a 22 0 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . a n1 a n2 a n3 . . . a nn _ _ _ _ _ , B = _ _ _ _ _ a 11 a 12 . . . a 1n 0 a 22 . . . a 2n . . . . . . . . . . . . 0 . . . 0 a nn _ _ _ _ _ . 6. Si A y B son matrices invertibles de n×n. Estudie si AB y A+B son invertibles. 7. Estudie para qu´e valores de x la matriz _ x −3 4 2 x −1 _ no es invertible. 8. Se define la traza de una matriz de n × n como la suma de los elementos de la diagonal. Sea A una matriz de 2 ×2. Pruebe que det(I 2 +A) = 1 +det A si y s´olo si Tr(A) = 0 (donde Tr(A) = Traza de A). 9. Sea A una matriz de 3 × 3. Pruebe que si det(xI 3 − A) = ax 3 + bx 2 + cx + d, entonces a = 1, b = Tr(A) y d = −det A. 13. Diagonalizaci´on 1. Sea T : R 3 →R 3 tal que T(x, y, z) = (−3x +z, −2x +y, −x + 2y + 4z) a) Calcule la matriz asociada a T seg´ un la base can´onica. b) Encuentre bases C y D de R 3 tal que (T; C, D) est´e en su forma normal. c) Estudie si existe una base B de R 3 tal que (T; B) sea diagonal. 2. Analice la diagonalizaci´on de las siguientes matrices: a) _ 0 −1 1 0 _ b) _ 1 −1 2 4 _ c) _ 1 4 1 −2 _ d) _ 1 0 −2 1 _ e) _ _ 1 1 −2 4 0 4 1 −1 4 _ _ f ) _ _ 3 −2 1 2 1 −1 2 −6 4 _ _ g) _ _ 2 2 −3 0 3 −2 0 −1 2 _ _ Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 26 h) _ _ 2 2 2 1 2 1 2 −2 1 _ _ i ) _ _ 3 −2 1 2 1 −1 2 −6 4 _ _ j ) _ _ 3 1 1 2 4 2 1 1 3 _ _ k) _ _ 1 2 2 1 2 −1 −1 1 4 _ _ l ) _ _ 3 1 0 0 3 1 0 0 3 _ _ m) _ _ _ _ 3 0 1 0 0 3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 3 _ _ _ _ n) _ cos α sen α −sen α cos α _ 3. Sea v un vector propio de T asociado al valor propio λ, probar que ∀n ∈ N, v tambi´en es un vector propio de T n correspondiente al valor propio de λ n . 4. Ilustre el ejercicio anterior haciendo n = 2 y la matriz asociada a T igual a _ 1 1 1 −2 _ . 5. Si λ es un valor propio de T y F(x) es un polinomio, pruebe que F(λ) es un valor propio de F(T). 6. Una matriz cuadrada A = 0 se dice que es nilpotente si existe k ∈ N, k = 0 tal que A k = 0. Probar que si A es nilpotetnte entonces 0 es el ´ unico valor propio de A. Concluya que A no es diagonalizable. 7. Para cada una de las siguientes matrices, encuentre, si existe, una matriz invertible P, tal que P −1 AP sea diagonal: a) _ _ 4 2 3 2 1 2 −1 −2 0 _ _ b) _ _ 1 1 2 0 1 0 0 1 3 _ _ c) _ 0 −1 2 3 _ 8. Sea f : R 3 →R 3 tal que f(x, y, z) = (2x+3y, −y+4z, 3z). Encuentre el polinomio caracter´ıstico y os valores y vectores propios de f. 9. Dada la matriz A = _ _ 6 −1 3 −3 2 −3 −1 1 2 _ _ . Encuentre: a) Valores propios asociados a A. b) Sub espacios propios de A. c) Una matriz P invertible tal que P −1 AP sea una matriz diagonal. 10. Sea V un R-espacio vectorial de dimension finita y f : V → V lineal, distinta de la identidad. Muestre que: a) Si f 2 = f, entonces f es diagonalizable. b) Si f 3 = Id, entonces f no es diagonalizable. Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 27 14. Formas Bilineales 1. Estudie cuales de las siguientes funciones son bilineales: a) f : R 3 ×R 3 →R tal que f((x, y, z), (a, b, c)) = x +a +y +b +z +c b) f : R 2 ×R 2 →R tal que f((x, y), (a, b)) = 3ax +by c) f : R 4 × R 4 → R tal que f((x, y, z, t), (a, b, c, d)) = ax + 2by − 3cz + kdt, donde k es un real fijo. d) f : R 2 ×R 2 →R tal que f((x, y), (a, b)) = ay −1 Para aquellas que son bilineales, encuentre la matriz con respecto a: (i) La base can´onica (ii) Las bases: B = {(0, 1), (1, 2)} de R 2 , C = {(1, 0, 2), (−1, 2, 0), (0, 1, 1)} de R 3 y D={(1, 1, 1, 2), (1, 2, −1, −1), (0, 0, 2, 0), (1, 0, 0, 0)} de R 4 . 2. Diga cuales de las formas bilineales del ejercicio anterior son producto escalar. 3. Sea f : R 2 ×R 2 →R, tal que f((x, y), (a, b)) = ax +ay +xb + 2yb a) Demuestre que f es un producto escalar. b) Definar norma para este producto escalar y calcule la longitud del vector (0, 1). c) Defina el ´angulo entre dos vectores y calcule el ´angulo entre los vectores 0, 1 y (1, 0). 4. Sea k ∈ R y f : R 2 ×R 2 →R 2 definida por: f((a, b), (x, y)) = ax −3ay −3bx +kby Diga para qu´e valores de k, f es un producto escalar en R 2 5. Si f : V ×V →R 2 es un producto interno, verifique que: f(u, v) = 1 4 (u +v 2 −u −v 2 ) 6. Sea g : M n×n (R) ×M n×n (R) →R tal que g(A, B) = tr(B t , A) a) Demuestre que g es un producto interno b) Para n = 2 y para A = _ 1 2 3 4 _ , B = _ 1 6 2 5 _ , calcule A, d(A, B), en el ´angulo entre A y B 7. Encuentre bases ortogonales para los siguientes sub-espacios vectoriales sobre R: Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 28 a) < (i, i, −i), (i, 0, i) > b) < (2, 1, 1), (1, 3, −1) > c) < (1, 2, 1, 0), (1, 2, 3, 1) > d) < (1, 1, 0, 0), (1, −1, 1, 1), (−1, 0, 2, 1) > 8. Sea v = (1, 2, −1), w = (0, 2, 0) vectores de R 3 . Encuentre el conjunto S de todos los vectores ortogonales a v y w simultaneamente. Demuestre que S es un subespacio vectorial de R 3 . 9. Encuentre una base ortogonal de R 3 que contenga el vector (1, −1, 0). Lo mismo para R 4 , con el vector ( 2 3 , 2 3 , − 1 3 , 0). 10. Sea f : R 3 ×R 3 →R una forma bilineal tal que f((a, b, c), (x, y, z)) = ax −2bx + 3cx −2ay +by +cy + 3az + 4cz a) Encuentre la matriz de f, respecto de la base can´onica de R 3 . b) Diga si f es un prodcuto interno en R 3 . Justifique. c) Si la respuesta en (b) es afirmativa, ortonormalice {(1, 1, 0), (1, 2, 3)} con respecto al producto interno f. d) Si la respuesta en (b) es negativa, ortonormalice el conjunto dado con re- specto al producto usual. 11. Encuentre una base ortonormal de W = {(x, y, z) ∈ R 3 ; y = 3x} con respecto al producto usual y exti´endala hasta una base ortonormal de R 3 . 12. Sea V el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a n Demuestre que: < f, g >= _ 1 0 f(t)g(t)dt es un producto escalar y encuentre su matriz con respecto a la base {1, t, t 2 , . . . , t n }. 13. Sea V = R 3 [t], dotado del producto escalar definido en el ejercicio anterior. Ortonormalice la base {1, t, t 2 , t 3 }. 14. Sea V el espacio vectorial real con base {sen t, cos t}. Se define el producto escalar: < f, g >= _ π −π f(t)g(t)dt a) Encuentre la matriz de este producto escalar con respecto a la base dada. b) Encuentre el vector ortogonal al vector 2 sent −3cost. 15. Sea V un espacio euclidiano y sean u y v vectores de V . Demuestre que: u = v si y s´olo si < u, w >=< u, w > ∀w ∈ V 16. Considerar R 4 con el producto escalar usual. Sea W el subespacio de R 4 formado por todos los vectores ortogonales a (1, 0, −1, 1) y (2, 3, −1, 2). Encuentre una base de W. Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 29 17. Si v = (x, y, z) de R 3 , encuentre la forma bilineal asociada a cada una de las formas cuadr´aticas: f(v) = xy; g(v) = xz +y 2 ; h(v) = 2xy −zx 18. Dada la funci´on cuadr´atica q : R 3 →R; q(x, y, z) = 10xy + 4xz −10x 2 + 6yz + 6z 3 a) Encuentre la matriz de q con respecto a la base can´onica. b) Si v = (x, y, z), w = (a, b, c) y f es la funci´on bilineal asociada a q, calcule f(v, w). Gu´ıa de Ejercicios ´ Algebra Anual, UFRO 30