Universidad Politécnica de San Luis PotosíMatemáticas 1 – Guía de ejercicios para el Tercer Parcial Academia de Matemáticas, Primavera 2014 1. Resuelva los siguientes problemas de optimización: a) Encontrar dos números positivos, uno el inverso del otro, cuya suma sea mínima. b) Encontrar dos números que sumados den como resultado 1000 y cuyo producto sea máximo. c) Para el producto de un monopolista, la función de demanda es: = 72 − 0.04ݍ (con q el número de productos) y la función de costo es: ܿ = 5000 + 30ݍ. Si la utilidad es la ganancia al vender q unidades menos el costo de producirlas, ¿A qué nivel de producción se maximiza la utilidad? ¿A qué precio ocurre esto y cuál es la utilidad máxima? d) Si la función de ingreso total para una computadora es ܴሺݔሻ = 2000ݔ − 20ݔ ଶ − ݔ ଷ , encuentre el nivel de ventas, ݔ, que maximiza el ingreso. ¿Cuál es el ingreso máximo? e) ¿Cuál es el área máxima de un rectángulo que se puede formar con una cuerda de 2m de largo? f) Se planea construir un negocio a un lado de la carretera. Si en los gastos operativos se toma en cuenta un estimado de $3,200 para el impuesto predial y se sabe que el metro de terreno que da a la carretera se cobra a $600 y los demás a $200, ¿Qué dimensiones dan el terreno de mayor dimensión que se ajuste a lo calculado de predial? g) Para un pequeño huerto rectangular se planean sembrar dos tipos de vegetales usando dos áreas idénticas. Si se tienen 30 metros de malla para hacer la división y cercar todo el huerto, ¿Cómo se debe distribuir el terreno para optimizar el área? h) Un terreno rectangular tiene 1,500 m 2 de área y va a ser cercado y dividido en dos porciones iguales mediante una cerca adicional paralela a dos de los lados. Encontrar las dimensiones del terreno que requieren la menor cantidad de cerca. i) Se arma una estructura en la playa que consiste únicamente de dos paredes laterales cuadradas, una pared trasera rectangular y un techo. Si se tienen 9݉ ଶ de hoja de triplay, ¿Cuáles dimensiones generan el mayor espacio dentro de la estructura? j) ¿Cuáles son las dimensiones de una lata de aluminio con tapas de volumen 355ml (355cm 3 ) que minimizan la cantidad de material empleado? k) A una hoja de aproximadamente tamaño Tabloide (43 x 27cm) se le recortan cuadrados iguales en cada esquina de manera que se puedan doblar los lados y hacer una caja rectangular sin tapa. ¿Cuál es el máximo volumen que se puede conseguir? l) ¿Cuál es el punto de la recta ݕ = ௫ ଶ + 1 que se encuentra más cerca del punto ሺ2,0ሻ? m) Una ventana estilo normanda consiste en un espacio rectangular con un semicírculo en la parte superior (ver figura). ¿Cuál es la altura de la región semicircular que hace que lo ventana sea lo más grande posible si solo contamos con 10m de perfil de aluminio? (Nota: no hay separación entre la región rectangular y el semicírculo) n) El Sr. White quiere construir un tanque cilíndrico dentro de un silo que tiene forma cónica de 15m de altura y 6m de radio en la base. Despreciando el grosor del tanque, ¿Cuál es la máxima cantidad de químico que puede esconder dentro? o) ¿Cuál es el área máxima de un triángulo rectángulo que se puede formar con una cuerda de 2m de largo? Ventana normanda Universidad Politécnica de San Luis Potosí Matemáticas 1 – Guía de ejercicios para el Tercer Parcial Academia de Matemáticas, Primavera 2014 2. Integra las siguientes funciones usando propiedades básicas: a) ଵ ଶ ݀ݔ b) ݔ ଼ ݀ݔ c) 5ݔ ି ݀ݔ d) ଶ ௫ భబ ݀ݔ e) ሺ3ݐ ଶ − 4ݐ + 5ሻ ݀ݐ f) ሺݔ ଼.ଷ − 9ݔ + 3ݔ ିସ + ݔ ିଷ ሻ ݀ݔ g) ቀ ௫ − ଷ ସ ݔ ସ ቁ ݀ݔ h) 6݁ ௫ ݀ݔ i) − ଶ√௫ ଷ ݀ݔ j) ଵ ସ √௫ మ ఴ ݀ݔ k) ቀ ଷ௪ మ ଶ − ଶ ଷ௪ మ ቁ ݀ݓ l) ሺ݁ ௫ +10݁ ௫ ሻ ݀ݔ m) √ݔሺݔ + 3ሻ ݀ݔ n) ሺ2ݑ + 1ሻ ଶ ݀ݑ o) ௭ ర ାଵ௭ య ଶ௭ మ ݀ݖ 3. Calcula las siguientes integrales trigonométricas: a) 3 cosሺ3ݔሻ ݀ݔ b) sen10ݔ ݀ݔ c) sec ଶ ሺ1 −4ݔሻ ݀ݔ d) cos ସ ݔ senݔ ݀ݔ e) cos ଶ ݔ ݀ݔ f) ݔ cos ݔ ଶ ݀ݔ g) ଵ ୱୣୡሺହ௫ାଵሻ ݀ݔ h) ୱୣ୬ଶఏ ୡ୭ୱఏ ݀ߠ i) ୡୱୡ√௫ ୡ୭୲ √௫ √௫ ݀ݔ j) sen ହ 3ݔ cos 3ݔ ݀ݔ k) tan ଶ 2ݔ sec ଶ 2ݔ ݀ݔ l) tan ଶ 7ݔ ݀ݔ m) ଶାୡ୭ୱ௫ ୱୣ୬ మ ௫ ݀ݔ n) sen ଶ ݔ ݀ݔ o) ሺݖ − 1ሻ csc ଶ ሺݖ ଶ + 2ݖሻ ݀ݖ 4. Calcula las siguientes integrales de funciones exponenciales: a) ݁ ଶିଶ௫ ݀ݔ b) ݔ ଷ ݁ ଷ௫ ర ݀ݔ c) ቀ݁ ସ௫ − ଷ ೣ మ ⁄ ቁ ݀ݔ d) ቀ ݔ݁ ଷ௫ మ − ହ ೣ య ⁄ ቁ ݀ݔ e) ௫ ఱ మషయೣ ల ݀ݔ f) 250݁ ି.ହ௫ ݀ݔ g) ସ ହ భషమೣ ݀ݔ h) ଶ ೣశభ ା లషమೣ ିହ ଷ రషళೣ ݀ݔ i) ሺ18 − 9ݔሻ݁ ௫ మ ିସ௫ି ݀ݔ j) ሺݔ−1ሻ 2 5݁ 2ݔ 3 −6ݔ 2 +6ݔ−1 ݀ݔ k) ሺݔ − 4ሻ݁ ሺ௫ିସሻ మ ݀ݔ 5. Encontrar la función ࢌሺ࢞ሻque satisface las condiciones dadas: a) ݂ ᇱ ሺݔሻ = ݁ ௫ିଷ , ݂ሺ0ሻ = 2 b) ݂ ᇱ ሺݔሻ = ଵ ௫ − ݔ, ݂ሺ1ሻ = 0 c) ݕ ′ ሺݐሻ = 0.3 + 0.2 √ݐ , ݕሺ0ሻ = 8 d) ݕ ᇱ ሺݐሻ = ଵ √௧ାଵ + 0.4, ݕሺ0ሻ = 6 e) ݕ ᇱ ሺݐሻ = 0.7 − ݁ ିଶ௧ , ݕሺ0ሻ = 5.65 f) ݂ ᇱ ሺݔሻ = 0.15, ݂ሺ0ሻ = 5.15 g) ݂ ᇱ ሺݔሻ = 0.2 − ଵ √ଷ௫ା , ݂ሺ0ሻ = 6 6. Calcula las siguientes integrales definidas: a) ሺ2ݔ − 3ሻሻ݀ݔ ଵ ିଷ b) 2ݔ ଶ ሺݔ ଷ − 1ሻ ଷ ଵ ݀ݔ c) ඥ10 −3 ଶ భ య ݀ d) ሺ−ݔ ଷ + 2ݔ − 1ሻ ଷ ିଵ ݀ݔ e) 6senߠ ഏ య ݀ߠ f) ௗ௧ ୱୣ୬௧ ഏ ర ഏ ర g) ݔ ଵ ݀ݔ h) 2ݔ + ݔ ଶ ଶ ଵ ݀ݔ i) ଵ ଶ ݔ ଶ − ଵ ଷ ݔ ଷ ଷ ିଶ ݀ݔ j) ሺݐ ଷ − ݐ ସ ሻ ଶ ݀ݐ k) ቀ2ݐ ହ − ଵ ௧ మ ቁ ଶ ଵ ݀ݐ l) ଵ ሺ௧ିଵሻ +ݐ ଷ ଶ ݀ݐ Universidad Politécnica de San Luis Potosí Matemáticas 1 – Guía de ejercicios para el Tercer Parcial Academia de Matemáticas, Primavera 2014 m) ଷ௫ ଵ ଷ ଵ ݀ݔ n) ߦ ଶ ିଵ ିଷ ݀ߦ o) ߙ݁ ఉఛ ଵ ݀߬ ሺߚ ≠ 0ሻ p) ଵ ௬ ିଵ ିଶ ݀ݕ q) ݔ ଶ ଵ ݀ݔ r) ݁ ି௫ ଷ ଵ ݀ݔ s) 2ݔ ଶ ሺ2 − ݔሻ ଶ ଶ ݀ݔ t) ଵ ௫ ୪୬௫ మ ݀ݔ u) ݔ ଷ ݀ݔ v) ሺݔ ହ − 4ݔ ଷ + ଶ ିଶ 6ݔ ሻ ݀ݔ w) ሺ3ݔ ଶ + ݔ − 2ሻ ଷ ݀ݔ x) 1 − ݔ ସ ଵ ିଵ ݀ݔ y) ሺ݁ ௫ + 1ሻ ଷ ଵ ݀ݔ z) ሺ୪୬௫ሻ మ ௫ ଵ ଵ ݀ݔ aa) ௭ ሺ௭ మ ାଵሻ య ଵ ݀ݖ 7. Integra usando el método de sustitución o cambio de variable: a) ݏ݁݊ሺ4ݔሻ݀ݔ b) ݁ 7ݔ−2 ݀ݔ c) ݔ ඥ 5+ݔ 2 ݀ݔ d) 6ݏ݁݊ሺݔሻ 5−2cos ሺݔሻ ݀ݔ e) ݔ 2 −3 ට ݔ 3 −9ݔ+18 3 3 ݀ݔ f) ݏ݁݊ ݔ 1+ܿݏ 2 ݔ ݀ݔ g) ݁ 1 ݔ ൗ ݔ 2 ଶ ଵ ݀ݔ h) ݀ݔ ݔ√lnݔ ర i) 2ݔ ݔ 2 +5 ݀ݔ j) ݁ ݔ+݁ ݔ ݀ݔ k) 4݁ ݔ 1+݁ 2ݔ ݀ݔ l) 1 ݁ ݔ +݁ −ݔ ݀ݔ m) ݔ 4 ඥ ݔ 5 +1 7 ݀ݔ n) ݔ 2ݔ ሺ݈݊ݔ + 1ሻ ݀ݔ o) sen2ݔ+cosሺ2ݔሻ cosሺ2ݔሻ ݀ݔ p) ݁ ݏ݁݊ሺݔሻ cosሺݔሻ ݀ݔ q) ln ݔ ݔ ݀ݔ r) √7ݔ + 2 ݀ݔ s) 1 ݔ 2 +2ݔ+5 ݀ݔ t) ݔ ଶ ݁ ௫ య ݀ݔ u) sin ସ ሺ3ݔሻ cosሺ3ݔሻ݀ݔ v) ୱ୧୬ሺ௫ሻ ୡ୭ୱ య ሺ ௫ሻ ݀ݔ w) ݔ√16 − ݔ ଶ ݀ݔ x) ඥ୪୬ሺ௪ሻ ௪ ݀ݓ y) ౢሺሻ ௧ ݀ݐ z) ௭ ሺ௭ మ ାଵሻ య ݀ݖ aa) 3ݓ√4 − ݓ ଶ ݀ݓ bb) bb) ܿݏ 2 ሺݔሻݏ݁݊ሺݔሻ݀ݔ cc) ሺ୪୬ሺ௫ሻሻ మ ௫ ݀ݔ dd) ݁ షೣ మ ݀ݔ ee) ቀ భ ೣ ቁ ௫ మ ݀ݔ ff) ሺ݁ ௫ + 1ሻ ଷ ݁ ௫ ݀ݔ gg) ୱ୧୬√௫ √௫ ݀ݔ hh) sinሺݔሻඥ1 − cosሺݔሻ ݀ݔ ii) ସୱ୧୬௧ ሺଵାୡ୭ୱ ௧ሻ మ ݀ݐ jj) ଵ ଶ௫ିଵ ݀ݔ kk) 6ݔ ଶ sinሺݔ ଷ ሻ݀ݔ ll) ୡ୭ୱሺ௧ሻ ୱ୧୬ሺ௧ሻ ݀ݐ mm) ೣ ೣ ାଷ ݀ݔ 8. Resuelve los siguientes problemas de aplicación: I. Problemas de aplicación: aሻ El valor promedio de una función se calcula como ଵ ି ݂ሺݔሻ ݀ݔ. Si la población (en miles de millones de personas) ݐ años a partir de este momento es de ܲሺݐሻ = 7.218݁ .ଵଵସ௧ (con 1.14% la tasa de crecimiento actual de acuerdo a www.worldometers.info), ¿Cuál será el tamaño promedio de la población de aquí a los próximos 30 años? bሻ El uso del agua a nivel mundial, ݐ años después de 1960 era de aproximadamente 860݁ .ସ௧ kilómetros cúbicos de agua al año. ¿Cuánta agua se usó entre 1960 y 1995? Universidad Politécnica de San Luis Potosí Matemáticas 1 – Guía de ejercicios para el Tercer Parcial Academia de Matemáticas, Primavera 2014 cሻ Una piedra arrojada hacia arriba tiene una velocidad de ܸሺݐሻ = −9.8ݐ + 20 después de ݐ segundos. ¿Cuánta distancia recorre la piedra en los primeros 2 segundos? dሻ El término “marginal” se utiliza en economía en relación al cambio en la producción. Así, si la función ܿሺݔሻ representa el costo de producir ݔ unidades, ܿ ᇱ ሺݔሻ representa la tasa a la que aumenta el costo al incrementar el nivel de producción y se le llama costo marginal. En una planta que fabrica llantas de aviones, el costo marginal de producir ݔ llantas por día es 0.04ݔ + 150 dólares. Si los costos fijos son de $500 dólares al día, a) ¿Cuánto cuesta producir ݔ llantas al día? b) ¿Cuánto cuesta producir 50 llantas en un día? c) ¿Cuánto cuesta aumentar la producción de 50 a 70 llantas? eሻ Si la ganancia marginal de un negocio es de 400 − 3ݔ ଶ , ¿Cuál es la función de la ganancia si a un nivel de producción de 21 unidades se gana $1000? fሻ A la medida de la longitud de un trozo de curva se le llama “longitud de arco” y se calcula como ݏ = ඥ1 + ሾ݂ ᇱ ሺݔሻሿ ଶ ݀ݔ. ¿Cuánto mide la longitud de arco de la curva ݂ሺݔሻ = ଶ ଷ ݔ య మ + 1 en el intervalo ሾ0,1ሿ? gሻ Un tanque de petróleo sufre una ruptura y el petróleo sale a razón de ݎሺݐሻ = 100݁ ି.ଵ௧ litros/minuto. ¿Cuánto petróleo se fuga en la primera hora? hሻ La producción de una compañía que produce calculadoras es de ୢ୶ ୢ୲ = 5000 ቀ1 − 100ݐ+102 calculadoras/semana. ¿Cuántas se producen entre la tercera y cuarta semana? II. Estimar el área comprendida por las siguientes funciones (puedes apoyarte graficando la región que se pide): aሻ ݔ = 0, ݔ = 3, ݕ = 0, ݕ = 1 + √ݔ bሻ ݔ = 0, ݕ = 0, ݕ = − ଷ ସ ݔ + 3 cሻ ݔ = 1, ݕ = 0, ݕ = 2 − √ݔ dሻ ݔ = −1, ݔ = 5, ݕ = 0, 2ݕ = ݔ + 3 eሻ ݕ = 0, ݕ = 2 − ௫ మ ଼ fሻ ݕ = 0, ݕ = ሺݔ − 1ሻ ସ − 16 gሻ ݔ = 0, ݔ = 2, ݕ = 0, ݕ = ݁ ೣ మ hሻ ݔ = −2, ݔ = 0, ݕ = 0, ݕ = ݁ ೣ మ iሻ ݔ = 0, ݔ = గ ସ , ݕ = sen2ݔ jሻ ݔ = 0, ݔ = 3ߨ, ݕ = 0, ݕ = ଵ ଶ ሺ1 − cos 2ݔሻ Universidad Politécnica de San Luis Potosí Matemáticas 1 – Guía de ejercicios para el Tercer Parcial Academia de Matemáticas, Primavera 2014 Respuestas: Sección 1 (Optimización): a) 1 y 1. b) 500 y 500. c) 525 unidades; precio = $51; utilidad = $ 10,525. d) 20 Unidades con $24,000 de ingreso máximo. e) 0.25݉ ଶ . f) 2 x 4 m. g) Lado largo: 7.5m. Lados laterales y división: 5m h) 15√10 ݉ × 10√10 ݉ i) Paredes laterales: 1.22 x 1.22 m. Pared trasera y techo: 2.44 x 1.22 m. j) ݎ = 3.837ܿ݉, ℎ = 7.674ܿ݉ k) 2,814.24 ܿ݉ ଷ . l) ቀ ହ , ଼ ହ ቁ m) 125.66 ݉ ଷ . n) 3 − 2√2 Sección 2 (Integrales básicas): a) ଵ ଶ x + c b) ୶ వ ଽ + c c) − ହ ୶ ల + c d) − ଶ ଽ୶ వ + c e) t ଷ − 2t ଶ + 5t +c f) ୶ వ.య ଽ.ଷ − ଽ୶ ళ − ଵ ୶ య − ଵ ଶ ୶ మ + c g) ୶ మ ଵସ − ଷ୶ ఱ ଶ + c h) 6e ୶ + c i) − ସ୶ య మ ൗ ଽ + c j) 2√x ఴ + c k) ୵ య ଶ + ଶ ଷ୵ + c l) ୶ శభ ୣାଵ + 10e ୶ + c m) ଶ୶ ఱ మ ൗ ହ + 2x ଷ ଶ ൗ + c n) ସ୳ య ଷ + 2u ଶ + u + c o) య + ହ ଶ z ଶ + c Sección 3 (Integrales trigonométricas): a) sen3x + c b) − ଵ ଵ cos 10x + c c) − ଵ ସ tanሺ1 − 4xሻ + c d) − ଵ ହ cos ହ x + c e) ଵ ଶ x + ଵ ସ sen2x + c f) ଵ ଶ senx ଶ + c g) ଵ ହ senሺ5x + 1ሻ + c h) −2 cos θ + c i) −2 csc √x + c j) ଵ ଵ଼ sen 3x + c k) ଵ tan ଷ 2x + c l) ଵ tanx − x + c m) −2 cot x − csc x + c n) ଵ ଶ x + ଵ ସ sen2x + c o) − ଵ ଶ cotሺz ଶ + 2zሻ + c Sección 4 (Integrales exponenciales): a) − ଵ ଶ e ଶିଶ୶ + c b) ଵ ଵଶ e ଷ୶ ర + c c) ୣ ర౮ ସ + ୣ ౮ మ ⁄ + c d) ݁ 3ݔ 2 6 + 15݁ −ݔ/3 + ܿ e) −500e ି.ହ୶ + c f) ଶ ହୣ భషమ౮ +c g) ଵ ଵଶ e ଼୶ିଷ + ଵହ e ହ୶ାଶ − ହ ଶଵ e ୶ିସ +c Universidad Politécnica de San Luis Potosí Matemáticas 1 – Guía de ejercicios para el Tercer Parcial Academia de Matemáticas, Primavera 2014 h) − ଽ ଶ e ୶ మ ିସ୶ି + c i) − ଵ ଷୣ మ౮ య షల౮ మ శల౮షభ j) ୣ ሺ౮షరሻ మ ଶ + c Sección 5 (Condiciones iniciales): a) ݂ሺݔሻ = ݁ ௫ିଷ − ݁ ିଷ + 2 b) ݂ሺݔሻ = ln|ݔ| − ௫ మ ଶ + ଵ ଶ c) ݕሺݐሻ = 0.3ݐ + 0.4√ݐ + 8 d) ݕሺݐሻ = 2√ݐ + 1 +0.4ݐ + 4 e) ݕሺݐሻ = 0.7ݐ + 0.5݁ ିଶ௧ + 5.15 f) ݂ሺݔሻ = 0.15ݔ + 5.15 g) ݂ሺݔሻ = 0.2ݔ + ଶ√ଷ௫ା ଷ + 7.76 Sección 6 (Integrales definidas): a) −20 b) − ଵ c) ଷ଼ ଽ d) −56 e) 3 f) 0 g) ଵ ଶ h) ଵ ଷ i) ହ ଵଶ j) − ଵଶ ହ k) ସଵ ଶ l) 3.193 m) ହ n) ଶ ଷ o) ఈ ఉ ൫݁ ఉ − ݁൯ p) −0.693 q) ଵ ଷ r) మ ିଵ య s) ଷଶ ଵହ t) ln 2 u) 39678.428 v) 0 w) ହଵ ଶ x) ଼ ହ y) 22.1003 z) 4.069 aa) ଷ ଵ Sección 7 (Integrales por sustitución): a) − ଵ ସ cosሺ4xሻ + c b) ଵ e ୶ିଶ + c c) √5 +x ଶ + c d) 3 ln|5 − 2 cosሺcሻ| + c e) 3 2 ට ቀ ݔ 3 −9ݔ+18 3 ቁ 2 3 + ܥ f) f) arcctgሺcosሺݔሻሻ + ܿ g) ≅ 1.07 h) 2 i) ln|x ଶ + 5| + c j) e ୣ ౮ + c k) 4ݐܽ݊ ିଵ ሺ݁ ௫ ሻ + ܿ l) tan ିଵ ሺe ୶ ሻ +c m) ଷ ሺx ହ + 1ሻ ⁄ + c n) ଵ ଶ x ଶ୶ + c o) ଵ ଶ ln|secሺ2xሻ| + x + c p) e ୱୣ୬ ሺ୶ሻ + c q) ሺ୪୬୶ሻ మ ଶ +c r) ଶ ଶଵ ඥሺ7x + 2ሻ ଷ +c s) ଵ ଶ tan ିଵ ሺ୶ାଵሻ ଶ + c t) ଵ ଷ ݁ ௫ య +ܥ u) ଵ ଵହ sin ହ ሺ3ݔሻ + ܥ v) ଵ ଶୡ୭ୱ మ ሺ ௫ሻ + ܥ w) − ଵ ଷ ሺ16 − ݔ ଶ ሻ ቀ య మ ቁ +ܥ x) 2 3 ሺln xሻ 3 2 + ܿ y) ݐ + ܥ z) ିଵ ସሺ௭ మ ାଵሻ మ + ܥ aa) −ሺ4 − ݓ ଶ ሻ ቀ య మ ቁ + ܥ bb) − ଵ ଷ cos ଷ ሺݔሻ +ܥ cc) ଵ ଷ ሺlnሺݔሻሻ ଷ +ܥ dd) −2݁ షೣ మ + ܥ ee) −݁ ቀ భ ೣ ቁ + ܥ ff) ଵ ସ ሺ݁ ௫ + 1ሻ ସ + ܥ gg) −2ܿݏ√ݔ + ܥ hh) ଶ ଷ ሺ1 − cosሺݔሻሻ ቀ య మ ቁ + ܥ ii) ସ ଵାୡ୭ୱ௧ + ܥ jj) ଵ ଶ lnሺ2ݔ − 1ሻ + ܥ kk) −2cosሺݔ ଷ ሻ +ܥ ll) ln ሺsenݐሻ + ܿ mm) lnሺ݁ ௫ + 3ሻ + ܥ Universidad Politécnica de San Luis Potosí Matemáticas 1 – Guía de ejercicios para el Tercer Parcial Academia de Matemáticas, Primavera 2014 Sección 8 (Problemas de aplicación): I. Problemas de aplicación: a) 8.605 miles de millones. b) 65,686.79 km 3 c) 20.4m d) a) 0.02ݔ ଶ + 150ݔ + 500 b) $8050 c) $3048 e) 400ݔ − ݔ ଷ + 600 f) 1.218 g) 4511.88 litros h) 2,252.74 calculadoras. II. Cálculo de área: a) 6.46 b) 6 c) 1.333 d) 17 e) ଷଶ ଷ f) 51.2 g) 3.436 h) 1.26 i) 0.5 j) ଷగ ଶ
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