ÁREA DE MATEMÁTICAProf. Luis Dávila Contenidos Progresiones Aritméticas Progresiones Geométricas Logros de aprendizaje - Resuelve problemas aplicando las principales propiedades de las progresiones aritméticas y geométricas. Profesor Luis Dávila B. Estudiante Grado y Sección 10° Bimestre I ÁREA DE MATEMÁTICA Prof. Luis Dávila Decimos que una sucesión de números están en Progresión Aritmética (P.A.) cuando cada uno de ellos es igual al anterior más una cantidad constante llamada razón (r) de la progresión. Ejemplo: 3; 7; 11; 15; .......... 8; 2; –4; –10; .......... a; a+r; a+2r; a+3r; .......... Representación: t 1 ; t 2 ; t 3 ; ......; t n P.A. de “n” términos +r Donde: r = t n – t n–1 La razón (r) se encuentra restando cualquier término menos su inmediato anterior. Si: r > 0 ¬ La progresión es Creciente Si: r < 0 ¬ La progresión es Decreciente Propiedades: Término “n – enésimo” Término central: Suma de los “n” términos: EJERCICIOS DE APLICACIÓN NIVEL I 1. Calcular el a 15 en la P.A: 12; 8; 4;...... 2. En la P.A: 4; 7; , 10; .........., calcular el vigésimo segundo término. 3. Hallar la razón de la Progresión Aritmética si el primer término es 3 y el sexto término es 8. 4. ¿Cuántos términos posee la siguiente Progresión Aritmética? P.A.: 6; 9; 12; ......; 36 5. En un P.A se conoce: a 3 = 18; a 7 = 30. hallar “a 22 ” 6. En una progresión aritmética: t 54 = –61 y t 4 = 64. Hallar el término t 23 . 7. Interpola los términos que se indican en cada sucesión: a) cuatro medios aritméticos entre 7 y 17 b) cinco medios aritméticos entre 32 y 14 8. Hallar el valor de “x” en la siguiente P.A (4x-5);20;(4x+5) 9. Sabiendo que: (x + y); (4x - 3y); (3x + 5y) son 3 términos consecutivos de una P.A. calcular el valor de: x/y 10. Si se sabe que a, a 2 y 3a son los tres primeros términos de una progresión aritmética, entonces la suma de los 10 primeros términos es: 11. Hallar: P = 35 + 36 + 37 + ... + 355 Dar la suma de cifras de “P” 12. Si: R = 21 + 23 + 25 + ... + 189 Calcular la suma de cifras de “R” 13. Hallar la suma de todos los términos de la progresión Aritmética: 3, 5, 7, ... , 31 NIVEL II 14. La suma de los tres términos de una P.A. es 33 y su producto 1232. ¿Cuál es la razón de la progresión? A) 8 B) 4 C) 3 D) 11 E) 7 t n = t 1 + (n – 1).r t c = 2 t t n 1 + S n = n 2 t t n 1 · | | . | \ | + S n = n t c · ÁREA DE MATEMÁTICA Prof. Luis Dávila 15. Sea la P.A.: 3 .................. 30 .................. p El número de términos comprendidos entre 3 y 30 es igual a los comprendidos entre 30 y “p”; si además, la suma de todos los términos es 570, hallar la razón de la progresión. A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 8 16. La suma de los tres primeros términos de una P.A. es 42, la suma de los 3 últimos es 312 y la suma de todos los términos es 1062. ¿Cuántos términos tiene dicha P.A.? A) 11 B) 15 C) 18 D) 19 E) N.A. 17. El término de lugar “p” en una P.A. es “q” y el término de lugar “q” es “p”. Hallar el término de lugar “k”. A) p + q C) p + q + k E) pqk B) p + q + 2k D) p + q – k 18. En una P.A. se conoce: t 1 = x 2 – 3x – 110 y t x = x 2 + 11x – 124 Hallar: E = ) 1 x ( ) 2 x ( t 9 ÷ ÷ A) 1 C) 3 E) 3x – 2 B) 2 D) 2x + 1 19. La suma de los 6 términos centrales de una P.A. creciente de 16 términos es 141 y el producto de sus extremos es 46; encontrar la progresión indicando uno de sus términos centrales. A) 22 B) 23 C) 24 D) 26 E) 27 PRÁCTICA 1. Hallar el término a 10 en una progresión aritmética en la que a 1 = 5 y la razón es -3. 2. Calcula el primer término de una progresión aritmética que consta de 10 términos, si se sabe que el último es 34 y la razón es 3. 3. En una progresión aritmética a 12 = -7 y r = -2. Hallar a 1 4. En una progresión aritmética a 20 = -33 y a 12 = - 28, hallar a 1 y r. 5. En una progresión aritmética a 12 = 12 y a 30 = 70, hallar a 1 y r. 6. Halla la suma de los términos de una progresión aritmética en los siguientes casos: a) De los 10 primeros términos de: 1, 6, 11, ... b) de los 20 primeros términos de: 22, 23, 24, ... 7. Halla la suma de los 12 primeros términos de una progresión aritmética sabiendo que a 3 = 7 y a 10 = 21. 8. Calcula la suma de los 100 primeros números naturales: 1, 2, 3, .... , 1000. 9. Calcula la suma de los números pares: 2, 4, 6, ..., 100. 10. Interpola los términos que se indican en cada sucesión: c) Seis entre -18 y 17 d) Cuatro términos entre 15 y 30 e) Cuatro términos entre 15 y 5 f) Seis términos entre 3 y 38 g) Cinco términos entre 1 y 25 ÁREA DE MATEMÁTICA Prof. Luis Dávila Decimos que una sucesión de números están en Progresión Geométrica (P.G.) cuando cada uno de ellos es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante llamada razón “r” de la progresión. Ejemplo: 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; ......... –1 ; –3 ; –9 ; –27 ; ......... t ; tq ; tq 2 ; tq 3 ; ......... Representación: t 1 ; t 2 ; t 3 ; ......; t n P.G. de “n” términos xq Donde: r = 1 n n t t ÷ La razón (r) se encuentra dividiendo cualquier término entre su inmediato anterior. Si: r > 1 ¬ La progresión es creciente Si: 0 < r < 1 ¬ La progresión es decreciente Si: r < 0 ¬ La progresión es oscilante Propiedades: Término “n” – ésimo t n = t 1 . r n–1 Suma de los “n” términos: Suma Limite EJERCICIOS DE APLICACIÓN NIVEL I 1. Hallar el término vigésimo de la progresión geométrica: 2, 4, 8, ... 2. Si en un progresión geométrica t 1 = 2; t 6 = 64. hallar la razón. 3. Hallar el número de términos en la P.G: 512 ; ; 1 ; 2 1 ; 4 1 4. En una P.G. se conoce: a 1 = 1/2 ; a 3 = 1; a n = 256. Hallar el número de términos. 5. Calcular el primer término de una P.G. en el que el tercer término es 3 y el séptimo es 3/16 6. Encontrar “x” para que: (x – 4); (2x – 8); (3x – 10) formen una P.G de razón 2 7. Hallar “x” en la P.G. creciente: (x + 1) ; 3x ; (5x + 2) 8. Halla la suma de los seis primeros términos de la progresión geométrica: 3, 6, 12 9. Hallar la suma de los 4 términos de: t 1 , 16, 64, t 4 10. El producto de 3 términos de una P.G. es 216. Hallar el segundo. 11. Hallar la siguiente suma si tiene infinitos términos: A = ... 16 1 8 1 4 1 2 1 + + + + 12. Interpolar: a. 3 medios geométricos entre 3 y 48 b. 4 medios geométricos entre 128 y 4 NIVEL II 13. Hallar la siguiente suma si tiene infinitos términos: A = ... 12 1 8 1 6 1 4 1 3 1 2 1 + ÷ + ÷ + ÷ 14. Hallar la suma límite de: S = + + + + + + 6 5 4 3 2 7 2 7 1 7 2 7 1 7 2 7 1 S n = t 1 | | . | \ | ÷ ÷ 1 1 r r n S n = r t ÷ 1 1 ÁREA DE MATEMÁTICA Prof. Luis Dávila 15. Sumándole un número constante a 20; 50 y 100, resulta una P.G. Hallar la razón. 16. En una P.G. de cuatro términos, la suma de los 2 primeros es 1 y la suma de los 2 últimos es 16. Hallar el primer término. 17. Hallar el primer término de una P.G si la suma de los 2 primeros términos es 15 y de los siguientes 2 términos es 60. 18. En una P.G. decreciente infinita, la suma de los términos es 12, y la suma de los cuadrados de sus términos es 72. Hallar la razón. PRÁCTICA 1. Hallar el término décimo de la progresión geométrica:2, 4, 8, ... 2. Determinar los seis primeros términos de una progresión geométrica si los dos primeros valen 5 y 3, respectivamente. 3. En una progresión geométrica se sabe que a 5 = 48 y a 10 = 1536. Hallar el primer término y la razón. 4. Dos términos consecutivos de una progresión geométrica son 54 y 81, respectivamente. Hallar el lugar que ocupan en la progresión, si el primer término vale 24. 5. Halla la suma de los cinco primeros términos de la progresión geométrica: 3, 6, 12, … 6. Halla la suma de los diez primeros términos de la progresión geométrica: 768, 384,192... 7. Halla la suma de los seis primeros términos de la progresión geométrica: 1/4, 1/8, 1/16, ... 8. Hallar tres números en progresión geométrica sabiendo que su suma es 31 y su producto 125. 9. Interpolar 4 términos entre 4 y 972 de modo que formen una progresión geométrica. 10. Calcula el producto de los 8 primeros términos de la P.G: 1/8, 1/4 , 1/2, 1, 2, … 1. En una P.A. de 5 términos que suman 25, hallar el término central. A) 3,6 B) 3 C) 4 D) 5 E) F.D. 2. El producto del primero y el cuarto términos de una P.A. es 136 y la razón es 3. Hallar el primer término. A) 8 B) 10 C) 5 D) 17 E) 18 3. La suma de los 9 términos de una P.A. es 27 y la diferencia entre el último y el primero es 16. Hallar el último término. A) –5 B) 5 C) –11 D) 11 E) –16 4. Dada la siguiente progresión aritmética: P.A. : a 7 , a 8 , a 9 , ................, a n–6 Calcular el cociente de dividir la suma de sus términos entre su término medio. A) n – 6 C) 2n – 6 E) N.A. B) n – 3 D) n – 12 5. Si el primer término de una P.A. creciente de números enteros consecutivos es (k + 1), hallar la suma de los (2k + 1) primeros términos de dicha progresión. A) (k + 1) 2 C) (k – 1) 2 E) N.A. B) (2k + 1) 2 D) 2(k + 1)(2k + 1) 6. Calcular la suma de todos los números mayores que la unidad en la P.A. siguiente: (8,04), (7,92), (7,8) ...... A) 264,48 C) 269,04 E) N.A B) 284,06 D) 324,01 7. Un coronel que manda 3003 hombres quiere formar a sus soldados en triángulo de manera que la primera fila tenga un soldado, la segunda dos, la tercera tres y así sucesivamente. Hallar el número de filas. A) 155 B) 33 C) 91 D) 77 E) N.A. 8. Se tienen 3 números consecutivos. Si al menor se le multiplica por 3, al intermedio por 7 y al mayor por 10, se obtienen 3 números en P.A. ¿Cuál es la razón? A) 22 B) 43 C) 31 D) 17 E) 28 ÁREA DE MATEMÁTICA Prof. Luis Dávila 9. La suma de términos de una P.A. es 425 y su término central es 17; determinar su número de términos. A) 20 B) 21 C) 24 D) 25 E) 28 10. En una P.A. el primer término es 12 y la suma de los nueve primeros términos es 252; en otra P.A. el primer término y la razón son iguales a 6. Determinar cuál es el término que en ambas progresiones es igual y ocupa el mismo lugar. A) 16 B) 18 C) 20 D) 24 E) N.A. 11. En la siguiente P.A.: ....... 5, ....... 47 ....... 159, el número de términos entre 47 y 159 es el triple que el número de términos entre 5 y 47. Hallar la razón. A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 12. La suma del tercer y octavo término de una P.A. es 41, y la relación del quinto al séptimo es como 19 es a 25. Determinar el segundo término. A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 13. La suma de 5 términos de una P.A. creciente de términos enteros, es 40; y el producto de ellos es 12320. El quinto término es: A) 9 B) 10 C) 12 D) 14 E) 15 14. La suma de 4 números en P.A. es 48 y el producto de sus extremos es al producto de sus medios como 27 es a 35. ¿Cuál es el mayor de ellos? A) 11 B) 12 C) 15 D) 18 E) 21 15. En una progresión aritmética de 40 términos se sabe que la suma de los extremos es 4 y el producto de los 2 términos centrales es 3. Hallar el mayor de estos 2 términos centrales. A) 3 B) 8 C) 10 D) –1 E) N.A. 16. Un móvil avanza en cada segundo 1 metro más que en el segundo anterior. Si después de “n” segundo a recorrido “m” metros y después de “2n” segundos avanza “3m” metros, ¿cuántos metros habrá recorrido en “3n” segundos? A) 3m + 1 C) 4 m E) 6m + 1 B) 3m + 2 D) 6 m 17. Calcular el decimosexto término de una P.G. cuyo primer término es 1024 1 y su razón 2. A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) N.A. 18. Si el segundo término de una P.G. es “m” y el tercero es “n”, hallar el primer término. A) 1 C) n m 2 E) 2 2 m n B) m n D) m n 2 19. El primer término de una P.G. es 2 y el quinto es 512. Hallar la suma del segundo, tercero y cuarto término. A) 128 B) 256 C) 168 D) 186 E) N.A. 20. Dos P.G. decrecientes al infinito, tienen la misma suma de términos. La razón de la primera es 4/5 y su primer término es igual a la mitad del primer término de la segunda progresión. Hallar la razón de la segunda progresión. A) 5/3 B) 3/5 C) 2/5 D) 1/3 E) 2/3 21. Hallar 2 términos consecutivos de la progresión: 7; 21; 63; ....... cuya suma sea 2268. (Dar como respuesta la posición que ocupa el mayor de estos 2 términos). A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10 22. Si: a, a + 2 y 3a + 2 son 3 términos consecutivos de una P.G. Hallar el quinto término de la siguiente P.G.: a, 3a, … A) 162 B) 81 C) 18 D) 2 E) N.A. 23. En una P.G. cuál es el producto de los términos si el primero es 2 y el último es 64 y son seis en total. A) 2 21 B) 2 7 C) 2 9 D) 2 10 E) 2 12 24. Se tienen 5 números en P.G. La suma de los 4 primeros es 40 y la de los 4 últimos es 120. Hallar el mayor de estos 5 números. A) 81 B) 27 C) 40 D) 80 E) N.A. 25. La suma de los dos primeros términos de una P.G. decreciente es 4 y la suma de sus infinitos términos es 9/2. Determine la razón. A) 1/2 B) 1/3 C) 2/3 D) 1/4 E) 1/9 ÁREA DE MATEMÁTICA Prof. Luis Dávila 26. La suma de 3 números en P.G. es 70; si los extremos se multiplican por 4 y el medio por 5, los productos están en P.A. El mayor de ellos es: A) 35 B) 36 C) 40 D) 45 E) N.A. 27. Hallar el término central de una P.G. en la que la diferencia entre el tercer y el primer término es igual a 9, y la diferencia entre el quinto y el tercer término es igual a 36, si la progresión tiene 7 términos. A) 20 B) 21 C) 24 D) 25 E) 27 28. En una P.G. de 6 términos en la cual el primero es igual a la razón y la suma del primer y tercer término es 30. Calcular la suma de los extremos. A) 720 B) 725 C) 730 D) 732 E) N.A. 29. En una P.G. de 5 términos la suma de los tres primeros es 168 y la suma de los tres últimos es 672. Obtener el término central. A) 96 B) 336 C) 84 D) 142 E) 420 30. Si a los números: 5, 35 y 125 se les agrega una misma cantidad, resulta un P.G. Hallar la suma de los tres términos de dicha progresión. A) 165 B) 180 C) 195 D) 210 E) N.A. 31. El cociente entre el cuarto y el primer término de una P.G. es igual a 8 y su suma es 45. Hallar la suma del segundo y tercer término. A) 45 B) 40 C) 30 D) 35 E) N.A. 32. Si se sabe que la siguiente es una P.G.: x–4; x; x+2; … y además que: y+1; 3y; 9y–6, … forman también una P.G. hallar “z” si se tiene que: x; y; z forman una P.A. A) 10 B) 12 C) 14 D) 8 E) N.A. 33. En una P.G. de 6 términos, la suma de los tres primeros es la mitad de la suma de los tres restantes. Hallar la razón. A) 3 C) 2 2 E) 3 3 B) 4 3 D) 3 2 34. Dada la siguiente P.G.: 2 x ; 2 2x–1 ; 4 4x–2 ; ... .Hallar el séptimo término. A) 5 2 C) 2 5 8 E) 2 5 2 B) 4 5 4 D) 5 16 35. Dada la P.G.: 0,5 ; a 2 ; 1 ; ... ; 256. Hallar el número de términos. A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20 36. Una progresión geométrica tiene cuatro términos. Encontrar el tercer término de esta progresión si se sabe que la razón es igual a 1/4 del primer término y que la suma de los dos primeros es igual a 80. A) 256 C) –500 E) N.A. B) 1042 D) a y b 37. En una progresión geométrica el tercer número es a/3 y el quinto 8 a. Hallar la razón. A) 6 2 C) 3 + 3 E) N.A. B) 6 2 a D) 4 72 38. La suma de los tres términos de una progresión geométrica es 248 y la diferencia de los términos extremos 192. Hallar el tercer término. A) 190 B) 210 C) 200 D) 202 E) 204 39. En una P.G. de 6 términos la suma de los seis términos es 28 veces la suma de los tres últimos. Hallar la razón. A) 1/2 B) 1/5 C) 1/3 D) 1/4 E) N.A.