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Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA- ApureContenidos de Matemática III ± UNEFA ± Apure. Prof. Rafael Valdez Funciones de varias variables Sea D un conjunto de pares ordenados del campo de los números reales. Una relación f que asocia a cada pareja (x, y) de D un número real único, denotado por f(x, y), recibe el nombre de función de dos variables. El conjunto de pares ordenado (x, y) de D re cibe el nombre G del domino de f, y el rango o recorrido de f consta de todos los valores reales f(x, y). A manera de repaso 1.- Para cada uno de los campo escalares que se dan a continuación, halla las curvas o superficies de nivel según el caso y represéntalos gráficamente en R2 y en R3. f(x, y) ! y 2 - x 2 f(x, y) ! y 2 - x f(x, y, z) ! x 2  y 2  z 2 f(x, y) ! 9 - y 2 - x 2 f(x, y) ! y x , y{x y- x f(x, y) ! y 2  x 2 f(x, y) ! y - sen x x 2  y2  z2 f(x, y, z) ! k r 2 , k  R  , r ! 2.- Identificar cada superficie cuya ecuación se da a continuación y haga un bosquejo del gráfico de la misma en el espacio R3. a) 4x2 + 9y2 = 36z h) 4y = x2 - z2 ñ) 4y2 + 9z2 = 9x2 2 2 2 2 2 2 b) 25x - 225y + 9z = 225 i) 8x + 4y + z = 16 o) 4y2 + 25z2 + 100x = 0 2 2 2 2 2 c) 16x - 9y + 36z = 144 j) 4y ± 25z = 100x p) 16x2 + 100y2 ± 25z2 =400 2 2 2 2 2 d) x - 16y = 4z k) 2x + y = 4 q) 36x= 9y2 + z2 2 2 2 2 2 e) 16x - 25y + 100z = 200 l) y + z + 6z ± 3y= 4 r) z2 = 16- x 2 2 2 2 2 f) y ± 9x - z ± 9 = 0 m) 4x + 16y = z ± 8x s) y2 + z = 12 2 2 2 2 2 g) 16y = x + 4z n) x + y + z = 2 t) z = 2 cos x 3.- Determine y represente el dominio de las siguientes funciones reales f(x, y) ! x - 2y x  2y  2 f(x, y) ! ( 3 2 ) , xy x - y 3x - y x 2  y2 f(x, y) ! xy x-y f(x, y) ! ( log (2x  y  1), xy ) f(x, y) ! x y  log (3x 2  y  2) x y f(x, y) ! x f(x, y) ! 25 - x 2  y 2 2xy ) x - 2y f(x, y) ! (2xy  x 3 y 2  12, y 4 3 x 2  6 y  4 , x -2 f(x, y) ! e 2y- x  2  4 x 2  y 2  4 f(x, y) ! (xy sen 1 (3 x  4), a 2y 14 , y xy  6 ) Límites y continuidad Definición de limite : Sea f una función definida en el interior de un circulo con centro (a, b), excepto posiblemente en (a, b) mismo. El límite de f(x, y) cuando (x, y) tiende a (a, b) es L, y se expresa Lim f(x, y) ! L (x, y)p (a, b) (x, y)p (a, b) que 0 £ (x, y) - (a, b) £ . es decir que : Cálculo de límites: Para el cálculo de límites de manera algebraica, es recomendable calcular primero los límites iterados ¡ Si im (x, y) ! , entonces; para todo > 0 existe un > 0, tal que (x, y)  0 £ (x - a) 2  (y  b) 2 £ . ¢ £     £ siempre 1 Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA- Apure xpa x pb im im f(x, y) x pb x pa im im f(x, y) si estos resultan iguales, se sospecha la existencia del límite para f. Para asegurar la existencia del limite se recomienda el estudio del limite de f a través de rectas y = x, y = k x. y a través de curvas y = x2, y = k x2, de esta manera obtenemos el mismo valor para el limite de f, entonces podemos asegurar con cierta certeza que el valor obtenido es el límite para f cuando (x, y) tiende a (a, b). Para asegurar su existencia se debe demostrar que realmente el valor obtenido es el límite para f, a través de la definición de límite. Para el caso de límites cuya tendencia es el punto (0, 0) las ecuaciones de las rectas y curvas a usar para su estudio son las descritas anteriormente. Para los casos de limites cuya tendencia sea un punto (a, b) distinto del origen de coordenadas, se recomienda el cálculo de los limites iterados, limites a través de rectas cuya ecuación paramétricas es x = at y y = bt, con t R, o limites a través de curvas cuya ecuación paramétrica es x = at, y = bt2. Condiciones de continuidad de f en un punto Sea f(x, y) una función definida en un circulo R: x2 + y2 ” r2, entonces f es continua en un punto (a, b) de R, si y solamente si. Satisface las siguientes condiciones 1.- La función f está definida en (a, b) y f(a, b) existe 2.- El límite Lim f(x, y) existe (x, y) p(a, b) 3.- El valor obtenido el 1 y 2 es el mismo. Es decir que Calcule en cada caso el límite planteado (x, y)p (0, 0) (x, y)p (a, b) im (x, y) ! (a, b) im im im x2 y x4  y (x, y)p (0, 0) im xy x  y2 4 x2 - 2 (x, y)p (0, 0) 3  x y (x, y)p (0, 0) (x, y)p(0, 0) im x3 - x2y  x y2  y3 x2  y 2 4x 2 y x3  y3 3x y 5x 4  2 y 4 x 2 - 2x y  5 y 2 3x 2  4 y 2 x y  2x  y  2 x  y 2  2x  4y  5 2 (x, y)p (0, 0) im (x, y)p (1, 2) im (x, y)p (0, 0) im sen (x 3  y 3 ) (x, y)p (0, 0) x2  y2 Lim (x, y)p (0, 0) 1 - cos (x 2  y 2 ) (x, y)p(0, 0) (x 4  y 2 ) x 2 y 2 Lim (x, y)p (0, 0) Lim x y sen Lim x4  y4 x2  y2 1 x Lim y senx x (x, y)p (0, 0) (x 2 - y ) 2 (x, y)p (0, 0) x 4  y 2 Lim 4.- Para cada uno de los casos propuestos a continuación discuta la continuidad de la función f xy f(x, y) ! ln (x  y - 1) f(x, y) ! 2 f(x, y) ! 25  x 2  y 2 x  y2 y sen x 2 x f(x, y) ! f(x, y) ! 2 f(x, y) ! xy x x  y2 ¥ ¥ ¦ ¤ ¤ ¤ y y)p(0.y4 x2  y 2  1 x2  y2 (x. 0) im (x. y)p(0. y)p(0. y)p (-1 . 0) im 2x y x2  y2 2x 2 . 0) Lim (x. y)p (0. y)p(0. 1) Lim 2 . y)p (0. 0) im (x. 0) im e x4  y 4 (x.y 2 x2  2y2 x4 . ¤ (x. 0) Lim x-y x y x3  x2 y  y2 x  y x2  y2 x 2 y 2  3x  2 y x y (x. y) ! ¯ y ± 0 . y) xy de manera análoga se procede para funciones de más variables. entonces: xw xw xu xw xv xw xw xu xw xv y  !  ! xy xu xy xv xy xx xu xx xv xx Derivación implícita: Sí una función f(x. y) = 0 define una función implícita derivable f. en las que las derivadas cruzadas son iguales para funciones analíticas. y) ! Lim hp0 hp0 h h Siempre que los límites existan. 0) ± f(x. y) ! Lim f y (x. 0) ± ±  y. y) ! ¯ x ± 0 . y) { (0. y  h)  f(x. y) { (0. y) siendo f diferenciables y g y h tienen primeras derivadas parciales continuas. 0) ° ° 1 ® ±  1)y sen . entonces el vector gradiente de f se define f como: “f (x. y) ! ¯ x ± ± y 1 . Podemos considerar las segundas derivadas parciales de f: fxx.Apure 1 ® ± y sen . si x ! 0 1 . Este teorema es conocido como teorema de Schwarz Regla de la cadena: Teorema: Si w = f (u. Es decir que fxy = fyx. si (x. y) f x (x. fyy. si y ! 0 ° ® 4  y4 x . y) y v = h (x. y) ! (0. y) ! ¯ y 4  x 2 f(x. y) Gradiente de f: Sea f una función de dos variables. si x { 0 2(x f(x. fxy . 0) ° ® 2  x) 2 (y sen ® x . y)  f(x. si (x. si x { 0 f(x. fyx .Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA. y) ! ¯ x 2  y 2 ± 0 . y) ! (0. y) ! . si (x. entonces f (x. y) f(x. si x { 0 x f(x. v). si x ! 0 ° Derivadas parciales Definición: Sea f una función de dos variables. y) ! ¯ x -1 ±0 . ! x xx f y (x. u = g (x. Calculadas sobre la base de las primeras derivadas de f. si (x. si x ! 0 ° 1 ® x ± sen . si y { 0 f(x. de una variable x tal que y = f(x). Las primeras derivadas parciales de f con respecto de x y y son las funciones fx y fy definidas como sigue: f(x  h. z0 ) = 0. z) = 0 en el punto (x0. Es decir que verifican las siguientes condiciones: 3 . x (x. y0 ) f y (x0 . y0 ) tales que las primeras derivadas parciales de la función f(x0. z0) (y . z0) (z . y) ! f x (x. y) j Derivadas direccionales: Fundamentándose en la idea del gradiente de una función. z0) (x . y0.y0) + Fz (x0. y) i  f y (x. y. La ecuación de la recta normal a la gráfica de f en: x . y 0 ) . y0 ). y0. u Planos tangentes y normales a una superficie: La ecuación del plano tangente a la gráfica de f (x. y0. z0 ) es: Fx (x0. y0.x0) + F y (x0. se anula. Estos valores se corresponden con los puntos (x0. y0 ) f z (x0 .y0 z .z0 ! ! f x (x 0 . y0) viene dada por la expresión: Du f (x 0 . la deriva direccional de la misma en la dirección del vector unitario u y en el punto (x0. y0 ) Máximo y mínimo de una función de dos variables: Para determinar los valores máximos o mínimos de una función de dos variables sin restricciones adicionales: primero se determinan los valores críticos o extremos de la función. y 0 ) ! “f (x 0 .x0 y . f y (x. y). f(x. entonces existe un escalar tal que: grad f(x0.f(r. y) ! x cos 12.f(x. y) 1. y) = f(x. y) ! 4x 2  y 2 sec x 13.F(x . . . el caso es dudoso y este teorema no permite llegar a conclusion es entonces (x 0 . t) ! r 2 e 2s cos t 14. tal que cumple la condición anteriormente descrita. ( ³ 0 y Si. v. z) ! (y 2  z 2 ) x 2 11. . s. es una ensilladur a Extremos condicionados (Multiplicadores de Lagrange): Sean f(x. y) sujeto a la condición g(x.Calcule las primeras derivadas parciales (fx.F(x . . 1. y) ! x 2  2y  5 9. . y 0 ) xx 2 x 2 f (x0 .f(x.f(x. .Calcule las primeras derivadas parciales de las funciones dadas a continuación mediante la definición de derivada.F(x . y 0 ) xx 2 (! 2 x f (x 0 . . . ( ³ 0 y Si. . en (x 0 . . y 0 ) hay un máximo local xx 2 Si.. y) ! e x ln xy 9. . .F(x . Criterio de las segundas derivadas para extremos de funciones de dos variables: Sea la función f(x. y0) = 0 Por lo que el teorema reduce la búsqueda de los extremos a un problema sin restricción. . y) y g(x. y0) es un punto donde hay un extremos de f(x.f(x. y 0 ) xx xy x 2 f (x 0 . y) ! 5.F(x .f(u. .f(q. . y) ! 2x3  3xy  2y2 4. y) ! x exy x2 y x 2  3y 8. ) ! sen 1 qv  sen u § ¨ x2  t2 1  sen 3y .Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA. en (x 0 . t) ! x y 10.F(x . y 0 ) xf (x 0 . ) ! arctan ( u ) 3. y) ! 2x 4 y 3  xy 2  3y  1 4. y) funciones de dos variables diferenciables.f(s. x) ! xe y  y sen xz 7. y) ! x  2y  5 6. y 0 ) xy xx 2 x f (x 0 . y) ! 2x sen y 2. y.F(x . y 0 ) hay un mínimo local £ 0 . que poseen segundas derivadas continuas un Ž 2 con (x0. . y) + g(x. . Si (x0. y0) es un punto critico de f y sea el determinante Hessiano ..f(t.F(x . v) ! (2r  3s) cos v 15. .f( . z) ! xyze xyz 4 16.Apure xf (x 0 . s. x 2 f (x 0 .F(x . Si (x0. y) ! x3  3x2 y  2y2 7. ( £ 0 x 2 f (x0 . mínimo absoluto o local o un ensilladura.. y) de dos variables. y 0 ) no es un punto extremo. .f(r. y) ! xy xy 3. y0 )  0 . s) ! r 2  s 2 6.f(y.. s.f(x. t) ! t s  s t 8. y0 ) + grad g(x0. . . v.f(x. v) ! ln tv tv 2.f(r.. y 0 ) !0 !0 xy xx Estos valores pueden ser: Máximo absoluto o local. como es encontrar los puntos críticos de la función: F(x. y.f(r. z) ! x e z  y e x  z e  y 18. y) ! y x cos 2x 2. y) ! (xy 3  y 2 ) 2 5.f(x. y 0 ) ³ 0 . t.. ( ! 0. y. y 0 ) xy 2 Entonces si se verific que : a Si. y) = 0 y tal que grad g(x0. fy) de cada una de las siguientes funciones 1.. p) ! r 3 tag s  se v  v cos 2p 17. . y0 ) U. E ! tan -1 9. entonces wxx ± wyy = 0. calcula las primeras derivadas implícitamente 2 2 a) 2 xz  3 yz 2  x 2 y 2  4 z ! 0 c) yx 2  z 2  cos xyz ! 4 3 b) 2 xz 2  3x 2 z  x 2 y  4 yz ! 0 d) 2x 3  x 2 y  y 3 ! 9 c) xeyz  2 ye xz  3ze yx ! 1 e) 6xy2  2x xy  x 2 ! 2 y  5x  4 14. y) ! y 2 e x  2 20. ..Defina el vector gradiente de cada una de las funciones dadas en (1). y.. y ! r sen .2) 5 .. 4.1. y) ! x 3 e  2y  cosx y2 1 x 2 y3 ¨ 2x  z ¸ 23.f(x.c) p(-1. u ! x 3  2xyz  6. y) ! xy 4  2x 2 y 3  4x 2  3y 22.Demuestre que si v = f(x ± at) + g(x + at) donde f y g tienen segundas x 2 v x 2v ! a2 2 derivadas parciales. z) ! x 2  y 2  z 2 3.Considere las funciones implícitas planteadas en 13.f(x.1.Demuestre que si w = f(x + y ) entonces y ( w/ x) ± x ( w/ y) = 0. y) ! x2 xy 21.Demuestre que: Si W(x..2) 13.2) 13. . 5. y) = cos (x + y) + cos (x ± y). y ! e t cos s.3t.f(x. y) y x = er cos . 7.Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA.Apure 19. . 3) de las funciones de dos variables dadas en (1) que estén definidas en el punto P indicado.e) p(-1. y). 2) al gráfico de las funciones de tres variables definidas en los ejercicios del 11 al 24. 6.. x 8. y = er sen .f(x. entonces v satisface la ecuación de la onda 2 xt xx 12. x ! r cos . Encuentre las ecuaciones del plano tangente y la recta normal en los puntos indicados para cada situación. y . entonces A) x 2 w x 2 w x 2 w 1 x 2 w 1 xw  !   xx 2 xy 2 xr 2 r 2 xE 2 r xr 2 2 2 B) 10. .f(x. . fxy ..1.c) p(1.1) 13. 13. .Demuestre que si w = f(x .. z ! 2s . Para cada caso propuesto determine las primeras derivadas parciales aplicando la regla de la cadena y por sustitución y cálculo directo. z ! Ln (x 2  y 2 )..Para cada caso planteado a continuación. 2). fxx. Sugerencia defina u = x2+ y2 13. entonces 1 ¨ xw ¸ ¨ xw ¸ ¨ xw ¸ ¨ xw ¸ © ¹  2 © ¹ !© ¹ © ¹ © ¹ ª xr º r ª xE º ª xx º ª xy º ¨ x2w x2w ¸ x2w x2w  2 ! e 2 r © 2  2 ¹ © xr xx 2 xy xU ¹ ª º 2 11. x ! r cos .1..b) p(-1. en la dirección del vector u = (-4.Calcule la derivada direccional en P(1.. y ! r sen . y = r sen .0) 13. -1. z ! r 2 cos 2 E r ! x 2  y 2 . fyx ..f(x.Determina la ecuación del plano tangente y la recta normal en el punto P(1. x ! e s . fyy y verificar que las segundas derivadas cruzadas son iguales.Demuestre que si w = f(x.y) y x = r cos . y.0.Calcule las segundas derivadas parciales de cada una del las funciones dadas en (1). z ! f(x. z) ! x 2 cos © 2 © y 1 ¹ ¹ ª º 24.a) p(-1. z) ! x 2  y 2  z 2 Restricción z 2  xy ! 1 x 2  y2 ! 1 f(x.Se desea construir una caja rectangular cerrada que tenga un volumen capaz de contener 2 litros.Encontrar los puntos de la superficie ecuación z2 ± x y = 1.27 f(x.. El dueño del negocio adquiere el producto a por Bs. y) ! 9 x  y2 2 f(x.Un negocio vende dos marcas de llaves de paso A y B. la placa. Calcule las dimensiones de la caja para la cual el costo es mínimo. y) es T(x. 17..Resolver los siguientes problemas (Máximo y mínimo de funciones) 17. z) ! x 2  y 2  z 2 Restricción 2x  5y . 17.2xy  2xz f(x.Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA. 40 la unidad. y.. 10.x 2 .Apure 15.y 2 f(x. Bs. El material para la base y la tapa cuesta el doble del que es usado para los lados.4. y.Encuentre las dimensiones del paralelepípedo rectangular de volumen máximo con caras paralelas a los planos coordenados. ¿Cuánto debe cobrar por cada tipo de llave de paso para que el comerciante obtenga el mejor beneficio económico? 17. y) ! 25  x 2  y 2 f(x.5.. incluyendo su borde se 2 calienta de modo que la temperatura en cualquier punto (x.6.1. f(x. y. entonces podría vender 70-5x+4y unidades A y 80+6x-7y unidades B. y) ! x 2 y  xy 2 . 17. 15 respectiva mente. y) ! (3  x)(3  y)(x  y  3) f(x. 30 la unidad y el tipo B a Bs..z ! 1 4 9 Restricción x 2  y 2 ! 1 f(x...Determine los puntos críticos e identificarlos según sean máximos o mínimos.Determine los valores extremos de las funciones dadas a continuación sujetas a las restricciones descritas. Determinar los puntos de la placa más caliente y más frío.7..9xy  18x  18y . y) ! x 2  y 2  z 2  x 2 y 2 f(x. z respectivamente y el cueto vértice en el peno 2x+3y+4x=12. halla la temperatura en esos puntos. que están más próximos al origen. Los precios por decímetro cuadrado de material para los lados.3y 2  4 f(x. 17. de cada una de las siguientes funciones. Calcule las dimensiones de la caja para las cuales el costo es el mínimo.Una compañía planea fabricar cajas rectangulares cerradas con una capacidad de 8 litros.3x 2 .3y 2 . X las llaves de paso tipo A y a Bs.. z ! 1 f(x.3.8.Una placa circular tiene forma de disco x2 +y2 ” 1. z) ! x 2  y 2  z 2 Restricciónes T(x. y) = x +2 y2 ±y. y.Calcule el volumen máximo posible de una caja rectangular que tiene tres de sus vértices en los ejes positivos x. y) ! 4 .3x 2 . z) ! x 2  y 2  z 2 Restricciónes x 2  xy  y 2  z 2 ! 1. 17. el fondo y la tapa son: Bs. 17. y) ! x Restricción y 2  x 3 ! 0 x2 y2   z 2  2 ! 0. que se puede inscribir en el elipsoide 16x2 + 4y2 + 9z2 = 144 6 . en cada día. y. y) ! x 2  y 2 Restriccion 5x 2  6xy  5y 2 ! 10 f(x. y) ! x 2  2y 2  y f(x.. f(x. z) ! x 2  3y 2  2z 2 . y.. y) ! x 3  3x  3y 2  6xy 16. y) ! y 2  3x 2 y . 20 y Bs.Se desea construir un recipiente con tapa en forma de cilindro circular recto ¿Cuales deben ser las dimensiones relativas para que su volumen sea máximo y el área de la superficie tenga un valor fijo S? 17. Estima que si vende a Bs. Y las llaves de paso tipo B.2. primero respecto de y. 1). 2) y determina la ecuación general de la recta tangente a la curva en el punto indicado.Un campo escalar diferenciable F(x. 0) y B(0. siendo A(0.La ecuación cos (x + y) + cos (x + z) = 2 defina x como una función implícita de y.Demostrar que las superficies: F(x. 1).2y2 + 4x + 5y ± a = 0. z.2. 3). relaciones y ecuaciones propias de la Matemática de aplicación a la Física.1. y.. Calcula la segunda derivada parcial de x. El cálculo vectorial es fuente de importantes herramientas del cálculo mismo y que potencian y amplían la asistencia de esta rama de la Matemática a otras áreas del conocimiento científico. z) = x 2 + 4y2 ± 4z2 ± 4 = 0 y 2 2 2 G(x. 3) derivada direccional igual a 2. y. z) forman ángulos iguales con las rectas PA y PB.. xx ¹ ¹ 2 3 n º ª 1 La dirección del vector gradiente de una función F es aquella según la cual la función varía más rápidamente... bien sean dinámicos o estacionarios.Dado la curva de ecuación 3x2 ..Demostrar que la recta normal a la superficie del elipsoide 25x2 + 9y2 + 25z2 = 225 en cualquier punto P(x. z) = xy+ 4yz ± 4zx = 0 y G(x. y. 4/5). -1/ 2) y derivada direccional igual a -3.Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA.Apure 18. -4. y.7. en función de x.0). 18. z) = x + y + z ± 6x ± 6y + 2z + 10 = 0..5. y asiste a todas las demás ciencias y a la tecnología. Determinar F¶((2. según el vector (3/5. xx .. campos de movimientos de fluidos entre otros. z.. Gradiente de una función : Sea F: Rn R. siendo v = (-2/ 5. 3).. F(2. 18. el vector gradiente de F se define de la siguiente manera: ¨ xF xF xF xF ¸ “F ! © © xx . según el vector (1/ 2. y. y.4. 18.Demostrar que las superficies F(x. a continuación se expresan algunas definiciones. luego respecto de z.. 18. 18. y este es perpendicular a la superficie de nivel para funciones en R3. una función escalar de n variables diferenciable respecto de cada una de ellas. 7 . 18. campos de fuerzas. z) = 3x2 + 4y2 + 8z2 ± 36 = 0 y 2 2 2 G(x. y) tiene en el punto (2.Problemas de aplicación de la derivada 18.6. en específico a la mecánica de fluidos. xx . 4. como lo es en ciertas definiciones y ecuaciones del cálculo vectorial. encontrar ³a´ para que la curva pase por el punto (1..3. En este sentido.. 2. 1/ 5) Funciones vectorial Definiciones y Ecuaciones del Cálculo Vectorial La Matemática es una ciencia con un rango de aplicación muy amplio. la electricidad y el magnetismo. y. 1. y. Estas pueden ser asociadas a campos de velocidades. z) =3z2 ± 5x+y = 0 se cortan ortogonalmente en el punto (1. v) y el grad. Son tangentes en el punto (2.Demostrar que las superficies: F(x. z) = x + 2y ± 4z ± 6 = 0 se cortan formando un ángulo recto. entonces. u 2  .Apure Derivada direccional: Sea F: Rn R. viene dada por la expresión: y' ' K! 3 1  ( y' ) 2 2 Divergencia de un campo vectorial: Sea F: U Ž Rn Rn. y.F . y. es decir F: UŽ R3 R3 8 . Por lo que el máximo de la derivada direccional de un campo escalar F.F ! § i = 0 i !1 x x i Este tipo de campo recibe el nombre de campos solenoidales o campos tubulares. un campo vectorial F. entonces el circulo de radio = 1/K cuyo centro se encuentra del lado cóncavo de C y que tiene en P la misma tangente que C se llama Circulo de Curvatura C en P. un campo vectorial definido en el abierto U. entonces la divergencia de F denotada por div. y. es el campo vectorial denotado por rot. la función f se llama función potencial de F.xn)= “F. ? A Rotacional de un campo vectorial: Sea F: U Ž Rn Rn.u1  . V(x. y. Radio de curvatura: Si la curvatura K de una curva C en un punto P no es cero. La mayoría de los campos vectoriales que se presentan en física clásica son conservativos.x2.. indica la cantidad de masa de un fluido que circula por el punto P(x. Su radio y su centro se llaman el radio de curvatura y el centro de curvatura de C en P respectivamente. significa que el fluido se está expandiendo en P por unidad de tiempo t.u3  . z) = (x. se dice que F es un campo conservativo.se obtiene en la dirección del vector gradiente de la función F en x0.xn) está dada por xF xF xF xF Du F(x1. significa que el fluido se está comprimiendo en P por unidad de tiempo t. F > 0. se relacionan mediante la siguiente ecuación F(x. si existe un campo escalar f: U Ž Rn R. la derivada direccional expresa la magnitud del flujo del fluido en la dirección del vector unitario u. en cambio para un fluido compresible. denotada por DuF(x1. tal que F = “ f.un xx 1 xx 2 xx 3 xx n Si F es un campo de velocidades...Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA. F < 0. y. y. z). La ecuación (div F= fuente ± sumidero) expresa la tasa de expansión o compresión por unidad de volumen del fluido: Sí div. n xF div F = “. la densidad varía de un punto a otro.. donde no hay fuentes ni sumideros se tiene que en todo punto. z) la densidad de un fluido en el punto P(x.. z) y el campo F de flujo de corriente.. z) La densidad de flujo de corriente. y sea el vector unitario u. en un punto x0. Sea F: U Ž Rn Rn. como es el caso de un gas. y.  . n xF “. se define mediante el campo escalar. z) . una función escalar de n variables diferenciables respecto de cada una de ellas. Sí div. entonces la derivada direccional de F en la dirección de u. Para una corriente de fluido incomprensible ( constante). F o “xF y se calcula mediante el desarrollo del siguiente determinante.x3. por lo que el campo de velocidades de un fluido V(x. para una función de tres variables y tres componentes.F ! § i xx i i !1 Sea (x. Si C esta determinada por una ecuación cartesiana explicita entonces la ecuación de la curvatura K de C..u ! .x3. diferenciable respecto de cada una de sus componentes en el abierto U.. un campo vectorial F. z) en la dirección de la línea de corriente por unidad de área y de tiempo..F o “.x2. diferenciable respecto de cada una de sus componentes en el abierto U.. entonces el rotacional de F. cuando el fluido es incompresible entonces es constante en todo el fluido. Si F es el campo de velocidades de un fluido incompresible.Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA. sí el disco se mueve y gira por la acción de F. admite varias interpretaciones físicas y tiene gran importancia en la mecánica de fluidos y en la electrodinámica. es decir que div (rot F) = “. Sí colocamos un pequeño disco en el fluido. entonces el rot F = 0. entonces se cumple que div F =0.Apure i “xF ! x xx j x xy k x xz F1 F2 F3 El rotacional o rotor de F. entonces rot F  0. La divergencia de un rotacional para cualquier campo vectorial F es nula. y por la acción del flujo de este el disco se mueve siguiendo la acción de las líneas del campo F (líneas de corriente). Sí se mueve el disco sin girar. A) . entonces. y) ds c A B c A donde x ! g(t) y y ! h(t) 2 2 ´ f(x. y.(“A) ! “ (“. “. Veri icándose que. y. Para un campo de rotores se tiene la siguiente ecuación “x(“xA) ! “ (“. se llama Laplaciano de f. entonces la integral de línea de f sobre C de A a B. entonces una función potencial escalar f del campo irrotacional F(x. donde a ” t ” b y las funciones son lisas en [a. 0). al campo escalar definido por la divergencia de un campo gradiente n x 2f f ! “. z0) = (0. z)du . Consideremos F(x. y 0 . h(t)) (g (t))  (h (t)) dt B T T T T f(x. Sean A y B dos puntos de C. y0. y. z)= (x. y. z0 ) U. esta dada por: x y 1 z 2 (x. 0. y=h(t). y. z) = F1 i + F2 j + F 3 k. es: B ´ f(x. z 0 )du  ´ 3 (x. y) ds ! ´ f(g(t). y0. y0 . u. y) donde f es una función continua en la región D que contiene a C.A) . z 0 )du  ´ y0 (x. z) ! usualmente se toma (x0. z) = F1 i + F 2 j + F3 k viene dodo por: x 1 z 3 (u. determinados por los valores de los parámetros a y b respectivamente. y) ds ! ´ f(x. Función potencial escalar: Elegido un punto (x0.“. del campo solenoidal F(x. y. d r ´ c A donde T r ! (g(t). z) Función potencial vectorial: Elegido un punto (x0. entonces una función potencial vectorial V(x. u)du z0 © © (u. u)du 3 x !0 2 ! x0 ´ z0 ! ´ x0 Integral de línea: Supongamos que una curva C está dada paramétricamente por x=g(t). y) . z0) U. z)du  ´ 1 (x 0 .(“f) ! “ 2 f ! § i !1 x x i Esta función expresa la expansión o la contracción de un campo gradiente.“xF ! 0 ¨ xF ¨ xF xF ¸ ¨ xF xF ¸ xF ¸ !© 3  2 ¹i© 1  3 ¹ j© 2  1¹k ¹ © xy © xx xx º xz º ª xz xy ¹ ª º ª Operador de Laplace “ 2 : Sí f: U Ž Rn R. z) = V 1 i + V2 j + V3 k. y. y) . b]. es un campo escalar que admite derivadas parciales de segundo orden.A ! 0 si el campo es solenoidal o tubular. h(t)) Aplicaciones de la integral de línea 9  2 x0 ´ (u. “ (x. d r ! ´ f(x.“ 2 A. y. y. donde. y. x i  y c) (x. y. entonces: ¨ xN xM ¸ © ´C Mdx  N dy ! ´´R © xx  xy ¹ d ¹ ª º Aplicaciones a la Cinemática (Física) Si r(t) = (x(t). y) xy xx Un campo con estas características es un campo conservativo.y.1. y)dx N(x. . 4) Para cada uno de los casos anteriores calcule: 10 . z) ! x 2 y i  2xz  z 2 x k . v¶z(t)) EJERCICIOS PROPUESTOS 1. entonces la primera derivada de esta función expresa el vector velocidad de la partícula para cualquier instante t. y. y) ! x i . y. Entonces la aceleración es: a(t) = V¶(t) = r¶¶(t)= (x¶¶(t). y. y) T(s) ds C C T(s) ds = dr = dx i+ dy j+ dz k. z) ! xyz 2 i  y 2 sen z  x e 2z k.1) f) F(x. z¶(t)) y la segunda derivada de la función posición expresa la aceleración de la partícula en cualquier instante t. en (-1. z) ! (3x  y) i  xy 2 z  z 2 x k . en (2. . z(t)) es el vector posición de una partícula en un instante t. en (1. en (1. y. y. y¶(t). z¶¶(t)). y. z) ! x 2 z i  y 2 x  (y  2z 2 x) k . . z) !  x i  y  z k 2.Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA. 1) T T T T T T c) F(x.y  (y 2  2z) k . z) ! x i  y  z k T T T T T T T T g) (x. 2) T T T T T T e) F(x. Si F(x. z) ! x 3 ln z i  2x e . V(t) = r¶(t) = (x¶(t). El trabajo W es independiente de la trayectoria si x xN ! .1. entonces la integral de línea de f a través de C es: C ´ f(x. . es la componente tangencial de F en Q. . y) ! 3 i  x e) (x. es decir que existe un potencial escalar tal que : F(x.Apure El trabajo W efectuado por una fuerza F cuando la partícula se mueve a lo largo de la trayectoria descrita por C es: W ! ´ (x. y) ! .. y) ! 2x i  3y T T T T T T T d) (x. y.. Si M y N son continuas y tienen primeras derivadas parciales y continuas en una región de abierta D que contiene a R. T T T T T T a) F(x. y. z) ! x i  z k ) (x. 2) b) F(x.1. en (0. v¶y(t).Dibujar un número suficiente de vectores de la función vectorial F(x. z) para T visualizar la tendencia de los vectores del campo F . 1) d) F(x. y) ds ! ´ f(g(t). y)dy ! ´ F(x. Si V(t) expresa la velocidad de una partícula entonces su aceleración es: a(t) = V¶(t) = (v¶x(t).1. z) !  2 k h) (x.z) en cada caso y el punto indicado.Calcule la divergencia y el rotacional de los campos descritos por la función F(x. en (2.y b) (x.1. y) es una función escalar de dos variables y r(t) es una expresión paramétrica de una curva C. . y) ! “ f(x. y(t). T T T T T T a) (x. . por lo que la integral de línea cerrada definida en una región con estas características es nula. z) ! i   k i) (x. y¶¶(t). y. y. h(t)) C (g (t)) 2  (h (t)) 2 dt Teorema de Green: Sea C una curva lisa por partes cerrada simple y sea R que consta de C y su interior.1. z) ! x 2 yz i  2xz  4y 2 xz k . y. y. y. z) ! ( z 2 x  4 y) i  ( z 2 y  3x y 2 )  (2 . 0.Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA. F T d) J F 3. rot. 3) T T TT b) rot. z) ! x 2 e 2xy cos z d) (x. y) ! y 3 cos x i  3y 2 sen x j T T T T T T T T g) (x. y. y. z) ! e -z i  2y j x e.2z 2 xy) j  (sen x 2 . z) ! 1 (x 2  3 y 2  4 z 2 ) 2 e) (x. z) ! x 2 y 4  4 ln (x z 2 ) 2x  3 y 3 b) div. T T T T T T T T a) (x. z) ! . de los campos vectoriales dados a continuación T T T T a) (x. (F .(9y 2 z 2 . “ 4. la divergencia y el rotacional en el punto indicado. y. z) ! x y 2 3 ) (x.cos (x  y) i  sen( x .sen y) j  (xy  sen z) k T T T T c) F(x. y) ! ( 3x 2 y  2) i  ( x 3  4 y 3 ) j T T T c) (x. F = 0) en caso afirmativo determine T T el potencial vectorial V de .2x 2 z) j  (3xy . y) ! (. y0. y. y) ! ( e x i  ( 3  e x sen y) j T T T b) (x.y i  x j ) x 2  y2 T T T T T T e) (x. z) ! (x 2  y) i  sen y j  x z 2 k . y) ! ( 6x 2  2xy 2 ) i  ( 2x 2 y  5) j T T T 1 d) (x.. y.6xyz) k T T T T T T T T c) (x. y. z) ! x i  y j  x y z k .. y. y.A continuación se dan varios campos vectoriales.A continuación sedan varios campos vectoriales.z0. en (1.y sen x i  1 y 2 cos x  k d) (x.2zy 2 x) k Para el cálculo de la función potencial escalar: Caso uno: (x0. y0.. y.2x 2 y  3z 2 ) k T T T T b) F(x.z k 11 . 0. 1.z 2 i  x  y k b) (x.4xyz) i  (3xz . z) ! ( y sec 2 x  ze x ) i  tag x j  e x k h) (x.) = (1. y. P) Para cada uno de los casos anteriores calcule: a) “ . ( F x P) 5. z) ! ln (4xy 3 z) g) (x. z) ! . z) ! (yz . “ Para cada uno de los casos planteados en (3) calcule: a) rot. y. y.y)  ( x . y. 0). y. z) ! z tag -1 (x 2  3y 2 ) h) (x. y. 0) 6. z) ! x 2  3y 2  4z 2 b) (x.) = (0. = 0) en caso afirmativo. z) ! (yz . y) ! 4xy 3 i  2x y 3 j f) (x. z) ! 8xz i  ( 1  6y z 3 ) j . z) ! (3y coa x  z sen xz) i  3 sen x j  x sen zx k T T T T d) F(x.(xz .. y. . Determinar en cada caso si esos campos derivan o no de un potencial vectorial (div. encontrar la forma más general de la función potencial del mismo. y. y.z0.2xy  4 z 2 ) (x. en (1. z) !  3 y 2 e .y) k 2 T T T a) (x.4x 2 ) k j) (x. T T T T a) F(x. determine en cada caso si son T campos gradientes (rot. z) ! sen (x 2  y 2  z 2 ) c) (x. z) ! ( y  z) i  ( x  z) j  (y  x) k T T T T T T T T i) (x. Caso dos (x0.2.z 2 y 2 ) i  (4x . 2) T T T T b) P(x.cos x) i . y.Encuentre el campo vectorial conservativo (campo gradiente) que tenga el potencial dedo en cada caso 2 a) (x. z) ! (4y  2xz cos x 2 . rot F T b) “ 2 F T c) rot. z) ! .Apure T a) div.Determine el valor de la matriz jacobiana. y. t  1. 2) C C ) ´ ln y dx  C x dy de (1. 0) f) ´ xy dx  (y  x) dy. t . 1) 10.. 1) a (2. 4) C e) ´ y cos x dx  sen x dy de (0. 0. 1 1 dx  dy. y ! x 2 entre (0. 0) a (1. 4) d) ´ (x  y) dx  (y 2  x) dy de (-1. a) b) c) d) e) ) g) ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ C (x  y 2 ) dx  (1  x 2 ) dy. (xy  x 2 ) dx  x 2 y dy. 1) a (1. y ! x . z 2 ! x desde (0. 0) a (4.Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA.0.0) C : x 2  8y 2 ! 24 C : y ! x . C : el cuadrado de vertices (0.1) 2  ( y  1) 2 ! 1 4 2 2 2 ´ (x  y) dx  x y dy. C : y ! x. 0) a (1.. 1) c) d) ´ C x dx  y dy.Para cada una de las situaciones dadas a continuación en el aparte 8.1) C : y 2 ! x. En caso afirmativo. 1) a (T . b) ´ x dx  2y dy  z dz. T ) 2 C 2 2 2 C a) ´ C c) ´ 2xy dx  (x . 1. 3) C ) ´ (3x 2  y 3 ) dx  (6  3xy 2 ) dy de (-1. 2) a (3. 2) a (3. 1. y ! x. C : 2 (x .. 1) a (0.2) (1. 2) a (-2. C : x  y ! 1 C 2 2 2 C 2 2 C (1. C : y ! 0. encuentre una función potencial de f de F. x ! 4 Integración múltiple 12 . y ! x. determina si la integral de línea es independiente de la trayectoria. 0) (1.0) y (1. y x C C : y ! 1.1) e) ´ x y dx  (x  y ) dy. y !  x entre (0. 1. 4) C 9. 1) b) ´ e x sen y dx  e x cos y dy de (0. 0.Demuestre para cada caso que la integral de línea es independiente de la trayectoria y calcule el valor de la integral (y 2  2xy) dx  (x 2  2xy) dy de (-1.Use el teorema de Green para evaluar las siguientes integrales de línea.1) C C : l triángulo con vértices (2. 2 2 2 C C a lo largo de C(t) ! (t 2 . C : y ! x 3 . xy dx  sen dy.y ) dy de (0.Apure 7. . 3) a (-1.1) (3. 2) a (3. en la región acotada por las curva C dada. e) y g) ´ (6xy 3  2z 2 ) dx  2x 2 y 2 dy  (4xz  1) dz de (1. 0) a (1. 2) C i) ´ x 2 dx  xy dy de (0. x ! 1 C : x 2  y2 ! 1 C e x sen x dx  e x cos y dy. 8. 3) h) ´ (yz  1) dx  (xz  1) dy  (yx  1) dz de (4. C C C ( 2x 3  y 3 ) dx  ( x 3  y 3 ) dy. (x 2  y 2 ) dx  2xy dy.Calcule las siguientes integrales de línea a lo largo de las curvas que se especifican a) ´ x dy y dz  z dx.. entonces ! !  ´´ ? (x. y) dydx ! « dx » dy ¬ h 1 (y) ¼ c ­ ½ R ´´ ´´ ´ ´ ´ ´ Para el cálculo de un volumen se considera la función de dos variable f(x. Sí es continua en R entonces b h 2 (y) (x. b]. y) dydx ! « ¬ g1 (x) ¼ a ­ ½ R Momentos y centro de masa Sea T una lámina cuya forma está determinada por la región R . Si R es una región comprendida entre las grá icas y = g1(x) y y = g2(x) donde g1 y g2 son continuas en [a. y) dA ´´ g (x. Si la región R sobre la que está definida la integral es un rectángulo. Sí es continua en R entonces b g 2 (x) (x. y) dy » dx (x. d]. estas usualmente se desarrollan de manera iterada. definida en una región R. y) dA y está dada por ´´ (x. y) dA R ´´ (x. y) dA !K ´´ (x. b].Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA. y) definida en la región R. yi ) i . y) d ! im (xi . R p0 i Propiedades de la integral doble Si existe la integral doble de f sobre R. San P = Ri Una " ! " ! ´´ ´ ´ !  i (x. y) dydx ! ´ « ´ (x. tal que K  R (x.Apure Integral doble Definición: Sea f una función de dos variables. entonces se cumple que ´´ R R (x. siempre que el limite exista. supongamos que la densidad por unidad de área está dada por (x. y) dy » dx Cuando se trata de una integral de inida sobre una ´a ´c ¼ a¬ c ­ ½ región rectangular. y) dy» dx ´´ ¼ a ¬ g1 (x) ­ ½ R Si R es una región comprendida entre las grá icas y = h1(y) y y = h2(y) donde h1 y h2 son continuas en [c. y)  g (x. y) dydx ! ´ « ´ (x. denotada por œœR f(x. y) u 0 en toda le región R. y) donde es una función continua en R. y)AdA ! ´´    !  ! !  ´´ K (x. y) dx » dy ¼ a ¬ h1 (y) ­ ½ R Aplicaciones de la integral doble Para el cálculo del área de una región plana limitada por las funciones f(x) y g(x) en un intervalo cerrado x [a. entonces se dice que f es integrable sobre R. y) dA u 0 # 13 . La doble integral de f sobre R. y) dA           ! (x. Si R es la región de dos regiones ajenas R y R2 del tipo considerado en la definición anterior. especificado a continuación: b f(x) A ! ´´ f (x. y) dA ! ´ « ´ dy » dx ! Lim §§ y j x i ¬ g(x) ¼ a ­ p0 ½ i j R De manera completamente análoga se considera. d] d h 2 (y) A ! f (x. tal que: b d b d (x. y) dA. y) dA ! ´´ R1 (x. entonces b g 2 (x) ! (x. y) dydx ! « (x. y) dA  ´´ R2 Otras propiedades son: R R R R Teorema de la evaluación de la integral doble Para resolver una integral doble usando métodos algebraicos. para las funciones h1(y) y h2 (y) en un intervalo cerrado y [c. se considera como un límite de dobles sumas. = tang-1(y/x). 0eye2 2 14 .´ 8. vi) Ai donde Ai el área de Ri . por tanto la masa de la lámina T es: M ! lim § (v i .´ e 1 1 ´ 1 y 6. x  y e 4 2 2 D 7. A i ! ´´ x .´´ (x 2  y 2  x 2  y 2  2) dA .´ 4 0 T/6 2 ´ (y  sen x) dy dx ´ ln x 0 ´ y y cos x 5 dx dy 2. 0 e y e 2 $ ´´ ´ ´ 2. por tanto la integral doble queda h 2 (U ) f (x. entonces la masa de T i es (ui. .. A i ! ´´ y 2 . 0 e y e 1 D y dx dy 9. (x. 0 e y e 1 2 D (x  y  1) 11.x x 2 y dy dx (x cosy .´ 1 0 ´ y -1 . A i ! ´´ (x. y) dA P p0 R Suponiendo que la masa de Ti está concentra en (ui.y cos x) dy dx e y cos x dy dx 4. 0 e y e 1 1 y2 T 2 10. y) dA R De los casos anteriores resultan integrales dobles tal que resulta mucho más sencillo resolverlas considerando un sistema de coordenadas polares es decir que: x = r cos . (x. y) dA P p0 R Usando el cuadrado de las distancias a los ejes coordenados. 0 e y e 2 D 3. y= r sen .  ´´ x 2 y e D xy dx dy . . .´´ D x2 dx dy. y) dA R My ! lim P p0 v i (u i .  ´´ e x  y dx dy .  ´ 2 1 ´ x 1.  ´ 7. y) dydx ! « f (r. y) dA y el momento de inercia respecto del origen o momento polar de inercia I 0 ! I x  I y I 0 ! ´´ (x 2  y 2 ) . 0 e x e D T . 0 e y e 2 D 4. obtenemos los segundos momentos de inercia Ix e Iy de la superficies respecto de los ejes coordenados x y y respectivamente. 0 e x e 1. 0 e y e D 12. 0 e x e 1.  ´´ (x  y  1) dA . . .  ´ T/6 0 T/4 T/6 ´ ´ T/2 0 sen x 0 2. v i ) . .y -1 T/4 (x 2  y 2 ) dx dy sec x tan x 5. x 2  y 2 e 4 D 8. vi).´´ x sen (x  y) dx dy . v i ) . v i ) . 0 e x e 1. 0 e y e 2 D 5. 0 e x e 2. A i ! ´´ x 2 .´´ (x  y  10) dA . entonces el momento de primer orden TI con respecto el eje x y al eje y viene dada por las expresiones M x ! lim P p0 v i (u i .. .´´ (x  xy  x 2  y 2 ) dA .Apure partición de R Si |P| 0. y) dA R y su centro de masa es : x! My M y! I x ! lim § v i2 (u i .´´ x 2 y cos (x y 2 ) dx dy . . . y) dx dy 1 dx dy 1 y2 y dy dx 3. ) r dr » d ¬ h 1 (U ) ¼ ­ ½ R 1. .Evalúe las siguientes integrales 1.  ´´ . . 0 e x e 1.Evalúe cada integral en la región D indicada para cada caso 1. los cuales se expresan mediante las siguiente ecuaciones P p0 R Mx M I y ! lim § v i2 (u i . (x.´ 9.  ´´ x y (x  y) dA . 0 e x e 1. v i ) .Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA.´ 1 0 ´ 0 3y y 2 (4x . (x. u i ) . A i ! ´´ y . 0 e x e 1. .´´ (x 2  4 y 2  9) dA . siendo r 2 = x2 + y2. 0 e x e T . 0 e x e 2. (x. . 0 e y e 2 D 6. Represente el sólido definido en cada caso y calcule el volumen 1. z ! 0 7. y ! e x .4. y ! 1/(1  x 2 ) 9. z ! 0 y ! 0. y . D(2. 5. ´´ ydxdy . y ! e x . y ! sen x.6. z ! 0 y ! 0.  y2 5. B(5. z ! 0 y ! 0. donde la región G está limitada por las curvas & % ' x + y = 2.4. 2). x  y  3 ! 0 caso. 4x  y ! 9 6.4. x ! 0. 4. y ! -2. y ! 1. 2x  y  z ! 4.y ! 2. . x ! 0. el centro de masa y el momento de inercia segundo orden Ix.Para cada una de las situaciones que se describen a continuación calcule: la masa. x  y ! 1  e 3. x ! 2. y ! 3x .4. y ! 0.  ´ (x  y) dx dy 5. y) ! x  y 2.x2 . C(0. x ! -1.. 2). z ! 0 3. y) ! 2 6.. x ! 0. y ! 1 .x 2 . 1). donde la región G está limitada por el triángulo cuyos vértices son los puntos: ´´ ( x  2 y )dxdy . y ! 0. x  2y ! 5. 0). x ! 9. y) ! 4 2 4 4 1 6.. (x. . 1). y ! 3 x .y 3. 2 2 2 2 y ! 0. 4. donde la región G está limitada por el trapecio cuyos vértices son los puntos: A(1. x  y ! 4. y ! e -x .Calcúlese las siguientes integrales 4.- ´´ xydxdy . 2x  y ! 6. y ! 2x 7. 1.- ´´ ( x G 2  y 2 )dxdy . (x.´ ´ 3 x 25  x 2  y 2 dy dx xy dy dx 3.Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA. x  y ! 9. x+ y = 2 a.´ ´ (x 2  y 2 ) 3/2 dy dx 15 . 4. (x. y ! 2x 2. x 2  y 2 ! 16. x ! 3 .Dibuje el sólido en el primer octante acotado por las gráficas de las ecuaciones dadas y calcule su volumen 1. z ! 4 . x . donde la región G está limitada por las rectas y = G A(0. y ! ln x. x2 + y2 = 2 y. y) ! x.x ! 2. y ! 2x. y ! 0. donde la región G está limitada por las curvas: y = x tag x. . y . . (x. y = x. y) ! y 2 8. x y 2 ! 1. y ! 0. y ! x 2 . ´´ x 2 x dxdy . (x. 8y ! x 3 . y  z ! 9 7. 2x  y ! 2 5. (x. x = 0.x ! 4.Dibuje la región y calcule el área limitada por los gráficos de las ecuaciones dadas en cada 1. y ! 3. x !  . 1). y ! 0.2. y ! 2. z ! 4  x  y y el plano xy 1 x x x 1 y y/4 1 3 x x 0 8. y ! 0. donde la región G está limitada por las rectas y = x. y ! x. y ! x . x ! z.1.´ T /2 0 ´ sen x 0 6. x ! x! 4. y ! x . x  2 y  5 z ! 10. x  y ! 1. y) ! x 7. y ! sec x. y ! x 2 .3. x ! 0.  ´ 1 -2 4 0 ´ ´ (x 2  y 2 ) dy dx 2. y ! ln x. y ! 2x. Iy y I0. 1).´ 1 y/3 0 ´ y/2 a -a x 2  y 2 dx dy a 2 x x 0 4. (x. y = ¥x. C(10. ´´ G xy  y 2 dxdy . B(1. y) ! x 2  y 2 T T . x  y ! 2. y ! sen x.. z ! 0 4.y . y) ! 1 5. 4. 6.5. x ! y 2 . x ! 8. y ! 3x. x ! 2 (x..18 8.Apure 3. x 2  z 2 ! 9. 2 2 2. z ! x 2  y 2 . se define la integral en un sistema de coordenadas cartesianas de la siguiente manera: 16 . x y=p. 9.6.. y2= b x.9... z) dV ! Lim § f(u i .Problemas varios 9. x y=q ( 0 < a < b.4. f]. que está cortada por la lámina ( a > 0) 9. Si el límite existe se llama la integral triple de f en Q y se denota por ´´´ f(x. 9..Calcule el volumen del sólido que está fuera del cilindro x2 + y2 = 9 y dentro de la esfera x2 + y2 + z2 = 25. se define de manera completamente análoga a la integral doble para funciones de dos variables. v i .Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA. x + y + z = a.x). comprendida entre =1/2 y =1. b].x). 9.. la densidad P ( .. z) definida en un región del espacio con forma de paralelepípedo. 9. que está cortado por la lámina parabólica z2 = 2a (2a .Hállese el área de la parte del plano parabólica y2 = a (a .. y [c.Calcule la masa y el entro de masa de la lámina acotada por las regiones r = 2 cos . 9.Calcúlese la integral ´´ ( xy dxdy haciendo el cambio de variable apropiado.10.8. por las gráficas de r=1 y r=2 y la parte de la espiral r. 0 < p < q).Calcule el valor de las siguientes integrales en coordenadas polares a a 2  x2 2 2 ´ ( x  y )dydx 0 a -a 2 x ´ -a 1 ´ a 2 x 2 ( x 2  y 2 ) 3 9 x 2 2 ´e 0 dydx ´ ´ (x 0 0 2 4 x 2 -2  y 2 ) 3 / 2 dydx ´´ 1 0 1 x y 2 2 1 x 2 dydx -a ´ ´ 0 e x2  y 2 dydx ´ ´ 0 x 2  y 2 dydx 9. tal que x [a..Hállese el área de la parte de la superficie del cilindro x2 + y2 = 2ax. y. =1.Calcule el momento polar de inercia de una lámina homogénea que tiene la forma de la región acotada por r2 = a sen 2 .. cundo G está limitada por las curvas y2= a x.1.Calcula el volumen V del sólido acotado por el paraboloide z = 4-x2-y2 y el plano xy. w i ) Vi Q P p0 i Para una función f(x.Apure 8.5.Encuentre el momento palar de inercia de una lamina homogénea que tiene la forma de la menor de dos región acotadas por el eje polar.7.Hállense las coordenadas del centro de masa de la placa homogénea limitada por las curvas ay = x2. 9. x + y =2a ( a>0 ) 9..Hállese el área de la figura limitada por las curvas r= a ( 1 + cos ) y r= a cos 9. d] y z [e.. r) es directamente proporcional a la distancia de P al polo. y.3. Integrales triples El concepto de suma de Riemann para una función de tres variables.2.. z) r dz d dr Integral triple en coordenadas esféricas Para una función definida en un sector esférico Q. entonces la integral puede ser definida de cualquiera de las formas siguientes. la densidad en (x. y. . z) dV ! ´ ´ a h1 (r) k1 (r. En particular. ´´´ Q f(x. z) dV ! ´ ´ Q a b g 2 (x) h 2 (x. Q m c a Donde x= r cos . y) ´ f(x. y. Integral triple en coordenadas cilíndricas Para una función definida en un sector cilíndrico Q. z) dV ! ´ ´ ´ f(r. ) : a (r. z) dV ! ´ ´ a g 1 (U ) h 1 (r. y. z) : a (r. z) donde es una función continua en Q. y. ´´´ f(x. entonces la integral triple de f sobre Q se escribe œœœQ dV.Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA. Zc) 17 0 0 0 0 0 0 ´´´ ´ ´ ´ f(r. z) dx dy dz Donde la integral iterada de la derecha se calcula integrando primero respecto de x. y su valor es el volumen de la región Q. z) dV Cálculo de momentos de primer orden: Si una partícula de masa m se encuentra en el punto (x.Apure n l b ´´´ Q f(x. y. ) b h 2 (r) k 2 (r. n d b f(x. y finalmente se integra respecto de z. z) dz dx dy u otro orden que se considere conveniente. y. y = r sen sen . por tanto el volumen de un sólido queda definido a través de la integral triple de la siguiente manera V = œœœ Q dV = œœœ Q dx dy dz para un sólido en coordenadas cartesianas rectangulares. y. entonces la integral puede ser definida de cualquiera de las formas siguientes. y. y. z) entonces se definen los momentos de primer orden. r b. z) = 1 en toda la región Q. y. z) está dada por (x. y. z) dV ! ´ ´ Q a b h 2 (y) k 2 (x. z) dV Por tanto las coordenadas del centro de masa del sólido (Xc. y) g1 (x) h 1 (x. c d. respecto de los planos coordenados. si Q es una región limitada por curvas. y. z = z y dV = dx dy dz = r dr d dz (Jacobiano) Existen otros órdenes de integración posibles. z) dV Myz= œœœQ x (x. y. m Q m c a Donde x = r sen cos . Cálculo de masa Si un sólido tiene la forma de una región tridimensional Q. z) dz dy dx . usualmente se sugiere la forma más sencilla. c d. ) r 2 sen dr d d . Yc. ´´´ f(x. ) ´´´ Q f(x. r b. m z na . n d b . z = r cos dV = dx dy dz = r2 sen dr d d (Jacobiano) Aplicación de la integral triple Volumen de un sólido Si f(x. entonces la masa del sólido en cuestión es: M = œœœ Q (x. considerando constante y y z. z) dV ! mk a ´ ´ ´ f(x. usualmente se sugiere la forma más sencilla. ) ´ f(r. luego se integra respecto de y considerando constante z. y) h1 (y) k1 (x. z) r dz dr d . En particular. z) dV ! . siendo Q ! _ . y. y. z) dV Mxz= œœœQ y (x. z) r dr d dx. ) ´ f(r. y) ´ f(x. de la siguiente manera: Mxy= œœœQ z (x. y = r sen . . y. y. para definir la integral. y. b g 2 (U ) h 2 (r. . ) ) ) ) ) ) ´´´ f(x. na . siendo Q ! _ . si Q es una región limitada por curvas. y. Zc =Mxy/M. y. los cuales se expresan mediante las siguiente ecuaciones I x ! ´´´ (y 2  z 2 ) . y.  ´ ´ ´ (x .2y  3z 0 1 2 ) dy dz dx 2. obtenemos los segundos momentos de inercia Ix. respectivamente. z) d Q 1. Iy e Iz del sólido respecto de los ejes coordenados x..Apure Xc =Myz/M. y. (x. (x.Evalúe las integrales iteradas dadas a continuación 1 2 3 2 1. Cálculo de momento de inercia de segundo orden Usando el cuadrado de las distancias a los ejes coordenados. Yc =Mxz/M. z) d Q Q Q y el momento de inercia respecto del origen o momento polar de inercia I 0 ! I x  I y  I z I 0 ! ´´´ (x 2  y 2  z 2 ) . y y z. (x. (x.Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA. z) d I z ! ´´´ (x 2  y 2 ) . z) d I y ! ´´´ (x 2  z 2 ) .  ´´´ . . y.5. f(x. y + z = 4. 4. 2 2 3.y2 + z2 = 1. x 2 + y2 = 4 2 3. encima de z = 0.Dibuje la región acotada por los gráficos de las ecuaciones dadas y use la integral triple para calcular su volumen. Q ! {(x. z) = xz ± yz 2. 2 2 5. 0 e z e 3} Q 1 2x x  z 2 z2 x z 2 2x 2 x  y 2 3. y = 2.z y los planos y = 0.. .La región Q acotada por los planos: x = -1.z .z .  ´´ ´ 0 z3 x dy dx dz 10. debajo de x2 + y2 = 4z 2. .9. z = 0 2.8. z) = 3xyz 2.  x z -1 ´ ´ ´ 2x 1 0 1 4 z 0 1 z 2 y dz dy dx 2x x  z 3 ´´ ´ 2 0 1 1 (2x  y  z) dx dz dy 7. . z = 4. y.z + x = 4. z = 0 y x + y=1. x = 2.. x + y + z = 2. x = 0 6. ..2x  y  z) dx dz dy.. y = 3x. z = 0. z) = 2x ± z 2.  0 ´ ´ ´ x y z dz dy dx 0 11. y =0.3. 2. x = 0.z2 + x2 = 4. z =1. y = 0. y.1 e y e 0.Calcule el volumen aplicando integral triple y empleando coordenadas cartesianas 2. considere la densidad del sólido constante. z = 0. z = 0 y z = 5.  ´ ´ ´ (16 .y = 2 . y = -1.  ´ ´ ´ x dy dz dx 0 1 x 3 z 3y yz 4. y = z . 1. x = 1.La región Q acotada por el cilindro y2 + z2 = 9 y los planos x = 0. y = 3. debajo de x + z = 4 2. 3... y z +2y = 4.6.Interior de x2 + y2 =9.7. encima de z = 0.  ´´ ´ 1 0 1 0 1 x 1 z dy dx dz x dy dz dx 5. f(x. x + z = 4. 18 . . y = z .y = 2 .z = ex + y. y z + x =3. z) = y + x 2 y.La región Q acotada por el cilindro x2 + y2 = 16 y los planos z = 0.z + x2 = 4.x 1 x 2 x 9.. x + y + z = 2. y z =3. 4. y.. y2 + z2 = 4.. y.La región Q acotada por la superficie z = y /(1+ x2 ) y los planos x = 0. z = 0. y + z = 2 6.. 2 2 5.1.La región Q acotada por los cilindro x2 = z y x2 = 4 .  ´´ ´ 0 0 z ´ ´ ´ dx dy dz T/2 4 16  z 2 2 1/2 z 4. y = 0.. x = 0. 1. x + z = 4. x 2 + y2 = 4. y2 + z2 = 4..z = x + y .  8.El interior a x2 + y2 = 4x. f(x.x2 + y2+ z2 = 0. x = 2. y.  6.Limitado por los planos coordenados 6x + 4y + 3z =12 2. y = 0. z) :1 e x e 2. z) = x ± 2y + z 2. .4..r 0 0 0 ) r z dr dz d 2.z2 + x2 = 4.. y + z = 4.2.. f(x.. f(x..La región Q acotada por los planos: x = 0.Encuentre el volumen y el centro de gravedad del sólido acotado por los gráficos de ecuaciones dadas en cada caso.z = x2 + y2. y.y2 + z2 = 1. f(x. x = 0 4. . z) = 3z-yz 2. y. z) = y + z 9. z) = 1 en toda la superficie S. y dentro de la esfera x2 + y2+ z2 = 4 b) Adentro de la esfera x2 + y2+ z2 = 1 y fuera del cono z2 = x2 + y2 c) Limitado por x2 + y2+ z2 = 0. z=r2. z) i+ N(x. entonces la integral de superficie de g. y z + x =3.1.La región Q acotada por los cilindro x2 = z y x2 = 4 . 7. N y P tienen primeras derivadas parciales continuas.Encuentre la masa del sólido en forma de cono acotado por los gráficos de z= r. y.. (x. también conocido como Teorema de Gauss. y. y). y. (x.Un sólido homogéneo está acotado por los gráfico de z=r. z) = y + x 2 y. definida anteriormente. y = 2.Use coordenadas esféricas para resolver las situaciones planteadas a continuación 5. donde M. z) = xyz 9. y z =3. (x.Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA.z y los planos y = 0. x 2 + y2 = 4 6. z) k.. y. y = -1. La integral de superficie de g sobre S está dada por: ´´ g(x.. por lo que recibe el nombre de vector unitario normal exterior a S. 8.Calcula la masa y el momento de primer orden respecto del plano xz. es igual al área de la superficie de S proyectada sobre el plano xy. y. suponiendo que la densidad en cualquier punto P del s{olido es directamente proporcional a la distancia de P al eje z... entonces se satisface la siguiente expresión 19 .. y. es un región del tipo que se considera para integrales dobles..1. entonces S tiene una proyección rectangular R sobre el plano xy y que f tiene primeras derivadas continuas en R. y =0. (x. y)  1 dA 2 ? A 2 Sí g(x. y)A  f y (x. y)) ?f S R x (x. y. Supongamos que S es el gráfico de z=f(x. entonces decimos que S tiene una proyección rectangular sobre el plano coordenado. y.3.5.La región Q acotada por el cilindro y2 + z2 = 25 y los planos x = 0. Integral de Superficie Si la proyección de una superficie S sobre un plano coordenado. (x.. z) j + P(x. y z +2y = 4. de los sólidos que se describen a continuación: 9. z = 0 y z = 5. encuentre el centro de masa y el momento de inercia de segundo orden respecto del eje z.La región Q acotada por la superficie z = y / (1+ x2) y los planos x = 0.La región Q acotada por el cilindro x2 + y2 = 9 y los planos z = 0. 9. y. Sea la función vectorial: F(x. z) = 2x + 1 9.2. En esta región n es el vector unitario normal a S que apunta hacia afuera de la región. z)ds ! ´´ g(x. z) = 2+yz 9.Calcule el volumen del sólido limitado por los gráficos de las ecuaciones das a continuación: a) Encima del cono z2 = x2 + y2. z = 0 y x + y=1... y. f(x.Apure 5.Calcula la masa y el centro de masa del sólido en el interior del cilindro x2 + y2 ± 2y = 0 como de la esfera x2 + y2+ z2 = 4. z=4. x = 1. El teorema se refiere a una superficie S que es frontera completa de una región Q. y. z) = M(x. Teorema de la Divergencia Uno de los teoremas más importantes en las aplicaciones del cálculo vectorial es el teorema de la divergencia. Suponiendo que la densidad en cualquiera de sus pontos es directamente proporcional a la distancia al plano xy..4.La región Q acotada por los planos: x = 0. n 1 T T T ds ! ´´ “ .Evalúe  . EJERCICIOS PROPUESTOS 1. y.y2. F(x.. Teorema de Stokes (versión vectorial del teorema de Green) Sea S la superficie generada por el gráficos de z=f(x. z=±1. z = 0 y z =3. y.Evalúe la integral  en el primer octante entre los planos z=0. f2. y.3) F(x. z) . 4. n ds C S La integral de línea de la componente tangencial de F tomada a lo larga de C..Sea S la parte del grafico de z = 9 ± x2 ± y2 en la cual z • 0 y F(x. es una curva cerrada que encierra a la región R. 5. Calcule el flujo de F a través de S. y. z=5.2 y 5. F(x. y) donde f tiene primeras derivadas parciales continuas y la proyección C¶ de C sobre el plano xy. S es la mitad superior de la esfera x2 + y2 + z2 = a2 5. es igual a la integral de superficie de la componente normal del rotacional de F sobre la superficie S. z) ! xy xz xx En las aplicaciones a la física esta expresión se interpreta como: El flujo de F a través de la superficie S. 20 1 ´´ F(x.Encuentre el área de la parte del gráfico de z que se proyecta sobre el plano xy: z=9 . .En los ejercicios evalúe la integral  5. 6. f3 y f4. donde S es la porción del cono entre los planos z=1 y z=4. 5. f1) F(x.2) F(x. Use el Teorema de la Divergencia para evaluar  . Entonces se satisface l siguiente expresión TT TT ´ F .1. en el primer octante. 2. z) = x2 . z) = x3 i + y3 j + z3 k. y. use el teorema de la divergencia para evaluar la integral donde n es un vector normal unitario exterior a S. 5. Sea F una función vectorial que tiene derivadas parciales continuas en una región R que contiene a S. S es la frontera de la región acotada por x=±1... es igual a la triple integral de la divergencia de F sobre Q. 3. una vez en la dirección positiva.  f) En los ejercicios f1. Sea T el vector tangente unitario de C que apunta hacia la dirección positiva..Apure T xN xP x   “. y. T ds ! ´´ rotF . y=1 y y=4. z) = y sen x i + y2 z j + (x + 3z) k. suponiendo que F(x.3. y.. z) dV donde que se encuentra . y=±1. y. Sea S la frontera de Q y n el vector unitario normal exterior a S. z) = x + y.Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA. z) = x2 + y2 + z2.1) F(x. z) = 3 i+ 3y j + z k. S es la porción del plano 2x + 3y +z =6. donde S es la parte del cilindro x=y2 que se encuentra para los casos 5. dados a continuación. S es la parte del plano z= y + 4 que está dentro del cilindro x2+y2 =4.x2 . y.Sea Q la región acotada por las gráficas de x2 + y2 = 4. para todo punto existe una y solo una función definida en un intervalo que contiene a que es una solución de la ecuación y además . entonces por todo punto de D pasa una y solo una solución de esa ecuación diferencial. y. z) = 3z i +4x j+ 2y k. verificar el Teorema de Stokes para el campo F y la superficie S. y. z = 0. Si es continua y derivable con respecto de y. asumiendo la función vectorial F(x. funciones. y. subespacios de . z) = y2 i + z2 j + x2 k. verificar el Teorema de Stokes. y. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD Sea donde es una función definida en un conjunto D abierto y conexo del plano. la ingeniera. h3 y h4. así como sistemas de las mismas. en dichas ecuaciones figuran las derivadas de las funciones incógnitas. y. z) = y2 i + z2 j + x2 k.Apure f2) F(x. Una ecuación es una igualdad en la que se encuentran uno o más valores desconocidos los que reciben el nombre de incógnita.« Entre estas ecuaciones se encuentran las denominadas ecuaciones diferenciales. Ecuaciones Diferenciales Las ecuaciones diferenciales son expresiones matemáticas de uso frecuente y de variadas aplicaciones. aplicaciones lineales. y = sen t. 21 . z) = 2yx i+ z cosh x j + (z2 + y senacotada por los gráficos de z = x2 + y2. z =9. S es la frontera de la región acotada por los gráficos de x2 + y2 = 4. x + z =2. 0” t ” 2 . Entre estas identificamos. h) Para cada una de las situaciones: h1.Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA. S es la frontera de la región g) Sea S la parte del gráfico de z = 9 ± x ± y en donde z • 0.z ) j + z2 k. y. z=1. f3) F(x. S es la curva x= cos t. en la que las incógnitas no son números si no objetos matemáticos: matrices. Existen numerosos problemas de matemática. que conducen a plantear ecuaciones. S es la parte del cono z=(x2 + y2 )1/2 que se encuentra debajo del plano z=1. 1 x) k. y sea C la traza de S en el plano xy. ecuaciones algebraicas que se obtienen igualando a cero un polinomio y tiene tantos soluciones como sea el grado del polinomio. h2. ecuaciones transcendentes (no algebraicas) estas no necesariamente tienen un numero finito de soluciones y otras muchas análogas. S es la parte del paraboloide z = 4 ± x2 ± y2 que se encuentra dentro del cilindro x2 + y2 = 1. z) = y3 ez i ± x y j+ x tag-1 y k. h3) F(x. la física. Es decir. con derivada continua. z) = (x2 + sen yz) i+ (y ± x e. S es la frontera de la región acotada por los planos coordenados y el plano x+y+z=1. y se llaman diferenciales puesto que. h4) F(x. dados a continuación. z) = y2 i + z2 j + x2 k. y. z) = (3z ± sen x) i + (x2 + ey) j + (y3 ± cos z) k. f4) F(x. h1) F(x. y. en las cuales las incógnitas son funciones. S es la parte del primer octante del plano x + 4y +2z = 4 h2) F(x. lo que se hace frecuentemente es a alguno de los tipos anteriores mediante algún cambio de variable 1. Para así expresar la ecuación diferencial de la forma  orden cero y se resuelve de manera completamente análoga a a los casos descrito s anteriormente en (2). m y n se obtienen anulando el término independiente que resulta del cambio de variables en las ecuaciones de las rectas de la E.     la cual es homogénea de 22 . y se considera la nueva variable dependiente u. se evalúa la solución general en este punto y obtenemos el valor para la constante de integración C por simple despeje.D. pues de aquí se obtiene inmediatamente la solución general mediante integración. es decir mediante integraciones. dy=dv. Siendo .ECUACIONES DIFERENCIALES CON VARIABLES SEPARABLES Caso I: La forma mas simple de esta ecuación es . 2. La ecuación diferencial . donde  es una constante arbitraria y una primitiva de Caso II: Si la ecuación se presenta como un producto de funciones distintas y es decir: entonces en la ecuación se separan las variables a cada miembro de la ecuación. se dice homogénea si la función  es homogénea de grado cero. la cual se resuelve como se indico en caso II. así la ecuación diferencial homogénea se reduce a un caso de ecuación diferencial de variables separables. anteriormente descrito. es decir  depende solamente de x.Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA. resultando solución general se obtiene integrando esta última expresión. Para muchas otras ecuaciones diferenciales. y = v + n donde dx=du. Casos de ecuaciones diferenciales que se reducen a homogéneas    Las ecuaciones diferenciales del tipo si las rectas son no paralelas es decir que se reducen a ecuaciones homogéneas mediante el cambio de   variables: x = u + m.D... que sustituida en la solución general se obtiene una solución particular de la E. Para obtenida a partir de la ecuación  †‘†‡‰ › De donde la integrar este tipo de ecuación se realiza el cambio de variable  . Si la ecuación diferencial tiene una condición para este caso particular. se verifica que: š › ‰ š › . así se conserva la variable independiente x. las cuales son: Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales homogéneas Ecuaciones diferenciales lineales Ecuaciones diferenciales exactas y con factor integrante.ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS EN X y Y Una función •‡†‹…‡“—‡‡•Š‘‘‰±‡ƒ de grado n. si para todo >0. de donde resulta un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.Apure ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN Y GRADO UNO: Estas se pueden resolver por cuadraturas. lineal no homogénea. entonces la ecuación  .Apure Si las rectas son paralelas es decir que mediante un cambio de variables: de variables separables.Q) . y ' sustituyendo en la E. la ecuación diferencial se resuelva  La cual es una E.. así el primer miembro de la ecuación se expresa como la derivada de un producto de funciones.D. para de esta manera completar el cambio de variables haciendo y¶=r. Ecuación de Bernoulli: Sea la ecuación diferencial    donde n  0. Caso I: Si . 4. la cual puede escribirse  dividiendo la ecuación anterior por A(x). obteniéndose como resultado la solución general de la E. y'   ! y n . entonces la ecuación diferencial es lineal completa  . por lo que es la condición necesaria y suficiente para que la Ecuación diferencial (E.Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA.D 3. ecuación se reduce 1 n al caso lineal de primer orden (caso II) Ecuación de Clairaut: Sea la ecuación diferencial  Esta se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo r=y¶ y derivando la ecuación resutante respecto de la variable independiente x. Es obvio que y = 0. es una solución de la ecuación.D. Caso II: Si la ecuación es no homogénea es decir que  . podemos dividir la ecuación por yn obteniendo:   Practicando el cambio donde w = y1 ± n . esta no ser separada en variables. el cual puede ser integrado. se resuelve separando variables e integrando. tal que para todo en D se verifica que:   donde   y por lo que F es un potencial escalar del campo (P..ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN UNO En forma general de esta ecuación se expresa   . la cual puede ser resuelta mediante el método descrito en el caso II. obtenemos de esa manera una solución singular de la ecuación de Clairaut. Para hallar una solución particular de esta ecuación se sustituye C=y¶. Si n=1 la ecuación diferencial es de variables separables. La ecuación anterior se dice diferencial exacta. la ecuación es homogénea incompleta. De forma lineal. derivando esta respeto de C y eliminando C de sistema de ecuaciones formado por la solución general y su derivada. A efecto de encontrar la solución general.ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS Y DE FACTOR INTEGRANTE Ecuación diferencial exacta: Consideremos una ecuación diferencial de orden uno escrita en la siguiente forma:    Donde p y Q son funciones continuas definidas en un conjunto abierto de . En este caso la función F (potencial escalar) puede 23 . luego invirtiendo las variables dependiente e independientes se puede expresar la ED. siendo w' w' ! (1  n) y n . multiplicamos la ecuación por la función (factor integrante) .D) sea exacta. si existe una función definida y diferenciable en el abierto D. Si y  0 y n>1. obteniendo la solución general: y = C x + (C). . donde es Factor integrante: consideremos la ecuación diferencial: ( ) supongamos que no es una ecuación diferencial exacta. se dice que la función es un factor integrante de la ecuación . se convierte en una ecuación diferencial exacta:     cuando esto acontece.     …                         2-Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de variable separables a) i) b) j)     c)   k)  d)  l) e) q) x f)   r)   g)    s)  h)   t) ›      24 .Apure determinarse por la formula: un punto de D. esto es: . ¿Cómo determinar algún factor integrante? Si es el factor integrante de la ecuación. . entonces debe verificar que    de lo anterior se deduce que . puede suceder que multiplicando la ecuación ( ) por una función conveniente . es posible ensayar funciones de y EJERCICIOS PROPUESTOS 1-Demustre que y es una solución de la ecuación diferencial dada. es el factor integrante usualmente es una función de x: es decir o .Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de orden uno a) h) b) i) c) j)  d) k) l) e)  f)  m) n) g)    o)  5.Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas a) j)  b)  k) c) l)  d) m) n) f) g) h) i)      e) (   o) p) q) r) s) t)   4.Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales exactas o) p)   q) r) s) Ž   t) u)   25 ..Reducir a forma lineal las siguientes ecuaciones diferenciales a)  h) b)   i)  c)    j)  …‘• d)   k)    e)    …‘• l)  Ž f)  g) m) n)        6..Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA...Apure 3. 1.Si se toma en cuenta los efectos de la resistencia atmosférica.2. 8.. Si la resistencia del fluido produce una desaceleración dada por  m/s2 don de v se mide en m/s. Hallar la relación entre el costo el número de clases de artículos.. Determine el valor de la velocidad a los 5s y calcule el valor máximo de la velocidad alcanzado por el cuerpo. 8. 8. Suponemos que la mezcla es removida constantemente para 26 .Calcule el factor integrante y resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales a) b) c) d) e) f)  g)     8. sabiendo que su velocidad es 120mm/s. Determine el desplazamiento de la partícula en 2 s.La relación entre el costo C de fabricación por artículo y el número n de artículos fricados es tal que. sabiendo que cuando se produce el primer artículo su costo es 60Bs.. un cuerpo cayendo libremente tiene una aceleración definida por la ecuación  m/s2 donde v es la velocidad expresado en m/s y la dirección positiva es hacia abajo. determine la velocidad y la posición de la partícula cuatro segundos después de su disparo. ¿Cuánto tiempo tardara esta población de bacterias hacerse 20 veces mayor? Sabiendo que se duplicaron en las primeras dos horas. 8.Un proyectil inicialmente en el origen. la tasa de incremento del costo de fabricación a medida que aumenta .. cuando t=4s y -100mm/s cuando t=2s. contiene S0 kilogramos de sal disuelta en agua. es proporcional a de fabricación por artículo y el número de tipos de artículos fabricados sabiendo.Una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria recta con una aceleración mm/s2 donde es el tiempo expresado en segundos. 8.6.Un proyectil se dispara verticalmente y hacia abajo dentro de un medio fluido con una velocidad inicial de 60m/s..7..4.Se tiene una población de bacterias que se reproducen constantemente de tal manera que su velocidad de crecimiento es proporcional el número de bacterias presente. Considere a n como una variable continua.Un tanque cuya capacidad es de 200litro. 8.5... se mueve hacia abajo en un medio fluido de  tal manera que su velocidad está dada por mm/s donde se te expresa en segundos. Determine el valor de la constante k y calcule la velocidad de la partícula cuando t=3s. Supongamos que en cierto instante de tiempo vaciamos en el tanque una salmuera ( agua con sal) que contiene 1/10 de kilogramo de sal por litro y a una tasa de 20 litros por minuto.Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA.Apure v)   7.Problemas de aplicación de las ecuaciones diferenciales 8.3.. D. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN DOS QUE SE REDUCEN A UNA ECUACIÓN DE ORDEN UNO a) Caso 1: Ecuaciones de la forma Este es el caso más sencillo de una E. se plantean las condiciones iníciales y con lo que se plantea un sistema de ecuaciones obteniéndose los valores de las constantes de integración   . 27 . 8. Determine la cantidad de C al cabo de un tiempo t sabiendo que inicialmente había 100gr de A 300gr de B. en la reacción resulta que resulta entre las dos sustancias por cada gramo de A se usan 5 gramos de B. 8. Si esa bola pierde la mitad de su masa en 60 días. Diez minutos después de haberlo sacado de la habitación el termómetro marca 26°C. para las cuales existe un teorema general a efectos de su integración. de tal manera que la resistencia del aire es numéricamente igual a la velocidad del mismo y el coeficiente de fricción con la superficie es µ. debemos dar n condiciones iníciales.Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA. ¿Cuál es la temperatura exterior suponiendo que esta se mantiene constante? 8. las denominadas lineales. ya que se resuelven integrando dos veces. con que se forma C es proporcional a las cantidades de A y B que hay en ese instante.Apure homogeneizarla...8.10. Si se quiere una solución particular de una E. y N es la fuerza normal o fuerza que ejerce la superficie sobre el cuerpo.Cuando un cuerpo se mueve sobre una superficie rugosa sobre este actúa una fuerza de fricción o roce que se opone a su movimiento Fr =µ N donde µ es la contente de proporcionalidad conocida como coeficiente de fricción.9.. Sabiendo que P(0)=P 0. Determine la concentración al cabo de cualquier instante t.. después de iniciado el proceso.-Dos sustancias A y B se combinan para producir una tercera sustancia C de tal manera que. Determine la velocidad del cuerpo es cualquier instante t. Para determinar una solución particular. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR A UNO Las ecuaciones diferenciales de orden mayor o igual que dos son bastante difíciles de resolver. después de iniciado el deslizamiento. Determinar la función P(x). al mismo tiempo sale la mezcla a la misma tasa de 20 litros por minuto.Una bola de naftalina de forma esférica y radio R pierde masa por evaporación a una razón que es proporcional al área de su superficie. De manera particular estudiaremos algunas ecuaciones. y que la tasa de reacción en cualquier instante. lo cual se hace prefijando el valor de la solución y de sus n-1 primeras derivadas en un punto dado . ¿En cuanto tiempo desaparecerá la bola completamente? 8.D de orden n mayor o igual a dos.L de orden dos. a medida que crece el gasto de propaganda. Supongamos que se tiene un cuerpo de 80Kg y que parte del reposo en la parte más alta de un plano inclinado de 30° sobre la horizontal. 8. es proporcional a la diferencia entre una constante A y la utilidad neta.La relación entre la utilidad neta P=P(x) y el gasto de propaganda x de una empresa es tal que la tasa de incremento de dicha utilidad.Un termómetro se mantenía graduado en una habitación cuya temperatura era de 18°C.12. Después de 25 minutos se observa que se han formado 60gr de C.11. L es de coeficientes constantes. la cual depende de una ecuación algebraica de segundo grado. c. -El conjunto de las soluciones de (H) es el núcleo de la aplicación lineal T del operador diferencial lineal -Si conocemos todas las soluciones y una solución particular      Donde dividiendo la expresión por  . 28 . ecuación se considera la ecuación de orden uno en   . La E. Esta es una de la ecuación homogénea de la ecuación no homogénea entonces también conocemos todas las soluciones de la ecuación no homogénea (NH) que son las funciones A fin de hallar la solución de una E. entonces la E. d son constantes reales. es la solución general de la   . L de orden dos 1. para integrar este tipo de ecuación. es decir haciendo el cambio Caso 3: Falta la variable dependiente x.D. donde ecuación . Nota: Esta proposición no es cierta para ecuaciones diferenciales no homogéneas o en ecuaciones diferenciales no lineales. D. tales que el siguiente determinante es no nulo en todo el punto    entonces la función   son constantes cualesquiera.L no homogénea. L    .Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA. es decir. para integrar este tipo de .  En estos casos nos limitaremos a los casos de coeficientes constantes donde su resolución es muy sencilla. con a. D adopta la forma  E. se considera y como la variable independiente.. Si d=0 entonces la ecuación diferencial lineal es homogénea:     Algunos teoremas acerca de las E. D. entonces cualquiera sean las constantes   . Si la E.Si son dos soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea. debemos encontrar la solución general de la ecuación homogénea (H) y alguna solución particular de la ecuación (NH) no homogénea.D. D.L de coeficientes variables. si      FORMA GENERAL DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE ORDEN DOS Esta es una ecuación de la forma . b. -Si  son dos soluciones de (H) definidas en J.Apure b) Ecuaciones donde falta la variable y o la variable x Caso 2: Falta la variable dependiente y. se tiene que la función   es también solución de la ecuación. .. tenemos dos soluciones de      y la solución general de es    b) Raíces reales dobles (iguales) :   decir.            donde   constantes Caso 6: Ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficiente constante: Consideremos la E.c. siendo A.        c) Raíces Complejas: soluciones de son la fórmula de Euler de  se escriben la solución general de  . por tanto las soluciones  es :    por tanto  . Caso 5: Ecuaciones diferenciales homogéneas de orden n con coeficiente constante Sea la E. Como la solución de es de la forma  al sustituir en se obtiene la ecuación característica o ecuación auxiliar de es:     . es  y la solución general de es :           . En caso de tener n raíces iguales la solución parcial a la E.L con coeficiente constante no homogénea (NH): 29 . tales que son raíces de la             (H)       siendo constantes reales arbitrarias. la ecuación de segundo grado tiene dos raíces   que pueden ser a) Raíces reales distintas :   .D. C números reales. B.Apure Caso 4: Ecuaciones diferenciales homogéneas de orden dos con coeficientes constantes: Consideremos la ecuación    donde A. B.D. Si     son raíces de  Entonces las funciones  son soluciones de sabemos que. las soluciones de son iguales. C son números.luego las   recordemos .D es  Entonces la solución general de (H) es   (H¶)  reales arbitrarias.L de orden n: Sean ecuación:      números reales distintos dos a dos.Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA. El caso de que la ecuación diferencial tenga raíces iguales o complejas se procede de manera análoga a los casos planteados en los casos 4.b y 4. D. de las cuales estudiaremos tres de ellos: a.L (NH) a partir del conocimiento de la solución general de la E. Este método.« los respectivos wroskianos para una ecuación diferencial de segundo orden y2(x) son las soluciones parciales homogéneas de la E. ya que su efecto es agregar una solución de (H). Si   son dos soluciones linealmente independientes de (H).D.D no homogénea de una ecuación diferencial lineal de segundo orden.Método de transformación de Laplace Método de variación de parámetros Este método permite encostrar una solución particular de una E. y las soluciones parciales homogéneas de la E. y atendiendo a la estructura de la función f(x) en el segundo miembro de la ecuación (NH) establecemos el tipo de solución a ensayar. w1. 30 .Apure    a efecto de resolver esta ecuación. y2(x) y y3 (x) son   donde y1 (x) Método de los coeficientes indeterminados En primer lugar resolvemos la correspondiente ecuación homogénea. entonces    . De manera análoga se procede para E.Método de los coeficientes indeterminados o de ensayo de solución b.     donde y1(x). la cual sumamos a la solución general de la correspondiente ecuación homogénea    para determinar la solución general de la E.D.L homogénea asociada a la misma.D.D no homogéneas de orden superior. w2.L (NH). o productos de estas. primero debemos encontrar una solución particular de las misma. Otra manera de logra una solución particular NH calcular directamente la solución no homogénea a través de la integral    siendo la solución general: y = yH + yNH y w.Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA. según sea la forma de f(x).Método de variación de perímetros c.L con coeficiente constante como a las de coeficiente variable. Se puede ensayar soluciones del tipo:    . es aplicable tanto a E. debido a Lagrange. Es la solución general de (H) para la solución de (NH) ensayamos la solución  de manera tal que satisfaga el sistema 
en los integrantes se asumen las constantes nula.D no homogénea de una ecuación diferencial lineal de tercer orden. existen varios procedimientos. .D dadas y determine una solución particular de las ecuaciones cuyas condiciones de fronteras se especifican u) v) w)   x) y)   z)    aa) bb) cc) dd)  ee)    ff)    =0 gg)    hh)  ii) jj) kk) ll) mm) nn)   a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) oo) pp) qq) rr) 31 .Apure 1.Guía de Calculo Diferencial y Ejercicios Propuestos Rafael Valdez UNEFA.Encuentre la solución general de cada una de las E. Documents Similar To guadematemticaiiixxx-091210123109-phpapp02Skip carouselcarousel previouscarousel nextMonografia de Analisis Matematica IIEjercicios de DiferenciacionGui A1 ProblemasR Ido pPrograma Para Tarea de Mate 5Integral Multiple93337 Compilado Integrales Multiplesintegral Doble4.10 Derivada Direccional Gradiente Diver Gen CIA y RotacionalIntegrales Multiples.tutorial3ok201210-cv-p1-B-solIto Ac Po 004 08 Calculo Vectorial Agosto 2011Fund Mat025.7.docxINTEGRALES DOBLESCalculoddffffProblemas Resueltos Ep 2009IIFunciones Reales de Variable VectorialINTEGRALES-MULTIPLES3Fund Mat0268240263-CAPITULO-21Teoría Elemental de Campos97106997-Guia-6-Integrales-Multiples.docTeoria electromagneticaESTRUCTURA DE SILABO.docxGUIA FUNCION VECTORIAL Y DERIVADAS PARCIALES.pdf19 CamposTareas_ Segundo Parcial.ecuaciones 8ibt1Trabajo Practico Campo Electrico[1]More From leonelmmSkip carouselcarousel previouscarousel nextDon de SabiduríaDe aventuras.docxDon de sabiduría.docxEl Realismo Esquema.Jacob GrimmAgatha ChristieRESONANCIA MAGNÉTICATerremotos de El Salvador de 2001LampDon de sabiduría.docxHistoria de El SalvadorPrimeros auxiliosOración a DiosMa KinderDe aventuras.docxAladino y La Lampara Maravillosa EspañolEjemplo de MetáforaBiografia de Jose Matias DelgadoPoemasEL CARBONERO.docxQuiénes eran los Esenios.docxperifrasisDe AventurasSierraArgumento de La NovelaDerechos de La MujerTeoVECTR202.pdfAvances científicosJa RipeosoldaduraFooter MenuBack To TopAboutAbout ScribdPressOur blogJoin our team!Contact UsJoin todayInvite FriendsGiftsLegalTermsPrivacyCopyrightSupportHelp / FAQAccessibilityPurchase helpAdChoicesPublishersSocial MediaCopyright © 2018 Scribd Inc. .Browse Books.Site Directory.Site Language: English中文EspañolالعربيةPortuguês日本語DeutschFrançaisTurkceРусский языкTiếng việtJęzyk polskiBahasa indonesiaSign up to vote on this titleUsefulNot usefulYou're Reading a Free PreviewDownloadClose DialogAre you sure?This action might not be possible to undo. Are you sure you want to continue?CANCELOK