Analyse 2002Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Partie A : Résolution d’une équation différentielle On considère l’équation différentielle : (E) : y' '− y '−2 y = (−6 x − 4)e , où y est une fonction de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur IR, y’ sa fonction dérivée première et y’’ sa fonction dérivée seconde. 1. Résoudre sur IR l’équation différentielle : (E0) : y ' '− y'−2 y = 0 −x 2. Soit h la fonction définie sur IR par : h( x) = ( x ² + 2 x)e . −x Démontrer que h est une solution particulière de l’équation différentielle (E). 3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E). 4. Déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales : f(0)=1 et f ’(0)=1. Partie B : Étude d’une fonction −x Soit f la fonction définie sur IR par : f ( x) = ( x + 1)²e . Sa courbe représentative C dans un repère orthonormal est donnée sur la figure ci-après. 1. (a) Calculer lim f (x). x → -∞ (b) Déterminer lim x ² e − x et lim xe − x . En déduire lim f (x). x → +∞ x → +∞ x → +∞ (c) Interpréter graphiquement le résultat obtenu au b) 2. (a) Démontrer que pour tout x de IR, f ' ( x ) = (1 − x ²)e − x (b) Résoudre dans R l’inéquation f ’(x) ≥ 0. (c) En déduire le sens de variation de f sur IR. 3. (a) À l’aide du développement limité au voisinage de 0 de la fonction exponentielle t → e t , donner le développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0 de la fonction x → e − x . (b) Démontrer que le développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0 de la fonction f est : 1 f ( x) = 1 + x − x ² + x ²ε ( x ) avec lim ε(x) = 0. x→0 2 (c) En déduire une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0 et la position relative de C et T au voisinage de ce point. Partie C : Calcul intégral 1. (a) La fonction f définie dans la partie B étant une solution de l’équation différentielle −x (E) : y' '− y '−2 y = (−6 x − 4)e , montrer que f vérifie, pour tout x de IR, 1 [ f ' ' ( x ) − f ' ( x ) + ( 6 x + 4) e − x ] . 2 1 (b) Soit F la fonction définie sur IR par : F ( x) = [ f ' ( x ) − f ( x ) − (6 x + 10)e − x ] . 2 Vérifier que pour tout x de IR, F’(x) = f(x). f ( x) = (c) Vérifier que pour tout x de IR, F ( x) = (− x ² − 4 x − 5)e − x . 1 2. Utiliser ce qui précède pour démontrer que l’aire A de la partie du plan hachurée sur la figure est, en unités d’aire, A = 2e−5. Probabilités 2002 Dans un groupe d’assurances on s’intéresse aux sinistres susceptibles de survenir une année donnée, aux véhicules de la flotte d’une importante entre prise de maintenance de chauffage collectif. Dans cet exercice, sauf mention contraire, les résultats approchés sont à arrondir à 10-3. Partie A : Etude du nombre de sinistres par véhicule. Soit X la variable aléatoire qui, à tout véhicule tiré au hasard dans un des parcs de la flotte, associe le nombre de sinistres survenant pendant l’année considérée. On admet que X suit la loi de Poisson de paramètre 0,28. 1. Calculer la probabilité de l’événement : A : « Un véhicule tiré au hasard dans le parc n’a aucun sinistre pour l’année considérée. » 2. Calculer la probabilité de l’événement : B : « Un véhicule tiré au hasard dans le parc a, au plus, deux sinistres pendant l’année considérée. » Partie B : Etude du nombre de sinistres dans une équipe de 15 conducteurs. On note E l’événement : « un conducteur tiré au hasard dans l’ensemble des conducteurs de l’entreprise n’a pas de sinistre pendant l’année considérée ». On suppose que la probabilité de l’événement E est 0,6. On tire au hasard 15 conducteurs dans l’effectif des conducteurs de l’entreprise. Cet effectif est assez important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 15 conducteurs. On considère la variable aléatoire Y qui, à tout prélèvement de 15 conducteurs, associe le nombre de conducteurs n’ayant pas de sinistre pendant l’année considérée. 1. Justifier que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale et déterminer ses paramètres. 2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, 10 conducteurs n’aient pas de sinistre pendant l’année. 2 Partie C : Etude du coût des sinistres. On considère la variable aléatoire C qui, à chaque sinistre tiré au hasard parmi les sinistres de cette catégorie, associe son coût en euros. On suppose que C suit la loi normale de moyenne 1200 et d’écart type 200. Calculer la probabilité qu’un sinistre tiré au hasard parmi les sinistres de ce type coûte entre 1000 euros et 1500 euros. Partie D : On considère un échantillon de 100 véhicules prélevés au hasard dans le parc de véhicules mis en service depuis 6 mois. Ce parc contient suffisamment de véhicules pour qu’on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise. On constate que 91 véhicules de cet échantillon n’ont pas eu de sinistre. 1. Donner une estimation ponctuelle du pourcentage p de véhicules de ce parc qui n’ont pas eu de sinistre 6 mois après leur mise en service. 2. Soit F la variable aléatoire qui à tout échantillon de 100 véhicules prélevés au hasard et avec remise dans ce parc, associe le pourcentage de véhicules qui n’ont pas eu de sinistre 6 mois après leur mise en service. On suppose que F suit la loi normale N(p , p(1 – p) ), où p est le pourcentage inconnu de 100 véhicules du parc qui n’ont pas eu de sinistre 6 mois après leur mise en service. Déterminer un intervalle de confiance du pourcentage p avec le coefficient de confiance 95 %. 3. On considère l’affirmation suivante : « le pourcentage p est obligatoirement dans l’intervalle de confiance obtenu à la question b. » Est-elle vraie ? On ne demande pas de justification. Partie Dbis : Pour un parc de véhicules, on a relevé le nombre de sinistres par véhicule pendant la première année de mise en service. Pour les véhicules ayant eu, au plus, quatre sinistres, on a obtenu : Nombre de sinistres : xi 0 1 2 3 4 Effectif : ni 1345 508 228 78 35 1. Compléter après avoir reproduit, le tableau suivant : Nombre de sinistres : xi 0 1 2 3 4 yi = ln ni 2. Déterminer à l’aide d’une calculatrice, une équation de la droite de régression de y en x sous la forme y=ax+b, où a et b sont à arrondir à 10-2. 3. A l’aide de l’équation précédente, estimer le nombre de véhicules ayant eu six sinistres pendant leur première année de mise en circulation. 3 Démontrer que la fonction h est une fonction particulière de l'équation différentielle (E). 3). 3. et y’ sa fonction dérivée. passe par le point de coordonnées (0. où a et b sont deux nombres réels. a) Déterminer le développement limité. définie et dérivable sur IR. on admet que f est définie sur IR par f ( x) = (2 x + 3)e − x . 1) 1. La droite (AB) est la tangente à la courbe C au point d’abscisse 0. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E). Cette tangente passe par le point B de coordonnées (2 . pour tout x de IR. c) Déterminer les nombres réels a et b. b) Démontrer que le développement limité. 1. au voisinage de 0. Partie B : Etude d’une fonction La courbe C ci-dessous représente dans un repère orthonormal une fonction f définie sur IR par f ( x ) = ( ax + b)e − x . à l’ordre 2. dans un repère orthonormé. (on ne cherchera pas les limites en -∞ et +∞) 3. b) Déterminer graphiquement ou par le calcul f’(0). Déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) dont la courbe représentative. de la fonction f est : 1 f ( x ) = 3 − x − x ² + x ²ε ( x ) avec lim ε(x) = 0. x→0 2 4 . de la fonction x → e − x . a) Déterminer graphiquement f(0). a) Démontrer que. 2. f ' ( x) = (−2 x − 1)e − x . c) En déduire le sens de variation de f sur IR. au voisinage de 0.Analyse 2003 Partie A : Résolution d’une équation différentielle On considère l’équation différentielle (E) : y '+ y = 2e − x où y est une fonction de la variable x. à l’ordre 2. 4. 2. Dans la suite. Déterminer les solutions sur IR de l’équation différentielle (E0) : y '+ y = 0 . b) Résoudre sur IR l’inéquation f ' ( x) ≥ 0 . Soit h la fonction définie sur IR par h( x) = 2 xe − x . Dans une usine du secteur de l’ agro-alimentaire. On tire un jour ouvrable au hasard sans une année. 5 .02. a) Démontrer que I = 5 – 6e-0. On note J = ∫ (3 − x − x ²) dx 0 2 65 a) Démontrer que J = puis donner une valeur approchée arrondie à 10-3 près de J.Partie C : Calcul intégral 1. Partie A : Défaut d’approvisionnement On considère qu’il y a un défaut d’approvisionnement : . Donc pour tout x de IR.04 et P(B) = 0. La fonction f définie dans la partie C est une solution de l’équation différentielle (E) de la partie A. On suppose que les événements A et B sont indépendants.5 1 3. Une étude statistique a montré que : P(A) = 0.soit lorsque le réservoir est vide. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : 1) E1 = A ∩ B 2) E2 : « la machine a connu au moins un défaut d’approvisionnement dans la journée ».5 puis donner une valeur approchée arrondie à 10-3 de I. 2. 48 b) Vérifier que les valeurs approchées obtenues ci-dessus pour I et J diffèrent de moins de 10-2. On note I = ∫ 0. une machine à embouteiller est alimentée par un réservoir d’eau et par une file d’approvisionnement en bouteilles vides. 0. On note A l’événement : « la file d’entrée est vide au moins une fois dans la journée » et B l’événement : « le réservoir est vide au moins une fois dans la journée ». Probabilités 2003 Les trois parties de cet exercice sont indépendantes. selon le schéma ci-contre : L’exercice consiste en une étude statistique du bon fonctionnement de ce système. . f ( x) = − f ' ( x) + 2e − x .5 0 f ( x)dx . En déduire une primitive F de f sur IR.soit lorsque la file d’entrée des bouteilles est vide. Une bouteille est conforme aux normes de l’entreprise lorsqu’elle contient entre 1. à toute bouteille prise au hasard dans la production d’une heure. les volumes sont exprimés en litres et tous les résultats approchés sont à arrondir à 10-3. On admet que. menée par le constructeur sur un grand nombre de machines de ce type. 2.5. soit égale à 0. Déterminer t pour que la probabilité qu’une machine prélevée au hasard dans le parc plus de t jours. Déterminer. Dans ce qui suit. associe sa durée de vie avant une défaillance. 3) Le plus petit n tel que : P(X ≤ n) ≥ 0.47 et 1. 1. à l’aide de la table du formulaire : 1) P(X ≤ 2) . à toute machine prélevée au hasard dans le parc.Partie B : Pannes de la machine sur une durée de 100 jours On note X la variable aléatoire qui à toute période de 100 jours consécutifs. 6 .99. Calculer la probabilité qu’une machine prélevée au hasard dans le parc fonctionne plus de 200 jours sans panne. 005t . 2) La probabilité de l’événement : « la machine a au plus quatre pannes pendant la période de 100 jours consécutifs » . Calculer la probabilité qu’une bouteille satisfasse à la norme. lorsque la machine est bien réglée.5 et d’écart type 0.53 litre d’eau. Partie C : Qualité de l’embouteillage à la sortie On désigne par Y la variable aléatoire qui. Arrondir à l’entier par défaut. On note P(T > t) = e −0.01. permet d’admettre que X suit la loi de Poisson de paramètres λ= 0. tirée au hasard dans les jours ouvrables d’une année. Partie D : Fiabilité d’une machine à embouteiller On s’intéresse à une machine à embouteiller prélevée au hasard dans le parc des machines sur le point d’être livrées par le constructeur. Une étude. associe le nombre de pannes de la machine. On désigne par T la variable aléatoire qui. Y suit la loi normale de moyenne 1.8. associe le volume d’eau qu’elle contient. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E). définie et dérivable sur [ 0. +∞[. Vérifier que la fonction F définie sur [0 . Un logiciel de calcul formel fournit pour f le développement limité suivant. on étudie une fonction qui intervient dans des calculs de probabilités à propos de la crue d’un fleuve. +∞[ par F ( x) = 1 − e est la solution particulière de l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale F(0) = 0. On considère l’équation différentielle (E) : y '+(0.4 xe −0.4(1 − 0. +∞[ par h(x) = 1. et la position relative de T et C au voisinage de ce point. +∞[. On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (0 . Montrer que la fonction constante h.4 x)e → → b) En déduire le signe de f ' ( x) sur [0 . i .4 x ) y = 0. 2 x ² .+∞[. 3. x→0 Ce résultat est admis n’est donc pas à démontrer. Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E0) : y '+ (0. Tracer sur la copie la tangente T et la courbe C dans le repère (0 . définie sur [0 . et y ’ sa fonction dérivée 1. On y fera figurer la valeur approchée arrondie à 10-2 du maximum de la fonction f. les unités graphiques étant de 2cm sur l’axe des abscisses et de 10 cm sur l’axe des ordonnées. −0 . Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. au voisinage de 0 : f ( x) = 0. pour tout x de [0 . a) Démontrer que.4 x où y est une fonction de la variable réelle x. Partie B : Etude d’une fonction Soit f la fonction définie par f ( x) = 0. est une solution particulière de l’équation différentielle (E). 2 x ² 4. Partie A : Résolution d’une équation différentielle. i . f ( x) = 0.4 x)(1 + 0. à l’ordre 3.4 x − 0.08 x 3 + x 3ε ( x) avec lim ε(x) = 0. On admet que lim f(x) = 0. j ) défini au début de la partie B. 2. 2 x ² 2. 3.+∞[. Que peut-on en déduire pour la courbe C ? x → +∞ −0.Analyse 2004 Dans cet exercice. → → 4. 1. En déduire une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0.4 x ) y = 0 . j ). 7 . c) Donner le tableau de variation de f sur [0 . a) Montrer que x0 est solution de l’équation : e −0. Calculer la probabilité qu’une tige prélevée au hasard dans la production soit conforme pour la longueur.95. Déterminer le nombre réel h positif tel que : P(100 – h ≤ X ≤ 100 + h) = 0.Partie C : Application à un problème de probabilité Une étude statistique. Dans cet exercice.45 .99. On note X la variable aléatoire qui. 100. arrondir le résultat à 10-2. Une entreprise fabrique. 1. Soit x un réel positif. On note X la variable aléatoire qui.25. à une année prise au hasard dans une longue période. 2. Les digues actuelles ne protègent l’agglomération que lorsque la hauteur du fleuve est inférieure à 4 mètres. l’agglomération soit protégée de la crue . des tiges métalliques cylindriques pour l’industrie. 2. 2 x ² = 0. c) On considère l’affirmation suivante : « En surélevant les digues actuelles d’un mètre.99. associe sa longueur. telle que P(X ≤ x0) = 0.55]. en mètres.01 . Afin de réaliser des travaux pour améliorer la protection de l’agglomération. » Cette affirmation est-elle vraie ? (Donner la réponse sans explication). On suppose que X suit la loi normale de moyenne 100 et d’écart type 0. Calculer la probabilité P(X ≤ 4) qu’une année donnée. à chaque tige prélevée au hasard dans la production. La probabilité qu’une année donnée la hauteur maximale du fleuve soit inférieure à x mètres est P(X ≤ x) = On admet que ∫ x 0 f (t )dt où f est la fonction définie dans la partie B. associe la hauteur du fleuve en mètres. en grande quantité. Interpréter le résultat à l’aide d’une phrase. b) Déterminer la valeur approchée arrondie à 10-2 de x0. la probabilité qu’une année prise au hasard. en mètres. Probabilités 2004 Les trois parties de cet exercice sont indépendantes. Partie A : Loi normale Une tige de ce type est considérée comme conforme pour la longueur lorsque celle-ci appartient à l’intervalle [99. fondée sur un historique des crues d’un fleuve. on cherche la hauteur x0. Leur longueur et leur diamètre sont exprimés en millimètres. 2 x ² ∫ x 0 f (t )dt = 1 − e . les résultats approchés sont à arrondir à 10-2. 1. −0. 8 . l’agglomération soit protégée est supérieure à 0. permet de faire des prévisions sur sa hauteur maximale annuelle. dans un tel prélèvement. Le lot est suffisamment important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 tiges. On considère que la loi suivie par Y peut-être approchée par une loi de poisson. la moyenne obtenue. On considère la variable aléatoire Y qui. On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 50 tiges dans la production d’une journée. Partie C : intervalle de confiance Dans cette question on s’intéresse au diamètre des tiges. 2.19. 3% des tiges ne sont pas conformes pour la longueur. On prélève au hasard 50 tiges de ce lot pour vérification de la longueur. 2. σ avec σ = 0. deux tiges ne soient pas conformes pour la longueur.99. 9 . 5. avec le coefficient de confiance 95%. Est-elle vraie ? (on ne demande pas de justification). Justifier que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. à tout prélèvement de 50 tiges. est x = 9. A partir des informations portant sur cet échantillon. Soit D la variable aléatoire qui. exprimé en millimètres. Calculer P(Z = 2) et P(Z < 2). associe la moyenne des diamètres des tiges de cet échantillon. On suppose que D suit la loi normale de moyenne inconnue µ et d’écart type 50 Pour l’échantillon prélevé. associe le nombre de tiges non conformes pour la longueur. 4. 1. Calculer la probabilité que. 3. 1. Calculer la probabilité que. Déterminer le paramètre λ de cette loi de Poisson. On désigne par Z une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre λ où λ a la valeur obtenue au 4°). à tout échantillon de 50 tiges prélevées au hasard et avec remise dans la production d’une journée. 3.Partie B : loi binomiale et loi de Poisson Dans un lot de ce type de tiges. Déterminer un intervalle de confiance contré sur x de la moyenne µ des diamètres des tiges produites pendant la journée considérée. donner une estimation ponctuelle de la moyenne µ des diamètres des tiges produites dans cette journée. dans un tel prélèvement. au plus deux tiges ne soient pas conformes pour la longueur. arrondie à 10-2. On considère l’affirmation suivante : « la moyenne µ est obligatoirement dans l’intervalle de confiance obtenu à la question 2°) ». Démontrer que la fonction g est une solution particulière de l’équation différentielle (E). +∞[ par g ( x) = x +1 . a) En déduire une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0. a) Démontrer que. Partie B : Etude d’une fonction 2 + ln(1 + x) . dans un repère orthonormal où l’unité graphique est 1 cm. Soit f la fonction définie sur ]-1 . où y est une fonction de la variable réelle 1+ x x. x +1 ln(1 + x) 2. de la 1 fonction f : f ( x ) = 2 − x + x ² + x ²ε ( x ) avec lim ε(x). f ' ( x) = . +∞[. 3. x→0 2 Ce résultat admis n’a pas à être démontré. à l’ordre 2. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E). c) Etablir le tableau de variation de f. définie et dérivable sur ]-1 . a voisinage de 0. +∞[ de l’équation différentielle (E0) : (1 + x)y’ + y = 0 sont les k fonctions définies par h( x) = . 4. Déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale f(0) = 2. Un logiciel de calcul formel donne le développement limité. pour tout x de ]-1 . où k est une constante réelle quelconque. +∞[ et y’ sa fonction dérivée. b) Etudier la position relative de C et T au voisinage de leur point d’abscisse 0. +∞[ par f ( x) = 1. +∞[. On admet que lim f(x) = -∞ et que lim f(x) = 0. 1. +∞[ l’inéquation : – 1 – ln(1 + x) ≥ 0. ( x + 1)² b) Résoudre dans ]-1 . Démontrer que les solutions sur ]-1 . est donnée cidessous.Analyse 2005 Partie A : Résolution d’une équation différentielle On considère l’équation différentielle (E) : (1 + x) y '+ y = 1 . En déduire le signe de f ’(x) lorsque x varie dans ]-1 . x +1 Sa courbe représentative C. 10 . Que peut-on en déduire pour la courbe C ? x → -1 x → +∞ − 1 − ln(1 + x) 2. 3. Soit g la fonction définie sur ]-1 . c) Donner une interprétation graphique du résultat obtenu au b). sauf indication contraire. +∞[ est définie par : F ( x ) = 2 ln(1 = x ) + [ln(1 + x )]² . +∞[ par G ( x ) = [ln(1 + x )]² . en grande quantité. Leur diamètre est exprimé en millimètres. 90. Déterminer la dérivée de la fonction G définie sur ]-1 . Calculer la probabilité qu’une rondelle prélevée au hasard dans la production soit conforme. 2. des rondelles d’acier pour la construction. associera son diamètre. Une usine fabrique. On note X1 la variable aléatoire qui. à chaque rondelle prélevée dans la production future.6 . On note D la variable aléatoire qui. 0 2 b) Donner la valeur approchée arrondie à 10-2 de I. 11 . En déduire qu’une primitive de f sur ]-1 .Partie C : Calcul intégral 1 1. à chaque rondelle prélevée au hasard dans la production. les résultats approchés sont à arrondir à 10-2. 2 1 2.99. 2 2 1 3. On suppose que la variable aléatoire X1 suit la loi normale de moyenne 90 et d’écart type σ = 0. Démontrer que I = (ln3)² + 2ln3. Probabilités 2005 Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.17. 1. Déterminer σ1 pour que la probabilité qu’une rondelle prélevée au hasard dans la production future soit conforme pour le diamètre soit égale à 0. On suppose que la variable aléatoire D suit une loi normale de moyenne 90 et d’écart type σ1.4]. L’entreprise désire améliorer la qualité de la production des rondelles : il est envisagé de modifier le réglage des machines produisant les rondelles. Partie A : Loi normale Une rondelle de ce modèle est conforme pour le diamètre lorsque celui-ci appartient à l’intervalle [89. Dans cet exercice. associe son diamètre. a) On note I = ∫ f ( x)dx . Partie C : Approximation d’une loi binomiale par une loi normale Les rondelles sont commercialisées par lot de 1000. au seuil de risque de 5 %. Dans ce cas la livraison est dite conforme pour le diamètre. 3. Le stock est assez important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de quatre rondelles.02. en millimètres. L’hypothèse nulle est H0 : μ = 90.967 ≤ X 2 ≤ 90. On décide d’approcher la loi de la variable aléatoire Y2 par la loi normale de moyenne 20 et d’écart type 4. On prélève au hasard un lot de 1000 dans un dépôt de l’usine.05. Peut-on. Énoncer la règle de décision permettant d’utiliser ce test en admettant. Le seuil de signification du test est fixé à 0. c'est-à-dire calculer P(Z ≤ 15. au plus une rondelle ait un diamètre défectueux. 1. la moyenne des diamètres est x = 90. à chaque rondelle prélevée au hasard dans la livraison. associe la moyenne des diamètres de ces rondelles (la livraison est assez importante pour que l’on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise).On suppose que P(E) = 0. Calculer la probabilité que.43. L’hypothèse alternative est H1 : μ ≠ 90. La variable aléatoire X2 suit la loi normale de moyenne inconnue μ et d’écart-type σ = 0. associe son diamètre.02. 1. On note X2 la variable aléatoire qui.Partie B : Loi binomiale On note E l’événement : « une rondelle prélevée au hasard dans un stock important a un diamètre défectueux ». à tout prélèvement de 1000 rondelles.17. le résultat suivant qui n’a pas à être démontré : P( 89. conclure que la livraison est conforme pour le diamètre ? 12 . On considère la variable aléatoire Y2 qui. On admet que la variable aléatoire Y2 suit la loi binomiale de paramètres n = 1000 et p = 0. à chaque échantillon aléatoire de 100 rondelles prélevé dans la livraison. 1. sous l’hypothèse nulle H0. dans un tel prélèvement. Partie D : Test d’hypothèse On se propose de construire un test d’hypothèse pour contrôler la moyenne μ de l’ensemble des diamètres. 2. Calculer la probabilité que. On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 20 et d’écart type 4.5).02. On prélève un échantillon de 100 rondelles dans la livraison et on observe que. Calculer la probabilité qu’il y ait au plus 15 rondelles non conformes dans le lot de 1000 rondelles.43. 2. aucune rondelle n’ait un diamètre défectueux. associe le nombre de rondelles non conformes parmi ces 1000 rondelles. On prélève au hasard quatre rondelles dans le stock pour vérification de leur diamètre. de rondelles constituant une grosse livraison à effectuer. Arrondir à 10-3. Arrondir à 10-3. pour cet échantillon. On considère la variable aléatoire Y1 qui à tout prélèvement de quatre rondelles associe le nombre de rondelles de ce prélèvement ayant un diamètre défectueux. On désigne par X 2 la variable aléatoire qui.95 2. Justifier que la variable aléatoire Y1 suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.033 ) = 0. Justifier les paramètres de cette loi normale. dans un tel prélèvement. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 1000 rondelles. Démontrer que la fonction h est une solution particulière de l’équation différentielle (E). 2. où y est une fonction de la variable x.En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E). Partie A : Résolution d’une équation différentielle On considère l’équation différentielle (E) : y' '−3 y'−4 y = −5e − x . au voisinage de 0.Etudier la position relative de C et T au voisinage du point d’abscisse 0. 3. définie et deux fois dérivable sur l’ensemble IR des nombres réels.Démontrer que le développement limité à l’ordre 3.Analyse 2006 Les 3 parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.Déterminer les solutions sur IR de l’équation différentielle (E0): y ' '−3 y '−4 y = 0 .Soit h la fonction définie sur IR par h( x) = xe − x . i . Partie B : Etude locale d’une fonction : La courbe ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthonormal (0. 3. 13 . 1.Déduire du 1° une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0 3. → → 1. de la fonction f est : x3 f ( x) = 2 − x + + x 3ε ( x) avec x lim → 0 ε(x) = 0. de l’équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales : f(0)=2 et f’(0)= -1.Déterminer la solution f. 6 2. j ) de la fonction f définie sur l’ensemble IR par f ( x) = ( x + 2)e − x . Donner une interprétation graphique du nombre I. calculer P(D) et P ( D ). A l’aide de la calculatrice. Probabilités 2006 Une entreprise fabrique des chaudières de deux types : des chaudières dites « à cheminée ». 2. sous la forme ax + b.81 16.Donner la valeur approchée arrondie à 10-3 de I.6 2.30 1.19 17.6 0 f ( x)dx 1. où a sera arrondi à 10-3 près et b sera arrondi à l’unité. B : « La chaudière est à ventouse » . D : « la chaudière présente un défaut. 3.Partie C : Calcul intégral On note I = ∫ 0. 2. Partie B : Probabilités conditionnelles L’entreprise a fabriqué en un mois 900 chaudières à cheminées et 600 chaudières à ventouse.A l’aide d’une intégration par parties. P(D/A) et P(D/B).6e-0. b) une équation de la droite de régression de y en x. P(B). Déterminer P(A). En supposant que la tendance observée se poursuive pendant deux années. En remarquant que D = (D∩A) ∪ (D∩B) et que les événements D∩A et D∩B sont incompatibles. Toutes les chaudières ont la même probabilité d’être prélevées. arrondir à 10-2 . 1. 1% des chaudières à cheminée sont défectueuses et 5% des chaudières à ventouse sont défectueuses. Dans ce lot.44 16.3. estimer le nombre de chaudières qui seront fabriquées l’année de rang 7.35 15. déterminer : a) le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double de variables x et y . des chaudières dites « à ventouse ». On considère les événements suivants : A : « La chaudière est à cheminée » .75 17. On prélève au hasard une chaudière dans la production de ce mois. Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. 3. Partie A : Ajustement affine Le nombre de chaudières fabriquées lors des années précédentes est donné par le tableau suivant : Rang de l’année : xi 0 1 2 3 4 5 Nombre de chaudières fabriquées par milliers : yi 15. Calculer P(D∩A) et P(D∩B). 14 . démontrer que I = 3 . à tout échantillon de 100 chaudières avec remise dans ce stock. à chaque chaudière à cheminée prélevée au hasard dans la production.Partie C : Loi normale Soit X la variable aléatoire qui. Calculer la probabilité qu’une chaudière prélevée au hasard dans la production soit « amortie » . p(1 – p) On suppose que F suit la loi normale de moyenne p et d’écart type . On considère l’affirmation suivante : « la fréquence p est obligatoirement dans l’intervalle de confiance obtenu à la question 2° ». Arrondir à 10-2. Est-elle vraie ?(on ne demande pas de justification. où p est la fréquence 100 inconnue des chaudières du stock qui sont sans aucun défaut Déterminer un intervalle de confiance de la fréquence p avec le coefficient de confiance 95%. 1. Partie D : Intervalle de confiance On considère un échantillon de 100 chaudières prélevées au hasard dans un stock important. Ce stock est assez important pour qu’on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise. 3. Une chaudière est dite « amortie » si sa durée de fonctionnement est supérieure ou égale à 10 ans. Soit F la variable aléatoire qui. 2. On constate que 94 chaudières sont sans aucun défaut. associe sa durée de fonctionnement en années.) 15 . On admet que X suit la loi normale de moyenne 15 et d’écart type 3. Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue p des chaudières de ce stock qui sont sans aucun défaut. associe la fréquence des chaudières de cet échantillon qui sont sans aucun défaut. arrondir à 10-3. On pourra se limiter à la partie de C correspondant à l’intervalle [0 . j ) défini au début de la partie A. et y ’ la fonction dérivée de y. 1. j ) où on prend comme unités : 10 cm pour 0. 2. où y est une fonction de la variable réelle t. de la fonction ϕ est : (710t )² ϕ (t ) = 710t − + t ²ε (t ) avec lim ε(t) = 0.+∞[ de l’équation différentielle (E0) : y '+710 y = 0 . puis sa valeur approchée arrondie à 10-5. Pour tout réel positif t. 2. 1 − 710 t 1 e + 710 710 I(t). au voisinage de 0. 0. On désigne par C la courbe représentative de ϕ dans un repère orthogonal (O .01 sur l’axe des abscisses et 10 cm pour 1 sur l’axe des ordonnées. 3. 16 . Montrer que la fonction ϕ est croissante sur [0 . Pour un réel t positif. ϕ(t) est la probabilité que le temps séparant l’arrivée de deux paquets de données soit inférieur à t secondes. puis sa valeur approchée arrondie à 10-5 . Soit h la fonction définie sur [0 . En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E). Partie B : Etude d’une fonction Soit ϕ la fonction définie sur [0 .+∞[ par ϕ (t ) = 1 − e −710t . Tracer sur la copie la tangente T et la courbe C dans le repère (O . → → 3.Analyse 2007 On étudie dans cet exercice une fonction ϕ susceptible d’intervenir dans la modélisation du trafic internet au terminal informatique d’une grande société. b) Retrouver sur la figure le résultat obtenu au a) : faire apparaître les constructions utiles. Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.+∞[. i .+∞[ par h(t) = 1. 1.01]. Partie C : Calcul intégral 1. a) Démontrer que le développement limité à l’ordre 2. Le nombre α représente le temps médian en secondes séparant l’arrivée de deux paquets de données. +∞[. définie et dérivable sur [0 . Démontrer que la fonction h est une solution particulière de l’équation différentielle (E). Partie A : Résolution d’une équation différentielle On considère l’équation différentielle (E) : y '+710 y = 710 . 0 t → → Montrer à l’aide d’une intégration par parties que I (t ) = −te − 710 t − 2. Calculer lim t → +∞ Le résultat obtenu est le temps moyen en secondes séparant l’arrivée de deux paquets de données. on note I(t) = 710 ∫ xe −710 x dx . t→0 2 b) En déduire une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0. Déterminer les solutions définies sur [0 . Déterminer la solution ϕ de l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale ϕ(0) = 0. Donner la valeur exacte de cette limite.5. 4. Donner la valeur exacte de α. 4. a) Déterminer par le calcul le nombre réel positif α tel que ϕ(α) = 0. i . ainsi que la position relative de C et T au voisinage de ce point. On note E l’événement : « une pièce prélevée au hasard dans le stock est défectueuse. Dans cet exercice. 3. 30. Partie A : loi normale Une pièce de type 1 est conforme lorsque le diamètre d. Le stock est assez important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20 pièces de type 2.Probabilités 2007 Une usine fabrique des ventilateurs en grande quantité. associe le diamètre d exprimé en millimètres. On considère la variable aléatoire X qui à tout prélèvement ainsi défini. 1. Calculer la probabilité qu’une pièce prélevée au hasard dans la production des pièces de type 1 soit conforme.8 . Partie B : loi binomiale On considère un stock important de pièces de type 2. On note X la variable aléatoire qui. On suppose que la variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne 30 et d’écart type 0. à chaque pièce de type 1 prélevée au hasard dans la production des pièces de type 1. On s’intéresse à trois types de pièces :l’axe moteur appelé pièce de type 1. associe le nombre de pièces de ce prélèvement qui sont défectueuses. les résultats approchés sont à arrondir à 10-2. appartient à l’intervalle [29.2]. appelé pièce de type 2 et le support . 17 . Calculer la probabilité qu’aucune pièce de ce prélèvement ne soit défectueuse. exprimé en millimètres. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. l’ensemble des trois pales. dans un tel prélèvement. » On suppose que P(E) = 0. Calculer la probabilité que. une pièce au moins soit défectueuse. 2. appelé pièce de type 3.03. On prélève au hasard 20 pièces dans le stock de pièces de type 2 pour vérification.09. 1. en millimètres. En déduire la règle de décision permettant d’utiliser ce test. La livraison est assez importante pour que l’on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise. Déterminer sous cette hypothèse le nombre réel h positif tel que : P(400 − h ≤ Z ≤ 400 + h) = 0. associe la moyenne des hauteurs des pièces de cet échantillon. au moment de la livraison. à chaque échantillon aléatoire de 100 pièces de type 3 prélevé dans la livraison. on admet que la variable aléatoire Z suit la loi normale de moyenne 400 et d’écart type 0.12. des pièces de type 3. Sous l’hypothèse H0.05. à chaque pièce de type 3 prélevée au hasard dans la livraison associe sa hauteur. la moyenne μ de l’ensemble des hauteurs. L’hypothèse alternative est H1 : μ ≠ 400. La variable aléatoire Z suit la loi normale de moyenne inconnue μ et d’écart type σ = 5. conclure que la livraison est conforme pour la hauteur ? 18 .5. pour cet échantillon. On prélève un échantillon aléatoire de 100 pièces dans la livraison reçue et on observe que. La hauteur du support doit être de 400 millimètres. On note Z la variable aléatoire qui. L’hypothèse nulle est H0 : μ =400. 3.95. Peut-on. Le seuil de signification du test est fixé à 0. On se propose de construire un test d’hypothèse bilatéral pour contrôler. 2. la moyenne des hauteurs des pièces est z = 399. On désigne par Z la variable aléatoire qui.Partie C : test d’hypothèse Une importante commande de pièces de type 3 est passée à un sous-traitant. au seuil de 5%. x→0 2 19 . En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E). 4. et y ’ sa fonction dérivée 1. 2. au voisinage de 0. à l’ordre 2. b) Démontrer que le développement limité. a) Démontrer que pour tout réel x. Partie B : Etude locale d’une fonction Soit f la fonction définie par f ( x) = e 2 x − ( x + 1)e x . Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E0) : y'−2 y = 0 . On considère l’équation différentielle (E) : y'−2 y = xe x où y est une fonction de la variable réelle x. 2.Analyse 2008 Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. au voisinage de 0. Interpréter graphiquement le résultat. de la fonction f est : x² f ( x) = + x ²ε ( x ) avec lim ε(x) = 0. à l’ordre 2. +∞[. Déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale f(0) = 0. définie et dérivable sur [ 0. f ' ( x) = e x (2e x − 2 − x) b) En déduire le coefficient directeur f ’(0) de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0. de la fonction x → e2x. Sa courbe représentative C est donnée dans un repère orthogonal ci-dessous. 3. Démontrer que la fonction g est une solution particulière de l’équation différentielle (E). a) Déterminer le développement limité. Soit g la fonction définie sur IR par g ( x ) = ( − x − 1)e x . 1. Partie A : Résolution d’une équation différentielle. On admet que P(10. On note I = 2.5 x 10-4.3 (e0. On note K = ∫ x² dx . à chaque pièce de ce type prélevée au hasard dans la production de la journée.3 2 0. On note J = 3.3 e 2 x dx . Déterminer la probabilité qu’elle soit conforme.3 ∫ 0.5 ≤ X ≤ 10.6 – e-0. 3 0 . On suppose que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes. 3 Démontrer.5 ≤ Y ≤ 11. On prélève une pièce au hasard dans la production d’une journée.5) = 0. b) Donner la valeur approchée de L arrondie à 10-5.5].6) ( x + 1)e x dx ∫ ∫ −0.Partie C : Calcul intégral 1. On note X la variable aléatoire qui. 11.21. les résultats approchés sont à arrondir à 10-3. On note Y la variable aléatoire qui.5 . 20 .5 . On suppose que la variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne 10 et d’écart type 0.985.5). exprimée en millimètres. Calculer P(9.5(e0.009. 2. à chaque pièce de ce type prélevée au hasard dans la production de la journée.5] et lorsque sa côte y appartient à l’intervalle [10. Démontrer que J = 0.3 − 0. − 0.3 + e0. Démontrer que I = 0. associe sa cote x.3). que K = 0. Ces pièces sont prévues pour s’encastrer les unes dans les autres. associe sa cote y. 4. Dans cet exercice. 3 f ( x)dx . 1. On note L = 0. a) Déduire des questions précédentes la valeur exacte de L. c) Vérifier que la valeur exacte de I et la valeur approchée de L obtenue à la question précédente diffèrent de 4. Probabilités 2008 Une entreprise fabrique en grande série des pièces en bois. 10. Partie A : Loi normale Une pièce de ce type est conforme lorsque sa côte x. 3 −0 . à l’aide d’une intégration par parties. appartient à l’intervalle [9. On constate que 96 pièces sont sans défaut. dans un tel prélèvement de 50 pièces. 1. En utilisant cette loi de Poisson. à tout prélèvement ainsi défini. l’événement : « une pièce prélevée au hasard dans le stock de pièces est défectueuse. à tout échantillon de 100 pièces prélevées au hasard et avec remise dans cette livraison. associe le nombre de pièces de ce prélèvement qui sont défectueuses. La livraison est assez importante pour que l’on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise. 2. on considère une grande quantité de pièces devant être livrées à une chaîne d’hypermarchés. On prélève au hasard 50 pièces dans le stock de pièces pour vérification. 1. au plus deux pièces soient défectueuses. Justifier que la variable aléatoire Z suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 2.Partie B : Loi binomiale et loi de Poisson On considère un stock important de pièces. Calculer P(Z = 0) et P(Z ≤ 2). On suppose que F suit la loi normale de moyenne p et d’écart type p(1 – p) . a)Déterminer le paramètre λ de cette loi de Poisson. où p est la fréquence 100 inconnue des pièces de la livraison qui sont sans aucun défaut. Le stock est suffisamment important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 pièces. Déterminer un intervalle de confiance de la fréquence p avec le coefficient de confiance de 95%. On note E. On considère un échantillon de 100 pièces prélevées au hasard dans cette livraison. associe la fréquence des pièces de cet échantillon qui sont sans défaut. Soit F la variable aléatoire qui. 3. On considère la variable aléatoire Z qui. Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue p des pièces de cette livraison qui sont sans aucun défaut. b) On désigne par Z1 une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre λ où λ a la valeur obtenue au a). On considère que la loi suivie par la variable aléatoire Z peut-être approchée par une loi de poisson. calculer la probabilité que. Partie C : intervalle de confiance Dans cette partie. 21 . y’ sa fonction dérivée première et y’’ sa fonction dérivée seconde. (a) Démontrer que pour tout réel x. Déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales : f(0)=-4 et f ’(0)=-4. 22 . Sa courbe représentative C dans un repère orthogonal est donnée sur la figure ci-dessous. 1. où y est une fonction de la variable réelle x. Déterminer les solutions définies sur IR de l’équation différentielle (E0) Résoudre sur IR l’équation différentielle : (E0) y ' '−2 y '+ y = 0 2. Partie B : Étude d’une fonction Soit f la fonction définie sur IR par : f ( x) = (4 x ² − 4)e x . f ' ( x) = 4( x ² + 2 x − 1)e x . au voisinage de 0 de la fonction f est : f ( x) = −4 − 4 x + 2 x ² + x ²ε ( x) avec lim ε(x) = 0.Analyse 2009 Partie A : Résolution d’une équation différentielle On considère l’équation différentielle : (E) : y ' '−2 y '+ y = 8e x . 4. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E). définie et deux fois dérivable sur IR. Soit h la fonction définie sur IR par : h( x ) = 4 x ² e x . 1. 3. (b) Donner sans justification la valeur exacte et la valeur approchée arrondie à 10-2 de l’abscisse des points de la courbe C où la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.à l’ordre 2. x→0 (b) Déduire du (a) une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0 (c) Etudier la position relative de C et T au voisinage du point d’abscisse 0. (a) Démontrer que le développement limité. 2. Démontrer que h est une solution particulière de l’équation différentielle (E). » 23 . On s’intéresse au chantier de construction d’un tronçon de TGV. 2. Les travaux de terrassement nécessitent la mise à disposition d’une flotte importante de pelles sur chenilles et de camions-benne. la courbe C et les droites d’équation x = 0 et x = 1. En déduire une primitive F de la fonction f sur IR. (b) Dans cette question. » 2. Calculer la probabilité que la pelle prélevée extraie moins de 100 m3pendant la première heure du chantier. Calculer la probabilité de l’événement A : « pendant une heure prise au hasard. f ( x) = − f ' ' ( x) + 2 f ' ( x) + 8e x . il n’entre aucun camion-benne sur la zone 1 du chantier. Calculer la probabilité de l’événement B : « pendant une heure prise au hasard. Donc.1]. les résultats approchés sont à arrondir à 10-3. 1. pour tout x de IR. Probabilités 2009 Les quatre parties de cet exercice sont indépendantes. 1. Calculer P(110 ≤ X ≤ 130). (a) Donner sans justification. en unités d’aire. Partie A : Loi normale On note X la variable aléatoire qui.Partie C : Calcul intégral Dans cette partie. le signe de f(x) sur l’intervalle [0 . il entre au plus quatre camions-benne sur la zone 1 du chantier. Partie B : loi de Poisson On note Y la variable aléatoire qui. Déduire de ce qui précède l’aire A. à chaque pelle prélevée au hasard dans la flotte associe le nombre de m3 de matériaux extraits pendant la première heure du chantier. 1. La réalisation de l’ouvrage nécessite de grandes quantités de fers à béton. Dans cet exercice. on admet que la fonction F définie sur IR par F ( x) = (4 x ² − 8 x + 4)e x est une primitive de la fonction f. 2. les questions 1) et 2) peuvent être traitées de façon indépendante. La fonction f définie dans la partie B est une solution de l’équation différentielle (E) de la partie A. de la partie du plan limitée par l’axe des abscisses. On suppose que la variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne 120 et d’écart type 10. On suppose que la variable aléatoire Y suit la loi de Poisson de paramètre 5. associe le nombre de camions-benne entrant dans la zone 1 du chantier pour charger des matériaux. à tout heure travaillée prise au hasard pendant la première semaine du chantier. On prélève au hasard 10 camions-benne dans la flotte pour les affecter à une zone du chantier. n’a pas à être démontré. où 0. » On suppose que la probabilité de l’événement est 0. de diamètre 25 millimètres. Calculer la probabilité que. L’hypothèse alternative est H1 : µ ≠ 25. associe son diamètre en millimètres.95. Partie D : Test d’hypothèse De grandes quantités d’un certains type de fers cylindriques pour le béton armé.039) = 0. associe la moyenne des diamètres des fers de cet échantillon. Dans ce cas. doivent être réceptionnées sur le chantier. au moment de la réception d’une livraison. Peut-on. Sous l’hypothèse H0. la moyenne µ de l’ensemble des diamètres en millimètres des fers à béton. Justifier que la variable aléatoire Z suit ne loi binomiale dont on déterminera les paramètres. on admet que la variable aléatoire M suit la loi normale de moyenne 25 et d’écart type 0. la moyenne des diamètres est x = 24. à chaque fer prélevé au hasard dans la livraison. On prélève un échantillon aléatoire de 100 fers à béton et on observe que. dans un tel prélèvement. à chaque échantillon aléatoire de 100 fers prélevés dans la livraison. la livraison est dite conforme pour le diamètre. Ce résultat.978. Le nombre de camions-benne de la flotte est assez important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 camions-benne. aucun des 10 camions-benne n’ait de panne ni de sinistre pendant le premier mois du chantier. On désigne par M la variable aléatoire qui. pour cet échantillon. On désigne par Z la variable aléatoire qui à tout prélèvement de ce type associe le nombre de camionsbenne n’ayant pas eu de panne ou de sinistre pendant le premier mois du chantier. conclure que la livraison est conforme pour le diamètre ? 24 . 1. On se propose de construire un test d’hypothèse bilatéral pour contrôler. Le seuil de signification du test est fixé à 0.9. On note M la variable aléatoire qui.961 ≤ M ≤ 25. 2. La livraison est assez importante pour que l’on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise.02. Enoncer la règle de décision permettant d’utiliser ce test. On admet également que P(24.Partie C : loi binomiale On note E l’événement : « un camion-benne pris au hasard dans la flotte n’a pas de panne ou de sinistre pendant le premier mois du chantier.05.2. 2. L’hypothèse nulle est H0 : µ = 25. au seuil de 5%.95 est une valeur approchée. La variable aléatoire M suit la loi normale de moyenne inconnue µ et d’écart type 0. 1. est définie et dérivable sur IR et y’ désigne sa fonction dérivée.Analyse 2010 Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Partie A : Résolution d’une équation différentielle On considère l’équation différentielle (E) : y '− y = e x − 2 x . C est exacte. 1. 4. La courbe C admet ne asymptote en -∞ dont une équation est : Réponse A Réponse B Réponse C y=x+1 y = 2x + 2 y=2 1. B. Déterminer les solutions définies sur IR de l’équation différentielle (E0) : y '− y = 0 2. La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ne enlève de point. Soit g la fonction définie sur IR par g ( x) = xe x + 2 x + 2 . où la fonction inconnue y. Partie B : Etude d’une fonction Soit f la fonction définie sur IR par f ( x) = ( x + 1)e x + 2 x + 2 . Démontrer que la fonction g est une solution particulière de l’équation différentielle (E). x → +∞ 2. Calculer 25 . Sa courbe représentative C est donnée dans un repère orthogonal ci-dessous. lim f(x). En déduire l’’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E). une seule réponse A. On ne demande aucune justification. de la variable réelle x. Déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale f(0) = 3. Pour cette question. 3. Indiquer sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. b) Une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0 est : Réponse A Réponse B Réponse C y=3 y = 3 + 4x 3 y = x² 2 c) Au voisinage du point d’abscisse. On ne demande aucune justification. B. La réponse juste rapporte un point. Déduire de ce qui précède la valeur exacte de K. 26 . C est exacte. Partie C : Calcul intégral 1. On note J = ∫ ( x + 1)e x dx ⌠ ⌡-1 (x + 1)e dx. x 1 2. une seule réponse A. Indiquer sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.c). c) On admet que pour tout x de l’intervalle [-1 . 1 3. à l’ordre 2. x→0 2 Pour les questions 3. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ne enlève de point. b) donner la valeur de K.b) et 3. f(x) ≥ 0. a) Démontrer que le développement limité.3. la courbe C est : Réponse A Réponse B au-dessus de la tangente T au-dessous de la tangente pour tout x T pour tout x Réponse C au-dessous de la tangente T quand x < 0 et au-dessus quand x > 0. a) On note K = ∫ 1 −1 f ( x)dx . où f est la fonction définie dans la partie B. −1 Démontrer à l’aide d’une intégration par parties que J = e + e-1. Montrer que I = 4. On note I = ∫ 1 −1 (2 x + 2)dx . de la fonction f est : 3 f ( x ) = 3 + 4 x + x ² + x ²ε ( x ) avec lim ε(x) = 0.1]. au voisinage de 0. Donner une interprétation graphique de K. arrondie à 10-2. Partie C : Intervalle de confiance Une chaîne de supermarchés réceptionne un lot important de bouteilles dont elle souhaite estimer la contenance moyenne. à une bouteille prélevée au hasard dans cette livraison. la moyenne obtenue est − x = 70. Déterminer un intervalle de confiance centré en − x de la moyenne µ des contenances des bouteilles de ce lot. On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 100 bouteilles dans ce lot. associe le nombre de bouteilles non conformes. 2. On considère que la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X peut-être approchée par une loi de Poisson. On suppose que le stock est suffisamment important pour qu’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. Cette affirmation est-elle vraie ? (Donner la réponse sans explication). 1. associe sa contenance en centilitres. on considère une grande quantité de bouteilles devant être livrées à des clients. au plus une bouteille soit non conforme. les résultats approchés sont à arrondir à 10-2. Déterminer le nombre réel h positif tel que P(70 . b) Calculer P(X ≤ 1). b) On désigne par Y une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre λ. (on arrondira les bornes de l’intervalle à 10-2). Calculer P(68 ≤ Z ≤ 72). On suppose que Z suit la loi normale de moyenne 70 et d’écart type 1. avec le coefficient de confiance 95%. où λ est la valeur obtenue au a). 27 . Partie B : Loi normale Dans cette partie.99.02. On note C la variable aléatoire qui à tout échantillon de 100 bouteilles ainsi prélevé associe la moyenne des contenances en centilitres des bouteilles de cet échantillon. 1. On suppose que C suit la loi normale de σ moyenne inconnue µ et d’écart type avec σ = 1. 100 Pour l’échantillon prélevé. a)Déterminer le paramètre λ de cette loi de Poisson. Dans ce qui suit.On considère l’affirmation suivante : »la moyenne µ est obligatoirement dans l’intervalle de confiance obtenu à la question 1 ». 1. Partie A : Loi binomiale et loi de Poisson Dans cette partie. les résultats approchés sont à arrondir à 10-3.12. En utilisant cette variable aléatoire. Dans une usine de conditionnement. calculer la probabilité que dans un tel prélèvement de 30 bouteilles. On prélève au hasard 30 bouteilles dans le stock pour vérification. On note Z la variable aléatoire qui. à chaque prélèvement de 30 bouteilles. 2.h ≤ Z ≤ 70 + h) = 0.Probabilités 2010 Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. On note E l’événement « une bouteille prélevée au hasard dans un stock important est non conforme au cahier des charges ». On considère la variable aléatoire X qui.a) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. une machine remplit à la chaîne des bouteilles d’un certain liquide. On suppose que la probabilité de E est 0. 2. x→0 2 b) En déduire une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0. Déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales f(0) = 2 et f ’(0) = 1. Partie B : Etude d’une fonction et calcul intégral Soit f la fonction définie sur IR par f ( x) = (2 x − 1)e x + 3 . On ne demande aucune justification. On admet que la fonction dérivée de f est donnée.a) Résoudre dans IR l’équation : r² -3r+2=0 b) En déduire les solutions définies sur IR de l’équation différentielle (E0) : y ' '−3 y '+2 y = 0 . Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. La réponse juste rapporte un point. On ne demande aucune justification. Partie A : Résolution d’une équation différentielle On considère l’équation différentielle (E) : y ' '−3 y '+2 y = −2e x + 6 où y est une fonction inconnue de la variable réelle x. On veut justifier qu’au voisinage du point d’abscisse 0.a) Démontrer que le développement limité. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E). Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. 28 . Une seule réponse est exacte. On note C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal. x → -∞ x → -∞ b) En déduire que la courbe C admet une droite asymptote dont on donnera une équation. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. à l’ordre 2. 3 x²ε ( x) est positif au voisinage de 0 2 + x est positif au voisinage de 0 x ² est positif au voisinage de 0 2 3.a) On admet le résultat suivant : lim xe x = 0. c) Cette question est une question à choix multiples. la courbe C est au-dessus de la droite T. b) Donner la valeur approchée arrondie à 0. Une seule réponse est exacte. au voisinage de 0. La fonction dérivée g’ de la fonction g est définie sur IR par : g ' ( x ) = 2e x g ' ( x) = 2 xe x g ' ( x ) = ( 2 x + 2) e x b) Démontrer que la fonction g est une solution particulière de l’équation différentielle (E). Recopier sur votre copie la justification exacte.Analyse 2011 Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. y’ la fonction dérivée de y et y’’ sa fonction dérivée seconde. 1. 2. définie et deux fois dérivable sur IR. Calculer lim f(x). Soit g la fonction définie sur IR par g ( x) = 2 xe x + 3 . 3. par : f ' ( x) = (2 x + 1)e x a) Etudier sur IR le signe de f ' ( x) puis en déduire le sens de variation de f sur IR. pour tout x réel. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. de la fonction f est : 3 f ( x ) = 2 + x + x ² + x ²ε ( x ) avec lim ε(x) = 0. 2. a) Cette question est une question à choix multiples.01 du minimum de la fonction f. La réponse juste rapporte un point. 4. 1. 1875. On considère la variable aléatoire Y qui. 3. 4. 2. associe son diamètre intérieur. à l’aide d’une intégration par parties. On suppose que P(E)=0. déterminer la valeur exacte de J. 5 0 (2 x − 1)e x dx Démontrer.a)On note I = ∫ 0. Le stock est suffisamment important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 gaines.33 + h) = 0. exprimé en millimètres. On note X la variable aléatoire qui. associe le nombre de gaines non conformes pour le diamètre intérieur de ce prélèvement. 8.5 b) On note K = ∫ ∫ 0 0. à tout prélèvement de 50 gaines ainsi défini.3 ( 2 + x + x ²) dx . 29 . Partie B : Loi binomiale On considère un stock important de gaines. appartient à l’intervalle [8.95.09.096. 1. Calculer la probabilité que. Calculer le nombre réel h positif tel que P(8. dans un tel prélèvement.48]. 1.18 .5 c) On note J = 0. Une entreprise fabrique des barres de combustible pour des centrales électriques . que K = 3 – 2e0. Probabilités 2011 Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. cinq gaines ne soient pas conformes pour le diamètre intérieur. Dans cet exercice.5 f (x)dx . 2. d) Vérifier que J –I est inférieur à 2x10-2. Justifier que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.33 et d’écart type 0. On admet que X suit la loi normale de moyenne 8. 0 2 Démontrer que I = 1. On prélève au hasard 50 gaines dans le stock pour vérification du diamètre intérieur. à chaque gaine prélevée au hasard dans la production d’une journée. Calculer la probabilité que. Interpréter le résultat à l’aide d’une phrase. On note E l’événement : « une gaine prélevée au hasard dans le stock n’est pas conforme pour le diamètre intérieur ».33-h ≤ X ≤ 8. au plus deux gaines ne soient pas conformes pour le diamètre intérieur. Des pastilles de combustible sont introduites dans des gaines qui servent à réaliser ces barres. dans un tel prélèvement. les résultats approchés sont à arrondir à 10-3. Partie A : Loi normale Une gaine est considérée comme conforme pour le diamètre lorsque le diamètre intérieur. Calculer la probabilité qu’une gaine ainsi prélevée soit conforme pour son diamètre intérieur. En utilisant la question précédente. associe son diamètre. pour cet échantillon. conclure que la livraison est conforme pour le diamètre ? 30 .2.95. On admet également que P(8. Ce résultat n’a pas à être démontré. L’hypothèse alternative est H1 : µ ≠ 8.13 et d’écart type 0. 1. On admet que la variable aléatoire D suit la loi normale de moyenne inconnue µ et d’écart type 0. la moyenne des diamètres des pastilles est d = 8.Partie C : Test d’hypothèse On se propose de construire un test d’hypothèse pour contrôler la moyenne µ inconnue des diamètres.012. L’hypothèse nulle est H0 : µ = 8. exprimés en millimètres. Peut-on.154) = 0. On note D la variable aléatoire qui.13.106 ≤ D ≤ 8. On prélève un échantillon aléatoire de 300 pastilles dans la livraison reçue et on observe que. Enoncer la règle de décision permettant d’utiliser ce test. d’un lot important de pastilles de combustible destinées à remplir les gaines. au seuil de 5%. Dans ce cas.16. à chaque échantillon aléatoire de 300 pastilles prélevées dans le lot. On désigne par D la variable aléatoire qui.13. Sous l’hypothèse H0. à chaque pastille prélevée au hasard dans le lot. associe la moyenne des diamètres de ces pastilles (le lot est assez important pour que l’on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise). 2. on admet que la variable aléatoire D suit la loi normale de moyenne 8. Le seuil de signification du test est fixé à 5%. la livraison est dite conforme pour le diamètre.