Goglio Comportamento Meccanico Dei Materiali

Dipartimentodi Meccanica Politecnico di Torino CeTeM Luca Goglio COMPORTAMENTO MECCANICO DEI MATERIALI Dispense per il modulo teledidattico Versione provvisoria – febbraio 2002 1. RICHIAMI DI STATICA 1.1. Grandezze e operazioni fondamentali La grandezza fondamentale della statica è la forza, che ha natura vettoriale in quanto è definita assegnandone modulo, direzione e verso. Essa costituisce la causa che altera lo stato di quiete o moto rettilineo uniforme di un corpo. r Di un sistema di forze è possibile ottenere la risultante R applicando le consuete regole di somma dei vettori, ad esempio considerando le componenti cartesiane: RFx = ∑i Fxi RFy = ∑i Fyi RFz = ∑i Fzi La risultante è un vettore libero, cioè non applicato. r r Il momento M O rispetto a un punto O di una forza F applicata nel punto P è dato dal prodotto esterno r r M O = (P − O ) ∧ F Anche il momento è un vettore di tipo libero. Per la definizione stessa di prodotto esterno il vettore r r M O risulta perpendicolare sia a F sia a (P-O); inoltre il momento non cambia se la forza viene spostata lungo la sua retta d'azione. MO O MO F b O b P F P Una rappresentazione grafica del momento non del tutto rigorosa, ma molto comoda e utilizzata (soprattutto nel caso di problemi piani), è costituita da un arco di cerchio con l'aggiunta di una freccia per indicare il verso di rotazione (v. figura) La distanza dal punto O alla retta d'azione della forza rappresenta il braccio b, che fornisce la relazione tra le intensità della forza e del momento: M O = Fb Si definisce momento risultante rispetto al punto O di un sistema di forze la somma dei singoli r r momenti di ogni forza Fi e dei momenti puri Ci : r r r r r RM O = ∑i M Oi + C i =∑i ( Pi − O ) ∧ Fi + C i ( ) ( ) Si può dimostrare che i momenti risultanti di un sistema di forze rispetto a due diversi punti O e O' sono legati dalla relazione seguente L. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” r r r R M O ' = RM O + (O − O ' ) ∧ R F Un corpo è in equilibrio se le somme vettoriali sia delle forze (equilibrio alla traslazione) sia dei momenti rispetto ad un punto qualsiasi (equilibrio alla rotazione) sono nulle: r r r r r ∑i Fi = 0 ∑i M Oi + Ci = 0 ( ) Nel caso dei sistemi piani le condizioni suddette si riducono alle tre equazioni scalari: ∑i Fxi = 0 ∑i Fyi = 0 ∑i − yi Fxi + xi Fyi + Ci = 0 ( ) Nell'ultima equazione i due termini relativi ai contributi delle forze hanno segno discorde perché corrispondono a versi di momento rispettivamente orario e antiorario Due sistemi di forze sono equivalenti (ai fini dell'equilibrio) quando hanno stessa risultante e stesso momento risultante. Due conseguenze di tale proprietà di cui faremo uso sono le seguenti: i) è possibile trasportare una forza perpendicolarmente alla propria direzione aggiungendo un momento "di trasporto" pari al prodotto della forza stessa per la distanza fra le due rette di azione F M = Fd d F ii) un sistema di forze può essere sostituito con la sua risultante, applicata in un certo punto, e con un momento pari al momento risultante valutato rispetto allo stesso punto. Per sistemi di forze piani esiste una retta, detta asse centrale, tale che il momento risultante rispetto ai punti di essa è nullo. Risulta allora possibile sostituire il sistema di forze con il solo risultante applicato in corrispondenza dell'asse centrale. RF RF RM F1 F3 O O ξ O' F2 r Per determinare l'asse centrale si riduce il sistema di forze alla risultante RF applicata in un punto r arbitrario O e al momento risultante RM O , successivamente sfruttando la formula di trasposizione dei r r momenti si cerca un altro punto O' tale che RM O ' = 0 : RM O ' = RM O − ξRF = 0 (relazione scritta senza notazione vettoriale, superflua in questo caso) da cui si ottiene 2 L. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” ξ = RM O / RF 1.2. Carichi e vincoli Carichi I carichi rappresentano le azioni esterne, forze e momenti, applicate sulla struttura; tradizionalmente si distingue tra carichi concentrati, cioè applicati puntualmente, e carichi distribuiti, che interessano una zona significativamente estesa della struttura in esame. I carichi distribuiti vengono ancora suddivisi in carichi di linea (si pensi ad esempio al peso per unità di lunghezza di un albero di trasmissione), carichi di superficie (ad esempio la pressione idrostatica) e carichi di volume (ad esempio il peso specifico del materiale in cui la struttura è realizzata). La distinzione tra carichi concentrati e distribuiti è in realtà convenzionale, in quanto a rigore l'applicazione di un qualunque carico interessa una zona più o meno estesa ma comunque finita della struttura. Ai fini pratici assumiamo che un carico sia concentrato quanto la zona in cui è applicato è di estensione trascurabile rispetto alle dimensioni caratteristiche della struttura. Vincoli I vincoli hanno lo scopo di collegare gli elementi delle strutture tra di loro o al telaio; nel primo caso si parla di vincoli interni, nel secondo di vincoli esterni. E' possibile descrivere il ruolo dei vincoli in due modi diversi, a seconda che si consideri l'aspetto cinematico o quello statico del comportamento delle strutture. Dal punto di vista cinematico i vincoli riducono le possibilità di movimento degli elementi delle strutture; nel caso di vincoli interni si obbligano punti diversi (appartenenti a corpi diversi della struttura) ad assumere componenti di spostamento e/o rotazione uguali; nel caso di vincoli esterni alcune componenti di spostamento e/o rotazione vengono annullate. Dal punto di vista statico i vincoli trasmettono reazioni agli elementi delle strutture; i vincoli interni trasmettono forze e momenti tra un elemento e l'altro; i vincoli esterni forniscono le reazioni che globalmente equilibrano i carichi applicati. I più comuni vincoli nel piano sono schematizzati nelle figure seguenti; definiamo i vincoli come singoli, doppi o tripli, a seconda del numero di componenti di reazione trasmesse (rispettivamente una, due o tre), o, il che è lo stesso, a seconda del numero di componenti di spostamento o rotazione obbligate. appoggio (v. semplice) cerniera (v. doppio) incastro (v. triplo) 3 L. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” cerniera interna (v. doppio) coppia prismatica (v. doppio) Grado di iperstaticità Un corpo o un sistema di corpi può essere vincolato in modo insufficiente, sufficiente o sovrabbondante a fissarne la posizione. Nel caso dei problemi piani definiamo il grado di iperstaticità h con l'espressione seguente: h = v − 3m Il termine v rappresenta il numero totale di reazioni vincolari (interne o esterne) calcolabile con l'espressione: v = 3i + 2(c + p ) + a in cui i è il numero di incastri (ognuno dei quali introduce 3 reazioni), c è il numero di cerniere (ognuna delle quali introduce 2 reazioni), p è il numero di coppie prismatiche (ognuna delle quali introduce 2 reazioni), a è il numero di appoggi (ognuno dei quali introduce 1 reazione). Il termine m rappresenta il numero totale di corpi semplici da cui è costituita la struttura, per ognuno dei quali si possono scrivere 3 equazioni di equilibrio. Si distinguono 3 situazioni: • h < 0 sistema labile (meccanismo), la posizione dei corpi non è completamente determinata dai vincoli; • h = 0 sistema isostatico (o staticamente determinato), le equazioni di equilibrio sono sufficienti per determinare tutte le reazioni vincolari; • h > 0 sistema iperstatico (o staticamente indeterminato), le equazioni di equilibrio non sono sufficienti per determinare tutte le reazioni vincolari. Le figure seguenti mostrano alcuni esempi di sistemi labili, isostatici e iperstatici. m=1 v =0 h = -3 m=1 v =1 h = -2 m=1 v =2 h = -1 a =1 c =1 4 L. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” m=1 v =3 h =0 m=1 v =3 h =0 c =1 a =1 m=1 v =4 h =1 c =2 i =1 m=1 v =4 h =1 m=1 v =5 h =2 i =1 a =1 m=1 v =6 h =3 i =1 c =1 m=2 v =5 h = -1 i =2 m=2 v =6 h =0 c =2 a =1 c =3 cerniera doppia m=2 v =6 h =0 c =2 a =2 1.3. Scrittura delle equazioni di equilibrio Il punto di partenza per la scrittura delle equazioni di equilibrio consiste nel liberare un sistema di massa, costituito da uno o più corpi semplici, dai vincoli che lo collegano ad ulteriori corpi o al telaio. Nel caso di sistemi piani si immagina di racchiudere il sistema considerato con una linea di distacco chiusa: dove tale linea interseca i vincoli vengono messe in evidenza le corrispondenti reazioni (che prima del distacco costituivano delle azioni interne), per le quali si assumono dei versi 5 F1 A C F2 F1 B OA VA OC VC OC F2 VC OB VB Nel piano si possono scrivere tre equazioni di equilibrio indipendenti per ogni corpo libero. b) 2 equazioni di equilibrio alla rotazione + 1 equazione di equilibrio alla traslazione lungo una direzione non perpendicolare alla congiungente i punti rispetto ai quali si calcolano i momenti. Ad esempio. Si possono quindi scrivere le equazioni di equilibrio tra carichi applicati e reazioni vincolari per il sistema così isolato. L'interruzione dei vincoli da parte della linea di distacco (tratteggiata in figura) mette in evidenza le reazioni della cerniera OA e VA e quella dell'appoggio VB. c) 3 equazioni di equilibrio alla rotazione intorno a punti non allineati. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” positivi convenzionali. le scelte possibili si possono classificare in tre gruppi: a) 2 equazioni di equilibrio alla traslazione lungo direzioni non parallele + 1 equazione di equilibrio alla rotazione intorno ad un punto arbitrario. 6 . Nella scrittura delle equazioni si deve però evitare di scrivere equazioni non linearmente indipendenti fra di loro. queste potranno esprimere l'equilibrio alla traslazione lungo direzioni opportune e l'equilibrio alla rotazione intorno a punti opportuni. se ne tiene conto semplicemente cambiando il verso convenzionale delle reazioni (v. figure).L. linea di distacco F2 F2 B F1 F1 OA VB A VA Nel caso di vincoli interni (cioè congiungenti corpi della struttura) le azioni messe in evidenza su un corpo sono evidentemente uguali in modulo e direzione e opposte in verso a quelle messe in evidenza su un altro corpo collegato. nel caso di un corpo semplice vincolato da una cerniera e da un appoggio si opera nel modo indicato nelle figure seguenti. non è sufficiente la semplice conoscenza dei carichi a cui esso è sottoposto. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” 2. con azioni sia normali sia r tangenti alle superfici. essa può essere pensata come formata r da una somma di areole elementari. ciò implica che dal punto di vista fisico questa trattazione è applicabile finché le dimensioni in gioco sono sufficientemente grandi da non far intervenire la natura discreta della materia. il secondo indica la direzione lungo la quale la componente agisce. esso in generale non è parallelo alla normale alla superficie passante per il punto P ma presenta sia una componente normale σ sia una componente tangenziale τ. y. STATO DI TENSIONE 2. Considerando i rapporti tra questi ultimi e l'area e facendo tendere a zero l'estensioner di essa si assume che: r ∆F r ∆M r = f lim =0 lim ∆A→0 ∆A ∆A→0 ∆A Questa ipotesi ammette che i carichi si trasmettano all'interno del materiale con un meccanismo analogo al caso delle pressioni nei fluidi. 7 . Tensioni Al fine di determinare la resistenza di un elemento strutturale. Consideriamo la sezione di un elemento soggetto a dei carichi. ma in senso generalizzato.L. su ognuna di esse possiamo individuare una componente normale e due tangenziali. z): il primo identifica la direzione normale alla faccia.1. n ∆F ∆A f P τ σ L'operazione matematica di passaggio al limite per dimensioni che tendono a zero presuppone che il materiale costituisca un continuo. si pone quindi la necessità di definire delle grandezze che riferiscano i carichi all'unità di superficie su cui agiscono. ad esempio un organo di macchina. le componenti di tensione in tale riferimento vengono individuate con due pedici (x. La quantità f è detta vettore della tensione. Considerando le facce perpendicolari agli assi di un sistema di riferimento cartesiano xyz. ognuna delle quali trasmette un r r contributo di forza ∆F e di momento ∆M . E' infatti evidente che a parità di carichi trasmessi l'elemento sarà più o meno sollecitato a seconda della propria forma e dimensione. di area ∆A normale al versore n . σyy+dσyy τ xy+dτ xy σxx y dy z x τ yx+dτ yx τxy P σxx+dσxx dx τyx σyy Nell'equazione di equilibrio alla rotazione compaiono le forze elementari date dalle tensioni moltiplicate per le aree infinitesime su cui esse agiscono. le tre componenti σ indicano tensioni normali rispettivamente di trazione o compressione a seconda che i valori siano positivi o negativi. y) si ottiene ( 1Si ) ( ) noti che il segno delle τ. figura). Sulle facce cosiddette positive.L. cioè quelle da cui gli assi coordinati escono attraversando l'elementino. Poiché le componenti sono in generale funzione della posizione. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Si possono quindi distinguere 9 componenti. Le componenti normali e l'eventuale forza di volume hanno braccio nullo. σzz τ zx τzy z τyz y τxz x τyx σyy σxx τxy Consideriamo l'equilibrio alla rotazione intorno all'asse z di un elemento infinitesimo di materiale nell'intorno del punto P. non indica una diversa situazione fisica. Ciò permette di soddisfare il principio di azione e reazione rispetto alle tensioni mutuamente esercitate tra elementi adiacenti. nell'incremento di coordinata dx o dy queste subiscono un corrispondente incremento (v. le 6 componenti τ indicano invece tensioni tangenziali (dette anche di taglio)1. contrariamente al caso delle σ. l'equazione si riduce quindi a: dx dy dx dy dzdyτ xy − dzdxτ yx + dzdy τ xy + dτ xy − dzdx τ yx + dτ yx =0 2 2 2 2 Semplificando e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore dτij rispetto ai termini finiti τij (i. j = x. viceversa sulle facce negative le componenti hanno versi positivi opposti. 8 . le componenti hanno versi positivi se concordi con quelli degli assi stessi. z fx f fy P y fz x L'equazione vettoriale di equilibrio alla traslazione assume la forma: r r r r r r dAf + dAx f x + dAy f y + dAz f z + dVΦ V = 0 L'ultimo termine. passante per il punto P e normale r r al versore n agisce il vettore della tensione f . Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” τ xy = τ yx Analogamente. ny. avente come componenti i coseni direttori nx. i vettori tensione che compaiono sono definiti nel modo seguente: τ xy  f  σ  τ  r  xz  r  nx  r  xx  r   f y = σ yy  f z = σ yz  f =  f ny  f x = τ xy          σ zz   f nz  τ xz  τ yz  Le aree delle facce sono legate dalle relazioni seguenti dAx = dA ⋅ n x dAy = dA ⋅ n y dAz = dA ⋅ n z Sostituendo nell'equazione di equilibrio precedente si ottiene r r r r r f + nx f x + n y f y + nz f z = 0 In termini scalari l'equazione corrisponde al sistema seguente  f nx − σ xx n x − τ xy n y − τ xz n z = 0   f ny − τ xy n x − σ yy n y − τ yz n z = 0   f nz − τ xz n x − τ yz n y − σ zz n z = 0 9 . Si è visto precedentemente che su una faccia elementare generica. dAz perpendicolari agli assi coordinati e la quarta r faccia dA perpendicolare al versore n . di conseguenza le componenti di tensione diverse si riducono da 9 a 6. A questo scopo consideriamo un tetraedro infinitesimo di volume dV avente tre facce dAx. nz. vogliamo valutare come variano le componenti di quest'ultimo al variare dell'orientazione della faccia. dAy.L. corrispondente alla forza di volume. ripetendo il medesimo ragionamento per l'equilibrio alla rotazione intorno agli assi x e y si ottiene: τ xz = τ zx τ yz = τ zy Si trova cioè che le componenti tangenziali contraddistinte da pedici omologhi sono uguali. è infinitesimo di ordine superiore rispetto ai primi ed è quindi trascurabile. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” dove i segni . In termini matriciali il sistema assume la forma:  f x  σ xx τ xy τ xz  n x        f y  =  τ xy σ yy τ yz  n y    τ    f z   xz τ yz σ zz  n z  In notazione compatta possiamo scrivere { f } = [σ]{n} La matrice [σ]. Poiché [σ] è reale e simmetrica esistono sempre tre autovalori reali σ1 . per definizione. 10 . Si deve notare che la conoscenza di essa permette di ottenere le componenti di tensione (cioè il vettore di tensione) su una qualunque r faccia. Quindi una direzione è detta principale se sulla faccia perpendicolare ad essa non agiscono tensioni tangenziali. quindi si può concludere che [σ] definisce completamente lo stato di tensione nel punto P. infatti. σ 3 detti tensioni principali. ci si domanda quindi se esistano orientazioni privilegiate delle facce tali che i vettori tensione agenti su di esse siano paralleli alle normali e quindi sulle corrispondenti facce non agiscano tensioni tangenziali. identificata dalla normale n .L. Adottando come sistema di riferimento una terna principale il tensore [σ] assume la seguente forma diagonale 2Se non diversamente specificato si denominano le tensioni principali in ordine decrescente: σ3 ≤ σ2 ≤ σ1. Il sistema omogeneo ammette soluzione non banale se σ xx − λ τ xy τ xz    σ yy − λ τ yz  = 0 det  τ xy  τ xz τ yz σ zz − λ   L'annullarsi del polinomio caratteristico permette di determinare gli autovalori. 2. avente per colonne i vettori di tensione agenti sulle facce perpendicolari agli assi coordinati. Tensioni principali r r Si è visto che in caso generale i vettori n e f non sono paralleli a causa della presenza di componenti di tensione di tipo tangenziale.sono dovuti al fatto che le facce normali agli assi coordinati sono di tipo negativo (nel senso precedentemente definito). La risposta è affermativa e il problema corrisponde alla ricerca degli autovalori/autovettori di una matrice. costituisce il tensore delle tensioni agenti nel punto P. λ e {v} sono rispettivamente un autovalore e un autovettore della matrice [A] se [A]{v} = λ{v} Nel caso delle tensioni si deve verificare che { f } = λ{v} e ciò corrisponde alla ricerca degli autovalori/autovettori di [σ]: cioè [σ]{v} = λ{v} ([σ] − λ[I ]){v} = {0} dove [I] è la matrice identità.2. σ 2 . i corrispondenti autovettori individuano le direzioni principali2. poiché la direzione p3 è principale il vettore della tensione f agente sulla r faccia normale a n è pure contenuto nel piano p1p2 e può essere descritto dalle due componenti σ e τ. n σ σ1 p2 p3 α dl dl 2 p1 τ dl 1 σ2 r Assumiamo come sistema di riferimento la terna principale p1p2p3 e consideriamo la direzione n r contenuta nel piano p1p2.L. Cerchi di Mohr E' possibile eseguire una rappresentazione grafica di come variano le componenti normale e tangenziale su una faccia. data la simmetria) presenta i termini fuori diagonale nulli allora la corrispondente direzione è principale. 2. Infatti. Queste ultime possono essere espresse utilizzando la relazione { f } = [σ]{n} in cui: 0 σ1 0  [σ] =  0 σ 2 0   0 0 σ 3  r r La componente σ è data dalla proiezione di f lungo n : cos α  {n} = sen α   0    σ1 r r T T σ = n ⋅ f = {n} { f } = {n} [σ]{n} = {cos α sen α 0} 0  0 0 σ2 0 0  cos α    0  sen α σ 3   0  = σ1 cos 2 α + σ 2 sen 2 α La componente τ può essere espressa usando la relazione pitagorica: 2 2 2 2 τ 2 = f 2 − σ 2 = σ1 cos 2 α + σ 2 sen 2 α − σ1 cos 4 α − σ 2 sen 4 α − 2σ1σ 2 cos 2 α sen 2 α = (σ1 − σ 2 ) cos 2 α sen 2 α 2 Ponendo sotto radice quadrata entrambi i membri si ottiene τ = (σ1 − σ 2 ) cos α sen α Si verifica agevolmente che σ e τ stanno tra di loro come le coordinate dei punti di una circonferenza. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” σ1 0   0 0 0  σ 3  0 σ2 0 Si può osservare che se una certa riga (e colonna. al variare dell'orientazione della faccia stessa. ricordando le trasformazioni trigonometriche 1 − cos 2α 1 + cos 2α sen 2α sen 2 α = cos 2 α = sen α cos α = 2 2 2 11 .3. (σ3 . r r Si osserva che per α=0 ( n parallelo all'asse principale p1) si ha σ=σ1 e τ=0. quindi le intersezioni della circonferenza con l'asse delle ascisse corrispondono alle facce normali alle direzioni principali.0).L. considerando gli assi p1 e p2. in un piano di coordinate στ. le componenti di tensione messe in evidenza dalla sezione eseguita con un piano di tale fascio sono date dalle coordinate σ e τ della circonferenza. τ (σ1 −σ2 )/2 α 2α σ σ2 (σ1 +σ2 )/2 σ1 Il procedimento seguito per ottenere il cerchio relativo al fascio di piani aventi in comune l'asse p3 può essere ripetuto.0) e (σ1 . in modo analogo. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” le relazioni trovate per σ e τ assumono la forma seguente: σ1 + σ 2 σ1 − σ 2  = cos 2α σ − 2 2  τ = σ1 − σ 2 sen 2α  2 Quadrando e sommando si ottiene 2 σ + σ2    σ − σ2  σ − 1  + τ2 =  1  2  2    2 che rappresenta l'equazione di una circonferenza (cerchio di Mohr). considerando il fascio di piani aventi in comune l'asse principale p3 nel punto P. che intersecano l'asse delle ascisse rispettivamente rispettivamente nei punti (σ2 . Si ottengono così altri due cerchi. avente centro C e raggio r pari a: σ − σ2  σ + σ2  r= 1 C = 1 . mentre per α=π/2 ( n parallelo all'asse p2) si ha σ=σ2 e τ=0. (σ3 .0  2  2  Quindi. 12 .0). inoltre l'angolo descritto dal raggio sul cerchio è il doppio r dell'angolo tra n e l'asse p1.0). Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” p3 α τ σ3 2α σ1 σ2 σ p2 p1 p3 τ σ3 2α σ2 σ1 σ α p2 p1 p3 τ σ3 2α σ2 σ1 σ p2 p1 α 13 .L. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” I valori di σ e τ su una sezione qualunque. .σb. τ σ3 σ1 σ2 σ Dall'osservazione dei cerchi di Mohr si ricavano alcune proprietà significative dello stato di tensione agente in un punto P e caratterizzato dalle tensioni principali σ1.σ3)/2. 14 . sono contenuti all'interno del cerchio maggiore e all'esterno dei due cerchi minori. come indicato in figura. • a seconda del piano considerato la tensione tangenziale τ varia in modulo tra 0 (piani normali alle direzioni principali) e (σ1. questi devono corrispondere ai due estremi di un diametro del cerchio relativo ai piani avente in comune l'asse pc≡z. non contenente uno degli assi principali.τxy). σ 2. τxy) e (σyy. In caso generale il tracciamento dei cerchi di Mohr richiede la conoscenza delle tensioni principali (e quindi di aver risolto l'autoproblema relativo a [σ]). è possibile però un tracciamento immediato quando si verificano contemporaneamente le due condizioni seguenti: 1) una direzione principale e la corrispondente tensione principale sono note.σc) senza imposizioni sulla grandezza dei termini.L. il tensore delle tensioni assumerà quindi la forma seguente: σ xx [σ] =  τ xy  0 τ xy σ yy 0 0  0  σ zz  σzz z y x σxx τxy τxy σyy Sul piano στ si posizionano i punti (σxx. σ 3: • a seconda del piano considerato la tensione normale σ varia tra σ1 e σ3 e non può assumere valori all'esterno di tale intervallo.si adotta quindi una nomenclatura provvisoria (σa. Per illustrare il procedimento supponiamo che z sia la direzione principale detta pc3 (e quindi σzz=σc). E' immediato ricavare l'ascissa c del centro e il raggio r del cerchio: 3 Non essendo inizialmente noti tutti i valori delle tensioni principali non è possibile utilizzare la nomenclatura in ordine decrescente (σ1≥σ2≥σ3). 2) si conoscono le componenti di tensione su due facce perpendicolari tra di loro e appartenenti al fascio di piani aventi in comune l'asse principale noto. Il procedimento si applica in maniera formalmente analoga se la direzione principale nota preliminarmente è x o y. ricordando il valore della tensione principale inizialmente nota (σzz).−τxy) α rappresenta l'angolo tra l'asse pa e l'asse x. τxy ) σb 2α σa σ α (σxx. si può risalire ad esso dalla relazione 2τ xy tan 2α = σ xx − σ yy Infine. semplicamente scambiando in modo opportuno gli indici degli assi.L.b = σ xx + σ yy 2  σ xx − σ yy ±  2  2   + τ 2xy   Anche le direzioni principali papb possono essere determinate per mezzo del cerchio (v. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” c= σ xx + σ yy  σ xx − σ yy r =  2  2 2   + τ 2xy   Per ottenere le due tensioni principali relative al cerchio in esame è sufficiente aggiungere o sottrarre il valore del raggio all'ascissa del centro: σ a. figura). τ (σyy. 15 . si può completare la costruzione con i rimanenti due cerchi. la propria forma rispetto alla configurazione originale. possiamo distinguere inoltre tra traslazione rigida e rotazione rigida (v. w sono uguali per tutti i punti del corpo. Nei problemi relativi al comportamento meccanico dei materiali si deve quindi introdurre il concetto di corpo deformabile. ma anche di rigidezza (ad esempio per valutare se il cambiamento di forma dovuto ai carichi è compatibile col funzionamento della struttura). Spostamento e deformazione Sotto l'azione dei carichi le strutture cambiano. Nel moto di deformazione di un corpo invece le distanze relative tra i punti possono variare. figure). Si ricorda che la posizione di un punto è data dalle sue coordinate xyz in un sistema di riferimento. lo spostamento di un punto è dato dalla differenza di coordinate tra due istanti successivi t e t' ed è una grandezza di tipo vettoriale:  u   x '− x  r     U =  v  =  y '− y  w  z '− z      Il moto rigido di un corpo è caratterizzato dal fatto che le distanze relative tra i punti che lo compongono si mantengono inalterate. Ad esempio nel campo meccanico tale fenomeno è ben evidente per componenti come le molle. ma si verifica. mentre nel secondo caso variano da punto a punto ma sempre rispettando la condizione di indeformabilità (in particolare nei moti piani la velocità di spostamento è proporzionale alla distanza dal centro di istantanea rotazione). v. essendo insufficiente la trattazione. tipica della meccanica. STATO DI DEFORMAZIONE 3. Il tener conto della deformabilità ci permette di ottenere due risultati: • è possibile verificare il comportamento delle strutture non solo in termini di resistenza alle sollecitazioni. • si possono risolvere i problemi di tipo iperstatico. figure).1. si distinguono due meccanismi fondamentali di deformazione: dilatazione e scorrimento (v. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” 3.L. y Traslazione rigida y x Rotazione rigida x Nel primo caso le componenti di spostamento u. in termini di corpo rigido. in maniera più o meno marcata. in tutti gli elementi strutturali. per i quali le sole equazioni della statica non sono sufficienti. 16 . seppur in misura minore. Per definire quantitativamente la dilatazione consideriamo il segmento di lunghezza l congiungente i punti P e Q in un corpo deformabile. Viceversa nel caso dello scorrimento le lunghezze dei lati si mantengono uguali. dal punto di vista concettuale. Quindi lo spostamento tra i due punti (nel senso di variazione di distanza) è dato dall'allungamento del segmento: u = l '−l Si definisce dilatazione ε il rapporto tra allungamento e lunghezza iniziale del segmento: l '−l u ε= = l l In generale il valore di ε può dipendere dalla lunghezza del segmento considerato. Il procedimento seguito è. analogamente Q va in Q'. a causa della deformazione la lunghezza del segmento cambia da l a l'. Nel seguito di questa trattazione si assumerà che gli spostamenti siano comunque piccoli (rispetto alle dimensioni caratteristiche della struttura). allora la dilatazione è data da: 17 . ma variano le orientazioni. in quanto questi dipendono dalle dimensioni del corpo stesso: ad esempio dire che un albero si inflette sotto carico di 1 mm non è significativo per stabilire se esso è molto o poco deformato. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” y Dilatazione Scorrimento y x x Nel caso della dilatazione le lunghezze dei lati di un elemento che si deforma variano (allungandosi o accorciandosi) ma mantengono uguale orientazione. analogo a quello utilizzato nello studio delle sollecitazioni nei corpi. ipotesi che permette di linearizzare il problema e che risulta verificata nella maggior parte dei casi di interesse pratico. nel quale siamo passati da forze e momenti alle tensioni. per evitare tale arbitrarietà consideriamo un segmento di lunghezza iniziale infinitesima dl che per effetto della deformazione assume lunghezza dl' e si allunga di du. Per definire quantitativamente lo stato di deformazione a cui è sottoposto un corpo è evidente che non è sufficiente ragionare in termini (macroscopici) di spostamenti.L. Q l P Q' l' P' Durante il moto il punto P assume la nuova posizione P'. dal momento che tale spostamento dipende (oltre che dal carico) dalle caratteristiche geometriche e di materiale. Tensore delle deformazioni Introdotte in forma elementare le definizioni di dilatazione e scorrimento. Durante il moto i punti O.L. il secondo estremo è soggetto ad uno spostamento U + dU . dh si ottiene: dv du γ= + dl dh Si fa notare che per definire lo scorrimento abbiamo bisogno di considerare due segmenti di riferimento. Q' . sia deformazione e scorrimento. Vale quindi l'eguaglianza vettoriale r r r r r U + dX ' = dX + U + dU da cui si ottiene r r r dX ' = dX + dU r Si noti che semplificare lo spostamento U . corrisponde a depurare lo spostamento complessivo della traslazione rigida. P'. 3. pari quindi alla somma: v u γ = α +β = + l h Considerando anche in questo caso segmenti di lunghezza infinitesima dl. nel caso più generale si verificano sia traslazione e rotazione rigide. aventi lunghezze rispettivamente pari a l e h. OP e OQ. affrontiamo il fenomeno della deformazione in forma analitica generale. Per questo scopo consideriamo un segmento vettore r r infinitesimo dX che dopo lo spostamento si trasforma in un segmento dX ' . Q si spostano in O'. Supponendo che il campo di spostamenti sia continuo e derivabile. P. infatti considerandone uno solo non potremmo separare la rotazione rigida da quella di deformazione. rispetto alle direzioni originali i segmenti formano gli angoli α e β u Q' Q ε= β π/2 − γ π/2 h α O l P P' v O' Poiché gli spostamenti sono piccoli si può approssimare v u α= β= l h Si definisce scorrimento γ il complemento a π/2 dell'angolo formato dopo deformazione tra due segmenti inizialmente ortogonali. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” dl '− dl du = dl dl Per definire quantitativamente lo scorrimento consideriamo due segmenti inizialmente ortogonali.2. che dal punto di vista dello studio della 18 . comune ai due estremi del segmento. se il primo estremo del segmento è soggetto a uno r r r spostamento U . L. contributo che non vogliamo considerare. Nel termine dU rimangono quindi i contributi dovuti sia alla rotazione rigida sia alla deformazione. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” r deformazione è ininfluente. dX' U+dU U dX r dU può essere scritto come differenziale del campo di spostamenti:  ∂u ∂u ∂u     du   ∂x ∂y ∂z  dx     ∂v ∂v ∂v    dy = [J ]{dX }  dv  =    dw  ∂x ∂y ∂z  dz    ∂w ∂w ∂w      ∂x ∂y ∂z  La matrice jacobiana [J] può essere scomposta nella somma di due termini sfruttando la seguente identità: [J ] = 1 [J ] + 1 [J ] 2 2 1 1 1 1 = [J ] − [J ]T + [J ] + [J ]T 2 2 2 2 Poniamo ora:  1  ∂u ∂v  1  ∂u ∂w  0  −    −  2  ∂y ∂x  2  ∂z ∂x   1  ∂v ∂w   [Ω] = 1 [J ] − 1 [J ]T =  1  ∂v − ∂u  0  −   2 2 2 x y 2 z y ∂ ∂ ∂ ∂        1  ∂w ∂u  1  ∂w ∂v  0   2  ∂x − ∂z  2  ∂y − ∂z        [ε] = 1 [J ] + 1 [J ]T 2 2  ∂u  ∂x   1  ∂v ∂u  =   +   2  ∂x ∂y   1  ∂w ∂u   2  ∂x + ∂z     1  ∂u ∂v   +  2  ∂y ∂x  ∂v ∂y 1  ∂w ∂v   +  2  ∂y ∂z  1  ∂u ∂w   +  2  ∂z ∂x  1  ∂v ∂w    +  2  ∂z ∂y   ∂w   ∂z  Si può dimostrare che la matrice [Ω] rappresenta (nell'ambito dell'ipotesi di spostamenti piccoli) la r quota di dU corrispondente alla rotazione rigida. 19 . Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” I coefficienti della matrice [ε] rappresentano invece delle dilatazioni (termini sulla diagonale) o degli scorrimenti divisi per 2 (termini fuori diagonale). sono dei numeri puri in quanto rappresentano rapporti di lunghezze (m/m). γ 2 ε3 ε2 ε1 ε 20 . simmetrico e contenente 6 componenti diverse ∂u 1  ∂u ∂v  1 ε xx = ε xy = ε yx =  +  = γ xy ∂x 2  ∂y ∂x  2 1  ∂u ∂w  1 ∂v ε yy = ε xz = ε zx =  +  = γ xz 2  ∂z ∂x  2 ∂y ε zz = ∂w ∂z ε yz = ε zy = 1  ∂v ∂w  1  = γ yz  + 2  ∂z ∂y  2 r Esso permette di calcolare lo spostamento infinitesimo dU dovuto alla sola deformazione del corpo. la massima e la minima dilatazione principale costituiscono la massima e la minima dilatazione possibile che un segmento può subire a seconda della sua l'orientazione. in questo caso sugli assi si pongono la dilatazione e la metà dello scorrimento. anche il tensore della deformazione ammette 3 autovalori reali e i corrispondenti autovettori. [ε] rappresenta quindi il tensore delle deformazioni. poiché i valori tipici sono molto piccoli (10-6 ÷ 10-3). per ogni punto della struttura. inoltre.3. sia dilatazioni sia scorrimenti. per lavorare con numeri più comodi da rappresentare le si esprime talvolta (soprattutto nell'analisi sperimentale delle deformazioni) in µm/m. Le procedure per la costruzione e l'utilizzo dei cerchi sono analoghe al caso delle tensioni. essi rappresentano le deformazioni principali e le direzioni principali di deformazione. secondo le definizioni viste in precedenza. Il significato fisico in questo caso è il seguente: segmenti orientati lungo direzioni principali si dilatano (allungandosi o accorciandosi) senza subire distorsioni (escludendo le rotazioni rigide). Direzioni principali di deformazione Analogamente al caso della tensione.L. Anche per le deformazioni è possibile la rappresentazione grafica mediante cerchi di Mohr. 3. escludendo i contributi del moto rigido: {dU } = [ε]{dX } Le deformazioni. Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Relazione tra tensioni e deformazioni I parametri che rappresentano gli stati di tensione e deformazione. viceversa se si impone al materiale di deformarsi questo reagisce opponendo degli sforzi. proporzionale al carico stesso. Consideriamo un elemento infinitesimo di materiale e supponiamo di poter applicare su di esso le diverse componenti di tensione separatamente e di misurare le componenti di deformazione che nascono. Consideriamo ad esempio il caso di una molla sospesa verticalmente ad un estremo. sono legati tra di loro dal comportamento del materiale.4. indipendentemente dalle caratteristiche geometriche della struttura. se invece (b) si costringe l'estremo libero ad spostarsi di una quantità δ la molla oppone una forza resistente F proporzionale allo spostamento imposto. δ∝F δ= F ∝δ F = kδ 1 F k δ F Nel caso in esame la costante di proporzionalità k costituisce la cosiddetta rigidezza della molla. σzz τxz z τyz τyz τxz y x σxx τxy τxy σyy Applicando la componente σxx si osserva che la deformazione εxx risulta proporzionale alla tensione: 1 ε xx ∝ σ xx ε xx = σ xx E 21 . Goglio 3. si deve studiarne il comportamento in termini di tensioni e deformazioni. cioè i coefficienti dei rispettivi tensori. Inoltre si osserva che rimuovendo la causa (carico applicato o spostamento imposto) l'effetto (spostamento sotto carico o forza resistente) si annulla.L. si intende cioè che vi è una semplice legge lineare tra causa ed effetto e il fenomeno è inoltre reversibile. Se (a) all'estremo libero si applica un carico assiale F questo presenta uno spostamento δ. Per caratterizzare dal punto di vista elastico il materiale. Un comportamento di questo tipo è detto lineare elastico. L'esperienza fisica ci mostra che se si sottopone un materiale a degli sforzi questo si deforma. costituisce un sistema di 6 equazioni che legano le componenti ε. Misurando le componenti di dilatazione εyy. ma non causa scorrimenti: ε xx = ε yy = ε zz = α∆T Il termine α costituisce il coefficiente di dilatazione termica del materiale. mentre ∆T è la variazione di temperatura del materiale rispetto ad una configurazione di riferimento. questa provoca solo dilatazioni. σzz. τyz. ad esempio: 1 γ xy ∝ τ xy γ xy = τ xy G La costante G è detta modulo elastico a taglio e rappresenta la rigidezza del materiale rispetto alla deformazione per scorrimento. Si può verificare che G non è indipendente dalle costanti E. isotropo. detta legge di Hooke. Applicando simultaneamente σxx. si osserva che ognuno di essi è proporzionale alla sola componente di tensione tangenziale corrispondente (cioè con gli stessi indici). ν del materiale ma è legata ad esse dalla relazione E G= 2(1 + ν ) Un materiale che presenta un comportamento del tipo descritto è definito. avente le dimensioni dell'inverso di una temperatura (1/°C). dimensionalmente è un numero puro. un'ulteriore causa di deformazione nei problemi strutturali è rappresentata dalla temperatura.γ alle σ. Oltre alle tensioni. uguali in tutte le direzioni. Lo stesso comportamento si riscontra applicando la sola componente σzz: ν ε xx = − σ zz ε xx ∝ σ zz E Viceversa si riscontra che la deformazione εxx è insensibile all'applicazione delle componenti di tensione tangenziali τxy. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” La costante E è detta modulo elastico (o modulo di Young) e ha il significato fisico di rigidezza del materiale. cioè le proprietà meccaniche sono le stesse in tutte le direzioni.L. τxz. σyy. εzz si riscontrano comportamenti analoghi (scambiando debitamente gli indici degli assi) nei confronti delle diverse componenti di tensione. dimensionalmente essa costituisce una tensione (espressa solitamente in MPa o N/mm2). Complessivamente la relazione fra tensioni e deformazioni. Applicando la sola componente σyy si osserva che la deformazione εxx risulta proporzionale anche a questa componente di tensione: ν ε xx = − σ yy ε xx ∝ σ yy E La costante ν è detta coefficiente di contrazione trasversale (o coefficiente di Poisson) e rappresenta la "disponibilità" del materiale alla dilatazione in direzione perpendicolare a quella in cui agisce una tensione di tipo normale. si osserva che vale la sovrapposizione degli effetti: 1 ν ν ε xx = σ xx − σ yy − σ zz E E E Per quando riguarda gli scorrimenti. oltre che elastico lineare.τ e alla variazione di temperatura ∆T: 22 . anche essa ha le dimensioni una tensione. Consideriamo prima il caso in cui agisca la sola tensione σxx sulla faccia di area dydz . la risultante elementare vale: dFx = σ xx dydz Lo spostamento elementare per cui tale tensione compie lavoro è dato da: du = ε xx dx Si può quindi calcolare la corrispondente energia elastica: 1 1 1 dE = dFx du = σ xx ε xx dxdydz = σ xx ε xx dV 2 2 2 23 . Energia di deformazione E' noto dalla fisica che un corpo che si deforma sotto carico accumula energia potenziale in forma elastica. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” ν ν 1  ε xx = + E σ xx − E σ yy − E σ zz + α∆T  ε = − ν σ + 1 σ − ν σ + α∆T xx yy zz  yy E E E  ε zz = − ν σ xx − ν σ yy + 1 σ zz + α∆T  E E E  1 γ = τ  xy G xy  1 γ xz = τ xz G   1 γ yz = τ yz G  Poiché le σ e ε sono disaccoppiate dalle τ e γ. Per calcolare l'energia elastica a livello di materiale. se un sistema di riferimento è principale per le tensioni allora lo è anche per le deformazioni e viceversa.5. studiamo la deformazione di un elemento infinitesimo. ad esempio nel caso di una molla l'energia accumulata è pari a F E = 1 Fδ 2 δ ed è visualizzabile graficamente come area sottesa dalla retta nel diagramma forza-allungamento.L. in coordinate principali la legge di Hooke si riduce a: 1 ν ν  ε1 = + E σ1 − E σ 2 − E σ 3 + α∆T  1 ν ν  ε 2 = − σ1 + σ 2 − σ 3 + α∆T E E E  1 ν ν  ε 3 = − E σ1 − E σ 2 + E σ 3 + α∆T  3. le tensioni tangenziali non producono lavoro con gli spostamenti dovuti alle dilatazioni): 1 η = σ xx ε xx + σ yy ε yy + σ zz ε zz + τ xy γ xy + τ xz γ xz + τ yz γ yz 2 In coordinate principali l'espressione dell'energia assume la forma più compatta: 1 η = (σ1 ε1 + σ 2 ε 2 + σ 3 ε 3 ) 2 ( ) 24 . Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Definiamo quindi l'energia di deformazione per unità di volume η: dE 1 η= = σ xx ε xx dV 2 Considerando invece il caso in cui agisca la sola tensione tangenziale τxy sulle facce dxdz e dydz questa genera le risultanti elementari dFx = τ xy dxdz dFy = τ xy dydz I corrispondenti spostamenti per cui tale tensione compie lavoro sono dati da du = ε xy dy dv = ε xy dx Anche in questo caso si calcola l'energia elastica: 1 1 1 dE = dFx du + dFy dv = τ xy ε xy + τ xy ε xy dxdydz = τ xy γ xy dV 2 2 2 mentre l'energia per unità di volume è: dE 1 η= = τ xy γ xy dV 2 ( ) ( ) dFx du dv dFx du dFy In caso generale l'energia elastica di deformazione per unità di volume è ottenuta semplicemente sommando i contributi di tutte le componenti (le tensioni normali non producono lavoro con gli spostamenti dovuti agli scorrimenti.L. Le provette impiegate sono usualmente di tipo proporzionale.L. teste di afferraggio tratto calibrato zone di raccordo L0 Lc S0 Provetta a sezione piatta teste di afferraggio tratto calibrato zone di raccordo L0 Lc S0 Provetta a sezione circolare 25 . aventi sezione maggiore rispetto alla parte calibrata. La sezione delle provette può essere di tipo circolare (per materiale in barre) o rettangolare (lamiere). Provette Le provette da impiegare per le prove di trazione hanno forma e dimensioni unificate. UNI EN 10002 Materiali metallici – Prova di trazione). evitando brusche variazioni di sezione. che viene utilizzata per le misure. nell'interno della zona calibrata si tracciano due linee trasversali di riferimento distanti tra di loro L0. L'esecuzione delle prove è regolata da norme dedicate che prescrivono i parametri geometrici delle provette. ciò è dettato non solo da motivi di ordine pratico (facilità di realizzazione delle provette. CEDIMENTO STATICO DEI MATERIALI METALLICI 4. le modalità di applicazione del carico e i procedimenti per l'elaborazione dei risultati (v. generalmente fino a produrne la rottura. le due teste di afferraggio e le due zone di raccordo. cioè soddisfano la condizione: L0 = 5. Le teste di afferraggio sono gli estremi della provetta. in entrambi i casi si distinguono: la parte calibrata. ma anche dal fatto che i risultati ottenuti possono essere in una certa misura influenzati dalla geometria della provetta. compatibilità con le macchine di prova). La parte calibrata è la zona a sezione costante con dimensioni controllate (si impongono tolleranze dimensionali e di forma) e di lunghezza Lc. che vengono afferrati dai morsetti della macchina per l'applicazione del carico di trazione. Essa consiste nel sottoporre una provetta (normalmente di forma cilindrica o prismatica) a carico di trazione assiale crescente.1. Le zone di raccordo collegano la parte calibrata alle teste di afferraggio. durante la prova si registrano le coppie di valori carico-allungamento per costruire il relativo diagramma.65 S 0 che corrisponde ad un tratto calibrato di lunghezza pari a 5 diametri nel caso di sezione circolare. Prova di trazione Il metodo più comune per valutare sperimentalmente le caratteristiche meccaniche di un materiale strutturale è rappresentato dalla prova di trazione. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” 4. il movimento della traversa è generato da viti di manovra (macchine ad azionamento meccanico) o da cilindri attuatori (macchine ad azionamento idraulico). lo spostamento di quest'ultima manda in trazione la provetta. due o più colonne-guide. l'altro è solidale con la traversa mobile. in modo controllato. per le provette a sezione circolare e dotate di spallamenti si utilizzano attacchi a filiera (smontabili per consentire l'inserimento delle provette). la traversa mobile e i morsetti per l'afferraggio delle provette. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Macchine di prova Le macchine di prova permettono di esercitare la trazione sulle provette. 26 . L'architettura tipica della macchina comprende il basamento. colonne traversa mobile cella di carico morsetti basamento L'afferraggio della provetta è ottenuto di solito per mezzo di ganasce autoserranti a cunei.L. misurando inoltre lo sforzo applicato e l'allungamento della provetta durante l'esame. aventi superfici piane per provette di lamiera e superfici concave per provette a sezione circolare. Un morsetto è collegato al basamento. ). la precisione è molto elevata ma la corsa misurabile è breve (pochi mm). ecc. A-A provette piatte Attacchi a filiera provette circolari La misura della forza è ottenuta per mezzo di un apposito dinamometro (cella di carico) posto in serie sul sistema di applicazione della forza di trazione oppure. rilevando la pressione nel circuito. ad 27 . alla deformabilità della traversa.L. Comportamento dei materiali durante la prova La risposta dei materiali metallici sottoposti a trazione è evidentemente assai diversa a seconda del tipo di materiale e dei trattamenti che questo ha subito. • Deformazione convenzionale: è il rapporto tra la variazione di lunghezza del tratto compreso tra i due riferimenti e la lunghezza iniziale del tratto stesso ε = ∆L / L0 invece della deformazione frequentemente si utilizza l'allungamento percentuale: 100 ⋅ ∆L / L0 • Tensione convenzionale (o carico unitario): è il rapporto tra la forza di trazione applicata e l'area iniziale della sezione retta del tratto calibrato σ = F / S0 • Carico di scostamento dalla proporzionalità (totale o unitario): è il carico al quale corrisponde un allungamento non proporzionale pari alla percentuale p della distanza tra ai riferimenti. E' necessario definire alcune grandezze che vengono impiegate per descrivere le caratteristiche meccaniche del materiale. • utilizzando un estensometro. cercando di classificare i comportamenti dal punto di vista strutturale. apposito strumento che viene agganciato alla provetta e che misura l'allontanamento tra due sezioni di riferimento. ma la precisione non è elevata (errori dovuti ai giochi meccanici. La misura dell'allungamento della provetta è eseguita in due modi diversi. Goglio A Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” A Sez. questa tecnica è quindi impiegata per misurare gli allungamenti elastici che hanno piccola entità. nel caso di macchine idrauliche. a seconda della precisione richiesta e dell'entità dell'allungamento stesso: • misurando lo spostamento della traversa mobile si rileva qualunque livello di allungamento (fino all'eventuale rottura). in termini sia qualitativi (tipi di comportamento presentato) sia quantitativi (valori dei parametri caratteristici). Nel seguito si cercherà di illustrare i concetti fondamentali. come gli acciai a basso contenuto di carbonio. Rp0. il comportamento del materiale è elastico e il corrispondente tratto del diagramma è lineare. dividendo la prima per la sezione iniziale del tratto calibrato. Successivamente.2/S0) è il carico che determina un allungamento avente una quota non proporzionale pari allo 0. quindi l'allungamento è compensato da una contrazione trasversale. finché il carico si mantiene sufficientemente basso. tale fenomeno è noto come strizione. Il fenomeno è detto snervamento. La pendenza di tale retta nel diagramma σ. inoltre le due restanti tensioni principali sono nulle e il materiale è quindi in condizioni di tensione monoassiale. Questo comportamento prosegue finché la curva presenta un massimo Fm. da questo punto in poi il comportamento si differenzia a seconda del tipo di materiale in esame. ciò è particolarmente evidente: la forza cessa improvvisamente di salire (addirittura decresce leggermente) mentre la provetta continua ad allungarsi. detto anche carico di rottura. ma con pendenza molto inferiore a quella del tratto elastico: siamo nella fase delle deformazioni plastiche aventi entità assai superiore di quelle elastiche. I dati rilevati nel corso della prova sono riportati su un diagramma forza-allungamento o. si definisce carico di snervamento superiore FeH il valore di picco della forza di trazione corrispondente alla fine del comportamento elastico. Nella fase iniziale della prova.2 (e. indica che il carico unitario (cioè la tensione) necessario per deformare il materiale cresce in misura tale da compensare la perdita di sezione resistente: tale fenomeno è noto come incrudimento. Il fatto che la forza continui a salire.2% della distanza tra i riferimenti. malgrado la riduzione della sezione. analogamente.L. In tale fase il volume del materiale si mantiene approssimativamente costante. continuando a esercitare la trazione sulla provetta la forza riprende a salire. da questo punto in poi si la riduzione della sezione si verifica in una zona localizzata. mentre il carico di snervamento inferiore FeL è il valore a cui la forza scende (assestandosi dopo alcune oscillazioni) quando il fenomeno si è manifestato. 28 .ε rappresenta il modulo elastico E. La forza necessaria ad allungare ulteriormente la provetta diminuisce perché l'incrudimento del materiale non basta più a compensare la riduzione di sezione. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” esempio Fp0. Continuando ad esercitare la trazione sulla provetta si arriva ad un certo livello per il quale la forza e l'allungamento cessano di essere proporzionali e il diagramma si scosta dalla linearità. esso segna la fine del comportamento elastico del materiale e l'inizio delle deformazioni plastiche permanenti. Durante la prova la sezione retta del provino è sollecitata dall'unica componente di tensione perpendicolare σ e tale tensione è principale. tensione-allungamento. Infine la provetta si rompe.2=Fp0. Per alcuni materiali. dividendosi in due parti in corrispondenza della sezione ristretta. il fenomeno dello snervamento non è più evidente.2% allungamento (%) Per alcuni materiali. ma si osserva semplicemente una progressiva deviazione dalla linearità.2. plast.2.2%. plast. La procedura consiste nel tracciare la retta parallela al tratto elastico del diagramma e distante in orizzontale 0. plast. come ad esempio le ghise grigie.2%: Fp0. di solito allo 0. come ad esempio gli acciai a medio contenuto di carbonio. plast. uniforme allungamento (%) Per altri materiali. F rottura Fm Fp0. in questo caso.2 deform. localizzata FeH FeL deform. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” rottura F Fm deform. Col procedere della prova si osservano anche in questo caso la crescita della curva dovuta all'incrudimento e il successivo calo dovuto alla strizione. rottura F Fm allungamento (%) 29 . la rottura si manifesta immediatamente alla fine del tratto elastico della curva. la fase delle deformazioni plastiche è assente o praticamente trascurabile. invece del carico di snervamento FeH si determina il carico di scostamento dalla proporzionalità. localizzata deform.L. l'intersezione con la curva fornisce il valore di Fp0. uniforme 0. L. si definisce la grandezza seguente: allungamento dopo rottura (%) A = 100⋅(Lu -L0)/ L0 Si definiscono duttili quei materiali che presentano elevata deformazione plastica prima della rottura. in particolare il carico unitario di rottura viene definito dividendo la forza massima misurata durante la prova per un valore di area che non è quello su cui essa agisce. Il tratto decrescente della curva. si può eseguire una distinzione di massima in base all'entità dell'allungamento dopo rottura: A > 10%: materiali duttili A < 5%: materiali fragili 30 . Si osserva quindi che un materiale che ha subito un certo livello di deformazione plastica presenta una fase elastica più ampia. di conseguenza la provetta non riassume la lunghezza originale ma presenta un allungamento residuo. non è in pratica utilizzabile in quanto lo stato di tensione diventa triassiale e. da questo punto in poi viene di nuovo seguita la curva relativa alla fase plastica del materiale. corrispondente alla strizione della provetta. come se lo scarico non fosse avvenuto. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Per tutti i materiali duttili si osserva inoltre che se il carico viene rilasciato durante la deformazione plastica il diagramma relativo allo scarico è lineare e parallelo alla retta che descrive l'andamento elastico iniziale. F allungamento residuo allungamento (%) Come già anticipato nelle definizioni. la tensione assiale non è uniforme sulla sezione. inoltre. Se si applica nuovamente il carico il diagramma è lo stesso segmento fino al livello massimo di carico che era stato raggiunto in precedenza. Riaccostando i due spezzoni della provetta si può misurare la lunghezza finale Lu tra i due riferimenti tracciati prima della prova a distanza L0. fragili quelli che presentano deformazione plastica limitata. ma è il valore della sezione indeformata. il passaggio dai valori caratteristici di forza (carico) a quelli corrispondenti di tensione (carico unitario) avviene semplicemente dividendo per l'area iniziale S0 della provetta: carico unitario di snervamento superiore ReH = FeH / S0 carico unitario di snervamento inferiore ReL = FeL / S0 carico unitario di rottura Rm = Fm / S0 E' evidente che tali definizioni hanno valore convenzionale. poiché la deformazione plastica determina il valore della lunghezza finale dopo rottura Lu . Si deve cioè definire una tensione. Al fine di stabilire se lo stato di tensione agente nel punto considerato è compatibile con la resistenza del materiale si pone quindi il problema di definire un unico valore (scalare) equivalente. detta ideale o equivalente. 31 . La tabella seguente riporta.L. i valori tipici delle caratteristiche di resistenza per alcuni materiali ferrosi utilizzati nelle costruzioni meccaniche. σ2. Ipotesi di cedimento I dati relativi alla resistenza dei materiali ottenuti mediante la prova di trazione corrispondono al cedimento in condizioni di tensione monoassiale. funzione delle 3 tensioni principali effettivamente agenti e che equivalga dal punto di vista del pericolo di cedimento allo stato di tensione vero: σ id = f (σ1 . In generale ogni punto di un elemento di macchina può essere soggetto ad uno stato di tensione pluriassiale. dati completi per le diverse tipologie di materiali possono essere trovati nelle corrispondenti tabelle UNI. inoltre per gli acciai ad alta resistenza il limite di snervamento è (proporzionalmente) più vicino a quello di rottura che per gli acciai a bassa resistenza. 4. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Per valori di A compresi tra 5% e 10% si osserva un comportamento intermedio tra fragilità e duttilità. da confrontare con il valore che esprime il limite caratteristico del materiale. a titolo di esempio. per la sua determinazione si deve analizzare più dettagliatamente ciò che si verifica nel materiale in condizioni di cedimento. σ 3 ) Tale funzione non è univoca e dipende dal comportamento tipico del materiale.2. Materiale acciai per carpenteria acciai da bonifica ghise grigie ghise sferoidali ReH (Rp0. σ 2 .2) (MPa) S235 ≥ 235 S275 ≥ 275 S355 ≥ 355 C30 325 C40 370 41Cr4 540 39NiCrMo3 540 GJL-100 GJL-200 GJL-300 GJS-350-22 230 GS-500-7 370 GS-700-2 420 Rm (MPa) ≥ 360 ≥ 430 ≥ 510 540 590 740 740 100 200 300 350 500 700 A % ≥ 26 ≥ 23 ≥ 21 20 18 14 13 22 7 2 Dall'esame della tabella si osserva che per gli acciai le caratteristiche di resistenza (carichi unitari di snervamento e di rottura) sono in generale inversamente proporzionali all'allungamento a rottura. σ3. definito dal tensore delle tensioni cartesiane [σ] o dalle tensioni principali σ1. questa ipotesi risulta applicabile ai materiali che presentano comportamento fragile. Dall'esame dei cerchi di Mohr si ricava immediatamente che la tensione tangenziale massima è il raggio del maggiore dei cerchi e vale: σ − σ3 τ max = 1 2 32 . fenomeno che porta al distacco frontale del materiale. Guest) L'ipotesi è applicabile ai materiali di tipo duttile. tale ipotesi è confermata sperimentalmente dal fatto che le superfici di rottura a trazione di materiali di questo tipo sono perpendicolari alla direzione della forza. Rankine) Si suppone che il materiale ceda quando la massima delle tensioni principali. in questa trattazione ci si limiterà a presentare quelle più comunemente adottate per i materiali metallici impiegati nelle costruzioni meccaniche. Ipotesi della massima tensione normale (Galileo. raggiunge un valore limite: σid = σ1 Per quanto discusso in precedenza. che è la massima tensione normale tra quelle agenti sugli infiniti piani passanti per il punto in cui si esegue la verifica. Nel caso dei materiali fragili il cedimento consiste nella perdita di coesione fra gli atomi del reticolo cristallino del metallo.L. Ipotesi della massima tensione tangenziale (Tresca. L'intuizione fisica ci porta a presumere che tale distacco si verifichi per effetto delle tensioni di tipo normale (σ). σ σ materiali fragili: decoesione frontale σ σ materiali duttili: scorrimento plastico Numerose ipotesi di cedimento sono state proposte dai ricercatori che si sono occupati di resistenza dei materiali. almeno nella zona esterna del provino. Esaminando le superfici di rottura a trazione di un materiale di questo tipo si riscontra infatti che esse. quando la massima tensione tangenziale tra quelle agenti sugli infiniti piani passanti per il punto in cui si esegue la verifica raggiunge un valore limite. nel senso di iniziare a deformarsi plasticamente. del materiale durante la prova di trazione corrisponde ai diversi fenomeni che si producono nel materiale quando la sollecitazione cresce. duttile o fragile. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Il differente comportamento. Nel caso dei materiali duttili il cedimento che mette fine al comportamento elastico è causato dallo scorrimento dei piani cristallini. Si suppone che il materiale ceda. che si verifica su piani inclinati di circa 45° rispetto alla direzione di applicazione della forza dove le tensioni di tipo tangenziale (τ) sono massime. sono inclinate dell'angolo suddetto rispetto alla direzione della forza. Von Mises) Anche questa ipotesi è applicabile ai materiali di tipo duttile.5. Hencky.L. inoltre se a tutte le tensioni principali si aggiunge una costante (cosa che corrisponde a traslare orizzontalmente i cerchi di Mohr) il valore della tensione ideale non cambia. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” τ τmax σ3 σ1 σ2 σ limiti di cedimento Nel caso dello stato di tensione monoassiale che si ha nella prova di trazione. Si suppone che il materiale inizi a deformarsi plasticamente quando la quota di energia potenziale elastica di deformazione (cfr.) che corrisponde al puro cambiamento di forma (distorsione) raggiunge un valore critico. Ipotesi dell'energia di distorsione (Huber. τ τc τa σ3 Si può dimostrare che l'energia σ2 D σ1 τb σ corrispondente alla pura distorsione del materiale è data dalla semisomma dei tre prodotti delle tensioni tangenziali massime per le corrispondenti deformazioni: 1 D = (τ a γ a + τ b γ b + τ c γ c ) 2 Per la legge di Hooke γ = τ/G e quindi: 33 .id = id 2 Confrontando le due espressioni si ottiene: σ id = σ1 − σ 3 Si noti che secondo questa ipotesi la tensione principale intermedia non influisce sul valore della tensione ideale. due cerchi di Mohr coincidono e il terzo degenera in un punto. la massima tensione tangenziale vale quindi: σ τ max. §3. Una situazione di particolare interesse dal punto di vista applicativo è quella di tensione piana in cui una delle tensioni principali è uguale a zero. • l'ipotesi della massima tensione tangenziale corrisponde ad un cilindro. già fatto in un caso precedente. 4Come 34 . nei dischi. il cui asse è la retta trisettrice dello spazio avente come coordinate le tensioni principali e la cui sezione ha forma esagonale. si pone il problema di valutare di quanto esse differiscano e di stabilire quale delle due sia più adeguata a rappresentare le condizioni limite. nei gusci e sulla superficie di tutti elementi strutturali. σ3 corrispondono ai valori ordinati in senso decrescente. Confronto tra le ipotesi della massima tensione tangenziale e dell'energia di distorsione Poiché entrambe le ipotesi suddette sono state formulate per rappresentare il cedimento dei materiali duttili. a parità di resistenza del materiale. se il punto rappresentativo dello stato di tensione sta all'interno di tale superficie non si verifica il cedimento. In questo spazio ad ogni ipotesi corrisponde una superficie limite. il cui asse è la retta trisettrice dello spazio avente come coordinate le tensioni principali e la cui sezione ha forma circolare. tale è lo stato di sollecitazione che si verifica ad esempio negli alberi. si adotta questa notazione perché i simboli σ1. anche in questo caso se a tutte le tensioni principali si aggiunge una costante il valore della tensione ideale non cambia. se sta all'esterno il materiale cede. Di conseguenza. un'ipotesi è tanto più cautelativa quanto più la zona ammessa è limitata. Un confronto diretto tra le due ipotesi può essere eseguito in forma grafica considerando uno spazio cartesiano in cui le coordinate rappresentano i valori assunti dalle tensioni principali. ciò è giustificato dal fatto che in questo modo si aggiungerebbe energia di deformazione associata ad un cambiamento di volume ma non di forma. Graficamente. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” ( ) 1 τ a 2 + τb 2 + τ c 2 2G Esprimendo le tensioni tangenziali massime in funzione di quelle principali si ottiene: 2 2 2 1  σ1 − σ 2   σ 2 − σ 3   σ1 − σ 3   D =  +     + 2G  2   2   2   D = Nel caso della prova di trazione due tensioni tangenziali massime coincidono e la restante è nulla: 2 2 2 2 1  σ id − 0   0 − 0   σ id − 0   1   σ id   D =  +   = 2    + 2G  2   2   2   2G   2   Confrontando le due espressioni si ottiene: 1 σ id = (σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ1 − σ 3 )2 2 Questa ipotesi tiene conto del contributo da parte di tutte le tre tensioni principali. in un piano cartesiano avente per coordinate le due restanti tensioni principali4 σa e σb. σ2.L. nelle piastre. Adottando questa rappresentazione si trova che: • l'ipotesi dell'energia di distorsione corrisponde ad un cilindro. 866 2 σ id (max τ) Sperimentalmente si osserva che i punti di cedimento ottenuti esercitando contemporaneamente tensione su due direzioni si dispongono approssimativamente in posizione intermedia tra le curve corrispondenti alle due ipotesi. esse coincidono quando σa=0 o σb=0 e per σa= σb. dist. la prima ipotesi risulta quindi più cautelativa. σb σ1 = σb σ2 = 0 σ3 = σa σ1 = 0 σ2 = σb σ3 = σa σ1 = σb σ2 = σa σ3 = 0 σ1 = σa σ2 = σb σ3 = 0 σ1 = σa σ1 = 0 σ2 = σa σa σ2 = 0 σ3 = σb σ3 = σb Dal confronto grafico si deduce che la curva limite corrispondente alla massima tensione tangenziale è completamente inscritta in quella corrispondente all'energia di distorsione. la massima differenza si verifica per σa= .L. Si può quindi concludere che la scelta dell'una o dell'altra ipotesi viene effettuata principalmente per motivi di comodità. 4. come già detto. che però presenta lo svantaggio di essere non-lineare nelle tensioni. ma l'equazione della superficie limite non è unica in quanto questa consta di diversi segmenti. La discrepanza tra le due curve è in generale abbastanza limitata. L'ipotesi dell'energia di distorsione porta a un'unica formula. rappresenta con un unico numero le tensioni applicate nel punto) è inferiore alla tensione limite del materiale: σid ≤ σlim 35 . l'ipotesi della massima tensione tangenziale presenta il vantaggio di essere lineare. Coefficiente di sicurezza di una struttura Per quanto esposto finora la resistenza strutturale di un componente risulta verificata quando in tutti i suoi punti (e in particolare in quello più sollecitato) la tensione ideale (che.σ b e in tali condizioni si verifica che σ id (en.) 3 = = 0. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” i limiti corrispondenti alle due ipotesi di rottura sono rappresentati da un'ellisse per l'energia di distorsione e da un esagono per la massima tensione tangenziale.3. valida in ogni caso. tali valori sono stati scelti principalmente in base all'esperienza specifica nei vari settori delle costruzioni. più o meno affetti da approssimazioni. rappresenta con un unico numero le tensioni applicate nel punto) con la cosiddetta tensione ammissibile σamm. apparecchi di sollevamento). come già detto. per le quali il calcolo è estremamente incerto. • anche le caratteristiche di resistenza del materiale. si deve infatti considerare che: • i carichi applicati possono essere soggetti a incertezze di tipo statistico. Per tenere conto di questi fattori si deve confrontare la tensione ideale (che.5 per elementi sollecitati staticamente. in quanto se si supera la tensione limite σlim si produce snervamento ma il componente non si spezza ed è ancora in grado di sopportare carichi superiori.: strutture in carpenteria metallica. inoltre si potrebbero presentare condizioni di carico non previste in sede di progetto. Si deve ancora osservare che il comportamento duttile contiene un margine di sicurezza intrinseco. Viceversa nel caso di comportamento fragile il raggiungimento della condizione limite comporta la rottura del componente. da esse si può stimare la probabilità di rottura. • i valori delle tensioni agenti che si considerano sono in generale ottenuti per mezzo di modelli teorici di calcolo. Ad esempio. sono soggette a incertezze di tipo statistico. tenendo inoltre conto delle caratteristiche della struttura e delle perdite (in termini economici e umani) causate da un eventuale raggiungimento delle condizioni limite. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” La tensione limite che si assume per il materiale corrisponde al carico unitario di rottura nel caso di materiale fragile e al carico unitario di snervamento nel caso di materiale duttile. Di conseguenza i coefficienti di sicurezza da adottare nel caso di materiale fragile dovranno essere opportunamente più elevati che nel caso di materiale duttile. 5Un approccio più moderno e corretto consiste nel valutare le distribuzioni statistiche del carico applicato e della resistenza del materiale. e addirittura 10 nel caso delle funi. Quest'ultima assunzione è motivata dal fatto che in un componente meccanico non è accettabile che si produca snervamento. essendo frutto dei procedimenti di fabbricazione. 3 per elementi soggetti a sollecitazioni variabili nel tempo (di "fatica"). pur deformandosi in modo irreversibile. recipienti in pressione. Affinché l'elemento strutturale operi con sufficiente sicurezza la diseguaglianza precedente deve essere soddisfatta con un certo margine.L. con effetti potenzialmente più gravi. maggiore di uno. detto coefficiente (o fattore) di sicurezza5: σ id ≤ σ amm = σ lim C S I valori di CS sono di solito imposti dalle norme che regolano i diversi settori applicativi (es. pari alla tensione limite del materiale divisa per un numero CS. infatti anche se non avviene la rottura il cambiamento permanente di forma associato alle deformazioni plastiche potrebbe essere incompatibile col funzionamento. per le quali l'incertezza di comportamento è più elevata. valori tipici di CS sono: 1. che viene limitata al valore desiderato. 36 . che descrivono le proprietà geometriche dell'area della sezione di un elemento strutturale e che saranno utilizzate nel seguito della trattazione. preso un generico riferimento xy si definiscono le seguenti grandezze: area A = ∫ dA A S x = ∫ ydA momenti statici S y = ∫ xdA A A J xx = ∫ y dA J yy = ∫ x 2 dA 2 momenti d'inerzia A ( A ) J p = ∫ x + y dA momento d'inerzia polare A 2 2 J xy = ∫ xydA momento centrifugo A Trattandosi di momenti riferiti ad aree (e non a masse) le dimensioni fisiche sono di una lunghezza al cubo per i momenti statici e di una lunghezza alla quarta per i momenti d'inerzia. se gli assi di simmetria sono due il baricentro si trova in corrispondenza della loro intersezione. Definizioni E' necessario definire alcune grandezze caratteristiche.1. 37 . RICHIAMI DI GEOMETRIA DELLE AREE 5. infatti il momento statico della metà figura che si trova da un lato dell'asse ha modulo uguale e segno opposto a quello della rimanente metà e il momento statico complessivo è nullo. Si dimostra inoltre che se la figura ammette un asse di simmetria il baricentro deve trovarsi su tale asse. La conoscenza dei momenti statici permette di calcolare la posizione del baricentro G della sezione: xG = Sy yG = A Sx A y yG G xG x Se l'origine del sistema di riferimento si trova nel baricentro della sezione gli assi sono detti centrali (ovviamente in tale caso le coordinate di G sono nulle).L. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” 5. Considerando una figura nel piano. Valgono le seguenti relazioni: A= area ∑i Ai (Ai area della parte i-esima) momenti statici S x = ∑i y i Ai S x = ∑i xi Ai (xi. i termini espressi nei sistemi di riferimento locali Jξiξi. cioè relativo a tutta la figura. Goglio 5. 38 . La tabella seguente riporta i valori dei momenti d'inerzia per alcune figure elementari. con una distinzione: • per quanto riguarda le aree. i contributi delle singole parti vengono semplicemente sommati par formare l'area totale della figura. è necessario esprimere il termine dovuto a ogni singola parte nel sistema di riferimento globale xy. xiyiAi (formula di Huygens) che permettono di esprimere tutti i contributi nello stesso riferimento globale in cui si può eseguire la somma. le cui caratteristiche sono già note o facilmente determinabili. Jηiηi momenti d'inerzia della parte i-esima rispetto agli assi locali) momento centrifugo ( J xy = ∑i xi yi Ai + J ξi ηi ) (Jξiηi. i valori corrispondenti alle singole parti espressi nei sistemi di riferimento locali sono nulli. Jηiηi. Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Figure composte Nelle applicazioni pratiche si incontrano spesso casi in cui la sezione dell'elemento strutturale che si considera è una figura composta da parti semplici. momento centrifugo della parte i-esima rispetto agli assi locali) Le formule precedenti esprimono la semplice proprietà additiva delle aree e dei momenti.L. rimangono soltanto i valori "di trasporto" xiAi e yiAi che permettono di esprimere tutti i contributi nello stesso riferimento globale in cui si può eseguire la somma. successivamente i contributi delle singole parti possono essere sommati. Nel caso dei momenti d'inerzia e centrifugo.2. yi2Ai. Jξiηi vengono corretti con i valori "di trasporto" xi2Ai. perché tali sistemi sono (per ipotesi) centrali. Nel caso dei momenti statici. mentre ξiηi sono i riferimenti centrali delle singole parti. yi coordinate globali del baricentro della parte i-esima) momenti d'inerzia ( J xx = ∑i yi Ai + J ξi ξi 2 ) ( J yy = ∑i xi Ai + J ηiηi 2 ) (Jξiξi. Consideriamo allora un sistema di riferimento xy globale. • per quanto riguarda i momenti. di utilizzo frequente nel calcolo di elementi di macchine. anche in questo caso esiste un sistema di riferimento privilegiato. tale che calcolando i momenti rispetto ai suoi assi. Rotazione degli assi Si può dimostrare che i momenti d'inerzia e centrifughi di una figura piana rappresentano i coefficienti di un tensore [J]. costruito nella maniera seguente: − J xy   J [J ] =  xx J yy   − J xy Analogamente a quanto visto in precedenza per i tensori delle tensioni e delle deformazioni. il tensore diventa diagonale:  J1 0  0 J   2 E' utile calcolare i valori che assumono i momenti d'inerzia Jxx. avente stessa origine di xy e assi ruotati. detti principali d'inerzia. Jyy e centrifugo Jxy in un sistema di riferimento xy ruotato del generico angolo α rispetto al riferimento principale p1p2. simmetrico 2×2.3. 39 .L. Goglio Figura Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Momento d'inerzia rettangolo J ξξ = bh 3 12 Schema h ξ b triangolo bh 3 = 12 J ξξ h ξ b cerchio Jξξ = π r4 d4 =π 4 64 d=2r r ξ semicerchio J ξξ = π r4 d4 =π 8 128 d=2r r ξ 5. J2 si ottengono le relazioni seguenti: J1 + J 2 J 1 − J 2  + cos 2α  J xx = 2 2  J1 + J 2 J 1 − J 2  − cos 2α  J yy = 2 2  J1 − J 2  sen 2α  J xy = 2  40 . p2 è data da:  x = p1 cos α + p 2 sen α   y = − p1 sen α + p 2 cos α I momenti d'inerzia e centrifugo nel riferimento xy valgono. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” y p2 α α x p1 La relazione tra le coordinate x. y e quelle p1. per definizione: J xx = ∫ y 2 dA J yy = ∫ x 2 dA J xy = ∫ xydA A A A Sostituendo le espressioni per x e y in funzione di p1 e p2 nelle definizioni dei momenti si ottiene:  J xx = (− p1 sen α + p 2 cos α )2 dA = cos 2 α p 2 2 dA + sen 2 α p1 2 dA − 2 cos α sen α p1 p 2 dA ∫ ∫ ∫ ∫  A A A A  2 2 2 2 2  J yy = ∫ ( p1 cos α + p 2 sen α ) dA = sen α ∫ p 2 dA + cos α ∫ p1 dA + 2 cos α sen α ∫ p1 p 2 dA  A A A A  2 2  J xy = ∫ ( p1 cos α + p 2 sen α )(− p1 sen α + p 2 cos α )dA = cos α sen α ∫ p 2 dA − cos α sen α ∫ p1 dA +  A A A  2 2 + cos α ∫ p1 p 2 dA − sen α ∫ p1 p 2 dA A A  Ricordando che il riferimento p1p2 è principale le relazioni precedenti si riducono a:  J xx = J 1 cos 2 α + J 2 sen 2 α  2 2  J yy = J 1 sen α + J 2 cos α   J xy = J 1 cos α sen α − J 2 cos α sen α E' conveniente esprimere le funzioni trigonometriche in funzione dell'angolo 2α: 1 − cos 2α 1 + cos 2α sen 2α sen 2 α = cos 2 α = sen α cos α = 2 2 2 Sostituendo nelle equazioni precedenti e mettendo in evidenza i momenti J1.L. Jxy) e (Jyy. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Si verifica agevolmente che in un piano cartesiano in cui l'ascissa è il momento d'inerzia Ji e l'ordinata il momento centrifugo Jc. Jyy e Jxy. Jyy e centrifugo Jxy. -Jxy ) Le intersezioni del cerchio con l'asse orizzontale hanno ascisse pari ai momenti principali d'inerzia J1 e J2. J xy ) 2α J1 J2 Ji ( Jyy . la determinazione dei momenti principali d'inerzia e dei relativi assi avviene mediante la procedura seguente: • nel generico riferimento xy si calcolano i momenti d'inerzia Jxx. Se la figura presenta un asse di simmetria. con le formule J1 = • J xx + J yy 2  J xx − J yy +  2  2  2  + J xy   J2 = J xx + J yy 2  J xx − J yy −  2  2  2  + J xy . Si è infatti ottenuto il cerchio di Mohr per i momenti d'inerzia. i punti di coordinate (Jxx. -Jxy) stanno su una circonferenza. è questo il tipo di riferimento più utilizzato nei problemi strutturali. In pratica.L. si possono presentare i casi illustrati negli schemi seguenti: 41 .   si ottiene l'angolo α tra l'asse principale p1 e l'asse x dalla relazione tan 2α = 2 J xy J xx − J yy Per determinare il segno dell'angolo α si devono considerare i valori di Jxx. che rappresenta i valori assunti dai momenti d'inerzia e centrifugo al ruotare del sistema di riferimento generico xy rispetto al sistema principale p1p2 . Se il sistema di riferimento oltre ad essere principale ha anche l'origine nel baricentro gli assi sono detti centrali principali. • si calcolano i momenti d'inerzia principali J1 e J2. sicuramente questo è uno degli assi principali d'inerzia. che rappresentano rispettivamente il massimo e il minimo fra tutti i momenti d'inerzia calcolabili al ruotare dell'asse di riferimento. in posizioni diametralmente opposte. Jc ( Jxx . Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Jxy > 0 Jxx ≥ Jyy Jxx ≤ Jyy Jc Jc ( Jxx . J xy ) J2 J1 2α Ji ( Jxx . J2 sono dati dai due autovalori λ1. -Jxy ) 2α J1 Ji ( Jxx . p2 sono definite dagli autovettori {v1}. come mostrato in figura. le direzioni degli assi principali d'inerzia p1. -Jxy) J2 ( Jyy . J xy ) ( Jxx . -Jxy ) 0° < α ≤ 45° 45° ≤ α < 90° Jxy < 0 Jxx ≥ Jyy Jxx ≤ Jyy Jc Jc ( Jyy . λ2. J xy ) -45° ≤ α < 0° -90° < α ≤ -45° Un procedimento alternativo per determinazione del riferimento principale consiste nel calcolare autovalori e autovettori della matrice [J]: i momenti principali J1. -Jxy) Ji ( Jyy .L. J xy ) 2α 2α J2 J1 J2 Ji J1 ( Jyy . y p2 v2 v1 p1 x 42 . {v2}. Ouen 1886). y x z Si sceglie un sistema di riferimento cartesiano xyz avente gli assi x e y contenuti nel piano della figura che genera il solido e l'origine posta nel baricentro di quest'ultima. A causa dell'assenza di carichi applicati sulla superficie cilindrica e delle limitate dimensioni trasversali si può ammettere che: σxx = 0 σyy = 0 τxy = 0 Possono invece essere presenti le tensioni: σzz τxz τyz 6Adhémar Jean Claude Barré de Saint Venant (Villiers-en-Brie 1797 . l'estensione in tale direzione è molto maggiore delle dimensioni nel piano della figura generatrice. gli alberi delle macchine. 6. 43 . Tra di essi un posto di primo piano spetta al cosiddetto solido di Saint Venant 6. suo è il merito di aver sistematizzato le soluzioni relative alle sollecitazioni nel solido prismatico. isotropo. come ad esempio le travi dei telai. cioè dotati di una dimensione molto maggiore delle altre due. che fornisce la soluzione per elementi di tipo monodimensionale. ecc. l'asse z rappresenta la traiettoria del baricentro durante il moto di generazione e costituisce la cosiddetta linea d'asse del solido. SOLIDO DI SAINT VENANT La determinazione per via analitica degli stati di deformazione e tensione nei punti dei corpi sollecitati è possibile solo per alcuni tipi di elementi strutturali. • in tutto il solido il materiale è elastico. Evidentemente tutte le sezioni normali all'asse z sono sezioni rette del solido e sono tutte identiche alla figura generatrice. Ipotesi Si devono formulare alcune ipotesi di partenza sulle caratteristiche del solido e sulle sue condizioni di carico e vincolo: • il solido è un cilindro ottenuto per traslazione di una figura piana in direzione della propria normale. • carichi e vincoli sono applicati solo in corrispondenza delle basi. omogeneo. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” 6.1.L. A questo modello di calcolo si possono ricondurre molti elementi strutturali di comune impiego.St. su di essa agiscono le componenti di tensione σzz. Goglio 6. Il momento torcente Mz è definito come momento risultante delle forze infinitesime τxzdA. è lecito sostituire a quest'ultima un insieme di forze e momenti staticamente equivalenti. aventi braccio y dall'asse x e braccio x dall'asse y. il procedimento è analogo a quello seguito quando si taglia la struttura dai vincoli per mettere in evidenza le reazioni. τxzdA. τxz. 44 . Indipendentemente dalla distribuzione delle tensioni. τyzdA aventi bracci dall'asse z pari rispettivamente a y e x. y. Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Caratteristiche di sollecitazione Consideriamo la generica sezione retta (cioè normale all'asse z) del solido di Saint Venant. si definiscono quindi le cosiddette caratteristiche di sollecitazione della sezione: N = ∫ σ zz dA forza normale A Tx = ∫ τ xz dA T y = ∫ τ yz dA M x = ∫ σ zz ydA M y = − ∫ σ zz xdA tagli A momenti flettenti A A ( A ) M z = ∫ τ yz x − τ xz y dA momento torcente A Le definizioni della forza normale N e dei tagli Tx. y y σzz dA y τxz dA x z τyz dA x z x z I momenti flettenti Mx e My sono definiti come momenti risultanti delle forze infinitesime σzzdA.2. τyzdA rispettivamente agenti lungo x.L. y y σzz dA x τyz dA σzz dA τxz dA x z y z z x Le componenti di sollecitazione possono essere messe in evidenza interrompendo il solido in una sezione generica mediante una superficie di distacco. Ty rappresentano semplicemente le risultanti di tutte le forze infinitesime σzzdA. z e ottenute integrando i contributi di tutti i punti della sezione. ottenuti integrando i contributi di tutti i punti della sezione. τyz la cui distribuzione deve essere calcolata per le possibili condizioni di sollecitazione. Di conseguenza. per mezzo del metodo fotoelastico. si assumono come versi positivi per le forze (N. se sulla cosiddetta faccia positiva. Ty) quelli degli assi e come versi positivi per i momenti (Mx. A titolo di esempio. Ty My My Mz Ty z Mz y z N x Mx y Tx x N Tx Mx 6. • le modalità con cui vincoli e carichi sono imposti hanno influenza solo sulla zona di applicazione. le immagini successive mostrano due casi di conferma sperimentale. Principio di Saint Venant Il modo in cui i carichi sono effettivamente applicati sulle sezioni di estremità del solido dipende dal caso tecnico considerato.3. Tx. ad esempio brusche variazioni di sezione o presenza di fori. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Sulle due sezioni generate dal taglio e reciprocamente affacciate agiscono componenti (forze e momenti) uguali in modulo e opposte in verso. sulla faccia negativa (asse z entrante) si assumono versi positivi opposti. Tale metodo consente di visualizzare lo stato di tensione in un modello della struttura realizzato in materiale trasparente e si basa su particolari 45 . del principio di Saint Venant. Mz) quelli dati dalla regola della vite (destra). causano perturbazioni di carattere solo locale nella distribuzione delle tensioni. My. in virtù del principio di azione e reazione. diventano quindi significative solo le risultanti (forze e momenti) che il carico genera e la distribuzione delle tensioni torna a essere quelle prevista dalle soluzioni di Saint Venant.L. consente notevoli semplificazioni nella soluzione di problemi strutturali: • le non-conformità all'ipotesi sulla geometria (solido cilindrico generato per traslazione di una figura) che interessano zone limitate. Questa proprietà. (quella da cui l'asse z è uscente). in particolare la distribuzione delle tensioni localmente prodotta dal carico esterno può essere diversa da quella prevista dalle soluzioni di Saint Venant che verranno presentate nei paragrafi successivi. nota come principio di Saint Venant. Si osserva che a una distanza dalla sezione di applicazione del carico circa pari alle dimensioni trasversali del solido il particolare modo in cui il carico è applicato non influisce più. questa assunzione non costituisce un caso particolare. soggetto a trazione assiale. infatti proprio in corrispondenza di esse si presentano dei massimi di tensione e quindi si possono superare i limiti di resistenza del materiale. 6. si osserva che appena al di sopra della sezione del vincolo le frange presentano andamento regolare. Il secondo caso si riferisce ad un albero. Comportamento estensionale (trazione-compressione) Consideriamo il caso in cui il moto di deformazione elastica del solido di Saint Venant è tale che tutti i punti di una generica sezione traslano. posta nella base che si considera fissa7: 7Essendo interessati alla sola quotaparte elastica del moto. 46 . della stessa quantità w.4. si osserva che nella zona della gola l'andamento delle tensioni risulta perturbato. proporzionale alla distanza z dall'origine. non è affrontata in questa sede essendo oggetto di corsi specifici. Anche se tali perturbazioni dello stato di tensione e deformazione hanno carattere locale. in cui è ricavata una gola che causa un variazione locale della sezione. ma a breve distanza la situazione ritorna regolare.L. in direzione della linea d'asse. Il primo caso si riferisce alla regione di incastro di un elemento sottoposto a flessione. corrispondente alla distribuzione di tensioni del solido di Saint Venant. La trattazione di questi fenomeni. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” fenomeni a cui è soggetta la luce che attraversa un materiale sottoposto a sforzi. noti come effetti di intaglio. nelle immagini le frange scure indicano l'intensità delle sollecitazioni. nondimeno sono importanti dal punto di vista strutturale. così come lo è. corrispondenti alla tensione ricavata. Applicando la legge di Hooke e ricordando che per ipotesi σxx=σyy=0 si ricava che (E= modulo di Young): σ zz = Eε zz = Ek 0 Si possono quindi calcolare le caratteristiche di sollecitazione. 47 . nella realtà fisica. si può immediatamente calcolare la dilatazione in direzione z: ∂w = k0 ε zz = ∂z Il termine costante k0 ha quindi il significato fisico di dilatazione assiale. per quanto riguarda forza normale e momenti flettenti si ha N = ∫ σ zz dA = σ zz ∫ dA = σ zz A = Ek 0 A A M x = ∫ σ zz ydA = σ zz ∫ ydA = 0 A A A M y = − ∫ σ zz xdA = −σ zz ∫ xdA = 0 A A L'annullarsi dei due momenti è dovuto al fatto che in ogni sezione il riferimento xy ha l'origine nel baricentro. Quindi la distribuzione di tensione considerata corrisponde a una condizione di trazione o compressione semplice. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” y x w w w = k0 z x z y z Ricordando la definizione delle deformazioni. i tagli e il momento torcente sono ovviamente nulli in quanto non legati a σzz. la tensione σzz. l'asse delle ordinate è rivolto come la linea d'asse del solido.L. agenti sulle sezioni. Utilizzando le relazioni trovate si può determinare la costante k0 in funzione della forza normale N: N k0 = EA Sostituendo nella relazione per la tensione assiali σzz si lega quest'ultima alla forza normale: N σ zz = Ek 0 = A E' comune rappresentare la distribuzione della tensione in una sezione del solido mediante un diagramma riportato a fianco del profilo della sezione stessa. L'asse delle ascise di tale diagramma è parallelo al profilo della sezione. a cui è equivalente la sola forza normale applicata in corrispondenza del baricentro della sezione. anche principali d'inerzia.5. oltre allo spostamento elastico w in direzione assiale già citato. 6. anche degli spostamenti trasversali u e v rispettivamente lungo x e y dovuti alla contrazione trasversale (ν coefficiente di Poisson): v = − νk 0 y u = −νk 0 x Da queste due relazioni si deduce che la sezione. nel moto elastico di flessione la sezione può ruotare intorno ad un asse qualsiasi. oltre che centrali. In generale. In queste particolari condizioni di sollecitazione (solo forza normale) il solido di Saint Venant è detto asta.L. è conveniente studiare il fenomeno separatamente nei due piani coordinati e considerare il caso generale mediante la sovrapposizione degli effetti. In campo meccanico esempi tipici di questo comportamento sono costituiti dai tiranti di fissaggio. si contrae o si espande intorno al proprio baricentro. oltre a traslare assialmente. ciò implica che lo spostamento assiale dei punti della sezione segua la legge: y w αx x w = αx y z La corrispondente dilatazione assiale è data da: ∂w dα x ε zz = = y = kx y ∂z dz 48 . Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” σzz y σzz x N x N y z z Si ricava inoltre che i punti delle generica sezione subiscono. Comportamento flessionale Per semplificare la trattazione è conveniente assumere che per la sezione retta del solido di Saint Venant gli assi xy siano. Flessione nel piano zy Per quanto riguarda la flessione nel piano zy si determina la soluzione assumendo che la generica sezione ruoti dell'angolo αx (piccolo) intorno all'asse x rimanendo piana. fatte le debite sostituzioni di simboli. qui utilizzato per indicare la derivata della rotazione rispetto alla coordinata assiale. Dalla definizione di Mx si ottiene Mx kx = EJ xx Sostituendo kx nella formula della tensione σzz si lega quest'ultima al momento: M σ zz = Ek x y = x y J xx Anche nel caso della flessione si usa rappresentare la distribuzione della tensione in una sezione del solido mediante un diagramma. tale proprietà non è ovvia ma deriva dall'avere assunto assi xy centrali e principali d'inerzia. Applicando la legge di Hooke e ricordando che per ipotesi σxx=σyy=0 si ricava che: dα x σ zz = Eε zz = E y = Ek x y dz Il tipo di moto elastico assunto per la sezione porta quindi a una distribuzione di tensione assiale di tipo lineare. σzz y Mx x z Si verifica agevolmente che la tensione σzz raggiunge valori massimi in modulo e opposti in segno agli estremi della sezione ed è nulla in corrispondenza della retta y=0 (asse x) che costituisce l'asse neutro.L. Flessione nel piano zx La flessione nel piano zx viene trattata. riportato a fianco del profilo della sezione stessa. in modo identico a quella nel piano zy. ha il significato fisico di curvatura del solido nel piano zy. in questo caso si ottiene la soluzione assumendo che la generica sezione ruoti dell'angolo αy (piccolo) intorno all'asse y rimanendo piana: 49 . si possono calcolare la forza normale e i momenti flettenti a cui essa dà luogo (tagli e momento torcente sono ovviamente nulli) N = ∫ σ zz dA = Ek x ∫ ydA = 0 A M x = ∫ σ zz ydA = Ek x ∫ y dA = Ek x J xx 2 A A A M y = − ∫ σ zz xdA = − Ek x ∫ yxdA = 0 A A Si deduce quindi che la sezione ruota intorno all'asse x ed è soggetta al solo momento Mx. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Si mostrerà in seguito che il termine kx. L. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” x αy w = −α y x y z w La corrispondente dilatazione assiale è data da: dα y ∂w ε zz = =− x = −k y x ∂z dz Il termine ky. in cui raggiunge valori rispettivamente massimo e minimo. come si vedrà successivamente. Applicando la legge di Hooke e ricordando che per ipotesi σxx=σyy=0 si ricava che: dα y σ zz = Eε zz = − E x = − Ek y x dz Si possono quindi calcolare la forza normale e i momenti flettenti: N = ∫ σ zz dA = − Ek y ∫ xdA = 0 A M x = ∫ σ zz ydA = − Ek y ∫ yxdA = 0 A A A ∫ ∫ M y = − σ zz xdA = Ek y x 2 dA = Ek y J yy A A Quindi in questo caso la sezione ruota intorno all'asse y ed è soggetta al solo momento My. l'asse neutro è rappresentato dalla retta x=0. ha il significato fisico di curvatura del solido nel piano zx. My la distribuzione della tensione σzz sulla sezione si ottiene per sovrapposizione degli effetti: 50 . dall'ultima equazione si ottiene: My ky = EJ yy Sostituendo ky nella formula della tensione σzz si lega quest'ultima al momento: My x σ zz = − Ek y x = − J yy Anche in questo caso il diagramma della tensione σzz è lineare tra gli estremi della sezione. σzz x y My z Flessione combinata Nel caso in cui agiscano simultaneamente entrambi i momenti flettenti Mx. y asse neutro x σzz Il momento flettente risultante Mf può essere ottenuto come somma vettoriale delle componenti Mx. che dipende dalle caratteristiche di sezione Jxx e Jyy. come indicato in figura. definito dalla relazione: My tan ϕ = Mx Invece la rotazione della sezione avviene intorno all'asse neutro. 51 . Tale fenomeno è noto come flessione deviata. la cui inclinazione ψ rispetto all'asse x è definita da: M y J xx tan ψ = ⋅ M x J yy In generale Jxx ≠ Jyy e quindi ϕ ≠ ψ . My: M f = M x2 + M y2 Il vettore Mf è inclinato rispetto all'asse x dell'angolo ϕ.L. come mostrato in figura. si può determinarlo considerando i punti per i quali σzz=0: My Mx y− x=0 J xx J yy L'andamento della tensione può essere riportato graficamente misurando i valori di σzz a partire dalla normale all'asse neutro. l'asse intorno a cui la sezione ruota non è parallelo a quello del momento ma ha una diversa inclinazione. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” σ zz = My Mx y− x J xx J yy In questo caso l'asse neutro non coincide più con uno degli assi coordinati. Dalla costruzione grafica si individua agevolmente la tensione nel punto più sollecitato. 6. la distribuzione della tensione σzz può essere ottenuta ancora per sovrapposizione degli effetti: My N M σ zz = + x y − x A J xx J yy Dal punto di vista grafico. in cui agiscano simultaneamente sia la forza normale N sia i momenti flettenti Mz e My. Caso generale: comportamento estensionale e flessionale Nel caso più generale. la rotazione di quest'ultima avviene intorno allo stesso asse. per questa particolare geometria qualunque riferimento centrale è anche principale e la flessione non è mai deviata. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” My Mf asse neutro ψ ϕ Mx La sezione circolare rappresenta un caso che si incontra frequentemente nei componenti delle macchine (alberi.L. Si può quindi adottare un sistema di riferimento avente un asse parallelo al momento risultante che agisce sulla sezione. assi. Mx y Y x X σzz asse neutro 6. il diagramma della tensione sulla sezione è la somma della distribuzione uniforme dovuta alla forza normale e di quella con andamento lineare dovuta alla flessione.). .. 52 .. per quanto riguarda gli scorrimenti si ha: 53 . Comportamento torsionale Si considera un moto di deformazione in cui la generica sezione del solido ruota intorno a un asse parallelo a z. εyy .7. εzz sono evidentemente nulle. le componenti di spostamento valgono quindi: u = −θr sen β = −θy v = θr cos β = θx w=0 y θr θ β v u r x Le dilatazioni εxx . Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” y σzz x + + L'asse intorno a cui avviene la rotazione della sezione non passa per il baricentro ma può trovarsi anche al di fuori della sezione stessa. 6. La determinazione della soluzione esatta è possibile in forma elementare solo per il caso della sezione a forma circolare (peraltro assai comune nelle costruzioni meccaniche).L. nell'ambito di questa trattazione ci si limiterà a considerare formule approssimate per il calcolo della rigidezza e delle tensioni. Sezione circolare Si considera che la sezione ruoti di un angolo θ intorno all'asse z rimanendo piana. per altri tipi di sezione la soluzione non è ottenibile in forma altrettanto semplice. Forza normale e momenti flettenti sono nulli perché σzz=0. La distribuzione delle tensioni τxz . Dall'ultima relazione trovata si può ricavare il gradiente di torsione: Mz θ' = GJ p Poiché nel solido di Saint Venant i carichi sono applicati soltanto in corrispondenza delle estremità. e quindi lo è anche θ'. per tagli e momento torcente si ottiene: Tx = ∫ τ xz dA = −Gθ' ∫ ydA = 0 T y = ∫ τ yz dA = Gθ' ∫ xdA = 0 A A ( ) ( ) A A M z = ∫ τ yz x − τ xz y dA = Gθ' ∫ x + y dA = Gθ' ∫ r dA = Gθ' J p A A 2 2 2 A Nella formula precedente Jp è il momento d'inerzia polare della sezione. τyz. si può quindi considerare un riferimento cilindrico per il quale si identificano nel piano della sezione le direzioni radiale (r) e circonferenziale (c). τyz si ottiene: M M τ xz = − z y τ yz = z x Jp Jp y τcz τyz τxz x Grazie all'assialsimmetria della sezione. La tensione agente in ogni punto risulta diretta (come lo spostamento) in direzione circonferenziale ed è data da: M τ cz = z r Jp 54 . Fin qui si è indicato con Mz il momento torcente valutato rispetto all'asse baricentrico della sezione (asse z). τyz dovute alla torsione ha risultante nulla e momento (torcente) risultante il cui valore è indipendente dal polo scelto. l'orientazione del sistema di riferimento è ininfluente. nel seguito si utilizzerà anche il simbolo Mt per indicare il momento torcente valutato rispetto a un asse parallelo a z e passante per il centro di taglio o centro di torsione della sezione (il cui significato viene descritto nel paragrafo successivo). Di conseguenza la rotazione θ cresce linearmente lungo la linea d'asse. pari al doppio del momento diametrale. Sostituendo nelle formule che danno le tensioni τxz .L. il momento torcente Mz è costante. Applicando la legge di Hooke si ottiene (G= modulo elastico tangenziale): τ xz = Gγ xz = −Gθ' y τ yz = Gγ yz = Gθ' x Il tipo di moto assunto porta quindi a una distribuzione di tipo lineare delle tensioni τxz . Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” ∂u ∂v + = −θ + θ = 0 ∂y ∂x dθ ∂u ∂w y = −θ' y =− + = dz ∂z ∂x ∂v ∂w dθ x = θ' x = + = ∂z ∂y dz γ xy = γ xz γ yz Il termine θ'=d θ/dz è detto gradiente di torsione e rappresenta la rotazione per unità di lunghezza della linea d'asse. secondo la formula M τ yz = 2 t x Jt s y 0.3 s I massimi di sollecitazione si verificano quindi. τcz τcz Sezione rettangolare e sezioni aperte a parete sottile Si consideri una sezione rettangolare di lati l e s. come nel caso della flessione. il confronto con la soluzione esatta mostra che gli errori commessi utilizzando questa formula approssimata sono estremamente ridotti (< 3%) in tutto il campo di variazione di l/s da 1 a ∞.L. cioè non sia più vero che l >> s . 55 . Si può dimostrare che il gradiente di torsione θ' in questo caso è dato da: M θ' = t GJ t Il termine Jt . I casi di sezione piena e cava differiscono evidentemente per il momento polare Jp ma la forma del campo di spostamenti e di tensione rimane la stessa.3s per ogni estremo del rettangolo. avente le dimensioni di un momento d'inerzia d'area. il massimo si presenta sul bordo esterno. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” In conclusione si osserva che la tensione ha andamento lineare rispetto al raggio e presenta simmetria polare. con l >> s e soggetta ad un momento torcente Mt.3s )s 3 3 Tale correzione corrisponde a eliminare una fascia di altezza 0. Nel caso in cui la sezione non sia sottile.3 s τyz x l 0. è pari a: 1 J t = ls 3 3 La distribuzione della tensione è lineare lungo x e costante lungo y. tranne che nelle zone vicine ai lati corti. in corrispondenza dei bordi. Per considerare sezioni sottili aventi il lato maggiore parallelo all'asse x si utilizzano formule analoghe alle precedenti scambiando i ruoli di x con y (tensioni di tipo τxz massime per y = ± s/2). le espressioni precedenti rimangono valide con buona approssimazione se si corregge la formula di Jt nel modo seguente: 1 J t = (l − 2 ⋅ 0. A causa della limitatezza della dimensione s è lecito assumere che le tensioni tangenziali dovute alla torsione siano. parallele al lato lungo (e cioè del tipo τyz). come mostrato in figura. risultante di τxz e τyz . con velocità v tangente alla linea media del profilo. Sezioni cave a parete sottile Queste sezioni sono definite geometricamente da due linee chiuse. Se nella formula precedente invece della tensione τ si considera la velocità v.) può essere trattata come insieme di sezioni rettangolari. Per semplificare la descrizione geometrica la sezione può essere approssimata con la sua linea media. quindi M t = ∑i θ' GJ ti = θ' G ∑i J ti = θ' GJ t Il fattore Jt . doppio T. a cui la tensione τ. Definiamo flusso della tensione τ. corrispondente alla sezione completa è la somma di quelli relativi alle singole sezioni rettangolari Jti : J t = ∑i J ti La correzione 0. è possibile una trattazione approssimata basata su un'analogia con l'idrodinamica. ecc. la quantità seguente: t = ∫ τds s τ linea media y x s Si immagini che i profili interno ed esterno della sezione rappresentino due pareti impermeabili attraverso le quali scorre un liquido incompressibile. una interna e una esterna. cioè piccolo rispetto alle dimensioni della sezione. allora il risultato dell'integrazione è la portata di liquido attraverso la corda. Per la proprietà di conservazione della portata il flusso deve essere lo 56 . Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” In generale una sezione aperta a parete sottile (profilati a C.3s viene eseguita in questi casi eliminando i margini liberi. nel caso di spessore s sottile. che lavorano in parallelo contribuendo a sopportare complessivamente il momento torcente Mt : M t = ∑i M ti La rotazione delle singole sezioni rettangolari deve essere la stessa. attraverso una corda di lunghezza pari allo spessore s della parete. tale analogia è concettualmente valida perché l'equazione di equilibrio che lega τxz e τyz è formalmente analoga alla condizione di incompressibilità che lega vx e vy nel caso dell'idrodinamica. deve essere tangente.L. r r Su un tratto infinitesimo di linea media avente lunghezza dl agisce la forza elementare t ⋅ dl . Preso un polo generico O il r momento torcente elementare dovuto a t ⋅ dl . la cui retta d'azione è distante r da O. se O è esterno alla linea media l'affermazione è ancora vera perché l'area della zona triangolare OAB (doppiamente tratteggiata in figura) è considerata due volte nell'integrazione: una quando si percorre la linea media da A a B. Ω rappresenta l'area racchiusa dalla linea media del profilo della sezione. O A B O Dalla formula precedente si esprime il flusso della tensione t in funzione del momento torcente Mt: M t= t 2Ω Per calcolare la tensione τ si ammette che essa sia uniforme nello spessore della parete: Mt t τ= = s 2Ωs 57 . l'altra nel percorso da B a A. Integrando su tutta la lunghezza della linea media si ottiene il momento torcente Mt: M t = ∫ t ⋅ dl ⋅ r = 2t ∫ dΩ = 2tΩ l l Indipendentemente dalla scelta di O. I versi con cui tale area viene considerata sono opposti e quindi i relativi contributi si elidono. in direzione tangente al profilo. Ciò è ovvio se O giace all'interno della sezione. è pari a: t ⋅ dl ⋅ r = 2t ⋅ dΩ dove dΩ è l'area infinitesima del triangolo di altezza r e base dl. poiché la linea si chiude su sé stessa si verifica che: r r r t ⋅ d l = t d l ∫ ∫ =0 l l Quindi la distribuzione di tensione considerata ha risultante nulla. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” stesso attraverso qualunque corda (congiungente il profilo esterno e quello interno) considerata nella sezione.L. Tx non può essere descritto in maniera semplice come nei casi di comportamento estensionale o flessionale.8. 58 . L'energia di deformazione elastica vale: 1 dE = M t dθ 2 La stessa energia di deformazione può essere calcolata a partire da tensioni e deformazioni: 1 1 τ2 1 t2 dl dE = dz ∫ τγdA = dz ∫ dA = dz ∫ τ 2 sdl = dz ∫ A A l l 2 2 G 2G 2G s L'ultimo passaggio è stato ottenuto approssimando t=τs (costante lungo il profilo). Per semplificare l'analisi conviene studiare separatamente il comportamento nei due piani yz e xz. Sollecitazioni dovute ai tagli Il comportamento della generica sezione del solido di Saint Venant sotto l'azione delle forze di taglio Ty . 6. Eguagliando l'energia ottenuta nei due modi si ottiene: t2 dl M t dθ = dz ∫ l G s Sostituendo a t l'espressione trovata in precedenza e ponendo anche in questo caso θ'=dθ/dz si ottiene: Mt dl M t θ' = = ∫ 2 l 4Ω G s GJ t Si è quindi ottenuta l'espressione per il modulo caratteristico della sezione Jt : 4Ω 2 Jt = dl ∫l s Di solito nei casi pratici lo spessore è costante in ognuna delle pareti da cui la sezione è composta e la formula precedente assume la forma: 4Ω 2 Jt = l ∑i si i dove la sommatoria è estesa su ognuna delle pareti a spessore uniforme si e lunghezza li . τxz che agiscono sulla sezione. si consideri la deformazione di un tratto di solido di Saint Venant di lunghezza dz sollecitato dal momento torcente (costante) Mt e le cui sezioni di estremità ruotano dell'angolo relativo dθ. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Per il calcolo della rigidezza torsionale delle sezioni cave a parete sottile. di cui dl rappresenta un tratto infinitesimo e s lo spessore locale. il caso generale può essere risolto applicando la sovrapposizione degli effetti.L. in questa trattazione ci si limiterà a valutare l'andamento delle tensioni tangenziali τyz . l'integrale è esteso alla linea media del profilo. in ogni sezione del solido. la forza di taglio Ty deve essere Mx uguale sulle due sezioni per garantire l'equilibrio alla traslazione verticale. Imponendo l'equilibrio alla traslazione assiale della parte di materiale compresa tra le due aree A* poste sulle sezioni distanti dz si scrive l'equazione: − ∫ σ zz dA − t yz dz + ∫ (σ zz + dσ zz )dA = 0 A* A* Semplificando e ricordando che il differenziale dσzz è dovuto alla sola variazione della coordinata z si ottiene: ∂σ zz t yz = ∫ dA A* ∂z Avendo adottato un riferimento centrale principale la tensione σzz è data da M σ zz = x y J xx 59 . invece il momento Mx passando da un Ty estremo all'altro può subire un incremento infinitesimo dMx. Per l'equilibrio alla rotazione intorno a x possiamo scrivere: − M x + M x + dM x − T y dz = 0 Ty y z x Mx + dMx Da essa si ottiene dM x dz Si è quindi mostrato che il taglio rappresenta.taglio Ty dz Si consideri un elemento infinitesimo del solido di Saint Venant compreso tra due sezioni distanti dz. la derivata del momento flettente rispetto alla coordinata z della linea d'asse. detto corda.L. non conoscendo quale sia la distribuzione della tensione τyz si definisce il suo flusso tyz attraverso la corda c nel modo seguente: t yz = ∫ τ yz dx c Come verso positivo di tale flusso si assume quello entrante nell'area A*. (σzz + d σzz )dA σzz dA dz A* A* A* Ty = ∫ ∫ t yz dz t yz c y y x x z Si consideri una parte A* di sezione. Mancando per ipotesi i carichi distribuiti. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Comportamento nel piano zy . parallelo a x. delimitata superiormente dal contorno e inferiormente da un segmento. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Sostituendo nell'espressione di tyz si ottiene ∂ Mx  t yz = ∫ A* ∂z  J  xx  1 dM x ⋅ y  dA = J xx dz  ∫A* ydA L'ultimo integrale della formula precedente è semplicemente il momento statico rispetto a x dell'area A*.taglio Tx dz Lo studio viene eseguito in maniera formalmente analoga al caso precedente.L. semplicemente scambiando gli assi. Imponendo l'equilibrio alla traslazione assiale della parte di materiale considerata si scrive l'equazione: − ∫ σ zz dA − t xz dz + ∫ (σ zz + dσ zz )dA = 0 A* A* Semplificando e ricordando che il differenziale dσzz è dovuto alla sola variazione della coordinata z si ottiene: 60 . indicando questo con Sx* e ricordando che la derivata del momento è pari al taglio si può scrivere: Ty S x * t yz = J xx Comportamento nel piano zx . In questo caso l'equilibrio alla rotazione dell'elemento M infinitesimo di solido di Saint Venant porta all'equazione y seguente: − M y + M y + dM y + Tx dz = 0 Tx x z y My + dMy Tx Da essa si ottiene Tx = − dM y dz Anche in questo caso il taglio rappresenta la derivata rispetto a z del momento flettente (il segno "-" è dovuto al differente verso positivo del momento). non conoscendo quale sia la distribuzione della tensione τxz si definisce il suo flusso txz attraverso la corda c: t xz = ∫ τ xz dy c Il verso positivo del flusso è ancora quello entrante nell'area A*. (σzz + d σzz )dA σzz dA dz ∫A* ∫A* A* t xz x y x c y txz z In questo caso si considera una parte A* di sezione delimitata dal contorno esterno e da una corda parallela a y. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” ∂σ zz dA A* ∂z t xz = ∫ In questo caso la tensione σzz è data da: σ zz = − My J yy x Sostituendo nell'espressione di txz si ottiene ∂  M y  1 dM y − t xz = ∫ y dA = − ⋅  A* ∂z  J J dz yy yy   ∫A* ydA L'ultimo integrale della formula precedente è il momento statico rispetto a y dell'area A*. indicando questo con Sy* e ricordando che la derivata del momento è pari al taglio cambiato di segno si ricava: Tx S y * t xz = J yy Sezioni a parete sottile Nelle costruzioni meccaniche è frequente l'uso di elementi la cui sezione è formata da pareti sottili. Come verso positivo del flusso t si assume quello entrante nell'area A*. Esempi tipici sono costituiti dai profilati (ottenuti per laminazione) a C o doppio T e dai longheroni dei veicoli. cioè di spessore piccolo rispetto alle dimensioni della sezione.L. come in precedenza i momenti 61 . In questi casi è lecito ammettere che la tensione sia uniforme nello spessore della parete e diretta come la linea media di quest'ultima. la corda non è parallela ad un asse ma è normale alla linea media ed è quindi pari allo spessore locale s della parete. si ottiene quindi la tensione dividendo il flusso per la corda s: T y S x * Tx S y * τ= + sJ xx sJ yy Per semplificare il calcolo delle caratteristiche geometriche della sezione (momenti statici e d'inerzia) si considera che l'area sia concentrata nella linea media del profilo. ξ s t y linea media A* x τ y x Per il calcolo del flusso t della tensione tangenziale τ dovuta ai tagli si assume una coordinata locale ξ (lungo la linea media del profilo) che definisce la posizione della corda che stacca l'area A*. Esempi di calcolo delle tensioni dovute ai tagli 1. Sezione rettangolare sottoposta a taglio nella direzione del lato maggiore. S x * = ξb −  dove J xx = τ yz = = 12 bJ xx b  2 2 Tale relazione è esatta per b/a→0 in quanto assume che la tensione τyz sia distribuita uniformemente lungo la corda. la relazione è esatta per a/b→0 e può essere usata per un calcolo approssimato finché il rapporto a/b è piccolo rispetto all'unità. il valore massimo si presenta sulla corda che stacca metà sezione (ξ= a/2)e vale: Ty ba 2 / 8 3T y 3Ty τ yz = 2 3 = = b a / 12 2ba 2 A Nel caso in cui sia b > a e agisca il solo taglio Tx si calcola la tensione τxz dividendo il flusso per la lunghezza a della corda: Tx S y * t ab 3 b ξ τ xz = xz = dove J yy = . che si presenta sulla corda che stacca metà sezione (ξ= b/2). A* b ξ τ yz ξ y a x y + A* a x + b τxz Nel caso in cui sia a > b e agisca il solo taglio Ty si calcola la tensione τyz dividendo il flusso per la lunghezza b della corda: t yz Ty S x * ba 3 a ξ . L'andamento della τyz è ancora parabolico e il valore massimo. L'andamento della τyz è parabolico. vale: Tx ab 2 / 8 3Tx 3Tx τ xz = 2 3 = = a b / 12 2ba 2 A 62 . Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” statici Sx* e Sy* si riferiscono alla parte di sezione staccata dalla corda.L. essa può quindi essere usata per un calcolo approssimato finché il rapporto b/a è piccolo rispetto all'unità. i momenti d'inerzia Jxx e Jyy si riferiscono all'intera sezione. S y * = ξa −  a aJ yy 12  2 2 Analogamente al caso precedente. ξ1 s1 ξ2 y h anima y e x s2 x piattabande s1 b ξ3 Le caratteristiche utili della sezione sono le seguenti: J xx = h 3 s 2 h 2 bs1 + 12 2 b  J yy = hs 2 e 2 + 2bs1  − e  2  2 dove e = b 2 s1 2bs1 + hs 2 Si consideri per primo il caso in cui agisca soltanto il taglio Ty. in ξ1 = 0 si ha Sx* = 0 e τ = 0. misurata a partire dall'estremo sinistro della piattabanda.L. il massimo è raggiunto per ξ1 = b in cui Sx* = bs1h/2 e Ty S x * T y bh τ= = s1 J xx 2 J xx Per calcolare la tensione nell'anima conviene adottare la coordinata locale ξ2. misurata a partire dall'estremo superiore dell'anima. il momento statico Sx* assume la forma: h h ξ  S x * = bs1 + ξ 2 s 2  − 2  2 2 2  La tensione τ (che in questa zona è del tipo τyz) varia lungo l'anima con legge parabolica. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” 2. misurata a partire dall'estremo destro della piattabanda. il momento statico ritorna al valore Sx* = bs1h/2. estremo inferiore dell'anima. il momento statico Sx* assume la forma: h S x * = ξ1 s1 2 La tensione τ (che in questa zona è del tipo τxz) cresce linearmente lungo la piattabanda. Sezione a parete sottile a C sottoposta a forze di taglio Tx e Ty. raggiungendo il massimo per ξ2 = h/2 in cui Sx* = bs1h/2 + s2h2/8 e Ty S x * Ty  h s 2 h 2   τ= = bs1 + s 2 J xx s 2 J xx  2 8  In ξ2 = h. il momento statico Sx* assume la forma: h h S x * = bs1 − ξ3 s1 2 2 63 . Per il calcolo della tensione nella piattabanda inferiore si adotta la coordinata locale ξ3. Per calcolare la tensione nella piattabanda superiore conviene adottare la coordinata locale ξ1. il momento statico assume il valore Sy* = -bs1(b/2-e) e quindi la tensione vale: Tx S y * T b  τ= = − x bs1  − e  s 2 J yy s 2 J yy 2  Nella piattabanda inferiore il momento statico Sy* assume la forma: h ξ  S y * = −bs1 + ξ3 s1  3 − e  2  2  La tensione τ (che in questa zona è del tipo τxz) varia lungo la piattabanda inferiore con legge parabolica. il momento statico assume valore nullo: b 2 s1 e b  h − (s 2 h + 2 s1b ) S y * = bs1  − e  − s 2 e = 2 2 2  2 b 2 s1 b 2 s1 = − (s2 h + 2s1b ) = 0 2 2(s 2 h + 2 s1b ) Nell'estremo inferiore dell'anima ξ2 = h . Nella piattabanda superiore il momento statico Sy* assume la forma: ξ  ξ2  S y * = ξ1 s1  b − e − 1  = s1 (b − e )ξ1 − s1 1 2 2  La tensione τ (che in questa zona è del tipo τxz) varia con legge parabolica lungo la piattabanda. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” La tensione τ (che in questa zona è del tipo τxz) decresce linearmente lungo la piattabanda.L. nell'estremo superiore ξ2 = 0 si ha Sy* = bs1(b/2-e) e Tx S y * T  b τ= = x bs1  − e  s 2 J yy s 2 J yy 2  Per ξ2 = h/2 (in corrispondenza dell'asse x). il massimo è raggiunto per ξ1 = b-e (in corrispondenza dell'asse y) in cui Sy* = s1(b-e)2/2 e Tx S y * Tx (b − e )2 τ= = ⋅ s1 J yy J yy 2 All'estremo sinistro della piattabanda ξ1 = b si ha Sy* = bs1(b/2-e) e la tensione vale: Tx S y * Tx  b  τ= = b − e  s1 J yy J yy  2  Nell'anima il momento statico Sy* assume la forma: b  S y * = bs1  − e  − ξ 2 s 2 e 2  La tensione τ (che in questa zona è del tipo τyz) varia lungo l'anima con legge lineare. all'estremo sinistro τ3 = 0 si ha Sy* = -bs1(b/2-e) e quindi la tensione vale: 64 . per ξ1 = 0 si ha Sy* = 0 e τ = 0. parte dal valore massimo per ξ3 = 0 in cui Sx* = bs1h/2 e Ty S x * T y bh τ= = s1 J xx 2 J xx mentre per ξ3 = b si ha Sx* = 0 e τ = 0 Si consideri ora il caso in cui agisca soltanto il taglio Tx. L. come al solito il segno di quest'ultima determina il verso in cui essa effettivamente agisce. Taglio T y T y bh 2 J xx + T y bs1 h s2 h2 ( 2 + 8 ) s2 xx J Tx b b ( -e) 2 J yy Tx b -e bs s2 Jyy 1 ( 2 ) y + 2 Taglio T x T x (b-e) 2 Jyy + + y x x - Tx b -e b J yy ( 2 ) - - T y bh 2 J xx 2 T x (b-e) 2 Jyy Tx b -e bs s2 Jyy 1 ( 2 ) + Le frecce indicano il verso convenzionale assunto per la τ (flusso entrante attraverso la corda in A*). Sezione a parete sottile a doppio T sottoposta a forze di taglio Ty e Tx. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” τ= Tx S y * s1 J yy =− Tx J yy b  b − e  2  Il minimo della parabola è raggiunto per τ3 = e (asse y) in cui Sy* = -s1(b-e)2/2 e Tx S y * Tx (b − e )2 τ= =− ⋅ s1 J yy J yy 2 mentre per ξ3 = b si ha Sy* = 0 e τ = 0. 3. 65 . y s1 ξ1 ξ1 y ξ2 h s2 x x s1 b ξ3 ξ3 Con procedimento analogo a quello impiegato per la sezione a C si ottengono gli andamenti della tensione tangenziale illustrati nelle figure seguenti. Ty .L. si fa notare che ciascuna componente di taglio Tx o Ty può causare entrambe le tensioni tangenziali τxz. Centro di taglio o di torsione Si consideri la sezione a C per la quale si è ricavato l'andamento della tensione tangenziale τ (τxz. s1 T y bh + 2 J xx F x g y + Ty x Ct Fy y e h x s2 s1 T y bh 2 J xx + Fx b La distribuzione di tensione in ciascuna piattabanda può essere sostituita da una forza Fy applicata sulla linea media e pari al semiprodotto del valore massimo di τ assunto dalla distribuzione triangolare per l'area della piattabanda stessa: 66 . i valori massimi (in modulo) di tensione si raggiungono dove il profilo interseca l'asse normale a quello in direzione del quale agisce il taglio.. τyz) corrispondente all'applicazione dei tagli Tx . τyz . Se agisce solo il taglio Ty si è trovato che la distribuzione delle τ ha andamento lineare nelle piattabande e parabolico nell'anima. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Taglio T y Taglio T x T y bh 4 J xx y T x b2 8 Jyy y + + + x x + + T x b2 8 Jyy T y bh 4 J xx T y bs1 h s2h 2 + 8 ) s2 Jxx ( 2 In conclusione di questi esempi. ma di notevole interesse pratico. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Fx = T y b 2 hs1 1 T y bh bs1 = 2 2 J xx 4 J xx Le tensioni τ nell'anima possono essere sostituite da una forza verticale Fy applicata sulla linea media dell'anima stessa e pari al taglio: Fy = T y Al sistema di forze formato dalle due componenti Fx e dalla Fy deve essere equivalente il solo taglio Ty applicato su una retta d'azione (asse centrale) la cui posizione g rispetto al riferimento xy si trova imponendo l'eguaglianza dei momenti: T y g = Fy e + Fx h Sostituendo a Fx e Fy le loro espressioni in funzione di Ty si ottiene: b 2 h 2 s1 b g =e+ = e+ 4 J xx 2 + hs 2 / 3bs1 Se agisce solo il taglio Tx l'andamento delle τ è parabolico nelle ali e lineare nell'anima. è applicata sull'asse x. pari a Tx . Il punto Ct di coordinate (-g. il tensore della tensione agente in un qualsiasi punto di una sezione del solido di Saint Venant assume la forma seguente: 0  0  τ xz  0 0 τ yz τ xz   τ yz  σ zz  Note le componenti di tensione σzz . il centro di taglio coincide col baricentro della sezione. circolare.9. calcolabili utilizzando le formule presentate nei paragrafi 6. se la retta d'azione della risultante T dei tagli dista da tale punto del valore (eccentricità) ec si producono nella sezione anche delle sollecitazioni aggiuntive dovute al momento torcente Mt pari a: M t = Tec dove T = Tx2 + T y2 Il punto Ct costituisce anche il centro di torsione della sezione. ecc. per tale punto devono infatti passare i tagli Tx . 6. Di conseguenza. Per alcuni casi particolari. a I. Con procedimento analogo a quello qui mostrato nel caso della sezione a C il centro di taglio può essere determinato per una generica sezione. Ty affinché nella sezione si abbiano le distribuzioni di tensioni τ corrispondenti alle condizioni di taglio puro. τyz . ad esempio ciò si verifica nel caso di sezione doppiamente simmetrica (rettangolare. Tensioni principali e ipotesi di cedimento Per le ipotesi effettuate. tale denominazione è dovuta al fatto che la sezione sotto l'applicazione del momento torcente ruota intorno a un asse parallelo a z e passante per tale punto.).L.1÷6.8. si possono calcolare le tensioni principali come autovalori del tensore: 67 .0) costituisce il centro di taglio della sezione. τxz . la distribuzione delle tensioni è simmetrica rispetto a x e quindi la loro risultante. di cui il modulo e l'orientazione possono essere determinate calcolando la risultante delle forze elementari: dFx = τ xz dA dFy = τ yz dA y dFy dF direzione principale 2 di tensione dA dFx x La risultante infinitesima vale dove dF = τdA τ 2 = τ 2xz + τ 2yz La direzione principale relativa a σ2=0 è data dalla retta contenuta nel piano xy e perpendicolare a τ.L. τyz siano nulle anche una delle radici del polinomio di secondo grado è nulla. Le tensioni principali possono essere quindi scritte nella forma più compatta: 2 σ σ  σ1 = zz +  zz  + τ 2 2  2  2 σ2 = 0 σ σ  σ 3 = zz −  zz  + τ 2 2  2  68 . in assenza di torsione o taglio). le due rimanenti tensioni principali si ottengono come radici del polinomio di secondo grado: λ2 − σ zz λ − τ 2xz + τ 2yz = 0 ( ) 2 ( σ σ  λ = zz ±  zz  + τ 2xz + τ 2yz 2  2  ) Si riscontra quindi che una radice è sempre positiva e l'altra negativa. cioè i punti del solido si trovano in condizioni di tensione piana. il punto si trova in condizione di tensione monoassiale (ciò che si verifica nel caso di comportamento estensionale e/o flessionale. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” 0 − λ 0 τ xz    det  0 0−λ τ yz  = 0  τ xz τ yz σ zz − λ   Sviluppando il determinante si ottiene (− λ ) − λ(σ zz − λ ) − τ 2yz + τ xz [− τ xz (− λ )] = −λ − λ(σ zz − λ ) − τ 2xz − τ 2yz = 0 [ ] [ ] Si ricava immediatamente che una tensione principale è sempre nulla. Per comodità le tensioni tangenziali τxz . τyz possono essere sostituite da un'unica componente τ. le tre tensioni principali sono: 2 ( σ σ  σ1 = zz +  zz  + τ 2xz + τ 2yz 2  2  ) 2 ( σ σ  σ 3 = zz −  zz  + τ 2xz + τ 2yz 2  2  σ2 = 0 ) Nel caso in cui entrambe le componenti tangenziali τxz . 2 in funzione delle tensioni principali. Il primo piano è quello della sezione del solido (piano xy) su cui agiscono le componenti (σzz . b =  zz  + τ 2 . σ3 . Si hanno quindi gli elementi per costruire il cerchio passante per σ1 . E' possibile tracciare direttamente i cerchi (senza aver determinato preliminarmente le tensioni principali) in quanto si conoscono le componenti di tensione su due piani perpendicolari tra di loro e appartenenti al fascio che ha in comune la direzione principale 2. σ3 : 2 τ max σ  =  zz  + τ 2  2  Utilizzando questi risultati si possono calcolare le tensioni ideali. la massima tensione tangenziale agisce su un piano del fascio avente in comune la direzione principale 2 ed è pari al raggio del cerchio passante per σ1 . τ). τ) τ max σ3 σ2=0 σ1 σ (0 . per semplicità di notazione. 4.L. il secondo piano è parallelo a z e su esso agisce la sola τ. a = zz . Materiali fragili 2 σ id = σ1 = Ipotesi della massima tensione normale: σ zz σ  +  zz  + τ 2 2  2  Materiali duttili Ipotesi della massima tensione tangenziale: Ipotesi dell'energia di distorsione: σ id2 = [ σ id = σ1 − σ 3 = σ 2zz + 4τ 2 ] 1 (σ1 − 0)2 + (0 − σ 3 )2 + (σ1 − σ3 )2 = σ12 + σ32 − σ1σ3 2 2 σ σ  Ponendo. le cui formule sono state ottenute al par. direttamente in termini di σzz e τ. τ (σzz . i cerchi rimanenti vengono tracciati ricordando che σ2=0. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” I cerchi di Mohr per un punto qualsiasi di una sezione del solido di Saint Venant assumono la forma mostrata in figura. −τ) Come già mostrato in precedenza. si ottiene l'espressione: 2  2  2  σ  2  σ  σ id2 = (a + b )2 + (a − b )2 − (a + b )(a − b ) = a 2 + 3b 2 =  zz  + 3 zz  + τ 2  = σ 2zz + 3τ 2  2   2   Si ricava quindi: σ id = σ 2zz + 3τ 2 69 . Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” 7. Tx . Scrivendo le equazioni di equilibrio si considera la geometria della struttura indeformata (ad esempio per adottare i bracci di momento). che riportano il valore di ogni componente in funzione della posizione. in una generica sezione S di un elemento strutturale possono essere determinati per mezzo di equazioni di equilibrio. E' sufficiente infatti isolare una parte di struttura con una linea che la distacca dagli eventuali vincoli e interrompe l'elemento nella sezione S. Mz . sono di solito trascurabili o comunque calcolabili separatamente. τyz . APPLICAZIONE DELLE SOLUZIONI PER IL SOLIDO DI SAINT VENANT AL CALCOLO DI STRUTTURE ELEMENTARI Gli elementi strutturali di tipo monodimensionale (cioè. tagli. Per semplicità la trattazione è limitata a problemi piani. aventi una dimensione molto maggiore delle altre due) usati nelle costruzioni meccaniche spesso si discostano dalle ipotesi sotto cui si sono ottenute le soluzioni per il solido di Saint Venant. si nota che nei casi pratici carichi e vincoli possono essere applicati non solo agli estremi (si pensi al caso di un albero di trasmissione con linea d'asse orizzontale e cuscinetti intermedi). cioè si trascurano le variazioni geometriche dovute alla deformabilità elastica degli elementi. Nel seguito sono riportati alcuni esempi in cui si mostra la costruzione dei diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione per strutture elementari. ad esempio quelle (locali) di contatto dovute all'applicazione di carichi distribuiti. ciascuna variabile secondo la sua distribuzione caratteristica. Mx . Diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione Noti i carichi esterni e calcolate le reazioni vincolari.1. i valori assunti dalle caratteristiche di sollecitazione N. Tale approssimazione. Le altre componenti di tensione. Le azioni applicate. 70 . sia da enti esterni sia dai vincoli. che funge da ascissa. Per visualizzare l'andamento delle caratteristiche di sollecitazione nelle parti delle struttura è utile costruire dei diagrammi. My . τxz . momenti flettenti. momento torcente) variabili in caso generale lungo la linea d'asse. 7. Ty . è corretta in quanto gli spostamenti elastici sono di solito estremamente piccoli rispetto alle dimensioni caratteristiche della struttura. come già detto. Tale modo di procedere costituisce semplicemente la generalizzazione di quanto già visto nel capitolo 1 per la determinazione delle reazioni vincolari. causano nelle sezioni di tali elementi strutturali caratteristiche di sollecitazione (forza normale. Le equazioni di equilibrio della parte così isolata forniscono i valori delle caratteristiche di sollecitazione cercate.L. Ogni sezione viene trattata come sezione di un solido di Saint Venant in cui agiscono le caratteristiche di sollecitazione corrispondenti alla sua posizione lungo l'elemento ed equivalenti alle tensioni σzz . In aggiunta a quanto già detto al capitolo 6 circa le variazioni di sezione. su ogni elemento la caratteristica diagrammata viene misurata perpendicolarmente alla linea d'asse. Tali diagrammi vengono di solito tracciati sulla struttura stessa. necessaria per ottenere delle relazioni lineari. il momento flettente varia linearmente. il taglio è la derivata del momento. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Esempio 1 l a b c A OA B C=F1 l z F1 VA F1 C=F1 l F2 F2 RB Si vuole determinare l'andamento delle caratteristiche di sollecitazione nella struttura schematizzata in figura. sono infatti diversi i carichi da includere nelle equazioni di equilibrio. →: OA + F2 = 0 OA = − F2 F a +C F (a + l ) a  A : F1 a + C + RB l = 0 =− 1 = − F1  + 1 RB = − 1 l l l  − F1 (l − a ) + C F1l − F1l + F1a a VA = = = F1 B : VA l + F1 (l − a ) − C = 0 l l l Per il calcolo delle caratteristiche di sollecitazione è necessario distinguere in quale tratto dell'elemento si trova la sezione S considerata. si riscontra che. Ty VA 0≤z<a N S OA Mx z →: OA + N = 0 N = −OA = F2 ↑: VA + T y = 0 T y = −VA = − F1 a l a z l Si osserva quindi che forza normale e taglio sono costanti. come già dimostrato.L. S : VA z + M x = 0 M x = −VA z = − F1 VA a ≤ z < a+b F1 Ty N S OA Mx z →: OA + N = 0 N = −OA = F2 71 . Mediante tre equazioni di equilibrio si determinano le reazioni vincolari. lineare. Mx (le rimanenti caratteristiche sono nulle): 72 . Ty . Mx è variato ma in z = a assume lo stesso valore (-F1a2/l) fornito dalla formula valida per z < a. Identici risultati si sarebbero ottenuti includendo nella linea di distacco le parte di struttura situata a destra della sezione in cui si esegue il taglio. nella sezione z = a+b. Goglio ↑: Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” VA + F1 + T y = 0 S : VA z + F1 ( z − a ) + M x = 0 a  T y = −VA − F1 = − F1  + 1 l  a  M x = −(VA + F1 )z + F1 a = − F1  + 1 z + F1a l  Gli andamenti di N. per esempio. per l'ultimo tratto si sarebbe scritto (si noti che la faccia messa in evidenza è negativa e quindi i versi delle caratteristiche di sollecitazione sono invertiti): Mx a+b ≤ z < l N F2 S Ty RB z ←: N − F2 = 0 ↓: T y − RB = 0 S : M x + RB (l − z ) = 0 N = F2 a  T y = RB = − F1  + 1 l  a  a  M x = − RB (l − z ) = F1  + 1(l − z ) = − F1  + 1 z + F1a + F1l l  l  Diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione N. in cui è applicata la coppia concentrata. Mx sono ancora rispettivamente costante. VA a+b ≤ z < l Ty F1 N S OA C Mx z →: OA + N = 0 N = −OA = F2 ↑: VA + F1 + T y = 0 a  T y = −VA − F1 = − F1  + 1 l  S : VA z + F1 ( z − a ) − C + M x = 0 a  M x = −(VA + F1 )z + F1 a + C = − F1  + 1 z + F1 a + F1l l  In quest'ultimo tratto solo l'andamento di Mx risulta modificato.L. il valore di Mx presenta una discontinuità pari a C. Ty . per effetto del termine C = F1l. costante. si nota però che N ha lo stesso valore del tratto precedente. Ty è variato. L. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” + forza normale -F1 a l taglio F2 - -F1 ( a +1) l F1 F1 ( a +1) c l + momento flettente -F1 a l - 2 -F1 [ a ( a+b ) +b] l C=F1 l Esempio 2 q A B l z q MB OB VB Reazioni vincolari →: OB = 0 ↑: ql + VB = 0 l + MB = 0 2 Caratteristiche di sollecitazione B : − ql VB = − ql MB = q l2 2 q S 0≤z≤l Ty N Mx z →: ↑: N =0 T y + qz = 0 T y = − qz 73 . L. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” z2 z M x = −q =0 2 2 Diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione Ty . Mx (le rimanenti caratteristiche sono nulle): S : M x + qz - taglio -ql - momento flettente -q l 2 2 Esempio 3 q A a B C b q OC RB Reazioni vincolari →: OC + qa = 0 B : − qa C : qa a + VC b = 0 2 a + RB b = 0 2 VC OC = − qa a2 2b a2 RB = − q 2b VC = q 74 . L. assumendo ogni volta un sistema di riferimento con asse z parallelo alla linea d'asse del tratto considerato. q z 0≤z≤a tratto verticale Ty S Mx N ↓: →: N =0 T y + qz = 0 S : M x + qz z =0 2 T y = − qz M x = −q z2 2 N OC S tratto orizzontale 0 ≤ z ≤ b Mx VC Ty z (per rendere più semplice la scrittura delle equazioni si considera l'equilibrio della parte di struttura a destra della generica sezione S) ←: N − OC = 0 N = OC = − qa ↓: T y − VC = 0 S : M x + VC (b − z ) = 0 T y = VC = q a2 2b M x = −VC (b − z ) = − q a2 (b − z ) 2b forza normale - -qa 75 . Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Caratteristiche di sollecitazione E' conveniente trattare separatamente i due tratti AB e BC. • nelle zone in cui agiscono carichi trasversali uniformemente distribuiti il diagramma del taglio è lineare e quello del momento è parabolico. 7. • in corrispondenza di una coppia concentrata il diagramma del taglio non varia e quello del momento presenta una discontinuità (pari alla coppia stessa). rotazione della sezione. che descrivono il comportamento flessionale e che coinvolgono sia le grandezze di tipo statico (momento flettente. carico distribuito).L. sia quelle di tipo cinematico (spostamento trasversale. taglio. 76 . di tipo differenziale. • in corrispondenza di una forza trasversale concentrata il diagramma del taglio presenta una discontinuità (pari alla forza stessa) e quello del momento cambia pendenza. • in corrispondenza degli appoggi di estremità e delle cerniere il diagramma del momento si annulla (salvo che siano applicate coppie concentrate).8 la relazione di tipo differenziale che intercorre tra taglio e momento flettente. Equazione della linea elastica E' già stata mostrata nel paragrafo 6. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” taglio - + 2 q a 2b -qa momento flettente 2 -q a 2 - Alcune proprietà dei diagrammi del taglio e del momento flettente Per facilitare il tracciamento (e il controllo!) dei diagrammi di taglio e momento flettente. si può far uso delle seguenti proprietà: • nelle zone in cui non agiscono carichi trasversali il diagramma del taglio è costante e quello del momento è lineare.2. Si vedrà ora che tale proprietà si colloca nell'ambito di un gruppo di relazioni. curvatura). senza forza normale. in funzione della coordinata z si ottiene una curva detta linea elastica. Il raggio di quest'ultimo. 77 . usualmente detto freccia. trascurando cioè la deformabilità a taglio. Ammettendo che la deformazione sia dovuta alla sola flessione. soggetto a flessione nel piano zy. può essere espresso come rapporto tra la lunghezza dz dell'arco costituito dalla fibra baricentrica (che in flessione pura. la rotazione relativa tra le sue due facce è pari a dαx . che è diventata curva e localmente può essere rx approssimata con il suo cerchio osculatore. non varia) e l'angolo tra le facce dαx : dz 1 = rx = dα x kx L'ultima eguaglianza definisce semplicemente la curvatura come inverso del raggio del cerchio osculatore.L. Le equazioni di equilibrio alla traslazione lungo y e alla rotazione intorno a x sono le seguenti: T y + dT y − T y + q y dz = 0 qy Ty +dTy y Mx x z Ty Mx + dMx ( ) M x + dM x − M x − T y + dT y dz − q y dz dz =0 2 Semplificando e trascurando infinitesimi di ordine superiore si ottengono le relazioni: dT y dM x = Ty = −q y dz dz dz Si è quindi ottenuto che in presenza di carico distribuito il taglio è variabile lungo la linea d'asse e la sua derivata rispetto a z è uguale al carico distribuito (cambiato di segno). essa rappresenta la configurazione assunta dalla linea d'asse di un elemento monodimensionale sottoposto a flessione. trattando il comportamento flessionale si è mostrato che la curvatura è legata al momento flettente dalla relazione: dα x Mx kx = = dz EJ xx Rappresentando lo spostamento trasversale v della linea d'asse. le sezioni ruotate sono dz normali alla linea d'asse. cioè il α x+dα x αx raggio di curvatura locale rx . Combinando questi due risultati si ottiene: d 2M x = −q y dz 2 Considerando la deformazione elastica dell'elemento inflesso. risulta ancora vero che la derivata del momento flettente è pari al taglio. per il quale siano utilizzabili le soluzioni del solido di Saint Venant. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Si consideri un tratto infinitesimo di un elemento strutturale monodimensionale. da essa si nota che integrando due volte la funzione Mx/EJxx si può ricavare l'andamento dello spostamento v in funzione di z. Le costanti di integrazione necessarie vengono determinate in base ai vincoli presenti. 78 . allo spostamento trasversale e/o alla rotazione. poiché essa è molto piccola si può confondere la tangente con l'angolo: dv = −α x dz Derivando entrambi i membri si ottiene: dα d 2v = − x = −k x 2 dz dz Sostituendo quest'ultimo risultato nell'equazione che lega momento flettente e curvatura si può scrivere: M d 2v =− x 2 EJ xx dz Quest'ultima costituisce l'equazione differenziale della linea elastica. che assegnano il valore (di solito nullo).L. Le stesse proprietà valgono per la flessione nel piano zx. nei punti in cui sono applicati. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” y linea elastica dv dz αx z La pendenza di tale curva nel piano zy è data dalla derivata dv/dz . sostituendo nelle formule x e u rispettivamente a y e v e tenendo conto del differente verso positivo di momenti e rotazioni Tx + dTx − Tx + q x dz = 0 q x Tx +dTx x My z y Tx dz My + dMy M y + dM y − M y + (Tx + dTx )dz + q x dz dz =0 2 dM y dTx = −q x = −Tx dz dz Considerando la linea elastica u(z) si ottiene d 2 u dα y du = αy = = ky dz dz dz 2 L'equazione differenziale che lega momento e curvatura in questo caso è: My d 2u = 2 EJ yy dz Nel seguito sono riportati alcuni esempi in cui si mostra la determinazione della linea elastica per strutture elementari. anche in questo caso ci si limita a considerare problemi piani. si scrive l'equazione differenziale della linea elastica: dα M d 2v F − x = 2 =− x = (l − z ) dz EJ xx EJ xx dz Integrando una prima volta si ottiene la rotazione αx(z): M F  z2   lz −  + C1 α x = ∫ x dz = − EJ xx EJ xx  2  Con un'ulteriore integrazione si ottiene lo spostamento trasversale (freccia) v(z): F  z2 z3  l v = − ∫ α x dz = −  − C1 z + C 2 EJ xx  2 6  Le costanti di integrazione C1 e C2 si determinano imponendo che nell'incastro lo spostamento e la rotazione siano nulli: 79 . Mx taglio + F -Fl momento flettente - Nota la funzione Mx(z). Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Esempio 1 F A MA OA B z F l VA Reazioni vincolari →: OA = 0 ↑: VA + F = 0 A : M A + Fl = 0 VA = − F M A = − Fl Caratteristiche di sollecitazione F Mx 0≤z≤l S N Ty z ←: ↓: N =0 Ty − F = 0 S : M x + F (l − z ) = 0 Ty = F M x = − F (l − z ) Diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione Ty .L. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” z=0 ⇒ αx = 0 . rotazione e spostamento assumono i valori seguenti: Fl 2 Fl 3 α Bx = α x (l ) = − v B = v(l ) = 2 EJ xx 3EJ xx La linea elastica. v=0 Le due condizioni sono soddisfatte se C1 = 0 e C2 = 0. cioè la configurazione deformata della linea d'asse. le funzioni che descrivono spostamento e rotazione sono quindi: z2  F  F  2 z3   lz −   lz −  α x (z ) = − = v ( z ) EJ xx  2  2 EJ xx  3  Nel punto B.L. 2 .Fl 2EJxx Fl 3 3EJxx A B z Esempio 2 C A L Reazioni vincolari →: OA = 0 B : − C + VA L = 0 A : RB L + C = 0 z OA B C RB VA VA = C / L RB = −C / L Caratteristiche di sollecitazione Ty OA S 0≤z≤L VA N Mx z →: N + OA = 0 N = −OA = 0 ↑: T y + VA = 0 T y = −VA = − S : M x + VA z = 0 C L M x = −VA z = − C z L 80 . assume l'andamento mostrato in figura. corrispondente a z = l. L. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione Ty , Mx - C L - taglio momento flettente - C dα x d 2 v M C z = 2 =− x = dz EJ xx EJ xx L dz Equazione differenziale della linea elastica: − Rotazione αx(z): αx = ∫ Spostamento v(z): v = − ∫ α x dz = Mx C z2 dz = − + C1 EJ xx EJ xx 2 L C z3 − C1 z + C 2 EJ xx 6 L Le costanti di integrazione C1 e C2 si determinano imponendo che in corrispondenza di entrambi gli appoggi lo spostamento sia nullo: z=0 ⇒ v=0 z=L ⇒ v=0 La prima condizione è soddisfatta se C2 = 0, la seconda implica che: C L3 CL − C1 L = 0 ⇒ C1 = EJ xx 6 L 6 EJ xx Le funzioni rotazione e spostamento sono quindi: C z2 CL CL  1 z 2   −  α x (z ) = − + = EJ xx 2 L 6 EJ xx 2 EJ xx  3 L2  v( z ) =  C z3 CL CL  z 3  2 − z − z=  6 EJ xx L 6 EJ xx 6 EJ xx  L  Si ricava facilmente che z= L 3 ⇒ αx = 0 v= CL 6 EJ xx  L3 L  CL2  =− −  3 3L2 3  9 3EJ xx  Negli estremi A e B, corrispondenti a z = 0 e z = L, la rotazione assume rispettivamente i valori: CL CL α Ax = α x (0) = α Bx = α x (L ) = − 6 EJ xx 3EJ xx La linea elastica assume l'andamento mostrato in figura. L 3 CL 6EJxx z - CL 3EJxx A 2 - CL 9 3 EJxx B 81 L. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Esempio 3 F A C L z OA B z1 VA l F RB Reazioni vincolari →: OA = 0 B : VA L − Fl = 0 A : RB L + F ( L + l ) = 0 l L l  RB = − F  1 +   L VA = F Caratteristiche di sollecitazione - tratto AB Ty OA S 0≤z≤L VA N Mx z →: N + OA = 0 N = −OA = 0 ↑: T y + VA = 0 T y = −VA = − F S : M x + VA z = 0 l L M x = −VA z = − F l z L Caratteristiche di sollecitazione - tratto BC Le equazioni risultano più compatte adottando per la linea d'asse la coordinata, misurata a partire dal punto B, z1 = z-L. F M x 0 ≤ z1 ≤ l S N Ty z1 ←: ↓: N =0 Ty − F = 0 S : M x + F (l − z1 ) = 0 Ty = F M x = F ( z1 − l ) 82 L. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione Ty , Mx F taglio l -F L F (1+ lL ) - momento flettente - -Fl Calcolo della deformata - tratto AB dα x d 2 v M Fl = 2 =− x = z dz EJ xx EJ xx L dz Equazione differenziale della linea elastica: − Rotazione αx(z): αx = ∫ Spostamento v(z): v = − ∫ α x dz = Mx Fl z 2 + C1 dz = − EJ xx EJ xx L 2 Fl z 3 − C1 z + C 2 EJ xx L 6 Le costanti di integrazione C1 e C2 si determinano imponendo che in corrispondenza di entrambi gli appoggi lo spostamento sia nullo: z=0 ⇒ v=0 z = L ⇒ v =0 La prima condizione è soddisfatta se C2 = 0, la seconda implica che: FlL Fl L3 C1 = ⇒ − C1 L = 0 6 EJ xx EJ xx L 6 Le funzioni rotazione e spostamento per il tratto AB sono quindi:  Fl z 2 FlL FlL  1 z 2  Fl z 3 FlL FlL  z 3     α x (z ) = − + = − v ( z ) = − z = − z  EJ xx L 2 6 EJ xx 2 EJ xx  3 L2  EJ xx L 6 6 EJ xx 6 EJ xx  L2  In corrispondenza dell'appoggio B la rotazione assume il valore FlL z=L ⇒ α Bx = α x (L ) = − 3EJ xx Calcolo della deformata - tratto BC dα x d 2 v M F ( z1 − l ) = 2 =− x =− EJ xx EJ xx dz1 dz1 Equazione differenziale della linea elastica: − Rotazione αx(z1): αx = ∫ Spostamento v(z1): v = − ∫ α x dz1 = − Mx F z12 Fl − dz1 = z1 + D1 EJ xx EJ xx 2 EJ xx F z13 Fl z12 + − D1 z1 + D2 EJ xx 6 EJ xx 2 83 3. 7. ponendo in quest'ultimo C = Fl. basati sulla sovrapposizione degli effetti. solo in corrispondenza di questi 84 . corrispondente a z1 = l. lo spostamento assume il valore: F Fl 2 (l + L ) C 3 3 2 − l + 3l + 2l L = v = 6 EJ xx 3EJ xx ( ) E' interessante notare che quest'ultimo risultato può essere ottenuto componendo le soluzioni trovate negli esempi 1 e 2. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Le costanti di integrazione D1 e D2 si determinano imponendo che in corrispondenza dell'appoggio B lo spostamento sia nullo e la rotazione assuma lo stesso valore ottenuto utilizzando la formula valida per il tratto AB: FlL α Bx = α x (0) = − v B = v(0 ) = 0 z1 = 0 ⇒ 3EJ xx FlL D1 = − D2 = 0 3EJ xx Le funzioni rotazione e spostamento per il tratto BC sono quindi: lL  F F  z12 α x ( z1 ) = − lz1 −  = 3 z12 − 6lz1 − 2lL  EJ xx  2 3  6 EJ xx 3 lz12 lLz1  F  z12  = F − z13 + 3lz12 + 2lz1 v( z1 ) = − + +  EJ xx  6 2 3  6 EJ xx ( ) ( ) La linea elastica assume l'andamento mostrato in figura. è possibile studiare casi complessi come combinazione di soluzioni semplici. Infatti il tratto BC può essere pensato come un elemento a mensola analogo a quello dell'esempio 1 in cui la sezione di incastro è ruotata dell'angolo αxB calcolato nell'esempio 2.FlL 3EJxx 2 A B z 1 C Fl ( l+L) 3EJxx Nel punto C. Strutture reticolari Si definiscono strutture reticolari gli insiemi di elementi rettilinei. la freccia del punto C risulta essere la somma della rotazione rigida e della deformabilità del tratto BC.L. z . connessi reciprocamente alle loro estremità per mezzo di cerniere in punti di giunzione detti nodi. Fl 2 (l + L ) Fl 3 FlLl Fl 3 = + = − α Bl vC = 3EJ xx 3EJ xx 3EJ xx 3EJ xx C 3 Fl 3EJxx αx B B −α x l = B FlL l 3EJxx Con metodi di questo tipo. se anche i carichi agiscono nello stesso piano il comportamento della struttura si riduce ad un problema bidimensionale. il numero di equazioni di equilibrio utilizzabile è pari a 2n. e quindi si ha: h = ve + na − 2n I metodi presentati nel seguito si riferiscono al caso delle strutture reticolari isostatiche. si calcoli il grado di iperstaticità della struttura schematizzata nella figura seguente. in quanto le tensioni indotte dalle componenti di sollecitazione trascurate (momenti flettenti e tagli) sono di ordine di grandezza inferiore rispetto a quelle dovute alla forza normale. dove n è il numero dei nodi. esistono inoltre carichi agenti anche fuori dai nodi. Ad esempio. ammettendo solo la presenza di cerniere (interne o esterne. nell'ambito di questa trattazione ci si limiterà al caso delle strutture reticolari piane. di cui alcune multiple) e appoggi (esterni): h = v − 3m = 2 c + a − 3m La formula può essere particolarizzata per il caso delle strutture reticolari osservando che il numero complessivo delle incognite statiche da determinare è dato dalla somma del numero di aste na (per ognuna delle quali si deve calcolare la forza normale incognita) e del numero di reazioni vincolari esterne ve. infatti gli elementi sono collegati da bullonature o saldature e quindi mutuamente incastrati. la semplificazione adottata si dimostra sufficientemente approssimata. 1. si deve calcolare il numero di cerniere semplici corrispondenti a ogni nodo. pari al numero di elementi connessi nel nodo stesso (conteggiando anche il telaio esterno) diminuito di uno. Grado di iperstaticità Il calcolo del grado di iperstaticità h può essere eseguito mediante la formula generale già vista al cap. 85 . Ciò malgrado. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” ultimi vengono applicate le forze esterne. come il peso proprio. Sotto queste ipotesi si verifica che gli elementi sono soggetti al solo comportamento estensionale (costituiscono cioè delle aste) e quindi l'unica caratteristica di sollecitazione agente è la forza normale N. I casi di strutture reticolari spaziali non presentano aspetti concettualmente diversi ma piuttosto maggiori complicazioni di calcolo dovute alla necessità di considerare le equazioni di equilibrio nello spazio. in cui si trovano tutti i nodi e gli elementi. Nella pratica costruttiva le ipotesi precedenti non sono completamente verificate. A D E B C Volendo calcolare il grado di iperstaticità h utilizzando la formula generale. In molti casi reali tali strutture sono contenute in un piano.L. mediante una linea di distacco. quello uscente) esercitate dalle aste che in esso convergono. Equazioni di equilibrio Si immagini di separare. Tale nodo dovrà essere in equilibrio sotto l'azione delle componenti di forza esterna e delle forze normali (il cui verso convenzionale è. un nodo J dal resto della struttura reticolare. rispettivamente lungo gli assi X e Y di un sistema di riferimento globale adottato per tutta la struttura. 86 . le reazione dei vincoli esterni sono 3 (due nella cerniera esterna e una nell'appoggio) e quindi: h = ve + na − 2n = 3 + 7 − 2 ⋅ 5 = 0 Si verifica che se una struttura reticolare piana è formata da maglie tutte triangolari e il numero di vincoli esterni è pari a 3 allora essa è isostatica. come al solito.L. K I N4 Y N1 N3 FY N2 J L FX X ∑i N i cos δ i + FX = 0 ↑: ∑i N i sen δ i + FY = 0 →: Nelle equazioni precedenti le sommatorie sono estese a tutte le aste che hanno un estremo nel nodo J. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” nodo A cA=2 2 aste + telaio nodo B cB=2 3 aste nodo C cC=2 a=1 3 aste + appoggio nodo D cD=3 4 aste nodo E cE=1 2 aste numero di elementi m=7 v = 2c + a = 2(2 + 2 + 2 + 3 + 1) + 1 = 21 h = v − 3m = 21 − 7 ⋅ 3 = 0 Per applicare la formula delle strutture reticolari basta osservare che la struttura comprende 5 nodi e 7 aste. L'equilibrio alla rotazione del nodo è comunque soddisfatto in quanto le rette d'azione di tutte le forze passano per esso. Si possono quindi scrivere le due equazioni equilibrio alla traslazione verticale e orizzontale. δi rappresenta l'angolo formato dall'asta (e quindi dalla forza) i-esima rispetto all'asse X. dal momento che coincidono con quelle delle aste) questi sono facilmente determinabili mediante la costruzione del poligono che esprime in forma grafica l'equilibrio vettoriale. nel caso di un nodo in cui siano applicati vincoli esterni FX e/o FY rappresentano le corrispondenti reazioni. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Può risultare conveniente esprimere le funzioni trigonometriche in funzione delle coordinate dei nodi e delle lunghezze delle aste: Y − YJ X − XJ cos δ i = i sen δ i = i li li Xi . Yi rappresentano le coordinate del nodo in cui termina l'i-esima asta uscente dal nodo J. Adottando un procedimento di soluzione manuale. Si ottiene quindi un sistema di 2n equazioni in 2n incognite la cui soluzione fornisce le forze normali nelle aste e le reazioni vincolari. li è la lunghezza dell'asta stessa.L. tale approccio sistematico è particolarmente adatto al calcolo automatico delle strutture. 2l F l 90° 45° 3 2l E 45° 90° 5 90° 45° 45° 2 2F 4 45° 1 A D C 7 45° 6 l/ 2 B 2l La struttura reticolare in esame è formata da 7 aste connesse in 5 nodi ed è vincolata esternamente da una cerniera e da un carrello. in particolare se per un nodo sono incogniti i valori di due sole forze (le direzioni sono evidentemente note. risulta preferibile considerare dei sistemi parziali con ridotto numero di equazioni e di incognite. il grado di iperstaticità vale quindi: h = ve + na − 2n = 3 + 7 − 2 ⋅ 5 = 0 87 . Le equazioni di equilibrio si trasformano in: X − XJ →: ∑i N i i + FX = 0 li Y − YJ ↑: ∑i N i i + FY = 0 li Tale coppia di equazioni può essere scritta per ognuno degli n nodi della struttura. si farà uso dell'esempio illustrato nella figura seguente. Per mostrare l'applicazione pratica dei concetti fin qui esposti. F D 1 2F 4 3 E 5 7 B A 1 F 4 2 C 6 F 7 F 4 Il procedimento di soluzione può iniziare dal nodo A.L. OB . Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” F 2F D E l/ 2 B A OB C VB RA 2l 2l Reazioni vincolari esterne →: OB − F = 0 OB = F l  l  A : VB 2 2l + 2 F  2l + =0 + F 2 2  l l B : RA 2 2l + 2 F −F =0 2 2 F  1 2  7 +2 2+  =− F 4 2 2 2 2 F  1 2  1 RA = − + − =− F 4 2 2 2 2 VB = − Per semplificare la costruzione dei poligoni delle forze relativi ai nodi vincolati è preferibile considerare le reazioni RA . Per il nodo A si determina: 88 . nel secondo caso il segno è positivo e l'asta è in trazione (tirante). Il segno di ciascuna forza normale viene stabilito distinguendo se essa entra o esce dal nodo: nel primo caso il segno è negativo e l'asta è in compressione (puntone). mentre le direzioni sono quelle delle aste stesse. dove sono incogniti i valori delle forze normali trasmesse dalle aste 1 e 2. VB come forze note disegnandole sulla struttura con i loro versi effettivi. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Poligono delle forze N1 1 F 4 45° 2 F 4 Posizione delle forze sul nodo A 1 F 4 N2 1 F 4 2 2 F N1 = F 4 4 1 1 N2 = F N2 = − F 4 4 A questo punto si può passare al nodo D. per il quale le incognite sono rappresentate dai valori delle forze normali delle aste 3 e 4. si noti che considerando N1 si deve invertirne il verso rispetto a quello relativo al nodo A: N1 = Poligono delle forze F 2 F 4 N3 N4 45° 45° Posizione delle forze sul nodo 2F 4 N3 = 3 F 2 (fuori scala) D F (fuori scala) 2 F 4 2 F 4 N4 = F + 2 N3 = − 1 2 3 F= F 2 2 4 N4 = 2 F 4 3 F 2 Per quanto riguarda il nodo C. risultano incogniti i valori delle forze normali delle aste 5 e 6: 1 4 F Poligono delle forze 2 4 F N5 45° N6 45° 89 .L. L. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” 2F 4 Posizione delle forze sul nodo 1 4 F 2 F 4 C 3 4 F 2 F 4 1 1 2 3 N6 = F + 2 F= F 4 4 2 4 2 F 4 3 N6 = − F 2 N5 = N5 = Considerando infine il nodo B. si determina l'ultima forza normale incognita N7: 3 F 4 Poligono delle forze (scala 1:2) F N7 7 F 4 45° 90 . L. si controlla l'equilibrio del nodo E: N7 = 2 N7 = 2 Posizione delle forze sul nodo (scala 1:4) 7 F 4 2F 3 F 2 E 2 F 4 1 3 7  −1 − 6 + 7  →: − F − F + F =  F = 0 4 2 4 4   7 2 4 F 1 7  −1+ 8 − 7  ↑: − F + 2 F − F =  F = 0 4 4 4   Sezione di Ritter Invece di includere nella linea di distacco un solo nodo. In particolare è conveniente separare una parte di struttura tagliando tre aste: le relative forze normali incognite possono essere determinate utilizzando tre equazioni di equilibrio del sistema così isolato (se le rette d'azione delle tre forze passano per un unico punto la struttura è anomala e non può essere risolta). 3. si possono determinare direttamente le forze normali nelle aste 2. nel caso della struttura precedente. Ad esempio. può essere vantaggioso in alcuni casi comprenderne due o più. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” 2 7 F (fuori scala) 4 Posizione delle forze sul nodo (scala 1:2) B F 3 F 4 7 F (fuori scala) 4 7 F 4 A titolo di verifica. 4 per mezzo di una linea di distacco che racchiude i nodi A e D: 91 . 92 .L. • quando. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” F l 2 D N4 N3 A RA D : N2 C : N4 ↓: N3 l 2 l − RA l 2 2 1 − RA = 0 2 N2 1 N 2 = RA = − F 4 =0 + RA 2l − F l 2 l 2 =0 N 4 = −2 RA + F = N 3 = 2 RA = − 3 F 2 2 F 4 Nello studio delle strutture reticolari l'utilità del metodo della sezione di Ritter si presenta in due differenti situazioni: • quando si desidera calcolare le forze normali soltanto per alcune aste. si incontra un nodo per il quale sono incognite più di due forze normali. utilizzando il procedimento di soluzione basato sui poligoni delle forze. esse vengono determinate imponendo. Adottando il metodo delle forze si assumono come incognite le reazioni di h vincoli. Queste ultime vengono introdotte considerando la deformabilità della struttura e imponendo che le condizioni di vincolo siano rispettate. che gli spostamenti o le rotazioni impedite dai vincoli siano nulli. dal momento che la soluzione deve essere unica. q B A OA MA l VA RB La struttura è formata da un unico corpo semplice vincolato da un incastro e da un appoggio: v = 3i + a = 3 ⋅1 + 1 = 4 h = v − 3m = 4 − 3 ⋅ 1 = 1 Il sistema è una volta iperstatico.L. Le reazioni vincolari vengono espresse in funzione degli spostamenti dei nodi. detti nodi. in aggiunta all'equilibrio. per le quali il numero di reazioni vincolari incognite supera il numero di equazioni di equilibrio linearmente indipendenti utilizzabili. CENNI SUL CALCOLO DELLE STRUTTURE IPERSTATICHE Il calcolo del grado di iperstaticità h. alle equazioni di equilibrio si devono aggiungere h ulteriori condizioni. le rimanenti reazioni. assunti come sovrabbondanti. definito al cap. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” 8. In altri termini. Questo metodo è tradizionalmente usato per la risoluzione manuale di strutture con piccolo grado di iperstaticità. Adottando il metodo degli spostamenti invece si assumono come incognite gli spostamenti di punti caratteristici della struttura. 1. utilizzando le equazioni di equilibrio a disposizione. ciò significa che è possibile assegnare arbitrariamente il valore di h reazioni vincolari e determinare comunque. permette di riconoscere le strutture iperstatiche. Poiché tale arbitrarietà non è possibile dal punto di vista fisico. che saranno ovviamente dipendenti (oltre che dai carichi esterni) dagli h valori assegnati. Nell'ambito di questa trattazione ci si limiterà a illustrare l'applicazione del metodo delle forze mediante l'esempio mostrato nella figura seguente. ci si accorge facilmente che l'iperstaticità riguarda il comportamento flessionale mentre la reazione orizzontale è immediatamente determinabile: →: OA = 0 Le due rimanenti equazioni di equilibrio che si possono scrivere non permettono di determinare le tre reazioni ancora incognite: ql 2 ↑: VA + RB + ql = 0 A : RB l − M A + =0 2 93 . in quanto consente la stesura di algoritmi di soluzione di tipo generale. in generale sono possibili due diverse approcci alla soluzione. Questo secondo metodo è particolarmente usato per il calcolo automatico delle strutture. le si determina imponendo l'equilibrio della struttura. le equazioni seguenti. se si adotta il sistema ridotto (I) risulta possibile la rotazione dell'estremo A. Per i due sistemi ridotti mostrati nel caso in esame si ottengono. La scelta del sistema ridotto non è univoca. se si adotta invece il sistema ridotto (II) risulta possibile le spostamento verticale dell'estremo B. su cui non agiscono i carichi reali bensì una componente (incognita) di forza o momento corrispondente alla reazione del vincolo eliminato. detta sistema supplementare. Nel caso in esame. rispettivamente. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Utilizzando il metodo delle forze si sostituisce alla struttura reale una struttura da essa ottenuta eliminando un vincolo sovrabbondante. 8Nei testi di calcolo strutturale si parla più comunemente di sistema principale.L. Per il caso in esame i sistemi supplementari corrispondenti ai due diversi sistemi ridotti sono i seguenti: (I) (II) MA A B A B RB Le reazioni incognite (MA oppure RB) vengono allora determinate imponendo che nel sistema supplementare si produca. (I) q (II) q A B A B Le reazioni vincolari e le caratteristiche di sollecitazione per il sistema ridotto possono essere calcolate utilizzando le sole equazioni della statica. ad esempio due possibili sistemi ridotti per il caso in esame sono mostrati nelle figure seguenti. 94 . Per correggere tali effetti e rispettare le condizioni di vincolo imposte nella struttura reale si deve considerare un'ulteriore struttura. Questo procedimento si basa sulla sovrapposizione degli effetti tra sistema ridotto e sistema supplementare e permette di risolvere la struttura iperstatica di partenza. che nella struttura reale è impedito dall'appoggio. che nella struttura reale è impedita dall'incastro. si è preferito non adottare tale denominazione per evitare possibili confusioni (puramente linguistiche!) con i sistemi di riferimento principale per le tensioni e le deformazioni o per i momenti d'inerzia. tale struttura resa isostatica viene detta sistema ridotto8. uno spostamento (o una rotazione) uguale in modulo e opposto in segno a quello prodotto dal carico reale nel sistema ridotto. determinandone anche la configurazione deformata ci si accorge che spostamenti (o rotazioni) bloccati dai vincoli nella struttura reale sono non nulli nel sistema ridotto. Quest'ultimo è costituito dalla stessa struttura isostatica adottata per il sistema ridotto. in corrispondenza del vincolo eliminato. Sistema ridotto q (0) OA (0) A OA B (0) A (0) VA RB (0) S (0) (0) VA q Ty N (0) Mx z Reazioni vincolari →: ( 0) OA = 0 l B : ( 0)VA + ql = 0 2 l A : ( 0) RB + ql = 0 2 Momento flettente ql 2 ql ( 0) RB = − 2 VA = − ( 0) qz 2 qlz qz 2 S : M x =− VA z − = − 2 2 2 (0 ) (0 ) 2 ( 0) d αx d Mx v Equazione differenziale della linea elastica: − = = − 2 dz EJ xx dz ( 0) z M x + VA z + qz = 0 2 (0 ) Rotazione (0)αx(z): Spostamento (0) v(z): ( 0) ( 0) ( 0) αx = ∫ ( 0) v = −∫ ( 0) Mx q z3 ql z 2 ( 0 ) + + C1 dz = − EJ xx 2 EJ xx 3 2 EJ xx 2 (0 ) q z4 ql z 3 ( 0 ) α x dz = − − C1 z + (0 ) C 2 6 EJ xx 4 4 EJ xx 3 Si determinano le costanti di integrazione annullando gli spostamenti in A e B: ( 0) A ( 0) v = v ( 0) = 0 ⇒ ( 0)C2 = 0 ql 3 ( 0) B ( 0) v = v ( l ) = 0 ⇒ ( 0)C1 = − 24 EJ xx L'andamento di rotazione e spostamento nel sistema ridotto è quindi descritto dalle funzioni: 95 . si mostra la soluzione dell'iperstatica adottando la scelta (I). ad esempio nel caso dei momenti flettenti si avrà: M x ( z )= ( 0) M x ( z )+ (1)M x ( z ) (0) αxA: A titolo di esempio. la stessa legge di sovrapposizione degli effetti può essere utilizzata per calcolare le caratteristiche del sistema reale in una qualsiasi sezione della struttura.L. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” ( 0) (I) α Ax + (1) α Ax = α Ax = 0 v + (1) v B = v B = 0 ( 0) B (II) (0) B v : freccia dell'estremo B nel sistema rotazione dell'estremo A nel ridotto (0) sistema ridotto (0) (1) B (1) A v : freccia dell'estremo B nel sistema αx : rotazione dell'estremo A nel supplementare (1) sistema supplementare (1) B A v : freccia dell'estremo B nel sistema αx : rotazione dell'estremo A nel reale (=0 perché impedita sistema reale (=0 perché dall'appoggio) impedita dall'incastro) Una volta determinata la reazione vincolare incognita. L. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” ( 0) α x ( z) = ql 3 2 EJ xx  z3 z2 1 − 3 + 2 −   3l 12  2l  ( 0) v( z ) = ql 4 12 EJ xx  z 4 z3 z   4− 3 +   2l 2l  l  In corrispondenza del vincolo soppresso la rotazione vale: ( 0) α Ax = ( 0 ) α x (0) = − Sistema supplementare MA (1) OA A (1) ql 3 24 EJ xx (1) (1) B B S (1) (1) VA N Ty Mx RB (1) RB z Reazioni vincolari →: (1)OA = 0 VA l + M A = 0 B : (1) A : (1) RB l − M A = 0 MA l M (1) RB = A l (1) VA = − (1) M x =− (1) RB (l − z ) = Momento flettente S : (1) M x + (1)RB (l − z ) = 0 MA z −MA l (1) Mx d (1) α x d 2 (1) v − = =− 2 EJ xx dz dz Equazione differenziale della linea elastica: (1) Mx M A z2 MA dz = z + (1)C1 − EJ xx lEJ xx 2 EJ xx Rotazione (1)αx(z): (1) αx = ∫ Spostamento (1)v(z): (1) v = − ∫ (1) α x dz = − M A z 3 M A z 2 (1) + − C1 z + (1) C 2 2lEJ xx 3 EJ xx 2 Si determinano le costanti di integrazione annullando gli spostamenti in A e B: (1) A (1) (1) v = v (0) = 0 ⇒ C2 = 0 M Al (1) (1) B (1) v = v(l ) = 0 ⇒ C1 = 3EJ xx L'andamento di rotazione e spostamento nel sistema ridotto è quindi descritto dalle funzioni: M l  z2 z 1  M l 2  z3 z2 z (1) (1) α x ( z ) = A  2 − +  v ( z ) = A  − 3 + 2 −  EJ xx  2l l 3 EJ xx  6l 3l  2l In corrispondenza del vincolo soppresso la rotazione vale: M Al (1) A (1) α x = α x (0) = 3EJ xx Note le soluzioni relative al sistema ridotto e a quello supplementare. si può calcolare la reazione incognita MA imponendo che nella struttura reale la rotazione in A sia nulla: ( 0 ) A (1) A α x + α x = α Ax = 0 96 . per tale motivo. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” − M Al ql 3 + =0 24 EJ xx 3EJ xx MA = ⇒ ql 2 8 L'andamento del momento flettente (come di ogni altra caratteristica di sollecitazione) nella struttura reale può essere ottenuto per sovrapposizione degli effetti: qz 2 qlz M A M x ( z )= (0) M x ( z )+ (1)M x ( z ) = − + + z − MA 2 2 l ql 2 ql 2  z 2 5 z 1  q 2 ql ql 2  − +  =− z− M x ( z) = − z + z + 2 2 8l 8 2  l 2 4l 4  1l 1 ql 2 2 8 (0) Mx Sistema ridotto + - Sistema supplementare (1) 2 . va inoltre detto che l'attuale larghissima diffusione dei programmi di calcolo strutturale (adatti anche a microcalcolatori) ha progressivamente diminuito l'importanza dei metodi tradizionali di soluzione delle iperstatiche. Nella letteratura tecnica sono disponibili. questa trattazione è limitata ad un semplice cenno volto soprattutto a presentare l'aspetto fisico del problema.1 ql 8 1l 4 Struttura reale 5 l 8 Mx 9 ql 2 128 + . su manuali o prontuari.L. anche per determinare le soluzioni di casi complessi come combinazione lineari di soluzioni relative a casi semplici. oltre che direttamente. oltre che per la limitatezza dello spazio disponibile.1 ql 2 8 Mx Nel caso di strutture con grado di iperstaticità h > 1 il procedimento è concettualmente identico: si eliminano h vincoli semplici per ottenere il sistema ridotto isostatico e le reazioni iperstatiche incognite vengono determinate utilizzando h sistemi supplementari. le soluzioni in forma tabellare e grafica per le più comuni strutture iperstatiche sottoposte a varie condizioni di carico. 97 . queste possono essere utilizzate. In conclusione. omogenea. z = l0 ⇒ v=0 Tali condizioni possono essere soddisfatte da due forme diverse di soluzione. Per trattare questo fenomeno non è più accettabile la semplificazione consistente nel calcolare l'equilibrio della struttura (e quindi anche le caratteristiche di sollecitazione) nella configurazione indeformata. nel modo che sarà chiarito successivamente. il momento agente in una generica sezione S vale: Mx S v P S : M x − Pv + RB (l 0 − z ) = 0 M x = Pv z RB In questa situazione è quindi l'inflessione trasversale v dell'asta che "fornisce" al carico assiale P il braccio che genera il momento flettente. dove ω 2 = P / EJ xx mentre V e ϕ si determinano in base alle condizioni al contorno: z=0 ⇒ v=0.L. Ammettendo che l'asta si infletta. ϕ arbitrario: l'asta non si inflette e rimane rettilinea 98 . Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” INSTABILITÀ ELASTICA DI ELEMENTI COMPRESSI: IL CARICO DI PUNTA Nel caso di elementi soggetti a forza normale di compressione si può verificare un tipo di collasso differente dal semplice cedimento del materiale per superamento del limite di resistenza a compressione. Scrivendo l'equazione differenziale della linea elastica si ottiene: Mx Pv d 2v =− =− 2 EJ xx EJ xx dz Si è quindi ottenuta un'equazione differenziale del secondo ordine. in quest'ultimo estremo agisce una forza esterna assiale P che produce compressione nell'elemento. di tipo lineare a coefficienti costanti: P v ′′ + v=0 EJ xx Essa ammette la soluzione v = V sen (ωz + ϕ ) . i) V = 0. v(z) A B P O A B P A VA l0 →: OA − P = 0 B : VA l 0 = 0 A : RB l 0 = 0 RB OA = P VA = 0 RB = 0 Il caso rappresentato in figura costituisce l'asta di Eulero. vincolata in A da una cerniera e in B da un appoggio. Goglio 9. ma è necessario tenere conto della variazione geometrica dovuta all'applicazione del carico. perché si verifichi la ii). si definisce quindi la tensione critica σcr dividendo il carico critico Pcr per l'area A dell'asta: 2 P π 2 EJ min 2 ρ min σ cr = cr = = π E 2 A l 02 A l0 99 . Quindi. Tale fenomeno è noto come instabilità elastica o anche collasso per carico di punta. esso costituisce nella maggior parte dei casi pratici il principale pericolo per elementi soggetti a compressione.L. come un lieve carico trasversale o un'imperfezione geometrica. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” ii) se ωl0 = π (o un multiplo intero di π) si può avere ϕ = 0. finché il carico assiale P è sufficientemente basso è possibile la sola configurazione rettilinea i). in pratica la flessione per instabilità avviene nel piano in cui l'asta presenta la minore rigidezza flessionale e quindi il minore momento d'inerzia della sezione. Finché P < Pcr (condizioni subcritiche) l'unica configurazione possibile è quella di tipo i) V = 0 (asse rettilineo). V arbitrario: l'asta si inflette come una sinusoide. In termini generali si può quindi scrivere: π 2 EJ min Pcr = l02 Per confrontare tale fenomeno con il collasso corrispondente allo snervamento del materiale conviene spostare la trattazione in termini di tensione. quando P ≥ Pcr (condizioni critiche) diventa possibile anche la configurazione di tipo ii) con V ≠ 0. Il problema è stato impostato considerando il comportamento nel piano zy. P i) instabile ii) Pcr i) stabile V È importante notare che in quest'ultimo caso le due configurazioni non sono equivalenti: infatti la i) è instabile e basta quindi una piccola perturbazione. la soluzione flessionale ii) diventa possibile quando si raggiunge la condizione critica: P ωl 0 = l0 = π EJ xx Quadrando entrambi i membri la condizione critica trasforma in Pl 02 = π2 EJ xx Da quest'ultima eguaglianza si ottiene il valore del carico critico di compressione Pcr: π 2 EJ xx Pcr = l 02 Il diagramma mostra le possibili configurazioni di carico assiale e spostamento trasversale per l'asta sottoposta a compressione. Di conseguenza. P appoggio l0 = l 2 l0 = 2l incastro P coppia prismatica libero l P incastro l 0 = 0.L. nella realtà si ha un intervallo di transizione nell'ambito del quale il collasso avviene per instabilità. non si aumenta la sicurezza adottando un materiale avente caratteristiche di resistenza maggiori.2 π E λ2 2 σcr = λ Dall'esame del grafico si ricava che per valori di snellezza elevati il collasso a compressione si verifica per instabilità (cioè l'asta si inflette lateralmente). ad esempio è inutile passare da un acciaio a basso limite di snervamento ad un altro con limite più elevato. Si noti che nel caso dell'instabilità elastica il valore della tensione critica è legato al modulo di Young del materiale e alla snellezza (e quindi alla geometria dell'asta). nei confronti di tale pericolo. ma non dipende dal limite di resistenza del materiale.7l incastro 100 . viceversa per bassi valori di snellezza (elementi corti e tozzi) il fenomeno dell'instabilità non può verificarsi perché il collasso avviene per snervamento del materiale. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” dove ρ min = J min / A è il minimo raggio d'inerzia della sezione. ma di tipo elasto-plastica. dal momento che il modulo di Young è praticamente uguale per tutti gli acciai. Tale transizione improvvisa dall'instabilità elastica allo snervamento è evidentemente una semplificazione. si definisce snellezza dell'asta il rapporto: λ= l0 ρ min Sostituendo quest'ultima definizione nella formula della tensione critica si ottiene π2 E σ cr = 2 λ σcr R p0. L. i coefficienti di sicurezza da adottare devono essere elevati. 101 . in particolare nel caso delle strutture reticolari. in generale l0 rappresenta la distanza tra due sezioni in cui il momento flettente è nullo ed è pari alla semilunghezza d'onda della deformata. Goglio Dispensa per il corso “Comportamento Meccanico dei Materiali” Nell'esempio utilizzato per presentare l'argomento (asta incernierata agli estremi) l0 coincide con la lunghezza dell'asta. Nella verifica degli elementi strutturali. la figura precedente riporta i valori per alcuni casi notevoli. Il valore di l0 dipende dalle condizioni di vincolo agli estremi. senza deformazioni progressive che avvertono del raggiungimento della condizione limite (ciò che capita invece nel caso dello snervamento). gli elementi soggetti a carico assiale di compressione devono essere verificati anche rispetto all'instabilità: σ zz < σ cr Poiché tale tipo di collasso può avere conseguenze gravi e avviene in modo improvviso.