Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik II (GET II) Grundlagen der Elektrotechnik II (GET II) Grundlagen der Elektrotechnik II (GET II) Grundlagen der Elektrotechnik II (GET II) Vorlesung am 04.07.2005 Vorlesung am 04.07.2005 Vorlesung am 04.07.2005 Vorlesung am 04.07.2005 Di. 12:15 Di. 12:15 Di. 12:15 Di. 12:15- -- -13.45 Uhr; R. 1603 (H 13.45 Uhr; R. 1603 (H 13.45 Uhr; R. 1603 (H 13.45 Uhr; R. 1603 (Hö öö örsaal) rsaal) rsaal) rsaal) Universit Universit Universit Universitä ää ät Kassel (UNIK) t Kassel (UNIK) t Kassel (UNIK) t Kassel (UNIK) Fachbereich Elektrotechnik / Informatik (FB 16) Fachbereich Elektrotechnik / Informatik (FB 16) Fachbereich Elektrotechnik / Informatik (FB 16) Fachbereich Elektrotechnik / Informatik (FB 16) Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Wilhelmsh Wilhelmsh Wilhelmsh Wilhelmshö öö öher Allee 71 her Allee 71 her Allee 71 her Allee 71 B BB Bü üü üro: Raum 2113 / 2115 ro: Raum 2113 / 2115 ro: Raum 2113 / 2115 ro: Raum 2113 / 2115 D DD D- -- -34121 Kassel 34121 Kassel 34121 Kassel 34121 Kassel Dr. Dr. Dr. Dr.- -- -Ing. Ren Ing. Ren Ing. Ren Ing. René éé é Marklein Marklein Marklein Marklein E-Mail:
[email protected] Tel.: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489 URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 2 Verband der Elektrotechnik, Elektronik, Informationstechnik Verband der Elektrotechnik, Elektronik, Informationstechnik Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 3 Verband der Elektrotechnik, Elektronik, Informationstechnik Verband der Elektrotechnik, Elektronik, Informationstechnik Der VDE in Zahlen: VDE VERLAG GMBH VDE VERLAG GMBH VDE VERLAG GMBH VDE VERLAG GMBH VDE GLOBAL SERVICES GMBH VDE GLOBAL SERVICES GMBH VDE GLOBAL SERVICES GMBH VDE GLOBAL SERVICES GMBH VDE Pr VDE Pr VDE Pr VDE Prü üü üf ff f- -- - und Zertifizierungsinstitut und Zertifizierungsinstitut und Zertifizierungsinstitut und Zertifizierungsinstitut DKE DKE DKE DKE Deutsche Deutsche Deutsche Deutsche Kommission Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik im DIN Kommission Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik im DIN Kommission Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik im DIN Kommission Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik im DIN und VDE und VDE und VDE und VDE VDE/VDE VDE/VDE VDE/VDE VDE/VDE- -- -IT (IT: IT (IT: IT (IT: IT (IT: Informationstechnik Informationstechnik Informationstechnik Informationstechnik) )) ) 5 55 5 Fachgesellschaften Fachgesellschaften Fachgesellschaften Fachgesellschaften 29 Bezirksvereine, Landesvertretungen in den Bundesl 29 Bezirksvereine, Landesvertretungen in den Bundesl 29 Bezirksvereine, Landesvertretungen in den Bundesl 29 Bezirksvereine, Landesvertretungen in den Bundeslä ää ändern ndern ndern ndern 34.000 34.000 34.000 34.000 Mitglieder, davon 1.250 Unternehmen, 6.000 Studenten Mitglieder, davon 1.250 Unternehmen, 6.000 Studenten Mitglieder, davon 1.250 Unternehmen, 6.000 Studenten Mitglieder, davon 1.250 Unternehmen, 6.000 Studenten Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 4 Verband der Elektrotechnik, Elektronik, Informationstechnik Verband der Elektrotechnik, Elektronik, Informationstechnik Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 5 VDE VDE VDE VDE- -- -Homepage: Homepage: Homepage: Homepage: www.vde.de www.vde.de www.vde.de www.vde.de Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 6 VDE VDE VDE VDE Verband der Elektrotechnik Elektronik Informations- technik Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 7 VDE VDE VDE VDE Verband der Elektrotechnik Elektronik Informations- technik Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 8 IEEE: Institute of Electrical and Electronics Engineers IEEE: Institute of Electrical and Electronics Engineers IEEE: Institute of Electrical and Electronics Engineers IEEE: Institute of Electrical and Electronics Engineers Homepage: www.ieee.org Homepage: www.ieee.org Homepage: www.ieee.org Homepage: www.ieee.org Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 9 IEEE IEEE IEEE IEEE- -- -Homepage: Homepage: Homepage: Homepage: www.ieee.org www.ieee.org www.ieee.org www.ieee.org About the IEEE About the IEEE About the IEEE About the IEEE The IEEE (Eye-triple-E) is a non-profit, technical professional association of more than 360,000 individual members in approximately 175 countries. The full name is the Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc., although the organization is most popularly known and referred to by the letters I-E-E-E. Through its members, the IEEE is a leading authority in technical areas ranging from computer engineering, biomedical technology and telecommunications, to electric power, aerospace and consumer electronics, among others. Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 10 IEEE IEEE IEEE IEEE- -- -Homepage Homepage Homepage Homepage: www.ieee.org : www.ieee.org : www.ieee.org : www.ieee.org Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 11 IEEE IEEE IEEE IEEE- -- -Homepage Homepage Homepage Homepage: www.ieee.org : www.ieee.org : www.ieee.org : www.ieee.org Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 12 IEEE IEEE IEEE IEEE- -- -Homepage Homepage Homepage Homepage: www.ieee.org : www.ieee.org : www.ieee.org : www.ieee.org Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 13 Ü ÜÜ Übersicht: Charakteristische Eigenschaften der einfachen Reihen bersicht: Charakteristische Eigenschaften der einfachen Reihen bersicht: Charakteristische Eigenschaften der einfachen Reihen bersicht: Charakteristische Eigenschaften der einfachen Reihen- -- - und Parallelschaltung und Parallelschaltung und Parallelschaltung und Parallelschaltung Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 14 7.2.9.3 7.2.9.3 7.2.9.3 7.2.9.3 Kompliziertere Kompliziertere Kompliziertere Kompliziertere Ortskurvenformen Ortskurvenformen Ortskurvenformen Ortskurvenformen Schrittweise Konstruktion! Beispiel: Beispiel: Beispiel: Beispiel: 1. Ortskurve der Parallelschaltung -> Halbkreis 2. Ortskurve L 1 ist Halbgerade 3. Addition L 1 geometrisch für verschiedene Frequenzen Bild 7.79a, b, c. Bild 7.79a, b, c. Bild 7.79a, b, c. Bild 7.79a, b, c. Ersatzzweipol Ersatzzweipol Ersatzzweipol Ersatzzweipol und und und und Z-Ortskurven Ortskurven Ortskurven Ortskurven eines verlustlosen Transformators eines verlustlosen Transformators eines verlustlosen Transformators eines verlustlosen Transformators (vgl. Bild 7.79a, b, c in vgl. Bild 7.79a, b, c in vgl. Bild 7.79a, b, c in vgl. Bild 7.79a, b, c in Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann [2005, Bd. II, S. 86]) [2005, Bd. II, S. 86]) [2005, Bd. II, S. 86]) [2005, Bd. II, S. 86]) { } Re Z { } jIm Z 2 Z { } jIm Z { } Re Z 2 L 1 L R 1 1 j L ω 2 -Ortskurve Z 2 1 j L ω 3 1 j L ω ω ω 0 ω = ω →∞ ω R R 0 ω = 1 L ω → ∞ 2 -Ortskurve Z -Ortskurve Z -Ortskurven Z ω ω → ∞ ω →∞ Z Z Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 15 Realer Widerstand, realer Kondensator, reale Spule Realer Widerstand, realer Kondensator, reale Spule Realer Widerstand, realer Kondensator, reale Spule Realer Widerstand, realer Kondensator, reale Spule Realer Widerstand Realer Widerstand Realer Widerstand Realer Widerstand Realer Kondensator Realer Kondensator Realer Kondensator Realer Kondensator Reale Spule Reale Spule Reale Spule Reale Spule Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 16 7.2.9.4 Das Kreisdiagramm 7.2.9.4 Das Kreisdiagramm 7.2.9.4 Das Kreisdiagramm 7.2.9.4 Das Kreisdiagramm ( (( (Schmidt Schmidt Schmidt Schmidt- -- -Buschbeck Buschbeck Buschbeck Buschbeck- -- -Diagramm Diagramm Diagramm Diagramm) )) ) rechtwinkeligen wird in Koordinaten krummlinigen vorgegeben und das zugehörige krummlinigen wird in Koordinaten rechtwinkeligen abgelesen! Z Y Y Z ¹ ¦ ¹ ` ´ ` ) ¹ ) ¦ ¹ ¦ ¹ ´ ` ´ ` ¹ ) ¹ ) Bild 7.79d. Bild 7.79d. Bild 7.79d. Bild 7.79d. Ortskurvenscharen Ortskurvenscharen Ortskurvenscharen Ortskurvenscharen der der der der G, , , , B- -- - Parallelschaltung und Parallelschaltung und Parallelschaltung und Parallelschaltung und der der der der R, , , , X- -- -Reihenschaltung, wobei einmal Reihenschaltung, wobei einmal Reihenschaltung, wobei einmal Reihenschaltung, wobei einmal G als konstant (oberer als konstant (oberer als konstant (oberer als konstant (oberer Bildteil) und das andere Mal Bildteil) und das andere Mal Bildteil) und das andere Mal Bildteil) und das andere Mal B als konstant (unterer Bildteil) als konstant (unterer Bildteil) als konstant (unterer Bildteil) als konstant (unterer Bildteil) vorausgesetzt wird vorausgesetzt wird vorausgesetzt wird vorausgesetzt wird (vgl. Bild 7.79d in vgl. Bild 7.79d in vgl. Bild 7.79d in vgl. Bild 7.79d in Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann [2005, Bd. II, S. 87]) [2005, Bd. II, S. 87]) [2005, Bd. II, S. 87]) [2005, Bd. II, S. 87]) G R jX jB Y Z jB jX B B B 1 G 2 G G G Y ϕ Y ϕ − 2 G 1 G G B B Z 1 1 G 2 1 G G jX R jB 2 B 1 B 2 B − 1 B − G G R G G B 2 1 B 1 1 B 1 B − 2 B − B B 2 B 2 1 B − 1 1 B − 1 B Z ϕ − ϕ Y Z Y Z Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 17 7.2.9.4 Das Kreisdiagramm ( 7.2.9.4 Das Kreisdiagramm ( 7.2.9.4 Das Kreisdiagramm ( 7.2.9.4 Das Kreisdiagramm (Schmidt Schmidt Schmidt Schmidt- -- -Buschbeck Buschbeck Buschbeck Buschbeck- -- -Diagramm Diagramm Diagramm Diagramm) )) ) Bild 7.79e. Ermittlung der Bild 7.79e. Ermittlung der Bild 7.79e. Ermittlung der Bild 7.79e. Ermittlung der Impedanz (oder Admittanz), wenn Impedanz (oder Admittanz), wenn Impedanz (oder Admittanz), wenn Impedanz (oder Admittanz), wenn zu einem gegebenen Wert eine zu einem gegebenen Wert eine zu einem gegebenen Wert eine zu einem gegebenen Wert eine Bauelement ( Bauelement ( Bauelement ( Bauelement (R, , , , L oder oder oder oder C) in Reihe ) in Reihe ) in Reihe ) in Reihe oder parallel geschaltet wird oder parallel geschaltet wird oder parallel geschaltet wird oder parallel geschaltet wird (vgl. vgl. vgl. vgl. Bild 7.79e in Bild 7.79e in Bild 7.79e in Bild 7.79e in Clausert & Clausert & Clausert & Clausert & Wiesemann Wiesemann Wiesemann Wiesemann [2005, Bd. II, S. 88]) [2005, Bd. II, S. 88]) [2005, Bd. II, S. 88]) [2005, Bd. II, S. 88]) 1 1 1 / 0, 4 j0,2 / j / Y G G G B G = − = + 1 / 2 j1 Z R = + 1 / 2 j1 Z R = + 1 X R 1 0, 4 G G = 1 0, 3 B G = − 1 0,1 B G = − 1 0, 2 B G = − Gegeben: Gegeben: Gegeben: Gegeben: Normierte Impedanz: Gesucht: Gesucht: Gesucht: Gesucht: Gesamtimpedanz nach Reihenschaltung eines Bauteils! 1 1 1 1 neue normierte Bau- normierter Verdeutlichung Impedanz / element Zusatzwiderstand durch Pfeil / 0, 5 2, 5 j 1 1: / 0, 5 2 j 1,5 2 : / 0, 5 2 j 0, 5 3 : r r r r Lr r r Cr r Z R R R R R L X R L C X R C = + = + = − + 1 / R R 1: r R 2 : r L 3 : r C Reihenschaltung! Reihenschaltung! Reihenschaltung! Reihenschaltung! P 1 0, 5 G G = Normierung: Normierung: Normierung: Normierung: 1 1 1 1 1 1 j j j j Z R X Z R X R R R Y G B Y G B G G G = + ⇒ = + = + ⇒ = + 1 1 1 R G ⋅ = mit Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 18 7.2.9.4 Das Kreisdiagramm ( 7.2.9.4 Das Kreisdiagramm ( 7.2.9.4 Das Kreisdiagramm ( 7.2.9.4 Das Kreisdiagramm (Schmidt Schmidt Schmidt Schmidt- -- -Buschbeck Buschbeck Buschbeck Buschbeck- -- -Diagramm Diagramm Diagramm Diagramm) )) ) Bild 7.79e. Ermittlung der Bild 7.79e. Ermittlung der Bild 7.79e. Ermittlung der Bild 7.79e. Ermittlung der Impedanz (oder Admittanz), wenn Impedanz (oder Admittanz), wenn Impedanz (oder Admittanz), wenn Impedanz (oder Admittanz), wenn zu einem gegebenen Wert eine zu einem gegebenen Wert eine zu einem gegebenen Wert eine zu einem gegebenen Wert eine Bauelement ( Bauelement ( Bauelement ( Bauelement (R, , , , L oder oder oder oder C) in Reihe ) in Reihe ) in Reihe ) in Reihe oder parallel geschaltet wird oder parallel geschaltet wird oder parallel geschaltet wird oder parallel geschaltet wird (vgl. vgl. vgl. vgl. Bild 7.79e in Bild 7.79e in Bild 7.79e in Bild 7.79e in Clausert & Clausert & Clausert & Clausert & Wiesemann Wiesemann Wiesemann Wiesemann [2005, Bd. II, S. 88]) [2005, Bd. II, S. 88]) [2005, Bd. II, S. 88]) [2005, Bd. II, S. 88]) 1 1 1 / 0, 4 j0,2 / j / Y G G G B G = − = + 1 / 2 j1 Z R = + Gegeben: Gegeben: Gegeben: Gegeben: Normierte Impedanz: Gesucht: Gesucht: Gesucht: Gesucht: Gesamtimpedanz nach Parallelschaltung eines Bauteils! 1 1 1 1 neue normierte Bau- normierter Verdeutlichung im Impedanz / element Zusatzwiderstand Kreisdiagramm / 0,1 0, 5 j 0, 2 4 : / 0,1 0, 4 j 0, 3 5 : / 0,1 0, 4 j 0,1 6 : p p p p Lp p p Cp p Z R G G G G L B G L C B G C = − = − − = − Parallelschaltung! Parallelschaltung! Parallelschaltung! Parallelschaltung! 1 X R 1 0, 4 G G = 1 0, 3 B G = − 1 0,1 B G = − 1 0, 2 B G = − 1 / R R 1 0, 5 G G = 5 : p L P 1 / 2 j1 Z R = + 6 : p C 4 : p G Normierung: Normierung: Normierung: Normierung: 1 1 1 1 1 1 j j j j Z R X Z R X R R R Y G B Y G B G G G = + ⇒ = + = + ⇒ = + 1 1 1 R G ⋅ = mit Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 19 7.2.9.4 Das Kreisdiagramm ( 7.2.9.4 Das Kreisdiagramm ( 7.2.9.4 Das Kreisdiagramm ( 7.2.9.4 Das Kreisdiagramm (Schmidt Schmidt Schmidt Schmidt- -- -Buschbeck Buschbeck Buschbeck Buschbeck- -- -Diagramm Diagramm Diagramm Diagramm) )) ) Kreisdiagramm 1. Art Kreisdiagramm 1. Art Kreisdiagramm 1. Art Kreisdiagramm 1. Art ( (( (Schmidt Schmidt Schmidt Schmidt- -- -Buschbeck Buschbeck Buschbeck Buschbeck- -- -Diagramm Diagramm Diagramm Diagramm) )) ) Kreisdiagramm 2. Art Kreisdiagramm 2. Art Kreisdiagramm 2. Art Kreisdiagramm 2. Art (Smith (Smith (Smith (Smith- -- -Diagramm) Diagramm) Diagramm) Diagramm) Z.B. Smith-Diagramm, 1937 von Phillip Smith (1905-1987) entwickelt -> Leitungstheorie, Hochfrequenztechnik Leitungstheorie, Hochfrequenztechnik Leitungstheorie, Hochfrequenztechnik Leitungstheorie, Hochfrequenztechnik 1 X R 1 0, 4 G G = 1 0, 3 B G = − 1 0,1 B G = − 1 0, 2 B G = − 1 / R R 1 0, 5 G G = 5 : p L P 1 / 2 j1 Z R = + 6 : p C 4 : p G Nachteil des Kreisdiagramms 1. Art Nachteil des Kreisdiagramms 1. Art Nachteil des Kreisdiagramms 1. Art Nachteil des Kreisdiagramms 1. Art Unsch Unsch Unsch Unschö öö ön, weil immer nur ein begrenzter Teil n, weil immer nur ein begrenzter Teil n, weil immer nur ein begrenzter Teil n, weil immer nur ein begrenzter Teil der Impedanz der Impedanz der Impedanz der Impedanz- -- - bzw. bzw. bzw. bzw. Admittanzebene Admittanzebene Admittanzebene Admittanzebene dagestellt dagestellt dagestellt dagestellt werden kann. Z.B. die Punkte f werden kann. Z.B. die Punkte f werden kann. Z.B. die Punkte f werden kann. Z.B. die Punkte fü üü ür Unendlich (Leer r Unendlich (Leer r Unendlich (Leer r Unendlich (Leer- -- - lauf) sind nicht im Diagramm enthalten: lauf) sind nicht im Diagramm enthalten: lauf) sind nicht im Diagramm enthalten: lauf) sind nicht im Diagramm enthalten: Besser Besser Besser Besser - -- -> Smith > Smith > Smith > Smith- -- -Diagramm Diagramm Diagramm Diagramm Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 20 Das Smith Das Smith Das Smith Das Smith- -- -Diagramm Diagramm Diagramm Diagramm Anwendungen des Smith-Diagramms - Impedanztransformationen mit einem Bauelement - Komplexe Transformationen - Frequenzgangdarstellung - Bestimmung des Stehwellenverhältnisses Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 21 Das Smith Das Smith Das Smith Das Smith- -- -Diagramm Diagramm Diagramm Diagramm Abbildungsvorschrift: Abbildungsvorschrift: Abbildungsvorschrift: Abbildungsvorschrift: ( ) az b m z cz d + = + Spezialform der Spezialform der Spezialform der Spezialform der allgemeinen allgemeinen allgemeinen allgemeinen M MM Mö öö öbius bius bius bius- -- -Transformation: Transformation: Transformation: Transformation: Sparte der Mathematik: Sparte der Mathematik: Sparte der Mathematik: Sparte der Mathematik: - Konforme Abbildungen Konforme Abbildungen Konforme Abbildungen Konforme Abbildungen - Komplexe Analysis Komplexe Analysis Komplexe Analysis Komplexe Analysis - Funktionentheorie Funktionentheorie Funktionentheorie Funktionentheorie Vorteil: Vorteil: Vorteil: Vorteil: Die gesamt Impedanz Die gesamt Impedanz Die gesamt Impedanz Die gesamt Impedanz- -- - und und und und Admittanzebene Admittanzebene Admittanzebene Admittanzebene, ,, , incl. der Punkte Unendlich incl. der Punkte Unendlich incl. der Punkte Unendlich incl. der Punkte Unendlich werden in ein Kreisdiagramm werden in ein Kreisdiagramm werden in ein Kreisdiagramm werden in ein Kreisdiagramm abgebildet! abgebildet! abgebildet! abgebildet! 0 / z Z Z = Z.B.: Z.B.: Z.B.: Z.B.: Anwendung in der Anwendung in der Anwendung in der Anwendung in der Hochfrequenztechnik: Hochfrequenztechnik: Hochfrequenztechnik: Hochfrequenztechnik: 1 1 ( ) 0 1 1 1 1 0 2 0 1 j 1 j 1 j j j 1 j 1 j 1 j (1 j) 1 j j j (1 j ) 1 j 1 z z z r z − + − + − ∞ ∞ ∞ − + + ∞ − + ∞ + ∞ − − + − − − ∞ − + ∞ − ∞ ( ) 1 1 z r z z − = + ( ) 1 1 z r z z − = + 0 z = 1 r = − 0 r = 1 r = j j z ∞ ¦ ¦ = ∞ ´ ¦ − ∞ ¹ j z = − j r = − j z = − j r = Ebene z − Ebene r − : r komplexer komplexer komplexer komplexer Reflexionsfaktor Reflexionsfaktor Reflexionsfaktor Reflexionsfaktor Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 22 Das Smith Das Smith Das Smith Das Smith- -- -Diagramm Diagramm Diagramm Diagramm 1 0 1 0 1 1, 5 j 2 R Y Z G = = − 2 0 2 0 1 j 2, 5 R Y Z G = = 1 1, 5 j 2 − 1, 5 j 2 − 1, 5 j2 − j 2, 5 1 j 2, 5 j2 − 1, 5 j 2, 5 3 1 1 2 3 Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 23 Das Smith Das Smith Das Smith Das Smith- -- -Diagramm Diagramm Diagramm Diagramm 1 1, 5 j 2 − 1, 5 j 2 − 1, 5 j2 − j 2, 5 1 j 2, 5 ( ) 0 0 0 1 1 1 1, 5 j 2 j 2, 5 3, 75 j 1, 25 100 Ω 375 j 125 Ω Z R Z R R Z = + − = + = = + 1 1, 5 j 2 − 1 j 2, 5 1 1 1, 5 j 2 j 2, 5 + − j2 − 1, 5 j 2, 5 3, 75 j 1, 25 0 3, 75 j 1, 25 Z R = + j 125 Ω 375 Ω -1 =500 s ω 5 6 7 8 Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 24 7.2.10 7.2.10 7.2.10 7.2.10 Ä ÄÄ Äquivalente Zweipole quivalente Zweipole quivalente Zweipole quivalente Zweipole 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte Ä ÄÄ Äquivalenz quivalenz quivalenz quivalenz Ä ÄÄ Äquivalente Umwandlung quivalente Umwandlung quivalente Umwandlung quivalente Umwandlung 2 Elemente in Parallelschaltung 2 Elemente in Parallelschaltung 2 Elemente in Parallelschaltung 2 Elemente in Parallelschaltung 2 Elemente in Reihenschaltung 2 Elemente in Reihenschaltung 2 Elemente in Reihenschaltung 2 Elemente in Reihenschaltung Bild 7.80. Zum Vergleich einfacher Parallel Bild 7.80. Zum Vergleich einfacher Parallel Bild 7.80. Zum Vergleich einfacher Parallel Bild 7.80. Zum Vergleich einfacher Parallel- -- - mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen ( (( (vgl. Bild 7.80 in vgl. Bild 7.80 in vgl. Bild 7.80 in vgl. Bild 7.80 in Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) Man unterscheidet die folgenden ä ää äquivalenten Umwandlungen quivalenten Umwandlungen quivalenten Umwandlungen quivalenten Umwandlungen: :: : 1. 1. 1. 1. Bedingte Bedingte Bedingte Bedingte Ä ÄÄ Äquivalenz quivalenz quivalenz quivalenz: Umwandlung nur f Umwandlung nur f Umwandlung nur f Umwandlung nur fü üü ür r r r eine Frequenz eine Frequenz eine Frequenz eine Frequenz g gg gü üü ültig! ltig! ltig! ltig! ⇔ ⇔⇔ ⇔frequenzabh frequenzabh frequenzabh frequenzabhä ää ängig! ngig! ngig! ngig! 2. 2. 2. 2. Unbedingte Unbedingte Unbedingte Unbedingte Ä ÄÄ Äquivalenz quivalenz quivalenz quivalenz: Umwandlung nur f Umwandlung nur f Umwandlung nur f Umwandlung nur fü üü ür r r r alle Frequenzen alle Frequenzen alle Frequenzen alle Frequenzen g gg gü üü ültig! ltig! ltig! ltig! ⇔ ⇔⇔ ⇔frequenzunabh frequenzunabh frequenzunabh frequenzunabhä ää ängig! ngig! ngig! ngig! ( ) P P , Z Y ( ) R R , Z Y ( ) R R , Z Y ( ) R R , Z Y ( ) P P , Z Y ( ) P P , Z Y P R P C P C P R R R R R R C R C R L R L P L P L Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 25 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte Ä ÄÄ Äquivalenz quivalenz quivalenz quivalenz Bild 7.80a. Zum Vergleich einfacher Bild 7.80a. Zum Vergleich einfacher Bild 7.80a. Zum Vergleich einfacher Bild 7.80a. Zum Vergleich einfacher Parallel Parallel Parallel Parallel- -- - mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen ( (( (vgl. Bild 7.80a in vgl. Bild 7.80a in vgl. Bild 7.80a in vgl. Bild 7.80a in Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) ( ) ( ) ( ) P P P P P P 2 P P P 2 P P 2 P P P 2 2 P P P P 1 1 1 j j j 1 j 1 1 R Z R C C R R R C R C R R C R C R C ω ω ω ω ω ω ω = = + + − = + = − + + ( ) P P , Z Y ( ) R R , Z Y R R P R P C R C P R Z Z = Impedanzen: Impedanzen: Impedanzen: Impedanzen: Gegeben: Parallelschaltung Gegeben: Parallelschaltung Gegeben: Parallelschaltung Gegeben: Parallelschaltung Gesucht: Reihenschaltung Gesucht: Reihenschaltung Gesucht: Reihenschaltung Gesucht: Reihenschaltung Es soll gelten: { } { } { } { } P R P R Re Re , Im Im Z Z Z Z = = R R R R R 1 1 j j Z R R C C ω ω = + = − ( ) ( ) 2 P P P R 2 2 R P P P P 1 1 1 R R C R C R C R C ω ω ω ω = = + + Umwandlung einer Umwandlung einer Umwandlung einer Umwandlung einer RC- -- -Parallelschaltung Parallelschaltung Parallelschaltung Parallelschaltung in eine in eine in eine in eine RC- -- -Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 26 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte Ä ÄÄ Äquivalenz quivalenz quivalenz quivalenz ( ) 2 P P 2 R P P 1 1 R C C R C ω ω ω = + ( ) P R 2 P P 1 R R R C ω = + ( ) ( ) ( ) 2 2 P P P P R P 2 2 2 P P P P 1 1 R C R C C C R C R C ω ω ωω ω + + = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R P P 2 P P 2 P P R P P 2 2 P P 1 1 1 g f R R f R R C R C C C g C R C ω ω ω ω ω ω ω = = = = + + = = frequenzabh frequenzabh frequenzabh frequenzabhä ää ängig! ngig! ngig! ngig! Bild 7.80a. Zum Vergleich einfacher Bild 7.80a. Zum Vergleich einfacher Bild 7.80a. Zum Vergleich einfacher Bild 7.80a. Zum Vergleich einfacher Parallel Parallel Parallel Parallel- -- - mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen ( (( (vgl. Bild 7.80a in vgl. Bild 7.80a in vgl. Bild 7.80a in vgl. Bild 7.80a in Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) ( ) P P , Z Y ( ) R R , Z Y R R P R P C R C Umwandlung einer Umwandlung einer Umwandlung einer Umwandlung einer RC- -- -Parallelschaltung Parallelschaltung Parallelschaltung Parallelschaltung in eine in eine in eine in eine RC- -- -Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung Gegeben: Parallelschaltung Gegeben: Parallelschaltung Gegeben: Parallelschaltung Gegeben: Parallelschaltung Gesucht: Reihenschaltung Gesucht: Reihenschaltung Gesucht: Reihenschaltung Gesucht: Reihenschaltung Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 27 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte Ä ÄÄ Äquivalenz quivalenz quivalenz quivalenz Bild 7.80a. Zum Vergleich einfacher Bild 7.80a. Zum Vergleich einfacher Bild 7.80a. Zum Vergleich einfacher Bild 7.80a. Zum Vergleich einfacher Parallel Parallel Parallel Parallel- -- - mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen ( (( (vgl. Bild 7.80a in vgl. Bild 7.80a in vgl. Bild 7.80a in vgl. Bild 7.80a in Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R R R R R R R R R 2 R R 2 R R 2 R R R R 2 R R 1 j 1 1 j j j 1 j 1 1 1 1 j 1 C Y R C R C C R C R C R C R R C C R C ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω = = + + − = + = + + + ( ) R R , Z Y R R P R P C R C R P Y Y = Admittanzen: Admittanzen: Admittanzen: Admittanzen: Gesucht: Parallelschaltung Gesucht: Parallelschaltung Gesucht: Parallelschaltung Gesucht: Parallelschaltung Gegeben: Reihenschaltung Gegeben: Reihenschaltung Gegeben: Reihenschaltung Gegeben: Reihenschaltung Es soll gelten: { } { } { } { } R P R P Re Re , Im Im Y Y Y Y = = P P P 1 j Y C R ω = + ( ) ( ) ( ) 2 P P P R 2 2 P R P P R R 1 1 1 1 1 R C C C R R R C R C ω ω ω ω ω = = + + Umwandlung einer Umwandlung einer Umwandlung einer Umwandlung einer RC- -- -Reihenschaltung in eine Reihenschaltung in eine Reihenschaltung in eine Reihenschaltung in eine RC- -- -Parallelschaltung Parallelschaltung Parallelschaltung Parallelschaltung ( ) P P , Z Y Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 28 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte Ä ÄÄ Äquivalenz quivalenz quivalenz quivalenz ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 P P P R R 2 P P P R R 2 R R 1 1 1 f g R C R R f R R C C C g C R C ω ω ω ω ω ω ω = = + = = = = + frequenzabh frequenzabh frequenzabh frequenzabhä ää ängig! ngig! ngig! ngig! Bild 7.80a. Zum Vergleich einfacher Bild 7.80a. Zum Vergleich einfacher Bild 7.80a. Zum Vergleich einfacher Bild 7.80a. Zum Vergleich einfacher Parallel Parallel Parallel Parallel- -- - mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen ( (( (vgl. Bild 7.80a in vgl. Bild 7.80a in vgl. Bild 7.80a in vgl. Bild 7.80a in Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) Umwandlung einer Umwandlung einer Umwandlung einer Umwandlung einer RC- -- -Reihenschaltung in eine Reihenschaltung in eine Reihenschaltung in eine Reihenschaltung in eine RC- -- -Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung ( ) ( ) ( ) ( ) 2 P P P R 2 P P P R 2 R R P R 2 R R 1 1 1 1 1 R C R R R C C C R C C C R C ω ω ω ω ω ω + = = + = + ( ) R R , Z Y R R P R P C R C ( ) P P , Z Y Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 29 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte Ä ÄÄ Äquivalenz quivalenz quivalenz quivalenz Bild 7.80b. Zum Vergleich einfacher Bild 7.80b. Zum Vergleich einfacher Bild 7.80b. Zum Vergleich einfacher Bild 7.80b. Zum Vergleich einfacher Parallel Parallel Parallel Parallel- -- - mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen ( (( (vgl. Bild 7.80b in vgl. Bild 7.80b in vgl. Bild 7.80b in vgl. Bild 7.80b in Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) P R Impedanzen: Impedanzen: Impedanzen: Impedanzen: Gegeben: Parallelschaltung Gegeben: Parallelschaltung Gegeben: Parallelschaltung Gegeben: Parallelschaltung Gesucht: Reihenschaltung Gesucht: Reihenschaltung Gesucht: Reihenschaltung Gesucht: Reihenschaltung R R R j Z R L ω = + Umwandlung einer Umwandlung einer Umwandlung einer Umwandlung einer RL- -- -Parallelschaltung Parallelschaltung Parallelschaltung Parallelschaltung in eine in eine in eine in eine RL- -- -Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung ( ) P P , Z Y ( ) R R , Z Y R R P L R L P P P P P P P P P P P 2 P P P P 2 P P P P P 2 P P 2 P P P P 2 2 P P P P 1 j 1 1 j j 1 j j j 1 j 1 j 1 1 j 1 1 R L Z R L R L L L R L L L R R L L R R R L R L R R L L L R R ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω = = + + | | − | \ ¹ = = | | + + | \ ¹ | | + | \ ¹ = | | + | \ ¹ | | | \ ¹ = + | | | | + + | | \ ¹ \ ¹ Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 30 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte Ä ÄÄ Äquivalenz quivalenz quivalenz quivalenz ( ) ( ) ( ) ( ) 2 P P R P P 2 P P R P P 2 P P 1 1 1 f g L R R R f R L R L L g L L R ω ω ω ω ω ω ω = = | | | \ ¹ = = | | + | \ ¹ = = | | + | \ ¹ frequenzabh frequenzabh frequenzabh frequenzabhä ää ängig! ngig! ngig! ngig! Bild 7.80b. Zum Vergleich einfacher Bild 7.80b. Zum Vergleich einfacher Bild 7.80b. Zum Vergleich einfacher Bild 7.80b. Zum Vergleich einfacher Parallel Parallel Parallel Parallel- -- - mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen ( (( (vgl. Bild 7.80b in vgl. Bild 7.80b in vgl. Bild 7.80b in vgl. Bild 7.80b in Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) ( ) P P , Z Y ( ) R R , Z Y R R P R P L R L Umwandlung einer Umwandlung einer Umwandlung einer Umwandlung einer RL- -- -Parallelschaltung Parallelschaltung Parallelschaltung Parallelschaltung in eine in eine in eine in eine RL- -- -Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung 2 P P P 2 P P R P 2 P P 1 1 1 R L R R R L R L L L R ω ω ω ω ω | | | \ ¹ = | | + | \ ¹ = | | + | \ ¹ Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 31 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte Ä ÄÄ Äquivalenz quivalenz quivalenz quivalenz Bild 7.80. Zum Vergleich einfacher Bild 7.80. Zum Vergleich einfacher Bild 7.80. Zum Vergleich einfacher Bild 7.80. Zum Vergleich einfacher Parallel Parallel Parallel Parallel- -- - mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen ( (( (vgl. Bild 7.80 in vgl. Bild 7.80 in vgl. Bild 7.80 in vgl. Bild 7.80 in Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) ( ) ( ) ( ) R R R 2 2 R R R R R R R 2 2 2 2 R R R R 1 j 1 j j R L Y R L L R R L Y R R L L ω ω ω ω ω ω − = = + + = − + + P R Impedanzen: Impedanzen: Impedanzen: Impedanzen: Gegeben: Parallelschaltung Gegeben: Parallelschaltung Gegeben: Parallelschaltung Gegeben: Parallelschaltung Gesucht: Reihenschaltung Gesucht: Reihenschaltung Gesucht: Reihenschaltung Gesucht: Reihenschaltung Es soll gelten: P P P 1 1 j Y R L ω = − ( ) ( ) R R 2 2 2 2 P P R R R R 1 1 R L R L R R L L ω ω ω ω = = + + Umwandlung einer Umwandlung einer Umwandlung einer Umwandlung einer RL- -- -Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung in eine in eine in eine in eine RL- -- -Parallelschaltung Parallelschaltung Parallelschaltung Parallelschaltung ( ) P P , Z Y ( ) R R , Z Y R R P L R L R P Y Y = { } { } { } { } R P R P Re Re , Im Im Y Y Y Y = = Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 32 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte Ä ÄÄ Äquivalenz quivalenz quivalenz quivalenz ( ) ( ) ( ) ( ) 2 R P R R R 2 R R P R R 2 R R 1 1 f g L R R f R R L R L L g L L R ω ω ω ω ω ω ω = = | | = = + | \ ¹ | | + | \ ¹ = = | | | \ ¹ frequenzabh frequenzabh frequenzabh frequenzabhä ää ängig! ngig! ngig! ngig! Bild 7.80b. Zum Vergleich einfacher Bild 7.80b. Zum Vergleich einfacher Bild 7.80b. Zum Vergleich einfacher Bild 7.80b. Zum Vergleich einfacher Parallel Parallel Parallel Parallel- -- - mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen ( (( (vgl. Bild 7.80b in vgl. Bild 7.80b in vgl. Bild 7.80b in vgl. Bild 7.80b in Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) ( ) P P , Z Y ( ) R R , Z Y R R P R P L R L Umwandlung einer Umwandlung einer Umwandlung einer Umwandlung einer RL- -- -Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung in eine in eine in eine in eine RL- -- -Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung ( ) ( ) 2 2 2 R R R P R R 2 2 R R 2 2 R R P R 2 R 2 R P R 2 R 2 R 1 1 R L L R R R R R R L L L L R L L L R ω ω ω ω ω ω ω + | | = = + | \ ¹ + = | | + | \ ¹ = | | | \ ¹ Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 33 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte Ä ÄÄ Äquivalenz quivalenz quivalenz quivalenz Graphische Umwandlung einer Graphische Umwandlung einer Graphische Umwandlung einer Graphische Umwandlung einer RL- -- -Parallelschaltung Parallelschaltung Parallelschaltung Parallelschaltung in eine in eine in eine in eine RL- -- -Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung und umgekehrt und umgekehrt und umgekehrt und umgekehrt Bild 7.80b. Zum Vergleich einfacher Bild 7.80b. Zum Vergleich einfacher Bild 7.80b. Zum Vergleich einfacher Bild 7.80b. Zum Vergleich einfacher Parallel Parallel Parallel Parallel- -- - mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen mit einfachen Reihenschaltungen ( (( (vgl. Bild 7.80b in vgl. Bild 7.80b in vgl. Bild 7.80b in vgl. Bild 7.80b in Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) [Bd. II, S. 89, 2005]) P R Impedanzen: Impedanzen: Impedanzen: Impedanzen: Gegeben: Parallelschaltung Gegeben: Parallelschaltung Gegeben: Parallelschaltung Gegeben: Parallelschaltung Gesucht: Reihenschaltung Gesucht: Reihenschaltung Gesucht: Reihenschaltung Gesucht: Reihenschaltung R R R R R R R R j arctan 2 2 R R j R R R j j e e X R Z Z R L R X R X Z ϕ ϕ ω | | | \ ¹ = = = + = + = + = ( ) P P , Z Y ( ) R R , Z Y R R P L R L P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P j 2 P P j arctan 2 2 P P j arctan j P P 2 2 2 P P j arctan 2 P P 2 2 P P j P P P 1 1 1 1 1 1 j j j j j j e e e e e e X R X R X R Z Z R L R X R X R X R X Z R X R X R X R X R X R X R X Z π π π ϕ ϕ ω | | | \ ¹ | | − | \ ¹ | | − | \ ¹ = = = = + + = + = + = + = + = + = P j P P P P P 2 2 P P P P P e arctan 2 Z Z R X Z R X X R ϕ π ϕ = = + | | = − | \ ¹ R j R R 2 2 R R R R R R e arctan Z Z Z R X X R ϕ ϕ = = + | | = | \ ¹ Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 34 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte Ä ÄÄ Äquivalenz quivalenz quivalenz quivalenz Graphische Umwandlung einer Graphische Umwandlung einer Graphische Umwandlung einer Graphische Umwandlung einer RL- -- -Parallelschaltung Parallelschaltung Parallelschaltung Parallelschaltung in eine in eine in eine in eine RL- -- -Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung und umgekehrt und umgekehrt und umgekehrt und umgekehrt Bild 7.81. Graphische Umwandlung der Bild 7.81. Graphische Umwandlung der Bild 7.81. Graphische Umwandlung der Bild 7.81. Graphische Umwandlung der RL- -- -Parallelschaltung Parallelschaltung Parallelschaltung Parallelschaltung in eine in eine in eine in eine RL- -- -Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung ( (( (vgl. Bild 7.81 in vgl. Bild 7.81 in vgl. Bild 7.81 in vgl. Bild 7.81 in Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann [Bd. II, S. 93, 2005]) [Bd. II, S. 93, 2005]) [Bd. II, S. 93, 2005]) [Bd. II, S. 93, 2005]) { } Re Z α P R 2 2 P P R X + P j P P P P P 2 2 P P e Z Z R X Z R X ϕ = = + R j R R 2 2 R R R e Z Z Z R X ϕ = = + { } jIm Z P j X R j X R ϕ R R R Z α R R R R R j j Z R L R X ω = + = + Gerade senkrecht zu Z R Endpunkte der Gerade definieren j X P und R P ! Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 35 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte Ä ÄÄ Äquivalenz quivalenz quivalenz quivalenz Graphische Umwandlung einer Graphische Umwandlung einer Graphische Umwandlung einer Graphische Umwandlung einer RL- -- -Parallelschaltung Parallelschaltung Parallelschaltung Parallelschaltung in eine in eine in eine in eine RL- -- -Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung und umgekehrt und umgekehrt und umgekehrt und umgekehrt Bild 7.81. Graphische Umwandlung der Bild 7.81. Graphische Umwandlung der Bild 7.81. Graphische Umwandlung der Bild 7.81. Graphische Umwandlung der RL- -- -Parallelschaltung Parallelschaltung Parallelschaltung Parallelschaltung in eine in eine in eine in eine RL- -- -Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung ( (( (vgl. Bild 7.81 in vgl. Bild 7.81 in vgl. Bild 7.81 in vgl. Bild 7.81 in Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann [Bd. II, S. 93, 2005]) [Bd. II, S. 93, 2005]) [Bd. II, S. 93, 2005]) [Bd. II, S. 93, 2005]) { } Re Z α P R 2 2 P P R X + { } jIm Z P X α großes Dreieck! P P R 2 2 P P R X Z R X = + R P 2 2 P P P Z R X R X = + R Z kleines Dreieck! ähnliche Dreiecke! R ϕ P j P P P P P 2 2 P P P P P e arctan 2 Z Z R X Z R X X R ϕ π ϕ = = + | | = − | \ ¹ R P Z Z = Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 36 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte 7.5.10.1 Bedingte Ä ÄÄ Äquivalenz quivalenz quivalenz quivalenz Graphische Umwandlung einer Graphische Umwandlung einer Graphische Umwandlung einer Graphische Umwandlung einer RL- -- -Parallelschaltung Parallelschaltung Parallelschaltung Parallelschaltung in eine in eine in eine in eine RL- -- -Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung und umgekehrt und umgekehrt und umgekehrt und umgekehrt Bild 7.81. Graphische Umwandlung der Bild 7.81. Graphische Umwandlung der Bild 7.81. Graphische Umwandlung der Bild 7.81. Graphische Umwandlung der RL- -- -Parallelschaltung Parallelschaltung Parallelschaltung Parallelschaltung in eine in eine in eine in eine RL- -- -Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung Reihenschaltung ( (( (vgl. Bild 7.81 in vgl. Bild 7.81 in vgl. Bild 7.81 in vgl. Bild 7.81 in Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann Clausert & Wiesemann [Bd. II, S. 93, 2005]) [Bd. II, S. 93, 2005]) [Bd. II, S. 93, 2005]) [Bd. II, S. 93, 2005]) { } Re Z α P R 2 2 P P R X + { } jIm Z P X α R P Z Z = R P ! ϕ ϕ = P P P P tan arctan X X R R α α | | = → = | \ ¹ R P Z Z = R R 2 2 π π α ϕ α ϕ = + → = − P P P R arctan 2 2 X R π ϕ π α ϕ | | = − | \ ¹ = − = R R R P P P arctan arctan 2 X R X R ϕ π ϕ | | = | \ ¹ | | = − | \ ¹ P X R P ? ϕ ϕ = = P j P P P P P P P 2 2 P P P e , , arctan 2 X R X Z Z Z R R X ϕ π ϕ | | = = = − | \ ¹ + Dr.-Ing. R. Marklein - GET II - SS 2006 - V 04.07.2006 37 Ende der Vorlesung Ende der Vorlesung Ende der Vorlesung Ende der Vorlesung Elektronik. Elektronik.07.und Zertifizierungsinstitut VDE GLOBAL SERVICES GMBH VDE VERLAG GMBH Dr. R. R.Verband der Elektrotechnik.000 Mitglieder.SS 2006 .2006 4 . Marklein .-Ing. davon 1. 6. Elektronik. Informationstechnik Der VDE in Zahlen: 34.-Ing. Informationstechnik Verband der Elektrotechnik.2006 3 Verband der Elektrotechnik.07.V 04.SS 2006 . Elektronik.GET II .GET II .000 Studenten Bundeslä 29 Bezirksvereine. Informationstechnik Verband der Elektrotechnik.V 04. Marklein .250 Unternehmen. Landesvertretungen in den Bundesländern 5 Fachgesellschaften VDE/VDEInformationstechnik) VDE/VDE-IT (IT: Informationstechnik) DKE Deutsche Kommission Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik im DIN und VDE Prü VDE Prüf. Informationstechnik Dr. V 04.SS 2006 . R.GET II .VDE-Homepage: www.2006 6 .07.2006 5 VDE Verband der Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik Dr.SS 2006 .-Ing.-Ing.de VDE- Dr. Marklein . R.V 04.vde. Marklein .07.GET II . Marklein .07. Marklein .2006 7 IEEE: Institute of Electrical and Electronics Engineers Homepage: www.-Ing.V 04. R.VDE Verband der Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik Dr.SS 2006 .ieee.GET II .GET II .SS 2006 . R.07.-Ing.org Dr.2006 8 .V 04. ieee. R. aerospace and consumer electronics. to electric power.SS 2006 . among others. the IEEE is a leading authority in technical areas ranging from computer engineering.org About the IEEE The IEEE (Eye-triple-E) is a non-profit. technical professional association of more than 360.-Ing.GET II .GET II . The full name is the Institute of Electrical and Electronics Engineers. although the organization is most popularly known and referred to by the letters I-E-E-E. R. Marklein . Marklein .V 04.07. Dr.-Ing.IEEEIEEE-Homepage: www. Through its members. Inc.SS 2006 ..2006 10 .V 04.2006 9 IEEE-Homepage: IEEE-Homepage: www. biomedical technology and telecommunications.org Dr.000 individual members in approximately 175 countries.ieee.07. 07.ieee.SS 2006 .-Ing. Marklein .GET II .07.IEEE-Homepage: IEEE-Homepage: www.ieee.org Dr.V 04.GET II .-Ing.V 04. Marklein . R.SS 2006 .org Dr.2006 12 .2006 11 IEEE-Homepage: IEEE-Homepage: www. R. SS 2006 .GET II .-Ing. c.2006 13 7.ReihenÜbersicht: Charakteristische Eigenschaften der einfachen Reihen. Marklein . Ersatzzweipol und Z-Ortskurven eines verlustlosen Transformators (vgl. b. II. R. R.79a.2006 14 .79a.07.3 Kompliziertere Ortskurvenformen Schrittweise Konstruktion! Beispiel: ω→∞ ω→∞ jIm {Z } 1. b. Dr.V 04. Addition L1 geometrisch für verschiedene Frequenzen L1 jIm {Z } Z Z -Ortskurve Z Z -Ortskurven ω jω3 L1 L1 L2 R jω2 L1 jω1L1 Z2 Z 2 -Ortskurve ω Z 2 -Ortskurve ω ω→∞ Re{Z } ω ω → ∞ Re{Z } ω=0 R ω=0 R Bild 7. c in Clausert & Wiesemann [2005.-Ing. 86]) vgl. S. Ortskurve L1 ist Halbgerade 3. Bild 7. Marklein .07.2.9. Ortskurve der Parallelschaltung -> Halbkreis 2.GET II .V 04. Bd.SS 2006 .und Parallelschaltung Dr. 79d in Clausert & Wiesemann [2005.SS 2006 . II. Bild 7. Marklein .2006 G −ϕ Z R G − 1 B2 B2 B B1 16 − 1 B1 .4 Das Kreisdiagramm Schmidt-Buschbeck-Diagramm) (Schmidt-Buschbeck-Diagramm) G Y R Z jX Z rechtwinkeligen wird in Koordinaten Y krummlinigen vorgegeben und das zugehörige Y krummlinigen wird in Koordinaten Z rechtwinkeligen jB jX jB B Y Y G1 Z B B G2 G B ϕ G1 G2 G G jX 1 B1 Y −ϕ Z 1 G2 G 1 G1 B R − B1 Z abgelesen! jB B2 B1 Y 1 − B2 B2 B G ϕ G B − B1 − B2 Bild 7.2006 15 7. Ortskurvenscharen der G.-Ing. Marklein . reale Spule Realer Widerstand Realer Kondensator Reale Spule Dr.07.2.SS 2006 .V 04. B. wobei einmal G als konstant (oberer Bildteil) und das andere Mal B als konstant (unterer Bildteil) vorausgesetzt wird (vgl. Bd.Realer Widerstand. R.79d. X-Reihenschaltung. Dr.-Ing.GET II . R. S.Parallelschaltung und der R. realer Kondensator.V 04.07.9. 87]) vgl.GET II . 5 − j 0. 4 − j 0.2 = G / G1 + j B / G1 neue normierte Impedanz Z / R1 2.2.5 X Lr / R1 = 0.9. Bild 7. L oder C) in Reihe oder parallel geschaltet wird (vgl. 3 G1 B = − 0.2006 Z / R1 = 2 + j1 3 : Cr B = − 0. Bd. oder parallel geschaltet wird (vgl.1 G1 G = 0.3 0. 4 − j0.1 BLp / G1 = − 0.(Schmidt Buschbeck-Diagramm) Schmidt7. 2 0.5 2 + j 0.07. 3 G1 normierter Zusatzwiderstand Rr / R1 = 0. 5 G1 G = 0. R.2006 Z / R1 = 2 + j1 4 : Gp 6 : Cp B = − 0. Ermittlung der Impedanz (oder Admittanz). 5 Verdeutlichung durch Pfeil 1 : Rr 2 : Lr 3 : Cr Normierung: Z = R + jX ⇒ Z R X = +j R1 R1 R1 Y G B = +j G1 G1 G1 2 : Lr Y = G + jB ⇒ mit B = − 0. S.2 = G / G1 + j B / G1 neue normierte Impedanz Z / R1 0.4 Das Kreisdiagramm (Schmidt-Buschbeck-Diagramm) Gegeben: Normierte Impedanz: Gesucht: Gesamtimpedanz nach Reihenschaltung eines Bauteils! Reihenschaltung! Z / R1 = 2 + j1 Bauelement Rr Lr Cr X R1 Y / G1 = 0.GET II .1 X R1 Y / G1 = 0.4 Das Kreisdiagramm (Schmidt-Buschbeck-Diagramm) Gegeben: Normierte Impedanz: Gesucht: Gesamtimpedanz nach Parallelschaltung eines Bauteils! Parallelschaltung! Normierung: Z / R1 = 2 + j1 normierter Zusatzwiderstand G p / G1 = 0.1 B = − 0. 2 G1 Bauelement Gp Lp Cp Verdeutlichung im Kreisdiagramm 4 : Gp 5 : Lp 6 :Cp Z = R + jX ⇒ Z R X = +j R1 R1 R1 Y G B = +j G1 G1 G1 Y = G + jB ⇒ mit 5 : Lp P R1 ⋅ G1 = 1 Bild 7. Marklein .79e.07. 4 − j0.2.-Ing. wenn zu einem gegebenen Wert eine Bauelement (R. II. Ermittlung der Impedanz (oder Admittanz).5 G1 G = 0.79e.-Ing. 5 B = − 0.1 BCp / G1 = 0. Bild 7.1 G1 G = 0. Marklein . 88]) Dr.GET II .SS 2006 .SS 2006 .79e in Clausert & Wiesemann [2005.79e in Clausert & Wiesemann [2005. S. Bd. 4 − j 0. 4 G1 R / R1 17 (Schmidt Buschbeck-Diagramm) Schmidt7. L oder C) in Reihe vgl. vgl.V 04. 5 + j 1 2 + j 1. 2 G1 P 1 : Rr R1 ⋅ G1 = 1 Bild 7.9. II.V 04. 5 X Cr / R1 = − 0. 88]) Dr. wenn zu einem gegebenen Wert eine Bauelement (R. R. 4 G1 R / R1 18 . Hochfrequenztechnik 5 : Lp P Z / R1 = 2 + j1 4 : Gp 6 : Cp B = − 0. die Punkte für Unendlich (Leerlauf) sind nicht im Diagramm enthalten: SmithBesser -> Smith-Diagramm Dr. Admittanzebene dagestellt Impedanzfü (Leerwerden kann. 1937 von Phillip Smith (1905-1987) entwickelt -> Leitungstheorie.B.-Ing. Marklein . 2 G1 Kreisdiagramm 2.1 G1 G = 0.4 Das Kreisdiagramm (Schmidt-Buschbeck-Diagramm) Kreisdiagramm 1.-Ing. R. 3 G1 B = − 0. Art Unschö Unschön.07.V 04.SS 2006 .bzw.07. Smith-Diagramm.GET II .GET II . Art (Smith-Diagramm) (SmithZ.9.(Schmidt Buschbeck-Diagramm) Schmidt7.Bestimmung des Stehwellenverhältnisses Dr. R.Impedanztransformationen mit einem Bauelement .B.SS 2006 .Komplexe Transformationen .V 04. Marklein . Z.2006 20 .2006 19 SmithDas Smith-Diagramm Anwendungen des Smith-Diagramms . weil immer nur ein begrenzter Teil der Impedanz. 4 G1 R / R1 Nachteil des Kreisdiagramms 1.Frequenzgangdarstellung . Art (Schmidt-Buschbeck-Diagramm) Schmidt-Buschbeck-Diagramm) X R1 B = − 0. 5 G1 G = 0.2. 5 1 1.: z −1 z +1 z = −j z = Z / Z0 z=0 Anwendung in der Hochfrequenztechnik: ∞ z = j∞ − j∞ r: komplexer Reflexionsfaktor r = −j r = −1 z = −j r =1 r=0 Spezialform der allgemeinen biusMöbius-Transformation: m(z) = az + b cz + d Sparte der Mathematik: .5 − j 2 − j2 j 2.-Ing.2006 z 0 1 ∞ j j∞ −j − j∞ z −1 z +1 −1 +1 0 2 ∞ ∞ −1 + j 1+ j − 1 + j ∞ 1 + j∞ − (1 + j) 1− j − (1 + j ∞ ) 1 − j ∞ r(z) −1 0 1 j 1 −j 1 Vorteil: ImpedanzDie gesamt Impedanz.B.07. 5 3 j 2.2006 1 − j2 3 22 .GET II . 5 1 2 R0 Y 1 = Z 1 G0 = 1 1.Konforme Abbildungen . incl. Admittanzebene. 5 − j 2 1.5 R0 Y 2 = Z 2 G0 = 1 j 2.GET II .SS 2006 .5 − j 2 1 j 2.V 04.-Ing.Komplexe Analysis . Marklein .V 04.5 1.5 Dr.Funktionentheorie Dr.07. Marklein .SS 2006 .und Admittanzebene. R.SmithDas Smith-Diagramm Abbildungsvorschrift: z − Ebene r= j r − Ebene r (z) = z −1 z +1 r (z) = Z. der Punkte Unendlich werden in ein Kreisdiagramm abgebildet! 21 SmithDas Smith-Diagramm 1. R. 2. Bild 7.-Ing.80 in Clausert & Wiesemann [Bd. 5 5 − 2 j 2.5 1 1.Y P ) ( Z R . 89. Z = R0 1.-Ing.07. Marklein .GET II .Y P ) ( Z R . Bedingte Äquivalenz fü frequenzabhä Umwandlung nur für eine Frequenz gültig! ⇔ frequenzabhängig! quivalenz: fü frequenzunabhä 2. Marklein .2006 24 . R. Unbedingte Äquivalenz Umwandlung nur für alle Frequenzen gültig! ⇔ frequenzunabhängig! Dr. 25 1. 25 R0 j 2.SS 2006 .mit einfachen Reihenschaltungen (vgl.Y P ) ( Z R .Y R ) ( Z P . Zum Vergleich einfacher Parallel.80. 75 7 Z = 3. 5 − j 2 j 2.SmithDas Smith-Diagramm j1. R.1 Bedingte Äquivalenz Äquivalente Umwandlung 2 Elemente in Parallelschaltung 2 Elemente in Reihenschaltung ( Z P .2006 375 − j2 j125 23 7. 25 R0 R0 = 100 Z = ( 375 + j 125 ) 1.10. II.10 Äquivalente Zweipole 7. S.Y R ) CR RP CP RR CR RP LP LR CP LP LR ParallelBild 7.GET II .5 3.5. 75 + j 1.V 04.5 − jj 2 j 2.07.V 04.SS 2006 . 5 1 1 + 1. 5 j 2. 75 + j 1.Y R ) RR ( Z P .5 Dr.5 1 1 1 1 + 1 1. 2005]) Man unterscheidet die folgenden äquivalenten Umwandlungen: Umwandlungen: quivalenz: 1. 5 1.5 − j 2 ω =500 s -1 1 j 2. 5 − j 2 6 5 8 − j2 Z = 3. 80a in Clausert & Wiesemann [Bd.GET II .-Ing. R. S. 2005]) Es soll gelten: ZP = ZR Re {Z P } = Re {Z R } .10.Y P ) Gegeben: Parallelschaltung ( Z R .10. 89.mit einfachen Reihenschaltungen (vgl.5. S. Zum Vergleich einfacher ParallelParallel. R.2006 26 . Bild 7.80a.GET II .Y R ) Gesucht: Reihenschaltung RR RP CP CR Bild 7.07.1 Bedingte Äquivalenz Umwandlung einer RC-Parallelschaltung in eine RC-Reihenschaltung Impedanzen: Gegeben: Parallelschaltung ( Z P .2006 RP 1 + (ω RP CP ) 2 2 1 ω RP CP = ω CR 1 + (ω RP CP )2 25 7. II.80a. Marklein . Marklein .SS 2006 .1 Bedingte Äquivalenz Umwandlung einer RC-Parallelschaltung in eine RC-Reihenschaltung ( Z P .5.Y R ) Gesucht: Reihenschaltung RP ZP = = 1 1 + jω RP CP + jω CP RP = = 2 RP − jω RP CP 1 RR RP CP Z R = RR + CR 1 1 = RR − j jω CR ω CR 1 + (ω RP CP ) RP 1 + (ω RP CP ) 2 2 ω RP CP 2 1 + (ω RP CP ) 2 −j Bild 7. 2005]) RR = RP 1 + (ω RP CP ) 2 P 2 RR = 1 1 + (ω RP CP ) = f (ω ) 2 RP = f (ω ) RP frequenzabhä frequenzabhängig! 1 ω R CP = ω CR 1 + (ω RP CP )2 1 + (ω RP CP ) 1 + (ω RP CP ) CR = = CP 2 2 ω ω RP CP (ω R 2 C ) P P 2 2 CR = 1 + (ω RP CP ) 2 (ω RP2 CP ) = g (ω ) 2 CP = g ( ω ) CP Dr.80a in Clausert & Wiesemann [Bd. Im {Z P } = Im {Z R } RR = Dr.mit einfachen Reihenschaltungen (vgl. Bild 7.-Ing.V 04. 89. Zum Vergleich einfacher ParallelParallel.V 04. II.7.07.Y P ) ( Z R .SS 2006 . 2006 2 ω CP = ω CR 1 1 + (ω RR CR ) 2 27 7. S.SS 2006 .1 Bedingte Äquivalenz Umwandlung einer RC-Reihenschaltung in eine RC-Reihenschaltung ( Z P .SS 2006 .10.80a. Zum Vergleich einfacher ParallelParallel.07. 2005]) 1 (ω RR CR ) RR 1 + (ω RR CR )2 1 1 + (ω RR CR ) 2 + jω CR Es soll gelten: YR =YP Re {Y R } = Re {Y P } .mit einfachen Reihenschaltungen (vgl.7.80a in Clausert & Wiesemann [Bd. R. 89.5. Zum Vergleich einfacher ParallelParallel.GET II .07.5. S. II.80a in Clausert & Wiesemann [Bd.GET II . Bild 7.Y R ) RR RP CP CR Bild 7. Bild 7. 2005]) RP = RR 1 + (ω RP CP ) 2 (ω RP CP ) 1 2 RP = 2 1 + (ω RP CP ) 2 (ω RP CP ) = f (ω ) 2 RR = f (ω ) RR frequenzabhä frequenzabhängig! 2 ω CP = ω CR CP = CR 1 + (ω RR CR ) 1 2 CP = 1 1 + (ω RR CR ) = g (ω ) CR = g ( ω ) CR 1 + (ω RR CR ) Dr.V 04.1 Bedingte Äquivalenz Umwandlung einer RC-Reihenschaltung in eine RC-Parallelschaltung Admittanzen: Gesucht: Parallelschaltung ( Z P .V 04. Marklein . Marklein .Y R ) Gegeben: Reihenschaltung 1 YP = + jω CP RP RR RP CP YR = 1 1 RR + jω CR = jω CR 1 + jω RR CR CR = jω CR (1 − jω RR CR ) 1 + (ω RR CR ) 2 2 = Bild 7.80a.mit einfachen Reihenschaltungen (vgl.Y P ) ( Z R . R.10.-Ing. Im {Y R } = Im {Y P } 1 1 (ω RP CP ) = RP RR 1 + (ω RP CP )2 Dr.-Ing.Y P ) ( Z R .2006 28 . II. 89. 2006 29 2 7. II. Marklein . 89.mit einfachen Reihenschaltungen (vgl.80b in Clausert & Wiesemann [Bd. 2005]) ω LP R RR = RP P 2 ω LP 1+ RP 2 ω LP R RR = P 2 RP = f (ω ) RP ω LP 1+ RP = f (ω ) 2 2 frequenzabhä frequenzabhängig! ω LR = ω LP 1 1+ RP ω LP LR = 1 ω LP 1+ RP = g (ω ) 2 LP = g (ω ) LP Dr. Zum Vergleich einfacher ParallelParallel.SS 2006 .5. S. 2005]) ω LP R 1 = RP P 2 + jω LP 2 ω LP ω LP 1+ 1+ RP RP Dr.5. Bild 7. Zum Vergleich einfacher ParallelParallel.80b. R. R.7. S.10.Y R ) RR RP LP LR Bild 7.mit einfachen Reihenschaltungen (vgl.80b.-Ing. 89. Bild 7.V 04.GET II .Y P ) ( Z R .SS 2006 . II.07.Y P ) ( Z R .07.V 04.10.2006 30 . Marklein .-Ing.1 Bedingte Äquivalenz Umwandlung einer RL-Parallelschaltung in eine RL-Reihenschaltung Impedanzen: Gegeben: Parallelschaltung ( Z P .1 Bedingte Äquivalenz Umwandlung einer RL-Parallelschaltung in eine RL-Reihenschaltung ( Z P .Y R ) Gesucht: Reihenschaltung RR ZP = 1 jω RP LP = 1 1 RP + jω LP + RP jω LP RP LP LR Z R = RR + jω LR ωL jω LP 1 − j P RP jω LP = = 2 LP ω LP 1 + jω 1+ RP RP ω LP j + RP RP = RP 2 ω LP 1+ RP ω LP 2 Bild 7.GET II .80b in Clausert & Wiesemann [Bd. Bild 7. 2005]) 2 2 ω L 2 RR + (ω LR ) RR = 1 + 2R RR 2 RR RR 2 RR + (ω LR ) 2 RP = ω LR 2 RP = 1 + RR = f (ω ) RR RR = f (ω ) ω LP = ω LR 2 ω L 1 + 2R RR L LP = R 2 ω LR R2 R Dr. S. Marklein .V 04.07.SS 2006 .V 04.2006 1 ω LP = ω LR 2 RR + (ω LR ) 2 31 7.GET II .10.10. II.80 in Clausert & Wiesemann [Bd. 89. Zum Vergleich einfacher ParallelParallel.07.5. 89. Im {Y R } = Im {Y P } 1 RR = 2 RP RR + (ω LR )2 Dr. S. Zum Vergleich einfacher ParallelParallel.GET II .mit einfachen Reihenschaltungen (vgl.SS 2006 . R.2006 ω LR 1+ RR LP = 2 ω LR R R = g (ω ) 2 frequenzabhä frequenzabhängig! LR = g (ω ) LR 32 .7.-Ing.Y P ) ( Z R . Marklein .mit einfachen Reihenschaltungen (vgl.1 Bedingte Äquivalenz Umwandlung einer RL-Reihenschaltung in eine RL-Parallelschaltung Impedanzen: Gegeben: Parallelschaltung ( Z P . II.80b.80.80b in Clausert & Wiesemann [Bd. 2005]) Es soll gelten: YR =YP Re {Y R } = Re {Y P } .Y P ) ( Z R . R.Y R ) Gesucht: Reihenschaltung RR YP = 1 1 −j RP ω LP RP LP LR YR = 1 R − jω LR = 2R 2 1 + jω LR RR + (ω LR ) RR RR 2 RR + (ω LR ) 2 YR = −j ω LR 2 RR + (ω LR ) 2 Bild 7.1 Bedingte Äquivalenz Umwandlung einer RL-Reihenschaltung in eine RL-Reihenschaltung ( Z P .5.Y R ) RR RP LP LR Bild 7. Bild 7.-Ing. 07. Bild 7.10.81.81 in Clausert & Wiesemann [Bd. Bild 7.1 Bedingte Äquivalenz Graphische Umwandlung einer RL-Parallelschaltung in eine RL-Reihenschaltung und umgekehrt jIm {Z } Endpunkte der Gerade definieren j XP und RP! Z R = Z R e jϕR 2 2 Z R = RR + X R Z P = Z P e jϕP ZP = RP X P 2 2 RP + X P j XP Gerade senkrecht zu ZR jXR Z R = RR + jω LR = RR + j X R 2 2 RP + X P ZR α ϕR RR α RP Re {Z } Bild 7. S.GET II .5.SS 2006 .Y R ) Gesucht: Reihenschaltung ZP = 1 1 1 + RP jω LP j RP X P RP + j X P j RP X P RP + j X P = 1 1 1 + RP j X P RR RP LP LR Z R = RR + jω LR = RR + j X R 2 2 = RR + X R e = ZP = X j arctan R RR =ϕR = ZR j π 2 = Z R e jϕR Bild 7.80b. II. Zum Vergleich einfacher ParallelParallel. R. 2005]) = RP X P e 2 2 RP + X P e X jarctan P RP = RP X P 2 2 RP + X P e 2e j π X − jarctan P RP = RP X P 2 2 RP + X P e π X j − arctan P RP 2 =ϕP Z P = Z P e jϕP RP X P 2 2 RP + X P Z R = Z R e jϕR 2 2 Z R = RR + X R ZP = = ZP = ZP e j ϕP X ϕ P = − arctan P 2 RP π ϕ R = arctan XR RR 33 Dr.80b in Clausert & Wiesemann [Bd. 89.Y P ) ( Z R .10.2006 7.5.-Ing.GET II .7. Graphische Umwandlung der RL-Parallelschaltung in eine RL-Reihenschaltung (vgl. II. R.-Ing.1 Bedingte Äquivalenz Graphische Umwandlung einer RL-Parallelschaltung in eine RL-Reihenschaltung und umgekehrt Impedanzen: Gegeben: Parallelschaltung ( Z P .07. Marklein .2006 34 . S. 2005]) Dr.mit einfachen Reihenschaltungen (vgl.V 04. Marklein .V 04. 93.SS 2006 . 5.SS 2006 .-Ing. Z P = RP X P R +X 2 P 2 P .GET II . Graphische Umwandlung der RL-Parallelschaltung in eine RL-Reihenschaltung (vgl. 2005]) Dr. R. Marklein .81 in Clausert & Wiesemann [Bd.2006 36 . Bild 7. S.SS 2006 .81 in Clausert & Wiesemann [Bd.1 Bedingte Äquivalenz Graphische Umwandlung einer RL-Parallelschaltung in eine RL-Reihenschaltung und umgekehrt jIm {Z } ZR = XP RP 2 2 RP + X P ZR = kleines Dreieck! ähnliche Dreiecke! RP X P 2 2 RP + X P XP großes Dreieck! ZR = ZP ZR 2 2 RP + X P Z P = Z P e jϕ P α ϕR RP α Re {Z } ZP = RP X P 2 2 RP + X P ϕP = π 2 Bild 7.10. 93. Graphische Umwandlung der RL-Parallelschaltung in eine RL-Reihenschaltung (vgl. 93.7.07. II.GET II .V 04. 2005]) X − arctan P RP Dr.10.5.81.07.V 04. R. Bild 7. Marklein . S.2006 35 7.81.1 Bedingte Äquivalenz Graphische Umwandlung einer RL-Parallelschaltung in eine RL-Reihenschaltung und umgekehrt ϕR = ϕ P = ? ϕR = arctan jIm {Z } XR RR π X ϕP = − arctan P 2 RP Z P = Z P e jϕ P . II.ϕ P = π 2 X − arctan P RP XP X = tan α → α = arctan P RP RP π 2 XP = α + ϕR → α = π 2 − ϕR ϕP = XP = π 2 X − arctan P RP −α π 2 ZR = ZP R +X = ϕR 2 P 2 P α ϕR = ϕ P ! RP α Re {Z } ZR = ZP Bild 7.-Ing. Marklein .SS 2006 .-Ing.V 04.Ende der Vorlesung Dr.GET II .2006 37 . R.07.