Geometría. 1º Año Matemática – Ce.R.P del Norte- 2010 EL SISTEMA AXIOMÁTICO (GEP7) I) Conceptos Primitivos. El PLANO EUCLIDIANO que simbolizaremos por es un conjunto no vacío cuyos elementos denominados puntos y los simbolizamos con letras A, B, C,…P, Q, X,……; y en él reconocemos una familia de subconjuntos por R y cuyos elementos son denominados rectas y simbolizadas por letras r, s, p, q, t, x, y, …….. . Las relaciones que ligan estos objetos y sus estructuras internas están reguladas por siete axiomas que caracterizarán a la Geometría Euclidiana Plana. II) Axiomas de Incidencia: AXIOMA 1: El plano contiene infinitas rectas y a cada recta pertenecen infinitos puntos. AXIOMA 2: Para cada par de puntos P, Q ( P Q) existe una única recta r R tal que P, Q r. Notación: r = r (P, Q) Teorema 1: Dada dos rectas r, s R se cumple una, y sólo una de las siguientes preposiciones; i) r s Ø ii) r = s. / r s P . En este caso decimos que las rectas son iii) Existe P secantes en P. Demostración: A cargo del lector. Definición 1: Dada dos rectas r, s R diremos que son paralelas, si y sólo si r s ó r s Ø Notación: r s. AXIOMA 3: EUCLIDES Para cada recta r y para cada punto P existe una única recta por P paralela a r. Teorema 2: El paralelismo es una relación de equivalencia en el conjunto R. Demostración: i) Reflexiva: r r ( r R) por definición. ii) Simétrica: r s s r por definición. s r Supongamos que esto no ocurra, es decir que no (r t) P P / r t P . Luego tenemos que por P entonces; existen dos rectas paralelas a s; esto contradice el Axioma 3. P t Definición 2: Las clases de equivalencia definidas en R por la relación paralelismo se llaman DIRECCIONES. 1 Geometría. 1º Año Matemática – Ce.R.P del Norte- 2010 Observaciones: 1) La clase de equivalencia a la que pertenece una recta r se llama direcci ón de r y se simboliza por Dr. 2) Cada dirección se puede caracterizar por una recta. En el caso que ocurra r s decimos que r y s tienen la misma dirección ( Dr = Ds ). 3) Dr se llama también ―Haz de rect6as paralelas de dirección r‖. Dr Ds Ø 4) ¿Cuántas direcciones tiene el plano P? Pruebe que: Si r, s R; r s P Teorema 3: Si se considera la recta x R, P x y la función f de dominio x y codominio Hp * (conjunto de las rectas que pasan por p (haz) y no paralelas a x) tal que la imagen de cada punto X x es la recta r (P, X); entonces f es biyectiva. Demostración: X f r (X, P) 1. f es función porque para cada X la r (X, P) es única (Axioma 2.); 2. f es inyectiva porque si X X´ y resulta r(X, P) = r(X´, P) los puntos X, X´ y P estarían alineados y X, X´, P x y esto contradice la hipótesis P x, 3. f es sobreyectiva porque dada s en Hp* existe un único Y en x tal que s x = Y entonces f (Y) = r (Y, P) = s. P s x Y X´ X III) Proyecciones y Ejes de Coordenadas. Sea x R y D una dirección distinta de D x, para cada punto M dirección D y XM la intersección de x y dM. XM se llama proyección de M sobre x según la dirección Dr. r M D dM XM x sea dM la recta por M de Definición 3: La función pr: x tal que a cada punto M (M) se le llama proyección de M sobre x según la dirección D. le asigna el punto XM = pr 2 1º Año Matemática – Ce. 2. bastante intuitivo. Con esta afirmación extendemos. Observaciones: 1. C de r. X´ y por lo tanto Y Y´. cualesquiera sean los puntos A.P del Norte. (a carago del lector). AXIOMA 4: Toda recta tiene asociada dos estructuras de orden total (AMPLIO). que: i. nos va a poder permitir afirmar que las rectas R ―tienen la misma cantidad de punto‖ . 2. a conjuntos infinitos. B. A _ A (Propiedad reflexiva). f es sobreyectiva. Sean x e y dos rectas secantes en O. IV) Estructura de orden en las rectas. la 1. Esto implica que el plano y el producto cartesiano de dos rectas ―tienen la misma cantidad de puntos‖. x La función f : xXy tal que a cada punto M le asigna como imagen el par ordenado (XM. D proyección de la recta x sobre la recta y según D es una biyección. una opuesta de la otra. 3 . para cada punto M de p consideramos las proyecciones XM de M en x según Dy e YM en y según Dx. Las recta d y d´(d. d´ D ) son distintas si X es inyectiva. YM) es una biyección de en el producto cartesiano de las rectas x e y. Demostración: d X X´ x y Y´ Y d´ DX y D Dy. Con este axioma se quiere decir si _ identifica la relación de orden en una recta r se cumple. nuestras ideas sobre cantidad de elementos en conjuntos finitos. Este resultado. Entonces pr Observaciones: 1. y YM XM O M Los puntos XM o YM se denominan coordenadas de M en el sistema de ejes coordenados definido por las rectas x e y.2010 Teorema 4: Sean x e y dos rectas distintas y D una dirección. en el sentido que se le asignábamos anteriormente.Geometría.R. B {X r (A. B r.R. Y escribimos A B para indicar A _ B y A B. También el conjunto vacío es convexo. Definición 4: Dada la recta orientada r y un punto O de ella. A _ B y B_ A = B (Propiedad antisimétrica) C iii. B) : A X B y segmentos abierto de extremos A y B al B al conjunto. A. 3. P.B):A<X<B} ¿Qué pasa si A=B? (segmento nulo!!) Definición 6: Un conjunto X se llama convexo si y sólo si para cada par de puntos cualesquiera A. Para cada A. B) designa la recta orientada determinada por A y B y tal que A _ B. Q X P. Para cada par A. Pero no X Y P. las semirrectas. Denominamos recta orientada y escribimos ( r . Q X Y P. llamamos semirrectas opuestas de origen O a los conjuntos: SO X r :O X SO X r :O X Notación: Para simbolizar la semirrecta d rigen O y q1ue contienen al punto A escribimos. Q . 1º Año Matemática – Ce. Si A _ B es usual leer ― A precede a B‖ o también que ―B le sigue a A‖ en sentido amplio. Y son figuras convexas de necesariamente lo es X X.Geometría. Q Y P. ¿Por qué? Un resultado que interesa destacar es que se refiere a intersección de figuras convexas. las rectas. Q r Ø. 2. B X. Demostración: Si P. qué pasa en el caso en que las figuras X e Y sean disjuntas ( X X Y Ø). A. 4. entendiendo el término figuras en el mismo sentido que subconjuntos de . B conjunto.2010 A ii. De la definición surge que. el plano. ¿Por qué no? Definición 5: Dados dos puntos A y B de llamaremos segmentos cerrado de extremos A y X r ( A. Si P en tres conjuntos 4 . y ´ tales que: 1. _ ) o sencillamente r a toda recta que tiene asociada una relación de orden del tipo indicando en el Axioma 4. A _ B o B _ A (Propiedad tricotómica) 2. los segmentos son conjuntos convexos. B X se tiene que A. A _ B y B_ A _ C (Propiedad transitiva) iv. Q X Y Analice el lector. Q P. V) Partición del Plano.X Y también lo es. y ´ son convexos.P del Norte. S O (A) Observación: Todavía no estamos en condiciones de probar que ambas semirrectas abiertas son no vacías. yQ ´ . Teorema 5: Si X. r (A. AXIOMA 5: Para cada recta r R existe una única partición de (no vacíos y disjuntos) r . B A B . R. B´. y C´ tales que A'< B'< C'.P del Norte. a aó a . Si A B C en r las rectas paralelas r(A. por un punto exterior a r se traza una paralela r´. proyección de r sobre r´ según D es una biyección que conserva el orden en r´o lo invierte. Demostración: C B A D r Por el teorema 4. p D es biyectiva. Q´ r´ . entonces. P. 1º Año Matemática – Ce. En la recta ordenada r´ se tiene: i. Q´ X X´ s P´ Q´ r´ Pruebe el estudiante que si una recta a es paralela al borde de un semiplano . En ésta se consideran los puntos A´. ¿Por qué? Y por tanto s corta a Q. B´) define una dirección D distinta de Dr. P´] corta a [ Q. La recta x = r(B. toda recta r s que corta a [ P. A´ B´ C´ ó ii. Demostración: P Q r Si se corta a P. Q´]. x A´ B B´ C´ r´ r Sea r una recta y B un punto de ella. por lo tanto pD es creciente estricta en el caso i) y decreciente estricta en el caso ii) A´ B´ C´ r´ Teorema 8: Toda semirrecta abierta es no vacía. C´ B´ A´ .A´) y r(C.B´). Q r y P´. r y r´ están en semiplanos opuestos respecto de s. P´ en X.2010 y ´ se denominan semiplanos abiertos de borde r.Geometría. ( pD es creciente o decreciente estricta). Teorema 7: Sean r y r´ distintas y d una dirección tal que r D y r´ D. la función pD: r r´. r r´. Relaciones entre los órdenes de las rectas Teorema 6: Sean r y r´ R. 5 .C´) están en distinto semiplano respecto de r(B. como una de las Los conjuntos consecuencias de la inducción de este axioma es la posibilidad de relacionar los órdenes de cada recta. Z) + d(Z. para cada X v. como además d(X. Y) d(Y. Esto contradice la proposición Axioma 6. X _ Y y d(X. En sí. Demostración: a. 3. AXIOMA 6: Existe una función d : IR. 4.Y) = 0 y X Y (por ejemplo X < Y con X. Por lo que las semirrectas de r de origen B son no vacías. d(X Y) = 0 X = Y. Z son tres puntos del plano. Teorema 9: Si X. La condición v) nos está diciendo que en cada recta hay dos puntos (uno que precede y otro que sigue) a distancia dada de otro. El axioma que se introducirá a continuación define la distancia entre dos puntos y en élsi apela al Cuerpo Ordenado de los Números Reales. Y. entre los que se destaca el que muestra la identificación de la recta orientada con origen y los Números Reales. Si X. Y) < d(X. Y) 0 ( X. Y d(X. no alineados. Y) d(X. Para cada recta orientada (r. d(X. 2. Si X = Y en Axioma 6. con las siguientes propiedades: ) i. Y. Y) ( Z. Y) ( Z. Veamos a continuación una serie de resultados importantes intuibles.Geometría. X) d(X. Y ) ii.Y)).Observaciones: 1. para manejarnos en esta instancia. 6 . Z) d(Z. La función distancia asocia a cada par ordenado de puntos del plano un número real positivo o nulo. Y . X) ( X. Traduciendo ésta. Las condiciones iii) y iv).P del Norte. Z X. Y ) d(X.Y). la condición ii) nos dice que el orden de los puntos no afecta. r y para cada a IR (0 a) existe un único punto Y tal que: Y r . la idea intuitiva que en un triángulo. iii) tomamos X = Z y se tiene d(X. obtenemos un único que precede. C = p rD (C´) (proyecciones de A’ y C´sobre r de dirección D) cumplen A < B < C ( ó que C < B < A).X) = 0 tendríamos dos puntos que siguen a X (X e Y) en r y a la misma distancia.2010 Por el teorema 7 los puntos A = p rD (A´). usando la unicidad del neutro aditivo de los Números Reales. se cumple que d(X. Si d(X. pero usando el Axioma4.X) = 0.Y) = a. Z X. Y) d(X. Z iv. Y _). 1º Año Matemática – Ce. Z ) iii. Y r (X. traducen la idea intuitiva que ―el segmento de recta es la distancia más corta entre dos puntos ‖. Z) d(Z.Y] es un subconjunto de puntos del plano. Y) y por lo tanto d(X. d(X. que denominaremos DISTANCIA. v).R. la suma de dos lados es mayor que el tercero. VI) El Plano como Espacio Métrico. d (X. asegura la existencia de uno sólo que sigue. b.Y) < d(X. Aunque parezca obvio. pensar en la estructura aditiva ordenada de ellos sin entrar a las cuestio nes que tinen que ver con la completitud. llamado desigualdad triangular.Y) es un número real y [X. en sí. Pero es sí es suficiente. Y. Z) < Teorema 10: Dados X. en esencia Conjuntamente con la observación al Teorema 4. ƒ es inyectiva (X Y X tal que d(X.O) + d(O. Por tanto ƒ es creciente.Y) = ƒ(Y) – ƒ(X) si X < Y.f (Y) .R. iii) El que sigue es el resultado importante que incorpora el Axioma 6.Y) d(X. d(X. por ser creciente. 1. y (IR. si Z X. que establece la biyección entre el plano y el producto cartesiano de dos rectas secantes. coordenadas del punto en el sistema de referencia determinado por dichas rectas. X Y O d(X. están en la propia definición por lo que debemos probar que es biyectiva. La llamada GEOMETRÍA ANALÍTICA tiene su base en esta biyección ( P completa definiendo una métrica en el conjunto R 2.f (Y) ya que si X _ Y. _ ). ( X. Si Y X. X Y.d(X.Y) = f (X) .2010 . ƒ es creciente . y la Estructura VII) Isomorfismo de la Recta Orientada con Origen (r.Y) = f (X) .O) Probaremos que esta función así definida cumple las condiciones del teorema. por el Axioma 6.Y) = d(O. d(X. ƒ(X) = . _ ) e Y O tal que d(Y.O) = x. o. Crea lo que se denomina EJES DE ABCISAS. iii) puede suceder que. y es ƒ es biyectiva.f (Y) Unicidad: Supongamos que exista una función g en la hipótesis del teorema. y 2. De lo anterior. _) punto con núme ro real. lo que implica ƒ(X) < ƒ(Y). ). d(X.Geometría. ƒ(O) = 0 si X O. identificamos el plano P con R² mediante una biyección que a cada punto del plano le asocia un único par ordenado de números reales.Y) + d(Y. ƒ(X) = d(X.f (Y) R2) que se (r. y sobreyectiva porque dado x R: sí O x existe X (r. _ ) R 2.X) + d(X.Y) = d(X. 7 . 1º Año Matemática – Ce.Y) = ƒ(Y) – ƒ(X) iii. _ una única función biyectiva creciente tal que: 1. en los tres casos vale que: d(X.O) d(X. f (X) f (Y)) .o _) Ordenada de los Números Reales (IR. Y) = f (X) . creciente y vale 3. ƒ: (r. _) y O _ por lo tanto. Y se cumple que d(X.ƒ(X) + ƒ(Y) ii. El teorema siguiente justifica la identificación de la recta (r. ) orientada y para cada punto O Teorema 11: Para cada recta (r.O) = d(X. ƒ (O) = 0 3.O) si O = X. Y d(X.P del Norte.Y) d(X.Y) = -ƒ(X) + ƒ(X). Y (r. ). _) R como sigue: si O X. X O Y d(X. ƒ(X) = x. y si X O existe Y (r. o sea ƒ(Y) = x. Definimos la función ƒ: (r. Además se cumple que d(X. Demostración: Aplique Axioma 6. Sea X < Y.Y).Y) = . O X Y d(O. i.O) = -x. _ ) existe Demostración: Existencia.Y) = f(X) – f(Y) = f (X) . Y) – d(O. Y P tales que X Y.que simbolizaremos m(X. Y (r.Y) Por tanto.X) = -d(X.Y) Si Y O X m(X.Y) = f(Y) – f(X). y tomando Y = O se tiene que d(X. 1. totalmente ordenado. Por ejemplo: i. Toda recta es un conjunto infinito.Y) – al número real: m(X. _) se tiene d(X. ) demostrada en el teorema 11. Dicho M se llama punto medio del segmento [X.Y) = -d(O. donde f es la función al que se refiere el Teorema 11. Y) = g (X) . Si O X Y m(X.X) = d(X.Y) Si Y X O m(x. O. no acotado superior ni inferiormente. 8 .Y) + d(O. Obsérvese que si consideramos los puntos X.P del Norte.Geometría.Y) = d(O.g (O) = g (X) por ser g(O) = 0. O.Y) y si Y X m(X.Y) = d(O.Y) + d(O. _) R cumple: Si O X g(X) = d(X.g (Y) .Y].M) = d(M.Y) + d(O.Y) = -d(O.Y) = d(O.O) Si X O. _) y (R. _) _ Y existe un único punto M (M con X X. Y Ø. entonces el segmento abierto X. ii.Y) = d(X. llamaremos medida algebraica del par orde nado (X.Y) Si O Y X m(X. O) Si O = X g(O) = 0 por tanto g = f Si X O g(X) = -d(X. Se hace necesario demostrar que esta definición es independiente del origen O de Coordenadas elegido. . Medida algebraica: Sea (r. Y (r. Al número real f(X) le llamaremos abcisa del punto X.R. Y cualesquiera de ella.Y) = -d(X. Como g es creciente: Si O X. permite trasladar propiedades asociadas al orden de los Números Reales a las rectas Orientadas con Origen.Y) Si X O Y m(X.Y). se tiene que: Si X Y m(X. 0 < g(X) = g (X) = d(X.Y) Si X Y O m(X. denso y completo.Y) = d(X.O) = g (X) .2010 Para cada X. Todo subconjunto de la recta no vacío y acotado tiene supremo y ínfimo. Teorema 12: Dados X.O) Resulta que g: (r. Existencia y unicidad del punto medio de un segmento. iii.Y) – d(O.Y) – d(O.Y) 2.Y) .Y) = -d(O.X) = -d(X. independientemente del origen.X) = -d(X. 1º Año Matemática – Ce. Y ) tal que d(X. _) una recta orientada con origen con origen y consideramos dos puntos X.X) = d(X.O) Observaciones: La identificación entre las estructuras (r. g(X) < 0 g (X) = -g(X) = d(X. f es biyectiva función f : es una ISOMETRIA del plano ii. O) a . al conjunto: C (O. X) < a} 2. 2 3.M) = m – x y d(Y. f(Y)) > 0 f(X) f(Y). en correspondencia con el número real m. a) = {X a}.a) = X C ya (O. Y en las condiciones pedidas y su abcisa es . X) < conjunto disjuntos. f (Y)) ( X.Y) > 0 d(f(X).R. O) a Observaciones: 1. Toda recta que tenga un punto en (Ci) intercepta a Pitágoras y Axioma 6. Entre ellas ocuparán el lugar especial las llamadas ― SIMETRIAS AXIALES”. _) sean X M Y.M) = m(M. v)) C en dos puntos (Teorema de VIII) Isometrías. siendo sólo el primero de ellos convexo. 1º Año Matemática – Ce. Otro grupo de transformaciones que se estudiará es el de las SEMEJANZAS que son biyecciones del plano en el plano que multiplican las distancias por una constante positiva . Dados O P y a IR (0 < a) los siguientes constituyen una partición del plano en tres : d(O. Definición 7: Sea O conjunto: Y círculo de centro O y radio a. entonces. al : d(X. a lo sumo. Y) d( f (X). llamamos circunferencia de centro O y radio a. Ce (O. O.2010 Demostración: En (r. puesto que: X Y d(X. Circunferencia y Círculo. tres simetrías axiales.Geometría. C (O. d(X. Definición 8: Una i. existe un único punto (x y) M X. En sí son dilataciones o contracciones del plano según sea la constante mayor o menor que 1 (uno). tiene asociada un Grupo de transformaciones que la caracteriza y son las ISOMETRIAS. C i (O. a). (x y) Esto implica m = 2 Resulta entonces. a) = { X : d(O. Las isometrías están incluidas en el caso que la constante sea igual a 1.P del Norte.M) = m(X. ya que probaremos oportunamente que toda isometría se reduce a un producto de. 9 . Estas son biyecciones del plano en el plano que conservan la distancia. Una función que conserva las distancias es necesariamente inyectiva. a) = X IR+. d(X. : d(X.Y) = y – m de donde m – x = y – m. (Funciones del plano → plano) Comentario Previo: La (GEP7) como Espacio Métrico. Y Observaciones: i. Geometría. segmentos. ii. Q) lo que implica X = f. El teorema que sigue es una muestra de ello..R. f(X´)) = d(X.Y). f(Q)]. f(Q)) = =d(f(P). (g º f)(Y)) = d( g(f(X)).1(Y´)) y eso permite afirmar que f. f(Q)) = d(f(P). f(Q)]. 1º Año Matemática – Ce. f(Q)] aplicando el mismo Axioma 6..Q]) = [f(P). Recíprocamente... Sabemos que º es asociativa y que I cumple que I º f = f º I = f ( f Nos queda probar que la función inversa de una isometría es una isometría.. Si r R y f entonces f(r) R. si existen una isometría f tal que f(A) = A´. iii. Consideramos dos semirrectas S o y So´ del mismo origen.Teorema 13: Sea = { f: f es un a isometría de }.X´)= d(f (Y). Si X.. Demostración: i.1 : (por f ser biyectiva) tal que f. Y) + d(Y. sacaremos otras consecuencias que analizaremos a posterior. Si P..Q) (Axioma 6. Y se tiene que: d((g º f)(X). f. g .1 debemos probar que conserva la distancia. Y´ se cumple que existen X. llamaremos (provisoriamente) ―ángulo‖ determinado por ellas al conjunto So So´.1 d(f(X)..1 (Y). debemos probar que conserva la distancia. como veremos muy importante.1(Y) = X si y sólo si f (X) = Y. Entonces las isometrías transforman ángulos en ángulos. f([P. Teorema 14. g º f es biyectiva. Demostración: Sean f. 10 .1 resulta que d(P. implica entre otras cosas. rectas. ii. g ( f(Y))) = d( f(X). f(Q)) y si aplicamos f. Es decir.1 .. … al aplicarse al plano una isometría. f(X)) + d(f(X). Observaciones: i. si Y [f(P).Q) = d(P.2010 ) (función ii. Consecuencias: i. f. diremos que A y A´ son congrue ntes (en el cotidiano. f(Y)) = d(X.Q) = d(P. º) es un GRUPO.1(Y) = X y f. De este hecho. esto implica que f º ). g .1(Y´) = X´ entonces d(Y. Nos interesa saber cómo reaccionan nuestras figuras habituales. diremos que son iguales).Y´) = -.1 (Y) [P. Para probar que f. Si f . circunferencias. X´ tales que f. ii. dice en esencia que: ― la imagen de un segmento por una isometría es un segmento ”. Q (P Q) y f .Q].X) + d(X.Q] entonces f(X) [f (P). iii) se tiene d(f(P). Existen isometrías puesto que la función I : tal que I (X) X ( X Identidad) es un isometría. existe f. iii) y aplicando f a la igualdad anterior obtenemos que: d(f(P). f (Q)]: Si X [P. iii. si Y. Si So(A) r (semirrecta de origen O que contiene a A) y f entonces f(So(A) ) = Sr(O)(f(A)) f(r). que podemos resolver ecuaciones lineales y que éstas tienen solución única.. si ésta respeta las categorías de las figuras. En efecto.º) sea un grupo – que como veremos no es conmutativo -. Probaremos en principio que si X [P. entonces ( .Q] si y sólo si d(P.1(Y)) + d(f. El hecho que ( . Dadas A A´ figuras planas. f(Q)) lo que implica f(X) [f(P).P del Norte. So. f(X)) (aplicando el Axioma 6. ella determina en P. S o.So.f(X)) + d(f(X). Esta terna la simbolizamos por (O.R. entonces Teorema 15: Sea f f(X) = X ( X r (P. . So.2010 iv. Q (P Q) tales que f(P) = P y f(Q) = Q. demostraremos uno sólo de ellos. aprovechamos hacer lo siguiente: 11 . en un sentido que se precisará en cursos posteriores. 1º Año Matemática – Ce. SIMETRÍA AXIAL Sea ℮ R . entonces P < f(X) < Q. vi.Q). en el Espacio Métrico (P. α´) existe una única isometría f tal que f(O) = O.Q) y por f se tiene que: d(f(P. P X Q y P Q X. Elijo un punto O ℮ y una semirrecta So ℮ el Axioma 7 afirma que: existen dos únicas R isometrías f. En cuanto a f. g tales que: f((O.Geometría. Q) Demostración: Consideramos la recta r(P. So´. f(Q)) d(P. f(So) = So´ y f(α) = α´. _) de las simetrías de r de origen O) y α (uno de los semiplanos de borde r). α). iii) d(P. f(X)) + d(f(X). O r (un punto cualquiera de ella). pero como además d(P. por ambos puntos siguen a P y están a la misma distancia de él. P.P del Norte. Observaciones: Como consecuencia y volviendo a insistir sobre este resultado: Si una isometría tiene dos puntos fijos. r))= =C (f(O). Si f(C (O. d) las isometrías son funciones bicontinuas y respetan la condición de convexos de los conjuntos de . v)) f(X) = X. α)) = (O. Por ser de similar demostración. Si es un conjunto convexo entonces f ( ) es un conjunto convexo. AXIOMA 7: (Determinación de Isometrías) Dadas dos ternas (O. So.Q) = d(P. f(Q)) = d(f(P). α´) y g((O. α) y (O´. P . α) y el axioma asegura la unicidad. tiene fijos los puntos de la recta que ellos determinan. Q) orientada. a). P X Q (por el Axioma 6. α)) = (O. Existencia y Unicidad de Isometrías: R (recta orientada). tienen fijos todos los puntos. So. α´). Es más.Q) = d(P. debemos analizar los casos: X P Q.X) = d(P. So´. dos semiplanos α y α´. α)) = (O. se cumple que Si una recta tiene dos puntos fijos por una isometría. So. Anotemos a continuación un resultado importante en todo lo que sigue: C (O. _ ) (una Notación: Sea (r. r) es la circunferencia de centro O y radio r y f una isometría. (So. g = I ya que la identidad cumple I((O. v. So. Notación: f((O.X) + d(X. α´) 2. So. α) = ( O´. α) = (O. d(X. (Se º Se) (O. b escribimos a b si y sólo si Sb(a) = a R (a b).X´) y como Se(Y) = Y se tiene 2d(X. Probarlo queda a cargo del lector.Xo) 2d(X. pr e (X)). vale para uno en particular. Vale la pena destacar que la definición es independiente de la elección del punto O. Demostración: i ii.Y). Definición 10: Llamamos distanci a de un punto X a una recta ℮ al número real d(X. Es decir a b. Sb(P) = P´ siendo O punto medio de [P. X´] con X´ cumpliendo que X´ = Sb(X) de donde Sb (a) = a. iv. por el Axioma 7. es decir: d(X.X) + d(Y. X a) (prb (X) = O) siendo O punto medio de [X. X´) ℮ = {Xo} con Xo [X. y establecer una relación de paralelismo. P´) o sea que Sb(a) = a.P del Norte. 12 . Esto implica que Xo es el punto de ℮ a mínima distancia de X. PERPENDICULARIDAD: Definición 11: Dadas las rectas a.X´) = a. So. ii. X´) ∩ b = {O}. P O y tal que prb (P) = O. iii. con el único punto fijo: su intersección con el eje de simetría.Geometría. Sb(a) = a. X´]. vi. Del punto v. Es decir a b. tal que Observaciones: i. las proposiciones siguientes son equivalentes: i. A este punto le llamamos proyección ortogonal de X en ℮ y lo simbolizamos por pr e (X) = Xo. Existe P a. entonces S b(r(P. α). Xo) = d(Se(X). Xo) lo que prueba que ―el eje de simetría contiene los puntos medios de los segmentos determinados por pares de puntos correspondientes en la simetría”.Y). Aprovechamos estos resultados para probar que la perpendicularidad es invariante por aplicación de isometrías. 1º Año Matemática – Ce. α´ semiplanos opuestos de borde ℮. entonces f = I o f = So ℮. (O es la proyección ortogonal de X en b) iii. P´)) = r(P. ii. P´].Xo) d(X. α´). Si So es una semirrecta de origen O y f tal que f(So) = So. esto implica que: (Se)2 = I. X´ = Se(X) α´ y por tanto r(X.X´))= = r(X´.X´) d(Y.R.X). siendo So ℮ y α. ii iii. Se (℮) = ℮. a b. vii. entonces pr o = O. Es inmediato. Como X y X´ pertenecen a distinto semiplano de b. decimos que a es perpendicular a b y Teorema 16: Si a y b son rectas secantes en O. Es decir que las rectas definidas por puntos correspondientes en una simetría axial son globalme nte invariantes por ella. d(X. Sea Y ℮. α) = (O. X a) prb (X) = O. Son imágenes de sí misma. So. Sb(X) = X´ a y por tanto r(X. se deduce que (Se)-1 = Se y que si X´ es la imagen de X por Se se tiene que Se (r(X. iii i. So. Se(Xo) = d(X´. ( X. r(X. . Si X α. 3. si X a. v. ( X.2010 Definición 9: Llamamos SIMETRÍA AXIAL DE EJE ℮ a la única isometría f f(O. Se. puesto que si vale para todos los puntos. que b a. Demostración: f(b) b B O´ O P a P´ B´ f(a) Sea {O} = a ∩ b y P un punto de a. A es el punto a mínima distancia de B y es único. a B Demostración: A O A Supongamos B b tal que pra(B) O y pra(B) = A (A O).B´).P del Norte. lo que implica una contradicción. B´) con B´ f(b) (B´ O´) Sabemos que existe B b único tal que f(B) = B´ y que se cumple: d(P.A´). Teorema 19: Si a b entonces: a en las condiciones dadas: c si y sólo si b║c cualesquiera sean a.A) = d(B.B) ( B b) entonces d(P´.A´) y entonces tendríamos otro punto A´ de (a). Como pra(B) = A.B´) ( B´ b´) . como a b se tiene que O = pro(P) y por tanto d(P. 1º Año Matemática – Ce. b ya b entonces f(a) = f(b).Geometría. a misma distancia.O´) y d(P. Luego pra(B) = C y resulta por el Teorema 16. Se tiene que d(P. Pero en nuestro supuesto d(B. O) es la mínima distancia entre P y los puntos de b. como Sb(a) = a se tiene que Sb(A) = A´ y se cumple que d(B. a. O sea prb(B´) = O´. Obsérvese que lo que afirma es que las isometrías respetan la perpendicularidad. Comparamos ahora las distancias d(P´.O) ≤ d(P. c R 13 .2010 Teorema 17: Si f .O´) ≤ d(P´. de donde f(a) f(b) (Teorema 17) b Teorema 18: Si a b → b a. O´ = F( O) y P´ = f(P). b.R.O) = d(P´.A) = d(B.B) = = d(P´.O´) y d(P´. 1º Año Matemática – Ce. P) < d(P´.Q]∩ m = {X}.R. 4.Q) y además d(O.Q)) =r(Q.P´) se cumple que: d(P´.P) < d(A´.P) > d(A. Q (P Q). Q).2 La mediatriz como Lugar Geométrico: La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de sus extremos. MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO. pra(P) = A2 y como b a.X) + d(X. Sa-1(B´) = Sa(B´) = B tal que b ∩ c = {B}. iii.Q) en el punto de [P. esto lo probaremos en el siguiente: Teorema 21: Sea m la mediatriz de [P. La proyección ortogonal de un punto P sobre una recta r. 4.Q) lo que implica S m(P) = Q.Q) = d(P´. P) > d(P´. ii.X. d(A.Q]. es la proyección de P sobre r según la dirección perpendicular a r. d(A. Si b ║ c (b c) sabemos que Sa(b) = b.Q] . Observaciones: i. Teorema 22: Comparación de oblicuas. supongamos ahora que Sa(c) = c´ (c´ c).Q] pertenece a m (O m) y que Sm(r(P.P) = d(A.Q) d(A´. Si Sm(P) = Q implica que el punto medio O de [P.Q) iii.2010 Demostración: Si a c. P´ α´ d(P´. pra(P) = A1 siendo A1 A2 y esto contradice la unicidad de la proyección ortogonal. Demostración: Si m es la mediatriz entonces m r(P. Si b no fuera paralela a c existe P tal que b ∩ c = {P}.Q) en el punto medio O de [P.P) = d(A´.Q) ii. P´ α d(P´. Q). Si P´ α y Q α´. Q) d(A´. sean a ∩ b = {A1} y c ∩ a = {A2}.1 Mediatriz como eje de simetría: Definición 12: Dados los puntos P. 4. Un ángulo como unión de dos semirrectas del mismo origen cuyos lados están contenidos en rectas perpendiculares se llama RECTO. P. Q): Demostración: A modo de ejemplo se demostrará la parte i.P) = d(P´.Q]. Teorema 20: La recta m es mediatriz de [P.Geometría. ii. Sa(A 2) = A 2. sea [P´. como Sa-1 =Sa.P del Norte. se cumple las siguientes preposic iones: i.Q] a la recta m perpendicular a r(P. es decir a c. Luego m es la mediatriz de [P. resulta pues m perpendicular a r(P. d(A. Si {B´}= b ∩ c. P) = d(P´. Entonces Sa(C) = C.P) < d(P´.P) < d(A.Q)) = r(P.Q) r A´ 14 . entonces S m(r(P.P) = d(O. en la terna (P. P´ m d(P´.P) > d(A´. llamamos MEDIATRIZ del segmento [P. A Sea r R.Q].Q].Q). entonces valen las siguientes preposiciones: i. Q r. Por ser c a.P). Como a ∩ c = {A2}.Q) en el punto medio de [P.X) + d(X. A r y A´= prr(A). Esto implica que b no ║c.Q) d(A´. α el semiplano de borde m que contienen a P y α´ su opuesto (Q α´).Q] si y sólo si Sm(P) = Q. contradicción que pr oviene del supuesto C´ = Sa(C) C. P) – d(O. Teorema 23: Tres puntos no alineados determinan una ú nica circunferencia.R].A´) se tal que s α. i. por ser s ║ m. la circunferencia C (O. si A está en α.Q]. α y α´ los semiplanos de borde m y observando que s = r(A. ii.A´]. y la recta p r que interseca a r en A y a A´ en R´. y ℮ una recta cualquiera.R. Si F es una figura plana cualquiera.Q) – d(O. los centros de las circunferencias que pasan por P y Q pertenecen a la mediatriz m[P. La mediatriz m[P. Y análogamente. Q y R. a los puntos Ay A´ tomando m la mediatriz de [P. (Decimos que F es globalmente invariante o simplemente invariante por la transformación S℮) Ejemplos. r) una circunferencia de centro O.2010 P Q Demostración: i. Se llama circunferencia circunscrita al triángulo que ellos determinan. p 15 . r) surge a partir de la de O como intersección de dos rectas únicas. Paralela Media: Se consideran las rectas r y r´ paralelas distintas. probaremos que S m(r) = r´.Q] es eje de simetría del segmento [P. iii. Sea C (O. Resulta: d(O. entonces ℮ es eje de simetría de F S℮(F). R puntos no alineados. R tres puntos no alineados.P del Norte. La unicidad de C (O.R) – r. Demostración: Sean P. toda recta ℮ que pase por O es eje de simetría de ella.Q]. 5. iii. Por ser P. las mediatrices no son paralelas y por tanto existe un único punto O de intersección de ambas mediatrices. Sea m la mediatriz de [A. iv. EJES DE SIMETRÍA Definición 13: Una recta ℮ se llama EJE DE SIMETRIA de una figura F si y sólo si S ℮(F) = F. los centros de las circunferencias que pasan por P y R están en m[P. Se aplica el Teorema 21. Q.Geometría. Q. Las partes ii. Se demuestran en forma análoga. 1º Año Matemática – Ce.Q] (si P Q). Se podrá demostrar más adelante que los únicos ejes de simetría de la circunferencia son las rectas que pasan por su centro. r) contiene a los puntos P. además de la propia recta r. (según figuras adjuntas). De r p se deduce Sm(r) Sm(p) Sm(r) p. ella es la paralela media. Sm(r) ∩ Luego.Q´] y m´ de [P. ii. Q´. Q.Q) o sea que por Sm(r)= r´ y esto implica Sm(r r´) = r´ r. 1º Año Matemática – Ce.O)) = r(Q´. entonces m y m´ son los ejes de simetría de la figura r r´ Q P´ 16 .R´) = =d(R 1. P´. consideramos la circunferencia los puntos P. Esto implica que los puntos de r equidistan de r´ y recíprocamente. Y por las cuales. r) que corta a las recta r y r´ en m r´ r Q´ P O Las mediatrices m de [P. Si r ║r´ (r r´). la recta Sm(r) pasa por R´ y es perpendicular a p. Si r = r´ toda recta ℮ perpendicular a r es eje de simetría. Además.R 1´). r´ simetría.Q´. Demostración: i. Si r ∩ r´ = {O}. Observaciones: i.2010 A r m A´ r´ Los teoremas expuestos aseguran que m ║ r y que p m. De lo anterior se deduce que el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a una recta m del plano es constante.R. P´. m´ lo tanto Sm(r(P. iii. Se razona análogamente para m´. son ejes de simetría la paralela media y toda recta perpendicular a ellas. La recta m se denomina paralela media del par r. R entonces la figura r r´ tiene al menos dos ejes de ii. r ∩ p ={R} Sm(p) = =Sm(R) = R´. C (O. es un par de rectas paralelas a ellas ubicadas en semiplanos opuestos de borde m.P´] pasan por el punto O porque equidistan de P.Geometría. r´. Si p1 es la recta paralela a p que corta a r y a r´ en los puntos R1 y R 1´se cumple que d(R. Teorema 24: Sean r. Q. como también r´ es perpendicular a p y pasa por R´ se tiene (unicidad) Sm(r) = r´ como queríamos.P del Norte. Mr]) = [M. prr´(M) = Mr´. y a modo de ejemplo. r ∩ r´ = {O} entonces se cumple que {X : d(X. Condiciones que nos permiten asegurar la igualdad sin determinar la isometría correspondiente. Corolario: Sea M m.2010 Como S m(P´) = Q. usaremos también el término iguales para vincular a dos figuras congruentes. demostraremos el denominado Tercer Criterio de Igualdad de Triángulos. lo que implica que m m´ es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de r y r´.Q´) y también m ´ paralela media de r(P. CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIÁNGULOS Por entender que el tema tiene su interés práctico-teórico para el curso actual. por lo tanto m es perpendicular de m´.Mr´]. F y F´. entonces existe f que cumple con las siguientes igualdades f(A) = A´. 17 . se incorpora el mismo y la demostración cuidadosa de uno de ellos. Mr))=r´ rSm(M. 1º Año Matemática – Ce.R. r´ R.aseguran la igualdad en condiciones mínimas. Por ser de uso corriente en el lenguaje geométrico. Observamos que vale la preposición recíproca de la anterior: es decir. f2 y f3 tales que f1([A.C]) = [A´.C´] y f3(áng(BAC)) = áng(B´A´C´). f(B) = B´ y f(C) = = C´. la semirrecta de este eje contenida en el sector angular se llama BISECTRIZ del ángulo. para decidir si son o no iguales tenemos que encontrar una isometría que transforma todos los elementos de F en todo los elementos de F´. si r. 6.P´) y r(Q. tradicionalmente ha tenido y tienen un peso muy fuerte en la enseñanza de la Geometría Euclidiana y del Espacio en nuestro país. Los teoremas que siguen – CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIÁNGULOS. Enunciaremos tres criterios clásicos.r´)} = m m´. prr(M) = Mr y por tanto Sm(r´ r (M. Si F = T(ABC) y F´= T(A´B´C´). Por otro lado. Teorema 25: PRIMER CRITERIO Se consideran dos triángulos T(ABC) y T(A´B´C´) cumpliéndose que: existen tres isometrías f1. son congruentes si existe una isometría f que cumple: f(F) = F´. f2([A. Como consecuencia se puede escribir que f(T(ABC)) = T´(A´B´C´).B]) = [A´. En resumen d(M.B´].Mr´). Es el conjunto de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo.Q).Mr´) Sm([M. m es paralela media de las rectas r(P. Definición 14: Todo ángulo no llano (como par se semirrectas del mismo origen) tiene un único eje de simetría que pasa por el vértice.r) = d(X.Q´) y r(P´.Geometría.P del Norte. Observaciones previas: Diremos que dos figuras del plano .Mr) = d(M. B´) es mediatriz del segmento [C´´.C´) lo que implica d(A´. Teorema 27: TERCER CRITERIO Los triángulos T(ABC) y T(A´B´C´) son tales que : [A. 1º Año Matemática – Ce. [A. f2(áng(BAC)) = áng(B´A´C´) y f3(áng(ABC)) = áng(A´B´C´).B´].B´) que no contiene a C´.B]) = [A´. C´´) por lo tanto A´ y B´ equidistan de C´ y C´´. f2. g(B) = =B´ y g(C) = C´ por lo que g(T(ABC)) = T(A´B´C´) y hemos podido definir una isometría que transforma T(ABC) en T(A´B´C´) que era lo que se pedía. NOTA: A continuación hare mos un análisis de las ISOMETRÍAS que permitirá lograr una representación canónica de ellas en base a productos de SIMETRÍAS AXIALES. C´´) = d(B´.C´]. podemos deducir que S m(C´´) = C´.B] = [A´. es inmediato que ésta cumple que g(A) = =A´. Como C α. α) = (A´. C´´ = f(C) α´´ ( f(T(ABC)) = T(A´B´C´´) ) Tenemos d(A. esta situación la denotamos en la forma f(T(ABC)) = T(A´B´C´).B´] para indicar que existe una f tal que f([A. Adoptando la notación usual.2010 Teorema 26: SEGUNDO CRITERIO Si para dos triángulos T(ABC) y T(A´B´C´) existe f1.Geometría. [B.C´].C] = [B´. escribimos [A. Demostración: α´ α C A´ C´ A B´ B C´´ α´´ Sea f f(A.C´´) y d(A.P del Norte. f3 tales que: f1([A. α´´) (que existe y es única por el Axioma 7.C) = d(A´. Consideremos finalmente. SA (B).C´]. la recta m=r(A´. SA´(B´).). Pero es más.B)] = [A´. De donde. entonces T(ABC) = T(A´B´C´). C´´) = d(A´.C] = [A´.B´].B] = [A´. siendo α el semiplano de borde r(A.B´]. f(B) = B´ y f(C) = C´. Como ya habíamos hecho notar. la isometría g = Sm º f. entonces existe una isometría f tal que f(A) = A´.B) que contiene a y α´´ el de borde r(A´. Es un hecho significativo que toda isometría del plano admita una representación en base a producto de simetrías axiales.R. de mostraremos que para cualquier isometría puede expresarse como producto de a lo sumo tres simetrías axiales. 18 .C) = d(A´. C´) y análogamente d(B´. Probaremos a continuación que el estudio del número de puntos fijos de las isometrías permite demostrar. CARACTERIZACIÓN DE LAS ISOMETRÍAS RESPECTO AL NÚMERO DE PUNTOS FIJOS. entonces: A — f f(A) = g(A) — g -1 A = h(A) -1 B —f f(B) = g(B) — g B = h(B) C —f f(C) = g(C) — g -1 C = h(C) Por el teorema 28 h = I.C)) y la isometría f tal que f(A) = A. es la Identidad o la Simetría Axial de eje la recta que determinan dichos puntos. Si ocurre que f I. Entonces se cumple que: d(A. C (no alineados) y se cumple que f(A) = g(A). f(Xo)] y por lo tanto pertenecer a la recta mediatriz de él.Geometría. como decíamos anteriormente. Demostración: Supongamos que se tiene A. f(Xo)) d(C. Xo) = d(f(C). según cada caso. Esta recta define en dos semiplanos α y α´ Si en ℮ consideramos un punto O y una semirrecta S o ℮ como f(So) = So la isometría puede aplicar α en α º α en α´. B y C equidistan de los extremos del segmento [Xo. f(X) = X. α)) =( O. es decir: f = I Teorema 29: Si tenemos f. que éstas se pueden representar por el producto de a lo sumo tres simetrías axiales. f(B) = g(B) y f(C) = g(C). B (A B) dos puntos que cumplen f(A) = A y f(B) = B.2010 6. el Teorema 15. entonces f se puede representar como el producto de dos simetrías cuyos ejes pasan por A.A tal que f(A) = A y si X (X A) f(X) X. f(Xo)) = d(A. no alineados. Xo) = d(f(A). el Axioma 7. g -1 º f = I.B). (g º g -1) º f = Teorema 30: Si una isometría tiene dos puntos fijos distintos. f(Xo)) = d(B. la unicidad que incorpora el Axioma 7. De donde g º (g -1 º f) = g º I gºI I º f = I º f = g º f f = g. 1º Año Matemática – Ce. So.R. α)) = (O. Xo) = d(f(B). Luego. B. asegura que son fijos todos los puntos de la recta ℮ = r(A. C (A r(B. Tal representación no es única. entonces f = g. So. Demostración: Sean f y A. asegura que f = I. es la Identidad I. f(Xo)) d(B. So. asegura que f = S℮. pudiéndose elegir ésta de infinitas formas. es decir. Lo que implica que están alineados. Demostración: Consideramos la isometría h = g -1 º f. f((O. en contradicción con nuestra hipótesis de trabajo. 19 . α) como también la Identidad cumple con esta relación. En esencia tenemos dos únicas alternativas para f: 1. g y A. 2. So. f(B) = B y f(C) = C.P del Norte. B. f(Xo)) = d(C. f(Xo)) Esto implica que los puntos A. es decir que existe Xo tal que f(Xo) Xo. Teorema 31: Sea f . X . Si f((O. α´) y como la Simetría Axial S℮ cumple con esta igualdad. Teorema 28: Si una isometría f tiene puntos fijos. B´] B m A B´ Consideremos g = Sm º f entonces: A — f f(A) = A — Sm A B — f f(B) = B — Sm B Entonces g tiene dos puntos fijos A y B. entonces f = S m º Sm´ debiendo cumplirse que m ∩ m´= Ø. Si g = I. ii. 20 . asegura que g = I ó g = S m siendo m´ = =r(A.2010 Demostración: Sea B un punto cualquiera del plano distinto de A y B´ = f(B). Si g = Sm´ entonces f = Sm º Sm´ con m ∩ m´={A}.P del Norte. de acuerdo a los resultados obtenidos en los teoremas anteriores. por lo que puede ser. entonces f = Sm . este resultado es contradictorio ya que f no tiene puntos fijos. que asegura la existencia de único punto fijo A. ii.R. X . entonces f se representa por el producto de dos simetrías axiales de ejes paralelos. A´]. A pertenece a la mediatriz m de [B. i. Demostración: Sea A P. se verán que dos representaciones distintas de f por pares de simetrías axiales deben cumplir una condición que tiene que ver el ángulo que formen los ejes.Geometría. el Teorema 30. (es decir m ║m´) pues f no tiene puntos fijos. Observación: Esta representación de f por producto de dos simetrías axiales no es única. 1º Año Matemática – Ce. se tiene que f = Sm lo que implicaría que f tiene infinitos punto fijos en contradicción con la hipótesis. i. consideremos ahora la isometría g = S m º f. m´ y m´´ no son paralelos ni concurrentes. g = Sm´ º S m´´ con m´ ∩ m´´ = {A}. iii. puesto que la elección del punto B fue arbitraria. Teorema 32: Sea f tal que f(X) X.B) = =d(A. A m A´ A — f A´ — S m A y esto implica que g tiene un punto fijo A. un punto cualquiera del plano A´ = f(A) y m la mediatriz de [A. en la GUIA 4.B´). g = I.. entonces se tiene que f = Sm º (Sm´ º Sm´´) con los ejes de simetría m. g = S m´ (A m´). Más adelante. o por el producto de tres simetrías axiales con ejes no paralelos ni concurrentes. Como d(A.B). ni paralelas ni concurrentes . 2. Los teoremas demostrables en este último bloque.tales que f = Sm´´ º (Sm´ º Sm). En consecuencia. Existe una terna m. Muestran que toda isometría plana puede representarse por el producto de a lo sumo tres simetrías axiales y no de manera única. 1º Año Matemática – Ce. 3. m´´ R .P del Norte.2010 RESUMEN: 1. Existe una única m R tal que f = Sm iii. m´. 21 . f = I ii. para una isometría plana f cualquiera ocurre una y una sola de las siguientes alternativas: i. m´ R tales que f = Sm ´ º Sm iv. Fin del tema ISOMETRÍAS. justifica el énfasis puesto en el estudio de la Simetría Axial y sus consecuencias.Geometría.R. Existe un par m. puesto que las de razón negativa se obtienen de las anteriores a menos de una simetría central.X).P del Norte.1. si no hay confusión sobre el centro de homotecia y su razón – a la siguiente función definida como sigue: i. k = HO.d(O. Y (X Y). H(Y) So(X) (Definición 15) y como d(X. k.O) se tiene que k.So(X) si k < 0.1 Homotecias: Definición 15:. Este resultado nos permite elaborar conclusiones analizando solamente las homotecias de razón positiva. ii.d(Y. 22 . entonces H es una biyección del plano. ii. como veremos.OX. H(X) H(Y). I = HO. Comenzaremos nuestro estudio definiendo las HOMOTECIAS que son. k´ IR* y k´ = . Si Y So(X) entonces So(X) ∩ So(Y) = {O}.d(X.X So(X) si k > 0 y k. H(O) = O iii.-1.O) d(Y.X. 1. Si k. Si X (X O) y X´ = H(O) se cumple. 1º Año Matemática – Ce. y H(Y) So(Y) por definición se tiene H(X) H(Y). Teorema 33: Sea HO. b. Si Y So(X) entonces H(X). Observaciones: i. k º So. O). iii. d(O. De la definición se deduce que: i. Demostración: H es inyectiva: Si X.k = H la homotecia de centro O razón k > 0. 2.O). Si S o es la simetría central de centro O se cumple que So= H O.k entonces HO. Ellas conservan la forma de las figuras (usamos este término en el habitual) y veremos que se pueden representar por producto de isometrías por homotecias. O) d(H(Y). es decir.X op. dilataciones o contracciones radiales del plano. Ellas son en las semejanzas.O) k. Esto implica que d(H(X).R. b) X´ = k.X) (O X).X es el punto que cumple: a.k´ = So º HO. k. las que determinan la contracción o dilatación del plano. También se puede considerar a las homotecias como funciones que transforman el vector OX en el vector k. como H(X) So(X). iii. k. H(X) H(Y). son las denominadas SEMEJANZAS.2010 7. SEMEJANZAS Estudiaremos a continuación las transformaciones del plano que contraen o dilaten la distancia. 7.X) = k. la identidad es una homotecia.Geometría. Dados O yk IR*. x) . a) X´ r(O.k ó H. H: ii. Esto quiere decir que en la recta orientada con origen r(O. se llama Homotecia de centro O y razón k – simbolizada por Ho. k (X´) = X y esto implica que (HO.O.k. Teorema 34: Se consideran las rectas (x. X´) (Axioma 6. ii.º) es un GRUPO CONMUTATIVO. Con esto queremos decir que. para poder analizar cómo actúan las homotecias sobre las figuras habituales de nuestra Geometría Euclidiana Plana. Observaciones: i. el enunciado usual aparece aquí como un corolario de esta nueva presentación.O) por lo que H(X) = X´.O) X´´ So(X´) y d(X´´.d(X´. esto lleva a los autores a obviar su demostración por las razones expresadas. Si X´ O.5). iii. Esperemos ciertos resultados. La función inversa de una homotecia es la homotecia: 1 1 Si HO. Producto (composición) de homotecias del mismo centro: Sean H O. Teorema de Thales: ) y (y. Esto implica que (HO. 7.3. de donde se concluye que d(X´´. Si HO = {H:H homotecia de centro O}.d (O. sin el cual es imposible avanzar en el desarrollo de ésta. Que por otro lado tiene dos características aparentemente contradictorias. si pD: x y es la proyección de la recta x en la y según la dirección D. existe en So(X´) un único punto X tal que d(O.k´ º HO. permitiéndoles enunciar el referido teorema en forma general haciendo las consideraciones didácticas que permiten su aplicación usual.k´ º H O.P del Norte.k)-1 = HO.O) = k. si X´´ = (H´ º H) (X) y X´= H(X) cumpliéndose que: X´ So(X) y d(X´.Geometría.k y H´O.k´.k´._ y D). las observaciones hachas permiten deducir que (HO.d(X. ii. y segunda. se cumple que: 23 .2010 H es sobreyectiva: Sea X´ .O) = =k. o sea d(X´. Este es un resultado clave e ineludible de la Geometría Euclidiana.d(X.d(X.O) y X´´ So(X). TEOREMA DE THALES: Observaciones: i. todas las consecuencias usuales aparecen enunciadas y/o demostradas en el texto._ ) y una dirección D( x D.R.k.k)(X) = HO. es =k. primera.O) = k. Esto concluye la demostración del teorema.k´ (k > 0 y k´ > 0). Esto no debe inquietar. que lo que él afirma resulta ser intuitivamente evidente y por lo tanto no es resistido a la hora de aplicarlo.O).X) = k. si X´ = O entonces es la imagen por H del punto O por 1 definición. es de demostración especialmente complicada que entendemos supera los niveles promedios de trabajo en Educación Matemática a Nivel Medio.k´(X) ( X decir: HO. k(X) = X´ entonces HO. 1º Año Matemática – Ce. k .O.O) = ) .k = HO. X 1. enunciaremos el mismo resultado desde la óptica usual que a los efectos prácticos es la misma operativa. 1º Año Matemática – Ce. r1 y r2 tres rectas tales que r1∩r2 = {O} y r1. d (O. Sean r. Y1 r1 se consideran las rectas r´.1 y So. r´´ Dr que cortan a r2 en X2 e Y2 respectivamente. Y 2) Demostración: Analizado la figura hecha en la demostración del teorema anter ior. Corolario 35: TEOREMA de THALES.P del Norte. r2 Dr.Geometría. X 2) . Y 2) d(X1. Y 1 So. el Teorema de Thales 24 . d (O.X2) es paralela a r(Y1.X D X O y pD(X) α. X 2) d(O.pD(X) A continuación. Esta corta a r2 en Y 2*. Y2 So. entonces r(X1. Y1) d (O.2010 x) (α R). Y 2) r1 r Y1 Y2 r´´ Teorema 35: Recíproco de Thales: Sean So. pD(α.1 (O X1 Y1) y X2. Y 2) d(X1.R.Y2). consideremos por Y 1 la recta r* paralela a r´.2 (O X2 Y2) tales que. X1) d (O. Y1) d(O. X1) d(O. entonces se cumple que: r2 O X1 X2 r´ d(O. Por dos puntos cualesquiera X1. X) = α. y como corolario del teorema anterior. p D(X) x ( X α.2 dos semirrectas ordenadas de origen O. X A.Y) y aplicando H se tiene que d(O.d(O. entonces: i.X). X) d (O. y de ambas relaciones surge: d(O. Empecemos a ver cómo reaccionan nuestras figuras más usuales – rectas y circunferencias – frente a las homotecias.d(X.Y´) = k. H(r) = r´ R y r´║r. Y para cada X´ de r existe 1 . A´) d (O. A ) d ( O.Y´) r.d(X.X´) ║r (A. X r. Si O r y X r (por Definición 15) por lo H( r) r. A ) d ( O. ii. Y) d ( O.Y).X´) = r´ por lo que H(r) r (*).d(O. Sea Y´ r´. 1º Año Matemática – Ce.H(Y)) > d(O. Sea X.Y2) = d(O.d(O. Y1) Ahora estamos en condiciones de examinar algunas consecuencias de este teorema.Y)= d(O. X1) d (O.H(X)) + d(H(X). X 2) . Y´) d (O.Y) = d(O. e {Y} = r (O.d(X. Y r.Y2) = . Si X.d(O. y como conclusión H( r) = r.X´) = k. el Axioma 6 asegura que Y 2 = Y2*. asegura que d (O. H(Y)) = d(O.H(Y)) (*). fijamos un punto cualquiera A r.A´) = k. X´ H(X) se cumple que d(O.d (O. d(O.Y 2*) = y si d (O. k k Entonces Y2.H(Y)) (**) De (*) y (**) surge que k. Y 2*) d (O.Y) > 0 y d(O.Y) entonces k.Y 2*).Geometría. Y r y d(H(X).Y) = d(H(X).P del Norte.X) = k H(r).k (k > 0) y una recta r. supongamos O X Y. r (A´.H(X)) + kd(X.Y2) y ésta es paralela a la recta r1 = r(X1. Además d(O. ahora aplicamos el Axioma 6 y se tiene que d(O. Y2* So(X2) y d(O. luego r2* = r(Y1. y por A´ = H(A) trazamos la recta r´║r por A´. X1) k (k IR+) se tiene que d(O. De (*) y (**) se tiene d(X´. H(Y)). X´) por lo tanto X´= H(X). Y´) k luego k o sea que Por Thales y como se tiene d(O. Como kd(X. A´) d (O. H(X) Y Por el Recíproco de Thales. A´) k d(O.A). X´) d (O.Y) es decir que d(H(Y)) = k.X) + k. X 2) pero también d(O.H(X)) se tiene O H(X) H(Y) y por tanto d(O. 2.Y) = k. h(Y)) = k.Y) Demostración: 1. Y ) se cumple d(O. r A´ A X´ O Y X r´ Si O r.d(O.X) o sea que r (A´.R. Esto implica que r X So(X´) único tal que d(O.d(X.d(O. X 2 ) d (O.X2) lo que demuestra el teorema. Teorema 36: Se considera una homotecia HO.d(X.Y) por lo que H(Y) = Y´ con lo que hemos probado que: dado Y´ r´ existe Y r tal que H(Y) = Y´ o sea r´ H(R) (**). A ) r.d(O.X) + +d(X. 25 . Y1) 1 1 = .2010 d ( O.Y´) = k. (Y)) = k. H(Y)] o sea que H es una homotecia de centro O y razón k IR*. H-1 º ii. es decir las homotecias conservan la medida de los ángulos.d(X. existe una única isometría f y una única isometría g tales que: Demostración: probaremos que: i. Si X Y. ) ii.Y) 0 y por tanto (X). k 0 ) a la función k ( o solamente) tal que: i. O ´) α = med. áng ( O. SEMEJANZAS. H-1 º i. Y. (Y)) 0 y esto implica (X) decir es biyectiva. Definición 16: Llamamos SEMEJANZA de razón k ( k IR+ . Como consecuencia.Y) ( X. y H-1 biyectivas.Geometría. que se refiere a la representación de las semejanzas por producto de homotecias por isometrías. Es i.P del Norte. Transforman rectas en rectas paralelas.2010 Como consecuencia de estos resultados hagamos algunas Observaciones: i) Sea ha demostrado que las homotecias cumplen: i1. k . Las homotecias transforman circunferencias en circunferencias.H( O´)).R. En virtud de la Definición 15. ii2. áng(H ( O). si H es la homotecia de centro O y razón k´ tal que k´ = k. REPRESENTACION DE SEMEJANZAS Teorema 37: Para cada SEMEJANZA k (k IR*) y para cada punto O . : es biyectiva. lo es f = H-1 º 26 . ii) Si X. las homotecias son semejanzas de un tipo especial. Z P y Z [X. f y g son isometrías. d( (X). r)) = C(H(A). 3.3 página 19 – se tornan válidas para las homotecias de razones negativas. 1º Año Matemática – Ce. d(X. O´) α = med. si consideramos un par de semirrectas ( O. A continuación presentaremos un resultado clave. Por ser Hºf y gºH =f = g. NOTA: Las proposiciones demostradas para homotecias de razones positivas – en virtud de la Observación iii.Y] → H(Z) [H(X). Y Observaciones: (Y) .r). ii. entonces se tiene que H(C(A. d(X.a con k.k´) con k´ = k po una isometría f. cualquiera sea la homotecia H – Ho. si k (O) O . las semejanzas serán directas o indirectas o no según sea la isometría asociada. entonces ( r ) R.k. Ya que las homotecias transforman rectas en rectas paralelas y las isometrías conservan la medida de los ángulos.Y´).d(X´. de donde d(X´´. f ´ tanto f = f ´. º ) es un GRUPO no conmutativo . Recíprocamente. Y´ = iii. 1 Sabemos que d(X´.R.P del Norte. existe un único punto O tal que Este punto O se llama punto fijo de dicha semejanza. vii. X´´ = H-1(X´) e Y´´= H -1 (Y´). Tal que f es una representación de centro O (si k es una semejanza directa) o es una simetría axial de eje pasando por O ( k es una semejanza indirecta) . como se demostrará en la GUÍA 4. . 27 .a) – C ( (A). k es una semejanza de razón k IR+ (k 1).Y´´) = k´ d(X. semejanza de Ry . En cuanto a la unicidad: Si f. iii. la razón de C (A. consideremos X´ = (X) . º ) es un SUBGRUPO NO CONMUTATIVO DE ( º ) . 1º Año Matemática – Ce. Y . Observaciones: tales que se cumple que = H º f = H º f ´ y por i. Si es el conjunto de todas las semejanzas del plano entonces la estructura ( .Y) por lo que f es una isometría. Sean X. ii. las semejanzas también. v. Si r IR+.Y´´) = ´.k y cualesquiera sean las isometrías f y g . Y si ( C (A. ii. es posible entonces representar de manera única la semejanza como producto de una homotecia de centro O (H O. H º f y g º H son SEMEJANZAS de razón k .Geometría.Y) y que d(X´´. por lo tanto ( . Como H -1 º = f se tiene que = H º f como queríamos.a) es la circunferencia de centro A y radio a iv. Como las homotecias no cambian el sentido del plano. vi.Y´) = k. Se procede análogamente para g. a´) siendo a´ .2010 (Y) . Las isometrías son semejanzas de razón 1. C´). Si T(A´B´´C´´) es tal que d(A. (B) B ´ y (C) C ´ ) Observaciones: i. f (SA (B)) = SA´ (B´) y f (α) = α´ siendo α el semiplano de borde r (A. A´ = A´´ A B´´ C´´ B C C´ C´´ La definición 16 muestra que en se corresponden los ángulos del mismo vértice y son d(A. llamados habitualmente: Criterio de Semejanza de Triángulos. En efecto definimos una isometría f tal que f (A) = A´. Definición 16: Decimos que los triángulos T(ABC) y T(A´B´C´) son semejantes si existe una semejanza tal que (T) T ´ (Es decir : (A) A ´ .B´) que contiene a C´.k — T(A´B´C´) siendo k = d (A´. analizaremos condiciones suficientes de semejanza entre triángulos. 28 .C´´) paralela a r (B´. C) d (B.Geometría. CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS: Por considerarlos de interés en las aplicaciones.B) = d(A´.B´´) y r (B´´. y como se tiene que áng(BAC) = áng(B´A´C´) entonces f(SA (C)) = SA´ (C´). B´) d(A´. C´) ii. 1º Año Matemática – Ce. además . Y por la igualdad de los ángulos resulta r (B´´.C´´) paralela a r (B´.B) que contiene a C y α´ el de borde r (A´. C´) d(B´. Por otro lado f (C) = C´´ con C´´ SA´ (C´). B) d ( A . B) d ( A . Dos triángulos T(ABC) y T(A´B´C´) que cumplen las condiciones anteriores son semejantes. C´) o sea T(ABC) — k = HA´.2010 4. k º f — T(A´B´C´) d(A. B´) d(A´. Esto permita afirmar que: T(ABC) — f — T(A´B´´C´´) — HA´.R. Resulta entonces que f (B) = B´´ SA´ (B´). todo criterio que asegure la igualdad de los triángulos T(ABC) y T(A´B´´C´´).P del Norte. d (A´. C) Finalmente: iii. C) d (B. pues T(A´B´´C´´) y T(A´B´C´) son homotéticos. C) iguales. asegura la semejanza de los triángulos T(ABC) y T(A´B´C´).C´). C´) d(B´. R. C) d (B´. entonces T y T´ son semejantes. 29 . C´) Diversos resultados consecuencias de éstos han aparecido ya y otros aparecerán a lo largo del curso.2010 Teorema 38: PRIMER CRITERIO Si T(ABC) y T´(A´B´C´) son triángulos tales que áng(BCA) = d(A. Demostración: A cargo del lector.B´´) resulta d(A. Demostración: T(ABC) y T(A´B´´C´´) son iguales por tener respectivamente iguales loa ángulos de vértice A y A´ y de B y B´´ y además d(A. B´´) d (A´. C´) d (A´.C) = d(A´.B´´) Teorema 40: TERCER CRITERIO Si T(ABC) y T´(A´B´C´) son tales que entonces T y T´ son semejantes .C´´). C´) que d(A. B) d (A´.Geometría. d (A´.P del Norte. C) d (A´. C) =áng(B´A´C´) y . B) d ( A . Teorema 39: SEGUNDO CRITERIO Si T(ABC) y T´(A´B´C´) son tales que áng(BAC) = áng(B´A´C´) y áng(ABC) = áng (A´B´C´) entonces T y T´ son semejantes.B) = d(A´. B´) d ( A . B´) d(A´.B) = d(A´. B´) d (A´. Y con la igualdad de ángulos se tiene que T(ABC) = = T(A´B´´C´´) y con esto implica la tesis. C´´) Demostración: Se cumple que comparando con la hipótesis y sabiendo d (A´.d (A. 1º Año Matemática – Ce. C´) d (B.