GeoPlanaR1- Exercícios comentados

Geometria plana.Resumo teórico e exercícios. 3º Colegial / Curso Extensivo. Autor - Lucas Octavio de Souza (Jeca) Relação das aulas. Página Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 - Conceitos iniciais................................................................ 02 Pontos notáveis de um triângulo......................................... 18 Congruência de triângulos.................................................. 28 Quadriláteros notáveis........................................................ 38 Polígonos convexos............................................................ 48 Ângulos na circunferência................................................... 62 Segmentos proporcionais................................................... 74 Semelhança de triângulos................................................... 84 Relações métricas no triângulo retângulo........................... 98 Relações métricas num triângulo qualquer....................... 112 Circunferência e círculo..................................................... 126 Inscrição e circunscrição de polígonos regulares............. 136 Áreas das figuras planas................................................... 146 Considerações gerais. Este estudo de Geometriade Plana tem como objetivo complementar o curso que desenvolvo com os alunos de 3º Colegial e de curso pré-vestibular. Não tem a pretensão de ser uma obra acabada e, muito menos, perfeita. Autorizo o uso pelos cursinhos comunitários que se interessarem pelo material, desde que mantenham a minha autoria e não tenham lucro financeiro com o material. Peço, entretanto que me comuniquem sobre o uso. Essa comunicação me dará a sensação de estar contribuindo para ajudar alguém. Peço a todos, que perdoem eventuais erros de digitação ou de resolução e que me comuniquem sobre esses erros, para que possa corrigí-los e melhorar este trabalho. Meu e-mail - [email protected] Um abraço. Jeca (Lucas Octavio de Souza) Jeca 01 Geometria plana Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) Aula 01 Conceitos iniciais de Geometria Plana. I) Reta, semirreta e segmento de reta. A A A A B B B B reta AB semirreta AB semirreta BA segmento AB Definições. a) Segmentos congruentes. Dois segmentos são congruentes se têm a mesma medida. b) Ponto médio de um segmento. Um ponto P é ponto médio do segmento AB se pertence ao segmento e divide AB em dois segmentos congruentes. c) Mediatriz de um segmento. É a reta perpendicular ao segmento no seu ponto médio II) Ângulo. a A O Definições. a) Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas de mesma origem. B OA - lado OB - lado O - vértice ângulo AOB ou ângulo b) Ângulos congruentes. Dois ângulos são ditos congruentes se têm a mesma medida. a c) Bissetriz de um ângulo. É a semirreta de origem no vértice do ângulo que divide esse ângulo em dois ângulos congruentes. IIa) Unidades de medida de ângulo. a) Grau. A medida de uma volta completa é 360º. 1º = 60' 1' = 60" º - grau ' - minuto " - segundo b) Radiano. A medida de uma volta completa é 2p radianos. Um radiano é a medida do ângulo central de uma circunferência cuja medida do arco correspondente é igual à medida do raio da circunferência. Definições. a) Ângulos complementares. É o par de ângulos cuja soma das medidas é 90º. b) Ângulos suplementares. É o par de ângulos cuja soma das medidas é 180º. IIb) Classificação dos ângulos. a = 0º - ângulo nulo. 0º < a < 90º - ângulo agudo. a = 90º - ângulo reto. 90º < a < 180º - ângulo obtuso. a = 180º - ângulo raso. IIc) Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal. t r b a c d a) Ângulos correspondentes (mesma posição). exemplo - b e f. Propriedade - são congruentes. b) Ângulos colaterais (mesmo lado). exemplo de colaterais internos - h e c. exemplo de colaterais externos - d e g. Propriedade - são suplementares (soma = 180º) c) Ângulos alternos (lados alternados). exemplo de alternos internos - b e h. exemplo de alternos externos - a e g. Propriedade - são congruentes. Jeca 02 r // s s f e g h triângulo escaleno.A base de um triângulo isósceles é o seu lado diferente. a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos 2 ângulos internos não adjacentes. a) 48º 27' 39" + 127º 51' 42" (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) c) 90º .triângulo equilátero. tem-se i + e = 180º Propriedades dos triângulos. . Exercícios. . e3 e1 e2 e1 + e2 + e3 = 360º a a 4) Em todo triângulo isósceles.III) Triângulos.triângulo retângulo. a soma das medidas dos 3 ângulos internos é 180º. a) quanto aos lados: . .ângulo interno e . os ângulos da base são congruentes. . b) quanto aos ângulos: .61º 14' 44" e) 4 x (68º 23' 54") b) 106º 18' 25" + 17º 46' 39" (GeoJeca) d) 136º 14' .triângulo acutângulo. e e=a+b a a + b + g = 180º g 3) Em todo triângulo. b a b 2) Em todo triângulo. Observação .ângulo externo Num mesmo vértice. lado e i i . 01) Efetue as operações com graus abaixo solicitadas. Classificação dos triângulos.triângulo isósceles.89º 26' 12" (GeoJeca) f) 3 x (71º 23' 52") (GeoJeca) Jeca 03 . vértice Ângulo externo. 1) Em todo triângulo. a soma das medidas dos 3 ângulos externos é 360º. O ângulo externo de qualquer polígono convexo é o ângulo formado entre um lado e o prolongamento do outro lado.triângulo obtusângulo. triângulo isósceles. a) quanto aos lados: .61º 14' 44" 90º 89º 60' 89º 59' 60" .89º 26' 12" 46º 47' 48" (GeoJeca) f) 3 x (71º 23' 52") 3 x (71º 23' 52") = = 3 x 71º 3 x 23' 3 x 52" = = 213º 69' 156" = = 213º 71' 36" = = 214º 11' 36" Resposta (GeoJeca) 106º 18' 25" 17º 46' 39" 123º 64' 64" 123º 64' 64" 123º 65' 04" 124º 05' 04" Resposta Resposta Jeca 03 .triângulo obtusângulo. Classificação dos triângulos.89º 26' 12" 136º 14' . a soma das medidas dos 3 ângulos externos é 360º.triângulo equilátero.triângulo acutângulo. Observação . vértice Ângulo externo. lado e i i . a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos 2 ângulos internos não adjacentes. b a b 2) Em todo triângulo.ângulo interno e .ângulo externo Num mesmo vértice. e e=a+b a a + b + g = 180º g 3) Em todo triângulo.triângulo escaleno. . 01) Efetue as operações com graus abaixo solicitadas. . 1) Em todo triângulo. O ângulo externo de qualquer polígono convexo é o ângulo formado entre um lado e o prolongamento do outro lado. tem-se i + e = 180º Propriedades dos triângulos.A base de um triângulo isósceles é o seu lado diferente. os ângulos da base são congruentes. a soma das medidas dos 3 ângulos internos é 180º. .89º 26' 12" 135º 74' .triângulo retângulo. a) 48º 27' 39" + 127º 51' 42" (GeoJeca) (GeoJeca) (GeoJeca) c) 90º .61º 14' 44" 28º 45' 16" e) 4 x (68º 23' 54") 4 x (68º 23' 54") = = 4 x 68º 4 x 23' 4 x 54" = = 272º 92' 216" = = 272º 95' 36" = 48º 27' 39" 127º 51' 42" 175º 78' 81" 175º 78' 81" 175º 79' 21" 176º 19' 21" Resposta Resposta = 273º 35' 36" Resposta b) 106º 18' 25" + 17º 46' 39" (GeoJeca) d) 136º 14' .III) Triângulos. b) quanto aos ângulos: .89º 26' 12" 135º 73' 60" . Exercícios. . e3 e1 e2 e1 + e2 + e3 = 360º a a 4) Em todo triângulo isósceles. Determine as medidas desses ângulos. (GeoJeca) 06) As medidas de dois ângulos somam 124º. O menor é o complemento da quarta parte do maior. Determine esses ângulos sabendo que o suplemento do maior é igual ao complemento do menor. (GeoJeca) em 54º (GeoJeca) 04) Determine o ângulo cuja diferença entre o seu suplemento e o triplo do seu complemento é igual a 54º.g) 125º 39' 46" 4 (GeoJeca) h) 118º 14' 52" 3 (GeoJeca) i) 125º 12' 52" 5 (GeoJeca) j) 90º 13 (GeoJeca) 03) Determine o ângulo que excede o seu suplemento 02) Determine o ângulo que é o dobro do seu complemento. (GeoJeca) Jeca 04 . (GeoJeca) 05) Dois ângulos são suplementares. (GeoJeca) 07) Determine um ângulo sabendo que o suplemento da sua quinta parte é igual ao triplo do seu complemento. x) = 54º 180 .y 2y = 34 y = 17º e x = 107º Resposta 07) Determine um ângulo sabendo que o suplemento da sua quinta parte é igual ao triplo do seu complemento.x .(90 .x)/4] x . (GeoJeca) (180 .2x 3x = 180 x = 60º (resp) x = (180 .[(180 .x/5) = 3.(124 . (GeoJeca) (180 .g) 125º 39' 46" 4 125º 4 -12 31º ' 05 60 = -4 1º 1º 60' 39' 99' 4 -8 24' 19 -16 3' (GeoJeca) h) 118º 14' 52" 3 118º 3 -9 39º ' 28 60 = -27 1º 1º 60' 14' 74' 3 -6 24' 14 -12 2' (GeoJeca) 180" 46" 226" 4 -20 56" 26 -24 2" (resto) 120" 52" 172" 3 -15 57" 22 -21 1" (resto) 18 0" 3' = 125º 39' 46" = 31º 24' 56" 4 Resposta 118º 14' 52" = 39º 24' 57" 3 (GeoJeca) i) 125º 12' 52" 5 0' 12' 12' 5 -10 2' 2' 120" 52" 172" 5 -15 34" 22 -20 2" (resto) j) 2' = Resposta 12 0" 90º 13 90º -78 12º 13 0' 6º 72 º= 2 1 720' 13 -65 55' 70 -65 05' (GeoJeca) = 2' 125º 12'' 52" = 25º 02' 34" 5 Resposta 90º = 06º 55' 23" 13 Resposta 03) Determine o ângulo que excede o seu suplemento 02) Determine o ângulo que é o dobro do seu complemento. (GeoJeca) em 54º (GeoJeca) x = 2.menor (180 . O menor é o complemento da quarta parte do maior. (GeoJeca) x é o menor (180 .x/5 = 270 .x) é o maior x = 90 .360 = -180 + x 3x = 180 x = 60º e (180 .y) = 90 . (GeoJeca) x + y = 124 x .3.maior y .3x 14x/5 = 90 x = 450/14 = (225/7)º Resposta Jeca 04 5' = 125º 5 -10 25º 25 -25 0º 300" 13 -26 23" 40 -39 1" (resto) 0" 12 30 0" .(90 .x) . Determine as medidas desses ângulos.124 + y = 90 .(90 .y 180 .x) + 54 x = 180 .x) x = 180 . Determine esses ângulos sabendo que o suplemento do maior é igual ao complemento do menor.y) 180 .x)/4 4x .x + 54 2x = 234 x = 117º (resp) 04) Determine o ângulo cuja diferença entre o seu suplemento e o triplo do seu complemento é igual a 54º.90 = -(180 .270 + 3x = 54 2x = 144 x = 72º Resposta 05) Dois ângulos são suplementares.x) = 120º (resp) 06) As medidas de dois ângulos somam 124º.x) = (90 .x) 180 . determine a medida do ângulo x.08) Em cada figura abaixo. a) r x r // s s 41º x (GeoJeca) b) 11 6 º (GeoJeca) c) x r (GeoJeca) d) (Tente fazer de outra maneira) x r (GeoJeca) 53º 39º s r // s 53º 39º s r // s e) r 55º x 40º s 38º (GeoJeca) f) r 35º r // s s 47º x 62º (GeoJeca) g) r 54º r // s 88º s x 28º (GeoJeca) h) (GeoJeca) x 21º 126 º i) x (GeoJeca) j) AB = AC B 73º A x (GeoJeca) 2 11 º 14 3º C k) AC = BC C 46º l) x 158º 38º x A B 67º Jeca 05 . determine a medida do ângulo x.67 x = 113º (resp) y B l) y = 67 + 38 y = 105º x + y = 158 x = 158 .08) Em cada figura abaixo. a) r x r // s s 41º x 41º (GeoJeca) b) 11 6 º (GeoJeca) 11 6 º x + 116 = 180 x = 64º (resp) x = 41º (resp) c) x 14º 14º 53º 39º 39º s t r // s r (GeoJeca) d) (Tente fazer de outra maneira) x x x + 39 + 127 = 180 x = 14º (resp) 127º 53º 39º s r 39º (GeoJeca) r // s r // s // t x = 14º (resp) e) r 55º x 93º 40º 87º s 55º (GeoJeca) f) r 35º r // s s x 62º x 47º 62º (GeoJeca) x + 93 + 40 = 180 x = 47º (resp) t r // s // t 38º x + 62 + 47 + 35 = 180 x =36º (resp) g) r t r // s // t //u u s 28º 28º 54º 26º 26º 88º 62º x x = 62º (resp) (GeoJeca) h) x + 126 + 21 = 180 x = 33º (resp) (GeoJeca) x 21º 126 º i) x (GeoJeca) j) AB = AC B (GeoJeca) x + 68 + 37 = 180 x = 75º (resp) A x 73º 2 11 º 68º 37º 14 3º x + 73 + 73 = 180 x = 34º (resp) 73º C k) AC = BC C 46º 46 + y + y = 180 2y = 134 y = 67 x + y = 180 x = 180 .105 x = 53º (resp) 67º x y 158º 38º x A y Jeca 05 . b. y. ABC. calcule o valor de x em função de 14) (IBMEC-SP) Sejam a. t e u. g. estão representados um triângulo 09) A figura abaixo mostra dois quadrados sobrepostos. (GeoJeca) A x R T Q 25º F B P C C B Jeca 06 . (GeoJeca) x y x y 11) Na figura abaixo. E A D coincida com o ponto R de AP. l e q as medidas em m. calcule as medidas dos ângulos internos do triângulo ABC. A soma a + b + g + l + q é (GeoJeca) igual a: x F 4m 3m m a) b) c) d) e) 120º 150º 180º 210º 240º D C E A B 15) (ITA-SP) Em um triângulo de papel ABC fazemos 16) Determine x. Sabemos que o triângulo AQR formado é isósceles com ARQ = 100º. determine a soma x + y. (GeoJeca) y x x t y z z u t 13) Na figura abaixo. respectivamente. sabendo-se que ABCD é um retânguuma dobra PT de modo que o vértice C coincida com lo e que F e E são pontos médios dos lados AB e (GeoJeca) o vértice A. determinar x + y + z + t. respectivamente. CDF. em graus ? (GeoJeca) equilátero e um retângulo. (GeoJeca) graus dos ângulos BAC.10) Na figura abaixo. 30º (GeoJeca) 12) Na figura abaixo. determinar o valor da soma das medidas dos ângulos x. z. Sendo x e y as medidas dos ângulos assinalados. e uma dobra PQ de modo que o vértice B AD. Qual é o valor de x + y. CEF e DFE da figura. respectivamente.120 x + y = 240º (resp) x y 120º 60º (GeoJeca) 11) Na figura abaixo. (GeoJeca) graus dos ângulos BAC. calcule o valor de x em função de 14) (IBMEC-SP) Sejam a. ABC. E A D coincida com o ponto R de AP. Qual é o valor de x + y. (GeoJeca) y x 150º x z+t t y z u + x + z + y + t = 180º (resp) y+t x+z z u t 13) Na figura abaixo. determine a soma x + y. t e u. determinar x + y + z + t. b. z. CEF e DFE da figura. Sendo x e y as medidas dos ângulos assinalados. Sabemos que o triângulo AQR formado é isósceles com ARQ = 100º. g. respectivamente. A soma a + b + g + l + q é (GeoJeca) igual a: 3m = m + y x y = 2m y 4m = x + y 4m = x + 2m x = 2m (resp) m g A a a+g l+b y 4m 3m F a) b) c) d) e) 120º 150º 180º 210º 240º D q g C l E l b B a + b + g + q + l = 180º (resp) 15) (ITA-SP) Em um triângulo de papel ABC fazemos 16) Determine x. ABC. sabendo-se que ABCD é um retânguuma dobra PT de modo que o vértice C coincida com lo e que F e E são pontos médios dos lados AB e (GeoJeca) o vértice A. e uma dobra PQ de modo que o vértice B AD. y. x + y + z + t + 150 = 360 x + y + z + t = 210º (resp) 30º x+ y (GeoJeca) 12) Na figura abaixo. l e q as medidas em m.10) Na figura abaixo. estão representados um triângulo 09) A figura abaixo mostra dois quadrados sobrepostos. em graus ? (GeoJeca) equilátero e um retângulo. (GeoJeca) A então MB // DF 40º 100º 30º R A = 70º B = 80º C = 30º (resp) T x = 25º (resp) x M F 40º 80º Q 70º 70º 30º 60º 60º 30º 25º 25º B B 80º 30º P C C Jeca 06 . determinar o valor da soma das medidas dos ângulos x. CDF. r // s // t x + y + 90 = 360 x + y = 270º (resp) r x y s t y x 120 + x + y = 360 x + y = 360 . calcule as medidas dos ângulos internos do triângulo Se M é ponto médio. determinar o valor de x.Geometria plana Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. 01) Nas figuras abaixo. a) r 43º r //s x s r // s x s (GeoJeca) b) r 57º (GeoJeca) c) r 45º x 62º r // s s (GeoJeca) d) r 45º x 62º r // s s (GeoJeca) (Resolver de forma diferente da letra c)) e) r 147º r // s 82º x 126º (GeoJeca) f) (GeoJeca) r r // s s x g) r 140º r // s 65º r // s x s 150º i) 42º r r // s 5x º 12 (GeoJeca) 80º h) r 140º 65º x s 150º j) 48º 40 º s (Resolver de forma diferente da letra g)) (GeoJeca) (GeoJeca) r (GeoJeca) r // s x s 43º s k) 55º (GeoJeca) l) r // s r s 85º (GeoJeca) 135º x x Jeca 07 . Exercícios complementares da aula 01.SP) Conceitos iniciais de Geometria Plana. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista . 01) Nas figuras abaixo. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista .SP) Conceitos iniciais de Geometria Plana. a) x 43º r //s x x = 43º (resp) c) r 45º t 45º x 62º 62º s r // s r // s // t x = 45 + 62 x = 107º (resp) 45º x 62º 45º r // s s d) r x é ângulo externo x = 62 + 45 x = 107º (resp) s r // s x s 57º r (GeoJeca) b) r 57º x + 57 = 180 (GeoJeca) x = 123º (resp) (GeoJeca) (GeoJeca) (Resolver de forma diferente da letra c)) e) r 33º r // s // t 33º 82º 49º 49º x g) r 40º (GeoJeca) f) x (GeoJeca) 126º é ângulo externo x + 80 = 126 x = 46º (resp) r r // s 147º t x = 49º (resp) 80º 126º s 80º h) r s (Resolver de forma diferente da letra g)) (GeoJeca) (GeoJeca) 140º r // s // t // u x = 30 + 25 t 25º 30º 30º 40º 140º r // s 65º x s y y 40º 65º 25º x = 55º (resp) y + 40 = 65 y = 25 x = y + 30 x = 25 + 30 x = 55º (resp) x s u 30º 150º 150º i) 42º r r // s 5x º 12 (GeoJeca) j) 48º 0 y4 º r y = 43 + 48 y = 91º r // s (GeoJeca) 5x .Geometria plana Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Exercícios complementares da aula 01.12 + 42 = 180 5x + 30 = 180 5x = 150 x = 30º (resp) 43º x 48º s x + y + 40 = 180 x + 91 + 40 = 180 x = 49º (resp) (GeoJeca) 42º s k) y + 55 + 90 = 180 y = 35º x + y + 90 = 180 x = 55º (resp) 55º (GeoJeca) l) r // s r 85º 45º x s 85º x = 45 + 85 x = 130º (resp) y x 45º 135º Jeca 07 . determinar o valor de x. m) r r // s t // u (GeoJeca) n) x r r // s t // u (GeoJeca) s 43º t x u o) (GeoJeca) 58º u s t p) 52º (GeoJeca) 62º 79º x x 67º q) 52º (GeoJeca) r) (GeoJeca) 21x x 18x 81º s) (Triângulo isósceles) AB = AC (GeoJeca) 15x A t) A x (Triângulo isósceles) AB = AC (GeoJeca) 38º 138º B x B u) A 152º y y C AB = AC (GeoJeca) C v) (GeoJeca) 62º x B x) C AB = BC = CD D 98º B E x A C A (GeoJeca) 98º x z) AB = BD = DE D (GeoJeca) x y B y C Jeca 08 . 141 x = 39º (resp) x = 119º (resp) 79º x x 67º q) 52º x = 81 + 52 (GeoJeca) r) (GeoJeca) x = 133º (resp) 21x 21x + 18x + 15x = 180 54x = 180 x = 180/54 = (10/3)º (resp) 81º 81º s) x 18x 15x A (Triângulo isósceles) AB = AC 2x + 38 = 180 2x = 142 x = 71º (resp) (GeoJeca) t) A x (Triângulo isósceles) AB = AC (GeoJeca) 38º 138º B 42º 42º C x + 42 + 42 = 180 x = 96º (resp) x B u) A x C AB = AC 152º x + x + 152 = 360 2x = 208 x = 104º (resp) y y (GeoJeca) v) (GeoJeca) y + 82 + 62 = 180 y = 36º 62 + 2y + x = 180 62º 82º 98º x x = 46º (resp) x B x) C x AB = BC = CD D 98º B = (GeoJeca) z) AB = BD = DE D (GeoJeca) 82º 82º z x + 41 + 16 = 180 x = 123º (resp) E x y y B x = 16º 41º C = A 41º = z A y C y é ângulo externo do triângulo ABD y = z + z = 2z z = y/2 No triângulo BDE y + y + z = 180 y + y + y/2 = 180 y = 72º x + y = 180 x = 108º (resp) = = Jeca 08 .m) r r // s t // u (GeoJeca) n) x x r r // s t // u (GeoJeca) s 43º 43º t x u o) x = 43º (resp) x + 58 = 180 x = 122º (resp) 58º x s u t (GeoJeca) p) 52º x = 52 + 67 (GeoJeca) x + 62 + 79 = 180 62º x = 180 . determinar o valor de x. (GeoJeca) 40º º 72 D x x 42º C D g) 68º r r // s s 5y 3y (GeoJeca) B h) (GeoJeca) x 60º 2x x + 30 i) (GeoJeca) º j) 43º x (GeoJeca) 9x 12x 60º 62º 6x k) A B ABCD é um quadrado. f) (GeoJeca) A AD e BD são bissetrizes. a) 37 º (GeoJeca) b) 73º (GeoJeca) 116º x 31º 148º x 24º c) (GeoJeca) d) (GeoJeca) x º 34 x triz 10 1º 38º bis se 128º 36º e) D é o ponto de encontro das 3 bissetrizes. (GeoJeca) l) (GeoJeca) 30º x x D C 11 8 º Jeca 09 .02) Nas figuras abaixo. (GeoJeca) l) (GeoJeca) x + 75 + 62 = 180 x = 43º (resp) 30º x + 45 + 45 = 180 x 45º x = 90º (resp) x 75º 75º 62º 62º C 11 8 º D Jeca 09 . x + 80 = 180 x = 18º (resp) x x 2.z + 2.132 = 48º (resp) 148º x 24º c) (GeoJeca) d) (GeoJeca) y + 128 + 36 = 180 x x + 34 + 79 + 38 = 180 x = 180 .60 x = 45º 6x + 9x + 12x = 360 27x = 360 x = 360/27 12x x = (40/3)º (resp) 62º 6x k) A 45º B ABCD é um quadrado. 32 + 2 . (GeoJeca) 40º 108º 40º 72 º 2 .42 2(y + z) = 138 y + z = 69º 42º C x + y + z = 180 x + 69 = 180 x = 111º (resp) D 32º 32º g) 68º r r // s s 5y 3y y y B h) 120º (GeoJeca) (GeoJeca) 68º x = 3y 3y + 5y + 68 = 180 8y = 112 y = 14º x = 3y = 42º (resp) 60º x + 30 + 2x + 120 = 360 3x = 210 x = 70º (resp) 2x x + 30 i) (GeoJeca) º j) 43º (GeoJeca) 9x y = 43 + 62 y x y = 105º y = 60 + x 60º x = y . a) 37 º (GeoJeca) b) 73º (GeoJeca) 148 = y + 24 y = 124º y y = x + 73 124 = x + 73 x = 51º (resp) 79º 64º 101º 116º x 31º x + 101 + 31 = 180 x = 180 .02) Nas figuras abaixo. f) (GeoJeca) A z x z D x AD e BD são bissetrizes. determinar o valor de x.y + 42 = 180 2(y + z) = 180 .151 x = 29º (resp) x 52º b iss iz etr y = 16º y + 52 + x = 180 128º 36º 16 + 52 + x = 180 x = 112º (resp) º 34 10 1º 79º 38º 38º y y e) D é o ponto de encontro das 3 bissetrizes. ABFG e BCDE são quadrados. (GeoJeca) F C r) A B BCD é um triângulo equilátero e ABDE é um quadrado. AB = AD = BD = DC e AC = BC.m) AC = CD A (GeoJeca) n) AB = BC = CD = DE e AD = AE D (GeoJeca) x 38 º A x B C B o) C e D AE = AF (GeoJeca) E (GeoJeca) AB = BC = CD = DE = EF p) AB = AC . BD = BE e CE = CF. (GeoJeca) A D x 70º x 65º F x) A E D (GeoJeca) B z) E C F (GeoJeca) AB = AC AD é bissetriz de BÂC AE é bissetriz de BÂD. (GeoJeca) G x F C x B s) A x E B D E C CDE é um triângulo equilátero t) e ABCD é um quadrado. (GeoJeca) C F E AB = AC e DE = DF. (GeoJeca) E D BFE é um triângulo equilátero. C A (GeoJeca) B x G D D u) A B C v) ACE e BDF são triângulos equiláteros. B D D B A x C F A 44º x E E q) A ABC é um triângulo equilátero e DEFG é um quadrado. A D C x x 38º E D C B B Jeca 10 . m) AC = CD A (GeoJeca) n) AB = BC = CD = DE e AD = AE D (GeoJeca) = x 38 º x + 38 + 38 + 90 = 180 x = 180 . x + x + 60 = 360 A y = 60º x = 150º (resp) x = = 60º B 60º C x E y 2y x 38º B 4y + 38 + 38 = 180 y = 26º x + y + 38 = 180 x = 116º (resp) 38º = D C Jeca 10 . C A (GeoJeca) B x = 30º D u) A = x = 75º (resp) G x = 60º (resp) D 60º 60º 60º C v) ACE e BDF são triângulos equiláteros. (GeoJeca) BCD é um triângulo equilátero e ABDE é um quadrado. (GeoJeca) C F E AB = AC e DE = DF. BD = BE e CE = CF. AB = AD = BD = DC e AC = BC.166 = 14º (resp) A x B 2x 2x x x + 3x + 3x = 180 7x = 180 x = (180/7)º (resp) E (GeoJeca) = = x 3x 3x = C 38º B o) C e D AE = AF 4x (GeoJeca) AB = BC = CD = DE = EF p) AB = AC . B D D B A x x x + 4x + 4x = 180 9x = 180 x = 20º (resp) q) A C 3x 2x 2x F z x y z y + y + 44 = 180 y = 68º E x 3x E A 44º z z = = y C F r) A B z + z + y = 180 z = 56º z + z + x = 180 x = 68º (resp) ABC é um triângulo equilátero e DEFG é um quadrado. (GeoJeca) G x F x + 60 + 90 = 180 x = 30º (resp) x C = B s) A x 60º D E = x C CDE é um triângulo equilátero t) e ABCD é um quadrado. ABFG e BCDE são quadrados. (GeoJeca) = B x A D 60º 30º x 30º 60º F x) A E D (GeoJeca) x + 30 + 30 = 180 x = 120º (resp) x x 65º B z) E 55º 65º 70º x + 55 + 65 = 180 x = 60º (resp) 55º C F (GeoJeca) AB = AC AD é bissetriz de BÂC AE é bissetriz de BÂD. E x x + x + 30 = 180 B (GeoJeca) 60º D x + x + 90 + 60 = 180 x = 15º (resp) E BFE é um triângulo equilátero. (GeoJeca) z + 26º 2x 2z . determine os valores de x.84º y y z x Jeca 11 . y e 10) Determinar os valores de x. determinar x. z e t. (GeoJeca) E D t 40º 4x z 2x y x A B y 4x C 07) Na figura abaixo. (GeoJeca) 06) Na figura abaixo. (GeoJeca) 04) Na figura abaixo. determine x. OC é bissetriz de AOD e OB é bissetriz de AOC. (GeoJeca) D C E x 57º B x 28º A O F 09) Na figura abaixo. sabendo que os mesmos formam uma progressão aritmética de razão z. determinar x + y. determinar o valor do ângulo x.03) Na figura abaixo. determinar o valor de x. (GeoJeca) 10º. y e z. (GeoJeca) 08) Na figura abaixo. (GeoJeca) 4x x 37º z y x z 2y 05) Na figura abaixo. y. determinar x. y e z. sendo BD a bissetriz do ângulo CBE. y e z. sabendo-se que OD é bissetriz de AOE. 03) Na figura abaixo, determine x, y e z. (GeoJeca) 04) Na figura abaixo, determinar x, y e z. (GeoJeca) 4x x 37º z x + 4x = 180 x = 36º 2y = x = 36º y = 18º 4x = z = 144º (resp) y x z 2y x + 37 = 180 Portanto x = 180 - 37 = 143º y = 37º (OPV) z = x = 143º (OPV) (resp) 05) Na figura abaixo, determinar x, y, z e t. (GeoJeca) 06) Na figura abaixo, sendo BD a bissetriz do ângulo CBE, determinar x + y. (GeoJeca) E D t 40º 4x z 2x y x A 4x + 4x + x = 180 x = 20º y = 80º x + y = 100º (resp) (GeoJeca) y = 4x 4x B C 2x = 40 x = 20º 4x = z = 80º y + 2x + z = 180 y = 60º t = y = 60º (resp) 07) Na figura abaixo, determinar o valor de x. 08) Na figura abaixo, determinar o valor do ângulo x, sabendo-se que OD é bissetriz de AOE, OC é bissetriz de AOD e OB é bissetriz de AOC. (GeoJeca) D 57 + x = 90 x = 33º (resp) C E x 57º x A B x x 2x 4x 28º O 8x + 28 = 180 x = 19º (resp) F 09) Na figura abaixo, determine os valores de x, y e 10) Determinar os valores de x, y e z, sabendo que os mesmos formam uma progressão aritmética de razão z. (GeoJeca) 10º. (GeoJeca) z + 26º 2x 2z - 84º y y z y = x + 10 z = x + 20 x + y + z = 180 x + x + 10 + x + 20 = 180 3x = 150 x = 50º y = 60º z = 70º (resp) x z + 26 = 2.z - 84 z = 26 + 84 = 110º 2x + 110 + 26 = 180 x = 22º y = 2x = 44º (resp) Jeca 11 11) (FUVEST) Na figura abaixo, determine o valor de x. 12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma (GeoJeca) x + y + z + t + u + v, sabendo-se que CEF é um triângulo (GeoJeca) inscrito no quadrado ABCD. x t t // s s F 120º v t D u C x A y E z B 140º 13) Na figura abaixo, AB = AC = BC = CD. Determine o 14) Na figura abaixo, AD = AC = BC e AC é a bissetriz valor de x. (GeoJeca) do ângulo BAD. Determine o valor de x. (GeoJeca) A x A 2x B C D E x B C D 15) Na figura abaixo, determine a medida do ângulo x 16) (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Determine y em função de y. (GeoJeca) em função de x. 5y D y (GeoJeca) y x 2y A x B C 17) Na figura abaixo mostre que vale a relação : a + b = c + d. a c b r 18) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100º. Determinar a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos outros dois ângulos internos. (GeoJeca) r // s d s (GeoJeca) 19) Mostre que a soma das medidas dos ângulos 20) Na figura abaixo, determinar x em função de y e de externos de um triângulo é 360º. (GeoJeca) (GeoJeca) z. e2 r x y r // s z s e1 e3 Jeca 12 11) (FUVEST) Na figura abaixo, determine o valor de x. 12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma (GeoJeca) x + y + z + t + u + v, sabendo-se que CEF é um triângulo x + 20 + 90 = 180 (GeoJeca) inscrito no quadrado ABCD. x = 70º (resp) x t t // s s 120º 20º 140º 40º 140º D u x + y = 90 z + t = 90 u + v = 90 x + y + z + t + u + v = 3 . 90 x + y + z + t + u + v = 270º (resp) A y x F v t C E z B 13) Na figura abaixo, AB = AC = BC = CD. Determine o 14) Na figura abaixo, AD = AC = BC e AC é a bissetriz valor de x. (GeoJeca) do ângulo BAD. Determine o valor de x. (GeoJeca) A x No triângulo ACD, tem-se x + 2x + 2x = 180 5x = 180 C 3x D 2x E x = 36º (resp) x x A 60º 3x = 60º B = = = 6x = x B 2x = 2x D = 6x = 60º x = 10º (resp) C 15) Na figura abaixo, determine a medida do ângulo x 16) (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Determine y em função de y. (GeoJeca) em função de x. 5y y é ângulo externo y = A + C = x + 2x y = 3x (resp) z y z = 2y + 5y = 7y x = y + z = y + 7y x = 8y (resp) x 2y A x x D y (GeoJeca) = = 2x B = 2x C 17) Na figura abaixo mostre que vale a relação : a + b = c + d. a a c-a c b-d bd t u r 18) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100º. Determinar a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos outros dois ângulos internos. (GeoJeca) 100 + 2x + 2x = 180 x = 20º x + x + y = 180 y = 140º z é o ângulo agudo z + y = 180 z = 40º (resp) 100º x x z y x x r // s // t // u s (GeoJeca) d Ângulos alternos internos c-a=b-d a + b = c + d (CQD) 19) Mostre que a soma das medidas dos ângulos 20) Na figura abaixo, determinar x em função de y e de externos de um triângulo é 360º. (GeoJeca) (GeoJeca) z. e 2 e + x = 180 r 1 e2 + y = 180 e3 + z = 180 y x t r // s // t z s y x z y=x+z x = y - z (resp) e1 x z e1 + e2 + e3 + x + y + z = 540 Mas x + y + z = 180 Portanto e1 + e2 + e3 = 540 - 180 = 360º (CQD) e3 Jeca 12 (GeoJeca) os triângulos ABE e CDE são isósceles e que o (GeoJeca) triângulo BCE é equilátero. determinar a 28) Determinar a medida do ângulo x. (GeoJeca) (GeoJeca) em graus de x + y ? z 40º y x x y 80º t 25) Na figura abaixo.t. z. calcule o ângulo x. y e z. A medida do ângulo CBF é : D (GeoJeca) A a) 38º A b) 27º c) 18º d) 19º e) 71º x B y D z t C E B C F 27) Na figura abaixo. (GeoJeca) x e y podemos afirmar que : (GeoJeca) a) x = y y r b) x = -y z s c) x + y = 90º A B x x d) x .21) Na figura abaixo. (GeoJeca) é um retângulo e AB é congruente a AE. qual o valor de z e t o sêxtuplo de z. 26) Na figura abaixo. t e u. o quadrado ABCD é cortado por 22) Na figura abaixo. sendo y o triplo 24) (FUVEST-SP) No retângulo abaixo. sendo AD a bissetriz do ângulo Â. o ângulo EAB mede 38º. ABCD demonstre que vale a relação z . determinar o valor da soma das duas retas paralelas. y. sendo AB // DE. sabendo-se que soma das medidas dos ângulos x. r e s. Com relação aos ângulos medidas dos ângulos x.y = x .y = 90º e) x + y = 180º y t D C u 23) Na figura abaixo. A B x y z E D C A x E B C D Jeca 13 . Com relação aos ângulos medidas dos ângulos x. A medida do ângulo CBF é : D (GeoJeca) A a) 38º A b) 27º a a c) 18º 38º d) 19º e) 71º x B y D z t C y + y + 38 = 180 y = 71º y y + 90 + x = 180 x = 180 . calcule o ângulo x.y = x .z 40º 90 -x 90 . qual o valor de z e t o sêxtuplo de z.180 x + y + z = 360º (resp) x C A x = E 90º 60º 30º x + x + 90 = 180 2x = 90 x = 45º (resp) 12 0º = 60º B = = 60º = 30º D C Jeca 13 . t e u.x .x .t Então z .y = 90º y S = 3 . (GeoJeca) (GeoJeca) em graus de x + y ? 180 .y = x . 180 = 540 e) x + y = 180º y r // s // t x + y = 90º (resp) t D C u x + y + z + t + u = 540º (resp) t 23) Na figura abaixo.z = 100 z = 25º t = 150º u = 30º x y = 3. ABCD demonstre que vale a relação z .y y x 90 .y = 90 x + y = 130º (resp) x + u + 100 = 180 x = 50º (resp) 25) Na figura abaixo. sendo AB // DE.y = 180 .21) Na figura abaixo.71 x = 19º (resp) E y B x F a = 180 .x + 40 + 90 .t Portanto 180 . determinar o valor da soma das duas retas paralelas. o ângulo EAB mede 38º. A B a x y b E z D a + b = 180º (ângulos colaterais internos a + b + x + y + z = 540º x + y + z = 540 . (GeoJeca) x e y podemos afirmar que : (GeoJeca) a) x = y y r O polígono pode ser b) x = -y dividido em 3 triânguz s c) x + y = 90º A B los. z.z + 180 .z 180 .90 . y e z. (GeoJeca) é um retângulo e AB é congruente a AE. determinar a 28) Determinar a medida do ângulo x. x x x d) x .t.z . 26) Na figura abaixo.z . sendo y o triplo 24) (FUVEST-SP) No retângulo abaixo. o quadrado ABCD é cortado por 22) Na figura abaixo.3z 80º 100º u t = 6. sendo AD a bissetriz do ângulo Â. r e s. y.t (CQD) C 27) Na figura abaixo.z z 100 + 180 .3z = 360 4.y a = 180 . (GeoJeca) os triângulos ABE e CDE são isósceles e que o (GeoJeca) triângulo BCE é equilátero. sabendo-se que soma das medidas dos ângulos x. A’ 140º z x t A E B D’ x D F C 33) Na figura. AM = AN. sabendo-se que BAD = 48º. .29) Na figura abaixo. z. calcule a medida do ângulo x. igual a 2 A N M x y B C P B C D B’ 35) Na figura. t. y conhecendo a medida de 140º do ângulo assinalado. Mostre que o ângulo MPB é dobra de tal forma que o lado AB’ é simétrico do lado AB A x y em relação a AD. x > y e as reta MN e BC 34) Na figura abaixo. determine a soma das medidas dos ângulos x. Sendo EF a dobra feita. 80º e 30º. determine a soma das medidas 32) Um retângulo de papel é dobrado de forma que o vértice D pertença ao lado BC. u e v. z e t. z e t. Sendo AD uma interceptam-se em P. conforme a figura. y. dos ângulos x. y. calcule a medida do ângulo CDE. ACB e CAB’ medem respectivamente 30º. determine a soma das medidas 30) Na figura abaixo. determine a medida do ângulo ADB. AE congruente a AD. A E B D C Jeca 14 . sendo AB congruente a AC. dos ângulos x. os ângulos ABC. y. x v r y u r // s z s t z x y t 31) Na figura abaixo. igual a 2 q A q + a + a = 180 q + x + y = 180 Então 2a = x + y a=x-z 2a = 2x . calcule a medida do ângulo CDE. x > y e as reta MN e BC 34) Na figura abaixo. determine a soma das medidas dos ângulos x.2z P 2a = x + y 2x . determine a soma das medidas 32) Um retângulo de papel é dobrado de forma que o vértice D pertença ao lado BC. Mostre que o ângulo MPB é dobra de tal forma que o lado AB’ é simétrico do lado AB A x y em relação a AD.b) + (z + a + b) x + y + z + t = 360 + 180 = 540 (resp) D x x 50º F C 33) Na figura. A 48º x + y + x = y + 48 x+ x+ x + y + x é ângulo externo do triângulo ABD 2x = 48 y E y C x = 24º (resp) y B D y x Jeca 14 . z e t. os ângulos ABC. AM = AN. sabendo-se que BAD = 48º. conforme a figura. z.2z = x + y 2z = x .a + t .y)/2 (CQD) C B’ 35) Na figura. Sendo AD uma interceptam-se em P. . sendo AB congruente a AC. u e v. dos ângulos x. calcule a medida do ângulo x. 80º e 30º. dos ângulos x. determine a medida do ângulo ADB. AE congruente a AD. a A’ x + x + 50 = 180 x = 65º (resp) z x b t t-b A E 140º 40º 50º B D’ 40º x+y+z+t=x+y-a+a+t-b+b+z x + y + z + t = (x + y . y. determine a soma das medidas 30) Na figura abaixo.29) Na figura abaixo. Sendo EF a dobra feita. y. z e t. y. ACB e CAB’ medem respectivamente 30º.y z M a x y = a = a N a 30 + 80 + 30 + 2y = 180 y = 20º 30 + x + y = 180 30 + x + 20 = 180 x = 130º (resp) B y y x D x 30º 30º 30º 80º C B z = (x . t. y y-a conhecendo a medida de 140º do ângulo assinalado. x x+y u r // s // u u+v soma dos ângulos externos x + y + z + t + u + v = 360º (resp) z+t s t x + y + z + t = 180º (resp) z z t x u v r y x y t 31) Na figura abaixo. Jeca 15 . Obrigado. por favor. descobrir alguma resposta errada. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 16 .com. mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol. Se você.br Somente assim. 80º e 30º 16) 25º b) 64º g) 62º l) 53º c) 14º h) 33º d) 14º i ) 75º e) 47º j) 34º b) 124º 05' 04" d) 46º 47' 48" f) 214º 11' 36" h) 39º 24' 57" j) 06º 55' 23" Importante para mim. resolvendo esta lista. poderei corrigir eventuais erros.Respostas dos exercícios da Aula 01 01) a) 176º 19' 21" c) 28º 45' 16" e) 273º 35' 36" g) 31º 24' 56" i) 25º 02' 34" 02) 60º 03) 117º 04) 72º 05) 60º e 120º 06) 17º e 107º 07) 225º / 7 08) a) 41º f) 36º k) 113º 09) 270º 10) 240º 11) 210º 12) 180º 13) 2m 14) c 15) 70º. por favor. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 17 .com. 18º e 144º 05) 20º. 37º e 143º 04) 36º. 60º.br Somente assim. poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. 44º e 110º 10) 50º. Se você.Respostas dos exercícios complementares da Aula 01 01) a) 43º f) 46º k) 55º p) 119º u) 104º 02) a) 48º f) 111º k) 90º p) 68º u) 120º 21) c b) 123º g) 55º l) 130º q) 133º v) 46º b) 51º g) 42º l) 43º q) 30º v) 60º c) 107º h) 55º m) 43º r) 10º/3 x) 123º c) 29º h) 70º m) 14º r) 15º x) 150º d) 107º i) 30º n) 122º s) 71º z) 108º d) 112º i) 40º/3 n) 180º/7 s) 75º z) 116º e) 49º j) 49º o) 39º t) 96º 22) 540º 23) 50º 24) 130º e) 18º j) 45º o) 20º t) 60º 25) demonstração 26) d 27) 360º 28) 45º 29) 360º 30) 180º 31) 540º 32) 65º 33) demonstração 34) 130º 35) 24º 03) 143º. resolvendo esta lista.z Importante para mim. 60º e 70º 11) 70º 12) 270º 13) 10º 14) 36º 15) x = 8y 16) y = 3x 17) demonstração 18) 40º 19) demonstração 20) x = y . descobrir alguma resposta errada. mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol. 80º e 60º 06) 100º 07) 33º 08) 19º 09) 22º. circuncentro O . M bissetriz ponto médio Altura . O incentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3 (razão 2 : 1) lados do triângulo. Propriedade. Circuncentro (C). É o ponto de encontro das 3 mediatrizes do triângulo. O baricentro divide cada mediana em 2 segmentos. Todo triângulo tem: 3 medianas 3 bissetrizes 3 mediatrizes 3 alturas Baricentro (G).GM BG = 2.baricentro I . crita (externa) ao triângulo.ortocentro Incentro (I). to que contém o ponto médio do lado oposto.É o segmento que une o vértice ao ponto médio do lado oposto. A g S 2x g Área de cada triângulo AG = 2.É a reta perpendicular ao lado do triângulo pelo seu ponto médio.raio da circunferência circunscrita. Ortocentro (O). Segmentos notáveis do triângulo. Propriedade. Mediatriz .GN CG = 2.É a distância entre o vértice e a reta suporte do lado oposto. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista . Jeca 18 . Bissetriz . É o ponto de encontro das 3 medianas do triângulo. Pontos notáveis do triângulo B . A Propriedade. É o ponto de encontro das 3 bissetrizes do triângulo. O circuncentro é o centro da circunferência circunsNão tem.raio da circunferência inscrita.É a semi-reta de origem no vértice que divide o ângulo em dois ângulos congruentes. mediatriz hA hA hB O B C hC C A C R ponto médio B h B hC hA hB O ortocentro B O hC C R . Observação .Geometria plana Estudos sobre Geometria realizados pelo prof.As três medianas dividem o triângulo original em seis triângulos de mesma área. A O circuncentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3 vértices do triângulo.incentro C .na) no triângulo. mediana altura mediatriz Mediana . O incentro é o centro da circunferência inscrita (interO segmento que contém o vértice é o dobro do segmen. É o ponto de encontro das 3 alturas do triângulo.SP) Aula 02 Pontos notáveis de um triângulo.GP b b S P S G N I r a a S x S S M C S B r . Propriedade. os quatro pontos notáveis (baricentro. ortocentro circuncentro R C R hipotenusa Triângulo eqüilátero. medida do ângulo AOC. a circunferência de centro O está 03) Na figura abaixo. mediatriz Observações.raio da circunferência circunscrita. a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BOC mede 33º e que o ângulo ABC mede 56º. determine a mede 126º . circuncentro e ortocentro) esestão localizados no interior do tão alinhados. determinar : a) a altura do triângulo. incentro. b) o raio da circunferência inscrita no triângulo. r . A A O O B C B C Jeca 19 . circuncentro e ortocentro) estão localizados num único ponto. in1) O baricentro e o incentro sempre centro. h .raio da circunferência inscrita. R . 2) O circuncentro e o ortocentro podem estar localizados no exterior do triângulo.3) Num triângulo isósceles. mediana triângulo. d) o que o ponto O é do triângulo. R l O l r h l 02) Na figura abaixo. c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.lado do triângulo eqüilátero. os quatro ponto notáveis (BICO: baricentro. (importante) Em todo triângulo eqüilátero.altura do triângulo. . bissetriz altura mediatriz C mediana bissetriz G I O altura 4) No triângulo retângulo. r R l BICO r r l r h R = 2r e h = 3r l l 01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 10 cm. Sabendo que o ângulo BAO inscrita no triângulo ABC. o ortocentro é o vértice do ângulo reto e o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa. encontre a medida do ângulo BAC. encontre a medida do ângulo BAC. o ortocentro é o vértice do ângulo reto e o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa.raio da circunferência inscrita. . circuncentro e ortocentro) estão localizados num único ponto. os quatro ponto notáveis (BICO: baricentro.raio da circunferência circunscrita.altura do triângulo. mediana triângulo. circuncentro e ortocentro) esestão localizados no interior do tão alinhados.r = 10 3 / 3 cm d) O ponto O é o "BICO" Baricentro Incentro Circuncentro Ortocentro R cm 10 l O r h 60º l h = 5 3 cm 02) Na figura abaixo. R . c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. determine a mede 126º . r R l BICO r r l r h R = 2r e h = 3r l l 01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 10 cm. Sabendo que o ângulo BOC mede 33º e que o ângulo ABC mede 56º. ortocentro circuncentro R C R hipotenusa Triângulo eqüilátero. 54 + 2b = 180 2b = 72º (resp) a a 126º q q C O 33º 33º Jeca 19 .62 = 118º (resp) A a + q = 54º A b b 2a + 2q + 2b = 180 2(a + q) + 2b = 180 x O 28º 28º B y C B y 2 . os quatro pontos notáveis (baricentro. (importante) Em todo triângulo eqüilátero. Sabendo que o ângulo BAO inscrita no triângulo ABC. incentro. a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC.lado do triângulo eqüilátero. r . a circunferência de centro O está 03) Na figura abaixo. h . medida do ângulo AOC. a + q + 126 = 180 2y + 66 + 56 = 180 y = 29º x + 33 + 29 = 180 x = 180 . b) o raio da circunferência inscrita no triângulo. 2) O circuncentro e o ortocentro podem estar localizados no exterior do triângulo. bissetriz altura mediatriz C mediana bissetriz G I O altura 4) No triângulo retângulo. d) o que o ponto O é do triângulo.3) Num triângulo isósceles. determinar : a) a altura do triângulo. mediatriz Observações. in1) O baricentro e o incentro sempre centro. a) sen 60º = 3 2 = h 10 h co = hip 10 b) r = h/3 = 5 3 / 3 cm c) R = 2. em função de x. Determine a medida do ângulo DFE sabendo que os ângulos BAC e BCA medem. Utilizando o quadriculado. A 07) Na figura abaixo. os pontos E. 58º e 70º. c) o lado do triângulo. determinar : a) o raio da circunferência inscrita no triângulo. A I B C 05) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm. y. A E F D B C E F G B D C Jeca 20 . F é o ortocentro do triângulo ABC. R l l l r h 06) Na figura abaixo. F e G são os pontos médios dos lados do triângulo ABC.04) Na figura abaixo. determine o perímetro do triângulo BDG. BC = 2z. traçar as três medianas. w. respectivamente. o circuncentro e o ortocentro do triângulo. as três bissetrizes e as três alturas e determinar o baricentro. o ponto I é o incentro do triângulo. as três mediatrizes. AC = 2y. BE = 3k e FC = 3n. AG = 3w. k e n. Se AB = 2x. z. b) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. as três bissetrizes e as três alturas e determinar o baricentro. BE = 3k e FC = 3n. o circuncentro e o ortocentro do triângulo. Ortocentro . k e n. A Per = 2p = z + w + 2k (resp) F x B 2k z G x 2w n D w k 2n z C E y y 07) Na figura abaixo. AC = 2y. A I O G C B C 05) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm. as três mediatrizes. determinar : a) o raio da circunferência inscrita no triângulo. F é o ortocentro do triângulo ABC. BC = 2z. c) o lado do triângulo. respectivamente. 1 = 2 cm c) sen 60º = 3 2 = 3 co = hip h R l 60º l r h l l l 3 cm l . 58º e 70º. Determine a medida do ângulo DFE sabendo que os ângulos BAC e BCA medem. z. Se AB = 2x.encontro das alturas y + 58 + 70 = 180 y = 52º y + 90 + x + 90 = 360 x = 128º (resp) y B D x E F A 58º 70º C Jeca 20 . AG = 3w. o ponto I é o incentro do triângulo. a) r = h/3 = 3/3 = 1 cm b) R = 2.04) Na figura abaixo. determine o perímetro do triângulo BDG. Utilizando o quadriculado. b) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. os pontos E. em função de x. 3=6 l = 6 3 /3 = 2 06) Na figura abaixo. F e G são os pontos médios dos lados do triângulo ABC.r = 2 . y. w. traçar as três medianas. avalie se as médios dos respectivos lados. 11) No triângulo ABC abaixo. sendo que as casa não são colineares e estão localizadas na mesma fazenda. as medidas dos segmentos CE. Pedro e Manoel moram em suas respectivas casas. F. ( ) A área do triângulo BFG é 40 cm . Sendo 30º a medida do ângulo BCA. sabendo que ela deverá ficar a uma mesma distância das três ruas que determinam a praça. Como é possível localizar o tesouro no local ? Sibipiruna Peroba E Jatobá A D B 2 10) O triângulo ABC da figura tem área 120 cm . na planta a seguir. que sugestão poderia dar a eles ? Justifique o seu raciocínio. Supondo que a fazenda é “plana”. D e E são os pontos Sendo BD = DE = EC e AF = FG = GE. A b) a área do triângulo AFG. BC = 14 cm e AC = 12 cm. Descubra. ED e AE. uma estátua em homenagem a Tiradentes. na praça central. Rua 1 a3 Ru a2 Jeca 21 Ru .08) Na figura abaixo. Eles desejam abrir um poço de modo que ele fique à mesma distância das três casas. determine: afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). 13) A prefeitura de uma cidade mandou colocar. determine. F G B D E C F A E G ( ) G é o baricentro do triângulo ABC. ( ) A área do triângulo AEC é 40 cm . a) a área do triângulo ABC. onde o jatobá é o primeiro. 2 2 B D C 12) Joel. com seus conhecimentos de geometria. C 09) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e o mapa da localização faz menção a três grandes árvores do local. c) a área do quadrilátero BCAG. a sibipiruna é o segundo e a peroba é o ortocentro do triângulo. O tesouro foi enterrado no terceiro vértice de um triângulo. em que local essa estátua deve ser colocada. Sabendo que CD = k. em função de k. E é o ortocentro do triângulo equilátero ABC. 08) Na figura abaixo, E é o ortocentro do triângulo equilátero ABC. Sabendo que CD = k, determine, em função de k, as medidas dos segmentos CE, ED e AE. C Triângulo equilátero BICO ED = CD/3 = k/3 CE = AE = 2.ED = 2k/3 (resp) 09) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e o mapa da localização faz menção a três grandes árvores do local. O tesouro foi enterrado no terceiro vértice de um triângulo, onde o jatobá é o primeiro, a sibipiruna é o segundo e a peroba é o ortocentro do triângulo. Como é possível localizar o tesouro no local ? S Sibipiruna Peroba P Jatobá hS hJ O ortocentro de um triângulo é o ponto de encontro das 3 alturas do triângulo. E A D B T Tesouro J JS é um lado do triângulo (J e S são vértices) A altura hS obrigatoriamente passa por S e pelo ortocentro P. A altura hS obrigatoriamente faz 90º com o lado oposto a S. A altura hJ passa por P e faz 90º com o lado oposto a J. O terceiro vértice do triângulo será o ponto de intersecção das retas ST e JT. 2 10) O triângulo ABC da figura tem área 120 cm . 11) No triângulo ABC abaixo, F, D e E são os pontos Sendo BD = DE = EC e AF = FG = GE, avalie se as médios dos respectivos lados. Sendo 30º a medida do ângulo BCA, BC = 14 cm e AC = 12 cm, determine: afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). a) a área do triângulo ABC; A b) a área do triângulo AFG; c) a área do quadrilátero BCAG. A 80/3 F 80/3 G 80/3 40 cm E 2 A F 40 cm B 2 Propriedade - Em todo triângulo, as três medianas dividem o triângulo original em 6 triângulos menores de mesma área 2 40 G 2 cm D B D E C F 7 cm 7 cm 2 7 cm G 7 cm 2 2 E 7 cm 2 2 C ( F) G é o baricentro do triângulo ABC. (AE não é mediana) ( V) A área do triângulo AEC é 40 cm . ( F) A área do triângulo BFG é 40 cm . 12) Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivas casas, sendo que as casa não são colineares e estão localizadas na mesma fazenda. Eles desejam abrir um poço de modo que ele fique à mesma distância das três casas. Supondo que a fazenda é “plana”, com seus conhecimentos de geometria, que sugestão poderia dar a eles ? Justifique o seu raciocínio. mediatriz P O poço deve ser construído no J circuncentro do triângulo formado pelas três casas. O circuncentro é o ponto de encontro das três mediatrizes do triângulo. O circuncentro é o ponto do plano equidistante dos três vértices do triângulo. R R Poço R 2 2 7 cm C B D 2 a) SABC = (1/2).a.b.sen a = (1/2) . 14 . 12 . (1/2) = 42 cm b) SAFG = SABC / 6 = 42/6 = 7 cm c) SBCAG = 4 . 7 = 28 cm (resp) 2 2 13) A prefeitura de uma cidade mandou colocar, na praça central, uma estátua em homenagem a Tiradentes. Descubra, na planta a seguir, em que local essa estátua deve ser colocada, sabendo que ela deverá ficar a uma mesma distância das três ruas que determinam a praça. Rua 1 a3 r Ru a2 r r M A estátua deve ser colocada no incentro do triângulo. O incentro é o ponto de encontro das três bissetrizes dos ângulos internos do triângulo. O incentro é o ponto do plano equidistante dos três lados do triângulo. Jeca 21 Ru Geometria plana Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) Pontos notáveis de um triângulo. Exercícios complementares da aula 02. 01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é k, determinar : a) a altura do triângulo; b) o raio da circunferência inscrita no triângulo; c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo; d) o que o ponto O é do triângulo. R k O k r h k 02) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita de um triângulo eqüilátero mede 5 cm, determinar : a) o raio da circunferência inscrita no triângulo; b) a altura do triângulo; c) o lado do triângulo; d) o perímetro do triângulo; e) o que o ponto O é do triângulo. R l O l r h l 03) Na figura, AG e AF, dividem o ângulo BAC em três ângulos congruentes. Da mesma forma, CD e CE, dividem o ângulo ACB em três ângulos congruentes. Assinale a alternativa correta. A D P Q B 04) (Unifesp) Numa circunferência de raio R > 0 e centro O consideram-se, como na figura, os triângulos equiláteros T1, inscrito, e T2, circunscrito. Determine a razão entre a altura de T2 e a altura de T1. T2 E T1 F O R S R C G a) b) c) d) e) P é incentro de algum triângulo construído na figura. Q é incentro de algum triângulo construído na figura. R é incentro de algum triângulo construído na figura. S é incentro de algum triângulo construído na figura. Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira. Jeca 22 Geometria plana Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) Pontos notáveis de um triângulo. Exercícios complementares da aula 02. 01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é k, determinar : a) a altura do triângulo; b) o raio da circunferência inscrita no triângulo; c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo; d) o que o ponto O é do triângulo. a) sen 60º = h/k Portanto h = k 3 /2 b) r = h/3 = k 3 / 6 c) R = 2r = k 3 / 3 d) B - baricentro I - incentro C - circuncentro O - ortocentro R k O 60º k r h k 02) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita de um triângulo eqüilátero mede 5 cm, determinar : a) o raio da circunferência inscrita no triângulo; b) a altura do triângulo; c) o lado do triângulo; d) o perímetro do triângulo; e) o que o ponto O é do triângulo. a) sen 30º = co = hip 1 r = 5 2 r = 5/2 cm b) h = 3.r = 3 . 5/2 h = 15/2 cm r 5 c) sen 60º = co = hip 3 2 = 15 2 h R l 5 30º O r l r h l l l d) Per = 2p = 3 . Per = 2p = 15 3 cm e) O ponto O é o "BICO". Baricentro Incentro Circuncentro Ortocentro l l 3 = 15 l = 15 3 /3 l =5 3 cm 03) Na figura, AG e AF, dividem o ângulo BAC em três ângulos congruentes. Da mesma forma, CD e CE, dividem o ângulo ACB em três ângulos congruentes. Assinale a alternativa correta. A a a a P Q B D AR é uma bissetriz CP é uma bissetriz S é incentro do D ACQ. (resp. d) E 04) (Unifesp) Numa circunferência de raio R > 0 e centro O consideram-se, como na figura, os triângulos equiláteros T1, inscrito, e T2, circunscrito. Determine a razão entre a altura de T2 e a altura de T1. h2 = 3R h1 = 3R/2 h2 / h1 = 3R / 3R/2 h2 / h1 = 2 (resp) T1 R T2 S q C R q q G R O R F a) b) c) d) e) P é incentro de algum triângulo construído na figura. Q é incentro de algum triângulo construído na figura. R é incentro de algum triângulo construído na figura. S é incentro de algum triângulo construído na figura. Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira. O ponto O é o "BICO" dos dois triângulos. Jeca 22 sabendo-se que o do AC e CE é a bissetriz do ângulo ACB. o triângulo ABC é retângulo em C. Sabendo que D e E são os pés segmentos AD e DB são congruentes e o ângulo CAD das alturas BD e CE. D é o centro da circunferência 12) (Fuvest) Um triângulo ABC. triângulo ADE. ABC = 70º e ACB = 40º. AB = 8 cm e AC = 11 cm. Determine a medida do ângulo BFC.Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em uma semi-circunferência. D é ponto médio do laDetermine a medida do ângulo BOC. N e P são médios 06) Na figura abaixo. alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo ? a) 30º A b) 45º c) 60º d) 90º e) 120º D B C Jeca 23 . os pontos M. 09) No triângulo ABC abaixo. Sendo DE paralelo a BC. A A M G N D I E B P C B C 07) No triângulo ABC da figura. determinar o perímetro do do triângulo ABC e que BG = 2. tem ângulos A = 40º inscrita no triângulo retângulo ABC.GN. ponto O é o ortocentro do triângulo ABC.05) Na figura abaixo. BC = 10 cm e M é o 08) Na figura. 10) No triângulo ABC abaixo. A D E D B C A B M C RESOLUÇÃO . mede 65º. Qual é a medida do ângulo formado pelas dida do ângulo ADC. Determine a medida do ângulo BDC. determine o valor de EM + DM. Provar que G é o baricentro rência inscrita no triângulo ABC. Determine a mee B = 50º. os ponto médio de BC. A A 40º O E D C F B B C 11) Na figura abaixo. o ponto I é o centro da circunfedos lados a que pertencem. Sabendo que D e E são os pés segmentos AD e DB são congruentes e o ângulo CAD das alturas BD e CE. MN // BC // RS MN = RS = BC/2 C AB = AD + DB = AD + DI AD + DI = 8 AC = AE + EC = AE + EI AE + EI = 11 x a a B Per = AD + DI + AE + EI = 8 + 11 = 19 cm (resp) 8-x x a I q 11 .y y M G R B N S D E y q q C P MNSR é um paralelogramo.Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em uma semi-circunferência. determinar o perímetro do do triângulo ABC e que BG = 2. o triângulo ABC é retângulo em C. triângulo ADE. Sendo DE paralelo a BC. então AP. BN e CM são medianas. os dois C catetos são duas das três alturas do triângulo. Determine a medida do ângulo BDC. A D E R R R M R ME + MD = 10 cm (resp) A 65º 65º R R x D R B BM = MC = ME = MD = R = 5 C x é ângulo externo x = 65 + 65 x = 130º (resp) B C RESOLUÇÃO .250 = 110º (resp) E F 40º x 50º R 40º D R a a C a + x + 50 = 180 25 + x + 50 = 180 x = 105º (resp) D A 2a + 90 + 40 = 180 a = 25º B 11) Na figura abaixo.90 c) 60º aa a + q = 45º d) 90º e) 120º h x A D q q B C x + a + q = 180 x = 135º (resp) x = 90º (resp d) x Num triângulo retângulo. D é ponto médio do laDetermine a medida do ângulo BOC. alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo ? a) 30º 2a + 2q + 90 = 180 A A b) 45º 2(a + q) = 180 .GN. A Se M. ABC = 70º e ACB = 40º. AB = 8 cm e AC = 11 cm. 10) No triângulo ABC abaixo. determine o valor de EM + DM.05) Na figura abaixo. Portanto G é baricentro Seja R o ponto médio do segmento BG e S o ponto médio de GC. 09) No triângulo ABC abaixo. BR = RG = GN Portanto BG = 2. os ponto médio de BC. sabendo-se que o do AC e CE é a bissetriz do ângulo ACB. Provar que G é o baricentro rência inscrita no triângulo ABC. mede 65º. ponto O é o ortocentro do triângulo ABC. BC = 10 cm e M é o 08) Na figura. Qual é a medida do ângulo formado pelas dida do ângulo ADC. Determine a medida do ângulo BFC. tem ângulos A = 40º inscrita no triângulo retângulo ABC.GN (CQD) 07) No triângulo ABC da figura. os pontos M. N e P são médios 06) Na figura abaixo. D é o centro da circunferência 12) (Fuvest) Um triângulo ABC. N e P são pontos méA dios. o ponto I é o centro da circunfedos lados a que pertencem. Determine a mee B = 50º. A y x 70º B O x 40º C E y + 70 + 40 = 180 y = 70º ADOE é um quadrilátero y + 90 + x + 90 = 360 x = 360 . hB B Jeca 23 . raio AB = 15 cm e tro do triângulo. o círculo inscrito no triângulo 16) Determine as medidas dos ângulos A. Sendo BC = 18 cm. se P for o ortocentro do triângulo ABC. B 110º O 0 13 º D 110º B 12 A 0º C C 19) O triângulo ABC da figura é retângulo em A e os triângulos ABD. Os circuncentros do DBDC e do DBEC coincidem. no 18) Na figura. S2 e S3. no entanto. determine a medida de AB. BF = 2. ângulo central BAC = 60º. E D F B C E A a) b) c) d) e) F é o ortocentro do DABC.FE. A é o ortocentro do DFBC. a circunferência de centro O está triângulo ABC abaixo. Determine o raio da circunA ferência. B e C. BCD e ACD são equivalentes (têm a mesma área). sabendo que D é o circuncen. B 0º 12 S3 S2 A S1 B C D 130º C 17) Determine as medidas dos ângulos A. Determine as áreas dos setores triângulo. as medianas AD e BE são perpendiculares entre si. respectivamente. B e C. em função de S. A A D B C P B P B C C Jeca 24 . B D C 15) Na figura abaixo. A circulares S1. Sabendo que afirmativa falsa.inscrita no setor circular de centro A. Se P for o incentro do triângulo ABC. BAC = 50º. no ABC tem área S e os ângulos A e B medem 50º e triângulo ABC abaixo. sabendo que D é o incentro do 70º. Determine a razão entre x e y. determine a medida do segmento AD. A BC = 6 e AC = 8. a medida do ângulo BPC é x. O DABC é acutângulo. A 20) No triângulo ABC da figura. a medida do ângulo BPC é y.13) Considere o triângulo ABC da figura e assinale a 14) No triângulo ABC da figura abaixo. A BC = 6 e AC = 8. A Se os triângulos têm a mesma área. raio AB = 15 cm e ângulo central BAC = 60º. no 18) Na figura. S2 e S3. respectivamente.R 3R = 15 R = 5 cm (resp) B C 19) O triângulo ABC da figura é retângulo em A e os triângulos ABD. em função de S. se P for o ortocentro do triângulo ABC. A alternativa d) é falsa pois F não é o baricentro e BE não é uma mediana. A ferência. a medida do ângulo BPC é y.inscrita no setor circular de centro A. a circunferência de centro O está triângulo ABC abaixo. Se P for o incentro do triângulo ABC. BF e CH são medianas. no ABC tem área S e os ângulos A e B medem 50º e triângulo ABC abaixo. Determine a razão entre x e y. sabendo que D é o incentro do 70º.13) Considere o triângulo ABC da figura e assinale a 14) No triângulo ABC da figura abaixo. B A = 55º B = 65º C = 60º (resp) R 30º 35º 30º 25º R sen 30º = 1 2 = co R = hip 15 . B e C. x D 2 3 2 2 C 2 w = (2x) + (2y) = 4x + 4y = 4(x + y ) = 4 .R 0º O R 0 13 º D 110º R 25º 35º C 12 2r = 15 .R R A 30º 15 . então AE. determine a medida do segmento AD. as medianas AD e BE são perpendiculares entre si. Sendo BC = 18 cm. O DABC é acutângulo. P é incentro (bissetrizes) a + q = 65º x = 115º A P é ortocentro (alturas) y = 130º 25º 25º 90º y 90º P a a x q C q B P y C x/y = 115/130 = 23/26 (resp) A 50º H F B AE = BE = CE = R AE = 9 cm AD = 6 cm (resp) B Jeca 24 .120 a + b = 60 0º 12 b b 110º S2 q 2a + 2b + 2q = 180 2(a + b) + 2q = 180 2q = 60 q = 30º a = 20º b = 40º A = 2b = 80º B = 2a = 40º C = 2q = 60º (resp) a a B D 130º q q C 17) Determine as medidas dos ângulos A. B e C. a medida do ângulo BPC é x. I é o incentro do triângulo (ponto de encontro das bissetrizes) 2x + 50 + 70 = 180 x = 30º a + 35 + 30 = 180 a = 115º b + 35 + 25 = 180 b = 120º q = 125º 25º S1 = 115 S = 23 S 72 360 25º A 125 25 S2 = S= S 72 360 S3 = 120 S = 1 S 3 360 B 35º 35º S3 b I a S1 x x C a + b = 180 . sabendo que D é o circuncen. Os circuncentros do DBDC e do DBEC coincidem. BF = 2. BAC = 50º.FE. Determine o raio da circuntro do triângulo. no entanto. D é baricentro (2 : 1) S S S 9 cm E S D S 9 cm C S 20) No triângulo ABC da figura. determine a medida de AB. Determine as áreas dos setores triângulo. 5 = 20 w = 20 = 2 5 (resp) 15) Na figura abaixo. E D F w B C y 2y B 2 A 4 E F 3 2 2 Pitágoras (2x) + y = 4 4x + y = 16 x + (2y) = 3 x + 4y = 9 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4x + y = 16 x + 4y = 9 5x + 5y = 25 Portanto x +y =5 2 2 2 2 2 2 2 2 2x a) b) c) d) e) F é o ortocentro do DABC.R 15 R 15 . o círculo inscrito no triângulo 16) Determine as medidas dos ângulos A. BCD e ACD são equivalentes (têm a mesma área). Sabendo que afirmativa falsa. A é o ortocentro do DFBC. A circulares S1. BN e CM para o triângulo ABC. e) A reta r é a única mediatriz do segmento de reta AB em a. c) Quais as medidas dos segmentos CR. F D E B G C Jeca 25 . d) As mediatrizes dos lados de um triângulo podem se interceptar em três pontos distintos. e os pontos E. determinar : a) O que são os segmentos AP. sabendo que BC = 12 cm. M é ponto mé.21) Na figura. b) Que ponto notável do triângulo é o ponto R. as retas FD. determinar as medidas dos ângulos a. A A M D P B B C D C 23) No triângulo ABC ao lado. g e q e dizer o que a semirreta CO significa para o ângulo ACB. AD = BD. A q O g M R N B b a C B P C 25) Na figura abaixo. F e G são os pontos médios dos lados do triângulo ABC. sendo M. BR e PR. Determine o ângulo DAC é o dobro do ângulo DBA. N e P pontos médios dos respectivos lados e MR = 7 cm. Para o triângulo ABC. A 26) (UEM-PR) Em um plano a. ACD = 60º e dio de AD e o triângulo BMC é equilátero.22) (UFMG) Na figura abaixo. razão AC / BC. a) Tomando um ponto P qualquer em r. b) A intersecção das mediatrizes de dois lados de um triângulo qualquer em a é o circuncentro do triângulo. b. c) Qualquer ponto do plano a que não pertença à reta r não equidista dos extremos do segmento AB. Assinale a alternativa incorreta. A 24) Na figura ao lado. a distância de P ao ponto A é igual à distância de P ao ponto B. Determine a a medida do segmento PM. ABCD é um retângulo. Sendo m(ACB) = 30º. a mediatriz de um segmeno de reta AB é a reta r que passa pelo ponto médio do segmento de reta AB e é perpendicular a esse segmento. O é o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC que é retângulo em B. ED e GD encontram-se no ponto D. NR = 6 cm e AR = 10 cm. dizer como se denomina o ponto D e o que é a reta FD. Assinale a alternativa incorreta. a distância de P ao ponto A é igual à distância de P ao ponto B. Como E é ponto médio de BD. O é o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC que é retângulo em B. A A M D a P E 4a + 60 = 180 a = 30º Portanto B 2a = 60º O triângulo ADC é isósceles. a mediatriz de um segmeno de reta AB é a reta r que passa pelo ponto médio do segmento de reta AB e é perpendicular a esse segmento. FD é a mediatriz do lado AB do triângulo. que é denominado circuncentro do triângulo. sendo M. a) Tomando um ponto P qualquer em r. Para o triângulo ABC. AE também é uma mediana. dizer como se denomina o ponto D e o que é a reta FD. AD = BD. N e P pontos médios dos respectivos lados e MR = 7 cm. 30º a = 15º b = 45º g = 120º q = 30º CO é bissetriz (resp) 30º O 45º B b g 10 M 7 R 6 N 45º 15º 15º a C 12 B 5 P 14 C 25) Na figura abaixo.21) Na figura. razão AC / BC. ACD = 60º e dio de AD e o triângulo BMC é equilátero. P é o baricentro (encontro das medianas) BC = BM = 12 cm. F e G são os pontos médios dos lados do triângulo ABC. d é incorreta. A a) medianas b) baricentro c) CR = 14 cm BR = 12 cm PR = 5 cm (resp) 24) Na figura ao lado. e os pontos E. b. A 26) (UEM-PR) Em um plano a. sabendo que BC = 12 cm. b) Que ponto notável do triângulo é o ponto R. Determine a a medida do segmento PM. c) Quais as medidas dos segmentos CR. d) As mediatrizes dos lados de um triângulo podem se interceptar em três pontos distintos. (resp) F D E B G C D é o circuncentro do triângulo. Ponto de encontro das bissetrizes. c) Qualquer ponto do plano a que não pertença à reta r não equidista dos extremos do segmento AB. b) A intersecção das mediatrizes de dois lados de um triângulo qualquer em a é o circuncentro do triângulo. as retas FD. M é ponto mé. A q O é o incentro. e) A reta r é a única mediatriz do segmento de reta AB em a. determinar as medidas dos ângulos a. PM = BM / 3 = 12 / 3 = 4 cm (resp) 23) No triângulo ABC ao lado. Sendo m(ACB) = 30º. (resp) Jeca 25 . g e q e dizer o que a semirreta CO significa para o ângulo ACB. BR e PR. BM é uma mediana. ED e GD encontram-se no ponto D. BN e CM para o triângulo ABC. ABCD é um retângulo. determinar : a) O que são os segmentos AP. AD = DC = BC AC / BC = 1/2 (resp) = = a D 2a 60º C B C No triângulo ABD.22) (UFMG) Na figura abaixo. Determine o ângulo DAC é o dobro do ângulo DBA. As mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-se no mesmo ponto. NR = 6 cm e AR = 10 cm. br Somente assim. Se você. 13) A estátua deve ser colocada no incentro do triângulo formado pelas três ruas. Incentro. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 26 . Obrigado. Circuncentro e Ortocentro. mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] dos exercícios da Aula 02. descobrir alguma resposta errada. 02) 118º 03) 72º 04) Desenho ao lado. 01) a) (5 3 ) cm b) (5 3 / 3) cm c) (10 3 / 3) cm d) Baricentro.com. k / 3 e 2k / 3 09) Desenho ao lado. V e F 11) 2 a) 42 cm 2 b) 7 cm 2 c) 28 cm 12) O poço deve localizar-se no circuncentro do triângulo cujos vértices são as três casas. poderei corrigir eventuais erros. por favor. 10) F . O I G C 04) A 05) a) 1 cm b) 2 cm c) 2 3 cm 06) 2k + w + z 07) 128º 08) 2k / 3 . resolvendo esta lista. 09) B C Sibipiruna Peroba O Jatobá tesouro Importante para mim. por favor. 40º e 60º Importante para mim. 01) a) k 3 / 2 b) k 3 / 6 c) k 3 / 3 d) BICO 02) a) (5 / 2) cm b) (15 / 2) cm c) 5 3 cm d) 15 3 cm e) BICO 03) d 04) 2 05) A 17) 55º.com. Se você. 30º e bissetriz 25) circuncentro e mediatriz 26) d M G S B P N R C 06) 19 cm 07) 10 cm 08) 130º 09) 110º 10) 105º 11) 135º 12) d 13) d 14) 2 5 15) 25 S / 72.br Somente assim. 120º. 65º e 60º 18) 5 cm 19) 6 cm 20) 23 / 26 21) 4 cm 22) 1 / 2 23) a) medianas b) baricentro c) 14 cm. Obrigado.Respostas dos exercícios complementares da Aula 02. SG = GN = BS Razão 2 : 1 24) 15º. 12 cm e 5 cm S é ponto médio de BG R é ponto médio de CG MNRS é um paralelogramo Portando. mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol. poderei corrigir eventuais erros. 45º. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 27 . resolvendo esta lista. 23 S / 72 e S/3 16) 80º. descobrir alguma resposta errada. . . Prove que os ângulos A e C são congruentes.A.SP) Aula 03 Congruência de triângulos. A B D C 03) Na figura ao lado.A.L. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista . 1) L. A e C são ângulos retos e BD é a bissetriz do ângulo ADC.L. Caso especial (CE).L.Geometria plana Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. A . 4) L. A B D C Jeca 28 .L.dois ângulos e o lado entre eles.A. Prove que os triângulos ABD e CBD são congruentes. Observação. do outro triângulo L. A D Dois triângulos são congruentes se têm os lados dois a dois ordenadamente congruentes e os ângulos dois a dois ordenadamente congruentes. 3)L.ângulo oposto ao lado. A B D C 02) Na figura ao lado. DABC B C F E DDEF A D B E C F AB DE AC DF BC EF Casos de congruência.AO 5) Caso especial (CE) Onde: L .dois lados e o ângulo entre eles.L.L.ângulo junto ao lado.A.lado. Prove que os segmentos AB e CB são congruentes. 01) Na figura ao lado. AO . os segmentos AB e BC são congruentes e os segmentos AD e CD também. A.A. Dois triângulos retângulos são A posição de cada elemento do congruentes se têm as hipotenusas triângulo (lado ou ângulo) no desecongruentes e um cateto de um nho é muito importante na caracteritriângulo é congruente a um cateto zação do caso de congruência. 2) A. A e C são ângulos retos e os segmentos AD e CD são congruentes. do outro triângulo L.L. A = C = 90º (A) dado do exercício ADB CDB (A) BD é bissetriz BD BD (L) lado comum B Pelo caso L.A. AO .L.L. Prove que os triângulos ABD e CBD são congruentes. Prove que os segmentos AB e CB são congruentes.AO .. Prove que os ângulos A e C são congruentes.lado comum A = B D Pelo caso L.dois lados e o ângulo entre eles. tem-se: DABD DCBD (CQD) A = B D C 02) Na figura ao lado.SP) Aula 03 Congruência de triângulos. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista . A. 3)L. 2) A. DABC B C F E DDEF A D B E C F AB DE AC DF BC EF Casos de congruência.L. tem-se: A D DABD DCBD AB CB (CQD) C 03) Na figura ao lado. os segmentos AB e BC são congruentes e os segmentos AD e CD também.ângulo oposto ao lado. A e C são ângulos retos e os segmentos AD e CD são congruentes.A. 4) L.A. A D Dois triângulos são congruentes se têm os lados dois a dois ordenadamente congruentes e os ângulos dois a dois ordenadamente congruentes. Observação.AO 5) Caso especial (CE) Onde: L . 1) L.L. AB AD BD BC (L) . Caso especial (CE). tem-se: D ABD D CBD A C (CQD) C Jeca 28 .A. .A.dado do enunciado BD (L) .ângulo junto ao lado.dado do enunciado CD (L) . Dois triângulos retângulos são A posição de cada elemento do congruentes se têm as hipotenusas triângulo (lado ou ângulo) no desecongruentes e um cateto de um nho é muito importante na caracteritriângulo é congruente a um cateto zação do caso de congruência.dois ângulos e o lado entre eles.L. A e C são ângulos retos e BD é a bissetriz do ângulo ADC. A = C = 90º (A) dado do exercício AD CD (L) dado do exercício BD BD (L) lado comum Pelo caso especial (HC).Geometria plana Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. 01) Na figura ao lado.lado.L.L. . A .A. r O M P s Jeca 29 . A B H C 06) Sabendo-se que a mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio. de modo que o ponto M também seja ponto médio do segmento AB. M e P. Provar que se o raio CD é perpendicular à corda AB. tal que M seja ponto médio do segmento OP.04) (importante) Na figura abaixo. então M é ponto médio de AB. mediana e mediatriz. e B pertencente a s. provar que qualquer ponto da mediatriz é eqüidistante das extremidades A e B do segmento. P A M B mediatriz 07) Dadas as retas r e s. AB é uma corda da circunferência de centro C. e os pontos O. determine os pontos. C M D B A 05) (Importante) Provar que em todo triângulo isósceles a altura relativa à base também é bissetriz. A pertencente a r. da definição de mediatriz AM MB )L) . então BAH CAH Portanto AH é bissetriz c) Se H é ponto médio e AHB = 90º . A pertencente a r. M e P. de modo que o ponto M também seja ponto médio do segmento AB. então BH CH Portanto H é ponto médio Então AH é mediana b) Se D ABH D ACH. determine os pontos.lado comum BHA CHA = 90º (A) . r t A O M P Seja t // r (por construção) OM MP (L) . tem-se DBMC DAMC Portanto BM AM.da definição de mediatriz MP MP (L) .AH é altura Pelo caso especial. tal que M seja ponto médio do segmento OP. tem-se D PBM Portanto AM MB Então M é ponto médio de AB (CQD) s D OAM B Jeca 29 . então M é ponto médio de AB.AO . e B pertencente a s. A AB AC (L) .lado comum Pelo caso L.ângulos alternos internos AMO BMP (A) . tem-se D ABH D ACH a) Se D ABH D ACH.ângulos opostos pelo vértice Pelo caso L. tem-se D AMP D BMP AP BP (CQD) A M B mediatriz 07) Dadas as retas r e s.L.A. provar que qualquer ponto da mediatriz é eqüidistante das extremidades A e B do segmento.04) (importante) Na figura abaixo.. (B C) 06) Sabendo-se que a mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio. Então M é ponto médio de AB. (CQD) 05) (Importante) Provar que em todo triângulo isósceles a altura relativa à base também é bissetriz.dado do enunciado PBM OAM (A) . mediana e mediatriz. P AMP BMP (A) . AB é uma corda da circunferência de centro C.A.triângulo isósceles AH AH (L) . B H C Observação Ao provar que os triângulos ABH e ACH são congruentes. BC = AC = R (L) raio BMC AMC = 90º (A) perpendicular CM CM (L) lado comum C M D B A Pelo caso especial. e os pontos O. então AH é mediatriz de BC. Provar que se o raio CD é perpendicular à corda AB. prova-se também que em todo triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes. BFE. o quadrado EFGH está inscrito no quadrado ABCD. A E B F H F C D D G C 12) Na figura abaixo. ABCD é um retângulo e os 13) Provar que se ABCD é um paralelogramo e AC e segmentos AE e CF são perpendiculares ao BD são as diagonais. a medida do ângulo interno AOC do quadrilátero AOCB. respectivamente. prove que os segmentos AB e DC são congruentes.08) Na figura abaixo. 10) Na figura. A F B A E B E D C D C Jeca 30 . em função de q. ABCD é um paralelogramo e os segmentos AE e CF são congruentes. A D 09) (UFMG) Observe a figura: r A P B E q O R s B C C Nessa figura. os segmentos AB e BC são perpendiculares. BR = CR e a medida do ângulo POR é q. Além disso. Determine. são congruentes entre si. CGF e GDH são congruentes entre si. AP = PB. Prove que os segmentos DE e BF diagonais é o ponto médio da diagonal AC. Prove que os segmentos DE e FB são congruentes e paralelos entre si. os segmentos AE e DE são congruentes. Sabendo-se que o triângulo BCE é isósceles de base BC. A E B 11) Na figura abaixo. às retas r e s. então o ponto de intersecção das segmento BD. Prove que os triângulos AEH. A F B A E B E D AED CFB = 90º (A) . os segmentos AE e DE são congruentes. .Propriedade dos triângulos Pelo caso A. tem-se Portanto DE BF D ADE D BCF D G HE EF (L) .A.ângulos alternos internos AED BEC (A) . CGF e GDH são congruentes entre si. a medida do ângulo interno AOC do quadrilátero AOCB. às retas r e s. 11) Na figura abaixo. . A E B B a 90 -a a H F C a F D AE CF (L) . ABCD é um retângulo e os 13) Provar que se ABCD é um paralelogramo e AC e segmentos AE e CF são perpendiculares ao BD são as diagonais. BFE. então E o ponto E é médio de DB (CQD) Jeca 30 .L.L. tem-se C D ADE D BCF DE BF (CQD) D ADE D BCD Portanto.A. então DEB BFD Portanto DEBF também é um paralelogramo Então DE é paralelo a BF (CQD) D AHE (CQD) Analogamente. tem-se D ABC D CBD AB O q b b C C DC (CQD) Nessa figura.ABCD é um retângulo Pelo caso L.o triângulo BEC é isósceles BC BC (L) . respectivamente. Determine. .conclusão acima apresentada EBC ECB (A) .dado do enunciado ADE CBF (A) .L. ABCD é um paralelogramo e os segmentos AE e CF são congruentes.ângulos alternos internos AD BC (L) . Prove que os segmentos DE e BF diagonais é o ponto médio da diagonal AC.08) Na figura abaixo.ABCD é um paralelogramo Pelo caso L. o quadrado EFGH está inscrito no quadrado ABCD. A D 09) (UFMG) Observe a figura: r A P a a B Analogamente. tem-se D BFE C Se AED CFB . tem-se DAEH D BFE D FCG D GDH 12) Na figura abaixo.A. os segmentos AB e BC são perpendiculares.EFGH é um quadrado AHE BEF (A) .ABCD é um paralelogramo AD BC (L) . BR = CR e a medida do ângulo POR é q. AE EC . Além disso. Prove que os triângulos AEH.A. A E 90 -a 10) Na figura. Prove que os segmentos DE e FB são congruentes e paralelos entre si. . Sabendo-se que o triângulo BCE é isósceles de base BC. tem-se DCRO = DBRO R se q = a + b então 2a + 2b = 2q s (resp) AP = PB (L) P é médio APO = BPO = 90º (A) dado do exercício PO = PO (L) lado comum Pelo caso L. .ABCD é um paralelogramo ADB CBD (A) .AO. tem-se DAPO = DBPO E AE DE BE EC Se AC = AE + EC B DB = DE + EB Pode-se concluir que AC BD (L) . AP = PB. tem-se C D AD BC (L) .ângulos opostos pelo vértice Pelo caso L.lado comum Pelo caso L.A.L.Propriedade dos triângulos AEH BFE (A) . em função de q. então o ponto de intersecção das segmento BD. são congruentes entre si.dado do enunciado A C (A) . .AO.A. então o ponto E é médio de AC e DE EB . prove que os segmentos AB e DC são congruentes. A l P B R S B T C 16) Na figura abaixo. A A C B l D P D C E B 18) Determinar a medida da base média de um trapézio isósceles sabendo-se que os lados não paralelos desse trapézio medem 15 cm cada.Teorema do ponto exterior. D C Jeca 31 .3. AB = 10.17) Determine o valor de x na figura abaixo. Determine a medida do segmento CT. P exterior a l. AD = 3x . então PA = PB. B A l P l PA = PB B D C AB + CD = AD + BC 15) Na figura abaixo. 15 cm e 17 cm. A. A das retas tangentes a l por P. AC = 12 e BC = 14. Consequência do Teorema do ponto exterior. CD = 4x . se A e B são os pontos de tangência cia a soma das medidas dos lados opostos é constante. a circunferência está inscrita no triângulo ABC. Em todo quadrilátero circunscrito numa circunferênDada uma circunferência l e um ponto P.2 e que a distância PB mede 17 cm. sabendocia. B e D são pontos de tangên. A B 19) Determine a medida do raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo cujos lados medem 8 cm. Determinar o perímetro do triângulo CEP. A 14) Prove o Teorema do ponto exterior. BC = 3x + 1. sabendo se que AB = 2x + 2. se A e B são os pontos de tangência cia a soma das medidas dos lados opostos é constante. Determinar o perímetro do triângulo CEP. a circunferência está inscrita no triângulo ABC. B A l P l PA = PB B D C AB + CD = AD + BC 15) Na figura abaixo. AD = 3x .3 = 0 Então x > 3/4 S = {x R | x > 3/4} (resp) C Per = 2p = DC + CP + DE + EP = 17 + 17 = 34 cm (resp) 18) Determinar a medida da base média de um trapézio isósceles sabendo-se que os lados não paralelos desse trapézio medem 15 cm cada.x + 15 .x 15 . tem-se DACP = DBCP Portanto PA = PB (CQD) 14 .x 2 2 30 MN = = 15 cm (resp) 2 Jeca 31 .2 e que a distância PB mede 17 cm.R R R Base média de trapézio D 15 . então PA = PB.Teorema do ponto exterior.3 = 3x . Determine a medida do segmento CT. sabendo se que AB = 2x + 2.x = 10 2x = 16 x=8 CT = x = 8 (resp) R 14 B 14 . P exterior a l. AC = 12 e BC = 14. 15 cm e 17 cm. A 12 x 14) Prove o Teorema do ponto exterior. BC = 3x + 1. A. Em todo quadrilátero circunscrito numa circunferênDada uma circunferência l e um ponto P. A x 17 cm A B C P x D y y E Teorema do ponto exterior AP = BP = 17 AP = AC + CP = DC + CP = 17 BP = BE + EP = DE + EP = 17 AB + CD = AD + BC 2x + 2 + 4x . 17 15 -R 8- R 8-R R 15 M x N 15 - Teorema do ponto exterior C 15 .x MN = AB + CD = x + x + 15 . AB = 10. Consequência do Teorema do ponto exterior. sabendocia.R = 17 2R = 6 R = 3 cm (resp) x R 15 . A l C P Teorema do ponto exterior B 12 S x 10 -x AC = BC = R (L) raio CAP = CBP = 90º (A) tangente CP = CP (L) lado comum Pelo caso especial.3.R + 8 .17) Determine o valor de x na figura abaixo. B e D são pontos de tangên. A das retas tangentes a l por P.1 = 6x . A Teorema do ponto exterior x x B 19) Determine a medida do raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo cujos lados medem 8 cm.x T 14 x C 16) Na figura abaixo.x + 12 .2 + 3x + 1 6x . CD = 4x .1 Para qualquer x real l B D Analisando a condição de existência 4x . Provar que o triângulo ABM é congruente ao triângulo CDM. 01) Na figura abaixo. A M D B C 02) Na figura abaixo. M é ponto médio do segmento AC e os ângulos A e C são congruentes. Provar que as retas AB e CD são paralelas. C A B D Jeca 32 . Exercícios complementares da aula 03. Provar que os segmentos AB e CD são congruentes. AB é bissetriz do ângulo CAD e os ângulos ACB e ADB são congruentes. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista . A M D B C 03) Na figura abaixo. M é ponto médio dos segmentos AC e BD. Prove que os segmentos AC e AD são congruentes. M é ponto médio do segmento BD e os ângulos A e C são congruentes. M é ponto médio de AC e de BD.Geometria plana Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. A M D B C 05) Na figura abaixo. Provar que M também é ponto médio do segmento BD. A M D B C 04) Na figura abaixo.SP) Congruência de triângulos. M é ponto médio de AC e de BD. Provar que o triângulo ABM é congruente ao triângulo CDM.A.A. tem-se B C D ABM D CDM AB CD (CQD) 04) Na figura abaixo.SP) Congruência de triângulos.dado do enunciado A C (A) .dado do enunciado AMB CMD (A) . Provar que as retas AB e CD são paralelas.M é ponto médio de BD AMB CMD (A) . .A. Provar que os segmentos AB e CD são congruentes. . .A. tem-se D ABM D CDM (CQD) B C 02) Na figura abaixo.ângulos opostos pelo vértice Pelo caso L.A. Prove que os segmentos AC e AD são congruentes. AB é bissetriz do ângulo CAD e os ângulos ACB e ADB são congruentes. Provar que M também é ponto médio do segmento BD. A M D AM MC (L) . tem-se D ABM D CDM B D Se B e D são ângulos alternos internos.dado do enunciado AMB CMD (A) . tem-se D ABC D D ABD AC AD (CQD) Jeca 32 .AO. 01) Na figura abaixo.L.Geometria plana Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. M é ponto médio dos segmentos AC e BD. C CAB DAB (A) .ângulos opostos pelo vértice Pelo caso A.L. . A M D BM MD (L) . Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista .AO. M é ponto médio do segmento AC e os ângulos A e C são congruentes. .L.ângulos opostos pelo vértice B C Pelo caso L. então AB // CD (CQD) 05) Na figura abaixo. A M D AM MC (L) .dado do enunciado AB AB (L) . tem-se D ABM D CDM BM MD Portanto M é ponto médio de BD (CQD) B C 03) Na figura abaixo. A M D AM MC (L) M é ponto médio BM MD (L) M é ponto médio AMB CMD (A) OPV Pelo caso L.dado do enunciado A C (A) . M é ponto médio do segmento BD e os ângulos A e C são congruentes. Exercícios complementares da aula 03.M é ponto médio de AC BM MD (L) .lado comum A B Pelo caso L.AB é bissetriz ACB ADB (A) . respectivamente. Provar que os triângulos ABC e ADE são congruenC D A B E 09) Na figura abaixo. AC A FD e BD F CE. DAC tes. ABC é um triângulo eqüilátero e os pontos D. BAE. G B D C E 07) Na figura abaixo. Sabendo-se que BD também é um triângulo isósceles.06) Na figura abaixo. ADE ABC e AD AB. provar que ABC B D E C 08) Na figura abaixo. Provar que o triângulo DCG é isósceles. BD e CE são congruentes. A CE. provar que o triângulo DEF é eqüilátero. ADE é um triângulo isósceles de base DE. BC e AC. Sabendo-se que os segmentos AF. A F D B E C Jeca 33 . E e F pertencem aos lados AB. AC A FD e BD F CE. Provar que o triângulo DCG é isósceles. BAE.o triângulo ADE é isósceles Pelo caso L. . . BD = CE do enunciado Portanto BD + DC = CE + DC BC = ED (L) conclusão acima AC = FD (L) do enunciado B = E = 90º (A) da figura Pelo caso especial. tem-se D AFD D CEF D BDE FE ED DF Portanto o triângulo DEF é equilátero (CQD) D B E C Jeca 33 . A AD AE (L) . .Resultado da análise acima ABC ADE (A) . Sabendo-se que os segmentos AF.o triângulo ABC é equilátero Pelo caso L. então AD CF BE = (AC .dado do enunciado AB AD .06) Na figura abaixo.dado do enunciado Pelo caso A.triângulo isósceles BD CE (L) . BD e CE são congruentes.dado do enunciado BDA CEA (A) . Provar que os triângulos ABC e ADE são congruenC D DAC BAE BAC DAE (Têm o mesmo incremento DAB) A B E BAC DAE (A) . A F Se AF CE BD . E e F pertencem aos lados AB. BC e AC. tem-se DABC = DFED Os ângulos ACB e EDF são congruentes Então o triângulo DCG é isósceles (CQD) G B D C E 07) Na figura abaixo. DAC tes.A.AF) AF BD CE (L) .Resultado da análise acima A B C = 60º (A) . ADE ABC e AD AB. provar que o triângulo DEF é eqüilátero. provar que ABC B D E C 08) Na figura abaixo.A. ABC é um triângulo eqüilátero e os pontos D. tem-se D ABD D ACE AB AC Portanto o triângulo ABC é isósceles (CQD) CE.L. Sabendo-se que BD também é um triângulo isósceles. ADE é um triângulo isósceles de base DE.L. tem-se D ABC D ADE (CQD) 09) Na figura abaixo.dado do enunciado AD CF BE (L) .A. respectivamente.L. Prove que os triângulos EJL e EKM são congruentes. o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos é paralelo às bases e vale a semi-soma dessas bases. ABCD e EFGH são quadrados.10) Provar que em todo losango as diagonais são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos desse losango. A D E B C 13) Provar que em todo trapézio. A B E F D C Jeca 34 . A L B F E J G C M H D K 12) Provar que em todo triângulo. o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e vale a metade desse terceiro lado. B k A k D M k C k 11) Na figura. O centro do quadrado ABCD localiza-se no vértice E do outro quadrado. L. tem-se AB AD (L) losango AM AM (L) lado comum BM MD (L) o losango é um paralelogramo 11) Na figura.AO.ângulos alternos internos AFB CFG (A) .E é ponto médio de AC ADE CFE (A) . ABCD e EFGH são quadrados. então AMB = AMD = 90º (CQD) Nos triângulos ABM e ADM. Seja FC // AB A Sejam D. tem-se D ABM D ADM Se os ângulos BAM e DAM são congruentes.L.ângulos opostos pelo vértice E F Pelo caso A. então BCFD é um paralelogramo. O centro do quadrado ABCD localiza-se no vértice E do outro quadrado. pela propriedade da base média do triângulo (exercício anterior) tem-se EF // DC // AB e EF = DC + CG = AB + DC (CQD) 2 2 Jeca 34 . o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e vale a metade desse terceiro lado.L. então AM é bissetriz.10) Provar que em todo losango as diagonais são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos desse losango.A. E e F pontos colineares AE EC (L) . tem-se D ABF D GCF AB G CG e AF FC (F é ponto médio de BC). . Então AD BD CF Se CF BD e CF // BD .dado da figura Pelo caso A.A. Prove que os triângulos EJL e EKM são congruentes. D C Então EF é base média do triângulo ADG. Portanto.ângulos alternos internos AED CEF (A) . tem-se D ADE D CFE CF AD e DE EF B C Mas.propriedade dos triângulos EJ EK (l) .L. AD DB porque D é ponto médio. tem-se D EJL D EKM (CQD) G C M H a E 90 . o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos é paralelo às bases e vale a semi-soma dessas bases. BC DF e DE EF .a a J D K 12) Provar que em todo triângulo. .dado do enunciado EJL EKM = 90º (A) . .L. . entãoDE // BC e DE = BC / 2 (CQD) 13) Provar que em todo trapézio. A L B F LEJ MEK (A) . A B BF FC (L) . Se AMB AMD e BMD = 180º.ângulos opostos pelo vértice D E F Pelo caso A.F é ponto médio de BC ABF GCF (A) . B k A k D M k C k Pelo caso L. Jeca 35 . em cada caso.alternos internos M P Pelo caso A.A. 06) L. temos DOAM = DPBM Portanto AM = MB CQD 02) L. Levando em conta essa possibilidade nas respostas aqui registradas. um exercício pode ser provado por mais de um caso de congruência. 08) L.AO. prova-se que os triângulos BRO e CRO também são congruentes.OPV AOM = BPM (A) . Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 36 . B 04) Caso especial 05) É possível provar por vários casos. Observação . AOP = BOP = a e COR = BOR = b Portanto AOC = 2q 10) L.AO. 01) Caso especial (CE) A 07) Resolução r Seja BP // OA OM = MP (L) .A.L. mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]. Pelo mesmo caso.L.A.L.Dependendo dos dados.br Somente assim. 13) L.. poderei corrigir eventuais erros. O 03) L.L.com. por favor.A.Respostas dos exercícios da Aula 03. Se você. 09) Pelo caso L. foi considerado o caso de congruência mais evidente.A. Obrigado. 07) Demonstração ao lado.A. descobrir alguma resposta errada. 11) A. resolvendo esta lista.por hipótese OMA = PMB (A) . 12) L.L. prova-se que os triângulos APO e BPO são congruentes.A.L.L.A.A. 14) Caso especial (Una o ponto P ao centro) 15) 8 16) 34 cm 17) S = { A x R x>3/4} s 18) 15 cm 19) 3 cm Importante para mim.AO. temos: A E F D D E D E F G C DG = DC + CG = DC + AB C B C B Pelo teorema demonstrado no exercício 12. resolvendo esta lista.br Somente assim. descobrir alguma resposta errada. A A D C AFB CFG (A) (opostos pelo vértice) BF FC (L) (F é ponto médio de BC) BAF CGF (A) (alternos internos) Pelo caso LAAO. poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. temos: e AB CG DABF DCGF > AF FG Considerando apenas o triângulo ADG. Levando em conta essa possibilidade nas respostas aqui registradas.Respostas dos exercícios complementares da Aula 03. 01) LAL 02) ALA 03) LAAO E F G D A B C Demonstração do exercício nº 13. mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol. temos: DADE Mas D é ponto médio de AB Se BD //CF e BD CF BC e DE // BC (CQD) DCFE > CF > CF AD DB AD > BCFD é um paralelogramo > > DF // BC e DF Mas DE EF BC > DE = 2 Importante para mim. em cada caso. por favor. foi considerado o caso de congruência mais evidente. Observação Dependendo dos dados. um exercício pode ser provado por mais de um caso de congruência. Se você. A B E F 04) LAL 05) LAAO 06) Caso especial 07) LAL 08) ALA 09) LAL 10) LLL 11) ALA Demonstração do exercício nº 12.com. temos: EF // AB // CD e EF = AB + CD 2 (CQD) Seja CF // AB (por construção) > DAE FCE (alternos internos) > AE CE (E é ponto médio) AED CEF (opostos pelo vértice) Pelo caso ALA. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 37 . metade desse 3º lado. A B MN // AB // CD e MN = AB + CD 2 C MN // BC e MN = BC 2 B A M base média D N M N base média C Jeca 38 . A altura de um trapézio é a distância entre as retas suporte de suas bases. É o quadrilátero que tem os lados congruentes.SP) Aula 04 Quadriláteros notáveis. 45º Propriedades dos quadriláteros notáveis. A M A x x y y D B B y y C M é ponto médio de AC e M é ponto médio de BD. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista . B b A a b D a C AB // CD e AD // BC V) Quadrado. o segmento que une os pontos médios dos dois lados não paralelos. o segmento que une os pontos Em todo triângulo. é paralelo às médios de dois lados é paralelo ao 3º lado e vale a bases e vale a média aritmética dessas bases. Em todo trapézio. I) Trapézio. a) perpendiculares entre si. 1) Em todo paralelogramo as diagonais cortam-se nos 2) Em todo losango as diagonais são: respectivos pontos médios. A B AB // CD e AD //BC D C III) Retângulo. a + b = 180º b h a Trapézio retângulo a a a Trapézio isósceles b b b base menor base maior Trapézio escaleno II) Paralelogramo. b) bissetrizes dos ângulos internos. A h D b b B h C IV) Losango. x x C D 3) Base média de trapézio. É o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. É o quadrilátero que tem todos os ângulos internos congruentes e iguais a 90º. 4) Base média de triângulo. É o quadrilátero que tem os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes (90º). É o quadrilátero que tem dois lados paralelos.Geometria plana Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. sabendo-se que AC = 6 cm e BD = 10 cm. c) trapézio. respectivamente. a medida da diagonal AC e medida do ângulo BDC. d) retângulo. os pontos médios dos lados AB. B d A B A a c 58º b C x -4 7 1 2 cm 3y D cm C D 05) Na figura. Jeca 39 . b) losango. e) quadrado. então todos os seus ângulos internos têm medidas iguais. b. c e d. CD e DA do quadrilátero tos médios dos lados AB. determinar as medidas dos ângulos a. determinar o valor de x e a medida da diagonal BD. conhecendo-se a valor de x. pode-se usar como exemplo a figura denominada: a) triângulo equilátero. M. M. os pon. CD e DA do quadrilátero ABCD. BC. 08) (UERJ) Se um polígono tem todos os lados com medidas iguais. Provar que LMNP é um paralelogramo. A 7 cm 02) No paralelogramo abaixo. a medida da diagonal BD. Determinar o perímetro do quadrilátero LMNP ABCD. L. respectivamente. N e P são. o valor de y. L. A L B M C N P D B M C N L A P D 07) (Unifesp) Determine a medida do menor ângulo interno de um paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos consecutivos desse paralelogramo estão na razão 1 : 3. determinar o valor de x e a medida da diagonal BD. BC.01) No paralelogramo abaixo.06) Na figura. N e P são. A k 2x + 1 B B 2x 7 cm 12 cm D C x D + 5 k C 03) No paralelogramo ABCD abaixo. Para mostrar que essa proposição é falsa. determinar o 04) No losango ABCD abaixo. CD e DA do quadrilátero tos médios dos lados AB. b. os pontos médios dos lados AB.06) Na figura. b) losango. d) retângulo. os pon. o valor de y. c) trapézio. N e P são. Portanto LM //PN e LM = PN = AC/2 Portanto LMNP é um paralelogramo (CQD) 07) (Unifesp) Determine a medida do menor ângulo interno de um paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos consecutivos desse paralelogramo estão na razão 1 : 3. Provar que LMNP é um paralelogramo. MN é a base média do triângulo BCD. Determinar o perímetro do quadrilátero LMNP ABCD. Para mostrar que essa proposição é falsa. A sabendo-se que AC = 6 cm e BD = 10 cm. Portanto LP // MN e LP = MN = BD/2 LM é a base média do triângulo ABC. b) Losango O losango tem todos os lados com medidas iguais mas os seus ângulos internos não necessariamente têm medidas iguais. 7 AC = 14 cm BD = 2 . c e d. A L B M C N P D B M C N L P D LP é a base média do triângulo ABD MN é a base média do triângulo BCD Portanto LP = MN = BD/2 = 10/2 = 5 cm LM é a base média do triângulo ABC PN é a base média do triângulo ACD Portanto LM = PN = AC/2 = 6/2 = 3 cm Per = 2 . o losango contraria a afirmação acima. determinar o valor de x e a medida da diagonal BD. CD e DA do quadrilátero ABCD. a medida da diagonal BD. BC. Portanto. 5 Per = 16 cm (resp) LP é a base média do triângulo ABD. 3 + 2 .ângulos colaterais internos 4x = 180 x = 180/4 x = 45º (resp) 08) (UERJ) Se um polígono tem todos os lados com medidas iguais. M. A x + 5 = 2x + 1 x = 4 (resp) k 2x + 1 B B 2x 7 cm 12 cm D C "Em todo paralelogramo as diagonais cortam-se nos respectivos pontos médios. determinar o valor de x e a medida da diagonal BD. (resp) Jeca 39 . N e P são. 3x x x + 3x = 180º . então todos os seus ângulos internos têm medidas iguais. M. 12 BD = 24 cm A a c 58º a + 58 + 90 = 180 a = 32º b = 2a = 64º c = 90º d = 2 . determinar as medidas dos ângulos a. 58 = 116º D d b C x -4 7 1 2 cm 3y D cm C 05) Na figura. BC. respectivamente." 2x = 12 Portanto x = 6 cm e BD = 24 cm (resp) x D + 5 k C 03) No paralelogramo ABCD abaixo. PN é a base média do triângulo ACD. pode-se usar como exemplo a figura denominada: a) triângulo equilátero. determinar o 04) No losango ABCD abaixo. A 7 cm 02) No paralelogramo abaixo. conhecendo-se a valor de x. L.01) No paralelogramo abaixo. a medida da diagonal AC e medida do ângulo BDC. e) quadrado. B x-4=7 x = 11 cm A B 3y = 12 y = 4 cm AC = 2 . respectivamente. L. respectivamente. determinar o perímetro do quadrilátero BDEF. A 10) No triângulo ABC abaixo. EF = 8 cm e GH = 11 cm. DF e EF. AC = 14 cm e BC = 18 cm. determinar os perímetros dos trapéB A zios ABFE e CDEF. A 12) No trapézio ABCD abaixo. E e F os pontos médios dos lados AB.09) No triângulo ABC abaixo. AB = 16 cm. AB = x. a base maior CD mede 20 cm e os pontos E e F são os pontos médios dos lados AD e BC. respectivamente. Determine a BC = 10 cm. Determine a medida da base média EF. BC. GH e FG. Determinar as medidas dos segmentos EH. respectivamente. A B E D E D B F C F C 13) No trapézio retângulo ABCD abaixo. CD = 26 cm Sendo AE = EG = GD e BF = FH = HC. A B E F D C F E D C 15) No trapézio ABCD abaixo. BC e AC. Sendo D e E pontos médios dos lados AB e AC. 16) No trapézio ABCD abaixo. AC = y e BC = z. determinar as medidas dos segmentos DE. Sendo D. Sendo 17 cm e a base maior CD mede 22 cm. Sendo D. determine as e os pontos E e H são pontos médios dos lados AD e medidas da base menor AB e da base maior CD. AB = 8 cm. AC = 12 cm e BC = 10 cm. AC e BC. EF. AB = 12 cm. respectivamente. E e F os pontos médios dos lados AB. a base menor 14) No trapézio ABCD abaixo. B A A E F E H B G H F G D C D C Jeca 40 . respectivamente. a base média EF mede AB mede 12 cm e a base maior CD mede 18 cm. E e F os pontos médios dos lados AD e BC. A D E D F B B C E C 11) No triângulo ABC abaixo. respectivamente. medida da base menor AB. determine a medida do perímetro do trapézio BCED. a base menor AB mede 8 cm. determinar o perímetro do quadrilátero BDEF. A 8 B EF // AB // CD E F EF = AB + CD = 8 + 20 2 2 EF = 14 cm (resp) C D 20 cm B 13) No trapézio retângulo ABCD abaixo.EF . AB = x. a base média EF mede AB mede 12 cm e a base maior CD mede 18 cm. A 4 E 4 12 D 18 cm 6 12 B 5 EF = (12 + 18)/2 = 15 cm F 5 PerABFE = 12 + 5 + 15 + 4 PerABFE = 36 cm PerEFCD = 15 + 5 + 18 + 4 C PerEFCD = 42 cm Pitágoras 2 2 10 = 6 + (AD) AD = 8 cm 2 17 = x + 22 2 E x + 22 = 34 x = 12 cm AB = 12 cm (resp) 17 cm F D 22 cm C 15) No trapézio ABCD abaixo. EF = GH = AB/2 = 12/2 EF = GH = 6 cm FG = EH . determine as e os pontos E e H são pontos médios dos lados AD e medidas da base menor AB e da base maior CD. A BD = AB / 2 = 8 / 2 = 4 cm EC = AC / 2 = 12 / 2 = 6 cm DE = BC / 2 = 10 / 2 = 5 cm D E 10) No triângulo ABC abaixo.6 . AC = 14 cm e BC = 18 cm. AC = 12 cm e BC = 10 cm. medida da base menor AB. EF. AC = y e BC = z. AB = 8 cm. DE = AC/2 = 14/2 = 7 cm DF = BC/2 = 18/2 = 9 cm EF = AB/2 = 16/2 = 8 cm (resp) B D F B C 2p = 4 + 5 + 6 + 10 = 25 cm (resp) E C 11) No triângulo ABC abaixo. a base menor AB mede 8 cm. AC e BC. A y/2 x/2 D x/2 E z/2 y/2 x/2 z/2 F z/2 C Per = 2p = 2 . determine a medida do perímetro do trapézio BCED. (z/2) 2p = x + z (resp) 12) No trapézio ABCD abaixo. (x/2) + 2 .6 FG = 7 cm Jeca 40 . E e F os pontos médios dos lados AD e BC. respectivamente. AB = 12 cm. respectivamente. Sendo D. respectivamente. Sendo D e E pontos médios dos lados AB e AC. BC. respectivamente. B A x 8 = x + 11 2 x = 5 cm AB = 5 cm (resp) H 11 = y D C y = 14 CD = 14 cm (resp) D 26 cm C y+8 2 22 = y + 8 E F G H A 12 cm B E 8 cm F 16 = x + 11 EH é base média do trapézio EH = (AB + CD)/2 EH = (12 + 26)/2 = 19 cm G 11 cm EF e GH são bases médias dos triângulos ABD e ABC. Sendo 17 cm e a base maior CD mede 22 cm. respectivamente. respectivamente. determinar as medidas dos segmentos DE.09) No triângulo ABC abaixo. DF e EF. Determine a BC = 10 cm. a base maior CD mede 20 cm e os pontos E e F são os pontos médios dos lados AD e BC. EF = 8 cm e GH = 11 cm.GH FG = 19 . Determine a medida da base média EF. AB = 16 cm. E e F os pontos médios dos lados AB. Sendo D. 16) No trapézio ABCD abaixo. E e F os pontos médios dos lados AB. A Base média de triângulo. GH e FG. determinar os perímetros dos trapéB x A zios ABFE e CDEF. a base menor 14) No trapézio ABCD abaixo. Determinar as medidas dos segmentos EH. BC e AC. CD = 26 cm Sendo AE = EG = GD e BF = FH = HC. A 22) Demonstre que o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos internos consecutivos de um paralelogramo é um ângulo reto.17) Na figura. M 18) Determine as medidas dos ângulos internos de um paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos opostos medem 3x . AC = z e GD = k. Determine o perímetro do quadrilátero CDEF sabendo-se que ML = 14 cm e NP = 8 cm. MNLP é um quadrilátero. D. a medida da altura é igual à da base média. A B D C Jeca 41 . determinar : a) o que é o ponto F para o triângulo ABC. AC = x. Determine o ângulo que a diagonal do trapézio forma com uma das bases do trapézio.18º e 2x + 27º. A D E D F B B C C E F 21) No triângulo ABC abaixo. E e G são os pontos médios dos respectivos lados. NL. Sendo AB = x. determinar o perímetro do triângulo GEC e dizer o que o ponto D é do triângulo ABC. BC = z. sendo F o baricentro. E D G C F B 23) (Fuvest) Em um trapézio isósceles. AB = y. A 20) No triângulo ABC abaixo. CF = t e DF = w. LP e PM. E e F são os pontos médios dos lados MN. determinar o perímetro do quadrilátero AEFD. Sendo o perímetro do triângulo DEF igual a 23 cm. b) a medida do perímetro do triângulo BCF. C. F C P E N D L 19) No triângulo ABC abaixo. D e E são os pontos médios dos respectivos lados. BC = y. a = 3x . então E e D são pontos médios e. A Se E e G são pontos médios. Além disso.18 a b a b a = 2x + 27 3x . A h x B y-x + x = 2 y+x d= =h 2 MN é base média d= MN = (y + x)/2 = h C y y . EG é a base média do triângulo ABC. b) x + y + z = 23 D y F 2z B 2y C PerBCF = 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z) = 2 . CF = t e DF = w. AB = y. E e G são os pontos médios dos respectivos lados. Determine o perímetro do quadrilátero CDEF sabendo-se que ML = 14 cm e NP = 8 cm. a medida da altura é igual à da base média. EF = FC/2 = t/2 y/2 B t/2 D w F 2w x/2 t z C PerAEFD = x/2 + y/2 + t/2 + w = (x + y + t + 2w)/2 (resp) 21) No triângulo ABC abaixo. determinar o perímetro do triângulo GEC e dizer o que o ponto D é do triângulo ABC. a b b 2a + 2b = 180º . 23 = 46 cm (resp) x z E DE é base média. Sendo o perímetro do triângulo DEF igual a 23 cm.ângulos colaterais internos a + b = 90º a + b + 90 = 180 Portanto a + b = 90º (CQD) a z/2 x/2 23) (Fuvest) Em um trapézio isósceles.x + 2x 2 h a h y-x 2 D d x y-x 2 tg a = h/h = 1 a = 45º (resp) M N h Jeca 41 . Portanto BC = 2. CF = DE = NP/2 = 8/2 = 4 cm CD = EF = ML/2 = 14/2 = 7 cm 2p = 4 + 7 + 4 + 7 = 22 cm (resp) 18) Determine as medidas dos ângulos internos de um paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos opostos medem 3x .ângulos colaterais internos 117 + b = 180 b = 63º L N D 19) No triângulo ABC abaixo. LP e PM. BC = y. Portanto F é baricentro. sendo F o baricentro. C. EG = BC/2 = y/2 E k z/2 D 2k C y/2 F y/2 B x/2 G PerGEC = y/2 + z/2 + 3k PerGEC = (y + z + 6k)/2 (resp) D é o baricentro do triângulo ABC.18 = 2x + 27 x = 45º Portanto a = 117º F C P E a + b = 180º . AC = x.18º e 2x + 27º. M Base média de triângulo.17) Na figura. Sendo AB = x. BC = z. D.DE = 2x 20) No triângulo ABC abaixo. MNLP é um quadrilátero. Determine o ângulo que a diagonal do trapézio forma com uma das bases do trapézio. b) a medida do perímetro do triângulo BCF. A x/2 y/2 E Se F é baricentro. D e E são os pontos médios dos respectivos lados. determinar o perímetro do quadrilátero AEFD. determinar : a) o que é o ponto F para o triângulo ABC. E e F são os pontos médios dos lados MN. BD e CD são medianas. AC = z e GD = k. NL. A a) BE e CD são medianas. 22) Demonstre que o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos internos consecutivos de um paralelogramo é um ângulo reto. então EB e CG são medianas. A 60º 60º B E D M C 03) No retângulo ABCD abaixo. c) só uma é falsa. AE = 5 cm e M é o ponto médio do lado CD. 01) Dado o losango ABCD abaixo e o ângulo de 138º. e) todas são falsas. IV. Determine as medidas dos ângulos x e y. F o ponto de intersecção entre a diagonal e o lado do triângulo e CD = 9 cm. tem-se representado o losango ABCD. onde o ponto E pertence ao lado AB do retângulo. determine as medidas dos ângulos assinalados. Exercícios complementares da aula 04.Geometria plana Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. cuja diagonal menor mede 4 cm. B 138º t A z y D x C 02) (J) No paralelogramo ABCD abaixo. determine a medida do segmento FC. II. ABCD é um retângulo e DCE é um triângulo equilátero. F D C Jeca 42 . Todo retângulo é um paralelogramo. Todo triângulo equilátero é isósceles. B 2q A q D C 32º D C 05) Na figura abaixo. AC e BD são as diagonais. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista . Sendo DB a diagonal do retângulo. Todo quadrado é um retângulo. d) duas são verdadeiras e duas são falsas. Determine o perímetro de ABCD. A y x B 04) (PUCCamp-SP) Na figura a seguir. Determine a medida da diagonal maior e do lado desse losango. A E B 06) (VUNESP-SP) Considere as seguintes proposições. Pode-se afirmar que: a) só uma é verdadeira. Todo quadrado é um losango. b) todas são verdadeiras. I.SP) Quadriláteros notáveis. III. tem-se representado o losango ABCD. Sendo DB a diagonal do retângulo. onde o ponto E pertence ao lado AB do retângulo.d = 4 3 cm 05) Na figura abaixo. Determine a medida da diagonal maior e do lado desse losango. Todo triângulo equilátero é isósceles. então ADM = 60º . 01) Dado o losango ABCD abaixo e o ângulo de 138º. I. c) só uma é falsa. B q A 32º 2q q q x 30º 4 cm C 32º D x é ângulo externo x = 32 + 32 = 64º y + x = 180 y = 116º (resp) C 3q = 180 D q = 60º O triângulo ABD é equilátero BD = 4 cm AB = BC = CD = AD = 4m cos 30º = x 4 x = 4 3 /2 = 2 3 cm AC = 2. AC e BD são as diagonais. b) todas são verdadeiras. b) Jeca 42 . F é baricentro CD = CE = 2x + x = 3x = 9 x=3 FC = 2x = 2 . Todo quadrado é um retângulo. tem-se BM é mediana.Geometria plana Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista . (verdadeira) IV. Exercícios complementares da aula 04. CE é mediana. cuja diagonal menor mede 4 cm. d) duas são verdadeiras e duas são falsas. Todo retângulo é um paralelogramo. b) bissetrizes dos ângulos internos. 3 = 6 cm (resp) M x F 2x 06) (VUNESP-SP) Considere as seguintes proposições.ângulos colaterais internos ADM é um triângulo equilátero de lado 15/2 cm Portanto AD = 15/2 e AB = 15 PerABCD = 15/2 + 15 + 15/2 + 15 = 45 cm (resp) 03) No retângulo ABCD abaixo. (verdadeira) Pode-se afirmar que: a) só uma é verdadeira. Determine o perímetro de ABCD." y = 138/2 = 69º t = 90º x + t + y = 180º x + 90 + 69 = 180 x = 21º z = 2x = 42º x C 02) (J) No paralelogramo ABCD abaixo. A E B No triângulo ABC. (verdadeira) III. F o ponto de intersecção entre a diagonal e o lado do triângulo e CD = 9 cm. e) todas são falsas. B 138º t A z y D "Em todo losango. ABCD é um retângulo e DCE é um triângulo equilátero. (verdadeira) II. D 9 cm C Todas são verdadeiras (resp. A y x B 04) (PUCCamp-SP) Na figura a seguir. determine a medida do segmento FC. F é ponto médio de AC No triangulo ACD AM é mediana DF é mediana E é baricentro A 60º 60º F E B EM = AE/2 D C M EM = 5/2 Portanto AM = 5 + 5/2 = 15/2 cm Se DAB = 120º. determine as medidas dos ângulos assinalados. as diagonais são: a) perpendiculares entre si.SP) Quadriláteros notáveis. Todo quadrado é um losango. AE = 5 cm e M é o ponto médio do lado CD. Determine as medidas dos ângulos x e y. este fica decomposto em quatro triângulos congruentes. c) As bissetrizes de dois ângulos opostos de um paralelogramo são paralelas entre si.07) (PUC-SP) Sendo: A = {x / x é quadrilátero} B = {x / x é quadrado} C = {x / x é retângulo} D = {x / x é losango} E = {x / x é trapézio} F = {x / x é paralelogramo} Então vale a relação: a) b) c) d) e) A A F A B D F D F D E D A B A B C E 08) (UFOP-MG) Assinale a alternativa incorreta: a) Em todo paralelogramo não retângulo. d) Ligando-se os pontos médios dos lados de um triângulo. Se D é o ponto médio de CI. Jeca 43 . Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares. Apenas II é verdadeira. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares. Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto médio. Apenas I e II são verdadeiras. a) b) c) d) e) Todas são verdadeiras. e) Todas as afirmativas anteriores são incorretas. a diagonal oposta aos ângulos agudos é menor do que a outra. Se cada ângulo obtuso do losango mede 130º. Apenas II e III são verdadeiras. então esse paralelogramo é um losango. II. G F D H I A 11) (FGV-SP) A diagonal menor de um losango decompõe esse losango em dois triângulos congruentes. b) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo. quais são as medidas dos três ângulos de cada um dos dois triângulos considerados ? 12) (ITA-SP) Dadas as afirmações: I. Apenas III é verdadeira. o retângulo DGHI. o perímetro da figura fechada ABCDEFGHIA é igual a: a) 48 m b) 49 m c) 50 m d) 51 m e) 52 m E C B 10) Determine as medidas dos ângulos internos de um paralelogramo sabendo que a diferença entre as medidas de dois ângulos internos consecutivos é 52º. o triângulo equilátero DEF e o quadrado ABCI. 09)(UECE) Na figura. perímetro igual a 24 cm. têm todos. III. 180 . têm todos. c) As bissetrizes de dois ângulos opostos de um paralelogramo são paralelas entre si.x = 116º (resp) x 180 . a diagonal oposta aos ângulos agudos é menor do que a outra. Resposta c Jeca 43 . (Falsa) II.52 = 128 x = 64º x = 64º 180 . (Verdadeira) III. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares. então esse paralelogramo é um losango. o perímetro da figura fechada ABCDEFGHIA é igual a: a) 48 m b) 49 m c) 50 m d) 51 m e) 52 m E C 6 8 G 1 F 3 9 H I 8 8 3 D 3 6 A 6 B 10) Determine as medidas dos ângulos internos de um paralelogramo sabendo que a diferença entre as medidas de dois ângulos internos consecutivos é 52º. Apenas III é verdadeira.07) (PUC-SP) Sendo: A = {x / x é quadrilátero} B = {x / x é quadrado} C = {x / x é retângulo} D = {x / x é losango} E = {x / x é trapézio} F = {x / x é paralelogramo} Então vale a relação: a) b) c) d) e) A A F A B D F D F D E D A B A A E F C B B C E D 08) (UFOP-MG) Assinale a alternativa incorreta: a) Em todo paralelogramo não retângulo. b) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo. 65º e 50º (resp) x 65º D 65º C 12) (ITA-SP) Dadas as afirmações: I. (Verdadeira) a) b) c) d) e) Todas são verdadeiras. e) Todas as afirmativas anteriores são incorretas. o triângulo equilátero DEF e o quadrado ABCI. o retângulo DGHI.x . este fica decomposto em quatro triângulos congruentes. a) V b) V c) V d) V e) Falsa Resp b) 09)(UECE) Na figura.x = 52 2x = 180 . quais são as medidas dos três ângulos de cada um dos dois triângulos considerados ? B 130º A x + 65 + 65 = 180 x = 50º As medidas dos três ângulos são: 65º . Se cada ângulo obtuso do losango mede 130º. perímetro igual a 24 cm. d) Ligando-se os pontos médios dos lados de um triângulo. Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto médio. Se D é o ponto médio de CI.x AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IA = 6 + 6 + 3 + 8 + 8 + 1 + 3 + 9 + 6 = 50 cm (resp c) 11) (FGV-SP) A diagonal menor de um losango decompõe esse losango em dois triângulos congruentes. Apenas II e III são verdadeiras. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares. Apenas II é verdadeira. Apenas I e II são verdadeiras. a) Indicando por a. E é ponto médio de AC e I é ponto médio de CE. calcule a + b + g + q. A B C D E F G H I J 18) Na figura abaixo. Sendo AC = 24 cm. o ponto D é ponto médio do lado AB e o segmento DE é paralelo ao cateto BC. c) a base maior tem medida igual à dos lados oblíquos. então o perímetro do quadrilátero RSTU vale: a) 22 cm b) 5. Se AB = BC = CD = DE e FG = GH = HI = IJ. c) Calcule a medida do ângulo MJN. respectivamente. determine a medida do segmento EF. uma diagonal é também bissetriz de um ângulo adjacente à base maior. temos AD = BC = 2 e os prolongamentos desses lados formam um ângulo de 60º. Determine as medidas dos segmentos FG e GH. g e q. respectivamente.5 cm d) 11 cm e) 12 cm G H B C 17) No trapézio AEJF abaixo. b. formando ângulo reto. T e U são os pontos médios dos lados do quadrilátero dado. B. b) os ângulos adjacentes à base menor não são congruentes. M o ponto médio de AC e N o ponto médio de BD. b) Sejam J o ponto médio de DC. e) as diagonais se interceptam. 14) (FUVEST-SP) No quadrilátero ABCD. S. BC = 24 cm. A D F E I 16) (ITA-SP) Considere um quadrilátero ABCD cujas diagonais AC e BD medem. determine AF e EJ em função de x e de y. as medidas dos ângulos internos dos vértices A. BG = x e DI = y.5 cm c) 8. Calcule JM e JN. Isso significa que: a) a base menor tem medida igual à dos lados oblíquos. C e D. 5 cm e 6 cm. o triângulo ABC é retângulo em B. F é ponto médio de BD. d) as duas diagonais se interceptam no seu ponto médio. Se R.13) (UFV-MG) Num trapézio isósceles de bases diferentes. D é ponto médio de AB. A D F E B C Jeca 44 . D C A B 15) Na figura. C e D. BE é uma mediana. A D F w E I 16) (ITA-SP) Considere um quadrilátero ABCD cujas diagonais AC e BD medem. B. BC = 24 cm.x + y 2 = 4x .y 2 w = x+y 2 18) Na figura abaixo. o ponto D é ponto médio do lado AB e o segmento DE é paralelo ao cateto BC. determine AF e EJ em função de x e de y. 60º a) a + b + g + q = 360º b) JM é base média do triângulo ACD. Portanto JN = 2/2 = 1 2 c) JM // AD JN // BC Então MJN = 60º (resp) B D J C 2 M A N 15) Na figura. respectivamente. 5 cm e 6 cm. E é ponto médio de AC e I é ponto médio de CE. b.x . calcule a + b + g + q. a) Indicando por a.y 2 3y -x 2 k = 2x . A B C D E y= w+n 2 n = EJ = x= w+k 2 n = AF = 3x . b) Sejam J o ponto médio de DC. Determine as medidas dos segmentos FG e GH.5 cm D B d) 11 cm e) 12 cm T S C x G y H B 24 cm DE é base média do triângulo ABC FG é base média do triângulo BDE FH é base média do triângulo BCD x + y = 12 6 + y = 12 y = GH = 6 cm (resp) C DE = w = 24/2 = 12 cm FG = x = 12/2 = 6 cm FH = x + y = 12 cm RU é a base média do triângulo ABD ST é a base média do triângulo BCD Portanto RU = ST = BD/2 = 6/2 = 3 cm RS é a base média do triângulo ABC TU é a base média do triângulo ACD Portanto RS = TU = AC/2 = 5/2 cm Per = 2 . e) as diagonais se interceptam. S. EF = 12 EF = 4 cm (resp) Jeca 44 . d) as duas diagonais se interceptam no seu ponto médio.w = 2y . as medidas dos ângulos internos dos vértices A. A AE = EC = EB = R = 12 R E F R B C R Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em uma semicircunferência.13) (UFV-MG) Num trapézio isósceles de bases diferentes.w = 2x .y 2 k x w y F Base média de trapézio. Sendo AC = 24 cm. F é ponto médio de BD.5 cm U R c) 8. CD é uma mediana. temos AD = BC = 2 e os prolongamentos desses lados formam um ângulo de 60º. Portanto F é o baricentro do triângulo ABC. determine a medida do segmento EF. respectivamente. a resp a) a a 14) (FUVEST-SP) No quadrilátero ABCD. Isso significa que: a) a base menor tem medida igual à dos lados oblíquos. BF = 2. T e U são os pontos médios dos lados do quadrilátero dado. D é ponto médio de AB. formando ângulo reto. g e q.x . Calcule JM e JN. 5/2 Per = 11 cm (resp) 17) No trapézio AEJF abaixo. c) a base maior tem medida igual à dos lados oblíquos.x + y 2 BE = 12 cm Mas. Se R. Portanto JM = AD/2 = 2/2 = 1 JN é base média do triângulo BCD. BG = x e DI = y. b) os ângulos adjacentes à base menor não são congruentes. uma diagonal é também bissetriz de um ângulo adjacente à base maior.EF 3 . G H I n J = 4y . 3 + 2 . D n = 2y . então o perímetro do quadrilátero RSTU vale: A a) 22 cm b) 5. o triângulo ABC é retângulo em B. Se AB = BC = CD = DE e FG = GH = HI = IJ. c) Calcule a medida do ângulo MJN. M o ponto médio de AC e N o ponto médio de BD. Jeca 45 . 90º e 116º 05) 16 cm 06) Propriedade da base média do triângulo.Respostas dos exercícios da Aula 04. 4 cm. Se você. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 46 . 6 cm. por favor. 6 cm e 7 cm 17) 22 cm 18) 117º e 63º 19) Baricentro e 46 cm 20) (x + y + 2w + t) / 2 21) (y + z + 6k) / 2 e baricentro 22) 2a + 2b = 180 (alternos internos) Portanto a + b = 90º 23) 45º Importante para mim. e 8 cm 11) x + z 12) 14 cm 13) 36 cm e 42 cm 14) 12 cm 15) 5 cm e 14 cm 16) 19 cm. mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol. poderei corrigir eventuais erros. descobrir alguma resposta errada. BD // LP // MN e AC // LM // PN Portanto LMNP é um paralelogramo. 01) 6 cm e 24 cm 02) 4 03) 11 cm. 9 cm. 14 cm e 24 cm 04) 32º.br Somente assim. Obrigado.com. 64º. 07) 45º 08) b 09) 25 cm 10) 7 cm. resolvendo esta lista. Respostas dos exercícios complementares da Aula 04. z = 42º.br Somente assim. t = 90º 04) AC = 4 3 cm. y = 116º y = 69º. mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] 2 Importante para mim.com. poderei corrigir eventuais erros. por favor. AB = 4 cm 05) 6 cm 06) b 07) b 08) e 09) c 10) 64º e 116º 11) 50º. 01) x = 21º. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 47 . 65º e 65º 12) c 13) a 14) a) 360º b) 1 e 1 c) 60º 15) FG = 6 cm e GH = 6 cm 16) d 17) AF = 3x . 02) 45 cm 03) x = 64º. descobrir alguma resposta errada. Obrigado. resolvendo esta lista. Se você.y 2 18) 4cm EJ = 3y . ângulo interno e .. C a ângulo central (importante) Observação . + en Se = 360º Para qualquer polígono convexo Diagonal é o segmento que une dois vértices não consecutivos.nº de lados do polígono V) Polígono regular. S i = ni S e = e n e i i e > > i= 180 (n . III) Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo.. Jeca 48 .triângulo equilátero 4 lados .Geometria plana Estudos sobre Geometria realizados pelo prof.Todo polígono regular pode ser inscrito e circunscrito numa circunferência. Classificação dos polígonos (quanto ao nº de lados).. d vértice i e d . Classificação dos polígonos regulares 3 lados . (Si) i4 i3 i2 i1 in e2 e1 e3 (Se) e4 (d) en Si = i1 + i2 + i3 + . b) todos os ângulos internos congruentes entre si.pentágono regular 6 lados .nº de lados do polígono Se = e1 + e2 + e3 + . I) Polígonos convexos.diagonal i . 11 lados 12 lados 13 lados 14 lados 15 lados 16 lados 17 lados 18 lados 19 lados 20 lados - undecágono dodecágono tridecágono quadridecágono pentadecágono hexadecágono heptadecágono octodecágono eneadecágono icoságono IV) Número de diagonais de um polígono convexo. + in Si = 180 (n . c) todos os ângulos externos congruentes entre si.3) 2 n . Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista . e e i i i e Um polígono é regular se tem: a) todos os lados congruentes entre si.quadrado 5 lados . d = n (n .hexágono regular etc Medida de cada ângulo interno de um polígono regular.SP) Aula 05 Polígonos convexos..2) n .ângulo externo lado 3 lados 4 lados 5 lados 6 lados 7 lados 8 lados 9 lados 10 lados - triângulo quadrilátero pentágono hexágono heptágono octógono eneágono decágono i + e = 180º II) Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo.2) n e = 360 n Medida de cada ângulo externo de um polígono regular. 01) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter- 02) Determinar a soma das medidas dos ângulos externos e o número de diagonais de um pentadecágono nos e o número de diagonais de um octodecágono convexo. convexo. 03) Determinar a medida de cada ângulo interno e de 04) Determinar a medida de cada ângulo interno e o nº cada ângulo externo de um eneágono regular. de diagonais de um octógono regular. 05) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 65 diagonais. 06) Determinar o nº de diagonais de um polígono regular cuja medida de cada ângulo externo é 30º. 07) Determinar o nº de diagonais de um polígono regu- 08) Determinar a medida do ângulo externo de um lar sabendo-se que a medida de um ângulo interno polígono regular que tem 14 diagonais. excede a medida do ângulo externo em 132º. Jeca 49 01) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter- 02) Determinar a soma das medidas dos ângulos externos e o número de diagonais de um pentadecágono nos e o número de diagonais de um octodecágono convexo. convexo. Pentadecágono (n = 15 lados) Si = 180(n - 2) = 180(15 - 2) = 2 340º (resp) d = n(n - 3) / 2 = 15(15 - 3) / 2 = 90 diagonais (resp) octodecágono - 18 lados Se = 360º (resp) d = n(n - 3)/2 d = 18(18 - 3)/2 = 135 diagonais. (resp) 03) Determinar a medida de cada ângulo interno e de 04) Determinar a medida de cada ângulo interno e o nº cada ângulo externo de um eneágono regular. de diagonais de um octógono regular. eneágono - 9 lados e = 360/n = 360/9 = 40º (resp) i + e = 180º i + 40 = 180 i = 140º (resp) octógono - 8 lados e = 360/n = 360/8 = 45º i + e = 180º i + 45 = 180 i = 135º (resp) d = n(n - 3)/2 = 8(8 - 3)/2 d = 20 diagonais (resp) 05) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 65 diagonais. d = n(n - 3)/2 65 = n(n - 3)/2 130 = n - 3n n - 3n - 130 = 0 Raízes n = 13 n = -10 (não convém) Para n = 13 (tridecágono) Si = 180(n - 2) = 180(13 - 2) Si = 1 980º (resp) 2 2 06) Determinar o nº de diagonais de um polígono regular cuja medida de cada ângulo externo é 30º. e = 360/n 30 = 360/n n = 12 lados (dodecágono) d = n(n - 3)/2 d = 12(12 - 3)/2 d = 54 diagonais (resp) 07) Determinar o nº de diagonais de um polígono regu- 08) Determinar a medida do ângulo externo de um lar sabendo-se que a medida de um ângulo interno polígono regular que tem 14 diagonais. excede a medida do ângulo externo em 132º. i - e = 132º i + e = 180º 2i = 312 i = 156º e = 360/n 24 = 360/n d = n(n - 3)/2 d = 15(15 - 3)/2 = 90 diagonais n = 15 lados (pentadecágono) e = 180 - 156 = 24º d = n(n - 3)/2 14 = n(n - 3)/2 28 = n2 - 3n n2 - 3n - 28 = 0 Raízes n = 7 (heptágono) n = -4 (não convém) Para n = 7 lados e = 360/n = 360º/7 (resp) Jeca 49 09) Dados dois polígonos convexos, A e B, sabe-se que B tem 4 lados e 30 diagonais a mais do que A. Determine quais são os polígonos A e B. 10) Dados dois polígonos regulares, A e B, sabe-se que B tem 6 lados a mais do que A e a diferença das medidas de seus ângulos externos é 16º. Determine quais são esses polígonos. 11) Determine a medida do ângulo agudo formado entre a diagonal AF e o lado AB de um dodecágono regular ABC.... KL. 12) Determine a medida do ângulo agudo formado pelos prolongamentos das diagonais AC e DG de um dodecágono regular ABC...KL. Jeca 50 q b C 30º e= x D 150º a 150º e = 30º y 150º E e B x A e .nA = 56 nA = 7 lados (heptágono) nB = 7 + 4 = 11 lados (undecágono) nB = nA + 6 eA .ângulo interno A e .ângulo externo i .e = 180 .. 150 + 2x 720 = 600 + 2x x = 60º (resp) Jeca 50 .KL.e = 180 .09) Dados dois polígonos convexos.3)/2 .ângulo interno e = 360/n = 360/12 = 30º i = 180 .30 = 150º ABCDEF é um hexágono irregular Si = 180(n .eB = 360 .(9 + 6 = 15) . Si = 4 .. sabe-se que B tem 4 lados e 30 diagonais a mais do que A. 4 = 720º Mas.pentadecágono (resp) 2 2 11) Determine a medida do ângulo agudo formado entre a diagonal AF e o lado AB de um dodecágono regular ABC. Determine quais são os polígonos A e B.3) = 60 8.nA = 16 nA(nA + 6) 360(nA + 6) .360 16 nA nA + 6 = (resp) 360(nA + 6) .nA(nA .3) . KL.3)/2 = 30 (nA + 4)(nA + 4 . A e B.nA(nA .30 = 150º ABC é um triângulo x + x + 150 = 180 DEFG é um quadrilátero y + y + 150 + 150 = 360 a = x + 30 = 45º b = y + 30 = 60º a + b + q = 180 q = 75º (resp) x = 15º y = 30º F x y G e = 360/n = 360/12 = 30º Portanto i = 180 . sabe-se que B tem 6 lados a mais do que A e a diferença das medidas de seus ângulos externos é 16º.. A nA dA B nB dB 10) Dados dois polígonos regulares.nA = 16nA(nA + 6) 360nA + 2 160 ..2) = 180 . Determine quais são esses polígonos.eneágono polígono B .ângulo externo i . D C 150º e B i = 150º x F 150º 150º E 12) Determine a medida do ângulo agudo formado pelos prolongamentos das diagonais AC e DG de um dodecágono regular ABC.360. (eA .eB = 16 Importante .dA = 30 nB(nB . A e B.135 = 0 Raízes nA = 9 lados (eneágono) nA = -15 lados (não convém) Polígono A .360.. A nA eA B nB eB nB = nA + 4 dB = dA + 30 dB .360nA = 16nA + 96nA nA + 6nA .eB > 0) eA .O polígono que tem menos lados tem o maior ângulo externo.2) = 180(6 . A medida. Nestas condições. lado a lado. 180º b) n c) (n . n > 4. A soma dos ângulos internos A e D desse quadrilátero corresponde a: a) a/4 b) a/2 c) a D 16) (MACK-SP) Os lados de um polígono regular de n lados.13) (UNIFESP-SP) Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados. o ângulo q mede: a) 108º b) 72º c) 54º d) 36º e) 18º 14) (FUVEST-SP) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130º cada um e os demais ângulos internos medem 128º cada um.2) . formando uma estrela de cinco pontas. que formam entre si o ângulo a. 180º n d) 180º _ 90º n e) 180º n d) 2a N e) 3a C a M A B Jeca 51 . são traçadas as bissetrizes CM e BN. conforme destacado na figura. O nº de lados desse polígono é: a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17 q 15) (CESGRANRIO-RJ) No quadrilátero ABCD da figura abaixo.4) . de cada vértice da estrela é: a) 360º n (n . são prolongados para formar uma estrela. em graus. 720/n = (180n .a A + B + C + D = 360º A + D = 360 . 180º n d) 180º _ 90º n e) 180º n d) 2a N e) 3a x x C a M A x + y = 180 .4) . o ângulo q mede: a) 108º b) 72º c) 54º d) 36º e) 18º 14) (FUVEST-SP) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130º cada um e os demais ângulos internos medem 128º cada um. 108 = = 360 . então dois ângulos externos medem 50º Se os demais ângulos internos medem 128º. e = 360 / 5 = 72º 108º 108º 108º 2 . n > 4.13) (UNIFESP-SP) Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados. lado a lado. A soma dos ângulos internos A e D desse quadrilátero corresponde a: a) a/4 b) a/2 c) a D 16) (MACK-SP) Os lados de um polígono regular de n lados. 360/n + x = 180 x = 180 .a) A + D = 360 . Nestas condições. O nº de lados desse polígono é: a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e) 17 50º 50º 52º 130º 130º 128º 52º 128º 52º q 128º Se dois ângulos internos medem 130º.ângulo externo do polígono.7 ângulos externos q e = 72º i = 108º n = 7 lados (resp b) 15) (CESGRANRIO-RJ) No quadrilátero ABCD da figura abaixo.100 = 260 x = 260/52 = 5 q = 360 .4)/n (resp b) Jeca 51 .2y A + D = 360 . são traçadas as bissetrizes CM e BN.2) . conforme destacado na figura.3 .vértice da estrela. formando uma estrela de cinco pontas. de cada vértice da estrela é: a) 360º n (n .324 = 36º (resp) 2 ângulos externos de 50º 5 ângulos externos de 52º total . 52 = 360 x . em graus. 180º b) n c) (n .2(180 . são prolongados para formar uma estrela.360 + 2a A + D = 2a (resp d) y y B x e e Polígono e . x . A medida.2x . 50 + x . e = 360/n e + e + x = 180º 2 .2(x + y) A + D = 360 . 52 = 360 . que formam entre si o ângulo a. então os demais ângulos externos medem 52º A soma das medidas dos ângulos externos é 360º.720)/n = 180(n . SP) Polígonos convexos. internos. determinar: a) a soma das medidas dos ângulos b) a soma das medidas dos ângulos c) o número de diagonais desse políexternos. internos. 01) Dado um polígono convexo de 17 lados. gono. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista . Exercícios complementares da aula 05.Geometria plana Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. determinar: a) a soma das medidas dos ângulos b) a soma das medidas dos ângulos c) o número de diagonais desse políexternos. gono. 03) Determinar o número de lados e o número de diagonais de um polígono convexo cuja soma das medidas dos ângulos internos é 2160º. 04) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 44 diagonais. Jeca 52 . 02) Dado um undecágono convexo. Si = 180(n .2 = 2 160/180 n . internos.2) Si = 180(11 .3)/2 d = 17(17 . determinar: a) a soma das medidas dos ângulos b) a soma das medidas dos ângulos c) o número de diagonais desse políexternos. d = n(n . Si = 180(n .Geometria plana Estudos sobre Geometria realizados pelo prof.2) = 2 700º Se = 360º d = n(n .3)/2 44 = n(n .2) 2 160 = 180(n . Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista .2) n .3)/2 d = 77 diagonais (resp) 04) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 44 diagonais. gono.3)/2 n . Se = 360º d = n(n .2 = 12 n = 14 lados (resp) d = n(n .88 = 0 Raízes n = 11 lados (undecágono) n = -8 (não convém) 2 Si = 180(n .3)/2 d = 44 diagonais Si = 180(n .SP) Polígonos convexos. determinar: a) a soma das medidas dos ângulos b) a soma das medidas dos ângulos c) o número de diagonais desse políexternos.2) Si = 1 620º (resp) Jeca 52 .3)/2 d = 119 diagonais 02) Dado um undecágono convexo. gono. internos.2) = 180(11 .2) = 180(17 . 01) Dado um polígono convexo de 17 lados.3)/2 d = 14(14 . Exercícios complementares da aula 05.3n .3)/2 d = 1(11 .2) = 1 620º 03) Determinar o número de lados e o número de diagonais de um polígono convexo cuja soma das medidas dos ângulos internos é 2160º. b) a soma das medidas dos ângulos c) a medida de cada ângulo interno. d) a soma das medidas dos ângulos e) a medida de cada ângulo externo. sabendo-se que A tem 2 lados e 23 diagonais a mais que o polígono B. A B C E D 06) Determinar os polígonos convexos A e B. Jeca 53 . 08) Determinar qual é o polígono regular cuja medida de um ângulo externo é igual a 2/7 da medida de um ângulo interno. no. determinar : a) o número de lados do eneágono. Determinar a soma das medidas dos ângulos internos assinalados. 07) Dado um eneágono regular. internos. f) o número de diagonais do eneágoexternos. AB // DE.05) No pentágono ao lado. internos. portanto Si = 180(n .dB = 23 (nB + 2)(nB + 2 .3) = 46 4.3)/2 d = 27 diagonais 08) Determinar qual é o polígono regular cuja medida de um ângulo externo é igual a 2/7 da medida de um ângulo interno.2) = 540º E + A + B + C + D = 540 180 + B + C + D = 540 B + C + D = 540 . A nA dA B nB dB nA = nB + 2 dA = dB + 23 dA . Determinar a soma das medidas dos ângulos internos assinalados.nB(nB .nB(nB . no.nB = 48 nB = 12 lados (dodecágono) nA = 12 + 2 = 14 lados (quadridecágono) (resp) 07) Dado um eneágono regular. sabendo-se que A tem 2 lados e 23 diagonais a mais que o polígono B.2 Si = 180(9 .e / 2 = 180 2e + 7e = 360 9e = 360 e = 40º i = 7. Si = 180(n . AB // DE. Se = 360º e = 360/n e = 360/9 e = 40º d = n(n .i / 7 i + e = 180º e = 2.180 = 360º (resp) A B C E D 06) Determinar os polígonos convexos A e B. e = 360/n e = 2.e / 2 40 = 360/n n = 360/40 = 9 n = 9 lados (eneágono) (resp) Jeca 53 .05) No pentágono ao lado.3)/2 d = 9(9 .2) Si = 1 260º i = Si/n i = 1 260/9 i = 140º d) a soma das medidas dos ângulos e) a medida de cada ângulo externo. determinar : a) o número de lados do eneágono. n = 9 lados b) a soma das medidas dos ângulos c) a medida de cada ângulo interno.1) . A + E = 180º (ângulos colaterais internos) ABCDE é um pentágono.2) = 180(5 .3)/2 = 23 (nB + 2)(nB . f) o número de diagonais do eneágoexternos.i / 7 e + 7.3)/2 . 09) Dado um pentadecágono regular. determinar : a) o número de lados do pentadecágono. sendo O o centro do dodecágono. A e B. f) o número de diagonais do pentaexternos. internos. b) a soma das medidas dos ângulos c) a medida de cada ângulo interno. A B C D E L F O K J I H G Jeca 54 . 11) Dado um decágono regular ABCDE … . determinar a medida do ângulo AOE. decágono. sabendo-se que A tem 3 lados a mais que B e que a diferença entre as medidas dos seus ângulos externos é 6º. 12) Dado um dodecágono regular ABCDE … . determinar a medida do ângulo agudo compreendido entre o lado AB e a diagonal AC. 10) Determinar dois polígonos regulares. d) a soma das medidas dos ângulos e) a medida de cada ângulo externo. 09) Dado um pentadecágono regular.nB = 6nB(nB + 3) 360nB + 1 080 .ângulo interno e = 360/n = 360/10 = 36º i + e = 180º i = 180 . n = 15 lados b) a soma das medidas dos ângulos c) a medida de cada ângulo interno. e .3)/2 d = 90 diagonais 10) Determinar dois polígonos regulares.eA > 0) eB . f) o número de diagonais do pentaexternos. determinar a medida do ângulo AOE.2) = 720º y = i/2 = 150/2 = 75º 720 = 2y + 3 .eA = 6 Importante .dodecágono (resp) 2 2 nA = nB + 3 eB . 150 + x 720 = 2 .2) = 180(6 . A nA eA B nB eB 360(nB + 3) .pentadecágono polígono B .36 = 144º x + x + i = 2x + 144 = 180 2x = 36 x = 18º (resp) C B i x A E e x D 12) Dado um dodecágono regular ABCDE … .ângulo interno e = 360/n = 360/12 = 30º i + e = 180 i + 30 = 180 i = 150º ABCDEO é umhexágono irregular Si = 180(n .360. e .3)/2 d = 15(15 . Se = 360º e = 360/n e = 360/15 e = 24º d = n(n .600 = 120º (resp) A y B C i D e y E x L F O K J I H G Jeca 54 .nB =6 nB(nB + 3) 11) Dado um decágono regular ABCDE … . determinar a medida do ângulo agudo compreendido entre o lado AB e a diagonal AC.ângulo externo i . determinar : a) o número de lados do pentadecágono. 150 + x x = 720 . sabendo-se que A tem 3 lados a mais que B e que a diferença entre as medidas dos seus ângulos externos é 6º.O polígono que tem menos lados tem o maior ângulo externo.2) Si = 2 340º i = Si/n i = 2 340/15 i = 156º d) a soma das medidas dos ângulos e) a medida de cada ângulo externo. internos.360 = 6 nB nB + 3 360(nB + 3) . sendo O o centro do dodecágono.(12 + 3 = 15 lados) . 75 + 3 . decágono.360.180 = 0 Raízes nB = 12 lados (dodecágono) nB = -15 lados (não convém) Polígono A . (eB .360nB = 6nB + 18nB nB + 3nB .2 Si = 180(15 .eA = 360 . A e B. Si = 180(n .ângulo externo i . sendo O o centro do polígono. g) a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais BI e AG.f) a medida do ângulo agudo formado pelos prolongamentos dos lados do pelos prolongamentos dos lados BC e DE. d) a medida de cada ângulo interno. h) a medida do ângulo EOG. i) a medida do ângulo EBC.13) Dado um decágono regular ABCDE … . e) a medida do ângulo obtuso forma. c) a soma das medidas dos ângulos internos do decágono. Jeca 55 . BC e EF. externos do decágono. determinar : A J B I C O H D G E F a) a soma das medidas dos ângulos b) a medida de cada ângulo externo. c) a soma das medidas dos ângulos internos do decágono. 36 = 180 x = 108º 2z = e = 36 z = 18º z + e + y + z + e = 180 18 + 36 + y + 18 + 36 = 180 y = 72º g) a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais BI e AG.2) Si = 1440º d) a medida de cada ângulo interno.13) Dado um decágono regular ABCDE … . Se = 360º e = 360/n = 360/10 e = 36º Si = 180(n . externos do decágono. sendo O o centro do polígono. k = 360/n = 360/10 = 36º EOG = 2k = 2 .2) Si = 180(10 . determinar : A 54º J 144º w 90º 36º 72º 36º B 36º I 108º C e z O k k e H 144º D y z 54º 90º G E x F a) a soma das medidas dos ângulos b) a medida de cada ângulo externo. 36 EOG = 72º i) a medida do ângulo EBC. BC e EF. x + e + e = 180 x + 2e = 180 x + 2 .f) a medida do ângulo agudo formado pelos prolongamentos dos lados do pelos prolongamentos dos lados BC e DE. i = Si /n i = 1440/10 i = 144º e) a medida do ângulo obtuso forma. EBC = 36º Jeca 55 . w + 90 + 36 = 180 w = 54º h) a medida do ângulo EOG. 93º y 15) Dado um polígono convexo ABCD.4 b) n . G e H pertencem ao lado BC.4 2 16) Se a soma dos ângulos internos de um polígono regular é 1620º. determinar o valor de x + y.14) Na figura ao lado. 18) Na figura ao lado. determinar a medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos lados AB e DE.5n + 6 2 d) n(n-3) 2 88º e) 2n .11n 2 2 x 10 5º c) n . ABC é um triângulo eqüilátero e DEFGH é um pentágono regular. n > 3. determine a polígono com maior número de diagonais.. Sabendo que o número total de diagonais dos três polígonos é igual a 28. com n lados. determinar as medidas dos ângulos ADE e CDH. F pertence ao lado AC. o número de diagonais do polígono que não passam pelo vértice A é dado por: a) 5n . A I B H E C X D F G D F C H G B E Jeca 56 . sendo x a medida de cada ângulo externo então: a) x = 18º b) 30º < x < 35º c) x = 45º d) x < 27º e) 40º < x < 45º 17) Três polígonos têm o número de lados expressos por números inteiros consecutivos.. Sabendo-se que D pertence ao lado AC. A 19) Dado o eneágono regular ao lado. 3n .(n .3) 2 n(n ..14) Na figura ao lado. determinar as medidas dos ângulos ADE e CDH.7 lados (heptágono) . polígono A .2 = 1 620/180 = 9 n = 11 e = 360/n e = 360/11 = 32.180 = 74 x + y = c + d = 74º (resp) (resp c) 16) Se a soma dos ângulos internos de um polígono regular é 1620º. O número total de diagonais de um polígono é dado por d = n(n .3) + (n + 1)(n + 1 . então tem n vértices. A I B y H 140º y G i D e C X E e E F e = 360/n = 360/9 = 40º i = 180 .6 lados polígono C .11n 2 2 Se um polígono tem n lados.5n + 6 2 d) n(n-3) 2 e) 2n . G e H pertencem ao lado BC..n lados polígono B .4 b) n .2) 1 620 = 180(n .n .n + 2 lados Total de diagonais = 28 28 = 28 = n(n . b d c c+ d= x+ y y 93º 15) Dado um polígono convexo ABCD. O número de diagonais que passam num vértice é n .3)/2 Excluindo-se as que passam pelo vértice A. F pertence ao lado AC.5n + 6 2 2 x a 10 5º 88º c) n .73º x = e = 32.tem o maior número de diagonais. A e = 360/n = 360/5 = 72º i + e = 180 i + 72 = 180 i = 108º y + 60 + e = 180 y + 60 + 72 = 180 y = 48º y + i + x = 180 48 + 108 + x = 180 x = 24º C x D y 60º e H i G B i = 108º F 19) Dado o eneágono regular ao lado.3) .2(n . com n lados.3) 2 2 n(n . determinar a medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos lados AB e DE.4 2 a + b + 93 + 88 + 105 = 540 (pentágono) a + b = 540 .40 = 140º y + y + 140 = 180 y = 20º x + (y + e) + (y + e) = x + 2y + 2e = 180 x + 40 + 80 = 180 x = 60º (resp) Jeca 56 .3) n .3) .3) + (n + 2)(n + 2 .3.2) + (n + 2)(n .3) + (n + 1)(n .e = 180 .2) n . o número de diagonais do polígono que não passam pelo vértice A é dado por: a) 5n . Sabendo que o número total de diagonais dos três polígonos é igual a 28. Sabendo-se que D pertence ao lado AC. n > 3. ABC é um triângulo eqüilátero e DEFGH é um pentágono regular. sendo x a medida de cada ângulo externo então: a) x = 18º b) 30º < x < 35º c) x = 45º d) x < 27º e) 40º < x < 45º Si = 180(n .5 lados polígono B .2n + 6 d' = = 2 2 d' = n . determine a polígono com maior número de diagonais.286 = 254 c + d = 254 .3) 2 2 2 nº de diagonais de um polígono d = n(n . determinar o valor de x + y.73º Portanto 30º < x < 35º (resp b) 17) Três polígonos têm o número de lados expressos por números inteiros consecutivos.20 = 0 Raízes n = -4 (não convém) n=5 polígono A . tem-se d' = n(n .1) 2 2 n .n + 1 lados polígono C . (resp) 18) Na figura ao lado. O maior ângulo formado pelas bissetrizes internas dos dois outros ângulos mede: a) 105º b) 100º c) 90º d) 95º e) 85º a F a a 13 C 15 a a A 23 a B 22) (ITA-SP) O número de diagonais de um polígono regular de 2n lados.2) b) 2n(n . Determine o número de lados do polígono. no qual quatro lados consecutivos medem 20 cm. Jeca 57 . 13 cm. é dado por: a) 2n(n . 15 cm e 23 cm.3) d) n(n .a.d. Calcule o perímetro do hexágono. conforme figura a seguir. E 20 D 21) (MACK-SP) Num quadrilátero convexo.1) c) 2n(n .5) 2 e) n. que não passam pelo centro da circunferência circunscrita a esse polígono.20) (UFSC-2006) Considere um hexágono equiângulo (ângulos internos iguais). 23) (FEI) O menor ângulo interno de um polígono convexo mede 139º. e os outros ângulos formam com o primeiro uma progressão aritmética de razão 2. a soma de dois ângulos internos consecutivos mede 190º. 4) 2 Simplificando. é dado por: a) 2n(n . E Si = 180(n .1).y = 180 . tem-se d = n(2n . no qual quatro lados consecutivos medem 20 cm. e os outros ângulos formam com o primeiro uma progressão aritmética de razão 2.139 = 41º Os ângulos externos formam uma PA (41º.2) = 720º F i = 720 / 6 = 120º A E 120º y 120º F 120º 15 120º 23 B 20 120º 20 D 21) (MACK-SP) Num quadrilátero convexo. Se o menor ângulo interno mede 139º. n 2 Fórmula do termo geral de uma PA an = a1 + (n . (resp) 2 Se o polígono tem 2n lados. 15 cm e 23 cm. 13 cm. n / 2 360 = (41 + 43 . 39º.(-2) = 43 . n / 2 n .2n) .2) (resp a) Conferindo 41 + 39 + 37 + 35 + 33 + 31 + 29 + 27 + 25 + 23 + 21 + 19 = 360 Jeca 57 .2) Si = 180(6 .2n Sn = (41 + 43 . a fórmula passa a ser d = 2n(2n . conforme figura a seguir. então o maior ângulo externo mede 180 . que não passam pelo centro da circunferência circunscrita a esse polígono. ) A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é 360º.2n) . . 37º..1) c) 2n(n . Calcule o perímetro do hexágono.5) 2 e) n.a.3) d) n(n . nº de diagonais de um polígono d = n(n .d.20) (UFSC-2006) Considere um hexágono equiângulo (ângulos internos iguais). então ele tem 12 lados. Soma dos n primeiros termos de uma PA Sn = ( a1 + an ) . r an = 41 + (n .4) d = 2n(n .3) 2 23) (FEI) O menor ângulo interno de um polígono convexo mede 139º.85 = 95º O maior ângulo é x x = 95º (resp d) x 60º x 120º 60º x A A figura acima é um paralelogramo 20 + 13 = 23 + x x + y = 15 + 13 10 + y = 28 y = 18 Per = 2p = 20 + 13 + 15 + 23 + 10 + 18 = 99 cm (resp) x = 10 22) (ITA-SP) O número de diagonais de um polígono regular de 2n lados. a soma de dois ângulos internos consecutivos mede 190º.. Determine o número de lados do polígono.190 = 170º Mas C + D = 2a + 2b = 170º Então a + b = 85º y é ângulo externo y = a + b = 85º x = 180 . O maior ângulo formado pelas bissetrizes internas dos dois outros ângulos mede: a) 105º b) 100º A B c) 90º d) 95º e) 85º a a a 23 a a a B D 13 C 15 a a D 13 60º 13 13 C x y b b C A + B + C + D = 360º A + B = 190º Portanto C + D = 360 .42n + 360 = 0 Raízes n = 30 (não convém pois o 30º ângulo será menor que 0º) n = 12 Se esse polígono tem 12 ângulos externos.2) b) 2n(n .3) 2 Mas a diagonal que passa pelo centro está sendo excluída Então a fórmula passa a ser d = 2n(2n .1) . por favor. poderei corrigir eventuais erros.com. resolvendo esta lista. 01) 2340º e 90 diagonais 02) 360º e 135 diagonais 03) 140º e 40º 04) 135º e 20 diagonais 05) 1980º 06) 54 diagonais 07) 90 diagonais 08) 360º / 7 09) Heptágono e undecágono 10) Eneágono e pentadecágono 11) 60º 12) 75º 13) d 14) b 15) d 16) b Importante para mim. Se você. mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim. Obrigado. descobrir alguma resposta errada.Respostas dos exercícios da Aula 05. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 58 . mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim. Se você. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 59 . poderei corrigir eventuais erros. 01) a) 2700º 02) a) 1620º 21) d b) 360º b) 360º c) 119 22) a c) 44 23) 12 03) 14 lados e 77 diagonais 04) 1620º 05) 360º 06) Quadridecágono e dodecágono 07) a) 9 e) 40º b) 1260º f) 27 c) 140º d) 360º 08) Eneágono 09) a) 15 e) 24º b) 2340º f) 90 c) 156º d) 360º 10) Pentadecágono e dodecágono 11) 18º 12) 120º 13) a) 360º e) 108º i) 36º 14) 74º 15) c 16) b 17) heptágono 18) 24º e 48º 19) 60º 20) 99 cm b) 36º f) 72º c) 1440º g) 54º d) 144º h) 72º Importante para mim.Respostas dos exercícios complementares da Aula 05. Obrigado. resolvendo esta lista. descobrir alguma resposta errada.com. por favor. ângulo central .ângulo central APD .ângulo de segmento b= a 2 Jeca 60 vértice a b tangente se b= a 2 .centro da circunferência AC = r . de essa corda ao meio. a medida 2) Em toda circunferência.ponto exterior B . divido arco correspondente. vértice b) Ângulo de segmento. o raio.arco da circunferência AD . o raio é 3) Em toda circunferência.O ângulo de segmento vale a metade do ângulo central ou a metade do arco correspondente.ponto interior C . Propriedade . É o ângulo que tem o vértice na "linha" da circunferência e os dois lados secantes a essa circunferência. do ângulo central é igual à medida perpendicular à reta tangente no quando perpendicular à corda.ponto da circunferência C D D .centro da circunferência III) Posições relativas entre reta e circunferência.ângulo central .O ângulo inscrito vale a metade do ângulo central ou a metade do arco correspondente. nt e ca a b b a .Geometria plana Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. 1) Em toda circunferência. É o ângulo que tem o vértice na "linha" da circunferência. um lado secante e um lado tangente a essa circunferência. a) Ângulo inscrito na circunferência.corda da circunferência II) Posições relativas entre ponto e circunferência. A B A . Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista . I) Elementos da circunferência.raio da circunferência AB = 2r .SP) Aula 06 Ângulos na circunferência. A r C r r D B a P C . Propriedade .diâmetro da circunferência ACD = a .ângulo inscrito a b . ponto de tangência. ponto de tangência reta ta ngent e reta sec ante reta exterior IV) Propriedades da circunferência. A APB = a P C C B M A AM = MB C a B V) Ângulos na circunferência. IV) Consequências do ângulo inscrito. a + b = 180º e g + q = 180º 5) Ângulo excêntrico de vértice interno. sendo O o centro. diâmetro. ângulo inscrito mediana relativa à hipotenusa b b arco de medida 2b R hipotenusa e diâmetro hipotenusa R R b b 4) Em todo quadrilátero inscrito numa circunferência os ângulos internos opostos são suplementares. são congruentes. x= a+b 2 6) Ângulo excêntrico de vértice externo. determine a medida do ângulo ou do arco x. a) b) c) x x x O 118º O 46º 41º O d) e) x f) 39º x O O 62º O x g) h) i) x 62º O 104º x O x O 87º Jeca 61 .01) Nas circunferências abaixo. x= a-b 2 a C q b vértice vértice a b x a b x g Exercícios . 1) Todo triângulo retângulo pode ser 2) Em todo triângulo retângulo. a 3) Todos os ângulos de uma circuninscrito numa semicircunferência mediana relativa à hipotenusa vale ferência inscritos no mesmo arco onde a hipotenusa coincide com o a metade dessa hipotenusa. a 3) Todos os ângulos de uma circuninscrito numa semicircunferência mediana relativa à hipotenusa vale ferência inscritos no mesmo arco onde a hipotenusa coincide com o a metade dessa hipotenusa. ângulo inscrito mediana relativa à hipotenusa b b arco de medida 2b R hipotenusa e diâmetro hipotenusa R R b b 4) Em todo quadrilátero inscrito numa circunferência os ângulos internos opostos são suplementares. determine a medida do ângulo ou do arco x. diâmetro.IV) Consequências do ângulo inscrito. sendo O o centro. x= a+b 2 6) Ângulo excêntrico de vértice externo. 1) Todo triângulo retângulo pode ser 2) Em todo triângulo retângulo.01) Nas circunferências abaixo. a + b = 180º e g + q = 180º 5) Ângulo excêntrico de vértice interno. são congruentes. x= a-b 2 a C q b vértice vértice a b x a b x g Exercícios . a) b) c) x x x O 118º O 46º 41º x = 118/2 x = 59º x/2 = 41 x = 82º O x/2 = 46 x = 92º d) e) x f) 39º x O O 62º O x x = 39º x = 180/2 x = 90º x + 90 + 62 = 180 x = 28º g) 124º 56º h) i) x y 62º O 104º x x = 56/2 x = 28º O x O x + 104 = 180 x = 76º 87º x + y = 180 y + 87 = 180 x = 87º Jeca 61 . a) B x A 3x x C O O x 55º b) c) O 12 4º D d) e) tan (GeoJeca) gen te f) x 35º O 34º O 52º x 52º x O g) h) Tente fazer por outro método. i) 88º x 37º O 37º O x O x 56º j) k) l) 87º 142º 118º O x 33º O O 34º x x 34 º m) n) o) 16 5º x 146º O x O 54º ng en te ta O x 77 º Jeca 62 . sendo O o centro da circunferência. determinar a medida do ângulo ou do arco x.02) Nas figuras abaixo. i) 88º z = 56/2 = 28º y = 88/2 = 44º x é ângulo externo x=y+z x = 72º x x 37º O z O y 74º x = 106/2 x = 53º y = 34/2 = 17º z = 118/2 = 59º z=x+y x=z-y x = 42º 56º 106º j) z = 33/2 = 16. a) B x A 3x 3x O x C O O x 55 = y/2 y = 110º x=y x = 110º w .02) Nas figuras abaixo.w .y z = 34º 35 + x + 35 = 90 x = 20º x + z + 128 = 180 x = 18º y z x = z/2 x = 76/2 x = 38º g) y + 37 + 37 = 180 y = 106º x = y/2 x = 106/2 x = 53º 37º R y O 37º R x h) Tente fazer por outro método.ângulo de segmento w = 52º y + 34 + 52 = 180 y = 94º z y 128º x 52º 55º b) 3x + x + 90 = 180 x = 90/4 x = 22.54 = 36º y + y + z = 180 z = 108º x = 108/2 x = 54º ng en te o) y + 165 = 77 = 360 y = 118 x = y/2 x = 118/2 x = 59º 16 5º ta 54º y O x 214º x = 214/2 x = 107º 77 º Jeca 62 .y z = 76º 52º x O 34º O z = 180 . sendo O o centro da circunferência.5 + 43.5º c) y 12 4º 124º D 56º x = 56/2 x = 28º 6x d) e) tan f) gen te w 35º x 55º O 35º 35º 52 = y/2 y = 104º z = 180 .5º x + 16. determinar a medida do ângulo ou do arco x.5 = 180 x = 120º z k) l) y = 142/2 = 71º z = 34/2 = 17º x + y + z = 180º x = 92º 87º y O x x y 33º z 118º z O O 142º º y x x 34º x 34 m) 146º x 146º O n) y z x O y y = 90 .5º y = 87/2 = 43. constói-se uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência. 170º e 130º. então o ângulo MKN. 05) Na figura abaixo. seja P um ponto da circunferência distinto de A e de B. R e K estão na circunferência de centro S. c) a soma dos arcos GFE e ABC é 140º. b) a soma dos arcos AHG e ABC é 180º. N. as duas circunferências têm o mesmo raio e centros nos pontos R e S. Os pontos A. d) o arco GFE é maior que o arco EDC. (GeoJeca) A P C O 10) (MACK-SP) Na figura a seguir.(PB) = constante 2 2 2 2 a) as medidas dos arcos AHG e EDC são iguais. em B e em E. respectivamente. P. Pode-se afirmar que : a) PA = PB b) PA + PB = constante c) PA > PB d) (PA) + (PB) = constante e) (PA) .03) Na circunferência abaixo pode-se afirmar que: H G F 70º B E D C A 04) (J) Dada uma circunferência de diâmetro AB. Então. as retas PA e PB são tangentes à circunferência de centro O. B e C são pontos da circunferência de centro O. determinar a medida do ângulo x. O valor de x + y é : a) 242º b) 121º c) 118º d) 59º B e) 62º A x O 11 8 A G E x B F C º y C 07) Na figura abaixo. em graus. Se o arco APB mede 86º. Determine a medida do ângulo APB sabendo que o ângulo ACB mede 61º. e) a soma dos arcos GFE e ABC é 220º. mede : A a) 23º b) 21º 30’ M c) 22º d) 22º 30’ P R S e) 43º B N K 08) Dado um pentágono regular ABCDE. B A C E D 09) (J) Na figura abaixo. o arco MSN mede: a) 60º b) 70º c) 80º d) 100º e) 110º P S N M T B Q Jeca 63 . B e S estão na circunferência de centro R e os pontos M.respectivamente. Sabendose que a medida do ângulo interno D é 40º e que a medida do arco AGB é 75º. do menor arco BE dessa circunferência. Determine a medida. a circunferência de centro C tangencia o triângulo DEF nos pontos A e B. os pontos A. os arcos QMP e MTQ medem. D 06) Na figura abaixo. (F) d) o arco GFE é maior que o arco EDC. B e = 360/n = 360/5 = 72º i = 180 .122 x = 58º (resp) 10) (MACK-SP) Na figura a seguir. 170º e 130º. 90 + 2 . (F) b) a soma dos arcos AHG e ABC é 180º. os pontos A. a circunferência de centro C tangencia o triângulo DEF nos pontos A e B.95 = 85º k = 130/2 S k = 65º x + k + w = 180 N k x = 30º x = MSN/2 MSN = 60º (resp a) Q P M w x z 130º T y B Jeca 63 . então o ângulo MKN. Sabendose que a medida do ângulo interno D é 40º e que a medida do arco AGB é 75º.72 = 108º BCDEO é um quadrilátero O x 108º C Si = 180(n .e = 180 . (AB) = (PA) + (PB) 2 2 2 2 2 2 2 2 A B 2 2 a) as medidas dos arcos AHG e EDC são iguais.03) Na circunferência abaixo pode-se afirmar que: H G 2y F 70º B 2x E x D 70º y C A x + y + 70 = 180 x + y = 110 2x + 2y = 220º resp e) 04) (J) Dada uma circunferência de diâmetro AB. em B e em E. Os pontos A. (GeoJeca) A P x C 61º y O y = 2 . em graus.QMP y = 360 . N. do menor arco BE dessa circunferência. o arco MSN mede: a) 60º b) 70º c) 80º d) 100º e) 110º y = 360 .59 = 59º (resp d) C 07) Na figura abaixo. O valor de x + y é : a) 242º b) 121º c) 118º d) 59º B e) 62º z A x O z = 118/2 = 59º w=x+z w = x + 59 11 8 º w y x F 118 = y + w 118 = y + x + 59 x + y = 118 . Determine a medida do ângulo APB sabendo que o ângulo ACB mede 61º. mede : A a) 23º b) 21º 30’ M c) 22º 86º d) 22º 30’ P y R S e) 43º y = 86/2 B y = 43 x = y/2 = 43/2 x = 21. Se o arco APB mede 86º. constói-se uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência. Determine a medida.(PB) = constante 1) Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa semicircunferência. B e C são pontos da circunferência de centro O.respectivamente. 61 = 122º APBO é um quadrilátero y + 90 + x + 90 = 360 x = 360 . as duas circunferências têm o mesmo raio e centros nos pontos R e S. 2) Se o triângulo é retângulo então ele satisfaz o Teorema de Pitágoras. respectivamente. Pode-se afirmar que : P a) PA = PB b) PA + PB = constante c) PA > PB d) (PA) + (PB) = constante e) (PA) . D ACBE é um quadrilátero A + E + B + C = 360º 40º Portanto y = 105º x + y + 40 = 180 x = 35º (resp) A 75º y G E B C A medida do ângulo central ACB é igual à medida do arco AGB Portanto (PA) + (PB) = (AB) = constante (resp d) 06) Na figura abaixo.5º (resp b) N x K 08) Dado um pentágono regular ABCDE.170 = 190 z = y/2 = 95º w = 180 . B e S estão na circunferência de centro R e os pontos M.2) = 180(5 . P. R e K estão na circunferência de centro S. seja P um ponto da circunferência distinto de A e de B. determinar a medida do ângulo x. 108 x = 144º BE = x BE = 144º (resp) A i E D e 09) (J) Na figura abaixo. (V) 05) Na figura abaixo. Então. os arcos QMP e MTQ medem.2) Si = 540º 540 = x + 2 . as retas PA e PB são tangentes à circunferência de centro O. (F) c) a soma dos arcos GFE e ABC é 140º. (F) e) a soma dos arcos GFE e ABC é 220º.180 . Aplique ângulos inscritos DICA . determinar as medidas dos ângulos x. A L K z J x y O t D B 14) A figura abaixo representa um quadrilátero BEFK inscrito em um dodecágono regular ABC. y.. z e t. NE e BJ. P N M L O A B C S D E F J I H G R z Q P x N M L K J I y H O F G T U A B C D E K DICA .. A I t H x z G y D F F P E E O G D C B H O C I B x DICA .Aplique ângulos inscritos Jeca 64 DICA . z e t. CN e HN são medida do ângulo agudo formado entre as diagonais diagonais.Aplique ângulos inscritos DICA . Determine as medidas dos ângulos x. y. A L B y K x C C J E I O z t H G F D I H G F E DICA .11) No pentadecágono regular abaixo. Sendo OI a bissetriz do ângulo medida do ângulo x formado pelas retas IB e DE.Aplique ângulos inscritos 15) A figura abaixo representa um eneágono regular 16) No eneágono regular ABCD … . BK. determinar a ABCD … de centro O. y. determinar a 12) No icoságono regular abaixo. y e z. Determinar as medidas dos ângulos x. determinar as A medidas dos ângulos x. AIH e OP a mediatriz do segmento FE. z e t.Aplique ângulos inscritos . .Aplique ângulos inscritos 13) No dodecágono regular de centro O abaixo. z e t. 18/2 x = 45º w = HJK/2 w = 3 . CN e HN são medida do ângulo agudo formado entre as diagonais diagonais. y.t = 140 t = 70º z = IGP' z = 3. NE e BJ. 30/2 y = 30º z = GHJ/2 z = 3 . . A L x = BDF/2 x = 4 .11) No pentadecágono regular abaixo. determinar as A medidas dos ângulos x. = 24 º 72 x O w F D E K DICA .. Determine as medidas dos ângulos x.Aplique ângulos inscritos DICA . Sendo OI a bissetriz do ângulo medida do ângulo x formado pelas retas IB e DE. A I t H x z G y D O C B t x = ICG/2 x = 7 . A x = LCE/2 = 5 . 30/2 x = 60º y = EHK/2 y = 6 . 40/2 y = 40º z = EGI/2 z = 4 . 40 z = 140º I y B x H O G z C y = BCD/2 y = 2 .Aplique ângulos inscritos Jeca 64 DICA . 24 = 96º L y = 72/2 = 36º w = 96/2 = 48º x=y+w x = 36 + 48 x = 84º (resp) y J I H G k = 360/15 k = 24º P A B C x = CEH/2 x = 5 .Aplique ângulos inscritos DICA .Aplique ângulos inscritos . determinar a 12) No icoságono regular abaixo. 30/2 z = 120º t = KBE/2 t = 6 . Determinar as medidas dos ângulos x.40 = 40º (resp) D m = 360/9 m = 40º F E m = 360/9 m = 40º F P E DICA . BK. AIH e OP a mediatriz do segmento FE. z e t. determinar as medidas dos ângulos x. 18/2 t = 72º y=t+w y = 27 + 72 = 99º x + y + z = 180 z = 36º R z Q P x N M L K J I y O t H F G U T S w A B m = 18º C D E 3. 40/2 x = 140º y = x = 140º 2. m = 360/20 n = 15 lados N M 4 . 30/2 y = 90º z = FJB/2 z = 8 .Aplique ângulos inscritos 13) No dodecágono regular de centro O abaixo. y. determinar a ABCD … de centro O. 30/2 z = 45º J K z x y O t D L B 14) A figura abaixo representa um quadrilátero BEFK inscrito em um dodecágono regular ABC. z e t. 30/2 x = 150/2 = 75º t = CDE = 2 .. 18/2 w = 27º t = NSB/2 t = 8 . 30/2 t = 90º m = 360/12 B m = 30º y K x C C J O z t H G F D I H G m = 360/12 m = 30º F E I E DICA .5 . y.Aplique ângulos inscritos 15) A figura abaixo representa um eneágono regular 16) No eneágono regular ABCD … . 40/2 z = 80º z=x+y x=z-y x = 80 . 30 t = 60º y = EFG/2 y = 2 . y e z. a) b) c) 86º 246º x O x V 76º O O x V V d) e) f) 29º x x 136º O O 88º O x g) x O 94º h) x i) 10 x 68º 2º 70º 23º O O 87º j) l) m) x 106º 33º O x O O 38 º x n) 51º o) x p) 196º x O x 56º O O Jeca 65 . sendo O o centro da circunferência. determinar a medida do ângulo ou do arco x.SP) Ângulos na circunferência. Exercícios complementares da aula 06. 01) Nas figuras abaixo. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista .Geometria plana Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. 98 x = 82º x + 51 + 90 = 180 x = 39º x + 56 = 180 x = 124º Jeca 65 . Exercícios complementares da aula 06.51 .y = 53 . 01) Nas figuras abaixo.19 = 34º p) 196º 180º x = 180/2 x = 90º x O x 56º O O y y = 196/2 y = 98º x + y = 180 x = 180 .SP) Ângulos na circunferência. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista .34 = 95º 93º x/2 87º x + 94 + 70 = 180 x = 16º x/2 + 23 + 93 = 180 x/2 = 64 x = 128º l) y j) 114º 106º 33º y 66º O x O y = 38/2 y = 19º z = 106/2 z = 53º 38 m) x O z º x x = 114/2 x = 57º n) 51º o) x z=x+y x = z .Geometria plana Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. a) b) c) 86º 246º x O x V 76º O O x V V x = 86/2 x = 43º d) e) x = 246/2 x = 123º f) 76 = x/2 x = 152º y x x 136º 29º O O O 88º x y = 2 . determinar a medida do ângulo ou do arco x. 29 y = 58º x = y/2 x = 58/2 x = 29º x = 136º g) x O x 94º h) x x = 88/2 x = 44º i) 10 x 68º 2º 94º 70º 23º x O O w y = 102/2 y = 51º w = 68/2 w = 34º x + y + w = 180º x = 180 . sendo O o centro da circunferência. a) x b) x c) 78º O O O 2x 98º x d) x e) f) x 58º º 88 42º O O x O 57º g) h) i) x 56º O O 26º x 94º O 1 x º 40 40º 36º j) x O 82º 68º l) m) x 55º 120º O 115º x O 10 0º n) o) p) 56º O x x O 48º O 44 º x Jeca 66 .02) Nas figuras abaixo. sendo O o centro da circunferência. determinar a medida do ângulo ou do arco x. 115 z = 230º y 1 x º 40 z z = 94/2 = 47º y + 26 = 47 y = 21º x = 2y = 2 .02) Nas figuras abaixo. 48 = 96º n) z y = 68/2 y = 34º x 60º 55º 120º 115º O 2x x + 60 + 55 = 180 x = 65º o) y 56º O x x O 48º R O y 48 = z/2 z = 96º y = 42º x = 48º z y x z + y + y = 180 x + y = 90 z p) y + z = 360 + x 430 = 360 + x x = 70º 10 0º z 44 º y y = 2 . 100 y = 200º x O y x z = 2 . determinar a medida do ângulo ou do arco x.y z = 92º x = z/2 x = 92/2 x = 46º R Jeca 66 . 21 = 42º 40º 36º j) y x O 82º 68º 82 = 34 + z z = 48º x = 2z x = 2 . 56 x = 112º m) x y = 2 . sendo O o centro da circunferência. a) x b) x y O c) y 78º O O 2x x + 2x = 180 3x = 180 x = 60º d) x 114º e) 98º x y + 98 = 180 x + y = 180 x = 98º f) x 58º º 88 y + 78 = 180 y = 102 y = x/2 x = 2y x = 204º 42º O O 2x 84º 2x + 114 = 180 2x = 66 x = 33º g) z 56º 140º y O h) x O 57º 2x y 2x + 84 = 180 2x = 96 x = 48º i) 58 = 2y y = 116º x + y + 88 = 360 x = 156º x y O 26º y = 56/2 y = 28º z + 140 + y = 180 z = 12º x = 2z = 2 . 44 y = 88º z = 180 . 12 x = 24º l) x z 94º O y = 40/2 y = 20º z = 36 + y z = 56º x = 2z x = 2 . 56 y = 112º x = y = 112º y = 2 . Sabendo-se que o ângulo APB mede 48º. d) a medida do segmento CD. Sabendo-se que o ângulo cunferência de centro C. c) o que é o segmento CD no triângulo ADB. ECD e AFE. determine : DCE mede 35º. determinar a medida do arco ADB. determine a medida do ângulo BFE. A P C F A D D B E 05) Na figura abaixo. Sendo D um ponto da circunferência diferente de A e de B. a) a medida do ângulo ADB. Determine a medida dos ângulos ADB. 28º 72º O D O R 07) Na figura abaixo. Determine a medida do ângulo AEB. B C 04) Na figura abaixo. A. AB é um diâmetro e a medida do segmento DE é a metade da medida de AB. as retas PA e PB são tangentes à circunferência de centro C nos pontos A e B. calcule o ângulo PQO. C B A x E 06) Sejam P. AB = 12 cm é um diâmetro da cirpontos da circunferência. Q e R pontos de uma circunferência de centro O. B. C b) o tipo do triângulo ADB. D e E são 08) Na figura abaixo. A F A E D B C D B Jeca 67 . Sabendo que ORP = 20º e ROQ = 80º.03) Na circunferência de centro C abaixo. tais que P e Q estão do mesmo lado do diâmetro que passa por R. C e D são pontos da circunferência de diâmetro AD e centro O. AB é o diâmetro e C. 132 = 228º 05) Na figura abaixo. A. Sabendo-se que o ângulo cunferência de centro C. 35º d) a medida do segmento CD. c) CD é uma mediana do triângulo ABD d) CD = AC = CB = R (raio) CD = 6 cm B C A D z = 2 . AB é um diâmetro e a medida do segmento DE é a metade da medida de AB. Sendo D um ponto da circunferência diferente de A e de B. 35 = 70º y + z + w = 180 y + w = 110º k = w/2 p = y/2 x = k + p = w/2 + y/w x = (y + w)/2 x = 110/2 x = 55º Jeca 67 .03) Na circunferência de centro C abaixo. b) triângulo retângulo. A y z w C 48º P D D z y B x = p + k = y/2 + z/2 = (y + z)/2 x = 120/2 x = AFE = 60º O triângulo APB é isósceles 2y + 48 = 180 y = 66º z + y = 90º z = 24º w + 2z = 180 w = 132º ADB = 360 . C B z y A x E 06) Sejam P. Q x P y z 28º 72º O 80º D z = 28/2 = 14º y = 72 /2 = 36º y=x+z x=y-z x = 36 . as retas PA e PB são tangentes à circunferência de centro C nos pontos A e B. B. AB = 12 cm é um diâmetro da cirpontos da circunferência. tais que P e Q estão do mesmo lado do diâmetro que passa por R. c) o que é o segmento CD no triângulo ADB. a) a medida do ângulo ADB. D A y D z F k x w E p B a) ADB = 90º Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa semicircunferência. Q e R pontos de uma circunferência de centro O.14 x = 22º z = 20 + 80 z = 100º y = QOR/2 y = 80/2 y = 40º z=x+y 100 = x + 40 x = 60º (resp) O 20º R 07) Na figura abaixo. determine a medida do ângulo BFE. AB é o diâmetro e C. Determine a medida dos ângulos ADB. Determine a medida do ângulo AEB. determine : DCE mede 35º. C b) o tipo do triângulo ADB. C e D são pontos da circunferência de diâmetro AD e centro O. Sabendo-se que o ângulo APB mede 48º. ECD e AFE. DE = AC = CB = R (raio) O triângulo CDE é equilátero Portanto ECD = 60º ADB = 90º O triângulo ADB é retângulo porque está inscrito numa semicircunferência. y + w + z = 180 w = 60º y + z = 120º y = 2k z = 2p k = y/2 p = z/2 C R p A y E R x R w F B R k z 04) Na figura abaixo. calcule o ângulo PQO. D e E são 08) Na figura abaixo.w = 360 . Sabendo que ORP = 20º e ROQ = 80º. determinar a medida do arco ADB. Aplique ângulos inscritos Jeca 68 . Determinar o ângulo obtuso formado entre as diagonais MD medida do ângulo BDG. A P G B N A B C M O F C L O D E K E D J I H G F DICA . Sendo OJ e OC as bissetrizes dos ângulos AJI e BCD respectivamente. Determinar a gular inscrito numa circunferência de centro O. A J B H x O C I C O G D H D F E G F E DICA . Determinar a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais GB e HD.Aplique ângulos inscritos 11) A figura abaixo representa um heptágono regular 12) A figura abaixo representa um pentadecágono reinscrito numa circunferência de centro O.Aplique ângulos inscritos DICA .Aplique ângulos inscritos DICA . A I B 10) A figura abaixo representa um decágono regular inscrito em uma circunferência de centro O.09) A figura abaixo representa um eneágono regular inscrito em uma circunferência de centro O. determinar a medida do ângulo COJ. e BI. Aplique ângulos inscritos DICA . m/2 = 4 . A m = 360/15 m = 24º P B N x M y O F x K z E x = GAB/2 x = 2 . m/2 x = (2 .Aplique ângulos inscritos DICA .m/2 = 5 .Aplique ângulos inscritos Jeca 68 . Determinar a gular inscrito numa circunferência de centro O. A I m = 360/9 m = 40º H y x O z C B 10) A figura abaixo representa um decágono regular inscrito em uma circunferência de centro O.09) A figura abaixo representa um eneágono regular inscrito em uma circunferência de centro O. 40 = 80/2 y = 40º z = HG/2 z = 40/2 z = 20º x=y+z x = 40 + 20 x = 60º (resp) D H D F E x = JAC x = 3 . 360/7)/2 x = 360/7 x = 360º/7 (resp) D J I y = DFI/2 = 5. Determinar a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais GB e HD.Aplique ângulos inscritos 11) A figura abaixo representa um heptágono regular 12) A figura abaixo representa um pentadecágono reinscrito numa circunferência de centro O. determinar a medida do ângulo COJ. 36 x = 108º (resp) G F E DICA . 24/2 = 48º x = y + z = 60 + 48 x = 108º (resp) H G C L O E D A B C G m = 360º/7 F DICA . Determinar o ângulo obtuso formado entre as diagonais MD medida do ângulo BDG. Sendo OJ e OC as bissetrizes dos ângulos AJI e BCD respectivamente. 24/2 y = 60º z = MPB/2 = 4 . A m = 360/10 m = 36º I x O J B C G y = BCD/2 y = 2 . e BI. A B U ND e BJ. z e t. AHG e OB a mediatriz do segmento BC. z e t. Sendo OH a bissetriz do ângulo medida do ângulo x formado pelas retas AG e DF..Aplique ângulos inscritos DICA . determinar as A medidas dos ângulos x. P N M L O A B S C R D E F J I H G Q P N M L K J I H x y T z C D E O F G K DICA .. y. determinar as medimedida do ângulo agudo formado entre as diagonais das dos ângulos x. determinar as medidas dos ângulos x.Aplique ângulos inscritos DICA . y.Aplique ângulos inscritos 15) No dodecágono regular de centro O abaixo. A L K z J y t O D x B 16) A figura abaixo representa um quadrilátero BEIK inscrito em um dodecágono regular ABC.Aplique ângulos inscritos Jeca 69 DICA . A L B y K C x D z E H G F C J E I t O I H G F DICA . determinar a 14) No icoságono regular abaixo. determinar a ABCD … de centro O. z e t. Determinar as medidas dos ângulos x.Aplique ângulos inscritos . .Aplique ângulos inscritos 17) A figura abaixo representa um octógono regular 18) No eneágono regular ABCD … .13) No pentadecágono regular abaixo. y e z. y. A H x z y t G O C G D B H O C I B F E D x F E DICA . m/2 = 5 .5 . 45/2 x = 135º y = x = 135º z = x/2 = 135/2 z = 67. AHG e OB a mediatriz do segmento BC.m/2 = 5 . Sendo OH a bissetriz do ângulo medida do ângulo x formado pelas retas AG e DF. determinar as medimedida do ângulo agudo formado entre as diagonais das dos ângulos x.. A x = BFI/2 x = 7.m/2 = 5 .m/2 y = 3 .5 . z e t.Aplique ângulos inscritos DICA . A x = BEH/2 x = 6. 18/2 w = 45º R Q P N M L K J I k O w H x y m = 18º S T C z D E F G JRN é ãngulo externo do triângulo JRD JRN = 24 + 48 = 72º (resp) 15) No dodecágono regular de centro O abaixo. 30/2 z = 75º t = KBE/2 t = 6. determinar a ABCD … de centro O.5º t = 2. m 7 = 2. determinar as A medidas dos ângulos x.m/2 = 2.Aplique ângulos inscritos G F N R 72º O 48º D E A B C x = CDF/2 x = 3. m = 360/20 P A medida do arco MN é igual a 360/15 = 24º M L 24º K BJD = BCD/2 = 48/2 = 24º JDN = JLN/2 = 96/2 = 48 J I H y = k + w = 63 + 45 y = 108º x + y + z = 180 27 + 108 + z = 180 z = 45º DICA . 30/2 y = 90º z = ILB/2 z = 5. Determinar as medidas dos ângulos x. .20 x = 40º m m = 36 = 4 0/ 5º 8 x F E DICA . determinar as medidas dos ângulos x. z e t.13) No pentadecágono regular abaixo.m/2 x = 6 .m/2 = 3 . 30/2 x = 75º y = EFH/2 y = 3. 18/2 k = 63º w = RUB/2 w = 5.Aplique ângulos inscritos .5º F E D G H x z y t O C G y z D B H O C m = 360/9 m = 40º I B y = ABD/2 y = 3.m = 4 . 40/2 y = 60º z = GF/2 z = m/2 z = 40/2 z = 20º y=x+z x=y-z x = 60 . 30/2 x = 105º y = EHK/2 y = 6. 18/2 x = 27º k = FJM/2 k = 7. 30 t = 120º J K z y t O D x B C 16) A figura abaixo representa um quadrilátero BEIK inscrito em um dodecágono regular ABC. y. 30/2 t = 90º L y K C x D z E H G B J t I O I H G F m = 360/12 m = 30º E 12 0/ 6 3 º F = 30 m = m DICA .Aplique ângulos inscritos DICA .30/2 y = 45º z = HIJ/2 z = 2.m/2 = 6 . y e z. z e t. y.m/2 = 3. 45 t = 112.m/2 = 7 .Aplique ângulos inscritos Jeca 69 DICA .Aplique ângulos inscritos 17) A figura abaixo representa um octógono regular 18) No eneágono regular ABCD … . A L x = LCE/2 x = 5. determinar a 14) No icoságono regular abaixo.m/2 = 6 .30/2 z = 30º t = ACE t = 4. A B U ND e BJ.m/2 = 7 .. y. B. os pontos A. sa De fio A F E O B D C Jeca 70 . BE e CF são as alturas relativas aos vértices A. Se o arco APC mede 160º e o ângulo BAC mede 63º. M. Se o arco AMB mede 110º e o ângulo ABC mede 63º. AD. C. AB é o diâmetro da circunferência 22) (FUVEST-SP) A hipotenusa de um triângulo retânde centro O. qual é a medida do ângulo BAC ? a) 62º A b) 64º P c) 58º M d) 63º e) 59º O B N C 21) Na figura abaixo. C. os pontos A.determinar as medidas dos ângulos internos do triângulo DEF. qual é a medida do ângulo ACB ? A a) 51º b) 43º P M c) 33º d) 47º e) 37º O C B N 20) Na figura abaixo.19) Na figura abaixo. B e C. M. a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa ? b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana C e pela bissetriz do ângulo reto ? D x A 35º O B 23) No triângulo ABC abaixo. N e P estão na circunferência de centro O. Determinar a medida do ângulo ADC gulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20º. Sendo as medidas dos ângulos ABC = 48º e ACB = 64º. B. sabendo que o ângulo BAC mede 35º. N e P estão na circunferência de centro O. Se o arco APC mede 160º e o ângulo BAC mede 63º. B e C. os pontos A. Sendo as medidas dos ângulos ABC = 48º e ACB = 64º.19) Na figura abaixo. sa De fio A F E O B D (Resolução na página 72) C Jeca 70 . BE e CF são as alturas relativas aos vértices A. M. AB é o diâmetro da circunferência 22) (FUVEST-SP) A hipotenusa de um triângulo retânde centro O. AD. sabendo que o ângulo BAC mede 35º.determinar as medidas dos ângulos internos do triângulo DEF. N e P estão na circunferência de centro O.65 x = 25º 45º 10 cm 180º 23) No triângulo ABC abaixo. os pontos A. C. Determinar a medida do ângulo ADC gulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20º.143 x = 37º (resp e) N y x C 20) Na figura abaixo. M. N e P estão na circunferência de centro O. Se o arco AMB mede 110º e o ângulo ABC mede 63º. Portanto CO = 10 cm b) 45 + x + 20 = 90 x = 90 . B. qual é a medida do ângulo ACB ? A a) 51º 160º b) 43º P M 63º c) 33º d) 47º e) 37º O y = 160/2 = 80º B x + y + 63 = 180 x + 80 + 63 = 180 x = 180 . B. C. qual é a medida do ângulo BAC ? a) 62º A b) 64º P c) 58º M 110º d) 63º e) 59º O 63º B N y C 21) Na figura abaixo. a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa ? b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana C e pela bissetriz do ângulo reto ? x = ABC/2 x = (180 +70)/2 x = 250/2 x = 125º D 70º x A 35º O B A C x 20º 20º O 10 cm B a) Em todo triângulo retângulo a mediana relativa à hipotenusa vale a metade dessa hipotenusa. com. 30º. resolvendo esta lista. Obrigado.br Somente assim. 99º e 36º 13) 75º.Respostas dos exercícios da Aula 06. 120º e 90º 15) 140º. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 71 . mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol. descobrir alguma resposta errada. Se você. 45º e 60º 14) 60º. poderei corrigir eventuais erros. por favor. 90º. 70º e 140º 16) 40º b) 82º g) 28º b) 22º 30' g) 53º l) 92º c) 92º h) 76º d) 39º i) 87º e) 90º c) 110º h) 53º m) 107º d) 20º i) 72º n) 54º e) 18º j) 120º o) 59º Importante para mim. 140º. 01) a) 59º f) 28º 02) a) 28º f) 38º k) 42º 03) e 04) d 05) 35º 06) d 07) b 08) 144º 09) 58º 10) a 11) 84º 12) 45º. 5º 18) 40º 19) e 20) a b) triângulo retângulo d) 6 cm 21) 125º 22) a) 10 cm 09) 60º 10) 108º b) 25º 03) 90º. A 26º F 26º E O (GeoJeca) B D 64º C DEF = 84º DFE = 52º EDF = 44º Jeca 72 . pois os os ângulos opostos AFO e AEO são suplementares. 60º e 60º 04) 228º 05) 22º 06) 60º 07) 55º 08) a) 90º c) mediana Resolução do exercício 23) (Desafio) O quadrilátero AFOE é inscrito numa circunferência. y = 135º . t = 120º 16) x = 105º .5º . y = 45º .Respostas dos exercícios complemmentares da Aula 06. z = 67. t = 112. z = 30º . y = 108º . Análogamente provam-se os demais ângulos. z = 75º . y = 90º . Desenhando-se a circunferência percebe-se que os ângulos EAO e EFO são congruentes pois estâo inscritos no mesmo arco da mesma circunferência. z = 45º 15) x = 75º . t = 90º 17) x = 135º . 01) a) 43º b) 123º c) 152º d) 136º e) 44º f) 29º g) 16º h) 128º i) 95º j) 57º l) 34º m) 90º n) 39º o) 124º p) 82º 02) a) 60º b) 98º f) 156º g) 24º l) 65º m) 70º c) 204º h) 42º n) 112º d) 33º e) 48º i) 112º j) 96º o) 46º p) 48º 11) 360º / 7 12) 108º 13) 72º 14) x = 27º. r 5 x 8 x t r // s // t 18 4 s r // s 05) Determine o valor de x na figura abaixo. cortado por duas retas transversais. a bissetriz de um ângulo interno divide internamente o lado oposto em dois segmentos que são proporcionais aos lados adjacentes. Em todo feixe de retas paralelas. x r 7 8 s r // s 11 Jeca 73 . A bissetriz a a Teorema de Tales c b Teorema da bissetriz interna b c a = d b B x y C y x c = b Exercícios. r 12 s 10 04) Determine o valor de x na figura abaixo. 01) Determine o valor de x na figura abaixo.Geometria plana Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. I) Teorema de Tales. a razão entre dois segmentos quaisquer de uma transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra transversal. Em todo triângulo. r 6 s 10 t r // s // t 12 x 06) Determine o valor de x na figura abaixo. r // s // t r s 03) Determine o valor de x na figura abaixo. r // s // t r 8 5 x s 6 18 t 24 t x 8 02) Determine o valor de x na figura abaixo. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista . r a c d t r // s // t s II) Teorema da bissetriz interna.SP) Aula 07 Segmentos proporcionais. Geometria plana Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. cortado por duas retas transversais. r // s // t r s x = 6 . 01) Determine o valor de x na figura abaixo. a bissetriz de um ângulo interno divide internamente o lado oposto em dois segmentos que são proporcionais aos lados adjacentes. r 12 s x t r // s // t 18 10 Teorema de Tales x 12 = 18 10 04) Determine o valor de x na figura abaixo. Em todo triângulo. r 6 s 10 t r // s // t 12 x Teorema de Tales x 6 + 10 = 12 10 06) Determine o valor de x na figura abaixo. 8/18 x = 32/3 (resp) x 8 24 t 02) Determine o valor de x na figura abaixo. r Teorema de Tales x 8 = 4 5 x 5 8 t s r // s // t 4 x = 12 . 4/5 x = 32/5 (resp) 05) Determine o valor de x na figura abaixo. r // s // t r 8 5 x s 6 t Teorema de Tales 8 5 = x 6 Teorema de Tales x 8 = 18 24 x = 24 . 12)/10 x = 96/5 (resp) x = 8 . 11/ 7 x = 88/ 7 (resp) r // s Jeca 73 . 8/5 x = 48/5 (resp) 18 03) Determine o valor de x na figura abaixo. Em todo feixe de retas paralelas. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista . x r 7 8 s Teorema de Tales x 8 = 11 7 11 x = (16 .SP) Aula 07 Segmentos proporcionais. I) Teorema de Tales. 18/10 x = 108/5 (resp) x = 8 . a razão entre dois segmentos quaisquer de uma transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra transversal. A bissetriz a a Teorema de Tales c b Teorema da bissetriz interna b c a = d b B x y C y x c = b Exercícios. r a c d t r // s // t s II) Teorema da bissetriz interna. determine a medida de GJ e de HM. sabendo que a frente total para essa rua é 180 m. CD = 5. como mostra a figura. A B B' C' C D D' Jeca 74 . determine as medidas de HL e GM. CD = 5. Determine os comprimentos dos segmentos AB'. Qual a medida de frente para a Rua B de cada lote. O segmento AD' mede 13 cm e as retas BB' e CC' são paralelas a DD'. p. EF = 7 e JM =15. r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. As divisas laterais são perpendiculares à Rua A. Sabendo-se que AB = 3. BC = 3 cm e CD = 5 cm. Sabendo-se que AB = 3. A B C D G H p I q J r E L s F u M v m n 10) (UNICAMP) A figura a seguir mostra um segmento AD dividido em três partes: AB = 2cm. r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. n. as retas m. x Rua B y 08) Na figura abaixo. A B C G H p I q D J r E L s F u M v m n z 40 m 30 m Rua A 20 m 09) Na figura abaixo. DE = 6. DE = 6. q. B'C' e C'D' em centímetros.07) (MAPOFEI 76) Três terrenos têm frente para a Rua A e para a Rua B. BC = 4. p. n. q. as retas m. BC = 4. EF = 7 e JL = 8. 8 / 6 GJ = 16 09) Na figura abaixo. as retas m. BC = 4. Qual a medida de frente para a Rua B de cada lote. A 3 4 5 B C G H p I q J 8 r E 7 s F u Teor. Determine os comprimentos dos segmentos AB'. (4 + 5 + 6) / (6 + 7) HL = 225 / 13 y = 3 . de Tales HL JM = BE DF Teor. EF = 7 e JL = 8. BC = 3 cm e CD = 5 cm. 30 = 60 m 20 z = 90 180 z = 2 . BE / DF HL = 15 . 13 / 10 = 13/2 cm Jeca 74 . 2 + 3 + 5 = 10 cm A 2 cm B x B' y 13 c 3 cm C 5 cm D D C' m z D' Teor. 20 = 40 m 30 m Rua A 20 m D 6 40 + 30 + 20 = 90 m GJ = AD . O segmento AD' mede 13 cm e as retas BB' e CC' são paralelas a DD'. EF = 7 e JM =15. determine as medidas de HL e GM. de Tales 40 x = 90 180 x = 2 . A 3 4 5 6 15 E 7 s F u Teor. de Tales GM AF = DF JM GM = JM . 180 m Rua B y 08) Na figura abaixo. DE = 6. Sabendo-se que AB = 3. 40 = 80 m x 40 m 30 y = 90 180 y = 2 . q. JL / DE HM = (4 + 5 + 6 + 7) . n. como mostra a figura. JL / DE GJ = (3 + 4 + 5) . BC = 4. 8 / 6 HM = 88/3 M v L m n z Teor. AF / DF GM = 15(3 + 4 + 5 + 6 + 7)/13 GM = 375 / 13 M v L r B C G H p I q J m n 10) (UNICAMP) A figura a seguir mostra um segmento AD dividido em três partes: AB = 2cm.07) (MAPOFEI 76) Três terrenos têm frente para a Rua A e para a Rua B. p. sabendo que a frente total para essa rua é 180 m. determine a medida de GJ e de HM. As divisas laterais são perpendiculares à Rua A. r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. 13 / 10 = 39/10 cm z 13 5 10 = z = 5 . q. Sabendo-se que AB = 3. CD = 5. as retas m. p. r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. CD = 5. n. de Tales GJ JL = AD DE HM BF = DE JL HM = BF . B'C' e C'D' em centímetros. DE = 6. 13 / 10 = 13/5 cm y 13 = 3 10 HL = JM . de Tales x 13 = 2 10 x = 2 . AD é bissetriz interna do ângulo A. Sendo BD = 3 cm. c b+c e) a . sendo c < b < a. c e d. divide o lado BC em dois segmentos. CD = 5 cm e AC = 10 cm. Calcule a medida do segmento CD. b b+c d) a . determine a medida do segmento AC. o ponto E é o incentro do triângulo ABC. Determine a medida do segmento DE. A cm 12) No triângulo ABC abaixo. sendo AD a bissetriz do ângulo interno do vértice A. sendo AD a bissetriz do ângulo interno do vértice A. A 14) Determinar o valor de x sabendo-se que na figura abaixo AD é a bissetriz interna do ângulo A. A 3a a E B D E C 3 cm C 5 cm 10 cm D 17) Na figura abaixo. AC = b e BC = a. c a a+c D c a b) b . A 30 14 cm 16 cm cm 3x +1 3x 3 B D C B 12 cm D 9 cm C 15) O quadrado ABCD da figura abaixo tem lado 4 cm. Se a bissetriz do ângulo A A.11) No triângulo ABC abaixo. A 16 c m a a B 6 cm 9 cm D C a a 10 cm 12 B D 20 cm C 13) Na figura. determine a em função de b. determine o valor da razão DE / AE. qual é a medida B do menor desses segmentos ? b a) b . sendo AD a bissetriz do ângulo 18) Dado um triângulo ABC de lados AB = c. A B 16) Na figura abaixo. b b-c Jeca 75 . c a a+b A C d c) a . determine a medida do segmento BD. qual é a medida B do menor desses segmentos ? b Teorema da bissetriz Teorema da bissetriz a) b . o ponto E é o incentro do triângulo ABC.x = a.x + c. Determine a medida do segmento DE.x C x = 12 .c.c / (b + c) (resp d) Jeca 75 2 BE também é bissetriz AE DE = 3 6 3 6 = DE = AE 1 2 (resp) . Sendo BD = 3 cm. CD = 5 cm e AC = 10 cm.x b+c b.3) 3x +1 3x 3 B x D C x = 112 / 15 cm (resp) 27x + 9 = 36x .c=b. AC = b e BC = a. c A a interna interna a+c D c a a a b b) b . determine a medida do segmento AC. c e d.ponto de encontro das bissetrizes. determine a em função de b. A B 16) Na figura abaixo.x) x 2=4-x x 2+x=4 C x( 2 + 1) = 4 x = 4 = 4( 2 .x) 10 10x = 320 . b x(b + c) = a.1) cm 2+1 (resp) cm D x E 4-x 17) Na figura abaixo. divide o lado BC em dois segmentos. Calcule a medida do segmento CD. A Teorema da bissetriz interna x 14 = 16 30 x = 16 .c .c b-c x = a.d a-x x c) a . AD é bissetriz interna do ângulo A. A Teorema da bissetriz interna 12) No triângulo ABC abaixo. determine o valor da razão DE / AE. Se a bissetriz do ângulo A A. A a a x E b b B 3 cm D 5 cm C Incentro . c bx = a. 14 / 30 14) Determinar o valor de x sabendo-se que na figura abaixo AD é a bissetriz interna do ângulo A.11) No triângulo ABC abaixo. A Teorema da bissetriz interna B 16 c m cm a a a a 10 6 = 12 12 9 x x cm x D 20 cm 20 . A Teorema da bissetriz interna 30 14 cm 16 cm cm 12 9 = 3x . d / c (resp) d) a .x 10 16(20 . Teorema da bissetriz interna 3 x 5x = 30 = 5 10 x = 6 cm 3a a 4 d = 4 Teorema da bissetriz interna x 4 = 4-x 4 2 10 x .36 45 = 9x x = 5 cm (resp) B 12 cm D 9 cm C 15) O quadrado ABCD da figura abaixo tem lado 4 cm. c c a-x x b c a a = d c = b a+b A C d a. sendo c < b < a. 4 2 = 4(4 .3 3x + 1 9(3x + 1) = 12(3x . sendo AD a bissetriz do ângulo interno do vértice A.16x 26x = 320 x = 160 / 13 cm (resp) 13) Na figura. determine a medida do segmento BD. 9 / 6 x = 18 cm (resp) B 6 cm D 9 cm C x 16 x = = 20 . sendo AD a bissetriz do ângulo interno do vértice A. b B C b+c a a = b . sendo AD a bissetriz do ângulo 18) Dado um triângulo ABC de lados AB = c.c e) a . A 22) (MAPOFEI-SP) O perímetro de um triângulo é 100 m. AM é a mediana relativa à hipotenusa e AD é a bissetriz do ângulo BAC. Determine o comprimento de MN. m 8c m 5 cm 6c B D M C Jeca 76 . B A D C 21) Na figura abaixo. A bissetriz do ângulo interno A divide o lado oposto em dois segmentos de 16 m e 24 m.19) (Fuvest-SP) Um triângulo ABC tem lados AB = 5. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB. 20) Na figura abaixo. BC = 4 e AC = 2. Determine a medida de BD sabendo que BC = 25 cm e que AB = 7 cm. o triângulo ABC é retângulo em A . ABC é um triângulo retângulo e o segmento BD é a bissetriz interna do ângulo ABC. Determine as medidas dos lados desse triângulo. Determinar a medida do segmento DM. y x C AB + AC + BC = 100 Se BC = 16 + 24 = 40 .24 = 36 m BC = 40 m (resp) Jeca 76 . A 22) (MAPOFEI-SP) O perímetro de um triângulo é 100 m.x = 60 .BD = 5 . AM é a mediana relativa à hipotenusa e AD é a bissetriz do ângulo BAC. BM = 5 cm Teorema da bissetriz interna y 10 . B Pitágoras 2 2 2 a 7 a x y 2 4 25 cm 25 = 7 + w 2 w = 625 . A bissetriz do ângulo interno A divide o lado oposto em dois segmentos de 16 m e 24 m.x B B Pitágoras x = 6 + 8 = 100 x = 10 cm Portanto.2x C 2 A x = 5/3 Pitágoras 25y = 168 .49 = 576 A C 2 a A B N a M 4 24 .10y + 4 10y = 13 y = 13/10 2 2 MN = x . ABC é um triângulo retângulo e o segmento BD é a bissetriz interna do ângulo ABC.y = 5/3 . C 20) Na figura abaixo. Determine o comprimento de MN.x 24x = 960 . BC = 4 e AC = 2. Determinar a medida do segmento DM.7y Pitágoras 2 2 2 x = 7 + (21/4) h y N 4 5-y B 2 2 =y +h y +h =4 4 = (5 .y D w C M 5 Teorema da bissetriz interna B w = 24 A Teorema da bissetriz interna y 7 = 24 .10y + y + h 16 = 25 .13/10 = 5030 .40 = 60 m Teorema da bissetriz interna 16 24 x = 60 . então AB + AC = 100 . Determine a medida de BD sabendo que BC = 25 cm e que AB = 7 cm.19) (Fuvest-SP) Um triângulo ABC tem lados AB = 5.39/30 = 11/30 (resp) 21) Na figura abaixo. o triângulo ABC é retângulo em A .y = 8 6 8y = 60 .6y 14y = 60 y = 30/7 cm BM = 5 cm BD = 30/7 cm DM = BM .30/7 DM = 5/7 cm (resp) 2 2 2 24 C D y M 10 .y 25 y = 21/4 cm x 5-x x 2 = 5-x 4 4x = 10 .30/7 = 35/7 . Determine as medidas dos lados desse triângulo. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB.16x 40x = 960 x = 24 m AB = x = 24 m AC = 60 . A m 8c m a a x 16 40 m 5 cm 6c 60 .y) + h 2 2 2 2 2 2 2 x = 49 + 441/16 = 1 225/16 x = 35/4 cm (resp) 2 16 = 25 . y e z. a qual r divide BC em dois segmentos BN e CN. 02) Na figura abaixo.SP) Teorema de Tales e Teorema da bissetriz interna. determinar x a e y. determine o valor de x. determine o valor de x em função 08) Num triângulo ABC. determinar x. determinar x e y. a 7 4 y d 5 x c 4 d b 01) Na figura abaixo. b e c. determine z em função de y. r 2 s 3 t y r // s // t x 05) Na figura abaixo. 9 cm 6 cm x 7 cm 9 07) Na figura abaixo. 5 8 x 10 c y 7 b 03) Na figura abaixo. sendo a // b // c //d . sendo x + y = 9. traçamos a paralela ao lado AB. 36 cm. Exercícios complementares da aula 07. Determine a medida de CN. determinar o valor de x e de y.Geometria plana Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Por um ponto M situado sobre AC. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista . a r // s c s b x Jeca 77 . sendo a // b // c //d . o lado AC mede 32 cm e o lado BC. a 10 cm de a. do vértice C. r // s // t r x s 3x t z y 04) Na figura abaixo. r x s y t 11 u v z r // s // t // u // v 2 3 7 06) Na figura abaixo. SP) Teorema de Tales e Teorema da bissetriz interna. o lado AC mede 32 cm e o lado BC. Teorema de Tales x 2 = x+y 2+3 x 2 = 5 9 x = 18 / 5 y 3 = 5 9 y = 27 / 5 r 2 s 3 t y r // s // t x z = 3y (resp) 05) Na figura abaixo. determinar o valor de x e de y. sendo x + y = 9. 2 / 9 = 22 / 9 07) Na figura abaixo.4/7 y = 20 / 7 7 4 y 5 x c 4 d b 01) Na figura abaixo. a Teorema de Tales 7 5 x = 4 x=7.c x=a.c/b Jeca 77 . Determine a Teorema de Tales medida de CN.10x 32x = 360 x = 360 / 32 x = 45 / 4 cm 22 M B 36 . 8 / 10 y = 28 / 5 03) Na figura abaixo. b e c.4/5 x = 28 / 5 5 7 y = 4 y=5.x 22x = 360 . Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista .7/6 x = 63 / 6 x = 21 / 2 7 cm z = 11 . 7 / 11 = 63 / 11 x 6 cm y = 9 . Por um ponto M situado sobre AC. 10 / 8 x = 25 / 4 8 y = 10 7 8 x 10 c y 7 d b y = 7 . 36 cm. r // s // t r x s 3x t 1 3 = y z z Teorema de Tales y x 3x = z y 04) Na figura abaixo. Exercícios complementares da aula 07. determinar x a e y. determine o valor de x. 5 Teorema de Tales x 5 = 8 10 x = 5 . sendo a // b // c //d . y e z. a 10 cm de a. a x = b c a r // s // t c s b A t x Teorema de Tales 10 x = 22 36 . 02) Na figura abaixo.Geometria plana Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. determine o valor de x em função 08) Num triângulo ABC. sendo a // b // c //d . determinar x e y. 9 cm x = 9 .b=a. do vértice C. determine z em função de y. determinar x. r x s y t 11 u v z r // s // t // u // v 2 3 y 9 9 = 3 11 7 Teorema de Tales x 9 7 = 11 06) Na figura abaixo.x N x 10 C x. 3 / 11 = 27 / 11 11 z = 9 2 Teorema de Tales x 9 = 7 6 x=9. traçamos a paralela ao lado AB. a qual r divide BC em dois segmentos BN e CN. as retas r . EF = 7 e LM = 8. n. DE = 6.03 1. 14) Na figura abaixo.57 1. r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v.00 10) Na figura abaixo. Determine o valor da soma das medidas dos segmentos x. Se x + y = 12. Sabendo-se que AB = 3. d. c. n. Determine a medida do segmento BD e o valor do pe. q. CD = 5. Sabendo-se que AB = 3. AD é a bissetriz do ângulo BAC. BC = 4.Determine a medida dos segmentos BD e CD. p. as retas a. z e t. rímetro do triângulo ABC. b.33 1. p. AD é a bissetriz do ângulo BAC. qual é a medida de HJ ? a) b) c) d) e) 83 / 9 81 / 7 93 / 9 72 / 7 89 / 8 A B C D G H p I q J r E L s F u M v m n 12) Na figura abaixo. CD = 5. y. EF = 7 e HJ = 10. BC = 4. é : a) b) c) d) e) 1. as retas m.09) Na figura abaixo.75 2. DE = 6. qual é a medida de HM ? a) 198 / 7 A G m b) 223 / 9 n c) 220 / 9 B H d) 241 / 10 p e) 241 / 11 C I q D J r E L s F u M v 13) Na figura abaixo.y. então o valor que mais se aproxima de x . as retas m. r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. s e t são paralelas entre si. e e f são paralelas entre si. A A a a cm a a 16 cm 18 cm 12 8 cm B D C 12 cm B C D 20 cm Jeca 78 . q. a b 2 3 c 4 y z t d 5 e 6 f 3 x r y x 4 5 s t 11) Na figura abaixo. s e t são paralelas entre si. DE = 6. r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. as retas a. as retas m. EF = 7 e LM = 8. 10 / 9 HM = 220 / 9 (resp c) 6 HJ = 72 / 7 (resp d) 13) Na figura abaixo.y = 20/3 . DE = 6. AD é a bissetriz do ângulo BAC. rímetro do triângulo ABC. z e t. as retas r .16/3 = 4/3 = 1. 18 / 12 x = 12 cm Per = 2p = 12 + 8 + 12 + 18 = 50 cm (resp) Teorema da bissetriz interna 20 . r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. CD = 5.03 1. qual é a medida de HJ ? a) b) c) d) e) 83 / 9 81 / 7 93 / 9 72 / 7 89 / 8 6 Teorema de Tales BD HJ = LM EF HJ 4+5 = 7 8 HJ = 8 .x x = 12 16 B C 16x = 240 . y. as retas m. BC = 4. Sabendo-se que AB = 3.x C x D 8 cm Jeca 78 . e e f são paralelas entre si. 14) Na figura abaixo.75 2. Determine o valor da soma das medidas dos segmentos x. q. A A a a Teorema da bissetriz interna 8 x = 18 12 B x = 8 . n. q. qual é a medida de HM ? a) 198 / 7 A G m b) 223 / 9 3 n c) 220 / 9 B H d) 241 / 10 4 p e) 241 / 11 C I 5 q D J r E 7 s F u M v L Teorema de Tales BD HJ = BF HM 9 10 = 22 HM HM = 22 . CD = 5.12x 28x = 240 x = 60 / 7 cm BD = 60 / 7 cm DC = 20 . 9 / 7 u A 3 4 5 B C D G H p I q J r E 7 F L 8 s M v m n 12) Na figura abaixo.33 1. então o valor que mais se aproxima de x . b.00 10) Na figura abaixo. Determine a medida do segmento BD e o valor do pe. 5 / 9 = 20 / 3 x . d. BC = 4. p.y. AD é a bissetriz do ângulo BAC. c. Sabendo-se que AB = 3. n. é : a) b) c) d) e) 1. Se x + y = 12.57 1.Determine a medida dos segmentos BD e CD. 4 / 9 = 16 / 3 s t Teorema de Tales x 5 x+y = 5+4 x 5 = 12 9 x = 12 .09) Na figura abaixo. p.33 (resp b) 11) Na figura abaixo.60 / 7 = 80 / 7 cm cm a a 16 cm 18 cm 12 12 cm x D 20 cm 20 . EF = 7 e HJ = 10. a b 2 3 c 4 y z t d 5 e 6 f Teorema de Tales 2 3 = x+y+z+t 3+4+5+6 2 3 = x+y+z+t 18 x + y + z + t = 54/2 = 27 (resp) 3 x r y x 4 5 y 4 x+y = 5+4 y 4 = 9 12 y = 12 . DE é paralelo a BC e BE é a bissetriz do ângulo interno do vértice B. BD = 4 cm e AC = 15 cm. 20) (J) Na figura abaixo. De acordo com essa figura. w e k em função de a. BC é a bissetriz do 18) (J) No triângulo ABC abaixo. b e c.d) c x e) a = b. 16) Observe a figura abaixo. sabendo que razão entre as medidas dos segmentos AC e CD.15) Num triângulo ABC. determine a medida do lado BC.d / b a d) a = c / (b.c / d b c) a = c. CD é a bissetriz do ângulo interno ACB. Determinar a medida de AD. Determine a razão entre BD e CD. A B A D C D B C E 19) (J) Na figura abaixo.c. Sabendo que AD = 7 cm. qual das relações abaixo é verdadeira. y.d x d 17) No triângulo ABD abaixo. a = 15º e AC = 4. determinar x. AC = 8 e ângulo ABD. AB = 12. a) a = b. Determine a BC = 10.d / c b) a = b. AB = 18 cm e BD = 15 cm. A a a 15º 15º 15º k y b a w x c C D B Jeca 79 . AB = 18 cm e BD = 15 cm. a) a = b. 15 / 7 x = 60 / 7 cm (resp) a. a = 15º e AC = 4. determinar x.d) c x e) a = b. A cos 30º = ca = hip 3 x = 2 4 x=2 3 Teorema da bissetriz interna CD BD x = 4 BD = CD x 4 = 3 2 (resp) C D y B x 4 a a 4 x w x c 2 3 BD = 4 CD Jeca 79 .d / c (resp a) 17) No triângulo ABD abaixo. 48 11 2 72 11 (resp) a a B 10 Teorema da bissetriz interna 12 D 8-x C x E 8 = 19) (J) Na figura abaixo.d / b a d) a = c / (b.c / d b c) a = c.12x 22x = 96 x = 48 / 11 Teorema de Tales AD x = 12 8 AD = 12x / 8 = 3x / 2 AD = 3 . BD = 4 cm e AC = 15 cm. Determine a BC = 10.d x d Teorema da bissetriz interna b a = c d x = 4 . AC = 8 e ângulo ABD.15) Num triângulo ABC. Sabendo que AD = 7 cm.c = b.d a = b. A B 18 cm A a a 15 Teorema da bissetriz interna CD AC = 15 18 18 AC = = 15 CD 6 5 (resp) C D 8-x x = 10 12 10x = 96 .c 15º 15º 15º k y b a 20) (J) Na figura abaixo. w e k em função de a. BC é a bissetriz do 18) (J) No triângulo ABC abaixo. A Teorema da bissetriz interna 4 x 7 = 15 B D 4 x a a C 7 15 cm 16) Observe a figura abaixo.3c) k= 3. y. x=c y=a tg 30º = w + x = w + c b b w+c 3 = 3 b b 3 = 3w + 3c w = b 3 .w = c . determine a medida do lado BC. DE é paralelo a BC e BE é a bissetriz do ângulo interno do vértice B. AB = 12. b e c.3c k = b. De acordo com essa figura.d / c b) a = b. qual das relações abaixo é verdadeira. sabendo que razão entre as medidas dos segmentos AC e CD.c. CD é a bissetriz do ângulo interno ACB. Determine a razão entre BD e CD. c 3 b(b 3 .3c 3 Teorema da bissetriz interna w x k = b w c k = b b b 3 . Determinar a medida de AD. AB = 6.21) (J) Na figura abaixo. Determine o valor da expressão E = x . as retas a. A 24) (J) Determine a medida de uma diagonal de um pentágono regular de lado K. Sabendo que D é o ponto de encontro das três bissetrizes dos ângulos internos do triângulo ABC. determine a distância VR. a b c x d 10 e 11 9 7 5 6 y t 22) (J) No triângulo ABC abaixo. AC = 9 e BC = 8. d e e são paralelas entre si. A S T D B C R 23) (J) No triângulo ABC abaixo. AB = 6. Sabendo que D é o incentro do triângulo ABC e que V é o ponto onde a circunferência de centro em D tangencia o lado BC. y + t. K S T D B C d V R Jeca 80 . b. AC = 9 e BC = 8. determine a razão entre CD e DT. c. (-k) + (-k) .kd Organizando. 1 .21) (J) Na figura abaixo. y + t = 90 .y) / 9 T D B y Teor. a b c x d 10 e 11 9 7 5 6 y t 22) (J) No triângulo ABC abaixo. d e e são paralelas entre si. determine a distância VR. (-k 2.k 5 2 = (resp) Jeca 80 . AF é uma bissetriz.y / AC y / 6 = (8 .BV VR = 16/5 . 11 2 18 =7 2º 23) (J) No triângulo ABC abaixo. tem-se d= d = . AB = 6.5/2 VR = 32/10 .9x 17x = 54 x = 54/17 (No triângulo ATC) DT = CD x 9 y R 8 8-y Teorema de Tales x 10 = 9 11 x = 90/11 9 x = y 5 = 10 11 t 7 = y 9 y = 55/10 = 11/2 t = 7y/9 = 77/18 887 18 (resp) CD = DT CD DT 9 54 17 = 17 6 (resp) 11 + 77 = E = x . determine a razão entre CD e DT.25/10 VR = 7/10 (resp) T x V B x 8-x C 8-y A 24) (J) Determine a medida de uma diagonal de um pentágono regular de lado K. A 0/5 36º 36º 36º K S e= 36 E 108º B d d dk 36º V R F k 36º 72º 36º 72º k k A 6-x 36º 36º D S 8-x D C No triângulo ADB.4 . c. da bissetriz interna y / AB = 8 . Determine o valor da expressão E = x . y + t.k = 0 Resolvendo a equação do 2º grau em d . AC = 9 e BC = 8.x) + (8 . Pelo Teorema da bissetriz interna. AB = 6. Sabendo que D é o incentro do triângulo ABC e que V é o ponto onde a circunferência de centro em D tangencia o lado BC. as retas a. AC = 9 e BC = 8. Teor.1 k( 1 + 5 ) 2 2 2 ) k+ . do ponto exterior (6 . Sabendo que D é o ponto de encontro das três bissetrizes dos ângulos internos do triângulo ABC.kd . tem-se d .x) = 9 2x = 5 6-x x = 5/2 Portanto BV = 5/2 VR = BR . tem-se k d 2 2 = C d-k k 2 2 Portanto k = d . Teorema da bissetriz interna (No triângulo ABC) x 9 = 6-x 8 T D B C A x a a S 9 8x = 54 . b. 11) 18 cm 12) (160 / 13) cm 13) (112 / 15) cm 14) 5 cm 15) 4( 2 . 40 cm e 36 cm 39 / 10 e 13 / 2 Importante para mim.d / c 18) d 19) 11 / 30 20) (35 / 4) cm 21) (5 / 7) cm 22) 24 cm.1) cm 16) 1 / 2 17) b. mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] dos exercícios da Aula 07. por favor. e 40 m 08) 16 e 88 / 3 09) 225 / 13 e 375 / 13 10) 13 / 5. 01) 48 / 5 02) 32 / 3 03) 108 / 5 04) 32 / 5 05) 96 / 5 06) 88 / 7 07) 80 m. Se você. descobrir alguma resposta errada. resolvendo esta lista.br Somente assim. Obrigado.com. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 81 . 60 m. poderei corrigir eventuais erros. Respostas dos exercícios complementares da Aula 07.c / b 08) (45 / 4) cm 09) b 10) 27 11) d 12) c 13) 12 cm e 50 cm 14) (60 / 7) cm e (80 / 7) cm 15) (60 / 7) cm 16) a 17) 6 / 5 18) 72 / 11 19) x = c . 01) 25 / 4 e 28 / 5 02) 28 / 5 e 20 / 7 03) 3y 04) 18 / 5 e 27 / 5 05) 63 / 11.3c) 3c 20) 3/2 21) 887 / 18 22) 17 / 6 23) 7 / 10 24) K(1 + 5 ) / 2 Importante para mim. resolvendo esta lista. 27 / 11 e 22 / 9 06) (21 / 2) cm 07) a. mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol. por favor. y=a.com. descobrir alguma resposta errada. poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Se você. w = b 3 .3c 3 k = b(b 3 . Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 82 .br Somente assim. 3 3 3 R R N N > A .