Geometria_Analitica

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONALÉ constituído por duas retas x e y , perpendiculares entre si. y y P P(x P , y P ) P ∈ ∈∈ ∈ I o Q ⇔ ⇔⇔ ⇔ x P ≥ ≥≥ ≥ 0 e y P ≥ ≥≥ ≥ 0 2 o quadrante 1 o quadrante P ∈ ∈∈ ∈ II o Q ⇔ ⇔⇔ ⇔ x P ≤ ≤≤ ≤ 0 e y P ≥ ≥≥ ≥ 0 x P ∈ ∈∈ ∈ III o Q ⇔ ⇔⇔ ⇔ x P ≤ ≤≤ ≤ 0 e y P ≤ ≤≤ ≤ 0 0 x P P ∈ ∈∈ ∈ IV o Q ⇔ ⇔⇔ ⇔ x P ≥ ≥≥ ≥ 0 e y P ≤ ≤≤ ≤ 0 3 o quadrante 4 o quadrante P ( x P , y P ) A reta x é chamada eixo das abscissas. A reta y é chamada eixo das ordenadas. abscissa ordenada O ponto 0 é chamado origem. O número real x p é denominado abscissa de P. O número real y p é denominado ordenada de P. O par ordenado ( x p , y p ) representa as coordenadas de P. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS NA RETA A distância entre os pontos A e B de coordenadas a e b , respectivamente, é dada por: A B 0 a b d AB = b a − (Medida algébrica) Em que d AB é a distância entre A e B. O número real não negativo d AB é denominado, também, comprimento do segmento AB . DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS NO PLANO A distância entre os pontos A ( x A , y A ) e B ( x B , y B ) é dada por: y d 2 AB = (x B - x A ) 2 + (y B - y A ) 2 y B B( x B ,y B ) 2 A B 2 A B AB ) y (y ) x (x d − −− − + ++ + − −− − = == = y A A(x A ,y A ) o x A x B x EXERCÍCIOS DE SALA EXERCÍCIOS DE SALA EXERCÍCIOS DE SALA EXERCÍCIOS DE SALA 01) Calcular a distância entre os pontos A (- 2, 7) e B (3, - 5). R: 13 u.c. 02) Se a > 0 e b < 0 , a que quadrante pertencem os pontos A (a, b) e B (a, - b). R: 4 o e 1 o quadrantes 03) Dar a condição para que o ponto P (a, b) esteja no II Q. R: a < 0 e b > 0 DIVISÃO DE UM SEGMENTO POR UM PONTO Observando o gráfico: y Razão em que o ponto C divide o segmento orientado AB y B B ∆ BCD ≈ ∆ ACE , logo: y C C D C B A C C B A C y y y y x x x x CB AC r − − = − − = = y A A E x x A x C x B Notas: 01) Se o ponto C está entre A e B , então a razão r AC CB = é positiva. Nesse caso, dizemos que o ponto C divide interiormente o segmento AB . 02) Se A, B e C são pontos distintos e colineares tal que C é exterior ao segmento AB , então a razão r AC CB = é negativa. Nesse caso, dizemos que C divide exteriormente o segmento AB . Exemplos: 01) Determinar a razão em que o ponto C (3, 6) divide o segmento AB , sendo A (1, 2) e B (9, 18). A 1 C 3 B 3 1 3 9 1 3 x x x x CB AC r C B A C = − − = − − = = • • • O ponto C é interior ao segmento AB . 02) Determinar a razão em que o ponto C (10, 5) divide o segmento AB , sendo A (4, 2) e B (8, 4). A 2 B 1 C r AC CB x x x x C A B C = = − − = − − = − 10 4 8 10 3 • • • O ponto C é exterior ao segmento AB . 03) Dados A (- 3, - 5) e B (1, - 1) , determinar o ponto C (x C , y C ) que divide o segmento orientado AB na razão − 7 3 . r AC CB x x x x x x x r AC CB y y y y y y y C C A B C C C C C A B C C C C = = − − = − ⇒ − − − = − ⇒ = = = − − = − ⇒ − − − − = − ⇒ = ∴ 7 3 3) 1 7 3 4 7 3 5 1 7 3 2 4, 2 ( ( ) ( ) COORDENADAS DO PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO Sendo M (x M , y M ) ponto médio do segmento AB , podemos obter o ponto médio pelas fórmulas: 2 x x x B A M + = 2 y y y B A M + = | || | | || | ¹ ¹¹ ¹ | || | \ \\ \ | || | + ++ + + ++ + 2 y y , 2 x x M B A B A BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO O baricentro G de um triângulo ABC de coordenadas A (x A ,y A ) , B (x B ,y B ) e C (x C ,y C ) é dado por: A(x A ,y A ) Baricentro é o ponto de encontro das medianas. O ponto G divide a mediana , na razão 2:1. M 3 2 M 1 1 G 1 3 x x x x C B A G + + = 2 1 2 C(x C ,y C ) M 2 B(x B ,y B ) 3 y y y y C B A G + + = ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS Se três pontos estão alinhados, podemos entender que o triângulo formado tem área nula. y y C C A(x A ,y A ) x A y A 1 y B B B(x B ,y B ) D = x B y B 1 = 0 C(x C ,y C ) x C y C 1 y A A 0 x A x B x C x D = 0 ⇔ A , B e C são colineares, isto é, estão alinhados. D ≠ ≠≠ ≠ 0 ⇔ A , B, e C formam triângulo. D 2 1 A = Área do triângulo EXERCÍCIOS DE SALA 01) Determinar a distância entre os pontos A (4, 6) e B (9, 18) R: 13 02) Dados A (5, 1) e B (7, - 9) , determinar o ponto médio M do segmento AB. R: M (6, - 4) 03) Determinar o simétrico do ponto A (3, 5) em relação ao ponto Q (9, 6). R: A’ (15, 7) 04) Em um paralelogramo ABCD , tem-se que A (4, 7) e C (5, 6) são vértices opostos e D (2, 3) , determine o vértice B. R: B (7, 10) 05) Determinar o baricentro G do triângulo ABC , dados A (6, 5) , B (2, 4) e C (1, - 1). R: G (3, 8/3) 06) No triângulo ABC qualquer, o ponto G é seu baricentro. Determinar as coordenadas X G e y G . R: 3 x x x x C B A G + + = ; 3 y y y y C B A G + + = EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) Determinar o ponto P , pertencente ao eixo Ox , que dista 5 unidades do ponto Q (6, 3). R: P 1 (2, 0) ou P 2 (10, 0) 02) Determinar o ponto P, pertencente à bissetriz dos quadrantes ímpares, eqüidistantes dos pontos A (2, 5) e B (4, 2). R: P ( 9/2 , 9/2 ) 03) O triângulo ABC é retângulo ( é reto) e o vértice A é um ponto do eixo das abscissas. Determine as coordenadas do ponto A , sabendo que B (2, 4) e C (5, 0). R: A (2, 0) 04) Determine as coordenadas de um ponto A que pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, sabendo que o ponto está a igual distância dos pontos B (7, 2) e C (- 2, 1). R: (12/5 , 12/5) 05) Calcule a distância do ponto M (- 12, 9) à origem. R: 15 06) Determine as coordenadas do ponto B, simétrico do ponto A (- 1, 2) em relação ao ponto C (3, 4). R: B (7, 6) 07) Dados A (-1, 2) e B (3, 4) , qual é o ponto pertencente ao eixo das ordenadas que equidista de A e B. R: (0, 5) 08) Os pontos A (3, 7) , B (5, 11) e C (8, 17) estão alinhados. Determine a razão em que: a) B divide AC b) C divide AB c) A divide BC R: 2/3 ; - 5/3 ; - 2/5 09) Sejam os pontos A (1, 3) e B (7, 9). Se o ponto P (5, 7) está alinhado com os pontos A e B , calcule a razão em que P divide o segmento AB. R: 2 10) Considere o triângulo ABC, em que A (-1, 1), B (5, 0) e C (1, 2). Calcule o comprimento da mediana relativa ao vértice A. R: 4 11) Sejam A (-1, 6) e B (6, 6) os vértices adjacentes de um paralelogramo e M (1, 4) o ponto de interseção de suas diagonais. Determine as coordenadas dos outros dois vértices desse paralelogramo. R: C (3, 2) e D (- 4, 2) 12) Os pontos A (x, y) , B (1, 4) e C (5, 4) são os vértices de um triângulo, e G (3, 2) é seu baricentro. Determina as coordenadas do vértice A. R: A (3, - 2) 13) Até que ponto o segmento de extremos A (1, 0) e B (3, 2) deve ser prolongado no sentido de A para B , para que seu comprimento triplique. R: (7, 6) 14) Sejam A , B e C vértices de um triângulo. Determine a medida da mediana AM relativa ao lado BC no seguinte caso: A (a , b + 1) , B (2a + 1 , 2b – 1) e C (5, - 5) R: 5 15) Os pontos médios dos lados de um triângulo são M (2, -1) , N (-1, 4) e P (- 2, 2). Determine os vértices desse triângulo. R: (- 5, 7) , (1, - 3) e (3, 1) 16) Qual o valor de m para que o ponto A (m, 2m) seja eqüidistante dos pontos B (3, 0) e C (- 7, 0). R: - 2 17) Se P (a, 2a) e Q (3a, 5a) , com a ≠ 0 , e se PR/QR = - 1/3 , calcule as coordenadas de R. R: (0, a/2) 18) Dados os pontos A (1, 2) e B (3, 0) , o segmento AB é prolongado, no sentido de A para B, até o ponto C, tal que AC = 3.AB. Calcule a soma das coordenadas do ponto C. R: 3 EQUAÇÃO GERAL DA RETA Para chegarmos à equação geral da reta, vamos utilizar o conceito de alinhamento de três pontos, já visto anteriormente. A equação geral da reta r é obtida partindo-se de uma reta que contém dois pontos distintos, A(x A , y A ) e B(x B , y B ) com coordenadas conhecidas e um terceiro ponto P (x, y) genérico. y hipótese : equação da reta y B B (x B , y B ) x y 1 Tese y P (x, y) D = x A y A 1 = 0 A , B e P são pontos colineares y A A(x A , y A ) x B y B 1 α x D = (x - x A ).(y B - y) - (x B - x).(y - y A ) = 0 0 x A x x B D = (x - x A ).(y B - y) = (x B - x).(y - y A ) A , B e P alinhados y y y y x x x x PB AP B A B A − − = − − = (x - x A ).(y B - y) = (x B - x).(y - y A ) Equação da reta (y A - y B ).x + (x B - x A ).y + (x A .y B - x B .y A ) = 0 a.x b.y c = 0 lembrando que b a x y m − = = ∆ ∆ OBSERVAÇÕES a = 0 ⇒ y c b = − ⇒ reta horizontal b = 0 ⇒ x c a = − ⇒ reta vertical c = 0 ⇒ ax + by = 0 ⇒ reta que passa pela origem Condição para um ponto P (x o , y o ) pertencer a uma reta r: ax + by + c = 0 ⇒ P ∈ ∈∈ ∈ r ⇔ ⇔⇔ ⇔ a.(x o ) + b.(y o ) + c = 0 EXERCÍCIOS DE SALA 01) Determinar a equação da reta que passa pelos pontos A (3, 1) e B (6, 3). R: 2x - 3y - 3 = 0 02) Construir o gráfico da reta r , de equação geral 2x + 3y - 12 = 0. 03) FEI-SP - Os pontos (a, 1) e (2, b) pertencem à reta r : x + 2y = 0 . Calcule a distância entre eles. R: 5 2 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) Determine a equação da reta que contém a mediana relativa ao vértice A do triângulo ABC, onde A(2, 5), B(1, 3) e C(7, 9). R: x - 2y + 8 = 0 02) Dados A (5, 8) e B (-1, 2) , determine a equação da reta que passa pelo ponto médio do segmento AB e pela origem. R: 5x - 2y = 0 03) Determine as equações das retas que formam o triângulo ABC de vértices A (2, 5) , B (1, 3) e C (7, 9). R: 2x - y + 1 = 0 ; 4x - 5y + 17 = 0 ; x - y + 2 = 0 04) Calcule o perímetro do triângulo ABC do exercício anterior. R: 41 5 6 2 + + 05) A reta que passa pelos pontos A (3, 3) e B (1, 5) corta o eixo x no ponto de abscissa igual a k . Determine k. R: 6 06) O ponto (m, 2) pertence à reta que contém o ponto (6, 4) e a origem do sistema cartesiano. Determine m . R: 3 07) Qual é o ponto da reta r: x - y - 2 = 0 cujas coordenadas somam 7 ? R: (9/2 , 5/2) INCLINAÇÃO E COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA y r • A medida do ângulo α αα α é chamada inclinação da reta r. y B B • Coeficiente angular ou declividade da reta r é o número real m que expressa a tangente trigonométrica de sua inclinação α , ou seja: y A A m = tg α αα α α x 0 x A x B m > 0 α é agudo m < 0 ⇒ α é obtuso m = 0 α é nulo m → →→ → ∞ ∞∞ ∞ ⇒ α = 90 o (não tem coef. angular) r é uma reta vertical abscissas as entre diferença ordenadas as entre diferença x x y y x x y y x y m B A B A A B A B = == = − −− − − −− − = == = − −− − − −− − = == = = == = ∆ ∆ EXERCÍCIOS DE SALA 01) Calcular o coeficiente angular da reta AB nos seguintes casos: a) A (2, 5) e B (4, 11) b) A (6, 4) e B (2, 12) c) A (6, 1) e B (6, 4) R: 3 ; - 2 ; ∃ ∃∃ ∃ EQUAÇÃO DA RETA QUE EQUAÇÃO DA RETA QUE EQUAÇÃO DA RETA QUE EQUAÇÃO DA RETA QUE PASSA POR UM PONTO D PASSA POR UM PONTO D PASSA POR UM PONTO D PASSA POR UM PONTO DADO E DECLIVIDADE CO ADO E DECLIVIDADE CO ADO E DECLIVIDADE CO ADO E DECLIVIDADE CONHECIDA NHECIDA NHECIDA NHECIDA ( FEIXE DE ( FEIXE DE ( FEIXE DE ( FEIXE DE RETAS ) RETAS ) RETAS ) RETAS ) Seja a reta r que passa pelo ponto P (x o , y o ) e declividade m , temos: m ∆x ∆y = == = ⇒ m x x y y o o = == = − −− − − −− − ⇒ y - y o = m.(x - x o ) (Equação fundamental da reta) EXERCÍCIOS DE SALA 01) Determinar a equação da reta r que passa pelo ponto A (-1, 4) e tem coeficiente angular 2. R: 2x - y + 6 = 0 02) Determinar a equação da reta que passa pelo ponto P (2, 5) e tem uma inclinação de 60 o . R: 3x y 5 2 3 0 − + − = EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A (2, - 3) e tem coeficiente angular 1/2. R: x - 2y - 8 = 0 02) Uma reta r passa pelo ponto P (2, 4) e tem coeficiente angular m = - 3. Determine a equação da reta r. R: 3x + y - 10 = 0 03) Determine k , sabendo que a inclinação da reta que passa pelos pontos A (k, 3) e B (-1, - 4) é de 45 o . R: 6 04) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P (4, 1) e tem uma inclinação de 45 o . R: x - y - 3 = 0 05) Dado o ponto A (- 2, 3), calcule as coordenadas do ponto B (3k , k + 1) de modo que o coeficiente angular da reta AB seja m = 1/2. R: B ( - 18, - 5) 06) Obtenha a equação reduzida da reta que possui coeficiente angular e coeficiente linear respectivamente iguais a - 2 e 8. R: y = - 2x + 8 INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS CONCORRENTES Se um ponto P(x o , y o ) satisfaz as equações de duas retas concorrentes r e s, dizemos que P é o ponto de interseção de r e s. y s r r : a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 Para obter as coordenadas do ponto P, basta resolver o sistema y o P s : a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 Condição de concorrência: 0 x o x 0 b a b a 2 2 1 1 ≠ 2 1 2 1 b b a a = ⇔ ⇔⇔ ⇔ r // s (paralelas) 2 1 2 1 b b a a ≠ ⇔ ⇔⇔ ⇔ r s (concorrentes) EXERCÍCIOS DE SALA 01) Mostrar que as retas r: 2x - y - 5 = 0 e s: 3x + y - 10 = 0 são concorrentes e determine o ponto comum a ambas. R: (3, 1) 02) Determinar o ponto de interseção da reta 5x - 2y + 3 = 0 com o eixo Ox. R: (- 3/5 , 0) 03) Verifique se as retas r: 3x + 2y - 7 = 0 e s: 2x + 3y + 2 = 0 são concorrentes. Em caso afirmativo, determine o ponto de concorrência de ambas. R: Sim ; (5, - 4) 04) Determinar o(s) ponto(s) da reta r: 2x + y - 5 = 0 que dista(m) 10 unidades do ponto P (-5, -5). R: (1, 3) e (5, - 5) EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) Determinar a equação da reta AB nos seguintes casos: a) A (2, 4) e B (0, 1) R: 3x - 2y + 2 = 0 b) A (2, 3) e B (5, 8) R: 5x - 3y - 1 = 0 c) A (0, 1) e B (1, 4/3) R: x - 3y + 3 = 0 d) A (5, 2) e B (-3, -2) R: x - 2y - 1 = 0 02) Obtenha os valores de a para que as retas r: ax + 2y - 1 = 0 e s : 2x + ay - 3 = 0 tenham um único ponto comum. R: a ≠ ≠≠ ≠ ± ±± ± 2 03) Obtenha o(s) ponto(s) da reta r: 2x - y + 1 = 0 que dista(m) 5 unidades do ponto P (4, -1). R: (1, 3) e (- 1, - 1) 04) Encontre o(s) ponto(s) da reta r: 3x + y - 1 = 0 cuja(s) distância(s) ao ponto Q (-11, 3) é (são) igual(is) a 13 unidades. R: (1, - 2) e (- 22/5 , 71/5) 05) Calcule o perímetro do triângulo cujos lados estão contidos respectivamente, nas retas r : x - 2y + 5 = 0 , s : x + 2y + 5 = 0 e t : x - 3 = 0 . R: 1) 5 8.( + 06) Dados A (5, 8) e B (-1, 2) , determine a equação da reta que passa pelo ponto médio do segmento AB e forma com os eixos Ox e Oy um triângulo isósceles. R: x + y - 7 = 0 07) O ponto A dista da origem 5 unidades. O coeficiente angular da reta que passa pela origem do sistema e pelo ponto A é 3/4. Quais as coordenadas do ponto A? R: (4, 3) ou (- 4, - 3) OBS: Chama-se feixe de retas concorrentes de centro P o conjunto formado por todas as retas de um mesmo plano que passam por P. y m = -3 m = 3 m = -1 m = 1 y - y o = m.(x - x o ) y o x x o EXERCÍCIOS DE SALA 01) A equação y - 1 = m.(x - 3) , m ∈ R , representa infinitas retas. Dentre todas essas retas, determine aquela que passa pela origem do sistema cartesiano ortogonal. R: y - 1 = 1/3.(x - 3) 02) A equação y - 4 = m.(x - 1) , m ∈ R , determina infinitas retas. Dentre essas retas, obtenha uma equação daquela que forma com os eixos coordenados um triângulo cuja área é unitária. R: 8x - y - 4 = 0 e 2x - y + 2 = 0 03) Uma das retas do feixe plano de concorrentes de centro P (1, 5) intercepta o eixo Ox no ponto A (5, 0). Dê uma equação dessa reta. R: 5x + 4y - 25 = 0 04) Dadas as retas r: x - y + k = 0 e s: α.(x - 1) + β.(x - y) = 0 , obter a reta que é comum aos dois feixes de reta. R: x - y = 0 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) Uma reta do feixe plano de concorrentes de centro P (2, 8) não intercepta o eixo Ox. Determine uma equação dessa reta. R: y = 8 02) Uma das retas do feixe plano de concorrentes de centro P (- 8, 6) não intercepta o eixo Oy. Dê uma equação dessa reta. R: x = - 8 03) Qual é a reta do feixe de concorrentes de centro P (2, 1) que passa pelo ponto Q (3, 2). R: x - y - 1 = 0 04) Considerando todas as retas do plano cartesiano que passam pelo ponto P (4, 6) , obtenha uma equação da reta desse feixe que forma com as retas r: x = 4 e s: y = 0 um triângulo de área 6. R: 3x + y - 18 = 0 e 3x - y - 6 = 0 05) Determine a equação da reta que passa pela origem dos eixos cartesianos e forma com o semi-eixo positivo Ox um ângulo de π/6 rad. R: 0 3y x 3 = − 06) Encontre o coeficiente angular da reta r que passa pelos pontos (- 2, 4) e (10/3 , 1). R: - 9/16 07) Determine as coordenadas dos pontos sobre os eixos coordenados pelos quais passa a reta y = - 4x + 1. R: (0, 1) e (1/4 , 0) 08) Encontre a equação reduzida da reta que forma ângulo de 60 o com o sentido positivo do eixo das ordenadas e passa pelo ponto P (2, 1). R: 3 2 3 3y .x 3 − + − 09) Obter m e n para que as retas r: mx + 3y + 1 = 0 e s: 2x + 5y - n = 0 sejam paralelas coincidentes. R: 6/5 e - 5/3 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS Sejam as retas reta r y m b reta s y m b r r r s s s ⇒ = + ⇒ = + ¦ ´ ¹ y y y α s = 90 o + α r r s s r s r α r α s x α r α s x α r α s x 0 0 0 s r r s o m . m 1 m m 90 tg + − = m r ≠ ≠≠ ≠ m s ⇒ ⇒⇒ ⇒ r e s são concorrentes tg 90 o ⇒ ∞ , logo: m r = m s e b r ≠ ≠≠ ≠ b s ⇒ ⇒⇒ ⇒ r e s são paralelas distintas m r = m s e b r = b s ⇒ ⇒⇒ ⇒ r e s são paralelas coincidentes 1 + m r .m s = 0 m r . m s = -1 ⇒ ⇒⇒ ⇒ r e s são perpendiculares m r .m s = -1 EXERCÍCIOS DE SALA 01) Determinar a posição da reta r , de equação 2x - 3y + 5 = 0 , em relação à reta s , de equação 4x - 6y - 1 = 0. R: m r = m s = 2/3 (retas paralelas distintas b r ≠ ≠≠ ≠ b s ) 02) São dadas as seguintes retas: r: y = 3x + 5 , s: y = 3x - 2 , t: 6x - 2y + 10 = 0 e u: y = 5x Descrever a posição relativa entre: a) r e s R: paralelas distintas b) r e t R: paralelas coincidentes c) s e u R: são concorrentes 03) Para que valores de a as retas r: 3x + 2y - 1 = 0 e s: ax + 5y + 3 = 0 são paralelas? R: 15/2 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) Para que valores de a as retas r: (a 2 - 10).x - y - 4 = 0 e s: 3a.x + y + 1 = 0 são concorrentes? R: a ≠ ≠≠ ≠ - 5 ou a ≠ ≠≠ ≠ 2 02) Determinar a equação da reta r que passa pelo ponto P (-1, 6) e é paralela à reta s: 4x + 2y - 1 = 0 R: 2x + y - 4 = 0 03) São dadas as retas: r: y = 2 3 5 x + ; s: 3x + 2y - 1 = 0 ; t: x - 5 = 0 ; u: y - 2 = 0 e v: y = 4x + 1 Verificar se são ou não perpendiculares: a) r e s R: são b) t e u R: são c) r e v R: não 04) Obter uma equação geral da reta s que passa pelo ponto P (2, - 3) e é perpendicular à reta r: x + 2y + 5 = 0 R: 2x - y - 7 = 0 05) Obtenha p para que r: x - 2.p.y + 7 = 0 seja perpendicular a s: - 2.p.x - y + 1 = 0 . R: ∀ ∀∀ ∀ p ∈ ∈∈ ∈ R 06) Unitau - Conhecendo a equação da reta r: 2x - 4y - 1 = 0 , determine a equação da reta s , perpendicular à reta r e que passa pelo ponto P (- 2, 1). R: 2x + y + 3 = 0 07) Considerando o feixe de retas concorrentes α.(x - 1) + β.(y - 3) = 0 , α e β reais , não nulos simultaneamente, obter a reta s do feixe que é perpendicular à reta r: y = x/2 R: 2x + y - 5 = 0 ÂNGULO FORMADO POR DUAS RETAS Sejam as retas ( r 1 ) y = m 1 .x + b 1 e ( r 2 ) y = m 2 .x + b 2 y r 2 r 1 β α 2 = α 1 + β ∆ PAB, o ângulo externo é igual a soma dos ângulos internos não adjacentes. P A α 1 α 2 x OBS: O módulo foi introduzido para calcular o ângulo 0 B agudo entre as retas. tg α 1 = m 1 tg α 2 = m 2 ⇒ β = α 2 - α 1  1 2 1 2 .m m 1 m m tg + ++ + − −− − = == = β ββ β sendo α 2 = 90 o , temos: β = 90 o - α 1  ⇒ tg β = cotg α 1 ou tg β = - cotg α 1 ⇒ 1 m 1 tg = == = β ββ β EXERCÍCIOS DE SALA 01) Determinar o ângulo agudo formado pelas retas: a) 2x - y + 1 = 0 e 3x + y - 2 = 0 R: β ββ β = 45 o b) x - 2y + 3 = 0 e 2x + 3y - 2 = 0 R: β ββ β = arc tg 7/4 02) Determinar a equação da reta r que passa pelo ponto P (2, 3) e que forma um ângulo de 45 o com a reta s, de equação 3x - 2y + 1 = 0. R: x - 5y + 13 = 0 ou 5x + y - 13 = 0 03) Determine a equação reduzida da reta r que passa pelo ponto P (- 1, - 2) e é perpendicular à reta que forma 135 o com o sentido positivo do eixo Ox. R: y = x - 1 04) No triângulo ABC, cujos vértices são A(0, 0), B(- 3, 1) e C(1, 5), qual a equação da reta que contém a altura relativa a BC. R: y = - x EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) A reta r, cujo coeficiente angular é m = 1 3 , faz um ângulo de 30 o com a reta s, cujo coeficiente angular é m 2 . Calcule m 2 . R: 0 ou 3 02) Seja uma reta r que passa pelo ponto A (1, 1) e faz um ângulo de 45 o com a reta s, de equação x - 2y + 2 = 0. Determine a equação da reta r. R: 3x - y - 2 = 0 ou x + 3y - 4 = 0 03) Seja α o ângulo agudo formado pelas retas de equações x - 3y - 7 = 0 e x - 13y - 9 = 0. Calcule cotg α. R: cotg α αα α = 4 04) Ache a tangente do ângulo agudo formado pelas retas de equações x - 2 = 0 e y - 4x = 0. R: tg α αα α = 4 05) Calcule a medida do ângulo agudo ABC formado pelos pontos A (0, 2) , B (4, 4) e C (2, 0) R: arc tg 3/4 06) Determine o valor de p para que o ângulo RST seja 45 o , sabendo que R (2, 3) , S (9, 4) e T (5, p) R: - 4/3 ou 7 07) Determine o ângulo formado pelas retas PQ e RS para P (1, 1) , Q (4, 2) , R (-1 , - 3) e S (2, 0). R: arc tg 1/2 DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA Dados a reta r de equação ax + by + c = 0 e um ponto P (x P , y P ) , a distância entre P e a reta r é dada por: • P (x P , y P ) 2 2 P P r P, b a c b.y a.x d + + + = r ax + by + c = 0 EXERCÍCIOS DE SALA 01) CEFET - Qual a distância da reta de equação 0 4 3 y x = − + à origem do sistema de referência. R: 2 02) UCG - A distância do ponto (2, m) à reta x - y = 0 é 8 . Qual o valor de m ? R: - 2 ou 6 03) Determinar a distância entre o ponto A (2, 1) e a reta r, de equação x + 2y - 14 = 0. R: 2 5 04) Calcular a distância do ponto P (2, 1) à reta r: 3x - 4y + 8 = 0. R: 2 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) MED-Itajubá - Qual a distância entre os pontos A (m, 5) e B (7, n) pertencentes à reta 4y - 3x = 11. R: 5 02) PUC-SP - Qual a distância do ponto P (3, 1) à reta r de equação 2x + 5y - 1 = 0 R: 10 29 29 03) Determinar o valor de a para que a distância do ponto P (- 1, a) à reta r , de equação 3x + 4y - 5 = 0 , seja igual a 2 unidades. R: a = 9/2 ou a = - 1/2 04) Determinar a distância entre as retas paralelas 2x + 3y - 6 = 0 e 2x + 3y - 10 = 0. R: 4 13 13 05) Determinar a medida da altura do trapézio cujos vértices são os pontos A (1, 1) , B (6, 1) , C (2, 3) e D (4, 3). R: 2 unidades 06) Calcular a distância entre as retas r: 12x + 5y + 38 = 0 e s: 12x + 5y + 25 = 0. R: 1 unidade 07) Determinar os pontos do eixo Oy que distam 2 unidades da reta r: 15x + 8y + 2 = 0. R: P (0, 4) e P’(0, - 9/2) 08) A distancia entre o ponto P (0, k) e a reta r, de equação 4x + 3y - 2 = 0 , é igual a 2 unidades. Determine o valor de k. R: - 8/3 ou 4 09) FATEC - Sejam 3x - 4y + 10 = 0 e 6x - 8y + 15 = 0 as equações das retas suportes das bases de um trapézio. Determine a altura desse trapézio. R: 1/2 10) UNESP - Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, considere a reta r de equação y = x + 1 e o ponto P (2, 1) Calcule o lugar geométrico dos pontos, simétricos dos pontos de r em relação a P. R: y = x - 3 Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano, eqüidistantes de um ponto fixo O, chamado centro da circunferência. EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA Para determinar a posição do ponto P (x, y) em relação à circunferência, basta substituir as coordenadas de P na equação da circunferência. Uma circunferência de centro O (a, b) e raio r tem equação reduzida: y 2 2 PO r d = (distância de dois pontos) y P (x, y) r (x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2 b O (a, b) Se o centro O coincidir com a origem: (a = b = 0) o a x X x 2 + y 2 = r 2 RECONHECIMENTO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA A equação (x - a) 2 + (y - b) 2 = k nas variáveis x e y com {a, b, k} ∈ R , representa: x uma circunferência se, e somente se, k > 0  um único ponto se, e somente se, k = 0 Ž o conjunto vazio se, e somente se, k < 0 EXERCÍCIOS DE SALA 01) Determinar a equação da circunferência com centro no ponto C (4, 7) e raio r = 2. R: (x- 4) 2 + (y - 7) 2 = 4 02) Determinar a equação da circunferência com centro no ponto C (2, 3) e que passa pelo ponto P (-1, 2). R: (x - 2) 2 + (y - 3) 2 = 10 03) Achar a equação da circunferência cujas extremidades de um diâmetro são os pontos A (0, - 8) e B (6, 0). R: (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25 04) Achar a equação da circunferência que passa pelos pontos A (0, 1) e B (1, 4) e tem centro sobre a reta de equação x = 2. R: (x - 2) 2 + (y - 2) 2 = 5 05) PUC - O ponto P (- 3, b) pertence à circunferência de centro no ponto C (0, 3) e de raio r = 5 . Calcule o valor de b. R: b = - 1 ou b = 7 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) Determine a equação da circunferência em que os pontos (4, - 2) e (2, 0) são extremos de um diâmetro. R: (x - 3) 2 + (y + 1) 2 = 2 02) PUC - Determine as equações das circunferências de raio 2 que passam pelos pontos (0, 0) e (2, 2). R: x 2 + (y - 2) 2 = 4 ou (x - 2) 2 + y 2 = 4 03) Ache a equação da circunferência que tem centro na reta de equação x - 2y + 9 = 0 e que passa pelos pontos (1,- 4) e (5, 2) R: (x + 3) 2 + (y - 3) 2 = 65 04) Obter a equação da circunferência λ que passa pelos pontos A(2, 1) e B(3, 0), cujo centro C pertence ao eixo das abscissas. R: (x - 2) 2 + y 2 = 1 05) Encontrar uma equação da circunferência λ que passa pelos pontos A (8, 4) e B (1, - 3), cujo centro pertence à reta r de equação y = x - 3. R: (x - 4) 2 + (y - 1) 2 = 25 06) Qual a equação da circunferência que tem raio 3 e tangencia os eixos coordenados. R: (x ± ±± ± 3) 2 + (y ± ±± ± 3) 2 = 9 EQUAÇÃO NORMAL DA CIRCUNFERÊNCIA Vimos que a equação reduzida da circunferência de centro C (a, b) e raio r é: (x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2 x 2 + y 2 - 2.a.x - 2.b.y + a 2 + b 2 - r 2 = 0 Equação normal A.x 2 + B.y 2 + C.x.y + D.x + E.y + F = 0 Desse modo, dividindo ambos os membros por A , obteremos: x 2 + y 2 + Dx A Ey A F A + + = 0 ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ = − + − = ⇒ = − − = ⇒ = − ncia circunferê da raio do Cálculo III A F R b a II A 2 E b A E b 2 ncia circunferê da centro I A 2 D a A D a 2 2 2 2 Substituindo I e II em III , temos: A F R A 4 E A 4 D 2 2 2 2 2 = − + ⇒ = 2 R A F A 4 E A 4 D 2 2 2 2 − + ⇒ 2 2 2 2 A 4 F . A . 4 E D R − + = R 2 > 0 ⇒ 0 A 4 F . A . 4 E D 2 2 2 > − + 0 F . A . 4 E D 2 2 > − + RECONHECIMENTO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA A equação A.x 2 + B.y 2 + C.x.y + D.x + E.y + F = 0 , nas variáveis x e y com {a, b, k} ∈ R , representa: uma circunferência se, e somente se, A = B ≠ ≠≠ ≠ 0 , C = 0 e D 2 + E 2 - 4.A.F > 0 um único ponto se, e somente se, D 2 + E 2 - 4.A.F = 0 um conjunto vazio se, e somente se, D 2 + E 2 - 4.A.F < 0 EXERCÍCIOS DE SALA 01) Qual das equações a seguir representa uma circunferência: a) 2x 2 + 3y 2 - 2x + 4y + 1 = 0 b) x 2 - y 2 + 3x - 6y + 8 = 0 c) x 2 + y 2 - 2xy + 2x - 1 = 0 d) 3x 2 + 3y 2 - 6x + 24y + 24 = 0 R: d 02) Verificar se a equação x 2 + y 2 + 4x - 2y + 6 = 0 representa uma circunferência. R: Representa um conjunto vazio 03) Para que valores reais de k a equação (x - 1) 2 + (y + 2) 2 = 3k - 4 representa uma circunferência. R: k > 4/3 04) Obtenha os valores reais de k para que a equação (x + 3) 2 + y 2 = 1 - 2k : a) represente uma circunferência; R: k < 1/2 b) represente um ponto; R: k = 1/2 c) represente um conjunto vazio. R: k > 1/2 05) Obtenha os valores reais de k e m de modo que a equação x 2 + ky 2 - 6x + 4y + 16 - m = 0 , represente uma circunferência. R: k = 1 e m > 3 06) Quais são os valores de m e k de modo que a equação mx 2 + 3y 2 - 18x - 18y + k = 0 represente uma circunferência tangente aos eixos coordenados. R: m = 3 e k = 27 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) Calcule o valor de k de modo que a equação x 2 + y 2 - 2x + 10y + 6k = 0 represente uma circunferência. R: k < 13/3 02) Determine a equação geral das seguintes circunferências: a) (x - 1) 2 + (y + 1) 2 = 3 R: x 2 + y 2 - 2x + 2y - 1 = 0 b) (x + 4) 2 + y 2 = 6 R: x 2 + y 2 + 8x + 10 = 0 03) Determine k de modo que a equação x 2 + y 2 + 6x - 14y + k = 0 represente uma circunferência de raio 9. R: - 23 04) Determine m, n e p para que o gráfico da equação x 2 + my 2 - 4x + nxy + p = 0 represente uma circunferência de centro no eixo das abscissas e raio r = 2 . R: m = 1 ; n = 0 e p = 2 05) UFPB - Sabendo que a equação x 2 + By 2 + 3Cxy + 4y - 9 = 0 representa uma circunferência, calcule o valor de 3.B - C. R: 3 06) Identifique o conjunto dos pontos do plano definidos pelas equações: a) x 2 + y 2 + 4x - 8y = 0 R: circunferência C (- 2, 4) e r = 20 b) 3x 2 + y 2 - x - y = 0 R: não é circunferência c) 4x 2 + 4y 2 - 8x + 8y - 28 = 0 R: circunferência C (1, - 1) e r = 3 d) x 2 + y 2 - 10x - 4y + 30 = 0 R: conjunto vazio e) x 2 + y 2 + 2x - 12y + 37 = 0 R: Um ponto (- 1, 6) 07) Em cada caso, obter as coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência: a) x 2 + y 2 + x - 2y/3 = 23/36 R: C (- 1/2 , 1/3) e r = 1 b) 16x 2 + 16y 2 - 8x - 31 = 0 R: C (1/4 , 0) e r 2 = c) x 2 + y 2 + 10x - 4y - 7 = 0 R: C (- 5, 2) e r = 6 d) 4x 2 + 4y 2 + 4x - 4y + 1 = 0 R: C (- 1/2 , 1/2) e r = 1/2 08) FUVEST - O segmento AB é diâmetro da circunferência de equação x 2 + y 2 = 10y. Se A é o ponto (3, 1) , calcule as coordenadas do ponto B. R: (- 3, 9) 09) Determine os possíveis valores reais de k de modo que a equação ( ) 2 2 3 1 ) 1 y ( x + + − = k 2 - 9 represente uma circunferência R: k < - 3 ou k > 3 10) UFMG - a) Equacione a reta r suporte do diâmetro da circunferência C: x 2 + y 2 + 2x + 4y + 1 = 0 , sabendo que r é paralela à reta s: y = x + 1 b) Calcule o comprimento da corda determinada pela reta s na circunferência C dadas no item a. R: x + y + 1 = 0 ; 2 2 u.c. 11) Determine a equação da reta paralela ao eixo das abscissas que tangencia a circunferência de equação x 2 + (y - 2) 2 = 16. R: y = 6 ou y = - 2 12) Obter k , k ∈ R , para que a equação (x - 1) 2 + (y + 2) 2 = k - 3 represente: a) uma circunferência. b) um ponto. c) o conjunto vazio. R: a) k > 3 ; b) k = 3 ; c) k < 3 13) Determinar a forma geral da equação da circunferência com centro no ponto P (- 1, 2) e raio 3. R: x 2 + y 2 + 2x - 4y - 4 = 0 14) Determinar as coordenadas do centro e o raio da circunferência de equação x 2 + y 2 - 4x - 8y + 19 = 0. R: C (2, 4) e r = 1 15) Determine a equação geral da circunferência de centro C e raio R, nos seguintes casos: a) C (4, 7) e R = 8 R: x 2 + y 2 - 8x - 14y + 1 = 0 b) C (0, 2) e R = 7 R: x 2 + y 2 - 4y - 3 = 0 c) C (- 4, 1) e R = 1/3 R: 9x 2 + 9y 2 + 72x - 18y + 152 = 0 d) C (-1/3 , 1/2) e R = 1 R: 36x 2 + 36y 2 + 24x - 36y - 23 = 0 16) Determine a equação geral da circunferência de centro C e raio R , nos seguintes casos: a) C (1, 8) e R = 3 R: x 2 + y 2 - 2x - 16y + 56 = 0 b) C (- 2, 0) e R = 2/5 R: 25x 2 + 25y 2 + 100x - 4 = 0 c) C (- 3/4 , 1) e R = 2 3 R: 144x 2 + 144y 2 + 216x + 223 = 0 d) C (0, 0) e R = 1 R: x 2 + y 2 - 1 = 0 17) Obtenha o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é: a) x 2 + y 2 - 6x - 2y - 15 = 0 R: C (3, 1) e R = 5 b) x 2 + y 2 + 10x + 22 = 0 R: C (- 5, 0) e R = 3 c) x 2 + y 2 - 2x - 6y - 6 = 0 R: C (1, 3) e R = 4 d) x 2 + y 2 + 2y - 1 = 0 R: C (0, - 1) e R = 2 e) x 2 + y 2 = 4 R: C (0, 0) e R = 2 18) Qual a equação da circunferência, de centro (3, - 2), que passa pela origem. R: (x - 3) 2 + (y + 2) 2 = 13 19) Qual a equação da circunferência que passa pelos pontos C (- 3, 0) , D (2, 5) e E (1, 6)? R: (x + 1) 2 + (y - 3) 2 = 13 20) Quais das equações abaixo representam circunferência. a) x 2 + y 2 - 2x + xy - 1 = 0 b) x 2 + 2y 2 - 3x + 5y + 7 = 0 c) 2x 2 - 2y 2 + 6x - 8y - 1 = 0 d) 4x 2 + 4y 2 + 4x - 8y - 11 = 0 R: d e) x 2 + y 2 + 6x + 2y + 10 = 0 21) Obtenha m e k para que a equação m.x 2 - 2y 2 - 2x + 2y - k = 0 represente uma circunferência tangente aos eixos coordenados. R: m = - 2 e k = 1/2 22) Obtenha a equação da circunferência que passa por M (0, - 3) e N (- 4, 3) e tem centro sobre a reta x - 2y + 1 = 0. R: (x + 5) 2 + (y + 2) 2 = 26 23) Dar o centro da circunferência circunscrita ao triângulo de vértices (0, 0) , (4, 0) e (2, 6). R: (2, 8/3) 24) Dar a equação da circunferência que passa por (0, 0) , (a, 0) e (0, a) , a ≠ 0. R: (x - a/2) 2 + (y - a/2) 2 = a 2 /2 25) Qual é o diâmetro da circunferência de equação x 2 + y 2 = 12. R: 3 4 u.c. 26) Sendo P (2, 8) e Q (4, 0) extremidades de um diâmetro de uma circunferência, calcule sua equação. R: (x - 3) 2 + (y - 4) 2 = 17 27) Para que valores de k ∈ R a equação x 2 + (y - 1) 2 = k + 2 representa uma circunferência. R: k > - 2 28) Dar o centro, o raio e a equação reduzida das circunferências de equações: a) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0 R: C (3, - 2) , r = 1 , (x - 3) 2 + (y + 2) 2 = 1 b) x 2 + y 2 - 2x - 3 = 0 R: C (1, 0) , r = 2 , (x - 1) 2 + y 2 = 4 c) 2x 2 + 2y 2 + 2x + 2y - 1 = 0 R: C (-1/2, -1/2) , r = 1 , (x + 1/2) 2 + (y + 1/2) 2 = 1 29) O ponto P (3, b) pertence à circunferência de centro no ponto C (0, 3) e raio 5. Calcule o valor da coordenada b. R: 7 ou -1 30) Os pontos A (4, - 2) e B (2, 0) são extremidades do diâmetro de uma circunferência de centro C (a, b) e raio r. Determine a equação dessa circunferência. R: (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 1 31) Determine a equação da reta que passa pelo centro da circunferência de equação x 2 + y 2 - 4x - 4y + 4 = 0 e é paralela à reta r , de equação 2x + 3y = 0 R: 2x + 3y - 10 = 0 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA • P • P • P • C(a, b) • C(a, b) • C(a, b) r r r d (P, C) < r d (P, C) = r d (P, C) > r P É INTERNO P ∈ ∈∈ ∈ CIRCUNFERÊNCIA P É EXTERNO Fazendo λ = (x - a) 2 + (y - b) 2 - r 2 , concluímos: λ λλ λ < 0 ⇒ ⇒⇒ ⇒ ponto interior λ λλ λ = 0 ⇒ ⇒⇒ ⇒ ponto pertencente λ λλ λ > 0 ⇒ ⇒⇒ ⇒ ponto exterior EXERCÍCIOS DE SALA 01) Determinar a posição dos pontos A (- 2, 3) , B (- 4, 6) e C (4, 2) em relação à circunferência de equação x 2 + y 2 + 8x - 20 = 0. R: A é interno , B pertence e C é externo 02) Qual a condição que deve verificar o número m , para que o ponto A (4, 3) seja externo à circunferência de equação x 2 + y 2 - 4x - 2y + m = 0 ? R: - 3 < m < 5 03) Qual a posição relativa do ponto A (2, - 2) em relação a circunferência de equação x 2 + y 2 - 2x - 8y - 9 = 0 ? R: externo EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) Qual a posição do ponto A (- 3, 4) em relação a cada uma das circunferências definidas por: a) 2x 2 + 2y 2 + x + y - 4 = 0 R: externo b) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0 R: externo c) x 2 + y 2 - 8x - 20y + 10 = 0 R: interno 02) Qual a condição que deve verificar o número k , para que o ponto P (1, - 3) seja interno em relação à circunferência de equação x 2 + y 2 - 2x + 4y + k = 0. R: k < 4 03) Qual a posição do ponto P em relação à circunferência λ , em cada um dos casos a seguir: a) P (1, 3) e λ: (x + 1) 2 + (y - 2) 2 = 16 R: interno b) P (5, 6) e λ: (x - 3) 2 + (y - 6) 2 = 4 R: pertence c) P (3, 1) e λ: x 2 + y 2 - 4x + 2y + 2 = 0 R: externo 04) Qual é o menor valor inteiro de r na equação da circunferência (x - 1) 2 + (y - 2) 2 = r 2 de modo que o ponto (7, 3) seja interno a ela. R: 7 05) Quais os valores de k para os quais os pontos de coordenadas (3, k) são internos a x 2 + y 2 - 4x - 2y + 1 = 0. R: 3 1 k 3 1 + < < − 06) Quais são os pontos de abscissa 2 que estão na circunferência de equação x 2 + y 2 + x - 5y = 0. R: (2, 2) e (2, 3) 07) O ponto A (1, a) está na circunferência de equação x 2 + y 2 - 5 = 0 e pertence ao 1 o quadrante. Obtenha a. R: 2 08) Para que valores de a o ponto P (1, a) é interior à circunferência de equação x 2 + y 2 + 2x + y - 5 = 0. R: - 2 < a < 1 09) Qual é a distância do ponto A (3, 4) à circunferência de equação x 2 + y 2 = 1 R: 4 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA t s A T e B C • C • C • r r r d (C, s) < r d (C, t) = r d (C, e) > r Este sistema é prático quando não se deseja saber as coordenadas de interseção da reta com a circunferência. Análise do sistema a x b y c reta x y A x B y C circunferencia . . ( ) . . ( ) + + = + + + + = ¦ ´ ¦ ¹ ¦ 0 0 2 2 ∆ ∆∆ ∆ > 0 ⇒ a reta é secante à circunferência (2 pontos comuns) ∆ ∆∆ ∆ = 0 ⇒ a reta é tangente à circunferência (1 ponto comum) ∆ ∆∆ ∆ < 0 ⇒ a reta é exterior à circunferência (nenhum ponto comum) Este sistema é prático quando se deseja saber as coordenadas de interseção da reta com a circunferência. EXERCÍCIOS DE SALA 01) São dadas a reta r, de equação 4x + 3y - 1 = 0, e a circunferência λ , de equação x 2 + y 2 + 6x - 8y = 0. Qual a posição da reta r em relação à circunferência λ . R: secantes 02) Determinar os valores de m de modo que a reta r , de equação 4x + 3y + m = 0 , e a circunferência λ , de equação x 2 + y 2 - 4x - 2y - 4 = 0, sejam tangentes. R: m = - 26 ou m = 4 03) Determinar a equação da circunferência com centro no ponto C (1, 3) e que é tangente à reta s de equação x + y + 2 = 0 R: x 2 + y 2 - 2x - 6y - 8 = 0 04) UNICAMP–SP - Os ciclistas A e B partem do ponto P (-1, 1) no mesmo instante e com velocidades de módulos constantes. O ciclista A segue trajetória descrita pela equação 4y – 3x – 7 = 0 e o ciclista B , a trajetória descrita pela equação x 2 + y 2 – 6x – 8y = 0 . As trajetórias estão no mesmo plano e a unidade de medida é o km. Pergunta-se: a) Quais as coordenadas do ponto Q , distinto de P , onde haverá cruzamento das duas trajetórias ? b) Se a velocidade do ciclista A for de 20 km/h , qual deverá ser a velocidade do ciclista B para que cheguem no mesmo instante ao ponto Q ? R: Q (7, 7) ; 10π ππ π km/h EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) Verifique a posição da circunferência λ: (x - 3) 2 + (y + 2) 2 = 4 e da reta s para cada item: a) s: y = 3x R: exterior à circunferência b) s: y - x + 3 = 0 R: secante à circunferência c) s: y = -3x R: exterior à circunferência d) s: 12y - 5x + 48 = 0 R: secante à circunferência e) s: y = - 4 R: tangente à circunferência f) s: 2x - 4y + 6 = 0 R: exterior à circunferência 02) Obtenha se existirem, as coordenadas dos pontos de interseção da reta s com a circunferência λ , em cada item: a) s: y = 2 e λ: (x - 2) 2 + (y + 1) 2 = 16 R: b) s: x = -1 e λ: x 2 + y 2 = 9 R: ( 1 , 2 2 ) e ( 1 , 2 2 ) − − − c) s: -x + y - 3 = 0 e λ: x 2 + y 2 + 6x - 8y + 9 = 0 R: (1, 4) e (- 3, 0) 03) Dê a equação da circunferência de centro (- 1, 3) , tangente à reta s: - 4x + 3y - 6 = 0. R: (x + 1) 2 + (y - 3) 2 = 49 25 04) A reta s, de equação x + y - 7 = 0 , e a circunferência, de equação x 2 + y 2 - 6x - 4y + 9 = 0 , são secantes nos pontos A e B. Calcule o comprimento da corda AB. R: 2 2 05) UFRS - A reta r de equação x = 3 é tangente à circunferência de equação x 2 + y 2 + 4x - 2y + k = 0. Nessas condições calcule o valor de k. R: - 20 06) Faap - Sabe-se que a reta y = m.x é tangente à circunferência cuja equação é x 2 + y 2 - 10x + 16 = 0. Calcule, então os valores de m. R: ± ±± ± 3/4 07) Quais os valores de k para que a reta r , de equação 4x + 3y + k = 0 , e a circunferência, de equação x 2 + y 2 - 12x + 16y + 96 = 0 , sejam secantes. R: - 10 < k < 10 08) Determine a equação da circunferência com centro no ponto C (4, 2) e que é tangente ao eixo y. R: (x - 4) 2 + (y - 2) 2 = 16 09) Uma circunferência tangência o eixo x e tem centro no ponto C (3, - 2) . Determine a equação dessa circunferência. R: x 2 + y 2 - 6x + 4y + 9 = 0 10) Determine a equação de uma circunferência tangente aos dois eixos de coordenadas e à reta de equação x = 4. R: x 2 + y 2 - 4x - 4y + 4 = 0 11) Qual a equação de uma circunferência de centro C (2, 1) e que é tangente à reta r de equação 2x + y - 20 = 0. R: x 2 + y 2 - 4x - 2y - 40 = 0 12) Qual a equação de uma circunferência concêntrica à circunferência de equação x 2 + y 2 - 8x - 4y + 4 = 0 e que é tangente à reta r de equação 4x + 3y + 13 = 0. R: x 2 + y 2 - 8x - 4y - 29 = 0 13) A reta x = 4 intercepta a circunferência x 2 + y 2 = 25 nos pontos A e B. Calcular a medida da corda AB. R: 6 14) Obter os pontos de interseção da reta y - x = 0 com a circunferência x 2 + y 2 - 2x = 0. R: (0, 0) e (1, 1) 15) Ache a equação da circunferência que tem centro na reta de equação x - 2y + 9 = 0 e que passa pelos pontos (1, - 4) e (5, 2) R: (x + 3) 2 + (y - 3) 2 = 65 16) Dar a equação da circunferência de centro C (1, - 2) , tangente à reta 3x - 4y - 1 = 0. R: (x - 1) 2 + (y + 2) 2 = 4 17) Qual é a posição relativa entre a reta y = 3 - x e a circunferência x 2 + y 2 - 16 = 0. R: secante 18) Qual é a reta do feixe y = mx - 1 tangente à circunferência x 2 + y 2 - 8x - 2y + 7 = 0. R: y = 3x - 1 e y = - x/3 - 1 19) A reta x 3 3 y − −− − = == = é tangente a uma circunferência de centro (2, 0) . Calcule o raio dessa circunferência. R: 1 20) Para que valores de m a reta y = mx + 5 é tangente à circunferência x 2 + y 2 - 9 = 0. R: 4/3 e - 4/3 21) Dar as equações das retas que passam por (4, 3) e são tangentes à circunferência x 2 + y 2 = 25. R: 4x + 3y - 25 = 0 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS Sejam λ 1 e λ 2 duas circunferências, contidas em um mesmo plano, de centros C 1 e C 2 e raio r 1 e r 2 , respectivamente. Então teremos: Tangentes e secantes: Externamente Internamente Secantes C 1 C 2 C 1 C 2 C 1 C 2 r 1 r 2 r 1 r 2 r 1 r 2 d (C 1 , C 2 ) = r 1 + r 2 d (C 1 , C 2 ) =    r 1 - r 2      r 1 - r 2    < d (C 1 , C 2 ) < r 1 + r 2 Não se interceptam : Externamente Internamente Concêntricas O 1 O 2 O 1 O 2 O 1 ≡ O 2 d (O 1 , O 2 ) > r 1 + r 2 d (O 1 , O 2 ) < r 1 - r 2 d (O 1 , O 2 ) = 0 OBS: Podemos determinar os pontos de intersecção de duas circunferências, resolvendo o sistema formado pelas duas equações. Comparando as distâncias entre os centros, podem ocorrer os casos: d = 0 d =   r 1 - r 2    d = r 1 + r 2 • • • 0 < d <   r 1 - r 2      r 1 - r 2   < d < r 1 + r 2 d > r 1 + r 2 UMA INT. A OUTRA SECANTES EXTERIORES CONCÊNTRICAS TANGENTES TANGENTES INTERIORMENTE EXTERIORMENTE EXERCÍCIOS DE SALA 01) Qual é a posição relativa entre as circunferências λ 1 : x 2 + y 2 + 2x - 2y = 0 e λ 2 : x 2 + y 2 - 4x + 2y = 0. R: 5 2 13 + < < d ∴ ∴∴ ∴ são secantes 02) Quais as coordenadas dos pontos de interseção entre as circunferências do exercício anterior. R: A (0, 0) e B (4/13 , 6/13) 03) Dadas as circunferências de equações: γ 1 : x 2 + y 2 - 2x - 10y + 22 = 0 γ 2 : x 2 + y 2 - 8x - 4y + 10 = 0 a) Qual a posição relativa entre elas? R: secantes b) Quais os possíveis pontos de interseção? R: (3, 5) e (1, 3) 04) Determine a área do círculo limitado por uma circunferência de centro (4, - 3) e que passa pelo ponto (1, 1). R: 25π ππ π EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) Considere as circunferências λ 1 , dada por x 2 + y 2 = 1 , e λ 2 , dada por x 2 + y 2 - 4x - 4y + 4 = 0. Qual a distância entre seus centros. R: 2 2 02) Encontrar as intersecções das circunferências x 2 + y 2 - 2x - 3 = 0 e x 2 + y 2 - 3x + y - 4 = 0. R: (1, 2) e (- 1, 0) 03) Determinar a posição relativa das circunferências x 2 + y 2 - 4x + 2y + 4 = 0 e x 2 + y 2 - 2 = 0. R: secantes 04) Determine os pontos de interseção das circunferências x 2 + y 2 = 4 e (x - 3) 2 + (y - 3) 2 = 10. R: (0, 2) e (2, 0) 05) Qual a posição relativa entre as circunferências de equações x 2 + y 2 + 6x - 4y + 12 = 0 e x 2 + y 2 + 6x - 4y + 4 = 0. R: são concêntricas. 06) Qual a posição relativa entre as circunferências de equações x 2 + y 2 - 4x - 2y + 3 = 0 e x 2 + y 2 - 2x - 7 = 0. R: tangentes internamente no ponto (3, 2) 07) Determine a equação da circunferência que passa pelo ponto (-2, 4) e é concêntrica com a circunferência de equação x 2 + y 2 - 5x + 4y - 1 = 0. R: x 2 + y 2 - 5x + 4y - 46 = 0 08) Determine a equação da circunferência de centro ( 0, 5) e tangente exteriormente à circunferência de equação (x - 6) 2 + (y + 3) 2 = 9. R: x 2 + (y - 5) 2 = 49 09) Determinar a interseção das circunferências λ 1 : x 2 + (y - 5) 2 = 20 e λ 2 : (x - 1) 2 + (y - 4) 2 = 10. R: (4, 3) e (2, 1) 10) Determinar a interseção das circunferências λ 1 : (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 2 e λ 2 : (x - 1) 2 + y 2 = 8. R: (3, 2) 11) Obter a interseção das circunferências λ 1 : x 2 + y 2 - 4y + 2 = 0 e λ 2 : x 2 + y 2 + 2x - 2y - 8 = 0. R: ∅ ∅∅ ∅ 13) Unicamp - Considere as circunferências de equações cartesianas: λ 1 : x 2 + y 2 = 4 e λ 2 : x 2 + y 2 - 4x + 6y + 4 = 0. a) As circunferências são tangentes, interiormente. b) Elas são tangentes, exteriormente. c) Elas se interceptam em dois pontos. R: c d) Elas são exteriores. e) Um dos pontos onde elas se interceptam tem abscissa igual a 1,5 vez a ordenada. 14) Determine os pontos em que a circunferência de equação (x - 4) 2 + (y - 1) 2 = 5 intercepta o eixo Ox. R: (6, 0) e (2, 0) 15) O ponto Q (2, k) pertence à circunferência de centro (1, 2) e de raio 5 . Calcule o valor de k. R: k = 0 ou k = 4 16) Determine a área de um circulo limitado por uma circunferência de centro (2, 1) e que passa pelo ponto (1, 1). R: π ππ π u.a. 17) Em que pontos a circunferência de equação (x + 1) 2 + (y - 3) 2 = 1 intercepta o eixo Oy. R: (0, 3) 18) As circunferências x 2 + y 2 - (2a + b)x + 2a.y + 15 = 0 e x 2 + y 2 - 3x - (a + 2b).y + 2 = 0 são concentricas. Calcule a e b R: 6 e - 9 19) Dar a equação da circunferência de centro C (3, 0) tangente interiormente à circunferência de equação x 2 + y 2 = 25. R: (x - 3) 2 + y 2 = 64 ou (x - 3) 2 + y 2 = 4 20) Qual é o raio da circunferência de centro no ponto (4, 5) , tangente exteriormente a x 2 + y 2 - 2x - 2y - 7 = 0. R: 2 As secções cônicas (parábola, elipse e hipérbole) tiveram no grego Apolônio de Perga (262 a 190 a.C.) seu principal colaborador, ao escrever o tratado sobre as cônicas. As secções cônicas (parábola, elipse e hipérbole) que estudaremos a seguir podem ser obtidas pela intersecção de um plano com um cone reto. ELIPSE Na representação a seguir o plano α está inclinado em relação ao eixo do cone e não paralelo à nenhuma geratriz. Nesse caso, o plano α secciona o cone determinando uma elipse na sua superfície. α Elipse Elipse é o conjunto dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos do plano é constante. B 1 Elementos da elipse: a F 1 e F 2 são os focos da elipse b F 1 F 2 = 2c é chamada distância focal V 1 α V 2 F 1 c C c F 2 V 1 e V 2 são vértices da elipse b V 1 V 2 = 2a é chamada eixo maior da elipse B 1 e B 2 são vértices da elipse B 2 B 1 B 2 = 2b é chamada eixo menor da elipse Aplicando Pitágoras no triângulo B 1 F 1 C , teremos: C é o centro da elipse a 2 = b 2 + c 2 Excentricidade a c cos e = == = α αα α = == = 0 < e < 1 ¹ ´ ¦ elipse da forma a será achatada mais , e de valor o for um de próximo mais quanto elipse da forma a será redonda mais , e de valor o for zero de próximo mais quanto EQUAÇÃO DA ELIPSE Obtemos uma equação da elipse considerando-se um ponto genérico P (x, y) e impondo que: a . 2 PF PF 2 1 = + B 1 P (x, y) 2.a ) y (y ) x (x ) y (y ) x (x 2 2 2 2 2 1 2 1 = − + − + − + − y o V 1 F 1 C F 2 V 2 2b F 1 ( x 1 , y 1 ) F 2 ( x 2 , y 2 ) (Coordenadas do foco) C (x o , y o ) (Coordenadas do centro) 2a V 1 V 2 = 2.a (eixo maior) x o B 1 B 2 = 2.b (eixo menor) EQUAÇÃO REDUZIDA DE UMA ELIPSE V 2 Estudo analítico y y a b y o C b y o V 1 V 2 C a V 2 x x 0 x o 0 x o Eixo maior paralelo ao eixo das abscissas: Eixo maior paralelo ao eixo das ordenadas: 1 b ) y (y a ) x (x 2 2 o 2 2 o = − + − a > b 1 b ) x (x a ) y (y 2 2 o 2 2 o = − + − EXERCÍCIOS DE SALA 01) Numa elipse, o eixo maior está contido no eixo x e seu comprimento é 16. Sabendo que a distância entre os focos é 10 e o eixo menor está contido no eixo y , determinar a equação da elipse. R: x 64 y 39 1 2 2 + = 02) Determinar a equação da elipse de focos F 1 (0, 3) e F 2 (0, - 3) , sabendo que o comprimento do eixo menor é 2. R: x y 10 1 2 2 + = 03) Determinar a equação da elipse de vértices V 1 (0, 6) e V 2 (0, - 6) e que passa pelo ponto P (3, 2). R: 8x 81 y 36 1 2 2 + = 04) Uma elipse tem semi-eixo maior 8 e distância focal 12. Determine o semi-eixo menor e a excentricidade da elipse. R: b 2 7 , e 3 4 = = EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) Dê a equação da elipse com C (- 1, 2) , eixo maior horizontal e semi-eixos 8 e 3. R: (x +1) 64 (y 2) 9 1 2 2 + − = 02) Escreva a equação da elipse de centro (1, 5) , distância focal 10, semi-eixo menor 7 e eixo maior vertical. R: (x 1) 49 (y 5) 74 1 2 2 − + − = 03) Uma elipse tem equação ( ) ( x y − + + = 6 16 3) 8 1 2 2 . Determine as coordenadas: a) do centro R: C (6, - 3) b) dos focos R: F 1 (6 - 2 2 , - 3) e F 2 (6 + 2 2 , - 3) c) dos extremos do eixo maior R: A 1 (2, - 3) e A 2 (10, - 3) d) dos extremos do eixo menor R: B 1 (6, - 3 + 2 2 ) e B 2 (6, - 3 - 2 2 ) 04) UNICAMP - Dada uma elipse de semi-eixos a e b , calcule, em termos desses parâmetros, a área do quadrado nela inscrito, com os lados paralelos aos eixos da elipse. R: 4.a 2 .b 2 /(a 2 + b 2 ) 05) Determine a equação da elipse de focos F 1 (3, 0) e F 2 (- 3, 0) , sabendo que o comprimento do eixo maior é 8. R: x 16 y 7 1 2 2 + = 06) Qual é a equação da elipse de vértices V 1 (0, 5) e V 2 (0, - 5) , sabendo que o comprimento do eixo menor é 3. R: 4x 9 y 25 1 2 2 + = 07) Determine as medidas do eixo maior e do eixo menor da elipse de equação x y 2 2 144 81 1 + = R: 24 e 18 08) Escrever a equação da elipse 9x 2 + 5y 2 + 54x - 40y - 19 = 0 na forma reduzida. R: (x 3) 20 (y 4) 36 1 2 2 + + − = 09) Obtenha uma equação da elipse de excentricidade e = 2 5 5 e focos F 1 (- 2, 0) e F 2 (2, 0). R: x 5 y 1 2 2 + = 10) Considere a elipse de equação x y 2 2 49 36 1 + = e P seja um ponto da elipse. Qual a soma das distâncias de P aos focos. R: 14 11) PUC-SP - Quais as coordenadas dos focos da elipse x y 2 2 9 25 1 + = . R: (0, 4) e (0, - 4) 12) MACK-SP - Uma elipse tem o eixo maior igual a 12 e o eixo menor igual a 8. Qual a excentricidade dessa elipse? R: 5 3 13) Qual a equação da elipse de centro na origem e que passa pelo ponto P(2, 1) e cujo semi-eixo maior mede 3 unidades. R: 1 y 9 x 5 9 2 2 = + 14) Obter uma equação da elipse de focos F 1 (- 1, 0) e F 2 (1, 0) , cujo eixo maior mede 4 unidades. R: 3x 2 + 4y 2 - 12 = 0 15) Qual é a posição do ponto P (1, - 2) em relação à elipse ( ) ( ) x y − + + = 1 2 1 9 1 2 2 ? R: interior 16) Qual a posição do ponto P (7, 3) em relação à elipse ( ) x y − + = 5 4 9 1 2 2 ? R: exterior 17) Determinar a intersecção da reta 3x + y - 6 = 0 com a elipse ( ) x y − + = 1 9 1 2 2 . R: (2, 0) e (1, 3) 18) Obter k , k ∈ R , de modo que a reta - x + 2y + k = 0 seja tangente à elipse ( ) y x − + = 2 2 1 2 2 R: k = - 1 ou k = - 7 19) Para que valores reais de k a reta x - y + k = 0 é secante à elipse ( ) x y + + = 3 5 1 2 2 . R: 3 6 k 3 6 − < < + 20) J Para delimitar um gramado, um jardineiro traçou uma elipse inscrita num terreno retangular de 20 m por 16 m . Para isto, usou um fio esticado preso por suas extremidades M e N, M N como na figura. Calcule a distância entre os pontos M e N. R: 12 m 21) Em uma elipse, a corda que passa pelo foco perpendicular ao eixo maior é chamada de corda focal mínima. Se a equação da elipse for 1 b y a x 2 2 2 2 = + , calcule o comprimento dessa corda. R: a 2.b 2 HIPÉRBOLE Na representação a seguir, o plano α é paralelo ao eixo de simetria dos dois cones retos e opostos pelo vértice. Nesse caso, o plano α secciona esses cones determinando, na superfície, os dois ramos de uma hipérbole. Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença, em módulo, das distancias a F 1 e a F 2 , é constante e menor que a distancia entre esses dois pontos dados. P(x, y) B 1 Elementos da hipérbole: b C F 1 e F 2 são os focos da hipérbole α F 1 F 2 = 2c é chamada distância focal F 2 V 2 C a V 1 F 1 V 1 e V 2 são vértices da hipérbole V 1 V 2 = 2a é chamada eixo real ou transverso B 2 B 1 B 2 = 2b é chamada eixo imaginário ou conjugado Aplicando Pitágoras no triângulo B 1 V 1 C , teremos: C é o centro da hipérbole ( pto médio de F 1 F 2 , A 1 A 2 e B 1 B 2 ) c 2 = a 2 + b 2 Excentricidade a c sec e = == = α αα α = == = e > 1 EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE Obtemos uma equação da hipérbole considerando-se um ponto genérico P (x, y) e impondo que: a . 2 PF PF 2 1 = − y B 1 F 1 ( x 1 , y 1 ) F 2 ( x 2 , y 2 ) (Coordenadas do foco) P(x, y) C (x o , y o ) (Coordenadas do centro) b C y o α V 1 V 2 = 2.a (eixo real ou transverso) F 2 V 2 C a V 1 F 1 B 1 B 2 = 2.b (eixo imaginário ou conjugado) B 2 F 1 F 2 = 2.c (distância focal) x x o 2.a ) y (y ) x (x ) y (y ) x (x 2 2 2 2 2 1 2 1 = − + − − − + − EQUAÇÃO REDUZIDA DE UMA HIPÉRBOLE Estudo analítico y y F 1 B 1 b c C α V 1 F 1 V 1 α V 2 F 2 B 1 a B 2 y o a a y o b C a b V 2 B 2 F 2 x 0 x o 0 x o x 1 b ) y (y a ) x (x 2 2 o 2 2 o = − − − 1 b ) x (x a ) y (y 2 2 o 2 2 o = − − − ( EIXO REAL PARALELO AO EIXO X ) ( EIXO REAL PARALELO AO EIXO Y ) OBS : A hipérbole equilátera apresenta a = b , consequentemente sua excentricidade é 2 . EXERCÍCIOS DE SALA 01) Determinar a equação da hipérbole de focos F 1 (5, 0) e F 2 (- 5, 0) e de vértices V 1 (3, 0) e V 2 (- 3, 0). R: x 9 y 16 1 2 2 − = 02) Determinar a equação da hipérbole de focos F 1 (0, 4) e F 2 (0, - 4), sabendo-se que o comprimento do eixo real é 6 unid. R: y 9 x 7 1 2 2 − = 03) Determinar a medida do eixo real, do eixo imaginário e da distância focal da hipérbole de equação 9x 2 - 16y 2 = 144. R: V V 8 1 2 = , 6 B B 2 1 = e F F 10 1 2 = EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 1) Determine a equação da hipérbole de focos F 1 (0, 6) e F 2 (0, - 6) , sabendo-se que o eixo imaginário tem 8 unidades de comprimento. R: y 20 x 16 1 2 2 − = 2) Escreva a equação da hipérbole de eixo real horizontal, centro (1, 5) , distância focal 20 e semi-eixo transverso 6. R: (x 1) 36 (y 5) 64 1 2 2 − − − = 3) Escreva a equação da hipérbole de focos F 1 (3, - 1) e F 2 (3, 7) e excentricidade 4/3. R: 1 7 3) (x 9 3) (y 2 2 = − − − 4) Numa hipérbole, a distância focal é 16 e o comprimento do eixo real é 12. Determine a equação da hipérbole, sabendo que os focos pertencem ao eixo das abscissas. R: 1 28 y 36 x - (x 2 2 o = − ) 5) Os focos de uma hipérbole são F 1 (4, 0) e F 2 (- 4, 0) , o eixo conjugado tem 2 3 unidades de comprimento. Determine a equação da hipérbole. R: x 13 y 3 1 2 2 − = 6) Uma hipérbole tem focos F 1 ( 13 , 0) e F 2 (- 13 , 0) e passa pelo ponto P (1, 0) . Qual é a equação dessa hipérbole? R: x y 12 1 2 2 − = 7) Determine a excentricidade da hipérbole de equação 4x 2 - 25y 2 = 100 R: 29 5 8) Obtenha os pontos de interseção da hipérbole 1 3 y 2 2 x 2 2 = − com a elipse 3x 2 + 4y 2 = 18. R: (2 , 2 6 ) ; (2 , 2 6 − ) ; (- 2 , 2 6 ) ; (- 2 , 2 6 − ) 9) Para que valores de m a reta y = m.x intercepta a hipérbole x 2 - y 2 = 1 . R: -1 < m < 1 10) Obtenha os pontos de abscissa x = 6 da hipérbole 1 2 y 4 x 2 2 = − R: (6, 4) e (6, - 4) 11) A equação de uma hipérbole é 4x 2 - 25y 2 = 100. Pede-se: a) a equação reduzida. b) as coordenadas do centro. c) a distância focal d) as coordenadas do foco e) a medida do eixo real f) a medida do eixo imaginário g) as equações das assíntotas R: 1 4 y 25 x 2 2 = − ; (0, 0) ; 29 2 ; F 1 0) , 29 ( e F 2 0) , 29 (− ; 10 ; 4 ; 2x - 5y = 0 e 2x + 5y = 0 12) Determine a excentricidade da hipérbole de equação 4x 2 - 25y 2 = 100. R: 5 29 13) Numa hipérbole eqüilátera, cujos focos pertencem ao eixo das ordenadas, o eixo real tem 8 unidades de comprimento. Determine a equação da hipérbole. R: 1 16 x 16 y 2 2 = − 14) Determine a equação da hipérbole eqüilátera, sabendo que seus focos são F 1 (8, 0) e F 2 (- 8, 0). R: 1 32 y 32 x 2 2 = − 15) Determine as coordenadas do centro da hipérbole da equação 4x 2 - 9y 2 - 8x - 54y - 221 = 0. R: O (1, - 3) 16) Numa hipérbole eqüilátera, cujos focos pertencem ao eixo das ordenadas, o eixo real tem 8 unidades de comprimento. Determine a equação da hipérbole. R: 1 16 x 16 y 2 2 = − 17) Determine a distância entre os focos da cônica 3x 2 – y 2 – 9 = 0. R: 3 4 18) Determine a equação da hipérbole equilátera que passa pelo ponto P (2, 0) , sabendo que o eixo real está contido no eixo das abscissas. R: 1 2 o 2 2 o 2 o ) x (2 y ) x (2 ) x (x = − − − − PARÁBOLA Na representação a seguir, o plano α é paralelo a uma geratriz do cone. Nesse caso o plano α secciona o cone, na sua superfície, determinando uma parábola. Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano, equidistantes da reta d (diretriz) e do ponto F (foco). y r (diretriz) e = PF/PQ = 1 excentricidade Q P(x, y) d (P, r) = d (P, F) Elementos da parábola: y 0 R V F F é o foco da parábola. 2p A reta r é a diretriz da parábola. A reta que passa pelo foco F e é perpendicular à diretriz chama-se eixo ou eixo de simetria. V é o vértice da parábola. x 2p (parâmetro) é a distância de F a R. x 0 V (vértice) é o ponto médio do segmento FR. 2 2 2 o 2 o b a c by a.x ) y (y ) x (x + ++ + + ++ + + ++ + = == = − −− − + ++ + − −− − EQUAÇÃO DA PARÁBOLA Estudo analítico: Uma parábola de vértice V (x o , y o ) e parâmetro 2p tem: y y x o x r (diretriz) p > 0 V •F y o 2p y o V 2p •F r (diretriz) p < 0 x 0 x o Diretriz paralela ao eixo Ox e a concavidade Diretriz paralela ao eixo Ox e a concavidade voltada para cima, tem sua equação igual a: voltada para baixo, tem sua equação igual a: (x - x o ) 2 = 4.p.(y - y o ) ⇐ ⇐⇐ ⇐ EQUAÇÃO REDUZIDA ⇒ ⇒⇒ ⇒ (x - x o ) 2 = - 4.p.(y - y o ) y r (diretriz) r y 2p 2p y o • F F • y o V V P > 0 P < 0 x x 0 x o x 0 0 Diretriz paralela ao eixo Oy , foco a direita Diretriz paralela ao eixo Oy , foco a esquerda do eixo Oy e a concavidade voltada para a do eixo Oy e a concavidade voltada para a direita, tem sua equação igual a: esquerda, tem sua equação igual a: (y - y o ) 2 = 4.p.(x - x o ) ⇐ EQUAÇÃO REDUZIDA ⇒ ⇒⇒ ⇒ (y - y o ) 2 = - 4.p.(x - x o ) EXERCÍCIOS DE SALA 01) Dados o foco F (- 5, 3) e a diretriz r: y = - 2 , determine: a) as coordenadas do vértice. R: V (- 5, 1/2) b) a equação da parábola R: y = x 2 /10 + x + 3 c) o parâmetro da parábola R: 2p = 5 02) Dados o foco F (6, 3) e diretriz y = 1 , determine: a) as coordenadas do vértice R: V (6, 2) b) a equação da parábola R: x 2 /4 - 3x + 11 c) o parâmetro. R: 2p = 2 03) Dada a equação da parábola y = 2x 2 - 6x + 4 , determine: a) as coordenadas do foco R: F (3/2 , - 3/8) b) a equação da diretriz. R: y = - 5/8 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) MACK-SP - Qual a equação da parábola de foco (0, 1) e diretriz de equação y + 1 = 0. R: x 2 = 4.y 02) VUNESP - Qual a distância do vértice da parábola y = (x - 2).(x - 6) à reta y = 4 3 5 x + . R: 43/5 03) FGV-SP - Qual a equação da reta que passa pela origem e pelo vértice da parábola y = - x 2 + 4x - 3. R: x = 2y 04) PUC-SP - Quais as coordenadas do vértice da parábola de equação 2x 2 + 4x - 3y - 4 = 0. R: (- 1 , - 2). 05) UNESP-SP - Obter uma equação da parábola de foco F (2, 1) , cuja diretriz é r : x = y - 2 = 0 2 2 2 o 2 o b a c by x . a ) y y ( ) x x ( + + + = − + − obtem- se a equaçao da parabola considerando um ponto generico G(x, y) a parabola e impondo que GF = Gr (distancia do ponto ao foco = distancia do ponto a diretriz) ~ ∈ ¦ ´ ¦ ¹ ¦ R: x 2 + y 2 + 2xy - 12x + 6 = 0 06) Obter uma equação da parábola de foco F (3, 5), cuja diretriz é r : y - 3 = 0 R: x 2 - 6x - 4y + 25 = 0 07) Obter o valor de k de modo que a reta s : x - y + k = 0 seja tangente à parábola (x - 3) 2 = 2.(y - 1). R: - 5/2 08) Para que valores de k a reta s : x - 2y + k = 0 é exterior à parábola (y - 1) 2 = x - 3 ? R: k > 0 09) PUC-SP - Quais as coordenadas do vértice da parábola 2x 2 + 4x + 3y - 4 = 0. R: (- 1, 2) 10) Encontre uma equação do eixo de simetria da parábola (x - 2) 2 = 4.(y + 3). R: x - 2 = 0 11) Para que valor(es) de k a parábola (y - 1) 2 = 4.(x + k) passa pela origem do sistema cartesiano. R: 1/4 12) Obtenha os valores de m para os quais a reta r : y = m.x + 1 é secante à parábola x 2 = 4.(y - 2). R: m < - 1 ou m > 1 13) Calcule o valor do parâmetro p da parábola de foco F e diretriz r no caso F ( 1, 3) e r : 3x + 4y + 10 = 0 R: 5 14) CESCEA - A reta que passa pelos pontos de interseção da parábola y = x 2 com a elipse ( ) x y − + = 2 4 16 1 2 2 é: a) y = - x b) y = 2x + 1 c) y = 2x d) y = 3x e) não sei R: c 15) PUC - Qual é a distância da origem do sistema cartesiano ao vértice V da parábola de equação x 2 - 6x - y + 10 = 0 ? R: 10 16) FEI - A parábola de equação y = ax 2 + bx + c passa pelos pontos (1, 0) , (2, 5) e (- 4, 5). Qual o valor de a + b + c ? R: 0 17) MAUÁ - Dados os pontos A (- 1, 0) , (1, 0) e C (2, 1) , determine a equação da parábola que tem eixo de simetria para- lelo ao eixo y e passa por esses pontos. R: y 1 3 x 1 3 2 = − 18) Ache a equação da parábola de foco (4, 1) e cuja diretriz é o eixo dos x. R: (x 4) 1 2 (y ) 2 1 2 − = − 19) Determine a equação da parábola que tem eixo de simetria paralelo ao eixo x , vértice V (- 3, 5) e passa pelo ponto A (5, 9). R: 1 2 y 5y 19 2 2 − + 20) A parábola com eixo de simetria vertical tem vértice V (4, 2) e o foco F (4, 5). Determine a equação da parábola. R: y 1 12 x 2 3 x 10 3 2 = − + 21) Qual a equação da parábola cujo eixo de simetria é Oy e que passa pelos pontos de interseção da reta x + y = 0 com a circunferência x 2 + y 2 + 8y = 0 R: y = - x 2 /4 22) Calcule a área do triângulo cujos vértices são a origem e as interseções da hipérbole 1 2 x 9 y 2 2 = − com a parábola y = x 2 R: 6 6 u.a. 23) Determine a reta que passa pelos pontos de interseção da parábola y = x 2 com a elipse 1 16 y 4 ) 2 x ( 2 2 = + − . R: y = 2x 24) Determine os valores de b para os quais a parábola y = x 2 + bx tem um único ponto em comum com a reta y = x - 1. R: -1 e 3 25) Determine a equação da reta que passa pela origem e pelo vértice da parábola y = - x 2 + 4x - 3. R: x - 2y = 0 QUESTÕES DOS VESTIBULARES 2.000 01) UFG - A figura mostra, no plano cartesiano, o gráfico da parábola de equação y = x 2 /4 , e uma circunferência com centro no eixo y e tangente ao eixo x no ponto O. Calcule o raio da maior circunferência, nas condições acima, que tem um único ponto de interseção com a parábola. y R: 16 u.c. 0 x 02) UFMG - Um triângulo isósceles ABC tem como vértices da base os pontos A = (4, 0) e B = (0, 6). O vértice C está sobre a reta y = x - 4. Assim sendo, a inclinação da reta que passa pelos vértices B e C é: a) 7/17 b) 10/23 c) 9/20 d) 12/25 R: a 03) UFU - Determine a equação da circunferência inscrita no triângulo formado pelas retas, cujas equações são y = 0 , y = 3 x e y = 3 − x + 3 2 . R: ( ) ( ) 3 1 y 1 x 2 3 3 2 = − + − 04) UNB - Em um plano cartesiano, considere a reta r , de equação 3x + 4y = 30 e os pontos A = (5, 10) e B = (13, 4) , que estão sobre uma reta paralela à reta r. Considere ainda que um espelho tenha sido colocado no plano que contém a reta r e é perpendicular ao plano cartesiano dado. Suponha que um raio luminoso, partindo do ponto A, incida sobre o espelho plano no ponto de coordenadas (a, b) sobre a reta r e, em seguida, passe pelo ponto B. Nessas condições, calcule a soma a + b , desprezando a parte fracionária de seu resultado, caso exista. R: a + b = 9 05) VUNESP - Dados os pontos A (2, -3) , B (4, 3) e a reta ( r ) y - x + 3 = 0 , podemos afirmar que o problema de determinar a equação da reta que passa pelo ponto médio de AB e perpendicular a ( r ): a) Não tem solução b) Tem uma infinidade de soluções c) Tem por solução: y + x - 3 = 0 d) Tem por solução: y - x - 3 = 0 e) Tem por solução: y + x + 3 = 0 R: c 06) ITA - Se as retas y = 0 e 4x + 3y + 7 = 0 são retas suportes das diagonais de um paralelogramo. Sabendo que estas diagonais medem 4 cm e 6 cm, então, a área deste paralelogramo, em cm 2 , vale: A ( ) 36/5 B ( ) 27/4 C ( ) 44/3 D ( ) 48/3 E ( ) 48/5 R: e 07) FEI - O ponto C (3, 2) é o centro de uma elipse tangente aos eixos coordenados. Se os eixos de simetria são paralelos aos eixos coordenados, escreva a equação da elipse. R: 1 4 ) 2 y ( 9 ) 3 x ( 2 2 = == = − −− − + ++ + − −− − 08) UFRS - As metades do eixo maior e da distância focal de uma elipse medem, respectivamente, 10 cm e 6 cm, e seu centro é o ponto (4, - 2). Se o eixo menor é paralelo ao eixo coordenado Ox , escrever a equação reduzida dessa elipse. R: 1 100 ) 2 y ( 64 ) 4 x ( 2 2 = == = + ++ + + ++ + − −− − 09) UFPA - Determinar as equações das assíntotas da hipérbole 1 64 y 16 x 2 2 = == = − −− − . R: y = 2x e y = - 2x 10) MACK - Determinar a equação reduzida da elipse cujo eixo menor tem por extremos os focos da hipérbole 9x 2 - 16y 2 = - 144 e cuja excentricidade é o inverso da excentricidade da hipérbole dada. R: 1 25 y 16 625 x 2 2 = == = + ++ + 11) UFBA - Se A (10, 0) e B (- 5, y) são pontos de uma elipse cujos focos são F 1 (- 8, 0) e F 2 (8, 0) , calcule o perímetro do triângulo BF 1 F 2 . R: 36 12) UCG - Determine a abscissa do ponto A , sabendo que a área do trapézio OABC é 11 vezes a área do triângulo OAC. y B C x R: (1, 0) O A 13) UNICAMP - Dada uma elipse de semi-eixos a e b , calcule, em termos desses parâmetros, a área do quadrado nela inscrito, com os lados paralelos aos eixos da elipse. R: 4.a 2 .b 2 /(a 2 + b 2 ) 14) ITA - Em um plano cartesiano, considere a reta r , de equação 3x + 4y = 30 e os pontos A (5, 10) e B (13, 4) , que estão sobre uma reta paralela à reta r. Considere ainda que um espelho tenha sido colocado no plano que contém a reta r e é perpendicular ao plano cartesiano dado. Suponha que um raio luminoso, partindo do ponto A , incida sobre o espelho plano no ponto de coordenadas (a, b) sobre a reta r e, em seguida, passe pelo ponto B. Nessas condições, calcule a soma a + b , desprezando a parte fracionária de seu resultado, caso exista. R: 9 15) FEI - A equação y - 4 = m.(x - 1) , m ∈ R , determina infinitas retas. Dentre essas retas, obtenha uma equação daquela que forma com os eixos coordenados um triângulo cuja área é unitária. R: 8x - y - 4 = 0 e 2x - y + 2 = 0 16) FUVEST - a) Dar uma equação da bissetriz do ângulo agudo entre a reta de equação 4x - 3y = 4 e o eixo dos x. b) Determinar a circunferência inscrita no triângulo de vértices (1, 0) , (4, 0) e (4, 4). R: a) y = x/2 - 1/2 ou y = - 2x + 2 b) (x - 3) 2 + (y - 1) 2 = 1 17) VUNESP - Seja AB o diâmetro da circunferência x 2 + y 2 - 6x - 8y + 24 = 0 contido na reta perpendicular a y = x + 7 . Calcular as coordenadas de A e B. R: | || | | || | ¹ ¹¹ ¹ | || | \ \\ \ | || | − −− − + ++ + 2 2 4 , 2 2 3 e | || | | || | ¹ ¹¹ ¹ | || | \ \\ \ | || | + ++ + − −− − 2 2 4 , 2 2 3 DEMONSTRAÇÕES IMPORTANTES DE ALGUMAS FÓRMULAS DISTÂNCIA DE PONTO A RETA • P (x p , y p ) A d Pr A ∆PAB = D/2 I A ∆PAB = (d AB . d Pr )/2 II ⇒ I = II ⇒ AB Pr d D d = == = IV B r: ax + by + c = 0 d 2 AB = a 2 + b 2 III Cálculo de D 1 Y x 1 y x 1 y x D B B A A P P = == = ⇒ D = (y A - y B )x P - (x A - x B )y P + x A .y B - x B .y A ⇒ D = a.x P + b.y P + c V Substituindo V em IV temos 2 2 P P Pr b a c y . b x . a d + ++ + + ++ + + ++ + = == = ELIPSE Obtemos uma equação da elipse considerando-se um ponto genérico P (x, y) e impondo que: y a . 2 PF PF 2 1 = + C (0, 0) b 2 = a 2 - c 2 B 1 P (x, y) a . 2 ) 0 y ( ) c x ( ) 0 y ( ) c x ( 2 2 2 2 = − + − + − + + 2b V 1 F 1 (-c, 0) C F 2 (c, 0) V 2 x 2 2 2 2 y ) c x ( a . 2 y ) c x ( + − − = + + (x +c) 2 + y 2 = 4.a 2 - 4.a. 2 2 y ) c x ( + − + (x - c) 2 + y 2 2a x 2 + 2.c.x + c 2 + y 2 = 4.a 2 - 4.a. 2 2 y ) c x ( + − + x 2 - 2.c.x + c 2 + y 2 4.a. 2 2 y ) c x ( + − = 4.a 2 - 4.c.x a 2 .[(x 2 - 2.c.x + c 2 ) + y 2 ] = a 4 - 2.a 2 .c.x + c 2 .x 2 a 2 .x 2 - 2.a 2 .c.x + a 2 .c 2 + a 2 .y 2 = a 4 - 2.a 2 .c.x + c 2 .x 2 (a 2 - c 2 ).x 2 + a 2 .y 2 = a 4 - a 2 .c 2 b 2 .x 2 + a 2 .y 2 = a 2 .(a 2 - c 2 ) b 2 .x 2 + a 2 .y 2 = a 2 .b 2 1 b y a x 2 2 2 2 = + 1 b ) y (y a ) x (x 2 2 o 2 2 o = − + − 1 b ) x (x a ) y (y 2 2 o 2 2 o = − − − CENTRO NA ORIGEM CENTRO DESLOCADO DA ORIGEM CENTRO DESLOCADO DA ORIGEM EIXO MAIOR // AO EIXO OX EIXO MAIOR // AO EIXO OY HIPÉRBOLE Obtemos uma equação da hipérbole considerando-se um ponto genérico P (x, y) e impondo que: y B 1 a 2 = c 2 - b 2 P(x, y) b C C (0, 0) x F 2 (-c, 0) V 2 C a V 1 F 1 (c, 0) B 2 a . 2 PF PF 2 1 = − a . 2 ) 0 y ( ) c x ( ) 0 y ( ) c x ( 2 2 2 2 = − + − − − + + 2 2 2 2 y ) c x ( a . 2 y ) c x ( + − + = + + (x +c) 2 + y 2 = 4.a 2 + 4.a. 2 2 y ) c x ( + − + (x - c) 2 + y 2 x 2 + 2.c.x + c 2 + y 2 = 4.a 2 + 4.a. 2 2 y ) c x ( + − + x 2 - 2.c.x + c 2 + y 2 - 4.a. 2 2 y ) c x ( + − = 4.a 2 - 4.c.x a 2 .[(x 2 - 2.c.x + c 2 ) + y 2 ] = a 4 - 2.a 2 .c.x + c 2 .x 2 a 2 .x 2 - 2.a 2 .c.x + a 2 .c 2 + a 2 .y 2 = a 4 - 2.a 2 .c.x + c 2 .x 2 (a 2 - c 2 ).x 2 + a 2 .y 2 = a 4 - a 2 .c 2 - b 2 .x 2 + a 2 .y 2 = a 2 .(a 2 - c 2 ) - b 2 .x 2 + a 2 .y 2 = - a 2 .b 2 1 b y a x 2 2 2 2 = − 1 b ) y (y a ) x (x 2 2 o 2 2 o = − − − 1 b ) x (x a ) y (y 2 2 o 2 2 o = − − − ( CENTRO NA ORIGEM ) ( CENTRO DESLOCADO DA ORIGEM ) ( CENTRO DESLOCADO DA ORIGEM ) EIXO REAL // AO EIXO OX EIXO REAL // AO EIXO OY PARÁBOLA y r (diretriz) e = PF/PQ = 1 excentricidade Q P(x, y) d (P, r) = d (P, F) x Obtém-se a equação da parábola considerando um ponto R V F genérico P (x, y) e impondo PF = PQ 2p 2 2 2 F 2 F b a c by x . a ) y y ( ) x x ( + + + = − + − (x - x F ) 2 + (y - y F ) 2 = 2 2 2 b a ) c by x . a ( + + + ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = = = − = ) 0 , p ( F p c ; 0 b ; 1 a ) 0 , 0 ( V ) diretriz reta ( p x 2 2 2 2 1 ) p x ( y x + = + ⇒ (x - p) 2 + y 2 = x 2 + 2.p.x + p 2 ⇒ x 2 - 2.p.x + p 2 + y 2 = x 2 + 2.p.x + p 2 y 2 = 4.p.x ⇒ (y - y o ) 2 = 4.p.(x - x o ) centro na origem CENTRO DESLOCADO DA ORIGEM CONCAVIDADE VOLTADA PARA A DIREITA De modo análogo, demonstram-se os outros três casos: (y - y o ) 2 = - 4.p.(x- x o ) ⇒ (x - x o ) 2 = 4.p.(y - y o ) ⇒ (x - x o ) 2 = - 4.p.(y - y o ) CONCAVIDADE VOLTADA PARA A ESQUERDA CONCAVIDADE VOLTADA PARA CIMA CONCAVIDADE VOLTADA PARA BAIXO GEOMETRIA ANALÍTICA PROF. A1000CAR DIVISÃO DE UM SEGMENTO POR UM PONTO Observando o gráfico: y yB yC yA A xA C E x xC xB B D Razão em que o ponto C divide o segmento orientado AB ∆ BCD ≈ ∆ ACE , logo: r= AC CB = xC − xA y − yA = C xB − xC yB − yC Notas: 01) Se o ponto C está entre A e B , então a razão r= AC CB é positiva. Nesse caso, dizemos que o ponto C divide interiormente o segmento AB . 02) Se A, B e C são pontos distintos e colineares tal que C é exterior ao segmento AB , então a razão r = Nesse caso, dizemos que C divide exteriormente o segmento AB . AC CB é negativa. Exemplos: 01) Determinar a razão em que o ponto C (3, 6) divide o segmento AB , sendo A (1, 2) e B (9, 18). A 1 C 3 B x − xA 3 −1 1 r= = C = = x B − xC 9−3 3 CB AC O ponto C é interior ao segmento AB . • • • 02) Determinar a razão em que o ponto C (10, 5) divide o segmento AB , sendo A (4, 2) e B (8, 4). A 2 B 1 C r= x − xA AC 10 − 4 = C = = −3 x B − xC 8 − 10 CB • • • O ponto C é exterior ao segmento AB . 03) Dados A (- 3, - 5) e B (1, - 1) , determinar o ponto C (xC, yC) que divide o segmento orientado AB na razão − 7 . 3 r= r= AC CB AC CB = = xC − x A 7 = − xB − xC 3 yC − y A 7 = − yB − yC 3 ⇒ x C − ( −3) 7 = − 1− xC 3 y C − ( −5) 7 = − − 1 − yC 3 ⇒ xC = 4 yC = 2 ⇒ ⇒ ∴ C( 4, 2 ) COORDENADAS DO PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO Sendo M (xM , yM) ponto médio do segmento AB , podemos obter o ponto médio pelas fórmulas: xM = xA + xB 2 yM = yA + yB 2  x + xB yA + yB M A ,  2 2      BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO O baricentro G de um triângulo ABC de coordenadas A (xA,yA) , B (xB,yB) e C (xC,yC) é dado por: A(xA,yA) M3 1 2 1 2 Baricentro é o ponto de encontro das medianas. O ponto G divide a mediana , na razão 2:1. M1 1 2 G xG = yG = xA + xB + xC 3 yA + yB + yC 3 C(xC,yC) M2 B(xB,yB) ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS Se três pontos estão alinhados, podemos entender que o triângulo formado tem área nula. y yC yB yA 0 A xA xB xC x B C A(xA,yA) B(xB,yB) C(xC,yC) D= xA xB xC yA yB yC 1 1 1 = 0 D = 0 ⇔ A , B e C são colineares, isto é, estão alinhados. D ≠ 0 ⇔ A , B, e C formam triângulo. A = 1 D 2 Área do triângulo EXERCÍCIOS DE SALA 01) Determinar a distância entre os pontos A (4, 6) e B (9, 18) R: 13 02) Dados A (5, 1) e B (7, - 9) , determinar o ponto médio M do segmento AB. R: M (6, - 4) 03) Determinar o simétrico do ponto A (3, 5) em relação ao ponto Q (9, 6). R: A’ (15, 7) 04) Em um paralelogramo ABCD , tem-se que A (4, 7) e C (5, 6) são vértices opostos e D (2, 3) , determine o vértice B. R: B (7, 10) 05) Determinar o baricentro G do triângulo ABC , dados A (6, 5) , B (2, 4) e C (1, - 1). R: G (3, 8/3) 06) No triângulo ABC qualquer, o ponto G é seu baricentro. Determinar as coordenadas XG e yG . x + xB + xC y + yB + yC R: x G = A ; yG = A 3 3 R: 4 11) Sejam A (-1. 2) deve ser prolongado no sentido de A para B .2. . que dista 5 unidades do ponto Q (6. 9) à origem.2) 13) Até que ponto o segmento de extremos A (1. 0) 02) Determinar o ponto P. pertencente à bissetriz dos quadrantes ímpares.5) R: 5 15) Os pontos médios dos lados de um triângulo são M (2. b + 1) . a/2) 18) Dados os pontos A (1. até o ponto C.7. para que seu comprimento triplique. Determine os vértices desse triângulo. calcule a razão em que P divide o segmento AB. Calcule o comprimento da mediana relativa ao vértice A. 0) . 0) e C (. 11) e C (8. 7) está alinhado com os pontos A e B . 9). 2) e B (3. 7) .3) e (3.EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) Determinar o ponto P . 2). 2) e B (3. R: P1 (2. (1. 2m) seja eqüidistante dos pontos B (3. tal que AC = 3. o segmento AB é prolongado. . 2). 0) e B (3. 6) 07) Dados A (-1. simétrico do ponto A (. R: A (3. 2a) e Q (3a. Determine as coordenadas dos outros dois vértices desse paralelogramo. 6) os vértices adjacentes de um paralelogramo e M (1. . 4) o ponto de interseção de suas diagonais. R: (. B (2a + 1 .2 17) Se P (a. B (1. R: B (7. 2b – 1) e C (5. R: . R: (12/5 . R: 3 .12. 12/5) 05) Calcule a distância do ponto M (. 2) e C (. Se o ponto P (5. 5a) . 1) 16) Qual o valor de m para que o ponto A (m.1. R: (7. 0). e G (3.5/3 . 4) são os vértices de um triângulo. 17) estão alinhados. 1). R: P ( 9/2 . 3) e B (7. 0) ou P2 (10. y) . 7) .AB. no sentido de A para B. Determine a razão em que: a) B divide AC b) C divide AB c) A divide BC R: 2/3 . 4) e P (. -1) . 3). 0). 2) 12) Os pontos A (x. R: 2 10) Considere o triângulo ABC. . 4) e C (5. 2). Determine a medida da mediana AM relativa ao lado BC no seguinte caso: A (a . 4). 0) e C (1. B (5.4. calcule as coordenadas de R.2. com a ≠ 0 . em que A (-1. 4) e C (5. Determina as coordenadas do vértice A. 0) 04) Determine as coordenadas de um ponto A que pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. 6) e B (6. R: (0. qual é o ponto pertencente ao eixo das ordenadas que equidista de A e B. 5) e B (4. 6) 14) Sejam A . 9/2 ) 03) O triângulo ABC é retângulo ( é reto) e o vértice A é um ponto do eixo das abscissas. 2) e D (. B (5. 2) em relação ao ponto C (3. eqüidistantes dos pontos A (2. sabendo que B (2. 5) 08) Os pontos A (3. B e C vértices de um triângulo. R: A (2. sabendo que o ponto está a igual distância dos pontos B (7. Determine as coordenadas do ponto A . N (-1.5.1/3 . R: 15 06) Determine as coordenadas do ponto B. R: (0. 2) é seu baricentro. 4) . e se PR/QR = .2/5 09) Sejam os pontos A (1. . Calcule a soma das coordenadas do ponto C. 1). R: C (3. pertencente ao eixo Ox . (y .x + (xB .y) = (xB . A(xA . 9). y yB y yA A(xA.y . A equação geral da reta r é obtida partindo-se de uma reta que contém dois pontos distintos.yA) = 0 D = (x .x). 5/2) 05) A reta que passa pelos pontos A (3. 1) e (2.12 = 0. R: 2x . b) pertencem à reta r : x + 2y = 0 .Os pontos (a. Calcule a distância entre eles. vamos utilizar o conceito de alinhamento de três pontos. B e P alinhados AP PB = x − xA y − yA = xB − x yB − y (x .y) . yA) x 0 xA x xB P (x.2y + 8 = 0 02) Dados A (5. B (1.yB). yB) com coordenadas conhecidas e um terceiro ponto P (x. B e P são pontos colineares α D = (x .y + 1 = 0 .y + (xA. onde A(2. 2) .y + 2 = 0 04) Calcule o perímetro do triângulo ABC do exercício anterior. R: x .5y + 17 = 0 . y) genérico. yo) pertencer a uma reta r: ax + by + c = 0 ⇒ P ∈ r ⇔ a.xA).xA).2 = 0 cujas coordenadas somam 7 ? . 3) e C(7. 3).xB. R: 5x . 07) Qual é o ponto da reta r: x . x . 5). R: 41 + 5 + 6 2 R: 6 R: 3 R: (9/2 . 3) e B (1. yB) hipótese : equação da reta x y 1 D= xA xB yA yB 1 1 = 0 Tese A . 8) e B (-1. 03) FEI-SP . 1) e B (6.yA) A . y) B (xB. 4) e a origem do sistema cartesiano. Determine m .(yB .(xo) + b. Determine k. 06) O ponto (m. 2) pertence à reta que contém o ponto (6.x).(yB .x). B(1.(y .EQUAÇÃO GERAL DA RETA Para chegarmos à equação geral da reta. determine a equação da reta que passa pelo ponto médio do segmento AB e pela origem. R: 2x . 5) .3y .(yB .xA).(y .yB . 5) corta o eixo x no ponto de abscissa igual a k .xA).3 = 0 R: 2 5 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) Determine a equação da reta que contém a mediana relativa ao vértice A do triângulo ABC.(xB . 02) Construir o gráfico da reta r . 9).x b. 4x .y) = (xB . yA) e B(xB .yA) Equação da reta (yA . 3) e C (7.y c = 0 lembrando que m= ∆y ∆x =− a b OBSERVAÇÕES a = 0 c = 0 ⇒ ⇒ y=− c b ⇒ ⇒ reta horizontal reta que passa pela origem b = 0 ⇒ x=− c a ⇒ reta vertical ax + by = 0 Condição para um ponto P (xo. já visto anteriormente.2y = 0 03) Determine as equações das retas que formam o triângulo ABC de vértices A (2. de equação geral 2x + 3y .yA) = 0 a.(yo) + c = 0 EXERCÍCIOS DE SALA 01) Determinar a equação da reta que passa pelos pontos A (3. 8 = 0 02) Uma reta r passa pelo ponto P (2.10 = 0 03) Determine k . ou seja: m = tg α x α xA A xB m>0 m = 0 α é agudo α é nulo m < 0 ⇒ α é obtuso m → ∞ ⇒ α = 90o (não tem coef.INCLINAÇÃO E COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA y r yB yA 0 B • A medida do ângulo α é chamada inclinação da reta r. R: 6 04) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P (4. Determine a equação da reta r.5) 06) Obtenha a equação reduzida da reta que possui coeficiente angular e coeficiente linear respectivamente iguais a .yo = m. R: 3x + y . R: B ( .2 e 8. ∃ c) A (6.(x . .xo) (Equação fundamental da reta) EXERCÍCIOS DE SALA 01) Determinar a equação da reta r que passa pelo ponto A (-1. 11) b) A (6. R: 2x .2 .3. 1) e B (6. .y . 4) e tem coeficiente angular m = . R: y = .3 = 0 05) Dado o ponto A (. 3). 4) e B (2. R: x .2y . . 1) e tem uma inclinação de 45o. 5) e B (4. • Coeficiente angular ou declividade da reta r é o número real m que expressa a tangente trigonométrica de sua inclinação α . yo) e declividade m . k + 1) de modo que o coeficiente angular da reta AB seja m = 1/2. temos: ∆y =m ∆x ⇒ y − yo =m x − xo ⇒ y .4) é de 45o.18.y + 6 = 0 02) Determinar a equação da reta que passa pelo ponto P (2.3) e tem coeficiente angular 1/2. R: x . 5) e tem uma inclinação de 60o.2. 4) e tem coeficiente angular 2. 12) R: 3 . .2x + 8 . 3) e B (-1. 4) EQUAÇÃO DA RETA QUE PASSA POR UM PONTO DADO E DECLIVIDADE CONHECIDA ( FEIXE DE DADO CONHECIDA RETAS ) Seja a reta r que passa pelo ponto P (xo . sabendo que a inclinação da reta que passa pelos pontos A (k. angular) r é uma reta vertical m= y − yA y − yB ∆y diferença entre as ordenadas = B = A = ∆x xB − xA xA − xB diferença entre as abscissas EXERCÍCIOS DE SALA 01) Calcular o coeficiente angular da reta AB nos seguintes casos: a) A (2. calcule as coordenadas do ponto B (3k . R: 3x − y + 5 − 2 3 = 0 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A (2. . 3) e (.7 = 0 07) O ponto A dista da origem 5 unidades.3 = 0 . R: (. -5). Quais as coordenadas do ponto A? R: (4. 1) 02) Determinar o ponto de interseção da reta 5x .3 = 0 tenham um único ponto comum.INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS CONCORRENTES Se um ponto P(xo.1 = 0 R: x .1 = 0 cuja(s) distância(s) ao ponto Q (-11.2y + 5 = 0 . R: x + y . R: (1. R: a ≠ ± 2 03) Obtenha o(s) ponto(s) da reta r: 2x . yo) satisfaz as equações de duas retas concorrentes r e s.4) 04) Determinar o(s) ponto(s) da reta r: 2x + y . 3) é (são) igual(is) a 13 unidades.1. 0) 03) Verifique se as retas r: 3x + 2y . . . 2) . 1) b) A (2.4.3y + 3 = 0 R: x . R: (1. basta resolver o sistema 0 xo x Condição de concorrência: a1 b1 ≠0 a2 b2 a1 b1 = a2 b2 a1 b1 ≠ a2 b2 ⇔ r // s (paralelas) ⇔ r  s (concorrentes) EXERCÍCIOS DE SALA 01) Mostrar que as retas r: 2x .( 5 + 1) 06) Dados A (5.2y . determine o ponto R: Sim .22/5 . 3) e B (5. . dizemos que P é o ponto de interseção de r e s. (5. O coeficiente angular da reta que passa pela origem do sistema e pelo ponto A é 3/4.2y + 2 = 0 R: 5x .3) .1 = 0 02) Obtenha os valores de a para que as retas r: ax + 2y .10 = 0 são concorrentes e determine o ponto comum a ambas.2y + 3 = 0 com o eixo Ox. 2) e B (-3. 1) e B (1. R: 8. 4) e B (0. .5) EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) Determinar a equação da reta AB nos seguintes casos: a) A (2. 8) c) A (0.y + 1 = 0 que dista(m) 5 unidades do ponto P (4. R: (3. 3) ou (. -1).3/5 .3y .2) e (.7 = 0 de concorrência de ambas. 71/5) 05) Calcule o perímetro do triângulo cujos lados estão contidos respectivamente. nas retas s : x + 2y + 5 = 0 e t : x . determine a equação da reta que passa pelo ponto médio do segmento AB e forma com os eixos Ox e Oy um triângulo isósceles. 4/3) d) A (5. e s: 2x + 3y + 2 = 0 são concorrentes. -2) R: 3x . r : x .5 = 0 que dista(m) 10 unidades do ponto P (-5. R: (1.1 = 0 e s : 2x + ay . 8) e B (-1. y r yo P s r : a 1x + b 1y + c 1 = 0 s : a 2x + b 2y + c 2 = 0 Para obter as coordenadas do ponto P. Em caso afirmativo.y . 3) e (5.1) 04) Encontre o(s) ponto(s) da reta r: 3x + y .5 = 0 e s: 3x + y . 2. R: 3 . obtenha uma equação daquela que forma com os eixos coordenados um triângulo cuja área é unitária.1 = 0 04) Considerando todas as retas do plano cartesiano que passam pelo ponto P (4. 4) e (10/3 .9/16 07) Determine as coordenadas dos pontos sobre os eixos coordenados pelos quais passa a reta y = . Dê uma R: 5x + 4y . Determine uma equação dessa reta. 5) intercepta o eixo Ox no ponto A (5.y) = 0 . determine aquela que passa pela origem do sistema cartesiano ortogonal. R: 8x . m ∈ R .3) . 0).y + k = 0 reta. R: 3x − 3y = 0 06) Encontre o coeficiente angular da reta r que passa pelos pontos (.8 03) Qual é a reta do feixe de concorrentes de centro P (2.8. 8) não intercepta o eixo Ox.OBS: Chama-se feixe de retas concorrentes de centro P o conjunto formado por todas as retas de um mesmo plano que passam por P. R: y = 8 02) Uma das retas do feixe plano de concorrentes de centro P (.(x .(x .xo) yo x xo EXERCÍCIOS DE SALA 01) A equação y .1 = 1/3. obtenha uma equação da reta desse feixe que forma com as retas r: x = 4 e s: y = 0 um triângulo de área 6. representa infinitas retas. R: (0. 6) não intercepta o eixo Oy.(x .3) 02) A equação y . m ∈ R . R: 6/5 e .(x .yo = m. Dê uma equação dessa reta.(x .4 = 0 e 2x . R: x = .y . 04) Dadas as retas r: x .18 = 0 e 3x . 0) 08) Encontre a equação reduzida da reta que forma ângulo de 60o com o sentido positivo do eixo das ordenadas e passa pelo ponto P (2. R: . determina infinitas retas. obter a reta que é comum aos dois feixes de R: x . 2). 1) e (1/4 . R: 3x + y . Dentre essas retas.4x + 1.(x . 1).4 = m.x − 3y + 3 − 2 3 09) Obter m e n para que as retas r: mx + 3y + 1 = 0 e s: 2x + 5y .y + 2 = 0 03) Uma das retas do feixe plano de concorrentes de centro P (1. R: y . R: x . 6) .5/3 . e s: α.y = 0 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) Uma reta do feixe plano de concorrentes de centro P (2.1) + β.y .1) .25 = 0 equação dessa reta. Dentre todas essas retas.n = 0 sejam paralelas coincidentes. 1). 1) que passa pelo ponto Q (3.6 = 0 05) Determine a equação da reta que passa pela origem dos eixos cartesianos e forma com o semi-eixo positivo Ox um ângulo de π/6 rad.1 = m.y . y m = -3 m = -1 m=3 m=1 y . em relação à reta s . obter a reta s do feixe que é perpendicular à reta r: y = x/2 R: 2x + y .p.4 = 0 2x 03) São dadas as retas: r: y = + 5 .4y . s: 3x + 2y .7 = 0 05) Obtenha p para que r: x .(y .2y + 10 = 0 e u: y = 5x R: paralelas distintas R: paralelas coincidentes R: são concorrentes 03) Para que valores de a as retas r: 3x + 2y .3) e é perpendicular à reta r: x + 2y + 5 = 0 R: 2x .y + 1 = 0 . .(x .x . R: ∀ p ∈ R 06) Unitau .x . logo: 1 + mr. perpendicular à reta r e que passa pelo ponto P (. α e β reais .x + y + 1 = 0 são concorrentes? R: a ≠ . de equação 2x .2. determine a equação da reta s . 1). t: 6x .3) = 0 .y .POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS reta r ⇒ y r = m r + b r Sejam as retas  reta s ⇒ y s = m s + b s y r s y s r s y αs = 90o + αr r 0 αr αs x 0 αr αs x 0 αr αs x tg 90 o = mr ≠ ms mr = ms e mr = ms e mr .1 = 0 .m s tg 90o ⇒ ∞ .p.6y .Conhecendo a equação da reta r: 2x .1 = 0 R: 2x + y .ms = 0 EXERCÍCIOS DE SALA mr.ms = -1 01) Determinar a posição da reta r .2 . ms = -1 br ≠ bs br = bs ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ r r r r e e e e s s s s são concorrentes são paralelas distintas são paralelas coincidentes são perpendiculares ms − m r 1 + m r .10).5 ou a ≠ 2 02) Determinar a equação da reta r que passa pelo ponto P (-1.y . u: y . 6) e é paralela à reta s: 4x + 2y .4 = 0 e s: 3a. de equação 4x .2.2 = 0 e v: y = 4x + 1 3 Verificar se são ou não perpendiculares: R: são a) r e s b) t e u R: são c) r e v R: não 04) Obter uma equação geral da reta s que passa pelo ponto P (2. R: 2x + y + 3 = 0 07) Considerando o feixe de retas concorrentes α.1 = 0 e s: ax + 5y + 3 = 0 são paralelas? R: 15/2 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) Para que valores de a as retas r: (a2 .5 = 0 .2. t: x .1 = 0.1) + β.y + 7 = 0 seja perpendicular a s: .3y + 5 = 0 . R: mr = ms = 2/3 (retas paralelas distintas br ≠ bs ) 02) São dadas as seguintes retas: r: y = 3x + 5 . não nulos simultaneamente. Descrever a posição relativa entre: a) r e s b) r e t c) s e u s: y = 3x .1 = 0 .5 = 0 . 3) e S (2. 0) R: arc tg 3/4 06) Determine o valor de p para que o ângulo RST seja 45o . R: 0 ou 3 02) Seja uma reta r que passa pelo ponto A (1. R: cotg α = 4 04) Ache a tangente do ângulo agudo formado pelas retas de equações x .2 = 0 R: β = 45o R: β = arc tg 7/4 02) Determinar a equação da reta r que passa pelo ponto P (2. 3) e que forma um ângulo de 45o com a reta s. . R: x . faz um ângulo de 30o com a reta s.3y . 0). 0 tg α1 = m1 A α1 B α2 x tg α2 = m2 ⇒ β = α2 . R: y = x . OBS: O módulo foi introduzido para calcular o ângulo agudo entre as retas. o ângulo externo é igual a soma dos ângulos internos não adjacentes. .1.x EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) A reta r.cotg α1 ⇒ 1 m1 EXERCÍCIOS DE SALA 01) Determinar o ângulo agudo formado pelas retas: a) 2x .4/3 ou 7 07) Determine o ângulo formado pelas retas PQ e RS para P (1.2 = 0 b) x . cujo coeficiente angular é m = 1 3 . temos: β = 90o .m1 tg β = sendo α2 = 90o . Calcule cotg α.2 = 0 e y .α1 tg β = m 2 − m1 1 + m 2 . 4) e T (5.7 = 0 e x .9 = 0. R: y = .2 = 0 ou x + 3y .13 = 0 03) Determine a equação reduzida da reta r que passa pelo ponto P (. p) R: .ÂNGULO FORMADO POR DUAS RETAS Sejam as retas ( r1 ) y = m1. R: arc tg 1/2 .13y . Q (4. 3) .4 = 0 03) Seja α o ângulo agudo formado pelas retas de equações x .3. cujo coeficiente angular é m2.y + 1 = 0 e 3x + y .5y + 13 = 0 ou 5x + y . 0).α1 ⇒ tg β = cotg α1 ou tg β = .2y + 3 = 0 e 2x + 3y .4x = 0. cujos vértices são A(0. R: tg α = 4 05) Calcule a medida do ângulo agudo ABC formado pelos pontos A (0.x + b1 y r2 r1 e ( r2 ) y = m2.2y + 2 = 0. 1) e C(1.2y + 1 = 0. 1) e faz um ângulo de 45o com a reta s. S (9. 4) e C (2. 2) . Determine a equação da reta r.y .x + b2 β P α2 = α1 + β ∆ PAB.2) e é perpendicular à reta que forma 135o com o sentido positivo do eixo Ox. Calcule m2. B (4. 2) .1 04) No triângulo ABC. R: 3x . qual a equação da reta que contém a altura relativa a BC. 1) . 5). R (-1 . de equação x . B(. sabendo que R (2. de equação 3x . y P + c a2 + b2 EXERCÍCIOS DE SALA 01) CEFET . 03) Determinar o valor de a para que a distância do ponto P (. a distância entre P e a reta r é dada por: • P (xP . R: a = 9/2 ou a = .A distância do ponto (2.1/2 04) Determinar a distância entre as retas paralelas 2x + 3y . C (2. simétricos dos pontos de r em relação a P.4y + 8 = 0. 4) e P’(0.r = r ax + by + c = 0 a. 3). 5) e B (7.Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. yP) . Qual o valor de m ? R: .10 = 0. e 6x .2 = 0 .Qual a distância do ponto P (3. R: 2 unidades 06) Calcular a distância entre as retas r: 12x + 5y + 38 = 0 e s: 12x + 5y + 25 = 0. de equação 3x + 4y .6 = 0 2x + 3y . Determine o valor de k.14 = 0. m) à reta x .8/3 ou 4 09) FATEC .Qual a distância da reta de equação x + y 3 − 4 = 0 à origem do sistema de referência. considere a reta r de equação y = x + 1 e o ponto P (2.9/2) 08) A distancia entre o ponto P (0. R: 2 02) UCG . R: 1 unidade 07) Determinar os pontos do eixo Oy que distam 2 unidades da reta r: 15x + 8y + 2 = 0.y = 0 é 8 .3 . R: . a) à reta r . 1) .8y + 15 = 0 as equações das retas suportes das bases de um trapézio. n) pertencentes à reta R: 5 02) PUC-SP .2 ou 6 03) Determinar a distância entre o ponto A (2. 1) e a reta r.Sejam 3x .5 = 0 . 3) e D (4. é igual a 2 unidades. R: 2 5 04) Calcular a distância do ponto P (2.x P + b. seja igual a 2 unidades. R: 1/2 10) UNESP .Qual a distância entre os pontos A (m. R: y = x . B (6.DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA Dados a reta r de equação ax + by + c = 0 e um ponto P (xP . 1) à reta r de equação 2x + 5y . 4 13 R: 13 e 05) Determinar a medida da altura do trapézio cujos vértices são os pontos A (1. R: P (0.3x = 11. . k) e a reta r. R: 2 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) MED-Itajubá .1. 1) . de equação x + 2y . 1) Calcule o lugar geométrico dos pontos.1 = 0 R: 10 29 29 4y . de equação 4x + 3y .4y + 10 = 0 Determine a altura desse trapézio. 1) à reta r: 3x . yP ) d P. 2).3) 2 + (y + 1) 2 = 2 02) PUC . representa: EXERCÍCIOS DE SALA 01) Determinar a equação da circunferência com centro no ponto C (4.8) e B (6.4) 2 + (y .3) 2 = 10 03) Achar a equação da circunferência cujas extremidades de um diâmetro são os pontos A (0. e somente se. R: x2 + (y . chamado centro da circunferência. R: (x .4) 2 + (y . y) em relação à circunferência. R: (x .3) 2 + (y + 4) 2 = 25 04) Achar a equação da circunferência que passa pelos pontos A (0. R: (x .Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano. eqüidistantes de um ponto fixo O. k = 0 Ž o conjunto vazio se.a) 2 + (y .2) 2 + (y . R: (x ± 3)2 + (y ± 3)2 = 9 .3.3) 2 = 65 04) Obter a equação da circunferência λ que passa pelos pontos A(2.b) 2 = k nas variáveis x e y com {a. 0). y) y r (x . b) e raio r tem equação reduzida: y d 2 = r 2 (distância de dois pontos) PO P (x. e somente se.4) e (5. 0) são extremos de um diâmetro. Calcule o valor de b.2) 2 + y2 = 1 05) Encontrar uma equação da circunferência λ que passa pelos pontos A (8. cujo centro C pertence ao eixo das abscissas. cujo centro pertence à reta r de equação y = x .1 ou b = 7 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) Determine a equação da circunferência em que os pontos (4. k} ∈ R . R: (x . R: (x .2) e (2.. 1) e B (1.3).7) 2 = 4 02) Determinar a equação da circunferência com centro no ponto C (2. b. b) pertence à circunferência de centro no ponto C (0. EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA Para determinar a posição do ponto P (x. 3) e de raio r = 5 . basta substituir as coordenadas de P na equação da circunferência.2) 2 = 4 ou (x .2) 2 + y2 = 4 03) Ache a equação da circunferência que tem centro na reta de equação x .2) 2 = 5 05) PUC . . Uma circunferência de centro O (a. 3) e que passa pelo ponto P (-1. .a) 2 + (y .1) 2 = 25 06) Qual a equação da circunferência que tem raio 3 e tangencia os eixos coordenados.2y + 9 = 0 e que passa pelos pontos (1. . 4) e B (1. k < 0 A equação (x .Determine as equações das circunferências de raio 2 que passam pelos pontos (0.O ponto P (. 1) e B(3. R: (x. R: b = .2) 2 + (y . 4) e tem centro sobre a reta de equação x = 2. b) b Se o centro O coincidir com a origem: (a = b = 0) o a x X x2 + y2 = r2 RECONHECIMENTO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA x uma circunferência se. e somente se. 7) e raio r = 2. k > 0  um único ponto se. 2) R: (x + 3) 2 + (y . 2).3. 0) e (2. 0). R: (x .b) 2 = r 2 O (a. 6x + 4y + 16 .2k : a) represente uma circunferência.F 4A 2 R2 > 0 ⇒ D 2 + E 2 − 4.y2 + C.F < 0 D 2 + E 2 . dividindo ambos os membros por A . R: m = 3 e k = 27 .x.2. c) represente um conjunto vazio. k} ∈ R .4.x .x. D 2 + E 2 .4 representa uma circunferência.2x + 4y + 1 = 0 b) x2 .b. b.6x + 24y + 24 = 0 02) Verificar se a equação x2 + y2 + 4x .b) 2 = r 2 x 2 + y 2 .x2 + B.2y + 6 = 0 representa uma circunferência. e somente se.y + a 2 + b 2 . 04) Obtenha os valores reais de k para que a equação (x + 3) 2 + y2 = 1 . C = 0 e um único ponto se.y2 + C.y + F = 0 Equação normal Desse modo.18y + k = 0 represente uma circunferência tangente aos eixos coordenados.A. e somente se.2xy + 2x .EQUAÇÃO NORMAL DA CIRCUNFERÊNCIA Vimos que a equação reduzida da circunferência de centro C (a.A. R: k = 1 e m > 3 06) Quais são os valores de m e k de modo que a equação mx2 + 3y2 . D 2 + E 2 .a.y2 + 3x .r 2 = 0 A.y + F = 0 . nas variáveis x e y com {a. represente uma circunferência.1 = 0 d) 3x2 + 3y2 .F 4A 2 >0 D 2 + E 2 − 4.y + D.x2 + B. A = B ≠ 0 . obteremos: x2 + y2 + Dx Ey F + + = 0 A A A D D  − 2a = A ⇒ a = − 2A I  centro da circunferê ncia   E E  ⇒ b=− II − 2 b = A 2A     a 2 + b 2 − R 2 = F III Cálculo do raio da circunferê ncia  A  Substituindo I e II em III .a) 2 + (y .A.A.6y + 8 = 0 c) x2 + y2 .4.m = 0 .F > 0 EXERCÍCIOS DE SALA 01) Qual das equações a seguir representa uma circunferência: a) 2x2 + 3y2 . e somente se.A. representa: uma circunferência se. R: d R: Representa um conjunto vazio R: k > 4/3 R: k < 1/2 R: k = 1/2 R: k > 1/2 03) Para que valores reais de k a equação (x .F = 0 um conjunto vazio se. b) represente um ponto.x + E.18x .x + E. b) e raio r é: (x .F > 0 RECONHECIMENTO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA A equação A. 05) Obtenha os valores reais de k e m de modo que a equação x2 + ky2 .2.1) 2 + (y + 2) 2 = 3k .4.A.y + D. temos: D2 4A 2 + E2 4A 2 − R2 = F A ⇒ R2 = D2 4A 2 + E2 4A 2 − F A ⇒ R2 = D 2 + E 2 − 4. R: . calcule as coordenadas do ponto B.7 = 0 R: C (.3 = 0 c) C (. para que a equação (x .9 = 0 representa uma circunferência. n = 0 e p = 2 05) UFPB .4x .Sabendo que a equação x2 + By2 + 3Cxy + 4y .5.O segmento AB é diâmetro da circunferência de equação x2 + y2 = 10y. c) o conjunto vazio. 2) e R = 7 R: x2 + y2 .14y + k = 0 represente uma circunferência de raio 9.4 = 0 14) Determinar as coordenadas do centro e o raio da circunferência de equação x2 + y2 .8y + 19 = 0.2y/3 = 23/36 R: C (.8x .1. 4) e r = 20 R: não é circunferência R: circunferência C (1. sabendo que r é paralela à reta s: y = x + 1 b) Calcule o comprimento da corda determinada pela reta s na circunferência C dadas no item a.23 04) Determine m.4y . 2) d) 4x2 + 4y2 + 4x .36y .9 represente uma circunferência R: k < .8x + 8y .3 represente: a) uma circunferência. 11) Determine a equação da reta paralela ao eixo das abscissas que tangencia a circunferência de equação x2 + (y . .B .3.2.10x .1.2 12) Obter k .18y + 152 = 0 d) C (-1/3 . 1) e R = 1/3 R: 9x2 + 9y2 + 72x . R: (.1)2 + (y + 2)2 = k . b) um ponto.2)2 = 16.4. R: k < 13/3 02) Determine a equação geral das seguintes circunferências: a) (x . 0) c) x2 + y2 + 10x . 9) 09) Determine os possíveis valores reais de k de modo que a equação x − 1 3 ( )2 + ( y + 1) 2 = k2 . obter as coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência: a) x2 + y2 + x .x .4y + 30 = 0 e) x2 + y2 + 2x . 1/2) 08) FUVEST .EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) Calcule o valor de k de modo que a equação x2 + y2 .1) 2 + (y + 1) 2 = 3 b) (x + 4) 2 + y2 = 6 R: x2 + y2 . 1/3) b) 16x2 + 16y2 . R: y = 6 ou y = .C.31 = 0 R: C (1/4 .14y + 1 = 0 b) C (0. 4) e r = 1 15) Determine a equação geral da circunferência de centro C e raio R. 1) . n e p para que o gráfico da equação x2 + my2 .4x + nxy + p = 0 represente uma circunferência de centro no eixo das abscissas e raio r = 2 .3 ou k>3 10) UFMG . nos seguintes casos: a) C (4.2x + 2y . R: x2 + y2 + 2x .4y + 1 = 0 R: C (. R: m = 1 . Se A é o ponto (3. b) k = 3 .23 = 0 . c) k < 3 13) Determinar a forma geral da equação da circunferência com centro no ponto P (. R: x + y + 1 = 0 . k ∈ R . R: 3 06) Identifique o conjunto dos pontos do plano definidos pelas equações: a) x2 + y2 + 4x .8x .1/2 .4y .28 = 0 d) x2 + y2 . 1/2) e R = 1 R: 36x2 + 36y2 + 24x .1 = 0 R: x2 + y2 + 8x + 10 = 0 03) Determine k de modo que a equação x2 + y2 + 6x . 2 2 u. 7) e R = 8 R: x2 + y2 . calcule o valor de 3. 6) e e e e r = r= r = r = 1 2 6 1/2 07) Em cada caso.1) e r = 3 R: conjunto vazio R: Um ponto (.y = 0 c) 4x2 + 4y2 .12y + 37 = 0 R: circunferência C (. 2) e raio 3.a) Equacione a reta r suporte do diâmetro da circunferência C: x2 + y2 + 2x + 4y + 1 = 0 .2x + 10y + 6k = 0 represente uma circunferência.8y = 0 b) 3x2 + y2 .4y . R: a) k > 3 . R: C (2.1/2 .c. 0) e R = 1 R: x2 + y2 . R: m = . r = 1 .1)2 = 1 31) Determine a equação da reta que passa pelo centro da circunferência de equação x2 + y2 . R: 7 ou -1 30) Os pontos A (4.2y + 1 = 0.1 = 0 b) x2 + 2y2 . R: (x + 5)2 + (y + 2)2 = 26 23) Dar o centro da circunferência circunscrita ao triângulo de vértices (0. r = 2 . b) pertence à circunferência de centro no ponto C (0. 0) .3) e N (.5. 3) e tem centro sobre a reta x . b) e raio r. 5) e E (1.2) .1 = 0 R: C (-1/2.1)2 + y2 = 4 2 2 c) 2x + 2y + 2x + 2y . 0) . 0) . 0) e (2.8y . 0) são extremidades do diâmetro de uma circunferência de centro C (a. (x .1 = 0 d) 4x2 + 4y2 + 4x . a ≠ 0.4x .3)2 + (y . o raio e a equação reduzida das circunferências de equações: a) x2 + y2 .6x .1 = 0 17) Obtenha o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é: a) x2 + y2 . R: (x .6y . (a.2) e B (2. .3 = 0 R: C (1. r = 1 .3x + 5y + 7 = 0 c) 2x2 . 8) e Q (4.15 = 0 b) x2 + y2 + 10x + 22 = 0 c) x2 + y2 . 3) e R = 4 R: C (0. nos seguintes casos: a) C (1.2y2 + 6x . Calcule o valor da coordenada b.4.10 = 0 .3. .2 28) Dar o centro.c.2x . .2x . 6). R: (2.2y2 . a) .2.6x + 4y + 12 = 0 R: C (3.6 = 0 d) x2 + y2 + 2y .3)2 + (y + 2)2 = 13 19) Qual a equação da circunferência que passa pelos pontos C (. de centro (3.a/2)2 = a2/2 25) Qual é o diâmetro da circunferência de equação x2 + y2 = 12. calcule sua equação. 0) e R = 2 18) Qual a equação da circunferência.8y . 6)? R: (x + 1)2 + (y . 3) e raio 5. R: (x . 0) e R = 3 R: C (1. (4. R: (x . que passa pela origem.1) e R = 2 R: C (0. 26) Sendo P (2. R: k > .2).4y + 4 = 0 e é paralela à reta r . 1) e R = 5 R: C (. R: 4 3 u. 0) . R: (x .1)2 = k + 2 representa uma circunferência.1 = 0 e) x2 + y2 = 4 R: C (3.3)2 + (y + 2)2 = 1 2 2 b) x + y . -1/2) .2 e k = 1/2 22) Obtenha a equação da circunferência que passa por M (0.4)2 = 17 27) Para que valores de k ∈ R a equação x2 + (y .2x + 2y .3/4 .2x + xy .16) Determine a equação geral da circunferência de centro C e raio R . de equação 2x + 3y = 0 R: 2x + 3y . a) x2 + y2 . . D (2. Determine a equação dessa circunferência.k = 0 represente uma circunferência tangente aos eixos coordenados.2x .4 = 0 c) C (. 8) e R = 3 R: x2 + y2 . (x .2)2 + (y . 0) extremidades de um diâmetro de uma circunferência. . (x + 1/2)2 + (y + 1/2)2 = 1 29) O ponto P (3.a/2)2 + (y .x2 .16y + 56 = 0 b) C (. 1) e R = 2 3 R: 144x2 + 144y2 + 216x + 223 = 0 d) C (0.3)2 = 13 20) Quais das equações abaixo representam circunferência. 0) e (0.11 = 0 e) x2 + y2 + 6x + 2y + 10 = 0 R: d 21) Obtenha m e k para que a equação m.2y . 8/3) 24) Dar a equação da circunferência que passa por (0. 0) e R = 2/5 R: 25x2 + 25y2 + 100x . 1) e λ: x2 + y2 .4 = 0 R: externo b) x2 + y2 . 4) em relação a cada uma das circunferências definidas por: a) 2x2 + 2y2 + x + y . k) são internos a x2 + y2 . B pertence e C é externo 02) Qual a condição que deve verificar o número m .20 = 0. R: k < 4 03) Qual a posição do ponto P em relação à circunferência λ . b) r d (P. C) < r P É INTERNO •P • C(a.8x . 6) e C (4. a) está na circunferência de equação x2 + y2 . 3) seja interno a ela.2y + 1 = 0.r2 .5y = 0.3) seja interno em relação à circunferência de equação x2 + y2 .20y + 10 = 0 R: interno 02) Qual a condição que deve verificar o número k . para que o ponto A (4. C) = r P ∈ CIRCUNFERÊNCIA •P • C(a. b) r d (P. R: .3) 2 + (y .2x .9 = 0 ? R: externo EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) Qual a posição do ponto A (. C) > r P É EXTERNO Fazendo λ = (x . b) r d (P.2x + 4y + k = 0.2) em relação a circunferência de equação x2 + y2 . Obtenha a.3.4x + 2y + 2 = 0 R: externo 04) Qual é o menor valor inteiro de r na equação da circunferência (x .2)2 = r2 de modo que o ponto (7. em cada um dos casos a seguir: a) P (1.5 = 0.3 < m < 5 03) Qual a posição relativa do ponto A (2. A (. 6) e λ: (x . 3) . R: (2. para que o ponto P (1. concluímos: λ < 0 ⇒ ponto interior λ = 0 ⇒ ponto pertencente λ > 0 ⇒ ponto exterior EXERCÍCIOS DE SALA 01) Determinar a posição dos pontos x2 + y2 + 8x . 4) à circunferência de equação x2 + y2 = 1 R: 4 . 3) seja externo à circunferência de equação x2 + y2 . R: 2 08) Para que valores de a o ponto P (1. 3) e λ: (x + 1) 2 + (y .3 = 0 R: externo c) x2 + y2 .8y .4.2 < a < 1 09) Qual é a distância do ponto A (3. 3) 07) O ponto A (1.b)2 .2x + 4y . R: 7 05) Quais os valores de k para os quais os pontos de coordenadas (3.4x .1)2 + (y . a) é interior à circunferência de equação x2 + y2 + 2x + y .4x .POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA •P • C(a. B (.5 = 0 e pertence ao 1o quadrante. .2) 2 = 16 R: interno R: pertence b) P (5. R: 1 − 3 < k < 1 + 3 06) Quais são os pontos de abscissa 2 que estão na circunferência de equação x2 + y2 + x .2y + m = 0 ? R: .6) 2 = 4 c) P (3. 2) em relação à circunferência de equação R: A é interno .a)2 + (y .2. 2) e (2. . 4y + 6 = 0 s para cada item: R: exterior à circunferência R: secante à circunferência R: exterior à circunferência R: secante à circunferência R: tangente à circunferência R: exterior à circunferência 02) Obtenha se existirem.26 ou m = 4 03) Determinar a equação da circunferência com centro no ponto C (1.3 = 0 e λ: x + y + 6x .4 f) s: 2x .2x . x + B. EXERCÍCIOS DE SALA 01) São dadas a reta r. −2 2 ) e ( −1 . e a circunferência λ . 0) . sejam tangentes. Pergunta-se: a) Quais as coordenadas do ponto Q . 1) no mesmo instante e com velocidades de módulos constantes. R: m = . de equação 4x + 3y + m = 0 .3)2 + (y + 2)2 = 4 e da reta a) s: y = 3x b) s: y . de equação 4x + 3y .6y .8 = 0 04) UNICAMP–SP .Os ciclistas A e B partem do ponto P (-1. 3) e que é tangente à reta s de equação x + y + 2 = 0 R: x2 + y2 . y + C = 0 ( circunferencia ) ∆ > 0 ⇒ a reta é secante à circunferência (2 pontos comuns) ∆ = 0 ⇒ a reta é tangente à circunferência (1 ponto comum) ∆ < 0 ⇒ a reta é exterior à circunferência (nenhum ponto comum) Este sistema é prático quando se deseja saber as coordenadas de interseção da reta com a circunferência. de equação x2 + y2 . x + b.3. e) > r Este sistema é prático quando não se deseja saber as coordenadas de interseção da reta com a circunferência.8y = 0. 4) e (. y + c = 0 ( reta )  Análise do sistema  2 2  x + y + A. as coordenadas dos pontos de interseção da reta s com a circunferência λ . 7) . em cada item: a) s: y = 2 e λ: (x .4 = 0.1 = 0.4x .2y .POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA t s A B T C• r C• r C• r e d (C.2)2 + (y + 1)2 = 16 R: 2 2 b) s: x = -1 e λ: x + y = 9 R: ( −1 . 10π km/h EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) Verifique a posição da circunferência λ: (x . O ciclista A segue trajetória descrita pela equação 4y – 3x – 7 = 0 e o ciclista B . Qual a posição da reta r em relação à circunferência λ . onde haverá cruzamento das duas trajetórias ? b) Se a velocidade do ciclista A for de 20 km/h . a trajetória descrita pela equação x2 + y2 – 6x – 8y = 0 . e a circunferência λ . s) < r d (C. As trajetórias estão no mesmo plano e a unidade de medida é o km. R: secantes 02) Determinar os valores de m de modo que a reta r . a.x + 3 = 0 c) s: y = -3x d) s: 12y . 2 2 ) 2 2 c) s: -x + y . de equação x2 + y2 + 6x .5x + 48 = 0 e) s: y = .8y + 9 = 0 R: (1. qual deverá ser a velocidade do ciclista B para que cheguem no mesmo instante ao ponto Q ? R: Q (7. t) = r d (C. distinto de P . 20 = 0.2y . R: (x .20 06) Faap .4/3 21) Dar as equações das retas que passam por (4.03) Dê a equação da circunferência de centro (. R: x2 + y2 .4x . 2) e que é tangente ao eixo y. x2 + y2 . R: y = 3x . Calcule.1 19) A reta y = − e y = .x/3 .3) 2 = 49 25 04) A reta s. e a circunferência.1)2 + (y + 2)2 = 4 17) Qual é a posição relativa entre a reta y = 3 .4y + 4 = 0 11) Qual a equação de uma circunferência de centro C (2. de equação 4x + 3y + k = 0 .4y + 9 = 0 . 3) .6x + 4y + 9 = 0 10) Determine a equação de uma circunferência tangente aos dois eixos de coordenadas e à reta de equação x = 4.7 = 0 . então os valores de m. de equação R: .1 tangente à circunferência x2 + y2 .10x + 16 = 0. R: 4x + 3y . 3 R: 1 20) Para que valores de m a reta y = mx + 5 é tangente à circunferência x2 + y2 . R: (x . R: 2 2 05) UFRS . R: x2 + y2 . R: 4/3 e . de equação x + y . tangente à reta 3x . R: ± 3/4 07) Quais os valores de k para que a reta r . R: 6 14) Obter os pontos de interseção da reta y . 0) e (1. Calcule o comprimento da corda AB. .2y + 7 = 0. 1) 15) Ache a equação da circunferência que tem centro na reta de equação x . são secantes nos pontos A e B. Calcular a medida da corda AB.25 = 0 .1 3 x é tangente a uma circunferência de centro (2. Determine a equação dessa circunferência. R: (0. . .4y .2) 2 = 16 09) Uma circunferência tangência o eixo x e tem centro no ponto C (3.9 = 0. 1) e que é tangente à reta r de equação 2x + y .1 = 0. de equação x2 + y2 .4x + 3y . R: secante 18) Qual é a reta do feixe y = mx .4y + 4 = 0 e que é tangente à reta r de equação 4x + 3y + 13 = 0.x = 0 com a circunferência x2 + y2 . R: .A reta r de equação x = 3 é tangente à circunferência de equação x2 + y2 + 4x .2) . tangente à reta s: . R: x2 + y2 . 3) e são tangentes à circunferência x2 + y2 = 25.8x .6x .4y .4) e (5. R: x2 + y2 .4) 2 + (y .x e a circunferência x2 + y2 .16 = 0.Sabe-se que a reta y = m. 2) R: (x + 3)2 + (y .29 = 0 13) A reta x = 4 intercepta a circunferência x2 + y2 = 25 nos pontos A e B. Nessas condições calcule o valor de k.2y + 9 = 0 e que passa pelos pontos (1. sejam secantes.2) .4x .12x + 16y + 96 = 0 .3)2 = 65 16) Dar a equação da circunferência de centro C (1. 0) . e a circunferência.6 = 0.x é tangente à circunferência cuja equação é x2 + y2 . Calcule o raio dessa circunferência.2x = 0.8x . R: (x + 1) 2 + (y .1.10 < k < 10 08) Determine a equação da circunferência com centro no ponto C (4.8x .2y + k = 0.40 = 0 12) Qual a equação de uma circunferência concêntrica à circunferência de equação x2 + y2 . de centros C1 e C2 e raio r1 e r2 . R: 13 < d < 2 + 5 ∴ são secantes 02) Quais as coordenadas dos pontos de interseção entre as circunferências do exercício anterior.4y + 10 = 0 R: secantes R: (3. R: 25π . O2) = 0 OBS: Podemos determinar os pontos de intersecção de duas circunferências. C2) < r1 + r2 Internamente Concêntricas O1 O2 O1 O2 O1 ≡ O2 d (O1.2x . R: A (0.r2< d < r1 + r2 SECANTES TANGENTES INTERIORMENTE d = r1 + r2 • d > r1 + r2 EXTERIORES TANGENTES EXTERIORMENTE 01) Qual é a posição relativa entre as circunferências λ1: x2 + y2 + 2x .r2 d (O1. 5) e (1. respectivamente. 3) 04) Determine a área do círculo limitado por uma circunferência de centro (4.r2 • r1 .POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS Sejam λ1 e λ2 duas circunferências.8x . A OUTRA CONCÊNTRICAS d = r1 . C2) =  r1 . 6/13) 03) Dadas as circunferências de equações: γ1: x2 + y2 . Então teremos: Tangentes e secantes: Externamente Internamente Secantes C1 r1 r2 C2 r1 C1 C2 r2 C1 r1 C2 r2 d (C1. C2) = r1 + r2 Não se interceptam : Externamente d (C1.4x + 2y = 0. resolvendo o sistema formado pelas duas equações.r2  r1 .r 2 UMA INT. O2) < r1 . 0) e B (4/13 . contidas em um mesmo plano.r2  < d (C1. podem ocorrer os casos: d=0 • 0 < d <  r 1 . 1).3) e que passa pelo ponto (1. O2) > r1 + r2 d (O1.10y + 22 = 0 a) Qual a posição relativa entre elas? b) Quais os possíveis pontos de interseção? γ2: x2 + y2 .2y = 0 EXERCÍCIOS DE SALA e λ2: x2 + y2 . . Comparando as distâncias entre os centros. R: secantes 04) Determine os pontos de interseção das circunferências x2 + y2 = 4 e (x . c) Elas se interceptam em dois pontos.4)2 + (y .3)2 = 10. e λ2 .2y . 4) e é concêntrica com a circunferência de equação x2 + y2 .4y + 4 = 0. R: π u. 0) 03) Determinar a posição relativa das circunferências x2 + y2 .4y + 4 = 0. k) pertence à circunferência de centro (1. 1) e que passa pelo ponto (1. a) As circunferências são tangentes. 2) e de raio 5 .5 vez a ordenada. R: (0.2 = 0.46 = 0 08) Determine a equação da circunferência de centro ( 0. 1).3)2 = 1 intercepta o eixo Oy. exteriormente. R: x2 + y2 . 5) e tangente exteriormente à circunferência de equação R: x2 + (y .5x + 4y . 3) e (2. R: 2 .4y + 12 = 0 e x2 + y2 + 6x . Calcule a e b R: 6 e .4x .3)2 + y2 = 4 20) Qual é o raio da circunferência de centro no ponto (4. R: são concêntricas.3)2 + (y .5x + 4y .7 = 0.3 = 0 e x2 + y2 . R: 2 2 02) Encontrar as intersecções das circunferências x2 + y2 .2y + 3 = 0 e x2 + y2 .(2a + b)x + 2a.2) 2 + (y .2x . R: (1.Considere as circunferências de equações cartesianas: λ1: x2 + y2 = 4 e λ2: x2 + y2 . R: (4. 17) Em que pontos a circunferência de equação (x + 1)2 + (y . 14) Determine os pontos em que a circunferência de equação (x . 0) 15) O ponto Q (2.(a + 2b). 3) 18) As circunferências x2 + y2 .3x .5) 2 = 49 (x . R: ∅ 13) Unicamp .1 = 0. tangente exteriormente a x2 + y2 . 1) e λ2: (x . b) Elas são tangentes.y + 15 = 0 e x2 + y2 . 0) tangente interiormente à circunferência de equação x2 + y2 = 25.1.1)2 = 5 intercepta o eixo Ox. dada por x2 + y2 .1) 2 = 2 11) Obter a interseção das circunferências λ1: x2 + y2 .4x . R: (6. 2) 10) Determinar a interseção das circunferências λ1: (x .8 = 0.4x + 2y + 4 = 0 e x2 + y2 . 2) 07) Determine a equação da circunferência que passa pelo ponto (-2. R: c d) Elas são exteriores. Qual a distância entre seus centros.2x .6) 2 + (y + 3) 2 = 9.EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) Considere as circunferências λ1 . 2) e (2. 06) Qual a posição relativa entre as circunferências de equações x2 + y2 . 09) Determinar a interseção das circunferências λ1: x2 + (y .a. 2) e (.2y . Calcule o valor de k.1) 2 + (y .3x + y . 0) 05) Qual a posição relativa entre as circunferências de equações x2 + y2 + 6x .y + 2 = 0 são concentricas.9 19) Dar a equação da circunferência de centro C (3. R: (0. R: tangentes internamente no ponto (3.2x . R: k = 0 ou k = 4 16) Determine a área de um circulo limitado por uma circunferência de centro (2. interiormente. R: (x .4 = 0.7 = 0. R: (3.4y + 2 = 0 e λ2: x2 + y2 + 2x .4x + 6y + 4 = 0. e) Um dos pontos onde elas se interceptam tem abscissa igual a 1.1) 2 + y2 = 8.4) 2 = 10. dada por x2 + y2 = 1 . 0) e (2. 5) .5) 2 = 20 e λ2: (x .3)2 + y2 = 64 ou (x . elipse e hipérbole) que estudaremos a seguir podem ser obtidas pela intersecção de um plano com um cone reto.) seu principal colaborador. ELIPSE Na representação a seguir o plano α está inclinado em relação ao eixo do cone e não paralelo à nenhuma geratriz. mais achatada será a forma da elipse EQUAÇÃO DA ELIPSE Obtemos uma equação da elipse considerando-se um ponto genérico P (x. y1 ) F2 ( x2 . y) (x − x 1 ) 2 + (y − y 1 ) 2 + (x − x 2 ) 2 + (y − y 2 ) 2 = 2.a B1 P (x. As secções cônicas (parábola.b (eixo maior) (eixo menor) . α Elipse Elipse é o conjunto dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos do plano é constante. B1 a b V1 α F1 c C b B2 Aplicando Pitágoras no triângulo B1F1C . y2 ) (Coordenadas do foco) 2a xo V1 F1 C F2 V2 2b C (xo . yo ) (Coordenadas do centro) V1V2 = 2.As secções cônicas (parábola. ao escrever o tratado sobre as cônicas. elipse e hipérbole) tiveram no grego Apolônio de Perga (262 a 190 a.C. teremos: c F2 V2 Elementos da elipse: F1 e F2 são os focos da elipse F1F2 = 2c é chamada distância focal V1 e V2 são vértices da elipse V1V2 = 2a é chamada eixo maior da elipse B1 e B2 são vértices da elipse B1B2 = 2b é chamada eixo menor da elipse C é o centro da elipse a 2 = b 2 + c2 Excentricidade e = cos α = c a quanto mais próximo de zero for o valor de e .a yo F1 ( x1 . mais redonda será a forma da elipse 0<e<1  quanto mais próximo de um for o valor de e . Nesse caso. y) e impondo que: PF1 + PF2 = 2. o plano α secciona o cone determinando uma elipse na sua superfície.a B1B2 = 2. Determine o semi-eixo menor e a excentricidade da elipse.3) . o eixo maior está contido no eixo x e seu comprimento é 16. a área do quadrado nela inscrito.Dada uma elipse de semi-eixos a e b . Determine as coordenadas: 16 8 a) do centro R: C (6. R: 8 x 2 y2 + =1 81 36 04) Uma elipse tem semi-eixo maior 8 e distância focal 12. em termos desses parâmetros. . e = 3 4 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) Dê a equação da elipse com C (. 2 2 (x − 1) (y − 5) R: + =1 49 74 2 2 ( x − 6) ( y + 3) 03) Uma elipse tem equação + = 1 .3) e F2 (6 + 2 2 .3) d) dos extremos do eixo menor R: B1 (6. calcule. 2 R: x + 2 y =1 10 03) Determinar a equação da elipse de vértices V1 (0. R: 4.3) e A2 (10. 6) e V2 (0. com os lados paralelos aos eixos da elipse. 2).b2/(a2 + b2) .3) b) dos focos R: F1 (6 . 3) e F2 (0. eixo maior horizontal e semi-eixos 8 e 3. R: (x + 1) (y − 2) + =1 64 9 2 2 02) Escreva a equação da elipse de centro (1. .EQUAÇÃO REDUZIDA DE UMA ELIPSE Estudo analítico y y V2 a b yo V1 C a V2 yo C b x 0 xo 0 Eixo maior paralelo ao eixo das abscissas: V2 xo x Eixo maior paralelo ao eixo das ordenadas: (x − x o ) 2 a2 + (y − y o ) 2 b2 =1 a>b (y − y o ) 2 a2 + (x − x o ) 2 b2 = 1 EXERCÍCIOS DE SALA 01) Numa elipse. . distância focal 10.2 2 .3) c) dos extremos do eixo maior R: A1 (2. Sabendo que a distância entre os focos é 10 e o eixo menor está contido no eixo y . determinar a equação da elipse. R: b = 2 7 . 5) .a2. . . .1.2 2 ) 04) UNICAMP .3 . .3 + 2 2 ) e B2 (6. .6) e que passa pelo ponto P (3. . sabendo que o comprimento do eixo menor é 2. 2 2 x y R: + =1 64 39 02) Determinar a equação da elipse de focos F1 (0. semi-eixo menor 7 e eixo maior vertical. 2) . 40y . R: 3x2 + 4y2 .x + 2y + k = 0 seja tangente à elipse 2 R: k = . Qual a excentricidade dessa elipse? 5 R: 3 13) Qual a equação da elipse de centro na origem e que passa pelo ponto P(2.2) em relação à elipse ( x − 1) 2 ( y + 1) 2 + =1 ? 2 9 R: interior 16) Qual a posição do ponto P (7. R: (x + 3) (y − 4) + =1 20 36 2 2 2 09) Obtenha uma equação da elipse de excentricidade e = 2 5 x 2 e focos F1 (.Quais as coordenadas dos focos da elipse + = 1.4) 9 25 10) Considere a elipse de equação 12) MACK-SP . sabendo que o comprimento do eixo maior é 8. R: x y + =1 16 7 2 2 06) Qual é a equação da elipse de vértices V1 (0. usou um fio esticado preso por suas extremidades M e N. R: x2 y2 + 9 =1 9 5 14) Obter uma equação da elipse de focos F1 (. um jardineiro traçou uma elipse inscrita num terreno retangular de 20 m por 16 m .b 2 a .5) . .y + k = 0 é secante à elipse + y 2 = 1 . R: 3 − 6 < k < 3 + 6 5 17) Determinar a intersecção da reta 3x + y . 0).19 = 0 na forma reduzida.1.05) Determine a equação da elipse de focos F1 (3.Uma elipse tem o eixo maior igual a 12 e o eixo menor igual a 8. 1) e cujo semi-eixo maior mede 3 unidades. a corda que passa pelo foco perpendicular ao eixo maior é chamada de corda focal mínima. R: (2. R: 2. . 3) em relação à elipse ( x − 5) 2 y 2 + =1 ? 4 9 R: exterior y2 = 1.12 = 0 15) Qual é a posição do ponto P (1. R: 12 m 21) Em uma elipse. como na figura. cujo eixo maior mede 4 unidades. Para isto. 0) e F2 (2. k ∈ R . 3) 9 ( y − 2) 2 + x2 = 1 18) Obter k . Qual a soma das distâncias de P aos focos. sabendo que o comprimento do eixo menor é 3.2.7 2 ( x + 3) 19) Para que valores reais de k a reta x . . R: +y =1 5 5 x 2 y2 + = 1 e P seja um ponto da elipse.6 = 0 com a elipse ( x − 1) 2 + 20) J M N Para delimitar um gramado. 5) e V2 (0. 0) e F2 (1. de modo que a reta . 49 36 R: 14 x 2 y2 11) PUC-SP . 0) e (1. Se a equação da elipse for x2 a2 + y2 b2 = 1 . calcule o comprimento dessa corda. 2 2 4x y R: + =1 9 25 2 2 x y 07) Determine as medidas do eixo maior e do eixo menor da elipse de equação + = 1 R: 24 e 18 144 81 08) Escrever a equação da elipse 9x2 + 5y2 + 54x . 0) . 4) e (0. Calcule a distância entre os pontos M e N.3. 0) .1 ou k = . 0) e F2 (. R: (0. os dois ramos de uma hipérbole. teremos: B1 C Elementos da hipérbole: α a F1 e F2 são os focos da hipérbole F1F2 = 2c é chamada distância focal V1 e V2 são vértices da hipérbole V1V2 = 2a é chamada eixo real ou transverso V1 F1 B1B2 = 2b é chamada eixo imaginário ou conjugado C é o centro da hipérbole ( pto médio de F1F2 . na superfície. y2 ) (Coordenadas do foco) C (xo . yo ) (Coordenadas do centro) V1 F1 V1V2 = 2. das distancias a F1 e a F2 . A1A2 e B1B2) c2 = a2 + b2 Excentricidade e = sec α = c a e>1 EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE Obtemos uma equação da hipérbole considerando-se um ponto genérico P (x. em módulo. é constante e menor que a distancia entre esses dois pontos dados.a B1B2 = 2. y) b F2 V2 C B2 Aplicando Pitágoras no triângulo B1V1C .a y P(x. o plano α secciona esses cones determinando. y) b yo F2 V2 C B2 x xo B1 C F1 ( x1 . Nesse caso.b F1F2 = 2. y) e impondo que: PF1 − PF2 = 2. Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença. y1 ) F2 ( x2 .a .c (eixo real ou transverso) (eixo imaginário ou conjugado) (distância focal) α a (x − x 1 ) 2 + (y − y 1 ) 2 − (x − x 2 ) 2 + (y − y 2 ) 2 = 2. P(x.HIPÉRBOLE Na representação a seguir. o plano α é paralelo ao eixo de simetria dos dois cones retos e opostos pelo vértice. 5) . 0) e F2 (. consequentemente sua excentricidade é EXERCÍCIOS DE SALA 2. Determine a equação da hipérbole. 2 2 R: (x − 1) (y − 5) − =1 36 64 2 2 3) Escreva a equação da hipérbole de focos F1 (3. centro (1. 2 2 y x R: − =1 9 7 03) Determinar a medida do eixo real. distância focal 20 e semi-eixo transverso 6. R: (y − 3) (x − 3) − =1 9 7 4) Numa hipérbole.1) e F2 (3.4). 0) e V2 (. sabendo-se que o comprimento do eixo real é 6 unid. 6) e F2 (0. sabendo que os focos pertencem ao eixo das abscissas. .5. . 01) Determinar a equação da hipérbole de focos F1 (5. a distância focal é 16 e o comprimento do eixo real é 12.3.EQUAÇÃO REDUZIDA DE UMA HIPÉRBOLE Estudo analítico y B1 b yo F1 V1 a b B2 x 0 xo 0 a c α C α y F1 V1 a C a V2 F2 xo x V2 F2 yo B1 b B2 (x − x o ) 2 a2 − (y − y o ) 2 b2 =1 (y − y o ) 2 a2 − (x − x o ) 2 b2 =1 ( EIXO REAL PARALELO AO EIXO X ) ( EIXO REAL PARALELO AO EIXO Y ) OBS : A hipérbole equilátera apresenta a = b .16y2 = 144. do eixo imaginário e da distância focal da hipérbole de equação 9x2 . R: (x . 2 2 x y R: − =1 9 16 02) Determinar a equação da hipérbole de focos F1 (0. R: V1 V2 = 8 .6) . 0) e de vértices V1 (3. .x ) o 2 36 − y2 =1 28 . sabendo-se que o eixo imaginário tem 8 unidades de comprimento. 2 2 y x R: − =1 20 16 2) Escreva a equação da hipérbole de eixo real horizontal. 0). B 1 B 2 = 6 e F1 F2 = 10 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 1) Determine a equação da hipérbole de focos F1 (0. 4) e F2 (0. 7) e excentricidade 4/3. R: 17) Determine a distância entre os focos da cônica 3x2 – y2 – 9 = 0. R: -1 < m < 1 10) Obtenha os pontos de abscissa x = 6 da hipérbole x2 y2 − =1 4 2 R: (6.25y2 = 100. F1 ( 29 .8x . R: x y − =1 32 32 15) Determine as coordenadas do centro da hipérbole da equação 4x2 . 0) .4) 11) A equação de uma hipérbole é 4x2 . 0) . cujos focos pertencem ao eixo das ordenadas. 0) . Determine a equação da hipérbole. 0) e F2 (. 0) . 4) e (6.x intercepta a hipérbole x2 . (2 . . − 6 2 ) 9) Para que valores de m a reta y = m.13 . 0) . 0) e F2 (. e) a medida do eixo real f) a medida do eixo imaginário c) a distância focal d) as coordenadas do foco g) as equações das assíntotas R: x y − = 1 . o eixo conjugado tem 2 3 unidades de comprimento. Determine a equação da hipérbole. o eixo real tem 8 unidades de comprimento.3) 16) Numa hipérbole eqüilátera. cujos focos pertencem ao eixo das ordenadas.5) Os focos de uma hipérbole são F1 (4. 2x .5y = 0 e 2x + 5y = 0 12) Determine a excentricidade da hipérbole de equação 4x2 .4. 0). 0) 25 4 2 2 e F2 (− 29 . (. Qual é a equação dessa hipérbole? R: x − 7) Determine a excentricidade da hipérbole de equação 4x2 .y2 = 1 . R: x y − =1 13 3 2 2 6) Uma hipérbole tem focos F1 ( 13 . b) as coordenadas do centro. . − 6 2 ) .25y2 = 100 2 y =1 12 2 R: 8) Obtenha os pontos de interseção da hipérbole 29 5 x 2 2y 2 − = 1 com a elipse 3x2 + 4y2 = 18.8. (. 6 2 ) .2 . R: (x − x o ) 2 (2 − x o ) 2 − y2 (2 − x o ) 2 =1 . Pede-se: a) a equação reduzida.2 . 6 2 ) . y x − =1 16 16 2 2 R: 4 3 18) Determine a equação da hipérbole equilátera que passa pelo ponto P (2. o eixo real tem 8 unidades de comprimento. sabendo que seus focos são F1 (8. Determine a equação da hipérbole. sabendo que o eixo real está contido no eixo das abscissas. 2 3 R: (2 . 10 .54y . R: y x − =1 16 16 2 2 2 2 14) Determine a equação da hipérbole eqüilátera.221 = 0. 0) e F2 (. 2 29 . R: O (1. 4 . (0. 0) e passa pelo ponto P (1. R: 29 5 13) Numa hipérbole eqüilátera.25y2 = 100.9y2 . tem sua equação igual a: (x .p. o plano α é paralelo a uma geratriz do cone. V (vértice) é o ponto médio do segmento FR.PARÁBOLA Na representação a seguir. F) e = PF/PQ = 1 excentricidade Elementos da parábola: R V 2p F F é o foco da parábola.xo)2 = 4.x + by + c a +b 2 2 EQUAÇÃO DA PARÁBOLA Estudo analítico: Uma parábola de vértice V (xo . na sua superfície.yo) . x x0 (x − x o ) + (y − y o ) = 2 2 a. y) y0 d (P. A reta r é a diretriz da parábola. Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano. y r (diretriz) Q P(x.(y .yo) ⇐ EQUAÇÃO REDUZIDA ⇒ (x . equidistantes da reta d (diretriz) e do ponto F (foco).xo)2 = .(y . yo) e parâmetro 2p tem: y y xo x r (diretriz) p>0 V •F yo V 2p r (diretriz) yo •F 2p p<0 x 0 xo Diretriz paralela ao eixo Ox e a concavidade voltada para baixo. determinando uma parábola.p. tem sua equação igual a: Diretriz paralela ao eixo Ox e a concavidade voltada para cima. A reta que passa pelo foco F e é perpendicular à diretriz chama-se eixo ou eixo de simetria. 2p (parâmetro) é a distância de F a R. V é o vértice da parábola. Nesse caso o plano α secciona o cone.4. r) = d (P. 5/2 R: k > 0 R: (. R: V (. 02) VUNESP .3.se a equaçao da parabola considerando um ponto a. . 1/2) R: y = x2/10 + x + 3 R: 2p = 5 R: V (6. .(x .y R: 43/5 R: x = 2y R: (. 1) .Qual a equação da parábola de foco (0. 3) e diretriz y = 1 .2 .6) à reta y = R: x2 = 4.3 ? 09) PUC-SP .3) 2 = 2.2).2y + k = 0 é exterior à parábola (y . 04) PUC-SP . 3 03) FGV-SP .6x . 4 x + 5.1).2 = 0 ~ obtem .y r (diretriz) 2p 2p •F V F• V r y yo yo P>0 x 0 xo P<0 x x0 0 Diretriz paralela ao eixo Oy . . 5). determine: a) as coordenadas do vértice b) a equação da parábola c) o parâmetro.(x .5.yo)2 = .Qual a distância do vértice da parábola y = (x .3/8) R: y = . cuja diretriz é r : x = y . determine: a) as coordenadas do vértice. y) ∈ a parabola e impondo que GF = Gr (distancia do ponto ao foco = distancia do ponto a diretriz) a 2 + b2  R: x2 + y2 + 2xy .Quais as coordenadas do vértice da parábola 2x2 + 4x + 3y .xo) EXERCÍCIOS DE SALA 01) Dados o foco F (.4.1) 2 = x . 03) Dada a equação da parábola y = 2x2 .6x + 4 .4 = 0.yo)2 = 4. 3) e a diretriz r: y = . 1) e diretriz de equação y + 1 = 0.Qual a equação da reta que passa pela origem e pelo vértice da parábola y = .4 = 0.5. 05) UNESP-SP . tem sua equação igual a: Diretriz paralela ao eixo Oy . determine: a) as coordenadas do foco b) a equação da diretriz. cuja diretriz é r : y .Obter uma equação da parábola de foco F (2.x2 + 4x .x + by + c  (x − x o )2 + (y − y o ) 2 = generico G(x.3x + 11 R: 2p = 2 R: F (3/2 .4y + 25 = 0 R: .3y .y + k = 0 seja tangente à parábola (x .Quais as coordenadas do vértice da parábola de equação 2x2 + 4x .(y . b) a equação da parábola c) o parâmetro da parábola 02) Dados o foco F (6.p.12x + 6 = 0 06) Obter uma equação da parábola de foco F (3.1 .2). 2) 07) Obter o valor de k de modo que a reta s : x . foco a esquerda do eixo Oy e a concavidade voltada para a esquerda. foco a direita do eixo Oy e a concavidade voltada para a direita.3 = 0 R: x2 .5/8 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE CASA 01) MACK-SP .p. tem sua equação igual a: (y . 08) Para que valores de k a reta s : x .(x .xo) ⇐ EQUAÇÃO REDUZIDA ⇒ (y .1. 2) R: x2/4 . 23) Determine a reta que passa pelos pontos de interseção da parábola y = x2 com a elipse ( x − 2) y + = 1. 1) e cuja diretriz é o eixo dos x.2).3. 0) . 1 2 19 R: y − 5y + 2 2 20) A parábola com eixo de simetria vertical tem vértice V (4.10) Encontre uma equação do eixo de simetria da parábola (x .1) 2 = 4. determine a equação da parábola que tem eixo de simetria paralelo ao eixo y e passa por esses pontos. 5) e (.x b) y = 2x + 1 c) y = 2x d) y = 3x e) não sei R: c ( x − 2) y + = 1 é: 4 16 2 2 15) PUC .1. 5).y + 10 = 0 ? R: 10 16) FEI . 5). 0) . (2. R: -1 e 3 25) Determine a equação da reta que passa pela origem e pelo vértice da parábola y = .4. 2) e o foco F (4. vértice V (.2y = 0 . Determine a equação da parábola. 1 2 1 R: y = x − 3 3 18) Ache a equação da parábola de foco (4.A reta que passa pelos pontos de interseção da parábola y = x2 com a elipse a) y = .2) 2 = 4.Dados os pontos A (.x + 1 é secante à parábola x2 = 4. 1 2 2 10 R: y = x − x+ 12 3 3 21) Qual a equação da parábola cujo eixo de simetria é Oy e que passa pelos pontos de interseção da reta x + y = 0 com a circunferência x2 + y2 + 8y = 0 R: y = . R: m < . 1) .(y + 3).3.x2 + 4x . (1. 3) e r : 3x + 4y + 10 = 0 R: 5 14) CESCEA .A parábola de equação a+b+c ? y = ax2 + bx + c passa pelos pontos (1.a.(y . 9).(x + k) passa pela origem do sistema cartesiano. 5) e passa pelo ponto A (5. 0) e C (2. 4 16 R: y = 2x 2 2 24) Determine os valores de b para os quais a parábola y = x2 + bx tem um único ponto em comum com a reta y = x . R: (x − 4) = 2 1 (y − 1 ) 2 2 19) Determine a equação da parábola que tem eixo de simetria paralelo ao eixo x .2 = 0 11) Para que valor(es) de k a parábola (y .6x . R: 1/4 12) Obtenha os valores de m para os quais a reta r : y = m.Qual é a distância da origem do sistema cartesiano ao vértice V da parábola de equação x2 . R: x .1.1 ou m > 1 13) Calcule o valor do parâmetro p da parábola de foco F e diretriz r no caso F ( 1. Qual o valor de R: 0 17) MAUÁ .x2/4 22) Calcule a área do triângulo cujos vértices são a origem e as interseções da hipérbole y2 x2 − = 1 com a parábola y = x2 9 2 R: 6 6 u. R: x . 4. R: (x − 1)2 + (y − 3 3 ) =1 3 2 04) UNB .3 = 0 e) Tem por solução: y + x + 3 = 0 R: c 06) ITA . caso exista. 10) e B = (13.Determine a equação da circunferência inscrita no triângulo formado pelas retas.Um triângulo isósceles ABC tem como vértices da base os pontos A = (4.000 01) UFG .3 = 0 d) Tem por solução: y . 0 x 02) UFMG . desprezando a parte fracionária de seu resultado. Calcule o raio da maior circunferência. B (4. 0) e B = (0.Dados os pontos A (2. 4) . no plano cartesiano. cujas equações são y = 0 . y= 3x e y= − 3x+ 2 3. 6).x + 3 = 0 .c. que estão sobre uma reta paralela à reta r.x . a inclinação da reta que passa pelos vértices B e C é: a) 7/17 b) 10/23 c) 9/20 d) 12/25 R: a 03) UFU . considere a reta r . R: a + b = 9 05) VUNESP . Nessas condições.QUESTÕES DOS VESTIBULARES 2. o gráfico da parábola de equação y = x2/4 . O vértice C está sobre a reta y = x . -3) . y R: 16 u. b) sobre a reta r e.Se as retas y = 0 e 4x + 3y + 7 = 0 são retas suportes das diagonais de um paralelogramo. e uma circunferência com centro no eixo y e tangente ao eixo x no ponto O.A figura mostra. Suponha que um raio luminoso. incida sobre o espelho plano no ponto de coordenadas (a. nas condições acima. Sabendo que estas diagonais medem 4 cm e 6 cm. a área deste paralelogramo. Considere ainda que um espelho tenha sido colocado no plano que contém a reta r e é perpendicular ao plano cartesiano dado. em seguida. vale: A( B( C( D( E( ) 36/5 ) 27/4 ) 44/3 ) 48/3 ) 48/5 R: e . podemos afirmar que o problema de determinar a equação da reta que passa pelo ponto médio de AB e perpendicular a ( r ): a) Não tem solução b) Tem uma infinidade de soluções c) Tem por solução: y + x . calcule a soma a + b .Em um plano cartesiano. passe pelo ponto B. em cm2 . 3) e a reta ( r ) y . partindo do ponto A. então. que tem um único ponto de interseção com a parábola. de equação 3x + 4y = 30 e os pontos A = (5. Assim sendo. 8.16y2 = . calcule a soma a + b . incida sobre o espelho plano no ponto de coordenadas (a. considere a reta r . R: 9 15) FEI .5. Suponha que um raio luminoso. escreva a equação da elipse.2x + 2 b) (x . 10) e B (13. a área do quadrado nela inscrito. m ∈ R . b) sobre a reta r e. 4−  2 2   2 2      .2). R: x y + =1 625 25 16 2 2 11) UFBA .Dada uma elipse de semi-eixos a e b . 16 64 R: y = 2x e y = . com os lados paralelos aos eixos da elipse. em seguida.Em um plano cartesiano. Se os eixos de simetria são paralelos aos eixos coordenados. R: 8x . Dentre essas retas. 4).Determinar a equação reduzida da elipse cujo eixo menor tem por extremos os focos da hipérbole 9x2 . Se o eixo menor é paralelo ao eixo coordenado Ox .3y = 4 e o eixo dos x.   2 2   e 3 − 2 . 2) é o centro de uma elipse tangente aos eixos coordenados. y B C x O A R: (1. . 0) e F2 (8.y . 4) . determina infinitas retas.Determine a abscissa do ponto A . 0) 13) UNICAMP . 0) e B (. escrever a equação reduzida dessa elipse. b) Determinar a circunferência inscrita no triângulo de vértices (1.3)2 + (y .O ponto C (3.07) FEI . e seu centro é o ponto (4. calcule o perímetro do triângulo BF1F2.(x . Calcular as coordenadas de A e B.Determinar as equações das assíntotas da hipérbole x y − =1. respectivamente. em termos desses parâmetros.Se A (10. R: ( x − 3) ( y − 2) + =1 9 4 2 2 08) UFRS .1/2 ou y = . caso exista.a) Dar uma equação da bissetriz do ângulo agudo entre a reta de equação 4x . 0) e (4. 4 + 2  R:  3 + .1) . (4. R: 36 12) UCG . R: ( x − 4) ( y + 2) + =1 64 100 2 2 09) UFPA .A equação y . 0) . Nessas condições.8y + 24 = 0 contido na reta perpendicular a y = x + 7 .2x 2 2 10) MACK . desprezando a parte fracionária de seu resultado. de equação 3x + 4y = 30 e os pontos A (5.y + 2 = 0 16) FUVEST . partindo do ponto A . 0) .As metades do eixo maior e da distância focal de uma elipse medem. R: 4. calcule. R: a) y = x/2 .Seja AB o diâmetro da circunferência x2 + y2 . obtenha uma equação daquela que forma com os eixos coordenados um triângulo cuja área é unitária. Considere ainda que um espelho tenha sido colocado no plano que contém a reta r e é perpendicular ao plano cartesiano dado.1)2 = 1 17) VUNESP .a2. y) são pontos de uma elipse cujos focos são F1 (. 10 cm e 6 cm.b2/(a2 + b2) 14) ITA .4 = 0 e 2x . que estão sobre uma reta paralela à reta r.4 = m. sabendo que a área do trapézio OABC é 11 vezes a área do triângulo OAC. passe pelo ponto B.6x .144 e cuja excentricidade é o inverso da excentricidade da hipérbole dada. x + c2) + y2] = a4 .yB . y) e impondo que: y PF1 + PF2 = 2.y2 = a2.2.xB)yP + xA.a.yB)xP .a2.b2 x2 a2 + y2 b2 =1 (x − x o ) 2 a2 + (y − y o ) 2 b2 =1 (y − y o ) 2 a2 − (x − x o ) 2 b2 =1 CENTRO NA ORIGEM CENTRO DESLOCADO DA ORIGEM EIXO MAIOR // AO EIXO OX CENTRO DESLOCADO DA ORIGEM EIXO MAIOR // AO EIXO OY .xB. 0) b 2 = a2 . y P + c a2 + b2 ELIPSE Obtemos uma equação da elipse considerando-se um ponto genérico P (x.x + c2.x2 2a a2.x2 + a2.x P + b .2.a2 .a.y2 = a4 .x2 (a2 .c.[(x2 .c2 + a2.x a2.y2 = a2.2.x + a2.x + c2. ( x − c) 2 + y 2 + x2 .DEMONSTRAÇÕES IMPORTANTES DE ALGUMAS FÓRMULAS DISTÂNCIA DE PONTO A RETA • P (xp .x + c 2 + y2 4.c.4.x2 + a2.x2 . ( x − c) 2 + y 2 = 4.x2 + a2.c2). ( x − c) 2 + y 2 + (x .c2) b2.yP + c V Substituindo V em IV temos d Pr = a .a2 .yA ⇒ D = a.c.4.a2. 0) V2 2b x ( x + c) + y = 2.a2.c.xP + b.c.(xA .a C (0.a V1 F1(-c.(a2 .c2 b2.a − ( x − c) + y 2 2 2 2 (x +c)2 + y2 = 4.a2.2.4. dPr)/2 B r: ax + by + c = 0 Cálculo de D d2AB = a2 + b2 III D d AB IV xP D = xA xB yP 1 yA 1 YB 1 ⇒ D = (yA .2.c.a. 0) C F2(c.c) 2 + y 2 x2 + 2.c2 B1 P (x. yp) A dPr A ∆PAB = D/2 I II ⇒ I = II ⇒ d Pr = A ∆PAB = (dAB .y2 = a4 .c.x + c2 + y2 = 4. y) ( x + c) 2 + ( y − 0) 2 + ( x − c) 2 + ( y − 0) 2 = 2.a2 . x + c2.x2 + a2.c.a2.4.x + p2 y 2 = 4.c.4.a (x +c)2 + y2 = 4.4.b2.b 2 P(x.xo) CENTRO DESLOCADO DA ORIGEM CONCAVIDADE VOLTADA PARA A DIREITA De modo análogo.c.2.(y .c.xo) CONCAVIDADE VOLTADA PARA A ESQUERDA ⇒ (x .p. r) = d (P.x + c 2 + y2 .2. b = 0 .x + by + c a 2 + b2 (x . y) e impondo que: y B1 a2 = c2 .x2 a2. F) Obtém-se a equação da parábola considerando um ponto genérico P (x.c.a.a ( x + c) 2 + y 2 = 2.4.p. y) e impondo PF = PQ (x − x F )2 + (y − y F )2 = x = − p ( reta diretriz ) V (0.2.p.x + p2 x 2 .p.a2. y) x R V 2p F e = PF/PQ = 1 excentricidade d (P.y2 = .b2.a2 + 4.(x .yF) 2 = (a.p.a2.p) 2 + y 2 = x 2 + 2.x centro na origem ⇒ (y .yo) CONCAVIDADE VOLTADA PARA CIMA ⇒ (x .x2 + a2.x2 (a2 .p.yo)2 = .a + ( x − c) 2 + y 2 ( x + c) 2 + ( y − 0) 2 − ( x − c) 2 + ( y − 0) 2 = 2.c) 2 + y 2 x2 + 2. demonstram-se os outros três casos: (y .a2.yo) CONCAVIDADE VOLTADA PARA BAIXO .x + by + c) a 2 + b2 2 x2 + y2 = ( x + p) 2 1 2 ⇒ (x .c2 .yo)2 = 4.a2 + 4.c.(x. ( x − c) 2 + y 2 + (x .x2 .x + c2.a. 0) a V1 PF1 − PF2 = 2.HIPÉRBOLE Obtemos uma equação da hipérbole considerando-se um ponto genérico P (x. 0) x F1(c.p.p.x + p2 + y2 = x 2 + 2.xo)2 = .2.(y .x + c2) + y2] = a4 . c = p F( p.(a2 . ( x − c) 2 + y 2 = 4.x a2.2.y2 = a4 .a.c2).a2.[(x2 . 0)   a = 1 .b2 x2 a 2 − y2 b 2 =1 (x − x o ) 2 a 2 − (y − y o ) 2 b 2 =1 (y − y o ) 2 a 2 − (x − x o ) 2 b2 =1 ( CENTRO NA ORIGEM ) ( CENTRO DESLOCADO DA ORIGEM ) EIXO REAL // AO EIXO OX ( CENTRO DESLOCADO DA ORIGEM ) EIXO REAL // AO EIXO OY PARÁBOLA y r (diretriz) Q P(x.a2 .xF) 2 + (y .xo)2 = 4.x2 + a2.c.y2 = a2.x + a2.y2 = a4 .c2 + a2.2. ( x − c) 2 + y 2 + x2 . y) b F2(-c. 0)  ⇒ a.x + c2 + y2 = 4.c2) . 0) V2 C B2 C C (0. A1000CAR .GEOMETRIA ANALÍTICA PROF. 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