Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio Superior del InstitutoPolitécnico Nacional Este material fue elaborado por la Comisión creada por la Academia Institucional de Matemáticas para este fin. Esta comisión la formaron los profesores: Javier Montes de Oca Olvera CECyT 4 “Lázaro Cárdenas” Francisco Bañuelos Tepallo CECyT 5 “Benito Juárez” José Calvillo Velázquez CECyT 6 “Miguel Othón de Mendizabal” José Luis Torres Guerrero CECyT 7 “Cuauhtémoc” Guillermo Carrasco García CECyT 9 “Juan de Dios Bátiz” Salvador Romano Reyes CECyT 11 “Wilfrido Massieu” Pedro Ortega Cuenca CECyT 11 “Wilfrido Massieu” María del Carmen Sevilla CECyT 13 “Ricardo Flores Magón” Norberto Matus Ruiz CECyT 13 “Ricardo Flores Magón” Claudio Héctor Galván Aguirre CECyT 13 “Ricardo Flores Magón” Manuel Aguilar Zamora CECyT 13 “Ricardo Flores Magón” Geometría y Trigonometría Libro para el profesor Nivel Medio Superior del Instituto Politécnico Nacional Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio Superior del Instituto Politécnico Nacional ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 1 Libro para el profesor Introducción 1. Justificación de las Secuencias de Aprendizaje Unidad 1. Funciones exponenciales y logarítmicas Unidad 2. Geometría euclidiana Unidad 3. Trigonometría 2. Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje (MAPOA) 3. Problemas I. Problemas II. Problemas con guía III. Proyectos 4. Ejercicios 5. Lecturas 6. Evaluaciones y Autoevaluaciones 7. Bibliografía ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 2 pues «…los programas no están concebidos como una progresión de temas que deban estudiarse uno a continuación del otro. tanto matemática como didáctica. se recomienda al maestro modificar el orden de los contenidos y entrelazar temas de distintos ejes en la forma que considere más adecuada para el aprendizaje de sus alumnos. en los temas que debe enseñar. el énfasis se ha desplazado del conjunto de conocimientos rígidos centrados en el dominio de técnicas y en el desarrollo de habilidades mecánicas hacia el desarrollo de las llamadas habilidades intelectuales de orden superior y la formación de actitudes que favorezcan la independencia. de manera explícita. Podemos decir que el propósito general de la educación matemática es lograr que el estudiante desarrolle una cultura matemática dinámica. El profesor ya no es el que tiene un conocimiento acabado y lo transmite fielmente. El papel que se le reconoce al profesor actualmente en los documentos de la SEP como el organizador de las secuencias de aprendizaje para lograr los propósitos de sus cursos presupone una amplia solvencia. p7). disciplina que trata del aprendizaje de las matemáticas. Por el contrario. hay muchas explicaciones que limitando nuestra responsabilidad nos permiten tolerar una situación tan difícilmente tolerable. tanto familiares como inéditas. como las que enfrenta el individuo actualmente en los ámbitos personal. La cuestión es muy compleja y hay excusas y razones. en las que se requiera la producción o utilización de ideas matemáticas. cuáles son los principios en que fundamentamos nuestra práctica.» (Alarcón et al. la autonomía y la toma de decisiones responsable. en consecuencia. ha florecido durante las últimas décadas aportando una gran diversidad de nuevos conocimientos acerca de las múltiples dimensiones del desarrollo de la cultura matemática. en ingenieros en didáctica. La educación matemática. ciudadano y profesional. profesores de matemáticas están satisfechos con su trabajo. En la medida que los objetivos de la educación han evolucionado hacia un aprendizaje multidimensional para todos. Por supuesto. La profesión docente se ha vuelto difícil a causa de los ambiciosos objetivos de la educación y. es necesario convertirnos en profesionales de la docencia. y logre definir varias opciones con sus respectivos costos y beneficios. en las situaciones cambiantes y de incertidumbre. que dé lugar a una valoración global fundamentada de estas situaciones.Introducción El marco institucional Hay un hecho que difícilmente podemos ignorar: pocos. acordes con una sociedad que se sustenta en el desarrollo tecnológico y que se pretende democrática. que estemos al tanto de los resultados de la investigación en educación matemática y que tengamos claro. de la gran complejidad de los fenómenos que enfrenta. se sabe que no basta que nosotros los profesores “sepamos” de la materia. muy pocos. Tampoco hemos logrado que los alumnos desarrollen una actitud activa y responsable hacia su aprendizaje en la escuela. sin más limitación que cumplir con los propósitos del programa. Así. no hemos logrado que los aprendizajes de los estudiantes sean sólidos y duraderos. que le permita enfrentar situaciones. 1994.. sino el ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 3 . necesitamos identificar los conocimientos. los sistemas de ideas y creencias de profesores y alumnos. que nos conducen a la formulación de juicios matizados y a una toma de decisiones siempre consciente de los riesgos. que permita relacionar los conocimientos de la aritmética. la primera continúa el estudio de las funciones exponencial y logarítmica y las dos restantes corresponden a lo que el nombre de la asignatura anticipa. se integran los desarrollos de Álgebra y Geometría aprovechando las conexiones entre ambas áreas pero cuidando también el desarrollo de las líneas propias de cada una. así como la necesidad de instrumentar propuestas que apunten a soluciones factibles. porque implica un grado muy alto de cuestionamiento. así como los valores subyacentes. No hay recetas de aplicación mecánica para la enseñanza de las matemáticas. reflexión. Cada cual se tiene que convencer de que vale la pena emprender esta revisión a fondo de su trabajo. flexibles y duraderas. para resolver problemas surgidos de situaciones cotidianas. El salón de clases es el sitio de concurrencia de los principales actores de la experiencia de la matemática educativa. a través de una actitud participativa. actitudes. El desarrollo de los Libros se basa fundamentalmente en el programa de Geometría y Trigonometría. se apoyan en ideas de lo que son el saber matemático y las matemáticas mismas. de la ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 4 . la institución escolar y la escuela se hacen presentes con sus planes y programas de estudio y sus propias normas. comunicación y valoración.administrador de las interacciones entre un medio enseñante y el alumno. es decir. sociales. que presuponen visiones de lo que es enseñar y aprender matemáticas. análisis. crítica y creativa. Pero no se cambian las creencias ni se modifican los hábitos de un día a otro. Es ahí donde. sino una serie de evidencias que nos invitan a reflexionar sobre nuestra responsabilidad como profesores. retoma como propósitos fundamentales que los estudiantes desarrollen sus habilidades de pensamiento. que tomen en cuenta los tiempos reales que se requieren para que den frutos. No nos queda más remedio que reconocer la complejidad de la problemática que enfrentamos. El curso de Geometría y Trigonometría El curso de Matemáticas de segundo semestre comprende tres partes. además de que fomenta actitudes en los estudiantes que son incompatibles con las competencias básicas del nivel medio superior actual. Ahora tenemos un papel mucho más complejo e interesante. Pero también nos puede conducir a adoptar una perspectiva nueva llena de retos sorprendentes. que. Así. de manera explícita o implícita. a su vez. Afortunadamente en nuestra profesión se requiere del análisis de situaciones complejas según criterios múltiples. habilidades. la geometría y la trigonometría. como son: razonamiento. que debemos revisar. interactúan las costumbres. naturalmente. No hay aquí un dictamen definitivo acerca de una costumbre entrañable: “dar clase”. El modelo de cátedra expositiva en el que fuimos educados ha mostrado sus limitaciones cuando se trata de lograr aprendizajes complejos. el álgebra. Para organizar aprendizajes complejos a partir de supuestos cualitativamente distintos de aquellos en los que se basa nuestra formación. en el rubro de ‘Referencias curriculares’ se consideraron. En el diseño de los Libros se consideró. los alumnos desarrollen su capacidad para comunicar su pensamiento y se acostumbren gradualmente a los diversos medios de expresión matemática: lenguajes natural.naturaleza y la tecnología. al mismo tiempo que organiza el trabajo en clase de manera que sus alumnos puedan resolver los problemas planteados y avanzar hacia nuevos conocimientos. Uno de los supuestos metodológicos para la elaboración de los Libros es que las ideas o procedimientos matemáticos se comprenden si se articulan adecuadamente en una red de conocimientos y experiencias. el conjunto de actividades de aprendizaje que se presenta en los Libros (problemas. problemas con guía. Con esta caracterización de las actividades de aprendizaje. ecuaciones y funciones. lecturas y autoevaluaciones) constituye una secuencia de actividades que se organiza. Tiempo 6. una diversificación de los contenidos (hasta ahora principalmente conceptuales) para atender los de tipo procedimental y actitudinal necesarios para una formación cultural básica y equilibrada de todos los estudiantes. Así. Es importante que. La caracterización de las actividades Para conformar y caracterizar la red de actividades que el estudiante realizará en el curso. demostración. Hay que destacar que el tránsito hacia una educación integradora implica. alrededor de las cuatro líneas de desarrollo del curso de Álgebra: lenguaje algebraico. ejercicios. imaginación espacial. que la resolución de problemas es la que permite generar e integrar conocimiento. de acuerdo a las características del ambiente de aprendizaje integral que se necesita fomentar en nuestros salones de clase. además de los contenidos que marca ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 5 . modelación. como lo establecen los programas del área de Matemáticas. proyectos. simbólico y gráfico. con la finalidad de desarrollar las estructuras conceptuales necesarias para validar resultados mediante demostraciones formales. proporciona información y crea códigos de instrucción. Experiencia de aprendizaje 2. se definieron diez características: 1. Evaluación Observaciones. así como al uso de tablas y diagramas. Representaciones 9. se puede establecer explícitamente la vinculación que hay entre ellas desde perspectivas diferentes que se deben articular para organizar una sesión de clase. Modalidad de trabajo 3. en particular. Referencias curriculares 8. objetos geométricos y cálculo geométrico. favorece su asimilación y ayuda a distinguir lo esencial de lo menos importante. y por otro lado. y las que se establecieron para Geometría. por un lado. Lugar de realización 4. en el transcurso de las actividades. En este sentido. Estrategias 10. En este proceso el docente es un facilitador del aprendizaje que problematiza. Producto 7. Herramientas tecnológicas 5. • Al crear un ambiente o proporcionar oportunidades a los alumnos de modificar su comprensión matemática. los ambientes de resolución de problemas son potencialmente fecundos y pueden constituir uno más de los muchos recursos que el profesor necesita para organizar los aprendizajes multidimensionales de sus alumnos. estará consciente de que tal progreso puede no ser logrado por algunos estudiantes y puede no ser logrado como se esperaba por otros. También se incluye un comentario de la actividad que se detiene en las distintas vías que puede seguir un estudiante. Para lograrlo necesitamos incorporar una perspectiva de trabajo que nos permita convertirnos en productores de nuestros propios saberes y prácticas. Los ejemplos En este libro se incluyen. Por el contrario. algunos contenidos procedimentales y actitudinales. con la aplicación de las ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 6 . sus expectativas y la pertinencia de los contenidos. es importante poner en acción un conjunto de creencias que Pirie y Kieren (1992) resumen en cuatro principios: • Aunque un profesor puede tener la intención de impulsar a los estudiantes hacia objetivos de aprendizaje matemático. que suelen variar para cada grupo de estudiantes en particular. La posibilidad de organizar los aprendizajes curriculares en estos ambientes depende de la habilidad que tengamos los profesores para administrarlos en función de ciertos objetivos. asociación estadounidense). las competencias básicas del estudiante de bachillerato y los estándares 9-12 del NCTM (Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas. En cuanto al ambiente. en cada capítulo. Los ambientes de resolución de problemas son complejos e incluyen planes en varios niveles y decisiones frecuentes que conducen a escenarios distintos. Desde esta perspectiva. La complejidad del diseño y de la instrumentación de las actividades no se riñe con una consideración del tiempo disponible. sin dejar de lado las variantes posibles. Se presenta el desarrollo de la solución que podemos esperar que produzcan los estudiantes del nivel y que llamamos ‘de referencia’. que debe ser suficiente para que los estudiantes puedan realizar realmente las actividades. sus ideas previas.el programa. el profesor actuará sobre la creencia de que hay vías distintas para una comprensión matemática similar. El ambiente Nuestra perspectiva es la del profesor que quiere enseñar para que todos sus alumnos logren los aprendizajes que los faculten para un uso activo de sus matemáticas. algunos ejemplos de los documentos que se consideran útiles para el trabajo del profesor. si el profesor dispone de más información se espera que la use para armonizar un trabajo que conduzca a un aprendizaje verdaderamente significativo para el estudiante. • El profesor sabrá que para cualquier tema hay diferentes niveles de comprensión y que éstos nunca se alcanzan ‘de una vez por todas’. y de otros factores importantes como el nivel de desarrollo cognitivo de los estudiantes. • El profesor estará consciente de que las distintas personas tendrán modos de comprensión distintos. la clase. Para utilizar las actividades en una sesión de clase. Por ejemplo si se trata de una experiencia necesaria pero que no genera un aprendizaje inmediato exigible. los factores que influyen en su práctica para establecer estrategias de acción. que se puede beneficiar de una práctica y una reflexión más sistemática. Esta terna se repite en distintos niveles: la actividad. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 7 . la unidad. el área. Así mismo identificamos. aun cuando la posibilidad de actuar sobre algunos factores sea muy escasa.estrategias correspondientes. Cada profesor tiene su estilo de docencia. el ciclo. el curso. Estas historias se harán más detalladas y útiles en la medida en que podamos elaborar los documentos que se describen en la sección siguiente. desde una perspectiva sistémica. modificar o adaptar dicho quehacer aprovechando la información que aporta. En nuestras academias y en la red de interacción en Internet podremos ventilar nuestras inquietudes y dificultades y beneficiarnos de los comentarios y sugerencias de nuestros colegas. Esta labor la podremos emprender aprovechando la red de interacción académica en Internet. así como de las discusiones que se realicen alrededor de nuestras preocupaciones comunes. como es el caso de algunas de las líneas que apuntan al desarrollo de las habilidades intelectuales de orden superior. hay que hacer un plan. desde perspectivas distintas pero pertinentes. el tema. instrumentar y evaluar una sesión de resolución de problemas. consideramos los objetivos de niveles distintos con los que se relaciona y la forma en que lo hace. establecemos los lineamientos de interacción con los alumnos y los criterios de evaluación correspondientes. Necesitamos desarrollar la habilidad de usar una especie de zoom que nos permita destacar los aspectos importantes que corresponden a cada nivel como el zoom lo hace con la escala. En cada acto de enseñanza. A modo de ilustración te presentamos cómo puedes planear. En este sentido. es importante que nos veamos como parte de diferentes subsistemas y nos propongamos ampliar gradualmente nuestro campo de competencia y responsabilidad. para avanzar en la solución de la actividad y describe la articulación de las representaciones. en forma individual o en equipo. instrumentarlo y evaluarlo. El trabajo del profesor En este Libro presentamos una propuesta de trabajo que toma en cuenta las características del quehacer docente mencionadas antes y. El «zoom del profesor» se constituye así en una herramienta para. etc. por tanto. El comentario concluye con una ficha que resume los aspectos más importantes. Apunta algunas sugerencias para la interacción con los estudiantes. superar algunos callejones sin salida que parecen tales cuando sólo se atiende a la perspectiva del salón de clases. vinculándolos con otras experiencias de aprendizaje posteriores y haciendo inferencias explícitas sobre el desarrollo de la comprensión de los conceptos y procesos que se ponen en juego. durante la realización de la actividad y para la discusión de las soluciones que se hace con todo el grupo. Así se irán conformando historias de problemas que se robustecerán cada vez que las trabajemos en clase. cuál es el objetivo de la sesión y los tiempos disponibles. Uno de los objetivos de la planeación es hacer explícitas nuestras expectativas. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 8 . Esto le permitirá al profesor definir previamente no sólo la actividad que trabajará. hasta dónde debe llegar la sesión y. en general. La planeación de un problema. La fase de planeación requiere un análisis de la actividad desde un marco de referencia y el registro por escrito de ese análisis.1. en caso de no lograrlo qué hará para cumplir sus objetivos. de la actividad de aprendizaje. En la figura 1 se describe una manera de organizar una sesión a partir de una actividad que permite generar información sobre estos aspectos en cada instrumentación conformando una ‘historia del problema’ o. sino también cuáles son los obstáculos con los que se puede topar el alumno. La Planeación de una sesión de trabajo Figura 1. cuáles van a ser sus actitudes ante los obstáculos. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 9 . Dentro del salón de clases el profesor toma decisiones constantemente con base en el marco de referencia que le brindan los documentos de la planeación y la información que va registrando durante la sesión. en el sentido de no invalidar el trabajo de los alumnos ni privarlos de la satisfacción de encontrar la solución por ellos mismos (véase figura 2). etc). Figura 2. La planeación. los aprendizajes que prepara. aritmética. El propósito de la actividad debe considerar que no todos los aprendizajes pueden ser inmediatos y que hay cuestiones que sólo se logran a largo plazo. son una guía que le permite al profesor dirigir la sesión hacia el objetivo establecido. a) Lineamientos para la interacción con los equipos: Darán las pautas a seguir en la interacción del profesor con los alumnos mientras realizan la actividad. Los documentos que concretarán nuestra planeación son: Propósito de la actividad: Que se manejará no únicamente desde la perspectiva de un contenido programático sino considerando las representaciones que articula (gráfica. La interacción del profesor con un equipo. La intervención de un profesor debe estar guiada por el ambiente.Por supuesto que lo que ocurrirá en la sesión de trabajo no puede estar completamente definido. sin desvirtuar la actividad. debe ser flexible. entonces. Recomendaciones durante la actividad: Cada uno de estos documentos está enfocado a los momentos que constituyen la sesión de trabajo. textual. Se consideran los posibles desarrollos de las soluciones y se establecen los lineamientos para la participación del profesor (véase figura 3). icónica. b) Guión de la discusión: Brinda un marco para la conducción de la discusión. las categorías de resolución de problemas y los objetivos institucionales. hay algunas intervenciones en las que el profesor puede solicitar aclaraciones. La Instrumentación La planeación debe tomar en cuenta los cursos diversos que puede seguir la acción durante la instrumentación y sus posibles consecuencias en función de los propósitos de la sesión. Las interacciones durante la discusión del trabajo de un equipo. explicaciones. Sin embargo. No es conveniente prodigar los comentarios ni las reformulaciones. La disyuntiva fundamental del profesor es decidir cuándo conviene detenerse para profundizar algún aspecto matemático. Recomendaciones para la evaluación de la actividad: La evaluación de la actividad debe considerar por lo menos: a) Solución de referencia: Esta solución se elabora considerando los conocimientos que se ponen en juego durante la resolución del problema o la realización de la actividad. precisiones. b) Precepto de evaluación: Este documento contiene la descripción de los estándares de evaluación de un problema en particular.Figura 3. El precepto debe reflejar los principales aspectos del problema y aportar información útil para orientar el curso de las acciones del profesor y del estudiante ya sea para avanzar o profundizar en los contenidos que se pusieron en juego en el problema o para corregir las ideas erróneas que se hayan identificado. cuando advierte indicios de perplejidad o incomodidad en el equipo o en el grupo que no logran formularse. 2. Las intervenciones del profesor deben estar guiadas por los lineamientos para la interacción con los equipos y por el guión de la discusión de tal manera que no se vaya ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 10 . justificaciones. hemos optado por basarnos en nuestra experiencia y en la disposición de hacer explícitas nuestras expectativas para que. aun cuando nuestro primer análisis sea muy rudimentario. de tal manera que esta historia del problema se constituya en un saber propio del profesor generado en su práctica. La idea es contrastar los análisis previo y posterior a la instrumentación para hacer un registro cada vez más robusto de las interacciones posibles. puesto que nuestra perspectiva es la del profesor. 3. La evaluación de la actividad debe aportar información útil y confiable para mejorar el diseño de la actividad. hay que escuchar. habilidades. se puede complementar muy provechosamente con la investigación de los problemas y las condiciones en que se originaron los conceptos que se ponen en juego. Además de la evaluación de los alumnos. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 11 . Los registros audiovisuales brindan la oportunidad de aprovechar las ventajas de un análisis más detenido para incorporar sus resultados en las historias de los problemas (véase figura 4). con comentarios impacientes o irreflexivos. La Evaluación de la actividad Después de realizada la actividad el profesor debe evaluar la efectividad y los resultados que se obtuvieron. Pero. y lo que necesariamente hace es trabajar con los alumnos.a desvirtuar. Hay que dar oportunidad a que surja la participación espontánea de los alumnos. No se trata sólo de la evaluación de los conocimientos. Hay un principio básico para que la planeación resulte útil: antes de hablar. actitudes y transferencia del alumno. las formas de comprensión y el uso de las matemáticas que hacen los alumnos. se vaya robusteciendo en las sucesivas puestas en escena. la experiencia de aprendizaje que le corresponde disfrutar a los estudiantes. se tiene la evaluación de la actividad y parte importante de ella es ‘historiar el problema’. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 12 . en el que se pueden expresar algunas de las dimensiones de aprendizaje más importantes. También hay algunas animaciones y ejercicios de práctica y autoevaluación. y • La axiología social y educativa que lo identifica con los fines y valores de una institución. En la medida en que nos familiaricemos con ellos pueden llegar a constituir un lenguaje común. las oportunidades de aprender. Estos auxiliares sirven como marcos de referencia compartidos que se pueden usar y comentar constantemente durante las actividades de aprendizaje con los estudiantes y de planeación con los profesores. En el proceso de profesionalización de nuestro quehacer abundan. • Los modelos educativos que orientan su práctica. se deben integrar como parte de sus experiencias de aprendizaje con una planeación adecuada. Desafíos docentes Es importante que hagamos un esfuerzo sistemático por hacer explícitos los sistemas de creencias que sustentan nuestra práctica docente. El Libro para el Estudiante va acompañada de un disco compacto que incluye tanto actividades interactivas como paquetes con herramientas de graficación. Para que estos cambios tengan lugar se requiere de un compromiso muy fuerte y del tiempo necesario para fortalecer nuestras organizaciones y para darnos las condiciones indispensables que nos permitan convertir nuestro trabajo docente en el trabajo de un profesional reflexivo. Estos recursos. ya sea en el ámbito escolar o en forma de tareas. Entre estos ejes se destacan: • Las relaciones que enmarcan y posibilitan su labor académica. La mejor manera de familiarizarnos con los MAPOA es usarlos para organizar nuestro aprendizaje. Hay una necesidad de plantear una reconceptualización del quehacer del profesor desde los ejes constitutivos de su trabajo. La historia de un problema. que estarán a disposición de los estudiantes. tenemos una idea clara de las condiciones reales en que se realiza nuestro trabajo. El uso cotidiano y responsable de las herramientas tecnológicas para la comprensión de las matemáticas puede contribuir a crear un ambiente propicio para el desarrollo de los aprendizajes complejos e integradores que promete nuestra institución a todos sus estudiantes.Figura 4. una propuesta para la organización del aprendizaje de los alumnos que se plantea en una serie de materiales. además. un tránsito hacia un ejercicio profesional de la docencia implica tanto una revisión de la forma en que concebimos nuestro trabajo como una redefinición de las relaciones que tenemos con las instituciones educativas. pero hay que evitar la autocomplacencia y el victimismo. Puesto que somos profesores. afortunadamente. Así tendremos una experiencia de primera mano que compartir con los estudiantes. Materiales Auxiliares Para la Organización del Aprendizaje (MAPOA) Se tiene. con sistemas de cálculo algebraico y paquetes de geometría dinámica. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 13 . en el que participan todos los agentes educativos. En este sentido. los profesores tenemos un papel de intervención directa en el proyecto cultural de la institución. un proyecto que se concibe como un proyecto dinámico en construcción permanente. se abran y consoliden otros espacios de reflexión. es necesario consolidar los espacios de reflexión en los que se define la orientación del ejercicio de la docencia. podremos dejar de ser entes aislados para convertirnos en un sujetos participativos. un elemento fundamental de la instrumentación de estos libros es una red de interacción académica de profesores de Matemáticas del NMS del IPN en Internet.En este sentido. objetivos del nivel. en donde los profesores podamos avanzar en nuestra profesionalización como docentes. además del espacio privilegiado que representa la academia. pero pertinentes. discusión y producción. instrumentación y evaluación para el logro de los ambiciosos. Dada la complejidad del quehacer docente en los niveles que incluyen las fases de planeación. es necesario que. cuyas acciones no sólo repercutan en el estudiante sino en todo lo que implica la institución educativa. Al insertarnos en estos espacios. Para que podamos asumir nuestro papel como sujeto del cambio que plantea una reforma académica integral. así como interpretar los mensajes en ambas formas. C6. con actitud creativa y trabajando individualmente o en grupos. matemáticos. De todo esto lo que más se asemeja a lo que todavía muchos alumnos esperan del profesor corresponde a los ejercicios. por parte del estudiante. científicos. a efecto de tomar decisiones que lo beneficien en lo individual y en lo social. Utilizar los instrumentos culturales. tanto en forma oral como escrita. tareas y autoevaluaciones. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 14 . criticar y participar racional y científicamente. su autoestima y autocrítica. laboral o cotidiana. socioeconómicos y políticos de su comunidad. en una visión global del medio natural y social. Las competencias básicas se refieren al dominio.). básicos para la resolución de problemas en su dimensión individual y social. Se considera que.comunes a todos los bachilleratos del país. salud física y formación cultural y estética. de cómputo. poniendo en práctica métodos y técnicas eficientes para propiciar su progreso intelectual. las humanidades y la tecnología.1 . Integrar los conocimientos de los diferentes campos. Manejar la información formulada en distintos lenguajes y discursos (gráficos. Desempeñarse individual o grupalmente de manera independiente en su vida escolar y cotidiana. como para su aplicación en la solución de los problemas de su vida escolar. valores y actitudes que son indispensables tanto para la comprensión del discurso de las ciencias. problemas con guía. simbólicos. en los problemas ecológicos. como paso normativo hacia la inter y multidisciplinariedad. de los conocimientos. habilidades. a partir de los conocimientos asimilados. en términos generales. C7. incluso en lo que se refiere al conocimiento de sí mismo. etc. C5. Esta variedad de actividades es necesaria para el cumplimiento de los objetivos del programa del curso y de la dimensión matemática de las competencias básicas del estudiante de bachillerato. ejercicios. Justificación de la secuencia de aprendizaje (comentarios acerca de las secuencias de aprendizaje) En el Libro se tienen señaladas distintas actividades de aprendizaje: problemas. proyectos. por lo que se considera que son -o deben ser. Evaluar y resolver las situaciones inherentes a su edad y desarrollo. región y del país. Aprender por sí mismo. C3. lecturas. C8. C4. Comprender. metodológicos y técnicos. las competencias básicas que deben estar presentes en el perfil del educando son: C1. Expresarse correcta y eficientemente en español. C2. cuidando el quehacer cotidiano en el aula. que ante la pregunta: “¿estamos bien profesor?”. no faltarán alumnos que digan que prefieren trabajar solos. Pero si se va a fomentar su independencia deben acostumbrarse a hacerlo. Es más fácil que un alumno se anime a comentar con sus iguales lo que entiende y qué puede hacer. A partir de preguntas y comentarios breves orienta el trabajo de los equipos. encontrarle un sentido a la situación planteada. Debe darse cuenta si su respuesta tiene sentido. Así. establecer una forma de representar la situación mediante una tabla. El alumno. si es aceptable a partir de la situación presentada en el enunciado. las conexiones y las aplicaciones de los conocimientos tanto dentro como fuera de las Matemáticas. Mientras los alumnos están trabajando. es decir. Al trabajar en equipo con otros de sus compañeros reduce esta parálisis. se corre el riesgo de que se acepte una solución con errores y el profesor debe evitar la ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 15 . Cuando se trabaja un problema es el grupo en pleno quien decide qué soluciones están bien. Pero no termina aquí su trabajo. se les replica con otra pregunta: ¿Por qué no estás seguro? Y se invita a otros alumnos del equipo a que externen sus ideas. permite la integración. es decir. Las actividades propuestas en los Lobros lo permiten. Debe cuidarse en no calificar el trabajo de los equipos. No están acostumbrados a que sean ellos mismos quienes lo determinen. gráfica o expresión algebraica (mejor si utiliza las tres) y al trabajar con ellas podrá responder lo que se le pide. Estas discusiones requieren tiempo. a pesar de juzgar interesante e importante el tema tratado. Desde luego que no es suficiente. el profesor debe estar al pendiente de lo que está ocurriendo en cada equipo. Para ello debe comenzar por una lectura cuidadosa del texto. se les pide que preparen una presentación ante el resto de sus compañeros. Los alumnos están acostumbrados a que sea el profesor quien establezca quiénes están bien y quiénes no. cuando un alumno pregunte si está bien. La idea es que el alumno se vaya acostumbrando a tomar decisiones y a justificarlas. se impone el uso integral de varios tipos para ello. Como es una actividad de aprendizaje. y provoca la sensación de que se está perdiendo el tiempo. Incluye discusiones para llegar a acuerdos o para una comprensión mutua de los desacuerdos y la fortaleza o debilidad de la posición de cada uno de los integrantes. Ante esto. Si manifiestan que están de acuerdo. encontrar una respuesta a la situación planteada no concluye el problema. pero sólo el trabajo del profesor. pero no es él quien debe resolver y responder lo que se pide. Es cierto. Problemas: Aquí se presenta un enunciado en el que se pide la respuesta a una o más preguntas y al alumno le corresponde responder. A continuación proporcionamos comentarios sobre la importancia de cada una de estas actividades. Todo esto no es sencillo ni para el alumno ni para el profesor. fácilmente se puede paralizar y decir “no entiendo”. éste continúa y se amplía al buscar otras formas de resolverlo o el establecimiento de un método de solución que facilite el tratamiento de otras situaciones similares y el planteamiento de otras preguntas. sino tratar de convencerlos de la conveniencia de ello. El profesor orienta el trabajo del alumno. no responda con un “sí” o un “no”. ante todo esto. más de lo que alumnos y profesores estamos acostumbramos dedicarle a un tema.No se pueden fomentar estas competencias con un solo tipo de actividad de aprendizaje. Trabajar en equipo no se reduce a separar temas y repartirlos entre los integrantes. el profesor no debe simplemente imponerles la decisión de trabajar en equipo. una comparación entre los distintos métodos de solución. Para un alumno. debe haberlo estudiado y establecer un plan de su puesta en escena. la presentación ante otros de las ideas propias. la discusión matemática. En los problemas con guía se tienen sesiones similares a la de los problemas. Antes de proponer a los alumnos un problema. desarrollo de estrategias para enfrentar un problema. el enunciado incluye preguntas o actividades que se pide a los alumnos realizar para responder la pregunta (o preguntas) principales del ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 16 . sentir que mucho de lo tratado en la sesión se pierde y. le resultará más fácil decidir el sentido de sus intervenciones. el profesor debe respetar su trabajo. no a partir de una posición de autoridad (“Soy el profesor y si te digo que estás mal. De esta forma estará en condiciones de anticipar dificultades y preparar comentarios que permitan avances en los alumnos. observar lo que están haciendo. si es necesario. sino de hacerle ver que hay inconsistencias o contradicciones en su argumentación. La diferencia consiste en que en los primeros. en consecuencia. No es así. El profesor debe decidir si desde el primer momento les presenta objeciones a su solución. Pero no es seguro que lo anticipado ocurra exactamente. y que sienta que no tiene control en la sesión. Cuando se tienen las primeras sesiones de resolución de problemas es usual que alumnos (y profesores) perciban que aunque interesante. pues aun cuando todo el grupo esté discutiendo el problema propuesto. El profesor no debe prohibirles alguno sólo por no haberlo él previsto en la planeación del problema. Habitualmente los enunciados de los problemas son cortos y esto permite que los alumnos puedan pensar y seguir distintos caminos de solución. Si está bien fundamentado el camino que sigue un equipo.tentación de decirles que se equivocaron. hacerles algunos comentarios y no decir quiénes están bien y quiénes no. que si acaso es una actividad para quitar la tensión de lo que es la materia y las dificultades que se tienen para aprenderla. Es tanto todo esto que el profesor puede ser rebasado. o deja que pasen algunos días antes de volver a tratar el mismo problema. la importancia de lo que se aprende mientras se busca resolver un problema. la argumentación que sustenta las opiniones o conclusiones de una persona o de un equipo. Así. la improvisación en sus intervenciones con los alumnos es inevitable. se requiere de más tiempo y de ser cuidadoso en el argumento que el propio profesor construya para convencer a su alumno. es tiempo perdido en el curso. la actividad del profesor en una sesión de resolución de problemas puede parecer bastante menor: pasearse por los equipos. el profesor tendrá la oportunidad de destacar la que más le interesa y proponer. el ruido que se provoca y la variedad de ideas que se manejen pueden aturdir al profesor y al encontrar que no es posible tratar todo lo que surge en el tiempo que se dispone. la importancia de saber escuchar y ser escuchado. pero si el profesor tiene claro cuáles son los objetivos a lograr en el problema. Pero no es sencillo lo que tiene que hacer el profesor. En todo caso. es que así es”). Hay algo más que encuentra el profesor en una sesión de problemas: cuando se busca convencer a un alumno que su idea o argumento sobre cierta situación está equivocada. en ella se ponen en juego varios aspectos importantes: fomenta la lectura reflexiva. cuando se tenga la discusión general (de todos los equipos) del problema y se presenten varias vías de solución. eso no es una clase de matemáticas. Vale la pena destacarlo de nuevo: este Libro no es un texto de matemáticas en donde se encuentra todo lo que el alumno necesita para aprender álgebra. En un ejercicio ya se sabe el tipo de situación planteada y de que existe un procedimiento para resolverlo. un apoyo importante lo tendrá el alumno en su libro de texto. sino que sean puntos de partida para discutir los temas que tratan. enfoque y calidad. Las lecturas pueden verse como simple complemento al curso. Los proyectos son problemas para los cuales se requiere de mayor tiempo para trabajarlos y fuera del salón de clases. pero si no es posible. se requiere la elaboración previa de un cuestionario que el profesor debe tener y el cual sirva de guía para la discusión de la lectura. para la primera unidad y de Geometría y Experiencias de Bertrán y García para la segunda unidad y de Trigonometría de Selby para al tercera. Lo que se busca es que se utilice ese procedimiento y que. que no lo vean como una tarea más que se deja en una materia para la cual basta entregar un reporte donde se anote lo que el alumno sabe que quiere el profesor. el alumno deberá recurrir a su texto para leer las explicaciones correspondientes y revisar los ejercicios resueltos en él (aquí se ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 17 . Particularmente es importante esto porque ahora estamos saturados de información de todo tipo. Contiene todas las actividades que al alumno le permitirán tener una buena comprensión de la misma. Aunque se señala como texto el libro Algebra con aplicaciones de Phillips. Queda en el profesor decidir cuáles son los proyectos que se destacan. una introducción de temas que predispongan al alumno para el trabajo “en serio” de la materia. Pero no es así. es posible que la Academia de Matemáticas de cada escuela decida utilizar otros equivalentes en contenido. La intención es fomentar la importancia de la perseverancia en el trabajo y de enfrentar compromisos que se hacen. de manera que no confunda la importancia de escribir signos. Para lograrlo se requiere de un trabajo cuidadoso en el alumno. La intención es disminuir la parálisis. Esta actividad algunos alumnos la identificarán como lo que es y en lo que consiste una clase de matemáticas. y se requieren habilidades para hacer a un lado la información que no sea importante y. que al menos el texto esté disponible para él en la biblioteca de su escuela. en cambio. Ante las primeras dudas que surjan de un ejercicio. Para el curso no es necesario que se trabajen todos los proyectos que contiene. pero esta Libro va acompañada de un libro de texto. analizar cuidadosamente la que sí lo es. pueden ser sólo algunos de ellos. Los ejercicios en el libro tienen un significado diferente al de los problemas. Para que un equipo pueda entregar un buen reporte de un proyecto se requiere que se interesen en él. Butts y Shaughnessy. geometría y trigonometría. en lo posible. Lo ideal es que cada alumno tenga su Libro y su libro de texto. signos de igualdad y líneas de fracción donde sea necesario.problema. tensión y angustia que algunos alumnos pueden tener con los problemas que dejan abierta la vía de solución. Fomentar en el alumno una lectura crítica y reflexiva (cuidadosa) contribuye para la elaboración de argumentos mejor estructurados. y una comunicación más eficaz de sus ideas. De esta manera se dirige más al alumno hacia un camino o forma de resolverlo. se desarrolle cierta soltura en el manejo de estas situaciones de manera que se adquiera rapidez y precisión en lo que se hace. de manera que pueda aprender de ella. Para que esto se logre. No. El alumno debe desarrollar su habilidad de leer. Sin embargo. En las lecturas propuestas no se espera que el alumno haga un resumen de ellas. paréntesis. pero también están las lecturas y la conclusión de alguna actividad que no se terminó en clase. En cada unidad se presentan actividades de aprendizaje para los alumnos. Al disponer de un texto. El profesor debe revisar todas las actividades de cada unidad y planear explícitamente la secuencia que va a realizar con tus alumnos. El profesor conoce las soluciones de las autoevaluaciones. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 18 . lecturas y autoevaluaciones. pero siempre después de que ya los hayan trabajado sus alumnos. y su actividad principal es señalar al alumno el momento adecuado de utilizarlas y destacar un aspecto que usualmente se olvida en las evaluaciones: identificar dónde se tienen deficiencias y. combinando distintos tipos actividades para lograr los objetivos de aprendizaje requeridos en la unidad. Al caracterizar las actividades se aporta información que sirve para que el profesor tome mejores decisiones en los distintos niveles que debe considerar cuando diseña una trayectoria para sus estudiantes. más todavía si se planean y evalúan actividades en equipo con otros profesores. permitiendo que en éste se discutan problemas (con guía y sin ella). Las tareas se refieren a las actividades que los alumnos deberán realizar fuera del horario de clase. Las autoevaluaciones le permiten al alumno conocer su comprensión y dominio de los temas tratados. de manera que seleccione las actividades de la unidad. suponiendo un total de 70 horas para el curso. en consecuencia. Buena parte de ellas consiste en el trabajo que deberán realizar con su libro de texto. Es enriquecedor compartir con los compañeros profesores las inquietudes y resultados de las actividades de aprendizaje instrumentadas. más fácilmente el alumno trabajará buena parte de los ejercicios fuera del salón de clases. el profesor podrá sugerirle revisar otros temas correspondientes al que se esté trabajando. Cuando lo juzgue necesario discutirá en clase algunos ejercicios. El profesor debe conocer a detalle el texto que esté utilizando para orientar adecuadamente a sus alumnos sobre la mejor manera de utilizarlo. Si el profesor logra sensibilizar al alumno de la importancia de aprovechar el poco tiempo de que se dispone en el salón de clases.destaca la importancia de la lectura). y. Para hacer la historia de las actividades de aprendizaje se tiene el formato de caracterización de las actividades. instrumentar y evaluar cada actividad de aprendizaje de los alumnos. Recuerde que se pueden identificar tres momentos importantes en el trabajo de los profesores: planear. Estas actividades están presentadas por bloques de horas. se tiene que trabajar más. Experiencia de aprendizaje 2. Modalidad de trabajo 3.Caracterización de las Actividades de Aprendizaje Formato para la clasificación de problemas Título 1. Producto 7. Estrategias 10. Referencias curriculares 8. Herramientas tecnológicas 5. Evaluación Observaciones ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 19 . Lugar de realización 4. Tiempo 6. Representaciones 9. Referencias curriculares 7. Proyecto 1.4.5. Juego de geometría 4. Procedimentales 7.1. Tabular 8. Representaciones 8. Ambientes computacionales 4. 1. Resolución de problemas guiada con exploración 1. Resolución de problemas 1.1. Resultados con comprobación 6.1. Producto 6.3. Estrategias 10.1.2. Lugar de realización 3. Reporte de RP 6.3.2. Equipo 2.3. Reporte de lectura 6.3.3. Lectura 2. la participación es 2.2. Individual 2.1. Evaluación de presentación ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 20 . Tiempo 6.2.5. Calculadora científica 4. Evaluación 10.2. Herramientas tecnológicas 4. Estándares 2000 del NCTM 8.Cada experiencia de aprendizaje tiene asociadas una serie de atributos que precisan tanto su relación con las dimensiones del aprendizaje como su instrumentación.3. Experiencia de aprendizaje 1. Gráfica 8. Grupo 3.2. Sistema de cálculo algebraico 5.2. Algebraica 8.1. Resolución de ejercicios 1.3.2.4.1. Actitudinales 7. Salón de clases 3. Fuera de la escuela 4.2. Geométrica 9. Modalidad de trabajo. Competencias Básicas del estudiante de bachillerato 7.5.1. Aula de cómputo 3. Calculadora con poder de graficación 4. Textual 8.1.3. Conceptuales 7.1.4. Evaluación de reporte 10.4.1.1. Contenidos 7. Informe 7. 4 Algebraica → 8.2) (5.1.1 Contenidos 7.3 Estándares 2000 del NCTM E1. en las posteriores se puede destacar la representación algebraica y sus relaciones con las otras formas de representación ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 21 .3. 4.1 Salón de clases 4. Modalidad de trabajo 3. P5.4. 4. Lugar de realización 4. en la primera se puede centrar la atención en el uso de las representaciones gráfica y tabular.1.2.2. Herramientas tecnológicas 5. E2.2 Procedimentales P1.1.1. P3.3 Gráfica→ 8.4 E3. Competencias básicas del estudiante de bachillerato.1. Producto 7. P8. E2. 2. P2.2 Tabular → 8.1. el profesor puede seleccionar algunas preguntas para que se trabajen como tarea y ampliar la discusión en otra sesión) 6.3 Calculadora científica 60 minutos (si se tiene limitación de tiempo. 3. A13 7.3 Grupo 3.3 Gráfica 'Localiza los puntos en la gráfica que te permiten responder las preguntas' 'Haz una estimación razonable de los valores representados por estos puntos' 'Organiza la información en una tabla' 'Obtén la ecuación' Evaluación del reporte Evaluación de la presentación Se recomienda trabajar esta actividad por lo menos en dos ocasiones.Formato para la clasificación de problemas Ejemplo Título 1. CB7 7. CB1.2) 7.2 Equipo. E4.2 Resolución de problemas guiada con exploración 2. CB3.2.1 Conceptuales (3. E2. Experiencia de aprendizaje 2. A3.2. Tiempo 6.1 Juego de geometría. P10 7. P4.2) (4.1.1 E6 E8 E9 E10 8. Evaluación Observaciones ‘Ifigenia Cruel’ de Alfonso Reyes 1. Representaciones 9.5 E4.3 E2.3. CB2.3 Actitudinales A2. A7.1 Reporte de RP 7.1. E2.1. CB5. P6. Referencias curriculares 8. A6. Estrategias 10. Las cuatro líneas indispensables que se desarrollan en el curso de álgebra y que se continúan en la primera unidad de este curso son: • Lenguaje algebraico • Modelación • Ecuaciones • Funciones Es importante hacer notar que no es conveniente que haya largos período dedicados exclusivamente a la ejercitación de la operatividad. los utilicen en la resolución de problemas y aplicaciones. análisis. combinando datos y relaciones) El programa deberá cumplirse hasta sus últimas unidades. pues estas preparan a los alumnos para los siguientes cursos. En cuanto al curso de Geometría. crítica y creativa. a través de una actitud participativa. También deberán evitarse aquellos tratamientos teóricos superfluos o innecesarios. reflexión. comunicación y valoración. averiguar lo que se ignora. con la finalidad de desarrollar las estructuras conceptuales necesarias para validar resultados mediante demostraciones formales. como son: razonamiento. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 22 . sociales. será más provechosa en la medida en la que el profesor pueda identificar cómo contribuye al logro de las líneas siguientes: • El desarrollo de la imaginación geométrica y espacial • La construcción de la idea de demostración • La familiarización con los objetos de la geometría (incluyendo propiedades y relaciones) • La articulación de los conocimientos pertinentes en el cálculo geométrico (a partir de lo que se conoce. sino que a medida que los alumnos hayan aprendido nuevos procedimientos algebraicos. pues el programa ha sido diseñado de tal manera que los conocimientos esenciales puedan utilizarse a lo largo de todo el curso. álgebra.Programa de Geometría y Trigonometría Objetivo general Que el estudiante desarrolle sus habilidades de pensamiento. dentro o fuera de la clase. cada experiencia de aprendizaje que tengan los alumnos. geometría y trigonometría para resolver problemas surgidos de situaciones cotidianas. de la naturaleza y la tecnología. o tratar de agotar un tema desde el principio. Lo anterior será posible si el docente distingue siempre lo esencial de lo accesorio y no insiste en la ejercitación excesiva de temas de poca importancia para los cuales bastará resolver uno o dos ejemplos en el salón de clases y dejar otros como tarea. que permita relacionar los conocimientos de la aritmética. 3.2. .5 Definiciones.2 El método axiomático-deductivo 2.1. postulados 2. 2. • Desarrollo.4 La demostración deductiva directa e indirecta 2.1. el estudiante establecerá los conceptos.2. lo que le permitirá incrementar sus habilidades interpretativas y destrezas operativas.2.La orientación de la dinámica se enfocará a la comunicación. y/o actividades.1 Antecedentes históricos 2.3 Propiedad de la función logarítmica 1. ALA y LLL 2.2. postulados y teoremas de la geometría euclidiana que aplicará en la resolución de problemas que le permitan desarrollar sus habilidades matemáticas y fomentar su razonamiento lógico.1.Se propone un modelo de sesión que incluya tres momentos: • Apertura.1. Esta instrumentación se aplicará en todas las unidades del programa y la Academia diseñará los problemas tipo. recta y ángulos 2. 1. • Cierre.1 Conceptos básicos 2.1 Cambios de base 1.4 Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas con una variable Unidad 2.3 Términos no definidos 2. Unidad 1.El núcleo de la actividad del curso será la problematización. El estudiante describe la actividad de la sesión.2 Congruencia de triángulos 2.4 El triángulo isósceles y sus propiedades 2. El docente organiza la dinámica del trabajo.5 Teorema del ángulo externo ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 23 . El docente puede informar y generar códigos de instrucción.3 Líneas y puntos notables del triángulo 2. comunica lo que cree haber aprendido. Geometría euclidiana A partir del método deductivo. Funciones exponenciales y logarítmicas El estudiante manejará las propiedades básicas de las funciones logarítmicas y exponenciales a través de problemas de situaciones reales.2 Postulados de congruencia LAL. propone o plantea problemas. pues el problema deberá ser el instrumento que permita generar el conocimiento.1.1 Definición de triángulos congruentes 2. con los que abordará la temática. y/o el estudiante.1 Noción intuitiva de función 1. el docente evalúa y toma decisiones para la siguiente sesión.2.1. el razonamiento y la resolución de problemas.2 Concepto de función exponencial y logarítmica 1.6 Teoremas fundamentales sobre punto. . El docente. el desarrollo de la habilidad para aplicarlo y la consolidación para asimilarlo. dentro del contexto del tema.Lineamientos generales para la instrumentación de todo el programa . 2.3 Paralelismo y perpendicularidad 2.3.1 Teorema para la construcción de perpendiculares a una recta 2.3.2 Rectas paralelas: postulados de las paralelas. Propiedades 2.3.3 Ángulos entre paralelas cortadas por una transversal: definición y teorema 2.3.4 Pares de ángulos con lados respectivamente paralelos y con lados respectivamente perpendiculares 2.4 Propiedades del triángulo 2.4.1 Teoremas para los ángulos internos y los ángulos externos 2.4.2 Relación entre ángulos interiores y ángulos opuestos 2.4.3 Desigualdad del triángulo 2.5 Semejanza de triángulos 2.5.1 Definición de semejanza 2.5.2 Postulados de semejanza: AAA, LAL y LLL 2.5.3 Teorema de Tales 2.5.4 Teorema de Pitágoras 2.6 Polígonos 2.6.1 Definición y clasificación 2.6.2 Propiedades de los paralelogramos 2.6.3 Teoremas relativos a suma de ángulos internos, externos y número de diagonales 2.7 Circunferencia y círculo 2.7.1 Rectas y puntos notables 2.7.2 Propiedades relativas a cuerdas y tangentes 2.7.3 Ángulos y arcos 2.7.4 Transformación de medidas angulares de grados a radianes y viceversa Unidad 3. Trigonometría El estudiante establecerá, con los fundamentos teóricos de las funciones trigonométricas, modelos geométricos que le permitan resolver problemas. 3.1 Funciones trigonométricas 3.1.1 Definición 3.1.2 Relación entre funciones trigonométricas 3.1.1.1 Identidades trigonométricas 3.1.1.2 Identidades pitagóricas 3.1.1.3 Identidades de cociente 3.1.3 Círculo trigonométrico 3.1.4 Funciones trigonométricas inversas 3.1.5 Gráficas de funciones trigonométricas (para seno, coseno y tangente) 3.2 Resolución de triángulos 3.2.1 Rectángulos 3.2.2 Oblicuángulos 3.3 Ecuaciones trigonométricas ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 24 Bibliografía Clemens, Stanley R., O’Daffer, Phares G., Geometría, México, Prentice Hall, 1998. García Arenas, Jesús, Bertrán Infante, Celestí, Geometría y Experiencias, México, Editorial Alhambra, 1990. Rich, Barnet, Geometría, México, Mc Graw-Hill, 1991. Phillips, Elizabeth et al, Álgebra con aplicaciones, México, Editorial Oxford University Press, 1999. Gustafson, David R., Álgebra intermedia, México, Thomson Editories, 1996. Smith, Stanley A. et al, Álgebra y Trigonometría, México, Addison-Wesley Iberoamericana, 1997. Calter, Paul, Fundamentos de matemáticas I y II, México, Mc Graw-Hill, 1996. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 25 ASPECTO A EVALUAR DEFINICIÓN OPERATIVA FORMA DE EVALUACIÓN Habilidad y capacidad de usar la matemática para resolver problemas en diferentes áreas de estudio Potencia Matemática Resolución de Problemas Capacidad para resolver problemas y plantearlos, considerando diversas alternativas para resolver problemas, un plan para resolverlos, interpretar y comprobar resultados, y generalizar soluciones Razonamiento Capacidad de reconocer patrones, estructuras comunes y formular conjeturas Comunicación Capacidad del alumno para expresar ideas matemáticas en diversas formas: hablada, escrita y gráfica Actitud Matemática Confianza en el uso de las matemáticas para resolver problemas, comunicar ideas y razonar, probar métodos alternativos para la resolución de problemas; la perseverancia de llegar hasta el fin de la tarea matemática; el interés, la curiosidad, la inventiva de los alumnos para hacer matemáticas; reconocer el valor que tienen las matemáticas en nuestra cultura, como herramienta y como lenguaje PERIODO UNIDADES TEMÁTICAS 1 1 a 2.2 2 2.3 a 2.10 3 3 − − EVALUACIÓN INDIRE DIRECT CTA A X X − Exámenes escritos Exposición y resolución de problemas Trabajos extraclases Exámenes escritos Exposición y resolución de problemas Trabajos extraclases − − − − − − − − − − − − Exámenes escritos Exposición Interrogatorios Entrevistas Exámenes escritos Interrogatorios Trabajos extraclases Exámenes escritos Observación Entrevistas Interrogatorios Trabajo en equipo X X X X X X X X X X X X X X − − − X X X X X X X X PLAN DE EVALUACIÓN Examen departamental 60% Evaluación continua 40% Examen departamental 60% Evaluación continua 40% Examen departamental 60% Evaluación continua 40% El examen departamental estará conformado por problemas que se evaluarán tomando en cuenta: 1. la comprensión del problema 2. la planeación de una solución 3. la obtención de una respuesta En la evaluación continua se tomará en cuenta el modelo PER para propiciar que los alumnos se responsabilicen de su propio aprendizaje ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 26 Tolerancia. Aprecio por la cultura matemática y por sus aportaciones al mundo personal y profesional 11. Empleo de formas de pensamiento lógico 14. Habilidad para generalizar los problemas en otros contextos más cercanos al propio 15. comunicar ideas y razonar 3. Flexibilidad para modificar el punto de vista 9. Exploración sistemática en la búsqueda de soluciones 8. Confianza en el uso de las matemáticas para resolver problemas. Formación de hábitos de organización del propio aprendizaje 1. Valorar las matemáticas en nuestra cultura. escucha.Procedimentales Actitudinales 1. participación y respeto en el trabajo en equipo y grupal Hoja 27 . Perseverancia de llegar hasta el fin de la tarea matemática 4. Interés. curiosidad e inventiva para hacer matemáticas 6. Superación continua de la calidad del propio trabajo 13. como herramienta y como lenguaje 5. Análisis crítico sobre información de carácter numérico 13. Desarrollo de estrategias personales para el análisis y resolución de problemas 7. Aplicación eficaz de los métodos algorítmicos asociados a los contenidos conceptuales del curso ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor 3. Uso eficaz del lenguaje y formas de expresión matemática 5. Formulación de un plan de trabajo para abordar situaciones problemáticas 10. Actitud propositiva ante el conocimiento 2. Camaradería honesta con sus compañeros de grupo 10. Perseverancia en la búsqueda de soluciones 8. Habilidad para resolver situaciones conflictivas que se presenten en las modalidades de participación: individual. Interpretación y cuantificación de aspectos de la vida profesional y cotidiana 12. Tránsito de los diferentes registros de representación de una situación 9. Responsabilidad ante los compromisos que exige el curso 12. por equipo y grupal 4. Desarrollo de hábitos favorables para elevar la calidad del propio trabajo y de la participación en el trabajo en equipo 2. defensa y entendimiento de argumentos matemáticos 11. Formulación. Actitud científica ante interpretación de datos la 7. Formación de hábitos de pensamiento analítico para el manejo de situaciones problemáticas 6. mediante el cálculo mental o cálculos con lápiz y papel para casos simples y el uso de la tecnología para casos más complicados.2 comparar y contrastar las propiedades de los números y sistemas numéricos. vectores y matrices. división y cálculo de potencias y raíces sobre las magnitudes de los números.1 Desarrollar una soltura en operaciones con números reales.1 Desarrollar una comprensión más profunda sobre números muy grandes y muy pequeños y varias representaciones de ellos. • 1.3 Calcular con soltura y ser capaz de hacer estimaciones razonables • 1.1 Juzgar los efectos de operaciones tales como multiplicación.2. Estándar de Número y Operaciones para los grados del 9 al 12 Expectativas Los programas de enseñanza desde preescolar hasta el grado 12 deben permitirles a todos los estudiantes —en los años escolares del 9–12 los estudiantes deben saber hacerlo— 1.3 comprender los vectores y las matrices como sistemas que tienen algunas propiedades del sistema de números reales. • 1. incluyendo los números racionales y reales. • 1.Estándares del NCTM para los Grados 9-12 1.2 juzgar la sensatez de los cálculos numéricos y sus resultados ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 28 .3.1.1 Comprender los números.1. y representaciones.2 Comprender significados de las operaciones y cómo se relacionan unas con otras • 1. relaciones entre ellos y también sistemas numéricos • 1.1. ver los números complejos como soluciones de ecuaciones cuadráticas que no tienen soluciones reales.2. formas de representarlos. de la suma y multiplicación de los vectores y matrices.2 desarrollar una comprensión de las propiedades.4 usar argumentos de teoría de números para justificar relaciones que involucren a números enteros 1.3 desarrollar una comprensión de las permutaciones y combinaciones como parte de las técnicas de conteo 1.3. • 1. • 1. • 1.1.2. mediante el uso de la tecnología.2 comprender relaciones y funciones y seleccionarlas.2 escribir formas equivalentes de ecuaciones. • 2. • 2.1 Comprender patrones.2.1. asíntotas y comportamientos locales y globales.3 analizar funciones de una variable al estudiar razones de cambio.2. ecuaciones.1.4 utilizar una variedad de representaciones simbólicas.1. ceros. desigualdades y sistemas de ecuaciones y resolverlas con soltura –mentalmente o con lápiz y papel en casos simples y utilizando la tecnología en todos los casos. incluyendo ecuaciones recursivas y paramétricas.3 utilizar el álgebra simbólica para representar y explicar relaciones matemáticas. intercepciones. relaciones y funciones • 2. para funciones y relaciones. logarítmicas y periódicas.2. usar varias representaciones y pasar fácilmente de unas a otras.5 comprender y comparar las propiedades de clases de funciones. Estándar de Álgebra para los grados del 9 al 12 Expectativas Los programas de enseñanza desde preescolar hasta el grado 12 deben permitirles a todos los estudiantes —en los años escolares del 9–12 los estudiantes deben saber hacerlo— 2.2 Representar y analizar situaciones y estructuras matemáticas al usar símbolos algebraicos • 2. • 2. • 2.2. la composición y la inversión de las funciones más comunes y.1. polinomiales.6 interpretar representaciones de funciones de dos variables 2. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 29 . • 2.1 Generalizar patrones al usar funciones definidas explícita o recursivamente.1. racionales. • 2. incluyendo funciones exponenciales.1 Comprender el significado de formas equivalentes de expresiones.4 comprender y realizar transformaciones como las combinaciones aritméticas. desigualdades y relaciones.2. • 2. • 2.1. hacer las mismas operaciones con expresiones simbólicas más complicadas. para representar relaciones que surgen en varios contextos.2 Especificar ubicaciones y describir relaciones espaciales al usar la geometría con coordenadas ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 30 . • 3. formular y probar conjeturas sobre ellos y resolver problemas que los involucren. probar teoremas y discutir los argumentos construidos por otros. incluyendo formas iterativas y recursivas.1 Identificar relaciones cuantitativas esenciales en una situación y determinar la clase o clases de funciones que podrían modelar las relaciones.5 juzgar el significado.1.3 obtener conclusiones razonables sobre una situación que se modeló 2.3 establecer la validez de conjeturas geométricas al usar la deducción.• 2.2. • 3.1 Analizar las características y propiedades de formas geométricas de dos y tres dimensiones y desarrollar argumentos matemáticos sobre relaciones geométricas • 3.2 explorar relaciones (incluyendo congruencia y semejanza) entre clases de objetos de dos y tres dimensiones.4 Analizar el cambio en varios contextos • 2.3.1. incluyendo aquellos llevados a cabo con el uso de tecnología 2.3 Usar modelos matemáticos para representar y comprender relaciones cuantitativas • 2. • 2.3.1 Aproximar e interpretar razones de cambio de datos gráficos y numéricos 3.3. la utilidad y lo sensato de los resultados de las manipulaciones simbólicas.4. • 2.2 usar expresiones simbólicas.4 usar relaciones trigonométricas para determinar medidas de longitudes y de ángulos 3.1.1 Analizar propiedades y determinar atributos de objetos de dos y tres dimensiones. • 3.1. Estándar de Geometría para los grados del 9 al 12 Expectativas Los programas de enseñanza desde preescolar hasta el grado 12 deben permitirles a todos los estudiantes —en los años escolares del 9–12 los estudiantes deben saber hacerlo— 3. 3 Aplicar transformaciones y usar simetrías para analizar situaciones matemáticas • 3.4. de otras disciplinas y otras áreas de interés como el arte y la arquitectura ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 31 . reflexiones. y mejorar la comprensión. el razonamiento espacial y la modelación geométrica para resolver problemas • 3.4. de otras áreas de las matemáticas. rotaciones y dilataciones de objetos en el plano al usar dibujos.3.2 usar varias representaciones para ayudar a comprender los efectos de transformaciones simples y sus composiciones 3. vectores. notación de funciones y matrices.4. • 3.4.5 usar ideas geométricas para resolver problemas.1 Comprender y representar translaciones. • 3.3 usar gráficas de vértice-lado para modelar y resolver problemas. • 3.2 investigar conjeturas y resolver problemas involucrando objetos de dos o tres dimensiones.4.3.y otros sistemas de representación • 3. • 3. representados con coordenadas cartesianas 3.2.4 usar modelos geométricos para comprender mejor situaciones.2. • 3. como los sistemas de navegación.1 Obtener y construir representaciones de objetos geométricos de dos y tres dimensiones al usar una variedad de herramientas. • 3.2 representar en la mente (visualizar) objetos y espacios de tres dimensiones desde diferentes perspectivas y analizar sus secciones transversales.4 Usar la representación en la mente (visualización). coordenadas. para analizar situaciones geométricas. y responder preguntas.1 Usar coordenadas cartesianas y otros sistemas de coordenadas. polar o esférica. 2.3 entender el significado de los datos medidos y los datos categóricos. cotas superiores e inferiores y límite.3 aplicar en mediciones conceptos informales de aproximación sucesiva. sistemas y procesos de medición • 4.2 Aplicar técnicas. • 5. • 4. de los datos de una variable y dos variables y del término variable.1. la exactitud y el error de aproximación den las situaciones de medición. • 5. organizar y presentar datos pertinentes para responderlas • 5. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 32 .1.2.1 Analizar la precisión.4. Estándar de Análisis de Datos y Probabilidad para los Grados 9–12 Expectativas Programas instruccionales de prekinder al grado 12 que deberían capacitar a todos los estudiantes para —en los grados 9-12 todos los estudiantes deberían— 5. herramientas y fórmulas apropiadas para determinar mediciones • 4. Estándar de la Medición para los grados del 9 al 12 Expectativas Los programas de enseñanza desde preescolar hasta el grado 12 deben permitirles a todos los estudiantes —en los años escolares del 9–12 los estudiantes deben saber hacerlo— 4.1 Tomar decisiones sobre las unidades y escalas que son apropiadas para situaciones problemáticas que involucren medición 4.2. esferas y cilindros. • 4.2.1 Formular preguntas que se refieran a datos y recolectar. incluyendo el papel de la aleatorización en encuestas y experimentos. • 4.1 Entender las diferencias entre los distintos tipos de estudios y qué tipos de inferencias se pueden sacar legítimamente de cada uno de ellos. área superficial y el volumen de figuras geométricas.4 usar análisis de unidades para comprobar cálculos de mediciones 5.1.2 conocer las características de los estudios bien diseñados.1.1 Comprender atibutos medibles de objetos y unidades. incluyendo conos.2 comprender y usar fórmulas para el área. el centro y la dispersión.2. ser capaces de mostrar la distribución.• 5. describir su forma y seleccionar y calcular las estadísticas sumarias.2. los diagramas de caja paralelos y los diagramas de dispersión. • 5. y construir espacios muestrales y distribuciones en casos sencillos.2 para datos medidos de dos variables.2.2 Seleccionar y usar métodos estadísticos apropiados para analizar datos • 5.1 Usar simulaciones para explorar la variabilidad de las estadísticas de muestra de una población conocida y construir distribuciones de muestreo. • 5.5 identificar tendencias en datos de dos variables y encontrar funciones que modelen los datos o transformen los datos para que puedan ser modelados 5.3.3 evaluar reportes publicados que se basan en datos mediante el examen del diseño del estudio.1 Entender los conceptos de espacio muestral y distribución de probabilidad.4 Comprender y aplicar los conceptos básicos de la probabilidad • 5. ecuaciones de regresión y coeficientes de correlación usando herramientas tecnológicas.1. • 5.2.3.3. • 5. • 5.4 entender los histogramas. • 5.2.3 presentar y discutir datos de dos variables cuando al menos una variable es categórica. y usarlos para presentar datos. • 5. • ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 33 .3. • 5.4.3 Desarrollar y evaluar inferencias y predicciones que se basan en datos • 5.1 Para datos medidos de una variable. describir su forma y determinar coeficientes de regresión.5 calcular las estadísticas básicas y entender la distinción entre una estadística y un parámetro 5.4 entender cómo las técnicas estadísticas básicas se usan para monitorear las características de los procesos en los centros de trabajo 5. lo apropiado del análisis de datos y la validez de las conclusiones.4 reconocer cómo las transformaciones lineales de datos de una variable afectan la forma. ser capaces de mostrar un diagrama de dispersión.1.2 comprender cómo las estadísticas de muestra reflejan los valores de los parámetros de la población y usar distribuciones de muestreo como la base de inferencias informales. 5 entender cómo calcular la probabilidad de un evento compuesto 6.4. Estándar de Resolución de Problemas para los grados del 9 al 12 Los programas de enseñanza desde preescolar hasta el grado 12 deben permitirles a todos los estudiantes: • 6. • 5.4. • 7. • 6. • 7.3 desarrollar y evaluar argumentos y demostraciones matemáticas.5.4 seleccionar y usar diversos tipos de razonamiento y métodos de demostración ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 34 . • 6. • 6. • 7.2 formular e investigar conjeturas matemáticas.2 resolver problemas que surgen en las matemáticas y otros contextos.4 entender los conceptos de probabilidad condicional y eventos independientes.1 Construir el nuevo conocimiento matemático a través de la resolución de problemas.2 usar simulaciones para construir distribuciones empíricas de probabilidad.4 revisar y reflexionar en el proceso de resolución de problemas matemáticos 7. Estándar del Razonamiento y la Demostración para los grados del 9 al 12 Los programas de enseñanza desde preescolar hasta el grado 12 deben permitirles a todos los estudiantes: • 7.3 calcular e interpretar el valor esperado de variables aleatorias en casos sencillos. • 5.1 Reconocer el razonamiento y la demostración como aspectos fundamentales de las matemáticas.3 aplicar y adaptar una variedad de estrategias apropiadas para resolver problemas.4. • 5.4. Estándar de la Representación para los grados del 9 al 12 Los programas de enseñanza desde preescolar hasta el grado 12 deben permitirles a todos los estudiantes: • 10.8. • 8. • 10.2 seleccionar.2 comprender cómo las ideas matemáticas están interrelacionadas y apoyadas unas con otras para producir un todo coherente.3 reconocer y aplicar las matemáticas en contextos distintos a los matemáticos.4 usar el lenguaje de las matemáticas para expresar. Estándar de las Relaciones (Conexiones) para los grados del 9 al 12 Los programas de enseñanza desde preescolar hasta el grado 12 deben permitirles a todos los estudiantes: • 9. • 9.1 Crear y usar las representaciones para organizar.1 Organizar y consolidar su pensamiento matemático a través de la comunicación. • 9. Estándar de la Comunicación para los grados del 9 al 12 Los programas de enseñanza desde preescolar hasta el grado 12 deben permitirles a todos los estudiantes: • 8. aplicar y pasar de una a otra representación para resolver problemas. • 10. registrar y comunicar las ideas matemáticas. 10. profesores y otras personas.3 usar las representaciones para modelar e interpretar fenómenos físicos.2 comunicar coherente y claramente su pensamiento matemático a sus compañeros. justamente. sociales y matemáticos ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 35 . las ideas matemáticas 9. • 8.1 Reconocer y usar las relaciones entre las ideas matemáticas. • 8.3 analizar y evaluar el pensamiento y estrategias matemáticas de otros. avanzar en la solución del problema. pon un ejemplo Cuando es posible poner un ejemplo. Pueden ser dibujos con características geométricas que conserven la escala y representen las características de la situación mediante puntos. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 36 . Las representaciones más comunes son la verbal. Cada representación tiene sus técnicas propias para identificar las regularidades. ♦ Busca un patrón Las regularidades que se identifiquen en las representaciones pueden contribuir a avanzar en la solución del problema. el intervalo. ♦ Analiza un caso particular. se concretan las relaciones que hay entre las características de la situación. donde se encuentra la respuesta que buscas y aplicar un método de aproximaciones sucesivas mediante el cual puedas obtener respuestas más precisas y cuantificar el margen de error de tus respuestas. ♦ Busca otra forma de representación En algunas ocasiones. según sea la situación que se quiera representar. así. También pueden ser diagramas de árbol o de flujo.Inventario de estrategias ♦ Organiza la información en una tabla Las tablas pueden ayudar a identificar las partes que intervienen y mediante el análisis de las sucesiones de los valores de las columnas pueden orientar para identificar el patrón. ♦ Aplica la lupa Puedes emplear un tanteo sistemático para ubicar aproximadamente la zona. gráfica. y otros objetos geométricos. hasta que obtengas la respuesta correcta o una buena aproximación. Si son varios los ejemplos se puede organizar la información que se genere en una tabla y aplicarle algunas técnicas para tratar de identificar algún patrón. cambiar la forma de representar la información puede hacer visibles algunas características que permiten establecer relaciones y. ♦ Haz un dibujo o un diagrama Un diagrama puede ayudar a organizar e integrar la información. ♦ Planea un tanteo sistemático Puedes suponer algunos valores y analizar las consecuencias de tus suposiciones buscando que se ajusten a las condiciones del problema y den respuesta a las preguntas planteadas. rectas. Si se dispone de una calculadora potente o de una computadora se puede aprovechar la versatilidad de la hoja de cálculo. numérica. algebraica y geométrica. puedes repetir este procedimiento refinando las respuestas. En cuanto a las estrategias.htm#Organizar%20la%20informaci ón%20en%20una%20tabla http://curry. conviene que se registren e incorporen aquéllas que el profesor identifique en sus grupos. además de las que incluye Polya en su libro ya clásico Cómo plantear y resolver problemas. http://msip.♦ Toma una instantánea En aquellas situaciones en las que se pueda identificar un proceso. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 37 . Algunas ligas relacionadas con las estrategias de RP. en ocasiones se puede reconstruir el proceso que conduce a él e identificar así un procedimiento de solución.html A continuación presentamos las actividades propuestas para cada unidad. sea temporal o no. de preferencia en una tabla.org/jahumada/mrsg1010/unidad1/u1s1t2.edschool. Schoenfeld en los MAPOA. se trata de coagular el proceso y describir las características cuantitativas.H. ♦ Mete reversa Si se supone un resultado. y analizar sus relaciones para avanzar en la identificación de algún patrón.virginia.lce.edu/teacherlink/content/math/interactive/probability/numbers ense/heuristics/home. Se pueden consultar otras estrategias en la ‘Tabla de Heurísticas más frecuentes’ de A. Horas Problemas 1-3 El chisme 4-5 Dédalo y Calipso Problemas con guía Las ballenas de Alaska Gauss. 634 a 636 ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 38 El que no conoce a Dios e . 602 a 606 Háganme lugar 5-6 Ejercicios Lee haciendo pp. pp. pp. Haz los ejercicios cuyo número es de la forma 4n+15 de la sección 10.Unidad 1. 621 a 630. listillo desde chiquillo Actividades Internet El lenguaje de las funciones Función exponencial Vértigo La escala Richter 7-9 Incrementos Construcciones 1 Usando Geómetra 10-12 Atenuadores Lecturas Función logarítmica Proyectos Aspectos externos Lee haciendo pp.2. 606 a 617. 617 a 620 Lee haciendo pp. Haz los ejercicios cuyo número es de la forma 4n+11 de la sección 10. lo que le permitirá incrementar sus habilidades interpretativas y destrezas operativas. Funciones exponenciales y logarítmicas El estudiante manejará las propiedades básicas de las funciones logarítmicas y exponenciales a través de problemas de situaciones reales.3. 591 a 602 de tu libro de texto de Álgebra Álgebra con aplicaciones de Phillips et al Haz los ejercicios cuyo número es de la forma 4n+13 pp. pp. 630 a 633 Haz los ejercicios cuyo número es múltiplo de 9 de los ejercicios de repaso. Unidad 2. Geometría euclidiana (1) A partir del método deductivo, el estudiante establecerá los conceptos, postulados y teoremas de la geometría euclidiana que aplicará en la resolución de problemas que le permitan desarrollar sus habilidades matemáticas y fomentar su razonamiento lógico. Horas Problemas 1-3 Tales de Mileto Problemas con guía Tales Actividades Internet Homotecia y Semejanza Construcciones 2 4-5 El sope La torre Eiffel Construcciones 3 9-10 En Liliput Demostraciones 1 11-13 El granjero: Esfuerzo mínimo Lecturas Proyectos Lee haciendo el capítulo «Conceptos básicos de Geometría » del libro Geometría y Experiencias de García Arenas y Bertrán Infante La Filosofía de la Matemática La cultura matemática Viaje a Liliput con las magnitudes 6-8 Ejercicios Construcciones 4 Proporcionalida d Geométrica Lee haciendo el capítulo «Los polígonos» del libro Geometría y Experiencias de García Arenas y Bertrán Infante El teorema de Pitágoras Demostraciones 2 Costo mínimo ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 39 Unidad 2. Geometría euclidiana (2) A partir del método deductivo, el estudiante establecerá los conceptos, postulados y teoremas de la geometría euclidiana que aplicará en la resolución de problemas que le permitan desarrollar sus habilidades matemáticas y fomentar su razonamiento lógico. Horas Problemas 14-15 Las escaleras cruzadas Problemas con guía Pitágoras generalizado Actividades Internet Razones trigonométricas Construcciones 5 16-18 El Progreso del Peregrino 19-21 Las apariencias engañan 22-24 Hay revoluciones que engendran ... Ejercicios Lee haciendo el capítulo «Proporcionalidad de segmentos y semejanza » del libro Geometría y Experiencias de García Arenas y Bertrán Infante Construcciones 6 Demostraciones 3 Lecturas Proyectos El casete Simetría e invariancia Cónicas Lee haciendo el capítulo « El teorema de Pitágoras y otras relaciones en triángulo» del libro Geometría y Experiencias de García Arenas y Bertrán Infante Construcciones 7 Demostraciones 4 ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 40 Calculemos π Unidad 2. Geometría euclidiana (3) A partir del método deductivo, el estudiante establecerá los conceptos, postulados y teoremas de la geometría euclidiana que aplicará en la resolución de problemas que le permitan desarrollar sus habilidades matemáticas y fomentar su razonamiento lógico. Horas Problemas 25-27 Dos tazas 28-30 El vaso cónico Problemas con guía Un presunto tetraedro Identidades algebraicas 31-32 Otra revolución La razón áurea Construcciones 9 Ejercicios Simas ¡Qué lata! Lecturas Proyectos Topología La ciencia para todos Lee haciendo el capítulo «La circunferencia» del libro Geometría y Experiencias de García Arenas y Bertrán Infante Construcciones 8 33-35 Actividades Internet Teorema de Pitágoras QED, demostraciones y teoremas Lee haciendo el capítulo «Áreas de figuras planas» del libro Geometría y Experiencias de García Arenas y Bertrán Infante ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 41 Trigonometría El estudiante establecerá.Unidad 3. modelos geométricos que le permitan resolver problemas. Horas Problemas 1-3 En las entrañas del ángulo Problemas con guía Construcciones 10 Demostraciones 5 4-6 La lata familiar 7-9 El mirón Hipólito y Fedra Construcciones 11 10-12 Sin segundas intenciones El joven ecologista Los pasillos 13-15 El negro que no se raja La banda de las poleas 16-18 El pistón El hogareño Caronte Actividades Internet Resolución de triángulos rectángulos El cálculo π según Arquímedes Las funciones trigonométricas Ejercicios Lecturas Proyectos Lee haciendo el capítulo «Trigonometría del triángulo rectángulo» de Trigonometría de la serie Teoría y Práctica de H-B Jovanovich. Gráficas de funciones trigonométricas Pi Mi detector infalible Algunos ejercicios de Trigonometría Demostraciones 6 Construcciones 12 Lee haciendo el capítulo «Trigonometría general» de Trigonometría de la serie Teoría y Práctica de Harcourt Brace Jovanovich Construcciones 13 Razones Identidades y ecuaciones trigonométricas trigonométricas Operaciones Identidades y ecuaciones Demostraciones 7 Resolución de triángulos oblicuángulos ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 42 Cinta de Möbius y orientabilidad . con los fundamentos teóricos de las funciones trigonométricas. además de documentos de introducción.2 . el portafolios. Desde las primeras clases solicita a tus alumnos que recorten y enmiquen las fichas para que las tengan a la mano para una consulta rápida y al mismo tiempo evitar que se vuelvan inservibles por romperse o borrarse su contenido. las fichas y formatos de evaluación. Parte de tu trabajo es dosificar la lectura e incorporación paulatina de lo contenido en estos materiales. Desde luego puedes agregar otros documentos que juzgues necesarios. La heurística. De esta manera podrás referirte a ellos en el momento oportuno para que el alumno los incorpore poco a poco en su trabajo cotidiano en las diversas actividades de aprendizaje que realice. Lo que tiene que aprender. las habilidades a desarrollar y las actitudes requeridas no se logran simplemente al escuchar o leer acerca de ellas. Nuestros alumnos requieren de ciertos lineamientos. pues el ejemplo que refuerza o contradice el discurso tiene una influencia a veces definitiva. Los MAPOA contienen el modelo PER. A continuación te presentamos uno de los documentos de los MAPOA acompañado de comentarios acerca de su uso o aspectos relevantes para su discusión con los alumnos. Los Materiales de Apoyo para la Organización del Aprendizaje (MAPOA) se elaboraron con este fin. referencias y sugerencias para que organicen su trabajo y les permita cumplir con los requerimientos que tienen. Si encuentras que falta algo en estos materiales. agrégalo y coméntalo con tus compañeros de la escuela donde laboras (mejor aún si te comunicas con el resto a través de Internet). Materiales Auxiliares para el Aprendizaje de los Alumnos (MAPOA) No basta decirle a los alumnos que se pongan a estudiar. Recuerda que tú también debes utilizar estos materiales cuando sea oportuno. Por ello es necesario que los conozcas en detalle antes de que los alumnos lo tengan es sus manos. comentarios. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 43 . ¿Qué se aprende resolviendo problemas? Se aprende fundamentalmente a entender el funcionamiento de nuestro propio razonamiento. por eso es interesante esta actividad. poniendo de manifiesto las técnicas. et al. está en posesión del equipamiento de técnicas y estrategias (heurística) matemáticas oportunas (estoy dispuesto a aprenderlas) y tiene talento para ello (aunque el talento es fundamental para llegar lejos en el viaje. L. sólo debes leer con atención lo que sigue y reflexionar sobre la lectura. a dominar nuestros estados de ánimo y a aumentar la confianza en nosotros mismos. porque si el método (que no existe) pudiera ser predicho de antemano. ya que en las próximas actividades deberás recordar lo que aquí se dice. La resolución de problemas es un proceso. nos enseña a resolver el siguiente. Hay obstáculos para alcanzar ese propósito. situaciones que no suelen darse ante un problema o juego. habilidades. ni dejar bloqueado inicialmente a quien lo ha de resolver. hallar la respuesta. No confundas problema con ejercicio: éstos son cuestiones que de un golpe de vista se ve en qué consisten y cuál es el medio para resolverlas. Narcea Ediciones y MEC de España. Un problema debe representar un reto adecuado a las capacidades de quien intenta resolverlo. no un procedimiento paso a paso: es fundamentalmente un viaje. Todo esto comporta. Además debe tener interés en sí mismo. De alguna manera se aprende a aprender. se hace camino al andar"). ¿Cuál es la mejor forma de resolver problemas? La única forma es resolviendo problemas. nuestra autoestima. el que practica las virtudes de la paciencia y la perseverancia. estimular el deseo de proponerlo a otras personas: no debe ser un problema con trampa o un acertijo. 1994. clarificar el objetivo. se convertiría en un algoritmo pasando de problema a mero ejercicio. no lo es para disfrutar de él).Sobre resolución de problemas y juegos* Para desarrollar esta actividad no tienes que construir ni manipular ningún material. * Tomada de: J. Cada problema afrontado. acepta el desafío con entusiasmo (yo puedo). y requiere deliberación. aceptar el desafío. ¿Quién es un buen resolvedor de problemas? El que tiene deseo de afrontarlo (yo quiero). pero no de una manera predecible. no un destino (…"no hay camino. ¿Qué es resolver un problema o juego? La resolución de un problema o juego es un proceso de acontecimientos que nos lleva a recorrer diferentes etapas en un viaje: aceptar el desafío. A la hora de resolver un ejercicio se suele tener a la mano una receta que facilita su solución y en general la resolución de un ejercicio exige poco tiempo. Antón Bozal. correr un riesgo. Madrid. Llevará consigo el uso de la heurística (el arte del descubrimiento). descubrir nuevos conocimientos o crear una solución. Taller de Matemáticas. Este viaje queda plasmado en ir cubriendo las siguientes etapas: deseo de acercarse al problema. para cada uno de los problemas a resolver. definir y ejecutar el plan de acción y evaluar la solución. con o sin éxito. comprender una pregunta. formular las preguntas adecuadas a cada caso. ya que el que lo afronta no conoce ningún algoritmo o procedimiento para resolverlo. una inmersión en el mundo particular del problema. ¿Qué es un problema o un juego matemático? Es una situación que implica un propósito u objetivo que hay que conseguir. Y por fin. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 44 . estrategias y actitudes personales de cada individuo que aborda el problema. y que es aceptada como problema por alguien. Sin esa aceptación no hay problema. Bloqueos de origen Pautas para superar los bloqueos Afectivo Apatía. en lo posible. la actitud lógica ♦ Juega con tus problemas ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 45 . a dónde queremos llegar. gusto por el reto. disposición de aprender. es una actividad que requiere fe (en que puedes). y otras negativas o bloqueos que pueden obstaculizar nuestro avance como miedo a lo desconocido. Regla de oro: Lo que importa es el camino Siempre debes tener en cuenta que lo que importa es el camino. más o menos. pero ignoramos el camino. al ridículo Ansiedades Repugnancias ♦ Piensa en las distintas formas de comenzar tu tarea. tranquilidad. Bloqueos y Desbloqueos Dijimos anteriormente que un problema constituye un auténtico reto. humildad (porque no lo sabes todo) y disciplina (estás dispuesto a esforzarte por seguir aprendiendo). nerviosismo. ♦ Déjate llevar por ideas imaginativas y por tu fantasía. Escoge una y comienza ♦ El inicio puede tener carácter provisional ♦ Los fallos y equivocaciones nos enseñan sobre las formas adecuadas de proceder ♦ Aminorar la hiperactividad cuando nos percatamos de estar empujados a ella ♦ Actúa ocasionalmente contra la tendencia que te arrastra Cognoscitivo Dificultades en la percepción del problema Incapacidad de desglosar el problema Visión estereotipada Culturales y Ambientales La sabiduría popular dice: "Busca la respuesta correcta" "Esto no es lógico" "Hay que ser práctico" ♦ Examinar cómo otros se enfrentan con actividades parecidas y comparar procedimientos ♦ Tratar de descomponer en partes más sencillas. curiosidad. prisa por acabar o cierta desazón ante la prueba. pero si aún se te resiste. Un problema resuelto es un problema muerto. abulia. Es el proceso el que te enseña. a la equivocación. vive en ti como problema. coraje (en que quieres). como todo arte.. busca varias respuestas. etc. Sabemos. Establecer prioridades ♦ Permanecer abierto a lo extraño ♦ No te contentes con la primera respuesta. pereza por el comienzo Miedo al fracaso. sino en el proceso. ♦ Cultiva. No pongas la mira en el éxito. En la tabla siguiente puedes ver los tipos de bloqueos que nos pueden afectar y algunas pautas para reflexionar sobre ellos e intentar superarlos. Ante esta situación caben actitudes positivas como confianza.Pero recuerda que ésta. Autoexamen sobre tu manera de pensar La resolución de problemas nos debe llevar a entender el funcionamiento de nuestro propio razonamiento. la paz. Explica por qué. satisfacer mi curiosidad. 2. autosuperación. ¿qué prefieres hacer: continuar a pesar de todo. 4. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 46 . seguir pensando en él en casa? Explica por qué. abandonarlo definitivamente. Cuando te enfrentas a un problema. El conocerte a ti mismo. A la vista de la tabla de bloqueos. 5. ¿Qué es lo que más te ayuda a concentrarte? El silencio. en ese ámbito. ¿Qué buscas en la resolución de problemas: entretenimiento. Lee con atención. Si no te sale un problema. viajar. pasear. Cuando te enfrentas a un problema. ¿con qué papel de los siguientes te identificas más? investigador explorador negociante detective actor matemático profesor juez constructor conductor de coches científico el más listo de la clase Explica brevemente tu elección. olvidarte de él por un tiempo. etc. la tranquilidad. reflexiona detenidamente y escribe con cuidado y orden las respuestas a las siguientes cuestiones: 1. ¿de qué tipo son los bloqueos que encuentras al resolver un problema? Explica por qué.? Explica por qué. nos ayuda a conocernos mejor a nosotros mismos. cumplimiento de un deber. 6. 3. te proporcionará la posibilidad de utilizar tus recursos de la forma más eficaz posible y alcanzar con seguridad un conocimiento más pleno. la música. etc. En definitiva. ejercicio. ¿con qué estado de animo te identificas más? optimista vigilante angustiado pesimista derrotado aburrido desanimado crítico divertido indiferente disgustado tranquilo Explica brevemente por qué. preparación más eficaz. a dominar nuestros estados de ánimo y a aumentar la confianza en nosotros mismos. contemplar el paisaje. ‘El chisme’. Explica cuál puede ser la causa. no trabajar? ¿Qué es lo que más trabajo te cuesta? 9. A partir de las respuestas se hace una descripción del grupo según su estilo de resolución de problemas y su manera de pensar. En el trabajo. los estudiantes tendrán a la mano detalles para ejemplificar los aspectos que se tratan en la lectura. mirar como lo hacen los otros. explorar. Al final del curso se puede volver a aplicar el autoexamen para contrastar las distribuciones y describir la evolución del grupo con respecto a las categorías que comprende. 8. Tu pensamiento. ¿qué te produce más satisfacción: pensar autónomo. repasar. observar. De esta manera.7. asegurarse. soy de intensos altibajos. ¿anda casi siempre bajo control o a ratos anda vagando y divagando? ¿Cuál crees que sea la causa? Comentario Esta actividad se puede combinar con alguna de las primeras experiencias de resolución de problemas. soy de esfuerzos prolongados. ¿Qué tipos de problemas son los que más te gustan? 10. Así se brinda una oportunidad a los estudiantes de discutir sobre la resolución de problemas inmediatamente después de vivir una experiencia como bienvenida al nivel medio superior. repetir. Entre los puntos que se pueden discutir con provecho están los siguientes: ♦ ¿Es mejor un papel que otro? ¿Por qué? ♦ ¿Qué características son comunes a varios papeles? ♦ ¿Hay estados de ánimo que contribuyen a tener éxito en la resolución de problemas? ♦ ¿Qué papel desempeña la concentración en la resolución de problemas y en el estudio de las matemáticas? ♦ ¿Cuáles son los bloqueos más frecuentes en el grupo? ♦ ¿Cómo se pueden seguir las pautas para superar los bloqueos? ¿Son pautas de sentido común? ¿En qué tipo de argumento se sustentan? ♦ ¿Cuál sería una distribución deseable de las características del grupo? ¿Qué estrategias se pueden aplicar para lograrla? En la discusión de otros MAPOA es conveniente usar la información recabada en esta actividad. de preferencia con la primera. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 47 . ¿Cómo eres respecto al trabajo? Me cuesta ponerme en marcha. me canso y me aburro fácilmente. y es pertinente el uso de casi todos los materiales auxiliares para la organización del aprendizaje (MAPOA). y desarrolle actitudes que le permitan enfrentar y manejar situaciones complejas con un alto grado de incertidumbre. no es inmediato. Un problema es una situación matemática o extramatemática que no tiene una solución inmediata. Recordemos el contenido de una de las fichas de los MAPOA acerca de las características de un problema. ampliándolo. Además. En sesiones de resolución de problemas se busca la vinculación de las herramientas matemáticas con una dimensión de uso. En la resolución de problemas los alumnos trabajan por equipo. él se involucre. puede consumir mucho tiempo. Problemas En una sesión resolución de problemas se integran varios procesos. Necesitan apoyo. requiere más tiempo y presenta mayor dificultad para los estudiantes. exponen y reportan y validan su solución. mientras los alumnos sólo toman anotaciones de lo hecho en el pizarrón. se introducen conceptos matemáticos utilizando contextos. sino a ver que otros lo hagan. surjan y evolucionen los conceptos matemáticos como respuesta a sus propias preguntas. se interactúa con una situación familiar. la actividad se puede retomar posteriormente en clase o extraclase. busque conexiones entre diferentes registros de representación. un problema ofrece una oportunidad para que el alumno logre adquirir varios aprendizajes importantes. el problema en otros campos. es decir. genera un conflicto emocional y contribuye a que el alumno produzca conocimientos nuevos o reorganice los que ha adquirido. genere criterios para validar interpretaciones y los modelos matemáticos. logre diferentes vías de acceso trabajando varios enfoques. es controlable por parte del alumno. Se pretende que el alumno haga uso de las matemáticas con las que cuenta para dar respuesta a las preguntas planteadas en el contexto de la situación. Cuando esto sucede. lo haga suyo. generalice sus soluciones y reformule. Cuando varios alumnos sólo leen el enunciado del problema y de inmediato dicen “no entiendo”. pero mediante preguntas y comentarios que hagamos de su trabajo. en la que se requiere de las matemáticas y se formulan y responden preguntas que contribuyen a la conceptualización de los objetos matemáticos. Una actividad de resolución de problemas difícilmente queda concluida en una primera aproximación al problema. lo acepte como propio. el tipo más importante de actividades debido a la riqueza tan grande que ofrece al estudiante. pero dependiendo del grado de avance y el objetivo de aprendizaje. o no. la actividad perdió toda su riqueza como medio y fin de aprendizaje. admite varias vías de aproximación y posiblemente varias soluciones. especialmente el profesor. imaginación y creatividad. Es. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 48 . pero para ello es necesario que cuando se le proponga un problema. terminar por ser nosotros quienes resolvamos el problema que ya no fue.3 . Así. podemos desesperarnos y en nuestro afán de ayudarles. el alumno puede generar criterios para decidir cuándo está resuelto el problema. Desde luego tampoco hay que dejar a nuestros alumnos solos esperando simplemente a que terminen el problema. es decir que se olvide que el problema se lo propuso el profesor y que se concentre en la búsqueda de su solución. tal vez. Es posible que nuestros alumnos no estén acostumbrados a resolver problemas. o hasta varios cursos y exige esfuerzo mental. En todo momento está presente la discusión y argumentación matemáticas. sin embargo también es una de las más difíciles de implementar. es potencialmente soluble. quizás varias clases. un buen problema no es paralizante. es generador de conjeturas y preguntas. Debemos estar al pendiente de que la discusión que se tenga corresponda a los objetivos de aprendizaje identificados en la planeación. planteamos preguntas y damos sugerencias a los equipos de acuerdo al trabajo desarrollado por cada uno. Nuestra participación es como la de los alumnos. sin que perdamos el control de la sesión. Hay fichas sobre esto en los MAPOA. ese es el resultado”. propongan procedimientos para resolver la situación propuesta. Hay que pedirles a los equipos que las utilicen cuando sea pertinente. Hay que solicitarles que recorten copias de las fichas. para poder consultarlas con facilidad. que en lugar de impulsar el aprendizaje. todo el grupo. Empiecen de nuevo”. y. También se describen estrategias heurísticas que llegan a ser muy útiles al resolver problemas. Si tenemos claro cuáles son los objetivos de la sesión y la manera de lograrlo. Una sesión completa de resolución de problemas consta de tres momentos: la resolución de la actividad. es decir. además de anticipar dificultades en los alumnos. lo lleven a cabo y lleguen a resultados. debe validar las soluciones discutidas.Los MAPOA son importantes para cuando los alumnos resuelven problemas. Y es que más adelante. Nosotros hacemos recomendaciones para la organización del trabajo de los equipos. Al trabajar en equipo es más fácil que los alumnos comenten sus dudas. Una sesión de resolución de problemas Para aprovechar de la mejor manera las posibilidades de aprendizajes y desarrollo de habilidades en los alumnos es necesario preparar cuidadosamente las sesiones de resolución de problemas. El trabajo en equipo no deja de tener riesgos. La importancia de esto en una sesión de resolución de problemas se manifiesta cuando nos enfrentamos ante la necesidad de improvisar durante la instrumentación. los anexos y la retroalimentación. instrumentar y evaluar las actividades llevadas a cabo en el curso. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 49 . Debemos evitar expresiones como “Están bien. debemos solicitar la palabra al equipo que dirige la discusión. Un documento especialmente importante para resolver problemas es La Heurística de Schoenfeld. En él se describe una estrategia sistemática que facilita resolver un problema. En la presentación y discusiones de las soluciones elegimos a dos o tres equipos para que presenten y discutan ante los demás sus soluciones. Unos minutos antes de que pase un equipo les avisamos para que se organicen. en la presentación y discusión de las soluciones. Para crear las condiciones propicias para el logro de aprendizajes y desarrollo de habilidades en los alumnos necesitamos planear. En la resolución de la actividad los alumnos trabajan en equipo y escriben al mismo tiempo el reporte de su trabajo. “Están mal en su resultado. En cada momento el equipo que se encuentra al frente es quien dirige la discusión. Conviene que tengamos este escrito a la mano para no perder oportunidad de comentarlo cuando se resuelven problemas e identificar y destacar estrategias heurísticas que se utilizan. es más fácil improvisar sin que se pierdan los objetivos de la actividad. es decir. no nosotros. que las enmiquen y que siempre las tengan a la mano. lo dificulte. la presentación y discusión de las soluciones. el trabajo realizado en el primer momento y lo • vinculan con la discusión general Evalúan su trabajo y el otros equipos • Comenta con los estudiantes sus reportes de sesiones anteriores Define. la próxima actividad propicia de resolver ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 50 . de acuerdo a los resultados. obtenidos. individualmente. Tercer momento Los anexos y la retroalimentación Los estudiantes • • El profesor Retoman. si se les solicita.Los momentos de una sesión de trabajo Primer momento La resolución de la actividad Los estudiantes • • • El profesor Trabajan por equipo o individualmente sobre la actividad propuesta por el profesor Elaboran un reporte por escrito en donde se registre el proceso de • • solución Organiza la presentación oral de sus soluciones a todo el grupo de • estudiantes • • S elecciona la actividad de aprendizaje propicia a resolver en esa sesión Propone y organiza la actividad de aprendizaje Hace preguntas y sugerencias al estudiante de acuerdo a lineamientos preestablecidos Atiende el trabajo de todos los equipos Decide el orden de presentación de las soluciones. Segundo momento La presentación y discusión de soluciones Los estudiantes • • El profesor Presentan. su solución al resto del grupo Intervienen en la presentación de las soluciones de los otros estudiantes con el propósito de validarlas como grupo • • Selecciona a los equipos y el orden de presentación Dirige la discusión de las soluciones según el objetivo de la actividad . la solución de referencia y el precepto de evaluación) y el análisis posterior de la situación. que requiere más de dos horas de trabajo antes de discutirlo provechosamente. el manejo sucesivo de la actividad dentro del salón de clases hará que esta historia del problema se constituya en un saber propio de nosotros los profesores. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 51 . Problema: Consta de un enunciado en el que se describe la situación y lo que se quiere que haga y responda el alumno. Aún cuando un primer análisis puede ser muy rudimentario. problemas con guía y proyectos En las actividades de aprendizaje se habla de problemas. este tipo de actividades se trabaja en equipo y es recomendable al introducir de manera deliberada alguna herramienta matemática en particular. problemas con guía y proyectos. el guión de discusión. Todas ellas comparten la misma idea de problema que mencionamos en los párrafos anteriores. III. Expliquemos la diferencia que hay entre ellas. aun cuando el problema y las instrucciones requieran una interpretación. Aquí sólo destacamos la importancia del contraste entre el análisis previo que se concreta en los documentos de la planeación (los lineamientos para la interacción con los equipos. debido a que preparan al estudiante en herramientas heurísticas importantes y generan confianza al trabajar en equipo. I. Mencionamos algo más sobre los problemas con guía. También el tiempo estimado para discutirlo provechosamente es después de una a dos horas de haberlo trabajado. o problema con guía. contiene un cuestionario o una secuencia de pasos que le permiten al estudiante seguir avanzando en el problema. II. En la introducción de este Libro del Profesor se tienen comentarios más amplios sobre la planeación.En los anexos y la retroalimentación los alumnos evalúan su trabajo y el de otros equipos. las formas de comprensión y el uso de las matemáticas que hacen los alumnos. En realidad las tres actividades son problemas. Es posible que el estudiante tenga que generar él mismo los datos y una parte importante del trabajo la tenga que hacer fuera del salón de clases. Problema con guía: Además del enunciado. instrumentación y evaluación. usualmente de situaciones sencillas a otras más complejas. hay que evitar que los estudiantes trivialicen la actividad. Como en los problemas y proyectos. El tiempo estimado para discutirlo provechosamente es después de una o dos horas de haberlo trabajado. Debemos vigilar el progreso de los equipos durante su tiempo de trabajo y destacar la importancia de los pasos que se sugieren dentro del contexto del problema. La resolución de problemas con guía permite que se pueda llegar a resolver el problema planteado siguiendo una serie de pasos establecidos. además de que se les solicita que de manera individual entreguen de un anexo del problema tratado y discutido. Proyecto: Es un problema. Esta comparación entre lo esperado y lo obtenido proporciona los elementos para la elaboración de la historia del problema que nos permitirá hacer un registro cada vez más robusto de las interacciones posibles. Problemas. resumiéndola a una serie de procedimientos matemáticos o a contestar exclusivamente los puntos que el cuestionario está estableciendo. Hay que recordar que la experiencia de aprendizaje puntualiza cuestiones en las que el estudiante debe profundizar. En el curso de Geometría y Trigonometría hemos considerado un tipo especial de problemas: las Construcciones y las Demostraciones, que se le sugiere a los estudiantes incorporar a su portafolios en una sección de ‘Conjeturas y Teoremas’. Estas actividades de aprendizaje, según lo ha descrito Chazan, permiten el desarrollo de algunas habilidades particulares y requieren de un cambio de creencias. Catálogo de Habilidades • La habilidad de verificación. Los estudiantes deben aprender a usar los datos para verificar proposiciones o aportar contraejemplos; decidir qué mediciones u operaciones son importantes para convencernos y convencer a los demás (aquí hay una oportunidad de contribuir a la comprensión de la expresión condiciones suficientes); desarrollar y organizar formas de presentar los datos. • La habilidad de formular conjeturas. Los estudiantes deben aprender a usar sus conocimientos anteriores y sus observaciones para formular conjeturas; distinguir entre las conjeturas interesantes y aquéllas que carecen de interés, planteándose preguntas como: ¿Se ha establecido esta conjetura anteriormente? ¿Es la conjetura una consecuencia directa de algún resultado conocido? ¿Es generalizable esta conjetura? • La habilidad de generalización. Los estudiantes deben aprender a reconocer cuando una conjetura está subgeneralizada y se puede generalizar; cambiar el tipo de datos o condiciones en un problema para plantear nuevas preguntas y al cabo desarrollar conjeturas más generales. • La habilidad de demostración. Los estudiantes deben aprender a decidir cuando una proposición requiere una prueba o demostración; extraer «lo que está dado» de un dibujo o construcción y «lo que se quiere probar» de una conjetura para construir proposiciones de la forma sientonces; construir pruebas informales de proposiciones por medio de marcas en los dibujos que denoten las condiciones necesarias o por medio de algún código funcional; hacer secuencias de conjeturas para facilitar la redacción de las pruebas. • La habilidad de comunicación. Los estudiantes deben aprender a trabajar en equipo, lo que requiere que respeten las opiniones ajenas pero que estimulen explícitamente el pensamiento de los otros. • Escribir reportes que resuman su trabajo, individualmente y por equipos, lo que implica las habilidades de: Hacer secuencias de conjeturas; traducir las ideas que ellos creen verdaderas en conjeturas escritas que sean inteligibles para el lector; ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 52 escribir pruebas tanto formales como informales. Creencias sobre la GEOMETRÍA Las habilidades anteriores pueden contribuir a que los estudiantes comprendan y lleguen a creer algunas ideas importantes para la formación de una actitud que propicie un verdadero quehacer matemático. • No se ha creado o descubierto toda la matemática. • Los estudiantes pueden crear, descubrir o hacer matemáticas —otros pueden haber encontrado anteriormente los resultados, pero esto no debe menguar el gozo de la invención. • Las mediciones jamás pueden demostrar una proposición matemática, en particular geométrica. Las mediciones tienen una precisión limitada: dos cantidades pueden tener medidas iguales pero su relación geométrica puede no ser de igualdad, lo mismo que dos cantidades pueden tener medidas distintas pero su relación geométrica puede ser de igualdad. En contraste con las mediciones, una buena demostración nos asegura que, dentro del sistema aceptado de definiciones, postulados y teoremas, una relación geométrica particular puede ser de igualdad exacta. • Hay semejanzas y diferencias relativas a los significados de las palabras definición, postulado, axioma, conjetura, observación y teorema. • La formulación de definiciones y postulados implica una elección. Los matemáticos toman estas decisiones. En la geometría euclidiana, estas elecciones determinan cuáles proposiciones son teoremas y el orden en que se pueden demostrar. Cuando una clase se torna en una «comunidad de discentes» esta comunidad puede crear sus propias definiciones y tomar sus propias decisiones. • Una demostración de una proposición, que una vez demostrada se convierte en teorema, prueba que «lo que se quería demostrar» o la conclusión es verdadero para todos los dibujos que satisfagan «lo que está dado» o la hipótesis de la proposición; las mediciones que se realicen sólo pueden proporcionar la verificación en un ejemplo particular. Una buena demostración te asegura que no has sobregeneralizado. • En la geometría de bachillerato, una buena demostración explica por qué es verdadera una proposición, no sólo que es verdadera, relacionándola con el material previamente conocido. Una buena herramienta para la comprensión es un paquete de geometría dinámica, hay varios, tanto comerciales como de uso gratuito, que pueden utilizar. Vale la pena que busquemos incorporar estos paquetes en nuestro trabajo con los alumnos haciendo un esfuerzo para que por lo menos una sesión de dos horas semanales la realicemos en el aula de cómputo. A continuación presentamos varios ejemplos de problemas, problemas con guía y construcciones. La intención es mostrarte cómo podemos explotar la riqueza como medio de aprendizaje que tiene un problema, a partir de un análisis cuidadoso del mismo. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 53 Ejemplo de problema: “El progreso del peregrino” Enunciado La posición inicial del triángulo equilátero ABP, de lado a, se muestra en la figura. El triángulo se mueve, girando con respecto a uno de sus vértices, en el sentido positivo convencional, dentro del cuadrado ACDE, de lado 2a. Calcula la longitud del recorrido que hace el punto P desde su posición inicial hasta que el mismo punto P vuelve a ocupar exactamente su posición original. Solución El sentido positivo convencional es el contrario al de las manecillas del reloj. Así que el primer giro será de 30°, o de π radianes, con respecto al punto A. 6 Rotación 1: 30 ° con respecto a A. El vértice peregrino pasa de P0 a P1. Rotación 2: 120° con respecto a P. El vértice peregrino pasa de P1 a P1. En la figura se ilustran los dos primeros giros. Se requieren ocho giros para que el triángulo ocupe la posición que tenía al principio, pero el vértice peregrino P no regresa a su posición original. Registramos en una tabla los giros y los desplazamientos del vértice peregrino. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 54 Advertimos entonces que después de dar una segunda vuelta P ocupará la posición que tenía originalmente A y será al concluir la tercera vuelta que P regresará a la posición que ocupaba originalmente. De los cinco arcos. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 55 . En los ocho giros que ha realizado el triángulo. B la de P y A la de B. el vértice peregrino P ha recorrido cinco arcos y en tres no se ha desplazado porque ha sido el centro de la rotación. el triángulo ocupa la posición original pero el vértice peregrino P. Como habíamos anticipado P ocupa la posición de A. 12 6 Registramos de la misma manera que la primera.Rotación 1: 30 ° con respecto a A Rotación 2: 120° con respecto a P Rotación 3: 30° con respecto a B Rotación 4: 120° con respecto a A Rotación 5: 30° con respecto a P Rotación 6: 120° con respecto a B Rotación 7: 30° con respecto a A Rotación 8: 120° con respecto a P P0 a P1 P1 a P1 P1 a P2 P2 a P3 P3 a P3 P3 a P4 P4 a P5 P5 a P5 Al cabo de esta vuelta. tres son de 30° y dos de 120°. la segunda y la tercera vueltas: Rotación 9: 30° con respecto a B Rotación 10: 120° con respecto a A Rotación 11: 30° con respecto a P Rotación 12: 120° con respecto a B Rotación 13: 30° con respecto a A Rotación 14: 120° con respecto a P Rotación 15: 30° con respecto a B Rotación 16: 120° con respecto a A P5 a P6 P6 a P7 P7 a P7 P7 a P8 P8 a P9 P9 a P9 P9 a P10 P10 a P11 Al realizar la Rotación 16. B la de A y A la de P. no. es decir (2πa ) . o bien πa . que comprende ocho giros. P ocupa la posición que tenía B. que equivale a un arco 11 11 de 330°. Rotación 19: 30° con respecto a A. el vértice peregrino P ha recorrido seis arcos y en dos no se ha desplazado porque ha sido el centro de la rotación. P12 a P13. 2 Rotación 17:30° con respecto a P. o 4 5 bien πa . es decir (2πa ) . De los seis 5 arcos. P15 a P16. Rotación 24: 120° con respecto a B. P13 a P13. Rotación 21: 30° con respecto a B. P11 a P11. Rotación 18: 120° con respecto a B. P15 a P15. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 56 . que equivale a un arco de 450°.En los ocho giros que ha realizado el triángulo. tres son de 30° y tres de 120°. Rotación 20: 120° con respecto a P. P11 a P12. Rotación 23: 30° con respecto a P. P13 a P14. P14 a P15. Rotación 22: 120° con respecto a A. es decir (2πa ) . el triángulo ocupa la posición original con el vértice peregrino P en su posición original. La suma de ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 57 .Al realizar la Rotación 24. En los ocho giros que ha realizado el triángulo. sumamos los arcos: Hay 3 de 30° y 2 de 120| en la primera vuelta. el vértice peregrino P ha recorrido cinco arcos y en tres no se ha desplazado porque ha sido el centro de la rotación. es decir. dos son de 30° y tres de 120°. o 6 7 bien πa . 8 8 10 y es de circunferencia. que equivale a un arco de 420°. De los cinco 7 arcos. Así el progreso total del peregrino es 12 3 3 10 20 (2πa ) . Hay 2 de 30° y 3 de 120° en la tercera vuelta. Que en grados corresponde a un arco de 330° + 450° + 420° = 3 3 1200°. 3 El progreso del peregrino en sus tres vueltas: Puesto que un arco de 30° es la doceava parte de la circunferencia de radio a y 120° es la tercera parte de la misma circunferencia. o bien πa . tres vueltas de 360° cada una. más 120°. Hay 3 de 30° y 3 de 120° en la segunda vuelta. 1. 7.3 E2. Estrategias Organiza la información en una tabla Busca el patrón de cada elemento 10. 7.2 Ambientes computacionales (Paquete de geometría dinámica) 5. 2. Producto 6.4 E4.1 Salón de clases o 3. Estándares NCTM E1. Representaciones 8.3 Actitudinales A3. Tiempo 50 minutos 6. Herramientas tecnológicas 4. E3. Modalidad de trabajo 2.1 Textual→ 8.1 E6 E7 E8 E9 E10 8. Evaluación Evaluación del reporte individual incluyendo las construcciones realizadas pulcramente con juego de geometría o con algún paquete de computadora.2 Tabular 9. C2. E3. C7. P4. P9.1.1 Reporte de RP 7.7 Circunferencia y círculo. Referencias curriculares 7.6 Polígonos. 2. Experiencia de aprendizaje 1.1 Individual 2.Formato para la clasificación de problemas Título El progreso del peregrino 1.3.5 Geométrica→ 8. CBEB C1. Evaluación de la presentación.1 Contenidos 7.2 Equipo (parejas) Parejas con reporte individual 3. C3..2 aula de cómputo 4.4 Propiedades del triángulo.1.1. Observaciones En la discusión es importante aplicar la estrategia de formulación de problemas ¿Qué pasaría si . P3.? para dar lugar a la identificación de los patrones y a la formulación de conjeturas.1 Juego de geometría 4. A13. A9.2 Procedimentales P2..1 Conceptuales 2. Lugar de realización 3.1 Resolución de problemas 2. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 58 .1 E3. según el enunciado.8c + 0. Así.3d d = 0.3d). ¿cuántos clientes habrá en cada tienda en ese momento? Resuelve el mismo problema suponiendo que al principio hay 500 clientes en cada tienda y observando cómo evoluciona la situación mes por mes.2c y el número de clientes que dejan de comprar en El laberinto de Dédalo es 0.3d 0.3d 0. sabemos que c + d = 1000. Solución 2 de la primera parte: El número de clientes se estabiliza cuando de un mes a otro ya no cambian. ¿Qué ocurre si se suponen otros datos iniciales. La gruta de Calipso y El laberinto de Dédalo que compiten por 1000 clientes potenciales. etcétera? Solución 1 de la primera parte: «El número de clientes en cada miscelánea se estabiliza cuando el número de los que dejan de comprar en una miscelánea es igual a los que vienen a comprar de la otra» El número de clientes que dejan de comprar en La gruta de Calipso es 0.2c último mes c = 0.7d + 0.2c pero c + d = 1000 c = 600 y d = 400 ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 59 . además.2c = 0.2c 0. El número de clientes en cada miscelánea se estabiliza cuando el número de los que dejan de comprar en una miscelánea es igual a los que vienen a comprar de la otra. 700 clientes en una miscelánea y 300 en la otra. por ejemplo.2c = 0. En cambio.7d + 0. pero. de los clientes de El laberinto de Dédalo. el otro 30% se va a La gruta de Calipso. La gruta de Calipso c El laberinto de Dédalo d penúltimo mes 0.8c + 0.3d (0. así que.Ejemplo de problema Dédalo y Calipso Enunciado En una ciudad chica hay dos misceláneas.3d = 0. mientras que el 20% restante prefiere irse al El laberinto de Dédalo. c = 600 y d = 400. Cada mes. 80% de los clientes de La gruta de Calipso queda satisfecho y regresa a comprar ahí mismo. sólo 70% queda satisfecho. después de hacerse una idea de la situación: (1) Traducir la condición de estabilidad a una expresión algebraica y encontrar la respuesta. en principio. numérico. Las sugerencias se concentran entonces en: ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 60 . Si bien se puede pensar en otros tipos de representaciones.Hay otras soluciones posibles. que pueden sugerir el límite. (2) Poner a funcionar la situación y explorar las tendencias. En este problema hay. La gráfica puede dar indicios del modelo exponencial. dos formas de enfrentarlo. las soluciones previstas transitan entre los registros textual. como la aplicación aritmética de las relaciones o la identificación de la progresión geométrica sin llegar a considerar el caso de cualquier distribución de la clientela inicial. algebraico y gráfico. asíntota. insistir en la necesidad de hacer un plan para obtener los elementos necesarios para formular una explicación matemática global de la situación.hacer explícitas las interpretaciones durante la lectura. La discusión grupal como un espacio de aprendizaje con características propias: el trabajo en los equipos prepara a todos . decreciente. el papel de los recursos. sacar conclusiones. La representación gráfica para dar una idea global: creciente. Interacción modelo–situación. Una vez comprendido el funcionamiento de la situación. verificar los cálculos para evitar errores de ejecución). Las ideas de tendencia. (La matriz como un objeto adecuado para representar el proceso) Las estrategias que se aplicaron. Si algún equipo permanece en las exploraciones aritméticas. Algunos callejones sin salida que se pueden evitar con preguntas adecuadas son: los errores de interpretación en los porcentajes. hasta que tengan una representación más o menos clara de la situación (una parte se queda y otra parte se va). se les puede sugerir que exploren la tendencia de cada clientela y traten de identificar el patrón (una estrategia pertinente puede ser la de indicar las operaciones aritméticas que realizaron y que organicen la información de una forma que les ayude a revelar su estructura). Indagar el comportamiento a partir de valores distintos. de aproximación. se le puede sugerir que consideren los casos extremos y que hagan algunas conjeturas explícitas sobre las tendencias en cada caso. la asociación con una hipérbola al identificar el comportamiento asintótico de las clientelas. Lo discreto y lo continuo. la situación y su funcionamiento. dale sentido a la situación. Una vez superada esta fase (recomendar la validación explícita de la interpretación de la situación y de los resultados obtenidos al ponerla a funcionar. ponla a funcionar) a que se supere la primera fase de comprensión del texto. Lineamientos para la actuación de los profesores durante el trabajo en equipo Contribuir mediante preguntas (acerca de la interpretación que hacen) y sugerencias (consulta las fichas y la tabla de heurísticas. Si ya encontraron la situación estable. Necesidad de vincular matemáticamente la evolución de la situación y su estabilización. de límite. hay que insistir en que se vincule con el funcionamiento de la situación y se formule una explicación matemática global (ya sea la relación recursiva o la progresión geométrica). ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 61 . La progresión geométrica. la organización eficaz de la información que resulta.para incorporar las distintas soluciones. Guión de la discusión Explotar la evolución de la situación y su estabilización. la identificación de las estructuras de las operaciones que se realizan. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 62 . soluciones de otros equipos. Uso de estrategias que fortalezcan la comprensión. . . las conclusiones y la idea del problema como generador de problemas. Aprendizajes matemáticos y aprendizaje de la resolución de problemas. Para explotar estas posibilidades es necesario adoptar una actitud adecuada. . para evaluarlas como más elegantes. Calidad de la verbalización. que enriquezcan la discusión. . Sugerencias: Valorar su propio trabajo aun cuando la solución sea parcial. ¿qué pasaría si no .?. procedimientos. explicar con otras palabras un razonamiento ajeno.. La aceptación de los argumentos de sus compañeros en el equipo sin necesidad de un aval externo. . Atención en los anexos individuales a las distintas soluciones que puede tener un problema. . Uso de diversos registros de representación en sus intervenciones. hacer esquemas de los planes y de los argumentos.para plantearse preguntas nuevas sobre la situación. Cuestionamientos más precisos. Atención activa durante la presentación de las soluciones de otros equipos. como tratar de comprobar los resultados. Destacar los aprendizajes logrados en esta fase de discusión y contrastarlos con los de las fases anteriores. Soluciones en las que se transite por varios registros de representación.para formular problemas nuevos. Atención explícita en los anexos individuales a los aspectos relacionados con la comprensión. Uso flexible del esquema básico de comunicación (emisor-mensaje-receptor).para avanzar en las generalizaciones. Uso de estrategias de formulación de problemas nuevos: ¿Qué pasaría si . Intervenciones para solicitar la justificación de los resultados. Soluciones más consistentes en los anexos individuales comparados con los reportes del equipo.para contrastarlas. resultados. procedimientos y argumentaciones expuestos. la planeación. .? Apropiación de términos. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 63 . encontramos que: ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 64 . 2 4 Si comparamos los perímetros y las áreas de ambas figuras. V3 l2 l3 P3 P2 A V1 P1 l1 • V2 Formula algunas conjeturas sobre las relaciones de los perímetros y las áreas de ambas figuras y verifícalas. l3. construye un triángulo equilátero circunscrito a ella. en la circunferencia C1 de tal manera que determinen arcos de 120°. Llámalos C1 y T1. P3. de donde. l2.Construcciones 6 • Inscripción y Circunscripción. P1. P1. P3. • Dada una circunferencia de 4 cm de radio. 3lr 3l 2 = . respectivamente. Se construye una tangente a la circunferencia por cada uno de estos puntos. Las relaciones se basan en que la apotema del triángulo T1 es el radio de la circunferencia C1. que se llaman l1. P2. l = 2 3r . Se construyen tres puntos. El punto de intersección de cada par de tangentes es un vértice del triángulo equilátero T1 circunscrito a la circunferencia C1. P2. dado que AT 1 = 2 3r AC1 4 ( ) 2 y que AC1 = πr 2 . rA = 3 3 π V3 Perímetro1V 2 V 3 = 41.133 Área p1 50. • Inscribe un triángulo equilátero T4 en la circunferencia C3.138 C1 (Área V 1 V 2V 3 ) (Área p1) P3 = 1.265 2 A Radio p1 4. rP = π PC1 rA = AT 1 3 .65 P2 Circunferencia 25. • Inscribe una circunferencia C2 en el triángulo T2. • Inscribe una circunferencia C3 en el triángulo T3.000 V1 P1 V2 • Inscribe un triángulo equilátero T2 en la circunferencia C1. • Inscribe un triángulo equilátero T3 en la circunferencia C2. • Calcula las razones de las áreas y los perímetros de T4 a T1.569 T1 (Perímetro V1 V 2V 3 ) (Circunferencia p1 ) = 1.rP = PT 1 3 3 .65 Área 2 1 V 2V 3 = 83. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 65 . dado que PT 1 = 3(2 3r ) y que PC1 = 2πr . 00 P' 2 T2 P3 P2 T T3 S Z T4 W A X U P' 3 C3 Y V C2 P'' 3 C1 V1 V2 P1 • Formula otras conjeturas de carácter más general sobre las relaciones de los perímetros y las áreas de las figuras que trazaste. ♦ Si el triángulo T1 está circunscrito a la circunferencia C1 que a su vez está circunscrita al triángulo T2.138 2 = 8. Las conjeturas se formulan a partir de tres relaciones: Un triángulo equilátero dado y el triángulo equilátero inscrito en la circunferencia inscrita en el triángulo dado tienen una razón de semejanza 2:1.569 2 Área 1 V 2V 3 = 83. Algunas conjeturas: ♦ Si el triángulo T2 está inscrito en la circunferencia C1 que a su vez está inscrita en el triángulo T1. entonces la razón del perímetro de T1 al perímetro de T2 es 2. El radio de la circunferencia inscrita en un triángulo es la apotema del triángulo.V3 Perímetro XYZ5.299 (Perímetro V 1V 2 V 3 ) (Perímetro XYZ) (Área V 1V 2 V 3) (Área XYZ) Perímetro1V 2 V 3 = 41. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 66 .00 T1 = 64. entonces la razón del área de T1 al área de T2 es 2.196 Área XYZ 1. El radio de una circunferencia circunscrita a un triángulo es dos tercios de la altura del triángulo. Además. por lo que el triángulo T1 es equilátero. T 3 . el incentro y el circuncentro son el mismo punto. el baricentro. es 2 P2 P3 El baricentro determina en cada mediana dos segmentos cuya razón es 2:1. al realizar la construcción. T 2 . Si un triángulo es equilátero. y si se juzga pertinente justificar. 2 PT 1 PT 1 PT 1 ♦ La sucesión de las áreas de los triángulos inscritos es una sucesión 1 geométrica cuyo primer término es AT1 y cuya razón es . tanto el correspondiente a las conjeturas que demostraste como a las que refutaste. Los puntos de intersección de cada par de tangentes son los vértices del P2 triángulo equilátero T1. V3 Si un triángulo es equilátero la razón de su lado a su altura 3 . ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 67 . 4 Demuestra o refuta tus conjeturas y haz un reporte que incluya todo el proceso. Un argumento razonable para esta etapa de la construcción.. La construcción: Se determinan tres arcos de 120° en la circunferencia y por V3 ellos se trazan tangentes a la circunferencia. T 4 . el ortocentro. P3 La justificación: A Dado que las tangentes son perpendiculares al radio en el punto de tangencia y que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero convexo es 360°.• ♦ La sucesión de las razones de los perímetros de los triángulos inscritos al perímetro del triángulo T1 es una sucesión geométrica de P P P 1 razón . . Hay algunas proposiciones que se pueden usar. Lo mismo vale para los vértices V1 y V2. A Si en un triángulo equilátero T1 se consideran los puntos medios de sus lados como vértices de otro triángulo T2. el círculo circunscrito a T2 es el círculo inscrito en T1. es decir.. por lo que P3V3P2 mide 60°. V1 P1 V2 entonces T1 y T2 son semejantes con razón entre sus lados 2:1. los ángulos P2AP3 y V1 P1 V2 P3V3P2 son suplementarios. .. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 68 . . 3/4. y así sucesivamente. forman una progresión geométrica con razón ½. forman una progresión geométrica con razón ¼. 3. 3/8. Las áreas de los triángulos que se construyen considerando los vértices en los puntos medios de un triángulo dado.V3 P2 P3 V1 P1 V2 Los perímetros (los elementos lineales) de los triángulos que se construyen considerando los vértices en los puntos medios de un triángulo dado. 3/2. y así sucesivamente. Se escoge uno cualquiera. Una vez que se tienen los tres puntos se trazan las mediatrices de los segmentos que los unen. El punto de intersección de las mediatrices es el centro del círculo. Si una cuerda es común a varios círculos. • Traza varias circunferencias que pasen por P y por Q y marca con tinta los centros de estas circunferencias. • Traza un segmento PQ de 5 cm de longitud. Se requiere un tercer punto para construir un círculo.Construcciones 8 • Un lugar geométrico. entonces la mediatriz de la cuerda pasa por el centro de todos los círculos que la tienen como cuerda. R5 R4 R3 R2 R1 O5 O4 S4 S3 S2 S1 S5 O3 O2 O1 P M Q • Formula conjeturas en la forma «si-entonces» y trata de probarlas. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 69 . • Traza un segmento PQ de 5 cm de longitud. R7 R8 R9 R10 R11 R6 R12 R5 R13 R14 R4 R15 R3 R16 R17 R2 R1 R18 R19 Q P R' 19 R' 18 R' 1 R' 17 R' 2 R' 16 R' 15 R' 3 R' 14 R' 4 R' 13 R' 5 R' 12 R' 6 R' 7 R' 8 R' 9 R' 10 R' 11 ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 70 . • Otro lugar geométrico.El lugar geométrico de los centros de los círculos que pasan por los extremos de un segmento dado es la mediatriz del segmento. • Usa tu escuadra 30-60-90 para trazar muchos triángulos PQR que tengan un ángulo opuesto al segmento PQ de 30° y marca el vértice R de cada uno de estos triángulos. • Usa tu escuadra 45-45-90 para trazar muchos triángulos PQS que tengan un ángulo opuesto al segmento PQ de 45° y marca el vértice S de cada uno de estos triángulos. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 71 . R6 R7 R8 R9 R10 R11 R12 R5 R13 R14 R4 R15 R3 R16 R5 R2 R8 R9 R10 R11 R6R7 R12 R13 R14 R4 R17 R3 R1 R18 R15 R2 R16 R17 R19 P Q R1 R' 19 R18 R19 R' 18 R' 1 P Q R' 17 R' 19 R' 18 R' 2 R' 16 R' 15 R' 3 R' 14 R' 4 R' 13 R' 5 R' 6 R' 12 R' 1 R' 17 R' 2 R' 16 R' 15 R' 3 R' 4 R' 5 R' 7 R' 8 R' 9 R' 10 R' 11 R' 6 R' 7 R' 8 R' 9 R' 12 R' R' 1011 R' 14 R' 13 • Usa tu escuadra 30-60-90 para trazar muchos triángulos PQT que tengan un ángulo opuesto al segmento PQ de 60° y marca el vértice T de cada uno de estos triángulos. • Usa tu escuadra 30-60-90 para trazar muchos triángulos PQU que tengan un ángulo opuesto al segmento PQ de 90° y marca el vértice U de cada uno de estos triángulos. • Traza un triángulo de lados 6. • Otra de triángulos. 9 y 12. descríbelas. • Localiza los puntos medios de dos de sus lados y traza un segmento que los una.R R R R R R7 8 9 10 11 R R5 6 R12 13 R4 R14 R3 R15 R16 R2 R17 R1 R18 R19 P Q R'19 R'18 R'1 R'2 R'17 R'16 R'15 R'14 R'3 R'4 R'5 R' R'13 R' R'11 12 R'9 R'10 6 R'7 R' 8 • Formula conjeturas en la forma «si-entonces» y trata de probarlas. calcula sus perímetros y áreas y compáralos. • El triángulo queda dividido en dos regiones. C E A D ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor B Hoja 72 . ¿en qué razón están? Conjetura y explica. C I H A F ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor G B Hoja 73 . Conjetura y argumenta.• Haz una indagación parecida a la anterior pero ahora parte de la trisección de los dos lados. m:n? • Incluye el reporte. con PER.• Dado el triángulo de lados 6. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 74 . 2:3. 1:3. • ¿A qué altura se debe trazar una paralela a la base para que el triángulo quede dividido en dos regiones de áreas iguales? C J K M A B L • ¿A qué alturas se deben trazar paralelas a la base para que el triángulo quede dividido en cinco regiones de áreas iguales? • ¿A qué altura se debe trazar una paralela a la base para que los perímetros de las dos regiones sean iguales? C J K M A B L • ¿A qué altura se debe trazar una paralela a la base para que las áreas de las dos regiones que resultan estén en razón 1:2. 9 y 12. 1:4. en tu portafolios. Las cometas y sus propiedades (Traducción de "Investigating Properties of Kites". ¿qué tienen que cumplir las cometas para que sean convexas ó cóncavas? 3. ¿qué cuadrilátero se forma? 4. Charles Vonder Embse (Central Michigan University) Arne Engebretsen (Grendale High School) Se dice que una cometa es un cuadrilátero que cumple las siguientes condiciones: • Sus lados son iguales dos a dos • Los lados iguales son consecutivos 1. Comprueba si cumplen las propiedades mencionadas anteriormente y busca propiedades que tengan estas figuras y no las cometas. Comprueba que la construcción es correcta. 2. Dibuja casos particulares de cometas como el cuadrado o el rombo. "Explorations for the Mathematics Classroom II") Using TI-92 GEOMETRY. Dibuja una cometa y calcula el valor de su área. mueve los puntos libres del dibujo y observa que la figura sigue siendo una cometa. Construye de varias formas diferentes una cometa. 6. ¿Existe alguna relación entre el área y las diagonales de una cometa? Comprueba tu conjetura ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 75 . Si se unen los puntos medios de los cuatro lados de una cometa. Dibuja las diagonales de una cometa y observa propiedades que tienen. En función del tipo de construcción elegida. Texas Instruments. Para ello. Comprueba si estas propiedades lo son también para las cometas cóncavas 5. El cuadrilátero que se forma uniendo los centros de los círculos y los puntos de intersección es una cometa b) Construir un segmento y su mediatriz. Se forma una cometa. a) ¿Qué relación hay entre el área de la cometa y el área del rectángulo? b) ¿Cómo cambia esta relación a medida que los puntos E y G se mueven? c) ¿Cuál es el valor máximo del área? d) ¿Cuánto vale el perímetro de la cometa cuando ésta cambia bajo las mismas condiciones? e) Si el perímetro cambia. 7. Inscribe en un rectángulo ABCD una cometa EFGH de manera que H y F sean los puntos medios de los lados AD y BC. Marcar dos puntos diferentes sobre la mediatriz y unir estos puntos con los extremos del segmento. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 76 . ¿cuál es su valor mínimo? Solución 1. Construir Cometas Esta actividad debe hacerse en grupos para dar más ideas a) Construir dos círculos que se corten.haciendo modificaciones en la cometa y observa que se mantienen las propiedades. Marca estos puntos de intersección. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 77 . Dibuja la recta que pasa por los otros dos extremos de los segmentos. Los cuatro segmentos dibujados forman una cometa. El polígono formado al unir estos cuatro es una cometa. Construye los segmentos simétricos de los iniciales respecto de la recta. Los pares de lados iguales de los dos triángulos forman una cometa. Dibuja una recta paralela a dichos lados que corte a los otros dos o sus prolongaciones en otros dos puntos. d) Dibuja dos segmentos que tengan en común un extremo.c) Construir dos triángulos isósceles que tengan en común la base. Marca los puntos medios de dos de sus lados. e) Haz un rectángulo. 2. El cuadrilátero que se forma al unir los puntos medios de los lados de una cometa es para cualquier caso un rectángulo. 3. En función de los métodos empleados en la actividad anterior. d) Cuando los extremos no comunes de los segmentos están en el mismo lado con respecto a la perpendicular trazada desde el extremo común a la recta de simetría. ésta será cóncava si: a) Los centros de los círculos están en el mismo lado del segmento que los puntos de intersección. f) Cuando la altura sobre el lado que hace de eje de simetría no corta a dicho lado sino a una extensión del mismo. e) Cuando la recta paralela corta. c) Cuando los dos terceros vértices de los triángulos están a un mismo lado de la base. no a los lados. Los otros dos lados junto con sus simétricos forman una cometa. b) Los dos puntos de la mediatriz están a un mismo lado del segmento. sino a las extensiones de los mismos.f) Dibuja un triángulo. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 78 . Haz el triángulo simétrico respecto uno de sus lados. para dibujar una cometa. Explorar 6. 5. es decir. 4. En consecuencia. la diagonal que une el tercer vértice de uno de los triángulos con el del otro. Busca propiedades de estas figuras que no sean propiedades de las cometas. la otra diagonal. Los segmentos medios de los triángulos formados por la diagonal de la cometa son paralelos a la base (diagonal) y por tanto paralelos a cada lado. las diagonales son perpendiculares. Esta propiedad se cumple para las dos diagonales y los dos pares de segmentos paralelos.Dibuja cada diagonal de la cometa. Todas las propiedades de las cometas son también propiedades del rombo y del cuadrado. por lo explicado anteriormente. Una de las formas con que hemos definido la cometa es como los lados de dos triángulos isósceles. es la mediatriz de la base. Las diagonales de una cometa son siempre perpendiculares. El área de una cometa es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales. Observa el siguiente dibujo: ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 79 . ya que estas figuras son casos particulares de las cometas. que tienen en común la base. Si se utiliza esta definición. y el paralelogramo formado por los puntos medios es un rectángulo. cuando la cometa se convierte en un triángulo. cuando la figura sea un rombo. el área de estas figuras es la mitad del cuadrado de la diagonal. sea cualesquiera la ubicación del vértice de la cometa que se mueve a lo largo del lado del rectángulo.En el caso particular del rombo y del cuadrado como cometas. es decir. Se hará mínimo cuando estos vértices se encuentren en los puntos medios del rectángulo. El perímetro cambiará a medida que E y G se muevan. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 80 . 8. El área de la cometa es la mitad del área del rectángulo. es decir. 7. Una nube de puntos de los diferentes perímetros de EFGH en función de la longitud AE describirán una curva elíptica con el máximo cuando E coincida con A y D. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 81 . el punto es del plano. esto no significa que se deba olvidar esto y que permanezca la idea de que en la geometría se tienen varias propiedades.. A continuación te presentamos una secuencia que podría seguirse (y completarse) para presentar a la geometría como un cuerpo coherente de conocimientos. puntos coplanares … Postulado del Plano: Para cada tres puntos no colineales. etc. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 82 . el plano contiene al punto. o por BA . Definición. unas interesantes y otras no tanto. el plano pasa por el punto. en los cuales se aprecia la relación y dependencia de unos con otros. existe un plano único que los contiene. o la recta está en el plano” 5. Secuencia para abordar los Teoremas de Geometría Términos no definidos: 1. Postulados y Teoremas Iniciales: Definición. Espacio es … Definición. Punto 2. Postulado de la Recta: Dados dos puntos distintos recta que los contiene. Figura geométrica plana es cualquier colección de puntos en el plano. el punto es de la recta.” para puntos sobre una recta. la recta pasa por el punto. La relación “estar entre. Notación: A − C − B significa que C está entre A y B Definiciones. en donde sólo algunas están relacionadas entre sí. Sin embargo. Puntos colineales …. o la recta l está contenida en el plano Ω. Recta 3.En el curso de Geometría y Trigonometría se busca que el alumno valore y conozca el significado e importancia de lo que es una construcción y una demostración. n. Pero.. Plano 4. Relaciones de Incidencia: “El punto A está en. “El plano Ω contiene a la recta l . t . o por l. representada por A y B cualesquiera. la recta contiene al punto. o está en. “El punto A está contenido en. o pertenece a la recta l ” Equivalencias: El punto está sobre la recta. el plano Ω ” Equivalencias: El punto está sobre el plano. difícilmente en el tiempo disponible es posible presentar la Geometría como un sistema axiomático completo y coherente en donde cada afirmación (teorema) sea demostrado. existe sólo una A B . Q son puntos distintos. Una recta y un punto que no esté sobre ella determinan un único plano (demostración directa).. De tres puntos colineales. lo hacen en un solo punto (demostración indirecta). Postulado. existe siempre otro punto A y B. D tal que B está entre Definición. Q le corresponde un número real positivo llamado la medida o longitud del segmento P Q y representado por Postulado. Si P. Definición: Rectas concurrentes…. .. entonces determinan un plano que las contiene (demostración directa). Teorema. Teorema. exactamente uno de ellos está entre los otros dos. Dos figuras geométricas se intersectan si… Teorema. Postulado de la Construcción de Segmentos: Para cada número real positivo λ y para todo rayo PQ . entonces se cumple .. el extremo del rayo es P . existe un único punto R de PQ tal que m PR = λ ( ) Postulado de Adición de Segmentos: Si el punto que ( ) ( ) ( ) L está entre m AL + m LB = m AB ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 83 A y B . Si una recta y un plano se intersectan y la recta no está contenida en el plano. Si dos rectas distintas se intersectan. Notación: PQ Definición: Rayos opuestos son aquellos que. Si dos rectas distintas se intersectan.. entonces la recta está contenida en el plano. Postulado. Dados dos puntos distintos A y B . el rayo o semirrecta de P a Q es.Postulado. siempre existe otro punto A y D. C situado entre Definición. entonces su intersecciòn es un solo punto (demostración indirecta). Dados dos puntos A y B . Notación: PQ o QP Postulado de la Regla: A cada par de puntos distintos P. Teorema. ( ) m PQ . Q es... Si dos puntos de una recta están en un plano. El segmento con extremos P. Definición. Definición. Segmentos congruentes son aquellos que... Notación: AB ≅ PQ Definición. Punto medio de un segmento... Definición. Una recta, o rayo, o segmento PQ biseca al segmento AB si... Postulado de la Separación del Plano: Si l es una recta contenida en el plano Γ , el conjunto de puntos del plano que no pertenecen a l consiste de dos figuras o regiones geométricas que no tienen puntos comunes y que satisfacen las siguientes condiciones: a) Si dos puntos pertenecen a la misma región, el segmento que determinan no intersecta a l . b) Si dos puntos pertenecen a regiones distintas, el segmento que definen intersecta a l. Definición. Cada una de las dos regiones citadas en el postulado de separación del plano se llaman semiplanos; la recta l es el borde o arista de cada semiplano. Definición. Dados los rayos distintos OA y OB , el ángulo con vértice O y lados OA y OB es la figura geométrica que consiste de todos los puntos sobre los dos rayos. Notación: ˆ B ò BOA . ˆ ∠AOB, ò ∠BOA, ò AO Definición. Ángulo llano o de lados colineales... Definición. El interior de un ángulo no llano es...; el exterior del ángulo es... Postulado del Transportador: A cada ángulo no llano ∠BAC le corresponde un único número real positivo entre 0 y 180, llamado la medida del ángulo en grados, lo que se representa por m( ∠BAC ) . Todo ángulo llano mide, por definición, 180 grados. Postulado de la Construcción de Ángulos: Sea OA un rayo contenido en el borde del semiplano Σ y µ un número entre 0 y 180, existe un único rayo OP , contenido en Σ , para el cual m( ∠POA) = µ . ˆ Postulado de la Adición de Ángulos: Si P es punto interior del ángulo ABC , entonces se ˆ ˆ ˆ verifica que m ABP + m PBC = m ABC . ( ) ( ) ( ) Definición. Ángulos congruentes... Notación: ∠LAM ≅ ∠PBQ Definición. Bisectriz de un ángulo no llano... Definición. Una recta biseca al ángulo ABC si... ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 84 Definición. Ángulos adyacentes...; ángulos opuestos por el vértice...;ángulos complementarios…; ángulos suplementarios...; ángulo agudo..., recto...y obtuso... Propiedad: La congruencia entre segmentos y entre ángulos es reflexiva, simétrica y transitiva. Definición. Dos ángulos forman un par lineal si... Postulado del Par Lineal: Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios. Teorema. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes (demostración directa) Definición. Dos rectas son perpendiculares si... Definición. Dos rectas son paralelas si están contenidas en el mismo plano y... Congruencia de Triángulos. Propiedades del Triángulo I Definición. Triángulo…, vértices…, lados…, ángulos interiores…, ángulos exteriores…, el interior y el exterior de un triángulo… Definición. Triángulo isósceles…, equilátero…, escaleno…, acutángulo…, obtusángulo…, rectángulo…, base y ángulos de la base…, ángulo vertical…, catetos…, hipotenusa… Definición. Correspondencia biunívoca entre los vértices de dos triángulos…, lados homólogos…, ángulos homólogos … Definición. Triángulos congruentes… Propiedad. La congruencia entre triángulos es reflexiva, simétrica y transitiva. Postulado de Congruencia LAL (Lado-Ángulo-Lado). Postulado de Congruencia ALA (Ángulo-Lado-Ángulo). Postulado de Congruencia LLL (Lado-Lado-Lado) Definición. Mediatriz de un segmento… Teorema (de la Mediatriz): Si un punto cualquiera pertenece a la mediatriz de un segmento, entonces es equidistante de los extremos del segmento (demostración directa). Definición. Mediana…, altura…, mediatriz…y bisectriz de un triángulo. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 85 Teorema (del Triángulo Isósceles): Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos también son congruentes (demostración directa). Corolario. En todo triángulo isósceles, la bisectriz del triángulo correspondiente al ángulo vertical es también mediana y altura correspondiente a la base. Definición. Ángulo exterior de un triángulo… Teorema (del Ángulo Exterior): La medida de cualquier ángulo exterior de un triángulo es mayor que la medida de cada ángulo interior no adyacente a él (demostración indirecta). Paralelismo y Perpendicularidad. Teorema. En un plano dado, si se considera una recta y un punto que le pertenezca, entonces existe en ese plano una única recta que pasa por dicho punto y es perpendicular a la recta dada (demostración directa). Teorema (Recíproco del Teorema de la Mediatriz): Si un punto equidista de los extremos de un segmento, entonces el punto pertenece a la mediatriz del segmento (demostración directa). Teorema. Por un punto que no está en una recta dada, pasa al menos una perpendicular a esa recta (demostración directa). Teorema. Por un punto dado fuera de una recta, pasa solamente una perpendicular a dicha recta (demostración indirecta). Teorema. Dos rectas contenidas en un plano son paralelas si éstas son perpendiculares a otra recta incluida en el mismo plano (demostración indirecta). Teorema. Por un punto que no pertenezca a la recta l , pasa al menos una recta paralela a l (demostración directa). n que es Postulado (de Playfair): Por un punto que no pertenezca a una recta dada. pasa una y sólo una recta paralela a la dada. Teorema. Si l | | t y m | | t , entonces l | | m (demostración indirecta). Definición. Una transversal o secante a dos recta es… Definición. Ángulos alternos internos… Teorema (AIP): En un sistema de dos rectas cortadas por una transversal, si dos ángulos alternos internos son iguales entonces las dos rectas son paralelas (demostración indirecta). ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 86 Definición. dos ángulos correspondientes de la misma pareja son congruentes. la suma de las medidas de los tres ángulos de cualquier triángulo es igual a 180 °. entonces tales rectas son paralelas (demostración directa). ángulos contiguos y opuestos…. Paralelogramos Definición. Si en un sistema de dos rectas y una secante de ellas. entonces las dos rectas son paralelas (demostración directa). En todo triángulo. Teorema. En todo triángulo. al lado con mayor longitud se opone el ángulo con mayor medida (demostración indirecta). Teorema. Teorema (Recíproco del Teorema del Triángulo Isósceles): Si dos ángulos de un triángulo son congruentes. Corolario. Teorema.Teorema (PAI): Si dos rectas son paralelas y son cortadas por una transversal. La distancia de un punto a una recta es… Teorema (de la Bisectriz). ángulos alternos externos…. Si dos ángulos de un triángulo no son congruentes. Teorema (de la Desigualdad del Triángulo): En cada triángulo.. vértices contiguos y opuestos….. todo lado tiene una medida menor que la suma de las medidas de los otros dos lados (demostración directa). entonces los lados opuestos son congruentes (demostración indirecta). entonces los ángulos alternos internos son congruentes (demostración indirecta). Paralelogramo…. Si dos lados de un ángulo no son congruentes. entonces los dos ángulos son congruentes (demostración directa). la medida de cada ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos interiores que no le son adyacentes (demostración directa). Teorema. Propiedades del Triángulo II Teorema. Si dos rectas intersectadas por una secante determinan ángulos correspondientes congruentes. El segmento de menor longitud que une un punto con una recta es aquel que se traza perpendicular del punto a la recta. Teorema. Ángulos correspondientes. Si los lados de un ángulo agudo son perpendiculares respectivamente a los lados de otro ángulo agudo. Todo punto sobre la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo (demostración directa). diagonales… ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 87 . Teorema. lados contiguos y opuestos….. al ángulo con medida mayor se opone el lado con mayor medida (demostración indirecta). Definición. Teorema (de Tales): … (demostración directa).Definición. Definición. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 88 . Postulado de Semejanza LAL (Lado-Ángulo-Lado)… Postulado de Semejanza AAA (Ángulo-Ángulo-Ángulo) Postulado de Semejanza LLL (Lado-Lado-Lado) Teorema (de Proporcionalidad): Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo e intersecta a los otros dos en puntos distintos. entonces separa a estos lados en segmentos proporcionales (demostración directa). Teorema. entonces el cuadrilátero es un paralelogramo (demostración directa). Teorema. Rectángulo…. Si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes. Los lados opuestos y los ángulos opuestos de cualquier paralelogramo son congruentes. rombo… Teorema. cuadrado…. simétrica y transitiva. Triángulos semejantes son aquellos que… Teorema. Corolario. La semejanza de triángulos es reflexiva. Teorema (Recíproco del Teorema de Proporcionalidad): Si una recta corta a dos lados de un triángulo en segmentos proporcionales. Cada diagonal de un paralelogramo descompone a éste en dos triángulos congruentes (demostración directa). Semejanza de Triángulos. Teorema. Si dos lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes y paralelos. Teorema (de Pitágoras): … (demostración directa). entonces es paralela al tercer lado (demostración directa). Las diagonales de un paralelogramo se bisecan (demostración directa). La altura correspondiente a la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo divide a éste en dos triángulos semejantes al original (demostración directa). el cuadrilátero es paralelogramo (demostración directa). Teorema. entonces se trata de un triángulo rectángulo (demostración directa). arco interceptado…. diámetro…. los centros y el punto de tangencia son colineales (demostración directa). Las bisectrices de un triángulo son concurrentes (demostración directa). ángulo inscrito…. Circunferencias exteriormente… tangentes interiormente…. punto interior…. entonces la recta es tangente a la circunferencia. si una recta es perpendicular a un radio de circunferencia en un punto de ésta. Si dos circunferencias son tangentes. La medida de un arco menor es… Postulado de la Adición de Arcos: Si P es un punto de QR entonces m(QP) + m( PR) = m(QR) ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor y no coincide con los extremos. Circunferencia con centro en C y radio λ es… Definición. Ángulo central…. En el mismo plano. circunferencias tangentes Teorema. La mediatriz de cualquier cuerda de circunferencia pasa por el centro de ella (demostración directa). Teorema. punto de tangencia…. circunferencia inscrita a un triángulo… Teorema. punto exterior de una circunferencia… Definición. Hoja 89 . tangente…. Si una recta es tangente a una circunferencia. secante…. Definición. entonces pertenece a la bisectriz del ángulo citado (demostración directa). Si en un triángulo sucede que el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados. Circunferencia. entonces es perpendicular al radio que se trace al punto de tangencia (demostración indirecta). Teorema (Recíproco del Teorema de la Bisectriz): dado un punto en el interior de un ángulo. (demostración indirecta) Teorema. si dicho punto es equidistante de los lados del ángulo.Teorema (Recíproco del Teorema de Pitágoras). Las mediatrices de un triángulo son concurrentes (demostración directa). Definición: Circunferencia circunscrita a un triángulo…. arco mayor… Definición. arco menor…. Teorema. Teorema. Definición. Cuerda…. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es ángulo recto. Si θ es la medida en radianes de un ángulo central. Corolario. entonces θ = R Teorema (del Ángulo Inscrito): La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad de la medida del arco interceptado (demostración directa). Un ángulo mide un radián si… Teorema. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 90 .Definición. R el radio de la L circunferencia y L es la longitud del arco interceptado. Ejercicios El libro Álgebra con aplicaciones de Phillips. En la clase se pueden hacer comentarios y recomendaciones sobre lo que se lee. Una de las competencias básicas del estudiante de bachillerato es aprender por sí mismo. pero esta articulación suele estar ya incluida en el algoritmo. "Lo que hace el profesor en la clase es repetir lo que viene en el libro" es un comentario que no se aplica para este Libro. Ante la actitud de un estudiante de no esforzarse ni comprometerse con lo que lee en un libro. además de caracterizar cierto tipo de situaciones que le permiten resolver ejercicios sin grandes dificultades. En un ejercicio puede requerirse una articulación de registros de representación. en la rutina o en el esquema. lápiz y calculadora a la mano. Puede ser laborioso. además de que no basta con una lectura para que comprendamos lo que ahí se dice. No busca una reconceptualización de los conocimientos sino la frecuentación de una vía ya abierta. ‘Conozcamos mejor nuestros libros de texto’ fue diseñada con este propósito. Butts y Shaughnessy. Además. se toman como textos en el Libro del estudiante. Su esquema metafórico es la suma no la integración. hay que señalarle que cuando se lee un libro de matemáticas usualmente es con papel. Es importante realizarla en las primeras semanas del curso. generalmente hace poco tiempo. Vale la pena recordar algunas características de un ejercicio. Simplemente es una actividad que tienen que hacer fuera del salón de clases. pero no explicar lo que debieron leer los alumnos. incluida en los MAPOA. La administración de los conocimientos y procedimientos no es compleja.4 . la adquisición de una destreza. Un libro de texto sirve para este propósito. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 91 . Cuando un estudiante aprende cómo organizar su aprendizaje. se reduce a organizar las llamadas a una serie de procedimientos ya hechos. La actividad. no necesariamente sencillos. El alumno debe conocerlo y estudiar otros temas de acuerdo a sus necesidades. esto le permite enriquecer sus recursos y que esté en mejores condiciones para enfrentar problemas. Hay que mencionarles que no somos los profesores los que debemos decirles cada una de las cosas que deben aprender. Este trabajo es para que lo haga cada estudiante de tarea. Es conveniente señalarles a los alumnos que este trabajo con el libro de texto no esa actividad menor o muy sencilla. En el primer bloque se tienen explicaciones de temas y ejercicios y en el segundo bloque ejercicios para que los alumnos los resuelvan. para la primera unidad y de Geometría y Experiencias de Bertrán y García para la segunda unidad y de Trigonometría de Selby para al tercera unidad. pero esto no significa que el resto de libro de texto no sirva y que está de más. En el Libro se señalan páginas que deben trabajar. Para cada unidad se señalan pares de bloques de páginas. raramente difícil. se hace independiente y responsable de sus aprendizajes. Los más complejos pueden requerir la combinación de varios procedimientos con destrezas específicas. Un ejercicio está fuertemente relacionado con un algoritmo o rutina. A partir del trabajo con el libro de texto el alumno aprende y ejercita procedimientos. de acuerdo a sus necesidades y gustos. Los ejercicios complementarios aparecen organizados de tal manera que se pueden utilizar como un medio de monitoreo. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 92 .sino que ellos mismos. de los avances de los alumnos. individual o por equipo. deben agregar otros temas de lo indicado por nosotros. x= 2(x+2) =7(x-2). x= . 1 logb(9)= .6% al año.016t) miles de millones de personas. x= Despeja t en cada una de las ecuaciones siguientes. log10(10000)=L. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 93 . 3x=60.Ejercicios Complementarios Nombre Grupo Fecha Escribe la expresión exponencial equivalente a la expresión logarítmica dada. 2 log625(5)=L. El mundo contiene 10 mil millones de acres de tierra cultivable. L= N= b= L= log2(N)=8. ¿Cuánto tardará el 75 % de una muestra en decaer? Se requiere un cuarto de acre de tierra para proporcionar alimento a una persona. logb(125)=3. la población t años después de 2000 está dada por P(t)=6e(0. x= log(x2)=3. log6(N)=3. 5 N= Resuelve las ecuaciones siguientes. ¿Cuándo dejaría de ser suficiente la tierra cultivable para alimentar a la población del mundo? Justifica tu respuesta. N= b= L= log 2 ( N ) = 4 . Si suponemos que la población continúa creciendo a una tasa de 1. x= e-x=6. Escribe los números que aparecen en las expresiones como potencias de primos y aplica las leyes de los exponentes para encontrar lo que se pide. x= log(x2+2x)=1. log13(169)=L. R − t V I = (1 − e L ) R t= S= 1 − rt 1− r t= El radio tiene una vida media de 1620 años. la potencia del sonido como variable independiente. En una hoja de papel milimétrico o cuadriculado haz una tabla. log17(289)=L. 1 logb(9)= . x= e-x=6. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 94 . con su gráfica correspondiente. y N. logb(64)=3.9 100 ( H= ) 1 − rt S=a 1− r t= ¿Cuánto debe aumentar la potencia de un sonido para que la intensidad del sonido se duplique? Ilústralo con una gráfica en la que se precisen las escalas de los ejes (I. Escribe los números que aparecen en las expresiones como potencias de primos y aplica las leyes de los exponentes para encontrar lo que se pide. x= .2 30W 0.37 − 100 + 1. 1 N = 100 log H − 32. 2 Log343(7)=L. x= log(x+15)+log(x)=2. x= 3(x+1) =5(x-1). L= N= b= L= log2(N)=10. la intensidad del sonido en decibeles. N= b= L= log 2 ( N ) = 4 . x= Despeja lo que se pide en cada una de las ecuaciones siguientes. x= 22x+32=12*2x. Al principio del año pagó 5500 pesos. 5 N= Resuelve las ecuaciones siguientes. como variable dependiente). ¿En cuánto tiempo se duplicarán sus pagos? ¿En cuánto tiempo se triplicarán sus pagos? Escribe la expresión exponencial equivalente a la expresión logarítmica dada. se incrementarán 12% cada mes. de lo que pagará una empresa chica durante los próximos dos años si tiene un consumo mensual aproximadamente constante. log10(1000000)=L. 5x=1650. Escribe la función que da sus pagos (y) en función del tiempo (x). Log5(N)=3. para no aumentarlas súbitamente.Nombre Grupo Fecha Se acordó que las tarifas de energía eléctrica. Las instrucciones deben ser lo suficientemente precisas para que una máquina pueda seguirlas. En el cuarto. 6 y 7 cm. mide En la parte posterior. construye cuatro triángulos de lados 5. La altura correspondiente a la hipotenusa divide a ésta en dos a 1 p segmentos p y q. Si = . En el tercero. el ortocentro. formado uniendo dos vértices consecutivos con el centro.Nombre Grupo Fecha Si el radio de un círculo se incrementa en un 100 %. adyacentes a a y a b. entonces la razón de la nueva circunferencia al nuevo diámetro es: [A] π + 2 [B] π + 1 2 [C] π − 1 2 [D] π − 4 [E] π [F] π + 4 [G] 2(π + 2) La suma de todos los ángulos interiores de un polígono convexo regular es 1080°. el área queda aumentada en [A] 66. Entonces este polígono tiene vértices y diagonales. respectivamente. Cada ángulo central. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 95 .67% [B] 100% [C] 150% [D] 200% [E] 300% [F] 400% [G] ninguna En un triángulo rectángulo a y b son catetos. entonces la razón es: b 4 q 1 1 1 1 1 1 1 [F] [G] [A] [B] [C] [D] [E] 4 6 8 16 2 2 6 Si el radio de un círculo se incrementa en dos unidades. En el segundo. el incentro. o en una hoja aparte. Debajo de cada construcción escribe los pasos que seguiste para localizar el punto correspondiente y sus propiedades. En el primero construye el circuncentro. el baricentro. Según esto. La altura del edificio Si el fuego se halla en el sexto piso y cada Si inclinan la escalera hasta que el que alcanzará la piso tiene 6 m de altura. ¿se podrá rescatar a primer peldaño se encuentre a 36 cm escalera es: los enfermos que allí se encuentran? del suelo. El área del terreno en términos de ‘p’ es: [A] 3 p2 p2 9 p2 p2 4 p2 [B] [D] [E] [F] 2 [C] 6 p [G] 3 p 2 64 9 32 18 9 El lado mayor de un triángulo es 8/5 del lado menor y éste es 5/6 del lado mediano. la altura que alcanzará la Explica. escalera es: ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 96 . determina la longitud de los tres lados. la razón de la altura del triángulo al lado del cuadrado es: 1 1 3 2 [B] [C] [E] [D] 1 [F] 2 [G] 4 3 4 2 2 Un terreno rectangular tiene el triple de largo que de ancho y está completamente cercado con ‘p’ metros de barda. [A] El baricentro de un triángulo se encuentra a 48 cm de uno de sus vértices. La longitud de la mediana correspondiente a dicho vértice es: A un incendio producido en un hospital acude la unidad de bomberos con una escalera de 48 m de longitud. que consta de 120 peldaños distribuidos uniformemente.Nombre Grupo Fecha La base de un triángulo es cuatro veces el lado de un cuadrado y las áreas de ambas figuras son iguales. Sabiendo que el perímetro es 38 dm. Al apoyar la escalera sobre la fachada del edificio se observa que el primer peldaño se encuentra a 30 cm del suelo. respectivamente. La altura con respecto a la hipotenusa mide: La proyección El ángulo del cateto mayor opuesto al cateto sobre la mayor mide: hipotenusa mide: El área del círculo circunscrito al triángulo es: Una joven quiere cambiar el foco de un farol situado en una pared a 5. ¿A qué distancia del punto donde las rectas se cortan ¿Qué distancia separa los centros de las dos se ajustará una circunferencia de 9 cm de radio? circunferencias? Si los catetos miden 9 y 12 21 y 72 16 y 30 7. con la ayuda de una escalera de 3.Nombre Grupo Fecha Sabemos que una circunferencia de 4 cm de radio se ajusta a dos rectas concurrentes a 15 cm del punto donde las rectas se cortan.9 56 y 105 La hipotenusa mide En un triángulo rectángulo los catetos miden 5 y 12.4 m de altura.2 y 8. La hipotenusa mide: El cateto menor El perímetro del El ángulo opuesto al El área del triángulo mide: triángulo es: cateto menor mide: es: ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 97 .25 m con el brazo extendido. ¿a qué distancia máxima de la pared ha de colocar el pie de la escalera para lograr su objetivo? El triángulo PQR está inscrito en una circunferencia. Si la joven puede alcanzar una altura de 2.5 m de longitud. Se sabe que el arco PQ mide 80° y el arco QR mide 160°. Los ángulos interiores del triángulo miden: Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa miden 21 y 63 cm. circunferencia. ¿Cuál es el área de la corona ¿Cuál es la razón del área de la circular determinada por ambas circunferencia circunscrita al circunferencias? área de la circunferencia inscrita? Llena la tabla siguiente si cada renglón se refiere al Un cuadrilátero está inscrito en una mismo arco de una circunferencia dada.25° ¿Cuánto mide el arco 32 120 que abarcan las prolongaciones de sus lados? Un parque de forma rectangular mide 1200 m de longitud y 900 m de anchura. respectivamente.2° y el arco comprendido por sus lados 38. Uno de sus ángulos Arco en Radio Ángulo Longitud Ángulo interiores mide 38°. Al parque lo atraviesan dos paseos de igual anchura que son perpendiculares. 36. ¿cuánto mide el grados central del arco inscrito ángulo opuesto a este ángulo? 108 15 Un ángulo interior a una circunferencia mide 53. Las diagonales de un rombo miden 15 y 36 cm. respectivamente y su altura. ¿Cuál es el área del trapecio? ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 98 .Nombre Grupo Fecha En un triángulo equilátero de 10 unidades de lado se inscribe una circunferencia y se circunscribe otra circunferencia. ¿Cuál es el área del círculo inscrito en el rombo? Las diagonales de un trapecio rectángulo miden 39 y 45 cm. Calcula la anchura de los paseos si el área total de estos paseos es 151875 m2. Los puntos resultantes se unen mediante segmentos que concurren en el centro como se indica en la figura. El área del cuadrado BEFD es: El área del cuadrado TUVW es El perímetro del cuadrado BEFD es Llena la tabla siguiente para comprobar el teorema de Euler con los poliedros que se señalan. El segmento UW es una diagonal del cuadrado TUVW. Poliedro Comprobación V C A Hexaedro Dodecaedro El perímetro del cuadrado TUVW es Las dimensiones del rectángulo ABCD son AB=20 m y AD=12 m. ¿cuánto mide su base? ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 99 . ¿Cuánto debe medir la cuerda con que se ata al burro? Cada lado de un rectángulo se divide en tres segmentos de la misma longitud. El valor de x es: En una mesa circular caben 24 personas y a cada persona le corresponde un arco de 1 metro. Los puntos U y W dividen la diagonal QS en tres partes iguales. ¿cuánto mide su altura? La altura de un rectángulo áureo horizontal mide 25 metros. ¿Cuál es el diámetro de esta mesa? Un pastizal en forma de triángulo equilátero está cercado. Encuentra sobre AB un punto P cuya distancia x=PA sea tal que el área del trapecio PBCD sea cuatro veces el área del triángulo APD.Nombre Grupo Fecha Cada lado del cuadrado ABCD mide 1 metro. El área del cuadrado PQRS es 1 metro cuadrado. ¿En qué razón se encuentran el área de la región blanca y el área de la región gris? La base de un rectángulo áureo horizontal mide 25 metros. En un punto de la cerca se va a amarrar a un burro de tal manera que se coma el pasto que cubre la mitad del área del pastizal. diámetro y giran sin patinar 3000 Esfera Radio Superficie Volumen vueltas? Construye un octógono regular y traza Inscrita dos diagonales que partiendo de un mismo vértice vayan a vértices consecutivos. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 100 . El área de la lúnula El área de la lúnula El área del triángulo menor es mayor es es Calcula el área de un trapecio circular cuyas bases abarcan 45° si se sabe que la suma y la diferencia de los radios de las circunferencias que lo determinan son 27 y 9 m. El lado del cuadrado mayor mide 80 unidades. Cada etapa consta de un triángulo rectángulo isósceles y los cuadrados de sus lados.Nombre Grupo Fecha El rectángulo ABCD está inscrito en la circunferencia. Calcula el volumen del sólido engendrado al girar un triángulo equilátero de altura 5 con respecto a uno de sus lados. respectivamente. El ángulo que forman Circunscrita mide: Un pastizal en forma de cuadrado está cercado. En la figura se muestran las tres primeras etapas del árbol pitagórico. La longitud del segmento EF es: El área del rectángulo ABCD es: El área de El área de las dos las cuatro primeras primeras etapas del etapas del árbol es: árbol es: ¿Qué distancia recorre un coche En un cubo de arista 80 se inscribe una esfera y se cuyas ruedas miden 90 cm de circunscribe otra esfera. En un punto de la cerca se va a amarrar a un burro de tal manera que se coma el pasto que cubre la mitad del área del pastizal. ¿Cuánto debe medir la cuerda con que se ata al burro? En el triángulo rectángulo aparecen las medidas de sus catetos. Si tiene 3 m de profundidad. En un punto de la cerca se va a amarrar a un burro de tal manera que se coma el pasto que cubre la mitad del área del pastizal. ¿cuántos litros puede almacenar? Fecha PU= VZ= ST= QR = PQ ST = PS UV = PU tg(WPZ)= QR = PR PQ = PR ST = PT PS = PT UV = PV PU = PV sen(UPV)= cos(QPR)= Se engendra un sólido al hacer girar el triángulo PWZ con respecto a su cateto menor. El volumen de este sólido es: Un pastizal en forma de hexágono regular de lado l está cercado. y una altura de 10m. ¿Cuánto debe medir la cuerda con que se ata al burro? ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 101 .Nombre El ángulo PQS mide: Grupo El ángulo PRS PQ= mide: Un depósito de agua tiene como sección un trapecio rectángulo de bases 20m y 16m. Nombre Grupo Protesilao construyó una resbaladilla de 3 metros de altura y 6 metros de base. La longitud de x es: La longitud de y es: t π sen(t) cos(t) tg(t) 3 π 4 π Un pastizal en forma de octógono regular de lado l está cercado.5 metros de altura sin modificar la base. tiene alrededor un jardín circular. ¿cuál es el área del jardín? Fecha Los segmentos que miden 31 y 14 son perpendiculares al que mide x. Ahora quiere aumentar 1. 7 y 7 metros. En un punto de la cerca se va a amarrar a un burro de tal manera que se coma el pasto que cubre la mitad del área del pastizal. ¿Cuánto debe medir la cuerda con que se ata al burro? ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 102 . El ángulo x mide: El ángulo y mide: Un pedestal tiene forma triangular con lados 5. Construye un triángulo que ilustre esta situación. El ángulo que forman las carreteras es de 72°. La longitud del segmento LK es: La longitud del segmento RK es: Mide el Calcula el ángulo en el valor del triángulo ángulo con que tu construiste: calculadora: El ángulo KHJ El ángulo KJH El ángulo JKH Dos automóviles parten de la intersección de dos mide mide mide carreteras rectas y viajan a lo largo de ellas con velocidades de 90 y 110 km/h. respectivamente.Nombre: Grupo: Fecha: El seno de un ángulo es 1/3. un rayo de luz de la lámpara L se refleja en un espejo al punto 0. sobre el horizonte? de 20 m? 150 100 El área de la región sombreada clara del triángulo rectángulo mide: 60 cm espejo x θ 30 θ 10 0 En la figura. Si la cafetera se pudiera llenar hasta el borde ¿cuántas tazas de café contendría? Un árbol proyecta una sombra ¿Cuál es la ¿Cuál será la longitud de la ¿Cuál será la elevación del de 48 m cuando el sol está a altura del árbol? sombra cuando el sol se sol sobre el horizonte cuando una elevación de 20° sobre el encuentre a una altura de 35° el árbol proyecte una sombra horizonte. ¿Cuánto mide θ ? L ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 103 . ¿Qué distancia separa a los automóviles El área del El perímetro del El área del después de 30 minutos? después de 1 hora y 15 triángulo JKH es triángulo JKH es triángulo PRK es minutos? Una cafetera de base circular se reduce uniformemente hasta la tapa que tiene un radio que mide la mitad del de la base. A la mitad de la altura de la cafetera hay una marca que dice «dos tazas». pues se pretende que en ellas los alumnos identifiquen la dimensión matemática que contiene y que buena parte de análisis se centre en ella. hay que acostumbrarlos a consultar diccionarios. En cada una de las escuelas se ha distribuido una serie de cinco videos con varios episodios de alrededor de 10 minutos cada uno. y discusión después. También puedes anticipar las inquietudes y preguntas de los alumnos. Nuestros alumnos requieren desarrollar habilidades más complejas que lo anterior. Elabora preguntas que puedes entregarlas a los alumnos antes de la lectura para que las respondan en su reporte o para que te sirvan como guía de la discusión. debes planear cada lectura antes de solicitarlas a los alumnos. Sin embargo para que resulte útil esta información es necesario desarrollar una actitud crítica y reflexiva de quien la recibe. No es así. Ahora se tiene información por todas partes: radio. Los artículos y películas que se señalan en el Libro deliberadamente no están muy cercanos a los temas del programa de álgebra. Ante las palabras que no conozcan sus significados. sino se aprenden y aplican procedimientos. También que donde aparezca una dimensión matemática. porque así se los hemos presentado. televisión. coherentes y lógicamente estructurados. la identifiquen y hagan uso de las matemáticas para comprender la lectura. En el portal de la AIM encontrarás las fichas de estos videos con algunas sugerencias para la elaboración del guión de la discusión que se puede generar para convertir ‘ver la televisión’ en una experiencia de aprendizaje efectiva de las matemáticas. Para nuestros alumnos es natural. se presenta en forma de tabla el contenido de cada video. Como en las demás actividades de aprendizaje. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 104 . periódicos. Lecturas La lectura primero. Estas habilidades no se desarrollan simplemente solicitándole a nuestros alumnos que lean y vean ciertos artículos y películas. sea por la argumentación que la acompañe. las lecturas son importantes. Es necesario que en las discusiones durante o posteriores a ellas se les señale la importancia de una revisión cuidadosa de su contenido y de los nuevos temas que surgen para una investigación posterior y que depende de cada uno de nosotros si lo hacemos o no. suponer que cada materia que estudian es independiente de las demás y que en matemáticas no se lee. especialmente nuestros alumnos. de un artículo (o el ver y escuchar una película) no tiene como finalidad presentarles a los alumnos un lado amable de las matemáticas y combatir con ello la llamada matematifobia de los alumnos. Debes ser cuidadoso de exigirles que cuando acepten una conclusión u otra. A continuación. que comprendan conceptos y sean capaces de fundamentar sus opiniones o conclusiones a partir de la elaboración de argumentos claros. Como las demás actividades de aprendizaje para los alumnos. revistas e Internet. Y una de ellas es que sean lectores críticos y reflexivos. Nuestros alumnos deben aprender a ser buenos lectores y para ello la ficha o guía que se tiene en los MAPOA sobre la lectura resulta especialmente útil.5. Esto también se aplica en la escuela. Mediante estas preguntas destacas los objetivos de aprendizaje que buscas lograr con la actividad. Una medida de belleza. A continuación te presentamos varios artículos de mediana extensión. Agua contaminada con petróleo. Detrás de la puerta principal. Un mesurado estilo de vida. Necesidad de datos. Datos en gráficas. 3. En general. Una cuestión de distribución. Encuesta aparte. Para una buena medida. Embotellamientos de tránsito. Lecturas para los profesores Desde luego no sólo a los alumnos le son provechosas las lecturas de diversos artículos. Panorama de cálculos. Un argumento circular. Campos de abundancia. Su lectura y discusión entre colegas enriquece la vida académica tan necesitada de consolidarse en nuestras escuelas. Una gota en el océano. Aprovechemos la guía para el control de la lectura que viene en los MAPOA. 2. Arriba y adelante. ¿Creería usted esto? ¿Cuál es la relación? Costo de los discos compactos. Si el zapato aprieta. Con tus compañeros elige otros que juzgues pertinentes para su discusión. Robots trabajando. Carrera nivelada.Videos de El Mundo de las Matemáticas 1. Un área de interés. Un suelo tembloroso. También a nosotros los profesores. La tragedia de los comunes. Lectura medida. En el interior de un estudio de grabación. Algo confuso. 4. Rescate. ¡Qué suerte! ¿Qué se puede esperar? ¿El mismo de nuevo? Reducir a escala. Altas esperanzas. Una incansable búsqueda. 5. Encontrando el camino. El valor del rostro. Un gran salto. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 105 . El valor de la limpieza. Picos gemelos. en teoría del control y optimación–. Traducción del Club de Matemáticas del CECyT Wilfrido Massieu. Cada gran descubrimiento abre nuevas áreas. mientras que los gigantes matemáticos del siglo XIX como Gauss y Poincaré tuvieron que depender más de lo que veían con los ojos de la mente. El número y la forma –aritmética y geometría– son sólo dos de los muchos medios en que los matemáticos trabajan. El énfasis escolar en la aritmética y la geometría está profundamente enraizado en esta perspectiva de varios siglos de antigüedad. es una disciplina estática basada en las fórmulas que nos enseñaron en las materias escolares de aritmética.C. 1990. las fronteras históricas de las matemáticas han ido desapareciendo. «Veo» tiene siempre dos significados distintos: percibir con el ojo y entender con la mente. New approaches to numeracy. ricas en potencial para exploraciones ulteriores. las matemáticas continúan creciendo a gran velocidad. La matemática. National Academy Press. las matemáticas ya no sólo tratan de la forma y el número sino acerca de todo tipo de órdenes y patrones. tanto con los ojos como con la mente. El sujeto de esta observación. la manufactura. Durante siglos la mente ha predominado sobre el ojo en la jerarquía de la práctica matemática. Ver y revelar patrones ocultos son las cosas que los matemáticos hacen mejor. La matemática se ha descrito tradicionalmente como la ciencia del número y la forma. una parte importante de la búsqueda de patrones del matemático está guiada por lo que uno realmente puede ver con los ojos. a medida que el territorio explorado por los matemáticos se ha expandido –en teoría de grupos y estadística. hoy el equilibrio se ha restaurado a medida que los matemáticos hallan formas nuevas de ver patrones. expandiéndose en campos nuevos y generando nuevas aplicaciones. de final abierto. Washington. Y lo mismo ha ocurrido con los límites de sus aplicaciones: ya no es sólo el lenguaje de la física y la ingeniería. de Benoit Mandelbrot sobre fractales. La matemática activa busca patrones donde quiera que aparecen. de Emmy Noether sobre álgebra abstracta y. entre los ejemplos se incluyen las ideas de Georg Cantor sobre conjuntos transfinitos. Las líneas que guían este crecimiento no son los cálculos y las fórmulas sino una búsqueda. álgebra y cálculo. Cuando se consideran en este contexto más amplio.’ Editor: Lynn Arthur Steen. el número de disciplinas matemáticas ha crecido exponencialmente. geometría. la matemática es hoy una herramienta esencial del comercio bancario. las ciencias sociales y la medicina.. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 106 . D. el cibernético Norbert Wiener. desde la perspectiva común. Gracias a las gráficas de computadora. más recientemente. En el último siglo. Pero. de patrones. de Alan Turing sobre la computabilidad. es uno de los muchos científicos excepcionales que rompieron las cadenas de la tradición para crear campos enteramente nuevos para la exploración de los matemáticos. «Vio más que el resto de nosotros». de Sonia Kovalevsky sobre ecuaciones diferenciales. Para el público estos campos nuevos de las matemáticas son tierra incógnita. Pero fuera de la vista del público.Patrones Lynn Arthur Steen Del libro ‘On the shoulders of giants. la investigación. Son las prácticas presentes y futuras de las matemáticas-en el trabajo. Las prácticas escolares típicas. Para preparar currículos de matemáticas efectivos para el futuro. se debe hacer un intento por prever las necesidades matemáticas de los estudiantes del futuro. de la mejor manera que podamos. la tecnología. necesitan aprender unas matemáticas distintas de las de sus antepasados. Las deficiencias señaladas en los informes actuales de la educación matemática también aportan razones de peso para el cambio. debemos observar los patrones de las matemáticas de hoy para proyectar. La cuestión clave de la educación matemática no es si enseñar los fundamentos sino cuáles fundamentos enseñar y cómo enseñarlos. enraizadas en tradiciones de varios siglos de antigüedad. las escuelas –entre otros– tendrán un gran impacto en lo que será posible hacer en las matemáticas escolares del siglo próximo. Los estudiantes que vivirán y trabajarán usando las computadoras como herramienta cotidiana. el álgebra y una espolvoreada de geometría son los fundamentos de las matemáticas. sencillamente no pueden preparar adecuadamente a los estudiantes para las necesidades matemáticas del siglo XXI. proporcionan una preparación sólida tanto para el mundo del trabajo como para los estudios avanzados en campos que se basan en las matemáticas. No sólo las computadoras. la ciencia.las que deben moldear la educación en matemáticas. Para desarrollar nuevos currículos de matemáticas efectivos. es verosímil.estructuras matemáticas específicas • números • algoritmos • razones • • • formas funciones datos ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 107 . Todos estos cambios afectarán los fundamentos de las matemáticas escolares. como muchos observadores a menudo señalan. precisamente lo que es y lo que no es verdaderamente fundamental.El cambio en la práctica de las matemáticas impone un reexamen de la educación matemática. los negocios y la tecnología. que uno se concentre primero en restaurar la fuerza de los fundamentos tradicionales antes de embarcarse en reformas basadas en los cambios que se han dado en las prácticas contemporáneas de las matemáticas. si se enseñan cuidadosamente y se aprenden bien. hay muchos otros aspectos en el sistema de fundamentos de las matemáticas-ideas profundas que nutren las ramas en desarrollo de las matemáticas. Sin embargo. la medición. Los cambios en la práctica de las matemáticas alteran el orden de las prioridades entre los muchos temas que son importantes para la cultura matemática (numerismo o alfabetismo matemático). El apoyo público para los currículos básicos fuertes refuerza la sabiduría del pasado –que las matemáticas escolares tradicionales. Las matemáticas elementales En la tradición escolar se ha considerado que la aritmética. ya que los nuevos desarrollos se construyen sobre los principios elementales. Claro está que. Se puede pensar en: 1. Los cambios en la sociedad. sino también las aplicaciones y teorías nuevas han expandido significativamente el papel de las matemáticas en la ciencia. comportamientos • movimiento • caos • resonancia • iteración • • • • • • apreciar la belleza sentido de realidad estabilidad convergencia bifurcación oscilación 7.2. actitudes • • desear saber significar 6. dicotomías • discreto vs continuo • finito vs infinito • algorítmico vs existencial • estocástico vs determinista • exacto vs aproximado Estas distintas perspectivas ilustran la complejidad de las estructuras que sustentan las matemáticas. acciones • representar • controlar • probar • descubrir • aplicar 4. Desde cada una de estas perspectivas se pueden identificar varias líneas que tienen el poder de desarrollar una idea matemática significativa desde las intuiciones informales de la primera infancia a lo largo de toda la escuela y la universidad hasta la investigación científica y matemática. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 108 . atributos • • • • • lineal periódico simétrico continuo • • • 3. abstracciones • símbolos • infinito • optimación • lógica • • • • • • • • • aleatorio máximo aproximado liso o suave modelar experimentar clasificar visualizar calcular equivalencia cambio semejanza recursión 5. geometría. luego geometría. es necesario construir currículos con una mayor continuidad vertical. La matemática escolar se suele concebir como un conducto para los recursos humanos que fluye desde las experiencias infantiles hasta las carreras científicas. Como el colesterol en la sangre. incertidumbre. cada ensayo se apega al desarrollo de las ideas matemáticas de la niñez a la edad adulta.g. Los distintos aspectos de la experiencia matemática atraerán a los alumnos de intereses y talentos diferentes. El efecto de conjunto será desarrollar entre los alumnos intuiciones. Al expresar estas muy diferentes líneas del pensamiento matemático. Aunque no se restringe a los detalles particulares de los currículos actuales. para conectar las raíces de las matemáticas con las ramas de las matemáticas en la experiencia educativa del alumno. cómo pueden florecer las ideas elementales con raíces profundas en las ciencias matemáticas en las escuelas del futuro. cada una basada en experiencias infantiles adecuadas. en un lenguaje cotidiano. Además refuerza la tendencia a diseñar cada curso principalmente con la idea de cubrir los prerrequisitos del curso siguiente. Los padres hallarán un gran número de ejemplos de matemáticas efectivas e importantes que pueden estimular la imaginación de sus hijos. Para ayudar a los alumnos a ver claramente en sus propios futuros matemáticos. los autores ilustran ideales de cómo las ideas matemáticas se deben desarrollar en los alumnos. En contraste. álgebra) y las acomoda horizontalmente para formar el currículo: aritmética primero. luego más álgebra y por último -como si fuera el epítome del conocimiento matemáticocálculo. el flujo de los recursos humanos parecerá más el movimiento de nutrientes en las raíces de un árbol poderoso -o un torrente de agua de una cuenca amplia. Cada capítulo fue escrito por un distinguido estudioso que explica. Los encargados de desarrollar currículos encontrarán muchas opciones valiosas para las matemáticas escolares en estos ensayos. Cualquier obstáculo del aprendizaje. Las matemáticas escolares tradicionales recoge muy pocas líneas (e.Para lograr una educación sólida en las ciencias matemáticas es necesario que la persona tenga experiencias con prácticamente todas estas perspectivas e ideas diferentes. cada uno nutrido de ideas excitantes que estimulan la imaginación y promuevan la exploración. de los cuales hay muchos. En cada caso se explora una rica variedad de patrones a los que se pueden introducir en diversas etapas de la escuela. las matemáticas pueden tapar las arterias educativas de la nación. limita el flujo en toda la tubería. Cinco muestras Aquí se dan cinco ejemplos del poder de desarrollo de algunas ideas matemáticas profundas: dimensión. aritmética. luego álgebra sencilla. forma y cambio. Los estratos del currículo matemático corresponden a secciones cada vez más restringidos de tubería a través de la cual todos los estudiantes deben pasar si quieren progresar en su educación matemática y científica. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 109 . si los currículos de matemáticas desarrollan múltiples líneas paralelas. Quienes contribuyen a la planeación de las políticas educativas verán en estos ensayos ejemplos de nuevos estándares de excelencia. discernimientos y entendimientos matemáticos en distintas raíces de las matemáticas. Este enfoque de la educación matemática tipo pastel de capas impide el desarrollo informal de la intuición a través de las múltiples raíces de las matemáticas. cantidad. convirtiendo el estudio de las matemáticas en su mayor parte en un ejercicio de satisfacción retardada.que el confín cada vez más limitado de una arteria o conducto que se estrecha. estas líneas están llenas de acción: vaciar agua para comparar volúmenes. continuas. Las experiencias con cantidades geométricas (longitud. Las gráficas de diversos tipos proporcionan presentaciones visuales de las relaciones y las funciones. Conexiones Los ensayos de este libro fueron escritos por cinco autores diferentes sobre cinco temas distintos. con variación aleatoria (agujas giratorias. En otros casos es la simetría rota. LA SIMETRÍA es otra idea profunda de las matemáticas que aparece una y otra vez. contar dulces de colores para entender la variación. como en el crecimiento de los objetos naturales a partir de patrones repetitivos de moléculas o células. jugar con péndulos para explorar la dinámica. se usan ampliamente en la ciencia y la industria para retratar el comportamiento de una variable (e.g. volumen). sin cuestionarlos. caóticas) plantean todas ellas retos especiales para responder una pregunta muy infantil: «¿Cuán grande es esto?». Así no debe sorprender que los ensayos mismos estén repletos de interconexiones.En contraste con gran parte de las matemáticas escolares. la simetría raramente se estudia en algún nivel de la escuela. estilo y enfoque. muchos de los usos incorrectos de los números y las estadísticas.. la estructura de los cristales y el crecimiento de los organismos. construir calidoscopios para explorar la simetría. Las experiencias tempranas con patrones tales como volumen. tamaño y aleatoriedad preparan a los estudiantes para las investigaciones científicas y para las matemáticas más formales y lógicamente precisas. el alumno que se ha beneficiado de las experiencias matemáticas informales tempranas y sustanciales podrá decir con honesta satisfacción «Ahora veo por qué esto es verdadero». aunque es igualmente fundamental como un modelo para explicar aspectos de fenómenos tan diversos como las fuerzas básicas de la naturaleza. con cantidades aritméticas (tamaño. Uno ve. El primer paso del análisis de datos es la presentación visual de los datos para la búsqueda de patrones ocultos. (Pero con una guía adecuada. los niños chicos pueden hacerlo. semejanza. Los estudiantes que crecen reconociendo la complejidad de la medición pueden estar menos dispuestos aceptar. A pesar de las diferencias de tema. como en la flexión de un barra cilíndrica o el crecimiento de un huevo fertilizado a un animal adulto (ligeramente) asimétrico. a partir de muchos ejemplos. Algunas veces es la simetría de la totalidad. área. Así cuando una cuidadosa demostración surge en clase años después. puntuaciones SAT) y con variables dinámicas (discretas. volados. elemental y difícil. Gran parte de las matemáticas se pueden aprender informalmente mediante estas actividades mucho tiempo antes de que los alumnos lleguen al punto de entender las fórmulas algebraicas. A diferencia de la medición. usando un sencillo modelo de palillos) En otras ocasiones es la simetría de las partes. como en el hipercubo (un cubo tetradimensional). cuyas simetrías son tan numerosas que es difícil contarlas. rótulos). ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 110 . que esta pregunta es fundamental: es a la vez simple y sutil. estos ensayos tienen en común el linaje de las matemáticas: cada uno está conectado en múltiples formas con la familia de las ciencias matemáticas. Veamos algunos ejemplos: LA MEDIDA es una idea que se trata repetidamente en estos ensayos. orden. tanto en estos ensayos como en todas las partes de las matemáticas. LA VISUALIZACIÓN aparece recurrentemente en muchos ejemplos de este volumen y es una de las áreas de la investigación científica y matemática de crecimiento más rápido. Aprender a reconocer la simetría entrena el ojo matemático. tanto en la estructura profunda como en las ilustraciones particulares. eficiencia. velocidad. publicidad). Las conexiones dan a las matemáticas potencia y contribuyen a determinar lo que es fundamental. En gran parte motivados por la introducción de las computadoras. Muchos otros temas relacionados aparecen recurrentemente en este volumen. Durante siglos los artistas y los hacedores de mapas han usado artificios geométricos tales como la proyección para representar escenas y sitios tridimensionales sobre un lienzo u hoja de papel bidimensional.g. repetición. Como el telescopio de la era de Galileo (que hizo posible la revolución newtoniana) las computadoras de hoy desafían las visiones tradicionales y obligan a realizar un nuevo examen de los valores profundamente enraizados. Desde el punto de vista pedagógico. decaimiento. aplicaciones y métodos. LOS ALGORITMOS son recetas para efectuar cálculos que aparecen en todos los rincones de las matemáticas. la naturaleza y la práctica de las matemáticas se han transformado fundamentalmente por nuevos conceptos. El aprendizaje de la visualización de los patrones matemáticos incorpora el don de la vista como un invaluable aliado en la educación matemática. Aprender a pensar algorítmicamente constituye una parte importante de la cultura matemática básica (alfabetismo matemático) contemporánea. Las corrientes múltiples vinculadas por medio de interconexiones fuertes pueden desarrollar la potencia matemática en estudiantes que tienen una amplia variedad de entusiasmos y capacidades. las conexiones permiten que el discernimiento logrado en una corriente se vierta en otras. herramientas. caos. Incluso los algoritmos comunes de la escuela elemental para la aritmética adquieren una nueva dimensión cuando se consideran desde la perspectiva de las matemáticas contemporáneas: más bien que destacar el dominio de algoritmos específicos –que ahora realizan principalmente las calculadoras y las computadoras-las matemáticas escolares pueden enfatizar atributos más fundamentales de los algoritmos (e. Desde los tiempos de Newton las matemáticas no habían cambiado tanto como lo hicieron en los años recientes. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 111 . las matemáticas están siendo sometidas a una reorientación fundamental de sus paradigmas de procedimientos. la clasificación como una herramienta para la comprensión.ventas) que está en función de otra (e. En la actualidad las gráficas de computadora han automatizado estos procesos y nos permiten explorar también las proyecciones de formas en espacios de más dimensiones. Quienes elaboren los currículos matemáticos para el siglo XXI necesitarán una previsión parecida... la inferencia a partir de axiomas y –más importantemente– el papel de la exploración en el proceso de aprendizaje de las matemáticas. sensibilidad) que son esenciales para el uso inteligente de las matemáticas en la era de las computadoras. La exploración de patrones combinatorios en formas geométricas permite a los estudiantes proyectar las estructuras geométricas en dimensiones superiores donde no pueden construir modelos reales.g. Un procedimiento iterativo común para la planeación del crecimiento poblacional revela cómo aun sucesos ordenados de manera simple pueden conducir a una diversidad de comportamientos –explosión. incluyendo los vínculos de las matemáticas con la ciencia. La ampliación de la perspectiva Newton acreditó su extraordinaria previsión en el desarrollo del cálculo al trabajo acumulado por sus predecesores: «Si he visto más lejos que otros. se debe a que me apoyé en los hombros de gigantes». Como lo hicieron hace tres siglos en la transición de las demostraciones euclidianas al análisis newtoniano. • La dimensionalidad no es sólo una propiedad del espacio sino también un medio de ordenar el conocimiento.. Para crecer matemáticamente los alumnos se deben exponer a una abundante variedad de patrones adecuados a sus propias vidas. Al animar a los estudiantes para que exploren patrones que han demostrado su potencia y su significación. los patrones inventados por la mente humana e incluso los patrones creados por otros patrones. las acciones comunes (e. representar. • La repetición puede ser el origen de la precisión. sino la presencia de ejemplos significativos de variedad y profundidad suficientes para revelar patrones.g. Los conceptos recurrentes (e. la simetría o el caos.. Otros autores podrían haber descrito fácilmente cinco o diez ejemplos diferentes. número. les ofrecemos unos hombros amplios para que puedan ver más lejos de lo que nosotros podemos ver. la regularidad y las interconexiones. Lo que importa en el estudio de las matemáticas no es tanto que líneas particulares se exploran. Los libros y artículos que se mencionan más adelante están repletos de ejemplos adicionales de ideas matemáticas fecundas. función. Los ensayos de este volumen proporcionan cinco amplios estudios de caso que ejemplifican cómo se puede hacer esto.Abundan los ejemplos del cambio fundamental en las publicaciones de investigación de las matemáticas y en las aplicaciones prácticas de métodos matemáticos. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 112 . Las matemáticas son una ciencia exploratoria que busca comprender cada tipo de patrón –los patrones que ocurren en la naturaleza. • La incertidumbre no es azar. Al examinar muchas líneas distintas de las matemáticas. puesto que la regularidad acaba por surgir. conceptos y acciones son los sustantivos y verbos del lenguaje de las matemáticas. probar) revelan las habilidades que uno debe desarrollar para hacer matemáticas. • Los fenómenos deterministas a menudo presentan comportamientos aleatorios. algoritmo) nos señalan lo que uno debe saber para comprender las matemáticas.g. • La representación visual produce entendimientos que a menudo permanecen ocultos para los enfoques estrictamente analíticos. descubrir. Lo que los humanos hacen con el lenguaje de las matemáticas es describir patrones. Muchos de estos ejemplos se dan en los ensayos de este volumen. Juntos. ganamos perspectiva acerca de los aspectos comunes y las ideas dominantes. • Algunos patrones de cambio presentan una regularidad subyacente significativa. a través de los cuales puedan ver la diversidad. Por otro. la sección transversal de la defensa de un automóvil puede describirse como una función de dos variables. En la línea de ensamblaje hacemos copias congruentes de dispositivos mecánicos. La geometría euclidiana sintética sirve para describir bastante bien muchos aspectos de nuestro mundo. ángulos. Aunque se tienen evidencias de que egipcios y griegos usaron la idea de las coordenadas bastante antes de 1637. es decir. Por ejemplo. Los conceptos que se comprenden fácilmente cuando se describen mediante las técnicas de la geometría sintética llegan a ser engorrosos y menos entendibles cuando se describen a partir de coordenadas. la cual ha sidos aclamada como uno de los principales logros de la actividad intelectual humana y por ello ha mantenido una posición de alta estima en la currícula de las matemáticas escolares por muchos años. Localizamos la posición para colocar un foco en el centro del techo rectangular al dibujar las diagonales de ese modelo rectangular del techo. En las oficinas y tiendas hacemos modelos a escala y heliográficas de acuerdo a esta geometría.¿Por que debe considerarse la Geometría desde perspectivas múltiples? Arthur F. luego de establecer un sistema de coordenadas adecuado. círculos. fábricas y laboratorios. la contribución de Descartes es innegable. vemos objetos manufacturados. poliedros. en matemáticas usamos el lenguaje de la geometría para describir conceptos en espacios "abstractos" tales como los hiperplanos y las esferas n-dimensionales. Pero no todo está muy bien en la "ciudad geométrica". sin construir modelos físicos reales de la defensa. Muchos están hechos de partes que en su forma son rectilíneos o circulares. Esta es la geometría del conjunto de puntos. Coxford. NCTM. de la línea recta y de otras herramientas euclidianas de construcción. Traducción al español por José Luis Torres Guerrero del CECyT Cuauhtémoc. Estos ejemplos son sólo una muestra pequeña de los usos prácticos y el poder explicativo de la geometría euclideana. aunque poderosa: podemos usar números para identificar lugares y podemos cambiar estos lugares de acuerdo a cierta fórmula. triángulos. ni circulares. Jr. está hecha a partir de segmentos. Construimos caminos que se cortan perpendicularmente para que los conductores puedan ver con la misma claridad en ambas direcciones. El trabajador del mañana necesitará comprender esta idea simple. en las plantas. etc. y los diseñadores pueden someter a prueba sus ideas al hacer cambios sutiles. surgen nuevas ideas del uso de la geometría tanto dentro como fuera de las matemáticas. cuando se publicó La Géométrie. de aparatos electrodomésticos y de vehículos. Tal capacidad le permite al usuario hacer cosas que antes sólo era posible en la imaginación de los ingenieros y arquitectos. Estas partes se apoyan en la geometría de Euclides. Marca el comienzo de la integración poderosa y útil de la álgebra y la geometría: la geometría analítica. un triángulo es la unión de segmentos de recta que se intersectan sólo en sus puntos extremos. La idea es simple. cuadriláteros. Por un lado. Con esta función se pueden modificar los contornos de la defensa. En la geometría sintética. Capítulo 1 del libro ‘Geometry from multiple perspectives’ (1991). Estas aplicaciones no encajan con las viejas representaciones de las entidades geométricas. Cabe recordar que René Descartes reconoció el potencial de usar las coordenadas para representar puntos y el poder del uso de las expresiones algebraicas para representar otras figuras geométricas. En el mundo que nos rodea. En nuestros días. el diseño por computadora usa coordenadas y representaciones algebraicas para describir formas geométricas que no son rectilíneas. esferas. la interacción entre la álgebra y la geometría es aún mayor. En la representación con ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 113 . Pero en la medida de que avanzamos como civilización. 45 Aquí. pero en otras ocasiones la descripción sintética es más conveniente. Deben reconocerse y entenderse para mejorar la capacidad y calidad en la resolución de problemas de los estudiantes. triángulos y círculos.8 30 PLOT TO 23. donde se elaboran copias congruentes. Por ejemplo. Es decir. ángulos. un triángulo puede definirse por mandatos de graficación como los siguientes de Applesoft BASIC: 10 PLOT 23. En Logo se puede definir un triángulo como un procedure: TO TRIANGULO TO TRIANGULO RT 90 FD 40 LT 135 FD 50 LT 135 FD 40 END Para dibujar un triángulo u otro polígono en la computadora se puede necesitar que los discentes usen coordenadas. segmentos y triángulos. En el procedimiento en Logo anterior. Ver la geometría desde las perspectivas sintética y coordenada no es los suficientemente rica como para incluir los diferentes usos múltiples de la geometría en nuestros días. Algunas veces la descripción algebraica es más útil. Esto nos lleva a ampliar la noción de congruencia para incluir otras formas geométricas además de segmentos. el estudiante debe notar que los ángulos de 135 grados son ángulos exteriores del triángulo. Pero la congruencia euclideana se aplica sólo a círculos y a las formas rectilíneas incluidas en la currícula escolar. El desarrollo de la tecnología computacional ha incrementado la importancia de ser capaz de representar formas en cualquiera de estas perspectivas y ha añadido otra: geometría vectorial. Un argumento similar se tiene para la noción de semejanza. triángulos y círculos.45 20 PLOT TO 30. Afortunadamente.45 TO 49. Esto sugiere que las dos perspectivas son complementarias y no conflictivas entre sí. ángulos. la noción de congruencia es esencialmente de ángulos. necesitamos definir tres ecuaciones lineales en sendos intervalos con el fin de describir ese mismo triángulo. Así. En Kennedy (1987) se tiene información de usos posibles de Logo. vectores o algunos aspectos sintéticos inusuales de la figura. Antes se mencionó como un ejemplo de la importancia de la geometría sintética a la línea de ensamblaje. No es suficiente que la semejanza sólo se aplique a segmentos. el triángulo está formado por tres vectores.coordenadas. e incluso los sólidos en el espacio tridimensional. las superficies. también pueden ser congruentes las curvas. Los modelos a escala de un Corvette son ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 114 . Necesitamos que dos defensas que salgan de la línea de ensamblaje sean congruentes para que puedan servirnos en la construcción de un automóvil. los objetos elaborados en una línea de ensamblaje no están limitados a ser objetos rectilíneos o sus uniones. L A S Z O B E E A C T H D F I C G P ¿Es [A. la traslación y la reflexión con deslizamiento) y las semejanzas. la rotación. Pensemos.semejantes a él. en la práctica sólo importa la forma y su imagen. Fácilmente pueden enumerarse las ventajas del uso de las transformaciones: 1) Dado que el dominio es un conjunto de puntos. (NCTM 1989). 4) Podemos representar sintéticamente a las transformaciones mismas al usar los métodos de coordenadas o las matrices. y cuyos rangos son el mismo conjunto de puntos en el plano o en el espacio.F. Al usar la notación matricial para representar las coordenadas. y al hacerlo así.1 La idea que necesitamos aquí es la de transformación geométrica. respectivamente.C. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 115 . incluso podemos desear ampliar las ideas de congruencia y semejanza a conjuntos de puntos que son menos complejos. puede ser un conjunto infinito como el ya ilustrado. y no el plano o espacio completo. el estudio de la geometría está relacionada más estrechamente al estudio de otras ramas de las matemáticas donde la función juega un papel central y más explícito. 3) Dado que las transformaciones pueden considerarse modelos de manipulaciones mentales o físicas que usamos en las formas para determinar si las figuras son congruentes o semejantes. y las "líneas" del auto no son los "segmentos rectilíneos" de la geometría sintética euclideana. Sin embargo. Esto destaca más las relaciones entre las ramas de las matemáticas y ayuda a los estudiantes a lograr los objetivos asociados con la norma de "relaciones matemáticas" de los Estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática. manipularla para ver si se ajusta exactamente en otra figura.G.D]≅[E. Las transformaciones geométricas aplicables son las isometrías (la reflexión. 2) Dado que las transformaciones son funciones. no existen restricciones sobre la naturaleza de ese conjunto de puntos. o una figura "compleja" o una curva que describe la sección transversal de una defensa para un Corvette. en los conjuntos de puntos de la figura 1. los estudiantes pueden experimentar el extraordinario poder de las calculadoras gráficas con capacidades matriciales. las ideas matemáticas están más estrechamente relacionadas a la experiencia del discente. Estas transformaciones son funciones cuyos dominios son el conjunto de puntos en el plano o en el espacio tridimensional.H]? ¿Es *TEPIC*∼*SOLAZ*? Figura 1.B.1. La mayoría de nosotros hemos visto a un niño tomar el modelo de una figura. como los conjuntos finitos de puntos. Así pues. necesitamos ser capaces de ampliar las nociones de congruencia y semejanza a formas más complejas que las figuras euclidianas usuales. por ejemplo. determinar que las dos figuras son congruentes. Pero. o puede ser una forma euclideana tal como un cuadrado o un triángulo. las hojas de un helecho o una cordillera montañosa de Alaska. modela sólo una pequeña fracción de los objetos que se presentan en la naturaleza. objetos tales como las costas de Noruega. estos objetos naturales. tan irregulares que desafían una descripción exacta. de las gráficas por computadora y los fractales. Mandelbrot. Muchos de estos modelos están basados en la noción de conjuntos similares a sí mismos. la intersección de AB y la línea trazada es el lugar buscado. las posiciones de C y D están en el mismo lado de AB. Pero en el ejemplo ilustrado. desafiaban la descripción geométrica. Notemos primero que si C y D estuviesen en los lados opuestos de AB.2 Hasta este momento hemos dado argumentos para tratar la geometría escolar desde perspectivas múltiples que destaca las necesidades actuales. En un sentido real. La geometría de Euclides. lo que observamos parece ser el conjunto original antes de la amplificación. el problema es que son auténticamente demasiado regulares para una descripción exacta con las herramientas tradicionales de la geometría.La disponibilidad de los métodos de transformación aumenta el espectro de los problemas accesibles a los resolvedores de problemas noveles. al mismo tiempo. El proceso de descripción y creación ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 116 . algunas situaciones son más fácilmente representadas y analizadas al usar transformaciones de lo que serían con otras herramientas. Algunas figuras son. con todas sus irregularidades. Es en el área de la geometría fractal donde el lenguaje y la notación algebraica de funciones son más poderosas. La solución es reflejar C o D sobre AB y unir la imagen al punto no reflejado restante. Puesto que el camino más corto es un segmento rectilíneo y la distancia se conserva bajo la reflexión. y el uso del enfoque de transformaciones. Hasta el descubrimiento de los fractales. y tan regulares como para ser llamadas similares a sí mismas. Tal es la paradoja de la irregularidad. Esto significa que desde dondequiera que miremos un conjunto. ahora pueden modelarse geométricamente. D C A B ¿Dónde deberá localizarse un f d sobre AB de tal manera que la distancia de D l transformador a C sea í i ? Figura 1. en la figura 1. Este data de 1975 y se encuentra en el desarrollo de la geometría fractal. Simplemente eran demasiado irregulares para modelarse con las herramientas geométricas/algebraicas usuales. en 1975 por Benoit B.2 considera la pregunta ¿dónde deberá localizarse un transformador potencial sobre AB de manera que la longitud del cable necesario para correr a C y a D desde AB sea mínima?. la introducción de las representaciones por coordenadas y algebraica. el segmento que une C con D cortaría AB en el lugar adecuado para la transformación. Se tiene también un argumento que se refiere a las necesidades del futuro. Con las perspectivas de coordenadas y sintética. Pero con el desarrollo de las computadoras. bajo cualquier amplificación. Por ejemplo. de objetos similares a sí mismos está descrito matemáticamente a través de la iteración de funciones que pueden pensarse. En los capítulos que siguen ilustraremos cómo pueden incorporarse estos temas en los cursos de geometría como se enseña ahora. Mientras los grupos trabajan problemas como el del transformador presentado aquí. circule por el salón. hemos indicado que las ideas geométricas deben. Haga que un miembro de cada grupo comparta sus avances o soluciones con el resto de la clase. En la justificación que acabamos de dar. como se recomienda en Estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática (NCTM 1989). que se encuentran en el concepto de la semejanza. La geometría. las perspectivas múltiples de la geometría. Pero. ahora y mañana. Con el fin de llevar a cabo esta agenda. ¿qué hay en un futuro más distante? ¿Cuáles serán las nuevas herramientas? ¿Cuál será el contenido geométrico que la constituya? Nadie lo sabe. Los fractales. pero en un contexto bastante diferente del que anticipó Descartes. La geometría y el álgebra se encuentran de nuevo. son la nueva herramienta geométrica en el futuro cercano. y que son una creación al menos parcialmente dependiente de computadoras poderosas para su existencia. debe enfocarse desde perspectivas múltiples para permitir al usuario hacer lo más que pueda con el contenido. que están representados gráficamente (visualmente). congruencia y semejanza. observe discretamente el nivel de participación de los estudiantes en lo individual y qué tan bien aplican los conceptos clave y las estrategias para resolver problemas. Al mostrar respeto por las ideas de los estudiantes se fortalece el desarrollo de su potencial matemático. haremos sugerencias para la implementación de otras normas de la currícula. ya en forma. pero es seguro que demandará un conocimiento de la geometría desde perspectivas múltiples para su entendimiento y comprensión. de coordenadas. mientras sus usos se amplían y extienden hacia regiones desconocidas de la ciencia y la naturaleza. al relacionar cada tema a los contenidos enseñados tradicionalmente. Además. ser enfocadas desde una variedad de perspectivas: sintética. de una manera simple. de transformación y vectorial. tales como triángulos. cuadriláteros. comenzaremos con una breve revisión de algunas ideas fundamentales necesarias y luego abordaremos. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 117 . como las composiciones repetidas de una función consigo misma. Cuestiones de Enseñanza: El trabajo de grupo cooperativo proporciona una oportunidad para desarrollar las habilidades de comunicación y para conducir evaluaciones informales e individuales que no se obtienen fácilmente en la instrucción directa y en el trabajo individual. y finalmente justificando (demostrando). esta actividad incorpora ambos métodos. sintético y algebraico en la geometría y ayuda a los estudiantes a darse cuenta de que se pueden usar distintos métodos para resolver problemas parecidos. Además.. Traducción del Club de Matemáticas del CECyT Wilfrido Massieu. soluciones. ♦ Creemos que el aprendizaje debe venir guiado por la búsqueda de respuestas a problemas –primero en un nivel intuitivo y empírico. N° 2. Bishnu Naraine Publicado en la sección ‘Activities’ de la revista The Mathematics Teacher Vol. . de grado 7 en adelante. . En esta actividad. 86. 10) ♦ El profesor de matemáticas debe promover un discurso en el aula en el que los estudiantes traten de convencerse ellos mismos y unos a otros de la validez de las representaciones. los estudiantes tienen oportunidad de desarrollar sus propios teoremas relativos a las áreas de los dos conjuntos de cuatro triángulos de la figura 1. a través de una exploración que se ocupa de los triángulos determinados por los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo cualquiera.Si Pitágoras hubiera tenido un geoplano . en febrero de 1993. Esta actividad guía a los estudiantes.”. Figura 1 Establece una relación entre las áreas de los cuatro triángulo de cada dibujo Esta actividad da a los estudiantes una oportunidad de ver cómo exploran los matemáticos muchos ejemplos diferentes antes de hacer una generalización. NCTM 1989. (Professional Standards for Teaching Mathematics. más tarde generalizando.. (Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. El desarrollo de esta actividad también puede contribuir a ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 118 . NCTM 1991. al animar a los estudiantes a usar cualquier método adecuado para calcular las áreas. conjeturas y respuestas particulares. 45) Guía del profesor Los Estándares de Currículo y Evaluación para las Matemáticas Escolares del NCTM (1989) recomiendan que los estudiantes trabajen en exploraciones informales planeadas para desarrollar una comprensión de los conceptos geométricos. El teorema de Pitágoras relaciona el área del cuadrado que se construye sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo con las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los otros dos lados del triángulo. El título original es “If Pythagoras Had a Geoboard . Si B es el número de puntos del reticulado en el perímetro e I es el número de puntos del reticulado en el interior de la figura. entonces la fórmula de Pick establece que el área = (1/2)B + I . El uso de esta fórmula puede reducir el esfuerzo necesario para calcular las áreas de algunos triángulos. puesto que se aplica también a sus diagramas. Haz que completen esta hoja como tarea antes de trabajar en las hojas 2-5. discute los distintos métodos que se usaron para calcular las áreas de los triángulos. Hoja 2: Distribuye copias de la hoja 2 a todos los estudiantes. La parte superior de la hoja 4 pide que los estudiantes prueben sus conjeturas y es optativa. Además deben quedar más convencidos de sus conjeturas basadas en los resultados de la tabla. Después de que hayan terminado la hoja 1. los cuadrados pueden no resultar en algunos geoplanos.que los estudiantes tengan más confianza en su capacidad de hacer matemáticas. Encontrarán útil el reticulado en la determinación de las áreas de los triángulos. Pide que calculen las áreas de los triángulos aplicando los métodos que ellos mismos escojan. Propón a los estudiantes que exploren esta actividad aplicando la fórmula para calcular las áreas de algunos de los triángulos de la hoja 1. Niveles: 7-12 Materiales: Un conjunto de hojas de trabajo 1-4 para cada estudiante y un conjunto de transparencias de las hojas para la discusión en clase. papel de puntos. indicales que tracen la figura en el papel de puntos. La mayoría de los estudiantes puede encontrar dificultades para responder la pregunta de desafío de la hoja 1: para comenzar. Prerrequisitos: Comprensión del teorema de Pitágoras. 2. 3 y la parte inferior de la hoja 4 pueden ser realizadas por todos los estudiantes. Aunque algunas de las figuras se pueden hacer en el geoplano. El triángulo ABC es rectángulo sólo en los ejercicios de esta hoja. Instrucciones: Todas las actividades de las hojas de trabajo 1. Hojas 3: Distribuye copias de la hoja 3 a los estudiantes después de que hayan terminado la hoja 2 y hayas discutido sus respuestas con ellos. (Consultar Hirsch (1974) para una actividad que lleva al descubrimiento de este resultado). Objetivos: Descubrir la relación entre las áreas de los cuatro triángulos determinados por los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo dado. En el punto 3 se les pide a los estudiantes que diseñen sus propios ejemplos. Hoja 1: Distribuye copias de la hoja 1 a todos los estudiantes. Una ventaja de este enfoque es que los estudiantes tienen que crear sus propias matemáticas. La mayoría de los estudiantes encuentran útil la fórmula de Pick para calcular las áreas de algunos de ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 119 . geoplanos (optativo). Las instrucciones de la hoja 2 se siguen aquí también.1. pueden disfrutar aplicando la fórmula de Pick para calcular el área de una figura poligonal cuyos vértices están en los puntos de intersección de una cuadrícula. Cómo procedimiento alternativo. aprendan a comunicarse matemáticamente y aprendan a razonar matemáticamente. Algunos pueden haber escogido contar los cuadrados y medios cuadrados. Anímalos para que apliquen cualquier método que quieran en el cálculo de las áreas. Otros pueden aplicar la fórmula típica: área del triángulo = 1/2 (base por altura). otros pueden calcular el área del rectángulo que contiene el triángulo y restar las áreas de figuras conocidas. se vean ellos mismos como resolvedores de problemas matemáticos. Son todas iguales. Otros pueden optar por escoger un origen adecuado y usar coordenadas para calcular las áreas. Si pides a los estudiantes que prueben las conjeturas.5 4. tras discutir los descubrimientos de los estudiantes en las hojas 2 y 3.hojas 4 y 5: La prueba de las conjeturas de la hoja 4 es optativa. las respuestas dependen del diagrama de los estudiantes. 5. Sí. Deben aplicar sus descubrimientos de las hojas 2 y 3. Sí. Ya sea que uses la hoja 4 o no. Triángulo Área I II III IV V VI VII 6 14 10 8 9 18 15 2. 6 Hoja 2: Área del triángulo Pregunta 1 ABC HCJ GBF DAE 4. distribuye una copia de la hoja 5 y deja que hagan el ejercicio de tarea para la casa. Las discusiones con matemáticos investigadores nos sugieren que el teorema puede ser original. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 120 . Recuérdales que cuando una conjetura se prueba.5 4. El propósito es ver si la conjetura de la hoja 2 se puede generalizar a todos los triángulos. ésta se convierte en un teorema.5 2 4 4 4 4 3 * * * * * En la pregunta 3. Señala a tus estudiantes que el diagrama del teorema 1 de la hoja 4 está relacionado con el diagrama que se usa para discutir el teorema de Pitágoras y que el completar los tres triángulos exteriores dio como resultado el descubrimiento de matemáticas «nuevas». Sí. Una prueba que use el geoplano o un paquete de computadora como el Geometer’s Sketchpad (Jackiw 1991) también es aceptable. el triángulo inicial ABC no es un triángulo rectángulo. Recuérdales que en estos ejemplos. geométricos y trigonométricos en la prueba de las conjeturas. distribuye copias de la hoja 4 y haz que realicen las pruebas de manera progresiva. Actividad complementaria.5 4. 6. Estimúlalos para que mejoren sus pruebas. 7.los triángulos. y en la hoja 5 deben transferir sus conocimientos de la recíproca del teorema de Pitágoras para encontrar las áreas de los triángulos. Anímalos para que usen métodos algebraicos. Discusión posterior a la actividad: Los teoremas que se discuten en esta actividad no son ampliamente conocidos. Prepárate para aceptar «pruebas» de diversos niveles de sofisticación. Respuestas Hoja 1: 1. 4. Las cuatro áreas deben ser iguales. como se muestra en el punto 1. entonces el área de cada uno de los tres triángulos es igual al área del triángulo original. 7. Hoja 4: Conjetura 1: La figura 2 ilustra una «prueba» algebraica de la conjetura 1. 5. entonces el área de cada uno de los tres triángulos es igual al área del triángulo rectángulo original. Son todas iguales. Hoja 3: Área del triángulo ABC HCJ GBF DAE 1 6 6 6 6 2 5 5 5 5 3 * * * * Pregunta * En la pregunta 3. 6. El cuadrado que se muestra en líneas punteadas gruesas tiene lados de longitud a+b. Sí. las respuestas dependen del diagrama de los estudiantes. Las cuatro áreas deben ser iguales. Si se trazan cuadrados sobre los lados de un triángulo y se completan los tres triángulos como se muestra en el punto 1. 8. Entonces los ángulos CAB. DAE y GBF tiene las medidas que se indican en la figura.8. 4. Sí. b F c a c b E G B c c b a b H C A a J D Figura 2 Prueba algebraica Algunos estudiantes pueden preferir una prueba trigonométrica como la siguiente: Sea m∠ABC=θ en la figura 3. Aplica ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 121 . Si se trazan cuadrados sobre los lados de un triángulo rectángulo y se completan los tres triángulos. Así que cada uno de los cuatro triángulos tiene un área de (1/2)ab. Sí. a sen α (en ∆ABC.(α + θ)) = c/sen α => a/sen (α + θ) = c / sen α => c sen (α + θ) = a / sen α ) Esta investigación muestra que cada uno de los cuatro triángulos tiene un área de (1/2)ab sen α. HCJ. Entonces los ángulos CAB. En forma alternativa se puede mostrar que las áreas son (1/2)ac sen θ.α ) = (1/2)ab sen α ∆GBF = (1/2)ac sen (180 .θ ) = (1/2)ac sen θ =(1/2)ab (b = c sen θ en ∆ABC ) ∆DAE = (1/2)bc sen (90 + θ ) = (1/2)bc cos θ =(1/2)ba (a = c cos θ en ∆ABC) Esta investigación muestra que cada uno de los cuatro triángulos tiene un área de (1/2)ab F 180-θ c E a B G 90-θ c a θ a b H C b A b 90+θ J D Figura 3 Prueba trigonométrica Conjetura 2: Algunos estudiantes pueden preferir una prueba trigonométrica como la siguiente: Sean m∠ABC= θ y m∠ACB=α en la figura 4. o (1/2)(base x altura) ∆HCJ = (1/2)ab. Aplica la fórmula el área de un triángulo es un medio del producto de dos lados cualesquiera y el seno del ángulo que forman. Se obtienen las áreas siguientes: ∆ABC = (1/2)ab. o (1/2)(base x altura) ∆GBF = (1/2)ac sen (180 . DAE y GBF tienen las medidas que se muestran en la figura.θ ) = (1/2)ac sen θ =(1/2)ab sen α (en ∆ABC.la fórmula el área de un triángulo es un medio del producto de dos lados cualesquiera y el seno del ángulo que forman. a/sen (180 . Se obtienen las áreas siguientes: ∆ABC = (1/2)ab sen α ∆HCJ = (1/2)ab sen (180 . b/sen θ = c/sen α => c sen θ = b sen α ) ∆DAE = (1/2)bc sen (α + θ ) = (1/2)b . ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 122 . (a) Cada triángulo tiene 6 unidades cuadradas. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 123 . Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. REFERENCIAS Hirsch. (c) Cada triángulo tiene un área de 48 unidades cuadradas. Reston. Commission on Teaching Standards for School Mathematics. National Council of Teachers of Mathematics. 1991. Va: The Council. Commission on Standards for School Mathematics. National Council of Teachers of Mathematics. Professional Standards for School Mathematics. 1989. “Pick’s Rule. Calif. 3. 1991. Cada triángulo tiene un área de 40 unidades cuadradas. 1. Prueba trigonométrica Hoja 5: 1. Berkeley. (b) Cada triángulo tiene un área de 24 unidades cuadradas. Nicholas.F c G H a B a a α C b J E θ c c b A b D Figura 4. Software. Reston. Cada triángulo tiene un área de 49 unidades cuadradas. Christian R.” Mathematics Teacher 67 (May 1974): 431-34. Jackiw. The Geometer’s Sketchpad. 1. 2.: Key Curriculum Press. Va: The Council. CÁLCULO DE ÁREAS DE TRIÁNGULOS HOJA 1 1. Encuentra el área de cada triángulo y registra tu respuesta en la tabla. Desafío: Se trazan cuadrados sobre los lados AB y AC del triángulo rectángulo ABC. III I II IV V VI VII Registra tus respuestas aquí: Triángulo I II III IV V VI VII Área 2. ¿Cuál es el área del triángulo ADE? ___________ E B 3 C 4 A D ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 124 . Comienza con el triángulo rectángulo isósceles ABC que aparece a la derecha. al que se le han trazado cuadrados sobre cada uno de sus lados. Asegúrate de nombrar los vértices de la misma manera. B C A 3. Calcula las áreas de los cuatro triángulos y escribe tus resultados en el renglón correspondiente de la tabla de abajo.FORMULA UNA CONJETURA SOBRE EL TRIÁNGULO HOJA 2 1. traza un cuadrado sobre cada uno de sus lados y completa los otros tres triángulos de la misma manera que en los puntos anteriores. Comienza con un triángulo ABC. El triángulo ABC que aparece a la izquierda es un triángulo escaleno. Se trazan los triángulos HCJ. Traza tu propio ejemplo en el espacio punteado. Área del triangulo Pregunta ABC 1 GBF 6 2 HCJ 5 3 ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 125 DAE . F E G B H A C J D 2. Calcula las áreas de los cuatro triángulos y escribe tus resultados en la tabla de abajo. Calcula las áreas de los cuatro triángulos y llena el renglón correspondiente de la tabla de abajo con tus resultados. GBF y DAE como se muestra en la figura. Traza un cuadrado sobre cada uno de los lados y completa los otros tres triángulos como en el punto 1. traza algunos otros triángulos en papel de puntos. entonces el área de cada uno de los tres triángulos es igual a ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 126 . con sus cuadrados y triángulos. Si se traza un cuadrado sobre cada lado de un triángulo y se completan los tres triángulos como se muestra en el punto 1. ¿Se cumplirá la misma relación si comienzas con cualquier triángulo? Nota: Si no estás seguro de tu conclusión. 8. como en el punto 1.Haz referencia a la tabla al responder estas preguntas: 4. ¿Se cumple la misma relación entre los cuatro triángulos del punto 3? 7. 5. y calcula las áreas de los cuatro triángulos. ¿Se conserva la misma relación entre los cuatro triángulos del punto 2? 6. Completa la conjetura siguiente basada en los resultados de la tabla. ¿Cuál es la relación que adviertes entre las áreas de los cuatro triángulos del punto 1. Calcula las áreas de los cuatro triángulos y escribe tus resultados en el renglón correspondiente de la tabla de abajo. Si se traza un cuadrado sobre cada lado de un triángulo y se completan los tres triángulos como se muestra en el punto 1. F G B H C E A J D B C A 2. En estas figuras vas a comenzar con un triángulo que no es rectángulo. 3. ¿Se cumplirá la misma relación si comienzas con cualquier triángulo? Nota: Si no estás seguro de tu conclusión. Calcula las áreas de los cuatro triángulos y llena el renglón correspondiente de la tabla de abajo con tus resultados. Completa la conjetura siguiente basada en los resultados de la tabla. ¿Se conserva la misma relación entre los cuatro triángulos del punto 2? 6. con sus cuadrados y triángulos. Traza un cuadrado sobre cada uno de los lados y completa los otros tres triángulos como en el punto 1. Comienza con el triángulo isósceles ABC que aparece a la derecha. Asegúrate de nombrar los vértices de la misma manera. ¿Cuál es la relación que adviertes entre las áreas de los cuatro triángulos del punto 1. 8. traza un cuadrado sobre cada uno de sus lados y completa los otros tres triángulos de la misma manera que en los puntos anteriores. al que se le han trazado cuadrados sobre cada uno de sus lados.FORMULA UNA CONJETURA SOBRE EL TRIÁNGULO (CONTINUACIÓN) HOJA 3 1. y calcula las áreas de los cuatro triángulos. Calcula las áreas de los cuatro triángulos y escribe tus resultados en la tabla de abajo. ¿Se cumple la misma relación entre los cuatro triángulos del punto 3? 7. El triángulo ABC que aparece a la izquierda es un triángulo escaleno. Comienza con un triángulo ABC. GBF y DAE como se muestra en la figura. entonces el área de cada uno de los tres triángulos es igual a ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 127 . Área del triangulo Pregunta ABC 1 GBF DAE 6 2 HCJ 5 3 Haz referencia a la tabla al responder estas preguntas: 4. traza algunos otros triángulos en papel de puntos. Traza tu propio ejemplo en el espacio punteado. 5. Se trazan los triángulos HCJ. como en el punto 1. la puedes volver a escribir. la puedes volver a escribir. entonces el área de cada uno de los tres triángulos es igual al área del triángulo ABC.DEMUESTRA LAS CONJETURAS SOBRE EL TRIÁNGULO Conjetura1. Formula por escrito tu demostración (o describe tu método de demostración).Si se traza un cuadrado sobre cada lado de un triángulo rectángulo ABC y se completan los tres triángulos como se muestra. entonces el área de cada uno de los tres triángulos es igual al área del triángulo ABC. entonces el área de cada uno de los tres triángulos es igual al área del triángulo ABC. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor J Hoja 128 D . pero como teorema: J D TEOREMA 1: Si se traza un cuadrado sobre cada lado de un triángulo rectángulo ABC y se completan los tres triángulos como se muestra. F G E C a H B b c A Ahora que has probado tu conjetura. Si se traza un cuadrado sobre cada lado de un triángulo cualquiera ABC y se completan los tres triángulos como se muestra. Formula por escrito tu demostración (o describe tu método de demostración). c H A B Ahora que has probado tu conjetura. entonces el área de cada uno de los tres triángulos es igual al área del triángulo ABC. HOJA 4 F E C G b a Demostración. pero como teorema: TEOREMA 2 : Si se traza un cuadrado sobre cada lado de un triángulo cualquiera ABC y se completan los tres triángulos como se muestra. Conjetura 2. Demostración. como se muestra.APLICA LOS TEOREMAS HOJA 5 1. Se traza un cuadrado sobre cada lado de cualquier triángulo como se muestra. C 8 B A 10 3. B B B 10 10 3 10 C 4 A C A 8 C 12 A 2. Calcula el área de cada triángulo de la figura. Se trazan cuadrados sobre los lados AB y AC del triángulo rectángulo ABC. como se muestra. C 14 B 7 A ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 129 . Se trazan cuadrados sobre los lados AC y BC del triángulo rectángulo ABC. Calcula el área de cada triángulo de la siguiente figura. Calcula el área de cada triángulo de la siguiente figura. Debemos ser curiosos e ingeniosos si queremos que sean curiosos e ingeniosos con respecto a las matemáticas. NCTM 1989. NCTM 1991. un profesor o un estudiante va más allá del problema matemático típico y se plantea la pregunta «¿Qué pasaría si . . El título original es “Make your own problems-and then solve them”. Muchos son los conceptos y problemas. 140) El profesor de matemáticas debe plantear tareas que . Corta un cuadrado de cada esquina para construir la caja (sin tapa) que tiene volumen máximo. Debemos exigirnos para exigirles.?» para lograr que se pregunten «¿Qué pasaría si . NCTM 1989. podemos encontrar el volumen máximo sin la derivada. ¿qué pasaría si no se nos pide construir una caja? ¿Qué pasaría si queremos construir un cilindro circular recto (con base y tapa) de volumen máximo? La actividad siguiente ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 130 . En otras palabras. .?». 137) El currículo de matemáticas debe incluir el desarrollo continuo del lenguaje y del simbolismo para comunicar ideas matemáticas de tal forma que todos los estudiantes puedan expresar ideas matemáticas verbalmente y por escrito. la resolución de problemas y el razonamiento matemático [y] fomentar la comunicación acerca de las matemáticas. Debemos ser perseverantes si esperamos que sean perseverantes. . en noviembre de 1991. Traducción del Club de Matemáticas del CECyT Wilfrido Massieu. El currículo de matemáticas debe incluir el refinamiento y ampliación de los métodos de la resolución de problemas matemáticos para que todos los estudiantes puedan identificar y formular problemas a partir de situaciones dentro y fuera de las matemáticas. Debemos preguntarnos «¿Qué pasaría si . (Professional Standards for Teaching Mathematics.?». (Véase La hoja de actividad 1 de Pleacher [1991]). que se pueden ampliar y explorar llevando a cabo este tipo de investigación. La actividad siguiente es un ejemplo de lo que puede ocurrir cuando un grupo. 84. debemos meterlos en problemas que no se resuelvan sencillamente aplicando las técnicas y los conceptos que se acaban de estudiar. (Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. 25) Guía del profesor Introducción: Si queremos enseñar a nuestros estudiantes para que se conviertan en resolvedores de problemas. Debemos explorar ideas más allá de lo obvio si queremos que exploren las matemáticas. . en todas las áreas de las matemáticas y en todos los niveles. Pero. requieran la formulación de problemas. . Todos conocemos el problema siguiente: Comienza con un pedazo de metal rectangular de dimensiones m y n. debemos modelar las mismas conductas de resolución de problemas que queremos que desarrollen. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja de volumen máximo? Por supuesto. . este no es sólo un problema de cálculo. .Haz tus propios problemas -y después resuélvelos Robert L. (Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. . estimularnos para estimularlos. Kimball Publicado en la sección ‘Activities’ de la revista The Mathematics Teacher Vol. . la circunferencia y el volumen. hacer notar que sólo se consideran los círculos cortados en el extremo más largo. Escoger a un estudiante en cada grupo para que lleve el registro. de ocho y media pulgadas por catorce pulgadas. cinta adhesiva. Animarlos para que discutan las preguntas de sus hojas en los grupos. Examinar el caso 1A con toda la clase. Las tareas para la casa se dan en las hojas 1. Niveles: 8-12 Materiales: Una provisión de hojas de tamaños legal y carta. Esta actividad supone que los estudiantes tienen sus calculadoras siempre a la mano. las tijeras. compás y tijeras para cada estudiante. Distribuir las hojas de tamaño legal. Hoja 2: Reunir a los estudiantes en grupos de tres a cinco integrantes. las reglas y los compases. la cinta adhesiva. 2 y 5. Asegurarse de que los estudiantes comprendan cómo responder la pregunta 3b. ser capaces de manipular expresiones algebraicas y resolver ecuaciones. o en sus grupos. Aunque nosotros. Instrucciones: Esta actividad requiere tres o cuatro períodos de clase para completarse. Hojas 3 y 4: Repartir las hojas 3 y 4 a los estudiantes. Los estudiantes realizarán actividades manuales y aplicarán técnicas algebraicas para encontrar las dimensiones que producen el volumen máximo. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 131 .explora las posibilidades cuando los pedazos se cortan a partir de una forma rectangular fija -una hoja de papel de tamaño legal. hasta completar las hojas. Recordar a los estudiantes que sus mediciones serán aproximadas. reglas. Después los estudiantes exploran los resultados posibles cuando se usa un rectángulo de ocho y media pulgadas por once pulgadas (una hoja de tamaño carta). Explica la pregunta «¿Qué pasaría si . . Objetivos: Estas actividades animarán a los estudiantes para que exploren conceptos matemáticos importantes fabricando modelos tridimensionales y aplicando el método de ensayo y error para examinar cómo influyen diversos factores en el volumen de un sólido. Dejar que trabajen individualmente. las hojas de trabajo preparadas. ya que es evidente que si se colocan los círculos en los extremos opuestos del lado corto no se obtendrá el volumen máximo. Hoja 1: Discutir el problema original de encontrar las dimensiones de una caja de volumen máximo que se obtiene de una hoja de papel rectangular.?»: ¿Cuáles son las dimensiones de un cilindro circular recto con base y tapa que se corta de una hoja de papel rectangular? Conducir una discusión en el grupo en relación a las respuestas de la pregunta 1. Los estudiantes resumirán e interpretarán sus resultados. (Los estudiantes que no tengan los antecedentes algebraicos necesarios pueden completar las hojas 1 y 2). Requisitos previos: Los estudiantes deben saber las fórmulas del área. Antes de que comiencen el caso 3. Pedirles que discutan los reportes que escribieron en sus tareas para la casa de la hoja 2. envases de atún.25 V =π (14) π +1 ≈ 46. envases de bebidas. Respuestas Hoja 1: 1. las tijeras. Hoja 3: (Las respuestas se redondean al centésimo más próximo). Conducir una discusión acerca de los cilindros y los argumentos de los estudiantes. Los lados forman con la base y con la tapa ángulos rectos. las reglas y los compases. Hoja 5: Distribuir la hoja 5.31in 3 14 7 V = π 8.5 8.como buenos resolvedores de problemas.05 π +1 8.5 ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 132 Caso 2B : .?».07in Hoja 4: Caso 2A: x + d = 14 c = 8. Pedirles que piensen en otras preguntas de «¿Qué pasaría si . Propiedades: La tapa y la base son regiones circulares del mismo tamaño.5 πd+d = 8. envases de pelotas de tenis. Este comentario puede generar una animada discusión de la clase acerca del sentido común y las matemáticas. Las dimensiones del rectángulo son la altura del cilindro y la circunferencia de la tapa y la base.Ejemplos: Envases de aceite de motor. debemos tener mucho cuidado al considerar y explorar todas las posibilidades.04 2 4.5 − π π 3 ≈ 63.5 x = 8. Hoja 2: Las respuestas variarán. Caso 1A: x + d = 8. .5 − ≈ 6.25 r= ≈ 1.46 π h + d = 8. 3. las hojas tamaño carta.5 ≈ 2. . Si se quitan la base y la tapa y se desenrolla el cilindro se forma un rectángulo. la cinta adhesiva. tampoco queremos esforzarnos sin buenas razones.03 π +1 d= Caso 1B: C=14 14 7 r= = ≈ 2.45 π +1 4.23 2π π 14 d= ≈ 4. Animarlos para que formulen otros problemas y preguntas que vayan más allá del tratamiento usual de los temas. Variarán las respuestas.5 − 2 14 π ≈ 4.5 h = 8. 09in 3 d + c = 11 d+πd = 11 d ≈ 2.71 C = x = πd x + 2d = 14 x = 14 − r= 8.38in 3 2 7 V =π (8. a) 8 ½” * 11 “ b) d C h=8.5 5.35 2π π 8.36 π +2 ≈ 49.5 d= ≈ 2.25 ≈ 1.πd + d = 14 r= 4.62 π +1 r= h + d = 14 2 7 V =π (8.25 V =π 14 − π π 28 ≈ 8.94in 3 ≈ 76.5 e) V = π (8.5 8.33 C ≈ 8.28in 3 2 Caso 3A: C=8.72 π +2 h = 14 − 2d = 14 − 17 ≈ 8.71 π 7 ≈ 1.34 d) 8.5 d= ≈ 2.25 r= = ≈ 1.50in 3 Hoja 5: 1.5 4. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 133 .5 in.25 V =π π ≈ 64.5) π +1 h = 14 − 8.69 π +1 14 x = 14 − ≈ 10.5 14 − π Caso:3B h = 8.55 π +2 7 ≈ 1.59 π 2 17 4.5) π + 2 ≈ 49.5 π 4.35 π 8.5 d= ≈ 11.5) π +1 ≈ 47.66 r ≈ 1.29 π 14 ≈ 2. 2. Commission on Standards for School Mathematics. producirá el cilindro de volumen máximo usando una hoja de tamaño carta.” Mathematics Teacher 84 (May 1991): 379-86. Reston. Este hecho se advierte fácilmente si se resuelven los casos 1 a 3 con once pulgadas en lugar de las catorce de la hoja original. Va: The Council. El mismo método de las hojas 3 y 4 que produjeron el cilindro de volumen máximo. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 134 . David. Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. REFERENCIAS National Council of Teachers of Mathematics. Commission on Teaching Standards for School Mathematics. 1991. “Activities: Activities to Introduce Maxima-Minima Problems. Reston. Professional Standards for School Mathematics. Pleacher. National Council of Teachers of Mathematics. 1989. Va: The Council. la tapa y la superficie lateral) se debe cortar de la misma hoja de papel. Todo (la base. Registra la información acerca de tus cilindros en el cuadro siguiente. la base y la superficie lateral que cortaste de la hoja de papel. ¿Qué propiedades tienen todos estos objetos en común? 2. a) Las dimensiones de la hoja de papel antes de cortarla:____________ b) Haz un bosquejo de las posiciones de la tapa.CONSTRUYE TU PROPIO CILINDRO HOJA 1 1. 3. _________________________________________________________________________ Bosquejo de las posiciones Radio de la Altura del Volumen del de los círculos y rectángulo base y la tapa cilindro cilindro _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 135 . Construye un cilindro circular recto con base y tapa. Registra la información siguiente relativa a tu cilindro. usando el papel que se te entregó. c) Diámetro de la base y la tapa:_______________________________ Radio de la base y la tapa:__________________________________ Circunferencia de la base y la tapa:___________________________ d) Dimensiones del papel que se usó en la superficie lateral:__________ e) ¿Cómo se relacionan el tamaño de la base y la tapa con las dimensiones del papel que usaste para la superficie lateral? Explica tu respuesta ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ Tarea para la casa Lleva a la casa por lo menos tres hojas de papel del mismo tamaño. Discusión del grupo: Piensa en varios ejemplos de cilindros circulares rectos que tengan base y tapa. Trata de construir un cilindro cuyo volumen sea el más grande posible. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 136 . un volumen circular recto cuyo volumen sea el más grande posible. 2. ¿Cuál es el mayor diámetro que los círculos pueden tener? ¿Cuál sería la altura de ese cilindro? 6. ¿El volumen es mayor cuando el cilindro es bajo o alto. ¿Cómo influyen los cambio del diámetro de los círculos en el volumen del cilindro? 5. usen otra hoja de papel del mismo tamaño para construir. ¿se cortaron los círculos para la base y la tapa de lugares diferentes de la hoja? Si no se hizo. ¿Cuánto papel se desperdició en cada método? ¿Hubo algún método en que se usara más papel que en otros? 3.CILINDROS DE VOLUMEN MÁXIMO HOJA 2 Trabaja en grupos chicos para recopilar la información acerca de los cilindros que construyeron con el volumen máximo. _________________________________________________________________________ Bosquejo de las posiciones Radio de la Altura del Volumen del de los círculos y rectángulo base y la tapa cilindro cilindro _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ Discusión del grupo 1. Llena el cuadro siguiente. Tarea para la casa Escribe un reporte de lo que decidió tu grupo acerca de cómo construir el cilindro de volumen máximo. ¿Usaron en tu grupo métodos distintos para construir los cilindros? En otras palabras. con base y tapa. Después de su discusión. considera otros métodos y construye unos cuantos cilindros más. ancho o estrecho? 4. del rectángulo que formará la superficie lateral del x=C cilindro. de la base y la tapa del cilindro. Para construir el cilindro debemos determinar qué lado del rectángulo se usará como altura. Consideraremos ahora algebraicamente el más eficiente de estos métodos. x = πd x + d = _______________ π d + d = _______________ d = _______________ x = _______________ r = _______________ Aplica la fórmula V = π r2 h para encontrar el volumen de este cilindro. del cilindro. C. Estos dos casos se considerarán separadamente como casos 1A y 1B. encuentra estos valores. h. Necesitamos encontrar la otra dimensión. Caso 1 Considera el caso en que el rectángulo que se usa para formar la superficie lateral del cilindro se corta del lado más largo de la hoja de papel y los círculos se cortan del pedazo de papel que queda. Sea d el diámetro de los dos círculos que se cortan del resto de la hoja de papel original. El otro lado del rectángulo será igual a la circunferencia. C = _________________________ r = _________________________ d = _________________________ ¿Cuál es la relación entre h y d? ____________________________ h = _________________________ V = _________________________ ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 137 .LA APLICACIÓN DEL ÁLGEBRA PARA RESOLVER EL PROBLEMA HOJA 3 Hemos usado varios métodos distintos para construir los cilindros. V = ______________ Caso 1B Ahora sea el lado más largo de la hoja de papel la circunferencia de los círculos. Puesto que x es también igual a la circunferencia de los círculos. x. Caso 1A Sea el lado más largo de la hoja de h = 14 pulgadas papel la altura del cilindro. 5 pulgadas. Necesitamos encontrar la otra dimensión.LA APLICACIÓN DEL ÁLGEBRA PARA RESOLVER EL PROBLEMA HOJA 4 Caso 2 A continuación considera el caso en el que el rectángulo que se usa para la superficie lateral del cilindro se corta del lado más corto de la hoja de papel y los círculos se cortan del papel que queda. Sea la circunferencia de los círculos 8. Sea la altura del cilindro 8. del rectángulo que formará la superficie lateral del cilindro y que será la altura de los círculos. considera dos casos. x=πd x + d = _______________ π d + d = _______________ d = _______________ r = _______________ x = _______________ V = _______________ Caso 2B. C = ______________________ r = ______________________ d = ______________________ ¿Cuál es la relación entre h y d? _________________________ h = ______________________ V = ______________________ Caso 3. Necesitamos encontrar la otra dimensión. h. Proporciona tus propios argumentos para los casos 3A y 3B. x. del rectángulo que formará la superficie lateral del cilindro y es igual a la circunferencia de nuestros círculos. De nuevo. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 138 . Considera el caso en que los círculos se cortan de cada extremo de la hoja.5 pulgadas. Caso 2 A. Proporciona la información siguiente acerca de tu cilindro. Presenta un argumento convincente que sostenga que has construido el cilindro de volumen máximo. a) Las dimensiones del papel antes de cortarlo: _______________________ b) Haz un bosquejo de las posiciones de la base. Tarea para la casa Escribe un párrafo explicando donde esta resolución sería útil y por qué. c) El diámetro de la base y la tapa: _______________________________ El radio de la base y la tapa: __________________________________ La circunferencia de la base y la tapa: ____________________________ d) Las dimensiones del rectángulo que se usa para la superficie lateral del cilindro: e) El volumen del cilindro: 2. Usa una hoja de papel tamaño carta para construir el cilindro de volumen máximo. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 139 . la tapa y la superficie lateral del cilindro que construiste con el papel.LA MAXIMIZACIÓN DEL VOLUMEN DE LOS CILINDROS HOJA 5 1. videoconferencias de escritorio. Existe la necesidad de que los docentes reconceptúen y transformen la Web de un ambiente para publicar información hacia uno especialmente adecuado para una educación efectiva basada en nuevos principios tales como la interacción y el aprendizaje colaborativo. un modelo mental es nuestra manera de conocer el mundo. Los mapas conceptuales son un medio que permite la representación de conceptos o conocimiento. La mayor parte del uso educacional de la Web se ha caracterizado como un medio de publicación más que una actividad educativa propia. adquieren sabiduría. charla en línea. han enriquecido el entorno para desarrollar Ambientes Virtuales de Aprendizaje. Y conocimiento no significa memoria. aunque esto es indispensable para los estudiantes de educación a distancia. puede ser de gran utilidad para la construcción de ambientes y materiales más adecuados para la explotación de los recursos tecnológicos disponibles. Cada estudiante pone en esta acción un agregado de acuerdo a sus propias experiencias y entendimiento en el proceso de aprendizaje. la creación de un ambiente donde se puedan explotar las cualidades de cada una de las herramientas disponibles en Internet no es cosa sencilla. La aparición y popularización de Internet y las herramientas asociadas como: correo electrónico. y éstos. La utilización de Mapas Conceptuales. muchos de los intentos de crear sistemas innovadores se han visto frenados por una falta de visión integradora de los elementos involucrados. En otras palabras. ponen en línea sus trabajos. Aún se siguen los modelos educativos del siglo XIX más que la creación de nuevos ambientes de aprendizaje. Los estudiantes al aprender construyen representaciones internas de conocimiento conocidas como "modelos mentales". a su vez. foros de discusión.Mapas Conceptuales para la creación de Ambientes Virtuales de Aprendizaje Alberto Fernández Beltrán La utilización de las tecnologías de información y comunicación para la creación de modelos educativos innovadores ha constituido un tema de investigación durante más de veinte años. Esto se refleja en el desarrollo de materiales en forma lineal a imagen de los impresos tradicionales. Los docentes publican sus apuntes para que los alumnos los bajen y los lean. El acceso a los recursos de información no es una condición suficiente para el aprendizaje. Es nuestro punto de vista de cómo explicamos un fenómeno o concepto. El aprendizaje es el proceso por el cual la información se convierte en conocimiento. Sin embargo. Los "expertos" que interiorizan y automatizan este conocimiento para poder utilizarlo sin reflexión. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 140 . Se utilizan para expresar relaciones entre ideas o conceptos y para estructurar argumentos. Sin embargo. En administración se utilizan como medios para representarlas estructuras conceptuales que forman la base de una toma de decisión. Cornell University) Los Mapas conceptuales constituyen una técnica para la representación del conocimiento en forma gráfica. Las gráficas de conocimiento forman redes de conceptos consistentes en nodos y ligas. Las ligas pueden ser unidireccionales. Los conceptos generalmente son expresados por medio de sustantivos y la relación entre dos conceptos por medio de verbos o preposiciones.Se ha promovido su uso en el campo educativo para investigar el entendimiento de un tema en particular por parte de los estudiantes para construir conocimiento y para evaluarlo. Los nodos representan los conceptos y las ligas representan la relación entre dos nodos conectados. los mapas conceptuales tienen un potencial importante para el diseño y navegación de sitios Web (por su propia representación gráfica) y como una herramienta de interacción grupal. Novak. En inteligencia artificial se desarrollaron las llamadas redes semánticas usadas en forma extensiva para la representación formal del conocimiento. En relación a los AVA. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 141 . Mapa Conceptual sobre Mapas Conceptuales (Joseph D. Los mapas conceptuales pueden emplearse para: • Generar ideas. Una vez determinado el concepto principal. Con estos elementos se puede construir un mapa conceptual primitivo que irá evolucionando con nuevos conceptos. • representar estructuras complejas. nuevas relaciones. Existen diversos programas de cómputo para la construcción de mapas conceptuales (se incluyen algunas ligas de Internet al final). Pueden existir referencias cruzadas entre conceptos pertenecientes a regiones distantes dentro del mapa conceptual.bidireccionales o simplemente asociativas. quien estableció la gran importancia del conocimiento previo para aprendizaje de nuevos conceptos. tratando de jerarquizar los conceptos. Cada vez que se revise puede ser enriquecido. • desarrollo curricular Está técnica fue desarrollada inicialmente por el profesor Joseph D. así como información relacionada con los mapas conceptuales. Otra característica de los mapas conceptuales es que los conceptos se representan en forma jerárquica con los más generales en la parte superior y más particulares en la inferior. Para aprender a construir mapas conceptuales es recomendable comenzar con temas que uno mismo domine y saber el contexto en que se utilizará. Novak de la Universidad de Cornell durante lo años 1960. • evaluar el conocimiento de un tema específico. Es importante mencionar que un mapa conceptual jamás se termina. lo que enriquece las relaciones de los propios conceptos. el siguiente paso consiste en identificar otros conceptos importantes relacionados al original. El Instituto para el Conocimiento Humano y de Máquinas de la Universidad de West Florida ha desarrollado una herramienta para tal fin llamada Cmap. Esto puede llevarse a cabo como una lluvia de ideas. El software es libre y puede obtenerse en el sitio del Instituto. • comunicar ideas elaboradas. Para establecer la estructura jerárquica también debe limitarse la extensión del dominio. relaciones cruzadas y nuevas estructuras. Los conceptos pueden categorizarse de acuerdo a características causales o temporales. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 142 . Novak concluyó que el aprendizaje valioso incluye la asimilación de nuevos conceptos y proposiciones dentro de las estructuras cognoscitivas existentes. Su trabajo se basa en las ideas de Ausubel. • integrar conocimientos a partir de una base común. BBC Books Ligas en Internet Sitio del Instituto de conocimiento de la Universidad de West Florida. Learning How to Learn.coco.D.Mapa Conceptual sobre Ambientes Virtuales de Aprendizaje Bibliografía Novak..uk/ http://trochim. & D.uwf. Tony.cornell.edu/kb/conmap.human. New York And Cambridge. UK: Cambridge University Press Buzan. (1993). sobre mapas conceptuales contiene una herramienta para su creación http://cmap.co.Gowin (1984). J. UK.B.edu/ Otras herramienta para crear mapas conceptuales http://www.coginst. The Mind Map Book.London.htm ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 143 . com/~emagic/mindmap.com/ afb.31/7/2000 ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 144 .html Herramienta para crear mapas mentales http://mindman.std.http://world. Esta situación ha provocado una gran preocupación entre otros investigadores en didáctica de la matemática. Gutiérrez. Greeno (1994). 1. como método ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 145 . da una respuesta inequívoca: «Absolutamente. Introducción En los últimos treinta años la demostración ha asumido un papel cada vez menos importante en el curriculum de la escuela secundaria estadunidense. que la demostración no tenía un papel fundamental en la teoría y en la práctica matemática y que su uso en la práctica didáctica no favorece. La influencia de estos desarrollos ha sido reforzada por las proclamas de algunos investigadores en didáctica de las matemáticas. la creciente consideración en la cual se considera la experimentación en matemáticas y la invención de nuevos tipos de demostración que se separan de los criterios tradicionales. 21-34. En este trabajo se afirma que ninguna de las posiciones tomadas en consideración debilita la importancia del valor de la demostración y que muchas de las afirmaciones basadas en aquellas posiciones están simplemente equivocadas o son debidas a malentendidos (sobre todo de parte de quien se ocupa de didáctica de las matemáticas). y se publicó titulado como: "The ongoing value of proof". el aprendizaje. Traducción al español por Víctor Larios Osorio (Depto. ha centrado la atención sobre los malentendidos ligados a la naturaleza de la demostración: «Relativamente a la práctica didáctica.El valor permanente de la demostración Gila Hanna Texto de la conferencia plenaria presentada en el Congreso PME 20. pp. por sí mismo. indicando que la demostración no es central para la actividad de descubrimiento en matemáticas. Proceedings of PME 20. de Ingeniería. Fac. que las matemáticas son en cada caso falibles y que la demostración es una clase de afrenta autoritaria a los valores sociales modernos y que puede también obstaculizar la actividad de aprendizaje a determinadas personas. Esto que ha sucedido puede ser explicado en parte por el hecho de que muchos docentes de matemáticas han sido inducidos a creer. UAQ. y L. Parece además que muchos piensan haber resuelto los añejos problemas de la enseñanza de la demostración limitándose simplemente a no tomarla en consideración. por ejemplo.270). Puig (editores). de Matemáticas del CICFM. inspirados en parte por el trabajo de Lakatos. A. España (Valencia). Se sostiene que la demostración debe jugar un papel de importancia primaria en el currículum. Vol. han llevado a hipotizar que los matemáticos aceptarán tales formas de validación en lugar de las demostraciones. 1996. 1999). En la investigación misma el uso de las demostraciones asistidas por la computadora. por algunos desarrollos de las matemáticas y de la investigación en la educación matemática. contestando a la pregunta «¿Tenemos necesidad de la demostración en la didáctica de las matemáticas?». ya sea porque continúa siendo una característica central de la misma práctica matemática. ¿Debo decir más? Absolutamente». También Schoenfeld (1994). estoy alarmado por la tendencia de hacer desaparecer la demostración de las matemáticas preuniversitarias y creo que a esto se podría poner remedio mediante una mayor toma de conciencia del significado epistemológico de la demostración en matemática» (p. aparecido en el número de octubre de 1993. por parte de los matemáticos de profesión. y así los matemáticos han explorado las consecuencias que estas limitaciones podrían tener para la investigación. en las Notices of the American Mathematical Society titulado "Theorems for a price: Tomorrow’s semi-rigorous mathematical culture". Además prevé que todos los matemáticos aceptarán tal "semi-rigor" como una forma legítima de validación matemática. Esta es una limitación de tipo teórico. pero más a buen precio. Habrán siempre problemas cuya resolución requiere demasiado tiempo o excesivos recursos económicos. en la parte teórica. Demostraciones en la computadora y una cultura potencialmente semi-rigurosa Uno de los desarrollos que ha empujado el anuncio de Horgan es el uso de la computadora para construir o validar demostraciones muy largas. no obstante el continuo aumento de la capacidad de cálculo de las computadoras. Estas demostraciones requieren cálculos tan largos que no podrían ser realizados o incluso verificados por un ser humano. En un artículo publicado en 1993. Presenta el ejemplo de la teoría algorítmica de la demostración para las identidades hipergeométricas. como la demostración recientemente publicada del teorema de los cuatro colores (Apper y Haken) o la solución del "problema de la recepción" [1] (Radziszowski y McKay). en cambio. son demostrables fácilmente. Ya que «las demostraciones absolutas se hacen cada vez más costosas». Ya que también las computadoras y los programas pueden equivocarse. un colaborador de la revista Scientific American. optando por la menos costosa "quasi certeza". afirma. Concluye que los matemáticos elegirán limitar el monto de los recursos de cálculo aun para aquellos teoremas que. los matemáticos harán uso de demostraciones que serán menos completas. Las demostraciones con computadoras no son la excepción.privilegiado de validación. si no es que hasta el tiempo que tiene de vida. John Horgan (1993). donde no hay escasez de algoritmos bien notados. frente a tiempos impracticables o a costos prohibitivos. ya sea porque es un instrumento válido para favorecer la comprensión. Una previsión es que los matemáticos. el matemático Doron Zeilberger pronostica que con el advenimiento de las demostraciones con computadora un «nuevo testamento deberá ser escrito». El problema es que cualquier caso presenta cálculos que aun con las computadoras actuales requieren demasiado tiempo para ser ejecutados que agotarían los recursos económicos que tiene a disposición el investigador. la toma de posiciones diametralmente opuestas: quienes continúan creyendo importante la demostración en la actividad matemática y quienes anuncian. su muerte inminente. optarán por unas matemáticas "semi-rigurosas". pero el cálculo automático tiene también limitaciones de orden práctico. ahora los matemáticos deberían aceptar que las proposiciones demostradas de esta manera podrían ser sólo provisionalmente verdaderas. hace propia esta predicción en un artículo titulado "The death of proof". ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 146 . La Influencia de los desarrollos en la Investigación en Matemáticas Desarrollos recientes en la investigación matemática (la mayor parte de los cuales reflejan en algún modo el creciente uso de las computadoras) han provocado. Esto contrasta claramente con el método tradicional en el cual una demostración es aceptada. a la larga podrían revelarse costosas. puedo atreverme a decir. Como efecto los resultados italianos en geometría algebraica fueron considerados no creíbles hasta que diversos matemáticos. Se trata de un protocolo interactivo que involucra dos interlocutores. belleza» (p. basada en el intercambio de opiniones entre matemáticos. Los autores de este concepto han mostrado que es posible reescribir una demostración (en cada detalle. él mismo sin embargo tiene conocimiento cero de la demostración misma y por lo tanto no está en la posición de convencer a otros. La situación se deterioró finalmente al grado que «parece que habían voces no controladas sobre el hecho de que un verdadero triunfo para un geómetra algebraico italiano estaría constituido por el demostrar un nuevo teorema y contemporáneamente proponer un contraejemplo» (p. generalmente a buen precio. Otra interesante innovación es aquella de la demostración holográfica (Babai. Otras ya han subrayado que demostraciones no-rigurosas. Pone la condición a quien demuestra de proveer al otro un testimonio evidente de que la demostración existe.1993). por decirlo así. usando un lenguaje formal) de manera tal que si hay un error en un punto de la demostración original éste se ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 147 . Como la demostración a conocimiento cero.1994. la característica más significativa del método a conocimiento cero es que está completamente en contraste con la idea tradicional de demostración como producto abierto a una inspección. Como resultado de tal interacción el revisor se convence que el teorema en cuestión es verdadero y que su interlocutor conoce una demostración. entre ellos Emmy Nöther. El que ciertos algoritmos se presenten demasiado costosos para ser ejecutados. este concepto ha sido introducido por los informáticos en colaboración con los matemáticos. Nuevos tipos de demostraciones Dudas de fondo se han levantado por nuevos tipos de demostración que tienen poco en común con la forma tradicional. originalmente definido por Goldwasser.1986). [4] más que controlando cada paso.2). así que no es sorprendente que las afirmaciones de Zeilberger hayan sido rápidamente puestas a discusión por otro matemático. Saunders MacLane (1996) relataba que en Italia entre los años 1880-1920 fueron publicados varios resultados de geometría algebraica no demostrados rigurosamente. sin dar ninguna información sobre la demostración misma. Micali y Rackoff (1985). Consiste en transformar una demostración en.Una conjetura en matemáticas está siempre considerada no más que una conjetura hasta que no sea demostrada. una forma transparente que es verificada por revisores a "vuelo de pájaro". En teoría la demostración a conocimiento cero puede ser conducida con o sin computadora. el demostrador y el revisor.17). no significa que los matemáticos ahora abandonarán la idea de la demostración con su «gran intuición y. Para lo que nos interesa. Un desarrollo particularmente interesante es el concepto recientemente introducido de demostración a conocimiento cero [3] (Blum. Cipra. sin embargo. no aclararon los puntos críticos aplicando criterios de demostración mucho más rigurosos. En un artículo publicado en el Mathematical intelligencer (1994) con el título perentorio "La morte de la dimostrazione? Matematica semi-rigorosa? Ma chi volete prendere in giro?" [2] George Andrews sostiene que el testimonio de Zeilberger simplemente no es convincente. la probabilidad de que una demostración errónea sea aceptada como correcta puede ser expresada tan pequeña a placer (sería obviamente no infinitamente pequeña). contrasta completamente con la idea tradicional de demostración en matemáticas. visto como una forma de justificación matemática. indudablemente habrían usado aún más la experimentación si hubieran tenido los medios. sin embargo los matemáticos han conducido experimentos para formular y probar [6] conjeturas (bien conscientes que tales pruebas no constituyen una demostración). sin embargo. las demostraciones holográficas y la producción y verificación de demostraciones extremadamente largas como aquella del teorema de los cuatro colores son factibles sólo gracias a las computadoras. donde los matemáticos usan la computadora gráfica [5] para examinar las propiedades de los hipercubos en cuatro dimensiones y de otras figuras. estirado y dándole la vuelta a una esfera. Matemáticas experimentales Las demostraciones a conocimiento cero. Los primeros matemáticos. algunos ahora lo ven como legitimación de un compromiso en las matemáticas experimentales. Lo que parece ser nuevo es que un número cada vez mayor de matemáticos emplea precisamente el tiempo casi exclusivamente en la experimentación. Existe quien está de acuerdo además de lo de la comunicación. Destacándose claramente de la práctica anterior. en el sentido de que permanecen como demostraciones analíticas. reivindicando en este modo la importancia que le pertenece por derecho. porque no satisface el requisito de que cada uno de las pasos esté abierta al control. Ciertamente han recibido mayor atención y recursos como consecuencia del crecimiento de sectores orientados a lo gráfico como la teoría del caos y la dinámica no lineal. como una a conocimiento cero. Así para determinar si una demostración está exenta de errores se necesita sólo controlar acaso pasos seleccionados en la forma transparente. Entonces las actuales matemáticas experimentales no parecerían diferir en teoría de aquéllas que se han hecho desde el inicio. Entonces una demostración holográfica puede dar una casi-certeza. o para ver qué sucede desmenuzando. Horgan afirma que: ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 148 . Aún hoy usualmente no se asocian las matemáticas con la investigación empírica. Horgan cita varios matemáticos que sostienen que los métodos experimentales han adquirido una nueva respetabilidad. una demostración holográfica. No obstante. y es más el grado de casi-certeza puede ser precisamente cuantificado.expandirá más o menos regularmente en esa reescritura (la forma transparente). torciendo. Como consecuencia un número cada vez mayor de matemáticos ha llegado a apreciar la potencia de la computadora para comunicar conceptos matemáticos. parecen trabajar fuera de los confines de la demostración deductiva. confirmando experimentalmente propiedades matemáticas. Un número cada vez mayor de matemáticos. obligados a probar pocos casos. Usando una computadora para aumentar el número de las partes controladas. Un ejemplo adecuado es el centro de Geometría de la Universidad de Minnesota. Sin embargo también estos tipos innovadores de demostración son tradicionales. Algunos proponen una separación: que los resultados heurísticos sean aislados como una categoría en sí.76). Sugieren también denominaciones para los dos tipos de actividad. Jaffe y Quinn (1993).] algunos matemáticos están desafiando la noción de que la demostración formal sería el estándar supremo de la verdad. por ejemplo. no de eliminarlas.674). en un primer momento subrayaron el aumento potencial de la experimentación en la era de la computadora: «el uso de la computadora da a los matemáticos otra idea de la realidad y otro instrumento para investigar la corrección de un argumento matemático a través de ejemplos exploratorios» (1995.. Esto parecería redefinir la "matemática experimental" como una nueva disciplina que se auto-administra. algunos expertos piensan que la validez de ciertas proposiciones puede ser mejor establecida comparándolas con experimentos realizados en computadoras o con fenómenos del mundo real (p. en su artículo "Theoretical mathematics: Towards a cultural synthesis of mathematics and theoretical physics". no sujeta más a los criterios según por los cuales la verdad matemática está tradicionalmente juzgada. Una nueva división de las tareas en las matemáticas A pesar de que muchos matemáticos están muy preocupados que el reconocimiento de la experimentación como una actividad matemática válida en todos los aspectos pueda oscurecer el hecho de que sus resultados no pueden satisfacer los criterios de la demostración.. No están de acuerdo sobre lo que se debería hacer al respecto. subrayan cuán importante es distinguir inequívocamente entre resultados basados en la demostración rigurosa y aquellos basados en argumentos heurísticos.. si cualquier cosa debe ser hecha. por decirlo así. La consecuencia de esta opinión es que la experimentación está haciéndose no sólo una actividad matemática competente.] El objetivo de Experimental mathematics es jugar un papel en el descubrimiento de demostraciones formales.[. Sin embargo más adelante explican claro cómo opinan que la experimentación concuerda con el esquema matemático: «Se advierte que nosotros apreciamos las demostraciones: resultados sugeridos experimentalmente y que pueden ser demostrados son más esperados que aquellos conjeturales. [. el uso de la computadora en la investigación matemática lo acrecentará en muchos modos» (p.. Esta nueva publicación [7] difiere notablemente de las revistas tradicionales por el hecho de que publica los resultados de exploraciones en la computadora más que teoremas y demostraciones. lejos de minar el rigor..674). sino también una alternativa a la demostración.] Creemos que. La fundación en 1991 de la revista Experimental Mathematics puede ser vista como un presagio de una disciplina nueva e independiente. una forma igualmente válida de confirmación matemática. En su artículo "Experimentation and proof in mathematics" los directores de Experimental mathematics Epstein y Levy.p. Aunque ninguno aboga por deshacerse de las demostraciones completamente.. ¿Pero eso significa que sus directores piensen que la demostración está muerta? No parece que sea así. proponiendo que el primero sea ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 149 . (p.671) [. no sorprendentemente. es evidente que Glimm había llegado a la conclusión opuesta. como las llaman) a través de una nueva subdivisión de las tareas. juzga erróneo dividir las matemáticas sobre la base de criterios basados en el rigor. pero en las primeras fases de nuevos desarrollos. sino como ellos «hacen progresar la comprensión de las matemáticas en el hombre». Jaffe y Quinn están motivados por una preocupación de los criterios del rigor. Aunque no objeta sobre el papel de la demostración en la validación. que se han ganado la estima de sus colegas sobre todo demostrando teoremas. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 150 .] las matemáticas no tienen necesidad de copiar el estilo de la física experimental. que se empeñen todos en reconocer y en valorizar la entera gama de las actividades que mejoran la comprensión de la disciplina. ha respondido con un ensayo de dieciocho páginas titulado "On proof and progress in mathematics".. Los otros quince matemáticos importantes han dado respuestas más breves.178). por ejemplo..193). propone a los matemáticos.184). con lo cual entienden heurísticas o conjeturales. dieciséis de las cuales en el Bulletin of the American Mathematical Society (1994). Si bien fuese empujado. William Thurston. sería suficiente identificar y acoger las matemáticas heurísticas como una disciplina separada (si bien quizá inferior). Pero las respuestas también han revelado diferentes ideas sobre el papel de la demostración rigurosa.. Las matemáticas se fundan en la demostración —y la demostración es eterna» (p. En consecuencia. para impedir la afirmación de las matemáticas experimentales como método digno a la par de la demostración rigurosa. Sugieren que las matemáticas no rigurosas sean consideradas por derecho una rama válida de las matemáticas y que los matemáticos sean valorados con los criterios de la rama a la cual decidieron pertenecer. 1994). Mientras Jaffe y Quinn parecen opinar que. por la crecida de las matemáticas experimentales y por una preocupación por el rigor. aun cuando es posible». en el cual se opone a la división sugerida por Jaffe y Quinn. Saunders MacLane ha afirmado que «[. y. lo determina como el principal valor por la posibilidad que ofrece para comunicar ideas y generar comprensión. que proponen preservar aislando las matemáticas rigurosas de las no rigurosas (o "matemáticas especulativas". La mayoría ha rehusado la propuesta anticipada por Jaffe y Quinn de reconocer dos brazos separados de la actividad matemática (Atiyah et al. en consecuencia. Y. mientras Atiyah concede que «Quizá ahora tenemos criterios severos de demostración a los cuales aspirar. Glimm parece temer que tal aislamiento tendría el efecto opuesto de permitir a la heurística avanzar hacia una pretensión análoga. Opina que la pregunta importante no es «¿cómo demuestran los matemáticos los teoremas?» o «¿cómo los matemáticos hacen progresos en matemáticas?». La propuesta de que los matemáticos sean divididos en dos campos ha traído inmediatas y varias reacciones. James Glimm ha escrito que si las matemáticas deben hacer frente a la «fuerte expansión de la actividad conjetural» será necesario adherirse al «criterio absoluto de un razonamiento lógicamente correcto que se ha desarrollado y probado en la prueba de fuego de la historia» (p. debemos estar preparados para actuar con un estilo más piratesco» (p. Mandelbrot afirmó que el rigor es «no pertinente (sic) y usualmente distrae. como lo eran Jaffe y Quinn.llamado "matemáticas rigurosas" y el segundo "matemáticas especulativas". entre los filósofos de las matemáticas (Agassi. Feyerabend. este método no consigue ni siquiera explicar algunos eventos importantes del descubrimiento matemático. Cualquier cosa que fuesen sus estimaciones sobre el pensamiento de Lakatos considerado en su totalidad. como era la mayoría. Aquellos que estaban de acuerdo.1975. así de fascinante. Este estudio dio luz sobre muchos aspectos de la actividad matemática que anteriormente no habían sido apreciados. De todos modos. publicadas inicialmente en una disertación en 1961 y seguidas por Proof and refutations en 1976. También los matemáticos profesionistas fueron atacados en su trabajo. existe un notable grado de acuerdo. El método del análisis de la demostración es sin falta seductor. a menudo confusamente. en particular. pero el hecho de que pudiera ser considerado un método general válido se funda en un solo ejemplo. No es sorprendente que un nuevo modo. ya sea por desacuerdo sobre la naturaleza de la verdad en matemáticas. de mirar al descubrimiento matemático enmascarara sus lados débiles. el estudio de los poliedros. Todos los participantes parecen estar de acuerdo con Albert Schwartz que las matemáticas heurísticas es una parte importante y legítima de su disciplina (p.1983). Las ideas de Lakatos fueron llevadas a la atención de quienes se ocupan de didáctica de las matemáticas principalmente por Davis y Hersh (1981) en su libro The Mathematical experience.1979.198). En todo caso en la reciente discusión alimentada por Jaffe y Quinn. con la cuestión del papel de la demostración como árbitro de la verdad en matemáticas.Se debería agregar que Mandelbrot en la respuesta mueve objeciones a la costumbre difundida de dar crédito sólo a aquellos que demuestran conjeturas. Su entusiasta exposición hizo que la aproximación de Lakatos obtuviese gran consideración en el ambiente de la educación matemática.1981. Hacking. de que los matemáticos deberían dar un mayor reconocimiento a aquél que alcanzara resultados heurísticos interesantes y constructivos. menospreciando a aquellos que sobre todo las produjeron. Cierto es que en estas controversias la cuestión de la importancia y del prestigio de la heurística está enredada. No dice nada acerca de la investigación en la teoría de conjuntos y sobre la aceptación de la ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 151 . provocaron un debate cerrado entre filósofos y. Lehman. La influencia de Lakatos Las ideas de Imre Lakatos. eran llevados a aceptar la principal intuición de Lakatos y ésta es que la crítica y el control sobre los resultados conseguidos en la investigación matemática han sido la fuerza motriz del crecimiento del conocimiento de la disciplina. un campo en el cual es relativamente fácil proponer los contraejemplos necesarios. y por muchos matemáticos la explicación de Lakatos sobre las dinámicas del descubrimiento matemático sonaba bien. tanto que se opinó de poderlo aplicar en matemáticas más allá de cuanto en efecto pudo ser aplicado. Steiner. particularmente en el estudio detallado de cómo ha evolucionado en el tiempo la demostración del teorema de Euler. Pero ninguno ha insinuado que los matemáticos hacen su trabajo sin presentar el objetivo del control final de la demostración.1980. eran todavía de la opinión de que tales resultados se queden como conjeturas hasta que no sean validadas con la demostración. En verdad no se puede ignorar que las recientes controversias sobre el papel de la experimentación y de otras aproximaciones heurísticas pueden ser motivadas ya sea por un interés en el reconocimiento profesional. relativamente a los tantos descubrimientos matemáticos que no han partido de una conjetura. Inicialmente el teorema de Euler era falso. no apenas haya sido formulada una definición adecuada. por ejemplo. Describiendo el proceso heurístico. efectivamente. En su interpretación de la historia del teorema de Euler para un poliedro. el teorema puede ser demostrado en cada caso posible sin discusiones posteriores.9). a una demostración que satisface los criterios aceptados por la certeza matemática. en efecto. o uno similar.. El teorema ha sido "analitizado" [8]». ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 152 . describiendo un proceso más general que lleva a demostraciones y refutaciones a interactuar. la teoría elemental de grupos corre pocos riesgos.p. de llevar una crítica al deductivismo en matemáticas paralela a la crítica de Popper al intuicionismo de las ciencias físicas. para usar el término de Bourbaki) efectivamente. la verdad es que cuando un matemático emprende el método heurístico que Lakatos describe. Cada vez que un matemático trabaje con definiciones adecuadas (o en un adecuado "escenario conceptual". En primer lugar. Considerando "la inducción" en el sentido de verificar las leyes generales sobre la base de datos observados. aspira a hacer las matemáticas "ciertas e infalibles". V-A+C=2 (donde V es el número de vértices... sin embargo. o lo relativo a la aparición del análisis no estándar. No es difícil. Lakatos describe un experimento mental en el cual se imagina estirar un poliedro de goma observando los resultados de esta manipulación. Por ejemplo.38). en su opinión. Continúa. en su caso la teoría original informal ha sido así de radicalmente reemplazada por la axiomática que las refutaciones heurísticas parecen ser inconcebibles En Proofs and refutations Lakatos define la demostración como un «experimento mental [. en realidad. en "A renaissance of empiricism in the recent philosophy of mathematics" (1978. de modo específico. Lakatos mismo dice: No todas las teorías matemáticas formales se encuentran en el mismo peligro de refutación heurística. En el caso del teorema de Euler. Lakatos esperó hacer ver que la verificación en matemáticas no se funda. al final es verdadero. lo hace casi siempre con el propósito de llegar a la certeza. sobre el "deductivismo euclídeo". Análogamente. la refutación es redundante.] una descomposición de la conjetura original en subconjeturas o lemas» (p. Popper esperó mostrar que «la ciencia empírica no se basa en realidad sobre un principio de inducción» (Putnam. el largo proceso heurístico ha llevado. por ejemplo. sin embargo. Lakatos ataca constantemente esto que él llama "el programa euclídeo".. Como Ian Hacking (1979) escribe: «La discusión crítica puede hacerse en modo que una conjetura evolucione en una verdad lógica. Al contrario.axiomática de Zermelo-Fränkel. el proceso de demostración no es del tipo de refutación heurística. Esta aproximación puede ser vista como una tentativa de analizar las matemáticas desde el punto de vista de Popper. También en la demostración del teorema de Euler tomada en consideración por Lakatos. citar casos en los cuales se ha encontrado una demostración o se ha hecho un descubrimiento matemático de manera radicalmente diferente al proceso de refutación heurística descrito en Proofs and refutations . por ejemplo. A el número de aristas y C el número de caras). genera contraejemplos y "falsificadores informales". que. o.1987). hace nacer buenas conjeturas y termina con un resultado bien formulado. Ha habido siempre una necesidad de justificar nuevos resultados (y a menudo.En segundo lugar. solicitud de opinión.) Asimismo los conceptos de "falsificadores informales" y de "falibilidad" de las matemáticas parecen haber llevado a muchos que se interesan en didáctica de las matemáticas a creer que se debería eliminar cada referencia a las matemáticas "formales" en el curriculum y.forum. sino del mismo método de demostraciones y refutaciones! (p. una demanda que se remonta a Aristóteles y Euclides. sino. el concepto de falsacionismo [9] podría verse como irrelevante. de mostrar algunas de sus ideas en modo excesivamente dramático. del mismo modo. Ernest. no sólo de su falsacionismo. la demostración formal nace como una respuesta a una demanda continua de justificación. pero temo sea del todo engañoso para aquel que le atañen las matemáticas en general» (septiembre 1995. quizás con buenos motivos. por ejemplo. sino más bien en la ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 153 . que en seguida han sido corregidos. en palabras que parecen poder resumir esta discusión.1992. sino más bien el espacio que el poliedro divide» (p. despidió la certeza y la infalibilidad con la expresión bastante dramática: «no es posible conocer. se puede sólo conjeturar» y esto ha llevado a muchos de quienes se ocupan de didáctica de las matemáticas a presentar como provisional todo el conocimiento matemático. que se debería renunciar a las demostraciones formales (Dossey. demuestra que «se puede tener progreso sin falsacionismo» (p. Mark Steiner ha mostrado que a los ojos de los topólogos contemporáneos. algunos educadores en matemáticas han tomado a la letra muchas de ellas y han buscado transferirlas directamente a la práctica didáctica. www.edu). no siempre en el sentido limitado de definir su verdad. resultados precedentes). Esta actitud es seguramente contraproducente.swarthmore. (Indica también que la demostración moderna despliega más respeto que aquella del siglo XIX que Lakatos ha estudiado. En primer lugar. Conway añade: Es contraproducente tomar este ejemplo (el de Euler) como típico del desarrollo de las matemáticas.1991). John Conway ha confirmado recientemente que Proofs and refutations de Lakatos «es un libro muy interesante. Mientras Lakatos pueda ser elegido. al teorema de Euler «no le atañe un poliedro. la demostración inicial podría no completamente satisfacer los requisitos actualmente pedidos a una demostración. como en el teorema de Euler. la discusión ha sido llevada adelante por varios siglos. el realismo matemático de Lakatos puede ser convenientemente liberado. pero han habido bien pocos casos en los cuales.514).510).521). en particular. La mayor parte de los teoremas de las matemáticas inicia con la demostración y se detiene con la demostración. En muchos casos han habido errores u omisiones en el primer intento de demostración. pero ésta es una cuestión del todo insignificante. a través de Frege y Leibniz. Él mismo. Pasemos ahora a considerar las dificultades que pueden surgir aplicando las ideas de Lakatos en la práctica didáctica. Y.) Steiner llega a la conclusión de que la historia del teorema de Euler en el siglo XX no sólo suministra un ejemplo en el cual el modelo de Lakatos no funciona. Afirma también que «no obstante el título de su libro. (No nos debería extrañar si ellos hubiesen estado dispuestos a fundar un proyecto de investigación con el objetivo de encontrar el número primo más grande o un contraejemplo al teorema de Pitágoras. más significativamente. No parece ni siquiera razonable asumir que las conclusiones de Gödel se habrían podido obtener gracias a un descubrimiento de un contraejemplo («eliminación de la monstruosidad») seguido por una negativa («arreglo de la monstruosidad»).1994).1994. Al contrario. Su demostración no habría podido. ser producida en unas matemáticas informales o reducida a una inspección directa. y la rigurosa en particular. Las famosas demostraciones de incompletez de Gödel son otro ejemplo. las mismas demostraciones formales han a menudo suministrado contraejemplos a definiciones o a teorías anteriormente aceptadas. infalibles. Esta afirmación debe mucho a Lakatos (1976). y se basa en la demostración más formal de Gödel. es cuando alguien que se ocupa de didáctica sostiene que la demostración formal y el rigor deberían ser eliminados del currículum. Bastante curioso. de que la demostración es un elemento clave para una imagen autoritaria de las matemáticas (Confrey. En segundo lugar.más amplia acepción de suministrar razones para su plausibilidad. Parecen opinar que la demostración en general. es un error pensar que el currículum reflejaría mayormente la investigación matemática si se limitase al uso informal de los contraejemplos. con una interesante y divertida trama. las demostraciones formales han sido utilizadas para demostrar que el método axiomático mismo tiene limitaciones intrínsecas. Por ejemplo. como Mark Steiner (1983) puntualiza. La influencia de los aspectos sociales Muchos de aquellos que se ocupan de didáctica de las matemáticas han indicado el estatuto de la demostración llevando adelante la afirmación.1991. que imponen no someterse a la autoridad y de no considerar cada conocimiento como si fuese infalible o irrefutable. ciertamente. irrefutables». La demostración formal ha sido y es una respuesta suficientemente útil a esta preocupación por la justificación. La historia de las matemáticas muestra claramente que no es verdad. En este caso. que sólo la heurística y otros aspectos "informales" de las matemáticas son capaces de ofrecer contraejemplos. Ernest. Gödel no habría podido producir estas demostraciones sin utilizar un sistema notacional que consiste en expresar los enunciados de la aritmética y proveer una codificación sistemática de la lógica formal. como estaba hecho en los Principia con la intención de demostrar la tesis de Frege-Russell de que las matemáticas pueden ser reconducidas a la lógica. como Lakatos parece haber insinuado. o por el descubrimiento de excepciones inexplicables («eliminación de excepciones») o suposiciones no declaradas («lemas escondidos»). que. no sólo desafió el «programa euclídeo» en cuanto «matemáticas autoritarias. como ya dije. ya propuesta por otros educadores. Lo que los defensores de esta posición quisieran agregar es que el punto de vista "euclídeo" está en conflicto con los actuales valores de la sociedad. Peano encontró un contraejemplo a la definición de curva como «el camino de un punto que se mueve con continuidad» mostrando formalmente que un punto móvil puede cubrir una región bidimensional. es un mecanismo de control empuñado por un sistema autoritario para ayudar a imponer a los estudiantes un cuerpo de conocimientos infalibles e irrefutables. pero escribió también de los peligros de unas matemáticas de élite. Nickson. no obstante. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 154 . lo que es difícil de entender hasta el fondo. Una demostración es un razonamiento transparente. Si bien el uso que hacen del término a priori no es del todo claro. De hecho es verdad lo opuesto. Los matemáticos se inclinan a hacer errores como casi ningún otro. es claro que cada verdad matemática obtenida mediante una demostración o una serie de demostraciones es una verdad relativa. en las demostraciones y otras partes.1991). Naturalmente se podría afirmar que el uso de la demostración requiere que el estudiante acepte ciertas reglas de deducción "autoritarias" y así llevar el argumento sobre un nuevo plano metamatemático. una demostración suministrada por un matemático de conocida reputación debería ser tomada inicialmente con el beneficio de la duda. Los defensores de esta afirmación ven un conflicto entre esta idea y precisamente el punto de vista de que las matemáticas son una «construcción social» (Ernest. más que absoluta. pero sería difícil afirmar que recientemente haya existido un consenso entre los educadores sobre aquéllo que las matemáticas deberían ser. Ciertamente. qué cosa quiere decir que las matemáticas o la demostración matemática es "autoritaria". en el cual todas las afirmaciones usadas y todas las reglas de razonamiento son claramente expuestas y abiertas a las críticas. El uso de la demostración en la práctica didáctica ha sido también llamado a causa del hecho que alienta la idea de las matemáticas como ciencia a priori . Pero la proclama parece ser que el verdadero uso de la demostración es que sea autoritaria. En cada caso es por lo menos singular que la demostración sea hecha el principal blanco de lo que en definitiva debería ser nada más que un deseo mal dirigido de imponer toda clase de correctitud política en la educación matemática. Sería desconcertante ver a los docentes de matemáticas alinearse en posiciones como son aquellas de una revolución contra la racionalidad misma. y en ese sentido. el hecho de que este matemático sea considerado una autoridad por los otros matemáticos.Ahora. parecería que lo que rechazan no es el hecho de que ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 155 . en el sentido de que su validez se fundamenta sobre otras verdades matemáticas y sus reglas de razonamiento que están supuestas. Examinando el argumento de discusión desde el punto de vista teórico. en primer lugar. Así es difícil ver precisamente cómo la demostración refuerza la infalibilidad. No es fácil de entender. Asimismo es difícil entender cómo el uso de la demostración refuerza la idea de que las matemáticas sean infalibles. que no tienen necesidad de remitirse a una autoridad. puede ser verdad que las matemáticas hayan sido a veces presentadas como infalibles y hayan sido pensadas de modo autoritario. La demostración lleva a los estudiantes el mensaje de que pueden razonar con su propia cabeza. podría jugar algún papel en la eventual aceptación de la demostración. Pero se debería esperar que aquellos que impugnan el papel de la demostración no impugnen hasta la noción de regla de razonamiento. Por lo tanto el uso de la demostración en la práctica didáctica es realmente "anti-autoritario". y el concepto debería aparecer irrelevante para la enseñanza de las matemáticas en general y para aquello de la demostración en particular. La misma naturaleza de la demostración impone que la validez de las conclusiones deriva de la demostración misma. La historia de las matemáticas puede ofrecer muchos ejemplos de resultados errados que son después corregidos. no de una autoridad externa. Ni siquiera la infalibilidad parece ser una asunción de la práctica matemática. 217).213). En cada caso es una cuestión de grado de rigor. Como Kitcher escribe: «Exigir rigor en matemáticas es requerir un conjunto de razonamientos que están en una relación particular con el conjunto de los razonamientos que son generalmente aceptados» (p. en términos de ganancia cognitiva. Este parecería ser el clima justo para hacer de la mayor parte de las demostraciones un instrumento de explicación y para ejercitarlas como una forma definitiva de justificación matemática. en el sentido de ser analítica. Pero para que esto suceda. a contrapesar el costo que implica el sacrificio de habilidad en la resolución de problemas [10]». dado que su objetivo es seguramente aquel de favorecer la comprensión. sino suficiente rigor para favorecer la compresión o para convencer. Epilogo: la demostración en clase Con el actual énfasis en la enseñanza "significativa" de las matemáticas.. Kitcher (1984) tiene seguramente razón cuando dice que perseguir demostraciones y rigor en matemáticas no implica un compromiso de mirar a las matemáticas como un cuerpo de conocimientos a priori . En la práctica didáctica no es necesario perseguir formas de rigor absoluto. Se debería sugerir de adoptar esta línea de comportamiento a aquellos que se ocupan de didáctica de las matemáticas. se debe enseñarles la demostración. pre-existentes. no empírica. el hecho de que el conjunto de los razonamientos generalmente aceptados sea pensado como dado a priori o como construido socialmente no tiene relación con el valor de la demostración en la práctica didáctica. como sucede en física. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 156 . en cuanto al hecho de que sean a priori en el sentido de dadas. Agrega que los matemáticos se preocupan de la carencia de rigor sólo cuando «entienden que su actual comprensión [. Todavía en la actividad matemática el nivel del rigor es a menudo una elección pragmática. Es el docente quien debe juzgar cuándo vale la pena insistir en darle mayor atención a la demostración para promover el huidizo.. No es ni siquiera necesario hacerle así en la didáctica de las matemáticas. ¿Cuándo es razonable sustituir el razonamiento no riguroso con el riguroso? La respuesta de Kitcher es: «cuando las ventajas de la rigorización conducen. De todos modos. pero importantísimo objetivo didáctico que es la comprensión. en espera de ser descubiertas. todavía. Sobre este punto. deberían todavía más duramente impugnar el uso de la demostración rigurosa en particular. que podrían después convencer a sus compañeros. Los que impugnan el uso de la demostración en general. los estudiantes deben familiarizarse con los criterios del razonamiento matemático: en otras palabras.] es así de inadecuada que les impide afrontar los problemas urgentes que se encuentran en la investigación» (p.las matemáticas sean a priori . Naturalmente éste es un punto de vista sobre las matemáticas que podrían bien ver como opuesto a aquello de la «construcción social». Kitcher afirma que es bastante razonable aceptar un razonamiento no riguroso cuando se revela válido para resolver problemas. Un razonamiento presentado en forma suficientemente rigurosa iluminará y convencerá un mayor número de estudiantes. los docentes son alentados a dedicar atención a la explicación de los conceptos matemáticos y a los estudiantes es pedido justificar los resultados propios y las afirmaciones propias. • Davis.1. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 157 . aun más una demostración matemática. Todos sabemos bien que muchos estudiantes tienen dificultades para seguir cada clase de razonamiento lógico. • Epstein. P. • Ernest. • Feyeraband. The philosophy of mathematics education.: 1993. L.4. New York. 39-48. "Imre Lakatos". • Blum. por medio de la investigación y la experiencia en clase. n. v. "The death of proof? Semi-rigorous mathematics?". & Hersh.41. "The nature of mathematics: Its role and its influence". Macmillan.: 1980.J. • Atyah. 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A. que se refiere a la acción de probar si funciona algo (un auto. Originalmente es la conferencia plenaria presentada en el Congreso PME 20 (Valencia. 1996. y se publicó titulado como: "The ongoing value of proof". N. 21-34. del T. v. del T.: 1993. 236-252. y L.del T. 9-11 julio 1996). [3] En el original: dimostrazione a conoscenza zero. [1] En el original: il "problema del ricevimento". pp. Contenido en: Gutiérrez. del T. a diferencia del verbo provare. de Matemáticas del CICFM. [9] En el original: fallibilismo. en este caso si se cumple una conjetura). ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 159 . Notas. N.8. [8] En el original: "analiticizzato". 1. ** The Ontario Institute for Studies in Education. Notices of the American Mathematical Society. España (Valencia). [2] "¿La muerte de la demostración? ¿Matemáticas semi-rigurosas? ¿Pero a quién quieren tomarle el pelo?". ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 160 . Así se podrá hacer un seguimiento de las partes que va superando un estudiante en cada semestre. Como parte del trabajo sistemático que el profesor debe realizar es muy importante que aplique una evaluación de los antecedentes indispensables del curso. Muchos son los autores que han destacado el papel de lo que un estudiante sabe cuando va a emprender una experiencia de aprendizaje escolar. la AIM-NMS-IPN diseñó una nueva versión del examen de antecedentes para los alumnos de nuevo ingreso con la intención de aplicar el mismo tipo de examen al principio de cada semestre. así como desarrollar habilidades para comprender. como son: la resolución de problemas. En consecuencia. En el año 2000. incorporando una parte especialmente diseñada para los aspectos más pertinentes al curso que comienza. Es pues. comunicar y validar conjeturas. el propósito de las autoevaluaciones que el alumno pueda automedirse en algunos aspectos. no permiten observar aspectos como los mencionados. Pero para recoger información sobre determinadas adquisiciones. las habilidades operativas de algoritmos etc. algunas veces será útil tanto para el alumno cómo para el docente recurrir a la aplicación de exámenes escritos individuales. En cada examen de autoevaluación se retoman temas de las anteriores unidades con la idea fundamental de que no se olviden de ese conocimiento y para profundizar cada vez más en ellos. En el diseño del examen de antecedentes 2000 se empleó el cuadro de referencias del Ceneval aunque las preguntas no son de opción múltiple sino de respuesta breve con el registro del procedimiento en un formato especialmente diseñado. que si bien ayudan a evaluar algunos desempeños. la evaluación del curso toma en cuenta algo más que exámenes escritos individuales.6 . Evaluaciones y Autoevaluaciones La enseñanza de las matemáticas en el nivel medio superior del IPN tiene entre sus propósitos fomentar el trabajo en equipo y desarrollar la capacidad de los alumnos para producir. interpretar y valorar ideas matemáticas presentadas en diversas formas. Área=_____________ 13. 7. 25 5 = [ ] 9 3 1 9 4 10. 3 Una mercancía cuesta $200. Encuentra el área de cada uno de los rectángulos siguientes. 32÷4-5= Escribe el número que en el denominador hace que cada proposición sea verdadera. ¿Cuántas losetas se requieren para cubrir la totalidad de la habitación? 12. 3·4+5= 3. 3+4·5= 2. Si AB y CD son paralelas y el ángulo x mide 45° Encuentra la medida de y. ¿Cuál es el porcentaje de descuento total? ⋅ 11.50 metros por 6 metros y se cuenta con losetas cuadradas de 30 centímetros por 30 centímetros. (7+7·2)3= 5. ¿Cuánto se paga por la mercancía? 8. 1. Área=_____________ 14. Se tiene una habitación de 4. 32÷(4-5)= 6. 7+7·23= 4.Instituto Politécnico Nacional Dirección de Educación Media Superior Academia Institucional de Matemáticas Examen de Antecedentes para Estudiantes de Nuevo Ingreso 2001 Hoja 1 No escribas en esta hoja Efectúa las operaciones siguientes y escribe el resultado en forma simplificada. 15. se hacen dos descuentos sucesivos de 10% y 20%. + = [ ] 12 5 9. Las diagonales de un rombo miden 18 y 24 unidades. ¿cuánto mide cada lado del rombo? ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 161 . ¿cuánto cuesta cada cuaderno? 9 ° F = °C + 32 5 21. Un cuaderno cuesta $28 más que un lápiz. 17. En un año pasará __________ horas frente al televisor. determina el área de la región sombreada. 19. La fórmula para convertir grados Celsius (°C) a grados Fahrenheit (°F) es: 18. ¿Qué cantidad de grados Celsius corresponde a 70°F? 22. 2z+11=1 es: Una persona pasa frente al televisor cuatro horas diarias.Instituto Politécnico Nacional Dirección de Educación Media Superior Academia Institucional de Matemáticas Examen de Antecedentes para Estudiantes de Nuevo Ingreso 2001 Hoja 2 No escribas en esta hoja 16. ¿Cuánto cuesta cada artículo? 23. La suma de las soluciones de las ecuaciones 3x13=8x+2. y cinco lápices y dos cuadernos cuestan $91. Traza la gráfica de y=2x-3 24. El costo de “x+3” cuadernos es 75 pesos. En “t” años pasará __________ horas frente al televisor. El perímetro del cuadrado de la figura es de 8 metros. 20. Obtén la expresión algebraica de la función que tiene la gráfica siguiente: 5 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1 1 1 2 3 4 5 ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 162 2 3 4 . Instituto Politécnico Nacional Dirección de Educación Media Superior Academia Institucional de Matemáticas Examen de Antecedentes para Estudiantes de Nuevo Ingreso 2001 Nombre Boleta Grupo Hoja de Procedimientos 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 163 . Instituto Politécnico Nacional Dirección de Educación Media Superior Academia Institucional de Matemáticas Examen de Antecedentes para Estudiantes de Nuevo Ingreso 2001 Hoja de Procedimientos 2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 164 . Instituto Politécnico Nacional Dirección de Educación Media Superior Academia Institucional de Matemáticas Examen de Antecedentes para Estudiantes de Nuevo Ingreso 2001 Hoja de Respuestas Nombre: Boleta: CECyT: ¿En qué número de opción escogiste este CECyT: ¿Cuántos aciertos obtuviste en el examen de admisión (EXANI-1): Secundaria de procedencia: Pública ٱ Grupo: Particular ٱ Instrucciones: Escribe sólo la respuesta en el espacio correspondiente. 4 y 2 x 4 3 2 1 1 2 3 4 5 2 4 6 8 10 Resumen: Aritmética Álgebra Geometría Conceptos y Operaciones ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Resolución de Problemas Hoja 165 Global . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 166 Álgebra Ge Ál o ge m br etr a ía C y O R P To tal . Boleta Nombre Áritmética Datos Ex Op ani ció n Pú bli ca 1 2 3 4 5 6 Ar it 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 m éti ca Geometría 7 8 9 Nota: En escuela de procedencia 0 (cero) si es particular y 1 (uno) si es pública.Instituto Politécnico Nacional Dirección de Educación Media Superior Academia Institucional de Matemáticas Plantilla de Resultados del Examen de Antecedentes para Estudiantes de Nuevo Ingreso 2001 CECyT _______________________________________ Grupo ____________ Hoja _______ de _______. En cada reactivo 0 (cero) si la respuesta es errónea y 1 (uno) si es correcta. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 167 Global . además de permitir el análisis de las vías de solución y proporcionar información para la elaboración de reactivos de opción múltiple. Básicas. Por ejemplo. el CECyT y la DEMS incluirán las distribuciones de frecuencia correspondientes a cada columna. o La duración del examen será de 90 minutos.Observaciones sobre el examen de antecedentes. (Estadística Ceneval) o Se tendrá en la BSCW un archivo de Excel que contenga las fórmulas para hacer los reportes. Subdirecciones y Dirección). Así podemos diseñar un examen que nos permita averiguar cuestiones mejor definidas y usar los resultados del Ceneval como complemento. El resumen que se entregará a cada alumno contendrá: Nombre Aritmética Álgebra Geometría Conceptos y Operaciones Resolución de Problemas Los reportes para la Academia. Por grupo para la Academia. 19 y 20. Por CECyT para la DEMS. o Se generarán informes: Por estudiante para el grupo. o En este examen hay algunos reactivos que proporcionan información especialmente importante. para ellos y sus padres. los reactivos 12 y 13. o Es indispensable que consigamos los resultados específicos de Habilidad Matemática y Conocimientos Matemáticos de los estudiantes que optaron por el IPN. o La hoja de procedimientos tiene como objeto brindar al profesor del grupo información local para que pueda identificar mejor cuáles son las dificultades que el alumno no ha superado y cómo puede hacerlo. Por Academia para la Escuela (Pedagogía. o Se aplicará a los grupos formados. permitirán identificar a los alumnos que tienen ya un manejo (capacidad de representar y operar) de los números indeterminados. Orientación. y 18. una interpretación y un plan para superar las deficiencias detectadas. 2.2 Relaciones de orden 1.3.3 Potencias de 10 y notación científica y/o exponencial 1.1 Suma. 1 RP) Geometría 6 reactivos (5 CP. resta.3 Fracciones 1. según el Ceneval. 1 RP) Conceptos y Operaciones (CP-0) 20 reactivos Resolución de problemas (RP-1) 4 reactivos Temas considerados en el plan de estudios de la Secundaria. 2 RP) Álgebra 8 reactivos (7 CP.3 Mínimo común múltiplo y máximo común divisor 1.5 Proporcionalidad 1.2 Cálculo del valor numérico de polinomios con una variable ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 168 . resta.5.1 Números naturales 1. resta.5. multiplicación y división 1. resta y multiplicación 2.2 Números enteros 1.1 Suma.4.1. multiplicación y división 1.3.2 Relaciones de orden y equivalencia 1. multiplicación y división 1.4.2 Relaciones de orden y equivalencia 1.2 Relaciones de orden 1.4 Decimales 1.1 Suma.2 Porcentaje 2 Álgebra 2.2. HABILIDAD MATEMÁTICA 1 Sucesiones numéricas 2 Patrones numéricos 3 Series espaciales 4 Patrones espaciales 5 Problemas aritméticos 6 Problemas de razonamiento MATEMÁTICAS 1 Aritmética 1.Referencias del Examen de antecedentes para los estudiantes de nuevo ingreso 2001 Estructura: Aritmética 10 reactivos (8 CP.1 Proporcionalidad directa 1.1.4.1. multiplicación y división 1.1 Suma.1.1 Monomios y polinomios 2. resta.1.1 Suma. 2 Volumen 3.6.7.4 Polígonos 3.2 Gráfica de funciones: lineales y cuadráticas 3 Geometría 3.2.1 Lectura.1.3.1 Características de los poliedros 3. elaboración e interpretación de tablas y gráficas construidas a partir de fenómenos de las ciencias naturales y sociales 4.5. de área y volumen en una figura o cuerpo geométrico 3. 3.2 Medidas descriptivas 4.2 Cálculo de media.2 Ecuaciones 2.1 Ángulos entre paralelas y una secante 3.2.1 Solución de ecuaciones de primer grado con una y dos incógnitas 2.2 Solución de ecuaciones de segundo grado 2.2 Triángulos 3.2. un decimal y un porcentaje Efectúa las operaciones siguientes y escribe el resultado en forma simplificada.2.2 Transformación a escala sobre dimensiones lineales.6 Círculos 3.1 Regiones: semiplanos y franjas 2.1 Razones trigonométricas: seno. 4.7 Trigonometría 3. 1. segmentos y ángulos 3.2. 2.1 Cálculo de distancias inaccesibles 3.3.3 Semejanza 3. 3+4·5= 3·4+5= 7+7·23= (7+7·2)3= 32÷(4-5)= ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 169 .3.5 Sólidos 3.4.1 Clasificación 3.2.3 Plano cartesiano y funciones 2.1 Cálculo y expresión de la probabilidad de un evento como una fracción. mediana y moda 5 Probabilidad 5.2. 5.3.2 Ángulos interior y exterior 3. coseno y tangente 4 Presentación y tratamiento de la información 4.2 Perímetros y áreas 3.1 Rectas.1 Uso de porcentajes como índices o indicadores 4.3 Productos notables y factorización 2.5.4.3 Teorema de Pitágoras 3.2.1 Clasificación 3. 6.0) 14. CP) (3. Se tiene una habitación de 4.CP) (1. se hacen dos descuentos sucesivos de 10% y 20%.1) Encuentra el área de cada uno de los rectángulos siguientes.0) 11.2. 12.4. ¿Cuánto se paga por la mercancía? 8.5. 13. Área=_____________ Área=_____________ (Ge. Si AB y CD son paralelas y el ángulo x mide 45° Encuentra la medida de y.4.1) (1. 32÷4-5= (Ar. ¿Cuál es el porcentaje de descuento total? (Ar. CP) (1.RP) (1.0) (1. 7. + = 12 5 9.0) (1. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 170 .1) Escribe el número que en el denominador hace que cada proposición sea verdadera. (Ar.0) Una mercancía cuesta $200.0) (3.3.1) (3. 3 25 5 ⋅ = 9 3 1 9 4 10. RP) (3.50 metros por 6 metros y se cuenta con losetas cuadradas de 30 centímetros por 30 centímetros. ¿Cuántas losetas se requieren para cubrir la totalidad de la habitación? (Ge. 0) (3.1.0) (2.0) 16. ¿cuánto cuesta cada cuaderno? (Al.0) 15.0) La fórmula para convertir grados Celsius (°C) a grados Fahrenheit (°F) es: 9 ° F = °C + 32 5 21.1. CP) (2. (Al. CP) (3.1. El perímetro del cuadrado de la figura es de 8 metros. El costo de x+3 cuadernos es 75 pesos. 19. (Ge. ¿Qué cantidad de grados Celsius corresponde a 70°F? (Al. 2z+11=1 es: (Al. CP) (2.(Ge. CP) (2.0) 17.0) (2.0) ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 171 . Las diagonales de un rombo miden 18 y 24 ¿cuánto mide cada lado del rombo? (Ge.6. En un año pasará __________ horas frente al televisor. 20.2.0) (3. CP) (2. En un t años pasará __________ horas frente al televisor. determina el área de la región sombreada. CP) (3.1.0) 18.0) (2.0) (3.0) Una persona pasa frente al televisor cuatro horas diarias. CP) (3.2.0) (2. La suma de las soluciones de las ecuaciones 3x-13=8x+2. Obtén la expresión algebraica de la función que tiene la siguiente gráfica: 5 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 (Al. RP) (2.2.1) (2.22. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 172 . Un cuaderno cuesta $28 más que un lápiz y cinco lápices y dos cuadernos cuestan $91. CP) (2. Traza la gráfica de y=2x-3 4 y 2 x 4 3 2 1 1 2 3 4 5 2 4 6 8 10 (Al. ¿Cuánto cuesta cada artículo? (Al.0) (2.0) 24. CP) (2.0) (2.3.0) Como complemento al examen de antecedentes anterior se pueden incluir algunas preguntas sobre números relativos.1) 23.3. La tasa de inflación de este año fue: El 71% de la superficie de la Tierra está cubierta por agua y el resto es tierra firme. Pero las computadoras tienen un 15% de IVA. 33% son pantanos. 27% y 41%. El porcentaje de la superficie total cultivable de la Tierra es: El 8% de los habitantes de una ciudad fueron afectados por una cruel epidemia. ¿Qué porcentaje del precio nominal debe desembolsar un cliente en esta tienda por una computadora? Calificación: ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 173 . El incremento porcentual total en los dos años fue: Un país vive una crisis económica. De los afectados el 4% falleció a causa de la enfermedad.Nombre: Grupo: Fecha: El propietario de un departamento incrementa la renta a su inquilino 20% un año y 15% el año siguiente. 38%. el 40% es desierto o está cubierto de hielo. Sus tasas de inflación trimestrales fueron de 54%. bosques y montañas y el 27% es tierra cultivable. De la tierra firme. El porcentaje de habitantes de la ciudad que falleció fue: En una tienda de computadoras ofrecen un 15% de descuento en cualquier modelo. Madrid. R. NCTM.A. Las Creencias y Concepciones en un Ambiente de Resolución de Problemas. Pérez. Perspectives for Research and Teaching. 1988. Coxford. Tesis de Maestría del Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav-IPN.. J. Y. Bonilla. Kluwer Academic Publishers: Dordrecht. 1996.. Alsina. Estudiar Matemáticas. Llorente. Sheets. J. P. D. The Netherlands. 1989.. Choate.. No. R. Hirsch. 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