SEMANA 015. Encontrar la mitad de la tercera parte del ÁNGULOS complemento del suplemento de un ángulo que 1. En la figura OM es bisectriz del ángulo AOC. Hallar mide 102º. la medida del ángulo COD. B a) 1º b) 2º c) 3º M C d) 4º e) 84º 6. En la figura, hallar “x”, si: L1 // L2 , además: 3α a + b = 170º. A O D L1 x a 3 b a) 90º - α b) 45º + 3α 2 50º c) 3α d) 6α θ + 10º θ 3 L2 e) α 2 a) 120º b) 130º c) 140º 2. En la figura: L1 // L2 . d) 150º e) 160º Hallar “x”. L1 7. Si el suplemento del complemento de un ángulo es igual a los 3/2 de la diferencia entre el 3x suplemento y el complemento del mismo ángulo. Hallar la medida del ángulo. 2x L2 a) 15º b) 45º c) 30º x d) 60º e) 75º a) 15º b) 18º c) 12º d) 20º e) 30º a 8. Calcular , si: L1 // L2 x 3. En la figura, hallar m MOC, si: m BOC - m AOC = 40º 3a+2x L1 Además OM bisectriz del ángulo AOB.. M 2a+3x B L2 C a) 1 b) 2 c) 3 A d) 1,5 e) 2,5 O 9. Dados cinco rayos coplanares OA , OB , OC , OD a) 12º b) 15º c) 18º y OE que forman cinco ángulos consecutivos que d) 20º e) 36º son proporcionales a los números: 1; 2; 3; 4 y 5. Determinar el valor del menor ángulo formado por 4. En la figura, si: L1 // L2 , hallar “x - y” las bisectrices de los ángulos AOB y COD. a) 48º b) 56º c) 68º L1 x d) 72º e) 96º 10.Calcular “x”, si: a // b y a L2 8θ 10θ a) 30º b) 60º c) 45º 4θ x b d) 90º e) 80º a) 30º b) 15º c) 20º d) 45º e) 60º 30°+x 11.El triple de la diferencia entre el suplemento de “x” y el complemento de “x” es igual al doble del 110° 50°+2x suplemento del complemento del doble de “x”. a) 10° b) 20° c) 30° a) 90º b) 45º c) 30º d) 40° e) 50° d) 60º e) 22º30’ 2. Calcular “m × n” 12.Calcular “x”, si: L1 // L2 α L1 53º α 5 m x θ θ n L2 a) 7 b) 9 c) 12 a) 120º b) 85º c) 80º d) 15 e) 10 d) 95º e) 90º 3. Hallar “x”, que sea el mínimo valor entero. 13.Se tienen los ángulos adyacentes AOB y BOC donde: m AOB - m BOC = 56º; se trazan las bisectrices: OM , ON y OR de los ángulos AOB; 4 16 BOC y MON respecti-vamente. Hallar la medida del ángulo ROB. 3x a) 14º b) 7º c) 28º d) 56º e) 21º a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 14.En el gráfico: L1 // L2 , calcular “θ”.. θ L1 4. Hallar “ n ” m θ θ 60º 2θ L2 m a) 15º b) 16º c) 18º 30º n d) 26º e) 14º 15.Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC, 1 3 2 COD y DOE dispuestos de modo que: la bisectriz a) b) c) 3 3 3 OX del ángulo AOB es perpendicular a la bisectriz OD del ángulo BOE. Si: m EOX = 150º, calcular 6 d) e) 1 la m BOD.. 3 5. De la figura, hallar el valor de “x”, si NT = TI. a) 45º b) 30º c) 60º d) 75º e) 50º T SEMANA 02 x 20° TRIÁNGULOS I 1. Hallar “x” de la figura mostrada. 30° E N I a) 30° b) 50° c) 80 d) 20° e) 40° 10.En la figura, hallar “AE”, si: EC = 6. A 6. Del gráfico, hallar “a - b”. 1 5º a 36 45º B E C 37º b a) 9 2 b) 6 2 c) 9 a) 16 b) 14 c) 12 d) 6 3 e) 4 2 d) 10 e) 108 11.Hallar “x”. 7. El triángulo ENI es equilátero. Calcular el perímetro del triángulo. x N 40° α θ 2x + 1 3x - 2 α θ E I a) 120° b) 110° c) 100° d) 90° e) 80° a) 9 b) 12 c) 18 12.Hallar “x” d) 15 e) 21 8. En la figura, hallar “CH”, si: BC = 6 2 B x 30º 135º 100 A C H 240 3 300 400 a) 4 b) 6 c) 8 a) b) c) d) 10 e) 12 3 3 3 9. Hallar “PQ”, si ∆ENI es acutángulo, PE = 5, QI = 250 3 d) e) 175 7 ; 2 PQ // EI . N 13.Si: AB = BC = CD = DE, hallar “x”. D R x P Q B α β α β 25° E I A C E a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 a) 10° b) 15° c) 20° d) 25° e) 30° 14.En la figura: AC = 20. Hallar “BH”. B A 45º H M N 30º A C N B C 5 a) 20° b) 40° c) 70° a) 5 2 b) 3 2 c) 2 2 d) 30° e) 45° d) 4 2 e) 5 3 4. Calcular la medida del ángulo formado por las 15.Si ENIT es un cuadrado y EMT es un triángulo bisectrices exteriores de los ángulos “A” y “C” de equilátero, hallar “x”. un triángulo ABC, si: m B = 54°. N I a) 147° b) 137° c) 117° M d) 53° e) 63° x 5. En un triángulo ABC se prolonga CA hasta “F” y AB hasta “G” de modo que: AF = AB. Calcular m FCG, si: m AFB = 24° y m BGC = 32°. a) 100° b) 95° c) 90° E T d) 68° e) 64° a) 30° b) 45° c) 60° 6. En un triángulo ABC (B = 90°) se traza la altura d) 75° e) 80° BH y la bisectriz BN del ángulo ABH. Si: NC = 5 cm, hallar “BC”. SEMANA 03 TRIÁNGULOS II a) 2 cm b) 2,5 c) 5 d) 3,5 e) 4 1. Si: SQ = QT, m QSV = 40°. Hallar m MVT.. 7. Calcular el ángulo que forman la bisectriz interior Q y exterior del ángulo “C” en un triángulo ABC. a) 30° b) 60° c) 90° d) 75° e) 120° V 8. En la figura BN y AM son medianas. Si: m NGM = 90°, GM = 3 y GN = 4. Calcular S M T “AB”. B a) 40° b) 20° c) 50° d) 25° e) 30° M 2. Se tiene un triángulo ABC; se trazan las medianas AM y BN cortándose en el punto “G”. Si: GN = 3 G y GM = 4, ¿cuál es el mayor valor entero que puede tomar AB ? A N C a) 7 b) 9 c) 11 a) 10 b) 20 c) 30 d) 13 e) 15 d) 15 e) 8 3. Si: BM = MN = AN, AB = AC y m ACB = 70°. Hallar: m MBN. 9. Se tiene un triángulo ABC recto en “B”. Se traza la altura BH y la bisectriz del ángulo “A” que corta a BH en el punto “P” y al lado BC en el punto “Q”.. Si: QB = 8, calcular “BP”. A a) 2 b) 4 c) 6 d) 5 e) 10 E 10.En la figura BM y AP son medianas; NT = TP, NS = SM y BT = 12. Calcular “QT”. 20º x B B F C a) 20° b) 15° c) 22° N T P d) 30° e) 10° Q 15.En la figura BM es mediana, m A = 45°, m C = S 37° A M C Calcular: m MBC. C. 2 B a) 6 b) 4 c) 8 d) 2 e) 3 11.Se tiene un triángulo ABC isósceles (AB = BC) se traza la altura BH y las cevianas BP y BQ de A M C modo que “P” y “Q” se encuentran sobre AH y HC respectivamente. Si: m ABP = m PBQ Q y a) 18,5° b) 22,5° c) 16,5° m QBC = 16°, calcular: m PBH. d) 12,5° e) 26,5° a) 16° b) 32° c) 8° SEMANA 04 d) 15° e) 18° TRIÁNGULOS III 12.Si: m ABC = 84° y AD = DE = BE = BC. Calcular:m BAC. 1. Si: BF = BC y AF = EC, hallar “x”. B B D 50º 130º A C A C x E E a) 16° b) 18° c) 20° F d) 22° e) 24° a) 60º b) 50º c) 70º 13.En la figura: AB = BC, BH es altura, m B = 32°, d) 80º e) 75º BE y CE son bisectrices. Calcular “CE”, si: BH = 4. 2. En el triángulo rectángulo ABC (AB < BC); sobre BC se toma el punto “P” y se traza la mediana B E BM; tal que: m BMP = m BPM y AC = 18 u. Hallar “BP”. a) 6 u b) 9 c) 4,5 d) 3 3 e) 6 3 A H C 3. Si: BC = CE; AC = CD y m BAC = 32º. Hallar “x”.. a) 1 b) 2 c) 3 A d) 4 e) 5 14.Si: AB = BC y BE = BF. Hallar “x”. B E x C D a) 118º b) 104º c) 108º d) 148º e) 138º d) 8 e) 9 4. Hallar “MN”, si: AB = 8 cm y AC = 18 cm. 9. Si: EB = AB; BF = BC y EC = 24 u, hallar “AF”. B F E N B M α P α C A a) 4 cm b) 5 c) 3 A C d) 6 e) 10 a) 12 u b) 18 c) 20 d) 22 e) 24 5. Si: L es mediatriz de QR ; PQ = 9u y PE = 5u. Hallar “PR”. Q 10.Si: AE = EM y EH = 1 u. Hallar “AB”. B L M 2θ E θ P R E 53º A C H a) 12 u b) 13 c) 16 d) 14 e) 15 a) 6 u b) 7 c) 5 d) 10 e) 8 6. Si: AM = MC y HN = K, hallar “AC”. B 11.Dado el triángulo ABC: m A=30º; m C=15º y AC = 18 u, hallar “BC”. N a) 8 3 u b) 9 3 c) 6 3 A C d) 9 2 e) 8 2 H M a) 2K b) 3K c) 4K 12.Hallar “x”, si: PC = 2AB y AP = PB. d) 5K e) 6K B 7. Si: ABCD es un cuadrado; EF = 19 cm y AE = 8 cm, hallar “CF”. x A P C B C a) 15º b) 16º c) 18º d) 20º e) 14º F A 13.Si: BE = 7,8 u y EH = 3,2 u, hallar “ND”. D B E D a) 12 cm b) 9 c) 11 E d) 10 e) 13 α α A C N H 8. Si: AC = 24 m, hallar “BE”. B a) 5,5 u b) 6 c) 7,8 18º d) 3,9 e) 6,5 14.Si: AB = 20 u y AM = MC. Hallar “EC”. A 36º C E a) 12 m b) 10 c) 14 B 6. Si la relación del ángulo interior y exterior de un polígono regular es de 7 a 2. Hallar el número total de sus diagonales. N a) 27 b) 20 c) 35 60º d) 44 e) 56 A C M E 7. Calcular “x” en el pentágono regular. a) 12 u b) 10 c) 8 d) 14 e) 15 15.Si: AC = AE; BF = 7 u y FC = 5 u, hallar “EF”. x B 48° F A C a) 10° b) 4° c) 12° d) 14° e) 15° E 8. Calcular “x” en el hexágono regular. a) 12 u b) 15 c) 17 d) 19 e) 24 80° SEMANA 05 POLÍGONOS x 1. Hallar el número de diagonales de un pentadecágono. a) 10° b) 30° c) 20° a) 45 b) 80 c) 90 d) 40° e) 50° d) 100 e) 120 9. Si a un polígono se le aumenta en 4 a su número 2. Hallar la suma de ángulos internos del polígono de lados; entonces la suma de sus ángulos que tiene 44 diagonales. internos se duplica. Hallar el número de vértices del polígono regular. a) 1260º b) 1080º c) 900º d) 1440º e) 1620º a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 3. Calcular el número de vértices de un polígono cuyo número de diagonales es igual al triple del número 10.En un hexágono equiángulo ABCDEF: BC = 4 u; de lados. AB = 3 u; CD = 6 u y DE = 5 u. Hallar su perímetro. a) 10 b) 11 c) 12 a) 24 u b) 26 c) 28 d) 9 e) 8 d) 30 e) 32 4. Hallar la medida del ángulo interno de un polígono 11.Dos números consecutivos representan los equiángulo que tiene 35 diagonales. números de lados de dos polígonos regulares. Si la diferencia de sus números de diagonales es 3, a) 120º b) 135º c) 144º hallar la medida de uno de los ángulos centrales d) 160º e) 150º del polígono menor. 5. Diga cuántos lados tiene el polígono convexo cuyo a) 45º b) 30º c) 36º número de diagonales excede al número de d) 72º e) 90º vértices en 18. 12.Hallar la medida del ángulo central del polígono a) 5 b) 6 c) 7 regular cuyo número total de diagonales es 170. d) 8 e) 9 a) 20º b) 18º c) 36º d) 30º e) 45º AD son las bases. Si AC es el doble de la mediana, hallar el menor ángulo formado por AC 13.El número de lados de un polígono es igual a la y BD . mitad del número de diagonales. Calcular el número de diagonales trazadas desde tres vértices a) 15° b) 30° c) 37° consecutivos. d) 45° e) 60° a) 10 b) 11 c) 12 4. En el trapecio ABCD la bisectriz interior de “C” d) 13 e) 14 corta a AD en “F” tal que ABCF es un paralelogramo. Si: 14.La diferencia entre el ángulo interno y el ángulo BC = 7u y CD = 11u, hallar “AD”. externo de un polígono regular es igual a la medida de su ángulo central. ¿Cómo se llama el polígono? a) 9 u b) 15,5 c) 12,5 d) 18 e) 16 a) Triángulo b) Pentágono c) Hexágono d) Cuadrilátero 5. Si ABCD es un cuadrado y CED es un triángulo e) Heptágono equilátero. Hallar “x”. C 15.Según la figura ABCDEF y NBKLS son polígonos B x equiángulos y BC = BK. Calcular el valor de “x”. A N B E x A F S C D K L a) 30º b) 60º c) 45º d) 37º e) 53º E D a) 84º b) 86º c) 74º 6. Si ABCD es un rectángulo donde: AE = 8 u y BF = d) 76º e) 78º 13 u. Hallar “CH”. B C SEMANA 06 L CUADRILÁTEROS A H D 1. Si: BC // AC , BC + AD = 20 y MQ = 8. Hallar “PM”. F E B C a) 4 u b) 3 c) 5 d) 6 e) 7 P Q 7. Si ABCD es un rombo y BMC es un triángulo A D equilátero. Hallar “x”. M M a) 6 b) 8 c) 10 d) 4 e) 7 x 2. Si: AD = 14 u y DC = 8 u. Hallar la medida del B segmento que une los puntos medios de AP y A CD . 40º C B P C D θ a) 5º b) 15º c) 10º θ d) 8º e) 20º A D 8. Dar el valor de verdad de las siguientes a) 2 u b) 4 c) 6 proposiciones: d) 8 e) 10 * En el romboide las diagonales son congruentes. 3. Se tiene un trapecio isósceles ABCD donde BC y * En el rectángulo las diagonales son 14.En un romboide ABCD, las bisectrices interiores perpendiculares. de “B” y “C” se cortan en un punto de AD . Calcular * En el rombo las diagonales son perpendiculares el perímetro de ABCD, si: BC = K. y congruentes. a) 4K b) 2K c) 5K a) VFF b) FFV c) VFV d) 3K e) 2,5K d) FVF e) FFF 15.Se tiene un rombo ABCD y se construye 9. ¿Qué afirmación es incorrecta? exteriormente el cuadrado BEFC, tal que: m ECD = 89º. Calcular m AEC. a) Todo cuadrilátero tiene dos diagonales. b) El paralelogramo tiene sus lados opuestos a) 68º b) 56º c) 72º paralelos congruentes. d) 58º e) 62º c) En el rombo sus ángulos internos miden 90º. d) En el trapecio las diagonales se bisecan. SEMANA 07 e) Dos alternativas son incorrectas. CIRCUNFERENCIA I 10.Si: BC = 8 u; CD = 13 u y AD = 17 u. Hallar “PQ”. 1. Calcular la longitud de la flecha correspondiente B C θ a AB , si: AB = 16; r = 10. θ B Q P A O α r α D A a) 7 u b) 9 c) 6 d) 5 e) 8 a) 2 b) 4 c) 3 d) 2,5 e) 3,5 11.Hallar “x”. C 2. Hallar “α”, si “T” es punto de tangencia. 100º T B 110º 4α 2α D A O B P α α A θ a) 9º b) 20º c) 30º θ d) 12º e) 18º x 3. Hallar “r”, si: AB = 5; BC = 12. a) 90º b) 80º c) 75º A d) 60º e) 50º r 12.En el romboide ABCD: AB = 4 u y BC = 10 u; luego se trazan las bisectrices interiores de “B” y B C “C” que cortan a AD en “E” y “F” respectivamente. Hallar el segmento que une los puntos medios de a) 5 b) 4 c) 3 BE y CF . d) 2 e) 1 a) 5 u b) 6 c) 7 4. En el triángulo: AB = 7; BC = 9; AC = 8. Hallar d) 8 e) 4 “AM”. B 13.En un trapezoide ABCD, las bisectrices exteriores de “B” y “C” se cortan en “P”; tal que: m BPC = 104º. Calcular la medida del menor ángulo formado por las bisectrices interiores de “A” y “D”. A C a) 72º b) 78º c) 76º M d) 104º e) 68º a) 1 b) 2 c) 3 d) 2,5 e) 3,5 la longitud de la mediana de dicho trapecio. 5. Hallar “x”, si “T” es punto de tangencia y AO = OB B C = BP. T x A D A O B P a) 16 cm b) 8 c) 4 a) 120º b) 135º c) 150º d) 6 e) 9 d) 127º e) 143º 11.Calcular el perímetro de un trapecio circunscrito 6. En la figura, calcular “x”, si “O” es centro de la a una circunferencia, si la longitud de su mediana circunferencia. es igual a 12 cm. a) 24 cm b) 36 c) 48 B d) 52 e) 42 O x 70º 12.Hallar “R”, si: AB = 6 cm; BC = 8 cm. A C Q a) 45º b) 50º c) 55º B d) 60º e) 70º O R 7. En la figura mostrada, calcular la medida del T perímetro del triángulo ABC, si: PC = 30 cm, “P”, P A C “Q” y “T” son puntos de tangencia. Q a) 4 cm b) 6 c) 3 B d) 5 e) 3,5 T C 13.En el gráfico ABCD es un cuadrado; “A” y “D” son PA los centros de los arcos BD y AC. Hallar “x”. a) 30 cm b) 40 c) 50 B C d) 60 e) 20 x M 8. En la figura, calcular “x + y + z”, si: AB = 18; BC = 19; AC = 17. B y A D a) 30° b) 15° c) 60° x d) 75° e) 80° A C z 14.Hallar el perímetro del triángulo rectángulo ABC, si su inradio mide 3 u y la hipotenusa 18 u. a) 20 b) 27 c) 22 d) 25 e) 30 a) 12 u b) 21 c) 36 d) 42 e) 48 9. Hallar “x”. B 15.En el gráfico: OA = OB; EB = 12 u; AF = 18 u; x FQ = 10 u. Calcular “BQ”. A O 124° F Q A C a) 62° b) 68° c) 54° O E B d) 58° e) 72° a) 18 u b) 15 c) 20 10.En el trapecio isósceles: AB = CD = 8 cm. Calcular d) 22 e) 25