Semelhança de Triângulos1. (Pucrj 2013) O retângulo DEFG está inscrito no triângulo isósceles ABC, como na figura abaixo: Assumindo DE = GF = 12, EF = DG = 8 e AB = 15, a altura do triângulo ABC é: a) 35 4 b) 150 7 c) 90 7 d) 180 7 e) 28 5 2. (Fuvest 2013) Um teleférico transporta turistas entre os picos A e B de dois morros. A altitude do pico A é de 500 m, a altitude do pico B é de 800 m e a distância entre as retas verticais que passam por A e B é de 900 m. Na figura, T representa o teleférico em um momento de sua ascensão e x e y representam, respectivamente, os deslocamentos horizontal e vertical do teleférico, em metros, até este momento. a) Qual é o deslocamento horizontal do teleférico quando o seu deslocamento vertical é igual a 20 m? b) Se o teleférico se desloca com velocidade constante de 1,5 m/s, quanto tempo o teleférico gasta para ir do pico A ao pico B? www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 15 respectivamente. b) 16.br Página 2 de 15 . o cérebro pode ser "enganado" a interpretar os objetos representados como se estivessem flutuando diante da tela ou atrás dela. (Udesc 2012) Quando olhamos para um ambiente qualquer.com. representando o que se observaria em uma situação real. e) 13. são marcados os pontos D e E. e) 30. respectivamente. (Ufrgs 2012) Observe os discos de raios 2 e 4. 4. o cérebro forma um "mapa" dessas diferenças. em centímetros. a soma das medidas dos segmentos AD e BC. d) 12. os catetos AB e AC medem.ifce 2012) Sobre os lados AB e AC do triângulo ABC. a percepção de profundidade é possível devido a nossa visão binocular. AE = 6 cm. Por estarem separados em média 65 mm em adultos. vale a) 12. c) 11. DB = 2 cm. c) 18. A distância entre os pontos P e Q é a) 9. b) 10. Assim. cada um dos nossos olhos registra uma imagem de um ângulo ligeiramente diferente.nsaulasparticulares. que DE // BC. Ao interpretar essas imagens ao mesmo tempo. representados na figura abaixo. A área do quadrado ARST é que porcentagem da área do triângulo ABC? a) 42% b) 44% c) 46% d) 48% e) 50% 6. (G1 . tornando possível estimar a distância dos objetos em relação a nós. EC = 3 cm e DE = 8 cm. A estereoscopia (popularmente conhecida como "imagem 3D") é uma técnica que consiste em exibir imagens distintas para cada olho do observador. www. 5. tangentes entre si e às semirretas s e t. (Fgv 2012) No triângulo retângulo abaixo.3. d) 24. 2 e 3. Nessas condições. de tal forma. c) 36 m.com. Os filtros polarizadores dos óculos fazem com que o ponto A seja visto apenas por seu olho direito e o ponto B apenas por seu olho esquerdo. funciona com o uso de óculos polarizadores que filtram a imagem projetada na tela. (Espm 2012) Na figura abaixo. Nessa nova sala.br Página 3 de 15 . Numa sala menor. usada nas salas de cinema 3D. (Ufrn 2012) Numa projeção de filme. Sabendo que a reta imaginária que passa por seus olhos é paralela àquela que passa pelos pontos A e B e estas distam 20 m entre si. e que sua distância interocular é de 60 mm. localizado em X. o projetor foi colocado a 12 m de distância da tela.3 8. Isto fez com que aparecesse a imagem de um homem com 3 m de altura. a projeção resultou na imagem de um homem com apenas 2 m de altura. A medida do segmento CE é igual a: a) 2.5 e) 2. www. A mais comum delas. de forma que as linhas de visão de cada um dos olhos se interseccionem em um ponto X.8 b) 2. permitindo que cada olho receba somente a imagem correspondente.6 m b) 3. conforme a figura.7 m e) 16 m 7. Um observador está em uma sala de cinema 3D usando óculos polarizadores e sobre a tela são projetados dois pontos A e B a uma distância de 30 cm um do outro.Diversas tecnologias existem atualmente para conseguir isso. é aproximadamente: a) 6. d) 9 m.3 m c) 4 m d) 16. formada no ponto X. O observador verá apenas um único ponto. a distância da tela em que ele verá a imagem virtual. resultado da junção em seu cérebro dos pontos A e B. com A à esquerda de B. a distância do projetor em relação à tela era de a) 18 m.4 c) 2. sabe-se que os ângulos EÂD e DÊA são iguais.0 d) 2. b) 8 m.nsaulasparticulares. cps 2012) Considere que o trecho DE da rua Vitório Genari é paralelo ao trecho AC da Av. Sabendo que a medida do segmento DE é 120 m. Lions Clube. Mateus Leite de Abreu.nsaulasparticulares. A imagem apresenta algumas ruas e avenidas de Mirassol. a Rua Romeu Zerati e a Av. onde se localiza a Etec Prof. como representado no mapa. c) 200. onde percebemos que a Av. Lions Clube. Lions Clube/Rua Bálsamo formam uma figura geométrica que se aproxima muito de um triângulo retângulo. 9. mais próxima de a) 182. Considere que – a Rua Bálsamo é continuação da Av.com.br Página 4 de 15 . Vitório Baccan. – o ponto E é a intersecção da Rua Romeu Zerati com a Rua Vitório Genari. então a medida do trecho CE da Rua Romeu Zerati é. Vitório Baccan com a Rua Romeu Zerati. (G1 . Vitório Baccan. www. d) 204. – a medida do segmento AC é 220 m. e) 216. – o ponto D é a intersecção da Rua Bálsamo com a Rua Vitório Genari. Vitório Baccan com a Av. Um desses exemplos encontra-se na cidade de Mirassol. – a medida do segmento BC é 400 m e – o triângulo ABC é retângulo em C. – o ponto C é a intersecção da Av. – o ponto A é a intersecção da Av. b) 198. – o ponto B é a intersecção da Rua Romeu Zerati com a Rua Bálsamo. em metros.TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: As ruas e avenidas de uma cidade são um bom exemplo de aplicação de Geometria. a maior distância x. que dois pontos luminosos. (Unesp 2011) Para que alguém. e) 5. d) 5. Adotando-se um modelo muito simplificado do olho humano no qual ele possa ser considerado uma esfera cujo diâmetro médio é igual a 15 mm. (Mackenzie 2011) A área do quadrado assinalado na figura é igual a a) 15 b) 20 c) 12 d) 18 e) 16 www. distantes 1 mm um do outro. c) 5 metros. para que este os perceba separados.2 metros. 4 metros e 6 metros de altura.5 metros. possa distinguir um ponto separado de outro. que são projetadas em sua retina. de: a) 4. então. é necessário que as imagens desses pontos. (Ufpr 2011) Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de aço. B e C. podem estar do observador.2 metros. com o olho normal. 12. colocados nos pontos A. Os suportes nas extremidades A e C medem. A altura do suporte em B é.10.com.br Página 5 de 15 . respectivamente. como mostra a figura ao lado. estejam separadas uma da outra a uma distância de 0.5 metros.nsaulasparticulares. em metros.005 mm. b) 4. é 11. • o segmento BC representa a altura do prédio.4 cm b) 2. considere a trajetória descrita pela bola como sendo retilínea e contida num plano ortogonal à rede. Marcelo determinou que a altura do prédio é.br Página 6 de 15 . calcule a medida do lado do quadrado. a que distância da mesma.nsaulasparticulares.4 cm 15. Marcelo resolveu aplicar o que aprendeu para calcular a altura do prédio onde mora. (G1 . ANM é um triângulo e ABCD é um quadrado. (Unesp 2011) Uma bola de tênis é sacada de uma altura de 21 dm. d) 65. (Eewb 2011) Na figura. Para isso. • o ponto F pertence ao segmento AE . tomou algumas medidas e construiu o seguinte esquema: • O segmento AC é perpendicular aos segmentos BF e CE . • a medida do segmento BF é 12 m. em metros. Assim. a uma altura de 9 dm. Se a bola foi sacada a uma distância de 120 dm da rede. Sendo AM = 4 cm e NA = 6 cm. • o ponto B pertence ao segmento AC . no topo desse edifício.com. Desprezando-se os efeitos do atrito da bola com o ar e do seu movimento parabólico. • o segmento AB representa a antena. • ponto D pertence ao segmento CE .6 cm d) 1. cujo tema era Semelhança de Triângulos. ela atingirá o outro lado da quadra? 14. está instalada uma antena de 20 metros. e) 70. Após uma aula de Matemática.0 cm c) 1. • os segmentos BC e FD são congruentes. a) 2. com alta velocidade inicial e passa rente à rede. em metros. a) 45. • a medida do segmento DE é 36 m.13. www.cps 2010) Marcelo mora em um edifício que tem a forma de um bloco retangular e. c) 60. b) 50. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é a) 1. (Enem 2009) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2. d) 5. Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a trajetória indicada na figura e atinja a bola vermelha. coloca-se uma bola branca na posição B e uma bola vermelha na posição V. em centímetros.2. b) 3. Assumindo que. e) 9.2 metros e alcançou uma altura de 0. é a) 7. a que distância x do vértice Q deve-se jogar a bola branca? 17.2. b) 8.16.5. conforme o esquema a seguir. em cada colisão da bola branca com uma das bordas da mesa.0. os ângulos de incidência e de reflexão são iguais. sendo RS 5 cm.com.nsaulasparticulares.6.6 metros. d) 9. e) 7. A medida do cateto PQ. (G1 . (Fuvest 2010) Em uma mesa de bilhar.2 metros. 18.4 metros. www.0 metros. c) 8. ST 3 cm e QT 6 cm .cps 2010) A figura representa os triângulos retângulos PQR e STR.16 metros. c) 5.8 metro. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3.04 metros.br Página 7 de 15 . e uma barra de aço EB.5 metros.0 metros.6 d) 5. paralela ao chão. Sabendo que sua altura é de 1.0 metros.0 b) 4. (G1 . foi fixada nesse cabo.0 metros. b) 10. Em seguida. como mostra a figura.0 metros.br Página 8 de 15 .nsaulasparticulares.4m então AD em metros. ele pôde calcular a altura do prédio. obtendo: a) 4. um engenheiro utilizou o seguinte procedimento: mediu a sombra do prédio obtendo 10. c) 18.5 metros. Se AB = 3m e AE = 2.com.0 c) 4.cftmg 2008) Um cabo de aço AC de 7m de comprimento foi utilizado para sustentar um muro. perpendicularmente ao muro. 20. mediu sua própria sombra que resultou em 0.6 www. d) 36.8 metros.0 metros. é a) 3. e) 45.19. (Uel 2008) Para medir a altura de um edifício. Como os triângulos ABC e DGC são semelhantes.c. 900 300 3002 900 2 300 10 Sendo t o tempo para o televérico ir de A até B.5.nsaulasparticulares. temos: 300 10 1. 7 Resposta da questão 2: a) ΔATD ~ ΔABC : b) AB x 20 x 60 m. temos que h 12 8 15h 180 8h h 15 180 h u.t t 200 10. Resposta da questão 3: [B] www.br Página 9 de 15 .Gabarito: Resposta da questão 1: [D] Seja h a altura do triângulo ABC.com. x8 4 Portanto. temos: x2 2 4x 8 2x 16 x 4. x2 y 9 Logo.nsaulasparticulares.br Página 10 de 15 .ΔADE ~ ΔABC x 8 6 x 4 e y = 12.3 A ΔABC 3 2 www.2)2 1. Resposta da questão 4: [D] Por semelhança de triângulos. a distância de P até Q vale 12.com.48 48% 2. AD + BC = 4 + 12 = 16.2 2 3 A ARST (1. Resposta da questão 5: [D] ΔBRS ~ ΔBAC 2x x x 1.44 0. Resposta da questão 6: [D] Considere a figura. Além disso. Resposta da questão 7: [D] Como BC 3 e AB 4. como CE CE 15 8 4 DE. DE BC CE AB CD AC DE CE 5 DE 3 4 5 5 DE 15 3 DE DE Portanto. É óbvio que as regiões limitadas pelos ângulos EAD e DEA não são iguais. Resposta da questão 8: [B] Se d é a distância procurada. isto é.com. Como os triângulos ABX e EDX são semelhantes.br Página 11 de 15 .nsaulasparticulares. então d 2 d 8 m. vem 3 4 15 5 2. como EAD DEA. em que d é a distância pedida. temos que 20000 d 60 d 100000 5d d 300 100000 d 6 d 16 666. têm a mesma medida. 3 8 2 Observação: Os ângulos EAD e DEA são congruentes.7mm d 16. Por outro lado. Daí. 12 3 www. temos que DE AD. vem que os triângulos ABC e CDE são semelhantes.7 m. Lembremos que ângulo é a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem. segue que AC 5. como ACB e ECD são complementares.5. a altura do suporte em B é: 4 x 4 1. vem: x 12 x 1.Resposta da questão 9: [A] Como os triângulos ABC e BED são semelhantes.2 m.2 5.005 15 0.br Página 12 de 15 . 2 20 Assim.2 m. Se HE x.com. a área do Quadrado é 15 unid 2 Δ1 ~ Δ2 www. temos que os triângulos DHE e DGF são semelhantes por AAA.nsaulasparticulares.005 Resposta da questão 11: [D] Traçando DF AC. Resposta da questão 12: [A] 3 x x2 15 x 5 Logo. vem BE DE 400 CE 120 400 220 BC AC 11 (400 CE) 400 6 2000 CE 11 CE 182 m. Resposta da questão 10: [C] 1 x 15 x x 3000mm 3m 0. br Página 13 de 15 . x = 2. Resposta da questão 14: [A] ΔMBC ΔMAN 4x x 12 4x 24 6x 10x 24 x 4 6 5 Portanto.com. temos: ΔABF ~ ΔACE 20 12 20 x 12 36 20 1 20 x 4 x 60 m www. Os triângulos retângulos ABC e DEC são semelhantes por AA.Resposta da questão 13: Considere a figura abaixo. Portanto. vem AB BC 21 120 EC 9 DE EC EC 7 EC 360 3 EC EC 90 dm 9 m. sabendo que AB 21dm.nsaulasparticulares. Resposta da questão 15: [C] Considerando x a altura do prédio. DE 9dm e BE 120dm.4. 9 y 0.Resposta da questão 16: 1 ~ 2 ~ 3 1.8 y Aplicando a propriedade da proporção Nas duas últimas razões: 1.2 x x 0.br Página 14 de 15 .9 y 0.4 0.2 x x 0.5 cm. temos: z2 32 52 z 4.9 0.com.5 x 64 Portanto.2 x x 0. logo: 3 4 4x 30 x 7.8 Resolvendo temos: x = 6/17 Resposta x = 6/17 m Resposta da questão 17: [A] Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo RST.4 0. PQ = 7.8 y 1. www.4 0. ΔRST ~ ΔRPQ .nsaulasparticulares. 2 Resposta da questão 19: [D] Resposta da questão 20: [D] www.nsaulasparticulares.2.2 0.8(3.Resposta da questão 18: [D] 3.br Página 15 de 15 .3.6m 3.com.8 0.2 x 2.2 x) 2.2 x 5.