Teorema Fundamental da ProporcionalidadeSadao Massago Maio de 2010 Sumário 1 2 Conceitos Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema Fundamental da proporcionalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 1 Conceitos Preliminares . . Neste texto, o Teorema fundamental da proporcionalidade será demonstrado, assumido alguns resultados tais como Axioma 1 Teorema 2 Teorema 3 congruentes. (LAL) Dois triângulos são congruentes se dois lados correspondentes e o ângulo formado por eles forem congruentes. (ALA) Dois triângulos são congruentes se dois ângulos correspondentes e o lado compreendido por eles forem congruentes. (LLL) . Dois triângulos são congruentes se todos os lados correspondentes forem Teorema 4. • • • • Quando uma reta cruza outras duas retas, são equivalentes As duas retas são paralelas Os ângulos alternos internos são congruentes Os ângulos correspondentes são congruentes Os ângulos colaterais internos são suplementares. (Tales) Teorema 5 . Se três retas paralelas determina (dois) segmentos congruentes a uma reta concorrente, então determina (dois) segmentos congruentes em qualquer das retas concorrentes. Propriedade 6 (Arquimediana dos números reais) . Dado um número real, existe um número natural maior que ele. A propriedade arquimediana é equivalente a dizer que,para todo número real 1 um número natural n tal que < ε. n ε > 0, existe 1 . Sejam ri com i = 0. por sobre i = 0. ri+1 e ri+2 serem retas paralelas. então para toda concorrente s2 . Como Pn B pelos pontos Pi . ri determinam segmentos congruentes s2 . . Se s1 é uma reta concorrente a estas na Ai determinado como intersecção com ri são igualmente espaçados. Se s2 for reta concorrente a r0 . Na semi-reta de origem em A determinado pelos pontos A e C . Pi Pi+1 = Pi+1 Pi+2 implica que Qi Qi+1 = Qi+1 Qi+2 pelo Teorema ri . considere P0 = A. . será concorrente a todos ri . os pontos Bi determinados como intersecção com ri também são igualmente r0 . AB um segmento e n > 0 um número inteiro. n − 2. n Pn Pi P1=D P0=A=Q 0 Q1 Qi B=Qn Figura 2: Dividindo o segmento Passando retas AB Qi a intersecção desta reta com Pi estão no mesmo lado de A ri paralelas a o prolongamento de AB . . ri não pode cruzar a 2 e sejam reta rn e . . . r1 . Consideremos o ponto de intersecção Qi de s2 com ri (Figura 1). . Se um conjunto das retas paralelas determi- nam segmentos congruentes numa reta concorrente. determinando segmentos congruentes. rn que cortam a reta Demonstração. n. n partes iguais. r0 Pi ri P 0 Q0 Qi s1 nos pontos = Pi+1 Pi+2 para i = rn P n Qn Figura 1: O corolário do Teorema de Tales Para cada de Tales. Seja determinada pelo pontos (Figura 2). . então determina segmentos congruentes em qualquer das retas concorrentes. Logo. Signi cado. qual os pontos reta espaçados. . . para i = 0. . n as retas paralelas. n − 2. Consideremos as retas paralelas Pi respectivamente. . qualquer segmento AB pode ser dividido em Demonstração. . . . . Considere C fora da reta A e B .2 Teorema Fundamental da proporcionalidade (Corolário do Teorema de Tales) Uma conseqüência do Teorema de Tales é Proposição 7 . Pi Pi+1 0. . Dado um número inteiro positivo Proposição 8. P1 = C e Pi ordenados sobre a semi reta com espaçamento AC . . . . isto é. − n < n para todo n > 0. Como ângulos correspondêntes entre A B < AB . APi = i · AB e temos kn · ≤ AD < (kn + 1) · AB . ∠A = ∠D. Se eles tiverem um lado igual. ∠ADE = ∠B que são AB com DE e BC . é equivalente a dizer que i. . Para isso. temos 0 ≤ AB − n < n . AB Inicialmente. . Quando a divisão é permitida. Dois triângulos tem ângulos correspondêntes congruentes se. . serão congruentes por ALA e terão todos lados congruentes e os triângulos são semelhantes com razão de semelhança 1. ABC = AC . Desta forma. . Pi Pi+1 = para i = 0. podemos concluir que a razão entre qualquer dos lados correspondêntes são iguais. . Qi também reta r0 passando estarão. estará em algum segmento Pkn Pkn +1 de modo que APkn ≤ AD < AB APkn +1 . Teorema 10 Signi cado. Dividindo por AB . AB DE Mostre que a razão entre dois lados de um triângulo é igual a razão entre dois lados correspondêntes do triângulo semelhante a ele. A. Pn = B de forma que Pi dividam AB o segmento AB em n partes iguais. Exercício 1. Assim. . podemos supor que Então podemos construir LAL. por Da mesma forma. além de AB DE = BC EF A razão das medidas entre os lados correspondêntes num triângulo semelhante é denominado de razão da semelhança. Qi estão sobre AB . DE é paralelo a BC . Subtraindo n . e somente se. DF e DEF são semelhantes se. DF BC = DE BC e EF AC = EF . o que garante a congruência de ADE com A B C por Sem perda de generalidade. tem os lados correspondêntes proporcionais. Considere ABC e ABC com ângulos correspondêntes congruentes. consideremos os pontos A = P0 . (fundamental da proporcionalidade) . numero λ tal que ai = λ para todo bi De nição 9. n Como D está em AB . . Qi estarão no mesmo lado de B Pi são igualmente espaçados. ( =⇒ ) Se provarmos que a razão entre um par de lados correspondêntes é igual a razão entre outro par de lados correspondêntes. podemos considerar o caso ABC e ADE com D sobre AB e DE paralelo a BC AD AE na qual queremos mostrar que = AC . ABC e DEF tem ∠A = ∠D. Agora consideremos o caso de ter lados não congruentes. n n n kn AD kn +1 kn 1 kn AD kn 1 ≤ AB < n = n + n . ∠B = ∠E e ∠C = ∠F . isto é. Signi cado. n − 1 (Figura 3). ABC e DEF são semelhantes então AB AC = DE AB . = BC EF = AC . P1 . AB 3 . Logo. Qi também serão igualmente espaçados pelo corolário do Teorema de Tales (Proposição 7). Dois conjunto dos números {ai } e {bi } são ditos proporcionais se existir um bi = λai para todo i. e somente se. Como Pi são igualmente espaçados. DF Demonstração. ter Dois triângulos são ditos semelhantes quando os ângulos correspondêntes são con- gruentes e os lados correspondêntes são proporcionais. ADE congruente a A B C sobreposta a ABC . temos n AD kn 1 Assim. ABC e ângulos correspondêntes formado pela intersecção de ADE são iguais. DF O teorema fundamental da proporcionalidade caracteriza os triângulos semelhantes. considere D sobre AB tal que AD = A B e E sobre AC tal que AE = A C . . Pn−1 . Tal λ é denominado de razão da proporcionalidade.relativamente a relativamente a Como rn . ∠B = ∠E e ∠C = ∠F se. Signi cado. 4 . A B < AB . AB AC (⇐=) Seja ABC e A B C com lados proporcionais. Traçaremos as retas BC ri Pi e consideremos os pontos Qi obtidas como intersecção de AC . . Considere E sobre AC de Então ADE e ABC tem ângulos correspondêntes congruentes e pelo que já demonstramos. temos que AE AC AD AB AE AC − kn n 1 para todo n 1 1 <n +n = 2 n n > 0. Como AD = A B . como ri não podem cruzar nem r0 e nem o rn . . a razão de semelhança de ADE e A B C com o ABC é igual. 2 AD − AE AB AC Então = AE . Se AB = A B então dois triângulos são congruentes por ALA e logo tem ângulos correspondêntes congruentes. temos que AD AB AD AB − AE AC = AE AC − kn n + kn n ≤ − − < kn n + AE AC − kn n para todo n > 0. pois caso contrário. Assim. É fácil ver que Q0 = A e Qn = C . Seja D um ponto forma que DE é paralelo a BC . . podemos supor sem perda de generalidade que sobre Se estes lados não AB de forma que AD = A B . Pi estar entre eles implica que Qi também estarão entre eles e consequentemente. Qi estão no segmento AC . também determinará segmentos congruentes sobre AC (Figura 4) pelo corolário do Teorema de Tales (Proposição 7). AC 2 implicaria que n n < . n − 1. Para i = 1. . Como ri são paralelas e determinam segmentos congruentes sobre AB . De forma análoga ao caso feito pelo D e Pi . AB C Portanto =A . terá os lados correspondêntes proporcionais. ele não poderá cruzar rkn − nem o rnk +1 AD AB AE AC E < deverá car Qkn e Qnk +1 . o que implica que ADE e A B C são congruentes por LLL.P 0 =A P 1 PK PK n+1 n D E B=P n Figura 3: Dividindo o lado C AB ri paralelas a Agora precisamos veri car o que acontece no lado (e logo a AC . também) pelos pontos com o prolongamento do lado DE r0 r1 PK PK n+1 n P 0 =A= Q 0 P 1 Q1 QK rK n rK rn D n E n+1 n+1 QK P n =B C= Qn Figura 4: As retas paralelas passando por Como entre Pi de forma que DE é paralelo a ri . contradizendo a propriedade arquimediana dos números reais (Propriedade 6). forem congruentes. signi cando que existe um número real maior que qualquer número inteiro. A2 A3 B2 B3 Sejam P e Q. r3 Consideremos A1 . (Tales generalizado) . Se s1 e s2 são as A A B B intersecção Ai e Bi com ri . obtido pela intersecção com a reta paralela ao s1 passando pelo ponto B1 . ABC tem ângulos correspondentes congruentes com ADE que por sua vez. então 1 2 = 1 2 . A2 e A3 . eles determinam segmentos com a mesma proporção. B2 e B3 . mostre que os segmentos determinados numa reta con- corrente é proporcional aos segmentos determinados em qualquer outra transversal. Dado três retas paralelas. PQ B2 B3 B1 P B1 Q = Exercício 2. Preciri sobre s1 são proporcionais aos segmentos os pontos de intersecção de s1 com as retas B1 . O Teorema de Tales generalizada. r2 e s1 r r 1 s2 B1 A1 2 P A2 B2 r 3 Q A3 B3 Figura 5: As retas paralelas determina segmentos proporcionais Logo. Sejam determinados sobre r1 . r2 e r3 as retas paralelas e samos mostrar que os segmentos determinados por s2 . 5 . Mas B1 Q = B1 P + P Q e B1 B3 = B1 B2 + B2 B3 . 3 as retas paralelas. Também consideremos s1 e s2 são retas concorrentes a ri . Logo. tem os ângulos correspondêntes congruentes com ABC . basta mostrar que PQ B2 B3 ∠B1 P B2 = ∠P QB3 por ser ângulos correspondêntes formado por B1 Q e as retas paralelas r1 e r2 .Logo. independente da reta concorrente. (Figura 5). Então A1 A2 P B1 e A2 A3 QP são paralelogramos B1 P 1 B2 = B . também conhecida como Teorema da projeção paralela é um resultado equivalente ao Teorema fundamental de proporcionalidade. A A B B Queremos provar que 1 2 = 1 2 . 2. Demonstração. O teorema acima garante que os triângulos com ângulos correspondêntes congruentes são semelhantes e os triângulos com lados correspondêntes proporcionais também são semelhantes. B1 B2 . Como e conseqüêntemente. tem lados proporcionais. r2 e r3 respectivamente. mostre que os segmentos determinados numa reta concorrente é proporcional aos segmentos determinados em qualquer outra transversal. A1 A2 = B1 P e A2 B3 = P Q. A A B B 2 3 2 3 retas concorrentes à ri . os pontos de intersecção de s2 com as retas r2 e r3 respectivamente. r1 . Teorema 11 Signi cado. temos que B1 P B2 e B1 QB3 tem ângulos congruentes (pois ∠B1 é comum) e pelo teorema fundamental da proporcionalidade. Dado um conjunto de retas paralelas. respectivamente. os pontos sobre as retas r1 . Exercício 3. Dado três retas paralelas. Sejam ri com determinando pontos de i = 1. tendo a igualdade B1 B3 P +P Q PQ PQ B1 P B1 B2 2 +B2 B3 2 B3 2 B3 =BB ⇐⇒ B1B = B1 B ⇐⇒ 1 + B =1+ B ⇐⇒ B =B B1 P +P Q B1 B2 B1 B2 B1 B2 1 2 +B2 B3 1P 1P 1P 1P 1 B2 ⇐⇒ B =B . 2000. F. New York. Eliane Q. Marvin J. e Queiroz. 6 . [2] Rezende. H.. W. 2001. Geometria Euclidiana plana e construções geométricas. Thrird Edition. B de. Freeman. Maria L. Euclidean and non-euclidean Geometries (development and history)". Editora UNICAMP.Referências [1] Greenberg.
Report "Geometria Plana Elementar Teorema Fundamental Da Proporcionalidade"