Geometria PlanaFiguras Semelhantes Quando ouvimos a expressão "figuras semelhantes" logo pensamos em figuras que se assemelham, figuras parecidas, de mesma aparência. Mas o que vem a ser 'figuras semelhantes' em Matemática? Observe as figuras: Os pares de figuras acima possuem diferentes medidas, mas mantém as mesmas PROPORÇÕES. O Teorema de Tales “A ciência, tão fundamental na era moderna, teve seu início por volta do ano 600 a.C. na cidade de Mileto, Grécia, especialmente com de Tales de Mileto. Tales era filósofo, geômetra, astrônomo, físico, político e comerciante, e acredita-se que tenha nascido no ano 625 a.C. Não se sabe ao certo em que ano morreu”. Foi ele quem primeiro chamou a atenção para o aspecto abstrato dos objetos geométricos, ao considerar um triângulo ou uma pirâmide, por exemplo, não como coisas concretas, feitas de madeira ou pedra, mas como objetos do nosso pensamento. Uma de suas descobertas no campo filosófico foi a de que “não apenas os homens estão sujeitos a leis, mas também a Natureza”. E apontando para a sombra dos degraus de um estádio desportivo, teria dito: “Os ângulos dos degraus obedecem a uma lei: são todos iguais”. Conta-se que, numa de suas viagens ao Egito, Tales foi desafiado a medir a altura de grande pirâmide de Queóps. Imagem: http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/teotales/index.htm Conta-se que, numa viagem ao Egito, Tales foi desafiado pelos sacerdotes egípcios a explicar como “adivinhara” a altura de uma das pirâmides. Os sacerdotes acreditavam que essa informação era sagrada e havia sido inadvertidamente fornecida a ele, que, por esse motivo Página 1 deveria ser preso. Tales explicou seu raciocínio exemplificando-o com o cálculo da altura de um obelisco cuja sombra era mais fácil de ser medida. imagem: http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/teotales/index.htm Teorema de Tales: Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas transversais quaisquer, segmentos proporcionais. Ângulos opostos pelo vértice Um dos teoremas atribuídos a Tales é muito simples de ser entendido concretamente: quando seguramos uma vareta de madeira em cada mão e cruzamos essas varetas estamos representando retas concorrentes. Independentemente da abertura que você dá às varetas, elas sempre formam, à sua esquerda e à direita, dois ângulos (opostos pelo vértice) iguais. Página 2 Observemos como se mede um ângulo com transferidor: Exemplo: O menor dos ângulos que estas retas formam mede 58º. O maior mede : 180º - 58º=122º. ―Por que ângulos opostos pelo vértice são sempre iguais?‖, Tales deve ter se perguntado. Podemos explicar isso do seguinte modo, baseando-se na figura do transferidor: Os dois ângulos formam juntos um ângulo de 180º (ângulo raso), que chamamos de ângulos suplementares da mesma forma, também b e c são ângulos suplementares. Ou seja: a + b = 180º ; então a = 180º - b b + c = 180º ; então c = 180º - b Conclusão: a = c Número de Diagonais de Polígonos Regulares Conceito Dado um polígono regular de n lados, tem-se que seu número de diagonais é dado por Página 3 Exemplos: 1. O número de diagonais de um polígono é igual a 20. Qual é esse polígono ? a) b) Resolvendo a equação anterior por soma e produto, obtém-se que c) E para , tem-se que o polígono em questão é octógono. ou . 2. Mostrar se existe polígono com 15 diagonais. a) b) Resolvendo a equação acima pela fórmula de Bháskara, temos que quadrado perfeito, temos que . Não existe polígono com 15 diagonais. √ como 129 não é Soma dos Ângulos de um Polígono Conceito Seja um polígono de n lados. A soma dos ângulos internos é: Já a soma dos ângulos externos é . . Observações: 1. Quando quiser calcular a medida de um ângulo interno, é suficiente dividir a soma dos ângulos internos por: . 2. Quando quiser calcular a medida de um ângulo externo, é suficiente dividir a soma dos ângulos externos por . 3. A soma de um ângulo interno com um ângulo externo adjacente é igual a 180º. Exemplo: Quantas diagonais tem o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo do ângulo externo ? a) Sejam ai e ae os ângulos internos e externos, respectivamente: { b) Sabe-se que a soma dos ângulos externos de qualquer polígono é igual a 360º. c) O polígono que possui 8 lados é o octógono. Página 4 Observação: Tanto para o cálculo do perímetro quanto para o da área. Perímetro: é uma medida linear. 7 cm e 5 cm. resultam em -35: os números são -5 e 7. ou seja. não misturar. resulta em: Devemos determinar dois números que. Área: é a medida de superfície de todo o polígono. 2. tem-se: . resolvida por soma (S) e produto (P) das raízes. inicialmente. descartamos o valor -5. 1. c) Como em medidas geométricas não existe valor negativo. definirmos esses termos usados na geometria. Perímetro Àrea Exemplo: A área de um retângulo é 35 cm². As medidas dos lados desse retângulo são expressas por x e x-2. deve-se tomar o cuidado de sempre trabalhar na mesma unidade de medida.d) Calculando o número de diagonais. multiplicados. b)Temos uma equação de 2 grau que. Principais Polígonos Convexos Retângulo Possui dois pares de lados paralelos congruentes e de quatro ângulos retos. Página 5 . isto é. medidas em metros com medidas em centímetros. sendo definida como a soma de todos os lados de um polígono. d) Os lados do retângulo ficam: x e x-2 7 e 7-2. por exemplo. Qual é o perímetro desse retângulo ? a)Se os lados do retângulo são x e x-2 e a área é 35 cm². somados resultam em 2 e. temos: = 20 diagonais __________________________________________________________________________________ Áreas e Perímetros de Polígonos Regulares É importante. resultando x=7. Perímetro Área Página 6 . As expressões para cálculo do perímetro e da área são semelhantes às usadas para o retângulo.000 (lembrando que em medidas de superfície trabalha-se de duas em duas casas decimais e que de metro para centímetro existem duas transformações) = 18 m². temos: d) Transformando esses 180. Perímetro Àrea Exemplo: Uma parede foi revestida com azulejos quadrados de 15 cm de lado. faz-se necessário calcular a área de cada azulejo: Área=lado²=15²=225 cm² b) Em cada fileira. __________________________________________________________________________________ em cada fileira. quantos metros tem a área revestida ? a) Em primeiro lugar. dado que o retângulo é um tipo especial de paralelogramo. Sabendo que foram colocadas 20 fileiras de azulejos e que em cada fileira há 40 azulejos.000 cm² para m².e) O perímetro do retângulo é: __________________________________________________________________________________ Quadrado Possui quatro lados com a mesma medida e quatro ângulos retos. existem 40 azulejos c) Como são 20 fileiras. Paralelogramo É um quadrilátero semelhante ao retângulo.000 10. obtém-se: 180. a) A área de um paralelogramo é dada por: produto da base pela respectiva altura: b) Transformando esse valor para dm². Exemplo: Uma folha de papelão tem a forma de um paralelogramo e possui 50 cm de altura e 64 cm de comprimento. No restante do terreno foram colocadas pedras. Os ângulos opostos são congruentes.32 m². Os lados opostos são congruentes e paralelos. As diagonais cortam-se no meio. b) A área da piscina é: Página 7 . 192.5 m² é a área do terreno original. Q b P h Perímetro Àrea M B N Exemplo: Um terreno tem forma de trapézio de bases 22. 3. Quantos m² do terreno foram cobertos por pedras? a) A área do terreno é: Portanto. Determine o valor da área dessa folha de papelão e metros quadrados.5 m e 16 m. __________________________________________________________________________________ Trapézio É um paralelogramo com um par de lados paralelos. foi construída uma piscina retangular de 9 m de comprimento e 4 m de largura. 2. A soma de dois ângulos consecutivos vale 180º 4. com altura igual a 10m. finalmente. Nesse terreno. 32 dm² resultam em 0. temos: 32 dm².Pode-se mostrar que num paralelogramo: 1. c) E. o perímetro do losango é: __________________________________________________________________________________ CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA Página 8 . Com isso. 1. que será revestido de pedras. 2. deve ser considerado um triângulo retângulo formado com catetos iguais à metade das diagonais: a) metade do cateto menor: 11 cm. Aplicando o Teorema de Pitágoras para esse triângulo.c) O restante do terreno. é: __________________________________________________________________________________ Losango Quadrilátero com os quatro lados congruentes e com diagonais formando um ângulo de 90º. Para determinar as diagonais. b) metade do cateto maior: 14 cm. obteremos a hipotenusa que corresponde ao lado externo do losango: √ 3. determine o valor do perímetro desse losango. D Perímetro A C Àrea Exemplo: B Se as diagonais de um losango medem 28 cm e 22 cm. É também a única figura simétrica em relação a um numero infinito de eixos de simetria. temos: 2. o círculo se reduz a um ponto. No desenho acima. Exemplos: 1. Tal definição faz sentido. alguns matemáticos definem o círculo como um polígono com o número de lados tendendo ao infinito. Círculo (ou disco): É o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo (centro) é menor ou igual a uma distância r (raio) dada. Página 9 . a circunferência é o contorno que envolve a região cinza. temos que o raio é igual à metade do diâmetro: b) O valor da área do círculo é: . Essa talvez seja a curva mais importante no contexto das aplicações. Determine o comprimento r do raio da circunferência.Circunferência: È o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo. a) O perímetro do quadrado é b) Como o comprimento da circunferência é igual ao perímetro do quadrado. Um quadrado tem 12. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro dela. enquanto o círculo é toda a região cinza reunida com o contorno. assim como nos polígonos. calculando-se a área do círculo e seu perímetro. Quando a distância é nula. A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas. que é conhecido como o comprimento da circunferência. Observação: Apesar de não ser classificado como um polígono. Um disco de cobre tem 70 cm de diâmetro.56 cm de lado e seu perímetro é igual ao comprimento de uma circunferência cujo raio mede r. denominado o centro da circunferência. como o fato de ser a única figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. Qual é a área desse círculo ? a) Se o diâmetro do círculo é 70 cm. pois. Observações: 1. não é possível alterar seus ângulos. Vértices: extremidades do triângulo. 4. Definindo os seus lados. b) Isósceles: possui 2 lados iguais e um lado diferente. 3. como estruturas de pontes. o triângulo é um elemento importante na técnica de construções que necessitam de estabilidade. A soma dos ângulos externos é igual a 360º. Lados: segmentos de reta formados com extremidades nos vértices. um ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não-adjacentes. Um triângulo é composto por: 1. a medida de um lado deve sempre ser menor que a soma das medidas dos outros dois lados (condição de existência de um triângulo). Por esse motivo. Em qualquer triângulo. Ângulos externos. A soma dos ângulos internos é igual a 180º . 2. 2. 4. 3. é uma figura não-deformável. O triângulo tem uma estrutura rígida.TRIÂNGULO É um polígono convexo formado pela união de três segmentos não colineares. Ângulos internos: ângulos formados internamente aos triângulos com vértices coincidentes aos ̂ ̂ ̂ vértices do triângulo. Classificações 1.Quanto aos lados: a)Escaleno: possui três lados diferentes. Num triângulo qualquer. Página 10 . ou seja. Base média: é o segmento interno a um triângulo que é paralelo à base principal do triângulo e divide os outros dois lados em dois segmentos congruentes. ou seja. menores que 90º. um ângulo maior que 90º. isto é. Os menores lados são conhecidos como catetos e o maior lado é conhecido como hipotenusa.Quanto aos ângulos a)Acutângulo: possui os três ângulos internos agudos.c) Equilátero: possui três lados iguais. Perímetro e Área Perímetro Àrea Página 11 . um ângulo igual a 90º. c) Obtusângulo: é o triângulo que possui um ângulo obtuso. b) Retângulo: é o triângulo que possui um ângulo reto. . 2. ou seja. em que a. 3. 1. 4. 15 cm e 8 cm ? Utilizando a Fórmula de Heron. Triângulo retângulo: √ em que l é a medida do lado do triângulo equilátero. É o centro do círculo inscrito no triângulo. temos: c) Transformando esse valor para m². em que são usadas fórmulas específicas: 1. √ . temos: a) O semiperímetro do triângulo é: b) √ √ √ √ 2. √ .73 metros quadrados Segmentos notáveis de triângulos 1. Quantos m² de papel foram necessários para obter essas bandeirinhas? a) A área da bandeirinha é: √ √ √ √ √ b) Como foram usadas 100 bandeirinhas.Incentro: é o ponto de encontro das bissetrizes.Triângulo equilátero: 2. ou aproximadamente. Fórmula de Heron: corresponde ao semiperímetro do triângulo. em que b e c são os catetos do triângulo retângulo. Página 12 .Qual é a área de um triângulo cujos lados medem 17 cm. Triângulo em que se conhecem as medidas de dois lados e a medida do ângulo formado por esses lados: ̂ em que ̂ é o ângulo formado pelos lados b e c. obtemos: √ usados para fazer as 100 bandeirinhas.Observações: Existem casos particulares. isto é: Exemplos: 1. b e c são lados do triângulo e p . Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triângulo equilátero de lado igual a 20 cm. os lados de comprimento x e 10 são paralelos. C) 15. Circuncentro: é o ponto de encontro das mediatrizes. e a árvore menor foi obtida a partir de uma redução da árvore maior em que foram mantidas as proporções originais. (Mediatriz: é o segmento que divide os lados de um triângulo em dois segmentos perpendiculares).5 D)3. O valor de x é Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel. (Altura: é o segmento perpendicular a um lado de um triângulo que passa pelo ângulo interno. Ortocentro: É o ponto de encontro das alturas. (B) 3. oposto a este lado em questão). É o centro de gravidade do triângulo. a altura da árvore. em centímetros. B) 20. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de 1:150.9 cm × 3. D) 12 E)1/3 2.7 C)4.(Bissetriz: é o segmento interno a um triângulo que divide os ângulos internos em dois ângulos congruentes). (E) 6 A) 30.3 B)5.4 cm. Se a altura da árvore maior é igual a 60. é: A)6. Baricentro: é o ponto de encontro das medianas. quais as dimensões mínimas.5 3. que essa folha deverá ter? A) 2. É o centro do círculo circunscrito no triângulo. deixando uma margem de 1 cm em relação às bordas da folha.6 E)5. 4. (C) 4. (UFRGS) Nos triângulos da figura. Página 13 . 2. Testes de Vestibular 1. Observe a figura. O desenho ao lado foi feito numa malha formada por quadrados idênticos.80m de altura e sua sombra mede 2m. em metros. (ENEM 2009) A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada para utilização por companhias de transporte aéreo. Se a sombra da árvore mede 5m. 3. (Mediana: é o segmento que divide os lados de um triângulo em dois segmentos congruentes). então a altura da árvore menor vale: (A) 2. 4. (D) 5. O homem tem 1. 90 7. (ENEM 2008) Fractal (do latim fractus. 5.B) 3. Página 14 . a borda do poço esconde exatamente seu fundo como mostra a figura De acordo com o procedimento descrito.75 0. desta forma.85 0.80 0.82 m 3.10 m de largura. está inscrito em um triângulo de base 12 e altura 9. fração. uma pessoa cujos olhos estão a 1. pode ser obtido por meio dos seguintes passos: 1. 6. AB = 1 e AC = 3. C) 20 cm × 25 cm.70 0. (Fuvest) Na figura.52 m 3. a pessoa conclui que a profundidade do poço é A) B) C) D) E) 2. E) 192 cm × 242 cm. quebrado) — objeto que pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o objeto inicial. 3.30 m 3. estuda as propriedades e o comportamento dos fractais — objetos geométricos formados por repetições de padrões similares. A geometria fractal. ADEF é um quadrado. O triângulo de Sierpinski. construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias. criada no século XX.60 m do chão posiciona-se a 0. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).50 m de sua borda. 2.4 cm. comece com um triângulo equilátero (figura 1). o triângulo ABC e retângulo em A.00 m 3.9 cm × 4. a figura 4 da sequência apresentada acima é: Com os dados acima. Quanto mede o lado do quadrado A) B) C) D) E) 0. 4. conforme ilustra a figura 2. (PUC-Camp) Um retângulo cuja base é o dobro da altura. posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos. uma das formas elementares da geometria fractal. D) 21 cm × 26 cm.85 m 8. (UFRGS) Para estimar a profundidade de um poço com 1. 1.2. B) 1 – √ C) √ – 1. (UFRGS) Um retângulo cujo lado maior é igual a 1 e cujo lado menor é igual a x. (UFRGS) Na figura. (MACK) A altura do trapézio é 4. (UFRGS) A lâmpada representa na figura está suspensa por duas cordas perpendiculares presas ao teto. então a diferença entre as áreas do triângulos assinalados é O perímetro de ABC é A) B) C) D) E) A) B) C) D) E) 1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 13.4 22.6 22. D) E) √ -1. é cortado por uma.7 21. como na figura. CP mede 1. √ . Página 15 .11. O perímetro desse retângulo vale A) B) C) D) E) 21. A) B) C) D) E) 20 18 25 12 16 12. 10.5 21. (Mackenzie) A área do quadrado assinalado na figura é O valor de x é A) 1 – x.8 e PB mede 3. ABC é um triângulo retângulo AP BC. formando um quadrado de lado x e um retângulo semelhante ao anterior.8 9. a) 15m b) 17m c) 19m 2 2 d) 20m e) 21m 2 2 A área do triângulo ADE é A) 15/8. 15. 2. 3. (UFRGS) Considere a figura abaixo. 18. AF = 2 e FB = x. 1. 17.8. Um retângulo tem 20 cm de 2 perímetro e 24 cm de área. (Fatec-SP) Na figura abaixo. Sabendo-se que essas cordas medem 1/2 e 6/5.69 1. 10.8. (UFRGS) Na figura abaixo AC = 5. 15/2. C) √ D) √ E) A medida do segmento EF é A) B) C) D) E) 0. 16. Suas dimensões são: a) 4 cm e 12 cm b) 8 cm e 12 cm Página 16 .B) C) D) E) 15/4.6. e AD = 1. 3. BC = 6 e DE = 3.6 1/2 6/13 14. (CESGRANRIO) A área da sala representada na figura é 2 15. ABCD é um retângulo.3 0. Se os retângulos ABCD e BCEF são semelhantes.4.2. a distância da lâmpada do teto é: A) B) C) D) E) 1. então x vale A) -1 + √ B) 1. Dois lados de um triângulo isósceles medem. c) 100. Se os perímetros dos dois quadrados menores são 20 e 80. d) 50. Lembrando que o raio de luz é refletido por um espelho segundo seu ângulo de incidência. o ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência. 5 cm e 2 cm. dois dos quais são paralelos. que podem representar as medidas dos lados de um triângulo. (SBM) Dezoito quadrados iguais são construídos e sombreados como mostra a figura. a) b) c) d) e) 1 – 2 – 4. ou seja. b) 300. (UFRGS – 2012) Assinale a alternativa que apresenta corretamente os valores. 19. 6 – 4 – 5. Então a área é: a) 200. e) 30. (UFPE) Na figura a seguir. (PUCRJ 2007) Num retângulo de perímetro 60. qual a área do retângulo sombreado? 22. 8 – 4 – 3. na mesma unidade de medida.a. em graus a) 80 b) 90 c) 100 Página 17 . (UFRGS) Um raio de luz é refletido por três espelhos planos. a base é duas vezes a altura. respectivamente.c) d) e) 8 cm e 6 cm 4 cm e 6 cm n. Qual o seu perímetro? a) 14 cm b) 12 cm c) 9 cm d) 7 cm e)8 cm 23. 3 – 9 – 4. (A) 90 (B) 85 (C) 80 (D) 75 (E) 65 20. 3 – 2 – 6. o quadrado maior foi dividido em dois quadrados e dois retângulos.d. o valo de é. como mostra a figura. 24. Qual fração da área total é sombreada? a) b) c) d) e) 7 18 4 9 1 3 5 9 1 2 21. . A área destacada que necessariamente. 27. e) é possível formar qualquer um dos triângulos: retângulo. 29. .todo retângulo é um paralelogramo.todo triângulo equilátero é isósceles. Pode-se afirmar que: A) só uma é verdadeira B) todas são verdadeiras C) só uma é falsa D) duas são verdadeiras e duas são falsas E) todas são falsas 26. Na figura abaixo. A razão entre as áreas do triângulo CEF e do retângulo é: 28. acutângulo e obtusângulo. (UFRGS) Dois lados opostos de um quadrado têm um aumento de 40% e os outros dois lados têm um decréscimo de 40%. (CESCEM) Na figura. A área deste quadrado: a) aumenta 20% b) aumenta 16% c) permanece inalterada d) diminui 16% e) diminui 20% A área do polígono sombreado é: (A) 10 (B) 12 (C) 13 (D) 15 (E) 16.todo quadrado é um losango.todo quadrado é um retângulo. 12 cm e 23 cm: a) é possível formar apenas um triângulo retângulo. representa metade do retângulo PQRS é: a) 1/6 b) 1/7 c) 1/8 Página 18 . . a malha quadriculada é formada por quadrados de área 1.d) 120 e) 140 25. b) é possível formar apenas um triângulo obtusângulo. d) não é possível formar um triângulo. Os vértices do polígono sombreado coincidem com os vértices de quadrados dessa malha. 30. ABCD é retângulo. Com três segmentos de comprimentos iguais a 10 cm. (VUNESP) Considere as seguintes proposições: . c) é possível formar apenas um triângulo acutângulo. (UFRGS 2008). d Compor pares de cerâmicas em uma parede. (MACK) A área da parte hachurada vale: 2 a (4 . (UFRGS) O ponto F está na diagonal AC do paralelogramo ABCD abaixo. (ENEM 2009-CANCELADO) Um decorador utilizou um único tipo de transformação geométrica para 33. Uma das composições está Representada pelas cerâmicas indicadas por I e II. (UFRGS) Na figura. Utilizando a mesma transformação. Então a área do 2 triângulo ABC. 31. o perímetro do quadrado é 16 e BC = 6.) 2 a (2 . em cm a) 24 b) 12 5 3 c) 2 d) 6 2 e) A área do triângulo ABC é A) B) C) D) E) 6 12 24 36 72 2 3 a) b) c) d) e) 32.) 2 2a 2 a não sei 35. O triangulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5 cm. (ESPCEX) As bases de um trapézio medem 20 cm e 30 cm e a altura 12 cm.d) 1/9 e) 1/10 34. qual é a figura que compõe par com a cerâmica indicada por III? Página 19 . Calcular a área do triângulo formado pela base menor e o prolongamento dos lados oblíquos A) 240 cm² B) 540 cm² C) 48 cm² D) 1080 cm² E) 200 cm² 36. Sabese que A e B são extremidades de um diâmetro e que a corda BC mede 6 cm. então a área do retângulo ABCD é (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 (E) 12 l2 16 l2 8 l2 6 b) l2 12 c) d) e) l2 4 39. (UFRGS-02) O retângulo ABCD do desenho abaixo tem área de 28 2 cm . todas obtidas a partir de um quadrado de lado l 38. 2 4. uma peça em forma de paraleleogramo e cinco peças triangulares. (UFRGS) No retângulo ABCD da figura. e a medida de FB é igual a um terço da medida de AB. 2 40. 2 3. A razão das áreas do Página 20 . 2 4cm . E é o ponto médio 41. (UFRGS 09) No retângulo ABCD da figura abaixo. Três peças do tangran possuem a mesma área. (A) 12% da área total (B) 18% da área total (C) 12 cm² (D) 18 cm² (E) 36 cm² A área do triângulo QCP é de (A) (B) (C) (D) (E) 3. P é o ponto médio do lado AD e Q é o ponto médio do segmento AP. Essa área é a) Sabendo-se que a área do quadrilátero AFCE é 7. (UFRGS 10) O tangram é um jogo chinês formado por uma peça quadrada. no qual está circunscrito outro triângulo equilátero. (UFRGS) Um triângulo equilátero está inscrito em um circulo.5 cm 2 3.25 cm .25 cm . A porção sombreada é 37. as dimensões são 12 cm e 18 cm.75 cm . o retângulo EBCF está dividido em doze partes iguais.de e F é o ponto médio de . E é o ponto médio de AD. B. A. (UFRGS-06) Na figura abaixo. B e C são vértices de hexágonos regulares justapostos cada um com área 8. P. assim. é feito um corte vertical conforme indicado pela linha pontilhada. e) 24. d) 20. e C é a) 8. D O A B Segue-se que a área do triângulo cujos vértices são os pontos A. b) 12. Justapondo-se as partes obtidas. (UFRGS 2009). Na figura abaixo. os segmentos de reta AD e BC são perpendiculares ao segmento AB C 44. (UFRGS-1999) No triângulo ABC da figura. obtendo-se .triângulo menor e do triângulo maior é 1 2 1 b) 4 1 c) 6 1 d) 8 1 e) 9 a) 42. é possível construir as figuras da opção : 45. duas partes. Se a área do triângulo Página 21 . Q e R são os pontos médios dos lados. (UFRGS 2008) Na figura abaixo. c) 16. temos que a razão OB/AO é igual a 2 (B) 3 (C) 2 1 (A) (D) (E) 3 1 3 2 43. Sabendo que a área do trapézio ABCD é igual ao dobro da área do triângulo OAD. (UFRGS) A razão entre os lados de dois triângulos equiláteros é 2. como representado na figura abaixo: 48. A razão entre suas áreas é: a) 2 b) √ c) 4 d) 6 e) 8 50. forma um quadrado. (PUC-SP) A figura mostra um hexágono regular de lado a. hachurado mede 5. (UFRGS) A área do quadrado ABCD é 1/3 da área do quadrado EBFG. convenientemente justapostas. a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40 46. Se a área do triângulo equilátero é 2. (UFRGS 07) Seis octógonos regulares de lado 2 são justapostos em um retângulo. (UFRGS-2011) As figuras abaixo apresentam uma decomposição de um triângulo equilátero em peças que. então. Qual é a razão entre as medidas do lado do quadrado maior e do lado do quadrado menor? a) 9 b) 3 c) 1 d) √ e) √ 3 3 3 b) 2 4 3 c) a) d) e) 3 3 3 47. (UFRGS 07) Um triângulo equilátero foi inscrito em um hexágono regular. o lado do quadrado mede. como representado na figura abaixo: A soma das áreas das regiões sombreadas na figura é: a) 16 b) 16√2 c) 20 d) 20√2 e) 24 51.49. a área do triângulo ABC mede é: O lado do triângulo mede 2 cm. em centímetros. então a área do hexágono é: a) 2√2 b) 3 c) 2√3 d) 2+√3 e) 4 A diagonal AB mede Página 22 . o vértice A do retângulo OABC está a 6 cm do vértice C. 55. d) 9 cm. o ângulo BDC mede (A) 110º. as semirretas AB e AC tangenciam o círculo de centro D nos pontos B e C. Se o ângulo BAC mede 70º. A partir dessas informações. As sobras de material da produção diária das tampas grandes.A) 2a B) a√ C) E) √ e) 10 D) a√ √ 54. 52. a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas. (E) 140º. menos material do que a entidade III. (D) 135º. médias e pequenas dessa empresa são doadas. para efetuarem reciclagem do material. (E) as três entidades recebem iguais quantidades de material. (UFRGS) Na figura abaixo. (ENEM 2004) Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado. (B) 115º. conforme a figura. a) 5 cm. respectivamente. o vértice A do retângulo OABC está a 6 cm do vértice C. O raio do círculo mede: a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 56. sua área cresce: a) 14% Página 23 . c) 8 cm. Para 1 tampa grande. e) 10 cm. pode-se concluir que: (A) a entidade I recebe mais material do que a entidade II. O raio do círculo mede 53. (C) 125º. a três entidades: I. (D) as entidades I e II recebem juntas. (UFRGS-03) Na figura abaixo. b) 6 cm. (C) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III. (UFRGS 2004) Na figura abaixo. (UFRGS) Se o raio de um circulo cresce 20%. II e III. (B) a entidade I recebe metade de material do que a entidade III. A área da região sombreada vale 59. sendo uma delas corda máxima. A área da parte hachurada é: 58.00 R$ 190. D) 22. respectivamente. E) 24.00 R$ 185.4% c) 40% d) 44% e) 144% B) C) D) E) R$ 162. (PUC-SP) Os diâmetros das pizzas grandes e médias são 40 e 36 cm. Qual deve ser o preço da média se a grande custa R$ 200.00 57. e a parte inferior. A área do setor hachurado é 60. a) 6 b) 10 c) 10 d) 6 e) 60 61.b) 14.) 4 (2 . (MACK) Quatro círculos de raio unitário. (FER) Numa circunferência de raio 13 cm duas cordas distam 5 cm.00 R$ 174. A medida da altura total da janela é: a) 3b/2 b) 5b/2 c) b/2 d) 2b e) b a) b) c) d) e) (4 .00 Página 24 . o valor da corda menor é. são tangentes exteriormente dois a dois. (UFRGS) O disco da figura tem raio 6 e a distância de seu centro ao ponto P é 10. C) 20. por um retângulo cuja altura h possui o dobro da medida da base b.) 1 62. As retas PA e PB são tangentes ao disco. cujos centros são vértices de um quadrado. igual a A) 16. (PUC-2003/2) A figura a seguir mostra uma janela em que a parte superior é formada por um semicírculo. em cm. (UFRGS) O círculo da figura tem o raio 6. B) 18.00 e os preços são proporcionais às áreas das pizzas? A) R$ 155. e mede 100 . à coordenada de P. em centímetros quadrados. (UFAL) Na figura abaixo se têm 4 semicírculos. como representado na figura abaixo Considerando-se que o ponto P está inicialmente na origem. C é o centro do círculo.4 c) 26.1) a) 24.9 67. a que apresenta a melhor aproximação para a área da região sombreada é (A) 7.(C) (D) (E) (A) 24 (B) 48 (C) 96 (D) 100 (E) 200 a) b) c) d) e) 65. (UFRGS – 2012) Um disco de raio 1 gira ao longo de uma reta coordenada na direção positiva. (UFRGS-05) Na figura abaixo.5 (B) 7.) 4 área da figura 66. 63. estará entre: 64.6 (C) 7.8 (E) 7.8 b) 25.) 2 (2 . Se o raio de cada semicírculo é 4 cm.8 e) 32. após 10 voltas completas. (UFSC) A sombreada é: 4- 4 (1 . (UFRGS) A área de um setor circular de 210º e raio 3 cm é (A) (B) Página 25 . a área da região sombreada.7 (D) 7. A é um ponto do círculo e ABCD é um retângulo com lados medindo 3 e 4. dois a dois tangentes entre si e inscritos em um retângulo. é (Use: =3.2 d) 28.4 Entre as alternativas. (UFRGS – 2012) Os círculos desenhados na figura abaixo são tangentes dois a dois. c) . e C é um ponto do círculo A distância entre os pontos P e Q é a) b) c) d) e) Uma solução possível para os valores numéricos de AC e BC é A) B) C) D) E) 1 e 2√ 2e3 1e4 1. (UFRGS) O disco da figura tem raio 6 e a distância de seu centro ao ponto P é 10. A área tracejada vale A razão entre a área de um círculo e a área da região sombreada é a) 1. b) 2. tangentes 72. 68. . entre si. (UFRGS) Na borda de uma praça circular foram plantadas 47 roseiras. (UFRGS – 2012) Observe os discos de raios 2 e 4. O valor que mais se aproxima do diâmetro desta praça é A) 15 B) 18 C) 24 Página 26 . 62 e 64. o valor numérico do diâmetro AB é 5. entre si e às semirretas s e t. As retas PA e PB são tangentes ao disco.a) b) c) d) e) 60 e 62. 66 e 68. d) e) . representados na figura abaixo. espaçadas 2 m.5 e 3. 68 e 70. 13. 71. 69. 64 e 66. A) B) C) D) E) 24 48 96 100 200 70.5 √ e2 9. 11. 10. 12. (UFRGS) Na figura abaixo. AB= 8. (PUCRS) Na figura abaixo tem-se um quadrado inscrito numa circunferência cujo comprimento do raio é r. (UFRGS) Na figura abaixo.12 D) 25.D) 30 E) 50 73.2) 1/3 r² ( .2) 3r² ( . O é o centro dos círculos e AB é tangente em P ao círculo menor. A soma das medidas dos comprimentos dos arcos é A) B) C) D) E) cm. 10 cm.12 E) 21. O valor da área da região é A) 9 B) 9 C) D) E) +6 + 12 75.1) 74. Página 27 . OP= 2.14 sua extremidade percorre em cm. considerando π = 3. 10/3 cm.2) 3/4 r² ( . 5 cm. 77.4 B) 12.2 C) 20. 5 cm. Em 20 minutos. 76. A) 2.1) 3r² ( . (PUC) O ponteiro dos minutos de um relógio mede 12 cm. como indicado na figura abaixo.12 A área da região sombreada é expressa por A) B) C) D) E) 3/4 r²( . (UFRGS) Três arcos de círculo são construídos de maneira que seus centros estão nos vértices de um triângulo equilátero de lado 10 cm e interseccionam o triângulo nos pontos médios dos lados. (UFRGS) A região da figura é limitada por uma semicircunferência de raio 3 e por dois segmentos medindo 5 cada um. A área do disco maior é A) B) C) D) E) 220 10 20 64 68 : Gabarito GEOMETRIA PLANA: 1B 2C 8C 14B 20B 26D 32ª 38E 44B 50E 56D 62B 68ª 74E 3C 9E 15B 21E 27D 33D 39E 45E 51D 57C 63C 69D 75ª 4D 10D 16 A 22B 28D 34D 40C 46D 52E 58B 64D 70D 76D 5C 11C 17C 23B 29B 35ª 41B 47C 53B 59B 65ª 71B 77C 6B 12E 18D 24C 30C 36B 42B 48E 54ª 60ª 66ª 72D 7D 13E 19ª 25B 31B 37B 43B 49C 55B 61ª 67B 73C Página 28 . como: Prisma: caixa de sapato. Esfera: bola de isopor. Essas figuras recebem o nome de sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais e são conhecidas como: prisma (cubo. cilindro. bola de futebol. Cone: casquinha de sorvete. cone. canudo de refrigerante. pirâmides. Classificação Um prisma pode ser: reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. esfera. oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. Veja: prisma oblíquo prisma reto Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares: Página 29 . Cilindro: cano PVC. então a geometria espacial é responsável pelo cálculo do volume (medida do espaço ocupado por um sólido) dessas figuras e o estudo das estruturas das figuras espaciais. comprimento e profundidade). globo espelhado.Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço tridimensional (as 3 dimensões são: largura. caixa de fósforos. PRISMAS Prisma é um poliedro com duas bases paralelas formadas por polígonos iguais e faces laterais que são paralelogramos. iremos perceber que cada uma tem a sua forma representada em algum objeto na nossa realidade. Se observarmos cada figura citada acima. Essas figuras ocupam um lugar no espaço. paralelepípedo). : Num prisma. a união desta com as duas bases é denominada superfície total. podemos ter: a) paralelepípedo oblíquo b) paralelepípedo reto Página 30 . sua área total é composta pelas áreas de cada uma de suas faces. VOLUME DE PRISMAS O volume V de um prisma com área da base Ab e altura h é dado por: ÁREAS Em uma figura espacial. .Assim. a reunião das faces laterais chama-se superfície lateral. : Paralelepípedo Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.prisma regular hexagonal prisma regular triangular Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes. 2ª Obs. Vejamos como calcular cada uma delas. A base do cilindro é um círculo de raio r.ortoedro ou paralelepípedo retângulo. CÁLCULO DAS ÁREAS DE UM CILINDRO. a área lateral e a área total. Podem ser classificados. vamos realizar a planificação do Página 31 . Dessa forma. CILINDRO O cilindro é um corpo redondo com duas bases opostas e paralelas. em: cilindro circular oblíquo (a geratriz é oblíqua às bases) e cilindro circular reto (a geratriz é perpendicular às bases). Num cilindro. A primeira figura acima é um cilindro oblíquo. temos as áreas das bases.Se o paralelepípedo reto tem bases retangulares. a área da base é dada por: Sb = πr2 Para melhor compreender o cálculo da área lateral ou da superfície lateral. já a segunda é um cilindro reto. ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo. de acordo com a inclinação da geratriz em relação aos planos das bases. Observe a figura: Dessa forma. Assim. podemos verificar que a superfície lateral é um retângulo de base 2πr e altura h. Unidades de medida de volume Página 32 . O volume do cilindro.cilindro. h → é a altura do cilindro r → é o raio da base Sl → é a área lateral A área total do cilindro é obtida somando a área das duas bases com a área lateral. Quanto maior o espaço ocupado. de acordo com o princípio de Cavalieri. Dessa forma. Assim. maior seu volume. é obtido da mesma forma que o volume de um prisma. teremos: St = Sl + 2Sb Como Sl = 2πrh Sb = πr2 Segue que: St = 2πrh + 2πr2 Ou St = 2πr(h+r) Cálculo do volume do cilindro. podemos afirmar que o volume do cilindro é igual ao produto da área da base pela altura. a área da superfície lateral será dada por: Sl = 2πrh Onde. ou: V = Sb∙h = πr2h VOLUME E UNIDADES DE MEDIDA O volume de um corpo é a quantidade de espaço que ele ocupa. e vice-versa. em função do corpo cujo volume deseja-se calcular. pode acontecer de usarmos uma unidade. para cada múltiplo ou submúltiplo do metro devemos definir também um múltiplo ou submúltiplo do metro cúbico. que é o volume de um cubo com 1 m de aresta. O número de centímetros cúbicos que ocupam o mesmo espaço físico que um determinado corpo recebe o nome de volume deste corpo e é expresso em cm3. cada unidade de volume é 1000 vezes maior do que a unidade imediatamente inferior e 1000 vezes menor do que a imediatamente superior. O metro cúbico é simbolizado por m3. que tomaremos como unidade-padrão para comparar. Página 33 .Para saber se um corpo tem mais ou menos volume do que o outro. ou muito maior ou muito menor. devemos saber qual deles tem mais unidades de volume. A unidade fundamental de volume é o metro cúbico. Quantos cubinhos têm nesse cubo? As unidades de volume aumentam ou diminuem de 1000 em 1000. teríamos construído um centímetro cúbico (cm3). Por isso. isto é. Se o lado de um dos quadrados que formam as faces do cubo medisse 1 cm. Embora a unidade fundamental de volume seja o m3. devemos lembrar que cada unidade de volume é 1. km3 hm3 dam3 3 m3 3 dm3 cm3 mm3 Para transformar m em dm (uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000 = 2. portanto. • 1 mm3 é o volume de um cubo de 1 mm de lado. Observe a seguinte transformação: 3 3 transformar 2. Na transformação de unidades de volume. • Se tomarmos um cubo que tenha de aresta qualquer submúltiplo do metro.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.45 x 1.000.450 dm Exemplo: Quantos centímetros cúbicos tem um decímetro cúbico? Observe que para passar de dm 3 para cm3 temos de deslocar uma unidade para a direita. Observe que essas unidades são muito grandes e seu uso é. em geral. multiplicaremos a quantidade dada por mil: Página 34 . 1 hm3 é o volume de um cubo de 1 hm de • lado. Assim: • 1 dm3 é o volume de um cubo de 1 dm de lado. • 1 cm3 é o volume de um cubo de 1 cm de lado. limitado. teremos os múltiplos do metro cúbico. Assim: 1 km3 é o volume de um cubo de 1 km de lado.Se tomarmos um cubo que tenha de aresta qualquer múltiplo do metro. 1 dam3 é o volume de um cubo de 1 dam • de lado. 3 2.45 m para dm . obteremos os submúltiplos do metro cúbico. no sistema métrico decimal. multiplicaremos a quantidade por mil. faremos o seguinte: 14 hm3 = 14 X 1 000 000 = 14 000 000 m 3 169 dam3 = 169 X 1 000 = 169 000 m 3 74 dm3 = 74 ÷ 1 000 = 0. vezes mil. portanto. Esfera é o conjunto de pontos do espaço cuja distância a O é igual ou menor que o raio R. é o conjunto de pontos do espaço cuja distância a O é igual a R. temos de deslocar três unidades para a direita. vezes mil.074 m3 14 hm3 169 dam3 74 dm3 = 14 169 000. isto é.074 m3 ESFERA Superfície esférica de centro O. Área da superfície esférica e volume da esfera A área da superfície esférica de raio R é dada por: Página 35 .1 dm3 = 1 X 1 000 = 1 000 cm3 Exemplo: Quantos metros cúbicos têm 2 km3? Para passar de km 3 para m3. por 1 000 000 000: 2 km3 = 2 X 1 000 000 000 = 2 000 000 000 m3 Exemplo: Para expressar em m3 um volume de 14 hm3 169 dam3 74 dm3. respectivamente. nessa ordem. temos: Quando o plano que secciona a esfera contiver um diâmetro.O volume da esfera de raio R é dado por: Secção de uma esfera OO’ é a distância do plano α ao centro da esfera. Nesse caso. Testes de Vestibular 1. teremos d = 0. III e IV a seguir: Página 36 . Sendo OO’ = d. II. o círculo determinado terá raio R e será denominado círculo máximo. os sólidos numerados como I. (UNITAU) Indique quantas faces possuem. Qualquer plano α que seciona uma esfera de raio R determina como seção plana um círculo de raio R. 000 c) 20. sua área total aumentará em: a) 20% b) 44% c) 96% d) 144% e) 264% 5.000 b) 8. Então. (UFRGS) Uma barra de ferro de 60 cm de comprimento tem todas as secções transversais iguais a um quadrado com 4 cm de lado. 5. e) 6. 3. 18. 2.a) 8. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular. No torno se faz a maior barra cilíndrica circular reta possível. 5. a altura mede 4.000 7. 6. 6. Página 37 . 6. Se cada caixa pesa 25 kg quanto pesa o monte com todas as caixas? A) 300 B) 325 kg C) 350 kg D) 375 kg E) 400 kg e) 80. 6. 6. com 20m de comprimento e 10m de largura. c) superfície. A piscina é retangular. 6. do material desperdiçado? O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza a) 200 b) 206 c) 250 d) 256 a) massa. b) volume. e) 270 (UFRGS) Aumentando a aresta de um cubo em 20%. Qual é o volume mais aproximado. A quantidade de litros de água a ser acrescentada é seguir. de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue 4. c) 8. 6. o raio da base mede: (B) 2 (C) 3 (D)6 (E)9 6. 5. (A) 1 (UFRGS) Num cilindro circular reto de volume 36 . (ENEM 2010) A siderúrgica "Metal Nobre" produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. 5. d) 5.000 d) 40. em cm3.000 (UFRGS) Deseja-se elevar em 20cm o nível de água da piscina de um clube. 6. Num armazém foram empilhadas algumas caixas que formaram o monte mostrado na figura a a) 4. 8. 6. b) 8. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto. respectivamente. Os três recipientes estão ilustrados na figura. (UNITAU) Se dobrarmos convenientemente as linhas tracejadas das figuras a seguir.d) capacidade. p é o centro da face superior de um cubo. 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. A pirâmide de base hachurada tem um de seus vértices Página 38 . (UFRGS 2010) Considere um cubo de aresta 10 e um segmento que une o ponto P. 8. com 30 cm de altura. e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm. 11. vértice do cubo. c) octaedro. (ENEM 2010) Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram realizados com bovinos. envolvendo três tipos de bebedouros. prisma e hexaedro. 9. A medida do segmento PQ é: Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa. e) comprimento. tetraedro e hexaedro. de altura igual a 60 cm. b) 5√6 c) 12. tetraedro e octaedro. b) paralelepípedo. 10. octaedro e hexaedro. centro de uma das faces do cubo. como indicado na figura abaixo. ao ponto Q. prisma pentagonal e hexaedro. O bebedouro 3 é um semicilindro. de formatos e tamanhos diferentes. d) pirâmide. (UFRGS-02) Na figura abaixo. d) 6√5 e) 15. qual das figuras a seguir representa uma planificação para bebedouro 3? a) 10. obteremos três modelos de figuras espaciais cujos nomes são: a) tetraedro. e) pirâmide pentagonal. pela relação área/capacidade de armazenamento de 4/3. (C) 4. em cada um dos vértices do cubo está centrada uma esfera cuja medida do diâmetro é igual à medida da aresta do cubo. b) I. Qual o volume de cada pirâmide? a) 36 b) 48 c) 54 d) 64 e) 72 A razão entre o volume da porção do cubo ocupado pelas esferas e o volume do cubo é 13. (UFRGS-07) Considere as seguintes planificações: Quais delas podem ser planificações do prisma? a) Apenas I. 12. (UFRGS-03) Considere uma esfera inscrita num cubo. Página 39 . a melhor aproximação para a razão entre o volume da esfera e o volume do cubo é (A) 2/5 (B) 1/2 Se o volume da pirâmide é 1. c) II. 16. pela relação área/capacidade de armazenamento de 1/3.em P. e) III. pela relação área/capacidade de armazenamento de 2/3. (E) 8. pela relação área/capacidade de armazenamento de 3/4. (UFRGS-04) No desenho abaixo. (B) 3. (A) /6 (B) /5 (C) /4 (D) /3 (E) /2 Qual dos tanques deverá ser escolhido pelo dono do posto? (Considere π ≈ 3) a) I. então o volume do cubo é (C) 3/5 (D) 2/3 (A) 2. (UFPE 2001) Na figura abaixo o cubo de aresta medindo 6 está dividido em pirâmides congruentes de bases quadradas e com vértices no centro do cubo. pela relação área/capacidade de armazenamento de 7/12. (ENEM 2010) Uma empresa vende tanques de combustíveis de formato cilíndrico. 14. Dentre as alternativas abaixo. com medidas indicadas nas figuras. O preço do tanque é diretamente proporcional à medida da área da superfície lateral do tanque. d) III. (D) 6. (E) 3/4 15. em três tamanhos. O dono de um posto de combustível deseja encomendar um tanque com menor custo por metro cúbico de capacidade de armazenamento. (UFRGS) O volume de um cubo em que uma face tem área de 12cm² é: (A) 9cm³ (B) 12cm³ (C) 12 3 cm³ (D) 24cm³ (E) 24 3 cm³ (A) tronco de pirâmide (B) tronco de prisma (C) poliedro regular (D) prisma trapezoidal (E) prisma triangular 22. c) Apenas I e II. O volume de gás que comporta o 3 reservatório. que é de 16 cm. A razão entre o volume de um dos cones e o volume do cilindro é 3 5 cm. formada por trapézios congruentes e triângulos equiláteros. representa a planificação de um sólido. Se V1 é o volume da esfera e V2 é o volume do cilindro. unidos pelo vértice. II e III. possui área interna de a) 1/3 36 m 2 . (PUC) Os catetos de um triângulo retângulo medem cm a) e 18. é de Página 40 . do sólido gerado 2 pela rotação do triângulo em torno do menor cateto é 2 3 3 1 a) 2 1 6 b) 1 3 1 8 c) 1 4 b) c) 5 3 d) e) d) 5 3 3 e) 5 5 3 19. (UFRGS) A figura abaixo representa um cilindro circunscrito a uma esfera. (UFRGS) Uma ampulheta pode ser considerada como formada por dois cones retos idênticos. sua altura deve ser 17. inscritos em um cilindro reto. em m . a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Esse sólido é um 21. O número de doces em formato de bolinhas de 2 cm de raio que se pode obter com toda essa massa é: (A) 300 (B) 250 (C) 200 (D)150 (E)100 23. (UFRGS) Uma panela cilíndrica de 20 cm de diâmetro esta completamente cheia de massa para doce. que está assentada no solo. d) Apenas II e III. b) c) d) e) 1/2 1 2 3 20. sem exceder a sua altura. (PUC/2005-1) Um reservatório tem a forma de uma semiesfera. então a razão V2 V 2 V1 é: 24. e) I. (UFRGS-06) A figura abaixo. O volume. em cm . (UFRGS) A área da base de um cone é 20. A base.b) Apenas II. Para que o seu volume seja 40. Considere que um marceneiro tenha encontrado algumas figuras supostamente desenhadas por Escher e deseje construir uma delas com ripas rígidas de madeira que tenham o mesmo tamanho. A correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de revolução obtidos é: (A) 1A. 5A. 4B. a altura é 3m e o diâmetro 2 da base é 8m.0 (E)21. 28. Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos. e) encher cinco leiteiras de água. (UFRGS) Uma esfera de volume 36 está inscrita em um cilindro de volume igual a: (A) 9 (B) 18 (C) 24 (D) 54 (E) 60 Com o objetivo de não desperdiçar café. (D) 1D. 2D. 5C. precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. cuja área de base é 100 cm³ e a altura de 21cm: (A) 2. pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. Dona Maria deverá 27. (UFPA) Num cone reto. (B) 1B. a exemplo da litografia Belvedere. 5C. 4A. b) encher a leiteira toda de água.0 (B) 3. d) encher duas leiteiras de água. 3E. 3C. também cilíndricos. 2E. então 6 (D) seu 29. pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. na forma de um prisma regular. Girando-se as figuras abaixo em torno da haste indicada obtêm-se os sólidos de revolução que estão na coluna da direita. 2E. 5E. 4E. 3D. reproduzida ao lado. 5A. a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. (UFRGS) Se o volume de uma esfera é diâmetro é: .a) 288 π b) 216 π c) 144 π d) 72 π e) 36 π a) b) c) d) e) 52 36 20 16 12 25. Para que isso ocorra. c) encher a leiteira toda de água. (E) 1D. (ENEM 2010) Dona Maria. (ENEM-2007) Representar objetos tridimensionais em uma folha de papel nem sempre é tarefa fácil. Qual Página 41 . (C) 1B. 4D. (ENEM 99) Assim como na relação entre o perfil de um corte de um torno e a peça torneada. a área total (em m ) vale: 31.3 30. 3A. O artista holandês Escher (1898-1972) explorou essa dificuldade criando várias figuras planas impossíveis de serem construídas como objetos tridimensional. 2B. 2C. 3B. Faça a correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de revolução obtidos. 4C. sólidos de revolução resultam da rotação de figuras planas em torno de um eixo. pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. (UFSM) Quantas garrafas de 300 ml de refrigerantes são necessárioas para encher uma jarra. Para fazer o café. pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. a) encher a leiteira até a metade. diarista na casa da família (A) 1 (B) 2 (E) 6 (C) 3 6 Teixeira. Então.1 (D) 7. pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. 26.0 (C) 6. A rotação desse quadrado em torno de uma reta que contém uma de suas diagonais gera um sólido. (UFSM) Dobrando-se o raio de uma esfera. a altura do tronco de cone ocupado pela areia. a) b) c) d) e) Página 42 . com dimensões de 8. encontra-se na posição vertical e possui a base inferior vedada. Então o volume do paralelepípedo B é. (UEL 2001) Em qual das alternativas está a planificação do cubo representado à esquerda? Voltando-se o vértice do cone para cima. é a) 16 e 9 b) 18 e 6 c) 12 e 10 d) 14 e 8 e) 10 e 6 Ultrapassa o meio do cano transborda Não chega ao meio do cano Enche o cano até a borda Atinge exatamente o meio do cano 36. em centímetros. 5 quadrangulares e 4 triangulares. ocupa 7 da capacidade do cone. Colocando-se 2 litros de água em seu interior. (UFRGS)-O volume de uma esfera A é 1/8 do volume de a) b) c) d) e) uma esfera B.5 cm.dos desenhos a seguir ele poderia reproduzir em um modelo tridimensional real? A superfície desse sólido. o seu volume ficará. de altura 18cm. (UFRGS) Um pedaço de cano de 30 cm de comprimento e 10cm de diâmetro interno. (UFRGS)-O diâmetro da lua é aproximadamente ¼ do a) b) c) d) e) diâmetro da Terra. então o raio da esfera A mede: 5 4 2. conforme indica a figura. (UFRGS 08) A areia contida em um cone fechado. em cm³: 85 850 8500 85000 850000 medem 2 dm. Aproximadamente quantas vezes a Terra é maior do que a lua em volume? 4 16 64 128 256 38.5 2 1. cujas diagonais 39. Então. 2. a água: a) b) c) d) e) 32. em dm2. o número de arestas e o de vértices desse poliedro.5 cm e 4 cm é a reprodução de 1:10 do paralelepípedo B. Se o raio da esfera B mede 10. (UCEPEL-2012-VERÃO) Um poliedro convexo possui 9 faces. (UFRGS-2011) O paralelepípedo reto A. 8 33. (A) multiplicado por 2 (D) inalterado (B) multiplicado por 4 (E) reduzido à metade (C) multiplicado por 8 40.25 34. é de 2 (D) 3 2 (A) (B) (E) 2 2 (C) 2 3 3 3 35. (UFRGS 09) Observe o quadrado abaixo. respectivamente. é: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 37. (UFRGS 2007) A partir dos quatro vértices de um cubo de aresta 6. (UFRGS 06) Duas esferas de raio r foram colocadas dentro de um cilindro circular reto com altura 4r. 46. a razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o voluma das esferas é a) d) a) b) c) d) e) 4. d) Será duplicado. construído com madeira maciça. Nessas condições. conforme representado na figura 1. b) Será reduzido à metade.41. 45. 5√3. 43. (UFRGS 2011) A superfície total do tetraedro regular representado na figura abaixo é 9√3. os vértices do quadrilátero ABCD são pontos médios de quatro das seis arestas do tetraedro regular. Os vértices do quadrilátero PQRS são os pontos médios de arestas do tetraedro. o objeto que convenientemente composto com o sólido S. c) Permanecerá inalterado. cada uma tendo três arestas de medida 3. o volume desta pirâmide a) Será reduzido à quarta parte. 4√2. O perímetro do quadrilátero é 1 5 1 2 b) 1 4 3 c) 1 3 e) 2 44. (UFRGS-2011) Observe o sólido s formado por 6 cubos e representado na figura abaixo: Dentre as opções a seguir. . e) Aumentará quatro vezes. b) c) d) e) 75. (UFRGS – 2012) Se duplicarmos a medida da aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular e reduzirmos sua altura à metade. raio da base r e espessura desprezível. como indica a figura. foram recortadas pirâmides triangulares congruentes. Página 43 . como na figura abaixo. (UFRGS 2005) Na figura abaixo. forma um paralelepípedo é: Se a aresta desse tetraedro mede 10. 100. abaixo. então a área do quadrilátero ABCD é a) 25. 6. 6√3. 42. √ √ . 42 . (C) 208. 40 D. 46 A. 41 D. 27 D. 24 A. 14 B. Página 44 . 6 D. 5 E. 17 A. 7 B. 15 D. 23 D. 38 A. 19 B. 25 A. 45 D. 30 1. 20 E. 28 B. 43 C. (E) 216. 4 E. 26 D. 21 E. 33 D. 18 D. 11 D.12 A. 44 A. O volume do sólido obtido é (A) 198. 29 D. 32 A. 2 B. 10 B. abaixo. Gabarito: 1 A. 31 E. 13 D. 3 E. (B) 204. 37 C.O sólido obtido após a retirada das pirâmides está representado na figura 2. 35 A. 22 D. 16 D. (D) 212. 34 B. 39 C. 8 E. 9 E. 36 C.