Geometria - Centenas de Exercícios Resolvidos.

Geometria plana.Resumo teórico e exercícios. 3º Colegial / Curso Extensivo. Autor - Lucas Octavio de Souza (Jeca) Relação das aulas. Página Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 - Conceitos iniciais................................................................ 02 Pontos notáveis de um triângulo......................................... 18 Congruência de triângulos.................................................. 28 Quadriláteros notáveis........................................................ 38 Polígonos convexos............................................................ 48 Ângulos na circunferência................................................... 62 Segmentos proporcionais................................................... 74 Semelhança de triângulos................................................... 84 Relações métricas no triângulo retângulo........................... 98 Relações métricas num triângulo qualquer....................... 112 Circunferência e círculo..................................................... 126 Inscrição e circunscrição de polígonos regulares............. 136 Áreas das figuras planas................................................... 146 Considerações gerais. Este estudo de Geometriade Plana tem como objetivo complementar o curso que desenvolvo com os alunos de 3º Colegial e de curso pré-vestibular. Não tem a pretensão de ser uma obra acabada e, muito menos, perfeita. Autorizo o uso pelos cursinhos comunitários que se interessarem pelo material, desde que mantenham a minha autoria e não tenham lucro financeiro com o material. Peço, entretanto que me comuniquem sobre o uso. Essa comunicação me dará a sensação de estar contribuindo para ajudar alguém. Peço a todos, que perdoem eventuais erros de digitação ou de resolução e que me comuniquem sobre esses erros, para que possa corrigí-los e melhorar este trabalho. Meu e-mail - [email protected] Um abraço. Jeca (Lucas Octavio de Souza) Jeca 01 Geometria plana Aula 01 Conceitos iniciais de Geometria Plana. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) I) Reta, semirreta e segmento de reta. Definições. a) Segmentos congruentes. Dois segmentos são congruentes se têm a mesma medida. A B reta AB A B semirreta AB A B A B semirreta BA b) Ponto médio de um segmento. Um ponto P é ponto médio do segmento AB se pertence ao segmento e divide AB em dois segmentos congruentes. segmento AB c) Mediatriz de um segmento. É a reta perpendicular ao segmento no seu ponto médio II) Ângulo. A Definições. a) Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas de mesma origem. a O b) Ângulos congruentes. Dois ângulos são ditos congruentes se têm a mesma medida. B OA - lado OB - lado O - vértice ângulo AOB ou ângulo c) Bissetriz de um ângulo. É a semirreta de origem no vértice do ângulo que divide esse ângulo em dois ângulos congruentes. a IIa) Unidades de medida de ângulo. a) Grau. A medida de uma volta completa é 360º. b) Radiano. A medida de uma volta completa é 2p radianos. º - grau ' - minuto " - segundo 1º = 60' 1' = 60" Um radiano é a medida do ângulo central de uma circunferência cuja medida do arco correspondente é igual à medida do raio da circunferência. IIb) Classificação dos ângulos. Definições. a) Ângulos complementares. É o par de ângulos cuja soma das medidas é 90º. a = 0º - ângulo nulo. 0º < a < 90º - ângulo agudo. a = 90º - ângulo reto. 90º < a < 180º - ângulo obtuso. a = 180º - ângulo raso. b) Ângulos suplementares. É o par de ângulos cuja soma das medidas é 180º. IIc) Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal. t a r b r // s e s f h g d c a) Ângulos correspondentes (mesma posição). exemplo - b e f. Propriedade - são congruentes. b) Ângulos colaterais (mesmo lado). exemplo de colaterais internos - h e c. exemplo de colaterais externos - d e g. Propriedade - são suplementares (soma = 180º) c) Ângulos alternos (lados alternados). exemplo de alternos internos - b e h. exemplo de alternos externos - a e g. Propriedade - são congruentes. Jeca 02 III) Triângulos. vértice lado e i - ângulo interno e - ângulo externo i Num mesmo vértice, tem-se O ângulo externo de qualquer polígono convexo é o ângulo formado entre um lado e o prolongamento do outro lado. i + e = 180º Propriedades dos triângulos. 1) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos internos é 180º. b a) quanto aos lados: - triângulo equilátero. - triângulo isósceles. - triângulo escaleno. b) quanto aos ângulos: - triângulo retângulo. - triângulo obtusângulo. - triângulo acutângulo. 2) Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos 2 ângulos internos não adjacentes. b a a + b + g = 180º a Classificação dos triângulos. Ângulo externo. e e=a+b g e3 3) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos externos é 360º. e1 4) Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes. Observação - A base de um triângulo isósceles é o seu lado diferente. e1 + e2 + e3 = 360º e2 a a Exercícios. 01) Efetue as operações com graus abaixo solicitadas. a) 48º 27' 39" + 127º 51' 42" c) 90º - 61º 14' 44" (GeoJeca) e) 4 x (68º 23' 54") (GeoJeca) d) 136º 14' - 89º 26' 12" (GeoJeca) f) 3 x (71º 23' 52") (GeoJeca) (GeoJeca) b) 106º 18' 25" + 17º 46' 39" (GeoJeca) Jeca 03 III) Triângulos. vértice lado e O ângulo externo de qualquer polígono convexo é o ângulo formado entre um lado e o prolongamento do outro lado. i - ângulo interno e - ângulo externo i Num mesmo vértice, tem-se i + e = 180º Propriedades dos triângulos. 1) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos internos é 180º. b a) quanto aos lados: - triângulo equilátero. - triângulo isósceles. - triângulo escaleno. b) quanto aos ângulos: - triângulo retângulo. - triângulo obtusângulo. - triângulo acutângulo. 2) Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos 2 ângulos internos não adjacentes. b a a + b + g = 180º a Classificação dos triângulos. Ângulo externo. e e=a+b g e3 3) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos externos é 360º. e1 4) Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes. Observação - A base de um triângulo isósceles é o seu lado diferente. e1 + e2 + e3 = 360º e2 a a Exercícios. 01) Efetue as operações com graus abaixo solicitadas. a) 48º 27' 39" + 127º 51' 42" c) 90º - 61º 14' 44" (GeoJeca) e) 4 x (68º 23' 54") (GeoJeca) (GeoJeca) 48º 27' 39" 127º 51' 42" 175º 78' 81" = 4 x 68º 4 x 23' 4 x 54" = 89º 60' 175º 78' 81" = 272º 92' 216" = 89º 59' 60" - 61º 14' 44" 28º 45' 16" 175º 79' 21" 176º 19' 21" 4 x (68º 23' 54") = 90º = 272º 95' 36" = Resposta Resposta = 273º 35' 36" b) 106º 18' 25" + 17º 46' 39" d) 136º 14' - 89º 26' 12" (GeoJeca) Resposta f) 3 x (71º 23' 52") (GeoJeca) 3 x (71º 23' 52") = 136º 14' - 89º 26' 12" 106º 18' 25" 17º 46' 39" 123º 64' 64" = 3 x 71º 3 x 23' 3 x 52" = = 213º 69' 156" = 135º 74' - 89º 26' 12" 123º 64' 64" = 213º 71' 36" = 123º 65' 04" 124º 05' 04" Resposta 135º 73' 60" - 89º 26' 12" 46º 47' 48" = 214º 11' 36" Resposta Jeca 03 Resposta (GeoJeca) g) 125º 39' 46" 4 (GeoJeca) h) 118º 14' 52" 3 i) (GeoJeca) j) 125º 12' 52" 5 90º 13 (GeoJeca) (GeoJeca) 03) Determine o ângulo que excede o seu suplemento 02) Determine o ângulo que é o dobro do seu complemento. (GeoJeca) em 54º (GeoJeca) 04) Determine o ângulo cuja diferença entre o seu suplemento e o triplo do seu complemento é igual a 54º. (GeoJeca) 05) Dois ângulos são suplementares. O menor é o complemento da quarta parte do maior. Determine as medidas desses ângulos. (GeoJeca) 06) As medidas de dois ângulos somam 124º. Determine esses ângulos sabendo que o suplemento do maior é igual ao complemento do menor. (GeoJeca) 07) Determine um ângulo sabendo que o suplemento da sua quinta parte é igual ao triplo do seu complemento. (GeoJeca) Jeca 04 2' 125º 12'' 52" = 25º 02' 34" 5 j) 120" 52" 172" 5 -15 34" 22 -20 2" (resto) 12 0" (GeoJeca) 90º 13 90º -78 12º 13 0' 6º 72 º= 2 1 90º = 06º 55' 23" 13 Resposta 120" 52" 172" 3 -15 57" 22 -21 1" (resto) Resposta 720' 13 -65 55' 70 -65 05' 5' 0" 12 0' 12' 12' 5 -10 2' 2' 125º 5 -10 25º 25 -25 0º 118º 14' 52" = 39º 24' 57" 3 (GeoJeca) 125º 12' 52" 5 60' 14' 74' 3 -6 24' 14 -12 2' 2' = 180" 46" 226" 4 -20 56" 26 -24 2" (resto) Resposta = i) 118º 3 -9 39º ' 28 60 = -27 1º 1º (GeoJeca) 0" 125º 39' 46" = 31º 24' 56" 4 h) 118º 14' 52" 3 30 18 0" 60' 39' 99' 4 -8 24' 19 -16 3' 3' = 125º 4 -12 31º ' 05 60 = -4 1º 1º (GeoJeca) = g) 125º 39' 46" 4 300" 13 -26 23" 40 -39 1" (resto) Resposta 03) Determine o ângulo que excede o seu suplemento 02) Determine o ângulo que é o dobro do seu complemento. (GeoJeca) em 54º (GeoJeca) x = 2.(90 - x) x = (180 - x) + 54 x = 180 - 2x x = 180 - x + 54 3x = 180 2x = 234 x = 60º (resp) x = 117º (resp) 04) Determine o ângulo cuja diferença entre o seu suplemento e o triplo do seu complemento é igual a 54º. (GeoJeca) 05) Dois ângulos são suplementares. O menor é o complemento da quarta parte do maior. Determine as medidas desses ângulos. (GeoJeca) (180 - x) - 3.(90 - x) = 54º x é o menor 180 - x - 270 + 3x = 54 (180 - x) é o maior 2x = 144 x = 90 - [(180 - x)/4] x = 72º x - 90 = -(180 - x)/4 Resposta 4x - 360 = -180 + x 3x = 180 x = 60º e (180 - x) = 120º (resp) 06) As medidas de dois ângulos somam 124º. Determine esses ângulos sabendo que o suplemento do maior é igual ao complemento do menor. (GeoJeca) x + y = 124 07) Determine um ângulo sabendo que o suplemento da sua quinta parte é igual ao triplo do seu complemento. (GeoJeca) (180 - x/5) = 3.(90 - x) x - maior 180 - x/5 = 270 - 3x y - menor 14x/5 = 90 (180 - x) = (90 - y) x = 450/14 = (225/7)º 180 - (124 - y) = 90 - y 180 - 124 + y = 90 - y 2y = 34 y = 17º e x = 107º Resposta Jeca 04 Resposta 08) Em cada figura abaixo, determine a medida do ângulo x. a) (GeoJeca) b) (GeoJeca) 11 6 º r x r // s x 41º s c) (GeoJeca) d) (Tente fazer de outra maneira) r x r x 53º 53º r // s s 39º (GeoJeca) r // s s 39º e) (GeoJeca) f) (GeoJeca) r r 35º 55º x 62º r // s 40º x s 38º s g) 47º (GeoJeca) r h) (GeoJeca) 28º 54º x r // s 88º º x s 126 21º i) (GeoJeca) j) (GeoJeca) AB = AC B x 73º A x 14 º 2 11 3º C k) AC = BC l) C x 46º 158º 38º 67º x A B Jeca 05 08) Em cada figura abaixo, determine a medida do ângulo x. a) (GeoJeca) b) (GeoJeca) 11 6 º 41º r x r // s x 41º s 11 6 º x + 116 = 180 x = 64º (resp) x = 41º (resp) c) (GeoJeca) d) (Tente fazer de outra maneira) r x (GeoJeca) r x x 14º 14º 127º x + 39 + 127 = 180 x = 14º (resp) t r // s 53º 39º 53º r // s 39º s 39º r // s // t x = 14º (resp) e) (GeoJeca) s 39º f) (GeoJeca) r r 55º x 93º 40º 87º t r // s // t 62º x 38º x + 62 + 47 + 35 = 180 x =36º (resp) g) (GeoJeca) r 62º x r // s s 55º s 35º x + 93 + 40 = 180 x = 47º (resp) 47º h) (GeoJeca) 28º t 28º 54º 26º 26º 88º 62º x r // s // t //u u s x + 126 + 21 = 180 x = 33º (resp) x º 126 21º x = 62º (resp) i) (GeoJeca) j) (GeoJeca) AB = AC B x x + 68 + 37 = 180 x = 75º (resp) 73º A º 2 11 68º k) AC = BC 37º 14 3º 46 + y + y = 180 2y = 134 y = 67 x + y = 180 x = 180 - 67 x = 113º (resp) 46º y A 73º x + 73 + 73 = 180 x = 34º (resp) C l) C x x y = 67 + 38 y = 105º x y 158º 38º x + y = 158 x = 158 - 105 x = 53º (resp) 67º y B Jeca 05 10) Na figura abaixo, estão representados um triângulo 09) A figura abaixo mostra dois quadrados sobrepostos. Qual é o valor de x + y, em graus ? (GeoJeca) equilátero e um retângulo. Sendo x e y as medidas dos ângulos assinalados, determine a soma x + y. (GeoJeca) x y x y 11) Na figura abaixo, determinar x + y + z + t. (GeoJeca) 12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das medidas dos ângulos x, y, z, t e u. (GeoJeca) 30º y x x t y z z u t 13) Na figura abaixo, calcule o valor de x em função de 14) (IBMEC-SP) Sejam a, b, g, l e q as medidas em m. (GeoJeca) graus dos ângulos BAC, ABC, CDF, CEF e DFE da figura, respectivamente. A soma a + b + g + l + q é (GeoJeca) igual a: x F a) b) c) d) e) 4m 3m 120º 150º 180º 210º 240º C D m E B A 15) (ITA-SP) Em um triângulo de papel ABC fazemos 16) Determine x, sabendo-se que ABCD é um retânguuma dobra PT de modo que o vértice C coincida com lo e que F e E são pontos médios dos lados AB e (GeoJeca) o vértice A, e uma dobra PQ de modo que o vértice B AD, respectivamente. E A D coincida com o ponto R de AP. Sabemos que o triângulo AQR formado é isósceles com ARQ = 100º; calcule as medidas dos ângulos internos do triângulo ABC. (GeoJeca) A x F R T Q 25º B P C Jeca 06 C B 10) Na figura abaixo, estão representados um triângulo 09) A figura abaixo mostra dois quadrados sobrepostos. Qual é o valor de x + y, em graus ? (GeoJeca) equilátero e um retângulo. Sendo x e y as medidas dos ângulos assinalados, determine a soma x + y. 120º r // s // t x + y + 90 = 360 120 + x + y = 360 x (GeoJeca) 60º x + y = 360 - 120 x + y = 270º (resp) x + y = 240º (resp) r y x x y y s t 11) Na figura abaixo, determinar x + y + z + t. x + y + z + t + 150 = 360 (GeoJeca) 12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das medidas dos ângulos x, y, z, t e u. (GeoJeca) 150º y x + y + z + t = 210º (resp) x 30º x+ y u + x + z + y + t = 180º z+t x (resp) z y+t t x+z y u z t 13) Na figura abaixo, calcule o valor de x em função de 14) (IBMEC-SP) Sejam a, b, g, l e q as medidas em m. (GeoJeca) graus dos ângulos BAC, ABC, CDF, CEF e DFE da figura, respectivamente. A soma a + b + g + l + q é (GeoJeca) igual a: 3m = m + y x F y = 2m a) b) c) d) e) y 4m 4m = x + y 4m = x + 2m y 3m x = 2m (resp) 120º 150º 180º 210º 240º q g C l D m E g a+g a A l+b l b B a + b + g + q + l = 180º (resp) 15) (ITA-SP) Em um triângulo de papel ABC fazemos 16) Determine x, sabendo-se que ABCD é um retânguuma dobra PT de modo que o vértice C coincida com lo e que F e E são pontos médios dos lados AB e (GeoJeca) o vértice A, e uma dobra PQ de modo que o vértice B AD, respectivamente. E A D coincida com o ponto R de AP. Sabemos que o triângulo AQR formado é isósceles com ARQ = 100º; calcule as medidas dos ângulos internos do triângulo Se M é ponto médio, ABC. (GeoJeca) A então MB // DF 40º 100º x = 25º (resp) A = 70º B = 80º C = 30º (resp) 30º R x T 40º 80º Q 70º 70º B 80º F M 30º 60º 60º 30º P 25º 30º C Jeca 06 C 25º B Geometria plana Conceitos iniciais de Geometria Plana. Exercícios complementares da aula 01. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) 01) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x. (GeoJeca) a) (GeoJeca) b) 57º r r 43º r // s r //s x x s s c) (GeoJeca) d) (GeoJeca) r r 45º 45º r // s x 62º r // s x 62º s s (Resolver de forma diferente da letra c)) (GeoJeca) e) (GeoJeca) f) r x 147º r // s 82º 126º r s r // s x 80º g) (GeoJeca) s h) r (Resolver de forma diferente da letra g)) (GeoJeca) r 140º 140º 65º r // s 65º r // s x x s s 150º 150º i) (GeoJeca) 42º j) (GeoJeca) r 48º r º 40 r // s 5x - º 12 r // s x s 43º k) (GeoJeca) s l) 55º 85º r 135º x Jeca 07 (GeoJeca) s r // s x Geometria plana Conceitos iniciais de Geometria Plana. Exercícios complementares da aula 01. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) 01) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x. (GeoJeca) a) x (GeoJeca) b) 57º r r 43º x + 57 = 180 r // s r //s x = 123º (resp) x x 57º s s x = 43º (resp) c) (GeoJeca) d) (GeoJeca) r r 45º 45º t x 62º 62º 45º r // s // t x = 45 + 62 x = 107º (resp) r // s x é ângulo externo x = 62 + 45 r // s x x = 107º (resp) 62º 45º s s (Resolver de forma diferente da letra c)) (GeoJeca) e) (GeoJeca) f) r 33º r // s // t 33º 82º 49º s 126º é ângulo externo x 147º t x + 80 = 126 x = 49º (resp) x = 46º (resp) 126º 80º r 49º r // s x 80º g) (GeoJeca) s h) r (Resolver de forma diferente da letra g)) (GeoJeca) r 40º 140º t 40º 65º r // s // t // u 25º y s 30º 150º 150º i) (GeoJeca) r j) - 42º s y = 43 + 48 48º 5x - 12 + 42 = 180 r // s x = 30º (resp) (GeoJeca) y r // s x + y + 40 = 180 x x + 91 + 40 = 180 48º 43º s l) x = 49º (resp) (GeoJeca) s r // s y + 55 + 90 = 180 y = 35º x + y + 90 = 180 x = 55º (resp) y = 91º º 0 y4 5x = 150 k) (GeoJeca) r 5x + 30 = 180 5x x = y + 30 x = 25 + 30 x = 55º (resp) x 30º º 12 y + 40 = 65 y = 25 65º r // s 30º 42º y 140º x = 55º (resp) u 25º x s 40º x = 30 + 25 55º 85º r x = 45 + 85 x = 130º (resp) 45º x Jeca 07 135º 85º 45º x m) (GeoJeca) r // s t // u r n) x r // s t // u r (GeoJeca) s 43º t 58º s x u t u o) (GeoJeca) p) (GeoJeca) 52º 62º 79º x x q) (GeoJeca) 67º r) (GeoJeca) 52º 21x x 18x 15x 81º s) (Triângulo isósceles) AB = AC A (GeoJeca) t) A (Triângulo isósceles) AB = AC (GeoJeca) x 38º 138º B C x C B u) AB = AC A (GeoJeca) v) (GeoJeca) 152º y y 98º 62º x x B C x) AB = BC = CD (GeoJeca) z) (GeoJeca) AB = BD = DE D D 98º B E x A x C A Jeca 08 y B y C m) (GeoJeca) r // s t // u r n) x r // s t // u r (GeoJeca) x + 58 = 180 x = 43º (resp) s x = 122º (resp) 43º t 43º x 58º x s x o) (GeoJeca) p) (GeoJeca) 52º x + 62 + 79 = 180 62º u t u x = 180 - 141 x = 52 + 67 x = 39º (resp) x = 119º (resp) 79º x x q) (GeoJeca) 67º r) (GeoJeca) x = 81 + 52 52º 21x + 18x + 15x = 180 21x x = 133º (resp) 54x = 180 x = 180/54 = (10/3)º (resp) 81º x 18x 15x 81º s) (Triângulo isósceles) AB = AC A (GeoJeca) t) A (Triângulo isósceles) AB = AC (GeoJeca) x 2x + 38 = 180 38º 2x = 142 138º x = 71º (resp) 42º 42º B C x + 42 + 42 = 180 x = 96º (resp) x x C B u) AB = AC A (GeoJeca) v) (GeoJeca) 152º y + 82 + 62 = 180 x + x + 152 = 360 2x = 208 y y = 36º y x = 104º (resp) 62 + 2y + x = 180 62º 82º x 98º x = 46º (resp) x x C B x) AB = BC = CD (GeoJeca) z) (GeoJeca) AB = BD = DE D D 98º = x = 123º (resp) 16º 41º E x x C z A Jeca 08 = 41º 82º = = A z x + 41 + 16 = 180 = B 82º = y y B y C y é ângulo externo do triângulo ABD y = z + z = 2z z = y/2 No triângulo BDE y + y + z = 180 y + y + y/2 = 180 y = 72º x + y = 180 x = 108º (resp) 02) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x. a) (GeoJeca) b) (GeoJeca) 37 73º º 116º x 24º 148º x 31º c) (GeoJeca) (GeoJeca) º 34 x d) x triz se bis 1º 128º 10 36º 38º D é o ponto de encontro das 3 bissetrizes. f) e) AD e BD são bissetrizes. A (GeoJeca) (GeoJeca) º 40º 72 D x x D (GeoJeca) g) 68º r 42º C B h) (GeoJeca) x 60º r // s 5y s 2x 3y º x + 30 i) (GeoJeca) j) (GeoJeca) 43º 9x x 12x 60º 62º 6x k) A B ABCD é um quadrado. l) (GeoJeca) (GeoJeca) 30º x x 11 8 º D C Jeca 09 02) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x. a) (GeoJeca) b) (GeoJeca) 37 73º º 79º 64º 101º 148 = y + 24 x + 101 + 31 = 180 x = 180 - 132 = 48º (resp) 116º y = 124º y = x + 73 y x 124 = x + 73 24º 148º x = 51º (resp) x 31º c) (GeoJeca) d) (GeoJeca) y + 128 + 36 = 180 º 34 x x + 34 + 79 + 38 = 180 y = 16º x x = 180 - 151 52º x = 29º (resp) iz etr iss 1º 10 38º 79º b y y + 52 + x = 180 128º 16 + 52 + x = 180 x = 112º (resp) y 36º 38º D é o ponto de encontro das 3 bissetrizes. f) e) z 72 x x D x 42º C y 32º 32º y (GeoJeca) g) (GeoJeca) 2.z + 2.y + 42 = 180 2(y + z) = 180 - 42 2(y + z) = 138 y + z = 69º D x 108º 68º r z x = 18º (resp) º 40º 2 . 32 + 2 . x + 80 = 180 40º AD e BD são bissetrizes. A (GeoJeca) x + y + z = 180 x + 69 = 180 x = 111º (resp) B h) (GeoJeca) 120º x = 3y 68º x + 30 + 2x + 120 = 360 60º 3y + 5y + 68 = 180 3x = 210 8y = 112 r // s x = 70º (resp) y = 14º 5y s 2x x = 3y = 42º (resp) 3y º x + 30 i) (GeoJeca) j) (GeoJeca) y = 43 + 62 43º 9x 6x + 9x + 12x = 360 y 27x = 360 y = 105º x x = 360/27 12x y = 60 + x 60º x = (40/3)º (resp) 6x k) A B ABCD é um quadrado. l) (GeoJeca) x + 75 + 62 = 180 x = 43º (resp) 30º x + 45 + 45 = 180 x x = 45º (GeoJeca) 45º x = 90º (resp) 45º x 75º 75º D x = y - 60 62º C Jeca 09 62º 62º 11 8 º m) (GeoJeca) AC = CD n) AB = BC = CD = DE e (GeoJeca) AD = AE A D 38 B º x A x C B o) E D C AB = BC = CD = DE = EF e AE = AF (GeoJeca) p) AB = AC , BD = BE e CE = CF. (GeoJeca) B D D F B A x A x 44º E C F E C q) ABC é um triângulo equilátero e DEFG é um quadrado. A r) BCD é um triângulo equilátero e ABDE é um quadrado. B A (GeoJeca) (GeoJeca) F G C x x B D E C E s) CDE é um triângulo equilátero t) e ABCD é um quadrado. A (GeoJeca) B E x D BFE é um triângulo equilátero, ABFG e BCDE são quadrados. C A (GeoJeca) B x D G D A v) ACE e BDF são triângulos equiláteros. (GeoJeca) C B E F C u) AB = AC e DE = DF. (GeoJeca) A D x 70º x 65º F D E x) B AB = AD = BD = DC e AC = BC. (GeoJeca) C E z) A A D F (GeoJeca) AB = AC AD é bissetriz de BÂC AE é bissetriz de BÂD. C x x B B Jeca 10 38º E D C m) (GeoJeca) AC = CD n) AB = BC = CD = DE e (GeoJeca) AD = AE A D x + 38 + 38 + 90 = 180 x = 180 - 166 = 14º (resp) 38 B x = = = A x C o) AB = BC = CD = DE = EF e AE = AF (GeoJeca) p) x = (180/7)º E D C 7x = 180 (resp) 3x 3x 38º B x + 3x + 3x = 180 x 2x = º x 2x AB = AC , BD = BE e CE = CF. (GeoJeca) B D A x 3x x + 4x + 4x = 180 9x = 180 x = 20º (resp) 44º F ABC é um triângulo equilátero e DEFG é um quadrado. r) BCD é um triângulo equilátero e ABDE é um quadrado. B A (GeoJeca) x + 60 + 90 = 180 C x x = 30º (resp) E C E s) CDE é um triângulo equilátero t) e ABCD é um quadrado. (GeoJeca) B E 60º = x 60º = x x + x + 90 + 60 = 180 x = 15º (resp) D BFE é um triângulo equilátero, ABFG e BCDE são quadrados. C A (GeoJeca) x B x + x + 30 = 180 = x = 75º (resp) = D 60º 30º 60º = 60º A v) ACE e BDF são triângulos equiláteros. (GeoJeca) C B E F C u) AB = AC e DE = DF. (GeoJeca) A D 60º 30º x x + 30 + 30 = 180 x x = 60º (resp) x G D y C F A z + z + y = 180 z = 56º z + z + x = 180 x = 68º (resp) = z (GeoJeca) D E z E A x x 3x C q) B y + y + 44 = 180 y = 68º z 2x x G y z 2x x A D F = B 4x x + 55 + 65 = 180 70º x = 60º (resp) x = 120º (resp) x x 30º 65º 60º F D E x) B AB = AD = BD = DC e AC = BC. A (GeoJeca) 55º 65º 55º z) A x + x + 60 = 360 x y = = 60º C 2y y x B 4y + 38 + 38 = 180 y = 26º x + y + 38 = 180 x = 116º (resp) = 60º (GeoJeca) AB = AC AD é bissetriz de BÂC AE é bissetriz de BÂD. x = 150º (resp) = 60º F C E 38º B Jeca 10 x 38º E D C 03) Na figura abaixo, determine x, y e z. (GeoJeca) (GeoJeca) 04) Na figura abaixo, determinar x, y e z. 4x x x 37º 2y z y z 05) Na figura abaixo, determinar x, y, z e t. (GeoJeca) 06) Na figura abaixo, sendo BD a bissetriz do ângulo CBE, determinar x + y. (GeoJeca) E D z t 40º 2x 4x y y 4x x B A 07) Na figura abaixo, determinar o valor de x. (GeoJeca) C 08) Na figura abaixo, determinar o valor do ângulo x, sabendo-se que OD é bissetriz de AOE, OC é bissetriz de AOD e OB é bissetriz de AOC. (GeoJeca) D C E x 57º B A 28º x O F 09) Na figura abaixo, determine os valores de x, y e 10) Determinar os valores de x, y e z, sabendo que os mesmos formam uma progressão aritmética de razão z. (GeoJeca) 10º. (GeoJeca) z + 26º y 2x y 2z - 84º z Jeca 11 x 03) Na figura abaixo, determine x, y e z. (GeoJeca) (GeoJeca) 04) Na figura abaixo, determinar x, y e z. 4x x x 37º 2y z y z x + 4x = 180 x = 36º 2y = x = 36º y = 18º 4x = z = 144º x + 37 = 180 Portanto x = 180 - 37 = 143º y = 37º (OPV) z = x = 143º (OPV) (resp) (resp) 05) Na figura abaixo, determinar x, y, z e t. (GeoJeca) 06) Na figura abaixo, sendo BD a bissetriz do ângulo CBE, determinar x + y. (GeoJeca) E D z t 40º 2x 4x y = 4x y 4x x 2x = 40 x = 20º 4x = z = 80º y + 2x + z = 180 y = 60º t = y = 60º (resp) B A C 4x + 4x + x = 180 x = 20º y = 80º x + y = 100º (resp) 07) Na figura abaixo, determinar o valor de x. (GeoJeca) 08) Na figura abaixo, determinar o valor do ângulo x, sabendo-se que OD é bissetriz de AOE, OC é bissetriz de AOD e OB é bissetriz de AOC. (GeoJeca) D 57 + x = 90 x = 33º (resp) C E x 57º B x A 2x 4x x x 28º O F 8x + 28 = 180 x = 19º (resp) 09) Na figura abaixo, determine os valores de x, y e 10) Determinar os valores de x, y e z, sabendo que os mesmos formam uma progressão aritmética de razão z. (GeoJeca) 10º. (GeoJeca) z + 26º y 2x y 2z - 84º z y = x + 10 z = x + 20 x + y + z = 180 x + x + 10 + x + 20 = 180 3x = 150 x = 50º y = 60º z = 70º (resp) z + 26 = 2.z - 84 z = 26 + 84 = 110º 2x + 110 + 26 = 180 x = 22º y = 2x = 44º (resp) Jeca 11 x 11) (FUVEST) Na figura abaixo, determine o valor de x. 12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma (GeoJeca) x + y + z + t + u + v, sabendo-se que CEF é um triângulo (GeoJeca) inscrito no quadrado ABCD. E A x t y t // s s B z x F v 120º t 140º u D C 13) Na figura abaixo, AB = AC = BC = CD. Determine o 14) Na figura abaixo, AD = AC = BC e AC é a bissetriz valor de x. (GeoJeca) do ângulo BAD. Determine o valor de x. (GeoJeca) A A x 2x C B D E x B D C 15) Na figura abaixo, determine a medida do ângulo x 16) (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Determine y em função de y. (GeoJeca) em função de x. 5y (GeoJeca) D y x y 2y x A 17) Na figura abaixo mostre que vale a relação : a + b = c + d. r a c C B 18) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100º. Determinar a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos outros dois ângulos internos. (GeoJeca) r // s b d s (GeoJeca) 19) Mostre que a soma das medidas dos ângulos 20) Na figura abaixo, determinar x em função de y e de externos de um triângulo é 360º. (GeoJeca) (GeoJeca) z. e2 r x y r // s e1 z e3 Jeca 12 s 11) (FUVEST) Na figura abaixo, determine o valor de x. 12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma (GeoJeca) x + y + z + t + u + v, sabendo-se que CEF é um triângulo x + 20 + 90 = 180 (GeoJeca) inscrito no quadrado ABCD. x = 70º (resp) x t s 120º 20º 40º 140º E A x + y = 90 z + t = 90 u + v = 90 x + y + z + t + u + v = 3 . 90 x + y + z + t + u + v = 270º (resp) t // s B y z x F v t 140º u D C 13) Na figura abaixo, AB = AC = BC = CD. Determine o 14) Na figura abaixo, AD = AC = BC e AC é a bissetriz valor de x. (GeoJeca) do ângulo BAD. Determine o valor de x. (GeoJeca) A A x 5x = 180 6x C 3x 2x D = x = 36º (resp) = E 6x = 60º 2x x = B x x x + 2x + 2x = 180 = = 60º 60º 3x = = No triângulo ACD, tem-se B x = 10º (resp) 2x D C 15) Na figura abaixo, determine a medida do ângulo x 16) (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Determine y em função de y. (GeoJeca) em função de x. y é ângulo externo 5y (GeoJeca) D y y = A + C = x + 2x x y = 3x (resp) = z 2y x z = 2y + 5y = 7y x = y + z = y + 7y x = 8y (resp) A 17) Na figura abaixo mostre que vale a relação : a + b = c + d. r a a c-a c b-d bd t r // s // t // u s Ângulos alternos internos c-a=b-d a + b = c + d (CQD) C B 18) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100º. Determinar a medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes dos outros dois ângulos internos. (GeoJeca) u d 2x 2x = x y = (GeoJeca) 100 + 2x + 2x = 180 x = 20º x + x + y = 180 y = 140º z é o ângulo agudo z + y = 180 z = 40º (resp) 100º x x z y x x 19) Mostre que a soma das medidas dos ângulos 20) Na figura abaixo, determinar x em função de y e de externos de um triângulo é 360º. (GeoJeca) (GeoJeca) z. e 2 e + x = 180 r 1 y e2 + y = 180 e3 + z = 180 e1 x t x e1 + e2 + e3 + x + y + z = 540 Mas x + y + z = 180 Portanto e1 + e2 + e3 = 540 - 180 = 360º (CQD) y y=x+z x x = y - z (resp) z r // s // t z z e3 Jeca 12 s 21) Na figura abaixo, o quadrado ABCD é cortado por 22) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das duas retas paralelas, r e s. Com relação aos ângulos medidas dos ângulos x, y, z, t e u. (GeoJeca) x e y podemos afirmar que : (GeoJeca) a) x = y y r b) x = -y z s c) x + y = 90º A B x x d) x - y = 90º e) x + y = 180º y t C D u 23) Na figura abaixo, calcule o ângulo x, sendo y o triplo 24) (FUVEST-SP) No retângulo abaixo, qual o valor de z e t o sêxtuplo de z. (GeoJeca) (GeoJeca) em graus de x + y ? z 40º y x x y t 80º 25) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo Â, 26) Na figura abaixo, o ângulo EAB mede 38º, ABCD demonstre que vale a relação z - y = x - t. (GeoJeca) é um retângulo e AB é congruente a AE. A medida do ângulo CBF é : D (GeoJeca) A a) 38º A b) 27º c) 18º d) 19º e) 71º z y x B t C D C E B F 27) Na figura abaixo, sendo AB // DE, determinar a 28) Determinar a medida do ângulo x, sabendo-se que soma das medidas dos ângulos x, y e z. (GeoJeca) os triângulos ABE e CDE são isósceles e que o (GeoJeca) triângulo BCE é equilátero. A B A x y x C E z E D B Jeca 13 C D 21) Na figura abaixo, o quadrado ABCD é cortado por 22) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das duas retas paralelas, r e s. Com relação aos ângulos medidas dos ângulos x, y, z, t e u. (GeoJeca) x e y podemos afirmar que : (GeoJeca) a) x = y y r O polígono pode ser b) x = -y dividido em 3 triânguz s c) x + y = 90º A B los. x x x d) x - y = 90º y S = 3 . 180 = 540 e) x + y = 180º x + y + z + t + u = 540º (resp) y r // s // t x + y = 90º (resp) t t C D u 23) Na figura abaixo, calcule o ângulo x, sendo y o triplo 24) (FUVEST-SP) No retângulo abaixo, qual o valor de z e t o sêxtuplo de z. (GeoJeca) (GeoJeca) em graus de x + y ? 180 - z 180 - 3z x 90 - x + 40 + 90 - y = 90 t = 6.z u -x 100º 80º y 90 x y = 3.z 90 - y 40º 100 + 180 - z + 180 - 3z = 360 4.z = 100 z = 25º t = 150º u = 30º z x + y = 130º (resp) x + u + 100 = 180 x = 50º (resp) 25) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo Â, 26) Na figura abaixo, o ângulo EAB mede 38º, ABCD demonstre que vale a relação z - y = x - t. (GeoJeca) é um retângulo e AB é congruente a AE. A medida do ângulo CBF é : D (GeoJeca) A a) 38º A b) 27º a a c) 18º 38º d) 19º e) 71º z y x B t C D a = 180 - x - y a = 180 - z - t Portanto 180 - x - y = 180 - z - t Então z - y = x - t (CQD) y + y + 38 = 180 y = 71º y y + 90 + x = 180 x = 180 - 90 - 71 x = 19º (resp) C y E x B F 27) Na figura abaixo, sendo AB // DE, determinar a 28) Determinar a medida do ângulo x, sabendo-se que soma das medidas dos ângulos x, y e z. (GeoJeca) os triângulos ABE e CDE são isósceles e que o (GeoJeca) triângulo BCE é equilátero. A B y x C = A x a x + x + 90 = 180 E D = = x a + b = 180º (ângulos colaterais internos a + b + x + y + z = 540º x + y + z = 540 - 180 x + y + z = 360º (resp) 60º B Jeca 13 60º x = 45º (resp) 12 0º C 30º = E 2x = 90 60º 30º = b 90º z D 29) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 30) Na figura abaixo, determine a soma das medidas dos ângulos x, y, z, t, u e v. dos ângulos x, y, z e t. x r v x y y u r // s z s t t z 31) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 32) Um retângulo de papel é dobrado de forma que o vértice D pertença ao lado BC, conforme a figura. dos ângulos x, y, z e t. Sendo EF a dobra feita, calcule a medida do ângulo x, y conhecendo a medida de 140º do ângulo assinalado. A’ z x 140º E A B t D’ x D F C 33) Na figura, AM = AN, x > y e as reta MN e BC 34) Na figura abaixo, os ângulos ABC, ACB e CAB’ medem respectivamente 30º, 80º e 30º. Sendo AD uma interceptam-se em P. Mostre que o ângulo MPB é dobra de tal forma que o lado AB’ é simétrico do lado AB A x y em relação a AD, determine a medida do ângulo ADB. . igual a 2 A N M x P y B C B C D B’ 35) Na figura, sendo AB congruente a AC, AE congruente a AD, calcule a medida do ângulo CDE, sabendo-se que BAD = 48º. A E B D C Jeca 14 29) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 30) Na figura abaixo, determine a soma das medidas dos ângulos x, y, z, t, u e v. dos ângulos x, y, z e t. x r v x x+y y y u r // s // u t x u+v z z+t soma dos ângulos externos x + y + z + t + u + v = 360º (resp) u s t t x + y + z + t = 180º (resp) z 31) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 32) Um retângulo de papel é dobrado de forma que o vértice D pertença ao lado BC, conforme a figura. dos ângulos x, y, z e t. Sendo EF a dobra feita, calcule a medida do ângulo x, y y-a conhecendo a medida de 140º do ângulo assinalado. a A’ x + x + 50 = 180 x = 65º (resp) z b x t 140º E A B 40º 50º t-b D’ 40º x+y+z+t=x+y-a+a+t-b+b+z x + y + z + t = (x + y - a + t - b) + (z + a + b) x x x + y + z + t = 360 + 180 = 540 (resp) 50º D C F 33) Na figura, AM = AN, x > y e as reta MN e BC 34) Na figura abaixo, os ângulos ABC, ACB e CAB’ medem respectivamente 30º, 80º e 30º. Sendo AD uma interceptam-se em P. Mostre que o ângulo MPB é dobra de tal forma que o lado AB’ é simétrico do lado AB A x y em relação a AD, determine a medida do ângulo ADB. . igual a 2 q A q + a + a = 180 q + x + y = 180 Então 2a = x + y 30 + 80 + 30 + 2y = 180 = = a 2a = x + y 2x - 2z = x + y 2z = x - y y M a=x-z 2a = 2x - 2z 30 + x + y = 180 30 + x + 20 = 180 a x z y x = 130º (resp) C B B 30º x D 80º x 30º z = (x - y)/2 (CQD) B’ 35) Na figura, sendo AB congruente a AC, AE congruente a AD, calcule a medida do ângulo CDE, sabendo-se que BAD = 48º. A x + y + x é ângulo externo do triângulo ABD 48º x + y + x = y + 48 x+ x+ y B 30º y a a P y = 20º N y x D 2x = 48 y x = 24º E (resp) y C Jeca 14 C Jeca 15 Respostas dos exercícios da Aula 01 01) a) 176º 19' 21" c) 28º 45' 16" e) 273º 35' 36" g) 31º 24' 56" i) 25º 02' 34" b) 124º 05' 04" d) 46º 47' 48" f) 214º 11' 36" h) 39º 24' 57" j) 06º 55' 23" 02) 60º 03) 117º 04) 72º 05) 60º e 120º 06) 17º e 107º 07) 225º / 7 08) a) 41º f) 36º k) 113º b) 64º g) 62º l) 53º c) 14º h) 33º d) 14º i ) 75º e) 47º j) 34º 09) 270º 10) 240º 11) 210º 12) 180º 13) 2m 14) c 15) 70º, 80º e 30º 16) 25º Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 16 Respostas dos exercícios complementares da Aula 01 01) a) 43º f) 46º k) 55º p) 119º u) 104º 21) c b) 123º g) 55º l) 130º q) 133º v) 46º c) 107º h) 55º m) 43º r) 10º/3 x) 123º d) 107º i) 30º n) 122º s) 71º z) 108º e) 49º j) 49º o) 39º t) 96º 22) 540º 23) 50º 24) 130º 02) a) 48º f) 111º k) 90º p) 68º u) 120º b) 51º g) 42º l) 43º q) 30º v) 60º c) 29º h) 70º m) 14º r) 15º x) 150º d) 112º i) 40º/3 n) 180º/7 s) 75º z) 116º e) 18º j) 45º o) 20º t) 60º 25) demonstração 26) d 27) 360º 03) 143º, 37º e 143º 28) 45º 04) 36º, 18º e 144º 29) 360º 05) 20º, 60º, 80º e 60º 30) 180º 06) 100º 31) 540º 07) 33º 32) 65º 08) 19º 33) demonstração 09) 22º, 44º e 110º 34) 130º 10) 50º, 60º e 70º 35) 24º 11) 70º 12) 270º 13) 10º 14) 36º 15) x = 8y 16) y = 3x 17) demonstração 18) 40º 19) demonstração 20) x = y - z Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 17 Geometria plana Aula 02 Pontos notáveis de um triângulo. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) Segmentos notáveis do triângulo. Mediana - É o segmento que une o vértice ao ponto médio do lado oposto. mediana altura Mediatriz - É a reta perpendicular ao lado do triângulo pelo seu ponto médio. mediatriz Bissetriz - É a semi-reta de origem no vértice que divide o ângulo em dois ângulos congruentes. M Altura - É a distância entre o vértice e a reta suporte do lado oposto. bissetriz ponto médio Todo triângulo tem: 3 medianas 3 bissetrizes 3 mediatrizes 3 alturas Pontos notáveis do triângulo B - baricentro I - incentro C - circuncentro O - ortocentro Baricentro (G). É o ponto de encontro das 3 medianas do triângulo. Incentro (I). É o ponto de encontro das 3 bissetrizes do triângulo. Propriedade. Propriedade. O baricentro divide cada mediana em 2 segmentos. O incentro é o centro da circunferência inscrita (interO segmento que contém o vértice é o dobro do segmen- na) no triângulo. to que contém o ponto médio do lado oposto. O incentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3 (razão 2 : 1) lados do triângulo. Observação - As três medianas dividem o triângulo original em seis triângulos de mesma área. A 2x S S P G x B Área de cada triângulo N AG = 2.GM BG = 2.GN CG = 2.GP g g I b S S S S b r a a S r - raio da circunferência inscrita. C M Circuncentro (C). É o ponto de encontro das 3 mediatrizes do triângulo. Ortocentro (O). É o ponto de encontro das 3 alturas do triângulo. A Propriedade. Propriedade. O circuncentro é o centro da circunferência circunsNão tem. crita (externa) ao triângulo. A O circuncentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3 vértices do triângulo. mediatriz hA hB O B h B hA C B ponto médio C C hA hC R R - raio da circunferência circunscrita. hC A hB O O ortocentro Jeca 18 B hC C 3) Num triângulo isósceles, os quatro ponto notáveis (BICO: baricentro, in1) O baricentro e o incentro sempre centro, circuncentro e ortocentro) esestão localizados no interior do tão alinhados. mediana triângulo. mediatriz Observações. bissetriz altura 2) O circuncentro e o ortocentro podem estar localizados no exterior do triângulo. 4) No triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice do ângulo reto e o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa. ortocentro circuncentro mediatriz C mediana G bissetriz R R C I hipotenusa O altura Triângulo eqüilátero. (importante) Em todo triângulo eqüilátero, os quatro pontos notáveis (baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) estão localizados num único ponto. r l BICO R l r r - lado do triângulo eqüilátero. r - raio da circunferência inscrita. R - raio da circunferência circunscrita. h - altura do triângulo. l R = 2r e h = 3r h r l 01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 10 cm, determinar : a) a altura do triângulo. b) o raio da circunferência inscrita no triângulo. c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. d) o que o ponto O é do triângulo. R l l O h r l 02) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está 03) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BAO inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BOC mede 33º e que o ângulo ABC mede 56º, determine a mede 126º , encontre a medida do ângulo BAC. medida do ângulo AOC. A A O B O C Jeca 19 B C 3) Num triângulo isósceles, os quatro ponto notáveis (BICO: baricentro, in1) O baricentro e o incentro sempre centro, circuncentro e ortocentro) esestão localizados no interior do tão alinhados. mediana triângulo. mediatriz Observações. 4) No triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice do ângulo reto e o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa. ortocentro bissetriz altura 2) O circuncentro e o ortocentro podem estar localizados no exterior do triângulo. circuncentro mediatriz C mediana G bissetriz R R C I hipotenusa O altura Triângulo eqüilátero. (importante) r Em todo triângulo eqüilátero, os quatro pontos notáveis (baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) estão localizados num único ponto. l BICO R l r r - lado do triângulo eqüilátero. r - raio da circunferência inscrita. R - raio da circunferência circunscrita. h - altura do triângulo. l r l 01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 10 cm, determinar : a) a altura do triângulo. b) o raio da circunferência inscrita no triângulo. c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. d) o que o ponto O é do triângulo. 3 2 = 10 cm R l h O r 60º h co = hip 10 a) sen 60º = R = 2r e h = 3r h b) r = h/3 = 5 3 / 3 cm h 10 l c) R = 2.r = 10 3 / 3 cm d) O ponto O é o "BICO" h = 5 3 cm Baricentro Incentro Circuncentro Ortocentro 02) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está 03) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BAO inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BOC mede 33º e que o ângulo ABC mede 56º, determine a mede 126º , encontre a medida do ângulo BAC. medida do ângulo AOC. a + q + 126 = 180 2y + 66 + 56 = 180 y = 29º x + 33 + 29 = 180 x = 180 - 62 = 118º (resp) A A a + q = 54º b b 33º 33º 2a + 2q + 2b = 180 2(a + q) + 2b = 180 x 2 . 54 + 2b = 180 O O 2b = 72º (resp) 28º 28º B 126º a y a y C Jeca 19 B q q C 04) Na figura abaixo, o ponto I é o incentro do triângulo. Utilizando o quadriculado, traçar as três medianas, as três mediatrizes, as três bissetrizes e as três alturas e determinar o baricentro, o circuncentro e o ortocentro do triângulo. A I C B 05) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar : a) o raio da circunferência inscrita no triângulo. b) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. c) o lado do triângulo. R l l h r l 06) Na figura abaixo, os pontos E, F e G são os pontos médios dos lados do triângulo ABC. Se AB = 2x, AC = 2y, BC = 2z, AG = 3w, BE = 3k e FC = 3n, determine o perímetro do triângulo BDG, em função de x, y, z, w, k e n. A 07) Na figura abaixo, F é o ortocentro do triângulo ABC. Determine a medida do ângulo DFE sabendo que os ângulos BAC e BCA medem, respectivamente, 58º e 70º. A E F E F D B G C Jeca 20 B D C 04) Na figura abaixo, o ponto I é o incentro do triângulo. Utilizando o quadriculado, traçar as três medianas, as três mediatrizes, as três bissetrizes e as três alturas e determinar o baricentro, o circuncentro e o ortocentro do triângulo. A C G I O C B 05) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar : a) o raio da circunferência inscrita no triângulo. b) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo. c) o lado do triângulo. R a) r = h/3 = 3/3 = 1 cm 3 2 = co = hip 3 h r b) R = 2.r = 2 . 1 = 2 cm c) sen 60º = l l 60º l h l l l . 3=6 l = 6 3 /3 = 2 3 cm 06) Na figura abaixo, os pontos E, F e G são os pontos médios dos lados do triângulo ABC. Se AB = 2x, AC = 2y, BC = 2z, AG = 3w, BE = 3k e FC = 3n, determine o perímetro do triângulo BDG, em função de x, y, z, w, k e n. A Per = 2p = z + w + 2k (resp) x B D w 2k z G E E k n A 58º y = 52º 2w F Ortocentro - encontro das alturas y + 58 + 70 = 180 y x 07) Na figura abaixo, F é o ortocentro do triângulo ABC. Determine a medida do ângulo DFE sabendo que os ângulos BAC e BCA medem, respectivamente, 58º e 70º. y + 90 + x + 90 = 360 y 2n z C Jeca 20 F x x = 128º (resp) 70º y B D C 08) Na figura abaixo, E é o ortocentro do triângulo equilátero ABC. Sabendo que CD = k, determine, em função de k, as medidas dos segmentos CE, ED e AE. C 09) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e o mapa da localização faz menção a três grandes árvores do local. O tesouro foi enterrado no terceiro vértice de um triângulo, onde o jatobá é o primeiro, a sibipiruna é o segundo e a peroba é o ortocentro do triângulo. Como é possível localizar o tesouro no local ? Sibipiruna Peroba E Jatobá A B D 2 10) O triângulo ABC da figura tem área 120 cm . 11) No triângulo ABC abaixo, F, D e E são os pontos Sendo BD = DE = EC e AF = FG = GE, avalie se as médios dos respectivos lados. Sendo 30º a medida do ângulo BCA, BC = 14 cm e AC = 12 cm, determine: afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). a) a área do triângulo ABC; A b) a área do triângulo AFG; c) a área do quadrilátero BCAG. F A G B D E C E F G ( ) G é o baricentro do triângulo ABC. 2 ( ) A área do triângulo AEC é 40 cm . B 2 C D ( ) A área do triângulo BFG é 40 cm . 12) Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivas casas, sendo que as casa não são colineares e estão localizadas na mesma fazenda. Eles desejam abrir um poço de modo que ele fique à mesma distância das três casas. Supondo que a fazenda é “plana”, com seus conhecimentos de geometria, que sugestão poderia dar a eles ? Justifique o seu raciocínio. 13) A prefeitura de uma cidade mandou colocar, na praça central, uma estátua em homenagem a Tiradentes. Descubra, na planta a seguir, em que local essa estátua deve ser colocada, sabendo que ela deverá ficar a uma mesma distância das três ruas que determinam a praça. 1 Ru a3 Rua Ru a2 Jeca 21 08) Na figura abaixo, E é o ortocentro do triângulo equilátero ABC. Sabendo que CD = k, determine, em função de k, as medidas dos segmentos CE, ED e AE. C 09) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e o mapa da localização faz menção a três grandes árvores do local. O tesouro foi enterrado no terceiro vértice de um triângulo, onde o jatobá é o primeiro, a sibipiruna é o segundo e a peroba é o ortocentro do triângulo. Como é possível localizar o tesouro no local ? Triângulo equilátero BICO S ED = CD/3 = k/3 CE = AE = 2.ED = 2k/3 (resp) E Peroba P hS Jatobá A O ortocentro de um triângulo é o ponto de encontro das 3 alturas do triângulo. hJ Sibipiruna T Tesouro J JS é um lado do triângulo (J e S são vértices) A altura hS obrigatoriamente passa por S e pelo ortocentro P. A altura hS obrigatoriamente faz 90º com o lado oposto a S. A altura hJ passa por P e faz 90º com o lado oposto a J. O terceiro vértice do triângulo será o ponto de intersecção das retas ST e JT. B D 2 10) O triângulo ABC da figura tem área 120 cm . 11) No triângulo ABC abaixo, F, D e E são os pontos Sendo BD = DE = EC e AF = FG = GE, avalie se as médios dos respectivos lados. Sendo 30º a medida do ângulo BCA, BC = 14 cm e AC = 12 cm, determine: afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). a) a área do triângulo ABC; A b) a área do triângulo AFG; c) a área do quadrilátero BCAG. 80/3 F A 80/3 G 80/3 F 40 2 cm B 40 G 2 cm D Propriedade - Em todo triângulo, as três medianas dividem o triângulo original em 6 triângulos menores de mesma área A B 40 D 2 7 cm G 2 E 2 7 cm 7 cm 2 cm E 2 F 7 cm C E 2 2 7 cm 7 cm C B D 2 a) SABC = (1/2).a.b.sen a = (1/2) . 14 . 12 . (1/2) = 42 cm C ( F) G é o baricentro do triângulo ABC. (AE não é mediana) 2 b) SAFG = SABC / 6 = 42/6 = 7 cm 2 2 ( V) A área do triângulo AEC é 40 cm . c) SBCAG = 4 . 7 = 28 cm (resp) 2 ( F) A área do triângulo BFG é 40 cm . 12) Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivas casas, sendo que as casa não são colineares e estão localizadas na mesma fazenda. Eles desejam abrir um poço de modo que ele fique à mesma distância das três casas. Supondo que a fazenda é “plana”, com seus conhecimentos de geometria, que sugestão poderia dar a eles ? Justifique o seu raciocínio. 13) A prefeitura de uma cidade mandou colocar, na praça central, uma estátua em homenagem a Tiradentes. Descubra, na planta a seguir, em que local essa estátua deve ser colocada, sabendo que ela deverá ficar a uma mesma distância das três ruas que determinam a praça. mediatriz Rua R 1 R Poço Ru a2 r a3 r r Ru P O poço deve ser construído no J circuncentro do triângulo formado pelas três casas. O circuncentro é o ponto de encontro das três mediatrizes do triângulo. O circuncentro é o ponto do plano equidistante dos três vértices do triângulo. R M A estátua deve ser colocada no incentro do triângulo. O incentro é o ponto de encontro das três bissetrizes dos ângulos internos do triângulo. O incentro é o ponto do plano equidistante dos três lados do triângulo. Jeca 21 Geometria plana Pontos notáveis de um triângulo. Exercícios complementares da aula 02. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) 01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é k, determinar : a) a altura do triângulo; b) o raio da circunferência inscrita no triângulo; c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo; d) o que o ponto O é do triângulo. R k k O h r k 02) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita de um triângulo eqüilátero mede 5 cm, determinar : a) o raio da circunferência inscrita no triângulo; b) a altura do triângulo; c) o lado do triângulo; d) o perímetro do triângulo; e) o que o ponto O é do triângulo. 03) Na figura, AG e AF, dividem o ângulo BAC em três ângulos congruentes. Da mesma forma, CD e CE, dividem o ângulo ACB em três ângulos congruentes. Assinale a alternativa correta. R l l O 04) (Unifesp) Numa circunferência de raio R > 0 e centro O consideram-se, como na figura, os triângulos equiláteros T1, inscrito, e T2, circunscrito. Determine a razão entre a altura de T2 e a altura de T1. D R C a) b) c) d) e) G T2 P E Q T1 F r l A S h B P é incentro de algum triângulo construído na figura. Q é incentro de algum triângulo construído na figura. R é incentro de algum triângulo construído na figura. S é incentro de algum triângulo construído na figura. Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira. Jeca 22 O R Geometria plana Pontos notáveis de um triângulo. Exercícios complementares da aula 02. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) 01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é k, determinar : a) a altura do triângulo; b) o raio da circunferência inscrita no triângulo; c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo; d) o que o ponto O é do triângulo. R k k O r 60º a) sen 60º = h/k Portanto h = k 3 /2 h k b) r = h/3 = k 3 / 6 c) R = 2r = k 3 / 3 d) B - baricentro I - incentro C - circuncentro O - ortocentro 02) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita de um triângulo eqüilátero mede 5 cm, determinar : a) o raio da circunferência inscrita no triângulo; b) a altura do triângulo; c) o lado do triângulo; d) o perímetro do triângulo; e) o que o ponto O é do triângulo. a) sen 30º = co = hip 1 r = 5 2 r 5 h c) sen 60º = co = hip 3 2 = 15 2 b) h = 3.r = 3 . 5/2 h = 15/2 cm l =5 3 cm q C a) b) c) d) e) R AR é uma bissetriz CP é uma bissetriz S é incentro do D ACQ. (resp. d) E P r l l h2 = 3R h1 = 3R/2 h2 / h1 = 3R / 3R/2 R T2 h2 / h1 = 2 (resp) T1 F r 04) (Unifesp) Numa circunferência de raio R > 0 e centro O consideram-se, como na figura, os triângulos equiláteros T1, inscrito, e T2, circunscrito. Determine a razão entre a altura de T2 e a altura de T1. Q q q G 5 30º h Baricentro Incentro Circuncentro Ortocentro A D l O e) O ponto O é o "BICO". 03) Na figura, AG e AF, dividem o ângulo BAC em três ângulos congruentes. Da mesma forma, CD e CE, dividem o ângulo ACB em três ângulos congruentes. Assinale a alternativa correta. a a a l Per = 2p = 15 3 cm l l 3 = 15 l = 15 3 /3 r = 5/2 cm S d) Per = 2p = 3 . l R B P é incentro de algum triângulo construído na figura. Q é incentro de algum triângulo construído na figura. R é incentro de algum triângulo construído na figura. S é incentro de algum triângulo construído na figura. Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira. R O R O ponto O é o "BICO" dos dois triângulos. Jeca 22 05) Na figura abaixo, os pontos M, N e P são médios 06) Na figura abaixo, o ponto I é o centro da circunfedos lados a que pertencem. Provar que G é o baricentro rência inscrita no triângulo ABC. Sendo DE paralelo a BC, AB = 8 cm e AC = 11 cm, determinar o perímetro do do triângulo ABC e que BG = 2.GN. triângulo ADE. A A N M G I D B E C P C B 07) No triângulo ABC da figura, BC = 10 cm e M é o 08) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em C, os ponto médio de BC. Sabendo que D e E são os pés segmentos AD e DB são congruentes e o ângulo CAD das alturas BD e CE, determine o valor de EM + DM. mede 65º. Determine a medida do ângulo BDC. A C D E B B D A C M RESOLUÇÃO - Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em uma semi-circunferência. 09) No triângulo ABC abaixo, ABC = 70º e ACB = 40º. 10) No triângulo ABC abaixo, D é ponto médio do laDetermine a medida do ângulo BOC, sabendo-se que o do AC e CE é a bissetriz do ângulo ACB. Determine a medida do ângulo BFC. ponto O é o ortocentro do triângulo ABC. A A 40º O D E C B B F C 11) Na figura abaixo, D é o centro da circunferência 12) (Fuvest) Um triângulo ABC, tem ângulos A = 40º inscrita no triângulo retângulo ABC. Determine a mee B = 50º. Qual é a medida do ângulo formado pelas dida do ângulo ADC. alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo ? a) 30º A b) 45º c) 60º d) 90º e) 120º D B C Jeca 23 05) Na figura abaixo, os pontos M, N e P são médios 06) Na figura abaixo, o ponto I é o centro da circunfedos lados a que pertencem. Provar que G é o baricentro rência inscrita no triângulo ABC. Sendo DE paralelo a BC, AB = 8 cm e AC = 11 cm, determinar o perímetro do do triângulo ABC e que BG = 2.GN. triângulo ADE. A Se M, N e P são pontos méA dios, então AP, BN e CM são medianas. Portanto G é baricentro Seja R o ponto médio do segmento BG e S o ponto médio de GC. MN // BC // RS MN = RS = BC/2 N M G R B S AB = AD + DB = AD + DI AD + DI = 8 AC = AE + EC = AE + EI AE + EI = 11 D x x a y I q E y a a C P MNSR é um paralelogramo. BR = RG = GN Portanto BG = 2.GN (CQD) 11 - y 8-x q q B C Per = AD + DI + AE + EI = 8 + 11 = 19 cm (resp) 07) No triângulo ABC da figura, BC = 10 cm e M é o 08) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em C, os ponto médio de BC. Sabendo que D e E são os pés segmentos AD e DB são congruentes e o ângulo CAD das alturas BD e CE, determine o valor de EM + DM. mede 65º. Determine a medida do ângulo BDC. A C BM = MC = ME = MD = R = 5 D R 65º x = 65 + 65 R x 65º R R A R B x é ângulo externo ME + MD = 10 cm (resp) E R D R B x = 130º (resp) C M RESOLUÇÃO - Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em uma semi-circunferência. 09) No triângulo ABC abaixo, ABC = 70º e ACB = 40º. 10) No triângulo ABC abaixo, D é ponto médio do laDetermine a medida do ângulo BOC, sabendo-se que o do AC e CE é a bissetriz do ângulo ACB. Determine a medida do ângulo BFC. ponto O é o ortocentro do triângulo ABC. A y + 70 + 40 = 180 y A 2a + 90 + 40 = 180 y = 70º E ADOE é um quadrilátero D 70º a = 25º 40º y + 90 + x + 90 = 360 x O x x = 360 - 250 = 110º (resp) D 40º E C B R F 40º x 50º a + x + 50 = 180 25 + x + 50 = 180 R x = 105º (resp) a a B C 11) Na figura abaixo, D é o centro da circunferência 12) (Fuvest) Um triângulo ABC, tem ângulos A = 40º inscrita no triângulo retângulo ABC. Determine a mee B = 50º. Qual é a medida do ângulo formado pelas dida do ângulo ADC. alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo ? a) 30º 2a + 2q + 90 = 180 A A b) 45º 2(a + q) = 180 - 90 c) 60º aa a + q = 45º d) 90º e) 120º h x A x + a + q = 180 D q q B x = 90º (resp d) x = 135º (resp) C x Num triângulo retângulo, os dois C catetos são duas das três alturas do triângulo. Jeca 23 hB B 13) Considere o triângulo ABC da figura e assinale a 14) No triângulo ABC da figura abaixo, as medianas AD e BE são perpendiculares entre si. Sabendo que afirmativa falsa. A BC = 6 e AC = 8, determine a medida de AB. A E D F B a) b) c) d) e) E C F é o ortocentro do DABC. A é o ortocentro do DFBC. Os circuncentros do DBDC e do DBEC coincidem. BF = 2.FE. O DABC é acutângulo. B C D 15) Na figura abaixo, o círculo inscrito no triângulo 16) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no ABC tem área S e os ângulos A e B medem 50º e triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o incentro do 70º, respectivamente. Determine as áreas dos setores triângulo. A circulares S1, S2 e S3, em função de S. 12 S3 110º 0º B D 130º S1 B S2 A C C A O º 12 0 13 0º 17) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no 18) Na figura, a circunferência de centro O está triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o circuncen- inscrita no setor circular de centro A, raio AB = 15 cm e tro do triângulo. ângulo central BAC = 60º. Determine o raio da circunA ferência. B D 110º B C 19) O triângulo ABC da figura é retângulo em A e os triângulos ABD, BCD e ACD são equivalentes (têm a mesma área). Sendo BC = 18 cm, determine a medida do segmento AD. A C 20) No triângulo ABC da figura, BAC = 50º. Se P for o incentro do triângulo ABC, a medida do ângulo BPC é x; no entanto, se P for o ortocentro do triângulo ABC, a medida do ângulo BPC é y. Determine a razão entre x e y. A A D B C P P B Jeca 24 C B C 13) Considere o triângulo ABC da figura e assinale a 14) No triângulo ABC da figura abaixo, as medianas AD e BE são perpendiculares entre si. Sabendo que afirmativa falsa. A BC = 6 e AC = 8, determine a medida de AB. A alternativa d) é falsa pois F não é o baricentro e BE não é uma mediana. Pitágoras A E 2 2 D F 2 E F B 2 2 2 Portanto 2 2 x +y =5 4 2 C 3 D 2 x + 4y = 9 x 3 2 2 5x + 5y = 25 2 x + 4y = 9 y 2y 2 x + (2y) = 3 C F é o ortocentro do DABC. A é o ortocentro do DFBC. Os circuncentros do DBDC e do DBEC coincidem. BF = 2.FE. O DABC é acutângulo. 2 2 2 2 4x + y = 16 2 4x + y = 16 4 2x w B a) b) c) d) e) 2 2 (2x) + y = 4 2 2 2 2 w = (2x) + (2y) = 4x + 4y = 4(x + y ) = 4 . 5 = 20 w = 20 = 2 5 (resp) 15) Na figura abaixo, o círculo inscrito no triângulo 16) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no ABC tem área S e os ângulos A e B medem 50º e triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o incentro do 70º, respectivamente. Determine as áreas dos setores triângulo. A circulares S1, S2 e S3, em função de S. a + b = 180 - 120 a + b = 60 35º 35º S3 b I a x x C b 12 2a + 2b + 2q = 180 2(a + b) + 2q = 180 2q = 60 q = 30º a = 20º b = 40º A = 2b = 80º B = 2a = 40º C = 2q = 60º (resp) S1 S2 q b 0º B 110º I é o incentro do triângulo (ponto de encontro das bissetrizes) 2x + 50 + 70 = 180 x = 30º a + 35 + 30 = 180 a = 115º b + 35 + 25 = 180 b = 120º q = 125º 25º S1 = 115 S = 23 S 72 360 25º A 125 25 S2 = S= S 72 360 S3 = 120 S = 1 S 3 360 D 130º a a q q B C 17) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no 18) Na figura, a circunferência de centro O está triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o circuncen- inscrita no setor circular de centro A, raio AB = 15 cm e ângulo central BAC = 60º. Determine o raio da circuntro do triângulo. A ferência. B A = 55º sen 30º = B = 65º 30º 25º R C = 60º D 110º R 30º 35º B º 12 0º 0 13 (resp) 1 2 D é baricentro (2 : 1) B AE = BE = CE = R AE = 9 cm AD = 6 cm (resp) R R 15 - R A 2r = 15 - R R 25º 30º 15 - R 3R = 15 O R 15 R = 5 cm (resp) 35º C 19) O triângulo ABC da figura é retângulo em A e os triângulos ABD, BCD e ACD são equivalentes (têm a mesma área). Sendo BC = 18 cm, determine a medida do segmento AD. A Se os triângulos têm a mesma área, então AE, BF e CH são medianas. = co R = hip 15 - R S H S S a + q = 65º x = 115º S S S 9 cm 20) No triângulo ABC da figura, BAC = 50º. Se P for o incentro do triângulo ABC, a medida do ângulo BPC é x; no entanto, se P for o ortocentro do triângulo ABC, a medida do ângulo BPC é y. Determine a razão entre x e y. P é incentro (bissetrizes) F D C E 9 cm A P é ortocentro (alturas) A 50º y = 130º 25º 25º 90º C y 90º P P B Jeca 24 a a x y q q C B C x/y = 115/130 = 23/26 (resp) 21) Na figura, ABCD é um retângulo, M é ponto mé- 22) (UFMG) Na figura abaixo, AD = BD, ACD = 60º e dio de AD e o triângulo BMC é equilátero. Determine o ângulo DAC é o dobro do ângulo DBA. Determine a a medida do segmento PM, sabendo que BC = 12 cm. razão AC / BC. A M A D P B D C C B 23) No triângulo ABC ao lado, sendo M, N e P pontos médios dos respectivos lados e MR = 7 cm, NR = 6 cm e AR = 10 cm, determinar : a) O que são os segmentos AP, BN e CM para o triângulo ABC. b) Que ponto notável do triângulo é o ponto R. c) Quais as medidas dos segmentos CR, BR e PR. 24) Na figura ao lado, O é o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC que é retângulo em B. Sendo m(ACB) = 30º, determinar as medidas dos ângulos a, b, g e q e dizer o que a semirreta CO significa para o ângulo ACB. A q A O g N M R B B a C C P 25) Na figura abaixo, as retas FD, ED e GD encontram-se no ponto D, e os pontos E, F e G são os pontos médios dos lados do triângulo ABC. Para o triângulo ABC, dizer como se denomina o ponto D e o que é a reta FD. A F E D B b G C 26) (UEM-PR) Em um plano a, a mediatriz de um segmeno de reta AB é a reta r que passa pelo ponto médio do segmento de reta AB e é perpendicular a esse segmento. Assinale a alternativa incorreta. a) Tomando um ponto P qualquer em r, a distância de P ao ponto A é igual à distância de P ao ponto B. b) A intersecção das mediatrizes de dois lados de um triângulo qualquer em a é o circuncentro do triângulo. c) Qualquer ponto do plano a que não pertença à reta r não equidista dos extremos do segmento AB. d) As mediatrizes dos lados de um triângulo podem se interceptar em três pontos distintos. e) A reta r é a única mediatriz do segmento de reta AB em a. Jeca 25 21) Na figura, ABCD é um retângulo, M é ponto mé- 22) (UFMG) Na figura abaixo, AD = BD, ACD = 60º e dio de AD e o triângulo BMC é equilátero. Determine o ângulo DAC é o dobro do ângulo DBA. Determine a a medida do segmento PM, sabendo que BC = 12 cm. razão AC / BC. A M A D a 4a + 60 = 180 a = 30º Portanto B 2a = 60º O triângulo ADC é isósceles. AD = DC = BC AC / BC = 1/2 (resp) E C B a 2a 60º = P = D C No triângulo ABD, BM é uma mediana. Como E é ponto médio de BD, AE também é uma mediana. P é o baricentro (encontro das medianas) BC = BM = 12 cm. PM = BM / 3 = 12 / 3 = 4 cm (resp) 23) No triângulo ABC ao lado, sendo M, N e P pontos médios dos respectivos lados e MR = 7 cm, NR = 6 cm e AR = 10 cm, determinar : a) O que são os segmentos AP, BN e CM para o triângulo ABC. b) Que ponto notável do triângulo é o ponto R. c) Quais as medidas dos segmentos CR, BR e PR. 24) Na figura ao lado, O é o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC que é retângulo em B. Sendo m(ACB) = 30º, determinar as medidas dos ângulos a, b, g e q e dizer o que a semirreta CO significa para o ângulo ACB. A O é o incentro. Ponto de encontro das bissetrizes. q A 10 N M 7 12 B 6 R 5 30º a) medianas b) baricentro c) CR = 14 cm BR = 12 cm PR = 5 cm (resp) 30º O 45º B b g 45º 15º 15º a C a = 15º b = 45º g = 120º q = 30º CO é bissetriz (resp) 14 C P 25) Na figura abaixo, as retas FD, ED e GD encontram-se no ponto D, e os pontos E, F e G são os pontos médios dos lados do triângulo ABC. Para o triângulo ABC, dizer como se denomina o ponto D e o que é a reta FD. A F E D B G D é o circuncentro do triângulo. FD é a mediatriz do lado AB do triângulo. (resp) C 26) (UEM-PR) Em um plano a, a mediatriz de um segmeno de reta AB é a reta r que passa pelo ponto médio do segmento de reta AB e é perpendicular a esse segmento. Assinale a alternativa incorreta. a) Tomando um ponto P qualquer em r, a distância de P ao ponto A é igual à distância de P ao ponto B. b) A intersecção das mediatrizes de dois lados de um triângulo qualquer em a é o circuncentro do triângulo. c) Qualquer ponto do plano a que não pertença à reta r não equidista dos extremos do segmento AB. d) As mediatrizes dos lados de um triângulo podem se interceptar em três pontos distintos. e) A reta r é a única mediatriz do segmento de reta AB em a. d é incorreta. As mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-se no mesmo ponto, que é denominado circuncentro do triângulo. (resp) Jeca 25 Respostas dos exercícios da Aula 02. 01) a) (5 3 ) cm b) (5 3 / 3) cm c) (10 3 / 3) cm d) Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro. 04) A 02) 118º 03) 72º G I 04) Desenho ao lado. C O 05) a) 1 cm b) 2 cm c) 2 3 cm C B 06) 2k + w + z 07) 128º 08) 2k / 3 , k / 3 e 2k / 3 09) 09) Desenho ao lado. Sibipiruna Peroba 10) F , V e F O 11) 2 a) 42 cm 2 b) 7 cm 2 c) 28 cm Jatobá tesouro 12) O poço deve localizar-se no circuncentro do triângulo cujos vértices são as três casas. 13) A estátua deve ser colocada no incentro do triângulo formado pelas três ruas. Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 26 Respostas dos exercícios complementares da Aula 02. 01) a) k 3 / 2 b) k 3 / 6 c) k 3 / 3 d) BICO 17) 55º, 65º e 60º 18) 5 cm 19) 6 cm 02) a) (5 / 2) cm b) (15 / 2) cm c) 5 3 cm d) 15 3 cm e) BICO 20) 23 / 26 21) 4 cm 22) 1 / 2 23) a) medianas b) baricentro c) 14 cm, 12 cm e 5 cm 03) d 04) 2 05) A N M S é ponto médio de BG R é ponto médio de CG MNRS é um paralelogramo Portando, SG = GN = BS Razão 2 : 1 24) 15º, 45º, 120º, 30º e bissetriz 25) circuncentro e mediatriz 26) d G S R B C P 06) 19 cm 07) 10 cm 08) 130º 09) 110º 10) 105º 11) 135º 12) d 13) d 14) 2 5 15) 25 S / 72, 23 S / 72 e S/3 16) 80º, 40º e 60º Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 27 Geometria plana Aula 03 Congruência de triângulos. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) A Dois triângulos são congruentes se têm os lados dois a dois ordenadamente congruentes e os ângulos dois a dois ordenadamente congruentes. D DABC B C Casos de congruência. 1) L.A.L. 2) A.L.A. 3)L.L.L. 4) L.A.AO 5) Caso especial (CE) Onde: L - lado. A - ângulo junto ao lado. AO - ângulo oposto ao lado. F A D B E C F AB DE AC DF BC EF DDEF E Caso especial (CE). Observação. Dois triângulos retângulos são A posição de cada elemento do congruentes se têm as hipotenusas triângulo (lado ou ângulo) no desecongruentes e um cateto de um nho é muito importante na caracteritriângulo é congruente a um cateto zação do caso de congruência. do outro triângulo L.A.L. - dois lados e o ângulo entre eles. A.L.A. - dois ângulos e o lado entre eles. 01) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e os segmentos AD e CD são congruentes. Prove que os triângulos ABD e CBD são congruentes. A D B C 02) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e BD é a bissetriz do ângulo ADC. Prove que os segmentos AB e CB são congruentes. A D B C 03) Na figura ao lado, os segmentos AB e BC são congruentes e os segmentos AD e CD também. Prove que os ângulos A e C são congruentes. A D B C Jeca 28 Geometria plana Aula 03 Congruência de triângulos. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) A Dois triângulos são congruentes se têm os lados dois a dois ordenadamente congruentes e os ângulos dois a dois ordenadamente congruentes. D DABC B C F Casos de congruência. 1) L.A.L. 2) A.L.A. 3)L.L.L. 4) L.A.AO 5) Caso especial (CE) A D B E C F AB DE AC DF BC EF DDEF E Caso especial (CE). Observação. Dois triângulos retângulos são A posição de cada elemento do congruentes se têm as hipotenusas triângulo (lado ou ângulo) no desecongruentes e um cateto de um nho é muito importante na caracteritriângulo é congruente a um cateto zação do caso de congruência. do outro triângulo L.A.L. - dois lados e o ângulo entre eles. A.L.A. - dois ângulos e o lado entre eles. Onde: L - lado. A - ângulo junto ao lado. AO - ângulo oposto ao lado. 01) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e os segmentos AD e CD são congruentes. Prove que os triângulos ABD e CBD são congruentes. = A = C = 90º (A) dado do exercício AD CD (L) dado do exercício BD BD (L) lado comum A D B Pelo caso especial (HC), tem-se: DABD DCBD (CQD) C 02) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e BD é a bissetriz do ângulo ADC. Prove que os segmentos AB e CB são congruentes. A A = C = 90º (A) dado do exercício ADB CDB (A) BD é bissetriz BD BD (L) lado comum D B Pelo caso L.A.AO , tem-se: DABD DCBD AB CB (CQD) C 03) Na figura ao lado, os segmentos AB e BC são congruentes e os segmentos AD e CD também. Prove que os ângulos A e C são congruentes. AB AD BD = BC (L) - dado do enunciado CD (L) - dado do enunciado BD (L) - lado comum Pelo caso L.L.L., tem-se: D ABD D CBD A C A D B (CQD) C Jeca 28 04) (importante) Na figura abaixo, AB é uma corda da circunferência de centro C. Provar que se o raio CD é perpendicular à corda AB, então M é ponto médio de AB. A C M D B 05) (Importante) Provar que em todo triângulo isósceles a altura relativa à base também é bissetriz, mediana e mediatriz. A B C H 06) Sabendo-se que a mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio, provar que qualquer ponto da mediatriz é eqüidistante das extremidades A e B do segmento. P A B M mediatriz 07) Dadas as retas r e s, e os pontos O, M e P, tal que M seja ponto médio do segmento OP, determine os pontos, A pertencente a r, e B pertencente a s, de modo que o ponto M também seja ponto médio do segmento AB. r O M P s Jeca 29 04) (importante) Na figura abaixo, AB é uma corda da circunferência de centro C. Provar que se o raio CD é perpendicular à corda AB, então M é ponto médio de AB. BC = AC = R (L) raio BMC AMC = 90º (A) perpendicular CM CM (L) lado comum Pelo caso especial, tem-se DBMC DAMC Portanto BM AM. Então M é ponto médio de AB. (CQD) A C M D B 05) (Importante) Provar que em todo triângulo isósceles a altura relativa à base também é bissetriz, mediana e mediatriz. A AB AC (L) - triângulo isósceles AH AH (L) - lado comum BHA CHA = 90º (A) - AH é altura Pelo caso especial, tem-se D ABH D ACH a) Se D ABH D ACH, então BH CH Portanto H é ponto médio Então AH é mediana B C H b) Se D ABH D ACH, então BAH CAH Portanto AH é bissetriz c) Se H é ponto médio e AHB = 90º , então AH é mediatriz de BC. Observação Ao provar que os triângulos ABH e ACH são congruentes, prova-se também que em todo triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes. (B C) 06) Sabendo-se que a mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio, provar que qualquer ponto da mediatriz é eqüidistante das extremidades A e B do segmento. AMP BMP (A) - da definição de mediatriz AM MB )L) - da definição de mediatriz MP MP (L) - lado comum P Pelo caso L.A.L., tem-se D AMP D BMP AP A BP (CQD) B M mediatriz 07) Dadas as retas r e s, e os pontos O, M e P, tal que M seja ponto médio do segmento OP, determine os pontos, A pertencente a r, e B pertencente a s, de modo que o ponto M também seja ponto médio do segmento AB. Seja t // r (por construção) r t A O OM MP (L) - dado do enunciado PBM OAM (A) - ângulos alternos internos AMO BMP (A) - ângulos opostos pelo vértice Pelo caso L.A.AO , tem-se M P B D OAM D PBM Portanto AM MB Então M é ponto médio de AB (CQD) s Jeca 29 08) Na figura abaixo, os segmentos AE e DE são congruentes. Sabendo-se que o triângulo BCE é isósceles de base BC, prove que os segmentos AB e DC são congruentes. A 09) (UFMG) Observe a figura: r A D P B q E O R s B C C Nessa figura, os segmentos AB e BC são perpendiculares, respectivamente, às retas r e s. Além disso, AP = PB, BR = CR e a medida do ângulo POR é q. Determine, em função de q, a medida do ângulo interno AOC do quadrilátero AOCB. 10) Na figura, ABCD é um paralelogramo e os segmentos AE e CF são congruentes. Prove que os segmentos DE e FB são congruentes e paralelos entre si. 11) Na figura abaixo, o quadrado EFGH está inscrito no quadrado ABCD. Prove que os triângulos AEH, BFE, CGF e GDH são congruentes entre si. A A E E B B F H D F C D C G 12) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e os 13) Provar que se ABCD é um paralelogramo e AC e segmentos AE e CF são perpendiculares ao BD são as diagonais, então o ponto de intersecção das segmento BD. Prove que os segmentos DE e BF diagonais é o ponto médio da diagonal AC. são congruentes entre si. A A B F E D E D B C Jeca 30 C 08) Na figura abaixo, os segmentos AE e DE são congruentes. Sabendo-se que o triângulo BCE é isósceles de base BC, prove que os segmentos AB e DC são congruentes. A 09) (UFMG) Observe a figura: r AP = PB (L) P é médio APO = BPO = 90º (A) dado do exercício PO = PO (L) lado comum Pelo caso L.A.L. , tem-se DAPO = DBPO A D P a B a E O b AE DE BE EC Se AC = AE + EC B DB = DE + EB Pode-se concluir que AC BD (L) - conclusão acima apresentada EBC ECB (A) - o triângulo BEC é isósceles BC BC (L) - lado comum Pelo caso L.A.L. , tem-se D ABC D CBD AB Analogamente, tem-se DCRO = DBRO q b se q = a + b então 2a + 2b = 2q s (resp) R C C Nessa figura, os segmentos AB e BC são perpendiculares, respectivamente, às retas r e s. Além disso, AP = PB, BR = CR e a medida do ângulo POR é q. Determine, em função de q, a medida do ângulo interno AOC do quadrilátero AOCB. DC (CQD) 10) Na figura, ABCD é um paralelogramo e os segmentos AE e CF são congruentes. Prove que os segmentos DE e FB são congruentes e paralelos entre si. 11) Na figura abaixo, o quadrado EFGH está inscrito no quadrado ABCD. Prove que os triângulos AEH, BFE, CGF e GDH são congruentes entre si. E A A E B 90 B a -a 90 -a a F H D F AE CF (L) - dado do enunciado A C (A) - ABCD é um paralelogramo AD BC (L) - ABCD é um paralelogramo Pelo caso L.A.L. , tem-se Portanto DE BF D ADE a C D G HE EF (L) - EFGH é um quadrado AHE BEF (A) - Propriedade dos triângulos AEH BFE (A) - Propriedade dos triângulos D BCF C Pelo caso A.L.A. , tem-se D BFE Se AED CFB , então DEB BFD Portanto DEBF também é um paralelogramo Então DE é paralelo a BF (CQD) D AHE Analogamente, tem-se (CQD) DAEH D BFE D FCG D GDH 12) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e os 13) Provar que se ABCD é um paralelogramo e AC e segmentos AE e CF são perpendiculares ao BD são as diagonais, então o ponto de intersecção das segmento BD. Prove que os segmentos DE e BF diagonais é o ponto médio da diagonal AC. são congruentes entre si. A A B F E D E D AED CFB = 90º (A) - dado do enunciado ADE CBF (A) - ângulos alternos internos AD BC (L) - ABCD é um retângulo C D BCF DE C AD BC (L) - ABCD é um paralelogramo ADB CBD (A) - ângulos alternos internos AED BEC (A) - ângulos opostos pelo vértice Pelo caso L.A.AO. , tem-se Pelo caso L.A.AO. , tem-se D ADE B D ADE D BCD Portanto, AE EC , então o ponto E é médio de AC e DE EB , então E o ponto E é médio de DB (CQD) BF (CQD) Jeca 30 Teorema do ponto exterior. Consequência do Teorema do ponto exterior. Em todo quadrilátero circunscrito numa circunferênDada uma circunferência l e um ponto P, P exterior a l, se A e B são os pontos de tangência cia a soma das medidas dos lados opostos é constante. A das retas tangentes a l por P, então PA = PB. B A P l l D PA = PB C B AB + CD = AD + BC 14) Prove o Teorema do ponto exterior. 15) Na figura abaixo, a circunferência está inscrita no triângulo ABC, AB = 10, AC = 12 e BC = 14. Determine a medida do segmento CT. A P l A S R B B C T 16) Na figura abaixo, A, B e D são pontos de tangên- 17) Determine o valor de x na figura abaixo, sabendocia. Determinar o perímetro do triângulo CEP, sabendo se que AB = 2x + 2, CD = 4x - 3, AD = 3x - 2 e que a distância PB mede 17 cm. BC = 3x + 1. A A B C P l D D C E B 18) Determinar a medida da base média de um trapézio isósceles sabendo-se que os lados não paralelos desse trapézio medem 15 cm cada. A D 19) Determine a medida do raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo cujos lados medem 8 cm, 15 cm e 17 cm. B C Jeca 31 Teorema do ponto exterior. Consequência do Teorema do ponto exterior. Em todo quadrilátero circunscrito numa circunferênDada uma circunferência l e um ponto P, P exterior a l, se A e B são os pontos de tangência cia a soma das medidas dos lados opostos é constante. A das retas tangentes a l por P, então PA = PB. B A P l l D PA = PB C B AB + CD = AD + BC 14) Prove o Teorema do ponto exterior. 15) Na figura abaixo, a circunferência está inscrita no triângulo ABC, AB = 10, AC = 12 e BC = 14. Determine a medida do segmento CT. A P l A 14 - x + 12 - x = 10 2x = 16 x=8 CT = x = 8 (resp) AC = BC = R (L) raio CAP = CBP = 90º (A) tangente CP = CP (L) lado comum R B Pelo caso especial, tem-se DACP = DBCP Portanto PA = PB (CQD) 12 S x -x B 10 14 Teorema do ponto exterior 12 - x C C x T 14 - x 14 16) Na figura abaixo, A, B e D são pontos de tangên- 17) Determine o valor de x na figura abaixo, sabendocia. Determinar o perímetro do triângulo CEP, sabendo se que AB = 2x + 2, CD = 4x - 3, AD = 3x - 2 e que a distância PB mede 17 cm. BC = 3x + 1. A A 17 cm x B C l P AB + CD = AD + BC 2x + 2 + 4x - 3 = 3x - 2 + 3x + 1 Teorema do ponto exterior 6x - 1 = 6x - 1 Para qualquer x real x D y y E B AP = BP = 17 AP = AC + CP = DC + CP = 17 BP = BE + EP = DE + EP = 17 D Analisando a condição de existência 4x - 3 = 0 Então x > 3/4 S = {x R | x > 3/4} (resp) C Per = 2p = DC + CP + DE + EP = 17 + 17 = 34 cm (resp) 18) Determinar a medida da base média de um trapézio isósceles sabendo-se que os lados não paralelos desse trapézio medem 15 cm cada. x B 17 15 M 15 N Teorema do ponto exterior 15 - x Teorema do ponto exterior x x A 19) Determine a medida do raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo cujos lados medem 8 cm, 15 cm e 17 cm. Base média de trapézio D 15 - x MN = AB + CD = x + x + 15 - x + 15 - x 2 2 30 MN = = 15 cm (resp) 2 15 - x C 15 - R + 8 - R = 17 2R = 6 R = 3 cm (resp) Jeca 31 8- R 8-R -R R R 15 - R R R Geometria plana Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) Congruência de triângulos. Exercícios complementares da aula 03. (São João da Boa Vista - SP) 01) Na figura abaixo, M é ponto médio de AC e de BD. Provar que o triângulo ABM é congruente ao triângulo CDM. A D M B C 02) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento AC e os ângulos A e C são congruentes. Provar que M também é ponto médio do segmento BD. A D M B C 03) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento BD e os ângulos A e C são congruentes. Provar que os segmentos AB e CD são congruentes. A D M B C 04) Na figura abaixo, M é ponto médio dos segmentos AC e BD. Provar que as retas AB e CD são paralelas. A D M B C 05) Na figura abaixo, AB é bissetriz do ângulo CAD e os ângulos ACB e ADB são congruentes. Prove que os segmentos AC e AD são congruentes. C A B D Jeca 32 Geometria plana Congruência de triângulos. Exercícios complementares da aula 03. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) 01) Na figura abaixo, M é ponto médio de AC e de BD. Provar que o triângulo ABM é congruente ao triângulo CDM. A D M B AM MC (L) M é ponto médio BM MD (L) M é ponto médio AMB CMD (A) OPV Pelo caso L.A.L. , tem-se D ABM D CDM (CQD) C 02) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento AC e os ângulos A e C são congruentes. Provar que M também é ponto médio do segmento BD. A D M B AM MC (L) - dado do enunciado A C (A) - dado do enunciado AMB CMD (A) - ângulos opostos pelo vértice Pelo caso A.L.A. , tem-se D ABM D CDM BM MD Portanto M é ponto médio de BD (CQD) C 03) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento BD e os ângulos A e C são congruentes. Provar que os segmentos AB e CD são congruentes. A D M BM MD (L) - dado do enunciado A C (A) - dado do enunciado AMB CMD (A) - ângulos opostos pelo vértice Pelo caso L.A.AO. , tem-se B C D ABM D CDM AB CD (CQD) 04) Na figura abaixo, M é ponto médio dos segmentos AC e BD. Provar que as retas AB e CD são paralelas. A D AM MC (L) - M é ponto médio de AC BM MD (L) - M é ponto médio de BD AMB CMD (A) - ângulos opostos pelo vértice M B Pelo caso L.A.L. , tem-se D ABM D CDM B D Se B e D são ângulos alternos internos, então AB // CD (CQD) C 05) Na figura abaixo, AB é bissetriz do ângulo CAD e os ângulos ACB e ADB são congruentes. Prove que os segmentos AC e AD são congruentes. C CAB DAB (A) - AB é bissetriz ACB ADB (A) - dado do enunciado AB AB (L) - lado comum A B Pelo caso L.A.AO. , tem-se D ABC D D ABD Jeca 32 AC AD (CQD) 06) Na figura abaixo, AC FD e BD CE. Provar que o triângulo DCG é isósceles. F A G B D C E 07) Na figura abaixo, ADE é um triângulo isósceles de base DE. Sabendo-se que BD também é um triângulo isósceles. CE, provar que ABC A B E D C 08) Na figura abaixo, DAC tes. BAE, ADE ABC e AD AB. Provar que os triângulos ABC e ADE são congruenC D A B E 09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo eqüilátero e os pontos D, E e F pertencem aos lados AB, BC e AC, respectivamente. Sabendo-se que os segmentos AF, BD e CE são congruentes, provar que o triângulo DEF é eqüilátero. A F D B E C Jeca 33 06) Na figura abaixo, AC FD e BD CE. Provar que o triângulo DCG é isósceles. F A BD = CE do enunciado Portanto BD + DC = CE + DC BC = ED (L) conclusão acima AC = FD (L) do enunciado B = E = 90º (A) da figura G B D C Pelo caso especial, tem-se DABC = DFED Os ângulos ACB e EDF são congruentes Então o triângulo DCG é isósceles (CQD) E 07) Na figura abaixo, ADE é um triângulo isósceles de base DE. Sabendo-se que BD também é um triângulo isósceles. CE, provar que ABC A AD AE (L) - triângulo isósceles BD CE (L) - dado do enunciado BDA CEA (A) - o triângulo ADE é isósceles Pelo caso L.A.L. , tem-se D ABD D ACE AB AC Portanto o triângulo ABC é isósceles (CQD) B E D C 08) Na figura abaixo, DAC tes. BAE, ADE ABC e AD AB. Provar que os triângulos ABC e ADE são congruenC D DAC A BAE BAC DAE (Têm o mesmo incremento DAB) BAC DAE (A) - Resultado da análise acima ABC ADE (A) - dado do enunciado AB AD - dado do enunciado B Pelo caso A.L.A. , tem-se D ABC D ADE (CQD) E 09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo eqüilátero e os pontos D, E e F pertencem aos lados AB, BC e AC, respectivamente. Sabendo-se que os segmentos AF, BD e CE são congruentes, provar que o triângulo DEF é eqüilátero. Se AF A F BD , então AD CF BE = (AC - AF) AF BD CE (L) - dado do enunciado AD CF BE (L) - Resultado da análise acima A B C = 60º (A) - o triângulo ABC é equilátero Pelo caso L.A.L. , tem-se D AFD D CEF D BDE FE ED DF Portanto o triângulo DEF é equilátero (CQD) D B CE E C Jeca 33 10) Provar que em todo losango as diagonais são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos desse losango. B k k M A C k k D 11) Na figura, ABCD e EFGH são quadrados. O centro do quadrado ABCD localiza-se no vértice E do outro quadrado. Prove que os triângulos EJL e EKM são congruentes. A B F L E J G D K C M H 12) Provar que em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e vale a metade desse terceiro lado. A E D B C 13) Provar que em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos é paralelo às bases e vale a semi-soma dessas bases. A E D B F C Jeca 34 10) Provar que em todo losango as diagonais são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos desse losango. B k Nos triângulos ABM e ADM, tem-se AB AD (L) losango AM AM (L) lado comum BM MD (L) o losango é um paralelogramo k M A C k Pelo caso L.L.L. , tem-se D ABM D ADM Se os ângulos BAM e DAM são congruentes, então AM é bissetriz. Se AMB AMD e BMD = 180º, então AMB = AMD = 90º (CQD) k D 11) Na figura, ABCD e EFGH são quadrados. O centro do quadrado ABCD localiza-se no vértice E do outro quadrado. Prove que os triângulos EJL e EKM são congruentes. A B F LEJ MEK (A) - propriedade dos triângulos EJ EK (l) - dado do enunciado EJL EKM = 90º (A) - dado da figura L a E Pelo caso A.L.A. , tem-se D EJL D EKM (CQD) J 90 - a a D K G C M H 12) Provar que em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e vale a metade desse terceiro lado. Seja FC // AB A Sejam D, E e F pontos colineares AE EC (L) - E é ponto médio de AC ADE CFE (A) - ângulos alternos internos AED CEF (A) - ângulos opostos pelo vértice F E D Pelo caso A.L.AO. , tem-se D ADE B D CFE CF AD e DE EF Mas, AD DB porque D é ponto médio. Então AD BD CF Se CF BD e CF // BD , então BCFD é um paralelogramo. C BC DF e DE EF , entãoDE // BC e DE = BC / 2 (CQD) 13) Provar que em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos é paralelo às bases e vale a semi-soma dessas bases. A B BF FC (L) - F é ponto médio de BC ABF GCF (A) - ângulos alternos internos AFB CFG (A) - ângulos opostos pelo vértice E F Pelo caso A.L.A. , tem-se D ABF D GCF AB G D C CG e AF FC (F é ponto médio de BC). Então EF é base média do triângulo ADG. Portanto, pela propriedade da base média do triângulo (exercício anterior) tem-se EF // DC // AB e EF = DC + CG = AB + DC (CQD) 2 2 Jeca 34 Jeca 35 Respostas dos exercícios da Aula 03. Observação - Dependendo dos dados, um exercício pode ser provado por mais de um caso de congruência. Levando em conta essa possibilidade nas respostas aqui registradas, em cada caso, foi considerado o caso de congruência mais evidente. 07) Resolução Seja BP // OA r OM = MP (L) - por hipótese OMA = PMB (A) - OPV 01) Caso especial (CE) A 02) L.A.AO. O AOM = BPM (A) - alternos internos P M Pelo caso A.L.A., temos DOAM = DPBM 03) L.L.L. B 04) Caso especial Portanto AM = MB CQD s 05) É possível provar por vários casos. 06) L.A.L. 07) Demonstração ao lado. 08) L.A.L. 09) Pelo caso L.A.L. prova-se que os triângulos APO e BPO são congruentes. Pelo mesmo caso, prova-se que os triângulos BRO e CRO também são congruentes. AOP = BOP = a e COR = BOR = b Portanto AOC = 2q 10) L.A.L. 11) A.L.A. 12) L.A.AO. 13) L.A.AO. 14) Caso especial (Una o ponto P ao centro) 15) 8 16) 34 cm A 17) S = { x R x>3/4} 18) 15 cm 19) 3 cm Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 36 Respostas dos exercícios complementares da Aula 03. Observação Dependendo dos dados, um exercício pode ser provado por mais de um caso de congruência. Levando em conta essa possibilidade nas respostas aqui registradas, em cada caso, foi considerado o caso de congruência mais evidente. Demonstração do exercício nº 13. A B F E 01) LAL D 02) ALA C A B 03) LAAO F E 04) LAL D 05) LAAO G C AFB CFG (A) (opostos pelo vértice) BF FC (L) (F é ponto médio de BC) BAF CGF (A) (alternos internos) 06) Caso especial 07) LAL Pelo caso LAAO, temos: e AB CG 08) ALA DABF DCGF > AF Considerando apenas o triângulo ADG, temos: 09) LAL A 10) LLL 11) ALA F E Demonstração do exercício nº 12. A A G D E D E D B C F DG = DC + CG = DC + AB Pelo teorema demonstrado no exercício 12, temos: C B EF // AB // CD Seja CF // AB (por construção) > DAE FCE (alternos internos) > AE CE (E é ponto médio) AED CEF (opostos pelo vértice) Pelo caso ALA, temos: DADE Mas D é ponto médio de AB Se BD //CF e BD Mas DE EF > CF e EF = AB + CD 2 (CQD) > CF AD AD DB > BCFD é um paralelogramo CF > DF // BC e DF DCFE C > BC BC > DE = 2 e DE // BC (CQD) Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 37 FG Geometria plana Aula 04 Quadriláteros notáveis. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) I) Trapézio. É o quadrilátero que tem dois lados paralelos. a + b = 180º base menor base maior A altura de um trapézio é a distância entre as retas suporte de suas bases. b b b a a Trapézio retângulo II) Paralelogramo. É o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. A B b A h D B b a C b B h IV) Losango. É o quadrilátero que tem os lados congruentes. a Trapézio escaleno III) Retângulo. É o quadrilátero que tem todos os ângulos internos congruentes e iguais a 90º. C A a a Trapézio isósceles AB // CD e AD //BC D b h AB // CD e AD // BC C b V) Quadrado. É o quadrilátero que tem os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes (90º). 45º D Propriedades dos quadriláteros notáveis. 1) Em todo paralelogramo as diagonais cortam-se nos 2) Em todo losango as diagonais são: respectivos pontos médios. a) perpendiculares entre si; b) bissetrizes dos ângulos internos. A B B M y y D A C x x x x C y y M é ponto médio de AC e M é ponto médio de BD. D 3) Base média de trapézio. 4) Base média de triângulo. Em todo trapézio, o segmento que une os pontos Em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios dos dois lados não paralelos, é paralelo às médios de dois lados é paralelo ao 3º lado e vale a bases e vale a média aritmética dessas bases. metade desse 3º lado. A A B MN // AB // CD e MN = AB + CD 2 N M MN // BC e MN = BC 2 M base média D N base média C B Jeca 38 C 01) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x e a medida da diagonal BD. A A B 7 2x cm cm B 2x k + 1 7 cm 12 02) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x e a medida da diagonal BD. D C x + k 5 D C 03) No paralelogramo ABCD abaixo, determinar o 04) No losango ABCD abaixo, conhecendo-se a valor de x, o valor de y, a medida da diagonal AC e medida do ângulo BDC, determinar as medidas dos ângulos a, b, c e d. a medida da diagonal BD. B d B A x a A -4 C b c 2 cm 1 58º 7 3y D D cm C 05) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pon- 06) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero tos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero ABCD. Determinar o perímetro do quadrilátero LMNP ABCD. Provar que LMNP é um paralelogramo. sabendo-se que AC = 6 cm e BD = 10 cm. A A D B D B N M N M P L P L C C 07) (Unifesp) Determine a medida do menor ângulo interno de um paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos consecutivos desse paralelogramo estão na razão 1 : 3. 08) (UERJ) Se um polígono tem todos os lados com medidas iguais, então todos os seus ângulos internos têm medidas iguais. Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada: a) triângulo equilátero; b) losango; c) trapézio; d) retângulo; e) quadrado. Jeca 39 01) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x e a medida da diagonal BD. A A B 7 x + 5 = 2x + 1 2x cm 2x k x = 4 (resp) cm B + 1 7 cm 12 02) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x e a medida da diagonal BD. D C x "Em todo paralelogramo as diagonais cortam-se nos respectivos pontos médios." 2x = 12 Portanto x = 6 cm e BD = 24 cm (resp) + 5 k D C 03) No paralelogramo ABCD abaixo, determinar o 04) No losango ABCD abaixo, conhecendo-se a valor de x, o valor de y, a medida da diagonal AC e medida do ângulo BDC, determinar as medidas dos ângulos a, b, c e d. a medida da diagonal BD. B x-4=7 x = 11 cm B A x 2 cm -4 d 3y = 12 y = 4 cm a A b 1 7 3y AC = 2 . 7 AC = 14 cm cm D BD = 2 . 12 BD = 24 cm C C c 58º a + 58 + 90 = 180 a = 32º b = 2a = 64º c = 90º d = 2 . 58 = 116º D 05) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pon- 06) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero tos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero ABCD. Determinar o perímetro do quadrilátero LMNP ABCD. Provar que LMNP é um paralelogramo. A sabendo-se que AC = 6 cm e BD = 10 cm. A P L P L B C C LP é a base média do triângulo ABD MN é a base média do triângulo BCD Portanto LP = MN = BD/2 = 10/2 = 5 cm LM é a base média do triângulo ABC PN é a base média do triângulo ACD Portanto LM = PN = AC/2 = 6/2 = 3 cm Per = 2 . 3 + 2 . 5 Per = 16 cm (resp) 07) (Unifesp) Determine a medida do menor ângulo interno de um paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos consecutivos desse paralelogramo estão na razão 1 : 3. 3x x N M N M D B D LP é a base média do triângulo ABD. MN é a base média do triângulo BCD. Portanto LP // MN e LP = MN = BD/2 LM é a base média do triângulo ABC. PN é a base média do triângulo ACD. Portanto LM //PN e LM = PN = AC/2 Portanto LMNP é um paralelogramo (CQD) 08) (UERJ) Se um polígono tem todos os lados com medidas iguais, então todos os seus ângulos internos têm medidas iguais. Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada: a) triângulo equilátero; b) losango; c) trapézio; d) retângulo; e) quadrado. x + 3x = 180º - ângulos colaterais internos 4x = 180 x = 180/4 x = 45º (resp) b) Losango O losango tem todos os lados com medidas iguais mas os seus ângulos internos não necessariamente têm medidas iguais. Portanto, o losango contraria a afirmação acima. (resp) Jeca 39 09) No triângulo ABC abaixo, AB = 8 cm, AC = 12 cm e BC = 10 cm. Sendo D e E pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente, determine a medida do perímetro do trapézio BCED. 10) No triângulo ABC abaixo, AB = 16 cm, AC = 14 cm e BC = 18 cm. Sendo D, E e F os pontos médios dos lados AB, BC e AC, respectivamente, determinar as medidas dos segmentos DE, DF e EF. A A D E D B 11) No triângulo ABC abaixo, AB = x, AC = y e BC = z. Sendo D, E e F os pontos médios dos lados AB, AC e BC, respectivamente, determinar o perímetro do quadrilátero BDEF. C E C B F 12) No trapézio ABCD abaixo, a base menor AB mede 8 cm, a base maior CD mede 20 cm e os pontos E e F são os pontos médios dos lados AD e BC, respectivamente. Determine a medida da base média EF. A B A E F E D C D B C F 13) No trapézio retângulo ABCD abaixo, a base menor 14) No trapézio ABCD abaixo, a base média EF mede AB mede 12 cm e a base maior CD mede 18 cm. Sendo 17 cm e a base maior CD mede 22 cm. Determine a BC = 10 cm, E e F os pontos médios dos lados AD e BC, medida da base menor AB. respectivamente, determinar os perímetros dos trapéB A zios ABFE e CDEF. B A F E F E D C C D 15) No trapézio ABCD abaixo, EF = 8 cm e GH = 11 cm. 16) No trapézio ABCD abaixo, AB = 12 cm, CD = 26 cm Sendo AE = EG = GD e BF = FH = HC, determine as e os pontos E e H são pontos médios dos lados AD e medidas da base menor AB e da base maior CD. BC, respectivamente. Determinar as medidas dos segmentos EH, EF, GH e FG. B A B A E G D F E H F G H C D Jeca 40 C 09) No triângulo ABC abaixo, AB = 8 cm, AC = 12 cm e BC = 10 cm. Sendo D e E pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente, determine a medida do perímetro do trapézio BCED. 10) No triângulo ABC abaixo, AB = 16 cm, AC = 14 cm e BC = 18 cm. Sendo D, E e F os pontos médios dos lados AB, BC e AC, respectivamente, determinar as medidas dos segmentos DE, DF e EF. A A BD = AB / 2 = 8 / 2 = 4 cm EC = AC / 2 = 12 / 2 = 6 cm DE = BC / 2 = 10 / 2 = 5 cm E D Base média de triângulo. DE = AC/2 = 14/2 = 7 cm D F DF = BC/2 = 18/2 = 9 cm EF = AB/2 = 16/2 = 8 cm (resp) B C E C B 2p = 4 + 5 + 6 + 10 = 25 cm (resp) 11) No triângulo ABC abaixo, AB = x, AC = y e BC = z. Sendo D, E e F os pontos médios dos lados AB, AC e BC, respectivamente, determinar o perímetro do quadrilátero BDEF. 12) No trapézio ABCD abaixo, a base menor AB mede 8 cm, a base maior CD mede 20 cm e os pontos E e F são os pontos médios dos lados AD e BC, respectivamente. Determine a medida da base média EF. A A 8 B Per = 2p = 2 . (x/2) + 2 . (z/2) y/2 x/2 EF // AB // CD 2p = x + z (resp) E EF = AB + CD = 8 + 20 2 2 EF = 14 cm (resp) F E D z/2 y/2 x/2 D x/2 z/2 B C z/2 F C 20 cm 13) No trapézio retângulo ABCD abaixo, a base menor 14) No trapézio ABCD abaixo, a base média EF mede AB mede 12 cm e a base maior CD mede 18 cm. Sendo 17 cm e a base maior CD mede 22 cm. Determine a BC = 10 cm, E e F os pontos médios dos lados AD e BC, medida da base menor AB. respectivamente, determinar os perímetros dos trapéB x A zios ABFE e CDEF. 12 A Pitágoras B 2 17 = 2 EF = (12 + 18)/2 = 15 cm F E 4 12 17 cm E F x = 12 cm PerABFE = 12 + 5 + 15 + 4 PerABFE = 36 cm 5 x + 22 2 x + 22 = 34 5 4 D 2 10 = 6 + (AD) AD = 8 cm AB = 12 cm (resp) 22 cm D C PerEFCD = 15 + 5 + 18 + 4 C PerEFCD = 42 cm 6 18 cm 15) No trapézio ABCD abaixo, EF = 8 cm e GH = 11 cm. 16) No trapézio ABCD abaixo, AB = 12 cm, CD = 26 cm Sendo AE = EG = GD e BF = FH = HC, determine as e os pontos E e H são pontos médios dos lados AD e medidas da base menor AB e da base maior CD. BC, respectivamente. Determinar as medidas dos segmentos EH, EF, GH e FG. B A x 8 = x + 11 2 E G 8 cm 11 cm A 16 = x + 11 F x = 5 cm AB = 5 cm (resp) H E y+8 2 22 = y + 8 G F 11 = y D EH é base média do trapézio EH = (AB + CD)/2 EH = (12 + 26)/2 = 19 cm 12 cm B H EF e GH são bases médias dos triângulos ABD e ABC. EF = GH = AB/2 = 12/2 EF = GH = 6 cm C D y = 14 CD = 14 cm (resp) Jeca 40 26 cm C FG = EH - EF - GH FG = 19 - 6 - 6 FG = 7 cm 17) Na figura, MNLP é um quadrilátero, C, D, E e F são os pontos médios dos lados MN, NL, LP e PM. Determine o perímetro do quadrilátero CDEF sabendo-se que ML = 14 cm e NP = 8 cm. 18) Determine as medidas dos ângulos internos de um paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos opostos medem 3x - 18º e 2x + 27º. M F C P E N D L 19) No triângulo ABC abaixo, D e E são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo o perímetro do triângulo DEF igual a 23 cm, determinar : a) o que é o ponto F para o triângulo ABC. b) a medida do perímetro do triângulo BCF. 20) No triângulo ABC abaixo, sendo F o baricentro, AC = x, AB = y, BC = z, CF = t e DF = w, determinar o perímetro do quadrilátero AEFD. A A D E E D F F B C C B 21) No triângulo ABC abaixo, E e G são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo AB = x, BC = y, AC = z e GD = k, determinar o perímetro do triângulo GEC e dizer o que o ponto D é do triângulo ABC. 22) Demonstre que o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos internos consecutivos de um paralelogramo é um ângulo reto. A E G D C F B 23) (Fuvest) Em um trapézio isósceles, a medida da altura é igual à da base média. Determine o ângulo que a diagonal do trapézio forma com uma das bases do trapézio. A D B C Jeca 41 17) Na figura, MNLP é um quadrilátero, C, D, E e F são os pontos médios dos lados MN, NL, LP e PM. Determine o perímetro do quadrilátero CDEF sabendo-se que ML = 14 cm e NP = 8 cm. 18) Determine as medidas dos ângulos internos de um paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos opostos medem 3x - 18º e 2x + 27º. a = 3x - 18 Base média de triângulo. CF = DE = NP/2 = 8/2 = 4 cm CD = EF = ML/2 = 14/2 = 7 cm b a M a = 2x + 27 3x - 18 = 2x + 27 a b x = 45º F Portanto a = 117º 2p = 4 + 7 + 4 + 7 = 22 cm (resp) C a + b = 180º - ângulos colaterais internos P 117 + b = 180 E N b = 63º L D 19) No triângulo ABC abaixo, D e E são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo o perímetro do triângulo DEF igual a 23 cm, determinar : a) o que é o ponto F para o triângulo ABC. b) a medida do perímetro do triângulo BCF. A 20) No triângulo ABC abaixo, sendo F o baricentro, AC = x, AB = y, BC = z, CF = t e DF = w, determinar o perímetro do quadrilátero AEFD. A x/2 a) BE e CD são medianas. Portanto F é baricentro. y/2 x D E DE é base média. Portanto BC = 2.DE = 2x z y F 2y 2z C B PerBCF = 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z) = 2 . 23 = 46 cm (resp) 21) No triângulo ABC abaixo, E e G são os pontos médios dos respectivos lados. Sendo AB = x, BC = y, AC = z e GD = k, determinar o perímetro do triângulo GEC e dizer o que o ponto D é do triângulo ABC. Se F é baricentro, então E e D são pontos médios e, BD e CD são medianas. EF = FC/2 = t/2 x/2 F 2w y/2 t B z C 22) Demonstre que o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos internos consecutivos de um paralelogramo é um ângulo reto. a Se E e G são pontos médios, então EB e CG são medianas. Além disso, EG é a base média do triângulo ABC. x/2 D w PerAEFD = x/2 + y/2 + t/2 + w = (x + y + t + 2w)/2 (resp) A z/2 t/2 E b) x + y + z = 23 a b b EG = BC/2 = y/2 E G z/2 D PerGEC = (y + z + 6k)/2 (resp) x/2 a + b + 90 = 180 Portanto a + b = 90º (CQD) D é o baricentro do triângulo ABC. 2k C 2a + 2b = 180º - ângulos colaterais internos a + b = 90º PerGEC = y/2 + z/2 + 3k k y/2 F y/2 B 23) (Fuvest) Em um trapézio isósceles, a medida da altura é igual à da base média. Determine o ângulo que a diagonal do trapézio forma com uma das bases do trapézio. A h B x M y-x + x = 2 y+x d= =h 2 MN é base média d= h N y - x + 2x 2 h a h y-x 2 D x MN = (y + x)/2 = h y-x 2 a = 45º (resp) C d tg a = h/h = 1 y Jeca 41 Geometria plana Quadriláteros notáveis. Exercícios complementares da aula 04. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) 01) Dado o losango ABCD abaixo e o ângulo de 138º, determine as medidas dos ângulos assinalados. B 02) (J) No paralelogramo ABCD abaixo, AE = 5 cm e M é o ponto médio do lado CD. Determine o perímetro de ABCD. A 138º 60º t A z B 60º C x E y D C M D 03) No retângulo ABCD abaixo, AC e BD são as diagonais. Determine as medidas dos ângulos x e y. A B 04) (PUCCamp-SP) Na figura a seguir, tem-se representado o losango ABCD, cuja diagonal menor mede 4 cm. Determine a medida da diagonal maior e do lado desse losango. B y 2q x A 32º C D E B 06) (VUNESP-SP) Considere as seguintes proposições. I. Todo quadrado é um losango. II. Todo quadrado é um retângulo. III. Todo retângulo é um paralelogramo. IV. Todo triângulo equilátero é isósceles. Pode-se afirmar que: a) só uma é verdadeira. b) todas são verdadeiras. c) só uma é falsa. d) duas são verdadeiras e duas são falsas. e) todas são falsas. F D C D 05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e DCE é um triângulo equilátero, onde o ponto E pertence ao lado AB do retângulo. Sendo DB a diagonal do retângulo, F o ponto de intersecção entre a diagonal e o lado do triângulo e CD = 9 cm, determine a medida do segmento FC. A q C Jeca 42 Geometria plana Quadriláteros notáveis. Exercícios complementares da aula 04. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) 01) Dado o losango ABCD abaixo e o ângulo de 138º, determine as medidas dos ângulos assinalados. B 138º t A z C x y 02) (J) No paralelogramo ABCD abaixo, AE = 5 cm e M é o ponto médio do lado CD. Determine o perímetro de ABCD. F é ponto médio de AC No triangulo ACD AM é mediana DF é mediana E é baricentro A 60º B 60º F E EM = AE/2 D C M EM = 5/2 Portanto AM = 5 + 5/2 = 15/2 cm Se DAB = 120º, então ADM = 60º - ângulos colaterais internos ADM é um triângulo equilátero de lado 15/2 cm Portanto AD = 15/2 e AB = 15 D "Em todo losango, as diagonais são: a) perpendiculares entre si. b) bissetrizes dos ângulos internos." y = 138/2 = 69º t = 90º x + t + y = 180º x + 90 + 69 = 180 x = 21º z = 2x = 42º PerABCD = 15/2 + 15 + 15/2 + 15 = 45 cm (resp) 03) No retângulo ABCD abaixo, AC e BD são as diagonais. Determine as medidas dos ângulos x e y. A B 04) (PUCCamp-SP) Na figura a seguir, tem-se representado o losango ABCD, cuja diagonal menor mede 4 cm. Determine a medida da diagonal maior e do lado desse losango. B y q x A 32º 2q q q 32º C D x 30º 4 cm C 3q = 180 D q = 60º O triângulo ABD é equilátero BD = 4 cm AB = BC = CD = AD = 4m x é ângulo externo x = 32 + 32 = 64º x 4 x = 4 3 /2 = 2 3 cm cos 30º = y + x = 180 y = 116º (resp) AC = 2.d = 4 3 cm 05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e DCE é um triângulo equilátero, onde o ponto E pertence ao lado AB do retângulo. Sendo DB a diagonal do retângulo, F o ponto de intersecção entre a diagonal e o lado do triângulo e CD = 9 cm, determine a medida do segmento FC. A E No triângulo ABC, tem-se BM é mediana. CE é mediana. F é baricentro CD = CE = 2x + x = 3x = 9 x=3 FC = 2x = 2 . 3 = 6 cm (resp) B Pode-se afirmar que: a) só uma é verdadeira. b) todas são verdadeiras. c) só uma é falsa. d) duas são verdadeiras e duas são falsas. e) todas são falsas. x F M D 9 cm 06) (VUNESP-SP) Considere as seguintes proposições. I. Todo quadrado é um losango. (verdadeira) II. Todo quadrado é um retângulo. (verdadeira) III. Todo retângulo é um paralelogramo. (verdadeira) IV. Todo triângulo equilátero é isósceles. (verdadeira) 2x C Todas são verdadeiras (resp. b) Jeca 42 08) (UFOP-MG) Assinale a alternativa incorreta: a) Em todo paralelogramo não retângulo, a diagonal oposta aos ângulos agudos é menor do que a outra. b) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo. c) As bissetrizes de dois ângulos opostos de um paralelogramo são paralelas entre si. d) Ligando-se os pontos médios dos lados de um triângulo, este fica decomposto em quatro triângulos congruentes. e) Todas as afirmativas anteriores são incorretas. 07) (PUC-SP) Sendo: A = {x / x é quadrilátero} B = {x / x é quadrado} C = {x / x é retângulo} D = {x / x é losango} E = {x / x é trapézio} F = {x / x é paralelogramo} Então vale a relação: a) b) c) d) e) A A F A B D F D F D E D A B A B C E 09)(UECE) Na figura, o retângulo DGHI, o triângulo equilátero DEF e o quadrado ABCI, têm todos, perímetro igual a 24 cm. Se D é o ponto médio de CI, o perímetro da figura fechada ABCDEFGHIA é igual a: a) 48 m b) 49 m c) 50 m d) 51 m e) 52 m E C G B D F H 10) Determine as medidas dos ângulos internos de um paralelogramo sabendo que a diferença entre as medidas de dois ângulos internos consecutivos é 52º. I A 11) (FGV-SP) A diagonal menor de um losango decompõe esse losango em dois triângulos congruentes. Se cada ângulo obtuso do losango mede 130º, quais são as medidas dos três ângulos de cada um dos dois triângulos considerados ? 12) (ITA-SP) Dadas as afirmações: I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares. II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares. III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, então esse paralelogramo é um losango. a) b) c) d) e) Jeca 43 Todas são verdadeiras. Apenas I e II são verdadeiras. Apenas II e III são verdadeiras. Apenas II é verdadeira. Apenas III é verdadeira. 07) (PUC-SP) Sendo: A = {x / x é quadrilátero} B = {x / x é quadrado} C = {x / x é retângulo} D = {x / x é losango} E = {x / x é trapézio} F = {x / x é paralelogramo} 08) (UFOP-MG) Assinale a alternativa incorreta: a) Em todo paralelogramo não retângulo, a diagonal oposta aos ângulos agudos é menor do que a outra. b) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo. c) As bissetrizes de dois ângulos opostos de um paralelogramo são paralelas entre si. d) Ligando-se os pontos médios dos lados de um triângulo, este fica decomposto em quatro triângulos congruentes. e) Todas as afirmativas anteriores são incorretas. A E F C Então vale a relação: a) b) c) d) e) A A F A B D F D F D E D A B A B B a) V D C E b) V c) V d) V e) Falsa Resp b) 09)(UECE) Na figura, o retângulo DGHI, o triângulo equilátero DEF e o quadrado ABCI, têm todos, perímetro igual a 24 cm. Se D é o ponto médio de CI, o perímetro da figura fechada ABCDEFGHIA é igual a: a) 48 m b) 49 m c) 50 m d) 51 m e) 52 m 180 - x - x = 52 E C B 6 8 8 3 180 - x = 116º (resp) 3 9 6 H x x = 64º 6 D F 180 - x 2x = 180 - 52 = 128 x = 64º 3 8 G 1 10) Determine as medidas dos ângulos internos de um paralelogramo sabendo que a diferença entre as medidas de dois ângulos internos consecutivos é 52º. I A AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IA = 6 + 6 + 3 + 8 + 8 + 1 + 3 + 9 + 6 = 50 cm (resp c) 11) (FGV-SP) A diagonal menor de um losango decompõe esse losango em dois triângulos congruentes. Se cada ângulo obtuso do losango mede 130º, quais são as medidas dos três ângulos de cada um dos dois triângulos considerados ? B 130º A C 65º x + 65 + 65 = 180 x = 50º 65º D As medidas dos três ângulos são: 65º , 65º e 50º x (resp) 12) (ITA-SP) Dadas as afirmações: I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares. (Falsa) II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares. (Verdadeira) III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, então esse paralelogramo é um losango. (Verdadeira) a) b) c) d) e) Todas são verdadeiras. Apenas I e II são verdadeiras. Apenas II e III são verdadeiras. Apenas II é verdadeira. Apenas III é verdadeira. Resposta c Jeca 43 13) (UFV-MG) Num trapézio isósceles de bases diferentes, uma diagonal é também bissetriz de um ângulo adjacente à base maior. Isso significa que: a) a base menor tem medida igual à dos lados oblíquos. b) os ângulos adjacentes à base menor não são congruentes. c) a base maior tem medida igual à dos lados oblíquos. d) as duas diagonais se interceptam no seu ponto médio. e) as diagonais se interceptam, formando ângulo reto. 14) (FUVEST-SP) No quadrilátero ABCD, temos AD = BC = 2 e os prolongamentos desses lados formam um ângulo de 60º. a) Indicando por a, b, g e q, respectivamente, as medidas dos ângulos internos dos vértices A, B, C e D, calcule a + b + g + q. b) Sejam J o ponto médio de DC, M o ponto médio de AC e N o ponto médio de BD. Calcule JM e JN. c) Calcule a medida do ângulo MJN. C D B A 15) Na figura, BC = 24 cm, D é ponto médio de AB, F é ponto médio de BD, E é ponto médio de AC e I é ponto médio de CE. Determine as medidas dos segmentos FG e GH. A E D F I H G 16) (ITA-SP) Considere um quadrilátero ABCD cujas diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos lados do quadrilátero dado, então o perímetro do quadrilátero RSTU vale: a) 22 cm b) 5,5 cm c) 8,5 cm d) 11 cm e) 12 cm B C 17) No trapézio AEJF abaixo, BG = x e DI = y. Se AB = BC = CD = DE e FG = GH = HI = IJ, determine AF e EJ em função de x e de y. A F 18) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em B, o ponto D é ponto médio do lado AB e o segmento DE é paralelo ao cateto BC. Sendo AC = 24 cm, determine a medida do segmento EF. A B C D E G H I E D J F B Jeca 44 C 13) (UFV-MG) Num trapézio isósceles de bases diferentes, uma diagonal é também bissetriz de um ângulo adjacente à base maior. Isso significa que: a) a base menor tem medida igual à dos lados oblíquos. b) os ângulos adjacentes à base menor não são congruentes. c) a base maior tem medida igual à dos lados oblíquos. d) as duas diagonais se interceptam no seu ponto médio. e) as diagonais se interceptam, formando ângulo reto. 14) (FUVEST-SP) No quadrilátero ABCD, temos AD = BC = 2 e os prolongamentos desses lados formam um ângulo de 60º. a) Indicando por a, b, g e q, respectivamente, as medidas dos ângulos internos dos vértices A, B, C e D, calcule a + b + g + q. b) Sejam J o ponto médio de DC, M o ponto médio de AC e N o ponto médio de BD. Calcule JM e JN. c) Calcule a medida do ângulo MJN. a) a + b + g + q = 360º 60º J D b) JM é base média do triângulo ACD. Portanto JM = AD/2 = 2/2 = 1 JN é base média do triângulo BCD. Portanto JN = 2/2 = 1 C a 2 resp a) a c) JM // AD JN // BC Então MJN = 60º (resp) 2 N M a A 15) Na figura, BC = 24 cm, D é ponto médio de AB, F é ponto médio de BD, E é ponto médio de AC e I é ponto médio de CE. Determine as medidas dos segmentos FG e GH. A w D E B 16) (ITA-SP) Considere um quadrilátero ABCD cujas diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos lados do quadrilátero dado, então o perímetro do quadrilátero RSTU vale: A a) 22 cm b) 5,5 cm U R c) 8,5 cm D B d) 11 cm e) 12 cm T S C F x y G I H B C 24 cm DE é base média do triângulo ABC FG é base média do triângulo BDE FH é base média do triângulo BCD x + y = 12 6 + y = 12 y = GH = 6 cm (resp) DE = w = 24/2 = 12 cm FG = x = 12/2 = 6 cm FH = x + y = 12 cm 17) No trapézio AEJF abaixo, BG = x e DI = y. Se AB = BC = CD = DE e FG = GH = HI = IJ, determine AF e EJ em função de x e de y. A k F RU é a base média do triângulo ABD ST é a base média do triângulo BCD Portanto RU = ST = BD/2 = 6/2 = 3 cm RS é a base média do triângulo ABC TU é a base média do triângulo ACD Portanto RS = TU = AC/2 = 5/2 cm 18) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em B, o ponto D é ponto médio do lado AB e o segmento DE é paralelo ao cateto BC. Sendo AC = 24 cm, determine a medida do segmento EF. Base média de trapézio. B C D x w y I n J F = B k = 2x - w = 2x - x + y 2 = BE é uma mediana. CD é uma mediana. Portanto F é o baricentro do triângulo ABC. R R 4y - x - y 2 3y -x 2 x= w+k 2 Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em uma semicircunferência. E D n = 2y - w = 2y - x + y 2 y= w+n 2 n = AF = AE = EC = EB = R = 12 R H E n = EJ = A w = x+y 2 G Per = 2 . 3 + 2 . 5/2 Per = 11 cm (resp) 4x - x - y 2 BE = 12 cm Mas, BF = 2.EF 3x - y 2 Jeca 44 C 3 . EF = 12 EF = 4 cm (resp) Jeca 45 Respostas dos exercícios da Aula 04. 01) 6 cm e 24 cm 02) 4 03) 11 cm, 4 cm, 14 cm e 24 cm 04) 32º, 64º, 90º e 116º 05) 16 cm 06) Propriedade da base média do triângulo. BD // LP // MN e AC // LM // PN Portanto LMNP é um paralelogramo. 07) 45º 08) b 09) 25 cm 10) 7 cm, 9 cm, e 8 cm 11) x + z 12) 14 cm 13) 36 cm e 42 cm 14) 12 cm 15) 5 cm e 14 cm 16) 19 cm, 6 cm, 6 cm e 7 cm 17) 22 cm 18) 117º e 63º 19) Baricentro e 46 cm 20) (x + y + 2w + t) / 2 21) (y + z + 6k) / 2 e baricentro 22) 2a + 2b = 180 (alternos internos) Portanto a + b = 90º 23) 45º Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 46 Respostas dos exercícios complementares da Aula 04. 01) x = 21º, y = 69º, z = 42º, t = 90º 02) 45 cm 03) x = 64º, y = 116º 04) AC = 4 3 cm, AB = 4 cm 05) 6 cm 06) b 07) b 08) e 09) c 10) 64º e 116º 11) 50º, 65º e 65º 12) c 13) a 14) a) 360º b) 1 e 1 c) 60º 15) FG = 6 cm e GH = 6 cm 16) d 17) AF = 3x - y 2 18) 4cm EJ = 3y - x 2 Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 47 Geometria plana Aula 05 Polígonos convexos. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) I) Polígonos convexos. Classificação dos polígonos (quanto ao nº de lados). d 3 lados 4 lados 5 lados 6 lados 7 lados 8 lados 9 lados 10 lados vértice i e lado d - diagonal i - ângulo interno e - ângulo externo - triângulo quadrilátero pentágono hexágono heptágono octógono eneágono decágono i + e = 180º 11 lados 12 lados 13 lados 14 lados 15 lados 16 lados 17 lados 18 lados 19 lados 20 lados - undecágono dodecágono tridecágono quadridecágono pentadecágono hexadecágono heptadecágono octodecágono eneadecágono icoságono II) Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo. III) Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo. IV) Número de diagonais de um polígono convexo. (Si) (Se) (d) e4 e3 i4 i3 in i2 e2 i1 en e1 Si = i1 + i2 + i3 + ... + in Si = 180 (n - 2) Um polígono é regular se tem: a) todos os lados congruentes entre si; b) todos os ângulos internos congruentes entre si; c) todos os ângulos externos congruentes entre si. e i i Classificação dos polígonos regulares 3 lados - triângulo equilátero 4 lados - quadrado 5 lados - pentágono regular 6 lados - hexágono regular etc i e i i n - nº de lados do polígono Para qualquer polígono convexo V) Polígono regular. e d = n (n - 3) 2 Se = 360º n - nº de lados do polígono e Diagonal é o segmento que une dois vértices não consecutivos. Se = e1 + e2 + e3 + ... + en e Medida de cada ângulo interno de um polígono regular. S i = ni > i= 180 (n - 2) n Medida de cada ângulo externo de um polígono regular. C a ângulo central S e = e n > e = 360 n (importante) Observação - Todo polígono regular pode ser inscrito e circunscrito numa circunferência. Jeca 48 01) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter- 02) Determinar a soma das medidas dos ângulos externos e o número de diagonais de um pentadecágono nos e o número de diagonais de um octodecágono convexo. convexo. 03) Determinar a medida de cada ângulo interno e de 04) Determinar a medida de cada ângulo interno e o nº cada ângulo externo de um eneágono regular. de diagonais de um octógono regular. 05) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 65 diagonais. 06) Determinar o nº de diagonais de um polígono regular cuja medida de cada ângulo externo é 30º. 07) Determinar o nº de diagonais de um polígono regu- 08) Determinar a medida do ângulo externo de um lar sabendo-se que a medida de um ângulo interno polígono regular que tem 14 diagonais. excede a medida do ângulo externo em 132º. Jeca 49 01) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter- 02) Determinar a soma das medidas dos ângulos externos e o número de diagonais de um pentadecágono nos e o número de diagonais de um octodecágono convexo. convexo. octodecágono - 18 lados Pentadecágono (n = 15 lados) Se = 360º (resp) Si = 180(n - 2) = 180(15 - 2) = 2 340º (resp) d = n(n - 3)/2 d = 18(18 - 3)/2 = 135 diagonais. (resp) d = n(n - 3) / 2 = 15(15 - 3) / 2 = 90 diagonais (resp) 03) Determinar a medida de cada ângulo interno e de 04) Determinar a medida de cada ângulo interno e o nº cada ângulo externo de um eneágono regular. de diagonais de um octógono regular. eneágono - 9 lados octógono - 8 lados e = 360/n = 360/9 = 40º (resp) e = 360/n = 360/8 = 45º i + e = 180º i + 40 = 180 i = 140º (resp) i + e = 180º i + 45 = 180 i = 135º (resp) d = n(n - 3)/2 = 8(8 - 3)/2 d = 20 diagonais (resp) 05) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 65 diagonais. d = n(n - 3)/2 65 = n(n - 3)/2 06) Determinar o nº de diagonais de um polígono regular cuja medida de cada ângulo externo é 30º. e = 360/n 30 = 360/n n = 12 lados (dodecágono) 2 130 = n - 3n 2 n - 3n - 130 = 0 Raízes n = 13 n = -10 (não convém) d = n(n - 3)/2 d = 12(12 - 3)/2 d = 54 diagonais (resp) Para n = 13 (tridecágono) Si = 180(n - 2) = 180(13 - 2) Si = 1 980º (resp) 07) Determinar o nº de diagonais de um polígono regu- 08) Determinar a medida do ângulo externo de um lar sabendo-se que a medida de um ângulo interno polígono regular que tem 14 diagonais. excede a medida do ângulo externo em 132º. i - e = 132º i + e = 180º 2i = 312 i = 156º e = 180 - 156 = 24º e = 360/n 24 = 360/n n = 15 lados (pentadecágono) d = n(n - 3)/2 d = n(n - 3)/2 14 = n(n - 3)/2 28 = n2 - 3n n2 - 3n - 28 = 0 Raízes n = 7 (heptágono) n = -4 (não convém) Para n = 7 lados e = 360/n = 360º/7 d = 15(15 - 3)/2 = 90 diagonais Jeca 49 (resp) 09) Dados dois polígonos convexos, A e B, sabe-se que B tem 4 lados e 30 diagonais a mais do que A. Determine quais são os polígonos A e B. 10) Dados dois polígonos regulares, A e B, sabe-se que B tem 6 lados a mais do que A e a diferença das medidas de seus ângulos externos é 16º. Determine quais são esses polígonos. 11) Determine a medida do ângulo agudo formado entre a diagonal AF e o lado AB de um dodecágono regular ABC.... KL. 12) Determine a medida do ângulo agudo formado pelos prolongamentos das diagonais AC e DG de um dodecágono regular ABC...KL. Jeca 50 09) Dados dois polígonos convexos, A e B, sabe-se que B tem 4 lados e 30 diagonais a mais do que A. Determine quais são os polígonos A e B. A nA dA B 10) Dados dois polígonos regulares, A e B, sabe-se que B tem 6 lados a mais do que A e a diferença das medidas de seus ângulos externos é 16º. Determine quais são esses polígonos. nB dB nA eA A nB = nA + 4 dB = dA + 30 dB - dA = 30 nB(nB - 3)/2 - nA(nA - 3)/2 = 30 (nA + 4)(nA + 4 - 3) - nA(nA - 3) = 60 8.nA = 56 nA = 7 lados (heptágono) nB = 7 + 4 = 11 lados (undecágono) nB eB B nB = nA + 6 eA - eB = 16 Importante - O polígono que tem menos lados tem o maior ângulo externo. (eA - eB > 0) eA - eB = 360 - 360 16 nA nA + 6 = 360(nA + 6) - 360.nA = 16 nA(nA + 6) (resp) 360(nA + 6) - 360.nA = 16nA(nA + 6) 2 360nA + 2 160 - 360nA = 16nA + 96nA 2 nA + 6nA - 135 = 0 Raízes nA = 9 lados (eneágono) nA = -15 lados (não convém) Polígono A - eneágono polígono B - (9 + 6 = 15) - pentadecágono (resp) 11) Determine a medida do ângulo agudo formado entre a diagonal AF e o lado AB de um dodecágono regular ABC.... KL. 12) Determine a medida do ângulo agudo formado pelos prolongamentos das diagonais AC e DG de um dodecágono regular ABC...KL. D C q E 150º 150º b 150º C e x B 30º e= x F i = 150º x a D 150º e = 30º 150º 150º e = 360/n = 360/12 = 30º Portanto i = 180 - e = 180 - 30 = 150º ABCDEF é um hexágono irregular Si = 180(n - 2) = 180(6 - 2) = 180 . 4 = 720º Mas, Si = 4 . 150 + 2x 720 = 600 + 2x x = 60º (resp) e B F x y A e - ângulo externo i - ângulo interno E y G A e - ângulo externo i - ângulo interno e = 360/n = 360/12 = 30º i = 180 - e = 180 - 30 = 150º ABC é um triângulo x + x + 150 = 180 DEFG é um quadrilátero y + y + 150 + 150 = 360 a = x + 30 = 45º b = y + 30 = 60º a + b + q = 180 q = 75º (resp) Jeca 50 x = 15º y = 30º 13) (UNIFESP-SP) Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados, lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na figura. Nestas condições, o ângulo q mede: 14) (FUVEST-SP) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130º cada um e os demais ângulos internos medem 128º cada um. O nº de lados desse polígono é: a) 108º a) 6 b) 72º c) 54º d) 36º e) 18º b) 7 c) 13 d) 16 e) 17 q 15) (CESGRANRIO-RJ) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, são traçadas as bissetrizes CM e BN, que formam entre si o ângulo a. A soma dos ângulos internos A e D desse quadrilátero corresponde a: a) a/4 b) a/2 c) a D d) 2a e) 3a N C a M 16) (MACK-SP) Os lados de um polígono regular de n lados, n > 4, são prolongados para formar uma estrela. A medida, em graus, de cada vértice da estrela é: a) 360º n (n - 4) . 180º b) n c) (n - 2) . 180º n d) 180º _ 90º n e) 180º n A B Jeca 51 13) (UNIFESP-SP) Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados, lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na figura. Nestas condições, o ângulo q mede: 14) (FUVEST-SP) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130º cada um e os demais ângulos internos medem 128º cada um. O nº de lados desse polígono é: a) 108º a) 6 b) 72º c) 54º d) 36º e) 18º b) 7 c) 13 d) 16 50º 50º 130º e) 17 52º 128º 128º 52º q 52º 130º 128º Se dois ângulos internos medem 130º, então dois ângulos externos medem 50º Se os demais ângulos internos medem 128º, então os demais ângulos externos medem 52º A soma das medidas dos ângulos externos é 360º. e = 360 / 5 = 72º 2 . 50 + x . 52 = 360 x . 52 = 360 - 100 = 260 x = 260/52 = 5 108º 108º q 108º i = 108º q = 360 - 3 . 108 = 2 ângulos externos de 50º 5 ângulos externos de 52º total - 7 ângulos externos = 360 - 324 = 36º (resp) e = 72º 15) (CESGRANRIO-RJ) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, são traçadas as bissetrizes CM e BN, que formam entre si o ângulo a. A soma dos ângulos internos A e D desse quadrilátero corresponde a: a) a/4 b) a/2 c) a D d) 2a e) 3a N C x x a M A x + y = 180 - a y n = 7 lados (resp b) 16) (MACK-SP) Os lados de um polígono regular de n lados, n > 4, são prolongados para formar uma estrela. A medida, em graus, de cada vértice da estrela é: a) 360º n (n - 4) . 180º b) n c) (n - 2) . 180º n d) 180º _ 90º n e) 180º n x e e y B Polígono A + B + C + D = 360º A + D = 360 - 2x - 2y A + D = 360 - 2(x + y) A + D = 360 - 2(180 - a) e - ângulo externo do polígono. x - vértice da estrela. A + D = 360 - 360 + 2a e = 360/n A + D = 2a (resp d) e + e + x = 180º 2 . 360/n + x = 180 x = 180 - 720/n = (180n - 720)/n = 180(n - 4)/n (resp b) Jeca 51 Geometria plana Polígonos convexos. Exercícios complementares da aula 05. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) 01) Dado um polígono convexo de 17 lados, determinar: a) a soma das medidas dos ângulos b) a soma das medidas dos ângulos c) o número de diagonais desse políexternos. gono. internos. 02) Dado um undecágono convexo, determinar: a) a soma das medidas dos ângulos b) a soma das medidas dos ângulos c) o número de diagonais desse políexternos. gono. internos. 03) Determinar o número de lados e o número de diagonais de um polígono convexo cuja soma das medidas dos ângulos internos é 2160º. 04) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 44 diagonais. Jeca 52 Geometria plana Polígonos convexos. Exercícios complementares da aula 05. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) 01) Dado um polígono convexo de 17 lados, determinar: a) a soma das medidas dos ângulos b) a soma das medidas dos ângulos c) o número de diagonais desse políexternos. gono. internos. Si = 180(n - 2) = 180(17 - 2) = 2 700º d = n(n - 3)/2 d = 17(17 - 3)/2 d = 119 diagonais Se = 360º 02) Dado um undecágono convexo, determinar: a) a soma das medidas dos ângulos b) a soma das medidas dos ângulos c) o número de diagonais desse políexternos. gono. internos. Si = 180(n - 2) = 180(11 - 2) = 1 620º d = n(n - 3)/2 d = 1(11 - 3)/2 d = 44 diagonais Se = 360º 03) Determinar o número de lados e o número de diagonais de um polígono convexo cuja soma das medidas dos ângulos internos é 2160º. Si = 180(n - 2) d = n(n - 3)/2 2 160 = 180(n - 2) d = 14(14 - 3)/2 n - 2 = 2 160/180 d = 77 diagonais (resp) n - 2 = 12 n = 14 lados (resp) 04) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 44 diagonais. d = n(n - 3)/2 Si = 180(n - 2) 44 = n(n - 3)/2 Si = 180(11 - 2) 2 n - 3n - 88 = 0 Si = 1 620º (resp) Raízes n = 11 lados (undecágono) n = -8 (não convém) Jeca 52 05) No pentágono ao lado, AB // DE. Determinar a soma das medidas dos ângulos internos assinalados. A B C E D 06) Determinar os polígonos convexos A e B, sabendo-se que A tem 2 lados e 23 diagonais a mais que o polígono B. 07) Dado um eneágono regular, determinar : a) o número de lados do eneágono. b) a soma das medidas dos ângulos c) a medida de cada ângulo interno. internos. d) a soma das medidas dos ângulos e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do eneágoexternos. no. 08) Determinar qual é o polígono regular cuja medida de um ângulo externo é igual a 2/7 da medida de um ângulo interno. Jeca 53 05) No pentágono ao lado, AB // DE. Determinar a soma das medidas dos ângulos internos assinalados. A B A + E = 180º (ângulos colaterais internos) ABCDE é um pentágono, portanto Si = 180(n - 2) = 180(5 - 2) = 540º E + A + B + C + D = 540 180 + B + C + D = 540 B + C + D = 540 - 180 = 360º (resp) C E D 06) Determinar os polígonos convexos A e B, sabendo-se que A tem 2 lados e 23 diagonais a mais que o polígono B. A nA dA B nB dB nA = nB + 2 dA = dB + 23 dA - dB = 23 (nB + 2)(nB + 2 - 3)/2 - nB(nB - 3)/2 = 23 (nB + 2)(nB - 1) - nB(nB - 3) = 46 4.nB = 48 nB = 12 lados (dodecágono) nA = 12 + 2 = 14 lados (quadridecágono) (resp) 07) Dado um eneágono regular, determinar : a) o número de lados do eneágono. n = 9 lados b) a soma das medidas dos ângulos c) a medida de cada ângulo interno. internos. i = Si/n i = 1 260/9 i = 140º Si = 180(n - 2 Si = 180(9 - 2) Si = 1 260º d) a soma das medidas dos ângulos e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do eneágoexternos. no. e = 360/n e = 360/9 e = 40º Se = 360º d = n(n - 3)/2 d = 9(9 - 3)/2 d = 27 diagonais 08) Determinar qual é o polígono regular cuja medida de um ângulo externo é igual a 2/7 da medida de um ângulo interno. e = 360/n e = 2.i / 7 i + e = 180º e = 2.i / 7 e + 7.e / 2 = 180 40 = 360/n i = 7.e / 2 n = 360/40 = 9 n = 9 lados (eneágono) (resp) 2e + 7e = 360 9e = 360 e = 40º Jeca 53 09) Dado um pentadecágono regular, determinar : a) o número de lados do pentadecágono. b) a soma das medidas dos ângulos c) a medida de cada ângulo interno. internos. d) a soma das medidas dos ângulos e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do pentaexternos. decágono. 10) Determinar dois polígonos regulares, A e B, sabendo-se que A tem 3 lados a mais que B e que a diferença entre as medidas dos seus ângulos externos é 6º. 11) Dado um decágono regular ABCDE … , determinar a medida do ângulo agudo compreendido entre o lado AB e a diagonal AC. 12) Dado um dodecágono regular ABCDE … , sendo O o centro do dodecágono, determinar a medida do ângulo AOE. B C D A E F L O G K H J I Jeca 54 09) Dado um pentadecágono regular, determinar : a) o número de lados do pentadecágono. n = 15 lados b) a soma das medidas dos ângulos c) a medida de cada ângulo interno. internos. i = Si/n i = 2 340/15 i = 156º Si = 180(n - 2 Si = 180(15 - 2) Si = 2 340º d) a soma das medidas dos ângulos e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do pentaexternos. decágono. e = 360/n e = 360/15 e = 24º Se = 360º d = n(n - 3)/2 d = 15(15 - 3)/2 d = 90 diagonais 10) Determinar dois polígonos regulares, A e B, sabendo-se que A tem 3 lados a mais que B e que a diferença entre as medidas dos seus ângulos externos é 6º. nA eA A nB eB B 360(nB + 3) - 360.nB = 6nB(nB + 3) 2 nA = nB + 3 eB - eA = 6 Importante - O polígono que tem menos lados tem o maior ângulo externo. (eB - eA > 0) 360nB + 1 080 - 360nB = 6nB + 18nB 2 nB + 3nB - 180 = 0 Raízes nB = 12 lados (dodecágono) nB = -15 lados (não convém) eB - eA = 360 - 360 = 6 nB nB + 3 360(nB + 3) - 360.nB =6 nB(nB + 3) Polígono A - (12 + 3 = 15 lados) - pentadecágono polígono B - dodecágono (resp) 11) Dado um decágono regular ABCDE … , determinar a medida do ângulo agudo compreendido entre o lado AB e a diagonal AC. e - ângulo externo i - ângulo interno e = 360/n = 360/10 = 36º i + e = 180º i = 180 - 36 = 144º C e B x D i x A E x + x + i = 2x + 144 = 180 2x = 36 x = 18º (resp) 12) Dado um dodecágono regular ABCDE … , sendo O o centro do dodecágono, determinar a medida do ângulo AOE. e - ângulo externo i - ângulo interno e = 360/n = 360/12 = 30º i + e = 180 i + 30 = 180 i = 150º 720 = 2y + 3 . 150 + x 720 = 2 . 75 + 3 . 150 + x x = 720 - 600 = 120º (resp) C y e y E x F L O G K H J I Jeca 54 D i A ABCDEO é umhexágono irregular Si = 180(n - 2) = 180(6 - 2) = 720º y = i/2 = 150/2 = 75º B 13) Dado um decágono regular ABCDE … , sendo O o centro do polígono, determinar : A J B I C O D H E G F a) a soma das medidas dos ângulos b) a medida de cada ângulo externo. c) a soma das medidas dos ângulos internos do decágono. externos do decágono. d) a medida de cada ângulo interno. e) a medida do ângulo obtuso forma- f) a medida do ângulo agudo formado pelos prolongamentos dos lados do pelos prolongamentos dos lados BC e DE. BC e EF. g) a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais BI e AG. h) a medida do ângulo EOG. Jeca 55 i) a medida do ângulo EBC. 13) Dado um decágono regular ABCDE … , sendo O o centro do polígono, determinar : A 54º 90º J B 36º 144º 72º 36º w 36º I C 108º e z x O k k e H 144º D y z 54º 90º E G F a) a soma das medidas dos ângulos b) a medida de cada ângulo externo. c) a soma das medidas dos ângulos internos do decágono. externos do decágono. Se = 360º d) a medida de cada ângulo interno. i = Si /n i = 1440/10 i = 144º e = 360/n = 360/10 e = 36º Si = 180(n - 2) Si = 180(10 - 2) Si = 1440º e) a medida do ângulo obtuso forma- f) a medida do ângulo agudo formado pelos prolongamentos dos lados do pelos prolongamentos dos lados BC e DE. BC e EF. x + e + e = 180 x + 2e = 180 x + 2 . 36 = 180 x = 108º 2z = e = 36 z = 18º z + e + y + z + e = 180 18 + 36 + y + 18 + 36 = 180 y = 72º g) a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais BI e AG. w + 90 + 36 = 180 w = 54º h) a medida do ângulo EOG. k = 360/n = 360/10 = 36º EOG = 2k = 2 . 36 EOG = 72º Jeca 55 i) a medida do ângulo EBC. EBC = 36º 14) Na figura ao lado, determinar o valor de x + y. 15) Dado um polígono convexo ABCD... com n lados, n > 3, o número de diagonais do polígono que não passam pelo vértice A é dado por: 93º a) 5n - 4 y 2 b) n - 11n 2 c) n - 5n + 6 2 d) n(n-3) 2 x 10 5º 2 e) 2n - 4 88º 16) Se a soma dos ângulos internos de um polígono regular é 1620º, sendo x a medida de cada ângulo externo então: a) x = 18º b) 30º < x < 35º c) x = 45º d) x < 27º e) 40º < x < 45º 17) Três polígonos têm o número de lados expressos por números inteiros consecutivos. Sabendo que o número total de diagonais dos três polígonos é igual a 28, determine a polígono com maior número de diagonais. 18) Na figura ao lado, ABC é um triângulo eqüilátero e DEFGH é um pentágono regular. Sabendo-se que D pertence ao lado AC, F pertence ao lado AC, G e H pertencem ao lado BC, determinar as medidas dos ângulos ADE e CDH. 19) Dado o eneágono regular ao lado, determinar a medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos lados AB e DE. A I B A C H E G F D D F C H G B Jeca 56 E X 14) Na figura ao lado, determinar o valor de x + y. d b c+ c d= x+ 15) Dado um polígono convexo ABCD... com n lados, n > 3, o número de diagonais do polígono que não passam pelo vértice A é dado por: y 93º y a) 5n - 4 2 b) n - 11n x a Se um polígono tem n lados, então tem n vértices. O número de diagonais que passam num vértice é n - 3. O número total de diagonais de um polígono é dado por 2 c) n - 5n + 6 2 d) n(n-3) 2 10 5º 88º d = n(n - 3)/2 2 a + b + 93 + 88 + 105 = 540 (pentágono) e) 2n - 4 Excluindo-se as que passam pelo vértice A, tem-se a + b = 540 - 286 = 254 c + d = 254 - 180 = 74 d' = n(n - 3) - (n - 3) 2 2 n(n - 3) - 2(n - 3) n - 3n - 2n + 6 d' = = 2 2 x + y = c + d = 74º (resp) 2 d' = 16) Se a soma dos ângulos internos de um polígono regular é 1620º, sendo x a medida de cada ângulo externo então: a) x = 18º b) 30º < x < 35º c) x = 45º d) x < 27º e) 40º < x < 45º n - 5n + 6 2 17) Três polígonos têm o número de lados expressos por números inteiros consecutivos. Sabendo que o número total de diagonais dos três polígonos é igual a 28, determine a polígono com maior número de diagonais. nº de diagonais de um polígono polígono A - n lados polígono B - n + 1 lados polígono C - n + 2 lados d = n(n - 3) 2 Total de diagonais = 28 Si = 180(n - 2) 1 620 = 180(n - 2) n - 2 = 1 620/180 = 9 n = 11 28 = n(n - 3) + (n + 1)(n + 1 - 3) + (n + 2)(n + 2 - 3) 2 2 2 n(n - 3) + (n + 1)(n - 2) + (n + 2)(n - 1) 2 2 n - n - 20 = 0 28 = e = 360/n e = 360/11 = 32,73º x = e = 32,73º Portanto 30º < x < 35º (resp b) Raízes n = -4 (não convém) n=5 polígono A - 5 lados polígono B - 6 lados polígono C - 7 lados (heptágono) - tem o maior número de diagonais. (resp) 18) Na figura ao lado, ABC é um triângulo eqüilátero e DEFGH é um pentágono regular. Sabendo-se que D pertence ao lado AC, F pertence ao lado AC, G e H pertencem ao lado BC, determinar as medidas dos ângulos ADE e CDH. 19) Dado o eneágono regular ao lado, determinar a medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos lados AB e DE. A I B e = 360/n = 360/5 = 72º i + e = 180 i + 72 = 180 i = 108º H y x G i = 108º 60º C i e H G D i F y y + i + x = 180 48 + 108 + x = 180 x = 24º C 140º E D e y A y + 60 + e = 180 y + 60 + 72 = 180 y = 48º (resp c) B e E F e = 360/n = 360/9 = 40º i = 180 - e = 180 - 40 = 140º y + y + 140 = 180 y = 20º x + (y + e) + (y + e) = x + 2y + 2e = 180 x + 40 + 80 = 180 x = 60º (resp) Jeca 56 X 20) (UFSC-2006) Considere um hexágono equiângulo (ângulos internos iguais), no qual quatro lados consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm, conforme figura a seguir. Calcule o perímetro do hexágono. E D 20 a a a) 105º a A 23 c) 90º d) 95º e) 85º C 15 a a b) 100º 13 a F 21) (MACK-SP) Num quadrilátero convexo, a soma de dois ângulos internos consecutivos mede 190º. O maior ângulo formado pelas bissetrizes internas dos dois outros ângulos mede: B 22) (ITA-SP) O número de diagonais de um polígono regular de 2n lados, que não passam pelo centro da circunferência circunscrita a esse polígono, é dado por: 23) (FEI) O menor ângulo interno de um polígono convexo mede 139º, e os outros ângulos formam com o primeiro uma progressão aritmética de razão 2. Determine o número de lados do polígono. a) 2n(n - 2) b) 2n(n - 1) c) 2n(n - 3) d) n(n - 5) 2 e) n.d.a. Jeca 57 20) (UFSC-2006) Considere um hexágono equiângulo (ângulos internos iguais), no qual quatro lados consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm, conforme figura a seguir. Calcule o perímetro do hexágono. E D 20 a Si = 180(n - 2) Si = 180(6 - 2) = 720º a a i = 720 / 6 = 120º E 23 D 13 60º 13 13 120º C y a a x e) 85º y b b 120º x 60º x 120º 60º x A d) 95º B D 120º 120º c) 90º A C B 20 b) 100º 15 a a A F a) 105º 13 a F 21) (MACK-SP) Num quadrilátero convexo, a soma de dois ângulos internos consecutivos mede 190º. O maior ângulo formado pelas bissetrizes internas dos dois outros ângulos mede: C A + B + C + D = 360º A + B = 190º Portanto C + D = 360 - 190 = 170º Mas C + D = 2a + 2b = 170º Então a + b = 85º 15 120º 23 B A figura acima é um paralelogramo 20 + 13 = 23 + x y é ângulo externo y = a + b = 85º x = 10 x + y = 15 + 13 10 + y = 28 y = 18 x = 180 - y = 180 - 85 = 95º O maior ângulo é x Per = 2p = 20 + 13 + 15 + 23 + 10 + 18 = 99 cm (resp) 22) (ITA-SP) O número de diagonais de um polígono regular de 2n lados, que não passam pelo centro da circunferência circunscrita a esse polígono, é dado por: a) 2n(n - 2) 23) (FEI) O menor ângulo interno de um polígono convexo mede 139º, e os outros ângulos formam com o primeiro uma progressão aritmética de razão 2. Determine o número de lados do polígono. Se o menor ângulo interno mede 139º, então o maior ângulo externo mede 180 - 139 = 41º b) 2n(n - 1) Os ângulos externos formam uma PA (41º, 39º, 37º, ... ) c) 2n(n - 3) d) n(n - 5) 2 e) n.d.a. x = 95º (resp d) A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é 360º. nº de diagonais de um polígono d = n(n - 3) 2 Se o polígono tem 2n lados, a fórmula passa a ser d = 2n(2n - 3) 2 Soma dos n primeiros termos de uma PA Sn = ( a1 + an ) . n 2 Fórmula do termo geral de uma PA an = a1 + (n - 1) . r an = 41 + (n - 1).(-2) = 43 - 2n Sn = (41 + 43 - 2n) . n / 2 360 = (41 + 43 - 2n) . n / 2 2 Mas a diagonal que passa pelo centro está sendo excluída n - 42n + 360 = 0 Então a fórmula passa a ser Raízes n = 30 (não convém pois o 30º ângulo será menor que 0º) n = 12 d = 2n(2n - 4) 2 Simplificando, tem-se Se esse polígono tem 12 ângulos externos, então ele tem 12 lados. (resp) d = n(2n - 4) d = 2n(n - 2) (resp a) Conferindo 41 + 39 + 37 + 35 + 33 + 31 + 29 + 27 + 25 + 23 + 21 + 19 = 360 Jeca 57 Respostas dos exercícios da Aula 05. 01) 2340º e 90 diagonais 02) 360º e 135 diagonais 03) 140º e 40º 04) 135º e 20 diagonais 05) 1980º 06) 54 diagonais 07) 90 diagonais 08) 360º / 7 09) Heptágono e undecágono 10) Eneágono e pentadecágono 11) 60º 12) 75º 13) d 14) b 15) d 16) b Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 58 Respostas dos exercícios complementares da Aula 05. 21) d 01) a) 2700º b) 360º c) 119 22) a 02) a) 1620º b) 360º 23) 12 c) 44 03) 14 lados e 77 diagonais 04) 1620º 05) 360º 06) Quadridecágono e dodecágono 07) a) 9 e) 40º b) 1260º f) 27 c) 140º d) 360º c) 156º d) 360º 08) Eneágono 09) a) 15 e) 24º b) 2340º f) 90 10) Pentadecágono e dodecágono 11) 18º 12) 120º 13) a) 360º e) 108º i) 36º b) 36º f) 72º c) 1440º g) 54º d) 144º h) 72º 14) 74º 15) c 16) b 17) heptágono 18) 24º e 48º 19) 60º 20) 99 cm Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 59 Geometria plana Aula 06 Ângulos na circunferência. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) I) Elementos da circunferência. A C - centro da circunferência AC = r - raio da circunferência AB = 2r - diâmetro da circunferência ACD = a - ângulo central APD - arco da circunferência AD - corda da circunferência r C a P r r D B II) Posições relativas entre ponto e circunferência. A B III) Posições relativas entre reta e circunferência. ponto de tangência A - ponto exterior reta ta ngent B - ponto da circunferência C ante reta sec D - ponto interior D e C - centro da circunferência reta exterior IV) Propriedades da circunferência. 1) Em toda circunferência, a medida 2) Em toda circunferência, o raio é 3) Em toda circunferência, o raio, do ângulo central é igual à medida perpendicular à reta tangente no quando perpendicular à corda, divido arco correspondente. ponto de tangência. de essa corda ao meio. APB = a A C a C P C B B M A AM = MB V) Ângulos na circunferência. a) Ângulo inscrito na circunferência. É o ângulo que tem o vértice na "linha" da circunferência e os dois lados secantes a essa circunferência. Propriedade - O ângulo inscrito vale a metade do ângulo central ou a metade do arco correspondente. b) Ângulo de segmento. É o ângulo que tem o vértice na "linha" da circunferência, um lado secante e um lado tangente a essa circunferência. Propriedade - O ângulo de segmento vale a metade do ângulo central ou a metade do arco correspondente. b - ângulo inscrito ca - ângulo central a - ângulo central b - ângulo de segmento se a nt e vértice b a vértice b= a 2 a b= a 2 b Jeca 60 tangente IV) Consequências do ângulo inscrito. 1) Todo triângulo retângulo pode ser 2) Em todo triângulo retângulo, a 3) Todos os ângulos de uma circuninscrito numa semicircunferência mediana relativa à hipotenusa vale ferência inscritos no mesmo arco onde a hipotenusa coincide com o a metade dessa hipotenusa. são congruentes. diâmetro. ângulo inscrito R mediana relativa à hipotenusa R hipotenusa e diâmetro arco de medida 2b b R b hipotenusa b 4) Em todo quadrilátero inscrito numa circunferência os ângulos internos opostos são suplementares. 5) Ângulo excêntrico de vértice interno. 6) Ângulo excêntrico de vértice externo. x= a+b 2 a + b = 180º e g + q = 180º a b x= a-b 2 C q g a b x a b x b vértice vértice Exercícios - 01) Nas circunferências abaixo, sendo O o centro, determine a medida do ângulo ou do arco x. a) c) b) x x O x O O 118º 46º 41º e) d) f) x 39º x O O g) O 62º i) h) x 62º O O x O 104º x 87º Jeca 61 x IV) Consequências do ângulo inscrito. 1) Todo triângulo retângulo pode ser 2) Em todo triângulo retângulo, a 3) Todos os ângulos de uma circuninscrito numa semicircunferência mediana relativa à hipotenusa vale ferência inscritos no mesmo arco onde a hipotenusa coincide com o a metade dessa hipotenusa. são congruentes. diâmetro. ângulo inscrito R mediana relativa à hipotenusa R hipotenusa e diâmetro arco de medida 2b b R b hipotenusa b 4) Em todo quadrilátero inscrito numa circunferência os ângulos internos opostos são suplementares. 5) Ângulo excêntrico de vértice interno. 6) Ângulo excêntrico de vértice externo. x= a+b 2 a + b = 180º e g + q = 180º a b x= a-b 2 C a q g b a x b x b vértice vértice Exercícios - 01) Nas circunferências abaixo, sendo O o centro, determine a medida do ângulo ou do arco x. a) c) b) x x O x O O 118º 46º 41º x/2 = 41 x = 82º x = 118/2 x = 59º e) d) x/2 = 46 x = 92º f) x 39º x O O x = 180/2 x = 90º x = 39º g) O 62º x x + 90 + 62 = 180 x = 28º i) h) 124º x 56º y 62º O O x O 104º x x + 104 = 180 x = 76º x = 56/2 x = 28º Jeca 61 87º x + y = 180 y + 87 = 180 x = 87º 02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x. a) b) c) B x A 3x x O 12 4º O C 55º O x D d) e) (GeoJeca) tan f) gen te 52º x 35º 34º O x x 52º O O g) h) Tente fazer por outro método. i) 88º x x 37º x 37º O O O 56º j) k) l) 87º 118º 142º O x O O 34º x 34 º 33º x m) o) n) 5º 16 ng en te x O x O ta 146º 54º O x º 77 Jeca 62 02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x. a) b) 3x + x + 90 = 180 x = 90/4 x = 22,5º B x c) y 3x 3x A x O 12 4º O C 124º 56º x = 56/2 x = 28º D d) 55 = y/2 y = 110º x=y x = 110º tan gen te w 35º 55º x 6x e) 35º x 55º O 35º 34º O w - ângulo de segmento w = 52º y + 34 + 52 = 180 y = 94º z y 128º x 52º f) 52 = y/2 y = 104º z = 180 - y z = 76º 52º x O O z = 180 - w - y z = 34º x + z + 128 = 180 x = 18º 35 + x + 35 = 90 x = 20º g) y + 37 + 37 = 180 y = 106º h) Tente fazer por outro método. z y i) 37º x R x y O x O O R y 106º x = 106/2 x = 53º 74º j) z = 33/2 = 16,5º y = 87/2 = 43,5º x + 16,5 + 43,5 = 180 x = 120º k) y = 34/2 = 17º z = 118/2 = 59º z=x+y x=z-y l) y = 142/2 = 71º z = 34/2 = 17º x + y + z = 180º x = 92º y x x y O O º 33º z m) x x o) ng en te ta z O 34º y x = 214/2 x = 107º 54º y + 165 = 77 = 360 y = 118 5º y 146º x 16 y = 90 - 54 = 36º y + y + z = 180 z = 108º x = 108/2 x = 54º 146º x y x n) O 142º z 34 O 214º 56º x = 42º z 118º 87º x=y+z x = 72º z 37º 37º z = 56/2 = 28º y = 88/2 = 44º x é ângulo externo 88º x = y/2 x = 106/2 x = 53º x = z/2 x = 76/2 x = 38º y O x º 77 Jeca 62 x = y/2 x = 118/2 x = 59º 03) Na circunferência abaixo pode-se afirmar que: H 04) (J) Dada uma circunferência de diâmetro AB, seja P um ponto da circunferência distinto de A e de B. Pode-se afirmar que : a) PA = PB b) PA + PB = constante c) PA > PB A G 70º F B 2 2 d) (PA) + (PB) = constante E 2 D 2 e) (PA) - (PB) = constante C a) as medidas dos arcos AHG e EDC são iguais. b) a soma dos arcos AHG e ABC é 180º. c) a soma dos arcos GFE e ABC é 140º. d) o arco GFE é maior que o arco EDC. e) a soma dos arcos GFE e ABC é 220º. 05) Na figura abaixo, a circunferência de centro C tangencia o triângulo DEF nos pontos A e B. Sabendose que a medida do ângulo interno D é 40º e que a medida do arco AGB é 75º, determinar a medida do ângulo x. D 06) Na figura abaixo, os pontos A, B e C são pontos da circunferência de centro O. O valor de x + y é : a) 242º b) 121º c) 118º d) 59º B e) 62º A x O 11 8 º C A y G x E C F B 07) Na figura abaixo, as duas circunferências têm o mesmo raio e centros nos pontos R e S. Os pontos A, P, B e S estão na circunferência de centro R e os pontos M, N, R e K estão na circunferência de centro S. Se o arco APB mede 86º, então o ângulo MKN, mede : A a) 23º b) 21º 30’ M c) 22º d) 22º 30’ P R S e) 43º 08) Dado um pentágono regular ABCDE, constói-se uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, em B e em E, respectivamente. Determine a medida, em graus, do menor arco BE dessa circunferência. B A C N B E K 09) (J) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tangentes à circunferência de centro O. Determine a medida do ângulo APB sabendo que o ângulo ACB mede 61º. (GeoJeca) D 10) (MACK-SP) Na figura a seguir, os arcos QMP e MTQ medem,respectivamente, 170º e 130º. Então, o arco MSN mede: a) 60º b) 70º c) 80º d) 100º e) 110º A P P S C M N O T B Q Jeca 63 03) Na circunferência abaixo pode-se afirmar que: H A G x + y + 70 = 180 x + y = 110 2x + 2y = 220º 70º 2y F B 2x E x 04) (J) Dada uma circunferência de diâmetro AB, seja P um ponto da circunferência distinto de A e de B. Pode-se afirmar que : P a) PA = PB b) PA + PB = constante c) PA > PB 70º 2 resp e) y D 2 05) Na figura abaixo, a circunferência de centro C tangencia o triângulo DEF nos pontos A e B. Sabendose que a medida do ângulo interno D é 40º e que a medida do arco AGB é 75º, determinar a medida do ângulo x. A medida do ângulo central ACB é igual à medida do arco AGB D ACBE é um quadrilátero A + E + B + C = 360º 40º Portanto y = 105º B 1) Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa semicircunferência. 2) Se o triângulo é retângulo então ele satisfaz o Teorema de Pitágoras. 2 2 2 (AB) = (PA) + (PB) 2 2 2 Portanto (PA) + (PB) = (AB) = constante (resp d) 06) Na figura abaixo, os pontos A, B e C são pontos da circunferência de centro O. O valor de x + y é : a) 242º b) 121º c) 118º d) 59º B e) 62º z A x O A 75º C y G F B 07) Na figura abaixo, as duas circunferências têm o mesmo raio e centros nos pontos R e S. Os pontos A, P, B e S estão na circunferência de centro R e os pontos M, N, R e K estão na circunferência de centro S. Se o arco APB mede 86º, então o ângulo MKN, mede : A a) 23º b) 21º 30’ M c) 22º 86º d) 22º 30’ P y R S e) 43º N y = 86/2 B y = 43 x = y/2 = 43/2 x = 21,5º (resp b) P 61º B e = 360/n = 360/5 = 72º i = 180 - e = 180 - 72 = 108º A BCDEO é um quadrilátero O x y = 2 . 61 = 122º APBO é um quadrilátero y + 90 + x + 90 = 360 x = 360 - 180 - 122 x = 58º (resp) Si = 180(n - 2) = 180(5 - 2) Si = 540º 540 = x + 2 . 90 + 2 . 108 x = 144º BE = x BE = 144º (resp) C 108º i x C B E A y y x 09) (J) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tangentes à circunferência de centro O. Determine a medida do ângulo APB sabendo que o ângulo ACB mede 61º. (GeoJeca) w 08) Dado um pentágono regular ABCDE, constói-se uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência, em B e em E, respectivamente. Determine a medida, em graus, do menor arco BE dessa circunferência. K O º 118 = y + w 118 = y + x + 59 x + y = 118 - 59 = 59º (resp d) x E 11 8 z = 118/2 = 59º w=x+z w = x + 59 x + y + 40 = 180 x = 35º (resp) A 2 e) (PA) - (PB) = constante C a) as medidas dos arcos AHG e EDC são iguais. (F) b) a soma dos arcos AHG e ABC é 180º. (F) c) a soma dos arcos GFE e ABC é 140º. (F) d) o arco GFE é maior que o arco EDC. (F) e) a soma dos arcos GFE e ABC é 220º. (V) C 2 d) (PA) + (PB) = constante e D 10) (MACK-SP) Na figura a seguir, os arcos QMP e MTQ medem,respectivamente, 170º e 130º. Então, o arco MSN mede: a) 60º b) 70º c) 80º d) 100º e) 110º y = 360 - QMP y = 360 - 170 = 190 z = y/2 = 95º w = 180 - 95 = 85º k = 130/2 S k = 65º x + k + w = 180 N k P M w z 130º T x y x = 30º x = MSN/2 MSN = 60º (resp a) Jeca 63 Q 11) No pentadecágono regular abaixo, determinar a 12) No icoságono regular abaixo, BK, CN e HN são medida do ângulo agudo formado entre as diagonais diagonais. Determine as medidas dos ângulos x, y e z. NE e BJ. A P B A U N B T C C S M D D R E z O L Q E P F K F O G y x H N J G I L DICA - Aplique ângulos inscritos K J DICA - Aplique ângulos inscritos 13) No dodecágono regular de centro O abaixo, determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t. A L I M H 14) A figura abaixo representa um quadrilátero BEFK inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t. B A L x K z B C y K y J O C x D t J I D O E z I F H E t G F H G DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos 15) A figura abaixo representa um eneágono regular 16) No eneágono regular ABCD … , determinar a ABCD … de centro O. Sendo OI a bissetriz do ângulo medida do ângulo x formado pelas retas IB e DE. AIH e OP a mediatriz do segmento FE, determinar as A medidas dos ângulos x, y, z e t. x B I t H H C O C x z G B I A O G D y D F F P E E DICA - Aplique ângulos inscritos Jeca 64 DICA - Aplique ângulos inscritos 11) No pentadecágono regular abaixo, determinar a 12) No icoságono regular abaixo, BK, CN e HN são medida do ângulo agudo formado entre as diagonais diagonais. Determine as medidas dos ângulos x, y e z. NE e BJ. m = 360/20 A P B 3. n = 15 lados C º 72 M D x O 4 . 24 = 96º L y = 72/2 = 36º = 24 N w y K w = 96/2 = 48º J I x=y+w x = 36 + 48 x = 84º (resp) H F O P H N I M L K J 14) A figura abaixo representa um quadrilátero BEFK inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t. B m = 360/12 B m = 30º A L x K t = CDE = 2 . 30 t = 60º z y O D t I z = GHJ/2 z = 3 . 30/2 z = 45º x = BDF/2 x = 4 . 30/2 x = 60º C J E F H G t y x DICA - Aplique ângulos inscritos A y = EFG/2 y = 2 . 30/2 y = 30º E x + y + z = 180 z = 36º 13) No dodecágono regular de centro O abaixo, determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t. L D z Q DICA - Aplique ângulos inscritos x = LCE/2 = 5 . 30/2 x = 150/2 = 75º w R y=t+w y = 27 + 72 = 99º k = 360/15 k = 24º C S w = HJK/2 w = 3 . 18/2 w = 27º t = NSB/2 t = 8 . 18/2 t = 72º G m = 18º B T E F A U x = CEH/2 x = 5 . 18/2 x = 45º G m = 360/12 m = 30º y K y = EHK/2 y = 6 . 30/2 y = 90º J z = FJB/2 z = 8 . 30/2 z = 120º D O z I E t t = KBE/2 t = 6 . 30/2 t = 90º DICA - Aplique ângulos inscritos C x F H G DICA - Aplique ângulos inscritos 15) A figura abaixo representa um eneágono regular 16) No eneágono regular ABCD … , determinar a ABCD … de centro O. Sendo OI a bissetriz do ângulo medida do ângulo x formado pelas retas IB e DE. AIH e OP a mediatriz do segmento FE, determinar as A medidas dos ângulos x, y, z e t. x = ICG/2 x = 7 . 40/2 x = 140º B I B I A t t y H C y = x = 140º H C x z G m = 360/9 m = 40º O y D F P O 2.t = 140 t = 70º z = IGP' z = 3,5 . 40 z = 140º z G m = 360/9 m = 40º F D y = BCD/2 y = 2 . 40/2 y = 40º z = EGI/2 z = 4 . 40/2 z = 80º E z=x+y x=z-y x = 80 - 40 = 40º (resp) E DICA - Aplique ângulos inscritos x Jeca 64 DICA - Aplique ângulos inscritos Geometria plana Ângulos na circunferência. Exercícios complementares da aula 06. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) 01) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x. c) b) 86º O x x 246º a) V O x O V 76º V f) e) d) 29º x x O 136º 88º O O x h) g) i) x 10 68º 23º 70º O 2º x 94º x O O 87º j) m) l) x 106º 33º O O 38 º O x n) x p) o) 196º x 51º x O O O x 56º Jeca 65 Geometria plana Ângulos na circunferência. Exercícios complementares da aula 06. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) 01) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x. c) b) 86º O x x 246º a) V O x O V 76º V x = 86/2 x = 43º f) e) d) 76 = x/2 x = 152º x = 246/2 x = 123º y 29º x x O 136º 88º O O y = 2 . 29 y = 58º x x = 136º h) g) x = y/2 x = 58/2 x = 29º x = 88/2 x = 44º i) x 10 x O l) y = 38/2 y = 19º y z x x = 114/2 x = 57º n) m) x O º O x + y + w = 180º x = 180 - 51 - 34 = 95º z = 106/2 z = 53º O 38 106º 66º w y = 102/2 y = 51º w = 68/2 w = 34º x/2 + 23 + 93 = 180 x/2 = 64 x = 128º x + 94 + 70 = 180 x = 16º 33º O y 93º x/2 87º j) 114º x 68º 23º 94º 70º O 2º x 94º x x 180º z=x+y x = z - y = 53 - 19 = 34º p) o) x = 180/2 x = 90º 196º x 51º x O O O x y 56º x + 51 + 90 = 180 x = 39º x + 56 = 180 x = 124º Jeca 65 y = 196/2 y = 98º x + y = 180 x = 180 - 98 x = 82º 02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x. a) c) b) 78º x x O O O 98º 2x x d) f) e) x 58º 42º º 88 x x O 57º O O g) h) x i) 56º O O º 40 94º O 26º 1 x x 40º 36º l) j) m) x x 55º O 120º O O 10 0º 82º x 115º 68º o) n) p) 56º O x 48º x O O 44 º x Jeca 66 02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x. a) c) b) x x 78º y y O O O 98º 2x x y + 98 = 180 x + y = 180 x = 98º x + 2x = 180 3x = 180 x = 60º d) f) e) 114º y + 78 = 180 y = 102 y = x/2 x = 2y x = 204º x 58º 42º º 88 x x O 57º O O 2x 84º 2x g) 58 = 2y y = 116º x + y + 88 = 360 x = 156º y 2x + 114 = 180 2x = 66 x = 33º 2x + 84 = 180 2x = 96 x = 48º h) x i) z y 56º O O 140º y º 40 94º O y = 40/2 y = 20º z = 36 + y z = 56º 26º 1 z x y = 56/2 y = 28º z + 140 + y = 180 z = 12º x = 2z = 2 . 12 x = 24º x z = 94/2 = 47º y + 26 = 47 y = 21º x = 2y = 2 . 21 = 42º y y = 68/2 y = 34º x 40º 36º x = 2z x = 2 . 56 x = 112º x y = 2 . 100 y = 200º x x 60º 55º 120º z O z m) l) j) 82º y y O z = 2 . 115 z = 230º x 115º O z 10 0º 68º 2x 82 = 34 + z z = 48º x = 2z x = 2 . 48 = 96º z o) n) y + z = 360 + x 430 = 360 + x x = 70º x + 60 + 55 = 180 x = 65º p) y 56º 48º R O x x O O 44 º y y = 2 . 56 y = 112º x = y = 112º Jeca 66 y = 2 . 44 y = 88º z = 180 - y z = 92º x = z/2 x = 92/2 x = 46º R y z 48 = z/2 z = 96º y x z + y + y = 180 x + y = 90 y = 42º x = 48º 03) Na circunferência de centro C abaixo, AB é um diâmetro e a medida do segmento DE é a metade da medida de AB. Determine a medida dos ângulos ADB, ECD e AFE. 04) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tangentes à circunferência de centro C nos pontos A e B. Sabendo-se que o ângulo APB mede 48º, determinar a medida do arco ADB. A B P C C F A D D B E 05) Na figura abaixo, A, B, C e D são pontos da circunferência de diâmetro AD e centro O. Determine a medida do ângulo AEB. B C x E A 28º 72º 06) Sejam P, Q e R pontos de uma circunferência de centro O, tais que P e Q estão do mesmo lado do diâmetro que passa por R. Sabendo que ORP = 20º e ROQ = 80º, calcule o ângulo PQO. O D R O 07) Na figura abaixo, AB é o diâmetro e C, D e E são 08) Na figura abaixo, AB = 12 cm é um diâmetro da cirpontos da circunferência. Sabendo-se que o ângulo cunferência de centro C. Sendo D um ponto da circunferência diferente de A e de B, determine : DCE mede 35º, determine a medida do ângulo BFE. a) a medida do ângulo ADB. C b) o tipo do triângulo ADB. c) o que é o segmento CD no triângulo ADB. d) a medida do segmento CD. A B B C D F A E D Jeca 67 03) Na circunferência de centro C abaixo, AB é um diâmetro e a medida do segmento DE é a metade da medida de AB. Determine a medida dos ângulos ADB, ECD e AFE. A DE = AC = CB = R (raio) O triângulo CDE é equilátero Portanto ECD = 60º B R y = 2k z = 2p A D x R y B w E O triângulo APB é isósceles 2y + 48 = 180 y = 66º z + y = 90º z = 24º w + 2z = 180 w = 132º ADB = 360 - w = 360 - 132 = 228º x = p + k = y/2 + z/2 = (y + z)/2 x = 120/2 x = AFE = 60º 05) Na figura abaixo, A, B, C e D são pontos da circunferência de diâmetro AD e centro O. Determine a medida do ângulo AEB. B 28º 72º z D R y x z y P C F k = y/2 p = z/2 C 48º w R p y + w + z = 180 w = 60º y + z = 120º y z z k C ADB = 90º O triângulo ADB é retângulo porque está inscrito numa semicircunferência. 04) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tangentes à circunferência de centro C nos pontos A e B. Sabendo-se que o ângulo APB mede 48º, determinar a medida do arco ADB. 06) Sejam P, Q e R pontos de uma circunferência de centro O, tais que P e Q estão do mesmo lado do diâmetro que passa por R. Sabendo que ORP = 20º e ROQ = 80º, calcule o ângulo PQO. Q E x A P y z O 80º D 20º O R z = 28/2 = 14º y = 72 /2 = 36º y=x+z x=y-z x = 36 - 14 x = 22º z = 20 + 80 z = 100º y = QOR/2 y = 80/2 y = 40º z=x+y 100 = x + 40 x = 60º (resp) 07) Na figura abaixo, AB é o diâmetro e C, D e E são 08) Na figura abaixo, AB = 12 cm é um diâmetro da cirpontos da circunferência. Sabendo-se que o ângulo cunferência de centro C. Sendo D um ponto da circunferência diferente de A e de B, determine : DCE mede 35º, determine a medida do ângulo BFE. a) a medida do ângulo ADB. C b) o tipo do triângulo ADB. c) o que é o segmento CD no triângulo ADB. 35º d) a medida do segmento CD. D A p k y F D x w E z B z = 2 . 35 = 70º y + z + w = 180 y + w = 110º a) ADB = 90º Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa semicircunferência. b) triângulo retângulo. c) CD é uma mediana do triângulo ABD d) CD = AC = CB = R (raio) CD = 6 cm k = w/2 p = y/2 x = k + p = w/2 + y/w x = (y + w)/2 x = 110/2 x = 55º Jeca 67 B C A D 09) A figura abaixo representa um eneágono regular inscrito em uma circunferência de centro O. Determinar a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais GB e HD. 10) A figura abaixo representa um decágono regular inscrito em uma circunferência de centro O. Sendo OJ e OC as bissetrizes dos ângulos AJI e BCD respectivamente, determinar a medida do ângulo COJ. A A I H I C x B J B C O O G D D H E F E G F DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos 11) A figura abaixo representa um heptágono regular 12) A figura abaixo representa um pentadecágono reinscrito numa circunferência de centro O. Determinar a gular inscrito numa circunferência de centro O. Determinar o ângulo obtuso formado entre as diagonais MD medida do ângulo BDG. e BI. A A B P G B N C M D O O L C F E F K E D G J I DICA - Aplique ângulos inscritos H DICA - Aplique ângulos inscritos Jeca 68 09) A figura abaixo representa um eneágono regular inscrito em uma circunferência de centro O. Determinar a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais GB e HD. 10) A figura abaixo representa um decágono regular inscrito em uma circunferência de centro O. Sendo OJ e OC as bissetrizes dos ângulos AJI e BCD respectivamente, determinar a medida do ângulo COJ. A A I B m = 360/9 m = 40º z y H I C x B J m = 360/10 m = 36º C x O O G D y = BCD/2 y = 2 . 40 = 80/2 y = 40º E F D H x = JAC x = 3 . 36 x = 108º (resp) z = HG/2 z = 40/2 z = 20º E G F x=y+z x = 40 + 20 x = 60º (resp) DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos 11) A figura abaixo representa um heptágono regular 12) A figura abaixo representa um pentadecágono reinscrito numa circunferência de centro O. Determinar a gular inscrito numa circunferência de centro O. Determinar o ângulo obtuso formado entre as diagonais MD medida do ângulo BDG. e BI. A m = 360/15 m = 24º P G B A B N C m = 360º/7 x M D y O O L C F E x F K z E D G J x = GAB/2 x = 2 . m/2 x = (2 . 360/7)/2 x = 360/7 y = DFI/2 = 5.m/2 = 5 . 24/2 y = 60º x = 360º/7 (resp) z = MPB/2 = 4 . m/2 = 4 . 24/2 = 48º I H x = y + z = 60 + 48 x = 108º (resp) DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos Jeca 68 13) No pentadecágono regular abaixo, determinar a 14) No icoságono regular abaixo, determinar as medimedida do ângulo agudo formado entre as diagonais das dos ângulos x, y e z. A B U ND e BJ. A P T B C S N D O L Q E E F O G P H N F K y x R M D z C I M J L G I J K H DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos 15) No dodecágono regular de centro O abaixo, determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t. A L 16) A figura abaixo representa um quadrilátero BEIK inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t. B A L x K y C K y z B C t J x D O J I D O t E z I E F H G F H G DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos 17) A figura abaixo representa um octógono regular 18) No eneágono regular ABCD … , determinar a ABCD … de centro O. Sendo OH a bissetriz do ângulo medida do ângulo x formado pelas retas AG e DF. AHG e OB a mediatriz do segmento BC, determinar as A medidas dos ângulos x, y, z e t. H x z B I A B y H C O t G C O G x D F D F E E DICA - Aplique ângulos inscritos Jeca 69 DICA - Aplique ângulos inscritos 13) No pentadecágono regular abaixo, determinar a 14) No icoságono regular abaixo, determinar as medimedida do ângulo agudo formado entre as diagonais das dos ângulos x, y e z. A B U ND e BJ. m = 360/20 A P T m = 18º B C S A medida do arco MN é igual a 360/15 = 24º N M 72º D 48º O L E 24º J BJD = BCD/2 = 48/2 = 24º JDN = JLN/2 = 96/2 = 48 G P w H w = RUB/2 w = 5.m/2 = 5 . 18/2 w = 45º G I F O N F K E k Q k = FJM/2 k = 7.m/2 = 7 . 18/2 k = 63º y x R x = CDF/2 x = 3.m/2 = 3 . 18/2 x = 27º D z C R I M L J K H y = k + w = 63 + 45 y = 108º JRN é ãngulo externo do triângulo JRD JRN = 24 + 48 = 72º (resp) x + y + z = 180 27 + 108 + z = 180 z = 45º DICA - Aplique ângulos inscritos DICA - Aplique ângulos inscritos 15) No dodecágono regular de centro O abaixo, determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t. A L x = LCE/2 x = 5.m/2 = 5 . 30/2 x = 75º y = EFH/2 y = 3.m/2 = 3.30/2 y = 45º B A x K C t J D O I z = HIJ/2 z = 2.m/2 = 2.30/2 z = 30º F G t = ACE t = 4,m = 4 . 30 t = 120º C y = EHK/2 y = 6.m/2 = 6 . 30/2 y = 90º x J DICA - Aplique ângulos inscritos D O t z I E t = KBE/2 t = 6.m/2 = 6 . 30/2 t = 90º m = 360/12 m = 30º B y K z = ILB/2 z = 5.m/2 = 5 . 30/2 z = 75º E H L x = BFI/2 x = 7.m/2 = 7 . 30/2 x = 105º y z 16) A figura abaixo representa um quadrilátero BEIK inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t. 12 0/ 6 3 º F = 30 m = m H G DICA - Aplique ângulos inscritos 17) A figura abaixo representa um octógono regular 18) No eneágono regular ABCD … , determinar a ABCD … de centro O. Sendo OH a bissetriz do ângulo medida do ângulo x formado pelas retas AG e DF. AHG e OB a mediatriz do segmento BC, determinar as A medidas dos ângulos x, y, z e t. m = 360/9 m = 40º A H x = BEH/2 x = 6.m/2 x = 6 . 45/2 x = 135º H O G D F y C O z = x/2 = 135/2 z = 67,5º t = 2,5 . m 7 = 2,5 . 45 t = 112,5º C t G y = ABD/2 y = 3.m/2 y = 3 . 40/2 y = 60º B y m m = 36 = 4 0/ 5º 8 y = x = 135º x z B I x z F D E E DICA - Aplique ângulos inscritos Jeca 69 DICA - Aplique ângulos inscritos z = GF/2 z = m/2 z = 40/2 z = 20º y=x+z x=y-z x = 60 - 20 x = 40º 19) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão na circunferência de centro O. Se o arco APC mede 160º e o ângulo BAC mede 63º, qual é a medida do ângulo ACB ? A a) 51º b) 43º P M c) 33º d) 47º e) 37º O 20) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão na circunferência de centro O. Se o arco AMB mede 110º e o ângulo ABC mede 63º, qual é a medida do ângulo BAC ? a) 62º A b) 64º P c) 58º M d) 63º e) 59º O C B C B N N 21) Na figura abaixo, AB é o diâmetro da circunferência 22) (FUVEST-SP) A hipotenusa de um triângulo retânde centro O. Determinar a medida do ângulo ADC gulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20º. sabendo que o ângulo BAC mede 35º. a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa ? b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana C e pela bissetriz do ângulo reto ? D x A 35º O B 23) No triângulo ABC abaixo, AD, BE e CF são as alturas relativas aos vértices A, B e C. Sendo as medidas dos ângulos ABC = 48º e ACB = 64º,determinar as medidas dos ângulos internos do triângulo DEF. fio sa De A F E O B D Jeca 70 C 19) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão na circunferência de centro O. Se o arco APC mede 160º e o ângulo BAC mede 63º, qual é a medida do ângulo ACB ? A a) 51º 160º b) 43º P M 63º c) 33º d) 47º e) 37º O y y = 160/2 = 80º x 20) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão na circunferência de centro O. Se o arco AMB mede 110º e o ângulo ABC mede 63º, qual é a medida do ângulo BAC ? a) 62º A b) 64º P c) 58º M 110º d) 63º e) 59º O 63º C B y C B x + y + 63 = 180 x + 80 + 63 = 180 x = 180 - 143 x = 37º (resp e) N N 21) Na figura abaixo, AB é o diâmetro da circunferência 22) (FUVEST-SP) A hipotenusa de um triângulo retânde centro O. Determinar a medida do ângulo ADC gulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20º. sabendo que o ângulo BAC mede 35º. a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa ? b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana C e pela bissetriz do ângulo reto ? x = ABC/2 x = (180 +70)/2 x = 250/2 x = 125º D 70º x A C 35º B O 45º A x a) Em todo triângulo retângulo a mediana relativa à hipotenusa vale a metade dessa hipotenusa. 20º 10 cm 20º O 10 cm B Portanto CO = 10 cm b) 45 + x + 20 = 90 x = 90 - 65 x = 25º 180º 23) No triângulo ABC abaixo, AD, BE e CF são as alturas relativas aos vértices A, B e C. Sendo as medidas dos ângulos ABC = 48º e ACB = 64º,determinar as medidas dos ângulos internos do triângulo DEF. fio sa De A F E O B D (Resolução na página 72) Jeca 70 C Respostas dos exercícios da Aula 06. 01) a) 59º f) 28º b) 82º g) 28º 02) a) 28º f) 38º k) 42º b) 22º 30' g) 53º l) 92º c) 92º h) 76º d) 39º i) 87º c) 110º h) 53º m) 107º e) 90º d) 20º i) 72º n) 54º e) 18º j) 120º o) 59º 03) e 04) d 05) 35º 06) d 07) b 08) 144º 09) 58º 10) a 11) 84º 12) 45º, 99º e 36º 13) 75º, 30º, 45º e 60º 14) 60º, 90º, 120º e 90º 15) 140º, 140º, 70º e 140º 16) 40º Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 71 Respostas dos exercícios complemmentares da Aula 06. 01) a) 43º b) 123º c) 152º d) 136º e) 44º f) 29º g) 16º h) 128º i) 95º j) 57º l) 34º m) 90º n) 39º o) 124º p) 82º 11) 360º / 7 12) 108º 13) 72º 02) a) 60º b) 98º f) 156º g) 24º l) 65º m) 70º c) 204º h) 42º n) 112º d) 33º e) 48º i) 112º j) 96º o) 46º p) 48º 14) x = 27º, y = 108º , z = 45º 15) x = 75º , y = 45º , z = 30º , t = 120º 03) 90º, 60º e 60º 16) x = 105º , y = 90º , z = 75º , t = 90º 04) 228º 17) x = 135º , y = 135º , z = 67,5º , t = 112,5º 05) 22º 18) 40º 06) 60º 19) e 07) 55º 20) a 08) a) 90º c) mediana b) triângulo retângulo d) 6 cm 21) 125º 22) a) 10 cm b) 25º 09) 60º 10) 108º Resolução do exercício 23) (Desafio) O quadrilátero AFOE é inscrito numa circunferência, pois os os ângulos opostos AFO e AEO são suplementares. Desenhando-se a circunferência percebe-se que os ângulos EAO e EFO são congruentes pois estâo inscritos no mesmo arco da mesma circunferência. Análogamente provam-se os demais ângulos. A 26º F 26º E O (GeoJeca) 64º C B D Jeca 72 DEF = 84º DFE = 52º EDF = 44º Geometria plana Aula 07 Segmentos proporcionais. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) I) Teorema de Tales. II) Teorema da bissetriz interna. Em todo feixe de retas paralelas, cortado por duas retas transversais, a razão entre dois segmentos quaisquer de uma transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra transversal. Em todo triângulo, a bissetriz de um ângulo interno divide internamente o lado oposto em dois segmentos que são proporcionais aos lados adjacentes. A bissetriz a a r c a Teorema de Tales s c a = d b d b Teorema da bissetriz interna b c B t x y x c = b C y r // s // t Exercícios. 01) Determine o valor de x na figura abaixo. 02) Determine o valor de x na figura abaixo. r // s // t r // s // t r r x x 8 8 s s 5 24 18 6 t 03) Determine o valor de x na figura abaixo. t 04) Determine o valor de x na figura abaixo. r r 12 5 10 8 s x x 18 4 t s r // s r // s // t 05) Determine o valor de x na figura abaixo. 06) Determine o valor de x na figura abaixo. r 6 11 s 10 12 x x r 8 7 t s r // s // t r // s Jeca 73 Geometria plana Aula 07 Segmentos proporcionais. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) I) Teorema de Tales. II) Teorema da bissetriz interna. Em todo feixe de retas paralelas, cortado por duas retas transversais, a razão entre dois segmentos quaisquer de uma transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra transversal. Em todo triângulo, a bissetriz de um ângulo interno divide internamente o lado oposto em dois segmentos que são proporcionais aos lados adjacentes. A bissetriz a a r c a Teorema de Tales s c a = d b d b Teorema da bissetriz interna b c B t x y x c = b C y r // s // t Exercícios. 01) Determine o valor de x na figura abaixo. 02) Determine o valor de x na figura abaixo. r // s // t r // s // t r x 8 s 5 6 t Teorema de Tales 8 5 x 6 = r Teorema de Tales x x 8 = 18 24 x = 6 . 8/5 x = 24 . 8/18 x = 48/5 (resp) x = 32/3 (resp) 03) Determine o valor de x na figura abaixo. 8 s 24 18 t 04) Determine o valor de x na figura abaixo. r r 12 10 Teorema de Tales x 12 s x 18 t = Teorema de Tales 18 10 x 8 = 5 4 5 x = 12 . 18/10 x = 8 . 4/5 x = 108/5 (resp) x = 32/5 (resp) x t 4 s r // s // t r // s // t 05) Determine o valor de x na figura abaixo. 8 06) Determine o valor de x na figura abaixo. r 6 Teorema de Tales s 10 t 12 x x 6 + 10 = Teorema de Tales 12 10 x 8 = 11 x 11 7 x = (16 . 12)/10 x = 8 . 11/ 7 x = 96/5 (resp) x = 88/ 7 (resp) r 8 7 s r // s // t r // s Jeca 73 07) (MAPOFEI 76) Três terrenos têm frente para a Rua A e para a Rua B, como mostra a figura. As divisas laterais são perpendiculares à Rua A. Qual a medida de frente para a Rua B de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua é 180 m. x Rua B y 08) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e JL = 8, determine a medida de GJ e de HM. A z G m n B H p C 40 m 30 m Rua A I q 20 m D J r E L s F M u 09) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e JM =15, determine as medidas de HL e GM. A G m n B 10) (UNICAMP) A figura a seguir mostra um segmento AD dividido em três partes: AB = 2cm, BC = 3 cm e CD = 5 cm. O segmento AD' mede 13 cm e as retas BB' e CC' são paralelas a DD'. Determine os comprimentos dos segmentos AB', B'C' e C'D' em centímetros. A H v B D C p C I B' q D J C' r E L D' s F u M v Jeca 74 07) (MAPOFEI 76) Três terrenos têm frente para a Rua A e para a Rua B, como mostra a figura. As divisas laterais são perpendiculares à Rua A. Qual a medida de frente para a Rua B de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua é 180 m. Teor. de Tales x 180 m Rua B y 08) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e JL = 8, determine a medida de GJ e de HM. A 3 z 40 m 30 y = 90 180 30 m Rua A H p C 5 x = 2 . 40 = 80 m I q D 20 m m n B 4 40 x = 90 180 G J 6 8 r E 40 + 30 + 20 = 90 m L 7 y = 2 . 30 = 60 m s F 20 z = 90 180 u z = 2 . 20 = 40 m 09) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e JM =15, determine as medidas de HL e GM. A 3 5 G m = HM BF = DE JL AD DE GJ = AD . JL / DE HM = BF . JL / DE GJ = (3 + 4 + 5) . 8 / 6 HM = (4 + 5 + 6 + 7) . 8 / 6 GJ = 16 HM = 88/3 10) (UNICAMP) A figura a seguir mostra um segmento AD dividido em três partes: AB = 2cm, BC = 3 cm e CD = 5 cm. O segmento AD' mede 13 cm e as retas BB' e CC' são paralelas a DD'. Determine os comprimentos dos segmentos AB', B'C' e C'D' em centímetros. n B 4 2 + 3 + 5 = 10 cm H p C A I 2 cm B 3 cm D B' J y 6 15 E 5 cm C x q D r C' 13 c L m 7 z Teor. de Tales s F M u Teor. de Tales = v Teor. de Tales GJ JL HL JM M BE DF v x 13 = 2 10 x = 2 . 13 / 10 = 13/5 cm Teor. de Tales y 13 GM AF = DF JM = 3 10 y = 3 . 13 / 10 = 39/10 cm HL = JM . BE / DF GM = JM . AF / DF HL = 15 . (4 + 5 + 6) / (6 + 7) GM = 15(3 + 4 + 5 + 6 + 7)/13 HL = 225 / 13 GM = 375 / 13 z 13 = 5 10 z = 5 . 13 / 10 = 13/2 cm Jeca 74 D' 12) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo interno do vértice A, determine a medida do segmento BD. A 12 B C 13) Na figura, AD é bissetriz interna do ângulo A. Calcule a medida do segmento CD. A D 3x C B 15) O quadrado ABCD da figura abaixo tem lado 4 cm. Determine a medida do segmento DE. A B +1 3 14 cm B A 16 cm cm 14) Determinar o valor de x sabendo-se que na figura abaixo AD é a bissetriz interna do ângulo A. 3x - 30 C D 20 cm 9 cm D cm 16 c 6 cm B a a m a a 10 cm 11) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo interno do vértice A, determine a medida do segmento AC. A 12 cm 9 cm D C 16) Na figura abaixo, o ponto E é o incentro do triângulo ABC. Sendo BD = 3 cm, CD = 5 cm e AC = 10 cm, determine o valor da razão DE / AE. A 3a a 10 cm E B D E C C D 3 cm 5 cm 17) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo 18) Dado um triângulo ABC de lados AB = c, AC = b e BC = a, sendo c < b < a. Se a bissetriz do ângulo A A, determine a em função de b, c e d. divide o lado BC em dois segmentos, qual é a medida B do menor desses segmentos ? b a) b . c a a+c D c a b) b . c a a+b A C d c) a . b b+c d) a . c b+c e) a . b b-c Jeca 75 11) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo interno do vértice A, determine a medida do segmento AC. A cm 12 x = 12 . 9 / 6 B x = 18 cm (resp) x B 6 cm 20 - x C x 16 = C D 20 cm 9 cm D a a m 16 c Teorema da bissetriz interna x cm 9 x 6 = 12 a a 10 Teorema da bissetriz interna 12) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo interno do vértice A, determine a medida do segmento BD. A 20 - x 10 16(20 - x) 10 10x = 320 - 16x 26x = 320 x = 13) Na figura, AD é bissetriz interna do ângulo A. Calcule a medida do segmento CD. A 30 cm 12 9 = 3x - 3 3x + 1 3x 3 C D +1 9(3x + 1) = 12(3x - 3) x 14 cm B A 3x - x 14 = 16 30 x = 16 . 14 / 30 14) Determinar o valor de x sabendo-se que na figura abaixo AD é a bissetriz interna do ângulo A. Teorema da bissetriz interna 16 cm Teorema da bissetriz interna x = 160 / 13 cm (resp) x = 112 / 15 cm (resp) 12 cm B 27x + 9 = 36x - 36 9 cm D C 45 = 9x x = 5 cm (resp) 15) O quadrado ABCD da figura abaixo tem lado 4 cm. Determine a medida do segmento DE. A B 3a Teorema da bissetriz interna x 4 d a = 4 = A D E C cm 3 x b b B x( 2 + 1) = 4 x = Teorema da bissetriz interna E x 2+x=4 4-x 10 x x 2=4-x x Incentro - ponto de encontro das bissetrizes. a a 4-x 4 2 x . 4 2 = 4(4 - x) 2 4 16) Na figura abaixo, o ponto E é o incentro do triângulo ABC. Sendo BD = 3 cm, CD = 5 cm e AC = 10 cm, determine o valor da razão DE / AE. 3 cm 4 = 4( 2 - 1) cm 2+1 (resp) 5x = 30 C D = 5 10 x = 6 cm BE também é bissetriz AE DE = 3 6 5 cm 3 6 = DE = AE 1 2 (resp) 17) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo 18) Dado um triângulo ABC de lados AB = c, AC = b e BC = a, sendo c < b < a. Se a bissetriz do ângulo A A, determine a em função de b, c e d. divide o lado BC em dois segmentos, qual é a medida B do menor desses segmentos ? b Teorema da bissetriz Teorema da bissetriz a) b . c A a interna interna a+c D c a a a b b) b . c c a-x x b c a a = d c = b a+b A C d a.c=b.d a-x x c) a . b B C b+c a a = b . d / c (resp) d) a . c bx = a.c - c.x b+c b.x + c.x = a.c e) a . b x(b + c) = a.c b-c x = a.c / (b + c) (resp d) Jeca 75 19) (Fuvest-SP) Um triângulo ABC tem lados AB = 5, BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB. Determine o comprimento de MN. 20) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo e o segmento BD é a bissetriz interna do ângulo ABC. Determine a medida de BD sabendo que BC = 25 cm e que AB = 7 cm. B A 21) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A ; AM é a mediana relativa à hipotenusa e AD é a bissetriz do ângulo BAC. Determinar a medida do segmento DM. m 6c cm B D M C 22) (MAPOFEI-SP) O perímetro de um triângulo é 100 m. A bissetriz do ângulo interno A divide o lado oposto em dois segmentos de 16 m e 24 m. Determine as medidas dos lados desse triângulo. 8c 5 m A D C Jeca 76 19) (Fuvest-SP) Um triângulo ABC tem lados AB = 5, BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB. Determine o comprimento de MN. 20) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo e o segmento BD é a bissetriz interna do ângulo ABC. Determine a medida de BD sabendo que BC = 25 cm e que AB = 7 cm. B C Pitágoras 2 4 2 2 a 2 25 = 7 + w a 7 25 cm x 2 w = 625 - 49 = 576 N M x A Teorema da bissetriz interna 4 a 2 a 5-x x 2 B M 4x = 10 - 2x C 2 y 5-x 4 = 4 2 2 2 2 C y = 21/4 cm Pitágoras 2 2 2 x = 7 + (21/4) 2 y +h =4 B w 24 - y 25 25y = 168 - 7y 2 =y +h 5-y y N 2 = 7 x = 5/3 2 24 - y D Teorema da bissetriz interna Pitágoras h A w = 24 5 C A y B A 2 x = 49 + 441/16 = 1 225/16 2 4 = (5 - y) + h x = 35/4 cm (resp) 2 2 16 = 25 - 10y + y + h 16 = 25 - 10y + 4 10y = 13 y = 13/10 MN = x - y = 5/3 - 13/10 = 5030 - 39/30 = 11/30 (resp) 21) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A ; AM é a mediana relativa à hipotenusa e AD é a bissetriz do ângulo BAC. Determinar a medida do segmento DM. A 22) (MAPOFEI-SP) O perímetro de um triângulo é 100 m. A bissetriz do ângulo interno A divide o lado oposto em dois segmentos de 16 m e 24 m. Determine as medidas dos lados desse triângulo. A m 5 6c B D B y 2 C 24 16 C 40 m 10 - y AB + AC + BC = 100 Se BC = 16 + 24 = 40 , então AB + AC = 100 - 40 = 60 m x Pitágoras 2 M 60 - x x cm m a a 8c 2 x = 6 + 8 = 100 x = 10 cm Portanto, BM = 5 cm Teorema da bissetriz interna y 10 - y = 8 6 8y = 60 - 6y 14y = 60 y = 30/7 cm Teorema da bissetriz interna 16 24 x = 60 - x 24x = 960 - 16x 40x = 960 x = 24 m AB = x = 24 m AC = 60 - x = 60 - 24 = 36 m BC = 40 m (resp) BM = 5 cm BD = 30/7 cm DM = BM - BD = 5 - 30/7 = 35/7 - 30/7 DM = 5/7 cm (resp) Jeca 76 Geometria plana Teorema de Tales e Teorema da bissetriz interna. Exercícios complementares da aula 07. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) 01) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x a e y. x 5 02) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x e y. a b 7 5 b 10 8 4 c y x c y 7 4 d 03) Na figura abaixo, determine z em função de y. r // s // t 04) Na figura abaixo, sendo x + y = 9, determinar o valor de x e de y. r r // s // t r y x d x 2 s s y 3 z 3x t t 05) Na figura abaixo, determinar x, y e z. 06) Na figura abaixo, determine o valor de x. r 9 cm x 7 6 cm s y 3 t x 7 cm 9 11 u v z 2 r // s // t // u // v 07) Na figura abaixo, determine o valor de x em função 08) Num triângulo ABC, o lado AC mede 32 cm e o lado BC, 36 cm. Por um ponto M situado sobre AC, a 10 cm de a, b e c. do vértice C, traçamos a paralela ao lado AB, a qual r divide BC em dois segmentos BN e CN. Determine a medida de CN. a b r // s c x s Jeca 77 Geometria plana Teorema de Tales e Teorema da bissetriz interna. Exercícios complementares da aula 07. Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP) 01) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x a e y. x 5 Teorema de Tales x 5 = 8 10 x = 5 . 10 / 8 x = 25 / 4 b 10 8 c y 7 02) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x e y. a 7 Teorema de Tales 7 5 x = 4 x=7.4/5 x = 28 / 5 5 b x 4 c y 4 d d 8 y 5 7 y = 4 y=5.4/7 y = 20 / 7 10 7 = y = 7 . 8 / 10 y = 28 / 5 03) Na figura abaixo, determine z em função de y. 04) Na figura abaixo, sendo x + y = 9, determinar o valor de x e de y. r // s // t Teorema de Tales x 2 = x+y 2+3 r y x s x 2 = 5 9 x = 18 / 5 Teorema de Tales y x 3x = z z 3x t 1 3 x 2 s y 3 t y 3 = 5 9 y = 27 / 5 y z = r // s // t r z = 3y (resp) 05) Na figura abaixo, determinar x, y e z. 06) Na figura abaixo, determine o valor de x. Teorema de Tales r x s 6 cm x = 9 . 7 / 11 = 63 / 11 y 3 t y 9 9 11 z = x 3 11 y = 9 . 3 / 11 = 27 / 11 u v 9 cm 7 = 11 x 9 7 11 z = 2 r // s // t // u // v 9 2 7 cm Teorema de Tales x 9 = 7 6 x=9.7/6 x = 63 / 6 x = 21 / 2 z = 11 . 2 / 9 = 22 / 9 07) Na figura abaixo, determine o valor de x em função 08) Num triângulo ABC, o lado AC mede 32 cm e o lado BC, 36 cm. Por um ponto M situado sobre AC, a 10 cm de a, b e c. do vértice C, traçamos a paralela ao lado AB, a qual r divide BC em dois segmentos BN e CN. Determine a Teorema de Tales medida de CN. a x = x.b=a.c x=a.c/b b c a b r // s // t c s A t x Teorema de Tales 10 x = 22 36 - x 22x = 360 - 10x 32x = 360 x = 360 / 32 x = 45 / 4 cm Jeca 77 22 M B 36 - x N 10 x C 09) Na figura abaixo, as retas r , s e t são paralelas entre si. Se x + y = 12, então o valor que mais se aproxima de x - y, é : a) b) c) d) e) 1,03 1,33 1,57 1,75 2,00 10) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d, e e f são paralelas entre si. Determine o valor da soma das medidas dos segmentos x, y, z e t. r y 4 x a 3 2 b x 3 s c y 4 5 d t z 5 e t 6 f 11) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e LM = 8, qual é a medida de HJ ? a) b) c) d) e) 83 / 9 81 / 7 93 / 9 72 / 7 89 / 8 A G m n B H p C I 12) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e HJ = 10, qual é a medida de HM ? a) 198 / 7 A G m b) 223 / 9 n c) 220 / 9 B H d) 241 / 10 p e) 241 / 11 C I q q D D J J r r E E L L s s F F M u M u v v 13) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC. 14) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC. Determine a medida do segmento BD e o valor do pe- Determine a medida dos segmentos BD e CD. rímetro do triângulo ABC. A A a a 12 12 B 8 cm B cm a a 16 cm cm 18 cm D C Jeca 78 C D 20 cm 09) Na figura abaixo, as retas r , s e t são paralelas entre si. Se x + y = 12, então o valor que mais se aproxima de x - y, é : a) b) c) d) e) 1,03 1,33 1,57 1,75 2,00 10) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d, e e f são paralelas entre si. Determine o valor da soma das medidas dos segmentos x, y, z e t. r y 4 x Teorema de Tales x 5 x+y = 5+4 x 5 = 12 9 a 3 2 b x 3 s c y 4 5 d t z 5 e y 4 x+y = 5+4 y 4 = 9 12 y = 12 . 4 / 9 = 16 / 3 x = 12 . 5 / 9 = 20 / 3 t 6 f Teorema de Tales 2 3 = x+y+z+t 3+4+5+6 2 3 = x+y+z+t 18 x - y = 20/3 - 16/3 = 4/3 = 1,33 (resp b) x + y + z + t = 54/2 = 27 (resp) 11) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e LM = 8, qual é a medida de HJ ? a) b) c) d) e) 83 / 9 81 / 7 93 / 9 72 / 7 89 / 8 A 3 p I 5 q D Teorema de Tales BD HJ = BF HM J r Teorema de Tales BD HJ = LM EF HJ 4+5 = 7 8 HJ = 8 . 9 / 7 H C 5 m n B 4 6 G 12) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v. Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6, EF = 7 e HJ = 10, qual é a medida de HM ? a) 198 / 7 A G m b) 223 / 9 3 n c) 220 / 9 B H d) 241 / 10 4 p e) 241 / 11 C I E L 7 s F 6 r s HM = 22 . 10 / 9 F M u HM = 220 / 9 (resp c) v L 7 M u J E 9 10 = 22 HM 8 q D v HJ = 72 / 7 (resp d) 13) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC. 14) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC. Determine a medida do segmento BD e o valor do pe- Determine a medida dos segmentos BD e CD. rímetro do triângulo ABC. A A a x B x = 8 . 18 / 12 x = 12 cm Per = 2p = 12 + 8 + 12 + 18 = 50 cm (resp) a 20 - x x = 12 16 cm 8 x = 18 12 18 cm 12 Teorema da bissetriz interna Teorema da bissetriz interna B 8 cm D 12 cm 16 x C 16x = 240 - 12x 28x = 240 x = 60 / 7 cm BD = 60 / 7 cm DC = 20 - 60 / 7 = 80 / 7 cm Jeca 78 a a 20 - x D 20 cm cm C 15) Num triângulo ABC, CD é a bissetriz do ângulo interno ACB. Sabendo que AD = 7 cm, BD = 4 cm e AC = 15 cm, determine a medida do lado BC. 16) Observe a figura abaixo. De acordo com essa figura, qual das relações abaixo é verdadeira. a) a = b.d / c b) a = b.c / d b c) a = c.d / b a d) a = c / (b.d) c x e) a = b.c.d x d 17) No triângulo ABD abaixo, BC é a bissetriz do 18) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 12, AC = 8 e ângulo ABD, AB = 18 cm e BD = 15 cm. Determine a BC = 10. Determinar a medida de AD, sabendo que razão entre as medidas dos segmentos AC e CD. DE é paralelo a BC e BE é a bissetriz do ângulo interno do vértice B. A B A D E C D C B 19) (J) Na figura abaixo, determinar x, y, w e k em função de a, b e c. 20) (J) Na figura abaixo, a = 15º e AC = 4. Determine a razão entre BD e CD. A a a 15º 15º 15º k w y a b x C c Jeca 79 D B 15) Num triângulo ABC, CD é a bissetriz do ângulo interno ACB. Sabendo que AD = 7 cm, BD = 4 cm e AC = 15 cm, determine a medida do lado BC. A Teorema da bissetriz interna 4 x 7 15 cm D 7 = 15 4 x = 4 . 15 / 7 Teorema da bissetriz interna a a C x B 16) Observe a figura abaixo. De acordo com essa figura, qual das relações abaixo é verdadeira. a) a = b.d / c b) a = b.c / d b c) a = c.d / b a d) a = c / (b.d) c x e) a = b.c.d x d b a x = 60 / 7 cm (resp) = c d a.c = b.d a = b.d / c (resp a) 17) No triângulo ABD abaixo, BC é a bissetriz do 18) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 12, AC = 8 e ângulo ABD, AB = 18 cm e BD = 15 cm. Determine a BC = 10. Determinar a medida de AD, sabendo que razão entre as medidas dos segmentos AC e CD. DE é paralelo a BC e BE é a bissetriz do ângulo interno do vértice B. A B 18 cm a A Teorema da bissetriz interna a Teorema da bissetriz interna 6 5 AD = 19) (J) Na figura abaixo, determinar x, y, w e k em função de a, b e c. x=c y=a 8-x B 3 . 48 11 2 = C 10 15º 15º 15º k w y (resp) x 4 a a x=2 3 a b x 72 11 20) (J) Na figura abaixo, a = 15º e AC = 4. Determine a razão entre BD e CD. A cos 30º = ca = hip 3 x = 2 4 tg 30º = w + x = w + c b b w = b 3 - 3c 3 Teorema da bissetriz interna w x k = b w c k = b b b 3 - 3c k = b.w = c . c 3 b(b 3 - 3c) k= 3.c 8 Teorema de Tales AD x = 12 8 AD = 12x / 8 = 3x / 2 (resp) w+c 3 = 3 b b 3 = 3w + 3c E a a 10x = 96 - 12x 22x = 96 x = 48 / 11 D CD AC = 15 18 18 AC = = 15 CD D 8-x x = 10 12 C x 12 15 4 x Teorema da bissetriz interna CD BD x = 4 c BD = CD x 4 2 3 BD = 4 CD Jeca 79 C = 3 2 (resp) D y B 21) (J) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d e e são paralelas entre si. Determine o valor da expressão E = x . y + t. 22) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e BC = 8. Sabendo que D é o ponto de encontro das três bissetrizes dos ângulos internos do triângulo ABC, determine a razão entre CD e DT. A a y 5 b t 6 S c T x 7 9 D d 11 10 B C R e 23) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e BC = 8. Sabendo que D é o incentro do triângulo ABC e que V é o ponto onde a circunferência de centro em D tangencia o lado BC, determine a distância VR. 24) (J) Determine a medida de uma diagonal de um pentágono regular de lado K. A K S T d D B V R C Jeca 80 21) (J) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d e e são paralelas entre si. Determine o valor da expressão E = x . y + t. a y 5 b 22) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e BC = 8. Sabendo que D é o ponto de encontro das três bissetrizes dos ângulos internos do triângulo ABC, determine a razão entre CD e DT. c x x 9 7 9 d e = 6-x 8 D B R y DT = CD x 9 Teorema de Tales 9 x x = 90/11 CD = DT y 5 = 10 11 y = 55/10 = 11/2 y 9 t = 7y/9 = 77/18 = 887 18 11 + 77 = E = x . y + t = 90 . 11 2 18 (resp) 24) (J) Determine a medida de uma diagonal de um pentágono regular de lado K. A =7 36º 36º 36º K e= 36 0/5 A y / 6 = (8 - y) / 9 S T E B 108º B d- 8-y A k 36º 6-x 36º 36º 36º 72º D 8-x k C V k d C B x No triângulo ADB, AF é uma bissetriz. Pelo Teorema da bissetriz interna, tem-se D x 36º k 72º S T k F C V R y Teor. do ponto exterior (6 - x) + (8 - x) = 9 2x = 5 6-x x = 5/2 Portanto BV = 5/2 d d D VR = BR - BV VR = 16/5 - 5/2 VR = 32/10 - 25/10 VR = 7/10 (resp) 17 6 = (resp) 23) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e BC = 8. Sabendo que D é o incentro do triângulo ABC e que V é o ponto onde a circunferência de centro em D tangencia o lado BC, determine a distância VR. Teor. da bissetriz interna y / AB = 8 - y / AC CD DT 9 54 17 = 2º 9 11 C 8-y 8 (No triângulo ATC) = 9 S T 8x = 54 - 9x 17x = 54 x = 54/17 11 10 t 7 x a a (No triângulo ABC) 6 x 10 A Teorema da bissetriz interna t 2 d-k k = 2 Portanto k = d - kd 8-x 2 2 Organizando, tem-se d - kd - k = 0 Resolvendo a equação do 2º grau em d , tem-se d= d = Jeca 80 - (-k) +- k +- k 5 2 = 2 2 (-k) - 4 . 1 . (-k 2.1 k( 1 + 5 ) 2 ) (resp) Respostas dos exercícios da Aula 07. 01) 48 / 5 02) 32 / 3 03) 108 / 5 04) 32 / 5 05) 96 / 5 06) 88 / 7 07) 80 m, 60 m, e 40 m 08) 16 e 88 / 3 09) 225 / 13 e 375 / 13 10) 13 / 5, 39 / 10 e 13 / 2 11) 18 cm 12) (160 / 13) cm 13) (112 / 15) cm 14) 5 cm 15) 4( 2 - 1) cm 16) 1 / 2 17) b.d / c 18) d 19) 11 / 30 20) (35 / 4) cm 21) (5 / 7) cm 22) 24 cm, 40 cm e 36 cm Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 81 Respostas dos exercícios complementares da Aula 07. 01) 25 / 4 e 28 / 5 02) 28 / 5 e 20 / 7 03) 3y 04) 18 / 5 e 27 / 5 05) 63 / 11, 27 / 11 e 22 / 9 06) (21 / 2) cm 07) a.c / b 08) (45 / 4) cm 09) b 10) 27 11) d 12) c 13) 12 cm e 50 cm 14) (60 / 7) cm e (80 / 7) cm 15) (60 / 7) cm 16) a 17) 6 / 5 18) 72 / 11 19) x = c , y=a, w = b 3 - 3c 3 k = b(b 3 - 3c) 3c 20) 3/2 21) 887 / 18 22) 17 / 6 23) 7 / 10 24) K(1 + 5 ) / 2 Importante para mim. Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] Somente assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado. Jeca Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor Jeca 82 R R N N 3 > 3 A 3