Geometría 4

GEOMETRÍACICLO 4 CONTENIDO UNIDAD 1...................................................................................................................................................... 2 ELEMENTOS BÁSICOS EN EL ESPACIO ..................................................................................................... 3 PLANO................................................................................................................................................... 3 POSICIONES DE DOS PLANOS ........................................................................................................... 3 POSICIONES DE UNA RECTA Y PLANO .............................................................................................. 4 POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO ................................................................. 5 RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO .............................................................................................. 6 DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO ........................................................................................... 8 PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ............................................................................................ 8 DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS α Y β PARALELOS........................................................................... 8 ANGULO DIEDRO .................................................................................................................................. 9 ÁNGULOS DIEDROS ............................................................................................................................ 10 PLANOS PERPENDICULARES ........................................................................................................... 10 UNIDAD 2.................................................................................................................................................... 12 POLIEDROS ............................................................................................................................................. 13 DEFINICIÓN Y ELEMENTOS ................................................................................................................. 13 POLIEDROS REGULARES ..................................................................................................................... 13 FORMULA DE EÚLER ........................................................................................................................... 17 POLIEDROS IRREGULARES .................................................................................................................. 19 PRISMAS ......................................................................................................................................... 19 PRISMA REGULAR Y OBLICUO .................................................................................................... 20 PARALELEPÍPEDO........................................................................................................................ 20 PIRÁMIDE ............................................................................................................................................... 23 PIRAMIDE RECTA ................................................................................................................................ 23 UNIDAD 3.................................................................................................................................................... 29 ÁREAS DE LOS POLIEDROS...................................................................................................................... 30 ÁREA DE UN PRISMA RECTO .............................................................................................................. 30 SECCIÓN RECTA DE UN PRISMA ......................................................................................................... 31 ÁREA LATERAL DE UN PRISMA CUALQUIERA ..................................................................................... 31 PIRÁMIDE REGULAR ........................................................................................................................... 33 TRONCO DE PIRÁMIDE ....................................................................................................................... 35 UNIDAD 4.................................................................................................................................................... 39 VOLÚMENES DE LOS POLIEDROS ........................................................................................................... 40 VOLUMEN DE UN PRISMA RECTO ...................................................................................................... 40 VOLUMEN DE LOS PARALELEPÍPEDOS ............................................................................................... 41 VOLUMEN DE UN ORTOEDRO ............................................................................................................ 41 VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE ............................................................................................................ 41 VOLUMEN DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE DE BASES PARALELAS....................................................... 42 UNIDAD 5.................................................................................................................................................... 45 ÁREAS Y VOLÚMENES DE LOS POLIEDROS REGULARES ......................................................................... 46 ÁREA Y VOLUMEN DE TETRAEDRO .................................................................................................... 46 ÁREA Y VOLUMEN DEL CUBO ............................................................................................................. 47 ÁREA Y VOLUMEN DEL OCTAEDRO .................................................................................................... 48 ÁREA Y VOLUMEN DE DODECAEDRO ................................................................................................ 50 ÁREA Y VOLUMEN DE ICOSAEDRO ..................................................................................................... 51 UNIDAD 6.................................................................................................................................................... 54 CUERPOS DE REVOLUCIÓN ..................................................................................................................... 55 CILINDRO ............................................................................................................................................ 55 ÁREA DE UN CILINDRO ................................................................................................................... 55 ÁREA LATERAL ............................................................................................................................ 55 ÁREA TOTAL DE UN CILINDRO .................................................................................................... 56 VOLUMEN DEL CILINDRO ........................................................................................................... 57 CONO CIRCULAR RECTO ..................................................................................................................... 59 ÁREA LATERAL DE UN CONO RECTO .............................................................................................. 59 ÁREA TOTAL DEL CONO .................................................................................................................. 60 VOLUMEN DEL CONO ..................................................................................................................... 60 TRONCO DE CONO.............................................................................................................................. 63 ÁREA LATERAL DEL TRONCO DE CONO .......................................................................................... 63 ÁREA TOTAL DEL TRONCO DE CONO.............................................................................................. 64 VOLUMEN DEL TRONCO DE CONO ................................................................................................. 64 ESFERA ................................................................................................................................................ 68 LA ESFERA TERRESTRE .................................................................................................................... 69 UNIDAD 7.................................................................................................................................................... 72 MOVIMIENTOS PLANOS ......................................................................................................................... 73 TRANSLACIÓN ..................................................................................................................................... 73 ROTACIÓN .......................................................................................................................................... 77 ORDEN GIRO ................................................................................................................................... 79 SIMETRÍA O REFLEXIÓN ...................................................................................................................... 81 ...................................................................................................... 87 ANGULO TRIGONOMÉTRICO ............................................................................. 87 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ANGULO AGUDO EN UN TRIANGULO RECTÁNGULO............. 93 APLICACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS . .........................................................................................UNIDAD 8...................... 91 CONOCIDOS DOS LADOS ............................................................... 104 .................................................................................................................................... 91 CONOCIDOS UN LADO Y UN ANGULO .................... 86 TRIGONOMETRÍA............................ 87 RELACIÓN ENTRE LA RAZONES TRIGONOMÉTRICAS ..................................................................................................................................................................................................................... 90 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ................................................................ 97 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................ Existen películas y juegos de ordenador en tres dimensiones. pizarra. pantalla de ordenador (que tienen dos dimensiones) objetos de tres. se tiene la sensación de estar frente a un objeto tridimensional. todos los objetos tienen estas tres dimensiones. en el mundo.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos REPRESENTACIONES TRIDIMENSIONALES EN EL PLANO En este tema se va a estudiar cuerpos en el espacio. cuerpos con tres dimensiones. 1 . largo. En la naturaleza. Los pintores de todos los tiempos han usado técnicas para representar en sus cuadros escenas tridimensionales. La primera dificultad que se encuentra es como plasmar en papel. de forma que cuando se contempla una de sus obras. visibles utilizando gafas especiales o bien que el propio juego va provisto de las técnicas adecuadas. ancho y alto. Conocer las posiciones relativas de los elementos presentes en el espacio. III. Identificar los elementos básicos en el plano. ELEMENTOS BÁSICOS EN EL ESPACIO OBJETIVOS I. Distingue las posiciones relativas de los elementos en el espacio.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos UNIDAD 1. Relaciona los elementos planos y del espacio. LOGROS Conoce la definición de espacio. Identifica los elementos que surgen en el espacio. 2 . Identificar la relación de los elementos de la geometría plana y del espacio. II. recta y ángulo. CORTARSE: cuando dos planos se cortan tienen una recta común que se llama intersección de los planos. Por dos rectas paralelas. Por una recta y un punto exterior a ella. Q. Plano P Plano Q Figura 1. PLANO Plano T Suele nombrarse con la letra griega π (pi) o también con una letra mayúscula P. Plano Un plano queda definido por: tres puntos que no estén en línea recta. Cada plano queda dividido en dos semiplanos por esa recta. dados tres puntos no alineados hay un único plano que pasa por ellos. O equivalentemente. 3 . Y se representa habitualmente como un paralelogramo. Las posiciones pueden ser: 1.. pueden ocupar determinadas posiciones entre si. POSICIONES DE DOS PLANOS Dos planos. pero entendiendo bien que su extensión es ilimitada.. Por dos rectas que se cortan. El estudio de geometría en el espacio requiere de la introducción de dos nuevos objetos.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos ELEMENTOS BÁSICOS EN EL ESPACIO Los elementos básicos en el plano son: el punto.. el plano y el ángulo diedro. Z.. Recta l Plano P Figura 4. están posiciones pueden ser: 1. PARALELOS: dos planos son paralelos cuando no tienen ningún punto común.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos Plano P Recta de intersección Plano Q Figura 2. Esto implica que si dos planos tienen un punto común tienen una recta común. RECTA CONTENIDA EN EL PLANO: en esta posición todos los puntos de la recta son también puntos del plano. Recta Contenida En El Plano. 4 . Plano P Plano Q Figura 3. Intersección de Planos. 2. Planos Paralelos POSICIONES DE UNA RECTA Y PLANO Una recta y un plano pueden estar relacionadas según la posición que ocupe uno con respecto del otro. CORTARSE: si dos rectas se cortan en el espacio. l2 l1 Plano P Figura 7. 3. existe un plano que las contiene. Rectas Secantes en el Espacio. 5 . PARALELOS: una recta y un plano son paralelos cuando no tienen puntos en común.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos 2. Recta Secante Al Plano. CORTARSE: una recta y un plano se cortan o son secantes cuando tienen un punto en común. Recta Paralela al Plano POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO Dos recta en el espacio pueden ocupar las siguientes posiciones: 1. Recta l Punto de Intersección Plano P Figura 5. Es decir. l Plano P Figura 6. están en el mismo plano. Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos 2. PARALELAS: si dos rectas son paralelas en el espacio existe un aplano que las contiene. Es decir, están en el mismo plano. Plano P l2 l1 Figura 8. Rectas Paralelas en el Espacio. 3. CRUZARSE: dos rectas se cruzan en el espacio si no están contenidas en el mismo plano. En este caso no tienen ningún punto en común ni son paralelas. Se les llama alabeadas. Plano Q l1 Plano P l2 Figura 9. Rectas que se Cruzan en el Espacio. RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO Una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por la intersección. Al punto de intersección se le llama pie de la perpendicular. Como es posible la comprobación de que una recta sea perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por su pie, se demuestra que si una recta es perpendicular a dos rectas de un plano que pasan por su pie es perpendicular a todas. Por esto, para construir un plano perpendicular a una recta en uno de sus puntos es suficiente trazar dos rectas perpendiculares a la dada que pasen por el punto. Por un punto Q pasa un plano perpendicular a una recta l1 y solamente uno. El punto puede estar en la recta o fuera de ella. 6 Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos l1 l1 Q Q Figura 10. Recta Perpendicular a un Plano. Propiedades: Por un punto Q de un plano pasa una recta perpendicular al plano y solo una. Si una recta es perpendicular a un plano, entonces es perpendicular a todos los planos paralelos a este. Por un punto Q exterior a un plano P pasa una recta QN (donde N es un punto del plano) perpendicular al plano P y solo una. EJERCICIO 1 1. Probar de forma grafica las propiedades de perpendicularidad de una recta y un plano. 7 Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO La distancia de un punto Q a un plano P es la medida de la perpendicular trazada desde el punto Q al plano P, ya que es la menor distancia que se puede medir desde el punto al plano. Ver figura 11. Q M R Plano P Figura 11. Distancia de un Punto a un Plano. Se observa que cateto. , donde es hipotenusa de un triangulo rectángulo en el que es un De forma análoga a la geometría plana, dos oblicuas que se apartan igualmente del pie de la perpendicular son iguales; y dos oblicuas que se apartan desigualmente del pie de la perpendicular, es mayor la que se aparta más. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD Postulados: Si dos rectas son paralelas entre si y una de ellas es perpendicular a un plano. Entonces, la otra también es perpendicular al plano. Si dos planos son paralelos y una recta es perpendicular a una de ellos también es perpendicular al otro. DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS α Y β PARALELOS Es el segmento perpendicular comprendido entre los dos planos. O la distancia de uno de los puntos del plano α al plano β. 8 Q A P B Figura 12. Probar de forma grafica los postulados de la distancia entre dos planos. Probar de forma grafica los postulados de perpendicularidad y paralelismo. La recta de intersección de los planos se llama arista del diedro. se designa QABP. EJERCICIO 1. El diedro se nombra ubicando las letras de los extremos de la arista entre las letras que designan los semiplanos. 9 . Un plano divide al espacio en dos regiones llamadas semiespacios.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos Postulados: Dado un plano existen puntos fuera de él. Su valor es el del ángulo que forman dos rectas. Así el diedro de la figura 12. Los semiplanos que tiene como borde común la arista del diedro se llaman caras del diedro.2 1. ANGULO DIEDRO Se llama ángulo diedro a la región de espacio comprendida entre dos semiplanos limitados por una misma recta. 2. una en cada plano y cada una de ellas perpendiculares a la recta de intersección de los planos. Angulo Diedro. 10 . estos reciben un nombre diferente. Si dos planos P y Q que se cortan son perpendiculares a un tercero Z. Según el número de caras que formen el ángulo poliedro. pentaedro. Propiedades: Si una recta l1 es perpendicular a un plano P. Así. Si dos planos P y Q son perpendiculares y desde un punto M de ellos se traza una recta l1 perpendicular al otro. Cualquier plano paralelo a la recta también es perpendicular. Si dos planos son perpendiculares. se llama ángulo poliedro y al punto común se le llama vértice. la recta de intersección l1 también es perpendicular al plano Z. si son tres planos se le llama triedro. si cinco.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos ÁNGULOS DIEDROS Si tres o más planos que se cortan mediante rectas que concurren en un mismo punto. tetraedro. que sea perpendicular a la intersección de los dos planos. Cualquier plano Q que pase por la recta l1 es perpendicular al plano. Cualquier recta de uno de ello. la región de espacio que limitan. etc. si son cuatro. esta recta esta contenida en P. Ángulos Diedros PLANOS PERPENDICULARES Son los que forman un ángulo diedro recto. es perpendicular al otro. Si una recta es perpendicular a un plano. Triedro Tetraedro Figura 13. Por una recta l1 oblicua a un plano P pasa un plano Q perpendicular a P y solamente uno. 3 1. Ocho planos 2. Siete planos d. Probar de forma grafica las propiedades de los plano perpendiculares. Seis planos c. Cinco planos b.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos EJERCICIO 1. 11 . Construir los ángulos triedros donde converjan a. II. V. Identificar los diferentes tipos de poliedros. Identificar las propiedades de los poliedros. IV. Analizar las características y aplicación de las pirámides. Construye poliedros regulares con diferentes materiales. Construir poliedros regulares. Aplica las propiedades de las pirámides en la relación de los elementos y la solución de las pirámides.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos UNIDAD 2. LOGROS Reconoce los diferentes tipos de poliedros según sus características y elementos. III. POLIEDROS OBJETIVOS I. Conoce las propiedades de los poliedros y las aplica para la solución de problemas. 12 . Conocer los elementos de los poliedros. Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos POLIEDROS DEFINICIÓN Y ELEMENTOS Los poliedros son cuerpos limitados por polígonos planos llamados caras. En cuanto a su etimología, la palabra “poliedro” está compuesta por dos elementos que provienen del griego, “polys” (mucho) y “edra” (base o cara). En todos ellos se distinguen tres elementos: Caras: polígonos que limitan al poliedro. Aristas: segmentos intersección de las caras. Vértices: Puntos intersección de las aristas. POLIEDROS REGULARES En un poliedro regular todas las caras son polígonos regulares e iguales y los ángulos que forman también son iguales. Sólo existen cinco poliedros regulares, también llamados sólidos platónicos: 1. TETRAEDRO: poliedro con cuatro caras triangulares. D D A B C D’’ C A D’ Figura14. Tetraedro Construcción y Forma. 13 B Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos 2. CUBO: poliedro con seis caras cuadradas. E F D E’’ D C F’ E’ C E F A B A H’’ G’ B H’ H H G G Figura 15. Cubo Construcción y Forma. 3. OCTAEDRO: poliedro con ocho caras triangulares. D E A C A B B B P D E P R C Q P M R Q M N Figura 16. Octaedro Construcción y Forma. 14 N Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos 4. DODECAEDRO: poliedro con doce caras pentagonales. Figura 17. Icosaedro Construcción y Forma. 5. ICOSAEDRO: poliedro con veinte caras triangulares. Figura 18. Dodecaedro Construcción y Forma. 15 Construir los cinco poliedros utilizando diferentes materiales y tamaños de arista. 2. Intentar construir los poliedros: Antiprisma Pentagonal Tetraedro Truncado Cubo Truncado Cubo Chato 16 Deltaedro – 10 Gran Rombicuboctaedro .Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos EJERCICIO 2 1. tras haber perdido ya la visión del ojo derecho en 1735. por invitación de Catalina I de Rusia. Sus obras completas. en el que el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos. icosaedro. No puede existir un poliedro convexo con menos de seis aristas. y en 1748 publicó la primera obra de análisis matemático en la que el papel principal estaba reservado a las funciones en lugar de a las curvas. se trasladó a la Academia de Berlín. invitado por Federico II el Grande. 3. cuatro caras y cuatro vértices. siendo uno de sus resultados más conocidos la fórmula que relaciona el número de caras. con todo. con el tiempo. como presidente en funciones. instalados allí desde 1725. A los veinte años consiguió el primero de los 12 premios que. ocupan 87 volúmenes. Sólo existen cinco poliedros convexos cuyas caras sean polígonos de igual número de lados y cuyos ángulos poliedros tengan entre si el mismo número de aristas y que son. hexaedro y dodecaedro. En 1733 sucedió a Daniel Bernoulli al frente de la sección de matemáticas de dicha Academia. La formula de Eúler establece la relación entre el número de caras.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos FORMULA DE EÚLER (Basilea 1707-San Petersburgo 1783) Matemático suizo. o lo que es igual . En 1741. En 1766 aceptó una oferta de Catalina la Grande para reincorporarse a San Petersburgo. vértices y aristas. 17 . Ese mismo año quedó ciego a causa de una afección de cataratas. que abarcan más de ochocientos tratados. De la mecánica. se incorporó a la Academia de San Petersburgo merced a la gestión de los Bernoulli. Las consecuencias más importantes del teorema de Eúler son: 1. tetraedro. vértices y aristas de un poliedro regular. 2. esta formula establece que: . un campo en el que Eúler realizó las contribuciones mayores. La suma de todas las caras de un poliedro convexo es igual a tantas veces cuatro rectos como el número de vértices que tiene menos dos. octaedro. en 1756. El primer logro científico importante de Eúler lo constituyó la introducción (1736) del método analítico en la exposición de la mecánica newtoniana con el fin de reducir al mínimo la tradicional confianza en la demostración por métodos geométricos. La geometría fue. al frente de la cual sucedió a Maupertuis. Eúler trasladó estos planteamientos al cálculo infinitesimal. había de concederle la Academia francesa y. EJEMPLO 2 Un poliedro tiene 4 caras y 4 vértices. por lo tanto el cubo cumple con la formula de Eúler. SOLUCIÓN En el cubo se tiene: 6 caras 8 vértices 12 aristas Por lo tanto la formula de Eúler: . 18 . ¿Cuántas aristas tiene? SOLUCIÓN Aplicando la formula de Eúler y despejando Aristas se tiene: Remplazando valores: Por lo que el poliedro es un tetraedro.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos EJEMPLO 1 Comprobar que se cumple la formula de Eúler para el cubo. las pirámides y todas sus variedades. Las caras de un poliedro son todas iguales. Un poliedro tiene 7 caras. Los poliedros irregulares más comunes son los prismas. Los elementos de un prisma son: Vértices Aristas Bases Cara Lateral Figura 19. Las caras laterales son paralelogramos. En este tipo de poliedros. Explicar las siguientes afirmaciones: a. como mínimo de 4. El numero de vértices c. ¿Cuantos vértices tiene? 3. Cuatro de ellas son pentágonos y tres cuadriláteros. El numero de aristas. ¿Cuantas aristas tiene? b. a. PRISMAS Los prismas es un poliedro con dos caras (bases) que son iguales y paralelas entre sí. Las aristas: son los lados de las bases y de las caras laterales. el número de caras no presenta límites. 19 . 2.1 1. Prisma Las bases: son la cara en la que se apoya el prisma y su opuesta. La suma de sus áreas es la superficie lateral del prisma. El numero de caras b. Hay poliedros con tres caras.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos EJERCICIO 2. c. Las caras laterales: son las caras que comparten dos de sus lados con las bases. El número de aristas de un poliedro que concurren en un vértice es. b. Construir una tabla donde se relaciones los poliedros con: a. POLIEDROS IRREGULARES Un poliedro irregular está limitado por caras poliédricas que pueden presentar diferentes formas. E F H G C D B A Figura 22. hexagonal. Paralelepípedo 20 .Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos Los vértices: son los puntos en donde se encuentran cada par de aristas. cuadrangular. Prisma Recto Figura 21. PARALELEPÍPEDO Se llaman así porque los cuadriláteros de las bases son paralelogramos. etc. Los prismas se nombran según sea el polígono de sus bases: prisma triangular. Altura Altura Figura 20. La altura de un prisma es la longitud del segmento perpendicular trazado de una base al plano que contiene a la otra. pentagonal. Prisma Oblicuo. y oblicuo en caso contrario (figura 21). PRISMA REGULAR Y OBLICUO Un prisma se llama recto cuando sus aristas laterales son perpendiculares a las bases (figura20). La diagonal de paralelepípedo es el segmento. Ortoedro Las aristas que concurren en cada vértice forman ángulos rectos. ORTOEDRO Si el paralelepípedo es recto y los paralelogramos de las bases son rectángulos. por ejemplo.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos Dos aristas son opuestas cuando son paralelas y no pertenecen a la misma cara. C y H. b. 21 . que une dos vértices opuestos. etc. Las seis caras de un ortoedro son rectángulos. Plano diagonal esta determinado por dos aristas opuestas: BCEH por ejemplo. Se laman opuestos. por lo que: También es rectángulo el triángulo de catetos d. d es la hipotenusa. por lo que puede aplicarse el Teorema de Pitágoras. por tanto: Remplazando d y despejando: Esta expresión es una generalización del Teorema de Pitágoras al espacio. Para el cálculo de diagonales. y . éste recibe el nombre de paralelepípedo rectángulo u ortoedro. El triángulo de lados a. como . Los vértices no situados en la misma cara. c e hipotenusa D. A y F. d es rectángulo. por ejemplo y . H G E F D c K A d I b J a Figura 23. El romboedro se llama recto cuando sus aristas laterales son perpendiculares a las bases.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos EJEMPLO 1 Una caja tiene 10 cm de ancho. Se tiene que a = 10 cm. Se tiene: Por lo tanto no es posible que la varilla rígida se pueda introducir en la caja sin romperla. 22 . sin romper la caja? SOLUCIÓN Según la figura 23. ya que horizontal o verticalmente no se puede introducir la varilla. ¿Se puede introducir en ella una varilla rígida de 18 cm. 12 cm de largo y 5 cm de alto. b = 12 cm y c = 5 cm. ROMBOEDRO Es el paralelepípedo cuyas bases son rombos. Por lo tanto: Aplicando la generalización del teorema de Pitágoras para hallar la longitud de la diagonal principal que es la longitud mayor que puede contener la caja. Es importante que se observar que estas medidas no son independientes. Las caras laterales son triángulos isósceles iguales. La altura de la pirámide es la distancia del vértice al plano que contiene a la base. por lo tanto: 23 En donde: a = apotema R = radio . Los elementos de una pirámide son los siguientes: Cúspide Altura Arista Apotema Lateral Cara Lateral Vértice Radio Lado Apotema de la Base Polígono de la base Figura 24. cuadrangular.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos PIRÁMIDE Las pirámides son poliedros que tienen una sola base. Aplicando el Teorema de Pitágoras a cada uno de los triángulos rectángulos que se forman: 1. Una tienda de campaña o las pirámides de Egipto son ejemplos de este tipo de poliedros. La Pirámide Se nombran según sea el polígono de su base: pirámide triangular. Entre los elementos de la piramide regular se establecen al gunas relaciones. RELACIÓN 1: La base es un polígono regular. PIRAMIDE RECTA La base es un polígono regular y el vértice está en la perpendicular al centro del polígono regular. Figura 24. pentagonal. la cual es un polígono cualquiera. etc. y sus otras caras son triángulos que se unen en un vértice común que se llama cúspide o vértice de la pirámide. RELACIÓN 4: Se encuentran relacionados la altura.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos R a Figura 25. RELACIÓN 2: La altura de la Pirámide. RELACIÓN 3: Las caras laterales son triángulos isósceles. En donde: A = arista. 3. 4. A Ya la relación según Pitágoras: Figura 27. h = mitad de longitud del lado de la base. el radio de la base y la arista de la pirámide. h = apotema lateral h H H = altura Y la relación es según Pitágoras: a Figura 26. el apotema de la base y la altura de una cara (apotema lateral) forman un triángulo rectángulo: En donde: a = apotema de la base. 24 . La altura del triángulo lo divide en dos triángulos rectángulos. h = apotema lateral. 2. la altura de la pirámide 70 cm.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos En donde: A = arista H = altura A H R = radio Y cuya relación según Pitágoras es: R Figura 28. EJEMPLO 2 Determinar todos los elementos de una pirámide cuadrangular y realizar su grafica.15 cm. En donde: Remplazando valores: Despejando A: Es decir que la longitud de la arista es de 76. SOLUCIÓN 25 . EJEMPLO 1 En una pirámide regular el radio de la base mide 30 cm. su arista 18 cm y su apotema de su base es 8 cm. Si su altura es de 15 cm. ¿Cuál es la longitud de la arista de la pirámide? SOLUCIÓN Para encontrar la longitud de la arista basta con emplear la relación 4. Se determina la longitud del lado. Por lo que: 26 y empleando . la longitud de la arista se obtiene: Remplazando valores: Despejando L: Finalmente para determinar el radio de la base se emplea la relación 1. empleando la relación 2. así: Despejando . se puede empezar por determinar la longitud del Con la longitud del apotema lateral hallado la relación 3.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos Con los datos suministrados y apotema lateral . . Según se ilustra en la figura 15 cm 29.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos Por lo tanto los elementos de la pirámide son: . EJERCICIO 2. .2 27 .9 cm 8 cm 11. y . . 18 cm 17 cm 9.8 cm Figura 29. Hallar el valor de la diagonal principal. si: el apotema lateral mide 17 cm. Apotema de la base. el radio de la base es de 6 cm y el lado de la base mide 10 cm. 4. Hallar la diagonal de un cubo cuya arista mide 3 cm. 10. Determinar todos los elementos de una pirámide pentagonal y realizar su grafica. En una pirámide de base cuadrada de 8 cm de lado y 12 cm de altura. Determinar todos los elementos de una pirámide triangular y realizar la grafica. 5. 8. si: la altura es de 15 cm. Apotema de la pirámide. calcular: a. La diagonal de un cubo mide . determinar la longitud del apotema de la base y la del apotema lateral o de la pirámide. Radio de la base 7. La diagonal de la cara de un cubo mide hallar la diagonal del cubo. Hallar el valor de la arista. d. 3. la altura es 20 cm y el radio de la base mide 7 cm.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos 1. si: la altura es de 20 cm. En una pirámide hexagonal de 8 cm de lado y 14 cm de altura. 28 . 9. Determinar todos los elementos de una pirámide octagonal y realizar su grafica. la arista 13cm y el radio de la base mide 86 cm. la apotema de la base es de 8 cm y el radio de la base mide 11 cm. 6 y 4 cm. Determinar todos los elementos de una pirámide heptagonal y realizar la grafica. b. si: la apotema de la base mide 6 cm. 2. Arista c. 6. Las tres aristas que concurren en los vértices de un ortoedro son 5. Calcula el área de los poliedros.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos UNIDAD 3. Identificar el desarrollo de las superficies en el espacio. Conocer elementos para el cálculo de superficies en el espacio. 29 . Calcular superficies de los poliedros. ÁREAS DE LOS POLIEDROS OBJETIVOS I. LOGROS Desarrolla los cálculos para determinar áreas en el espacio. II. III. E A D B A B C D E A J I H G F J C F G J I H Figura 30. Ver figura 30. 30 . se tiene que: De otro lado el área total del prisma se obtiene sumando el área lateral más el área de las bases. se obtiene: Ya que el prisma tiene dos bases iguales.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos ÁREAS DE LOS POLIEDROS El área lateral de un prisma o pirámide es la suma de las áreas de las caras laterales. ÁREA DE UN PRISMA RECTO En un prisma recto el área lateral es igual al producto del perímetro de la base por la longitud de la altura o arista lateral. Por lo tanto. Ver figura 30. El área total de un prisma o pirámide es la suma del área lateral mas las áreas de las bases. Si se denomina como el área lateral. al perímetro y a la altura del prisma. si se denomina como el área de la bases. Si la apotema de la base es de 3 cm. EJEMPLO 1 Hallar el área total de un prisma pentagonal. H G E F Q P Plano P M C N D B A Figura 31. En la figura 31. Es decir: Donde representa la longitud de la arista del prisma. al polígono determinado por un plano perpendicular a las aristas laterales. 31 . la longitud del lado es 4 cm y su altura es 10 cm. ÁREA LATERAL DE UN PRISMA CUALQUIERA El área de un prisma oblicuo es igual al producto del perímetro de la sección recta por la longitud de la arista lateral.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos SECCIÓN RECTA DE UN PRISMA Se llama sección recta de un prisma cualquiera. El plano P es perpendicular a las aristas del prisma. Por los tanto el polígono MNPQ es una sección recta del prisma oblicuo. Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos SOLUCIÓN Según el enunciado se tiene que por lo tanto: . El perímetro de la base es igual: Por lo que el área lateral es: Para calcular el área de la base se debe recordar que el área de un polígono regular es: Por lo que el área total del prisma es: 32 . la apotema de la base es de 4 cm y el prisma tiene 5 lados. Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos PIRÁMIDE REGULAR El área lateral de una pirámide regular es igual al producto del semi-perímetro de la base por la longitud de la apotema de la pirámide. . Se observa que las caras de la pirámide son triángulos isósceles iguales en los que el área se define como: Por lo tanto. Donde la base es la longitud del lado de base de la pirámide ( ) y la altura corresponde al apotema de la pirámide Por lo que el área lateral es: Es decir: 33 . Ver figura 32. En la figura 32. el área lateral se obtiene al multiplicar esta área por el número de caras . V V V V V V E A D H B A B C H D E A C Figura 32. se obtiene: . Si la apotema de la base es de 4 cm. donde es el apotema de la pirámide. Entonces: Y como . donde es la apotema de la base. Para hallar el área total de una pirámide regular se suman el área lateral y el área de la base.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos Y como es el perímetro . SOLUCIÓN Del planteamiento del problema se tiene que: Calculando el perímetro: Aplicando la formula para área lateral y total: 34 . por lo tanto: Factorizando: EJEMPLO 1 Hallar el área lateral y total de una pirámide triangular. Como el área de la base es un polígono regular. la longitud del lado de la base es 5 cm y la apotema de la pirámide es 12 cm. que corta la pirámide en todas sus aristas. Dicho tronco de pirámide. Ver figura 33. según que el plano sea o no paralelo a la base. 35 . será recto u oblicuo.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos Y el área total: TRONCO DE PIRÁMIDE Se llama tronco de una pirámide a la sección de la pirámide comprendida entre el plano de la base y un plano paralelo o no a la base. Base menor Plano P Base mayor Tronco de pirámide Figura 33. EJEMPLO 1 Hallar el área lateral y total del tronco de pirámide regular cuyas bases son cuadrados de lados 10 cm y 7 cm. y cuya apotema mide 11 cm. las bases son polígonos semejantes. El área total será la suma del área lateral y el área de las dos bases. Y Calculando el perímetro de las bases: Aplicando la formula del área lateral: 36 . SOLUCIÓN Según el enunciado se tiene que: .Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos Si el tronco es de una pirámide regular las caras laterales son trapecios isósceles iguales y su altura coincide con la apotema del tronco de pirámide ( ). Donde: . El área lateral del tronco de pirámide regular será la mitad del producto de su apotema por la suma de los perímetros de las bases. es decir: Donde: . Es decir. Por otra parte. se calculan las áreas de las bases: Por lo que el área total es: 37 .Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos Para el área total. 5. Hallar el área lateral de un prisma regular recto pentagonal si el lado de la base mide 5 cm y la arista lateral 20 cm. 2. si los lados de las bases miden 6 y 8 decímetros respectivamente y la altura 10 decímetros. Hallar el área total de una pirámide regular de base hexagonal sabiendo que el lado de la base mide 5 cm y la apotema de la pirámide 4. si la altura del prisma es de 8 cm. Hallar el área lateral y total de un tronco de pirámide cuadrada si los lados de las bases miden 8 y 20 cm respectivamente y la altura del tronco mide 8 cm. si el lado de la base es de 25 cm. 3. 10. Hallar el área total de una pirámide de base cuadrada si el lado de la base mide 6 cm y la altura 4cm. Hallar el área lateral y total de un prisma recto cuyas bases son eneágonos regulares de 4 cm de lado y 3 cm de apotema. Hallar el área lateral y total de una pirámide regular de base triangular sabiendo que el lado de la base mide 6 cm. si la apotema del prisma es de 12 cm.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos EJERCICIO 3 1. Hallar el área lateral y total de un tronco de pirámide regular triangular. 38 . 9. Hallar el área lateral de un prisma regular recto octagonal cuyo lado de la base mide 6 cm y la altura 15 cm. Hallar el área lateral y total de un prisma recto cuyas bases son hexágonos regulares de 6 cm de lado y 5. la apotema de la base 4 cm y la altura de la pirámide 12 cm. 6. 7. Determinar la altura de un prisma cuadrangular recto cuya área lateral es de 900 . 8. 4.2 cm de apotema.4 cm. 39 . VOLÚMENES DE LOS POLIEDROS OBJETIVOS I. Calcular el volumen de los poliedros. LOGROS Calcula el volumen de los poliedros.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos UNIDAD 4. entonces: Luego: Nota: un prisma oblicuo es equivalente al prisma recto que tenga por base la sección recta del primero y por altura su arista lateral.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos VOLÚMENES DE LOS POLIEDROS VOLUMEN DE UN PRISMA RECTO El volumen de un prisma recto es igual al producto del área de su base por la medida de la altura. SOLUCIÓN Como la base es un cuadrado. 40 . es decir: Donde: EJEMPLO 1 Determinar el volumen de un prisma cuadrangular recto de 4 cm de lado y 10 cm de altura. SOLUCIÓN Aplicando la formula y remplazando valores: VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE El volumen de una pirámide cualquiera es igual a la tercera parte del producto del área de la base por la medida de la altura. Es decir.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos VOLUMEN DE LOS PARALELEPÍPEDOS El volumen de un paralelepípedo cualquiera es igual al producto del área de la base por la medida de la altura. Es decir: 41 . 4 m de profundidad y 6 m de altura. si las dimensiones de un ortoedro son y el área y volumen del ortoedro se expresa: También se define el área del ortoedro como el producto del área de la base por la altura. EJEMPLO 1 Determinar el volumen de un ortoedro de 5 m de ancho. Donde: Y VOLUMEN DE UN ORTOEDRO El volumen de un ortoedro es igual al producto de sus tres dimensiones. La razón de los volúmenes de dos pirámides cualesquiera es igual a la de los productos de sus bases por sus alturas.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos En las pirámides se considera que: Toda pirámide es la tercera parte de un prisma que tenga igual base e igual altura. SOLUCIÓN Aplicando la formula y remplazando valores: . EJEMPLO 1 Calcular el volumen de una pirámide cuadrangular de 5 cm de lado y 8 cm de altura. VOLUMEN DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE DE BASES PARALELAS El volumen de un tronco de pirámide de bases paralelas es igual al producto de un tercio de su altura por la suma de sus bases y la media proporcional entre ellas. son equivalentes. Dos pirámides de igual altura y bases equivalentes. Aproximadamente. es decir: Donde: 42 . se tiene: Aplicando la formula: Por lo que el volumen del tronco de pirámide es de 168 cm3. SOLUCIÓN Calculando el área de las bases que corresponden a cuadrados.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos EJEMPLO 1 Calcular el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular cuyos lados de las bases son 6 cm y 3 cm respectivamente y 8 cm de altura. 43 . Calcula su volumen si la arista de la base es de 12 m. 7. 11. Calcular el volumen de un tronco de pirámide si el área de su base mayor y menor es 64 m2 y 36 m2 y su altura es de 10 m. donde la altura es de 12 cm y el área de la base menor es 25 cm2. 2. Calcular el área y el volumen de un ortoedro de dimensiones 3 cm. 12. ¿Cuál es el precio de un cajón de embalaje de 60 cm de largo. 4. 40 cm de ancho y 50 cm de alto si la madera cuesta $18 el m2? 10. Calcular el volumen de una pirámide cuadrangular regular de 40 m2 de área lateral y 56 m2 de área total. 8. el alto y el ancho es 5:3:1. 15. 3. Calcula su volumen. calcular su altura. Si mide 5 m de largo y 4 m de ancho. 6. Calcular volumen. Hallar la otra dimensión. hallar la altura del ortoedro. Un depósito en forma ortoédrica tiene una capacidad de 6000 L. 16.5 m. El volumen de un ortoedro es 192 cm3 y dos de sus dimensiones son 8 y 6 cm. El área de un ortoedro es 264 cm2. Hallar el volumen de un prisma hexagonal regular cuya arista lateral mide 4 cm y la arista de la base 2 cm. 4 cm y 12 cm respectivamente.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos EJERCICIO 4 1. Calcular el volumen de un tronco de una pirámide cuadrangular si el lado de la base mayor es el doble del menor. 14. Un prisma cuadrangular regular tiene 4 m de arista de la base y 6 m de altura. La relacione entre el largo. Hallar el área y volumen de un ortoedro cuyas dimensiones son: 16. 12 y 8 cm respectivamente. Una pirámide cuadrangular regular tiene 6 m de la arista de la base y 5 m de arista lateral. 5. Hallar las dimensiones del ortoedro. Un prisma hexagonal regular tiene 36 m de perímetro de la base y 3 m de altura. si el lado de la base mide 7. 13. Hallar el volumen de una pirámide cuadrangular regular cuyas aristas miden: 10 dm las de la base y 13 dm las laterales. 9. Calcular el volumen de una pirámide triangular regular de 8 m de lado de la base y 3 m de apotema lateral. Si el volumen de un ortoedro es 60 m3 y el área de la base es 15 m2. 44 . Calcular el volumen de poliedros regulares. 45 . Calcular el volumen de los poliedros regulares. LOGROS Calcula el área de de los poliedros regulares. ÁREAS Y VOLÚMENES DE LOS POLIEDROS REGULARES OBJETIVOS I.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos UNIDAD 5. Calcular el ares de poliedros regulares. II. Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos ÁREAS Y VOLÚMENES DE LOS POLIEDROS REGULARES El área y volumen de los poliedros regulares depende del tamaño de la arista. Tetraedro Por lo que el área y volumen se definen: EJEMPLO 1 Calcular el área y volumen de tetraedro regular de 8 cm de arista. ÁREA Y VOLUMEN DE TETRAEDRO En el tetraedro las caras son triángulos equiláteros. SOLUCIÓN Aplicando la formula para el cálculo del área se tiene: Y para el volumen: 46 . Figura 34. ver figura 34. Cubo De esta forma en un cubo de arista se define el área y volumen como: EJEMPLO 1 Calcular el área y volumen de un cubo de 10 dm de arista. Figura 35. 47 .Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos ÁREA Y VOLUMEN DEL CUBO El cubo es un tipo especial de prisma en el que todas las caras son cuadrados y cuyo tamaño de la arista es igual. ver figura 35. Figura 36.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos SOLUCIÓN Aplicando la formula para el área. se tiene: Y para el volumen: ÁREA Y VOLUMEN DEL OCTAEDRO El octaedro es un polígono regular que se basa en triángulos equiláteros. Octaedro Por lo que su área y volumen se definen como: 48 . ver figura 36. se tiene: Y para el volumen: 49 .Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos EJEMPLO 1 Calcular el área y volumen de un octaedro de 12 m de arista. SOLUCIÓN Aplicando la formula para calcular el área. SOLUCIÓN Aplicando la ecuación para el cálculo del área. se tiene: 50 . Dodecaedro Por lo que el área y volumen de un dodecaedro. se definen como: EJEMPLO 1 Calcular el área y volumen de un dodecaedro de 15 cm de arista. ver figura 37.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos ÁREA Y VOLUMEN DE DODECAEDRO El dodecaedro es un poliedro cuyas caras son pentágonos regulares. Figura 37. Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos Y para el volumen: ÁREA Y VOLUMEN DE ICOSAEDRO En el icosaedro todas las caras son triángulos equiláteros. Figura 38. Icosaedro Por lo que el área y el volumen se definen como: 51 . ver figura 38. SOLUCIÓN Aplicando la formula para el cálculo del área.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos EJEMPLO 1 Calcular el área y volumen de un icosaedro de 7 m de arista. se tiene: Y para el volumen: 52 . . 53 . calcular la longitud de la arista. Determinar cual de los poliedros regulares tiene mayor área y volumen si la longitud de la arista es de 7 cm. 3. calcular la longitud de la arista.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos EJERCICIO 5 1. Hallar el área y volumen de un cubo cuya arista es igual a 9 cm. 2. Sabiendo que el área de un octaedro regular es . 5. y es igual para todos los poliedros. Sabiendo que el área de un cubo regular es . 6. Hallar el área y volumen de dodecaedro cuya arista vale 2 cm. Sabiendo que el área de un icosaedro regular es 8. Sabiendo que el área de un tetraedro regular es . Sabiendo que el área de un octaedro regular es . 10. calcular la longitud de la arista. 9. Hallar el área y volumen de icosaedro regular cuya arista es igual a 4 cm. 11. Hallar el área y volumen de un tetraedro regular cuya arista vale 2 cm. 7. 4. calcular la longitud de la arista. calcular la longitud de la arista. Hallar el área y volumen de un octaedro regular cuya arista es igual a 6 cm. 54 .Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos UNIDAD 6. IV. III. Calcular el área de los cuerpos de revolución. Conocer como se generan los cuerpos de revolución. Identificar los elementos de los cuerpos de revolución. Calcular el volumen de los cuerpos de revolución. Calcula el área de los cuerpos de revolución. II. CUERPOS DE REVOLUCIÓN OBJETIVOS I. LOGROS Identifica los elementos básicos de un cuerpo de revolución. Calcula el volumen de los cuerpos de revolución. La distancia entre la bases se llama altura.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos CUERPOS DE REVOLUCIÓN Son cuerpos geométricos que surgen a partir de otros cuerpos que son planos pero que giran alrededor de uno de sus lados llamado eje. Bases Figura 39. En la rotación los puntos mantiene la misma distancia del eje. Las secciones producidas por dichos planos son dos círculos llamados bases del cilindro. Todos los puntos de la generatriz describen circunferencias cuyos centros están en el eje. 55 . Cilindro ÁREA DE UN CILINDRO ÁREA LATERAL Es el área de la superficie cilíndrica que lo limita. Podría ser considerado como un prisma cuyas bases sean círculos. Ver figura 39. CILINDRO Se llama cilindro de revolución o cilindro circular recto a la porción de espacio limitado por superficie cilíndrica de revolución y dos planos perpendiculares al eje. Eje Generatriz Altura También se considera al cilindro como el cuerpo generado por un rectángulo que gira sobre un lado. El lado de la figura plana que gira se llama generatriz. Par calcular el área lateral del cilindro se desarrolla en cilindro desplegando este desde una de sus generatrices. Ver figura 40. es decir la altura del cilindro.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos El área lateral de un cilindro circular recto es igual a la longitud de la circunferencia de la base por la generatriz del cilindro. Desarrollo de un cilindro ÁREA TOTAL DE UN CILINDRO El área total de un cilindro es igual a la suma del área lateral y el área de las bases. Como las bases son círculos el área de cada una de ellas es: Por lo que el área total del cilindro es: Remplazando valores: 56 . Por lo que el área lateral es: r r Base Figura 40. Ver figura 40. SOLUCIÓN Según la ecuación para el área. se tiene: Remplazando valores: Y el volumen: 57 . se tiene: Ya que la altura es la generatriz. Como el volumen del prisma es el producto del área de la base por la altura. EJEMPLO 1 Determinar el área total y volumen de cilindro cuyo radio de la base es 5 cm y cuya generatriz tiene una longitud de 10 cm.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos VOLUMEN DEL CILINDRO Es el límite del volumen de un prisma inscrito de base regular cuyo número de lados crece infinitamente. 8 m de altura? 8. reglas y compas y dibuja el desarrollo de un cilindro recto cuya base tiene 2 cm de radio y su altura es de 8 cm. El radio de su base mide 4 m y la altura 5 m. 4. ¿cual es el costo de toda la obra? 9. si el radio de la base mide 4 cm y la generatriz 11 cm. 10. Hallar el área total de un cilindro si el radio de la base mide 20 cm y la generatriz 30 cm. Impermeabilizar 1 m2. Las paredes de un pozo de 12 m de profundidad y 1.6 cm2 y el radio de la base mide 10 cm. Hallar el are de un cilindro circular recto. 5.6 m de radio y 1.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos EJERCICIO 6 1. Hallar el volumen de un cilindro sabiendo que: el área total es 75.36 m2 y su generatriz es el doble del radio de la base. si se sabe que su área lateral es 756. Toma lápiz. Hallar la generatriz de un cilindro cuya área total es 408. 6. Hallar el volumen de un cilindro cuyo radio de la base es 7 cm y cuya altura es de 15 cm.6 m de diámetro han sido repelladas a razón de $ 4000 el metro cuadrado. Se desea impermeabilizar el suelo y las paredes interiores de un aljibe circular abierto por arriba. ¿Que cantidad de ladrillo se necesita para construir un deposito cilíndrico cerrado por ambas bases que tenga 0. 3. Hallar la generatriz de un cilindro. Si cuesta $ 1800.2 cm2 si el radio de la base mide 5 cm. ¿Cuanto costo la obra? 58 . 7. 2. Cono La porción de espacio limitada por una superficie cónica de revolución y un plano perpendicular al eje. ÁREA LATERAL DE UN CONO RECTO Uno de los catetos es el radio del cono. Al construir con radio . Altura Generatriz Radio Base Figura 41. ver figura 41. este es el que forma parte del plano. Podría ser considerado como una pirámide cuya base sea un círculo.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos CONO CIRCULAR RECTO Es la figura geométrica generada por un triangulo rectángulo al girar sobre uno de sus catetos. 59 . el sector circular del arco igual a la circunferencia de la base del cono. se obtiene el desarrollo de la superficie lateral del cono. que contiene la base del cono. se llama cono circular o cono de revolución. se tiene: 60 . Ver figura 42. multiplicado por la medida de la generatriz. Como el volumen de la pirámide es la tercera parte de la base por la altura. por lo tanto: Por lo que el área total es: VOLUMEN DEL CONO Es el límite del volumen de una pirámide inscrita de base regular cuyo número de lados aumenta infinitamente. ÁREA TOTAL DEL CONO Resulta de sumarle al área lateral el are de la base que es un círculo.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos V V r Figura 42. Desarrollo del cono Como el área de un sector circular es igual al semiproducto de la longitud de su arco por la medida del radio. se tiene: El área lateral del cono circular es igual a semicircunferencia de la base. cuyo radio de la base es 5 cm y cuya altura es 8 cm. SOLUCIÓN Aplicando la formula: Remplazando valores: 61 .Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos EJEMPLO 1 Determinar el área total y el volumen de un cono circular recto cuya generatriz es 10 cm. Si el precio de la teja es de $ 8400 m2. Hallar el área lateral de un cono.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos EJERCICIO 6. la altura 5 cm. donde el área total es . cuyo diámetro es de 4 m y su altura de 7 m. ¿cual es el precio? 6. Hallar el volumen de un cono si el radio de la base mide 12 cm y la altura 20 cm.1 1. 4. Hallar el volumen de un cono. 8. Se quiere forrar de teja dicho cono. Hallar el área total de un cono sabiendo que el área lateral mide y el radio mide 4 cm. Hallar el área total y el volumen de un cono que mide 15 cm de alto y su generatriz mide 17 cm. 10. 9. 3. Hallar el volumen de un cono donde el radio es la tercera parte de la altura que es tres cuartas partes de la generatriz que mide 30 cm. Una torre acaba en forma de cono. Hallar el área lateral de un cono sabiendo que el radio de la base mide 6 cm y la altura 4 cm. El radio y la altura están en relación 1:2. Hallar el volumen de un cono si la generatriz mide 7 cm. Hallar el are total de un cono si la generatriz mide 9 cm y el radio de la base 5 cm. si se sabe que el radio de la base mide 6 cm y la altura 8 cm. 2. 5. 7. 62 . r' A Bases Altura h O’ O r r B Figura 43. Tronco de Cono La porción de cono comprendida entre el vértice y el plano paralelo a la base. de apotema . Si se denominan como P y P’ a los perímetros de las bases. se llama cono deficiente. El tronco de cono también puede ser definido como el cuerpo formado al hacer girar un trapecio alrededor de su lado perpendicular a las bases. Los dos círculos que limitan al tronco de cono son las bases.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos TRONCO DE CONO Es la porción de cono circular recto comprendida entre la base y un plano paralelo a ella. Ver figura 43. ÁREA LATERAL DEL TRONCO DE CONO Para obtener el área lateral se supondrá que el tronco de cono esta inscrito un tronco de pirámide regular. La distancia entre las bases es la altura y la porción de la generatriz del cono es la generatriz del tronco de cono. se tiene: 63 . se suma el área lateral más el área de las bases. Entonces se tiene: El tronco de cono queda caracterizado por los radios de las bases.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos Si el numero de las caras del tronco de pirámide. entre las cuales se da la relación: ÁREA TOTAL DEL TRONCO DE CONO Para determinar el área total del tronco de cono. y la generatriz. Se aumenta infinitamente. la altura. P y P’ tiene por limites los valores y y la apotema del tronco de pirámide tiene por limite el valor de la generatriz del tronco de cono. h. r y r’. Por lo que si: Y Entonces el área total es: Remplazando valores: Por lo tanto VOLUMEN DEL TRONCO DE CONO 64 . g. r y r’ los radios de las bases del tronco de cono.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos El volumen del tronco de cono es análogo al del tronco de pirámide regular por lo tanto. SOLUCIÓN Par el cálculo del área total es necesario el valor de la generatriz. se tiene: Donde h es la altura. EJEMPLO 1 Determinar el área total y el volumen de un tronco de cono cuyos radios son 4 y 6 cm respectivamente y cuya altura es 10 cm. por lo tanto aplicando la relación: Despejando la generatriz: Aplicando el la ecuación para el área total: Y para el volumen: 65 . Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos 66 . determinar las dimensiones. Hallar el área lateral de un tronco de cono cuya altura mide 8 cm y los radios de las bases miden 4 cm y 10 cm respectivamente. Los radios de sus bases miden 14 cm y 20 cm. 8. Calcular el volumen. Hallar el área total y el volumen de un tronco de cono cuya altura mide 4 cm. Hallar la generatriz. Determinar su área lateral. 38 cm. Un cono cuya base tiene un radio de 12 cm y cuya altura es de 16 cm es cortado por un plano perpendicular a su eje que pasa a 4 cm de la base. radio menor 7 cm y altura 20 cm. respectivamente. Determinar el área lateral de un tronco de cono donde los radios mayor y menor guardan una relación de 4:2 y se sabe que el menor mide 12 cm y la altura 20 cm. área total y volumen de un tronco de cono. Hallar el área total. En un jardín se tiene 32 macetas con forma de tronco de cono. y su generatriz. El área lateral de un tronco de cono es 560 π cm2.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos EJERCICIO 6. 7. d. respectivamente. Calcular el área y el volumen de un tronco de cono cuyo radio mayor mide 12 cm. 6. es cortado a 10 cm de su base por un plano paralelo. 67 . si se sabe que los radios de las bases miden 11 cm y 5 cm y la altura 8 cm. 2. Hallar el área lateral. Calcular cuanto cuesta pintarlos (solo la parte lateral) si cuesta $4000 Cada metro cuadrado de pintura y mano de obra. 4. c. si los radios de las bases miden 9 cm y 6 cm respectivamente. Un cono circular recto cuya radio de la base mide 13 cm. Hallar su generatriz. 3.2 1. su área total y volumen si la generatriz del tronco resultante mide 15 cm. 5. Hallar el área lateral. 10. En un tronco de cono cuyas bases tienen radios de 17 cm y 22 cm y cuya altura es de 12 cm: a. El radio de la base mayor y la generatriz son iguales. b. El radio de la base menor vale 8 cm y la altura del tronco de cono mide 16 cm. el área lateral y el área total del tronco de cono formado. 9. La superficie de la esfera o superficie esférica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya distancia al centro es igual.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos ESFERA Una esfera es el cuerpo de revolución que se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro. La intersección de una esfera con un plano es un círculo cuyo radio. del plano al centro de la esfera: Figura 44. si el plano atraviesa la esfera. a esta distancia se le llama radio. y la distancia. El centro y el radio de la esfera son los del semicírculo que la genera. se obtiene conociendo el radio de la esfera. tangentes (con un solo punto común) o secantes. el círculo que se determina se llama círculo máximo y la circunferencia correspondiente circunferencia máxima. Intersección De Una Esfera y Un Plano Si el plano pasa por el centro de la esfera (la corta diametralmente). ver figura 44. Un plano y una esfera pueden ser exteriores (sin puntos comunes). r. se utiliza las formulas: El área de la superficie esférica es: El volumen de una esfera es: 68 . d. Para el calcula del área y volumen de la esfera. Un plano diametral divide la esfera en dos partes llamados hemisferios. R. El eje de rotación o eje terrestre. por ejemplo.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos En la vida cotidiana se encuentran muchos ejemplos de esferas como en una pelota o una canica. en cuyos extremos se sitúan el polo norte y el polo sur. SOLUCIÓN 69 . LA ESFERA TERRESTRE Como la Tierra tiene forma casi esférica (está un poco achatada por los polos). el ecuador. Los meridianos. Se llama meridiano cero al que pasa por Greenwich. que permiten precisar la posición de cualquier punto sobre ella. EJEMPLO 1 Calcular el área y volumen de una esfera de radio 2 cm. Polo Norte Meridiano Paralelo Ecuador Polo Sur Figura 45. Esfera Terrestre Sobre ella se trazan líneas imaginarias. semicircunferencias que unen los polos. los paralelos y los meridianos. menores que él. es llamada esfera terrestre. que es una ciudad inglesa muy cerca de Londres. que es la circunferencia máxima perpendicular al eje terrestre. Los paralelos. la posición de un pueblo o ciudad. circunferencias paralelas al ecuador. Esas líneas son: el eje terrestre. pero el caso más particular es en la esfera terrestre. El ecuador. se tiene: Para el volumen: 70 .Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos Aplicando la formula para el área. 3 1. Una esfera de cobre se funde y con el metal se hacen conos del mismo radio de la esfera y de altura igual al doble del radio. 4. Por pintar el lateral de un deposito cilíndrico de 4 m de altura y 4 m de diámetro. Calcular el área de una esfera de 5 cm de radio y de una cuyo radio es el doble de la primera.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos EJERCICIO 6. 5. La cúpula de un edificio tiene forma de media esfera cuyo radio mide 9 metros. Calcula su superficie. Describir los resultados. ¿Cuántos conos se obtienen? 71 . 2. Un pintor ha cobrado $100000. Consultar como se determina la posición de un lugar en la esfera terrestre y realizar algunos ejemplos. 3. Calcular el área y volumen de una esfera de 8 cm de radio. ¿Cuanto debe cobrar por pintar un depósito esférico de 2 m de radio? 6. Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos UNIDAD 7. LOGROS Conoce y diferencia entre los diferentes movimientos en el espacio. Realizar translación de figuras en el espacio. III. Realizar rotación de figura en el espacio. Conocer los movimientos presentes en el espacio. Realiza rotaciones aplicando los elementos básicos. II. MOVIMIENTOS PLANOS OBJETIVOS I. IV. Realizar reflexiones y simetrías en el espacio. 72 . Construye figuras a partir de los movimientos planos. Construye figuras a partir de la simetría y la reflexión. Realiza translaciones de figuras con especificaciones dadas. sino también los movimientos de esas figuras. En la vida cotidiana se encuentran muchos ejemplos de deslizamientos. trasladarse en una escalera mecánica. por ejemplo: cuando se abre una gaveta. En la traslación del tamaño. Traslación. 73 . girar en un auto o en la rueda o verse en un espejo son movimientos físicos. cuando se abren o se cierran las verjas en las casas. Esos movimientos inducen en la geometría el estudio de las transformaciones de figuras. La geometría describe los movimientos al estudiar la correspondencia entre los puntos de la figura original y los puntos de la nueva figura o imagen. BB’. se observa que AA’. la forma y la orientación de la figura permanecen constantes. la traslación se puede realizar en cualquier dirección. Sin embargo. El deslizarse en una patineta o en una pista de hielo. Translación En la figura 46. CC’ y DD’ son paralelas. gira o se voltea no cambia de forma ni tamaño. A’ A B B’ D D’ C’ C Figura 46.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos MOVIMIENTOS PLANOS La geometría no es sólo el estudio de las figuras y sus propiedades. cuando se practican deportes como el patinaje. reflexión de figuras son movimientos estudiados por la geometría. Algo interesante en estos movimientos es que la persona o el objeto que se desliza. rotación. Como se observa en la figura 46. TRANSLACIÓN Para comprender el concepto de translación conviene pensar en un deslizamiento sobre el plano. Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos Para realizar una traslación solo basta con tener una dirección de movimiento y el número de posiciones que se moverá o trasladara la figura. O P Q 7 posiciones C A S R O P 10 posiciones B E F D Figura 47. SOLUCIÓN Realizando la translación de cada vértice de las figuras se obtiene: C’ A’ B’ Q E’ 7 posiciones F’ S D’ R C A B F 10 posiciones O’ E P’ D Q’ S’ R’ Figura 48 74 . en la cantidad y dirección indicada. EJEMPLO 1 Realizar la translación de las figuras. 1 1. Observar que ocurre. 6 posiciones diagonal arriba d. Investiga herramientas para realizar translación de figuras y construye una de ellas como el TRASLATORE DI KEMPE. 75 . a. 4 posiciones hacia arriba c. Copiar el mosaico sobre un material transparente (papel vegetal o acetato) y desplazar la copia horizontal y verticalmente varias veces. 5 posiciones hacia la derecha b.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos EJERCICIO 7. 2. 3 posiciones transversal abajo. 3. dibujar las figuras y realizar la translación indicada. Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos 76 . También se debe definir o concretar el ángulo de giro que se quiere aplicar. 77 . El centro de giro puede ser un punto de la figura o puede ser un punto externo a ella. para paralelogramo RSTU el centro de giro esta en un punto externo Q. T’ S’ C B’ S’’ C’ U’ U T R’ T’’ R’’ B A S R Q U’’ Figura 49. pero no la orientación. Rotaciones En el triangulo ABC de la figura 49 el centro de giro esta sobre el vértice A. Como se ve en la figura 49. Se tienen ejemplos de giros en muchas de actividades cotidianas: el movimiento de las agujas de un reloj al abrir una puerta el movimiento del volante al manejar un carro Para realizar una rotación en el plano se debe fijar un punto llamado centro de giro sobre él que gira la figura. En la rotación permanece el tamaño y la forma de la figura.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos ROTACIÓN La rotación o giro es otro de los procedimientos para conseguir las transformaciones geométricas. Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos EJEMPLO 1 Girar el grafico 90o. SOLUCIÓN Utilizando el punto de referencia Q y un transportador se obtienen las rotaciones solicitadas. 270o sobre el punto Q como se ilustra en la figura. 180o. Figura 50. 78 . Q 270o 90o 180o Figura 51. dibujar las figuras y rotarlas 90o. Dependiendo del número de veces que la figura coincide consigo misma al girarla 360o. O O O Figura 52. se la clasifica diciendo que tiene simetría de giro de orden 2. 270o sobre el punto indicado. A ese punto se le llama centro de giro y se dice que la figura es simétrica por rotación. ORDEN GIRO Hay figuras que al girar sobre un punto vuelven a coincidir consigo mismas. En la figura se pueden observar tres graficas cuyo orden de giro. investiga y construye el PANTÓGRAFO DE SYLVESTER para rotaciones. de orden 3. etc.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos EJERCICIO 7. tomando de referencia al punto O es: Figura A: simetría de giro de orden 2 Figura B: simetría de giro de orden 3 79 . de orden 4.2 1. 180o. Q P 2. Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos Figura C: simetría de giro de orden 4 EJERCICIO 7. 80 . Dibujar una figura que tenga simetría de giro de orden 3. A D B C E F 2.3 1. Determinar cual es el orden de simetría de giro de la figuras. 4 y 6. 81 . etc. En el plano. respecto a una línea. el entorno está lleno de formas que poseen al menos. Ver figura 54. como el deslizamiento y el giro. Simetrías Cotidianas De otro lado. es la que se vería en un espejo colocado verticalmente sobre la línea. las personas están familiarizadas con el concepto ya que cada vez que se miran al espejo. Eje de simetría Figura 53. también está muy presente en la vida cotidiana. un eje de simetría: muchas hojas de los árboles. A esta línea se le llama eje de reflexión. P P’ Eje de reflexión Figura 54. Por una parte.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos SIMETRÍA O REFLEXIÓN El concepto de simetría o reflexión. Como se observa en la figura 53. algunos animales: mariposas. la figura simétrica a una dada. lo que ven es una reflexión o simetría de su imagen. estrellas de mar. deben formar la figura original. son las reflexiones cuyo eje es esa recta. por lo tanto tienen fijos todos los puntos de una recta. se clasifican según la cantidad de puntos fijos que tienen. Otra forma de comprobar si se tiene simetría axial consiste en colocar un espejo verticalmente a la figura. que si se pliega la figura a lo largo de esa línea. pero la figura obtenida no puede coincidir con la original ni por traslación ni por giro. 82 . EJEMPLO 1 Comprobación por doblez Comprobación con espejo Figura 55.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos En la reflexión las propiedades de tamaño y forma permanecen. las dos mitades coinciden. Las isometrías (movimientos rígidos o congruencias) de un plano. de tal forma. Las que tienen más de un punto fijo. la mitad de la figura que queda a la vista y la imagen que se ve en el espejo. diferentes de la identidad. sobre el eje de reflexión. Se dice que una figura tiene simetría axial (o eje de simetría) si se puede marcar una línea. Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos EJERCICIO 7. Dibujar las el reflejo que aparecería. Dibujar las figuras simétricas a las dadas: 2.3 1. ubicando un espejo a lo largo de la línea. 83 . 84 .Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos 3. Construye un rombo articulado para la construcción de figuras con simetría axial. Figura 57. Completa las figuras.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos 4. Figura 56. 85 . II. LOGROS Conoce las funciones trigonométricas básicas. Aplica las funciones trigonométricas para la solución de problemas de la vida real.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos UNIDAD 8. TRIGONOMETRÍA OBJETIVOS I. Aplicar las funciones trigonométricas en la solución de problemas de la vida diaria. Conocer las funciones trigonométricas. 86 . FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ANGULO AGUDO EN UN TRIANGULO RECTÁNGULO. Triangulo ABC 87 A . α O O -α Figura 58. Ángulos Trigonométricos Cuando las semirrectas coinciden después de dar un giro completo el ángulo formado es de 360o. Ver figura 58.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos TRIGONOMETRÍA ANGULO TRIGONOMÉTRICO En trigonometría el concepto de ángulo se mantiene ya que este esta formado por dos semirrectas con origen común. Adicionalmente se ha convenido que los ángulos cuya dirección sea contraria al sentido de giro de las manecillas del reloj sean considerados positivos y negativos a los que son medidos en el sentido de las manecillas del reloj. C a b B c Figura 59. Es TANGENTE: es la razón entre el cateto opuesto y el cateo adyacente. El seno se nota como . Es . Se nota como . Las funciones o razones trigonométricas de los ángulos agudos A y B son: SENO: es la razón entre el cateto opuesto a la hipotenusa. se nota como 88 . Es decir: COTANGENTE: es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto. El coseno se nota como decir: . Es decir: . Se nota como decir: SECANTE: es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente. Es decir: COSENO: es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos Al considerar el triangulo rectángulo ABC rectángulo en A (figura 59). Lo primero que hay que realizar es determinar la medida de la hipotenusa. SOLUCIÓN Construyendo una grafica para el ejercicio se tiene: C a B 6 cm 8 cm A Figura 60. se nota como . Con lo que: Remplazando valores: 89 . Es decir: EJEMPLO 1 Dado el triangulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos COSECANTE: es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto. calcular las funciones trigonométricas del ángulo agudo mayor. lo cual se realiza mediante el teorema de Pitágoras. por ejemplo: El seno. 90 B . Por lo tanto RELACIÓN ENTRE LA RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Algunos valores de las funciones trigonométricas se muestran en la tabla. coseno y la tangente ya que estas tres razones no son independientes entre sí. ya que el ángulo mayor es aquel donde se cumple que “a mayor lado se opone mayor ángulo”. 0o 30o 45o 60o 90o Función 0 1 1 0 0 1 Los valores de las razones trigonométricas se relación.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos Despejando la hipotenusa: Según la grafica el ángulo mayor es B. según la figura 61: 2. permiten resolver cualquier triángulo rectángulo conociendo dos datos. Uno de los ángulos agudos aplicando la razón trigonométrica que relacione los dos lados conocidos. 91 . 3. El uso de las razones trigonométricas junto con el teorema de Pitágoras. El cociente entre el seno y el coseno de un ángulo es su tangente: Ya que. 2. Para resolver un triángulo se debe determinar o conocer el valor de sus tres lados y sus tres ángulos. Para calcular el otro ángulo agudo basta considerar que la suma de los ángulos agudos de un triangulo rectángulo es de 90o. CONOCIDOS DOS LADOS Para este caso de triángulos rectángulos se siguen los siguientes pasos: 1. C 1. Para cualquier ángulo . donde uno de ellos debe ser un lado. se verifica que: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Una de las aplicaciones más inmediatas de la trigonometría es la resolución de triángulos.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos A Figura 61. El tercer lado se halla o calcula aplicando el teorema de Pitágoras. una grafica del triangulo seria la de la figura 62. la función aplicable es la tangente o su inversa la cotangente. Por lo que lo primero es determinar el tercer lado utilizando el teorema de Pitágoras. Como los lados conocidos son los catetos. y . recto en A si los catetos miden 4 cm y 3 cm. Utilizando la tangente. SOLUCIÓN Según la información. por lo que: El segundo paso es hallar uno de los ángulos. B 3 cm A 4 cm C Figura 62.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos EJEMPLO 1 Resolver el triangulo rectángulo ABC. Despejando C: 92 . se tiene: Para calcular el tercer ángulo. 93 . Por lo que los pasos a seguir son: 1. B 3 cm 5 cm A 4 cm C Figura 63. por lo tanto: Despejando a B: El triangulo rectángulo ABC. El proceso es similar al caso anterior. mediante otra razón trigonométrica. CONOCIDOS UN LADO Y UN ANGULO Para este tipo de triángulos el ángulo conocido debe ser agudo. El segundo ángulo solo se aplica que la suma de los ángulos agudos de un triangulo rectángulo debe ser igual a 90o. se muestra en la figura 63. Se calcula otro lado mediante la razón trigonométrica que relacione el ángulo conocido y el lado conocido. se debe comprobar que A y B sumen 90o.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos Convirtiendo a grados minutos y segundos. o bien. 3. 2. El tercer lado se calcula mediante el teorema de Pitágoras. Despejando : Ahora la longitud de la hipotenusa. el cual puede ser el cateto adyacente o la hipotenusa. para el caso del cateto adyacente. tiene una longitud de 6 cm y el angulo A SOLUCIÓN Según la información del enunciado se tiene que: C 6 cm b 50o A B c Figura 64. si el lado tiene una medida de 50o. Lo primero es calcular uno de los lados. usando el teorema de Pitágoras: 94 .Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos EJEMPLO 1 Resolver el triangulo rectángulo ABC recto en B. Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos Como la suma de los dos ángulos agudos de un triangulo rectángulo debe ser 90o.037 cm Figura 65. C 40o 6 cm 7.833 cm 50o A 5. 95 B . entonces: Con los valores encontrados el triangulo rectángulo queda resulto como se ve en la figura 65. Determinar las razones trigonométricas para los siguientes triángulos. Comprobar mediante el teorema de Pitágoras que se cumple 2.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos EJERCICIO 8 1. C C 20 cm A a 7 cm 9 cm A B c 9 cm C A 96 c 60o b b 18 cm B C . Resolver los triángulos rectángulos. A A 5 cm 10 cm B c b 8 cm C B 4 cm A 7 cm C c B 4 cm 3. se tiene: Despejando el cateto opuesto Remplazando valores: 97 . está apoyada contra la pared. un ángulo de 72o. Con la figura 66. y que además la longitud de la escalera es la hipotenusa del triangulo por lo que aplicando la función . Se observa que la altura de la pared corresponde al cateto opuesto con relación al ángulo formado por la escalera con el piso.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos APLICACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Las técnicas para la resolución de triángulos rectángulos pueden aplicarse para resolver diversas situaciones cotidianas de medición. Algunas de estas aplicaciones se presentan a continuación. qué altura alcanza si forma con el suelo. EJEMPLO 1 Una escalera de 9 m. SOLUCIÓN Según los datos se tiene que: 9m 72o Figura 66. Para determinar el radio de la circunferencia que coincide con la apotema del polígono (figura 67).Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos Por o que altura de la pared es de 8. Primero se calcula el ángulo central del polígono: Por lo que el ángulo es de 360.56 metros. Aplicando la función trigonométrica tangente se obtiene: Despejando al cateto adyacente y remplazando valores: 98 . EJEMPLO 2 ¿Cuál es el radio de una circunferencia inscrita en un pentágono regular de 2 cm de lado? SOLUCIÓN r 1 cm 2 cm Figura 67. Para determinar la altura de la estatua según la figura 68. ¿cuál es la altura de la estatua? SOLUCIÓN D C 40 m 5o B A 25 m Figura 68. a una distancia AB de 25 m del pie de la columna. EJEMPLO 3 La estatua CD está colocada sobre una columna BC de 40 m de alto.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos Por lo que el radio de la circunferencia inscrita es de 1. la estatua se ve bajo un ángulo de 5o. Hay que determinar la altura desde el piso hasta la estatua ( ). Por lo que: Hallando el ángulo A: Despejando A: 99 .38 cm. calcular la distancia del faro a la embarcación.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos Luego el ángulo BAD es: Aplicando tangente para determinar la longitud de : Por lo que: Luego la atura de la estatua es: EJEMPLO 4 Desde lo alto de un faro de 150 m. SOLUCIÓN 23o 30’ 150 m d Figura 69. de altura se observa una embarcación a un ángulo de depresión de 23o 30'. 100 α . 101 .99 metros.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos Como los ángulos alternos internos entre paralelas son iguales y aplicando la función tangente se tiene: Por lo que la distancia desde el faro hasta la embarcación es de 344. La torre Eiffel. Para determinar la altura de una torre transmisora que se encuentra sobre un cerrito. Calcular cuánto mide el radio del círculo inscrito y el del círculo circunscrito en el pentágono regular cuyos lados miden 25 cm. y si la elevación del montículo de tierra es de dos metros con respecto al suelo nivelado. Sobre la azotea de una iglesia se encuentra una cruz monumental como se muestra en la figura. El ángulo de elevación hasta la base de la cruz es de 45o y el ángulo medido hasta el extremo de la cruz es de 47. Ver figura 71.2o ¿cuánto mide la cruz? 4. 85o 21’ 80 pies Figura 70. Encuentra la altura de la torre Eiffel. Cada uno. era la torre más alta hasta que inició la era de las torres de televisión.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos EJERCICIO 8. un topógrafo se sitúa a 300 metros de la torre sobre el suelo nivelado. ¿Qué altura tiene la torre? 2. (sin contar la antena de televisión que está en su cúspide) usando la información proporcionada en la figura 70.1 1. Si el topógrafo mide que el ángulo de elevación a la cúspide de la torre es de 40o. 3. Se hacen dos observaciones desde el nivel de la calle y a 30 pies desde el centro del edificio. 102 . símbolo de la ciudad de París fue terminada el 31 de marzo de 1889. Hallar su altura. El pie de una escalera de cinco metros de largo dista 1. Hallar el ángulo de elevación de la ladera de una montaña que en una distancia horizontal de un octavo de kilometro alcanza una elevación de 238 metros.912 millas. ¿Cuál es la altura del sol sobre el horizonte en el momento en que la longitud de la sombra de una varilla vertical sea el doble de la longitud de la varilla? 7. Desde el extremo de una torre de 42 m de altura. ¿cuál es el punto de su superficie más lejanamente visible desde la cima de una montaña de 1. 9. Desde la cúspide de un faro de 52 m de altura se observa que los ángulos de depresión a dos botes alineados con él son de 16o 10’ y 35o respectivamente. 14. Cuando se levanta un ángulo de 65o. 5. Encontrar la distancia entre los botes. el ángulo de depresión al extremo de otra es de 21o 50’. proyecta una sombra de 167 m de largo? 12. 10. se observa que el ángulo de elevación a su cúspide es de 38o 25’. 11. La escalera de un carro de bomberos puede extenderse hasta una longitud máxima de 24 m. calcular la altura de la segunda torre. ¿Cuál es el ángulo de elevación del sol cuando una torre de 103 m de alto. Calcular el perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 18 cm. ¿qué altura sobre este puede alcanzar la escalera? 8.Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos Figura 71. Si la base de la escalera está a dos metros sobre el suelo. hallar el ángulo formado por ambas.9 metros de una pared vertical en la cual se apoya. Si entre ambas torres hay una distancia de 72 m. 6.25 millas de alto? 13. 103 . Si el diámetro de La Tierra es de 7. A una distancia de 105 metros de la base de una torre. slideshare. © 1993-2007 Microsoft Corporation. Arranz. Publicaciones Cultural. 623p. <http://concurso. Reservados todos los derechos. Santa Isabel. José Manuel.vitutor. [Citado el 7 de mayo de 2009].pntic.htm>. Poliedros [en línea]. Aurelio. José Manuel.html >. Claudia. [Citado el 10 de mayo de 2009]. Vigésima reimpresión.htm>. < http://www. Vitutor. < http://roble.mec. Geometría plana y del espacio y trigonometría: una introducción a la trigonometría. [Citado el 14 de mayo de 2009]. Esfera. Arranz.es/cnice2006/material098/geometria/index.mec. [Citado el 12 de mayo de 2009].es/jarran2/>. Poliedros [en línea]. Cuerpos geométricos [en línea]. Simón.cnice. 2004.net/2/2/10. Geometría con cabri II [en línea]. 104 .Guía De Geometría Ciclo 4 Decreto 3011 del 30/11/1994 Código DANE 319001004561 Educación Para Jóvenes Y Adultos BIBLIOGRAFÍA Baldor. México. < http://www.profesorenlinea.net/claudiabsimon/poliedrospresentation>. 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