GeometríaIV–E CAPÍTULO Compendio de Ciencias OBJETIVOS • Tener presente las semejanzas de triángulos. • Ubicar los elementos homólogos y hacer las relaciones que existen entre ellos • Diferenciar entre congruencia y semejanza de triángulos. INTRODUCCIÓN EUCLIDES (450 - 347 a.C.) Matemático griego, se cree que nació en Gela o Megara donde fundó una escuela de filosofía. Discípulo de la escuela eleática, se le considera el padre de la Geometría Euclidiana. Mediante un razonamiento de carácter científico elaboró teorías a partir de la formulación de hipótesis, siguiendo un meticuloso camino deductivo, acción que se conoce como método axiomático. Se considera que la implantación de ese método es el primer caso de un estudio que diseñó un instrumento de investigación. Por encargo de Ptolomeo, rey de Egipto, desplazó su sitio de trabajo al Museo de Alejandría, el más importante centro cultural de la época. El edificio geométrico construido por Euclides ha sobrevivido hasta el presente y se dedicó a escribir su obra: “Elementos” (consta de 13 capítulos, llamados libros), compendio del conocimiento matemático desarrollado por él y otros estudiosos de la geometría plana y del espacio, de las proporciones geométricas y de la aritmética. Libro I.- Relación de igualdad de triángulos. Teorema sobre paralelas. Suma de ángulos de un polígono. Igualdad de las áreas de los triángulos o paralelogramos de igual base y altura. Teorema de Pitágoras. Libro II.- Conjunto de relaciones de igualdad entre áreas de rectángulos que conducen a la resolución geométrica de la ecuación de segundo grado. Libro III.- Circunferencia, ángulo inscrito. Libro IV.- Construcción de polígonos regulares inscritos o circunscritos a una circunferencia. Libro V.- Teorema general de la medida de magnitudes bajo forma geométrica, hasta los números irracionales. Libro VI.Proporciones, triángulos semejantes. Libro VII, VIII y IX.- Aritmética: proporciones, máximo común divisor y números primos. Libro X.- Números inconmensurables bajo forma geométrica a partir de los radicales cuadráticos. Libro XI y XII.- Geometría del espacio y en particular, relación entre volúmenes de prismas y pirámides; cilindro y cono, proporcionalidad del volumen de una esfera al cubo del diámetro. Libro XIII.- Construcción de los cinco poliedros regulares. 59 Compendio de Ciencias IV–E SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Los triángulos son semejantes cuando tienen los ángulos interiores iguales y los lados homólogos proporcionales. c ck Ejemplos aplicativos: Se tiene un triángulo ABC y sobre los lados AB y BC se construye exteriormente los cuadrados ABPQ y BCMN. Determine el menor ángulo que determinan AN y MQ. Son los lados opuestos a ángulos iguales de dos triángulos semejantes P QR Resolución: AB BCAC k PQ QR PR k ak a Lados Homólogos: Si: A B G Geometrí a razón de semejanza N P * El símbolo de semejanza es” “ b b 2 B La semejanza de los triángulos nos dice que las formas permanecen invariables, solamente se diferencian por sus a 2 Q b a tamaños. b a CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS I. Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos respectivamente congruentes. A C QBM ABN Por lo tanto: x = 45° III. Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres lados respectivamente proporcionales b a Ejemplo: Calcular x bk ak ck c Ejemplos: En los siguientes gráfcos, calcular x 1 x 8 B 13 Resolució n: ABC x 13 9 9 1 x x 3 C Resolución: 2, 6 12 2,6 14 1 x Q 15 A Los triángulos son semejantes x M 14 2, 8 P QR 15 3 k Por lo tanto k = 5 Entonces: 12 15 12 x 2, 4 x 3 5 3 x P R 2,8 Compendio de Ciencias E II. IV–Dos triángulos son semejantes, cuando tienen un ángulo respectivamente congruente y las longitudes de l o s l ad o s qu e fo r m a n a di c h o á n gu l o respectivamente proporcionales. 60 Geometrí a PROPIEDADES 1. En todo triángulo se cumple que el producto de dos lados es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita multiplicado por la altura relativa al tercer lado. En la figura mostrada se cumple.Geometrí a 5. N a B C M x N A b 7. 30° 30° 3 x a b x 2. x D 2 1 1 x a b . R a h b ab 2R h Compendio de Ciencias IV–E PAPPUS: El cuadrado de la distancia de un punto del ar c o de u n a c i r c u n fer en c i a a su c u er da correspondiente es igual al producto de las distancias de dicho punto hacia las tangentes trazadas por los extremos de la cuerda. Si M y N son puntos de tangencia. Si M y N son puntos de tangencia. a TEOR EMAS b M 1. Si M y N son puntos de tangencia. En la fgura mostrada se cumple: En la figura mostrada se cumple. En la fgura mostrad a se cumple: x N x 2 ab 6. M x 2 ab a 2 x 45° a b x 3. En todo trapecio isósceles circunscrito se cumple. Si M y N son puntos de tangencia. E n la fi g u ra m o st ra d a s e c u m pl e.Geometrí a x M b 4. s i p o r e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n d e l a s d i a a a a g o n a l e s s e t r a z a u n a p a r a l e l a a l a s b a s e s . B D B C F a b E F A EF a b A D b . E n u n t r a p e c i o . s e c u m p l e . Si : F // AD b Compendio de Ciencias IV–E A B // E F // C D. S i : B C / / E 8 . x En la figura demostrar que: 1 b 1 3 a x L.Compendio de Ciencias IV–E Geometrí a Problema Desarrollado Problema por Desarrollar En la fgura.q.d.q. demostrar que: 3 1 1 x a b Resolución: A P C : Isósceles Entonces: BP = BC = b PC b 3 A P C AB D b 3 a ab a x(a)3 ab abb b ab 3 x 2 1 1 x a b Resolución: Se prolonga AB hasta P. . tal que: PC // BD. Compendio de Ciencias IV–E 62 Geometrí a . ........ Rpta. Calcule x............ Si EF // AC........: ................... 5. calcule x......... En el gráfico..... Rpta.......... En el gráfico.. ..... Calcule el perímetro del cuadrado ABCD ..... ........... Rpta.. ... ............................... calcule x.. 3... Rpta............................ Calcule x.......... 12 Rpta.: ........ 2. calcule x........... 4..... si ABCD es un romboide.......: ........................... Rpta........ Calcule x...: ....Geometrí a 1. 6......... 7.. En el gráfico Compendio de Ciencias IV–E L // L 1 2 ... En el gráfico........: .: .......... ...........................Geometrí a Rpta........ Compendio de Ciencias IV–E 63 .: ......... calcule la distancia de O hasta AD . 4BP = 3BD y AB = 12... BC // AD. Calcule 14..... Rpta... AD = 6 y la altura del trapecio mide 4....Compendio de Ciencias IV–E 8... .. 15.............. Calcule NC. c u y as diagonales se intersecan en O.. Geometrí a S e t i en e u n t r ap ec i o A B C D ..: . Si: BC = 2..: . 4 m y 5 m ............ Si ABCD es un romboide.. 9............ el perímetro del primer triángulo es 84 m y los lados del segundo miden 3 m ...... Rpta..... ............ D e t e r m i n e l a d i f .. Se tiene dos triángulos semejantes... x....... ... l o Rpta. p r i m triángulo miden 15.................... s a d 10.. si AP y = 6.......... Calcule 13..... Los lados de un triángulo miden 24 y el menor lado de triángulo semejante al primero mide 6.. Rpta...... ..... .. .......... 19 y 23 r t calcule la medida e r del menor lado n i de otro triángulo c á semejante i n cuyo a g es 177....... a Geometrí a él perímetro 16........ .... ...... .. ....... . Determine HC. .... ..... : ... .... . .. ........... ..: .... ............ .. .. AM = MB.... .... En la figura mostrada.. . En el triángulo ABC una recta paralela a AC e intersec r a a AB 12......... m HBC = 3m ABH y AH = 2.... ... ... Rpta.. . ...... ..Compendio de Ciencias IV–E e 17... 18....: ..... . . . .... calcule AB.... .. . Si AB = 8 m y BC = 6 m.. ..... Calcule DF. . tales que AD // BE // CF.... ... . un la En un trapecio longitud del lado CADF. . : . ...... : ... . . ... l 11.... .. Si: 3AB = 5BC y EF = 18..... se toman los puntos B y E respectivamente................... determine r. ..... l e o Rpta.. . R pt a.. ... ............. 18 y ...... PB o = 2 y AC R pt a. l Si los lados de un u d Rpta............. ..... sobre CA mayor del último y DF triángulo....: ... 17.... Rpta.... : ...... . En un triángulo ABC se traza la altura BH de manera que 5AB = 2BC....: . y BC en los puntos P o y s respecti Q vamente m ... Si: MP = a.... . .. calcule a PQ. . . MQ = b. .. (O: centro) .. r y m e n o r d e = 12... . . . 64 Geometrí a ..Compendio de Ciencias IV–E R ... .. ... .......... .. R 1 10 m. BH = a y Compendio de Ciencias IV–E 20.. Determine BL...... . : .. .. 4 ... En la figura L es el ortocentro del triángulo. En la figura mostrada... Si R = 5. m ... 1 ... y P Q = 6 m y B C = Rpt ... ...Geometrí a 19. . . A) 4 .. 3 4 m ... .... HE = b.. Rp ta. C a l c u l e A B . .. ... : . . BM = MC.. . .. ... D) 9 E) 10 5.. . . . Calcule x. En el romboide ABCD. .5 A) 16 E) 6 B) 6 C) 26 2. . . .. .Geometrí a B) 4. .. C) 5 D) 5.5 4. . . En el gráfico AB = 9 y DB = 4... A) 2 B) 3 C) 4 3. . . AC = 9. A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 D) 5 E) 6 Compendio de Ciencias IV–E E) 10 . Calcule BC.. . calcule AO.. En el gráfico. . . AB = 12. D) 10 A) 6 4 E) 19 B) 7 C) 8 8 R p t a.. BN = 4.. OM = 4. Calcule x... Si PQ // EH... Creta y Grecia antes de establecer. El pitagorismo fue un estilo de vida. se le atribuye haber estudiado los misterios. INTRODUCCIÓN PITÁGORAS Isla de Samos. cuyo principal objetivo era la purificación ritual (catarsis) de sus miembros a través del cultivo de un saber en el que la música y las matemáticas desempeñaban un papel importante. hacia 572 a. de lo que derivó una revuelta que obligó a Pitágoras a pasar los últimos años de su vida en Metaponto.Compendio de Ciencias IV–E Geometría CAPÍTULO OBJETIVOS • Proporcionar una forma indirecta para el cálculo de los segmentos de un triángulo rectángulo. inspirado en un ideal ascético y basado en la comunidad de bienes. para visitar luego Fenicia y Egipto. Se tienen pocas noticias de la biografía de Pitágoras que puedan considerarse fidedignas. Algunas fuentes dicen que Pitágoras marchó después a Babilonia con Cambises. así como geometría y astronomía. • Conocer los tipos de proyección. Filósofo y matemático griego. plausiblemente. por convertirse en una fuerza política aristocratizante que despertó la hostilidad del partido demócrata. parece que los discípulos debían esperar varios años antes de ser presentados al maestro y guardar siempre estricto secreto acerca de las enseñanzas recibidas. La comunidad pitagórica estuvo seguramente rodeada de misterio. Es posible que viajara entonces a Mileto.C. Pitágoras fue el primero en emplear en su sentido literal de “amor a la sabiduría”.C. ya que su condición de fundador de una secta religiosa propició la temprana aparición de una tradición legendaria en torno a su persona. en el 522 a. La comunidad liderada por Pitágoras acabó. la más famosa de sus adheridas fue Teano. Se habla también de viajes a Delos. cuna del conocimiento esotérico. esposa quizá del propio Pitágoras y madre de una hija y de dos hijos del filósofo. También se atribuye a Pitágoras haber transformado las matemáticas en . su famosa escuela en Crotona. según la tradición. donde gozó de considerable popularidad y poder. Parece seguro que Pitágoras fue hijo de Mnesarco y que la primera parte de su vida la pasó en Samos. El camino de ese saber era la flosofía. actual Grecia. por fin. Las mujeres podían formar parte de la cofradía. para aprender allí los conocimientos aritméticos y musicales de los sacerdotes. en este último país. término que. la isla que probablemente abandonó unos años antes de la ejecución de su tirano Polícrates. en especial. el caso del 66 . éste es.una enseñanza liberal mediante la formulación abstracta de sus resultados. con independencia del contexto material en que ya eran conocidos algunos de ellos. la consideraban. h2 = m×n III. PROYECCIÓN DE UN SEGMENTO La proyección de un segmento se obtiene proyectando los extremos del segmento sobre la recta. como una medicina para el cuerpo. y. que parece haber estado directamente relacionada con la creencia en la transmigración de las almas. el universo era un cosmos. En este sentido. pero su naturaleza inteligible era de tipo numérico. A BP A’ M B’ M’ N N’ P’ AB H C : Proyección de BC Teorem a: Si en un triángulo rectángulo se traza la altura correspondiente a la hipotenusa. La santidad predicada por Pitágoras implicaba toda una serie de normas higiénicas basadas en tabúes como la prohibición de consumir animales. que enseñaba a conocer el mundo como armonía. y que sus discípulos lo consideraban una encarnación de Apolo. por lo mismo. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO B P c Proyectante A m H n 90º – C b P’ Proyección a h A H : Proyección de 2. entendían que la medicina tenía la función de restablecer la armonía del individuo cuando ésta se viera perturbada. PROYECCIÓN DE UN PUNTO La proyección de un punto sobre una recta es el pie de la perpendicular trazada del punto a la recta. para los pitagóricos. b2 = a2 + (T. En un sentido sensible. siendo la música instrumento por excelencia para la purifcación del alma. por consiguiente se cumplen las siguientes relaciones: Q Relaciones: I. la armonía era musical. PROYECCIONE S 1.Geometrí a Compendio de Ciencias IV–E famoso teorema que lleva su nombre y que establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo. ac 1 1 1 . La voluntad unitaria de la doctrina pitagórica quedaba plasmada en la relación que establecía entre el orden cósmico y el moral. se dice que el propio Pitágoras declaró ser hijo de Hermes. una relación de cuyo uso práctico existen testimonios procedentes de otras civilizaciones anteriores a la griega. se determina 2 triángulos parciales semejantes al triángulo dado. en virtud de ésta. el número resultaba ser la clave de todas las cosas. es decir. y si todo era armonía. Pitágoras c2 = bh IV. A' B' proyección de A B A c2 = bm ó a2 = bn II. El esfuerzo para elevarse a la generalidad de un teorema matemático a partir de su cumplimiento en casos particulares ejemplifca el método pitagórico para la purificación y perfección del alma. un conjunto ordenado en el que los cuerpos celestes guardaban una disposición armónica que hacía que sus distancias estuvieran entre sí en proporciones similares a las correspondientes a los intervalos de la octava musical. el hombre era también un verdadero microcosmos en el que el alma aparecía como la armonía del cuerpo. Geometrí a B' V. B VI. A' h2 2 2 a c Compendio de Ciencias IV–E a2 m c2 n 67 . Semicir cunfer encia x x2 m ·n n m Proble ma Desarro llado: Dem ostr ar que h2 = mn . Semicircunferencia B x x c a m a2 c 2 b2 d2 A d D n b.Compendio de Ciencias IV–E Geometrí a Teoremas: (P y Q son puntos de tangencia) La altura relativa a la hipotenusa es menor o igual que la mitad a dicha hipotenusa 1. a. P b h P Q 2 R r 2 R r b APLICACIONES EN LA CIRCUNFERENCIA 2. d.q. Geometrí a BHC Resolución: .Compendio de Ciencias IV–E Prob por Desar r a2 = c m Dem Resolución: AHB h m n h h2 m n 68 L.q. .. Calcule x........ Rpta. x.............. Calcule x............. En el gráfico..: .... Calcule la longitud de la altura relativa a la hipotenusa... ..: .........: .......................... 5.... calcule x............. calcule x... 9. Del gráfco.... Según el gráfico.......... Calcule C O D Rpta. ........ 10......... las medianas AM y BN se cortan perpendicularmente en el punto P...................... 3.. En un triángulo rectángulo las proyecciones de la hipotenusa sobre cada cateto miden 5 y 12. calcule CH.. ... Rpta.... Según el gráfco..... Si O es centro.. En un triángulo rectángulo ABC....... 8... . Si AC=6 .....Geometrí a 1.. Rpta....: ........: . B A Rpta..... Según el gráfico.............. 4...... . .. 2.. O es centro de la semicircunfencia cuyo radio mide 9. x 2 Rpta.................... En la figura................ ............... Si AP = 2 m........ Calcule AC.......: .... Compendio de Ciencias IV–E 6..: .. ...: ............. Rpta........... 7.... Rpta.......... calcule x......... recto en B.... calcule x.................. ................. Compendio de Ciencias IV–E Rpta................Geometrí a Rpta....... 69 ...: .: .................................. . .......... .. .. ..... ... ...... 12......... .. OA = R..... si la O B Rpta........ . calcule LM.. los catetos miden 6 m y Geometrí a 16.. Rpta..: . : ... : ... determine la longitud de proyección del R.... ....... ..... .. .. determine la longitud del radio de la circunferencia tangente a los cuartos de circunferencia y al lado BC del cuadrado ABCD....... calcule la longitud de la tangente AT en función de 8 m. En la figura....... A T Rpta.. ...... . A L D Rpta.... hipotenusa mide 15 u y la altura relativa a ella mide 6 u..Compendio de Ciencias IV–E 11......: ..... 17.... ..... B F G C 13... En la figura ABCD es un romboide.... : .. Calcule el cateto menor de un triángulo rectángulo....... Rpta. ........... en función de L.. En un triángulo rectángulo... mayor cateto sobre la hipotenusa. AG es bisectriz AM = MG....... ......... En la fgura........ AL = 9 y BF = 4. .. . 70 Geometrí a Rpta.. Si BP = 5 . Rpta...... 14.. y AB es diámetro......... A y G son puntos de tangencia.. 15.. . .......: ....: ........ En la figura....... calcule la longitud del lado del cuadrado inscrito en el cuarto de círculo de radio R... : .......... .... ... ......... Rp . .. calcule la distancia entre los puntos En la figura ABCD es cuadrado lado medios de AC y un BP . ........ ...... . ... En un rectángulo ABCD (AB < BC) se trazan las perpendiculares A E y CF a la diagonal B D .... cuyo mide B L unidades. 18.... . ... ..........Compendio de Ciencias IV–E . 20.. Determine longitud radio P la del de la circunferencia en función de L. 19.. Si AB=EF y BE=2m...... si GF = 1 y MB = 4.... calcule CD. .. ... .. A R pt ..... .. a....... .. ... .. .......... En la figura ABC es un triángulo equilátero cuyo lado mide 7 . . .. Calcule BG...... .......... ............: .. Rpta.. En la figura...... . ........ B A) 3 B) 4 D) 6 A H E) 7 2.Geometrí a 1. A) 4 2 24 C) 5 B) 4 C x C) 4 3 x+ 2 En la figura. En la figura AB es diámetro. calcule AB. en el gráfico. determine PQ. En la figura. Compendio de Ciencias IV–E Calcule AC. C) 7 B A) 2 D) 8 x+ 1 x B) 3 E) 9 C) 4 D) 5 E) 6 A x+ 2 C A F C . Calcule x. C) 7 B D) 8 6 E) 9 B Q R E) 8 6 3 B) 6 A D) 6 C A) 5 P 5. si AQ = 4 y BQ = 12. 4. Calcule x. si AF×AC = 72. x 11 A D A) 5 B B) 6 3. Geometrí a Compendio de Ciencias IV–E 71 . En la figura. La longitud de la tangente al cuadrado es igual al producto de la secante completa por la parte externa. A a x b Es el segmento perpendicular. Resolución: C 1. trazado desde el punto medio del arco. 2. T . Calcule el radio de la circunferencia.8 = 4.3 = 4. (AM)(MB)=(CM)(MD) (teorema de las cuerdas) 8. Se forma los triángulos APC y BPD APC ~ BPD C A AP CP PD PB 8 M 4 8 B r (A P)(P B)(P D)(C P)L.(2r – 4) r 10 2r = 3 4 20 x Resolución: x. determine x. Si AB = 16 m AM = MB = 8 m MC = 4 m Problema: 1.6 6 TEOREMA DE LA TANGENTE : Si desde un punto exterior a una circunferencia se traza una tangente y una secante.q. D 1.d. Demostración : A P Problema: D 1. B En una circunferencia. a la cuerda que subtiende dicho arco. el producto de las longitudes de los segmentos que determinan dichas cuerdas es constante. y su flecha mide 4m. 3.q. una cuerda mide 16m. CD=2r (diámetro) MD = CD – 4 3. 2.CAPÍTULO TEOREMA DE LAS CUERDAS: Si dos o más cuerdas se intersectan en un punto interior de una circunferencia. N D y P FLECHA O SAGITA : (A P)(P B)(C P)(P D) B C A B M MN flecha donde abxy AMMB : También A N N B : La prolongación de N M pasa por el centro de la circunferencia. Compendio de Ciencias IV–E Geometría T 2 (A P)(B P) P x 72 8 A B P . 1. 2. R e s o l u c i ó n : .Geometrí a donde : A P secante completa B P parte externa Problema: Compendio de Ciencias IV–E TEOREMA DE PTOLOMEO En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible. B En el gráfico.5 Entonc es: B C 7. el producto de las longitudes de las diagonales es igual a la suma del producto de las longitudes de los lados opuestos.A B Pero : AB + BC = 10 BC=10 – AB BC = 10 – 2. Si los lados de un cuadrilátero inscrito miden 1.5 = 7. Calcule la suma de las longitudes de sus diagonales. 5 Problema: 1. Calcule BC : C T a y 5 A A B d C 10 Sea : d o n d e : A ABCD x C = BD = y Res olu ció n: bd xy ac Si : AT2 = AC× AB 52 = 10 . 4 metros y la longitud del segmento que une los puntos medios de sus diagonales fuera 1 m. 3. () C Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan 1 e x t e r n a ..y = 1×3 + 2×4 xy = 11 2 + P o r : + 2 A ) ( P D ) ( P 2 4 ( 1 ) B ) ( P 2 . () 2(xy) = 2×11 2 x y = 2 2 . En la fig ur ( ) de () y () (sumando m. Compendio de Ciencias IV–E C ) t e o r e m a d e P t o l o m e o .. ..Geometrí a B 2 + y2 x 2 + y2 TEOREMA DE LA SECANTE: x ( P Pr ob le m a: y dos o más secantes. el producto de las longitudes de la A 4 secante entera por su parte externa... 1. 1 P A B = 26 .m.) x2 + 2xy + y2 = 48 (x + y)2 = 48 a. 2 + 3 2 + 4 2 = x e l x. . es igual a otra secante P e o n r t e e l r T a e o p r e o m r a s u d e p a r t e E u l e r : 1 . Determin ex .a. Geometrí a x 6 A B x y 4 3 P x x C 8 Res oluc ión: De la figur a : 6 (6 – x) = 8x 3(6 – x) = 18 – 3x = 7x = 18 T E O R E M A D E V I E T T E En tod o cua dril áte ro ins crip tibl e o ins crit o la rela ció n ent re las lon gitu des de las dia gon ale s es igual a la relación de las suma de productos de las longitudes de los lados que tengan a Compendio de Ciencias IV–E los extremos de las diagonales como vértices comunes. C B A x 18 7 . 2 6 2a 2 a 2 (2 a) (3 a) ( 2 ) (a) 6a 2(2a) 4 . m 2 n2 p 2 q 2 4 R2 x 3 a Resolución : 1.Compendio de Ciencias IV–E Sea el ABCD : donde : AC = x • vértice A : AB • vértice C : CD • vértice B : BA • vértice D : DA Geometrí a Sea el CD = y común a los lados AD común a los lados CB * AC BD en P 1. 1. () x Problema: 1. xy = (2a) (a) + (2a) (3a) (T. La suma de los cuadrados de las longitudes de dos lados opuestos es igual a la suma de cuadrados de los otros dos.. La suma de cuadrados de las longitudes de los segmentos y determinados en las diagonales es igual a 4 veces el cuadrado del radio de la circunferencia circunscrita. Calcule R. Ptolomeo) xy = 2a2 + 6a2 xy = 8a2 . Viette) 3 R 4 .. En la figura. En la figura calcular la longitud de las diagonales. común a los lados BC común a los lados DC ABC : a 2 c 2 b2 d2 x a d b c y a b c d Problema: 2. (2a) a2 (3 a) a 3a 2 (T. TEOREMA DE ARQUÍMEDES: 4R2 = 4 + 16 + 36 + 9 = 65 y O a 7 87 4R2 = 22 + 42 + 62 + 32 (2do.a . y 7a 8 7 también se dice que son simétricas respecto a la bisectriz del mismo ángulo.Compendio de Ciencias IV–E Geometrí a 8 Resol ución : x 2 8a x 8 ( y 7 a 2 a 7 de ( ) : se mul tipli ca m. Teorem a) y 7Y En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible si las diagonales se cortan perpendicularmente se cumple : R 65R 65 X C B O C 22 Y P 64 a 6 4 a 2 x A 7 7 8 7 8 7 7 2 donde : O X y OY. partiendo del vértice. se llaman isogonales respecto a los lados R 4 D OA y OB . forman ángulos congruent es con los lados de un ángulo. 74 A Reemplazando en () : X y R .m. RECTAS a ISOGONA LES Son aquellas que. Geometrí a TEOREMA DE LAS ISOGONALES En todo triángulo se cumple que : RECTAS Compendio de Ciencias IV–E Problema: 1. uno de ellos limitado por el tercer lado del triángulo y el otro por la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. En la figura determine la altura BH : Si: AB = 2 y BC = 12 B El producto de las longitudes de dos lados es igual al producto de l a s l o n g i t u des de l o s seg m en t o s i s o go n al es correspondientes al ángulo que forman dichos lados. A P C Resolución: B O B CR S e a el A B C: d o n d e 1 2 A C H O 4 B P y B Q (r e c t a s is o g o n al e s) D (A B)(B C)(B P) (B Q) ABH m DB m C tambié n se cumple : B c donde : a A H CR . A H 4 En la figura se traza el diámetro B D. 12 = BH(8) BH 3 .c = BH (2R) 2. Geometrí a B H B D son rectas isogonales B D Diámetro (BD = 2R) (a)()(c2 R)(B H) Compendio de Ciencias IV–E a. por el Teorema de las rectas isogonal es. .q....... En el gráfico.....d.... ..... ...: .. . B A Rpta....q.. calcule x......: ...... P B A 8 x D 3 x C 1 x 9 C Rpta... En el gráfco........ 2.............................Compendio de Ciencias IV–E Geometrí a Problema Desarrollado Problema por Desarrollar: Demostrar que: x2 = ab Calcule x.. en la figura x x a 4 a a 3 b a Resolución: Resolución: x A C b a FCB x b a x APB: x 2 ab B L..... calcule x.... 1... Compendio de Ciencias IV–E 76 Geometrí a . En el gráfico.....: . . calcule x. 2x PA x 4 x D C Rpta...... .. . .. .. . En el gráfico.... En el gráfico... .... ...... ...... ......... 10....... .... ...... .. ........... calcule x. 4 B 2 En el gráfico.. . . Rpta. calcule x.. En el gráfico... ...3.......: . ...: . ............. ..... . calcule x.. si T es punto de tangencia.......... calcule x. 4. .. ... Geometrí a En el gráfico... ....... : . P es punto de tangencia. .. . calcule x.. C 5..... A 8..... .. B A x9. A B 1 P x Rpt a...... P P A 3 x Compendio de Ciencias IV–E 8 1 x D C C E D Q R pt a............. . En la figura C es punto de P 6 A x Rpta. .. C 6. Calcule AB. ... ......: .. R p t a .. ...: . ..... . ...........: . Rpta. ... calcule x. ....... .. .... . si AF = 9 y FM = 7. .. ... En el gráfico.......Geometrí a T tangencia.... ..: ....... : ..... . ... si P es punto de tangencia.. . calcule x... ... ........ . ... ... . R pt a.... ........ . . .... P x 2 11.. . . . ...... Rpta... ..... ...... ....... ... .. B x 12.. .. En el gráfico... ... . .... .... . .. .. . Por un punto A exterior a una circunferencia se trazan las secantes ABC y AFM tal que AB = BC.......... . ....... si 6 Compendio de Ciencias IV–E y CD = 6... ... Calcule C BC. . .. ............... ...... : . ....... . . .... ... .. ... . 5 7. ... . BC = 4 6 x C M A N 2 C D Rpta.. . ...... ...... ... BF = 4 y FC = 5... ............: ..... En la figura calcule x.. : ... Calcule AT Q 17..... Calcule AB A T B B C F P D Rpta... 19........... CF = 6 y FG = 4 M A C E x F G D Rpta.......... .. . En la figura M es punto de tangencia... ...... Geometrí a En la figura G es un punto de tangencia y baricentro del triángulo ABC...: ...... si AE = 5. Rpta. calcule x.... .. 18........ Rpta.... . EF = 8... ..... .. En la figura.. : .. 15.... T es un punto de tangencia y AD ........... ..... En la figura D y T son puntos de tangencia QT = CP. calcule AM... .. ....... ......... . .. En la figura ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 20.... CD = 5 y BC = 4.. .... ...... 14......Compendio de Ciencias IV–E 13... . AB y N a BC... ..: ...... .... ... . 20.................... ... ......... que corta en M a a la R pt a. 78 1 ... .... Calcule MG.... . . En el figura.. .... o tal que: PM = MN = NQ.. ..... Rpta...... ............ calcule x.. .. .. Rpt a... .. BC) c se A D rco r el GM Geometrí a ...................... ....... .... si B AM BM=4 y Q cuer e da n PQ (P e en l el a =5 . Rpta. .. ... ... : . ....... . y BN=2..: .. .... Se tiene el triángulo ABC inscrito en una circunfere ncia en 15 10 a 2x cual traz 16..: . ......... . A Calcule NC.......Compendio de Ciencias IV–E es diámetro de la semicircunferenc ia. ................: . En el gráfico. calcule x... calcule x.. 2.. 2 y 9. B A 5 x 9 6 5 x 4 C D Rpta...... . Calcule BC. calcule x.. En la figura.Geometrí a Compendio de Ciencias IV–E 1..... A) 8 6 5 B) C) 12 6 5 10 6 D) 5 E) 14 6 5 En el gráfico. 5.. si AB = 9 y CD = 40 A) 50 A) 37° B A B) 41 B) C) 43 23° C) D) 46 45° E) 45 D) 60° x E) 75° 3. calcule la distancia del centro de la circunferencia mayor a la recta que une los centros de las otras dos.......... 4. Se tienen tres circunferencias tangentes exteriores 2 a 2 cuyos radios miden 3.. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 4 x 3 C D . Geometrí a Compendio de Ciencias IV–E 79 .