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ÍNDICECapítulo Pág. 1. Triángulos rectángulos notables ........................................................................................ 91 2. Líneas ............................................................................................................................. 97 3. Ángulos I ...................................................................................................................... 101 4. Ángulos II ..................................................................................................................... 105 5. Triángulos I ................................................................................................................... 111 6. Líneas notables .............................................................................................................. 117 7. Propiedades adicionales de triángulos .............................................................................. 123 8. Repaso ......................................................................................................................... 127 COLEGIO Triángulos rectángulos notables TRILCE Capítulo I El más conocido de los juegos matemáticos recientes es el Cubo de Rubik. En todo el mundo, su fama es tan grande, que se estima que -hasta ahora- se han vendido más de 100 millones de cubos en todo el mundo. Este, que se ha transformado en un entretenido pasatiempo, fue inventado en 1974 por el ingeniero húngaro Ernö Rubik, para utilizarlo en las clases con sus alumnos. Sin embargo, se sabe que el famoso cubo tuvo su origen en la necesidad del maestro de conseguir algún juego que ayudara a su hijo discapacitado a pensar y coordinar colores y combinaciones matemáticas, para poder ejercitar su mente. Ernö Rubik no solo creó este juego, que es el más conocido, sino también otros entre los que se encuentra, por ejemplo, la Torre de Babel, con combinaciones y características similares al anterior. En el estricto rigor matemático, el Cubo de Rubik representa un problema de la teoría de conjuntos. Pero para su inventor «este objeto es un ejemplo admirable de la belleza rigurosa, de la gran riqueza de las leyes naturales; es un ejemplo sorprendente de las posibilidades admirables del espíritu humano, para probar su rigor científico y para dominar esas leyes». ¿Qué crees tú? Triángulos rectángulos notables 30° 45° a 2b b 3 a 2 53° 5n 3n 45° 37° 60° a b Problemas resueltos 4n 2. Calcular “AD”, si: CD = 10 u. A 1. En la figura hallar la distancia de “C” a AB , si: BC = 8 u. B 23° 150° A C 37° Solución: B H B 150° A D C Solución: x - Trazamos la altura DH DHC notable de 37° y 53°: DH = 6 u AHD notable de 30° y 60° H ∴ x = 12 u A 8 C 23° 30° x BHC: Notable de 30° y 60° ∴x=4u B 91 6 8 53° D 37° 10 C Colegio TRILCE Triángulos rectángulos notables 5. En la figura: AD = 8 u. Hallar la proyección de BP sobre BC . B C 3. Si: AC = 20 u, calcular “EC”. B 30° 30° P E 45° A 37° C A Solución: B Solución: 4a 12 3a = 12 37° C - P 60° A ABC: 5a = 20 → a = 4 Luego: AB = 3(4) = 12 BC = 4(4) = 16 8 C 4 3 30° 30° 5a = 20 - P' B E 45° A D 8 D - BAD: Notable de 30° y 60°: BD = 16 u - BPD: Notable de 30° y 60°: ABE: AB = BE = 12 DP = 8 u y BP = 8 3 u - Finalmente: EC = BC - BE ∴ EC = 16 - 12 = 4 u BP'P: Notable de 30° y 60°: PP' = 4 3 u ∴ BP' = 4 3 . 3 = 12 u (BP' proyección de BP sobre BC) 4. En la figura AD es bisectriz. Hallar “CD”, si: BD = 2 u. B D Problemas para la clase 30° A 1. Calcular “x” C 16 Solución: B 2 4 A 30° ABD: Notable de 30° y 60° AD = 4 u ADC: Isósceles ∴x=4u a) 8 d) 12 D b) 8 3 e) 10 c) 8 2 2. Calcular “m × n” x 30° 30º x 53º C 5 m n a) 7 d) 15 92 b) 9 e) 10 c) 12 Cuarto año de secundaria a) 16 d) 10 C c) 12 C E b) 6 2 e) 4 2 c) 9 11.Triángulos rectángulos notables 3. En la figura. Hallar “BC”. Hallar “BD” B D A 93 15º 22° C Cuarto año de secundaria . hallar “CH”. si: b BP = 6 y AC = 24. 7. Calcular “y”. Hallar “a + b” b C A 8 a a) 1 3 b) 2 3 e) 1 9 30º b a) 2 + 4 3 c) 2 + 2 3 e) 8 3 d) 3 b) 4 + 2 3 d) 4 + 4 3 A 1 5º a 36 45º B 37º a) 9 2 d) 6 3 b b) 14 e) 108 3 5 c) 10. Hallar “ a ”. Del gráfico. hallar “AE”.En la figura: AB = 9.En la figura. Hallar “ n ” m 135º 60º A m n a) d) 1 3 6 3 b) a) 4 d) 10 30º 3 3 b) 6 e) 12 c) 8 9.b”. 6. si: AB = 8. 2 c) H C 3 B e) 1 a P 5. hallar “a . si: BC = 6 2 B 4. si: EC = 6. B 45º y A 8√2 a) 8 d) 12 b) 8 2 e) 18 30º 45º b) 4 2 e) 8 c) 8 2 a) 2 2 d) 4 c) 16 8. En la figura el ∆ABC es equilátero. Hallar “CD”.3 ) m b) 3 3 (2 + 3 ) c) 3 3 (2 . 30° B a) 16 u d) 30 45º H 30º N a) 5 2 b) 3 2 d) 4 2 e) 5 3 c) F 5 2 2 E S 45° 37° N M R P c) 25 3.Triángulos rectángulos notables a) 10 d) 16 b) 12 e) 20 c) 15 12.Hallar la longitud del lado del cuadrado PQRS. Si: AB = 6 u.3 ) e) 3 3 (4 + 3 ) 30º x Autoevaluación 1. hallar “AD”. hallar “AD”.En la figura: AC = 20. A C B b) 14 e) 20 a) 30 2 u b) 15 2 d) 15 3 e) 30 3 c) 15 C 94 Cuarto año de secundaria . Hallar “BH”. B A b) 20 e) 12 C 15. si el lado del triángulo equilátero mide 3m.3 ) d) 3 2 (4 . Q D C B A c) 15 2. si: MN = 24 u. Si: BC = 6 u. si: AB = 2 3 D D a) 12 u d) 16 60º A a) 4 3 d) 12 30º b) 6 3 e) 12 3 23° c) 6 14.Hallar “x” a) 3 2 (2 . B 100 300 a) 240 3 3 b) d) 250 3 2 e) 175 c) 3 400 3 30° A C 53° 13. Hallar “EF”. c 4. b Cuarto año de secundaria . B 30° A Q 45° 30° C a) 18 u b) 16 2 d) 18 2 e) 20 3 A a) 10 u d) 20 c) 16 3 Claves 1. a 5. e C c) 16 3. d 95 H b) 18 e) 15 2. si: AC = 40 u.Triángulos rectángulos notables 5. Hallar “HQ”. Hallar “BC”. si: AB = 36 u. B 4. el avión presenta una envergadura de 8 mm. A P B a a C A P B C x Del dato: AB .BC = 18 u y “P” es punto medio de AC . Hallar “PB”.Operaciones con segmentos A B C D E Suma: Resta: AD = AB + BD BE = BC + CE AB = AD . si: AB .x) = 18 a + x . En la foto.BC = 18 a + x . La cámara fotográfica tiene 12 cm de profundidad.(a .BD BC = BE . ¿A qué altura volaba el avión en el momento de ser fotografiado? Elementos geométricos en el plano Punto A .Rayo Recta - O L Semirrecta A O Rayo OA: OA A Semirrecta OA: OA .a + x = 18 ∴ 2x = 18 u → x = 9 u 97 Colegio TRILCE .CE Problemas resueltos Solución: 1.Segmento de recta A Segmento AB: AB Medida de AB: AB = a Distancia de "A" a "B": d(A.COLEGIO Líneas TRILCE Capítulo II El avión Un avión de doce metros de envergadura fue fotografiado desde el suelo durante su vuelo en el momento de pasar por la vertical del aparato. B) = a B a . “C” y “D”. En una línea recta se consideran los puntos consecutivos “A”. Calcular “x”. “B”.2b = 3b .6 = 0 (x + 6)(x . hallar “AD + BC”.2a . Calcular “BC”. si: AD = 20 u.5 x-a A D 15 x O C x 4. Sean “A”. “C” y “D” puntos consecutivos de una recta. Hallar “BC”. “B”.a 5b . Solución: a b A c B C Solución: D A Del dato: D 3 Del dato: a + b + b + c = 20 a + b + c + b = 20 AD C x 2 AC + BD = 20 ∴ B 1 1 2 1 1 2 + = → + = AB AD AC 2 5+x 2+x + BC = 20 u (7 + x ) 5+x+2 2 2 2(5 + x ) = 2 + x → 2(5 + x ) = (2 + x ) (7 + x)(2 + x) = (5 + x)4 14 + 9x + x2 = 20 + 4x x2 + 5x .Q). se sabe que: 1 1 2 + = AB AD AC y que: AB = 2 u y CD = 3 u. Del dato: AB BC CD = = =k 2 3 5 → AB = 2k BC = 3k CD = 5k Luego: 2k + 3k + 5k = 20 10k = 20 → k = 2 ∴ CD = 5(2) = 10 u 20 12 A a) 6 d) 9 a B b-a b) 7 e) 10 c) 8 2.b) = 3b . Hallar d(P.a ∴x= 4 a) 5 d) 20 98 P B b) 10 e) 30 C Q D c) 15 Cuarto año de secundaria . Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “O”.a) 2(2x . Solución: 20 A B 2k C D 3k Problemas para la clase 5k 1. si: 2(AM + MB) = 3AB Solución: B M C D b) 2 e) 2. 5.3a + 2a 4x = 5b . si: AC = BD = 3 y AD = 5. B A a) 1 d) 0.3a 4x . si “P” es punto medio de AB . Si: AC + BD = 20 u.b ) = 3(b .a . Hallar “OM”. “A”.a + x .5 3.1) = 0 → x = 1 u 3. “Q” es punto medio de CD y: AC + BD = 40 x-b b Del dato: 2( AM + MB ) = 3AB A 2( x .5 c) 1. Si se cumple: AB BC CD = = 2 3 5 Hallar “CD”.3a 4x = 3b + 2b . “B” y “M” tal que: OA = a y OB = b.Líneas 2. “C” y “D”. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”. “B”. “B” y “C” siendo: AB = 7. Hallar: 4. si: (MA) (MB) + b) 36 e) 26 15. BC excede a AB en dos y CD = 2AB. Hallar “AB”. “R” y “S” tal que: QR = RS y (PS)2 . Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “A”. “C” y “D”. Q P a) 5 d) 10 R b) 6 e) 15 S k= T c) 8 a) 2 d) 8 5. a) 10 d) 20 8(BC) AC . calcular la longitud del segmento determinado por los puntos medios de AB y AC . “B”. “O” y “B” y se cumple que “O” es punto medio de AB . “B”. “C” y “D” tal que: “B” es punto medio de AD . a) 3 u d) 6 ( AB) 2 =9 4 b) 4 e) 2. a) 6 d) 10 c) 20 Autoevaluación 10. Si: AB = 22 y BC = 16. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”. si: AC + BD = 30. “B”.En una recta se ubican los puntos consecutivos “A”. “B”.Líneas 12. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”. “Q”.OC) 4 14.Se tiene los puntos colineales “A”. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “A”. Si: 2AB = CD. “C” y “D”. “Q”. siendo “R” y “S” puntos medios de PT y QT respectivamente y PQ = 20 . si: BC = AB + 40. Hallar “RS”.4AB = 20. si: BD . Hallar “BM”.5 b) 2 e) 9 b) 8 e) 12 b) 6 e) 12 c) 8 c) 5 1. “C” y “D” tal que:CD = 4AC.BD c) 9 a) 30 u d) 28 99 b) 20 e) 32 c) 24 Cuarto año de secundaria . AC = 12 u y BD = 18 u. Hallar la distancia de “A” al punto medio de “CD”.Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “A”. de modo que: AB = 8.Se ubican los puntos colineales “M”. “C” y “D”. entonces el valor de 3 “OB” es: c) 12 8. a) 2 d) 4 BC . “C” y “D”.(PQ)2 = 20(QS). “A”. hallar “CD”. 9. a) 6 d) 20 c) 6 “A”. QT = 30.Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “O”. “B”. Hallar “PQ”. 11. “B”. “B”. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “P”. Hallar “OM”. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos “P”. “C” y “D” de tal manera que: AC + 2DC + BD = 40 y AB = DC. Hallar “BC”. Hallar “PR”. a) 4 d) 5 b) 4 e) 16 13. a) 24 d) 22 c) 10 b) 3 e) 7 c) 15 a) 4 d) 10 a) 1 d) 4.Sobre una línea recta se marcan los puntos consecutivos “A”. “R” y “S” tal que: c) 3 PQ QR RS = = 7 3 5 y PR = 16 u. “B” y “C” tal que “M” es punto medio de AC . Si: AB = 12. Se ubican “P” y “Q” puntos medios de AB y CD respectivamente. a) 5 d) 20 b) 8 e) 30 b) 15 e) 30 b) 20 e) 15 b) 12 e) 30 c) 18 a) 3 (OA + OC) 4 b) 1 (OA + 3OC) 4 c) 1 (3OA + OC) 4 d) 1 (OA + OC) 4 e) 1 (3OA . Se tienen los puntos consecutivos “A”. Hallar “AD”. Hallar “PS”. 6.5 c) 5 2. “B” y “C”. tal que: (AB)(BD) = (AC)(CD). BC y MN respectivamente. “B”.. “B”. En una recta se ubican los puntos consecutivos “A”. “N” y “P” de AB . “C” y “D” tal que: BC = CD y AB + AD = 36 u. En una recta se ubican los puntos “A”. luego los puntos medios “M”. c 3. Se tienen los puntos colineales “A”.Líneas 3. hallar “BC . 4. “B” y “C” tal que: AB > BC. “D” y “E”. Hallar “AC”. d 4. Hallar “BD”.AB”. a) 10 u d) 12 b) 16 e) 8 c) 14 a) 12 u d) 18 b) 14 e) 21 c) 16 5. a) 2k b) 3k d) 5k e) Claves 1. d Cuarto año de secundaria . “C”. Si: BP = k. d 100 c) 4k 3k 2 2. a 5. tal que: AC + BD + CE = 48 u y AE = 3BD. naturalmente.Bisectriz de un ángulo A M α θ θ O β B α + β = 90° OM es bisectriz de AOB .Ángulo obtuso α x 3x + x = 180° 4x = 180° ∴ x = 45° 2. Se plantea cómo construir con 8 cerillas la figura de superficie máxima. El suplemento de un ángulo más el doble del complemento de dicho ángulo es igual al doble del ángulo mencionado. distinta. Hallar el ángulo mencionado. Algunas pueden verse en la figura.Ángulos suplementarios . O Solución: B m AOB = 90° 3x . su superficie es. Hallar la medida del menor.Ángulo agudo θ γ θ θ + γ = 180° 0° < θ < 90° .Ángulos complementarios . 90° < α < 180° 101 Colegio TRILCE . En un par lineal uno de los ángulos es el triple del otro. .Ángulo recto Problemas resueltos A 1.COLEGIO Ángulos I TRILCE Capítulo III Con ocho cerillas Con ocho cerillas pueden construirse numerosas figuras de contorno cerrado. Del gráfico: 2α + 72° + 2θ = 180° 2α + 2θ = 108° α + θ = 54° Luego: x = 72° + 54° ∴ x = 126° O A a) 90º - C 3 α 2 D b) 45º + 3α c) 3α Solución: d) 6α 3 α 2 2. En la figura OM es bisectriz del ángulo AOC. Hallar la medida del ángulo formado por las bisectrices de AOC y BOD . Se tienen los ángulos consecutivos AOB . x C D A C 3α e) α α B M 4.2α →α=θ 4xº b) 10º e) 30º O 20º D c) 12º Luego: x = α + 90° . Sea “x” el ángulo pedido. Del gráfico: m BOC = 72°. B (+) 100° = 2x ∴ x = 50° x M D B 90°-2α θ θ A O a) 20º d) 14º Del gráfico: m BOC = 90° .Ángulos I Solución: 5.2x = 2x 360° . Hallar la medida del ángulo formado por las bisectrices de AOB y COD . Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de AOB y COD .2θ = 90° . Del dato: 180° . Se tienen los ángulos consecutivos AOB .x + 180° . si OB es bisectriz del ángulo AOC. 40° A 60° O B C A O Solución: Del gráfico: m AON = 40° + θ = α + x m MOD = α + 60° = x + θ D B C 72° α α A θ θ O N Problemas para la clase D 1. Hallar la medida del ángulo COD. Hallar “x”.x + 2(90° . BOC y COD tal que: m AOC = m BOD = 90°. BOC y COD tal que: m AOB = 40° y m COD = 60°.2α + θ ∴ x = 90° 102 Cuarto año de secundaria .3x = 2x 5x = 360° ∴ x = 72° Solución: x M N θ B C α θ α 3.x) = 2x 180° . ¿Cuánto mide el mayor de los ángulos? 5.m AOC = 40º Además OM bisectriz del ángulo AOB.El triple de la diferencia entre el suplemento de “x” y el complemento de “x” es igual al doble del suplemento del complemento del doble de “x”.Si a la medida de uno de dos ángulos complementarios se le disminuye 18º para agregárselo a la medida del otro. BOC. BOC y MON respectivamente. En la figura. Se tienen los ángulos adyacentes AOB y BOC que se diferencian en 48º.m BOC = 56º. 9. b) 45º e) 22º30’ 12. Hallar la medida del ángulo ROB. a) 135º d) 140º b) 55º e) 65º c) 45º b) 2º e) 84º c) 3º 6. la medida de este último resulta ser ocho veces lo que queda de la medida del primer ángulo. 10. Hallar la medida del ángulo mencionado. c) 80º 7. OD y OE que forman cinco ángulos consecutivos que son proporcionales a los números: 1. Dados cinco rayos coplanares OA . a) 60º d) 50º b) 90º e) 30º a) 88º d) 62º a) 15º d) 60º b) 45º e) 75º a) 48º d) 12º b) 24º e) 6º a) 14º d) 56º a) 45º c) 18º d) b) 56º e) 96º c) 72º b) 7º e) 21º c) 28º 53º 2 b) 45º 2 c) 37º 2 e) 60º 15. 4 y 5. Encontrar la mitad de la tercera parte del complemento del suplemento de un ángulo que mide 102º. se trazan las bisectrices: OM . Calcular la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC y el rayo OB . a) 48º d) 72º b) 28º e) 75º 14. ON y OR de los ángulos AOB. La suma del complemento más el suplemento de cierto ángulo es igual a 140º. OB . 3θ + 20º y 3θ . Si el suplemento del complemento de un ángulo es igual a los 3/2 de la diferencia entre el suplemento y el complemento del mismo ángulo. Determinar el valor del menor ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD. hallar m MOC. c) 30º 13. COD y DOB miden: 2θ. 3.Ángulos I 3.Se tienen los ángulos adyacentes AOB y BOC donde: m AOB . BOC y COD. Calcular la m AOC. OC . 2. Si: m EOX = 150º.Se tienen los ángulos consecutivos AOB.Se tienen los ángulos adyacentes AOB. calcular la m BOD.Sobre una recta AB se toma el punto “O” y en un mismo semiplano se trazan los rayos OC y OD de modo que los ángulos AOC. c) 30º 8. Hallar la medida del ángulo que forman las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios. si: m BOC . Se trazan la bisectriz OM y ON de los ángulos AOC y BOD. A a) 12º d) 20º b) 20º e) 25º a) 45º d) 75º b) 30º e) 50º c) 60º c) 68º 103 Cuarto año de secundaria . Hallar: m MON. COD y DOE dispuestos de modo que: la bisectriz OX del ángulo AOB es perpendicular a la bisectriz OD del ángulo BOE. a) 1º d) 4º c) 30º 11.20º respectivamente. Hallar la medida del ángulo. si: m AOB + m COD = 40º M B a) 10º d) 40º C O b) 15º e) 36º c) 18º a) 90º d) 60º 4. 3. Hallar m MON. Siendo OM la bisectriz de BOC . N A c) 45° 4. Hallar la medida del ángulo formado por las bisectrices de AOB y BOC . Hallar la medida del ángulo formado por las bisectrices de AOB y COD .Ángulos I Autoevaluación 1. M b) 28° e) 48° B θ θ C B A C D O O a) 30° d) 20° b) 40° e) 60° c) 36° 5. b Cuarto año de secundaria . Hallar la diferencia entre el suplemento y complemento de un ángulo. e 5. Si: m BOD = 120°. a 2. Si: m AOB + m AOC = 118° hallar: m AOM. e 3. Dados los ángulos consecutivos AOB y BOC . A a) 60° d) 53° B O a) 30° d) 37° c) 45° a) 59° d) 46° 2. C b) 60° e) 53° b) 90° e) 100° c) 45° 104 a) 90° d) 120° b) 100° e) 105° c) 110° Claves 1. c 4. si: m AOC = 120° y OM es bisectriz de AOB . α L1 3x L1 β θ Se cumple: 100° L2 x β=α+θ 105 L2 Colegio TRILCE . hallar “x”. Si: m // n . . Si: L1 // L2 Si: L1 // L2 L1 α L1 α x β α y θ L2 Se cumple: α+β+θ=x+y 3. demasiado vastos para el cerebro de una mosca. Indíquese cuál es el camino más corto que puede seguir la mosca para llegar hasta la gota de miel. Si: L1 // L2 . para ello es necesario poseer ciertos conocimientos de geometría.Ángulos alternos internos 2. No piensen ustedes que la mosca va a encontrar ella misma el camino más corto y facilitar así la solución del problema.COLEGIO Ángulos II TRILCE Capítulo IV ¿Qué camino debe seguir? En la pared interior de un vaso cilíndrico de cristal hay una gota de miel situada a tres centímetros del borde superior del recipiente.Ángulos correspondientes Si: L1 // L2 φ θ L2 m ω γ L1 β θ α Se cumple: L2 n α + β + γ + ω + φ = 180° Propiedades Problemas resueltos 1. en el punto diametralmente opuesto. se ha parado una mosca. Si: L1 // L2 1. En la pared exterior. La altura del vaso es de 20 cm y el diámetro de 10 cm.. Si: L1 // L2 . Si: m // n .x = 50° + 30° ∴ x = 130° ∴ x = 45° 3.Ángulos II Solución: Solución: 3x L1 180° .3x m α 3θ 2α x 100° 2θ x x θ n L2 x Del gráfico: 3θ + 3α = 180° θ + α = 60° Por propiedad: 180° .3x + x = 100° 80° = 2x ∴ x = 40° Luego: ∴ x = α + θ = 60° 2... hallar “x”. hallar “y . 150° L1 L1 α α θ θ 130° x x 120° L2 L2 Solución: Solución: 150° 30° L1 130° 180° . 4. hallar “x”... Si: L1 // L2 . 2θ a x 2α x θ 140° n m 106 n y b Cuarto año de secundaria . hallar “x”. m α 5. Si: a // b y m // n .x L1 α α θ θ 50° 45° 45° θ θ 30° x L2 Por propiedad: x L2 2α + 2θ = 180° α + θ = 90° 30° + 180° .x”. a) 10º d) 15º a 50º θ + 10º θ 2x α b) no d) si. si: L1 // L2 . En la figura. En la figura: L1 // L2 . ¿son también paralelas las rectas L3 y L4 ? L1 Problemas para la clase L2 4x-5º 63º 1. En la figura: a // b .D.y” a x = 50° L1 x 140° 50° m 50° y = 130° n y b L2 a) 30º d) 90º Luego: y . además: a + b = 170º. En la figura. 4x L1 5x a) 20º d) 25º 6x+5º a) si c) si.Ángulos II Solución: 4. 3. si: L1 // L2 . En la figura. Hallar “x”. Hallar “x”.50° = 80° b) 60º e) 80º c) 45º 5. En la figura: L1 // L2 . hallar “x”. para: x = 18º x 3x 160° L4 6.x = 130° . L2 b) 30º e) 15º c) 40º L1 L1 b L2 x b) 18º e) 30º a) 120º d) 150º c) 12º b) 130º e) 160º α a 4α c) 140º L1 α β 45º 3α 45º 2α b) 12º e) 16º L2 7. a) 15º d) 20º L3 b c) 13º a) 34º30’ d) 67º30’ 107 x θ θ b) 45º30’ e) 82º30’ α β L2 c) 50º30’ Cuarto año de secundaria .. En la figura: L1 // L2 . Hallar “α”. hallar “x”. si: L1 // L2 . para: x = 17º e) F. 2. hallar “x . si: L1 // L2 a 8. tal que: m POQ = x .5 L2 b) 2 e) 2. L1 L1 θ 10.Calcular “x”.. Si: m // n .5 α c) 3 a) 30º d) 45º 9.Calcular “x”.. Calcular “x”. m QOR = 3y.En el gráfico: L1 // L2 .2y. b a) 45º d) 61º c) 20º b) 50º e) 60º c) 59º Autoevaluación 11. 135° 40º θ a L4 60º L2 a) 100º d) 70º L3 b) 80º e) 90º 12. 140° x θ θ 155° x c) 120º m 40° L2 b) 85º e) 90º c) 80º 20° x 108 n Cuarto año de secundaria . si: a // b . Calcular . hallar “x”. si: a // b a) 30º d) 45º c) 60º 14.Se tiene el par lineal POQ y QOR . si: L1 // L2 α α b a) 100° d) 125° L1 b) 110° e) 130° a) 120º d) 95º c) 120° 2.Según el gráfico. calcular “θ”. si: L1 // L2 y L3 // L4 . Hallar el máximo valor entero de “y”. si: L1 // L2 x 2α θ 3a+2x L1 L1 x 2a+3x a) 1 d) 1. Hallar “x”. Calcular “θ”. siendo: a // b a b) 15º e) 65º θ 40º b) 90º e) 120º b θ 8θ θ c) 40º 2θ a) 15º d) 26º a 10θ x 4θ b) 15º e) 60º L2 b) 16º e) 14º c) 18º 15.Calcular “θ”. 100º a) 110º d) 140º L2 2θ 1.Ángulos II 13. θ θ L2 a) 60° d) 75° b) 40° e) 45° c) 30° Claves 1. Si: a // b .. d 5. hallar “x”.2θ b) 90° + 2θ d) 120° . b 4.. b 4. b 2. Hallar “x”. Si: m // n // L . m θ 3α L1 α n 3θ x 60° x 3θ L a) 90° + θ c) 120° + θ e) 180° . b) 30° e) 45° c) 50° 5. x a x x b 109 Cuarto año de secundaria . hallar “x”.Ángulos II a) 60° d) 80° b) 40° e) 70° c) 50° a) 40° d) 60° 3. si: L1 // L2 . d 3. θ Ángulo externo: ω Perímetro: 2p = a + b + c a+b+c Semiperímetro (p): p = 2 a α θ A b ω C Clasificación: A. Triángulo escaleno B b) Triángulo obtusángulo A c α B A C a b C a≠b≠c 90° < α < 180° 111 Colegio TRILCE . Notación: B Triángulo ABC: ∆ ABC Región triangular β c Elementos: Vértices: A. B. Según sus lados 0° < α. Triángulo rectángulo B 1. La señal que va del satélite “A” a “C” pasando por “B” se demora 0. la señal que va del satélite “B” a “A” pasando por “C” se demora 0. Según sus ángulos 2. ¿Se podrá averiguar las distancias que separa a los satélites? ¿Cuáles son esas distancias. β. ω < 90° 1. la cual es 300 000 km/s? Definición Es la figura geométrica formada por la reunión de tres segmentos consecutivos y de extremos comunes. “B” y “C” alrededor de la Tierra como se muestra en la figura. BC. C Lados: AB.35 s y la señal que va de “C” a “B” pasando por “A” se demora 0.28 s. θ. Triángulo oblicuángulo a) Triángulo acutángulo B θ A C AB y BC : Catetos α AC : Hipotenusa ω A C B.COLEGIO Triángulos I TRILCE Capítulo V A B C Se tiene tres satélites geo-estacionarios “A”. AC Ángulos internos: α .3 s. si las señales viajan a la velocidad de la luz. Suma de ángulos externos: 4x+50° e2 5x+30° e3 x+10° Solución: Por suma de ángulos internos se tiene: 5x + 30° + 4x + 50° + x + 10° = 180° 10x + 90° = 180° ∴ x = 9° e1 e1 + e2 + e3 = 360° 3. Triángulo equilátero b-a<c<b+a c-a<b<c+a c-b<a<c+b B 60° L L 60° b 5. calcular “x”. Suma de ángulos internos: B a>b se cumple: θ α ω A C ω α>ω Problemas resueltos 1.Triángulos I 2. Triángulo isósceles 4.x = 360° a + 180° . Hallar “x”. Desigualdad triangular: B L α A a L α base c C Si: a < b < c se cumple: 3.180° 112 Cuarto año de secundaria . α + θ + ω = 180° 2.x = 360° ∴ x = a . En el siguiente gráfico. Suma de dos ángulos internos: 2. si: z + y = a y θ α x=α+θ ω x x y y=α+ω z Solución: Por suma de ángulos externos se tiene: z + y + 180° . Relación entre lados y ángulos opuestos: 60° A C L b a α Propiedades generales Si: 1. Hallar “x”. 5x-10° 80° 3x-20° 70° 30° a) 25° d) 5° D E x-15° b) 15° e) 10° c) 20° 5.Triángulos I 3. k 50°+2x b) 4 e) 1 c) 3 4. Hallar “x”. Hallar “x” de la figura mostrada. Solución: ∆BCE: T m B = 180° . En la figura mostrada. 20° E a) 30° d) 20° 113 30° x N b) 50° e) 40° I c) 80 Cuarto año de secundaria . que sea el mínimo valor entero. ¿cuál de los segmentos es el menor de todos? B C A 4x+10° 80° 9+k 55° c) 30° 2. 80° 30°+x E A Solución: ∆ENC: C T 110° Por suma de dos ángulos internos m NCT = m E + m N Por suma de dos ángulos internos m EAI = m I + m T Por suma de ángulos externos: m NCT + m EAI + 80° = 360° ∴ m E + m N + m I + m T = 280° ∆AIT: ∆ABC: a) 10° d) 40° b) 20° e) 50° x+50° a) 10° d) 40° b) 20° e) 50° c) 30° 3. hallar el valor de “x”.k < 13 < 9 + k + k → 9 < 13 < 2k + 9 13 . Hallar: m E + m N + m I + m T I N B Problemas para la clase 1. Hallar “x”. 13 Solución: Por desigualdad triangular: 9 + k . 4.55° m AEB = 35° Por relación entre lados y ángulos opuestos se tiene: m A > m ABE > m AEB → BE > AE > AB ∴ El menor de todos es AB . Determinar el menor valor entero de “k”. De la figura.9 < 2k → 2 < k Luego: k=3 4 50° 16 3x a) 5 d) 2 5. si NT = TI.(50° + 70°) m B = 60° Por relación entre lados y ángulos opuestos se tiene: m E>m B>m C → BC > EC > BE ABE: m AEB = 90° . El triángulo ENI es equilátero.Calcular “x”. 9. si: L1 // L2 . N E c) 100° c) 18 b) 40° e) 100° P θ 12. hallar “x”. ¿Cuánto mide el ángulo formado por las bisectrices interiores de dos ángulos de un triángulo. Hallar “BC”.En un triángulo ABC: AB = 2 y AC = 10. a) 20° d) 80° b) 110° e) 80° I b) 12 e) 21 θ 25° C b) 15° e) 30° E c) 20° 14.Hallar “x”. PE = 5. α α N 2x + 1 3x . si ∆ENI es acutángulo.Hallar “x”. Calcular el perímetro del triángulo. QI = 7. ∆ABC es equilátero. 8. PQ // EI .Triángulos I 6. 10 y 11 D R Q a) 10° d) 25° β β α α b) 10 e) 16 I c) 12 x B A a) 8 d) 14 c) 9 y 10 13. 8x A B 10.2 E a) 9 d) 15 a) 120° d) 90° B A a) 11 d) 9 c) 60° C b) 4 y 9 e) 9. Hallar “PQ”. o. En un triángulo TRI. x c) 130° 40° 7.Si: AB = BC = CD = DE. si el tercero mide 80°? a) 80° d) 140° b) 60° e) 120° 11. si se sabe que es entero y B es obtuso. 60° x L1 7x 30° C x a) 10° d) 40° b) 20° e) 50° x a) 15° d) 30° c) 30° 114 b) 20° e) 45° L2 c) 10° Cuarto año de secundaria . se cumple que: m T + m R + 2m I = 260° Hallar la medida del ángulo “I”. si: AB = AD. Hallar la suma de los valores pares que puede tomar AC . N 3.5° 3. c 4. a) 8 d) 12 b) 9 e) 14 C 4. En la figura mostrada.Triángulos I 15. ¿cuál de los segmentos es el mayor de todos? B T b) 45° e) 80° x M 80° 60° 50° a) AC b) AE d) ED e) DC C c) BC 5. b 2. si: AB = AM = MN = NC.Si ENIT es un cuadrado y EMT es un triángulo equilátero. En un triángulo ABC. B C E x F c) 10 A 115 D a) 60° d) 70° b) 45° e) 75° Claves 1. Hallar “x”. m C = 2m DBC C B D x A a) 21° d) 15° 42° b) 22° e) 24° D C c) 23° 2. Calcular “x”. BC = 5. AB = 2. B I M N x A 60° a) 10° d) 25° E a) 30° d) 75° b) 15° e) 30° c) 60° E c) 20° A 40° 30° Autoevaluación 1. e c) 67. Si ABCD es un cuadrado y ADE es un triángulo equilátero. Hallar “x”. c Cuarto año de secundaria . c 5. hallar “x”. sin usar instrumentos y solo doblando el papel.Bisectriz Si: m ABD = m DBC → BD: bisectriz interior P B B α α ω ω A D C A Si: m CBD = m DBP → BD: bisectriz exterior C D . Doblez Lado opuesto Por ejemplo: Así se haría la perpendicular desde un vértice al lado opuesto del triángulo mediante un dobles (osea la altura) Altura .Mediana Si: AM = MC → BM: Mediana B A Si: BN = NC → AN: Mediana N G M C Si: BM y AN son medianas → G: Baricentro 117 Colegio TRILCE .Altura B B A H C A B H BH: Altura C A BH: Altura C H BH: Altura . trazar: la perpendicular desde un vértice al lado opuesto.COLEGIO Líneas notables TRILCE Capítulo VI Vértice Con un triángulo cualquiera de papel. la perpendicular a un lado que pase por su punto medio y el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. la bisectriz de un ángulo interno. Ceviana B A B P C A C BP: Ceviana P BP: Ceviana Exterior Problemas resueltos Solución: A 1. se traza la altura BH y la bisectriz del ángulo HBC que corta al lado AC en el punto “D”.Mediatriz Para un segmento L A Para un triángulo B Si: AM = MB y: L ⊥ AB M B L A Si: AM = MC y: L ⊥ AC M → L: Mediatriz de AB C → L: Mediatriz de AC del ∆ABC . Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en “B”.α C Cuarto año de secundaria .m ABH = 60° . B 20° 3 x D 5 80° 80° 20° 5 B A Solución: ABH: BHC: H m m m m C m DBC = 180° . Si: m A = m C = 20°. ∴ m CBH .m C CBH = 90° .30° = 60° 3.(80° + 20°) → m DBC = 80° ∆DBC (isósceles): DC = BC = 5 cm ∴ x = 3 + 5 = 8 cm C ABH = 90° . Si: AD = 10.α m ABD = 90° . Además: m A = 70° y m C = 30°. A x α α D 90°-α A B BHD: ∆ABD: C 118 H D 10 m ADB = 90° .Líneas notables .20° = 40° Solución: B 2. Calcular: m CBH . En la figura BH es altura. m BDC = 80°.m ABH.70° = 20° CBH = 90° . Hallar “AC”. calcular “AB”. AD = 3 cm y BC = 5 cm.m A ABH = 90° . BCI = m ICA. m QSV = 40°. si: AIC = 100°. Calcular: m ATC. AB = AC y m ACB = 70°..2α = 4x β . Si: m C = 28°. Calcular “x”. En el gráfico L es mediatriz del lado AC .α = 2x β=α+m P m P = β . m PAE = 2m EAT = 2m TAC AC y QCE = 2m ECT = 2m TCA. Hallar m MVT. ∴ x = 10 4x 4. B F b) 20° e) 30° T 2. Si: SQ = QT.. si: m B = 4x.Líneas notables Solución: Se prolongan AD y CE hasta “P”. Q I A 2θ α α θ θ β β ω ω 100° x C V 2ω T E S α + β + 100° = 180° → α + β = 80° ∆AIC: además: a) 40° d) 25° 4θ + 2α = 180° + 4ω + 2β = 180° E D A G c) 50° P A 5. Si: BM = MN = AN. B Luego el triángulo ABD es isósceles. B ∆ABC: A α α ∆DPE: Q 6x D β β E G 10x C 2β = 2α + 4x → 2β . A C M B 119 N C Cuarto año de secundaria . En la figura AD y CE son bisectrices. m ADF = 6x y m CEG = 10x.α = 2x 6x + 10x + 2x = 180° 18x = 180° ∴ x = 10° ∆APC: C P 2x F I A P T E Problemas para la clase Solución: B 1. B L 4(θ + ω) + 2(α + β) = 360° → 4(θ + ω) + 2(80°) = 360° 4(θ + ω) = 200° → θ + ω = 50° x + θ + ω = 180° x + 50° = 180° → x = 130° ∆ATC: M a) 82° d) 26° C M b) 72° e) 62° c) 52° 3. En m m m la figura se cumple: m BAI = m IAC. calcular: m CPM. Hallar: m MBN. si: m AFB = 24° y m BGC = 32°. Si: m NAC = 25°. a) 50° d) 60° b) 30° e) 65° a) 16 d) 19 c) 75° 5. si: m B = 2m AEP = 2m CDQ B 6. Hallar: m ANC. hallar: m HBC.. c) 90° E B 8.En un triángulo isósceles ABC: AB = BC. Se tiene un triángulo ABC recto en “B”. a) 2 d) 5 b) 4 e) 10 A a) 10° d) 12° c) 6 120 C b) 15° e) 18° c) 9° Cuarto año de secundaria . calcular “x”. Se tiene un triángulo acutángulo ABC y se traza la altura BH . AB = BC = AD. Si: AB = BC.En la figura AE y CD son bisectrices. Si: QB = 8. si: AM = 12 y NC = 24. m B = 32°. B D P A a) 10° d) 18° C b) 12° e) 20° b) 60° e) 120° Q D A c) 15° a) 30° d) 15° 7.En la figura: m B = 90°. m OBC = 20°. si: BH = 4. Calcular m FCG. a) 16° d) 15° c) 90° b) 32° e) 18° c) 8° 12. Si: m ABP = m PBQ y m QBC = 16°. calcular: m PBH. Por un punto “P” de AC se levanta una perpendicular que intersecta a AB en “M” y a la prolongación de CB en “N”. a) 100° d) 68° 10. En un triángulo ABC se prolonga CA hasta “F” y AB hasta “G” de modo que: AF = AB. Si: m DCB = m DAC = x. AC = CD y: m CAB .En la figura: AB = BC. calcular m B..Se tiene un triángulo ABC isósceles (AB = BC) se traza la altura BH y las cevianas BP y BQ de modo que “P” y “Q” se encuentran sobre AH y HC respectivamente. BE y CE son bisectrices. Si el ángulo exterior adyacente a “C” mide 150°. BH es altura. Calcular “CE”. m ABO = 30° y AB = BC. B A a) 1 d) 4 N H C b) 2 e) 5 c) 3 14.Líneas notables a) 20° d) 30° b) 40° e) 45° c) 70° 4. a) 30° d) 75° E C b) 60° e) 40° c) 45° 13. calcular “BP”.m ABC = 30° Hallar: m BAD. A a) 60° d) 90° O b) 70° e) 85° C B c) 27° D 9. Se traza la altura BH y la bisectriz del ángulo “A” que corta a BH en el punto “P” y al lado BC en el punto “Q”. Calcular el ángulo que forman la bisectriz interior y exterior del ángulo “C” en un triángulo ABC. Calcular “AB”. b) 95° e) 64° b) 17 e) 20 c) 18 11. a 3. Calcular el mínimo valor entero de “y”. b 2. (x . A x B D C F 121 Cuarto año de secundaria . si: m BDA . e 5.En la figura BM es mediana.Líneas notables a) 18° d) 24° 37° 15.5° M b) 12° e) 9° 3. m ABC = 20° y m CDN = m NDE. m C = 2 Calcular: m MBC.x). B A a) 18. (2y . m ACD = 2m DCF B C b) 22. además: m CAD = 2m DAE. b 2.y). si: m B = 30°. Hallar “x”. si: m ACB = 110°. Hallar “x”.5° e) 26.5° d) 12. Las medidas de tres ángulos internos de un triángulo son: (x + y). d 4. Hallar “x”. si el ángulo interior no congruente mide 44°? a) 46° d) 68° E N x b) 56° e) 34° c) 66° 5. B a) 50° d) 65° C c) 16.5° A E F C a) 85° d) 70° b) 40° e) 45° c) 60° 4. m A = 45°.m CDA = 18°.5° Autoevaluación A c) 6° c) 70° a) 17° d) 46° b) 29° e) 59° c) 44° Claves 1. D b) 40° e) 55° F x D 1. ¿Qué ángulo forman la bisectriz interior de uno de los ángulos congruentes de un triángulo isósceles y la altura relativa a la base. c a α x x+y=α+β A Si: α < 90° 2 → a< b +c β α α x= β C Problemas resueltos Si: α > 90° a 2 → a> b +c α 2 1. β B x = 90° - θ θ x α e A α x=α+β+θ α θ 2 C β β x E 2.COLEGIO Propiedades adicionales de triángulos TRILCE Capítulo VII Se tiene una mesa de billar cuya forma es de un triángulo equilátero tal como se muestra en la figura. α 6. i 70° A x B 5. halle “x”. B b α E D 4. 1. Si la trayectoria de la billa es como se indica. si: α = 35° y θ + ω = 80°. y B θ x β 3. ¿con qué ángulo incidirá la billa por segunda vez sobre la banda AB ?. B θ θ x = 90° + 2 θ A I A α α θ 2 2 b c E x β H F x ω I C G β C 123 Colegio TRILCE . En la figura mostrada. Se sabe que el ángulo con que incide por primera vez sobre la banda AB es de 70°. además el ángulo de incidencia (i) en todas las bandas es igual al de escape (e). En la figura “G” es el baricentro del triángulo ABC. m ADF = m FDE. si: m BAD = m DAC. m ACD = 40°. AG 8 = =4 2 2 Solución: Q 102 + 4 2 → β A D E m ABD = 40° → m ABD = 80° 2 ∆ABD (isósceles): m A = m D = 2α 4α + 80° = 180° → α = 25° ∆ABF: x + 25° + 80° = 180° → x = 75° B 10 F x A E Solución: N α F x → 2 G x = 11 2 M 3 P N Por propiedad del baricentro: PG = 2GM → PG = 2(2) = 4 Además: QG = 2GN → QG = 2(3) = 6 ∴ PG + QG = 4 + 6 = 10 3. m BAC = m CAD y m BDC = m CDE. En la figura: AB = BD. si: GM = 2 y GN = 3. si: BN = NC.ω + α x = 180° + α . B A D B C 80° 40° G M C α α Solución: x/2 8 x N α 4 G 5 A M C Como “G” es baricentro: → BG = 2GM → BG = 2(5) = 10 → AG = 2GN → GN = ∆BGN: Si: α > 90° → x > 2 2α x > 116 2 ∴ x = 22 β 5.Propiedades adicionales de triángulos Solución: ABCF: 4. Si: C AM = 4.80° ∴ x = 135° 2. En un triángulo PQR se trazan las medianas PM y QN cortándose en el punto “G”. 2 B P E Solución: Como AD es bisectriz del ángulo BAC y AE es bisectriz del ángulo PAC. B D R Problemas para la clase A F x 1. AG = 8 y “α” es obtuso. calcular “ MC ”. Entonces: m DAE = 90°. Calcular “PG + QG”. AM = MC. Hallar el mínimo valor entero de BC . DAE: x = 90° + 90° = 135° 2 124 G A a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 M C c) 3 Cuarto año de secundaria .θ + 90° . Calcular “x”. m AEF = m FED. GM = 5.(θ + ω) x = 180° + 35° . m PAE = m EAC y m B = θ. B C x=m A+m C+m B x = 90° . se traza la altura AD y la bisectriz interior BE que se cortan en “F”. m BAE = 10° y m EAC = 50°. En un triángulo ABC (B = 90°) se traza la altura BH y la bisectriz BN del ángulo ABH. Si: NC = 5 cm. Hallar “x”. Calcular:m BAC.Propiedades adicionales de triángulos 2.Si: AD = AC. si: m B = 54°. GM = 3 y GN = 4. si: m B = 56°. si: m ABC + m AIC = 150°? b) 40° e) 55° b) 4 e) 3 c) 8 11.. m ABC = 40°.. a) 20° d) 60° T N C b) 114° e) 76° a) 147° d) 53° c) 20° 10. NS = SM y BT = 12. se trazan las medianas AM y BN cortándose en el punto “G”. hallar m AFB. En la figura AI y CI son bisectrices.Si AE bisectriz del ángulo “A” y CE bisectriz del ángulo BCD. Calcular “AB”. NT = TP. Calcular “QT”.Si: m ABC = 84° y AD = DE = BE = BC. Calcular: m AEC. si: m B = 48°. Se tiene un triángulo ABC.5 P Q S 4. b) 28° e) 30° c) 106° D A a) 16° d) 22° C E b) 18° e) 24° c) 20° 13.5 e) 4 a) 138° d) 127° M a) 6 d) 2 6. B E A b) 120° e) 111° C a) 56° d) 112° c) 5 7.. ¿cuál es el mayor valor entero que puede tomar AB ? a) 7 d) 13 b) 9 e) 15 c) 11 3. Si: m A = 64° y m C = 42°. I a) 138° d) 104° c) 30 E C A 125 C Cuarto año de secundaria . En un triángulo ABC. se traza la altura y la bisectriz que parten de “A”. B a) 10 d) 15 b) 20 e) 8 9. a) 2 cm d) 3. B c) 117° 8. B A C c) 30° b) 2. a) 10° d) 25° b) 15° e) 30° B A c) 128° A b) 137° e) 63° c) 117° 5. si: m B = 70° y m C = 50°. B M D G x N D 12.En la figura BM y AP son medianas. hallar “BC”.. ¿Cuánto mide el ángulo “B”. Si: GN = 3 y GM = 4. Calcular m AIC. las bisectrices interiores de los ángulos “A” y “C” se intersectan en “I”. En un triángulo ABC. Dado un triángulo ABC. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices exteriores de los ángulos “A” y “C” de un triángulo ABC. Si: m NGM = 90°. Hallar la medida del ángulo que forman estas líneas notables. En la figura BN y AM son medianas. también: AB = BC y BD = BE. A E 20º x B a) 20° d) 30° F b) 15° e) 10° A C a) 18 m d) 22 c) 22° 15. B Autoevaluación 1. Si BM es mediana. Las medianas AM y BN de un triángulo ABC se cortan formando un ángulo de 90° en el punto “G”. m A = 2m C desde “B” se traza una perpendicular a la bisectriz interior del ángulo “A” cortándola en “H”. Hallar “AB”. b 4.Propiedades adicionales de triángulos a) 40° d) 30° b) 52° e) 28° c) 60° 2. si: GN = 7. b c) 2 3. a) 3 d) 5 c) 72° Claves 1. a) 17 m d) 12 c) 50º b) 15 e) 18 c) 20 4. a) 20º d) 70º b) 40º e) 80º N G M b) 26 e) 19 C c) 15 3.Si: AB = BC y BE = BF. d Cuarto año de secundaria . calcular: m EDC. si: m BCA = 72°. m BAC = 2m ACB y m AMB = 45° Calcular: m ACB. En el triángulo ABC de la figura se traza las bisectrices de los ángulos “A” y “B” que se cortan en “O”. si “N” es punto medio de BC . Si: AH = 2. además: AG = 2GN = 8 m y BG + AC = 22 m. Hallar “x”. Hallar “x”. B 14. Hallar el perímetro del triángulo AGM. Si: m ABD = 40°. C A a) 15° d) 18° O A a) 36° d) 48° x D b) 54° e) 84° B M b) 30° e) 25° C c) 20° 5. luego se une “D” con “E”. e 5.En un triángulo ABC se ubican los puntos “E” y “D” en los lados BC y AC respectivamente. En un triángulo ABC. hallar “BC”. a 126 b) 4 e) 6 2.5 m y GM = 4 m. B a) 2 d) 5 20º b) 3 e) 6 c) 4 10.. Calcular el mayor valor entero que puede tomar la altura relativa al tercer lado. Si “C” punto medio de BD . Calcular “x”. Si: QH = 4 y BC = 10. b) 12 e) 8 c) 14 6.. Además: BD = 10. dista de este 1. 20 16 A B B 60º D C x β β 12 a) 6 d) 9 b) 7 e) 10 c) 8 A 2. calcular: m BDC.y”. ¿A qué se debe sumar su complemento del doble de un ángulo para obtener el doble del complemento de dicho ángulo? D C b) 10 e) 8 b) 80º e) 50º a) 17 u d) 15 3. calcular “x .25 m. calcular: m BDC. AB = 4 A C D 7. A a) 70º d) 75º C D b) 80º e) 66º x c) 90º θ 5. El primer peldaño y el último distan también 0. 80º L2 θ θ b) 90º e) 45º c) 70º 9. si la distancia del pie de esta última al muro es 3. En un triángulo rectángulo se traza la altura BH y la bisectriz BQ del ángulo ABH. a) 70º d) 60º 60º L1 2x a) 10º d) 40º b) 20º e) 50º c) 30º B a) 9 d) 12 c) 40º b) 18 e) 19 a) 80º d) 60º c) 11 4. c) 16 8. calcular “AC”. calcular “HC”. Si: L1 // L2 .En el gráfico.25 m de los extremos de la escalera. La escalera tiene 19 peldaños y la distancia entre los ejes de estos es de 0.6 m? a) 13 d) 10 Problemas para la clase 1.4 m. Si el triángulo ABC es equilátero. En un triángulo acutángulo dos de sus lados suman 18u. En la figura. ¿Cuántos peldaños deberá tener otra escalera de las mismas características que la anterior para que alcance la misma altura sobre el muro. si: AC + BC = 20 y AB =8.COLEGIO Repaso TRILCE Capítulo VIII El pie de una escalera de mano apoyada en un muro. A B a) 10º d) 40º C 127 θ b) 20º e) 15º y 160º c) 30º Colegio TRILCE . Calcular “AC”. Calcular “x”. Si: AL = 2(AB) = 4 y AC toma su mínimo valor entero. si su ángulo interior opuesto es obtuso.Dos de los lados de un triángulo miden 9u y 40u. Calcular el mínimo valor entero del tercer lado.. calcular el mínimo valor entero de LC .En la figura mostrada. Hallar “x”.Repaso 11. “Q”. B C Q b) 3 e) 6 a) 10º d) 50º x P α A C C c) 15º a) 10° d) 18° b) 30° e) 15° P c) 20° Autoevaluación 1. b) 30º e) 60º θ 3.m C = 40°. Según el gráfico. PR = . sobre AC y exteriormente se construye el ∆ALC. Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en “B”. “R”. Calcular: m BAC. P E R B A a) 2 d) 5 a) 20° d) 40° b) 30° e) 10° A c) 4 c) 40º 14. PR = 3 y EP = 1. θ θ PT 3 x c) 9 40° 2. PQ = a) 7 m d) 10 b) 8 e) 11 ST = 6. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos “P”. c 4. calcular el valor de “x”. Si: m A . si: m BAC = 45º. Calcular: m ACP. a 5. hallar “QS”. Si: PQ = 9. B 2θ M O 40° 40° α α α B α α P 13. a Cuarto año de secundaria . c 3. si: AC = BC. A θ a) 10° d) 40° a) 10º d) 30º b) 20º e) 18º R c) 50° C 10° b) 20° e) 15° c) 30° 4. 128 α α a) 20° d) 40° b) 10° e) 30° c) 15° Claves 1. calcular “θ”. BM = MC. b 6. Calcular la m PBC. se ubica un punto exterior “L” relativo al lado AC . a) 41 u d) 42 b) 39 e) 43 c) 40 θ 12. b 2.Calcular la altura del triángulo equilátero ABC.En un triángulo ABC. En la siguiente figura: m POR = 100°. “S” y “T” de manera que: QR PS .. si: m ALC = 2m ACL m BCL = 60º y AL = BC. 2 4 Si: RS = 5 m. a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 5. ............................................................................. 87 II Propiedades de Triángulos ............................................................................................................................................................................................................. 107 VII Repaso de Polígonos y Cuadriláteros ...................... 101 V Polígonos ................................... Congruencia de Triángulos ................................................................... 113 VIII Repaso Bimestral ...................... 93 III Repaso de Congruencia de Triángulos ......................................................................................................................................... 117 ................................................................................ 97 IV Repaso de Triángulos ...........................................ÍNDICE Capítulo I Pág.................................. 103 VI Cuadriláteros ....................................................................... * Postulados para la Congruencia de Triángulos M T ⇒ ∆EFG ≅ ∆MNT Observación: Al establecer la congruencia entre dos triángulos por alguno de los casos mencionados se cumple que: “a lados de medidas iguales se oponen ángulos de medidas iguales” o que: “a ángulos de medidas iguales se oponen lados de medidas iguales”.L): Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente de medidas iguales. “Es necesario y suficiente que tres elementos del primer triángulo sean congruentes a otros tres respectivos elementos del otro triángulo. . L ∆DEF ≅ ∆MNP D .COLEGIO Congruencia de Triángulos TRILCE Capítulo I Definición B I Dos triángulos son congruentes.L . * Propiedad de la Bisectriz Se presentan tres casos principales para determinar si dos triángulos son congruentes. * Si OE es bisectriz de FON * Se cumple: F O α α EF = EN E También: OF = ON N N * Propiedad de la Mediatriz de un Segmento D α F ⇒ M α P Todo punto perteneciente a la recta mediatriz de un segmento equidista de los extremos de dicho segmento.A): Dos triángulos son congruentes si tienen un lado de igual medida y los ángulos adyacentes a dicho lado respectivamente de medidas iguales.Caso (L . si tienen sus lados y ángulos respectivamente de medidas iguales.Caso (A . Por lo menos uno de estos tres elementos debe ser un lado”.A . F N ∆ABC ≅ ∆PQR E “No es necesario que los tres lados y los tres ángulos sean de medidas iguales para determinar que dos triángulos sean congruentes”.L . 87 Si: L es mediatriz de AB Se cumple: DA = DB A M B Colegio TRILCE .Caso (L .L): Dos triángulos son congruentes si tienen un ángulo interior de igual medida y los lados que lo forman también. equidista de los lados de dicho ángulo. E G Todo punto perteneciente a la bisectriz de un ángulo. Q B a c A A C P R b AB = PQ BC = QR AC = PR m∠A =m∠P m∠B=m∠Q m∠C =m ∠R C H α θ K ⇒ ∆ABC ≅ ∆HIK a c b α θ . Si: BC = CE. EP = 4 y MP = 3. B 3..A) → AB = CD y AC = ED ∴ x = 9 + 7 = 16 9 E 4(4) ∴ x = 12 α E 37° H 9 7 A 5(4) 3(4) E - N - 4 EPF ≅ FMN (A . Calcular la distancia de “E” a AC . x E P B x 143° 37° α α A - α C D α α H F Por propiedad de la bisectriz: PH = PE PHF: notable P Solución: B D 3φ 2. Si: EF = FN.L .A) → EP = FM = 4 FP = MN ∴x=7 L D φ A ∆ABC: 3φ = m B + φ → 2φ = m B Por propiedad de la mediatriz: AD = DC y m DAC = φ φ C Luego el ∆BAD es isósceles: → AD = 5 y DC = 5 ∴ BC = 3 + 5 = 8 5. hallar “AD”. B L C D 7 x ∆ABC ≅ ∆ECD (A . F φ A C Solución: N M B P Solución: 3 2φ 2φ 5 3φ F θ 4 α x M 3 P F 4. hallar “PE”. Si L es mediatriz de AC .Congruencia de triángulos Problemas resueltos Solución: E 1. En el gráfico: BN = 9 y HN = 3. Si: PF = 20. AB = 7 y ED = 9. BD = 3 y AB = 5. E E P θ 143° F A α α 88 θ N H C Cuarto año de secundaria . hallar “BC”. hallar “MN”.L . . D A E B C a) 118º d) 148º a) 12 cm d) 10 E b) 104º e) 138º x D b) 9 e) 13 c) 11 8. A B θ A - θ 9 θ θ 9 90°-θ E 90°-θ N x 3 B H C a) 8 u d) 6 ∆NBE es isósceles: BE = BN = 9 Por propiedad de la bisectriz: ∴x=9 37º E b) 10 e) 4 C c) 5 5. P B A a) 12 u d) 14 130º E 50º x C E θ b) 13 e) 15 c) 16 B b) 50º e) 75º R 6. PQ = 9u y Q L Problemas para la clase 1. Si: EC = 10 u. Si: EB = AB. Hallar “x”. F c) 108º E B P A 89 C Cuarto año de secundaria . QR . Si: AF = EC. Hallar “PR”. 25º F E C E a) 40º d) 55º D F a) 16 u d) 17 B b) 18 e) 13 c) 50º 7. hallar “x”. F a) 60º d) 80º 2θ L2 L1 c) 70º A 40º 2. hallar “CF”. BF = BC y EC = 24 u. Hallar: m EBF. C A b) 60º e) 65º B C c) 15 F A 3.Congruencia de triángulos Solución: 4. Si: BF = BC y AF = EC. AC = CD y m BAC = 32º. Si: ABCD es un cuadrado. hallar “AF”. Si: L1 y L2 son mediatrices de AB y BC .. hallar “EB”. Si: L es mediatriz de PE = 5u. EF = 19 cm y AE = 8 cm. Si: BC = CE. Hallar “AC”. EF = 8 u y FB = 5 u. hallar “BC”. B B θ θ D E A N a) 5.Congruencia de triángulos a) 12 u d) 22 b) 18 e) 24 c) 20 15. hallar “PQ”.5 u d) 3.Si: BE = 7.. hallar “ND”. En el problema anterior. 13. Hallar “AP”. hallar “EF”. L1 D M b) 60º e) 40º C O a) 6 d) 3 c) 120º 90 α α b) 6 2 e) 5 3√2 45º E c) 4 Cuarto año de secundaria . A B 80º L2 P F x A C a) 142º d) 122º 14. Hallar “x”.Si: PC = 8 3 u. P B A θ E θ a) 8 u d) 8 3 B b) 12 e) 16 3 C E D C a) 16 d) 14 c) 16 b) 20 e) 13 c) 12 2.En el triángulo PQR: m P = 37º. Si: m BAD = 48º.Dado el triángulo ABC: m A=30º. A 12. m R = 60º y QR = 6 u. a) 120º d) 150º b) 75º e) 135º A c) 90º 10.Si: AC = AE.5 α α 48º C A c) 7.9 H b) 6 e) 6. hallar “x”. Si: AB = 16 y DE = x + 4. hallar “EB”. BF = 7 u y FC = 5 u.8 E a) 100º d) 80º b) 152º e) 112º x c) 132º 3. hallar m APC.2 u. m C=15º y AC = 18 u. B F 9. Autoevaluación a) 8 3 u d) 9 2 b) 9 3 e) 8 2 c) 6 3 1.Si: L1 y L2 son mediatrices de AM y MC . hallar “x”. a) 5 3 u d) 9 3 b) 4 3 e) 12 C E c) 6 3 a) 12 u d) 19 b) 15 e) 24 c) 17 11.8 u y EH = 3.. d Cuarto año de secundaria . c 91 2.Congruencia de triángulos 4. Hallar a) 8 2 d) 6 b) 2 2 e) 3 2 c) 4 2 Claves 1. M b) 8 2 e) 9 3 B c) 8 3 ∆ABC: m A = 30º. m C = 45º y AB = 8 u. c 3. Hallar “AP” P 16 u 60º E A a) 8 u d) 12 5. c 5. c 4. E n e l “BC”. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se traza la altura BH y se toma el punto medio “M” de BC . 1. B BM = a a - x= B 48° 24° A C Solución: B En todo triángulo isósceles la altura. por propiedad: C a M - N E P Propiedad de la Mediana en el Triángulo Rectángulo A 12 M M - b R 93 A 48° a M a C Por propiedad de la mediana: BM = AM = MC ∆EBM es isósceles: →a=9 ∴ AC = 18 3. MN = 12. están representadas por el mismo segmento y pertenecen a la mediatriz relativa a la base. por base media: AC = 24 ∆AEC. Hallar “PQ”.COLEGIO Propiedades de Triángulos TRILCE Capítulo II Propiedad de la Base Media Problemas resueltos Llamado también Teorema de los puntos medios. Calcular “AB”. la mediana y la bisectriz relativa a la base. si por el punto medio de un lado se traza una paralela a otro de sus lados ésta cortará al tercer lado en su respectivo punto medio y además el segmento determinado es igual a la mitad de la longitud del lado al cual es paralelo. MN = AC 2 A En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de dicha hipotenusa. Si: EB = 9. En el gráfico. Colegio TRILCE . tal que: MH = 4. hallar “AC” AC 2 Propiedad en el Triángulo Isósceles P C 24 E B Q ∆ABC. 9 a 48° E L - Q α α A n H n C b 24 = 12 2 2. Se cumple: BN = NC . B N M E B L N M Q P A C Solución: A B C Si: L // AC y “M” es punto medio de AB . Hallar “BP”. sobre BC se toma el punto “P” y se traza la mediana BM.. Hallar “EC”. Si: BN = NE. si: AB = 8 cm y AC = 18 cm. ∆CBE es isósceles. Luego se traza la bisectriz exterior del ángulo “B” y la perpendicular CH a dicha bisectriz. AE = 36 y el ∆BEC es equilátero. B B A A C N M C a) 8 cm d) 9 θ θ C E b) 10 e) 12 c) 11 4. En el triángulo rectángulo ABC (AB < BC). Hallar “MN”. H - - Solución: - u 14 n 60° C AE = 18 2 MF = ABC: BM = AM = MC ∆MBN ≅ ∆MCF (L . AM = MC.L) → x = 18 E 8 α α a M α ∆ACE: n B F 60° α a A BHC: por propiedad de la mediana x=8 n n a C ∆ABC: AB = 14 u y BC = 8 u. calcular “MH”. Hallar “MN”.Propiedades de triángulos Solución: Solución: B x x M B 4 A 4.5 3. Hallar “AB”. E a) 6 u d) 3 3 N b) 9 e) 6 3 c) 4. BC = BE = 8 EH = HC ∆ACE: por base media x= A a) 8 cm d) 4 22 = 11 u 2 b) 3 e) 4. Si: AB = 7 cm y AC = 16 cm. H B x R A - M C Prolongamos CH y AB . Si: (AB). E N n E n Problemas para la clase 1.(NR) = 32cm2. tal que: m BMP = m BPM y AC = 18 u. Siendo “M” punto medio de AC . 5.A . B A 94 α α M N C Cuarto año de secundaria .5 c) 9 2. Luego se traza la altura BH y se toman los puntos medios “M” y “N” de AB y BC respectivamente. Hallar “BF”. B B M α N θ θ C α A a) 18 cm d) 20 b) 16 e) 15 A a) 15º d) 20º c) 19 b) 16º e) 14º B 18º a) 37º d) 45º 36º E a) 12 m d) 8 c) 18º C b) 30º e) 53º c) 36º 14. Si: AB = 9 cm. Además “N” es punto medio de BE .Hallar “x”.Si: AB = 20 u y AM = MC. hallar “AC”. B 5. luego la perpendicular AH a dicha mediana (“H” en BM ). si: PC = 2AB y AP = PB. E b) 7 e) 8 c) 5 11. si: m B = 64º.En un triángulo ABC.Si: MN = 3 u.. Hallar “MN”. Hallar: m MBC. 8.Se tiene un triángulo ABC donde se traza la mediana BM. Calcular el perímetro del ∆MHN. hallar “BE”. A x P E b) 9 e) 12 C N 60º M b) 10 e) 15 C E c) 8 15. BC = 13 cm y AC = 14 cm. B b) 10 e) 9 c) 14 N 9. Hallar: m MNC. Si: AC = 24 m. B A a) 12 u d) 14 M F A a) 8 cm d) 10 C 13.Si: AE = EM y EH = 1 u. a) 12 u d) 14 b) 15 e) 16 M A c) 13 53º C H a) 6 u d) 10 6. Hallar “AB”. Si: AM = MC y HN = K. Dado el triángulo ABC donde: AB = 8u. Si: MN // BE y MN = 6 cm. hallar “AB” B B N A H a) 2K d) 5K M C M A b) 3K e) 6K c) 4K a) 9 u d) 8 7. Hallar “EC”. θ θ C N b) 6 e) 7 c) 5 12. sobre BC y AC se toman los puntos “E” y “M” tal que: AB = EC y AM = MC.Propiedades de triángulos a) 4 cm d) 6 b) 5 e) 10 c) 3 10. BC = 12u y AC = 10u. c) 7 a) 16º d) 22º 95 b) 32º e) 26º c) 18º Cuarto año de secundaria . BC = 2AH. Propiedades de triángulos Autoevaluación 1. b 96 C b) 22 e) 19 2. c 5. a) 28 u d) 27 b) 32 e) 26 a) 3 b) 2 d) 6 e) c) 1 2 4. Si: AB = 3 5 u. si: AC = 16 u. BC = 18 u y AC = 22 u. B 3. Hallar “MH”. c θ c) 20 3. Dado el triángulo ABC: AB = 14 u.. Si: AC = 24 u y BC = 16 u. d 4. Hallar el perímetro del triángulo formado al unir los puntos medios de los lados del triángulo ABC. Hallar “MH”. B A α H M 2 √6 E α C M H θ A a) 18 u d) 21 C Claves 1. d Cuarto año de secundaria . hallar “EC”. c) 31 B 30º 2. Hallar “BQ”. B 20º A 53º Q A a) 6 u b) 12 e) 8 b) 6 5 e) 12 d) 8 5 C M a) 9 u d) 15 E c) 10 c) 5 5 5. Si: AB // EF . F B a N a - ∆BEC es isósceles. Hallar “α + θ”. En el gráfico: ∆ABC es equilátero y: EB = FC = AB .φ ∴ α + θ = 60° B 2. H a 2a C BH = HC = a ∴ x = 30° 4. B 60° 4x A E E C x A M C Solución: Solución: B F N 16 B a A x a A 60° x E 4x 4x - a C 2a a x M Tomamos el punto medio “N” de AB . 3 B 16 60° x 60° B C x ∴ x = 16 E α F θ 3. Hallar “BC”.L) → m ECB = m FAC = φ Luego: α + θ = φ + 60° . Si: AE = BC y BE = EC.∆BEC ≅ ∆AFC (L . hallar “x”.L) → BC = FC Luego: F 1..A . → MN = 97 C BC =a 2 Colegio TRILCE .. hallar “x”.A . AB = EC y BF = 16. - ANE es notable.COLEGIO Repaso de Congruencia de Triángulos TRILCE Capítulo III Problemas resueltos - ∆ABC ≅ ∆EFC (L . A A x C Solución: E B a E 60° 2a B 2a Solución: F P φ C A a 2a A C 3a .. Si: BM es mediana y BC = 2BM. AC = EF. Repaso de Congruencia de Triángulos - L u e g o e l ∆NMB es isósceles. P A a Q N 3a a) 12 cm d) 24 C 98 b) 24 3 e) 18 c) 8 3 Cuarto año de secundaria . hallar “x”. Hallar “AD”. hallar “PQ”. c) 18 A 2.5 7. ED = 5u y CD = 7u. 9x = 180° ∴ x = 20° a) a d) 5. a) 12 cm d) 9 b) 24 e) 16 b) 87º e) 93º c) 97º 6.A . Si: AB = NC y L es mediatriz de AC . B 3a 2 2a 3 E θ C c) 2a 6 u. si una de sus alturas mide 4 3 cm. Si: AB = 16 cm. Si: AB = BC. Hallar “CD”.L) → m FAE = 40° ∆AFE: 40° + x = 70° ∴ x = 30° α 5. hallar “AC”. Si: BC = AE. Según el gráfico..5 c) 8. si: PH = 70° x A b) C A c) 2 3 b) 2 6 e) 3 2 a) 12 u d) 4 3 40° A E ∆BEC ≅ ∆AFE (L . En el triángulo isósceles ABC: m B = 120º.5 e) 10. D B 6√2 A B 45º 30º D a) 3 2 d) 12 E b) 4 2 e) 9 a) 7 u d) 12 C c) 6 C b) 9. hallar “x”. Calcular el perímetro de un triángulo equilátero. Dado el triángulo rectángulo ABC: m C = 15º y AC = 36 cm. B L N A x 31º C Problemas para la clase a) 78º d) 83º 1. a) 8 3 cm d) 8 2 B c) 16 3 b) 32 e) 24 8. hallar “AE”. B θ H P Solución: B 40° x 40° α D 70° 70° F - e) C 40° - 5a 2 4. Hallar la longitud de la altura BH. 3. m BAC = 50º. b) 45º e) 70º c) 60º Autoevaluación B 1. hallar “BH”. hallar “CD”. Luego se ubica el punto “E” exterior y relativo a AB tal que: m BAE = m HCB y AB = BH + HC.En un triángulo ABC se traza la altura BH. B 14. la mediatriz de AB intersecta en el punto “N” a la prolongación de BC . P B 60º E B D H α α A 60º A a) 5 u d) 6 60º 60º β β C C b) 2.5 10. calcular “BD”. Calcular “AB”. a) 3 3 d) 2 2 b) 9 e) 4 2. Si: BC = 14 u. a) 30º d) 45º c) 12 B 12. Si: AE = 4 u. hallar “AE”. 70º H A b) 45º e) 50º A 75º B C 53º M Q A c) 80º a) 9 u d) 36 99 b) 18 e) 24 N H C c) 27 Cuarto año de secundaria . hallar “BC”. C a) 70º d) 80º C a) 5 cm d) 6 11. AE = CD. 13. Calcular: m MAN. 15. Si: BC = 8 u. Si: EC = 18 cm. si: AP = 2PH.Hallar “2α”.En un triángulo ABC.En un triángulo rectángulo ABC recto en “B” se traza la ceviana interior AR en cuya prolongación se ubica el punto “N” tal que AR = RC y m ANC es igual a 60º. si: AB = ED. Si: QN = 4. Calcular la m EBA.Si: AB = CD y AC = BE.5 u. calcular “θ”.Calcular “θ”.Repaso de Congruencia de Triángulos 9. a) 60º d) 75º D 3. la mediatriz de AC intersecta en el punto “M” a BC . E D A º 50 35º 45º θ a) 25º d) 15º E c) 35º θ B b) 55º e) 45º b) 4 e) 3 C E 70º D b) 53º e) 18º α α A c) 60º a) 21 u d) 28 30º b) 35 e) 34 b) 70º e) 90º c) 27 θ B θ C c) 3 D 45º A a) 3 2 u d) 2 2 c) 37º E b) 4 2 e) 6 c) 4 4. si: BR = 2 y RN = 5.5 e) 4 a) 30º d) 90º c) 1. a 100 2. b Cuarto año de secundaria . A D B a) 2 u d) 1 b) 4 e) 5 C c) 3 Claves 1. d 4. e 3.Repaso de Congruencia de Triángulos 5. calcular “CD”. Si: AD = 1 u y BD = 4u. d 5. 3θ 3θ a) 12. BC = 9 u y AC = 12 u. θ 4.COLEGIO Repaso de Triángulos TRILCE Capítulo IV a) 65º d) 75º Problemas para la clase 1. Grafique al triángulo ABC de modo que: Calcular la m B. se traza la mediana BM y la altura BH. c) 13.Dos lados de un triángulo escaleno miden 8 dm y 12 dm.γ = 110º α c) 1 9. Si: BM. b) 18 e) 9 c) 14 B 8. Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de QE y QR . tal que la m HBM = 46º. c) 50º 6. calcular el valor de “θ”.β . hallar la longitud de la hipotenusa. Calcular la m BAC. En el gráfico. En un triángulo rectángulo ABC (AB < BC). Hallar el perímetro del triángulo que se forma al unir los puntos medios de los lados del triángulo ABC. a) 115º d) 215º b) 2 e) 2.5 mA = mB = mC 8 9 7 a) 19 d) 13 101 b) 14 e) 12 c) 15 Colegio TRILCE . y θ a) 36º d) 72º c) 70º b) 50º e) 48º c) 60º 12.Grafique al triángulo ABC (AC = BC) y marque “F” en AC de modo que: AB = BF = FC. β β A α+θ a) 50º d) 60º α θ b) 30º e) 36º C a) 3 cm d) 4 c) 45º αα 20º a) 21º d) 24º x 50º θ b) 95º e) 105º a) 105º d) 150º x b) 115º e) 110º c) 100º M 3α A a) 4 d) 9 N b) 6 e) 10 α C c) 8 11. c) 70º a) 16 u d) 7 2.A. se traza la mediana BM. si se cumple: α + θ . En un triángulo rectángulo ABC. Dado el triángulo ABC: AB = 6 u. En un triángulo PQR. calcular “x + y”. ¿Cuántos valores enteros puede adoptar el tercer lado? 5. 3. Calcular “θ”. En el gráfico. PQ = 7 cm y PR = 11 cm.AC = 98 u2. c) 18º B γ β b) 20º e) 22º 10.5 u d) 15 140º a) 20º d) 25º b) 70º e) 60º b) 11 e) N. si: BC = 8 y BM = 2.Hallar “AB”. Hallar m C. Calcular el valor de “x”.5 θ b) 40º e) 36º 7. sobre PR se toma el punto “E” tal que: m PQE = m PEQ. 1. Indicar la relación correcta. d 4. a Cuarto año de secundaria . e 5. La bisectriz del ángulo ABC corta a AC en “Q” de modo que: AB = BQ. x x b) 25º e) N. calcular “x”. hallar “AD”.. “P” y “N” respectivamente tal que: AM = AN y CN = PC. d c) 60º C c) 22º30’ 102 3. siendo: CM = MD y BC = 5 u. Del gráfico. a) 45º d) 30º b) 37º e) 60º n m m αα x A x c) 90º a) 30º d) 22º30’ 15.Sea ABC un triángulo donde el ángulo ABC mide 2α y el ángulo “C” mide “x”. n C 53º B 3x M L2 a) 20º d) 36º b) 22º30’ e) 45º A c) 30º a) 4 u d) 10 Autoevaluación B θθ x A a) 30º d) 45º 2θ b) 15º e) 20º D b) 6 e) 12 c) 8 5. En un triángulo rectángulo ABC (recto en “B”) sobre los lados AB. 60º 2x x αα 2α = 90º 3 3x 2α + = 90º 2 3 a) 20º d) 30º θ θ b) 15º e) 40º c) 25º 3. B 14. Del gráfico. se ubican los puntos “P” y “Q” tal que la m PAB = m QBA = 60º y AB = AP + QB.Repaso de triángulos 13. α α 30º 2α a) 30º d) 45º b) 22º30’ e) 67º30’ Claves 1.A un mismo lado de un segmento AB. Calcular “x”. BC y AC se ubican los puntos “M”. hallar “x”.Del gráfico L1 // L2 . L1 θ θ C c) 27º 4. Calcular la medida del ángulo formado por AQ y PB . c 2. Del gráfico.A. a) x + 3α = 80º 2 b) x + c) x + 3α = 45º 2 d) e) x + 3α = 90º 2 2.. Calcular: m MNP. calcular “x”. . β.. De acuerdo a su número de lados: D - λ Elementos: .Lados: AB. . α α α α α 103 α Colegio TRILCE . De acuerdo a su región: a.. De acuerdo a sus ángulos y a sus lados: Clasificación a. I. B A φ α β δ C θ ε γ E F II. Externos: φ..Vértices: A. Para rodear la isla deben hacer seis giros en sentido antihorario.. δ.Ángulos: Internos: α. Polígono equilátero: Tienen sus lados de medidas iguales.. CD. Nota: # lados = # vértices Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octógono Nonágono Decágono Endecágono Dodecágono Pentadecágono Icoságono → → → → → → → → → → → → 3 lados 4 lados 5 lados 6 lados 7 lados 8 lados 9 lados 10 lados 11 lados 12 lados 15 lados 20 lados III. . ¿Cuál debe ser el último giro para proseguir rumbo a Ancón? Definición b. Polígono equiángulo: Tiene sus ángulos internos de medidas iguales.COLEGIO Polígonos TRILCE Capítulo V Se ha organizado una regata de veleros oceánicos desde La Punta (Callao) hasta Ancón. . encerrando una determinada región. de los cuales los cinco primeros son de 70°. . 35°.. θ. BC. C. 80°. . B. 50° y 92°. λ.. Polígono convexo b. Polígono no convexo Son figuras geométricas formadas por tres o más segmentos consecutivos. la prueba consiste en rodear primero completamente la isla el Frontón y luego proseguir hacia Ancón con la misma dirección inicial. . 360°[m + 4 . Ángulo central: c= 20(17) = 170 diagonales 2 360° 360° = 7.360° . Ángulo externo: e= → 360° n De (1): se cumple en polígonos equiángulos y regulares.2) . 1.5° se cumple en polígonos equiángulos y regulares.2) = 2160° 2.c1 = 7.3) 2 4.3) = 154 → θ n (n .180°(m .5°.3) = 14 × 11 Propiedades n = 14 1. La suma de los ángulos internos de dos polígonos regulares difieren en 720° y sus ángulos centrales difieren en 7.2 = 18 n n → n = 20 ∴ Nd = Nd = n(n .Polígonos Problemas resueltos c. Ángulo interno: i= 3. Hallar el cociente mayor que la unidad entre los números de lados de ambos polígonos.. Suma de ángulos internos (donde “n” es el número de lados) Si = 180°(n . 180°(n .2) n Solución: Por datos del problema.(1) c2 .5° m(m + 4) 104 Cuarto año de secundaria . 6. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un polígono regular en el cual el ángulo interior es nueve veces el ángulo exterior? Solución: Por dato del problema: i=9 e 2.2) = 720° . 3.Si2 = 720° → 180°(n ...2) se cumple en todo polígono. Número de diagonales: 360° 180°(n . Polígono regular: Es aquel polígono equiángulo y equilátero a la vez.5° m m+4 se cumple en polígonos regulares.m] = 7. θ θ Solución: Por dato del problema: Nd = 77 θ θ n(n . Hallar la suma de ángulos internos del polígono que tiene 77 diagonales.3) = 77 2 n(n ...(2) m n 180°n . (3) Reemplazando (3) en (2): 360° n 360° 360° = 7..2) = 9× → n .5° . Luego: Si = 180°(14 . 5. se tiene: Si1 . Suma de ángulos externos: Se = 360° → se cumple en polígonos convexos.180°m + 360° = 720° 180°(n .m) = 720° n-m=4 n = m + 4 . 7) = 10 × 3 P c) 900º 4. Calcular el número de vértices de un polígono cuyo número de diagonales es igual al triple del número de lados. Hallar el número total de sus diagonales.4n + 8 = 38 n2 .Nr = 19 Nr = a) 120º d) 160º a) 5 d) 8 ∴ n = 10 5. n(n . A F x Solución: En el cuadrado APQF: AP = AF y m PAF = 90° En el hexágono regular ABCDEF: AB = AF y m BAF = 120° ∆ABP (isósceles) ya que: AB = AP = AF Luego: m B=m P=x → m B + m P + m A = 180° x + x + (120° . Hallar el número de lados de un polígono en el cual la diferencia de su número de diagonales y el número de ángulos rectos a que equivale la suma de sus ángulos interiores es 19.5 192 = m(m + 4) Problemas para la clase 1. n (n . n = 16 4. C D Q x b) 11 e) 8 c) 12 b) 135º e) 150º c) 144º 5.3) .Polígonos 360 × 4 = m(m + 4) 7. i = 180°(n . Diga cuántos lados tiene el polígono convexo cuyo número de diagonales excede al número de vértices en 18. n 16 4 = = m 12 3 ∴ b) 80 e) 120 b) 6 e) 9 c) 7 6.2) 90° Por dato del problema: Nd .3n . Hallar la suma de ángulos internos del polígono que tiene 44 diagonales. Hallar “x”. Calcular “x” en el pentágono regular. si: ABCDEF y APQF son polígonos regulares.2) El número de ángulos rectos será: S c) 90 2. 12 × 16 = m (m + 4) a) 45 d) 100 m = 12.2(n .90°) = 180° 2x = 150° ∴ x = 75° a) 10° d) 14° 105 48° b) 4° e) 15° c) 12° Cuarto año de secundaria . Si la relación del ángulo interior y exterior de un polígono regular es de 7 a 2.7n = 30 B b) 1080º e) 1620º 3. Hallar el número de diagonales de un pentadecágono. a) 27 d) 44 E b) 20 e) 56 c) 35 7.2) = 19 2 → n2 . Hallar la medida del ángulo interno de un polígono equiángulo que tiene 35 diagonales. Solución: a) 1260º d) 1440º e s a b e q u e : a) 10 d) 9 S Si → Nr = 2(n . Calcular el número de diagonales trazadas desde tres vértices consecutivos. Hallar el número de vértices del polígono regular. 15.Hallar la medida del ángulo central del polígono regular cuyo número total de diagonales es 170. Hallar la medida de un ángulo central. c) 7 11. Calcular el valor de “x”.Polígonos 8. en centímetros. Si la diferencia de sus números de diagonales es 3.Según la figura ABCDEF y NBKLS son polígonos equiángulos y BC = BK. CD = 6 u y DE = 5 u.El número de lados de un polígono es igual a la mitad del número de diagonales. a) 8 d) 6 c) 12 14.La diferencia entre el ángulo interno y el ángulo externo de un polígono regular es igual a la medida de su ángulo central. a) 24 u d) 30 K b) 9 e) 7 c) 5 5. entonces la suma de sus ángulos internos se duplica. b 3. Si a un polígono se le aumenta en 4 a su número de lados. d Cuarto año de secundaria . AB = 3 u. Calcular “x” en el hexágono regular.En un hexágono equiángulo ABCDEF: BC = 4 u. d 106 2. Calcular la suma de ángulos internos de aquel polígono que tiene tantas diagonales como número de lados. a) 8º d) 24º b) 12º e) 30º c) 18º 4. Cada lado de un polígono regular mide 6 cm y el perímetro equivale al número que expresa el total de diagonales. su número total de diagonales aumenta en 15? c) 28 12. 80° A N B x F S L x E a) 10° d) 40° b) 30° e) 50° c) 20° a) 84º d) 76º 9. Hallar su perímetro. ¿Cuántos lados tiene el polígono en el cual al aumentar su número de lados en tres. se construye un triángulo equilátero AMB. a 4. a 5. hallar la medida de uno de los ángulos centrales del polígono menor. Interiormente a un pentágono regular ABCDE. Hallar: m DME.Dos números consecutivos representan los números de lados de dos polígonos regulares. a) 20º d) 30º D 1. a) 5 d) 8 b) 6 e) 9 b) 26 e) 32 b) 30º e) 90º a) 540° d) 720° b) 18º e) 45º c) 36º c) 36º 13. a) 45º d) 72º C Autoevaluación 10. ¿Cómo se llama el polígono? a) Triángulo c) Hexágono e) Heptágono b) 86º e) 78º 2. a) 10 d) 13 b) 11 e) 14 a) 5 d) 8 c) 74º b) 480° e) 360° c) 750° b) 6 e) 9 c) 7 3. a) 86º d) 56º b) 84º e) 108º c) 66º b) Pentágono d) Cuadrilátero Claves 1. Determine el número de ángulos rectos a que equivale la suma de los ángulos internos de un polígono cuyo número de diagonales es igual al número de sus ángulos internos. De acuerdo a sus ángulos internos A a. β. C y D . B. θ .Ángulos internos: α. De acuerdo al paralelismo de sus lados 50 100 a.Ángulo externo: ω . BC.Lados: AB. 30 Base menor B β Definición C θ h B α β A C - ω A D ω Base mayor D AD // BC α + β = θ + ω = 180° “h” es altura. Trapecio Es aquel cuadrilátero que tiene dos lados paralelos. Trapecio isósceles B α C γ 0° < α. γ. para ello debe realizar los cortes como se muestra en la figura. 1. ¿Cuál será el perímetro del cuadrado y la longitud total de la costura que tendrá que soldar? b. Convexo D m A = m B = 90° θ ω 3.Diagonales: AC y BD C A D AB ≠ CD 2. Trapecio escaleno B Elementos: .COLEGIO Cuadriláteros TRILCE Capítulo VI A un soldador se le ha encargado que fabrique una plancha cuadrada de hierro a partir de una plancha rectangular de hierro de 160 cm de largo y 90 cm de ancho. CD y AD . Trapecio rectángulo B Clasificación C h I. θ.Vértices: A. γ < 180° A α + θ + ω + γ = 360° D AC = BD 107 Colegio TRILCE . No convexo α γ θ 180° < γ < 360° 160 x=θ+α+ω 30 50 ω x 60 90 II. ω. El segmento que une los puntos medios de las diagonales es igual a la semidiferencia de las bases. En todo paralelogramo las diagonales se cortan en su respectivo punto medio (se bisecan). b B A - B a α θ 1. Rectángulo b PQ = b-a 2 4. 6 y 2.Cuadriláteros b. Cuadrado Problemas resueltos 1. 5. Trapezoide Es aquel cuadrilátero que no tiene lados paralelos. “B”. “C” y “D” son proporcionales a 3. m B = 5α. c. m C = 6α y m D = 2α. a 1. B C B C 5α A AB 6α D CD y BC AD 3α A 108 2α D Cuarto año de secundaria . Entonces: m A = 3α. Rombo a+b 2 3. Solución: Por dato los ángulos “A”. En un trapezoide ABCD: m A m B m C m D = = = 3 5 6 2 Hallar: m D. a Q P 3. θ α a C Propiedades O D b C A AB // CD y BC // AD m A=m C y m B=m D α + θ = 180° D 2. Paralelogramo Es aquel cuadrilátero que tiene sus cuatro lados paralelos entre sí dos a dos. Romboide N M b MN = 2. La mediana en el trapecio es igual a la semisuma de las bases. (2) 2 2x = a+b+c+d 2 a+b+c+d 24 = = 6u 4 4 5.Cuadriláteros Como la suma de los ángulos internos es igual a 360°: → 3α + 5α + 6α + 2α = 360° 16α = 360° α = 22. hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y BD . C θ ABCD: BC = AD = 14 → BE = 14 . B C D 37° A Solución: B 6u E 8u N θ A 14 u θ D Solución: Se prolonga BC y se traza DH ⊥ BC . Calcular la mediana del trapecio ABCD. Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y ED ... La suma de las distancias desde los vértices de un romboide a una recta exterior es 24 u.8 = 6 u ABED: 8u B a 8 C 37° E x F D A Como: BC // AD → m CED = m EDA = θ Luego el ∆ECD es isósceles → EC = DC = 8 u 8+a H 10 53° D → m CDH = 90° . D B Solución: Se traza CH ⊥ AD → ABCH es un rectángulo: AB = CH = a AH = BC = 4 u x A E C θ 4u D 4u ABCD: 4+8 =6u 2 E C ∴x= a+d . Si: CD = 10 u.. Calcular la distancia del punto de intersección de las diagonales a la misma recta exterior al romboide.L .A) HD = BC = 4 u MN = L D Por dato del problema: a + b + c + d = 24 u ABCD: AM = MC. si: BC = 4 u. tal que: AD = 14 u y CD = 8 u.. (1) 2 x= b+c . B θ θ A x= (1) + (2): 3. Si ABCD es un romboide.5° ∴ m D = 2α = 45° 2.37° = 53° 109 Cuarto año de secundaria . C θ M H G F BDGF: ABC ≅ CHD (A .. B θ A MN = Solución: Sea ABCD el romboide y L la recta exterior. BM = MD ACHE: N H c b a a A Además: d θ a M C M 4u B 6 + 14 = 10 u 2 4. Si ABCD es un rombo y BMC es un triángulo equilátero. Si AC es el doble de la mediana. d) En el trapecio las diagonales se bisecan. Hallar la medida del segmento que une los puntos medios de AP y CD . * En el rombo las diagonales son perpendiculares y congruentes. B θ C E a) 7 u d) 5 θ α A D C P Q x b) 60º e) 53º c) 10º 9. D b) 8 e) 7 a) 15° d) 45° b) 3 e) 7 Q A a) 2 u d) 8 F E Problemas para la clase a) 6 d) 4 H D b) 9 e) 8 α D c) 6 c) 45º 110 Cuarto año de secundaria . ¿Qué afirmación es incorrecta? c) 37° 4. CD = 13 u y AD = 17 u. Si ABCD es un rectángulo donde: AE = 8 u y BF = 13 u. Si: BC = 7u y CD = 11u. Si ABCD es un cuadrado y CED es un triángulo equilátero. 10 ×4=8u 5 ABHD: AD = BH = 8 + a CH = ABCD: x = B C L 8+a-a =4u 2 A a) 4 u d) 6 1. BC + AD = 20 y MQ = 8. hallar el menor ángulo formado por AC y BD . A C 8.. B P C a) 9 u d) 18 c) 5 7. a) 30º d) 37º b) 15º e) 20º * En el romboide las diagonales son congruentes. b) El paralelogramo tiene sus lados opuestos paralelos congruentes. c) En el rombo sus ángulos internos miden 90º. Hallar “PM”.Cuadriláteros CHD ( de 37° y 53°) 6. 5. Hallar “CH”.5 e) 16 b) FFV e) FFF c) VFV a) Todo cuadrilátero tiene dos diagonales. hallar “AD”. Se tiene un trapecio isósceles ABCD donde BC y AD son las bases. c) 12.Si: BC = 8 u. e) Dos alternativas son incorrectas. B C P M M x c) 10 40º θ θ A D a) 5º d) 8º D c) 6 b) 30° e) 60° a) VFF d) FVF b) 15. * En el rectángulo las diagonales son perpendiculares. Hallar “x”. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: b) 4 e) 10 B B A 2.5 10. En el trapecio ABCD la bisectriz interior de “C” corta a AD en “F” tal que ABCF es un paralelogramo. Si: BC // AC . Hallar “PQ”. 3. Hallar “x”. Si: AD = 14 u y DC = 8 u. a) 4K d) 3K b) 60º e) 65º 3.En un trapezoide ABCD.Se tiene un rombo ABCD y se construye exteriormente el cuadrado BEFC. B c) 72º Claves 1. Exteriormente al triángulo isósceles ABC (obtuso en “B”). entonces el cuadrilátero MNPH es un: θ D α a) Romboide c) Trapecio rectángulo e) Rectángulo x a) 90º d) 60º b) 80º e) 50º 2. hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD . a) 28° d) 24° c) 5K 15. la mediatriz de BC intersecta a AD en “Q”. En un romboide ABCD.En un romboide ABCD. Si ABCD es un romboide. tal que: m BPC = 104º. Calcular la medida del menor ángulo formado por las bisectrices interiores de “A” y “D”.5K a) 68º d) 58º b) 56º e) 62º a) 9 u d) 12 45° C 37º b) 8 e) 16 D c) 10 4. BC y AC . d θ D c) 13 3. m AED = 128º y m BAC = 14º. Calcular: m QCD. Graficar un triángulo escaleno ABC y su altura BH ( AB < BC ). se construye el rombo ABDE. c) 75º 12. tal que: AB = 18 u. Hallar el segmento que une los puntos medios de BE y CF .Cuadriláteros 11. luego se trazan las bisectrices interiores de “B” y “C” que cortan a AD en “E” y “F” respectivamente. 13. b 111 C θ A a) 10 u d) 9 E b) 12 e) 8 2. a) 5 u d) 8 b) 6 e) 4 c) 7 a) 40º d) 50º b) 78º e) 68º B b) 2K e) 2. c Cuarto año de secundaria . Hallar m BDC. d 4. si: BC = K. Autoevaluación C B 100º 110º α A θ 1. tal que: m BCQ = 54° y AB = AQ. a) 72º d) 104º b) Rombo d) Trapecio isósceles b) 18° e) 26° c) 20° 5. las bisectrices interiores de “B” y “C” se cortan en un punto de AD . Calcular el perímetro de ABCD. c) 55º A c) 76º 14. Si “M”.En el romboide ABCD: AB = 4 u y BC = 10 u. tal que: m ECD = 89º. a 5. “N” y “P” son puntos medios de AB . Calcular m AEC. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AE y BD . Si: AB = 6 u. las bisectrices exteriores de “B” y “C” se cortan en “P”.Hallar “x”. COLEGIO Repaso de Polígonos y Cuadriláteros TRILCE Capítulo VII Construir un juego de TANGRAM es bastante sencillo.2) = 150° 12 ∴ n = 11 3..n = 110 NMS = n + ω φ C Luego.. Determinar el número de lados de un polígono. 5 Solución: Si unimos los puntos medios de todos los lados del polígono ABCDE.3) = 55 2 2n + n2 . ω: medida del ángulo interior del dodecágono regular. ¿Cuál debe ser la posición de cada una de las siete piezas para formar con éstas las siguientes figuras? - Cálculo de “β”: β= 180°(5 . β: medida del ángulo interior del pentágono regular. si: m BCM = 78° y 2AD = 3BC.2) φ = 540° .(120° + 108° + 18° + 150°) ∴ φ = 144° 2. se formará otro polígono MNPQ. N D P M Q E n(n . Hallar “x”.. γ B C x Solución: Cálculo de “α”: M 180°(6 .2) α= = 120° 6 A 113 D Colegio TRILCE . el número máximo de segmentos será: β α 180°(12 . basta con cortar un papel o cartulina de forma cuadrada en siete piezas tal como se muestra en la figura. si se sabe que el número máximo de segmentos que se forman al unir los puntos medios de los lados es 55. En la figura. γ: medida del ángulo exterior del icoságono regular. de “n” lados.2) = 108° 5 Cálculo de “γ”: γ= Triángulo Rectángulo Paralelogramo Trapecio isósceles Trapecio rectángulo 360° = 18° 20 Cálculo de “ω”: ω= Luego: 1 2 4 3 φ + α + β + γ + ω = 180°(5 . 7 6 B Problemas resueltos A 1. calcular “φ” si: α: medida del ángulo interior del exágono regular. y si seguimos uniendo los puntos medios se formarán las diagonales de este último polígono.3n = 110 n2 .. de “n” lados. En el romboide ABCD: AD = 3CD = 18 cm. Si: AC = 24 u. Dado el trapecio escaleno ABCD donde: BC // AD . b) 46 e) 42 c) 52 6. Hallar el número total de diagonales del polígono cuya suma de ángulos internos es 3960º. Solución: B b) 1080º e) F. BC = 10 u y BM = 6 u.Repaso de Polígonos y Cuadriláteros Solución: ∆ABM (isósceles) 2a B C a H a 78° x 78° 78° Se traza: AF ⊥ BM E → BF = MF = de 53° y 37°) → α = 53° Se traza: MN ⊥ BC → MN = CH = x BMN ( de 53° y 37°): D 3a Como: x= 2AD = 3BC → AD = 3a y BC = 2a Se traza: DH ⊥ BC ABHD: BH = AD = 3a → CH = a Se traza: DE // MC ∆DBE: como CM es base media → HE = a y m E = m BCM = 78° ∆CDE (isósceles) → m C = m E = 78° ∴ x = 180° .4 = 4. calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices interiores de “C” y “D”. Hallar la suma de ángulos internos del polígono no convexo mostrado. En un paralelogramo ABCD.8 u 5 Problemas para la clase 1. calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AN y MC . 4. N P BM 6 = =3u 2 2 ABF: ( M A AB = AM = 5 u Q A a) 60° d) 75° C b) 40° e) 90° c) 36° 4. AD = BC = 10 u → AM = MD = 5 u Como: BC // AD → m AMB = m MBC = α 114 Cuarto año de secundaria . a) 54º d) 52º b) 64º e) 44º c) 74º 2. En el rectángulo ABCD: m BDA = 26º.MN 24 .2(78°) x = 24° M 6 . Hallar: m ACD. se traza BM bisectriz del ángulo ABC (“M” en AD ) siendo: AM = MD. Solución: Como: AC = 24 u → MN = AC = 12 u {base media 2 AMNC: PQ = AC . Hallar el número de diagonales que se pueden trazar desde dos vértices consecutivos en un dodecágono. Si ABCD es un cuadrado y AN = 12 cm. Hallar “NC”.D. Calcular la distancia de “C” al lado AD . a) 24 d) 22 H b) 18 e) 26 c) 20 7. Hallar el perímetro de ABCD.12 = =6u 2 2 5. a) 900º d) 1440º a) 48 cm d) 56 10 N C 5 A ABCD: α 3 F x x α 3 α 5 M 5 D c) 1260º 5. B a) 320 d) 170 b) 189 e) 275 c) 252 3. 5 b) 4. Calcular el perímetro de un polígono regular.Grafique al paralelogramo ABCD ( AB < BC ) e interiormente al triángulo equilátero ABE. d 4.A. c) 6 B b) 64 e) 60 D 60º 8. Hallar “AM”. b) 60º e) 30º 3.Sea ABCD un rectángulo y ”P” ∈ BD . a) 72 cm d) 80 c) 6 x 3θ θ C E A c) 68 a) 70º d) 50º b) 72º e) N. si un lado mide 4 cm y un ángulo interno mide 162º. Si ABCD es un trapecio cuyas bases BC y AD miden 6 dm y 14 dm respectivamente. Calcular la longitud de la diagonal del trapecio.. e 5. si: AE = AB = BD. Hallar “x”. a) 12 d) 4 b) 8 e) 6 a) 18º d) 37º a) 32 d) 30 b) 35 e) 15 a) 8 d) 10 a) 21 dm d) 31 b) 18 e) 20 c) 45º b) 12 e) 14 c) 6 4. Sobre AD marque “N” tal 115 a) 30º d) 40º b) 20º e) 10º c) 15º Claves 1. La suma de ángulos internos más la suma de ángulos centrales de un polígono regular es 1260º. Calcular el número de lados del polígono final. En un polígono si al número de lados se le aumenta dos. Grafique al triángulo ABC y ubique un punto interior tal como “D” de modo que: m DAB + m B + m DCB = 140º y AD = DC..En un icoságono equiángulo ABCDEF.Repaso de Polígonos y Cuadriláteros M B que: AN = 2ND.A. c 2.8 e) 3 15. Calcular el número total de diagonales del polígono. Sean “P” y “Q” los puntos medios de AC y BD en ese orden. hallar el valor del segmento que une los puntos medios de EC y BD . d Cuarto año de secundaria . c) 40º 9. a) 18º d) 72º b) 36º e) N. ABCD es un romboide y “R” es un punto que pertenece a AD .En un trapecio isósceles se sabe que su altura mide 7 y la mediana 24. Hallar: m BAD .Grafique al trapecio ABCD cuya base menor CD mide 4 dm y m B = m C = 90º. b) 4 e) 7 b) 12 e) 15 c) 14 5. c) 20º 11. C N D A a) 4 cm d) 2 a) 5 dm d) 4 b) 3 e) 2. b 3. B C 28º Autoevaluación O A 1.m RCD.. el número de diagonales aumenta en 15. Si el lado de dicho triángulo mide 42 dm. si: BO = OD = OE. a) 9 d) 16 c) 25 13.Hallar “x”. Hallar el valor del segmento que une los puntos medios de PB y QC . Se prolonga CP hasta un punto “M” de modo que: PM = PC. BD = 20 y BP = 6. Hallar la m ACD. Hallar la distancia de “N” hacia BC . c) 10 12. c) 6 2. tal que el triángulo ABR es equilátero y el ángulo BRC sea recto. D x E a) 15º d) 18º b) 16º e) 19º a) 8 dm d) 5 c) 17º 10. si además: AB = 10 dm. c) 19 14. Calcular el ángulo que forman las bisectrices interiores de los ángulos “C” y “D”. B D θ θ 10cm A c) 3 4. Hallar: m CHM (AM = MC). 3x B A B E b) 2 e) 5 a) 15 cm d) 30 B b) 45° e) 30° C 120º D b) 25 e) 35 c) 20 9. a) 60° d) 37° c) 40° 7. hallar “x”. BC = CD = 8 u y ED = 4 5 u. En un triángulo se traza la mediatriz de AC que corta al lado BC en el punto “H”. si: AB = BC = CD y AP = PD. En el trapecio ABCD: AB = BC = CD. E a) 1 d) 4 D x 100º β C A c) 53° a) 5º d) 20º 117 β x b) 10º e) 25º θ C θ 70º D c) 15º Colegio TRILCE . En la figura mostrada. Hallar “x”.2 a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4 2. Hallar “x”. si: DC = 2(BD). D A P b) 37° e) 45° a) 10° d) 50° b) 20° e) 70° B C C a) 10 u d) 16 b) 12 e) 14 A c) 9 D F 3. Problemas para la clase B 1. si: m ACB = 80° (M ∈ AC ). En el hexágono.COLEGIO Repaso Bimestral TRILCE Capítulo VIII 5. Hallar “x”. Calcular “x”. Si: AB = 21. x C x+3 A a) 53° d) 60° 2x . ¿cuántas diagonales faltan? B A c) 30° 6. si: m BAC = m DEC. a) 5 d) 8 D C E b) 6 e) 9 c) 7 8. hallar “AD”. Hallar: “AD”. Hallar el número de lados del polígono. Se tiene un polígono convexo.En un icoságono. si su diagonal menor mide “a” y un ángulo interno mide 120º.ABCDE y BCMNLF son polígonos regulares.Hallar el perímetro de un rombo. B c) 17. a) 20º d) 26º D 20. b) 13 e) N.En un trapecio la mediana excede en 2 dm a la base menor y la base mayor mide 8 dm. Hallar: m BCA. Si: AC = 2(BD) y DA = AB. c) 17 c) 2 3 C 2θ θ A 13.A.5 e) 21 Autoevaluación B x A c) 24º b) 53 e) N. donde el número total de diagonales es igual a cinco veces el número de vértices. D M θ C E A α N a) 10 d) 12 B L F a) 104º d) 112º en 16 a la diferencia entre el número de ángulos rectos a que equivale la suma de sus ángulos internos y el número de vértices del polígono.5 d) 28 c) 14 b) 5 e) 2 14.Calcular la medida del ángulo exterior de un polígono equiángulo en el cual la suma de sus ángulos internos es 6.5.α”. b) 106º e) 110º b) 3a d) 4a e) 4a 3 c) 108º b) 15 e) 20 c) 2a 3 a) 12 d) 15 d) 3 3 b) 3 2 e) 5 b) 10 e) 13 a) 4 dm d) 7 b) 22º e) N. a) 54 d) 45 c) 6 1. Hallar “x”. a) 31. si es igual al ángulo “D”. donde: B = E = 90° y C = A = G = 140° Hallar el valor del ángulo “F”. Hallar la mediana. Hallar “θ .Se tiene a un polígono regular en el cual el valor del ángulo es igual a cinco veces el valor del ángulo central. donde: CD = 10 y QC = 4.Hallar el perímetro del romboide ABCD donde las bisectrices interiores de “B” y “C” se cortan en un punto de AD y además: AB = 3.En un trapecio rectángulo ABCD: m A = m B = 90º. Hallar el número de diagonales de dicho polígono. Hallar “AD”.A. M D b) 70° e) 50° C 60° c) 60° 2.Repaso bimestral 10.5 D A a) 10° d) 12° c) 48 17. ¿cuántas diagonales se pueden trazar desde un solo vértice? a) 16 d) 18 c) 9 19. m D = 45º y AB = 3 u. si: AB = BC y AM = MD. ABCDEFG es un heptágono. D C E c) 65 B 18.A. a) 2a b) 8 e) 16 C b) 15° e) 20° c) 18° 3.. b) 24. Calcular “CD”. 15.ABCD es un paralelogramo. a) 3 u Q B 12.5 veces la suma de sus ángulos externos. a) 60 d) 70 40° a) 80° d) 40° 16.El número de diagonales de un polígono convexo exceden 118 A F G Cuarto año de secundaria . 11. Calcular el número total de diagonales de dicho polígono. b 119 2. hallar “x”. si: m B = m D + 62°. B 4. C 30º a) 4 2 d) 2 6 D b) 4 16cm D c) 6 3 e) 2 3 c) 18° Claves 1.A.5° d) 20° b) 31° e) N. hallar “EB”. c 3. a 4. Si ABCD es un rectángulo.Repaso bimestral a) 120º d) 90º b) 150º e) 70º c) 100º 5. En el trapezoide ABCD. c 5. b Cuarto año de secundaria . 74º C E θ θ B A x α A α a) 16. .......... 95 III......................................ÍNDICE Capítulo Pág.................. Circunferencia ............................................... Ángulos en la circunferencia ................... Repaso .................................................................................. I....................................................... Cuadrilátero inscrito y Puntos Notables en el triángulo .................................................................... 89 II........... Relaciones Métricas en triángulos rectángulos ....................................................................... 121 ......................... 105 V................................................................. Proporcionalidad ............................................... Semejanza de triángulos ............ 109 VI...................................................... 99 IV................................... 115 VII...... mAB = mCD 89 Colegio TRILCE . Cuerda : CD PQ 9. 1.COLEGIO Circunferencia TRILCE Capítulo I Definición 3. O AM = MB → M mAP = mPB PM → flecha o sagita. Tangente : L1 5. Secante : L2 6. P B Observaciones: D - Si: AB // CD C → B A Si PA y PB son tangentes → m∠APO = m∠OPB B 2. OT ⊥ L1 A 5. Punto de tangencia : T 7. B R A C T R O D L2 → Elementos : O 2. Radio : R 3. B O 1. el cual representa el centro de la circunferencia. Diámetro : AB = 2R 4. Centro Si: L 1 es tangente. r: Inradio del triángulo ABC. mAC = mBD En el gráfico se muestra a una circunferencia inscrita al triángulo y a la vez el triángulo está circunscrito a la circunferencia. Flecha o sagita : MH P → 6. Arco : 8. A Si: OP ⊥ AB P Es el lugar geométrico de todos los puntos coplanares que equidistan de un punto. B I C D A Si: AB = CD → r C I: Incentro del triángulo ABC. B H T L1 P R M Q R o L1 4. PA = PB A Propiedades generales A Si: "A" y "B" son puntos de tangencia. Demostración: P B m B E rC T n T q A p C E: Excentro del triángulo ABC.. la suma de dos lados opuestos es igual a la suma de los otros dos.Circunferencias tangentes exteriores A L A C B R AB + BC = AC + 2r P O Demostración: A T r D OP = R + r b I Tangentes comunes exteriores: a-r r B r P r C c-r c-r Q D p Posiciones relativas entre dos circunferencias B Del gráfico: m Q n C P Q c C B a-r a AB = CD C Tangente común interior: L ⊥ OP c-r+a-r=b c + a = b + 2r 90 Cuarto año de secundaria . A N q r AB = m + q .. (II) AB + CD = m + n + q + p AB + CD = BC + AD . En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia. r: Exradio del triángulo ABC relativo al lado AB. (I) CD = n + p .Circunferencia - Teorema de Pitot En el gráfico la circunferencia está circunscrita al triángulo y el triángulo está inscrito en la circunferencia. Del gráfico: (I) + (II): Teorema de Poncelet En todo triángulo rectángulo.. B R O A C A O: Circuncentro del triángulo ABC.. la suma de los catetos es igual a la hipotenusa más el doble del inradio. - D AB + CD = BC + AD En el gráfico se tiene una circunferencia exinscrita al triángulo relativo al lado AB. R: Circunradio del triángulo ABC. . L2 R 6α r 20 15 L 1 → tangente L 2 → tangente 25 * Por Poncelet: OP2 = R2 + r2 91 15 + 20 = 25 + 2r 5=r ∴r=5m Cuarto año de secundaria .Circunferencias ortogonales L1 O R PTO : 3α 12α O B P 12α + 3α = 90° 15α = 90° → α = 6° Solución: r P r r 3.Circunferencias concéntricas 6α O 3α B Solución: T r 6α O R A * Dos circunferencias que tienen el mismo centro. En un triángulo rectángulo sus catetos miden 15 m y 20 m. AB = CD T R .Circunferencias tangentes interiores L r P 1. En una circunferencia de radio 13 m. O a) 5 m d) 6 R b) 8 e) 4 c) 7 Solución: Tangente común exterior: M L ⊥ OP 12 A OP = R .r x B H n=5 13 O .Circunferencias secantes 13 A * (por Pitágoras) n2 + 122 = 132 n2 = 169 .Circunferencia Problemas resueltos . se tiene una cuerda AB que mide 24 m. hallar su inradio.144 n2 = 25 → n = 5 * Del gráfico.r < OP < R + r MN ⊥ OP A . Calcular “α”. hallar la sagita de AB . OM : radio. si “O” es centro. x + 5 = 13 ∴ x = 8 m B M O P r R N D C Tangentes comunes exteriores: AHO 2. hallar el valor “a”.x = 10 10 = 2x ∴5=x b) 135º e) 143º B x A B r b) 4 e) 3. si: AB = 16. Hallar “x”. A a r 14 4 a) 5 d) 2 a+8 Solución: * Por Pitot: C B b) 4 e) 1 4. 4α c) 150º 6.5 Solución: B Q b) 2 e) 3. Hallar “r”.5 12 . 4. AC = 8. B a + a + 8 = 4 + 14 2a = 10 ∴a=5 5. En la figura mostrada. de lados: AB = 8.Circunferencia 3. Hallar “α”. si: AB = 5. la circunferencia inscrita determina sobre AC el punto “M”. 2. “Q” y “T” son puntos de tangencia. A P B O Problemas para la clase a) 2 d) 2.5 c) 3 T x A * Del gráfico: C M 5. si: PC = 30 cm. calcular la medida del perímetro del triángulo ABC. BC = 9. Hallar “AM”. Calcular “AM”. 8-x T 8-x A c) 3 a) 30 cm d) 60 P b) 40 e) 20 C c) 50 c) 30º 92 Cuarto año de secundaria . si “T” es punto de tangencia y AO = OB = BP. A a) 1 d) 2. BC = 12. BC = 10 y AC = 12. 1. En la figura mostrada. “P”.x + 12 .x x A M x 12 . En el triángulo: AB = 7. r = 10. En la figura. calcular “x”. si “T” es punto de tangencia.5 a) 45º d) 60º O c) 3 a) 9º d) 12º b) 20º e) 18º C b) 50º e) 70º B T PA B 2α c) 55º Q T O 70º O 7. si “O” es centro de la circunferencia. Calcular la longitud de la flecha correspondiente a AB . En un triángulo ABC.x C a) 120º d) 127º 8 . 124° a) 62° d) 58° M y x A C x a) 16 cm d) 21 c) 54° b) 18 e) 24 c) 20 16. C c) 2 Cuarto año de secundaria . si: AB = 6 cm.A. 9. Hallar “BE”. 10.Calcular el radio de la circunferencia exinscrita relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 9 y 12 cm. si la longitud de su mediana es igual a 12 cm. 12. r = 1.5 93 H P b) 1. B B a) 20 d) 25 z b) 27 e) 30 A C a) 30° d) 75° c) 22 D b) 15° e) 80° c) 60° 14.En el trapecio isósceles: AB = CD = 8 cm.En el gráfico.5 d) 5. En la figura. B T P A b) 6 e) 3. si su inradio mide 3 u y la hipotenusa 18 u.En el gráfico ABCD es un cuadrado. AC = 17.Hallar el perímetro del triángulo rectángulo ABC. Calcular la longitud de la mediana de dicho trapecio.Calcular el perímetro de un trapecio circunscrito a una circunferencia.5 C r c) 48 O c) 12 E B Q a) 4 cm d) 5 b) 14 e) 8 D 17. a) 24 cm d) 52 b) 36 e) 42 R A a) 3. B C y B BC + AD = 52 m P C A a) 16 cm d) 6 D b) 8 e) 9 c) 4 a) 16 m d) 10 11.En la figura: AB + CD = 20 m Calcular “PQ”.5 e) N. R = 3. calcular “x + y + z”. Del gráfico. Hallar “x”. Hallar “x”. si los inradios de los triángulos AHB y BHC miden 6 y 8 u. BC = 19. hallar “HP”. R Q A C c) 3 A 13. B a) 12 u d) 42 x O A C b) 68° e) 72° b) 21 e) 48 c) 36 15. a) 1 u d) 2. si: AB = 18.Circunferencia 8.5 B D b) 4 e) 6 c) 5 18. BC = 8 cm. “A” y “D” son los centros de los arcos BD y AC.Hallar “R”. Si: AB = 13 cm. BC = 9 cm.5 Q A C b) 1. En el gráfico “A” y “B” son centros. además: m ABC = 90°. A F P a) 1 cm d) 2. hallar “AB”. BC = 17 cm. EB = 12 u. hallar “AP”. Hallar el perímetro del triángulo ABC. FQ = 10 u.. CD es tangente y “A” es punto de tangencia. EF = FC. Si: AB // EM .En el gráfico: AB = 6 u. hallar “AQ”. Q B T 20.En el gráfico: OA = OB.Circunferencia 19. Calcular “BQ”. AC = 20 cm. EP = 14 cm. AF = 18 u. B a) 8 cm d) 7 b) 9 e) 6 c) 14 5. hallar “x”. B C r F E 2. Si: AB = 6 cm. C Q A b) 12 e) 15 A C B c) 11 D a) 10° d) 18° 94 b) 12° e) 20° c) 15° Cuarto año de secundaria . Calcular “r/R”.5 e) 3 c) 2 4. O a) 18 u d) 22 E b) 15 e) 25 B P E c) 20 M A B R r Q Autoevaluación a) 11 cm d) 13 1. BC = 8 u. AC = 11. PM = 8 cm. B 6 R A A a) 1 9 b) 1 3 d) 2 9 e) 1 5 a) 26 d) 64 2 5 c) C 20 b) 52 e) 56 c) 28 3. Ángulo exterior A x α x O R B 130° θ x= C α. Hallar “x”.θ 2 95 Colegio TRILCE . Hallar “x”.COLEGIO Ángulos en la circunferencia TRILCE Capítulo II Ángulo central x R O x α θ α x= R α-θ 2 x=α α Ángulo inscrito x θ x= x α α-θ 2 x + θ = 180° x= α 2 Problemas resueltos 1. Ángulo seminscrito x 140° x α x= α 2 Solución: x Ángulo interior 140° R α x θ α 2 θ x= R 220° 220° * Por ángulo inscrito: x= 220° → x = 110° 2 2. B * En el APBQ: x + θ + θ + α + α = 360° x + 2θ + 2α = 360° x x + 2( θ + α ) = 360° 20º C A x + 2(140°) = 360° x = 80° a) 50º d) 80º 96 b) 60º e) 40º c) 70º Cuarto año de secundaria .260° → m AC = 100° * Por ángulo exterior: x + 100° = 180° → x = 80° E B Solución: 2α P A 46° 3. B P b) 60º e) 30º B b) 30º e) 20º c) 16º30’ 3. hallar m BE . si: m APB = 140°. Calcular “x”.Ángulos en la circunferencia Solución: 5. Hallar el valor de “x” siendo “O” el centro de la circunferencia. A x a) 80º d) 20º B A Solución: A x θ θ P x 4x Q C D a) 45º d) 22º30’ α α c) 40º 2. Además “P” y “Q” son puntos de tangencia. Si: θ = 46°. A P θ A B x 130° 260° Q C * Del gráfico: m AC = 360° . Hallar “x”. Q x 60° 40° E B x * Por ángulo interior: 2α + x 2 2α + 92° = 2α + x → 92° = x α + 46° = Solución: A x E Problemas para la clase P 60° 40° 1. Hallar “x”. B * APBE : B x = 30° + 30° + 40° → x = 100° A x O 80º C 4. si “B” y “D” son puntos de tangencia. Hallar “x”. m CD = 18º. si AD es diámetro. x B c) 40º m x A E A a) 30º d) 6º B O b) 4º e) 8º D O1 x c) 9º C 97 Cuarto año de secundaria .Ángulos en la circunferencia 4. Calcular “x”. F = 40º. a) 135º d) 145º 40 C D A 70º B 3x 80 6. calcular “a”. 7.. a) 20º d) 50º A P x M B a) 15º d) 60º b) 30º e) 45º 10.En el gráfico “A”. a) 80º y 30º d) 110º y 50º i : Q b) 100º y 50º e) 100º y 40º c) 110º y 40º 14.. A 40º a) 84º d) 52º N M a) 40º d) 70º b) 46º e) 44º A C P b) 20º e) 80º c) 30º B a) 20º d) 45º x a) 100º d) 90º C b) 30º e) 50º D A b) 110º e) 70º c) 80º x F b) 110º e) 135º c) 90º B 80º x a) 100º d) 120º O b) 155º e) 130º 13. hallar “x”. En la figura calcular “x”.En la figura mostrada. “C” y “D” son puntos de tangencia. 9. m AB . b) 30º e) 75º C B x C N 42 A c) 45º D E 5. En la figura el ángulo “A” mide 40º. FA y FB son tangentes. hallar los valores de los arcos AF y PQ.Calcular “x”. Hallar “x”. c) 15º B C BC = 100º. m∠AEB = 50º.En la figura. c) 150º A 8. hallar el ángulo “x”. Calcular “x”. 60º c) 48º 11. (“A” es punto de tangencia). S 35º F 6α b) 12º e) 20º P 75º 3α a) 8º d) 10º c) 40º 12. hallar “x”. si “O” es centro. “B”.En la figura. Calcular “x”. En la figura mostrada. A c) 10 D x A a) 30º d) 60º b) 15 e) 15 D b) 68º e) 39º c) 78º 2. “P” es punto de tangencia. a) 80º d) 70º b) 12º e) 21º R M c) 40º S y x N O 19. Siendo: m FD = 36º. Hallar “x . a) 58º d) 80º F a) 40º d) 20º 17.Del gráfico. “A” punto de tangencia. la suma de los catetos es 20 u. En la figura mostrada.y”. a) 50º d) 80º 98 b) 60º e) 90º c) 70º Cuarto año de secundaria .Calcular “x”. a) 20 u d) 5 C B Autoevaluación E O b) 45º e) 53º 1.. calcular el valor de “x”.En un triángulo rectángulo. calcular “x”. calcular el valor de “x”. Calcular la suma de la circunferencia inscrita y el radio de la circunferencia circunscrita. C A c) 35º a) 10º d) 6º A 2x b) 60º e) 50º 50º b) 50º e) 5º B c) 3º 4.En la figura mostrada BP es bisectriz. Hallar “x + y”. C B c) 30º C A D O θ”.En la figura “O” es centro. B A a) 80º d) 100º P x Q 42º C b) 60º e) 110º 5. si “Q” es punto de tangencia. x E B 24º A a) 16º d) 40º a) 10º d) 18º α α θ b) 32º e) 24º c) 15º 3. además: EC = AO. calcular “x”. En la figura. (“A“ y “B” son puntos de tangencia). A R b) 96º e) 88º D y D a) 48º d) 84º c) 90º 40º P c) 90º B x E C 20. E n l a f i g x b) 36º e) 18º u r a . si: mAB = 110º. si: RS // MN . c a l c u l a r “ 102º 2x A B P C B c) 37º 16. 60º B x C 18. si “O” es centro. Calcular “x”. si: AC = 2DE. mAB = 45º. Hallar “x”. AB = CD.Ángulos en la circunferencia 15. Es aquel que puede ser inscrito en una circunferencia. es aquel cuyos vértices se encuentran ubicados en una misma circunferencia. B β A * El interior de un triángulo si éste es acutángulo. α * El exterior de un triángulo si éste es obtusángulo. En todo cuadrilátero inscrito dos ángulos opuestos son suplementarios.Se llama así a la intersección de las tres mediatrices de un triángulo. B 50º 100º 50º 80º C 40º A D 40º ABCD es un cuadrilátero inscrito Puntos notables Propiedades del cuadrilátero inscrito 1. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita. α O β α=β O → ortocentro 3. En todo cuadrilátero inscrito el ángulo formado por un lado con una diagonal es igual al que forman el lado opuesto con la otra diagonal.. C O α D α + β = 180º O → ortocentro 2. Circuncentro. El ortocentro está ubicado en: 1. * El vértice del ángulo recto si es un triángulo rectángulo. θ α=θ O O → ortocentro Cuadrilátero inscriptible 2. Ortocentro.Se llama así al punto de intersección de las tres alturas de un triángulo.COLEGIO Cuadrilátero inscrito y Puntos Notables en el triángulo TRILCE Capítulo III Cuadrilátero inscrito en una circunferencia Ejemplo: Los siguientes cuadriláteros son inscriptibles.. Llamado también cuadrilátero cíclico. En todo cuadrilátero inscrito un ángulo interior es igual a su opuesto exterior. Para que un cuadrilátero sea inscriptible debe cumplir una de las propiedades mencionadas. 99 Colegio TRILCE . Se llama así al punto de intersección de las tres bisectrices interiores. El excentro es el centro de la circunferencia exinscrita.. el circuncentro estará ubicado en el exterior del triángulo. hallar “x”. el circuncentro estará ubicado en el interior del triángulo. 5.. x B C C Solución: R D A C → circuncentro R → circunradio 45° x 3. Baricentro. Excentro. Problemas resueltos R 1.Cuadrilátero inscrito y Puntos notables en el triángulo * Si el triángulo es acutángulo. r → exradio relativo al lado BC. Incentro. El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos que están en la relación de dos a uno. Si: AD = DC. Hallar “x”. B B * En el ABCD C inscriptible: x = 45° 2.. x 2b c 2a a G 2c b A 25° C Solución: G → baricentro o gravicentro 4.Se llama así a la intersección de las tres medianas de un triángulo. C → circuncentro R → circunradio D A * Si el triángulo es obtusángulo. x B C ββ A I I → incentro r → inradio α α r * θ θ 100 ABCD 65° 25° D es inscriptible. C β α α A θ θ C E r β E → excentro relativo al lado BC. El incentro es el centro de la circunferencia inscrita. R C B C → circuncentro R → circunradio * Si el triángulo es rectángulo.Se llama así al punto de intersección de dos bisectrices exteriores y una bisectriz interior. el circuncentro estará ubicado en el punto medio de la hipotenusa. → x = 65° Cuarto año de secundaria . Cuadrilátero inscrito y Puntos notables en el triángulo Solución: 3. Hallar: m EB . A B x E 28° P B Q 10° x H 40° P O B A * A 62° 28° 56° E x x O B F * es inscriptible: AOFE → m OEF = 28° * En el ∆AOE isósceles: m AOE = 56° * Luego: x + 56° = 90° ∴ x = 34° APQC 1. Calcular “x”. x α 150º a) 20º d) 30º b) 70º e) 15º B Solución: x B 20º 30º C A C α D α O 2α a) 20º d) 50º b) 30º e) 25º c) 40º 3. De la figura, calcular “x”. 2α * Del gráfico: c) 40º 2. Si ABCD es un cuadrilátero inscriptible, calcular “x”. O A C Problemas para la clase 4. Hallar “α”, si “O” es el circuncentro del ∆ABC. B 6 α 3 C A 40° es inscriptible: → m BPQ = 40° * “H” es ortocentro del ∆ABC: → m ABH = 10° * Luego: x = 40° + 10° ∴ x = 50° Solución: 28° 80° 3α = 360° ∴ α = 120° x 40º 5. Hallar “x”. 70º B x a) 20º d) 50º H A 80° 40° b) 30º e) 60º c) 40º C 101 Cuarto año de secundaria Cuadrilátero inscrito y Puntos notables en el triángulo 4. Si ABCD es un cuadrilátero inscriptible, calcular el valor de “θ”. 9. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 36 dm. Hallar la distancia del baricentro al circuncentro. B θ θ A a) 4 dm d) 3 50º 60º C b) 25º e) 55º a) 36º d) 45º c) 35º 5. Calcular “x”; si ABCD es un cuadrilátero inscriptible, AB = BC. C a) 2 m d) 5 x A a) 10º d) 25º b) 15º e) 30º D 2x B b) 24º e) 15º c) 4 b) 18 e) 34 c) 24 13.Si en un triángulo rectángulo la distancia del incentro a la hipotenusa es 2 m, hallar la distancia del incentro al ortocentro. A a) 18º d) 12º b) 3 e) 6 a) 14 m d) 28 6. Si ABCD es un cuadrilátero inscriptible, calcular “x”. D c) 54º 12.En un triángulo la distancia del baricentro al circuncentro es 8 m. Calcular la distancia del ortocentro al circuncentro. c) 20º 3x b) 72º e) 56º 11.Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 12 m, hallar la distancia del baricentro al ortocentro. B º 30 c) 9 10.En un triángulo acutángulo el ángulo “B” mide 72° y su ortocentro es “O”. Si: m AOC = 3θ, hallar el complemento de “θ”. D a) 15º d) 45º b) 8 e) 6 C a) 0,5 m b) 1 c) 1,5 d) 2 2 e) 3 2 ˆ C = 70°, hallar el ángulo 14.Si “Q” es circuncentro, BA QBC. c) 10º B 7. Calcular m FMC. B A a) 53º d) 60º A 53º b) 37º e) 45º a) 35º d) 20º C C b) 30º e) 10º 15.Hallar “x”, si ABCD es un cuadrado. c) 30º B 8. Indicar verdadero o falso, según corresponda: b) VFV e) FFF C x * El baricentro de un triángulo, es siempre un punto interior a él. * El circuncentro de un triángulo puede coincidir con su ortocentro. * En el triángulo rectángulo su ortocentro está en el punto medio del lado mayor. a) VVV d) FVF c) 25º A a) 40º d) 70º b) 50º e) 80º 50° M Q F D c) 60° c) VVF 102 Cuarto año de secundaria Cuadrilátero inscrito y Puntos notables en el triángulo 16.Si ABCD es un cuadrado, calcular “x”. x B C Autoevaluación 1. Siendo “P” circuncentro del triángulo ABC. Calcular ˆ C , si: BP ˆC = 110°. BA B D A a) 30º d) 53º b) 45º e) 60º P c) 37º A a) 35º d) 65º 17. Calcular m AFE. B C 80º 70º b) 45º e) 75º c) 55º ˆB , 2. Siendo “O” ortocentro del triángulo ABC. Calcular AC ˆ si: AO B = 130°. B F A a) 120º d) 150º D C E b) 105º e) 140º O c) 135º A 18.En el gráfico, calcular “x”. a) 40º d) 70º 3x 2x C b) 50º e) 80º c) 60º 3. En la figura mostrada QD es bisectriz; “D” es punto de tangencia. Siendo: m R = 36º; calcular el valor del arco EQ . Q a) 36º d) 30º b) 72º e) 53º c) 20º E P 19.En el gráfico, calcular “x”. a) 60º d) 20º 120º x b) 80º e) 40º A x x O b) 50º e) 70º B c) 60º 5. En el gráfico: m B = 62º; m C = 68º. Hallar la m AFD. B 30 º 42º C º 30 75º D c) 70º a) 45º d) 30º b) 48º e) 70º c) 30º C 20.Calcular “x”. a) 42º d) 60º b) 36º e) 72º 4. Si “O” es centro, hallar “x”. 140º a) 60º d) 50º R D F c) 30º A a) 120º d) 130º 103 b) 100º e) 150º D c) 135º Cuarto año de secundaria Teorema de Thales en un triángulo. uno está dividido en cinco partes iguales y el otro no. son proporcionales a los segmentos determinados por dicha bisectriz en el lado opuesto o su prolongación.Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos rectas secantes. En un triángulo. Diga qué trazos se debe realizar para dividir al otro segmento en cinco partes iguales en cada caso.. Hallar “AB”. de diferentes medidas. en las posiciones que se muestran en las figuras 1 y 2. u u u u * Bisectriz interior C u B c m = a n α α a c A B A Figura 1 C D m n * Bisectriz exterior L1 u u u u u D B C c L2 A A c p = a q a B Figura 2 (L1 // L2) θ θ C p E q Teorema de Thales A.Si se traza una paralela a un lado de un triángulo tal que intersecta a los otros dos lados.COLEGIO Proporcionalidad TRILCE Capítulo IV División de un segmento en partes iguales Propiedad de la bisectriz Se tienen dos segmentos. “b” y “c” son paralelas. L1 L2 1. entonces. L5 L4 A Si: L1 // L2 // L3 D B L4 y L5 son secantes E → F C Problemas resueltos x AB DE = BC EF 6 L3 H A F E B. Teorema de Thales entre paralelas. sobre dichos lados se determinan segmentos proporcionales. entonces entre las rectas paralelas se determinan segmentos proporcionales. Las rectas “a”. los lados que forman el vértice en donde se traza una bisectriz interna o externa. B P L1 Si: L1 // AC Q → A BQ BP = QC PA a 2x + 2 B b 15 C c Solución: Por el teorema de Thales: x 2x + 2 = → 15x = 6(2x + 2) 6 15 → 15 = 12x + 12 →x=4 ∴ AB = 2(4) + 2 = 10 C 105 Colegio TRILCE .. 7 d) 3 ∴ BQ = 25 u 3k L3 b) 7.4) 2x + 12 = 3x . BC = 18 dm. Q 37° Problemas para la clase α E 2n α A F 1. Hallar “ED”.4 Solución: * Por propiedad de la bisectriz: AB AR 6 AR = → = BC RC 8 7 .2) = 4(x + 4) x+4 x-2 x2 . AC = 7.5 e) 5. B A C * Por propiedad de la bisectriz interior: x 4 = → x(x . PQ = 4 dm.AR) = 8AR 42 .Proporcionalidad Solución: 2. Se traza la bisectriz interior BD y la exterior BE. SQ = 2x + 3.6x . Hallar “BQ”.16 = 0 (x .5 Cuarto año de secundaria . Si: L1 // L2 // L3 .a → 20 . En un triángulo ABC. BC = 8. 4. Hallar “x”. En la figura L1 // L2 // L3 .a 2(x + 6) = 3(x . si: L1 // L2 // L3 . calcular el valor de “x”. ¿Para qué valor “x” es MN // AC ? B x α 4 M E AB AD 6 a = → = BC DC 9 10 . C E 4 106 N A a) 12 d) 18 L2 F B 5. Hallar “NF”.5 c) 5 A α α R L2 2..8)(x + 2) = 0 ∴x=8 BQ = D 10 x Solución: * Por el teorema de Thales: ( A a C B 5n 9 6 x-2 A BFQ α N x+4 * B L1 P B C C a) 4 dm d) 5. 8u L1 C x Solución: * Por el teorema de Thales: BF ×5 4 5k x-3 BF 5n = → BF = 20 u 8 2n de 27° y 53°): a) 6. BC = 9 y AC = 10.AR → 6(7 . Hallar “AR”.6AR = 8AR 42 = 14AR ∴ AR = 3 L2 Q S b) 3 e) 3.5 c) 4. AB = 6. AB = 6 dm.12 ∴ x = 24 3. L1 5 12 L3 G b) 15 e) 9 L3 c) 7. si: AB = 6.2x = 4x + 16 x2 .5 3.2a = 3a ∴a=4 * Por propiedad de la bisectriz exterior: AB EA 6 x-a = → = BC EC 9 x + 10 . AC // BD . si: AP = 9. MB = 4. hallar “FG”. BN = 7. Hallar “DM/AC”. BE = 6. 5. CD = 7 u. Hallar “CR”. 107 Cuarto año de secundaria .Dado el triángulo ABC. AB = 4. BC = 6. si: A a) c) 23 P a) 2 d) 8 a) 9 d) 15 b) 22 e) 28 c) 16 M R 10.EF = 2 u. BC = 32. si: AB = 28.Hallar “CR”. BC = 20. a) 6 d) 12 b) 10 e) 10. B A D L2 L3 8 24 5 B E C a) 20 d) 10 x+9 A F b) 15 e) 6 C a) 15 d) 30 c) 8 R b) 18 e) 36 c) 20 9. L1 A L2 B L3 A N A b) 12 7 d) 30 7 e) 40 7 c) b) 4 e) 12 c) 6 AB 3 = BC 5 20 7 7. hallar “MC”. En el gráfico: AB = 6 u. Hallar “MA”. B H 6. AC = 12. Hallar “x”.5 R C C 10 7 Q 11. AC = 8. si: L1 // L2 // L3 . si: MN // AC . Si: L1 // L2 // L3 // L 4 . L1 8.. B A C a) 21 d) 24 G b) 18 e) 12 α α F D a) 15 u d) 20 B E C L4 α α b) 8 e) 16 c) 9 13. Hallar “CR”. Si: AP = PM/3.En un triángulo ABC. AC = 21. B α α a) 1 9 b) 1 8 d) 1 5 e) 1 4 R C c) 12 c) 2 7 12.En la figura: CB // DE . Hallar “OB”. GH . BC = 12. se traza la mediana AM y la bisectriz interior BD las cuales se cortan en “P”. BC = 9 u. AC = 7.Proporcionalidad 4. si: AB = 8. PB = 3. si: AE = 9. Hallar “AR”. se traza la bisectriz interior BD y la mediana BM. si: AB = 24. CD = y. En un triángulo ABC. Hallar “CE”.5. PQ = 3x . EC = 3. m DCE = 53°. si: AE = 5. B A Q a) 2. calcular el valor de “x”. DC = 5 u. Hallar “CE”. ¿Para qué valor de “x” es PQ // AC ? B C x 15 P O a) 4 d) 8 A B b) 5 e) 9 E x+6 A a) 5 d) 6 a) 6 d) 16 C b) 9 e) 18 L4 a) 15 d) 10 C D α α A P a) 10 d) 7. En la figura: L1 // L2 // L3 . Hallar “x + y”. BC = 9. C 1.5 d) 6 D E b) 4 e) 5 c) 4. AB = 3. Hallar “AB”.5 a) 21 d) 35 b) 49 e) 25 C c) 12. m EBF = 90°.5 5. L1 A M L2 B N L3 C 3. BC = 4. DE = 4.2.Proporcionalidad D 2..5 e) 10 c) 12. BC = 7. AC = 10. NP = 2x + 2.5 B F A L2 4k b) 15 e) 9 c) 12 x 53° 4. si: CD = 10.5 c) 30 108 Cuarto año de secundaria . se traza la bisectriz interior BD y la exterior BE.En la figura: L1 // L2 // L3 // L 4 . B αα E 6x + 3 c) 6 14. L1 L3 D E Autoevaluación 5k c) 3 c) 12 Q b) 14 e) 8 b) 4 e) 2 F 15.Hallar “CF”. x-7 a) 14 u d) 20 b) 17. si: AB = 3. MN = 2x .1. si: AD = 9 u. . inradios.Dos triángulos serán semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.. A p a ~ r1 h b d C H P r2 q D r a b c h = = = = 1 = . medianas. ak α ~ b a θ Problemas resueltos Segundo caso.COLEGIO Semejanza de triángulos TRILCE Capítulo V La sombra: Un auto se desplaza paralelamente a una pared sobre una pista.Dos triángulos serán semejantes si tienen por lo menos dos ángulos de igual medida.. ¿A qué velocidad se desplaza la sombra del poste sobre la pared.. etc). alumbrando con uno de sus faros un poste que se encuentra a 2 m de la pared.. bisectrices.Dos triángulos serán semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre dichos lados de igual medida. Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos de igual medida o sus lados homólogos respectivamente proporcionales. si el auto se desplaza a 35 km/h y a 9 m de la pared? 2m Poste Vereda Sombra del poste VS Pared 9m Pista VA = 35 km/h Definición Tercer caso. Lados homólogos. 1. Q B c ~ a β α ck θ A b β C θ P c B c Primer caso.Se denomina así a los lados que se oponen a ángulos de igual medida. = k p q d H r2 ~ α θ ck Q R bk Criterios de semejanza α bk ak Observación: En dos triángulos semejantes sus lados homólogos son proporcionales así como sus elementos homólogos: (alturas... Calcular “x” α ~ a ak α α b 4 bk 109 x α 9 x Colegio TRILCE . se traza DE paralela a BC (“D” y “E” en AB y AC respectivamente). 110 12 x β α a) 6 d) 5 b) 8 e) 4 4 α 3 β c) 9 Cuarto año de secundaria . B 9 C 6 α α A C * ∆ABD ~ ∆ABC (Primer caso) h x 8 = → x2 = 16 2 x ∴x=4 A 9 C B β h x 12 α 4 A * Solución: P A 12 S D 25 BAD (Primer caso) h 9 = → h2 = 225 25 h h = 15 x α β x α ABC ~ Q β x β α x APS ~ D 25 Solución: 3. Hallar la altura del trapecio.4 Solución: B α A E * Como: DE // BC → m DEB = m EBC = α m ADE = m DBC = 2α * ∆EDB (triángulo isósceles) DE = DB = x * ∆ADE ~ ∆ABC (Primer caso) 2. de modo que BE sea bisectriz del ángulo “B”. Calcular “x” B α α Problemas para la clase R 4 C Bloque I QRC (Primer caso) x 12 = → x2 = 48 4 x ∴x=4 3 1. Calcular “x” 4.Semejanza de triángulos Solución: * Por semejanza de triángulos: Solución: B x 4 = → x2 = 36 9 x ∴x=6 x 6 D 4-x 2α θ 2 x D 6 α α A C 2 β x D 5.x) 4x = 24 . Calcular “x” * C x 4-x = 6 4 → 4x = 6(4 . BC = 6. AB = 4. En un triángulo ABC. Calcular “BD”.6x 10 x = 24 ∴ x = 2. 5 80 9 20 e) 9 b) S C c) 35 9 11. B C b) 4 e) 5. 24 y 36 u. 9 y 10.5 c) 7. AC = 8. PQ = 3. si: PQ // AC . de altura BH igual a 4 y AC = 12. Calcular “x” 7. Calcular el perímetro de un triángulo si es semejante a otro. si: L1 // L2 . de lados: 6. si: AB = 7.5 a) 5 d) 125 12 b) 2 e) 5 Q 8. recto en “B”.5 b) 25 e) 250 c) 100 α A a) 6 u d) 4. x 6 L2 a) 1 d) 4 a) 9 d) 4. a) 3 d) 2 A P H b) 4 e) 1 c) 6 12. PQ = 3. si: AP = 5. A x x α 3 a) 5 d) 2. Calcular “x” 16 9 α α A x 40 9 50 d) 9 a) α a) 8 d) 14 b) 12 e) 10 c) 15 6.5 3. si: BF = 4 u. B A C 9.Los lados de un triángulo miden 18.Semejanza de triángulos 2. Hallar “PQ”. Además la razón con el primero es 1/5.5 d) 6 Q b) 5.5 Q b) 8 e) 5. FC = 5 u.5 α 4. AP = 3. Calcular el lado del cuadrado inscrito. uno de cuyos lados está en la hipotenusa. a) 16 u d) 20 111 b) 10 e) 18 c) 15 Cuarto año de secundaria .5 2 P α b) 6 e) 3 c) B 6 a) 6 d) 8. BP = 2. B F c) 3 P b) 7 e) 9. B P a) 4. AC = 8.Se tiene un triángulo rectángulo ABC. Calcular “BC”.25 C c) 5.5 C c) 7 10. Hallar el menor lado de un triángulo semejante cuyo perímetro es 65 u.25 e) 6. Calcular “x”. 2 L1 O c) 6 Q R 5. AB = 12. si: BH = 10. Hallar “AB”.Hallar el lado del cuadrado PQRS. Calcular “CP”. PQ = 12 u. Hallar “AR”. AB = 4. si: HQ = 4. A α C E 14. si: AB = 8. BC = 10. a) 36 d) 42 M C c) 20 7.5 8. En la figura: AT = TD. si: AB = 12 u.8 a) 10 d) 8 C b) 6 e) 15 c) 12 6.2 e) 1. a) 2.75 d) 3. si: QH × PR = 84 u2.75 b) 3 e) 4 A a) 16 d) 22 c) 3. B R P A a) 39 9 42 d) 9 a) 1 d) 4 Q b) α C 40 9 c) D b) 2 e) 5 c) 3 5. AE = 4.Una torre de 15 m de altura proyecta una sombra de 60 m de longitud.4 Q Bloque II P 1. Hallar “BC”.Semejanza de triángulos 13. hallar la altura del trapecio.5 b) 4 e) 2 B θ c) 6 A 112 E F C Cuarto año de secundaria . Hallar la longitud de “AC”. Si la distancia de “O” hacia AB es 2 cm. B c) 1. hallar “x”. PB = 6. si: AB = 6. RC = 5. A B 35 9 T 50 e) 9 D 15. FC = 6. Hallar “MN”.5 2. Hallar “AD”. Si: BC = 10.En un rectángulo ABCD. El lado AC del triángulo ABC se divide en ocho partes iguales. Hallar “AH”. En un trapecio ABCD las bases AB y CD están en la relación de 2 a 5 y las diagonales se cortan en “O”. se traza BH perpendicular a AC y HQ perpendicular a AD . BC = 8. calcular la suma de las longitudes de los siete segmentos. En el gráfico. ¿Cuál es la estatura de un niño que a la misma hora proyecta una sombra de 4 m de longitud? a) 1 m d) 1. AF = 3 y AD = AC + 2. B x C b) 18 e) 24 a) 6 cm d) 10. Hallar “AC”. a) 12 d) 10 b) 16 e) 21 c) 18 4. En el rombo ABCD.5 P O b) 49 e) 32 c) 35 9. si: AP = 2. CD = 9. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BR.6 F b) 1. Q H M a) 9 u d) 10 R b) 8 e) 6 c) 7 A b) 8 e) 7 c) 9. siete segmentos de rectas paralelas a BC se dibujan desde los puntos de división. AB = 25. En la figura: AE = 2. 3. θ αα D a) 3 u d) 2.Hallar el lado del rombo PBRS. 12. Hallar “CD”.En la figura: AB = 16. si: PQ // DC .En la figura. Calcular “x” 8 17 α 3. B F x A a) 7 d) 10 H b) 8 e) 12 a) 9 d) 12 c) 9 11. hallar el perímetro del rectángulo. En un rectángulo ABCD. ED = 12.5 u d) 4.. si: AB = 25.5 C 18 u b) 12 e) 9 c) 6 4. NP // AB .En la figura. BR = 6. Hallar “DF”. B α α θ A D D c) 11 3. si: BC = 12. Hallar “CD”. hallar “TB”. AD = 11. Calcular “x”. BC = 5. B a) 6 3 d) 3 3 T b) 12 e) 3 c) 9 5.2 α x 113 Cuarto año de secundaria . AE = 9. si: AB = 12. BH = 4. Calcular “x” A O C 14 15 a) 2 d) 14 b) 3 8 3 10 c) 3 7 x x e) 3 a) 7 d) 6 b) 3 5 e) 2 5 c) 4 3 Autoevaluación 1. B b) 5 e) 3 c) 6 2.Semejanza de triángulos a) 10 d) 16 b) 12 e) 13 c) 14 a) 4 d) 2 10. se traza BH perpendicular a AC que prolongado interseca a AD en “E”. BC = 15. si: AC = 8. B P C 1 3 e) 3 d) 2 b) 10 e) 6 x A k N 3k D θ b) 3 E Q R F a) A C 2x C c) 3 3 a) 7. ....n DC : Proyección de ..... B b a h D B A C M H C m H n c A Primera relación: BD : Proyección de ..m b2 = c. 2.... Si alejara la base 13 m más de la pared. 115 Colegio TRILCE . a2 = c... se puede llegar hasta la parte inferior del noveno piso..... Proyecciones en triángulos 1. Relaciones fundamentales AH : Proyección de .... apoyado el extremo superior sobre la pared de un edificio y la base de la misma distante 7 m de la pared y apoyada sobre el piso... 3........ ¿hasta qué piso podría llegar con la escalera. A' B' : Proyección del segmento AB sobre la recta L . sabiendo que cada piso tiene 3 m de altura? Escalera ¿? 3m 7m 13 m Proyecciones B A A A A B B A B A' A' B' A' A B' A' B' A'B' B' L A' B A': Proyección del punto “A” sobre la recta L .COLEGIO Relaciones métricas en triángulos rectángulos TRILCE Capítulo VI La escalera 9 no piso Con una escalera....... C HC : Proyección de ..... B B A A C H HM : Proyección de . Hallar la medida de la base mayor. 6 H 3. 3.. calcular “AP”. T R 8 P Rpta..... D 116 O A Q Cuarto año de secundaria ... 2. Hallar “AB”.. En el trapecio rectángulo la base menor y la altura mide 8 y 14 respectivamente. si la diagonal menor es perpendicular al mayor lado no paralelo.. Calcular “AB”. si: DR = 8 y RT = 2. Hallar “h”. 8 2...: ..... Tercera relación: B a..12y 2 y .12) 405 = y2 .405 = 0 (y .12y .12 y ABC: (9 5 )2 = y (y .n 1. B A 1 H C 8 Solución: A Rpta.5 = x .. y = -15 → y = 27 * Además: x2 = 12y → x2 = 12 × 27 ∴ x = 18 d d = 2 R.Relaciones métricas en triángulos rectángulos Segunda relación: Problemas resueltos h2 = m. B 14 B h A 4 H D C 9 * DBC: h 8 H C x 142 = 8.8 ∴ x = 32.: .5 Rpta.(x ...8) 24..h 9 5 Cuarta relación: (Teorema de Pitágoras) a2 + b2 = c2 A Quinta relación: 1 h 2 = 1 a 2 1 + b 12 H C Solución: 2 B Propiedad: 9 5 x r A R * 12 C y .. Además: DQ = 5AQ..27)(y + 15) = 0 → y = 27 .b = c..r Ejemplos: 1. En el gráfico mostrado..: . Hallar “h”. x)2 + (2.3)2 = 4. BC = 20. AC = 25.32x + 220 = 0 (x . B 4.5)2 = (6. r = 6. si: AD = 4.32x + x2 + (2.5)2 x2 . Si ABCD es un cuadrado.5 H 4 4 B C 16 .1) = 0 →x=9 O H a) 10 d) 15 H b) 12 e) 20 C c) 13 4. B T A 117 H C Cuarto año de secundaria .x 2 x . si: AB = 15. B C A P a) 4 d) 10 F A 2 H b) 6 e) 5 C 6 c) 8 2.6x + 9 = 4x x2 . HC = 12.2 5 1. Calcular “AB”. DT = 16. El gráfico mostrado ABCD es un rectángulo. si: AH = 3.22)(x . calcular su perímetro. B (x . Calcular “BH”. si: AH = 9.DR b2 = 2 × 8 → b = 4 DPA: x 4a 4 = →x= b b 5a 5 ∴x= x A Problemas para la clase 4 (4) = 3.5)2 = (6.9)(x .5)2 . Calcular “AB”.x T (16 . Calcular “HB”.Relaciones métricas en triángulos rectángulos Solución: Solución: T 2 R P 8 x * Sea: D A 4a a 4 D Q * AQ = a → DQ = 5a y DA = 4a * DTQ: * DRQ ~ BHO: x 6. B D Solución: B 3 P C x A x-3 * FPD: F 4 A a) 2 d) 8 D x A 5. Además se sabe que: FA = 4 y BP = 3.5 (“T” es punto de tangencia) A D B C r b) 4 e) 10 C c) 6 3.10x + 9 = 0 (x .10) = 0 → x = 10 162 RQ2 = RT.5 O 2. Calcular “AB”. CD = 12. (R: punto de tangencia) c) 48 b) 2 e) 5 R c) 3 a) 25 d) 24 O' b) 4 e) 10 c) 7 D c) 6 118 a) 1 b) 1 d) 3 e) 2 . Calcular el perímetro de dicho trapecio. a) 36 cm d) 17 F E N M c) B 1 2 2 Cuarto año de secundaria . 15 y 16. La base de un rectángulo es el triple de su altura. calcular Q P O R a) 2 d) 8 b) 14 e) 28 15. la altura mide 15 cm. B x P Q R r θ a) 53° d) 60° b) 45° e) 30° A c) 37° 7. 5. PC = 4. A B C E O P 9.Calcular “OR”. A 10. Si: AH = BC. si: AB = 3. si: R = 16. Los lados de un triángulo miden 8. si: PO = 24. QS = 24. PQMN es cuadrado y AQ = “AP”. Calcular “x”. ¿qué longitud se debe restar a cada lado para que el triángulo resultante sea un triángulo rectángulo? a) 1 d) 4 C c) 4 8. r = 9.En un triángulo rectángulo ABC. si: R = 12. P Q B C Q R b) 4 3 e) 24 A c) 36 D a) 1 d) 4 6.Calcular “R”.EF = 50. a) 2 3 d) 3 P a) 12 d) 24 r b) 18 e) 30 c) 5 3 12. En un trapecio rectángulo de bases 4 y 12 cm. calcular “BC”.BH = 48. S b) 2 e) 5 c) 3 13.Relaciones métricas en triángulos rectángulos a) 10 d) 14 b) 12 e) 8 c) 13 11.Si ABCD es un paralelogramo. r = 3.Si: AF. OE = 1. si: BP = 6. Si su diagonal mide 9 10 cm. Calcular “PR”. ¿cuál es su perímetro? a) 60 cm d) 96 b) 72 e) 100 c) 80 a) 12 d) 5 θ H b) 3 e) 6 b) 42 e) 40 14.Si: AO = OB. calcular “QD”. AB. calcular “BE”. se traza la altura BH. TD = 4.8 e) 3. Q M c) 4 N 2.8 P a) 8 d) 11 c) 5. Si ABCD es un cuadrado.6 b) 4. Calcular “RN”. (“T” punto de tangencia) P A F a) 2 d) 5 A b) 3 e) 6 D B c) 4 a) 1 d) 2. a) 3. PA = 4. QN = 6. Calcular “BP”. si: AB = 3. Indicar la proyección de un cateto que mide 6 sobre la hipotenusa que mide 9.5.6 d) 7. MN = 4. Calcular la altura relativa a la hipotenusa en un triángulo cuyos catetos miden 6 y 8. BT = 6. B C R b) 9 e) 12 c) 10 5.Relaciones métricas en triángulos rectángulos Autoevaluación 1. FA = 2. En un triángulo PQR de mediana PM. a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 4. Calcular “CD”.2 3.5 119 b) 1.5 e) 3 T C D c) 2 Cuarto año de secundaria . si se sabe que el diámetro del Sol (D S) es 1 392 000 km.θº θº 2 7. Hallar “θ”. a) 60º 2 6º a) θº b) 90º . calcular “x” en función de “θ”. 25 6. se trazan la tangente PT. F E B D C M a) 8 d) 5 b) 7 e) 9 2θ c) 6 C 2. si: AN = 11 y BN = 3. recto en “B”. tangente en “T” y la secante PAB que pasa por el centro de la circunferencia de tal manera que: PB = 3PA. Si “B” y “C” son puntos de tangencia. calcular “x” si el arco AC mide 150°. B 5α r O1 A 121 x Colegio TRILCE . Hallar “m BPT”. además el radio de la Tierra (RT) es de 6 367 km. DS dS Sol DL Luna dL dT x Tierra Problemas para la clase 1. Hallar “EF”. el diámetro de la Luna (DL) es de 3 476 km. BC = 32.COLEGIO Repaso TRILCE Capítulo VII Eclipse de Sol ¿Qué diámetro de sombra “x” dejará la Luna en un eclipse de Sol sobre la superficie de la Tierra?. En la figura se muestran dos circunferencias congruentes. A a) 30º d) 22º N B b) 24º e) 18º c) 26º 5. la distancia del centro de la Tierra al centro del Sol (dS) y al centro de la Luna (dL) son 152 100 000 km y 384 403 km respectivamente. Desde un punto exterior “P” a una circunferencia.. 3. a) 4 d) 7 b) 6 e) 9 c) 8 a) 47º d) 46º b) 94º e) 36º b) 45º d) 30º e) r c) 52º x O 53º 2 O º θ r c) 37º 4. si: AB = 24. En la figura mostrada.θº d) 2θº e) 90º - c) 45º . Hallar “α”. Hallar la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo rectángulo ABC. Relaciones métricas en triángulos rectángulos a) 70º d) 37,5º b) 35º e) 50º c) 45º ˆ C = 60°; hallar el ángulo 8. Si “Q” es circuncentro, BA QBC. a) 10º d) 30º b) 20º e) 15º c) 40º 13. Hallar “AM”, si: AB + CD = 86; BC = 24; PD = 14. B B x T Q A a) 40º d) 20º C O C b) 30º e) 10º 9. En el gráfico las cuerdas AD y BC son perpendiculares; si el ángulo “F” mide 40º, hallar la relación: mBD mAC M A c) 25º P a) 14 d) 36 D b) 24 e) 21 c) 32 14. En la figura ABCD es un cuadrado tal que: AO = OD. Calcular: “α” B A C α B F D A C a) 5 13 b) 6 13 d) 2 3 e) 5 17 c) 1 2 a) 48,5º d) 37,5º D O b) 37º e) 82,5º c) 45º 15.Hallar “x”. B 10.Hallar “x”, si: mAB = 120º. 8 A 6 N H x 10 C a) 25º d) 20º 2x 40º b) 10º e) 15º A B a) 10 d) 6 c) 30º b) 12 e) 9 c) 18 16.Si los lados de un triángulo miden 5; 6 y 7 u; calcular el menor lado de otro triángulo semejante al anterior tal que su perímetro es igual a 72 u. 11.Hallar “x”. B a) 10 u d) 24 x A a) 60º d) 65º C 50º C b) 80º e) 75º b) 15 e) 28 17. Hallar “x”. B c) 70º 12 A a) 9 d) 8 20º β 122 b) 10 e) 16 C α x 12.Hallar “α - β” α c) 20 9 16 α D c) 12 Cuarto año de secundaria Relaciones métricas en triángulos rectángulos 18.Hallar “x”. a) 6 d) 10 E θ x 6 a) 6 d) 9 θ B 13 b) 7 e) 10 C 5 c) 8 A 19.Un trapecio tiene bases de medidas 10 y 28 u respectivamente. Hallar la distancia del punto de intersección de la prolongación de los lados no paralelos a la base mayor, sabiendo que la altura del trapecio mide 36 u. a) 40 u d) 50 b) 52 e) 56 a) 1 d) 4 D b) 2 e) 5 c) 3 24.Si: AB = 9; AC = 15; CE = 10, hallar “BD”. B D c) 48 A 20.Se tienen dos circunferencias tangentes exteriores de radios 5 u y 4 u. Luego se trazan las rectas tangentes comunes exteriores que se cortan en “P”. Calcular la mayor distancia de “P” a la circunferencia mayor. a) 42 u d) 60 c) 12 23.Si ABCD es un rectángulo; BH = 3; HC = 12; AB = 8. Calcular “PH”. H B C P D A b) 8 e) 14 b) 50 e) 36 c) 40 C a) 6 3 d) 15 b) 18 e) 6 5 E c) 12 3 25.Hallar “EF”, si: AB = 7; BC = 24; DC = 15. B 21.En la figura: AB = 5; BC = 6; AC = 7. Calcular “AP”. B A E F C P D a) 14,4 d) 14,04 A a) 12 d) 15 H b) 14 e) 19 b) 19,6 e) 9 c) 18 C c) 17 22.En la figura ABCD es un rectángulo, AB = HP = 6. Calcular “AC”. B C P A H D 123 Cuarto año de secundaria Relaciones métricas en triángulos rectángulos Autoevaluación 1. Hallar “α”, si “T” es punto de tangencia. T 2α F 5α B a) 10° d) 13,5° 4. En la figura mostrada, hallar “AD”, si: DE = 4; EC = 6; BD // EF y DF // AB . B O b) 12° e) 15° A c) 7,5° A a) 10 d) 15 2. Si “P”y “Q” son puntos de tangencia. Hallar “θ”. 54° P D 3θ b) 12 e) N.A. b) 38° e) 39° Q c) 40° b) 14,6 e) 14 c) 16 C B A E b a) 14 d) 12 r B C b) 8 e) 5 c) 16 6. Hallar “EF”, si: BE = 6; CF = 8; AD = 20. 3. En la figura mostrada, hallar “r”, si: a + b = 10; BH = 18. A H a a) 6 d) 9 C 5. Las bases de un trapecio mide 12 y 28. Hallar la distancia del punto de intersección de las diagonales a la mayor base si la altura del trapecio es igual a la diferencia de sus bases. 36° a) 11,2 d) 12 a) 42° d) 36° E O b) 15 e) 13 F D c) 16 c) 4 124 Cuarto año de secundaria .............................................................. 95 III............................ Áreas I ...................................................................... Relaciones métricas en la circunferencia y Polígonos regulares ........................................................................ÍNDICE Capítulo Pág................................. 89 II........................................................................................... 117 VIII..... 109 VI................................... 107 V........................... I............................................................................................................................................................................ Áreas II .................................................. Repaso II ..................................... Sólidos geométricos II ............................................................................... 121 ....................... Repaso I .................................................... Áreas III ............................................ 113 VII............. Sólidos geométricos I .................. 101 IV..... Relaciones métricas en la circunferencia y Polígonos regulares COLEGIO TRILCE Capítulo I I. Si “O” es centro de la circunferencia.5 1. si: AP = 3. Calcular su radio. Calcular “AB”.5 4. Teorema de las secantes B D C B D A P A a) 2. Calcular “x”. x b 4 c d 5 a) 4 d) 8 ac = bd b) 5 e) 9 c) 6 3. PD = 6. Teorema de las cuerdas a b) 5 e) 8 c) 6 2. Calcular “x”. Relaciones métricas en la circunferencia a) 4 d) 7 1. A b) 1.5 e) 3 2 x 6 c) 2 C P D B 89 Colegio TRILCE . A 4 P PQ2 = (PA)(PB) Ejercicios a) 1 d) 2. (PA)(PB) = (PC)(PD) 5 4 3 3. Teorema de la tangente y la secante x Q a) 8 d) 7 B b) 9 e) 6 c) 10 5. PC = 2.5 d) 2 C P b) 3 e) 5 c) 3. 2. PA = 4 y CD = 3. Calcular el valor de “x”. además: PC = 5. B 3. hallar “AB”.5° c) 75° Cuarto año de secundaria . si “L4” es el lado del cuadrado y “L3” es el lado del triángulo equilátero. si “L3” es el lado del triángulo equilátero y “L6” es el lado del hexágono regular. Ángulo central: Lado (L6): α6 = 60° L6 = R Apotema (ap6): R 3 ap6 = 2 L5 L8 x a) 60° d) 58. Triángulo equilátero B 120º L3 R ap L6 L3 x L3 O 3 A C Ángulo central: α3 = 120° Lado (L3): L3 = R 3 Apotema (ap3): ap3 = a) 45° d) 75° b) 53° e) 90° c) 60° 2. Hallar “x”. R = 2. Si: m AB = 270°. Hexágono regular M 60º A L6 O ap R 60º a) 1 d) 3 6 R O b) 2 e) 4 c) 2. Calcular “x”. Polígonos regulares Ejercicios 1. R = 4 . Calcular “x”. Hallar “OM”. 1.Relaciones métricas en la circunferencia y Polígonos regulares II. R 2 L3 2. Cuadrado L4 x 90º a) 90° d) 135° L4 O ap b) 105° e) 150° c) 120° 3.5 5.5° 90 b) 73° e) 67. R B 4 A Ángulo central: α4 = 90° Lado (L4): L4 = R 2 Apotema (ap4): R 2 ap4 = 2 a) 2 d) 4 2 R b) 2 2 e) 6 2 c) 3 2 4. si: AB = 240°. 6.Siendo “P“ y “Q” puntos de tangencia. Calcular el apotema de un cuadrado si su lado mide 2 cm. si: AB = 21 y BC = 4.Hallar la relación entre el inradio y el circunradio de un triángulo equilátero. b) 6 e) 6 3 a) 1 cm d) 2 2 B A 2 4.5 d) 6. CD = 2. Hallar “x”. a) 10° d) 18° E c) 12 b) 2 e) 4 2 A D Q 5. a) b) 9 e) 6 A 8 12 C B y x Q P c) 6 a) 6 6 d) 10 6 91 D b) 12 6 e) 6 c) 8 6 Cuarto año de secundaria . a) 4 cm d) 2 3 c) 10 9. Hallar “AB”. Hallar “PC”.y” 7. Si el apotema de un hexágono regular mide calcular su perímetro. a) 2 m d) 10 b) 3 e) 50 C c) 4 B A 2.Relaciones métricas en la circunferencia y Polígonos regulares 8. Calcular el apotema de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio igual a 2 cm. si “O” es centro. Problemas para la clase P 1. 1 2 3. Calcular el apotema de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 m. Hallar “x”. hallar “x.5 e) 6 L O L4 a) 3R b) 2R d) R 5 e) C b) 12° e) 20° x a) 1:4 d) 1:2 c) 15° x b) 4 e) 10 3R 5 5 R 2 2 b) 2:3 e) 3:4 c) 1:3 12. Calcular el semiperímetro de un cuadrado si su apotema mide 2 cm. si: BC = 1. a) 3 cm 2 b) d) 3 e) 6 2 2 c) a) 8 d) 12 2 cm 2 b) d) 3 e) 1 3 2 c) P a) 3. AB = 4. D O C B c) 4 B a) 2 d) 8 c) 4. BC = 5.5 b) 2.Hallar “CL”.5 A 3 cm. 4 c) 11. L6 C 10. DE = 9. CD = 3. 1. AB = 2. ¿cuánto mide el ángulo “P” si las cuerdas BD y CE miden respectivamente r 2 y r 3? C E H b) 8 e) 9 a) 75° d) 60° c) 12 b) 72° e) 80° c) 100° Autoevaluación 16. Calcular “CD”. AD = 2. Calcular “x”. si: HQ = m y FP = n E D F A a) 2 d) 5 P B T b) 3 e) 6 c) 4 14. 17. si ABC es un triángulo equilátero y R = 10. PA = 4. A P 60º c) 14 a) R d) 92 R 2 2 b) R 2 e) R 3 2 c) R 3 Cuarto año de secundaria .Hallar “x”. B D A a) 12 d) 18 F b) m .n 15. Calcular “AB”.n d) e) a) 45° d) 15° G b) 15 e) 20 a) m + n m2 + n2 c) b) 30° e) 12° c) 18° 20. R = 9 y r = 7.Hallar “EH”. Si: CD = 12. C P 18. si “O” es centro de la circunferencia.Hallar “AD”. si “O” es centro de la circunferencia. BH = 2. hallar “AB”.En la figura. BC = EF = 9.Relaciones métricas en la circunferencia y Polígonos regulares 13. B A N R A a) 5 7 d) 6 7 O 27 C M B b) 7 7 e) 8 7 c) 9 7 a) 3 3 d) 9 b) 6 e) 9 3 x C H R B b) 12 e) 20 O 240º D a) 10 d) 16 c) 6 3 2.Hallar “FG”. A Q O 19. si: AB = BC = CD. si: AB = r 2 y CD = r 3 c) 16 D B C B x r D C A r a) 4 d) 15 m-n m.Desde un punto “P” se traza dos secantes PBC y PDE a una circunferencia cuya radio mide “r”. si: AB = 3.Del gráfico “T” es punto de tangencia. hallar “MN”. PC = 3. hallar “EP”. hallar “EF”. Si “O” y “O1” son centros. Hallar “x”. a) 9 d) 8 R 3 a) 8° d) 15° R 2 A O 4. x b) 10° e) 18° b) 10 e) 13 a) 6 d) 8 Q E b) 7 e) 5 O1 E c) 4 F 93 Cuarto año de secundaria . Además: AP = 8. N B P c) 12° P c) 12 5. Si: PQ = 12. PB = 2.Relaciones métricas en la circunferencia y Polígonos regulares 3. NE = 3. a)(p .b)(p . Triángulos r h h b b A = p.COLEGIO Áreas I TRILCE Capítulo II Áreas de regiones poligonales * En función del inradio (r) I.h 2 A= p: semiperímetro * En función del circunradio (R) * Fórmula de Herón a a c c O b A= R b p(p .c ) p: semiperímetro A= * Fórmula trigonométrica abc 4R * En función de un exradio (ra) a α B b ra a a.b A= sen α 2 A C A = ra(p .r b.a) * Triángulo equilátero * Triángulo rectángulo L L a b L A= L2 3 A= 4 95 a.b 2 Colegio TRILCE . h A= 2 a +b A = h 2 II. Polígonos * Polígono circunscrito a b A = a.A∆AOB b n: número de lados A = b.Áreas I * Trapecio b h h c a c.BD senα 2 III.hb = a. Cuadriláteros * En todo cuadrilátero * Cuadrado C L B D L α L D A L A = L2 = D2 2 A= * Rectángulo AC.r C p: semiperímetro D * Polígono regular B A AC.ap = n.b r * Rombo B A A = p.ha 96 Cuarto año de secundaria .BD A= 2 O * Paralelogramo ap ha hb a A = p. una diagonal es el doble de la otra. En un trapecio rectángulo la base mayor mide 18 u. ∴A 3 ∴A BH = 3(4) = 12 ∴ Área ∆ABC 60° A C b) 20 e) 26 c) 16 3.3 = p. D a) 24 u2 d) 28 AHB: ABCD Sabemos: a + b = 17 + 2(3) a + b = 23 Problemas para la clase Solución: ABCD - 40( 42) = 840 cm2 2 3. A Por Poncelet: 292 A 17 - + = n = 20 → BD = 40 Área b 3 A D D 5. si: m A = 37°. resulta un cuadrado. Hallar su área. Calcular el área de la región de un triángulo rectángulo si la hipotenusa y su inradio mide 17 y 3 u. si: m A = 45° y la distancia del centro del romboide al lado mayor es 4 u y al lado menor es 6 u. m D = 60°. m C = 45° y AC = 28 cm.8 3 = 7(8 3 ) 2 2. Calcular el área de la región de un paralelogramo ABCD.5 c) 15 2. 28(12) = = 168 cm2 2 29 8 (3 + 11) . Cacular el área de un trapecio rectángulo ABCD. la base menor y su altura tienen la misma medida y la diagonal menor mide 8 u. 1. En un rombo de lado 5 u. Hallar el lado mayor del rectángulo. Si se aumenta el largo en 10 u y el ancho aumenta en 30 u. 12 8 2 b) 20 e) 22.Áreas I Problemas resueltos 4. Hallar el área de la región de un rombo si su perímetro es 116 cm y una de sus diagonales 42 cm. Hallar su área. El área de un rectángulo es 1 500 u2. Hallar el área de un triángulo ABC. = 8 2 (12) = 96 2 u2 97 Cuarto año de secundaria . si: m A = m B = 90°. Solución: 3 B Solución: C B 8 3 53° 45° 16 8 3 3a 37° A - 45° 4a 28 3a H - 4a + 3a = 28 7a = 28 → a = 4 Luego: A ABCD = H ABCD = 56 3 u2 Solución: C a Solución: O 29 - En el - Luego: B 29 21 n n 21 B 29 C AOB: n2 212 ABCD = B 8 45° 8 a) 25 u2 d) 30 C - Isósceles AB = 8 2 - AB = CD = 8 2 - Área O 4 H A ABC a + b + 17 . CD = 16 u y BC = 3 u.3 = 60 u2 2 1.r = 2 A ABC 23 + 17 = . Hallar el área del triángulo ABC. a) 12 u d) 16 b) 13 e) 14 d) 4 2 b) 658 e) 650 c) 6 14. si: AB = 8 u. se ubica un punto “F” en BC de modo que: mAFD = 90º. A D F b) 2 2 e) 4 d) 3 2 5. BC = 10 u y m B = 60°. 15 y 20 cm. B B D 3 u2 d) 3 3 a) b) 2 3 e) 6 3 C 10 A c) 4 3 a) 25 u2 d) 45 7. Hallar el área de la región sombreada.Áreas I a) 30 u d) 75 b) 40 e) 100 c) 50 4.ABCD es un cuadrado de área 36 y el triángulo AHF tiene área igual a 4 cm2. c) 652 a) 50 u2 d) 48 cm2 10.Si: AB = BC y CD = DE. Hallar el área de dicho paralelogramo. En el paralelogramo ABCD: AB = 2 u. a) 36 u2 d) 64 C B D E C b) 50 e) 60 c) 75 13. Las bases de un trapecio miden 80 y 29 cm. En el siguiente gráfico ABCD es un cuadrado de lado 4 u.Hallar el área de un triángulo cuyas alturas miden 12.En un rectángulo ABCD. si uno de sus ángulos mide 45º. BC = CD = 15 u y AD = 25 u. a) 654 cm2 d) 656 b) 4 3 e) 8 3 b) 180 e) 160 c) 150 15. Hallar “FD”. Hallar su área. B A M O D 45º C B N C a) 8 u2 d) 5 b) 4 e) 9 c) 12 a) 4 cm2 u2 8. Hallar el área de la región de un triángulo ABC. Hallar el área de la región de un rombo de perímetro 32 u. hallar el área de dicho rectángulo. Si BF = 2 cm y FC = 8 cm. A c) 3 11. 98 b) 40 e) 42 c) 46 Cuarto año de secundaria . Hallar la longitud del lado mayor. hallar el área de la región sombreada. c) 15 a) 130 cm2 d) 120 9. 6. La suma de las áreas de dos cuadrados es 218 y el producto de sus diagonales es 182 u2. a) 20 u2 d) 40 3 b) 20 3 e) 30 H A c) 40 a) 2 cm b) 64 2 e) 32 c) 32 2 a) 30 cm2 d) 60 b) 32 e) 40 c) 36 12. BC = 4 u y m C = 60°. AB = 7 u.Hallar el área de la región COMN.En un cuadrilátero inscriptible ABCD. los otros lados miden 37 y 20 cm. si AB y BC son tangentes y AB = 2 cm. Hallar el perímetro del rectángulo ABCD. Hallar “ED”. Hallar el área de la región sombreada. El área del cuadrado AEFD es 81 y el área de EBCF es 63 cm2. B B A D a) 144 cm d) 72 C F b) 48 e) 75 E c) 50 D a) 3 u d) 6 3. Hallar el área de la región sombreada. si ABCD es un rectángulo. Hallar el área de la región sombreada. 2 C B M A a) 6 cm2 d) 12 2 2 D b) 8 e) 4 c) 10 cm2 2. El triángulo equilátero ABC tiene un área de 36 3 u2. 1. ABCD es un cuadrado de lado 4 cm. B 2 3 b) 4 e) 8 C c) 5 C 4 A a) 6 u2 d) 13 b) 8 e) 15 2 D c) 9 99 Cuarto año de secundaria . E A a) 3 u2 b) 1 d) 2 e) 4 c) 1 3 5.Áreas I Autoevaluación 4. Si “M” es punto medio de CD . Tercera relación Si ∆ABC ~ ∆PQR. se cumple: 1. En todo cuadrilátero S2 B a S4 A2 A1 A S3 S1 C b E S1.COLEGIO Áreas II TRILCE Capítulo III Relación entre áreas Propiedades . En todo trapecio B .S4 A1 a = b A2 2.1416 n R R O α S R A1 b2 c2 a2 = 2 = 2 = 2 A2 n i m S= 101 α πR2 360 ° Colegio TRILCE .Sector circular m i ~ a A2 P π = 3.Primera relación Siendo BE una ceviana.S3 = S2. se cumple: B c A A = πR2 Q A1 b C .Área del círculo s s s s s s O A R . se cumple: C S2 S1 B D A A1 A2 A S1 = S2 C M Área de regiones circulares A1 = A2 * Observación: .Segunda relación Siendo BM una mediana. calcular el área de la región triangular AOB. Además: AP = PB. (“O” es el punto de corte de las diagonales). En un triángulo ABC.r2) .4 3 u2 -4 3 → x= 6 3 Cuarto año de secundaria . AN = MN.Segmento circular Q P A S N A O B M C Solución: R B S = Área sector AOB .x x= D 102 4 4 P O B B - P O B 2 π4 (60°) 4 2 3 360° 4 8π 16π . En un trapecio ABCD ( AB // CD ). Hallar: A∆ PBQ 2S A M 4S 8S N C ∴ A∆ABC = 16S 4. sobre AB y BC se toman los puntos “P” y “Q” respectivamente.x) x2 = 150 .25x + x2 25x = 150 → x = 6 u2 3. BQ = QC. R B S = π(R2 .Corona o anillo circular S O Por propiedad: r x2 = (10 . hallar el área de la región triangular ABC.x)(15 .Área del ∆AOB P Q S Problemas resueltos 1. A∆ ABC A P Solución: a B P 2a Q 2S A O Solución: C A∆ PBQ A∆ ABC = B A S 1 = 6S 6 P 4 2. OA = OB = PB = 4 u. tal que: AP = 2PB. Si el área de la región triangular PBQ es “S”. BQ = QN. Hallar el área de la región sombreada. En el gráfico. si las áreas de las regiones triangulares ABC y ACD miden 10 y 15 u2. O 60° x= Solución: B C x= O A 15 .Áreas II . a) 2 u2 d) 4 D 8. a) 1 d) 4 R A B a) 3 d) 3 P - b) 2 3 e) 1 120° 6. 64 e) 9 2.5 c) 3 103 Cuarto año de secundaria . Hallar el área de la región sombreada en función de “R”. si el ángulo central mide 30°. En un círculo el área es numéricamente igual a la longitud de la circunferencia.. Calcular el área de la región triángular MGN. Dos triángulos semejantes tienen que sus bases miden 8 y 3 m. Se tiene un sector circular de área π.. En un triángulo ABC. Hallar la relación de áreas del cuadrilátero no convexo ABFC y del triángulo ABC. En un triángulo ABC. Si: MN // AC . B Q = 2( P A Q - P A Q ) a) (π + 2) m2 d) π . Hallar “MN”. πR 2 R 2 3 2 . Hallar el valor del radio.R. Área = 3 . R 4. En la figura. si ABCD es un cuadrado de lado 2 m.A. de 54 u 2 de área se ubica el punto “F” sobre AB de modo que AB = 3BF y “M” es punto medio de BC . B A a) 2 + π d) 7 .π e) 7 + π c) 3 + π a) 1 5 b) 2 3 d) 5 9 e) 9 8 7 8 c) 9. ¿En qué relación se encuentran sus áreas? 8 d) 9 16 9 c) 64 3 b) 45 e) 30 b) 1 e) 6 b) 4 .π Problemas para la clase 1.sen120° Área = 2 2 360° B C A D b) 2(π + 1) e) N. si el área de la región triangular ABC es 12 u2. AC = 8 u.Áreas II 5.2) 7. Hallar el radio. hallar el área de la región sombreada.4 8 3 c) 3 3 Q Del gráfico: Área = 2× P a) c) 3 5. a) 40 u2 d) 27 C R= 1 R2 3 2πR 2 Área = 2 3 b) c) 2(π . B c) 36 S M 3. Hallar el área de la región sombreada. Sea ABC un triángulo de mediana AM y sea “F” un punto de AM . Solución: A b) 2 e) 5 A a) 2 2 u d) 1 b) 4 2 e) 3 2 N S C c) 0. Calcular el área de la región AFMC.2 πR 2 (120°) R. tal que FM = 4AF. se trazan las medianas AN y BM que se cortan en “G”. Hallar “MN”. Si ABC es un triángulo equilátero y AB = 4 3 m.En la figura.Hallar el área de la región circular. a) π u2 d) 4π B B H b) 2π e) 5π c) 8π r A C Autoevaluación π 2 m 2 d) 4π a) b) π c) 3π 1. B e) 5π 12.Áreas II 10. √2+1 C b) 3 2 e) 12 2 B a) π u2 d) 16π N S A A x S M 13. A A C r 60º a) 5 m2 d) 20 b) 2π e) 5π b) 10 e) 21 c) 18 B c) 3π a) 4 2 u d) 6 2 B b) 4π e) 20π c) 9π a M a A A C c) 6 3.A. hallar el área de la región circular sombreada. B M S S P Q S A a) 3 2 m d) 4 5 N π 2 b) π d) π 3 e) c) 2π π 6 15.. hallar el área de la región circular. hallar: SAMN 14. MN // AC .Si: MN // PQ // AC . Hallar “PQ”. hallar: SABM. si: PQ = 4 u C b) 4 6 e) N. si: AC = 12 u.Si: AB = 12 u. B a) π m2 d) 4π 2a a) 10 m2 d) 13 b b) 11 e) 14 N b C c) 12 r √2+1 B 104 Cuarto año de secundaria .Si: OA = OB = 3 m. hallar el área del círculo. Si: SABC = 52 m2. a) c) 2 3 Q P A 11.Hallar el área de la región sombreada. Si: SABC = 25 m2. AC = 3 2 m. 9 C 3a M 2. Hallar el área del sector circular. Hallar el área del círculo. 5.Áreas II 4. R= R 2u 45º R= a) π u2 d) 20π 4 b) 5π e) 24π 2u c) 16π 105 a) π 2 u 2 b) π 4 d) π 16 e) π 32 c) π 8 Cuarto año de secundaria . si: R = 4 u. E O A a) 2 d) 3 F 1 2 3 e) 2 b) A C c) 1 6. m C = 15°. D 8.1) u2 c) 24( 2 . E B C 3.1) e) 64 b) 64( 3 . BC = 9 u y AC = AD. B A E 2 E B A a) 156 u2 d) 128 c) 24 . Si ABCD es un romboide. 107 D 72 . si: m A = 30°. a) 9 3 u2 d) 27 6 M b) 18 3 e) 9 6 c) 27 3 a) 72 u2 d) 56 A 5.1) d) 32 A 2. B C 4. Hallar el área del romboide.13π 2 a) u 2 64 . calcular el área de la región triangular ABC.14 π c) 2 48 . CM = MD y el área de la región triangular MOD es 14 u2.15 π b) 2 56 . a) 32 2 d) 24 2 c) 96 O C b) 16 e) 14 u2 b) 78 e) 48 a) 42 u2 d) 62 D a) 12 u2 d) 24 C 7. h a l l a B r : S D b) 168 e) 136 c) 142 9. Calcular el área de la región de un octógono regular inscrito en una circunferencia de radio 4 u. Si: AB = 6 u. EC = 3AE y el área de la región triangular ABM es 12 u2. AC = 16 u. hallar el área total de la región triangular ABD.COLEGIO Áreas III TRILCE Capítulo IV B Problemas para la clase 1. calcular el área de la región sombreada. A F = 2 F C . Hallar el área de la región palalelográmica ABCD. Si: BM = ME. En el paralelogramo ABCD las áreas de las regiones triangulares AOD y BOE son 18 y 8 u2. Calcular el área de la región triangular ABC. E n e l g r á f i c o s i : E b) 52 e) 60 c) 56 c) 18 C = M O b) 16 2 e) 18 . B C 1/S2. Calcular el área del hexágono regular circunscrito a una circunferencia de 6π u de longitud. a) 32( 3 .7 π d) 2 52 . Si ABCD es un cuadrado de 6 u de lado.13π e) 2 Colegio TRILCE . AB = BP. Calcular el área del triángulo ABC.En un triángulo rectángulo ABC recto en “B” se traza la ceviana BP de modo que: AP = 2 u y PC = 8 u. Se unen los pies de las alturas y los puntos medios de las distancias del ortocentro a los vértices. si: θ = 30°. Calcular el área del anillo circular que generan las dos circunferencias. Calcular el área sombreada.Si el lado del cuadrado es 12 m. 108 a) 6 u2 d) 9 b) 7 e) 10 c) 8 Cuarto año de secundaria .Dado un triángulo de área igual a 120 cm2.Áreas III a) 16π u2 d) 36π 10. Hallar el área del triángulo AOD. C C B A A c) 32π 13. θ a) 16 u2 d) 13 2 r (2 3 . el área del triángulo BOC es 8 u2.π) 2 b) 15 e) 12 c) 14 14.π) 3 b) c) r 2 (3 3 .π) e) πr 2 3 a) r (3 3 .Se tiene dos circunferencias concéntricas de modo que la suma de sus radios es 8 u y la diferencia es 4 u. B b) 50 e) 80 c) 40 15. r 2 b) 4π e) 18π O D D a) 72π d) 9π m2 b) 36π e) 20π c) 18π 12. determinándose un hexágono cuya área es: a) 60 cm2 d) 120 11.Calcular el área de la región sombreada.π) 3 d) r2(2 3 .En la figura “O” es centro. COLEGIO Sólidos geométricos I TRILCE Capítulo V La hormiga viajera ¿Cuál es el máximo recorrido que hará una hormiga, para ir de un vértice de un cubo al vértice opuesto de la misma cara, si no debe pasar dos veces por el mismo vértice y debe caminar sólo por las aristas, sabiendo que la longitud de las aritas del cubo es de 20 cm? 20 cm Prisma recto Cilindro recto a: arista lateral S: área de la base AL: área lateral AT: área total V: volumen 2pbase: perímetro de la base a AL = 2pbase.a AT = AL + 2S d a c b A: área total; V: volumen; D: diagonal A = 2(ab + bc + ac) D= g V = S.a Paralelepípedo rectangular o rectoedro r: radio de la base g: generatriz AL: área lateral AT: área total V: volumen AL = 2πrg V = πr2g AT = 2πr(g + r) Problemas resueltos 1. La proyección de la diagonal de un paralelepípedo rectangular sobre el plano de la base mide 25 cm; si una de las aristas de la base es de 15 cm y el ángulo que la diagonal forma con el plano de la base, tal como se muestra en la figura, es de 30°, ¿cuánto mide la otra arista y la altura del paralelepípedo? V = a.b.c A d y a2 + b 2 + c 2 25 A' 15 B C x Hexaedro regular (cubo) Solución: A'BC: a 252 - 152 = 20 cm de 30° y 60°) x= - a a A = 6a2 V = a3 3 .y = 25 → y = a d: diagonal del cubo d=a 3 AA'B ( 25 3 cm 3 2. La base de un prisma regular es un triángulo equilátero cuya área es de 16 3 cm2. Siendo el área lateral del prisma de 240 cm2, hallar el volumen del prisma. 109 Colegio TRILCE Sólidos geométricos I Solución: Solución: d= h L S= L - L Por dato del problema se sabe: S = 16 3 - L2 3 = 16 3 → L = 8 4 Además: AL = 240 cm2 3L.h = 240 → h = 6 →a 3 = 6 →a= a.a 2 →S= 2 2 2 2 = 2 2 u2 5. Se tiene un paralelepípedo recto cuyas aristas miden 6; 3 y 6π, el cual es equivalente a un cilindro de revolución de radio igual a 3. Hallar la altura del cilindro. Solución: 240 = 10 cm 3(8) ∴ V = S.h = 16 3 .10 = 160 cm3 6π 3. Se ha cabado un pozo de forma cilíndrica de 14 m de profundidad y 5 m de diámetro, se le requiere revestir en primer lugar el área lateral con una capa de concreto de 10 cm de espesor y luego cubrirla con una capa impermeabilizadora. Si por el m3 de concreto se cobra S/.120 y por el m2 de impermeabilización S/.18, ¿a cuánto asciende el costo total? (considerar: π = 22/7) - R = 2,5 m h 3 6 Solución: 0,10 m 2 r=3 Sean: VP: volumen del paralelepípedo VC: volumen del cilindro Como son equivalentes: VC = V P → π.32.h = 6.3.6π ∴ h = 12 cm Problemas para la clase h = 14 m 1. Calcular el volumen del sólido que se forma cuando el cuadrado de la figura gira 360° alrededor del eje L. L A B r = 2,4 m 4 2 La capa de concreto es una corona cilíndrica de 2,5 m de radio mayor y 2,4 m de radio menor, cuyo volumen es: D 22 (2,52 - 2,42)14 7 VC = 21,56 m3 La capa impermeabilizadora tendrá un área de: VC = π(R2 - r2)h = a) 24π u2 d) 64π c) 48π 2. Calcular el área total del sólido que se forma cuando el rectángulo ABCD de diagonal 4 5 cm y DC igual a 4 cm gira 360° alrededor de la recta L. L A B 22 .2,4.14 = 211,2 m2 7 El costo total será: C = 21,56.120 + 211,2.18 C = S/.6388,8 AL = 2πrh = 2. 4. En el cubo mostrado de diagonal igual a el área sombreada. b) 36π e) 72π C 6 u, calcular D a) 112π cm2 d) 164π 110 b) 128π e) 170π C c) 136π Cuarto año de secundaria Sólidos geométricos I a) 54 m3 d) 36π 3. Hallar el perímetro de la región sombreada sabiendo que la arista del cubo es igual a 7 cm. b) 54π e) 18 c) 36 10.Un cilindro es tal que visto de frente se ve como un cuadrado de lado “a”. ¿Cuál es su volumen? a) 49(1 + 2 + c) 14(1 + 2 + e) 7(1 + 2 2 + 3 ) cm 3) 3) b) 180 e) 60 2 b) 7(1 + 2 + 3 ) d) 14(1 + 2 2 + 3 ) b) 864 e) 108 d) 5 m 4 b) 5 e) 6 b) 192π e) N.A. πa3 2 c) 55 2 b) 25(36 + 2 3 ) d) 36(24 + 5 3 ) 13.Hallar el número de caras laterales de un prisma regular cuya área lateral es de 375 cm2, si su arista lateral mide 25 cm y su arista básica mide 3 cm. a) 4 d) 7 c) 60 b) 55 3 e) 22 3 a) 36(25 + 3 3 ) cm c) 18(25 + 3 2 ) e) 24(25 + 3 3 ) c) 7 776 b) 5 e) 3 c) 6 14.Las paredes de una habitación cuyas dimensiones son 3,5 m de largo; 2,8 m de ancho y 3,2 m de alto, se requiere empapelar, sabiendo que entre puertas y ventanas hay una superficie de 3,32 m2; si el rollo de papel cuesta S/.24 y cada rollo tiene 10 m de 37 cm, ¿cuántos rollos se necesitarán y cuál será el costo del papel empleado? 8. Determinar el área total de un cilindro circunscrito a un prisma hexagonal regular donde el lado de la base mide 6 cm y la altura mide 8 cm. a) 96π cm2 d) 84π 3πa3 4 c) 12.Hallar el área de un prisma hexagonal regular de 25 cm de altura y de apotema de la base de 3 3 cm. c) 4 b) 50 e) 96 e) d) 22 7. Si el área lateral de un prisma cuadrangular es 40 m2 y la medida de la altura es 5 m, entonces su área total es: a) 48 m2 d) 65 πa3 8 a) 55 cm 6. El área total de un paralelepípedo rectangular es 10 m2. Si el largo es el doble del ancho y el ancho es igual a la altura, calcular la diagonal del paralelepípedo rectangular. a) πa3 4 11.¿Cuál es la diagonal de un cubo que al ser sumergido en una vasija de forma cilíndrica y de 110 cm de diámetro hace subir en 17,5 cm el nivel del agua en ella contenida? (considerar π = 22/7) c) 100 5. Hallar el área total de un cubo equivalente a un paralelepípedo rectangular de 18 cm de largo, 16 cm de ancho y 6 cm de altura. a) 1 728 cm2 d) 216 b) d) 4. Hallar el área total de un hexaedro regular, si la suma de las longitudes de sus aristas es 60 cm. a) 120 cm2 d) 150 a) πa 3 a) 5; S/.120 d) 8; 192 b) 20; 480 e) 7; 168 c) 10; 240 15.Los volúmenes de dos cilindros de revolución están en la relación de 64 a 216. ¿Cuál es el radio del cilindro más grande, si el del más pequeño es de 4 m? c) 168π 9. La altura de un cilindro recto mide 6 m y el área lateral 36π m2. Hallar su volumen. 111 a) 5 m d) 8 b) 6 e) 9 c) 7 Cuarto año de secundaria a) 64 3 cm3 c) 72 3 a) 130π cm2 d) 180π b) 96 3 d) 108 3 e) 48 3 3. AB = 5 cm.2 m d) 4. Hallar la razón entre el volumen del cilindro y el diámetro de la base. si: AC = 13 cm. calcular el volumen del paralelepípedo. La base de un prisma regular es un hexágono regular cuya área es de 24 3 cm2. si una de las aristas mide 12 m. L A B 2. Calcular el área total del sólido que se forma al girar 360° el rectángulo ABCD alrededor de la recta L.8 e) 5 c) 4 Cuarto año de secundaria . La diagonal de un paralelepípedo rectangular mide 17 m y la altura es de 8 m. Un cilindro es tal que visto de frente se ve como un rectángulo de 48 cm2 de área. Hallar el volumen del prisma.Sólidos geométricos I Autoevaluación 1. siendo el área lateral del prisma de 180 cm2. Si se vierte el contenido en otro de forma cúbica de 5 m de arista. a) π cm2 d) 6π 1 2 D b) 18π e) 24π b) 100π e) 250π C c) 170π 5. a) 648 m3 d) 960 b) 1152 e) 864 c) 1080 4. ¿hasta qué altura subirá el agua? (considerar π = 25/8) a) 4. Un recipiente cilíndrico de 6 m de diámetro y 4 m de altura está lleno de agua.5 c) 9π 112 b) 4. un cono puede pasar por un agujero triangular y circular.h 3 B AT = πr(g + r) 1 2 πr . ¿Qué forma deberá tener el sólido para que pueda pasar a la vez por un agujero rectangular.h 3 Esfera Tetraedro regular O a h a - a 6 3 S: área de la superficie esférica V: volumen de la esfera a S = 4πR2 A = a2 3 R a h: altura A: área V: volumen h= g h Ap V= V= 4 πR3 3 a3 2 12 113 Colegio TRILCE .COLEGIO Sólidos geométricos II TRILCE Capítulo VI Se sabe que un cilindro puede pasar a la vez por un agujero rectangular y circular. triangular y circular? ¿? Pirámide regular Cono recto O B h H ap A - D C M - r: radio de la base g: generatriz h: altura AL: área lateral AT: área total V: volumen AL = πrg V= AT = pB(Ap + ap) V= r círculo O: vértice o cúspide h: altura OM = Ap: apotema de la pirámide HM = ap: apotema de la base AL: área lateral AT: área total V: volumen pB: semiperímetro de la base SB: área de la base AL = pB.Ap 1 .S . 122 = 4 7 cm D - D - - O r = Solución: O Se sabe que: AL = 36 m2 → pB.7 m respectivamente. El área lateral de una pirámide cuadrangular regular es de 36 m2.8.16 = 128π cm2 r= 1.122 = 16 cm - VOP: h = 162 .2 = 0.6 2 DC = = 2.r 2 = 36 → 4r2 = 36 → r = 3 m ∴ AB = 3 2 m N M Solución: B L L - ∆OAB: MN = A L → L = 2MN = 2( 3 ) 2 ∴ A = L2 3 = (2 3 )2. Un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 16 cm forma con el cateto menor un ángulo de 60°.75 2 = 6.6 = 1. La altura de un tronco de pirámide cuadrangular regular es 6 m y los lados de las bases miden 1.2 A - VPC: Ap = 202 . El segmento que une los puntos medios de dos aristas concurrentes de un tetraedro regular mide 3 m. Hallar el área total del tetraedro y su volumen respectivamente. C ap 6 r (2 3 ) 3 2 L3 2 = → V = 2 6 m3 12 12 C ABC: h= 16 3 → h = 8 3 cm 2 114 Cuarto año de secundaria .25 m 5. ¿Cuál será el área lateral y total del cono de revolución que se genera al girar 30° al rededor del cateto mayor? B 6 2 + 1.6 → DH = AB = 0. 3 = 12 3 m2 A V= g = 16 cm h - 3 C 3. ¿Cuál es la longitud de su apotema? 20 cm Ap B h O A 12 cm D 24 cm C P Solución: 12 cm 1. hallar el lado de la base.35 → HC = 2.35 .2 m y 4.8(16 + 8) AT = 192π cm2 Solución: V 4. Si el apotema de la pirámide mide 2 veces el radio del círculo que circunscribe a la base. H r 2 2 2 → AB = r 2 r BHC: ap = A OHA: OH = AH = 1.75 m AB = V B C ABCD: Solución: r 2 H 4. ¿Cuánto mide el apotema y la altura de una pirámide cuadrangular regular si su arista lateral mide 20 cm y la arista de la base 24 cm? AT = πr(g + r) → AT = π.7 2.0.Sólidos geométricos II Problemas resueltos 16 = 8 cm 2 AL = πrg → AL = π.Ap = 36 2r 2 . Los volúmenes de dos conos cuyas bases son iguales están en la relación de 5 a 7. si: VO = 24 cm y VC = 26 cm. a) 2 560π cm3 c) 1 960π e) 1 690π c) 300π b) 2 250π d) 2 890π 14. a) 150π d) 400π b) 200π e) 500π b) 320π e) 360π b) 640π e) 576π c) 600π a) 29. Hallar el volumen de dicho cono.Sólidos geométricos II a) 5 17 cm d) 25 Problemas para la clase 1. ¿cuál es el área total? 3 4. si su altura es de 30 cm.A 18 cm del vértice de un cono se traza un plano paralelo a la base del cono. si la suma de las longitudes de sus aristas es 36 cm. La altura de una pirámide regular es de 12 cm y la base es un triángulo equilátero de 6 cm de lado. sabiendo que las aristas laterales miden el doble del lado de la base.Calcular el área total del cono generado por un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 12 y 16 cm. Calcular el área total del cono. Calcular el volumen de una pirámide hexagonal regular. El diámetro de la base de un cono recto de revolución mide 20 cm. al girar alrededor del cateto mayor. V b) 20 e) 5 21 8. 3 c) 75 2 9. Se tiene un cono cuyo volumen es igual al de un cubo de 24 cm2 de área total. La arista lateral de una pirámide cuadrangular regular mide 25 cm y el área de la base es de 400 cm2. encontrar el área total del cono. 115 Cuarto año de secundaria . a) 6 cm3 c) 36 6 10. Determinar el volumen del cono.6 c) 10 13. c) 432π a) 81π cm3 d) 128π 7. a) 576π m2 d) 288π a) 720π cm2 d) 625π a) 540 cm2 d) 700 5. cortándolo en una sección circular de 81π cm2 de área.4 c) 720 b) 20 e) 19.D. Si las generatrices forman un ángulo de 60° con el plano de la base. a) 70 3 cm3 b) 105 d) 35 2 A a) 350π cm2 d) 220π C O b) 340π e) 230π d) 36 3 b) 6 3 e) 24 3 c) 360π d) 48 2 a) 3a 2 d) a3 b) a 2 e) 7a 3 2 c) 5a 2 b) 9 8 d) 3 e) F.4 cm d) 14. a) 36 cm2 c) 7 13 b) 144π e) 100π c) 121π 15. Calcular el volumen del cono. Hallar el área total del cono. ¿Cuál es la altura de la pirámide? b) 640 e) 810 12. si el apotema de la pirámide es de 18 cm.Hallar el área lateral de un tronco de cono cuyos radios de sus bases miden 5 y 10 cm. siendo su altura 12 cm. si la altura del cono menor es de 14 cm.La generatriz de un cono de revolución mide 13 cm y el perímetro de su base 10π cm. Hallar el volumen de una pirámide hexagonal regular de 7 cm de arista lateral y de 5 cm de arista de base. El lado de la base es “a”. c) 24 3 e) 140 a) 48 3 cm2 b) 72 3 3. Hallar el área total de un tetraedro regular. El volumen de un cono circular recto de 32 m de diámetro es 1 024π m3. cm2 e) 144 11.La base de una pirámide regular es un cuadrado inscrito en una circunferencia de 7 2 cm de radio. ¿cuál será la altura del cono mayor? c) 8 6. ¿Cuál es su área total? 2. Si dos conos de revolución tienen sus bases iguales y sus alturas miden 9 y 15 cm respectivamente. El apotema de una pirámide regular mide 15 m y su base es un hexágono de 16 m de lado. ¿Cuál será el volumen del cono generado por un triángulo equilátero de 6 m de lado al girar alrededor de su altura? 116 a) 816 3 m3 b) 308 17 d) 1 440 e) 1 200 c) 384 11 Cuarto año de secundaria . ¿Cuál es la relación de volúmenes entre el cilindro y la esfera? a) 1 3 b) 5 9 d) 4 9 e) 1 2 c) b) 993 e) 880 d) 16π e) 9 3 π c) 12 2 π a) 3 5 b) 3 5 5 d) 2 5 e) 1 5 c) 3 3 5 3.Una plancha de plomo tiene 33 cm de largo. El radio de una esfera es “a” y la altura del cilindro recto inscrito es “4a/3”. ¿A qué distancia del vértice de una pirámide cuadrangular regular se le debe seccionar por un plano paralelo a la base. ¿Cuántas municiones de 6 mm de radio se pueden fabricar con el plomo disponible? (considerar: π = 22/7) a) 810 d) 875 b) 18π 2. 12 cm de ancho y 20 mm de espesor.Se tiene una esfera inscrita en una semiesfera de radio “R”. El segmento que une los puntos medios de dos aristas no concurrentes de un tetraedro regular mide 6 2 cm. si el lado de la base de la pirámide mide 16 m y su altura 6 m? 3 4 18. ¿En qué relación se encuentran las áreas totales de la esfera y la semiesfera? a) 1 : 2 d) 1 : b) 1 : 3 2 c) 1 : 4 e) 1 : 3 17. Hallar el área del tetraedro. ¿Cuál es su volumen? Autoevaluación 1.Sólidos geométricos II 12 cm b) 195π e) 205π c) 170π 16. ¿cuál es la razón de sus volúmenes? 10 cm a) 135π cm2 d) 150π a) 6 3 π m3 a) 8 m 3 b) 3 36 d) 12 e) 3 48 c) 3 4. a) 180 3 cm2 b) 150 3 c) 990 d) 144 3 c) 121 3 e) 100 3 5. si se desea que el volumen del tronco resultante sea igual a 5/6 del volumen de la pirámide original. Hallar “AL”.5 Colegio TRILCE . Calcular el área del rectángulo. a) 2R b) 3 : 4 d) 6. Hallar la relación entre el inradio y el circunradio en un hexágono regular.COLEGIO Repaso I TRILCE Capítulo VII Problemas para la clase 1. 2R 5 b) 18 3 e) 96 D 8. B C 3. DE = 18. entonces su volumen se: E Q O H A B a) 7 d) 13 3 :2 c) 36° P A c) 7.Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las secantes PAB y PCD de modo que PA = 2. calcular el área sombreada. Si el radio de una esfera se duplica. AB = 7 y PC = 3. ABCD es un rectángulo. En la figura. B C P x L6 a) 2 : 3 a) 16π u2 d) 36π B R C b) 4π e) 18π c) 5π 10. Hallar “AB”. A R b) 36π e) 36 a) duplica c) queda igual e) queda a la mitad 4. CD = 4. donde AB = HP = 6 u. ¿Cuánto debe medir su arista? a) 2 cm d) 3 117 b) 1 e) 4 c) 2. c) R 5 R 2 2 a) 6 d) 4 5. a) 105° d) 90° L4 b) 60° e) 45° c) 75° a) 72 u2 d) 72 2 L6 x a) 16° d) 15° b) 30° e) 18° L3 a) 72π u2 d) 9π C D b) 5 e) 12 c) 9 L R b) 3R 5 e) c) 36 3 D c) 72 b) triplica d) multiplica por 8 9. Hallar “x”. si: BC = 2. Si el lado del cuadrado es 12 u.El área de un cubo es 24 cm2. d) e) 1 : 2 2: 3 A 2. b) 2 e) 5 c) 3 11. Se tienen dos circunferencias concéntricas de modo que la suma de sus radios es 9 u y la diferencia es 4 u. Calcular el área del anillo circular que generan las dos circunferencias. Calcular “PD”. Hallar “x”. El sólido mostrado es un paralelepípedo. HC = 12 u. se unen los pies de las alturas y los puntos medios de las distancias del ortocentro a los vértices. PC = 8 cm. si: PH = 2 u. “Q”. “P”. B 16. BC = 5. determinándose un hexágono cuya área es: a) 60 cm2 d) 120 d) 30° y 19. Calcular “m ABC”. F B C A b) 30° y 5 e) 45° y 5 2 c) 14 P B a) 15° y 5 2 c) 45° y 15 c) 60° b) 15 e) 12 C A 14.Siendo “O” centro y QR = 2 cm. entonces la relación entre el área lateral y el área de la base es: a) 1 : 1 d) 1 : 2 15. H B C P R O P a) 1 cm2 d) 4 A b) 2 e) 5 c) 3 a) 100 u2 d) 120 13. N P D A L4 L3 C c) 40 a) 120° d) 90° 118 b) 80° e) 105° c) 75° Cuarto año de secundaria .. a) 144π u3 M d) 512π 3 b) 64π e) c) 128π 256π 3 D Autoevaluación c) 128 1. Calcular el área del triángulo ABC. Calcular: m DCB y “CD”.Si: SCPM = 6 u2. E b) 50 e) 80 2 b) 1 : 3 e) 3 : 1 c) 2 : 1 20. “M” y “N” son puntos medios de las aristas. Calcular el área del triángulo PQR.En un triángulo rectángulo ABC recto en “B” se traza la ceviana BP de modo que: AP = 2 cm. Q 17. Hallar el volumen de la esfera.En cierto cilindro se cumple que el radio es igual a la generatriz.Dado un triángulo de área igual a 160 cm2. AD = 3.El área de una esfera es 64π u2. Hallar el área del rectángulo. ¿Qué ángulo forman PQ y MN ? M b) 45° e) 90° a) 144 d) 102 u2 b) 72 e) N. ABCD es un rectángulo. hallar el área del cuadrado ABCD.Repaso 12. a) 16 cm2 d) 13 c) 156 D Q a) 30° d) 75° b) 108 e) 144 18. AB = BP.. BH = 3 u. AB = 4.El sólido mostrado es un cubo.A. D a) 6 d) 9 b) 20 e) 28 c) 8 a) 24π cm2 d) 36π b) 6 3 π e) 48π c) 18 3 π 3.1 5. C A B 4. Hallar el área del triángulo AOD. ¿Cuál es el área del círculo inscrito en un sector circular de 60° y 15 m de radio? a) 15π m2 d) 10π b) 25π e) 30π c) 20π 119 Cuarto año de secundaria . que la diagonal del paralelepípedo mide 502 cm y que la tercera arista es de 5 cm. Hallar el volumen de una esfera inscrita en un cono equilátero de 6 3 cm de generatriz.Repaso 2. En la figura “O” es centro. Hallar la mayor de las aristas de un paralelepípedo rectángulo. sabiendo que una de ellas es 2/7 de la otra. el área del triángulo BOC es 8 u2. a) 21 cm d) 24 O b) 7 e) 10 c) 25. Calcular el área de una región triangular ABC. Problemas para la clase Q 1. Hallar el área de la región sombreada. u3 D A a) 10 u2 d) 25 c) 72π C b) 15 e) 18 c) 20 10. tal que: m A = 37°. B 3n n 4.A.5 e) 14.5 c) 18π 3.5 9.3 ) 6. Calcular el volumen de una esfera de radio “R”. a) 15 d) 17 b) 18 e) 19 c) 14 A 6u A a) 30 u2 d) 36 12 u b) 45 e) 42 C R C O a) 8(π . Si: AB = 6 u. a) 146 u2 d) 164 b) 168 e) 172 c) 152 6 2u P 2. si: R = 4 u. b) 17. a) 78 u2 d) 72 b) 76 e) 64 c) 68 a) 288π d) 136π b) 144π e) N. m C = 45° y AC = 28 u. A T 135º 4u B O a) d) 20 2 4 R 2 b) 18 e) 22 u c) 12 8.3 )u2 b) 4(π . B c) 60 O A 121 R C Colegio TRILCE . si: R = 2 u y ABC es un triángulo equilátero. B 5. si el área de la región triangular ABC es 40 u2. si su arista lateral mide 8 u y su volumen es 32 u3. Hallar el área de la región sombreada.COLEGIO Repaso II TRILCE Capítulo VIII 7. hallar el área de la región sombreada (corona circular).5 u2 d) 15.5 c) 16.Calcular el área de la región sombreada. 5u B 4u M C 2u N 3u A a) 9π u2 d) 36π b) 12π e) 32π a) 18. Hallar el área de la región triangular PQR.Calcular el área de la región sombreada. Hallar el área de la región triangular ABC. Hallar el área total de un prisma cuadrangular regular. B 10 u 30º d) 5(π − 3 ) c) 6(π − 3 ) e) 12(π − 3 ) 11. Calcular el número de caras más el número de vértices de un prisma pentagonal. si un cilindro de altura “3R” y radio de la base “R/2” tiene un volumen de 162π u3. Calcular la razón entre el área de la región sombreada y el área de la región del rombo ABCD.A. c) 42π 20. a) 64 u3 d) 56 c) 8 3 b) 36π e) N.Calcular la suma de aristas del tetraedro regular mostrado cuya área es 4 3 u2. a) 92π u3 d) 96π a) 6 d) 12 1 4 a) 50π u2 d) 70π c) 52 14. es: a) 3 2 b) 3 3 d) 3 5 e) 3 6 c) 3 4 c) 12 15. b) 8 e) 16 b) 8 e) 14 c) 10 b) 60π e) 80π c) 65π 19.Una esfera de radio "R" y un cono recto de radio de la base "r" y altura "2r" son equivalentes entonces "r/R".4 3 e) 3π . 16 u b) 48 e) 62 b) 84π e) N. si el área de la superficie esférica es 36π u2.En un cono recto de generatriz 13 u y altura 12 u.Repaso a) 4π .Calcular el volumen del cilindro recto de generatriz 6 u y la base es un círculo de 8π u de longitud. ¿Cuántas aristas tiene una pirámide de base hexagonal? 1 c) 2 13.2 3 12.A. calcular su volumen si su área lateral es 30 u2. B 3n E n C A 1 a) 3 d) 3 5 D 2 b) 3 e) a) 5 3 u3 b) 6 3 d) 4 3 e) 9 3 16.3 3 u2 b) 2π d) 5π .2 3 3 c) 6π .Calcular el volumen del cubo mostrado. 2u 122 Cuarto año de secundaria . si el área de una cara es 16 u2. calcular el área lateral del cono.Calcular el volumen de una esfera. 2 a) 32π u3 d) 30π a) 10 u d) 14 c) 108π 18.En el prisma triangular regular mostrado. 17. Documents Similar To GEOMETRIA 4°Skip carouselcarousel previouscarousel nextTema 01 - TriángulosGEOMETRIA UNMSMGuiaPlaneaciónDidáctica2014-A Bloque II-Mate IICongruencia de Triángulos Taller1Triangulos IIGuia de Geometria AnaliticaGuía de Geometría IVCongruencia de Trngulos 3roUd 2 - La Forma Geométrica095-122 Congruencia Triángulos 9aGuia de Geo Analiti 2011 103_Geom_CMatematica6a3sq1wezNDy04.GEO - I BIM - 3RO (1)geometría - 01geo totalP7ANO_MATEMATICAGEO02GEOMETRIAGeo - Trigo0 05circunferencia Reduccion i Cuadrantesesion3-triangulos 1MAT. 5TO. 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