PREPARACIÓN A LA: GEOMETRÍA VERANO CICLO UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Nº 01 GEOMETRÍA TRIÁNGULO DEFINICIÓN Es aquella figura geométrica que se forma al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta. OBSERVACIÓN Con fines didácticos en adelante denominaremos al triángulo rectilíneo simplemente triángulo. B Región exterior relativa a Región exterior relativa a Región Interior Región exterior relativa a A REGIÓN TRIANGULAR Es la unión del triángulo y su región interior. B Perímetro (2p) : 2p = a + b + c Semiperímetro (p) : p= abc 2 A b Lados: C PROPIEDADES FUNDAMENTALES Propiedad 1. Suma de las medidas de los ángulos interiores. Se cumple: + + = 180° C Elementos: Vértices: A, B, C a c Propiedad 2. Cálculo de la medida de un ángulo exterior. AB, BC, AC Notación: ABC : triángulo de vértices A, B y C Q B y x Se cumple: z=+ P A z Propiedad 3. Suma de medidas de ángulos exteriores considerando uno por cada vértice. y z C R Ángulos Interiores: Ángulos Exteriores: BAC; mBAC = PAB; mPAB = x ABC; mABC = QBC; mQBC = y BCA; mBCA = RCA; mRCA = z x z Se cumple: x + y + z = 360° Propiedad 4. De correspondencia. c b a Si: > > Se cumple: a>b>c n 5.GEOMETRÍA VERANO CICLO Propiedad 5. Triángulo Obtusángulo B m + n = 180° + A C . Relación de existencia del triángulo. a AC ++ 2. Se cumple: m n A < 90° C < 90° . A Se cumple: a b Triángulo Isósceles: (a = c b) B PROPIEDADES ADICIONALES c 1. Según sus lados Triángulo Escaleno: (a b c) B a–c<b<a+c c a–b<c<a+b a Observación: Para que el triángulo exista es suficiente que se verifique sólo una de las relaciones anteriores. Según su ángulos Triángulos Oblicuángulos . Se cumple: = < 90° Se cumple: C C 2. Si: a > b > c Se cumple: b–c<a<b+c b c CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS 1. x A b C B Se cumple: +=m+n n c n m Se cumple: x= mn 2 b A x Se cumple: = = = 60° a : Base Triángulo Equilátero: (a = b = c) m 3.Triángulo Acutángulo B 4. m Se cumple: +=m+n < 90° . hallar X. B a en la figura mostrada. de Pitágoras EJERCICIOS PROPUESTOS 1. hallar y . si AM = MC en la figura mostrada. C) 35° E) 25° en la figura mostrada. Hallar “X” A) 10 B) 12 D) 18 C) 15 E) 20 . donde " E" AD y C) 30° E) 50° en la figura mostrada . hallar la medida del ángulo ABC. AB = 5. se trazan las cevianas BE y BD . En un triángulo ABC. BC = 9. En un triángulo ABC. - < 90° < 90° . A) 20° D) 40° A) 20° D) 40° 2. hallar el valor de “x”. calcular la diferencia entre el máximo y el mínimo valor entero que puede tomar AC A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 6. B) 15° B) 60° C) 50° E) 25° 5. A) 20° D) 10° 4. AB = 3 2 AD y BC = EC. Triángulo Rectángulo A A) 20° D) 30° b B) 10° C) 60° E) 25° c 3. C : catetos AC : hipotenusa Se cumple: AB y BC b2 = a2 + c2 T.GEOMETRÍA VERANO CICLO > 90° .x B) 45° m EBD m DBC m ABE X . Calcular la medida del ángulo ABC. 6 B)2.GEOMETRÍA VERANO 7. A) 68° B) 85° C) 99° D) 70° E) 92° 20. si: la medida del ángulo BAC es igual a 25° y la del ángulo ADE es igual a 35°. AB = 7u y BC = 9u. 4. C) 144° E) 126° 10. si su perímetro es igual a 40. 12. Si m HBD = 20º. En un triángulo ABC. si CM = 12. EF = 3u. x y 3x. Sea el triángulo acutángulo ABC. A) 13cm B) 14cm C)15cm D) 12cm E) 10cm Dada una región triangular ABC cuyo perímetro es igual a 10m. se traza la ceviana CE y en los triángulos ABC y AEC se trazan las alturas BD y EF respectivamente. 4. tal que: m BMT m BCT . halle el perímetro del triángulo. los lados de un triángulo miden 8. A) 2. recto en “B”. hallar “X” . En la figura mostrada.5m B) 5. 11. 3. 4 C)3. Calcular el valor entero de x. en los lados AB y AC se ubican los puntos D y E respectivamente. sabiendo que dicha suma es entero y que además AC toma su máximo valor entero. 5. si BC = 5u. En un triángulo rectángulo ABC recto en B. en dicha región se ubica el punto “P”. A) 30° D) 31° En la figura mostrada. Los lados de un triángulo isósceles miden 5u y 12u. entonces la m ABC es: A) 30º B) 45º C) 50º D) 60º E) 75º 16. En el ABC la m ACB = 40º. m PQA B) 28° 13. A) 120° B) 150° C) 144° D) 135° E) 105° 9. se traza la altura BH y a bisectriz BD del ABC. A) 22u B) 25u C) 24u D) 29u E) 30u 15. A) 20 B) 21 C) 22 D) 19 E) 18 19. A) 6. Calcule base es “Q” en C) 29° E) 32° En un ABC . Cuál es el máximo valor entero de la longitud de un lado de un triángulo. DE = EC = BC. 3. y la m BAC = 2 m BCE. AC = 6cm y BC = 4cm. Luego la m ABC es: A) 15º B) 30º C) 45º D) 50º E) 55º 17. MB = 2x y AC = 3x + 6. calcular “X”. se traza la ceviana CM . hallar los valores enteros que puede tomar “X”. m ACP 50 y m PCQ30 . Calcular la suma del máximo y mínimo valor entero de AB. 6 E) 3.5m C) 4m D) 5m E) 6m En un triángulo ABC isósceles cuya se ubica los puntos “P” en AB y BC de modo que: m PAQ 20 . 4 Dado el triángulo ABC en las prolongaciones de AB y AC se ubican los puntos “M” y “T” respectivamente. CICLO A) 150° D) 132° B) 118° 8. 5 D) 4. Halle el mayor valor entero de BM (en u) A) 6 B) 7 C) 8 D) 5 E) 4 14. AC . calcular PA + PC. En un triángulo rectángulo ABC. O es el ortocentro tal que BO = AC. se traza la mediana BM . 5. entonces la longitud de BD es: A) 1u B) 2u C) 3u D) 4u E) 5u 18. GEOMETRÍA VERANO A) 1 D) 4 CICLO B) 2 C) 3 E) 5 .