Revista digital— Matemática, Educación e Internet (http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). Vol 16, No 1. Setiembre − Febrero 2016. Artículo de sección ISSN 1659 -0643 Gráficas de Superficies Cuádricas y trazas empleando GeoGebra Angie Solís Palma
[email protected] Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Resumen. En este artículo se pretende mostrar de una manera gráfica y dinámica, las diferentes trazas que se pueden realizar sobre una superficie cuádrica, cuando ésta es intersecada por un plano paralelo a alguno de los planos coordenados y su implementación en el programa GeoGebra. Palabras clave: Traza, superficie, cuádrica, parametrización, GeoGebra Abstract. This article is intended to show in a graphic and dynamic way, the different traces that can be performed on a quadric surface, where it is intersected by a plane parallel to one of the coordinate planes and their implementation in the program GeoGebra. KeyWords: Trace, surface, cuadric, parametrization, Geogebra 1.1 Introducción El objetivo de este documento es aportar a los estudiantes del campo de la ingeniería unos ejemplos básicos, de cómo sacar el mayor provecho a Geogebra en la graficación de trazas y superficies, utilizando diferentes tipos de parametrizaciones, así como, mostrar mediante un applet la visualización de las trazas de una superficie cuádrica desde diferentes ángulos. Revista digital Matemática, Educación e Internet (http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). Vol 16, No 1. Setiembre − Febrero 2016. 2 1.2 Cuádricas Nos interesan las superficies de ecuación z = f ( x, y) o F ( x, y, z) = 0 , es decir, las superficies formadas por los puntos ( x, y, z) que satisfacen la ecuación z = f ( x, y) o F ( x, y, z) = 0. En particular trabajaremos únicamente con superficies cuádricas cuyas ecuaciones están dadas en forma canónica. Existen seis tipos básicos de superficies cuádricas: Elipsoide, Hiperboloide de una hoja, Hiperboloide de dos hojas, Cono Elíptico, Paraboloide Elíptico y Paraboloide Hiperbólico. Elipsoide Definición 1.1 La ecuación canónica del elipsoide centrado en C es: ( x − i )2 ( y − j )2 ( z − k )2 + + =1 a2 b2 c2 donde C (i, j, k) es un punto en el espacio y a, b, c son constantes reales positivas. Ejemplo 1.1 Considere el elipsoide de ecuación: ( x − 1)2 ( y − 3)2 ( z − 1)2 + + =1 4 1 9 A continuación se puede encontrar su representación gráfica: Gráficas de Superficies Cuádricas y trazas empleando GeoGebra . Angie Solís Palma Derechos Reservados © 2015 Revista digital Matemática, Educación e Internet (http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/) Revista digital Matemática, Educación e Internet (http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). Vol 16, No 1. Setiembre − Febrero 2016. 3 Definición 1.2 Si S es una superficie en el espacio de ecuación F ( x, y, z) = 0, se llaman trazas de las superfice a las curvas: a.) F ( x, y, c) = 0, z = c b.) F ( x, c, z) = 0, y = c c.) F (c, y, z) = 0, x = c Ejemplo 1.2 ( x − 1)2 ( y − 3)2 ( z − 1)2 + + = 1. Calcule y dibuje las 4 1 9 trazas que se obtienen con los planos x = 1, y = 3 y z = 1. Considere el elipsoide de ecuación Solución: Traza y = 3 Traza x = 1 Elipse: ( y − 3)2 ( z − 1)2 + =1 1 9 Elipse: ( x − 1)2 ( z − 1)2 + =1 4 9 Traza z = 1 Elipse: ( x − 1)2 ( y − 3)2 + =1 4 1 Nota: Recuerde que las trazas son solo las curvas representadas en rojo, verde y morado, en las gráficas anteriores se presenta también la superficie para comprender mejor la traza. Applet para las trazas de un elipsoide En el siguiente applet, se pueden manipular los valores de los parámetros, para las constantes a, b y c de los denominadores, para esto deslice los puntos a la derecha de cada parámetro sobre las líneas. También deslice los puntos sobre las líneas a la derecha de i, j y k para cambiar el centro del elipsoide. y = 1 y z = 0. y = 0 y z = −1. No 1. según la traza seleccionada. en la traza que desea y manipular los valores de las trazas deslizando los puntos x.4 Revista digital Matemática. deslice hacia arriba. dando click.cr/revistamatematica/).ac. Vol 16. debe seleccionar. Para poder observar el plano y las trazas sobre el elipsoide. Actividad Considere la superficie cuádrica S de ecuación: ( x − 1)2 ( y − 1)2 + + z2 = 1 4 4 Calcule y dibuje las trazas que se obtienen con los planos x = 1. y o z.tec. . debe dar click sobre la siguiente imagen o ingresar en el link: Applet Elipsoide. de click sobre la gráfica y manteniendo presionado el ratón. abajo. Actividad Considere la superficie cuádrica F de ecuación: ( x + 2)2 y2 + + ( z + 1)2 = 1 9 3 Calcule y dibuje las trazas que se obtienen con los planos x = −2. Educación e Internet (http://tecdigital. si desea tener otra vista del elipsoide. Por otra parte. Setiembre − Febrero 2016. derecha o izquierda el sistema de coordenadas para girarlo. Para ingresar al applet. El eje del hiperboloide de una hoja corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo. z = 4 y z = −2. Setiembre − Febrero 2016.tec.ac. No 1.Revista digital Matemática.3 Considere el hiperboloide de una hoja de ecuación: ( x + 1)2 y2 ( z − 1)2 + − =1 1 4 9 A continuación se puede encontrar su representación gráfica: Ejemplo 1. c son constantes reales positivas. Ejemplo 1.3 La ecuación canónica del hiperboloide de una hoja centrado en C. Hiperboloide de una hoja Definición 1. Solución: 5 .4 Considere el hiperboloide de una hoja de ecuación: ( x + 1)2 y2 ( z − 1)2 + − =1 1 4 9 Calcule y dibuje las trazas que se obtienen con los planos x = −1. Educación e Internet (http://tecdigital. k) es un punto en el espacio y a. Vol 16. con eje en z es: ( x − i )2 ( y − j )2 ( z − k )2 + − =1 a2 b2 c2 donde C (i. y = 0. z = 1. j.cr/revistamatematica/). b. Vol 16. Educación e Internet (http://tecdigital. .tec. se pueden manipular de igual manera que el anterior. debe dar click sobre la siguiente imagen o ingresar en el link: Applet Hiperboloide de una hoja. Traza y = 0 Traza x = −1 Hipérbola: y2 ( z − 1)2 − =1 4 9 Hipérbola: ( x + 1)2 1 − Traza z = 1 ( z − 1)2 9 Traza z = 4 Elipse: ( x + 1)2 y2 + =1 2 8 =1 Elipse: ( x + 1)2 y2 + =1 1 4 Traza z = −2 Elipse: ( x + 1)2 y2 + =1 2 8 Nota: Recuerde que las trazas son solo las curvas representadas en rojo. Setiembre − Febrero 2016.6 Revista digital Matemática.cr/revistamatematica/).ac. Applet para las trazas de un hiperboloide de una hoja El siguiente applet. verde y morado. No 1. Para ingresar al applet. y = 2.Revista digital Matemática. No 1. El eje del hiperboloide de dos hojas corresponde a la variable cuyo coeficiente es positivo. Hiperboloide de dos hojas Definición 1. Setiembre − Febrero 2016. 7 . Actividad Considere la superficie cuádrica H de ecuación: ( x + 5)2 − y2 ( z + 2)2 + =1 4 4 Calcule y dibuje las trazas que se obtienen con los planos x = −5.cr/revistamatematica/). c son constantes reales positivas.tec. Actividad Considere la superficie cuádrica S de ecuación: ( x − 2)2 ( y − 1)2 + − ( z + 2)2 = 1 9 2 Calcule y dibuje las trazas que se obtienen con los planos x = 2. Educación e Internet (http://tecdigital.ac. z = −1 y z = −3. y = 1. con eje en z es: − ( x − i )2 ( y − j )2 ( z − k )2 − + =1 a2 b2 c2 donde C (i.4 La ecuación canónica del hiperboloide de dos hojas centrado en C. k) es un punto en el espacio y a. b. y = −2 y z = −2. j. Vol 16. Vol 16. Solución: .6 Considere el hiperboloide de dos hojas de ecuación: − ( x − 3)2 ( y − 1)2 ( z − 1)2 − + =1 4 4 9 Calcule y dibuje las trazas que se obtienen con los planos x = 3. Educación e Internet (http://tecdigital. No 1.ac.tec. Setiembre − Febrero 2016. z = 7 y z = −5. y = 1.8 Revista digital Matemática.cr/revistamatematica/). Ejemplo 1.5 Considere el hiperboloide de dos hojas de ecuación: − ( x − 3)2 ( y − 1)2 ( z − 1)2 − + =1 4 4 9 A continuación se puede encontrar su representación gráfica: Ejemplo 1. verde y morado. No 1.ac. Vol 16.Revista digital Matemática. Setiembre − Febrero 2016.tec. 9 . Educación e Internet (http://tecdigital. Traza y = 1 Traza x = 3 Hipérbola: − ( y − 1)2 ( z − 1)2 + =1 4 9 Hipérbola: − Traza z = −5 Traza z = 7 Elipse: ( x − 3)2 ( y − 1)2 + =1 12 12 ( x − 3)2 ( z − 1)2 + =1 4 9 Elipse: ( x − 3)2 ( y − 1)2 + =1 12 12 Nota: Recuerde que las trazas son solo las curvas representadas en rojo.cr/revistamatematica/). y = −4 y z = −2. No 1. se pueden manipular de igual manera que el anterior.10 Revista digital Matemática. z = 2 y z = −4. Setiembre − Febrero 2016. Actividad Considere la superficie cuádrica S de ecuación: − ( x − 2)2 ( y − 2)2 − + ( z + 1)2 = 1 4 2 Calcule y dibuje las trazas que se obtienen con los planos x = 2.cr/revistamatematica/). Para ingresar al applet. Educación e Internet (http://tecdigital. Applet para las trazas de un hiperboloide de dos hojas El siguiente applet. debe dar click sobre la siguiente imagen o ingresar en el link: Applet Hiperboloide de dos hojas.ac. Actividad Considere la superficie cuádrica H de ecuación: −( x + 5)2 + y2 ( z + 2)2 − =1 4 4 Calcule y dibuje las trazas que se obtienen con los planos x = −5. Vol 16. y = 2. . y = 4.tec. y = −2.tec.5 La ecuación canónica del cono elíptico centrado en C. Ejemplo 1. Educación e Internet (http://tecdigital. Vol 16. El eje del cono elíptico corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo. con eje en z es: ( x − i )2 ( y − j )2 ( z − k )2 + − =0 a2 b2 c2 donde C (i. Cono elíptico Definición 1.8 Considere el cono elíptico de ecuación: ( x + 1)2 ( y + 2)2 z2 + − =0 4 1 9 Calcule y dibuje las trazas que se obtienen con los planos x = −1. b. j.Revista digital Matemática.ac. z = 3 y z = −3. Setiembre − Febrero 2016. Solución: 11 .cr/revistamatematica/). c son constantes reales positivas. No 1. k) es un punto en el espacio y a.7 Considere el cono elíptico de ecuación: ( x + 1)2 ( y + 2)2 z2 + − =0 4 1 9 A continuación se puede encontrar su representación gráfica: Ejemplo 1. ac.12 Revista digital Matemática. Setiembre − Febrero 2016. verde y morado. Vol 16. Traza x = −1 Traza y = −2 Rectas: 3y + −z + 6 = 0 3y + z + 6 = 0 Rectas: 3x − 2z + 3 = 0 3x + 2z + 3 = 0 Traza z = 3 Traza z = −3 Elipse: ( x + 1)2 ( y + 2)2 + =1 4 1 Elipse: ( x + 1)2 ( y + 2)2 + =1 4 1 Nota: Recuerde que las trazas son solo las curvas representadas en rojo. No 1. Educación e Internet (http://tecdigital. Applet para las trazas de un cono elíptico El siguiente applet. . se pueden manipular de igual manera que el anterior.tec.cr/revistamatematica/). Paraboloide elíptico Definición 1. y = −1. x = −7.6 La ecuación canónica del paraboloide elíptico con vértice en C. Vol 16.tec. y = 0 y z = −2. No 1. 13 Para ingresar al applet. Actividad Considere la superficie cuádrica S de ecuación: ( x − 3)2 ( y + 1)2 ( z − 1)2 + − =0 2 2 3 Calcule y dibuje las trazas que se obtienen con los planos x = 3. Educación e Internet (http://tecdigital. Actividad Considere la superficie cuádrica C de ecuación: − ( x + 5)2 y2 ( z + 2)2 + + =0 4 2 4 Calcule y dibuje las trazas que se obtienen con los planos x = −3. Setiembre − Febrero 2016.cr/revistamatematica/).Revista digital Matemática. y eje en z es: z−k= ( x − i )2 ( y − j )2 + a2 b2 . debe dar click sobre la siguiente imagen o ingresar en el link: Applet Cono Elíptico. z = 4 y z = −2.ac. cr/revistamatematica/). Setiembre − Febrero 2016.10 Considere el paraboloide elíptico de ecuación: z−2= ( x − 1)2 ( y + 1)2 + 4 4 Calcule y dibuje las trazas que se obtienen con los planos x = 1. j.9 Considere el paraboloide elíptico de ecuación: z−2= ( x − 1)2 ( y + 1)2 + 4 4 A continuación se puede encontrar su representación gráfica: Ejemplo 1. b son constantes reales positivas. y = −1 y z = 4. k) es un punto en el espacio y a. Educación e Internet (http://tecdigital. Ejemplo 1.tec. El eje del paraboloide elíptico corresponde a la variable lineal. donde C (i. Solución: .14 Revista digital Matemática.ac. Vol 16. No 1. se pueden manipular de igual manera que el anterior. Vol 16. Para ingresar al applet.tec.Revista digital Matemática. Educación e Internet (http://tecdigital.ac. No 1. Applet para las trazas de un paraboloide elíptico El siguiente applet. debe dar click sobre la siguiente imagen o ingresar en el link: Applet Paraboloide Elíptico. Actividad Considere la superficie cuádrica S de ecuación: z= ( x − 3)2 ( y + 1)2 + 2 2 . Traza x = 1 Parábola: z − 2 = ( y + 1)2 4 Traza y = −1 Parábola: z − 2 = ( x − 1)2 4 15 Traza z = 4 Elipse: ( x − 1)2 ( y + 1)2 + =1 8 8 Nota: Recuerde que las trazas son solo las curvas representadas en rojo. verde y morado. Setiembre − Febrero 2016.cr/revistamatematica/). Actividad Considere la superficie cuádrica P de ecuación: 2−y= ( x + 5)2 ( z + 2)2 + 2 1 Calcule y dibuje las trazas que se obtienen con los planos x = −5.16 Revista digital Matemática.cr/revistamatematica/). Educación e Internet (http://tecdigital. Ejemplo 1. El eje del paraboloide hiperbólico corresponde a la variable lineal.tec.7 La ecuación canónica del paraboloide hiperbólico con centro en C. y eje en z es: z−k=− ( x − i )2 ( y − j )2 + a2 b2 donde C (i. j. b son constantes reales positivas. y = −1 y z = 2. k) es un punto en el espacio y a.ac. y = 0 y z = −2. Calcule y dibuje las trazas que se obtienen con los planos x = 3. Vol 16. Setiembre − Febrero 2016. Paraboloide hiperbólico Definición 1.11 Considere el paraboloide hiperbólico de ecuación: z+1=− ( x − 1)2 ( y − 2)2 + 9/4 9/4 A continuación se puede encontrar su representación gráfica: . No 1. 12 Considere el paraboloide hiperbólico de ecuación: z+1=− ( x − 1)2 ( y − 2)2 + 9/4 9/4 Calcule y dibuje las trazas que se obtienen con los planos x = 1. 17 Ejemplo 1. Para ingresar al applet. debe dar click sobre la siguiente imagen o ingresar en el link: Applet Paraboloide Hiperbólico. Setiembre − Febrero 2016. Applet para las trazas de un paraboloide hiperbólico El siguiente applet. verde y morado.ac. No 1. se pueden manipular de igual manera que el anterior.cr/revistamatematica/). Vol 16. Solución: Traza x = 1 Parábola: z + 1 = ( y − 2)2 9/4 Traza z = −1 Traza y = 2 Parábola: z + 1 = − ( x − 1)2 9/4 Rectas: y − x − 1 = 0 y+x−3=0 Nota: Recuerde que las trazas son solo las curvas representadas en rojo. y = 2 y z = −1.tec.Revista digital Matemática. Educación e Internet (http://tecdigital. . y = −1 y z = −1. Actividad Considere la superficie cuádrica P de ecuación: 1−y= ( x + 1)2 ( z + 2)2 − 4 1 Calcule y dibuje las trazas que se obtienen con los planos x = −1.tec. En primer lugar debe tener instalado en su computadora la herramienta GeoGebra.org/download. Vol 16.ac. No 1. la cual es gratuita y se puede descargar en la siguiente dirección: https://www.cr/revistamatematica/). Educación e Internet (http://tecdigital.geogebra. Setiembre − Febrero 2016.3 Implementación de los Applets Aspectos básicos de GeoGebra En esta sección se pretende mostrar al lector como se utilizó el programa GeoGebra para crear los applets utilizados anteriormente. 1. Cuando la tenga instalada.Revista digital Matemática. y = 1 y z = −2. en sus programas aparecerá uno con el siguiente ícono: . 18 Actividad Considere la superficie cuádrica S de ecuación: z+1= ( x − 3)2 ( y + 1)2 − 2 2 Calcule y dibuje las trazas que se obtienen con los planos x = 3. 19 Al entrar al programa tendrá la siguiente pantalla de inicio: En el menú superior. se tiene el menu: De click derecho sobre la Vista Gráfica 3D y desmarque la opcion de plano. No 1.Revista digital Matemática. Educación e Internet (http://tecdigital.tec. Setiembre − Febrero 2016. Vol 16.cr/revistamatematica/). .ac. ingrese a Vista y luego a Vista Gráfica 3D: Maximice su ventana y ordene las vistas tal como se muestra a continuación: El menu en la parte superior cambiará de acuerdo a la vista gáfica que tenga seleccionada. se tiene el siguiente menu: Y en la Vista Gráfica 2D. En Vista Gráfica 3D. ac. en Rótulo escoja la x.tec. En preferencias hay otro menú en la parte superior. . Vol 16. seleccione EjeX para rotular el eje. con click derecho sobre la Vista Gráfica 3D ingrese a Vista Gráfica para poder modificar algunas preferencias.20 Revista digital Matemática. para logarlo seleccione el ícono en el menu superior del programa. abajo. La Vista Gráfica 3D. derecha o izquierda el sistema de coordenadas para girarlo. deslice hacia arriba. Educación e Internet (http://tecdigital. En preferencias desmarque Mostrar el recorte y cambie el tamaño de la caja a grande. Luego de click sobre la Vista Gráfica 3D y manteniendo presionado el ratón.cr/revistamatematica/). Realice lo mismo para los ejes y y z. se puede girar. Setiembre − Febrero 2016. Nuevamente. No 1. y cierre la ventana. v ∈ [0. primero se tiene que parametrizar. <Valor inicial 2> y <Valor final 2> corresponde a los extremos del intervalo donde se evaluará el parámetro 2. 2π ] . Vol 16. usted debe seleccionarla: Recuede que esta superficie está parametrizada. Su entrada debe quedar de la siguiente manera: . π ]. v) : y = 2 − 3 sen u sen v . π ] Ahora se ingresa a GeoGebra la superficie. En <Parámetro 2> se escribe v.ac.cr/revistamatematica/). z = k − c cos v u ∈ [0. Solución: Primero se parametriza x = 1 − 2 cos u sen v s (u.tec. en este caso v ∈ [0. v ∈ [0. <Valor inicial 1> y <Valor final 1> corresponde a los extremos del intervalo donde se evaluará el parámetro 1. Setiembre − Febrero 2016. y depede de 2 parámetros.Revista digital Matemática. y. No 1. en el orden x. GeoGebra le completará la guía para ingresar la superficie. En el caso del Elipsoide. Educación e Internet (http://tecdigital. z = 2 − 1 cos v u ∈ [0. Donde dice <Expresión> se debe escribir la parametrización de las tres variables. v) : y = j − b sen u sen v . 2π ] .13 Considere el elipsoide de ecuación: ( x − 1)2 ( y − 2)2 ( z − 2)2 + + =1 4 9 1 Realice la gráfica de la superficie en GeoGebra. con ecuación canónica: ( x − i )2 ( y − j )2 ( z − k )2 + + =1 a2 b2 c2 Su parametrización estaría dada por: x = i − a cos u sen v s (u. z. 21 Graficando la superficie Para poder graficar una superficie en GeoGebra. π ] Ejemplo 1. para esto se escribe la palabra “Superficie ” en la celda de entrada que se encuentra en la parte inferior de la pantalla. En <Parámetro 1> se escribe u. 2π ]. en este caso u ∈ [0. El valor de π lo puede escribir como pi. Cuando halla terminado. Educación e Internet (http://tecdigital. k no varían. b. Setiembre − Febrero 2016. i. c. Vol 16. No 1.cr/revistamatematica/). debe terminar pulsando la tecla “Enter ” para que el programa grafique el objeto editado. Ahora se hará una superficie donde estos valores cambien. para esto hay que crear algunos deslizadores. o tomar al final de la línea donde está escribiendo. Seleccione el deslizador del menu superior: . La superficie que acabamos de graficar. Puede girarla para tener diferentes vistas.22 Revista digital Matemática. por que sus valores para a. De click derecho sobre la Vista Gráfica 2D y desmarque la opción de ejes.tec. dando click en: . pulse la tecla “Enter ” para poder ver su superficice.ac. Cada vez que se crea un objeto utilizando la celda de entrada. j. es una superficie fija. Vol 16. luego seleccione Aplicar. puede utilizar la Vista Algebraica.cr/revistamatematica/). use la misma herramienta. solo debe dar click derecho sobre la línea del deslizador y seleccionar propiedades: Para crear los deslizadores del centro del elipsoide. si el punto está en blanco el objeto está oculto. y complete la información que se le solicita.Revista digital Matemática. Ahora se creará un elipsoide que dependa de los deslizadores creados anteriormente. luego seleccione Aplicar. y complete con la sugerencia que le muestra el programa: . con un valor mínimo de −5 y máximo de 5. el deslizador se llamará a.ac. Oculte la primer superficie creada. con un valor mínimo de 1 y máximo de 5. No 1. escriba la palabra “superficie ” en la celda de entrada que se encuentra en la parte inferior de la pantalla. debe dar click en el punto azul que aparece al lado izquierdo de cada objeto. Setiembre − Febrero 2016. Debe crear dos deslizadores más b y c con las mismas características. i. Se necesitan tres más. 23 De click en la Vista Gráfica 2D donde desea colocar el deslizador. Por el momento debería tener los siguientes deslizadores: Para ocualtar o mostrar los objetos creados. Si desea cambiar alguna de las propiedades del deslizador. lo que cambiará son las características. j y k. Educación e Internet (http://tecdigital.tec. k ) y pulse la tecla “Enter ”. son los deslizadores creados anteriormente. j. 0.24 Revista digital Matemática. Vol 16. que serían Vector (0. Cuando halla terminado. luego seleccione Aplicar. 0) y Vector (0. Educación e Internet (http://tecdigital. haga un deslizador que se llame Traza x . Debe crear dos deslizadores más Trazay y Trazaz con las mismas características. y que éste varíe conforme mueve los deslizadores. pulse la tecla “Enter ” para poder ver su superficice. 1. Para graficar el centro de la superficie. Agregue los otros 2 vectores. Cambie las entradas de la superficie de la siguiente manera: Lo que se muestra en azul. Haga tres vectores. No 1.cr/revistamatematica/). de la misma manera. Setiembre − Febrero 2016. con esto se creará un punto el cual se mueve cada vez que varíe el deslizador: Graficando las trazas Las trazas también se van a hacer dependiendo de un deslizador. con un valor mínimo de −7 y máximo de 7. y lo que aparece en gris son los parametros de la superficie. escriba en la celda de entrada: Vector (1. . y pulse la tecla “Enter ”. y variar los deslizadores para obtener diferentes superficies. Puede girarla para tener diferentes vistas.tec. escriba en la celda de entrada: (i. 0). 0.ac. 1). 25 Traza en x Para hacer el plano. con ecuación canónica: ( x − i )2 ( y − j )2 + =1 a2 b2 . mueva el parámetro y vea como se mueve el plano y como corta al elipsoide. para luego poder graficarla. Se calculará la curva de intersección de manera algebraica.cr/revistamatematica/). y para graficarla en GeoGebra. de las opciones que le presenta GeoGebra escoja la última: “PlanoPerpendicular[ <Punto>. escriba en la celda de entrada “plano ”. Vol 16.Revista digital Matemática.tec. Educación e Internet (http://tecdigital. Setiembre − Febrero 2016. En el caso de la Elipse. <Vector> ]” y complétela de la siguiente manera: Ahora. ( x − i )2 ( y − j )2 ( z − k )2 + + = 1 ∩ x = Traza x a2 b2 c2 ( Traza x − i )2 (y − j)2 (z − k)2 + + a2 b2 c2 2 ( z − k )2 (y − j) + b2 c2 2 (y − j) ( z − k )2 + b2 c2 2 (y − j) ( z − k )2 + a2 −( Traza x −i )2 a2 −( Traza x −i )2 b2 c2 a2 a2 ( y − j )2 q b a a2 − ( Traza x − i ) 2 2 + q c a ( z − k )2 a2 − ( Traza x − i ) 2 2 = 1 ( Traza x − i )2 a2 2 a − ( Traza x − i )2 a2 = 1− = = 1 = 1 Con lo anterior se obtiene la ecuación de una elipse. No 1. se debe parametrizar.ac. Recuerde que para ocultar o mostrar los objetos creados. No 1. q z = k + ac a2 − ( Traza x − i )2 sen t t ∈ [0. Ahora.26 Revista digital Matemática. <Valor inicial>. para ello debe dar click en el punto azul que aparece al lado izquierdo de cada objeto. puede ocultar el plano y la curva de la traza en x para poder observar el plano y la curva de la traza en y.ac. 2π ] Para hacer la curva. puede utilizar la Vista Algebraica. Con esto.cr/revistamatematica/). se debe adaptar de manera similar para la curva que resultó de la intersección del elipsoide y del plano: x = Traza xq 2 b 2 y = j + a a − ( Traza x − i ) cos t c (t) : . Educación e Internet (http://tecdigital. mueva el parámetro y vea como se mueve el plano y la curva. Su parametrización estaría dada por: c (t) : x = i + a cos t . Traza en y Para hacer el plano. Setiembre − Febrero 2016. Vol 16. <Valor final> ]” que es la curva en 3D y complétela de la siguiente manera: Ahora. <Parámetro>. 2π ] Esta curva está en el plano z = 0. si el punto está en blanco el objeto está oculto. y = j + b sen t t ∈ [0. <Expresión>. escriba en la celda de entrada: . <Expresión>.tec. escriba la palabra “Curva” en la celda de entrada y de las opciones que le presenta GeoGebra escoja la segunda: “Curva[ <Expresión>. escriba en la celda de entrada: Ahora.tec. q a 2 − Traza − j 2 cos t x = i + b y b c (t) : . se debe parametrizar. Educación e Internet (http://tecdigital. ( x − i )2 ( y − j )2 ( z − k )2 + + = 1 ∩ y = Trazay a2 b2 c2 2 Trazay − j ( x − i )2 ( z − k )2 + + a2 b2 c2 ( x − i )2 ( z − k )2 + a2 c2 2 ( z − k )2 (x − i) + a2 c2 2 (x − i) ( z − k )2 + 2 2 2 b2 −( Trazay − j) 2 b −( Trazay − j) a2 c 2 2 b b ( x − i )2 q a b b2 − Trazay − j + q 2 2 c b ( z − k )2 b2 − Trazay − j 2 2 = 1 = = 2 Trazay − j 1− b2 2 2 b − Trazay − j b2 = 1 = 1 Con lo anterior se obtiene la ecuación de una elipse. y para graficarla en GeoGebra.cr/revistamatematica/). No 1. mueva el parámetro y vea como se mueve el plano y la curva. t ∈ [0. 27 Se calculará la curva de intersección de manera algebraica. Setiembre − Febrero 2016. y = Traza y q 2 c z=k+ b2 − Trazay − j sen t b Para hacer la curva. Vol 16.Revista digital Matemática. para luego poder graficarla.ac. 2π ] . Educación e Internet (http://tecdigital.ac. escriba en la celda de entrada: Ahora.28 Revista digital Matemática. c (t) : q 2 a 2 x = i + c c − ( Trazaz − k) cos t q y = j + bc z = Trazaz c2 − ( Trazaz − k)2 sen t . Traza en z Para hacer el plano. Para hacer la curva. y para graficarla en GeoGebra. t ∈ [0. se debe parametrizar. No 1. ( x − i )2 ( y − j )2 ( z − k )2 + + = 1 ∩ z = Trazaz a2 b2 c2 ( x − i )2 (y − j)2 ( Trazaz − k)2 + + a2 b2 c2 ( x − i )2 ( y − j )2 + a2 b2 2 (x − i) ( y − j )2 + a2 b2 2 (x − i) ( y − j )2 + c2 −( Trazaz −k )2 c2 −( Trazaz −k )2 a2 b2 c2 c2 ( x − i )2 q a c c2 − ( Trazaz − k ) 2 2 + q b c = 1 = = 1 ( y − j )2 c2 − ( Trazaz − k ) 2 ( Trazaz − k)2 c2 c2 − ( Trazaz − k )2 c2 = 1− = 1 2 Con lo anterior se obtiene la ecuación de una elipse. mueva el parámetro y vea como se mueve el plano y la curva. Vol 16.cr/revistamatematica/). 2π ] . para luego poder graficarla. escriba en la celda de entrada: Se calculará la curva de intersección de manera algebraica.tec. Setiembre − Febrero 2016. los objetos que desee que sean visibles cuando la casilla de control este seleccionada. para esto entre a propiedades y cambie su nombre. En este caso.ac. Con las otras dos curvas puede hacer un cambio similar con TrazaY y TrazaZ. la casilla se llamará Traza x. 29 Diseño y manipulación de objetos visibles Todos los objetos creados pueden ser modificados en color. No 1. y en objetos debe seleccionar de la lista. De la misma manera cambie los nombres de los planos por: PlanoTrazaX. planos y curvas. posicione el ratón sobre la Vista Gráfica 2D. y complete la información que se le solicita.cr/revistamatematica/). seleccione: Curva paramétrica TrazaX y Plano PlanoTrazaX. Para identificar mejor las curvas. y seleccionar Propiedades. Y el grosor o estilo de línea en las curvas. Vol 16. la primera la puede llamar TrazaX. Basta con dar click derecho sobre el objeto. en la Vista Gráfica 2D o 3D o sobre su nombre en la Vista Algebraica. luego seleccione Aplicar. grosor e inclusive en ser visibles o invisibles. Educación e Internet (http://tecdigital. Puede probar cambiando el color de la superficie. . cambie el nombre de éstas.tec.Revista digital Matemática. PlanoTrazaY y PlanoTrazaZ. Para controlar si un objeto es visible o invisible. y seleccione del menú superior la Casilla de control: De click en la Vista Gráfica 2D donde desea colocar la casilla de control. Setiembre − Febrero 2016. para que observe como se muestra o no el plano y la curva de las trazas. debe ingresar a las propiedades y modificarlo según su preferencia: .cr/revistamatematica/). Educación e Internet (http://tecdigital.tec. y ordenar a su gusto la Vista Gráfica 2D. posicione el ratón sobre la Vista Gráfica 2D. Si desea escribir algún texto. Ahora puede cerrar la Vista Algebraica. Puede probar marcando y desmarcando la casilla de control. y complete la información que se le solicita: Para cambiar de tamaño y de color de fondo y texto. Debe crear dos Casillas de conrol más Traza y y Traza z para ocultar y mostrar el plano y la curva que corresponde a cada traza.ac. Setiembre − Febrero 2016.30 Revista digital Matemática. No 1. y seleccione del menú superior la herramienta de texto: De click en la Vista Gráfica 2D donde desea colocar el texto. Vol 16. El trabajo realizado hasta este momento. z = k − c senh v u ∈ [0. Vol 16.4 Parametrización de superficies cuádricas y curvas Elipsoide: Ecuación canónica: ( x − i )2 ( y − j )2 ( z − k )2 + + =1 a2 b2 c2 Parametrización: x = i − a cos u sen v s (u. 2π ] .tec. 2π ] . debería verse similar a la siguiente imagen: 1. π ] Hiperboloide de una hoja: Ecuación canónica: ( x − i )2 ( y − j )2 ( z − k )2 + − =1 a2 b2 c2 Parametrización: x = i − a cos u cosh v s (u. v ∈ IR 31 .ac. z = k − c cos v u ∈ [0.Revista digital Matemática. Educación e Internet (http://tecdigital. v ∈ [0. No 1. Setiembre − Febrero 2016.cr/revistamatematica/). v) : y = j − b sen u cosh v . v) : y = j − b sen u sen v . v ∈ IR . v ∈ [0.cr/revistamatematica/). Hiperboloide de dos hojas: Ecuación canónica: − ( x − i )2 ( y − j )2 ( z − k )2 − + =1 a2 b2 c2 Parametrización hoja eje positivo: x = i + a senh u cos v s (u. 2 2 z = (u − i ) + (v − j) + k a2 b2 u ∈ IR. v ∈ [0. 2π ] Cono elíptico: Ecuación canónica: ( x − i )2 ( y − j )2 ( z − k )2 + − =0 a2 b2 c2 Parametrización: a x = i + senh u cos v c b s (u. c z = k + senh u u ∈ IR. v) : . z = k − c cosh u u ∈ [0. +∞[ . +∞[ . Educación e Internet (http://tecdigital. v) : y = j + senh u sen v .ac. 2π ] Parametrización hoja eje negativo: x = i − a senh u cos v s (u. Vol 16. 2π ] Paraboloide elíptico: Ecuación canónica: z−k= ( x − i )2 ( y − j )2 + a2 b2 Parametrización: x=u y =v s (u.32 Revista digital Matemática. v ∈ [0. z = k + c cosh u u ∈ [0. v) : y = j − b senh u sen v .tec. Setiembre − Febrero 2016. v) : y = j + b senh u sen v . No 1. tec. Educación e Internet (http://tecdigital. z = k + c sen t t ∈ [0. Setiembre − Febrero 2016. v) : . 2π ] Hipérbola en al plano x = k ( y − j )2 ( z − k )2 − =1 b2 c2 Usando sec2 x − tan2 x = 1. su parametrización estaría dada por: x=k c (t) : y = j + b sec t .ac. 2 2 33 . su parametrización estaría dada por: x=k c (t) : y = j + b cos t . z = k + c tan t t∈ Parábola en al plano x = k y−j= ( z − k )2 c2 −π 3π . No 1. 2 2 z = − (u − i ) + (v − j) + k a2 b2 u ∈ IR. v ∈ IR Curvas en 3D Elipse en al plano x = k ( y − j )2 ( z − k )2 + =1 b2 c2 Usando sen2 x + cos2 x = 1. Vol 16.cr/revistamatematica/).Revista digital Matemática. Paraboloide hiperbólico: Ecuación canónica: z−k=− ( x − i )2 ( y − j )2 + a2 b2 Parametrización: x=u y=v s (u. Educación e Internet. Educación e Internet (http://tecdigital. Angie Solís Palma Derechos Reservados © 2015 Revista digital Matemática.geogebra. R. 2010. por lo que contar con un programa computacional gratuito. https://wiki. bastante amigable y didáctico es una valiosa ayuda. Educación e Internet (http://tecdigital. y = c2 z=t 1.5 t ∈ IR Conclusión La graficación en tres dimensiones es.ac. Mc Graw Hill. una de las grandes dificultades que afrontan los estudiantes de cursos de cálculo en varias variables. sin duda.tec.cr/revistamatematica/). [3] Geogebra Manual de GeoGebra 5.geogebra. Setiembre − Febrero 2016. B Cálculo 2 de varias variables.Revista digital Matemática. [4] Geogebra Tutoriales.cr/revistamatematica/) .org/es/Manual. W Cálculo en varias variables. 2015. tanto para el profesor como para el alumno. 34 Su parametrización estaría dada por: x=k ( t − k )2 c (t) : +j . Edwards. Bibliografía [1] Larson. Revista Digital: Matemática.0. Vol 16.ac. https://wiki. No 1. [2] Mora. Gráficas de Superficies Cuádricas y trazas empleando GeoGebra .org/es/Tutoriales.tec.