CHAPITRE VI : REALISATION DE RESEAUX GEODESIQUES BIDIMENSIONNELSCours de Géodésie Chapitre 6 REALISATION DE RESEAUX GEODESIQUES BIDIMENSIONNELS Version 2.0 Didier BOUTELOUP 20/10/2002 Cellule pédagogique et de recherche en astro-géodésie [email protected] (33) 01 64 15 31 37 3.3.1 Introduction __________________________________________________________1 2.COURS D ' INTRODUCTION À LA GÉODÉSIE CHAPITRE 6 REALISATION DES RESEAUX GEODESIQUES BIDIMENSIONNELS 1 Introduction____________________________________________________________1 2 Influence de la déviation de la verticale sur les mesures angulaires _______________1 2.2 Représentation des triangles géodésiques en projection conforme __________________9 3.2.1 Approximation des sections normales _______________________________________7 3.b Déviation de la verticale ________________________________________________________2 Corrections des mesures angulaires________________________________________________4 2.a 2.b 2.2.a 2.c 3 Corrections aux distances zénithales _______________________________________________7 Corrections aux angles azimutaux_________________________________________________7 Corrections aux angles horizontaux________________________________________________7 Triangles géodésiques ____________________________________________________7 3.3 Application aux mesures de triangulation terrestre _____________________________7 2.3 Réduction des distances_________________________________________________10 4 Réalisation des réseaux géodésiques bidimensionnels__________________________13 4.1 Principe d'élaboration__________________________________________________13 4.3.2 Formulation générale ___________________________________________________2 2.2 Référentiels et système s géodésiques _______________________________________14 . Les stations et les points de visées sont alors projetés orthogonalement sur l'ellipsoïde de référence. en un point. Les mesures terrestres d'angles et de distances peuvent théoriquement être traités dans l'espace (calcul tridimensionnel). § les mesures terrestres d'angles (triangulation) et de distances (trilatération). c'est-àdire de déterminer les coordonnées d'un deuxième point connaissant celles d'un premier. les observations fournissent des longueurs de lignes géodésiques D e .1 Introduction Pratiquement. h et H peuvent différer de quelques dizaines de mètres. Didier BOUTELOUP / ENSG / 2002 VI-1 . les calculs ont quasiment toujours été menés de manière bidimensionnelle. on ne réalise ainsi que des réseaux sur une surface. C'est une méthode de positionnement absolu. un réseau bidimensionnel est toujours couplé avec un réseau d'altitudes. Rappelons que l'altitude H est un paramètre homogène à une distance qui traduit l'éloignement par rapport au géoïde.CHAPITRE VI : REALISATION DE RESEAUX GEODESIQUES BIDIMENSIONNELS 1 Introduction Avant le lancement des premiers satellites artificiels de la Terre dans les années 1960. 2 Influence de la déviation de la verticale sur les mesures angulaires 2. et que. les angles observés sont des différences d'azimuts (angles horizontaux) et des distances zénithales (angles verticaux). Pour pouvoir utiliser le modèle ellipsoïdique. les seules techniques utilisables pour l'élaboration des réseaux géodésiques étaient les suivantes : § l'astronomie de position : elle fournit la longitude et la latitude géographique λ a et ϕ a en un point ainsi que l'azimut d'une direction Az a . Après différentes corrections que nous allons étudier. des différences d'azimuts ∆Az et des distances zénithales Dz. historiquement. Mais l'altitude H d'un point n'est pas une grandeur géométrique. c'est-à-dire bidimensionnels. De telles traitements ne permettent en aucun cas de connaître la hauteur h d'un point par rapport à l'ellipsoïde . Mais. Ces observations permettent de déterminer des différences de coordonnées. il faut ramener ces mesures à des angles relatifs à la normale à l'ellipsoïde. En fait. Il s'agit de techniques de positionnement relatif. On a cos θ = n ⋅ v . où θ cos α et 1 R L θ sinα sont des angles infiniment petits. on a toujours θ < 15′′ . r r v n θ uur Si n ≠ v . Numériquement. 1 : Vecteurs g et n r v s'exprime alors: r r uur v = cos θ n + sin θ Tα v Il est clair que θ étant un angle infiniment r cosθ ≈ 1 petit. θ < 100′′ .a Déviation de la verticale En un lieu M.COURS D ' INTRODUCTION À LA GÉODÉSIE 2.2. Tα est donc un vecteur du plan tangent et peut s'écrire: g uur uur uur Tα = sin α Tp + cos α Tm ellipsoïde Fig. r r r r On appelle déviation de la verticale l'angle θ entre n et v . et. définissons un vecteur normal Tα r r r uur orthogonal à n et coplanaire avec n et v . la verticale est "la direction du fil à plomb". on appelle verticale la direction du vecteur-accélération de r pesanteur terrestre g. Didier BOUTELOUP / ENSG / 2002 n ξ Tm θ η Tα Tp α M Fig.v . dans le monde. On appelle zénith la direction définie r r par + v et nadir la direction opposée de . en France métropolitaine.2 Formulation générale 2. La verticale est dirigée par le vecteur unitaire v défini r r g v= − r g par Autrement dit. Le plan passant par M et orthogonal à v est le plan horizontal. et les composantes de v dans le sin θ ≈ θ θ sin α r repère local sont v θ cos α . 2 : Décomposition de la déviation de la verticale VI-2 . coordonnées astronomiques r Les composantes de v sont connues dans R et dans R L g : cos λa cos ϕa r v sin λa cos ϕa sinϕ a R et η r vξ 1 R L g Or la matrice R de passage de R à RL g a déjà été étudiée : Didier BOUTELOUP / ENSG / 2002 VI-3 . uur ( uur uur r ) • T1 est tel que T1. 3 : Repère local astronomique. T2 . v est un repère orthonormé du plan méridien astronomique. respecti-vement dans les directions Est-Ouest et NordSud. c'est à dire du plan contenant v et parallèle à l'axe des pôles. a priori. M g coordonnées astronomiques ( composantes (η. Fig. Tm . T1 . ξ ) de ϕ O g λg ( λ a . T2. ϕg les T1 Tp θ T2 Cherchons une relation entre les et v n Tm ϕ ) a la λa déviation de la verticale. uur uur r ( M 1 . L . v soit une base orthonormée directe. les coordonnées géographiques λg . Par R L définition de ≠ R1− (ξ ) R +2 (η ) R a RLa . v le repère local astronomique en M1 . T2.n) et par le repère local géodésique en M 1 ) R La = M 1.ϕ a ) . Tp.CHAPITRE VI : REALISATION DE RESEAUX GEODESIQUES BIDIMENSIONNELS On retiendra: η r vξ 1 On désigne par R L g uur uur r ( R L g η et ξ sont les composantes de la déviation de la verticale. ( uur r ) • M 1. Dans ces conditions: cos ϕ a ( λa − λg ) = cos ϕg cos (ϕa − ϕ g ) − sin ϕ g sin (ϕa − ϕg ) ( λa − λg ) = cos ϕg ( λa − λg ) − sin ϕ g (ϕ a − ϕg )( λ a − λg ) = cos ϕg ( λa − λg ) 1444424444 3 néligeable En définitive. l'expression de R L est : a a + −π g + π + π − −π R a = R3 R 2 − ϕg R 3 (λg ) R 3 ( λa ) R 2 − ϕ a R 3 2 2 4244444 2 23 14444 3 14444 4244444 passage de R à R L passage de R L à R g Didier BOUTELOUP / ENSG / 2002 a VI-4 . sin ( λa − λg ) = λa − λg . c'est à petit de 1er ordre.b η = cos ϕ ( λa − λg ) ξ = ϕa − ϕg Corrections des mesures angulaires Si on note R ga la matrice de passage de R L à R L g .2. au 1er ordre près.COURS D ' INTRODUCTION À LA GÉODÉSIE − sin λg R = − sin ϕg cos λg cos ϕ g cos λg cos λg cos ϕg sin ϕg 0 − sin ϕ g sin λg cos ϕg sin λg D'où on tire l'identité matricielle: η − sin λg ξ = − sin ϕg cos λg 1 cos ϕ cos λ g g cos λg − sin ϕ g sin λg cos ϕg sin λg cos λa cos ϕa cos ϕ g sin λa cos ϕa sin ϕ g sin ϕa 0 η = cosϕ a sin ( λa − λ g ) ⇔ ξ = sin ϕa cos ϕ g − cos ϕ a sin ϕg cos ( λa − λg ) 1 = cos ϕa cos ϕg cos ( λa − λg ) + sin ϕa sin ϕ g L'égalité (1) montre que λa − λg est de l'ordre de η. cos ( λa − λg ) = 1 Ainsi. on (1) (2) (3) dire un infiniment peut donc écrire Les relations (1) et (2) s'écrivent donc: η = cos ϕa ( λa − λg ) ξ = sin ϕ a cos ϕg − cos ϕa sin ϕg ×1 = sin (ϕa − ϕ g ) On en déduit que ϕ a − ϕ g est aussi un infiniment petit de 1er ordre. on peut écrire: 2. nous utiliserons les notations suivantes : § § Dza et Az a représentent respectivement la distance zénithale et l'azimut observés de M 1 vers M 2 . cos Dz cos Dz g a L'expression de R a se développe comme il suit : g − sin λg R = − sin ϕg cos λg cos ϕ g cos λg g a cos λg − sin ϕg sin λg cos ϕ g sin λg − sin λa cos ϕg cos λa sin ϕg 0 0 − sin ϕa cos λa − sin ϕa sin λa cos ϕa cos ϕa cos λa cos ϕa sin λa sinϕ a cos ( λa − λg ) − sin ϕa sin ( λa − λg ) cos ϕa sin ( λa − λg ) λa sin ϕg sin ϕa cos ( λa − λg ) cos ϕg sin ϕa sin ϕg sin ( − λg ) + cos ϕg cos ϕa − sin ϕg cos ϕa cos ( λa − λg ) = − cos ϕ g sin ( λ a − λ g ) − cos ϕg sin ϕ a cos ( λa − λg ) cos ϕ g cos ϕ a cos ( λa − λg ) + sin ϕg cos ϕa + sin ϕ g sinϕ a Didier BOUTELOUP / ENSG / 2002 VI-5 . 4 : Correction des mesures angulaires uuur r SV r Soit u = uuur . les composantes de u sont connues dans RL g et dans R L : a SV sin Dzg sin Az g sin Dza sin Az a r r u sin Dz g cos Azg et u sin Dz a cos Az a cos Dzg cos Dza RL R Lg a sin Dz g sin Az g sin Dz a sin Aza g et sin Dz g cos Az g = R a sin Dza cos Aza .CHAPITRE VI : REALISATION DE RESEAUX GEODESIQUES BIDIMENSIONNELS De plus. Dz g et Az g représentent respectivement la distance zénithale et l'azimut corrigés. V V Dz a v Dz g n Az a Az g Tp Tm T2 S T1 S Fig. c'est à dire ramenés dans R L g . si S désigne une station d'observations et V un point de visée. formons (1) ⋅ cos Aza − (2) ⋅ sin Aza : sin Dz g sin ( Azg − Aza ) = −η tan ϕ sin Dz a + η cos Dz a cos Az a − ξ cos Dz a sin Aza ( ) Cette relation nous montre que sin Azg − Aza .COURS D ' INTRODUCTION À LA GÉODÉSIE ⇔ 1 R = η tan ϕ −η g a −η tan ϕ η 1 ξ −ξ 1 On en déduit : sin Dz g sin Azg 1 sin Dz g cos Azg = η tan ϕ −η cos Dzg ⇔ −η tan ϕ η sin Dz a sin Aza 1 ξ sin Dza cos Aza −ξ 1 cos Dza sin Dzg sin Az g = sin Dz a sin Aza − η tan ϕ sin Dza cos Aza + η cos Dza sin Dzg cos Az g = η tan ϕ sin Dza sin Aza + sin Dza cos Aza + ξ cos Dza cos Dz = −η sin Dz sin Az −ξ sin Dz cos Az + cos Dz g a a a a a (1) (2) (3) Écrivons la formule de Taylor au 1er ordre pour la fonction cos au voisinage de Dz a : cos Dzg = cos Dza − ( Dzg − Dza ) sin Dza + ( Dzg − Dza ) ε ( Dzg − Dza ) avec lim ε ( Dzg − Dza ) = 0 Dzg → Dza Et l'égalité (3) s'écrit : cos Dzg = cos Dza − sin Dz a (η sin Aza + ξ cos Aza ) Par identification on en tire l'identité suivante au 1er ordre près : Dz g − Dza = η sin Aza + ξ cos Aza Il se démontre également que. Le premier membre de l'égalité s'écrit donc : sin Dz g sin ( Azg − Aza ) = ( Azg − Aza ) sin Dza + (η sin Az + ξ cos Az ) = sin Dza ( Azg − Aza ) + cos Dza ( Azg − Aza ) (η sin Az + ξ cos Az ) = sin Dz a ( Azg − Aza ) 14444444244444443 négligeable car du 2ème ordre Et (1)cos Az a − (2)sin Aza se transforme ainsi en : sin Dz a ( Az g − Az a ) = −η tan ϕ sin Dza + cos Dz a (η cos Az a − ξ sin Aza ) ⇔ Azg − Aza = −η tan ϕ + cot Dza (η cos Az a − ξ sin Az a ) Didier BOUTELOUP / ENSG / 2002 VI-6 . et donc Az g − Az a est un infiniment petit du 1er ordre. cette formule peut s'écrire : Dz g − Dz a = η sin Az + ξ cos Az Pour obtenir la relation liant Az g à Az a . au 1er ordre près. 2. à appliquer est donc : ( formule de Laplace : Az g − Aza = sin ϕ λg − λa ) Cette formule indique la correction à apporter à une mesure d'azimut astronomique. c'est à Didier BOUTELOUP / ENSG / 2002 VI-7 . cot Dz 1 et cot Dz 2 sont négligeables et il n'y a pas lieu de corriger une différence d'azimuts. la correction Dz g − Dz a est de deuxième ordre par rapport à la correction de réfraction. on ne l'applique pas. si cot Dz n'est plus négligeable.c Corrections aux angles horizontaux L'angle horizontal entre deux visées est une différence d'azimuts ∆ Az a = Az a2 − Az a1 .a Corrections aux distances zénithales En ce qui concerne les distances zénithales Dz a . ou lors de mesures d'angles sur un ouvrage architectural ou industriel. La formule de correction. qui est très mal connue. cela peut être le cas en zone de montagne. dans cette dernière formule. La correction ∆ Az g − ∆ Az a vaut donc : ( ) ( ∆Azg − ∆Az a = Az 2g − Az1g − Az2a − Az1a ) = cot Dz2 (η cos Az 2 − ξ sin Az2 ) − cot Dz1 (η cos Az1 − ξ sin Az1 ) Tant que Dz 1 et Dz 2 sont suffisamment proches de π 2 . au 1er ordre près. cos Az a par cos Az g et sin Az a par sin Az g . Dz est le plus souvent proche de π 2 et cot Dz est suffisamment petit pour être négligé. appelée formule de Laplace. un tour d'horizon fournit donc les différences d'azimuts géodésiques ∆Azg entre les différents points de visées.b Corrections aux angles azimutaux Quant aux angles azimutaux Az a . alors la formule de Laplace ne peut pas être utilisée et doit être remplacée par la formule générale de Az g − Az a établie précédemment . en général. 2.3.1 Approximation des sections normales Après correction de la déviation de la verticale.3.3 Application aux mesures de triangulation terrestre 2. les visées étant le plus souvent proches de l'horizontale.CHAPITRE VI : REALISATION DE RESEAUX GEODESIQUES BIDIMENSIONNELS La démonstration serait simple à faire que. Nous retiendrons donc : Az g − Aza = −η tan ϕ + cot Dz (η cos Az − ξ sin Az ) ou encore : Az g − Aza = sin ϕ ( λg − λa ) + cot Dz (η cos Az − ξ sin Az ) 2. 3 Triangles géodésiques 3. Il faut garder à l'esprit que.3. cot Dz a peut être remplacé par cot Dz g . à 10 k j entre deux visées en i . Ces six courbes M Q M P sont a priori toutes différentes. 5 : Observation d'un triangle géodésique Didier BOUTELOUP / ENSG / 2002 VI-8 . la différence des deux visées vers M et Q (resp. alors a priori S i ≠ S j . avec la .k j = S − S ) peut être confondue. k Gj =Γ k Gj −Γ i Gj −4 gr près au pire. Soit M. les mesures d'angles horizontaux entre stations géodésiques forment des triangles sur l'ellipsoïde dont les côtés sont des arcs de lignes géodésiques. la ligne géodésique passant par i et j ( ΓG i ) se situe toujours entre les deux j sections normales Sij et S j . Il est donc légitime de considérer que. En effet. la différence des deux visées vers P et Q est l'angle entre les deux sections normales S M et S M . il se démontre que. pour un triangle de quelques dizaines de km de côtés au maximum.k i j différence d'azimuts des géodésiques ∆Γ i. à la précision des observations près. Cette approximation est appelée approximation des sections normales.COURS D ' INTRODUCTION À LA GÉODÉSIE dire les angles entre les différentes sec tions normales à l'ellipsoïde à la station. S Q et S Q ). Nous j noterons dans ce paragraphe S i la section normale en i passant par j. M et P) est l'angle entre les sections normales S P et S P (resp. si i ≠ j . À la station M. À la P Q station P (respectivement Q). j i Pratiquement. ( Π ij : plan normal à l'ellipsoïde en i passant par j) ΠM Π QM Π QP P Π QP Q ΠM Q P ΠM M P Fig. P et Q les trois côtés d'un triangle géodésique. et que la différence d'azimuts ∆ S j i une station ( ∆ S i . les triangles géodésiques de quelques dizaines de km de côtés ne peuvent pas être considérés infiniment petits. § Soit γ G l'image de la ligne géodésique reliant les points m 1 et m 2 . noté V. On note traditionnellement dV l'angle en m 1 entre γ G et la droite m 1 m 2 . mais plutôt en représentation plane conforme (estimation des coordonnées en projection). l'angle en projection entre l'axe des ordonnées et la droite reliant deux points m 1 et m 2 . X=Xconst Nord m2 λ=λconst γ Az V G dV m1 Fig. il faut réduire les triangles géodésiques sur le plan de projection.2 Représentation des triangles géodésiques en projection conforme Les calculs de triangulation ont le plus souvent été réalisés non pas sur l'ellipsoïde (estimation des coordonnées géographiques des sommets des triangles). 7 : Ligne géodésique en représentation Didier BOUTELOUP / ENSG / 2002 VI-9 .CHAPITRE VI : REALISATION DE RESEAUX GEODESIQUES BIDIMENSIONNELS M Γ M P SP GM P SM P Fig. un triangle infiniment petit a ses angles conservés et ne subit qu'une homothétie de facteur µ. Dans ce cas. 6 : Sections normales et ligne géodésique entre deux points 3. c'est à dire établir la relation entre un triangle géodésique et son image en représentation : § la représentation étant conforme. Les lignes géodésiques représentant les côtés du triangle ne peuvent donc pas être assimilées à des droites et les angles intérieurs ne sont ainsi pas conservés. On appelle gisement. Remarque : l’image d’une géodésique tourne sa concavité vers l’isomètre central de la représentation. à l'échelle de la Terre. Les distances mesurées au fil invar ou au distancemètre étant toujours inférieures à 50 km environ. Az1 3 et β 1 3 ) représentent le module linéaire µ (resp. les techniques de mesure de distances utilisées en géodésie sont de deux types : § fil en invar : l'utilité de cet instrument s'est beaucoup réduite depuis la disponibilité des distancemètres électroniques à partir des années 1960. il faut transformer les distances spatiales D p en longueur sur l'ellipsoïde D e . On l'appelle aussi de «distance selon la pente». à confondre la ligne géodésique avec son cercle osculateur. que le présent cours n'étudie pas en détail. où γ représente la convergence du méridien. § 3 Autre formulation approché : d Vradians = sin ϕ1 3 − sin ϕ 0 2 R1 3 sin ϕ 0 ⋅ De ⋅ sin Az 3.3 Réduction des distances Au delà de quelques dizaines de mètres. distancemètre électronique : ces instruments utilisent la propagation d'une onde électromagnétique dans l'atmosphère. Pour pouvoir se servir de la modélisation de la Terre par un ellipsoïde. § § la correction dV est donnée par la formule de Schols que nous admettrons : 1 1 s ( β1 3 − β0 ) d Vradians = × × sin Az1 3 2 µ1 3 N 0 ρ0 avec : § N 0 (respectivement ρ 0 et β 0 ) représentent la grande normale (resp. La précision relative est de l'ordre de 10−6 . le rayon de § courbure du méridien ρ et la distance à l'équateur β) calculés sur le parallèle automécoïque. l'azimut de γ G et la fonction β) calculés en m 1 3 . La précision relative obtenue § δ Dp Dp était de l'ordre de 10-5 à quelques 10-6 . 1. À partir de cette observation on peut obtenir la distance euclidienne D p entre deux points. § µ 1 3 (resp. au niveau millimétrique. Un distancemètre électronique fournit donc le temps de parcours d'une onde entre deux points.COURS D ' INTRODUCTION À LA GÉODÉSIE Dans le cas particulier d'une représentation conique conforme de Lambert : § Az = γ + V − d V . point situé sur γ G entre m 1 et m 2 à la distance s de m 1 . Didier BOUTELOUP / ENSG / 2002 VI-10 . s est la longueur de γ G entre m 1 et m 2 . nous sommes autorisés. Cette technique fournissait la distance euclidienne D p 1 entre deux points de la surface terrestre. Didier BOUTELOUP / ENSG / 2002 VI-11 . triangle on obtient : D2c = R 2 + R 2 − 2cos α R2 En isolant cosα dans les deux équations. Cherchons D c en fonction de D p .C .CHAPITRE VI : REALISATION DE RESEAUX GEODESIQUES BIDIMENSIONNELS Appelons A et B les deux points de la surface terrestre et A 0 et B 0 leurs projections normales sur l'ellipsoïde. C son centre et D c la distance spatiale2 entre A 0 et B 0 . on a : uuur uuur 2 uuur uuur uuur uuur Dp2 = AB ⋅ AB = AC + CB ⋅ AC + CB ( En appliquant )( le même ) 2 = ( R + hA ) + ( R + hB ) − 2cos α ( R + hA )( R + hB ) 2 raisonnement 2 au ( A0 . puis D e en fonction de D c . B0 ) . Dc h −h 1 − A B Dp hA hB 1 + R 1 + R est aussi appelée «distance selon la corde». R désigne le rayon du cercle osculateur. Dp A hA B hB B0 De A0 Dc R R α C Fig. 8 : Réduction des distances à l'ellipsoïde Si α est l'angle entre les vecteurs CA et CB. on arrive à : 2 2 R2 − Dc2 ( R + hA ) + ( R + hB ) − Dp = R2 ( R + hA )( R + hB ) 2 2 Dc2 Dp − ( R + hA ) − ( R + hB ) + 2 ( R + hA )( R + hB ) = R2 ( R + hA )( R + hB ) 2 ⇔ 2 2 2 Dp2 − ( hA − hB ) Dc2 = ⇔ R 2 ( R + hA )( R + hB ) 2 ⇔ En conclusion : h −h 1− A B Dp Dc2 = Dp2 1 + hA 1 + hB R R 2 Dc = Dp 2. Historiquement. soit 310 −6 . l'erreur est toujours inférieure à Didier BOUTELOUP / ENSG / 2002 15 .COURS D ' INTRODUCTION À LA GÉODÉSIE Il reste à déterminer D e en fonction de D c . puisque D p est connue au mieux à 10−6 près. Nous retiendrons la formule dite de correction de courbure : D2 De = Dc 1 + c 2 24 R En toute rigueur.4 ×10 6 VI-12 . les réductions ont été calculées en utilisant les altitudes H au lieu des hauteurs h. il est nécessaire de connaître les hauteurs des stations A et B audessus de l'ellipsoïde h A et h B pour pouvoir réduire sur l'ellipsoïde la distance mesurée. L'ordre de grandeur de l'erreur ainsi introduite est celui de h−H . On sait que sin s'écrire α = 2arcsin Dc 2R α Dc = . ce qui peut 2 2R et : De = α R = 2 R arcsin Dc 2R Le développement de arcsin x selon les puissances de x s'écrit : arcsin x = x + On a donc : x3 3 5 3 × 5 ×L × (2n −1) x 2n+1 + x +L + ⋅ +L 6 40 2 × 4 × L× (2n) 2n + 1 D D3 3 Dc5 D2 3 Dc4 De = 2 R c + c 3 + ⋅ 5 +L = Dc 1 + c 2 + ⋅ 4 +L 640 R 2 R 48R 1280 R 24 R 4 6 Or Dc < 5 ×10 m et R ≈ 6. En R France métropolitaine.4 ×10 m d'où on tire les ordres de grandeurs suivants : Dc2 −6 24 R2 < 3 ×10 4 3 ⋅ Dc < 2 ×10 −11 640 R4 D c4 Le terme en R 4 peut donc être négligé . pour le calcul de la triangulation sur l'ellipsoïde Clarke 1880 IGN. 6. voire tangents si h = H (o) . (ortho) Remarquons qu'il est équivalent de dire qu'au point fondamental. un ellipsoïde géodésique ayant été préalablement choisi. les coordonnées des autres points se déduisent de celles du point fondamental par la mesure d'au moins une distance (appelée mesure de base) et par triangulation (mesures terrestres d'angles). par convention. le géoïde et l'ellipsoïde sont parallèles. À titre d'illustrations. le point fondamental du résea u national de triangulation en France métropolitaine. = Hpoint fond. cela correspond à faire subir à l'ellipsoïde de référence un mouvement de translation et de rotation dans l'espace. par convention : λa = λg ϕ a = ϕ g En général. afin d'annuler la déviation de la verticale au point fondamental. on fixe conventionnellement aussi la hauteur du point fondamental par rapport à l'ellipsoïde en posant : h point fond. Géoïde Ellipsoïde tangent au géoïde en Pf Ellipsoïde géocentrique Pf ϕg ϕa T Fig. la Nouvelle Triangulation de la France Didier BOUTELOUP / ENSG / 2002 VI-13 . Autrement dit.1 Principe d'élaboration On appelle point fondamental d'un réseau un point où. Puis. 9 : Utilisation d'un point fondamental La plupart des réseaux bidimensionnels sont construits à partir d'un point fondamental.CHAPITRE VI : REALISATION DE RESEAUX GEODESIQUES BIDIMENSIONNELS 4 Réalisation des réseaux géodésiques bidimensionnels 4. j. en France. En effet.k) un repère affine de l'espace tel que : • § est à peu près au centre de gravité de la Terre. la déviation de la verticale est estimée et l'azimut astronomique peut être corrigé. la détermination d'un tel réseau bidimensionnel est associée à l'élaboration d'un réseau d'altitudes.k) est confondu avec le plan méridien de Greenwich. § les calculs ont souvent été expédiés. afin de renforcer et de vérifier le réseau : § mesures de plusieurs bases. i = j = k et i vaut environ 1. 3.i. Ainsi. Deutsche Hauptdreiecknetz. La surabondance est traitée par estimation par moindres carrés De tels réseaux sont bidimensionnels dans la mesure où les observations utilisées ne permettent pas de déterminer les hauteurs par rapport à l'ellipsoïde h. En général. § observations angulaires redondantes. On appelle référentiel géodésique R = (O. l'imprécision relative de la NTF est évaluée à 10-5. faute de capacité de calculs suffisante. § Par exemple. § (O. § éventuellement observations de points de Laplace : on appelle ainsi un point du réseau (donc muni de coordonnées λ g et ϕ g ) où sont de plus déterminés les coordonnées astronomiques λ a et ϕ a et l'azimut Az a d'une direction. Les réseaux bidimensionnels réalisés selon ce processus sont entachés d'imprécisions caractéristiques : § l'échelle de tout le réseau dépend de la mesure de quelques bases courtes. ce qui représente 1 cm d'erreur entre deux points distants de 1 km (ou 10 m pour 1000 km).k) est parallèle à l'axe de pôles. L'orientation du réseau peut y être vérifiée.k) est une base orthogonale directe respectant à peu près l'orientation suivante : § (O. § (i. Les observations sont toujours faites en nombre surabondant. Didier BOUTELOUP / ENSG / 2002 VI-14 . et le point fondamental du réseau allemand de triangulation principale DHDN3 est la Tour Helmert à Potsdam.COURS D ' INTRODUCTION À LA GÉODÉSIE (NTF) est l'axe de la croix surplombant le Panthéon à Paris. On appelle système géodésique la réalisation numérique d'un référentiel géodésique. en tel point.i.2 Référentiels et systèmes géodésiques Un défaut majeur des réseaux bidimensionnels est le caractère non-géocentrique de leurs coordonnées.j. L'imprécision relative (quelques 10-6) reste constante sur l'ensemble du réseau. l'usage d'un point fondamental revient implicitement à déplacer l'origine O du repère R . 4. Deux réseaux basés sur deux points fondamentaux distincts réalisent donc deux systèmes géodésiques a priori différents. L'étude des systèmes géodésiques et des transformations entre systèmes est un pointclef de la géodésie moderne. Un système bidimensionnel est caractérisé comme il suit : • les coordonnées et l'azimut au point fondamental en fixent l'origine et l'orientation. • les mesures de bases déterminent le facteur d'échelle.CHAPITRE VI : REALISATION DE RESEAUX GEODESIQUES BIDIMENSIONNELS Les référentiels et systèmes géodésiques sous-jacents aux réseaux bidimensionnels ne sont pas exactement géocentriques. leur origine peut être éloignée du centre de gravité terrestre jusqu'à couramment quelques centaines de mètres. et au pire. 2000 m. Didier BOUTELOUP / ENSG / 2002 VI-15 . c'est à dire la norme exacte des trois vecteurs de base.