Capítulo 1SECCIONES CÓNICAS - PARÁBOLA Nunca se alcanza la verdad total, ni nunca se está totalmente alejado de ella. aristóteles 1.1. Secciones Cónicas Elementos de la parábola: El nombre de secciones cónicas se derivó del hecho de que estas guras se encontraron originalmente en un cono. Cuando se hace in- tersectar un cono con un plano obtenemos dis- tintas guras. Cada una de ellas es una cónica. CONO: Es el lugar geométrico que se forma al hacer girar una recta que pasa por el origen alrededor de un eje. La rec- ta que se hace girar siempre se considera distinta al eje y se conoce como genera- Distancia focal o parámetro (p): Es triz. la distancia del foco al vértice y se le asig- na la letra p 1.1.1. La Parábola Eje de simetría (L1 ): Recta perpendi- cular a la directriz Ld que pasa por el vér- Una parábola es el conjunto de todos los tice y el foco. puntos en el plano que equidistan de un recta ja Ld , llamada directriz y de un punto jo F Directriz(Ld ): Recta ja que dista p del denominado foco . vértice. Foco (F): Es un punto tal que cada pun- to de la parábola posee la misma distancia que hasta la recta directriz. Vértice (V): Es el punto de intersección de la parábola con eje de simetría. Cuerda (CE): Es el segmento de la rec- ta que une dos puntos cualesquiera de la P = p ∈ R 2 ; d (P , F ) = d (P , Ld ) parábola. 1 GEOMETRÍA Cuerda focal (AB).- Segmento de la PARÁBOLA CON EJE MAYOR PARA- recta que une los puntos de la parábola LELO AL EJE X pasando por el foco. Lado recto (LR): Es una cuerda focal perpendicular al eje de simetría. 1.1.1.1. Ecuación de la Parábola PARÁBOLA CON EJE MAYOR PARA- LELO AL EJE Y Consideremos la parábola cuyo eje es para- lelo al eje X, y cuyo vértice s el punto V (h, k ). La ecuación de dicha parábola es de la for- ma P : (y − k )2 = 4p(x − h) Si p>0 la parábola es cóncava hacia la de- recha. Si p<0 la parábola es cóncava hacia la iz- Consideremos la parábola cuyo eje es para- quierda. lelo al eje Y, y cuyo vértice s el punto V (h, k ). La ecuación de dicha parábola es de la forma Elementos: P : (x − h)2 = 4p(y − k ) Si p>0 la parábola es cóncava hacia arriba. Foco: F (h + p, k ) Si p<0 la parábola es cóncava hacia abajo Extremos del lado recto: Elementos: L(h + p, k + |2p|); R(h + p, k − |2p|) Foco: F (h, k + p) Directriz Ld : x = h − p Extremos del lado recto: L(h − |2p|, k + p); R(h + |2p|, k + p) Ecuación del eje: y = k Directriz: Ld : y = k − p Longitud del lado recto: LR = |4p| Ecuación del eje: x = h Ecuación general: Longitud del lado recto: LR = |4p| P : y 2 + Dx + Ey + F = 0 Ecuación general: Ejemplo 2. Bosqueje la grá ca de la ecuación P : x 2 + Dx + Ey + F = 0 6y + y2 − 8x − 2 = 0 ; y halle las ecuaciones de Ejemplo 1. Bosqueje la grá ca de la ecuación la recta Directriz, el Eje focal; Vértice, Foco y 4x 2 − 48y − 20x − 71 = 0 ; y halle las ecuacio- lado recto. nes de la recta Directriz, el Eje focal; Vértice, Solución. : Foco y lado recto. Solución. : . UTP Sede Arequipa Página 2 GEOMETRÍA GEOMETRÍA Semana 2 Sesión 2 1 EJERCICIOS EXPLICATIVOS 1. Gra que la cónica y halle el vértice, el 3. Encuentre los puntos de intersección foco, la ecuación de la recta directriz de la recta y = −2x + 2 con la parábola x 2 − 4x − y + 3 = 0 2x 2 − 4x − 2 − y = 0 y bosqueje ambas gra cas en el mismo plano coordenado. Solución. : Solución. : Respuesta: Respuesta: 2. Halle la ecuación general de la parábola 4. Se quiere construir los faros para un auto con vértice en (2 ; 5 ) y foco en (2 ; −3 ) clásico, el nuevo diseño tiene un fondo de Solución. : 25 cm. Y un ancho de 30 cm. Determinar la distancia desde el fondo donde se en- cuentra ubicado el Foco y la ecuación de la Parábola. Solución. : Respuesta: Respuesta: UTP Sede Arequipa Página 3 GEOMETRÍA 5. Se quiere construir una cocina solar de 7. Gra que la cónica y halle el vértice, el forma Parabólica con un fondo de 2 mt. y foco, la ecuación de la recta directriz de 1.5mt. de ancho. A que distancia del fon- 3x 2 + 24y − 30x + 43 = 0 do se encuentra el punto donde se debe colocar la olla de cocción. Solución. : Solución. : Respuesta: Respuesta: 6. Dados los puntos (−1, 2); (0 , −1 ); (2, 1) Determina la ecuación de la parábola que 8. Si las torres de un puente parabólico col- pase por los tres puntos dados y tal que gante tienen una separación de 400m y su eje focal sea paralelo al eje Y los cables están atados a ellas a 200m por Solución. : arriba del piso del puente. Calcular la lon- gitud que debe tener el puntal que está a 50m de la torre izquierda. Solución. : Respuesta: Respuesta: UTP Sede Arequipa Página 4 GEOMETRÍA GEOMETRÍA EJERCICIOS ADICIONALES 1. Hallar la ecuación de la parábola de eje fo- 3. Determinar la ecuación de la recta per- cal paralelo al eje Y sabiendo que su lado pendicular a la recta que contiene al lado recto es un diámetro de la circunferencia recto de la parábola y 2 − 10x = 0 y que x2 + y2 + 2x + 4y + 4 = 0 pasa por el punto (3 ; −7 ) Solución. : Solución. : Respuesta: Respuesta: 2. Hallar la ecuación de la parábola de 4. El techo de un pasillo de 8 metros de an- eje focal paralelo al eje X si su foco cho tiene la forma de una parábola con 9 y vértice son los extremos de un diá- metros de altura en el centro, así como de metro de la circunferencia de ecuación 6 metros de altura en las paredes latera- x 2 + y 2 − 8x + 6y = 0 les. Calcule la altura del techo a 2 metros de una de las paredes. Solución. : Solución. : Respuesta: Respuesta: UTP Sede Arequipa Página 5 GEOMETRÍA GEOMETRÍA TAREA DOMICILIARIA 1. Gra que la cónica y halle el vértice, el fo- 5. Hallar la ecuación de la parábola de co, la ecuación de la recta directriz de eje focal paralelo al eje X si su foco y 9x 2 + 72x + 24y + 16 = 0 su vértice son los extremos de un diá- metro de la circunferencia de ecuación 2. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje x 2 + y 2 − 8x + 6y = 0 . es paralelo al eje Y y que pasa por los puntos (4 ,5); (−2, 11) ; (−4, 21) 6. Un puente tiene forma de arco parabólico, 3. Una antena parabólica para televisión tie- tiene una extensión de 20m y una altura ne un diámetro de 1m y su receptor está máxima de 2,5m. Hallar la ecuación de la colocado 25cm por arriba de su vértice. parábola que genera este arco. Calcular la profundidad que tiene la an- tena. 7. Calcular la altura de un punto de un arco 4. Una cuerda de la parábola P : y 2 − 4x = 0 parabólico de 18 metros de altura y de 24 es un segmento de la recta metros de base situada a una distancia de L : x − 2y + 3 = 0 . Hallar su longitud. 8 metros del centro del arco. UTP Sede Arequipa Página 6 GEOMETRÍA EVALUACIÓN BREVE Apellidos y Nombres: Sección: Fecha: 1. 2. UTP Sede Arequipa Página 7