Funções TrigonométricasIgor Profeta Leandro de Araujo Bruna Coutinho Introdução • A noção de que existe uma correspondência entre os ângulos de um triângulo e o tamanho de seus lados surge assim que se reconhece que triângulos semelhantes tem a mesma razão entre seus lados. Por exemplo, dado um triângulo retângulo com um dado ângulo, se dobrarmos o tamanho da sua hipotenusa, temos que o cateto oposto ao ângulo também dobrará. Tal correspondência já é a muito conhecida, e foi estudada por gregos, árabes, egípcios e muitos outros povos antigos. Introdução • Assim, nasce o primeiro conceito de funções trigonométricas. Dado um triângulo retângulo, o seno de um ângulo é a razão entre seu cateto oposto e sua hipotenusa; o cosseno é a razão entre seu cateto adjacente e sua hipotenusa e a tangente e a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente, que equivalente a defini-la como o valor do seno sobre o cosseno. Introdução • Contudo, essa noção é limitada, pois com ela temos somente valores trigonométricos para ângulos entre (π/2, 0). Gostaríamos de uma definição mais abrangente, ou seja, gostaríamos de definir essa função para qualquer ângulo. Nesse objetivo, usamos o círculo trigonométrico. Círculo Trigonométrico • Trace o círculo unitário no graphmatica (escreva r=1 no cursor) • Descreva o arco de valor pi/3 sobre a circunferência unitária (escreve r=1 {t: 0, pi/3} • Value o valor da função cosseno e seno nos valores pi/3 • Plote o ponto x=cos(pi/3) e y=sen(pi/3). O que podemos observar? Círculo Trigonométrico • Assim, podemos observar empiricamente que a coordenada da projeção do ponto do círculo unitário no eixo das abcissas corresponde ao valor do cosseno do mesmo ângulo. Analogamente, a projeção de tal ponto no eixo das ordenadas nos dá o seno. Observe que agora podemos definir seno e cosseno para ângulos maiores ou iguais a pi/2. Círculo Trigonométrico • Trace a reta x=1 e x=-1. • Value o valor da tangente em x=pi/3. • Trace a reta y= tan(pi/3)*x = 1,7321*x • Plote o ponto x=1 e y=1,7321. • Disso, qual a interpretação geométrica que podemos dar para a tangente? Circulo Trigonométrico Dessa interpretação, podemos tirar várias relações como: 1) sen² + cos² = 1 (sai direto de Pitágoras) 2) tan(x)=-tan(x+pi) 3) cos(x) = cos(-x) (cosseno é função par) 4) sen(x) =-sen(-x) (seno é função ímpar) Etc... Manipulando as Funções • Plote o gráfico da função seno (y=sin(x)) • Plote o gráfico da função sen(x + pi/2) • O que ocorreu com o gráfico? • Plote o gráfico da função cosseno • O que é possível observar em relação ao gráfico do cosseno e ao gráfico da função sen(x+pi/2)? Que relação podemos concluir? Manipulando os Gráficos • Plote as funções y=sin((1/2)x), y=sin(x) e y=sin(2x). • Chamando de período o intervalo no qual a função repete seus valores, o que podemos dizer quanto aos períodos da função y=sin(x), y=sin((1/2)x) e y=sin(2x)? • O mesmo ocorre para a função cosseno? Manipulando Funções • Plote a função 2cos(x), cos(x) e (1/2)*cos(x). Comparando os gráficos, o que ocorre com as funções? • Compare o gráfico das funções cos(x) e cos(x) + 2. O que ocorre com o que ocorre com o gráfico ao adicionarmos uma constante? Curve Fit • Escolha três distintos no plano cujas coordenadas sejam distintas duas a duas. A nível de exemplo, tomemos os pontos (pi,1), (2pi,4), (3pi,2). • No data plot editor, clique em “Options” e escolha a opção “sinoisudal”. Em números de períodos, escreva 2. • Depois de apertar ok, clique em curve fit. O que é plotado na tela? Curve Fit • A função curve fit retorna a melhor função senóide (ou seja, da forma y= a*sin(bx+c) +d) que passa pelos pontos dados. Ao passarmos o mouse em cima dela, aparece o erro da aproximação da função. Podemos controlar o número de períodos que ela realiza ao cruzar os pontos. Tal período deve ser bem escolhido, do contrário temos aproximações muito ruins (experimente aproximar os mesmos pontos anteriores, só que com um período) • P.S: Falar das funções trigonométricas disponíveis Redefinindo as Funções Trigonométricas de um Jeito Diferente • Plote o gráfico da função y=1/(1+x²). Integre essa função de 0 à pi/2, de 0 à pi, de 0 à –pi/2 e de 0 à –pi • Calcule o valor da arctangente de pi, pi/2, -pi/2, - pi. Compare tais valores com os anteriores. O que observamos? • A partir daí, como podemos relacionar o valor da arcotangente com os resultados obtidos? Haveria uma maneira de redefinir as funções trigonométricas a partir disso? Redefinindo as funções Trigonométricas de um Jeito Diferente • Trace o gráfico da função arcotangente. Em seguida, trace o gráfico da função y=pi/2 e y=-pi/2. Qual o comportamento da função em relação a essa reta? • Disso, o que podemos concluir da integral de menos infinito a infinito da função y=1/(1+x²)? • Com isso, podemos dizer que a área sob o gráfico da função 1/(1+t²) é finita apesar de tal gráfico ser ilimitado? Aproximação Polinômio de Taylor • Trace a função y=cos(x). Em “find derivative” que ela dará a função derivada. Value, a nível de exemplo, no ponto pi/4. Guarde tal valor. Repita o processo mais 3 vezes, guardando os valores das respectivas derivadas no ponto pi/4. Aproximação por Polinômio de Taylor • Considere as funções: 1) y = cos(pi/4) + cos´(pi/4)x 2) y = cos(pi/4) + cos´(pi/4)x + (cos´´(pi/4)x²)/2 3) y = cos(pi/4) + cos´(pi/4)x + (cos´´(pi/4)x²)/2 + (cos´´´(pi/4)x^3)/6 4) y = cos(pi/4) + cos´(pi/4)x + (cos´´(pi/4)x²)/2 + (cos´´´(pi/4)x^3)/6 + (cos´´´´(pi/4)x^4)/24 Aproximação por polinômio de Taylor • Uma a uma, plote o gráfico de tais funções junto com as função cosseno e amplie o gráfico no ponto x=pi/4. Quantas ampliações são necessárias, em cada caso, para que o gráfico do polinômio se confunda com o gráfico da função cosseno? • A partir disso, o que podemos dizer do grau de acuidade das aproximações dos polinômios?