´REPASO DE FUNCIONES HIPERBOLICAS Ing. Juan Carlos Tandazo Cando Departamento de Ciencias Exactas ESPE ´Indice 1. Funciones hiperb´ olicas directas 1.1. F´ormulas de las funciones hiperb´olicas directas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Gr´aficos de las funciones hiperb´olicas directas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 2. Funciones hiperb´ olicas inversas 2.1. F´ormulas de las funciones hiperb´olicas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Gr´aficos de las funciones hiperb´olicas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 6 3. Identidades fundamentales de las funciones hiperb´ olicas 3.1. Identidades hiperb´olicas de cociente . . . . . . . . . . . . . 3.2. Identidades hiperb´olicas cuadr´aticas . . . . . . . . . . . . . 3.3. Identidades hiperb´olicas de argumento doble . . . . . . . . 3.4. Identidades hiperb´olicas de argumento mitad . . . . . . . . 3.5. Identidades hiperb´olicas de suma y resta de argumentos . . 3.6. Identidades hiperb´olicas de suma a producto . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 10 10 10 11 11 11 1. 1.1. Funciones hiperb´ olicas directas F´ ormulas de las funciones hiperb´ olicas directas Las funciones hiperb´olicas directas vienen relacionadas con las funciones exponenciales ex y e−x , mediante las siguientes f´ormulas: senh x = e2x − 1 ex − e−x = 2 2ex cosh x = e2x + 1 ex + e−x = 2 2ex tanh x = ex − e−x e2x − 1 = ex + e−x e2x + 1 coth x = e2x + 1 ex + e−x = ex − e−x e2x − 1 sech x = 2ex 2 = ex + e−x e2x + 1 csch x = 2 2ex = ex − e−x e2x − 1 Trabajando con la primera y segunda f´ormulas se puede llegar a demostrar que: cosh x + senh x = ex cosh x − senh x = e−x 1.2. Gr´ aficos de las funciones hiperb´ olicas directas A continuaci´on se presentan los gr´aficos de cada una de las funciones hiperb´olicas directas, as´ı como sus caracter´ısticas m´as importantes: 2 ´ SENO HIPERBOLICO Dom: R Rg: R Pto de corte: (0,0) Monoton´ıa: % en R Paridad: Impar As´ıntotas: No tiene ´ COSENO HIPERBOLICO Dom: R Rg: [1;+∞[ Pto de corte: (0,1) Monoton´ıa: & de ]-∞;0] ∧ % de [0;+∞[ Paridad: Par As´ıntotas: No tiene 3 ´ TANGENTE HIPERBOLICA Dom: R Rg: ]-1;1[ Pto de corte: (0,0) Monoton´ıa: % en R Paridad: Impar As´ıntotas: A.H. en y = -1 ∧ y = 1 ´ COTANGENTE HIPERBOLICA Dom: R-{0} Rg: ]-∞;-1[ ∪ ]1;+∞[ Pto de corte: No existe Monoton´ıa: & en R-{0} Paridad: Impar As´ıntotas: A.H. en y = -1 ∧ y = 1 A.V. en x= 0 4 ´ SECANTE HIPERBOLICA Dom: R Rg: ]0;1] Pto de corte: (0,1) Monoton´ıa: % de ]-∞;0] ∧ & de [0;+∞[ Paridad: Par As´ıntotas: A.H. en y = 0 ´ COSECANTE HIPERBOLICA Dom: R-{0} Rg: R-{0} Pto de corte: No existe Monoton´ıa: & en R-{0} Paridad: Impar As´ıntotas: A.H. en y = 0 A.V. en x= 0 5 2. Funciones hiperb´ olicas inversas Las funciones hiperb´olicas inversas se notan mediante la palabra area o arg acompa˜ nado por el nombre de la correspondiente funci´on hiperb´olica, as´ı por ejemplo: la funci´on inversa de la funci´on seno hiperb´olico ser´a area seno hiperb´olico o arg seno hiperb´olico. 2.1. F´ ormulas de las funciones hiperb´ olicas inversas Las funciones hiperb´olicas inversas vienen relacionadas con la funci´on logaritmo natural, mediante las siguientes f´ormulas: argsenh(x) = ln(x + argcosh(x) = ln(x + 1 argtanh(x) = ln 2 1 ln argctgh(x) = 2 argsech(x) = ln argcsch(x) = ln 2.2. √ √ x2 + 1) x2 − 1) 1+x 1−x x+1 x−1 1+ 1+ para |x| < 1 para |x| > 1 √ √ ! 1 − x2 x 1 + x2 x Gr´ aficos de las funciones hiperb´ olicas inversas Las funciones hiperb´olicas senh x, tanh x, coth x y csch x son biyectivas en todo su dominio por lo tanto tienen inversas, sin embargo las funciones hiperb´olicas cosh x y sech x al ser dos funciones pares no son biyectivas, pero si restringimos su dominio en el intervalo de [0,+∞[ en donde ya son biyectivas, podemos determinar sus respectivas funciones inversas. A continuaci´on se presentan los gr´aficos de cada una de las funciones hiperb´olicas inversas, as´ı como sus caracter´ısticas m´as importantes. 6 ´ AREASENO HIPERBOLICO Dom: R Rg: R Pto de corte: (0,0) Monoton´ıa: % en R Paridad: Impar As´ıntotas: No tiene ´ AREACOSENO HIPERBOLICO Dom: [1;+∞[ Rg: [0;+∞[ Pto de corte: (1,0) Monoton´ıa: % de [1;+∞[ Paridad: No tiene As´ıntotas: No tiene 7 ´ AREATANGENTE HIPERBOLICA Dom: ]-1;1[ Rg: R Pto de corte: (0,0) Monoton´ıa: % en ]-1;1[ Paridad: Impar As´ıntotas: A.V. en x = -1 ∧ x = 1 ´ AREACOTANGENTE HIPERBOLICA Dom: ]-∞;-1[ ∪ ]1;+∞[ Rg: R-{0} Pto de corte: No existe Monoton´ıa: & en ]-∞;-1[ ∪ ]1;+∞[ Paridad: Impar As´ıntotas: A.V. en x = -1 ∧ x = 1 A.H. en y= 0 8 ´ AREASECANTE HIPERBOLICA Dom: ]0;1] Rg: [0;+∞[ Pto de corte: (1,0) Monoton´ıa: & de ]0;1] Paridad: No tiene As´ıntotas: A.V. en x = 0 ´ AREACOSECANTE HIPERBOLICA Dom: R-{0} Rg: R-{0} Pto de corte: No existe Monoton´ıa: & en R-{0} Paridad: Impar As´ıntotas: A.H. en y = 0 A.V. en x= 0 9 3. 3.1. Identidades fundamentales de las funciones hiperb´ olicas Identidades hiperb´ olicas de cociente tanh x = coth x = 3.2. senh x cosh x cosh x senh x sech x = 1 cosh x csch x = 1 senh x tanh x = 1 coth x Identidades hiperb´ olicas cuadr´ aticas cosh2 x − senh2 x = 1 sech2 x + tanh2 x = 1 coth2 x − csch2 x = 1 3.3. Identidades hiperb´ olicas de argumento doble senh(2x) = 2 senh x cosh x cosh(2x) = cosh2 x + senh2 x cosh(2x) = 2 cosh2 x − 1 cosh(2x) = 1 + 2 senh2 x tanh(2x) = 2 . tanh x 1 + tanh2 x 10 3.4. Identidades hiperb´ olicas de argumento mitad senh cosh 3.5. x 2 x 2 r cosh x − 1 2 r cosh x + 1 2 = = Identidades hiperb´ olicas de suma y resta de argumentos senh(x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y senh(x − y) = senh x cosh y − cosh x senh y cosh(x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y cosh(x − y) = cosh x cosh y − senh x senh y 3.6. tanh(x + y) = tanh x + tanh y 1 + tanh x . tanh y tanh(x − y) = tanh x − tanh y 1 − tanh x . tanh y Identidades hiperb´ olicas de suma a producto senh x + senh y = 2 senh cosh x + cosh y = 2 cosh 11 x+y 2 x+y 2 . cosh . cosh x−y 2 x−y 2