RELACIONES Y FUNCIONESM.C. Mireya Tovar Vidal IDEA INTUITIVA DE RELACIÓN Una relación es una correspondencia entre dos elementos de dos conjuntos con ciertas propiedades. En computación las relaciones se utilizan en estructuras y bases de datos, redes, autómatas y lenguajes Por ejemplo: Los datos de un trabajador (número de control,rfc,puesto, antiguedad,salario) se guardan en una base de datos, para relacionar estos datos con otra información, se establece un campo relación con los datos de una persona, de manera que un trabajador además es una persona con nombre, apellidos, género. Se denota como aRb R={(a.DEFINICIÓN FORMAL DE RELACIÓN Dados dos conjuntos no vacíos A y B.b)| a Ayb B} . una relación R es un conjunto de pares ordenados en donde el primer elemento a está relacionado con el segundo elemento b por medio de cierta propiedad o característica. (Ezequiel. … . es decir Jorge imparte la materia Sistemas Digitales Jorge R Sistemas Digitales . Algorítmicos). por ejemplo. Sistemas Digitales).EJEMPLO DE RELACIÓN Maestro Materia Jorge Sistemas Digitales Domingo Lenguajes algorítmicos Ignacio Estructuras de Datos Jorge Graficación Raymundo Programación II Manuel Sistemas Operativos Ezequiel Sistemas Digitales En este caso A={x| x es un Maestro}. Lenguajes Las relaciones se forman si cumplen cierta proposición. “Imparten la materia”. Sistemas Digitales)} (Domingo. B={y| y es una materia de ingeniería en computación} R={(Jorge. (Jorge.Graficación). es el conjunto que resulta de la combinación de todos los elementos del conjunto A con todos los elementos del conjunto B.PRODUCTO CARTESIANO El producto cartesiano de dos conjuntos A y B. se denota como AxB. . En teoría de conjuntos equivale al conjunto universo. (2.b).(1.a).(3.2.(3.b).b} AxB={(1.a).3} y B={a.EJEMPLO DE PRODUCTO CARTESIANO Sean los conjuntos A={1.a).(2.b)} . 2}. -1. 1. 0. -2. 0}. . Note que D A El rango de la relación es el conjunto I = {-1.DIAGRAMA DE FLECHAS El dominio de de la relación es el conjunto D = {-3. Notemos que I B. Italia. Egipto. Angola.EJERCICIOS 1. Sea A el conjunto de los continentes A={América. Sean los conjuntos A={a| a Z. 10<a<30}. Japón. Europa. África} y B el conjunto de los países. EU}. B={b | b Z+ b<=20 } y R es una relación de A en B. 2. China. B={México. Asia. Escribe un ejemplo de una relación con sus conjuntos respectivos. enumera los elementos del conjunto AxB. en donde el elemento a A es divisible entre 13 y b B es primo. . India. Rusia. Dibuje su diagrama de flechas 3. Francia. En particular si los elementos de la relación son pares ordenados a la relación se le denomina binaria. Dom(R) A Codominio o imagen de R (Cod(R)) o Imag(R). que es el conjunto de todos los primeros elementos de los pares de una relación el cual es un subconjunto del conjunto A. .DOMINIO E IMAGEN DE UNA RELACIÓN En toda relación de pares ordenados no vacía se tienen dos conjuntos: Dominio de R (Dom(R)). que es el conjunto que está formado por los segundos elementos de los pares de la relación R y es Cod(R) B. (2.11} y B={b| b Z.10).5.6).6.(2.(7.EJEMPLO DE DOMINIO Y CODOMINIO A={2.10).(4.6.5.4).(2.4).4.(4. por tanto: R={(2.6).4.4.5).10} .(5.8).7.(6.8.(5.7} Cod(R)={2.8).(2.7)} Dom (R)={2.2).6.5. 1<=b<=10} Considérese aRb si y sólo si b es divisible entre a.7. TIPOS DE RELACIÓN Considerando que A =B las relaciones se clasifican de la siguiente forma: Reflexiva Antireflexiva Simétrica Asimétrica Antisimétrica Transitiva . 2.(3. sea A={1.3).3).4} R={(1.(3.(4.3.(1.3).2).RELACIÓN REFLEXIVA Cumple la propiedad cuando todo elemento del conjunto A está relacionado consigo mismo. Por ejemplo.(4.2).1).4)} .(2. 3)} .4).(3.(2.2. sea A={1.RELACIÓN IRREFLEXIVA Cumple la propiedad cuando ningún elemento del conjunto A está relacionado consigo mismo.4).4} R={(1.(1.3).3.2). Por ejemplo.(4. RELACIÓN SIMÉTRICA Cumple la propiedad cuando para cada par (a.3).4} R={(1. sea A={1.b) está en la relación pero (b.1). Por ejemplo.(3.a) no.b) R y (b.(1.(2.3).(3.2).(4.3.3).4)} .2.(3.(4. entonces la relación no es simétrica.a) R.1). Si (a.4). Por ejemplo.4} R={(1.(3.3.RELACIÓN ASIMÉTRICA Cumple la propiedad cuando para cada (a.4)} . además de que ningún elemento deberá estar relacionado consigo mismo.(3.b) R entonces (b. sea A={1.2).2.a) R.3). 2.a) R. sea A={1. (a.(4.a).3).RELACIÓN ANTISIMÉTRICA Cumple la propiedad cuando para cada (a.(2.(1.3).3).b). Por ejemplo.2). inclusive si es válido si existen las parejas (a.b) R o (b.4)} .1).4} R={(1.3.(3.(4. (4.2).c) R.3).c) R entonces existe el par (a.(1.3.RELACIÓN TRANSITIVA Cumple la propiedad cuando para cada par (a. Por ejemplo.2.1).3).4)} .(3.b) R y (b.4} R={(1.3).(2.(4. sea A={1. c) R → (a.PROPIEDADES DE LAS RELACIONES Propiedad Condición Reflexiva a A→ aRa Irreflexiva a A → (a.c) R.b) x R R R → (b.a) A → (x. a.a) R y (b.x) R R → (b.b) a.a) Simétrica Si (a. c A .b) Transitiva Si (a.a) a.b) Asimétrica Cuando (a. b A Antisimétrica (a. b. b A R R → x= y R y (b. . Sean las siguientes relaciones. irreflexivas. “es hermana de” “es padre de” “tienen los mismos padres” “es menor o igual a” Dados S = { 1.10 } y la relación R = { (x. 3. ¿Cuáles son las propiedades de R? . 2. 1. 4. y) l x + y =10 } sobre S. 2….EJERCICIOS 1. simétricas.antisimétricas o transitivas. indica si son reflexivas. 2. asimétricas. justifica tu respuesta. 5.2).(5.6)} .1).(2.(5. sea A={1.2.5).(3.6} R={(1.5).(1.4).4.3).(6.(2. (4.3.RELACIÓN DE EQUIVALENCIA Se dice que R es una relación de equivalencia si es: Reflexiva Simétrica Transitiva Por ejemplo.1).(4.2).4). b).(a.a).(b.RELACIÓN DE ORDEN PARCIAL Se dice que R es una relación de orden parcial si es: Reflexiva Antisimétrica Transitiva Por ejemplo.b} R= {(a.b)} . sea A={a. d).b).(c.a).c).b.(d.(b.d} se definen las relaciones R={(b.b)} S={(a. antisimétricas.c. simétricas. Determina si son reflexivas.(d. . asimétricas.b).a)}.EJERCICIOS En el conjunto A={a. transitiva.(a. (3. (1.2).3). (4.4).1).2).1)} .EJERCICIOS Dada la relación determina Relación de orden parcial Relación de equivalencia R = {(1. (2. (2.