Funciones Visualización y pensamiento matematico

See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/261363726 Funciones: Visualización y pensamiento matemático Book · January 2001 CITATIONS READS 26 796 2 authors: Ricardo Cantoral Gisela Montiel Espinosa Center for Research and Advanced S… Center for Research and Advanced S… 318 PUBLICATIONS 968 CITATIONS 70 PUBLICATIONS 162 CITATIONS SEE PROFILE SEE PROFILE Some of the authors of this publication are also working on these related projects: Curso de Integración Digital: GeoGebra en el quehacer docente View project Social construction of mathematical thinking / Construcción social del pensamiento matemático View project All content following this page was uploaded by Ricardo Cantoral on 07 June 2014. The user has requested enhancement of the downloaded file.  FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO  Funciones Visualización y pensamiento matemático RICARDO CANTORAL GISELA MONTIEL  Contenido Presentación ................................................................................................................ 7 Capítulo 1. Sobre la visualización y el arte de graficar ................................................ Capítulo 2. Una introducción a las funciones y sus gráficas ........................................ Capítulo 3. Método de la tabulación ............................................................................. Capítulo 4. Método de las transformaciones ................................................................. Capítulo 5. Método de las operaciones ......................................................................... Capítulo 6. Método del análisis matemático ................................................................. Capítulo 7. Síntesis metódica: un paseo por las gráficas.............................................. Referencias bibliográficas ............................................................................................. 5  Presentación El área de un círculo vista por Kepler, 1615. (Tomado de E. Hairer y G. Wanner, Analysis by Its History, 1977.) a escuela es un sitio privilegiado para la diversidad, ya sea de opiniones, de tendencias, de crite- L rios o de creencias. Una de éstas, que consideramos ampliamente difundida entre alumnos y maestros, señala que existe una relación unidireccional entre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Se asume que los conocimientos se transfieren simplemente desde la enseñanza hacia el aprendizaje: se considera, por ejemplo, que el alumno “graba” lo que se le comunica por medio de la enseñanza, tal vez con algunas pérdidas de información. Quizá por ello aún predomina en las aulas de matemáticas una enseñanza retórica y reiterativa. Sin embargo, hoy en día se ha mostrado mediante investigaciones en matemática educativa, la fragilidad de este punto de vista, pues se ha puesto en evi- dencia que los alumnos construyen conocimiento con cierta independencia del discurso de la enseñanza. Con frecuencia, construyen explicaciones inadecuadas e inclusive erróneas desde un punto de vista matemático, a la vez que descubren profundas relaciones entre piezas del saber matemático, sin que eso haya sido parte explícita de su enseñanza. Consideramos que estos conocimientos son el fruto de la interacción con su entorno; con sus com- pañeros, con sus historias de vida o con su ambiente académico y cultural, entre otros. De modo que la experiencia nos muestra que el conocimiento matemático de las y los estudiantes no es el fruto exclusivo de la atenta escucha que tengan para con la cátedra de su profesor. Nuestra propuesta incluida en este libro, trata de un tema de la enseñanza contemporánea que ha resultado de mucha utilidad para el cambio de paradigmas en la enseñanza, al llevar al tratamiento escolar, del excesivo tratamiento algebraico de las funciones hacia otro en el que la visualización juega un papel más preponderante en la formación de conceptos y procesos matemáticos. De este modo, trataremos con la visualización en matemáticas y más particularmente, con el análisis de las funciones 7 8 VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO reales de variable real a través de sus gráficas. En este sentido, este libro presenta una serie de diseños educativos, secuencias didácticas con las que pretendemos que los profesores y sus alumnos profundi- cen su propio proceso de comprensión y entendimiento de los conceptos y procesos matemáticos relati- vos a las funciones. Creemos que esta propuesta contribuirá a desarrollar entre los profesores sus propias prácticas de enseñanza utilizando las ideas de visualización. El diseño de estas secuencias fue realizado con base en un análisis de carácter múltiple que ha sido desarrollado a lo largo de los últimos diez años en el grupo de investigación del Área de Educación Superior del Departamento de Matemática Educati- va del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional en México. Una tesis teórica que ha orientado la labor de nuestro grupo de investigación ha sido la de conside- rar que la matemática se ha constituido socialmente, en ámbitos no escolares, y en consecuencia su introducción al sistema de enseñanza le obliga a una serie de modificaciones que afectan directamente su estructura y su funcionamiento; de manera que afectan también, por ejemplo, las relaciones que se establecen entre los estudiantes y su profesor. Este proceso de incorporación de los saberes al sistema didáctico plantea una serie de problemas teóricos y prácticos no triviales, que precisan para su estudio de acercamientos metodológicos y teóricos adecuados. El desarrollo de tales aproximaciones se realiza mediante estudios que nos permiten entender los mecanismos de adaptación del saber a las prácticas de profesores y estudiantes. Como hemos dicho, nos interesa esclarecer las condiciones del aprendizaje de ideas complejas. En este libro proponemos en consecuencia una forma de tratamiento escolar de las funciones con base en resultados de la investigación contemporánea, que nos permiten augurar efectos positivos en los procesos de aprendizaje de los alumnos. La ordenación temática que trataremos se centra en la visualización de las funciones reales de variable real. El libro se divide en capítulos y secciones: El capítulo 1, Sobre la visualización y el arte de graficar, discute la importancia de la graficación y del uso de la tecnología. Se define una postura profesional al respecto. La introducción sigue el esquema: ¿Cómo se enseña usualmente la graficación? ¿Cuál es el efecto de esta enseñanza? ¿Qué proponemos como alternativa de graficación? ¿Qué propone el lector al res- pecto de la graficación? Los seis capítulos siguientes definen un método y dotan de una postura académica a la propuesta que encarna este libro. Cada capítulo debe desarrollarse con apego a un método y habrá de tener una estructura como la siguiente: a) ¿Cómo funciona el método? Presentar un ejemplo que muestre el uso del método propuesto, habrá que favorecer el uso de la tecnología cada que nos sea factible. b) ¿Por qué funciona el método? Explicar visual y analíticamente la razón por la cual el método propuesto opera. Discutir su significado. c) ¿Qué es un programa? Explicar la construcción de un programa elemental aplicado al tema en cuestión. PRESENTACIÓN 9 d) ¿Cuáles actividades son recomendadas? Mostrar un amplio abanico de actividades escolares que puedan resultar útiles en una clase. Quizá se pueden proponer mediante una clasificación: tareas, proyectos, problemas, ejercicios, etcétera. El capítulo 2, Una introducción a las funciones y sus gráficas, introduce al lector en el manejo de las propiedades más características de las funciones, como su paridad, su crecimiento y sus diversas repre- sentaciones. El capítulo 3, Método de la tabulación, localiza en el plano los puntos; tabula y puntea; puntea y grafica; tabula, puntea y grafica; programas, ejercicios y actividades. El capítulo 4, Método de las transformaciones, localiza en el plano las regiones; tabula y bosqueja; bosqueja y grafica; tabula, bosqueja y grafica; programas, ejercicios y actividades. El capítulo 5, Método de las operaciones, interpreta en el plano las operaciones; suma, resta, multipli- ca, divide, compone, etc.; bosqueja los términos; bosqueja el resultado; programas, ejercicios y actividades. El capítulo 6, Método del análisis matemático, construye la anatomía de la gráfica; opera con ellas y con sus regiones; de la fórmula a la gráfica; de la gráfica a la fórmula; programas, ejercicios y actividades. El capítulo 7, Síntesis metódica: un paseo por las gráficas es una colección de métodos que sinte- tizan los usados en los capítulos 2 al 6 y que muestran algunas nuevas funciones y nuevas presentaciones de temas matemáticos convencionales. OBJETIVOS DEL LIBRO Objetivo general de aprendizaje • Profundizar y compartir el conocimiento sobre visualización de las funciones reales de variable real, con el fin de favorecer el desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes y de ayudar a los profesores en la toma de decisiones relativas a la elabora- ción y análisis de actividades de aprendizaje en el campo de la matemática escolar para ser utilizado en clase. Objetivos específicos de aprendizaje • Valorar los usos de la visualización de las funciones en matemáticas, tanto al nivel de los obje- tos didácticos como en el ámbito de su vida cotidiana. • Apreciar el aporte educativo que plantean las distintas alternativas de tratamiento de la graficación en la matemática escolar. • Enriquecer la variedad de enfoques educativos que se derivan de atender la visualización de las funciones. • Diseñar situaciones de enseñanza apoyados en la aproximación teórica del pensamiento mate- mático. • Evaluar su propia práctica de enseñanza. 10 VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO El libro que aquí presentamos tiene una orientación novedosa, pues aunque trata con gráficas de funciones reales de variable real, no se ocupa de la graficación como una mera técnica, sino por el contrario se centra en la graficación como una forma particular de visualización de procedimientos y conceptos matemáticos, la visualización entendida como un proceso del pensamiento matemático. Cada que usamos una estrategia de graficación, ya sea para construir, para interpretar o para trans- formar una forma gráfica, estamos al mismo tiempo desarrollando en el lector una manera particular de pensamiento matemático. Por ejemplo, al discutir el efecto sobre la gráfica de un factor (x – a)2, estamos desarrollando una noción relativa con la forma de contacto entre curvas suaves. De modo que los ejemplos, los ejercicios y los argumentos que proponemos en este libro, son también medios para ser usados en la clase de matemáticas. Cada capítulo tiene entonces una intención específica y el conjunto de ellos también. El capítulo 2 está destinado a brindar una visión panorámica del tratamiento de las funciones desde la perspectiva de la visualización. En él hemos incluido una serie de métodos para tratar con las funcio- nes a un nivel introductorio, cada uno de ellos, de alguna manera, se verá reforzado en el cuerpo del texto. Nos interesa que con la lectura de este libro, particularmente de este capítulo, pueda desarrollar la idea de que la noción de función no es solamente la gráfica, ni la tabla, ni la fórmula, ni la descripción verbal, ni..., sino por el contrario, la noción de función evoluciona con el tiempo en la historia de la humanidad y en la mente de los que la usan y la estudian. Para nosotros, la noción de función será desarrollada con todas esas formas de verla, buscando usarla de diferentes maneras y sobre todo, inter- pretándola y reinterpretándola continuamente. De modo que este segundo capítulo, le permitirá tener una introducción a la noción de función desde una perspectiva múltiple. En los siguientes capítulos, hemos desarrollado un aspecto principal que es indicado desde el título, se busca en cada capítulo proponer una forma de análisis de las funciones mediante el empleo de una técnica particular de graficación, que a su vez es apoyada por una estrategia para el desarrollo del pen- samiento matemático. El capítulo 4, por ejemplo, se ocupa del método de las transformaciones buscan- do, de este modo, ayudar a construir un universo de formas gráficas en la mente de los lectores. Las formas gráficas no sólo son el resultado de las técnicas específicas de graficación, sino por el contrario, son verdaderas entidades conceptuales que permiten analizar e intervenir en múltiples tareas matemáti- cas, de modo que las formas gráficas adquieran un significado propio. Dicho significado debe ser desa- rrollado por los estudiantes en su tarea escolar. Por eso, el capítulo 3, trata la gráfica a través de sus puntos. En este capítulo, esperamos que, en la misma medida en que se avance en la lectura del libro, se vaya haciendo de la gráfica un objeto numérico, es decir, un objeto sobre el cual es posible desarrollar el sentido de la proporción de la forma gráfica. Así como también, este capítulo permite fortalecer una orientación espacial en el plano cartesiano. Nociones como más grande que o menor que, entre los números, adquieren un sentido visual interesante, como por ejemplo, encima de o por debajo de. Este capítulo inicia con un tratamiento de las formas gráficas que van y vienen de las tablas numéricas. En los capítulos siguientes, 5 y 6, nos ocupamos de desarrollar el sentido de la gráfica como una totalidad, es decir, la curva representativa de una función es susceptible de operaciones sucesivas, prime- ro por sus partes y luego como una entidad completa. De ahí pasamos a las operaciones con funciones en el capítulo 5 para dar lugar al análisis de la forma por la naturaleza de sus componentes en el capítulo 6. En este sentido, dicho capítulo permite introducir a las funciones a través de sus aproximaciones analí- ticas. PRESENTACIÓN 11 Finalmente, en el capítulo 7 hemos realizado un extenso recorrido por diversos tipos de funciones y de familias de gráficas. Es aquí donde se presentan a un nivel inicial funciones trascendentes, como las funciones circulares e hiperbólicas, exponenciales y logarítmicas. Asimismo, presentamos una síntesis de los métodos que hemos empleado para resolver uno de los problemas que suele resultar más compli- cado, el de proponer una expresión analítica a una forma gráfica dada. Con esto esperamos que se sinteticen no sólo los métodos que se han trabajado a lo largo del libro, sino que se estructuren las diferentes formas de análisis mediante la visualización en un todo sistémico. Para ello, mostramos dos ejemplos que consideramos descriptivos de nuestra propuesta. El primero, inusual en los textos escola- res, discute el sentido visual de la composición de funciones reales de variable real siguiendo una técni- ca de punteo y, el segundo, construye los polinomios de Lagrange desde un enfoque novedoso fuerte- mente apoyado con el acercamiento que fue desarrollado a lo largo del libro. Este libro resume la exploración desarrollada a lo largo de algunos años sobre el diseño y la implementación de un curso preparatorio para la matemática avanzada, siguiendo estrategias de visuali- zación. A veces fue tratado como un seminario sobre graficación de funciones, mientras que en otras ocasiones fue discutido como el sentido visual de teoremas del análisis matemático o de las ecuaciones diferenciales. Finalmente ha sido usado como un curso preparatorio al cálculo o de precálculo, como le suelen llamar en la tradición anglosajona, en el cual el sentido visual es desarrollado. Los autores agradecemos toda sugerencia o comentario sobre la implementación de este material en clase. Pues como toda obra, ésta requiere retroalimentación y de ensayos sucesivos. Queremos señalar que hemos incluido intencionalmente en esta versión del libro, el manejo de las calculadoras con capa- cidad gráfica pues brindan condiciones técnicas adecuadas para llevar adelante nuestra propuesta. En nuestra opinión, estos modelos de calculadoras resultan un medio eficaz para conducir una propuesta educativa como la que presenta este libro. Gisela Montiel y Ricardo Cantoral Ciudad de México, julio del 2001 SOBRE LA VISUALIZACIÓN Y EL ARTE DE GRAFICAR 13 CAPÍTULO 1 Sobre la visualización y el arte de graficar Escrito original de Isaac Newton, 1676. (Tomado de E. Hairer y G. Wanner, Analysis by Its History, 1977.) U na revisión de la literatura especializada sobre el tema de visualización y graficación de funciones reales de variable real, nos permite extraer que, en esencia, son dos las formas clásicas de entender la enseñanza de la graficación de las funciones de ℜ en ℜ; una, la más difundida en el medio educativo, asume que la graficación es una técnica o conjunto de técnicas que permiten bosquejar la gráfica de una función particular, y otra, menos difundida, que entiende a la graficación como una forma de interpretar el sentido y significado de las funciones y de sus propieda- des desde una perspectiva cognitiva. Existen sin embargo, posturas intermedias, al nivel de propuestas de enseñanza, en las que se acepta que esas dos visiones están estrechamente relacionadas. Ello obede- ce quizá al hecho de que los niveles del desarrollo del pensamiento matemático requieren de la visua- lización en distintos grados y en esa medida la graficación de funciones se torna un medio adecuado para lograrla. Adicionalmente ello se ve fomentado en los tratamientos curriculares del precálculo, pues éstos requieren de la graficación como medio de control del significado de objetos matemáticos como definiciones, teoremas, explicaciones de clase, entre otras. De manera que si pensamos en la graficación como una forma de tratamiento del universo de formas gráficas asociadas a las funciones, podremos ocuparnos de contestar algunas preguntas que permiten descri- bir cómo es que los jóvenes y los adultos perciben dicho universo, o bien, saber cuáles códigos usan para descifrar y procesar la información visual que éstos contienen. Estas preguntas han preocupado a los inves- tigadores de la matemática educativa desde hace algunas décadas. Estos acercamientos planteaban la nece- sidad de construir nociones nuevas que dieran cuenta de la forma en que las personas se relacionan con su espacio y surgen así nociones como visualización y percepción espacial. Ello condujo a explorar la clase de habilidades visuales que se necesitan para aprender geometría o análisis matemático, por ejemplo. 13 14 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO Desde la perspectiva desarrollada por Jean Piaget, al explorar la concepción de espacio que desa- rrollan los niños, así como la noción de geometría que evoluciona entre ellos, se describen las activida- des representacionales del espacio, entendiendo a la imagen mental del espacio real en el cual los niños actúan, mediante una reconstrucción activa de un objeto en un nivel simbólico, donde las representacio- nes mentales no son solamente evocadas por la memoria. En este sentido las investigaciones estuvieron interesadas en las transformaciones mentales del espacio real en el espacio de representaciones del niño, en aquellos atributos de los objetos reales que son invariantes bajo esas transformaciones y cómo ellos cambian con la edad. De acuerdo con la teoría de Piaget, las primeras transformaciones del niño son aquellas que conservan los atributos topológicos de los objetos tales como interior o exterior de un conjunto, frontera de un conjunto, conexidad o apertura y cerradura de curvas. Sólo después, según las investigaciones piagetianas, el niño está capacitado para transferir a su espacio representacional atribu- tos euclidianos de los objetos, tales como longitud de las líneas o tamaño de los ángulos. Es ahí donde se presentan ideas sobre la conservación de la longitud, el área o el volumen de los objetos geométricos. A diferencia del acercamiento de Piaget, la teoría de los profesores Van Hiele combina geometría como ciencia del espacio y geometría como una herramienta que permite demostrar la estructura mate- mática. Una cuestión importante ligada a la percepción espacial que no sólo se reduce a la geometría, trata de la visualización en las matemáticas. Generalmente se entiende por visualización a la habilidad para repre- sentar, transformar, generar, comunicar, documentar y reflejar información visual. En este sentido se trata de un proceso mental demasiado útil en diversas áreas del conocimiento matemático y científico. En matemáticas se utilizan diferentes representaciones que requieren de la visualización, por ejem- plo las propiedades de inclusión en la teoría de conjuntos suele hacerse con el uso de dibujos como el de la figura 1.1, para describir el caso en que el conjunto A queda contenido en el conjunto B. B A FIGURA 1.1. A contenido en B, A ⊆ B. En el análisis de las funciones por su parte, es usual tratar con representaciones visuales del con- cepto para describir propiedades como la paridad f (x) = f(–x), la periodicidad f(x) = f (x + k), o la trasla- ción de funciones y = f (x + a), y = f(x – a), etc. En estos casos, el apoyo de recurso gráfico permite caracterizar propiedades que jugarán un papel en los resultados posteriores, como puede verse en el cuadro 1.1. Hace algunos años se publicó el libro de visualización en la enseñanza y el aprendizaje en mate- máticas (Zimmermann y Cunningham, 1991), en el cual se discute desde diversas posturas teóricas sobre el papel que la visualización podría llegar a tener en la formación matemática de los estudiantes. Un artículo en particular llamó en su momento poderosamente nuestra atención, pues se analizaba la resistencia a visualizar por parte de los estudiantes. En nuestras investigaciones desde años atrás ha- SOBRE LA VISUALIZACIÓN Y EL ARTE DE GRAFICAR 15 Caracterización analítica Ejemplo de una Caracterización gráfica de una función par: particular función par: de una función par: f (x) = f (–x) f (x) = x2 (x2 – 1) Estas caracterizaciones de la paridad de una función, se utilizan para deducir y explicar resultados teóricos posteriores. Por ejemplo, si f es una función par definida sobre [–a, a], entonces a ∫ ∫ a f ( x )dx = 2 f ( x )dx −a 0 Caracterización analítica Ejemplo de una Caracterización gráfica de una función impar: particular función par: de una función impar: f (x) = – f (–x) f (x) = x (x2 – 1) Estas caracterizaciones de la imparidad de una función se utilizan para deducir y explicar resultados teóricos posteriores. Por ejemplo, si f es una función impar definida sobre [–a, a], entonces ∫ f ( x)dx = 0 a −a CUADRO 1.1. Caracterizaciones visuales y analíticas de la paridad e imparidad de funciones. bíamos encontrado una fuerte correlación entre la habilidad para procesar información visual con la capacidad de analizar información analítica relevante en el campo del cálculo y el análisis matemático. Al respecto nuestro grupo produjo algunas investigaciones que en su momento fueron reportadas por el grupo de investigación del AES, DME/Cinvestav, IPN. Estuvimos interesados en analizar la manera en que los estudiantes abordan problemas como los siguientes: 1. Considere a las variables reales x e y. Suponga que ambas variables representan números posi- tivos. Demuestre entonces que la ecuación xy = yx tiene una infinidad de soluciones reales, pero 16 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO que sólo tiene dos soluciones enteras (es decir, donde tanto x como y sean enteros), tales que (x1, y1) ≠ (x2, y2). 2. Considere la recta que aparece en la gráfica A siguiente. Imagine que el origen de coordenadas funciona como un pivote que permite a la recta “girar” sobre ese punto. Suponga que gira a la recta en sentido contrario a las manecillas del reloj y mide el ángulo que puede girar sin que deje de representar a una función respecto de x. Digamos que si la recta gira menos de 45º, entonces seguirá siendo una función de x. La pregunta es ahora, hasta cuánto podría girar la parábola que aparece en la gráfica B en el mismo sentido contrario a las manecillas del reloj, pero de manera que siga siendo una función de x. y y 4 4 2 2 0 0 x 0 x 0 –6 –4 –2 0 2 4 6 –6 –4 –2 0 2 4 6 –2 –2 –4 –4 GRÁFICA A. GRÁFICA B. 1 ∫x 1 3. ¿Por qué es obviamente incorrecto el siguiente cálculo: 2 dx = −2 ? −1 4. ¿Qué entiende por visualización en matemáticas? En todos los casos, encontramos una serie de regularidades al estudiar el tipo de respuestas de los estudiantes. Una propuesta de exploración con estudiantes fue presentada en el artículo de Zimmermann y Cunningham (1991), donde se muestra un examen en el que, se afirma, la mayoría de los estudiantes presentan dificultades al intentar resolverlo. Hemos querido reproducirlo a continuación con el fin de que usted mismo intente resolverlo. Invitamos al lector que proponga a sus alumnos o a sus colegas esta actividad adaptándola al nivel escolar en el que se encuentre: UN TEST DONDE LA MAYORÍA DE LOS ESTUDIANTES DE CÁLCULO FALLAN (Tomado de Visualization in teaching and learning mathematics, editado en 1991 por W. Zimmermann y S. Cunningham en las notas de la MAA con el número 19, pp. 25-26.) 1. Suponga que la recta L es tangente a la curva y = f(x) en el punto (5, 3) como se indica abajo. Encuentre f(5) y f′ (5). SOBRE LA VISUALIZACIÓN Y EL ARTE DE GRAFICAR 17 y L (5, 3) y = f (x) (0, 1) x  x −1  1 1 1 1  −1  −1 −1 ∫ ∫ dx −2 2. ¿Por qué = x dx =   =   = − = −2 es obviamente incorrecta? −1 x 2 −1 −   −1 1  x  −1 1 −1 3. Encuentre la pendiente máxima de la gráfica de y = – x3 + 3x2 + 9x – 27. 3 4. Evalúe ∫ x + 2 dx . −3 5. Usando la gráfica de dy/dx = f′(x) = (x – 1) (x – 2)2 (x – 3)3, bosqueje la gráfica de la función y = f(x). a 6. Si f es una función impar sobre [–a, a], evalúe ∫ (b + ( f (x )))dx. −a  x ≤1 Sea f (x ) =  2 ax 7. encuentre a y b tales que f sea derivable en 1. bx + x + 1 x > 1 8. En el diagrama P, Q y R son puntos sobre la gráfica de f. Para todo x, –1 < x < 0, f′′(x) < 0 y para toda x, 0 < x < 1, f′′(x) > 0. Si la derivada de f en [–1, 1] existe, ¿cuál de lo siguiente debe ser correcto? y Q R x –1 P 1 f’’ < 0 f’’ > 0 a) f′(0) = 0. b) f tiene un máximo en x = 0. 18 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO c) f tiene un mínimo en x = 0. d) Existe un número c, –1 < c < 0 para el cual f tiene un máximo. e) Existe un número d, 0 < d < 1 para el cual f tiene un máximo. 9. Dada f una función derivable, tal que f(–x) = – f(x). Entonces para cualquier a: a) f′(–a) = –f′(–a). b) f′(–a) = f′(a). c) f′(–a) = –f′(a). d) Ninguna de las anteriores. 10. Suponga que f es una función continua. ¿Cuál de las siguientes opciones es correcta? b b−k a) ∫ f (x − k )dx = ∫ f (x )dx. a a− k b b b) ∫ f (x − k )dx = f (x + k )dx. . ∫ a a b b+k c) ∫ f (x − k )dx = ∫ f (x)dx . a a+ k b b+k d) ∫ f (x − k )dx = ∫ f (x + k )dx . a a+ k e) Ninguna de las anteriores. En este libro abordaremos estrategias que permitan desarrollar la visualización en matemáticas particularmente referidas a la construcción y análisis de las gráficas de funciones reales de una variable real. Como se puede advertir, el desarrollo del pensamiento matemático entre los estudiantes requiere de procesos temporalmente prolongados y que suelen ser mayores a los que la escuela ofrece. Supone, por una parte, de una maestría en el dominio de la matemática y de los procesos del pensamiento asociados, pero exige simultáneamente de rupturas con estilos del pensamiento previo. Para acceder a un desarrollo de la visualización en matemáticas se requiere entre otras cosas, del manejo de un universo de formas gráficas extenso y rico en significados por parte de quien aprende. El conocimiento superficial de la recta y la parábola no son suficientes para desarrollar las competencias esperadas en los cursos. Desde el punto de vista del sistema de enseñanza, tradicionalmente los cursos de precálculo (o de SOBRE LA VISUALIZACIÓN Y EL ARTE DE GRAFICAR 19 preparación al cálculo) se conforman por un repertorio de procedimientos y algoritmos provenientes esencialmente del álgebra y de la geometría analítica, tocando con mayor o menor énfasis el estudio del concepto de función, habitualmente entendido en el sentido de la definición de Dirichlet-Bourbaki. Su enseñanza tiende a sobrevalorar los aspectos analíticos y los procedimientos algorítmicos, dejando de lado los argumentos visuales o los enfoques numéricos. Desde nuestra perspectiva, diremos que la naturaleza del concepto de función es en extremo com- pleja, su desarrollo se ha hecho casi a la par que evoluciona la cultura humana, pues encontramos vesti- gios del uso de correspondencias mediante tablas en la antigüedad, y actualmente se debate sobre la vigencia, en el ámbito de las matemáticas, del paradigma de la función como un objeto analítico. Como se señala en Cantoral y Farfán, 1999, el concepto de función devino protagónico hasta que se le concibe como una fórmula, es decir hasta que logró la integración de dos dominios de representación: el álgebra y la geometría. La complejidad del concepto de función se refleja en las diversas concepciones y repre- sentaciones con las que tratan los estudiantes y profesores. Una extensa lista de obstáculos epistemológicos relativos al concepto de función se encuentra en el artículo de Ana Sierpinska publicado en Dubinsky y Harel, 1992. Desde el punto de vista de las funciones cognitivas, los objetos inmersos en el campo conceptual del análisis son particularmente complejos en este nivel pues, como en el caso que nos ocupa, la presenta- ción habitual de la noción de función se realiza como un procedimiento que se aplica a unos ciertos objetos llamados números; este mismo concepto, el de función, deviene en objeto al ser operado bajo otro proceso como la diferenciación o la integración y así se sigue hasta nociones aún más avanzadas. De modo que al iniciar un curso de análisis, el estudiante debe concebir a la función como un objeto y por ende deberá estar sujeta a las operaciones que otro procedimiento efectúe sobre ella. De otro modo, ¿qué significa operar un proceso? En nuestras experiencias con profesores en servicio en la educación media y superior y con sus estudiantes hemos constatado que en caso de que se logren incorporar ele- mentos visuales como parte de su actividad matemática al enfrentar problemas, entonces se suele mane- jar a la función no sólo como objeto, lo que ya es un gran logro, sino que además pueden transitar entre los contextos algebraico, geométrico, numérico, icónico y verbal con cierta versatilidad; en otras pala- bras, en caso de tener un dominio del contexto visual tanto en la algoritmia, la intuición, así como en la argumentación, será posible entonces el tránsito entre las diversas representaciones. El problema didác- tico en consecuencia, estriba fundamentalmente en la dificultad cognitiva para adquirir maestría en el contexto geométrico, por ejemplo, en el plano de la argumentación es mucho más fácil mostrar algebraicamente que geométricamente la existencia de una raíz doble, razón por la que en la enseñanza se acude al refugio algorítmico con facilidad. La hipótesis central entonces, después de un análisis socioepistemológico a profundidad como el que se desarrolla en Farfán, 1997, consiste en asumir que: previo al estudio del cálculo se requiere de la adquisición de un lenguaje gráfico que posibilite, esencialmente, la transferencia de campos conceptuales virtualmente ajenos a causa de las enseñanzas tradicionales, estableciendo un isomor- fismo operativo entre el álgebra básica y el estudio de curvas, mejor aún, entre el lenguaje algebraico y el lenguaje gráfico. Esta hipótesis ha sido desarrollada tomando las dos siguientes directrices; en primer término se presenta la posibilidad de operar gráficas en analogía con los números o las variables, dando sentido a operaciones fundamentales como las que enunciamos a continuación: 20 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO –f(x) y f(–x) Reflexión respecto del eje x y del eje y respectivamente. f(x + a) y f(x – a) Traslación en la dirección del eje x. f(x) + a y f(x) – a Traslación en la dirección del eje y. af(x) Contracción o dilatación respecto del eje y. f –1(x) Reflexión respecto de la recta y = x. 1/f (x) Invierte ceros en asíntotas y viceversa, las regiones donde |y | > 1 se mandan hacia |y | < 1 y viceversa, dejando intactos a los puntos sobre las rectas y = 1 e y = –1. |f(x)| y f( |x| ) Respectivamente reflexión de las imágenes negativas al simétrico positivo respecto del eje x y reflexión de sustitución del lado de la gráfica con ordenadas negativas por la reflexión del lado de la gráfica con ordenadas positivas. El segundo aspecto relevante lo constituye la posibilidad de construir un universo amplio de funcio- nes a partir de tres funciones primitivas de referencias: • La función identidad, f(x) = x. • La función exponencial, f(x) = ax. • La función sinusoidal, f(x) = sen x. Todas ellas son la base para construir las funciones elementales en el sentido de Cauchy. Respecti- vamente ellas sirven para construir gráficamente, operando a las gráficas, a las funciones algebraicas, logarítmicas, exponenciales y trigonométricas. En este acercamiento ha resultado importante plantear situaciones-problema que involucren enun- ciados algebraicos que favorezcan el uso del lenguaje gráfico, por ejemplo la tarea, resuelve la desigual- x−a + x−b dad ≤ kx que con las estrategias tradicionales para la resolución de desigualdades sería x+b + x+a muy complicada, es ampliamente desarrollada como estrategia de enseñanza en Farfán, 2001. Para todo ello es necesario operar algebraicamente con el fin de obtener la gráfica de las funciones involucradas para que finalmente sean comparadas y estar en condiciones de resolver de este modo los sistemas de SOBRE LA VISUALIZACIÓN Y EL ARTE DE GRAFICAR 21 x ecuaciones a que haya lugar. Asimismo, para buscar los extremos de funciones como la siguiente; ax + b 2 tomando a y b positivos, logramos avanzar en la construcción del puente entre contextos, pues la tarea en el contexto gráfico sirve de guía a la sintaxis algebraica, de modo que ésta refuerza su significado. Veamos otro ejemplo de los problemas que hemos planteado sobre visualización y desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional. Diseñamos un conjunto de cuatro tareas relacionadas unas con otras. Les proponemos una colección de cuatro gráficas idénticas, como la que se muestra enseguida, y les pedimos que utilicen una gráfica para cada inciso, de modo que deben marcar sobre la gráfica la porción en la que se cumpla sólo uno de los siguientes cuatro incisos: 1) f(x) > 0 2) f′(x) > 0 3) f′′ (x) > 0 4) f′′′ (x) > 0 Esperamos que sus respuestas nos indiquen las estrategias variacionales que utilizan y las formas en cómo argumentan su elección frente a sus compañeros de clase. Claramente, como hemos comprobado, la pregunta más compleja para ellos resulta ser la última, pues es ahí donde se exige el uso de estrategias variacionales como única posibilidad de solución del problema. PREGUNTA 1 Marque sobre la gráfica de la función que aparece enseguida la porción que considere cumple con la condición f(x) > 0. 2 1 –3 –2 –1 1 2 3 –1 –2 En este caso, los estudiantes suelen recordar, basados en su enseñanza previa, que la ubicación en los cuadrantes I, II, III y IV determina el signo de la imagen de la función; de modo que las ordenadas positivas estarán en los dos primeros cuadrantes, mientras que las negativas en los restantes. De ahí que contesten esta pregunta con relativa facilidad. 22 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO PREGUNTA 2 Marque sobre la gráfica de la función que aparece enseguida la porción que considere cumple con la condición f′(x) > 0. 2 1 –3 –2 –1 1 2 3 –1 –2 Los estudiantes, en esta oportunidad, confunden con frecuencia el signo de la derivada con el de la función, o en otro caso, recuerdan que las pendientes de las tangentes a la curva determinan el signo de la derivada, de modo que se tendrá para pendientes positivas correspondientes derivadas positivas. Este cambio de registro, la pregunta planteada en el contexto simbólico con apoyo visual, y la respuesta construida en el contexto visual, resulta mucho más complicado para los estudiantes y ello se expresa en dos sentidos, por un lado la proporción de respuestas acertadas es baja y, por otro, las explicaciones que utilizan son escasas y evidentemente escuetas. PREGUNTA 3 Marque sobre la gráfica de la función que aparece enseguida la porción que considere cumple con la condición f′′ (x) > 0. 2 1 –3 –2 –1 1 2 3 –1 –2 SOBRE LA VISUALIZACIÓN Y EL ARTE DE GRAFICAR 23 Como podíamos prever, ahora la situación resultaría más compleja. Pues exige de niveles progresi- vos de abstracción. El recurso dominante en las respuestas de los alumnos, resulta ser la memoria. Puesto que ellos suelen recordar que la segunda derivada positiva se corresponde con la concavidad hacia arriba, en tanto que la concavidad hacia abajo está asociada con la segunda derivada negativa. Aunque no dispongan de explicación alguna para confirmar su razonamiento, pueden contestar a la pregunta. A juzgar por el análisis que hemos hecho de sus respuestas no se desprende la existencia de algún otro argumento que permita enfrentar la situación planteada. De hecho, es usual entre los alumnos disponer de un método mnemotécnico para establecer estas correspondencias, “es cóncava hacia arriba entonces retienen más agua, si lo es hacia abajo retendrá menos agua, de hecho tirará el agua”. Este símil con una cubeta llena de agua puede aparecer como una estrategia para refrescar la memoria. Por supues- to, ello no parece implicar estrategias propiamente variacionales. La última de las cuestiones ponía en evidencia este hallazgo, pues se trata de una situación en la cual no es posible recordar algún conocimiento previo, pues el tema no ha sido tratado en su enseñanza convencional. PREGUNTA 4 Marque sobre la gráfica de la función que aparece enseguida la porción que considere cumple con la condición f′′′ (x) > 0. 2 1 –3 –2 –1 1 2 3 –1 –2 Esta pregunta suele plantear un reto especial, tanto a los estudiantes como a los profesores, pues aunque entienden efectivamente el enunciado del problema, no pueden construir una respuesta que les parezca convincente. Esta dificultad se agudiza si en la pregunta elevamos el orden de la derivada involucrada, dado que carecen de elementos cognitivos y didácticos que les permitan construir una respuesta adecuada. Consideramos que es hasta este momento en que ellos se encuentran en situación de aprendizaje, ya que la serie de tareas anteriores les permite, aunque fuese sólo con recursos mnemotécnicos, dar una respuesta a las preguntas planteadas. Empero, la cuarta pregunta plantea una problemática no prevista por ellos, el éxito en la pregunta radica en poder descifrar los códigos variacionales y articular- los en signos variacionales, pues la respuesta habrá de ser construida. En este momento, los estudiantes 24 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO y los profesores suelen entrar en una situación de aprendizaje muy rica. Sólo quienes han dominado algunas de las estrategias del pensamiento y el lenguaje variacional pueden abordarla eficazmente. He- mos concluido, en este sentido, que el manejo simultáneo y coordinado de las derivadas sucesivas pare- ce ser una condición sin la cual la formación de la idea de derivada y en consecuencia de la noción de predicción deviene inevitablemente frágil. Para ello es que hemos propuesto y explorado el siguiente tratamiento didáctico. Ahora bien, algunas de las actividades de este libro retoman esta filosofía y esos resultados de la investigación contemporánea, para ello hemos elegido a la calculadora Casio modelo Algebra FX 2.0 pues resulta adecuada a nuestros fines didácticos, por esa razón, hemos incluido en esta sección algunas indicaciones para el empleo de la calculadora con capacidad gráfica de modo que éste resulte sencillo y breve. Para tener acceso a los diferentes modos de funcionamiento de la calculadora Algebra FX 2.0 en- cienda el equipo presionando la tecla AC/ON ; al encender la calculadora, se muestra el menú principal en forma automática o la última de las pantallas en las que se trabajó, en tal caso oprima la tecla MENU para acceder a la imagen que mostramos en la pantalla 1.1. PANTALLA 1.1. Pantalla principal de la calculadora Algebra FX 2.0. Para tener acceso al modo RUN MAT, aquel destinado a las operaciones aritméticas con el fin de realizar una gama amplia de cálculos, oprima, estando en el menú principal, la tecla de núme- ro 1 , o desplace el cursor con las flechas hasta colocar la señalización en la primera ventana, RUN MAT, del menú, y oprima entonces la tecla EXE . La imagen que se muestra en la pantalla 1.2 es la siguiente: PANTALLA 1.2. Pantalla del menú RUN MAT. Para realizar cálculos básicos, ingrese los datos del mismo modo en que se escriben sobre el papel, de izquierda a derecha y siguiendo la misma lógica de las operaciones matemáticas. Por ejemplo, si quiere calcular la raíz cuadrada de cuatro, debe teclear la sucesión de teclas SHIFT √ 4 EXE para obtener el 2 como resultado. La pantalla mostrará entonces lo siguiente: SOBRE LA VISUALIZACIÓN Y EL ARTE DE GRAFICAR 25 PANTALLA 1.3. Pantalla de cálculos √4 = 2. Para graficar funciones o elaborar tablas de valores, use la ventana tres GRPH-TBL, del menú principal. Una vez ubicado en el menú principal, elija el submenú gráfico y de tabla presionando la tecla EXE una vez posicionado en GRPH-TBL como se muestra en las pantallas 1.4 y 1.5. PANTALLAS 1.4 y 1.5. A la izquierda, menú principal GRPH-TBL, a la derecha el menú de gráficas. Para introducir una función en el menú de gráficas, oprima las respectivas teclas de las variables y las operaciones en el mismo orden en el que lo haría al escribir la fórmula en una hoja de papel. Por ejemplo, para introducir la función f(x) = x(x2 – 1), debe oprimir las teclas X,θ,T ( X,θ,T X2 – 1. .) , en ese orden. En tal caso obtendrá en la pantalla lo siguiente: PANTALLA 1.6. Menú de gráficas, función f(x) = x(x2 – 1). Al oprimir la tecla EXE , la función queda registrada en la memoria de la calculadora como Y1, y la pantalla se muestra como sigue: PANTALLA 1.7. Menú de gráficas con Y1 seleccionada y en espera de Y2. 26 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO Oprima F5 que corresponde a la instrucción DRAW para trazar la gráfica de la función en la panta- lla de la calculadora. De este modo la gráfica, quedará como sigue: PANTALLA 1.8. Gráfica de Y1 = X(X2 – 1). La ventana que elegimos para lograr esa vista de la gráfica es la que aparece en la pantalla 1.9. Recuerde que las ventanas se eligen con anterioridad y conviene hacer un cierto número de ensayos con el fin de dominar el proceso de elección de la ventana adecuada. PANTALLA 1.9. Ventana de visualización. F1 F2 F3 F4 F5 F6 SHIFT CTRL OPTN MENU REPLAY ALPHA VARS ESC X, q , T log In sin cos tan ab c X2 ( ) , 7 8 9 DEL AC ON 4 5 6 ´ 1 2 3 + = — 0 EXP ( – ) EXE FIGURA 1.2. Vista del teclado de la Algebra FX 2.0. UNA INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS 27 CAPÍTULO 2 Una introducción a las funciones y sus gráficas Y X Tomado de: Historia de las matemáticas a través de la imagen, Somprocyt/IPN/Año Mundial, IES Salvador Dalí, España ♦ OBJETIVO n Familiarizarse con las funciones que describen ciertos fenómenos. n Introducir algunas nociones de base: curva representativa, sentido de variación, paridad e imparidad, crecimiento y decrecimiento, máximo y mínimo. n Realizar lecturas sobre las gráficas de funciones. 2.1. PRESENTACIÓN DE LAS FUNCIONES Llamamos función de una magnitud variable, a una cantidad que es compuesta de cualquier manera posible de esa magnitud variable y de constantes. (John Bernoulli, 1718) Si ahora para cualquier x existe una única correspondiente, y finita, ... entonces y es llamada función de x para ese intervalo... Esta definición no requiere de una regla común para las diferentes partes de una curva; uno puede imaginar la curva como compuesta de las más heterogéneas componentes o como trazada sin seguir ninguna ley. (Dirichlet, 1837) 27 28 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO El concepto de función es fundamental en matemáticas, ciencia y tecnología. El concepto de fun- ción se utiliza en casi todas las ramas de las matemáticas contemporáneas, razón por la que el concepto es de gran generalidad. Nos permite modelar la evolución de fenómenos naturales y sintetizar procedi- mientos en matemáticas, permite modelar la distribución de temperaturas en cada punto de una superfi- cie, a la vez que nos sirve para estimar el valor de un producto comercial en función de la inflación esperada en unos meses. Gracias al concepto de función, podemos saber cuál es la dosis adecuada de medicamento que habrá de tomar un paciente enfermo. De este modo, las funciones nos permiten estu- diar las relaciones que se establecen entre variables, particularmente en este libro trabajaremos con funciones reales de una variable real, es decir, pondremos el énfasis en el estudio de correspondencias entre dos variables reales. Como sabemos, las funciones reales y = f(x) de una variable real x fueron, desde Descartes, la herramienta fundamental para el estudio de curvas geométricas y, desde Galileo, para los cálculos mecá- nicos y astronómicos. La palabra functio fue propuesta por Leibniz y por John Bernoulli, mientras que el símbolo f fue introducido por Euler (1734). En la época de Leibniz, Bernoulli y Euler, las funciones reales fueron pensadas como expresiones compuestas por entidades algebraicas. Durante el siglo XIX, principalmente bajo la influencia de la teoría analítica del calor de Fourier y el estudio que hiciera Dirichlet de las series de Fourier, se edificó una noción de función aún más amplia según la cual, una función podría ser entendida como “cualquier curva libremente trazada” o “cualquier asociación de valores de y definidos en dependencia de los valores asignados a la x”. A continuación se muestran dos de las definiciones que suelen presentarse en los libros de texto contemporáneos, ambas aunque equiva- lentes, son usadas con propósitos diversos. Limitaremos nuestra atención a funciones de una clase muy particular, funciones reales de variable real. Pensemos como punto de partida que una función puede entenderse como una regla que asigna a cada uno de ciertos números reales un número real, por ejemplo, ilustremos esto con frases como las siguientes: • La regla que asocia a cada número real su cuadrado. • La regla que asocia a cada número real su mayor entero menor o igual que él. • La regla que asocia a cada número real no negativo, su raíz cuadrada. • La regla que asocia a cada número real x entre –1 y 1, el número real 1 − x 2 . • La regla que asocia a cada número real el número de veces que aparece el 2 en los primeros 10 dígitos de su expansión decimal. • La regla que asocia a cada número racional el 1, y a cada número irracional el 0. • La regla que asocia a cada número real diferente de 1, el número π, y al 1 le asocia el número real que usted quiera. 3x 4 − x 2 + 1 • La regla que asigna a todo número real x ≠ 1 y x ≠ –1, el número . x2 −1 UNA INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS 29 Es importante observar que las funciones no necesariamente están dadas por fórmulas algebraicas, como acaba de constatar, sin embargo, aquellas funciones que están dadas por fórmulas son de mucha utilidad en diversos campos de las matemáticas y de las ciencias; por ello es que resultan objeto de estudio en cualquier currículo contemporáneo. El conjunto de números a los cuales se aplica una fun- ción recibe el nombre de dominio de la función. Definición de función como relación entre variables Una función es una relación entre variables tal que a cada valor de la primera variable (variable dependiente) le corresponde sólo un valor de la segunda variable (variable independiente). Si x representa a la variable depen- diente, y describe a la variable independiente; esto se suele escribir como y = f(x) con el fin de representar el hecho de que la variable y está en función, depende, de la variable x. Definición de función como correspondencia entre conjuntos Una función f: A → B consiste en dos conjuntos, el dominio A y el rango B. Esta correspondencia es denotada por y = f(x) o x → f(x). La expresión f(x), representa entonces al valor de f en x, o también llamada la imagen de x bajo f. Estas definiciones, como la gran mayoría de las que usan en matemáticas, son el producto de pro- fundas síntesis que suelen ser realizadas por generaciones enteras de científicos. De modo que solemos decir, “la noción de función del siglo XIX”, o “la noción de función de la escuela euleriana”. Sin embar- go, para quienes estamos interesados en los aprendizajes, sabemos que los conceptos no se pueden reducir a su definición, pues de hacerlo, corremos el riesgo de no producir aprendizajes entre las y los estudiantes. Por esa razón mostramos a continuación diversos procedimientos que favorecen el desarro- llo del sentido de función entre las y los estudiantes. En este capítulo entonces, tratamos el concepto de función desde el punto de vista de su aprendizaje, es así que hemos optado por desarrollar y proponer al lector una serie de actividades matemáticas que permiten desarrollar habilidades para el tratamiento del concepto de función. Aunque la definición moderna del concepto de función que domina en la literatura escolar, aquella conocida como la definición Dirichlet-Bourbuaki, que trata la correspondencia entre conjuntos sin espe- cificar la naturaleza de éstos, nosotros trataremos exclusivamente con conjuntos de números reales y más particularmente con intervalos o reuniones finitas de intervalos. En nuestra opinión, es en estos tipos de conjuntos que puede desarrollarse, en su etapa inicial, el sentido de función antecediendo a una generalización mayor. Adicionalmente, el tratamiento que seguimos en este libro pone particular aten- ción en distintas representaciones del concepto de función, de modo que con frecuencia hablaremos de la función como una regla de correspondencia, como una fórmula explícita, una curva representativa, una tabla de valores, una correspondencia arbitraria y una relación de dependencia. Iniciamos este capítulo con la clasificación de las funciones que diera Euler en 1748. Es importante saber que dicha clasificación sigue siendo válida hoy día y puede ayudarnos a entender algunos aspectos 30 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO importantes de las funciones. De hecho, en este libro, siguiendo la terminología de Euler, trabajaremos con funciones algebraicas y trascendentes. La mayor parte del tratamiento la haremos con funciones polinomiales y con funciones racionales. En la parte final del libro haremos una introducción de algunas de las funciones trascendentes más usuales en la enseñanza. entera racional fraccionaria algebraica irracional función trascendente CUADRO 2.1. Clasificación de las funciones. Euler, 1748. Una función polinomial de x en los reales, tiene una expresión algebraica como la siguiente, f(x) = an xn + an–1 xn – 1 + ... + a2x2 + a1x + a0, con a0, ..., an números reales. Si an ≠ 0 se dice que la función polinomial es de grado n. Según la clasificación euleriana, un polinomio es entonces una función algebraica racional entera. Por ejemplo, la función dada por la fórmula f(x) = 5x6 + 3x – 1 es una función polinomial de grado seis. Una clase más amplia de funciones son las racionales, de hecho ellas incluyen a las funciones polinomiales o polinómicas, pues una función racional es una que se expresa como el cociente de dos funciones polinómicas. Expresiones como las siguientes representan funciones racionales: • 5x 3 + 2x − 3 f ( x) = . 3x 4 − 1 • 1 f ( x) = . x • f (x) = x + 1. Esta última función también es racional, ¿por qué? Una función que a cada x real, le asocia un número real c, es decir, que a cada x le asocia el mismo número c, se denomina función constante. Por ejemplo las funciones f(x) = 5/3, f(x) = 1, f(x) = –3 o f(x) = √5 son funciones constantes. Asimismo, se conoce como función lineal aquella para la cual, a cada real x le asocia el número ax + b, con a y b reales, y a diferente de cero. Función cuadrática por UNA INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS 31 su parte, es aquella que asocia a cada real x, el número real ax2 + bx + c, donde a, b y c son reales y a no cero; la cúbica, cuártica, etc., tienen natural y respectivamente asociadas expresiones algebraicas de grado tres, cuatro, etc. Dichas notaciones fueron establecidas con el paso del tiempo, por ejem- plo en el siglo XVII, Newton tenía la necesidad de aclarar el sentido de sus notaciones. Por ejemplo, decía: 1 1 1 1 1 3 5 Aquí será propio observar, que hago uso de x-1, x-2, x-3, x-4, etc., para , 2 , 3 , 4 , etc.; de 2 , 2 , 2 , 1 x x x x x x x , 2 , etc. para x , x 3 , x 5 , 3 x , 3 x 2 , etc... x3 x3 Newton, 1671 2.2. CÓMO SE INTERPRETA A UNA FUNCIÓN Mediante una fórmula explícita Pensemos, por ejemplo, en la expresión f(x) = x – x2. Esta permite asociar a cada número real x, el número x – x2. Así por ejemplo, para x = 1, se asocia el número 1 – 12 = 1 – 1 = 0, y se dice entonces que 0 es la imagen del 1 bajo la función f. De manera general, se dice que x, tiene a x – x2 por imagen bajo f. ♦ Ejemplos: • f(x) = x – 3x2 + 0.7x3. • f(x) = x1/3 + 1. • f(x) = 2x2 + 1. • f(x) = x2 – 1. • f(x) = 1/x. • f(x) = (x – 3) (x – 5)2. • f(x) = (x – 3)2/(x + 1)3. x 2 + 2x • f ( x) = x −1 . Con la ayuda de instrucciones de una calculadora Por ejemplo, la tecla √ permite asociar a todo número positivo, su raíz cuadrada. Esta tecla está ligada a la función f definida sobre el intervalo [0, ∞) mediante la fórmula conocida f(x) = √x. De modo que la secuencia de teclas 32 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO Da por resultado el número 3, como se puede apreciar en la siguiente pantalla: PANTALLA 2.1. Menú MAT. Consideremos ahora una secuencia de teclas como la siguiente: Ésta presenta a la función dada por la fórmula (x2 + 2)/x. De modo que si antes asigna a la x el valor de 2, la sucesión de teclas dará como resultado (22 + 2)/2 = 3. Es decir, produce el valor f(2) = (22 + 2)/2 = 3. ♦ Ejemplo: Esta secuencia produce como resultado la expresión (x2 + 2)/x. En caso de que esto se haga en el menú de gráficas, produce la función Y1 = (x2 + 2)/x. En otro caso, estando en el menú de operaciones matemáticas, asigne un valor particular para la variable x, y éste quedará guardado en la memoria, por ejemplo si asigna previamente a la memoria el número 10, tendrá por resultado al presionar EXE , al número 10.2; esto a causa de que la función en cuestión evalúa como sigue: f(10) = (102 + 2)/10 = 102/10 = 10.2, y de este modo f(10) = 10.2. Con la ayuda de una secuencia de teclas Ejemplos de funciones introducidas por secuencias de instrucciones en una calculadora. Consideremos las siguientes secuencias de instrucciones. En el menú de gráficas describa a qué expresión da lugar y asigne algún valor de x en la memoria para evaluar a la función en dicho punto. UNA INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS 33 Con el auxilio de una tabla de valores Sobre el menú de tablas, calcule las imágenes de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... bajo la función f(x) = x2 – 2x + 1. x y 0 1 1 0 2 1 3 4 4 9 5 16 6 25 7 36 8 49 9 64 Arithmetica D E Numeri continue Logarithmi rationales 10 1,000 31622,77660,16837,93319,98893,54 0,50 17782,79410,03892,28011,97304,13 0,25 13335,21432,16332,40256,65389,308 0,125 11547,81984,68945,81796,61918,213 0,0625 10746,07828,32131,74972,13817,6538 0,03125 10366,32928,43769,79972,90627,3131 0,01562,5 ... ... 34 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO FIGURA 2.1. Original de los cálculos de las raíces cuadradas sucesivas del 10 y de sus logaritmos respectivos en la base 10 de Briggs, 1624. (Tomado de E. Hairer y G. Wanner, Analysis by Its History, 1977.) Localice el valor de 0 en la fila de las x y lea el valor correspondiente en la fila de y. De modo que si la x = 0, y = 1. Esto se escribe de la manera siguiente: f(0) = 1. Equivalentemente, f(2) = 1, f(3) = 4, etc. En el caso de la tabla de Briggs, se tiene que el 10 se corresponde con el 1, mientras que √ 10 + 3.162,277,660,168,379,331,998,893,54 se corresponde con ½ = 0.5. ♦ Ejemplos: UNA INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS 35 Mediante el trazo de una curva La curva C, que ve en la figura siguiente, permite asociar a cada valor de x entre 0 y 5, el número y = f(x). De este modo tiene a la función definida sobre el intervalo [0, 5]. y x 0 1 2 3 4 5 En tal caso tiene: f(0) = 0. f(1) = 3.1. f(4.75) = f(1) pues 1 y 4.75 tienen la misma imagen. ♦ Ejemplos: y x y x 36 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO y x y x Por una relación de dependencia Es usual encontrar relaciones de dependencia en diferentes campos del conocimiento, por ejemplo en geometría, en las ciencias naturales y sociales, así como en diversos campos de la tecnología. Vea algu- nos ejemplos: • En un lugar determinado de la superficie terrestre, la temperatura está en función de la altitud. • El área de un círculo está en función de su radio r. A(r) = πr2. • El precio de un producto está en función de la demanda. Mediante correspondencias arbitrarias Una función es una colección de pares de números con la siguiente propiedad. Si (a, b) y (a, c) pertenecen a la co- lección, entonces debe ser b = c. La correspondencia en- tre variables o entre elementos de un conjunto, puede es- tablecerse en términos de elecciones arbitrarias. Por ejem- plo, podemos tener una función construida como sigue: coloque una cuerda sobre una mesa, fije sus extremos con un clavo, algo así como la cuerda de una guitarra movién- y dose sobre un plano. Hágala vibrar, y a los diez segundos x detenga, hipotéticamente, su vibración. Cada punto del FIGURA 2.2. UNA INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS 37 intervalo [a, b] tendrá asociado el valor correspondiente a la ordenada de la curva en ese instante. Ese fenómeno determina una función real de variable real. Otros ejemplos del mismo tipo pueden encontrarse en la teoría de las probabilidades o en las cien- cias experimentales, del mismo modo que en matemáticas podemos decir, “sea f una función creciente”, esto, no sé de cuál función en particular se está hablando, pero en cambio sé cuál es la propiedad que cumple. Esta generalización del concepto de función tuvo lugar a lo largo de siglos, gracias, por una parte, a los procesos de matematización de la ciencia, como a la propia extensión del aparato teórico y de sus fundamentos en matemáticas. Por ejemplo, las siguientes funciones no tienen una forma típicamente escolar del bachillerato, pero son funciones matemáticas legítimas. 1 x ∈ I • f ( x) =  , función propuesta por Dirichlet (1829). 0 x ∈ Q ∞ ∑ sen (n2 x) • f (x) = , función propuesta por Weierstrass (1872). n =1 n2  1  xsen( ) x ≠ 0 • f ( x) =  x , función propuesta por Cauchy (1821).  0 x=0  π  2 x>0  • f ( x ) = lím arctan(nx ) =  0 x=0 . n→∞  π − 2 x<0  REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN Definición Sea f una función definida sobre A. Cuando la variable x recorre el intervalo A, el conjunto de todos los puntos M de coordenadas (x, f(x)) constituye la representación gráfica de la función f, o también llamada la curva representativa Cf de f. Sintéticamente podemos llamarle la gráfica de f, y la simbolizamos como Gf. Ahora bien, si M(x, y) es un punto de Cf esto significa que x pertenece al conjunto A y que la y es la imagen de x bajo f, es decir, está dada por la expresión y = f(x). Coloque los puntos y visualice la curva Consideremos f definida sobre [–1, 3] por f(x) = x – x2. A partir de la tabla de valores podemos inferir el aspecto de su curva representativa: 38 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO x –1 –0.5 0 0.5 1 2 3 f(x) –2 –0.75 0 0.25 0 –2 –6 La tabla de valores anteriores permite colocar los siete puntos correspondientes de la curva representa- tiva Cf como se muestra enseguida: y x GRÁFICA 2.1. Gráfica de f(x) = x – x2. El trazo puede ser obtenido a mano completando los espacios entre puntos mediante una curva lisa o suave (se entiende como una curva sin picos). ¿Cómo saber si el punto M(2, –4) pertenece a la curva Cf? Directamente, se calcula en la expresión f(x) = x – x2 el valor que toma f(2) = 2 – 22 = –4. En conse- cuencia el punto M pertenece a la curva Cf . En el caso de que un punto, digamos el N(2, 3), no satisfaga la expresión f(x) = x – x2 indica que no está sobre la curva Cf. Efectivamente, en este caso f(2) = 2 – 22 = –4 ≠ 3, así que la respuesta es que el punto N no pertenece a la curva. ALGUNAS NOCIONES QUE LE SERÁN UTILES A LO LARGO DEL LIBRO Sentido de variación Cuando la curva Cf, en el sentido en el que x crece, sube, decimos que la función es creciente; y cuando baja, decimos que la función es decreciente. Veamos el caso siguiente. Pensemos en la función dada por f(x) = –x 2 + 1 definida entre –1 y 1. Este crecimiento de f sobre [–1, 0] traduce el hecho de que, en [–1, 0], si x aumenta, entonces f(x) aumenta, es decir, se x ≤ x′, entonces la imagen crece, pues va de f (x) a f(x′), y estos valores cumplen con f(x) ≤ f(x′). Después del cero, en cambio, cuando x crece, la f decrece. UNA INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS 39 1.2 y 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 x –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 –0.2 GRÁFICA 2.2. Gráfica de f(x) = –x2 + 1. Definición Sea f una función definida sobre un intervalo I. Se dice que f es creciente sobre I cuando, para todos los valores reales x y x ′ de I que cumplen con x ≤ x ′, se tiene que f(x) ≤ f(x′). Se dice que f es creciente sobre I cuando, para cualesquier x y x′ de I que cumplen con x ≤ x′, se tiene en consecuencia que f(x) ≤ f(x′) Estudiar el sentido de variación de una función es precisar los intervalos donde ella es creciente y aquellos donde es decreciente. Estos resultados pueden ser resumidos como sigue: ♦ Ejemplos: • Variaciones de f: [0, ∞) → ℜ , dada por la fórmula x a f ( x) = 1. x Como sabemos si 0 < x ≤ x′, entonces 0 < 1/ x ′ ≤ 1/x. De ahí que f(x′) ≤ f(x), entonces la función f es decreciente sobre [0, ∞). • Variaciones de la función dada por la regla f(x) = x3 + 1 definida en el intervalo (-∞, ∞). Sean x y x′ números reales, es decir, x, x′ + ℜ, tales que x ≤ x′, entonces x3 ≤ x′3. De modo que la función es creciente en todo ℜ = (-∞, ∞). Sobre una calculadora gráfica Haga el tratamiento sobre la función 2x – x3, para ello tecleamos en la calculadora la sucesión de teclas: 40 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO Trace la curva representativa, oprima la tecla F5 la cual corresponde a DRAW. Regresr a la pantalla inicial mediante la sucesión de teclas CTRL F5 (G ↔ T) o bien con la tecla ESC . PANTALLA 2.4. y = 2x – x3. ♦ Ejercicios Funciones: definiciones diversas Por una fórmula explícita (ejercicios 1 a 3) 1. La función f asociada al número real x, está dada por la fórmula: f(x) = (x – 3)2 + 2. Calcule f(0), f(3), f(–3), f(11/5) y f( √3). ¿Cuál es la imagen de 1, de 1.2 y de –1/3? Encuentre dos números reales que tengan la misma imagen. En los ejercicios 2 y 3, encuentre el dominio de definición de la función. Es decir, encuentre el intervalo o la reunión de intervalos tal que la función esté definida sobre ellos y no fuera. 2. a) f(x) = 2 – 1/x. b) f(x) = 8/(x – 3). c) f(x) = (x + 3)/(2x + 1). 3. a) f(x) = 2 + √x. b) f(x) = √(x + 1). c) f(x) = √(4 – x). d) f(x) = 1/√x. Con la ayuda de una calculadora (ejercicios 4 y 5) 4. Un número real x está guardado en la memoria de la máquina, ejecute la sucesión de teclas siguiente: UNA INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS 41 Secuencia 1 + 1 EXE SHIFT ) EXE Secuencia 2 X, q , T EXE ( – ) X, q , T ( X, q , T + 1 ) EXE a) Ejecute esas dos secuencias para diferentes valores de x. b) Explicite la función definida en los dos casos, después intente explicar los resultados obtenidos en el inciso anterior). 5. Escriba una sucesión de máquina asociada a la función: 3x + 1 f ( x) = . x2 − 9 1 f ( x) = x − . x Con la ayuda de una tabla 6. La tabla de una función cuadrática se obtuvo al evaluarla en los números que están en la fila 1, y se obtuvieron los resultados correspondientes en la fila 2. Defina una función mediante una fórmula explícita. 1 0 1 2 –2 3 5 2 –5 –4 –1 –1 8 20 Mediante el trazo de una gráfica 7. La curva que aparece a continuación representa la trayectoria de un proyectil. Para cada valor de x en metros, 0 ≤ x ≤ 80, 0 ≤ a(x) ≤ 30 es la altura correspondiente en metros. Gráfica de a(x). a) Analice la información gráfica. 42 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO 1) El dominio de a(x). 2) Cuáles son los valores a(0), a(10), a(20), ..., a(70), a(80). b) Interprete los resultados anteriores con base en la situación enunciada. Por una relación de dependencia (ejercicios 8 a 10) 8. En electricidad. En un circuito, la resistencia R es equivalente a las dos resistencias r1 y r2 puestas en para- lelo, en ese caso se cumple la relación siguiente: 1 1 1 = + . R r1 r2 Exprese R en función de r1 y r2 . Exprese r1 en función de R y de r2 . 9. En termodinámica. La presión P de un gas en un volumen constante V0 está en función de su temperatura T, y se expresa por la relación: T = PV0 Exprese la presión P en función de la temperatura T y del volumen V. Exprese el volumen V en función de la presión P y la temperatura T. 10. En física. En la superficie de los océanos, la presión media es aquella que posee normalmente la at- mósfera (1.033 kg/cm2), mientras que la presión aumenta con la profundidad a una razón de 1 kg/cm2 por cada 10 m. a) ¿Cuál es la presión a una profundidad de 6,000 metros? b) Defina mediante una fórmula explícita la presión como una función de la profundidad. 11. En geometría. Sobre la siguiente figura, se tiene que A(2, 1) y M(x, 0). Si se denota por f(x) a la pendiente de la recta AM, UNA INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS 43 Determine los valores de f(–1), f(0), f(1) y f(3). ¿Cuál es el dominio de la función f ? Gráficas de las funciones 12. La curva siguiente es la representación gráfica de una función f. a) Sobre qué intervalo está f definida. b) Aproxime el valor de las imágenes de f para los números siguientes: –1; –0.5; 1; 1.9; 2 + 1/8. 2 13. Sea Cf la curva representativa de la función que asigna a cada real x el real f (x) = x . x −1 a) ¿Cuál es el dominio de definición de f? b) ¿Cuáles, de entre los puntos siguientes, pertenecen a Cf? A(0, 0), B(2, 4), C(1, 0), D(1/2, 1/3). c) ¿Cuál es la abscisa del punto de ordenada 3? ¿Cuál es de ordenada 100? 14. Asociación de la gráfica con la fórmula. Considere a las cuatro funciones siguientes: f(x) = 1 + x – x2 ; g(x) = abs (x – 1) + 1; –1 = x h(x) ; –1 = x k(x). 44 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO a) Determine las imágenes de 0 y 1 para cada función. b) Teniendo las cuatro curvas representativas de las funciones anteriores, asocie a cada función su curva. 15. ¿Verdadero o falso? a) La población mundial es una función creciente del tiempo. b) En un balón, la presión es una función decreciente del volumen. c) Para un rectángulo de área 10 cm2, el ancho es una función decreciente del largo. d) Cuando un vehículo frena, la distancia de frenaje es una función creciente de la velocidad. 16. Diseñe una tabla de variaciones para cada una de las funciones representadas gráficamente en los ejercicios 7 a 11. 17. Las dos curvas siguientes son las representaciones gráficas de dos funciones f y g definidas sobre [–3, 3]. UNA INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS 45 a) Complete la tabla de variaciones de f y de g. b) ¿Permite la tabla de variaciones conocer de qué función se trata? 18. De acuerdo con la siguiente tabla de variación de una función f: x –5 –3 2 4 f(x) 6 î ì 4 î 1 0 trace tres posibles gráficas diferentes de f que cumplan con la anterior tabla de variaciones. 19. Determine el sentido de variación de: a) f(x) = √x en [0, + ∞). b) f(x) = x2 + 1 sobre [0, + ∞) y luego sobre (–∞, 0]. 4 c) f ( x) = 1 + sobre [0, + ∞) y luego sobre (–∞, 0]. x 20. En el plano xy, se tienen los puntos A(2, 1) y M(x, 0). Diseñe la tabla de variaciones de las funciones siguientes sobre [-5, 5]: a) l(x) = longitud de AM. b) a(x) = área del triángulo OAM. c) p(x) = pendiente de la recta AM. 46 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO PARIDAD Estudie la paridad de una función, significa precisar si f es par o impar, o bien ni par ni impar. 21. En la siguiente figura se muestra una parte de la curva representativa de una función f definida sobre ℜ. Complete el trazo suponiendo que: a) f es par. b) f es impar. c) f no es par ni impar. 22. La gráfica de una función f definida sobre [–4, 4] está parcialmente representada en la siguiente figura. a) ¿La función f puede ser impar? b) Complete el trazo suponiendo que es par. En los ejercicios 23 a 25, explore la paridad de las funciones. 23. a) f(x) = x3 + 2. b) f ( x ) = x . 1+ x2 UNA INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS 47 c) f(x) = x2 – x. d) f(x) = (x – 3)2 + 3x. 24. 7 a) f ( x) = − . x 1 b) f ( x) = x 2 + . x 1 c) f (x) = x 2 + . x2 25. a) f(x) = (x + 2)2 . b) f(x) = (x + 3)2 – (x – 3)2 . 26. Estudie la paridad de la función distancia D(x), la cual representa a la longitud del segmento AB que une los puntos A(0, 2) y B(x, 0) en el plano cartesiano. MÁXIMOS Y MÍNIMOS En los ejercicios 27 y 28 considere la función f definida sobre [-3, 3] y representada gráficamente en la figura N. 27. a) Construya la tabla de variaciones de f, después determine su máximo y su mínimo sobre cada uno de los intervalos [–1, 3], [1, 3] y [–1, 2]. b) ¿Cuál es el mínimo en el intervalo [–1, 1.34]? 48 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO 28. ¿Verdadero o falso? Sobre el intervalo [0, 2.6], f alcanza su máximo en un solo punto de este intervalo. 1 29. La función dada por la relación x a admite sobre el intervalo (0, + ∞), ¿un máximo?, ¿un x mínimo? 30. a) Considere a la función f definida por la fórmula f(x) = (x + 2)2 + 3. Muestre que, para todo x, f(x) ≥ 3. Determine los valores de x tales que f(x) = 3. Deduzca que f admite el valor 3 como mínimo sobre ℜ, y que ese mínimo es alcanzado en el valor –2. b) Con el método empleado en el inciso anterior, muestra que cada una de las funciones si- guientes admite un mínimo y sobre ℜ y precice los puntos donde este mínimo es alcanzado. 1 2 x a x( x − ) 2 − . 3 3 x a x −1 + 2 . xa x−3 . TRABAJO CON LA CALCULADORA 31. Considere una ventana en la calculadora dada por [–5, 5] por [–3, 3], esto es que los valores de x están entre –5 y 5, mientras que los de y están entre –3 y 3. Más específicamente, –5 ≤ x ≤ 5, mientras que los de y están entre –3 ≤ y ≤ 3. ¿Cuáles de los puntos siguientes están en la ventana de visualización?: (–6, 2); (5, 5), (3, 5), (–2, 2), (0, 0), (125, 34), (–10/2, 9/3). 32. Grafique la función y = x2, en distintas ventanas de su calculadora: [–0.5, 0.5] por [–0.5, 0.5]; [–1, 1] por [–1, 1]; [–2, 2] por [–2, 2]; [–10, 10] por [–5, 5]; [0, 3] por [0, 9]; [1, 1] por [2, 4]; [2, 2] por [3, 3]. 33. Elija una ventana en la que no se vea la gráfica de la función y = x3. 34. ¿Cuáles de los siguientes puntos son simétricos entre sí, respecto del eje y?: (1, 2); (3, 4); (–1, 2); (–1, 1); (0, 1); (3, –4); (–3, –4); (–2, 2), (2, 2). 35. ¿Cuáles de los siguientes puntos son simétricos entre sí, respecto del origen?: (1, 2); (3, 4); (–1, 2); (–1, 1); (0, 1); (3, –4); (–3, –4); (–2, 2); (2, 2); (0, –1). MÉTODO DE LA TABULACIÓN 49 CAPÍTULO 3 Método de la tabulación Tomado de: Historia de las matemáticas a través de la imagen, Somprocyt/IPN/Año Mundial, IES Salvador Dalí, España A lo largo de su historia, los seres humanos han generado una cantidad impresionante de infor- mación y una de sus tareas principales ha sido organizarla. Podemos observar cómo diversas ramas científicas se han encargado de mantener un orden, principalmente mediante los textos. Hoy, gracias a la tecnología de la información podemos organizar y almacenar una vasta cantidad de ella mediante archivos y acceder a los detalles de manera inmediata. Pero la finalidad de este trabajo, que hoy día facilita la tecnología, es la de analizar dicha información de manera que podamos utilizarla en otras tareas, por ejemplo en la predicción de fenómenos. En matemáticas, la tabulación es una forma humana de organización de la información. Su tarea entonces, será la de analizar, entender y utilizar dicha información en otros contextos, tanto matemáticos como sociales. 3.1 TABLAS, GRÁFICAS Y FÓRMULAS El primer acercamiento significativo de los estudiantes al concepto de función es, sin duda, mediante la elaboración de tablas. El método de la tabulación es una poderosa herramienta para la elaboración de conjeturas y principalmente para el bosquejo de formas gráficas que sintetizan la información. Una tabla que muestre los valores de la variable independiente x y de la variable dependiente y, puede darle razón del comportamiento de una función, o bosquejo de su gráfica. Observe por ejemplo una tabla, los puntos que representa en el plano de coordenadas y la gráfica de su función, en el intervalo –2 ≤ x ≤ 2: 49 50 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO X Y 10 10 8 8 –2 –3 6 6 –1 0 4 4 0 –1 2 2 1 0 –2 –1 1 2 –2 –1 1 2 –2 –2 2 9 –4 –4 Sin embargo, como muchas herramientas, la tabulación tiene sus limitantes. ¿Qué pasa si para la función anterior el alumno sólo hace una tabla con valores de x positivos mayores que cero?, en muchos casos somos los profesores quienes definimos la tabla, de tal manera que orillamos al alumno a aceptar algo y no a explorar sobre sus conjeturas. Además, hemos hecho rutinario el paso de una tabla a una gráfica, pero, ¿qué podemos analizar en una tabla que nos brinde una idea de cómo se comporta la gráfica de la función antes de graficarla? Analice el caso anterior con el siguiente ejemplo: Aquí tiene un cero entre dos valores X Y negativos, lo cual supone que la gráfica –2 –3 de la función no cambia Si explora con valores de cuadrante de x menores de –2, la función –1 0 en esta zona. decrece infinitamente. Si explora valores mayores que 2, crece infinitamente. 0 –1 Aquí tiene un cero 1 0 entre un valor negativo y uno positivo, lo cual supone que la gráfica 2 9 de la función cruza el eje x y pasa del 4º al 1er. cuadrante en esta zona. Si hace una exploración alrededor de (–1, 0) notará que antes del punto la función es creciente y después de él es decreciente. Si explora alrededor de (1, 0) , notará que la función es creciente antes y después del punto. Si la función es decreciente después de (–1, 0) y creciente antes de (1, 0) quiere decir que hay un extremo de la función en el intervalo (–1, 1). MÉTODO DE LA TABULACIÓN 51 3.1.1. La recta La exploración numérica es una herramienta de base entre los estudiantes, es quizá su estrategia más confiable al abordar problemas nuevos. Por esta razón el tratamiento de tablas constituye una fase importante en el desarrollo del concepto de función. Su labor ahora es dotar de significado a estas tablas, comience por explorar las funciones lineales por medio de tablas. X Y1 X Y2 X Y3 X Y4 X Y5 X Y6 –3 –3 –3 –12 –3 –1.5 –3 6 –3 –2 –3 –6 –2 –2 –2 –8 –2 –1 –2 4 –2 –1 –2 –5 –1 –1 –1 –4 –1 –.5 –1 2 –1 0 –1 –4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 –3 1 1 1 4 1 .5 1 –2 1 2 1 –2 2 2 2 8 2 1 2 –4 2 3 2 –1 3 3 3 12 3 1.5 3 –6 3 4 3 0 Tabla 1 Tabla 2 Tabla 3 Tabla 4 Tabla 5 Tabla 6 Observe que los valores de la tabla 1 describen la función que para cada valor de la variable inde- pendiente x la variable dependiente “Y1” toma el mismo valor. Dicho en otras palabras Y1 = x, y la gráfica que representa esta correspondencia es la siguiente: Y1 4 2 X –4 –2 2 4 –2 –4 Ahora bien, ¿existe alguna relación entre los valores de “Y2” y los valores de “Y1”? (Observe que los valores para x son los mismos.) Si la relación existe, ¿cuál es? En este caso es necesario hacer exploraciones numéricas que permitan conjeturar sobre esta relación y llegar a los siguientes resultados: • Los valores “Y2” son los valores de “Y1” multiplicados por 4. O dicho en su forma analítica es Y2 = 4Y1 = 4X. 52 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO • Los valores de “Y3” son los valores de “Y1” multiplicados por 0.5, que en lenguaje analítico sería Y3 = 0.5Y1 = 0.5X. • Los valores de “Y4” son los valores de “Y1” multiplicados por –2, o dicho en su forma analítica es Y4 = –2Y1 = –2X. (En este caso es necesario destacar el cambio de signo que provoca –2 en los valores de Y2.) • Los valores de “Y5” son los valores de “Y1” más una unidad, que en lenguaje analítico es Y5 = Y1+1 = X+1. • Los valores de “Y6” son los valores de “Y1” menos 3 unidades, o dicho en su forma analítica es Y6 = Y1 – 3 = X – 3. La base fundamental de este análisis es la exploración numérica que nos permita conjeturar sobre la forma de la función, aun cuando hasta ahora no quede claro el papel de los coeficientes de la función lineal y = mx + b. ♦ Actividad 1. Ingrese al menú STAT de su calculadora Algebra FX 2.0 (pantalla 1). 2. En la pantalla de la calculadora (pantalla 3.2) aparecerán varias listas. Utilizando las tablas anteriores introduzca en la columna List 1 los valores de “X”; en la columna List 2, los de “Y1”; en la columna List 3, los de “Y2”, y así sucesivamente. Entonces, a cada valor de List 1 le corresponde un valor de las otras listas. PANTALLA 3.1. PANTALLA 3.2. 3. Para ver la gráfica correspondiente a cada “Y” oprima la tecla [F1] (cerciórese que la opción GRPH esté por encima de la tecla, de lo contrario oprima la tecla [F6] hasta que aparezca), se desplegará un menú (pantalla 3.3), oprima el número 5 (Set) y aparecerá la pantalla 3.4. PANTALLA 3.3. PANTALLA 3.4. MÉTODO DE LA TABULACIÓN 53 En la pantalla 3.4 va a definir las características de la gráfica. Es posible definir tres gráficas, al posicionarse en la primera fila (StatGraph1) se despliega un menú en la parte inferior de la pantalla con las tres opciones. La fila XList define qué columna representa el eje de las “x” y YList el eje de las “y”. En el caso de querer cambiar de lista posiciónese en la fila adecuada y presione F1, proporcione el número de la lista que desea y presione EXE . La opción Graph type debe ser Scatter y la opción Frequency debe ser siempre 1. 4. Una vez que esté correcta la información, oprima EXE . Va a volver a la pantalla 3.2, presione de nuevo la tecla F1 (opción GRPH) y oprima el número 1 (S-Grph1) para ver la gráfica 1. Enseguida verá los puntos en la gráfica. Relacione lo que ve en su gráfica con lo que ha anali- zado de las tablas: PANTALLA 3.5. 5. Realice la gráfica de cada tabla. 6. Ya que hizo un análisis numérico, ingrese al menú GRPH– TBL de su calculadora (pantalla 3.6) 7. Defina las funciones Y1 = X, Y2 = 4X, Y3 = 0.5X, Y4 = –2X, Y5 = X + 1, Y6 = X – 3 (pantalla 3.7). 8. Para ver las tablas correspondientes (pantalla 3.8) de cada función oprima la tecla F5 (sólo cerciórese que arriba de la tecla esté la opción TABL, de lo contrario oprima la tecla F6 hasta que aparezca). Puede editar los valores de X, sólo posiciónese en alguno de ellos, introduzca el que usted desee y oprima la tecla EXE . Si quiere aumentar el número de valores oprima la tecla F2 (cerciórese que arriba de la tecla se encuentre la opción R-INS, de lo contrario oprima la tecla F6 hasta que aparezca). PANTALLA 3.6. PANTALLA 3.7. 54 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO PANTALLA 3.8. 9. Observe que obtiene distintas coordenadas (X,Y1), (X,Y2), (X,Y3), (X,Y4), (X,Y5) y (X,Y6). ¿Cuántas funciones tienen dos puntos? 10. Oprima la tecla ESC para volver a las fórmulas (pantalla 3.7), ahora oprima la tecla EXE y observará las gráficas correspondientes (pantalla 3.9). En la parte posterior izquierda irán apare- ciendo las fórmulas correspondientes a la recta que se vaya dibujando. Pregúntese de nuevo: ¿cuántas rectas pasan por dos puntos? Pantalla 9. Numérica y gráficamente es claro que dados dos puntos, solamente una recta pasa por ellos. Refuer- ce esta conjetura con el siguiente análisis. Sabemos que la ecuación de una recta es: (y – y1) = m(x – x1), donde m es la pendiente de la recta y es igual a: y y2 (y2 – y1) y −y m= 2 1 (3.1) y1 x 2 − x1 (x2 – x1) x x1 x2 por lo tanto la ecuación de la recta es: y2 − y1 y − y1 = (x − x1 ) , x 2 − x1 MÉTODO DE LA TABULACIÓN 55 esto apoya el hecho de que por dos puntos pasa sólo una recta, ya que de hecho son los puntos los que definen la recta. Ahora bien, en la pantalla 3.9 podemos observar distintas rectas, algunas que pasan por el origen pero tienen distinta inclinación y pendiente positiva, otras que no pasan por el origen pero cruzan el eje de las x en algún punto y otras con pendiente negativa. Cruzar el eje de las x es una característica de todas las rectas. Este cruce con el eje equivale a decir que y = 0, entonces pueden suceder dos casos: II. Que la recta comience por debajo del eje x, lo cruce y continúe por arriba de él (figura 3.1). II. Que la recta comience por arriba del eje x, lo cruce y continúe por abajo de él (figura 3.2). Y Y 4 4 2 2 X X –4 –2 2 4 –4 –2 2 4 –2 –2 –4 –4 FIGURA 3.1. Recta con pendiente FIGURA 3.2. Recta con pendiente positiva. negativa. Para el caso I (figura 3.1) tenemos la recta que pasa por los puntos (–3, –2) y (3, 4), cuya pendiente, usando la fórmula 3.1, es igual a 1. Esto quiere decir que para este caso la pendiente es positiva y la recta es: y – (–2) = x – (–3) y+2=x+3 y=x+3–2 y=x+1 Para el caso II (figura 3.2) tenemos la recta que pasa por los puntos (–3 ,4) y (3, –2), cuya pendiente, usando la fórmula 3.1, es igual a –1. Esto quiere decir que para este caso la pendiente es negativa y la recta es: y – (4) = –[x – (–3)] y – 4 = –[x + 3] y – 4 = –x – 3 y = –x – 3 + 4 y = –x + 1 Analicemos el caso I en la tabla: 56 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO X Y Por debajo –5 –4 del eje x –4 –3 –3 –2 –2 –1 Cruce con el eje x –1 0 0 1 1 2 Por arriba 2 3 del eje x 3 4 Actividad complementaria. Realice diversas exploraciones usando la calculadora. Recuerde que la variedad de ejemplos dependerá de las fórmulas que le dé a la calculadora y posteriormente los valores de x que edite en la tabla. Recuerde los siguientes puntos: • Introducir en la calculadora las fórmulas de las rectas (pantalla 2). • Manipular las tablas variando el valor de la variable independiente x (pantalla 3). • Observar las características de las tablas y vincularlas con las gráficas. ♦ Ejercicios 1. Con papel y lápiz localice los siguientes puntos en el plano de coordenadas y bosqueje la gráfica: X Y 0 –3 1 1 –1 –7 2 5 –2 –11 3 9 2. Proponga una función que crea describe la tabla del ejercicio 1. Compruebe su conjetura en la calculadora, haciendo una sucesión análoga a los pasos 7 a 10 de la actividad anterior. 3. Usando los valores de la tabla del ejercicio 1, elabore la tabla y el bosquejo de gráfica de cada una de las siguientes funciones: Y1 = 0.5Y, Y2 = 3Y1, Y3 = Y2 + 2, Y4 = 2Y3 – 1. MÉTODO DE LA TABULACIÓN 57 4. Grafique las funciones del ejercicio 3 y explique el comportamiento de cada función respecto de la anterior. 5. Deduzca las fórmulas que dan origen a las siguientes tablas. Compruebe sus conjeturas en la calculadora (introduzca las fórmulas en el Menú GRPH–TBL, oprima F6 F5 , edite los valores x que aquí se le presentan y compruebe con los valores de y que le proporciona la calculadora). X Y X Y X Y –3 4.5 –3 0.6 –5 10.5 –2 5 –2 0.9 –3 6.5 –1 5.5 –1 1.2 –1 2.5 0 6 0 1.5 0 0.5 1 6.5 1 1.8 1 –1.5 2 7 2 2.1 3 –5.5 3 7.5 3 2.4 5 –9.5 3.1.2. La parábola La parábola es la representación gráfica de una función cuadrática. Tiene características muy específi- cas, que quizá sean más claras en sus gráficas. Parta del caso más característico: y y X Y 10 10 –3 9 8 8 –2 4 –1 1 6 6 0 0 4 4 1 1 2 4 2 2 3 9 x x –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 –2 –2 En esta tabla puede observar las siguientes características: • No importando el valor que tome x el valor de y siempre es positivo. • El valor de y es igual para x y –x. Esto provoca que la gráfica sea simétrica respecto del eje y. 58 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO • y = 0 sólo cuando x = 0. Esto significa que la gráfica tocará tangencialmente al eje x en el punto (0, 0). • La función es decreciente en el intervalo (–∞, 0), es creciente en el intervalo (0, ∞) y tiene una cota mínima en y = 0. En este caso trabaje numérica y gráficamente con la función y = x2. Recuerde que las características antes mencionadas son exclusivas de esta función y son claramente observables en la fórmula. • (–x)2 > 0 y x2 > 0. • (–x)2 = x2. • y = x2 = 0 si x = ±√ 0 = 0. En las parábolas existen diversos casos, que se pueden obtener moviendo la gráfica de la función y = x2 a través del plano cartesiano y/o reflejándola respecto del eje x, esto es: I. Parábolas que abren hacia arriba y: a) Cruzan el eje x (figura 3.3). b) No cruzan el eje x (figura 3.4). c) Tocan tangencialmente al eje x (figura 3.5). II. Parábolas que abren hacia abajo y: a) Cruzan el eje x (figura 3.6). b) No cruzan el eje x (figura 3.7). c) Tocan tangencialmente al eje x (figura 3.8). y y 5 14 4 12 3 10 2 8 1 6 x –1 1 2 3 4 5 4 –1 2 –2 x –3 –3 –2 –1 1 2 3 4 FIGURA 3.3. Parábola abierta hacia FIGURA 3.4. Parábola abierta hacia arriba con dos cruces en el eje x. arriba sin cruces en el eje x. MÉTODO DE LA TABULACIÓN 59 y 3 y 2 2 1 1 x –1 1 2 3 4 5 –1 x –1 1 2 3 4 5 –2 –1 –3 –2 –4 –5 –3 FIGURA 3.5. Parábola abierta FIGURA 3.6. Parábola abierta hacia arriba con un toque tangencial hacia abajo con dos cruces en el eje x. en el eje x. y y 2.5 2 x –2 2 4 6 –2.5 x –1 1 2 3 4 5 6 –5 –2 –7.5 –10 –4 –12.5 –15 –6 FIGURA 3.7. Parábola abierta hacia FIGURA 3.8. Parábola abierta hacia abajo sin cruces en el eje x. abajo con un toque tangencial en el eje x. De aquí que en las tablas observe comportamientos (crecimientos) diversos, un intervalo de decre- cimiento, una cota inferior, un intervalo de crecimiento para las parábolas que abren hacia arriba; y para las parábolas que abren hacia abajo hay un intervalo de crecimiento, una cota superior y un intervalo de decrecimiento. Por ejemplo: • La figura 3.3 sería el reflejo de una tabla cuyos valores de y cambiaran de positivos decrecien- tes a negativos decrecientes hasta llegar a un punto mínimo y convertirse en negativos cre- cientes que cambien a positivos crecientes (esto conforme x crece). Observe que justo el punto en el que cambia de positivo a negativo, o viceversa, y es igual a cero. 60 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO X Y Valores positivos –3 36 decrecientes –2 15 –1 8 0 3 1 0 Valor negativo Cruce con el eje x 2 –1 3 0 4 3 5 8 Valores positivos 6 15 crecientes ♦ Ejercicios 1. Dadas las siguientes tablas: a) Identifique a qué caso pertenece (I.a., I.b, ..., II.c.), mediante un análisis numérico, como el anterior. b) Introduzca los valores de las tablas en la calculadora (de forma análoga a los pasos 1 a 4 de la sctividad propuesta). c) Proponga funciones cuadráticas que crea pasen por los puntos de cada tabla, introdúzcalas en la calculadora y observe, qué tanto se acerca (los pasos son análogos a los pasos 6 a 10 de la actividad propuesta). d) Dadas sus características, ¿al menos y a lo más por cuántos cuadrantes pasa una parábola? Proporcione ejemplos gráficos. X Y1 X Y2 X Y3 X Y4 X Y5 X Y6 –6 16 –3 –7 –2.5 –.025 –3.5 –12.5 –.5 30.25 –3 12 –4 4 –1 1 –1 –1 –2.5 –7 0 25 –1 0 –2 0 0 2 0 –4 –1 –2.5 2 9 0 –3 1 9 2 –2 1.5 –12.25 0 –2 4 1 2 –3 3 25 3.5 –10.25 3 –25 1.25 –4.1875 7 4 4 5 7 81 4.25 –16.0625 5 –49 2 –7 8.5 12.25 6 21 Tabla 1 Tabla 2 Tabla 3 Tabla 4 Tabla 5 Tabla 6 MÉTODO DE LA TABULACIÓN 61 2. En su calculadora realice los siguientes pasos: a) Menú GRPH-TBL. Borre cualquier función en la pantalla Graph Func. Oprima las teclas SHIFT OPTN para definir el tamaño de la ventana, oprima F3 para obtener la ventana estándar con inter- valo de (–10, 10) para los ejes x e y, a una escala de 1. Oprima EXE para volver a la pantalla Graph Func. Define la función Y1 = (x – 5)2 + 2. Oprima EXE para ver su gráfica. b) ¿En cuántos cuadrantes se encuentra la parábola? Ahora cambie la ventana. Oprima SHIFT OPTN , introduzca los siguientes valo- res: Xmin: –30 EXE max: 30 EXE scale: 5 EXE dot: 0.5 EXE Ymin: –5 EXE max: 60 EXE scale: 5 EXE EXE ¿En cuántos cuadrantes se encuentra la parábola? Nota: una forma más rápida de ver la gráfica en otras zonas es usando la tecla circular REPLAY que tiene flechas hacia arriba, abajo, a la izquierda y a la derecha. Sin embargo, puede perder visión en otras zonas. 3. Dados dos puntos, ¿cuántas parábolas pasan por ellos? 4. En su calculadora, introduzca las siguientes funciones por grupos (menú GRPH TBL, con la ventana del ejercicio 2.b). ¿Qué observa en cada grupo? a) y = (x – 3)2 – 3, y = –x2 + 4. b) y = x2 + 4x – 2, y = .3x2 + .6x – 3.7. c) y = (x – 4)2 + 3, y = –(x – 4)2 + 5, y = –3(x – 4)2 + 7. 62 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO 5. ¿Cuántos puntos como mínimo definen una parábola? 6. En la calculadora introduzca las siguientes parábolas y observe sus listas (de forma análoga a los pasos 7 a 10 de la actividad propuesta). Conforme observe una lista, edite los valores que se le piden para cada fórmula y observe sus características (si es positivo, negativo o cero). Por último grafique y vincule las características de las tres representaciones, la analítica, la numé- rica y la gráfica. a) Y = (x + 2)(x – 2), editar en lista x = –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3. b) Y = – (x + 6)(x – 1), editar en lista x = –7, –6, –5, 0, 1, 2. c) Y = (x + 2)(x + 2), editar en lista x = –3, –2, –1. d) Y = – (x – 3)(x – 6), editar en lista x = 2, 3, 4, 5, 6, 7. 3.1.3. La cúbica Como ya observó una recta cruza una vez al eje x provocando que haya un punto donde y sea igual a 0, la parábola puede cruzar al eje x provocando que en dos puntos y sea igual a 0 o puede no cruzarlo nunca, provocando que la y nunca sea igual a 0. ¿Qué pasa ahora con la función cúbica? De nuevo, parta de un caso clásico: y y 30 30 X Y 20 20 –3 –27 –2 –8 10 10 –1 1 0 0 x x –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 1 1 –10 –10 2 8 –20 –20 3 27 –30 –30 La tabla de este caso tiene valores negativos de Y cuando X es negativa, Y = 0 cuando X = 0 y valores positivos de Y cuando X es positiva; justo igual que la tabla 1 de la sección “La recta”, que describía una recta. Pero la diferencia con esta tabla es la forma en la que crecen los valores de Y, lo cual se refleja en la forma de las gráficas. Observe ambas gráficas en el intervalo [–4, 4], en este caso trate con la función cúbica y = x3 y la recta y = x. MÉTODO DE LA TABULACIÓN 63 y 4 2 x –4 –2 2 4 –2 –4 Gráficamente la diferencia es clara. Pero la gráfica de una cúbica puede tomar formas mucho más variadas. Quizá ésta sea la razón por la cual no tiene un nombre como gráfica, es decir, la gráfica de un polinomio de primer grado recibe el nombre de recta, la gráfica de un polinomio cuadrático recibe el nombre de parábola; pero la gráfica de un polinomio de tercer grado, en la mayoría de los textos, no tiene un nombre como tal. Algunos la han llamado parábola cúbica, pero aquí la llamaremos simple- mente cúbica, al igual que su función. Otra razón de este fenómeno puede radicar en el origen de estas curvas, tanto la recta como la parábola son elementos de la geometría analítica, rama que en el siglo XVII surgió del estudio de las figuras y transformaciones geométricas dadas por ecuaciones algebraicas. Las puertas a esta rama fueron abiertas por Descartes y Fermat, pero sólo incluían problemas planos. Fue Newton quien en 1704 diera un paso importante al publicar la obra “Enumeración de las curvas de tercer orden”, donde la modelación dio un sentido distinto a las funciones con grado mayor a dos. Vea en la siguiente tabla1 las formas gráficas que presentan las funciones cúbicas: En Comportamiento la tabla alrededor del cero Gráficas 3 ceros 3 cambios de positivo a negativo o negativo a positivo. ∴ en la gráfica hay 3 cruces con el eje x. 1 Para estas gráficas se usaron los ejes de coordenadas como referencia, pero su punto de intersección no es necesariamente el punto (0, 0). 64 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO En Comportamiento la tabla alrededor del cero Gráficas y 2 ceros 1 cambio de positivo y a negativo o negativo x x a positivo y 1 permanencia de signo positivo (decreciente a creciente) o negativo (creciente a decreciente). y y ∴ en la gráfica hay 1 cruce x x y 1 toque tangencial con el eje x. 1 cero 1 cambio de positivo a negativo, o de negativo a positivo. ∴ en la gráfica hay 1 cruce con el eje x. Esta tabla responde a la pregunta, ¿qué puedo observar en la tabla de una función cúbica y cómo se traduce esto en una gráfica? Pues bien, en la tabla puede encontrar tres, dos o un cero (columna 1); pero en caso de no haberlos explícitamente se pueden observar ciertos comportamientos que se den a su alrededor (columna 2). Las características que muestran estas dos columnas se ven reflejadas en las formas gráficas de la columna 3. Nota: En el último caso (1 cero) se dibujaron sólo cuatro posibles gráficas. En dicho caso pudo encontrarse la primera gráfica tratada en esta sección, que a propósito no se colocó por tener una carac- terística distinta a las cuatro dibujadas, ¿cuál cree que sea esta característica? Por ejemplo, en el caso de la siguiente tabla: MÉTODO DE LA TABULACIÓN 65 X Y 0.3 –8.092 0.5 –4.5 0.8 –1.152 1.1 0.324 1.3 0.588 1.5 0.5 1.9 0.036 2.3 0.468 2.5 1.5 tenemos tan sólo en un pequeño intervalo características suficientes para analizar y ver la forma de una función cúbica. Tomemos en consideración que: • Estos puntos están definidos sobre el eje x positivo, lo cual no significa que no haya gráfica en la parte negativa del eje. • Del punto (0.3, –8.092) al punto (0.8, –1.152) observamos una función negativa creciente. • Del punto (0.8, –1.152) al punto (1.1, 0.324) observamos que la función tiene un cambio de signo. Esto nos habla de una gráfica que cruza con el eje x, es decir, que existe una x entre los puntos anteriores que provoca que y sea igual a cero. • Del punto (1.1, 0.324) al punto (1.3, 0.588) observamos una función positiva creciente, pero de (1.3, 0.588) a (1.9, 0.036) la función es decreciente y se mantiene positiva. Lo anterior habla de una cota superior en un intervalo. Sin embargo, cuando observamos que de (2.3, 0.468) a (2.5, 1.5) la función permanece positiva y es creciente estamos pensando en una cota inferior en otro intervalo. Entonces, para esta tabla tenemos el caso de una gráfica que cruza una vez al eje x (con un cambio de negativo a positivo) y un toque tangencial al eje (donde permanece positiva). La gráfica que define a dicha función es la siguiente: FIGURA 3.9. Cúbica con un cruce y un toque tangencial en el eje x. 66 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO Es claro que al hacer un punteo sobre el plano la tarea final es unir dichos puntos para bosquejar la gráfica, pero siempre es importante analizar todos los datos que puedan darnos información sobre cómo se comporta la función. Por ejemplo, en el caso de ésta y muchas gráficas cúbicas, hay un intervalo donde su crecimiento es variado, crece, decrece, vuelve a crecer, etc., pero fuera de ese intervalo siempre hay un comportamiento constante. Es decir, en este caso la gráfica viene de –∞ creciendo hacia el intervalo mencionado y después la gráfica crece hacia ∞. ♦ Ejercicios 1. Inventa funciones cúbicas que dibujen en la calculadora gráficas como las mostradas en la tabla, analice sus comportamientos en las tablas respectivas y clasifíquelas según sus cruces con el eje x. 2. Sea F(x) = x3 la función que produce la siguiente tabla de valores: x F(x) –3 –27 –2 –8 –1 –1 0 0 1 1 2 8 3 27 ¿qué funciones Fn(x) producen las siguientes tablas?: x F1(x) F2(x) F3(x) –3 –20 –1 –54 –2 –1 0 –16 –1 6 1 –2 0 7 8 0 1 8 27 0 2 15 64 16 3 34 125 27 MÉTODO DE LA TABULACIÓN 67 3. Edite las siguientes tablas en su calculadora (Menú STAT) y grafíquelas: x F4(x) x F5(x) x F6(x) –2 0 –5 0 –4 –112 –1 8 –3 21 –2 –20 0 6 0 0 0 0 2 –4 2 21 2 –4 3 0 4 16 4 18 6 108 Una vez graficados los puntos, oprima F5 (Def G) y defina una expresión de la forma Ax3 + Bx2 + Cx + D que se aproxime a los puntos. 4. Tabule las siguientes expresiones para los valores de x que usted desee. Analice dónde, o alrededor de qué valores, la función es igual a cero. a) y = x3 + x2 + x. b) y = 0.5x3 –2x2 + x. c) y = –2x3 + x2 + 6x – 3. d) y = x3 + x2 –x. e) y = x3 + x2 + x –3. 5. Grafique por parejas las funciones anteriores con la gráfica de su parte lineal (por ejemplo, y = x3 + x2 + x y y = x), ¿en qué zona son semejantes?, ¿a qué cree que se deba? Tabule alrededor de esa zona y discuta el crecimiento de cada pareja de funciones. MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES 69 CAPÍTULO 4 Método de las transformaciones n el capítulo anterior analizamos las características numéricas y gráficas de tres funciones que E nos servirán de punto de partida en la construcción de muchas otras gráficas. En este capítulo haremos un análisis de estas mismas funciones a través del plano cartesiano, usando solamente operaciones con constantes. Cordero y Solís, 2001, trabajaron con la transformación de di- versas “situaciones de enseñanza y aprendizaje” para contenidos del cálculo, utilizando la transforma- ción Y = C[f(ax + c)] + D, con la finalidad de construir un argumento gráfico que estableciera relaciones entre funciones. En este capítulo el objetivo de usar dicha transformación será el establecer un vínculo entre las distintas representaciones de una función usando la calculadora gráfica en forma dinámica. Al igual que en el capítulo anterior analizaremos las funciones y = x, y = x2, y = x3, pero con la perspectiva de las transformaciones con el fin de obtener las gráficas de estas mismas funciones desplazadas y/o alargadas o comprimidas en el plano de coordenadas. A lo largo de nuestra formación matemática, hemos visto en diversas áreas el uso del plano de coordenadas; es muy común escuchar términos como “eje de las abscisas” y “eje de las ordenadas”, o “eje x” y “eje y” o “el eje positivo (negativo) x” y el “eje positivo (negativo) y”, etc. Como recordatorio, veamos el plano de coordenadas y sus etiquetas usuales en la figura 4.1. Un objetivo ahora es que las funciones ya analizadas en el capítulo anterior se exploren gráfica- mente en el plano a través de operaciones con la fórmula y viceversa. Observe que la transformación Y = C[f(ax + c)] + D supone sólo operaciones con números a partir de las funciones básicas y = x, y = x2, y = x3. Éste será el motivo por el cual, para el caso de la recta y la parábola, encontraremos todas las formas gráficas posibles, pero no así para la cúbica, cuya variación de formas se obtiene generalmente con otro tipo de operaciones. 69 70 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO FIGURA 4.1. Plano de coordenadas y sus etiquetas usuales. 4.1. LA RECTA Comencemos analizando la función f(x) = x. Si tenemos la transformación Y = C[f(ax + c)] + D, la función queda de la siguiente forma: Y = C[ax + c] + D Y = Cax + Cc + D Sea A = Ca y B = Cc + D, la función queda: Y = Ax + B. Entonces, los parámetros que vamos a variar para construir distintas rectas son A y B. Comience variando el parámetro B, observe en la calculadora la gráfica de la función f(x) = x ejecutando los siguientes pasos: 1. Ingrese al menú MENU de gráficas GRPH TBL. 2. Oprima las teclas SHIFT OPTN para ingresar a la pantalla View Window. Oprima la tecla F3 para definir la ventana estándar. Oprima EXE hasta llegar a la pantalla Graph Func para definir las funciones. 3. Introduzca la función Y1:X. Oprima la tecla EXE hasta que aparezca la gráfica de la función (pantalla 1). MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES 71 PANTALLA 4.1. Ya en el capítulo anterior analizó numéricamente esta función, así que está familiarizado con su gráfica y su localización en el plano, esto es, la gráfica de la función f(x) = x está localizada en dos cuadrantes, el primero y el tercero. Veamos ahora qué pasa cuando le sumamos una constante B. En su calculadora ejecute los siguientes pasos: 1. Ingrese al menú .MENU. DYNA (gráficas en movimiento). 2. Defina la función Y1:X + B (la B la obtiene oprimiendo las teclas .ALPHA. log). Oprima .EXE. hasta que aparezca la pantalla 4.2. PANTALLA 4.2. Puede aparecer un valor distinto de B = 0, no importa. El valor que aparezca es el último valor en una aplicación anterior. 3. Oprima la tecla F2 para definir el rango en que se moverá el parámetro B, aparecerá la pantalla 4.3. PANTALLA 4.3. 4. Edite los valores que aparecen en la pantalla anterior Start: –5 y End: 5 definen el intervalo en el que se moverá B, o sea [–5, 5]. Pitch: 1 será el tamaño de paso, es decir, B será igual a –5, 72 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 (si el tamaño de paso fuera 0.5, B sería igual a –5, –4.5, 4,...). Oprima EXE hasta que aparezca una barra de avance y posteriormente las gráficas. En la parte superior izquierda de la pantalla aparece la función que se está graficando y en la parte inferior izquierda aparece el valor de B que va cambiando. Aquí en el texto no se puede apre- ciar el dinamismo de las gráficas, pero observará tres casos, donde B = –5, 0, 4 en las pantallas 4.4, 4.5 y 4.6, respectivamente. PANTALLA 4.4. PANTALLA 4.5. PANTALLA 4.6. Si quiere detener las gráficas oprima la tecla .AC/ON. , aparecerá la pantalla 4.7, donde puede tomar la opción de manipular el dinamismo, es decir, que cambie de gráfica cuando oprima una tecla. PANTALLA 4.7. Oprima la tecla F1 y aparecerá una gráfica fija. Oprimiendo la tecla EXE cambiará la gráfica. Gracias a este dinamismo podemos observar el efecto gráfico que tiene el parámetro B al sumarlo a la función f(x) = x, el cual podemos resumir en la siguiente tabla: Efecto al sumarlo Gráfica Valor de B a f(x) = x (f(x) = x es la que pasa por el origen) B>0 Desplazamiento hacia arriba MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES 73 Efecto al sumarlo Gráfica Valor de B a f(x) = x (f(x) = x es la que pasa por el origen) B<0 Desplazamiento hacia abajo Si hablamos de las regiones que recorre la gráfica de la función f(x) = x cuando le sumamos una constante, diríamos que al sumarle una constante la gráfica que estaba en el primer y tercer cuadrantes ahora está en el primero, segundo y tercer cuadrantes, y cuando le restamos una constante, la gráfica que estaba en el primer y tercer cuadrantes, ahora está en el primero, tercer y cuarto cuadrantes. Ahora analice el efecto del parámetro A en f(x) = Ax, conforme varía la secuencia. De nuevo ingrese al menú DYNA y defina la función Y1: AX (la A la obtiene oprimiendo las teclas ALPHA X, θ,T ). Oprima EXE hasta que aparezca la pantalla para definir A. El procedimiento para estas gráficas es igual que el anterior. Sin embargo, aquí es importante resaltar lo siguiente: a) Qué pasa con los números positivos y los negativos. b) Qué pasa con los números que están en el intervalo (–1, 1). Así que haremos la siguiente secuencia: 1. Defina la función Y1 = AX según la pantalla 4.8: PANTALLA 4.8. Si las gráficas no se mueven es porque la pantalla está en el último modo utilizado, es decir, el manual, así que oprimiendo EXE comienza a cambiar la gráfica. ¿Cuál es el efecto del parámetro A?, veamos la secuencia de gráficas: 74 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO PANTALLA 4.9. PANTALLA 4.10. PANTALLA 4.11. PANTALLA 4.12. Como puede observar, el parámetro A está afectando la inclinación de la recta, conforme el parámetro aumenta la recta se pega al eje y, o es más inclinada. Esto suena lógico si piensa en el coeficiente que acompaña a la x como la pendiente de la recta. La pregunta ahora es, ¿qué necesito para que la recta se pegue mucho al eje x? Una respuesta común en el alumno es “multiplicar por un número negativo”. Definamos al parámetro A con valores negativos, tal y como lo muestra la pantalla 13. PANTALLA 4.13. Vea una secuencia de gráficas: PANTALLA 4.14. PANTALLA 4.15. PANTALLA 4.16. Observemos que tiene el mismo efecto que cuando es positivo, si hablamos del valor absoluto de A, cuando éste es grande, sigue pegando la recta al eje y, sólo que ahora la inclinación de la recta es distinta, la recta es decreciente. Veamos qué pasa si el parámetro A varía en el intervalo [–1,1], tal como se define en la pantalla 4.17. MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES 75 PANTALLA 4.17. Una secuencia de gráficas podría ser: PANTALLA 4.18. PANTALLA 4.19. PANTALLA 4.20. PANTALLA 4.21. Entonces, lo que necesitamos para pegar la recta al eje x es un valor muy pequeño de A, por ejemplo A = 0.1 nos da la siguiente gráfica, que casi no se distingue para valores muy pequeños de x. PANTALLA 4.22. Concluyamos en una tabla el efecto del parámetro A al multiplicarlo a la función f(x) = x: 76 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO Efecto al multiplicarlo a Gráfica Valor de A f(x) = x (f(x) = x tiene una inclinación de 45º) 1 < |A| Mayor inclinación (pegue la gráfica de f(x) = x al eje y). Si el signo de A es negativo la recta se refleja respecto del eje x. A = –5, 1, 5 |A| < 1 Menor inclinación (peuea la gráfica de f(x) = x al eje x). Si el signo de A es negativo la recta se refleja respecto del eje x. A = –0.5, 1, 0.5 ♦ Ejercicios 1. ¿Por qué la recta y = –x – 6 nunca pasa por el primer cuadrante? 2. Describa el cambio de región de la gráfica al variar ambos parámetros de la fórmula Y = Ax + B. 3. Proponga funciones para las siguientes gráficas. Nota: Observe la escala. FIGURA 4.2. FIGURA 4.3. MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES 77 y 6 4 2 x –6 –4 –2 2 –2 FIGURA 4.4. FIGURA 4.5. y 5 4 3 2 1 x –4 –2 2 4 –1 –2 FIGURA 4.6. FIGURA 4.7. 4. Haga un “bosquejo” de la gráfica de cada una de las siguientes rectas. No realice cálculos numéricos ni grafique con la calculadora, sólo incline y desplace de manera correcta la recta prototipo Y = x. a) Y = –5x + 3. b) Y = –0.9x – 13. c) Y = 6x – 9. d) Y = 8x + 3. e) Y = 0.05x + 10. 5. Qué valor deben tomar los parámetros y = Ax + B para que la recta sólo pase, de ser posible, por: a) El primer y tercer cuadrantes. b) El primer, segundo y tercer cuadrantes. c) El primer, segundo y cuarto cuadrantes. d) Todos los cuadrantes. 78 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO 4.2. LA PARÁBOLA Utilizando la transformación Y = C[f(ax + c)] + D la parábola f(x) = x2 puede expresarse de la siguiente forma: Y = C(ax + c)2 + D. Y = Ca2(x + c/a) + D. Si hacemos dos cambios de variable en los que A = Ca2 y B = c/a se tiene la función: Y = A(x + B) + D. Comencemos con el análisis de los parámetros, realizando la siguiente secuencia de actividades: 1. Introduzca en su calculadora, en el menú MENU DYNA la función Y1:A(x + B)2 + D. Oprima la tecla EXE hasta que aparezca la pantalla 23, donde editará todos los parámetros con valor cero. PANTALLA 4.23. 2. Posiciónese en el parámetro A y oprima la tecla F1 para seleccionarla. De esta forma nuestra función será Y:AX2 . Oprima la tecla F2 para definir el rango en el que se moverá el parámetro seleccionado. Pidamos entonces que su valor inicial (Start) sea –10 y su valor final (End) sea 10 a un paso (pitch) de 1. Oprima EXE hasta que aparezca una barra de avance y posteriormente las gráficas. Es probable que no haya dinamismo en las gráficas, quizá esté en modo manual, así que oprima EXE para que comience a ver las gráficas en movimiento. 3. Ésta es una secuencia de gráficas: PANTALLA 4.24. PANTALLA 4.25. MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES 79 PANTALLA 4.26. PANTALLA 4.27. Algo que observamos a simple vista es que para valores positivos de A la parábola abre hacia arriba y para valores negativos abre hacia abajo. Conforme el valor de A se incrementa, tanto positivo como negativo, la parábola se cierra. Por el contrario, si el valor se hace pequeño (en valor absoluto) la parábo- la se abre. Quizá esta característica se observe mejor, en la misma ventana pero con el parámetro A moviéndose en el siguiente intervalo: PANTALLA 4.28. Observemos ahora qué pasa al variar el parámetro B. Posiciónese en la pantalla 23 y seleccione la variable B. Para esta ocasión el valor de A será 1 y el valor de D será 0, de tal forma que nuestra función será Y:(X + B)2. Defina el intervalo con un valor inicial (Start) de –5 y un valor final (End) de 5 a un paso (pitch) de 1. A continuación se muestra una secuencia de gráficas: PANTALLA 4.29. PANTALLA 4.30. PANTALLA 4.31. PANTALLA 4.32. 80 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO Como observó en la secuencia gráfica el parámetro B desplaza horizontalmente a la parábola, hacia la derecha si es negativo y hacia la izquierda si es positivo. Vale la pena señalar que la parábola se mantiene tangente al eje x, pero al desplazarse cambia el punto de tangencia. Por último, y utilizando la misma lógica de acción, analice el parámetro D y su efecto en la gráfica de la parábola. De nuevo posiciónese en la pantalla 4.23 y seleccione la variable D. Para esta ocasión el valor de A será 1 y el valor de B será 0, de tal forma que nuestra función será Y:X 2 + D. Defina el intervalo con un valor inicial (Start) de –5 y un valor final (End) de 5 a un paso (pitch) de 1. Observe la secuencia de gráficas: PANTALLA 4.33. PANTALLA 4.34. PANTALLA 4.35. PANTALLA 4.36. Vea ahora que el parámetro D desplaza a la parábola verticalmente. Si D es negativa la desplaza hacia abajo y si es positiva la desplaza hacia arriba. Cabe señalar que al desplazarse hacia abajo, la parábola cruza al eje x en dos puntos, y si se desplaza hacia abajo nunca cruza el eje. Concluyamos con una tabla los efectos de los parámetros A, B y D de la función Y = A(x + B)2 + D, en la gráfica de Y = x2: Parámetro Descripción Ejemplo A Abertura de la parábola y 10 (si |A| es grande se abre la parábola y si |A| es chica se cierra la parábola) 8 6 4 2 x –4 –2 2 4 A = 10, 1, 0.5 MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES 81 Parámetro Descripción Ejemplo y B Desplazamiento horizontal 10 (hacia la derecha si B < 0 8 y hacia la izquierda si B > 0) 6 4 2 x –4 –2 2 4 B = –2, 0, 2 D Desplazamiento vertical y 10 (hacia abajo si D < 0 8 y hacia arriba si D > 0) 6 4 2 x –4 –2 2 4 –2 D = –2, 0, 2 ♦ Ejercicios 1. Proponga las funciones que crea correspondan a las siguientes gráficas. Observe cuidadosa- mente las escalas. y y 10 4 8 2 6 x –4 –2 2 4 4 –2 2 x –4 –1 1 2 3 4 5 6 FIGURA 4.8. FIGURA 4.9. 82 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO y y 10 10 5 7.5 5 x –12 –10 –8 –6 –4 –2 2 2.5 –5 x –6 –6.5 –5.5 –5 –10 –2.5 –5 –15 –7.5 –20 –10 FIGURA 4.10. FIGURA 4.11. y y 5 x –4 –2 2 4 4 –2 3 –4 2 –6 1 –8 x –6 –4 –2 2 –1 –10 FIGURA 4.12. FIGURA 4.13. 2. Haga un “bosquejo” de la gráfica de cada una de las siguientes funciones. No realice cálculos numéricos ni grafique con la calculadora. Con base en la gráfica de Y = x2 realice los cambios adecuados: a) Y = –5(x + 3)2 – 2. b) Y = 0.7(x – 9)2 + 8. c) Y = –15x2 – 10. d) Y = –0.06(x + 6)2 + 12. 3. ¿Qué valores deben tomar los parámetros A, B y D en la función Y = A(x + B)2 + D para que alrededor de cero se parezcan a las siguientes funciones? Grafique en la calculadora con una ventana cerca del origen (0, 0): MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES 83 a) Y = 3. b) Y = 2x – 1. c) Y = –5x. 4. ¿Cómo es el cambio en cuanto a regiones en el plano que provocan los parámetros en la fun- ción Y = A(x + B)2 + D respecto de la gráfica Y = x2? Analice de forma individual y combinada. 5. Completando el trinomio cuadrado perfecto escriba las siguientes funciones en su forma Y = A(x + B)2 + D y realice un bosquejo de su gráfica usando sólo las transformaciones: a) Y = x2 – 8x + 16. b) Y = 4x2 – 8x + 16. c) Y = x2 + 7x + 8. d) Y = 6x2 – 18x + 15. 4.3. LA CÚBICA Como ha observado en los casos anteriores, los parámetros de la transformación Y = AF(x + B) + D realizan tres tipos de cambios en la gráfica. Sin embargo, para los casos anteriores esas transformaciones sí eran suficientes para obtener todas las formas gráficas posibles, en el caso de la cúbica no es así. Observe la siguiente tabla que muestra los efectos de los parámetros: Parámetro Descripción Ejemplo y A Alargamiento de la parábola 4 (si |A| es grande se alarga la gráfica 2 y si |A| es chica se comprime la gráfica). x –3 –2 –1 1 2 3 –2 –4 A = 10, 1, 0.5 84 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO Parámetro Descripción Ejemplo y 4 B Desplazamiento horizontal 2 (hacia la derecha si B < 0 y hacia la izquierda si B > 0). –4 –2 2 4 x –2 –4 B = –2, 0, 2 D Desplazamiento vertical (hacia abajo si D < 0 y hacia arriba si D > 0) D = –2, 0, 2 Como ya se había mencionado, estas transformaciones no provocan todas las formas gráficas de una función cúbica, ¿cuál cree que sea la razón? Observe que para los casos anteriores la gráfica de la función siempre cruza una vez el eje x, sin embargo, el parámetro D tiene un efecto sobre este cruce, ¿cómo describiría la diferencia de los cruces? MÉTODO DE LAS TRANSFORMACIONES 85 ♦ Ejercicios 1. Proponga las funciones que crea correspondan a las siguientes gráficas. Observe cuidadosa- mente las escalas: y y 4 4 2 2 x x –5 –4 –3 –2 –1 –2 2 4 –2 –2 –4 –4 –6 FIGURA 4.14. FIGURA 4.15. y y 15 4 12.5 2 10 7.5 x –5 –4 –3 –2 –1 1 2 5 –2 2.5 –4 x –1 1 2 3 4 5 –2.5 –6 –5 FIGURA 4.16. FIGURA 4.17. y y 20 20 15 15 10 10 5 5 x x –3 –2 –1 1 2 3 –10 –5 5 10 –5 –5 –10 –10 –15 –15 FIGURA 4.18. FIGURA 4.19. 86 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO 2. Haga un “bosquejo” de la gráfica de cada una de las siguientes funciones. No realice cálculos numéricos ni grafique con la calculadora. Con base en la gráfica de Y = x3 realice los cambios adecuados: e) Y = –5(x + 3)3 – 2. f) Y = 0.7(x – 9)3 + 8. g) Y = –15x3 – 10. h) Y = –0.06(x + 6)3 + 12. 3. ¿Cómo es el cambio en cuanto a regiones en el plano que provocan los parámetros en la fun- ción Y = A(x + B)3 + D respecto de la gráfica Y = x3? Analícelos de forma que considere cada parámetro por separado y después de forma simultánea. MÉTODO DE LAS OPERACIONES 87 CAPÍTULO 5 Método de las operaciones Escrito original de Newton, 1671. (Tomado de E. Hairer y G. Wanner, Analysis by Its History, 1977.) E n los capítulos anteriores hemos mostrado cómo bosquejar gráficas, a partir de un análisis numé- rico (capítulo 3) y a partir de gráficas prototipo y sus transformaciones (capítulo 4), sin embargo, hay otra forma de tratar a las funciones que nos permite bosquejar gráficas a partir de un análisis visual más amplio que involucra simultáneamente herramientas analíticas y numéricas. Un punto clave ahora será el que partiremos exclusivamente de las funciones y = x, y = x2 y y = x3, junto con algunas de las transformaciones antes vistas para operar gráficamente y obtener de este modo las gráficas de otras funciones. En este momento es importante apuntar que lo desarrollado aquí no son sólo técnicas de graficación, no son recetas o pasos a seguir para que el lector grafique de manera correcta. Uno de nues- tros objetivos es propiciar la relación entre objetos matemáticos aparentemente disjuntos, esto es, quere- mos vincular y transitar entre diversas representaciones de la función. 5.1. SUMA Antes de comenzar el desarrollo de este capítulo es necesario aclarar que el operar gráficamente, en el sentido que veremos a continuación, es una forma de llamar a las operaciones entre gráficas. En realidad hacemos referencia a operaciones entre funciones, pero con un análisis gráfico. Para hacer este análisis partiremos del criterio de sumar imágenes (alturas en este caso), por ejemplo en la siguiente suma: 87 88 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO FIGURA 5.1. “Suma gráfica” de dos alturas. El resultado en x0 sería la suma de dos alturas. En el caso de las operaciones gráficas existen puntos clave que pueden darnos idea del resultado global, se trata de lo que llamamos el análisis local de los puntos en donde las gráficas cruzan al eje x, es decir aquellos donde los valores de la función se hacen igual a cero. Partamos del caso más sencillo, la suma de dos rectas. Diremos recta + recta en un sentido genérico, pues sabemos bien que estamos en realidad sumando números, aquellos que provienen de evaluar a las funciones lineales en un mismo punto. 5.1.1. Recta + recta En el capítulo anterior estudiamos lo que sucede al sumar una constante con una expresión funcional, lo analizamos viéndolo como una transformación. Sin embargo, cuando hacemos y = F(x) + k, con k constante, podemos interpretarlo como la suma de una función F más la función g(x) = k. Esta g repre- senta gráficamente a una recta horizontal. Entonces si tenemos la función Y1 = x y Y2 = 3, la suma gráfica Y = Y1 + Y2 dará como resultado la siguiente forma gráfica: Y = Y1 + Y2 Y1 = x Y2 = 3 Y observaríamos el mismo efecto, es decir, la gráfica de la función Y1 se desplaza verticalmente tres unidades hacia arriba. MÉTODO DE LAS OPERACIONES 89 Sumemos ahora las expresiones Y1 = x y Y2 = x. Dado que las funciones representan dos rectas idénticas, son de hecho la misma recta en el plano coordenado, veremos sólo una línea al graficar, y lo que haremos será entonces sumar su misma altura en dos puntos diferentes para unir finalmente los puntos obtenidos: FIGURA 5.2. Suma de recta Y1 = x + recta Y2 = x. Bajo el criterio de la suma de alturas y con un análisis local, podremos realizar la suma de cuales- quier dos gráficas. Por ejemplo, para dos rectas arbitrarias, su suma podría graficarse utilizando los puntos donde ambas rectas cruzan al eje x. Esto es, en el punto en el que una de las rectas cruza el eje x (o su altura es igual a cero) la suma es igual a la altura de la otra recta, veámoslo gráficamente: FIGURA 5.3. Suma de recta + recta. Hagamos ahora un estudio analítico de lo anterior. Observemos que el resultado de sumar gráficamen- te dos rectas, da como resultado una gráfica cuya inclinación y posición es distinta. Entonces, si tenemos: 90 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO Y1 = ax + b y Y2 = cx + d su suma Y1 + Y2 = ax + b + cx + d = (a + c)x + (b + d) donde (a + c) es el coeficiente de x y por lo tanto determina, como se sabe, la pendiente de la recta, mientras que (b + d) determina la ordenada al origen. En estos casos no es difícil descubrir que la suma de dos rectas es una recta, tanto gráfica como analíticamente, pero es necesario partir de los casos más sencillos, para tener herramientas útiles en operaciones posteriores más complejas. 5.1.2. Recta + parábola Comencemos con el caso donde Y1 = x y Y2 = x2 . y y y 3 2 2 1.5 1.5 2 1 1 1 0.5 0.5 x x x –3 –2 –1 1 2 3 –2 –1 1 2 –2 –1 1 2 –0.5 –0.5 –1 –1 –1 –2 –1.5 –1.5 –3 –2 –2 Y1 = x, Y2 = x2 Y3 = Y1 + Y2 = x + x2 Y1, Y2, Y3 Observe el último plano en una ventana más pequeña: Y3 = x + x2 y 1 0.75 0.5 0.25 x –1 –0.5 0.5 1 –0.25 –0.5 –0.75 –1 FIGURA 5.4. Suma de recta + parábola. MÉTODO DE LAS OPERACIONES 91 Lo que notamos en este caso es que de manera local, alrededor del punto (0, 0), la parábola se comporta como la recta. Como si la gráfica de la función Y2 = x2 descansara sobre la recta y se inclinara hacia la izquierda. Veamos qué pasa cuando sumamos x2 + ax + b. En la calculadora, busque el menú con la tecla MENU GRPH-TBL introduzca las siguientes tríadas de funciones y grafique siguiendo las indicaciones de las ventanas de la tabla 5.1: TABLA 5.1. Suma de recta + parábola. Ventana Funciones Gráficas 92 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO Es probable que en el texto no distinga con claridad alguna de las gráficas, pero en su calculado- ra aparece en la parte superior izquierda la expresión de la función que se está graficando en ese momento. En este punto podemos decir que cuando a una recta le sumamos la parábola y = x2, la suma se comporta localmente, alrededor de x = 0, como la recta misma, aunque mantiene la forma de parábola. Con la calculadora puede hacer un análisis, como el que hicimos en la tabla 5.1, para la suma de cual- quier recta más la parábola y = –x2. ¿Qué observa ahora? Analíticamente lo que tenemos al sumar cualquier recta con una parábola Y1 = x2 es una pará- bola con término lineal, esto es F = x2 + ax + b cuya recta tangente en el punto (0, b) es precisa- mente Y 2 = ax + b, por eso es que su comportamiento es tan parecido en esa zona. Sin embargo, algo muy distinto sucede al sumar Y1 = ax + b con Y2 = c(x + d)2 + e, ya que la parábola anterior ya tiene una parte lineal implícita en su fórmula. Para este caso se puede hacer un análisis como el utilizado en la suma de rectas. Es decir, sumar las alturas tomando como puntos de referencia los cruces con el eje x. FIGURA 5.5. Suma de recta + parábola. Entonces, la “parábola suma” es la que pasa por los tres puntos. 5.1.3. Recta + cúbica Analizaremos este caso justo como hicimos con el anterior. Comencemos con una tabla que muestre distintos casos de la suma Y1 = ax + b más Y2 = cx3. La suma sigue comportándose localmente, alrededor de x = 0, como la recta. Sin embargo, hay dos casos en los que la forma de la cúbica cambia, y justo son los casos donde los coeficientes de x y x3 son de signo contrario. Esta forma gráfica de la cúbica ya se había mencionado en el capítulo 3, pero no pudo ser construida con las transformaciones que vimos en el capítulo 4. MÉTODO DE LAS OPERACIONES 93 TABLA 5.2. Suma de recta + cúbica. Ventana Funciones Gráficas 94 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO Para estudiar la suma gráfica de las funciones Y1 = ax + b y Y2 = c(x + d)3 + e utilizaremos el análisis de la suma de las alturas, tomando como puntos de referencia los cruces con el eje x. y 4 2 x –4 –2 2 4 –2 –4 FIGURA 5.6. Suma de recta + cúbica. La gráfica suma es entonces aquella que pasa por los cuatro puntos marcados. 5.1.4. Parábola + parábola “Sumar” dos parábolas tiene el mismo sentido que “sumar” dos rectas. Hagamos para ello primeramente un análisis analítico. Pensemos en dos parábolas. Y1 = a(x + b)2 + c y Y1 = d(x + e)2 + f. Si F = Y1 + Y2 entonces F = [ax2 + 2abx + ab2 + c] + [dx2 + 2dex + de2 + f] F = (a + d)x2 + 2 (ab + de)x + (ab2 + c + de2 + f). Esto quiere decir que la suma es una parábola con posición y abertura distinta. La suma gráfica se puede hacer con el análisis de suma de alturas, aunque recordemos que como en ocasiones las parábolas no cruzan el eje x los puntos de referencia serán otros. Por ejemplo, el caso de la suma de las siguientes dos parábolas que no cruzan el eje x: Suma de parábolas que no cruzan el eje “x”. MÉTODO DE LAS OPERACIONES 95 En este caso tomemos como punto de referencia aquel donde se cruzan ambas parábolas, es decir, donde ambas tienen la misma altura. La suma será entonces, el doble de la que marca la altura del cruce. Ahora bien, observemos que ambas parábolas están por encima del eje x, por lo tanto la suma será una parábola por encima del eje x, y naturalmente será siempre mayor que sus sumandos. El que la suma sea mayor que sus sumandos la ubica en la región sombreada (recuerde que estamos sumando alturas, y al sumar dos alturas positivas siempre obtendremos una altura mayor que cada una de ellas). Zona donde se encontrará la suma. Observemos en una ventana de visualización a las dos parábolas y su suma: Parábolas y su suma.1 Sólo recuerde que las alturas que están por debajo del eje x tendrán valores negativos de la función y se toman en consecuencia como una resta de las alturas. Como podrá darse cuenta, para el bosquejo de estas gráficas se necesitaron distintos argumentos, tales como aquel que proviene del contexto gráfico, o del numérico e incluso del analítico. Esto es, en este momento la visualización está tomando un lugar muy importante en el desarrollo de estructuras mentales para el conocimiento de las formas gráficas. 5.1.5. Parábola + cúbica Analicemos en la tabla 3 como hicimos anteriormente, el efecto de sumar distintas parábolas con la gráfica de la función Y = x3. Queremos reiterar que es posible que en la impresión del texto no se distinga con claridad alguna de las gráficas, pero en su calculadora, se muestra en la parte superior izquierda la función que se está graficando en ese momento. Para el caso que nos ocupa, el de esta suma de una función cúbica con una cuadrática, a lo que genéricamente hemos llamado “parábola más cúbica”, observamos un patrón donde la parábola parece incrustarse en la gráfica de la función cúbica, aunque se vea muy tenue, y con ello 1 Esta gráfica se obtuvo graficando las desigualdades Y1 ≥ a (x + b)2 + c y Y2 ≥ d(x + e)2 + f. 96 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO TABLA 5.3. Suma de parábola + cúbica. Ventana Funciones Gráficas obtenemos formas cúbicas distintas a las que obtuvimos en capítulos anteriores. De este modo, si traba- jamos una función cúbica de la forma Y = Ax3 + Bx2 + Cx + D notará que contiene de forma explícita a una parábola. Más aún podemos decir que es la suma de una cúbica (Ax3) con una parábola (Bx2) con una recta (Cx) desplazada verticalmente D unidades. Al analizarlo de esa manera, podemos bos- quejar la gráfica sin necesidad de tabular, usando solamente gráficas de funciones prototípicas: y = x, y = x2 y y = x 3 . MÉTODO DE LAS OPERACIONES 97 ♦ Ejercicios 1. Realice la suma gráfica en los siguientes casos: A) B) y 4 2 x –5 –4 –3 –2 –1 1 –2 –4 C) D) y 2 1.5 1 0.5 x 1 2 3 4 5 –0.5 –1 –1.5 –2 2. Realice la suma gráfica de las siguientes funciones. Compruebe sus bosquejos en la calcu- ladora. a) Y = Y1 + Y2 + Y3 con Y1 = x3, Y2 = x2 y Y3 = x. b) Y = Y1 + Y2 + Y3 con Y1 = 0.5x3, Y2 = 0.5x2 y Y3 = 0.5x. c) Y = Y1 + Y2 + Y3 con Y1 = 4x3, Y2 = –2x2 y Y3 = x. d) Y = Y1 + Y2 + Y3 con Y1 = –2x3, Y2 = 0.5x2 y Y3 = –3x. 3. Considerando que la función Y = Ax3 + Bx2 + Cx + D puede verse como una suma de funciones (como en el ejercicio anterior), determine qué funciones al sumarse dan origen a las siguientes gráficas: 98 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO A) B) y 10 8 6 4 2 x –3 –2 –1 1 2 –2 C) D) y y 10 10 7.5 7.5 5 5 2.5 2.5 x x –3 –2 –1 1 2 3 –1 –0.5 0.5 1 1.5 2 –2.5 –2.5 –5 –5 –7.5 –7.5 –10 –10 E) F) y y 10 2 7.5 x 5 –2 2 4 6 2.5 –2 x –10 –5 5 10 –4 –2.5 –5 –6 –7.5 –8 –10 –10 4. Realice las siguientes sumas de manera gráfica: a) 5x3 – 3x2 + x. b) 0.5x3 + x2 – 2. c) x2 + 2x + 3. d) –x3 + 2x – 1. e) x2 + 2x –2. MÉTODO DE LAS OPERACIONES 99 5. Relacione la función con la gráfica que le corresponda: Funciones Gráficas 1. a) y = x3 + x2 + x 4 2 0 –2 –4 b) y = 2x3 – 0.5x2 + x –2 –2 –1 0 1 2 2. 6 4 2 0 c) y = –x3 + x2 – x –2 –4 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 3. 4 d) y = –5x3 – 0.5x + 10 2 0 –2 –4 –4 2 0 2 4 2 e) y = 1.5x – 6x + 2 4. 4 2 0 –2 –4 –2 –1 0 1 2 5. 4 2 0 –2 –4 –2 –1 0 1 2 100 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO 5.2. MULTIPLICACIÓN 5.2.1. Raíces de una función Antes de comenzar con la multiplicación gráfica de funciones, es necesario hacer una pausa para anali- zar ciertas características que se han mostrado, pero no se han hecho explícitas en los capítulos anterio- res. Hasta ahora, hemos trabajado con funciones prototipo de la forma y = xn con n = 1, 2, 3, y con base en transformaciones hemos obtenido variaciones gráficas de las mismas. Un punto importante ahora consiste en señalar que si n > 3, las gráficas no cambian su forma, sólo la rapidez de su crecimiento. Analicemos esto con gráficas en movimiento. Comencemos el análisis para n par. Para ello, debe confi- gurar su calculadora de acuerdo con las siguientes pantallas: 1 2 Oprima EXE . Oprima EXE . 3 4 Oprima F2 para establecer Oprima EXE . el rango de A. 5 6 Oprima F2 para establecer Oprima F1 para seleccionar la velocidad del dinamismo. la opción de cambio manual. MÉTODO DE LAS OPERACIONES 101 7 8 Si en su ventana no logra ver claramente los cambios puede ser por la escala. Defina la escala según Oprima EXE hasta que aparezca la siguiente ventana SHIFT OPTN la gráfica. En cuanto suceda oprima EXE para ver las otras gráficas. Recuerde que el valor de A aparece en la parte inferior izquierda de su pantalla. A continuación se muestra la sucesión de gráficas: 1 2 3 Oprima EXE . Oprima EXE . Oprima EXE . 4 5 Oprima [EXE]. con el dinamismo de la calculadora se puede ver el cambio en la parábola. Ahora observe todas las gráficas juntas en dos intervalos distintos: 102 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO Ventana Gráfica Conforme se dibujan las gráficas su función correspondiente aparece en la parte superior izquierda. De modo que podemos ver que en el intervalo de [–5, 5] mientras más grande sea el exponente, más rápido crecen las ordenadas de la parábola. Sin embargo, en el intervalo [–1, 1], mientras más grande sea el exponente, la parábola se pega más al eje x, es decir, es más pequeño su crecimiento. Esto último es lo que explica que la parábola se aplane en el intervalo dado, en la medida que el exponente crece. Para analizar el caso y = xn con n impar, podemos hacer una secuencia como la anterior definiendo al parámetro A según se muestra en la siguiente pantalla: De tal manera que la sucesión de gráficas queda como sigue: 1 2 3 Oprima [EXE[. Oprima [EXE]. Oprima [EXE]. MÉTODO DE LAS OPERACIONES 103 4 5 Oprima [EXE]. Ahora observe todas las gráficas juntas en dos intervalos distintos: Ventana Gráfica Al igual que con n par, la función y = xn con n impar, más rápido crecen las ordenadas de la función en la media en que más grande sea el exponente. Aunque en el intervalo [–1, 1] la que crece más rápido es y = x3. ¿Qué pasa ahora con la función y = a(x + b)n? Como hemos visto anteriormente, el parámetro a abre o cierra la gráfica cuando se trata de n par, y la estira o la comprime cuando se trata de n impar. En cuanto al parámetro b lo que provoca es un desplazamiento horizontal de la gráfica para cualquier n. Esto quiere decir que la gráfica sigue tocando el eje x de la misma manera que y = xn, veámoslo gráficamente: 104 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO y = 0.5x2. y = (x – 2)2. y = 2(x + 1)2. En caso de que n fuera cualquier otro número entero ocurriría exactamente lo mismo, compruébelo graficando algunos casos en su calculadora. Lo importante aquí es ver cómo cortan o cruzan el eje x estas gráficas. Por ejemplo, para una función F su gráfica se puede analizar de la siguiente manera: Corte como y = a(x + b)n Corte como con n impar y = a(x + b)n y mayor que 1 con n = 1 Corte como y = a(x + b)n con n, par FIGURA 5.7. Raíces de una función. Si F(x) es una función cualquiera y a un valor constante que satisface F(a) = 0, a recibe el nombre de raíz de la función F(x). Esto es: F(x) = P(x) (x – a), o dicho de otra forma: F(a) = P(a)(a – a) = 0. Sin embargo, a podría ser raíz de P(x) y en este caso tendríamos: MÉTODO DE LAS OPERACIONES 105 P(x) = (x – a) Q(x) y entonces Ojo autor: F(x) = (x – a)(x – a) Q(x) ¿Es correcta esta afirmación? = (x – a)2 Q(x) lo cual querría decir que a es una raíz de multiplicidad 2 ni Q(a) ≠ 0. Pero podría darse el caso de que a fuera también raíz de Q(x) y entonces la función F se definiría así: F(x) = (x – a)3 R(x). Así, podríamos seguir con la multiplicidad n de la raíz a, pero ya hemos visto que las características de las raíces de la función F(x) = (x – a)n dependen de la paridad de n. Sin embargo, no podemos olvidar las funciones P, Q y R que se encuentran multiplicando a F en los distintos casos. Es ahora cuando comenzamos a analizar la multiplicación gráfica de funciones. 5.2.2. Recta × recta La función y1 = x2 puede obtenerse por medio de una multiplicación, es decir, interpretándola como y1 = x • x. Pensemos en la gráfica de la función y2 = x: y 4 2 x –4 –2 2 4 –2 –4 Si en el primer cuadrante la función y2 es positiva y la multiplicamos por sí misma, el resultado será positivo. Por otra parte, en el tercer cuadrante la función y2 es negativa, y al multiplicarse por sí misma, el resultado será positivo. Por lo tanto nuestra función y1 se encontrará en el primer y segundo cuadran- tes, además, si pensamos en y1 = x • x, tenemos una raíz de multiplicidad 2 en el punto (0, 0). Con lo anterior, es claro que la gráfica es de la siguiente forma: 106 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO y 4 2 x –3 –2 –1 1 2 3 –2 –4 Pensemos ahora en rectas de la forma y = ax + b. Por ejemplo para graficar Y = (x – 2)(x – 4), comenzamos por graficar las rectas en el plano, analizar ciertas regiones, y por último hacer un bosquejo de la gráfica multiplicación. FIGURA 5.8. Análisis por regiones. Una vez que grafiquemos las rectas por separado, localizamos sus raíces y podemos marcar líneas perpendiculares al eje x (como en la figura) para marcar las regiones de análisis. Podemos resumir el análisis en los siguientes puntos: • Hasta antes de la raíz x = 2 ambas rectas están por debajo del eje x, por lo tanto su producto estará por arriba del eje x. Se sombrea la parte positiva. • Entre las raíces x = 2 y x = 4 las imágenes de una recta son positivas y las otras son negativas, por lo tanto su producto es negativo. Se sombrea la parte negativa. MÉTODO DE LAS OPERACIONES 107 • Después de la raíz x = 4 ambas rectas están por encima del eje x, por lo tanto su producto es positivo. Se sombrea la parte positiva. • Tanto la raíz x = 2 y x = 4 son de multiplicidad 1, por lo tanto su cruce con el eje x es como el de una recta. Un bosquejo de la gráfica producto sería: Y = (x – 2) (x– 4) Y1 = (x – 2) Y2 = (x– 4) 2 4 FIGURA 5.9. Multiplicación de dos rectas mediante el análisis de regiones. Miremos otro ejemplo gráfico. Y Y =f g f x g FIGURA 5.10. Multiplicación mediante análisis de regiones. En estos ejemplos es importante analizar las características analíticas de las funciones involucradas. Por ejemplo, en el primer caso se multiplicaron dos rectas con pendiente positiva y como resultado 108 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO obtuvimos una parábola que abre hacia arriba. En el segundo caso una de las rectas tiene pendiente negativa y provoca que el resultado sea una parábola que abre hacia abajo. ¿Cómo será la parábola resultante de una multiplicación de dos rectas cuya pendiente es negativa?, puede hacer pruebas en lápiz y papel, y posteriormente en calculadora, con el fin de comprobar sus hipótesis. 5.2.3. Recta × recta × recta El análisis por regiones se puede usar en cualquier tipo de multiplicación. Veamos ahora la “multiplica- ción gráfica de tres rectas”. FIGURA 5.11. “Multiplicación gráfica de tres rectas” mediante el análisis de regiones. Pero multiplicar tres rectas equivaldría a multiplicar una parábola por una recta. Esto es, multiplica- mos dos rectas y obtenemos una parábola, y posteriormente multiplicamos por la recta restante. 5.2.4. Recta × parábola FIGURA 5.12. Multiplicación recta × parábola mediante el análisis de regiones. MÉTODO DE LAS OPERACIONES 109 En este caso hay una recta (una raíz) y una parábola con dos raíces distintas, además ninguna de las raíces de la parábola es igual a la raíz de la recta, por lo tanto la gráfica producto será una cúbica con tres raíces distintas. Esta forma cúbica no se había obtenido con el método de las transformaciones, ahora sabemos cuál es una de las operaciones que la propicia. Pero, ¿qué pasaría si una raíz de la parábola fuera la misma que la raíz de la recta, o la parábola tuviera raíz de multiplicidad 2? Observemos los siguientes ejemplos: Y Y x x FIGURA 5.13. FIGURA 5.14. 5.2.5. Generalización Este criterio para multiplicar la gráfica de varias funciones es el mismo para cualquier función. Sólo hay que poner atención en los siguientes aspectos: • Cruces de la gráfica de la función con el eje x. Es decir, en las raíces de la función. • Multiplicidad de las raíces. • Zonas en el plano. Es decir, si es positiva o negativa. Sin embargo, si hemos de graficar una función definida de la forma Y = ¦(x – a)o (x – b)p (x – c)q (x – d)r ... no es necesario hacer gráficas por separado y multiplicar posteriormente. Si después de hacer tantas multiplicaciones gráficas hemos logrado tener una visualización de dicho proceso sabremos que lo importante es identificar las raíces y su multiplicidad. Por ejemplo, en el siguiente caso: Raíz multiplicidad 1 Raíz multiplicidad 3 { { Y = (x – 2)(x – 3)2(x – 5)3 { Raíz multiplicidad 2 110 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO Tenemos la gráfica de la forma: y 4 2 x 2 3 4 5 6 –2 –4 FIGURA 5.15 a). Multiplicidad de las raíces. observemos entonces, que lo que da forma a la gráfica son las raíces y su multiplicidad. Observemos ahora esta función, pero con multiplicidades distintas a las anteriores: Raíz multiplicidad 1 Raíz multiplicidad 5 { { Y = (x – 2)(x – 3)4(x – 5)5 { Raíz multiplicidad 4 La gráfica queda de la siguiente forma (observe que el intervalo es el mismo que el anterior): FIGURA 5.15 b). Multiplicidad de las raíces. Quizá ahora, después de estudiar ejemplos de cómo tratar una función gráficamente, sin dejar de lado el aspecto numérico y analítico de dicho objeto, queda claro que la visualización es un proceso que permite vincular, relacionar y transitar entre distintas representaciones del concepto función. Aunque aún queda una operación más, ésta provocará la aparición de nuevos conceptos. MÉTODO DE LAS OPERACIONES 111 ♦ Ejercicios 1. Realice la multiplicación gráfica de las siguientes funciones: A) B) C) y y y 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 x x 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 x –1 –1 –2 2 4 6 –2 –2 –1 0 0 –2 D) E) F) y 4 y 4 3 2 2 x 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 –2 x 1 2 3 4 5 6 –1 –4 G) H) I) y y y 4 3 3 2 2 2 1 x x 1 –4 –1 1 –1 1 2 3 4 –3 –2 –1 x –2 –1 1 2 3 4 5 –2 –1 –3 –4 –4 –2 J) K) L) y y y 2 6 4 1.5 1 4 2 0.5 2 x x –3 –2 –1 1 2 3 –5 –4 –3 –2 –1 x –0.5 –2 2 4 6 –2 –1 –2 –4 –1.5 –4 –2 –6 112 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO 2. Bosqueje las siguientes funciones sin hacer operaciones gráficas. Compruebe sus conjeturas en la calculadora. a) (x – 2)2(x – 4)3. b) (x + 1)3(x – 2). c) x (x + 1)(x – 2)2. d) –x2 (x + 4)(x – 2)2. e) 0.5x2 (5 – x)(4 – x). f) x3 (3 – x)(x + 2). g) –0.5x (x + 6)(x – 2). 3. Proponga una fórmula para cada una de las gráficas siguientes. Compruebe sus conjeturas en la calculadora. A) B) C) y y y 2 6 10 1 4 5 x 2 –1.5 –1 –0.5 0.5 1 1.5 –1 x x –2 –4 2 4 –2 –3 –2 –1 1 2 3 –2 –5 –3 –4 –4 –6 –10 –5 D) E) F) y y y 2 15 1 4 10 x –1 –0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 2 5 –1 x x –2 –3 –2 –1 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 –3 –2 –5 –4 –10 –5 –4 –15 4. Elabore una guía para construir la gráfica de la función y = (x – a)m(x – b)n(x – c)p ... 5. Elabore una guía para construir la fórmula de una función de la forma y = (x – a)m(x – b)n(x – c)p ...a partir de su gráfica. MÉTODO DE LAS OPERACIONES 113 5.3. DIVISIÓN En esta sección no haremos un análisis tan sistemático como en los casos anteriores, analizaremos las características más importantes de la operación división y haremos entonces una generalización detalla- da. Sin embargo, es conveniente empezar, como en las secciones anteriores, por los casos sencillos. Por ejemplo, el caso de la división de dos rectas. Comencemos tomando las rectas Y1 = 1 y Y2 = x y su cociente Y = Y1 / Y2. Si analizamos las dos funciones gráficamente tenemos: FIGURA 5.16. Para obtener el cociente de estas gráficas podemos utilizar el criterio de las regiones para averiguar en qué zona del plano se encontrará el cociente. Por ejemplo, en el caso anterior para x < 0 la función constante Y1 = 1 es positiva (de hecho siempre lo es) y la función Y2 = x es negativa, por lo tanto el cociente será negativo. Para x > 0 en cambio, ambas funciones son positivas, por lo tanto su cociente será positivo. En esta operación es fundamental localizar las raíces del denominador, en tanto que sabemos que la división entre cero produce una indeterminación y por consiguiente se provocará una asíntota vertical, cuando no ocurra que en el mismo punto también hay un cero del numerador. Veamos el cocien- te del ejemplo: FIGURA 5.17. Cociente Y = 1/x. 114 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO No debe olvidar que aun cuando esté operando gráficamente, la exploración numérica es una herra- mienta poderosa para establecer comportamientos gráficos. En este ejemplo, una exploración numérica de Y = 1/x alrededor de cero le da cuenta del comportamiento asintótico de la función. Vea ahora lo que pasa con los distintos cocientes Y = 1/xn para n = 2, 3, 4, 5 y encontremos un patrón: Y = 1/x2. Y = 1/x3 . Y = 1/x4. Y = 1/x5. Sin embargo, el cociente puede ser de la forma F(x) = A/(x + B)n. Entonces, lo que podemos hacer es transformar, como en el capítulo 4, las primitivas que identificamos anteriormente. Ahora bien, estos pueden ser los cocientes más sencillos. Pensemos en el cociente como una función racional de la forma: P(x ) F( x ) = Q( x ) donde: P(x) = an x n + an−1x n−1 +L+ a0 y : Q(x) = bm x m + bm−1x m−1 +L+ b0 . Comencemos con un ejemplo sencillo y analicémoslo con el criterio de las regiones. x ( x − 2) 2 Y= . ( x + 1)( x − 3) 2 MÉTODO DE LAS OPERACIONES 115 Primeramente localizaremos, por medio de las gráficas, las raíces del numerador (gráficas de línea continua), que se convertirán en raíces del cociente y las raíces del denominador (gráficas de línea achurada) que se convertirán en asíntotas verticales del cociente. FIGURA 5.18. Gráficas del numerador (línea continua) y denominador (línea achurada). Veamos ahora la gráfica del cociente: y 4 2 x –4 –2 2 4 6 –2 –4 FIGURA 5.19. Función racional con dos asíntotas. Veamos otro ejemplo, analicémoslo, al igual que el anterior, de manera local a través de sus raíces y asíntotas, para posteriormente generalizar algunas de sus características y hacer entonces un análisis global. En el siguiente ejemplo tenemos: x( x + 3)2 ( x – 2)3 F(x ) = . ( x + 1)(x – 3) Grafiquemos el numerador por partes, es decir, primero la función Y1 = x, después Y2 = (x + 3)2 y, por último, Y3 = (x – 2)3 . Posteriormente hagamos lo propio con el denominador: 116 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO y 150 125 100 75 50 25 x –4 –3 –2 –1 1 2 3 –25 FIGURA 5.20. Funciones que componen FIGURA 5.21. Numerador. el numerador. Aquí es importante señalar que las raíces de esta función seguirán siendo las raíces del cociente. No así, las raíces del denominador, como ya se había mencionado. Observe ahora la gráfica de las funciones que conforman al denominador y la gráfica del denominador: FIGURA 5.22. Funciones que componen FIGURA 5.23. Denominador. al denominador. En el caso del denominador, sus raíces se convierten en asíntotas verticales en el cociente, debido a la no existencia de la división entre cero, como ya se había mencionado. Observemos ahora la gráfica del cociente: FIGURA 5.24. Gráfica del cociente. MÉTODO DE LAS OPERACIONES 117 Observemos cómo las raíces del numerador se mantienen (x = –3, x = 0 y x = 2) cada una con su multiplicidad, y las raíces del denominador se convierten en asíntotas verticales (líneas rectas verticales en x = –1 y x = 3). Hasta ahora hemos analizado algunas características locales de funciones racionales, producto de la división de dos polinomios. Sin embargo, tienen un comportamiento global diverso. Observemos las siguientes gráficas: FIGURA 5.25. FIGURA 5.26. FIGURA 5.27. ( x + 2) 2 ( x − 2) 2 ( x + 5) 3 ( x − 2) 2 ( x + 5) 3 ( x − 2) 3 y1 = y1 = 0.05 y1 = 0.005 ( x + 1)( x − 3) 2 ( x + 1)( x − 3) 2 ( x + 1)( x − 3) 2 gráfica achurada y2 = x gráfica achurada y2 = 0.05x2 gráfica achurada y2 = 0.005x3 Observemos que la gráfica se comporta de manera global, o en sus extremos, de formas muy signi- ficativas. Esto tiene que ver con los grados de ambos polinomios, el numerador y el denominador. Por ejemplo, en el primer caso tenemos un numerador de grado cuatro y un denominador de grado tres, por lo que al efectuar la operación división obtendremos un cociente de grado uno. Esto es, a la larga, hacia el infinito (negativo o positivo), la gráfica de la función se comportará como una función lineal. Si observamos cuidadosamente, el comportamiento de la gráfica de la función racional no es idéntico al de la gráfica achurada, sin embargo, nos permite tener una aproximación en el bosquejo de gráficas. ♦ Ejercicios 1. Realice un bosquejo de gráficas para las siguientes funciones. Compare sus bosquejos con las gráficas de la calculadora, en caso de tener diferencias significativas exprese sus conjeturas al respecto. 5( x + 2) 3 ( x − 1) 4 . a) y = (4 x + 8) 2 (5 − x ) 2 x −1. b) y = x 118 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO x ( x − 1) . c) y = x−2 x( x − 1) 2 ( x + 1) 3 ( x 2 + 1) . d) y = ( x − 3)( x + 2) 2 ( x − 2) 3 2. Partiendo de las funciones primitivas (y sus gráficas antes vistas) 1, 1, 1 x x2 x3 realice bosquejos de gráficas de las siguientes funciones a través de sus transformaciones: 1 . a) f ( x) = ( x + 2) 2 5 . b) f ( x) = x−4 1 c) f ( x) = − 3. 6x + 6 1 d) f ( x) = . 3( x − 4) 2 0.5 e) f ( x) = +5. ( x + 2) 3 3. Analice las siguientes familias de funciones en su calculadora, proponiendo distintos valores a n. Explique el efecto local y global de dicho parámetro en cada función: x n ( x − 1) . y= ( x − 2) x( x − 1) n . y= ( x − 2) x( x − 1) . y= ( x − 2) n MÉTODO DE LAS OPERACIONES 119 Sugerencia: puede utilizar las gráficas dinámicas, con una ventana adecuada, para que pueda apreciar de forma más clara dicho efecto. 4. Indique cuáles de las siguientes gráficas pueden corresponder a una gráfica de una función racional y cuáles no. Explique sus razones. y y 10 3 2 8 1 6 x 1 2 3 4 5 4 –1 –2 2 –3 x –2 4 –4 –4 2 –5 –2 GRÁFICA 5.1. GRÁFICA 5.2. GRÁFICA 5.3. y 30 y 25 4 20 2 15 x 10 –4 –2 2 4 5 –2 x –4 –2 2 4 6 –4 –5 GRÁFICA 5.4. GRÁFICA 5.5. GRÁFICA 5.6. 5. Construya una expresión analítica cuya gráfica pueda corresponder con cada una de las si- guientes gráficas: 120 FUNCIONES. VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO y 15 10 5 x –6 –4 –2 2 4 –5 –10 Función racional 1. y 5 4 3 2 1 x 2 4 6 –1 –2 Función racional 2. Verifique sus conjeturas en la calculadora. MÉTODO DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 121 CAPÍTULO 6 Método del análisis matemático C omo hemos visto en los capítulos precedentes, es posible reconocer patrones en los comporta mientos de las gráficas de las funciones. Particularmente, hemos estudiado una amplia gama de funciones algebraicas; nos hemos centrado más en las funciones polinomiales y en las funciones racionales. La intención ha sido, como se señaló en su oportunidad, la de construir un universo de formas gráficas en los lectores. La idea siempre ha sido, que la visualización adquiera un nivel adecuado para permitir interpretar conceptos y procesos matemáticos del cálculo, precálculo y análisis matemático. En este capítulo buscaremos cerrar el ciclo que abrieron los anteriores, al ocuparnos de estudiar las gráficas de funciones algebraicas desde una perspectiva novedosa, mirar a las funciones algebraicas como compuestas con monomios de la forma f(x) = axn, para n natural; o bien como formadas por factores del tipo A(x – b)j. El propósito es aproximarnos, mediante la visualización, a las funciones analíticas. Como sabemos, las funciones analíticas son aquellas que pueden expresarse mediante una serie de potencias, es decir, si consideramos que la función f está definida sobre un dominio Ω ⊆ ℜ, decimos que f es analítica sobre Ω, si para todo a ∈ Ω, existe una vecindad U de a en Ω, y una sucesión {an} de números reales tales que para todo x ∈ U, la serie ∞ ∑ a ( x − a) i=0 i i ∞ converge a f(x). En tal caso decimos que f ( x ) = ∑ a ( x − a) i=0 i i sobre Ω. 121 122 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO Este resultado teórico se presenta en los cursos de análisis matemático y en los de cálculo avanzado; sin embargo, el tratamiento habitual inhibe aspectos de la visualización de las funciones analíticas. Por ejemplo, cuestiones sobre ¿cómo se conforma la serie?, ¿qué papel juegan los coeficientes de los sumandos?, ¿qué significado se asocia a los monomios involucrados? O bien, ¿qué significado visual tiene la convergencia de la serie? Con estas cuestiones y otras más, pretendemos plantear a lo largo de este capítulo una reflexión de corte didáctico para las funciones analíticas. Lo haremos desde una pers- pectiva novedosa, pues se apoya en resultados recientes de la investigación sobre procesos de aprendiza- je y enseñanza de las matemáticas como éstos suelen ser abordados en la matemática educativa. Como dijimos anteriormente, las funciones analíticas son aquellas que pueden expresarse mediante una serie de potencias. Esto, para el caso particular de a = 0, significa que f es analítica en una vecindad a = 0, si la serie ∞ ∑ a ( x − a) i=0 i i ∞ converge hacia f(x) en una vecindad de a. Decimos en tal caso que f ( x ) = ∑ a ( x − a) . i=0 i i Empecemos entonces con el estudio de funciones de la forma f1(x) = x, f2(x) = x2, f3(x) = x3,..., fn(x) = xn para n = 1, 2, 3,..., que son aquellas que componen la serie anterior. Todas ellas, como se ha visto a lo largo de este libro, tienen curvas representativas cualitativamente semejantes entre sí; por ejemplo, si centramos la atención en las regiones del plano que ocupan sus gráficas, veremos que alter- nativamente pasan de los cuadrantes 1 y 3 a los cuadrantes 1 y 2. La forma global de las gráficas también manifiesta una regularidad, pues se observa que son alternativamente funciones pares y funciones impares. Para mostrar las gráficas e iniciar con su estudio, elegimos una misma ventana de visualización, tomando por ejemplo los valores de (x, y) que están en el rectángulo –4.1269841 ≤ x ≤ 4.12698412, –2.2177419 ≤ y ≤ 2.78225806. Esta elección la mostramos en la columna de la derecha del cuadro 6.1. f1(x) – x f2(x) = x2 CUADRO 6.1. Gráficas de funciones de la forma xn. MÉTODO DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 123 f3(x) = x3 f4(x) = x4 f5(x) = x5 fn(x) = xn si n es par si n es impar mayor que uno CUADRO 6.1. Continuación. Si utilizamos la opción de gráficas dinámicas que se incluye en la calculadora Algebra FX 2.0, podremos mirar la secuencia de gráficas de la familia fn(x) = xn, variando la n sobre los naturales, del 1 hasta el 10. Elija ahora la ventana de visualización siguiente: PANTALLA 6.1. Ventana de visualización: –4 ≤ x ≤ 4, –3 ≤ y ≤ 3. 124 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO En el menú principal, tome la opción 4 que representa al menú dinámico con el fin de producir una familia de funciones en secuencia y discurrir, entonces, sobre las propiedades gráficas que se conservan y aquellas que se modifican con la variación de las potencias. PANTALLA 6.2. Menú principal, para elegir la ventana 4, DYNA. Escriba la función en el menú de funciones dinámicas; como sabe este menú permite desplegar una secuencia de gráficas construidas por una fórmula general, y graficar una familia finita de funciones. PANTALLA 6.3. Escritura de la función f(x) = xn. Establezca una variación para la potencia N de la función dada por la fórmula xn, desde 1 hasta 10, aumentando de uno en uno como se muestra en la siguiente pantalla. Es importante señalar que al conservar la misma ventana y controlar la variación de N, es posible distinguir propiedades que conser- van las gráficas de la familia de funciones, y que nos permitirán explicar aspectos de la naturaleza visual de las funciones analíticas. PANTALLA 6.4. Determinación del rango de variación de la potencia A. Después de las elecciones adecuadas para el rango y para la variación del parámetro N, nos resta ahora correr la secuencia de gráficas para constatar que el conjunto de formas posible para las gráficas de la familia fn(x) = xn, con N variando del 1 al 10, sólo produce en esencia tres formas gráficas distintas. La ventana previa a la graficación de la secuencia es la siguiente: MÉTODO DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 125 PANTALLA 6.5. Ventana del rango de variación de la potencia N. Elija en este caso la opción DYNA, oprimiendo la tecla F6 ; a continuación, la máquina prepara las diferentes gráficas y pide una pausa con el fin de concluir con sus cálculos; finalmente se produce una secuencia de gráficas que en forma estática reproducimos enseguida. La importancia de este menú, en la máquina y no en el papel, es que permite centrar la atención, gracias al dinamismo que la calculadora imprime, en las regularidades visuales que se conservan y en aquellas que, por el contrario, se modifican. Dispondremos a continuación las gráficas en una tabla de tres columnas (cuadro 2); en la primera sólo colocamos la gráfica de la función dada por la fórmula y = x, en la segunda columna están las gráficas de las funciones de potencia par, x2, x4, x6, x8 y x10, y finalmente, en la columna tercera las gráfi- cas de las funciones dadas por las fórmulas x3, x5, x7 y x9, es decir, aquellas con potencia impar. y = x1 y = x2 y = x3 y = x4 y = x5 y = x6 y = x7 CUADRO 6.2. Colección de gráficas de la forma fn(x) = xn, n = 1, 2,..., 10. 126 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO y = x8 y = x9 y = x10 CUADRO 6.2. Continuación. Algunas observaciones sobre el comportamiento de la familia de funciones fn(x) = xn, n = 1, 2,... han sido discutidas en el capítulo anterior. Por ejemplo, arribamos a la conclusión de que las funciones cuya fórmula esté dada por monomios de la forma x2 son funciones pares y, en consecuencia, sus gráficas serán simétricas respecto del eje y, mientras que las funciones de la forma x2 + 1 son impares y su gráfica es, por tanto, simétrica respecto del origen. Señalamos también que esas gráficas tenían particulares formas de contacto con el eje x, y en con- secuencia obtuvimos una caracterización de la naturaleza múltiple de sus raíces. Así, por ejemplo, las funciones y = x, y = x2, y = x3, tienen respectivamente una, dos y tres raíces en x = 0. Este resultado permite argumentar sobre el porqué, aunque todas las gráficas se intersecan con el eje x en un punto, todas lo hacen de manera completamente diferente: y=x y = x2 y = x3 La recta cruza al eje x. La curva toca al eje x. La curva toca y cruza al eje x. x + [–5, 5], y + [–3, 3] Y1 = x, Y2 = x2, Y3 = x3 Gráficas simultáneas. Ventana de visualización. Menú de funciones. Pantalla de gráficas. CUADRO 6.3. Imagen visual de la naturaleza de las raíces de la función y = xn. MÉTODO DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 127 Solución x = 0 Solución x = 0 Solución x = 0 Raíz simple en cero. Raíz doble en cero. Raíz triple en cero. CUADRO 6.3. Continuación. En general, una función cuya fórmula esté dada por f(x) = x2n, tendrá 2n raíces en x = 0, esto es, tiene una raíz en cero de multiplicidad 2n. Equivalentemente, f(x) = x2n + 1, tiene 2n + 1 raíces en x = 0, o dicho de otro modo, tiene en cero una raíz de multiplicidad 2n + 1. De modo sintético, diremos que las curvas representativas que provengan de graficar las funciones f(x) = xn tienen una forma particular de contacto con el eje x, diremos que tienen un contacto de orden 1 si cruzan al eje en un punto como la hace la recta y = x. Decimos que tienen un contacto de orden 2 si tocan el eje x como lo hace la parábola y = x2; y el contacto será de orden 3, si la curva toca el eje x como lo hace la curva y = x3. Contacto de orden 1. Contacto de orden 2. Contacto de orden 3. FIGURA 6.1. Naturaleza del contacto entre el eje x y la curva y = xn. Por otra parte, como vimos en los capítulos anteriores, los coeficientes an de los monomios anx2n afectan a la forma de su gráfica en dos sentidos: en términos de la orientación de la curva respecto del eje x y en relación a la “abertura” de la curva. Así, mientras que x es una función creciente, la función –x es decreciente. Veamos esto en una representación gráfica: y=x y = –x FIGURA 6.2. Efecto del parámetro A sobre la curva y = Ax. 128 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO Equivalentemente, las parábolas f(x) = x2 y g(x) = –x2 tienen entre sí gráficas simétricas en relación con el eje x, lo cual se puede verificar analíticamente, pues f(x) = –g(x). Gráfica de f(x) = x2. Gráfica de g(x) = –x2. FIGURA 6.3. Efecto del parámetro A sobre la curva y = Ax2. De modo que una expresión de la forma f(x) = 2x3 + x2 – x + 1 no es sino la suma de monomios 2x3, x2, –x, 1, luego entonces podremos discutir la forma de su gráfica al saber las formas de las gráficas de sus sumandos, ¿puede hacerlo? En nuestra opinión, la visualización permite justamente responder afirmativa- mente a cuestiones como la anterior. Veamos esto a través de la siguiente tabla. A la izquierda están las gráficas de las funciones de la forma axn, mientras que, a la derecha, la suma de dichas funciones. Nos interesa en este momento analizar visualmente las propiedades de la función particular f(x) = 2x3 + x2 – x + 1. y = 2x3 y = x2 f(x) = 2x3 + x2 – x + 1. y=–x y=1 FIGURA 6.4. Visualización de los sumandos y de la suma f(x) = 2x3 + x2 – x + 1. MÉTODO DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 129 GRÁFICA 6.1. Visualización de f(x) = 2x3 + x2 – x + 1 como f(x) = g(x) + 1. Centremos la atención en el comportamiento de la gráfica cerca del cero, así como en el papel que desempeña en la suma el factor y = 1, es decir, analicemos el aspecto de la gráfica de f para valores de x próximos a 0. El punto (0, 1) pertenece a la gráfica de f, basta evaluar la fun- ción para saber que ello es así: f(0) = 2(0)3 + (0)2 – (0) + 1 = 1, la curva cúbica está “sobre” el punto (0, 1), esto se debe a la contribución del factor y = 1 en la suma de los términos; así f(x) = 2x3 + x2 – x + 1 se puede mirar como f(x) = g(x) + 1, donde, naturalmente, g(x) = 2x3 + x2 – x. Si ahora centramos la atención en el factor lineal de f(x), esto es, la suma de los términos –x y 1, y = –x + 1, y lo graficamos en el mismo sistema coordenado que utilizamos para graficar a la función f, tendremos: GRÁFICA 6.2. Visualización de f(x) = 2x3 + x2 – x + 1 como f(x) = h(x) – x + 1. Como se puede apreciar, ahora la recta y = fx + 1 sirve de “apoyo” a la gráfica de f(x) = 2x3 + x2 – x + 1; ambas tienen en común al punto (0, 1) y además la recta es tangente a la curva en dicho punto. En estos términos, la función f(x) = 2x3 + x2 – x + 1 se puede escribir como f(x) = h(x) – x + 1, donde h(x) = 2x3 + x2. Si continuamos de esta manera, veremos que en la medida en que agregamos términos, primero fue el 1, luego el –x + 1, enseguida seguirá el x2 – x + 1 y finalmente la expresión completa 2x3 + x2 – x + 1. En cada 130 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO caso se presentan fenómenos similares y se tiene una gráfica que sirve de “apoyo” a la gráfica de la función completa. Veamos esto en la siguiente gráfica: GRÁFICA 6.3. Visualización de f(x) = 2x3 + x2 – x + 1 como f(x) = k(x) + x2 – x + 1. En cada caso, el punto (0, 1) = (0, f(0)) ha sido el pivote sobre el cual se apoyan las sucesivas gráficas que hemos construido; del mismo modo, la recta, y = –x + 1, fue la recta pivote sobre la cual se construye la función f, y la curva y = x2 – x + 1 es la parábola sobre la cual se construye la función f. Así, la función f(x) = 2x3 + x2 – x + 1 puede escribirse como f(x) = k(x) + x2 – x + 1, donde k(x) = 2x3. Si continuamos de esta manera, veremos que en la medida en que agregamos monomios, primero el 1, luego –x + 1, enseguida x2 – x + 1 y finalmente 2x3 + x2 – x + 1, en cada ocasión tendremos comporta- mientos similares, pues una gráfica sirve de “apoyo” a la gráfica de la función completa. Lo que hemos podido ver en este ejemplo constituye un poderoso resultado en análisis matemático, que consiste en afirmar que si una función arbitraria f es analítica, entonces tendrá asociada una sucesión de funciones polinomiales cuyas gráficas estarán cada vez más cerca de la gráfica de la función en torno de un punto, y sus términos servirán de “apoyo” a ésta en las proximidades de dicho punto. El ejemplo anteriormente desarrollado analizó el comportamiento gráfico de los sumandos 2x3, x2, –x, y 1 de la función f(x) = 2x3 + x2 – x + 1. Cada elemento influyó de alguna manera en la forma final de la gráfica de f. Esta misma situación la tendríamos si trabajamos sobre una función polinomial arbitraria f(x) = anxn + ... + a1x + a0, pues la curva representativa de f se apoyará en el origen, como se vio en el ejemplo anterior, en el punto (0, a0), es decir, en el punto (0, f(0)). A continuación, al incrementar el grado del polinomio de apoyo, tendremos que la curva representativa de la función f se apoyará en la recta y = a1x + a0 en las proximidades del 0. Siguiendo con este patrón, la gráfica de f se apoyará en la parábola y = a2x2 + a1x + a0, y así sucesivamente. Este resultado puede generalizarse para funciones no polinomiales, de modo que las curvas repre- sentativas de las funciones racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, directas e inversas, pueden ser obtenidas mediante secuencias adecuadas de curvas polinomiales simples. Aquí radica la potencia del método analítico de análisis de las funciones, pues casi cualquier función de las que se trabajan en el ámbito escolar, tendrá asociada una sucesión de funciones polinomiales que la aproximan adecuadamente en una cierta vecindad. La importancia práctica de este resultado salta a la vista, pues en vez de trabajar directamente con la función f, lo haremos mediante sus aproximaciones polinomiales. MÉTODO DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 131 Con el ejemplo anterior, pudimos visualizar el efecto que tienen los monomios de una expresión polinomial en la forma final de la gráfica. El caso elegido trató con la función f(x) = 2x3 + x2 – x + 1, en este caso, todos los términos que componen al polinomio son factores monomiales de la forma anxn, es decir, la función f es la suma de los monomios 2x3, x2, –x, 1. De ahí que se pudiera discutir su forma gráfica al estudiar las respectivas formas de las gráficas de sus sumandos. Como dijimos, la visualización permite justamente responder afirmativamente a esas cuestiones, y proponemos ahora hacer una extensión de este resultado: mostraremos que este análisis no sólo se hace sobre el punto (0, f(0)), sino que se puede realizar sobre cualquier punto (a, f(a)) que se encuentre en el dominio de definición de la función. Tratemos esta situación a través del estudio de un ejemplo particular. Partamos de la consideración de que toda expresión de la forma f(x) = anxn + ... + a1x + a0 puede reescribirse como una suma de potencias de Ak (x – a)k, es decir, desarrollamos la serie en torno de x = a, en vez de x = 0 como se hiciera en el ejemplo anterior. De esta manera, con el fin de ejemplificar lo que estamos diciendo, tomemos como punto de partida la misma función f(x) = 2x3 + x2 – x + 1 que tratamos en el ejemplo anterior, sólo que, en lugar de desarrollarla alrededor del 0 como hicimos hace un momento, lo haremos ahora, por ejemplo, en torno del 1 (es decir, en esta ocasión tendremos a = 1). El problema se inicia entonces con la pregunta: ¿Cuáles son los valores de A, B, C y D tales que 2x3 + x2 – x + 1 = A(x – 1)3 + B(x – 1)2 + C(x – 1) + D? Una forma de responder, sería mediante la resolución de un sistema de ecuaciones que se obtiene al desarrollar las potencias del lado derecho de la igualdad anterior: A(x – 1)3, B(x – 1)2, C(x – 1) y D, e igualarlas con las expresiones del lado izquierdo, es decir con 2x3 + x2 – x + 1. En los libros de álgebra se presentan técnicas más sintéticas con las que se obtienen los mismos resultados. En virtud de que al momento sólo nos interesa usar el resultado, diremos que los valores adecuados de A, B, C y D en este caso son respectivamente: 2, 7, 7 y 3. Es decir, que la función f(x) = 2x3 + x2 – x + 1 = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3. Conviene verificar esta afirmación algebraicamente antes de proseguir con la explicación. De modo que la expresión 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3 es igual la original 2x3 + x2 – x + 1, pero con la ventaja de que ha sido escrita en potencias sucesivas del factor x – 1. Iniciemos ahora con el análisis gráfico de la situación planteada. El punto será ahora no el (0, 1) como hace un momento, sino el (1, 3). Recuerde que hace un momento graficamos la función f y loca- lizamos el punto sobre el eje y por el que cruzaba la gráfica de f. Ahora, en cambio, localizamos el punto sobre la recta paralela al eje y que pasa por x = 1. Como analizamos en los párrafos anteriores, el punto (0, 1) proviene de considerar el punto de la gráfica (0, f(0)), ya que la función f(x) = 2x3 + x2 – x + 1, así f(0) = 2(0)3 + (0)2 – (0) + 1 = 1. Mientras que el punto (1, 3) proviene de evaluar la función en x = 1, esto es f(x) = 2x3 + x2 – x + 1, así f(1) = 2(1)3 + (1)2 – (1) + 1 = 2 + 1 – 1 + 1 = 3. O bien, equivalentemente f(x) = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3, de donde f(1) = 2(1 – 1)3 + 7(1 – 1)2 + 7(1 – 1) + 3 = 3. En síntesis, (0, 1) = (0, f(0)) y (1, 3) = (1, f(1)). Ahora estudiemos la descomposición en factores lineales de la forma (x – 1) de la misma función f anterior. A la izquierda se presentan las gráficas de las funciones de la forma an(x – 1)n, mientras que, a la derecha, la suma de dichas funciones. Como dijimos en el ejemplo anterior, son los monomios y sus combinaciones los que darán la forma final de la gráfica de f. En este momento nos interesa estudiar visualmente las propiedades que tiene la función f(x) = 2x3 + x2 – x + 1 = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3. 132 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO y y 2 2 x x 0 0 –6 –4 –2 0 2 4 6 –6 –4 –2 0 2 4 6 –2 –2 Gráfica de f(x) = 2x3 + x2 – x + 1. Gráfica de f(x) = 2x3 + x2 – x + 1. Recta vertical en x = 0. Recta vertical en x = 1. FIGURA 6.5. Gráfica de f. y 2 0 x y = 2(x – 1)3. –6 –4 –2 0 2 4 6 –2 y 2 y 2 0 x y = 7(x – 1)2. –6 –4 –2 0 2 4 6 0 x –3 –2 –1 0 1 2 3 –2 –2 y 2 f(x) = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3. 0 x y = 7(x – 1). –6 –4 –2 0 2 4 6 –2 y 2 0 x y = 3. –3 –2 –1 0 1 2 3 –2 FIGURA 6.6. Visualización de los sumandos y de la suma f(x) = 2x3 + x2 – x + 1. MÉTODO DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 133 GRÁFICA 6.4. Visualización de f(x) = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3, como f(x) = g(x) + 3. Centremos la atención en el comportamiento cerca del uno y en el papel que desempeña en la suma el factor y = 3, es decir, analicemos el aspecto de la gráfica de f para valores de x próximos a 1. El punto (1, 3) pertenece a la gráfica de f, pues si evaluamos la función tendremos: f(1) = 2(1)3 + (1)2 – (1) + 1 = 3, de modo que la curva cúbica está “sobre” el punto (1, 3). Ello se debe a la contribución del factor y = 3 en la suma de los términos; así f(x) = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3 se puede mirar como f(x) = g(x) + 3. Donde, naturalmente g(x) = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1). Si ahora centramos la atención en el factor lineal de f(x), esto es, la suma de los términos 7(x – 1) y 3, y = 7(x – 1) + 3, y lo graficamos en el mismo sistema coordenado que utilizamos para graficar la función f, tendremos: y = 7(x – 1) + 3 y 2 x 0 –6 –4 –2 0 2 4 6 –2 GRÁFICA 6.5. Visualización de f(x) = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3 como f(x) = h(x) + 7(x – 1) + 3. Como podemos apreciar, ahora la recta y = 7(x-1) + 3, sirve de “apoyo” a la gráfica de f(x) = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3, ambas tienen en común al punto (1, 3) y además la recta es tangente a la curva en dicho punto. En estos términos, la función f(x) = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3 puede 134 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO escribirse como f(x) = h(x) + 7(x – 1) + 3, donde h(x) = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2. Si continuamos de esta manera, veremos que en la medida en que agregamos términos a la expresión anterior, primero el 3, luego el 7(x – 1) + 3, enseguida el 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3 y finalmente la expresión completa 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3, tendremos aproximaciones polinomiales de las funciones. En cada caso se presentan fenómenos similares, pues se tiene una gráfica que sirve de “apoyo” a la gráfica de la función completa. Veamos esto en la siguiente gráfica: y =x2 – x + 1 y 2 x 0 –6 –4 –2 0 2 4 6 –2 GRÁFICA 6.6. Visualización de f(x) = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3 como f(x) = k(x) + 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3. En cada caso, el punto (1, 3) = (1, f(1)) ha sido el pivote sobre el cual se apoyan las sucesivas gráficas que hemos construido; del mismo modo, la recta, y = 7(x – 1) + 3 es la recta pivote sobre la cual se construye la función f, y la curva y = 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3 es la parábola sobre la cual se construye la función f. Así, la función f(x) = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3 puede escribirse como f(x) = k(x) + 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3, donde k(x) = 2(x – 1)3. Si continuamos de esta manera, veremos que en la medida en que agregamos monomios, primero el 3, luego 7(x – 1) + 3, enseguida 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3 y finalmente 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3, en cada ocasión tenemos fenómenos similares, pues una gráfica sirve de “apoyo” a la gráfica de la función completa. Lo que hemos podido ver en este y en el anterior ejemplo constituye un poderoso resultado en análisis matemático, que consiste en afirmar que si una función arbitraria f es analítica, ésta tendrá una sucesión de funciones polinomiales cuyas gráficas estarán “cada vez más y más cerca” de la gráfica de la función, y sus términos servirán, como hemos dicho en este apartado, de “apoyo” a la gráfica de la función. El ejemplo particular que ha sido objeto del desarrollo anterior, sirvió para analizar el comporta- miento gráfico de los sumandos 2(x – 1)3, 7(x – 1)2, 7(x – 1), y 3 de la función f(x) = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1) + 3. Cada elemento influyó en la forma final de la gráfica de f. La misma situación tendríamos al tomar una función polinomial arbitraria f(x) = an(x – a)n + ... + a1(x – a) + a0, pues la curva represen- tativa de f se apoyará en el origen, como en el ejemplo anterior, en el punto (a, a0), es decir, en el punto de coordenadas (a, f(a)). A continuación, al incrementar el grado del polinomio de apoyo, tendremos que la curva representativa de la función f se apoyará en la recta y = a1(x – a) + a0 en las proximidades del número a. Siguiendo con este patrón, la gráfica de f se apoyará en la parábola y = a2(x – a)2 + a1(x – a) + a0, y de este modo sí aumentamos el grado del polinomio de apoyo. MÉTODO DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 135 ♦ Actividades y ejercicios propuestos Actividad 1 Realice un análisis semejante al mostrado en los dos últimos ejemplos, según los cuales se graficaba la función y cada uno de sus sumandos en la misma pantalla de su calculadora con capacidad gráfica, con el fin de analizar la manera en que la gráfica de los sumandos va configurando progresivamente la gráfica de la suma. Intente en cada caso elegir la opción ZOOM para confirmar que cada una de las aproximaciones se aproxima, efectivamente, cada vez más a la gráfica de la función polinomial original. El punto sobre el cual habrá que analizar el comportamiento está dado en cada ejercicio. f(x) = –x, en x = 0. f(x) = x + 2, en x = 0 o en x = –2. f(x) = –3x + 3, en x = 0. f(x) = –3(x – 1) + 3, en x = 1. f(x) = –3(x – 2) + 3, en x = 2. f(x) = –3(x – 3) + 3, en x = 3. f(x) = x2 – 2x + 0.5, en x = 0. f(x) = 5(x – 1)2 – 7(x – 1) + 3, en x = 1. f(x) = 2(x – 1)2 – 2(x – 1) + 2, en x = 1. f(x) = –3x2, en x = 0. f(x) = –3x2 + 2x, en x = 0. f(x) = –3x2 + 2x + 1, en x = 0. f(x) = 2(x – 4)2 – (x – 4) + 5, en x = 4. f(x) = 2(x – 2)3 + 7(x – 2)2 + 7(x – 2) + 3, en x = 2. f(x) = 2x3 + 7x2 + 7x + 3, en x = 0. f(x) = 2(x – 1)3, en x = 1. f(x) = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2, en x = 1. f(x) = 2(x – 1)3 + 7(x – 1)2 + 7(x – 1), en x = 1. f(x) = 2(x + 1)3 + 7(x + 1)2 + 7(x + 1) + 3, en x = 1.  136 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO f(x) = 3(x – 1)3 – (x – 1)2 + 7(x – 1) – 3, en x = 1. f(x) = (x + 2)3 – (x + 2)2 + (x + 2) – 1, en x = –2. f(x) = x, en x = 0. f(x) = x + 1, en x = 0. f(x) = x2 + x + 1, en x = 0. f(x) = x3 + x2 + x + 1, en x = 0. f(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1, en x = 0. f(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1, en x = 0. f(x) = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1, en x = 0. Actividad 2 La mecánica de trabajo será la siguiente. Piense individualmente estos problemas, plantee una solución factible y procure construir diversas soluciones, algunas de ellas apoyadas en la visualización. Formule una versión escrita de sus intentos. Ojo autor: ¿es 1. Considere la función primitiva y = x. Identifique a la recta anterior como la bisectriz del ángulo correcto? recto ∠ΙOJ del plano cartesiano. Sólo con operaciones gráficas, construya la gráfica de la fun- ción y = x2. Demuestre con argumentos puramente algebraicos que su gráfica es una parábola cóncava hacia arriba. 2. Grafique la función y = x3 de dos maneras distintas. Una, como la multiplicación gráfica de las funciones y = x, y = x e y = x; y la otra, como el producto de y = x con y = x2. Demuestre que la función cúbica es creciente y cambie su concavidad en el origen. Muestre que es cóncava hacia arriba en los positivos y cóncava hacia abajo en los negativos. 3. Construya un bosquejo de las gráficas de la familia y = xn, considerando los casos en que n = 1, n sea par y n sea impar. 4. Bosqueje las gráficas de la familia yn = xn, considerando los casos en que n sea par y n sea impar. Actividad 3 Se recomienda discutir los problemas en grupo y formular una versión escrita de las soluciones construi- das. Para ello se propone formar equipos. MÉTODO DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 137 1. Utilizando la información sobre la multiplicidad de las raíces de un polinomio que hemos discutido en los capítulos anteriores, construya una representación gráfica de la función que se indica en cada inciso: i) f(x) = x (x – 1) (x – 2). ii) f(x) = x2(x – 1) (x – 2). iii) f(x) = x(x – 1)2 (x – 2). iv) f(x) = x(x – 1) (x – 2)2. v) f(x) = x2(x – 1)2 (x – 2); vi) f(x) = x2(x – 1) (x – 2)2. vii) f(x) = x(x – 1)2 (x – 2)2. viii) f(x) = x2(x – 1)2 (x – 2)2. ix) f(x) = x(x – 1)2 (x – 2)3. x) f(x) = x(x – 1)3 (x – 2)2. 2. Si f(x) = (x – 1)3 (x – 3)4 justifique el porqué: f ( x) i) → 0 , cuando x → 1. ( x − 1) f ( x) ii) → 0 , cuando x → 1. ( x − 1) 2 f ( x) iii) → 16 , cuando x → 1. ( x − 1)3 f ( x) iv) → 0 , cuando x → 3. x −3 f ( x) v) → 0 , cuando x → 3. ( x − 3) 2 f ( x) vi) → 0 , cuando x → 3. ( x − 3) 3 f (x) vii) → 8 , cuando x → 3. ( x − 3) 4 138 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO 3. Generalice el resultado anterior. Suponga que f(x) = g(x)h(x) y que a es una raíz de multiplici- dad par de g, pero no es raíz de h. Mientras que b es una raíz de multiplicidad impar de h, que no es raíz de g. En consecuencia a ≠ b. Justifique visualmente cada una de las siguientes afirma- ciones: i) a y b son raíces de f de multiplicidad par e impar, respectivamente. ii) La gráfica de f en las proximidades de a es parecida a la de g, salvo por un factor constante, en las proximidades de a. Equivalentemente, las gráficas de f y h son parecidas entre sí en las proximidades de b. Verifique este resultado visualmente. f ( x) f ( x) iii) → h(a) cuando x → a, pero → 0, para toda j natural tal que j < n. Donde n g( x ) ( x − a) j es el orden de multiplicidad de a como raíz de f. f (x) f ( x) iv) → g(b) cuando x → b, mientras que → 0 , para j < n. Donde n es el orden h( x ) ( x − b) j de multiplicidad de b como raíz de f. v) una versión de la regla de L’Hôpital usando los resultados obtenidos en los incisos (iii) y (iv) anteriores. Establezca cuáles son las hipótesis que se pueden cumplir en esta versión de la regla. Actividad 4 Es conveniente que discuta los problemas con sus compañeros y compañeras y que formule una versión escrita de las soluciones construidas en grupo, no deje de pensar en forma individual las diversas solucio- nes. Le proponemos formar equipos de trabajo con el fin de desarrollar de mejor manera esta actividad. 1. Construya un bosquejo de la gráfica de cada una de las siguientes funciones. Use las curvas y = 1, y = x, y = x2 e y = x3. Explique en cada caso el papel que juegan los coeficientes del polinomio en cuestión. f(x) = x3 + x2 + x + 1. g(x) = x3 + x2 + x – 1. h(x) = x3 + x2 – x + 1. i(x) = x3 – x2 + x + 1. j(x) = x3 + x2 – x – 1. k(x) = x3 – x2 + x – 1. MÉTODO DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 139 l(x) = x3 – x2 – x + 1. m(x) = x3 – x2 – x – 1. Bosqueje las gráficas de las siguientes funciones: f1(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6. f2(x) = x3 + 2x2 – x – 2. f3(x) = x3 – 2x2 – x + 2. f4(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6. 2. ¿Encuentra alguna relación entre el número de cambios de signo que tienen los coeficientes de las funciones y el número de raíces positivas del polinomio? Actividad 5 La mecánica de trabajo será la siguiente. Reflexione en forma individual cada uno de estos problemas, plantee enseguida una solución factible y procure construir diversas soluciones discutiéndolas. Use pre- ferentemente estrategias de visualización. 1. Construya las gráficas de las funciones y = x, y = x – 1, y = x – 2 y determine las regiones donde son positivas, negativas o cero. Construya con esa información la gráfica de la función y = x(x – 1)(x – 2). Generalice este resultado para un producto de factores lineales de la forma y = Π (x – αi). 2. Bosqueje las gráficas de las funciones y = x, y = x – 2, y = x + 1 y determine las regiones en las que sean positivas, negativas o cero. Construya con esa información la gráfica de la función x( x − 1) . Generalice este resultado para un cociente de factores lineales de la forma y= x +1 y= ∏ (x − α ) . i ∏ (x − β ) j 3. Construya las gráficas de las funciones y = x – 1, y = (x – 1)2, y = (x – 1)3 de dos maneras distintas, por regiones y por la naturaleza de la multiplicidad de sus raíces. 4. Generalice el problema anterior y construya un bosquejo de las gráficas de la familia de funcio- nes y = (x – a)n, considerando los casos en que n = 1, y en general que n sea par y n impar. 140 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO 5. Construya un bosquejo de las gráficas de la familia y = 1 , considerando los casos en que ( x − a) n n sea par y en que sea impar. Actividad 6 La mecánica de trabajo será la siguiente. Durante una hora, resuelva en forma individual los problemas con sus incisos. Escriba sus respuestas, incluyendo dudas. Posteriormente, durante la siguiente hora, discuta en equipos de tres personas sus dudas y sus soluciones y elabore una sola versión de las solucio- nes por equipo. 1. Bosqueje la gráfica de las siguientes funciones. • f(x ) = x(x + 1)3 (x – 3)2 – 1. • f(x) = x6 + x5 – x4 – x3 . x( x + 1) 3 ( x − 3) 2 • f ( x) = . (1 − x ) 4 ( x − 2) 2 • Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas, cuáles falsas y cuáles eventualmente podrían ser verdaderas. • Si f es una función racional, entonces el límite de f cuando x tiende a infinito es infinito. • Si f es una función racional, entonces el límite de f cuando x tiende a más infinito es 3 y cuando tiende a menos infinito es cero. • No existe valor de k para el cual la gráfica de f(x) = x2 + kx sea tangente a y = 5. 2. Suponga que f es una función impar definida en los reales. Demuestre, visual y analíticamente, que f′(–x) = f′(x). 3. Resuelva, gráfica y analíticamente, la desigualdad 4x < 7x + 1 ≤ 3x – 2. 4. Para cada una de dichas gráficas, construya al menos una expresión analítica que represente a la gráfica respectiva. Actividad 7 1. Grafique las siguientes funciones usando las opciones de graficación de su calculadora. Con- viene que las grafique en la misma pantalla en forma secuencial. Discuta las razones por las que dichas gráficas están próximas entre sí. MÉTODO DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 141 • f(x) = ex. • f(x) = 1 + x. • x2 . f ( x) = 1 + x + 2 • x2 x3 . f (x) = 1 + x + + 2 2× 3 • x2 x3 x4 . f ( x) = 1 + x + + + 2 2 × 3 2 × 3× 4 2. Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas, cuáles falsas y cuáles podrían ser eventualmente verdaderas. • Si f es una función polinomial, entonces ella misma es la mejor aproximación polinomial hasta el orden del mismo grado del polinomio. • Si f es una función polinomial de la forma f(x) = ΣaiXi, entonces sus coeficientes tienen una relación específica con las derivadas de f en el cero. • No existe valor de k para el cual la gráfica de f(x) = x2n + kx sea tangente a y = k. 3. Compare las funciones exponenciales y sus desarrollos en serie de potencias hasta el orden 3. Decida si son iguales hasta el orden 1, 2 y 3, respectivamente. Grafique las funciones para sostener sus propias conjeturas. Actividad 8 Es conveniente que discuta los problemas en colectivo y que formule una versión escrita de las solucio- nes construidas en grupo, no deje de pensar en forma individual diversas soluciones. Le proponemos formar equipos con el fin de desarrollar de mejor manera esta actividad. 1. Construya un bosquejo de la gráfica de cada una de las siguientes funciones: f(x) = senx. f(x) = x. x3 . f ( x) = x − 3! 142 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO x3 x5 . f ( x) = x − + 3! 5! x3 x5 x7 . f (x) = x − + − 3! 5! 7! a) ¿Encuentra alguna relación entre el número de cambios de signo que tienen los coeficien- tes de las funciones polinomiales y el número de raíces positivas de los polinomios en cuestión? b) ¿Qué relación guardan estas raíces con las respectivas raíces de f? SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 143 CAPÍTULO 7 Síntesis metódica: un paseo por las gráficas 7.1. UNA APROXIMACIÓN VISUAL A LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES n ejemplo adecuado para hablar de visualización en el sentido que trata este libro, es la forma en U que se puede estudiar la composición de funciones, noción que consideramos se aborda muy someramente en el ambiente escolar y se le reduce a la mera aplicación de una función evaluada en otra . Sin embargo, consideramos que se trata de una noción que puede explorarse desde diversas miradas. Juega un papel preponderante en la regla de la cadena en cálculo diferencial y cálculo avanzado y es la clave de la noción de cambio de variable en la teoría de integración. En el caso de la composición de funciones reales de variable real, podemos ejemplificar nuestro punto de vista como sigue: Definición La composición de f con g, denotada por f ° g y que se lee “f círculo g” o “f composición g”, es la función cuyo dominio consta de los elementos x ∈ Dg tales que g(x) ∈ Df y cuya regla de correspon- dencia está dada por: x a ( f o g )( x ) = f (g( x )) . Numéricamente esto significa que, por ejemplo: si la función f = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)} y la función g = {(0, – 3), (3, 2), (4, 1)}, entonces f ° g = {(3, 4), (4, 3)}. 141 144 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO Aquí lo que tenemos que encontrar es aquella x del par ordenado (x, g(x)) cuya g(x) sea igual a la x del par ordenado (x, f(x)). En nuestro ejemplo tenemos: f = {(1, 3), 2, 4), (3, 5), (4, 6) }. g = {(0, –3), (3, 2), (4, 1)}. Una vez identificados los pares ordenados, conformamos el par ordenado de la composición de funcio- nes con la x del par ordenado (x, g(x)) y con la f(x) del par ordenado (x, f(x)). Si observamos esta composición como una correspondencia o mapeo, tenemos lo siguiente: 0 3 4 g f o g f –3 1 2 3 4 3 4 5 6 Ahora bien, algo que en el ámbito escolar no se explora profundamente es la representación gráfica de la operación de composición. De manera general, podemos definir esta operación, en su forma gráfi- ca, de la siguiente forma: f g (g(x), f(g(x))) (x, f(g(x))) (x, 0) (g(x), g(x)) (x, g(x)) FIGURA 7.1.  Ojo Autor: ¿Cuál es la correcta? SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 145 Si f y g son funciones reales de variable real, entonces la gráfica f ° g puede construirse partiendo de las gráficas de f y g. Tome un número x cualquiera que pertenezca al dominio de definición de la función g, es decir, x ∈ Dg, se traza la recta vertical que pasa por (x, 0) y se llega hasta (x, g(x)), en ese punto se proyecta una recta horizontal hasta la recta {(x, x) | ∈x+R} en el punto (g(x), g(x)). Si x ∈ Df • g entonces g(x) ∈ Df y la recta vertical que pasa por (g(x), g(x)) intersectará a la gráfica de f en el punto (g(x), f(g(x))). Entonces, el punto (x, f(g(x))) se obtiene como el punto de intersección de la recta horizontal que pasa por (g(x), f(g(x))) y la recta vertical que pasa por (x, 0). ¿Por qué es claro que para entender este concepto se necesita del desarrollo de la visualización y del pensamiento matemático? Puede ser tan simple como pensar en poder trabajar con sus distintas repre- sentaciones, vincularlas unas con otras, transitar de una a otra comprendiendo la relación entre sus elementos, etc. Todo lo anterior tiene la finalidad de proporcionar un significado a una noción, con el objetivo de enfrentar nuevos problemas con un repertorio de herramientas mucho más amplio. Por ejem- plo, comprender la operación composición, sus elementos, características y representaciones, para en- tender lo que es la derivada de la función compuesta y no quedarnos al nivel de la algoritmia. ♦ Ejercicios 1. Realice la composición f • g y la composición g • f para cada uno de los siguientes casos: a) f = {(–5, 4), (–2, 1), (0, 0), (3, 2)}, g = {(–10, –5), (1, –2), (2, 0), (4, 2), (6,3)}. b) f = {(–2, 2), (–1, 0), (0, 3), (4, –1)}, g = {(0, –1), (1, 1), (2,4), (3, 5)}. c) f = {(0, 0), (2, 4), (4, 16), (8, 64)}, g = {(0, 0), (1, 1), (2,2), (3, 3), (4, 4)}. d) f = {(0, 4), (2, 0), (3, –2), (6, 3)}, g = {(–2, 0), (–1, –2), (0, 2), (2, 6), (8, 5)}. e) f = {(–7, –3), (–5, 0), (–2, 3), (0, 0)}, g = {(–3, –5), (0, –7), (3, 0), (6, – 2), (7, 0)}. 2. Realice la composición f • g y la composición g • f para cada uno de los siguientes casos: a) f = x2 + x – 2, g = x – 3. b) f = 2x3 + x2 + 3x, g = 0.5x2 – x. c) f = x2 + 5, g = x2 – 5. d) f = – 0.5x2 + 3x – 2, g = x + 2. e) f = – 2x3 + x2 + x, g = – 5x2 – 3. 3. Asigne f y g a cada gráfica y realice las composiciones que se indican. 146 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO f•g g•f SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 147 7.2. GUÍA PARA LA CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS DE FUNCIONES RACIONALES Después de las distintas formas gráficas que hemos trabajado a lo largo del libro, podemos resumir en la siguiente tabla, dos de los elementos básicos para un análisis local en el bosquejo de las gráficas. TABLA 7.1. Multiplicidad de las raíces y asíntotas. (x – a)n En el numerador, como raíces En el denominador, como asíntotas 4 2 0 –2 –4 –4 –2 0 2 4 2 5 2 6 1 4 1 n par 4 0 3 0 –1 2 -1 2 –2 1 -2 –3 0 -3 0 –4 –1 -4 -6 -4 -2 0 2 –2 –1 0 1 2 3 4 5 –4 –2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 4 4 4 4 n impar 2 2 2 2 0 0 0 0 –2 –2 –2 –2 –4 –4 –4 –4 –2 0 2 4 –4 –2 0 2 4 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 La información de la tabla puede servirnos ahora como guía en el bosquejo de gráficas, sin dejar de lado el análisis numérico y analítico que éste conlleva. Para hacer un análisis de cómo construir la gráfica de una función racional o cómo encontrar una posible expresión analítica correspondiente con una gráfica de una función racional, partimos de un ejemplo que nos permita desmenuzar todas las características importantes para abordar dicha tarea. De este modo, si tenemos x( x − 1)( x − 3) 2 ( x 2 + 4) y= . ( x + 1)( x − 2) 2 ( x + 2) 3 148 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO Comenzaremos por analizar el papel del numerador en la conformación de la gráfica de la función, pues como sabemos, éste es el que determina las raíces de la función. Observe que el factor (x2 + 4) no cruza el eje x. ¿Por qué? x (x – 1) (x – 3)2 Tiene una raíz Tiene una raíz Tiene una raíz de multiplicidad 1, de multiplicidad 1, de multiplicidad 2, por lo tanto produce por lo tanto produce por lo tanto produce un cruce con el eje x. un cruce con el eje x. un toque tangencial con el eje x. Ahora, analicemos al denominador, que produce las asíntotas verticales: 1/(x + 1) 1/(x – 2)2 1/(x + 2)3 5 4 4 3 2 2 1 0 0 -2 -1 -2 -4 -2 0 2 4 6 -6 -4 -2 0 2 Ahora bien, como el polinomio del numerador tiene grado 6, al igual que el polinomio del denomi- nador, entonces el cociente de ambos polinomios se comporta como para valores grandes de x en valor absoluto, como un polinomio de grado cero, es decir, tenderá a ser una constante. Esto se verá reflejado en el comportamiento de la gráfica cuando x vaya hacia ∞ o hacia –∞. Si bosquejamos esta función, con base en la información anterior, tendremos: 300 200 100 0 –100 –200 –4 –2 0 2 4 GRÁFICA 7.1. SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 149 Para ver su comportamiento en los extremos, cuando la x es grande en valor absoluto, graficamos en la ventana que –100 ≤ x ≤ 100 y –10 ≤ y ≤ 10. 10 7.5 5 2.5 0 –2.5 –5 –7.5 –60 –40 –20 0 20 40 GRÁFICA 7.2. Para realizar el proceso inverso, el de obtener una expresión analítica a partir de una forma gráfica, es necesario identificar los elementos antes discutidos (tabla 1) y reconocer los siguientes aspectos principales: • Localizar las raíces y distinguir su multiplicidad. • Localizar las asíntotas y estudiar el comportamiento de la función cerca de ellas. • Con los valores de las raíces factorizar en binomios para el numerador, colocando el exponente correspondiente a la multiplicidad de raíces, y con los valores de las asíntotas construir binomios para el denominador, colocando el exponente correspondiente al comportamiento de la función alrededor de la asíntota. • Visualizar el comportamiento a larga distancia (cuando la x es grande) y con base en ello obtener la diferencia entre el grado del numerador y el grado del denominador. Por ejemplo, si el comportamiento en el largo plazo es como el de una asíntota horizontal, esto quiere decir que la diferencia de los grados es cero. Por ejemplo, veamos la siguiente gráfica: 10 7.5 5 2.5 0 –2.5 –5 –7.5 –10 –5 0 5 10 15 GRÁFICA 7.3. 150 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO Observemos las siguientes características: • Raíz x = 0 con multiplicidad impar, mayor que 1. • Asíntota vertical en x = 2. Alrededor de la asíntota la función es positiva, por lo que suponemos un término (x – 2)n con n par. • Asíntota vertical en x = 5. Antes de la asíntota la función es positiva, después es negativa, por lo que suponemos un término (x – 2)n con n impar. • Raíz x = 6 con multiplicidad par. • Asíntota vertical en x = 7. Antes de la asíntota la función es negativa, después positiva, por lo que suponemos la existencia de un término de la forma (x – 7)n con n impar. Si construimos tentativamente la expresión analítica siguiente: x 3 ( x − 6) 2 y= , ( x − 1) 2 ( x − 5) 3 ( x − 7) sólo faltaría observar el comportamiento de la gráfica cuando x crece (va hacia ∞) o decrece (va hacia – ∞). La función que proponemos tiene un numerador de grado 5 y un denominador de grado 6, por lo que suponemos que nuestra función, para valores muy grandes o muy pequeños, se comportará como la función y = 1 . Observemos si esto se confirma visualmente: x 10 7.5 5 2.5 0 –2.5 –5 –7.5 –10 –5 0 5 10 15 GRÁFICA 7.4. Efectivamente, la conjetura es cierta. En caso de no ser así, habrá que hacer ajustes con los exponen- tes, tanto de numerador como de denominador, ya que, por ejemplo, si se tiene una raíz de multiplicidad par, ésta puede ser doble o cuarta, y así podremos acercarnos bastante bien al diseño buscado. 7.3. UNA APROXIMACIÓN VISUAL A LOS POLINOMIOS DE LAGRANGE Nuestro problema ahora es un tanto más novedoso. Pensemos en construir una función polinomial que pase por ciertos puntos. La herramienta que descubriremos será la de los polinomios de Lagrange; sin SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 151 embargo, sería muy simple enunciar la fórmula y comentar algunos ejemplos. Por el contrario, tratare- mos de construir dicha función a partir de las concepciones formuladas en los capítulos anteriores. Comencemos por construir un polinomio que pase por un punto, y pensemos que el punto está colocado exactamente sobre el eje x. Esto significa que en dicho punto la función será igual a cero, veámoslo en el siguiente diagrama: Sin embargo, por ese punto pueden pasar infinidad de funciones polinomiales, pues simplemente necesitan cumplir que f(xi) = 0. ¿Cómo construimos una función polinomial que al tomar el valor de xi sea cero? Pensemos en las funciones primitivas f(x) = x, f(x) = x2 y f(x) = x3 y en sus gráficas: GRÁFICA 7.5. GRÁFICA 7.6. GRÁFICA 7.7. Sabemos bien que con la transformación f(x – a) la gráfica se desplaza horizontalmente y provoca que el punto de intersección con el eje x, para el caso de las funciones anteriores, sea (a, 0). Entonces podemos usar esta información para construir funciones polinomiales que pasen por un punto arbitrario xi. Esto es f(x) = (x – xi)n con n ≥ 1. Por ejemplo, pensemos en el punto (2, 0), y en n = 1, 2, 3. Entonces las funciones polinomiales que pasan por ese punto serían f(x) = (x – 2), f(x) = (x – 2)2 y f(x) = (x – 2)3, cuyas gráficas, en un mismo plano, son: 152 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO 2 1.5 1 0.5 0 - 0.5 -1 - 1.5 -1 0 1 2 3 4 5 Aproximación polinomial a un punto: Pero también, como vimos anteriormente, la transformación Af(x) provoca cambios en la gráfica que no modifican el punto donde cruza el eje x. Por lo tanto, nuestra función polinomial podría estable- cerse de la siguiente forma: f(x) = A(x – xi)n, donde el valor xi determinará el punto de intersección con el eje x, y su raíz, en este caso, será de multiplicidad n. Por ejemplo, para A = –1, 1, 2, xi = 3 y n = 1, 2, 3, tenemos las siguientes gráficas: 2 1.5 1 0.5 0 –0.5 –1 –1.5 –1 0 1 2 3 4 5 6 n = 1. n =2. n =3. Ahora bien, pensemos en una función que pase por dos puntos, y que éstos estén sobre el eje x. SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 153 Si construimos una función polinomial de primer orden, la recta que pasa por ambos puntos es, tal y como se observa en la gráfica, el eje x mismo; o dicho en otras palabras f(x) ≡ 0, función que incluso pasa por sobre todos los puntos (xi, 0). Ahora bien, si construimos una función polinomial de segundo orden, podemos partir de la estruc- tura que se ha manejado hasta ahora; es decir, si x1 y x2 son dos raíces de la función, los puntos (x1, 0) y (x2, 0) son aquellos por donde pasa la gráfica de la función. Como sabemos que la transformación Af(x) no afecta a las raíces, la función queda de la siguiente forma: f(x) = A(x – x1)(x – x2). Por ejemplo, si tenemos los puntos (–1, 0) y (2, 0), la función quedaría de la siguiente forma: f(x) = A(x + 1)(x – 2), si graficamos para A = – 1, 1, 2, tenemos las siguientes gráficas: 4 2 0 –2 –4 –4 –2 0 2 4 Aproximación polinomial a dos puntos. Pero también, del mismo modo, podremos construir la función de tercer orden que pase por esos puntos. Recordemos que en el capítulo 3 conocimos las formas gráficas de la función cúbica, y sabemos que ésta puede pasar sólo por dos puntos (x1, 0) y (x2, 0) en el eje x; en tal caso, tenemos dos posibilidades: 1. Que x1 sea raíz de multiplicidad 1 y x2 sea raíz de multiplicidad 2. 2. Que x1 sea raíz de multiplicidad 2 y x2 sea raíz de multiplicidad 1. Para tales posibilidades tendríamos las siguientes expresiones: f(x) = A(x – x1)( x – x2)2. f(x) = A(x – x1)2( x – x2). 154 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO Por ejemplo, para los puntos (–1, 0) y (2, 0) con A = – 1, 1, 2, tenemos las siguientes gráficas: A=–1 A=1 A=2 Posibilidad 1. A=–1 A=1 A=2 10 7.5 5 2.5 0 –2.5 –5 –7.5 –3 –2 –1 0 1 2 3 Posibilidad 2. Así podríamos seguir buscando funciones polinomiales que crucen n veces el eje x. Sin embargo, podríamos tener algunos de los puntos fuera del eje x, y en tales casos queremos también construir una función polinomial que una todos los puntos. Estos casos requerirán de otro tipo de análisis. Pensemos, por ejemplo, en construir una función que pase por los puntos (x1, 0) y (x2, y2), como se muestra en la siguiente ilustración: Si pensamos en una recta que pase por ambos puntos, indudablemente pensaríamos en la fórmula SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 155 y2 − y1 y2 ( y − y1 ) = ( x − x1 ) , y como y1 = 0, la expresión queda de la forma y = ( x − x1 ) . Observe- x 2 − x1 x 2 − x1 y2 mos aquí que cuando x = x1 la función es y = ( x1 − x1 ) = 0 , pero cuando x = x2 la función es: x 2 − x1 y2 y= ( x 2 − x1 ) = y2 , y se cumple en este caso que la función pasa por ambos puntos. x 2 − x1 Por ejemplo, la función lineal que pasa por los puntos (2, 0) y (4, 3) es y = 3 ( x − 2) y su gráfica es 2 la siguiente: Aproximación polinomial a dos puntos. ¿Qué pasa si ahora tenemos dos puntos que crucen el eje “x” y uno que no lo haga?, tal como se muestra en la figura siguiente: Sabemos ahora que cruzar dos veces el eje “x” en (x1, 0) y (x2, 0) quiere decir que la función tiene dos raíces x1 y x2, de tal forma que la función puede ser, y = (x –x1) (x – x2); sin embargo, debe pasar 156 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO por otro punto, entonces cuando x = x3 la función y será igual a y3, entonces dividimos nuestra función entre (x3 – x1) (x3 – x2) – para que la función valga 1 cuando x = x3 – y multiplicamos por y3 para que nuestra función efectivamente pase por el punto (x3, y3). Nótese que, en este caso, aplicar la transfor- mación Af(x) sí afectará el hecho de que pase por el punto (x3, y3). La función quedaría de la forma: ( x − x1 )( x − x 2 ) y= y3 . ( x 3 − x1 )( x 3 − x 2 ) Por ejemplo, si tenemos los puntos (2, 0), (4, 0) y (6, 2) la función polinomial sería de la forma: ( x − 2)( x − 4) 1 1 y= 2 = ( x − 2)( x − 4) = ( x 2 − 6 x + 8) . (6 − 2)(6 − 4) 4 4 Y su gráfica será de la siguiente forma: Aproximación polinomial a tres puntos. Propongamos ahora construir una función que pase por un punto (x1, 0) que cruza el eje “x” y los puntos (x2, y2) y (x3, y3) que no lo hacen, como se muestra en la siguiente figura: SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 157 Comencemos por construir la función que cruza por el primer punto. Para tal caso tenemos la función y = ( x − x1 ) . Ahora bien, si queremos que cuando x = x2 la función sea igual a y2 construimos ( x − x1 ) la siguiente fórmula: y = y2 , pero tenemos que tomar en cuenta que cuando x sea igual a x3 la ( x 2 − x1 ) función debe ser igual y3, para tal caso ya no podemos hacer nada a la función anterior, ya que su término provocará solamente el paso por el punto (x1, x2). Añadimos entonces un término a nuestra función, de ( x − x1 ) ( x − x1 ) tal forma que queda de la siguiente forma: y = y2 + y3 . ( x 2 − x1 ) ( x 3 − x1 ) Ahora bien, cuando x = x2 el segundo término se debe anular; y cuando x = x3, el primer término se debe anular, de tal suerte que nuestra función quedaría de la siguiente forma: ( x − x1 )( x − x 3 ) ( x − x1 )( x − x 2 ) . y= y2 + y3 . ( x 2 − x1 ) ( x 3 − x1 ) Sin embargo, observemos ahora que cuando x = x2 el primer término ya no vale y2, sino (x2 – x3)y2, y cuando x = x3 el segundo término ya no vale y3, sino (x3 – x2)y3; para evitar esto dividiremos al primer término por (x2 – x3) y al segundo por (x3 – x2). Finalmente la función queda de la siguiente forma: ( x − x1 )( x − x 3 ) ( x − x1 )( x − x 2 ) . y= y2 + y3 ( x 2 − x1 )( x 2 − x 3 ) ( x 3 − x1 )( x 3 − x 2 ) Si, por ejemplo, tenemos los puntos (2, 0), (4, 3) y (6, 2), la función queda de la siguiente forma: ( x − 2)( x − 6) ( x − 2)( x − 4) −3 2 1 y= 3+ 2= ( x − 8x + 12) + ( x 2 − 6 x + 8) (4 − 2)(4 − 6) (6 − 2)(6 − 4) 4 4 = −0.5x 2 + 4.5x − 7. Y su gráfica se ve así: 158 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO Este análisis tiene el objetivo de dar un significado a la construcción de funciones, utilizando las nociones trabajadas a lo largo del libro, de tal forma que llegar a la generalización sea, más que conocer una fórmula, conocer el significado de cada uno de sus términos, conocer su construcción y el porqué es correcta. ♦ Ejercicios 1. Construya el polinomio que pase por tres puntos fuera del eje “x”. 2. Con base en los ejemplos anteriores construya la fórmula general de un polinomio que pase por n puntos fuera del eje “x”, es decir, el polinomio de Lagrange. 3. Construya el polinomio que pase por los siguientes puntos: a) (2, 4) y (5, 3). b) (–6, 4) y (2, 5). c) (–2, 0) y (4, 0). d) (1, 5) y (5, 1). e) (0, 0) y (2, 8). f) (–1, 2), (2, –4) y (5, 3). g) (–3, 4), (–1, –2) y (0, –5). h) (–2, 0), (0, 4) y (5, 3). i) (–5, 3), (0, 2) y (3, –5). j) (–5, 5), (–2, 0), (1, 3) y (5, 8). k) (–2, 5), (0, 0), (2, 8) y (4, –2). l) (–5, 5), (–3,0), (–1, –5) y (1, 3). m) (–4, 0), (–2, 0), (0, 0) y (4, 8). 4. Realice los siguientes pasos para cada uno de los incisos del ejercicio anterior: Paso 1) Ingrese al Menú STAT de su calculadora: PANTALLA 7.1. SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 159 Paso 2) Edite los puntos, en la Lista 1, introduzca los valores de “x” y en la Lista 2 los valores de “y”. Por ejemplo: PANTALLA 7.2. Paso 3) Oprima la tecla [F1]; se desplegará el siguiente menú: PANTALLA 7.3. Paso 4) Elija la opción 5. La configuración de la gráfica debe ser de la siguiente forma: PANTALLA 7.4. Paso 5) Oprima [EXE] para volver a la tabla, oprima [F1] de nuevo, pero ahora escoja la opción 1 para ver los puntos graficados de la siguiente forma: PANTALLA 7.5. 160 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO Paso 6) Oprima la tecla [F5] (DefG) para definir la función que pase por los puntos (y que ya obtuvo en el ejercicio anterior). En este caso, tenemos: PANTALLA 7.6. Paso 7) Oprima la tecla [F6] (DRAW) para que vea si efectivamente la gráfica pasa por los tres puntos. PANTALLA 7.7. 5. Siga estos pasos para cada uno de los incisos del ejercicio 3. Paso 1) Ingrese al menú STAT de la calculadora: PANTALLA 7.1. Paso 2) Edite sus listas: PANTALLA 7.2. SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 161 Paso 3) Oprima la tecla [F2] (CALC), escoja la opción 3 (REG): PANTALLA 7.3. Paso 4) Si tiene dos puntos, escoja la regresión lineal; si son tres puntos, escoja la regresión cuadrática, y si tiene cuatro puntos, escoja la regresión cúbica. Para nuestro ejemplo, to- maremos la regresión cuadrática: PANTALLA 7.4. Paso 5) Oprima [EXE] para obtener lo siguiente: PANTALLA 7.5. Esta última pantalla muestra los valores de los parámetros de la función. Ésta es una forma de verificar si el polinomio que construimos es correcto. 162 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO 7.4. UN PASEO POR ALGUNAS FUNCIONES TRASCENDENTES 7.4.1. Funciones trigonométricas o funciones circulares Medidas de ángulos Uno de los puntos de interés más antiguos de la geometría fue la medida de los ángulos con propósitos diversos. Se sabe que en la cultura babilónica medían los ángulos dividiendo el círculo en 360 partes, a las que ahora llamamos grados y denotamos con el símbolo °, de modo que cada una de esas partes producía un giro de 1°. El círculo era dividido en 360° como se muestra en la siguiente figura: FIGURA 7.2. Transportador graduado. Según algunos autores, las limitaciones tecnológicas para medir giros hizo necesario que se supliera la lectura de los giros por la medida de los segmentos, y con ayuda de tablas se podría deducir el valor de los ángulos. De este modo, fueron las cuerdas de un círculo, y no los ángulos que la determinan, los objetos que sirvieron para medir los giros. Es así que la función seno se relaciona con la cuerda mediante la relación sen α = ½ cuerda (2α). Esta función seno, originalmente llamada sinus rectus (es decir, seno vertical), está mucho mejor adaptada para los cálculos con triángulos que la función cuerda. SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 163 B C A FIGURA 7.3. FIGURA 7.3. Consideremos un triángulo rectángulo como se muestra en la siguiente figura. Como sabemos de nuestros cursos de trigonometría, las definiciones del seno de un ángulo agudo se obtienen al considerar las medidas de los lados de dicho triángulo mediante cocientes adecuados. AB AC AB De este modo, el sen(α ) = , cos(α ) = , tan(α ) = . Aunque también, la tangente de BC BC AC sen(α ) un ángulo α se obtiene mediante la relación tan(α ) = , la cotangente de α como cos(α ) AC cos(α ) 1 . cot(α ) = = = AB sen(α ) tan(α ) Si este triángulo está inscrito en un círculo de radio uno (círculo unitario), entonces las funciones seno, coseno, tangente y cotangente se pueden ver como las longitudes de los segmentos que se señalan en la siguiente figura. Este acercamiento suele ser usual en los cursos de trigonometría; de hecho, el origen etimológico del término significa “la medida de figuras con tres esquinas”, de modo que las definiciones de las relaciones trigonométricas se hacen sobre triángulos. 164 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO cot(a ) sen(a ) tan(a ) cos( a ) Normalmente se tienen tres formas distintas para medir los ángulos, como puede verse en la si- guiente pantalla de una calculadora científica: PANTALLA 7.3. Pantalla de selección de ángulo. Los grados (en inglés degree) son muy usados en la trigonometría de la educación básica. Se parte de dividir una circunferencia en 360 partes iguales, de manera que un giro de 360° sea equivalente a un giro que lleva al segmento a regresar sobre sí mismo. Un giro de 180° es media vuelta completa, etc. Los radianes por su parte, son de mayor uso en el bachillerato a causa, quizá, de que permiten, en forma adecuada, el tránsito de los grados a los radianes y de ahí a los reales, y en consecuencia posibilitan el hablar propiamente de las funciones trigonométricas como funciones reales de variable real. Para definir el radián, se toma un círculo unitario, como el que se exhibe a continuación, y se define a un radián como el ángulo que se produce al tomar sobre la circunferencia una longitud de arco igual a 1. FIGURA 7.5. Definición de radianes usando el círculo unitario. SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 165 De este modo, se establecen equivalencias como las siguientes: 360° equivale a 2π radianes. 180° equivale a π radianes. 90° equivale a π/2 radianes. 45° equivale a π/4 radianes. Esto en virtud de que un radián equivale a 180°/π. 7.4.2. Las funciones seno y coseno Como dijimos, tanto el seno como el coseno trigonométrico se definen a partir de las relaciones entre catetos e hipotenusa del triángulo rectángulo, o en su defecto como segmentos en un círculo unitario. Con estos elementos, se pueden obtener las medidas del seno, coseno, tangente, cotangente para muchos ángulos. Si tomamos los ángulos en radianes, sen(0°) = 0, cos(0°) = 1, sen(90°) = 1, tan(45°) = 1, etc., incluso podríamos deducir algunas de las propiedades de las funciones trigonométricas, por ejem- plo, tenemos que: • sen(x) = – sen(–x). • cos(x) = cos(–x). • sen(x + 2π) = sen(x). • cos(x + 2π) = cos(x). • sen2(x) + cos2(x) = 1. En párrafos anteriores, consideramos al círculo unitario para definir las funciones seno y coseno, de manera que, usando esa información, sabemos que el punto sobre el círculo unitario tiene coordenadas (senx, cosx) cuando x representa al ángulo de giro, pues la hipotenusa del triángulo mide uno. Sin embargo, dichas coordenadas han sido dadas en razón de nuestra definición de seno y coseno trigonométrico, es decir, han sido funciones definidas sobre giros, y por tanto se evalúan en grados o en radianes. Sin embargo, dado que en los cursos de precálculo y de cálculo diferencial e integral se trabaja con funciones reales de variable real, no podemos usar las definiciones trigonométricas que hemos descrito anteriormente, hasta que no estén propiamente definidas sobre números reales. B a C A Triángulo ABC. 166 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO La cuestión de interés radica en establecer un mecanismo que permita pasar del giro a su medida en grados o en radianes y de ahí a los números reales, pues de otro modo no podríamos realizar operaciones como las siguientes: sen( x ) lím =1. x→0 x La x del denominador estaría dada en grados, mientras que la función trigonométrica estaría deter- minada por un segmento sobre el círculo unitario y el resultado tendría que ser un número real sin dimensiones físicas. Para salvar este asunto, se requiere establecer la forma de conversión entre grados, radianes y reales. Como vimos anteriormente, hemos establecido una equivalencia entre grados y radianes muy ade- cuada, tal que 360° = 2π radianes; ahora sólo falta elegir si en la función trigonométrica tomaremos el valor numérico del ángulo en grados o en radianes. Supongamos que tomamos la convención de que la función seno se define como se indica a conti- nuación. El ángulo ∠CAB lo medimos en radianes, digamos que su medida sea de x radianes, entonces (y aquí es donde está la convención) tomamos la función seno definida como sen: ℜ → ℜ, de modo tal que a cada x real se le asigna el número real sen(x). sen: ℜ → ℜ x a sen( x ) Esto es, la medida del ángulo ∠CAB en radianes es x radianes; luego tomamos el número real x y lo asociamos al número real sen(x). De este modo, se evita el tratar con medidas físicas y se puede por completo tratar con números reales. Una pregunta que no abordaremos en este libro, pero que salta a la vista, es la siguiente: ¿Por qué no tomar el número de grados en vez del de radianes? La respuesta tiene que ver con el cálculo de las derivadas y el hecho de que al tomar radianes tenemos dsen( x ) = cos(x ) , dx mientras que si tomamos grados, tendríamos dsen( x ) = k cos(x ) , y de este modo las derivadas sucesivas dx n tendrían factores de la forma k . Una de las bondades de las calculadoras con capacidad gráfica es que permiten analizar informa- ción visual como de la que ahora estamos hablando, incluso en aquellos casos en los que el tratamiento SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 167 analítico presupondría un manejo adicional de otros conceptos. Por ejemplo, grafiquemos la función sen(x) de dos maneras distintas, una tomando a x medida en grados y la otra medida en radianes. Elija- mos la misma pantalla de visualización: PANTALLA 7.14. Ventana de visualización. Estando en el menú de funciones y gráficas de la calculadora, oprima simultáneamente las te- clas CTRL y F3 para obtener el menú siguiente: PANTALLA 7.15. Ventana de configuración. Elija en ella la opción Deg para la medida en grados y Rad para la medida en radianes. En un caso, en grados, se obtiene la gráfica de la pantalla 7.17, mientras que en otro, en radianes, se obtiene la de la pantalla 7.18. En ambos casos introducimos la misma función como se ve a continuación: PANTALLA 7.16. Y1 = sinX. PANTALLA 7.17. Gráfica de PANTALLA 7.18. Gráfica de y = senx en grados. y = senx en radianes. 168 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO Esto es lo que explica el que la derivada sea distinta, pues las rectas tangentes en ambos casos tienen pendientes diferentes. Con esto en mente, tomamos la gráfica de la derecha pues por convención hemos decidido pasar de radianes a reales y no de grados a reales. En tal caso, la curva representativa de la función seno es la misma que propuso en Alemania Alberto Durero, en 1525. FIGURA 7.6. Durero, 1525. De este modo, tendremos que la función seno ha sido definida sobre la recta real, de manera que su dominio constará de todos los números reales y su imagen se reducirá al intervalo cerrado [ –1, 1]. La gráfica del seno es la siguiente: y y = sen(x) x GRÁFICA 7.8. Es posible observar que crece y decrece periódicamente, alcanza sus máximos a la misma altura y lo mismo ocurre con sus mínimos. Como la función seno cumple con las siguientes propiedades se dice que es una función impar y periódica: • Imparidad: sen(x) = – sen(–x). • Periodicidad: sen(x + 2π) = sen(x). Para verificar estas afirmaciones, grafiquemos las funciones f(x) = sen(x) y la función g(x) = sen(–x) y h(x) = – sen(–x) en la pantalla de la calculadora: SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 169 PANTALLA 7.19. Gráfica de f(x) = sen(x). PANTALLA 7.20. Gráfica de g(x) = sen(–x). PANTALLA 7.21. Gráfica de h(x) = –sen(–x). Ahora bien, de la misma manera que la función seno se ha definido sobre la recta real, la función coseno tiene por dominio a los números reales y su imagen se encuentra contenida en el intervalo cerra- do [ –1, 1], es decir, –1 ≤ cosx ≤ 1. Como podrá comprobar, la gráfica del coseno es la siguiente: y y = cos(x) x GRÁFICA 7.9. 170 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO Es posible observar, a partir de su gráfica, que la función coseno crece y decrece periódicamente, alcanza sus máximos a la misma altura y lo mismo ocurre con sus mínimos, en 1 y – 1, respectiva- mente. Como la función coseno cumple con las siguientes propiedades se dice que es una función par y periódica: • Paridad: cos(x) = cos(–x). • Periodicidad: cos(x + 2π) = cos(x). Para verificar estas afirmaciones, graficamos las funciones f(x) = cos(x) y la función g(x) = cos(–x), así como la función h(x) = cos(x + 2π) en la pantalla de la calculadora: PANTALLA 7.22. Gráfica de f(x) = cos(x). PANTALLA 7.23. Gráfica de g(x) = cos(–x). PANTALLA 7.24. Gráfica de h(x) = cos(x + 2π). Lo que comprueba nuestras afirmaciones. ♦ Ejercicios 1. Construya las curvas representativas de las siguientes funciones: f(x) = sen(x). SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 171 g(x) = sen(x + π). h(x) = sen(x + 2π). j(x) = sen(x – π). k(x) = sen(x – 2π). f(x) = cos(x). g(x) = cos(x + π). h(x) = cos(x + 2π). j(x) = cos(x – π). k(x) = cos(x – 2π). f(x) = tan(x). g(x) = tan(x + π). h(x) = tan(x + 2π). j(x) = tan(x – π). k(x) = tan(x – 2π). ¿Cuáles de ellas son iguales?, ¿cuáles son diferentes?, y, finalmente, ¿en qué difieren? 2. Pasemos ahora a estudiar las relaciones entre la función seno y la función coseno. Ambas tienen un comportamiento bastante similar entre sí; de hecho, como podrá confirmar por las siguientes actividades, la gráfica de una se obtiene trasladando a la de la otra. Explore para diferentes valores de x, las igualdades siguientes y verifique si se cumplen. • sen(x + π/2) = cos(x). • cos(x + 2π) = cos(x). • sen2(x) + cos2(x) = 1. 3. Grafique las siguientes funciones: • F(x) = cos(x). • G(x) = sen(x + π/2). • H(x) = cos(x + 2π). • I(x) = sen2(x) + cos2(x). 172 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO A continuación describa verbalmente los aspectos que juzgue más relevantes. 4. Convierta de grados a radianes la medida de los siguientes ángulos: • 0° • 1° • 15° • 36° • 72° • 60° • 30° • 45° • 90° • 270° • 180° • 360° • 750° • 9° • 60° • 36° • 720° 5. Convierta de radianes a grados las medidas de los siguientes ángulos: • π/2 radianes • π/4 radianes • π/8 radianes • π/3 radianes • 2π/3 radianes • 8π/3 radianes • π/45 radianes • 2π radianes SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 173 • 3π radianes • 3.5π radianes • 4π radianes • 16π radianes • 5π/12 radianes 6. En el sistema coordenado iniciado en el eje x, dibuje el ángulo cuya medida se da a continuación: 45° π rad 90° π/3 rad 11π/2 rad 540° 7. Con auxilio de su calculadora, encuentre los valores de las siguientes expresiones trigonométricas: • sen(π/2 rad). • sen(36°). • cos(90°). • cos(π/2). • tan(45°). • sen(2π + π/2 rad). • sen2(π/2 rad) + cos2(π/2 rad). • sen2(π/4 rad) + cos2(π/4 rad). • sen2(π/2 rad) + cos2(π/2 rad). 8. Encuentre el valor del ángulo en radianes si el valor del seno, coseno o tangente es conocido: • sen α = 1, 0 < a < 2π. • cos α = 3/5, 0 < a < 2π. 174 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO 9. Grafique las funciones f y g y compruebe las identidades trigonométricas usuales. • cos(π/2 – x) = sen(x). • sen2x + cos2x = 1. • sen(π – x) = senx. • (sen x + cos x)2 = 1 + sen(2x). 10. Complete las tablas de variación siguientes: Si utilizamos la lectura de gráficas para determinar el sentido de variación de las funciones anteriores, como vimos en el capítulo 1, tendremos que sen(x) crece entre –π/2 y π/2, decrece desde π/2 y 3π/2, y continúa periódicamente con un periodo 2π. Equivalentemente, la función coseno decrece del 0 a π, y crece de π a 2π, de manera que podría completar sus tablas de variación en el siguiente ejercicio: Complete las tablas de variación siguientes: Función seno y = sen(x). Entre – π/2 y 0 Entre 0 y π/2 Entre π/2 y π Entre π y 3π/2 Entre 3π/2 y 2π Función coseno y = cos(x). Entre – π/2 y 0 Entre 0 y π/2 Entre π/2 y π Entre π y 3π/2 Entre 3π/2 y 2π 11. Utilizando los acercamientos que presentamos en el capítulo de transformaciones, conviene aplicar esos patrones para saber cómo es la gráfica de las siguientes funciones. Una nota de terminología: a las funciones de la forma f(x) = Asen(Bx + C) + D se les nombra funciones sinusoidales. Asen(Bx + C) + D, para diferentes valores de A, B, C y D. Acos(Bx + C) + D, para diferentes valores de A, B, C y D. SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 175 12. Relacione las gráficas de la derecha con las fórmulas de la izquierda: y = senx y = cosx y = –cosx y = sen(x + π) y = –senx 176 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO 13. Construya por el método de las operaciones la gráfica de la función tangente, la cual se define como el cociente del seno entre el coseno. Determine su dominio de definición y su periodo: tan(x) = sen(x)/cos(x). 14. Construya por el método de las operaciones la gráfica de la función tangente, la cual se define como el cociente del seno entre el coseno. Determine su dominio de definición y su periodo: tan(x) = sen(x)/cos(x). 15. Construya con el método de las operaciones la gráfica de las funciones secante, cosecante y cotangente. 7.4.3. Funciones trigonométricas inversas Como hemos visto, las funciones trigonométricas se definen por un ángulo o un arco x en un círculo unitario. Así las funciones trigonométricas inversas definen al arco x como una función de sen(x), cos(x), o tan(x). Considere un triángulo rectángulo con hipotenusa 1. Si x denota la longitud del lado opuesto al ángulo sobre el origen del triángulo rectángulo, arcsen(x) es la longitud del arco como se muestra en la siguiente figura: FIGURA 7.7. En forma similar, si x representa el cateto adyacente al ángulo A, tendremos que arccos(x) está dado por la longitud del arco sobre el círculo unitario que determina el valor de x. Veamos esto en la siguiente figura: FIGURA 7.8. Finalmente, el arctan(x) se define como la medida del arco sobre el círculo unitario cuando la x mide el lado opuesto, tangente al círculo. En el siguiente diagrama se aprecia este hecho: SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 177 FIGURA 7.9. A causa de la periodicidad de las funciones trigonométricas, las funciones trigonométricas inversas tendrían que ser multivaluadas, de modo que sólo tomaremos la llamada rama principal a efecto de conservar con la definición de función como una regla que asocia a un elemento del dominio, un único elemento del contradominio. De este modo, las funciones trigonométricas inversas toman los dominios siguientes: y = arcsen(x) ⇔ x = sen(y) para –1 ≤ x ≤ 1, –π/2 ≤ y ≤ π/2. y = arccos(x) ⇔ x = cos(y) para –1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π. y = arctan(x) ⇔ x = tan(y) para –∞ < x < ∞, –π/2 < y < π/2. Las gráficas de las funciones trigonométricas inversas son las siguientes: Gráfica de y = arcsen(x). Gráfica de y = arccos(x). Gráfica de y = arctan(x). 178 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO 7.4.4. Funciones logarítmica y exponencial Las funciones exponenciales definidas en ℜ son expresiones de la forma y = ax, cuando a > 0. De este modo, las funciones exponenciales están definidas para todos los números reales y su imagen está en los reales positivos. Particularmente la función y = 2x, va asociando a cada número x, el resultado de elevar 2 a la potencia x. Así, por ejemplo, la tabla de valores siguiente describe cómo se comporta la función para enteros entre 0 y 5: Tabla de valores de y = 2x. Tabla de valores de y = 2x. Estos cálculos pudieron realizarse directamente a causa de que la tabla de valores estuvo construida para x enteros. Es decir, 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, etc., pero a qué será igual por ejemplo 2√2, o 2π o 21/3. Si hacemos esos cálculos en la calculadora tendremos por resultado aproximaciones decimales de los valo- res verdaderos, es decir, por ejemplo 2π es aproximadamente 8.824977827, de modo que no podremos saber por estos métodos el valor exacto. ¿En tal caso, cómo construir su gráfica? 2π ≈ 8.824977827. SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 179 La gráfica de la función y = 2x, en la pantalla de visualización [–5, 5] por [–3, 3] es: Pantalla de visualización [–5, 5] por [–3, 3]. Ventana de funciones, y = 2x. Gráfica de y = 2x. ♦ Ejercicios 1. Grafique las funciones: y = 2x, en la ventana [–5, 5] por [–3, 64]. y = 2x, en la ventana [–5, 5] por [–3, 8]. y = 2x, en la ventana [–5, 5] por [–3, 16]. y = 2x, en la ventana [–5, 5] por [–3, 32]. y = 2x, en la ventana [–5, 5] por [–3, 64]. y = 2x, en la ventana [–5, 5] por [–3, 64]. 180 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO 2. Bosqueje la gráfica de las funciones en la misma ventana de visualización: y = 2x. y = 3x. y = 4x. y = 5x. y = 6x. 3. A partir del problema anterior, ¿cuáles valores de x cumplen con la relación 2x > 3x > 5x? 4. Equivalentemente, ¿cuándo se cumple que 2x < 3x < 5x? 5. ¿Cuándo se cumple que 2x = 3x = 5x? 6. ¿Para qué valores se cumple que 2x = 4x? 7. Construya las gráficas de y = 0.5x, 0.1x, (1/3)x, 2 – x, 3 – x, 5 – x. 8. Utilizando el menú dinámico, grafique la familia de funciones y = Ax para valores de A enteros desde A = 1 hasta A = 10. 9. Utilizando el menú dinámico, grafique la familia de funciones y = A – x para valores de A enteros desde A = 1 hasta A = 10. 10. Utilizando el menú dinámico, grafique la familia de funciones y = (1/A)x para valores de A enteros desde A = 1, hasta A = 10. 11. ¿Qué diferencias y similitudes encuentra entre las respuestas de las tres preguntas anteriores? n 12. Complete la tabla de valores para de  1 + 1  para valores de n que vayan de 1 hasta 100.  n 1 1 1 1 13. Complete la tabla de valores para la suma 1 + + + +K+ para valores 2 2 × 3 2 × 3× 4 2 × K× n de n que vayan de 1 hasta 100. 14. Compare los resultados de las dos tablas de valores. SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 181 15. Euler definió en el siglo XVIII al número e, en honor a su nombre, como el número que es el límite de ambas sucesiones tratadas en los ejercicios 12 y 13. Es decir: n n  1 ∑ i! . 1 e = lím 1 +  o bien, como e = lím n →∞  n n →∞ i=0 16. Construya la gráfica de y = ex. 17. Grafique con un menú de gráficas simultáneas, las curvas y = 2x, y = 3x, y = ex. 18. La siguiente es una actividad didáctica realizada por Javier Lezama y reportada en Lezama, 1999. Actividad. Un estudio de expresiones exponenciales Es muy probable que al hojear un libro introductorio de álgebra elemental encontremos tablas como las que a continuación se muestran y que corresponden a un libro tomado al azar: Exponentes enteros y sus leyes (resumen) Definición de ap: Leyes de los exponentes n y m son enteros, p es un entero y a es un número real a y b son números reales 1. Si p es un entero positivo, a p = a • a...a 1. a m a n = a m + n . p factores a, ( ) 2. a n m = a mn . Ejemplo: 35 = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 , 3. (ab)m = a m b m . m 4.  a  = a . m 2. Si p = 0 donde a p = 1 a ≠ 0 , b bm m Ejemplo: 30 = 1 . 5. a = a m − n = 1 . bm a n−m 3. Si p es un entero negativo, 1 ap = a≠0 a− p 1 1 Ejemplo: 3− 4 = − ( −4 ) = . 3 34 182 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO Además podemos encontrar las siguientes definiciones: Definición de raíz n-ésima Para un número natural n a es la raíz n-ésima de b, si: an = b Número de raíces n-ésimas reales de un número real b n par n non b positivo dos raíces n-ésimas reales una raíz real b negativo ninguna raíz real una raíz real Para todas las expresiones b1/n n par n non b positivo b1/n es la raíz n-ésima b1/n es la raíz positiva de b n-ésima real de b b negativo b1/n no es un número real b1/n es la raíz n-ésima real de b Además se agrega: 01/n = 0 para todos los números naturales. Notación para la raíz n-ésima Para un número n, mayor que 1, y cualquier número real b: 1 n b =b n La presentación de tablas como las mostradas arriba, constituye un recurso eficaz para lograr que los estudiantes puedan localizar las propiedades de los exponentes y las puedan emplear de manera correcta. Una consulta rápida puede lograr que el estudiante adquiera información que redundará en una aplicación correcta de las reglas de los exponentes cuando se están manejando procedimientos algebraicos que utilizan expresiones con exponentes. La eficacia se logra en el contexto de la aplicación correcta de las propiedades de los exponentes, pero cuando el estudiante se esfuerza en dar significado a tales propiedades, fácilmente incurre en erro- SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 183 res y contradicciones que le impiden organizar dichas propiedades en contextos que estén más allá de lo operativo. Este hecho lo muestran investigaciones realizadas en el contexto del estudio de la función exponencial (Aguilar, P., 1997). Nuestro interés era conocer las concepciones que de esta función se tienen en el medio escolar, para lo cual hacemos una exploración preliminar a través de un cuestionario con el siguiente propósito: “Tener un primer acercamiento con las concepciones que los estudiantes tienen sobre la función 2x”. Las respuestas más importantes dadas por los estudiantes las hemos agrupado de la siguiente manera: • 2x es una operación sólo para los enteros, ya que interpretan 2x como multiplicar 2 por sí mismo “x veces”. • Cuando x < 0 no hay una interpretación uniforme para 2x como lo muestran las siguientes respuestas: 2–3 = .002, 2–3 = (–2) (–2) (–2) = – 8, 2–3 = 1/23. 1 1 • Si x no es entero, 2x es solamente una notación ( 2 2 = 2 ;2 3 = 3 2 , etc... , 2π es un número que no se puede calcular, ya que carece de un algoritmo para hacerlo y sólo se puede obtener una aproximación con el auxilio de la calculadora. Ante esta realidad proponemos el desarrollo de las siguientes actividades que permitirán al estu- diante interactuar con la noción de exponente, en un contexto más amplio en el que integrará la noción de función, su representación gráfica, así como algunas nociones de geometría. La secuencia a) Objetivos: • Proporcionar un proceso geométrico de construcción de puntos de la gráfica de la función 2x, así como identificar y analizar regularidades propias de la función. • Confrontar la concepción espontánea de que 2x es evaluable sólo cuando x es entero. b) Podemos esperar de los estudiantes: • Los estudiantes evaluarán a 2x, cuando x no sea entero, asociándola con magnitudes. c) La actividad se compone de dos etapas. Nota: Se propone el desarrollo de las actividades en cada una de las etapas; formar equipos de no más de cuatro estudiantes. 184 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO Primera etapa Proporciona los conocimientos geométricos para obtener raíces y productos. ESTA ETAPA CONSTITUYE UNA FASE DE ACCIÓN PREPARATORIA. Estudio de la función 2x I. INTRODUCCIÓN A través de la siguiente secuencia de actividades se pretende familiarizarnos con algunas propiedades y características de la función exponencial 2x. Para lo cual recurriremos a construcciones geométricas mediante regla y compás, así como a la observación de regularidades. El desarrollo de las actividades deberá ir acompañado de su respectivo reporte, en ésta ocasión prescindiremos del uso de la calculadora con el fin de restringirnos al uso de la regla y el compás. Comencemos Actividad 1: Recuerde que si se inscribe un triángulo en una semicircunferencia y uno de sus lados coincide con el diámetro, como se muestra en la figura: se tiene que el triángulo es rectángulo. Elabore argumentos para convencerse de que dicho triángulo es rectángulo. Actividad 2: Al trazar la altura del triángulo correspondiente a la hipotenusa como se muestra en la figura: la altura divide a la hipotenusa en dos partes. Si suponemos que una de ellas mide la unidad y la otra una cantidad “a”, se obtiene que la altura mide √a. Convénzase de la veracidad de esta afirmación. SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 185 Actividad 3: Utilizando el resultado anterior, construya para cada caso un segmento de magnitud √2, √3 y √5. Asimismo, recuerde que: el producto de dos magnitudes se puede obtener mediante un criterio geométrico, basado en semejanza de triángulos. El cual se desarrolla en la siguiente actividad: Actividad 4: Dados dos números a,b > 0; su producto se puede obtener geométricamente como se muestra en las figuras, siendo a y x segmentos paralelos. Verifique que el producto de a y b sea el segmento x en cada caso (b > 1, b < 1). Actividad 5: Empleando el procedimiento geométrico de semejanza descrito anteriormente, cons- truya para cada caso un segmento de magnitud (√2)(√3), (√3)(√5). Comentarios: En esta etapa identificamos los siguientes elementos que son relevantes para su desarrollo. • Las actividades propician que los estudiantes entren en acción, dibujando las figuras corres- pondientes. • Puede haber dificultades con la noción de semicircunferencia y el hecho de inscribir en ella un triángulo. • El acto de validar que el triángulo es rectángulo puede constituirse en dificultad para algunos estudiantes. • Pueden algunos estudiantes analizar sólo unos casos particulares y formular generalizaciones sin llegar a una justificación. • En la construcción de segmentos de longitud √2, √3, √5, es posible que empleen distintos segmentos como unidad. 186 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO • Puede no recordarse la noción de semejanza y el hecho de que los lados homólogos son propor- cionales. • Es posible que no puedan hacer uso de la semejanza para obtener los productos: (√2 √3) (√5 √3). • Algunos estudiantes se darán cuenta que el método estudiado no sirve para obtener raíces cúbicas, quintas, etc. • Como los resultados y técnicas desarrollados en esta etapa son fundamentales para el desarro- llo de la siguiente etapa, es particularmente importante la discusión en grupo de los trabajos de los equipos. Es conveniente que en esta actividad de institucionalización se resuelvan todas las dudas. Segunda etapa En donde se aplican los conocimientos adquiridos en la etapa anterior para construir seis puntos de la gráfica de la función 2x en el intervalo [0, 2]. II. CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA Actividad 6: En el dibujo siguiente, se han trazado los segmentos de magnitudes 20, 21 y 22; que sirven para localizar los puntos de coordenadas (0, 20), (1, 21) y (2, 22). El problema a resolver consiste en localizar los puntos (½, 2½), (¼, 2¼), (¾, 2¾) y (5/4, 25/4). Para esto, deberá localizar los segmentos de magnitudes 2¼, 2½, 2¾ y 25/4, empleando únicamente procedimientos geométricos. Recuerde que 23/4 se puede expresar como 21/4 21/2. Actividad 7: ¿Cómo localizaría el punto (1/8, 21/8)? Explique. ¿Es posible obtener más puntos siguiendo el procedimiento discutido anteriormente? Explique ampliamente. SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 187 Comentarios: En esta etapa identificamos los siguientes elementos que son relevantes para su desarrollo: • Puede haber dificultad para identificar la unidad. • La construcción de los segmentos solicitados puede hacerse sobre los ejes cartesianos (es lo recomendable), o aparte, pero se corre el riesgo de que modifiquen la unidad en cada trazo. • Tiene especial dificultad la obtención de los segmentos 2¾ y 25/4. • Puede ser que algunos estudiantes intenten localizar los segmentos al tanteo. • Algunos estudiantes harán un trazo continuo. • Algunos estudiantes contestarán las preguntas con un sí o un no, sin justificación. • Algunos estudiantes harán explícito el que solamente se pueden obtener segmentos correspon- dientes a números de la forma p .. 2q Es importante por parte del profesor, provocar y fomentar una discusión entre los estudiantes con el fin de que clarifiquen los aspectos matemáticos trabajados en la actividad, así como tomar nota de los aspectos nuevos que abran la discusión de los estudiantes. Es muy importante que los profesores hagan la actividad y la discutan entre ellos identificando las dificultades que crean presentarían sus estudiantes al efectuarla. Las lecturas recomendadas en la bibliografía les permitirá conocer en el contexto de una investiga- ción como vivieron algunos estudiantes la secuencia y los resultados obtenidos. La función logaritmo como la inversa de la función exponencial Los logaritmos tienen una evolución histórica muy interesante, han estado presentes de múltiples formas a lo largo de la evolución humana. A veces, se les encuentra como una forma de establecer correspon- dencias entre progresiones aritméticas y geométricas, La definición actual de logaritmo de números positivos suele provenir de tres tipos de acercamientos didácticos. Por una parte, es la extensión de las propiedades entre las progresiones aritméticas y geométricas que fueron desarrolladas mucho tiempo atrás entre los antiguos calculadores. En esta aproxi- mación, la relación entre las progresión aritmética: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... y la progresión geométrica 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000, 1 000 000,... se establece al corresponder una con la otra a través de la sucesión de potencias: 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106,... De este modo, tenemos que log10100 = 2 y log10[100 × 1 000] = 2 + 3. Por otra parte, suele presentarse a los logaritmos en el terreno analítico, ya sea como la integral de la hipérbola equilátera en la rama positiva o como la inversa de la función exponencial. Quizá la más socorrida sea dada por la integral siguiente: 188 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO x ∫t, dt loge ( x ) = x > 0. 1 Finalmente, una presentación menos usual, pero que conviene señalar es la estructuralista. Se dice que F es logarítmica si cumple con lo siguiente: F(xy) = F(x) + F(y) para todos x e y reales no nulos. Estas tres presentaciones corresponden a épocas y circunstancias diferentes. La primera está fuerte- mente conectada con necesidades sociales de cómputo veloz y preciso. La segunda se orienta a desarro- llar una teoría de funciones, entendida la función como entidad capaz de modelar, representar matemá- ticamente a la naturaleza. Finalmente la tercera, es propuesta al momento de concebir a la matemática como una gran estructura lógica deductiva. En nuestro caso usaremos la idea de que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Como vimos anteriormente, la función exponencial y = ax con a > 0, produce gráficas genéricas del tipo siguiente: Gráfica de y = ax, con a > 1. Gráfica de y = ax, con a = 1. Gráfica de y = ax, con 0 < a < 1. SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 189 Como la función logaritmo es la función inversa de la función exponencial, ésta estará definida para los casos en que a > 0, pero a ≠ 1. ¿Por qué considera que se excluye al 1? Diremos que la función logaritmo de base a, a > 0, pero a ≠ 1, es y = logax, si y solamente si, x = ay. Por tanto sus gráficas son como sigue: Gráfica de y = logax, con a > 1. Gráfica de y = logax, con 0 < a < 1. El hecho de que estas gráficas sean las inversas de las gráficas de y = ax, se representa como que son respectivamente simétricas respecto de la recta y = x. Esto es: y = logax con 0 < a < 1. y = ax con 0 < a < 1. y = ax e y = logax con 0 < a < 1. y = x, y = ax e y = logax con 0 < a < 1. 190 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO y = ax con 1 < a. y = logax con 1 < a. y = ax e y = logax con 1 < a. y = x, y = ax e y = logax con 1 < a. ♦ Ejercicios 1. Grafique las funciones: f(x) = log2x. f(x) = log3x. f(x) = log4x. f(x) = log5x. f(x) = log1/2x. f(x) = log1/3x. f(x) = log1/4x. 2. Resuelva gráficamente las siguientes ecuaciones: log2x + log2(4 – x) = 0. log10x + log10(3 – x) = 0. ex + e – x = 3. SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 191 3. Determine el dominio y el rango de las funciones: f(x) = log3 (x – 4). f(x) = log4 (x – 2). f(x) = log3 (x + 4). f(x) = log4 (x + 2). 4. Utilizando las capacidades gráficas de la calculadora, muestre que tomando a > 0 y a ≠ 1, entonces: loga1 = 0. logaa = 1. a logax = x para todo x real positivo. logaax = x para todo número real x. 5. Utilizando la pantalla dinámica, elija valores de B diferentes y explore las siguientes identida- des. Conviene que tome Y1 como la función de la izquierda de la igualdad y la función Y2 como la función que se tiene a la derecha de la igualdad. logaBx = logaB + logax. logaB/x = logaB – logax. logaxB = B logax. 7.4.5 Funciones hiperbólicas Así como trabajamos con funciones circulares, también es posible hablar de funciones hiperbólicas. Éstas como aquéllas, provienen de buscar relaciones entre variables asociadas a curvas, particularmente con hipérbolas. Al igual que en las circulares, estas funciones están definidas sobre reales. Foncenex en 1759 y Lambert en 1770 propusieron tratar con una hipérbola en vez de un círculo y con un área en vez de un ángulo. Para una x dada, sea P el punto sobre la hipérbola u2 – v2 = 1 tal que el área sombreada en la figura de la siguiente página, es igual a x/2. De este modo, las coordenadas de dicho punto denotan los valores del seno hiperbólico y del coseno hiperbólico como sigue: (cosh(x), senh(x)). 192 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO v senh(x) x/2 u 0 2 cosh(x) A. Pruebe a partir de esta definición, que: ex + e−x . cosh(x ) = 2 ex − e− x . senh( x ) = 2 B. Verifique que senh(x + y) = senh(x)cosh(y) + cosh(x)senh(y) cosh(x + y) = cosh(x)cosh(y) + senh(x)senh(y). C. Las funciones inversas del seno hiperbólico y coseno hiperbólico son, entonces, las funciones áreas, mismas que están definidas como sigue: y(x) = arcsen(x) ⇔ x = senh(y) para –∞ < y < ∞. y(x) = arcosh(x) ⇔ x = cosh(y) para 0 ≤ x < ∞, 1 ≤ y < ∞. arcsen(x) = ln[x + √(x2 + 1)]. arcosh(x) = ln[x + √(x2 – 1)]. Como vimos, las funciones hiperbólicas están definidas de forma similar a las funciones trigonométricas, de manera que con las identidades anteriores, tendremos: SÍNTESIS METÓDICA: UN PASEO POR LAS GRÁFICAS 193 e x − e− x . senh( x ) = 2 ex + e−x . cosh(x ) = 2 senh( x ) e x − e − x tanh(x ) = = . cosh(x ) e x + e − x cosh(x ) e x + e − x coth(x ) = = . senh( x ) e x − e − x 1 2 sech( x ) = = . cosh(x ) e x + e − x 1 2 csch( x ) = = . senh( x ) e x − e − x ♦ Ejercicios 1. Determine el dominio de cada una de estas funciones. 2. Bosqueje la gráfica de cada una de las funciones hiperbólicas que definimos anteriormen- te, utilice una ventana [ –5, 5] por [ –10, 10]. 3. Establezca una ventana en la que la función senh(x) no tenga ninguna parte de su gráfica incluida. 4. Construya la gráfica de la función f ( x ) = senh( x + h) − senh( x ) para h = 0.1, 0.01 y 0.001. h 5. Grafique la función g(x) = cosh(x). ¿Qué relación encuentra entre esta gráfica y las que construyó en el problema anterior? 6. ¿Es la función senh(x) siempre positiva? ¿Por qué? 7. Resuelva la ecuación cosh(x) = – 1. 8. Construya la gráfica de la función h(x) = senh2(x) – cosh2(x). −x 9. ¿Es la función f ( x ) = 3 + 3 − 2 negativa para todo x ∈ ℜ? x 2 10. Explique sobre la ventana de visualización que muestre las gráficas del senh(x) y del cosh(x), el porqué senh(x) + cosh(x) = ex. 194 FUNCIONES: VISUALIZACIÓN Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Aguilar, P.; Farfán, R. M.; Lezama, J. y Moreno, J. (1997), Un estudio didáctico de la función 2x. Actas de la Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa, Morelia, Michoacán, México. Cantoral, R. et. al. (2000), Desarrollo del pensamiento matemático, Trillas. Cantoral, R. (Ed.) (2000), El futuro del cálculo infinitesimal, Grupo Editorial Iberoamérica. Cantoral, R. y Farfán, R.-M. (1999), Pensamiento y lenguaje variacional en la introducción al análisisPensamiento y lenguaje variacional en la introducción al análisis, Epsilon, núm. 42: 353- 369, Sociedad Thales, España. Cantoral, R. y Reséndiz, E. (2001), Aproximaciones sucesivas y sucesiones, Grupo Editorial Iberoamérica. Cordero, F. y Solís, M. (2001), Las gráficas de las funciones como una argumentación del cálculo, colección Cuadernos Didácticos, vol. 2, Grupo Editorial Iberoamérica. Dubinsky, E. y Harel, G. (1992), The nature of the process conception of function, G. Harel y E. Dubinsky (eds.), The concepto of function: Aspects of epistemology and pedagogy, MAA Notes 25, Washing- ton, D.C., Mathematical Asociation of America, pp. 85-106. Farfán, R. et al. (2001), Un acercamiento gráfico a la resolución de desigualdades, Colección Cuader- nos Didácticos, vol. 2, Grupo Editorial Iberoamérica. Farfán, R. (1997), Ingeniería Didáctica: un estudio de la variación y el cambio. Grupo Editorial Iberoamérica. Hasser, N.; y LaSalle, J. y Sullivan, J. (1970), Análisis Matemático, vol. 1, Curso de Introducción, Trillas. Lezama, J. (1999), Un estudio de reproducibilidad: El caso de la función exponencial, tesis de maestría. Cinvestav, IPN. Repères No. 10, publicado en enero de 1993 cuyo título es: Introduction à la notion de fonction en seconde de Lycée, y que fuera escrito por el “Gropue Lycée, Irem de Clermont– Ferrand”. pp. 47-64. Shílov, G. E. (1975), Análisis matemático en el campo de funciones racionales, Editorial Mir, Moscú. Zimmerman, W. y Cunningham, S. (1991), Visualization in teaching and learning mathematics. MAA notes, núm. 19, pp. 25-26. View publication stats