Funciones Reales

Un iver s idad Cen t r al de Ven ezu ela - Facu lt ad de In gen ier íaDepar t amen t o de Mat emát ica Aplicadas Ce n t r o de In for má t ic a Edu c a t iva Gr u po de In ves t igación en Soft war e Edu cat ivo ELEMENTOS DE FUNCIONES REALES Prof. Cipriano A. Cruz Prof. Robinson Arcos Caracas, Agosto 1996 CONTENIDO Capitulo I Funciones Algebraicas Introducción 1 1. Algunas funciones de uso frecuente 2 2. Operaciones con funciones 6 3. Propiedades de algunas funciones 15 4. Funciones polinómica: La función afín 20 5. Funciones polinómica: La función cuadrática 35 6. Funciones polinómicas de grado mayor que dos 44 7. Funciones racionales 58 8. Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto 65 Miscelánea de ejercicios 74 Capitulo II Funciones Trigonometricas Introducción 84 1. La circunferencia unitaria 85 2. Función visual y funciones proyección 87 3. Las funciones coseno y seno 90 4. Otras funciones Trigonometricas 95 5. Funciones de suma de ángulos y suma de funciones 98 6. Ondas sinusoidales 101 7. Aplicaciones de la trigonometría 108 8. Funciones trigonométricas inversas 110 9. Una aplicación importante de la función arcotangente 113 Miscelánea de ejercicios 115 Capitulo III Funciones Exponenciales y Logarítmicas Introducción 121 1. Propiedades de los exponentes 122 2. Raíz enésima principal y exponentes racionales 128 3. Propiedades de la función exponencial 140 4. Propiedades de la función logarítmicas 147 5. Algunas Aplicaciones de la función exponencial y la función logarítmica 156 Referencias 163 CAPITULO I FUNCIONES ALGEBRAICAS Introducción El concepto de función es, seguramente, el de mayor importancia en el estudio de la Matemática. Una situación frecuente en Física, por ejemplo, es el estudio de un fenómeno en el cual están relacionadas dos cantidades (longitud, masa, tiempo, densidad, voltajes de entrada y salida en un circuito, resistencia, etc.) de modo que al variar una de ellas, que usualmente se denota por "x" y se llama (convencionalmente), variable independiente, produce modificaciones de la otra, que se llama (convencionalmente) variable dependiente y se denota por”y”: Se dice, en tales condiciones, que y es función de x. Si ambas cantidades x e y representan números reales estamos frente al caso de funciones reales de variable real o, simplemente funciones reales. Los valores de x pertenecen a un cierto subconjunto de R llamado dominio de la función y los valores de y están en otro subconjunto de R llamado el recorrido de la función. Formalmente, entonces, una función real de variable real, o simplemente función real, se caracteriza a partir de: A un primer subconjunto de R que sirve como conjunto de salida B un segundo subconjunto de R que sirve como conjunto de llegada una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x de A un único elemento y de B, lo cual se escribe y = f(x). Se utiliza para ésto un esquema del siguiente tipo: f: A →B x → f(x) Se dice que x es el argumento o el antecedente o preimagen de f, que y es la imagen o el consecuente de x por f Así, dos funciones f y g son iguales si, y solamente si, tienen el mismo dominio, tienen el mismo recorrido y cada x en el dominio tiene la misma imagen por ambas funciones. E1 conjunto que contiene todas las imágenes de los elementos del dominio A de la función f se llama imagen de f o imagen de A por y se denota por f(A). En símbolos: f(A) = { y ∈ B /∃ x ∈ A, y = f(x) } La gráfica de la función f es el subconjunto de R 2 formado por todos los puntos de coordenadas (x, f(x)). En símbolos G f = { (xf(x)) / x ∈ A} 1. Algunas funciones de uso frecuente La función constante tiene como dominio R, como recorrido {c} y como regla de correspondencia f(x) = c. caso c>0 Caso c=0 Caso c<0 y x y x Su grafica es una recta paralela al eje de las abscisas a distancia c unidades de dicho eje, más arriba del eje si c > 0, más abajo del eje si c < 0 y coincidiendo con dicho eje si c=0. La función identidad tiene como dominio y recorrido el conjunto R y correspondencia es f(x) = x. y o x Gráfica de la función identidad Su gráfica es la recta bisectriz del primer y tercer cuadrantes La función valor absoluto, denotada por | |, tiene dominio R, recorrido R + ∪{0} y regla de correspondencia x si x ≥ 0 f(x) = |x| = -x si x ≤ 0 Su grafica es la unión de dos rayos. El bisector del primer cuadrante y el bisector del segundo cuadrante. y x Gráfica de la función valor absoluto La función afín tiene regla de correspondencia f(x) = mx + n (en el caso m = 0 se trata de la función constante, y si m = 1 y n = 0 es la función identidad). Si m ≠ 0 tanto su dominio como su recorrido son el conjunto R. m>0 , n = 0 m>0, n>0 m>0, n=0 m<0, n =0 m<0, n>0 m<0, n<0 La grafica es una recta de pendiente m y que pasa por el punto (0,n). Gráficas de las funciones afines La función raíz cuadrada tiene regla de correspondencia f(x) = x , dominio y recorrido el conjunto R + ∪{0}. y x Gráfica de la función raíz cuadrada La grafica es una rama de parábola x La función parte entera, denotada por [ ], tiene dominio R, recorrido Z (el conjunto de los enteros) y regla de correspondencia dada por: f(x) =[x]= k, si k ≤ x < k + l La gráfica es una familia de segmentos paralelos como se ilustra en la figura adjunta La función mantisa tiene regla de correspondencia f(x) = x - [x], su dominio es R, su recorrido es el intervalo semicerrado por la izquierda y semiabierto por la izquierda La gráfica la constituye una familia de segmentos de pendiente l, como se muestra en la figura adjunta. Gráfica de la función Resumen Conceptos Función real de variable real Dominio Recorrido Imagen de un elemento Imagen de un conjunto Gráfica de una función. Resultados Una función real se construye con dos subconjuntos de R y una regla de correspondencia Procesos Construcción de una función Graficación de una función Ejercicios 1. Las siguientes reglas de correspondencia permiten construir funciones. Determine, para cada una de ellas, un dominio (el más incluyente posible), el recorrido y la gráfica: a. f(x) = [2x] b. f(x)= 2[x] |x| si x ∈ ]-∞,1] c. f(x) = 0 si x ∈[1,3[ x si x ∈ [3, +∞[ d. f(x) = 2 − x e. f(x)= 3 + x 2. Determinar reglas de correspondencia, dominio, recorrido y gráfica de los modelos matemáticos que corresponden a cada una de las siguientes situaciones: a. El interés simple que produce el dinero depositado en un banco es función del tiempo. b. La relación entre grados Celsius y Farenheit es de carácter funciónal c. La depreciación de un vehículo es función del tiempo d. Un recién nacido, en condiciones normales, aumenta su peso, en los primeros meses, a razón de 1 kg, por mes. e. La altura con respecto al piso de un cuerpo en caída libre depende del tiempo. f. La distancia que recorre un cuerpo en caída libre es directamente proporcional al cuadrado del tiempo, y cae 192 cm en 2 segundos g. El periodo de un péndulo varia directamente con la raíz cuadra h. La energía cinética de un cuerpo en movimiento varia conjuntamente con el producto de su masa y el cuadrado de su velocidad. i. El tono de una campana es inversamente proporcional a la raíz cúbica de su peso y una cierta campana de 1600 Kg de peso tiene un tono de 612 ciclos por segundo 2. Operaciones con funciones Sean f y g funciones reales con dominios D f y D g , respectivamente. Las funciones f+g, f- g, f *g y f /g, llamadas suma, diferencia, producto y cociente de f y g, respectivamente, se definen a través de las reglas de correspondencia siguientes (f+g)(x) = f(x) + g(x) (f g)(x) = f(x) - g(x) (fg)(x) = f(x)g(x) (f/g)(x) = f(x)/g(x) y con dominios dados por Df+g = Df-g = Dfg = Df ∩ Dg y Df/g = Df ∩ Dg - {x e Dg/ g(x)=0} Las reglas de correspondencia indican que las gráficas de estas funciones se pueden obtener, a partir de las gráficas de f y g, sumando, restando, multiplicando o dividiendo, respectivamente, las correspondientes ordenadas de f y de g que se ubicar abscisa común. Ejemplo Sean f(x) = x y g(x) = x Entonces: D f+g = D f-g = D fg = R ∩ (R + ∪ {0)) = R + ∪ {0} D f/g = R ∩ (R + ∪{0}-{x ∈ (R + ∪ {0}/ x =0} = R + R f+g = R f g = R + ∪ {0} y R f/g = R + Las gráficas de estas cuatro funciones se dan a continuación Si F denota el conjunto de todas las funciones reales, las reglas de correspondencia para la suma y el producto permiten definir en F dos operaciones, llamadas adición y multiplicación de funciones, definidas por: +: F x F→F (f,g) → f+g ·: F x F →F (f,g) → f·g en donde (f+g)(x) = f(x) + g(x) y (f · g)(x) = f(x)·g(x) Al igual que en el caso de adición y multiplicación de números reales, se pueden establecer las siguientes propiedades: Al) ∀ f, g ∈ F se cumple que f + g ∈ F (es decir F es cerrado con respecto a la adición) A2) ∀ f, g, h ∈ F se cumple que (f + g) + h = f + (g + h) (es decir la adición es asociativa) A3) ∀ f, g ∈ F se cumple que f + g = g + f (es decir la adición es conmutativa) A4) ∀ f ∈ F se cumple que f + 0 = f (es decir la función constante cero es neutro aditivo) Ml) ∀ f, g ∈ F se cumple que f · g ∈ F (es decir F es cerrado con respecto a la multiplicación) M2) ∀ f, g, h ∈ F se cumple que (f · g) · h = f · (g · h) (es decir la multiplicación es asociativa) M3) ∀ f, g ∈ F se cumple que f · g = g · f (es decir la multiplicación es conmutativa) A4) ∀ f ∈ F se cumple que f · 1 = f (es decir la función constante uno es unidad multiplicativa) A5) Dada f ∈ F no necesariamente existe inversa multiplicativa D) ∀ f, g, h ∈ F se cumple que f ·(g + h) = f · g + f · h (es decir la multiplicación es distributiva con respecto a la adición). Otro procedimiento para construir una nueva función a partir de otras dos conocidas es el siguiente: Sean f : A → B y g : C → D dos funciones dadas. La función compuesta de f y g, denotada por gof, se obtiene a partir de la regla de correspondencia (gof)(x) = g(f(x)) y su dominio es el subconjunto de A que contiene a los valores x para los cuales g(f(x)) está en D. Tal función existe solamente si R f n D g es un conjunto no vacío y su construcción se recuerda a través del siguiente diagrama. A B, C Rf∩ Dg ≠∅ D La gráfica de gof se construye a partir de las gráficas de g y f, de acuerdo al siguiente procedimiento: 1) A partir de una accisa x ∈ D f se traza una recta vertical por el punto (x,0) 2) Se determina el punto de corte de esta recta con la gráfica de f; es decir el punto )x, f(x)) 3) Se traza la recta horizontal por (x, f(x)) 4) Se determina el punto de corte de esta recta con la recta bisectriz del primer y tercer cuadrantes; es decir la recta de ecuación y = x 5) Este punto de corte tiene, en consecuencia, coordenadas (f(x), fx)) 6) El punto (x, g(f(x))) es, entonces, el punto de corte de la recta horizontal que pasa por (f(x), g(f(x))) y la recta vertical que pasa por (x, 0) gof g Ejemplo Sean las funciones cuyas reglas de correspondencia son f(x) = 3x - 1 y g(x) = x Como Rf = R y Dg = R + ∪ {0}, resulta que la compuesta gof existe y su regla de correspondencia es: (gof)(x) = g(f(x)) = g(3x-1) = 1 3 − x El dominio de gof es el intervalo [1/3,+∞[ (como puede apreciarse es un subconjunto del dominio de f) y la gráfica es una rama de parábola trasladada. Si F es el conjunto de las funciones reales de variable real, la operación composición de funciones satisface las siguientes propiedades: CI) ∀ f, g ∈ F se cumple gof ∈ F (es decir, F es cerrado para la operación composición) C2) ∀ f, g, h ∈ F se cumple: (gof)oh = go(foh) (es decir, la composición es asociativa) C3) La composición no es conmutativa C4) Si I denota la función identidad y f ∈ F, entonces Iof = foI = f C5) ∀ f, g, h ∈ F se cumple: (g+f)oh = gof + foh C6) ∀ f, g, h ∈ F se cumple: (g·f)oh = gof · foh Dada una función f cabe formularse la siguiente pregunta: ¿existe una función f tal que foe = I (en donde I es la función identidad)? La respuesta es, en general, negativa. Así por ejemplo si f(x) = |x| y existiera un tal f , para un cierto x tal que (fof)(x) = 4 se tendría : (fof)(x) = f(f(x)) = |f(x)| = 4, luego f ( x ) = 4 ó f (x) = -4; es decir, ¡un mismo x debe tener dos imágenes mediante f !, con lo cual f no es una función. Una función f : A→ B se dice: inyectiva si, y sólo si, ∀ a,b ∈ A f(a) = f(b)====> a = b sobreyectiva si, y sólo si, f(A) = B biyectiva si, y sólo si, es inyectiva y sobreyectiva a la vez Si f : A→ B es una biyección, entonces la función f : B → A con regla de correspondencia f(f(x)) = x se llama inversa de f. De la definición anterior resulta que: • A=D f, B=R f ===>B=Df*, A=R f * • Si G f = {(x, f(x))} es la gráfica de f, entonces G f * = { (f(x),x) } es la gráfica de f* • G f y G f * son simétricas con respecto a la recta de ecuación y = x • (fof*)(x) = f(f*(x)) = x para todo x ∈ B • es única y, en la práctica, se denota por f -1 (pero, alertamos al lector a no confundir valor reciproco de una función; es decir 1/f, con inversa de f con respecto a la composición) • (f -1 ) -1 =f Los siguientes diagramas permiten recordar las relaciones existentes entre f y su inversa Ejemplos • f(x)= x 2 , como función de R en R no es invertible (pues no es inyectiva), pero si la consideramos como función R + ∪ {0} en R + ∪ {0} (en cuyo caso es una biyeccion) ella tiene inversa f -1 dada por la regla f -1 (x) = x • g(x) = 2x - 5 es una biyeccion de R en si mismo, luego ella tiene inversa. Como g(x) = 2x - 5, entonces g -1 debe cumplir: g -1 (g (x)) = g (g -1 (x)) = x g(g -1 (x)) = 2g -1 (x) - 5 = x 2g -1 (x) = x + 5, luego: 2 5 ) ( 1 + · − x x g Resumen Conceptos Suma de dos funciones Resta de dos funciones Multiplicación de dos funciones División de dos funciones Composición de dos funciones Función inversa Función inyectiva Función sobreyectiva Función biyectiva. Resultados Propiedades de la adición de funciones Propiedades de la multiplicación de funciones Propiedades de la composición de funciones. Procesos Demostración de las propiedades de la adición, de la multiplicación y de la composición de funciones Construcción de graficas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones Construcción de la grafica de una composición Construcción de la gráfica de la inversa. E j ercicios 1. Para cada pareja de funciones f y g siguientes hacer un estudio completo (dominio, recorrido y gráfica) de: f+g, f- g, f ·g y f/g a. f(x) = x 2 g(x) = x – 5 b. f(x) = [x] g(x) = x 2 c. f(x) = | x| g( x) = 1 d. ¹ ' ¹ ≥ < · 0 x si x 0 x si x - x ) x ( f 2 g(x)= x 2 Explicar cuál es el procedimiento geométrico, y aplicarlo, para obtener las gráficas de g y de h, a partir de la grafica de f, en cada uno de los siguientes casos: a) f(x) = IxI g(x) = f(x) + 2 h(x) = f(x+2) b) f(x) = Çx g(x) = f(x) - 1 h(x) = f(x-1) c) f(x) = [x] g(x) = f(x) + 3 h(x) = f(x+3) d) f(x) = x 2 g(x) = 3f(x) h(x) = f(3x) e) f(x) =3x - 5 g(x) = -2f(x) h(x) = f(-2x) 3 Hacer un estudio de completo (dominio, recorrido y grafica) de las composiciones gof y fog, para cada uno de los siguientes casos: a) f(x) = 2x - 1 g(x) = -3x + 2 b) f(x) = x 2 g(x) = 1 /x c) f(x) = x g(x) = [x] f) ¹ ¹ ¹ ' ¹ > ≤ · 0 x si x 0 x si x - ) ( 2 2 x f g(x)= x 4 Determinar: a) El valor del parámetro k para el cual (fog)(x) = (gof)(x), sabiendo que f(x) = 2x - 5 y g(x) = 3x+k b) Si existe o no una función g tal que (fog)(x)=(gof)(x), sabiendo que f(x)=( 2x-1) 3 c) (fofof)(x) si f(x) = 1 - 1 /x d) Funciones f, g y h que permitan demostrar que la relacion fo(g+h) = fog+foh es falsa 5 Un recipiente cilíndrico tiene base circular de radio 3 cm a) Expresar el volumen v del recipiente como una función de su altura b) Expresar la altura h como una función del tiempo si después de t segundos la altura es 2t + 1 c) Expresar el volumen como una función del tiempo d) determinar la altura como función del tiempo si al recipiente se le coloca agua a una velocidad de 21/s 6 Estudiar existencia de inversa (global o local) para cada una de las siguientes funciones y, dibujar en un mismo sistema de coordenadas, las gráficas de f y de f' a) f(x) = 3x + 2 b) f(x) = l/3 - x/5 c) f(x) = x 3 d) f(x) = x 4 e) f(x) = | x + 1 | f) f(x)= -3x 2 + 2 7 Sean f(x) = 1 - 3x y g(x) = 2x +3 a) Hallar f -1 y g -1 b) Demostrar que (fog) -1 = g -1 o f -1 c) Demostrar que la propiedad b) anterior es válida cualesquiera sean las funciones f y g. 8 Demostrar que cada una de las siguientes funciones es inyectiva a) f(x) = 2x - 5 b) g(x) = 1/x c) h(x) = 2/(x 3 + 1) d) i(x) = (x 2 - 1)/x si x > 0 9 Determinar: a) Una función inyectiva con dominio [0,4] y recorrido [0,1] b) Una función inyectiva con dominio [a,b] y recorrido [0,1 ] c) Una función inyectiva con dominio [a,b] y recorrido [c,d] 3. Propiedades de algunas funciones El estudio completo de una función culmina en la construcción de su gráfica. La forma más rudimentaria para determinar la gráfica consiste en la elaboración de una tabla de valores; pero, como en general las funciones tienen dominios formados por infinitos números reales se hace necesario disponer de criterios adicionales para determinar el comportamiento de tales gráficas. Esta sección se dedica a estudiar un conjunto de propiedades que ayudan a este propósito. Una función real con dominio D f se dice: • par si, y solo si, para cada x ∈ D f se cumple que f(-x) = f(x) • imparsi, y solo si, para cada x ∈ D f se cumple que f(- x) = - f(x) • periódica si, y solo si, existe un numero real positivo p tal que, para cada x ∈ D f se cumple que f(x + p) = f(x) • estrictamente creciente en un subconjunto S de D f si, y solo si, para cada x 1 , x 2 ∈ S tales que x 1 < x 2 se cumple que f(x 1 ) < f(x 2 ) • estrictamente decreciente en un subconjunto S de D f si, y solo si, para cada x1, x 2 ∈ S tales que x 1 < x 2 se cumple que f(x 1 ) > f(x 2 ) Si una función f es periódica, el menor numero positivo p (si es que existe) tal que f(x+p)=f(x) se llama periodo fundamental o, simplemente, el periodo de f. Ejemplos • La función afro f(x) = x es impar y estrictamente creciente en R • La función f(x) = | x| es par, estrictamente decreciente en R - ∪ {0} y estrictamente creciente en R + ∪ {0} • La función f(x) = x - [x] es periódica y de periodo 1, estrictamente creciente en cualquier intervalo de la forma [k,k+1 [, en donde k es un entero. Los puntos de coordenadas (x,y) y (-x,y) son simétricos uno del otro con respecto al eje Oy (es decir, ambos están en una recta perpendicular al eje Oy y a igual distancia de dicho eje); en consecuencia, si una función es par su gráfica es una curva simétrica con respecto al eje Oy (eje de simetría). Los puntos de coordenadas (x,y) y (-x,-y) son simétricos uno del otro con respecto al origen del sistema de coordenadas (es decir, ambos están en la recta que pasa por el origen del sistema y a igual distancia de dicho punto); en consecuencia, si una función es impar su grafica es una curva simétrica con respecto al origen del sistema de coordenadas (centro de simetría). Ejemplos • La función f(x) = x 3 es impar. En efecto: f(- x) = (-x) 3 = - x 3 = -f(x) Luego su grafica es simétrica con respecto al origen del sistema de coordenadas. • La función f(x) = x 4 -2x 2 +1 es par. En efecto : f(- x) = (-X) 4 -2(- X) 2 +1= x 4 - 2X 2 +1 = f(X) Luego su grafica es simétrica con respecto al eje Oy Si una función es periódica y con periodo p, basta con conocer los valores de f en intervalo [O,p[ para poder determinar el valor de f en cualquier punto. En efecto, la grafica de f se obtiene a partir de la grafica en [O,p[ por copias sucesivas, hacia la derecha de p hacia la izquierda de 0. Ejemplo La función mantisa f(x) = x - [x] es periódica y de periodo 1 El estudio del crecimiento y decrecimiento de una función en ciertos subconjuntos de dominio no solo ayuda a la construcción de su grafica, sino también a la determinación los valores de x para los cuales f(x) alcanza un máximo local o un mínimo local; entendido estos conceptos en los siguientes términos: • si f es creciente en [a,x o ] y decreciente en [x o ,b] se dice que tiene un máximo local en x, • si f es decreciente en [a,x o ] y creciente en [x o ,b] se dice que tiene un mínimo local en x 0 Ejemplos • La función f(x) = -x 2 - 4x + 5 es creciente en ]-∞,-2] y decreciente en [-2,+ ∞ [, luego tiene un máximo local (y global) en x = - 2. • La función f(x) = x 2 -2x-3 es decreciente en ]-∞,1] y creciente en [1,+ ∞ [, luego tiene un mínimo local (y global) en x=1 Resumen Conceptos Función par Función impar Función periódica Periodo de una función periódica Función estrictamente creciente en un subconjunto de su dominio Función estrictamente decreciente en un subconjunto de su dominio Máximo local de una función Máximo global de una función Mínimo local de una función Mínimo global de una función Resultados Relación entre paridad y grafica de una función Relación entre imparidad y grafica de una función Relación entre periodicidad y gráfica de una función Relación entre crecimiento y grafica de una función Relación entre decrecimiento y grafica de una función Procesos Determinación de la paridad, imparidad, periodicidad, cimiento de una función. Construcción de la gráfica de una función par Construcción de la grafica de una función impar Construcción de la grafica de una función periódica Determinación de máximos locales de una función Determinación de máximos globales de una función Determinación de mínimos locales de una función Determinación de mínimos globales de una función Ejercicios 1 Hacer el estudio completo (dominio, recorrido, paridad, imparidad, periodicidad, crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos locales y globales) de cada una de las siguientes funciones: a) f(x) = 3x 2 – 1 b) f(x) = x 2 - [x] c) f(x) = 2x 2 + 16x – 2 d) f(x) = x + 1 e) f(x) = x 3 + 1/x f) f(x) = x 4 g) f(x) = 1 2 − x h) f(x) = - x l /3 i) f(x) = [x 3 ] j) f(x) = 1 - [2x] 2 Sea f una función estrictamente creciente en su dominio, ¿cuales de las siguientes afirmaciones son falsa y cuales son verdaderas? a) 2f también es estrictamente creciente b) -f es estrictamente decreciente c) 1 /f es estrictamente decreciente d) 3 - f es estrictamente creciente 3 Un ganadero desea construir un corral rectangular con 800 m de perímetro, ¿cuales deben ser las medidas para que el área encerrada sea máxima? 4 Sea f una función periódica de periodo p. Demostrar que para todo numero natural n se verifica f(x + np) = f(x). 5 Construir la grafica de una función sabiendo que f(x) = 3x - 1 si 0 5 x < 1, que f es par y periódica de periodo 2. 6 Sean f, g funciones. Determinar si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa a) f, g pares (impares) ===> f+g es par (impar) b) f, g pares (impares) ===> f-g es par (impar) c) f ,g pares (impares) ===>f ·g es par (impar) d) f, g pares (impares) ===> f/g es par (impar) e) f, g periódicas ===> f+g es periódica f) f ,g periódicas ===> f-g es periódica g) f, g periódicas ===> f ·g es periódica h) f, g periódicas ===> f/g es periódica i) f, g estrictamente crecientes (decrecientes) ===> f+g es estrictamente creciente (decreciente) j) f, g estrictamente crecientes (decrecientes) ===> f-g es estrictamente creciente (decreciente) k) f, g estrictamente crecientes (decrecientes) ===> f ·g es estrictamente creciente (decreciente) l) f, g estrictamente crecientes (decrecientes) ===> f/g es estrictamente creciente (decreciente) 7 Investigar que relaciones hay entre paridad, imparidad, periodicidad y composición de dos funciones. 4.Funciones polinómicas: la función afín Sean n un número natural y {a o ,a 1 ,...,a n-1 ,a n } una colección de n+l números reales tales que a n ≠ 0. La regla de correspondencia f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x + a 0 genera una función llamada función polinómica de grado n en la variable x y con coeficientes a 0 ,a 1 , ,a n-1 ,a n . Como casos particulares de funciones polinómicas se tienen: • Si n = 0, f(x) = a 0 = c la función constante • Si n = 1, f(x) = a l x + a 0 = mx + n la función afín • Si n = 2, f(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = ax 2 + bx + c, la función cuadrática. Ya se ha visto que la función constante f(x) = c tiene dominio R, recorrido {c} y grafica una recta paralela al eje Ox por el punto de coordenadas (O,c). También ya se vio que la función afín tiene regla de correspondencia f(x) = mx + n (en el caso m = 0 se trata de la función constante, y si m = 1 y n = 0 es la función identidad). Si m≠0 tanto su dominio como su recorrido son el conjunto R. La gráfica es una recta de pendiente m que pasa por el punto (0,n) Estudiemos con más detalles la función afín. En primer lugar, veamos por que su gráfica es, en sentido geométrico, una recta. La distancia entre dos puntos P 1 (x 1 ,Y 1 ) y P 2 (x 2 ,Y 2 ) es: d(P l , P 2 ) = 2 1 2 2 1 2 ) ( ) ( y y x x − + − En efecto: Como dos puntos determinan una única recta se tienen los tres casos siguientes: Caso 1: P 1 y P 2 están en una recta paralela al eje Ox En tal situación y 1 = y 2 , en consecuencia Y 2 - Y 1 = 0, luego: d(P 1 ,P 2 ) = |x 2 - x 1 | = d(P 1 ,P 2 ) = 2 1 2 ) ( x x − Caso 2: P 1 y P 2 están en una recta paralela al eje Oy En tal situación x 1 = x 2 , en consecuencia x 2 - x l = 0, luego: d(P 1 ,P 2 ) = |y 2 - y 1 | = d(P 1 ,P 2 ) = 2 1 2 ) ( y y − Caso 3 : P 1 y P 2 están en una recta no paralela a ninguno de los ejes coordenados. En tal situación P 1 , P 2 y el punto Q(x 2 ,y 1 ), de acuerdo a la figura adjunta, determinan un triangulo rectángulo de hipotenusa P 1 P 2 y catetos P 1 Q y QP 2 . Entonces, por el teorema de Pitágoras, se tiene: [d(P 1 ,P 2 )] 2 = [d(P 1 ,Q)] 2 + [d(P 2 ,Q] 2 , es decir: [d(P 1 ,P 2 )] 2 = |x 2 - x 1 | 2 + Iy 2 - y 1 | 2 , de donde: d(P 1 ,P 2 ) = (x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 Usando la formula anterior, y usando el hecho que la recta puede caracterizarse como la curva que minimiza la distancia entre dos puntos, puede demostrarse que la grafica de la función afín es una recta. En efecto: Supóngase que P 1 (x l , y l ), P 2 (x 2 ,y 2 ) y P 3 (x 3 ,y 3 ) son tres puntos cualesquiera de la grafica de la función afín (es decir sus coordenadas satisfacen la relación f(x) =( mx + n) y que P 2 esta entre P 1 y P 3 . (No hay perdida de generalidad si se supone que x 1 < x 2 < x 3 ). Resulta entonces que estos tres puntos son colineales (están sobre una misma recta) si, y solo si, se cumple la relación d(P 1 ,P 2 ) + d(P 2 ,P 3 ) = d(P 1 ,P 3 ). Pero: y 1 = mx l + n, y 2 = mx 2 + n, y 3 = mx 3 + n, luego: y 2 - y 1 = m(x 2 - x 1 ), y 3 - y 2 = m(x 3 - x 2 ), y 3 - y 1 = m(x 3 - x l ), de donde: d(P 1 , P 2 ) = ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 x x m x x m x x y y x x − + · − + − · + + − d(P 2 , P 3 ) = ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 x x m x x m x x y y x x − + · − + − · + + − d(P 1 , P 3 ) = 1 2 2 1 3 2 2 1 3 2 1 3 2 1 3 3 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( x x m x x m x x y y x x − + · − + − · + + − De (1) y (2) vemos que d(P1, P2) + d(P2, P3) = 1 3 2 2 3 2 1 2 2 1 ( 1 ( ) 1 ( x x m x x m x x m − + · − + + − + = d (P1, P3 ) El desarrollo anterior también nos permite concluir que si P 1 (x 1 , y 1 ), P 2 (x 2 ,y 2 ) son dos puntos cualesquiera de la grafica de la función afín con regla de correspondencia f(x) = mx + n, entonces: 1 2 1 2 x x y y m − − · , coeficiente que se llama pendiente de la recta. La función afín f(x) = mx + n es estrictamente creciente para m > 0 y estrictamente y estrictamente decreciente para m < 0. En efecto: x 1 < x 2 ===> x 2 - x 1 > 0, y, si m > 0, resulta que y 2 - y 1 > 0, de donde: y 2 = f(x 2 ) > y 1 = f(x 1 ) con lo cual f es estrictamente creciente Análogamente, si m < 0, resulta que y 2 - y 1 < 0, de donde: y 2 = f(x 2 ) < y 1 = f(x 1 ) con lo cual f es estrictamente decreciente Si f(x) = mx + n es la función afín su grafica corta al eje Oy en el punto (O,n), de aquí que n se llame coeficiente de posición de la recta (ella pasa por el punto (O,n)) y si se desea saber en qué punto su grafica corta al eje Ox se genera la ecuación f(x)=0. Pero, entonces: mx + n ===> x = -n/m En resumen, la grafica de f(x) = mx + n es la recta que pasa por los puntos (O,n) y (- n/m, 0). La búsqueda de valores de x para los cuales la grafica de f está en el semiplano superior (mas arriba del eje Ox) o inferior (mas abajo del eje Ox) permite generar las inecuaciones f(x) = mx+n>O, f(x) = mx+n ≥ 0, f(x) = mx+n<O y f(x) = mx+n ≤ 0, cuyos conjuntos solución dependen, esencialmente, del signo de m como se ve en los cuatro ejemplos a continuación: Si m > 0, mx + n > 0 ===> x > -n/m y el conjunto solución es ]- n/m,+∞[ Si m < 0, mx + n > 0 ===> x < -n/m y el conjunto solución es ]- ∞,-n/m[ Si m > 0, mx + n < 0 ===> x < -n/m y el conjunto solución es ]- ∞,-n/m[ Si m < 0, mx + n < 0 ===> x > -n/m y el conjunto solución es ]- n/m,+∞ [ El conocimiento que se tiene hasta este momento sobre la función afín permite establecer el siguiente resultado importante. A una relación de primer grado en dos variables, es decir, la generada por la ecuación Ax + By + C = 0, le corresponde como grafica una recta. En efecto, se tienen los siguientes casos: Caso 1: A = 0 (B ≠0) Se trata de la función constante y = -CB Caso2: B=0 (A≠0) Se tiene la ecuación x=-C/A, cuya grafica es una recta paralela al eje Oy, por el punto (-C/A,0) Caso 3: A y B no nulos La ecuación queda y = (- A/ B)x + (- C/B) que determina una función afín, cuya grafica es una recta de pendiente (-A/B) y coeficiente de posición (-C/B) Dos rectas R 1 y R 2 , consideradas como subconjuntos de puntos de un mismo plano, tienen entre si las siguientes posiciones relativas: (1) R 1 = R 2 (se cortan en todos sus puntos) (2) R 1 ∩R 2 = ∅ (no se cortan en punto alguno) (3) R 1 ∩ R 2 = {I} (se cortan en un único punto I) En cualquiera de los casos (1) o (2) se dice que las rectas R 1 y R 2 son paralelas y en el caso (3) R 1 y R 2 se dicensecantes Ahora bien, ¿es posible caracterizar en cuál de los casos (1), (2) o (3) se está si solo se conocen las respectivas ecuaciones de R 1 y R 2 ? Si alguna de las rectas R 1 o R 2 es paralela a uno de los ejes coordenados la respuesta es muy sencilla, de modo que se analizará el caso en que ambas rectas sean no paralelas a ninguno de los ejes coordenados, digamos: R1 es la grafica de la función afín fl(x) = m1x + n1 (*) R2 es la grafica de la función afín f 2 (x) = m 2 x + n 2 (**) Si hay un punto común a ambas rectas, digamos (x,y), entonces: y = m 1 x + n 1 = m 2 x + n 2 , de donde: m l x - m 2 x = n 2 - n l , luego: (m l - m 2 )x = n 2 - n 1 Si m l ≠ m 2 , entonces x = 2 1 1 2 m m n n − − satisface (*) y (**) y, se esta en el caso (3). Si m l = m 2 , resulta que m l - m 2 = 0, luego se tienen las dos opciones siguientes: n 2 - n 1 ≠ 0 en cuyo caso ningún punto satisface (*) y (**) n 2 - n 1 = 0 en cuyo caso todo punto que satisface (*) también cumple (**) (pues se trata de la misma ecuación). Resumimos lo anterior en el siguiente resultado: Dos rectas R 1 : f 1 (x) = m 1 x + n 1 y R 2 : f 2 (x) = m 2 x + n 2 son: paralelas si, y solo si, sus pendientes son iguales secantes si, y solo si, sus pendientes son diferentes Puede probarse que, en caso de ser secantes, dos rectas son perpendiculares (se cortan en un ángulo recto) si, y solo si, el producto de s us pendientes es -1 Si se tienen dos rectas R 1 y R 2 , de ecuaciones, respectivamente: A 1 x+B 1 + C 1 =0 A 1 x+B 1 + C 1 =0 la búsqueda de puntos de intersección conduce a los conceptos de sistema de ecuaciones simultáneas (conjunto de ecuaciones), conjunto solución de un sistema (intersección de los conjuntos solución de cada una de las ecuaciones del sistema) y a la búsqueda de resultados y procedimientos que permitan resolver un sistema. Procedimiento geométrico para resolver un s sistema Se grafican ambas rectas y se determina si ellas son: (1) coincidentes, es decir, R 1 = R 2 (se cortan en todos sus puntos), en cuyo caso se dice que el sistema es compatible o consistente indeterminado (2) paralelas y distintas, es decir R 1 ∩ R 2 = ∅ (no se cortan en punto alguno), en cuyo caso se dice que el. sistema es incompatible o inconsistente (3) secantes, es decir, R 1 ∩R2 = {I} (se cortan en un único punto I), caso en el cual el sistema se dice compatible o consistente determinado. Ejemplo Resolver el sistema: ¹ ' ¹ · + · − 12 4 y x y x Como muestra la figura adjunta las graficas de ambas rectas se cortan en el punto I(8,4), luego se trata de un sistema compatible determinado cuyo conjunto solución es S= {(8,4)} Procedimientos algebraicos para resolver un sistema Las siguientes operaciones sobre un sistema, llamadas transformaciones elementales, modifican el sistema no así su conjunto solución: TE 1 ) Intercambio del orden de las ecuaciones TE 2 ) Multiplicación de una ecuación por una constante no nula TE 3 ) Adición a una de las ecuaciones de un múltiplo de la otra ecuación. Cuando dos sistemas tienen el mismo conjunto solución se dicen equivalentes. Usando convenientemente una o más de estas tres operaciones elementales se generan procedimientos algebraicos para resolver un sistema. Ilustraremos dos de ellos con un par de ejemplos: Ejemplo Resolver el sistema (ii) 0 8 - 2y 3x (i) 0 1 - y - x · + · Si multiplicamos la ecuación (i) por (-3) y el resultado lo sumamos a (ii) se tiene el nuevo sistema equivalente: x - y - 1 = 0 (iii) 5y - 5 = 0 (iv) Multiplicamos la ecuación (iv) por (1/5), obteniendo el nuevo sistema equivalente: x-y- 1 =0 (v) y - 1 = 0 (vi) Pero, entonces, la solución de la ecuación (vi) es y = 1 y, en consecuencia, al sustituir este valor en (v) se obtiene x = 2. En resumen el conjunto solución del sistema (v), (vi), que es el mismo que el conjunto solución del sistema original (i), (ii), es S = {(2, 1)} . Se puede verificar que, efectivamente, este es el conjunto solución del sistema original. En primer lugar ambas rectas son no paralelas (¿por qué?), en consecuencia se cortan en un solo punto y, además, al sustituir en las ecuaciones originales x por 2 e y por 1 se tiene: 2-1-1=0 y 3·2+2·1-8=6+2-8=8-8=0 El método anterior en el cual se ha llegado a un sistema equivalente en el cual hay una ecuación que no contiene a una de las incógnitas (ecuación iv), se llama método de eliminación Ejemplo Resolver el. sistema x+3y=6 (i) 3x - 2y = 1 (ii) De (i) se despeja x, obteniendo x = 6 - 3y (iii) y se sustituye este valor de x en (ii), obteniendo 3(6 - 3y) - 2y = 1 (iv) o, lo que es lo mismo 18-9y-2y= l (v) es decir -1ly = -17 (vi) de donde y = 17/11 (vii) sustituyendo este valor de y en (i) x + 3(17/11) = 6 (viii) de lo cual se obtiene x = 66/11 - 51/11 = 15/11 En resumen, el conjunto solución es S = { (15/11,17/11)}, lo cual puede verificarse como se hizo en el primer ejemplo. Este procedimiento se conoce con el nombre de método de sustitución. En estricto rigor, cualquiera de estos dos métodos ha reducido el problema, en una de sus fases, a resolver una ecuación con una sola incógnita. Esta observación nos permite resolver sistemas de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas (cada ecuación representa un plano en R 3 ), como se ilustra en el siguiente ejemplo Ejemplo Resolver el sistema x+ y+ z= 5 (i) -4x + 2y - 3z = -9 (ii) 2x - 3y + 2z = 5 (iii) Si se multiplica la ecuación (i) por 4 y al resultado se le suma la ecuación (ii) se obtiene 6y + z = 11 (iv) Si se multiplica la ecuación (i) por (-2) y al resultado se le suma la ecuación (iii) se obtiene -5y = -5 (v) Pero entonces (iv) y (v) conforman un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas, el cual tiene como solución y = l, z = 5. Sustituyendo estos valores en (i) resulta x = -1. En resumen el conjunto solución del sistema original es S={(-1,1,5)} Verificación En (i) se tiene: -1+1+5=0+5=5 En (ii) se tiene: -4·(-1) + 2·(1) – 3·(5) = 4 + 2 - 15 = 6 - 15 = -9 En (iii) se tiene: 2·(-1) – 3·(1) + 2·(5) = -2 - 3 + 10 = -5 + 10 = 5 Una de las razones importantes por las cuales se estudian sistemas de ecuaciones es porque ellos constituyen un modelo matemático que permite dar respuestas a variadas situaciones de otras áreas del conocimiento. Esta afirmación se ilustra con el siguiente ejemplo. Ejemplo Un bote que navega por un río recorre 15 km en hora y media a favor de la corriente y 12 km en dos horas contra la corriente, ¿cual seria la rapidez del bote en aguas tranquilas?, ¿cual es la rapidez del río?. Solución Denotemos por x la rapidez del bote en aguas tranquilas (en km/h) y por y la rapidez del río (también en km/h), entonces: x+y es la rapidez del bote a favor de la corriente x-y es la rapidez del bote en contra de la corriente. Como la rapidez es el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo utilizado en recorrer dicha distancia, resulta que el tiempo es el cociente entre la distancia y la rapidez, por lo tanto 5 , 1 15 · + y x (i) (viaje a favor de la corriente) 2 12 · + y x (ii) (viaje en contra de la corriente) Ahora bien (i) y (ii) se transforman en x + y = 10 (iii) x-y=6 (iv) sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, cuyo conjunto solución es S={(8,2)} En resumen la rapidez del bote en aguas tranquilas seria de 8 km/h y la rapidez del río es de 2 km/h. Verifique el lector que estos resultados concuerdan con la situación formulada. Resumen Conceptos Función: polinómica, constante, afín, cuadrática Grado de una función polinómica Recta Colinealidad Distancia entre dos puntos Pendiente de una recta Coeficiente de posición de una recta Función: estrictamente creciente, estrictamente decreciente Ecuación Inecuación Ecuación de primer grado en dos variables Rectas: paralelas, secantes Sistema de ecuaciones: compatible (consistente), incompatible (inconsistente), determinado, indeterminado Transformaciones elementales de un sistema Sistemas equivalentes Modelo matemático. Resultados Relación entre una ecuación de primer grado en dos variables y una recta Fórmula de la distancia entre dos puntos de los cuales se conocen sus coordenadas La pendiente de una recta es invariante Posiciones relativas de dos rectas en el espacio Condición de paralelismo entre dos rectas a partir de sus ecuaciones Condición de perpendicularidad entre dos rectas a partir de sus ecuaciones Las transformaciones elementales reducen sistemas a otros equivalentes Para resolver sistemas hay métodos: geométricos y algebraicos (reducción y sustitución). Procesos Graficación de rectas Cálculo de la distancia entre dos puntos Demostración de que tres puntos son colineales Determinación de ecuaciones de ciertas rectas Solución de sistemas de ecuaciones mediante procedimientos geométricos y/o algebraicos: eliminación, reducción Solución de sistemas de inecuaciones Verificación de soluciones Modelación matemática de una situación. Ejercicios 1. Indicar cuales de las siguientes relaciones definen funciones polinómicas y cuales no, además, en el caso de ser polinómica, indicar el grado: a) f(x) = 2 x - 8x 3 + π b) f(x) = x -2 + 2x - 5 c)f(x)=x 3 -5x +8x 5 + x d)x 2 + y 2 = 1 2. Sean f y g funciones polinómicas. Determine reglas prácticas para obtener: a) la suma f+g, a partir de los coeficientes de f y de g b) el producto f·g, a partir de los coeficientes de f y de g c) el grado de f+g y el grado de f-g 3. Estudiar, por al menos dos procedimientos diferentes, si los siguientes tríos de puntos son o no colineales: a) (2,5), (4,3) y (3,4) b) (1, 1), (2,4) y (3,2) 4 Demostrar que: a) si R es una recta por P 1 (x l , y l ) y con pendiente m, entonces su ecuación es: m x x y y · − − 1 1 b) si R es una recta que corta a los ejes coordenados Ox y Oy en (a,0) y (0,b), respectivamente, entonces su ecuación es: 1 · + b y a x c) si R es una recta que pasa por los puntos P 1 (x l , y l ), P 2 (x 2 ,y 2 ), en donde x l =/x 2 su ecuación es: 1 2 1 2 1 1 ¨ x x y y x x y y − − · − − d) Si f 1 (x) = m l x + n 1 y f 2 (x) = m 2 + n 2 son funciones afines tales que m 1 m 2 = -1, sus graficas son rectas perpendiculares 5 a) Establecer y demostrar el teorema reciproco de 4 d) b) Demostrar que si se unen los puntos medios de dos lados de un triangulo resulta un segmento paralelo al tercer lado e igual a la mitad de él c) Demostrar que si se unen los puntos medios de un cuadrilátero cualquiera se obtiene un paralelogramo d) Demostrar que las diagonales de todo paralelogramo se cortan en su punto medio e) Demostrar que las alturas de un triangulo se cortan en un único punto f) Demostrar que las mediatrices de un triangulo se cortan en un único punto 6 Determinar una ecuación para cada una de las rectas que satisfacen en cada caso las condiciones dadas: a) Tiene pendiente 4 y pasa por (-1,3) b) Pasa por los puntos (-3,4) y (2,1) c) Es paralela a la recta de ecuación 3x + 2y + 2 = 0 y pasa por (0,16) d) Es perpendicular a la recta de ecuación 3x - 5y + 8 = 0 y pasa por el punto (1,1) e) La que permite construir una escala de conversión entre grados Celsius Farenheit, sabiendo que: el punto de congelación del agua es de 0º C, o bien 32 0 F el punto de ebullición del agua es 100 0 C, o bien 212 0 F f) perpendicular al segmento que une (1,5) y (2,7) y pasa por el punto medio de él g) Pasa por (-5,4) y es perpendicular a la recta que pasa por (1,1) y (3,7) 7 Determinar, si es que existe, el valor del parámetro α, en la ecuación x+αy-1=C para que se cumpla, separadamente, cada una de las siguientes condiciones: a) La recta pasa por el punto (1,3) b) La recta es paralela a la de ecuación 3x - 5y = 7 c) La recta es paralela al ej Oy d) La recta tiene las mismas intersecciones con ambos ejes coordenados e) La recta es perpendicular a la de ecuación y = 3x - 7 8 Resolver cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones a) 40 4y 3x 25 3y - 5x · + · b) 2 y 4x 7 3y - x · + · c) -6 3y - x 3 4y 3x · · + d) 3 ) 5 / 2 ( 2 5 2 + − · − · + x y y x e) 0 6 4 2 6 9 6 3 2 3 2 · − + − − · + − − · + − z y z y x z y x f) 2 , 3 2 , 1 5 , 0 9 , 0 1 , 5 1 , 2 7 , 4 3 , 1 6 8 , 1 2 , 3 1 , 1 · − + − · + − · − + z y x z y x z y x 9 Encontrar el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones: a) -4x + 2 ≤ 3x-26 b) 5(7 - 2x) + 14 + 8(2x -1) ≥ -15 c) 3 2 1 5 3 1 2 − ≤ + − − x x d) 3 2 3 / 1 3 5 / 1 − ≥ + + − x x e) l /x - 5 < 2 10 Encontrar el conjunto solución de cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones a) 3x- 5 _ -2x + 8 b) (3x - 7)/5 - 1/2 ≥ -x –12 1 /x + 3 < 0 2/3 - 1 /x ≥ 2/x - 1/4 11 Resolver cada uno de los siguientes problemas: a) Gisela compró un pantalón y una blusa en Bs. 6.000. Si el pantalón costó Bs. 800 mas que la blusa, ¿cuanto costó cada prenda? b) Un conductor de la línea "Rápidos pero inseguros" recorrió en 7 horas 600 Km. Si cuando había tormenta viajaba a 40 km/h y el resto del tiempo a 120 km/h, ¿cuanto tiempo condujo bajo tormenta? c) Si Juan es tres veces mayor que su hermano y dentro de cuatro años tendrá el doble de edad que su hermano, ¿cuantos años tiene cada uno? d) Una persona tiene Bs. 3.700 en 95 billetes de denominaciones Bs. 20 y Bs. 50, ¿cuantos billetes de cada tipo tiene? e) Un número de tres dígitos es igual a 19 veces la suma de sus dígitos, pero al invertir el orden de los dígitos el nuevo número resultante es mayor que el número original en 297. Además se sabe que el digito de la decenas excede al digito de las unidades en 3. ¿Cual es el número? f) Se dispone de tres soluciones de un cierto ácido con concentraciones al 25, 40 y 50 %, respectivamente. Si se desea obtener una solución de 200 litros con una concentración al 32 %, utilizando dos veces mas de la primera solución que de la segunda, ¿cuantos litros de cada una de las soluciones se deben usar?. g) Una piscina, en condiciones normales, tarda 6 horas en llenarse y 8 en vaciarse. En cierta ocasión el encargado abrió la llave de llenado al terminar de limpiar la piscina, sin darse cuenta que estaba abierta la llave de vaciado. Después de cierto tiempo se percató de su olvido y cerró la llave de vaciado. A partir de ese instante la piscina tardó en llenarse cinco horas y media. ¿Cuanto tiempo permanecieron abiertas las dos llaves?. h) Un computador poderoso tarda 35 nanosegundos (1 nanosegundo= 10 -9 segundos) en realizar 5 operaciones de un tipo y 7 operaciones de otro. El computador tarda 37 nanosegundos en realizar 7 operaciones del primer tipo y 5 operaciones del segundo. ¿Cuantos nanosegundos tarda en cada operación? i) Juan desea determinar el volumen en litros de tres botellas con formas irregulares y solamente dispone de una lata de pinturas vacía (cuya capacidad es de un galón; es decir: 3,8 litros). Después de varios experimentos encuentra que: Llenando la lata de pinturas y vaciando su contenido puede llenar las tres botellas, el doble del volumen de la segunda botella llena exactamente la primera y la tercera botella y el triple del volumen de la tercera botella llena exactamente la primera botella. ¿Cual es, en definitiva, la capacidad de cada botella en galones y litros? j) Tres tipos de petróleo crudo se deben cargar y mezclar a bordo de un supertanquero de 500.000 toneladas. Los crudos contienen los porcentajes de petróleos ligeros, medianos y pesados que se dan en la siguiente tabla: Ligeros Medianos Pesados I 10 20 70 II 10 40 50 III 60 0 40 ¿Qué cantidad de cada uno de estos tipos de crudos deberán mezclarse de manera que el crudo resultante contenga 30 % de petróleo ligero, 20% de mediano y 50% de petróleo pesado?. k) Cierto tipo de alcohol con densidad de 0,80 g/ml se mezcla con agua de densidad 1,0 g/ml para producir un litro de solución. Si la masa de la solución es 900 g, ¿Cuantos mililitros de alcohol y agua contiene la solución?. 5. Funciones Polinómicas: la función cuadrática La función polinómica de segundo o grado o función cuadrática se genera a partir de la regla de correspondencia: f(x) : a2x 2 + a1x + a0 = ax 2 + bx +c (a2 =a ≠ 0) Su dominio es R, su recorrido, como se verá en esta sección, es un intervalo semiabierto del tipo [f(-b/2a),+∞ [ ó ]- ∞, f(-b/2a)] (según sea a < 0, ó a < 0) y su grafica es una curva llamada parábola, "abierta hacia arriba" con un mínimo en el punto (-b/2a, f(-b/2a)) cuando a > 0, y "abierta hacia abajo" y con un máximo en el punto (-b/2a, f(-b/2a) )cuando a < 0. El punto donde f alcanza su mínimo o máximo (valor extremo) se llama vértice de la parábola. En efecto: El polinomio f(x) = ax 2 + bx + c se puede factorizar de la siguiente manera, por un proceso llamado completación de cuadrados f(x) =ax 2 +bx+c = a(x 2 + (b/a)x) + c = a(x 2 + 2(b/2a)x + (b/2a) 2 ) + c - a(b/2a) 2 = a(x + (b/2a)) 2 + c - b 2 /4a (*) Ahora bien, puesto que a ≠ 0, se tienen los dos casos siguientes: Primer caso: a > 0 Resulta que, cualquiera sea el valor de x: a(x + (b/2a)) 2 ≥ 0 (pues a > 0 y (b/2a)) 2 ≥ 0), luego: a(x + (b/2a)) 2 + c - b 2 /4a ≥ c - b 2 /4a, y, el valor mínimo se alcanza cuando a(x + (b/2a)) 2 = 0, lo cual ocurre cuando x = -b/2a. En consecuencia dicho mínimo es f(-b/2a) = c-b 2 /4a Segundo caso: a < 0 Resulta que, cualquiera sea el valor de x: a(x + (b/2a)) 2 ≤ 0 (pues a < 0 y (b/2a)) 2 ≤ 0), luego : a(x + (b/2a)) 2 + c - b 2 /4a ≤ c - b 2 /4a, y, el valor máximo se alcanza cuando a(x + (b/2a)) 2 = 0, lo cual ocurre cuando x = -b/2a. En consecuencia dicho máximo es f(-b/2a) = c-b 2 /4a La búsqueda de los cortes de la gráfica de f con el eje Ox nos conduce a la ecuación: ax 2 + bx + c = 0 conocida como ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. Para resolver dicha ecuación se puede deducir una formula general, a partir de (*). En efecto: f(x) = ax 2 + bx + c = a(x + (b/2a)) 2 + c - b 2 /4a = 0 ===> a(x + (b/2a)) 2 = b 2 /4a - c ===> (x + (b/2a)) 2 = b 2 /4a 2 - c/a ===> (x + (b/2a)) 2 = (b 2 - 4ac/4a 2 ) ===> |x + (b/2a)| = 2 2 4a / 4ac - b ===> x + (b/2a) = 2a / 4ac - b 2 o bien x + (b/2a) = - 4ac - b 2 /2a ===> x = (-b + 4ac - b 2 )/2a o bien x = (-b - 4ac - b 2 )/2a Al numero ∆ = b 2 - 4ac se le llama discriminante de la ecuación de segundo grado y la naturaleza de las raíces o ceros (o soluciones) de la ecuación de segundo grado se obtiene de acuerdo a al signo de ∆, de la siguiente manera: Primer caso: ∆ > 0 Entonces se tiene que ∆ es un numero real, y la ecuación cuadrática tiene dos raíces reales y distintas: x 1 = (-b + ∆ )/2a y x 2 = (-b - ∆ )/2a En este caso la grafica de la función cuadrática corta al eje Ox en dos puntos: (-b + 4ac - b 2 )/2a, 0) y (-b 4ac - b 2 )/2a, 0) Segundo caso: ∆= 0 En esta circunstancia ∆ = 0 y la ecuación cuadrát ica tiene una sola raíz real o, como también se dice, tiene una raíz doble: x 1 = x 2 = -b/2a En este caso la grafica de f es tangente al eje Ox en el punto de coordenadas (-b/2a,0) Tercer caso: ∆< 0 Resulta que ∆ no es un numero real, es el complejo i ∆ , y la ecuación cuadrática tiene dos raíces complejas conjugadas : x 1 = (-b + i ∆ )/2a y x 2 = (-b - i ∆ )/2a En este caso la grafica de f no corta al eje Ox. Finalmente, puede probarse que: • si a > 0 la función cuadrática es: estrictamente decreciente en el intervalo ]-∞,-b/2a] y estrictamente creciente en [-b/2a,+ ∞ [ • si a < 0 la función cuadrática es: estrictamente creciente en el intervalo ]- ∞,-b/2a] y estrictamente decreciente en [-b/2a,+ ∞ [ Del análisis anterior concluimos, entonces que: * si a > 0 el recorrido de f es [f(-b/2a),+ ∞ [ * si a < 0 el recorrido de f es ]- ∞,f(-b/2a)] Preguntarse para que valores de x la grafica de la función cuadrática esta mas arriba o mas abajo del eje Ox da origen a las inecuaciones: • ax 2 +bx+c>0 • -ax 2 +bx+c≤0 • ax 2 +bx+c<0 • ax 2 +bx+c≥0 las cuales pueden resolverse gráficamente, o algebraicamente usando la propiedad de factorización iii) de la lista siguiente: Sean x 1 y x 2 las raíces (reales o complejas) de la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0, entonces: i) x 1 + x 2 = -b/a, ii) x 1 · x 2 y iii) ax 2 + bx + c = a (x - x 1 )(x - x 2 ) Veamos, en primer lugar, que estas propiedades son verdaderas: Como: x 1 = (-b + 4ac - b 2 )/2a, x 2 = (-b - 4ac - b 2 )/2a resulta que: x 1 + x 2 = (-b + 4ac - b 2 )/2a + (-b - 4ac - b 2 )/2a =-2b/2a = -b/a x 1 -x 2 = ((-b + 4ac - b 2 )/2a)-((-b - 4ac - b 2 )/2a) = ((-b) 2 - (b 2 -4ac))/4a 2 = 4ac/4a 2 = c/a Por otra parte: ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a)x + c/a) = a(x 2 - (x 1 + x 2 )x + x 1 x 2 ) (1) y también: a(x - x 1 )(x-x 2 )= a(x 2 - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 ) = a(x 2 - (x 1 + x 2 )x + x 1 x 2 ) (2) De (1) y (2) resulta que ax 2 + bx + c = a(x - x 1 )(x - x 2 ) Ejemplo Aplicar todo lo estudiado en esta sección a la función cuadrática dada por f(x)=x 2 -7x+6 El dominio es R Completando cuadrados se tiene: x 2 - 7x + 6 = x 2 – 2·(7/2)x + 49/4 + 6 - 49/4 =(x-7/2) 2 -25/4 Por otra parte: ∆= 7 2 – 4·1·6 = 49 - 24 = 25 > 0 ===> ambas raíces son reales y distintas, en efecto: x 2 -7x+6=0===>x 1 =1y x 2 =6 Luego: E1 mínimo valor se alcanza en x = 7/2 y es f(7/2) = (7/2 - 7/2)) 2 - 25/4 = - 25/4. El vértice de la parábola es el punto (7/2,-25/4) y, como ella abre "hacia arriba", su recorrido es [-25,4,+∞[, la función es estrictamente decreciente en ]- ∞,7/2] y estrictamente creciente en [7/2, +∞[ Como las raíces de x 2 - 7x + 6 = 0 son 1 y 6, la expresión se factoriza así: x 2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6), de modo que la grafica corta al eje Ox en los puntos (1,0) y (6,0). La inecuación x 2 - 7x + 6 > 0 es, por la factorización, equivalente a: (x - 1)(x - 6) > 0 , lo cual produce las siguientes opciones: Opción l : x - 1 > 0 y x - 6 > 0, o bien: Opción 2: x - 1 < 0 y x - 6 < 0 Para la opción 1 resulta que x > 1 y x > 6, cuyo conjunto solución es ]6,+ ∞ [ Para la opción 2 resulta que x < 1 y x < 6, cuyo conjunto solución es ]- ∞, l [. En resumen, la inecuación x 2 - 7x + 6 < 0, como lo muestra claramente la grafica adjunta, tiene como conjunto solución ]- ∞, l [ U ]6,+ ∞ [ Observe el lector que las inecuaciones x 2 - 7x + 6 < 0, x 2 - 7x + 6 ≥ 0 y x 2 - 7x + 6≤0 se resuelven fácilmente a partir de la grafica de f, Resumen Conceptos Función cuadrática Ecuación de segundo grado Discriminante de la ecuación de segundo grado Dominio de la función cuadrática Recorrido de la función cuadrática Parábola Vértice de la parábola Valor máximo Valor mínimo Raíz de una ecuación Resultados Forma equivalente de una función cuadrática por completación de cuadrados Fórmula para resolver una ecuación de segundo grado Naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática, según el signo discriminante Propiedades de las raíces de una ecuación cuadrática Orientación de la parábola, según n el signo del coeficiente de x 2 Factorización de la función cuadrática Procesos Completación de cuadrados Calculo de las raíces de una ecuación de segundo grado Factorización de una función cuadrática Deducción de la fórmula que permite encontrar las raíces de la ecuación cuadrática Discusión de la naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado Demostración de las propiedades de las raíces de una ecuación cuadrática Determinación de máximos y/o mínimos de una función cuadrática Trazado de una parábola Solución de inecuaciones de segundo grado. Ejercicios 1 Haga un estudio completo (dominio, recorrido, puntos de corte, zonas de crecimiento, zonas de decrecimiento, valores extremos, grafica, solución de inecuaciones asociadas) de cada una de las siguientes funciones cuadráticas a) f(x) = 2x 2 - 5x + 1 b) f(x) = 6x 2 - x + 21 c) f(x) = x 2 + 18x + 12 d) f(x) = -x 2 + 2x + 1 e) f(x) = -3x 2 - x + 1 f) f(x) = (1/2)x 2 - (5/3)x + 1 2 Dada la parábola de ecuación f(x) = ax 2 + bx + c, la recta por el vértice de dicha curva y paralela al eje Oy se llama eje de la parábola. a) determinar el eje de cada una de las parábolas del ejercicio anterior b) demostrar que la parábola es simétrica con respecto a su eje. 3 Encontrar el máximo valor que alcanza cada una de las siguientes funciones: a) f(x) = - x 4 + 8x 2 + 1 (Indicación: haga el cambio de variables y = x 2 ) b)f(x)=- x+4 x+8 (Indicación: haga un cambio de variables adecuado) 4 Encontrar la ecuación de cada una de las siguientes parábolas: a) tiene vértice (0,0) y además pasa por (-6,3) b) tiene vértice (3,-1) y además pasa por (-2,5) c) tiene la recta Oy como eje y pasa por (1,1) y (2,7) d) pasa por (-1,-2), (0,3) y (2,7) 5 Encontrar los puntos de corte de cada una de las siguientes parejas de curvas: a) f(x) = x 2 - 2x + 7, g(x) = 11 - x 2 b)f(x)=x 2 -2x +4, g(x)=-2x+9 6 Cada uno de los siguientes problemas se modela a través de funciones cuadráticas. Resuélvalos a) Encontrar dos números tales que su suma sea 6 y su producto sea máximo b) La suma de dos números es 20 y la suma de sus cuadrados es mínima, ¿cuáles son dichos números? c) ¿Cuál es el punto sobre la recta de ecuación y = 2x que está más cerca del punto (5,0)? d) Se debe doblar un trozo de alambre de 120 cm para formar un rectángulo. ¿Cuáles deben ser las medidas de dicho rectángulo para que su área sea máxima? e) Con un trozo de metal de 2m de largo y 20 cm de ancho se construye un canal rectangular. ¿Cuáles deben ser las medidas del canal para que el caudal sea máximo? f) Una ventana debe tener forma rectangular, coronada por una semicircunferencia. Si su perímetro debe ser de 3m, ¿cuáles deben ser el ancho y alto de la ventana para que deje pasar la mayor cantidad de luz posible? g) Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 19,2 m/s, desde un punto a 1,50 m por encima del suelo, y la altura h (medida en metros) que alcanza en del tiempo t (medido en segundos), esta dada por: h(t) = -0,48t 2 + 19,2t + 1,5 ¿Cual es la máxima altura que alcanza la pelota?, ¿en que instante la pelota alcanza de nuevo el nivel de 1,5 m.?, ¿en que instante la pelota toca el suelo?. h) Un ganadero desea construir una cerca que encierre un terreno rectangular, a orillas de un río. El alambre disponible es de 1200m y la cerca debe tener cuatro hileras de alambre. ¿Cual es la máxima superficie que el puede encerrar?. i) La deflexión de una viga esta dada por d = x 2 -0,3x + 0,03, en donde x es la distancia medida a partir de uno de sus extremos, ¿para que valores de x la deflexión es mayor que 0,01? j) El peso de una boya (en Kg.) esta dado por P = 900 + 1660V, en donde V es el volumen (en m 3 ). La fuerza de empuje E que actúa sobre la boya es E = 100 + 1000V 2 . ¿Para que valores de V la boya flota? 7 Dada la parábola de ecuación f(x) = ax 2 + bx + c el punto F de coordenadas (-b/2a, c - b 2 /4a + 1/4a) se llama foco de la parábola y la recta D de ecuación y = c - b 2 /4a - 1/4a se llama directriz de la parábola. a) Determine foco y directriz para cada una de las parábolas del ejercicio 1 b) Verifique que la directriz es perpendicular al eje de la parábola c) Verifique que la distancia de cualquier punto de la parábola hasta el foco coincide con la distancia de ese mismo punto hasta la directriz d) Investigue por que razón las antenas para la recepción de ondas son parabólicas y por que razón los faros que se diseñan para producir un haz de rayos paralelos tienen la forma de un espejo parabólico, con la fuente de luz en el foco. 8 Resolver cada una de las siguientes inecuaciones o sistemas de inecuaciones: a) 1 2 2 1 2 3 1 4 ) 5 ( 2 2 + + − < − + x x x x x b) x 4 -x 2 <0 c) 1 2 5 > + − x x d) x 7 -x 3 >0 e) 4 3 2 5 2 1 2 − < + + − x x x f) 0 3 2 0 3 5 2 2 2 ≥ − + < − + x x x x g) 3 25 0 2 7 3 2 2 ≤ + − > + − x x x x h) 3 1 6 11 6 2 3 − > − − + − x x x x i) 3x 2 - 5 > 0, x/3 + (x-1)/4 > (5x+7)/2, x 2 - 1 < 0 j) x 3 - x 2 > x(x 2 + x-3),x 2 + 2x+1<0, x 3 + x 7 + x< x 8 (1/x) 9. Sobre la grafica de ecuación f(x) = x 2 elija tres puntos de coordenadas (a,f(a)), (b,f(b) ((a+b)/2,f((a+b)/2))). Determine, en función de a y b, el área del triangulo que forman estos tres puntos. 10. Dado el polinomio p(x) = πx 6 - (1+, 2 )x 3 - 151 determine (¡sin calcularlas!) cuantas raíces reales y cuantas raíces complejas tiene este polinomio. 11. La deflexión de una viga se modela por la relación d = x 2 + Lx - 1,5L 2 , en donde: d = deflexión, L = longitud de la viga y x = distancia a partir de uno de sus extremos. a) Graficar la deflexión como función de la distancia para una viga de longitud 4 metros b) Determinar la deflexión mínima de dicha viga Funciones polinómicas de grado mayor que dos Ya se ha dicho que si n es un número natural y {a 0 ,a 1 ,...,a n-l ,a n ) una colección de n+l números reales tales que a n ≠ 0, mediante la regla de correspondencia f(x) = a n x n + a n- 1 x n-1 + ... + a l x + a 0 se genera una función llamada función polinómica de grado n en la variable x y con coeficientes a o ,a 1 ,-,a n-1 ,a n . Los dos ejemplos siguientes ilustran como puede ser la grafica de una función polinómica de grado superior a dos. Como ya se sabe que el dominio de una función polinómica es R, con el objeto de obtener la grafica de ella la siguiente preocupación será determinar en que puntos corta al eje de las abscisas; es decir, se debe intentar determinar los valores de la variable x para los cuales f(x) = 0. En otros términos, se procura determinar los ceros o raíces de la función. En los dos ejemplos recientes se tiene: • los ceros de f(x)= x 3 -2x 2 -x +2 son x= -1, x= 1 y x=2 • las raíces de f(x) = x 4 - 5x 2 + 4 son x = -2, x = -1, x = 1 y x = 2 ¿Como se determinan los ceros de una función polinómica de grado mayor que dos? Existen formulas que permiten obtener las raíces de ecuaciones polinómicas de grados 3 y 4, pero su estudio, como también el hecho que es imposible obtener formulas que permitan resolver ecuaciones polinómicas de grado superior a 4, están más allá del propósito de esta exposición; en consecuencia, se limitará el presente estudio a la obtención de procedimientos indirectos que permiten estimar la existencia y, eventualmente, el valor de los ceros de funciones polinómicas de grado mayor que dos. Algoritmo de la división o de Euclides Sean f y g funciones polinómicas, llamadas dividendo y divisor, respectivamente, tales que g es no nula. Entonces existen otras dos funciones polinómicas únicas q y r, llamadas cociente y resto (o residuo), respectivamente, tales que f= g·q + r en donde r es cero o bien su grado es menor que el grado de g. Ejemplos • Si f(x) = x 3 - 2x + 3 (dividendo) y g(x) = 2x - 5 (divisor), entonces: q(x) =(172)x 2 + (5/4)x + 17/8 (cociente) y r(x) = 109/8 (resto) • Sea f(x) = 6x 3 - 5x 2 + x - 4 el dividendo y g(x) = 2x 2 - x + 3 el divisor, entonces: q(x) = 3x - 1 es el cociente y r(x) = -9x - 1 es el residuo Dadas f y g, el procedimiento para obtener q y r, llamado división larga, es similar al se usa para encontrar el cociente y el resto en al dividir un numero entre otro y disposición se ilustra con el primero de los ejemplos recientes: x 3 -2x+3 2x-5 x 3 - (5/2)x 2 (1/2)x 2 + (5/4)x + 17/8 (5/2)x 2 - 2x + 3 (5/2)x 2 - (25/4)x (17/4)x + 3 (17/4)x - 85/8 109/8 Si en el algoritmo de la división ocurre que el residuo es idénticamente nulo se dice que f es divisible por g o que g es un factor de f Así por ejemplo x 2 - 2x + 1 es divisible por x - 1 pues: x 2 -2x+ 1 =(x- 1) 2 =(x- 1) · (x- 1)=(x- 1) · (x- 1)+0 Del algoritmo de la división se deducen los siguientes tres resultados: (1) Si f es una función polinómica de grado n (n > 0) y a es un numero real, entonces existe una única función polinómica q de grado n-1 y un único numero real r tales que f(x)=(x-a)q(x) + r. En efecto, como el grado de r debe ser menor que el grado de (x - a) y el grado de (x –a) es 1, debe tenerse que el. grado de r es cero; es decir, r debe ser una constante. (2) (Teorema del resto) Si una función polinómica f se divide entre (x - a) el residuo es f(a). En efecto, f(x) = (x - a)·q(x) + r ===> f(a) = (a - a)-q(a) + r = r (3)(Teorema del Factor) Un numero a es raíz de la función polinómica f si, y sólo si, (x - a) es un factor de f(x) Efectivamente, si a es raíz de f, entonces f(a) = 0, de donde: f(x) = (x - a)-q(x) Recíprocamente, si (x - a) es un factor de f(x), entonces: f(x) = (x - a)·q(x), luego f(a) = (a - a)q(a) = 0 y, por lo tanto, a es una raíz de f. Ejemplos • Si f(x) = x 4 - 3x 3 + 6x 2 - 12x + 8 al dividirla entre (x - 1) se obtiene: f(1)=1 4 -3·1 3 +6·1 2 -12·1+8=1 -3+6-12+8=0,luego 1 es una raíz de x 4 - 3x 3 + 6x 2 - 12x + 8 y (x -1) es un factor de x 4 - 3x 3 + 6x 2 - 12x + 8 • x + 1 es un factor de f(x) = x 3 + 4x 2 - 7x - 10 pues: f(1)=(-1) 3 +4·(-1)2 –7·(-1)-10=-1+4+7-10=0 Los resultados anteriores indican que en muchas ocasiones es necesario dividir una función polinómica f(x) entre (x - a). Para obtener el cociente (pues como ya se sabe el resto es f(a)) hay un procedimiento corto llamado división sintética, el cual se ilustra a continuación. Supongamos que se desea dividir 3x 4 - 8x 3 + 9x + 5 entre x - 2 Usando el proceso de división larga (y escribiendo 0·x 2 presente todas las potencias de x) se tiene: 3x 4 -8x 3 +0x 2 +9x+5 x- 2 3x 4 -6x 3 3x 3 -2x 2 -4x+1 - 2x 3 + 0x 2 - 2x 3 + 4x 2 -4x 2 +9x -4x 2 +8x x+5 x- 2 7 Si en la división anterior se tiene el cuidado de mantener el orden (decreciente) de las potencias de x podemos eliminarlas y dejar el esquema solo con los coeficientes, quedando el esquema así: 3 8 0 9 5 1 2 3 –6 3 -2 -4 1 -2 0 -2 4 -4 9 -4 8 1 5 1 –2 7 Evitando las repeticiones de coeficientes, el factor 1 del dividendo y los coeficientes del dividendo que en cada paso se "van bajando" y teniendo presente que cada vez hay q restar, el esquema anterior se puede simplificar mas, obteniendo: 3 8 0 9 5 2 6 -4 -8 2 3 -2 -4 1 -2 –4 1 7 O, aún mas, si insertamos el primer coeficiente en la primera posición de la última fila resulta que é1, junto con los tres siguientes son los coeficientes del cociente y el ultimo es resto; en resumen, el esquema, Llamado división sintética o método de Horner, queda así: 3 8 0 9 5 2 6 -4 -8 2 3 -2 –4 1 7 Ejemplo Usando el método de Horner obtener el cociente y el resto de dividir la función polinómica f(x) = 2x 4 + 5x 3 - 2x - 8 entre g(x) = x + 3. Solución: 2 5 0 -2 -8 -3 -6 3 -9 33 2 -1 3 -11 25 Luego el cociente es q(x) = 2x 3 - x 2 + 3x - 11 y el resto es r(x) = 25. A continuación se enuncian una serie de propiedades que se relacionan con la determinación de raíces de funciones polinómicas. (4) Una función polinómica de grado n tiene, a lo sumo, n raíces reales (5) Una función polinómica f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x + a o en donde todos sus coeficientes (a n , a n-1 , ... , a o ) son enteros tiene como raíces enteras (si es que tiene) solamente números que son divisores de a o . (6) Una función polinómica f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x + a o en donde todos sus coeficientes (a n , a n-1 , ... , a o ) son enteros tiene como raíces racionales (si es que tiene) solamente números de la forma (α/β, en donde α es un divisor de a o y β es un divisor de a n . Ejemplos • Determinar las raíces racionales, si es que existen, de la función polinómica f(x)=3x 3 -2x 2 -3x+2 Solución En primer lugar se calculan los divisores de a o = 2, obteniendo el. conjunto D 2 = {-1, l,-2,2} y los divisores de 3, que agrupados constituyen el conjunto D 3 = {-1, l,-3,3}. En consecuencia las posibles raíces racionales de f(x) se enc uentran en el conjunto que se forma con todos los cocientes posibles de los elementos de D 2 sobre los elementos de D 3 ; es decir, el conjunto P={-1,1,-1/3,1/3,-2,2,-2/3,2/3 }. Ahora bien f(-1) = 3·(-1) 3 – 2·(-1) 2 – 3·(-1) + 2 = -3 - 2 + 3 + 2 = 0, en consecuencia -1 es una raíz y f(x) es divisible entre (x + 1) Calculemos el cociente usando el esquema de Horner 3 -2 -3 2 -1 -3 5 -2 3 -5 2 0 La función polinómica cociente es q(x) = 3x 2 - 5x + 2 Resolviendo la ecuación cuadrática q(x) = 0 se encuentra que las dos restantes raíces son x= 1 y x=2/3. En resumen, el conjunto solución de la ecuación 3x 3 - 2x 2 - 3x + 2 = 0 es S = {- 1,2/3,1 }. Esta afirmación se verifica fácilmente pues, como ya se vio f(-1) = 0 y, por otra parte f(1)=3·(1) 3 -2·(1) 2 -3·(1)+2=3-2-3+2=0 y f(2/3)=3·(2/3) 3 -2·(2/3) 2 -3·(2/3)+ 2=3·(8/27)- 2·(4/9)-3·(2/3)+2=24/27-8/9-2+2=0. • Determinar las raíces racionales, si es que existen, de la función polinómica g(x) = x 4 + 2x 3 - 12x 2 + 14x - 5 Procediendo como en el ejemplo anterior se tiene: D 5 = {-1,1-5,5} Pues bien: g(-1) = (-1) 4 + 2·(-1) 3 – 12·(-1) 2 + 14·(-1) - 5 = 1-2-12-14-5 = -32 =/ 0 g(1)=(1) 4 +2·(1) 3 -12(1) 2 +14·(1)-5=1+2-12+14-5=0 g(-5) = (-5) 4 + 2·(-5) 3 – 12·(-5) 2 + 14·(-5) - 5 = 625-250-300-70-5 = 0 g( 5) = (5) 4 + 2·(5) 3 – 12·(5) 2 + 14·(5) - 5 = 625+250-300+70-5 = 640 =/ 0 de manera que 1 y -5 son raíces, en consecuencia: g(x) = x 4 + 2x 3 - 12x 2 + 14x - 5 es divisible por (x - 1) y por (x + 5) Usando reiteradamente el esquema de Horner se tiene: 1 2 –12 14 -5 1 1 3 -9 5 1 3 –9 5 0 -5 -5 10 -5 1 -2 1 0 En consecuencia, al dividir x 4 + 2x 3 - 12x 2 + 14x - 5 entre (x-1)·(x+5) se obtiene x 2 -2x+ l Como x 2 - 2x + 1 = (x - 1) 2 resulta que la ecuación x 2 - 2x + 1 = 0 tiene una raíz doble x=1 En resumen: g(x) = x 4 + 2x 3 - 12x 2 + 14x - 5 = (x - 1)3.( x + 5) y la función g tiene a 1 como raíz de multiplicidad tres o raíz triple y -5 como raíz simple. En general, si (x - a) k es un factor de una función polinómica f, pero (x - a) k+1 no lo es, se dice que x = a es una raíz de multiplicidad k de f. • Determinar las raíces racionales, si es que existen, de la función polinómica h(x) = x 4 - 2x 3 - 3x 2 + 4x + 2. Procediendo como los ejemplos anteriores se tiene: D 2 = {-1,1,-2,2} y D 1 = {-1,1), luego P = {-1,1,-2,2} Ahora bien: h(-1) = (-1) 4 – 2·(-1) 3 – 3·(-1) 2 + 4·(-1) + 2 = -2 ≠0 h(1) = (1) 4 – 2·(1) 3 – 3·(1) 2 + 4·(1) + 2 = 2 ≠ 0 h(-2) = (-2) 4 – 2·(-2) 3 – 3·(-2) 2 + 4·(-2) + 2 = 14 ≠ 0 h(2) = (2) 4 – 2·(2) 3 – 3·(2) 2 + 4·(2) + 2 = -2 ≠ 0 En resumen, ¡la ecuación polinómica x 4 -2x 3 -3x 2 + 4x + 2 = 0 no tiene raíces racionales! Para este ultimo ejemplo quedan, entonces, dos opciones: (i) la función polinómica no tiene raíces (ii) las raíces son irracionales o complejas Las tres últimas propiedades de esta sección, que se dan a continuación, permiten responder con mayor precisión lo que ocurre con las raíces de la función h(x) = x 4 -2x 3 -3x 2 +4x +2. (7) Teorema fundamental del Álgebra Si una raíz de multiplicidad k se cuenta k veces toda función polinómica de grado n (n > 0) tiene exactamente n raíces. (8) Teorema de las raíces complejas Si una función polinómica con coeficientes reales tiene una raíz compleja a + bi, entonces también tiene como raíz el conjugado de a+bi; es decir el complejo a - bi. (9) Teorema de los valores intermedios Si f es una función polinómica, a < b y f(a) =/ f(b) y c es cualquier número entre f(a) y f(b), entonces existe x o en ]a,b[ tal que f(x o ) =c En particular, si f(a) y f(b) tienen distinto signo (uno de ellos es positivo y el otro negativo), entonces f tiene una raíz en el intervalo ]a,b[ Volvamos al estudio de las raíces de h(x) = x 4 - 2x 3 - 3x 2 + 4x + 2. Por (7) la función debe tener exactamente cuatro raíces (considerando las multiplicidades). Como h(-2) =14 > 0 y h(-1) = -2 < 0, se deduce de (9), que hay una raíz real en ]-2,- 1[. Como h(1) = 2 > 0, se deduce de (9) que hay otra raíz real en ]-1,1[. Finalmente, como h(2) = -2 < 0, se obtiene de (9) que hay otra raíz real en ]1,2[. Por ultimo, por (8) deducimos que la cuarta raíz no puede ser compleja. En resumen, las cuatro raíces de la función polinómica h(x) = x 4 - 2x 3 - 3x 2 + 4x + 2 son reales no racionales; es decir, son irracionales. ¿Dónde se ubica la cuarta raíz?, ¿es posible calcular, al menos aproximadamente, las cuatro raíces? h(3) = (3) 4 – 2·(3) 3 – 3·(3) 2 + 4·(3) + 2 = 81-54-27+12+2 = 6 > 0, luego la cuarta raíz está en el intervalo ]2,3[. Para el cálculo aproximado de las raíces se dispone del siguiente procedimiento llamado método de bisección: Sea f una función polinómica y ]a,b[ un intervalo en el cual f cambia de signo; es decir: f(a)·f(b) < 0. i) calcúlese el punto medio m =(a+b)/2 del intervalo ]a,b[ ii) obténgase el valor de f(m). Si f(m) = 0, entonces m es una raíz de f iii) Si f(a)·f(m) < 0 entonces f tiene una raíz en ]a,m[ Si f(b)·f(m) < 0 entonces f tiene una raíz en ]m,b[ Apliquemos este método para obtener una aproximación de la raíz de la función h(x) = x 4 - 2x 3 - 3x 2 + 4x + 2 en ]-2,-1 [ i) m = ((-2) + (-1))/2 = -3/2 ii) h(-3/2) = 1,0625 > 0 iii) h(-3/2)· h(-1) = 1,0625(-2) = -2,125 < 0, luego la raíz se encuentra en el intervalo ]-3/2,-1 [. Un valor aproximado de dicha raíz es x = -3/2=-1,5, con un error de a lo mas 0,5 Repitamos el método de bisección para el intervalo ]-3/2,-1 [ i) m=((-1,5)+(-1))/2=-1,25 ii) h(-1,25) = -1,3398 < 0 iii) h(-1,5)· h(-1,25) < 0, luego la raíz se encuentra en el intervalo ]-1,5;-1,25[. Un valor aproximado de ella es x = -1,25, con un error de a lo mas 0,25. Es claro que el método puede repetirse tantas veces se desee y así obtener una raíz aproximada con el grado de precisión que se estime apropiado. Se deja al lector el trabajo de obtener aproximaciones para las restantes raíces y a continuación se da la gráfica de la función h(x) = x 4 - 2x 3 - 3x 2 + 4x + 2 Resumen Conceptos Función polinómica Grado de una función polinómica Raíz de una función polinómica Factor o divisor de una función polinómica Raíz de multiplicidad k de una función polinómica Conjugado de un nume ro complejo Resultados Algoritmo de la división o de Euclides Teorema del resto Teorema del factor Teorema del numero de raíces de una ecuación polinómica Teorema acerca de las posibles raíces racionales Teorema fundamental del álgebra Teorema acerca de raíces complejas Teorema de los valores intermedios Procesos División larga entre dos funciones polinómicas División sintética o esquema de Horner Determinación de las raíces racionales de una función polinómica Determinación de raíces aproximadas por el método de bisección Factorizacion de una función polinómica Ejercicios 1. Dadas las siguientes parejas de funciones polinómicas, obtener el cociente y el resto al dividir la primera de ellas entre la segunda: a) f(x) = 5x 3 - 2x 2 + 3x - 4, g(x) = 5x - 3 b) f(x) = 2 x 4 + 3x 3 - 5x 2 - 4x + 7, g(x) = x - 2 c) f(x) = -5x 6 + 2x 5 - 3x 4 + 7x 3 + 10x 2 - 8, g(x) = x + 1 d) f(x) = -3x 4 - 3x 3 + 3x 2 + 2x -4, g(x) = x + 2 2. En cada una de las siguientes parejas, determinar el valor del parámetro α para qué la primera función polinómica tenga a la segunda como un factor a) f(x) = x 5 - 3x 4 + 7x 3 + αx 2 + 9x - 5, g(x) = x 2 - x + 1 b) f(x) = αx 4 + 2x 2 + 9α, g(x) = x - 1 c) f(x) = α 2 x 3 - 4αx + 4, g(x) = x + 1 3. En cada una de las siguientes parejas deter mine si la segunda función polinómica es, o no, un factor de la primera: a)f(x)=x 5 -2x 4 +4x 2 -x+2, g(x)=x+2 b) f(x) = 2x 4 - x 3 - 2x 2 + 4x - 3, g(x) = x + 3/2 c)f(x)=x 7 -3x 5 +2x 3 -x+10, g(x ) =x-5 d) f(x) = x n - 1, g(x) = x – 1 4. Determinar, si es posible, todos los ceros de cada una de las siguientes funciones polinómicas y, además, en cada caso, factorice la función polinómica dada a) f(x) = x 4 - x3 b) f(x) = 3x 3 -7x 2 +8x-2 c) c) f(x) = x 3 - x 2 - 14x + 24 d) f(x) = x 3 - 18x + 8 e) f(x) = x 4 + (5/2)x 3 + (3/2)x 2 - (1/2)x - 1/2 f) f(x) = 0,2x 3 - x + 0,8 g) f(x) = 6x 4 + 11x 3 - 3x 2 - 2x h) f(x) = 6x 3 + 23x 2 + 3x - 14 i) f(x) = x 5 -2x 4 +2x 3 -4x 2 +5x-2 j) f(x) = x 4 - 3x 3 - 20x 2 - 24x - 8 9 Discutir la veracidad o falsedad de cada una de las siguientes afirmaciones (n es un número natural): a) x n - y n es divisible por x - y b) x n - y n es divisible por x + y c) x n + y n es divisible por x - y d) x n + y n es divisible por x + y 10 Bosquejar la gráfica de cada una de las siguientes funciones polinómicas: a) f(x) = (3x - 2) 4 b) f(x) = x·(x - 1)·(x + 2) c)f(x) = 2x 3 -3x 2 -3x+2 d) f(x) = -(x + 2) 3 e) f(x) = x 4 - 6x 2 + 9 f) f(x) = x 4 - 4x 3 + 3x 2 7. Usando las gráficas obtenidas en cada uno de los casos del ejercicio anterior resuelva las siguientes inecuaciones: a) f(x) > 0 b) f(x) < 0 c) f(x) ≤ 0 d) f(x) ≥ 0 8. Encuentre raíces reales aproximadas, con precisión hasta la segunda cifra decimal, de cada una de las siguientes ecuaciones: a) x 3 -x 2 +4=0 b)-x 3 -x = -11 9. En cada uno de los siguientes casos se da una función polinómica y una de sus raíces. Se solicita encontrar las restantes raíces: a) f(x) = x 5 - 6x 4 + 10x 3 - x 2 + 6x - 10, x 1 = 3 + i b) f(x) = x 4 - 2x 3 - 3x 2 + 28x - 24, x 1 = 2 - 2i c) f(x) = x 4 + x 2 + 1, x 1 = (1/2) - (3/2)i d) f(x) = x 6 -9x 5 + 38x 4 -106x 3 + 181x 2 -205x + 100, x 1 = 1 + 2i y de multiplicidad dos. 10. Resolver cada uno de los siguientes problemas: a) Con un trozo de cartón rectangular de 20 cm por 30 cm se desea construir una caja (sin tapa) cortando cuadrados de igual lado en sus cuatro esquinas: i) determine una función que modele el volumen de dicha caja ii) usando un método gráfico determine un valor aproximado del lado del cuadrado que hay que cortar de cada esquina para que la caja tenga volumen máximo. b) La deflexión de una viga simple (viga sostenida en cada uno de sus extremos) de largo L, a x unidades de uno de sus extremos, está dada por la expresión d(x) = x-(x - L)-(x 2 - 9xL + 2L 2 ). ¿Para que valores de x la deflexión es nula? c) Demostrar que el número de raíces reales positivas de una ecuación polinómicas f(x) = 0 no puede ser mayor que el número de cambios de signo en f(x) (Indicación: un cambio de signo en f(x) es un cambio de + a - o de - a + pasando ordenadamente de un término de la función polinómica f al siguiente) d) Si las raíces de la ecuación αx 3 - 15x 2 - x + β = 0 son 1/2, 2/3 y -1/3, ¿cuáles son s los posibles valores de α y β e) Demostrar que la ecuación x 4 - 2x 2 - 3 = 0 no tiene raíces racionales y luego, determinar, aproximadamente, sus cuatro raíces. 11. Dada la ecuaciónx 4 - 2x 2 - 3 = 0 a) Demuestre que ella no tiene raíces racionales b) Resuélvala usando factorizacion 12. Dada la ecuación x 4 - 1 = 0 a) Resuélvala por factorizacion en dos factores cuadráticos b) Obtenga sus raíces racionales usando el teorema del factor 13 La ecuación ax 3 - 15x 2 - x + a = 0 tiene las raíces r l = 1/2, r 2 = 2/3 y r 3 = -1/3, ¿cuáles son los valores de a y b? 14 Las siguientes ecuaciones tienen raíces irracionales. Obtenga soluciones aproximadas de ellas con una aproximación hasta la primera cifra decimal a) x 3 -x 2 + x-2=0 b) x 3 +2x 2 + x +1=0 7. Funciones racionales El cociente de dos funciones polinómicas se llama función racional; es decir, si r es una función racional su regla de correspondencia es: r(x)= ) ( ) ( x g x f en donde f y g son funciones polinómicas. El dominio de una función racional se obtiene extrayendo de R los ceros del denominador g(x). Así por ejemplo: • r(x)= 1 1 2 − − x x tiene como dominio R - { 1 } • r(x)= 5 3 − x tiene como dominio R - ( 5 } • r(x)= x x x − + 2 2 3 2 tiene como dominio R - {0,1 } • r(x)= 1 5 2 + + x x tiene como dominio R - {-1 } Si a es un cero del numerador (o dividendo) y también del denominador (o divisor) de la función racional r = f/g, entonces por el teorema del factor se tiene: r(x) = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 x g x f x g a x x f a x x g x f · − − · = si x ≠ a En el primero de los ejemplos recientes se tiene: • r(x) = 1 1 ) 1 ( ) 1 )·( 1 ( 1 1 2 + · − + − · − − x x x x x x = x +1 si x ≠ 1 Luego, la gráfica de r(x) es la recta de ecuación y = x + 1, con la excepción del punto (1,2) Considérese ahora el segundo ejemplo s(x) = 3/(x-5) para ver que ocurre en la grafica en las cercanías de x = 5. La siguiente tabla de valores da una primera idea acerca de como son las ordenadas de los puntos de la grafica, cuando las abscisas de dichos puntos están cerca de x = 5 x 5-1/1 5-1/10 5-1/100 … 5+1/100 5+1/10 5+1/1 s(x) -3 -30 -300 ... 300 30 3 Para indicar que se consideran valores de la variable x cada vez más cerca de un número a, se usan las siguientes notaciones: x → a - indica que x se acerca al numero a por la izquierda de él x → a + indica que x se acerca al numero a por la derecha de él También se utilizan las siguientes notaciones: y → +∞ indica que la variable y crece sin cota superior y → -∞ indica que la variable y decrece sin cota inferior Usando estas notaciones calculando los valores de s(x) para x = 5 - 1/10 n y para x = 5 + 1 /10 n (n un numero natural) parece inferirse que: x →5 - ===> s(x) → -∞ x → 5 + ===> s(x) → +∞ Se dice que la recta de ecuación x = a es una asintota vertical a la grafica de y =f(x) cuando ocurre al menos una de las siguientes cuatro condiciones: (i) x→ a - ===> f(x) → -∞ (ii) x → a - ===> f(x) → +∞ (iii) x→ a + ===> f(x ) → -∞ (iv) x→ a + ===> f(x) → +∞ En el tercer ejemplo t(x) = (2x 2 + 3)/(x 2 - x) usando el algoritmo de la división se puede escribir: t(x)= ) 1 ( 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 − + + · − + + · − + x x x x x x x x x A partir de esta expresión y por un razonamiento similar al anterior se pueden inferir las siguientes afirmaciones x → 0 - ===> t(x) → +∞ x → 0 + ===> t(x) → -∞ x → 1 - ===> t(x) → -∞ x → 1 + ===> t(x) → +∞ En el ejemplo que se está analizando la recta de ecuación x = 5 es una asintota vertical a la grafica de f Es decir la grafica de la función tiene dos asintotas verticales, las rectas de ecuaciones x=0 y x=1. Además, en este ejemplo, se tiene: x → +∞ ===> t(x) → 2 + x → -∞ ===> t(x) → 2 - Se dice que la recta de ecuación y = b es una asintota horizontal a la grafica de la función y = f(x) si se cumple al menos una de las dos condiciones siguientes: (i) x → -∞ ===> |f(x) –c | → 0 ii) x → +∞ ===> |f(x) -c| → 0 La función t(x) tiene como asintota horizontal (hacia la derecha y hacia la izquierda) la recta de ecuación y = 2 En el cuarto ejemplo, la función u(x) = (x 2 + 5)/(x + 1) puede escribirse, usando el algoritmo de la división, como: u(x)= 1 6 1 1 5 2 + + − · + + x x x x De estas expresiones se deduce que: x → -1 - ===> u(x) → -∞ x → -1 + ===> u(x) → +∞ En consecuencia la grafica de u tiene como asintota vertical la recta de ecuación x-1 Por otra parte: u(x)- 1 6 ) 1 ( + · − x x Luego, si x → +∞ las ordenadas de la gráfica de u y las ordenadas de la gráfica de la recta de ecuación y = x - 1 prácticamente se confunden. Lo mismo ocurre si x -> → -∞ La recta de ecuación y = mx + n se dice una asintota oblicua a la gráfica de una función f si ocurre al menos una de las dos condiciones siguientes: i) x → +∞ > ===> |f(x) - (mx+n)| → 0, (ii) x → -∞ ===> |f(x) - (mx+n)| → 0 La función u tiene, según lo anterior, como asintota oblicua la recta de ecuación y=x–1 Resumen Conceptos Función racional Asintota vertical a la grafica de una función Asintota horizontal a la grafica de una función Asintota oblicua a la grafica de una función Resultados Condiciones para la existencia de asintota vertical Condiciones para la existencia de asintota horizontal Condiciones para la existencia de asintota oblicua Procesos Determinación del dominio de una función racional Determinación de ecuaciones de asintotas verticales Determinación de ecuaciones de asintotas horizontales Determinación de ecuaciones de asintotas oblicuas Bosquejar la grafica de una función racional Ejercicios 1 Para cada una de las siguientes funciones racionales determine el dominio, las asintotas, las intersecciones de la grafica con el eje de las abscisas y bosqueje la grafica: a) f(x) = 1 3 3 − x x b) g(x) = 2 5 3 + x c) h(x) = 4 5 3 2 4 2 3 + − − − x x x x d) i(x) = ) 2 )( 1 ( 2 − + x x x e) j (x) = 1 6 4 2 2 2 + + + x x x f) k(x) = 16 ) 5 ( 2 − − x x x g) I(x) = x x x 6 5 2 + − h) m(x) = 9 4 3 2 + − x x 2 En cada uno de los siguientes casos determine la asintota horizontal a la grafica de la función dada y, además, el punto de corte de dicha grafica con su asintota horizontal a) f(x) = 2 3 2 3 + − + x x x x b) g(x) = 5 3 2 2 2 + + + x x x x 3 Resuelva cada uno de los siguientes problemas: a) Si una resistencia fija de 15 ohmios y una resistencia variable de x ohmios se conectan en paralelo la resistencia resultante es r(x) = 15x/(15 + x). Grafique r(x) b) La potencia eléctrica producida por una fuente se modela a través de la ecuación 2 2 2 2 r Rr R r E P + + · , en donde: E es el voltaje de la fuente R es la resistencia de la fuente r es la resistencia del circuito Estudie el tipo de grafica que se generan en cada uno de los siguientes casos: (i) E y R fijos, r variable (ii) E y r fijos, R variable (iii) R y r fijos, E variable. c) Determinar, para cada una de las funciones del ejercicio 1 las regiones para las cuales la grafica está: (i) mas arriba del eje Ox (es decir resuelva gráficamente inecuaciones del tipo f(x)>0) (ii) por debajo del eje Ox (es decir es decir resuelva gráficamente inecuaciones de la forma f(x) < 0). 8. Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto La información presentada sobre la función valor absoluto o módulo en la sección 1, mas lo discutido acerca de operaciones con funciones (adición, multiplicación y composición) y los métodos para obtener gráficas de funciones polinómicas y racionales, permiten resolver gráficamente ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto, como se muestra en los siguientes ejemplos: Ejemplos • Resolver la ecuación |x - 5| = 3 La ecuació n es equivalente a |x - 5| - 3 = 0, luego el problema se reduce a encontrar los ceros de h(x) = |x - 5| - 3 La figura adjunta se construyó de la siguiente manera: i) se dibujo la grafica de la función f(x) = |x - 5| ii) se dibujo la grafica de la función constante g(x) = 3 iii) se dibujo la grafica de la función diferencia entre f y g; es decir h(x)=f(x) -- g(x) La grafica de h indica que los ceros de ella son x=2 y x=8 Se puede comprobar, mediante un procedimiento algebraico (basado en el concepto de módulo dado en la sección 1) que, efectivamente, el conjunto solución de la ecuación propuesta es S = {2,8} En efecto: |x -5| = x - 5 si x ≥ 5, luego x - 5 = 3 ==>x = 8 |x -5| = -(x-5) si x ≤ 5, luego-(x-5)=3===> -x +5=3===>x =2 Se verifica que x = 2 y x = 8 son soluciones de la ecuación propuesta de la siguiente manera: |2-5|=|-3|=3 y |8-5|=|3|=3 Resolver la inecuación |5 - 3x| > 15 Procediendo algebraicamente se tiene: Caso 1: 5 - 3x ≥ 0; es decir: 3x ≤ 5, o sea x ≤ 5/3 (1) |5 - 3x| = 5 - 3x > 15; es decir 3x < -10, o sea x < -10/3 (2) Las condiciones (1) y (2) se cumplen para x < -10/3. En otras palabras el conjunto solución de este caso es S l = ]-∞,-10/3 [ Caso 2: 5 - 3x < 0; es decir: 3x > 5, o sea x > 5/3 (3) |5 - 3x| = -(5 - 3x) > 15; es decir 3x > 20, o sea x > 20/3 (4) Las condiciones (3) y (4) se cumplen para x > 20/3. En otros términos el conjunto solución en este caso es S 2 = ]20/3,+∞ [. En resumen, el conjunto solución de la inecuación |5 - 3x| > 15 es: S = S l ∪S 2 = ]- ∞,-10/3[ ∪ ]20/3,+ ∞[ Se demuestra que este es el conjunto solución de la siguiente manera: x ∈ S ===>x ∈ S 1 o bien x ∈ S 2 x ∈ S 1 ==>x<-10/3===> 3x < -10===>-3x> 10===>5-3x> 15 ==>|3-5x|>15 x ∈ S 2 ===> x > 20/3 ===> 3x > 20 ===> -3x<-20===> 5-3x < -15 ===> |3 - 5x| = -(5 - 3x) > -(-15) ===> |3 - 5x| > 15 • Resolver la inecuación |x 2 - 5x + 6| <1 El dibujo adjunto se construyó de la siguiente manera: (i) grafica de la parábola de ecuación f(x)=x 2 -5x+6 (ii) grafica de la función valor absoluto de f(x); g(x) = | f ( x) | (iii) grafica de h(x) = g(x) - 1 Resolver la inecuación propuesta es, en consecuencia, equivalente a determinar para que valores de x las ordenadas de la grafica de h son negativas (h(x) < 0) El dibujo muestra que h(x) < 0 para un intervalo ]a,b[, en donde a es "algo mayor que 1" y b es "algo menor que 4". Usemos un procedimiento algebraico para precisar los valores de a y b |x 2 - 5x + 6| < l ===> - 1 < x 2 - 5x + 6 y, además, x 2 - 5x + 6 < 1 -1 <x 2 -5x+6===>0<x 2 -5x+7 Como la ecuación x 2 - 5x + 7 = 0 no tiene raíces reales (su discriminante es negativo) y la parábola de ecuación y = x 2 - 5x + 7 "abre hacia arriba", resulta que x 2 - 5x + 7 > 0 para cualquier valor de x x 2 -5x+6<1===>x 2 -5x+5<0 Como la ecuación x 2 - 5x + 5 = 0 tiene como dos raíces reales y distintas (su discriminante es 5 ) que son x l = (5- 5 )/2 y x 2 = (5+ 5 )/2 y la parábola de ecuación y = x 2 - 5x + 5 "abre hacia arriba", resulta que x 2 - 5x + 5 < 0 para x ∈]x1,x2 [ = ] (5- 5 )/2,(5 + 5 )/2[. En resumen, el conjunto solución de la inecuación |x 2 - 5x + 6| < 1 es: S = ](5- 5 )/2,(5+ 5 )/2[ • Se recomienda al lector verificar que, efectivamente, S es el conjunto solución Resolver la inecuación |x 2 - 5x + 6| > x + 2 En el dibujo adjunto se encuentran las gráficas de: (i) f(x) = | x 2 - 5x +6| (ii) la recta de ecuación y = x + 2 (iii) g(x) = f(x) - y Resolver la inecuación propuesta es, en consecuencia, encontrar para que valores de x la gráfica de g tiene ordenadas positivas. Lo anterior ocurre en una unión de intervalos: ]-∞,a[ ∪ ]b,+ ∞ [, en donde a es "poco menor que 1" y b es "poco mayor que 5" A objeto de precisar cuáles son los valores de a y b se procede algebraicamente: La primera consideración es que la inecuación |x 2 - 5x + 6| > x + 2 tiene sentido solamente si x + 2 ≥ 0; es decir si x ≥ -2 Otra consideración es que la inecuación |x 2 - 5x + 6| > x + 2 es equivalente a: (i) x 2 -5x+6 ≥ 0 y x 2 -5x+6 > x + 2, o bien: (ii) x 2 -5x+6 < 0 y x 2 -5x+6<-(x +2) En el caso (i) se tiene: x 2 - 5x + 6 > 0 ===> x ∈ ]-∞,2] ∪[3,+∞ [ x 2 -5x+6>x +2===>x 2 -6x+4>0===>]-∞,3- 5 [ ∪ ]3+ 5 ,+∞[ Ambas condiciones se cumplen en el conjunto ]-∞,3- 5 [ ∪ ]3+ 5 -,+∞[ En el caso (ii) se tiene: x 2 -5x+6<0===>x ∈]2,3[ x 2 - 5x + 6 < -(x + 2) ===> x 2 - 4x + 8 < 0. Pero esta última inecuación tiene como conjunto solución el vació, pues la parábola de ecuación y = x 2 - 4x + 8 no corta al eje Ox (su discriminante es negativo) y "abre hacia arriba". En resumen el conjunto solución de la inecuación propuesta es: S = ]-∞,3- 5 [ ∪ ]3+ 5 ,+∞[ (Observe que: 3 - 5 ≈ 3 - 2,2361 = 0,7639 y que 3 + 5 ≈ 3 + 2,2361 = 5,2361) • Resolver la inecuación |3x - 1| < |5x + 2| El dibujo adjunto contiene las gráficas de: (i) f(x) = |3x – 1| (ii) g(x) = |5x + 2| (iii) h(x) = f(x) - g(x) Luego el la búsqueda del conjunto solución es equivalente a la determinación de las abscisas de aquellos puntos de la gráfica de h que están bajo el eje Ox Del dibujo se infiere que el conjunto solución es de la forma: S = ]-∞, a[∪]b,+∞[, en donde a es "aproximadamente -1,5" y b es "aproximadamente -0,1 Veamos un proceso algebraico para resolver la inecuación propuesta. |3x-1|< |5x +2| ===>|3x-1| 2 < |5x+2| 2 ===> 9x 2 -6x+1<25x 2 + 20x+4 ===> 0 < 16x 2 + 26x + 3 Ahora bien, y = 16x 2 + 26x + 3 representa una parábola que "abre hacia arriba" y que corta al eje Ox en los puntos de abscisas xl = -1/8 y x2 = -3/2 (se obtienen resolviendo la ecuación cuadrática 16x 2 + 26x + 3 = 0), luego el conjunto solución de la inecuación propuesta es: S = ]- ∞,-3/2[ ∪ ]-1/8,+∞[ Las principales propiedades de la función valor absoluto (dos de las cuales se han usado en los ejemplos recientes), se dan a continuación. Sean x, y números reales arbitrarios y a, b reales positivos, entonces: (i) |x| ≥ 0 (ii) |x| = |-x| (iii) |x| = máx{x,-x} (iv) |x ·· y| = |x|·|y| (v) |x/y| = |x|/|y| si y ≠0 (vi) |x| 2 = x 2 (vii) |x|< a<===>-a< x< a<===>x ∈]-a, a[ (viii) |x| ≤ a <===> -a≤ x ≤ a <===> x ∈ [-a, a] (i x ) |x| > a <===> x < -a, o bien, a < x <===> x ∈ ]-∞,-a[∪]a,+∞[ (x) |x| > a <===> x ≤ -a, o bien, a ≤ x <===> x ∈]-∞,-a] ∪ [a,+ ∞ [ (xi) - |x| ≤ x ≤ |x| (xii) |x + y| ≤ |x| + |y| (desigualdad triangular). Para ilustrar los procedimientos que se usan, demostremos algunas de estas propiedades: (i) |x| ≥ 0 Si x ≥ 0 entonces |x| = x ≥ 0 vemos que, en ambos casos: |x| ≥ 0 Si x < 0 entonces |x| = - x > 0 (iv) |x · y| = |x|·|y| Hay cuatro casos que considerar: (1) uno de los factores es nulo, (2) ambos factores son positivos, (3) ambos factores son negativos y (4) los factores tienen diferente signo. (1) si x o y son nulos podemos suponer que x = 0. Entonces x·y = 0·y = 0, luego: |x ·y| = |0| y también |x|·|y| = 0 · |y| = 0. es decir |x·y| = |x|·|y| (2) x > 0, y > 0 ===> x·y > 0 ===> |x·y| = x·y = |x|·|y| (3) x < 0, y < 0 ===> x·y > 0 ===> |x·y| = x·y = (-x)·(-y) = |x|-|y| (4) Supongamos x < 0, y > 0, luego: x·y < 0 y, por lo tanto: |x·y| = - x·y = (-x) . y = |x|·|y| En resumen, en cualquiera de los casos posibles se tiene: |x·y| = |x|·|y| (vii) |x|<a<===>-a<x<a<===> x ∈]-a,a[ Descompongamos la propiedad en dos partes, ya que la equivalencia entre –a < x < a x ∈ ]-a,a[ es inmediata por la definición de intervalo abierto: Primera parte: Segunda parte: Hipótesis |x| < a Hipótesis -a < x < a Tesis-a<x<a Tesis |x| < a Para demostrar la primera parte se considerar los casos. (1) x ≥ 0, (2) x < 0 (1) x ≥0 ===> |x| = x, luego por hipótesis |x| = x < a. Por otra parte, es inmediato que - a <x, pues -a < 0 y 0 < x. En resumen: -a < x < a (2) x < 0 ===> |x| = -x, luego por hipótesis |x| = - x < a, de donde, multiplicando por (-1) obtiene -a < x. Como x es negativo y a positivo, es claro que x < a. En resumen: -a < x < a Para demostrar la segunda parte se distinguen los mismos casos que en la primera parte: (1) x ≥ 0 ===> |x| = x < a (por hipótesis) (2) x < 0 ==> |x| = -x < a (se obtiene de la hipótesis al multiplicar por -1) (x) |x| ≥ a <===> x ≤ -a, o bien, a ≤ x <===> x ∈ ]-∞,-a] ∪[a,+ ∞ [ Un interesante bosquejo de demostración es el siguiente |x| ≥ a <===> no es cierto que: |x| < a <===> no es cierto que: -a < x < a <===> x ≤-a, o bien, a ≤ x <===> ]-∞,-a] ∪ [a,+∞[ (xii) |x + y| ≤ |x| + |y| - |x| ≤ x ≤ (¿por qué?) - |y| ≤ y ≤ |y| (¿por qué?) Sumando miembro a miembro estas dos desigualdades se obtiene: - (|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y| de donde, por (viii), se tiene: | x + y| < |x| + |y| Resumen Conceptos Función valor absoluto Ecuaciones equivalentes Inecuaciones equivalentes Máximo entre dos números reales Resultados Doce propiedades de la función valor absoluto Procesos Graficación de funciones en que aparece valor absoluto Uso de la gráfica de una función para estimar soluciones de ecuaciones e inecuaciones Procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto Verificación de soluciones de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto Demostración de propiedades de valor absoluto. Ejercicios 1 Demostrar cada una de las propiedades de valor absoluto que no se demostraron en el texto. 2 Demostrar que: a) ||x| - |y|| ≤ |x – y| b) ||x| - |y|| ≤ | x + y| c) |x + y + z| ≤ |x| + |y| + |z| 3 Usando métodos gráficos estimar la solución de cada una de las siguientes ecuaciones o inecuaciones y luego resolverlas algebraicamente: a) |x+3|=|2x+1| b)|x 2 - 4|=- 2x+4 c) |x- 2|>2x+3 d)|3- 5x ≥ x- 1 e) |4x-3| <7 f)|17x-23| ≤ 5 4 Resolver cada una de las siguientes inecuaciones: a)|x 2 - 28x- 164|<4 b) |x 2 - 2x-4|>1 c) |x 3 - 1| < x(x + 1) 2 d) |x 2 + 3x| < |x 2 - 1| e) 8 1 > − x x f) 2 1 2 − < − x x x g)2< |x- 5|<7 h)3<|x +5|<8 i)|x- 7|> 1 2 − − x x j) 3 7 1 2 − − < + − x x x x 5 Demuestre que cada pareja de inecuaciones siguientes son equivalentes: a)|x- 4|<α y 8-2α < 2x < 8+2α b) |( - 4x + 1) - ((- 4)·2 + 1)| < α y | x-2|< α/4 6 Demostrar cada una de las siguientes propiedades: a) | x-3|<1===>6< x +4 <8 b) |x- 3|<1===> 6 1 4 1 8 1 < + < x c) |x-2|<2===>0 ≤ |2x-3|<5 d) |x-4|<1===> 1 2 1 3 1 < − < x 7 Demostrar que la desigualdad triangular se transforma en una igualdad solamente en el caso que x e y sean números no nulos y del mismo signo. 8 Resuelva cada uno de los siguientes problemas: a) Sean a, b números reales tales que a < b y sea m el promedio aritmético de a y b. Demostrar que el conjunto solución de la inecuación |x - m| < (b-a)/2 es el intervalo ]a,b[. b) Sean x, y números reales. Se dice que x está próximo a y con cota de error a (α > 0) si |x - y|< α. Si x está próximo a y con cota de error α, u está próximo a v con cota de error β, demostrar que: (i) x + u está próximo a y + v con cota de error α + β (ii) x - u está próximo a y - v con cota de error α + β c) Si el grado de precisión de una balanza es de 0,01 gramos y en ella se pesan dos objetos juntos, para los cuales la balanza indica 5,28 Kg. ¿cuáles son el mayor y el menor peso posibles de cada uno de los objetos por separado? Miscelánea de ejercicios 1 Dibujar la gráfica de cada una de las siguientes funciones: a) f(x)= [ ] [ ] ] ] ¹ ' ¹ ∈ ∈ 3,5 x si 2 [0,3] x si 2 x x b) g(x)= [ ] ¹ ' ¹ ∈ + − ∈ + 5 , 2 x si 1 [0,2] x si 4 3x x c) h(x) = [ [ [ ] ¹ ' ¹ ∈ ∈ , 3 x si 4 0,3 x si x 2 d) g + h, g · h, g o h y h o g. e) i(x) = x 2 - 3 f) j(x) = x 3 + 4x 3 + x g) i + j, i-j, i 2 , i o j, j o i, i o i h) h(x) = x 4 - 14x 2 - 24x 2 Determinar: a) Una biyección de ]0,3 [ en [0,1 [ b) Una biyección de ]a,b[ en ]0,1[ 3 Demostrar cada una de las siguientes propiedades: a) si z es un entero, entonces [x + z] = [x] + z b) [x]+[-x]=0 ó –1 c) [x] + [y] ≤ [x + y] 4 Identificar las gráficas de cada una de las siguientes relaciones: a) (x-2) 2 =4(y+1) b)9y 2 -18x -6y-8=0 c) 20x 2 + 20x - 8y + 13 = 0 d) (y - 3) 2 = 5(x + 2) e) x 2 +6xy+9y2-2x+3y=0. 5 Encontrar una ecuación para cada una de las siguientes parábolas: a) Vértice (2,3), foco (2,-5) b) Directriz la recta de ecuación y = 3 y foco (5,-2) c) Directriz la recta de ecuación x = -2 y vértice (5,-1) 6 Demostrar cada una de las siguientes afirmaciones: a) El conjunto de puntos del piano que equidistan de la recta de ecuación x = 5 y del punto (2,-1) es una parábola b) Una parábola con eje paralelo al eje de las abscisas no puede ser la grafica de una función c) La grafica de f(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) es una parábola con foco el punto (-b/a, c-b2/a+1/4a) y directriz la recta de ecuación y = c - b 2 /a - 1/4ª 7 Estudiar paridad, imparidad, crecimiento y decrecimiento de cada una de ]as siguientes funciones. Además, determinar si ellas tienen, o no, inversa y dibujar en un mismo sistema de ejes la grafica de la función y la de su inversa: a) f(x) = -5x + 8 b) g(x) = |-5x + 8| c) h(x) = 3|x| - 3x d) i(x) = -4x 3 e) j (x) = 1/(x - 1) f) k(x) = 2 4 x − 8 Sean f(x) = mx + n, g(x) = px + q funciones afines. a) Determinar condiciones para que se cumplan, separadamente, cada una de las siguientes condiciones: (i) f(2x) = 2f(x) (ii) f(2x-1) = 2f(x) - f(1) b) Demostrar que f + g, f - g y f o g son funciones afines. 9 Considere los segmentos AB y CD, en donde A(-1,6), B(1,10) C(7,3) y D(-3,-2). Encontrar: a) La ecuación de la recta que pasa por los puntos medios de AB y CD b) El área del tr iángulo que se construye con esos dos lados, manteniendo la dirección de ellos 10 Dibujar las gráficas correspondientes a cada una de las siguientes relaciones y decidir cuál de ellas es la grafica de una función: a) |y| > x b) |x| + |y| = 1 c)y =|x| + | x-2| d) y 2 = x 4 e) y= ¹ ' ¹ −1 x 1 2 [ ] 1 x si 1 | x | si ≥ < f) f(x) ¹ ¹ ¹ ' ¹ + − 3 x 1 2 3 x 0 x si 0 | x si ≥ < 11 Estudiar existencia de inversa, y en caso de existir graficar ambas funciones, para cada uno de los siguientes casos: a) f(x) = 3/(x - 1) b) g(x) = 1 + 2 x c) h(x) = 8 - x 3 d) i(x) = x 3 + 1 12 Determinar: a) El valor del parámetro α para que al dividir x 4 - 3x 3 - x 2 + αx - 1 entre x - 4 el resto sea 6 b) El valor de β para que x + 1/2 se factor de 8x 2 + 4βx + 9 c) Los valores máximo o mínimo de cada una de las siguientes funciones: (i) f(x) = 4 - 4x - 2x 2 , (ii) g(x) = 3x 2 + 6x + 7 d) El valor de α de modo que x - 3 sea un factor de 2αx 3 - 5x 2 + 3αx e) El valor de β de manera que x + 2 sea un factor de 2x 4 + 2βx3 - x 2 - 3βx - 8 13 Determinar todas las raíces de cada una de las siguientes funciones polinómicas: a) f(x) = 4x 10 + 9x 6 + 5x 4 + x 2 + 1 b) g(x) = 8x 4 + 19x 3 + 31x 2 + 38x - 15 c) h(x) = 12 x 3 + 16x 2 + 7x + 1 d) i(x) = 2x 3 - 15x 2 + 20 x - 3 e) j(x) = x 3 - 6x + 6 f) k(x) = 48x 4 - 52x 3 + 13x - 3 g) l(x) = x 4 + x 3 - 8x 2 + 8 h) m(x) = x 3 - 7x 2 + x + 3 i) n(x) = x 4 + 2x 3 +6x-3 = 0 14 Graficar cada una de las siguientes funciones racionales: a) f(x) = 2x/(x 2 + 1) b) g(x) = (x 2 - 1)/(x 2 + 1) c) h(x) = (- x 2 + 5x - 5)/(x - 2) d) i(x) = x/(x 2 - x - 6) e) j(x) = 3 2 − + x x f) k(x) = 3 2 2 2 − − x x 15 Resuelva cada uno de los siguientes sistemas: a) 3 3/y 4/x 1/6 1/y - 1/x · + · b) 2 10w - 3z 7y - 4x -6 3w y - x - 16 5w - z - 8y - 8x 0 3w - z 2y - x · + · + · · + c) 2/3 (2/3)z y (1/3)x - -1 z - (3/2)y - (1/2)x 2 2z 3y x - · + + · · + + d) 0 4/z - 1/y 2/x 5 1/z 4/y 1/x -1 1/z 3/y - 3/x · + · + + · + e) 12 xy 25 y x 2 2 · · + f) 140 16x 9y 4 4x - y 32 2 2 2 · + · g) 2 4y 4x xy 8 3y 3x y x 2 2 · + + · + + + h) 6 3 4x - 9y 400 16x - 25y 2 2 2 2 · · i) 13 y - 3xy 2x 0 2y 3xy - x 2 2 2 2 · + · + j) 2 y - x 9 1) - (y 2) - (x 2 2 · · + 16 Encontrar cada uno de los polinomios solicitados: a) De tercer grado y con raíces x l = -2, x 2 = 4 + 3i b) De tercer grado y con ceros 1/2, -1/3, 4 y tal que su gráfica pasa por (2,-42) c) De cuarto grado y con raíces 3, - 2, 4, ésta última con multiplicidad dos 17 Resolver cada una de las siguientes ecuaciones, inecuaciones o sistemas de inecuaciones: a) 0 1 4 > + − x x b) x 2 +5x-6 ≤0 c)|x 2 -5x-8| >x-7 d)||x-3| +8|>|x-5| e) 3 5 2 1 1 2 1 > − + < + − x x x f) 1 3 5 3 2 5 6 3 2 2 − + − − + · + − − x x x x x x x g) 2 2 1 2 + − − · + x x x x x x h) 0 2 2 3 8 11 · − − − + + x x x x i) 1 2 3 2 1 + + ≥ − + x x x j) 4 2 4 3 < − + x x k) x 2 -8x+12≤ 0 1)2x 2 -x-10>0 18 Sean f 1 (x) = x, f 2 (x) = 1/x, f 3 (x) = 1-x, f 4 (x) = 1/(1-x), f 5 (x)=(x-1)/x y f 6 (x) = x/(x-1). a) Demuestre que el conjunto F = {f 1 ,f 2 ,f 3 ,f 4 ,f 5 ,f 6 } es cerrado con respecto a la operación composición de funciones b) Determinar f 3 o f 3 o f 3 o f 3 o f 3 c) Determinar f 1 o f 2 o f 3 o f 4 o f 5 o f 6 d) Determinar la inversa de f 6 e) Determinar la inversa de f 3 o f 6 f) Determinar f, sabiendo que f 2 o f 5 o f = f 5 19 Demostrar cada una de las siguientes afirmaciones: a) 7 es un número irracional b) Si I denota la función identidad, entonces I n o (f+g) = (f+g) n , en donde n es un número natural c) La ecuación polinómica x 4 -7x 2 +1=0 se factoriza como (x 2 +3x+1)(x 2 -3x +1) = 0. Use este hecho para obtener las cuatro raíces de la ecuación original d) 2 es una raíz doble de la función polinómica f(x) = x 4 - 4x 3 + 5x 2 - 4x + 4 e) El triangulo de vértices (-8,1) (-1,-6) y (2,4) es isósceles. f) Los puntos (1,-1), (3,2) y (7,8) son colineales. g) Los puntos (2,13) (-2,5) (3,-1) (7,7) son los vértices de un paralelogramo. h) De entre todos los rectángulos de perímetro 36 cm el de mayor área es un cuadrado de lado 9 cm. i) Los puntos (2,4) (1,-4) (5,-2) son los vértices de un triangulo rectángulo 20 Los métodos de eliminación y sustitución utilizados para resolver sistemas de ecuaciones lineales también sirven para sistemas no lineales. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas: a) 12 xy 25 y x 2 2 · · + b) 140 16 9y 4 4x - y 2 2 2 2 · + · x c) 2 4y 4x xy 8 3y 3x y x 2 2 · + + · + + + d) 36 4x - 9y 400 16x - 25y 2 2 2 2 · · e) 13 y - 3xy 2x 0 2y 3xy - x 2 2 2 2 · + · + f) 2 y - x 9 1) - (y 2) - (x 2 2 · · + 21 Resolver cada uno de los siguientes problemas: a) Una persona tiene monedas de Bs 0,10 y Bs. 0,25 y el total de su dinero es Bs,4,25, ¿cuántas monedas de cada tipo tiene? b) Un tanque de 100 litros está lleno de agua en la cual se han disuelto 20 Kg. de sal. Un segundo tanque contiene 200 litros de agua con 30 Kg. de sal ¿cuánta mezcla debería sacarse de cada tanque para hacer una solución de 90 litros con 7/40 Kg. de sal por litro? c) Tres llaves, trabajando juntas, llenan una piscina en 2 horas. Dos de ellas llenan la piscina en tres horas, mientras que otras dos la llenan en cuatro horas. ¿En cuanto tiempo llenará la piscina cada llave por separado? d) La parábola de ecuación y = ax 2 + bx + c pasa a través de los puntos (1,10), (- 1,12) y (2,18). Determinar: (i) la ecuación de la parábola (ii) el vértice y el foco de la parábola (iii) el eje y la directriz de la parábola e) Encontrar el área del triángulo cuyos lados son las rectas de ecuaciones - 4x+3y=9, 3x+4y=-38, -11x+2y=6 f) Por métodos experimentales se ha determinado que el tono T de una campana es inversamente proporcional a la raíz cúbica de su peso p. Una campana que pesa 400 Kg. tiene un tono de 512 ciclos por segundo. ¿Cuánto debe pesar una campana similar para que produzca un tono de 256 ciclos por segundo? g) En las grandes organizaciones se necesitan supervisores para vigilar el trabajo de los empleados. El numero n de empleados que se requieren para realizar una tarea es, en consecuencia, mayor que m el numero de empleados que se encuentran efectivamente trabajando. Si t denota el tiempo de control de un supervisor sobre los empleados, por vía experimental se ha determinado que: n(t) = mt/(t - 1). (i) grafique la función n para el caso m = 1000 (ii) ¿cuántos empleados se requieren para el caso t = 5? (iii) ¿cuántos empleados se requieren al reducir t de 5 a 4? h) La compañía A alquila carros por Bs. 2.500 bolívares diarios mas Bs. 5 por cada Km. recorrido, en cambio la compañía B cobra Bs. 3.000 diarios mas Bs. 4 por Km. recorrido. Determinar en qué compañía conviene mas alquilar un carro: (i) por 4 días, (ii) por 8 días. Determinar para que número de días los costos de alquiler son los mismos en ambas compañías. i) Dos lanchas salen de un mismo muelle, de modo que sus rutas forman entre si un ángulo de 90 0 . Si ambas salen a la 1:00 PM y a las 3:00 PM están separadas por 16 minas de distancia y, además una de las lanchas viaja a 6 millas/h mas rápido que la otra, ¿cuáles son las velocidades de ambas lanchas? j) Si se disponen de 5.000 litros de una solución de ácido sulfúrico al 20% y se desea aumentar la concentración al 30% a partir de una solución al 80%, ¿qué cantidad de la primera solución debe quitarse y reemplazarse por solución del segundo tipo para lograr el propósito? k) Si el radio de una, tubería aumenta en 1,0 cm la capacidad de la tubería aumenta en 125%, ¿cuál era la longitud del radio original de la tubería? l) Un radiador de automóvil contiene 8 litros de solución, que es 10% de antioxidante y 90% de agua. ¿Qué cantidad de la solución debe quitarse y sustituirse por antioxidante puro para obtener una solución que contenga 25% de antioxidante? m) Un agricultor necesita arar un campo rectangular de 2 Km. de ancho por 3,6 Km. de largo. ¿Cuál debe ser el ancho de una franja que el agricultor debe arar alrededor del campo para que la mitad del total quede arado? n) Un carpintero puede vender todos los estantes para libros que fabrica a un precio de Bs. 5.400 cada uno. Si fabrica x estantes en cierto periodo de tiempo el monto del costo total de la producción es x 2 + 15x + 225. ¿Cuántos estantes debe fabricar en ese periodo para obtener realmente utilidades? p) La distancia que recorre un cuerpo al caer desde el reposo es directamente proporcional al cuadrado del tiempo que tarda en su caída, y el cuerpo desciende 19,2 m en 2 segundos, (i) encuentre una expresión que modele la distancia que recorre el cuerpo en su caída como función del tiempo, (ii) ¿qué distancia ha recorrido el cuerpo desde que comienza su caída y hasta los 2,5 segundos? q) Un fabricante de muebles ofrece a un distribuidor 300 sillas a Bs. 2.100 cada una y reduce el precio sobre el pedido completo en Bs. 12,50 por cada silla adicional que el vendedor solicite después de 300 y hasta un máximo de 1.000 sillas, (i) encuentre una expresión para el monto de la compra en función del número x de sillas que el distribuidor compra al fabricante, (ii) ¿cuál es el dominio de la función resultante? CAPITULO II FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Introducción La palabra trigonometría deriva del griego y, literalmente, significa medida del triángulo. En sus orígenes, la trigonometría trataba exclusivamente problemas geométricos concernientes a la resolución de triángulos (entendiendo por tal expresión la determinación de los tres lados, los tres ángulos, el perímetro y el drea de un triángulo), pero, en la actualidad en que el concepto de función domina prácticamente toda la matemática y sus aplicaciones, el estudio de la trigonometría es analítico, en el sentido que el énfasis se pone en el estudio de las propiedades de las funciones trigonométricas (coseno, seno, tangente, cotangente, secante y cosecante) como funciones reales de variable real que se utilizan como modelo matemático de variadas situaciones: estudio de ondas, corrientes alternas y ciclos comerciales. El estudio de las funciones trigonométricas comienza, en esta presentación, por el estudio de la función visual. 1. La Circunferencia unitaria La circunferencia unitaria es el conjunto C = { (x,y) ∈ R 2 / x 2 + y 2 = 1 } Si consideramos en C los puntos A = (1,0) y P = (x,y), ellos, junto con el origen, determinan un ángulo α de vértice O que llamamos ángulo en posición normal En la figura adjunta α = AOP está en posición normal Recuerde el lector que para medir este tipo de ángulos se usan las siguientes convenciones: • α se mide en radianes. • α es de medida positiva si para "ir" de A a P a, través de C, se describe un "movimiento" contrario al de las manecillas de un reloj. • α es de medida negativa si para "ir" de A a P, a través de C, se describe un "movimiento" en el mismo sentido que las manecillas de un reloj. Obsérvese que una misma posición del punto P determina "infinitos" ángulos, a saber: α con medida un real del intervalo [-2π, 2π], que también denotamos por α, y todos los de la forma α + 2kπ , k ∈ Z. Así por ejemplo, P = (0,1) determina los ángulos: π/2, -3π/2 , π/2 + 2π, -3π/2 + 2π , .............. etc. Cualquier número real puede interpretarse como la medida de un ángulo a en posición normal. Resumen Conceptos Circunferencia unitaria Angulo en posición normal Radian Angulo positivo Angulo negativo Resultados Ecuación de la circunferencia unitaria con centro en el origen. Procesos Determinación de un ángulo en posición normal Asociación de infinitos ángulos a la posición de un punto P. Ejercicios 1 Determinar diferentes medidas de los ángulos en pos ición normal que se obtienen a partir de los siguientes puntos P a) P = (1,0) b) P = (-1,0) c) P = (0,-1) d) P = (0,1) e) P = ( 2 /2-, 2 /2) f) P =( 3 /2, 1/2) g) P = ( 3 /2,-1/2) h) P=(- 2 /2,- 2 /2) 2 Dado el ángulo a en posición normal, determinar P en C tal que a = AOP (α se da por su medida) a) α = 0 b) α = π/4 c) α = -π/4 d) α = π/2 e) α = π/6 f) α = -17π/3 g) α = 30° h) α = 780° i) α= -750° j) α= 1 2. Función Visual y funciones proyección Sean C la circunferencia unitaria y a un ángulo en posición normal. La función f : R →C definida por f (α) = P = (x,y), en donde: α = AOP, A = (1,0) y O = (0,0), se llama función visual. A = (1,0) O = (0,0), P = (x,y) La función visual tiene las siguientes propiedades: a) El recorrido de ella es C (en símbolos: R(f) = C) b) f no es inyectiva. Si f (α) = (x,y), entonces: c) f(-α) = (x,-y) d) f (α + π) = (-x, -y) e) f (π/2 - α) = (y,x) f) f (2π - α) = (x,-y), además g) f es periódica y de periodo 2π La demostración de estas siete propiedades resulta de la definición de la función visual y del análisis de las simetrías de los diversos puntos sobre la circunferencia unitaria con respecto a los ejes coordenados y al origen del sistema. Completar las siguientes tablas: α en grados 0 30 45 60 90 α en radianes π f (α) (0,1) α en grados -330 360 α en radianes 4 17π 3 2π f(α) , _ ¸ ¸ − 2 1 , 2 3 , _ ¸ ¸ − 2 2 , 2 2 La función P1 : R 2 → R definida por P1(x,y) = x se llama primera proyección La función P 2 : R 2 → R definida x = P 1 (x, y) por P 2 (x,y) = y se llama segunda proyección Completar las siguientes tablas: (x , y ) (-8,3) (π, 2 ) , _ ¸ ¸ 2 1 , 2 3 (u, v) P 1 (x,y) 1 P 2 (x,y) (x,y) P 1 (x,y) 2 3 Z P 2 (x,y) -1 2 1 Las funciones primera y segunda proyecci6n tienen las siguientes propiedades: a) R(P 1 ) = R(P 2 ) = R b) P, y P 2 no son inyectivas c) P 1 (x,y) = P 2 (y,x) d) Si C es al circunferencia unitaria, entonces P 1 (C) = P2(C) = [-1,1]. Resumen Conceptos Función visual Función primera proyección Función segunda proyección Resultados Propiedades de la función visual Propiedades de las funciones proyección Procesos Determinación de imágenes de números reales mediante la función visual. Establecer y demostrar las propiedades de la función visual. Determinar imágenes de pares ordenados mediante las funciones proyección. Establecer y demostrar las propiedades de las funciones proyección. Ejercicios 1 Encontrar una caracterización geométrica de los siguientes conjuntos: A = {(x,y) ∈ R 2 / P 1 (x,y) = 0}, B={(x,y) ∈ {(x,y) ∈ R 2 / P 2 (x,y) = 1} 2 Sea f la función visual y α, β medidas en radiales de ángulos tales que 0< α < β < 2π a) ¿ Qué es, geométricamente, el conjunto f([α, β]) b) Demuestre que la distancia entre los puntos f (α) y f (β) es igual a la distancia entre f (β-α) y f(0). 3 Sean P 1 y P 2 las funciones primera y segunda proyección, respectivamente. a)encontrar una caracterización geométrica de los siguientes conjuntos: A={(x,y) ∈ R 2 / P 1 (x,y) =1/2} B = {(x,y) ∈ R 2 / P 2 (x,y) = 2 } b) Demuestre que si Q es la cuarta parte de la circunferencia unitaria que se ubica en el primer cuadrante, entonces: P 1 (Q) = P 2 ( Q) = [0,1] Sea f : R → C la función visual y sea P 1 : R 2 → R la función primera proyección. Entonces P 1 o f se llama función coseno R C cos = P 1 o f R cos(α)=cosα=(P 1 of)(α)=P 1 (f (α))=P 1 (x,y)= x Sea f : R → C la función visual y sea P 2 : R 2 → R la función segunda proyección. Entonces P 2 o f se llama función seno. R C sen = P 2 o f R sen(α)=senα= (P 2 of )(α)=P 2 (f (α))=P 2 (x,y)=y Y, en resumen, se tiene: para un punto de la circunferencia unitaria (x, y)= (cosα, senα) f P 1 P 1 Constructivamente, para calcular cos α y senα se procede de la siguiente manera: a) Se dibuja el ángulo α en posición normal b) Se determina en el circulo unitario el punto P = (x,y) tal que AOP = α con A = (1,0), O = (0,0) c) Se proyecta P sobre el eje de las abscisas obteniendo: x = cosα y = senα Las principales propiedades de las funciones coseno y seno son las siguientes: a) R(sen) = R(cos) = [-1,1] b) seno y coseno no son inyectivas c) seno es impar y coseno es par d) cos(π/2 - α) = senα y sen(π/2 - α) = cosα e) coseno y seno son periódicas de periodo 2π En efecto, a) Es inmediata pues D({(x,y) : x 2 + y 2 = 1 } ) = [-1,1 ] R({(x,y) : x 2 + y 2 = 1 } ) = [-1,1 ] b) sen0 = sen2π = 0 cos0 = cos2π = 1 c) Como f (α) = (x , y) ==> f (-α) = (x, - y) (f la función visual) entonces: senα = (P 2 of )( α) = P 2 (f (α)) = y (1) sen(-α) = (P 2 of )(- α) = P 2 (f (-α)) = -y (2) De (1) y (2) se concluye: sen(-α) = -senα cosα = (P 1 of)( α) = P 1 (f (α)) = x (3) cos(-α) = (P 1 of)(- α) = P 1 (f (-α)) = x (4) De (3) y (4) se concluye: cos(-α) = cosα d) Ya se sabe que f (α) = (x,y) ==> f (π./2 - α) = (y,x), luego: cos (π/2 - α) = y = senα sen (π/2 - α) = x = cosα e) Este hecho se deduce en forma inmediata de la periodicidad de la función visual. En las aplicaciones de estas funciones, y en la construcción de sus gráficas, se necesita conocer: a) El signo de ellas según el cuadrante en que se encuentre P (α = AOP, A = (1,0), O = (0,0) P = (x,y)). b) El crecimiento y decrecimiento de ellas en los distintos cuadrantes. c) Algunos valores especiales. Estas tres situaciones se resumen en ]as siguientes tablas: Cuadrante Variación de α Variación de sen y signo Variación de cos y signo 1° 0<α<π/2 Crece de 0 a 1 (+) de 0 decrece de 1 a 0 (+) a 0(+) 2° π/2<α<π Decrece de 1 a 0 (+) de 1 decrece de 0 a -1 (-) a -1(-) 3° π<α<3π/2 Decrece de 0 a -1 (-) de 0 crece de –1 a 0 (-) a 0(-) 4° 3π/2<α<2π Crece de –1 a 0(-) crece de 0 a 1(+) Tabla de valores especiales (complete el lector) Angulo en grados Angulo en radianes Seno del ángulo Coseno del ángulo 0 0 0 1 30 π/6 1/2 3 / 2 45 π/4 2 /2 2 /2 60 π/3 3 / 2 1/2 90 π/2 1 0 120 135 150 180 270 Gráfica de la función seno Gráfica de la f unción coseno Resumen Conceptos Coseno de un ángulo Seno de un ángulo Resultados Propiedades de la función coseno Propiedades de las función seno Procesos Determinación geométrica de cosenos y senos de ángulos, usando la circunferencia unitaria. Interpretación geométrica de las propiedades de las funciones coseno y seno. Determinación de las variaciones y signos de coseno y seno en los diferentes cuadrantes. Demostración de las propiedades de coseno y seno. Graficación de coseno y seno. Resolver ecuaciones en las que aparecen coseno y seno. Ejercicios 1 Demostrar que: a) ∀ α ∈ R se verifica sen 2 α + cos 2 α = 1 ( Nota: sen 2 α = (senα) 2 , cos 2 α = (cosα)2 ) b) ∀ α ∈ R se verifica: sen(α+ π) = - senα cos(α+π)= -cosα 2 Resolver las ecuaciones: (α es la "incógnita") a) senα = 0 b) cosα = 0 c)senα=1/2 d) senα = -1 e) senα = cosα f) sen 2 α = senα c) cos 2 α = cosαβπ 2 Graficar las siguientes funciones (haciendo un estudio detallado de: dominio, recorrido, paridad, imparidad, periodicidad, zonas de crecimiento, zonas de decrecimiento, cortes con los ejes, tabla de valores especiales, signos, valores máximos y mínimos): 3 a) y = senx + cosx b) y = sen 2 x c) y = 2sen(x/2) d) y = cos(x + 1/2) e) y = 3sen(x/3) f) y = sen2x + cos3x 4 Resolver el sistema 2x + πy - π = 0 y - senx = 0 4. Otras funciones trigonométricas Consideremos dos círculos concéntricos de centro en el origen, uno de radio 1 y el otro y el otro de radio r, r =/ 1 (en la figura adjunta r > 1) Resulta entonces que: (ver figura adjunta) P = (cosα ,senα) Q = (u,v) A = (1,0) T = (cosα,0) S = (u, 0) El triangulo OTP es semejante al triangulo OSQ (ambos son rectángulos y tienen α como ángulo común). v u = cosα es decir u = rcosα Luego: 1 α sen r v · es decir u = rsenα También puede decirse que en el triangulo rectángulo OSQ se verifica: coseno = hipotenusa ángulo al adyacente cateto · r u seno = hipotenusa ángulo al opuesto cateto · r u Naturalmente, esta interpretación geométrica de los valores de seno y coseno tiene sentido solamente para α ∈ ]0, π/2[ Se definen las funciones tangente (tg), cotangente (cot), secante (sec) y cosecante (cosec) mediante las reglas de correspondencia: α α α cos sen tg · α α tg 1 cot · α α cos 1 sec · α α sen ec 1 cos · Resumen Conceptos Función tangente Función cotangente Función secante Función cosecante Resultados Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante se definen como cocientes, luego en sus dominios no pueden estar números reales que anulen sus denominadores Las funciones tangente y cotangente son periódicas, de periodo π. Las funciones secante y cosecante son funciones periódicas, de periodo 2π. Procesos Determinación del dominio de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante. Determinación del recorrido de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante. Deducción de las propiedades de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante. Construcción de las gráficas de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante. Demostración de identidades en las cuales aparezcan una o mas de las seis funciones Trigonometricas. Solución de ecuaciones en las cuales aparezcan una o mas de las seis funciones Trigonometricas. Ejercicios 1 Encontrar el dominio de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante. 2 Encontrar el recorrido de dichas funciones. 3 Construir tablas de valores especiales para cada una de las cuatro funciones definidas en esta sección. 4 Demostrar que la función tangente es impar, periódica y de periodo π y creciente en el intervalo ]- π/2 , π/2[. 5 Graficar las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante. 6 Demostrar cada una de las siguientes identidades: a) 1 + tg 2 α = sec 2 α b) tg(π/2 - α) = cotα c) 1 + cot 2 α = cosec 2 α d) cosec(#/2 + α) = secα 7 Encuentre interpretaciones geométricas para los valores de tg, sec, cot, cosec. 8 Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones: a) tgx = 1 b) secx = 1/2 c) cosecx = 2 d) tg 2 x - tgx = 0 e) cosecx - cotx = 0 9 ¿Son las funciones secante y cosecante periódicas? 5. Funciones de suma de ángulos y suma de funciones Sean A = (1,0) y P = (cosa α, sen α) puntos de la circunferencia de ecuación: x 2 +y 2 = 1 entonces d(A,P) = ) cos 2 2 ( α − En efecto, d(A,P) = 2 2 ) 0 ( ) cos 1 ( α α sen − + − α α α 2 2 cos cos 2 1 ( sen + + − y como sen 2 α+ cos 2 α= 1 se deduce que: d(A,P) = ) cos 2 2 ( α − Del resultado anterior se deduce la siguiente propiedad: (Identidad fundamental para el coseno de una diferencia de ángulos) ∀ α, β ∈ R se verifica: cos(π-β)=cosαcosβ+senαsenβ En efecto: Sean P = (cosβ,senβ) Q = (cosα,senα) puntos de la circunferencia unitaria, luego, podemos pensar α - β en posición normal y aplicar el resultado precedente para obtener: d(P,Q) = ) cos( 2 β α − − (1) Por otra parte, usando la fórmula de la distancia: d(P,Q)= 2 2 ) ( ) cos (cos β α β α sen sen − + − β β α α β β α α 2 2 2 2 2 cos cos cos 2 (cos sen sen sen sen + − + + − ) cos (cos 2 2 β α β α sen sen + − (2) Igualando las formulas (1) y (2), elevando al cuadrado y simplificando, se obtiene la identidad fundamental: cos(α-β) = cosαcosβ + senαsenβ Usando esta identidad fundamental, la paridad de coseno y la imparidad de seno y el cambio de una función a su cofunción cuando el. ángulo se cambia por su complemento, se pueden deducir muchas otras, según se muestra en los siguientes ejemplos: cos(α+β) = cosαcosβ - senαsenβ En efecto: cos(α+β) = cos(α-(-β)) = cosαcos(-β) + senαsen(-β) = cosαcosβ - senαsenβ sen(α-β) = senαcosβ - senβcosα En efecto: sen( α-β) = cos(π/2 –(α-β )) = cos((π/2-α)+β) = cos(π/2 -α)cosβ - sen(π/2-α)senβ = senαcosβ - senβcosα cosα+cosβ = 2cos((α+β)/2)cos(α-β)/2) En efecto: De la identidad fundamental se tiene: cos(x + y) = cosxcosy – senxseny (3) cos(x - y) = cosxcosy + senxseny (4) Sumando miembro a miembro las identidades (3) y (4) cos(x + y) + cos(x - y) = 2cosxcosy (5) Reemplazando en (5) x + y por α, x - y por β (y por lo tanto x = (α+β)/2, y = (α+β)/2 ) se llega a: cosα + cosβ = 2cos((α+βB)/2)cos((α+β)/2) Resumen Conceptos Coordenadas de un punto de la circunferencia unitaria en términos de un ángulo en posición normal. Distancia entre dos puntos. Resultados Formula para calcular la distancia entre dos puntos de los cuales se conocen sus coordenadas. Identidad fundamental: cos(α-β) = cosαcosβ + senαsenβ Otras identidades fundamentales que derivan de la anterior Procesos Determinación de la distancia entre dos puntos, a través de sus coordenadas. Deducción de identidades para funciones de la suma y la diferencia de ángulos. Deducción de identidades para ángulos dobles y medios . Deducción de identidades para sumas de funciones y diferencias de funciones. Ejercicios 1 A partir de la identidad fundamental para el coseno de una diferencia (o suma) de ángulos y de las propiedades de sen, cos, tg, cot, deduzca que: a) cos2α = cos 2 α - sen 2 α= 1 - 2sen 2 α = 2cos 2 α - 1 b) sen(α+β) = senαcosβ + senβcosα (Indic: sen(α+β) = cos(π/2 – (α+β)) = cos((π/2 -α) - β) ) c) sen(α-β) = senαcosβ - senβcosα d) sen2α = 2senαcosα e) tg(α+β) = β α β α tg tg tg tg − + 1 f) tg(α-β) = β α β α tg tg tg tg + − 1 g) 2 cos 1 2 α α − · sen h) 2 cos 1 2 cos α α + · i) 2 cos 2 2 β α β α β α − + · + sen sen sen j) β α β α α cos cos ) ( + · + sen tg tg k) α α α α α α α 2 3 cos 2 cos cos 3 2 tg sen sen sen · + + + + 2 Resolver cada una de las siguientes ecuaciones Trigonometricas: a) sen2x + senx = 0 b) cos2x - senx = 1 c) senx + cosx = 1 d) 3cos 2 x - cos2x = 1 3 Grafique, previo un estudio completo, cada una de las siguientes funciones: a) f(x) = senxcos2x b) f(x) = 2cos5xsen4x 6.Ondas sinusoidales Las propiedades geométricas de las funciones Trigonometricas son de gran ayuda en la obtención del gráfico de otras funciones Trigonometricas más complicadas. Ya se ha visto que las principales características de la curva de ecuación y = senx son: 1) Pasa por el origen del sistema de coordenadas. 2) Es periódica y de periodo 2π. 3) Alcanza como máximo el valor +1 4) Alcanza como mínimo el valor -1 El máximo y mínimo tienen el mismo valor absoluto, éste se llama amplitud de la curva y = senx La amplitud de y = asenx es |a| y una curva de este tipo se grafica fácilmente, como se ve en el siguiente ejemplo. Gráfica de y = 2senx La curva de ecuación y = sen(x+b) es, en cierto sentido, semejante a la de ecuación y = senx pero presenta algunas diferencias con respecto a ella. En efecto, el punto (0,0) no pertenece a la curva y = sen(x + b), ya que el argumento es x + b y no x. En realidad el punto (-b,0) efectivamente pertenece a la curva de ecuación y = sen (x + b) pues sen(-b+b) = sen(0) = 0, de modo que podemos afirmar que el gráfico de y = sen(x+b) se obtiene a partir del gráfico de y = senx por un desplazamiento de este último hacia la izquierda en |b| unidades (ver figura adjunta). El valor |b| se llama fase. Sea ahora k un número real positivo. La función y = senkx es periódica de período 27π/k, En efecto: senk( x + 2π/k) = sen(kx + 2π) = senkx. Pues bien, para graficarla, es necesario ver lo que ocurre, por ejemplo, en el intervalo [0,2π/k[ y luego extenderla a R usando la periodicidad: Gráfica de y = senkx La forma más general de la ecuación de una curva sinusoidal es: y asen(kx b) k>0 En tal caso se tiene: La amplitud es |a|, la fase es |b|/k, el período es 2π/k y la frecuencia (el valor recíproco del período) es k/2π. Gráfica de la curva de ecuación y = 3sen(2x + π/2) Grafique el lector y 3cos(2x π/2) Para graficar la curva de ecuación y = 2 sen4x - 2 cos4x, previamente la expresaremos en la forma y = asen(kx + b). Se tiene: 2 sen4x - 2 cos4x 2(( 2 /2)sen4x - ( 2 /2)cos4x) Procesos Graficación de una onda sinusoidal. Reducir una suma (diferencia) de una función seno y una coseno, ambas del mismo argumento, a una sola onda sinusoidal. Ejercicios 1 Graficar cada una de las curvas cuyas ecuaciones se indican: a) y (1/3)cos2x b) y = 6cos(x - (7/3)) c) y 5sen2x 12cos2x d) y sen3x 3cos3x 2 Indicar en cada uno de los ejercicios anteriores: la amplitud, la fase, el período y la frecuencia. 3 Bajo ciertas condiciones, el movimiento de un trozo de cuerda que vibra, estirada entre dos puntos sobre el eje Ox, se modela por: f(t) asen( (σt - kx) - asen(σt kx) en donde t es el tiempo, a, σ y k son constantes. Demuestre que f puede representarse por la expresión siguiente: f(t) = -2acosσtsenkx 4 El movimiento de una masa que cuelga de un resorte se modela por: d(t) (2/3)cos8t - (1/6)sen8t en donde d(t) es la distancia (en pies) por debajo del punto de equilibrio (punto de reposo) en el instante t (en segundos). ¿Para qué valores de a y b se obtiene d(t) = asen(8t + b)? = 2(sen4xcos(π/4) - sen(π/4)cos4x) = 2sen(4x - (π/4)) de modo que su amplitud es 2, el período es π/2 y la fase es π/16 Gráfica de y = 2 sen4x - 2 cos4x = 2sen(4x - (π/4)) Resumen Conceptos Onda sinusoidal Amplitud de una onda Fase de una onda Frecuencia de una onda Período de una onda Resultados Ecuación general de una onda sinusoidal: y = asen(kx + b) Sumas algebraicas de un coseno y un seno de iguales argumentos puede reducirse a una sola onda sinusoidal. 7. Aplicaciones de la trigonometría Ya hemos visto que los valores de las funciones trigonométricas para ángulos agudos nos permiten resolver algunos problemas en donde aparecen involucrados triángulos rectángulos. En esta sección obtendremos dos resultados importantes que nos ayudarán a resolver triángulos no necesariamente rectángulos. AC =b AB =c BC=a En la figura anterior se tiene: A = (0,0) B = (c,0) y C = (bcosα,bsenα) Luego: h = bsenα = asenβ de donde: b sen a sen β α · Por un procedimiento análogo se demuestra, por ejemplo, que: c sen a sen µ α · ; de donde: c sen b sen a sen µ β α · · fórmula que se conoce como ley de los senos. Usando la misma figura, también se tiene: a 2 = (d(B,C)) 2 = ( ) 2 2 2 ) 0 ( ) cos ( − + − α α bsen c b a 2 = b 2 cos 2 α- 2bccosα c 2 b 2 senα a 2 b 2 c 2 - 2bccosα Análogamente, se demuestra que: b 2 a 2 c 2 - 2accosβ c 2 a 2 b 2 - 2abcosµ Resumiendo, se tiene que en un triángulo cualquiera: a 2 b 2 c 2 - 2bccosα b 2 a 2 c 2 - 2accosβ c 2 a 2 b 2 - 2abcosµ Cualquiera de estas fórmulas se conoce como ley del coseno. Resumen Conceptos Lado de un triángulo Angulo de un triángulo Perímetro de un triángulo Área de un triángulo Angulo de elevación Angulo de depresión Paralelogramo Dirección de una embarcación. Resultados Un triángulo cualquiera se denota por A, B, C para sus vértices, a, b, c para sus lados y α, β, µ para sus ángulos interiores. Teorema de los senos. Teorema del coseno. Procesos Calcular el área de un triángulo. Resolver un triángulo. Ejercicios 1 Resolver (es decir encontrar todos los ángulos, todos los lados, el perímetro y el área) los triángulos cuyos datos se dan en cada caso: a) α = 41° µ = 77° a = 10,5 cm. b) β 200 µ = 31º b = 210 cm. c) α 60º b 20 cm. c 30 cm. d) a 25 cm. b 80 cm. c 60 cm. 2 Cuando el ángulo de elevación del Sol es de 64 0 , un poste del telégrafo, cuya visual a la cima y al sol forman entre sí un ángulo de l2°, proyecta una sombra de 10 m. ¿Qué altura tiene el poste?. 3 Un paralelogramo tiene sus lados de longitudes 30 cm, y 70 cm. respectivamente. Si uno sus ángulos mide 65°. ¿Cuánto miden sus diagonales?. 4 Un barco sale del punto P a la 1:00 p.m. a 24 millas/h en dirección S 35° E. Otro barco sale de P a la 1:30 p.m. en dirección S 20° O a 18 millas/h. ¿A qué distancia se encuentran entre sí los dos barcos a las 3:00 p.m. ? 5 Dos puntos P y Q a nivel del piso se encuentran en lados opuestos de un edificio. Para encontrar la distancia d entre ellos, un observador elige un punto R que dista 100 m. de P y 126 m. de Q, determinando además que el ángulo PRQ mide 37°40'. ¿Cuánto mide d? 7 Si A B C es un triángulo cualquiera con lados a,b,c yángulos α, β, µ (según las convenciones ya establecidas) demuestre que: a) a 2 + b 2 + C 2 = 2(bccosα accosβ abcosµ) b) abc c b a c b a 2 cos cos cos 2 2 2 + + · + + µ β α c) ) 2 / ) (( ) 2 / ) (( β α β α + − · + − tg tg b a b a 8 El ángulo de elevación de un rayo de luz de un faro, con respecto a una embarcación, mide 3 0 30'. Si el faro tiene una altura de 100 m con respecto al nivel del agua, ¿a qué distancia se encuentra la embarcación del faro?. 8. Funciones trigonométricas inversas Como las funciones trigonométricas no son inyectivas ellas no tienen inversas. Sin embargo, restringiendo adecuadamente los dominios, es posible obtener funciones que se comportan (localmente) como las trigonométricas y sí son invertibles. La técnica es sencilla: dada una función trigonométrica, elegiremos un subconjunto S de su dominio de modo que, en S, la función sea creciente (o decreciente) con lo cual estará garantizada la inyectividad y, por consecuencia, la existencia de inversa. Desde luego S se elige, además, de tal manera que la función en estudio alcanza todos los valores posibles. Así por ejemplo, si tomamos f(x) = senx , cuyo dominio es R y cuyo recorrido es [-1,1 ] y elegimos el intervalo cerrado S = [-π/2, π/2] se tiene que, en S, f es creciente luego es invertible. Formalmente, establecemos el siguiente concepto. La inversa de la función seno, denotada por arcsen, se define así: arcsen: [-1,1 @→ π/2, π/2 @ y → x arcsen y en donde: senx = sen(arcseny) = y De la definición resulta que: a) π/2 ≤ arcseny ≤ π/2 si -1 ≤ y ≤ 1 b) sen(arcseny) y si -1 ≤ y ≤ 1 c) arcsen(senx) x si -π/2 ≤ x ≤ π/2 d) La gráfica de y = arcsenx se obtiene reflejando la gráfica de y = senx en la recta de ecuación y = x. La inversa de la función coseno, denotada por arccos, se define así: arccos: [-1,1] → [0,π ] y → x arccosy en donde: cosx cos(arccosy) y De esta definición se obtiene: a) 0 ≤ arccosy ≤ π si -1 ≤ y≤ 1 b) cos(arccosy) = y si -1 ≤ y ≤ 1 c) arccos(cosx) x si 0 ≤ x ≤ π d) la gráfica de y arccosx es Resumen Conceptos Función arcoseno Función arcocoseno Función arcotangente Función arcocotangente Función arcosecante Función arcocosecante Resultados Restringiendo convenientemente los dominios, cada una de las funciones trigonométricas permite construir una inversa local. Procesos Determinación de una inversa local para cada función trigonométrica. Conversión de expresiones con funciones trigonométricas directas e inversas en expresiones algebraicas. Ejercicios 1 Defina inversa de la función tangente. 2 Defina inversas de cotangente, secante y cosecante. 3 Calcular, sin uso de tablas, a) sen(arctg2/3) b) sen(arctg (l/2) - arccos(4/5)) 4 Escribir como una expresión algebraica: a) cos(arcsen x) b) sen(arctgx) c) cos((1/2)arccosx) d) cos(arctgx) 5 Resolver cada una de las siguientes ecuaciones: a) 2tg 2 x + 9tgx + 3 = 0 x ∈ ]- π/2, π/2[ b) 15cos 4 x - 14 cos 2 x + 3 = 0 x ∈ [0, π] 6 Determinar el valor exacto de la expresión siguiente: tg(arcsen(5/13) arccos(7/25)). 7 Demostrar la identidad siguiente: arccos(1/2) + arccos(-1/2) = π 8 Hacer un estudio detallado que culmine en la gráfica, de la función cuya regla de correspondencia es f(x) = arcsen(2x-5). 9. Una aplicación importante de la función arcotangente El ángulo de inclinación de una recta no paralela al eje O x es el menor ángulo, medido en el sentido antihorario, desde el semi-eje positivo O x a la recta. Si la recta es paralela al eje 0, se dice que su ángulo de inclinación tiene medida cero. De lo anterior deducimos que si la recta tiene ecuación y = mx + n y su ángulo de inclinación es a, entonces: m = tgα. En efecto: si P l = (x 1 , y 1 ) P 2 ---- (x 2 , y 2 ) son puntos de la recta, entonces: α tg x x y y m · − − · 1 2 1 2 Si dos rectas son no verticales el ángulo entre ellas será la diferencia entre sus ángulos de inclinación, tomada de mayor ángulo a menor ángulo. Se tiene, según la figura adjunta: 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 ) ( m m m m tg tg tg tg tg tg + − · + − · − · α α α α α α θ es decir: 1 ] 1 ¸ + − · 1 2 1 2 1 m m m m arctg θ Resumen Conceptos Angulo de inclinación de una recta Angulo entre dos rectas Función arcotangente Resultados Relación entre el ángulo que forma una recta con el eje Ox y la pendiente Fórmula para calcular el ángulo entre dos rectas de las cuales se conocen sus pendientes. Procesos Calcular el ángulo de una recta con el eje Ox. Calcular el ángulo entre dos rectas de las cuales se conocen sus pendientes. Ejercicios 1 Calcular el ángulo que forman las dos rectas siguientes: R l : x-y+3=0 R 2 : 3x-y+5=0 2 Calcular los ángulos interiores y exteriores del triángulo cuyos vértices son los puntos: A = (1,0), B = (-3,2) y C = (2,3). 3 Usando los recursos de esta sección justifique las siguientes afirmaciones: a) Dos rectas son paralelas si, y sólo si, tienen iguales pendientes b) Dos rectas son perpendiculares si, y sólo si, el producto de sus pendientes es -1 Miscelánea de Ejercicios 1 Si f es la función visual y f(a) = (x,2x) es un punto del primer cuadrante, calcular: a) el valor de x b) cosα c) senα d) tgα e) cotα f) secα g) cosecα 2 Si f(x) = cosx y g(x) = 2x, hacer un estudio completo de las funciones compuestas gof y fog. 3 Hacer un estudio completo de cada una de las siguientes funciones: a) f(x) = 4sen(-x/2) b) g(x) = 2sen(2x/3 + π/4) c) h(x) = senx - sen3x d) i(x) = πcos(x/π - 1/π) e) j(x) = arcsenx + arccosx f) k(x) = -8cosec(3x-5) g) l(x) = 2 - 3sen2(x -π) h) m(x) = 1 + (1/2)cos((2/3)(x - π/2)) 4 Demostrar cada una de las siguientes identidades: a) arcsenx = arccos ( 2 1 x − ) para 0 ≤ x ≤ 1 b) sen(arccosx) = 2 1 x − c) cotα + tgα = secαcosecα d) sec 4 α - sec 2 a = sen 2 α/cos 2 α e) sen3α/senα - cos3α/cosα = 2 f) tgα + cotα = 2cosec2α g) costα + 2sen 2 α = l h) α α α α 2 2 2 2 cos cot 1 1 sen sen · + − i) β α β α β α β α tg tg tg tg sen sen sen − + · − + ) ( ) ( j) θ θ π θ cos ) 4 / 3 cos( 2 − · − sen k) sen3α = 3senα - 4sen 3 α 1) sen2β(1 + cot 2 α) = 2cotβ 5 En cada una de las siguientes expresiones, despejar la variable x: a) y arccos2x b) 3y 1 4arccos(x/2) c) y 2 arcsen(5x -1) d) 5y 4 - 2 arcsen(3x) 6 Reducir cada una de las siguientes expresiones a otras que sólo contengan funciones seno y/o coseno: a) (secα cosecα) 2 tgα b) (cosecα cotα) 2 c) (sen(α/2) cos(α/2)) 2 d) 1/(1 tg2α) 7 Resolver cada una de las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sen2x - 3 cosx = 0 b) 2cosx + 3 = 0 c)2- senx =2cos 2 x d) 4cos 2 x – 5sencotx - 6 = 0 e) cosec 2 x - 2cotx 0 f) tg 2 x 3secx - 3 0 g) cos2x cosx -1 h) sen 2 x 2cosx 1/4 8 Resolver cada uno de los siguientes triángulos: a) a 5, b 3, µ= 90 0 b) a 5, µ 90 0 , sen α 4/5 c) b 17, 5, c 15, 2 α= 22 0 d)a=3, b=5, β=45 0 e)a=144, b=180, c=108 9 Una persona ve un cuadro que está a 5m de distancia de ella y el ángulo de elevación de la parte superior del cuadro es 30 0 , en tanto que el ángulo de depresión de la parte inferior es 15 0 . ¿Cuánto mide de alto el cuadro? 10 Una antena de TV de 150 m de altura está en la cima de una colina. En cierto lugar a 650 m bajando de la colina, el ángulo entre la ladera de la colina y la visual dirigida al extremo superior de la torre es de 12 0 30', ¿cuál es la pendiente de la ladera de la colina? 11 Los puntas A y B, a un mismo lado de un río, distan entre sí 50 m. Un punto C, en la ribera opuesta, es tal que el ángulo CAB mide 70 0 y el ángulo ABC mide 80 0 . ¿Cuál es el ancho del río? 12 Sin hacer uso de tablas ni calculadoras determinar el valor exacto de cada una de las siguientes expresiones: a) sen330 0 cos180 0 - cos330ºsen180º b) cos270 0 cos150 0 sen270ºsen150º c) cos60 0 cos30º - sen60ºsen30º d) cot67 0 cot23 0 cos67 0 tg67 0 - cos23º e) cosl3 0 tgl3ºtg77 0 cosec77 0 13 A continuación encontrará, para cada caso, dos expresiones. Su tarea consiste en decidir si ambas expresiones son idénticas o no, y en caso de no ser idénticas determinar para qué valores ellas coinciden: a) cot4x tg2x cosec4x b) sen5xcosx - cos5xsenx 2sen2x(cos 2 x - sen 2 x) c) sen5y/seny - cos5y/cosy cos2y d) tg(x π/3) tg(x - π/3) tgx/(1 - 3tg 2 x) 14 El ángulo de inclinación óptimo 0 de una carretera en una curva de radio r está dado por la expresión siguiente: tgθ = v 2 /rg en donde v es la velocidad del vehículo y g es la aceleración de gravedad a) ¿Cuál es ángulo óptimo para una autopista de radio 180 m y de velocidad promedio 60 km/h.? b) Si µ es el coeficiente de fricción entre un automóvil y el camino, entonces la velocidad máxima v m que este vehículo puede alcanzar, sin deslizarse, está dada por: v m 2 grtg(0 arctgµ) ¿cuál es el valor de v m para el caso en que µ= 0,26?. 15 El ángulo de partida para que un objeto arrojado hacia otro a una distancia d, dé en el blanco, está dado por la expresión: g sen v d o θ 2 · v o la velocidad inicial y θ el ángulo de elevación Si un blanco está a 600m y la velocidad inicial de una bala es 60 m/s, ¿cuál debe ser el ángulo de partida para dar en el blanco? 6 Una pelota de básquetbol de diámetro d entra en la cesta de diámetro D si se aproxima a ella de tal manera que el ángulo que forma su trayectoria con la horizontal, θ, cumple la relación Dsenθ > d 0 ≤ θ ≤ 90 º Si una pelota de básquetbol tiene un diámetro de 24,6 cm y el aro un diámetro de 45 cm ¿para qué valores de θ se obtendrá un cesta? 17 Bajo ciertas condiciones, el desplazamiento vertical d(t) (en pies, medidos desde la posición de equilibrio) de una masa atada al extremo de un resorte en el instante t (en segundos), está dado por d(t) = (-2/3)cos10t + (1/2)sen10t. a) Exprese d(t) como una sola onda sinusoidal b) Determine para qué valores de t la masa pasa por su posición de equilibrio. 18 Sean a,b,c los tres lados de un triángulo y m,n,p las medianas correspondientes a esos tres lados, trazadas desde los vértices opuestos. Demuestre que m 2 + n 2 + p 2 = (3/4)(a 2 + b 2 + c 2 ). 19 ¿Cuánta fuerza debe ejercerse para sostener, en un plano inclinado de 50 º , un bloque que pesa 3 toneladas?. 20 Si la luz penetra desde el aire en un medio material y α a y a m son, respectivamente, los ángulos que un rayo de luz forma al penetrar desde el aire con la normal a la superficie y en el medio material con la normal, se llama índice de refracción del medio al cociente n = senα a /senα m a) Determinar el índice de refracción del cuarzo cristalino, sabiendo que un rayo de luz que penetra a 63 º se refracta a 35 º b) Si para un cierto tipo de vidrio n = 1,8804, ¿con qué ángulo se refracta un rayo de luz que penetra a 28 º c) El diamante tiene un índice de refracción de 2,4195, ¿cuál es el ángulo de un rayo de luz en el aire si él fue refractado con un ángulo de 9,26 º 21 Al observar la parte más alta de un edificio el ángulo de elevación resulta ser de 49 º y al acercarse 50 m el nuevo ángulo de elevación es de 62 º , ¿a qué distancia del edificio se encontraba el primer punto de observación?. 22 Un cilindro circular es separado en dos trozos, a través de un corte paralelo a su eje y de modo que el segmento circular de su base tiene 20 º como ángulo del centro. Si el radio de la base es 12 cm y la altura 30 cm: a) ¿cuál es el volumen del cilindro? b) ¿cuál es el volumen de cada parte? 23 Dibujar las regiones del plano que satisfacen cada par de las siguientes condiciones: a) cosx 1 y ≥ + ≤ y senx b) secx y tgx y < > 24 Una lancha cuya velocidad con respecto al agua es de 12 km/h, atraviesa un río con aguas en dirección Sur. Si la lancha enfila con dirección N42 º O, pero su curso es N71 º O: a) ¿cuál es la velocidad de la corriente del río? b) ¿cuál es la velocidad real de la lancha? 25 Una recomendación técnica para sembrar cierto cereal dice "dos sacos por hectárea". Sí un agricultor desea sembrar dicho cereal en un terreno triangular con lados 680 m y 840 m, que forman entre sí un ángulo de 125 º , ¿cuántos sacos de semilla debe disponer? CAPITULO III FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS Introducción En este material se hace un breve recuento de las propiedades básicas de los exponentes enteros positivos y del proceso de extensión del concepto de exponente, del campo de los números enteros al campo de los números racionales. Proceso que preserva las propiedades primigeneas y donde se da una interpretación en cada extensión. Luego veremos que la extensión de los exponentes al campo de los números reales, genera una situación completamente distinta a la que le dio origen. Nace de este modo la función exponencial, función que modela una amplia gama de aplicaciones y de allí sus importancia. Contestaremos a varias preguntas relacionadas a detalles cualitativos, tales como: ¿Cuál es su dominio y su recorrido?, ¿Cómo es su gráfico?, ¿Es una función par o impar?, ¿Es creciente o decreciente ?,¿Tiene inversa?. Al responder a esta última, habremos hallado la función logarítmica y las propiedades de los logaritmos, otra función de gran importancia en las aplicaciones. Esperamos que al final del estudio de estas páginas, el alumno tenga claro los aspectos tratados en ellas, ya que representan un preámbulo para el estudio de las funciones desde el punto de vista del Cálculo Superior. 1 Propiedades de los exponentes enteros Se hace un breve repaso de las propiedades de los exponentes enteros por ser primordiales en el cálculo algebraico y que tradicionalmente, el mal uso u omisión de éstas, son la fuente de error más frecuente en los procesos de cálculo. Una razón práctica para el uso de los exponentes, es que éstos permiten una notación abreviada que indica el número de veces que un factor se multiplica por sí mismo. Por ejemplo, a 3 representa la abreviación del producto a.a.a, (x- y) 2 = (x-y)(x-y), 2 4 = 2.2.2.2 = 16. En general, si n es un número entero positivo y a es un número real, entonces a n , la enésima potencia de a, representa el producto de n factores todos ellos iguales a a, y se define inductivamente por a 1 =a a n +1 a n .a a se llama base y n se llama exponente de a n . Supongamos que m y n son números enteros positivos, y que a y b son números reales. Entonces puede demostrarse por inducción, que se satisfacen las siguientes propiedades básicas de los exponentes enteros positivos: i) a n a m a Q+m ii) (a m ) n = a mn iii) (ab) n =a n b n iv) n n n b a b a · 1 ] 1 ¸ para b ≠0 v) ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ' ¹ · ≠ < > · − n m si 1 0 a para n m si a 1 n m si m - n n m n m a a a El significado de los exponentes puede ampliarse para abarcar a los enteros negativos, junto con el cero, de modo que sigan siendo válidas las propiedades anteriores. Esta primera ampliación consiste en lo siguiente: Si a es un número real distinto de cero, entonces a 0 se define como a 0 = 1 y a -n se define como a -n = 1/a n , en donde n es un entero positivo. Note que la expresión o 0 no representa un número real. Por ejemplo, 4 4 3 2 1 3 2 1 ] 1 ¸ − · 1 ] 1 ¸ − − (por la definición que hemos dado) 4 4 3 2 ) 1 ( 1 1 ] 1 ¸ − − · (por iii) 81 16 1 · (por iv) 16 81 · (por definición de recíproco) Veamos un ejemplo donde se ilustre la ejecución de un cálculo algebraico correcto con exponentes, esto es, el buen uso de las propiedades anteriores para obtener un correcto resultado. Supongamos que deseamos simplificar la expresión: ( ) ) 2 )( 2 ( ) 2 )( 2 ( ) 8 ( 2 6 7 4 10 4 3 2 4 + + − x x x donde x es un entero. Una manera de proceder es la siguiente: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 13 4 10 4 3 3 2 4 6 7 4 10 4 3 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 8 2 + + + + + − · − x x x x x x (por i) = ( )( ) ( ) ( ) 13 4 10 4 9 2 4 2 2 2 2 + + + − x x x (por ii) = ( ) ( )( ) 3 10 4 11 4 2 1 2 2 − + + x x (por i) = ) 8 1 ( 2 − (¿Por qué?) = 7 2 − (por v) Los exponentes enteros con frecuencia se utilizan para escribir números muy grandes o muy pequeños de una forma conveniente. Un número real positivo puede escribirse en la forma a·10 n donde 1 ≤ a < 10 y n un entero. Decimos que un número escrito así, está en notación científica. Tal es el caso de 230.000 = 2,3·10 5 0,000123 = 1,23·10 -4 Esta notación es sumamente útil en química y física donde con frecuencia se opera con constantes: 6,02210 23 partículas/mol (Número de Avogadro) 1,38062•10 -16 erg/grado (Constante de Boltzmann) 6,6262·10 -27 ergs (Constante de Planck) 1,660053·10 24 g (Unidad de masa atómica) 9,010956·10 -28 g (Masa del electrón) Para continuar ilustrando, una expresión numérica como la dada a continuación puede simplificarse como sigue: ( ) 16 3 2 16 12 4 6 9 2 16 4 3 12 2 3 6 2 10 · 2 · 3 1 10 · 2 · 3 10 · 2 · 3 ) 10 ( 2 · 3 10 · ) 2 ·( 10 · 3 · · − − = 000072 , 0 1 En la mayoría de los cálculos que se efectúan en las aplicaciones, los resultados están sujetos a error, debido a distintas situaciones: errores de redondeo, errores de medición, errores de presentación de resultado por la calculadora o computadora, etc. Por ello se consideran aproximaciones. Una manera de expresar la exactitud de una aproximación es estableciendo cuántas cifras significativas tiene: Imaginemos que al efectuar una medida se obtuvo el número M, podemos expresarlo en notación científica en la forma M = x· 10 n , donde 1 ≤ a < 10 pero si se sabe que a tiene k dígitos después de la coma que son exactos y los siguientes se redondearon o están en incertidumbre, entonces se acostumbra a representar a M mediante una aproximación en la forma M ≈a k ·10 n donde a k representa la porción de a que tiene únicamente la parte entera de a y los k dígitos exactos de a después de la coma. Se dice que M se ha expresado con k+1 cifras significativas. El número π≈ 3,1415 se ha expresado con 5 cifras significativas y el número 1,04510 -23 representa una aproximación con 4 cifras significativas. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) · · − 4 4 3 4 2 3 4 3 2 10 · 24 10 · 8 10 · 3 24000 008 , 0 3000 Resumen Conceptos Exponente entero (exponente positivo, exponente negativo, exponente cero) Enésima potencia de un número Factor Cifras significativas Resultados Propiedades de los exponentes enteros Notación científica Aproximación de un número Expresiones que no representan un número real Procesos Operaciones con exponentes enteros Simplificación de una expresión con exponentes enteros Escribir un número en notación científica Descomposición de una expresión en factores Ejercicios 1 Simplificar cada una de las siguientes expresiones y justificar, en cada paso, sus operaciones: a) - b) (3 -2 )(3 7 ) c) (1/3) 2 (1/3) 4 (3 -5 ) d) 5 6 /(-5 8 ) e) 16 -2 [(2 -1 )(2)(2 5 )] 4 f) [(5 -1 )(5 2 ·5 -3 )] -1 g) 3 / 1 3 / 2 1 3 1 − + − h) 1 1 1 1 3 2 3 2 − − − − + − j) 2 3 2 1 3 2 ) )( )( ( ) ( x x x x x − − k) ) 3 ( ) 27 ( 81 ) 27 ( 9 1 3 2 2 2 − − − n n n 2 Simplificar cada una de las siguientes expresiones eliminando cualquier exponente negativo. a) 9 1 5 2 21 38 x y x y − − b) 1 2 5 4 − − 1 ] 1 ¸ b b a c) ( ) 1 3 2 3 2 ) ( − − z xy xy z xy d) 2 2 1 3 ) 2 ( ) 3 ( c b a abc − − e) 3 7 3 2 5 ) 4 ( − − − y x y x f) 1 3 2 3 2 ) ( ) / 1 ( − − − − x x x x 3 Utilice una calculadora para realizar las siguientes operaciones y exprese el resultado en notación científica usando cinco cifras significativas: a) (0,90324)(0,0005432) b) ( ) 2 5480 2315 , 0 c) (2,75·10 3 )(3·10 10 ) d) 12 12 10 · 01 , 3 10 · 25 , 8 − 4 Halle el valor de la expresión dada sin usar la calculadora. Exprese la respuesta en forma decimal y luego en notación científica. a) (3000) 2 (200000) 3 (0,0000000001) b) [(1000000) -1 (0,00001)] -1 c) ( ) 4 3 ) 00001 , 0 ( 2000000 ) 80000 ( d) 3000000 ) 0005 , 0 )( 210000 ( 3 5 Para cada una de las siguientes proposiciones, Ud. debe decidir si es verdadera o falsa, argumentando su respuesta. a) 0 0 0 b) (-1/x) = x para cada x ≠ 0 c) Si n es par entonces x n ≥0 para cada x ε R d) (x + y) 2 = x 2 + y 2 para cada pareja de números x, y ε R e) Para cada x ≠ 0 (x n ) -1 = x -n 6 Los futuros computadores podrían ser fotónicos (es decir, que operan mediante señales de luz) más que electrónicos. La velocidad de la luz (3·10 10 cm/s) será un factor limitante para el tamaño y para la velocidad de tales computadores. Supongamos que una señal debe ir de un elemento de un computador fotánico a otro en un nanosegundo (1· 10 -9 s). ¿Cuál es la distancia máxima posible entre estos dos componentes? 7 La capacidad de almacenamiento de un computador se describe en kilobytes, donde l k representa un kilobyte (1024 bytes) de memoria. Se requiere de un byte para representar un carácter como una letra, un número, un símbolo. ¿Aproximadamente cuántos símbolos es capaz de almacenar un computador de 512k?. 8 El Pioneer 10, una sonda del espacio profundo, se demoró 21 meses en viajar de Marte a Júpiter. Si la distancia promedio entre Marte y Júpiter es de 998 millones de kilómetros, halle la velocidad promedio del Pionner 10 en kilómetros por hora. 2 Raíz enésima principal y exponentes racionales El uso de los exponentes puede extenderse al campo de los números racionales. Los exponentes racionales se definen de modo que se conserven las propiedades de los exponentes enteros. Sin embargo veremos que estos exponentes no interpretan la notación abreviada del número de veces en que un factor se repite, sino que nos lleva al conocimiento de la teoría de radicación. Si a es un número real y n es un entero positivo, entonces a 1/n , se llama raíz enésima principal de a. Se define como el número x que satisface la ecuación x n = a de acuerdo al siguiente criterio: i) si a > 0, entonces a 1/n > 0; ii) si a < 0 y n es impar, entonces a 1/n < 0, Observe que si a < 0 y n es par, a 1/n no representa un número real , ¿por qué? Es costumbre escribir el número a 1/n en la forma n a , tomando de este modo la denominación de radical de a de índice n. Por ejemplo, 9 1/ 2 = 3 puesto que 9 > 0, 2 es par y 3 2 = 9 (-8) 1/ 3 = -2 puesto que -8 < 0, 3 es impar y (-2)3 = -8 (-4) 1/ 2 no es un número real, puesto que no existe un número real x que satisfaga la ecuación x 2 = -4. Observe que según lo que hemos definido, 4 = 2 y no -2. Las siguientes propiedades se pueden usar frecuentemente para simplificar expresiones que contengan radicales: Sean m y n enteros positivos y sean x, y números reales, entonces (siempre y cuando los radicales representen números reales): i) [ ] x x n n · ii) ¹ ' ¹ · impar es n si x par es n si , x x n n iii) n x n y = n xy iv) n n n y x y x · v) mn m n x x · El concepto de raíz enésima principal y las propiedades de los exponentes enteros vistas en la sección anterior nos permiten extender el concepto de exponente al campo de los números racionales en el siguiente sentido: Consideremos el caso en que p/q es un número racional positivo con p y q enteros positivos y sea a un número real. Si (a p ) 1/q = (a 1/q ) p definimos el número a p/q como: a p/q = (a p ) 1/q = (a 1/q ) p Para el caso p/q < 0 con p y q enteros y a≠0 tenemos a p/q = 1/a -(p/q) y la definición anterior es aplicable a a -(p/q) puesto que -(p/q) es un racional positivo. Por ejemplo, (625) 3/4 = (625 1/4 ) 3 = ( 4 625 ) 3 = 5 3 = 125 (625) -3/4 = 125 1 ) 625 ( 1 4 / 3 · Se debe tener extremo cuidado al operar con exponentes racionales, observe los siguientes ¡cálculos descuidados! no hay duda en que (-1) 1/3 = -1 o bien, 3 ) 1 (− = -1 sin embargo, con el cálculo siguiente: (-1) 1/3 (-1) 2/6 [(-1) 2 ] 1/6 1 1/6 1 ¢3RUTXp" por otro lado, operando de otra manera: - (-1) 2/6 [(-1) 1/6 ] 2 tampoco tiene sentido, ya que (-1) 1/6 no representa un número real. Por lo tanto, bajo ciertas restricciones, las propiedades de los exponentes enteros son válidas para exponentes racionales. Esto es, si x, y ε R y s, r ε Q entonces, i) x r x s x r+s ii) (x r ) s x rs (x s ) r iii) (xy) r x r y r v) (x/y) r x r /y r vi) x r /x s x r-s partiendo de la suposición de que todas las expresiones representan números reales. Expresiones tales como: a) 3 2 x a + b) y x y x 5 + c) 7 5 3 axy y x se llaman expresiones irracionales. Cuando una expresión irracional está conformada por el cociente de dos radicales y a esta expresión la transformamos en otra equivalente, que no tenga radicales en el numerador o bien en el denominador, decimos que la expresión original ha sido racionalizada. Por ejemplo : Racionalización del denominador: 5 5 5 5 5 1 5 1 · · Racionalización del numerador: ( ) · + + + + − + · − + ) ( ) ( x h x x h x h x h x h x h x x h x x h x h x h x + + · + + − + 1 ) ( ) ( para h≠0, x+h>0, x>0 Resumen Conceptos Raíz enésima principal de un número Radical de índice n de un número Exponente racional Expresión racional Resultados Propiedades de los radicales Propiedades de los exponentes racionales Expresiones que no representan un número real Procesos Operaciones con radicales Operaciones con exponentes racionales Simplificación de una expresión que contiene radicales Simplificación de una expresión con exponentes racionales Racionalización de un numerador Racionalización de un denominador Ejercicios 1 Efectúe las operaciones indicadas expresando el resultado en su forma más simple: a) 4 3 9 27 3 b) 5 2 4 3 ) )( ( x x c) 4 4 25 , 0 x x d) 3 2 2 2 8 zw yzw yz x e) ( ) 2 5 xyz − f) 2 3 ) 2 ( y x − g) ) 14 6 ( 2 + h) ( )( ) 27 9 9 3 2 3 2 + − + i) ( )( ) 3 2 5 3 2 5 − + j)[ 3 / 4 4 / 5 3 / 16 ( x x x − ] l / 2 k) 3 12 6 b a 1) 2 2 3 ) ( y x x m) 0,0016 n) 4 2 7 49 7 b a ab o) 3 3 2 3 2 3 2 4 z x xy xy p) 3 3 2 1 ) ( q p − − r) 2 2 8 16 x x − − s) 3 3 3 27 − 1 1 ] 1 ¸ − xy x t) n n n n ) 3 ( 4 ) 9 3 ( 9 2 2 2 1 4 + + + 2 Para cada una de las siguientes proposiciones Ud. debe indicar si es verdadera o falsa y justificar su afirmación: a) b a b a + · + , para a >0 y b >0. b) b a ab · , para a >0 y b >0. c) 2 a = a, para cualquier numero real a. d) ( a ) 2 = a, para cualquier numero real a. e) Si n es impar, n x esta definida para cualquier x real. í) Si n es par, n x esta definida para cualquier x real. g) x x · 4 2 = , para cualquier numero real x. h) 2 2 y x + |x| |y|, para x, y ∈ R i) 2 2 y x + =|x+y| para x,y ∈ R j) ((-4) 2 ) 1/2 4 k) ((-1) -1 ) -1 - 1) ((-4) 1/2 ) 2 =-4 m) 1 1 ) / 1 ( 1 / 1 2 2 2 − − · − − x x x x para x ≠ 0 n) 2 2 2 ) / ( 1 x y x y x + · + para x>0. o) 3 3 2 / 3 2 2 ) ( x a x x a x + · + para cada x ∈ R 3 Racionalice el denominador de cada una de las siguientes expresiones irracionales a) 5 4 3 2 b) 3 2 3 2 − + - c) 1 1 + − + + x x x x d) 3 3 ) ( b a b a + + e) 3 3 2 2 − f) 5 3 2 1 + + g) 3 3 3 4 3 9 4 + + 4 Racionalice el numerador de cada una de las siguientes expresiones irracionales: a) h x h x 2 ) ( 2 − + b) h x h x 1 1 + − + + c) h h x h x + + + + 2 2 1 ) ( c) h x h x / 1 / 1 − + 5 Simplifique y elimine cualquier exponente negativo. a) (4x 1/2 ) (3x 1/3 ) b) (25x 1/3 y) 3/2 c) (4x 4 y -6 ) 1/2 d) (-5x 3 ) x 5/3 e) [2z 1/2 (2z 1/2 ) -1/2 ] 1/2 f) [5x 2/3 (x 4/3 ) 1/4 ] 3 g) [ ] [ ] 6 3 / 2 6 / 1 9 6 / 1 9 / 2 3 / 1 − − b a c b a h) 2 / 1 2 1 1 2 / 1 3 / 1 ) ( ) ( − − − − q p q p i) 4 / 1 3 / 1 2 / 1 2 ) ( y y y j) 10 2 / 1 5 / 2 10 / 3 5 / 1 − − 1 ] 1 ¸ y x y x k) 2 / 1 3 / 1 2 / 1 4 1 2 − − 1 ] 1 ¸ 1 ] 1 ¸ x x x l) 1 6 2 4 6 4 2 − − − 1 ] 1 ¸ c b a c b a m) 1 ] 1 ¸ − 4 2 4 / 1 2 / 1 8 s r s r n) 1 2 / 1 2 / 1 − − 1 ] 1 ¸ − y y 6 Resolver las siguientes ecuaciones: a) 8 x 32 b) 2 4x 1/8 c) (3 4x-3 ) -2 (27) -x-8 d) 2 3-x (4 2x-1 ) 16 e) (5 2x )(25) (152) x-1 f) 6 2x 216 h) (5 3 ) 2x-6 (5 -2 ) 4-x i) 2 2x+2 2 x+2 3 7 Encontrar para las siguientes funciones irracionales cuyas reglas de correspondencia se dan a continuación: a) Dominio. b) Recorrido. c) Simetrías del gráfico. d) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. e) Gráfico. i) f (x) x − ii) f (x) 1 2 + x iii) f (x) 4 1 x − iv) f (x) 2 1 x − 8 Un arroyo de corriente rápida transporta partículas más grandes que uno de caudal lento. Estudios de laboratorio muestran que la velocidad crítica v c del agua que se necesita para que una partícula se mueva en la cuenca de un arroyo viene dada por: v c 0,152d 4/9 (ge - 1) 1/2 donde v c se mide en m/s, d es el diámetro de la partícula en mm y g e es la gravedad específica de la partícula. Halle la velocidad crítica que se necesita para mover un grano de feldespato que tiene una gravedad específica de 2,56 y un diámetro de 3 mm. 9 Demuestre que: a) Si 2 2 2 2 ) ( ) ( y c x y c x − − + + + 2a, y a 2 b 2 c 2 entonces 1 2 2 2 2 · + b y a x b) Si y = (ax 2 +bx+c) 1/2 , y además z = - (2ax + b) 2 (ax 2 + bx + c) -3/2 + a (ax 2 + bx + c) -1/2 entonces 4y 3 z = 4ac- b 2 . 10 Exprese en cada caso a la expresión irracional 2 1 y + en términos de x: a) y = x/ 2 32 x − b) y = 3 2 3 x 11 Simplifique las siguientes expresiones racionales: a) 75 2 12 5 3 4 + + b) 3 3 3 54 16 2 + + c) 32 2 64 2 5 4 + − d) x x x 9 25 3 3 + + e) 98 8 450 − + f) c b a c ab bc a 5 9 3 7 5 3 + + g) 3 3 7 3 4 7 64 27 a a a + − + h) 2 / ) 10 · 4 49 7 ( − t i) 3 2 27 4 3 1 + − j) 3 4 3 2 2 3 4 3 1 ab b a b a + + k) 2 2 2 b a a b a b a b a b a − + − + − + − 12 Demostrar que 3 3 2 14 20 2 14 20 − + + = 4 13 Resolver las siguientes ecuaciones irracionales en términos de x, en un dominio donde los radicales tengan sentido: a) 3 2 2 3 2 3 2 5 ) ( ) ( x a x a x a − · − + + sugerencia: divida por 3 2 ) ( x a − para a ≠ 0 b) n n n x a x a x a 2 2 2 2 ) ( ) ( − · − + + c) 2 7 5 2 3 2 5 2 2 · − + + + − + − x x x x sugerencia: haga la sustitución Z = 5 2 − x d) x x x x x x x + · − + + sugerencia: multiplique por x x + e) 3 3 3 2 1 1 x x x · + + − f) 7 1 7 1 8 2 + · + + + + x x x x x 14 Resolver las siguientes inecuaciones irracionales en un dominio donde los radicales tengan sentido: a) 2 2 1 1 1 x x + ≤ − + b) 0 1 2 ≥ − x x c) 3 4 1 1 2 < − − x x 15 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones irracionales en un dominio donde los radicales tengan sentido: a) ¹ ¹ ¹ ' ¹ · − − · − 3 ) ( 2 7 3 3 3 2 3 2 y x xy y x y x sugerencia: haga u = 3 x y v = 3 y b) ¹ ¹ ¹ ' ¹ · + + · − 7 2 3 y xy x z y y x sugerencia: haga z = y x 3 Propiedades de la función exponencial Supongamos que un biólogo estudia una colonia de cierto tipo de bacterias. Durante la investigación, podría estar interesado en descubrir una fórmula que le indique el número de bacterias existentes en un determinado instante. Para ser concretos, supóngase que en un día determinado hay n 0 bacterias, y se da cuenta que el número se cuadruplica cada día. Esto es, después de un día hay 4n0 bacterias; al cabo de dos días 4(4n0); después de tres días 4(4 2 n 0 ), y de esta manera, después de k días habrá 4 k n 0 bacterias. Este fenómeno del cultivo de bacterias puede modelarse por la función f(t) = 4 t n 0 , donde la variable t representa el tiempo en días desde el comienzo en que se observó el crecimiento (t = 0) y n 0 el número inicial de bacterias en este instante. A pesar de que la observación arroja datos cuando la variable t recorre los enteros positivos, podemos suponer que la variable t recorre los números reales, con lo que la función f = f(t) indicará el número de bacterias en cualquier instante. Por ejemplo, después de 3 días y 8 horas, tendremos 4 10/3 n 0 bacterias. Incluso, si t = -1, f(-1) = 4-1 n 0 = n 0 /4 bacterias, es decir, retrocediendo en el tiempo, el número de bacterias que había el día anterior al primero en que se comenzó la observación era la cuarta parte. El propósito ahora es estudiar las propiedades de las funciones de este tipo, que surgen como una extensión de las propiedades de los exponentes racionales al campo de los exponentes reales. Si b es un número positivo, la regla de correspondencia f(x) = b x permite definir la función exponencial de base b. Ejemplos f(x) = 2 x es una función exponencial de base 2; f(x) = (1/2) x = 2 -x es una función exponencial de base 1/2. El dominio de una función exponencial, como se dijo, será el conjunto de los números reales. De este modo estamos incluyendo exponentes enteros y racionales. Suponemos aquí que b x puede definirse de modo adecuado también para exponentes irracionales. Para b ≠ 0 el recorrido es el conjunto de los números reales positivos como veremos en los siguientes ejemplos: Estudiemos las propiedades de f(x) = 2 x Intentemos dibujar el gráfico de f determinando algunos valores de f(x), en la tabla siguiente se muestran algunos valores: X f(x) -3 1/8 -2 1/4 -1 1/2 0 1 1 2 2 4 3 8 Representando estos puntos en un sistema de coordenadas rectangular y tratando de unir estos puntos por una curva, obtenemos el gráfico de f. Con técnicas más avanzadas de cálculo, se puede demostrar que el gráfico de cualquier función exponencial puede dibujarse con un "trazo continuo" como se ve en la figura 3.1. y de este modo, un punto tal como ( 2 2 , 2 ) pertenece al gráfico de f. Como podemos ver, el dominio de f es el conjunto R de los números reales y su recorrido el conjunto de los números reales positivos. Es una función creciente en su dominio y por lo tanto ¡posee función inversa!. El eje OX es una asíntota horizontal. No posee simetrías respecto al origen ni respecto al eje OY. Tratemos ahora a la función g(x) = (1/2) x . Del mismo modo que hicimos anteriormente encontramos que su gráfico es el de la figura 3.2. x f(x) -3 8 -2 4 -1 2 0 1 1 1/2 2 1/4 3 1/8 Como sabemos, g satisface las mismas propiedades de f, excepto que g es una función decreciente en todo el conjunto de los números reales. Si dibujamos los gráficos de f y g en un mismo sistema de coordenadas, ambos gráficos conforman un conjunto de punto s simétrico respecto al eje OY. ¿Se puede generalizar este hecho?. Los resultados observados en los ejemplos anteriores nos permitieron conocer las propiedades de la función exponencial de base b (propiedades cualitativas). i) El dominio de f es el conjunto R de los números reales. ii) El recorrido de f es el conjunto R + de los números reales positivos. iii) El gráfico de f no intersecta al eje OX. iv) El gráfico de f intersecta al eje OY en el punto (0,1). v) El eje OX es una asíntota horizontal al gráfico de f. vi) La función f es estrictamente creciente si b > 1. vii) La función f se estrictamente decreciente si 0 < b < 1. viii) La función f es inyectiva en su dominio. La función exponencial mantiene las mismas propiedades de los exponentes (propiedades algebraicas): Si x, y números reales cualesquiera y a, b > 0, entonces i) a x a y = a x+y ii) (a x ) y = a xy = (a x ) y iii) (ab) x = a x b x iv) (a/b) x = a x /b x v) a x /a y = a x-y En los cursos de Cálculo la base más importante es el número irracional e = 2,718281828459... es usual trabajar en las aplicaciones conla función e x que también se denota por exp(x). Ejemplos En estadística la función densidad de probabilidad de la distribución normal se define como ( ) 1 ] 1 ¸ − − · σ µ π σ 2 exp 2 1 ) ( 2 x x f para números reales µ y σ > 0. (A p se le conoce como la media y σ como la varianza de la distribución). En la figura 3.3 está representado su gráfico para el caso particular σ = 1 y µ = 0 observamos la forma de campana que tiene su gráfico, por ello también se le conoce como campana de Gauss. La función f(x) = (a/2)(e x/a + e -x/a ) se le conoce como coseno hiperbólico. Esta función modela la forma que adopta un cable uniforme flexible, o de una cadena, cuando se cuelga por sus extremos. En la figura 3.4 observamos su gráfico para el caso particular a= 1. A esta curva se le conoce también por catenaria, de la palabra catena (cadena), en latín. Las funciones hiperbólicas se definen por las siguientes reglas de correspondencia en el dominio especificado: Seno hiperbólico: senh(x) = (e x - e -x )/2 : x ε R Coseno hiperbólico: cosh(x) = (e x + e -x )/2 : x ε R Tangente hiperbólica: tanh(x) = senh(x)/cosh(x) : x ε R Cotangente Hiperbólica: cotanh(x) = 1/tanh(x) : x ≠ 0 Secante hiperbólica: sech(x) = 1/cosh(x) : x ε R Cosecante hiperbólica: cosech(x) = 1/senh(x) : x≠ 0 Resumen Conceptos Función exponencial de base b Base natural e, base decimal 10 Notación exp(x) = e x Definición de las funciones hiperbólicas Resultados Propiedades cualitativas de la función exponencial: (Dominio, recorrido, cortes del gráfico con los ejes coordenados, simetrías del gráfico, asíntotas, crecimiento o decrecimiento e inyectividad) Propiedades algebraicas de la función exponencial Procesos Uso de las propiedades cualitativas de la función exponencial en cálculos algebraicos y estudio de funciones donde ella aparece Uso de las propiedades algebraicas de la función exponencial en cálculos de expresiones algebraicas Ejercicios 1 Discutir las propiedades de cada una de las siguientes funciones cuyas reglas de correspondencia se dan a continuación. Indicar el dominio y recorrido. Dibujar el gráfico de cada función. ¿Es la función creciente o decreciente? ¿Posee inversa? ¿Su gráfico tiene asíntotas, simetrías, corta a los ejes coordenados? a) f(x) 3 x b) f(x) l x c) f(x) 3 x+1 d) f(x) ( 2 ) x e) f(x) (4/7) x f) f(x) 3 -x g) f(x) = (1/5) -x h) f(x) -4 x i) f(x) senh(x) j) f(x) tanh(x) k) f(x)= exp(x 2 ) 1) f(x) cosech(x) m) f(x) e |x| n) f(x) 4 - 2-x 2 Si el gráfico de una función exponencial contiene el punto (2,16), ¿cuál es su base?. 3 En ciertas condiciones, la presión atmosférica p (en pulgadas) a una altura de h pies está dada por p = exp(-0,000034h). ¿Cuál es la presión a una altura de 40000 pies?. 4 Determine las raíces o ceros, de las siguientes funciones en su dominio: a) f(x) xe x e x b) f(x) -x 2 e x 2xe x c) f(x) x 3 4(e 4x ) 3x 2 e 4x d) f(x) x 2 (2e 2x ) 4xe 2x e 2x 5 Utilice las definiciones de las funciones hiperbólicas, para verificar las siguientes identidades análogas a las funciones trigonométricas e indique en que dominio son válidas: a) tanh(- x) tanh(x) b) senh(x) cosh(x) e x c) cosh 2 x - senh 2 (x) 1 d) sech 2 (x) tanh 2 (x) 1 e) cosh(x y) cosh(x)cosh(y) senh(x)seh(y) f) senh(x - y) senh(x)cosh(y) - cosh(x)senh(y) g) 2senh 2 (x/2) cosh(x) - 1 8. 2cosh 2 (x) cosh(x) 1 h) tanh(x y) ) tanh( ) tanh( 1 ) tanh( ) tanh( y x y x + + i) senh(2x) 2senh(x)cosh(x) 4. Propiedades de la función logarítmica Joseph Lagrange (1736 - 1813) un eminente matemático decía: "La idea más sencilla que podemos formarnos de la teoría de logaritmos, tal como aparecen en las tablas ordinarias, es imaginar todos los números como potencias de 10; los exponentes de esas potencias serán los logaritmos de los correspondientes números". La función exponencial f(x) = b x como vimos, es una función creciente o decreciente si b≠1. Con lo cual, f es una función biyectiva de R en ]0,+∞[ y, en consecuencia, tiene inversa. Esta función inversa f -1 (x) =log b (x) se llama función logarítmica de base b. De este modo podemos decir que, para x ∈ ]0,+∞[ y para y ∈ R y log b (x) es equivalente a x b y Por ejemplo: 4 =log381 es equivalente a 81 = 3 4 1/3 = log 27 3 es equivalente a 3 27 = 3 Siendo las gráficas de f y f1 un conjunto de puntos simétrico en el plano respecto a la recta de ecuación y = x, podemos obtener la gráfica de la función logarítmica f -1 (x)= log b (x), por reflexión respecto a la mencionada recta a partir de la gráfica de la función exponencial f(x) = b x . Por ejemplo: f -1 (x) =log 2 (x) es la inversa de la función exponencial f(x) = 2 x , cuya gráfica está en la figura 3.1. Aplicando el proceso de reflexión a la gráfica de f, encontramos la gráfica de f -1 . En consecuencia, el dominio de f -1 es el recorrido de f (Df -1 = ]0,+∞[), el recorrido de f -1 es el dominio de f (Rf -1 = R). f -1 es creciente; y el eje OY es una asíntota vertical al gráfico de f -1 . En la figura 4.1 observamos la gráfica de f -1 (x) =log 2 (x). x f -1 (x) 1/8 -3 1/4 -2 1/2 -1 1 0 2 1 4 2 8 3 En general, podemos enunciar las propiedades de la función logarítmica de base b (propiedades cualitativas) que se deducen de la función exponencial: i) El dominio de f -1 es el conjunto R + de los números reales positivos. ii) El recorrido de f -1 es el conjunto R de los números reales. iii) El gráfico de f -1 no intersecta al eje OY. iv) El gráfico de f -1 intersecta al eje OX en el punto (1,0). v) El eje OY es una asíntota vertical al gráfico de f -1 vi) La función f -1 es estrictamente creciente si b > 1. vii) La función f -1 es estrictamente decreciente si 0 < b < 1. viii) La función f f -1 es inyectiva en su dominio. La función logarítmica satisface también las siguientes propiedades algebraicas, que se deducen de las propiedades algebraicas de la función exponencial. Si x, y, a, b, son números reales positivos con a ≠1, b ≠1 y r un número real cualquiera, entonces i) log b (xy) =log b x log b y ii) log b (x r ) rlog b x iii) log b (x/y) =log b x - log b y iv) x b b log x v) log b (b x ) x (x ∈ R) vi) log b (x) log a x/log a b (fórmula de cambio de base) vii) b x = b x a a log (fórmula de cambio de base) Las dos bases más usuales para el cálculo de logaritmos son la base 10 y la base e. Los logaritmos de base e aparecen en la mayoría de las aplicaciones matemáticas. La base e se llama base natural y log e x se le denomina logaritmo natural o también logaritmo neperiano. Es costumbre escribir a log e x como lnx. La base 10 se denomina base vulgar o decimal. Por convención, no se escribe el número 10 en la notación logarítmica; de modo que logx es una abreviación de log 10 x. Tomemos cualquier número positivo x escrito en notación científica, esto es, escrito en la forma x = a·l0 n donde 1≤ a < l0 y n un entero. entonces logx = log(a·l0 n ) = loga + logl0 n = loga + n Esta última forma, es la forma típica del logx y al loga se le llama mantisa. Por otro lado como y =logx es una función creciente y 1 ≤ a < 10 tenemos que log1 ≤ loga < log10, es decir, 0 ≤ loga < 1. En consecuencia, la mantisa es un número entre 0 y 1, pudiendo valer 0 y nos indica entre que órdenes de magnitud se encuentra el número x, esto es, de la igualdad anterior observamos que n ≤ logx < n 1 (1) y por lo tanto, 10 n ≤ x < 10 n+1 Al número entero n que satisface la desigualdad (1) se le llama la característica del logaritmo de x. Por ejemplo : El número x = 0,000243 se encuentra entre 10 -4 y 10 -3 , ya que -4 < log(0,000234) = log(2,43· 10 -4 ) = log2,34 + (-4) < -3 o bien, 10 -4 < 10 log0,000243 < 10 -3 Resumen Conceptos Función logarítmica de base b Base natural e, base decimal 10, logaritmo neperiano, logaritmo decimal Notación: log e x = lnx Mantisa y característica de un logaritmo Resultados Propiedades cualitativas de la función logarítmica: (Dominio, recorrido, cortes del gráfico con los ejes coordenados, simetrías del gráfico, asíntotas, crecimiento o decrecimiento e inyectividad) Propiedades algebraicas de la función logarítmica Procesos Uso de las propiedades cualitativas de la función logarítmica en cálculos algebraicos y estudio de funciones donde ella aparece Uso de las propiedades algebraicas de la función logarítmica en cálculos de expresiones algebraicas Ejercicios 1 Para cada una de las siguientes reglas de correspondencia se pide determinar: Dominio, recorrido, corte del gráfico con los ejes coordenados, simetrías del gráfico, asíntotas al gráfico, intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y gráfico de f. a) f(x) logx 2 b) f(x) log|x-2| c) f(x) log(- x) d) f(x) log(x 2 - 9) e) f(x) =log(9 - x 2 ) f) f(x) log(2x - 5) g) f(x) log(x - 1) 1 /2 h) f(x)= (log(x - 1))1 /2 L f(x) = log 1/3 (x) j) f(x) log π x k) f(x) =log 3 (x) 1) f(x) = log 1/2 |x| 2 Escribir las expresiones logarítmicas equivalentes a las siguientes expresiones exponenciales: a)5 3 =125 b)4 -2 =1/16 c) (1/3) -2 9 d) 27 3 3 Escribir las expresiones exponenciales equivalentes a las logarítmicas siguientes: a) log 9 81 = 2 b) log 10 0,0001 = -4 c) log 1/3 9 = -2 4 Simplificar cada una de las siguientes expresiones: a) log 2 8 b) log 2 128 c) log 2 1024 d) log 1/3 27 e) log 0,1 100 f) log 1/7 343 g) log 4/3 (243/1024) h) log 3 / 5 2 (9/20) i) log b 2 b 4 j) log b b (1/b) k) log 3 2 12 l) log ) ( 2 b b a b a m ) 3 ( ·log 64 log ) 16 ( log ) 8 / 1 ( log 6 / 1 3 8 3 / 1 2 2 / 1 2 − n) 2 ·log 5 log ln log 2 4 3 2 + + e π π o) 10 log 5 log 6 log 7 log 1 , 0 25 6 , 0 6 2 , 4 7 + − − p) logaritmo de m 4 n 2 /p 8 en base m n /p 2 5 Dadas las siguientes ecuaciones en términos de "x", indicar si tienen solución o no y en caso de tener solución indíquela. a) log 2 (x 2 - 9) - log 2 (x+3) 2 b) log(x 1) - logx 1 c) log 4 x log 4 (6x 10) 1 d) log(7x - 12)/logx 2 e) log 8 ((3x 4)/x) ½ f) log(x 2 - 144) -log(x 12) 1 g) log 2 x -3 h) log 3 2 j x 2 i) log x 64 -3/2 j) log x 49 2 k) log b x 3log b x 2log b y - log b z/3 l ) log b x 2log b (x 1) log b (x - 3) - 2log b (x 2) m) log 9 (10x 5) 1 / 2 -1/2 log 9 (x 1) 1/ 2 n) log 5 | 1 - x| 1 o) x lnx e 9 p) xlogx 1000/x 2 q) (logx) 2 logx 2 r) log 4 x 2 (log 4 x) 2 s) log 3x (3/x) (log 3 x) 2 1 t) log 3 x l/log 4x 9 1 u) log 5 (log 4 (log 3 x))) 0 v) (x ) log( x ) 1/2 100 6 Determine el valor de b para que los siguientes logaritmos existan: a) log b-2 x b) log 2 b-4 x c) log 2 b+7b+12 x d) log 2 b-b-20 x 7 Determine en cada caso, la característica y la mantisa de los siguientes logaritmos: a) log2456 b) log 120000 c) log0,003 d) log14,005 e) log 130,0006 f) log 1,4 g) log0,000435 h) log0,0000037 i) log1,00003 j) log0,0000000453 8 Dadas las siguientes ecuaciones en términos de "x", indicar si tienen solución o no y en caso de tener solución indíquela. a)3 x-1 =9 b)3 x+1 =15 c) 3 x/2 1/27 1/2 d) 5 (3x-1)/2 = 1/25 x e) 0,125.4 2x-1 (2 1/2 /8) -x f) (25/8) x+1 /(4/5) x+2 5 g) 7.3 x+3 7 x-2 .1701 h) 4 x - 3 x-1/2 3 x+1/2 -2 2x-1 i) 5 4x+5/3 +2.7 2x-4/3 7 2x+7/3 -24.5 4x-1/3 j) 100.10 x 1000 5/x k) 1018 5 2 − x 1 l) 32 24 5 2 + − x x =1 m) x 24 5 2 + − x x =1 n) 4 x - 2 x+1 35 o)2 2x+1 - 7.2x 4 p) [5(5 ] ) 1 /( 2 2 / 1 3 ) − + x x x ) 25 q) x 2-log(x/2) 10 1/3 r) ) 2 /( 2 / 1 4 ) 3 ( 3 − − 1 ] 1 ¸ x x x x 3 4/3 9 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: a) ¹ ' ¹ − · − · + 1 log log 16 log 5 log 6 y x y x b) ¹ ' ¹ − · − − · + 3 log log 4 3 log log 3 3 3 3 y x y x c) ¹ ' ¹ · − · + 1 ) ( log 3 ) ( log 2 2 y x y x d) ¹ ¹ ¹ ' ¹ − · − · + 2 243 3 2 y x y x e) ¹ ¹ ¹ ' ¹ · − · − 14 2 3 625 5 y x y x f) ¹ ¹ ¹ ' ¹ · − · − − + 3 1 ) ( log ) ( log 2 2 3 3 y x y x y x g) ¹ ¹ ¹ ' ¹ · · + 15 3 3 3 7 log log 2 x y y x h) ¹ ¹ ¹ ' ¹ · · − + y y y x y x x y / ) 2 ( / / ) 2 ( / 3 . 3 27 2 . 8 4 10 Demostrar que las siguientes fórmulas corresponden a las reglas de correspondencia de las funciones inversas de las funciones hiperbólicas en el dominio especificado. 1. arccosh (x) 1 : 1 ln 2 ≥ 1 ] 1 ¸ − + x x x 2. arcsenh (x) ∈ 1 ] 1 ¸ − + x x x : 1 ln 2 R 3. arctanh (x) 1 | :| 1 1 ln < 1 ] 1 ¸ − + x x x DUFFRWK[ 1 | :| 1 1 ln > 1 ] 1 ¸ − + x x x 5. arcsech (x) 1 0 : 1 1 ln 2 ≤ < 1 1 ] 1 ¸ − + x x x 6. arccsch (x) 0 : / 1 1 / 1 ln 2 ≠ 1 ] 1 ¸ + + x x x 11 Resolver las siguientes desigualdades logarítmicas y exponenciales: a) log 1/2 x log 3 x > 1 b) x ) 1 ( log + x a > a 2x (a> 1) c) log a x + log a (x + 1) < log a (2x + 6) (a > 1) d) log 3 (x 2 - 5x + 6) < 0 e) 1 ) 1 ( log 1 log 1 2 2 < − − x x f) 0 / 1 ) 2 log log 2 2 2 > − − − x x x x g) log 1/3 (log 4 (x 2 - 5)) > 0 12 Encuentre el valor máximo de la función f(x) = (log2 x) 4 + 12(log2 x) 2 .log2 (8/x) 5 Algunas aplicaciones de la función exponencial y la función logarítmica Las funciones exponencial y logarítmica juegan papeles importantes en la descripción y modelación de diversos fenómenos en la ciencia y la ingeniería. Se darán aquí algunos ejemplos que ilustrarán las aplicaciones más comunes. 1.- CRECIMIENTO EXPONENCIAL. Crecimiento demográfico: En biología la función exponencial f(t) = Ca kt donde C, k y a son constantes, se utiliza con frecuencia como modelo matemático para describir el crecimiento de una colonia de bacterias, de pequeños animales y en algunos casos, el crecimiento de una población de seres humanos. Para el caso que hablamos: C > 0, a > 1 y k > 0. Por ejemplo: Es posible que se observe que el número de bacterias en un cultivo se duplique cada hora. Si existen 500 bacterias al comienzo del experimento, entonces al cabo de un tiempo t (expresado en horas) el número de bacterias vendrá dado por p(t) = 500.2 t El caso del modelo demográfico es similar. Supongamos que en el instante t = 0, la cantidad de seres humanos en una determinada región es p(0) y que estudios realizados, estiman que la tasa de crecimiento anual de la población es del R%, entonces al cabo del primer año, el número de seres humanos vendrá dado por p(0) + p(0).R/100 o bien, p(0)(1 + R/100). Del mismo modo, al cabo del segundo año el número de personas será p(0)(1 R/100) 2 . En general, si P(t) representa en número de seres humanos en el instante de tiempo t (expresado en años) y r representa el tanto por uno en relación a la tasa de crecimiento (r = R/100) entonces, p(t) p(0)(1 r) t Interés compuesto: Si se invierte un capital C al R% anual, al cabo de t años la cantidad acumulada A(t) viene dada por la fórmula anterior, esto es, A(t) C(1 r) t Si el capital invertido C a una tasa del R% se capitaliza n veces al año, entonces la cantidad acumulada después de t años viene dada por A(t) C(1 r/n) nt 2.- DECAIMIENTO EXPONENCIAL. Desintegración radiactiva: Existen procesos que declinan rápidamente con el tiempo, particularmente los elementos radiactivos. Esto significa que se desintegran espontáneamente, emitiendo las conocidas radiaciones. El decaimiento exponencial, está caracterizado por f(t)=Ca kt donde C>0, 0<a<1 y k>0 Por ejemplo: Si hay g(0) gramos de radio (elemento radiactivo) inicialmente, entonces el número de gramos que quedan t años después viene dado por g(t) g(0)e -0,000418t Un concepto importante en desintegración radiactiva es el término vida media de elemento radiactivo. Se define como el tiempo requerido para que la mitad de la sustancia radiactiva se desintegre. En el caso del radio, la vida media la conseguiremos resolviendo la siguiente ecuación en términos de t: g(0)/2 g(0)e -0,000418t simplificando, tomando logaritmos neperianos a ambos miembros y despejando, obtenemos t = ln2/0,000481 ≈ 1658 años. Circuito eléctrico simple RL en serie: Consideremos un circuito en serie que consta de una fuerza electromotriz que proporciona un voltaje constante de E (voltios) tal como la que puede proporcionar una batería, una inductancia de L (henrios) y una resistencia de R (ohmios). Si suponemos además, que el circuito fue excitado en el instante t = 0, el flujo de corriente i(t) medido en amperios, en cualquier instante t (segundos) subsiguiente, viene dado por i(t) E/R(1 - e -(R/L) t ) Vemos que el flujo de corriente en este circuito es una suma de dos términos, un término independiente del tiempo de estado estacionario E/R, y un término Transitorio - (E/R)e (R/L)t , cuyo efecto decae con el tiempo. Como la inductancia L aparece sólo en el último término, se sigue que un circuito RL simple que opera bajo un voltaje constante terminará, a medida que transcurre el tiempo, por comportarse en forma muy análoga a la de un circuito no inductivo. El lapso de tiempo requerido para que el término transitorio se haga despreciable se llama a veces el tiempo de dilación (delay time) del circuito, y proporciona una medida de su sensitividad en su respuesta a la fuente de voltaje E. Ley de enfriamiento de Newton: Denotemos por T(t) la temperatura en grados de un objeto en un ambiente con temperatura T amb . Sea T(0) la temperatura inicial del objeto en el instante t = 0, entonces la temperatura del cuerpo en cualquier instante t viene dada por T(t) t amb (T(0) - T amb )e -kt donde k es una constante positiva que depende del material con que está fabricado el objeto. La fórmula anterior es conocida como fórmula de la ley de enfriamiento de Newton. 3.- COMPORTAMIENTOS LOGARITMICOS. Escala de Richter: En la escala de Richter la magnitud R de un terremoto se define por. R=log 10 (A/Ao) donde A es la amplitud de la onda sísmica mayor del terremoto y A o es una amplitud de referencia que corresponde a la magnitud R = 0. pH de una solución: El potencial de hidrógeno o pH de una solución viene definido mediante la fórmula pH -log 10 [H + ] el símbolo [H + ] denota la concentración de iones de hidrógeno de una solución medida en moles por litro. Este número define una escala que caracteriza a la solución como ácida, básica o neutra. ácida si 0<pH<7 neutra si pH = 7 básica si 7 < pH Otras escalas logarítmicas: Cuando se desea notar la diferencia de peso entre dos objetos, esta debe ser grande si se trata de objetos pesados que cuando se trata de objetos ligeros. Lo mismo ocurre cuando se desea diferenciar intensidades lumínicas, de sonidos, grados de tonos musicales, etc. Experimentos realizados sugieren que las personas reaccionan a los estímulos en una escala logarítmica. La siguiente fórmula se conoce como fórmula de la ley de Weber- Fechner: S Cln(R/r) donde R representa la intensidad real del estímulo, r es el valor umbral (el mínimo valor en el cual el estímulo es observado). C es una constante que depende del tipo de estímulo y S es la intensidad percibida del estímulo. De este modo, un cambio en R no es tan perceptible para "valores grandes" de R como para "valores pequeños" de R. Si calculamos distintos valores de S en función de R con r fijo, notaremos que para valores grandes de R los valores de S son muy parecidos que cuando los valores de R son pequeños. El nivel de intensidad b de un sonido medido en decibeles (dB) se define por b 10log 10 (I/Io) Aquí I representa la intensidad del sonido medida en vatios/cm 2 y Io = 10 -16 vatios/cm 2 es la intensidad del sonido más débil que pueda escucharse (0 dB). Ejercicios 1 Una función exponencial W tal que W(t) = W o e kt (para k > 0) describe el primer mes el crecimiento de cultivos como maíz, algodón y soya. La función W es el peso total en miligramos, W o es el peso en el primer día del brote o emergencia, y t es el tiempo en días. Si, para un tipo de soya, k = 0.2 y W o = 68 mg, prediga el peso final al mes. 2 El número de bacterias presentes en un cultivo después de t minutos está dada por N(t) = N o e kt . a) Encuentre k si se sabe que, después de una hora, la colonia ha extendido a 1,5 veces su población inicial. b) Encuentre el tiempo que tarda la colonia para cuadruplicar su tamaño. 3 La población de una cierta comunidad después de t años es aproximadamente de P(t) = 1700e kt . Si la población inicial aumenta 25% en 10 años, ¿cuál será la población en 50 años? 4 La cantidad que queda de 50 gramos de plutonio 239 después de t años esta dada por: g(t) = 50e -0 , 0000287t . Determine: a) El porcentaje de plutonio 239 que habrá desaparecido después de 1500 años. b) La vida media del Plutonio 239. 5 Todos los seres vivos contienen carbono 12 que es un elemento estable y carbono 14, que es radiactivo. Mientras una planta, un animal está vivo el cociente de estos dos isótopos de carbono permanece constante, debido a que el carbono 14 se renueva continuamente, pero al morir, no se absorbe más carbono 14. Si la vida media del C-14 es de 5600 años y se encontró un fósil con una milésima de C-14 correspondiente a la que el organismo contenía mientras vivía. ¿Qué edad aproximada tiene el fósil? 6 Si se invierten 1000 Bs., establezca la cantidad de dinero en la cuenta 5 años después al 8% de intereses si estos son compuestos cada: a) año, b) trimestre, c) mes, d) día. 7 Suponga que un organismo se reproduce exponencialmente a una tasa del 8% diario, y puede llenar un estanque determinado en 50 días. ¿Cuánto tardarían 10 de estos organismos en llenar el estanque? 8 El trabajo realizado para mover un pistón cuando un gas se expande de un volumen V0 a otro VI, viene dado por W = kln(V1/V0) suponiendo que la presión del gas sea inversamente proporcional a su volumen, esto es, p = k/V. Un volumen inicial de gas es de 1 pie 3 a 500 lb/pie 2 de presión, se expande hasta un volumen de 2 pies 3 . Encuentre el trabajo realizado por el gas. 9 Supongamos que en una habitación que se mantiene a una temperatura constante de 60 0 C, un objeto se enfría desde 100 0 C hasta 90 0 C en 10 minutos. ¿Cuánto tardará en enfriarse desde 90 0 C hasta 80 0 C? 10 Las medidas en vatios/cm 2 de las intensidades de un susurro, una conversación, algunos comerciales de TV y el umbral del dolor son respectivamente 10 -14 , 10 -11 , 10 -10 y 10 -4 . Determine los respectivos niveles de intensidad en decibeles. 11 La intensidad del sonido 1 es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d desde la fuente de sonido. a) Demuestre que si d l y d 2 son las distancias desde una fuente de sonido, entonces los respectivos niveles de intensidad b 1 y b 2 están relacionados por b 2 = b 1 + 20log 10 (d 1 /d 2 ). b) Determine el nivel de intensidad para un avión que pasa por encima de una torre de control, si se sabe que otro avión que paso por el mismo punto, pero al doble de la altitud del primero, con un nivel de intensidad de 70 dB. 12 ¿Cuántas veces más intenso fue el terremoto de Japón en 1983 de magnitud 8.9 en la escala de Richter, con respecto al terremoto de Ciudad de México en 1985 cuya magnitud fue de 7.8? REFERENCIAS Barnett, R. (1992). Precálculo. Álgebra, geometría analítica trigonometría. México: Limusa. Dávila, A., Navarro, P y Carvajal, J. (1996) Introducción al Cálculo. Venezuela : Mc Graw- Hill. Fleming, W. y Varberg, D. (1991). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. México: Prentice Hall. Gobran, A. (1990). Álgebra elemental. México: Grupo Editorial Iberoamérica. Leithold, L. (1989). Matemáticas previas al cálculo. México: Harla. Munem, M. A. y Yizze, J. P. (1985). Precalculus. Introducción funcional. España: Editorial Reverté. Swokowski, E. (1988). Álgebra X trigonometría con geometría analítica. México: Grupo Editorial Iberoamérica. Vance, E. (1986). Álgebra y trigonometría. Estados Unidos: Addison Wesley Iberoamericana, S.A. Zill, D. (1992). Álgebra y trigonometría. Colombia: McGraw-Hill. CONTENIDO Capitulo I Funciones Algebraicas Introducción 1. Algunas funciones de uso frecuente 2. Operaciones con funciones 3. Propiedades de algunas funciones 4. Funciones polinómica: La función afín 5. Funciones polinómica: La función cuadrática 6. Funciones polinómicas de grado mayor que dos 7. Funciones racionales 8. Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto Miscelánea de ejercicios Capitulo II Funciones Trigonometricas Introducción 1. La circunferencia unitaria 2. Función visual y funciones proyección 3. Las funciones coseno y seno 4. Otras funciones Trigonometricas 5. Funciones de suma de ángulos y suma de funciones 6. Ondas sinusoidales 7. Aplicaciones de la trigonometría 8. Funciones trigonométricas inversas 9. Una aplicación importante de la función arcotangente Miscelánea de ejercicios Capitulo III Funciones Exponenciales y Logarítmicas Introducción 1. Propiedades de los exponentes 2. Raíz enésima principal y exponentes racionales 3. Propiedades de la función exponencial 4. Propiedades de la función logarítmicas 5. Algunas Aplicaciones de la función exponencial y la función logarítmica Referencias 1 2 6 15 20 35 44 58 65 74 84 85 87 90 95 98 101 108 110 113 115 121 122 128 140 147 156 163 CAPITULO I FUNCIONES ALGEBRAICAS Introducción El concepto de función es, seguramente, el de mayor importancia en el estudio de la Matemática. Una situación frecuente en Física, por ejemplo, es el estudio de un fenómeno en el cual están relacionadas dos cantidades (longitud, masa, tiempo, densidad, voltajes de entrada y salida en un circuito, resistencia, etc.) de modo que al variar una de ellas, que usualmente se denota por "x" y se llama (convencionalmente), variable independiente, produce modificaciones de la otra, que se llama (convencionalmente) variable dependiente y se denota por”y”: Se dice, en tales condiciones, que y es función de x. Si ambas cantidades x e y representan números reales estamos frente al caso de funciones reales de variable real o, simplemente funciones reales. Los valores de x pertenecen a un cierto subconjunto de R llamado dominio de la función y los valores de y están en otro subconjunto de R llamado el recorrido de la función. Formalmente, entonces, una función real de variable real, o simplem ente función real, se caracteriza a partir de: A un primer subconjunto de R que sirve como conjunto de salida B un segundo subconjunto de R que sirve como conjunto de llegada una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x de A un único elemento y de B, lo cual se escribe y = f(x). Se utiliza para ésto un esquema del siguiente tipo: x → f(x) Se dice que x es el argumento o el antecedente o preimagen de f, que y es la imagen o el consecuente de x por f Así, dos funciones f y g son iguales si, y solamente si, tienen el mismo dominio, tienen el mismo recorrido y cada x en el dominio tiene la misma imagen por ambas funciones. E1 conjunto que contiene todas las imágenes de los elementos del dominio A de la función f se llama imagen de f o imagen de A por y se denota por f(A). En símbolos: f(A) = { y ∈ B /∃ x ∈ A, y = f(x) } 2 La gráfica de la función f es el subconjunto de R formado por todos los puntos de coordenadas (x, f(x)). f: A →B En símbolos Gf = { (xf(x)) / x ∈ A} denotada por | |. caso c>0 Caso c=0 Caso c<0 y y x x Su grafica es una recta paralela al eje de las abscisas a distancia c unidades de dicho eje. recorrido R+ ∪{0} y regla de correspondencia f(x) = |x| = Su grafica es la unión de dos rayos. tiene dominio R. Algunas funciones de uso frecuente La función constante tiene como dominio R. más abajo del eje si c < 0 y coincidiendo con dicho eje si c=0. como recorrido {c} y como regla de correspondencia f(x) = c. Gráfica de la función valor absoluto x si x ≥ 0 -x si x ≤ 0 y x . El bisector del primer cuadrante y el bisector del segundo cuadrante. y o x Su gráfica es la recta bisectriz del primer y tercer cuadrantes Gráfica de la función identidad La función valor absoluto. La función identidad tiene como dominio y recorrido el conjunto R y correspondencia es f(x) = x. más arriba del eje si c > 0.1. y si m = 1 y n = 0 es la función identidad). n<0 La grafica es una recta de pendiente m y que pasa por el punto (0. n = 0 m>0.n). m>0 . n =0 m<0. y x . n>0 m<0. n=0 m<0. dominio y recorrido el La grafica es una rama de parábola x x Gráfica de la función raíz cuadrada .La función afín tiene regla de correspondencia f(x) = mx + n (en el caso m = 0 se trata de la función constante. Si m ≠ 0 tanto su dominio como su recorrido son el conjunto R. n>0 m>0. Gráficas de las funciones afines La función raíz cuadrada tiene regla de correspondencia f(x) = conjunto R+ ∪{0}. si k ≤ x < k + l La gráfica es una familia de segmentos paralelos como se ilustra en la figura adjunta La función mantisa tiene regla de correspondencia f(x) = x . como se muestra en la figura adjunta. tiene dominio R. .La función parte entera.[x]. recorrido Z (el conjunto de los enteros) y regla de correspondencia dada por: f(x) =[x]= k. Gráfica de la función Resumen Conceptos Función real de variable real Dominio Recorrido Imagen de un elemento Imagen de un conjunto Gráfica de una función. denotada por [ ]. su recorrido es el intervalo semicerrado por la izquierda y semiabierto por la izquierda La gráfica la constituye una familia de segmentos de pendiente l. su dominio es R. y cae 192 cm en 2 segundos g. f(x) = 0 si x ∈ ]-∞. e. f. d. el recorrido y la gráfica: a. El interés simple que produce el dinero depositado en un banco es función del tiempo. c.3[ si x ∈ [3. Determine. recorrido y gráfica de los modelos matemáticos que corresponden a cada una de las siguientes situaciones: a. Las siguientes reglas de correspondencia permiten construir funciones.1] b. Determinar reglas de correspondencia. en los primeros meses. f(x)= 2[x] si x ∈[1.Resultados Una función real se construye con dos subconjuntos de R y una regla de correspondencia Procesos Construcción de una función Graficación de una función Ejercicios 1. La distancia que recorre un cuerpo en caída libre es directamente proporcional al cuadrado del tiempo. un dominio (el más incluyente posible). La altura con respecto al piso de un cuerpo en caída libre depende del tiempo. +∞[ e. El periodo de un péndulo varia directamente con la raíz cuadra . en condiciones normales. b. a razón de 1 kg. f(x) = 2. f(x) = [2x] |x| c. para cada una de ellas. por mes. La relación entre grados Celsius y Farenheit es de carácter funciónal La depreciación de un vehículo es función del tiempo Un recién nacido. f(x)= x + 3 x x−2 d. dominio. aumenta su peso. h. i. respectivamente. se definen a través de las reglas de correspondencia siguientes (f+g)(x) = f(x) + g(x) (fg)(x) = f(x)g(x) y con dominios dados por Df+g = Df-g = Dfg = Df ∩ D g y Df/g = Df ∩ Dg .{x e Dg / g(x)=0} Las reglas de correspondencia indican que las gráficas de estas funciones se pueden obtener. restando. Operaciones con funciones Sean f y g funciones reales con dominios Df y Dg . a partir de las gráficas de f y g. diferencia. sumando. La energía cinética de un cuerpo en movimiento va ria conjuntamente con el producto de su masa y el cuadrado de su velocidad. respectivamente. f *g y f /g. El tono de una campana es inversamente proporcional a la raíz cúbica de su peso y una cierta campana de 1600 Kg de peso tiene un tono de 612 ciclos por segundo 2. respectivamente.g.g(x) (f/g)(x) = f(x)/g(x) . llamadas suma. Ejemplo Sean f(x) = x y g(x) = x Entonces: Df+g = Df-g = Dfg = R ∩ (R + ∪ {0)) = R + ∪ {0} Df/g = R ∩ (R+ ∪{0}-{x ∈ (R + ∪ {0}/ x =0} = R+ Rf+g = Rf g = R+ ∪ {0} y Rf/g = R+ Las gráficas de estas cuatro funciones se dan a continuación (f g)(x) = f(x) . las correspondientes ordenadas de f y de g que se ubicar abscisa común. f. multiplicando o dividiendo. Las funciones f+g. producto y cociente de f y g. g) → f+g en donde (f+g)(x) = f(x) + g(x) y (f · g)(x) = f(x)·g(x) Al igual que en el caso de adición y multiplicación de números reales. g ∈ F se cumple que f + g = g + f (es decir la adición es conmutativa) ∀ f ∈ F se cumple que f + 0 = f (es decir la función constante cero es neutro aditivo) ∀ f. h ∈ F se cumple que (f · g) · h = f · (g · h) (es decir la multiplicación es asociativa) ∀ f. g ∈ F se cumple que f · g = g · f (es decir la multiplicación es conmutativa) ∀ f ∈ F se cumple que f · 1 = f (es decir la función constante uno es unidad multiplicativa) Al) A2) A3) A4) Ml) M2) M3) A4) . h ∈ F se cumple que (f + g) + h = f + (g + h) (es decir la adición es asociativa) ∀ f. g. definidas por: ·: F x F →F (f. g ∈ F se cumple que f + g ∈ F (es decir F es cerrado con respecto a la adición) ∀ f. se pueden establecer las siguientes propiedades: ∀ f. g ∈ F se cumple que f · g ∈ F (es decir F es cerrado con respecto a la multiplicación) ∀ f. llamadas adición y multiplicación de funciones. g.g) → f·g +: F x F→ F (f.Si F denota el conjunto de todas las funciones reales. las reglas de correspondencia para la suma y el producto permiten definir en F dos operaciones. 0) . C g Rf∩ Dg ≠∅ La gráfica de gof se construye a partir de las gráficas de g y f. f(x)) 3) Se traza la recta horizontal por (x. coordenadas (f(x). g. de acuerdo al siguiente procedimiento: 1) A partir de una accisa x ∈ Df se traza una recta vertical por el punto (x. denotada por gof. A gof D B. el punto de corte de la recta horizontal que pasa por (f(x). La función compuesta de f y g. fx)) 6) El punto (x. g(f(x))) es. en consecuencia. se obtiene a partir de la regla de correspondencia (gof)(x) = g(f(x)) y su dominio es el subconjunto de A que contiene a los valores x para los cuales g(f(x)) está en D. es decir el punto )x. Otro procedimiento para construir una nueva función a partir de otras dos conocidas es el siguiente: Sean f : A → B y g : C → D dos funciones dadas. entonces. h ∈ F se cumple que f ·(g + h) = f · g + f · h (es decir la multiplicación es distributiva con respecto a la adición). f(x)) 4) Se determina el punto de corte de esta recta con la recta bisectriz del primer y tercer cuadrantes. es decir la recta de ecuación y = x 5) Este punto de corte tiene.0) 2) Se determina el punto de corte de esta recta con la gráfica de f. Tal función existe solamente si Rf n Dg es un conjunto no vacío y su construcción se recuerda a través del siguiente diagrama. g(f(x))) y la recta vertical que pasa por (x.A5) D) Dada f ∈ F no necesariamente existe inversa multiplicativa ∀ f. .Ejemplo Sean las funciones cuyas reglas de correspondencia son f(x) = 3x .+∞[ (como puede apreciarse es un subconjunto del dominio de f) y la gráfica es una rama de parábola trasladada. resulta que la compuesta gof existe y su regla de correspondencia es: (gof)(x) = g(f(x)) = g(3x-1) = 3x − 1 El dominio de gof es el intervalo [1/3.1 y g(x) = Como Rf = R y x Dg = R+ ∪ {0}. f(A) = B biyectiva si. con inversa de f con respecto a la composición) (f-1 )-1 =f • . y sólo si. es decir. y sólo si. Una función f : A→ B se dice: inyectiva si. se denota por f-1 (pero. De la definición anterior resulta que: • • • • • A=D f. g ∈ F se cumple gof ∈ F (es decir. g. luego f ( x ) = 4 ó f (x) = -4. ∀ a. entonces Gf* = { (f(x). A=Rf* Si Gf= {(x. h ∈ F se cumple: (gof)oh = go(foh) (es decir. g. la operación composición de funciones satisface las siguientes propiedades: CI) ∀ f. ¡un mismo x debe tener dos imágenes mediante f !. es decir 1/f. para un cierto x tal que (fof)(x) = 4 se tendría : (fof)(x) = f(f(x)) = |f(x)| = 4. alertamos al lector a no confundir valor reciproco de una función. en la práctica. la composición es asociativa) C3) La composición no es conmutativa C4) Si I denota la función identidad y f ∈ F.x) } es la gráfica de f* G f y G f * son simétricas con respecto a la recta de ecuación y = x (fof*)(x) = f(f*(x)) = x para todo x ∈ B es única y. F es cerrado para la operación composición) C2) ∀ f. entonces Iof = foI = f C5) ∀ f. negativa. y sólo si. con lo cual f no es una función. entonces la función f : B → A con regla de correspondencia f(f(x)) = x se llama inversa de f. en general. f(x))} es la gráfica de f.b ∈ A f(a) = f(b)====> a = b sobreyectiva si. h ∈ F se cumple: (g·f)oh = gof · foh Dada una función f cabe formularse la siguiente pregunta: ¿existe una función f tal que foe = I (en donde I es la función identidad)? La respuesta es. Así por ejemplo si f(x) = |x| y existiera un tal f . g. B=R f ===>B=Df*. h ∈ F se cumple: (g+f)oh = gof + foh C6) ∀ f. es inyectiva y sobreyectiva a la vez Si f : A→ B es una biyección.Si F es el conjunto de las funciones reales de variable real. 5 es una biyeccion de R en si mismo. luego ella tiene inversa.5.Los siguientes diagramas permiten recordar las relaciones existentes entre f y su inversa Ejemplos • 2 f(x)= x .5 = x 2g -1 (x) = x + 5. Como g(x) = 2x . entonces g-1 debe cumplir: g -1 (g (x)) = g (g -1 (x)) = x g(g -1 (x)) = 2g -1 (x) . como función de R en R no es invertible (pues no es inyectiva). luego: g −1 ( x ) = x+5 2 . pero si la consideramos + como función R ∪ {0} en R+ ∪ {0} (en cuyo caso es una -1 biyeccion) ella tiene inversa f dada por la regla f-1 (x) = x • g(x) = 2x . Resumen Conceptos Suma de dos funciones Resta de dos funciones Multiplicación de dos funciones División de dos funciones Composición de dos funciones Función inversa Función inyectiva Función sobreyectiva Función biyectiva. Resultados Propiedades de la adición de funciones Propiedades de la multiplicación de funciones Propiedades de la composición de funciones. Procesos Demostración de las propiedades de la adición, de la multiplicación y de la composición de funciones Construcción de graficas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones Construcción de la grafica de una composición Construcción de la gráfica de la inversa. Ejercicios 1. Para cada pareja de funciones f y g siguientes hacer un estudio completo (dominio, recorrido y gráfica) de: f+g, f- g, f ·g y f/g a. f(x) = x2 b. f(x) = [x] c. f(x) = |x| g(x) = x – 5 g(x) = x2 g(x) = 1 d. f ( x ) =  x2 - x x si x < 0 si x ≥ 0 g(x)= x 2 Explicar cuál es el procedimiento geométrico, y aplicarlo, para obtener las gráficas de g y de h, a partir de la grafica de f, en cada uno de los siguientes casos: a) f(x) = IxI b) f(x) = Çx c) f(x) = [x] d) f(x) = x2 e) f(x) =3x - 5 g(x) = f(x) + 2 g(x) = f(x) - 1 g(x) = f(x) + 3 g(x) = 3f(x) g(x) = -2f(x) h(x) = f(x+2) h(x) = f(x-1) h(x) = f(x+3) h(x) = f(3x) h(x) = f(-2x) 3 Hacer un estudio de completo (dominio, recorrido y grafica) de las composiciones gof y fog, para cada uno de los siguientes casos: a) f(x) = 2x - 1 b) f(x) = x2 c) f(x) = x - x 2  f) f ( x) =  2 x  si x ≤ 0 si x > 0 g(x) = -3x + 2 g(x) = 1 /x g(x) = [x] g(x)= x 4 Determinar: a) El valor del parámetro k para el cual (fog)(x) = (gof)(x), sabiendo que f(x) = 2x - 5 y g(x) = 3x+k b) Si existe o no una función g tal que (fog)(x)=(gof)(x), sabiendo que f(x)=( 2x-1)3 c) (fofof)(x) si f(x) = 1 - 1 /x d) Funciones f, g y h que permitan demostrar que la relacion fo(g+h) = fog+foh es falsa 5 Un recipiente cilíndrico tiene base circular de radio 3 cm a) Expresar el volumen v del recipiente como una función de su altura b) Expresar la altura h como una función del tiempo si después de t segundos la altura es 2t + 1 c) Expresar el volumen como una función del tiempo d) determinar la altura como función del tiempo si al recipiente se le coloca agua a una velocid ad de 21/s 6 Estudiar existencia de inversa (global o local) para cada una de las siguientes funciones y, dibujar en un mismo sistema de coordenadas, las gráficas de f y de f' a) f(x) = 3x + 2 c) f(x) = x 3 b) f(x) = l/3 - x/5 d) f(x) = x4 f) f(x)= -3x2 + 2 e) f(x) = | x + 1 | 7 Sean f(x) = 1 - 3x y g(x) = 2x +3 a) Hallar f-1 y g-1 b) Demostrar que (fog) -1 = g -1 o f -1 c) Demostrar que la propiedad b) anterior es válida cualesquiera sean las funciones f y g. 8 Demostrar que cada una de las siguientes funciones es inyectiva a) f(x) = 2x - 5 c) h(x) = 2/(x3 + 1) 9 Determinar: b) g(x) = 1/x d) i(x) = (x2 - 1)/x si x > 0 a) Una función inyectiva con dominio [0,4] y recorrido [0,1] b) Una función inyectiva con dominio [a,b] y recorrido [0,1 ] c) Una función inyectiva con dominio [a,b] y recorrido [c,d] para cada x ∈ Df se cumple que f(. el menor numero positivo p (si es que existe) tal que f(x+p)=f(x) se llama periodo fundamental o. x2 ∈ S tales que x1 < x2 se cumple que f(x1 ) < f(x2 ) estrictamente decreciente en un subconjunto S de Df si. en donde k es un entero. para cada x ∈ Df se cumple que f(x + p) = f(x) estrictamente creciente en un subconjunto S de Df si. para cada x ∈ D f se cumple que f(-x) = f(x) impar si. pero. . el periodo de f. como en general las funciones tienen dominios formados por infinitos números reales se hace necesario disponer de criterios adicionales para determinar el comportamiento de tales gráficas. La forma más rudimentaria para determinar la gráfica consiste en la elaboración de una tabla de valores. Los puntos de coordenadas (x. y solo si.3. Propiedades de algunas funciones El estudio completo de una función culmina en la construcción de su gráfica. estrictamente decreciente en R.y) y (-x.[x] es periódica y de periodo 1. ambos están en una recta perpendicular al eje Oy y a igual distancia de dicho eje). simplemente. y solo si. estrictamente creciente en cualquier intervalo de la forma [k. si una función es par su gráfica es una curva simétrica con respecto al eje Oy (eje de simetría).y) son simétricos uno del otro con respecto al eje Oy (es decir. para cada x1 . en consecuencia. y solo si.∪ {0} y estrictamente creciente en R+ ∪ {0} La función f(x) = x .x) = . Ejemplos • • • La funció n afro f(x) = x es impar y estrictamente creciente en R La función f(x) = |x| es par. y solo si. para cada x1.k+1 [.f(x) periódica si. existe un numero real positivo p tal que. Esta sección se dedica a estudiar un conjunto de propiedades que ayudan a este propósito. y solo si. Una función real con dominio Df se dice: • • • • • par si. x2 ∈ S tales que x1 < x2 se cumple que f(x1 ) > f(x2 ) Si una función f es periódica. Los puntos de coordenadas (x. si una función es impar su grafica es una curva simétrica con respecto al origen del sistema de coordenadas (centro de simetría). En efecto: f(.x3 = -f(x) Luego su grafica es simétrica con respecto al origen del sistema de coordenadas. ambos están en la recta que pasa por el origen del sistema y a igual distancia de dicho punto).x) = (-x)3 = .-y) son simétricos uno del otro con respecto al origen del sistema de coordenadas (es decir. • La función f(x) = x4 -2x2 +1 es par. en consecuencia. En efecto : f(.x) = (-X)4 -2(. Ejemplos • La función f(x) = x3 es impar.X)2 +1= x4 2X2 +1 = f(X) Luego su grafica es simétrica con respecto al eje Oy .y) y (-x. p[ para poder determinar el valor de f en cualquier punto.p[ por copias sucesivas.Si una función es periódica y con periodo p. basta con conocer los valores de f en intervalo [O. • La función f(x) = x2 -2x-3 es decreciente en ]-∞. la grafica de f se obtiene a partir de la grafica en [O.1] y creciente en [1. luego tiene un mínimo local (y global) en x=1 . Ejemplo La función mantisa f(x) = x .+ ∞ [. sino también a la determinación los valores de x para los cuales f(x) alcanza un máximo local o un mínimo local.[x] es periódica y de periodo 1 El estudio del crecimiento y decrecimiento de una función en ciertos subconjuntos de dominio no solo ayuda a la construcción de su grafica.xo ] y creciente en [xo . luego tiene un máximo local (y global) en x = . En efecto.b] se dice que tiene un mínimo local en x0 Ejemplos • La función f(x) = -x2 .+ ∞ [.b] se dice que tiene un máximo local en x. si f es decreciente en [a.2. entendido estos conceptos en los siguientes términos: • • si f es creciente en [a.4x + 5 es creciente en ]-∞. hacia la derecha de p hacia la izquierda de 0.xo ] y decreciente en [xo .-2] y decreciente en [-2. Resumen Conceptos Función par Función impar Función periódica Periodo de una función periódica Función estrictamente creciente en un subconjunto de su dominio Función estrictamente decreciente en un subconjunto de su dominio Máximo local de una función Máximo global de una función Mínimo local de una función Mínimo global de una función Resultados Relación entre paridad y grafica de una función Relación entre imparidad y grafica de una función Relación entre periodicidad y gráfica de una función Relación entre crecimiento y grafica de una función Relación entre decrecimiento y grafica de una función Procesos Determinación de la paridad. Construcción de la gráfica de una función par Construcción de la grafica de una función impar Construcción de la grafica de una función periódica Determinación de máximos locales de una función Determinación de máximos globales de una función Determinación de mínimos locales de una función Determinación de mínimos globales de una función . periodicidad. cimiento de una función. imparidad. [2x] Sea f una función estrictamente creciente en su dominio. que f es par y periódica de periodo 2. g pares (impares) ===> f+g es par (impar) b) f.f es estrictamente creciente 3 Un ganadero desea construir un corral rectangular con 800 m de perímetro. decrecimiento. g pares (impares) ===> f/g es par (impar) e) f.Ejercicios 1 Hacer el estudio completo (dominio. ¿cuales de las siguientes afirmaciones son falsa y cuales son verdaderas? a) 2f también es estrictamente creciente b) -f es estrictamente decreciente c) 1 /f es estrictamente decreciente d) 3 . paridad. 5 Construir la grafica de una función sabiendo que f(x) = 3x . ¿cuales deben ser las medidas para que el área encerrada sea máxima? 4 Sea f una función periódica de periodo p.[x] d) f(x) = f) f(x) = x 4 x +1 h) f(x) = . 6 Sean f. recorrido. máximos y mínimos locales y globales) de cada una de las siguientes funciones: a) f(x) = 3x2 – 1 c) f(x) = 2x2 + 16x – 2 e) f(x) = x + 1/x g) f(x) = x 2 − 1 i) f(x) = [x3 ] 2 3 b) f(x) = x2 . periodicidad.1 si 0 5 x < 1.x l /3 j) f(x) = 1 . g funciones. Demostrar que para todo numero natural n se verifica f(x + np) = f(x). g periódicas ===> f+g es periódica . imparidad. g pares (impares) ===> f-g es par (impar) c) f .g pares (impares) ===>f ·g es par (impar) d) f. Determinar si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa a) f. crecimiento. g estrictamente crecientes (decrecientes) ===> f ·g es estrictamente creciente (decreciente) l) f. Como casos particulares de funciones polinómicas se tienen: • • • Si n = 0. g estrictamente crecientes (decrecientes) ===> f/g es estrictamente creciente (decreciente) 7 Investigar que relaciones hay entre paridad. f(x) = alx + a0 = mx + n la función afín Si n = 2.an-1 . recorrido {c} y grafica una recta paralela al eje Ox por el punto de coordenadas (O.a1 . .g periódicas ===> f-g es periódica g) f. imparidad. g periódicas ===> f ·g es periódica h) f.a1 .. 4. la función cuadrática.. f(x) = a0 = c la función constante Si n = 1. g periódicas ===> f/g es periódica i) f.f) f ..an } una colección de n+l números reales tales que an ≠ 0. periodicidad y composición de dos funciones. g estrictamente crecientes (decrecientes) ===> f+g es estrictamente creciente (decreciente) j) f. + a1 x + a0 genera una función llamada función polinómica de grado n en la variable x y con coeficientes a0..c).a n-1 . Ya se ha visto que la función constante f(x) = c tiene dominio R... f(x) = a2 x2 + a1 x + a0 = ax2 + bx + c.Funciones polinómicas: la función afín Sean n un número natural y {a o . La regla de correspondencia f(x) = a n xn + an-1 xn-1 + . .an . g estrictamente crecientes (decrecientes) ===> f-g es estrictamente creciente (decreciente) k) f. También ya se vio que la función afín tiene regla de correspondencia f(x) = mx + n (en el caso m = 0 se trata de la función constante.Y2 ) es: 2 2 d(P l. luego: 2 d(P 1.x1 | = d(P 1 . En primer lugar. en sentido geométrico. P2 )= ( x 2 − x1 ) + ( y 2 − y1 ) En efecto: Como dos puntos determinan una única recta se tie nen los tres casos siguientes: Caso 1: P1 y P2 están en una recta paralela al eje Ox En tal situación y1 = y2 . La distancia entre dos puntos P1(x1 . veamos por que su gráfica es.n) Estudiemos con más detalles la función afín.Y1 ) y P2 (x2. y si m = 1 y n = 0 es la función identidad).P2 ) = |y2 . luego: 2 d(P 1 .y1 | = d(P1 . Si m≠0 tanto su dominio como su recorrido son el conjunto R. una recta.xl = 0. La gráfica es una recta de pendiente m que pasa por el punto (0.Y1 = 0.P2 ) = ( y 2 − y1 ) Caso 3 : P1 y P2 están en una recta no paralela a ninguno de los ejes coordenados. en consecuencia Y2 .P2 ) = ( x2 − x1 ) Caso 2: P1 y P2 están en una recta paralela al eje Oy En tal situación x1 = x2 .P2) = |x2 . . en consecuencia x2 . En tal situación P1 . P2(x2 .y2 = m(x3 .x1|2 + Iy2 . determinan un triangulo rectángulo de hipotenusa P1 P2 y catetos P1 Q y QP 2 .P3 ).P2 ) + d(P 2.P2 ) = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 + y1 ) 2 = ( x 2 − x1 ) 2 + m 2 ( x2 − x1 ) 2 = (1 + m 2 ) x 2 − x1 (1) . y solo si. es decir: [d(P 1.y1 = m(x3 . se cumple la relación d(P 1 .Q]2 . de donde: d(P1 .x2 ).y2 ) y P3 (x3 . y3 . puede demostrarse que la grafica de la función afín es una recta. (No hay perdida de generalidad si se supone que x1 < x2 < x3 ).x1 ). de donde: d(P 1. de acuerdo a la figura adjunta.y3 ) son tres puntos cualesquiera de la grafica de la función afín (es decir sus coordenadas satisfacen la relación f(x) =( mx + n) y que P 2 esta entre P1 y P3. luego: y2 .y1 |2 .P2 )]2 = |x2 .P2 )= (x2 .yl).x1 )2 + (y2 .y1 ). y usando el hecho que la recta puede caracterizarse como la curva que minimiza la distancia entre dos puntos. y2 = mx2 + n.Q)]2 + [d(P 2. se tiene: [d(P 1. y3 . y3 = mx3 + n. Entonces.xl).P2 )]2 = [d(P 1 . Pero: y1 = mxl + n. En efecto: Supóngase que P1 (xl. Resulta entonces que estos tres puntos son colineales (están sobre una misma recta) si. P2 y el punto Q(x2. por el teorema de Pitágoras.y1 = m(x2 .P3 ) = d(P1 .y1 ) 2 Usando la formula anterior. P3 ) El desarrollo anterior también nos permite concluir que si P1 (x1 . entonces: m= y 2 − y1 . En efecto: x1 < x2 ===> x2 .P2 ) + d(P2 .d(P 2. y.n)) y si se desea saber en qué punto su grafica corta al eje Ox se genera la ecuación f(x)=0. coeficiente que se llama pendiente de la recta. si m > 0. de donde: y2 = f(x2 ) < y1 = f(x1 ) con lo cual f es estrictamente decreciente Si f(x) = mx + n es la función afín su grafica corta al eje Oy en el punto (O. entonces: mx + n ===> x = -n/m . de aquí que n se llame coeficiente de posición de la recta (ella pasa por el punto (O. x 2 − x1 La función afín f(x) = mx + n es estrictamente creciente para m > 0 y estrictamente y estrictamente decreciente para m < 0. P2 (x2 . Pero.y1 ).P3 ) = d(P 1. resulta que y2 .y1 > 0.P3 ) = ( x3 − x 2 ) 2 + ( y3 + y 2 ) 2 = ( x 3 − x2 ) 2 + m 2 ( x 3 − x 2 ) 2 = (1 + m 2 ) x3 − x 2 (2) ( x3 − x1 ) 2 + ( y 3 + y1 ) 2 = ( x3 − x1 ) 2 + m 2 ( x 3 − x1 ) 2 = (1+ m 2 ) x3 − x1 De (1) y (2) vemos que 2 2 2 d(P 1. si m < 0.P3) = (1 + m ) x2 − x1 + (1 + m x3 − x 2 = (1 + m x 3 − x1 = d (P 1 .y1 < 0.n).x1 > 0. resulta que y2 .y2 ) son dos puntos cualesquiera de la grafica de la función afín con regla de correspondencia f(x) = mx + n. de donde: y2 = f(x2 ) > y1 = f(x1 ) con lo cual f es estrictamente creciente Análogamente. La búsqueda de valores de x para los cuales la grafica de f está en el semiplano superior (mas arriba del eje Ox) o inferior (mas abajo del eje Ox) permite generar las inecuaciones f(x) = mx+n>O. la grafica de f(x) = mx + n es la recta que pasa por los puntos (O.-n/m[ Si m > 0.∞. 0).n/m.+∞[ Si m < 0. mx + n > 0 ===> x < -n/m y el conjunto solución es ].+∞ [ El conocimiento que se tiene hasta este momento sobre la función afín permite establecer el siguiente resultado importante. es decir.n) y (n/m.En resumen.C/B) que determina una función afín.0) Caso 3: A y B no nulos La ecuación queda y = (. por el punto (-C/A. En efecto. mx + n < 0 ===> x < -n/m y el conjunto solución es ]. A una relación de primer grado en dos variables. del signo de m como se ve en los cuatro ejemplos a continuación: Si m > 0.A/B)x + (. cuya grafica es una recta paralela al eje Oy. f(x) = mx+n ≥ 0. mx + n > 0 ===> x > -n/m y el conjunto solución es ]. consideradas como subconjuntos de puntos de un mismo plano. esencialmente. tienen entre si las siguientes posiciones relativas: (1) R1 = R2 (se cortan en todos sus puntos) (2) R1 ∩R2 = ∅ (no se cortan en punto alguno) (3) R1 ∩ R2 = {I} (se cortan en un único punto I) . se tienen los siguientes casos: Caso 1: A = 0 (B ≠0) Se trata de la función constante y = -C B Caso2: B=0 (A≠0) Se tiene la ecuación x=-C/A.∞. la generada por la ecuación Ax + By + C = 0. cuya grafica es una recta de pendiente (-A/B) y coeficiente de posición (-C/B) Dos rectas R1 y R2 . cuyos conjuntos solución dependen. le corresponde como grafica una recta.-n/m[ Si m < 0. mx + n < 0 ===> x > -n/m y el conjunto solución es ].n/m. f(x) = mx+n<O y f(x) = mx+n ≤ 0. m1 − m 2 Si ml ≠ m2 .n1 = 0 en cuyo caso todo punto que satisface (*) también cumple (**) (pues se trata de la misma ecuación). se esta en el caso (3). respectivamente: . luego: (ml .n1 n 2 − n1 satisface (*) y (**) y. ¿es posible caracterizar en cuál de los casos (1). de donde: ml x . y solo si. Resumimos lo anterior en el siguiente resultado: Dos rectas R1 : f1(x) = m1 x + n1 y R2 : f2 (x) = m2 x + n2 son: paralelas si.En cualquiera de los casos (1) o (2) se dice que las rectas R1 y R2 son paralelas y en el caso (3) R1 y R2 se dicen secantes Ahora bien. dos rectas son perpendiculares (se cortan en un ángulo recto) si. el producto de s us pendientes es -1 Si se tienen dos rectas R1 y R2 . luego se tienen las dos opciones siguientes: n2 . y solo si.m2 )x = n2 .nl. de modo que se analizará el caso en que ambas rectas sean no paralelas a ninguno de los ejes coordenados. resulta que ml . sus pendientes son diferentes Puede probarse que.m2 x = n2 . y solo si. (2) o (3) se está si solo se conocen las respectivas ecuaciones de R1 y R2 ? Si alguna de las rectas R1 o R2 es paralela a uno de los ejes coordenados la respuesta es muy sencilla. de ecuaciones. en caso de ser secantes. entonces: y = m1 x + n1 = m2 x + n2 . entonces x = Si ml = m2 .y). digamos: R1 es la grafica de la función afín fl(x) = m1 x + n1 (*) R2 es la grafica de la función afín f2 (x) = m2 x + n2 (**) Si hay un punto común a ambas rectas. sus pendientes son iguales secantes si.n1 ≠ 0 en cuyo caso ningún punto satisface (*) y (**) n2 .m2 = 0. digamos (x. en cuyo caso se dice que el sistema es compatible o consistente indeterminado (2) paralelas y distintas. sistema es incompatible o inconsistente (3) secantes. R1 = R2 (se cortan en todos sus puntos). Procedimiento geométrico para resolver un s sistema Se grafican ambas rectas y se determina si ellas son: (1) coincidentes. Ejemplo Resolver el sistema: x − y = 4   x + y = 12 Como muestra la figura adjunta las graficas de ambas rectas se cortan en el punto I(8. es decir.4). es decir.A1 x+B1 + C1 =0 A1 x+B1 + C1 =0 la búsqueda de puntos de intersección conduce a los conceptos de sistema de ecuaciones simultáneas (conjunto de ecuaciones). caso en el cual el 1 sistema se dice compatible o consistente determinado. luego se trata de un sistema compatible determinado cuyo conjunto solución es S= {(8. es decir R1 ∩ R2 = ∅ (no se cortan en punto alguno). en cuyo caso se dice que el.4)} . conjunto soluc ión de un sistema (intersección de los conjuntos solución de cada una de las ecuaciones del sistema) y a la búsqueda de resultados y procedimientos que permitan resolver un sistema. R ∩R2 = {I} (se cortan en un único punto I). efectivamente. Ilustraremos dos de ellos con un par de ejemplos: Ejemplo Resolver el sistema x .1 = 0 5y . Cuando dos sistemas tienen el mismo conjunto solución se dicen equivalentes. en consecuencia. que es el mismo que el conjunto solución del sistema original (i). obteniendo el nuevo sistema equivalente: x-y. (ii).5 = 0 (iii) (iv) Multiplicamos la ecuación (iv) por (1/5).y -1= 0 3x + 2y . al sustituir en las ecuaciones originales x por 2 e y por 1 se tiene: 2-1-1=0 y 3·2+2·1-8=6+2-8=8-8=0 . además.Procedimientos algebraicos para re solver un sistema Las siguientes operaciones sobre un sistema. En resumen el conjunto solución del sistema (v). 1)} . llamadas transformaciones elementales. modifican el sistema no así su conjunto solución: TE1) Intercambio del orden de las ecuaciones TE2) Multiplicación de una ecuación por una constante no nula TE3) Adición a una de las ecuaciones de un múltiplo de la otra ecuación. al sustituir este valor en (v) se obtiene x = 2. En primer lugar ambas rectas son no paralelas (¿por qué?). la solución de la ecuación (vi) es y = 1 y. en consecuencia se cortan en un solo punto y. es S = {(2.1 = 0 (v) (vi) Pero.y . (vi). este es el conjunto solución del sistema original. Usando convenientemente una o más de estas tres operaciones elementales se generan procedimientos algebraicos para resolver un sistema. Se puede verificar que.1 =0 y. entonces.8 = 0 (i) (ii) Si multiplicamos la ecuación (i) por (-3) y el resultado lo sumamos a (ii) se tiene el nuevo sistema equivalente: x. en una de sus fases. Esta observación nos permite resolver sistemas de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas (cada ecuación representa un plano en R3 ). obteniendo x = 6 .3y + 2z = 5 (i) (ii) (iii) .3z = -9 2x .17/11)}. lo que es lo mismo 18-9y-2y= l (v) es decir -1ly = -17 (vi) de donde y = 17/11 (vii) sustituyendo este valor de y en (i) x + 3(17/11) = 6 (viii) de lo cual se obtiene x = 66/11 . sistema x+3y=6 (i) 3x . obteniendo 3(6 .2y = 1 (iv) o.El método anterior en el cual se ha llegado a un sistema equivalente en el cual hay una ecuación que no contiene a una de las incógnitas (ecuación iv). Este procedimiento se conoce con el nombre de método de sustitución.2y = 1 (ii) De (i) se despeja x. el conjunto solución es S = { (15/11.3y (iii) y se sustituye este valor de x en (ii). se llama método de eliminación Ejemplo Resolver el.51/11 = 15/11 En resumen.3y) . como se ilustra en el siguiente ejemplo Ejemplo Resolver el sistema x+ y+ z= 5 -4x + 2y . En estricto rigor. a resolver una ecuación con una sola incógnita. cualquiera de estos dos métodos ha reducido el problema. lo cual puede verificarse como se hizo en el primer ejemplo. 1. En resumen el conjunto solución del sistema original es S={(-1. Sustituye ndo estos valores en (i) resulta x = -1. el cual tiene como solución y = l. z = 5.3 + 10 = -5 + 10 = 5 Una de las razones importantes por las cuales se estudian sistemas de ecuaciones es porque ellos constituyen un modelo matemático que permite dar respuestas a variadas situaciones de otras áreas del conocimiento. Solución Denotemos por x la rapidez del bote en aguas tranquilas (en km/h) y por y la rapidez del río (también en km/h). por lo tanto 15 = 1. ¿cual es la rapidez del río?. resulta que el tiempo es el cociente entre la distancia y la rapidez.5)} Verificación En (i) se tiene: En (ii) se tiene: En (iii) se tiene: -1+1+5=0+5=5 -4·(-1) + 2·(1) – 3·(5) = 4 + 2 . Como la rapidez es el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo utilizado en recorrer dicha distancia. entonces: x+y es la rapidez del bote a favor de la corriente x-y es la rapidez del bote en contra de la corriente. Esta afirmación se ilustra con el siguiente ejemplo.15 = -9 2·(-1) – 3·(1) + 2·(5) = -2 .15 = 6 .Si se multiplica la ecuación (i) por 4 y al resultado se le suma la ecuación (ii) se obtiene 6y + z = 11 (iv) Si se multiplica la ecuación (i) por (-2) y al resultado se le suma la ecuación (iii) se obtiene -5y = -5 (v) Pero entonces (iv) y (v) conforman un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas.5 (i) x+ y (viaje a favor de la corriente) . Ejemplo Un bote que navega por un río recorre 15 km en hora y media a favor de la corriente y 12 km en dos horas contra la corriente. ¿cual seria la rapidez del bote en aguas tranquilas?. Resumen Conceptos Función: polinómica. afín. estrictamente decreciente Ecuación Inecuación Ecuación de primer grado en dos variables Rectas: paralelas. cuadrática Grado de una función polinómica Recta Colinealidad Distancia entre dos puntos Pendiente de una recta Coeficiente de posición de una recta Función: estrictamente creciente. indeterminado Transformaciones elementales de un sistema Sistemas equivalentes Modelo matemático.12 = 2 (ii) x+ y (viaje en contra de la corriente) Ahora bien (i) y (ii) se transforman en x + y = 10 x-y=6 (iii) (iv) sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. secantes Sistema de ecuaciones: compatible (consistente). incompatible (inconsistente).2)} En resumen la rapidez del bote en aguas tranquilas seria de 8 km/h y la rapidez del río es de 2 km/h. cuyo conjunto solución es S={(8. Resultados Relación entre una ecuación de primer grado en dos variables y una recta Fórmula de la distancia entre dos puntos de los cuales se conocen sus coordenadas La pendiente de una recta es invariante . Verifique el lector que estos resultados concuerdan con la situación formulada. determinado. constante. 4) y (3.yl) y con pendiente m. Ejercicios 1. en el caso de ser polinómica. por al menos dos procedimientos diferentes. Indicar cuales de las siguientes relaciones definen funciones polinómicas y cuales no. (2. Estudiar.3) y (3.8x3 + π b) f(x) = x-2 + 2x . si los siguientes tríos de puntos son o no colineales: a) (2. reducción Solución de sistemas de inecuaciones Verificación de soluciones Modelación matemática de una situación.5 d)x2 + y2 = 1 c)f(x)=x3 -5x +8x5+ x 2. (4.Posiciones relativas de dos rectas en el espacio Condición de paralelismo entre dos rectas a partir de sus ecuaciones Condición de perpendicularidad entre dos rectas a partir de sus ecuaciones Las transformaciones elementales reducen sistemas a otros equivalentes Para resolver sistemas hay métodos: geométricos y algebraicos (reducción y sustitución).4) 4 Demostrar que: a) si R es una recta por P1 (xl. Determine reglas prácticas para obtener: a) la suma f+g. 1). Sean f y g funciones polinómicas. indicar el grado: a) f(x) = 2 x .5). a partir de los coeficientes de f y de g c) el grado de f+g y el grado de f-g 3. a partir de los coeficientes de f y de g b) el producto f·g. entonces su ecuación es: b) (1. Procesos Graficación de rectas Cálculo de la distancia entre dos puntos Demostración de que tres puntos son colineales Determinación de ecuaciones de ciertas rectas Solución de sistemas de ecuaciones mediante procedimientos geométricos y/o algebraicos: eliminación.2) y − y1 =m x − x1 . además. 5) y (2. sus graficas son rectas perpendiculares 5 a) Establecer y demostrar el teorema reciproco de 4 d) b) Demostrar que si se unen los puntos medios de dos lados de un triangulo resulta un segmento paralelo al tercer lado e igual a la mitad de él c) Demostrar que si se unen los puntos medios de un cuadrilátero cualquiera se obtiene un paralelogramo d) Demostrar que las diagonales de todo paralelogramo se cortan en su punto medio e) Demostrar que las alturas de un triangulo se cortan en un único punto f) Demostrar que las mediatrices de un triangulo se cortan en un único punto 6 Determinar una ecuación para cada una de las rectas que satisfacen en cada caso las condiciones dadas: a) Tiene pendiente 4 y pasa por (-1. o bien 2120 F f) perpendicular al segmento que une (1. o bien 320 F el punto de ebullición del agua es 1000 C. respectivamente.b).0) y (0.y2 ).1) e) La que permite construir una escala de conversión entre grados Celsius Farenheit.3) b) Pasa por los puntos (-3.yl ).5y + 8 = 0 y pasa por el punto (1.b) si R es una recta que corta a los ejes coordenados Ox y Oy en (a.4) y (2.16) d) Es perpendicular a la recta de ecuación 3x . entonces su ecuación es: x y + =1 a b c) si R es una recta que pasa por los puntos P1 (xl. P2 (x2 . en donde x=/x2 su l ecuación es: y − y1 y 2 − y1 ¨= x − x1 x 2 − x1 d) Si f1(x) = ml x + n1 y f2 (x) = m2 + n2 son funciones afines tales que m1 m2 = -1.1) c) Es paralela a la recta de ecuación 3x + 2y + 2 = 0 y pasa por (0.7) y pasa por el punto medio de él . sabiendo que: el punto de congelación del agua es de 0º C. 4) y es perpendicular a la recta que pasa por (1. separadamente. en la ecuación x+αy-1=C para que se cumpla.7) 7 Determinar. cada una de las siguientes condiciones: a) La recta pasa por el punto (1.3) b) La recta es paralela a la de ecuación 3x .3y = 7 4x + y = 2 2 x + 5 y = −2 y = (− 2 / 5) x + 3 c) d) 1.2 z = 3.2 Encontrar el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones: a) -4x + 2 ≤ 3x-26 b) 5(7 .8 z = 6 e) 3x − 6 y + 9 z = −6 − 2 + 4 y − 6z = 0 9 f) 1.1 0.3y = 25 3x + 4y = 40 3x + 4y = 3 x .3x − 4.5y = 7 c) La recta es paralela al ej Oy d) La recta tiene las mismas intersecciones con ambos ejes coordenados e) La recta es perpendicular a la de ecuación y = 3x .5 y − 1.2 y − 1. el valor del parámetro α.2x) + 14 + 8(2x -1) ≥ -15 c) 2x − 1 5x + 1 − ≤ −3 3 2 x −1/ 5 x +1/ 3 + ≥ −3 3 2 e) l /x .7 8 Resolver cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones a) 5x .7 y + 2.3y = -6 x − 2 y + 3z = −2 b) x .1) y (3.1x + 3.1z = − 5.5 < 2 d) 10 Encontrar el conjunto solución de cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones .g) Pasa por (-5. si es que existe.9 x + 0. es decir: 3.1 /x ≥ 2/x .8 litros). h) Un computador poderoso tarda 35 nanosegundos (1 nanosegundo= 10 -9 segundos) en realizar 5 operaciones de un tipo y 7 operaciones de otro. En cierta ocasión el encargado abrió la llave de llenado al terminar de limpiar la piscina. Después de cierto tiempo se percató de su olvido y cerró la llave de vaciado. Si se desea obtener una solución de 200 litros con una concentración al 32 %.a) 3x. Si el pantalón costó Bs.700 en 95 billetes de denominaciones Bs. 6. ¿cuanto tiempo condujo bajo tormenta? c) Si Juan es tres veces mayor que su hermano y dentro de cuatro años tendrá el doble de edad que su hermano. tarda 6 horas en llenarse y 8 en vaciarse. 800 mas que la blusa. ¿cuantos billetes de cada tipo tiene? e) Un número de tres dígitos es igual a 19 veces la suma de sus dígitos. 3. ¿Cual es el número? f) Se dispone de tres soluciones de un cierto ácido con concentraciones al 25. Además se sabe que el digito de la decenas excede al digito de las unidades en 3.1/4 Resolver cada uno de los siguientes problemas: a) Gisela compró un pantalón y una blusa en Bs. en condiciones normales. 50. ¿cuanto costó cada prenda? b) Un conductor de la línea "Rápidos pero inseguros" recorrió en 7 horas 600 Km. Después de varios experimentos encuentra que: . respectivamente. sin darse cuenta que estaba abierta la llave de vaciado. El computador tarda 37 nanosegundos en realizar 7 operaciones del primer tipo y 5 operaciones del segundo. Si cuando había tormenta viajaba a 40 km/h y el resto del tiempo a 120 km/h.5 _ -2x + 8 1 /x + 3 < 0 11 b) (3x . pero al invertir el orden de los dígitos el nuevo número resultante es mayor que el número original en 297. g) Una piscina. ¿Cuantos nanosegundos tarda en cada operación? i) Juan desea determinar el volumen en litros de tres botellas con formas irregulares y solamente dispone de una lata de pinturas vacía (cuya capacidad es de un galón.000. 40 y 50 %. ¿cuantos años tiene cada uno? d) Una persona tiene Bs.7)/5 . ¿cuantos litros de cada una de las soluciones se deben usar?.1/2 ≥ -x –12 2/3 . ¿Cuanto tiempo permanecieron abiertas las dos llaves?. A partir de ese instante la piscina tardó en llenarse cinco horas y media. 20 y Bs. utilizando dos veces mas de la primera solución que de la segunda. f(-b/2a) )cuando a < 0.000 toneladas. como se verá en esta sección. f(-b/2a)] (según sea a < 0. ¿Cuantos mililitros de alcohol y agua contiene la solución?. por un proceso llamado completación de cuadrados . la capacidad de cada botella en galones y litros? j) Tres tipos de petróleo crudo se deben cargar y mezclar a bordo de un supertanquero de 500. es un intervalo semiabierto del tipo [f(-b/2a).∞. 5. medianos y pesados que se dan en la siguiente tabla: Ligeros 10 10 60 Medianos 20 40 0 Pesados 70 50 40 I II III ¿Qué cantidad de cada uno de estos tipos de crudos deberán mezclarse de manera que el crudo resultante contenga 30 % de petróleo ligero. y "abierta hacia abajo" y con un máximo en el punto (-b/2a. 20% de mediano y 50% de petróleo pesado?. Si la masa de la solución es 900 g.0 g/ml para producir un litro de solución. Los crudos contienen los porcentajes de petróleos ligeros. k) Cierto tipo de alcohol con densidad de 0. En efecto: El polinomio f(x) = ax2 + bx + c se puede factorizar de la siguiente manera.80 g/ml se mezcla con agua de densidad 1. Funciones Polinómicas: la función cuadrática La función polinómica de segundo o grado o función cuadrática se genera a partir de la regla de correspondencia: f(x) : a2 x2 + a1x + a0 = ax2 + bx +c (a2 =a ≠ 0) Su dominio es R.Llenando la lata de pinturas y vaciando su contenido puede llenar las tres botellas. "abierta hacia arriba" con un mínimo en el punto (-b/2a. el doble del volumen de la segunda botella llena exactamente la primera y la tercera botella y el triple del volumen de la tercera botella llena exactamente la primera botella.+∞ [ ó ]. El punto donde f alcanza su mínimo o máximo (valor extremo) se llama vértice de la parábola. ó a < 0) y su grafica es una curva llamada parábola. f(-b/2a)) cuando a > 0. ¿Cual es. en definitiva. su recorrido. En consecuencia dicho máximo es f(-b/2a) = c-b2 /4a La búsqueda de los cortes de la gráfica de f con el eje Ox nos conduce a la ecuación: ax2 + bx + c = 0 conocida como ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado.a(b/2a)2 = a(x + (b/2a))2 + c . y.f(x) =ax2+bx+c = a(x2 + (b/a)x) + c = a(x2 + 2(b/2a)x + (b/2a) 2 ) + c . Para resolver dicha ecuación se puede deducir una formula general.b2 /4a (*) Ahora bien. lo cual ocurre cuando x = -b/2a.c ===> (x + (b/2a))2 = b2/4a2 . a partir de (*).b2 /4a. lo cual ocurre cuando x = -b/2a. el valor máximo se alcanza cuando a(x + (b/2a))2 = 0.b2 /4a = 0 ===> a(x + (b/2a))2 = b 2 /4a . puesto que a ≠ 0. se tienen los dos casos siguientes: Primer caso: a > 0 Resulta que. cualquiera sea el valor de x: a(x + (b/2a))2 ≤ 0 (pues a < 0 y (b/2a))2 ≤ 0). En consecuencia dicho mínimo es f(-b/2a) = c-b2 /4a Segundo caso: a < 0 Resulta que. y. luego: a(x + (b/2a))2 + c . cualquiera sea el valor de x: a(x + (b/2a))2 ≥ 0 (pues a > 0 y (b/2a))2 ≥ 0).c/a ===> .b2/4a ≤ c . el valor mínimo se alcanza cuando a(x + (b/2a))2 = 0. En efecto: f(x) = ax2 + bx + c = a(x + (b/2a))2 + c .b2 /4a ≥ c .b2 /4a. luego : a(x + (b/2a))2 + c . b 2 .i ∆ )/2a En este caso la grafica de f no corta al eje Ox.4ac )/2a o bien x = (-b .0) Tercer caso: ∆< 0 Resulta que ∆ no es un numero real. 0) Segundo caso: ∆= 0 En esta circunstancia ∆ = 0 y la ecuación cuadrát ica tiene una sola raíz real o.4ac )/2a. Finalmente.4ac / 4a 2 ===> ===> b 2 .4ac se le llama discriminante de la ecuación de segundo grado y la naturaleza de las raíces o ceros (o soluciones) de la ecuación de segundo grado se obtiene de acuerdo a al signo de ∆. es el complejo i tiene dos raíces complejas conjugadas : x1 = (-b + i ∆ . puede probarse que: . y la ecuación cuadrática ∆ )/2a y x2 = (-b .4ac /2a b 2 .4ac / 2a o bien x + (b/2a) = .4ac )/2a. tiene una raíz doble: x1 = x2 = -b/2a En este caso la grafica de f es tangente al eje Ox en el punto de coordenadas (-b/2a.4ac/4a2 ) ===> |x + (b/2a)| = x + (b/2a) = x = (-b + b 2 .(x + (b/2a))2 = (b2 .b 2 . 0) y (-b b 2 . y la ecuación cuadrática tiene dos raíces ∆ )/2a ∆ )/2a y x2 = (-b - En este caso la grafica de la función cuadrática corta al eje Ox en dos puntos: (-b + b 2 . de la siguiente manera: Primer caso: ∆ > 0 Entonces se tiene que reales y distintas: x1 = (-b + ∆ es un numero real.4ac )/2a Al numero ∆ = b2 . como también se dice. 4ac )/2a)-((-b . que estas propiedades son verdaderas: Como: x1 = (-b + b 2 .b 2 .∞. o algebraicamente usando la propiedad de factorización iii) de la lista siguiente: Sean x1 y x2 las raíces (reales o complejas) de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0.+ ∞ [ * si a < 0 el recorrido de f es ].∞.-b/2a] y estrictamente decreciente en [-b/2a. resulta que: x1 + x2 = (-b + x2 = (-b .x1 )(x .b 2 .4ac )/2a =-2b/2a = -b/a b 2 . entonces: i) x1 + x2 = -b/a.f(-b/2a)] Preguntarse para que valores de x la grafica de la función cuadrática esta mas arriba o mas abajo del eje Ox da origen a las inecuaciones: • • ax2 +bx+c>0 -ax2 +bx+c≤0 • • ax2 +bx+c<0 ax2 +bx+c≥0 las cuales pueden resolverse gráficamente.4ac )/2a.+ ∞ [ Del análisis anterior concluimos. entonces que: * si a > 0 el recorrido de f es [f(-b/2a).x2 ) Veamos. ii) x1 · x2 y iii) ax2 + bx + c = a (x .• • si a > 0 la función cuadrática es: estrictamente decreciente en el intervalo ]-∞.-b/2a] y estrictamente creciente en [-b/2a. en primer lugar.4ac )/2a + (-b - b 2 .+ ∞ [ si a < 0 la función cuadrática es: estrictamente creciente en el intervalo ].4ac )/2a b 2 .4ac )/2a) x1 -x2 = ((-b + . su recorrido es [-25.x2 x + x1 x2 ) = a(x2 .(x1 + x2 )x + x1 x2) (1) (2) De (1) y (2) resulta que ax2 + bx + c = a(x .25/4.7x + 6 = x2 – 2·(7/2)x + 49/4 + 6 . en efecto: x2 -7x+6=0===>x1=1y x2 =6 Luego: E1 mínimo valor se alcanza en x = 7/2 y es f(7/2) = (7/2 .4.x 1 )(x-x2 )= a(x2 .+∞[.7/2)) 2 .x 1 )(x .x2) Ejemplo Aplicar todo lo estudiado en esta sección a la función cuadrática dada por f(x)=x2-7x+6 El dominio es R Completando cuadrados se tiene: x2 . +∞[ .25/4 = .= ((-b)2 .x1 x .(b2 -4ac))/4a2 = 4ac/4a 2 = c/a Por otra parte: ax2 + bx + c y también: a(x . como ella abre "hacia arriba ".(x1 + x2 )x + x1 x2) = a(x2 + (b/a)x + c/a) = a(x2 .∞.7/2] y estrictamente creciente en [7/2.-25/4) y.24 = 25 > 0 ===> ambas raíces son reales y distintas.49/4 =(x-7/2)2 -25/4 Por otra parte: ∆= 72 – 4·1·6 = 49 . El vértice de la parábola es el punto (7/2. la función es estrictamente decreciente en ]. como lo muestra claramente la grafica adjunta.1)(x . de modo que la grafica corta al eje Ox en los puntos (1.1)(x .0).Como las raíces de x2 .6 < 0 Para la opción 1 resulta que x > 1 y x > 6. lo cual produce las siguientes opciones: Opción l : x . l [ U ]6.7x + 6≤0 se resuelven fácilmente a partir de la grafica de f.0) y (6.1 < 0 y x .7x + 6 < 0. En resumen.1 > 0 y x . por la factorización. l [.∞. x2 . tiene como conjunto solución ].7x + 6 > 0 es. cuyo conjunto solución es ]. Resumen Conceptos Función cuadrática Ecuación de segundo grado Discriminante de la ecuación de segundo grado Dominio de la función cuadrática Recorrido de la función cuadrática Parábola Vértice de la parábola Valor máximo Valor mínimo Raíz de una ecuación .6).7x + 6 < 0. La inecuación x2 .7x + 6 = (x .+ ∞ [ Para la opción 2 resulta que x < 1 y x < 6.7x + 6 = 0 son 1 y 6. cuyo conjunto solución es ]6. la inecuación x2 . la expresión se factoriza así: x2 . equivalente a: (x .6 > 0. o bien: Opción 2: x .∞.6) > 0 .+ ∞ [ Observe el lector que las inecuaciones x2 .7x + 6 ≥ 0 y x2 . la recta por el vértice de dicha curva y paralela al eje Oy se llama eje de la parábola.(5/3)x + 1 2 Dada la parábola de ecuación f(x) = ax2 + bx + c.5x + 1 c) f(x) = x2 + 18x + 12 e) f(x) = -3x2 . valores extremos.x + 21 d) f(x) = -x2 + 2x + 1 f) f(x) = (1/2)x2 . . zonas de decrecimiento. Ejercicios 1 Haga un estudio completo (dominio. a) determinar el eje de cada una de las parábolas del ejercicio anterior b) demostrar que la parábola es simétrica con respecto a su eje. zonas de crecimiento. según n el signo del coeficiente de x2 Factorización de la función cuadrática Procesos Completación de cuadrados Calculo de las raíces de una ecuación de segundo grado Factorización de una función cuadrática Deducción de la fórmula que permite encontrar las raíces de la ecuación cuadrática Discusión de la naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado Demostración de las propiedades de las raíces de una ecuación cuadrática Determinación de máximos y/o mínimos de una función cuadrática Trazado de una parábola Solución de inecuaciones de segundo grado.Resultados Forma equivalente de una función cuadrática por completación de cuadrados Fórmula para resolver una ecuación de segundo grado Naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática. grafica. recorrido. solución de inecuaciones asociadas) de cada una de las siguientes funciones cuadráticas a) f(x) = 2x2 .x + 1 b) f(x) = 6x2 . según el signo discriminante Propiedades de las raíces de una ecuación cuadrática Orientación de la parábola. puntos de corte. g(x) = 11 .1) y (2.-2).x2 b)f(x)=x2 -2x +4.2x + 7. Si su perímetro debe ser de 3m.x+4 x+8 (Indicación: haga un cambio de variables adecuado) 4 Encontrar la ecuación de cada una de las siguientes parábolas: a) tiene vértice (0.7) 5 Encontrar los puntos de corte de cada una de las siguientes parejas de curvas: a) f(x) = x2 .3) b) tiene vértice (3.-1) y además pasa por (-2.0)? d) Se debe doblar un trozo de alambre de 120 cm para formar un rectángulo. Resuélvalos a) Encontrar dos números tales que su suma sea 6 y su producto sea máximo b) La suma de dos números es 20 y la suma de sus cuadrados es mínima. ¿cuáles deben ser el ancho y alto de la ventana para que deje pasar la mayor cantidad de luz posible? .5) c) tiene la recta Oy como eje y pasa por (1. ¿cuáles son dichos números? c) ¿Cuál es el punto sobre la recta de ecuación y = 2x que está más cerca del punto (5. ¿Cuáles deben ser las medidas del canal para que el caudal sea máximo? f) Una ventana debe tener forma rectangular.3 Encontrar el máximo valor que alcanza cada una de las siguientes funciones: a) f(x) = . ¿Cuáles deben ser las medidas de dicho rectángulo para que su área sea máxima? e) Con un trozo de metal de 2m de largo y 20 cm de ancho se construye un canal rectangular. coronada por una semicircunferencia.x4 + 8x2 + 1 (Indicación: haga el cambio de variables y = x2) b)f(x)=.7) d) pasa por (-1.3) y (2. (0. g(x)=-2x+9 6 Cada uno de los siguientes problemas se modela a través de funciones cuadráticas.0) y además pasa por (-6. 03. esta dada por: h(t) = -0.48t2 + 19.g) Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 19. c . y la altura h (medida en metros) que alcanza en del tiempo t (medido en segundos).2t + 1. ¿para que valores de x la deflexión es mayor que 0. en donde x es la distancia medida a partir de uno de sus extremos.2 m/s.5 m.b2 /4a 1/4a se llama directriz de la parábola. 8 Resolver cada una de las siguientes inecuaciones o sistemas de inecuaciones: 2x ( x + 5) 3 2 < + a) 2 2x − 1 2 x + 1 4 x −1 b) x4 -x2 <0 .b2 /4a + 1/4a) se llama foco de la parábola y la recta D de ecuación y = c . 2 i) La deflexión de una viga esta dada por d = x -0. La fuerza de empuje E que actúa sobre la boya es E = 100 + 1000V2 . ¿en que instante la pelota alcanza de nuevo el nivel de 1.3x + 0. a orillas de un río. h) Un ganadero desea construir una cerca que encierre un terreno rectangular. ¿Para que valores de V la boya flota? 7 Dada la parábola de ecuación f(x) = ax2 + bx + c el punto F de coordenadas (-b/2a. El alambre disponible es de 1200m y la cerca debe tener cuatro hileras de alambre.01? j) El peso de una boya (en Kg. desde un punto a 1.?. a) Determine foco y directriz para cada una de las parábolas del ejercicio 1 b) Verifique que la directriz es perpendicular al eje de la parábola c) Verifique que la distancia de cualquier punto de la parábola hasta el foco coincide con la distancia de ese mismo punto hasta la directriz d) Investigue por que razón las antenas para la recepción de ondas son parabólicas y por que razón los faros que se diseñan para producir un haz de rayos paralelos tienen la forma de un espejo parabólico.50 m por encima del suelo. en donde V es el 3 volumen (en m ). ¿en que instante la pelota toca el suelo?. con la fuente de luz en el foco.5 ¿Cual es la máxima altura que alcanza la pelota?.) esta dado por P = 900 + 1660V. ¿Cual es la máxima superficie que el puede encerrar?. L = longitud de la viga y x = distancia a partir de uno de sus extremos. en donde: d = deflexión. Los dos ejemplos siguientes ilustran como puede ser la grafica de una función polinómica de grado superior a dos..-. . + al x + a0 se genera una función llamada función polinómica de grado n en la variable x y con coeficientes ao.1xn-1 + .. (b. 11.x2 + 2x+1<0. mediante la regla de correspondencia f(x) = an xn + an.f(a)).f((a+b)/2))).a1 . La deflexión de una viga se modela por la relación d = x2 + Lx . 2 )x3 . 10.an-l.an . el área del triangulo que forman estos tres puntos.1 < 0 j) x3 ..a1 .. Sobre la grafica de ecuación f(x) = x2 elija tres puntos de coordenadas (a.an-1 .5 > 0. x/3 + (x-1)/4 > (5x+7)/2. Dado el polinomio p(x) = πx6 .. Determine. x2 . x3 + x7 + x< x8 (1/x) 9.5L2 .151 determine (¡sin calcularlas!) cuantas raíces reales y cuantas raíces complejas tiene este polinomio.f(b) ((a+b)/2.x2 > x(x2 + x-3).c) e) x −5 >1 x+2 d) x7 -x3 >0 1 5 3 + < 2 x−2 x+2 x − 4 2x 2 + 5x − 3 < 0 x 2 + 2x − 3 ≥ 0 x 3 − 6x 2 + 11x − 6 > −3 x −1 f) g) 3x 2 − 7 x + 2 > 0 − x 2 + 25x ≤ 3 h) i) 3x2 .an ) una colección de n+l números reales tales que an ≠ 0..1. en función de a y b.(1+. a) Graficar la deflexión como función de la distancia para una viga de longitud 4 metros b) Determinar la deflexión mínima de dicha viga Funciones polinómicas de grado mayor que dos Ya se ha dicho que si n es un número natural y {a0. x = 1 y x = 2 ¿Como se determinan los ceros de una función polinómica de grado mayor que dos? Existen formulas que permiten obtener las raíces de ecuaciones polinómicas de grados 3 y 4. Algoritmo de la división o de Euclides Sean f y g funciones polinómicas. llamadas dividendo y divisor. Entonces existen otras dos funciones polinómicas únicas q y r. Ejemplos • Si f(x) = x3 .5 (divisor). se procura determinar los ceros o raíces de la función. tales que g es no nula. en consecuencia. eventualmente. con el objeto de obtener la grafica de ella la siguiente preocupación será determinar en que puntos corta al eje de las abscisas. llamadas cociente y resto (o residuo).5x2 + 4 son x = -2. están más allá del propósito de esta exposición. se limitará el presente estudio a la obtención de procedimientos indirectos que permiten estimar la existencia y. En otros términos. respectivamente. x= 1 y x=2 • las raíces de f(x) = x4 . pero su estudio.Como ya se sabe que el dominio de una función polinómica es R. el valor de los ceros de funciones polinómicas de grado mayor que dos. entonces: . x = -1. respectivamente. como también el hecho que es imposible obtener formulas que permitan resolver ecuaciones polinómicas de grado superior a 4. tales que f= g·q + r en donde r es cero o bien su grado es menor que el grado de g. En los dos ejemplos recientes se tiene: • los ceros de f(x)= x3 -2x2 -x +2 son x= -1. es decir. se debe intentar determinar los valores de la variable x para los cuales f(x) = 0.2x + 3 (dividendo) y g(x) = 2x . a) es un factor de f(x) Efectivamente.x + 3 el divisor. y sólo si. es decir.a)-q(a) + r = r (3)(Teorema del Factor) Un numero a es raíz de la función polinómica f si.1 pues: x2 -2x+ 1 =(x.a)·q(x) + r ===> f(a) = (a .1)=(x.1)2 =(x. llamado división larga.1)·(x.2x + 3 (5/2)x2 . como el grado de r debe ser menor que el grado de (x . En efecto. el procedimiento para obtener q y r. si a es raíz de f. (x . entonces: q(x) = 3x .a) es un factor de f(x). entonces: .(25/4)x (17/4)x + 3 (17/4)x .1)·(x. (2) (Teorema del resto) Si una función polinómica f se divide entre (x . debe tenerse que el. En efecto. f(x) = (x . entonces existe una única función polinómica q de grado n-1 y un único numero real r tales que f(x)=(x-a)q(x) + r.a) y el grado de (x –a) es 1.1 es el cociente y r(x) = -9x . de donde: f(x) = (x .85/8 109/8 Si en el algoritmo de la división ocurre que el residuo es idénticamente nulo se dice que f es divisible por g o que g es un factor de f Así por ejemplo x2 .2x + 1 es divisible por x .(5/2)x2 2x-5 (1/2)x2 + (5/4)x + 17/8 (5/2)x2 .a) el residuo es f(a).1)+0 Del algoritmo de la división se deducen los siguientes tres resultados: (1) Si f es una función polinómica de grado n (n > 0) y a es un numero real. r debe ser una constante.q(x) =(172)x2 + (5/4)x + 17/8 (cociente) y r(x) = 109/8 (resto) • Sea f(x) = 6x3 .a)-q(x) Recíprocamente.5x2 + x . es similar al se usa para encontrar el cociente y el resto en al dividir un numero entre otro y disposición se ilustra con el primero de los ejemplos recientes: x3 -2x+3 x3 . grado de r es cero.1 es el residuo Dadas f y g.4 el dividendo y g(x) = 2x2 . si (x . entonces f(a) = 0. 2 3x3 -2x2 -4x+1 .2x3 + 0x2 . a es una raíz de f.a)·q(x).12x + 8 y (x -1) es un factor de x4 .12x + 8 al dividirla entre (x . por lo tanto. el cual se ilustra a continuación.3x3 + 6x2 .a)q(a) = 0 y.7x .12x + 8 • x + 1 es un factor de f(x) = x3 + 4x2 .10 pues: f(1)=(-1)3 +4·(-1)2 –7·(-1)-10=-1+4+7-10=0 Los resultados anteriores indican que en muchas ocasiones es necesario dividir una función polinómica f(x) entre (x .f(x) = (x .8x3 + 9x + 5 entre x . Ejemplos • Si f(x) = x4 .2x3 + 4x2 -4x2+9x -4x2+8x x+5 x. quedando el esquema así: x.1) se obtiene: f(1)=14 -3·13 +6·12 -12·1+8=1 -3+6-12+8=0. Para obtener el cociente (pues como ya se sabe el resto es f(a)) hay un procedimiento corto llamado división sintética.3x3 + 6x2 . luego f(a) = (a .3x3 + 6x2 .2 Usando el proceso de división larga (y escribiendo 0·x2 presente todas las potencias de x) se tiene: 3x4 -8x3 +0x2 +9x+5 3x4 -6x3 .a). Sup ongamos que se desea dividir 3x4 .2 7 Si en la división anterior se tiene el cuidado de mantener el orden (decreciente) de las potencias de x podemos eliminarlas y dejar el esquema solo con los coeficientes.luego 1 es una raíz de x4 . obteniendo: 3 8 0 9 5 6 -4 -8 2 -2 –4 1 7 O. el esquema anterior se puede simplificar mas. el factor 1 del dividendo y los coeficientes del dividendo que en cada paso se "van bajando" y teniendo presente que cada vez hay q restar. .2x . aún mas. si insertamos el primer coeficiente en la primera posición de la última fila resulta que é1. junto con los tres siguientes son los coeficientes del cociente y el ultimo es resto. queda así: 3 8 0 9 5 6 -4 -8 2 3 -2 –4 1 7 2 2 3 -2 -4 1 Ejemplo Usando el método de Horner obtener el cociente y el resto de dividir la función polinómica f(x) = 2x4 + 5x3 . el esquema.3 8 0 9 5 3 –6 -2 0 -2 4 -4 9 -4 8 1 5 1 –2 7 1 2 3 -2 -4 1 Evitando las repeticiones de coeficientes.8 entre g(x) = x + 3. en resumen. Llamado división sintética o método de Horner. Solución: 2 5 0 -2 -8 -6 3 -9 33 2 -1 3 -11 25 -3 Luego el cociente es q(x) = 2x3 . n raíces reales (5) Una función polinómica f(x) = an xn + an-1 x n-1 + . si es que existen. en donde α es un divisor de ao y β es un divisor de an .2} y los divisores de 3. + a1 x + ao en donde todos sus coeficientes (an .-3.1/3. de la función polinómica f(x)=3x3 -2x2 -3x+2 Solución En primer lugar se calculan los divisores de ao = 2. en consecuencia -1 es una raíz y f(x) es divisible entre (x + 1) . el conjunto P={-1. obteniendo el...-2... que agrupados constituyen el conjunto D3 = {-1. (6) Una función polinómica f(x) = an xn + an-1 x n-1 + . es decir.2/3 }. an-1 . Ejemplos • Determinar las raíces racionales.11 y el resto es r(x) = 25. (4) Una función polinómica de grado n tiene.-1/3. ao ) son enteros tiene como raíces racionales (si es que tiene) solamente números de la forma (α/β.1. l. .2 + 3 + 2 = 0.. . En consecuencia las posibles raíces racionales de f(x) se enc uentran en el conjunto que se forma con todos los cocientes posibles de los elementos de D2 sobre los elementos de D3.x2 + 3x .-2.-2/3. + a1 x + ao en donde todos sus coeficientes (an . a lo sumo. Ahora bien f(-1) = 3·(-1)3 – 2·(-1)2 – 3·(-1) + 2 = -3 . ao) son enteros tiene como raíces enteras (si es que tiene) solamente números que son divisores de ao . conjunto D2 = {-1.. . .3}..2.. l. A continuación se enuncian una serie de propiedades que se relacionan con la determinación de raíces de funciones polinómicas. an-1 . Calculemos el cociente usando el esquema de Horner . 5 es divisible por (x . • Determinar las raíces racionales.5x + 2 Resolviendo la ecuación cuadrática q(x) = 0 se encuentra que las dos restantes raíces son x= 1 y x=2/3. de la función polinómica g(x) = x4 + 2x3 . Esta afirmación se verifica fácilmente pues.3 -2 -3 2 -3 5 -2 3 -5 2 0 -1 La función polinómica cociente es q(x) = 3x2 .5 Procediendo como en el ejemplo anterior se tiene: D5 = {-1. en consecuencia: g(x) = x4 + 2x3 .5} Pues bien: g(-1) = (-1)4 + 2·(-1)3 – 12·(-1)2 + 14·(-1) .2x2 . si es que existen.1) y por (x + 5) Usando reiteradamente el esquema de Horner se tiene: .5 = 625-250-300-70-5 = 0 g( 5) = (5)4 + 2·(5)3 – 12·(5)2 + 14·(5) .5 = 1-2-12-14-5 = -32 =/ 0 g(1)=(1) 4 +2·(1)3 -12(1) 2 +14·(1)-5=1+2-12+14-5=0 g(-5) = (-5)4 + 2·(-5)3 – 12·(-5)2 + 14·(-5) .1-5.3x + 2 = 0 es S = { 1. por otra parte f(1)=3·(1)3 -2·(1)2 -3·(1)+2=3-2-3+2=0 y f(2/3)=3·(2/3)3 -2·(2/3)2-3·(2/3)+ 2=3·(8/27)2·(4/9)-3·(2/3)+2=24/27-8/9-2+2=0. el conjunto solución de la ecuación 3x3 .2/3.12x2 + 14x .1 }.5 = 625+250-300+70-5 = 640 =/ 0 de manera que 1 y -5 son raíces.12x2 + 14x . En resumen. como ya se vio f(-1) = 0 y. 3x2 + 4x + 2. • Determinar las raíces racionales.1 2 –12 14 -5 1 1 3 -9 5 0 -5 1 3 –9 5 -5 10 -5 1 -2 1 0 En consecuencia.2} Ahora bien: h(-1) = (-1)4 – 2·(-1)3 – 3·(-1)2 + 4·(-1) + 2 = -2 ≠0 h(1) = (1)4 – 2·(1)3 – 3·(1)2 + 4·(1) + 2 = 2 ≠0 h(-2) = (-2)4 – 2·(-2)3 – 3·(-2)2 + 4·(-2) + 2 = 14 ≠ 0 h(2) = (2)4 – 2·(2) 3 – 3·(2)2 + 4·(2) + 2 = -2 ≠ 0 4 En resumen.1)2 resulta que la ecuación x .12x2 + 14x . al dividir x4 + 2x3 .1).(x + 5) y la función g tiene a 1 como raíz de multiplicidad tres o raíz triple y -5 como raíz simple. ¡la ecuación polinómica x -2x3 -3x2 + 4x + 2 = 0 no tiene raíces racionales! Para este ultimo ejemplo quedan.2x3 .2} y D1 = {-1.1)3.5 = (x .1.-2.a)k+1 no lo es. se dice que x = a es una raíz de multiplicidad k de f.a)k es un factor de una función polinómica f.-2.12x2 + 14x .5 entre (x-1)·(x+5) se obtiene x2 -2x+ l 2 Como x2 . de la función polinómica h(x) = x4 . pero (x . Procediendo como los ejemplos anteriores se tiene: D2 = {-1. En general. si es que existen. entonces. si (x .2x + 1 = (x . dos opciones: (i) la función polinómica no tiene raíces .2x + 1 = 0 tiene una raíz doble x=1 En resumen: g(x) = x4 + 2x3 . luego P = {-1.1. 2x3 . las cuatro raíces? h(3) = (3)4 – 2·(3) 3 – 3·(3)2 + 4·(3) + 2 = 81-54-27+12+2 = 6 > 0. a < b y f(a) =/ f(b) y c es cualquier número entre f(a) y f(b). ¿es posible calcular.1[. por (8) deducimos que la cuarta raíz no puede ser compleja. se deduce de (9). es decir el complejo a . Por (7) la función debe tener exactamente cuatro raíces (considerando las multiplicidades). como h(2) = -2 < 0. al menos aproximadamente.(ii) las raíces son irracionales o complejas Las tres últimas propiedades de esta sección. Como h(1) = 2 > 0. permiten responder con mayor precisión lo que ocurre con las raíces de la función h(x) = x4-2x3 -3x2 +4x +2. son irracionales. las cuatro raíces de la función polinómica h(x) = x 4 . entonces también tiene como raíz el conjugado de a+bi. que hay una raíz real en ]-2.b[ Volvamos al estudio de las raíces de h(x) = x 4 . (9) Teorema de los valores intermedios Si f es una función polinómica. se deduce de (9) que hay otra raíz real en ]-1.3[. es decir.2[. si f(a) y f(b) tienen distinto signo (uno de ellos es positivo y el otro negativo). (8) Teorema de las raíces complejas Si una función polinómica con coeficientes reales tiene una raíz compleja a + bi. Por ultimo.bi. Como h(-2) =14 > 0 y h(-1) = -2 < 0. que se dan a continuación. luego la cuarta raíz está en el intervalo ]2. (7) Teorema fundamental del Álgebra Si una raíz de multiplicidad k se cuenta k veces toda función polinómica de grado n (n > 0) tiene exactamente n raíces. ¿Dónde se ubica la cuarta raíz?. Para el cálculo aproximado de las raíces se dispone del siguiente procedimiento llamado método de bisección: .1[. En resumen.2x3 . entonces f tiene una raíz en el intervalo ]a.3x2 + 4x + 2. se obtiene de (9) que hay otra raíz real en ]1. entonces existe xo en ]a.b[ tal que f(xo ) =c En particular.3x2 + 4x + 2 son reales no racionales. Finalmente. 5)+(-1))/2=-1.3x2 + 4x + 2 .5.2x3 .25 ii) h(-1.5)· h(-1.0625( -2) = -2. luego la raíz se encuentra en el intervalo ]-1. Si f(m) = 0.b[ ii) obténgase el valor de f(m).25) < 0.25[.5. luego la raíz se encuentra en el intervalo ]-3/2. Un valor aproximado de ella es x = -1.b[ un intervalo en el cual f cambia de signo. entonces m es una raíz de f iii) Si f(a)·f(m) < 0 entonces f tiene una raíz en ]a. Se deja al lector el trabajo de obtener aproximaciones para las restantes raíces y a continuación se da la gráfica de la función h(x) = x4 .5 Repitamos el método de bisección para el intervalo ]-3/2.3398 < 0 iii) h(-1.m[ Si f(b)·f(m) < 0 entonces f tiene una raíz en ]m. con un error de a lo mas 0.25.3x2 + 4x + 2 en ]-2. i) calcúlese el punto medio m =(a+b)/2 del intervalo ]a.-1 [.25) = -1.0625 > 0 iii) h(-3/2)· h(-1) = 1. con un error de a lo mas 0.2x3 .-1.-1 [ i) m=((-1.b[ Apliquemos este método para obtener una aproximación de la raíz de la función h(x) = x4 . Un valor aproximado de dicha raíz es x = -3/2=-1. Es claro que el método puede repetirse tantas veces se desee y así obtener una raíz aproximada con el grado de precisión que se estime apropiado. es decir: f(a)·f(b) < 0.25.Sea f una función polinómica y ]a.125 < 0.-1 [ i) m = ((-2) + (-1))/2 = -3/2 ii) h(-3/2) = 1. Resumen Conceptos Función polinómica Grado de una función polinómica Raíz de una función polinómica Factor o divisor de una función polinómica Raíz de multiplicidad k de una función polinómica Conjugado de un nume ro complejo Resultados Algoritmo de la división o de Euclides Teorema del resto Teorema del factor Teorema del numero de raíces de una ecuación polinómica Teorema acerca de las posibles raíces racionales Teorema fundamental del álgebra Teorema acerca de raíces complejas Teorema de los valores intermedios . x + 1 g(x) = x . c) f(x) = α 2 x3 . c)f(x)=x7 -3x5 +2x3 -x+10. En cada una de las siguientes parejas.2x + 4x .2x2 + 3x .4.1. obtener el cociente y el resto al dividir la primera de ellas entre la segunda: a) f(x) = 5x3 . determinar el valor del parámetro α para qué la primera función polinómica tenga a la segunda como un factor a) f(x) = x5 .3 g(x) = x . o no.Procesos División larga entre dos funciones polinómicas División sintética o esquema de Horner Determinación de las raíces racionales de una función polinómica Determinación de raíces aproximadas por el método de bisección Factorizacion de una función polinómica Ejercicios 1.4x + 7.2 c) f(x) = -5x6 + 2x5 .5. g(x) = x + 1 g(x) = x + 2 2.3x4 + 7x3 + αx2 + 9x .4αx + 4.3x4 + 7x3 + 10x2 .3. d) f(x) = xn . un factor de la primera: a)f(x)=x5 -2x4 +4x2 -x+2. b) f(x) = αx4 + 2x2 + 9α. b) f(x) = 2x .1 g(x) = x + 1 3. g(x) = 5x . 4 3 2 g(x)=x+2 g(x) = x + 3/2 g(x)=x-5 g(x) = x – 1 .3x3 + 3x2 + 2x -4. g(x) = x2 . En cada una de las siguientes parejas deter mine si la segunda función polinómica es.8.x .5x2 . b) f(x) = 2 x4 + 3x3 . d) f(x) = -3x4 . Dadas las siguientes parejas de funciones polinómicas. 8 9 Discutir la veracidad o falsedad de cada una de las siguientes afirmaciones (n es un número natural): a) xn .8 g) f(x) = 6x4 + 11x3 .x3 b) f(x) = 3x3 -7x2+8x-2 c) c) f(x) = x3 .1)·(x + 2) c)f(x) = 2x3-3x2 -3x+2 .(1/2)x .2x h) f(x) = 6x3 + 23x2 + 3x .24x . factorice la función polinómica dada a) f(x) = x4 .14 i) f(x) = x5 -2x4 +2x3 -4x2 +5x-2 j) f(x) = x4 .3x3 .y d) xn + yn es divisible por x + y 10 Bosquejar la gráfica de cada una de las siguientes funciones polinómicas: a) f(x) = (3x .4.3x2 .yn es divisible por x .y b) xn . en cada caso. todos los ceros de cada una de las siguientes funciones polinómicas y.yn es divisible por x + y c) xn + yn es divisible por x .20x2 . Determinar.x + 0.1/2 f) f(x) = 0.2)4 b) f(x) = x·(x . además.2x3 . si es posible.18x + 8 e) f(x) = x4 + (5/2)x3 + (3/2)x2 .14x + 24 d) f(x) = x3 .x2 . de cada una de las siguientes ecuaciones: a) x3 -x2 +4=0 b)-x3 -x = -11 9. Usando las gráficas obtenidas en cada uno de los casos del ejercicio anterior resuelva las siguientes inecuaciones: a) f(x) > 0 b) f(x) < 0 c) f(x) ≤ 0 d) f(x) ≥ 0 8. Encuentre raíces reales aproximadas.d) f(x) = -(x + 2)3 e) f(x) = x 4 . x1 = (1/2) . está dada por la expresión d(x) = x-(x . con precisión hasta la segunda cifra decimal.4x3 + 3x2 7. x1 = 1 + 2i y de multiplicidad dos.(3/2)i d) f(x) = x6 -9x5 + 38x4 -106x3 + 181x2 -205x + 100. b) La deflexión de una viga simple (viga sostenida en cada uno de sus extremos) de largo L. En cada uno de los siguientes casos se da una función polinómica y una de sus raíces. Se solicita encontrar las restantes raíces: a) f(x) = x5 . x1 = 2 . ¿Para que valores de x la deflexión es nula? .2i c) f(x) = x4 + x2 + 1.6x4 + 10x3 .10.9xL + 2L2 ).x2 + 6x .24. a x unidades de uno de sus extremos. x1 = 3 + i b) f(x) = x4 .6x2 + 9 f) f(x) = x4 .3x2 + 28x . Resolver cada uno de los siguientes problemas: a) Con un trozo de cartón rectangular de 20 cm por 30 cm se desea construir una caja (sin tapa) cortando cuadrados de igual lado en sus cuatro esquinas: i) determine una función que modele el volumen de dicha caja ii) usando un método gráfico determine un valor aproximado del lado del cuadrado que hay que cortar de cada esquina para que la caja tenga volumen máximo.2x3 . 10.L)-(x2 . Dada la ecuación x4 . Obtenga soluciones aproximadas de ellas con una aproximación hasta la primera cifra decimal a) x3 -x2 + x-2=0 b) x3 +2x2 + x +1=0 7.a + pasando ordenadamente de un término de la función polinómica f al siguiente) d) Si las raíces de la ecuación αx3 . 14 Las siguientes ecuaciones tienen raíces irracionales.c) Demostrar que el número de raíces reales positivas de una ecuación polinómicas f(x) = 0 no puede ser mayor que el número de cambios de signo en f(x) (Indicación: un cambio de signo en f(x) es un cambio de + a . 11.15x2 . r2 ¿cuáles son los valores de a y b? = 2/3 y r3 = -1/3.2x2 . Dada la ecuación x4 .1 = 0 a) Resuélvala por factorizacion en dos factores cuadráticos b) Obtenga sus raíces racionales usando el teorema del factor 13 La ecuación ax3 . Funciones racionales El cociente de dos funciones polinómicas se llama función racional.2x2 . 2/3 y -1/3. Así por ejemplo: .15x2 . aproximadamente.x + a = 0 tiene las raíces rl = 1/2. si r es una función racional su regla de correspondencia es: r(x)= f ( x) g ( x) en donde f y g son funciones polinómicas. ¿cuáles son s los posibles valores de α y β 4 e) Demostrar que la ecuación x . determinar.x + β = 0 son 1/2. sus cuatro raíces.3 = 0 a) Demuestre que ella no tiene raíces racionales b) Resuélvala usando factorizacion 12.o de .3 = 0 no tiene raíces racionales y luego. El dominio de una función racional se obtiene extrayendo de R los ceros del denominador g(x). es decir. { 1 } x −1 r(x)= 3 tiene como dominio R . con la excepción del punto (1. entonces por el teorema del factor se tiene: f ( x) ( x − a ) f 1 ( x ) f 1 ( x) = = = si x ≠ a g ( x) ( x − a ) g 1 ( x) g 1 ( x) r(x) = En el primero de los ejemplos recientes se tiene: • r(x) = x 2 − 1 ( x − 1)·( x + 1) x + 1 = = = x +1 si x ≠ 1 x−1 ( x − 1) 1 Luego.{0.{-1 } x +1 Si a es un cero del numerador (o dividendo) y también del denominador (o divisor) de la función racional r = f/g.1 } x −x r(x)= x2 +5 tiene como dominio R .• • • • x 2 −1 r(x)= tiene como dominio R .2) .( 5 } x−5 2x 2 + 3 r(x)= 2 tiene como dominio R . la gráfica de r(x) es la recta de ecuación y = x + 1. 5+1/100 300 5+1/10 30 5+1/1 3 Para indicar que se consideran valores de la variable x cada vez más cerca de un número a.. se usan las siguientes notaciones: x → a..===> s(x) → -∞ x → 5+ ===> s(x) → +∞ Se dice que la recta de ecuación x = a es una asintota vertical a la grafica de y =f(x) cuando ocurre al menos una de las siguientes cuatro condiciones: (i) x→ a.===> f(x) → -∞ (iii) x→ a+ ===> f(x ) → -∞ (ii) x → a. La siguiente tabla de valores da una primera idea acerca de como son las ordenadas de los puntos de la grafica.===> f(x) → +∞ (iv) x→ a+ ===> f(x) → +∞ .indica que x se acerca al numero a por la izquierda de él x → a + indica que x se acerca al numero a por la derecha de él También se utilizan las siguientes notaciones: y → +∞ indica que la variable y crece sin cota superior y → -∞ indica que la variable y decrece sin cota inferior Usando estas notaciones calculando los valores de s(x) para x = 5 .Considérese ahora el segundo ejemplo s(x) = 3/(x-5) para ver que ocurre en la grafica en las cercanías de x = 5. cuando las abscisas de dichos puntos están cerca de x = 5 x s(x) 5-1/1 -3 5-1/10 -30 5-1/100 -300 … .1/10n y para x = 5 + 1 /10 n (n un numero natural) parece inferirse que: x →5. x) usando el algoritmo de la división se puede escribir: t(x)= 2x 2 + 3 2x + 3 2x + 3 = 2+ 2 = 2+ 2 x −x x −x x ( x −1) A partir de esta expresión y por un razonamiento similar al anterior se pueden inferir las siguientes afirmaciones x → 0.En el tercer ejemplo t(x) = (2x2 + 3)/(x 2 .===> t(x) → -∞ x → 0+ ===> t(x) → -∞ x → 1 + ===> t(x) → +∞ En el ejemplo que se está analizando la recta de ecuación x = 5 es una asintota vertical a la grafica de f Es decir la grafica de la función tiene dos asintotas verticales. en este ejemplo. las rectas de ecuaciones x=0 y x=1. Además. se tiene: x → +∞ ===> t(x) → 2+ x → -∞ ===> t(x) → 2 - Se dice que la recta de ecuación y = b es una asintota horizontal a la grafica de la función y = f(x) si se cumple al menos una de las dos condiciones siguientes: (i) x → -∞ ===> |f(x) –c | → 0 ii) x → +∞ ===> |f(x) -c| → 0 La función t(x) tiene como asintota horizontal (hacia la derecha y hacia la izquierda) la recta de ecuación y = 2 .===> t(x) → +∞ x → 1 . como: u(x)= x2 +5 6 = x −1+ x +1 x +1 De estas expresiones se deduce que: x → -1.En el cuarto ejemplo. si x → +∞ las ordenadas de la gráfica de u y las ordenadas de la gráfica de la recta de ecuación y = x . Lo mismo ocurre si x -> → -∞ La recta de ecuación y = mx + n se dice una asintota oblicua a la gráfica de una función f si ocurre al menos una de las dos condiciones siguientes: .===> u(x) → -∞ x → -1+ ===> u(x) → +∞ En consecuencia la grafica de u tiene como asintota vertical la recta de ecuación x-1 Por otra parte: u(x).1 prácticamente se confunden. la función u(x) = (x2 + 5)/(x + 1) puede escribirse. usando el algoritmo de la división.( x − 1) = 6 x +1 Luego. (ii) x → -∞ ===> |f(x) .(mx+n)| → 0.(mx+n)| → 0 La función u tiene. como asintota oblicua la recta de ecuación y=x–1 Resumen Conceptos Función racional Asintota vertical a la grafica de una función Asintota horizontal a la grafica de una función Asintota oblicua a la grafica de una función Resultados Condiciones para la existencia de asintota vertical Condiciones para la existencia de asintota horizontal Condiciones para la existencia de asintota oblicua Procesos Determinación del dominio de una función racional Determinación de ecuaciones de asintotas verticales Determinación de ecuaciones de asintotas horizontales Determinación de ecuaciones de asintotas oblicuas Bosquejar la grafica de una función racional . según lo anterior.i) x → +∞ > ===> |f(x) . . en donde: R 2 + 2 Rr + r 2 E es el voltaje de la fuente R es la resistencia de la fuente r es la resistencia del circuito Estudie el tipo de grafica que se generan en cada uno de los siguientes casos: (i) E y R fijos. el punto de corte de dicha grafica con su asintota horizontal x3 + x2 − x a) f(x) = x 3 +2 b) g(x) = x 2 + 2x +3x x 2 +5 3 Resuelva cada uno de los siguientes problemas: a) Si una resistencia fija de 15 ohmios y una resistencia variable de x ohmios se conectan en paralelo la resistencia resultante es r(x) = 15x/(15 + x). R variable (iii) R y r fijos. además. E variable. Grafique r(x) b) La potencia eléctrica producida por una fuente se modela a través de la ecuación P= E 2r . las asintotas. las intersecciones de la grafica con el eje de las abscisas y bosqueje la grafica: a) f(x) = c) h(x) = x3 x 3 −1 4x 3 − 2x − 3 x 2 −5x + 4 b) g(x) = d) i(x) = 3 5x + 2 x2 ( x + 1)( x − 2) e) j (x) = g) I(x) = 2x 2 + 4x + 6 x 2 +1 f) k(x) = h) m(x) = x ( x − 5) x 2 −16 2x − 3 4x + 9 x 2 −5x + 6 x 2 En cada uno de los siguientes casos determine la asintota horizontal a la grafica de la función dada y.Ejercicios 1 Para cada una de las siguientes funciones racionales determine el dominio. r variable (ii) E y r fijos. es decir h(x)=f(x) -g(x) La grafica de h indica que los ceros de ella son x=2 y x=8 .3 La figura adjunta se construyó de la siguiente manera: i) se dibujo la grafica de la función f(x) = |x .5| .5| = 3 La ecuació n es equivalente a |x . permiten resolver gráficamente ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto. mas lo discutido acerca de operaciones con funciones (adición. luego el problema se reduce a encontrar los ceros de h(x) = |x .5| ii) se dibujo la grafica de la función constante g(x) = 3 iii) se dibujo la grafica de la función diferencia entre f y g.c) Determinar. Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto La información presentada sobre la función valor absoluto o módulo en la sección 1. como se muestra en los siguientes ejemplos: Ejemplos • Resolver la ecuación |x . para cada una de las funciones del ejercicio 1 las regiones para las cuales la grafica está: (i) mas arriba del eje Ox (es decir resuelva gráficamente inecuaciones del tipo f(x)>0) (ii) por debajo del eje Ox (es decir es decir resuelva gráficamente ine cuaciones de la forma f(x) < 0). multiplicación y composición) y los métodos para obtener gráficas de funciones polinómicas y racionales.5| .3 = 0. 8. Se puede comprobar, mediante un procedimiento algebraico (basado en el concepto de módulo dado en la sección 1) que, efectivamente, el conjunto solución de la ecuación propuesta es S = {2,8} En efecto: |x -5| = x - 5 si x ≥ 5, luego x - 5 = 3 ==>x = 8 |x -5| = -(x-5) si x ≤ 5, luego-(x-5)=3===> -x +5=3===>x =2 Se verifica que x = 2 y x = 8 son soluciones de la ecuación propuesta de la siguiente manera: |2-5|=|-3|=3 y |8-5|=|3|=3 Resolver la inecuación |5 - 3x| > 15 Procediendo algebraicamente se tiene: Caso 1: 5 - 3x ≥ 0; es decir: 3x ≤ 5, o sea x ≤ 5/3 (1) |5 - 3x| = 5 - 3x > 15; es decir 3x < -10, o sea x < -10/3 (2) Las condiciones (1) y (2) se cumplen para x < -10/3. En otras palabras el conjunto solución de este caso es S l = ]-∞,-10/3 [ Caso 2: 5 - 3x < 0; es decir: 3x > 5, o sea x > 5/3 (3) |5 - 3x| = -(5 - 3x) > 15; es decir 3x > 20, o sea x > 20/3 (4) Las condiciones (3) y (4) se cumplen para x > 20/3. En otros términos el conjunto solución en este caso es S 2 = ]20/3,+∞ [. En resumen, el conjunto solución de la inecuación |5 - 3x| > 15 es: S = Sl ∪S2 = ]∞,-10/3[ ∪ ]20/3,+ ∞[ Se demuestra que este es el conjunto solución de la siguiente manera: x ∈ S ===>x ∈ S1 o bien x ∈ S2 x ∈ S1 ==>x<-10/3===> 3x < -10===>-3x> 10===>5-3x> 15 ==>|3-5x|>15 x ∈ S2 ===> x > 20/3 ===> 3x > 20 ===> -3x<-20===> 5-3x < -15 ===> |3 - 5x| = -(5 - 3x) > -(-15) ===> |3 - 5x| > 15 • Resolver la inecuación |x2 - 5x + 6| <1 El dibujo adjunto se construyó de la siguiente manera: (i) grafica de la parábola de ecuación f(x)=x2 -5x+6 (ii) grafica de la función valor absoluto de f(x); g(x) = | f ( x ) | (iii) grafica de h(x) = g(x) - 1 Resolver la inecuación propuesta es, en consecuencia, equivalente a determinar para que valores de x las ordenadas de la grafica de h son negativas (h(x) < 0) El dibujo muestra que h(x) < 0 para un intervalo ]a,b[, en donde a es "algo mayor que 1" y b es "algo menor que 4". Usemos un procedimiento algebraico para precisar los valores de a y b |x2 - 5x + 6| < l ===> - 1 < x2 - 5x + 6 y, además, x2 - 5x + 6 < 1 -1 <x2 -5x+6===>0<x2 -5x+7 Como la ecuación x2 - 5x + 7 = 0 no tiene raíces reales (su discriminante es negativo) y la parábola de ecuación y = x2 - 5x + 7 "abre hacia arriba", resulta que x2 - 5x + 7 > 0 para cualquier valor de x x2 -5x+6<1===>x2 -5x+5<0 Como la ecuación x2 - 5x + 5 = 0 tiene como dos raíces reales y distintas (su discriminante es 5 ) que son x l = (5- 5 )/2 y x2 = (5+ 5 )/2 y la parábola de ecuación y = x2 - 5x + 5 "abre hacia arriba", resulta que x2 - 5x + 5 < 0 para x ∈]x1,x2 [ = ] (5- 5 )/2,(5 + 5 )/2[. En resumen, el conjunto solución de la inecuación |x2 - 5x + 6| < 1 es: S = ](5- 5 )/2,(5+ • 5 )/2[ Se recomienda al lector verificar que, efectivamente, S es el conjunto solución Resolver la inecuación |x2 - 5x + 6 | > x + 2 En el dibujo adjunto se encuentran las gráficas de: (i) f(x) = | x 2 - 5x + 6 | (ii) la recta de ecuación y = x + 2 (iii) g(x) = f(x) - y Resolver la inecuación propuesta es, en consecuencia, encontrar para que valores de x la gráfica de g tiene ordenadas positivas. Lo anterior ocurre en una unión de intervalos: ]-∞,a[ ∪ ]b,+ ∞ [, en donde a es "poco menor que 1" y b es "poco mayor que 5" A objeto de precisar cuáles son los valores de a y b se procede algebraicamente: La primera consideración es que la inecuación |x2 - 5x + 6| > x + 2 tiene sentido solamente si x + 2 ≥ 0; es decir si x ≥ -2 Otra consideración es que la inecuación |x2 - 5x + 6| > x + 2 es equivalente a: (i) (ii) x2-5x+6 ≥ 0 y x2 -5x+6 > x + 2, o bien: x2 -5x+6 < 0 y x2 -5x+6<-(x +2) En el caso (i) se tiene: x2 - 5x + 6 > 0 ===> x ∈ ]-∞,2] ∪[3,+∞ [ x2 -5x+6>x +2===>x2 -6x+4>0===>]-∞,3- 5 [ ∪ ]3+ 5 ,+∞[ Ambas condiciones se cumplen en el conjunto ]-∞,3- 5 [ ∪ ]3+ 5 -,+∞[ En el caso (ii) se tiene: x2 -5x+6<0===>x ∈]2,3[ |3x-1|< |5x +2| ===>|3x-1|2 < |5x+2| 2 ===> 9x2-6x+1<25x2 + 20x+4 ===> 0 < 16x2 + 26x + 3 Ahora bien.2361) Resolver la inecuación |3x .3.5 [ ∪ ]3+ 5 .g(x) Luego el la búsqueda del conjunto solución es equivalente a la determinación de las abscisas de aquellos puntos de la gráfica de h que están bajo el eje Ox Del dibujo se infiere que el conjunto solución es de la forma: S = ]-∞.1| < |5x + 2| El dibujo adjunto contiene las gráficas de: (i) f(x) = |3x – 1| (ii) g(x) = |5x + 2| (iii) h(x) = f(x) . Pero esta última inecuación tiene como conjunto solución el vació. En resumen el conjunto solución de la inecuación propuesta es: S = ]-∞. a[∪]b. en donde a es "aproximadamente -1.+∞[ (Observe que: 3 • 5 ≈ 3 .5x + 6 < -(x + 2) ===> x . pues la parábola de ecuación y = x2 .2361 = 0.+∞[.7639 y que 3 + 5 ≈ 3 + 2.2361 = 5.4x + 8 < 0.1 Veamos un proceso algebraico para resolver la inecuación propuesta.4x + 8 no corta al eje Ox (su discriminante es negativo) y "abre hacia arriba". y = 16x2 + 26x + 3 representa una parábola que "abre hacia arriba" y que corta al eje Ox en los puntos de abscisas xl = -1/8 y x2 = -3/2 (se obtienen resolviendo la .2 x2 .5" y b es "aproximadamente -0.2. a < x <===> x ∈ ]-∞.x > 0 (iv) |x· y| = |x|·|y| . luego el conjunto solución de la inecuación propuesta es: S = ].+ ∞ [ .|x| ≤ x ≤ |x| (xii) |x + y| ≤ |x| + |y| (desigualdad triangular).-a] ∪ [a. a[ b reales positivos. |x| ≥ 0 |x| = |-x| |x| = máx{x.ecuación cuadrática 16x2 + 26x + 3 = 0).-3/2[ ∪ ]-1/8. Para ilustrar los procedimientos que se usan. entonces: (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii) |x| ≤ a <===> -a≤ x ≤ a <===> x ∈ [-a. Sean x. o bien. a ≤ x <===> x ∈]-∞.∞.+∞[ Las principales propiedades de la función valor absoluto (dos de las cuales se han usado en los ejemplos recientes). en ambos casos: |x| ≥ 0 Si x < 0 entonces |x| = . a] (ix ) (x) (xi) |x| > a <===> x < -a.-x} |x·· y| = |x|·|y| |x/y| = |x|/|y| si y ≠0 |x|2 = x2 |x|< a<===>-a< x< a<===>x ∈]-a. o bien. y números reales arbitrarios y a.+∞[ |x| > a <===> x ≤ -a. se dan a continuación. demostremos algunas de estas propiedades: (i) |x| ≥ 0 Si x ≥ 0 entonces |x| = x ≥ 0 vemos que.-a[∪]a. a ≤ x <===> ]-∞. Entonces x·y = 0·y = 0. es decir |x·y| = |x|·|y| (2) x > 0. es inmediato que . Como x es negativo y a positivo.-a] ∪[a. o bien. luego: |x ·y| = |0| y también |x|·|y| = 0·|y| = 0. por lo tanto: |x·y| = . Por otra parte. (1) x ≥ 0. En resumen: -a < x < a Para demostrar la segunda parte se distinguen los mismos casos que en la primera parte: (1) x ≥ 0 ===> |x| = x < a (por hipótesis) (2) x < 0 ==> |x| = -x < a (se obtiene de la hipótesis al multiplicar por -1) (x) |x| ≥ a <===> x ≤ -a.+ ∞ [ Un interesante bosquejo de demostración es el siguiente |x| ≥ a <===> no es cierto que: |x| < a <===> no es cierto que: -a < x < a <===> x ≤-a. a ≤ x <===> x ∈ ]-∞.+∞[ . multiplicando por (-1) obtiene -a < x. pues -a < 0 y 0 < x. (3) ambos factores son negativos y (4) los factores tienen diferente signo.y = |x|·|y| En resumen. luego por hipótesis |x| = . luego: x·y < 0 y.Hay cuatro casos que considerar: (1) uno de los factores es nulo.x·y = (-x).x < a. (2) ambos factores son positivos. es claro que x < a. y > 0. en cualquiera de los casos posibles se tiene: |x·y| = |x|·|y| (vii) |x|<a<===>-a<x<a<===> x ∈]-a.a[ Descompongamos la propiedad en dos partes. (1) si x o y son nulos podemos suponer que x = 0. o bien. luego por hipótesis |x| = x < a. En resumen: -a < x < a (2) x < 0 ===> |x| = -x.-a] ∪ [a. ya que la equivalencia entre –a < x < a x ∈ ]-a. y < 0 ===> x·y > 0 ===> |x·y| = x·y = (-x)·(-y) = |x|-|y| (4) Supongamos x < 0. y > 0 ===> x·y > 0 ===> |x·y| = x·y = |x|·|y| (3) x < 0. (2) x < 0 (1) x ≥0 ===> |x| = x. de donde.a[ es inmediata por la definición de intervalo abierto: Primera parte: Hipótesis |x| < a Tesis-a<x<a Segunda parte: Hipótesis -a < x < a Tesis |x| < a Para demostrar la primera parte se considerar los casos.a <x. por (viii).|x| ≤ x ≤ (¿por qué?) . se tiene: |x + y| < |x| + |y| Resumen Conceptos Función valor absoluto Ecuaciones equivalentes Inecuaciones equivalentes Máximo entre dos números reales Resultados Doce propiedades de la función valor absoluto Procesos Graficación de funciones en que aparece valor absoluto Uso de la gráfica de una función para estimar soluciones de ecuaciones e inecuaciones Procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto Verificación de soluciones de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto Demostración de propiedades de valor absoluto.|y|| ≤ |x + y| Sumando miembro a miembro estas dos desigualdades se obtiene: .(xii) |x + y| ≤ |x| + |y| .|y|| ≤ |x – y| ||x| .|y| ≤ y ≤ |y| (¿por qué?) . 2 Demostrar que: a) b) ||x| .(|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y| de donde. Ejercicios 1 Demostrar cada una de las propiedades de valor absoluto que no se demostraron en el texto. 5x ≥ x.3|<1===> < < 8 x+4 6 .4|=.2x-4|>1 d) |x2 + 3x| < |x2 .1| < x(x + 1)2 e) b) |x2 .2x+4 d)|3.7|> x−2 x −1 h)3<|x +5|<8 j) x− 2 x−7 < x +1 x−3 5 Demuestre que cada pareja de inecuaciones siguientes son equivalentes: a)|x.((.28x.4|<α y 8-2α < 2x < 8+2α b) |(-4x + 1) .5|<7 i)|x.1| f) x >8 x −1 x 2 −1 < x−2 x g)2< |x.4)·2 + 1)| < α y |x-2|< α/4 6 Demostrar cada una de las siguientes propiedades: a) |x-3|<1===>6< x +4 <8 1 1 1 b) |x.1 f)|17x-23|≤ 5 a) |x+3|=|2x+1| c) |x.164|<4 c) |x3 .2|>2x+3 e) |4x-3|<7 4 Resolver cada una de las siguientes inecuaciones: a)|x2 .c) |x + y + z| ≤ |x| + |y| + |z| 3 Usando métodos gráficos estimar la solución de cada una de las siguientes ecuaciones o inecuaciones y luego resolverlas algebraicamente: b)|x2 . 3] a) f(x)=  2[x] si x ∈ ]3.y|< α.01 gramos y en ella se pesan dos objetos juntos.2] b) g(x)=  − x + 1 si x ∈ [2.b[.u está próximo a y .v con cota de error α + β (i) (ii) c) Si el grado de precisión de una balanza es de 0. b números reales tales que a < b y sea m el promedio aritmético de a y b.c) |x-2|<2===>0 ≤ |2x-3|<5 1 1 d) |x-4|<1===> < <1 3 x−2 7 Demostrar que la desigualdad triangular se transforma en una igualdad solamente en el caso que x e y sean números no nulos y del mismo signo.m| < (b-a)/2 es el intervalo ]a.5] . Demostrar que el conjunto solución de la inecuación |x . y números reales. 8 Resuelva cada uno de los siguientes problemas: a) Sean a. b) Sean x.5] 3x + 4 si x ∈[0. Si x está próximo a y con cota de error α. para los cuales la balanza indica 5. u está próximo a v con cota de error β. Se dice que x está próximo a y con cota de error a (α > 0) si |x . ¿cuáles son el mayor y el menor peso posibles de cada uno de los objetos por separado? Miscelánea de ejercicios 1 Dibujar la gráfica de cada una de las siguientes funciones: [2 x] si x ∈ [0.28 Kg. demostrar que: x + u está próximo a y + v con cota de error α + β x . -5) b) Directriz la recta de ecuación y = 3 y foco (5. e) i(x) = x2 .14x2 . foco (2.3 f) j(x) = x3 + 4x3 + x g) i + j.1 [ b) Una biyección de ]a.b[ en ]0.1[ 3 Demostrar cada una de las siguientes propiedades: a) si z es un entero.3)2 = 5(x + 2) c) 20x2 + 20x . entonces [x + z] = [x] + z b) [x]+[-x]=0 ó –1 c) [x] + [y] ≤ [x + y] 4 Identificar las gráficas de cada una de las siguientes relaciones: a) (x-2)2 =4(y+1) e) x2 +6xy+9y2-2x+3y=0.3 [ en [0. g · h.8y + 13 = 0 5 Encontrar una ecuación para cada una de las siguientes parábolas: a) Vértice (2.24x 2 Determinar: a) Una biyección de ]0.x 2 si x ∈ [0. io j.] d) g + h.3). i-j.-2) . io i h) h(x) = x4 . i2 . b)9y2 -18x -6y-8=0 d) (y . jo i.3[ c) h(x) =  4 si x ∈ [3. g o h y h o g. -1) 6 Demostrar cada una de las siguientes afirmaciones: a) El conjunto de puntos del piano que equidistan de la recta de ecuación x = 5 y del punto (2.1/4ª 7 Estudiar paridad. Encontrar: a) La ecuación de la recta que pasa por los puntos medios de AB y CD b) El área del tr iángulo que se construye con esos dos lados. imparidad.c) Directriz la recta de ecuación x = -2 y vértice (5. Además. separadamente. crecimiento y decrecimiento de cada una de ]as siguientes funciones.3x e) j (x) = 1/(x . determinar si ellas tienen. inversa y dibujar en un mismo sistema de ejes la grafica de la función y la de su inversa: a) f(x) = -5x + 8 c) h(x) = 3|x| .g y fo g son funciones afines.-2).3) y D(-3. a) Determinar condiciones para que se cumplan.1) 8 b) g(x) = |-5x + 8| d) i(x) = -4x3 f) k(x) = 4 − x 2 Sean f(x) = mx + n.10) C(7.f(1) b) Demostrar que f + g. o no.-1) es una parábola b) Una parábola con eje paralelo al eje de las abscisas no puede ser la grafica de una función c) La grafica de f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) es una parábola con foco el punto (-b/a. f . c-b2/a+1/4a) y directriz la recta de ecuación y = c . en donde A(-1. manteniendo la dirección de ellos 10 Dibujar las gráficas correspondientes a cada una de las siguientes relaciones y decidir cuál de ellas es la grafica de una función: a) |y| > x b) |x| + |y| = 1 . g(x) = px + q funciones afines. cada una de las siguientes condiciones: (i) f(2x) = 2f(x) (ii) f(2x-1) = 2f(x) .b2 /a .6). B(1. 9 Considere los segmentos AB y CD. x2 . (ii) g(x) = 3x2 + 6x + 7 d) El valor de α de modo que x .3βx .c)y =|x| + |x-2| d) y2= x4 1 si | x | < 1 e) y=  2 x −1 si [x ] ≥ 1  x 3 − 1 si x |< 0  f) f(x)  2 x + 3 si x ≥ 0  11 Estudiar existencia de inversa.x2 + αx .1) c) h(x) = 8 .8 13 Determinar todas las raíces de cada una de las siguientes funciones polinómicas: a) f(x) = 4x10 + 9x6 + 5x4 + x2 + 1 .3 sea un factor de 2αx3 . y en caso de existir graficar ambas funciones.2x2 .1 entre x .5x2 + 3αx e) El valor de β de manera que x + 2 sea un factor de 2x4 + 2βx3 .4x .x 3 b) g(x) = 1 + 2 x d) i(x) = x3 + 1 12 Determinar: a) El valor del parámetro α para que al dividir x4 .3x3 . para cada uno de los siguientes casos: a) f(x) = 3/(x .4 el resto sea 6 b) El valor de β para que x + 1/2 se factor de 8x2 + 4βx + 9 c) Los valores máximo o mínimo de cada una de las siguientes funciones: (i) f(x) = 4 . z = -1 .15 c) h(x) = 12 x3 + 16x2 + 7x + 1 d) i(x) = 2x3 .8x2 + 8 h) m(x) = x3 .x .3 g) l(x) = x4 + x3 .15x2 + 20 x .(1/3)x + y + (2/3)z = 2/3 3/x .y + 3w = -6 4x .1)/(x2 + 1) d) i(x) = x/(x2 .10w = 2 1/x .6) f) k(x) = x2 −2 2x −3 15 Resuelva cada uno de los siguientes sistemas: x .8y .x .5)/(x .1/y = 1/6 a) 4/x + 3/y = 3 .z .52x3 + 13x .7x2 + x + 3 i) n(x) = x4 + 2x3 +6x-3 = 0 14 Graficar cada una de las siguientes funciones racionales: a) f(x) = 2x/(x2 + 1) c) h(x) = (.x + 3y + 2z = 2 c) (1/2)x .5w = 16 b) .b) g(x) = 8x4 + 19x3 + 31x2 + 38x .3w = 0 8x .x2 + 5x .6x + 6 f) k(x) = 48x4 .3/y + 1/z = -1 d) 1/x + 4/y + 1/z = 5 2/x + 1/y .7y + 3z .(3/2)y .2y + z .2) e) j(x) = x+2 x−3 b) g(x) = (x2 .4/z = 0 .3 e) j(x) = x3 . .-42) c) De cuarto grado y con raíces 3.y 2 = 13 j) 16 (x .2) 2 + (y .4x 2 = 4 9y 2 + 16x 32 = 140 25y 2 .4x 2 = 3 6 h) i) x 2 . 4 y tal que su gráfica pasa por (2. inecuaciones o sistemas de inecuaciones: a) x−4 >0 x +1 b) x2 +5x-6 ≤0 d)||x-3| +8|>|x-5| c)|x2 -5x-8| >x-7 e) 1 1 +1 < x−5 > 3 x−2 x+ 2 x 2 −3 2x + 3 x + 3 f) 2 = − x − 6x + 5 x − 5 x −1 g) i) x x x = − x + 2 1− 2x x + 2 x +1 x+2 −3≥ 2 x +1 h) j) x + 11 3 x − 2 − =0 x+8 x−2 3x + 4 <4 x−2 . x2 = 4 + 3i l b) De tercer grado y con ceros 1/2.16x 2 = 400 9y 2 .2.1) 2 = 9 x-y = 2 Encontrar cada uno de los polinomios solicitados: a) De tercer grado y con raíces x = -2. 4.x 2 + y 2 = 25 e) xy = 12 x 2 + y 2 + 3x + 3y = 8 g) xy + 4x + 4y = 2 f) y 2 .3xy + 2y 2 = 0 2x 2 + 3xy . -1/3. ésta última con multiplicidad dos 17 Resolver cada una de las siguientes ecuaciones. -2) son los vértices de un triangulo rectángulo .f3 . f3 (x) = 1-x.5) (3.4) es isósceles.4) (1. g) Los puntos (2. en donde n es un número natural c) La ecuación polinómica x4 -7x2 +1=0 se factoriza como (x2+3x+1)(x2 -3x +1) = 0.7) son los vértices de un paralelogramo.8) son colineales. f) Los puntos (1. f5 (x)=(x-1)/x y f6(x) = x/(x-1).-1).4x3 + 5x2 .k) x2 -8x+12≤ 0 1)2x2 -x-10>0 18 Sean f1 (x) = x.2) y (7.1) (-1. f4 (x) = 1/(1-x).f6 } es cerrado con respecto a la operación composición de funciones b) Determinar f3 o f3 o f3 o f3 o f3 c) Determinar f1 o f2 o f3 o f4 o f5 o f6 d) Determinar la inversa de f6 e) Determinar la inversa de f3 o f6 f) Determinar f.13) (-2. Use este hecho para obtener las cuatro raíces de la ecuación original d) 2 es una raíz doble de la función polinómica f(x) = x 4 . (3. f2 (x) = 1/x. sabiendo que f2 o f5 o f = f5 19 Demostrar cada una de las siguientes afirmaciones: a) 7 es un número irracional b) Si I denota la función identidad.f4 . h) De entre todos los rectángulos de perímetro 36 cm el de mayor área es un cuadrado de lado 9 cm.f2 . i) Los puntos (2.-6) y (2.-1) (7. a) Demuestre que el conjunto F = {f1 .4x + 4 e) El triangulo de vértices (-8. entonces In o (f+g) = (f+g) n .f5 .-4) (5. de sal. Si t denota el tiempo de control de un . -11x+2y=6 f) Por métodos experimentales se ha determinado que el tono T de una campana es inversamente proporcional a la raíz cúbica de su peso p.10 y Bs.25. mientras que otras dos la llenan en cuatro horas. ¿cuántas monedas de cada tipo tiene? b) Un tanque de 100 litros está lleno de agua en la cual se han disuelto 20 Kg. ¿Cuánto debe pesar una campana similar para que produzca un tono de 256 ciclos por segundo? g) En las grandes organizaciones se necesitan supervisores para vigilar el trabajo de los empleados. Un segundo tanque contiene 200 litros de agua con 30 Kg. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas: a) x2 + y2 = 25 xy = 12 x 2 + y 2 + 3x + 3y = 8 xy + 4x + 4y = 2 b) y 2 . Una campana que pesa 400 Kg.4x 2 = 36 (x . (1. ¿En cuanto tiempo llenará la piscina cada llave por separado? d) La parábola de ecuación y = ax2 + bx + c pasa a través de los puntos (1.2) 2 + (y .18). mayor que m el numero de empleados que se encuentran efectivamente trabajando.10). trabajando juntas.4.1) 2 = 9 x-y = 2 c) d) e) x 2 . 3x+4y= -38. de sal por litro? c) Tres llaves.3xy + 2y 2 = 0 2x 2 + 3xy . Dos de ellas llenan la piscina en tres horas. Determinar: (i) la ecuación de la parábola (ii) el vértice y el foco de la parábola (iii) el eje y la directriz de la parábola e) Encontrar el área del triángulo cuyos lados son las rectas de ecuaciones 4x+3y=9.4x 2 = 4 9y 2 + 16 x 2 = 140 25y 2 . 0.16x 2 = 400 9y 2 .25 y el total de su dinero es Bs. El numero n de empleados que se requieren para realizar una tarea es.20 Los métodos de eliminación y sustitución utilizados para resolver sistemas de ecuaciones lineales también sirven para sistemas no lineales.y 2 = 13 f) 21 Resolver cada uno de los siguientes problemas: a) Una persona tiene monedas de Bs 0. llenan una piscina en 2 horas. tiene un tono de 512 ciclos por segundo. de sal ¿cuánta mezcla debería sacarse de cada tanque para hacer una solución de 90 litros con 7/40 Kg.12) y (2. en consecuencia. Si ambas salen a la 1:00 PM y a las 3:00 PM están separadas por 16 minas de distancia y. ¿cuál era la longitud del radio original de la tubería? l) Un radiador de automóvil contiene 8 litros de solución.400 cada uno. de ancho por 3. i) Dos lanchas salen de un mismo muelle. 3. 2. ¿cuáles son las velocidades de ambas lanchas? j) Si se disponen de 5. de largo. ¿qué cantidad de la primera solución debe quitarse y reemplazarse por solución del segundo tipo para lograr el propósito? k) Si el radio de una.1).000 diarios mas Bs. (i) encuentre una expresión que modele la distancia que recorre el cuerpo en su caída como función del tiempo. Determinar en qué compañía conviene mas alquilar un carro: (i) por 4 días. ¿Qué cantidad de la solución debe quitarse y sustituirse por antioxidante puro para obtener una solución que contenga 25% de antioxidante? m) Un agricultor necesita arar un campo rectangular de 2 Km.500 bolívares diarios mas Bs. recorrido. por vía experimental se ha determinado que: n(t) = mt/(t . Determinar para que número de días los costos de alquiler son los mismos en ambas compañías.0 cm la capacidad de la tubería aumenta en 125%. Si fabrica x estantes en cierto periodo de tiempo el monto del costo total de la producción es x2 + 15x + 225. además una de las lanchas viaja a 6 millas/h mas rápido que la otra.2 m en 2 segundos.6 Km. de modo que sus rutas forman entre si un ángulo de 90 0 . ¿Cuántos estantes debe fabricar en ese periodo para obtener realmente utilidades? p) La distancia que recorre un cuerpo al caer desde el reposo es directamente proporcional al cuadrado del tiempo que tarda en su caída. tubería aumenta en 1.supervisor sobre los empleados. y el cuerpo desciende 19.5 segundos? . (ii) ¿qué distancia ha recorrido el cuerpo desde que comienza su caída y hasta los 2. 5 por cada Km. 5. ¿Cuál debe ser el ancho de una franja que el agricultor debe arar alrededor del campo para que la mitad del total quede arado? n) Un carpintero puede vender todos los estantes para libros que fabrica a un precio de Bs. en cambio la compañía B cobra Bs.000 litros de una solución de ácido sulfúrico al 20% y se desea aumentar la concentración al 30% a partir de una solución al 80%. 4 por Km. que es 10% de antioxidante y 90% de agua. (i) grafique la función n para el caso m = 1000 (ii) ¿cuántos empleados se requieren para el caso t = 5? (iii) ¿cuántos empleados se requieren al reducir t de 5 a 4? h) La compañía A alquila carros por Bs. recorrido. (ii) por 8 días. 50 por cada silla adicional que el vendedor solicite después de 300 y hasta un máximo de 1. 12.000 sillas. (ii) ¿cuál es el dominio de la función resultante? . (i) encuentre una expresión para el monto de la compra en función del número x de sillas que el distribuidor compra al fabricante.100 cada una y reduce el precio sobre el pedido co mpleto en Bs. 2.q) Un fabricante de muebles ofrece a un distribuidor 300 sillas a Bs. por el estudio de la función visual. secante y cosecante) como funciones reales de variable real que se utilizan como modelo matemático de variadas situaciones: estudio de ondas. tangente. el perímetro y el drea de un triángulo). En sus orígenes. el estudio de la trigonometría es analítico.CAPITULO II FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Introducción La palabra trigonometría deriva del griego y. en la actualidad en que el concepto de función domina prácticamente toda la matemática y sus aplicaciones. en esta presentación. la trigonometría trataba exclusivamente problemas geométricos concernientes a la resolución de triángulos (entendiendo por tal expresión la determinación de los tres lados. . corrientes alternas y ciclos comerciales. pero. literalmente. seno. cotangente. El estudio de las funciones trigonométricas comienza. los tres ángulos. en el sentido que el énfasis se pone en el estudio de las propiedades de las funciones trigonométricas (coseno. significa medida del triángulo. α es de medida negativa si para "ir" de A a P. ellos. se describe un "movimiento" en el mismo sentido que las manecillas de un reloj. La Circunferencia unitaria La circunferencia unitaria es el conjunto C = { (x.0) y P = (x. junto con el origen. • .y) ∈ R2 / x2 + y2 = 1 } Si consideramos en C los puntos A = (1. se describe un "movimiento" contrario al de las manecillas de un reloj. determinan un ángulo α de vértice O que llamamos ángulo en posición normal En la figura adjunta α = AOP está en posición normal Recuerde el lector que para medir este tipo de ángulos se usan las siguientes convenciones: • • α se mide en radianes.1. través de C. a través de C.y). α es de medida positiva si para "ir" de A a P a. . Cualquier número real puede interpretarse como la medida de un ángulo a en posición normal. 2π]. 2 /2) g) P = ( 3 /2. -3π/2 + 2π . etc.. Así por ejemplo. 1/2) h) P=(.- 2 /2) . Ejercicios 1 Determinar diferentes medidas de los ángulos en pos ición normal que se obtienen a partir de los siguientes puntos P a) P = (1.. y todos los de la forma α + 2kπ . π/2 + 2π.... Procesos Determinación de un ángulo en posición normal Asociación de infinitos ángulos a la posición de un punto P...Obsérvese que una misma posición del punto P determina "infinitos" ángulos.1) determina los ángulos: π/2.. k ∈ Z. a saber: α con medida un real del intervalo [-2π.2 /2..0) d) P = (0.. que también denotamos por α. -3π/2 . .1) f) P =( 3 /2. Resumen Conceptos Circunferencia unitaria Angulo en posición normal Radian Angulo positivo Angulo negativo Resultados Ecuación de la circunferencia unitaria con centro en el origen..-1/2) b) P = (-1.0) c) P = (0.-1) e) P = ( 2 /2-. P = (0.. 0).1) .x) f) f (2π .0). -y) e) f (π/2 .y).α) = (x. P = (x. además g) f es periódica y de periodo 2π La demostración de estas siete propiedades resulta de la definición de la función visual y del análisis de las simetrías de los diversos puntos sobre la circunferencia unitaria con respecto a los ejes coordenados y al origen del sistema. La función f : R → C definida por f (α) = P = (x.α) = (y. Función Visual y funciones proyección Sean C la circunferencia unitaria y a un ángulo en posición normal.y).0) O = (0. Si f (α) = (x. determinar P en C tal que a = AOP (α se da por su medida) a) α = 0 d) α = π/2 g) α = 30° j) α= 1 b) α = π/4 e) α = π/6 h) α = 780° c) α = -π/4 f) α = -17π/3 i) α= -750° 2.0) y O = (0. A = (1. entonces: c) f(-α) = (x.2 Dado el ángulo a en posición normal. se llama funció n visual. en donde: α = AOP.-y) d) f (α + π) = (-x.-y).y) La función visual tiene las siguientes propiedades: a) El recorrido de ella es C (en símbolos: R(f) = C) b) f no es inyectiva. Completar las siguientes tablas: α en grados α en radianes f (α) 0 30 45 60 90 π (0. A = (1. y) P2 (x.y) P2 (x.y) (x.  2 2      360 2π 3 La función P1 : R 2 → R definida por P1 (x.3) (π.y) = y se llama segunda proyección Completar las siguientes tablas: (x .   2 2   (u.y) = P2 (y. y) por P2 (x.x) .y) P1 (x. y ) P1 (x. y P2 no son inyectivas c) P1 (x.α en grados α en radianes f(α)  3 − 1  . 2 )  3 1  .v) 1 Z 1 2 Las funciones primera y segunda proyecci6n tienen las siguientes propiedades: a) R(P 1 ) = R(P2 ) = R b) P.y) -1 3 2 (-8.y) = x se llama primera proyección La función P2 : R2 → R definida x = P1 (x.   2 2    -330 17π 4  2 − 2  . Establecer y demostrar las propiedades de las funciones proyección.y) ∈ {(x.y) = 0}. β medidas en radiales de ángulos tales que 0< α < β < 2π a) ¿ Qué es. Resumen Conceptos Función visual Función primera proyección Función segunda proyección Resultados Propiedades de la función visual Propiedades de las funciones proyección Procesos Determinación de imágenes de números reales mediante la función visual. 2 3 Sean P1 y P2 las funciones primera y segunda proyección. respectivamente. entonces P1 (C) = P2(C) = [-1. el conjunto f([α. B={(x. Ejercicios 1 Encontrar una caracterización geométrica de los siguientes conjuntos: A = {(x. Establecer y demostrar las propiedades de la función visual.y) ∈ R 2 / P1 (x.y) =1/2} . a)encontrar una caracterización geométrica de los siguientes conjuntos: A={(x.1].d) Si C es al circunferencia unitaria.y) = 1} Sea f la función visual y α. Determinar imágenes de pares ordenados mediante las funciones proyección. geométricamente.y) ∈ R2/ P1 (x.y) ∈ R 2 / P2 (x. β]) b) Demuestre que la distancia entre los puntos f (α) y f ( ) es igual a la distancia β entre f (β-α) y f(0). Entonces P1 o f se llama función coseno f R C P1 cos = P1 o f R cos(α)=cosα=(P 1 of)(α)=P1 (f (α))=P1 (x.y) ∈ R2 / P 2 (x. se tiene: para un punto de la circunferencia unitaria (x.1] Sea f : R → C la función visual y sea P1: R 2 → R la función primera proyección.B = {(x.y) = 2} b) Demuestre que si Q es la cuarta parte de la circunferencia unitaria que se ubica en el primer cuadrante. senα) .y)= x Sea f : R → C la función visual y sea P2 : R2 → R la función segunda proyección. Entonces P2 o f se llama función seno. en resumen. entonces: P1(Q) = P 2 ( Q ) = [0. R C P1 sen = P2 o f R sen(α)=senα= (P 2 of )(α)=P2 (f (α ))=P2 (x. y)= (cosα.y)=y Y. 1 ] cos0 = cos2π = 1 b) sen0 = sen2π = 0 c) Como f (α) = (x .0) c) Se proyecta P sobre el eje de las abscisas obteniendo: x = cosα y = senα Las principales propiedades de las funciones coseno y seno son las siguientes: a) R(sen) = R(cos) = [-1. para calcular cos α y senα se procede de la siguiente manera: a) Se dibuja el ángulo α en posición normal b) Se determina en el circulo unitario el punto P = (x.Constructivamente.α) = P1 (f (-α)) = x De (3) y (4) se concluye: cos(-α) = cosα (3) (4) (2) .α) = senα y sen(π/2 . .y) tal que AOP = α con A = (1.y) : x2 + y2 = 1 } ) = [-1. y) ==> f (-α) = (x.α) = cosα e) coseno y seno son periódicas de periodo 2π En efecto.1] b) seno y coseno no son inyectivas c) seno es impar y coseno es par d) cos(π/2 .1 ] R({(x.y) : x2 + y2 = 1 } ) = [-1. O = (0. a) Es inmediata pues D({(x.α) = P2 (f (-α)) = -y De (1) y (2) se concluye: sen(-α) = -senα cosα = (P1 of)( α) = P1 (f (α)) = x cos(-α) = (P 1 of)(.y) (f la función visual) entonces: senα = (P2 of )( α) = P2 (f (α)) = y (1) sen(-α) = (P 2 of )(.0). c) Algunos valores especiales. y en la construcción de sus gráficas.α) = x = cosα e) Este hecho se deduce en forma inmediata de la periodicidad de la función visual.α) = (y./2 . b) El crecimiento y decrecimiento de ellas en los distintos cuadrantes. se necesita conocer: a) El signo de ellas según el cuadrante en que se encuentre P (α = AOP.y)).0) P = (x. O = (0.d) Ya se sabe que f (α) = (x.y) ==> f (π. luego: cos (π/2 . En las aplicaciones de estas funciones.0).x). Estas tres situaciones se resumen en ]as siguientes tablas: Cuadrante 1° 2° 3° 4° Variación de α 0<α<π/2 π/2<α<π π<α<3π/2 3π/2<α<2π Variación de sen y signo Crece de 0 a 1 (+) Decrecede 0 a 0 (+) de 1 de 1 a -1 (-) Decrece de 0 de 0 Crece de –1 a 0(-) Variación de cos y signo decrece de 1 a 0 (+) 0(+) decreceade 0 a -1 (-) a -1(-)a 0 (-) crece de –1 crece a 0(-)a 1(+) de 0 Tabla de valores especiales (complete el lector) Angulo en grados 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 Angulo en radianes 0 π/6 π/4 π/3 π/2 Seno del ángulo 0 1/2 Coseno del ángulo 1 3/2 2 /2 1/2 0 2 /2 3/2 1 . A = (1.α) = y = senα sen (π/2 . Gráfica de la función seno Gráfica de la f unción coseno . usando la circunferencia unitaria. Resolver ecuaciones en las que aparecen coseno y seno. cos 2 α = (cosα)2 ) b) ∀ α ∈ R se verifica: sen(α+ π) = . Ejercicios 1 Demostrar que: a) ∀ α ∈ R se verifica sen2 α + cos2α = 1 ( Nota: sen2α = (senα)2 . Demostración de las propiedades de coseno y seno.senα cos(α+π)= -cosα 2 Resolver las ecuacione s: (α es la "incógnita") a) senα = 0 d) senα = -1 c) cos 2 α = cosαβπ b) cosα = 0 e) senα = cosα c)senα=1/2 f) sen2 α = senα .Resumen Conceptos Coseno de un ángulo Seno de un ángulo Resultados Propiedades de la función coseno Propiedades de las función seno Procesos Determinación geométrica de cosenos y senos de ángulos. Determinación de las variaciones y signos de coseno y seno en los diferentes cuadrantes. Interpretación geométrica de las propiedades de las funciones coseno y seno. Graficación de coseno y seno. uno de radio 1 y el otro y el otro de radio r. paridad.0) S = (u.2 Graficar las siguientes funciones (haciendo un estudio detallado de: dominio.senα) Q = (u.π = 0 y . zonas de crecimiento. valores máximos y mínimos): 3 a) y = senx + cosx b) y = sen2 x c) y = 2sen(x/2) e) y = 3sen(x/3) 4 Resolver el sistema d) y = cos(x + 1/2) f) y = sen2x + cos3x 2x + πy .0) T = (cosα. cortes con los ejes.senx =0 4. Otras funciones trigonométricas Consideremos dos círculos concéntricos de centro en el origen. periodicidad. 0) El triangulo OTP es semejante al triangulo OSQ (ambos son rectángulos y tienen α como ángulo común). signos. tabla de valores especiales. recorrido. imparidad. u = cosα v es decir u = rcosα Luego: v senα = es decir u = rsenα r 1 También puede decirse que en el triangulo rectángulo OSQ se verifica: . zonas de decrecimiento. r =/ 1 (en la figura adjunta r > 1) Resulta entonces que: (ver figura adjunta) P = (cosα .v) A = (1. . cotangente. luego en sus dominios no pueden estar números reales que anulen sus denominadores Las funciones tangente y cotangente son periódicas. cotangente (cot). Las funciones secante y cosecante son funciones periódicas. de periodo π .coseno = u cateto adyacente al ángulo = r hipotenusa seno = u cateto opuesto al ángulo = r hipotenusa Naturalmente. secante y cosecante. secante y cosecante. π/2[ Se definen las funciones tangente (tg). secante y cosecante se definen como cocientes. secante y cosecante. cotangente. Procesos Determinación del dominio de las funciones tangente. de periodo 2π . secante (sec) y cosecante (cosec) mediante las reglas de correspondencia: tg α = senα cos α cot α = 1 tgα sec α = 1 cos α cos ecα = 1 senα Resumen Conceptos Función tangente Función cotangente Función secante Función cosecante Resultados Las funciones tangente. esta interpretación geométrica de los valores de seno y coseno tiene sentido solamente para α ∈ ]0. Deducción de las propiedades de las funciones tangente. cotangente. Determinación del recorrido de las funciones tangente. cotangente. cosec. 4 Demostrar que la función tangente es impar. cotangente. Demostración de identidades en las cuales aparezcan una o mas de las seis funciones Trigonometricas.cotx = 0 c) cosecx = 2 9 ¿Son las funciones secante y cosecante periódicas? . Demostrar cada una de las siguientes identidades: a) 1 + tg2 α = sec2α c) 1 + cot2 α = cosec2 α b) tg(π/2 . secante y cosecante. periódica y de periodo π y creciente en el intervalo ]. Ejercicios 1 2 3 Encontrar el dominio de las funciones tangente.Construcción de las gráficas de las funciones tangente. 5 6 Graficar las funciones tangente. Construir tablas de valores especiales para cada una de las cuatro funciones definidas en esta sección. π /2[. cot. Solución de ecuaciones en las cuales aparezcan una o mas de las seis funciones Trigonometricas. cotangente.π /2 . secante y cosecante.α) = cotα d) cosec(#/2 + α) = secα 7 8 Encuentre interpretaciones geométricas para los valores de tg. Encontrar el recorrido de dichas funciones.tgx = 0 b) secx = 1/2 e) cosecx . secante y cosecante. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones: a) tgx = 1 d) tg2 x . sec. cotangente. luego. usando la fórmula de la distancia: d(P.Q) = 2 − cos(α − β ) (1) Por otra parte. β ∈ R se verifica: cos(π-β)=cosαcosβ+senαsenβ En efecto: Sean P = (cosβ. podemos pensar α .senα) puntos de la circunferencia unitaria. sen α) puntos de la circunferencia de ecuación: x2 +y2 = 1 entonces d(A.senβ) Q = (cosα.β en posición normal y aplicar el resultado precedente para obtener: d(P.0) y P = (cosa α. d(A.P) = (2 − 2 cos α ) Del resultado anterior se deduce la siguiente propiedad: (Identidad fundamental para el coseno de una diferencia de ángulos) ∀ α.5.P) (1 − cos α ) 2 + (0 − senα ) 2 (1 − 2 cos α + cos 2 α + sen 2 α (2 − 2 cos α ) = y como sen2 α+ cos 2 α= 1 se deduce que: d(A.P) = En efecto.Q)= (cos α − cos β ) 2 + ( senα − senβ ) 2 (cos 2 α − 2 cos α cos β + cos 2 β + sen 2 α − 2senαsenβ + sen 2 β 2 − 2(cos α cos β + senαsenβ ) (2) . Funciones de suma de ángulos y suma de funciones Sean A = (1. senβcosα cosα+cosβ = 2cos((α+β)/2)cos(α-β)/2) En efecto: De la identidad fundamental se tiene: cos(x + y) = cosxcosy – senxseny cos(x . la paridad de coseno y la imparidad de seno y el cambio de una función a su cofunción cuando el.y) = 2cosxcosy (5) Reemplazando en (5) x + y por α.senαsenβ En efecto: cos(α+β) = cos(α-(-β)) = cosαcos(-β) + senαsen(-β) = cosαcosβ . se pueden deducir muchas otras. ángulo se cambia por su complemento.y) = cosxcosy + senxseny (3) (4) Sumando miembro a miembro las identidades (3) y (4) cos(x + y) + cos(x . elevando al cuadrado y simplificando. se obtiene la identidad fundamental: cos(α-β) = cosαcosβ + senαsenβ Usando esta identidad fundamental.sen(π/2-α)senβ = senαcosβ .y por β (y por lo tanto x = (α+β)/2.senβcosα En efecto: sen( α-β) = cos(π/2 –(α-β )) = cos((π/2-α)+β) = cos(π/2 -α)cosβ . y = (α+β)/2 ) se llega a: cosα + cosβ = 2cos((α+βB)/2)cos((α+β)/2) .Igualando las formulas (1) y (2).senαsenβ sen(α-β) = senαcosβ . x . según se muestra en los siguientes ejemplos: cos(α+β) = cosαcosβ . Deducción de identidades para sumas de funciones y diferencias de funciones. Ejercicios 1 A partir de la identidad fundamental para el coseno de una diferencia (o suma) de ángulos y de las propiedades de sen.1 b) sen(α+β) = senαcosβ + senβcosα (Indic: sen(α+β) = cos(π/2 – (α+β)) = cos((π/2 -α) .β) ) c) sen(α-β) = senαcosβ . cot. a través de sus coordenadas.2sen2 α = 2cos2α .senβcosα d) sen2α = 2senαcosα e) tg(α+β) = tgα + tgβ 1 − tgαtgβ tgα − tgβ 1 + tgαtgβ f) tg(α-β) = . deduzca que: a) cos2α = cos2 α . tg. Distancia entre dos puntos. Deducción de identidades para ángulos dobles y medios . Deducción de identidades para funciones de la suma y la diferencia de ángulos. cos. Resultados Formula para calcular la distancia entre dos puntos de los cuales se conocen sus coordenadas. Identidad fundamental: cos(α-β) = cosαcosβ + senαsenβ Otras identidades fundamentales que derivan de la anterior Procesos Determinación de la distancia entre dos puntos.Resumen Conceptos Coordenadas de un punto de la circunferencia unitaria en términos de un ángulo en posición normal.sen2 α= 1 . Ondas sinusoidales Las propiedades geométricas de las funciones Trigonometricas son de gran ayuda en la obtención del gráfico de otras funciones Trigonometricas más complicadas. cada una de las siguientes funciones: a) f(x) = senxcos2x b) f(x) = 2cos5xsen4x 6. 3) Alcanza como máximo el valor +1 4) Alcanza como mínimo el valor -1 .g) sen α 1 − cos α = 2 2 α 1 + cos α = 2 2 h) cos i) senα + senβ = 2sen j) tg α + tg = k) α+β α −β cos 2 2 sen(α + β ) cos α cos β senα + sen2α + sen3α = tg 2α cos α + cos 2α + cos 3α 2 Resolver cada una de las siguientes ecuaciones Trigonometricas: a) sen2x + senx = 0 c) senx + cosx = 1 b) cos2x . Ya se ha visto que las principales características de la curva de ecuación y = senx son: 1) Pasa por el origen del sistema de coordenadas. 2) Es periódica y de periodo 2π.cos2x = 1 3 Grafique.senx = 1 d) 3cos2 x . previo un estudio completo. el punto (0. Gráfica de y = 2senx La curva de ecuación y = sen(x+b) es. .El máximo y mínimo tienen el mismo valor absoluto. en cierto sentido. En efecto. El valor |b| se llama fase. ya que el argumento es x + b y no x. En realidad el punto (-b.0) efectivamente pertenece a la curva de ecuación y = sen (x + b) pues sen(-b+b) = sen(0) = 0. de modo que podemos afirmar que el gráfico de y = sen(x+b) se obtiene a partir del gráfico de y = senx por un desplazamiento de este último hacia la izquierda en |b| unidades (ver figura adjunta). semejante a la de ecuación y = senx pero presenta algunas diferencias con respecto a ella.0) no pertenece a la curva y = sen(x + b). éste se llama amplitud de la curva y = senx La amplitud de y = asenx es |a| y una curva de este tipo se grafica fácilmente. como se ve en el siguiente ejemplo. Pues bien.Sea ahora k un número real positivo. en el intervalo [0.2π/k[ y luego extenderla a R usando la periodicidad: Gráfica de y = senkx La forma más general de la ecuación de una curva sinusoidal es: . para graficarla. La función y = senkx es periódica de período 27π/k. En efecto: senk( x + 2π/k) = sen(kx + 2π) = senkx. es necesario ver lo que ocurre. por ejemplo. ( 2 /2)cos4x) .y asen(kx b) k>0 En tal caso se tiene: La amplitud es |a|. previamente la Se tiene: 2 sen4x - 2 cos4x 2(( 2 /2)sen4x . Gráfica de la curva de ecuación y = 3sen(2x + π/2) Grafique el lector y 3cos(2x π/2) Para graficar la curva de ecuación y = expresaremos en la forma y = asen(kx + b). 2 sen4x - 2 cos4x. el período es 2π/k y la frecuencia (el valor recíproco del período) es k/2π. la fase es |b|/k. Reducir una suma (diferencia) de una función seno y una coseno. σ y k son constantes.Procesos Graficación de una onda sinusoidal.(1/6)sen8t en donde d(t) es la distancia (en pies) por debajo del punto de equilibrio (punto de reposo) en el instante t (en segundos). Ejercicios 1 Graficar cada una de las curvas cuyas ecuaciones se indican: a) y c) y (1/3)cos2x 5sen2x 12cos2x b) y = 6cos(x . Demuestre que f puede representarse por la expresión siguiente: f(t) = -2acosσtsenkx 4 El movimiento de una masa que cuelga de un resorte se modela por: d(t) (2/3)cos8t .kx) . a.(7/3)) d) y sen3x 3cos3x 2 Indicar en cada uno de los ejercicios anteriores: la amplitud. a una sola onda sinusoidal. ¿Para qué valores de a y b se obtiene d(t) = asen(8t + b)? . 3 Bajo ciertas condiciones. se modela por: f(t) asen( (σt . estirada entre dos puntos sobre el eje Ox. la fase. el período y la frecuencia. el movimiento de un trozo de cuerda que vibra. ambas del mismo argumento.asen(σ t kx) en donde t es el tiempo. (π/4)) de modo que su amplitud es 2. el período es π/2 y la fase es π/16 Gráfica de y = 2 sen4x - 2 cos4x = 2sen(4x .sen(π/4)cos4x) = 2sen(4x .= 2(sen4xcos(π/4) . .(π/4)) Resumen Conceptos Onda sinusoidal Amplitud de una onda Fase de una onda Frecuencia de una onda Período de una onda Resultados Ecuación general de una onda sinusoidal: y = asen(kx + b) Sumas algebraicas de un coseno y un seno de iguales argumentos puede reducirse a una sola onda sinusoidal. también se tiene: a2 = (d(B. En esta sección obtendremos dos resultados importantes que nos ayudarán a resolver triángulos no necesariamente rectángulos.0) B = (c. Usando la misma figura.bsenα) Luego: h = bsenα = asenβ de donde: senα senβ = a b Por un procedimiento análogo se demuestra.C))2 = ( (b cos α − c) c2 2 + (bsenα − 0) 2 ) 2 a2 = b2 cos2 α. Aplicaciones de la trigonometría Ya hemos visto que los valores de las funciones trigonométricas para ángulos agudos nos permiten resolver algunos problemas en donde aparecen involucrados triángulos rectángulos.2bccosα b2 senα . de donde: a c senα senβ senµ = = a b c fórmula que se conoce como ley de los senos . que: senα senµ = .0) y C = (bcosα.7. por ejemplo. AC =b AB =c BC=a En la figura anterior se tiene: A = (0. . Resumen Conceptos Lado de un triángulo Angulo de un triángulo Perímetro de un triángulo Área de un triángulo Angulo de elevación Angulo de depresión Paralelogramo Dirección de una embarcación.2bccosα c 2 .a2 b2 c 2 . Teorema de los senos.2accosβ b2 . Resultados Un triángulo cualquiera se denota por A. c para sus lados y α . β. C para sus vértices. a. Teorema del coseno. se demuestra que: b2 c2 a2 a2 c 2 . B. se tiene que en un triángulo cualquiera: a2 b 2 b 2 a2 c 2 a2 c 2 . Procesos Calcular el área de un triángulo. b.2bccosα Análogamente.2abcosµ Resumiendo. µ para sus ángulos interiores. Resolver un triángulo.2abcosµ Cualquiera de estas fórmulas se conoce como ley del coseno.2accosβ b2 . Para encontrar la distancia d entre ellos. ¿Qué altura tiene el poste?. el perímetro y el área) los triángulos cuyos datos se dan en cada caso: a) α = 41° µ = 77° a = 10. de P y 126 m. Un paralelogramo tiene sus lados de longitudes 30 cm.m. un observador elige un punto R que dista 100 m. ¿Cuánto miden sus diagonales?. 80 cm. b) β c) α d) a 2 200 60º 25 cm. b = 210 cm. ¿Cuánto mide d? Si A B C es un triángulo cualquiera con lados a. y 70 cm. Un barco sale del punto P a la 1:00 p. determinando además que el ángulo PRQ mide 37°40'. β. ¿A qué distancia se encuentran entre sí los dos barcos a las 3:00 p. Si uno sus ángulos mide 65°. ¿a qué distancia se encuentra la embarcación del faro?. µ = 31º b b 20 cm. respectivamente. todos los lados. ? Dos puntos P y Q a nivel del piso se encuentran en lados opuestos de un edificio.c y ángulos α. mide 30 30'.Ejercicios 1 Resolver (es decir encontrar todos los ángulos. Cuando el ángulo de elevación del Sol es de 640. proyecta una sombra de 10 m. c c 30 cm. Si el faro tiene una altura de 100 m con respecto al nivel del agua. Otro barco sale de P a la 1:30 p. de Q. a 24 millas/h en dirección S 35° E. cuya visual a la cima y al sol forman entre sí un ángulo de l2°. en dirección S 20° O a 18 millas/h.5 cm. 60 cm. µ (según las convenciones ya establecidas) demuestre que: a) a2 + b2 + C2 = 2(bccosα accosβ b) c) abcosµ) 3 4 5 7 cos α cos β cos µ a 2 + b 2 + c 2 + + = a b c 2abc a − b tg ((α − β ) / 2) = a + b tg ((α + β ) / 2) 8 El ángulo de elevación de un rayo de luz de un faro.m. un poste del telégrafo.b.m. . con respecto a una embarcación. en S. Formalmente.1 ] y elegimos el intervalo cerrado S = [-π/2. La técnica es sencilla: dada una función trigonométrica. se define así: arcsen: [-1. π/2] se tiene que. además.8. es posible obtener funciones que se comportan (localmente) como las trigonométricas y sí son invertibles. restringiendo adecuadamente los dominios. de tal manera que la función en estudio alcanza todos los valores posibles. establecemos el siguiente concepto. cuyo dominio es R y cuyo recorrido es [-1. Funciones trigonométricas inversas Como las funciones trigonométricas no son inyectivas ellas no tienen inversas. π/2 @ → y →x arcsen y en donde: senx = sen(arcseny) = y De la definición resulta que: a) π/2 ≤ arcseny ≤ π/2 si -1 ≤ y ≤ 1 b) sen(arcseny) c) arcsen(senx) y x si -1 ≤ y ≤ 1 si -π/2 ≤ x ≤ π/2 d) La gráfica de y = arcsenx se obtiene reflejando la gráfica de y = senx en la recta de ecuación y = x. elegiremos un subconjunto S de su dominio de modo que. Sin embargo. la existencia de inversa. denotada por arcsen.1 @ π/2. en S. Desde luego S se elige. por consecuencia. f es creciente luego es invertible. Así por ejemplo. si tomamos f(x) = senx . . La inversa de la función seno. la función sea creciente (o decreciente) con lo cual estará garantizada la inyectividad y. 1] → y→ en donde: cosx [0. se define así: arccos: [-1.π ] x arccosy y cos(arccosy) De esta definición se obtiene: a) 0 ≤ arccosy ≤ π b) cos(arccosy) = y c) arccos(cosx) d) la gráfica de y x si -1 ≤ y≤ 1 si -1 ≤ y ≤ 1 si 0 ≤ x ≤ π arccosx es . denotada por arccos.La inversa de la función coseno. Procesos Determinación de una inversa local para cada función trigonométrica.Resumen Conceptos Función arcoseno Función arcocoseno Función arcotangente Función arcocotangente Función arcosecante Función arcocosecante Resultados Restringiendo convenientemente los dominios. Conversión de expresiones con funciones trigonométricas directas e inversas en expresiones algebraicas. cada una de las funciones trigonométricas permite construir una inversa local. . Si la recta es paralela al eje 0. desde el semi-eje positivo O x a la recta. de la función cuya regla de correspondencia es f(x) = arcsen(2x-5).π/2. se dice que su ángulo de inclinación tiene medida cero.arccos(4/5)) Escribir como una expresión algebraica: a) cos(arcsen x) b) sen(arctgx) c) cos((1/2)arccosx) d) cos(arctgx) 5 Resolver cada una de las siguientes ecuaciones: a) 2tg2 x + 9tgx + 3 = 0 b) 15cos 4 x .Ejercicios 1 2 3 Defina inversa de la función tangente.14 cos2 x + 3 = 0 x ∈ ]. sin uso de tablas. medido en el sentido antihorario. secante y cosecante. . entonces: m = tgα. 9. De lo anterior deducimos que si la recta tiene ecuación y = mx + n y su ángulo de inclinación es a. Una aplicación importante de la función arcotangente 7 8 El ángulo de inclinación de una recta no paralela al eje Ox es el menor ángulo. π/2[ x ∈ [0. Demostrar la identidad siguiente: arccos(1/2) + arccos(-1/2) = π Hacer un estudio detallado que culmine en la gráfica. Defina inversas de cotangente. π] 6 Determinar el valor exacto de la expresión siguiente: tg(arcsen(5/13) arccos(7/25)). a) sen(arctg2/3) 4 b) sen(arctg (l/2) . Calcular. según la figura adjunta: tg θ = tg (α 2 − α 1 ) = tg α 2 − tg α1 m − m1 = 2 1 + tg α 2 tg α1 1 + m 2 m1  m − m1  es decir: θ = arctg 2  1 + m 2 m1  Resumen Conceptos Angulo de inclinación de una recta Angulo entre dos rectas Función arcotangente Resultados Relación entre el ángulo que forma una recta con el eje Ox y la pendiente .(x2 . entonces: m= y 2 − y1 = tg α x 2 − x1 Si dos rectas son no verticales el ángulo entre ellas será la diferencia entre sus ángulos de inclinación. tomada de mayor ángulo a menor ángulo. y1 ) P2 ---. Se tiene. y2 ) son puntos de la recta.En efecto: si P l = (x1 . sen3x e) j(x) = arcsenx + arccosx g) l(x) = 2 . B = (-3. 3 Usando los recursos de esta sección justifique las siguientes afirmaciones: a) Dos rectas son paralelas si.2x) es un punto del primer cuadrante.3sen2(x -π) d) i(x) = πcos(x/π . Ejercicios 1 Calcular el ángulo que forman las dos rectas siguientes: Rl : x-y+3=0 R2: 3x-y+5=0 2 Calcular los ángulos interiores y exteriores del triángulo cuyos vértices son los puntos: A = (1. tienen iguales pendientes b) Dos rectas son perpendiculares si.2) y C = (2.3). Hacer un estudio completo de cada una de las siguientes funciones: a) f(x) = 4sen(-x/2) b) g(x) = 2sen(2x/3 + π/4) c) h(x) = senx . y sólo si.0). y sólo si. el producto de sus pendientes es -1 Miscelánea de Ejercicios 1 Si f es la función visual y f(a) = (x.π/2)) 3 . Calcular el ángulo entre dos rectas de las cuales se conocen sus pendientes. calcular: a) el valor de x b) cosα c) senα d) tgα e) cotα f) secα g) cosecα 2 Si f(x) = cosx y g(x) = 2x. Procesos Calcular el ángulo de una recta con el eje Ox.Fórmula para calcular el ángulo entre dos rectas de las cuales se conocen sus pendientes.1/π) f) k(x) = -8cosec(3x-5) h) m(x) = 1 + (1/2)cos((2/3)(x . hacer un estudio completo de las funciones compuestas gof y fog. 4 Demostrar cada una de las siguientes identidades: a) arcsenx = arccos ( b) sen(arccosx) = 1 − x 2 ) para 0 ≤ x ≤ 1 1− x 2 c) cotα + tgα = secαcosecα e) sen3α/senα .senx =2cos 2 x d) 4cos 2 x – 5sencotx .cos3α/cosα = 2 g) costα + 2sen2 α = l d) sec4 α .6 = 0 .sec2 a = sen2 α/cos2 α f) tgα + cotα = 2cosec2α 1 − sen 2 α h) = sen 2 α cos 2 α 2 1 + cot α i) j) ( senα + senβ ) tgα + tgβ = sen(α − β ) tgα − tgβ 2 cos(θ − 3π / 4) = senθ − cos θ k) sen3α = 3senα .2 arcsen(3x) 6 Reducir cada una de las siguientes expresiones a otras que sólo contengan funciones seno y/o coseno: a) (secα cosecα)2 tgα cos(α/2))2 b) (cosecα d) 1/(1 cotα)2 c) (sen(α/2) tg2α) 7 Resolver cada una de las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sen2x 3 cosx = 0 b) 2cosx + 3 =0 c)2. despejar la variable x: a) y c) y arccos2x 2 arcsen(5x -1) b) 3y d) 5y 1 4arccos(x/2) 4 .4sen3 α 1) sen2β(1 + cot2α) = 2cotβ 5 En cada una de las siguientes expresiones. 5. a un mismo lado de un río. 900. el ángulo entre la ladera de la colina y la visual dirigida al extremo superior de la torre es de 120 30'. ¿Cuánto mide de alto el cuadro? 10 Una antena de TV de 150 m de altura está en la cima de una colina. en tanto que el ángulo de depresión de la parte inferior es 150 .cos23º e) cosl3 0 tgl3ºtg77 0 cosec770 . es tal que el ángulo CAB mide 70 0 y el ángulo ABC mide 800. ¿cuál es la pendiente de la ladera de la colina? 11 Los puntas A y B. 5. ¿Cuál es el ancho del río? 12 Sin hacer uso de tablas ni calculadoras determinar el valor exacto de cada una de las siguientes expresiones: a) sen3300cos180 0 . Un punto C. 15. b µ c 3.2cotx g) cos2x cosx -1 0 f) tg2 x h) sen2 x 3secx . distan entre sí 50 m. 9 b=5.3 2cosx 0 1/4 8 Resolver cada uno de los siguientes triángulos: a) a b) a c) b 5.sen60ºsen30º d) cot670 cot230cos670 tg670 .cos330ºsen180º b) cos2700cos150 0 0 sen270ºsen150º c) cos60 cos30º . 17. Una persona ve un cuadro que está a 5m de distancia de ella y el ángulo de elevación de la parte superior del cuadro es 300 . b=180. e)a=144. en la ribera opuesta. 2 µ= 900 sen α α= 220 β=450 c=108 4/5 d)a=3.e) cosec 2 x . En cierto lugar a 650 m bajando de la colina. 13 A continuación encontrará, para cada caso, dos expresiones. Su tarea consiste en decidir si ambas expresiones son idénticas o no, y en caso de no ser idénticas determinar para qué valores ellas coinciden: a) cot4x tg2x cosec4x 2sen2x(cos2 x - sen2 x) cos2y tgx/(1 - 3tg2x) b) sen5xcosx - cos5xsenx c) sen5y/seny - cos5y/cosy d) tg(x 14 π/3) tg(x - π/3) El ángulo de inclinación óptimo 0 de una carretera en una curva de radio r está dado por la expresión siguiente: tgθ = v2 /rg en donde v es la velocidad del vehículo y g es la aceleración de gravedad a) ¿Cuál es ángulo óptimo para una autopista de radio 180 m y de velocidad promedio 60 km/h.? b) Si µ es el coeficiente de fricción entre un automóvil y el camino, entonces la velocidad máxima vm que este vehículo puede alcanzar, sin deslizarse, está dada por: vm 2 grtg(0 arctgµ) ¿cuál es el valor de vm para el caso en que µ= 0,26?. 15 El ángulo de partida para que un objeto arrojado hacia otro a una distancia d, dé en el blanco, está dado por la expresión: d= vo sen2θ vo la velocidad inicial y θ el ángulo de elevación g Si un blanco está a 600m y la velocidad inicial de una bala es 60 m/s, ¿cuál debe ser el ángulo de partida para dar en el blanco? 6 Una pelota de básquetbol de diámetro d entra en la cesta de diámetro D si se aproxima a ella de tal manera que el ángulo que forma su trayectoria con la horizontal, θ, cumple la relación Dsenθ > d 0 ≤ θ ≤ 90º Si una pelota de básquetbol tiene un diámetro de 24,6 cm y el aro un diámetro de 45 cm ¿para qué valores de θ se obtendrá un cesta? 17 Bajo ciertas condiciones, el desplazamiento vertical d(t) (en pies, medidos desde la posición de equilibrio) de una masa atada al extremo de un resorte en el instante t (en segundos), está dado por d(t) = (-2/3)cos10t + (1/2)sen10t. a) Exprese d(t) como una sola onda sinusoidal b) Determine para qué valores de t la masa pasa por su posición de equilibrio. 18 Sean a,b,c los tres lados de un triángulo y m,n,p las medianas correspondientes a esos tres lados, trazadas desde los vértices opuestos. Demuestre que m2 + n2 + p2 = (3/4)(a2 + b2 + c2 ). ¿Cuánta fuerza debe ejercerse para sostener, en un plano inclinado de 50 º, un bloque que pesa 3 toneladas?. Si la luz penetra desde el aire en un medio material y α a y am son, respectivamente, los ángulos que un rayo de luz forma al penetrar desde el aire con la normal a la superficie y en el medio material con la normal, se llama índice de refracción del medio al cociente n = senα a /senα m a) Determinar el índice de refracción del cuarzo cristalino, sabiendo que un rayo luz que penetra a 63º se refracta a 35º b) Si para un cierto tipo de vidrio n = 1,8804, ¿con qué ángulo se refracta un rayo de luz que penetra a 28 º c) El diamante tiene un índice de refracción de 2,4195, ¿cuál es el ángulo de un rayo de luz en el aire si él fue refractado con un ángulo de 9,26 º 19 20 de 21 49º Al observar la parte más alta de un edificio el ángulo de elevación resulta ser de y al acercarse 50 m el nuevo ángulo de elevación es de 62º, ¿a qué distancia del edificio se encontraba el primer punto de observación?. 22 eje Un cilindro circular es separado en dos trozos, a través de un corte paralelo a su y de modo que el segmento circular de su base tiene 20º como ángulo del centro. Si el radio de la base es 12 cm y la altura 30 cm: a) ¿cuál es el volumen del cilindro? b) ¿cuál es el volumen de cada parte? 23 Dibujar las regiones del plano que satisfacen cada par de las siguientes condiciones: y ≤ senx y + 1 ≥ cosx y > tgx y < secx a) b) 24 Una lancha cuya velocidad con respecto al agua es de 12 km/h, atraviesa un río con aguas en dirección Sur. Si la lancha enfila con dirección N42ºO, pero su curso es N71ºO: a) ¿cuál es la velocidad de la corriente del río? b) ¿cuál es la velocidad real de la lancha? 25 Una recomendación técnica para sembrar cierto cereal dice "dos sacos por hectárea". Sí un agricultor desea sembrar dicho cereal en un terreno triangular con lados 680 m y 840 m, que forman entre sí un ángulo de 125º, ¿cuántos sacos de semilla debe disponer? función que modela una amplia gama de aplicaciones y de allí sus importancia. del campo de los números enteros al campo de los números racionales. Proceso que preserva las propiedades primigeneas y donde se da una interpretación en cada extensión. ¿Es una función par o impar?. ya que representan un preámbulo para el estudio de las funciones desde el punto de vista del Cálculo Superior. Nace de este modo la función exponencial. Esperamos que al final del estudio de estas páginas. habremos hallado la función logarítmica y las propiedades de los logaritmos. .¿Tiene inversa?. ¿Cómo es su gráfico?. genera una situación completamente distinta a la que le dio origen. ¿Es creciente o decreciente ?. el alumno tenga claro los aspectos tratados en ellas. otra función de gran importancia en las aplicaciones. Al responder a esta última.CAPITULO III FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS Introducción En este material se hace un breve recuento de las propiedades básicas de los exponentes enteros positivos y del proceso de extensión del concepto de exponente. tales como: ¿Cuál es su dominio y su recorrido?. Luego veremos que la extensión de los exponentes al campo de los números reales. Contestaremos a varias preguntas relacionadas a detalles cualitativos. y se define inductivamente por a1=a an +1 a se llama base y n se llama exponente de an . que se satisfacen las siguientes propiedades básicas de los exponentes enteros positivos: an am aQ+m i) ii) iii) (am)n = amn (ab) n =an bn . Entonces puede demostrarse por inducción. an . Una razón práctica para el uso de los exponentes. Por ejemplo.a. entonces an.2. y que a y b son números reales.2. En general. 24 = 2.a Supongamos que m y n son números enteros positivos. son la fuente de error más frecuente en los pro cesos de cálculo. la enésima potencia de a. el mal uso u omisión de éstas.a. a3 representa la abreviación del producto a. (x.2 = 16.y)2 = (x-y)(x-y).1 Propiedades de los exponentes enteros Se hace un breve repaso de las propiedades de los exponentes enteros por ser primordiales en el cálculo algebraico y que tradicionalmente. es que éstos permiten una notación abreviada que indica el número de veces que un factor se multiplica por sí mismo. representa el producto de n factores todos ellos iguales a a. si n es un número entero positivo y a es un número real. iv) an a  = n para b ≠0 b  b   n . el buen uso de las propiedades anteriores para obtener un correcto resultado. Esta primera ampliación consiste en lo siguiente: Si a es un número real distinto de cero. de modo que sigan siendo válidas las propiedades anteriores.v) am an  a m − n si m > n   1 =  n . Supongamos que deseamos simplificar la expresión: ( 2 4 x )(210 ) − (2 4 x +7 )(2 6 ) (2 )(8 ) 4x + 2 3 . Note que la expresión o0 no representa un número real.  2 − 3    −4 = 1  2 − 3    4 4 (por la definición que hemos dado) = 1 4  2 (−1) −   3 1 = (por iv) 16 81 = (por iii) 81 (por definición de recíproco) 16 Veamos un ejemplo donde se ilustre la ejecución de un cálculo algebraico correcto con exponentes. en donde n es un entero positivo.m si m < n para a ≠ 0 a 1 si m = n  El significado de los exponentes puede ampliarse para abarcar a los enteros negativos. esto es. junto con el cero. entonces a0 se define como a0 = 1 y a-n se define como a-n = 1/an . Por ejemplo. 000 = 2.0221023 partículas/mol 1. Una manera de proceder es la siguiente: )(8 ) (2 )(2 ) = (2 )(2 )− (2 )(2 ) (2 ) − (2 ) (2 )(2 ) = (2 ) − (2 ) (2 ) = (2 )(1 − 2 ) 4x + 2 3 4 x +2 3 3 4x 10 4x + 7 6 4 x +10 4 x +13 (2 (por i) 4 x +2 9 4 x +10 4 x +13 (por ii) 4 x +11 4 x +10 3 (por i) (¿Por qué?) (por v) = 2 (1 − 8) =− 2 7 Los exponentes enteros con frecuencia se utilizan para escribir números muy grandes o muy pequeños de una forma conveniente. Tal es el caso de 230.38062•10-16 erg/grado (Número de Avogadro) (Constante de Boltzmann) .000123 = 1.donde x es un entero. Decimos que un número escrito así. Un número real positivo puede escribirse en la forma a·10 n donde 1 ≤ a < 10 y n un entero. está en notación científica.23·10-4 Esta notación es sumamente útil en química y física donde con frecuencia se opera con constantes: 6.3·105 0. 1415 se ha expresado con 5 cifras significativas y el número 1.6. El número π≈ 3. donde 1 ≤ a < 10 pero si se sabe que a tiene k dígitos después de la coma que son exactos y los siguientes se redondearon o están en incertidumbre. etc. podemos expresarlo en notación científica en la forma M = x· 10n . una expresión numérica como la dada a continuación puede simplificarse como sigue: (3000 )2 (0 . debido a distintas situaciones: errores de redondeo. Se dice que M se ha expresado con k+1 cifras significativas.04510-23 representa una aproximación con 4 cifras significativas.660053·1024 g 9.010956·10-28 g (Constante de Planck) (Unidad de masa atómica) (Masa del electrón) Para continuar ilustrando. Una manera de expresar la exactitud de una aproximación es estableciendo cuántas cifras significativas tiene: Imaginemos que al efectuar una medida se obtuvo el número M. errores de medición. entonces se acostumbra a representar a M mediante una aproximación en la forma M ≈ak ·10n donde ak representa la porción de a que tiene únicamente la parte entera de a y los k dígitos exactos de a después de la coma. Por ello se consideran aproximaciones.000072 En la mayoría de los cálculos que se efectúan en las aplicaciones. los resultados están sujetos a error. . 008 )3 (24000 )4 = = (3 ·10 ) (8 ·10 ) (24 ·10 ) 3 2 −4 4 4 3 = 3 2 ·10 6 ·(2 3 ) 2 ·10 −12 (3·2 ) (10 3 4 16 = ) 3 2 ·2 9 ·10 −6 1 = 2 3 16 4 12 16 3 ·2 ·10 3 ·2 ·10 1 0. errores de presentación de resultado por la calculadora o computadora.6262·10-27 ergs 1. en cada paso. exponente negativo. sus operaciones: - a) b) (3-2 )(37 ) d) 5 6 /(-58 ) f) [(5-1 )(52 ·5-3 )]-1 h) c) (1/3)2 (1/3) 4 (3-5 ) e) 16-2[(2-1 )(2)(25 )]4 g) 3−1 1 + 2 / 3 −1 / 3 2 −1 − 3 −1 2 −1 + 3 −1 .Resumen Conceptos Exponente entero (exponente positivo. exponente cero) Enésima potencia de un número Factor Cifras significativas Resultados Propiedades de los exponentes enteros Notación científica Aproximación de un número Expresiones que no representan un número real Procesos Operaciones con exponentes enteros Simplificación de una expresión con exponentes enteros Escribir un número en notación científica Descomposición de una expresión en factores Ejercicios 1 Simplificar cada una de las siguientes expresiones y justificar. 0005432) 3 10 b) 0.75·10 )(3·10 ) 8.0000000001) c) (80000 ) 3 (2000000 )( 0.00001 ) 4 b) [(1000000) -1 (0.25·10 −12 d) 3. argumentando su respuesta.01·10 12 4 Halle el valor de la expresión dada sin usar la calculadora. 38 y 2 x 5 − 21 y −1 x 9  a 4 b −5  b)  2   b  −1 a) c) − xy2 z 3 ( xy)( xy 2 z 3 ) −1 ( −4x 5 y −2 ) 3 x7 y −3 d) (3abc) 3 ( 2a −1b − 2 c) 2 (1 / x) −2 x 3 x − 2 ( x −3 ) −1 e) f) 3 Utilice una calculadora para realizar las siguientes operaciones y exprese el resultado en notación científica usando cinco cifras significativas: a) (0.0005) 3 3000000 5 Para cada una de las siguientes proposiciones. Exprese la respuesta en forma decimal y luego en notación científica. a) (3000)2 (200000)3 (0. debe decidir si es verdadera o falsa. Ud. a) 00 0 b) (-1/x) = x para cada x ≠ 0 .( x) 2 ( x 3 )( x −1 )( x −2 ) 3 j) x2 9 2 ( 27) 2 − n k) 2 −n 81 (27 ) 3 (3 n −1 ) 2 Simplificar cada una de las siguientes expresiones eliminando cualquier exponente negativo.2315 (5480 )2 c) (2.90324)(0.00001)]-1 d) ( 210000)( 0. Si la distancia promedio entre Marte y Júpiter es de 998 millones de kilómetros. un símbolo. a1/n no representa un número real . Se requiere de un byte para representar un carácter como una letra.c) Si n es par entonces xn ≥0 para cada x ε R d) (x + y) 2 = x2 + y2 para cada pareja de números x. ¿Cuál es la distancia máxima posible entre estos dos componentes? La capacidad de almacenamiento de un computador se describe en kilobytes. una sonda del espacio profundo. El Pioneer 10. ii) si a < 0 y n es impar. Sin embargo veremos que estos exponentes no interpretan la notación abreviada del número de veces en que un factor se repite. se llama raíz enésima principal de a. que operan mediante señales de luz) más que electrónicos. 2 Raíz enésima principal y exponentes racionales El uso de los exponentes puede extenderse al campo de los números racionales. sino que nos lleva al conocimiento de la teoría de radicación. Se define como el número x que satisface la ecuación xn = a de acuerdo al siguiente criterio: i) si a > 0. se demoró 21 meses en viajar de Marte a Júpiter. Los exponentes racionales se definen de modo que se conserven las propiedades de los exponentes enteros. entonces a1/n. ¿por qué? 7 8 . Supongamos que una señal debe ir de un elemento de un computador fotánico a otro en un nanosegundo (1· 10-9 s). Observe que si a < 0 y n es par. ¿Aproximadamente cuántos símbolos es capaz de almacenar un computador de 512k?. entonces a1/n < 0. halle la velocidad promedio del Pionner 10 en kilómetros por hora. Si a es un número real y n es un entero positivo. y ε R e) Para cada x ≠ 0 (xn )-1 = x-n 6 Los futuros computadores podrían ser fotónicos (es decir. La velocidad de la luz (3·1010 cm/s) será un factor limitante para el tamaño y para la velocidad de tales computadores. entonces a1/n > 0. un número. donde l k representa un kilobyte (1024 bytes) de memoria. entonces ( iempre y s cuando los radicales representen números reales): i) [ x] n n =x ii) n x. 2 es par y 3 2 = 9 (-8)1 / 3 = -2 puesto que -8 < 0.Es costumbre escribir el número a1/n en la forma denominación de radical de a de índice n. si n es par xn =   x si n es impar iii) iv) n x n y = n xy n n x y =n x y v) m n x = mn x El concepto de raíz enésima principal y las propiedades de los exponentes enteros vistas en la sección anterior nos permiten extender el concepto de exponente al campo de los números racionales en el siguiente sentido: Consideremos el caso en que p/q es un número racional positivo con p y q enteros positivos y sea a un número real. n a . Observe que según lo que hemos definido. puesto que no existe un número real x que satisfaga la ecuación x2 = -4. Si (ap)1/q = (a1/q)p definimos el número ap/q como: ap/q = (ap)1/q = (a1/q)p . y números reales. 3 es impar y (-2)3 = -8 (-4)1 / 2 no es un número real. Las siguientes propiedades se pueden usar frecuentemente para simplificar expresiones que contengan radicales: Sean m y n enteros positivos y sean x. 4 = 2 y no -2. 9 1 / 2 = 3 puesto que 9 > 0. tomando de este modo la Por ejemplo. Por ejemplo. i) ii) iii) xr xs (xr)s (xy) r (x/y) r xr/xs xr+s xrs xr yr xr/yr xr-s (xs)r v) vi) . operando de otra manera: (-1)2/6 [(-1)1/6 ]2 tampoco tiene sentido. 3 (−1) = -1 sin embargo. Esto es. Por lo tanto. bajo ciertas restricciones. y ε R y s. (625)3/4 = (6251/4 )3 = ( 4 625 )3 = 53 = 125 (625)-3/4 = 1 ( 625 ) 3/ 4 = 1 125 Se debe tener extremo cuidado al operar con exponentes racionales. si x.Para el caso p/q < 0 con p y q enteros y a≠0 tenemos ap/q = 1/a -(p/q) y la definición anterior es aplicable a a -(p/q) puesto que -(p/q) es un racional positivo. observe los siguientes ¡cálculos descuidados! no hay duda en que (-1)1/3 = -1 o bien. ya que (-1)1/6 no representa un número real. las propiedades de los exponentes enteros son válidas para exponentes racionales. con el cálculo siguiente: (-1)1/3 (-1)2/6 [(-1)2 ]1/6 11/6 1 ¢3RU TXp" por otro lado. r ε Q entonces. partiendo de la suposición de que todas las expresiones representan números reales. Expresiones tales como: a) a 2 + x 3 x+ y x5y x3 y 5 7 b) c) axy se llaman expresiones irracionales. Cuando una expresión irracional está conformada por el cociente de dos radicales y a esta expresión la transformamos en otra equivalente, que no tenga radicales en el numerador o bien en el denominador, decimos que la expresión original ha sido racionalizada. Por ejemplo: Racionalización del denominador: 5 5 5 5 5 Racionalización del numerador: = = 1 1 5 x +h − x ( x +h + x) = h ( x +h + x) 1 para h≠0, x+h>0, x>0 = h ( x + h + x) x+h + x x+h − x = h ( x + h) − x ( ) Resumen Conceptos Raíz enésima principal de un número Radical de índice n de un número Exponente racional Expresión racional Resultados Propiedades de los radicales Propiedades de los exponentes racionales Expresiones que no representan un número real Procesos Operaciones con radicales Operaciones con exponentes racionales Simplificación de una expresión que contiene radicales Simplificación de una expresión con exponentes racionales Racionalización de un numerador Racionalización de un denominador Ejercicios 1 Efectúe las operaciones indicadas expresando el resultado en su forma más simple: a) 3 3 27 4 9 c) 0,25 x 4 x4 b) ( 4 x 3 )( 5 x 2 ) d) f) 8 x 2 yz 2 (− 2x 3 y) 2 yzw 2 zw 3 5 e) − xyz ( ) 2 g) i) k) 2 ( 6 + 14 ) h) 2 + 3 2 − 3 9 9 + 27 ( )( ) ( 3 5+2 3 a b 6 12 )( 5−2 3 ) j)[ 3 x (16x −5 / 4 / x 4 / 3 ] l/2 1) x 3 ( x 2 y) 2 m) 0,0016 n) 7 ab 2 49a 7b 4 − ( p −1 q 2 ) 3 −3 3 o) 4 xy 3 2xy 2 3 x z 2 3 p) 3 r) − 16 x 2 − 8x2  − 27 x  s) 3 3   xy    t) n 9(3 4 n +1 + 9 2 n ) 4(3 2 n + 2 ) Si n es par. = x a + x3 3 para cada x ∈ R . n x x 2 = x = . para cualquier numero real a.2 Para cada una de las siguientes proposiciones Ud. para a >0 y b >0. x2 + y2 |x| |y|. esta definida para cualquier x real.y ∈ R ((-4)2 )1/2 ((-1)-1 )-1 4 - ((-4) 1/2 )2 =-4 −1 / x 2 1 − (1 / x) 2 =− 1 x x 2 −1 para x ≠ 0 n) o) x 2 + y 2 = x 1 + ( y / x) 2 x (a + x ) 2 2 3/ 2 para x>0. y ∈R x 2 + y 2 =|x+y| para x. para a >0 y b >0. para x. 4 para cualquier numero real a. a 2 = a. n x esta definida para cualquier x real. debe indicar si es verdadera o falsa y justificar su afirmación: a) b) c) d) e) í) g) h) i) j) k) 1) m) a + b = a + b . ab = a b . para cualquier numero real x. ( a )2 = a. Si n es impar. 3 Racionalice el denominador de cada una de las siguientes expresiones irracionales a) 2 3 4 5 x + x +1 x − x +1 2 2− 3 3 b) 2+ 3 2− 3 ( a + b) 3 - c) d) a +3 b 1 2 + 3+ 5 e) g) f) 4 3 9+3 3+3 4 4 Racionalice el numerador de cada una de las siguientes expresiones irracionales: a) 2( x + h) − 2 x h ( x + h) 2 + 1 + x 2 + h h b) x + h +1 − x +1 h 1/ x + h −1/ x h c) c) 5 Simplifique y elimine cualquier exponente negativo. a) c) e) g) (4x1/2 ) (3x1/3 ) (4x4 y-6 )1/2 [2z 1/2 (2z1/2 )-1/2 ]1/2 b) d) f) h) (25x1/3 y) 3/2 (-5x3 ) x5/3 [5x2/3 (x4/3 )1/4 ]3 [a −1 / 3 [a b 2/9c1/6 b −2 / 3 1/ 6 ] ] 9 6 ( p −1 / 3 q 1 / 2 ) −1 ( p −1q −2 )1 / 2  x 1 / 5 y 3 / 10   −2 / 5 1 / 2  y  x −10 i) ( y 2 y 1 / 2 )1 / 3 y1 / 4 j) . e) Gráfico.1)1/2 vc . d) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.152d4/9 (ge . c) Simetrías del gráfico. b) Recorrido.k)  2 x 1/ 2   1   −1 / 3    x 4x  −1 / 2 l)  a 2 b −4 c 6   −4 2 6  a b c  − y1 / 2   −1 / 2  y  −1 −1 m) − r1 / 2 s1 / 4    2 4  8r s  n) 6 Resolver las siguientes ecuaciones: a) 8x c) (3 2x 32 ) (27) -x-8 x-1 b) 24x 3-x 2x 1/8 16 4x-3 -2 d) 2 (42x-1 ) f) 6 216 2x+2 i) 22x+2 e) (5 )(25) h) (53 )2x-6 (152) (5-2 )4-x 3 7 Encontrar para las siguientes funciones irracionales cuyas reglas de correspondencia se dan a continuación: a) Dominio. i) f (x) iii) f (x) 4 −x 1− x ii) iv) f (x) f (x) x 2 +1 1− x2 8 Un arroyo de corriente rápida transporta partículas más grandes que uno de caudal lento. Estudios de laboratorio muestran que la velocidad crítica v del agua que se c necesita para que una partícula se mueva en la cuenca de un arroyo viene dada por: 0. 56 y un diámetro de 3 mm. y a2 b2 c2 entonces x2 y 2 + =1 a2 b 2 b) Si y = (ax2 +bx+c)1/2 . 9 Demuestre que: a) Si ( x + c) 2 + y 2 + ( x − c) 2 − y 2 2a. y además z = .donde v se mide en m/s. 10 Exprese en cada caso a la expresión irracional 1 + y 2 en términos de x: a) y = x/ 32 − x 2 b) y = 3 x 2 3 11 Simplifique las siguientes expresiones racionales: a) c) e) g) i) 4 3 + 5 12 + 2 75 5 2 − 4 64 + 2 32 450 + 8 − 98 3 b) d) f) h) j) 3 2 + 3 16 + 3 54 x 3 + 25x 3 + 9 x a 3bc 5 + ab 7c 3 + a 9 b 5c (7 ± 49 − 4·10 ) / 2 3 27a 4 + 3 − 64a 7 + 73 a 1 3 − 4 27 +2 3 a4b + 1 3 a b 2 2 + 33 ab 4 k) a −b a+b a2 − + a +b a−b a 2 −b 2 . d es el diámetro de la partícula en mm y ge es la c gravedad específica de la partícula.b2 .(2ax + b) 2 (ax2 + bx + c) -3/2 + a (ax 2 + bx + c) -1/2 entonces 4y 3 z = 4ac. Halle la velocidad crítica que se necesita para mover un grano de feldespato que tiene una gravedad específica de 2. 12 Demostrar que 3 20 + 14 2 + 3 20 − 14 2 = 4 13 Resolver las siguientes ecuaciones irracionales en términos de x. en un dominio donde los radicales tengan sentido: a) 3 (a + x) 2 + 3 ( a − x ) 2 = 53 a 2 − x 2 3 sugerencia: divida por b) c) n ( a − x) 2 para a ≠ 0 (a + x) 2 + n ( a − x) 2 = n a 2 − x 2 x − 2 + 2 x − 5 + x + 2 + 3 2x − 5 = 7 2 sugerencia: haga la sustitución Z = d) 2x − 5 x+ x + x − x = x x+ x sugerencia: multiplique por e) f) 3 x+ x x − 1 + 3 x +1 = x3 2 x 2 + 8x x +1 + x+ 7 = 1 x+7 14 Resolver las siguientes inecuaciones irracionales en un dominio donde los radicales tengan sentido: a) b) 1+ 1− x2 ≤ 1+ x 2 1− x 2 ≥0 x c) 1− 1− 4x2 <3 x . 15 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones irracionales en un dominio donde los radicales tengan sentido: a) 7 3 2  2 3  x − y = ( x y − xy ) 2  3 x − 3 y = 3  sugerencia: haga u = 3 x y v= 3 y b)  x y 3 − =  z 2  y   x + xy + y = 7 sugerencia: haga z = x y . donde la variable t representa el tiempo en días desde el comienzo en que se observó el crecimiento (t = 0) y n0 el número inicial de bacterias en este instante. Durante la investigación. en la tabla siguiente se muestran algunos valores: . A pesar de que la observación arroja datos cuando la variable t recorre los enteros positivos. después de un día hay 4n0 bacterias. después de tres días 4(42 n0).3 Propiedades de la función exponencial Supongamos que un biólogo estudia una colonia de cierto tipo de bacterias. y se da cuenta que el número se cuadruplica cada día. Para ser concretos. El propósito ahora es estudiar las propiedades de las funciones de este tipo. f(x) = (1/2)x = 2-x es una función exponencial de base 1/2. será el conjunto de los números reales. con lo que la función f = f(t) indicará el número de bacterias en cualquier instante. Incluso. al cabo de dos días 4(4n0 ). Por ejemplo. De este modo estamos incluyendo exponentes enteros y racionales. supóngase que en un día determinado hay n0 bacterias. la regla de correspondencia f(x) = bx permite definir la función exponencial de base b. es decir. el número de bacterias que había el día anterior al primero en que se comenzó la observación era la cuarta parte. Si b es un número positivo. después de 3 días y 8 horas. después de k días habrá 4k n0 bacterias. como se dijo. Para b ≠ 0 el recorrido es el conjunto de los números reales positivos como veremos en los siguientes ejemplos: Estudiemos las propiedades de f(x) = 2x Intentemos dibujar el gráfico de f determinando algunos valores de f(x). Esto es. podría estar interesado en descubrir una fórmula que le indique el número de bacterias existentes en un determinado instante. retrocediendo en el tiempo. si t = -1. Este fenómeno del cultivo de bacterias puede modelarse por la función f(t) = 4t n0 . y de esta manera. El dominio de una función exponencial. tendremos 410/3 n0 bacterias. Suponemos aquí que bx puede definirse de modo adecuado también para exponentes irracionales. f(-1) = 4-1 n0 = n0 /4 bacterias. que surgen como una extensión de las propiedades de los exponentes racionales al campo de los exponentes reales. podemos suponer que la variable t recorre los números reales. Ejemplos f(x) = 2x es una función exponencial de base 2. 2. y de este modo. un punto tal como ( 2 . x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 . se puede demostrar que el gráfico de cualquier función exponencial puede dibujarse con un "trazo continuo" como se ve en la figura 3. obtenemos el gráfico de f.X -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 Representando estos puntos en un sistema de coordenadas rectangular y tratando de unir estos puntos por una curva. Como podemos ver. El eje OX es una asíntota horizontal. Con técnicas más avanzadas de cálculo. No posee simetrías respecto al origen ni respecto al eje OY. Es una función creciente en su dominio y por lo tanto ¡posee función inversa!.1.2 2 ) pertenece al gráfico de f. Del mismo modo que hicimos anteriormente encontramos que su gráfico es el de la figura 3. el dominio de f es el conjunto R de los números reales y su recorrido el conjunto de los números reales positivos. Tratemos ahora a la función g(x) = (1/2)x. . entonces i) ax ay = ax+y (ax )y = axy = (ax )y (ab)x = axbx (a/b)x = ax /b x ax /ay = ax-y ii) iii) iv) v) En los cursos de Cálculo la base más importante es el número irracional e = 2. y números reales cualesquiera y a. es usual trabajar en las aplicaciones con la función e x que también se denota por exp(x). El gráfico de f no intersecta al eje OX. excepto que g es una función decreciente en todo el conjunto de los números reales.. i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii) El dominio de f es el conjunto R de los números reales. g satisface las mismas propiedades de f. La función f es estrictamente creciente si b > 1. .718281828459. El gráfico de f intersecta al eje OY en el punto (0. El eje OX es una asíntota horizontal al gráfico de f. b > 0.Como sabemos. Los resultados observados en los ejemplos anteriores nos permitieron conocer las propiedades de la función exponencial de base b (propiedades cualitativas).1). ambos gráficos conforman un conjunto de punto s simétrico respecto al eje OY. La función f se estrictamente decreciente si 0 < b < 1. Si dibujamos los gráficos de f y g en un mismo sistema de coordenadas. El recorrido de f es el conjunto R+ de los números reales positivos. La función f es inyectiva en su dominio. La función exponencial mantiene las mismas propiedades de los exponentes (propiedades algebraicas): Si x. ¿Se puede generalizar este hecho?. En la figura 3. . A esta curva se le conoce también por catenaria. Esta función modela la forma que adopta un cable uniforme flexible. o de una cadena. cuando se cuelga por sus extremos.3 está representado su gráfico para el caso particular σ = 1 y µ = 0 observamos la forma de campana que tiene su gráfico.4 observamos su gráfico para el caso particular a= 1. por ello también se le conoce como campana de Gauss. en latín. En la figura 3. (A p se le conoce como la media y σ como la varianza de la distribución). La función f(x) = (a/2)(ex/a + e-x/a) se le conoce como coseno hiperbólico. de la palabra catena (cadena).Ejemplos En estadística la función densidad de probabilidad de la distribución normal se define como  ( x − µ )2  1 f ( x) = exp −  2σ  σ 2π  para números reales µ y σ > 0. base decimal 10 Notación exp(x) = ex Definición de las funciones hiperbólicas senh(x) = (ex .Las funciones hiperbólicas se definen por las siguientes reglas de correspondencia en el dominio especificado: Seno hiperbólico: Coseno hiperbólico: Tangente hiperbólica: Cotangente Hiperbólica: Secante hiperbólica: Cosecante hiperbólica: Resumen Conceptos Función exponencial de base b Base natural e.e-x )/2 : x ε R cosh(x) = (ex + e-x )/2 : x ε R tanh(x) = senh(x)/cosh(x) : x ε R cotanh(x) = 1/tanh(x) : x ≠ 0 sech(x) = 1/cosh(x) : x ε R cosech(x) = 1/senh(x) : x≠ 0 . Resultados Propiedades cualitativas de la función exponencial: (Dominio. asíntotas. ¿cuál es su . ¿Es la función creciente o decreciente? ¿Posee inversa? ¿Su gráfico tiene asíntotas.2-x a) f(x) c) f(x) e) f(x) b) f(x) d) f(x) f) f(x) h) f(x) j) f(x) 1) f(x) n) f(x) g) f(x) = (1/5)-x i) f(x) senh(x) e|x| k) f(x)= exp(x2 ) m) f(x) 2 base?. corta a los ejes coordenados? 3x 3x+1 (4/7)x lx ( 2 )x 3-x -4x tanh(x) cosech(x) 4 . Indicar el dominio y recorrido. simetrías del gráfico. recorrido.16). Si el gráfico de una función exponencial contiene el punto (2. cortes del gráfico con los ejes coordenados. Dibujar el gráfico de cada función. crecimiento o decrecimiento e inyectividad) Propiedades algebraicas de la función exponencial Procesos Uso de las propiedades cualitativas de la función exponencial en cálculos algebraicos y estudio de funciones donde ella aparece Uso de las propiedades algebraicas de la función exponencial en cálculos de expresiones algebraicas Ejercicios 1 Discutir las propiedades de cada una de las siguientes funciones cuyas reglas de correspondencia se dan a continuación. simetrías. 3 En ciertas condiciones.cosh(x)senh(y) cosh(x) . ¿Cuál es la presión a una altura de 40000 pies?.senh2(x) e) cosh(x y) cosh(x)cosh(y) senh(x)seh(y) f) senh(x . la presión atmosférica p (en pulgadas) a una altura de h pies está dada por p = exp(-0.y) g) 2senh2 (x/2) h) tanh(x i) senh(2x) y) senh(x)cosh(y) . 2cosh2 (x) cosh(x) 1 tanh( x) + tanh( y ) 1 + tanh( x) tanh( y) 2senh(x)cosh(x) . de las siguientes funciones en su dominio: a) f(x) c) f(x) xex ex b) f(x) d) f(x) -x2ex 2xex 4xe2x e2x x3 4(e4x ) 3x2 e4x x2 (2e2x ) 5 Utilice las definiciones de las funciones hiperbólicas. para verificar las siguientes identidades análogas a las funciones trigonométricas e indique en que dominio son válidas: ex 1 a) tanh(.x) tanh(x) 1 b) senh(x) d) sech2 (x) cosh(x) tanh2 (x) c) cosh2 x . 4 Determine las raíces o ceros.1 8.000034h). 4. para x ∈ ]0. en consecuencia. f es una función biyectiva de R en ]0.1 observamos la gráfica de f-1(x) =log2 (x). tal como aparecen en las tablas ordinarias. el dominio de f-1 es el recorrido de f (Df-1 = ]0. La función exponencial f(x) = bx como vimos. Esta función inversa f-1 (x) =log b (x) se llama función logarítmica de base b. Con lo cual. por reflexión respecto a la mencionada recta a partir de la gráfica de la función exponencial f(x) = bx . encontramos la gráfica de f-1 .+∞[ y. Por ejemplo: f-1 (x) =log2(x) es la inversa de la función exponencial f(x) = 2x . podemos obtener la gráfica de la función logarítmica f (x)= logb(x).1813) un eminente matemático decía: "La idea más sencilla que podemos formarnos de la teoría de logaritmos. es imaginar todos los números como potencias de 10. los exponentes de esas potencias serán los logaritmos de los correspondientes números". Propiedades de la función logarítmica Joseph Lagrange (1736 . cuya gráfica está en la figura 3. . el recorrido de f-1 es el dominio de f (Rf-1 = R).+∞[). En consecuencia.1. tiene inversa. En la figura 4. es una función creciente o decreciente si b≠1. De este modo podemos decir que. Aplicando el proceso de reflexión a la gráfica de f. f-1 es creciente.+∞[ y para y ∈ R by y logb(x) es equivalente a x Por ejemplo: 4 =log3 81 es equivalente a 81 = 34 1/3 = log27 3 es equivalente a 3 27 = 3 Siendo las gráficas de f y f1 un conjunto de puntos simétrico en el plano resp ecto -1 a la recta de ecuación y = x. y el eje OY es una asíntota vertical al gráfico de f-1 . b.0). que se deducen de las propiedades algebraicas de la función exponencial. El gráfico de f-1 intersecta al eje OX en el punto (1. son números reales positivos con a ≠1. -1 El eje OY es una asíntota vertical al gráfico de f La función f-1 es estrictamente creciente si b > 1. a.logb y b logb x x x (x ∈ R) loga x/logab (fórmula de cambio de base) logb(bx ) logb(x) . Si x. La función f f-1 es inyectiva en su dominio. b ≠1 y r un número real cualquiera. y. El gráfico de f-1 no intersecta al eje OY. La función logarítmica satisface también las siguientes propiedades algebraicas. La función f-1 es estrictamente decreciente si 0 < b < 1. El recorrido de f-1 es el conjunto R de los números reales. entonces i) ii) iii) iv) v) vi) logb(xy) =logb x logb(xr) rlogb x logb y logb(x/y) =logb x .x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 f-1(x) -3 -2 -1 0 1 2 3 En general. podemos enunciar las propiedades de la función logarítmica de base b (propiedades cualitativas) que se deducen de la función exponencial: i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii) El dominio de f-1 es el conjunto R+ de los números reales positivos. pudiendo valer 0 y nos indica entre que órdenes de magnitud se encuentra el número x. Los logaritmos de base e aparecen en la mayoría de las aplicaciones matemáticas.000243 < 10-3 1 (1) . Por convención.34 + (-4) < -3 o bien. La base e se llama base natural y loge x se le denomina logaritmo natural o también logaritmo neperiano. de modo que logx es una abreviación de log10 x. esto es.43· 10 -4 ) = log2. la mantisa es un número entre 0 y 1. entonces logx = log(a·l0n ) = loga + logl0 n = loga + n Esta última forma. es la forma típica del logx y al loga se le llama mantisa. es decir.000234) = log(2. 0 ≤ loga < 1. de la igualdad anterior observamos que n ≤ logx < n y por lo tanto. En consecuencia. Por otro lado como y =logx es una función creciente y 1 ≤ a < 10 tenemos que log1 ≤ loga < log10. Es costumbre escribir a loge x como lnx. La base 10 se denomina base vulgar o decimal. no se escribe el número 10 en la notación logarítmica.000243 se encuentra entre 10 -4 y 10-3. escrito en la forma x = a·l0n donde 1≤ a < l0 y n un entero. esto es. 10-4 < 10log0. ya que -4 < log(0. Por ejemplo : El número x = 0. 10n ≤ x < 10n+1 Al número entero n que satisface la desigualdad (1) se le llama la característica del logaritmo de x. Tomemos cua lquier número positivo x escrito en notación científica.vii) bx = a x loga b (fórmula de cambio de base) Las dos bases más usuales para el cálculo de logaritmos son la base 10 y la base e. corte del gráfico con los ejes coordenados. asíntotas al gráfico.x) b) f(x) d) f(x) f) f(x) log|x-2| log(x2 . simetrías del gráfico. a) f(x) c) f(x) logx2 log(.5) e) f(x) =log(9 .9) log(2x . logaritmo neperiano. crecimiento o decrecimiento e inyectividad) Propiedades algebraicas de la función logarítmica Procesos Uso de las propiedades cualitativas de la función logarítmica en cálculos algebraicos y estudio de funciones donde ella aparece Uso de las propiedades algebraicas de la función logarítmica en cálculos de expresiones algebraicas Ejercicios 1 Para cada una de las siguientes reglas de correspondencia se pide determinar: Dominio. cortes del gráfico con los ejes coordenados. recorrido. recorrido.Resumen Conceptos Función logarítmica de base b Base natural e. asíntotas.x2 ) . base decimal 10. intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y gráfico de f. logaritmo decimal Notación: loge x = lnx Mantisa y característica de un logaritmo Resultados Propiedades cualitativas de la función logarítmica: (Dominio. simetrías del gráfico. g) f(x) log(x .1 100 g) log4/3 (243/1024) i) logb2 b4 k) log (9/20) b (1/b) 2 3 a b (a 2 b b) m log 2 (1 / 8) 1 / 2 − log 2 (161 / 3 ) log 8 64·log 3 (31 / 6 ) .0001 = -4 4 Simplificar cada una de las siguientes expresiones: a) log2 8 c) log 2 b) log2 128 1024 d) log1/3 27 f) log1/7 343 h) log j) log b 12 l) log 2 5/ 3 e) log0.1))1 /2 j) f(x) logπ x 1/2|x| L f(x) = log1/3 (x) k) f(x) =log3 (x) 1) f(x) = log 2 Escribir las expresiones logarítmicas equivalentes a las siguientes expresiones exponenciales: a)53 =125 c) (1/3)-2 9 b)4-2=1/16 d) 27 3 3 Escribir las expresiones exponenciales equivalentes a las logarítmicas siguientes: a) log981 = 2 c) log1/3 9 = -2 b) log10 0.1)1 /2 h) f(x)= (log(x . logb z/3 1) logb (x .9) .2logb (x log9 (x 1 ) 1/2 2) m) log9 (10x n) log5 | 1 .log2 (x+3) b) log(x c) log4 x 1) .n) log π π 2 + ln e 3 log 4 5 + ·log 2 2 log 7 7 4.3) . a) log2 (x2 . 2 − log 6 6 −0.x| 5) 1 / 2 -1/2 1 .1 10 o) p) logaritmo de m4 n2 /p 8 en base m n /p2 5 Dadas las siguientes ecuaciones en términos de "x".12)/logx e) log8 ((3x 4)/x) ½ f) log(x2 .6 log 25 5 + log 0.logx log4 (6x 1 10) 2 1 2 d) log(7x . indicar si tienen solución o no y en caso de tener solución indíquela.144) -log(x g) log h) log 2 2 12) 1 x j x -3 2 3 i) logx 64 j) logx 49 k) logb x l ) logb x -3/2 2 3logb x 2lo gb (x 2logby . 4 h) log0.000435 i) log1.o) xlnx e9 p) xlogx 1000/x2 logx (log4x)2 (log3 x)2 1 2 q) (logx)2 r) log4 x2 s) log3x (3/x) t) log3 x l/log4x 9 1 0 u) log5 (log4(log3 x))) v) (x log( x ) 1/2 ) 100 6 Determine el valor de b para que los siguientes logaritmos existan: a) logb-2 x c) log2 b+7b+12 x b) log2 b-4 x d) log2 b-b-20 x 7 Determine en cada caso.003 e) log 130. indicar si tienen solución o no y en caso de tener solución indíquela.0006 g) log0.0000037 j) log0. la característica y la mantisa de los siguientes logaritmos: a) log2456 c) log0.00003 b) log 120000 d) log14.005 f) log 1. .0000000453 8 Dadas las siguientes ecuaciones en términos de "x". 42x-1 g) 7.3x+3 7x-2 .7.3x-1/2 3x+1/2 -2 2x-1 i) 54x+5/3 +2.7 2x-4/3 72x+7/3 -24.2x 4 101/3 ) ]2 /(    x −1) ) 25 3 4/3 q) x2-log(x/2) (3 x −4 1 / x 2 /( x − 2) ) 9 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: 6 log x + 5 log y = 16 a)  log x − log y = −1 log 2 ( x + y ) = 3 c)  log 2 ( x − y ) = 1 5 x − y = 625  e)  3x − 2 y = 14  log 3 x + log 3 y = −3 b)  4 log 3 x − log 3 y = −3  2 x + y = 243 3 d)   x − y = −2  log 3 ( x + y) − log 3 ( x − y ) = 1  f)  2 x − y2 = 3  2 log 3 x + log 3 y = 7  g)  x  y = 315   4 y / x = 8 .10 x 10005/x k) 1018 x 2 −5 1 l) 32 x2 − 5 x+ 24 =1 n) 4x .2 ( x + 2 ) / y  h)  27 x / y = 3.5 4x-1/3 j) 100.125.3 ( y − 2 ) / y  .a)3x-1 =9 c) 3x/2 1/27 1/2 (21/2 /8)-x b)3x+1 =15 d) 5(3x-1)/2 = 1/25 x f) (25/8)x+1 /(4/5) x+2 5 e) 0.1701 h) 4x .2x+1 35 p) [5(5 r) 3   x x +3 1 / 2 x m) x x2 −5 x + 24 =1 o)2 2x+1 . 11 ln  x + x 2 − 1 : x ≥ 1     arcsenh (x) ln  x + x 2 − 1 : x ∈ R     1 + x  arctanh (x) ln   :| x |< 1  x − 1  x + 1 D FRK[ UF W ln   :| x |> 1  x −1 1 + 1 − x 2   :0 < x ≤1 arcsech (x) ln  x     arccsch (x) ln 1 / x + 1 +1 / x 2  : x ≠ 0     arccosh (x) Resolver las siguientes desigualdades logarítmicas y exponenciales: b) x log a ( x +1) > a 2x (a> 1) a) log1/2 x log3 x > 1 c) loga x + loga (x + 1) < loga (2x + 6) (a > 1) d) log3 (x2 .5x + 6) < 0 f) x 2− log2 x − log2 x 2) − 1 / x > 0 g) log1/3 (log4 (x2 . 2.log2 (8/x) . 3. 1.10 Demostrar que las siguientes fórmulas corresponden a las reglas de correspondencia de las funciones inversas de las funciones hiperbólicas en el dominio especificado. 5. 6.5)) > 0 e) 1 1 − <1 log 2 x log 2 ( x − 1) 12 Encuentre el valor máximo de la función f(x) = (log2 x)4 + 12(log2 x)2 . p(t) p(0)(1 r)t . Del mismo modo. entonces al cabo de un tiempo t (expresado en horas) el número de bacterias vendrá dado por p(t) = 500.CRECIMIENTO EXPONENCIAL. En general. Crecimiento demográfico: En biología la función exponencial f(t) = Cak t donde C. el crecimiento de una población de seres humanos. Para el caso que hablamos: C > 0. entonces al cabo del primer año. Se darán aquí algunos ejemplos que ilustrarán las aplicaciones más comunes. a > 1 y k > 0. k y a son constantes. Supongamos que en el instante t = 0. estiman que la tasa de crecimiento anual de la población es del R%.. se utiliza con frecuencia como modelo matemá tico para describir el crecimiento de una colonia de bacterias. la cantidad de seres humanos en una determinada región es p(0) y que estudios realizados. si P(t) representa en número de seres humanos en el instante de tiempo t (expresado en años) y r representa el tanto por uno en relación a la tasa de crecimiento (r = R/100) entonces. 1. Si existen 500 bacterias al comienzo del experimento. Por ejemplo: Es posible que se observe que el número de bacterias en un cultivo se duplique cada hora.R/100 o bien. el número de seres humanos vendrá dado por p(0) + p(0). de pequeños animales y en algunos casos. al cabo del segundo año el número de personas será p(0)(1 R/100)2 .2t El caso del modelo demográfico es similar. p(0)(1 + R/100).5 Algunas aplicaciones de la función exponencial y la función logarítmica Las funciones exponencial y logarítmica juegan papeles importantes en la descripción y modelación de diversos fenómenos en la ciencia y la ingeniería. Desintegración radiactiva: Existen procesos que declinan rápidamente con el tiempo. particularmente los elementos radiactivos. 0<a<1 y k>0 Por ejemplo: Si hay g(0) gramos de radio (elemento radiactivo) inicialmente.Interés compuesto: Si se invierte un capital C al R% anual. Esto significa que se desintegran espontáneamente. está caracterizado por f(t)=Ca k t donde C>0. A(t) C(1 r)t Si el capital invertido C a una tasa del R% se capitaliza n veces al año. al cabo de t años la cantidad acumulada A(t) viene dada por la fórmula anterior.000418t g(t) Un concepto importante en desintegración radiactiva es el término vida media de elemento radiactivo. esto es. Se define como el tiempo requerido para que la mitad de la sustancia radiactiva se desintegre. la vida media la conseguiremos resolviendo la siguiente ecuación en términos de t: g(0)e-0. entonces la cantidad acumulada después de t años viene dada por A(t) C(1 r/n)n t 2. entonces el número de gramos que quedan t años después viene dado por g(0)e -0. En el caso del radio.DECAIMIENTO EXPONENCIAL. emitiendo las conocidas radiaciones.000418t g(0)/2 . El decaimiento exponencial.. y un término Transitorio (E/R)e (R/L)t.simplificando. un término independiente del tiempo de estado estacionario E/R.e-(R/L) t) Vemos que el flujo de corriente en este circuito es una suma de dos términos. Ley de enfriamiento de Newton: Denotemos por T(t) la temperatura en grados de un objeto en un ambiente con temperatura T amb. entonces la temperatura del cuerpo en cualquier instante t viene dada por T(t) tamb (T(0) .Tamb)e -kt donde k es una constante positiva que depende del material con que está fabricado el objeto. obtenemos t = ln2/0. Sea T(0) la temperatura inicial del objeto en el instante t = 0. en cualquier instante t (segundos) subsiguiente. se sigue que un circuito RL simple que opera bajo un voltaje constante terminará. Si suponemos además. una inductancia de L (henrios) y una resistencia de R (ohmios). .000481 ≈ 1658 años. cuyo efecto decae con el tiempo. El lapso de tiempo requerido para que el término transitorio se haga despreciable se llama a veces el tiempo de dilación (delay time) del circuito. a medida que transcurre el tiempo. viene dado por i(t) E/R(1 . Como la inductancia L aparece sólo en el último término. por comportarse en forma muy análoga a la de un circuito no inductivo. La fórmula anterior es conocida como fórmula de la ley de enfriamiento de Newton. Circuito eléctrico simple RL en serie: Consideremos un circuito en serie que consta de una fuerza electromotriz que proporciona un voltaje constante de E (voltios) tal como la que puede proporcionar una batería. que el circuito fue excitado en el instante t = 0. el flujo de corriente i(t) medido en amperios. y proporciona una medida de su sensitividad en su respuesta a la fuente de voltaje E. tomando logaritmos neperianos a ambos miembros y despejando. de sonidos.COMPORTAMIENTOS LOGARITMICOS. un cambio en R no es tan perceptible para "valores grandes" de R como para "valores pequeños" de R. Escala de Richter: En la escala de Richter la magnitud R de un terremoto se define por. De este modo. ácida si 0<pH<7 neutra si pH = 7 básica si 7 < pH Otras escalas logarítmicas: Cuando se desea notar la diferencia de peso entre dos objetos. básica o neutra. C es una constante que depende del tipo de estímulo y S es la intensidad percibida del estímulo. . La siguiente fórmula se conoce como fórmula de la ley de WeberFechner: S Cln(R/r) donde R representa la intensidad real del estímulo. Este número define una escala que caracteriza a la solución como ácida. esta debe ser grande si se trata de objetos pesados que cuando se trata de objetos ligeros. pH de una solución: El potencial de hidrógeno o pH de una solución viene definido mediante la fórmula pH -log10[H+] el símbolo [H+] denota la concentración de iones de hidrógeno de una solución medida en moles por litro. Experimentos realizados sugieren que las personas reaccionan a los estímulos en una escala logarítmica. grados de tonos musicales. R=log10 (A/Ao) donde A es la amplitud de la onda sísmica mayor del terremoto y Ao es una amplitud de referencia que corresponde a la magnitud R = 0. etc.. r es el valor umbral (el mínimo valor en el cual el estímulo es observado). Lo mismo ocurre cuando se desea diferenciar intensidades lumínicas. notaremos que para valores grandes de R los valores de S son muy parecidos que cuando los valores de R son pequeños. Si calculamos distintos valores de S en función de R con r fijo.3. 5 Todos los seres vivos contienen carbono 12 que es un elemento estable y carbono 14. Si.El nivel de intensidad b de un sonido medido en decibeles (dB) se define por b 10log10(I/Io) Aquí I representa la intensidad del sonido medida en vatios/cm2 y Io = 10 -16 vatios/cm2 es la intensidad del sonido más débil que pueda escucharse (0 dB). después de una hora.2 y Wo = 68 mg. ¿cuál será la población en 50 años? 4 La cantidad que queda de 50 gramos de plutonio 239 después de t años esta dada por: g(t) = 50e-0 . Mientras una planta.0000287t . debido a que el carbono 14 se . prediga el peso final al mes. para un tipo de soya. Wo es el peso en el primer día del brote o emergencia. un animal está vivo el cociente de estos dos isótopos de carbono permanece constante. Si la población inicial aumenta 25% en 10 años. Determine: a) El porcentaje de plutonio 239 que habrá desaparecido después de 1500 años. y t es el tiempo en días. k = 0. Ejercicios Una función exponencial W tal que W(t) = Wo ekt (para k > 0) describe el primer mes el crecimiento de cultivos como maíz. 1 2 El número de bacterias presentes en un cultivo después de t minutos está dada por N(t) = N o ekt. b) Encuentre el tiempo que tarda la colonia para cuadruplicar su tamaño. La función W es el peso total en miligramos. b) La vida media del Plutonio 239.5 veces su población inicial. que es radiactivo. la colonia ha extendido a 1. 3 La población de una cierta comunidad después de t años es aproximadamente de P(t) = 1700e kt . a) Encuentre k si se sabe que. algodón y soya. Encuentre el trabajo realizado por el gas. pero al doble de la altitud del primero.renueva continuamente. un objeto se enfría desde 1000 C hasta 900 C en 10 minutos. c) mes. Suponga que un organismo se reproduce exponencialmente a una tasa del 8% diario. 7 8 9 10 11 . La intensidad del sonido 1 es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia d desde la fuente de sonido. si se sabe que otro avión que paso por el mismo punto. Si la vida media del C-14 es de 5600 años y se encontró un fósil con una milésima de C-14 correspondiente a la que el organismo contenía mientras vivía. con un nivel de intensidad de 70 dB. b) Determine el nivel de intensidad para un avión que pasa por encima de una torre de control. algunos comerciales de TV y el umbral del dolor son respectivamente 10-14 . Supongamos que en una habitación que se mantiene a una temperatura constante de 600 C. y puede llenar un estanque determinado en 50 días. a) Demuestre que si d l y d2 son las distancias desde una fuente de sonido. ¿Qué edad aproximada tiene el fósil? 6 Si se invierten 1000 Bs. b) trimestre. 10-10 y 10-4 . viene dado por W = kln(V1 /V0 ) suponiendo que la presión del gas sea inversamente proporcional a su volumen. Un volumen inicial de gas es de 1 pie 3 a 500 lb/pie 2 de presión.. esto es. 10-11 . pero al morir. Determine los respectivos niveles de intensidad en decibeles. ¿Cuánto tardarían 10 de estos organismos en llenar el estanque? El trabajo realizado pa ra mover un pistón cuando un gas se expande de un volumen V0 a otro VI. entonces los respectivos niveles de intensidad b1 y b2 están relacionados por b2 = b1 + 20log10 (d1 /d 2). ¿Cuánto tardará en enfriarse desde 900 C hasta 80 0 C ? Las medidas en vatios/cm2 de las intensidades de un susurro. d) día. una conversación. se expande hasta un volumen de 2 pies 3 . establezca la cantidad de dinero en la cuenta 5 años después al 8% de intereses si estos son compuestos cada: a) año. p = k/V. no se absorbe más carbono 14. 8? .12 ¿Cuántas veces más intenso fue el terremoto de Japón en 1983 de magnitud 8. con respecto al terremoto de Ciudad de México en 1985 cuya magnitud fue de 7.9 en la escala de Richter. (1988). Navarro. Precalculus. geometría analítica trigonometría. Colombia: McGraw-Hill. (1996) Introducción al Cálculo. Swokowski. (1991). P y Carvajal. Álgebra Iberoamericana. Álgebra y trigonometría. (1985). Álgebra. Matemáticas previas al cálculo . D. y Yizze. Introducción funcional. (1989). México: Harla. Munem. M. Gobran. Venezuela : Mc GrawHill. D. Leithold. Álgebra elemental. México: Grupo Editorial Iberoamérica. J. (1990). (1992). L. A. Precálculo.A. S. Dávila. W. México: Prentice Hall. Zill. P. Álgebra y trigonometría con geometría analítica.REFERENCIAS Barnett. (1986). Álgebra X trigonometría con geometría analítica. R. Fleming. y trigonometría. Vance. J. A. y Varberg. Estados Unidos: Addison Wesley . México: Limusa.. México: Grupo Editorial Iberoamérica. E. España: Editorial Reverté. A. E. (1992).