Estudio Completode la FUNCIÓN CUADRÁTICA Las funciones cuadráticas son utilizadas en algunas disciplinas como, por ejemplo, Física, Economía, Biología, Arquitectura. Son útiles para describir movimientos con aceleración constante, trayectoria de proyectiles, ganancias y costos de empresas, variación de la población de una determinada especie que responde a este tipo de función, y obtener así información sin necesidad de recurrir a la experimentación. Además las características geométricas de la parábola son tales que tienen otras aplicaciones, tales como los espejos parabólicos en los faros de los coches y en los telescopios astronómicos. Los radares y las antenas para radioastronomía y televisión por satélite presentan también este tipo de diseño. Prof. Viviana Lloret URL Blog: http://aulamatic.blogspot.com ..........................................................................Error: Reference source not found Problemas de máximos y mínimos:......Error: Reference source not found Propiedad de las raíces...............................................Error: Reference source not found Conjunto Imagen..................Error: Reference source not found Ecuaciones bicuadradas..........Error: Reference source not found Análisis Completo........Error: Reference source not found Desplazamiento de f(x)= ax 2..............................................................................................................................................Error: Reference source not found Expresiones de la función cuadrática:....Error: Reference source not found Conjunto de Positividad y Negatividad...........................10 .................................Error: Reference source not found Sistema de dos ecuaciones (lineal y cuadrática ........cuadrática y cuadrática)..Error: Reference source not found Parábola determinada por tres puntos....Error: Reference source not found Ecuaciones cuadráticas:.......................Indice Función Cuadrática........Error: Reference source not found Máximo o mínimo........Error: Reference source not found Construcción del gráfico................................Error: Reference source not found Ejercitación...........................................Error: Reference source not found Discriminante .......Tipo de soluciones:.......................................3 Signo y valor absoluto de a...........Error: Reference source not found Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento..........Error: Reference source not found Raíces o ceros de la función:........................ decrecimiento ) ( Int. Dom f: ℜ Su gráfico es una curva llamada parábola.x 2+ b. decrecimiento Int. a se llama término cuadrático.FUNCION CUADRATICA Son las funciones de la forma: f(x)= a . crecimiento ) ( Int. x + c. b término lineal y c término independiente Signo y valor absoluto de a a>0 |a1|>|a2| a>0 |a1|>|a2| Int. crecimiento Desplazamiento de f(x)= ax 2 . k) Ejemplo: La siguiente gráfica corresponde al desplazamiento de la función f(x)= x2. se despeja directamente la incógnita. su fórmula es f(x)= (x – 4.Si trasladas el gráfico de f(x)= x2 p unidad hacia la derecha. La otra se obtiene igualando a 0 el otro factor. 2 • Si la ecuación no tiene término independiente (c = 0). 4.92 Raíces o ceros de la función: Son las abscisas de los puntos de intersección de la parábola con el eje x. se extrae factor común x. Ecuaciones cuadráticas: Todas pueden resolverse aplicando la fórmula (primero se reducen a la forma a .x 2+ b. x =0 es siempre una de las soluciones. x + c = 0 realizando todas las operaciones posibles): − b ± b − 4ac x1. si es que existen. Para hallarlas.58)2 + 3. y k unidades hacia arriba obtienes el gráfico de la función: g (x)=a (x .p)2 + k. x 2 = 2a • Si la ecuación no tiene término lineal (b = 0).58 unidades hacia la derecha y 3.92 unidades hacia arriba. en la fórmula de la función se reemplaza la variable y por 0 y se resuelve la ecuación. En este caso. siendo su vértice el punto: V = (p. Construcción del gráfico Se calcula Se aplica la fórmula resolvente y se obtienen las raíces x1 y x2 Se marca en el gráfico Si las raíces son reales se marcan los puntos de contacto con el eje x en x1 y 4 . 5 . nos permitirán determinar los intervalos en los cuales la función es positiva y los intervalos en los cuales es negativa. Análisis Completo Conjunto Imagen En general: Si a > 0 el conjunto imagen de f(x) es [xv. la función f(x) es creciente en el intervalo ( xv . Si a < 0 el conjunto imagen de f(x) es (-∞. la función f(x) es creciente en el intervalo (-∞. Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento Las funciones cuadráticas presentan un tramo en el que son crecientes y otro en el que son decrecientes. es decir. Si a<0. xv]. y decreciente en el intervalo (-∞.Se reemplaza en la función x por xv Ordenada al origen : (0 . yv) Eje de simetría: recta vertical que pasa por xv (se marca con línea punteada).. Conjunto de Positividad y Negatividad Las raíces reales de una función. Los intervalos de positividad (c+) de una función f(x) son los intervalos de x en los cuales la función es positiva. Se aprovecha el eje de simetría para obtener puntos simétricos. donde f(x)>0.∞).Coordenadas del vértice : xv = (x1 + x2 ) /2 o xv = -b /2a yx = f(xv ) . Punto de contacto con el eje y. si es que existen. y decreciente en el intervalo (xv.xv) .xv). +∞). c) x2 Vértice : V ( xv .+ ∞) . Si a>0. Ejemplo: Dada la función f(x)= x2 +x . la gráfica no corta al eje x. Máximo o mínimo Si a>0 la ordenada del vértice ( yv) es el valor mínimo que alcanza la función. Si a< 0 la ordenada del vértice ( yv) es el valor máximo que alcanza la función.Los intervalos de negatividad (c-) de una función f(x) son los intervalos de x en los cuales la función es negativa. Se lo llama extremo.3. las raíces son números complejos conjugados 6 . lo toma en xv. lo toma en xv.Tipo de soluciones: ∆ > 0 → Dos raíces reales distintas 2 ∆ =b -4ac ∆ = 0 → Una raíz real doble ∆ < 0 →No tiene raíces reales. es decir. donde f(x)<0.75 Discriminante . es decir. xv ) 2 + y v f(x) = a ( x . ( x . Si a < 0 la función alcanza un máximo en la ordenada del vértice de su gráfica.∆ >0 ∆ =0 Expresiones de la función cuadrática: ∆ <0 Forma Polinómica Canónica Factorizada Expresión f(x) = a x2 + bx +c f(x) = a ( x . yv a. xv. es decir en x = xv la función alcanza su valor máximo yv. b. es decir en x = xv la función alcanza su valor mínimo yv. y c de su fórmula polinómica. x1 + x2 = .x1 ).x2) Parámetros a. c a. x2 = c_ a a Esta propiedad es muy útil para hallar la fórmula de la función cuadrática conociendo sus raíces. b. x1. Propiedad de las raíces • Son las relaciones que existen entre las raíces x1 y x2 de una función cuadrática y los coeficientes a.b x1 . 7 . x2 Problemas de máximos y mínimos: • • Si a > 0 la función alcanza un mínimo en la ordenada del vértice de su gráfica. 12 = 0.: Es el conjunto de valores de x en los cuales f(x) < 0.4 w . resolver x 4. intervalos de positividad y negatividad. las cuales se resuelven haciendo un cambio de variable: Sea. por ejemplo. • La curva está por debajo del eje x Ejemplo: Hallar los C +. luego y x2 = -√ 2 i si w = -2⇒ -2 = x2 √ -2 = ⇒x1 = √ 2 i x si w = 6 ⇒ 6 = x2 √ 6 = ⇒x3 = √ 6 y x . sustituimos x2 por w Si w = x2 de raíces.Inecuaciones cuadráticas.4 x2 . es decir tiene en total 4 raíces. de acuerdo con su discriminante.de f(x) = 3 (x . x4 = -√ 6 8 . pueden presentarse estos tres casos : g(x) Q P g(x) P g(x) f(x) f(x) En el caso de cuadrática y cuadrática se procede de igual forma.cuadrática y cuadrática) Dadas una función cuadrática f(x) y una función lineal g(x) para hallar los puntos en que sus gráficos se intersecan . • Intervalos de positividad C +: Es el conjunto de valores de x en los cuales f(x) > 0. C . se igualan sus fórmulas y se obtiene una ecuación cuadrática.12 = 0 aplicando la fórmula para el cálculo y w2 = 6.2) (x + 4) Sistema de dos ecuaciones (lineal y cuadrática . • La curva está por encima del eje x • Intervalos de negatividad C .si es que lo hacen-. obtenemos w1 = -2 w2 . ∆ > 0 F(x) ∆ =0 ∆ <0 Ecuaciones bicuadradas Son las expresiones de la forma a x 4 + b x 2 + c = 0. Se opera para llevarla a la forma a x2 + bx + c =0 y. si es que existen.1 b + c = 6 P2= (2. P3=(3. P2=(2.. luego la fórmula pedida es f(x)= 2 x2 -3x +1 9 .Parábola determinada por tres puntos Tal como vimos. 6) ⇒ x = -1.. reemplazamos las coordenadas de cada uno en su expresión: P1= (-1. 10) ⇒ x = .. ⇒ 9 a + 3 b + c = 10 Observen que nos quedo planteado un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. y = … ⇒ a(2)2+ b(2)+c = 3 ⇒4 a + 2 b + c = 3 P3= (3. que obtenemos a partir de los coeficientes. . y = 6 ⇒ a(-1)2+ b(-1)+c = 6 ⇒ 1.. y = … ⇒ a(…)2+ b(…)+c = …. la expresión de una función cuadrática requiere de tres parámetros.. 3).a . 6).. 3) ⇒ x = . Ejemplo: Hallar la expresión polinómica de la función cuadrática cuyo gráfico contiene los puntos P1= (-1.. Obtengamos ahora la expresión de una función cuadrática conociendo tres puntos cualesquiera que pertenecen a su gráfico. para resolverlo utilizaremos determinantes: 6 3 1 0 A= 1 4 9 − 1 2 3 − 1 2 3 1 1 1 1 ⇒a = 2 1 1 1 6 1 4 9 1 4 9 3 1 1 0 1 − 1 1 2 1 3 1 b= ⇒ b = -3 1 −1 6 c= 4 9 1 4 9 2 3 3 1 0 −1 1 ⇒ c = 1 2 1 3 1 . 10) Trabajaremos con la fórmula: y = ax2 + bx + c Como los tres puntos pertenecen al gráfico de f(x). las coordenadas del vértice y/o las raíces reales. -√ 2) (3 .EJERCITACIÓN FUNCION CUADRÁTICA 1a) Graficar las siguientes funciones: f(x)= (x + 5 ) 2 .x 2 + 3x b) Indiquen para cada una.0.6 x + 12 t(x) = . 4/ 5) (-5 .x 2 2 -9 j(x) = x 2 + 3 x + 2 k(x) = .Hallen los números enteros que verifiquen la condición pedida en cada uno de los siguientes casos: a) La diferencia entre el cuadrado de su triple y el cuadrado de su doble es 125. cuál es el valor máximo o mínimo y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. b) El producto entre su consecutivo y su antecesor es 399. 2-Completar la siguiente tabla : A 2 -1 3/ 4 √3 .3 = 6 3x(7-x)=0 2 x2 . 1) (0 . . 0 ) Ecuación de la Parábola 3-Hallen las raíces de las siguientes funciones : f(x) = ( x . c) El triple del cuadrado de su consecutivo es 147.8 h(x) = x 2 .1/ 2 4 vértice ( 2 .5 x = 0 (2 x ) 2 .3 ) g(x) = 4 x h(x) = .3 x + 1 = 1/ 2 ( 2x + 2) 6 (1/ 3 X+ 1/ 2) = x 2 + 3 5.4 x + 4 g(x) = -3 x 2 .4 x 2 -5x -4 +4x-1 2 4-Resuelvan las siguientes ecuaciones: . -3) ( -1 / 2 .5 x 2 + 8 = 0 3 x 2 + 2. 3) (√ 2 . 3 ) y x = 2 es raíz. b) La ecuación 3 x2 + k = 0 no tiene solución en R.9 q(x) = .x2 + 0. 8.0.x 2 + x .x 2 + 6 x .1 ) ( x + 2.Hallen la fórmula de una función cuadrática que cumpla con las condiciones pedidas en cada caso.Sin resolverlas. el rendimiento de nafta r (en km/litro) está relacionado con la velocidad 11 .1/ 2 = 0 9.1/ 2 ) y su vértice es V =(-2 .5 ( x + 1 ) 2 . . indiquen el tipo de raíces que tiene cada una de las siguientes ecuaciones: 3 x . b) El vértice de su gráfico es: V = (0 . m(x) = x 2 -2x-8 p(x) = . 10. a) Su gráfico pasa por el punto (3 .Cuál es la máxima superficie que se puede abarcar con una soga de 100 m dispuesta en forma rectangular sobre el piso ? 11.Al poner a prueba un nuevo automóvil se comprobó que para velocidades mayores que 10 km/h y menores que 150 km/h. a) La función f(x)= .k tiene una raíz doble. las coordenadas del vértice.k x2 + 1 interseca el eje de abscisas en dos puntos.Hallen los posibles valores que puede tener k para que se cumpla la condición pedida en cada caso. 0 ). c) El gráfico de la función g(x) = . d) Las raíces son x1 = .5 n(x) = .3 y x2 = 3 y el máximo es 4. 1) y la ordenada al origen es 4. Para ello determinen previamente las raíces reales.1. d) La ecuación x 2 + x = 5 k tiene dos raíces reales distintas. la ecuación del eje de simetría y el punto de intersección con el eje de las ordenadas.6-Grafiquen las siguientes funciones.1 =0 b) x 2 + 4 =0 c) 3 x 2.x 2 -x-2 l (x) = (2 x .5 ) 7. c) El vértice de su gráfico es V = (-2 . Un matrimonio tiene.1 = x___ x -3 x + 4 16.El área del rectángulo de la figura es 18 cm 2 .4 110 Calculen a qué velocidad el rendimiento es máximo y calculen dicho rendimiento. tantos nietos como hijos.La suma de los cuadrados de tres números enteros consecutivos es 50. Cuál es el número? 17. Calcula su perímetro.Los lados de un rectángulo tienen 5 cm y 8 cm de longitud.El cuadrado de un número entero es igual al siguiente multiplicado por . de cada hijo.3x ) . Cuántos hijos y nietos tiene? 14. 12.Por qué número natural hay que dividir al número 156 para que el cociente. Cuáles son esos números? 18.Resolver las siguientes ecuaciones: x ( x 2 .v (en km/hora) mediante la función: r (v) = 0. el resto y el divisor coincidan? 19.Hallen la superficie de un cuadrado cuya diagonal mide 10 cm 13.4 ( x .1 ) = x3 (x + 1) 2 b) x 2 + x +1=0 =(1-3x) 2 d) 2 x . Si la cantidad de hijos y de nietos es 56.4. Se cortan los cuatro lados en un misma longitud x con lo cual el área disminuye 22 cm 2.Se dispara desde la superficie una bala de cañón que sigue una trayectoria parabólica con un alcance de 100 metros y una altura máxima de 15 metros.Reconstruye las ecuaciones de segundo grado conociendo sus 12 . Hallen la fórmula de la función cuadrática que describe su trayectoria 15. Completen la tabla: v(km / h ) R (km / l ) 40 6. x-2 x+1 20.002 v ( 180 .v ). Cuánto se acortaron los lados? 21. x2= 2 . x2 = -3 b) x1 = x2 = 5 c) x1= 2 + i .1) 2 y = 2 x 2.2 x .3 y = -2x + 2 23. x2 = 1 -2 √ 2 22.x 2 .4 x +12 y = x 2+ 6 y = 2 x 2+ x .(x+6)2 13 . la imagen y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.i d) x1 = 1 + 2 √ 2 . a) f(x) = -3 (x-2)(x+5) b) f(x)= 1. hallar las coordenadas del vértice de la parábola correspondiente. Trazar el gráfico correspondiente.2 y = 2x + 4 y = .Indicar cómo es el discriminante asociado a cada una de las funciones graficadas 24.raíces: a) x1 = 5 .Para cada una de las siguientes funciones cuadráticas.Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: y = 2 x 2+ 3 x – 5 y = (x . c) f(x)= x2 .Completa en tu carpeta. 14 .2x -15 d) f(x)= 6 x2 -x -1 e) f(x)= -2x2 -5x +3 25.Elegir cuál de las siguientes funciones corresponde a cada uno de los gráficos F1(x)= x2 .4x + 4 F2(x)= 1/3 x2 – 2/3x – 2 F3(x)= -x2 + 3x – 3 F4(x)=-2 x2 + 12x -2 26. .unidades hacia .5) y pasa por el punto (2. a) f(x) = -3 (x-2)(x+5) b) f(x)= 1.3). 0 ).∞) c) El intervalo de positividad de h es (2.. d) Su gráfico pasa por el punto ( 3 ..... e) El vértice de su gráfico es : V = ( 0 . El lado de la base es el doble de la altura de la caja...... 3 ) y x = 2 es raíz. 30. 28.....4} y la Imagen de g es Im g [2...La fórmula y = (x+4)2 +3 corresponde a la parábola y=x2 desplazada . . g y h a) El gráfico de f es una parábola de vértice (3...20 el metro.....(x+6)2 c) f(x)= x2 .).....8) y la Im h = (-∞... y .2) 2 2 -1 27. 1]........Un artesano hace cajas de madera con tapa. en forma de paralelepípedo de base cuadrada.Hallar las funciones f. La placa de madera tiene un costo de $5 el metro cuadrado y las varillas que adornan todas las aristas cuestan $0.. Su vértice es el punto (...1/ 2 ) y su vértice es V = ( -2 .m(x)=(x ...Halla los ceros..2x -15 d) f(x)= 6 x2 -x -1 e) f(x)= -2x2 -5x +3 29. ........ el conjunto de positividad y negatividad de las siguientes funciones.unidades hacia .. b) El conjunto de ceros de g es {-3.... ¿Cuáles son las dimensiones de una caja cuyo costo en materiales es de $4? 15 .......1) +2 n(x)=(x+3) Eje de simetría Vértice Conjunto imagen x= -3 (1... 24) y Q=(2. t segundos después del disparo.Hallen la expresión polinómica de la función cuadrática f(x) cuyo coeficiente cuadrático es 2 y cuyo gráfico contiene los puntos (2. c) Hallar el tiempo en que demora el proyectil en llegar al suelo. b) ¿Cuántas unidades deben producir ambos fabricantes para obtener la misma ganancia? ¿A cuánto asciende dicha ganancia? 32. Resolver a).18) y (-2.La función cuadrática h(x) carece de término lineal y su gráfico pasa por el punto P=(3.5 a) Grafiquen ambas funciones.15) y por el punto Q=(2.5 x .7 16 .31.9 t2 + 110 t a) ¿Para qué valores de t el proyectil asciende? ¿Para cuáles desciende? b) Hallar el instante en que alcanza la altura máxima y calcularla.Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba. hallar su altura sobre el suelo t segundos después del disparo. 35. pero a 50 m del suelo. Hallen una expresión de h(x).2) e interseca los ejes exactamente en los mismos puntos en los que lo p2(x)= x.20 metros de varilla metálica. está dada por s(t)= -4. d) Si otro proyectil es disparado en iguales condiciones.0).8.16).2).Un constructor debe hacer una ventana rectangular.0.Encontrar el punto perteneciente al gráfico de f(x)= 3x – 1 más cercano al punto P = (4. 36.1). 34. Encuentren una expresión de g(x). 38.El gráfico de la función cuadrática g(x) interseca el eje y en y = 24 y contiene los puntos P=(1.Dos fabricantes de cierto artículo con una producción x ( en miles de unidades) obtienen respectivamente una ganancia p ( en miles de pesos) de: p1(x)= -x2 + 7. Para el marco dispone de 3. Su altura (en metros) sobre el suelo. b) y c) para este caso. 33. 37.El gráfico de la función cuadrática j(x) contiene el punto P=(3. Hallar las dimensiones de modo que el área de abertura sea máxima. Hallen una expresión de j(x).hace el gráfico de la función lineal r(x)=-4x + 8. 17 .